ロピタルの定理

こないだ習いました　オイラーの公式と同じくらい感動しました

2get

そんなだからsinx/xのx→0もロピタル使わないと求められないんだよ。

では３に証明を願おう。
トートロジーになる悪寒。

では４に定義を願おう。

糞スレの哀れな末路

ｘ→+0のとき，
sinｘ<ｘ<tanｘ
辺々の逆数を取ると，
cotｘ<1/ｘ<cosecｘ
辺々にsinｘをかけると，
cosｘ<sinｘ/ｘ<1
lim(ｘ→0)cosｘ=1
lim(ｘ→0)1=1
挟み撃ちの原理より，lim(ｘ→0)sinｘ/ｘ=1

sinｘ ＜ ｘ ＜ tanｘ の証明が大変だって事が分からないのかな。
激しく外出

円弧を折れ線で近似する。定義より折れ線の長さの上限＝円弧の長さ(＝x)
三角不等式使って折れ線の長さ＜1-cosx+sinxを示す。
よってx＜1-cosx+sinx
またsinx＜弦の長さで、弦の長さ＜xだからsinx＜x
整理すると1-(1-cosx)/x＜sinx/x＜1
(1-cosx)/x＝(sinx)^2/{x(1+cosx)}＜x/(1+cosx)＜x/2→0(x→0)
よって1-(1-cosx)/x→1でsinx/x→1となる。

無駄に挑発するのって性格悪いね。

円弧上で長さがxのところまでの角をxラジアンと定義するわけだが、その前に円弧
に長さが定義されていなければならない。円弧の長さは折れ線の長さの上限で定義
する。xラジアンになるべき位置の円弧の長さがxになるということは、その円弧の
折れ線近似の上限がxになるということで、それを証明することは円周の長さが内接
多角形の周の上限になることの証明と同値、そしてそれはlim[x→0]sinx/x=1と同
内容。アララ面倒ヤナ（(c)森毅）

（漏れは8ではないが、挑発してるのではなく、面積を使わず孤の長さを使えば桶と
思っているヤシに注意を促したいだけ。他意はない）

>>8-10
これはまぁ、よく見るからいいとして。

lim[x→0](sinｘ)/ｘ＝1

以外にも同じような面白い例ってあるのかなぁ？
いつもこればっかりじゃあ面白くないからね。

>>1
ロピタルさんについて教えてたもれ。どういう人なの？

n階のロピタル定理＝ただのテイラー展開じゃん

全然面倒ではない。

円の面積がπr^2という事も使っちゃいかんのかな

＞円周の長さが内接多角形の周の上限になることの証明
この時の「円周の長さ」の定義が「内接多角形の周の上限」なんじゃないのか？
それとも多角形の角を増やしていくと周の長さがある数に収束する事を示せというのか？

あぁ、「折れ線の長さの上限」＝「内接多角形の長さの上限」を示せと言うわけか。ふむ

>>14
積分使わずに証明できればおｋ。
実は背理法により可能。

>>17
うーん。S=ar^2（a<π）として、a<q<πなる有理数qをうまく
作って、内接多角形を作って矛盾。より大きいほうも同様

という感じ？で、ここから扇形の面積はr^2θ/2となると

>>18
そんな感じ。
「アルキメデス 円の面積 背理法」で具々れ。

結論
sinxを無限級数で定義すればok

>>15-16
たいていは、そこで凸性を使う。

「曲線の長さ＝折れ線の長さの上限」で定義すると、定義自体には
微積分はいらない。凸性があるので、円の場合は
「折れ線＝内接多角形」となる。

そこで、>>9 に示されているように、
「任意の内接多角形の長さ＜1-cosx+sinx」
は、明らか。よって、実数の連続性から上限 x は存在して
「x ≦ 1-cos x+sin x 」
（実際には等号は成り立たない）

高校教科書のように「x ＜tan x 」を厳密に示そうと難しい。
「凸なら、外接する折れ線の長さ＞弧の長さ」を示すことになる。

x ≦ 1-cos x+sin x のほうが簡単なのだが「上限」の説明が難しいね。
むろん、x が小さいときは tan x ＜ 1-cos x+sin x 。

>>12
いや、ロピタルとテイラーは、互いに他をカバーしきれていないので、両方必要。
たとえば、lim[x→0]について、テイラーではf'(0)の存在が必要だがロピタルで
は必要ない。

>>20
そんな事言ったら、微分方程式の解で定義とかいくらででもあるだろ。
そんな天下り的な定義では初学者は納得しない。

×初学者　○>>23　でしょ。

>>20
sinxを無限級数で定義するには、ベキ級数の性質についてのけっこう面倒な準備が必
要だろうが、まあそれはいいとしよう。lim[x→0]sinx/x=1は自明になり大変結構。

ただしその他の議論や理解を円滑にするためには、その定義で単位円上xラジアンの
点のx座標がsinxであることを証明していただかねばならんわけだが、それは簡単な
のかね？

間違えた
x座標　→ y座標

>>25
簡単じゃないかもしれんね。話題が尽きたらそこらへん考えるのもいいかもしれん。

自演乙

sinを定義するにはexpを定義すれば十分であろう。
(ここではsin(z)=(exp(iz)-exp(-iz))/(2i)である。)
さて、exp(z)=∑_{n=1}^{∞}z^n/n!だが、
これの収束半径が∞であることが重要である。
ダランベールの判定法の適用を試みることにすると、
(z^(n+1)/(n+1)!)/(z^n/n!)=z/(n+1)→0 as n→∞であるから、
exp(z)の収束半径は∞である。
(さらにいうと、この級数は絶対かつ広義一様収束する。)

king来るの遅いよking

>>25
簡単ではないが難しくもない。教科書の逆をやるような感じでできる。
結局は >>9 や >>21 と同程度で、どうやっても苦労は同じ。

>>29
とりあえずその定義で正弦定理の証明きぼん

kingをhingにしよう

Re:>32 三角形の奴か？それはある意味、角度の定義が全てだな。それから直角三角形と角度の関係を示せばよい。

やはり微分を用いずに三角関数を定義するのが自然だな。
ある関数の逆関数で定義するというものもある。

∫1/x　でlogを定義→逆でexp、解析接続->(C上の)線型結合ででsin, cos、とか？

Re:>36 それもありだろうけど、[>35]の言ってるのはそうじゃないと思う。

んじゃ、sin^(-1), cos^(-1)を級数で定義→その逆、とか？

Re:>38 級数を使うのならexpから定義するのが明らかに有利だが。sinの逆関数を、∫_{-1}^{x}(1-x^2)^(-1/2)dxで定義するんだよ。(

>>34
いや、関数論至上主義でやると、初等的な定理の証明がどのくらい複雑になるか
見たくてね。w

角度の定義はできてるとしていいから、
＞それから直角三角形と角度の関係を示せばよい。
これがどのくらいの長さの証明になるのかアウトラインだけでも示せないか？

>>9の折れ線の長さ<1-cosx+sinxって、三角不等式をどう使って出すの？

ｘ軸方向とｙ軸方向に分ける。

歴史的な考察すれば、やっぱり初等幾何だよな。

Re:>40
いや、角度の定義を明らかにしないとこれは証明できないんだよ。
とりあえず、やっつけでやってみよう。(他にもっとまともな定義がある。)
空間に点A,B,Cがあって、それぞれは互いに異なる位置にあるとする。
cos(角BAC)を定義しよう。
Aが原点の場合は、B,Cの位置ベクトルをb,cとするとき、cos(角BAC)=b·c/(|b||c|)とする。
(この定義だと角BACが劣角か優角かが定まらず、sinを計算するとき困る。この問題を解消するには、動径を考えればよい。(動径をどう考えるかがまた問題だ。))
とりあえず、角BACは0以上π以下の値をとるとする。
Aが一般の位置にある場合は、平行移動して同様に定義する。
さて、Oを原点として、Bがx軸の正の部分にあり、Cはxy平面上にあってy座標が正とする。
Bのx座標をa,Cのx座標をa,Cのy座標をbとすると、
ベクトルBOとベクトルBCの内積は、0であり、角OBCはπ/2になる。そして、cos(角BOC)=a/√(a^2+b^2)である。
後は、OC,OB,BCの関係を調べればよい。
OC=√(a^2+b^2),OB=a,BC=bであり、OB/OC=cos(角BOC),BC/OC=b/√(a^2+b^2)=√(1-cos(角BOC))=sin(角BOC)が成り立つ。
(角度の定義が不十分だったが、これで少なくともcosと内積の関係が分かれば十分であることが分かる。)
(ごく特別な場合にしかやってないが、直交変換で内積は不変であるという事実に注意しよう。)

>>44
＞cos(角BAC)を定義しよう。
＞Aが原点の場合は、B,Cの位置ベクトルをb,cとするとき、cos(角BAC)=b·c/(|b||c|)とする。

ええと、そのcos(角BAC)の定義は、cos(z)=1-z^2/2!+z^4/4!-…によるcos(z)の
定義（こっちが先でしたよね）にどう関係するの？（>>44の言い方だとcosという関
数が二重定義されているように見える）

