ゲーデル不完全性定理

勉強中なのですが、難しいです。専門のかたいたらお願いします

専門じゃないすが、ゲーデルエッシャーバッハは面白かった。

>>1
本は何読んでる？
完全性定理のほうは理解した？

>>3
返信ありがとうございます。
完全の方は何とか理解できました。本は、ブルーバックスの"ゲーデルの不完全性定理”を読んだのですが、詳しく証明を理解したいと思って、岩波の応用数学講座のやつに手を出したとたんだめでした。

ゲーデルの世界　広瀬健・横田一正著

＞岩波の応用数学講座のやつ
[基礎11]論理と計算　萩谷昌己著

上の本は難しいというよりも肝心なところが書いてない。
もっとも関数proof(x,y)が原始帰納的関数になる、という
肝心なところを詳しく書いた本はなかなかない。

そうではなくて対角線論法のところを理解したいなら
ゲーデル・エッシャー・バッハが分かりやすい。
詳しくはクワイン化のところを読め

なるほど

「ゲーデルの不完全性定理」　レイモンド・スマリヤン
ttp://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4621042041/249-2861253-8407568

これが簡潔･明快で厳密だとｵﾓ
ただ、訳書は誤訳があるらしいので、原著のほうがいいかも

スマリヤン「ゲーデルの不完全定理｣
チャイティン「知の限界」
は、どうですか？

厳密にこだわるならこれしかない

Metamathematics, Machines and Godel's Proof
N. Shankar
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/0521585333/249-3636882-3449128

これで挫折するなら、理解できないのは、厳密さではないということ。

>>1さん

ブルーバックスの本というと今手元にないので恐縮ですが、吉永氏
の本ですよね？吉永氏の本はかなり分かりやすく証明のエッセンス
が書かれていたと記憶しています。まずブルーバックスの方は完全
に理解されていますでしょうか？

不完全性定理の証明自体はそれほど難解ではないのすが、厳密さ
を求めると長くなります。長さ故の退屈さもあります、ほんの少しの覚
悟は必要です。

完全性定理を理解されているのなら、ある程度基礎論の基礎知識
はあるとして、上にあげられていない本を挙げるなら前原昭二の本（確
か「数学基礎論入門」だったかな？正確な書名失念、これも手元にな
いので失礼）をお薦めします。

あとゲーデル自身の証明の原論文も結構興が深いですよ。
案外これが一番分かりやすかったりして（笑）。

>>11
ゲーデルの原論文は
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4326101040/ref=ord_cart_shr/250-6323057-0105031?%5Fencoding=UTF8&m=AN1VRQENFRJN5
に収録されてるの？

http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4791755693/qid=1109647663/sr=1-13/ref=sr_1_2_13/250-6323057-0105031
は、ちがうよね？

>>12
そのどちらにも不完全性定理の原論文は入ってないよ。

原論文はこれに入ってる。
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/0195147200/

英訳ならこれ
On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/0486669807/

吉永の本は、基本的なところに誤りがあると
多くの論理学者が指摘してるよ。

漏れはホフスタッターのＧＥＢがいいと思うけどね。
ちなみにチャイティンはアプローチが違うし
数学書のスタイルになれてる人は読みにくい。

そうなんですよね。
ブルーバックス吉永氏の本は循環論法になっているところがあって
実のところ証明のエッセンスは理解しやすくても、厳密には正しく
ないんですよね。

ただ間違いに気付かずとも、あれを理解した上で原論文なり他の厳
密な証明を読むなりすると理解は早いかと。

少なくとも、中高生の数学（基礎論）への興味を引くには良書といって
よいでしょう。

>>11
チャイティンのLispを使った証明（？）は証明になってるんでしょうか？
デモンストレーションとしては興味深いのですが、有効性が納得できません。

>>16
その前に、完全性定理の完全性の意味を誤って説明している。
てゆーか、吉永の本ってヨタ話は沢山あるけど、肝心の
証明のところって大したこと書いてないでしょ。
そんなん読むなら、ＧＥＢのほうがいいよなあ。
>>17
証明になってるよ。ただ方針がちがうから。
＞有効性が納得できません。
それは君が理解できればいいこと。

不完全性定理の証明そのものはさほど難しくないとも言えるけれど、その意味
ということになると、結構難しいところがあるんじゃないかな。

Lisp による証明というのは興味深い
これは Lisp でなければならないのだろうか？

このようなことができるのなら，
不完全性定理の証明をある程度，視覚化できないのだろうか？

>>20
Lispのラムダ式を使って、自己参照を作るっていうのが本質だから、ラムダ式を自然に使える言語なら同じことができるだろう。

http://www.iba.k.u-tokyo.ac.jp/~yabuki/tip/lisp/unknowable/unknowable.html
に日本語の解説がある。

http://www.cs.auckland.ac.nz/CDMTCS/chaitin/unknowable/index.html
にオリジナルがある。

＞視覚化
「視覚化」っていうのがいまいち何を指しているのか分からん…

>>21
これは面白いページですね
情報サンクス

[基礎11]論理と計算　萩谷昌己著
これはロジックの素人が書いた本だからダメね。なにも分かってない。

どうせ読むなら、
日本語なら、前原昭二「数学基礎論入門」：共立出版か。もっとも定評がある。
英語でよければオリジナルの論文を読むか。
すでに色々でてるけど、これにも原著の論文（の英訳）が出てるよ。
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/0674324498/qid=1109691864/sr=1-2/ref=sr_1_10_2/249-0482041-9568352

可動性条件まで理解するには何を読めばいいんですか？やっぱブーロス？難しそうですが・・。

>>8
訳者の高橋昌一郎さんが、他の本で名指しこそしてないが、「中高生にも分かる」
などと喧伝する吉永さんの
本を巷に溢れる俗本の一種として挙げていた。その高橋さんも不完全性定理の
真の理解には到達してないらしい。。。
そんなに難しいのか。

>>23
ありゃりゃ、萩谷先生が素人とは･･･
7bits読んだことないのか。

計算機科学の観点からいえば、ゲーデルの証明が
λ計算の不動点演算子Ｙの起源であることが
理解できればいいわけで、再帰させるｆの中身
については、まあ勝手にやれと（笑）

>>25
それはＨ．Ｓ氏がそういってるだけで、彼にいわせれば
野崎昭弘氏ですら理解してないことになるからなあ。
まあ、彼の個人的なこだわりに合致しないってことでしょう。

ああ、それから理解してるしてないって話は
あくまで第二不完全性定理の”無矛盾性”の
定義云々に関することでしょう。

少なくとも第一不完全性定理に関しては
議論の余地はないと思いますよ。

でも残念ながらＨ．Ｓ氏の教養本が一番売れてねー
んだよなあ。
クソ真面目な性格が本にも反映されている
んじゃなかろうか。ちょっとふざけてた
方が面白いんだな。奇をてらって、なおかつ正しい、これ最高。

ゲーデルエッシャーバッハはその「最高」に近いものといえるのでしょうか。

>>30
はしょっておいしいところ取りしようとせずにまずは上で挙がっている書籍
なりホームページなりを読まれて自分で比較するのが一番ですよ。
最高ってのはあくまで主観が大部分をしめるので。

「数学を学ぶのに王道なし」って言ったのは誰でしたっけ？

>>31
あ、私は１ではありません。専門が違うのでそれほどきっちり勉強するつもりはないのですが、
ある程度の興味はあってGEBをじっくり読みました。もとより厳密な本ではなかろうと思ってたのですが
上のレスのいくつかを見ると結構いけるのかなという気がしたので聞いてみたわけです。

あなた のご意見では、やはり専門書と比べれば「遜色あり」ってことですね。
ありがとうございました。

GEBを専門書と比較する時点で間違いかと
あの本は一つのテーマに沿ってヒタスラ
調べていく、というタイプの本じゃないので

ただ、>>23はいくらなんでも酷すぎると思う
はぎゃさんはラムダ計算の本を書く資格は十分にあると思う

>>27
ことこの件に関しては林先生は厳格すぎる。こういうことはいいたかないが、
こんだけ厳格なのに、少年犯罪の凶悪化とか専門外では馬鹿げたヨタを飛ばすので
あまり最近好きじゃ無い。

>>32
偉そうにぶってしまいましたが私も基礎論は専門外というか、学生でも数学
者でもありません。あ、でも、こんな時間に書き込みしていますがＮＥＥＴでも
ありません（笑）。

かつて数学を専攻していたロートルが自分の不分明を承知で書きます。
戯れ言と思って構いません。
専門の方がいらっしゃって以下の私の文に間違いがあったらご指摘下さい。

上で誰かがいっていましたが、不完全性定理の証明はそれほど難しくはない
のです。結局は肯定も否定も出来ない自己言及を形式的体系にどう組み込む
か、そしてその厳密さを如何にステップバイステップで示すかということにつき
るのかな、と。

一般論として、陳腐な例えですが
「傾斜のきつい山ではありません。どのルートを選んでも登頂できるし、また
下山して他のルートを選んで景色の違いを眺めるのも一興ですよ。いろいろ
なルートを登ってみて人それぞれに最高の景色と考えられるポイントはある
でしょうし、まずは景色の違いを云々できるところまで歩を進めましょう」
ということを言いたかったのです。

あと誤解というかなんというか、

>あなた のご意見では、やはり専門書と比べれば「遜色あり」ってことですね。

私個人の見解としてはYesです。しかしながら私はこういう事を意図して>>31の
レスを書いたワケではないのです。そこだけご理解下さい。

最後に蛇足。
「ルートを間違って、他の地点から本来登るべき山を眺めるのもまた一興」

長文、駄文お目汚し平にご容赦。あとは専門の方にお任せします。

それにしても、このスレ定期的に立つねｗｗｗ

>>31
＞「数学を学ぶのに王道なし」
ユークリッドがプトレマイオス1世(２世)にいったんじゃなかったかな。

正確には「幾何に。。。」だったような。

風邪で寝てる間にこんなにたくさんとは思って下りませんでした。ありがとうございます。
岩波の応用数学講座の奴が難しいというより大事なところが抜けているというのには正直ほっとしました。
また、ブルーバックスのやつが循環論法になっているのかはわかりません。ただ、命題の真偽と証明可能性を摩り替えるというのは、不完全性定理の証明自体には役立ったのかもしれないが、誰かが言っていた不完全性定理の意味の理解の困難さに繋がるのではと思います。

