☆★初等幾何スレッド★☆

パズルチックな初等幾何の良問を解きあおう。
まずはあいさつ程度に（自作）

△ABCにおいて，AB=6，BC=7，CA=8とする。
Aの外角の二等分線と直線BCとの交点をMとするとき，AMの長さはいくらか。

正三角形ABC内に点PがあってAP=3,BP=4,CP=5となる時、ABCの面積はいくつ？

とかか

π という文字は、周辺・地域・円周などを意味するギリシア語 περιφε´ρεια の頭文字であり、オートレッド（1647年）や
バーローによって円周を表す記号として用いられ、ジョーンズ（1706年）やオイラー（1748年）などによって、円周率の記号として用いられた。



お前は密室殺人でも解決してろバーローｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ

Aの内角の2等分線とBCの交点をNとしてAN=dとすれば
(6^2-3^2+d^2)/2*6*d=(8^2-4^2+d^2)/2*8*dよりd=6
NAMが直角でMB=7*6/(8-6)=21よりAM=√(24^2+6^2)=6√15

まんぼっ！

四角形ABCDは以下の条件をみたす。
（１）AD=BC=10
（２）∠C=15ﾟ、∠B=110ﾟ
（３）辺CDをD側に延長すると、辺ABと点Mで交わり、点Mは辺ABの中点である。

このとき、四角形ABCDの面積を求めよ。

↑∠P=∠Q=15゜、∠R=150゜、PR=QR=10の三角形とたぶん面積同じ

25

初等幾何は図がないことには冴えないな

図、図、図・・・・

ただし図は正確とは限らない。

平面XとX上にはない点A,B,Cがある
直線AB,BC,CAは3つともXと交わり、その交点をD,E,Fとする
この時D,E,Fは同一直線上にある事を証明せよ

>>11
D,E,Fは平面X上にもABCが定める平面上にもある。
XとABCが平行でないので、D,E,Fはこの二つの平面の交線上にある。

９点円定理は凄い。ホントに９点以上はないのか？

おいらーせん

クラブの出し物で、学園祭に来たうちの高校を志望する
中３生向けに挑戦問題を出すことになったんですが・・出すなら幾何だろうと思い
実験的に作ってみたんですが、どんなものか判定していただけませんか？
易しすぎるとか難しすぎるとか駄問だとか良問だとか。
うちの高校は、例年東大京大40人くらいと地元地帝60人くらいのレベルです。
中学生対象なので、三角比などはなるべく使わないでください。時間は無制限・・にするつもりです。

△ABCにおいて、AB=5、BC=6、CA=7である。
１．△ABCの面積を求めよ。
２．AB、ACをそれぞれ1辺とする正方形MNBA、正方形ACQPを
△ABCと重ならないように描く。このとき、MPの長さを求めよ。

↑一行目は「（学園祭の）クラブの出し物で」ってことです。

>>15
我が母校、岡校程度のレベルかな
そんなつまらん出し物を考えた奴をとりあえず
しばいたほうがいいように思う

一応こっちが用意した解答書きます。

１．
AからBCに下した垂線の足をHとし、BH=xとおくと、三平方の定理より
25-x^2=49-（6-x）^2　これより　x=1
よってBH=√（25-1）=2√6
だから△ABC=6*2√6*1/2=6√6

【ポイント】
BからACに垂線を下しても同じようにできるが、CからBCに垂線を下してはいけない。
垂線が辺と交わらない可能性があるからである。
もちろん、それを見据えて場合分けして解けるなら問題ない。

２．
題意より、∠BAC+∠MAP=180ﾟ、AB=AM、AC=APであるから
Aを軸に、APとACが重なるまで△MAPを回転すると、△MCB（△MPB）ができ、Aは辺MBの中点である。
よって、△ABCと△AMPの面積は等しい。すなわち１より△AMP=6√6
∠MAPは鈍角であるから、PからMAに下ろした垂線の足をKとすると
Kは直線MA上の、Aより右側の位置にある。△MAPの面積について
5*PK*1/2=6√6　よって　PK=12√6/5
△APKに三平方の定理よりAK=√{7^2-（12√6/5）^2}=19/5
MK=MA+AK=5+19/5=44/5
△MPKに同様に
MP=√{（44/5）^2+(12√6/5）^2}=4√7

【ポイント】
・2つの三角形の面積が等しいことに気づけるか。
・煩雑な計算に耐えうる計算力があるか。
（ただ√{（44/5）^2+(12√6/5）^2}=4/5*√（11^2+3^2*6）など工夫の余地は結構ある）

直線a上にBがAとCの間にきてAB≠BCとなるように点A,B,Cを取る。
更に点Bを通りa≠bとなるように直線bを取り、b上に点X,YをYがBとXの間に来るように取る。
直線CYとAXの交点をD、直線AYとCXの交点をE、直線DEとaの交点をZとする。

点Zは直線bと点X,Yの取り方によらない事を示せ。

チェバとメネラウスで一瞬。
AZ:ZC=AB:BCになる。

つまらん。

11は京大の問題じゃん。問題自体は面白いが、そんなのをここで言う香具師は氏ね。

円Ｏ外の点Ｐからこの円に引いた２本の接線の接点をそれぞれＡ、Ｂとする。優弧ＡＢ上に２点Ｃ、Ｄを取り、ＡＣとＢＤの交点をＱ、ＡＤとＢＣの交点をＲとする。
このとき、３点Ｐ、Ｑ、Ｒは一直線上にあることを証明せよ。

初等幾何マニアはいないのか〜？

age

>>22
を解いてくれ。kingよ。

talk:>>25 ベクトルで表示してみるか？

おいおいそれでもKingかよ。
ベクトル表示はないだろ…。

あぼーん

>>26
で、ベクトル表示して解けたの？

talk:>>27,>>29 大変だが、内積も使えばできるはずだ。

OA=OBの二等辺三角形OABがあり、底辺ABの中点をMとする。
辺AB上で、MよりA側に、点Pをとり、
辺OA上に∠OPM=∠QPAとなるように点Qをとる。
辺AB上で、MよりB側に、点Rをとり、
辺OB上に∠ORM=∠SRBとなるように点Sをとる。
PQとBOの交点をX、RSとAOの交点をYとすると
AQ：QY=BS：SXを示せ。