角ＢＡＣを定義しよう。

age

要するに、角をどう定義するにせよ、最終的にはラジアン単位の実数値に対応させる
わけで、zが実数xのときのcos(x)はすでに（級数で）定義されているわけだから、
それがb·c/(|b||c|)とかに一致することを証明しなければならないと思う。

トータルでどっちが苦労多い？と（初等関数を級数で定義したがる著者に）問いた
い、小一時間問い詰めたいわけ。（関数論とかの中だけ局所的にスムーズに議論で
きたって意味ないじゃん）

age

>>44　詐称。

数板住人は死ね、くたばれ、消えろ、潰れろ、馬鹿、あほ、間抜け、ドジ、 ガラクタ、クズ、最低以下の下劣、下等種族、下衆野郎、 腐れ外道、
邪道、外道、非道、ウジ虫、害虫、ガン細胞、ウィルス、ばい菌、疫病神、 病原体、汚染源、公害、ダイオキシン、有毒物質廃棄物、発ガン物質、猛毒、毒物、
ダニ、ゴキブリ、シラミ、ノミ、毛虫、蠅、掃き溜め、汚物、 糞、ゲロ、ほら吹き、基地害、デタラメ、穀潰し、ろくでなし、夏厨、ヤクザ者、社会の敵、犯罪者、反乱者、前科者、
インチキ、エロ、痴漢、ゴミ虫、毒虫、便所コオロギ、詐欺師、ペテン師、危険分子、痴呆、白痴、 悪霊、怨霊、死神、貧乏神、奇天烈、変人、
毒ガス、サリン、糞豚、邪鬼、クレイジー、 ファッキン、サノバビッチ、小便、便所の落書き、不要物、障害物、
邪魔者、不良品、カビ、腐ったミカン、腐乱、腐臭、落伍者、犯人、ならず者、チンカス、膿、垢、フケ、化膿菌、放射能、放射線、異端者、妄想、邪宗、異教徒、
恥垢、陰毛、ケダモノ、監獄、獄門、さらし首、打ち首、戦犯、絞首刑、斬首、乞食、浮浪者、ルンペン、不良品、規格外、欠陥品、不要物、
埃、塵埃、インチキ、居直り、盗人、盗賊、残酷、冷酷、薄情者、クソガキ、ファッキン、有害物質、 発ガン物質、誇大妄想狂、アホンダラ、怠け者無能、無脳、
脳軟化症、思考停止、人格障害、極道息子、見栄っ張り、不良、イカレ、狼藉者、放蕩息子、道楽息子、迷惑、厄介者、異端者、タリバン、オサマ・ビン・ラディン、テロリスト 、
チェチェン、嘘つき、不正、叩き上げ、ケチ、裏切り者、ムネヲ、抵抗勢力、悪性新生物、原爆を落とした奴、アルカイダ、宮崎勤、吉岡（旧姓：宅間）守、朝鮮将校、乞食、
知覚的障害者、邪教祖、DQN、覚せい剤、エイズウイルス、SARS、テロリスト、荒らし部隊、アーレフ（旧：オウム真理教）、精神年齢3歳、3審は必要なし、
金正日、宇田川慶一、放射性廃棄物、割れたコップ、血歯死者、廣嶋死者、パナウェーブ研究所、
あの1１歳の少女以下の知能、国民の資格なし、白血病の原因、ハイブリッドカーの排気ガス、IQ10！
そして、この板に書き込む権利も価値もないクズ

まず単位円上で（１，０）から（ｃｏｓｘ，ｓｉｎｘ）までの弧の長さを
計算してみれば。

Re:>48 だから角度を定義しないといけないと言っているだろう。(0以上π以下の場合では、内積による定義で十分だけど、やはり納得いかないという人も居るかな？)

Re:>50 お前誰だよ？

＞わけで、zが実数xのときのcos(x)はすでに（級数で）定義されているわけだから、
＞それがb·c/(|b||c|)とかに一致することを証明しなければならないと思う。

それだけなら、たいして難しくはないから演習問題だな。むろん
幾何学的定義より簡単になるわけではない。何をやっても、たいてい
苦労は同じだよ。著者の変わりに俺が答えてあげよう：

「微積分の本を書くためだけなら級数のほうが楽ってことさ」

まず元々の幾何がどう定義されてるかちゃんと言ってもらわんと
級数使った定義と同じかどうか比べようが無い。

これほどスレ違いの議論が延々と続くスレッドも珍しい。

sinx/xのやつってさ、面積の不等式で求めるやつは循環論法になるとか言ってるけどさ、
円を扇形に細かく切って半分ずつ並べて平行四辺形を作るやり方で、
円の面積は2πr^2って小学校のときに一応習ってるんだよね。
ただ式を教えられただけじゃなくってさ。だから循環論法じゃないと思うんだけど。
こんな曖昧な求め方じゃダメってことなの？

ごめん、2πr^2じゃなくてπr^2でしたね。

57の考える「円の面積」の定義って何なんだろうね。

どうも根本的に納得いかない。
円弧には長さが存在することを示せと言うわけだが、
１．「sinx/x→1(x→0)をロピタルの定理を使わずに示せ」というような問題のときに、
このような議論をせねばならない積極的な理由が全く分からない。
（トートロジーがどうこう言っているがナンセンス。トートロジーで
なにが悪いのか？）
２．円弧に長さが存在しない可能性をまず言うべき。
言い換えると、円弧の長さというものが自明でないと思えるような言及をすべき。
これではアブストラクトナンセンスだ。
こんなことを言うんだったら、たとえばじゃあ実数とは何だ？数とは何だ？
極限とは何だ？それに答えなければ、証明出来てないことになるぞ。

age

>>60
> こんなことを言うんだったら、たとえばじゃあ実数とは何だ？数とは何だ？
> 極限とは何だ？それに答えなければ、証明出来てないことになるぞ。

普通にデデキント=ペアノの自然数の公理から始めて実数体を構成できるし、
そこから複素数体も容易に構成できる。極限の定義も容易。だから解析学では
冪級数から出発すれば良いだけなのでは？幾何学基礎論的に角度を公理的に定
義して、こいつに実数を対応させるのは二度手間になると思わない？

>>62
どうもアンカー付けなかったのが悪かったみたい。
オレが言ってるのは
「sinx/x→1(x→0)をロピタルの定理を使わずに示せ」
という問題が出されたときに、>>7で証明として悪い
理由が分からないということ。なぜ円弧の長さが存在するか
などと言うことを疑わなければならないのか。円弧がたとえば
フラクタルに見えるわけか？そんなのは言いがかりだ。

>>7を証明と認めた上で、他のアプローチもあるという話なら
なんらかまわないんじゃない？そりゃ別証明は当然あるだろうから。

（ちなみに>>7はx→+0が途中でx→0に変わってるけど、
まあマイナーなことだからそれはよしとして）

まあ、sinxは冪級数で定義するのが一番楽だな。
>>62の
＞幾何学基礎論的に角度を公理的に定
＞義して、こいつに実数を対応させるのは二度手間になると思わない？
に同意見。

>>63
>>9 なら問題ないが、>>7 はダメ。
その理由は >>8 その他過去レスor各種サイト参照。

駄目じゃないと思う。

age

>>65
＞その理由は >>8 その他過去レスor各種サイト参照。
理由を詳しくは知らないのだけれど、たぶん円の面積を出すのに積分使うから
云々を言うのだろうと思うけど、そんなこと関係ないと思う。
結局突き詰めれば好みの問題に過ぎない。
「半径１の円の面積はπであることは常識」で別に構わないと思う。
証明しなければならない範囲を厳密に規定できると考えるのはナンセンス。

（それが出来るのはまだ知られていない新しい事実を証明しているときか、でなければ
全てを公理系のみから組み立ててゆこうという話をしている時だけじゃないかと思う。）

常識的によく知られている事実を「常識」で済ませてはいけないというのだったら
実数とは何か？実数と直線や曲線の長さとが一対一に対応する
という証明はどこにあるのか？極限とは何か？
などなど、キリがなくなるのはあきらか。

ま、>>7 はダメだ。

>>7 のどこが間違っているのかわからなくても、
人生困ることはないから、まあ気楽に生きていけよｗ

結局好みの問題に過ぎないってこと？
終了かな。

>>71
きみが正解だ。これで終了だね。

必死な7が痛い。

好みに過ぎないことを薄弱な根拠で押しつけられてもねぇ。
いい迷惑だな。

>>74
君の勝ちだ。おめでとう。

age

712

curvilinear square method とはどういう意味ですか？

286

>>63
いや、あのう、俺も相当数学わかってない人間だけどさ、
キミのような考えからいったら、x→0の時、sinx/x→1って
もはや直観から明らかにならない？（sinとｘを図に書いて示してさ）

>>80
その言い分を排除することは、正確には出来ないだろうね。
ただ、それじゃあまりに荒っぽい説明だから、もうちょっと
曖昧さなく言ってくれという要求はするよ。
で、その要求に答えるとなると上で言ってるようなことを
言わざるを得なくなるんじゃない？
上でも、たとえば「半径１の円の面積はπは常識」では
ダメで、もうちょっと説明しろってことになると積分の定義
をして円の面積を実際に計算するってことになるんだろうね。

