不等式への招待 第４章

ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
　　　　　　　　　　＿＿＿　　　　　　　　　　----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
　　　　|┃三　.／　　≧　＼　　　
　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／　|　
　　　　|┃　≡|::::: (●　(● |　　不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ　 　　　黙っちゃゐられねゑ…
　　　　|┃=＿＿　　　 ＼　　　 　　 　　　　ﾊｧﾊｧ
　　　　|┃　≡　）　　人　＼ ガラッ

過去スレ
・不等式スレッド （Part1）　 http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待 第２章　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
・不等式への招待 第３章　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/

過去スレのミラー置き場：http://cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/

まとめWiki　http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/

姉妹サイト（？）
Yahoo! 掲示板 「出題 不等式」 http://messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=l&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=10000

不等式の本
[1]　不等式，ハーディ・リトルウッド・ポリヤ，シュプリンガー，2003年
　 　http://amazon.co.jp/o/ASIN/4431710566
[2]　不等式，大関信雄・青木雅計，槇書店，1967年（絶版）
[3]　不等式への招待，大関信雄・大関清太，近代科学社，1987年（絶版）
[4]　不等式入門，渡部隆一，森北出版，2005年
　　 http://amazon.co.jp/o/ASIN/4627010494
[5]　不等式の工学への応用、海津聰、森北出版，2004年
　　 http://amazon.co.jp/o/ASIN/4627075812
[6]　不等式（モノグラフ４），染取弘，科学新興新社，1990年
　　 http://amazon.co.jp/o/ASIN/4894281740
[7]　数理科学 No.386 特集「現代の不等式」，サイエンス社，1995年8月号（絶版）
[8]　数学トレッキングツアー第３章「相加平均≧相乗平均」，東京理科大学数学教育研究所，教育出版，2006年
　 　http://amazon.co.jp/o/ASIN/4316801988
[9]　数学オリンピック事典，数学オリンピック財団，朝倉書店、2001年
　 　http://amazon.co.jp/o/ASIN/4254110871
[10]　The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities，J. M. Steele，Cambridge Univ. Pr.，2004年
　　 http://amazon.co.jp/o/ASIN/052154677X
[11]　数学セミナー 2009年 02月号，日本評論社，2009年
　 　http://www.amazon.co.jp/o/ASIN/B001O9UIZ8

不等式の埋蔵地
[1]　RGMIA　http://rgmia.vu.edu.au/
[2]　Crux Mathematicorum Synopses　http://www.journals.cms.math.ca/CRUX/synopses/
[3]　Maths problems　http://www.kalva.demon.co.uk/
[4]　Mathematical Inequalities & Applications　http://www.ele-math.com/
[5]　American Mathematical Monthly　http://www.maa.org/pubs/monthly.html
[6]　Problems in the points contest of KöMaL　http://www.komal.hu/verseny/feladatok.e.shtml
[7]　IMO リンク集　http://imo.math.ca/
[9]　Mathematical Olympiads Correspondence Program　http://www.cms.math.ca/Competitions/MOCP/
[10]　Mathematical Excalibur　http://www.math.ust.hk/excalibur/
[11]　MathLinks Contest　http://www.mathlinks.ro/Forum/contest.html
[12]　MATH PROBLEM SOLVING WEB PAGE　http://www.math.northwestern.edu/~mlerma/problem_solving/#proposed_problems (要自動登録)
[13]　Wolfram MathWorld　http://mathworld.wolfram.com/

海外不等式ヲタの生息地
[1] Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics　http://jipam.vu.edu.au/
[2] MIA Journal　http://www.mia-journal.com/
[3] MathLinks Math Forum　http://www.mathlinks.ro/Forum/forum-55.html

>>1
スレ立て乙！
>>2に数蝉の記事も加えてあって、完璧な仕事ぶりでござるな…

Cinco!

979 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 2009/06/15(月) 23:24:53
nは自然数とする
(sinx)^n+(cosx)^n
の最大値、最小値を求めよ


Kを非負の定数とする
区間[t1,t2]で定義された負でない連続関数f(t),g(t)が
f(t)≦K+∫[t1→t]g(s)f(s)ds （t1≦t≦t2）
を満たすならば
f(t)≦Kexp(∫[t1→t]g(s)ds) （t1≦t≦t2）
が成り立つことを示せ

フィボナッチ数列に関した不等式ってないですか？

>>6
上：nの偶奇で場合分け。偶数の場合をといて、奇数の場合を解く。

下：グロンウォールの不等式

>>6　
x^2+y^2=1 上での x^n+y^n の最大値と解釈してラグランジュ。

まだ前スレは 20 は書けるぜ！

ABを斜辺とする直角三角形ABCがある。
辺AC上に、頂点A、Cと異なる任意の点Pをとるとき、次の不等式が成り立つことを示せ。

(AB-BP)/AP＞(AB-BC)/AC

(お茶の水女子大)

No1
a，b，cは実数で，a≧0，b≧0とする．
　　p(x)=ax^2+bx+c
　　q(x)=cx^2+bx+a
とおく．-1≦x≦1をみたすすべてのxに対して|p(x)|≦1が成り立つとき，
-1≦x≦1をみたすすべてのxに対して|q(x)|≦2が成り立つことを示せ．

No2
nを正の整数，aを実数とする．すべての整数mに対して，
　　m^2-(a-1)m+(an^2)/(2n+1)＞0
が成り立つようなaの範囲をnを用いて表せ．

No3
　実数a，b，c，x，y，z，pが次の4条件をみたしている．
　　a^2-b^2-c^2＞0
　　ax+by+cz=p
　　ap＜0
　　x＜0
このとき，x^2-y^2-z^2の符号を調べよ．

No4
　a，b，cは実数とする．また，xについての関数f(x)を以下のように定める．
　f(x)=x^3-3ax^2+(a^2-a+b)x+c
a≦p，a≦q，a≦rをみたす任意の実数p，q，rに対して，
　{f(p)+f(q)+f(r)}/3≧f((p+q+r)/3)
が成り立つことを示せ．

No5
　a，bは実数とする．xについての関数f(x)を
　　f(x)=|x^3+ax+b|
と定める．|x|≦1におけるf(x)の最大値をM(a,b)として，M(a,b)の最小値を求めよ．

No6
　nは自然数とする．2，2^2，2^3，…，2^nを並べ替えてできる数列をa[1]，a[2]，a[3]，…，a[n]とする．このとき
　　Σ[k=1,n]a[k]2^k
の最大値，最小値を求めよ．

No7
　任意の正数a，b，cに対して，以下の不等式をみたすような実数kの最小値を求めよ．
a^(1/3)+b^(1/3)+c^(1/3)≦k(a+b+c)^(1/3)

No8
　aは正の定数とする．任意の実数x，yに対して以下の不等式が成り立つことを示せ．
|√(a+x^2)-√(a+y^2)|≦|x-y|

No9
　a,b,c,p,qはすべて異なる実数とする．
　f(x)=(x-a)(x-b)
　g(x)=(x-b)(x-c)
　h(x)=(x-c)(x-a)
として，f(x)+g(x)+h(x)=0の解がp,qであるとき，h(b)＜0ならばf(p)g(q)＞0であることを示せ．

No10
　a,b,c,dは0以上1以下の実数である．このとき，以下の不等式が成り立つことを示せ．
(a+b+c+d+1)^2≧4(a^2+b^2+c^2+d^2)

No11
　a[1]，a[2]，…はすべて絶対値が1より小さい実数である．nを2以上の自然数として，以下の不等式を示せ．
　a[1]a[2]…a[n]+n-1＞Σ[k=1,n]a[k]

No12
　x，yは正の実数とする．
(1) 任意のx，yに対して，√(x+y)＜√x+√yが成り立つことを示せ．
(2) 任意のx，yに対して，√x+√y≦k√(x+y)が成り立つような実数kの最小値を求めよ．

No13
a，b，cは正の実数とする．
(1) (a+1/b)(b+4/a)の最小値と，そのときのa，bの値を求めよ．
(2) (a+1/b)(b+4/c)(c+9/a)の最小値と，そのときのa，bの値を求めよ．

ん．．．なんか「大学への数学」関係雑誌で見たような問題が並ぶ

>>15
何年何月号か詳細を述べ給え！

月刊号じゃなくて，新数学演習とかと同じ位置づけの本

数学ショートプログラム―大学への数学
http://www.tokyo-s.jp/products/d_zoukan/short_program/index.html

普通とは違う見方・解き方で発想力を付けようという趣旨だったか

>>11
∠CBP = θ とおくと、
　BP = BC/cosθ
　CP = BC･tanθ
　(BP-BC)/CP = (1-cosθ)/sinθ = sinθ/(1+cosθ),
これはθについて単調増加だから
　(BP-BC)/(AC-AP) = (BP-BC)/CP < (AB-BC)/AC
∴　AC(AB-BP) > AP(AB-BC),
両辺を AC･AP で割る。

>>12
No.4
　x≧a では
　f "(x) = 6(x-a) ≧ 0　　･････ 下に凸

>>13
No.6　チェビシェフ
　最大になるのは Σ同順序積 のとき a[k] = 2^k,
　(与式) = Σ[k=1,n] 4^k = 4(4^n -1)/(4-1),
　最小になるのは Σ逆順序積 のとき　a[k] = 2^(n+1-k),
　(与式) = Σ[k=1,n] 2^(n+1) = n･2^(n+1),

No.7　チェビシェフ
　a^(1/3)=A, b^(1/3)=B, c^(1/3)=C とおくと、
　(A+B+C)^3 ≦ 3(A+B+C)(A^2+B^2+C^2) ≦ 9(A^3 + B^3 + C^3),

No.8　分子を有理化して
　(左辺) = |x^2 - y^2|/{√(a+x^2) + √(a+y^2)} ≦ |x^2 - y^2|/(|x|+|y|) = Min{|x+y|,|x-y|},

08信州大（後期）より

nを1より大きい整数とする。次の不等式を示せ。

log(n) * log(nπ^2/4) > Σ[k=1,n-1] (4/(kπ))√[log(kπ/2) * log{(k+1)π/2}]

>>14
No.11
　(左辺) - (右辺) = Σ[k=2,n] (1-a[1]a[2]････a[k-1])(1-a[k]) > 0,

No.12
(1)　(√x + √y)^2 = x + y + 2√(xy) > x + y,
　の平方根をとる。
(2)　2(x+y) - (√x + √y)^2 = x+y -2√(xy) = (√x - √y)^2 ≧ 0,
∴　√x + √y ≦ √{2(x+y)},
等号成立は x=y のとき。

>>14
No.13
(1)　1 + 4 + 2(ab/2 + 2/ab) ≧ 1 + 4 + 2*2 = 9,
　　等号成立は ab=2 のとき。
(2)　6{(2a/3 + 3/2a) + (3b/2 + 2/3b) + (c/6 + 6/c) + (abc/6 + 6/abc)}
　　≧ 6{2 + 2 + 2 + 2} = 48,
　　等号成立は a=3/2, b=2/3, c=6 のとき。

No.11 は [前スレ.990] かな。

>>19

π/2 = p とおくと、相乗･相加平均より
　(右辺) < �納k=1,n-1] (2/3k){log(kp) + log((k+1)p)}
　　　　 = �納k=1,n-1] (2/3k){log(k) + log(k+1) + 2log(p)},
　(左辺) = log(n)log(np^2) = log(n){log(n) + 2log(p)} = log(n)^2 + 2log(p)･log(n),
したがって、
　�納k=1,n-1] (2/3k){log(k) + log(k+1)} < log(n)^2,　　　 ･････ (I)
　�納k=1,n-1] (2/3k) < log(n),　　　　　　　　　　　　　　　･････ (II)
を示せば十分。

(I)
　1/(k+1) < -log(k/(k+1)) = log((k+1)/k) = log(k+1) - log(k),
より
　�納k=1,n-1] (2/3k){log(k+1) + log(k)} < (2/3)log(2) + �納k=2,n-1] (1/(k+1)){log(k+1) + log(k)}
　　= (2/3)log(2) + �納k=2,n-1] {log(k+1) - log(k)}{log(k+1) + log(k)}
　　= (2/3)log(2) + �納k=2,n-1] {log(k+1)^2 - log(k)^2}
　　= (2/3)log(2) + log(n)^2 - log(2)^2
　　= log(n)^2 -log(2){log(2) -2/3}
　　< log(n)^2,　　　　　　　　　　　　　{log(2) = 0.693147･･･ >2/3}

(II)
・n=2 のときは 明らか。
・n>2 のとき、(I) と同様に
　�納k=1,n-1] (2/3k) = 2/3 + �納k=2,n-1] (2/3k)
　< 2/3 + �納k=2,n-1] {log(k+1)-log(k)}
　= 2/3 + log(n) - log(2)
　< log(n),　　　　　　　　　　　　{log(2) = 0.693147･･･ >2/3}
または、 y=1/x が下に凸だから
　�納k=1,n-1] (1/k) < ∫[1/2, n -1/2] 1/x dx = log(2n-1) < (3/2)log(n),

>>13

No.10
　Max{a,b,c,d} = M とおく。
　ab+ac+ad+bc+bd+cd ≧ M(a+b+c+d-M) ≧ a^2 + b^2 + c^2 + d^2 - M^2 > a^2 + b^2 + c^2 + d^2 -1,
　(左辺) = (a+b+c+d)^2 + 2(a+b+c+d) + 1
　　= (a^2 +b^2 +c^2 +d^2) + 2(ab+ac+ad+bc+bd+cd) +2(a+b+c+d) +1
　　≧(a^2 +b^2 +c^2 +d^2) + (a^2 +b^2 +c^2 +d^2 -1) +2(a^2 +b^2 +c^2 +d^2) +1
　　= (右辺),

>>6 (上), >>8

n=2m (偶数)のとき cos(x)^2 - (1/2) = ξ, とおく。|ξ| ≦ 1/2, 与式は
　(与式) = (1/2 - ξ)^m + (1/2 + ξ)^m = 2�納k=0,[m/2]] Ｃ[m,2k] (1/2)^(m-2k) ξ^(2m),
　ξ=±1/2 のとき最大値 1,
　ξ=0 のとき最小値 (1/2)^(m-1),

nが奇数のとき、与式を g(x) とおくと,
　g '(x) = n･sin(x)cos(x){sin(x)^(n-2) - cos(x)^(n-2)},
　最大値 g(0) = g(π/2) = 1,
　最小値 g(π) = g(3π/2) = -1,
なお、
　極小値 g(π/2) = (1/2)^(n/2 -1),
　極大値 g(3π/2) = -(1/2)^(n/2 -1),

>>24 の訂正、ｽﾏｿ.
2行目
　(与式) = ････ = 2�農{k=0,[m/2]} Ｃ(m,2k) (1/2)^(m-2k) ξ^(2ｋ),

負の実数 x,y,z が x+y+z<-3 および x^2+y^2+z^2+2xyz=1 を満たすとき，
(1) (x+1)(y+1)(z+1)≦0 が成り立つことを示せ。
(2) x,y,z が全て無理数である x,y,z の例を１組挙げよ。
（2006年 旭川医科大学）

(前略)
今入った速報です。アグネスタキオン・・・原因が不明ですが死んだそうです。詳しい情報が入り次第また
お知らせしたいと思います。
うそ〜〜〜！！！付けたことあるけどとまったことがないうちに高値になってしまい、お金ができたら
つけようと思っていたのに
すごく残念でショックでサンデーサイレンスが死んだ時のことを思い出しました。
サンデーに続く確立された種牡馬で血統も素晴らしい人気の種馬だっただけに・・・・。
タキオンが死んだら何が一番なの？

何だかもっと違う話題を書こうと思っていたのに、忘れるくらい残念な出来事になりました
(後略)

ソース：競走馬生産牧場・市川ファームのブログ
(牧場のブログなので直リン回避のため●を入れました。アクセス時には●を削除して下さい)
http://bl●og.g●oo.ne.jp/ichikun55/e/518e7ca58e28c390a74f6889e7a9e8c0
市川ファーム
http://www17.ocn.ne.jp/~ichikawa/

アグネスタキオン｜馬｜Um@SQL
http://db.netkeiba.com/horse/1998101516/

種牡馬｜アグネスタキオン｜馬｜Um@SQL
http://db.netkeiba.com/horse/sire/1998101516/

YouTube - アグネスタキオンの種付け
http://www.youtube.com/watch?v=08XUAGNs_VY

>>26
(2)が難しいな… ('A`)

x=1/y=zとおく。

>>26
(2)はx=-cosh(1),y=-cosh(2),z=-cosh(3)
として、無理数かどうか言及しないでokだろうか

だめでしょ

>>30
だめだろ！

F[n]はフィボナッチ数列

(F[n]F[n+1])^4≦(n^3)Σ[k=1→n](F[k])^8

>>26 (2) は
　　x = -(1/2)(a + 1/a), y = -(1/2)(b + 1/b), z = -(1/2)(c + 1/c),　abc=1,

(略証)
定義より
　x^2 + y^2 + z^2 +2xyz = 1 + (1/4)(1-abc)(1 + 1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2) + (1/4){1 - 1/(abc)}(1 + a^2 + b^2 + c^2),

さらに abc=1 とおけば (上式) = 1,　題意を満たす。

>>26
http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?t=233395

（ｚ＋ｘｙ）＾２＝（ｘ＾２−１）（ｙ＾２−１）。

>>33
(右辺)=(1+1+…+1)(1+1+…+1)(1+1+…+1)(F[1]^8+F[2]^8+…+F[n]^8)
≧(1+1+…+1)(1+1+…+1)(F[1]^4+F[2]^4+…+F[n]^4)^2={(1+1+…+1)(F[1]^4+F[2]^4+…+F[n]^4)}^2
≧(F[1]^2+F[2]^2+…+F[n]^2)^4
=(F[n]F[n+1])^2=(左辺)

n≧3のとき(F(n+1)/F(n))^4≦2^4≦3^3≦n^3だから緩すぎ。

学コンから

（√2）^（√2）を小数第１位まで求めよ

a+b+c=0，1/4≦x≦y≦z≦1のとき
abx+bcy+caz≦0
を示せ

>>26は高校範囲だとどう解くんだ．．．？

x=-5-4√2
y=-1-√2
z=-1-√2

>>42みたいに適当に-1より小さい2つの無理数で計算しやすい組とってきて代入してもうひとつの文字求めればいいだけじゃないの
思いついたのは
x=-3+√2,y=-3-√2,z=-7-2√7

なんでそんなにややこしく考えるのかわからん

>>43
ちょっと行き当たりばったりすぎな気もしたから，もうちょっとウマク平易に解きたかったんだ

先験的に解くと>>35みたいなのになり，それを元に>>34みたいな答えが出てくる

(1)の結果と>>36から-1より小さい実数をx,yに代入してzを求めたらx+y+z<3は自ずと満たされる
別に行き当たりばったりでもないだろ

このスレでオナニーの邪魔をするのは無粋というもの…

>>26 (1)

（>>36 の解説）
題意より x-1 <-1, y-1 <-1 だから、>>36 より
　(x+1)(y+1) ≧0,
　x+1 と y+1 は同符号。
同じ様に
　x+1, y+1, z+1 は同符号。
一方、
　(x+1) + (y+1) + (z+1) = (x+y+z) +3 < 0,
　x+1, y+1, z+1 ≦ 0,

お前らかっけー

微分法を使わずに
x≧0におけるx^3-3xの最小値を求めることってできますか？

x^3 - 3x = (x+2) (x-1)^2 - 2

x^3+1+1≧3x⇔x^3-3x≧-2
じゃあ駄目？

x^3+1+1に ( ﾟ∀ﾟ)つ AM-GM

a>0,b>0のとき
(b^2/a^2)−a＋b^2−1＋(a^2/b^2)−b^2/a
の最小値を求めよ

Canada 1997
1/1999 ＜ Π[i=1 to 999] (2i-1)/2i ＜ 1/44

>>54
　(2i-1)(2i+1) = (2i)^2 -1 < (2i)^2　より,
(2i-1)/(2i) < (2i-1)/√{(2i-1)/(2i+1)} < √{(2i-1)/(2i+1)}

　(4i-1)(4i+1) = (4i)^2 -1 < 4(2i)^2　より,
　(2i-1)/(2i) = 1 - 1/(2i) = √{1 - (4i-1)/(2i)^2} > √{1 - 4/(4i+1)} = √{(4i-3)/(4i+1)},
すなわち
　√{(4i-3)/(4i+1)} < (2i-1)/(2i) < √{(2i-1)/(2i+1)}
k=2,･･･,n を掛けて
　√{5/(4n+1)} < Π[i=2,n] (2i-1)/(2i) < √{3/(2n+1)},

∴　(1/2)√{5/(4n+1)} < Π[i=1,n] (2i-1)/(2i) < (1/2)√{3/(2n+1)},

n=999 とおいて
　1/57 < (1/2)√(5/3997) < Π[i=1,999] (2i-1)/(2i) < (1/2)√(3/1999) < 1/51,

なお、近似値　0.017847935113411････

訂正ｽﾏｿ
　(2i-1)/(2i) < (2i-1)/√{(2i-1)＊(2i+1)} ＝ √{(2i-1)/(2i+1)},

ｉ= 2,･･･,n を掛けて

>>54
(2i-1)2i ＞ (2i-1)/(2i+1) より
Π[i=1 to 999] (2i-1)/2i ＞ Π[i=1 to 999] (2i-1)/(2i+1) = 1/1999

(2i-1)2i ＜ 2i/(2i+1) より
(Π[i=1 to 999] (2i-1)/2i)^2
＜ (Π[i=1 to 999] (2i-1)/2i)(Π[i=1 to 999] 2i/(2i+1))
＜ Π[i=1 to 999] ((2i-1)/2i) (2i/(2i+1))
= 1/1999
よって, Π[i=1 to 999] (2i-1)/2i ＜ 1/√1999 ＜ 1/44
(∵ 44^2 = 1936 ＜ 1999 ＜ 2025 = 45^2)

以上より 1/1999 ＜ Π[i=1 to 999] (2i-1)/2i ＜ 1/44

素朴な疑問ですけど
簡単のため、x,f(x),g(x)>0として

f(x)-g(x)やf(x)/g(x)の最小値を求める問題で

f(x)≧g(x)+Kを導き出して
f(x)-g(x)の最小値はKといったり
（ex：f(x)=x^3,g(x)=3x,K=-2）

f(x)≧Kg(x)を導き出して
f(x)/g(x)の最小値はKといったり
（ex：f(x)=x^3+2,g(x)=3x,K=1）

するのって等号成立条件を満たしさえすればokですか？

>>58
問題ないと思いますよ

>>59
ありがとうございます

>>58
前者はおｋ

後者の場合はg(x)が正数値を取るか負数値を取るか，はたまたゼロかで違う．
安易に考えてはいけない場合だよ．
その例だと定義域が書いてないので，負・正0ではそれぞれ負・正無限大に発散するので，最小値無し．
定義域がx>0であれば最小値1(x=1)でおｋだけど

>>61

>>58 には
『簡単のため、x,f(x),g(x)>0として』

と書いてあったので…

ごめん，読み飛ばしてた(爆)
orzorzorz

>>53
　b/a + a/b -2 = (b-a)^2 /(ab) = x とおく。xの変域は x≧0,
　b/a + a/b +2 = (b+a)^2 /(ab) = x+4,
　(b/a)^2 + (a/b)^2 -2 = (b^2 - a^2)^2/(ab)^2 = (b-a)^2･(b+a)^2/(ab)^2 = x(x+4),
よって
　(与式) = x(x+4) -bx +(b-1)^2 = x^2 + (4-b)x +(b-1)^2 = (x+2 -b/2)^2 + (3/4)(b^2 -4) = F(x,b),
これはxの2次式で、軸のx座標は b/2 -2 である。

・0<b≦4 のとき
　F(x,b) ≧ F(0,b) = (b-1)^2 ≧0,
　等号成立は a=b=1 のとき,

・b≧4 のとき
　F(x,b) ≧ F(b/2 -2,b) = (3/4)(b^2 -4) ≧ 9,

-------------------------------------------------

>>24 の訂正
最後の2行
　極小値 g(π/4) = ････
　極大値 g(5π/4) = ････

>>64
　F(x,y) = x(x+4) -xy +(y-1)^2
　　　= (x+2)^2 -(x+2)y +y^2 -3
　　　= (3/4)x(x+4) + {(x+2)/2 -y}^2 ≧ 0,　　　(x>0)

情報

今年の群馬大の入試は関数方程式と不等式を絡めたやつが出たらしい
（問題知ってる人は頼みます）

月刊大数で毎月不等式の記事が出てるらしい

p_iをi番目に大きい素数とする。
p_(n+1)と1+Π[i=1→n]の大小関係を答えよ。

(0.99)^99 と (1.01)^(-101) の大小関係を答えよ。

sin44°とsin46°の大小関係を答えよ。

n≧2の時
1^n×2^(n-1)×…×n^1＞(n・n!/2^n)^((n+1)/2)
を示せ。

1・2・2・3・3・3・4・4・4・4・5・…・n・n…・n
＜(e・n!/(n+1))^(n+1)

a,b,c,dは実数で
|a|≦2 ,|b|≦2 ,|c|≦2 ,|d|≦2
a+b=1,c+d=1を満たすとする。
このとき、ac+bdの最大値と最小値を求めよ。

f(x,y,z)=zy^2x^3+yx^2+x+1(-1≦z≦y≦0≦x≦1)の最大値,最小値を求めよ。

>>67
> sin44°とsin46°の大小関係を答えよ。

ぽかーん…

何も考えずに問題を貼ってしまった、すまない

元ネタ

NO.5-1　sin44°とsin46°〜難易度☆☆★★★
問題
25:以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします :2008/11/05(水) 02:07:27.33　　ID:zPq0YMmyO
>>22
(sin44°)/(sin46°)は1より大きいか
解答
<+> ...
小さい
解説
sin44°＜sin46°を示す。
加法定理を用いて
sin(45°+1°)-sin(45°-1°)
=sin45°cos1°+cos45°sin1°-sin45°cos1°+cos45°sin1°
=2cos45°sin1°=√2sin1°＞0
∴sin46°＞sin44°から
sin44°/sin46°＜1
大小比較を何をもってするかが、重要。
手によっては、相当大変かもしれない。

>大小比較を何をもってするかが、重要。
>手によっては、相当大変かもしれない。

そうやってる当人に言われると説得力があるな

sinが[0,π/2]で単調増加という事実は知らないものとして答えよ
という問題だったんだろうか．．．

>>69
え。。。

元ネタ発見

> 102 ：名無しなのに合格[sage]：2008/11/15(土) 01:30:06 ID:gZbowFD2O
> sin44°sin46°は1より大きいか
> 103 ：名無しなのに合格[sage]：2008/11/15(土) 01:30:49 ID:gZbowFD2O
> >>102の右辺は1/2だった
> 104 ：名無しなのに合格[sage]：2008/11/15(土) 01:31:36 ID:gZbowFD2O
> 右辺てか１→1/2な
>
> 簡単な問題を出し合って息抜きするスレ
> http://unkar.jp/read/changi.2ch.net/jsaloon/1226662148

そしてそのままVIPでネタにされたらしい
> 数学の問題集 in VIP@wiki - 12130005 http://www24.atwiki.jp/524287/?cmd=word&word=%E5%95%8F%E9%A1%8C&type=normal&page=12130005

>>73
それでも三角関数バラすだけだな
2 sin(x-a) sin(x+a) = cos(2a) - cos(2x)
∴ 2 sin(45-1) sin(45+1) = cos(2) < 1

>>67
　(0.99)^99 と (1.01)^(-101) の大小関係

〔補題〕　|h| <0 のとき
　(1-h)^(1-h) * (1+h)^(1+h) ≧ 1,
(略証)
f(x) = x･log(x) とおく。(x > 0)
　f(x) = -x･log(1/x) = -x･log(1 - (1 -1/x)) ≧ -x･{-(1 -1/x)} = x-1,
　f(1-h) + f(1+h) ≧ (-h) + h = 0,
あるいは、y=f(x) は下に凸から、
　f(1-h) + f(1+h) ≧ 2f(1) = 0,　　(終)

----------------------------------------------------

線分(-1,2)〜(2,-1) 上に2点 P=(a,b), Q=(c,d) をとる。
このとき ac+bd = OP↑・OQ↑ は････

>>67
> (0.99)^99 と (1.01)^(-101) の大小関係を答えよ。

200個の相加相乗平均不等式より，

　1 = (1/0.99)×99 + (1/1.01)×101 ≧ { (0.99)^(-99) (1.01)^(-101) }^(1/200)

1/0.99 ≠ 1/1.01 より，相加相乗平均の等号成立条件は満たされない。ゆえに

　1 > (0.99)^(-99) (1.01)^(-101)
　∴ (0.99)^99 > (1.01)^(-101)　　（終）

>>76の訂正
　1 = {(1/0.99)×99 + (1/1.01)×101} / 200 ≧ { (0.99)^(-99) (1.01)^(-101) }^(1/200)

