★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十二問

理系で数学が得意な高校生が２５〜５０分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以上の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ

　過去ログ
★東大入試作問者になったつもりのスレ★
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1000592003/
★東大京大入試作問者になったつもりのスレ★
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1046165076/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第三問
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1069171672/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第4問
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1099493043/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第五問
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★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第八問
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1166904000/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第九問
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1182629190/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十問
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1188545067/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十一問
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1190854032/

The conjecture, first noted by the ancient Greeks, asserts that among all closed containers in three dimensions that have two chambers with equal volume, a pair of round bubbles that meet at a flat face has the least total surface area.

ゴム板を引っ張ったときに蓄えられるポテンシャルエネルギーは？
バブルの形状は最小ポテンシャルエネルギーできまる。

２個のバブルを接触させると、総ポテンシャルエネルギーは変わる。
平面にバブルを接触させるとＰＥは０になる。

曲面のＰＥはｆｄＡ

内圧がバブルの膜に均等にかかるので、膜の厚みは同じになるから、膜の体積が一定とすれば、
面積は最小になる。

pを3以上の素数とする．a,bが，0≦a≦p-1，1≦b≦p-1を満たす整数とするとき，xについての方程式
　x^2+(pm+a)x+(pn+b)=0
を整数係数で因数分解できる整数m,nが存在するような(m,n)の組の個数をpを用いて表せ．

前スレを使い切れよアホ

１０といえばジュード・ロウ

前スレ1000到達あげ

前スレ>>997 の残り問題↓
--------------------------------------------
a,b,cは素数で、次の3条件を満たす。
　 c＾b＋1 は a で割り切れる
　 a＾c＋1 は b で割り切れる
　 b＾a＋1 は c で割り切れる
これを満たす(a,b,c) の組を全て求めよ。
--------------------------------------------

>>12
明らかに、a,b,cはどの二つをとっても異なる数である。

a,b,cの中で最小のものをaと置く。
明らかに、c^2b≡1 mod.a、c^b≡-1が成立し、c^(a-1)≡1 mod.aも成り立つ。
a,bの大小関係から、a-1はbを割り切らず、2bを割り切る事が分かる。
このため、a=2,3のいずれかが成立する。

a^c≡-1 mod.b、a^2c≡1 mod.b、a^(b-1)≡1 mod.bが成立する。
b,cは奇素数であるため、b-1とcは異なる数である。
また、a^x≡1 mod.bを満たす最小の自然数をmとおくこととする。
(1) b-1＜cの時
mは2cを割り切り、cを割り切らない。また、2cの約数は1,2,c,2cであることと、m≦b-1＜c＜2cであることから、m=2が成立する。
ゆえに
(1-1) a=2の時
2^2=4≡1 mod.b 2＜bから、b=3が成立する。また、ここからc=5も導かれる。
(1-2) a=3の時
3^2=9≡1 mod.b 3＜bから、これを満たすbは存在しない。

(2) c＜b-1＜2cの時
mは2cを割り切り、cを割り切らない。また、2cの約数は1,2,c,2cであることと、m≦b-1＜2cであることから、m=2が成立する。以下略

(3) c＜b-1=2cの時
b^a=(2c+1)^a≡1 mod.cであることから、条件式に矛盾する。従ってｒｙ

(4) 2c＜b-1の時
mは2cを割り切り、cを割り切らない。また、2cの約数は1,2,c,2cであることから、m=2または2cが成立する。
m=2の時は略。
m=2cの時は、b-1=2cnなる自然数nが存在する。このとき
b^a=(2cn+1)^a≡1 mod.cとなり、条件式に矛盾する。


以上より
a=2,b=3,c=5

場合分けのしかたを変えてみるというのは思いつかんか

{1, 2, 3, ..., 2n-1, 2n} の2n個の自然数をｎ個ずつに分けて
下記のように一方は大きい順に、もう一方は小さい順に並べるとする。

a_1 > a_2 > a_3 > ... > a_n
b_1 < b_2 < b_3 < ... < b_n

このときa_i(i=1,2...n)の選び方によらず
|a_1 - b_1| + |a_2 - b_2| + ... + |a_n - b_n| = n^2.
となることを証明せよ。

kを適当なn以下の正整数として、a_kとb_kがともにn以下となったとする。
このとき条件の不等式より、b_1〜b_kとa_k〜a_nのk+1個の正整数はすべてn以下となることになり矛盾
同様にa_kとb_kがともにn+1以上となったとしても矛盾が生じるので
a_kとb_kは一方がn以下でもう一方がn+1以上。
したがって証明すべき式について
(左辺)=(n+1〜2nの和)-(1〜nの和)
となり、この値は確かにn^2になる。

　　　　,.-‐‐v-､
　　　/;;;;;;;;;;;;;;;ﾊヽ
　　 l;;;;;;;,_;;ﾉﾊ,.-lヽ
　　 .l;;;;;(ヽ￣`ｰ,>　　　　　　nを自然数とする。p[1],p[2],…,p[n]を異なる素数とするとき、
　　　ヾ;;l~ヽ　 -{　　　　　　　√p[1] + √p[2] + … + √p[n]が無理数であることを示せ。
　　　 /＼__,`,ｰ′
　　／ヽヽ /､,lヽ　　　　　/
,／-､　｀7ヽヽｷ｀ヽ、　　/
l　　 ヽ　ヽ ヽl .l l　|　　/
l　　　∨　ヽ ヽ l　l　　/

　　　　,.-‐‐v-､
　　　/;;;;;;;;;;;;;;;ﾊヽ
　　 l;;;;;;;,_;;ﾉﾊ,.-lヽ　　　　　　　　　自然数a,b,cはa^2-2b^2=c^2をみたしている。
　　 .l;;;;;(ヽ￣`ｰ,>　　　　　　　　　(a + b√2)(3 - 2√2)^n = X[n] + Y[n]√2
　　　ヾ;;l~ヽ　 -{　　　　　　　　　　としたとき　　X[n]≦3c , Y[n]≦2c　　を同時にみたす自然数nが存在することを示せ。
　　　 /＼__,`,ｰ′
　　／ヽヽ /､,lヽ　　　　　/
,／-､　｀7ヽヽｷ｀ヽ、　　/
l　　 ヽ　ヽ ヽl .l l　|　　/
l　　　∨　ヽ ヽ l　l　　/

　　　　,.-‐‐v-､
　　　/;;;;;;;;;;;;;;;ﾊヽ　　　　　　　自然数のうち，各位の数に少なくとも1が1つでも含まれているものを小さいものから並べた数列を{a[n]}とする．
　　 l;;;;;;;,_;;ﾉﾊ,.-lヽ　　　　　　(1) mを正の整数とする．a[n]=10^(m-1)を満たすnをmで表せ．
　　 .l;;;;;(ヽ￣`ｰ,>　　　　　　(2) S[n],T[n]を以下のように定める．
　　　ヾ;;l~ヽ　 -{　　　　　　　　　　S[n]=a[1]+a[2]+…+a[n]
　　　 /＼__,`,ｰ′　　　　　　　　　T[n]=1+2+3+…+a[n]
　　／ヽヽ /､,lヽ　　　　　/　　　n→∞のときのS[n]/T[n]の極限値を求めよ．
,／-､　｀7ヽヽｷ｀ヽ、　　/
l　　 ヽ　ヽ ヽl .l l　|　　/
l　　　∨　ヽ ヽ l　l　　/

　　　　,.-‐‐v-､
　　　/;;;;;;;;;;;;;;;ﾊヽ
　　 l;;;;;;;,_;;ﾉﾊ,.-lヽ　　　　　　nを正の整数とし、k=1,2,…,n において数列{a[n]}、{b[n]} を
　　 .l;;;;;(ヽ￣`ｰ,>　　　　　　　　　a[k]=1/<n,k> 、b[k]=2^(k-n)
　　　ヾ;;l~ヽ　 -{　　　　　　　で定める。ただし、<n,k>は二項係数を表す。このとき、
　　　 /＼__,`,ｰ′
　　／ヽヽ /､,lヽ　　　　　/　　　　Σ[k=1,n](a[k]-b[k])/k　　
,／-､　｀7ヽヽｷ｀ヽ、　　/
l　　 ヽ　ヽ ヽl .l l　|　　/　　の値を求めよ。
l　　　∨　ヽ ヽ l　l　　/

>18

項数nについての帰納法による。
n=1 のとき
　√p[1] を根とする、Z上既約な整多項式は x^2 -p[1],
　2次だから無理数。
n=2 のとき
　√p[1] + √p[2] を根とする、Z上既約な整多項式は x^4 -2(p[1]+p[2])x^2 +(p[1]-p[2])^2,
　4次だから無理数。
n>2 のとき
√p[1] + √p[2] + ･･･ + √p[n-1] = a とおく。
　aを根とする、Z上既約な整多項式をf(x)とする。係数の最大公約数は1とする。
　帰納法の仮定より、f(x)は2次以上。
　f(x+y)f(x-y) は x,yの整多項式で かつ yの偶函数だから、F(x,y^2) と書ける。
　g(x) = F(x, p[n]) は a+√p[n] を根とする4次以上の整多項式。
　従って、p[k]が互いに素であることを用いて g(x)がZ上既約であることを示せばよい。

>19

与式と共軛な式は
　(a-b√2)(3+2√2)^n = X[n] -Y[n]√2,
辺々掛けると
　a^2 -2b^2 = X[n]^2 -2Y[n]^2,
　c^2 = X[n]^2 - 2Y[n]^2,
　点(X[n], Y[n]) は双曲線H: x^2 -2y^2 =c^2 上にある。
漸化式
　X[n+1] =　3X[n] -4Y[n],
　Y[n+1] = -2X[n] +3Y[n],
H上の各点を、線分(0,0)−(X[n],Y[n]) の勾配Mで区別しよう。（parametrize）
　M[n] = Y[n] / X[n],
　M[n+1] = (-2+3M[n])/(3-4M[n]) = f(M[n]),
また、点(X[n],Y[n]) は上記の双曲線上にあるから、|M| < 1/√2,
　f(t) = (-2+3t)/(3-4t),
　|t| < 1/√2　⇒　f(t) = t - 2(1-2t^2)/(3-4t) < t,
∴ M[n] はnについて単調減少。
　M[n0+1] ≦ 0 ≦ M[n0]　をみたす n0 がある筈。
　f(t) ≦ 0 ≦ t　⇒　-2/3 ≦ f(t) ≦ 0 ≦ t ≦ 2/3,
なので、-2/3 ≦ M[n0+1] ≦ 0 ≦ M[n0] ≦ 2/3,
、-2/3 ≦ Y[n0+1]/X[n0+1] ≦ 0 ≦ Y[n0]/X[n0] ≦ 2/3,
一方、(X[n],Y[n])は双曲線上にあるから
　X[n]^2 -2Y[n]^2 = c^2,
これらより n0, n0+1 について求める式が成立つ。
（ |Y[n]| ≦ 2c ぢゃね？）

>>21
http://proxy.f2.ymdb.yahoofs.jp/bc/4636c28a_ca1/bc/%c9%d4%c5%f9%bc%b0%a5%b9%a5%ec2.html?bcekdNHBD3ABatf_#R494
より，0

xyz空間内に点P(2,2,1)を取る。
原点Oと点Pを両方とも内部に含む、直径の長さが3であるような球の存在しうる範囲をＡとしたとき
Ａの体積を求めよ。

半径の長さが3、でした

>21

A[n] = Σ[k=1,n] 1/{k･C[n,k]}, B[n] = Σ[k=1,n] 1/{k･2^(n-k)} とおく。
　A[1] - B[1] = 1 -1 = 0,
　2A[n] - A[n-1] = (2/n) + Σ[k=1,n-1] {2/C[n,k] - 1/C[n-1,k]}/k
　　　= (2/n) + (1/n)Σ[k=1,n-1] {1/C[n-1,k-1] - 1/C[n-1,k]}
　　　= (2/n) + (1/n){1/C[n-1,0] - 1/C[n-1,n-1]}
　　　= 2/n,
　2B[n] - B[n-1] = 2/n,
初期値と漸化式が一致する。よって
　A[n] - B[n] =0,

>24
見えないのはスルー

>25

本問はOPのまわりに軸対称なので、OPをx'軸 とし、x'軸からの距離をρとする。
球の中心Cの存在領域は OC≦3 かつ CP≦3 の点Cで、
　0≦x'≦3/2,　ρ ≦ √{9 -(3-x')^2},
　3/2≦x'≦3,　ρ ≦ √(9 -x'^2),
したがって、Ａの境界面は
　-3≦x'≦0,　ρ(x') = √{36 -(3-x')^2},
　0≦x'≦3,　ρ(x') = (3/2)√3 + √{9 -(x'-3/2)^2},
　3≦x'≦6,　ρ(x') = √{36 -(3+x')^2},
よって
V(A) = π∫[-3,6] ρ(x')^2 dx'
　= 45π + {65.25 + (9/2)(√3)π}π + 45π
　= {155.25 + (9/2)(√3)π}π
　= 179.736291･･･π,

間違えた･･･
　3≦x'≦6,　ρ(x') = √(36 -x'^2),

>19 (補足)

　M[n] はnについて単調減少であるが、もう少し詳しく見ると,
また f(t) = 1/{4(3-4t)} -3/4 は下に凸ゆえ
　M[n+1]/M[n] = f(M[n])/M[n] < f(M[0])/M[0] = f(b/a)/(b/a) = r,
　b/a < 1/√2　より r < 1,
　M[n+1] ≦ M[0]*r^n,
∴ M[n] は（遅くとも）指数函数的に0に近づく。
∴ M[n0] < 2/3, M[n0+1] ≦0 を満たす n0 が存在する。

>>28
すまん。

>>21の問題は，
http://briefcase.yahoo.co.jp/bc/loveinequality/
の「不等式スレ2.html」の>>58の【問題D】(7)で既出の問題で，
解答はそのスレの494に挙がっていると言いたかったんだ。

元はハンガリー数学コンテストの問題のようです。

>31

等比数列
　L[n] = (X[n]+Y[n]√2)/(X[n]-Y[n]√2) = L[0]{(3-2√2)/(3+2√2)}^n,
使えば簡単ぢゃね?

公比 (3-2√2)/(3+2√2),　初項 L[0] = (a+b√2)/(a-b√2) >1 だお.

S[n]=1+a*cos(t)+a^2*cos(2*t)+…+a^k*cos(k*t)+…+a^n*cos(n*t)
とします。このときいかなるa,tをとっても limit[n,∞](S[n])=1/2 とは成りえないということを示して下さいな。

>34
　a･exp(it) = r (a≧0) とおく。
　0≦a<1 のとき |r|<1,
　　Σ[k=0,n] r^k = [1-r^(n+1)]/(1-r) → 1/(1-r) より　S[n] → Re{1/(1-r)}　(n→∞)
　　ところで　Re{1/(1-r)} -1/2 = {1/(1-r) + 1/(1-r~) -1}/2 = (1-|r|^2)/(2|1-r|^2),
　　Re{1/(1-r)} = 1/2　⇔　|r|=1, r≠1 より 不適。
　a=1 のとき
　　t＝2mπ のとき S[n] = n+1 で発散。
　　t≠2mπ のとき S[n] = {sin((n+1/2)t) - sin(-t/2)}/{2sin(t/2)}, により振動。
　a> 1 のとき　S[n]の各項はtの値の如何によらず発散するので、S[n]も発散。

半径1の球面S上に3点A，B，Cがあるとき，AP*BP*CP≧2√2をみたす点PをS上にとれることを示せ．

>>36
球の中心をOとし、Oを通り線分OA,OBの両方と垂直である直線(の一つ)をｌとする。
ｌと球面の交点二つをQ,Rとしたとき、線分AQ,AR,BQ,BRの長さは全て√2であり
線分QRは球の直径で長さは2となる。

(a)CがQまたはRと一致する場合
一致しないほうの点をPとすれば、AP*BP*CP=4となり題意を満たす。
(b)CがQともRとも一致しない場合
三角形CQRは線分QRを斜辺とする直角三角形なので、CQ^2+CR^2=QR^2=4
よってCQ^2とCR^2の少なくとも一方は2以上になるので、
Q,Rの内、Cとの距離の二乗が2以上になる方の点をPとすれば
CP≧√2よりAP*BP*CP≧2√2となり題意を満たす。
以上から条件を満たす点PをS上から取れることが示された。

Σ[n=0,∞]Σ[k=0,∞]{1/2^(kn)}を求めよ

テスト

pが素数、nが2以上の自然数であるとき
　　　　　(n^p-n)/p
が自然数となることを示せ。

>>40
フェルマーの小定理を証明して終了
そんな問題が東大ででるわけないだろ

>>41
俺は二項展開と帰納法で解いた。
でもそっちが普通だな。
スレ汚しスマソ。。

>>38

Σ[n=1,∞) Σ[k=1,∞) (1/2)^(kn) = �納j=1,∞) #(Div_j) * (1/2)^j,
ここに Div_j = {i∈N; i|j} ････ jの約数全体の集合。

とりあえず小数点以下1300桁まで･･･ (n≧4320)

�納j=1,n] #(Div_j) * (1/2)^j =
1.6066951524 1529176378 3301523190 9245804805 7967150575 6435778079 5536914184 2074348669 0565711801 6701555758
　9704542906 3154413100 0905473205 0088619136 3162159598 9057099678 0731760334 6256346194 4121692714 7114387587
　7005193100 8956417580 9164849488 0166136371 5771752977 8403281088 9796524656 7784762221 2339864747 1544551530
　1807174540 3371224954 1188738074 1750277266 1691995085 5065362156 9266825419 8671854867 7094187723 2912300105
　4754429354 9570799498 2855449593 7721328133 7880503447 1937248821 1788014451 2910386486 1412790295 7644018473
　4626025794 6556679421 1866869210 3208760055 3859969659 4226232037 8135463745 9768663965 1836864973 5187266977
　8689793827 7043447647 5719866503 4980184709 9711403207 2724203387 6544745083 6560451452 4850766198 8607647520
　1723280505 7468943598 0233105785 9906645521 0311859824 2705010154 8067354670 5382305016 9058073602 1366065471
　3624379559 3656218199 6499910622 9274370686 2401518286 4421747541 1749422319 3218244976 4238732222 6326994856
　5866107727 8107675247 2383656368 9670654851 5143593606 6265493806 5480371471 9302294253 0536720456 8041283791
　4863140938 7888919313 8579925461 1986244990 5318227203 9452532438 0805640846 7219399728 9902924487 2319144891
　3588548279 0323024440 6785717022 1106725811 6469278702 6402061686 5214966881 5435415472 4698404504 3978572491
　2018729197 1228065579 8250658840 6885877838 4655293838 8939978391 7703884034 9801837007 8873502484 8662923954
　････

>38
　だからそんな問題出すなと何度言えば…… 後(ry

>>44
一度も言ってないだろｗ

xy平面上の楕円Ｃ：x^2/4+y^2=1を，原点のまわりに反時計まわりに回転して得られる楕円をＤとする．ただし，回転角度は鋭角とする．
ＣとＤの第１象限における交点をPとし，PにおけるＣとＤの接線をそれぞれlとmとする．lとmのなす鋭角の最大値をθとするとき，tanθの値を求めよ．

>>46
24/7

御名答

MASUDAも最近調子悪いな

サイトの予想問題作成でもう頭使いきりましたからねぇ．というより良問をポンポンは作れません．>>8なんか見向きもされてませんが．

ある条件内で、並んで品物を購入する時、それを購入できる確率を教えて下さい。

大人気商品の５個カバンがあります。
カバンの名前はそれぞれＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ。
カバンの人気順はＡ＞Ｂ＞Ｃ＞Ｄ＞Ｅ
それを求めて５０人が並んでいます。
購入方法は、抽選方式。
１番〜５０番と書いてあるクジを、並んだ先着順にＢＯＸから順々に引いていきます。
１番のクジを引き当てた人は、１番目にカバンを購入できます。
２番のクジを引き当てた人は、２番目にカバンを購入できます・・・
６番以降のクジを引いてもカバンは買えませんが、当然優先的に他の商品を買うことができます。

このような条件の中・・・・

�@ １人で並んで５番目までのクジを引ける確率は？
�A ２人で並んで、その内１人が５番目までのクジを引き当てる確率は？
�B ２人で並んで、２人とも５番目までのクジを引き当てる確率は？
�C ３人で並んで、その内１人が５番目までのクジを引き当てる確率は？
�D ３人で並んで、その内２人が５番目までのクジを引き当てる確率は？
�E ３人で並んで、３人とも５番目までのクジを引き当てる確率は？
�F ４人で並んで、その内１人が５番目までのクジを引き当てる確率は？
�G ４人で並んで、その内２人が５番目までのクジを引き当てる確率は？
�H ４人で並んで、その内３人が５番目までのクジを引き当てる確率は？
�I ４人で並んで、４人とも５番目までのクジを引き当てる確率は？


長いですが、どなたか教えて下さいm(_ _)m

>>51
スレ違いだドアホ
質問スレに逝け

(1) x＞0のとき，√x＞logxを示せ．
(2) nは正の整数とする．{3^(n!)-1}/(2^m)が整数になるような整数mの最大値をMとする．
lim[n→∞]M/nを求めよ．

>>8は前にp=13の場合で出されていた気が。

>>54
確かに私が13でだいぶ前に出しました．まあそれを一般化に改変してみただけですからね．

>>55
前解いたときはひたすらしらみつぶす感じだったから、一般化のいい方法が思いつかない。
答えはちょうど半分の個数だと思うけど。

>>8
>>50
意味不明

>>57
国語力ないボクチンは帰って寝てなってｗ

また名無しになったか

やっぱMASUDAが来るとどっかからかアンチがわいて荒れるなｗ
問題アップはコテハンしない方が無難

間違いの指摘がなんでアンチになるんだ

自分(MASUDA)に対する間違いの指摘はアンチによる荒らしだから

>>60
問題がおかしいことにコテハンかどうかは関係ないが
なんでコテハンであることに結び付けようとするの？

粘着だからさ…

どこが？

　　ー-= 、　 ,,...、 ／:;:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::ヽ
　　 ,::-''￣`:Y,,,、Y::::::::::::::::::∧:::::::i;:::::::::::::::i;::::::::::::::::::::::::::＼
　/　 ...:::::::::i"　 Y:::/::::::::::::/　 ヽ;::::iヽ;;:::::::::::!;::::::::::i::::::::..i, 　';
.i　..:;::::::::;;;/ `'='":/:::::::;i::::/　　　ヽ:::!,ヽ;;:::::::::::i;:::::::::|;::::::::|:::::::!,
.|::::;i:::::;//　　|::::::!:::::::;/::/　　　　 ヽ;::i　＼;;::::::!ヽ;:::::|;;:::::::|::::::::|
. i;:;|::;/ !　　 |::::::|::::::;/!::i　　　　　　ヽ:!,　 ＼;:::::|ヽ:::::|!;;::::::|:::::::|
　＼/　'　 　!:::::;|::::;/ |:|　　　　　　　ヽ!　 　 ヽ;::| ヽ::| 'i;:::::|:::::::|　等面四面体は東大生には大事だから覚えとかないといけないんだかんねっ
　　　　　　 |::i::;;!;;:::i ｀|!' -ｰ ,,＿　　　 '!,　　 _,,>::!-'!:|´ |::::|::::::|
　　　　　　ﾉ1;;!;!;;;;!　 !　,-'',´o::,`　　　 `　`=''o:',ヽ、!　 i:::i:::;::|
　　　　　　　|/`!r-!,　./　i::::::::::::i　　　　　　i:::::::::::i. `,　 !::i;;;;i;:|
　　　　　　　'　 |　`)i '　　ヽニノ　　　　　　ヽニノ　　! /|!`i/V
　　　　　　　　　ヽ `,} .::::::::..　　　　　　　　　　　 .::::::.. !)　/
　　　,,、　 　 　 　 `Ti ::::::::　　　　　　'　　　　　:::::::::: i,,=i7
　 　ヽ　ヽ　 　 　 　 Vヽ　　　　　　　 　 　 　 　 　 ｲ/　'
　　　 `,　`,　　　　　　 `_へ.、　　　 rﾆｭ　 　 _,. t7 "
　　　　 i　 ヽ　　　　 ,-i':ヽ`''"ﾆi-ｰ .,,,,,,,. -t'´''''ﾌ⌒iヽ
　　　 ,./-´｀'r-ｰ、r-'　ヽ: ヾ´　'　 　 　 　 ' ｀=/: :/　`、
　　　 !　- '''ヽ=- }　　 　 ヽ:.ヽ　　　　　　　 ／: :/　　　 'ヽ
　　　 }　 -'''｀Y　 |ヽ　　 　 `:、`-ｰ、　　,.-': :／　　　　_,,イ
　　　 >、-t-´` .ｲ: :'! ＼　　　 `''+; ;'i ./: :／　　 _,.-'''´ /: :i
　　　.|:.iゝ、　　/i|: : :'!,　 ｀' ----┴-!--'ー-- ´　 i　 /: : : |
　　　 |: Y　　　|ﾉ:i: : : :!　　　　　　　　 /⌒'- .,,/''ヽ| /: : : : :.!

