カタラン予想が肯定的に解決

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47132人目の素数さん
171 :132人目の素数さん :2006/01/15(日) 07:50:10
次の問題をよろしくお願いします。
連立方程式
 x - y = 1
 x^y - y^x = 1
解が二組あるようです。

172 :132人目の素数さん :2006/01/15(日) 08:54:26
(2,1) , (1,0)

174 :132人目の素数さん :2006/01/15(日) 09:04:37
>>172
(3,2)もある。ほかあるんかな・・・

さくらスレ184
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1137072072/171-174
48132人目の素数さん:2006/01/15(日) 14:32:59
>47
 x-y=1 みたいな付加条件があったら簡単に解けるyo!

〔補題〕
 x,y,p,q は1より大きい自然数
 x - y = 1
 x^p - y^q = 1
ならば
 x=3, y=2, p=2, q=3.
 (Le Veque(1952), H.B.Yu(1999) )

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元のカタラン予想:

http://mathworld.wolfram.com/CatalansConjecture.html

P.Mihailescu: "Primary Cyclotomic Units and a Proof of Catalan's Conjecture",
J.reine angew.Math., 572, p.167-195 (2004).
4948:2006/01/15(日) 15:16:27
補題の略証 (H.B.Yu,1999)
 x^p - y^q = 1.  …… (*)
 x^p - y^q = (y+1)^p - y^q ≡ py +1. (mod y^2)
 x^p - y^q = x^p - (x-1)^q ≡ (-1)^q・(qx-1). (mod x^2)
 題意より、y|p, x|q, qは奇数ゆえ xも奇数, y=x-1は偶数ゆえ p=2r.
 y^q = x^p -1 = x^(2r) -1 = (x^r-1)(x^r+1).   …… (**)
 2 ≦ GCD(x^r +1, y) = GCD(x^r +1, x-1) ≦ GCD(x^r +1, x^r -1) = 2.
 y = (2^e)w (e≧1,wは奇数)とおくと、GCD(x^r +1, w) = 1.
 x^r +1 = 2^a.  一方、x^r +1 > x^r -1 ≧ x-1 = y ≧ 2 より、a≧2,
 x^r -1 および y は4の倍数でない。e=1.
 これを用いて (**)を 2ベキ因子 と 奇数因子 に分離する。
  2^q = 2^(a+1) =2(x^r +1).
  w^q = (x^r -1)/2.
 これと x^r +1 > x^r -1 より、2^(q-2) > w^q.
 ∴ w=1, y=2, x=y+1=3.
 3^r -1 = 2 より r=1, p=2r=2, q=3 (終)

 数セミ(1999.6)