だから君の言ってることはすこしズレている。問題は、
それでもダメだみたいなことを言う人たちがいた
ってことなんだから。

805

>>81
君が正しい。よかったよかった。

で、解決策は？

解決策＝すべて好みの問題

ヴィヴィアニの窓

つまりこういうことか
「ボクチンにとってはこれでいいんですぅ〜」

以降最後に書き込みした奴の勝ち。
よ〜いスタート！
↓

age

471

199

オワ

ロピタルの本職は医者だよ。アレクシもこれぐらいの定理作れるかな？

ロピタルの定理とはこんなこと。

ttp://imai48.hp.infoseek.co.jp/english/kou/kyoku/keisan/no0012.html

599

漏れの先生はロピタルの定理なんていらない
って言って、教えてくれませんですた。

高２のとき、学校で習った

>>97
君が習ったのはほんの一部。
しかも結果だけ。

そして入試で牛刀をふるい、論拠の希薄な答案を作成して零点。

>>96
いらないだろ
いまどき教える奴いる？

検算に使える。
知ってた方が有利。

>>101
検算って試験用かね

生け花に使うんじゃないかなぁ

チャオズの相方のことじゃなかったけ

ロピタルは生け花に使うっと
ﾒﾓﾒﾓﾒﾓ

友達で数学すごくできるやつで自分でロピタルの定理発見してるやつがいた

高校のときね

>>104
てんしんはん

694

＞11
＞ロピタルさんについて教えてたもれ。どういう人なの？

亀レスで悪いけど、
ロピタルさんは、フランス人で１７世紀の人。
伯爵で、とっても裕福な人でした。
数学に興味をもち、家庭教師として、
有名なヨハン・ベルヌーイを雇いました。
ロピタルは、金にものを言わせて、ベルヌーイの発見を
買い取って、本にして自分の名前で出したそうです。
だから、ロピタルの定理の本当の発見者は、ベルヌーイなんですって。

age

ロピタルの定理って

f(x)/g(x) = f'(x) / g'(x)

のことだっけ？

こんばんわ〜
ちょっと計算していたら、以下の条件がわかったのですが、
何の定理ですか？ロピタルとは違うんですが、、、
ｌｉｍ（ｎ→∞）　ｎ・tan(ｘ／ｎ）　＝　ｘ　�@
ｌｉｍ（ｎ→∞）　ｎ・tan(π／ｎ）　＝　π　�A

�Aの条件がわかり、計算していたら�@も成立する事が
わかったのですが、何かの定理でしたかね？

>>113
定理っていうかtan(x)の0での微分の定義じゃない？

113です
微分ですか、なるほど確かに�Aは∞角形＝円の面積を求める為
極小な三角形の面積をまた集め、ｎ倍する事により円の面積を
求めてみて�Aが出てきたのですが、
実は、πではなくても任意のXでも�@が成立するので、何かの
定理かと思ったのですが？？？

面積を求める時にπが出てくるのは意味があるが、ｔａｎθの角度を
表すのにπが出てくるのは意味ないよね。ただ単に比率だけを示したい
だけだし。１８０度でも、それを１とする　としても何と定義しようが
意味ないね。
でも、113�Aの式は意味の無いθを表すための計算上の比のために利用
しているπが、実際の実数としてのπとイコールとなるとは？
これいかに？

3平方の定理のほうが感動するけど。

>>116
子土崩の定義の意味を知らないようだね。

age

882

852

394

このスレ

　〜〜〜〜終了〜〜〜

873

↑「エル・ホスピタルの定理」と読んだことがある香具師の数

age

831

私にはロピタルの定理は難しかった

494

655

228

ロピタルはやめとけ

781

411

728

530

　／￣￣＼　　
＜ ´･　　　 ＼
　|　３　　 　　 丶 　　　king氏ね
＜ 、･　　　　　　＼ 　　
　＼＿＿／ ∪ _∪)
　　　　　 　　 Ｕ Ｕ

talk:>>138 お前に何が分かるというのか？

>>139
ろぴたるの定理

talk:>>140 [>>138]はなんだよ？

>>141
ロピタルの定理適用しているときの体の状態だ

talk:>>142 お前に何が分かるというのか？

>>143
ロピタルの定理

talk:>>144 何考えてんだよ？

>>145
ロピタルの定理

talk:>>146 何やってんだよ？

　／￣￣＼　　
＜ ´･　　　 ＼
　|　３　　 　　 丶 　　　king氏ね
＜ 、･　　　　　　＼ 　　
　＼＿＿／ ∪ _∪)
　　　　　 　　 Ｕ Ｕ

talk:>>148 何でそうなるんだよ？

>>149
ロピタルの定理を適用するとこうなる

(sin x)/xのx→0での極限はsin xのx=0での微分係数を尋ねているわけだ。

この問題でロピタルを使うのは明らかな循環論法だよ。

talk:>>150 お前に何が分かるというのか？

幾何的な定義ってのは細かく考えると面倒くさい
それについてどうこう言う奴はお前自身でまずsin、角度、曲線の長さなどを定義せいや

>>151
それはsinxの定義の仕方によって変わる。

>>155
sin xの定義の流儀はいろいろあるが、
微分係数という概念の定義は共通だぞ。

sin xをどのように定義しようとも(sin x)/xのx→0での極限は
(sin x)'のx=0での値だ。

talk:>>153 お前が先に死ね。

人の脳を読む能力を悪用する奴を潰せ。

人の脳を読む能力を悪用する奴を潰せ。

lim[x→0]f(x)/x＝f'(0)
これはロピタルの定理の特殊な場合。循環論法でも何でもない。

頭悪すぎ

三角関数の導関数を求めるには(sin x)/xのx→0での極限を使うんだよ

ドアホｗ

>>162
>>155

>>162
(sin x)/xのx→0での極限はどうやって求めるの？まさか、教科書に載ってる
インチキな証明(扇形と三角形の面積を比較するやつ)を使うわけじゃないよな？

>>164
普通は級数で三角函数を定義する。杉浦でもそうやってる。

>>162
その通り。(sin x)/xのx→0での極限は (sin x) のx=0での微分係数だ。
(sin x) のx=0での微分係数は？という問に対して
(sin x) のx=0での微分係数は1だから答えは1です、なんて答えるのは循環論法そのもの。

>>164 そんなもンは証明じゃねーよｗ
>>165 大学生ならそれが普通ｗｗ

>>166
> (sin x) のx=0での微分係数は1だから答えは1

それを証明しろっていう問題だね

>>165,167の言うように整級数を使って三角関数を定義するのがスマートだろう

f：R→Rは原点以外の任意の点xに対して微分可能であり、しかもα＝lim[x→0]f’(x)が
存在するとする。このとき、ロピタルの定理からlim[x→0]f(x)/x＝αが成り立つ。

上記のfの、原点以外での微分可能性が、lim[x→0]f(x)/x＝α という式を使わずに
示せているのならば、lim[x→0]f(x)/x＝αという式をロピタルの定理で以って導く
ことは 循 環 論 法 で は な い 。

三角関数を整級数を使って定義しておく。ここで、lim[x→0]sinx/x＝1を証明したい。
f(x)＝sinx＝Σ[i＝0〜∞]x^(2i＋1)(-1)^i/(2i＋1)！とおく。fの原点以外での微分可能性は、
f’(x)
＝lim[h→0]{sin(x＋h)−sinx}/h　(f'の定義より)
＝lim[h→0]Σ[i＝0〜∞]{(x＋h)^(2i＋1)−x^(2i＋1)}(-1)^i/{h(2i＋1)！}
＝Σ[i＝0〜∞]lim[h→0]{(x＋h)^(2i＋1)−x^(2i＋1)}(-1)^i/{h(2i＋1)！} (極限の順序交換が可能。証明は略)
＝Σ[i＝0〜∞]x^(2i)(-1)^i/(2i)！
＝cosx
となる。lim[x→0]sinx/x＝1という式を使わずに、原点以外での微分可能性が
示せていることに注意する。このとき、
lim[x→0]sinx/x
＝lim[x→0]f(x)/x
＝lim[x→0]f’(x)　(ロピタルの定理)
＝lim[x→0]cosx
＝1
となる。よって、lim[x→0]sinx/x＝1が成り立つ。この証明は循環論法では無い。

>>169
> f(x)＝sinx＝Σ[i＝0〜∞]x^(2i＋1)(-1)^i/(2i＋1)！とおく。

これを項別微分して(sin x)' = cos x。
特にx=0として(sin x)'のx=0での値はcos 0 = 1。
よってlim[x→0]sinx/x = 1。

ロピタルの出る幕は無い。

三角函数を級数で定義って反則だろうｗ

以下のように定義するのが自然。

単位円の方程式(さしあたって第一象限の円弧のみ考える)
x^ 2 + y^2 = 1

から
x = √(1 - y^2)

y で微分して

dx/dy = -y/√(1 - y^2)

(dx/dy)^2 = y^2/(1 - y^2)

1 + (dx/dy)^2 = 1/(1 - y^2)

よって y = 0 から y までの円の弧長 θ は
θ = ∫[0, y]√(1 + (dx/dy)^2) = ∫[0, y]dy/√(1 - y^2)

よって
dθ/dy = 1/√(1 - y^2)

この逆関数が y = sin(θ)