>>60-61
指摘も何も，どこも間違ってませんが何か？

>>56
ちょうど半分とはどういうことですか？

>>67
よく出題ミスするくせによく言うよ。
>>60-61の文脈では、
「MASUDA」が出題するとアンチがいつも現れる。
↓
現れているのはアンチではなく、単に間違いを指摘しているだけだ。
という流れだから、今回の出題に限ったことではなく、一般的な話ですよ。
MASUDAさんってほんと国語力低いよね。
問題文の日本語もいつも変だし。用語を間違って使うし。サイトの文章も下手くそだし。

>>69
ですから，>>8やら>>50やらに間違いがあるというなら指摘してくださいと言ってるんですよ．

>>69
益田にとっちゃあ数学は道楽でしかないっぽいもんね。数学を専門にしてないしもう予備校講師じゃないし。
現役時のセンター国語が80台とかサイトで言ってたから国語力のなさはお墨付きｗ

誰々の国語力がどうだとか言ってるお前ら低レベルすぎwww
文系のおれから見たらお前ら全員国語力は馬鹿www

>整数m,nが存在するような(m,n)の組

pを3以上の素数とする．あっ，それは間違えてますね，見落としてました…．以下訂正

a,bが，0≦a≦p-1，1≦b≦p-1を満たす整数とするとき，xについての方程式
　x^2+(pm+a)x+(pn+b)=0
を整数係数で因数分解できる整数m,nが存在するような(a,b)の組の個数をpを用いて表せ．

>>74
なんか間に文章入って変なことに…再度

pを3以上の素数とする．a,bが，0≦a≦p-1，1≦b≦p-1を満たす整数とするとき，xについての方程式
　x^2+(pm+a)x+(pn+b)=0
を整数係数で因数分解できる整数m,nが存在するような(a,b)の組の個数をpを用いて表せ．

>>72
>国語力は馬鹿
?

>>76
文系電波君の相手するなって

>>75
x-1,x-2,…,x-(p-1)から
重複を許して2つ選ぶ方法の数と同数で
p(p-1)/2個。

>>78
不正解です

>>78
失敬、見間違えました，正解です．

x≧π/2をみたす実数xについての関数f(x)を
　f(x)=∫[π/2,x]sint/t dt
とおく．このとき，f(x)≦f(π)を示せ．

>>81
f'(x)=sinx/xであることから、f(x)はx=(2k-1)π（kは正整数）で極大値を取る。
したがってf{(2k-1)π}≧f{(2k+1)π}が示されれば、題意は示される。
つまり∫[(2k-1)π,(2k+1)π]sint/t dt≦0を示せばよい。
　∫[(2k-1)π,(2k+1)π]sint/t dt＝∫[(2k-1)π,2kπ]sint/t dt +∫[2kπ,(2k+1)π]sint/t dt
≦∫[(2k-1)π,2kπ]sint/t dt +∫[2kπ,(2k+1)π]sint/(t-π) dt
＝∫[(2k-1)π,2kπ]sint/t dt +∫[(2k-1)π,2kπ]sin(s+π)/s ds (t-π=sとした)
＝0
よって∫[(2k-1)π,(2k+1)π]sint/t dt≦0が言えるのでf(x)はx=πで最大値を取る。
∴f(x)≦f(π)

四面体OABCがあります。OA=a,OB=b,OC=cだし、∠AOB=α,∠BOC=β,∠COA=γ なんです。
このときの四面体OABCの体積をV1とします。
さて、四面体OA'B'C'があります。OA'=OA,OB'=OB,OC'=OCなんですが、∠AOB=β,∠BOC=γ,∠COA=αなんです。
このときの四面体OA'B'C'の体積をV2とします。
このときV1/V2を求めて下さい。

も　し　く　は

四面体OABCがあります。OA=1,OB=2,OC=4,で↑OA.↑OB=1, ↑OB.↑OC=2, ↑OC.↑OA=-1です。
このときの四面体の体積を求めて下さい。


まいどまいど、しょーもない問題ですみません。

>53 (1)

x≦1 のときは明らか。
x>1 のとき
　log(y) = ∫[1,y] (1/y')dy' ≦ ∫[1,y] dy' = y-1,
y = (1/e)√x とおくと
　√x> (e/2)log(x) > log(x),

>>82
御名答

>>84
御名答．そういう解き方されるとは思ってませんでしたが．
ちなみに(1)は(2)の部分的な誘導です．

>>53
(2)
n≧2ではMの値は｢(n!/2^kが整数となる整数kの最大値)+2｣
になって、求める極限値はたぶん1なんだろうけど、不等式評価の使いどころがわからん

そこまで分かっててなぜ解けんｗ
ガウス記号と対数で評価すりゃ終わるだろ

そこまで分かっててなぜ解けんｗ
ガウス記号と対数で評価すりゃ終わるだろ

そこまで分かっててなぜ解けんｗ
ガウス記号と対数で評価すりゃ終わるだろ

>>90
おい、リフレインするな偽者

a,bは正の実数，tは正の実数とする．このとき，いかなるa,bに対しても以下の不等式が成り立つようなtの最小値を求めよ．
log√(ab)≦{(a+b)/2}^t

>>92
a=b=e^eとすれば、(左辺)=e,(右辺)=e^(et)　となるので、与不等式が成立するためには
et≧1、すなわちt≧1/eでなければならない。
次に、t=1/eで不等式が成立することを示す。
y=logx上の点(e,1)での接線がy=x/eであり、y=logxのグラフが上に凸なので
x/e≧logxが言え、この式からx≧log(x^e)が導かれる。
このときx^e=zとすることでz^(1/e)≧logzとなる……�@
また相加相乗平均の不等式から{(a+b)/2}^(1/e)≧(√ab)^(1/e)となる……�A
�@でz=√abとして�Aと組み合わせることで{(a+b)/2}^(1/e)≧log√abが示される。
以上から、求めるtの最小値は1/e。

問題文の左辺をloga+logbとした方が解きづらい問題になりそう。

>92
相加相乗平均より、(左辺) ≦ log((a+b)/2) = log(A),
　>84 の式で y=(1/e)A^t とおく。
　t*log(A) ≦ (1/e)A^t,
与式成立条件は、t≧1/e,

>>93-94
御名答

xy平面上にある△ABCがあり，形を変えずに以下の条件を満たしながら動く．
(i) AB=1
(ii) 点Aはx軸上を(0,0)から(1,0)へ動く
(iii) 点Bはy軸上を(0,1)から(0,0)へ動く
このとき，点Cがある定点で動かないような△ABCは存在しないことを示せ．

益田さん、自作模試のアーカイブ作ってくださいな。
解答つきで。

問題を変えてみました。てか、こっち出そうとしてたら間違えたんですけどね。

四面体OABCに対してOA=1,OB=2,OC=4で、cos∠AOB=1/2、cos∠BOC=x、cos∠COA=y　のとき、
この四面体の体積が１となるｘ、ｙの関係式を求めよう。

>96
パラメータtをを次のようにおく。
　A=(sin(t),0),　B=(0,cos(t)), 0≦t≦π/2
△ABC上の各点の座標(x,y)は
　x(t) = x(0)cos(t) + {1-y(0)}sin(t),
　y(t) = x(0)sin(t) + y(0)cos(t),
∴　これらを一定にすることは不可能。

>98
OA方向をy軸、△OABをxy-平面とする。
　OA↑=(0,1,0),　OB↑=(√3,1,0),　OC↑=(X,Y,Z)
とおく。題意により
　X√3 +Y = OB↑･OC↑ = 8x,
　X = (8x-4y)/√3,
　Y = OA↑･OC↑ = 4y,
　Z = 3V/(△OAB) = 6V/{OA･OB･sin(∠AOB)} = (6/√3)V,
これらを
　X^2 +Y^2 +Z^2 = OC^2 = 4^2,
に代入しる.

x,y,zは正の実数とする．
√x+√y+√z≦k√(2x+y+z)
が常に成り立つような実数kの最小値を求めよ．

>>101
コーシーシュワルツを使って、√10/2

>98
　|OA|=a, |OB|=b, |OC|=c, cos(∠BOC)=x, cos(∠COA)=y, cos(∠AOB)=z とおくと
　V = (1/6)abc√(1-x^2 -y^2 -z^2 +2xyz),

>101
　(5/2)(2x+y+z) - (√x+√y+√z)^2 = 4x +(3/2)y +(3/2)z -2√(xy) -2√(yz) -2√(zx)
　= {2x +y/2 -2√(xy)} + {2x +z/2 -2√(xz)} + {y +z -2√(yz)}
　= (1/2)(2√x -√y)^2 + (1/2)(2√x -√z)^2 + (√y -√z)^2 ≧0,
等号成立は 4x=y=z.

座標がすべて整数であり，かつすべての座標の和が奇数となる点をＫ点とよぶ．
xyz座標空間に一辺の長さが2の立方体があるとき，この立方体の内部にはＫ点が少なくとも1つ存在することを示せ．

>>104
半径1の球の内部にＫ点が少なくとも1つあることを示せばよい。
球の中心の座標を(a,b,c)とし、整数l,m,nが
l≦a＜l+1,m≦b＜m+1,n≦c＜n+1　を満たすようにする。
(�T)l+m+nが奇数のとき
球の内部に点(l,m,n),(l,m+1,n+1),(l+1,m,n+1),(l+1,m+1,n)のうち少なくとも1つが含まれる。
(�U)l+m+nが偶数のとき
球の内部に点(l+1,m,n),(l,m+1,n),(l,m,n+1),(l+1,m+1,n+1)のうち少なくとも1つが含まれる。
したがって一辺の長さが2の任意の立方体に対して、その立方体に内接する半径1の球がＫ点を含むので、題意は示された。

素数を小さいものから並べた数列を{p[n]}とする．このとき，以下の不等式を示せ．
Σ[k=1,n](1/p[k])＜{5+log(9n^2/2-9n/2+1)}

ちょっと前に作った失敗作です(極めて不親切な問題)．まあこーゆーのがお好きな方はどうぞ．

>>106を訂正

素数を小さいものから並べた数列を{p[n]}とする．このとき，以下の不等式を示せ．
Σ[k=1,n](1/p[k])＜{5+log(9n^2/2-9n/2+1)}/6

>>107
うまいこと方針が立たないけど、n=1,2は明らかとして
5以上の素数の逆数の総和を、6で割った余りが±1の整数の逆数の総和で上から押さえて
log表示に持ち込むんかね？

>>108
その通りです．

nは正整数とする．1からnまでの整数が書かれたカードが2枚ずつ，計2n枚あり，これらをすべて用いて2枚ずつの組をつくったとき，すべての組で以下の条件をみたすものができる確率をP[n]とする．
条件『組になったカードに書かれた数a，bについて，|a-b|≦1』
このとき，
lim[n→∞]n(P[n])^(1/n)
を求めよ．

215 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2007/11/25(日) 09:04:09
n≧k≧2における自然数kについて、9^kと9^(k−1)の桁数が等しいときのkの個数をa_nで表す。
lim[n→∞]a_n/nを求めろ。

>>111
log{10}9

>>112
まちがえてるよ

>>111
これ、神戸大学の問題そのまんまだよ

間違えた
1-log{10}9だな

>107

p[1] = 2,
p[2] = 3,
p[2k+1] ≧ 6k-1,
p[2k+2] ≦ 6k+1,
1/p[2k+1] + 1/p[2k+2] ≦ 1/(6k-1) + 1/(6k+1)
　=　12k/(36k^2 -1)
　≦ 12k/(36k^2 -k)
　=　(1/3){1/(k -1/36)}
　<　(1/3)∫[k-1/2-1/36, k+1/2-1/36] (1/x)dx,
n=2m+1 または n=2m+2 とすると
(左辺) ≦ 1/2 + 1/3 + Σ[k=1,m] {1/p[2k+1] + 1/p[2k+2]}
　<　5/6 + (1/3)∫[1/2 -1/36, m+1/2 -1/36] (1/x)dx
　≦ 5/6 + (1/3)∫[1/2 -1/36, n/2 -1/36] (1/x)dx
　=　5/6 + (1/3)log{ (n/2 -1/36)/(1/2 -1/36)}
　=　5/6 + (1/3)log{C(n-1/18)}, C=18/17,

>116 を訂正
　p[2k+2] ≧ 6k+1,
だった… ｽﾏｿ


ついでにCも改良…
　Σ[k=1,m] {1/p[2k+1] + 1/p[2k+2]}
　=　1/5 + 1/7 + Σ[k=2,m] {1/p[2k+1] + 1/p[2k+2]}
　<　1/5 + 1/7 + (1/3)∫[3/2 -1/72, m+1/2] (1/x)dx
　≦ 1/5 + 1/7 + (1/3)∫[3/2 -1/72, n/2] (1/x)dx
　=　1/5 + 1/7 + (1/3)log{(n/2)/(3/2 -1/72)}
　= (1/3)log(Cn)
　< (1/3)log(n),
　C = exp(3(1/5 +1/7))/(3 -1/36) = 0.941069327… <1,

>110

　(k-1,k) と (k,k+1) とは共存しない。　（← k-1以下のカード、k+1以上のカードが何枚残るか考える.)
ということは、
　(k,k)　か　(k,k+1) 2組
のいずれかということ。

>>110
2n枚を2枚ずつn組に分ける場合の数をA(n)、その中で条件を満たすものの数をB(n)とすると
A(1)=B(1)=1,A(2)=B(2)=2
A(n+2)=(n+1)*A(n+1)+A(n),B(n+2)=B(n+1)+B(n)
が成り立つ。
こっから先はわからん。(√5+1)/2e　とか？

>>118
nに具体的値が与えられていたらそのやり方でもいけますが，一般化されたこの問題ではかなりきついかと思います．

>>110について
P[n+2]とP[n+1],P[n]の関係式を出すと見通しがよくなります．

平面上に異なる5つの円がある．
　半径2の円C[0]
　半径1の円C[1]
　半径pの円C[2]
　半径qの円C[3]
　半径rの円C[4]
この5つの円は以下の条件を満たす．
(条件1)C[1]はC[0]に内接する．
(条件2)C[2],C[3],C[4]はC[0]に内接かつC[1]に外接する．
(条件3)C[3]はC[2],C[4]に外接する．
(1) qをp,rを用いて表せ．
(2) p+rの最大値を求めよ．

>>120
>>121
意味不明

>>123
どのあたりが意味不明と？

>>124
だからいちいち日本語読めない奴の相手をするなと何度も言ってんだろが
いい加減スルーってもんを学習しろ

>>121
P[n+2]=P[n+1]/(2n+3)+2P[n]/(4n^2+7n+3)
となったんだけど、この漸化式解けるの？

>>122
円Ｃ[k]の中心をO[k]とし、円Ｃ[0]とＣ[1]の接点をＴとする。
∠O[1]ＴO[3]=αとして3*tanα=tとおく。反転を用いると
q=8/(t^2+8)、p,r=8/{(t±2)^2+8}　となる。
(1)2/q=1/p+1/r-1を整理。
(2)t^2=8√3-12のときに最大値(√3+1)/2を得る。

受験では余弦定理からソディを導いてひたすら計算になりそうだけどムズすぎじゃね？

>126
　P[n] = Q[n]/{(2n-1)!!} を代入して
　Q[n+2] = Q[n+1] + 2Q[n],
　Q[n] = (1/3){2^(n-1)･(Q[1]+Q[2]) - (-1)^(n+1)･(Q[2]-2Q[1])} = (1/3){2^(n+1) - (-1)^(n+1)},
　P[1]=P[2]=1, Q[1]=1, Q[2]=3.

>126
　ぢゃないな……orz

>>126
解けますよ．

>>127
御名答．
座標平面持ち出せば計算量は増えますが，そこまで難しくはありませんよ．

ｆ（ｘ）＝｜ｘ＾ｎ＋a１ｘ＾（ｎ-1）＋．．．＋aｎ｜とするとき、
｜ｘ｜≦１ で maxｆ（ｘ）≧（1/２）＾（ｎ-1） を示せ。

logW=-0.2556
W=?
さあおまいらに解けるか

>>132
常用対数ならW=10^(-0.2556)
自然対数ならW=e^(-0.2556)
くだらん

>>131
チェビシェフの定理そのまんま

nを正の整数とする．xについての関数f[n](x)を以下のように定める．
　f[1](x)=1-|2x-1|
　f[n+1](x)=f[1](f[n](x))
このとき，方程式f[n](x)=x^3の解すべての総和をS[n]として，
lim[n→∞]S[n]/n^2を求めよ．

「数列の最大・最小に関する問題を創り、解け」
「不等式と領域に関する問題を創り、解け」
「数列の連立漸化式に関する問題を創り、解け」
「空間内での点の軌跡に関する問題を創り、解け」
「ベクトルの線形計算に関する問題を創り、解け」

きみたち、数学オリンピックで金メダルとった人たちでしょう？

金メダルとった人間なんかこのスレどころか数学板にすらほとんどいないよ
いても１人か２人程度

>>137
予選Bランク止まりでした

>>136-137
自分の巣へ帰れ！
レスしてもらえないからって他スレに来るんじゃねぇ！

>>139
お前すげえな
俺はCだったぜｗ
こんな俺でも旧帝数学科でやってけるんだよな

>>135
最終行の分母はn^2ではなく2^nでは？

失礼，訂正しました

nを正の整数とする．xについての関数f[n](x)を以下のように定める．
　f[1](x)=1-|2x-1|
　f[n+1](x)=f[1](f[n](x))
このとき，方程式f[n](x)=x^3の解すべての総和をS[n]として，
lim[n→∞]S[n]/2^nを求めよ．

重さｚグラムの立方体（縦１０ｃｍ・横１０ｃｍ・縦１０ｃｍ）がある。
その立方体の重さを、積分法で求めなさい。
（大学入試問題）

>>138
そうか？
大学への数学では、毎年のように、灘高校から数学オリンピックで
金メダル取る人がいるけど。

>>145
はぁ？それとこのスレに金メダルがいるかいないかとどう関係あるんだ？

>>144
ゼウス持ってくんなカス

灘高校工作員乙ｗｗｗ

{n(n+1)/4}^2＝n!
を満たす自然数ｎは存在しないことを証明せよ

すみません　間違いです↑　　正しくは
『{(n+1)/2}^ｎ＝n! を満たす自然数ｎは存在しないことを証明せよ』
です。

>>143
細かい論証は省くと
x<0ではf[n](x)=x^3の解はx=-2^(n/2)
x≧1ではf[n](x)≦0＜x^3で解なし。
0≦x＜1ではf[n](x)=x^3はk/(2^n)≦x＜(k+1)/(2^n) (kは0≦k≦2^n-1)を満たす整数)
の2^n個の範囲にそれぞれ一つずつ解を持つ。
∴-2^(n/2)+Σ[k=0_2^n-1]k/(2^n)≦S[n]＜-2^(n/2)+Σ[k=1_2^n]k/(2^n)
よって-2^(-n/2)+(2^n-1)/2^(n+1)≦S[n]/(2^n)＜-2^(-n/2)+(2^n+1)/2^(n+1)
以上から求める極限値は1/2

>>145
意味不明

>>150
つn=1

>>150 n=1の時成り立つ。よって仮定は誤り。

>>151
御名答

　各成分が0または1である3次の正方行列全体の集合をU，0または1または2である3次の正方行列全体の集合をVとする．
　集合Uから重複を許して2つの要素A,Bを選んだとき，AB∈UかつBA∈Uとなる確率を求めよ．

>>110
答えまだー

また間違えました…訂正．

　各成分が0または1である3次の正方行列全体の集合をU，0または1または2である3次の正方行列全体の集合をVとする．
　集合Uから重複を許して2つの要素A,Bを選んだとき，AB∈VかつBA∈Vとなる確率を求めよ．

Ａ、Ｂ、Ｃの3人がそれぞれａ，ｂ，ｃ枚の白紙のカードを持っている。
（ａ，ｂ，ｃはすべて異なる自然数）これを初期状態と呼ぶことにする。
《3人の内、持っているカードが最も多い人が、残りの2人のうちどちらかに
　自分の持っているカードを１枚渡す》・・・（※）
試行（※）をｎ回行ったとき

（1）初期状態と同じ状態になる確率を求めよ

（2）3人の持っているカードすべて（ａ＋ｂ＋ｃ枚）が元の所有者の手から
　　少なくとも一度は他に渡っている確率を求めよ。

>>159
枚数が同じになったらどうするんだ？

スマン
枚数が同じになっても、常に最高枚数の人がカードを配るという意味
例えばＡ、Ｂ、Ｃが3,3,2枚のカードを持っているとすると
ＡＢの両方が試行を行い、まとめて一回の試行と数える

>>157
つP[n]={2^(2n+1)+(-1)^n}/{3*(2n-1)!!}
あとは区分求積ででるはず
計算面倒だからあとは任せた

誰か過去ログをhtml化してくれ

>>163
http://briefcase.yahoo.co.jp/bc/loveinequality/lst?.dir=/b856

半径1の球面S上に4つの点A,B,C,Dがある．S上を点Pが動くとき，AP*BP*CP*DPの最大値をmとする．mの最小値を求めよ．

>>158
どちらか少なくとも一方の積の成分に
3があるものの個数を求めて全体から引けばよい。
これは「縦に3つ1が並んでいる列がある要素」と「横に3つ1が並んでいる行がある要素」
の選び方の個数を求めればよいことになる。

↑の方針だと思うけど、確率の値がかなり汚くなるのは仕様？

>>166
AB∈VかつBA∈Vだから条件それだけだと間違ってないか？
縦にも横にも1が並んでるやつを考える必要あるえ

>>167
いや、補集合の方をカウントしようとしてるから
ドモルガンの法則で「または」かなと。

1 ：名無しにかわりましてVIPがお送りします。：2007/11/29(木) 21:49:20.57 ID:KzHMp3d0O
俺＝コンビニ店員なｗ
まず自分好みのお客様が来たら
俺「温めますか？」
客「はい」
俺「お箸お付けしますか？」
客「はい」
俺「袋一緒でもよろしいですか？」
客「はい」
俺「ポイントカードお持ちですか？」
客「はい」
俺「僕と付き合って頂けますか？」
客「はい……え？」
俺「はい、って…言ったよね？」
客「…もぉ、しょうがないなぁ///」
俺「ｳﾋｮｰｗｗｗｗ」

益田さんはいろいろな大学の予想模試を公開してますか
各大学の傾向教えて下さい

各大学の傾向…どの大学も一言ではとても説明しきれません．感覚的なものですから．あえて言い表すなら
東大：教育的
京大：発展的
といった感じですね．

>>165
細かい論証は省くと　
ABCDが正4面体のとき
　m = 16/(3√3) ≒ 3.0792014356 7800407738 2126829343 8…

>>172
答えがそうなることくらいはこのスレの住人なら誰でも分かる。
その論証が知りたい。

益田さん。
お願いですから↓こういう表現はやめてもらえませんか。数学の専門訓練を受けた人間が見るとイライラするんです。
(x,y)のとりうる値の範囲をxy平面上に図示せよ．

じゃあどう表現するんですかー？

益田さんって数学の専門知識がないだけじゃなくて、日本語が不自由なんでしょうか？
数学科卒としてだけじゃなく、日本人としてイライラするんですけど。

s≧t≧1をみたすいかなる(s,t)についても，以下の不等式を示せ．

任意のf(x)についても

任意のa，bについても

3,3^2,3^3,3^4,…,3^100のうちで連続して3回同じ桁数

Xが6秒後まで動いたとき，k秒後(k=1,2,…,6)に放物線y=x^2上に点Xがあるようなkが少なくとも1つある確率を最大にするpを求めよ．

>>174
問題を解くと想定される人の99％はいらつかないと思うよ

>>177
論理が不自由だな。あんた。

安価間違えてるよ

>>174
おれはお前がどういう訓練を受けたかが気になるんだが。

>>174
>>175

>>174
何をいまさら…

69:１３２人目の素数さん[]
2007/11/21(水) 09:56:51
>>67
よく出題ミスするくせによく言うよ。
>>60-61の文脈では、
「MASUDA」が出題するとアンチがいつも現れる。
↓
現れているのはアンチではなく、単に間違いを指摘しているだけだ。
という流れだから、今回の出題に限ったことではなく、一般的な話ですよ。
MASUDAさんってほんと国語力低いよね。
問題文の日本語もいつも変だし。用語を間違って使うし。サイトの文章も下手くそだし。


こいつだな

masudaのスレじゃないし、どうでもいい…

>>174
>>176
いまさらだな。益田の国語力は前から言われてること
てか一部はおかしくないからお前が数学科ってのもあやしい
だいいちこのスレの問題じゃなく全部サイトの問題だろが
ならサイトの方に書き込んでこいやボケ

あきらかに名無しのますだがいるぞｗ

>専門的訓練を受けた
ここでそれは痛い台詞だなｗ

>>186
日記見たらスケート狂MASUDAは今仙台にいるらしいよ
ここには来れんだろ

>>188
もう帰ってきてますよ．
>>176
問題文において修飾語が重なってしまう表現に関しては，私の国語力不足です．
「任意の○○について“も”」に関しては前に指摘を受けましたのでその後の問題に関しては，最後の「も」を削っております．
「３回同じ桁数になる〜」の問題文は大数で用いられていた表現をそのまま転用させていただいたのですが…．