>>75の補足
　1-h : 1+h = m : n のとき
　2m/(m+n) = 1-h, 2n/(m+n) = 1+h,
相加相乗平均より
　1 = {(1/(1-h))*m + (1/(1+h))*n}/(m+n) ≧ {(1/(1-h))^m･(1/(1+h))^n}^(1/(m+n))
　　= (1/(1-h))^((1-h)/2)･(1/(1+h))^((1+h)/2)
　　= 1/√{(1-h)^(1-h) * (1+h)^(1+h)},

F[n]はフィボナッチ数列とするとき
(F[n])^2≦F[2n]≦(F[n+1])^2

F[n]を行列表示してF[2n]をF[n]などで表す式を出して、以下略

行列表示？

>>79
簡単な計算により
　F[2n] = 2 F[n+1] F[n] - F[n]^2
よって
　F[2n] ≧ 2 F[n]^2 - F[n]^2 = F[n]^2
　F[2n] ≦ F[n+1]^2 - (F[n-1] - F[n])^2 ≦ F[n+1]^2

>>82
最後の行のF[n-1]はF[n+1]の間違い

>>81
F[n+1] F[n]
F[n] F[n-1]
という行列M[n]を作ると、(F[0]=0)
11
10
のｎ乗になるから M[2n]=M[n]^2 より簡単な関係式が出てくるちゅーこと。
かなり荒い評価であることも分かります。

>>79
加法公式　F[m+n+1] = F[m+1]F[n+1] + F[m]F[n] により
　F[2n] = F[n]F[n+1] + F[n-1]F[n],
よって
　F[2n] ≧ F[n]F[n] + F[n-1]F[n] = {F[n]+F[n-1]}F[n] = F[n+1]F[n],
　F[2n] ≦ F[n]F[n+1] + F[n-1]F[n+1] = {F[n]+F[n-1]}F[n+1] = F[n+1]^2,

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1073918716/011 ,038
フィボナッチ数列の定理スレ

>>67

　2^(n-1) ･ 3^(n-2) … (n-1)^2 ･ n^1 = 2!･3!････(n-1)!n! = m_n,
　2^2 ･ 3^3 ･ ･… (n-1)^(n-1) ･n^n = M_n,
とおくと、
　m_n・M_n = (n!)^(n+1),　　　　　　　　　　　　　　････････(1)
一方、補題↓ より
　M_n / e^(n(n-1)/2) < m_n < M_n / e^(n(n-1)/2),　　･･･････(2)
(1)､(2)より
　(n!)^((n+1)/2) / e^(n(n-1)/4) < m_n < (n!)^((n+2)/2) / e^(n(n-1)/4),
　(n!)^(n/2)・e^(n(n-1)/4) < M_n < (n!)^((n+1)/2)・e^(n(n-1)/4),


〔補題30〕k≧2 のとき
　k^k /e^(k-1) < k! < k^(k+1) /e^(k-1),
k=2〜n とおいて辺々掛けると
　M_n / e^(n(n-1)/2) < m_n < M_n / e^(n(n-1)/2),

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1242389481/030-031
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1242389481/039-042
東大入試作問者スレ１７

>>84
なるほど。thx

|x･y^2･z^3|/(1+x^2+y^2+z^2)^4≦K

>>88
w=1 とおく。
w^2 = W, 2x^2 = X, y^2 =Y, (2/3)z^2 = Z とおく。
{W,W,X,Y,Y,Z,Z,Z} の8個で相乗･相加平均すると、
　(W^2･X･Y^2･Z^3)^(1/8) ≦ (W+W+X+Y+Y+Z+Z+Z)/8,
　(16/27)^(1/8)(w^2･x･y^2･z^3)^(1/4) ≦ (w^2 + x^2 + y^2 + z^2)/4,
両辺を4乗して
　{4/(3√3)}|w^2･x･y^2･z^3| ≦ (w^2 + x^2 + y^2 + z^2)^4 /256,
よって
　|w^2･x･y^2･z^3| / (w^2 + x^2 + y^2 + z^2)^4 ≦ (3√3)/1024 = K,

等号成立は W=X=Y=Z, すなわち x={1/(√2)}w, y=w, z={√(3/2)}w のとき。

問題仕入れてきた

問1
1辺が1の正方形の各辺上に4点をとる
この4点を頂点とする四角形の周の長さは2√2以上であることを示せ

問2
∠A=20ﾟ，AB=ACの二等辺三角形がある
2AB<AC<3ABを示せ

問3
三角形ABCにおいてBCの中点をMとするとき
2AM>AB+AC-BCを示せ

問4
AB>ACの△ABCにおいてBCの中点をMとする
∠BAM<∠CAMを示せ

問5
0<x≦y≦z，1/10≦y，xyz=1のとき
(1+logx)(1+logy)(1+logz)≦1を示せ
ただしlogの底は10とする

問6
0<xで定義された連続関数f(x)が
0<x,yにおいて，f(xy)=f(x)+f(y)
任意の自然数nにおいて，f(n)<f(n+1)
を満たすとき
f((x+y)/2)≧(f(x)+f(y))/2を示せ