31＝35＝Stromdorf？

個人的には、厳密であればいい、とは思わない。

ＧＥＢは、よくある「この文は証明できない」というような
いい加減な解説でなく、ゲーデルが実際にやったことを
クワイン文という形で、明確に示した点が評価できる。
ただ、なにぶん厚い本なので、多くの読者がそこまでいかない
うちに挫折するのが難点だが（笑）

あと、ＤＮＡの話をただのヨタ話として聞く人は、
数学以外に何の興味もない偏狭な人だろう。

＞不完全性定理の証明はそれほど難しくはないのです。

てゆーか、面倒くさい。算術だけで言語の処理系を作るのに近いからね。

＞肯定も否定も出来ない自己言及を形式的体系にどう組み込むか

ただ解決のヒントは、すでにカントルやラッセルのパラドックスに
秘められてたわけだからね。あとは証明のチェックが計算可能で
あることを示せばよい。といってもそこが実際は面倒なわけだが。

＞厳密さを如何にステップバイステップで示すか

実際にはヒルベルトもその弟子も
「証明のチェックが計算可能であること」
には文句をつけなかったんだけどね。

＞専門書と比べれば「遜色あり」

こういうのは内容とは無関係の権威主義を感じさせるな。
ところで

＞ことこの件に関しては林先生は厳格すぎる。

しかたないな。厳格な話なんだから（ｗ
いいたいことは、クライゼルの注意の話とか
「パラドックス！」の”無矛盾性の･･･”とか
から明確に絞れる。
つまり、いくら形式化したって、云いたいことを
正確に記述できるようになるわけではない、って
ことだな。
もちろん、これは第二の場合に表面化するのであって
第一に関してはさして問題になるわけではない。
本人もたしかそういっていたような気がするが忘れた。

挫折って言うか、飽きるか、時間が無くなるんじゃないかな
別に一章を読まないと二章が読めない、とかそういう本じゃないはず

>>40

偽です。2chでは証明不可能ですが（笑）

そもそも集合論から独立な自然数論の
命題だっていくらでもあるわけで、
そもそも自然数と言う対象がただ一通りに定まっている、
という考えが疑わしいと思うけどね。

別に非範疇性とかそういう話ではないですよ

＞岩波の応用数学講座の奴が難しいというより
＞大事なところが抜けているというのには正直ほっとしました。

1に聞くけど、君は本当にそこが知りたかったの？
>>6で指摘したことってすっごく細かいことだと思うよ。

＞命題の真偽と証明可能性を摩り替えるというのは、
＞不完全性定理の証明自体には役立ったのかもしれないが、
＞誰かが言っていた不完全性定理の意味の理解の困難さに
＞繋がるのではと思います。

それは不完全性定理の”意味”をどう考えるかによるね。
例えば、完全な真偽の判定なんて無理ってことなら、
証明チェックなんて具体的に構成する必要はないんだよ。
どんな関数でもそんな特性をもたないことを示せばいい。
スマリヤンが「タルスキの定理のほうが簡単なのに」と
いってるのはそういうこと。

>>完全な真偽の判定なんて無理
不完全性定理が出てきたからこそ
そういう意見が一般的になったのかと
まあゲーデルが居なくてもきっと不完全性定理は
発見されていたかと思いますけどね

>>48
一般的とかなんて関係ないよ。
上のようなことなら自己言及だけから示せるってこと。
不動点定理ってやつですね。

>>41
補足有り難うございます。内容については完全に同意です。

私の言いたかったこと（隠喩が過ぎましたが、これはおそらく
原始帰納関数を知らないであろう1さんや他の人を慮っての
事です）が伝わっていたようで正直ほっとしました。

ただ>>39を読む限り1さん、…ちょっと不安ですね。
消化し切れていないように見えます。

>>47、50
ありがとうございます。消化し切れてないのは確かです！再び勉強していますが、
このスレッドが無くならないうちに理解できるかどうか不安でしたのでとりあえずレスしました。

＞原始帰納関数を知らないであろう1さん

1が堅気の人なら知らなくていいぞ（笑

＞ただ>>39を読む限り1さん、…ちょっと不安ですね。
＞消化し切れていないように見えます。

てゆーか、1はそもそも自分でも何を
理解したいのか自覚できてないと思うぞ。

個人的には「数学だ」と意気込まないほうがいい。
多分堅気の人が知りたいことは、証明チェック関数の
”プログラミング”の部分などではないと思う

>>52
>てゆーか、1はそもそも自分でも何を理解したいのか自覚できてないと思うぞ。

勉強する前はいつでもそういうもんじゃなかろうか。知識がないと疑問や興味も明確にはできない。

> 多分堅気の人が知りたいことは、証明チェック関数の ”プログラミング”の部分などではないと思う

決してわからない真理が存在することを理解したい、ならチューリングの停止問題の方がとっつきやすいかも。

ウイトゲンシュタイン

「決してわからない真理」というのは曖昧か。「決して証明できない真なる命題」に訂正。

日本で最も頭のイイ人達は
柄谷行人、浅田彰、吉本隆明、宮台真司、立花隆、村上陽一郎、
宮崎哲弥、福田和也、安部公房、西部邁、野矢茂樹、東浩紀。
この人たちは数学的に不完全性定理を理解した上で
その意味と応用を考える事が出来る。無機な数学を
活きた哲学にする。

理解するのに、汲々としているレベルとは違う。
理解して自慢してるレベルとは違う。
タコツボ型の視野狭窄専門バカとは違う。
これで文句は無かろう。

万能型の天才にはどうしても納得出来ない？
スーパーインテリジェンス。
彼等の知識は分流し、奔流となって大河となり、循環し続ける。

彼等という知の伏流が奔流となってこの日本を覆う時、それは旧い知の
終焉を告げる。終焉は再生、創造の時を告げる。

> この人たちは数学的に不完全性定理を理解した上で
> その意味と応用を考える事が出来る。無機な数学を

それはすごい。具体的にどういう応用をなしとげたの？　

|￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣|
|　電波を感知しました｡　|
|＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿|
　　　　　　　　　　　　　　／　／
　　　　　　　　　　　　　　／
　　　　　 ＿　　　　　　　　　ﾋﾞﾋﾞﾋﾞ
　　　　 /||__|∧　　　 ／
　　。.|.（Ｏ´∀｀）　／
　　|≡（ ))　　))つ
　　｀ー｜ ｜　|
　　　　（_＿）＿）

>>56
これ昔見た。きっと皮肉なんだろうね。

＞＞1はそもそも自分でも何を理解したいのか自覚できてないと思うぞ。
＞勉強する前はいつでもそういうもんじゃなかろうか。
＞知識がないと疑問や興味も明確にはできない。

そういう言い訳をすることに何の意味があるのかな？
聞かされるほうは何の足しにもならないよ。

一般人の不完全性定理への興味は以下の２点かと思われる
1.真偽決定手続きへの密かな期待を裏切る結果
2.無矛盾性への密かな期待を裏切る結果

＞決してわからない真理が存在することを理解したい

「どんな方法でも証明できない真理」という意味なら
ゲーデルの不完全性定理とは異なる。

ゲーデルの不完全性定理でいってるのは
「どんな方法にも、”それぞれ”証明できない真理がある」
ということ。つまり方法M1で証明できない命題T1も
方法M2では証明できるがその場合にも証明できない
命題T2が存在するということ。
どんどん拡大していく方法M1,M2,M3,･･･の極限として
真理全体をつくすことはできるかもしれないが、ただ
上の方法の列を作るような方法は明示できない。
なぜなら、それをやってしまうとやっぱりゲーデルの
罠にひっかかってしまうから。

>そういう言い訳をすることに何の意味があるのかな？

勉強していくうちに、明確にしてけばいいということ。言い訳と決め付ける理由は不明。

>聞かされるほうは何の足しにもならないよ。

これも根拠なしの決め付け。気分だけで言いたいことを言ってるだけ。学問向きの人間がやることではない。

>>62
言い訳は言い訳。嫌なら黙れよ。

別に何となーく勉強を始めてみるというのも
ありじゃないですかねえ
まあ私はどっちでもいいですけど

なしだな。諦めろよ。馬鹿

(´-`)..oO(何を必死になってるんだろう？。。。)

>>66
(´-`)..oO(何を必死になってるんだろう？。。。)

>>56
全員、日本で最も頭のイイ詐欺師たちなのでは。
その根拠は、多数の無邪気な読者たち。

>>68
詐欺師だとか言う言い方は、理系スノッブの無知丸出し的に
取られるので支持できないが、いつ見ても思うが、このコピペの
選択に知性が感じられないのは確かだ。

敢えて揚げ足を取らせてもらおう。

> 取られるので支持できないが、いつ見ても思うが、このコピペの
　　　　　　　　　　　　　　　　　 ~~　　　　　　　　　　~~
「が」を繰り返すのは日本語的にどうかと。

>>70
ノープロブレムだろう（w　君の日本語経験値が低すぎるだけの話だ。

このスレ、マ板やム板に立てた方がいいんじゃないの？
数学板だとどういう展開になるのか大体察しがつく。

どこに立てても結果は察しがつく

835

>>73は2chプロの方らしい。

>>71
＞ノープロブレムだろう（w
君の日本語経験値は低いな。
「詐欺師だとか言う言い方は、
　理系スノッブの無知丸出し的に
　取られるので支持できない。」
と、ここで一旦切った上で、
「それにしても、いつ見ても思うが、
　このコピペの選択に
　知性が感じられないのは確かだ。」
と続けるのが、ハイレベルな日本語。

>>76
書き手でなく読み手としての話ではないのか？

380

原始帰納関数とかの話が詳しく載っているオススメな本はありますか？

「ホリエモンは，ニッポン放送と友好的な関係を築きたいと思っても，自分の思い入れだけでは，成功しない」

これって，不完全性定理？

思いが必ずしも相手に届くとは限らない、恋愛の法則。

>>80
いいえ

>79
ttp://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4254116608/qid=1113759294/sr=1-2/ref=sr_1_10_2/250-7139165-0857803
ttp://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4320011201/qid=1113759239/sr=1-1/ref=sr_1_10_1/250-7139165-0857803
ttp://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/1568811497/qid=1113759199/sr=1-1/ref=sr_1_8_1/250-7139165-0857803