なお，指摘されている問題文はどうやらここの問題じゃなく全てサイトの問題について指摘されているようですので，ここではスレ違いになります．疑問点等ございましたらサイトの方にお願いします．
そもそもイライラするのであれば見に来なければいいと思いますが．

>>189
レス長杉
>そもそもイライラするのであれば見に来なければいいと思いますが．
この一文だけでおk

数学科の表現と大学入試での表現は根本的に違うらしい

数学科卒にとってはおかしいと思える表現が入試ではよく見かけるのはなぜなんだろね

受験生にはあまり関係ないんだろうけど

コテつけたり名無しになったり忙しい人ですな

> 数学科卒にとってはおかしいと思える表現が入試ではよく見かけるのはなぜなんだろね

例えば？
自分の勝手な印象で語らず、具体的に指摘したほうがいいと思いますよ。

>>174
スレ違いだからここで追求するのもどうかと思うが

例えば上で益田が言ってる「任意の○○について」は「も」を削っても俺はおかしいと思う
でも東大ではこの表現が使用されてるんだよな

スマソ
全然違うとこに安価つけてた
× >>174
○ >>193

>>194
だから、具体的に東大のどの問題ですか？
マスダ氏は大数についてコメントされてますが、それは入試ではないですし。

95年前期２番

95 年前期 2 番。

どのあたりが「数学科卒にとってはおかしいと思える表現」なんだろう。
日本語で日常的に用いられる表現としてはおかしい、というのであればともかく、
数学では普通に用いられる表現に思えるが。

だんだん、>>191 が一体どこの数学科を出たのか、というのが気になってきた。

>>198
なら>>176の指摘について一つ一つあんたの意見聞かせてよ

>>174-199
スレ違い
ここは作問スレ
お前ら雑談スレに逝け

基地外は頑張って自作自演してろよ

数学科卒だとかなんとか愉快な奴らだなｗ
数学科の専門的訓練とやらがいかなるものか教えてくれｗ

>>199
面倒なことを言い出す奴だな。
一個人に過ぎないマスダ氏の文にケチを付けるのは避けたいのだが。

大体俺が聞いてるのはマスダ氏のことではなく、
東大で出されたおかしな表現の問題というのは一体どういうものなのか？
ということなんだが。

どうも、そういう問題はないようですな。

都合の悪いものは全部スルーしちゃう自称訓練受けた人

>>204
都合が悪くてスルーしたものって何？
まぁ、答えられないでしょうけど。

MASUDAさんもコテになったり名無しになったり、お忙しい方ですねｗ

>>206
お前もう無差別乱射状態だなwww
何発かは当たってんのかもだけど、このタイミングは文章読まずに定期的に書いてるとしか思えんwww
おもろいからいいけど

益田のサイトおせーて
問題いっぱいあるんでしょ？

つhttp://83.xmbs.jp/checkmath/

�dクス

nは2以上の整数とする．また，正の整数xに対し，S(x)でxの正の約数の総和を，f(x)でxを素因数分解したときの2の指数を表すものとする．
n+1個の正の偶数a[1],a[2],…,a[n],a[n+1](a[1]=a[n+1])があり，すべてのk(k=1,2,…,n)について
　S(a[k])=2a[k+1]
が成り立つならば，f(a[k])+1は素数であることを示せ．

>>198
95年2番は「任意の実数x, yについて」と書いてあるが。

「(x,y)のとりうる値の範囲」という表現は数学的に意味不明だと思うのだが。
数学的には「値」というのは、実数の集合への何らかの写像が定義されている場合に
出てくる言葉だと思うのだが。
積集合の元を「値」と表現するか？

「いかなる(s, t)についても、次の不等式を示せ。」という文も変。
あらゆる(s, t)を代入して、それらすべての不等式を示さなきゃならないかのように読める。
「いかなる(s, t)についても、次の不等式が成り立つことを示せ。」と言えばいいだけ。

>>211
問題作成能力は素晴らしいと思いますが、やっぱり日本語は変。
S(x)でxの正の約数の総和を，f(x)でxを素因数分解したときの2の指数を表すものとする．
↓
S(x)はxの正の約数の総和を表し、f(x)はxを素因数分解したときの2の指数を表すものとする。

「f(x)でxを素因数分解した〜」という表現は読む人の誤解を招くと思いませんか？
「3で7を割った余り〜」とか「xでf(x)を微分した〜」などに見られるように、
f(x)がxに対して何らかの作用をするかのように読めるのです。日本語として。
あと、「AはBを、Cは・・・・・・・・・・・を表すものとする」というような言い回しは、
「Bを」に対する述語がなかなか出てこないので不親切。
最後まで読まないと意味の分からない文は悪文です。
せめて前半を「〜を、」で止めずに「〜を表すものとし、f(x)でxを〜」と書いてあれば、
「f(x)でx」も許容できるのですけど、「表す」という言葉を最後まで出さないせいで二重にまずい日本語になっています。

「いかなる(s, t)についても、次の不等式を示せ。」
という文は、「ついても」という副詞句が「示せ」という動詞にしかかかり得ないという感覚がないのが問題です。
「いかなる(s, t)についても、次の不等式が成り立つことを示せ。」
となっていれば、「ついても」を「成り立つ」にかけられるから意味が通じるのです。
修飾・被修飾の整合性は小学校レベルですよ。

>>212
> 95年2番は「任意の実数x, yについて」と書いてあるが。

だから？
なんで俺 (>>198) へのレスなんだろう？しょうがないので返事するが、

> 「(x,y)のとりうる値の範囲」という表現は数学的に意味不明だと思うのだが。

意味不明ですね。

> 「いかなる(s, t)についても、次の不等式を示せ。」という文も変。

変ですね。これが変だからといって >>189 のように「ついても」の「も」
を取るというのは、最悪の修正法ですね。

> 「いかなる(s, t)についても、次の不等式が成り立つことを示せ。」と言えばいいだけ。

そうですね。

ヤレヤレ

>>215
最悪も何も「いかなる(s,t)についても」の問題文で“も”を削ったとは私は一言も言ってないんですけどね．“も”を削ったのは「任意の」と書いた問題です．

「いかなる(s,t)についても」は第３回京大予想の問題のことを指摘されていると先ほど確認しました．あの問題文に関しては「が成り立つこと」が抜けていたので訂正いたしました．

ついでに>>211にも指摘がありましたので以下に訂正版を．

nは2以上の整数とする．また，正の整数xに対し，S(x)はxの正の約数の総和を表し，f(x)はxを素因数分解したときの2の指数を表すものとする．
n+1個の正の偶数a[1],a[2],…,a[n],a[n+1](a[1]=a[n+1])があり，すべてのk(k=1,2,…,n)について
　S(a[k])=2a[k+1]
が成り立つならば，f(a[k])+1は素数であることを示せ．

>>216
いわれるがまま、との印象も受けるが素直でよろしい。
これからも指摘を受けるたびに素直にさっさと修正するように。

>>212
ほら見ろ。
おまえが俺に変なふりに答えてしまったばっかりに、
MASUDA の逆鱗にふれてしまった（笑）

>>218
ちょwww
素晴らしく上から目線www

間違えたｗ訂正。

>>212
ほら見ろ。
おまえの変なふりに答えてしまったばっかりに、
MASUDA の逆鱗にふれてしまった（笑）

>>219
なんかお前の日本語も変になってるよwww

>>222
ははは。じゃ、おわびついでに書いておいてやろう。

>> 189
> 「任意の○○について“も”」に関しては前に指摘を受けましたのでその後の問題に関しては，最後の「も」を削っております．

あるいは

>>216
> “も”を削ったのは「任意の」と書いた問題です．

これでいいというわけではない。そんな機械的に変換すれば OK という問題じゃないんだな。
そもそも >>215 で俺が「最悪」と書いた理由もわかってるのかは、かなり怪しいな。

2x2の行列のある部分集合Fは次の性質を持つ。

　・Fの任意の元 a,b について、a-bはFに属する。
　　そして、Fの任意の元 aは、a-a=0 となる。

　・また、Fの任意の元a,bについてa*bはFに属する。
　　そして、Fのある元eは次のような性質を持つ
　　　・任意のFの元aについて　a*e = e*a であり、これはFに属する。
　　　・e*e=e
　　　・-e * -e =e という等式が成り立つ。
　・さらに、Fのある元iについて次の等式が成り立つ、i * i = -e

元、e,iを求めよ。

東大の「任意の○○について」はよくて益田の「任意の○○について」はダメなのかｗ
このスレしか見てない連中からしたら、全文書いて説明してないお前の理屈はワケがわからんぞ

しばらく平穏だったのに１日たって来てみたらこれか
発端の>>174見たら、このスレの問題にじゃなくmasudaのサイトに対する指摘じゃん
いい加減よそでやれよ。masudaスレでも立てればいいだろ

>>225
東大の問題は誰でも見ることができるのであって、
そんな怠慢な奴にまで親切にしてやる必要はまるでナッシング。

>>226
横レスですいません。

問題文を作成するにあたり、日本語表現をどうしたら良いか、については
常々悩まされる問題です。だから全くのスレ違いというわけではなく、
このスレの議論も興味深く読ませてもらってます。
他にもそういう人は多いかと思います。

>>227
だーかーらー、東大のは見たよ
益田のやつとの違いを教えてくれと言っとるんだ

>>228
実はおれもこっそり参考にさせてもらってたりしてｗ
問題文を簡潔に明瞭に書くって難しいんだよな。
書けないというのは問題の理解が甘いということだと自覚はしてるんだが。

>>229
横レスですまんが、
益田は自分で訂正入れてるわけだし、それを見たらわかるんじゃね？
そもそも東大が「任意の○○について」を使えばそれは無条件で
いつでも正しい、なんて誰も言ってないようだし。
↓のようなあわてんぼうな勘違いをしてるのは、おまえだけではないかと。

>>225
> 東大の「任意の○○について」はよくて益田の「任意の○○について」はダメなのかｗ

>>231
>そもそも東大が「任意の○○について」を使えばそれは無条件でいつでも正しい、なんて誰も言ってないようだし。

言ってるんだよ、>>198がな

東大「任意の○○について」
益田「任意の○○についても」
の見分けがつかん奴は益田と同レベル。

>>232
>>221 にも書いたけど、>>198 の具体的な話ついては益田も訂正を入れてるし、
解説がさんざんあるじゃん。数レス上も読めないと？ それとも理解できないの？

コテはコテでいいタイミングで燃料投下しよるし、
またコテの取り巻きは取り巻きでアフォぶりを発揮するし。
まさか、わざとやってるのかｗｗｗ

=========終了============

>>233
あのな、>>223を読めっつってんだよ
「も」を削ってもダメな理由を聞いてるわけ
横レスするなら読んでから書け

>234
あまり答えになってないと思うんだけどｗ
232→234が噛み合ってないしｗ
安価ミスか？

>>237
まぁ、そうカリカリするな。頭から湯気が出てるぞ。
お茶でも飲め。
その上でゆっくりレスを読み返せ。 >>223 のどこに

>>225
> 東大の「任意の○○について」はよくて益田の「任意の○○について」はダメなのかｗ

なんて趣旨のことが書いてあるんだろう。どこにもそんなことは書いてないように思うよ。
つまり『東大の「任意の○○について」はよい』なんてどこにも書いてないでしょ。

>>237
あの，そろそろ終わりにしませんか？問題がどんどん流れてしまいますし．
私は訂正したので解決しているのですが．

そうそう。
>>237 よ、あまりのバカっぷりに笑うに笑えないぞ。ということで

=========終了============

まさに >>235 の展開ｗｗｗ

でも正直 >>237 のおつむがかわいそうになってきた。
自分の言いたいことはまともに表現できてないみたいだし、
相手の言うことも理解できてないみたいだしｗｗｗ

ちょうど終了したところで、そろそろ>>165の答えがなぜ>>172になるのかの理由を教えてほしいんだけど
答えは予想つくけど論証がさっぱり分からん

>>237
「も」を削ったからそれで良いなんて言えないでしょ。常考。

>>217
S(a[k])=2^n*a[k]になるから、あとは
完全数についてのEulerの定理と同様に示す。

>>245
つS(4)=1+2+4=7

>>245
a[k]は完全数とは限りません．
また，S(a[k])=2^n*a[k]にもなりません．

>>165
これ益田さんできたのですか？

ベクトル
反転
三角関数

どれも渋いことになるのだが。
ベクトル→内積から角度をもちだすがよくわからない
反転→ABCDをBCDに減らしてP,B,C,Dの４点で平面に帰着することができるが後の計算が煩雑すぎてわからない
三角関数→球の中心をOとして∠OIP=2I {I=A,B,C,D}とするとsinA*sinB*sinC*sinDの最大値を求めることになるが固定されたA,B,C,Dの関係式が複雑すぎて後の計算がほぼ不可能

∠OIPではなく∠IOP

>>248
三角関数持ち出すより幾何の方が解きやすいぞ
単位球とみなして、4点がすべてz≦1/3の領域にくるように球面を回転することができる
これを示せばあとは論証だけで解決できるんじゃない？

>>250
>z≦1/3
これを示したところで長さの積が最大になるPの位置が特定できるとは思えないのですが。

幾何でやると
(i) 積の最大(=m)とは固定された点A、B、C、Dに対してPの位置の特定→具体的な値は求まらない
(ii)mを最小にするとは動くA、B、C、DのもとでPは(i)の状態→具体的な値を求める

そういえば１つ点をおとして３つの場合の積は上のほうで問題があったと思うけどそのあたりにヒントがあるんですかね。

>>172に期待

>>251
　A,B,C,Dが正四面体の4頂点をなすとき，AP*BP*CP*DPが最大になるのは，中心について点Aと対称な点にPを設定したときです．この最大値16√3/9がmの最小値になると予想して論証します．
　つまり，この正四面体の状態からA,B,C,Dを動かしたときにAP*BP*CP*DPが16√3/9より大きくなるような点Pを設定できることを示せばいいわけです．
　>>250がおっしゃっておられるように幾何で論証した方が楽です．座標から計算でいくと計算地獄になります．

　なお，3点の場合の問題も出題しましたが，ヒントにはならないと思います．この問題のオリジナルは某数学者のもので，
『半径1の円周にn個の点列A[k](k=1,2,…,n)があるとき，Π[k=1,n]PA[k]≧2をみたす点Pを円周上に必ずとれることを示せ』
という問題でした．これの立体拡張版なわけですが，立体版では平面版に比べてはるかにややこしく，n個の点の場合については私は全く分かりません．私が分かったのは4≦nの場合まで．n=5ですらいまだにさっぱりです．n=5の場合が分かった方は教えて下さい．

（・∀・） ﾆﾔﾆﾔ…

>>254
＼(^o^)／馬鹿が釣れたw

>255
またお前か
いつもながら意味がわからん

nは正の整数，xは実数とする．f(x)=x^2+x+1として
{f(x)}^n≦f(|x|^n)3^(n-1)
が常に成り立つことを示せ．

>>257
x≧0で成り立つことを、チェビシェフの不等式と数学的帰納法で示して
x<0では
f(x)<f(|x|)から、x≧0で成り立つことを用いて示せる。

最終行は「0<f(x)<f(|x|)」でした。

>>258-259
御名答

rは0＜r＜1をみたす実数とする．xyz座標空間において以下のように表される領域をUとする．
　|x|≦1
　|y|≦1
　|z|≦1
　x^2+y^2≧r^2
　y^2+z^2≧r^2
　z^2+x^2≧r^2
この領域Uを立体とみなしたとき，その表面積S(r)の最大値を求めよ．

マスコミは報道しないが…日本壊滅の危機！？

｢放置すると､日韓関係にﾋﾋﾞ｣ 外国人参政権付与､成立への流れ加速も…公明に各党同調､自民反対派は沈黙､首相次第か

オランダのイスラム原理主義みたいに…日本国内に韓国市が誕生する
http://search.yahoo.co.jp/search?p=%A5%AA%A5%E9%A5%F3%A5%C0%A4%CE%A5%A4%A5%B9%A5%E9%A5%E0%B8%B6%CD%FD&fr=top_v2&tid=top_v2&ei=euc-jp&search.x=1&x=26&y=15


マスコミが報道しない外国人参政権のカラクリ！
http://jp.youtube.com/watch?v=pILX1H6eRuU&feature=related

(1) ∫[0,1]dx/(1+x^2) を求め、Σ[n=0,∞](-1)^n/(2n+1) =π/4 であることを示せ。(省略)

(2) lim[n→∞] n・(π/4-Σ[k=1,n](-1)^k/(2k+1)) を求めよ。

>>263
(1)
成立しない

(2)
与式=lim[n→∞]n(π/4+π/4)=+∞

>>264
？？？

>>263
出題者がまだ自分のミスに気づいてないな・・・

>>261
4/3*3.141592…*ｒ　に限りなく近く少ない値って事かな？

>267
変数のrがなぜ入ってるんだ？

次の式が成り立つような自然数a,b,c,dを見つけよ
1/a + 1/b + 1/7 + 1/c + 1/d = 1
ただし、a<b<7<c<dとする

訂正
a<b<7<c<d<30とする

>>269
a=2　b=4　c=14　d=28
つまらん

つまりすぎてもつまらないという不思議

>>261
(30π+96√2)/(π+4√2)

sは正整数とする．ベクトル{p[n]↑}を以下のように定める．
　p[1]↑=(1,s,1+s)
　p[2]↑=(s,1+s,1+2s)
　p[n+2]↑=p[n+1]↑+p[n]↑
　(n=1,2,…)
(1) p[n]↑･p[n+2]↑-|p[n+1]↑|^2=t(-1)^nがすべてのnについて成り立つとき，s,tのみたすべき条件を求めよ．
(2) xyz座標空間において，原点をOとして，点P[n]をOP[n]↑=p[n]↑となるように定める．このとき，線分OP[n]がx軸，y軸，z軸それぞれとのなす角の大きさをa[n],b[n],c[n]とする(0≦a[n]≦π/2,0≦b[n]≦π/2,0≦c[n]≦π/2)．
lim[n→∞](a[n]+b[n]+c[n])を求めよ．

>274
　p[n]↑ = (q[n-2], q[n-1], q[n] )
　q[n] = F[n] + F[n+1]*s,
　F[n] はフィボナッチ数.
(1)
　p[n]↑･p[n+2]↑-|p[n+1]↑|^2 = q[n]^2 - q[n+1]q[n-1],

>274
　p[n]↑ = (Q[n-1], Q[n], Q[n+1] )
　Q[n] = F[n-1] + F[n]*s,
　F[n] はフィボナッチ数.
(1)
　p[n]↑･p[n+2]↑-|p[n+1]↑|^2 = |Q[n+1]|^2 - Q[n]Q[n+2],
F[n]F[n+2] - |F[n+1]|^2 = (-1)^(n-1),
t = s^2 -s-1.

>>274
(2)
細かい論証を省くと
lim[n→∞]a[n]=π/5
lim[n→∞]b[n]=π/3
lim[n→∞]c[n]=2π/5
なので求める極限値は14π/15

>>276-277
御名答

数列{a[n]}は
　a[1]=1，a[2]=1，a[3]=2
　a[n+3]=a[n+2]+2a[n+1]-a[n]
　(n=1,2,…)
このとき，n≧2ならば，a[2n+1]は3つの正の平方数の和で必ず表せることを示せ．

※一般項を求める必要がないとはいえ，4項間なので高校生向けではないかもですが…

漸化式を変形すると　a[n+3]=5a[n+1]-6a[n-1]+a[n-3]　となる。
f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2　とすると、
f(2x+y+z,x+2y,x+z)=5f(x+y,x+z,z)-6f(x,y,z)+f(x-z,z,y-x+z)　という恒等式が成立する。
従ってa[n+1]、a[n-1]、a[n-3]が３つの平方数の和で表せるのなら、a[n+3]も３つの平方数の和で
表せることが示される。
a[1]=1=1+0+0、a[3]=2=1+1+0、a[5]=6=4+1+1、a[7]=19=9+9+1、a[9]=61=36+16+9、a[11]=197=100+81+16
のように、初期の方で成立していることが確かめられるので、数学的帰納法によりに題意は示された

書き忘れたが、恒等式で使われている関数の変数はすべて、
x+yを次(左側)の関数のx、x+zを次の関数のｙ、yを次の関数のz　という関係にある

>>280
ちょwwwすげwww

正の整数からなる増加数列{a[n]}に対して，S[n]を
S[n]=Σ[k=1,n]{(-1)^k}/a[k]
と定める．n→∞のときS[n]は収束することを示せ．

>283
　S[2n] = Σ[k=1,2n-2]{(-1)^k}/a[k] = Σ[K=1,n-1] {-1/a[2K-1] +1/a[2K]} <0, 単調減少.
　S[2n+1] = Σ[k=1,2n-1]{(-1)^k}/a[k] = -1/a[1] + Σ[K=1,n-1] {1/a[2K] -1/a[2K+1]} > -1/a[1], 単調増加.
∴ -1/a[1] < S[2n-1] < S[2n+1] < … < S[2n] < S[2n-2] < 0,
∴ S[2n], S[2n+1] はいづれも有界単調列なので, 収束する。

>>284
すげーあやしい答えに見えるのは気のせい？
S[2n]とS[2n-1]が同じ極限値に収束することはこれで示されたことになるの？

（√3）＾（√3） が無理数である事を示せ。

>285
　0 < S[2n] - S[2n-1] = 1/a[2n] →0,　(n→0)

>>279
　b[n] = a[2n+1] −a[n+1]^2 −(a[n+2]-a[n+1])^2 −(a[n+1]-a[n])^2,
とおくと
　b[1]=0, b[2]=0, b[3]=0,
また漸化式より
　b[n+3] - 5b[n+2] + 6b[n+1] - a[n] = a[2n+7] - 5a[2n+5] + 6a[2n+3] - a[2n+1]
　=0,　　　>>280
ゆえ
　b[n] =0.

>>286
ゲルフォント・シュナイダーの定理より超越数
よって無理数

>>285
交代級数の収束の話だろ常考

>>290
常考ってなんだよ、(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!!