メコスジの定理

何が反則なんだかわけわかめｗ

>>173

その級数はどこからか見つけてきたんだろ。
つまり定義は別にあるってこと。
それを知らないふりをしてるから反則だっての。

そういう文句は小平とか杉浦に言えよｗ

>>174
いや、なんか自然そうな級数だから sin,cos って名前を
付けてみたんだよ。それが単位円云々になったのは偶然。

新スレ立てるときはその２とかしてくれよな。

>>171の方法は積分論をかなり準備しなきゃいけないので教える方としては辛いと思う。
弧長の逆函数として得られる函数はいくつかあるので、そういう方法は知っておくべきだけどね。

>>176がいうように、e^ix＝cos x + i * sin xから出発すれば
cos x、sin xの級数表示は自然に得られるし、数学的な準備はそっちの方が楽。

>>178
>e^ix＝cos x + i * sin xから出発すれば

それもずるだよな。
皆、三角関数が円弧からきていることは知っている。
知っていて知らないふり。それも場合による。
場合によってはその知識をちゃっかり使う。
つまりご都合主義。
ずるいｗ

>>178
級数の収束、微分と無限和の交換可能とか、結局は準備はいるけどねえ。
加法定理やろうとしたら、二重級数になるし。

初等関数の厳密な定義には、ある程度微積分を教えてからでないとできないね。

>>179
「三角」関数が円弧から来ているってのも、ずるだよなあ。
直角三角形だけからはじめないとｗ

>>179
なにがズルなんだ？

> e^ix＝cos x + i * sin xから出発すれば
円弧を複素平面で扱っているだけじゃんｗ

>>180
> 加法定理やろうとしたら、二重級数になるし。
普通は二重級数を使わずに指数法則e^(x+y)=e^x * e^yを使う。
三角関数の加法定理なんて覚えられないから、いっつも
指数法則から導出してた（といっても０．０１秒程度の脳内操作だが）。

>>183
e^(x+y)=e^x * e^y は、どうやって証明するの？

高校数学における実数偏重主義の弊害ですね

初等関数を実数の世界だけで考察するのは、窮屈だし、あまりメリットが無いように思いますよ

今は高校で複素数をやらないの？
複素平面とかド・モアブルの定理とか。

新課程（今の大学1年から）では、複素平面がなくなって複素数は
方程式を解くために使うだけ。それも、数IIで教える。

まあ、複素平面は1980年ごろ（数学IIBとか言ってた時代）にも
なかったけどね。

ゆとり教育ってやつか。
アメリカじゃ数学教育に力を入れてるってのに。

いちおう指導要領を擁護しておく（したくないがｗ）と、複素平面を
入れたら、一次変換がなくなっている。

平面の回転を複素平面で扱うか、一次変換で扱うかどちらか。今の指導要領
では、複素平面に代わって一次変換が復活した。ただし、点の回転移動だけで
直線の回転は扱わないので、昔の指導要領にくらべれば「ゆとり」に
なってしまっている。面白みがなくなってしまった。

昔は（1960年代後半）一次変換の代わりに座標変換があった。
行列はなかった。
複素平面も初等幾何もあった。
なんで初等教育をいじるんだろな。
初等教育ってのは数学がどんなに進歩してもそれほど変える
必要はない。
問題ないものをいじるっていうのはちょっとというか、かなりアホ。

役人根性なんだろうな。なんか変えないと自分たちの存在意義が
ないと。教えられるほうがいい迷惑。

昭和４４年告示の学習指導要領がひとつの転換点。
いわゆる「現代化カリキュラム」。
その理念は「基礎概念をしっかりやれば応用なんて簡単」。
それ以前は複利計算のような実用的な題材も多かったが、
数学屋的な意味での基礎概念重視になった。

昭和４４年告示分は「小学校で集合論を教える」など突飛な物もあり、
受験競争激化もあって、「難し過ぎる」批判が一気に出た。
そのため昭和５３年告示分以降から「ゆとり」路線が始まったが、
「基礎概念をしっかりやれば応用なんて簡単」という理念自体は今も続いている。
現行指導要領を擁護する際の台詞がこれだったんだから。

>>191
昭和４４年告示の「現代化」は、小学校で集合論とか変な部分も
あったが、あれはあれで奇跡的にうまくいったカリキュラムだと
思いますが…

行列・ベクトルがぴったりとはまったし。その後、一次変換をはずしたり、
空間図形をばっさり切ったり、いじるにつれてどんどん悪くなった点では
>>190 にも同意。

>>170
もちろん、そういう議論の方が普通。しかし、その議論をせずに、あえてロピタルの
定理を経由することも可能(しかも循環論法では無い)。従って、lim[x→0]sinx/x＝1の
証明にロピタルの定理を使うのは(sinxを無限級数で定義した場合は)循環論法では無い。

f’(x) ＝cosx の証明のさいに、x≠0 が必須なら意味ある話だが・・・

>>193
>>169のようなことを書くと痴呆だと判定される可能性が高い。
わざわざロピタルなんか使うメリットがないじゃんｗｗｗ

アホが言い訳しているだけ。

>>164
アレは分りやすくていいなーと思ったんだけどダメですか？
大数で蜘蛛先生も普通にその証明法してたし。

＞ロピタルの定理
高校生の頃習った。
大学入ってから、忘れて使ってない。
今はテイラーの公式でカバーしている。

>>197
はいはい、高校生は受験板にお帰り。なぜダメなのかわからないなら
ロムってなさい。

>>198
実用上はあまり問題ないが、テイラーの公式は開区間で微分可能でないと
いけないので、微係数の存在を一点でのみ仮定するロピタルの方が
適用範囲は広い。まあ揚げ足取りです。

>>195
俺は、ロピタルの定理を使うことにメリットがあるから>>169を書いたのではなく、
>>151や>>162(←特にコイツ)のように、「ロピタルの定理を使ってlim[x→0]sinx/x＝1を
証明するのは(sinxをどう定義しようとも)絶対に循環論法である」と考える勘違い野郎に
説明するために書いたわけだが。

>>196
どこが言い訳なの？>>151や>>162は正しいのか？

>>199
>揚げ足取りです
率直なご指摘、ありがとうございます。

ただ、テイラーの公式にも、最高次の微係数については
一点でのみでの存在を仮定する version があります。
もちろん、関数は、最高次未満の微係数については、
開区間全体で存在するとします。
当然のことながら、剰余項の評価は悪いです。
収束のオーダーだけがわかればよいので。

最高次＝1 のときが、ロピタルの定理に適用される場合ですね。

>>199
>微係数の存在を一点でのみ仮定するロピタル

ロピタルは微係数の存在を一点以外で仮定するんだとおもうけど

>203
一般化されたんじゃない？

>>203
ああ、すまん。その点以外で仮定するんだった。

ロピタルで仮定するのは
・x≠0 での微分の存在（右か左か片側だけでも可）
・lim[x→0] f(x)=0, lim[x→0] g(x)=0
の二つで
lim[x→0] f(x)/g(x) = lim[x→0] f' (x)/g' (x)
となって、右辺が存在するなら左辺も存在して等号が成り立つことが、
ロピタルの定理。f(0), f' (0) の存在じたいは仮定しなくてよい。
x→∞ でも成り立つ。

>>202
f(0)=0 のとき、lim[x→0] f(x)/x =f' (0) というのが、f(x) の
x=0 での微係数の定義そのものですからね。たいていはこれで十分だし、
この場合、ロピタルとは逆で x≠0 での仮定は不要で x=0 で仮定がいる：
・f(0)=0
・f(x) は x=0 でのみ微分可能

安田の定理には唸ったもんだよ
なかなかやりますな

安田大サーカスの定理

杉浦の解析入門では節末問題で「ロピタルの法則」として取り扱っているだけで
定理扱いはしてない。
数学的にはコーシーの平均値定理の単純な使用例に過ぎない。
大学に入ってまでロピタル、ロピタル言ってる奴はガキでしょｗ
↓こんなバカまで登場するしｗｗｗ

>>19
> 微係数の存在を一点でのみ仮定するロピタルの方が適用範囲は広い。

最初の方と最近 sin(θ) の定義をやっていたが、その話題は面白い。
別スレでやらないか？

>>209
一度その流れになりかけたが 「 >>7 が証明としてどこが悪い」と
言い張るアホが粘着したので、みんな引いてしまった。>>60-87 あたり。

2ちゃんでこの手の話（π は無理数かとか、五次方程式の解の公式とか）を
しはじめると、全体の構造を理解してないのが「俺の理解のどこが悪い」と
粘着するだけになるからな。馬鹿は無敵だｗ

>>7 が不完全なのは常識、それを完全にする方法は、級数なり微分方程式なり
弧長の定義なり、いくつもあることを知った人限定で、どう説明するのが
わかりやすいか議論しようなんてスレが成り立つわけねーじゃん。