(；´д｀) ﾊｧﾊｧ…

問2
∠A=20ﾟ，AB=ACの二等辺三角形がある
2BC<AC<3BCを示せ
~~~~~~~~~~~~~~
ABじゃなくBC

四面体のある1辺をとり、その辺をBCとし、BC=1とする。四面体A-BCDにおいて、AからBCに下ろした垂線の長さとDからBCに下ろした垂線の長さはともに1/2以上となる。
このような1辺がとれることを示せ。

お願いします。

問題文書き直します。

任意の四面体について、ある1辺をとり、その辺をBCとする。このとき、四面体をA-BCDとすると、AからBCに下ろした垂線の長さとDからBCに下ろした垂線の長さはともに(1/2)*BC以上となる。
このようなある1辺(=BC)がとれることを示せ。

>>91

問1
　(a+b)^2 > a^2 + b^2 = (1/2)(a+b)^2 + (1/2)(a-b)^2 ≧ (1/2)(a+b)^2,
直角3角形の辺の長さを a,b,c とすると
　a+b > c = √(a^2 + b^2) ≧ (a+b)/√2,
4辺について たす。
　(□の周長) > (◇の周長) ≧ (□の周長)/√2,
□が正方形ぢゃなくて長方形の場合も同様。
　
問2
　Aを中心として、△ABCと合同な三角形を18個並べる。→　この正18角形は、半径AB の円に内接する。
∴ 2π*AB > 周長 = 18*BC,
∴ AB /BC > 18/(2π) = 2.864789
　
問3
Mは線分BC上の点だから、三角不等式より
　AM > AB - MB,
　AM > AC - MC,
辺々たす。

>>91
　
問4
題意より
　BM = CM,
　∠AMB + ∠AMC = 180ﾟ ゆえ sin(∠AMB) = sin(∠AMC),
よって正弦定理から
　AB･sin(∠BAM) = BM･sin(∠AMB) = CM･sin(∠AMC) = AC･sin(∠CAM),
　
問5
題意より　1+log(z) ≧ 1+log(y) ≧0,
・1+log(x) ≦0 のとき、　(左辺) ≦0 < 1,
・1+log(x) >0 のとき、相乗･相加平均より
　　(左辺) ≦ {[3+log(x)+log(y)+log(z)]/3}^3 = {[3+log(xyz)]/3}^3 = {[3+log(1)]/3}^3 = 1,
　
問6
　f(exp(u)) = g(u) とおくと、
　g(u+v) = f(exp(u+v)) = f(exp(u)exp(v)) = f(exp(u)) + f(exp(v)) = g(u) + g(v),　････ 加成性
∴　g(u) = au,
∴　f(x) = g(log(x)) = a･log(x),
題意より a>0, なので y=f(x) は上に凸.

ぬるぽ

>>91
問2
　この正18角形は、半径 √{AB^2 -(BC/2)^2} の円に外接するから、
　周長 = 18*BC > 2π√{AB^2 - (BC/2)^2},
　AB/BC < √{(18/2π)^2 + (1/4)} = 2.908095

＞問6
＞　f(exp(u)) = g(u) とおくと、
＞　g(u+v) = f(exp(u+v)) = f(exp(u)exp(v)) = f(exp(u)) + f(exp(v)) = g(u) + g(v),　････ 加成性
＞∴　g(u) = au,
＞∴　f(x) = g(log(x)) = a･log(x),
＞題意より a>0, なので y=f(x) は上に凸.


＞∴　g(u) = au,
これはアリなのか？


ガッ

>>94 >>95
それって締切前の問題じゃないか？
自分の頭で考えろよ

>>100
なんか勘違いしてません？

いびつなサイコロがあり、1から6までのそれぞれの目が出る確率が1/6とは限らないとする。
このさいころを2回ふったとき同じ目が出る確率をPとし、
1回目に奇数、2回目に偶数の目が出る確率をQとする。
(1)　P≧1/6であることを示せ。また、等号が成立するための必要十分条件を求めよ。
(2)　1/4≧Q≧(1/2)-(3/2)Pであることを示せ。


A=1/(21･1009)，B=[{1+(1/2009)}^(1/21)]-1，C=1-[{1-(1/2009)}^(1/21)]とする。
これらの中で最大のものと、最小のものを答えよ。

ここを見ると格の違いを感じるorz

>>91

問2
合同な三角形を3つ並べる. (頂点Aを重ねる.)
　△ABC ≡ △ACD ≡ △ADE,
　∠BAE = 3∠A = 60ﾟ,
　AB = AE,
∴　△ABE は正三角形.
　AB = BE < BC + CD + DE = 3BC,

BEとACの交点をC',BEとADの交点をD'とおく.
　∠CBC' = ∠B - ∠ABE = 20ﾟ = ∠A,
∴　∠BC'C = 180ﾟ - ∠A - ∠C = ∠C,
∴　△BCC' は二等辺三角形.
　BC'= BC,
同様に D'E = DE,
∴　AB = BE > BC' + D'E = BC + DE = 2BC,


>>98 は牛刀････

ｶｳｶﾞｰﾙが通ります
　　 ﾊ,,ﾊ　　　　ﾓｫ
　　||ﾟωﾟ||ﾚ　　　_)_, ―‐ 、
　　/(Ｙ (ヽ＿ /・ ヽ　　　 ￣ヽ
　　∠＿ゝ　 ｀ ^ヽ　ﾉ.::::::__( ノヽ
　　　_/ヽ　 　　 　/ヽ￣￣/ヽ

>>102 (下)

　n = 21, h = 1/2009, とおく。
　A = h/n,　B = (1+h)^(1/n) -1, C = 1 -(1-h)^(1/n),

　(1+A)^n - (1+B)^n = (1 + h/n)^n - (1+h) = �納k=2,n] Ｃ[n,k] (h/n)^k >0,
　(1-A)^n - (1-C)^n = (1 - h/n)^n - (1-h) = �納k=2,n] Ｃ[n,k] (-h/n)^k
　　　≧ �納j=1,[(n-1)/2]] {Ｃ[n,2j] - Ｃ[n,2j+1](h/n)} (h/n)^(2j)
　　　≧ �納j=1,[(n-1)/2]] Ｃ[n,2j] (1-h) (h/n)^(2j) >0,　　　　　　　(*)

よって C > A > B,

※　Ｃ[n,2j+1](1/n) = ((n-2j)/n)(1/(2j+1))Ｃ[n,2j] ≦ Ｃ[n,2j]

>102 (下)

　n = 21, h = 1/2009, とおく。
　A = h/n,　B = (1+h)^(1/n) -1, C = 1 -(1-h)^(1/n),

　x^n - {1 + n(x-1)} = (x-1){Σ[k=1,n-1] x^k - n} = (x-1)^2･{Σ[k=0,n-2] (n-1-k)x^k } ≧ 0.
に x = 1±(h/n) を代入。

>>101
勘違い？ してないと思うが。
件の問題の一過程だろ？

もっと言うと、この前別のところに
「三角形の内部の点に対して3頂点からの積が云々」
という質問も見かけたが君ではないのかな？

奉納

実数x［i］，a［i］，b［i］，c［i］（i＝1，2，3）は，以下の条件（い）〜（に）を満たすものとする。

（い） x［1］≦x［2］≦x［3］
（ろ） i＝1，2，3に対してa［i］≧0，b［i］≧0，c［i］≧0
（は） i＝1，2，3に対してa［i］＋b［i］＋c［i］＝1
（に） a［1］＋a［2］＋a［3］＝b［1］＋b［2］＋b［3］＝c［1］＋c［2］＋c［3］

実数y［i］（i＝1，2，3）を
y［1］＝a［1］x［1］＋a［2］x［2］＋a［3］x［3］
y［2］＝b［1］x［1］＋b［2］x［2］＋b［3］x［3］
y［3］＝c［1］x［1］＋c［2］x［2］＋c［3］x［3］
により定義する。

y［1］＋y［2］≧x［1］＋x［2］を示せ。

実数c（0＜c＜1）と，実数x，y，a，bの間に
｜x−a｜＜c，｜y−b｜＜c
という関係があるとき，
｜xy−ab｜＜（c＋｜a｜＋｜b｜）c
が成り立つことを証明せよ。

『x^2+y^2+z^2=1のとき、2x+2y+2zの最大値を求めよ』
A君はこの問題を次のように解いた

「x,y,z≧0のとき考えれば十分である
4
=(x^2+1)+(y^2+1)+(z^2+1)
≧2x+2y+2z
等号成立条件よりx=y=z=1のとき最大値4」

さてこれはなぜ間違ってるのだろうか？

>>112
x=y=z=1 は x^2+y^2+z^2=1 に矛盾

>>112
最大値の求め方について、ろくに考えずに
図形的解法、シュワちゃん殺法くらいしか思いつかんけど、
他にもありますか ( ﾟ∀ﾟ)？

x,y,z≧0のとき考えれば十分である
6
=(3x^2+1)+(3y^2+1)+(3z^2+1)
≧√3(2x+2y+2z)
等号成立条件よりx=y=z=1/√3のとき最大値2√3

これだと矛盾が生じないんだよな・・・

>>112

3 = 3(x^2 + y^2 + z^2)
　= (x+y+z)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 + (x-y)^2
　≧ (x+y+z)^2
　= (1/4)(2x+2y+2z)^2,

これでも矛盾しないでつ･･･

むかしむかし、きびだんごが一つありました
イヌとサルが食べなければ、キジがだんごを食べられます
サルとキジが食べなければ、イヌがだんごを食べられます
キジとイヌが食べなければ、サルがだんごを食べられます
みんなきびだんごを食べることができました。めでたしめでたし

さてこれはなぜ間違ってるのだろうか？

何か混乱してきたぜ
求めることは示すことより難しい

>>117 もしかして、「が」と「は」の違い、という日本語論でしょうか？

ちょっと腹が減ったんだけどサ、吉備団子っちゅう気はせんわな
そやけど、また蕎麦屋に行ってもジジ臭いしなァ

Q1
nを6以上の自然数とする
(n+1)*C(n,[n/2])＞2^(n+1)
となることを示せ

Q2
nを7以上の自然数とする
lcm(1,2,…,n)＞2^n
となることを示せ

>>67
　>>86 の訂正、ｽﾏｿ.

　M_n / e^(n(n-1)/2) < m_n < n!･M_n / e^(n(n-1)/2),　　　･･････ (2)

>>67
　
m_n, M_n を >>86 のようにおくと、
　m_n･M_n = (n!)^(n+1),　　　　　　　　　･･････････ (1)
一方、補題↓より
　c^(n-1) √(n!) M_n / e^((n+2)(n-1)/2) < m_n < √(n!) M_n / e^(n(n-1)/2),　　　　･･･････(3)
(1),(3) より
　c^((n-1)/2)(n!)^((n+1.5)/2) / e^((n+2)(n-1)/4) < m_n < (n!)^((n+1.5)/2) / e^(n(n-1)/4),
　(n!)^((n+0.5)/2)・e^(n(n-1)/4) < M_n < (n!)^((n+0.5)/2)・e^((n+2)(n-1)/4) / c^((n-1)/2),


〔補題50〕
　c･k^(k +1/2) / e^k < k! < k^(k +1/2) / e^(k-1),　　　c=√(2π),
k=2〜n とおいて辺々掛けると
　c^(n-1) √(n!) M_n / e^((n+2)(n-1)/2) < m_n < √(n!) M_n / e^(n(n-1)/2),
　
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1242389481/050 , 133
東大入試作問者スレ１７

>>121
とりあえずQ1だけ･･･

題意より [n/2] = m ≧ 3,
　(左辺)/(右辺) = (n+1)Ｃ[n,m]/2^(n+1) = {(n+1)!/m!(n-m)!}/2^(n+1) = {(2m+1)!/(m!)^2}/2^(2m+1) = {(2m+1)!!/(2m)!!}/2 ≧ (7!!/6!!)/2 = (105/48)/2 >1,

>>123
＞〔補題50〕

なんの50なんだ？

[問題]
a_0, a_1,,,a_N ≧0 のとき次の不等式を示せ：

Σ_[n,m=0]^{N} {a_n a_m}/{n+m+1} ≦ π Σ_[n=0]^{N} (a_n)^2　

実数x,yがx≧y≧1を満たすとき,次の不等式が成立することを示せ
(x+y-1){log[2](x+y)}≧(x-1)(log[2]x)+(y-1)(log[2]y)+y

a,b,cを正の数とするとき,不等式
2[{(a+b)/2}-(ab)^(1/2)]≦3[{(a+b+c)/3}-(abc)^(1/3)]
を証明せよ.また等号が成立するのはどんな場合か

(1)0≦α＜β≦π/2であるとき,次の不等式を示せ
∫[α,β]sinxdx+∫[(π-β),(π-α)]sinxdx＞(β-α){sinα+sin(π-β)}
(2)Σ[k=1,7]sin(kπ/8)＜16/π

n個(n≧3)の実数a[1],a[2],…,a[n]があり,各a[i]は他のn-1個の相加平均より大きくはないという
このようなa[1],a[2],…,a[n]の組をすべて求めよ。

すべては0でないn個の実数a[1],a[2],…,a[n]があり
a[1]≦a[2]≦…≦a[n]かつa[1]+a[2]+…+a[n]=0を満たすとき
a[1]+2a[2]+… +na[n]＞0
が成り立つことを証明せよ

nを2以上の整数とする.実数a[1],a[2],…,a[n]に対し,S=a[1]+a[2]+…+a[n]とおく
k=1,2,…,nについて,不等式-1<S-a[k]<1が成り立っているとする
a[1]≦a[2]≦…≦a[n]のとき,すべてのkについて|a[k]|<2が成り立つことを示せ

実数a,b(0≦a<π/4,0≦b<π/4)に対し,次の不等式の成り立つことを示せ
√{(tana)(tanb)}≦tan{(a+b)/2}≦(tana+tanb)/2

f(x)=1-sinxに対し
g(x)=∫[0,x]{(x-t)f(t)}dtとおく
このとき,任意の実数x,yについて
g(x-y)+g(x+y)≧2g(x)
が成り立つことを示せ

入試ばっかやな
つまらん

>>111

|xy-ab|
＝|(x-a)y+a(y-b)|
≦|(x-a)y|+|a(y-b)|
＜c|y|+|a|c
＝c|(y-b)+b|+|a|c
≦c(|(y-b)|+|b|)+|a|c
＜(c+|a|+|b|)c

f（x）が下に凸のとき
Σ［k＝0→n］f（2k）／（n＋1）＞Σ［k＝1→n］f（2k−1）／n
ってどう解いたらいい？？

>>130
nについての帰納法による。まづ
　F_n = nΣ[k=0,n] f(2k) - (n+1)Σ[k=1,n] f(2k-1),
　g(n) = f(n-1) -2f(n) + f(n+1),
と置く。
・n=1 のとき
　F_1 = f(0) -2f(1) +f(2) = g(1) >0,
・n>1 のとき、
　F_n = F~_(n-1) + nΣ[k=1,n] g(2k-1)
帰納法の仮定により
　F_(n-1)　= (n-1)Σ[k=0,n-1] f(2k)　- nΣ[k=1,n-1] f(2k-1) >0,
　F~_(n-1) = (n-1)Σ[k=0,n-1] f(2k+1) - nΣ[k=1,n-1] f(2k)　>0,
また、題意により
　g(n) = f(n-1) -2f(n) + f(n+1) >0,

�農[n=1->∞] 1/n^3 が無理数であることを示せ。

>>127 (2)
　√(ab) = d とおくと
　(左辺) - (右辺) = {a+b+c -3(abc)^(1/3)} - {a+b -2√(ab)}
　　　= c + 2d - 3(cdd)^(1/3)
　　　≧ 0,　　　　　　　　　　　　　　(相加･相乗平均)
等号成立は c=√(ab) のとき

>>127 (4)
　a[1] + a[2] + ･･･････ + a[n] = S とおく。
　a[i] ≦ (S-a[i])/(n-1),
　a[i] - S/n ≦ 0,
i=1,2,････,n の総和をとると
　Σ[i=1,n] {a[i] - S/n} = S - S = 0,
∴ a[i] - S/n = 0,

>>127 (5)
　題意により、a[k-1] < 0 ≦ a[k]、または a[k] ≦ 0 < a[k+1] を満たすkが存在する。
(与式) = (1-k)a[1] + (2-k)a[2] + ････ + (-1)a[k-1] + 0 + a[k+1] + ････ + (n-k)a[n] >0,

>>127 (7)
右側:
　{tan(a) + tan(b)}/2 = sin(a+b)/{2cos(a)cos(b)} = sin(a+b)/{cos(a-b)+cos(a+b)},
　tan{(a+b)/2} = sin(a+b)/{1+cos(a+b)},
左側:
　tan(a)･tan(b) = 1 - {tan(a)+tan(b)}/tan(a+b),
　tan{(a+b)/2}^2 = 1 -2tan{(a+b)/2}/tan(a+b),
と右側から

>>132
http://mathworld.wolfram.com/AperysConstant.html

>>130 (補足)

F_n - F_(n-1) = ��(j=1,2n-1) [1+(j-1)/2] g(j),
F_n ≡ n��(k=0,n) f(2k) - (n+1)��(k=1,n) f(2k-1)
　　= ��(j=1,2n-1) [1+(j-1)/2] [n-(j-1)/2] g(j),

・参考
　[初代スレ.128, 132-135] 　Ingleby不等式, f(x)=a^x,

過去スレのミラー見れないの俺だけ？

>>135

初代スレ.128

128 ：１３２人目の素数さん ：04/05/15 09:31
「数学しりとりスレ 232-233」 より

【Inglebyの不等式 】
a>0 のとき、{1+a^2+a^4+…+a^(2n)}/{a+a^3+…+a^(2n-1)} ≧ (n+1)/n,

>>136
おお、ありがとう☆

>>127-3
(1) f(π-x) = f(x), 上に凸ゆえ 台形と比べて
　(左辺) = 2∫[α,β] f(x)dx > (β-α){f(α)+f(β)} = (右辺),
(2) sin(kπ/n) = {cos(kπ/n - π/2n) - cos(kπ/n + π/2n)}/{2sin(π/2n)} より
　(与式) = {1/2sin(π/2n)}{cos(π/2n) - cos(π - π/2n)}
　　　= cos(π/2n)/sin(π/2n)
　　　= 1/tan(π/2n)
　　　< 2n/π,

>>127-7
左側
　tan(a)tan(b) = {2sin(a)sin(b)} / {2cos(a)cos(b)}
　　= {cos(a-b)-cos(a+b)} / {cos(a-b)+cos(a+b)}
　　≦ {1-cos(a+b)} / {1+cos(a+b)}
　　= {tan((a+b)/2)}^2,

>>127-8
　g '(x) = x -1 +cos(x),
　g "(x) = 1 - sin(x) ≧ 0,
∴　y=g(x) は下に凸。

拾い

a,b,c≧0、ab+bc+ca+abc=4のとき
a+b+c≧ab+bc+caを示せ

>>139
対称性の利用だね。
無理なら一文字ずつ攻めるか。

>>139
1文字固定して2変数不等式にしてやれば出来そうな予感。
無理なら一文字ずつアホみたいにやるしかないね。
対称性の利用は頭で考えた限り無理だった。
それか思い付きもしないような因数分解で綺麗にやっちまうか。

え・・・

>>139
　a,b,c < 1 と仮定すると、ab+bc+ca + abc < 4,
　a,b,c > 1 と仮定すると、ab+bc+ca + abc > 4,
いずれも題意と矛盾する。a≦b≦c とすれば、
　0 < a ≦ 1 ≦ c,
題意により、
　b = (4-ac)/(a+c+ac),
これを代入して、
　(a+b+c) - (ab-bc-ca) = {(a+c-2)^2 + ac(1-a)(c-1)}/(a+c+ac) ≧0,

汚い解法だなぁ

x ≧ 0 のとき

cosx + sinx ≧ 1 + x - ( 2 x ^ 2 / π )

>>143
よく、そんな解答を思いつくな。天才か?
対称だから大小つけたのは分かるが。
最初の部分の発想が恐ろしい。

>>144
汚いというより自然じゃない。
何か「同じ問題を解いた事がある」か天才かの解答にみえる。

>>145
　f(x) = cos(x) + sin(x) -1 -x + (2/π)x^2
　　= cos(x) + sin(x) -1 - (2/π)x(π/2 -x),
とおくと
　f(x) = f(π/2 -x),　　　　　　(∴ x≦0 でも成立)
　f(0) = f(π/2) =0,

　f '(x) = -sin(x) + cos(x) -1 + (4/π)x
　= -sin(x) + cos(x) -1 + (4/π)x,
　f '(0) = f '(π/4) = f '(π/2) = 0,
また、 (*) より
　x < 0 または π/4 < x <π/2 で f '(x) < 0,
　0 < x < π/4 または π/2 < x で f '(x) > 0,
よって
　x≠0,π/2 では f(x)>0,

*)　f "(x) = -cos(x) -sin(x) + (4/π),

>>139

>>140-141 に従って a+b+c=s, ab+bc+ca=t とおく。

・s≧4 のとき
　s ≧ 4 = t + abc ≧ t,

・s≦4 のとき
　4 = t + abc ≦ t + (t/3)^(3/2),
∴　t ≧ 3,
∴　s ≧ √(3t) ≧ 3,
ところで、
　F_1 = s^3 -4st +9abc = s^3 -4st +9(4-t) = (s^3 +36) -(4s+9)t ≧ 0,
から、
　t ≦ (s^3 +36)/(4s+9),
∴　s - t ≧ s - (s^3 +36)/(4s+9) = (4-s)(s^2 -9)/(4s+9) = (4-s)(s-3)(s+3)/(4s+9) ≧ 0,

ぬるぽ

>>139
ボクならこう解く.

a = 2x/(y+z), b = 2y/(z+x), c = 2z/(x+y) とおくと,
a+b+c≧ab+bc+ca
⇔ (x(x - y)(x - z) + y(y - z)(y - x) + z(z - x)(z - y)) / ((x+y)(y+z)(z+x)) ≧ 0
Schur ineq より明らか.

>>149
良いね〜。

>>150
こんなのよく思い付くな。
見た目は綺麗だけど、証明にはイマイチだな〜。

abc>=1 っていえる？

いえるなら、
↓みたくいっきにとけたんだけど。

(a + b + c) - (ab + bc + ca)
　=　(a + b + c) - (4 - abc) (∵与条件)
　>= 3√(abc) - (4 -abc) (∵相加相乗平均)
　= n^2 +3n -4 ( n = √(abc) とおいた)
　= (n + 3/2)^2 - 25/4

ゆえに、
(n + 3/2)^2 - 25/4 >= 0 ・・・（１）　を示せばいい

（１）⇔ (n + 3/2) >= 5/2 ⇔ n >= 1 ⇔ abc>=1

で、 abc >=1 なので成立 ■

で、肝心の abc >= 1 がしめせん。

あと、
a +b = p, ab = q と置くと、相加相乗平均より、p>=2√q・・・（１）

与件 ⇔ a.b.c>=0 （・・・（２））∧ c(p + q) + q = 4 ⇔a,b,c>=0∧c = (4-q)/(p+q)
（p + q ≠ 0 ∵ 仮に p + q = 0 ならa = b = 0 となり 与条件に矛盾）

すると、(a + b + c) - (ab + bc + ca) = c(1-p) +(p-q) = {(4-q)(p+q)}/(1-p) + (p-q)

よって、{(4-q)(p+q)}/(1-p) + (p-q) >=0 を示せばよい。

で、（１）と（２）を使ってしめせるんじゃまいかな？・・・と思ったけど、
多分どっかで計算ミスしてて、示せない。。。

>>153
云えません。

相加･相乗平均により
　t = ab+bc+ca ≧ 3(abc)^(2/3),
よって
　abc > 1　⇒　t + abc ≧ 3(abc)^(2/3) + abc > 4,
これは題意に矛盾。

>>155
あら・・・・失礼

>>152
そうかなぁ〜。
オリンピックレベルの問題とかではこういう解き方の方がむしろ常套手段だと思うんだけどな…。

>>155

でも、妙に数値がそろってる気が。。。
少し直せば正しくなるのかな？
あるいはどっかでおっきな勘違い？

>>152

題意から
　a/(a+2) + b/(b+2) + c/(c+2) = 1,
そこで ボクは
　x = k * a/(a+2),
　y = k * b/(b+2),
　z = k * c/(c+2),
とおいた。
　x+y+z = k > 0,
　a = 2x/(k-x) = 2x/(y+z),
　b = 2y/(k-y) = 2y/(z+x),
　c = 2z/(k-z) = 2z/(x+y),

>>152

(補足)　↑では 恒等式
　　a/(a+2) + b/(b+2) + c/(c+2) = 1 + 2(ab+bc+ca+abc-4)/{(a+2)(b+2)(c+2)},
を使いますた。
　

>>158
>>153の相加相乗平均の部分が違う．3数だから立方根だ．
3*(abc)^3となり，同様にnを置くと
n^3 +3n -4 = (n - 1)(n^2 + n +4)

ずばり>>153は勘違いしているな．
A > B において B > 0 と A > 0 は関係がない．A > 0 > B などを考えれば明らか．
B > 0 ならば A > 0 が言えるが， B <= 0 でも A > 0 の場合はある．
これが今の場合ね．
n < 1 の時，B(=n^3 +3n -4) < 0 だが 既に3例ぐらい証明されているように A[=(a + b + c) - (ab + bc + ca)] > 0．

ちょっと変な書き方だった
最初の段落は「ケアレスミスの指摘」ね，結果的に．

あと後段の
> A > B において B > 0 と A > 0 は関係がない
は言い過ぎた． B > 0 の場合は大いに関係があるわｗｗｗ
「不等号の向き」が違う場合は注意せよ，という話か

どうも 150 です.

>>159-160 さん補足有り難うございます.


この置き方は, 例えば, USAMO の問題で,
a^2+b^2+c^2+abc=4
という関係式に対して,
a = 2√( (yz) / ((x+y)(x+z)) )
b = 2√( (zx) / ((y+z)(y+x)) )
c = 2√( (xy) / ((z+x)(z+y)) )
という置換をして解く解法があります.
これを知っていたので, 今回の解答はこれを変形して,
bc/a = (2x/(y+z))
という関係と,
a^2+b^2+c^2+abc = (ca/b)(ab/c) + (ab/c)(bc/a) + (bc/a)(ca/b) + (ab/c)(bc/a)(ca/b)
という関係から導きました.

後で調べてみたら,
ab+bc+ca+abc=4 に対して, a = 2x/(y+z), b = 2y/(z+x), c = 2z/(x+y) とおく方法は知られているものでした.


しかし, 形はどうであれ,
(a, b, c) →(f(x), f(y), f(z))
(a, b, c) →(S[x](x, y, z), S[y](x, y, z), S[z](x, y, z))
という置き方は良く行われます.

>>160
その恒等式はどこから出てきたんだ？？

一応
a(b+2)(c+2) + (a+2)b(c+2) + (a+2)(b+2)c
= 3abc + 4(ab + bc + ca) + 4(a+b+c)
と出てきて，(a+α)(b+β)(c+γ) が関係あると考え，abc の係数を1にするために 与関係式(ab+bc+ca+abc=4 ⇔abc=4-ab-bc-ca)を使うと
abc + 2(ab + bc + ca) + 4(a+b+c) + 8
= (a+2)(b+2)(c+2)
だから
a(b+2)(c+2) + (a+2)b(c+2) + (a+2)(b+2)c
= (a+2)(b+2)(c+2)
が得られ，両辺(a+2)(b+2)(c+2)で割って =1 の式が出てくるけど．

リロードしてなかったのでとんちんかんなレスしてしまったorz

>>147
照れるぜ！

アタシ･･･ネイルアーティスト検定に合格したの！！
http://218.219.144.2/%7Eimg/vip/s/vip20ch78224.jpg
キャバ嬢が好きなエグザイル
http://image.blog.livedoor.jp/dqnplus/imgs/0/5/056ad755.jpg

【問題】
閉区間[0,1]上の連続関数 f(x)にたいして、
a_n = ∫_{0→1} x^n f(x) dx, n=0,1,2,,,,
で数列 {a_n} を定める．
このとき，不等式
Σ_[n=0 →∞] (a_n)^2 ≦ π ∫_{0→1} f^2(x) dx
が成立することを示せ。
また、これが最良であることも示せ。

最良の定義は？

>>147
条件に等号があるからそれを使って変数を減らす。
差を変形して変数が１以下と１以上であればいい事を見つける。
条件から１以下の変数と１以上の変数があることを示す。

どの部分が自然じゃない？

x,y,zは実数とする

√ ( x ^ 2 + y ^ 2 ) + 2 √ ( y ^ 2 + z ^ 2 ) + 3 √ ( z ^ 2 + x ^ 2 )

≦ M √ ( x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 )

を満たす正の定数Mの最小値を求めよ

>>171
a=√(x^2+y^2),b=√(y^2+z^2),c=√(z^2+z^2)とおくと
0≦a+2b+3c≦M√((a^2+b~2+c^2)/2)
すなわち
(a+2b+3c)^2≦(M^2/4)(a^2+b^2+c^2)
ここでコーシーシュワルツより
(a+2b+3c)^2≦(1^2+2^2+3^2)(a^2+b^2+c^2)
等号はa:b:c=1:2:3で成り立つ
よってM^2/4=14

まちがい
×　(a+2b+3c)^2≦(M^2/4)(a^2+b^2+c^2)
○　(a+2b+3c)^2≦(M^2/2)(a^2+b^2+c^2)

×　M^2/4=14
○　M^2/2=14

>>169
定数 π未満だと不等式が成立しないということ。
つまり、0<C<πとなる任意の C>0 に対して、不等式
Σ_[n=0 →∞] (a_n)^2 ≦ π ∫_{0→1} f^2(x) dx
が成立しない関数ｆ(x)が存在する、ということを示せばよい。

Σ_[n=0 →∞] (a_n)^2 ≦ π ∫_{0→1} f^2(x) dx
の等号成立条件を示せばいいってこと？

>>175
違う。
πより小さい定数では、不等式が成立しないことを示すこと。
（つまり、ベスト・コンスタントの問題）

176にかってに横から追加すると
等号が自明でないfで成り立つならば
>>175 のように等号条件を示しても良いが
ヒルベルトの不等式を用いるならば
等号は自明な場合(f=0)しか成り立たないので
等号条件を示すのは「違う」となる

>>126
ゴリ押しの証明だが一応できた。
ttp://www.csync.net/service/file/view.cgi?id=1247571189

ゴメン。ちょっと修正。
ttp://www.csync.net/service/file/view.cgi?id=1247571893

>>168,177

【問題】 (訂正版)
閉区間[0,1]上の連続関数 f(x)（ただし，恒等的に0でない）にたいして、
　　a_n = ∫_{0→1} x^n f(x) dx, n=0,1,2,,,,
で数列 {a_n} を定める．
このとき，不等式
　　Σ_[n=0 →∞] (a_n)^2 ≦ π ∫_{0→1} f^2(x) dx
が成立することを示せ。
また、定数 πが不等式が成立するための最良の定数であることも示せ。

>>171
√ は上に凸だから、
　√(x^2 +y^2) + √(z^2 +x^2) ≦ √(x^2 +y^2 +z^2) + x,　　････ (1)
　2√(y^2 +z^2) + 2√(z^2 +x^2) ≦ 2√(x^2 +y^2 +z^2) + 2z,　　････ (2)
5(x^2 + z^2) = (x+2z)^2 + (2x-z)^2 ≧ (x+2z)^2　より
　x + 2z ≦ (√5)√(x^2 +y^2 +z^2),　　　　　　　　　　　　　･････　(3)
(1) 〜 (3) を辺々たす。
　M = 3+√5,
等号成立は x:y:z = 1:0:2 のとき

>>172
　(a,b,c) は鋭角三角形条件を満たすんぢゃね?

>>181
　とは言え、(1) (2) は逆向きの希ガス。

a , b , c ≧ 0
a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + abc = 4
のとき
0 ≦ ab + bc + ca - abc ≦ 2

| x | ≦ 1 のとき
| 4 x ^ 3 + a x ^ 2 + b x + c |
の最大値は1以上であることを示せ

>>183
前半の問題は >>163 の時に言った USAMO の問題です.
いくつか解法がありますが, その一つとして >>163 で言った置き方があります.
他にも解法がありますので, 色々と考えてみると面白いかもしれませんね.
ある程度解法が出尽くしてしまったら, まだ知られていない解法を紹介します.

2log2 + 2log5 + 0.505 ＜ Σ [ k = 1 → 100 ] ( 1 / k ) ＜ 3log2 + 2log5 + 0.005

>>185は忘れて下さい

有名サイトかもしれないが一応

つhttp://jp.mathnori.com/

>>187
もうずっと更新されていないよね。

>>187
もうずっと更新されていないよね。

>>187
おいらには解けない５
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1116991508/

>>183 (下)

4x^3 + a･x^2 + bx + c = f(x) とおくと、
　f(x) - f(-x) = 8x^3 + 2bx,
　{f(1) - f(-1)} -2{f(1/2) - f(-1/2)} = 6,
∴　|f(1)|、|f(-1)|、|f(1/2)|、|f(-1/2)| のいずれかが1以上。

投下

x > 1 のとき

( logx ) [ log { ( x + 1 ) / ( x - 1 ) } ]

の最大値を求めよ

>>192
{log(1+√2)}^2　　　(x=1+√2)

>>192
　(x+1)/(x-1) = y
とおくと、
　(x-1)(y-1) = 2,　　　(直角双曲線)
これは x = y = 1+√2 をとおる。