常考が分らない香具師が紛れ込んでるな

>288
右辺に
a[n] = Aα^n + Bβ^n + Cγ^n,
を代入する方法もあるな。まあ、漸化式を使うのと変わらんが。

　α,β,γ は特性方程式 t^3 -t^2 -2t+1 =0 の3根,
　A=1/{(α-1)(α-β)(α-γ)},　B=1/{(β-1)(β-α)(β-γ)},　C=1/{(γ-1)(γ-α)(γ-β)},

(解法)
　t^3 -t^2 -2t+1 = (T^3 -21T+7)/27 = k･{4(cosθ)^3 -3cosθ + 1/(2√7)} = k･{cos(3θ) + 1/(2√7)},
ここに　t=(T+1)/3, T=(2√7)cosθ, k=(14√7)/27,
　θ = (1/3){π-arccos(1/(2√7))} = 33.631131549710301868494175086623ﾟ
　α =-1.2469796037 1746706105 0009768008 5…
　β = 0.4450418679 1262880857 7805128993 5…
　γ = 1.8019377358 0483825247 2204639014 9…

(1) m,nはm＜nをみたす正の整数とする．何回でも微分可能なxについての関数f(x)は
　f(x)＞0，f'(x)＜0，f''(x)＞0をみたす．このとき
Σ[k=m,n]f(k)＜∫[m-1/2,n+1/2]f(x)dx
が成り立つことを示せ．
(2) Σ[k=1,n]1/k-logn≧i/10をみたす整数iの最大値を求めよ．なお，必要ならば，自然対数の底eがe=2.718…であることを用いてもよい．

誰か>>217を頼む

>>288
それを出すなら
【加法公式】
　a[m+n+1] = a[m+1]a[n+1] + (a[m+2]-a[m+1])(a[n+2]-a[n+1]) + (a[m+1]-a[m])(a[n+1]-a[n]),
で生姜。
　m=n の場合は >288 になる。
　証明は >293 で。

（１）　連続するk個の整数の積はk ! で割り切れることを示せ。
（２）　pは素数, 整数k≦(p+1)/2　のとき　(p-(k+1))*(p-(k+2))*....*(p-(2k-1))≡0 (mod k ! ) を証明せよ。

>>290
>>287は余計だという指摘か？

>>294
(1)　平均値の定理より
　f(x) = f(k) + (x-k)f '(ξ) = f(k) + (x-k){f '(k) + (ξ-k)f "(η)},
(x-k)(ξ-k) ≧0, f ">0 より
　f(x) ≧ f(k) + (x-k)f '(k),　　（← x=kでの接線の上側にある, 下に凸）
両辺をxで積分すると
　∫[k-1/2,k+1/2] f(x)dx > f(k),

(2)
　f(x)=1/x とおくと (1)より Σ[k=2,n] 1/k < log((2n+1)/3),
　Σ[k=1,n] 1/k -log(n) < 1 + log((2n+1)/3n)
nが十分大きいときは
　Σ[k=1,n] 1/k - log(n) ≦ 1 + log(2/3) < 3/5 = 6/10,
∵　e^2 = (2.71828…)^2 = 7.389… < 7.59375 = (3/2)^5, log(2/3) < -2/5,

　Σ[k=1,n] 1/k = 1/2 + Σ[k=1,n-1] (1/2){1/k + 1/(k+1)} + 1/(2n) > (1/2) + ∫[1,n] (1/x)dx = (1/2) +log(n),
　Σ[k=1,n] 1/k - log(n) > 1/2 = 5/10,
よって i=5

>>296
証明は>>293なんて使わなくても片方の変数固定すれば明らか。

>>290＝>>292＝あほ

〔補題〕
　k次積 n(n+1)……(n+k-1) は k!で割り切れる。
(略証)
kについての帰納法による。
　k=1 のときは明らか。
　k>1 のとき
　　nについての帰納法による。
　　n=1 のときは明らか。
　　nを1だけずらして、差を考える。
　　　(n+1)(n+2)…(n+k) - n(n+1)…(n+k-1) = {(n+k)-n}(n+1)…(n+k-1) = k･(n+1)(n+2)…(n+k-1),
　　　帰納法の仮定より、(k-1)次積 (n+1)(n+2)…(n+k-1) は (k-1)! で割り切れる。
　　∴ (n+1)(n+2)…(n+k) - n(n+1)…(n+k-1) はk!で割り切れる。
　　nについての帰納法により、k次積 n(n+1)…(n+k-1) もk!で割り切れる。

nから始まるk次積を n(n+1)…(n+k-1) = (n)_k と書いて Pochhammerの記号 とか言うらしい。

>297 (1)
〔補題〕
　0≦k≦n のとき k次積 n(n-1)……(n-k+1) は k!で割り切れる。
(略証)
　n(n-1)…(n-k+1)/k! = n!/{(n-k)!k!} = C[n,k] とおく。
nについての帰納法による。
　C[n+1,0] = C[n+1,n+1] =1.
1≦k≦n のとき
　C[n+1,k] = C[n,k] + C[n,k-1]　　　　(← Pascalの3角形)
帰納法の仮定よりC[n,*]は自然数だから、C[n+1,k] も自然数。

何で二回も証明してんだ
それも何十回も証明書かれてるものの

kは1≦kをみたす整数とする．整数nをk≦nの範囲で動かしたとき，二項係数C[n,k]が素数pで割り切れるようなnの集合をA[p,k]とする．
A[p,k]の要素を小さいものから並べると等差数列になるためのkのみたすべき必要十分条件を求めよ．

>>297
（２）は下の(2)と同じですな。
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第九問
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1182629190/210
210 名前：MASUDA ◆wqlZAUTQF. [sage] 投稿日：2007/07/14(土) 03:30:17
C[n,r]は二項係数である。
(1) n≧2とする。『nが素数ならば、1≦r≦n-1を満たす任意のC[n,r]はnで割り切れる。』は真であるといえるか。
(2) nを3以上の奇数とする。『1≦r≦(n-1)/2を満たす任意のC[n-r,r]がn-rで割り切れることとnが素数であることは互いに必要かつ十分』は真であるといえるか。

θを実数全体を動くとするとき
(sinθ)^3+(cosθ)^3
の最大値、最小値を求めよ

sin1が無理数であることを示せ。

>>307
アステロイドとx+y=kの交点調べて[-1,1]
>>308
京大のパクリ

ん？

ﾏｼﾞな話ですが、東大受験生を家庭教師してます。
今年で新課程３年目ですが、そろそろ新課程色が出そうな気がします。

１次変換、微分方程式といった所はどうなんでしょう？
皆さんのご意見をお伺いしたいです。

× 今年で
○ 今度で

1次変換は出るかもな。
東大の傾向としては抽象的な性質を問うものよりも、
点を回転させて極限か面積・領域などと絡めるタイプだろう。

微分方程式は基本的に範囲外なのでまず出ない。

微分方程式は京大だけだろな。東大は範囲に忠実だし。

微分方程式チックな問題って、後期の総合科目IだかIIだかではバリバリ出るんじゃマイカ

モノグラフの微分方程式で勉強した思ひ出
今の課程でも微分方程式を取り扱ってる問題集はほとんどないんだろうな

>>316
そーでもないよ。チャート式には微分方程式ある

>>309
>>308はsin1°ではなくてsin1

微分方程式か．．．
僕が工房の頃は、線形２階定数係数くらいはやってた気がする。
数列の隣接３項間漸化式、行列のｎ乗計算と同じ解き方ができるんで
感動した記憶がある。

安い感動・・・

>>300　念のため…

【加法公式】
a[n]の隣接する4項の間に斉一次な漸化式が成立つとき、適当な対称行列C[i,j]があって
　a[m+n+1] = Σ[i,j=1〜3] a[m+i-1]･C[i,j]･a[n+j-1],

(略証)
m=-1,0,1 のとき右辺は
　Σ[j=1,3] {Σ[i=1,3] a[i-2]･C[i,j]} a[n+j-1],
　Σ[j=1,3] {Σ[i=1,3] a[i-1]･C[i,j]} a[n+j-1],
　Σ[j=1,3] {Σ[i=1,3] a[i　]･C[i,j]} a[n+j-1],
これが a[n], a[n+1], a[n+2] と一致することを示そう。
　対称行列Aを A[m+2,i] = a[m+i-1] とおく。(i=1〜3, m=-1〜1)
　また、C = A^(-1) とおくと
　Σ[i=1,3] a[m+i-1]･C[i,j] = Σ[i=1,3] A[m+2,i]･C[i,j] = δ_(m+2,j),　　(j=1〜3, m=-1〜1)
だから 上の3式は a[n], a[n+1], a[n+2] に一致する。
さらに、a[n]の隣接する4項の間には斉一次な漸化式が成立つから、すべての整数mについて成立つ。(終)

>>321
あとで演算子法に繋がる。

(1) a,bは正の実数とする．xyz座標空間に3点
　P(a,0,p)，Q(0,0,q)，R(0,b,r)
がある．△PQRが鈍角三角形となるためのp,q,rのみたすべき必要十分条件を求めよ．
(2) 立方体を平面でどのように切断しても，その切断面は正５角形にならないことを示せ．

>>323
(2) 立方体の断面となる 5 角形は 2 組の辺が平行だが、
正 5 角形の辺で平行なものはない。

>>308
eの無理数性と同様にテイラー展開を使うと見た

ここの問題って実際の入試に出されるとクレームがつきそうだよね

綺麗な誘導問題がついてこそ東大だよな

iを虚数単位√(-1)，a,bを正の整数とする．
　(1+i)^a*(1+i√3)^b
が実数であるときの値をf(a,b)とする．
(1) (1+i)^4，(1+i√3)^3の値を求めよ．
(2) |f(a,b)|の最小値を求めよ．
(3) 2log[2]|f(a,b)|がとりえない正の整数の個数を求めよ．

6173

>>328
どう考えてもそんなにないだろwww

∫[0→π]{(sin(nx))/sinx}^2 dx nは自然数

∫[0→π/2]{(sin(2008x))/sinx}^2 dx=1004π

Σ[k=0~n]C[3n,3k]を簡単にせよ。

(2^{3n}+((1+√3i)/2)^{3n}+((1-√3i)/2)^{3n})/3 は簡単ですか？

>>329
ばかます

>>327
無限にあると思うが

6173はどっからでてきたかわかんないけど
|f(a,b)|=|(-4)^n*(-8)^m|=2^(2n+3m)
となるから無数だね
益田さん、対数の前の2は何ですか？これなかったら5個と求まりますが

馬鹿が釣れたｗ

>>337
ばかます

>>336
確かに2はいらなかったですね．

99^100と100^99の大小を比較せよ。

文理共通問題を想定して作ってみたんだけど、どうかな？
難しすぎる？

おもしろくない。

>>341
解いてみてよ

>>340
ありふれた問題。 x^(1/x) の増減を調べればよい。
（０．９９）99，（１．０１）-101　の大小を比較せよ。

(0.99)99=98.01>(1.01)-101=-99.99

(logx)/xからすぐだせるよな

>>344
失礼！コピペしたので修正し忘れた。
（０．９９）^99，（１．０１）^-101　の大小を比較せよ。
でした。

tan(π/p) = √q - r

を満たす正の整数 ｐ、ｑ、ｒ を求めよ。

>>347
本当に全部分かってて出題してるの？

f(x)=-2x(x-2)とする．実数p,q,rが
　0≦p≦1
　0≦q≦f(p)
　0≦r≦f(r)
をみたすとき，p+q+rの最大値を求めよ．

また出題ミスか？

打ち込みミスですな．訂正．

f(x)=-2x(x-2)とする．実数p,q,rが
　0≦p≦1
　0≦q≦f(p)
　0≦r≦f(q)
をみたすとき，p+q+rの最大値を求めよ．

33/8

>>352
御名答

C[n,k]は二項係数とする．
(1) nは0以上の整数とする．0≦k≦nをみたす整数kに対して，C[2008+k,k]が奇数となる確率をp[n]とする．
lim[n→∞]p[n]を求めよ．
(2) mは正の整数とする．0≦k≦n≦mをみたす整数n,kに対して，C[n,k]が奇数となる確率をq[m]とする．
lim[m→∞]q[m]=0を示せ．

>>305
k=1
k≧2のとき
p^m＞kならば
「C[p^m，k]とC[(p^m)+1，k]がpで割り切れることをいう。」･･･※

「C[p^m，k]がpで割り切れること」･･･○
k*C[p^m，k]=(p^m)C[(p^m)-1，k]
k=(p^u)*v(vはpで割り切れない)と書ける。
このとき、p^m＞(p^u)*v≧p^uよりm＞u
v*C[p^m，k]=p^(m-u)*C[(p^m)-1，k]
よってv*C[p^m，k]はpで割り切れる。
vとpは互いに素だからC[p^m，k]がpで割り切れる。

「C[(p^m)+1，k]がpで割り切れること」･･･●
C[(p^m)+1，k]=C[p^m，k]+C[p^m，k-1]
○よりC[p^m，k]とC[p^m，k-1]はpで割り切れるので
C[(p^m)+1，k]=C[p^m，k]+C[p^m，k-1]よりC[(p^m)+1，k]もpで割り切れる。

○と●より※はいえた。
※より、k≧2のときA[p，k]の要素が等差数列ならば、交差は1である。
よってC[k,k]=1もpで割り切れなければならなくなって不合理

k=1ならばC[n,1]=nだから、A[p,1]={n|nはpで割り切れる}となるので明らかに正しい。

>>343 これは, 名古屋大/文理共通問題です。
数３使えないじゃん。

>>355
>>k*C[p^m，k]=(p^m)C[(p^m)-1，k]
は　C(n,k) = (n/k)C(n-1,k-1) = (n/n-k)C(n-1,k)　では？

>>356
名大にはそんな訳の分からんルールがあるのか。

>>357
k*C[p^m，k]=(p^m)C[(p^m)-1，k-1]
だった。スマソ

>>355，>>359
>よってC[k,k]=1もpで割り切れなければならなくなって不合理

↑この部分がちょっとまずいですが…．初項がC[p^m,k]の可能性もありますから，別の例外を探す必要があります．

θは0＜θ＜πをみたす実数とする．半径1の円に内接する△ABCがあり∠A=θであるとき，△ABCの面積の最大値をθを用いて表せ．

>>360
>>355のC[k，k]をC[p^m+k，k]に訂正します
C[p^m+k，k]={(p^m+ｋ)(p^m+k-1)･･･(p^m+1)}/{k*(k-1)*･･･1}
1≦h≦kとなるhを任意にとる
h=(p^t)s(sはpで割り切れない)とかける。
p^t≦h≦k＜p^mよりm＞k
p^m+h=(p^t){p^(m-t)+s}でp^(m-t)+sはpで割り切れないからp^m+hはp^tで割り切れるがp^(t+1)で割り切れない。
したがって、{(p^m+ｋ)(p^m+k-1)･･･(p^m+1)}/{k*(k-1)*･･･1}の
分子のp^m+hと分母のhでうまくpが約分され、C[p^m+k，k]はpで割り切れないことがわかる

>>361 これは, 名古屋大/文理共通問題です。
数３使えないじゃん。

数�V使わなくてもいいじゃん

>361
2点 B,C を円周上に ∠BOC=2θ を満たすように固定する。
題意より、点Aは 円周上であって直線BCに関してOと同じ側にある。
底辺の長さは BC=2sinθ,
△ABCの面積は S=(1/2)h*BC,　hは底辺からのAの高さ。
面積Sが最大となるのは高さhが最大のときだから、2等辺3角形のとき。
h = 1 + cosθ,
S = (1+cosθ)sinθ,

2つのグラフ y=cx^2+cx+1/24, x=cy^2+cy+1/24 が接するとき, cの値を求めよ。

>366
y=xに対して対称だから、微分したのが１になって、さらに接するならばx=yになることから必要条件が導けて、それが十分性も満たすことが言えればおしまいな気がする。
計算してないけど、計算に何かテクニックが必要なの？

>>330

　sin(nx)/sin(x) = {sin(nx)-sin(-nx)}/sin(x) = cos(-(n-1)x) + cos(-(n-3)x) + …… + cos((n-3)x) + cos((n-1)x),
{sin(nx)/sin(x)}^2 = n + 2Σ[k=1,n-1] (n-k)cos(2kx),
　右辺を積分すれば第1項はnπ、第2項は0.

>>330
　sin(nx)/sin(x) = {sin(nx)-sin(-nx)}/{2sin(x)} = ……
だった……

>>367 答え出してみて、以外に難しい。

C[n,k]は二項係数とする．
(1) i,mは0≦i≦mをみたす整数とする．二項係数C[2008+i,2008]が奇数となる確率をp[m]とするとき，
lim[m→∞]p[m]を求めよ．
(2) 二項係数C[n,k](0≦k≦n≦m)が奇数となる確率をq[m]とする．
lim[n→∞]q[m]を求めよ．

>>371
何が同様に確からしいか仮定されていないから答は
　不定

>>347
(p,q,r) = (1, n^2, n) , (4, (n+1)^2, n) , (8, 2, 1)

高校の範囲外。
一桁の自然数に限定すればぎりぎりｾｰﾌか？

>>371
(1)
2008を2進数で表したときの1の個数は6個だから
1/2^6=1/64
(2)
0

　n,pは正の整数，a[n],b[n]は以下の条件をみたす整数とする．
　a[n]/2^n＜√(p^2+p+1/2)-p＜(a[n]+1)/2^n
　b[1]=a[1]
　b[n+1]=a[n+1]-2a[n]
(1) {b[n]}のとりうる値をすべて求めよ．
(2) b[2008]=1をみたすpは有限個であることを示せ．

√(p^2+p+1/2)-p-1/2 < 1/4p
なので p > 2^2006 ならば b[2008]=0

m，nは正の整数とする．f(n)，g(n)を
f(n)=n^n*(n-1)^(n-1)*(n-2)*…*2^2*1^1
g(n)=(n!)^n
と定めるとき，
(mn)!f(m+n)g(m)g(n)/{f(n)f(m)g(m+n)}
は整数であることを示せ．

はじめまして。塾の問題がとけなくて困っています・・・。
私でもわかるように説明をお願いします。
＋と−の記号を重複を許して一列に並べる列のうち、
同じ記号は3つ以上連続して並ばないものとする。
＋と−の記号を全部でｎ個（ｎ≧2）使って作られる列のうち、
最後が＋＋または−−で終わる列の個数をAn、
最後が＋−まはた−＋で終わる列の個数をBnとする。
1)An+1とBn+1をAnとBnであらわせ
2){An+rBn}が公比rの等比数列となるようなrを求めよ
3)長さがnのこのような列の個数An+Bnを求めよ。

パソコンで数学を打つのって難しいですね・・・。
突然の登場ですみません。
よろしくお願いします(><)

>>378
答え：質問スレに行きなさい。
スレ違いだ。それともマルチか？

すみません。初投稿でどこに質問を書いたらいいのかわからず・・・。
質問のほうに書いてみます。

すみません。初投稿でどこに書いたらいいかわからず・・・。
とりあえず回答のもらえそうなところに書き込んでしまいました。

ｎ、ｋを正の整数とする。
正四面体ＯＡＢＣに対し、ある頂点にいる動点Ｐは、同じ頂点にとどまることなく、
１秒ごとに他の３つの頂点に同じ確率で移動する。はじめ点Ｐは頂点Ａに存在する。
ｎ秒後に点Ｐが、頂点Ｏをｋ回通って、頂点Ａに戻る確率を求めよ。
ただし、２ｋ≦ｎとする。

>>378 東北大の問題ですね.1994,5,611あたりでしょうか。類問は、これより難易度が下がりますが、横国, 早稲田で出てます。
参考書の例題にあるのではないでしょうか。

はじめまして。塾の問題がとけなくて困っています・・・。
私でもわかるように説明をお願いします。
＋と−の記号を重複を許して一列に並べる列のうち、
同じ記号は3つ以上連続して並ばないものとする。
＋と−の記号を全部でｎ個（ｎ≧2）使って作られる列のうち、
最後が＋＋または−−で終わる列の個数をAn、
最後が＋−まはた−＋で終わる列の個数をBnとする。
1)An+1とBn+1をAnとBnであらわせ
2){An+rBn}が公比rの等比数列となるようなrを求めよ
3)長さがnのこのような列の個数An+Bnを求めよ。

パソコンで数学を打つのって難しいですね・・・。
突然の登場ですみません。
よろしくお願いします(><)

コピペうざいよ

>>366 ,370

　y = f(x) = cx(x+1) + 1/24 と y=x の接点を (a,a) とすると、
　a = f(a) = ca(a+1) + 1/24,
　1 = f '(a) = c(2a+1),
よって a = (1-c)/(2c) により aを消すと,
　0 = (1-c)^2 - c/6 = (2-3c)(3-2c)/6,
より
　c=2/3, 接点(1/4,1/4)
　c=3/2, 接点(-1/6,-1/6)

>>386
接点がｘ＝ｙ上にあるとは限らない。
ｘ＝ｙ上にあるときでも傾きが１になるとは限らない。

>387
　そのときは、x軸とy軸を入れ替えてみる。

（１）x,y平面の格子点上を確率1/4で東西南北に移動する酔歩をするとき
最初に原点にいるときに２ｎ回目に再び原点に戻って来る確率を求めよ。
（２）同様にx,yz空間の格子点上を確率1/6で東西南北上下に移動するとき
２ｎ回目に再び原点に戻って来る確率を求めよ。

387が必死な件

どこが？

間違いが指摘されると指摘した人をアンチだとか必死だとかいう人が必死なのでは

秋山仁化

「あれは、ナンシーですか？」
「いいえ、あれは、バスです」

中学の頃習ったな、その英語の例文

>>387
ここ2ch
厳密な論証までやってる答案書く必要もない
明らかなことは省くのが普通

それにしても携帯からはうちこみにくい…てわけで出題です．

xy平面上でx^2/4+y^2≦1をみたす領域Aがあり，原点Oを中心としてAを反時計まわりにπ/3だけ回転させた領域をBとする．AとBが共有する領域の面積をSとしたとき，S＞4π/3を示せ．

>>394
相当な間違えですな

>>396は名前消し忘れと見たｗｗ

sin２乗θ＋sin２乗θtan２乗θ＝tan２乗θ を解きなさい。

>>400
学校の宿題か？

「乗」って火星人みたいだな。

その感想も独特だな

>>397
最終行の不等号の向きあってる？

>397

楕円形領域Aを回す角を 2α とする。
Aの周とBの周の交点P,Qは直線 y=mx または y=-(1/m)x の上にある。ここに m=tanα.
　P ( 2/√(1+4m^2), 2m/√(1+4m^2) ),
　Q ( -2m/√(4+m^2), 2/√(4+m^2) ),
このままでは面積を出し難いので、x軸方向に(1/2)倍に圧縮してみる。
Aは半径1の円板になる。交点P,Qは
　P' ( 1/√(1+4m^2), 2m/√(1+4m^2) ),
　Q' ( -m/√(4+m^2), 2/√(4+m^2) ),
に移り OP'Q'は扇形になる。
　S(OP'Q') = (1/2){arctan(-2/m) - arctan(2m)} = (1/2)arctan((2/3)(m + 1/m)),
　S(OPQ)　=　arctan((2/3)(m + 1/m)),
　S(A∩B) = 4arctan((2/3)(m + 1/m)),

さて 本題では α=π/6, m=1/√3 だから,
　(2/3)(m + 1/m) = 8/(3√3) = 1.5396007178… < 1.5574077246… = tan(1),
　S(OPQ) = arctan(8/(3√3)) < 1,
　S(A∩B) < 4,

>404
　逆向きかとｵﾓﾀ.

x, y, z が実数のとき
x^2 + y^2 + z^2 + 2axy + 2byz + 2czx ≧ 0
が常に成立するための a, b, c の満たすべき必要十分条件を求めよ。

傾きが-1で接するcが存在することさえ気づかずに

>ここ2ch
>厳密な論証までやってる答案書く必要もない
>明らかなことは省くのが普通

なんて書いているということは
>>367=>>386=>>388=>>390=>>396=MASUDA ◆5cS5qOgH3M
ということだな

「あれは、名無しさんですか？」
「いいえ、あれは、MASUDAです」

>>406
z=0でも成り立つから
x^2+y^2+2axy≧0
x^2+y^2+2axy=(x+ay)^2+(1-a^2)y^2であり、
y^2≧0だから、1-a^2≧0　よって、-1≦a≦1
同様にして、-1≦a,b,c≦1

逆に-1≦a,b,c≦1であるとき、
x^2+y^2+z^2+2axy+2byz+2czx≧x^2+y^2+z^2-2|a||xy|-2|b||yz|-2|c||zx|
≧x^2+y^2+z^2+2|xy|+2|yz|+2|zx|
≧0

よって、-1≦a,b,c≦1が求める必要十分条件

出題者の>>407が必死な件

>>377
0がm個並んでいる状態から、一つを選んでプラス1するという操作を繰り返してnがm個並んでいる状態にする。
ただしm個の要素が常に小さい順(同じもあり)に並んでいなければならない。
以上のような操作の方法の場合の数が問題の関数なので、整数となるのは明らか。

また名無しMASUDAか

>>409
x=y=z=a=b=c=-1のとき
x^2+y^2+z^2+2axy+2byz+2czx=-3だから明らかに間違い

＞ x^2+y^2+z^2-2|a||xy|-2|b||yz|-2|c||zx|≧x^2+y^2+z^2+2|xy|+2|yz|+2|zx
|
恐れ入りました。

>>412
それで何が間違いだよwww
問題嫁www

-1/2≦a,b,c≦1/2 だろな。

>>406じゃなくて>>409への指摘か
スマソ、読み違えた

>>415
a=b=0,c=1でも成り立つからその条件だと不十分じゃね？

n，mは正の整数とする．2^nの各桁の和をa[n]と表す．n＞4^mならばa[n]≧mが成り立つことを示せ．

>>406
ごめん
巣で間違った

こんな感じ？

x^2+y^2+z^2+2axy+2byz+2czx
≧3(x^2*y^2*z^2)^(1/3)+2axy+2byz+2czx
x^2=y^2=z^2のときに最小値をとることが必要十分なのでこれが≧0であればよい
これを求めると
a+b+c≧-3/2 かつ a-b-c≧-3/2 かつ -a+b-c≧-3/2 かつ -a-b+c≧-3/2

これでおｋ？

a^2 + b^2 + c^2 ≦ 1 + 2abc だね。
数Ｉ・Ａ の範囲か。

>>420
あれ？また俺間違ってる？

ぬるぽ

>>408
え？
MASDAって名無しとコテを使い分けてるの？
何のために？

自演のために決まってる

MASUDA
ますだって誰？

（・∀・） ﾆﾔﾆﾔ…

ここまで正解者なし

>>406
　a^2 +b^2 +c^2 ≦ 1 + 2abc ≦ 3,

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1181970000/368-369
線形代数/線型代数４

MASUDAさんて、人気お笑いコンビのますだおかだの岡田さんですか？

不覚にもﾜﾛﾀ。

なぜ岡田www

>>429もMASUDA

以下の質疑応答から益田を類推せよ
(出典は益田ホムペの掲示板)

■益田さんに質問(#2)
1[名無しさん]
数学とは関係ない質問なので、雑談掲示板に、スレを立てました。益田さん、できれば、全ての質問に答えてください。お願いします。
１）中学・高校・大学時代に、部活・サークルに所属してましたか？
２）塾・予備校以外で、習い事をしたことはありますか？
３）大学時代にやったバイトは？
４）得意科目は？苦手科目は？（５教科だけでなく、副教科も含む）
５）趣味・娯楽は？（ジャンルの指定なし）
６）萌えアニメ・二次元美少女に、興味ありますか？好きですか？

