∬∬解析学統合スレッド２∬∬

解析学のスレ。

過去スレ
∬∬解析学統合スレッド∬∬
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1043049739/

。

。。

。。。

。。。。

６といえばメガマン

1000get.

1000

1001

有限集合上の解析学は面白くない

∫_(X_1)fdμ＜∞
∫_(X_2)fdμ＜∞
⇒∫_(X)fdμ＜∞(X=X_1+X_2)
は自明としていいでしょうか？

そんなことを聞く人にとっては自明ではない

リーマンスティルチェス積分について。
これって１変数関数のときの定義はみるけど、多次元バージョンはないですよね？
２変数以上の関数でのスティルチェス積分は概してルベーグスティルチェス積分と読めばいいのでしょうか？

>>13
存在するが2次元以上のルベーグ・スチュルチェス測度は難しい。

ありがとうございます。
文面から判断するに、
やはり２次元以上のスティルチェス積分が出てきたときには
リーマン流（例えばrudinに書いてあるダルブー流のリーマンスティルチェス積分）
というよりは、ルベーグ流のルベーグスティルチェス積分と
考えればいいわけですね。

一変数関数の積分が出たときと同様に，
多くの場合はどちらと解釈しても問題ない．

問題になる場合は明記する必要がある．

age

910

age

スレタイが王道っぽいのになんでこんなに流行ってないんだろう・・・

局所コンパクト群にはHaar測度という良い測度を定義できるけど
局所コンパクトでない位相群ではロクな測度が定義出来ないのですか

ここに質問してよいのかどうかわからないのですが、お願いします。

自分は物理科なのですが、うちの大学では一年生の間は、
普通に問題を解いていく数学と、厳密に証明していく数学の２つあるのですが、
後者のほうの数学が、正直なところわかりません。

今のところ、微分積分学をやっていて、εとかが出てきて、もう意味がわからない状態です。
生協や図書館で、参考書を見て回ってみたのですが、単純に微分積分の問題を解くっていう参考書はたくさんあって、
簡単なものもたくさんあるのですが、厳密に証明するような数学を簡単に書いてある参考書が見つかりません。

よく考えれば、厳密に証明するのに、簡単に書いてあるってこと自体がおかしいのかもしれませんが、
これは難しい参考書、教科書と格闘して、証明などを体得していくしかないのでしょうか？

>>22
学問に王道無し。あと、ε−δならちょうど今こういうスレがあるぞ。
ttp://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1208075673/ (とりあえず>>5,>>6あたりを読んだらどうか)

毎日教科書、証明見てればいつか閃く、というか理解出来る時がくる

>>21
>>局所コンパクトでない位相群ではロクな測度が定義出来ないのですか

具体的なものとしてはウィーナー測度が確率論で重要です。
もう少し一般化した無限次元ベクトル空間上の測度の理論はありますが
抽象的な位相群では面白い結果は無いと思います。

539

数値積分すると
∫[2π,4π](sinx/x) dx =0.074009649472801
∫[π,2π](sinx/x)^2 dx=0.074009660536786
と2つがほぼ等しくなるのですが
この2つって実際には等しいんですかね

すいません、今ソフトのオプションで精度上げて計算しなおしたら
両方とも0.074009649451832になりました

板違いでしたらすみません。

0 < β < 1, γ > 0
f(x): [0, ∞) 上 C1 級関数
f(0) = 2
f'(x) ≦ γ(f(x))^β (x > 0)
を満たすとき、
f(x) ≦ {γ(1 - β)x + 2^(1 - β)}^(1/1-β)
が成立することを示しなさい。

この問題の証明の糸口が掴めなくて困っています。

g(x) = {γ(1 - β)x + 2^(1 - β)}^(1/1-β)
と置けば、
g'(x) = γ(g(x))^β
が成立することや、f(x)がC1級であることから、
F(x) = g(x) - f(x)
と置いて、常に0以上であることをF'(x)を用いて上手く示せればいいと考えたのですが、
どうやっても途中で行き詰ってしまい、証明することが出来ません。