>>185
　log(n) + 0.505 < Σ[k=1→n] (1/k) < log(n) + 0.698

>>183 (下)

max{|f(x)| ; -1≦x≦1} = 1 となるのは a=0, b=-3, c=0 のとき

　f(x) = 4x^3 -3x = 1 - (1-x)(1+2x)^2 ≦ 1,　(x=1, -1/2 で最大値1)
　f(x) = 4x^3 -3x = (1+x)(1-2x)^2 -1 ≧ -1,　(x=-1, 1/2 で最小値-1)
あるいは
　f(x) = -sin(3arcsin(x)),

http://www.yozemi.ac.jp/NYUSHI/sokuho/recent/okayama/zenki/sugaku_bun/images/mon3_1.gif

拾い

( a + b + c ) ( x + y + z ) = 3
( a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 ) ( x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 ) = 4

のとき

a x + b y + c z > 0

>>197

あえて、行列使うか、

あるいは、xyz空間で、
x+y+z=(a+b+c)/3
x^2+y^2+z^2=(a^2+b^2+c^2)/4
を考えて、
線形計画法でやろうかとおもたけど、むりでした。

>>183の上は
三角形ABCの内心をI、内接円、外接円の半径を順にr,Rとして
r/R≦(AI+BI+CI)/2R≦r/R+1
を示せばよい。

>>197
上の式を２乗する事から始めればできそう。
それか、三次元のベクトル空間に持ち込むか。

>>197

>>200 に従い、3個の単位ベクトルを
　ａ↑ = (a,b,c) / √(a^2 + b^2 + c^2),
　ｘ↑ = (x,y,z) / √(x^2 + y^2 + z^2),
　ｅ↑ = (1,1,1) / √3,
とおく。いま
　(ａ･ｅ) = A,
　(ｘ･ｅ) = X,
　ａ - Aｅ = Ａ_v,
　ｘ - Xｅ = Ｘ_v,
とおくと
　|Ａ_v| = √(1-A^2),
　|Ｘ_v| = √(1-X^2),
　|Ａ_v||Ｘ_v| ≦ 1 - (A^2 + X^2)/2 ≦ 1 - AX,
∴　(ａ･ｘ) = AX + (Ａ_v･Ｘ_v) ≧ AX - |Ａ_v||Ｘ_v| ≧ 2AX -1
題意より AX= 1/2 だから
　(ａ･ｘ) ≧ 0,

>>197

>>200 に従い、3個の単位ベクトルを
　ａ↑ = (a,b,c) / √(a^2 + b^2 + c^2),
　ｘ↑ = (x,y,z) / √(x^2 + y^2 + z^2),
　ｅ↑ = (1,1,1) / √3,
とおく。いま
　(ａ･ｅ) = cos(∠(ａ,ｅ)) = cosα,　　　　(0≦α≦π)
　(ｘ･ｅ) = cos(∠(ｘ,ｅ)) = cosθ,　　　　(0≦θ≦π)
とおくと
　∠(ａ,ｘ)) ≦ ∠(ａ,ｅ) + ∠(ｘ,ｅ) = α + θ,
∴　(ａ･ｘ) = cos(∠(ａ,ｘ)) ≧ cos(α + θ)
　　= 2(cosα)(cosθ) − cos(α−θ) ≧ 2(cosα)(cosθ) -1,
題意より (cosα)(cosθ) = 1/2 だから
　(ａ･ｘ) ≧ 0,

0＜θ≦φ≦π/2において
sinθ/sinφ≧θ/φ

これのうまい証明方法ってありまつか？

>>203
sinx/xが[0,π/2]で単調減少であることを示す

くらいしか思いつかん

数列 a [ n ] において
a [ 1 ]= 3 , a [ 2 ] = 5 , a [ 3 ] = 7
( a [ n ] ) ( a [ n + 3 ] ) = ( a [ n + 2 ] ) ^ 2 - ( a [ n + 1 ] ) ^ 2
を満たすとき
| a [ n ] | < 14 / √ 3

a , b , c > 0 , a ^ 2 > b c
のとき
( a ^ 2 - b c ) ^ 2 ≧ k ( b ^ 2 - c a ) ( c ^ 2 - a b )
を満たす最大の k を求む

>>202
いつも俺の方針に従って解いてくれてありがとう(笑)

>>205
２問目は数オリ本選やがな

>>206
涙拭けよ(笑)

>>208
はい。

ｄ＝（ｂｃ）＾（１／２）。

　（ａ＾２−ｂｃ）＾２−４（ｂ＾２−ａｃ）（ｃ＾２−ａｂ）
＝（ａ＾２−ｂｃ）＾２−４（ｂ＾２ｃ＾２＋ａ＾２ｂｃ）＋４ａ（ｂ＾３＋ｃ＾３）
≧（ａ＾２−ｄ＾２）＾２−４（ｄ＾４＋ａ＾２ｄ＾２）＋８ａｄ＾３
＝ａ＾４−６ａ＾２ｄ＾２＋８ａｄ＾３−３ｄ＾４
＝（ａ＋３ｄ）（ａ−ｄ）＾３。

>>204

y=sin(x) は 0<x<π で上に凸ゆえ
　sinθ ≧ {(φ-θ)sin(0) + θsinφ}/φ = (θ/φ)sinφ,

671 < Σ [ k = 1 , 100 ] √ k < 672

>>212

�納k=1,n] f(k) = S_n　とおく。y=f(x) は上に凸だから
　∫[k-1/2,k+1/2] f(x)dx　< f(k),
　 {f(k-1) + f(k)}/2 < ∫[k-1,k] f(x)dx,
ゆえに
　∫[1/2,n+1/2] f(x)dx < S_n < (1/2)f(1) + ∫[1,n] f(x)dx + (1/2)f(n),

本題では f(x) = √x なので,
　[ (2/3)x^(3/2) ](x=1/2, n+1/2) < S_n < (1/2) + [ (2/3)x^(3/2) ](x=1,n) + (1/2)√n,
　(2/3){(n+1/2)^(3/2) - (1/2)^(3/2)} < S_n < (1/2) + (2/3){n^(3/2) -1} + (1/2)√n,

本題では n=100 なので
　671.437･･･ < S_100 < 671.50

なお　S_100 = 671.462947103148･････

x≧1のとき(log(x+1))^2>(logx)(log(x+2))を示せ

>>214
0 < x ≦1 のときは明らか。
x>1 のとき
　ビブンのことはビブンでするのもいいが、
　log(x) = log(x+1) + log(1 -1/(x+1)) < log(x+1) - 1/(x+1),
　log(x+2) = log(x+1) + log(1 +1/(x+1)) < log(x+1) + 1/(x+1),
両辺>0 だから 辺々掛けて
　log(x)log(x+2) < {log(x+1)}^2 - {1/(x+1)}^2 < {log(x+1)}^2,

ぬるぽ

>>214
log(x+1) / log(x) > log(x+2) / log(x+1) を示せばいいから
f(x) = log(x+1) / log(x) が単調現象だってことを示せば済む．
つまり

f'(x) = ( x log(x) - (x+1) log(x+1) ) / (x(x+1) (log(x))^2) < 0

を示せばいいが，これは

g(x) = x log(x) が単調増加であることに同値で

g'(x) = log(x) + 1 > 0 より言える


>>215
> x≧1のとき

>>216

x≧1は必要ないってことだろ

>>215
が

>>199
△ABC の3辺の長さを
　AB = x+y,　BC = y+z,　CA = z+x,
とおき >>163 を使うと
　AI = √{x(x+y)(x+z)/s} = bcR,
　BI = √{y(y+z)(y+x)/s} = caR,
　CI = √{z(z+x)(z+y)/s} = abR,
　2r = 2√(xyz/s) = abcR,
　R = (y+z)(z+x)(x+y)/{4√(xyzs)},
　s = x+y+z,
∴　(AI+BI+CI-2r)/R = bc + ca + ab -abc,
　

αは実数
β = sin α , γ = sin β
のとき
( | α | + | γ | ) ≧ 2 β

また π < 3.1416 を用いて
sin ( 1 / 2 ) > 0.4764

>>219
　>>203-204 の応用問題でつね。

(上)
　sin( ) の周期性から、|α| <π を考えれば十分。
　∵　α - [(α+π)/2π]*2π = α' とおくと
　|α'| ≦ min(|α|, π)
　β = sinα = sin(α'),

・α=nπ のときは明らか(α=0で等号成立)。
・α≠nπ のとき
　θ=|β|, φ=|α'| を代入する。
　|sinβ| / |β| > |sin(α')| / |α'|,
　|γ| / |β| > |β| / |α'|,
　|α| + |γ| ≧ |α'| + |γ| > 2√(|α'||γ|) > 2|β| ≧ 2β,

(下)
　θ=1/2, φ=π/6 を代入する。
　sin(1/2) > 3/(2π) > 0.47746･･･

>>171
　a,b,c を >>172 のようにおくと問題は、

(a,b,c) が鋭角△条件を満たすとき、
　pa + qb + rc ≦ M√{(a^+b^2+c^2)/2},
を満たすMの最小値を求めよ。

　(p,q,r) が鋭角△条件を満たすときは >>172 と同様な答となり、等号条件は a:b:c = p:q:r (相似) となる。
しかし >>171 のように (p,q,r) が鋭角△条件を満たさないときは、上記のような (a,b,c)は存在しない。

それぢゃぁ >>171 のように r - √(p^2 +q^2) = 2δ > 0 の場合はどうするか？
　(pa+qb)^2 = (p^2 +q^2)(a^2 +b^2) - (qa-pb)^2 ≦ (p^2 +q^2)(a^2 +b^2),
　pa + qb + rc ≦ √(p^2 +q^2)√(a^2 +b^2) + rc　　　(← コーシー)
　　　=　M{√(a^2 +b^2) +c}/2 - δ{√(a^2 +b^2) -c}　{← M = r + √(p^2+q^2)}
　　　≦ M{√(a^2 +b^2) +c}/2　　　　　　　　　　　　(← δ>0)
　　　≦ M√{(a^2 +b^2 +c^2)/2}, 　　　　　　　　　　(← コーシー)
等号成立は a:b:c = p:q:√(p^2+q^2) (直角��) のとき。

　参考書[3] の最初にもあるが、説明不足の希ガス。

sin 10ﾟ > 0.17 を示せ

多分東大模試の過去問
多分小問付いてたはず

3倍角利用して3次方程式の解の評価に帰着

>>222
　y=sin(x) は |x| < 90ﾟ で単調増加。
　sinα = 0.17 なるαが1つ存在する。
　sin(3α) = 0.490348 < 1/2 = sin(30ﾟ),
∴ 3α < 30ﾟ,
∴ α < 10ﾟ,
∴ 0.17 < sin(10ﾟ)
かな？

そろそろネタ切れ

| Σ [ k = 1 , n] { a [ k ] sin ( kx ) } | ≦ | sin x |

のとき

| Σ [ k = 1 , n] k a [ k ] | ≦ 1

255だるまにおん　[2009/06/22(月) 17:50:07] 出題
f(x)は0≦x≦1において積分可能で、
　∫[0,1]f(x)dx=∫[0,1]xf(x)dx=1
が成り立つものとする。このとき、
　∫[0,1](f(x))^2dx≧4
を証明せよ。

http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/

まとめサイトの中の人
携帯でみれるようになりませんかね？

>>226
0≦∫[0,1]{f(x)-6x+2}^2dx
＝∫[0,1]{f(x)}^2dx - 12∫[0,1]xf(x)dx + 4∫[0,1]f(x)dx + ∫[0,1](36x^2-24x+4)dx
＝∫[0,1]{f(x)}^2dx - 12 + 4 + 4
＝∫[0,1]{f(x)}^2dx - 4

移項して
∫[0,1]{f(x)}^2dx ≧ 4

何処かの掲示板の回答と同じですね。

同一人物

>>229
確かに，引用元に貼ってある解答を見たら，全く同じだった。
どう考えても結局同じ解答に至るということだね。

一般に，g,hを与えられたL^2(Ω)の元，α,βを任意の複素数とするとき，
　{ ||f||^2 ∈R | f∈L^2(Ω)，<f,g>=α，<f,h>=β }
の最小元を探す問題は，同様に
　|| f- ag - bh ||^2
を最小化する a,b を見つける２次式の問題に帰着される。

a,b,c＞0
abc=1
(1+ab)/(a+b)+(1+bc)/(b+c)+(1+ca)/(c+a)≧3

>>227
諦めろ！

>>231
　{f(x)-6x+2, 2x-1, 1} が直交系････

1.4<∫[0,1]e^(x^2)dx<1.5を示せ。
ただし2.71<e<2.72。

ふと思った問題

↑a=(a[1],a[2],…a[n])
↑x=(x[1],x[2],…x[n])
0<a[1]≦a[2],…≦a[n]
0≦x[i]
↑a･↑x=K>0
のとき
|↑x|を最大,最小にする↑xは何か

>>234
直交性から
　∫{f(x)}^2 dx = ∫{f(x)-6x+2}^2 dx + 9∫(2x-1)^2 dx +∫1^2 dx
　　≧ 9∫(2x-1)^2 dx +∫1^2 dx,

>>235
与式をＩとおく。
　1 + t + (1/2)t^2 < e^t < 1 + t/(1 - t/2),
から
　[ x + (1/3)x^3 + (1/10)x^5 ](x=0,1) < Ｉ < [ (√2)log{(√2 +x)/(√2 -x)} - x](x=0,1),
　1 + (1/3) + (1/10) < Ｉ < (√2)log{(√2+1)/(√2 -1)} -1,
　1.43333････ < Ｉ < 1.49290････

>>236
　最小値はコーシーで、 |ｘ↑| ≧ Ｋ/|ａ↑|.

用意していた解法

e^t≧1+t+(t^2/2)+(t^3/6)より
e^(x^2)≧(1+x^2+(x^4/2)+(x^6/6)を使う

∫[0,1]e^(x^2)dx
≧∫[0,1]{(1+x^2+(x^4/2)}dx
=43/30
>1.4

∫[0,1]e^(x^2)dx
=e-∫[0,1]2x^2*e^(x^2)dx
≦e-∫[0,1]2x^2*{(1+x^2+(x^4/2)+(x^6/6)}dx
=e-(1178/945)
<2.72-1.22
=1.5

この数学五輪って確か中学レベルの知識で解ける程度の問題レベルだったはず。
鼻高々の金メダリスト達に東大や京大の理系数学の問題を見せて、
数学の本当の恐ろしさというものを思い知らせてやりたいなｗ
俺も立命館の数学科出身だけど、数学を舐めるなと言いたい。

釣りは他所でやってね

>>239
中学レベルの知識で解ける≠中学生レベルの実力で解ける

確かに数学オリンピックは行列や解析が範囲外だったりするが、
知識があるからって簡単に解ける問題ばかりではない。
それにIMOにでるほどの人たちが高校数学程度の知識に
欠けてるってのは考え難い。
東大京大の問題くらいだったら解いてしまうんじゃないかな。

金メダリストたちがこの先大成するかはわからないが、
素直に応援しようじゃないか。


そんなことより、不等式を崇める作業に戻るんだ

釣りにマジレスすんなｗ

3辺の長さがa,b,cの三角形がある。ただし、a≧b≧cである。
s=(a+b+c)/2とおく。
三角形の面積を2等分する線分の長さをlとするとき、
l≧√{2(s-a)(s-b)}を示せ。

>>242
すまん、死んでお詫びを(AA略

政権童貞 「一回やらせて」

0 ﾟ < θ < 180 ﾟ において
cosθ = 12 / 13 のとき
n ﾟ < θ < ( n + 1 ) ﾟ
を満たす整数nを求めよ （早稲田大）

カンでn=5

ここの問題を他所で自分が考えたように出題

>>246
　cosθ = 12/13 より,
　cos(4θ) = T_4(cosθ) = 8(cosθ)^4 - 8(cosθ)^2 +1 = -239/(13^4) < 0,
　sin(4θ) = U_4(cosθ)sinθ = 1 - 1/(13^4),
4θ -90ﾟ > 0 より
　sin(4θ -90ﾟ) < (π/180)(4θ -90ﾟ) < tan(4θ -90ﾟ),
　|cos(4θ)| < (π/180)(4θ -90ﾟ) < |cos(4θ)|/sin(4θ),
　239/(13^4) < (π/180)(4θ -90ﾟ) < 239/(13^4 - 1),
　0.479454ﾟ < 4θ -90ﾟ < 0.479471ﾟ
　22.6198635ﾟ < θ < 22.6198678ﾟ
　n = 22
なお、　θ = 22.61986494804042617294901087668･･･


>>237 (中)　補足
　1 + t + (1/2)t^2 < e^t < 1 + t/(1 - t/2),

左側:　逐次積分で
　e^t -1 >0,　　　(t>0)
　e^t -t -1 >0,
　e^t -(1/2)t^2 -t -1 >0,

右側:
(e^t - 1)/(e^t + 1) = tanh(t/2) < t/2,
を e^t について解く。

自然対数の底eを
e = Σ [ k = 0 , ∞ ] ( 1 / k ! )
とする

( 1 )
e < 2.721

( 2 )
log ( 1 + x ) ≦ x / √ ( 1 + x )

( 3 )
1.0317 < e ^ ( 1/32 ) < 1.0318
ただし
2.721 ^ ( 1 / 16 ) < 1.064561
とする

http://myhome.personaldb.net/ideahitme/problem3.pdf

>>228の6x-2ってどっから出てきたんですか？

>>252
∫[0,1]{f(x)-ax-b}^2dx を展開して，最小になるa,bを平方完成で見つける。

なぜ一次関数なんですか？
何について平方完成するんですか？

>>250
(1)
　(1/k!) < (1/k!){1 + 1/(k-1) -1/k} = (1/k!){k/(k-1) -1/k} = 1/((k-1)!(k-1)) - 1/((k!)k),

　e < Σ[k=0,∞) 1/(k!) < Σ[k=0,4] 1/(k!) + Σ[k=5,∞) 1/((k-1)!(k-1)) - 1/((k!)k)}
　　= 1 + (1/1!) + (1/2!) + (1/3!) + (1/4!) + 1/(4!*4)
　　= 2 + 23/32
　　= 2.71875

(2)
　0 ≦ (1 - 1/t)^2 = 1 + 1/(t^2) -2/t,
　を t で積分すると
　0 ≦ t - 1/t -2log(t),　　　　(t≧1)
ここで t = √(1+x) とおく。

>>250
(1) k≧4 のとき
　1/k! < (1/4!)(1/5)^(k-4),

　e < Σ[k=0,∞) 1/(k!) < Σ[k=0,3] 1/(k!) + (1/4!)Σ[k=4,∞) (1/5)^(k-4)
　　= 1 + (1/1!) + (1/2!) + (1/3!) + (1/4!)/(1 - 1/5)
　　= 2 + 23/32
　　= 2.71875

(2) sinh(z) > z,　　　(z≧0)
　に z = (1/2)log(1+x) を代入…
　

x > 1 のとき
( 1 + 4 x ^ 2 + x ^ 4 ) log x + ( 3 / 2 ) ( 1 - x ^ 4 ) > 0


0 ≦ x [ k ] ≦ π / 2
Σ [ k = 1 , n ] cos x [ k ] = 1
のとき
Σ [ k = 1 , n ] sin x [ k ] ≧ √ ( n - 1 )

>>257
(上)
　f(y) = (1/2)log(y) + (3/2)(1-y^2)/(1+4y+y^2),
とおくと
　f '(y) = (y-1)^4/{2y(1+4y+y^2)^2} ≧ 0,
y=x^2 >1 とおく。

(下)
0 ≦ x ≦ π/2 から
　cos(x) ≧0, sin(x) ≧0,
　cos(x) + sin(x) = √{1 + 2sin(x)cos(x)} ≧ 1,
から
　�納k=1,n] sin(x[k]) ≧ n-1,

x>0のとき、(x^3+2)/xの最小値を求める問題で

(x^3+2)/x=(x^3+1+1)/x≧3√(x^3*1*1)/x=3x/x=3
等号はx^3=1のとき成り立つからx=1のとき最小値3

x^3+2=x^3+1+1≧3√(x^3*1*1)=3x⇔(x^3+2)/x≧3
等号はx^3=1のとき成り立つからx=1のとき最小値3

どうしてこの2つは駄目なんでしょうか？

質問は他いけ

>>254
とりあえず計算してみ

>なぜ一次関数なんですか？
定数じゃムリなので1次関数
>何について平方完成するんですか？
計算すると∫[0,1]{f(x)}^2dx以外に a,b の2次式が出てくる
この2次式を -G(a,b) とでもおくと (わかりやすくマイナスにした)

∫[0,1]{f(x)}^2dx − G(a,b)

これが0以上なので ∫[0,1]{f(x)}^2dx ≧ G(a,b)

>>226成立のためにはG(a,b)≧4であれば十分
試しにG(a,b)の最小値を求めてみるとa=6，b=-2となる
この際に平方完成する．具体的にはまずbについて平方完成→残りをaについて平方完成(逆も可)

>>259
別に間違ってないような・・・

>>259
x>0という条件があるので相加相乗平均の前提条件である非負はクリア
次に等号成立条件も定義域x>0に取れる

第2式の⇔変形もx>0なので問題ない

何も間違っていないと思うぜ
http://tinyurl.com/n2szo6

周の長さが一定の正 n 角形の面積を S [ n ] とする

n < m のとき , S [ n ] < S [ m ]

拾い

10 ^ 197 < 99 ^ 99 < 10 ^ 198
ただし,対数の値は与えられていない

もとは99^99は何桁かって問題だな。

笑

>>265
受験板とマルチかつ解決済
http://namidame.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1247234765/459-463n
http://namidame.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1247234765/474n

答えて損した

>>265
99^99 < 100^99 = 10^198 は簡単

10log2 = log1024 > 3 より log2 > 0.3

7log3 + log5 = log10935 > 4 より
7log3 > 3 + log2 > 3.3 だから log3 > 0.47

また 4log7 = log2401 > log2400 = 2 + 3log2 + log3 なので

2log99 = log9801 > log9800 = 2 + log2 + 2log7 > 3 + (5/2)log2 + (1/2)log3

よって log99 > 3/2 + (5/4)log2 + (1/4)log3 > 1.9925

ゆえに 99log99 > 197.2575

>>268
私も書く前にリロードすべきだった
同じく書いて損した

ヒント：拾い

>>232
　(1+ab)/(a+b) + (1+bc)/(b+c) + (1+ca)/(c+a) ≧ 5/2,
等号成立は a = b = φ^2, c = 1/φ^4　etc. のとき　{φ=(1+√5)/2=1.618034}


>>264
　周の長さを L とおく。
　一辺の長さは L/n,
　中心から一辺を見る角は 2π/n,
　中心と頂点の距離は L/{2n･sin(π/n)},
　中心と辺の中点の距離は h = L/{2n･tan(π/n)},
　S[n] = h*L/2 = (L^2){4n･tan(π/n)},
　ところで tan(x)/x はxについて単調増加。


>>265
　log((n-1)/n) = -log(n/(n-1)) = -log(1 + 1/(n-1)) > - 1/(n-1),
　(n-1)･log((n-1)/n) > -1,
n = 100 とおくと
　99*log(0.99) = -0.99498324949664267717133689829622 > -1
同じく 解いて損した。

はて？この流れだと ﾌﾟｷﾞｬｰのＡＡを張るのが
数学板のマナーかの？

>>265
10^197<99^99<10^198⇔1<(1+1/99)^99<10
f(x)=(1+1/x)^x,g(x)=(1+1/x)^(x+1) (x>0)とおく。
(x+1)/xと1に重み付き相加相乗平均を用いて(重みはそれぞれx,a)
f(x)は単調増加
x/(x+1)と1に重みx+1,aで同様に、g(x)は単調減少
1<2=f(1)<f(99)=(1+1/99)^99<(1+1/99)^100=g(99)<g(1)=4<10

損した

損するのがブームらしい

重み付き相加相乗平均がわからない。加重平均っぽい言葉だ。

自信作

π＾ｅ＜23を示せ。
ただし、ｅ＝2.71828・・・、π＝3.14159・・・とする。

>>276
まとめWikiを見よう。
http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/d/%A4%E8%A4%AF%BB%C8%A4%A6%C9%D4%C5%F9%BC%B0

>>278
ありがとうあいしてる

実数全体で定義された実数値関数 f ( x ) は次の条件を満たす

1 + x ≦ f ( x )
f ( x ) f ( y ) ≦ f ( x + y )

このとき x < 0 において

0 < f ( x ) < 1

を満たすことを示せ

最近は単なる受験問題スレでつまらん

驚きも何も無い

>>280
その条件があれば f(x)=e^x であると決まる。
ゆえに x<0 ⇒ 0<f(x)<1 は成り立つ。

http://blog.livedoor.jp/seven_triton/archives/51502451.html

>>277
示すべき不等式は、
f(23)-f(π)>1
と同値
ただし、
f(x)=ln(lnx)
この時、
f'(x)=1/(xlnx)>0(x>1)
より、
f(23)-f(π)≧1
ここで、
f(23)-f(π)=1
とすると、
e=ln(23-π)>ln19⇔ln(ln19)<1⇔ln19<1
一方、
ln19>lne=1
となるので不適である。
以上より示された。

>>283
ダメダメ

皆さんメチャメチャ辛抱強いなァ
頭が下がりまっせ！

>>282
googleでどうやって検索したんですか？

数式の終りにコンマ『,』をつける。

251きぼん

>>232
　(1+ab)/(a+b) + (1+bc)/(b+c) + (1+ca)/(c+a) > 2,

(略証)
　例によって a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおく。
　(左辺) = {1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(c+a)} + {ab/(a+b) + bc/(b+c) + ca/(c+a)}
　　　　= (s^2 +t)/(st-u) + (t^2 +su)/(st-u)
　　　　= 2 + {(s-t)^2 +t +(s+2)u}/(st-u)
　　　　≧ 2,
　下限に近付くのは s=t → ∞ のとき。
　例えば、(a,b,c) = (a,1,1/a)、 s=t = a + 1 + 1/a, u=1,

>>277
e = 2.7182818････ < 2 + (5/7) + (1/250), より
　π^(1/250) = {1 + (π-1)}^(1/250) < 1 + (π-1)/250 < 1 +(2.5)/250 = 1.01,
π = 3.14159･･･ < 22/7 より
　π^2 < (22/7)^2 = 484/49 < 4851/490 < 9.9,
∴　π^(2 + 1/250) < 10,
　π^(5/7) < (22/7)^(5/7) = (16/7)^(5/7)*(11/8)^(5/7),
ところで
　(11/8)^5 = 161051/(8^5) < 5*32764/(8^5) = 5 = 245/(7^2) < 256/(7^2) = (16/7)^2,
∴　π^(5/7) < 16/7,
∴　π^e < 160/7 = 23 - 1/7,

Yahoo!掲示板　数学カテ　数学･算数質問コーナー(制限板)
http://messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554

自信作

e＾π＞23 を示せ。
ただし、ｅ＝2.71828・・・、π＝3.14159・・・とする。

>>291
それは東大の問題だょ

>>250
(3)e^(1 / 32) = 1.03174341･･･より題意は示された

x1,x2,...,xn>0とする
n変数k次基本対称式
Sk=Σx1x2...xk
とする。このとき、
(Sk/nCk)^(1/k)≧(S_{k+1}/nC{k+1})^(1/(k+1))
を示せ！

　　　　　　　不等式！
-= ､､∧,,∧ どぞどぞ！
-=≡(｀･ω･) ＜＜
-= ／､_〇＝O≧≧≧
-=(_⌒)ﾆ‖_≦≦≦≦_
-(／し′∂ﾆ∂三∂ﾆ∂
- = ≡ グヮﾗ! ｶﾞﾗ ｶﾞﾗ!!

>>292
ちょっと違う
>1999年東大6番は、e^π>21 だな。
http://cheese.2ch.net/math/kako/972/972279847.html

e^π>2.71828^3.14159=(2.71828^3)*(2.71828^0.14159)

ここで e^x>1+x+(x^2)/2 より
2.71828^0.14159>1+0.14159+(0.14159^2)/2=1.15161386
これと 2.71828^3 = 20.0854964 を合わせて，

e^π>20.0854964*1.15161386=23.130736

ちなみにe^π = 23.1406926

>>294
過去に何度もでてたはず。

S[k]/C[n,k]=p[k]とおく。
補題.(p[k])^2≧p[k+1]p[k-1] (k=1,2,…,n-1)
等号成立はx[1]=x[2]=…=x[n]

証明.nについての帰納法で示す。
(n-1)個の数x[1],x[2],…,x[n-1]のk次基本対称式をS'[k]とおき、
p'[k]=S'[k]/C[n-1,k]とおく。
k=1,2,…,n-2で(p'[k])^2≧p'[k+1]p'[k-1]、
等号成立がx[1]=x[2]=…=x[n-1]であると仮定する。

S[k]=S'[k]+a[n]S'[k-1]であるから、
p[k]={(n-k)p'[k]+kp'[k-1]} (k=1,2,…,n-1)
k=2,3,…,n-2のとき
(p[k])^2-p[k+1]p[k-1]={X(a[n])^2+Y(a[n])+Z}/n^2
ただし、X=k^2(p'[k-1])^2-(k^2-1)p'[k]p'[k-2]≧(p'[k-1])^2
Y=(nk-k^2-n-1)p'[k]p'[k-1]-(n-k-1)(k-1)p'[k+1]p'[k-2]≧-2p'[k]p'[k-1]
Z=(n-r)^2(p'[k])^2-{(n-r)^2-1}p'[k+1]p'[k-1]≧(p'[k]^2)
ここで、(p'[k])^2(p[k-1])^2≧p'[k+1]p'[k-1]p'[k]p'[k-2]より
p'[k]p'[k-1]≧p'[k+1]p'[k-2]となることを用いた。

よって(p[k])^2-p[k+1]p[k-1]≧(p'[k-1]a[n]-p'[k])^2/n^2≧0
左の等号成立はx[1]=x[2]=…=x[n-1]であり、この条件のもとで
右の等号が成立するのはx[1]=x[2]=…=x[n-1]=x[n]のとき
k=1,n-1のときも同様にして証明できるので、題意は示された。

Π[i=1,k](p[k])^2k≧Π[i=1,k](p[k+1]p[k-1])^k,p[0]=1より
(p[k])^(k+1)≧(p[k+1])^k (k=1,2,…,n-1)
よって(p[k])^(1/k)≧(p[k+1])^{1/(k+1)}

>>295
ワロス

a_1，a_2，…，a_(2n+1)を次の性質（Ｐ）をみたす整数の集まりとする。
（Ｐ）：これらの整数のどの１つを除いても，残りの2n個の整数は，２つのn個の整数の集まりに分解でき，それらの和が一致する。
このとき， a_1＝a_2＝…＝a_(2n+1) を示せ。

数オリ本選のパクリ乙

節子…それ、不等式やない、恒等式や

凸5角形の5辺の長さの和を s [ 1 ] , 対角線の和を s [ 2 ] とする
s [ 1 ] < s [ 2 ] < 2 s [ 1 ]

1 / 15 < 99 !! / 100 !! < 1 / 12

x>0,n≧0の時、(1+x)^n>1+nx
をテーラー展開、二項展開を使わずに示せるか論じよ

先生！n=0のときその不等式は成り立ちません！

先生！n=1(ry

>>303
数日前に別スレで似たような問題があったな
マルチっぽいな

>>302 (上)
　凸5角形をABCDE、対角線の交点を A',B',C',D',E' とおく。(対角線BD とCE の交点をA' とおく。)
　CD < CA' + DA',　CE < CD + DE,
循環的に加えると、
　s[1] < s[2],　s[2] < 2s[1],
　
>>303
　x=0 のとき等号成立だから、xで割り切れる。(因数定理)
　(左辺) - (右辺) = {(1+x)^n -1} -nx
　　　= x{(1+x)^(n-1) + (1+x)^(n-2) + ･････ + (1+x)^1 +1 -n} 　　(← 等比級数の和)
　　　= x{(1+x)^(n-1) -1} + x{(1+x)^(n-2) -1} + ････････ + x{(1+x)^1 -1}
　　　> 0,

>>303
a[1],a[2],…,a[n]を、-1以上の数で、かつ、a[k]≧0かa[k]≦0のいずれかが成り立つとする。
このときΠ[k=1,n](1+a[k])≧1+Σ[k=1,n]a[k]
等号成立は、a[k]≠0なるkが高々1個のとき


n=1は自明
(1+a[k])≧0から、Σ[k=1,n]a[k]<-1であれば明らか
以下、Σ[k=1,n]a[k]≧-1とする。
n=2のとき
(1+a[1])(1+a[2])=1+a[1]+a[2]+a[1]a[2]≧1+a[1]+a[2]
等号成立はa[1]=0またはa[2]=0
n=iの場合の成立を仮定して、n=i+1の場合を示す。
Π(k=1,i+1)(1+a[k])≧(1+Σ[k=1,i]a[k])(1+a[i+1])≧(1+Σ[k=1,i+1]a[k])
(∵a[k]≧0のときΣ[k=1,i]a[k]≧0