６）はオレの趣味なので、益田さんにとっては、変なことかもしれませんが、許してください…
2007-12-11 13:49

>>434につづく

>>433のつづき

2 [益田]
聞いてどうするのか知りませんが．

１）
中高は卓球部でした．大学は軽音サークル(ドラムやってました)，バドミントンサークル，スキーサークルを転々としてましたね．

２）
バーテンダー修行を１年間本格的にやったことがあります．

３）
バイトは
予備校講師，バーテンダー，病院当直などをやってました．

４）
得意科目：数学，音楽，美術，政経
苦手科目：古文，漢文，英語

５）Ｆ１観戦，映画鑑賞，音楽鑑賞，グルメ，お酒(バー)，読書，バドミントン，バンド

６）
アニメ全般はジブリ作品以外全く見ません．
2007-12-11 14:15

真実は専用スレで

>>428 道具が大げさ杉。
判別式2回取るだけ。

>>419
(a, b, c, x, y, z) = (1, -1, -3/2, 1/2, 1/2, -1)

>>420
(a, b, c, x, y, z) = (9/4, 3/2, 3/2, -15/16, 1/2, 1/2)

>>428
用意した解答と違うんだが、反例が見つけられない。
でも369で |xI-A| = 0 が虚数根を持つ場合を考慮していないので多分違う。

>>437

｜a｜≦１、｜b｜≦１ （｜c｜≦１ ←なくても可） を忘れてた。
>>428と多分同値。

>>437 実対称行列の固有値は実数。

>>438
正解

>>439
そうだったわｗ
じゃあ>>428とも同値か。

R^2 内の部分集合

A=｛（x，y）｜a x＾2＋b xy＋c y＾2＋d＝0｝、B=｛（x，y）｜p x＾2＋q xy＋ｒ y＾2＋s＝0｝

に対して、A=B となる必要十分条件を求めよ。

nは正の整数，eは自然対数の底である．以下の不等式を示せ．
1+{Σ[k=1,2n]e^{(2k-1)/4n}/2n＜e

>>442
{1+1/(2n-1)}^2nが単調増加で極限がeになるから
{1+1/(2n-1)}^2n<e　が導かれる。
あとはこれを式変形していくだけ。

>443
それをどう式変形しろと・・・教えて

>>443
たぶんそれでは無理だと思いますが…何かうまいやり方でもあるんですか？

出題者がちゃんと見てるかテストしただけだから。

…はい、すいません嘘です問題勘違いしてました。
e^x+e^(-x)-2>0からx>0で
e^x-e^(-x)-2x>0になって
x=1/4nを代入した式の変形を施していく感じでどうでしょうか。

>>442
左辺をf(n)としたらf(n)→eなわけだが
n=1の時点でf(1)=2.700512717はかなりの精度
オイラーの和公式でもないっぽい
益田さん、どやって見つけたの？

シグマの前のかっこはどこで閉じてるの？

>>446
その方針は私の中になかったのでいろいろ変形してみましたが，私ではうまく変形しきれませんでした．
>>447
元ネタは凸不等式です．いろいろ変形してるうちに>>442が出来上がりました．
>>448
1個抜けておりました．
1+{Σ[k=1,2n]e^{(2k-1)/4n}}/2n＜e

e^(1/4n)=tとしておくと>>446より
　t-1/t>1/2n
→t/(t^2-1)<2n
→t*(t^4n-1)/(t^2-1)<2n*(t^4n-1)
→t*Σ[k=1,2n]t^(2k-2)<2n*(e-1) (等比数列の和の公式)
→Σ[k=1,2n]t^(2k-1)/2n<e-1
→与不等式

x=1/4nとすると
1+{Σ[k=1,2n]e^{(2k-1)/4n}}/2n = 1 + (e-1)x/sinh(x)
よって、x ＞ 0 (x≦1/4) で x≦sinh(x)、つまり f(x)=sinh(x)-x ＞ 0 を示せばよい。

>>442,451
　exp(k/2n) - exp((k-1)/2n)
　　= exp((2k-1)/4n){exp(x) - exp(-x)}　　　(x=1/4n)
　　= exp((2k-1)/4n)･2sinh(x),
辺々たして
　e - 1 = 2sinh(x)Σ[k=1,2n] e^((2k-1)/4n)),
でつね。

平均値の定理より
　f(x) = x･cosh(ξ) -x = 2x･sinh(ξ/2)^2 > 0,

原点(0,0)からnステップで格子点(x,y)に至るような経路の数をP_n(x,y) とする。
ただし、1ステップとは(x,y)にいるときに(x,y)→(x±1,y) or (x,y±1) のように移るものとする。
例 P_2(1,1)=2, P_2(0,0)=4

このときP_n(k,0) (0≦k≦n)は平方数になることを証明せよ。

>>406
　実対称（というかエルミット）のとき、>>439 と言うのを忘れてマスダ。

>>437
　ところで容易した解凍というのが木になる…

>>453
P_n(k,0) = C[n, (n-k)/2]^2とはなったけど、自信が無い。
というのは、P_3(1,0)の場合で検算したら、経路の数が8本しか見つけられなかった。

9本目が見つかった。自信が湧いた。

>>454
>>436

「2次形式の行列がPD」のどこが大げさなんだよｗ

大学入試問題だぞw
減点覚悟ならいいがなw

何がＰＤだよ、気取りやがって、このＥＤ野郎が。

1990 東北大でした。

>>410
>>407は出題者じゃないんだが出題者だったとして何があるの？

>>462
名無しのますだにレスするアホ

>>460
俺ED
傷ついた
責任取れ

責任とってマムシドリンク作ってくる

>>454
用意した解答は px^2 + 2qxy + ry^2 ≧ 0 の必要十分条件が
p ≧ 0, r ≧ 0, q^2 - pr ≦ 0 であることを証明して使う。
つまるところ>>436の言う判別式2回なんだが、
これを必要十分に正しく議論するのは高校生だと結構大変かと。
というかこれの証明だけで阪大くらいの入試問題にできると思う。

>407 の指摘は、

傾きが-1で接する c = (13±√601)/12 が存在して、
　c = (13+√601)/12 =　3.1262751120… のとき接点(b,b)
　　b = (-23-√601)/72 = -0.6599347408…,
　c = (13-√601)/12 = -0.9596084453… のとき接点(b,b)
　　b= (-23+√601)/72 =　0.0210458520…,

xについての関数f(x)はf(x)＞0，f''(x)＞0をみたす．nは正の整数，p,qはp＜qをみたす実数として，a[n]を以下のように定める．
a[n]={(q-p)/2n}Σ[k=1,2n]f({(4n-2k+1)p+(2k-1)q}/4n)
このとき，
　a[n]＜∫[p,q]f(x)dx
を示せ．

※>>442はこの不等式で(p,q)=(0,1)，f(x)=e^xとしたものです．

>468
　区間[p,q]を2n等分し、x[k] = {(2n-k)p + kq}/2n, とおく。 x[0] =p, x[2n] =q,
区間の中央を c[k] = (x[k-1]+x[k])/2 とする。 f,f 'の符号は問わない。
x≠c のとき、平均値の定理より
　f(x) = f(c) + (x-c)f '(ξ),　　　　(x-c)(ξ-c)>0,
題意より f ">0 だから、再び平均値の定理より
　(x-c){f '(ξ) - f '(c)} = (x-c)(ξ-c)f "(η) > 0,
∴　f(x) > f(c) + (x-c)f '(c),　　　　　　(x≠c)
両辺を x[k-1]〜x[k] で積分すると、
　∫[x[k-1],x[k]] f(x)dx > {x[k]-x[k-1]}f(c) = ((q-p)/2n)f(c),
k=1〜2n まで辺々たす。

>>453
地道に計算するとおそらく
P_n(x,y) = C[n,(n-x-y)/2]*C[n,(n-x+y)/2]　(x+y≡n (mod2)かつ|x|+|y|≦n)
=0 (上記のx,y以外)
となるようですが証明は簡単ですか？

xについての関数f(x)があり，f(x)＞0，f'(x)＞0，f''(x)＜0をみたす．a[n]とb[n]を以下のように定める．
a[n]=(1/n)Σ[k=1,k]f(k/n)
b[n]=∫[1/(2n),1+1/(2n)]f(x)dx
(1) lim[n→∞]n(a[n]-b[n])を求めよ．
(2) lim[n→∞](n^2)(a[n]-b[n])の収束・発散を調べよ．

>>470
ac+ad+bc+bd=(a+b)(c+d).

>>472
P_n(x,y)=P_(n-1)(x-1,y)+P_(n-1)(x,y-1)+P_(n-1)(x,y+1)+P_(n-1)(x+1,y)
と帰納法で一発ですね。
あと、C[n,(n-x-y)/2]*C[n,(n-x+y)/2]となる単純な組合せ的な意味がある
はずなんですがわからない。。

x,y≧0, n=x+y+2k として考えると、(n-x-y)/2=k, (n-x+y)/2=y+k.

x 軸の負の向きまたは y 軸の負の向きへ進む数は k となり、
x 軸の負の向きまたは y 軸の正の向きへ進む数は y+k となる。

n 個から k 個の部分集合 A をとり、n 個から y+k 個の部分集合 B を取ったとき、
A∩B のところでは x 軸の負の向き、A^c∩B のところでは y 軸の正の向き、
A∩B^c のところでは y 軸の負の向き、A^c∩B^c のところでは x 軸の正の向き
に進めば、(x,y) に到達する。

a=(1/2,1/2).
b=(-1/2,1/2).
(-1,0)=-a+b.
(0,-1)=-a-b.
(0,1)=a+b.
(1,0)=a-b.
(x,y)=(x+y)a+(-x+y)b.

n=3.
   1
  3 3
 3 9 3
1 9 9 1
 3 9 3
  3 3
   1

1 3 3 1
3 9 9 3
3 9 9 3
1 3 3 1

(1) a,bは正の整数とする．√a+√bが有理数ならばa=a'^2，b=b'^2をみたす正の整数の組(a',b')が必ず存在することを示せ．
(2) p,q,rは，どの2つも互いに素な正の整数とする．
　√n+√{n+(3^p)(5^q)(7^r)}
が有理数となるような正の整数nの個数をp,q,rで表せ．

※どちらかというと京大向けですけどね．

1辺が1の正方形の中に、n個（n≧2）の点をどの2点もd以上離して置くときの
dの最大値を d_max(n) とする。

d_max(3) 及び d_max(4) を求めよ。

d_max(3)=√6-√2
d_max(4)=1

>>477
最近あった京大実戦よりはるかにむずいわけだが

>>480
最初は√n+√(n+45)にするつもりだったんですが，それだとこのスレの方々には易しかろうと思い，一般化させました．

jien otu

MASUDAはこんだけ叩かれてよく出題しつづけるよなwww
問題は面白いからありがたいけど、叩かれすぎて泣くなよwww

うっせ馬鹿

>>483
ここはいい出題実験場ですしね．それに某氏に比べたら叩かれてるうちにも入りません．

kingバカにすんな

king信者うぜー

でっていう

1stVirtue 学校入学試験作成者になったつもりのスレッド。

思考盗聴される確率を求めよ

xyz座標空間に原点O(0,0,0)を内部(周を除く)に含む，中心(s,t,u)，半径rの球面Sがあり，球面Sとx軸，y軸，z軸との交点6つの座標をそれぞれ
　(a[1],0,0)，(a[2],0,0)，
　(0,a[3],0)，(0,a[4],0)，
　(0,0,a[5])，(0,0,a[6])
とする．Σ[k=1,6](a[k])^2をr,s,t,uを用いて表せ．

一辺の長さaの正四面体ABCDがあり，この四面体の体積が半分になるように平面αで四面体を切断したとき，
その切断面の面積の最小値m(a)，最大値M(a)を求めよ．

>>492
私のサイトの問題のコピペですね．

>>490
kingは既にされているので100%

>>477
(1)逆数も有理数となって√a-√bとなることを利用。
(2)2^□が含まれてないこと、p,q,rが全て偶数となることはないこと
から3^p*5^q*7^rの約数の半分個で、(p+1)(q+1)(r+1)/2

>>491
ただの計算問題？なんか不安だが
(3r^2-s^2-t^2-u^2)*2

四面体OABCについて、OA=4√3、OB=1/θ、OC=1/θ、∠COA=∠AOB=∠BOC=θである。
この四面体の体積をVとするとき
lim[θ→0] V
を求めたい。以下の[解答]の続きを埋めよ。

[解答]なん

正直こんなんが入試に出たら平均点5/120とか普通に出そう

>>496
１

OA=4√3 はとって付けた感あり。
簡単杉。

pを3以上の素数とする．(2^n)/pの小数第1位を四捨五入したときの1の位の数をa[n]とする．任意のnに対して，a[n]=a[n+2(p-1)]が成り立つことを示せ．

p≠5だよね

p≠5もでした．

平面に一辺の長さ1の正6角形が敷き詰められており，各正6角形の頂点を格子点，各正6角形の辺を格子辺とよぶ．格子辺とは格子点のみでしか交わらないような円の半径の最大値を求めよ．

nは自然数，iは虚数単位√(-1)，C[n,k]は二項係数である．kは1≦kをみたす整数として固定し，nをk≦nの範囲で動かすとき，
　{(1+i√3)/2}^C[n,k]
が実数となるようなすべてのnの集合をA[k]とする．A[k]の要素を小さいものから並べると等差数列になるためのkのみたすべき条件を求めよ

>>503
私のサイトからコピペするなとは言いませんが，何が目的ですか？もし分からないなら質問板に書き込んでは？

>>499
フェルマーの小定理と、4^(偶数)≡1 mod5　からnが正整数の場合は示される。
>>502
√13

>>505
御名答．

AB=1である長方形ABCDに対して,辺AD上に2点P,Qを∠PBC+∠QBC+∠DBC=π/4 をみたすようにとる。
線分AP,AQ,ADの長さが整数であるとき,線分の長さの和 AP+AQ+AD を求めよ.
ただし,点P,Q,Dはそれぞれ相異なる点とする.

(1/9)^n の循環節の長さを求めよ。

私、現役東大生の高島美紀子。
ミス東大で、大天才だから、当然エリートコース一直線よ！
東大に入れないような馬鹿は、生きてる価値ないから早く死になさい！
それから、私こじきも大嫌い！

http://blog.livedoor.jp/mikisandesu816/archives/386031.html

2007年11月11日
こじき
インドの屋台グルメは基本カレー味でまずいので口にしないのですが、きのうカレーじゃないの見つけました

衣なしじゃがいもコロッケ

普通はカレーをつけて食べるからやっぱりカレーやねんけど、塩コショウで食べれば、擬似衣ついてないコロッケ！！
８ルピーだったので食べてみたんやけど、やっぱりしつこいから半分でもういらんと思って、捨てようかどーしようか迷ったけど、やっぱりもったいないからこじきに与えようと思って、こじき探してたら、こうゆう時に限ってこじきに出会わない
いつもはそこらじゅうにいるくせに、今日だけいないの
で　ようやく見つけた子供のこじきにコロッケあげるよって言ったら

拒否･･･

いらんって
せっかく恵んでやろうと思ったのに
ってか　いつも食べ物くれって言ってくるくせに
こじきのくせに

コメント数ﾜﾛﾀｗ
東大生にもブログが公の場に公開されているという実感の持てない奴がいるんだな

>509
高島美紀ってこんな女だったのかwww
クズすぐるwww

>>508
10^n - 1 が 9^k で割り切れる最大数 k

>>509
記事削除したみたいだね
http://blog.m.livedoor.jp/mikisandesu816/index.cgi

まあ心の貧しい人ってだけで
ケンタッキーやら吉野家やらバーミアンよりはマシだな

高島美紀子
1985年生まれ
mixiネーム：ファンディングニソ
兵庫県西宮市出身
神戸女学院高校卒
東大文II後期合格
2004年ミス東大
19歳時に未成年飲酒(日記あり)
財務省内定

nを自然数とする。
{1,2,…,n}の変換fが次の(1),(2)を満たすとする。
(1)任意のj(1≦j≦n)に対して、f(i)=jとなるi(1≦i≦n)が存在する。
(2)1≦i,j≦nがi≠jならば、f(i)≠f(j)
このとき、ある自然数kが存在して、任意のm(1≦m≦n)に対して、f^k(m)=mが成り立つことを示せ。
ただし、iにfをk回施したものをf^k(i)と書くとする。

三角形ＡＢＣが円Ｑに内接している。
Ａが右回りに動き、Ｂが左周りに動き、Ｃが右回りに三分の二、左回りに三分の二だけ
動くものとする。
このとき、三角形ＡＢＣの最大値と最小値を求めよ。

任意の実数ａ，ｂ，ｃに対応して、それぞれ正三角形Ａ、Ｂ、Ｃを考える。
１<<a<<ｎ
1<<b<<３
1<<c<<ｍ
のとき、正三角形の面積の和、Ａ＋Ｂ，Ｂ＋Ｃ、Ｃ＋Ａのうち、
最大のものと、最小のものを求めよ。

正方形ＡＢＣＤの中に、円Ｐ、Ｑ、Ｒがそれぞれ外接して
存在している。
正方形ＡＢＣＤが任意の実数の範囲で、拡大を続けているとする。
このとき、円Ｐ、Ｑ、Ｒの面積も拡大を続けるが、
この面積の拡大を止めるための必要十分条件を求めよ。

放物線ｙ＝ｘ＾２上の点をＡ（ｍ、ｎ）、Ｂ（ｌ，ｋ）とする。
原点Ｏとの間にできる三角形をＯＡＢとする。
５００＜ｍ＜６００
７００＜ｎ＜８００
９００＜ｌ＜１０００
１１００＜ｋ＜１２００
とし、ｍ，ｎ，ｌ，ｋがこの範囲で任意の実数をとるとき、
角ＯＡＢが３０度、角ＡＯＢが６０度になるための
必要十分条件を求めよ。

>>517-520
ますだとはまた違った頭痛のする問題文だな

AB=ACをみたす直角二等辺三角形ABCがある．線分BC上(端点を除く)の点をDとして，点Aから点Dに向けて粒子Pを発射する．発射された粒子Pは△ABCの各辺に衝突すると反射しながら直進しつづけ，点A,B,Cのいずれかに到達すると止まるものとする．
n回反射して点Cに到達するとき，nのとりえない正の整数値をすべて求めよ．

>>507
　X∈AD　⇒　cot(∠XBC) = AX,
　tan(∠PBC + ∠QBC + ∠DBC) = (AQ･AD +AD･AP +AP･AQ -1) / (AP･AQ･AD -AD -AP -AQ),
題意より tan(∠PBC + ∠QBC + ∠DBC) = tan(π/4) = 1,
　(AQ･AD +AD･AP +AP･AQ -1) / (AP･AQ･AD -AD -AP -AQ) = 1,
∴　(AP,AQ,AD) = (2,4,13) or (2,5,8).

* (3,3,7) は 題意により 不適。

【tanの加法公式】
　tan(α+β+γ) = (tanα + tanβ + tanγ - tanα･tanβ･tanγ)/(1 - tanα･tanβ - tanβ･tanγ - tanγ･tanα)
　= (cotβ･cotγ + cotγ･cotα + cotα･cotβ -1) / (cotα･cotβ･cotγ - cotγ - cotα - cotβ),

>>522
反射の条件は？

このスレなら書かなくても分かるかと省略したのですが…．
光が鏡に反射するのと同じです．

いや、確かにそうだが、問題として不完全だと指摘したまでだよ。

〔507〕の続き
　π = 4arctan(1/AP) + 4arctan(1/AQ) + 4arctan(1/AD),
を用いて, πの近似値を 小数点以下4桁目まで 求めよ。

〔参考〕
　arctan(x) = ∫[0,x] dt/(1+t^2) = Σ[k=0,∞) {(-1)^k}∫[0,x] t^(2k)dt = Σ[k=0,∞) (-1)^k･{1/(2k+1)}x^(2k+1),

(n+1)^p-n^q=1をみたす1以上の整数n,p,qをすべて求めよ

>528
制限付きカタラン予想
　(n,p,q) = (2,2,3) (n,1,1) (1,1,q)

H.B.Yu による初等的な証明(1999) が↓にある。

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1122121499/47-49
カタラン予想スレ

数セミ, Vol.３８, No.6, 通巻453号, 日本評論社 (1999/06)

nを自然数とする。
{1,2,…,n}の変換fが次の(1),(2)を満たすとする。
(1)任意のj(1≦j≦n)に対して、f(i)=jとなるi(1≦i≦n)が存在する。
(2)1≦i,j≦nがi≠jならば、f(i)≠f(j)
このとき、ある自然数kが存在して、任意のm(1≦m≦n)に対して、f^k(m)=mが成り立つことを示せ。
ただし、iにfをk回施したものをf^k(i)と書くとする。

>>530
2回も出すなよｗ必死かｗ
背理法で瞬殺
てか同じ問題を大学入試で見たことある

>>502

１つの正6角形の中心を原点(0,0)とする。各頂点は
　r↑ = h*(1,0) + k*(-1/2,-(1/2)√3) +L*(-1/2,-(1/2)√3),
ただし h,k,Lは整数で、h+k+L は3で割り切れない。
　r^2 = h^2 +k^2 +L^2 -hk -kL -Lh,
頂点を通る同心円の半径をrとすると、
　r=1　(6点)
　r=2　(6点)
　r=√7　(12点)
　r=√13　(12点)
　r=4 (6点)と r=√19 (12点)　…　不可
より
　R=√13,

>>503

C[n,k] ≡ r　(mod 6) とすると
　(与式) = exp(iπ/3)^C[n,k] = exp(iπr/3),

x^3+y^3=z^3を満たす自然数x、y、zが存在しないことを証明せよ。

n≧2なる整数のとき
1+1/2+1/3+…1/n
が整数とならないことを示せ。

>>534 n-1掛ける。
>>533　高校レベルで溶けるか？

1合成関数の公式を証明せよ
2部分積分法が正しいことを証明せよ。

今の受験テクだけのゆとりだと正答率低そう。

実数x,y,zが，
　x＞0，xyz=1
　xy+3yz+zx=1
をみたすとき，y+zのとりうる値の範囲を求めよ．

>>536氏に便乗．
私のサイトでこれ出したら誤答続出でした．東大でこれを出題しても十分試験になりそうです．

試験になるとかならないとかどうでもいい。

>>538
「入試作問者になったつもりのスレ」
↑読める？ひらがなで書いた方がいいかしら？

ポアンカレとかフェルマー出してるのお前か？

>>537 x>0 よりyz>0
xy+3yz+zx=1にx=1/yz代入
1/z+3yz+1/y=1
y+z+3y^2z^2=yz
y+z=yz(1-3yz)
yz>0よりy+zの範囲は
w(1-3w) (w>0)の値域に等しい。
よって、求める値の範囲は1/12以下

>>540
y,zが実数にならない範囲を含んでる。

>>540
それ，典型的誤答例です．

p=x/3>0, q=y+z として
f(w) = (w-p)(w-y)(w-z) = w^3 -(p+q)w^2 + w/3 -1/3
とおき、f(w)=0の三つの解が全て実数で、一つ以上は正の解を持つ。

>534
　{1,2,3,…,n} のうち、最も高い2-ベキを因数にもつものは、m = 2^[log(n)/log(2)] の1個だけである。(*)
∴　m以外の要素はすべて L = LCM(2,3,…,n)/2 を割り切るが、mはLを割り切らない。
∴　与式に L を掛けると、 (L/m) + (整数),

* これが成立つのは2-ベキに限る。p-ベキでは(p-1)個まで許される。

>>539
1合成関数の公式って何

2と合わせると解析の話っぽいから合成関数の｢微分の｣公式かな？
正確にはわからんけど。

合成関数の微分の公式ね。
f(g(x))'=f'(g(x))*g'(x)のこと。

-2]

>537
条件式より
　y+z = (x-3)/(x^2),
　yz = 1/x,
y,z∈R となる条件は、判別式
　D = (1-x)(4x^2+3x+9)/(x^4) ≧ 0,
題意より x>0 だから 0<x≦1,
∴　y+z = (x-3)/(x^2) ≦ -2,

>>539
いや俺はただ、「東大入試に出しても、解けない奴がいそう」な基本事項・基礎事項を挙げるのが
このスレの魅力ではないと言いたいだけだぞ。
東大ならではの気合いの入った問題を見たい。
合格者選抜がこのスレの目的ではないだろ。

>537
2次方程式
　f(w) = w^2 - {(x-3)/x^2}w + (1/x) =0,
が実根をもつことを使いマスダ。

y+z≦-2が正解です．

>>508
10^k-1 が 9^n で割り切れるような最小の k を求めればよい。
10^k-1 の各桁の和は 9k だから 9k = 9^n で k が最小。
∴ k = 9^(n-1) が (1/9)^n の循環節の長さ。

>>553
全然違う

増分について
u=f(x)
y=g(u)のとき
Δy=g(u+Δu)-g(u)
Δu=f(x+Δx)-f(x)
Δu≠0で考えると（これが0のときは高校範囲を超えるので略）
Δx→0⇒Δu→0⇒Δy→0であり

Δy/Δx=(Δy/Δu)*(Δu/Δx)　この両辺の極限を取って…

m,nは0以上の整数とする。
I[n]=∫[0,π/2](cosθ)^ndθ
J[n]=∫[0,∞]x^n*e^(-x^2)dx
とおく。ただし、∫[0,∞]f(x)dx=lim[a→∞]∫[0,a]f(x)dxであるものとする。