故

だからドクトルゲーには口答えするなといつもあれほど言ってあるだろう

age

>>20-21
チューリングマシンの停止問題と同じことを別表現にしてるだけだが、
そんなに興味深いかなあ。

>>53について質問なんですが、停止問題は単に計算不可能な関数の例だと思っていました。
どういった点で真だと言えるのか解説してもらえると嬉しいのですが。

ある命題が真か偽か，証明可能か否かは，そのGoedel数の
計算可能関数ではないから，あながち間違ってもいないんじゃないのかな
まあ，それでわかることは人間が完全な知識を得ることは
出来ない，というあくまで当たり前のことだけど

今更だけど，オッペンハイマーの人間の理性の限界が云々というのは
的外れも甚だしいような

ﾜﾛｽｗｗｗ

ﾜﾛｽｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ

ﾜﾛｽｗｗｗｗｗ

＞＞８８
ワロスｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ
ねーよｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ

わろすｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ

うぇうぇｗｗｗｗｗｗｗﾜﾛｽ

ﾜﾛｽｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ

難しすぎてﾜｶﾗﾅｽｗｗｗｗｗｗｗｗ

ﾜﾛｽｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ

>>1
ﾏﾊｻﾞﾝﾜﾛｽｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ

このスレねーよｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ

ﾜﾛｽｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ

寺ﾜﾛｽｗｗｗ

ﾜﾛｽｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗうはｗｗｗｗｗｗ

ワロンスーｗｗｗｗｗっうぇうぇｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗっうぇｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ

荒らしうざい。またラウンジか？

組（数、数）を入力して、それが、
ある公理系の、ある証明のゲーデル数とその論理式のゲーデル数の関係になっているときに必ず１を出力するチューリング機械とかって、
そんな都合のいいもの、ほんとに作れるものですか？

掛け算・　は計算可能である。チューリング機械はこういうことになってます。
くらいまでなら、なんとなくまだ、感覚的にわかるんですが

公理と推論に基づく動作をさせる事ができるからある意味万能

第二不完全性定理の流れ
T├　Con（T）→¬Pr（ゲーデル文に対応する数項）を示して、（T├　¬Pr（ゲーデル文に対応する数項）→Con（T)も要る？）
第一不完全性定理から、¬Pr（ゲーデル文に対応する数項）がTで証明可能でない
この二つを組み合わせて、Con（T）がTで証明可能でないとなる

T├　Con（T）→¬Pr（ゲーデル文に対応する数項）　　（T├　¬Pr（ゲーデル文に対応する数項）→Con（T)も要る？）
と
¬Pr（ゲーデル文に対応する数項）がTで証明可能でない
から
Con（T）がTで証明可能でない、が出てくるのはどういう理由からですか？

>>107
だって T├　Con（T）で
T├　Con（T）→¬Pr（ゲーデル文に対応する数項）
だったら T├　¬Pr（ゲーデル文に対応する数項）
じゃん（笑）

＞そんな都合のいいもの、ほんとに作れるものですか？
やればできる。やりたくないけど（笑）

あたりまえのことみたいですね。

＞T├　Con（T）で 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・�@
＞T├　Con（T）→¬Pr（ゲーデル文に対応する数項）　　　　・・・�A
＞だったら T├　¬Pr（ゲーデル文に対応する数項） 　　　　・・・�B

MP？

�Aの対偶（？）
¬Pr（ゲーデル文に対応する数項）がTで証明可能でない　→　Con（T）がTで証明可能でない
と
第一不完全性定理から、¬Pr（ゲーデル文に対応する数項）がTで証明可能でない
から
Con（T）がTで証明可能でない
が出てくる、ということですか？

>>110
Yes!

まぢで？

第二不完全性定理に必要とされるらしい、第一不完全性定理の内容を、体系T内で形式化する、という内容にまだ触れていないので、わからないことが多いですが、

T├　¬Pr（ゲーデル文に対応する数項）がTで証明可能でない
T├　 ¬Pr（ゲーデル文に対応する数項）がTで証明可能でない　→　Con（T）がTで証明可能でない
よって
T├　Con（T）がTで証明可能でない

ということですか？
あと、
¬Pr（ゲーデル文に対応する数項）がTで証明可能でない、を、どんな形で、論理式の形で表すのかがわからないのですが・

Con(T) ってどんな定義ですか？

あとT├"¬Pr（ゲーデル文に対応する数項）がTで証明可能でない"って切ればいいの? それは g がゲーデル数の計算として¬Pr(g(¬Pr(ゲーデル文に対応する数項)))?

でも ゲーデル文 = ¬Pr(g(ゲーデル文)) という不動点だから

¬Pr(g(¬Pr(g(ゲーデル文))))
= ¬Pr(g(ゲーデル文))
= ゲーデル文

になる。

>>79

「原始帰納関数=明らかに停止する関数」というだけで理解には十分なんだけれど。

f(0) = .....
f(x) = ..... f(x-1) ..... (x は 0 以外)

というようにある引数が関数がよばれるたびに毎回すくなくなればよい。

原始帰納関数というのがこのような定義のシンタクスのことを言っているのか、それとも計算問題のクラスのことをいっているのかはよくわからない。

帰納関数とか部分帰納なら明らかにクラスのことをいってそうだけれど。

>>112
＞¬Pr（ゲーデル文に対応する数項）がTで証明可能でない、を、
＞どんな形で、論理式の形で表すのかがわからないのですが

それはゲーデル文自身。なぜなら
ゲーデル文＝¬Pr（ゲーデル文に対応する数項）

>>113
＞Con(T) ってどんな定義ですか？

普通は「証明できない式が存在する」とする。
∃ｘ¬Pr(ｘ)

＞第二不完全性定理に必要とされるらしい、
＞第一不完全性定理の内容を、体系T内で形式化する、
＞という内容にまだ触れていないので、

違うんじゃない？。
形式化するのは
「xがTで証明可能ならPr(g(x))がTで証明可能」
その結果は
「Pr(g(x))⇒Pr(g(Pr(g(x))))がTで証明可能」

「Pr(g(x))⇒Pr(g(Pr(g(x))))がTで証明可能」

という意味はなんですか？ものの本には Con(T)⊃G の証明が作れると書いてありました。

だからもし Con(T) の証明があれば

Con(T)⊃G　　　 Con(T)
-------------------
　　　　　　 G

のような証明が作れる。でも G の証明は第一不完全性定理より存在しないから Con(T) の証明は決して作れない。

＞「Pr(g(x))⇒Pr(g(Pr(g(x))))がTで証明可能」
＞という意味はなんですか？

意味は「xがTで証明可能ならPr(g(x))がTで証明可能」ということです。

＞ものの本には Con(T)⊃G の証明が作れると書いてありました。
ええ、¬G=Pr(g(G))ならばPr(g(G))かつPr(g(¬G))ですから
そこから¬Con(T)が導けます。

つまり、
Pr(g(¬G))＝Pr(g(Pr(g(G))))
であり、
Pr(g(x))⇒Pr(g(Pr(g(x))))がTで証明可能だから
Pr(g(G))ならばPr(g(¬G))なんですよ。
･･･そこまでくれば
「第一不完全性定理の内容を、体系T内で形式化」
といってることの意味が明らかになるなあ（笑）

なるほど g(¬G) = g(Pr(g(G)) より

　　　Pr(g(x))⊃Pr(g(Pr(g(x))))
-------------------------
　　　Pr(g(G))⊃Pr(g(¬G))
-----------------------------------
Pr(g(G)) ⊃(Pr(g(G))∧Pr(g(¬G)))　
-----------------------------------
Pr(g(G)) ⊃¬Con(T)
----------------------------
　　　Con(T) ⊃ ¬Pr(g(G)) (= G)

>>113

> でも ゲーデル文 = ¬Pr(g(ゲーデル文)) という不動点だから

でもこれって違うの？別にゲーデル文Gが

　　　　　 ¬
　　　　　　｜
　　　　−Ｐｒ−−
　　　｜　　　　　｜
　　　　−−｜−
　　　　　　s(s(...... 0)) = g(G)

ってなってるわけじゃない？

定義はn = g("ゲーデル数Sub(x,g(x),x)をもつ式は証明できない"), g(G) = Sub(n,g(x),n) だと思うけれど。
そもそもSubってSubって関数だけから定義できる項になるわけじゃなくて文Sub'(x,y) (⇔ y = Sub(x,g(x),x)) でエンコードするんでしょ。だからもとの"ゲーデル数Sub(x,g(x),x)をもつ式は証明できない"からして

　　　　　 ∀y
　　　　　　　　　｜
−⊃−−
　　　　　　｜　　　　　 ｜
　　　　　Sub'(x,y)　　　¬　
　　　　　　　　　　　　　｜
　　　　　　　　　　　−Ｐｒ−−　
　　　　　　　　　　｜　　　　　｜
　　　　　　　　　　　−−｜−
　　　　　　　　　　　　　 y

じゃないか？ってことはGもそういう形（x を s(s..(0)) = g(n) にかえた形）をしている。。。。

>>121はだから

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Pr(x)⊃Pr(g(Pr(x)))
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　--------------------------
¬G⊃Pr(g(G)) 　　　Pr(g(G)) ⊃Pr(g(¬Pr(g(G)))　　　　Pr(g(G))⊃Pr(g(Pr(g(G)))
-----------------------------------------------------------------
　　　　　　　　　　　¬G⊃¬Con(T)
　　　　　　----------------------------
　　　　　　　　　　　　Con(T) ⊃ G

のように訂正しなくては。Sub'(n,g(G)) は定理だと思うので¬G⊃Pr(g(G))は簡単。Pr(g(G)) ⊃Pr(g(¬Pr(g(G)))は

　　　　　　　　　　　　　　　　　G
　　　　　　　　　　　　　---------------------------
　　　Sub'(n,g(G))　　　Sub'(n,g(G))⊃¬Pr(g(G))
　　　------------------------------------
　　　　　　　　　　　¬Pr(g(G))