♯初等幾何のいいところは自作問題が比較的簡単に作れる事かなぁ…せいみや氏も同じ様な事言ってるけど。
♯このスレが不等式スレみたいにハァハァでいっぱいになりますように。

簡単すぎか？

△ABCの辺BCの中点をD，∠Aの二等分線と辺BCの交点をEとする。
AB＞CAで，△ADEの外接円と辺CA，ABとはそれぞれAと異なる交点F,Gをもつ。
このときBG=CFであることを証明せよ。

問題投下
△ABC の内部に点 P をとり，
AP と BC の交点を X ,
BP と CA の交点を Y ,
CP と AB の交点を Z とすると
P は △XYZ の重心になった．
P は △ABC の重心であることを示せ．

>>22解けたんだけど、kingのベクトルによる解法を待ってからの方がいいのかな？

初頭幾何語るならまず清宮としお先生の本を読破して次に洋書の初等幾何本に手をつけることだね
っていうか初等幾何ってやってもやっても得意にならない・・・

>>34
kingによるベクトル解法は，とっておきのお楽しみにとっておいて，まずは>>34の解法を紹介してみては？

>>36
賛成。
>>34 お願いします。

>>31
AM=BM=1,PM=a,RM=bとおく。
OM,XP,YRは一点で交わる。
あとはメネラウス連発で計算すると
AQ/QY=(1-a)(1-b)/{2(a+b)}
これはa,bに関して対称だから、BS/SXも同じ値になる。

メネラウス連発で計算、ってあたりが美しくないなぁ。

>>32
方べき＋角の二等分線の性質で一発。簡単。

>>33
YZとAXとの交点をSとおく。
BX:XC=s:t,AP:PX=u:vとおくと、またもやメネラウス連発で計算して
YS:SZ=(s+t)v+tu:(s+t)v+suとなる。
これが1:1になるのはs=tのときに限る。
このことから題意は従う。

>>40さんへ。>>33の別解。邪道だがベクトル解法のほうが自然に思える。

△ABC の内部に点 P をとり，
AP と BC の交点を X ,
BP と CA の交点を Y ,
CP と AB の交点を Z とすると
P は △XYZ の重心になった．
P は △ABC の重心であることを示せ．

Pは△XYZの重心だから
　　↑PX+↑PY+↑PZ=↑0.
そして↑PX, ↑PY, ↑PZ は実数a,b,cを用いて
　　↑PX=a↑PA, ↑PY=b↑PB, ↑PZ=c↑PC
と表せる.したがって次の３つの等式が成り立つ.
　　↑PX+b↑PB+c↑PC=↑0,
　　a↑PA+↑PY+c↑PC=↑0,
　　a↑PA+b↑PB+↑PZ=↑0.
ここで３点X,B,C は一直線上にあるから最初の等式により
　　1+b+c=0
同様にして２番目,３番目の等式から
　　a+1+c=0,
　　a+b+1=0.
これらを連立させてa,b,cを求めると
　　a=b=c=-1/2.
よって
　　↑PA+↑PB+↑PC=(-1/2)(↑PX+↑PY+↑PZ)=↑0
となるから, Pは△ABCの重心である.

すまん.最後の式は
　　↑PA+↑PB+↑PC=(-2)(↑PX+↑PY+↑PZ)=↑0
と訂正する.

2006数学オリンピックの問題１

三角形ABCの内心をIとする。
この三角形の内部の点Pが「∠PBA＋∠PCA＝∠PBC＋∠PCB」を満たすとき、
AP＞＝AIであることを示せ。
また等号はP=Iに限ることを示せ。

>>41
たしかに。こういうのはベクトルが自然だね。
ちなみにおれの中での「初等幾何の良い問題」の条件の一つは、
「ベクトル、複素数平面の計算では示せないこと」

>>43
今月号の大数に載ってる。簡単。

三角形のそれぞれの内角の三等分線のうち
辺に近いものどうしの交点は、１つの正三角形をつくることを示せ。

↑漏れの定理

>>46-47
http://iijima.auemath.aichi-edu.ac.jp/asp/gc/html.asp?00000478
http://www.zusaku.com/ani_FrankMorley.gif
http://www13.plala.or.jp/Archer/mathematics/morley/morley1.html

ここは質問していいのかが分かりませんが、ちょっと困っているのでお願いします。
線分AB,CDがありそこに接する円の半径が決定しています。
AB,CDと円が接点の座標と、円の中心座標を求める方法をできるだけ
プログラムで計算しやすい式で教えていただければ助かります。

132です。
ちょっと間違えました。

ここは質問していいのかが分かりませんが、ちょっと困っているのでお願いします。
線分AB,BCがありそこに接する円の半径が決定しています。
AB,BCと円が接点の座標と、円の中心座標を求める方法をできるだけ
プログラムで計算しやすい式で教えていただければ助かります。

プログラムで計算しやすいってどゆこと？
A,B,Cの座標と円の半径で円の中心の座標を表示すればいいの？

AB,BCと円が接する点と円の中心座標か必要です。
プログラムで計算しやすいっていうのは、たとえば
AB,BCを通る直線両方に接する円は最大4つあるわけで
どの円を選ぶかを計算結果で判断できるようにしたい
と思っています。

717

〔問題〕
BC=a, CA=b, AB=c とするとき、△ABCの
　重心 G
　内心 I
　傍心 Ia,Ib,Ic
　外心 O
　垂心 H
　外接3角形の重心 (de Longchamp点) L
　Gergonne点 Go
　9点円の中心 K
について、
それを ΛA↑ + μB↑ + νC↑ と表わしたときの係数 Λ,μ,ν を求めよ.