�T　I[n]をI[n-2]で表し、I[n]は減少数列であることを証明せよ。

�U　lim[m→∞](√mC[2m,m])*(1/4)^mを求めよ。

�V　J[n]をJ[0]で表せ。

�W　∫[0,∞]e^(-x^2)dxの値を求めよ。

まだこの受験コンプスレあったのかよ

>>556
�Tとか�Uとかの出題の仕方が東大の理科っぽくていいな

福田康夫

お前ら
数学スレなのに
なんでイブに過疎ってんだよ

ちくしょーorz

過疎？
でもそんなのかんけーねぇ！

>>560
俺は一人です。
でもイブです。

イブって言ったらブラックキャットだろ常考

ここはイブこそ盛り上がるスレだろ

実数と純虚数の和が何故計算できるのか自分なりに考えをまとめよ。

何故できるも何も
複素数の和の規則をそう定めたんだからできるんじゃないの

C→Cの写像としての複素数の和がwell-definedであることを述べるべきか。

>>566
和の規則って何？
例えば 1+i の意味づけをしないといけないのでFA？

和がC→Cの写像である訳無いだろこの馬鹿

元ミス東大の高島氏が自信のブログ『あふじゃで研修中』にて「こじきのくせに」という差別的な
発言を書き込んだことからコメント欄が大炎上。気になる投稿内容はインドでのできごとを書いたもの。
下記がそのブログの記事内容だ。

こじき探してたら、こうゆう時に限ってこじきに出会わない
いつもはそこらじゅうにいるくせに、今日だけいないの
で　ようやく見つけた子供のこじきにコロッケあげるよって言ったら
拒否･･･
いらんって
せっかく恵んでやろうと思ったのに
ってか　いつも食べ物くれって言ってくるくせに
こじきのくせに
（※一部引用）

……元ミス東大とは思えない乱暴な文章とその内容。コメントにも以下のような批判が相次いでいる。

>>568
そもそも実数があって、その２つの組(a,b),(c,d)に対して、
(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)と定めたんだよ
(積は(a,b)･(c,d)=(ac-bd,ad+bc)と定義)
実数の和はwell-definedだから、この和というのが定義される
で、この組の第一成分を実部、第二成分を虚部ということにして、
(a,b)をa+ibと書くことにしたのが複素数

そんな事はみんな知ってて書いてるんだよ。
要は同一視の部分をどう切り抜けるかだな。

>>572
同一視なんて切り抜けるも何も自然な同型写像があるだろ

実数と純虚数の和は(a,0)+(0,b)だから普通に計算できるのは当たり前
この和がwell-definedなんだから何故もへったくれもない



　　　　　　　　　　　　糸冬　　　了

どうも大学入試の範疇の話だと理解できてない奴がいる。

結局どういうことなの？
答えきぼん

レベルが落ちたな・・・ｗ

>>565
>>567
>>572
>>574
>>576
じゃ、どういうことかしっかりと説明してもらおうかな
レベルがどうのとか理解できてないとか言ってるし
さぞかし立派な説明なんだろうな
期待してるぜ

p,q,rはp+q+r=0をみたす整数の定数，nは正の整数とし，以下の条件全てをみたす整数(x,y,z)の個数をN(n)と表す．
　x+y+z=0
　n≦|x|≦2n，n≦|y|≦2n，n≦|z|≦2n
　n≦|x-p|≦2n，n≦|y-q|≦2n，n≦|z-r|≦2n
このとき，極限値lim[n→∞]N(n)/(n^2)を求めよ．

>>577
ヒント：釣り

>>577
大学入試の答案であれば上の方々の説明で十分ですよ．教科書にはそれ以上のことは書いていません．
もっとつっこんだ答えを要求するのはスレ違いというものです．

>>569
ごめん。
C×C→Cの写像？

>556
I.
　I[n] = ∫[0,π/2] (cosθ)^n dθ = ∫[0,π/2] {(cosθ)^(n-1)}cosθ dθ
　= [ (cosθ)^(n-1)･sinθ ](0〜π/2) + (n-1)∫[0,π/2] {(cosθ)^(n-2)}(sinθ)^2 dθ
　= [ (cosθ)^(n-1)･sinθ ](0〜π/2) + (n-1){I_(n-2) - I_n},
　I[n] = {(n-1)/n}I_(n-2),
0 ≦ cosθ ≦ 1 より、単調減少。
　I[0] = π/2, I[1] = 1,

II.
　n*I[n-1]*I[n] = I[0]*I[1] = π/2 ゆえ
　(√m)*I[2m] → (√π)/2,
　I[2m] = (2m-1)!!/(2m)!! = (2m)!/((2m)!!)^2 = {(2m)!/(m!)^2}*(1/4)^m = C[2m,m]*(1/4)^m,
　
III.
x=√y とおいて、
　J[n] = (1/2)∫[0,∞) y^((n-1)/2) exp(-y) dy = (1/2)Γ((n+1)/2),
　J[2m+1] = (1/2)Γ(m+1) = (1/2)m!,
　J[2m] = {(2m-1)!!/(2^m)}J[0],

IV.
　J[0] = (√π)/2,

>>578
　x+y+z=0
　n≦|x|≦2n，n≦|y|≦2n，n≦|z|≦2n
を満たすx,y,zの段階で6通りしかないので
求める極限は0

>>534
で思い出したけどますださんのサイトにあったこの式の変形がうまく出来ないんですが。。

C(n,1)/1 - C(n,2)/2 + C(n,3)/3 - C(n,4)/4 + … + (-1)^(n-1)C(n,n)/n
　= Σ[r=1,n](-1)^(r-1)C(n,r)/r
　= Σ[r=1,n]1/r=1+1/2+1/3+..1/n=H(n)

>>583
あー，正解ですなあ．拡張したときの条件変え忘れてました．

>>584
それ，式が違いますよ．
Σ[k=1,n]{(-1)^(k-1)}C[n-1,k-1]/k=1/n
です．

>>585
どんまい

名前忘れてました．>>586は私です．ちなみに>>584て私じゃなく投稿問題に出されてた問題だったような…．

>>586
Σ[k=1,n]{(-1)^(k-1)}C[n-1,k-1]/k=1/n　は出来たのですが

>>588
裏技
http://83.xmbs.jp/n2.php?ID=checkmath&c_num=2584&no=25926&view=1&page=10
■13．調和数列和
【13-1】
C[n,1]/1 - C[n,2]/2 + C[n,3]/3 - C[n,4]/4 + … + (-1)^(n-1)C[n,n]/n
　= Σ[r=1,n](-1)^(r-1)C[n,r]/r
　= Σ[r=1,n]1/r
の方です。

(x-1+1)^nを二項展開して定数項を移項してから両辺をx-1で割って積分。

>>590
やってみました。
x^n=(x-1+1)^n =Σ[k=0,n] (x-1)^k *C(n,k)=1+Σ[k=1,n] (x-1)^k *C(n,k)
x^n-1=Σ[k=1,n] (x-1)^k *C(n,k)
両辺をx-1で割って
1+x+x^2+...+x^(n-1)=Σ[k=1,n] (x-1)^(k-1) *C(n,k)
両辺を積分して
c+x+x^2/2+...+x^n/n =Σ[k=1,n] (x-1)^k *C(n,k)/k
x=1　を代入すると -c=H(n)
x=0　を代入して H(n)=Σ[k=1,n] (-1)^(k-1) *C(n,k)/k

aを実数とする。
(�@)　(-1)a=-a　　(�A)　a0=0a=0
を証明せよ。

>>592
だからさ、そういう問題は他でやれ、な。

>>592　東大ｺﾝﾌﾟの馬鹿大生乙

>>585
原題お願いします

>>595
p,q,rはp+q+r=0をみたす整数の定数，nは正の整数とし，以下の条件全てをみたす整数(x,y,z)の個数をN(n)と表す．
　x+y+z=0
　|x|≦n，|y|≦n，|z|≦n
　|x-p|≦n，|y-q|≦n，|z-r|≦n
このとき，極限値lim[n→∞]N(n)/(n^2)を求めよ．

たぶんこれでいいはずです．

次の和を簡単にせよ。
(1)Σ[r=0~n]{C[n,r]/(r+2)}

(2)Σ[r=1~n]{C[n,r]/r}

sinπ+sin(π/2)+sin(π/4)+…+sin(π/2^(n-1))+…=?

>>597
(1) x(1+x)^n を二項展開して両辺をx=0〜1で定積分すれば
　(1 + n*2^(n+1))/((n+1)(n+2))

(2) (x-1+1)^nを二項展開して定数項を移項してから両辺をx-1で割ってx=1〜2で定積分すれば
　Σ_[k=1,n](2^k-1)/k

>>598
これ本当に求まるのか？

(-1)*(-1)=1

を、納得できるように証明しなさい。

>>601
(-1)(1+(-1))=(-1)*0=0
(-1)(1+(-1))=-1+(-1)(-1)
∴-1+(-1)(-1)=0
∴(-1)(-1)=1

「音楽は感覚の数学であり、数学は理性の音楽である」


クラシックを聞きながら数学の問題を解くと良い。

sin(π/180)は超越数か？

他スレで聞け

京大の出題方式をまねただけなのに…（´；ω；`）

答えはNOだとわかってるのに…

スレタイ読んでから書き込め
超越数なんて高校で習うわけねえだろ

ここの住民なら分かると思い省いただけですが

何故このスレの住人はすぐ怒るんですか
短気は損気と言いますよ

>>609
アホに付き合うほど暇じゃないんだよこっちは

pは素数とする．
(1) (p+1)^p-1はp^2で割り切れることを示せ．
(2) (p+1)^p-1がp^3で割り切れるようなpを全て求めよ．

>>611
1(p+1)^p-1=�馬=1〜p　pCnp^n　より、p^2 で割り切れる。

2 1のn=3〜以降は全てp^3で割り切れる。∵nCp∈N
　よって1項目+2項目=(1/2)p^2(p^2-p+2)がp^3で割り切れればいい。
(1/2)p^2(p^2-p+2)/p^3=(1/2)(p-1+2/p)∈Z
∴　p=2

a_n={n!^(1/n)}/n
このときLim_（n→∞）a_nを求めよ。

>>613
1/e

　
　

(a+b+ab)^7の展開式におけるa^4b^6の係数を求めよ。

>>616
140

f(x)=log{(1+1/x)^x}とする．
lim[x→∞]{f(x+1)-f(x)}x^tが0以外の値に収束するような実数tの値を求め，また，極限値を求めよ．

このスレはすっかり京大入試作問者になったつもりのスレになったね。

>>592>>601>>604を見てたら東大でも京大でもないと思うよ

具体的にはＭＡＳＵＤＡ問のことなんだが。

p、q　素数とし、nを自然数とする。
このとき、任意のp,q,nに対し、│p^n-q^n│が素数となることはあるか？

聞いていることがよく解りません（＞＜）

p=5,q=3,n=2のとき│p^n-q^n│=16は素数でないので
任意のp,q,nに対し、│p^n-q^n│が素数となることはない

nを0以上の整数として、
I[n]=∫[0,x]{t^n*e^(-t)}dtとする。

�T　I[n+1]とI[n]の関係式を導け。

�U　a>0のとき、lim[n→∞]{a^n/(n!)}を求めよ。

�V　e^x=Σ[n=0~∞]{x^n/(n!)}を示せ。

>>619
予備校では京大対策をメインでやってましたから．それに私は東大っぽい問題ではあまり難問がつくれないので出しても面白くないと思いますよ．

>>596
>>611
どう見ても京大チック

>>625
ありきたりすぎる
冬休みの宿題か？

>>618
t=2で1/2に収束

京大チックな問題って何だろ？素数を好んで使う問題とか？

>>627
>>611はモロに京大ですが，>>596は東大チックにしたつもりですが．97年後期１番を真似た問題なんですけど．

>>629
御名答．

あー，>>631は私です．

東大の問題ってさ、何つうか、あまり抽象的じゃないんだよね。
同じ整数の個数数えさせるのでも、京大は不等式で出すし、東大は座標の格子点で出す。
象徴的な言い方をすればそういうことだ。
それに東大は一般的な状況ではなく、特殊な状況、
特に、解答が美しく推移するように数字や式が操作されている。
その事実はMASUDAさんも認識しておられると思うけど。

xy座標平面上における半径r(＞0)の円の面積をS(r)とし、
その円内の格子点の個数をN(r)とする。このとき、
　　lim[r→∞]S(r)/N(r)
を求めよ。

いつだったかの、ベクトルの和が3進法とからんでる問題は面白かったな。
願わくば、図形問題なんだけど、三角関数や座標使って立式したらあとは3次方程式の解の配置定数分離型、とか、
点が空間を移動して、距離の最小値を求めるんだけど、実は線形計画法、とか、
ベクトルを1次変換で移動させて極限を求めるんだけど、実は区分求積、とか、
トランプゲームの戦略を考えてるんだけど、実は格子点の個数、とか、
そういう問題作ってください！

あと、益田塾の大学別模試とかオリジナル問題のアーカイブ作ってください！

>>634　
　グラフは原点対象だから、y≧1を考える。
　x=t∈N上の格子点の数は
　[√(r^2-x^2)]
　よって,y≧0の格子点の数をN+(r)とすると
　∫-r→ｒ√(r^2-x^2)-1dx＜N+（r）＜∫-r→ｒ（√(r^2-x^2)）dx
　πr^2/2-2r＜N+（ｒ）＜πr^2/2
同様にπr^2/2-2r＜N-（ｒ）＜πr^2/2
また、y=0での格子点の個数N0（ｒ）は
　2r-1<N0(r)<2r+1　よって以上より
　πr^2+A(r)<N(r)<πr^2+B(r) A,B;1次の多項式。
　一方S(r)=πr^2
よってlim[r→∞]S(r)/N(r)＝１

>>636
円は原点中心とは言ってないよ
自由に動けるんだよ
そこをどう処理するか

平面H[1]，H[2]があり，2平面のなす角の大きさはπ/3である．また，平面H[1]，H[2]の上にそれぞれ放物線C[1]，C[2]があり，それぞれの焦点距離は1である．2つの放物線C[1]，C[2]が互いの焦点を通過するとき，C[1]上の点をP，C[2]上の点をQとして，線分PQの最小値を求めよ．

>>638訂正
× 2つの放物線C[1]，C[2]が互いの焦点を通過するとき
○ 2つの放物線C[1]，C[2]のそれぞれの頂点が互いの焦点に一致するとき

>>637　円の中心がずれたところで、格子点の数の変化量は高々4πｒ個
　よってやはり1に収束するとわかる。　■

>>637
N(r-1)≦N(r)≦N(r)+2r+1
ではさむ

どうやら>>634は簡単すぎたようだな

微分係数の定義を述べよ

>>643
まわりくどい
微分の定義を述べよでいいだろ

実数xを
x=lim[n→∞]Σ[k=0,n](1/10)^(2^k)
とする．
(1) xが無理数であることを示せ．
(2) x^2が無理数であることを示せ．
(3) mを正整数として，x^mが無理数であることを示せ．

>634,637
各格子点(m,n)に、正方形領域 D_(m,n) = {(x,y)| m-1/2<x<m+1/2, n-1/2<y<n+1/2} を対応させる。
半径rの円内に格子点がN(r,O)個ある。(rは半径、Oは中心の位置)
これらのDを合併した図形をGとする。
G は半径 r+(1/√2) の円に含まれ、半径 r-(1/√2) の円を含むから、
　S(r-1/√2) ≦ N(r,O) ≦ S(r+1/√2),
平面なので　S(r) = πr^2,

>>645(3)
x^m=(lim[n→∞]Σ[k=十分大,n](1/10)^(2^k))^m
が、循環しない無限小数だから。
(4)xが超越数であることを示せ。

超越数が好きな人が多いですね

a^(1/3) + b^(1/3) < c^(1/3)
a, b, cと整数と四則演算のみでできた、この式と同値な式を求めてください。

27abc<c-a-b

>>647
証明になってません．
ちなみに超越数は高校範囲外です．

>>650
慌てずに落ち着いて。

>>650
餅つけ、兄者。
　27abc < (c-a-b)^3,

恒等式
　(-A)^3 +(-B)^3 +C^3 -3(-A)(-B)C = (C-A-B)M,
　M = (-A)^2 +(-B)^2 +C^2 -AB +BC +CA = (1/2){(A-B)^2 +(B+C)^2 +(C+A)^2} >0,
より、
　(-A)^3 +(-B)^3 +C^3 -3(-A)(-B)C >0　⇔　C-A-B >0,

>>647
加法定理を示せって問題で「加法定理より成立」って答えるのと一緒だなwww

MASUDA ◆5cS5qOgH3M って、
http://83.xmbs.jp/checkmath/
か？

>>655
まあ実際ニュー即の影響力は馬鹿には出来ないよ
ねらーの中でも特にニュー速民は匂いが違うしな。
何というか…”本質”みたいな物が見えているよね、ニュー速民は…

>>656
何それ？

馬鹿が釣れた

>>645
そもそも右辺の無限級数が収束することを言及せずに実数として扱っているのは欠陥問題。

>>659

>>659は>>647か？

>>659
なるほど．では「収束を保証した」ものとして考えてください．

>>659
いちいち書くほどのことか？

＞「収束を保証した」
証明せずして保証するのは東大らしからぬ欠陥問題だな

いま高校では収束正項級数の部分級数は収束する、ってやらんのか？

S=Σ[n=1,∞] (-1)^n　とする。

Sが実数ならば、有理数か無理数かを証明せよ。
Sが実数でないならば、それを証明せよ。

>659
　a_n = Σ[k=0,n] (1/10)^(2^k),
とおく。　2^k ≧1 だから
　a_n < Σ[n=1,∞) (1/10)^n = 1/(10-1),　　　…上に有界
　a_n は明らかに 単調増加。
　a_n は上に有界な単調増加列だから収束する。

高木: ｢解析概論｣ 改訂第3版, 岩波書店, 第1章, §4, 定理6, p.8 (1956)

>>659
収束するのはほとんど自明だろ

>>666
S[n]=�納k=1,n](-1)^kとすると、
任意のmに対して
S[2m]-S[2m-1]=(-1)^(2m)=1だから
S=lim[n→∞]S[n]は収束しない
したがって、Sは実数としては定義できない

話変わるけど、｢加法定理の証明｣ってどうなんだろね。
｢高校の教育課程に則った証明｣をさせたいというのはわかるけど、それは｢数学的｣じゃ無い気がしてならない。

受験テクニックばかりに走って学校で習う基本的なことがないがしろになってないかが
確かめられればそれでいいんじゃね

教科書に載ってる事項の証明も意外と良問だと思う
x^nの微分がnx^{n-1}であることを示せとか
点と直線の距離の公式を証明せよでも通用すると思う

2^k>=1+k.

>>666　数列の極限が0に収束しない時点で級数は収束しない。アホ。

>>672　nを実数まで拡張したらなかなかの難問だな。
　大学生でもできないかもしれない。

>>674
釣れますか？

それは何かの反撃になっているのか？

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∩＿＿＿∩
　　　　　__ _,, -ー ,, 　　　　　　　　　　　 / ⌒　　⌒ 丶| 　 　 今、どんな気持ち？
　 　 　 (／　　　"つ`..,：　　　　　　　　　(●)　　(●) 　丶 　　　　 　 ねぇ、どんな気持ち？
　　　：/　　俺 　　　:::::i：.　　　　　　　 ミ 　(_●_ )　　　　|
　　　：i　　 　　　 　─::!,, 　　　　ﾊｯ　　ミ ､ 　|∪|　　　　､彡＿＿__
　 　 　ヽ.....::::::::: 　::::ij(_::●　　　　ﾊｯ 　　　/ ヽノ　 　 　　＿＿＿/
　 　 r "　　　 　.r　ミノ~.　　　　　　ﾊｯ　　　〉 ／＼　　　　丶
　　：|::|　　　　::::|　:::i ﾟ。　　　　　　　　　　　￣　　　＼ 　　　丶
　　：|::|　　　　::::|　:::|：　　　　　　　　　　　　　　　　　　＼ 　　丶
　　：`.|　　　　::::|　:::|_：　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　/⌒＿）
　 　：.,'　　　　::（　　:::}：　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　}　ﾍ　/
　　 ：i　　　　　　`.-‐"　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　J´ （（

なんか変な奴が混じってるな>>664>>666>>670
さすが冬休み

東大が加法定理証明だしたんだからさ、
このスレでそれを数学的とか議論することじゃない

たぶん>>659>>664は>>647と同じやつ
解き方わからんくてますだごときにつっこまれたと逆ギレ

と、名無しの増田さんがおっしゃっております

このスレ年末はにぎやかなのになんでクリスマスに誰もこなかったんだよ
寂しかったじゃまいか

>>664
なるほど．じゃあ
lim[n→∞]Σ[k=0,n](1/10)^(2^k)が収束することを示せ
を加えれば満足ですか？
ちなみに東大は「保証する」という明確な言葉は使いませんが，収束が自明であるとして収束性に触れていない問題は出題しています．

以下の等式をみたす正の整数mが存在するような正整数nを全て求めよ．
m^n+(5m+13)^n=(m+5)^n+(5m+12)^n

ついでに>>683は私です．

>>683
例えば何年度の何番の問題ですか？

問題文中で「○=lim△とする」という問題ならそこそこあります．
今手元に過去問がないので問題番号までは覚えてませんが，91年あたりを見ていただければ．

>>686
91年6番、94年4番、00年3番あたりですかね。

xyz空間において、xy平面上に点Aを、z軸上に点Bをとる。
Oを原点、aを正の実数とし、OAとx軸とのなす角を2θ、ABとxy平面のなす角をθ、
AB=aθに対し、θを0≦θ≦π/2の範囲で動かす。
このとき、ABが作る曲面とy=z=0に囲まれてできる立体の体積を求めよ。

>>107
　p[1] = 2 = q[1],
　p[2] = 3 = q[2],
　p[2k+1] ≧ 6k-1 = q[2k+1],
　p[2k+2] ≧ 6k+1 = q[2k+2],
でq[n]を定義する。
　Σ[k=3,n] 1/q[k] = (1/5 + 1/7 + 1/9 + …… + 1/q[n]) − {1/9 + 1/15 + …… + 1/(3r[n])}
　　= (1/2)(2/5 + 2/7 + 2/9 + …… + 2/q[n]) − (1/6)(2/3 + 2/5 + …… + 2/r[n]),
右辺第1項は5〜q[n]の奇数を亘り、第2項は6j+3型の奇数(<q[n])を亘る。
ここに q[n] = 3n-4 -{1+(-1)^n}/2,　r[n] = 2･[(n-1)/2] -1,
ところで、y=1/x は下に凸だから,
　2/5 + 2/7 + 2/9 + …… + 2/q[n] ≦ ∫[4,1+q[n]] (1/x)dx = log{(1+q[n])/4},
　2/3 + 2/5 + …… + 2/r[n] ≧ (1/3) + ∫[3,r[n]] (1/x)dx + 1/r[n] = (1/3) + log(r[n]/3) + 1/r[n],　… rについて単調増加
よって
　Σ[k=3,n] 1/q[k] ≦ (1/2)log{(1+q[n])/4} -(1/18) -(1/6)log(r[n]/3) -1/(6r[n]),
ここで r[n] = 2･[(n-1)/2] -1 ≧ n-3,　q[n] ≦ 3n-4 を使うと,
　Σ[k=3,n] q_k < (1/2)log{3(n-1)/4} -(1/18) -(1/6)log{(n-3)/3} + 1/(6(n-3))
　< (1/2){log(3n/4) -1/n} -(1/18) -(1/6){log(n/3) -3/(n-3)} + 1/(6(n-3))
　= (1/2)log(3n/4) -1/(2n) -(1/18) -(1/6)log(n/3) +1/(3(n-3))
　≦ (1/2)log(3n/4) -(1/18) -(1/6)log(n/3)
　= (1/3)log(Cn)
　< (1/3)log(n),
　C = (9/8)exp(-1/6) = 0.95229194… <1,

本年もお世話になりますた。それでは皆様、よいお年を……

>>687
たぶんそのあたりです．94年はちょっと覚えてませんが．

導関数を用いて
m+nC2=mC2+mC1×nC1+nC2
を証明せよ。

>>691
「〜を用いて」という表現は東大でもたまにあるが
用いた解法以外がとても思いつくのは困難であると
推測される問題に対する大学側の教育的配慮。

お前の問題は見るなり式変形が頭に浮かぶ問題だし
それであっさり解けることを考えると欠陥問題というか悪問。

それともあれか？
「こんなの見つけたぜ、俺すごいだろ？」
っていうぼくちんイオナズンか？

↑みたいにいちいち突っかかる香具師って何なの？
空気嫁

>>693
冬休みだからな
クリスマスあたりから変な出題者が何人かいるし変に突っかかる奴も何人かいる
夏休みもこんな感じだったよ

>>693
別におかしくないだろ
こういう指摘をしていかないと悪問がますます多くなる
もしかして691が良問と思ってんの？

>>693=>>691なだけだろ
空気読めって、空気読んでない出題してて言うセリフかよｗ

>>692は突っ込みだけならいいものを
最後の三行は不要ってことだよ
ちなみに俺は>>691でもないし、良問とも思ってない

>>691はたかだか２次の恒等式ですから「導関数を用いて」はあまりいい出題ではないですな．
でも拡張して式変形ではなかなか解けないような問題に作り変えて導関数で解かせるようなうまい誘導をつければかなり面白い問題になるかと．

二項係数C[n,k]として
C[n,k]*C[n,k+1]≡0 (mod n)　を証明せよ。

k=0のとき
C[n,k]*C[n,k+1]=n≡0
k=n-1のとき
C[n,k]*C[n,k+1]=n≡0
1≦k≦n-2のとき
C[n,k]*C[n,k+1]={n^2/k(k+1)}C[n-1,k-1]*C[n-1,k]
∴n^2/k(k+1)≡0をいえばよい
n^2はk(k+1)の倍数だが、k+1≦nであり、またkとk+1は互いに素だからn^2/k(k+1)はnの倍数
■

n=3.
k=1.
n^2/k(k+1)=9/2.