ヒントや、証明の流れなどを教えていただけたら幸いです。

>>27-28
等しくなる．
計算結果は初等関数では表せない（積分三角関数が必要）．

>>30
等しくなることの証明はどうやるんですか？

>>31

積分区間が揃う様に変数変換して、差を部分積分するのはどうかね？

∫[π,2π](s/x)^2 dx
=∫[π,2π](1-c2)/2x^2 dx
=∫[2π,4π](1-c)/x^2 dx

∫((1-c)/x^2)-(s/x) dx
=∫(1-c-xs)/x^2 dx
=-(1-c-xs)/x - ∫c dx　→ [2π,4π]では0

こんなに簡単に求められてしまうとは…

誰かオタクどもに分かりやすく解説してやってくれ
タミフル異常行動の解析方法が滅茶苦茶な件
http://changi.2ch.net/test/read.cgi/morningcoffee/1217503048/

>>10に書いてあるだろ？
>10000万例あれば十分です
（=1億例あれば十分です）

そういう事だ

よく微分積分の最初にDedekind切断って習いますけど、
あれは微分積分の最初以外ではどういう応用があるのでしょうか？
ご存知の方いらっしゃればご教示下さい。

あ、無意識にsageちゃったのでageます。
失礼。

屁理屈をこねる学生を撃破するとか
論理によく考えるとおかしい抜けがあると気持ちが悪い人用

最初ってどこまで？
中間値の定理とか最大値の定理とかは当然通り越しての話だよな？

「微分積分の最初」以外なら何でも良いです。
微分積分じゃなくても良いです。もうこの際解析でなくても。

そういう疑問がわくというのは同値な命題をほとんどやってないのかな？
切断で証明してないことが多いと思うけど「実数の連続性」がないとどうしようもないよ。

適当な数学のモデルの上で、実数と同値なものが構成できることを
示そうとおもったとき、切断が入ることを示すというのがある。

根っから数学アレルギーなので是非解き方をご教授下さい。
・3乗根-64＋3乗根√64
・3乗根a^2b^4÷6乗根ab^5
・(a^3b^-3)^2分の1×(a^-2b^2)^3分の1

失礼
スレ違いでしたね

>>41
あ、いや、「実数の連続性」は解析の至る所で
使われるし、それは理解しているつもりです。

Cauchyの完備化じゃなくてDedekindの切断を
実数論以外で使うことあるのかなあ、と疑問に思いまして。。

超準解析入門みたいな本で任意の二つの極大Archimedes順序体は
同型となること、全てのArchimedes順序体は実数体に埋め込める事の
証明に>>42のような使い方をしてたのは見たことがあります。
ですが、これは要するに実数論なので多少高度と言えば高度ですけど
>>40の「微分積分の最初」に含まれるものと解釈してください。

>>36
そんなことより連続関数の性質とか数列の収束とか
もうそのあたりで証明を読んでも疑問だらけじゃないのかな

ああごめん

実数論をぜんぶ「微積分の最初」に入れるなら
デデキント切断なんて「微積分の最初」以外で使わん。

180

461

うるさい。

大学の学部で初めて習う解析学で、今、日本で、
最も正統派と呼べる解析学の教科書といえばどの本になるでしょうか？

私は、地方国立大学の理系で一応、修士を目指しています。
微積分は授業とかでもレジュメや簡単な参考書ばかりを使ってきたので。
かっちり書かれている本を一度読んでみたいので。

解析学というか微分積分の参考書で有名なのは、
杉浦光夫の解析入門 I & II か、
小平邦彦の解析入門 I & II とか。

これらは、特に小平先生の本は概念的な厳密さを重視しています。

物理とか工学をやりたいなら、
Whittaker & Watsonとか数学概論（寺澤寛一）とか
そういうの計算技巧重視の本を読むのも良いと思います。

　

>>52
正統派は解析概論

位相半群の良い本ありませんか？

Dedekindの切断は束論で一般化されるから
似たようなことを束論で考えていくと考えられなくも無い

全てのｔ∈Ｒについて、
f(t+T)=f(t)
なら、fが周期Ｔの周期関数であるといえる。

ω＝２π/Ｔ
Ｔもπも定数なので、ωも定数
星の式
sin(ωnt)=sin(2πnt/T)
ｎ＝１のときsin(2πt/T) 周期Ｔ

c,a[1],a[2],・・・,a[n,]b[1],b[2],・・・,b[n]は定数
星の式をフーリエ級数展開という。

そして周期Ｔの全ての周期関数は☆の形に表現できる。

三角関数の直行関係に関する定理

n,mを正の整数とすると
（Ｐ３）
クロネッカーのデルタ記号


定義. D をC の領域（すなわち、連結な開集合）とする。f(z) が領域D で正則
(holomorphic)、（或いは解析的(analytic) ) とは、
i) f′(z) がD の各点で存在し、
ii) 導関数f′(z) がD で連続である
ことである。条件ii) は、i) から従うことが知られているがここでは仮定することにする。