　HK:KG:GO:OL=3:1:2:6 (ｵｲﾗｰ線)
　Go-I-L も1直線上

>54
係数のみ示す。
　重心 G:　(1/3, 1/3, 1/3)
　内心 I:　(a/(a+b+c), b/(a+b+c), c/(a+b+c))
　傍心 Ia:　(-a/(-a+b+c), b/(-a+b+c), c/(-a+b+c))
　　　 Ib:　(a/(a-b+c), -b/(a-b+c), c/(a-b+c))
　　　 Ic:　(a/(a+b-c), b/(a+b-c), -c/(a+b-c))
　外心 O :　(L･sin(2A), L･sin(2B), L･sin(2C))　　　　L=(R^2)/(2S).
　　　　 = ((1/2)[1 -1/{tan(B)tan(C)}], (1/2)[1 -1/{tan(C)tan(A)}], (1/2)[1 -1/{tan(A)tan(B)}] ).
　垂心 H :　(1/{tan(B)tan(C)}, 1/{tan(C)tan(A)}, 1/{tan(A)tan(B)})
　　　　 = (h･tan(A), h･tan(B), h･tan(C)),　　　　　　h=1/{tan(A)tan(B)tan(C)}.
　外接3角形の重心 L :　(1-2/{tan(B)tan(C)}, 1-2/{tan(C)tan(A)}, 1-2/{tan(A)tan(B)} ).
　Gergonne点 Go:　( g･tan(A/2), g･tan(B/2), g･tan(C/2)),　　　g=4S/{2bc+2ca+2ab-a^2-b^2-c-2).
　　　　　　= (2rg/(-a+b+c), 2rg/(a-b+c), 2rg/(a+b-c)),　　　　r=2S/(a+b+c).
　9点円の中心K:　((1/4)[1 +1/{tan(B)tan(C)}], ((1/4)[1 +1/{tan(C)tan(A)}], ((1/4)[1 +1/{tan(A)tan(B)}] )

>54 (追加)

内心 I: (k･sin(A), k･sin(B ), k･sin(C)),　　k=Rr/S,　r=2S/(a+b+c),　R=abc/4S.

　λ + μ + ν = 1.

>54

http://mathworld.wolfram.com/BarycentricCoordinates.html

http://mathworld.wolfram.com/EulerLine.html
http://mathworld.wolfram.com/NagelLine.html
http://mathworld.wolfram.com/GergonneLine.html
http://mathworld.wolfram.com/SoddyLine.html

327 ： ◆BUBuBUIBS. ：2006/10/23(月) 03:03:00

　平面α上に正三角形ABCがある。
　また平面α上にない点Oをとる。このとき
　AO + BO > CO をしめせ。

http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1148569109/327
東大入試作問者スレ７

>58

333 ：１３２人目の素数さん ：2006/10/24(火) 21:18:56

ABCは正三角形だから、
　BC･AO + CA･BO > AB･CO.
を示せば十分。（トレミーの不等式の3D版）

直線ABのまわりの回転により、点Oを平面α上（ABに関してCと反対側）の点O' に下ろすと、
　AO'=AO, BO'=BO, CO'>CO.
平面α上の4角形BCAO'にトレミーの不等式(2D)を適用する。
　BC･AO' + CA･BO' ≧ AB･CO'.
等号成立は BCAO'が同一円周上にあるとき。(終)

http://mathworld.wolfram.com/PtolemyInequality.html
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1148569109/333
東大入試作問者スレ７

〔トレミーの不等式(2D)〕
　　　AB･CD + AD･BC ≧ AC･BD.

(略証1)
　ABCDは凸4角形とする(*)。
　まず点Eを ∠BAE=∠CAD, ∠ABE=∠ACD となるようにとれば
　△ABE ∝ △ACD となるから, AB/BE = AC/CD, すなわち
　　　AB･CD = AC･BE.　　…… (3)
　また、AD/AE = AC/AB, ∠DAE = ∠CAB であるから, △ADE ∝ △ACB, よって
　AD/ED = AC/BC, すなわち
　　　AD･BC = AC･ED.　　…… (4)
　こうして得られた (3) と (4) を辺々加えれば
　　　AB･CD + AD･BC = AC･(BE+ED) ≧ AC･BD.
　ここで等号が成り立つのは, 点Eが対角線BD上にある場合である。
　ところがその場合には ∠ABD = ∠ACD となるから4角形ABCDは円に内接することがわかる。

(*)　点Dが△ABCの内部にあるとき: 点Dを直線ACのまわりの180ﾟ回転により、(ACに関してBと反対側の)点D'に移す。
　　ABCD'は凸4角形で、AD'=AD, BD'>BD, CD'=CD.

矢野健太郎: ｢幾何のおもしろい定理｣ 数学ﾜﾝﾎﾟｲﾝﾄ双書36, 共立出版 (1981) p.47-48

〔トレミーの不等式(2D)〕
　　　AB･CD + AD･BC ≧ AC･BD.

(略証2)
　複素数平面を考え、頂点 A,B,C,D に対応する複素数を a,b,c,d とする。
　　(b-a)(d-c) + (d-a)(c-b) = (c-a)(d-b).
　という恒等式が成り立つので、各項の絶対値をとる.(終)

｢数学100の定理｣ 数ｾﾐ増刊 (1983.10) p.16
　栗田 稔: ｢ﾄﾚﾐｰの定理｣

ある大学のオープンキャンパスで、講師らしき人に
「幾何が好きなのかー、でも大学入るとー、幾何も代数も区別なくなっちゃうからー」と言われました。
この発言をどう思われますか。

同意する

普通にその通りだと思うが

６２です。幾何は幾何、代数は代数で、一緒になるはずないと自分は思うんですが・・
幾何やってる人は幾何が最高級の数学だと考えていて
幾何に対するプライドとか、あるってききました。
代数と一緒にするなーみたいな。ないですか？

>>65
今何年？

>>66
高３です。

微分幾何やトポロジーやってる連中の本音は、
幾何は易しい、泥臭い、レベル低い、だよ
実際その通りなんだろう

>>67
ならまあわかんないのも無理はないか
心配しなくても大学行って数学の勉強が順調に進めば分かるときが来るよ

>>68
俺の知り合いの何人かは本当は代数やりたいけど自分じゃ力不足と分かってて
幾何行ったって言ってた，逆は見たことがない

なにーそうなのか・・自分は純粋な幾何がしたかったので残念です。
まあそれでも自分の考えは変わらんですが

純粋な幾何ってアンタは数ｦﾀの星清宮先生にでもなるつもりか？

>>70
多分おまいの言ってる幾何ってのは補助線引いたりなんやかんやの幾何
なんだろう？

>>71
だーれ

>>72
まあそうですね。古典的な幾何の証明とか。

http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/478531107X

清宮俊雄先生。
もう、かなりいい年だと思ったんだが。初等幾何の色々な問題を数学セミナーに出題したりしている。
初等幾何の問題としては、かなりむずかしめの問題を出す。


