∬∬解析学統合スレッド２∬∬

追記

煩雑で大変だと思いますので細かい解答プロセスは結構です
その代わり解答方針を教えていただけるとありがたいです
勝手を言って申し訳ありませんが助けてください。よろしくお願い致します。

項別積分

e^y=Σ(y^n/n!)だから
e^(-t^2)=Σ{(-1)^n/n!}*t^2n
∫[0,x]e^(-t^2)dt=Σ{(-1)^n/n!}*{t^(2n+1)/(2n+1)}

log(1+t)=∫[0,t]ds/(1+s)=∫[0,t]ds(Σ(-s)^n)=Σ-(-t)^(n+1)/(n+1)
log(1+t)/t=Σ(-t)^n/(n+1)
∫[0,x]log(1+t)/tdt=Σ-(-x)^(n+1)/(n+1)^2

とかでいいんじゃないの？

>>76

F(x) を x=0 で整級数展開をする基本は
F(x) の各次数の導関数を計算して x=0 での値を求める事だと判るか？

>>75 一様収束する可積分級数は
　積分と∞和の順序交換ができる。

皆様早速のご回答ありがとうございました
お陰様でなんとか解決しそうです

109

ここ地味だなーwwww

f(x)は[0,1]で連続であるとする。このとき、

∫[0,π]x*f(sinx)dx=π/2∫[0,π]f(sinx)dx

が成り立つことを示せ。



この問題を解いていただけませんか？

f(x),g(x)は区間I＝[a,b]で連続で、f(x)≧g(x)(∀x∈I)かつf(y)＞g(y)となるy∈Iが存在するとする。このとき、

∫[a,b]f(x)dx＞∫[a,b]g(x)dx

が成り立つことを示せ。


これもお願いできませんか？

>>85
ε＝(f(y)-g(y))/2　とおくとこれは正
しかも連続だから y の近くある区間 J⊂I の間　f(x)≧g(x)＋ε
だから∫_J f ≧ ∫_J g + ε|J|
元々 f≧g だから I ＼J では ∫_{I＼J} f ≧ ∫_{I＼J} g
ε|J|＞0だから証明終わり

>>84
積分範囲をπ/2でわけて いっぽうに積分変数変換
y=π-x をおこなえば良い

解析もっともりあがれｗ

本当にありがとうございます。

幾何、代数、解析って何やる学問なんですか？
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1122488682
微分と積分全般のスレ
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1233580257
文系だが、微分積分の発明ってそんなにすごいのか？
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1109767108
ロピタルの定理
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1110518324

『解析概論』について３
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【小平邦彦】解析入門�T・�U【質問スレ】
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▲▲杉浦光夫・解析入門�T・�U△△
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1と一緒にラング「解析入門」を読んでいくスレ
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W.Rudinの解析三部作
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微分積分学（サイエンス社、笠原皓司）について語れ
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【激しく】解析と線型代数の本何がいい？【既出】 2
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一般化関数、分布、超関数
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ガンマ関数って一体に何に使うでござる
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三角関数
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三角関数は円関数に改称するべき
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特殊関数論のスレ
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複素関数論スレッド§３
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実解析と複素解析の初心者に問題集・解説書
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ルベーグ積分と測度論のスレ
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ルベーグ積分の参考書
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1221003885
ルベーグ積分に関する問題を作り、解け
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1201847853

関数解析（Functional Analysis）
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【ﾌﾞﾚｼﾞｽ】関数解析-その理論と応用に向けて
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フーリエ変換とラプラス変換
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[伊藤] 確率微分方程式輪講2 [ストラトノビッチ]
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関数方程式レッスド
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差分方程式について考えようか
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波動方程式
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パンルヴェ方程式(Painleve Equation)のスレ
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非線形微分方程式全般
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微分方程式の良書は？(part2)
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偏微分方程式何故何スレッド2
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1103027713

解析学もっと盛り上がれｗ

さぁ、解析好き達よ
集まれ

0<x<π/2とする。0<p<1とする。
(1)lim[x→+0] log(sinx)を求めよ。

(2)lim[x→+0] cosx/sinx*x^p+1を求めよ。

(3)∫[0,π/2]log(sinx)dxは収束するかしないかを述べよ。

がわかりません。教えてください。お願いします。

>>94です。
できれば今日中に教えてください。

ｔｓｔ

>>95
(1) log(sinx)= log((sinx)/x) + log x
(2) 最後の +1 は (p+1) ? はっきりしないとだめ
(3) log(sinx)= log((sinx)/x) + log x
あとは試験開始前までに考えなさい

ココでちょっとしたメッセージや
★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
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小沢先生、頑張って下さい。私は最後まで味方になります。

猫

左団扇で>>100をｇｈｅｔｔｏ！

解析のデデキント切断やεδでゼノンのパラドックスをどう捉らえていますか

>>101 超実数を学べば無限小を無限個足して
　任意の値をとらせることができるということがわかる。
　よって無限小の変化を無限個並べたところで
　全体の変化は判断できない。