>>210

そういうアホや粘着は無視すればいいだけのこと。
あんたの理屈なら２ｃｈの数学板のスレは全部成り立たない。

>>211
だから、ほとんどが糞スレと化してるじゃんｗ

>>212

２ｃｈがわかってないな。全部糞じゃないだろ。
まともなものもある。貴重な情報もたまにある。

糞は無視すればいいって言っただろ。
日本語わかるか？

>>213＝糞を無視できないバカｗｗｗ

>>214

別に無視しなくてもいいんだよ
ヒマなときはアホをかまうのも面白い

どうも１つだけ気になるんだけど、>>17-19が正しいのなら
もしかして>>7でもいいんじゃね？

問題なのは sin(x)<x<tan(x) をどうやって示すかって事かな。
中島「なっとくする微積分」では面積の比較でアッサリ出してるよ。

面積使うと評価は楽なんだけど、角度の定義を円弧の長さにすると
扇形の面積を求めるところで問題になる。>>17-19 でも同じ。

扇形の面積＝半径×弧長÷２でしょ

>>219
それをどう証明する？

円の面積＝半径×円周÷２の証明は小学生のとき図鑑で見たんだけど
アレと同じやり方じゃ駄目？

>>219
扇形の面積＝半径×弧長÷２はどうやって証明するの？

「小学生の図鑑」でいいレベルなら、>>7 は何も問題ないよ（笑

>>222
221に書いたんだけど、同じ扇をもう１個用意して
ザクザク刻んで合わせると長方形みたいな図形になって、、、
っていうやり方。見たことないですか？

>>223
じゃあＯＫって事ですね。

幼稚園レベルならおｋ＞２２５

>>224
「長方形みたいな図形の面積」≠「長方形の面積」
刻み方を細かくしていくと、両者が同じ値になっていくことを証明しなければならない。
しかし、それを証明しようと計算していくとlim[x→0]sinx/x＝1を証明しなければ
ならなくなる。

おめでとう、225は微積分・小学校コースをクリアしますたｗ

この話しもともと高校生の教科書がでどころなんでしょ？
小学生レベルの話しで証明がＯＫならバンバンザイじゃん。

>>227
>しかし、それを証明しようと計算していくとlim[x→0]sinx/x＝1を証明しなければ
>ならなくなる。

そうかなあ、、、
内接長方形と外接長方形の面積の差がゼロになる事の証明が問題なの？

>>229
小学生ならそれでもいいが高校以上では駄目、って意味だろｗ

>>230
ゼロにならなかったら、円の面積の公式はどうやって証明するの？

つうか>>17-19は本当に正しいの？ガセネタじゃなくて？
>>17-19が正しいのなら>>7はフツーに正しくないか？

>>232
長方形モドキの上下のギザギザしたところはだんだん直線に近づく
んだからゼロになるのは自明だとおもうけど。

リア厨が混じってる悪寒ｗ

>>234
＞長方形モドキの上下のギザギザしたところはだんだん直線に近づく
何で直線に近づくの？証明は？ちゃんと計算したの？

で、ちゃんと計算していくと、最後の最後にlim[x→0]sinx/x＝1という式を
証明しなければならなくなる。

円の面積は 不定積分∫√(1 - x^2)dx を計算すればいいんだけど、
これどうやるんだっけ？

>>237
それに三角関数の微積を使うから>>7はインチキだって話しじゃなかったけっけ？

>それに三角関数の微積を使うから

使わなければいい

>>239
どうやるのか教えて。

>>236
半径（=OA=OB）rの扇形OAB（←ザクザク切り刻んだ細い扇のひとつ）
において弦ABの長さを2xとして弦ABの中点をM、
直線OMと弧ABの交点をCとおくと
線分CMの長さはr-√(r^2 - x^2)で、これが
長方形モドキのギザギザした辺の幅だから
大量に刻めばx→0となって、幅はゼロになるでしょ。

>>240

忘れたから聞いている。
積分を有理化するんだけど。

つうか円の面積πr^2を積分を使わずに求めても、結局それから
円周の長さ2πrを求めなきゃならないんだから同じことか。。。

完全に厨房スレになったね

>>243

円周の長さが2πrというのはπの定義

>>245
じゃやっぱり>>17-19がもし正しいんだったら>>7は正しいんじゃないの？
（>>218がどうも意味が分からないんだけど。）

>>241
残念ながら、その計算は「長さ」と何の関係も無い。たとえ幅がゼロに近づいても、
長さが同じになるとは限らない。すなわち、弧ABと線分ABの比が1に近づくとは限らない。
正しい計算は「(弧ABの長さ)/(線分ABの長さ)が1に近づく」ことを示すこと。さあ、やって
みなさい。

円の面積を求めるには三角関数の微積を使うのが簡単だな。
で結局 sin(x) の定義に帰着する。

どうも>>17>>19はガセっぽい？（出てきてくれないかなぁ）

>>249
通常、面積の定義には積分あるいは測度を使う。なぜなら、この方法だと
一般の集合に面積が定義されるから。面積をこのように定義した場合、
>>17は嘘。何らかの形で積分を経由せざるを得ない。面積を別の方法で
定義した場合は>>17もありえる。

>>250
なんか変じゃない？一般論としての積分を使うかどうかということじゃなくて、
円の面積を求めるのはsin(x)やcos(x)の積分になるから>>7はおかしいってことでしょ？

＞円の面積を求めるのはsin(x)やcos(x)の積分になるから
だ・か・ら、君がそこで言っている「面積」という概念が、積分を使わない
何らかの方法で定義されているのであれば、円の面積はcos(x)やsin(x)の
「積分」を使わずに求められるのだから、その場合は>>17もありえる。

>>252
だからそれは十分条件であって必要条件ではないでしょ？
>>7が問題だってのは高校の教科書なんかでlim(x→0)sin(x)/x=1を使って
三角関数の微分を計算するのに、その証明の途中で円の面積の話しを使っていて
その円の面積の計算をするのに置換積分でsin(x)の微分がcos(x)だってのを
使ってるから、それじゃグルグル回ってるから>>7はダメだってことじゃないの？
そのどこかが断ち切れるんなら，どこが切れても別にいいでしょ？

>>253
もともと十分条件の意味でしか書いていないのだが。

>>254
あースマンわかった。
だけど、それ>>17がウソだって根拠になるのかなぁ。>>17はそういう意味で言ってるのでは
ないと思うけどねぇ。
とかイイながら多分>>17はガセだろうけどね。

普通に微積使えばいいだろ。
なんでそんなもんに拘ってるのかわからん。
仮に微積使わずに sin(x)/x → 0 が証明できたとして、
どういうメリットがあるわけ？

>>247
>残念ながら、その計算は「長さ」と何の関係も無い。

そりゃそうでしょ。もとの扇の弧長に収束するのは
「全ての細い扇における弦AB」の和のほう。

>弧ABと線分ABの比が1に近づくとは限らない。

？？？それで？

>正しい計算は「(弧ABの長さ)/(線分ABの長さ)が1に近づく」ことを示すこと。

なんか俺の話とは違う話のような、、、

>さあ、やってみなさい。

そう言われてもねえ、、、
図が無いと伝わらんもんだな。

>>256
オマエものすごい奴だな。>>253で言ったばかりなのにそういうこと言うわけ？

>>257
ああ、分かった。俺が勘違いしていた。こうだな。
>>241の計算では、「三角形OABと扇形OABの誤差」が0に近づいていくことが示されている。
これは正しい。しかし、証明しなければならないのは、

円を細かい扇形に分割して組み替えたときにできる「長方形モドキ」の面積が「長方形の面積」に近づくこと

である。 円がn個の細かい扇形に分割されいているとすると、その中の1つを扇形OABとすれば、
「長方形モドキの面積」＝n×「扇形OABの面積」となる。一方、
「長方形の面積」＝n×「三角形OABの面積」となる。よって、
「長方形モドキの面積」−「長方形の面積」＝n×「三角形OABと扇形OABの誤差」
となる。nを大きくしていったときに、これがゼロに近づくことを言えばよい。さて、>>241の
計算により、「三角形OABと扇形OABの誤差」はゼロに近づいて行くわけだが、これのn倍までもが
ゼロにいくことは示されていない。だからダメ。

>>258

意味不明。
>>253 は >>7 を微積使わずに証明できるならそれもいいって
ことだろ。それはむしろ >>256 と反対の主張だろ。

>>253と>>256は明らかに別人だろ。>>253-255で会話おわってんじゃん。

ところで>>17はけつまくって逃げたのか？

>>258 は >>253 と >>256 が同一人と思ったのかよ。
どこからそういう発想が出るんだよ。
勘違いにも程がある。

あと>>242も気になる。（ホントなのコレ？）

>>262
それ以前に>>256は何を言おうとしたんだ？

>>256
微積使って sin(x)/x → 0 を証明しようにも、うまくやらないとsinxの
微分にsin(x)/x → 0 が使われてしまい、循環論法に陥る。

ごめん。
誤：sin(x)/x → 0
正：sin(x)/x → 1

lim x→0 (1-cos(x))/(x^2) = lim x→0 (sin(x))/(2x) = 1/2を示せ。
ただし、(sin x)'=cos xを使うな。

>>265
>うまくやらないと

うまくやるに決まってるだろ。
例えば、>>171 のように。

>>264

微積使って sin(x)/x → 0 を証明すればいいだろと言ってる。

当然 sin(x)/x → 1 の間違い

>>209-215 の糞議論が懐かしく思える、ここ50余りのレスｗ

>>268
それなら無限級数でもいいな。

>>259
「（扇形OAB）−（三角形OAB）」n個の和集合が
「縦の長さCM、横の長さ(n×AB)」の長方形に含まれて、
n→∞とするとCM→0、n×AB→「もとの扇の弧長」
になるから
n×「三角形OABと扇形OABの誤差」→0
になるっていう話なんだけど。