というような「Gの証明木から¬Pr(g(G))の証明木が作れることの証明」をしなくてはいけない。

で肝心のPr(x)⊃Pr(g(Pr(x)))についてはまだよくわかりませんが。。。

>>122
ん？ゲーデル文にゲーデル文の数そのものが入ってないなんて
イロハのイだから、当然知ってると思ったけど。
だから「ゲーデル文に対応する数項」って書いたんじゃないの？

で、お察しの通り、g(G) = Sub(n,g(x),n)であるから、これを使えば
Pr(g(G)) ⊃Pr(g(¬Pr(g(G)))の証明は簡単。

>>123
＞肝心のPr(x)⊃Pr(g(Pr(x)))についてはまだよくわかりませんが。。。

命題ｘとその証明がどちらも自然数にコード化されて存在するから
あとはそれを確かめるプロセスをいわば"メタ証明"として
自然数にコード化するだけでしょ。

これがX⊃Pr(g(X))と違うのは、XだけだとそもそもXの証明が
あるかどうかすらわからんわけで、証明に対応する自然数の
コードを何もないところから作らなければならないから。

そもそもPr(x)⊃Pr(g(Pr(x)))の証明が作れるとは

1. 「任意の数mについて Pr(m)⊃Pr(g(Pr(m))) の証明が作れる」

それとも

2. 「Pr(x)∧y=Sub(g(Pr(x)),g(x),x)⊃Pr(y) の証明が作れる」

というどっちをいってるんでしょう？どっちでも同じだろうか？定理のためには1で十分な気がする。

>>126
上で書き込んでいる人が、
Pr(x)⊃Pr(g(Pr(x)))、その証明
と書いているのは
T├φ　ならば　T├Pr（φに対応する対応する数項）、で、その証明、
ということだろうと、思います。


あと、関係ないですが、
・Pr(g(G)) ⊃Pr(g(¬Pr(g(G)))とPr(g(G))⊃Pr(g(Pr(g(G)))が証明可能であるとして、
そこからPr(g(G)) ⊃(Pr(g(G))∧Pr(g(¬G)))が出てくる、というのがどういう理由からか、ということと、

・
Pr(g(G)) ⊃(Pr(g(G))∧Pr(g(¬G)))
-----------------------------------
¬G⊃¬Con(T)
と、
Pr(g(G)) ⊃Pr(g(¬Pr(g(G)))　　　　Pr(g(G))⊃Pr(g(Pr(g(G)))
----------------------------------------------
　　　　　　　　　　　¬G⊃¬Con(T)
の違いについて

だれか、普通に証明に詳しい人、解説してください。

> T├φ　ならば　T├Pr（φに対応する対応する数項）、で、その証明、

ようするに 1 ということ?

> 「Pr(g(G)) ⊃(Pr(g(G))∧Pr(g(¬G)))が出てくる」

これはでてきません。ややこしいですが

Pr(g(G)) ⊃Pr(g(¬Pr(g(G))) Pr(g(G))⊃Pr(g(Pr(g(G)))
-----------------------------------
Pr(g(G)) ⊃Pr(g(¬Pr(g(G) ∧ Pr(g(G)))
-----------------------------------
Pr(g(G)) ⊃Pr(g(⊥))
-------------------------
Pr(g(G)) ⊃¬Con(T)

という形の証明の木が作れます (ところどころはしょってますが)。

それで>>122 でいってるのは g(G) ≠ g(¬Pr(g(G))) (そしてもちろん g(¬G) ≠ g(Pr(g(G)))) ということです。だから>>121の1,2段目で使っている Pr(g(Pr(g(x)))) = Pr(g(¬G)) というのが間違いでこれは使えません。そこで証明をかえんです。

＞g(G) ≠ g(¬Pr(g(G)))
それは当然。しかし
g(G) ⇔ g(¬Pr(g(G)))
だろ。

証明に関する知識がまるでないのでｵｼｴﾃｸﾀﾞｻｲ

Pr(g(G)) ⊃Pr(g(¬Pr(g(G))) とPr(g(G))⊃Pr(g(Pr(g(G)))から
-----------------------------------
Pr(g(G)) ⊃Pr(g(¬Pr(g(G) ∧ Pr(g(G))) が出てくるのは、どういう理由からですか
矛盾してるじゃんっつって、手動で、というかんじですか？

あと、
g(G)とg(¬Pr(g(G))) が、同じことを言ってるってんで、これを自由に入れ替えたりする操作は、許されんですか？

>>130
>>128からそうなんですが、式が違ってます。

誤　Pr(g(¬Pr(g(G) ∧ Pr(g(G)))
正　Pr(g(¬Pr(g(G))) ∧ Pr(g(Pr(g(G))))

>>129
間違い。正しくはG⇔¬Pr(g(G))

誤 Pr(g(¬Pr(g(G) ∧ Pr(g(G)))
誤 Pr(g(¬Pr(g(G))) ∧ Pr(g(Pr(g(G))))
正 Pr(g(¬Pr(g(G)) ∧ Pr(g(Pr(g(G))))))

間違えた。。
誤 Pr(g(¬Pr(g(G) ∧ Pr(g(G)))
誤 Pr(g(¬Pr(g(G))) ∧ Pr(g(Pr(g(G))))
誤 Pr(g(¬Pr(g(G)) ∧ Pr(g(Pr(g(G))))))
正 Pr(g(¬Pr(g(G))) ∧ Pr(g(G))))

正 r(g(¬Pr(g(G)) ∧ Pr(g(G))))

>>130
もういい。ともかく

Pr(g(A)) Pr(g(B))
---------------------
Pr(g(A ∧ B))

みたいなことを力技で示す。

>>131
>>132
>>133
>>134
よくわかりませんが、笑う所ですか？w

>>135
Pr(g(A))→Pr(g(A)) と　Pr(g(A))→Pr(g(B))
から
Pr(g(A))→Pr(g(A ∧ B))
というのも示せますか？

>>136
そうかも
実際は
誤　Pr(g(¬Pr(g(G) ∧ Pr(g(G)))
正　Pr(g(¬Pr(g(G)) ∧ Pr(g(G))))

>>131は、その前のステップの
Pr(g(¬Pr(g(G)))) ∧ Pr(g(Pr(g(G))))
を書こうとしたらしいが、カッコが一つ
足りなかったんだな。

>>135,>>137
Prは、推論規則を忠実に算術化してる筈だから証明できるでしょ。
てゆーか、そもそもPrを算術的述語として構成するのが
まさに力技以外の何物でもないわけだが･･･orz

>>135
>>137
そういうのは力技じゃなくてもいいよ。Gの証明がないことを示すときに対角化補題

「TでAの証明がある」⇔「TでPr(A)の証明がある」

というのを既に示してあったはず。だからPr(A)とPr(B)の証明があればAとBの証明があり、よってA∧Bの証明が作れるのでPr(A∧B)の証明も存在する。

>>140
> 「TでAの証明がある」⇔「TでPr(A)の証明がある」

これが同値になることは、一般の T と A に対しては証明できないというのが、
不完全性定理からの結論ですが。

教科書的には、述語 Pr(x) に対する derivability condition のうち易しい方 2 つを
示して、それから導くのが普通。(結局 >>135 >>139 と同じことになる)

>>140
Tがω無矛盾というのがいる？

いまPr(g(A))=∃x(Pr'(x
g(A)))をTの公理からの可証性述語とします。たぶん<=が問題になる。対偶を示します。

TでAの証明がない
⇒どの自然数kもT|-Aの証明になりえない
⇒任意のkでPA|-¬Pr'(k
g(A))
⇒任意のkでT|-¬Pr'(k
g(A))
⇒Tがω無矛盾ならばT|-∃x(Pr'(x
g(A)))ではない
⇒T|-Pr(g(A))ではない。

質問。

完全性定理と不完全性定理をあわせると

「PAのモデルにはGが真であるもなと¬Gが真であるものがある｣。

となると思いますがGが真であるのは標準モデルとしてそうじゃないのはどんなモデルですか？

>>142
第二不完全性定理の証明に用いるような事実なので、
ω無矛盾性を仮定するのは強すぎる。

>>143
可算非標準モデルは帰納的とはなり得ないということが
知られているので、どんなモデルと言われても答えるのは
ちょっと難しい。

モデルってどんなものならいいんでしたっけ？Tが矛盾してたらモデルは存在しないですよね。

Tがω矛盾なら？

>>145
＞Tが矛盾してたらモデルは存在しないですよね。

でも、Pr(g(⊥))が真だからといって、
矛盾するとはいえないところがポイント

>>146
どういうこと？

ところでPrの話のときにPrの定義内であつかう公理系TとそれからPrを証明する系T'の区別がつきにくいです。どちらの矛盾あるいは無矛盾性を議論しているかなど。

T'|-Pr(T
g(⊥))

のように書いてあるとわかりやすいです。

＞どういうこと？
そういうこと。

つまりPr(g(⊥))は証明不能だから、真の場合も偽の場合もある。
Pr(g(⊥))をもとの公理系Tに追加した公理系T'も無矛盾！！！

>>148
Tが無矛盾なら無矛盾性述語「¬Pr(T，g(⊥))」はTで証明不能だから公理系T'=T∪{Pr(T，g(⊥))}も無矛盾といいたい？

つまり、全く無矛盾な論理体系は、『真理』に対して恒真か恒偽であるってこと？

>>149
＞Tが無矛盾なら･･･T'も･･･無矛盾といいたい？
実際、そうだから仕方ない。

>>150
＞ つまり、全く無矛盾な論理体系は、
＞『真理』に対して恒真か恒偽であるってこと？

何がいいたいのかわからない。
君のいう『真理』とは？

Pr(T，g(⊥))が真であるようなモデルでは
どんな命題PについてもPr(T,P)は真となる
しかし、それはPが証明可能であることを
意味しない。つまりPの証明可能性を、Prと
いう形で完全に形式化することはできない
ということ。