http://www.math.h.kyoto-u.ac.jp/~morimoto/08bizoku-b4-zenki.pdf#search='analytic 解析的'

x^2＋3xy＋3y^2＝1を原点を中心にθ回転させた図形の方程式を求めよ。
これを、途中式ととあわせて解いていただける方いませんか？
やってみたんですが全く歯が立ちません

t[x',y']=T(θ)t[x,y]
を与えられた式に代入すればいい
Tは回転行列。

全くわかんないです　すいません。。。

数学Cの知識で解けるじゃない

068

921

lim_{x->infinity}(y+dy/dx)=a in R
=>
lim_{x->infinity}(dy/dx)=0

解析学を使いこなすって具体的にどんなことをすることを言うんですか？
杉浦さんの解析入門�T程度の知識で

何が？

連続関数f:R→Rが
・∀x∈R f(x)≧0
・∫[-∞,∞] f(x)dx=1
・(-∞,0)でf(x)は単調増加、(0,∞)で単調減少
を満たすとき|∫[-∞,∞] xf(x)dx| < ∞になりますか？

>>69 x≧0で1/((x^2)+1),x≦0で適当な場所と直線で
0に結ぶ。この函数を∫f=1になるように定数倍する。
　この時∫[0,∞]f=∞
　しかし∫[-∞,0]f<∞
　よってこのようなfが反例となる。

訂正
　この時∫[0,∞]xf=∞
　しかし∫[-∞,0]xf<∞

>>70
1/(x^2+1)を使えばいい訳ですね、ありがとうございました！！

188

551.5

いくら考えても分からない問題があったので頭の良い人助けてください


問題は以下の通りです

(1)
∫e^-t^2dt(t=0〜x)のx=0のまわりの整級数展開を求めよ

(2)
∫log(1+t)/tdt(t=0〜x)のx=0のまわりの整級数展開を求めよ


例題も見つからず困っているので何卒よろしくお願い致します。

追記

煩雑で大変だと思いますので細かい解答プロセスは結構です
その代わり解答方針を教えていただけるとありがたいです
勝手を言って申し訳ありませんが助けてください。よろしくお願い致します。

項別積分

e^y=Σ(y^n/n!)だから
e^(-t^2)=Σ{(-1)^n/n!}*t^2n
∫[0,x]e^(-t^2)dt=Σ{(-1)^n/n!}*{t^(2n+1)/(2n+1)}

log(1+t)=∫[0,t]ds/(1+s)=∫[0,t]ds(Σ(-s)^n)=Σ-(-t)^(n+1)/(n+1)
log(1+t)/t=Σ(-t)^n/(n+1)
∫[0,x]log(1+t)/tdt=Σ-(-x)^(n+1)/(n+1)^2

とかでいいんじゃないの？

>>76

F(x) を x=0 で整級数展開をする基本は
F(x) の各次数の導関数を計算して x=0 での値を求める事だと判るか？

>>75 一様収束する可積分級数は
　積分と∞和の順序交換ができる。

皆様早速のご回答ありがとうございました
お陰様でなんとか解決しそうです

109

ここ地味だなーwwww

f(x)は[0,1]で連続であるとする。このとき、

∫[0,π]x*f(sinx)dx=π/2∫[0,π]f(sinx)dx

が成り立つことを示せ。



この問題を解いていただけませんか？

f(x),g(x)は区間I＝[a,b]で連続で、f(x)≧g(x)(∀x∈I)かつf(y)＞g(y)となるy∈Iが存在するとする。このとき、

∫[a,b]f(x)dx＞∫[a,b]g(x)dx

が成り立つことを示せ。


これもお願いできませんか？

>>85
ε＝(f(y)-g(y))/2　とおくとこれは正
しかも連続だから y の近くある区間 J⊂I の間　f(x)≧g(x)＋ε
だから∫_J f ≧ ∫_J g + ε|J|
元々 f≧g だから I ＼J では ∫_{I＼J} f ≧ ∫_{I＼J} g
ε|J|＞0だから証明終わり