>>269
どうやるの？

>>272

無限級数で sin(x) を定義するなら、それが角度 x ラジアンの
単位ベクトルの y 座標と一致することを証明する必要がある。

>>273
＞n×AB→「もとの扇の弧長」
これはどうやって証明するの？

>>274

例えば >>171 を使う

>>276
証明っていうか、それは弧長の定義だから。

>>278
O.K.　そこまで分かってれば問題ない。

>>278
弧長の定義なら 「n×AB の極限」≦扇の弧長 だな。
等号示すには、何かもう一つ準備がいる。

>>277
そういうことか。（それ普通のやり方なの？）
それは置いといて、上で言っていたのは高校の教科書の話しだよ。
円の面積が通常の高校の教科書にあるように置換積分で計算するってのじゃ
なくて別の方法があるんなら、>>7の方法が使えるって話しをしてたの。
>>7は感覚的に分かりやすいというメリットがあるから、残せるんなら残したい。

>>281
弧長（すなわちラジアン）を定義してから三角関数を定義するのが
自然なのだから、>>171 のほうが >>7 よりも正道。

>>7 が批判される理由の一つは、弧長の定義がないこと。
そのためには微積が必要なのだから、結局は >>171 。

弧の長さの定義に微積はいらないだろ。内接折れ線の上限で定義されるんだから。

>>282
正道とかそういう話しをすると>>7がおかしいのはそうなのかもね。
でもそういうこと言うと高校の教科書は全部正道ではなくなるし、
正道な方法で高校の教科書を作るのは多分不可能だろうね。
（高校でも実数を使うのだから実数の定義をまずやるのが正道とかね）

ああ、微積なくても弧長じたいは内接折れ線の上限で定義できるね。
そこから sin x/x -> 1 まで微積を回避して証明するのは
易しくはないね。

また、上限だから >>280 みたいな問題も生じる。

折れ線の上界の存在は三角不等式より直ちに導けるぞ

>>284
もともとは >>7 がおかしいという話。高校数学の教科書とか
上のほうで誰かが言っていた「小学校の図鑑」レベルでいい世界もある。

高校の教科書や小学校の図鑑が正しくないということがわかっていれば、
高校卒業時点では十分。大学で厳密にやればよい。

>>280
曲線が連続なら ＝ になるな。

>>286
上界の存在がわかったところで、「n×AB の極限」＝扇の弧長 は
すぐにはわからんだろ？

>>289
？？
上界が存在すれば上限は存在する。それが弧の長さだろ。

>>290
だから、「n×AB の極限」が上限になるのかってこと。

>>287
いやだから、たとえば>>17がガセじゃなかったり>>242が本当だったりしたら
>>7は使えるんだから「もともと>>7はおかしい」とは言えなくなるって話しをしてたんだけど。

>>291
？？
俺はそんな話してないだろ。

＞ 弧長の定義がないこと。 そのためには微積が必要なのだから
と
＞ そこから sin x/x -> 1 まで微積を回避して証明するのは易しくはないね。
に突っ込んだだけだから

>>290
「上限」という概念の定義を見直してこい。一般には、n×AB の極限が上限に一致するとは言えない。

>>293
弧長の定義に微積はいらないのはその通り。だからといって、
内接折れ線の上限で定義したところで、sin x/x -> 1 を示すのは
簡単じゃないだろ？

>>295
0<x<pi/2のとき、上界の1つに1-cosx+sinxが取れるだろ。だから sinx < x < 1-cosx+sinx が成立する。

>>296
たしかそれ「笠原」で見た。うまいもんだと思ったよ。

>>296
ああ、それなら問題ないな。わかった。

別の話を振りたいんだけど、高校の教科書は>>7を採用しているのが
いくつかある筈なんだけれど、>>7はどうもダメみたいだから、
「高校の教科書での説明」と限定して、どう修正するのが妥当なんでしょ？

>>299
>>9

>>300
ども

ですね。

>>295
> 弧長の定義に微積はいらない
> 内接折れ線の上限で定義

それって積分じゃんｗ

一年半以上前の話なのに一日も経たずに「逃げたのか？」なんて馬鹿だな

>>303
微分できないときにどうやって積分で定義するの？

>>240

X 軸上の点 (t, 0) と単位円の頂点 (0, 1) を結ぶ直線と単位円の
交点を (f(t), g(t)) とする。
f(t) と g(t) は t の有理関数になる。

∫√(1 - x^2)dx =∫ydx = ∫g(t)(df/dt)dt となる。

誰か計算してくれないか？

>>9でいいのなら同じように>>7も証明できるから>>7でもいい。

逃げたのか？

yesyesyesyesyesyesyesyesyesyesyesyesyesyesyesyes

>>206
証明してみた。
証明：F(x)＝g(x)/h(x)とおく。Fはx＝aで極値を取るから、F’(a)＝0でなければ
ならない。F’(a)＝{g’(a)h(a)−g(a)h’(a)}/h(a)^2＝0 となるので、これを
整理して、g’(a)/h’(a)＝g(a)/h(a) を得る。

やってみると物凄く当たり前だな…(・д・)でもキレイ。

>>261

>>306 を計算するやつ誰もいないのかよ。

1/(1 + t^2) の積分が出てくる。
これは arctan(t) なんで結局、三角関数から逃げられない。

「計算」なんてしなければいい。

>>237>>238>>239>>240>>306>>312
三角関数を定義するのに円弧の長さが必要。
円弧の長さを計算するのに>>306>>312と同様に三角関数の微積が必要。
三角関数の定義に三角関数の微積を使うから三角関数はインチキ？

散々議論され尽くしたことだけど、e^ix = cos x + i sin xから出発して、級数で定義するのが正解

>>314
円弧の長さを微積を用いずに定義すればよい。そして、それは可能。

意味不明だな。
長さ、面積、体積等を定義するのは積分論の核心だぞ。

>>316
だったらその微積を用いずにの方法を>>237-240>>306>>312でも使えばいいじゃない

>>315

その定義が三角関数の普通の定義と同じことを証明する必要がある。
結局、弧長の積分計算が必要。

曲線長の定義を知らないリア厨が書き込んでいる。

杉浦の解析入門くらい読んでから書き込めよｗ

「曲線長の積分計算」ってなんだよ？＞高坊

>>322
高校生にとって曲線長とは「曲線長の積分公式」で計算される値のこと。
どの教科書を見てもそういう説明になっているから、学習指導要領で縛られているのだろう。
定義抜きに計算公式を教え込んでもね〜という感は否めない。

>>318
曲線長の定義には微積はいらないが
>>237-240>>306>>312 は微積そのもの。

>>323
まあ、高校ではしかたない。大学で勉強しなおせばいいだけ。
いつまでも高校レベルの理解でとどまってるのが多いだけ。

>>322

知らないのか？＞中坊

>>312=>>316
円弧の長さのときは微積を用いずにやってよくて
円の面積のときはやってはだめなのはなぜ？

>>323
そうなんだろうな。その結果として、「微積＝微積分の計算」という低脳児が大量生産された。
そいつらにとって曲線長の定義は微積分ではないように見えるんだろうな。

>>324
>>237-240>>306>>312で微積を使ってやってるのを
使わずにやればいいじゃん

>>329
じゃあ、やってみせてｗ

>>330
316がやってくれる方法を面積でやればいい

>>331
で、どうやるかはわからんわけね。

>>325
一年生の今の時期なら、いくら進度が遅くとも、上積分、下積分、ダルブーの定理くらいは
やってるし、教科書を先読みしてれば曲線長の定義くらいわかる。
だから、「曲線長の積分公式」なんて振りかざすのは高校生か浪人生くらいでしょ。

>>332
R^nのルベーグ測度の定義の仕方も知らずに色々言ってたのか？

>>334
ルベーグ測度の定義が「316がやってくれる方法」とどう関係するの？ｗ

>>333
近頃は、曲線長の定義をちゃんと書いてない教科書を使ってたり
しないかなあ（ぼそ

>>335
まず316がいってるのをやって見せて。

>>337
過去ログ嫁

>>338
内接折れ線の上限ってのだったら面積のほうも図形を長方形で覆って
その面積の下限ってやっていけば三角関数の微積は使わなくていいから
「316がやってくれる方法」はそれとは違うんだろ

>>339
長方形でうまく覆っていって、 sin x/x -> 1 出すことは原理的には
可能だと思いますよ。ただ、俺にはすぐに思いつかないな。

「316がやってくれる方法」=内接折れ線の上限でいいの？

>>341
正確には「上界」な。有名な誤りである sin x < x <tan x だと
証明するのが難しいが、sin x < x <1-cos x+sin x なら、内接折れ線の
上界と三角不等式からすぐ出る。>>9 参照。

