★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十七問

〔問題〕k≧2 のとき
　{1 + 1/(k-1)}^k = {k/(k-1)}^k > e
を示してくださいです。

>>39

2項定理より
　{(k^2)/(k^2 -1)}^(k+1) = {1 +1/(k^2 -1)}^(k+1) = Σ[j=0,k+1] Ｃ[k+1,j] /(k^2 -1)^j > 1 + 1/(k-1) = k/(k-1),

∴　{k/(k-1)}^k > {(k+1)/k}^(k+1) > ･･･(単調減少)･･･ > lim[k→∞) (1 + 1/k)^k = e,

〔問題〕k≧2 のとき
　{k/(k-1)}^(k-1) < e < {k/(k-1)}^k,
を示してくださいです。

>>41

・左側
　{1,1,････,1,(k-1)/k} (k個) の相加･相乗平均から、
　{(1-k^2)/k^2}^k > (k-1)/k,　
∴　{k/(k-1)}^(k-1) < {(k+1)/k}^k < ････ < e,　　(単調増加)

・右側　>>40 または
　{1,1,･･・･,1,k/(k-1)} (k+1個) の相加･相乗平均から、
　{(k^2)/(k^2 -1)}^(k+1) > k/(k-1),
∴　e < ････ < {(k+1)/k}^(k+1) < {k/(k-1)}^k,　　(単調減少)