εδで無限に実数で切断できるというのはゼノンでいうと
無限分割に相当して亀は追いつけないはずなのに
lim[n→0]n　の極限をとると =0 となってるから
つまりゼノンでいえば亀は追いつくといってるんですよね
つまりパラドクスはとりあえず無視の前提で成立しているということでOKでしょうか

>>101はゼノンのパラドックスが何を問題にしているのか
もう一度確認した方がよい

とりあえずは正確に述べてみて
ゼノンが何をいけないと言っているのかをだな、

101ですが、アキレスと亀のパラドクスではなくて”二分法”ですた
ＡＢ間を矢が飛ぶ時、中間点を無限にとると
矢はいつまでたっても的に当たらないというほうです
ＡＢ(n,0)間で無限にnを0に近づけることができるのは
無限に実数切断を繰り返してもよいのだから n は 0 に到達できないなのに
lim[n→0] n の途端に=0となるのだからこのパラドクスを無視している

ε-N論法で数列の極限をやり直しているのですが、
a_n = log(n!)/n という数列がn→∞となる場合、
どうやって発散することを示せばよいでしょうか。
log(n!) がスターリングの近似式でnlog(n)-nとなるのを使えば簡単なのですが、
この近似は積分を使って導いたものなので「今は」使いたくないのです。
他の方法で発散することを示すことができるのでしょうか。
それとも積分を導入するまで待つ必要があるのでしょうか。

正の数Kに対してe^(2K)より大きい整数Nを取って固定する
このとき2N<nならば
log(n!)/n > log(N!)/n + (n-N)*log(N)/n > 0 + (1/2)log(N) > K

>>108
理解できました。ありがとうございます。

>>101
どうしても理解できなければ最後の手段。現実世界では長さにはプランク長という最小単位があるから無限小を考えることを回避できる

bobo

質問です
連続、絶対連続、一様連続の違いを教えてください

連続の定義が、δがεと点xの取り方に依存すること
絶対連続の定義が、δがεと区間列の取り方に依存すること
一様連続の定義が、δがεのみに依存すること
というのは分かります(間違えてたら訂正お願いします)

連続と絶対連続と一様連続の具体的な違いの例を教えてください

連続 1/n->0
絶対連続 |1/n|->0
一様連続 1/n->1/(n+1)

http://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:ysLwq3IuyvMJ:www.sakura.cc.tsukuba.ac.jp/~komaba/ssh/library/126.htm+%E6%82%AA%E9%AD%94%E3%81%AE%E9%9A%8E%E6%AE%B5%E9%96%A2%E6%95%B0&cd=2&hl=ja&ct=clnk&gl=jp&lr=lang_ja

929

∫_R (1 + t^2)^(-p) dt のp>1/2での値は幾つになりますか

http://integrals.wolfram.com/index.jsp?expr=%281%2Bx^2%29^-p&random=false

>>116
maximaで計算したら
beta(1/2, p-(1/2))って出てくるぞ

108

上半連続と下半連続の区別が座標の右手系と左手系並につかない

a≠0,判別式D=b^2 -4ac>0,0<θ<π/2,
4axsinθ+(4ac+b^2)sin^2θ+2bsinθcosθ+cos^2θ≧0より
x≦bcosθ/2a

V=(π/2a^2sin^2θ)
∫【α→β】《{(b^2+2ac)sin^2θ+2bsinθcosθ+cos^2θ+4a^2x^2sin^2θcos^2θ-2axsin^3θ}
± {(bsinθ+cosθ+2axsinθcosθ)√{4axsinθ+(4ac+b^2)sin^2θ+2bsinθcosθ+cos^2θ}》dx
《》は大括弧の代わりです。積分と間違えられると思ったので、変えました。

ここの積分が分かりません。解ける方お願いします。
∫【α→β】 {(bsinθ+cosθ+2axsinθcosθ)√{4axsinθ+(4ac+b^2)sin^2θ+2bsinθcosθ+cos^2θ}}dx

>>121
それ要するに、∫(Ax+B)√(Cx+D)dx　の形した積分ってこと？
t=√(Cx+D)とでも置換積分すればいいんじゃね

ε-δ法に関する質問です。
以下の二つは共に「数列a_nはaに収束する」を定式化したものだと思います。

１．任意のε>0に依存して、あるmが決まり、n>mなるすべてのnに対し|a_n-a|<εが成り立つ。
２．任意のε>0に依存して、あるmが決まり、n>mなるすべてのnに対し|a_n-a|<2εが成り立つ。

１と２は等価だと思うのですが、１から２を、または２から１を導くことはできますか？

|a_n-a|<εなら|a_n-a|<2εだから1が成り立つなら2も成り立つ ： 1→2
また2が成り立つならε/2>0にたいして|a_n-a|<2(ε/2)となるmがあるから
ε>0にたいして|a_n-a|<εとなるmがあることになって1が成り立つ ： 2→1
よって等価

>>124
ありがとうございます。1→2は簡単でしたね。