a[k]≦0のとき0≧Σ[k=1,i]a[k]≧Σ[k=1,i+1]a[k]≧-1)
左の等号成立条件はk=1,2,…,iでa[k]≠0なるkが高々1個であり、
右側の等号成立条件はΣ[k=1,i]a[k]=0またはa[i+1]=0であるから、
(最左辺)=(最右辺)となるのはa[k]≠0なるkが高々1個


(1+x)^n≧1+nxはa[k]=xの特別な場合

三角形の辺の和は,中線の和の4/3より大きくはない

組(a,b,c),(1/a,1/b,1/c)はそれぞれ三角形の三辺をなす
それぞれの三角形の面積ををS,S'とすれば
SS'≦48

>>309 (下)
　つ [前スレ.863-865,870]

　S　≦ ((√3)/4) * abc,
　S' ≦ ((√3)/4) /(abc),
を出す。

解1.　[前スレ.865]
相乗･相加平均 と 上に凸から
　{sin(A)sin(B)sin(C)}^(1/3) ≦ {sin(A)+sin(B)+sin(C)}/3 ≦ sin((A+B+C)/3) = sin(π/3) = (√3)/2,

解2.　[前スレ.870]
s=(a+b+c)/2. s-a, s-b, s-c の基本対称式を s,t,u とおく。ヘロン公式から
　S = √(su) = {s･(√su)･u}^(1/3) ≦ {(1/√3)st･u}^(1/3) ≦ (√3)/4･(st-u)^(2/3) = (√3)/4･(abc)^(2/3),

＞nは自然数とする
＞(sinx)^n+(cosx)^n
＞の最大値、最小値を求めよ

これって，nが偶数のとき
(sinx)^n≦(sinx)^2
(cosx)^n≦(cosx)^2
より
(sinx)^n+(cosx)^n ≦(sinx)^2+(cosx)^2=1
の考え方使えないかなー

訂正
　S　≦ ((√3)/4) * (abc)^(2/3),
　S' ≦ ((√3)/4) / (abc)^(2/3),
より
　SS' ≦ 3/16,

>>309 (上)

中線を AA', BB', CC' とおく。
△ABC の重心をGとおくと、初等幾何により
　AG = (2/3)AA',　BG = (2/3)BB',　CG = (2/3)CC',
ところで
　a = BC < BG + CG,
　b = CA < CG + AG,
　c = AB < AG + BG,
辺々たして
　a+b+c < 2(AG+BG+CG) = (4/3)(AA'+BB'+CC').

>>309
これって、SS' < 1/4,でもいいとき、
　n=min(a,b,c),　d=mid(a,b,c),　x=max(a,b,c),
とおく。
　S　= (1/2)nd･sin(?) ≦ (1/2)nd,
　S' = {1/(2xd)}sin(?) ≦ 1/(2xd),
より
　SS' ≦ n/(4x) ≦ 1/4,
の考え方使えないかなー

p,q,r≧0
A,B,C＞0,A+B+C=π
mは自然数

|pqsinmA+qrsinmB+rpsinmC|≦(p^2+q^2+r^2)(√3/2)

>>309 (上)
〔類題〕
　三角形の辺長をa,b,c 中線の長さを AA', BB', CC' とおくと
　1 < (a+b+c)/(AA'+BB'+CC') < 4/3.

(略証)
・右側は >>313
・左側を示す。
　B'A' = AC' = C'B = (1/2)AB = c/2,
　C'B' = BA' = A'C = (1/2)BC = a/2,
　A'C' = CB' = B'A = (1/2)CA = b/2,
より
　AA' < AB' + B'A' = (c+b)/2,
　BB' < BC' + C'B' = (a+c)/2,
　CC' < CA' + A'C' = (b+a)/2,
辺々たすと
　AA' + BB' + CC' < a+b+c,

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＊＊＊数学の質問スレ【大学受験板】part89＊＊＊ [大学受験]

>>315
過去スレ

F,Gを[0,1]→[0,1]を満たす実連続関数であるとし、Fを単調増加関数であるとする。
∫[0,1] F(G(x))dx ≦ ∫[0,1] F(x) dx + ∫[0,1] G(x) dx
を示せ

[0,1]→[0,1] の意味は？
値域がって事？

わかるだｒ

>>319
過去スレ嫁

拾ったものをいじった

実数a,b,cが(a+b+c)/3=(abc)^(1/3)≠0を満たす

k=a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)の取り得る値の範囲を求めよ

> 実数a,b,cが(a+b+c)/3=(abc)^(1/3)≠0を満たす
> 実数a,b,cが(a+b+c)/3=(abc)^(1/3)≠0を満たす
> 実数a,b,cが(a+b+c)/3=(abc)^(1/3)≠0を満たす
> 実数a,b,cが(a+b+c)/3=(abc)^(1/3)≠0を満たす
> 実数a,b,cが(a+b+c)/3=(abc)^(1/3)≠0を満たす
> 実数a,b,cが(a+b+c)/3=(abc)^(1/3)≠0を満たす
> 実数a,b,cが(a+b+c)/3=(abc)^(1/3)≠0を満たす

ﾆﾔﾆﾔ…

↑
なんでにやついているの？

((-6)^3)^(1/3)って-6？

>>325
相加平均=相乗平均

a=-1,b=0,c=1の場合は？

>>328
≠0

>>327
適用条件

>>326
(負)^(1/3) は定義されてない，というかできない．

(-8)^(1/3) = -2 としたいところだが

(-8)^(1/3) = (-8)^(2/6) = ((-8)^2)^(1/6) = 64^(1/6) = 2

と矛盾を起こしかねないから。

>>331
ネタ？
指数法則はどこいったの

（−１）＾１＝（−１）＾（２／２）＝（（−１）＾２）＾（１／２）＝１＾（１／２）＝１。

>>332
大丈夫だよ
どこにも行っていないよ
安心しておやすみ

ａ＝８。
ｂ＝−１。
ｃ＝−１。

高校数学の範囲では、√の左側にnを小さく書くのを(n)√と表すとすると
nが奇数のとき、
aが正なら(n)√aは正の実数値
aが負なら(n)√aは負の実数値
をとるものとする、と教科書に明記されている。
しかし、a^(1/n)という記法は、
教科書ではa＞0の場合しか定義されていない。

ただ、その辺は入試になると結構あいまいで、
(n)√aと書く代わりにa^(1/n)と書かれる可能性もある。

>>336
それにしたって a>0 に限定されているはずだ

>>333
これのおかしいところが分からないんだけど…
天才な俺に解説してください！

>>337
指数法則

338だった

>335の場合はokやんな？

>okやんな？
ムカつく

三角形ABCにおいて、sinA+sinB+sinCの最小値を求めよ。

最大値は凸不等式で出るんですけど最小値の出し方がわかりません・・・

A,B,Cを0,0,πに近づければ値が0に近づく

>>331
多価関数として定義すれば無問題

>>338
お前ら複素関数論を知らんのか？
一般のベキの定義は多価関数だろうが！　　　　　　　

と思ったら、ここは工房スレかorz

>>346 2chは良く言えばがらくた市
掃きだめの中に鶴が見つかれば大吉

>>345 >>346
複素数まで広げちゃうと不等式にそぐわなくないかい？

>>348
そりゃ複素数に不等号（大小関係）は無いが、>>332や>>338のような奴がいるからなｗ
そういうアホな突っ込みをする前に、函数論を勉強してから来いと

>>348
負の実数の1/3乗の主値を、負の実数と決めれば
>>323に関しては問題ないだろ。

>>336
> aが負なら(n)√aは負の実数値

a=-1， n=2 のとき√-1は負の実数値なのですかｗ

ゆとりの影響は恐ろしいなｗ

>>351
nが奇数のとき
の文字が見えんのか

本当にゆとりの影響は恐ろしいな

>>350
それでも>>331の問題が解決できぬ

ゆとり不等式

>>354
あ゛ーもうどいつもこいつもお塩も法子も．．．

(-8)^(1/3) = (-8)^(2/6) = ((-8)^2)^(1/6) = 64^(1/6) = 2
が
(-1)^1 = (-1)^(2/2) = ((-1)^2)^(1/2) = 1^(1/2) = 1
と同じ暴論だということもわからんのか。

お塩と法子ｗｗ

単純打率　ヒットの本数だけで判断した稚拙な計算による打率　→　イチロー
実質打率　内野安打・ポテンヒット等の凡打を省いた打率（２塁への進塁打は安打に含む）　　　　→　松井
正当打率　偶然ではなく実力で打ったヒットによる打率　　　　　　→　松井
貢献打率　勝利のためのチームバッティングを評価する打率　　→　松井
名門打率　所属チームの強さ・格式に準拠される打率　　　　　　→　松井
強敵打率　雑魚相手にヒットを稼ぐ不正を許さない打率　　　　　 →　松井
健康打率　健康体であるという条件下の元で算出した打率　　　 →　松井
芸術打率　フォーム・弾道の美しさを最大限評価する打率　　　　→　松井
人格打率　選手の人間性を加味した上で導き出す打率　　　　　 →　松井
大局打率　現状の成績に惑わされず大局を見抜いた打率　　　　→　松井
謙虚打率　強欲にヒットを欲しがろうとしない控えめな打率　　　　→　松井
精髄打率　ヒットの量ではなく本質を見つめ直した打率　　　　　　→　松井
社会打率　１人目立とうとして周りの空気を悪くしない打率　　　　→　松井
来年打率　今年は忘れ来期に目を向けた将来性重視の打率　　→　松井
玄人打率　野球に詳しい理系の人間だけが知る真実の打率　　 →　松井
主観打率　数字に依存しない独自の視点から優劣を決める打率 →　松井
実績打率 過去の成績を考慮に入れた打率→ 松井
怪我考慮打率 怪我をしていてもチームの為に痛みを我慢して打席に立つ男気溢れる打率→ 松井
スタベン打率 チームの為なら調子の悪い時はスタベンでも構わないという人情味溢れる打率→ 松井
チームリーダー打率 リーダーとしてチームメイトの悩みを聞いたり、アドバイスしたりする打率→ 松井
トレード打率 トレードされるかもしれないというとてつもない不安感の中での打率→ 松井
焼肉打率　　　焼肉記者の機嫌を取りながら稼ぐ打率　　　　　　　　→松井
仮に四番打率→ もし四番で起用されていたらと仮定した場合の打率 →松井
立場逆転打率 イチローと松井の立場が逆ならばと仮定した場合の打率→ 松井
常識打率　普通に考えたらどっちが上かわかりそうな打率　　　　→　松井
撃破打率 　ヒットや三振などに囚われず、相手投手にダメージ、動揺を与えた打率→ 松井

http://www4.himitsukichi.info/up/occult/1221405706/1221405706.jpg
コイツも覚せい剤やってそう

>>323
3乗根に関して不毛(?)な議論が繰り広げられてるが、
{(a+b+c)/3}^3=abc≠0で考えればいいだろうし、この問題の場合
a,b,cをすべてt(≠0)倍してもkの値や条件式に変化がないから、
abc>0として大丈夫だろう。

で、自信はないが
a+b+c=1としてよく、このときabc=1/27
a/(b+c)+1=(a+b+c)/(b+c)=1/(b+c)
k+3=1/(b+c)+1/(c+a)+1/(a+b)
よって(k+3)(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b)(b+c)+(b+c)(c+a)+(c+a)(a+b)

(a+b)(b+c)(c+a)=(1-a)(1-b)(1-c)
=1-(a+b+c)+(ab+bc+ca)-abc=ab+bc+ca-1/27
(a+b)(b+c)+(b+c)(c+a)+(c+a)(a+b)=(a+b+c)^2+ab+bc+ca=ab+bc+ca+1
k=(ab+bc+ca+1)/(ab+bc+ca-1/27)-3=(28/27)/(ab+bc+ca-1/27)-2

ab+bc+ca={(a+b+c)^2-a^2-b^2-c^2}/2=(1-a^2-b^2-c^2)/2であり、
(a^2+b^2+c^2)(1+1+1)≧(a+b+c)^2からab+bc+ca≦(1-1/3)/2=1/3
k≧(28/27)/(1/3-1/27)-2=3/2

＞a,b,cをすべてt(≠0)倍してもkの値や条件式に変化がないから、
＞abc>0として大丈夫だろう。

Why ?

whyもなにも書いてある通りだろ

>>361
abcが負のとき、-a,-b,-cを新たにa,b,cとすればabc>0
でも、これでも{(-1)^3}^(1/3)がでてきて、
解決にはなってないような気がすると思い始めてきた

(abc)^(1/3)は或る実数 r か rω か rω^2 なんだから
そのうち r を表す場合以外は解無しだと思う

夏だからなのか？そうなのか？そうなんだな？

>>356
どの辺が暴論？

a,b,cを実数とするとき
r^3 = abc を満たす実数 r(a,b,c) は唯一つ存在する。

実数a,b,cが(a+b+c)/3=r(a,b,c)≠0を満たすとき
k=a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)の取り得る値の範囲を求めよ

これなら問題ないんだよね

重大なミスを発見
> k≧(28/27)/(1/3-1/27)-2=3/2
ab+bc+ca<1/27を考えてなかった。
k<-2または3/2≦kだな。
実際>>335のように a=8,b=c=-1のときk=-30/7

>>366
指数定理
　(a^m)^n=a^(mn)
が成り立つのは、
「a＞0である」か「m,nがともに整数である」かの
どちらかの条件を満たす場合である。
だから
(-8)^(2/6) = ((-8)^2)^(1/6)や
(-1)^(2/2) = ((-1)^2)^(1/2)は
成立しない。それだけのこと。

頭に残ってたもやもやを取り除く方法を思いついたら、
また間違いに気付いたorz
十分性に欠けることには気づいてたんだが…

ab+bc+ca=pとおくとa,b,cは
t^3-t^2+pt-1/27=0の解
判別式 -{(4p+5/3)(p-1/3)^2}/27≧0より
p=1/3またはp≦-5/12

したがってk=3/2または-30/7≦k<-2

首吊ってくる

>>369の修正
誤：指数定理
正：指数法則

>>369
知らなかった…

>>349
>>369を見ても>>332がおかしいと思う？

　>>326　→　>>331
→>>332　→　>>334

良く見ろ

しかし最近レベルの低いレスがやたら増えたな

>>369
だからこそ (-8)^(1/3) = -2 と安直に定義するわけにはいかない
というのが >>311 の趣旨ではないかと思うが

まあ，この矛盾を避けるために

[1] (負）^(1/3) の定義を許さない
[2] 定義は許すが指数法則の適用を許さない

の両者の立場の違いなのかとも思うが，
一般的には前者なのではないか？

もっとも，複素関数論のように多寡であることを認めるのであれば
事情は全く異なるのは確か

p>1 なる実数に対して、以下の不等式を示せ：

∫_[0-->∞] p/(t^p +1) dt ≦ π/ sin (π/p).

>>374
本当だよ。
複素ベキを知らない奴が８割もいるｗ

はっきり言って、受験生は板違いだから。

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＊＊＊数学の質問スレ【大学受験板】part89＊＊＊ [大学受験]

>>369
嘘つくなボケ！

オイラーの公式をしらんのか？

e^{πi}=-1

>>302 (下)

　√{(k-1)(k+1)} = √(k^2 -1) < k,
を使う。
　99!!/100!! = {3/(2√4)}{5/√(4･6)}{7/√(6･8)}･･････{99/√(98･100)}{1/√(100)}
　　　> {3/(2√4)}{1/√(100)}
　　　= (3/4)(1/10)
　　　= 3/40
　　　= 1/13.3333333･･･

　99!!/100!! = {9!!(√11)/10!!}{√(11･13)/12}{√(13･15)/14}･･････{√(97･99)/98}{(√99)/100} 　
　　　< {9!!(√11)/10!!}{(√99)/10}
　　　= (9!!*11*3)/(10!!*10)
　　　= 31185/384000
　　　= 1/12.3136123･･･

>>40

>>381
a≧c≧0≧bの場合を考えれば良く
a(a+c)x+c(a+c)y=xa^2+yc^2+(x+y)ac≧(x+y+2√xy)ac
より
abx+bcy+caz≦(z-x-y-2√xy)ac=(√z+√x+√y)(√z-√x-√y)ac　……�@
ここで条件より√z≦1≦√x+√yなので�@≦0
よってabx+bcy+caz≦0

kＣ［n，r］≦Ｃ［nk，rk］

Ｃ[nk,rk]≧(Ｃ[n,r])^k
より明らか

>>383,>>384
r≠0,nか?

ζ(s)=Σ[n=1,∞]1/(n^s)とする。
Σ[s=3,∞]{ζ(s)-1}<1/2を示せ。
(できればζ(2)=π^2/6を用いないで)

>>385
ζ(3)-1<�納n=2_∞]1/(n^3-n)<1/4
ζ(s+1)-1<{ζ(s)-1}/2
より
Σ[s=3_∞]{ζ(s)-1}<2{ζ(3)-1}<1/2

>>315
コーシーより
　(左辺)^2 ≦ {(pq)^2 + (qr)^2 + (rp)^2}･{sin(mA)^2 + sin(mB)^2 + sin(mC)^2}
　　　　= {(pq)^2 + (qr)^2 + (rp)^2}･f(mA,mB,mC)
　　　　≦ (1/3)(p^2 + q^2 + r^2)^2･f(mA,mB,mC),
となるので、 f(mA,mB,mC) ≦ 4/9 を示せばよいが･･･

※　(p^2 + q^2 + r^2)^2 - 3{(pq)^2 + (qr)^2 + (rp)^2}
　　= (1/2)(p^2 -q^2)^2 + (1/2)(q^2 r^2) + (1/2)(r^2 -p^2) ≧0,

>>315

〔補題〕
A+B+C=π、mは整数のとき
　{sin(mA)}^2 + {sin(mB)}^2 + {sin(mC)}^2 ≦ ９／４,
(略証)
m=0 のときは明らかだから m>0 とする。
左辺は mA, mB, mC について周期π をもつ。剰余を
　A' = mA - [mA/π]π,
　B' = mB - [mB/π]π,
　C' = mC - [mC/π]π,
とおくと
　0 ≦ A',B',C' < π.
　A' + B' + C' = 0, π, 2π.
しかし　右辺が0のとき A'=B'=C'=0 なので明らかに成立。 　
また　右辺が2πのときは　　　　　　{sin(π-x) = sin(x)}
　A' = π + [mA/π]π - mA,
　B' = π + [mB/π]π - mB,
　C' = π + [mC/π]π - mC,
とおき直せば
　A' + B' + C' = π,
鈍角3角形(C'>90ﾟ)の場合は、C'を90ﾟに減らし、その分 A',B'を増やした方が明らかに大きい。
∴　鋭角三角形と直角三角形を考えれば十分。
　(左辺) = {sin(A')}^2 + {sin(B')}^2 + {sin(C')}^2,
　= 1 -(1/2)cos(2A') -(1/2)cos(2B') + {sin(C')}^2
　= 2 + cos(C')cos(A'-B') + {sin(C')}^2　　　　　　{0≦cos(C'), cos(A'-B') ≦1}
　≦ 2 + cos(C') - {cos(C')}^2
　= 9/4 - {1/2 - cos(C')}^2
　≦ ９／４.
等号成立は A'=B' かつ C'=π/3,　すなわち A'=B'=C'=π/3 (正三角形)のとき。　

α＝ｅ＾π、β＝π＾ｅとする

ｅ＾α、ｅ＾β、π＾α、π＾β

の大小関係を答えよ

>>387 (別解)

A+B+C = π のとき
　{sin(mA)}^2 + {sin(mB)}^2 + {sin(mC)}^2
　= 2 -(1/2){cos(2mA) + cos(2mB)} - {cos(mC)}^2
　= 2 - cos(m(A+B))cos(m(A-B)) - {cos(mC)}^2
　= 2 - cos(m(π-C))cos(m(A-B)) - {cos(mC)}^2
　= 2 - γ･cos(mC) - {cos(mC)}^2
　= 2 + (1/4)γ^2 - {(γ/2) + cos(mC)}^2
　≦ 2 + (1/4)γ^2,
ただし、γ=(-1)^m･cos(m(A-B)),

ぬるぽ

>>385

n≧2 のとき
　1/n ≦ 3/{2(n+1)},
∴　Σ[s=3,∞) 1/(n^s) = 1/{(n^3)[1-(1/n)]}
　= 1/{(n^2)(n-1)}
　≦ 3/{2(n-1)n(n+1)}
　= (3/4){1/((n-1)n) - 1/(n(n+1))},
よって
　ζ(s) -1 = Σ[n=2,∞) 1/(n^s)
　Σ[s=3,∞) {ζ(s)-1} = Σ[s=3,∞) Σ[n=2,∞) 1/(n^s)
　= Σ[n=2,∞) Σ[s=3,∞) 1/(n^s)
　≦ (3/4)Σ[n=2,∞) {1/((n-1)n) - 1/(n(n+1))}
　= 3/8,

蛇足だが、
　ζ(3) - 1 = 0.20205690315732････
　ζ(4) - 1 = (π^4)/90 - 1,　
　ζ(6) - 1 = (π^6)/945 - 1,
　････
を使うと
　(左辺) = 0.3550659331455･･･ < 3/8,

>>386,>>391
正解です。にしても評価粗すぎたなw
最初の想定では
Σ[s=2,∞]{ζ(s)-1}=1とζ(m)-1>Σ[s=m+1,∞]{ζ(s)-1}
で証明だったが(だからζ(2)の条件を付けた)
考えてみたらζ(s)<1+2/2^s+4/4^s+…くらいの評価で示せたorz

ついでに
>(左辺)=0.3550659331455･･･
=2-(π^2)/6です

つまらん

>>316
　
〔問題38〕
三角形の辺の長さの和をa,b,c,
頂角A,B,Cの二等分線と対辺の交点をA",B",C" とおくとき、
　(1/2)(a+b+c) < AA" + BB" + CC" ≦ {(√3)/2}(a+b+c),
等号成立は a=b=c (正三角形) のとき。 (大塚氏による)
　
数セミ、Vol.48, No.9, 通巻576, p.54, Notes (2009/09)
Yahoo!掲示板 - 科学 - 数学 - 質問ｺｰﾅｰ(制限版) - No.38

>>394

(左側) 　
角の二等分線は△の内部で交わるから、
　a = BC < BB" + C"C,
　b = CA < CC" + A"A,
　c = AB < AA" + B"B,
辺々たして2で割る。　
　
(右側)
　(a+b+c)/2 = s とおく。
�僊BC = �僊BA" + �僊CA"
　= (1/2)(b+c)AA" sin(A/2)
　= (1/2)(b+c)AA" √{(s-b)(s-c)/bc}
　≧ AA" √{(s-b)(s-c)},　　　　　　(相加相乗平均)
∴ ヘロンの公式から
AA" ≦ �僊BC /√{(s-b)(s-c)}
　= √{s(s-a)}
　= (√3) √{(s/3)(s-a)}
　≦ (√3){(s/3)+(s-a)}/2　　　　　(相加相乗平均)　
　= (√3){(2/3)s -a/2},
循環的にたすと
　AA" + BB" + CC" ≦ (√3)s,
等号成立は s-a = s-b = s-c = s/3, すなわち a=b=c.
　
Yahoo!掲示板 - 科学 - 数学 - 質問ｺｰﾅｰ(制限版) - No.39

　　∧＿∧
　　( ;´∀｀)=3 ﾊｧﾊｧ…
　 人　Y　/
　(　ヽ し
　（＿）＿）

516:大学への名無しさん[]
2009/08/07(金) 17:14:38 ID:ZA6uauFfO
みんな聞いてくれ。昨日電車で勉強してたんだが、前にいた女がいきなり「この人、今痴漢しました。」 って俺に指さして騒いだわけ。この意味が分かるかな？
そう俺はそのとき痴漢積分していたのだ。

褒美だ！

('A` )　ﾌﾟｳ
ノヽノ) =3'A`)ﾉ ﾋｬｰ、ｿﾚﾊ ﾎｳﾋ！
　 くく　へﾍﾉ ←>>397

>>376は？

x,y,x∈R、x+y+z=1, xy+yz+zx=-8 のとき x^3+y^3+z^3 の最大最小。

2文字消去して定義域出して微分して解析、
という吐き気を催す解法しか思いつかなかった。
誰かかっこよく頼む。

>>400
x y z = s とおくと x, y, z は X^3 + X^2 - 8 X + s の解．また，
x^3 + y^3 + z^3
= 3 (x y z) + (x + y + z)^3 - 3 (x + y + z) (x y + y z + z x)
= 3s + 25
なので x^3 + y^3 + z^3 の最小化するためには，
X^3 + X^2 - 8 X + s が３実数解を持つ条件で s を最小化すればよい．

３次方程式の判別式より
D = 2112 - 148s - 27s^2 = -(s + 12)(27 s - 176)
よって D ≧ 0 なる最小の s は s = -12．
よって x^3 + y^3 + z^3 の最小値は 3×(-12) + 25 = -11


３次方程式の判別式はアンチョコつかった．

そんな数II・Bﾚﾍﾞﾙの問題はスレ違い

最大値を忘れてたが、判別式から 176/27 だな。

>>401
アンチョコって？

>>404
覚えてないからメモを見たってことでしょ

f(x),f'(x),f''(x),g(x)は連続でf''(x)≧0とする

(∫[a,b]f(g(x))dx)/(b-a)≧f((∫[a,b]g(x)dx)/(b-a))

>>400
n∈N, t[n]=x^n+y^n+z^nとおくとt[1]=1, t[2]=-15
x, y and zはtの3次方程式t^3-t^2-8t-xyz=0の根で
y=t^3-t^2-8tとy=xyzのグラフを考えてx, y, and z∈Rとなるのは-12≦xyz≦176/27
t^3-t^2-8t-xyz=0にt=x, y, and zを代入し辺ごと足してt[3]+15-8-3xyz=0 i.e. t[3]=3xyz-7
よって求める最小値, 最大値は-43, 113/9

t^3-t^2-8t-xyz=0の両辺にt^nをかけてからx. y and zを代入して辺ごと足すと
{t[n]}の漸化式が得られる.

>>400
x=kとおくと
y+z=1-k また
x(y+z)+yz=-8より
k(1-k)+yz=-8
k(1-k)+y(1-k-y)=-8
y^2-(1-k)y-k(1-k)-8=0
yが実数解を持つには
(1-k)^2+4k(1-k)+4･8≧0
-3≦k≦11/3 よって
-3≦x,y,z≦11/3

x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)
　　　　　 =1+16=17
x^3+y^3+z^3=(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)+3xyz
　　　　　 =25+3xyz
　　　　　 =25-3x(xy+zx+8)
　　　　　 =25-3x{xy+(1-x-y)x+8}
　　　　　 =25-3x(x-x^2+8)
　　　　　 =3x^3-3x^2-24x+25
xの範囲より最小値-11最大値779/3

>>407はt[2]で早くも間違えてたので書き直そう
>>400
n∈N, t[n]=x^n+y^n+z^nとおくとt[1]=1, t[2]=17
x, y and zはtの3次方程式t^3-t^2-8t-xyz=0の根で
y=t^3-t^2-8tとy=xyzのグラフを考えてx, y, and z∈Rとなるのは-12≦xyz≦176/27
t^3-t^2-8t-xyz=0にt=x, y, and zを代入し辺ごと足してt[3]-17-8-3xyz=0 i.e. t[3]=3xyz+25
よって求める最小値, 最大値は-11, 401/9

>>407>>409
y=t^3-t^2-8tとy=xyzのグラフを考えてx, y, and z∈Rとなるのは-12≦xyz≦176/27
ここの論理って、どういう過程？

易問にいつまで関わるん？

>>410
xyz=kとするとkの値によってx,y and zの値が変わる(つまりxyzの値を何にとるかで3文字は，3!=6通り以下あるにせよ，決まる)．
kを変えたときに3変数がどれも実数となるようなkの範囲を調べる．
そうなるのはグラフ書いて考察して今回の場合は(y=t^3-t^2-8tの極小値)≦k≦(y=t^3-t^2-8tの極大値)．

>>411
いいから黙ってろ！
屁かますぞ！

なるほど。Thx

かまして！

('A` )　ﾌﾟｳ
ノヽノ) =3'A`)ﾉ ﾋｬｰ
　 くく　へﾍﾉ ←>>415

>>400

x+y+z = a, xy+yz+zx = b, のときは xyz=s とおくと
　x^3 + y^3 + z^3 = a^3 -3ab +3s,　　　　　･･･････ (1)
だから、sの最大・最小を求めればよい。

　X^3 -aX^2 +bX -s = (X - a/3)^3 +B(X - a/3) - S
ここに
　B = b - (1/3)a^2,
　S = s - (1/3)ab + (2/27)a^3,

判別式 D = 4(-B)^3 -27S^2,
∴　D ≧0 となる条件は
　-2(-B/3)^(3/2) ≦ S ≦ 2(-B/3)^(3/2),　B<0,
　-(2/27)a^3 +(1/3)ab -2(-B/3)^(3/2) ≦ s ≦ -(2/27)a^3 +(1/3)ab +2(-B/3)^(3/2),
よって (1) から
　(7/9)a^3 -2ab -6(-B/3)^(3/2) ≦ x^3 + y^3 + z^3 ≦ (7/9)a^3 -2ab +6(-B/3)^(3/2),

正の実数a,b.cについて
Σcyc [{√(a+b)(a+c)}(√b+√c)] ≧ 3√{(a^3+b^3+c^3+5abc)/2}

自分で解けくず

なんもかんがえなくとも、
x,yを中心にかんがえ、
x+y=1-z
xy+z(x+y)=xy+z(1-z)=-8よって、
x+y=p.xy=q,ｘｙを２つの解とした二次方程式の判別式＞０よりｚの範囲でる。

最後は、p^3-3pq=(1-z)^3-3(1-z)

あと適当に、、、なんか不等式みてると眠くなる

>>417
　等号条件は
　左側 {x,y,z} = {(a/3)-2√(-B/3), (a/3)+√(-B/3), (a/3)+√(-B/3)},
　右側 {x,y,z} = {(a/3)+2√(-B/3), (a/3)-√(-B/3), (a/3)-√(-B/3)},

>>417　の一般解

　(X - a/3)^3 +B(X - a/3) = S,
を 2(-B/3)^(3/2) で割ると
　4ξ^3 -3ξ = S/{2(-B/3)^(3/2)},
となる。ここに
　ξ = (X -a/3)/[2√(-B/3)],
ところで右辺は、実根条件から
　D = 4(-B)^3 -27S^2 ≧ 0,
　-1 ≦ S/{2(-B/3)^(3/2)} ≦ 1,　(B<0),
よって
　S/{2(-B/3)^(3/2)} = cos(σ),　0≦σ≦π
を満たす σ がある。
　4ξ^3 - 3ξ = cos(σ),
∴　ξ = cos((σ-2π)/3), cos(σ/3), cos((σ+2π)/3),
∴　{x, y, z} = {(a/3)+2(√(-B/3))cos((σ-2π)/3), (a/3)+2(√(-B/3))cos(σ/3), (a/3)+2(√(-B/3))cos((σ+2π)/3)},
s を動かしても σ しか動かない。　　>>417

√ [ x ^ 2 + ( 1 - y ) ^ 2 ] + √ [ ( 1 - x ) ^ 2 + y ^ 2 ]

の最小値を求む

べく

普通に(1,0)と(0,1)からの距離を考えて√2

複素係数の1変数代数方程式

z^m＋�納j=1→m] a(j) z^(m-j)＝0

の根は |z}≦2max[j] |a(j)|^(1/j) を満たす．

>>423

軸を45ﾟ回す。
　x^2 + (1-y)^2 = (1/2)(x+y-1)^2 + (1/2)(x-y+1)^2 = u^2 + {v + (1/√2)}^2 ≧ {v + (1/√2)}^2,
　(1-x)^2 + y^2 = (1/2)(x+y-1)^2 + (1/2)(x-y-1)^2 = u^2 + {v - (1/√2)}^2 ≧ {v - (1/√2)}^2,
よって
　√[x^2 + (1-y)^2] ≧ |v + (1/√2)|,
　√[(1-x)^2 + y^2] ≧ |v - (1/√2)|,
辺々たす。
　(与式) ≧ |(1/√2) - (-1/√2)| = √2,

>>418
y=√x は上に凸だから
　√b + √c ≦ 2√{(b+c)/2} = √{2(b+c)},
　√c + √a ≦ 2√{(c+a)/2} = √{2(c+a)},
　√a + √b ≦ 2√{(a+b)/2} = √{2(a+b)},
よって a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおくと
　(左辺) ≦ 3√{2(b+c)(c+a)(a+b)}
　= 3√{2(st-u)}
　≦ 3√{2(st-u + F_1)}
　= 3√{2(s^3 -3st +8u)}
　= 3√{2(a^3 + b^3 + c^3 + 5abc)},
ここに F_1 = s^3 -4st +9u ≧ 0,
ジャマイカ?

>>427
　u軸の彼方から観察した”射影”ぢゃね？

>>426 の証明をお願いします

>>426,430

Max{|a(j)|^(1/j); 1≦j≦m} = M とおくと
　|Σ[j=1,m] a(j)･z^(m-j)| ≦ Σ[j=1,m] |a(j)|･|z|^(m-j)
　≦ Σ[j=1,m] M^j |z|^(m-j)
　= {M/(|z|-M)}{|z|^m - M^m}　　　　　　　　(|z|≠M)
　≦ {M/(|z|-M)}|z|^m,
いま |z| > 2M と仮定すると、
　M/(|z|-M) < 1
となり、題意を満たさない。
∴　題意を満たす根zに対して |z| ≦ 2M.

|z| > 2M の仮定のタイミングがおかしくないかい？

| x | < π / 2 のとき

cosh x ≦ sec x

>>433
cosh x * cos x ≦ 1
微分して楽勝

誰と戦ってるんだ

>>435
見えざる敵

>>435
数学との戦い

x,y,z＞0のとき
x^3+y^3+z^3+3xyz≧xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)
の成立をx,y,zについての不等式による場合分けをせず示せ．

愚問

そやけどねぇ、こんな感じの大学受験問題やったかな、
大昔にどっかで見た事がありますよ。
