線形代数/線型代数 4
【問題】
x,y,z ∈ R ⇒ x^2 + y^2 + z^2 + 2axy + 2byz + 2czx ≧ 0
が成立するための a,b,c ∈R の満たすべき必要十分条件を求めよ。
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1194120000/406
東大入試作問者スレ１２
x,y,z ∈ R ⇒ x^2 + y^2 + z^2 + 2axy + 2byz + 2czx ≧ 0
が成立するための a,b,c ∈R の満たすべき必要十分条件を求めよ。
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1194120000/406
東大入試作問者スレ１２
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369 ：１３２人目の素数さん：2007/12/16(日) 06:14:01
>368
[1, a, c]
A=[a, 1, b] が半正値。
[c, b, 1]
∴ 固有値がすべて 非負。
∴ |xI-A| = (x-1)^3 -(a^2+b^2+c^2)(x-1) -2abc = x^3 -3x^2 +(3-a^2-b^2-c^2)x +(-1 +a^2 +b^2 +c^2 -2abc),
の根がすべて非負。
∴ a^2 +b^2 +c^2 ≦ min(3,1+2abc) = 1 + 2*min(1,abc),
[1, a, c]
A=[a, 1, b] が半正値。
[c, b, 1]
∴ 固有値がすべて 非負。
∴ |xI-A| = (x-1)^3 -(a^2+b^2+c^2)(x-1) -2abc = x^3 -3x^2 +(3-a^2-b^2-c^2)x +(-1 +a^2 +b^2 +c^2 -2abc),
の根がすべて非負。
∴ a^2 +b^2 +c^2 ≦ min(3,1+2abc) = 1 + 2*min(1,abc),