>>152
意義がよくわかりませんが。「⊥の証明が存在する」という公理があればあたり前でなんでその結論になるのか。

そもそものω無矛盾な体系のモデルはどんなものという質問とは関係ないんですね。

ω無矛盾な→ω矛盾な

でもそのT'はまさにω矛盾か、、

任意のpは⊥の証明にならないことが示せるのに∃p(pは⊥の証明)も示せる。

でどんなモデルを持つの？

＞「⊥の証明が存在する」という公理があればあたり前で

確かに上の公理があれば
「どんな命題の証明も存在する」というのは
当たり前。

問題は、実際にそれが構築できるかといわれるとできないってこと。

＞任意のpは⊥の証明にならないことが示せるのに

でも∀p¬(pは⊥の証明)は示せない。
上の「任意のｐ」は、あくまで自然数であることが証明できる
標準的な元ｐの全体しか考えてない。
しかし、自然数のモデルには、そのような元しか含まれないわけではない。
非標準的な元を含むのであれば、いくらでもおかしなことはおきる。

なるほど。では標準モデルはある意味で最小のモデルということだろうか。

ゲーデルの話はモデルの最小性を一階の言語の公理で言い表すことができないという話ととれるの？

>>158
それだけならば、レーヴェンハイム-スコーレムの定理で十分。

ただ不完全性定理はパラドクシカルに言われるけれど。

モデルが(真偽について同型のものをのぞいて)一意に決められないなら同じ問題に複数の答えがあって当たり前だよね。

標準モデルで考えるのに慣れてるからおかしな答えだと思うだけで。

哲学マニアは数学板によりつくなよ。

別に複数の答えがあるわけじゃない
教科書でも読み直せハゲ

>>161 >>162
バカは黙ってろ。

＞標準モデルはある意味で最小のモデルということだろうか。

証明できる元以外存在しないという意味では最小。

＞ゲーデルの話は
＞「モデルの最小性を一階の言語の公理で言い表すことができない」
＞という話ととれるの？

そう。

>>164
証明できる元の詳細求む。
次の2階の∀を使った帰納法の公理

∀P(P(0)∧∀y(P(y)⊃P(y'))⊃P(x))

を満たすxの値のことだと思うけれど。

>>165
詳細なし。考えればわかる。

http://wiki.fdiary.net/moikomi/?%B8%F8%CD%FD%BC%E7%B5%C1
↑なんかよくある誤解の典型のようなページですが、このひと何者なんでしょう？

>>167
＞なんかよくある誤解の典型のようなページですが
そうですね
『（１）「いかなる論理体系でも無矛盾であるとき、
　その無矛盾性をその体系の公理系だけでは証明できない」
　（第２不完全性定理）。したがって、
　（２）「いかなる論理体系において、その論理体系によって
　作られる論理式のなかには、証明する事も反証することも
　できないものが存在する。」（第１不完全性定理）』

順序が逆だな。
１）第１不完全性定理を証明してから第２不完全性定理が証明される。
２）自然数論を含まない理論ならば、完全な理論が存在する。

続き
『（３）この「証明する事も反証することもできないもの」を「公理」と呼ぶ。
したがって、すべての論理体系は証明不可能な公理を基礎として
組み立てられている、と言い換えることができる。
公理を基礎とする論理体系を「公理系」と呼ぶ。』

公理はそれ自体で証明とみなされる。
ゲーデルが示した証明も反証もできない命題は
もちろん自然数論の公理ではない。

続き
『（５）ゲーデルの第２不完全性定理は
「自分自身の無矛盾性を証明する」
という意味での自己言及である。
ゲーデルの定理は、論理学への
自己言及のパラドックスの導入である。』

自己言及は第１不完全性定理で
「この命題は証明できない」
という形で示される。
ところでゲーデルの定理は不完全性を示すものであって
パラドックスではない。
「この命題は偽である」とするとパラドックスになるが
その理由は真偽の(算術的)定義が可能としたところにある。

続き
『（７）自己言及のパラドックスが生じる由縁は、
　自己言及という行為自体が、コトバの世界からの
　脱出を意味しているからであろう。
　コトバの世界がそれ自体に言及するためには、
　そのコトバが置かれている世界を経由しなければ
　なし得ない行為だからだ。
　コトバの世界はモノの世界の中に浮かんでいる
　モノなのである。』

実際にはパラドックスの原因は自己言及ではなく
(再帰的)関数が、不動点をもつにもかかわらず
不動点のないような関数を考えようとすることにある。
つまりモノの世界は《思いこみ》でしかないのに、
それを前提してコトバでモノの世界を語りきろうと
するから破綻するのである。

ところでゲーデルの不完全性定理の何を功績とするかについて
２つの異なる立場がある。
１）対角線論法を用いた自己言及のトリックの考案
２）証明検査手順の算術言語による"プログラミング"

１）だという人は
「証明検査手順なんて地道にやれば
　プログラミングできるに決まってる」
といい
２）だという人は
「証明検査手順がプログラムとして書けるから
　自己言及のトリックが意味をもつんだぞ。
　大体対角線論法なんてカントルもラッセルも使ってる」
という。

当然のことながら、ゲーデルの功績が
０）数学自身の無矛盾性が証明できないことを示したこと
だという人は、ゲーデルの証明を読んだことがないか、
読んだことはあるが、何をいってるのかわからなかった
人である。
後者には同情するが、前者は単に怠惰なだけである。

>>173
どうもよくわからない。一階のどの公理系で真偽が決定できない一階の言葉で書かれた命題が存在する。

でも二階の証明系があれば決定できるならそれは決定できるんじゃないか？たとえばGは自然数の標準モデルを完全に言い表すことのできる系では証明される。

でもそもそも二階の証明系ってどんなもの？

あまり正確でなかった。

1階の広く認められている公理系である PA や ZF では真偽が決定できない1階の言葉で書かれた命題が存在する。たとえば無矛盾性やG。

だけれど実際はPA や ZFは無矛盾なこととかG の意味は真であることは当然と思われている。つまりそれはより強い(2階の?)証明系で証明されているということじゃないんだろうか？どうでしょう。

そうするとつまり。。。より強い立場で証明できれば十分なんじゃないか？公理と証明したい命題が同じ言葉で書かれている必然性があるのか？というのが疑問。

>>175は、173じゃなくて174だろ？

まず、二階論理の完全な証明系は存在しない。それが不完全性定理。

つぎに、二階算術では、一階算術の無矛盾性が証明できるだけで
二階算術自身の無矛盾性はやっぱり証明できない。

最後に、より強い立場を持ち出すのは、問題をより難しいものに
棚上げしているだけである。（実際に難しくなっているのか
どうかはわからないが）

ところで、非決定性命題が存在する条件は
「広く認められている」ことではない（笑）

うーん。単に素朴な疑問を言っていますが。最初に証明したい命題があってその後に公理系を考えるとしよう。

無矛盾というだけでは直感に反する公理系も入ってしまうから。もう少し別の基準で公理系をだんだん強力にしてゆく列を考える。そうやっていくといつかは証明できるというようなことはいえないんだろうか？

>>178
＞もう少し別の基準で公理系をだんだん強力にしてゆく列を考える。

で、その「もう少し別の基準」ってズバリ何？（笑）

＞そうやっていくといつかは証明できる
＞というようなことはいえないんだろうか？

証明ヲタクは神経症だから、神経科にいって治してもらいな。

でもちょっと考えたけどいえなそう。

＞証明ヲタクは神経症だから、神経科にいって治してもらいな。

そうかも。

先送り.. (r

早送り

とりあえず「任意のPAの記号を使った閉じた命題PについてPか¬Pのどちらかを証明できる無矛盾な公理系が存在する」は定理だから。

>>183
＞PAの記号を使った
ワロタ

多分、PAじゃなくて一階述語論理の完全性定理
のことをいいたいんだろうけど、肝心なところで
間違ってるね。

正しくは
「一階述語論理の任意の閉じた命題Ｐについて
　Ｐがどのような解釈でも真であることと
　Ｐが証明可能であることは同値」

ちなみに、閉論理式だからといってＰか¬Ｐのどちらかが
必ず証明できるとはいえない。
これは、閉論理式Ｐで、これが真であるような解釈と
偽であるような解釈の両方が存在するようなものを
実際に構成すればよい。サルでもできる。

>>185
バカみたい。

「モデルを持つ公理系は無矛盾」でしょ。PAの標準モデルでPか¬Pのうち真な方を公理とした公理系はやはりモデルを持つ。だから無矛盾。

文脈読んでないみたいだけど>>178への答えのひとつです。

>>178
Consis を付け加えていけば、いつか complete theory に到達するというのは
S.Feferman の結果にある。ただ、ずっとつけくわえていくという場合、極限順序
数のところで何を付け加えるかは、それまで付け加えたものを、どうコード化
するかによるから一意ではない。詳しくは論文を読んでください。

Consisは無矛盾性の公理ですか？順序数にどう対応させるんだろう。

>>188
Construction は Tree の形で分岐して行う。この Tree の長さは帰納順序数で
公理は recursive code でコード化したものを使う。最後に branch をとれば
complete theory が得られるといった筋。帰納関数論の知識がないと読めない。

>>186
＞「モデルを持つ公理系は無矛盾」でしょ。
（中略）
＞PAの標準モデルでPか¬Pのうち真な方を公理とした公理系は
＞やはりモデルを持つ。だから無矛盾。

で、肝心の「ＰＡの標準モデルが存在する」はどこの定理ですか？

あなた、自分の言ってることが
「正しいから正しい！」っていう
同語反復に陥ってることに気づけませんか？
それ、病気ですよ。パラノイアっていう。

＞Consis を付け加えていけば、いつか complete theory に到達する

で、そのcomplete theoryの公理の全体を記述できますか？

適当な命題をもってきたときに、どのレベルのConsisを公理とすれば
真偽判定に十分であるか知る手続きがありますか？

>>190
ん？どういうレベルの話？

PAの標準モデルは領域に自然数の集合を割り当て。関数記号や等号の意味は自然数の演算をでしょう。公理がすべて妥当式になるからモデルですよ。

ちなみにPAというのが適切なのかは知らない。

そもそも一階の言葉では自然数のモデルをいいあらわし切れないという結果のすべての原因は帰納法の公理が本来いうべきことを言えていないこと。

これは全ての空でない「部分集合」は下限を持つという整礎の公理でなくてはならなかった。帰納法「すべての命題が、、」はこの結論にすぎない。

ペアノの本来の公理はこういう二階の言葉で書かれるんですよね？

>>192
＞PAの標準モデルは領域に自然数の集合を割り当て。
＞関数記号や等号の意味は自然数の演算をでしょう。

ん？自然数の集合ってどうやって決めるの？
この質問で間違いに気づけないなら･･･馬鹿。

>>193
連続自爆か。整礎の公理は無関係。
述語全体をしばる二階の限量子を持ち出せば
いいかといえばそうでもない。
二階論理自体の正当性が示せないから。
だから、問題の先送りは赤字の先送りと同じく
最後には破綻する。