で、御大先生が今、いくつかご存知の方いらっしゃいます？

>>73
やっぱりな
大学でそんなことやってるところはほとんどないよ

清宮先生に弟子入りする方がよっぽど話が早い

>>74
そういう本死ぬほど読みたいんですが、なんせ受験が邪魔で
大学入ったら一日中幾何の問題を解きまくれるんだろうなー夢のようだ。

>>75
まあ趣味でもいいんですけど、ちゃんと教えてくれる人はほしいですね。

>>76
お前は大学を誤解している。

>>74
失礼な話かも知れないので、あんま言いたくはないが
既に90は過ぎてるような気がする……

>>77
趣味ならいいかな，楽しめるしね
多分同好の人は見つかると思うので（見つかりやすさは大学にもよると思うが）
自主ゼミやるのがいいよ

そっちにばかり気を取られて英語の単位が・・・ってことにならんように
気をつけないといかんけど

すごいな
初等幾何は長生きの秘訣
アダマールも初等幾何が好きだったらしい
老後にやれよ

＞既に90は過ぎてるような気がする……
まじ？

確かに老後のボケ防止にはいいような

ttp://www.nippyo.co.jp/maga_susemi/ss0204.htm
ttp://www.nippyo.co.jp/maga_susemi/anniversary/seimiya-t.htm

高三の受験期は別としても、それ以外の
高校の時期に一日中幾何の問題を解きまくれなかった奴は
大学に入ってもそんな暇は出来ないよ。

清宮 俊雄
1910年生まれ。
1934年東京大学数学科卒業。現在、東京学芸大学名誉教授

ぐおおおお92歳！

大先生だ・・・

>>85
96だろ

！？
96か？

もうすぐ100歳？

>>86
下の方のリンク先見て勝手に騒いでしまった
ｽﾏﾝｶｯﾀ

まだ、元気なのかな？
数ヲタとしては、一度お会いしたいんだが。

〔清宮の定理〕
　3角形ABCの外接円周上の A,B,C と異なる2点を P,Q とし,点Pの 3辺BC,CA,AB に関する対称点をそれぞれ U,V,W とする。
　また, QU,QV,QW と 辺BC,CA,ABまたはその延長 との交点をそれぞれ D,E,F とする。
　このとき, 3点D,E,F は一直線上にある。

　(清宮氏はこの定理を氏が16歳のときに発見したという.
　シムソンの定理の一拡張であり、類似物にターナーの定理がある.)

清宮氏はある種の天才だよね
ものは初等幾何でも、若くして数学的に完成してる

〔シムソンの定理〕
　3角形ABCの外接円周上の任意の点を P とする。
　また, Pから3辺BC,CA,ABまたはその延長へ下した垂線の足をそれぞれ D,E,F とする。
　このとき, 3点D,E,F は一直線上にある。これを△ABCの点Pに関するシムソン線という。

〔ターナーの定理〕
　3角形ABCの外接円に関して互いに「反点」である2点を P,Q とし,点Pの 3辺BC,CA,AB に関する対称点をそれぞれ U,V,W とする。
　また, QU,QV,QW と 辺BC,CA,ABまたはその延長 との交点をそれぞれ D,E,F とする。
　このとき, 3点D,E,F は一直線上にある。

証明は↓
　矢野健太郎: ｢幾何の有名な定理｣,共立出版 (1981) 6章,8章

>92

〔反点〕
　Oを中心, rを半径とする円をCとする。
　Oから延びる半直線上に2点P,Qがあって OP･OQ=r^2 が成り立つとき、
　点PとQは 円Cに関して互いに反点である, という。

age

1組の対辺の長さが等しく，1組の対角の大きさが等しい四角形は
平行四辺形であるか
ないならば反例を挙げよ

ひし形？

>>95
正しいと思う
ひし形も平行四辺形に入るし

>>95
正しそう

>>95
間違ってる
四角形ABCDでAB=2、BC=5、CA=4、AD=5、sin∠A=4/5、cos∠A=3/5、sin∠C=4/5、cos∠C=3/5
辺CD上に点Eを取ると、△BDEが二等辺三角形になるような四角形ABCD

99訂正
×　辺CD上に点Eを取ると、
○　辺CD上に、CE=2となる点Eを取ると、

スレの流れと関係ないのだが、
なぜ初等幾何って嫌われるんだろうね。

確かに思いつきだけの学問って感じがするけどな。

初等幾何の長所・短所ってなんだと思う？

長所・数学的思考能力を養える。単純なのでいろいろ自分で考える余地がある。暇がつぶせる
短所・図を描くのがめんどいことがある。現代数学に結びつかない

他の分野と繋がりが薄いことが、敬遠される一因だろうね

別に嫌われてるわけでもないだろうけど

あと、古すぎて、研究する分野が残ってない？

>>104
そう？
円の詰め込み問題とか未解決では？

初等幾何じゃねーｗ

そうなん？　分からんから、>>104の最後に？をつけておいたんだが。
言われてみると、未解決問題は確かに残ってるような……でも、それって初等幾何的なアプローチをするのか？

>>106
そうなの？
まぁ、ﾓｰﾘｰの定理とか、角の三等分関係には
未解決問題がいっぱいあった気がするけど。

>>108
モーレーの定理は解決済みだが

>>108
ﾓｰﾘｰは解決済みでも、
20世紀近くまで初等幾何に埋もれてた問題があったってこと。
確か、その付近に未解決問題があった気がする。

埋もれてた問題があるのと未解決問題があるのは別だからね

初等幾何は思いつきって言うより、とても理詰めの学問って印象なんだけどな
組合せとか整数論のほうが思いつきな気がする

初等幾何で証明できないけど解析幾何で証明できる定理
またはその逆ってあるのかな？

そんなもんないんじゃないか？

三角関数と座標の発見で、初等幾何は学問としては死んだ

18世紀頃までは
「幾何は厳密な理論体系。代数は基礎がはっきりとしていない虚学。代数は幾何によって基礎づけられるべき」
だったのにな。
今じゃ完全に立場は逆転してしまった。