コレを愚問っちゅうんだったらですね、
それこそ大学入試問題なんて総崩れじゃないですかね。

大学入試なんて止めないとアキマセンがな！！
そやけんどそんな事は出来ひんやろ！
そやし、どないすんねん？

>>438
相乗平均相加平均より
xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)≧6xyz
よって
x^3+y^3+z^3+3xyz-xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)≧x^3+y^3+z^3-3xyz
=(1/2)(x+y+z){(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}≧0
から題意の不等式を得る

そんな愚問か？

途中の不等号逆じゃね？

あーホントや

444

>>433
　cosh(x) = (1/2){exp(x) + exp(-x)},
　cos(x) = (1/2){exp(ix) + exp(-ix)},
　cosh(x) * cos(x) = (1/4){exp((1+i)x) + exp((1-i)x) + exp(-1+i)x) + exp((-1-i)x)},
ところで
　exp(ax) = Σ[k=0,∞) {(a^k)/k!} x^k,
であった。
　1±i = (√2)exp(±(π/4)i),
　-1干i = (-1)･{　〃　},
より
　(1+i)^k + (1-i)^k = 2^(k/2)*{exp((kπ/4)i) + exp(-(kπ/4)i)} = 2^(1 + k/2)･cos(kπ/4),
　(-1-i)^k + (-1+i)^k = (-1)^k･{　〃　},
辺々たして
　(1+i)^k + (1-i)^k + (-1-i)^k + (-1+i)^k = {1+(-1)^k}･2^(1 + k/2)･cos(kπ/4),
　　= 4 * 2^(k/2) (-1)^(k/4)　　　{kが4の倍数 or 0 のとき}
　　= 0,　　　　　　　　　　　　　{その他}
　cosh(x) * cos(x) = Σ[j=0,∞) (-1)^j {(4^j)/(4j)!} x^(4j)
　　= 1 - (1/6)x^4 + (1/2520)x^8 - (1/7484400)x^12 + (1/81729648000)x^16･･････,
交代級数となるから 2項づつまとめて
　cosh(x) * cos(x) = 1 - (1/6){1 - (1/420)x^4}x^4 - (1/7484400){1 - (1/10920)x^4}x^12 - ･････
　< 1,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(|x|<π/2)

微分しなくても楽勝

微分方程式 y "" = -4y　の解

0≦b≦1-a^2,0≦q≦1-p^2のとき
(a-p)^2+(b-q)^2の最大値を求める

>>446

問題それであってるの？

（わかりやすいように、bx ,q=>yっておきかえると
0<=x<=1-a^2, 0<=y<=1-p^2のときの、
）



最初に、a,pを定数とみなして,x,yを変数とみなすと、

あ、とちゅうで送信してしもうた。

＝＝＝＝

bをx,qをyって書き換えると、
0<=x<=1-a^2, 0<=y<=1-p^2 のときの
(x-y)^2+(a-p)^2の最大値を求めればいい。

a,bを定数とまずみなすと、
xy平面で、x-yの最大値が分かる（そのときのa,pの値もわかる）
だから、(x-y)^2+(a-p)^2 の最大値も分かる（そのときのa,pの値もわかる）
あとは、a,pの計算。

typo

＞a,bを定数とまずみなすと、

じゃなくて、
a,p...

そう簡単にはいかないでしょ

>>446
　|a|=A, |p|=P とおく。

・0 ≦ A ≦ P ≦ 1 のとき
　(与式) ≦ (a-p)^2 + (1-a^2)^2　　　(等号は b=1-a^2, q=0 のとき)
　　　≦ (1+A)^2 + (1-A^2)^2　　　(等号は p=-Sgn(a) のとき)
　　　= 4 -(1-A)(2 +A^2 +A^3)
　　　≦ 4,　　　　　　　　　　　　　(等号は A=1 のとき)

・0 ≦ P ≦ A ≦ 1 のとき
　(与式) ≦ (a-p)^2 + (1-p^2)^2　　　(等号は b=0, q=1-p^2 のとき)
　　　≦ (1+P)^2 + (1-P^2)^2　　　(等号は a=-Sgn(p) のとき)
　　　= 1 - (1-P)(2 +P^2 +P^3)
　　　≦ 4,　　　　　　　　　　　　(等号は P=1 のとき)

正5角形の辺上に3点A,B,Cをとる
△ABCの面積が最大となるには
3点A,B,Cをどのようにとればよいか

>>452
簡単な例文。

【ステロイド抜けたらガリガリで横チンを公共電波に晒したり
　土俵に力水はいたり尻の穴ほじくった手でツッパリして相手をひるませたり
　自分で隠し持っていた山響株を兄が盗んだと騒いだりする】

より

【子供たちとの草サッカー】

の方が力士としての品格に欠け極悪であるとされてしまう知的土人のまじない師どもが日夜アホダラ教を唱えるサル・パラダイス日本

>>452
{A,B,C}のうち1点Xのみを動かそう。Xと両隣の点(Y,Z)が作る3角形XYZの面積は
　△XYZ = YZ * (XのYZからの高さ),
Xは多角形の辺上を動くから、高さのが最大になるのはXが頂点にあるとき。
∴　Xは頂点にあるとしてよい。
他の点についても同様。
本問では 正5角形だから
　{A,B,C} = {2π/5,2π/5,π/5} のとき

訂正
　△XYZ = YZ * (XのYZからの高さ) ／２,

　{A,B,C} = {3π/5,π/5,π/5}　もあるが、>>454 より小さい。

>>453
　唱えるならアホダラ経ぢゃね？

http://dictionary.goo.ne.jp/leaf/jn/4702/m0u/あほ/
http://dic.yahoo.co.jp/dsearch?p=あほだらきょう
http://love.ap.teacup.com/ondodouraku/237.html
http://www.sutemaru-manzai.com/geino/aho/index.html

2n+1角形に拡張出来そうでつね

(1)
0<x<e，α=e-x，β=e+x
α^βとβ^αどちらが大きいか

(2)
0<x<1，α=ex，β=e/x
α^βとβ^αどちらが大きいか

0<df(x)/dx<f(x)<∫_(-1,x) f(t)dt, (x∈(-1,1))となるf∈C^1(-1,1)

0<f
かつ
f∈C^1(-1,1)
ならば
0<f<∫_(-1,・) f(t)dt
は自明だから
0<df/dx<f
さえ満たせば良い
従って
解全体の集合∈{f∈C^1(-1,1)|0<f<e^x}
であり
逆に
{f∈C^1(-1,1)|0<f<e^x}
に属する関数は
0<df/dx<f<∫_(-1,・) f(t)dt
を満たすから
解全体の集合={f∈C^1(-1,1)|0<f<e^x}

>>460
＞0<f かつ f∈C^1(-1,1) ならば 0<f<∫_(-1,・) f(t)dt は自明だから
これは間違い。f<∫_(-1,・) f(t)dtという不等式は
「グラフの高さ＜グラフの面積」という不等式なので、
原点でのグラフの高さに比べて面積が異常に小さい関数を
選べば、x＝0においてこの不等式は破綻する。
実際、a＞0としてf(x)＝e^(-x^2/a)とおけば、aが十分小さいとき
f(0)＜∫_(-1,0) f(t)dt が成り立たないことが証明できる。

〔問題〕(Shapiro-type)
正の数 a_k に対して次を示せ。
　a_1/(a_2+a_3) + a_2/(a_3+a_4) + ･･････ + a_n/(a_1+a_2) ≧ n/2.6

･ご参考
　n/3　[初代スレ.497(2), 501-502]
　n/4　[ASU, 1969.14]

>>462

(略証)
問題の左辺をＳとおく。 [初代スレ.501] より
　a/(b+c) + 2b/(c+d) - {(a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+d) -1} = (b^2 +cd)/[(b+c)(c+d)],
　b/(c+d) + 2c/(d+e) - {(b+c)/(c+d) + (c+d)/(d+e) -1} ＞ (c^2)/[(c+d)(d+e)],
それぞれ 0.3 と 0.7 を掛けて加えると、
　0.3a/(b+c) + 1.3b/(c+d) + 1.4c/(d+e) - {0.3(a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+d) + 0.7(c+d)/(d+e) -1}
　> 0.3(b^2 +cd)/[(b+c)(c+d)] + 0.7(c^2)/[(c+d)(d+e)]
　> {0.3(b^2 +cd)d + 0.7(b+c)c^2}/[(b+c)(c+d)(d+e)]
　> {(0.2b^2 + 0.3cd)d + (0.4b + 0.7c)c^2}/[(b+c)(c+d)(d+e)]
　= {0.4c(b+c)(c+d) + 0.2(b-c)^2･d + 0.3c(c-d)^2}/[(b+c)(c+d)(d+e)]
　>　0.4c(b+c)(c+d)/[(b+c)(c+d)(d+e)]
　=　0.4c/(d+e),
∴　0.3a/(b+c) + 1.3b/(c+d) + c/(d+e) ＞ 0.3(a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+d) + 0.7(c+d)/(d+e) -1,
循環的に加えて
　2.6Ｓ > (0.3 + 1 + 0.7)Σ[k=1,n] (a_k +a_{k+1})/(a_{k+1} +a_{k+2}) - n
　　　> (0.3 + 1 + 0.7)n - n　　　　　　(← 相加・相乗平均)
　　　= 2n - n = n.
∴ Ｓ > n/2.6
ぬるぽ

･Shapiro 巡回不等式 関連レス
　[第２章.284-285]
　[第３章.172-173, 218-220]

>>463
もっとギリギリの評価はありますか？

>>464
ギリギリかどうか知らないけど
　(462の左辺) > λ･n,
　λ = 0.4976175155670･･･
というのがあるらしい。

(求め方)
点(0,1)を通る2つの関数
　y1:　y = e^(-x),
　y2:　y = 2/{e^x + e^(x/2)},
の function convex hull (共通接線?) を曳く。
　y = φ(x) = φ(0) + m･x,
　m = -0.903980192855258
　λ = (1/2)φ(0) = 0.4976175155670･･･
　y1 との接点は (log(-m), -m)
　y2 との接点は (-0.524821743429450･･･, 1.469663491974050･･･)

http://mathworld.wolfram.com/ShapirosCyclicSumConstant.html

>>464
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4778803086/
元ギリギリ...

>>465
サンクス．
直観的にはn＝0.5とかいけそうですけど駄目なんでしょうね．

>>466
予想通り

>>468 = アホ

http://fc23.blog63.fc2.com/blog-entry-855.html

>>462 (改良版)

問題の左辺をＳとおく。 [初代スレ.501] より
　a/(b+c) + 2b/(c+d) - {(a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+d) -1} = (b^2 +cd)/[(b+c)(c+d)],
　b/(c+d) + 2c/(d+e) - {(b+c)/(c+d) + (c+d)/(d+e) -1} ＞ (c^2)/[(c+d)(d+e)],
それぞれ 5/14 と 9/14 を掛けて加えると、
　(5/14)a/(b+c) + (19/14)b/(c+d) + (9/7)c/(d+e) - {(5/14)(a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+d) + (9/14)(c+d)/(d+e) -1}
　> (5/14)(b^2 +cd)/[(b+c)(c+d)] + (9/14)(c^2)/[(c+d)(d+e)]
　> {(5/14)(b^2 +cd)d + (9/14)(b+c)c^2}/[(b+c)(c+d)(d+e)]
　> {(1/7)db^2 + (5/14)cd^2 + (4/7)bc^2 + (9/14)c^3}/[(b+c)(c+d)(d+e)]
　= {(3/7)c(b+c)(c+d) + (1/7)(bc^2 +cd^2 +db^2 -3bcd) + (3/14)c(c-d)^2}/[(b+c)(c+d)(d+e)]
　>　(3/7)c(b+c)(c+d)/[(b+c)(c+d)(d+e)]
　=　(3/7)c/(d+e),
∴　(5/14)a/(b+c) + (19/14)b/(c+d) + (6/7)c/(d+e) ＞ (5/14)(a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+d) + (9/14)(c+d)/(d+e) -1,
循環的に加えて
　(18/7)Ｓ > (5/14 + 1 + 9/14)Σ[k=1,n] (a_k +a_{k+1})/(a_{k+1} +a_{k+2}) - n
　　　> (5/14 + 1 + 9/14)n - n　　　　　　(← 相加・相乗平均)
　　　= 2n - n = n.
∴ Ｓ > (7/18)n = n/2.57143
ぬるぽ

自民：ぶれている
民主：柔軟/現実路線

自民：独裁だ/まるでヒトラー
民主：豪腕だ/リーダーシップがある

自民：統率力がない
民主：開かれている

自民：強行採決
民主：迅速採決

自民：劇場型選挙/刺客戦略
民主：高等な選挙戦術/上手い候補者選び

自民：派閥政治
民主：グループ（しかも緩やかな集まりでサークル活動みたいなもん・ｂｙ鳥越俊太郎）政治

自民：格差社会を象徴する首相私邸
民主：華麗なる一族

自民：閣内不一致
民主：閣内に温度差

同一直線上にn個の点A[k](1≦k≦n)がある
点Pが以下の位置にあるとき
ΣPA[k]が最小となるには点Pをどのようにとればよいか

(1)点Pが点A[k]と同一直線上にあるとき
(2)点Pが点A[k]と同一平面上にあるとき
(3)点Pが点A[k]と同一空間上にあるとき

正の実数 a ，b ，c に対し，不等式

3/2 < { ( 4a + b ) / ( a + 4b ) } + { ( 4b + c ) / ( b + 4c ) } + { ( 4c + a ) / ( c + 4a ) } < 9

が成り立つことを示せ．


凸六角形 ABCDEF の3本の対角線 AD ，BE ，CF はいずれの2本のなす角も60ﾟである．
このとき不等式

AB + BC + CD + DE + EF + FA ≧ AD + BE + CF

が成り立つことを示せ．

0 ≦ x , y , z≦ 1 のとき

{( x + y + z ) / 3 } + √ { x ( 1 - x ) + y ( 1 - y ) + z ( 1 - z ) }

の最大値を求めよ


四面体の六辺の積を L , 体積を V とおくとき

L / V ^ 2

の最小値を求めよ

>>472 (1)
　Pより右にあるA点の数 ＞ Pより左にあるのA点の数　⇒　Pを右へずらす。
　Pより右にあるA点の数 ＜ Pより左にあるのA点の数　⇒　Pを左へずらす。
したがって
　nが奇数のとき、P = A[(n+1)/2]　(Median)
　nが偶数のとき、線分 A[n/2]-A[n/2 +1] 上の点。

>>473 (上)
　1/4 + 15a/{4(a+4b)} = (4a+b)/(a+4b) = 4 - 15b/(a+4b),
　1/4 + (15/16)a/(a+b+c) < (4a+b)/(a+4b) < 4 - (15/4)b/(a+b+c),
循環的にたす。
　3/4 + 15/16 < (与式) < 12 - 15/4,

(便法)
　0<y≦x　⇒　1 ≦ (4x+y)/(x+4y) < 4,
　0<x≦y　⇒　1/4 < (4x+y)/(x+4y) ≦ 1,
から 3/2〜9。

>>474 (上)
　��(逆順序積) ≦ ��(乱順序積) より
　x(1-x) + y(1-y) + z(1-z) ≦ s(1-s/3),　　s=x+y+z,　0≦s≦3
∴ x=y=z (体対角線) 上で最大となる。
　(与式) = s/3 + √{s(1-s/3)}
　　　= (1/3){(s - 3/2) + √(s(1-s/3)) + √(s(1-s/3)) + √(s(1-s/3))} + 1/2
　　　≦ (2/3)√{(s - 3/2)^2 + 3･s(1-s/3)} + 1/2　　　(← コーシー)
　　　= (2/3)√(9/4) + 1/2
　　　= 1 + 1/2
　　　= 3/2,　
等号成立は s=9/4 のとき。

>>473 (上)
　1/4 + (15/4)a/(a+4b) = (4a+b)/(a+4b),
と
　a/(a+4b) + b/(b+4c) + c/(c+4a) - 3/5 = (4/5){7(a^2･b+b^2･c+c^2･a -3abc) + 8(ab^2 + bc^2 +ca^2 -3abc)}/{(a+4b)(b+4c)(c+4a)} ≧0,
から
　3/4 + (15/4)(3/5) ≦ (与式),
　3 ≦ (与式),
等号成立は a=b=c のとき。

>>473　(下)
　ADとBEの交点をXとする。
　頂点A,Bから ∠AXB = 60ﾟ の二等分線に垂線をおろし、A-Ha, B-Hb とする。
　AHa = AXsin(30ﾟ), BHb = BX･sin(30ﾟ),
　AB > AHa + BHb = (AX + BX)sin(30ﾟ) = (AX + BX)/2　　･････････ (*)
同様に
　DE > (DX + EX)/2,
∴　AB + DE > (AX + DX)/2 + (BX + EX)/2 = (AD + BE)/2,
同様に
　BC + EF > (BE + CF)/2,
　CD + FA > (CF + DA)/2,
辺々たすと求める式を得る。

*別法
　AB^2 = AX^2 + BX^2 -AX･BX = (1/4)(AX + BX)^2 + (3/4)(AX - BX)^2 ≧ (1/4)(AX + BX)^2,
　AB ≧ (1/2)(AX + BX),

区間 [ 0 , 1 ] 上の任意の連続関数 f ( x ) に対して , さらに f ( x ) > 0 を満たすとき

∫ [ 0 , 1 ] log f(x) dx と log ∫ [ 0 , 1 ] f ( x ) dx

の大小を比較せよ


実数上で定義され , 実数に値をとる , 2次までの連続な導関数をもつ関数 f ( x ) が条件

f ' ' ( x ) ≧ f ( x ) ( - ∞ < x < + ∞ )

を満たす . このとき

f ( x ) ≧ f ( 0 ) cosh ( x ) + f ' ( 0 ) sinh ( x ) ( x ≧ 0 )

f ( x ) ≦ f ( 0 ) cosh ( x ) + f ' ( 0 ) sinh ( x ) ( x ≦ 0 )

となることを示せ


全ての実数 x に対して

x ^ 4 - x ^ 3 + x ^ 2 - x + ( 21 / 64 ) > 0

となることを示せ

>>478
真中

{f’(x)＋f(x)}’≧f’(x)＋f(x)，{f’(x)−f(x)}’≧−{f’(x)−f(x)}
g(x)＝f’(x)＋f(x) ，h(x)＝f’(x)−f(x) とおくと
{e^(-x) g(x)}’＝e^(-x) {g’(x)−g(x)}≦0，{e^x h(x)}’＝e^x {h’(x)＋h(x)}≧0
x≧0 のとき
e^(-x) g(x)−g(0)≧0，e^x h(x)−h(0)≦0 ⇔ g(x)≧e^x g(0)，−h(x)≧−e^(-x) h(0)
f(x)＝(g(x)−h(x))/2
≧[e^x {f’(0)＋f(0)}−e^(-x) {f’(0)-f(0)]]/2
＝f(0) cosh(x)＋f’(0) sinh(x)
x≦0 のときも同様。

簡単でないかい？

>>478
下

f(x)＝x^4−x^3＋x^2−x＋21/64 とおく
f'(x)＝4x^3 - 3x^2 + 2x - 1，f''(x)＝12x^2−6x＋2＞0
より f(x) の極値は 極小値 1個のみ
x＝a で極小値をとるとすると
f'(0.6)＜0＜f'(0.61) より 0.6＜a＜0.61
f(a)＝(a/4-/16) f'(a)＋5a^2/16-5a/8+17/64＝5a^2/16-5a/8+17/64
g(x)＝5x^2/16-5x/8+17/64 とすると g(x) は0＜x＜1 で単調減少
g(0.61)＞0 より g(a)＞0

>>478 (上)
(略証)
　(k-1)/n ≦ x_k ≦ k/n とする。
相乗･相加平均より
　　{Π[k=1,n] f(x_k)}^(1/n) ≦ (1/n)�納k=1,n] f(x_k),
�凅 = 1/n として、
∴　�納k=1,n] log{f(x_k)}�凅 ≦ log{�納k=1,n] f(x_k)�凅},
ここで n→∞ (�凅→0) とする。

>>480
(蛇足)
　f '(x) = 4x^3 -3x^2 +2x -1 = 4X^3 +(5/4)X -(5/8),
ここに X = x - 1/4,
　a = (1/4){1 + [(20/9)√6 +5]^(1/3) - [(20/9)√6 -5]^(1/3)}
　　= 0.6058295861882680209909387311570･･･

>>478 (下)
　X = x - 1/4 とおく。
　(左辺) = x^4 - x^3 + x^2 - x + (21/64)
　　　= X^4 + (5/8)X^2 - (5/8)X + (33/256)
　　　= (X^2 - 1/8)^2 + (7/8)X^2 - (5/8)X + (33/256)
　　　= (X^2 - 1/8)^2 + (7/8)(X - 5/14)^2 + (3/1792)
　　　> 3/1792,

感嘆で内科医？

>>478 (下)

y=f(x) は下に凸で、ただ1つの極小点aは 0.6<a<0.61　　　>>480

･ x≦0.605 のとき
　x=0.6 で接線をひく。
　f(x) ≧ f(0.6) + f '(0.6)･(x-0.6)
　　　　= 0.001725 - 0.016(x-0.6)
　　　　≧ 0.001645

･ x≧0.605 のとき
　x=0.61 で接線をひく。
　f(x) ≧ f(0.61) + f '(0.61)･(x-0.61)
　　　　= 0.00170241 + 0.011624(x-0.61)
　　　　≧ 0.00164429

>>482
　肝胆で内科医
　邯鄲で無い海

>>480

f(x) の最小値は
　f(a) = g(a) = 0.001678223476410008900477133721940･･･

x を正の実数 , n を正の整数とするとき

[ nx ] > Σ [ k = 1 , n ] ( [ kx ] / k )

となることを示せ
ただし , [ x ] は x を超えない最大の整数を表す

>>472
(2)は某所に答えあった

>>485

n=1のとき、
左辺も右辺も両方とも、[x]になって、

[x] > [x] ・・・＞ありえない。

になってしまうんだけど・・・自分の勘違い？

>>472

(3)って、かんたんに(2)に帰結できるきが。。。

四面体の六辺の積を L , 体積を V とおくとき

L / V ^ 2

の最小値を求めよ


x を正の実数 , n を正の整数とするとき

[ nx ] ≧ Σ [ k = 1 , n ] ( [ kx ] / k )

となることを示せ
ただし , [ x ] は x を超えない最大の整数を表す

>>489
前半は入試問題

実数x,yが x≧0, y≧0, x^6+y^5≦x^5+y^4
を満たすとき、x^5+y^5≦2を示せ。

I＝[0，1]，f(x) ∈ C^2 (I) とするとき，次の不等式が成り立つことを示せ．

( max [I] | f’(x) | )^2 ≦ M ( max [I] | f(x) | ) ( max [I] | f(x) | ＋ max [I] | f”(x) | )

ただし，M は f に無関係な定数とする．

>>490
大数の宿題


宮川ダイスケ ◆jcXETTeIVg…Ｆランク。自称30歳東大文学部中退の理�T志望。
空気の読めなさならお前がナンバーワンだっ!!

空気の読めなさやったらワシの方が上じゃろうなァ
何でかっちゅうとやねェ、ワシは空気を読むんを
わざと放擲してるからや。

空気を読むっちゅうんはオリジナリティの最大の
敵やからな。

猫

>>491

相加･相乗平均より {あるいは >1 と <1 で場合分けして}
　1 +5x^6 -6x^5 = (1-x)^2 (1+2x +3x^2 +4x^3 +5x^4) ≧ 0,
　1 +4y^5 -5y^4 = (1-y)^2 (1+2y +3y^2 +4y^3) ≧ 0,
よって
　x^5 = 1 + (x-1)(x^4 + x^3 + x^2 +x +1) ≦ 1 + 5(x-1)x^5 = 1 + 5(x^6 -x^5),
　y^5 = 1 + (y-1)(y^4 + y^3 + y^2 +y +1) ≦ 1 + 5(y-1)y^4 = 1 + 5(y^5 -y^4),
辺々たすと
　x^5 + y^5 ≦ 2 + 5(x^6 -x^5 + y^5 -y^4) ≦ 2,　　　　　(← 題意)

>>495

同じことだが、
　x-1 ≦ (x-1)x ≦ (x-1)x^2 ≦ (x-1)x^3 ≦ (x-1)x^4 ≦ (x-1)x^5,
　y-1 ≦ (y-1)y ≦ (y-1)y^2 ≦ (y-1)y^3 ≦ (y-1)y^4,
よって
　x^5 ≦ 1 + 5(x^6 -x^5),
　y^5 ≦ 1 + 5(y^5 -y^4),
辺々たす、だな。フムフム･･･

>>489 (下)

S_k = [kx] - (2/(k+1))･([x] + [2x] + …… + [kx])
　　= (1/(k+1))･Σ(j=0,k) ([kx] - [jx] - [(k-j)x])
　　≧ 0,
とおくと

(左辺) - (右辺) = [nx] - Σ(k=1,n) [kx] /k
　　= … …
　　= (1/(n+1))Σ(k=0,n) ([nx] - [kx] - [(n-k)x]) + Σ(0<i+j≦n) (2/(i+j)(i+j+1))([(i+j)x] - [ix] - [jx])
　　= S_n + Σ(k=1,n) S_k /k
　　≧ 0,
ぬるぽ

>>497
【補題】
　[y+z] ≧ [y] + [z],

(略証)
　y = [y] + {y},
　z = [z] + {z},
∴　[y+z] = [y] + [z] + [{y}+{z}] = [y] + [z] + (0 or 1),

>>496
　x^5 = (x-1)x^4 + (x-1)x^3 + (x-1)x^2 + (x-1)x + (x-1) + 1 ≦ 1 + 5(x-1)x^5,
　y^5 = (y-1)y^4 + (y-1)y^3 + (y-1)y^2 + (y-1)y + (y-1) + 1 ≦ 1 + 5(y-1)y^4,
だな。

R上の任意の2数x,yについて,x>yならばx≦yとなり得ない事を示せ

って宿題が出ました
どこをどう示せばいいか分かりません

>>500
x>yである順序対(x,y)全体の集合をA、x≦yである順序対(x,y)全体の
集合をBとおいて、A∩B=空集合を示せばいいのでは

I＝[0，1]，f(x) ∈ C^2 (I) とするとき，次の不等式が成り立つことを示せ．
( max [I] | f’(x) | )^2 ≦ M ( max [I] | f(x) | ) ( max [I] | f(x) | ＋ max [I] | f”(x) | )
ただし，M は f に無関係な定数とする．


四面体の六辺の積を L , 体積を V とおくとき L / V ^ 2 の最小値を求めよ

同一直線上にn個の点A[k](1≦k≦n)がある
点Pが以下の位置にあるとき
ΣPA[k]が最小となるには点Pをどのようにとればよいか
(2)点Pが点A[k]と同一平面上にあるとき
(3)点Pが点A[k]と同一空間上にあるとき

(1)
0<x<e，α=e-x，β=e+x
α^βとβ^αどちらが大きいか
(2)
0<x<1，α=ex，β=e/x
α^βとβ^αどちらが大きいか

f(x),f'(x),f''(x),g(x)は連続でf''(x)≧0とする
(∫[a,b]f(g(x))dx)/(b-a)≧f((∫[a,b]g(x)dx)/(b-a))

α＝ｅ＾π、β＝π＾ｅとする
ｅ＾α、ｅ＾β、π＾α、π＾βの大小関係を答えよ

p>1 なる実数に対して、以下の不等式を示せ：
∫_[0-->∞] p/(t^p +1) dt ≦ π/ sin (π/p).

F,Gを[0,1]→[0,1]を満たす実連続関数であるとし、Fを単調増加関数であるとする。
∫[0,1] F(G(x))dx ≦ ∫[0,1] F(x) dx + ∫[0,1] G(x) dxを示せ

＞F,Gを[0,1]→[0,1]を満たす実連続関数であるとし、Fを単調増加関数であるとする。
＞∫[0,1] F(G(x))dx ≦ ∫[0,1] F(x) dx + ∫[0,1] G(x) dxを示せ

0≦x≦1とする。t∈[x,1]のときF(x)≦F(t)だから、両辺をxから1までtで積分して

(1−x)F(x)≦∫[x,1]F(t)dt

が成り立つ。変形してF(x)≦xF(x)＋∫[x,1]F(t)dt となる。F≧0だから
∫[x,1]F(t)dt≦∫[0,1]F(t)dtであり、また、x≧0，F(x)≦1よりxF(x)≦x
である。これらを用いて

F(x)≦x＋∫[0,1]F(t)dt

を得る。これは任意のx∈[0,1]で成り立つから、(Gの値域)⊂[0,1]であることから
x＝G(y)，y∈[0,1] と置いても上の不等式は成り立つ。つまり

F(G(y))≦G(y)＋∫[0,1]F(t)dt

が任意のy∈[0,1]で成り立つ。この不等式をyで0から1まで積分すればよい。

＞I＝[0，1]，f (x) ∈ C^2 (I) とするとき，次の不等式が成り立つことを示せ．
＞( max [I] | f’(x) | )^2 ≦ M ( max [I] | f (x) | ) ( max [I] | f (x) | ＋ max [I] | f”(x) | )
＞ただし，M は f に無関係な定数とする．

簡単のためA＝max [I] | f (x) |，B＝max [I] | f ' ' (x) |とおく。
A＝0のときはf≡0だから、既に成り立っている。以下、A≠0とする。

a∈[0,1]を任意に取り、固定する。各x∈[0,1]に対して、適当なθ＝θ(x)があって
f (x)＝f (a)＋f ' (a)(x−a)＋f ' ' (θ)(x−a)^2/2
とできる。x≠aのとき、両辺を(x−a)で割って変形して
f ' (a)＝(f (x)−f (a))/(x−a)−f ' ' (θ)(x−a)/2
となるから、特に|f ' (a)|≦2A/|x−a|＋B|x−a|/2となる。
ここで更にt＝|x−a|/2 とおけば

|f ' (a)|≦A/t＋tB　…(*)

となる。aを固定したままでxを[0,1]−{a}の範囲で任意に
動かすとき、tの動く範囲は

0＜t＜1　　　　　　　　　　 (a＝0,1)
0＜t≦max{ |a| , |1−a| }/2　(a≠0,1)

である。a≠0,1の場合については、簡単な議論によって
1/4≦max{|a|,|1−a|}/2であることが言えるので、結局、tは少なくとも
0＜t≦1/4の範囲を動くことになる。また、a＝0,1の場合は、tは0＜t＜1の
範囲を動くから、tは当然0＜t≦1/4の範囲も動く。よって、いずれの場合も、
tは少なくとも0＜t≦1/4の範囲を動く。

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
訂正します(＾o＾)

aを固定したままでxを[0,1]−{a}の範囲で任意に
動かすとき、tの動く範囲は
0＜t≦1/2　　　　　　　　　　 (a＝0,1) 　　　(←これが正しい)
0＜t≦max{ |a| , |1−a| }/2　(a≠0,1)
である。
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

504の続き：
そこで、t＝(1/4)*√{A/(A＋B)} と置いてみる。このtは0＜t≦1/4
を満たしている(A≠0だからt≠0であることに注意)ので、このtに対して
(*)が成り立つ。このとき

(*)の右辺＝4√{A(A＋B)}＋(1/4)B√{A/(A＋B)}
　　　　　　≦4√{A(A＋B)}＋(1/4)(A＋B)√{A/(A＋B)}
　　　　　　＝(4＋1/4)√{A(A＋B)}

となるので、結局、|f ' (a)|≦(4＋1/4)√{A(A＋B)}…(**)となる。
これが任意のa∈[0,1]で成り立つから、max [I] | f’(x) |≦(4＋1/4)√{A(A＋B)}
となり、両辺を2乗して題意の不等式を得る。

>>504-505
流石にこのスレはレベルが高いですね．
t＝(1/4)*√{A/(A＋B)} 辺りが肝だと思いますが，
どうやって思いついたのですか？
とりあえず 2A/|x−a|＋B|x−a|/2 のうちどちらを const.√{A(A＋B)}
の形にするかで，前者を選んだと言うことでしょうか？

>>504-505 さんの解答をほとんど同じですが，より平易に書いて見ました．
文字は>>504-505 さんのものを使用します．

x，a∈[0，1]，a を固定し x≠a とする．

{f(x)−f(a)}/(x−a)＝f’(c) となる c が x と a の間に存在
|f’(c)|≦( |f(x)|＋|f(a)| )/|x−a|≦2A/|x−a|．．．�@

f’(c)−f’(a)＝∫[a，c]f”(t)dt より
|f’(a)|≦|f’(c)|＋|∫[a，c]f”(t)dt|≦|f’(c)|＋|c−a| B≦|f’(c)|＋B|x−a| ．．．�A

�@，�A より |f’(a)|≦2A/|x−a|＋B|x−a| ．．．�B

( i ) 0≦a≦1/2 のとき
x＝a＋(1/2)√{A/(A＋B)} とおくと 0≦x≦1 で �B より
|f’(a)|≦4)√{A(A＋B)}＋(1/2)B√{A/(A＋B)} ≦(4＋1/2)√{A(A＋B)}