純粋に数学の基礎だけを与えるという試みなら命題と公理と推論だけを定義すればいいけど。モデル論もいらない。

そのかわり任意の公理系の性質なんて議論できないでしょ。その範囲が自分では定められないんだから。自分で完全性定理を持ち出したのにね。

>>196
誰にいってるのか不明。
日本語が話せない人にロジックは無理だが･･･

公理系の性質をいうときにはみな標準モデルを仮定していってるでしょ。

完全性定理も不完全性定理も標準モデルの定理ですよ。

> 不完全性定理も標準モデルの定理ですよ。

違うよ。不完全性定理は、モデルとは無関係に述べることができる。

正確には

標準モデルの定理→標準モデルを同定できる証明系の定理

>>142
例えば第一不完全性の前提のω無矛盾。任意の自然数kについてP(k)ならば∃k¬P(k)は証明できない。この任意の自然数ってじゃ何？

アンカー間違えた

>>142→>>199

>>200
numeral のことでしょ。
numeral は言語レベルの概念ですが。

じゃその先は。

言語自体は普通は集合論で自然数と同じように定義されるけど。そこはどうにか与えるつもりだろうけど。

たとえばゲーデル数化とかどうなるの？集合論以外で定義された言語をどう解釈できるんでしょう。

> 言語自体は普通は集合論で自然数と同じように定義されるけど

一階の述語論理に基づく(帰納的な)理論を展開するのに、集合論は必要ないでしょ。

確かに命題や証明のゲーデル数化を上から与えられたものとしておけば第一不完全性の証明のようなものを形式化できる。

ていうのが第二不完全性の証明の内容だったけど。そういうことを言ってる？

でもそのときに形式化できたのは今あなたが作った公理系Tにおける証明だけだよね。任意の公理系についてはいえないよね。

哲学厨のなにがいやかって

「命題」＝「疑問」と理解しているやつが多いこと。

高校数学シラネーのか?

命題は変数の集合X、述語の集合P、、が与えられたら

x∈Xは項
aが項、p∈Pならp(a)が命題
a
bが命題ならa⊃bが命題
、、

以上を満たす「最小の集合」が命題。最小の集合のところで集合論を使うと思うんだけど。。

自然数の例でいうと、x+y=y+x の証明には数学的帰納法が必要だけれども、
3+8=8+3 の証明には必要ない。

同じように、論理式や証明図の全体を本当の集合として扱う必要があるときは、
集合論のようなものが必要だけれど、述語論理上の理論を展開する上で必要なことは、
個々の論理式や証明図についての超数学的な取り扱いであり、本物の帰納法のような
ものはいらない。

論理式の構成に関する帰納法での証明は集合論的な本当の帰納法ではなく、個々の命題の
具体的な証明の略記として扱うことができる。もちろん、本物の帰納法ではないので
これにより証明できる超数学的命題は限られた形のものになるだろうし、「すべて」や
「存在」については通常の解釈ができないけれど、それなりに十分役に立つ。

>>104
最近は別の場所から飛来。VIPPERという。

>>208
論理式や証明図の構成に関する帰納法を用いるということは、
論理式や証明図の全体を考えることになる。

一般でないからいいというのは間違っている

もう少し整理した言い方をすると、(帰納的な)理論を展開するだけならば PRA で十分ということ。
PRA だけではモデルの概念を議論できないでしょ。

僕としては1階の言葉でいえる弱い帰納法を使うのが間違いかどうかは立場の問題だからどっちでもいい。

知りたいのはそれで不完全性定理が(集合論からいえるバージョンを弱めることなく)本当にいえるかどうか。

第一不完全性ならPRAで形式化できるんじゃないか

212\のような疑問はナンセンス。
例えば、PA で証明できないが(もちろん PA が無矛盾であることは仮定する
ということだが)、ZFC で証明できる数論的命題はある。
PA でも ZFC でも排中律は証明可能である。証明可能な命題はその体系で
同値である。これから、PA の排中律は ZFC の排中律より真に弱いという
ことになるが、そういうことを訊きたいのだろうか?

テキストとして比べて同じかあるいは同等か。背中律って命題の上を動く公理でしょ。言えることはかわると思う。

でも不完全性定理はひとつの命題で書けるはず。あとはどの公理を使うか。

ゲーデルの不完全定理について。一つひとつ秩序に従って考える思考がある
これが言葉の思考つまりデジタル思考である。左脳思考である。アナログ思考
は右脳思考である。アナログ思考はゲーデル数には表せない。ゲーデル数があらわしているのはデジタル言葉の思考である。
現在はデジタル思考文明である。ゲーデルの不完全定理は現在のデジタル文明に限界があることを示している。その限界はアナログ思考で乗り越えられる
今日はコンピュータ、デジタル思考文明である。そして限界に来ている。この限界を乗り越えるためにはアナログ右脳文明に変革せねばならない。

ゲ
こ
は
現
今

>>215
214 を読めばわかるが、証明可能な命題は 1 = 1 と同値である。
だから、ZFC と 1 = 1 と PA の 1 = 1 では後者の方が真に弱い
ってことになるという解釈でよいのか? ということである。
つまり、自分の疑問が、たずねて意味のある疑問になっていない
だろうとご指摘してるわけだが、おわかりにならないようだね。

強いか弱いかだってシンタクスでわかるよね。たとえば含意の左の連言の節が増えてれば弱くなってる。

だいたい逆じゃないか？より強い論理=より多くの公理ではじめていえる定理はより少ない公理でいえる定理より弱い定理だと思うんだけど。

ACを使って言えたことがACを使わないで言えたら驚くけど。逆は驚かない。

まあ質問の意図はだから前提のω無矛盾とかRE公理化可能とかをより強い条件にしなくてもPRAで証明できるかってこと。

>>221
＞PRAで証明できるか
何を？不完全性定理をかい？
＞ω無矛盾とかRE公理化可能とかをより強い条件にしなくても
そもそもなぜPRAをもってきたのかい？
てゆーか、君PRAってなんだか分かってる？（笑）

ペアノの公理を一階にしたものじゃないの？Rは何？

ＰＲＡとは･･･
原始再帰的算術(Primitive Recursive Arithmetic)

√225 = 15

407

629

>>105
に便乗して質問、
組（数、数）を入力して、それが、
ロビンソン算術の公理系の、ある証明のゲーデル数とその論理式のゲーデル数の関係になっていないときに必ず0を出力するチューリング機械
というのもつくれるのでしょうか？

帰納的関係なんだから（ｒｙ

Yesということですか？

証明の最後の行を取り出せば、その論理式のゲーデル数が
分かるでしょ？
だからyes
なっていないときに0を出力してなっているときには1を出力する機械だって作れる

（　´∀｀)⊃

チューリングはオナニーをしていて停止問題に気づいた
だけどそのままだと論文に難ありなので比ゆを用いた

ゲーデルはビニール袋を使った

本を読んでて、
Qにおいて、ある論理式（ゲーデル数がｍ）が証明可能であるとき、∃ｙProv（ｙ、ｍ）がQで証明可能、という文にぶちあたったんですが、
これは、∃ｙProv（ｙ、ｍ）という論理式が、Qの公理と推論規則（S0+S0=SS0みたいなのを証明する目的で設定しているあれ）から、導出されるということですか？

＞（S0+S0=SS0みたいなのを証明する目的で設定しているあれ）
ってのが何のことを言ってるか分からないけど多分その理解でいいんじゃないかと

∃yProv(y,m)って言っても（S0+S0=SS0みたいなのを証明する目的で設定しているあれ）要するに
∃y∀x_1∀x_2……x_25・x_26+x_27=…みたいな（適当だけど）ただの論理式でしょ？
その論理式が証明可能、ということ

∃yProv(y,m)という形で導出されるみたいではないみたいですね

で、
＞∃yProv(y,m)が、∃y∀x_1∀x_2……x_25・x_26+x_27=…みたいな（適当だけど）ただの論理式
というくだりがよくわからないんですが、
なにか別の論理式
＞∃y∀x_1∀x_2……x_25・x_26+x_27=…みたいな（適当だけど）ただの論理式
を、∃yProv(y,m)という形で表してる、ということでしょうか？

論理式は、quantifierや変数記号や函数記号やらが一定の規則で
並んだものでしょ？∀x∀y x+y=y+xみたいに．
で、その中で、ある性質を持つような、自由変数を二つ持つ論理式に
Prov(x,y)と名前を付けてるだけでしょ？そういう風に書いてあるはず

可証述語って書いてあって、
２項関係Prov（ｎ、ｍ）を考えるとあったので、
Provってのを、２項述語記号と思ってたんですけど、

勘違い？

>>235
>>237
が言うところの、
Prov(x,y)のｘのところにｎをｙのところにｍを入れたやつ、という書き方のほうの、Prov（ｎ、ｍ）ということっすか？（なんだよこの括弧はとは、思ってたんだが・

まず、上の方は明らかに勘違いかと、、
自然数論なんだから述語記号は=（と場合によっては不等号<）
しか無いです

あとはSuccesser函数Sとか足し算の記号+とか
掛け算の記号とかquantifierの組み合わせとかを使って
Prov(n,m)は実際に書き下すことが出来ます

ただ実際は膨大な長さになるので手で書き下すのは一寸きついかも

あと自然数nと数項SSS.........0は区別して考えたほうが良いっすよ

>>235
>>237
>>239
>>240
ありがとうございました。

>>239
どういう方針で書き下すんですか？
原理的には虱潰しで見つかるにしても。

下のほうから
f_1(n):nで表される記号列のながさ
n*m;ｎで表される記号列の後ろにmで表される記号列を続けた記号列のGoedel数

P_1(n):nはある論理記号/変数記号のGoedel数である
P_2(n):nはある記号列のGoedel数である
P_3(n):nはある論理式のGoedel数である
P_4(l,n,m):ｎはGoedel数lの論理式とGoedel数ｎの論理式から推論規則1によって導かれる論理式のゲーデル数である
…
P_5(n):nはある証明（図）のGoedel数である
P_6(n,m):nはGoedel数nの論理式P、mはPの証明（図）のGoedel数である
∃m P_6(n,m):Goedel数nの論理式に対してある証明が存在する
つまりProv(n)