>>84
積分範囲をπ/2でわけて いっぽうに積分変数変換
y=π-x をおこなえば良い

解析もっともりあがれｗ

本当にありがとうございます。

幾何、代数、解析って何やる学問なんですか？
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1122488682
微分と積分全般のスレ
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1233580257
文系だが、微分積分の発明ってそんなにすごいのか？
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1109767108
ロピタルの定理
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1110518324

『解析概論』について３
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1159200000
【小平邦彦】解析入門�T・�U【質問スレ】
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1122956170
▲▲杉浦光夫・解析入門�T・�U△△
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1218451715
1と一緒にラング「解析入門」を読んでいくスレ
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1240163182
W.Rudinの解析三部作
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1218309812
微分積分学（サイエンス社、笠原皓司）について語れ
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1255042315
【激しく】解析と線型代数の本何がいい？【既出】 2
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一般化関数、分布、超関数
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1255094265
ガンマ関数って一体に何に使うでござる
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1244472177
三角関数
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三角関数は円関数に改称するべき
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周期関数スレ（楕円関数，指数関数etc,,,）
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1203663178
特殊関数論のスレ
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1110465319
複素関数論スレッド§３
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1198980001
実解析と複素解析の初心者に問題集・解説書
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1119182730

ルベーグ積分と測度論のスレ
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1219492336
ルベーグ積分の参考書
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1221003885
ルベーグ積分に関する問題を作り、解け
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1201847853

関数解析（Functional Analysis）
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1221017637
【ﾌﾞﾚｼﾞｽ】関数解析-その理論と応用に向けて
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179592875

フーリエ変換とラプラス変換
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1117987860

[伊藤] 確率微分方程式輪講2 [ストラトノビッチ]
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1237228567
関数方程式レッスド
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1055809155
差分方程式について考えようか
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1104546843
波動方程式
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1181145726
パンルヴェ方程式(Painleve Equation)のスレ
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1206126068
非線形微分方程式全般
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1099664612
微分方程式の良書は？(part2)
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1050051365
偏微分方程式何故何スレッド2
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1103027713

解析学もっと盛り上がれｗ

さぁ、解析好き達よ
集まれ

0<x<π/2とする。0<p<1とする。
(1)lim[x→+0] log(sinx)を求めよ。

(2)lim[x→+0] cosx/sinx*x^p+1を求めよ。

(3)∫[0,π/2]log(sinx)dxは収束するかしないかを述べよ。

がわかりません。教えてください。お願いします。

>>94です。
できれば今日中に教えてください。

ｔｓｔ

>>95
(1) log(sinx)= log((sinx)/x) + log x
(2) 最後の +1 は (p+1) ? はっきりしないとだめ
(3) log(sinx)= log((sinx)/x) + log x
あとは試験開始前までに考えなさい

ココでちょっとしたメッセージや
★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
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★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
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★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
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★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★

小沢先生、頑張って下さい。私は最後まで味方になります。

猫

左団扇で>>100をｇｈｅｔｔｏ！

解析のデデキント切断やεδでゼノンのパラドックスをどう捉らえていますか

>>101 超実数を学べば無限小を無限個足して
　任意の値をとらせることができるということがわかる。
　よって無限小の変化を無限個並べたところで
　全体の変化は判断できない。

εδで無限に実数で切断できるというのはゼノンでいうと
無限分割に相当して亀は追いつけないはずなのに
lim[n→0]n　の極限をとると =0 となってるから
つまりゼノンでいえば亀は追いつくといってるんですよね
つまりパラドクスはとりあえず無視の前提で成立しているということでOKでしょうか

>>101はゼノンのパラドックスが何を問題にしているのか
もう一度確認した方がよい

とりあえずは正確に述べてみて
ゼノンが何をいけないと言っているのかをだな、

101ですが、アキレスと亀のパラドクスではなくて”二分法”ですた
ＡＢ間を矢が飛ぶ時、中間点を無限にとると
矢はいつまでたっても的に当たらないというほうです
ＡＢ(n,0)間で無限にnを0に近づけることができるのは
無限に実数切断を繰り返してもよいのだから n は 0 に到達できないなのに
lim[n→0] n の途端に=0となるのだからこのパラドクスを無視している