まあ初等幾何と現代の微分幾何だとか位相幾何だとかは
ほとんど別の学問だしね

昔の代数学と今の代数学もかなり違うし

>>113
数理論理学的にきちんと考えると面白いかもしれない。
もしかしたら既知かもしれないが。

なんかaxiomatic projective geometryとかそういう本はあるね
初等幾何も公理的取り扱いは昔から為されているけど、

「解析幾何」はかなり大雑把な言葉だから数理論理学的に
「解析幾何で証明できる定理」の内容をきちんと定められるわけではないような気がする

ということは、「初等幾何」みたいなクラスから
証明できる問題の集合を得るようなことは
すでに考えられているの？

初等幾何で証明できる定理のクラスは
「実数論」の定理のサブセットであると見做せる、ということは
はるか昔にHilbertが述べているよ

まあ「実数論」はきちんと定式化されていなかったけど

理論のレベルによって証明できる問題は決まってくるのかよorz
てっきり俺は初等幾何でリーマン予想やP=NPを解決できるものだとばっかり

まあそういうこと考えるのはRiemann予想とか
P=?NP予想を初等幾何の言葉に書き直してからにしてね

>>105
敢えて言うなら組み合わせ幾何とか、そんな名前の分野かな

>>122
俺ができたらやってるさｗ
けど、問題の帰着さえできれば
どの理論でも証明できると考えるのは自然じゃないの？

>>124
そんなことはないと思う。
第二不完全性定理があるから。

>>125
それって突き詰めたら、数学はおろか、
どんな理論でも証明不可能ってことになるから
今考えてる問題とは関係なくね？

>>125
「数学で証明できない」と、「ある理論では証明できない」は分けて考えるべき

124は自然ではあると思うよ。

「証明できる」じゃなくて「解決できる」ならこれまたやはりHilbertが
どっかで述べていたこととそっくり。

どうやら話がかみ合ってないようで。

確認したいんだけど、何度か出てきてる「理論」って公理系によって規定される命題の集合の意味で使ってる？

>>129
集合じゃなくて要素かもね

128=122=120=118で118以降の他のレスは私のレスじゃないんで。
124がどういう意味で「理論」と言う言葉を使ってるかは知らない。

【出題】
△ABCにおいて、各辺を底辺とする三つの正三角形を（△ABCの外部に）描く。
三つの正三角形の重心を結んでできる三角形は、やはり正三角形であることを示せ

複素数使ってゴリゴリ計算するのが一番簡単ですね

簡単ですけど、鮮やかな補助線を見つけて解いてくれろ

ΔABCの外側に作った各辺を底辺とする正三角形を
ΔABC'、ΔAB'C、ΔA'BCとし、それぞれの重心をC''、B''、A''とする。
ΔAC''B''∝ΔABB'が言えるのでC''B''=(1/√3)BB'
　同様にΔBA''C''∝ΔBCC'が言えるのでC''A''=(1/√3)CC'
ΔABB'≡ΔAC'CよりBB'=C'C
以上よりC''B''=C''A''

初等幾何でも簡単に解けるんだ。初めて知りました。

正の実数p,q,rはpqr=p+q+rを満たす定数とする。
△ABCの辺BC,CA,ABの長さを順にa,b,cとし、
△ABCの面積をSとしたとき
(a^2)/p+(b^2)/q+(c^2)/r≧4S
を示せ。また等号が成立するときの△ABCの形とp,q,rの関係は？

age

質問です。
方冪の定理ってどんな成り行きで作られたものなのですか？

例えば、円周角の定理とか、円の内接四角形の角度に関する関係から
相似な三角形が作られて、その相似比から方冪の定理が考えられたとかですか？

初等幾何の問題をたくさん解いて血中の糖分を消費しないと

∠A=90ﾟの直角三角形ABCの辺AB上に点Pを、辺AC上に点D,E,Fを、A,D,E,F,Cがこの順に並び∠ABD=10ﾟ、∠DBF=30ﾟ、∠EBC=40ﾟ、∠ACP=10ﾟとなるようにとる。
このとき、以下のそれぞれの場合について∠APD、∠DPE、∠EPF、∠FPCをすべて求めよ。
(1)∠EBF=20ﾟ
(2)∠EBF=10ﾟ

>>90,92

〔佐々木の定理〕
　3角形ABCの外接円周上の相異なる2点を P,Q とする。
　点Pから3辺BC,CA,AB（またはその延長）に向かって（同じ側に）角θで交わる3直線PR,PS,PTを曳き、その交点を R,S,T とする。
　点Pを中心として R,S,T を (1+k)倍したものを U,V,W とする。
　また, QU, QV, QW と 辺BC,CA,AB（またはその延長）との交点をそれぞれ D,E,F とする。
　このとき, 3点D,E,F は一直線上にある。

　θ=90ﾟ,　k=0　…　シムソンの定理
　θ=90ﾟ,　k=1　…　清宮の定理
　θ≠90ﾟ, k=0　…　カルノーの定理

数セミ，４６(3), p.50-51 (2007.3)
http://www.geocities.co.jp/Playtown-Dice/5061/sansu/theorem/theorem_index.htm

age

宿題明日提出なんですが全くわかりません おしえてください・・・。図は http://r.pic.to/9rrn4にあります
だれかおしえてくれるかたいます？

ぴくとなのでいません。

どういういみでしょうか

一番左から 問題文です。
右図のようにAB=2AD=3の長方形の内部に大小二つの円が内接してます小さい円の半径は？という問題です

ぴくとなのでスルー

図のは駄目なんでしょうか？

すみませんでした、 他で聞きます

ピクトはPCで見られない場合がほとんど
だから端から見ないし回答しないということを質問者は覚えておくように

私携帯だったんで・・すみません

覚えときます

PCも万能じゃないんだ

ブックガイド（清宮以外の本）１

「わかる幾何学」（秋山）
日本人初のノーベル賞受賞者、湯川秀樹が旧制中学のとき読んだ本で一番面白かったと言っていた本。
日本人初のフィールズ賞受賞者、小平邦彦も著書「幾何への誘い」の中で数ページにわたって引用している。
初版は大正時代だが現在も版を重ねている。
公理系はユークリッド原論と似たようなもの。
「そんなことは哲学の先生にまかせておけばいい」とか「次の定義は覚えなくてもいい」とか
独特の語り口で、かなり初等的なところから平面幾何全般について分かりやすく解説。

>133
　複素数使って計算すると…　
　A(α), B(β), C(γ) とすると、
　A" = (β+γ)/2 + {(γ-β)/(2√3)}ｉ = {βexp(-πi/6) + γexp(πi/6)}/√3,
　B" = (γ+α)/2 + {(α-γ)/(2√3)}ｉ = {γexp(-πi/6) + αexp(πi/6)}/√3,
　C" = (α+β)/2 + {(β-α)/(2√3)}ｉ = {αexp(-πi/6) + βexp(πi/6)}/√3,

　C"A" = {|α|^2 + |β|^2 + |γ|^2 +2Re[αβ~exp(πi/3)) +2Re[βγ~exp(πi/3)] +2Re[γα~exp(πi/3)]}/3,

もう ゴリゴリ.