>>701
指摘�dっす
n^2/k(k+1)はnの倍数
　↓
{n^2/k(k+1)}C[n-1,k-1]*C[n-1,k]はnの倍数

>>701
？

ごめん、そーいうことか

>>704
死ねよｗ

>>702
その前が間違ってるんだから無意味な変更だな

>>706
全部書き直すのが面倒だから省いただけなんだけどね
よーするに
n^2とk(k+1)の公約数がn以下だと言いたいわけ

1000＜2^10＜1250であることを用いて以下の問いに答えよ．
(1) 8^8の桁数を求めよ．
(2) 8^(8^8)の桁数をmとする．mの最高位の数を求めよ．

>>707
6^2と3(3+1)の公約数12が6以下だと言いたいわけね

>>707
例えばn=pq (p>>qは素数), k=q^3.とすると
{n^2/k(k+1)}C[n-1,k-1]*C[n-1,k]={p^2/q(q^3+1)}C[pq-1,q^3-1]*C[pq-1,q^3]
だから,後ろ２つのに項係数も考えないとまずいのでは？

>>709
>>710
マジだorz
やり直してくる

アホワロスｗ

A[n]=Π[k=1,n]{1+4(cos(kπ/(2n+1)))^2}/{1+4(cos(kπ/(2n+2)))^2}　とする。

(1)　A[3]及びA[4]を求めよ。
(2)　lim[n→∞]A[n]を求めよ。

連乗積は高校範囲外だが

>>714
まあまあそれくらいは許してやれ
出題する側になればわかるが、数式打ち込みはかなり面倒なんだよ

（ｋ＋１）（ｎ　ｋ）（ｎ　ｋ＋１）＝ｎ（ｎ　ｋ）（ｎ−１　ｋ）。
ｋ（ｎ　ｋ）（ｎ　ｋ＋１）＝ｎ（ｎ−１　ｋ−１）（ｎ　ｋ＋１）。
（ｎ　ｋ）（ｎ　ｋ＋１）＝ｎ（（ｎ　ｋ）（ｎ−１　ｋ）−（ｎ−１　ｋ−１）（ｎ　ｋ＋１））。

（ｎ　０）（ｎ　１）｜（ｎ　ｋ）（ｎ　ｋ＋１）。
（ｎ　０）（ｎ　１）（ｎ　２）｜（ｎ　ｋ）（ｎ　ｋ＋１）（ｎ　ｋ＋２）。

スマン、よく見たらこれ佐賀大の問題だったorz

お詫びの問題↓
半径10の円Cがある。半径3の円板Dを、円Cに内接させながら、円Cの演習に沿って滑ることなく転がす。
円板Dの周上の1点をPとする。点Pが、円Cの円周に接してから再び円Cに接するまでに描く曲線は、円Cを2つの部分に分ける。
それぞれの面積を求めよ。

わかると思うけど
演習→円周
の間違い。

>>713

　Π[k=1,n] {1 + 4(cos(kπ/(2n+1)))^2} = F[2n+1],
　Π[k=1,n] {1 + 4(cos(kπ/(2n+2)))^2} = F[2n+2],
ここに
　F[m] = (β^m -α^m)/√5 はフィボナッチ数。
　α = (1-√5)/2 = -0.61803398875…
　β = (1+√5)/2 =　1.61803398875…
ゆえに
　A[n] = F[2n+1]/F[2n+2] → 1/β = |α|.　(n→∞)

xy平面に正方形
　D={(x,y)|0≦|x|≦3，0≦|y|≦3}
および点A(1,0)，B(-1,0)がある．円CはDに含まれ，かつ点A，Bのうちいずれか一方のみを周または内部に含む．円Cの中心が存在する領域を図示し，その面積を求めよ．

よいお年を

図示しろだと・・・！

>>721
そこは別にまともにとらなくても．数式で表していただければ．

同一平面上に2つの凸多角形があり、
どの頂点も他方の凸多角形の内部（周囲含む）には存在しない。
このとき、両多角形の辺の交点が奇数になることはあるか？

あったらいいな♪

>>723
意味が良く分からん
一方と他方はどっちもどっちか？

>>723
こんなに日本語の下手な問題が大学受験に出ることは絶対無い。

>>723
ない

出と入りが同数だから偶数個。
凸でなくとも良い。

多面体でも同様なことが云える。

あけおめあけおめ

すべてが素数である数列a_nをつくり、
素数が無限に存在することを証明せよ。

>>731
小さい素数から順番に並べればよい。
あるいはn番目のフェルマ数2^(2^n) + 1 の最小素因数とか。

>>731
意味わからん誘導つけるな

>>732　数列は作れても無限個ある証明はできてないな。

>>734
異なるフェルマ数は互いに素

>>735　証明問題なんだからちゃんと証明しろ。

だいたい高校生がそんなの知ってると思ってるのかね・・・（苦笑）

>>736
ボク知ってますよ
あと素数の逆数和が発散することから証明するやつ知ってます
ただ…益田さんの問題は解けない(泣)

>>733
別に誘導だと思わず、前半と後半を独立で解けばよさそう。

まあ前半部分は大学入試で出ることは１００％ないでしょうけど．
あっ，あけましておめでとうございます．
>>737
私が素数がらみで何か出題しました？

>>739
あけましておめでとうございます
益田さんの問題が全般的にできないってことです(泣)
ここの人達はなんでそんなに数学ができるのか謎です

東大京大早慶交流へ　優秀な学生を東大に戻す思惑も？
http://news.ameba.jp/domestic/2008/01/9783.html

lim [x → ∞] x^2*{(log(1+x))^99 - (log x)^99 }^100 / {(log(1+x))^101 - (log x)^101}^98
を求めよ

脳内計算だが、

x^2*{(log(1+x))^2 - (log x)^2 } を繰り出したらいいんでないの。

x^2*{(log(1+x))^99 - (log x)＾99 }＾2 の間違い。

2008に絡めた問題でも作れよ

>>745
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1167587242/
池

>>745　2008!-1は素数となるかどうか、証明せよ。

>>747
答え「素数となるかどうか」である。証明：自明

スーパーに行くと、みかんが箱ごとで売られていた。
見ると、以下のように書いてある。

Lサイズ10kgで2500円
Sサイズ10kgで2500円

LやSというのは、もちろんみかんの大きさである。
さて、どっちを買うほうが得か･･･？？

>>744
くくり出した残りの極限が 1 になるってか？
あるいはくくり出した方が 1 か？で、答えは？
それから先に進まないっぽいなぁ

>>745
1,　2008^（2008＾2008)の桁数を求めよ。
　また、｛2008^（2008＾2008)｝＾(-1)で、初めて0でない数が表れるのは小数第何位か、求めよ。
2,　2008^（2008＾2008)の最高位、一の位の数を求めよ。
　また、｛2008^（2008＾2008)｝＾(-1)で、初めて表れる0でない数を求めよ。

2008作ってる奴らへ
スレ違いも甚だしいから失せろ

どこがスレ違いなのか、説明せよ。

>>753
その問題もスレ違い

>>745-754
いい加減うぜーよ

どこがうざいのか、いちいちつっかかってくるお前の方がスレ違いでうざいのではないか、
論理的に説明せよ。

>>751
試験時間150分以内にお前はそれを手計算のみで解けるというのか

東大入試作問者になったつもりで2008に絡めた問題を作ればすれ違いではない

>>756
自明
屁理屈で頑張るのはやめとけ、な
なんかお前がＫＹっぽくなってるから
ここ↓に行っとけ
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1167587242/

新年早々荒れてますな．
>>758
それなら東大っぽい問題を作っていただかないと．最低でも大学入試っぽい問題で現実的に解答可能な問題で．
上の問題は東大はおろか大学入試問題にもなりません．出題した本人も答えられないでしょ？

KYって言葉、オレは許せない

はいはいワロスワロス

O-daiwa tumran daigaku da.

Yo wa nannno O-Dai gotoki to omoi jukenn sute ukatta ga,
kekkyoku, ikanakatta.

Koukyuu Kannryo no yousei-kou ni suginu.

Kennkyuu-sha ni naritak-uba hoka no Universiy
wo mezase !

saigo ni natta kedo:-

Happy New Year to You and to Us ALL

http://www.age.ne.jp/x/eurms/Ronri_Kaikaku.html

いい加減言い争いはやめて誰か>>742でも解いてくれ
出題者じゃないから、東大入試の範囲かどうかは保証しかねるが。

>>742 は Cauchy の平均値の定理を使えばすぐできる。
Cauchy の平均値の定理自体は Rolle の定理を使えばすぐだが、
この辺の知識がないと苦しい。誘導無しではどうかと。

普通の平均値の定理でも評価次第では上手くいくかも。

>>750

>>765

>>719
　F[m] = {φ^m - (-1/φ)^m}/√5,
　φ = (1+√5)/2 =　1.61803398875…

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1043045905/
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1073918716/
http://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html

第６問っぽく球積問題作ったんだが
誰も>>688を解いてないな

>>742

log(1+x) = log(x) +(1/x) -O(1/2x^2) より
(log(1+x))^(m+1) - (log(x))^(m+1) = (m+1)*{1 -O(1/2x)}(1/x)(log(x))^m,
{(log(1+x))^(m+1) - (log(x))^(m+1)}^n = (m+1)^n*{1 -O(n/2x)}(1/x^n)(log(x))^(mn),
x^(n-m)*{(log(1+x))^(m+1) - (log(x))^(m+1)}^n / {(log(1+x))^(n+1) - (log(x))^(n+1)}^m
　= {(m+1)^n/(n+1)^m}｛1 +O((m-n)/2x)}
　→ (m+1)^n/(n+1)^m　(x→∞)
m=98, n=100,

>743
　(x^2)*{ [(log(1+x))^99 - (log(x))^99]／log(x)^98 }^2 〜 99^2 の間違い。

>>769
オーダー計算はご法度。

>>769
成る程、面白い極限値になるね。

で、オーダー計算を使わない大学入試的方法は？
俺だったらオーダー計算でも満点やるかも知らんが、
一応聞いておきたい。

>>772
初等的なら ｓ＾（ｋ＋１）−ｔ＾（ｋ＋１）＝（ｓ−ｔ）（ｓ＾ｋ＋…ｔ＾ｋ） を使えば良い。

あと個人的には （ｍ＋１）＾ｎ／（ｎ＋１）＾ｍ＝｛（ｍ＋１）＾（１／ｍ）／（ｎ＋１）＾（１／ｎ）｝＾ｍｎ
を用いて先に （ｍ＋１）＾（１／ｍ）／（ｎ＋１）＾（１／ｎ） を計算すればすっきりした。
ｓ＾ｋ＋…ｔ＾ｋ の部分が ｍ＋１、ｎ＋１ に相当するのが見え易い。

ちょと後半表現が変だった。
ま、通じるか。

「一応聞いておきたい」という、上から目線の人の意見も是非聞きたい。

xyz座標空間のx＞0かつy＞0の領域に一辺の長さ1の立方体Tがある．
この立方体Tに対して，x軸，y軸それぞれに平行な光線を当て，yz平面，xz平面にできた影の面積をそれぞれS[1]，S[2]とする．
S[1]+S[2]の最大値を求めよ．

有界閉集合上の連続関数は最大値及び最小値をとる。
なぜに最小値を問わないにょか？

>>772
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1042887886/l50
で逃亡した人？ここでも逃亡？

>>777
「S[1]+S[2]のとりうる値の範囲を求めよ」でもよかったんですが，東大はどういうわけか片方しか聞きたがらない傾向があるんですよ．
とりわけ最大値だけを聞くことが多いので真似してみました．

>>779
名前ぬけてました．779は私です．

>>776の元ﾈﾀと思われる正四面体の有名問題では両方きいてたよ。

>>776
元ネタは別の問題なので，おっしゃられてる正四面体の問題がどのようなものなのか分かりませんが，家帰ったら過去問見ときます．情報サンクスです．

>>742

{\large $\displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^{m-n}[\{\log(1+x)\}^{n+1}-(\log x)^{n+1}]^{m}}{[\{\log(1+x)\}^{m+1}-(\log x)^{m+1}]^{n}}$}

$=\displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^{m-n}\{\log(1+x)-(\log x)\}^{m}[\{\log(1+x)\}^{n}+\{\log(1+x)\}^{n-1}(\log x)+\
text{・・・}+\{\log(1+x)\}^{n-k}(\log x)^
{\mathrm{k}}+\text{・・・}+(\log x)^{n}]^{m}}{\{\log(1+x)-(\log x)\}^{n}[\{\log(1+x)\}^{m}+\{\log(1+x)\}^{m-1}(\log x)+\text{・・・}+
\{\log(1+x)\}^{m-k}(\log x)^{\mathrm{k}}+\text{・・・}+(\log x)^{m}]^{n}}$

$=\displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^{m-n}\{\log(1+x)-(\log x)\}^{m-n}[\{\log(1+x)\}^{n}+\{\log(1+x)\}^{n-1}(\log x)+\text{・・・}+\
{\log(1+x)\}^{n-k}(\log x)^{\mathrm{k}}+\text{・・・}+(\log x)^
{n}]^{m}}{[\{\log(1+x)\}^{m}+\{\log(1+x)\}^{m-1}(\log x)+\text{・・・}+\{\log(1+x)\}^{m-k}(\log x)^{\mathrm{k}}+\text{・・・}+(\log x)^{m}]^{n}}$

=$\displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty}\{x\log\frac{(1+x)}{x}\
}^{m-n}$・$\displaystyle \{\frac{[\{\log(1+x)\}^{n}+\{\log(1+x)\}^{n-1}(\log x)+\text{・・・}+
\{\log(1+x)\}^{n-k}(\log x)^{\mathrm{k}}+\text
{・・・}+(\log x)^{n}]^{\frac{1}{n}}}{[\{\log(1+x)\}^{m}+\
{\log(1+x)\}^{m-1}(\log x)+\text{・・・}+\{\log(1+x)\}^{m-k}(\log x)^
{\mathrm{k}}+\text{・・・}+(\log x)^{m}]^{\frac{1}{m}}}\}^{mn}$

logの間が開いているのとあいていないところ。
\{ \}で括っていないところ。
\cdotsをわざとつかわなかったのだろうか。
なんでtexを書いたのか。普通に打ったほうがはやいｗ

エラーを吐いたぞ

世の中には外見が全て同じの、重さはそれぞれ10gと11gの金貨があることを知っているものとする。あなたは同じ重さの金貨を10枚持っているが、そのことを両皿天秤を3回だけ用いて証明できるだろうか。

>>742
ここに一般化されてるよ
ttp://dxdy.blog4.fc2.com/blog-entry-12.html
小生君の計算が犬並だが･･･
>>783
>>785
Inftyエディターだと思われ･･

>>787
良く見つけてきたなぁ。
どの様にしたら見つけられるんだ？

>>787
大晦日やったかな
みかんの方程式っていうので、でてた！

落ちぶれ学者　でググったらでたよ！

xyz 空間上に ∠Q が直角であるような三角形 PQR がある。
P, Q, R の z 座標をそれぞれ p, q, r とすると p ≦ q ≦ r であり、
PQR を xy 平面上に正射影した図形は、
一辺の長さが1の正三角形であった。
r - p = a として以下の問いに答えよ。
(1) a の取りうる値の範囲を求めよ。
(2) a を用いて △PQR の面積を表せ。

>>789
>みかんの方程式
>>749か？全然気が付かなかった。俺も落ちぶれたものよのうフォッフォッフォッフォッ

大昔の東大風に気分を変えてパズルのような問題でも。

○□○＝○
○□○＝○
○□○＝○

○には1〜9までの数を1つずつ重複しないようにいれる。
□には＋または×の記号を入れる。
(1)全ての式を成立させよ。
(2)左辺の○と□を区別しないとき、解は(1)で求めたものに限られることを示せ。

全ての□に＋が入ると仮定すると、左辺の合計＋右辺の合計＝45。
ところが45の整数の分割は奇遇を異にするため少なくとも1つは×がある。
×が成立するのは2×3＝6のみ。
残りは1,4,5,7,8,9だが、9は明らかに右辺になくてはならず、
＋もしくは×で9を作るのは4＋5＝9のみ。
最後に1＋4＝5ができる。

素で2×4＝8を忘れてたｗ
奇遇の問題から2×4＝8は不適。

1+7=8じゃないか。

4+5と1+4で4と5が重複してる件

>>795-796
俺もうダメだわ。

益田氏、今までの自作の中で、どれが自分で思う傑作問題ですか？

>>798
完全な私のオリジナルで気に入ってるものはいくつかありますが，傑作問題とまでいくものはまずないですな．
傑作問題ができてもたいていは既存の問題の類題のようなもんですからね．
調べてみたら○○や数オリで似た感じのが出てたなんてしばしばです．
だからうまいこと味付けしてオリジナルのように見せる姑息なことばかりやってます．

>>799訂正
○○→○○大学

ある先生が『来週の月曜日から金曜日の間に抜き打ち試験を行う』と言いました。
木曜日まで試験を行わなかったら、金曜日に試験を行うということが生徒にばれてしまいます。
従って、金曜日に抜き打ち試験を行うことは不可能です。
しかしながら、水曜日まで試験を行わなかったら、木曜日に試験を行うということが生徒にばれてしまいます。
なぜなら金曜日に抜き打ち試験を行うことは不可能なのですから、水曜日まで試験を行わなかった場合、
木曜日に試験を行うしかないとわかるからです。従って、木曜日に試験を行うことも不可能です。
同じ論理で、水曜日、火曜日、月曜日に試験を行うことも不可能です。
さて、本当に理論上抜き打ちで試験を行うことは不可能ですか？

証明
来週抜き打ちで試験を行うと言った時点で予告試験となるので
抜き打ち試験とはなりえない　
証明終

lim[n→∞]n*∫[0,π/4](tanx)^ndxを求めよ。

>>803
1/2
鳥取大で出てた希ガス

>>801
その問題が大学入試問題として通用するのか？
どこからか文句が出て、「何を書いても（書かなくても）全て満点にします」
と言うことに絶対ならない自信はあるのか？

>>805
小論文やディベートとかで使うことはできるかもな

a_1=√2
a_(n+1)=a_n^√2とする。
このとき、Lim_n→∞　a_nが収束することを示し、
値を求めよ。

>>807
明らかに収束しないだろ
逆じゃないのか？
a_(n+1)=(√2)^a_n

>>808 逆でした＾＾

>>803
　I_n = ∫{tan(x)}^n dx,
とおく。
　1 + {tan(x)}^2 = 1/{cos(x)}^2 = {tan(x)} ' より
　I_(n-1) + I_(n+1) = ∫{tan(x)}^(n-1) {tan(x)}' dx = (1/n){tan(x)}^n,

　(n-1){I_(n-1) + I_(n+1)}/2 < (n-1)I_(n-1)/2 + (n+1)I_(n+1)/2 < (n+1){I_(n-1) + I_(n+1)}/2,
　{(n-1)/2n}{tan(x)}^n < (n-1)I_(n-1)/2 + (n+1)I_(n+1)/2 < {(n+1)/2n}{tan(x)}^n,
　x=π/4 とおいて n→∞ とする。

>>807
平均値の定理を利用して,極限値2。

>>801
単なる質問なら質問スレへどうぞ。>>802の議論はおかしい。

>>688>>768
この種の立体幾何の問題は俺の脳内計算とキーボードとモニタでは解けない。
かと云って、机の上には本とパソコンと食い物とゴミが一杯で
ノートと鉛筆を出す余裕がない。正月過ぎるまで待ってくれ。

(1) pが5以上の素数ならば，pを6で割った余りは1か5のいずれかであることを示せ．
(2) 5桁の素数の個数は2400個以下であることを示せ．

>>814
(1) は易しすぎて東大入試レベルとは云えないと思うが。

(1)が簡単なのはどこの大学でもよくあること。

>>815
易しくても(1)がないと，受験生は(2)がかなりきつくなりますよ．
誘導が易しいのは東大でも普通ですよ．京大や東工大と違い，単発で難問ばかりだすわけじゃありません．

入学試験は難問を出す場ではない。しかし、東京大学にもなると人がたくさん来るから難問も混ざることになる。

有名問題だが

f(x)、g(x) は連続で f'(x)＋f(x)g'(x)≦0 かつ f(0)＝0 を満たすとき、
x≧0 で f(x)≦0、x＜0 で f(x)≧0 が成り立つ事を示せ。

× 連続
○ 微分可能

また、やっつまった

グロンウォール型の不等式だな。数セミにも時々似た様なのが出ていた。

人がたくさん来るからではないだろ・・・

>>819

[ f(x) exp{g(x)} ]’≦0

数列a[n]が
a[1]=1,a[2]=k（k≠0,±1)
(1/a[1]a[2])＋(1/a[2]a[3])＋…(1/a[n]a[n+1])＝a[n]/a[n+1]をみたすとする。
このとき、a[n]の一般項を求めよ。

ヒント：a[n+2]=ka[n+1]-a[n]を導く。

東大入試にはヒントが付くのか？

ヒント：つかない

なんか大数の宿題(ほど難しくないけど)みたいな問題を出せばいいと勘違いしてるやつ多いな
東大どころか大学入試からもはずれてるし

閑話休題

2x2の行列のある部分集合Fは次の性質を持つ。
　・Fの任意の元 a,b について、a-bはFに属する。
　　そして、Fの任意の元 aは、a-a=0 となる。
　・また、Fの任意の元a,bについてa*bはFに属する。
　　そして、Fのある元eは次のような性質を持つ
　　　・任意のFの元aについて　a*e = e*a であり、これはFに属する。
　　　・e*e=e
　　　・-e * -e =e という等式が成り立つ。
　・さらに、Fのある元iについて次の等式が成り立つ、i * i = -e
元、e,iを求めよ。

>>814
訂正．(2)が桁数間違えました．

(1) pが5以上の素数ならば，pを6で割った余りは1か5のいずれかであることを示せ．
(2) 5桁の素数の個数は24000個以下であることを示せ．

>>824も
a[n+2]=ka[n+1]-a[n]を導けで止めとけばよかったのに

けどそれだと簡単過ぎるから皮肉にもここの住民には向かないってか…？

別に簡単でも面白けりゃいいと思うが
最近の東大って難問1題くらいだろ

問題作るだけなら
☆２ちゃんねらーず編・大学入試数学問題集☆
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/988730706/
もあるでよ。本スレは良問と云うより、原則（入試範囲の）難問と言う事で、
或る程度の期間解答が出なかったら、出題者自身が解答するというスタイルでどうだろう。

>>713 (補足)

　Π_(k=1, [N/2]) (1 + 4*cos(kπ/N)^2) = F_N,　　　(N≧2)
については下記を参照下され…
　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1073918716/386
　細矢, ｢数学100の問題｣, 数セミ増刊, 日本評論社, p.90-92 (1984.9)
　「フィボナッチ数の問題｣

Reply:>>822 それではなぜか？

人がたくさんくるからは理由にならん
東大並みにたくさんくる大学は他にもある

>>835
一流私大にも沢山人は来るが、多くを推薦で取っているので
入試の難問は偏差値を上げる為の「見せかけ」問題。
もちろん例外の一流私大もあるであろうが。

足切りでたくさん来れないようにしてるじゃん

順にA、B、Cと進まなければ理解できない人間と
Bを飛ばしてAからCを理解してしまう人間がいる

東大の問題は簡単ですね
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3613933.html

釣られすぎﾜﾛﾀｗｗｗ

最近の東大の問題って詰まらんね。

　 　　　 　　 　＿＿＿_　　　　　　　　　＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿
　　　　　　 ／_ノ　　ヽ､_＼　 　　　　(　もう・・・私のばか・・・・！！！
.　　　　　／　（● ）　(● ）＼　　　（　　また本心と・・・・違うこと・・言っちゃったお・・・
　　　　／//////（__人__)///＼　　 ◯　　　ほんとは・・・素直になりたいのに////
　　　　|　　 　　　　　　　　　 　|　。O　　￣ ￣ ￣ ￣ ￣ ￣ ￣ ￣ ￣ ￣ ￣ ￣ ￣ ￣
　　　　 ＼　　　　 　　　　　 ／
　　　　ノ　　　　　　　　　　 　＼
　 ／´　　　　　　　　　　　　 　　ヽ
　|　　　　ｌ　　　　　　　　　　　　　　＼
　ヽ　　　 -一''''''"~~｀`'ー--､　　　-一'''''''ー-､.
　　ヽ ＿＿＿＿(⌒)(⌒)⌒)　)　　(⌒＿(⌒)⌒)⌒))

入試なんておもろいおもろくないでやってるんじゃないんだからさ

>>713の心
x^2-x-1=0の二解をα,βとする。フィボナッチ数
Fn={α^(n+1)-β^(n+1)}/(α-β)に、恒等式
x^(2n)-y^(2n)=(x-y)(x+y)Π[k=1,n-1]{x^2+y^2-2xyCos(kπ/n)}　及び
x^(2n-1)-y^(2n-1)=(x-y)Π[k=1,n-1]{x^2+y^2-2xyCos(2kπ/(2n-1))}
を利用し、半角の公式を用いて整理、偶奇をまとめれば、
Fn=Π[k=1,[n/2]]{1+4Cos^2(kπ/(n+1))}　が導ける

kを正の定数,三角形ABCの重心をGとする.三角形ABCに対して,k=AG^2+BG^2+CG^2 が
成り立つとき,ab+bc+caの最大値を求めよ.ただし,BC=a,CA=b,AB=cとする.