見たいな感じで気合で作ります
虱潰しよりはましだけど、これが面倒なことこの上ない

>>243
ありがとうございます。

ゲーデルの完全性定理の証明が載っているサイトを教えて下さい。不完全じゃなくて完全性定理です

ttp://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/gra/complete.pdf
あとは適当に「完全性定理」「completeness theorem」
でぐぐって出てきたページだけど
ttp://research.nii.ac.jp/~terui/mita03b.pdf
ゲーデルの「完全性定理の証明」ってことなら
http://en.wikipedia.org/wiki/Original_proof_of_G%C3%B6del's_completeness_theorem

ってかぐぐりゃ結構出てくるよ

不完全性定理についての本を探しています。

定理の理解よりも、この定理にまつわる物語を知ることが主な目的なんですが、お勧めありますかね？
アマゾンだと沢山出てくるんですけど、定理の理解がメインの書籍が多くて。

数学力は、高校数学はほぼ理解できてる程度です。

定理にまつわる物語ってのがよくわからんが
「ゲーデルの謎を解く」（岩波科学ライブラリー）
講談社現代新書「ゲーデルの哲学」ぐらいがよろしかろう。

>>247
つ　高橋昌一郎
　「ゲーデルの哲学　不完全性定理と神の存在論」
　講談社現代新書

　　別冊宝島EX
　「現代数学で遊ぶ本」
　　→　書中　廣瀬健　監修「ゲーデルの不完全性定理」はメタメタ超難し理論か？
　　　　の章部分を参照のこと

　後者はおそらく絶版の上入手困難だと思う

　質問はageとくのがオススメ。
　あと自分のバックグラウンドくらいは入れとこう。それによってオススメ書は全然変わってくる。

　オイラの想定は「>>247は数学専攻以外の理系の大学生（哲学や数学史にも興味あり」ってとこ
で回答

で>>1はどこ行ったのよ? age

ゲーデルは何を証明したか　数学から超数学へ
著者：Ｅ　ナーゲル、Ｊ．Ｒ．ニューマン共著、林一訳　出版元：白揚社

いい本っぽい、一寸詰め込みすぎで消化不良ぎみっぽい

ゲーデルの謎を解く
著者：林晋　出版元：岩波書店

値段の割りに本の分量が少なすぎるような、、

ゲーデル未完哲学論稿
著者：ロドリゲス-コンスエグラ著、好田順治訳
出版元：青土社

訳が微妙らしい

Logical Dilemmas
著者： J.W. Dawson, Jr.
出版元：A K Peters, Wellesley, Massachusetts

ゲーデルの伝記的事項について徹底的に書いた本

林さんのページ
ttp://www.shayashi.jp/HistorySociology/HistoryOfFOM/Books/books.html

定理にまつわる物語、じゃゲーデルがアインシュタインに招かれてアメリカに
亡命して、入国のための試験を受けたときに、、といった伝記的事項が知りたいのか
それとも当時の思想的な潮流を知って、どうして不完全性定理が衝撃的だったのか
を知りたいのか、といった周辺事情を知りたいのか、どっちか分かりにくいんだが、、

age

どうも。247です。レス沢山ありがとうございます。
>249の予想ぴったしで、数学・物理あたりに興味のある情報科の大学生やってます。

以前読んだサイモン・シンの「フェルマーの最終定理」がドラマスティックで面白かったんで、
そういうイメージで「まつわる物語」と書いたんですが・・・今考えたらフェルマーの定理が特殊すぎるだけですよね。

とはいえ不完全性定理自体にもかなり興味があるんで、上で薦めていただいた本を漁ってみます。
とりあえず「ゲーデルの哲学」買ってくる予定です。安いんで。

昨日カキコの後に見つけたんですが「ゲーデル,エッシャー,バッハ―あるいは不思議の環」ってのが
レビューで絶賛されてたり賞とったりしてるらしく、ゆくゆく読んでみたいと思いました。
でも値段とページ数が有り得ない。

いい読み物（サイエンティフィックアメリカンに載った
ホフスタッターのコラム記事を集めたもの？）ですよ
情報科の方なら読んで損することはないでしょう
値段はともかく、ページ数は気に入ったところから
適当に読めばいいのでさほど気にならないと思います

ただゲーデル関係のページはさほど多くないです

>>255
それは「メタマジックゲーム」では?

それって？
＞サイエンティフィックアメリカンに載った
＞ホフスタッターのコラム記事を集めたもの？
のことならそうかもしれない

どちらにしろ似た本だと思うけど

>>254=247
うほっ　俺いい仕事ｗ
でも俺Ｎ議板（ﾆｭｰｽ系）中心の住人
畑違いの予想ぴたりであまりにもﾜﾛｽｗｗｗ

ヒント1：トリップ検索
ヒント2：割れトリップ
ヒント3：アッーーーーーーー！！！

なんだか混乱しているようだが

「ゲーデル,エッシャー,バッハ―あるいは不思議の環」は読んで損はない。
一度読めばタイトルや詳細を忘れたりすることなどありえないいい本だ。

>>259
最初から読み進める気分にはならない俺にお薦め箇所を教えておくれ

人を喰った凶悪な亀が警官に連行されるところ。

メタマジックゲームも同じ著者の、同じような趣の本だった覚えがあるけど、、

一度読んだら、どっちがサイエンティフィックアメリカンの
コラム記事だったか忘れるはずない、なんて言われても困るんだが、、

まあ第一章の初めから、端から端まで読んだわけじゃないから
そんなのは読んだうちに入らない、なんて言われればそれまでだけどね

ゲーデル、エッシャー、バッハの新装版が出たからこれを機会に購入するべきか？

さらに重くなって新発売？

ゲーデル、エッシャー、バッハ　難解本ってマニアチックだから、、、
ゲーデル数解読集とか、エッシャーきり絵セット、バッハ？？なんだたっけ

は？

>>262
＞メタマジックゲームも同じ著者の、同じような趣の本だった覚えがあるけど、、

何を「趣」というかによるな。
まず、本の厚さという点では同じ程度。
しかしこれを趣というのは著しく表面的だ。
次に、中身に関していえば、メタマジックゲームのコラムの中には
ゲーデル・エッシャー・バッハの内容を踏まえたものもあるが、
基本的には異なるテーマの話が多い。

＞定理にまつわる物語
サイモン・シンのような読み物がお望みなら
このあたりがいいだろう。

「無限」に魅入られた天才数学者たち
アミール・D. アクゼル (著), Amir D. Aczel (原著), 青木 薫 (翻訳)

テーマなんて一つの本の中でも話によって違ったじゃん

ただ、言い訳するわけじゃないが
「サイエンティフィックアメリカンのコラム記事だったかどうか」
はどっちかというと枝葉末節の情報じゃないかな

まああまりきちんと読んでなくて二書を混同していたのは確か
高校のときに読んどけば良かったなあ
そういう時間が取れないほど忙しくなるとは思っていなかった

よく読んでないのに
>情報科の方なら読んで損することはないでしょう

いや>>254が情報科らしいし、あと
不完全性定理を単なる数理論理学の定理としてではなく、
自己参照現象のひとつ（元祖）と位置づけた本だ、
とかいうレビューを見たことがあったからさ

人工知能とかについても色々書いてあるし

なんか俺が自己弁護するスレ、みたいな様相を呈してきたなｗ

で、どんな内容かは言わずに枝葉末節の情報と思うようなことを言って勧めたわけか。

何で怒ってるのか皆目分からんのだが、、

>>255でも記憶がアヤフヤだったからこそ
それを示すために「？」つけたんだけど
>>255のその情報が何か問題ですか？

コラム記事じゃなかったとしても、それで何か
困るような事態も無いだろうと思うんだが

そりゃ罪だな

怒ってないよ。
アヤフヤで枝葉末節と思うようなことをわざわざ言わずに、どういうところがお薦めなのか言えば
いいのにと思うだけ。
>>273はそう思わないか?

確かにそうかも分からんね

>>273
何回かコラム記事を読んだだけの人が、
自分に必要な内容ではないと判断することはないか？

ざっと流し読みしてなかったら
真面目に全部読んでも実際無いかも

さすがに万人にとって必要な本だとまでは

なんでこんな話題でギスギスしてるのかさっぱりわからん

＞どういうところがお薦めなのか言えばいいのにと思うだけ。

読んでもないくせに読んだような顔したい
見栄坊にそんなことできるわけがないだろ。

読んで理解したいのと理解できなくても読みたいのと
読んでないのに読みたいのとでは別だろう。どれもありうる。
それに、理解していないのに理解しているふりがしたいという
のもありうる。

＞高校のときに読んどけば良かったなあ

そうだな。遅くとも大学教養課程（つまり２０歳まで）には読むべき。
ただし実際には
・高校生→受験で忙しい
・大学生→暇だがいまさら馬鹿馬鹿しい
という理由で読まない。
かくいう漏れは社会人になってから
拾い読みしてるが全部通しては読んでない。

なんでこんな話題でギスギスしてるのかさっぱりわからん

>>279　>>283
だからギスギスするんだよ。この鈍感野郎

ﾊｲﾊｲﾜﾛｽﾜﾛｽ

ゲーデルの不完全性定理でくつがえった定理って具体的に何よ？

証明できてはじめて「定理」。一度証明されたものが覆ることはない。

人類の数学の知識ってのは厳密に単調増加だからね

あまいな３０世紀にはＺＦＣが否定されて、、、

詳細に分類したものを同類関係に基づいて整理したものが数学的知識だから。やはり単調増加だ。

そうやって知識の定義をゆるめていくと
やがて数学に限らず人類の知識すべてが単調増加になる

エントロピーみたいに

数学とは∞＝０の円環への連想を利用した記憶術に過ぎない。

ZFCが否定されるってことは公理Aと公理Bと、、、から
公理Xの否定が証明出来ることが分かった、ということだから
新たにZFC-X（ZFCから公理Xを除いた公理系）の定理が
得られたことに間違いは無いわけだ