( ii ) 1/2≦a≦1 のとき
( i ) とまったく同様

>>506
＞どうやって思いついたのですか？
この問題は、以前読んだ数学書に書いてあった不等式そのもので、
証明も載ってた。それを引っ張ってきただけ(＾o＾)
ただし、その本では(偶然にも)>>507と全く同じやり方で
やっていて、個人的にはこのやり方は気に食わない。
何で気に食わないかと言うと、(*)の不等式への道筋が
見えにくいから。でも、テーラー展開しておけば一瞬で見える。
それで、504〜505の形で書いた。


＞t＝(1/4)*√{A/(A＋B)} 辺りが肝だと思いますが，
何も分かってない！そこは肝でも何でもない。
表面的な技巧に目が行って本質が見えてない。

504〜505では、行数の節約のために、本にならって
t＝(1/4)*√{A/(A＋B)}と置いたが、こんな技巧的な操作は
本来は必要なくて、(*)まで行ければ何をしたって証明できる。
つまり、肝は(*)の不等式だ。

もし(*)の不等式でtが実数全体を動けるなら、t＝√(A/B) と置けば

||f ' ||^2≦ 4||f ||*||f ' ' ||　…(★)

という(より強い)不等式が示せる。t＝√(A/B)と置く理由は、
相加相乗平均から。
あるいは、(*)の不等式の両辺にtをかけて整理すれば

Bt^2−|f ' (a)|t＋A≧0

と変形できるので、tが実数全体を動けるなら、(判別式)≦0 を計算して
同じく(★)の不等式が得られる。
ここまで来ればもう分かると思うが、この手法はコーシー・シュワルツの
不等式の証明と同じものなのだ。そういう理解をしなければいけない。
ある文字について二次の多項式になっていれば、そこには
コーシー・シュワルツの手法が使える可能性があるのだ。

今回は、f(x)をaのまわりで2次までテイラー展開すれば、
「|x−a|」 について二次の多項式になっているのだ。
しかし、>>507の書き方だと、二次の多項式で書けることが
見えないのだ。

で、一応
＞(*)まで行ければ何をしたって証明できる。(>>508)
の詳細も書いておく。

今回問題となるのは、tは実数全体を動けるわけでは無いということ。
ならば、普通に(*)の右辺の最小値を泥臭く計算すればいい。

g(t)＝A/t＋Bt と置くと、(*)の不等式は|f ' (a)|≦g(t) と書ける。
以下、簡単のためB≠0とする。

√(A/B)≦1/4のとき：
0＜t≦1/4におけるg(t)の最小値は2√(AB)　(t＝√(A/B))
なので、このtを(*)に代入して|f ' (a)|≦2√(AB)
となり、よって(★)の不等式を得る。

√(A/B)＞1/4のとき：
0＜t≦1/4におけるg(t)の最小値は4A＋B/4 (t＝1/4)なので、
t＝1/4を(*)に代入して|f ' (a)|≦4A＋B/4 を得る。
あとは、4A＋B/4≦C√{A(A＋B)} を満たす定数Cが存在することが言えればよい。
変形して(4A＋B/4)/√{A(A＋B)}≦Cとなるから、要するに左辺が有界ならよい。
で、√(A/B)＞1/4だったからB＜16Aであり、

(4A＋B/4)/√{A(A＋B)}＜(4A＋4A)/√{A(A＋B)}＝8√{A/(A+B)}≦8

となって、C＝8と置けばいい。
(B＝0の場合が残っているが、これも泥臭く計算すれば出る。)

質問です

任意の実数ｘ、ｙ、ｚに対してつねに　ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２−２ｐｘｙ−２ｑｙｚ−２ｒｚｘ≧０
となるための、ｐ、ｑ、ｒについての条件を求める


ｐ、ｑ、ｒは与えられた正数とする。任意の実数ｘ、ｙ、ｚに対してつねに
ｐ√（ｘ＾２＋ｙ＾２）＋ｑ√（ｙ＾２＋ｚ＾２）＋ｒ√（ｚ＾２＋ｘ＾２）≦Ｋ√（ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２）
が成立する定数Ｋの最小値を求める（コ−シー・シュワルツの不等式を使わずに）


ｐ、ｑ、ｒは与えられた実数で、ｐｑ＋ｑｒ＋ｒｐ＞０かつ（ｐ＋ｑ）（ｑ＋ｒ）（ｒ＋ｐ）≠０とする
任意の実数ｘ、ｙ、ｚに対してつねに
（ｐｘ＋ｑｙ＋ｒｚ）＾２＋Ｋ（ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２−２ｘｙ−２ｙｚ−２ｚｘ）≧０
が成立する最大な正数Ｋをｐ、ｑ、ｒで表す


お願いします

「より平易に」と書いてあるように，高校の範囲で解けるようにという意図がありました．
平均値もテーラー展開も本質的には同じで，みえやすさにそれほど大差はないと思います．
|f ' (a)|≦A/t＋tB　の評価が肝だとも書かれていますが，これは，平均値やテーラー展開を
使う限り自ずと出てくるものだと思います．
|f ' (a)|≦A/t＋tB　がでて来ればおっしゃるとおり泥臭くやれば，2次関数の問題に帰着され
結果的に解けます．
僕が興味を持ったのは，それらの事を踏まえた上で，何故唐突に t＝(1/4)*√{A/(A＋B)}
という値が出てきたか知りたかった訳です．
後，、｢|f ' (a)|≦A/t＋tB まで行ければ何をしたって証明できる。｣とありますが，
|f ' (a)|≦A/t＋tB の時点で評価が甘くなっているリスクがまったくないとは言えないとも
思いますが．

僕個人では，A/t＋tB≦C√{A(A＋B)} を示すのに，t は上限があり，
いくらでも小さくなれるので，
A/t を まず C√{A(A＋B)} で上から評価するために，t＝p√{A/(A＋B)} といて
（p は後から調整） という発想からでたものかと思っていました．

>>512
＞「より平易に」と書いてあるように，高校の範囲で解けるようにという意図がありました.
個人的には、それは平易とは思わない。使われているツールは
原始的(＝平易)かもしれないが、それが証明の見通しのよさに
繋がるとは限らない。


＞|f ' (a)|≦A/t＋tB の時点で評価が甘くなっているリスクがまったくないとは言えないとも思いますが．
それは俺の書き方が悪かったかもしれない。
少なくともt＝(1/4)*√{A/(A＋B)}を(*)に代入すれば題意の不等式は
出るのだから、(*)の時点で評価が甘いということは無いわけだ。
これを踏まえた上で「何をやっても証明できる」と書いた(天下り的な感じ)。

>>376, >>502(7)
　1/(t^p + 1) = x　とおくと、
　t = (1/x - 1)^(1/p),
　p･dt = (-1/x^2)(1/x - 1)^(1/p - 1) dx,

　(左辺) = ∫[0,1] (1/x)(1/x -1)^(1/p -1) dx
　　= ∫[0,1] x^((1 -1/p)-1) (1-x)^(1/p -1) dx
　　= Ｂ(1 -1/p, 1/p)
　　= Γ(1 -1/p)Γ(1/p) / Γ(1)
　　= π/sin(π/p),

等式の希ガス…

>>406 , >>502(5)

　x_0 =a, x_n =b, x_i - x_(i-1) = �凅_i >0, ととる。
f "(x) ≧ 0 だから、Jensenの不等式より
　Σ[i=1,n] f(x_i)�凅_i /(b-a) ≧ f( Σ[i=1,n] f(x_i)�凅_i /(b-a) ),
ここで Max{|�兩i|; 1≦i≦n} → 0　を満たすように n→∞ とする。

(応用例)
　>>478 (上), >>481

>>516　訂正…

　Σ[i=1,n] f(g(x_i))�凅_i /(b-a) ≧ f( Σ[i=1,n] g(x_i)�凅_i /(b-a) ),

>>472 , >>502 [3]

点Pが問題の直線の外にあるときは、最小にならない希ガス。
∵　点Pからこの直線に下ろした垂線をPQとすれば、 PA[k] > QA[k] となるから。

∴　(2),(3) も結局 (1) に帰着され、>>475 と思われまする。

x,y≧0,x+y=1のとき

(x^5+y^5)/(x^3+y^3)の最大値最小値を求めよ。

>>514
いきなりの t＝(1/4)*√{A/(A＋B)} のびっくりしましたが，熊ノ郷先生の発案でしたか。

>>519
　4(x^5 +y^5) = 2(x^2 +y^2)(x^3 +y^3) + 2(x^2 -y^2)(x^3 -y^3)
　　≧ 2(x^2 +y^2)(x^3 +y^3)
　　= (x+y)^2･(x^3 +y^3) + (x-y)^2･(x^3 +y^3)
　　≧ (x+y)^2･(x^3 +y^3),
最小値 1/4,　等号成立は x=y のとき。

　(x+y)^2･(x^3 +y^3) - (x^5 + y^5) = xy(2x^3 +x^2･y +x･y^2 +2y^3) ≧ 0,
最大値 1,　等号成立は xy=0 のとき。

>>519

〔類題〕
x,y≧0、0≦m≦n のとき

　{(x+y)/2}^(n-m) ≦ (x^n + y^n)/(x^m + y^m) ≦ (x+y)^(n-m),

　{1/(x+y)}^(n-m) ≦ (x^m + y^m)/(x^n + y^n) ≦ {2/(x+y)}^(n-m),

鋭角三角形ABCについて次の不等式を示せ

2(sinA+sinB+sinC)＞3(cosA+cosB+cosC)

sinA+sinB+sinC＞2+min{A/4,B/4,C/4}


http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1102511185/l50
より

>>519

>>521 で答えでてるけど、別解。

丁寧というか、馬鹿正直に長ったらしく書いたけど、やりかたは、高校生チックで素直？
（てか、>>521 の回答、いきなり４かけたりよくそんなの思いつくなぁ）

x^5 + y^5
= (x^3+y^3)(x^2+y^2) -{(xy)^2}(x+y)
= (x^3+y^3)(x^2+y^2) - (xy)^2
= (x^3+y^3){(x + y)^2 -2xy} - (xy)^2
= (x^3+y^3)(1 - 2xy) - (xy)^2

∴ 与式 = 1 - 2xy - {(xy)^2}/(x^3+y^3)・・・≪１≫

また、
x^3+y^3
= (x+y)^3 - 3xy(x + y)
= 1 - 3xy

ゆえに、
与式 =≪１≫ = 1 - {2a + (a^2)/(1-3a)}・・・≪２≫

（※a=xyとおいた。
ここで、x,yは、tについての２次方程式「t^2-(x+y)t+xy=0・・・≪３≫」の２実解で、かつ非負整数であるので、
≪３≫の判別式 = (x+y)^2 - 4xy = 1 - 4a >= 0 ∧ x>=0 ∧ y >=0
∴ 0<=a<=1/4 ）

つづく。。。。。。。。。。。。。

このとき、aの増減と、2a, a^2 の増減は一致する。
また、aの増減と、1-3a の増減は反対となる。

ゆえに、 aの増減と≪２≫、つまり与式の増減は反対となる。

よって、≪２≫より、
与式の最小値は、a=1/4のとき（※）、1/4
（※ つまり、a=xy=1/4 ∧ x+y=1ゆえ、x=y=1/2のとき）
与式の最大値は、a=0のとき（※）、1
（※ つまり、a=xy=0 ∧ x+y=1ゆえ、(x,y)=(1,0) ∨ (x,y)=(0,1)のとき）

====
告白すると文系出身なので、≪２≫を微分するやりかたわすれましたｗ

>>519

〔類題〕
x,y≧0、0≦m≦n のとき

　(n/m){(x+y)/2}^(n-m) ≦ (x^n - y^n)/(x^m - y^m) ≦ (x+y)^(n-m),

　{1/(x+y)}^(n-m) ≦ (x^m - y^m)/(x^n - y^n) ≦ (m/n){2/(x+y)}^(n-m),

・参考
　>>136 , [初代スレ.128, 132-135] 　Ingleby不等式

>>525
宮川ダイスケ ◆jcXETTeIVg…Ｆランク。自称30歳東大文学部中退の理�T志望。
空気の読めなさならお前がナンバーワンだっ!!

>>502 (4)
　β^α - α^β、β^(1/β) - α^(1/α) 、(1/β)log(β) - (1/α)log(α) は符号が同じ。

便宜上 (2) を先に解く。
　0<x，α=ex，β=e/x のとき
　(1/α)log(α) = (1/ex){1 + log(x)} = (1/e){1 + ∫[x,1] log(t)/(t^2) dt,
　(1/β)log(β) = (x/e) {1 - log(x)} = (1/e){1 + ∫[x,1] log(t) dt,
辺々引いて
　(1/β)log(β) - (1/α)log(α) = (1/e)∫[x,1] (1 - 1/t^2)log(t) dt,
ここで被積分函数は非負 (1 - 1/t^2)log(t) ≧ 0　だから、
　(1/β)log(β) - (1/α)log(α) の符号は 1-x の符号と一致する。(終)

〔系〕
0 < α < e < β, αβ < e^2 のとき
　(1/β)log(β) - (1/α)log(α) は β-α と同符号。

(1) αβ = (e-x)(e+x) = e^2 - x^2 < e^2　だから、(系) により成立する。

>>389 , >>502 (6)
　f(x) = (1/x)log(x),
は x=e に極大をもち、両側で単調だから
　f(x) ≦ f(e) = 1/e,
　f(π) < 1/e,
∴　π^(1/π) < e^(1/e),
∴　α = e^π > π^e = β,
∴　π^α > π^β,　e^α > e^β,

問題は π^β > e^α であるが、これと同値な
　β･log(π) > α,
を示そう。
　e = 2.71828… > 2.7142857… = 19/7,

　π^7 = 3020.293… > 2980.958… = e^8,
　π > e^(8/7),
　log(π) > 8/7 = 1/{1 - (1/8)} > 1/e^(-1/8) = e^(1/8),
　β = π^e = e^(e･log(π)) > e^((19/7)(8/7)) = e^(3 + 5/49) > e^(3.1) ,
辺々かけて
　β･log(π) > e^(3.1 + 1/8) > e^π = α,

ふぅ・・・

>>511
(上)
・問題の２次形式が半正値。
・行列
　[ 1, -p, -r ]
　[-p,　1, -q ]
　[-r, -q,　1 ]
の固有値がすべて非負。
・固有多項式
　t^3 -3t^2 + (3 -p^2 -q^2 -r^2)t -(1 -p^2 -q^2 -r^2 -2pqr) = 0,
の根がすべて非負。
・　3 -p^2 -q^2 -r^2 ≧ 0,　1 -p^2 -q^2 -r^2 -2pqr ≧ 0,

(中)
　a = √(x^2 +y^2),　b = √(y^2 +z^2),　c = √(z^2 +x^2),
とおくと (a,b,c) は鋭角△をなす。
∴　これは 条件付きの不等式である。
　(p,q,r) が鋭角△をなすか否かで場合分け。　　>>221

(下）
・問題の２次形式が半正値。
・行列
　[ p^2 +K, pq -K, pr -K ]
　[ pq -K, q^2 +K, qr -K ]
　[ pr -K, qr -K, r^2 +K ]
の固有値がすべて非負。
・固有多項式
　t^3 -(p^2 +q^2 +r^2 +3K)t^2 +{(p+q)^2 +(q+r)^2 +(r+p)^2}Kt -4(pq+qr+rp-K)K^2,
の根がすべて非負。
・　0 ≦ K ≦ pq+qr+rp,

>>511 (上), >>531 (上)

　0 ≦ 1 -p^2 -q^2 -r^2 -2pqr　　　　>>531
　　= (1-p^2)(1-q^2) - (pq+r)^2
　　= (1-q^2)(1-r^2) - (qr+p)^2
　　= (1-r^2)(1-p^2) - (rp+q)^2,
から
　(1-p^2)(1-q^2) ≧ 0,
　(1-q^2)(1-r^2) ≧ 0,
　(1-r^2)(1-p^2) ≧ 0,
よって 1-p^2, 1-q^2, 1-r^2 は同符号。
したがって
　(1-p^2) + (1-q^2) + (1-r^2) ≧ 0,　　　>>531
⇔　1-p^2 ≧ 0,　1-q^2 ≧ 0,　1-r^2 ≧ 0,
⇔　|p|≦1,　|q|≦1,　|r|≦1,

・参考書[3]の第1部 例題１．

>>523
出題元の解答は･････

〔補題〕　A,B,C が鋭角△のとき、cos((A-B)/2) > cos(C/2),

(上)
　min{A,B,C} = C　とすると 0<C≦π/3 より,
　2cos(C/2) -3sin(C/2) ≧ 2cos(π/6) -3sin(π/6) = √3 -(3/2) >0 だから
　(左辺) - (右辺) = 2{sin(A) + sin(B) + sin(C)} -3{cos(A) + cos(B) + cos(C)}
　　　= 2cos((A-B)/2){2sin((A+B)/2) -3cos((A+B)/2)} +2sin(C) -3cos(C)
　　　= 2cos((A-B)/2){2cos(C/2) -3sin(C/2)} +2sin(C) -3cos(C),
　　　> 2cos(C/2){2cos(C/2) -3sin(C/2)} +2sin(C) -3cos(C)　　　　(←補題)
　　　= 2{1+cos(C)} -3sin(C) +2sin(C) -3cos(C)
　　　= 2 -sin(C) -cos(C)
　　　= 2 -(√2)sin(C + π/4)
　　　≧ 2 - √2
　　　> 1/2　 　　[93]　by シタカンダ

(下)
　min{A,B,C} = C　とする。 0<C≦π/3,
　(左辺) = sin(A) + sin(B) + sin(C)
　　　= 2cos((A-B)/2)sin((A+B)/2) + sin(C)
　　　= 2cos((A-B)/2)cos(C/2) + sin(C)
　　　> 2{cos(C/2)}^2 + sin(C)　　　　　　(←補題)
　　　= 1 + cos(C) + sin(C)
　　　≧ 1 + {1 - (3/2π)C} + {(3√3)/(2π)}C　　(←cos(x)+sin(x)は上に凸)
　　　= 2 + {3(√3 -1)/(2π)}C
　　　= 2 + 0.349528513857C,
　　　= 2 + (1/3)C,　　　　　　　[96]　by だるまにおん

>>523

〔補題〕
　A,B,C が鋭角△のとき、cos((A-B)/2) > cos(C/2),

(略証)
　A-B < (π-A) - B = C,
　B-A < (π-B) - A = C,
∴　|A-B| < C,　　　　　(終)

(1)
θが0≦θ＜2πの範囲を動くとき

　　15(sinθ)^2+12sinθcosθ+16(cosθ)^2

の最大値を求めよ。

(2)
θが0≦θ＜2πの範囲を動くとき

　　15sinθ+12sinθcosθ+16(cosθ)^2

の最大値を求めよ。


http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1102511185/l50
より

>>438
http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1089292331/830
らしい

>>523 の〔類題〕

・1≦K≦√3 のとき
　sin(A) + sin(B) + sin(C) > K{cos(A)+cos(B)+cos(C)} + 1 - (√2)(K-1),

・0≦K≦1のとき
　sin(A) + sin(B) + sin(C) > K{cos(A)+cos(B)+cos(C)} + (2-K) + (1-K)(1/3)C,

(略証)
　0≦K≦√3 と C≦π/3 より
　cos(C/2) - K･sin(C/2) ≧ (√3 -K)/2 ≧ 0,
　sin(A) + sin(B) > K{cos(A)+cos(B)-sin(C)} + 1 + cos(C),
　sin(A) + sin(B) + sin(C) > K{cos(A)+cos(B)+cos(C)} + 1 + (1-K){sin(C)+cos(C)},
ところで、 C≦π/3 より
　1 + (1/3)C ≦ cos(C) + sin(C) ≦ √2,
(終)

>>535　出題元の解答は…

〔補題〕
　|a･cos(x) + b･sin(x)| ≦ √(a^2 + b^2),

(略証)
　{a･cos(x) + b･sin(x)}^2 = a^2 + b^2 - {b･cos(x) - a･sin(x)}^2 ≦ a^2 + b^2, (終)

(1)
　(与式) = (31/2) +6sin(2x) +(1/2)cos(2x) ≦ (31/2) + √{6^2 + (1/2)^2},

(2)　
　(与式) = 3sinθ(5+4sinθ) + 16(cosθ)^2
　　　　=　3sinθ(5+4cosθ) + 25 - (5-4cosθ)(5+4cosθ)
　　　　= 25 - (5 -3sinθ -4cosθ)(5+4cosθ)
　　　　≦ 25,

http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1102511185/111-112

△ ABC の周の長さを L とし , 角 A , B , C の二等分線の長さを x , y , z とすると
不等式

x + y + z ≦ { ( √ 3 ) / 2 } L

が成立する . さらに , 外接円と内接円の半径をそれぞれ R , r とすると

9 r ≦ x + y + z ≦ ( 9 / 2 ) R

が成立する


α , β , γ を複素変数とし , 次の式の分母が 0 とならない範囲での最大値を求めよ
また , 実変数の場合はどうか

| ( α - β ) ( β - γ ) ( γ - α ) ( α + β + γ ) | / ( | α | ^ 2 + | β | ^ 2 + | γ | ^ 2 ) ^ 2

( 数学セミナーより )

フェラチオ＞シックスナイン

フェラチオという行為は女性から男性、または男性から男性に行うことのできる写像であるとすると、
この写像は男性という集合への単射である。また、シックスナインは同じ考えに基づき全単射の写像である。
いずれも、任意の性的快感を得る写像であることから、このふたつは同じ集合の元であると考えると、
単射э全単射といえることから
フェラチオ э シックスナイン
であると言える。

ｗ

age

>>539

(上)　>>394-395　

(下)　実変数のときは、　(与式) ≦ 0.397747488･･･,
　　等号成立は α:β:γ = -0.3590････ : 0.3204･･･ : 1
かな？

△ABCにおいて内心をI, 内接円の半径をr, 外接円の半径をRとするとき、

√(1+5r/(2R))≦sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2)≦√(2+r/(2R))

を示せ。

>>539
　(下) 実変数のとき
　最大値　9/(16√2) = 0.397747564････
　α:β:γ = -(3/√2 - 1) : 1 : (3/√2 + 1)
　　　　= -(3-√2)/(3+√2) : (√2)/(3+√2) : 1
　　　　= -0.359245518････ : 0.320377241･･･ : 1
のとき

>>539 (下)　(546の続き)

・複素変数のとき
　3{|α|^2 + |β|^2 + |γ|^2} = 3(αα† + ββ† + γγ†)
　　= |α-β|^2 + |β-γ|^2 + |γ-α|^2 + |α+β+γ|^2
　　≧ 4 |(α-β)(β-γ)(γ-α)(α+β+γ)|^(1/2),　　(← 相加･相乗平均)
∴　(与式) ≦ (3/4)^2 = 9/16,
　等号成立は、|α-β| = |β-γ| = |γ-α| = |α+β+γ| のとき(正三角形)。

・実変数のとき
　βはαとγの中間にあるとする。
　|γ-α|^2 = (|α-β| + |β-γ|)^2 ≧ 4|α-β||β-γ|,　　･･････　(*)
よって
　3{|α|^2 + |β|^2 + |γ|^2} = |α-β|^2 + |β-γ|^2 + |γ-α|^2 + |α+β+γ|^2
　≧ 2|α-β||β-γ| + |γ-α|^2 + |α+β+γ|^2　　　　　(← 相加･相乗平均)
　≧ 2|α-β||β-γ| + 2|α-β||β-γ| + (1/2)|γ-α|^2 + |α+β+γ|^2　　(← *)
　≧ 4･2^(1/4) |(α-β)(β-γ)(γ-α)(α+β+γ)|^(1/2),　　　(← 相加･相乗平均)
∴　(与式) ≦ 9/(16√2),
　等号成立は　|α-β| = |β-γ| = (1/√2)|α+β+γ| のとき,
　　α:β:γ = -(3-√2)/(3+√2) : (√2)/(3+√2) : 1　

>>539 (下)　(547の続き)

・非負変数のとき
　min{α,β,γ} = m ≧0,　{α,β,γ} = {m,m+x,m+x+y}, x≧0, y≧0 とする。
　|�處 = xy(x+y),
　α+β+γ = 3m +2x +y,
　|α|^2 + |β|^2 + |γ|^2 = 3m^2 + 2m(2x+y) + (2x^2 +2xy +y^2),
　(1/4)(|α|^2 + |β|^2 + |γ|^2)^2 ≧ m(2x+y)(2x^2 +2xy +y^2) + (1/4)(2x^2 +2xy +y^2)^2
　　=　|�處･(α+β+γ) + m(4x^3 +3x^2･y +xy^2 +y^3) + {x^2 -(1/2)y^2}^2
　　≧ |�處･(α+β+γ),
　(与式) ≦ 1/4,
　等号成立は m=0, x=y/√2 のとき。

>>538 (2)　訂正
　(与式) = 3sinθ(5 + 4ｃｏｓθ) + (4sinθ)^2

>>548
　�� = (α-β)(β-γ)(γ-α),　　とおきますた(差積)。

　等号条件は α:β:γ = 0 : 1 : (1+√2) = 0 : (√2 -1) : 1　及びその入れ換え。

蒼井そら

http://www.551horai.co.jp/
551蓬莱

>>550

http://ja.wikipedia.org/wiki/河合曾良
http://dic.nicovideo.jp/a/河合曾良
http://ja.wikipedia.org/wiki/ギャグマンガ日和

|cos(θ+φ)-cosθ+φsinθ|≦(φ^2)/2

>>553
　-1 ≦ -cos(θ+φ) ≦ 1,
φで積分して
　-|φ| ≦ -sin(θ+φ) + sinθ ≦ |φ|,　
φで積分して
　-(1/2)φ^2 ≦ (左辺) ≦ (1/2)φ^2,


あるいは平均値の定理から
f(φ) - f(0) - φf '(0) = (1/2)φ^2･f "(kφ),　0<k<1,
ただし、f(φ) = cos(θ+φ),

>>502 の解答

(1) >>504-510　(2) 未　(3) >>518　(4) >>528　(5) >>516-517　(6) >>529　(7) >>515　(8) >>503

問1
1.6 < ( √ 2 ) ^ ( √ 2 ) < 1.7
ただし
√ 2 = 1.414･･･
とする

問2
| Σ [ k = 1 , n] { a [ k ] sin ( kx ) } | ≦ | sin x |
のとき
| Σ [ k = 1 , n] k a [ k ] | ≦ 1

問3
自然対数の底eを
e = Σ [ k = 0 , ∞ ] ( 1 / k ! )
とする
( 1 )済
e < 2.721
( 2 )済
log ( 1 + x ) ≦ x / √ ( 1 + x )
( 3 )
1.0317 < e ^ ( 1/32 ) < 1.0318
ただし
2.721 ^ ( 1 / 16 ) < 1.064561
とする

問4
四面体の六辺の積を L , 体積を V とおくとき
L / V ^ 2
の最小値を求めよ

>>556
とりあえす問１だけ････

　a = 2^(3/2) = 2√2 = 2.828････ とおくと、(与式) = a^(4/3a),

　e^(1/a) < a^(1/a) < e^(1/e),　　　(← a>e)
　e^(4/3a) < (与式) < e^(4/3e),

　8/3 < e < a < 17/6　より
　1/2 - 1/34 = 8/17 < 4/3a < 4/3e < 1/2,

　e^(4/3e) < √e = 1.64872･･･
　e^(4/3a) > e^(-1/34)√e > (1-1/34)(√e) = (33/34)√e = 1.6002･･･

さすがに√eの値を出すのは反則でない？

>>556
問1
(√2)^(√2)=a　とおく。
f(x)=x^(√2-1)　とすると、f(x)はx>0で単調増加より
f(√2) < f(a)
よって、a/√2 < a^√2/a =2/a　から
a^2 < 2√2 = 2.828...
2.56 < 2.828... < 2.89 より 1.6 < (√2)^(√2) < 1.7

間違えた……
下の評価は、g(x)=x^(√2-3/2)　とおいて
g(a) < g(√2)　から示す。

>>438　　(出題元 >>536 から)

　(左辺) - (右辺) = x(x-y)(x-z) + y(y-z)(y-x) + z(z-x)(z-y) = F_1,

∴　(x+y)(x+z)(z+x)F_1
　　= (xy+xz)(x^2 -y^2)(x^2 -z^2) + (yz+yx)(y^2 -z^2)(y^2 -x^2) + (zx+zy)(z^2 -x^2)(z^2 -y^2)
= xy{(x^2 -y^2)(x^2 -z^2) + (y^2 -z^2)(y^2 -x^2)} + cyclic.
= xy(x^2 -y^2)^2 + yz(y^2 -z^2)^2 + zx(z^2 -x^2)^2 ≧ 0,

http://image.blog.livedoor.jp/para080/imgs/9/7/97e892c5.jpg
http://img05.ti-da.net/usr/dera1008/DSCF0851s%E5%8A%A0%E5%B7%A5%E3%80%82.jpg
http://www.asaho.com/jpn/img/2005/0919/nikkangendai20050913.jpg

>>539 (中)

左側:
△ABCの内心をIとおく。
　x ≧ AI + r = r/sin(A/2) + r,
　y ≧ BI + r = r/sin(B/2) + r,
　z ≧ CI + r = r/sin(C/2) + r,
辺々たすと
　x+y+z ≧ r/sin(A/2) + r/sin(B/2) + r/sin(C/2) + 3r
　　≧ 3r/sin((A+B+C)/6) + 3r　　　　(← y=1/sin(x) は下に凸)
　　= 3r/sin(π/6) + 3r
　　= 9r,
右側:
　L = 2Rsin(A) + 2Rsin(B) + 2Rsin(C)　　(← 正弦定理)
　　≦ 6Rsin((A+B+C)/3)　　　　　(← y=sin(x) は上に凸)
　　= 6Rsin(π/3)
　　= (3√3)R,
これと (上) から出る。　>>394-395

　　　　　　　　　 ≦ ≦ ≦ ≦ ≦
　　　　　　　　　 ＞ ＞ ＞ ＞ ＞
　　　　　　　　　 ≧ ≧ ≧ ≧ ≧
　　　　　　　　　 ＜ ＜ ＜ ＜ ＜
　　　　　　　　　 ≧ ≧ ≧ ≧ ≧
　　　　　　　　　 ≦ ≦ ≦ ≦ ≦
　　　　　　　　　 ＞ ＞ ＞ ＞ ＞
.　　 ∧__,,∧　　 ＜ ＜ ＜ ＜ ＜
　　 ( ´･ω･ ).　 ≧ ≧ ≧ ≧ ≧
.　　 /ヽ○==○ ＞ ＞ ＞ ＞ ＞
　　/　　||＿　|_ ≦ ≦ ≦ ≦ ≦
　　し'￣(_)） ￣(_)） ￣(_)） ￣(_)）


みなさ〜ん、不等式いかがですか〜。

>>564
それは不等号だろ！？

おらよっと！
http://www.math.ust.hk/excalibur/v14_n3.pdf
http://www.math.ust.hk/excalibur/v14_n2.pdf

>>566
不等式ぢゃねぇが･･････

Problem 331. 　　(Vol.14, No.3)
nは自然数、-1≦m≦n のとき
　Σ[k=0,n-1] (-1)^k･{cos(kπ/n)}^(n-m) = n/{2^(n-1)},　　(m=0)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　= 1,　　　　　　(m:奇数)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　= 0,　　　　(m≠0, 偶数)

私と同類ですな (*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…

有名問題

自然数Nをいくつかの自然数の和に分割するとき
この分割した自然数の積が最大となるためにはどのように分割すればよいか

Problem 328.(Tuan Le, Fairmont high school, Anaheim, Ca., USA)

Let a,b,c>0. Prove that
　√(a^3 + b^3)/(a^2 + b^2) + √(b^3 +c^3)/(b^2 + c^2) + √(c^3 + a^3)/(c^2 + a^2)
　≧ 1/√(a+b) + 1/√(b+c) + 1/√(c+a)
　≧ 3/{(a+b)(b+c)(c+a)}^(1/6)
　≧ 2(3st)^(1/3) / √{(a+b)(b+c)(c+a)}
　≧ 2√(3t) / √{(a+b)(b+c)(c+a)}
　≧ 6t/[s･√{(a+b)(b+c)(c+a)}],
where　s = a+b+c, t = ab+bc+ca.
　　　(Tuan Le, Fairmont high school, Anaheim, Ca., USA)

>>570

(略証)
一番上: コーシーにより
　(a^3 + b^3)(a+b) - (a^2 + b^2)^2 = ab(a-b)^2 ≧ 0, など.
2番目: 相加･相乗平均
3番目:
　9(a+b)(b+c)(c+a) -8st = 9(st-u) -8st = st -9u = a(b-c)^2 + b(c-a)^2 + c(a-b)^2 ≧ 0
　∴　(a+b)(b+c)(c+a) ≧ (2/3)^3･3st,
4〜5番目:
　s^2 -3t = {(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2}/2 ≧ 0 より
　s ≧ √(3t),
等号成立は a=b=c,　　　　　　　　　　　　　　　　(終)

易しすぎ ････ orz

△ABCは鋭角三角形
sinA+sinB+sinC>cosA+cosB

>>572
　>>537 （K=1の場合）

△ABCは鋭角三角形