ε-N論法で数列の極限をやり直しているのですが、
a_n = log(n!)/n という数列がn→∞となる場合、
どうやって発散することを示せばよいでしょうか。
log(n!) がスターリングの近似式でnlog(n)-nとなるのを使えば簡単なのですが、
この近似は積分を使って導いたものなので「今は」使いたくないのです。
他の方法で発散することを示すことができるのでしょうか。
それとも積分を導入するまで待つ必要があるのでしょうか。

正の数Kに対してe^(2K)より大きい整数Nを取って固定する
このとき2N<nならば
log(n!)/n > log(N!)/n + (n-N)*log(N)/n > 0 + (1/2)log(N) > K

>>108
理解できました。ありがとうございます。

>>101
どうしても理解できなければ最後の手段。現実世界では長さにはプランク長という最小単位があるから無限小を考えることを回避できる

bobo

質問です
連続、絶対連続、一様連続の違いを教えてください

連続の定義が、δがεと点xの取り方に依存すること
絶対連続の定義が、δがεと区間列の取り方に依存すること
一様連続の定義が、δがεのみに依存すること
というのは分かります(間違えてたら訂正お願いします)

連続と絶対連続と一様連続の具体的な違いの例を教えてください

連続 1/n->0
絶対連続 |1/n|->0
一様連続 1/n->1/(n+1)

http://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:ysLwq3IuyvMJ:www.sakura.cc.tsukuba.ac.jp/~komaba/ssh/library/126.htm+%E6%82%AA%E9%AD%94%E3%81%AE%E9%9A%8E%E6%AE%B5%E9%96%A2%E6%95%B0&cd=2&hl=ja&ct=clnk&gl=jp&lr=lang_ja

929

∫_R (1 + t^2)^(-p) dt のp>1/2での値は幾つになりますか

http://integrals.wolfram.com/index.jsp?expr=%281%2Bx^2%29^-p&random=false

>>116
maximaで計算したら
beta(1/2, p-(1/2))って出てくるぞ

108

上半連続と下半連続の区別が座標の右手系と左手系並につかない

a≠0,判別式D=b^2 -4ac>0,0<θ<π/2,
4axsinθ+(4ac+b^2)sin^2θ+2bsinθcosθ+cos^2θ≧0より
x≦bcosθ/2a

V=(π/2a^2sin^2θ)
∫【α→β】《{(b^2+2ac)sin^2θ+2bsinθcosθ+cos^2θ+4a^2x^2sin^2θcos^2θ-2axsin^3θ}
± {(bsinθ+cosθ+2axsinθcosθ)√{4axsinθ+(4ac+b^2)sin^2θ+2bsinθcosθ+cos^2θ}》dx
《》は大括弧の代わりです。積分と間違えられると思ったので、変えました。

ここの積分が分かりません。解ける方お願いします。
∫【α→β】 {(bsinθ+cosθ+2axsinθcosθ)√{4axsinθ+(4ac+b^2)sin^2θ+2bsinθcosθ+cos^2θ}}dx

>>121
それ要するに、∫(Ax+B)√(Cx+D)dx　の形した積分ってこと？
t=√(Cx+D)とでも置換積分すればいいんじゃね

ε-δ法に関する質問です。
以下の二つは共に「数列a_nはaに収束する」を定式化したものだと思います。

１．任意のε>0に依存して、あるmが決まり、n>mなるすべてのnに対し|a_n-a|<εが成り立つ。
２．任意のε>0に依存して、あるmが決まり、n>mなるすべてのnに対し|a_n-a|<2εが成り立つ。

１と２は等価だと思うのですが、１から２を、または２から１を導くことはできますか？

|a_n-a|<εなら|a_n-a|<2εだから1が成り立つなら2も成り立つ ： 1→2
また2が成り立つならε/2>0にたいして|a_n-a|<2(ε/2)となるmがあるから
ε>0にたいして|a_n-a|<εとなるmがあることになって1が成り立つ ： 2→1
よって等価

>>124
ありがとうございます。1→2は簡単でしたね。