そんなもんいらないって。
曲線長の積分公式使えばいい。
微積分じゃこの公式の証明も含めて常識なんだから。

>>1 名前：恥ずかしながら初心者 投稿日：05/03/11 14:18:44
こないだ習いました　オイラーの公式と同じくらい感動しました

>>2 名前：１３２人目の素数さん 投稿日：05/03/11 14:20:18
2get

>>3 名前：１３２人目の素数さん 投稿日：05/03/11 14:23:16
そんなだからsinx/xのx→0もロピタル使わないと求められないんだよ。

>>1の感動について知りたいな。
>>2は馬鹿
>>3は責任取れよ

Ａを円Ｏの周上の点，Ｌを円ＯのＡでの接線，Ｂ，ＣをＬ上にあり
Ａに対して同じ側にある点でＢのほうがＣよりＡに近い点，
Ｄ，Ｅを円ＯとＯＢ，ＯＣの交点とする。
Ｄを通りＬに平行な直線とＯＣとの交点をＦ，ＤからＯＣに下した垂線と
ＯＣの交点をＧとするとＧ，Ｅ，Ｆの順に並ぶのでＤＥ≦ＤＦ≦ＢＣ。
弧ＡＤの内接折線の長さ≦ＡＢで極限をとって弧ＡＤ≦ＡＢ。
Ｄ≠ＡのときＤでの円Ｏの接線とＬの交点をＨとすると
弧ＡＤ≦ＡＨ＋ＤＨ＜ＡＨ＋ＢＨ＝ＡＢ。

>>345
これは難しいそうです

平面凸集合に関して，周の長さＬが一定で面積Ａが最大の図形は円である
という事実から「円周<外接多角形の周の長さ」が得られるので、
これでsin(x)<tan(x)を言うってのはダメなの？

× sin(x)<tan(x)
○ x<tan(x)

＞平面凸集合に関して，周の長さＬが一定で面積Ａが最大の図形は円である
これはどうやって証明するの？

>>349
等周問題でググると出てくる。

等周問題でググったら変分法が出てきた。変分法のことはよく分からんけど、変分法で
・平面凸集合に関して，周の長さＬが一定で面積Ａが最大の図形は円である
を証明するときにsinx, cosxの微分は使わないのか？もし使うのなら>>347はアウトだ。

＞sinx, cosxの微分は使わないのか
正確に言うと (sin(x))'=cos(x) を使うのかどうかだよね？
たとえばここ見てみて。
http://www.ph.sophia.ac.jp/~goto-ken/text/kaisekirikigaku/toshumondai.html
たぶん使ってないんじゃない？

逃げたのか？

yes

>>9の1-cosx+sinxって何を意味してる？教えてえらいひと

上界のひとつ

844

259

二年十時間。

age

lim[x->0] {sin(tanx)-tan(sinx)}/{arcsin(arctanx)-arctan(arcsinx)}
は幾つ？

>>361
f(x)=x+a1x^3+a2x^5+a3x^7+...
g(x)=x+b1x^3+b2x^5+b3x^7+...
とおくと
f(g(x))-g(f(x))=c1x^7+c2x^9+...= {3a1b1(b1-a1)+2(a2b1-a1b2)}*x^7+... だから
tanx=x+(1/3)x^3+(2/15)x^5+...
sinx=x-(1/6)x^3+(1/120)x^5+...
arctanx=x-(1/3)x^3+(1/5)x^5+...
arcsinx=x+(1/6)x^3+(3/40)x^5+...
より>>361の式=lim[x→0] (-x^7+...)/(-x^7+...)=1

y=x+a1x^3+a2x^5+...なら
x=y-a1x^3-(3a1^2+a2)x^5+...だから

f(x),g(x)の逆関数をF(x),G(x)とすれば
lim[x->0] {f(g(x))-g(f(x))}/{F(G(x))-G(F(x))}=1に自動的になるか…

あげ

sinx,cosxが共に連続関数で
f:x→(sinx,conx)が長さ有限な曲線を描く事さえ分かれば
後はそれとsinx,cosxのごく簡単な性質から微積分の定理を駆使しまくって
sinx,cosxの微分が求まる

まぁ連続関数である事や長さ有限な曲線である事の証明自体が難しいのなら
普通に微分関数求めた方がいいかもしれぬが

原点Oと角度α半径1の扇AOBを用意する
AからOBに垂線おろして点Cが出来る
逆にOAの延長上にある点Dから垂線おろすとBにぶつかるとする

面積に対して　三角形AOC<扇AOB<三角形DOB　が成り立つから
cosαsinα<α<sinα/cosα　となる
よって　cosα<sinα/α<cosα　より　sinα/α→1（α→0）
何も難しい事はありませんね

燃料だと思うけど
＞面積に対して三角形AOC<扇AOB<三角形DOB　
これは何故？
「図より明らか」とかダメだぞ

cosα<sinα/α<cosα
↓
cosα<sinα/α<1/cosα

なお循環論法にならずに「円の面積＝半径×半径×円周率」となる事を証明する方法は↓の人がやってくれます

円の面積は後回しにするとして、
Langの解析入門では>>366の証明が書かれていて
面積の不等式に対して「明らかに下記の不等式が成り立つ」と書かれてたりする

三角不等式の面積ヴァージョンみたいなのはないのか

明らかなもんは明らか
というよりギャップがあると主張するなら自分で埋めれ

明らかなもんは明らか　とかアホか

だったら>>7のsinｘ<ｘ<tanｘだって明らかだろうが

だからギャップがあるなら自分で埋めといてくれと

Langの本には円の面積の求め方が何故か書いてない
それはともかくまずは「cosαsinα≦α≦sinα/cosα」を示す方針だけ書きます
<じゃなくて≦にします

仮定：0<α<π/2 とする。そして座標を A=(a,b) B=(1,0) O=(0,0) とおいて、b>0 とする
step1：0<a,b<1 を示す
step2：C=(a,0) D=(1,b/a) を示す
step3：扇AOB={(x,y)|0≦x　0≦y≦bx/a　x^2+y^2≦1} を示す
step4：直線 x=t と△AOC、扇AOB、△DOBそれぞれの共通集合を P(t),Q(t),R(t) とおくと
　　　　t<0 か 1<t なら P(t)=Q(t)=R(t)={} で、0≦t≦aなら P(t)=Q(t)=R(t)={(t,y)|y∈[0,bt/a]}
　　　　a<t≦1 なら P(t)={} Q(t)={(t,y)|y∈[0,sqr(1-t^2)]} R(t)={(t,y)|y∈[0,b(1-x)/(1-a)]} だと示す
step5：△AOC⊂扇AOB⊂△DOBを示す
step6：△AOCの面積=cosαsinα/2　△DOBの面積=sinα/2cosα を示す
step7：扇AOBの面積=α/2を示す
step8：cosαsinα≦α≦sinα/cosαを示す

というかLangはどうやってstep7を循環せずに説明するつもりだったんだろう

king、come here!

Reply:>>376 ドロピタルの定理について？

>>377
lim[x→0]sin(x)/x = 1
を循環しないように証明してほしい

>>377
king, suck my cock!

Reply:>>378 sin(x)=(exp(ix)-exp(-ix))/(2i)によって。∫_{0}^{x}(1-t^2)^(-1/2)dtの逆関数を延長することでも正弦関数を定義できる。
Reply:>>379 1時間につき1000円くれ。

>>375
Langは円の面積をπとして、扇の面積から角度を定義していたのです

珍説発見

分からない問題はここに書いてね２７８
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1185696802/30
30 名前：１３２人目の素数さん 投稿日：2007/07/29(日) 22:01:17
>>29
使う必要がないどころか
使ってはいけない。

微分係数を求める極限が問題なのだが

ロピタルの定理を使うには分子を微分しないといけない。

しかし問題の極限が定まっていないと
分子を微分できない。

分子を微分するためには
問題の極限を定めないといけない
…
という不幸な循環論法に陥るので
ロピタルの定理よりとか書いたら、俺ならはねるね。

>>382
そこだけじゃ、沈設かどうか分からん。
引用するなら、概要が分かるように引いてくれ。

そんなこと書くような気力があったら、直接見に行った方が早いと思うが。
リンクが貼ってあるんだし。

直接見に行くという方法は、
datオチした後は分からなくなるぞ。

>>382
ロピタルの定理については、その証明が「高校の通常の教科書では」循環論法になっている
ということなのであって、この定理自体は正しいのだし、少なくとも>>3の方法を証明として
採用すれば循環論法にならずに済むわけだから、使ったらいけないなんてのは珍説の類と言っていいね。
直さなくてはならないのは高校の教科書のほうなのであって、ロピタルの定理ではないし、生徒
のほうでもない。

循環論法になっているということを問題にするのだったら、
この問題では使える、この問題では使えないなんて言うのはナンセンス。
元の定理自体の証明が循環論法になっているという話しなのに、この問題ではOK
この問題ではダメなんて言い分になるわけがない。

上は>>3じゃなくて>>9の間違い

いい方法かどうかはおいて、とりあえず可能な方法は次ぎの３つ。
（あくまで高校レベルの話し）

１．そもそもロピタルの定理を教えない。生徒が使ったら、「証明してから使えな」
と言ってハネる。
２．循環論法にならない方法を採用して証明したあと使う。
（主に>>9の方法）
３．教科書では循環論法になっていることを指摘した上で、しかしロピタルの
定理はちゃんと厳密に証明できること、教科書に載っているのは証明ではなくて
直感的に捉えるための補助的説明に過ぎないという位置づけを明確にすること。
その上で、ロピタルの定理自体は正しいのだから、これは今は認めることに
する、として普通に使うことを許す。