ふーん

初等幾何についてネットで議論することは
結構キツいですよね。そういう意味で、
今までの皆さんに拍手！

∠A＝90°の直角三角形ABCにおいて，その内接円と辺BCの接点をT，∠Bの二等分線と辺ACの交点をD，∠Cの二等分線と辺ABの交点をEとしたとき，点T，D，Eのみからもとの直角三角形をコンパスと定規を使って作図することは可能か？

可能
線分DEの中点Mを取り、点Tを通り線分MTに垂直な直線をlとする。
点D,Eから直線lにおろした垂線の足を順にP,Qとして
点Dを中心として半径がDPである円と点Eを中心として半径がEQである円の交点が点A。
直線AEと直線lの交点が点B、直線ADと直線lの交点が点Cとなる。
よってもとの直角三角形ABCは作図可能。

218

619

現在の学校数学は疑問
暗記主体で論理的構成の重要性が強調されてない。
初等幾何もおなじだ

>>22　RAとQEが平行になるようにPA上にEをとる。さらにRBとQFが平行になるようにPB上にFをとる。QE/RA=QF/RBが成立すればP、Q、Rは一直線に並ぶ。△EAQ∽△CDA さらに、△FBQ∽△DCB さらに円に関する方べきQC*QA=QD*QB　　および DR*RA=CR*RBを使えば題意は示せます。

∠XOY内に定点Cがある。Cを通る任意の直線lとOXとの交点をA、OYとの交点をBとする。△AOBの面積を最小にするにはlを、どのように引けばよいか。　　(有名問題です)

古いのかもしれんが
幾何学入門 コクセターを読んでいる人はいる？
話相手がいないので、ちと悲しい・・・

�僊BC、その内部の点Dは∠DBA＝３０°、∠DBC＝４２°、∠DCA＝１８°
、∠DCA＝５４°を満たしている。
このとき∠BADの大きさを求めよ。

中学生の数学オリンピック問題なのですが解けません。
�僊BCが黄金率の二等辺三角形であるのを利用して
正五角形を描きそこからが導けません。
どなたか教えてください。

>>166
∠DCAは何度なのさ

>>167
記述の通り１８°となります。

失礼しました。
∠DCB＝54°でした。

再度修正して書き直しました。

�僊BC、その内部の点Dは∠DBA＝３０°、∠DBC＝４２°、
∠DCA＝１８°、∠DCB＝５４°を満たしている。
このとき∠BADの大きさを求めよ。

です。

>>170
ABCを頂点にもつ正五角形APBCQをつくれば△APDは正三角形

>>171
ありがとうございます。
�僊PDがなぜ正三角形となるのか教えてください。

高数３月号に清宮先生の作った問題が掲載されております。

π＞3.14159であることを証明せよ
（東大改）

∫sinθ＝-cosθであることを初等幾何学的に積分は微分の逆演算ということを
用いずに証明せよ。（自作）

sinxのマクローリン展開を微分を使わずに幾何学的に証明せよ。
（自作）

『初等幾何はなぜ美しいか』
っていう本は初等幾何を学ぶにあたって良い本ですか?アマゾンで見たんで中身はわからないんです。

テキストを読むべきか、問題集をやるべきか。
初等幾何の勉強を始めるに当たってまずすべきはどっちだ

幾何学に王道なし　ですよね。

清宮俊雄先生の『幾何学』（モノグラフシリーズ、科学新興社、1988年）を読んでいます。
73ページの21行目「なお、∠Bまたは∠Cが鈍角のときは�僥BD〜�僞CD＝�傳CDとなる」が理解できません。
等積変形はチョー苦手です。ご教示をお願いします。

>>180
画像うｐれ

>>181
180です。さっそくのレス、ありがとうございます。
「�僊BCにおいて、BC、CA、ABを斜辺とする直角二等辺三角形BCD、CAE、ABFを作る。
このとき、∠Bまたは∠Cが鈍角ならば�僥BD〜�僞CD＝�傳CDとなる」という話です。
∠Bが鈍角の場合だけで結構です。よろしくお願いします。

>>182
>>181

>>181
180=182です。三個の直角二等辺三角形は�僊BCの外部に作ります。
図は載っていませんでした。ですから、うｐできません。自作の図だと結構歪んでしまいます。

180=182=184です。座標を使ったらあっさり解けました。
等積変形でないと気持ちが悪いので、分かる方は教えてください。
この本は面倒な箇所は事実の提示のみにとどめる傾向があるので、今回もそのパターンかもしれませんが・・・。

〜 と ＝ の意味がわからない……

ねぇ……

清宮俊雄氏の「初等幾何学 基礎数学選書7」(裳華房)という本はどうなのでしょう？
内容はモノグラフ「幾何学」よりも多岐にわたるとのことですが、モノグラフ以上って
ことはちょっとマニアック過ぎるたりするのかな。名著なら読んでみたいけど。

気になるなら読め
その後、感想よろ
ここでな

図書館にないし、本屋にもないしなぁ。高いから様子見の状態。

四角形ABCDの内部に､点Pをとると、∠APD=96°、∠BPC=84°、PA=15、PB=20、PC=16、PD=12になった、ABの中点をMとし、MPとCDの交点をNとするとき、∠PNC:∠PNDを求めよ。　　　　　　　　　(高数ｵﾘ４月号)