京大っぽいな

>>595が2007/12/25(火) 00:24:59
だから、このスレ年末年始で結構進んだな。
社会人は明日から初仕事だから、ちょっと勢いが鈍るかも。

>>829
おい！MASUDA！ふざけんな！
今回のミスは致命的だろ！
どうやってそこまで数を絞り込むのか必死で考えてた俺に土下座しろ！

数学板全体に社会人が多い証拠に１２時を過ぎると急に投稿が減るし、
スレの種類も違ってくる。それを過ぎるとナンバリングや残滓ageが増えてくる。

社ニ病というやつだろう。
それでも過大評価かもしれんが。

http://dxdy.blog4.fc2.com/blog-entry-15.html

>>848
これは申し訳ないです．あとで2400はやけに少ないなとノート見直したら0が1個足りずでした．

mは立法数(整数の3乗で表される数)でない正の整数とし，p=m^(1/3)とする．以下では必要ならばp,p^2が無理数であることを証明なしに用いてもよい．
(1) a+bp+cp^2=0ならばa=b=c=0であることを示せ．
(2) nを2以上の整数とする．各nについて整数a[n],b[n],c[n]を以下のように定める．
　(-1+p)^n=a[n]+b[n]p+c[n]p^2
このとき，a[n]b[n]c[n]≠0であることを示せ．

>>853　a=p,b=-1,c=0の時にも成立。

>>853追加
(1) a,b,cは整数としてください．

>>
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/ohkawa/ohkawa.htm#4
の様に出来るがな

>>853
p = 2^(1/3) とか具体的な値のほうがそれっぽいと思った。
それだけ。

>>845
中線定理より
AB^2 + AC^2 = 2 * ( (3AG/2)^2 + (BC/2)^2 )
∴ b^2 + c^2 - a^2/2 = 9AG^2/2
同様に c^2 + a^2 - b^2/2 = 9BG^2/2, a^2 + b^2 - c^2/2 = 9CG^2/2
辺々加えて両辺に 2/3 を乗じて a^2 + b^2 + c^2 = 3k
0 ≦ (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = 2(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) より
ab + bc + ca ≦ 3k で等号は a=b=c のときに成立。
ゆえに最大値は 3k

xyz空間上に一辺が4の立方体K、一辺が1の正四面体Tの外接球の中心がそれぞれOにくるよう配置する。
Tに(±1,0,0),(0,±1,0),(0,0,±1)向きの光を順次当て、Kの表面にできるTの影の総和をSとする。
Sの最小値、最大値を求めよ。
ただし、順次Tに光を当てている途中、Tの向きは変えないものとする。

>>847 が当たっていたな。

0≦x≦πにおいて以下の不等式が成り立つことを示せ．
　e^x＞3sinx
ここで，eは自然対数の底2.718…，πは円周率3.141…である．

問題ミスってないだろうな

>>862
パソコンでグラフだしてみたけど間違ってはいなかったよ

>>861
ちょうぎりぎり

π = 3.14 じゃダメなのか？

a,b,cを任意の実数とするとき以下の不等式

　　sin(a)sin(b)sin(c) + cos(a)cos(b)cos(c)≦1

が成り立つことを証明せよ。

原点をOとするxy座標平面において、点PとQはa,bを実数として、
　　P(1+(√2)cos(a) , 1+(√2)sin(a))、Q((3/2)(-1+cos(b)) , (3/2)(1+cos(b)))
であらわされる。また、三角形OPQの重心をGとする。3点O,P,Qが一直線上のときGは、各座標の相加平均であらわされる座標とする。
このとき、以下の問いに答えよ。

(1) Gの軌跡を求めよ。
(2) Gの軌跡に囲まれる領域の面積を求めよ。

>>865
πだと成り立ちません．

e>1だからx>=0のときe^x>=1で
かつsin3x<=1

しかも唯一e^x=1になるx=0のときもsin3x=0である

だからe^x>sin3x

って違うよね…

>>865
失敬，質問の意図を勘違いしてました．
π=3.14でも示せます．

>>866
sin(a)sin(b)sin(c) + cos(a)cos(b)cos(c)
≦ max{± sin(a)sin(b) ± cos(a)cos(b)} （複号任意）
= max{± cos(a ± b)}
≦ 1

>>861
f(x)=e^x-3sinxとするとf'(x)=e^x-3cosx
で、0≦a≦πでf'(a)=0となるaがただ一つ存在して、与範囲でf(x)はx=aのとき最小となる。
よってf(a)>0を示せば良いが、f'(a)=0よりcosa>sinaを示せばよく、これはa<π/4を示すことになる。
この時グラフの形からe^(π/4)>3/√2を示せば良いことがわかる。
ここでx,t>0でe^x≧(ex/t)^tが成り立つことから、x=π/2,t=3/2として
e^(π/2)≧(eπ/3)^(3/2)
>(2.7*3.1/3)^(3/2)
=√(2.79^3)>√(11/4)^3>√(81/4)=9/2
よってe^(π/2)>9/2よりe^(π/4)>3/√2が言えるので問題の不等式も示される。

未解決問題はどれよ？
MASUDA氏も解かれてない問題は惜しまずに解答出して欲しい。

>>873
探せば山ほどあるさ
提唱者のは別だが

いずれ
http://briefcase.yahoo.co.jp/bc/loveinequality/lst?.dir=/b856
に載るんだからさ。
http://www6.atwiki.jp/omoshiro2ch/
見たいに。

>>872
御名答．
実は>>861は99年前期６番が元ネタです．

言わなくてもわかるけどね。

>>877
そんなマニアックなこと知らねーよ

官軍の同志諸君、ならびに賊軍のあほんだれｗに告ぐ：−

御大は、無事、日本に帰られた。飛行機を使われなかったことは確かだ。
ハイテク筏かどうかは不明！

決戦の場は、sci.logic や sci.math だ！！！！

語学力（英語で充分）を磨こう！

目標は、７万語の語彙だ。

"Word Power Made Easy"http://www.amazon.co.jp/s/ref=nb_ss_fb?__mk_ja_JP=%83J%83%5E%83J%83i&url=search-alias%3Denglish-books&field-keywords=Word%81%40Power%81%40Made%81%40Easy&Go.x=17&Go.y=15&Go=Go などを読んでおけ！

尚、同署が読みこなせない者は「試験に出る英単語」から初めよ。完全にますたーするのだ。

恩大は某スレで、こんなことをおっしゃっている：−

Yo(余) ni dekita koto ga sochi-ra ni dekinu wake ga
arouka ! ! ! !

Onaji Mama kutte Doko tugau（違う）！！！！


尚、尚、尚のそのまた尚、「完全にマスターする」の定義だが、眠っている
時に見る夢が英語になった場合を言う。

以上！　　恩大に向かって敬礼！！！！！　　Yes Sir と呼べ！

ある円の円周を2色に塗り分ける．このとき，PQ=QR(≠0)をみたす同じ色の3点P,Q,Rが円周上に必ず存在することを示せ．

>880
円周の5等分点のうち、3つ以上は同じ色である。
あとは P,Q,R をうまく選べぶだけだな。(終)

【選べぶ】永良部ことができるのを示す、の意。

これなら東大入試問題として適当か？

x_1, x_2, ........ , x_n の対称式は、基本対称式の整式として書き表される事を示せ。

>>883　ネタであることを祈る

Sin（A+B）って英語では、Sine A Plus B　といいますよね。

じゃあ、SinA ＋ B　は何て言いますか？？？

Sin（A+B）とSinA＋B　の違いが・・・わからない・・・

>>883
もっと東大の出題傾向調べてから書き込め。

x,yは -π≦x≦π、-π≦y≦π を満たす。このとき、次の不等式を満たす領域の面積を求めよ。
sin(x+y)+sin(x)+sin(y)+1≦0

>>885
sinA+Bだと・・・？

http://www.h5.dion.ne.jp/~terun/


コイツ馬鹿だわまじで

>>861

　exp(x) は下に凸、sin(x)は上に凸だから、 それらに傾きが 3/√2 =a の接線を曳く。
　exp(x) ≧ a*{1 + x-log(a)},　　　… x=log(a) で接する。
　3sin(x)≦ a*(1 + x-π/4),　　　　… x=π/4 で接する。
辺々引いて
　exp(x) - 3sin(x) ≧ a*(π/4 -log(a))
　　= a*{(π/4) -log(3) +(1/2)log(2)}
　　= a*(0.785398 -1.098612 +0.346574)
　　= a*0.0333595…

結局 >872 と同じだ....orz

>>885
Sine A plus B は Sin (A+B)だけど、カッコがどこまでかかるのかが英語だと分からない

Sin(A)＋Bって英語で言いたい時も、Sine A plus B なのか？
っていう事を言いたいんだと思われ・・・

two over n plus two といった場合も、2/n + 2 なのか　2/(n+2)なのか
わかんないといいそうだな・・・

>>883>>884
ネタじゃないよ、マジだよ。
加法定理の証明が出るくらいだからこれくらい出てもおかしくない。
今年出てもおかしくない。
お前出来ないのか？

>>892
最後の一行が余計だったね

多項式Ｐｎ（x）（ｎ＝0、1、2、・・・・・）を、次のように定義する。
　Ｐ0(x)=1
　Ｐn+1(x)=Pn(x)( 1 + 2xPn(x) ) ( n=0,1.2・・・・・)　

（1） Ｐn(x)の１次の係数を求めよ。
（2） Ｐｎ(x)の次数を求めよ

>>891
そもそも三角比と角度（度数法でも弧度法でも可）の四則演算なんて出来るのか？

>>892
高校で扱う基本対称式は3次までと決められていますから，京大で出題されることはあっても東大ではありえない出題です．

>>883
高校生じゃよほどの数学マニアじゃない限り示せない

>>895
弧度法ならおｋ

度数法は・・・無理だろｗ

>>896
そうなのか？昔は受験で証明無しで使った様な記憶があるが

>>899
昔は３次までの制限はなかったかもしれませんが，現行課程では３次までと決められているんです．
東大はカリキュラムには従順ですからはみ出て出題はしないでしょう．

>東大はカリキュラムには従順ですから
東大キライ

つーか高校数学で基本対象式なんてやるのか？
俺は佐武の線型代数学で初めて知ったんだがｗ

正八面体を1つの平面で切断するとき
切り口に七角形以上の多角形は生じないことを証明せよ。

>>903
二本づつ平行な辺があるので8-2=6角形まで

何かおかしな日本語になってしまう

>>902
基本対称式という名前は登場しませんが，数１の数と式，数２の式と証明で学習します．
ベクトルの一次独立という名前が教科書に登場しないのと同じようなものです．

訂正
どの面にも平行な面があるので8-2=6角形まで

>>905
普通に教科書に一次独立ってかいてありますが。
じゃないと係数比較できないじゃん

書いてない教科書もある。
書かなければならないとは決まっていない。
入試問題に1次独立という言葉は出てこない。

MASUDAがツマラン事云うからこのスレが面白くなくなる。
別に旧課程でも旧旧課程でも面白くて難しい問題が提供されれば良いではないか？
京大風とか、昔の私立の奇問・難問でも良い。
MASUDAはこのスレの平均年齢が何歳だと思って居るんだ。
当然ながら全員が高校生でもなければ、全員が塾講師でもない。
MASUDAは問題だけ提供すればよい。但し、良くミスるから、二週間経ったら
解答を書くこと。出来れば出題の背景にある数学理論なども公表して欲しい。
MASUDAもこの板、このスレから有益な情報を得ているのだろう。
お互い様だ。皆が楽しめればよい。自分だけ良い子になるな。
受験生の為のことが書きたかったら受験板に行け。
MASUDAに限らず、コテハンは態度が悪い。
このスレの良い点は、いわゆる２ちゃん用語が少ないことだけだな。

確かに高校の範囲外だ何だとうだうだ言うのはうっとうしいな。
別に範囲外でもいいじゃないか。
でもぶっちゃけ>>883は面白くないけどな。

それなら他にある難問スレみたいなとこへ行けばいいじゃまいか

そうやってすぐに名無しで自己正当化。

x1^2+x2^2+x3^2+...+xn^2=1の条件の下で
x1x2+x2x3+...+xn-1xn+xnx1の最大最小を求めよ

Σ[r=0,n]nCr(-1)^r(2-r)^nを求めよ

>>911
難問ならいいという訳でもないし、第一難問スレと言っても問題専門のスレは
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1106654316/
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1183680000/
位で、後は各専門分野のスレで質問として提出するくらいだろう。

前提知識も、現行課程から旧々々課程の数学全体程度だろう。
問題の難易度も、私の様なオッサンなら、長くとも一週間掛けて解ける程度だろう。
だから二週間回答が付かなければ出題者が解答例を出して欲しいと云っているのだ。
解答が出れば別解も色々思いつくだろうし、
一見に似てもにつかない類題も沢山出来るだろう。

なけりゃ立てればいいじゃん

>>916
俺に云うなよ、お前立てろ

>>913
(x1x2+x2x3+...+xn-1xn+xnx1) - (x1^2+x2^2+x3^2+...+xn^2-1)
= (-1/2){(x1 - x2)^2 + (x2 - x3)^2+ ... + (xn-1 - xn)^2 + (xn - x1)^2} + 1
x_1 = ....... = x_n = 1/√n の時最大値 1

誤答例 ： 回転対称性より、x_1 = ....... = x_n = 1/√n の時最大値 1

所でMASUDAさんに伺いたいが極値を求める時は○○の時、極大値××と書くのが慣習だが、
詳しく書かないと減点なのか？
最大最小の時は××だけで正解（満点）なのか？

>>909
私も面白いならいいと思いますが>>883の方は「東大でも出る」などとおっしゃっておられたので指摘したまでです．
一応受験生も少なからずおられるのでね．

a[n]={(n!)^1/n}/n, n = 1, 2, 3, ... と置くと、
(1) 数列 {an} は狭義単調減少数列であることを示せ。
(2) 極限値を求めよ。

Σ[r=0,2n](2nCr)^3*(-1)^rを求めよ

>>920
死ね

>>919
そこは高校範囲外じゃダメだとアンタには貫き通してほしかったんだが
範囲外だと逆に面白くないだろ　他にもそういうスレはいくらでもあるし
無駄に範囲外を乱発する輩も最近いっぱい出てスレが冷めたからな
ルールがあるからこそ面白い問題になると俺は思う
そのためのスレタイだろ

>>920
このスレで既出

>>923
言いたいことは分からなくもない

大学範囲をだされるとなんか冷める
でもせめて旧課程くらいは認めてもいいんじゃね？

>>915
なら提示しているhttp://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1183680000/にお前が行けばいいだけじゃん
単に居座りたいようにしか見えないが

今確認したところ613に同じ問題がありましたね
すみませんでした

>>927
同じじゃなくてちょっと細かくなっている。証明を見て精密化したのだろう。
だから答えを書いて欲しいと云っている。

>>913
http://www.iis.it-hiroshima.ac.jp/~ohkawa/math/math_problem_all.htm
問題１２５

>>914
http://www.iis.it-hiroshima.ac.jp/~ohkawa/math/math_problem_all.htm
問題１９４

>>920
http://www.iis.it-hiroshima.ac.jp/~ohkawa/math/math_problem_all2.htm
問題２１５

>>921
http://www.iis.it-hiroshima.ac.jp/~ohkawa/math/math_problem_all2.htm
問題２３３ｗ

解答の付いていない問題ばかりだが、入試範囲って保証はあるのかよ。>>921は明らかに範囲を超えた（高校生にとって）超難問だと思うがｗ
答えが知りたいんだったらそのページで聞いたら？ｗ

>>928
？

1,／2,4,／3,6,9,／4,8,12,16,／…
という数列{a[n]}(n=1,2,…)がある．ただし，第k群は初項k，公差k，項数kの等差数列である．
また，正の整数mに対して，f(m)を数列{a[n]}にmが現れる回数とする．
m≦2008かつf(2m)=2f(m)をみたすmの個数を求めよ．

>>931
982個

>>932
不正解です

>>929
http://www.iis.it-hiroshima.ac.jp/~ohkawa/math/math_problem_all.htm#125
と書けよ

>>931
m=2もか orz。983個

>>935
正解です．

日曜のこの時間帯はみんなテレビ見てるんだなぁ

θ=2π/7 として
cosθ＋cos(2θ)＋cos(4θ) = -1/2
sinθ＋sin(2θ)＋sin(4θ) = (√7)/2
を示せ

xについての方程式
　4x^2 - 4x - 1 = 0
の2解をα,βとする．xについての整数係数2次関数f(x)があり，a,bを整数として
　f(x)=x^2-2ax+a^2-2b^2
と表されるとき，適当な整数(m,n)が存在して
　f(mα+nβ)=0
とできることを示せ．

α<βとする。
mα+nβ=(m+n)/2+(m-n)√2/2
であるから、
(m+n)/2=a, (m-n)/2=b
とすれば十分。
すなわち、m=a+b , n=a-bとすればよい。

α＞βだった。

>>938
上の式を A，下の式を B とすると
A * 2sinθ= -sinθ
∴ A = -1/2
B^2 = 3/2 - A/2 = 7/4
sin(2θ) > 0, sin(4θ) = -sin(θ/2), sinθ > sin(θ/2) > 0 より
B > 0 だから B = (√7)/2


>>939
>>941で解かれてるが
α＞βとして α=(1+√2)/2, β=(1-√2)/2
f(x) = 0 を解くと x = a ± |b|√2
m=a+|b|, n=a-|b| とすると m, n は整数で， f(mα+nβ) = f(a + |b|√2) = 0
だから確かに題意を満たすような整数の組 (m, n) が存在した。

なんか面白い背景がありそうだな。

a[1]=3,a[n+1]=Σ[k=1,n]a[k]a[n-k+1]
でa[n]を定める.一般項を求めよ.

1つの内角が120ﾟである三角形で、
各辺が最大公約数1の整数であるような三角形は
無数にあることを示せ。

http://dxdy.blog4.fc2.com/

>>944
アイゼンシュタイン数で互いに素な条件をだして終了

四面体ABCDにおいて，△BCD，△ACD，△ABD，△ABCのそれぞれの重心をP,Q,R,Sとする．
x=AB^2+AC^2+AD^2+BC^2+BD^2+CD^2
y=AP^2+BQ^2+CR^2+DS^2
としてy=4x/9が成り立つことを示せ．

>>947
余弦定理から↑AB･↑AC+↑BC･↑BA+↑CA･↑CB=(AB^2+BC^2+CA^2)/2…�@
このとき
9AP^2=|↑AB+↑AC+↑AD|^2=AB^2+AC^2+AD^2+2(↑AB･↑AC+↑AC･↑AD+↑AD･↑AB)
9BQ^2=BC^2+BD^2+BA^2+2(↑BC･↑BD+↑BD･↑BA+↑BA･↑BC)
9CR^2=CD^2+CA^2+CB^2+2(↑CD･↑CA+↑CA･↑CB+↑CB･↑CD)
9DS^2=DA^2+DB^2+DC^2+2(↑DA･↑DB+↑DB･↑DC+↑DC･↑DA)
を辺々足して�@を使えば9y=4xが示せる。

n,mを正の整数とする．
xy平面上で1≦x≦n，1≦y≦mをみたす領域にあるnm個の格子点の中から4点を選んでできる正方形の個数をa[n,m]個とし，a[n,m]個の正方形の面積の平均をE[n,m]とする．
(1) 極限値lim[n→∞]E[n,n]/n^2を求めよ．
(2) 極限値lim[n→∞]E[n,2n]/E[n,n]を求めよ．

★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十三問
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1199706844/

できたよ新スレ

>>913
nが偶数のとき
　x1x2 + x2x3 + … + xnx1 = (1/2){(x1+x2)^2 + (x2+x3)^2 + … + (xn+x1)^2} - (x1^2 + x2^2 + x3^2 + … + xn^2)
　　 ≧ - (x1^2 + x2^2 + x3^2 + … + xn^2) = -1,
∴　xk = (-1)^k /√n または xk = (-1)^(k-1) /√n のとき最小値 -1.
　最大値は >>918
nが奇数のときは??

>>914
0≦m≦n とする。
　Σ[r=0,n] C[n,r](-1)^r r(r-1)…(r-m+1) = {n!/(n-m)!}Σ[r=m,n] C[n-m,r-m](-1)^r
　　　= (-1)^m {n!/(n-m)!}Σ[r'=0,n-m] C[n-m,r'](-1)^r' = (-1)^m {n!/(n-m)!}(1-1)^(n-m) = (-1)^n n!δ_(m,n),
ところで r^m は r^2 = r(r-1) +r, r^3 = r(r-1)(r-2) +3r(r-1) +r のように r(r-1)…(r-L+1) の和に展開できるから、
　Σ[r=0,n] C[n,r](-1)^r (r^m) = (-1)^n n!δ_(m,n),　　　　　　(0≦m≦n)
∴ n!

>>938
一般にΣ[1≦i≦n]cos(2iπ/(2n+1))=-1/2　
複素数あるいはチェビシェフ（解と係数の関係）からできる。

>>492ってMASUDA氏の問題なんですか？今見たところないのですが。
もしそうなら、ぜひ解答を掲載していただきたい。

これカヴァリエリの原理でも使うのでしょうか。ずっと考えていますがわからない。
たぶん単純計算では出来ない問題なんでしょう。
答えはおそらく、最小値：面に平行に切ったときの正三角形、最大値：正四面体の二つの頂点とそれら２頂点を結ぶ辺の対辺の中点を結ぶ三角形

幾何的に攻める方法
切断面が四角形になる場合のみ
1 四面体の対辺の中点を通る平面はその体積を二等分する
2 正四面体をある平面に射影すると正方形(残り2辺は対角線)になる
3 1,2を合わせて正方形にその切断する平面を射影したとき正方形の面積が1/2になっている
→検討中：正四面体の場合、体積を二等分する平面はその正方形の面積を二等分するか？

4 カヴァリエリの原理を使う場合
http://www.ac-noumea.nc/maths/amc/polyhedr/tetra_.htm
正四面体の対辺に２点をとりその２点を軸にし、その軸に垂直な平面αに射影すると正四面体の切断平面は直線になるが、一方で正四面体は四角形になる。
→検討中：対辺に取った2点がα上では四角形の対角線の交点になる。その交点が通る直線で四角形の面積を二等分すれば、正四面体の体積は二等分されるのか？
たとえ二等分したところで対辺上の2点を動かすと、図形的な考察はほぼ破綻する。（正四面体の射影図形である四角形も変化するから）
注：対辺に取った2点が共に中点の場合、αに射影した正四面体は正方形になる。一般の四面体の場合は平行四辺形

5 計算
比をとってベクトル、メネラウスで計算したが面積を計算するのはほぼ不可能。
二等分する条件
正四面体上の4点が平面にある条件
面積
これらを合わせて大変なことになりました。

訂正
3 1,2を合わせて正方形にその切断する平面を射影したとき、射影した切断面の面積が正方形の面積の1/2になっている

>>952
あの問題はいささかやりすぎたと思い削除した問題なんですが，どなたかが勝手にコピペしていったようです．

私の方針を簡単に説明します．面積を求めて，というやり方は計算量から考えて不可能です．大数が好きなはみ出し削り論法のようなやり方で解きます．

例えば最小の場合．切断面を△PQRとしてPを固定したとき，△PQRが最小となるのはPQ=PRのときであることを幾何的に証明すればいいわけです．
AC上にQがAD上にRがあるとしてPQ=PRの状態からQをC側に近づけた点をQ'，RをA側に近づけた点をR'，Q'R'として
　∠QPR＜∠Q'PR'
　QR＜Q'R'
を示せば△PQR＜△PQ'R'がいえます(角度については詳しい論証が必要)．
次にPQ=PRを保ちつつP,Q,Rを動かして△PQRが最小となるのは正三角形であることを示します．これも正三角形である状態からP,Q,Rを少し動かしてやると面積が大きくなることを言えばいいわけです．