sinA+sinB+sinC > cosA+cosB+cosC+Max(cosA,cosB,cosC)

>>574
　>>537 （K=1の場合）
　sin(A) + sin(B) + sin(C) > cos(A) + cos(B) + cos(C) + 1,

p,q,rは正の実数で、pq+qr+rp=1を満たす。
x,y,zは正の実数であるとき
(q+r)x^2+(r+p)y^2+(p+q)z^2+pyz+qzx+rxy≧(xy+yz+zx)√3
を示せ。

f(x)は凸関数とする。
∫（1-f(x))^2dx≧｛∫（1−f(x)dx｝^2
をJensenを用いて示せ。

てｓｔ

test

('A` )　ﾌﾟｳ
ノヽノ) =3'A`)ﾉ ﾋｬｰ>>578
　 くく　へﾍﾉ

>>576

一点Fから 120ﾟをなす3方向にx,y,zだけ離れた点を A,B,Cとする。（Fは△ABCのフェルマー点）
　a = √(y^2 +yz+z^2), b = √(z^2 +zx+x^2), c = √(x^2 +xy+y^2),

　(左辺) = p(y^2 +yz+z^2) + q(z^2 +zx+x^2) + r(x^2 +xy+y^2) = pa^2 + qb^2 + rc^2 = P + Q + R,

　(右辺) = (√3)(xy+yz+zx) = 4･△ABC = 2ab･sin(C) = 2bc･sin(A) = 2ca･sin(B),

　(左辺)^2 - (pq+qr+rp)(右辺)^2 = (P+Q+R)^2 - pq{2ab･sin(C)}^2 - qr{2bc･sin(A)}^2 - rp{2ca･sin(B)}^2
　　　　= P^2 + Q^2 + R^2 + 2PQcos(2C) + 2QRcos(2A) + 2RPcos(2B),

これが常に非負である条件は、 >>511, >>531-532 より
　|cos(2A)| ≦ 1,　|cos(2B)| ≦ 1,　|cos(2C)| ≦ 1,
　1 -cos(2A)^2 -cos(2B)^2 -cos(2C)^2 -2cos(2A)cos(2B)cos(2C)
　= 4sin(A+B+C)sin(-A+B+C)sin(A-B+C)sin(A+B-C) = 0　　(← A+B+C=π)
により満たされている。
∴　(左辺)^2 - (pq+qr+rp)(右辺)^2 ≧ 0,

ぬるぽ

>>580 の途中から

　P^2 + Q^2 + R^2 + 2PQcos(2C) + 2QRcos(2A) + 2RPcos(2B)
　=　{Psin(2B) - Qsin(2A)}^2 + {Pcos(2B) + Qcos(2A) + R}^2 + 2PQ{cos(2C) - cos(2A+2B)}
=　{Psin(2B) - Qsin(2A)}^2 + {Pcos(2B) + Qcos(2A) + R}^2 + 4PQ･sin(A+B+C)sin(A+B-C)
　≧ {Psin(2B) - Qsin(2A)}^2 + {Pcos(2B) + Qcos(2A) + R}^2　　　　　　(← A+B+C=π)
　≧ 0,

ぬるぽ

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久々に投下

57 < tan 89 ﾟ < 58 を示せ

>>583
十分小さな x に対して x ≦ 1/tan(π/2 - x) ≦ x + x^3 だから
x = π/180 突っ込んで逆数取れば 57 ≦ tan(89) ≦ 57.4 くらいが
3.14 ≦ π ≦ 3.15 くらいの雑な評価で出るね

>>584
　tan(x) < x + x^3,
(略証)
　2/3 < cos(x) ≦ 1 のとき
　cos(x){1 + sin(x)^2} - 1 = cos(x){2 - cos(x)^2} - 1 = {1-cos(x)}{cos(x)^2 +cos(x) -1} > 0,
∴　tan(x) < sin(x) + sin(x)^3 < x + x^3,

円周上に 3 点 A , B , C と
孤 AB , BC , CA の中点 D , E , F がある

AB + BC + CA ≦ DE + EF + FD

>>586
外接円の中心を点O、半径をRとすれば、
OD⊥BC,OE⊥CA.OF⊥ABより(AB+BC+CA)×R＝2×六角形AFBDCE
これに対しOA,OB,OCはそれぞれEF,FD,DEと垂直とは限らないので
(DE+EF+FD)×R≧2×六角形AFBDCE

以上からAB+BC+CA≦DE+EF+FD

a,b,c>0に対して,
2(ab/c^2+bc/a^2+ca/b^2)≧(a+b)/c+(b+c)/a+(c+a)/b
が成り立つことを示せ.

>>588
相加相乗から
ab/c^2+ab/c^2+bc/a^2≧3b/c
ab/c^2+bc/a^2+bc/a^2≧3b/a
よりab/c^2+bc/a^2≧b/a+b/c
同様にbc/a^2+ca/b^2≧c/b+c/a,ab/c^2+ca/b^2≧a/c+a/b
辺々足して2(ab/c^2+bc/a^2+ca/b^2)≧(a+b)/c+(b+c)/a+(c+a)/b

円に内接する凸四角形 ABCD において

| AC - BD | ≦ | AB - CD | , | BC - DA |

四角形 ABCD の面積を S とする

4S ≦ ( AB + CD ) ( BC + DA )

>>590
　∠AOB = 2α,　∠BOC = 2β,　∠COD = 2γ,　∠DOA = 2δ, (>0)
とおく。ただし
　α+β+γ+δ = π,　　　･･････ (*)
を満たすとする。

　AB = 2R･sinα,　BC = 2R･sinβ,　CD = 2R･sinγ,　DA = 2R･sinδ,
　AC = 2R･sin(α+β),　BD = 2R･sin(β+γ),
を与式に代入して、
　(左辺) = |AC - BD|
　　= 2R･|sin(α+β) - sin(β+γ)|
　　= 4R･|cos((α+2β+γ)/2)sin((α-γ)/2)|
　　= 4R･|cos((π+β-δ)/2)sin((α-γ)/2)|　　　(← *)
　　= 4R･|sin((δ-β)/2)sin((α-γ)/2)|,
よって
　(左辺) ≦ 4R･|sin((δ＋β)/2)sin((α-γ)/2)|
　　= 4R･|cos((α＋γ)/2)sin((α-γ)/2)|　　　　(← *)
　　= 2R･|sinα - sinγ|
　　= |AB - CD|
　　= (右辺),

　(左辺) ≦ 4R･|sin((δ-β)/2)sin((α＋γ)/2)|
　　= 4R･|sin((δ-β)/2)cos((β＋δ)/2)|　　　　(← *)
　　= 2R･|sinδ - sinβ|
　　= |DA - BC|
　　= (右辺),

面白くない...

>>591
　2S = 2△ABC + 2△CDA ≦ AB･BC + CD･DA,
　2S = 2△BCD + 2△DAB ≦ BC･CD + DA･AB,
辺々たす。

質問されてるぞ

276　　　だるまにおん　[2009/12/20(日) 12:01:28 ID:darumaotoshi]
出題
実数a,bが
3^a+13^b=17^a
5^a+7^b=11^b
をみたすとき、a＜b が成り立つことを証明せよ。

279　　　prime_132　[2009/12/27(日) 04:31:06]
>>276
　f(x) = 17^x -13^x -3^x は x>0.36 で単調増加、f(0.8920255929296･･･) = 0,
　a ≧ 0.8920255929296･･･ のとき
　13^a < 17^a -3^a = 13^b,
　a < b,
　g(x) = 11^x -7^x -5^x は x>0.66 で単調増加、g(1.1474371417642･･･) = 0,
　b ≦ 1.1474371417642･･･ のとき
　5^a = 11^b -7^b < 5^b,
　a < b,
近似値
　a = 1.0577744568909･･･
　b = 1.1005958079715･･･

280　　　だるまにおん　[2009/12/27(日) 16:58:07 ID:darumaotoshi]
>>279
正解です。
f(x)が単調増加であることやa≧0.8920255929296･･･は手計算で分るものなのでしょうか？

>>590
AB≦CDとしてもよく、ACとBDの交点を点Eとして
線分CE上に点FをEB=EFとなるように取り、線分CD上に点GをGF//DEとなるように取る。
三角形CFGで三角不等式を適用

数列 a [ k ] は

a [ k ] = ( 1 / 7 ) * ( 7 / 6 ) ^ k ( 1 ≦ k ≦ 6 )

a [ k + 6 ]
= ( 1 / 6 ) * ( a [ k + 5 ] + a [ k + 4 ] + ･ ･ ･ + a [ k ] ) ( 1 ≦ k )

を満たすとき

0.285 < a [ 2010 ] < 0.286

>>596
　b[k] = (1/21){6*a[k+5] + 5*a[k+4] + 4*a[k+3] + 3*a[k+2] + 2*a[k+1] + a[k]},　　(k≧1)
とおくと、
　b[k+1] - b[k] = (1/21){6*a[k+6] -a[k+5] -a[k+4] -a[k+3] -a[k+2] -a[k+1] -a[k]} = 0,

∴　b[k+1] = b[k] = ･････ = b[1]
　　　= (1/21){6*a[6] + 5*a[5] + 4*a[4] + 3*a[3] + 2*a[2] + a[1]}, (一定)

∴　a[n] → b[1]　(n→∞)
あとは任せた....

凸四角形 ABCD の外側に正三角形 ADE , BCF を作れば

EF ≦ AC + BD

>>2 [10]　
>The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities，J. M. Steele，Cambridge Univ. Pr.，2004年

買ってみた。ＨＬＰはイマイチ自分に合わなかったけど、この本のテンポや話の進め方は好みだなぁ。

Inequalities: A Mathematical Olympiad Approach
2009/10/23 発売
http://amazon.jp/dp/3034600496

みんなもうこれ買った？

そんなん買わなくても、ネットでタダで色々見れるじゃん

以下の様な書き込みがありました。皆さんのご意見を賜りたいと
存じます。

敬具

猫拝


>頭が悪いのがコンヌみたいな数学史に残るであろう大天才に推薦状を書く雑用をさせていいと思ったのかい？
>お前が飢えてどこで野垂れ死のうと数学の歴史には全く影響がないが
>コンヌの時間を奪えば数学の歴史に影響しかねんとは考えられなかったのかい？
>お前は数学という学問への良心や献身の精神すら残ってないんだね

>その数学者の業績が高々30年以内に消えてしまうような数学者はマクロに見れば存在しようがしまいがどうでも良いんだよ
>そんなレベルの数学研究の従事者は世界全体で見れば掃いて捨てるほどいるからな
>そいつがそれなりに大事な定理を発見して証明したとしても、そいつがいなくても誰かがいずれは見つけてるんだよ
>その程度の独創性しかないからこそ30年未満で消えていくんだ

>そういう掃いて捨てるレベルの数学従事者に求められるのは研究よりも教育だよ
>教育者に求められるのは中途半端な数学の研究業績よりもちゃんとした人間性だ

>女性への欲望を押えられなくて痴漢に及ぶのなんてのは教育従事者としては論外だな
>自分の業績でウソをつくのも教育従事者としては論外だな
>盗撮も論外だ

>最低でも30年以上は業績がリファーされるほどの才能もなく教育従事者としての適性もない数学しかできん半端者に税金から給料を払う必要なんてないのさ
>何をやろうと許されるのは数学史に名前が刻まれるレベル、つまりそいつが消えれば数学の歴史が変わってしまうであろう本当の天才だけだ
>それ以外の少し数学が得意なだけの幾多の凡人は社会人としての常識がなければ社会では必要ないのさ
>社会で必要ないってことは大学や組織が給料を払ってやる必要はないってことだ

EOF

>>601
例えば？

x^(2y)+y^(2x)≦1　(x+y=1)を示せ。

簡単だと思って挑戦したけど無理でした。
どなたか、教えてください。

↑　0≦x,y≦1 も変数の条件です

>>603
数学オリンピックの過去問のことじゃないかなぁ。
まあ、でも本そのものとは違うよね。

>>604
x≦1/2 として一般性を失わない
0≦x≦1/4 と 1/4≦x≦1/2 に分けて考える

・0≦x≦1/4 のとき
x^(2y) + y^(2x) = x^(2-2x) + (1-x)^(2x)
≦ x^(2-2x) + 1 - 2x^2
= 1 - x^2(2 - 1/(x^x)^2)
　　x^x は [0, 1/e] で単調減少なので x≦1/4 で x^x ≧ (1/4)^(1/4) = 1/√2
≦ 1 - x^2(2 - 1/(1/√2)^2) = 1

・1/4≦x≦1/2 のとき
x = (1-t)/2, y = (1+t)/2　(0≦t≦1/2) とする
x^(2y) + y^(2x) = ((1-t)/2)^(1+t) + ((1+t)/2)^(1-t)
= (1/2)((1-t)^(1+t)*2^(-t) + (1+t)^(1-t)*2^t)
= (1/2) ((1+t)^(1-t) + (1-t)^(1+t)) cosh(t ln(2))
　+ (1/2) ((1+t)^(1-t) - (1-t)^(1+t)) sinh(t ln(2))

(1-t)^(1+t)
= 1 - (1+t)t + (1+t)t*t^2/2! - (1+t)t(-1+t)*t^3/3!
　+ (1+t)t(-1+t)(-2+t)*t^4/4! - (1+t)t(-1+t)(-2+t)(-3+t)*t^5/5! + …
= 1 - (1+t)t + (1+t)t^3/2 + (1-t^2)t^4/6 (1 + (2-t)t/4 + (2-t)(3-t)t^2/(4*5) + …)
より
(1-t)^(1+t) ≧ 1 - (1+t)t + (1+t)t^3/2 + (1-t^2)t^4/6
(1-t)^(1+t)
≦ 1 - (1+t)t + (1+t)t^3/2 + (1-t^2)t^4/6 (1 + t + t^2 + …)
= 1 - (1+t)t + (1+t)t^3/2 + (1-t^2)t^4/6 (1 + 1/2 + 1/4 + …)
= 1 - (1+t)t + (1+t)t^3/2 + (1-t^2)t^4/3

(1+t)^(1-t) = 1 + (1-t)t + (1-t)(-t)*t^2/2! + (1-t)(-t)(-1-t)*t^3/3! + …
≦ 1 + (1-t)t + (1-t)(-t)*t^2/2 + (1-t)(-t)(-1-t)*t^3/6
= 1 + (1-t)t - (1-t)t^3/2 + (1-t^2)t^4/6

以上の評価から
(1/2) ((1+t)^(1-t) + (1-t)^(1+t)) ≦ 1 - t^2 + (3/4)t^4 - t^6/4
(1/2) ((1+t)^(1-t) - (1-t)^(1+t)) ≦ t - t^3/2

cosh(t ln(2)) = 1 + (t ln(2))^2/2! + (t ln(2))^4/4! + …
≦ 1 + (t ln(2))^2/2 + (t ln(2))^4/12
sinh(t ln(2)) = t ln(2) + (t ln(2))^3/3! + …
≦ t ln(2) + (t ln(2))^3/3

以上から
x^(2y) + y^(2x)
≦ (1 - t^2 + (3/4)t^4 - t^6/4) (1 + (t ln(2))^2/2 + (t ln(2))^4/12)
　+ (t - t^3/2) (t ln(2) + (t ln(2))^3/3)
= 1 + (-1 + a + a^2/2) t^2 + (3/4 - a/2 - a^2/2 + a^3/3 + a^4/12) t^4
　+ (-1/4 + (3/8)a^2 - a^3/6 - a^4/12) t^6 + (-a^2/8 + a^4/16) t^8 - (a^4/48) t^10
　　(a = ln(2) とした)
≦ 1 + t^2 (-0.0666 + 0.294 t^2 - 0.144 t^4)
≦ 1　(0≦t≦1/2)

△ OAB の辺 AB の三等分点を P , Q とすれば

OA + OB > OP + OQ

ココでちょっとしたメッセージや
★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
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★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
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★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
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★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★

小沢先生、頑張って下さい。私は最後まで味方になります。

猫

>>609
　平行四辺形OABCを考える。
　AC // OB,　BC // OA,
　◇OACB ⊃ ◇OPCQ
∴　OA + AC + CB + BO > OP + PC + CQ + QO,
∴　OA + OB > OP + OQ,

>>609
　OP↑ = (1-t)OA↑ + t･OB↑ = OA↑ + t･AB↑,　(t∈R)
とおく。
　OP(t) = √(OP↑,OP↑)
　　= √{|OA|^2 + 2(OA↑,AB↑)t + |AB|^2･t^2}
　　= √(c+bt+at^2),
　(d/dt)OP = (b+2at)/(2･OP),
　(d/dt)^2 OP = (-D)/(4･OP^3) > 0,
　∵ t∈R に対して OP>0, 判別式 D = b^2 - 4ac < 0,
∴　OP(t) は上に凸。

>>609
∴　OP(t) は下に凸。 スマソ。

Π [ k = 2 → n ] cos ( 1 / k ) > 2 / 3

>>614
　x>0 とする。
　0 < sin(x) < x,
をxで積分して
　0 < 1 - cos(x) < (1/2)x^2,
∴　cos(x) > 1 - (1/2)x^2,
　(左辺) > Π[k=2,n] {1 - 1/(2k^2)}
　　　> 1 - (1/2)Σ[k=2,n] 1/(k^2)
　　　> 1 - (1/2)(2/3)　　　　　　　(← *)
　　　= 2/3,

*)　Σ[k=2,n] 1/(k^2) < Σ[k=2,n] 1/(k^2 - 1/4)
　　　= Σ[k=2,n] {1/(k- 1/2) - 1/(k + 1/2)}
　　　= (2/3) - 1/(n + 1/2)
　　　< 2/3,
あるいは
　Σ[k=2,n] 1/(k^2) < ζ(2) - 1 = (π^2)/6 - 1 = 0.64493407 < 2/3,

a,b,c＞0, a+b+c=1 のとき
(a+1/b)(b+1/c)(c+1/a)≧(41/5)(a/b+b/c+c/a-3)+1000/27

4 ^ 79 < 2 ^ 100 + 3 ^ 100 < 4 ^ 80

>>617
　3^12 = 531441 > 524288 = 2^19 = 4^(19/2),
　3^17 = 129140163 < 1342177228 = 2^27 = 4^(27/2),
∴　4^(19/24)　< 3 < 4^(27/34),
これを使えば････

>>618
>3^12 = 531441 > 524288 = 2^19 = 4^(19/2),
>3^17 = 129140163 < 1342177228 = 2^27 = 4^(27/2),

よくそこまで探したなぁ

(1+x)^n>1+nx

>>620

nは自然数？
xは実数？

正の実数a,b,cに対し、
3/2 < (4a+b)/(a+4b) + (4b+c)/(b+4c) + (4c+a)/(c+4a) < 9
がなりたつことを示せ。

（日本ジュニア数学オリンピック本選）

>>622

　0<y≦x　⇒　1 ≦ (4x+y)/(x+4y) < 4,
　0<x≦y　⇒　1/4 < (4x+y)/(x+4y) ≦ 1,
から出る。

　>>473-475

>>622
　3 ≦ (4a+b)/(a+4b) + (4b+c)/(b+4c) + (4c+a)/(c+4a) < 9 - 3/4,

(略証)
左側
　a+b+c = s, ab+bc+ca = t, abc = u とおくと、
　(4a+b)/(a+4b) + (4b+c)/(b+4c) + (4c+a)/(c+4a)
　= (105st -195u +39��)/(20st + 70u +12��)
　= 3 + {45(st -9u) +3�凩/(20st + 70u +12��)
　≧ 3,　　　　　　　　　　　　(← 補題)
右側 >>475 あるいは
　　(4a+b)/(a+4b) + (4b+c)/(b+4c) + (4c+a)/(c+4a)
　= (105st -195u +39��)/(20st + 70u +12��)
　= 9 -3/4 - {60st +(1545/2)u +60�凩/(20st + 70u +12��)
　< 9 - 3/4,　　　　　　　　　　　(← 補題)

〔補題〕
a,b,c > 0 のとき |�處 ≦ (a+b+c)(ab+bc+ca) - 9abc,
ここに、�� = (a-b)(b-c)(c-a),　　　(差積) 　

(略証)
min(a,b,c) = m とおき、{a,b,c} = {m, m+x, m+x+y} とする。(x,y≧0)
然らば、|�處 = xy(x+y), a+b+c = 3m + 2x+y, ab+bc+ca = 3m^2 + 2m(2x+y) + x(x+y), abc = m^3 + m^2･(2x+y) + mx(x+y),　
∴　(a+b+c)(ab+bc+ca) - 9abc - |�處 = 2m(x^2 +xy +y^2) + 2x^2(x+y) ≧0,
(類題) [前スレ.737,739] 　　

>>622

(4a+b)/(a+4b) + (4b+c)/(b+4c) + (4c+a)/(c+4a)
は斉次式だから、

(4a+b)/(a+4b) + (4b+c)/(b+4c) + (4c+a)/(c+4a)
=(4p+1)/(p+4)+(4q+1)/(q+4)+(4r+1)/(r+4)

(p=b/a, q=c/b,q=a/c。なお、pqr=1）

((4p+1)/(p+4)={4(p+4)-15}/(p+4)=4 - 15/(p+4) なので)

=12-15{ 1/(p+4) + 1/(q+4) + 1/(r+4) }

としてみたのだが・・・このあとわからない・・・・

>>624

〔補題〕
a,b,c > 0 のとき |�處 ≦ (a+b+c)(ab+bc+ca) -9abc,
ここに、�� = (a-b)(b-c)(c-a),　　　(差積) 　

(略証)
相加･相乗平均より
　2g = (a+b+c)(ab+bc+ca) -9abc +�� = 2(ab^2 +bc^2 +ca^2 -3abc) ≧ 0,
　2h = (a+b+c)(ab+bc+ca) -9abc -�� = 2(ba^2 +cb^2 +ac^2 -3abc) ≧ 0, (終)

したがって
　(a+4b)(b+4c)(c+4a) = 125abc +16g +4h,
　(4a+b)/(a+4b) + (4b+c)/(b+4c) + (4c+a)/(c+4a) = (375abc +72g +33h)/(125abc +16g +4h)
　　= 3 + (24g +21h)/{(a+4b)(b+4c)(c+4a)}
　　≧ 3,
　(4a+b)/(a+4b) + (4b+c)/(b+4c) + (4c+a)/(c+4a) = (375abc +72g +33h)/(125abc +16g +4h)
　　= (33/4) - {(2625/4)abc +60g}/{(a+4b)(b+4c)(c+4a)}
　　< 33/4,

cos(sinｘ)＞sin(cosｘ) をしめせ。

（xは任意の実数）

-1≦cosx≦0のときは明らかだから、0<cosx≦1のときを示せばいいんだな。

>>627-628
・ある整数n に対して |x'| = |x-2nπ| < π/2,
∴　|x| < π/2 としてもよい。
　|sin(x)| ≦ |x| より
　|sin(cos(x))| < |cos(x)| = cos(x) ≦ cos(sin(x)),

[前スレ.343]
[東大入試作問者スレ１５.148, 156]

>>616
　基本対称式を a+b+c = s, ab+bc+ca = t, abc = u, とおく。

　(左辺) = (a/s + s/b)(b/s + s/c)(c/s + s/a)
　　　　 = {F_1 + 5(st-9u)}/u - (s^3 -27u)/(27s^3) + (10/3)^3,

　(右辺) = (41/10)(st-9u+��)/u + (10/3)^3,

　{(左辺) - (右辺)}･u = F_1 + (9/10)(st-9u) - (s^3 -27u)u/(27s^3) -(41/10)��
　　　≧ F_1 + (9/10)(st-9u) - (s^3 -27u)/(27･27) -(41/10)��,　(← s^3 ≧ 27u)
ここに
　F_1 = a(a-b)(a-c) + b(b-c)(b-a) + c(c-a)(c-b) = s^3 -4st +9u,
　st-9u = a(b-c)^2 + b(c-a)^2 + c(a-b)^2,
　�� = (a-b)(b-c)(c-a),　　　　　　　　　(差積)
とおいた。

したがって
　F_1 + (9/10)(st-9u) - (s^3 -27u)/(27･27) -(41/10)�� ≧ 0
を示せばよい。

>>630
〔補題〕
a,b,c >0 のとき
　F_1 + (9/10)(st-9u) - (s^3 -27u)/(27･27) -(41/10)|�處 ≧ 0

(略証)
　m = min(a,b,c), {a,b,c} = {m, m+x, m+x+y}, x,y≧0
とおいて m,x,y で表わすと、
　F_1 = m(x^2 +xy +y^2) + (2x+y)y^2,
　st-9u = 2m(x^2 +xy +y^2) + (2x+y)(x^2 +xy),
　s^3 -27u = 9m(x^2 +xy +y^2) + (2x+y)^3,
　|�處 = xy(x+y),
よって
　　F_1 + (9/10)(st-9u) - (s^3 -27u)/(27･27) -(41/10)|�處　　　　(← s^3 ≧ 27u)
　≧ (2x+y)y^2 + 5(2x+y)(x^2 +xy) + (1/729)(2x+y)^3 -kxy(x+y)　　(← m≧0)
　= (9/5 -8/729)x^3 + (-7/5 -12/729)x^2･y + (-6/5 -6/729)xy^2 + {1-(1/27)^2}y^3
　= ･･････
　≧ 0

詳細は
http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/331-332

>>631

詳細は････
　(9/5 -8/729)x^3 + (-7/5 -12/729)x^2･y + (-6/5 -6/729)xy^2 + {1-(1/27)^2}y^3
　= {1-(1/27)^2}(1.7914835164835x^3 -1.4184065934066x^2･y -1.2098901098901xy^2 + y^3)
　= {1-(1/27)^2}(1.1914345026367x + y){√(3/2)･x - y}^2 + 0.0018743091451x^3 + 0.0480990601188xy^2
　≧ 0,

>>631 (訂正)

　(9/5 -8/729)x^3 + (-7/5 -12/729)x^2･y + (-6/5 -6/729)xy^2 + {1-(1/27)^2}y^3
　= {1-(1/27)^2}(1.79148351648352x^3 -1.41840659340659x^2･y -1.20989010989011xy^2 + y^3)
　= {1-(1/27)^2}(1.19143450263671x + y){√(3/2)･x - y}^2 + 0.00432582046736996x^3 + 0.0480990601188323xy^2
　≧ 0,

〔出題44〕
P(x) はn次の整式で、任意の実数xに対して P(x) ≧ 0 が成り立つ。
このとき、任意の実数a,xに対して
　P(x) + a･P '(x) + (a^2)P "(x) + …… + (a^n)P^(n) ≧ 0,
が成り立つことを示せ。

http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1136720573/44

>>634

(略証)
a=0 のときは明らか。
a≠0 のとき
　Q(x) = P(x) + a･P '(x) + (a^2)P "(x) + …… + (a^n)P^(n),
とおく。 題意より
　0 ≦ P(x) = Q(x) - a･Q'(x) = -exp(x/a){a･exp(-x/a)･Q(x)} '
より a･exp(-x/a)･Q(x) は単調減少。ところで
　exp(-x/a)･Q(x) → 0,　　(x/a→∞)
より
　exp(-x/a)･Q(x) ≧ 0,
　Q(x) ≧ 0,
ぬるぽ

http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1136720573/47-48

>>635

(略証)
ｶﾞｯ

今年の滋賀医大の難問。

実数全体を定義域とする，2回微分可能な関数 f(x) が，任意の実数 x に対して
・f′(x) > f′′(x)
・f(x)>0
を満たすとき，
　f(x) > f′(x) > 0
が成り立つことを示せ。

>>637
{f'(x)exp(-x)}'={f''(x)-f'(x)}exp(-x)<0

だから f'(x)exp(-x) は減少。よって f'(a)≦0 なる a が在るとすると、
x>a で常に f'(x)<0, f''(x)<0 となるがこれは f(x) > 0 に反する。
よって f'(a)≦0 なる a は無い。


次に、仮定により f'(x)-f(x) が単調減少だから、
f'(a)-f(a)≧0 なる a が在るとすると、c<a なる c に対して
x<c のとき常に f'(x)>f'(x)-f(x)>f'(c)-f(c) > 0 が成り立つ事になるが、
これは f(x) > 0 に反する。よって f'(a)-f(a)≧0 なる a は無い。

x<c のとき常に f'(x)>f'(x)-f(x)>f'(c)-f(c) > 0 が成り立つ事になるが、
これは f(x) > 0 に反する。

がわかんない
おしえてちょ

>>639
丁寧にまとめてみました。
http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/d/%b8%c4%ca%cc%a4%ce%cc%e4%c2%ea%b2%f2%c5%fa?wiki_id=54872#content_6

すんばらしいどす

TeXって、符号から始まるとき、間隔が0になってしまうのは仕様？

例えば、a-bと、-b

>>642
\phantom 使え

オペラ座の怪人？

>>637
実際は誘導付きだったんだね。
高校の範囲でできる。

〔出題〕
　a[k] ≧0 (1≦k≦n, 2≦n∈N),　�納k=1,n] a[k]^2 =1 のとき
　Π[k=1,n] (1-a[k]) ≦ (1/2)(√2 - 1)^2,
を証明せよ。（だるまにおん）

http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/354

〔問4〕
正の実数x,y,zに対し,
　(1+xy+xz)/(1+y+z)^2 + (1+yz+yx)/(1+z+x)^2 + (1+zx+zy)/(1+x+y)^2 ≧ 1,
が成り立つことを示せ。（2010年度 日本数学オリンピック本選 問4)

http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/324-326
　casphy - 高校数学 - 不等式

>>647
コーシーで一発でつね。
　(1+xy+xz){(x+y+z)/x} ≧ (1+y+z)^2, など。

〔出題330〕
a,b,c>0, a+b+c=1 のとき
　a/√(c+a) + b/√(a+b) + c/√(b+c) < (5/4)√(a+b+c),
を証明せよ。（だるまにおん)

http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/330
　casphy - 高校数学 - 不等式

こんなのどうでしょう。

a, bをn次元の単位ベクトルとする。
cをc_i = (a_i b_i) / √(Σ(a_i b_i)^2)、uをu_i = 1 / √n で定める。
(a, b, c, uは全てn次元の単位ベクトル)
この時、|c-u|<=|a-u|+|b-u|を証明せよ。距離はユークリッド距離。

>>2に追加

[12]　大学への数学 2009年4月号-2010年3月号，東京出版
　　　　連載 「不等式の骨組み」 、栗田哲也、全12回、各4ページ

正の数 a,b,c,d が、a＋b＝ab，c＋d＝2 を満たすとき、a6c7＋b6d7 の最小値は？

正の数 a,b,c,d が、a＋b=ab，c＋d=2 を満たすとき、a^6*c^7＋b^6*d^7 の最小値は？

関数f(x)は、{f(x)}''>0である。
このとき自然数nに対して、次の不等式を示せ。

{1/(n+1)}*{f(0)+f(2+)+…f(2n)} > (1/n)*{f(1)+f(3)+…+f(2n-1)}

G=a^6*c^7＋b^6*d^7-t(a＋b-ab)-s(c＋d-2)
Ga=6a^5c^7-t-bt=0,6sc/a=bt
Gb=6b^5d^7-t-at=0,6sd/b=at,c=d
Gc=7c^6a^6-s=0
Gd=7d^6b^6-s=0,a=b
2a=a^2,2c=2
c=d=1,a=2

G=2a^6c^7=2^7

数学ガールはコンボリューションってかいてあったのでラプラスかと思ったら
nCrじゃないか。。。あれで１８００円は高すぎる。２，０００円でクイックマスター
微分積分を買ってきた。定義もチャンとかいてあるからお得だ。高２に読ませてみる。