円に内接する四角形ABCDがAB=3,AC=2,AD=√2,ACの中点をMとするとき∠BMC=∠DMCを満たすときに、CDの長さを求めよ。　【大数4月号の宿題】

二年一時間。

age

ベクトルって本質的に初等幾何と同じですよね
なんで高校でベクトルやるの？

Reply:>>195 しかしベクトルには内積がある。

物理で要るから

>>196
内積は余弦定理（＝三平方＝距離）が成り立つように後付で作ってるんじゃないですか？

Reply:>>198 内積はどうやって発見されたのか。

>>199
教えてください
距離と角度が成り立つようにとってつけたようにしか思えません

Reply:>>200 座標で考えないと内積は見つからないのではないか。

Doverから出てるヒースのEuclid's elementsを読んでるんだけど、解説が難しくて泣きそう。

682 ： ◆lnkYxlAbaw ：2008/06/28(土) 18:21:19 ID:iEYSPRrL0
円周上に6つの点A,B,C,D,E,Fがこの順に並んでいる。AD,BE,CFは1点で交わり
この交点をG,ADとCEの交点をH,ADとBFの交点をIとする。IG=3,GH=2,HD=1の時
AIの長さを求めよ。

頂決３
http://school7.2ch.net/test/read.cgi/jsaloon/1202402941/l50

△ABCにおいてAB=a,AC=bで、Aの二等分線と辺BCとの交点をDとするとき、AD=lである。
mをa,bの調和平均（2ab/(a+b）)とするとき、0<l<mが成り立つことを示せ。



独自問題です

>>204
0＜l＜m⇔BC＞|AB-CA|

>>205
|AB-AC|＞BCのときどうするんだ？

>>206
お前アホ？

>>205
ごめん、何でそうなるのかｋｗｓｋ

>>206
どんな三角形だよｗｗｗ
辺の大小関係からわかるだろ？

三角形ABC： AB=ACであり、∠BAC=20度であるような三角形。

点D： 線分AC上の点で、∠ABD=20度となるような点。
点E： 線分AB上の点で、∠ACE=30度となるような点。

∠BDEは何度か？

>>209　AC上に∠CBF=20 度になるようにFを取ると△BEFは正三角形になるのでDF=EF

三角形ABC： AB=ACであり、∠BAC=20度であるような三角形。

点D： 線分AC上の点で、∠ABD=20度となるような点。
点E： 線分AB上の点で、∠ACE=30度となるような点。

∠BDEは何度か？

>>204
0＜l は明らか。

Cを通るABに平行な直線上に、点EをCE=b(=AC)となるようにとる。
ただし、点Eは直線BCに関して、点Aと同じ側にあるものとする。
また、Dを通るABに平行な直線とAEの交点をFとすると、
　DF=m(=2ab/(a+b))
ここで、∠DAF=90°であることから、DA＜DF i.e. l＜mが導かれる。

# なかなか面白い問題でした。

>>211
>>210の方針で補完。

∠BCE=∠BEC=50°
∴BC=BE　...(1)
一方、AC上に点Cを∠CBF=20°となるようにとると、
∠BCF=∠BFC=80°
∴BC=BF　...(2)
(1),(2)よりBE=BF
さらに∠EBF=60°なので△BEFは正三角形。...(3)
よって∠DFE=180°-80°-60°=40°
また、∠FBD=80°-20°-20°=40°
ゆえに△FBDは二等辺三角形。...(4)
(3),(4)よりFE=FDなので∠FDE=70°
∴∠BDE=70°-40°=30°

# ラングレーの問題の中でも一番の基本問題。

三角形の三辺上の点を結んでできる三角形の周長の最小値は、
元の三角形の各辺の長さをa,b,cとすると、
(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)/(2abc)
であることを示せ。

http://www3.rocketbbs.com/603/bbs.cgi?id=aoki&mode=res&resto=4203

三角形ABCの∠Aの二等分線と辺BCとの交点をDとすると
AB+AD=DC, AD+AC=BC
が成り立つ。このとき∠ADBの大きさを求めよ。

http://83.xmbs.jp/br2_res.php?ID=checkmath&c_num=6693&no=108007&action=res

>>212
おお、部活の合宿中に回答北ｗｗ
正解、ってかそういう解法もあるのか・・・


∠BAD=∠CAD=θとする。
△ABC=△ABD+△ACD　より
1/2ab*sin2θ=1/2al*sinθ+1/2bl*sinθ
両辺を2倍して
ab*sin2θ=alsinθ+blsinθ=(a+b)l*sinθ
よってl=()

途中送信ﾔｯﾁｬｯﾀ(AAry

とりあえず続き


よってl=(ab*sin2θ)/{(a+b)*sinθ}
2倍角の公式より
l=(ab*2sinθcosθ)/{(a+b)*sinθ}=(2ab*cosθ)/(a+b)
ここで、m=(2ab)/(a+b)とすると、l=m*cosθ
よってcosθ=l/m　（１）
また、条件のような三角形は0<2θ<π、すなわち0<θ<π/2となり、
そのとき0<cosθ<1となるので（１）を代入すると
0<l/m<1　　　∴0<l<m



ってのを考えてたw
まぁ楽しんでもらえたようで何よりですｗｗｗ

問　宙に浮く円は地面にどのような形のかげとして移されるか、これを総合幾何として説明しなさい。
ただし、円は地面と水平に存在し、太陽光線は平行光線であるとする。

形は円なんですがどのように説明するかがわかりません。説明できる方お願いします。

メビウス変換

メビウス変換

age

age

689

480

197

百円ショップでコンパスを買ってきたので、
正十七角形を作ろうと思ったら出来ない。。。
何故なのか。

>>226
学ラン着ればきっと出来るよ(*‘‐＾)-

>>227
着てみたが出来なかった。。。
そもそも解説書が全て違うことが書いてある！

771

773ﾏｺﾄ

age

初等幾何ワロス
http://www.gensu.co.jp/saito/kikadaiou/

ところで初等幾何の定義を教えてください

クリフォードの定理ってどんな命題でしたっけ

age

871

三年。

初等幾何学＝岩田至康氏の幾何学大辞典(全６巻)が、お薦めです

2=log_(3){9}

ABCDE ABCD AB ABC

958

質問なのですが

２次曲線のグラフを焦点、準線ともにかけ
ｘ＾２　　　　　ｙ＾２
＿＿＿　＋_____　　＝１　　
　９ 　　　　25

ｙ＾２　　　　ｘ＾２
＿＿＿　−　_____　　＝１
　１６ 　　　　９
方向余弦を求めろ
３ｘ+4y-12=0
x-5=0

を教ええてくれないですか
質問に行っても先生が答えてくれません
よろしくお願いします。

中三の時に作った問題
三角形APBの外心を点O、内心を点I、垂心を点Hとなるようにとる。
∠APB=60°∠HIO=160°の時、∠PABとして考えられる値をすべて求めよ。