のどれか。この問題ではＯＫでこの問題ではダメなんてのはナンセンス。
何を言っているのか分からない。

de l'Hospital の定理か

仏和辞典引いたけどl'は定冠詞 (母音又は無音のhで始まる単数名詞の
前で使う) で、deは「〜の」を表す前置詞までは分かった
でも、de+定冠詞+人名で、人名にどういう
意味を付加するのか判らずじまいだった

>>388
http://honamin.metalchina-lab.net/misc/moefutu/moefutu003.html

ロピタル用いてsinx/xのx→0は1、の証明しちゃ駄目らしいけどなんで？

>>390
sinxの微分にsinx/x→1を使うから

>>390
別にダメじゃないよ。論理が循環してないならな。

>>391-392
ｻﾝｸｽ

>>390

sin x をどう定義するかにもよるね。

>>390
つーか、f(0)=0 となる関数の場合 lim[x->0] f(x)/x は f'(0) の
定義そのままだから、sin x をどう定義をしたところで、ロピタルで
lim[x->0] f(x)/x = lim[x->0] f'(x)/1
で証明するのは循環論法だな。

例外としては、x≠0ではf'(x)は計算されているが、f'(0)がわかって
ない場合なら意味はあるか。

ああ、微分 f ' (0) がくっついて f'(0) と f(0) が見にくいな・・・

trivialということと論理が循環してるってこととがクソミソになってるな。

883

複素関数でもロピタル使えるはずなんだが
証明方法がわからねえ…
複素関数でも平均値の定理オッケーなのか？

だれかドロピタルの正しい綴りおしえてくれ

泥ぴ樽

三年。

952

age

>>399
実部と虚部に分けれ

L'Hopital's Rule

709

lim┬(ｘ→o)⁡〖〖(cosx)〗^(1/x^2 ) 〗

これ解けるヒトいたらお願いします！！

⁡

>>408
なんか文字化けしてんのか式がよく分からんがとりあえず、
lim[x→0]{cos(x)}^(1/x^2)と解釈すると、
=lim[x→0]e^{log(cos(x))/x^2}=e^{0/0}=(不定形だからロピタル)
=lim[x→0]e^{-tan(x)/(2x)}=e^{0/0}=(不定形だから再びロピタル)
=lim[x→0]e^{-1/(2cos^2(x))}=e^(-1/2)=1/√e

構うな　カスが

750

577

(SinX)'=CosX
の導き方は？？

SinX/X←ロピタル・・・トート。

130

今年の防衛医大で，ロピタルの定理を使わないと解けない問題が出たらしい。

430

>>416
そんなわけないだろ

>>418
いやそれが，驚いたことに，そんなことがあったのですよ。
俺も最初は信じられなかったのだけど，その噂を聞いて解いてみたら確かにそうだった。
積分の面積計算をすると，ロピタルかテイラー展開か，どちらかを用いないと極限値が出ない微妙な不定形になる。
おそらく出題ミスだと思われる。

問題をウプシロン

テーラー展開つったって大学入試で出てくるようなのは
cos x > 1 - x^2/2 の証明とかと同様に示せるだろ。

問題見ないと何とも言えないが。

>>414

（sinx）’＝cosx

は小平さんの本に出ているように、
単位円上の点（ｘ、ｙ）に対し、（１，０）との間の弧の長さを計算することで証明される。

>>420
「曲線 C : y=log(x+1) 上の点 (p,log(p+1)) における接線をL1，法線をL2とする。
L1とy軸とCで囲まれた部分の面積をT1，L2とy軸とCで囲まれた部分の面積をT2とおくとき，
lim[p→0]T1/T2 を求めよ。」

>>421
「テイラー展開を使わないと」というのは語弊があった。
「テイラー展開を知らないと」と言うべきだった。
たとえば，自分で
　x-x^3/6<sinx<x-x^3/6+x^5/120
という不等式を持ち出して挟み撃ちをしなくてはいけない問題なんてのは，
原理的には高校範囲内で解けることになるけど，
事実上，テイラー展開の話を知らない人には解けないでしょ？
そういう問題を誘導なしで出題するのは不適切。

知らなくても解けるだろ。

(p, log(p+1))をPとして
OPとCによって囲まれる部分の面積を S、
L1とy軸とOPで囲まれる部分の面積を T'_1 = T_1 + S、
L2とy軸とOPで囲まれる部分の面積を T'_2 = T_2 + Sとおく。
明らかに T_1 ＜ T_2 だから
0 ＜ T_1/T_2 ＜ (T_1 + S)/(T_2 + S) = T'_1/T_2が分かる。
ここで
T'_1/T'_2
= (log(p+1) - p/(p+1))/(log(p+1) + p(p+1))
= (log(p+1)/p - 1/(p+1))/(log(p+1)/p + (p+1))
→ (1 - 1)/(1 + 1) = 0 ( p → 0 )

うまいもんだな・・・

この工夫自体が、知ってる／知らないだから、テイラー展開を知ってる／知らないと
大差ないでしょう。

つまりアイデアが必要な問題は出題してはいけないというゆとりですか？

そうイジケタ曲解すんなって。工夫という点で同じってことだよ。
この問題自体典型化されちゃってるしね。>>424 の解答自体がそう。

>>427
いや，別にそういうつもりはない。
ロピタルやテイラー展開といったものを知っている人だけが圧倒的に有利になってしまうような出題は好ましくない，というだけ。
>>423の問題は，確かに>>424のように解くならロピタルは必要ないね。
ただ，普通に面積計算を直接やると，ロピタル必須の形の不定形になって，普通の人はそこで手が止まるが，
ロピタルを知っている人はそのまま強行突破できてしまう。
だから，ロピタルを知らない人は>>424のように工夫して解くしかないが，
ロピタルを知っている人は工夫しなくても解けてしまう。
不公平感が否めない。

というかlog(x+1)の積分自体が知ってる/知らないみたいなもんなので。。
積分や因数分解の問題は多くがそう。

>>429
極限の問題なんてテーラー展開で10次式くらいまで
近似すれば工夫無しに求まってしまって当たり前だろ。
429みたいなこと言ってたら極限の問題は出せないぞ。

うーん・・・なんか微妙だな
問題を読んで図を描いた時点で
T1とT2の無限小のオーダーの違いに気付けよと思うが
人生がかかった試験で時間に追われて問題解いてると
つい積分計算したくなる受験生心理が裏目に出る問題
を出すのはちょっとイジワルでないかい？とも思うし
大数ではどう評価してたのかな

>>430
今の課程の高校の教科書を知らないが、log x の積分も消えたのかい？

高校では「部分積分は計算途中で1回しか使ってはいけない」縛りが
あるのは知ってる（∫x sin x dx は無条件にOKだが、∫x^2 sin x dx を
入試に出すのは工夫がいる）。

>>432
実際に問題を作ってみると、オーダーが１次か2次くらいでちょうど合って、
高校の範囲で解けて、なおかつ25分くらいで解ける面積比較の問題って
なかなか作れないね…

まあオーダー合ってなくても
オーダー合ってないことを示せ、で良いわけだけどね。

オーダーが合ってない場合、勘の受験生なら絵を描いてオーダーが
違うことを利用して、別解が思いつくからなあ >>424 みたいに。

　

>>423の防衛医大の問題だけど，今月号の「大学への数学」に解答が載ってた。
大数曰く，

「高校の範囲内でもできますが，大学の知識（テーラー展開）なしで思いつけるようなものではありません。
ロピタルの定理を使うのが実戦的です。」
「高校のレベルを超えた問題もありますが，有事の際には超法規的手段も辞さないような問題解決能力も試されている？」

とのことで，ロピタルの定理を使った解法が本解，自分で
　x-x^2/2<log(1+x)<x-x^2/2+x^3/3
という不等式を持ち出してはさみうちする高校範囲内の解法が別解になっています。
>>424のような面積評価解法に関する言及はなし。

age

lim[x→0]{(e^x-1)/x}はロピタル使えるのか

lim[x→0]{(e^x-1)/x}=1 と仮定すれば
{e^(x+h)-e^x}/h=e^x(e^h-1)/h→e^xだから
(e^x)'=e^x が出てくるな

四年二時間。

重複
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1110518324/

↑ミス

age

ロピタルの定理をロッピーと読んでいたのは俺くらい？

うん

そうか．．．ちょとｼｮｯｸ。

使い方例
ロッピーかましたら瞬殺

おまいらロピタルの定理を英語で書けるか？

l'Hospitalは覚えやすいよ

定理の名前？主張のほう？

ロピタルは（たぶん）フランス人だから本当は
oにアクサン・シルコンフレクスが付いて
sを落とすんじゃなかったっけ

l'H?pital

ô

274

6

293

259

累乗数の和の公式を探そうとして、
7乗数の和までやったとこで、
検索してベルヌーイ数とベルヌーイの多項式がなんとかってヒットしたんだが、
誰か分かりやすく教えてくれ。

901

573

665

533

防衛医大の話題の問題はどこで見たらいい？　ネットにあるのか？

俺的には大数の解説は信用してないんで。

814