カタラン予想が肯定的に解決

171 ：１３２人目の素数さん ：2006/01/15(日) 07:50:10
次の問題をよろしくお願いします。
連立方程式
　x - y = 1
　x^y - y^x = 1
解が二組あるようです。

172 ：１３２人目の素数さん ：2006/01/15(日) 08:54:26
(2,1) , (1,0)

174 ：１３２人目の素数さん ：2006/01/15(日) 09:04:37
>>172
(3,2)もある。ほかあるんかな・・・

さくらスレ１８４
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1137072072/171-174

>47
　x-y=1 みたいな付加条件があったら簡単に解けるyo!

〔補題〕
　x,y,p,q は1より大きい自然数
　x - y = 1
　x^p - y^q = 1
ならば
　x=3, y=2, p=2, q=3.
　（Le Veque(1952), H.B.Yu(1999) ）

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元のカタラン予想:

http://mathworld.wolfram.com/CatalansConjecture.html

P.Mihailescu: "Primary Cyclotomic Units and a Proof of Catalan's Conjecture",
J.reine angew.Math., ５７２, p.167-195 (2004).

補題の略証 (H.B.Yu,1999)
　x^p - y^q = 1.　　……　(*)
　x^p - y^q = (y+1)^p - y^q ≡ py +1.　(mod y^2)
　x^p - y^q = x^p - (x-1)^q ≡ (-1)^q･(qx-1).　(mod x^2)
　題意より、y|p, x|q, qは奇数ゆえ xも奇数, y=x-1は偶数ゆえ p=2r.
　y^q = x^p -1 = x^(2r) -1 = (x^r-1)(x^r+1).　　　…… (**)
　2 ≦ GCD(x^r +1, y) = GCD(x^r +1, x-1) ≦ GCD(x^r +1, x^r -1) = 2.
　y = (2^e)w (e≧1,wは奇数)とおくと、GCD(x^r +1, w) = 1.
　x^r +1 = 2^a. 　一方、x^r +1 > x^r -1 ≧ x-1 = y ≧ 2 より、a≧2,
　x^r -1 および y は4の倍数でない。e=1.
　これを用いて (**)を 2ベキ因子 と 奇数因子 に分離する。
　　2^q = 2^(a+1) =2(x^r +1).
　　w^q = (x^r -1)/2.
　これと x^r +1 > x^r -1 より、2^(q-2) > w^q.
　∴ w=1, y=2, x=y+1=3.
　3^r -1 = 2 より r=1, p=2r=2, q=3 (終)

　数セミ(1999.6)