>>242
マルチ

ごめんなさい本当に教えてほしいです。

>>243
40°と80°、でいいのか？
AHIOBは同一円周上にあることを利用。

ヤフオクでたまに出品されて高値をつけてる清宮の『幾何の研究』って、
どんな本なんだ？そんなにいいこと書いてあるのか？

847

初等幾何楽しい

ラングレーの問題にトドメをさす！
http://www.gensu.co.jp/saito/langley/
蘭愚麗山の幾何大王
http://www.gensu.co.jp/saito/kikadaiou/

捕手

保守

901

ちょっと３つ四角形かいてくれ
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1266491824/
>1 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2010/02/18(木) 20:17:04
>*四角形ABCDの対角線の交点をOとする。
>�@AO=CO,AD=BC
>�AAO=CO,AD//BC
>�BAB=CD,∠A=∠C
>こいつら全部平行四辺形になると思ったら
>�@と�Bは反例らしい

up

捕手

某誌今月の問題：

△ABCを∠ABC=90°、∠BCA=27°の直角三角形とする。
線分AB上に点D、線分BC上に点Eがあり、∠EAB=39°、∠ADC=99°のとき、
∠BEDを求め、その角度となることを初等幾何で証明してください。

>>257
　∠BCA = C,
　∠EAB = 30ﾟ + (C/3),
　∠ADC = 90ﾟ + (C/3),
のとき、
　tan(∠BED) = tan(∠ADC - 90ﾟ)/{tan(∠BCA)tan(∠EAB)}
　　　　　　 = tan(C/3)/{tan(C)･tan(30ﾟ +(C/3))}
　　　　　　 = tan(30ﾟ -(C/3)),
　∠BED = 30ﾟ - (C/3),
かな？

>>258
なるほど。三角関数だと、そうすりゃいいのか。
それはそれでなんかすごい。
答えは出たので、あとは「初等幾何で証明」の部分ですな。

>>258

(略証)
　2sin(30ﾟ + γ)sin(30ﾟ - γ) = cos(2γ) - cos(60ﾟ) = (1/2){4(cosγ)^2 -3} = cos(3γ)/(2cosγ),
　2cos(30ﾟ + γ)cos(30ﾟ - γ) = cos(2γ) + cos(60ﾟ) = (1/2){3 -4(sinγ)^2} = sin(3γ)/(2sinγ),
辺々割ると、
　 tan(30ﾟ + γ)tan(30ﾟ - γ) = (tanγ)/tan(3γ),


>>259
　お楽しみ･･･

2010年7月号
エレガントな解答をもとむ　出題／清宮俊雄
今年100歳なのにすごいです。

初等幾何を1からきっちりと（楽しく）勉強しなおしたいんだが、
名前が上で挙がってた清宮俊雄先生が書かれたこの本はどうですかね？

http://www.amazon.co.jp/dp/4894281880

普通に厨房か工房の教科書でも読んどけ

中学高校の指導要領で扱われてる平面図形なら大体分かります
そういうのに関わらず初等幾何を体系的に勉強し直したいんです

>>262
棚から一つかみ的な紹介を。

「楽しく」やるのなら、秋山の「わかる幾何学」、掲出の清宮、
清宮の「初等幾何学」がいいのでは。
>>263 のいう教科書はいいかもしれないけど、物足りない。
入試問題集や予備校の参考書の方がいいかもしれない。

「きっちり」というのが公理系のおさらいから、というのなら、
ハーツホーン著、難波訳の「幾何学」。
一緒にユークリッドの「原論」とヒルベルトの「幾何学の基礎」があると、
テクニックや定理の応用を離れた世界が楽しめるでしょう。

>>265
ありがとう、初等幾何＝平面図形はしばらく触れてなかったので
まず清宮先生の本で勉強しなおしてみます

ヒルベルトの幾何学は公理の上に厳密に組み立てられてたとは
小平先生の本でちらっと読んだ記憶があります
あとでチャレンジしてみます。ありがとう！

なぜ初等幾何は美しいか―三角形幾何学
はどうかな？

>>266
数学に必要なのは、本や資料ではありません、それらはきっかけにすぎません。
紙や鉛筆だけではありません、それらは道具にすぎません。

一番必要なのは、考える頭と、時間です。
頑張ってください。

>>268　カッケーな

webでGoGeometryも良いかと

>>270
http://gogeometry.com/
ここか
そして英語かー！

45度の直角三角形を縦割りしてゆくと、辺の長さの総和はいくつになるでしょうか？

393

書店で秋山武太郎の「新版　幾何学つれづれ草」という本を見た。
著者は1949年に亡くなられている。
2000年から著作権切れているのかー

岩波科学ライブラリ−１７４
アルベロス　３つの半円がつくる幾何宇宙
奥村博　渡邊雅之
岩波書店 （2010/09 出版）
128p / B6判　発売予定日：2010/09/23

「補助線の発見」が魔法のごとく見える幾何の問題は熱心なファンが多い。
本書で扱うアルベロスは、アルキメデスの昔から現在も世界中の人を魅了しつづけるふしぎな図形で、和算にも登場する。
幾何の面白さを存分に堪能できる本。
ttp://bookweb.kinokuniya.co.jp/htm/4000295748.html

初等幾何の研究者は現存する？

>>271
面白そう

清宮俊雄先生しか聞いたことない

改訂版 ピタゴラスの定理100の証明法 森下 四郎 著
A5判並製・208P 定価1680円
数ある数学の定理の中で「ピタゴラスの定理（三平方の定理）」ほど、さまざまな証明が試みられた例はないだろう。
本書は、古今東西のピタゴラスの定理の証明法を集めて体系化し、これらについて考えた人、考えた時代、
さらに幾何の歴史やエピソードなども随所に織り交ぜて親しみやすく丁寧に解説。
ttp://www.pleiades-publishing.co.jp/kikan/shizen.htm

なぜ初等幾何は美しいかって、本屋で見たら３刷になってて、
アレクシは医者をやめて大学院の経済修士課程にいるらしい
どうなっとんじゃ？

変則的な経歴だな