まあXとしてはACを想定してるんだろうけど

数学とは∞＝０への円環との連想を利用した記憶術に過ぎない。

電波はいちいち訂正せんでよろしい

>>296
電波なりの論理があるのを暖かく見守って下さいm(_ _)m

>>286
不完全性定理は、定理をくつがえすためのものではない。
証明も否定の証明も原理的にできない命題がある、ということだから、
今までに証明できたものについては別に何も言ってないし、
これから証明できるものも証明できればそれでOK。

証明できそうだ、という見通しが立っていた
ある種の命題が、実は証明できないことが分かった、というのはあるけどね

>>299
補足がいるな
「またその命題の反例も存在しない」ことも同時に証明できないことが分かった
と

ああ、そうだね
まあある定理が証明できない、というのはかなり特殊な知識のあり方だけどね

>>301
その「特殊」な知識のあり方を、「哲学的な知識」と分類する事が可能だろう。
任意の公理系から予想しうる命題の全体における、哲学的な命題であるような
部分の存在が証明された、と一般に言う事が可能だ。

一般に→一般的に

いやもっと根本的にだな

「哲学する」という動詞には空集合と置換とするという意味しかない。
「哲学」という名詞にはその集合の空集合と置換できる要素という意味しかない。
「哲学的」という形容詞は空集合と置換できるという意味しかない。

「その」が指す内容とはある非空の元に含まれるφだ。
しかしそれ＝『「φ」φ』のどちらのφかは最後まで不明だ。
つまり哲学とは知識をわざと曖昧に扱うための工夫なのだ。
そして数学とは０〜∞という円との間の曖昧な連想を利用した、
記憶術の一種なのだ。

デムパを検知しますた

GEBってそんなにいいかあ？
対角線論法ならペンローズの『皇帝の新しい心』の方が
数倍わかりやすく納得できるが。

>>307
デムパを抜いてスッキリしますた

肯定も否定もできない事が証明された命題って具体的になによ？

『皇帝の新しい心』は微妙にトンデモだからなあ、、

対角線論法ぐらいなんとなく頭に入らないか普通？

>>308
GEBで用いているのは対角線論法というよりクワイン化だから。

GEBは頁数の割りに大した内容ではない。

そういえば竹内外史が取り上げられていないね。

不完全性定理のエッセンスは、敬虔なカトリック教徒であったゲーデルの「常識」では
ないだろうか？　ヴィトゲンシュタインは不完全性定理を trivial（月並み、経験
命題）と一語で評したいたそうだ。
公理系は証明不可能な（その公理系から演繹不可能な）真理命題を含む、という結論に
到達しつつも、ゲーデルは不可知論者ではなかった。やはり、数学的情熱は信仰に支え
られているとうことか？　カトリック臭を感じる。

＞GEBは頁数の割りに大した内容ではない。
GEBは数学書ではない。

＞不完全性定理のエッセンスは、敬虔なカトリック教徒
＞であったゲーデルの「常識」ではないだろうか？
宗教は多分関係ない。
＞ヴィトゲンシュタインは不完全性定理を trivial（月並み、経験
命題）と一語で評したいたそうだ。
得られた結果をどう見るかは、宗教と関係するが
それは定理の証明のエッセンスではない。
ん？エッセンスとは証明のそれではない？
そんなのはエッセンスではない。

ＶＩＰからきますた、数学の天才、ちょっときてくれ(`・ω・´)

開成中の入試過去問題にお手上げ状態┐(´ー｀)┌

【秀才】 この問題の解き方教えてくれ 【集まれ】
http://news19.2ch.net/test/read.cgi/news/1131301609/

スレ違い
既出

>>316
全体的に意味不明

＞trivial（月並み、経験命題）
ゲーデルの偉いところは、不完全性を「証明」した所じゃないかな
ヴィトゲンシュタインでも、不完全性定理の証明の方法は知らなかったはず
タルスキは惜しい所まで行っていたらしいが

631

http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1130557820/181
これは私見なんだけど、「普通の数学」の外側に
メタ数学というものがあって、どうのこうの、、というから誤解されるわけで、
何らかの数学の構造模型みたいなのを作って、数学で扱える対象物にして
それから、その構造模型の性質を調べるのが「メタ数学」だ、という説明の方が
分かりやすいと思うんだが、どうでしょ？

電子顕微鏡では、生きた細胞は見れなくて、必ず細胞を固定して
物凄く薄い切片を作らないといけないけど、似たようなものだと

http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1130557820/171
の間違いだったorz
すまぬ

http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1130557820/180
かも、、まいいや、、

＞「普通の数学」の外側にメタ数学というものがあって、
＞どうのこうの、、というから誤解されるわけで、

というより、メタ数学が普通の数学の外側にあるというのが誤解。

＞ 何らかの数学の構造模型みたいなのを作って、
＞数学で扱える対象物にして、それから、
＞その構造模型の性質を調べるのが「メタ数学」だ、

実は、数学の中に数学の模型を作る。
これが数学を数学で扱うという「メタ数学」。

これはそうへんちくりんなことではない。
人が脳の中に宇宙の模型を作るのと同じこと。

age

142

>>23
私も前原先生の数学基礎論入門、読みました。
良い本です。
他に参考になりそうな本として、
梅沢敏郎『記号論理』筑摩書房
（出版年 1970.12）
が挙げられます。
原始帰納的関数の表現可能性について詳しいです。
ただ、今は絶版なので、大学の図書館などでしか
閲覧できません。

詳しそうな人に質問でふ

「数の体系と超準モデル」　田中一之　裳華房

っていい本ですか？

>>328
色々載せすぎて中途半端になってる面がある。
それにそういう質問をするやつが読める本ではない。

>>２８６
不完全性定理によっては、
これまでに知られていたいかなる定理も
覆っていません。

覆ったのは、不完全性定理が証明される前までに
数学者たちによって期待されていた事柄です。
専門外の方たちにもわかるように、平たく述べると、
次のような事柄です：
１：数学の無矛盾性（正しさ）を、数学的に証明すること。
２：数学によって、（数学的に記述できるところの）
　　すべての命題（陳述、又は文章）の真偽を決定すること。
３：いかなる数学的問題でも、機械的計算によって
　　解決できるコンピュータ-プログラムを作ること。

これら１，２，３で述べられた、数学者の『夢』が、
不完全性定理によって、『叶わぬ夢』であるということが、
証明されました。

＞＞３２８
「数の体系と超準モデル」　田中一之　裳華房
私にはおもしろそうです。
これを読むためには、取り敢えず超準解析の知識が
必要でしょう。文献として、
『超積と超準解析』（齋藤正彦著、東京図書）
を挙げてきます。いくつかの大学の図書館で閲覧できます。

> これを読むためには、取り敢えず超準解析の知識が
必要でしょう。

まさか。必要というわけではない。

ゲーデルの不完全性定理を再考してみました。
http://members2.tsukaeru.net/ogawa/gepara.html

>>333
なんか、変なところへ行っちゃいますけど…

　∧　∧
(*`ω` *) 　あげぽっぽ
　(　　　)
　　v v 　　　
　　　　　　　　ぼいんっ
　 　川
　( (　　) )

785

x

age

922

なんとなく、逆数学。
ブリリアントな絶対数学。

これを話題に持ち出す人って、なんか誤解してるんちゃうのっていう人がおおい。
このまえ、あるひとと話してたら群論はさっぱりわからんかったとかいいつつも、
この定理語りだしたらながいながい。

確かに基礎論って言う分野はあるけど、解析・幾何・代数とかのほうがおもしろいヨ。

いや、それは変な人とばかりつき合ってるからだ。

数学が出来ない人ほど、この定理に出会うと夢を見がちになるような。
自分が分からない数学も結局不完全なんじゃん、やる意味ねーよ、って感じで。

不完全性定理は今世紀中に解かれると思うよ。

>>333を鴨さんに誰か推薦してあげてくれないだろうかｗ

つーか最近、鴨さん、黒木さん、大豆生田さん達自体が“静か”ですよね。

>>347
リストラ候補が騒いだら自爆だわな（ｗ

3^√4=9

すいません、不完全性定理という言葉に惹かれて、概説書などを
読み始めたんですけどいまいちよく分かりません。

不完全性定理というものは、このその公理系が無矛盾なら、否定も
肯定もできない命題が存在すると言うことらしいですが、これは具体
的にどういうことなんでしょう。
数学者に、具体的にと言われても困るでしょうが。

不完全性定理は自己言及パラドックスについての定理だと聞きました。
有名なパラドックスですが、「クレタ人が、クレタ人が嘘つきだと言った」
という命題は、自己言及パラドックスです。
クレタ人以外が、「クレタ人は嘘つきだ」と言えば、なんの問題もありません。
しかし、クレタ人が自分自身のことを、「嘘つき」と言ったら、とたんに否定
も肯定もできなくなる。

でも、これは、普通に、「クレタ人は嘘つきだ。しかし、『クレタ人は嘘つき』
だと言うことだけは、本当のことを言う」と言うように条件を付ければ、理
論の完全性は保たれるのではないでしょうか？
ただ条件を付け加えればいいだけなのに、どうしてこれが「理性の限界」
になるのでしょうか？

日本の数学者は関孝和に毛の生えたぐらいの人が多いので、不完全性定理など
まともに考えたがりません。まれにまともに付き合う人がいても、付き合いと
ともに、また時代とともに考えは深化するので、考えは一定ではない。
こんなところでタダで知ろうとしないで、良い本を読んで、自分でも考えが変化
するのを楽しむが良いでせう。
それも絶対じゃないところが面白い。

>>350
ゲーデル文は「この命題は証明不可能である」という形の命題
「嘘である(偽である)」と「証明不可能である」とは違うので、
クレタ人のパラドックスとは同じ構造ではない

> ただ条件を付け加えればいいだけなのに、
ゲーデル文 G を最初の体系 S に公理として付け加えても、
「この命題は体系 S+G で証明不可能である」
という別のゲーデル文 G' が存在するので、S+G も不完全

> どうしてこれが「理性の限界」
> になるのでしょうか？
不完全性定理は「理性」とは無関係

理論の完全性を保つためには公理を無限個付け加えないといけないですが
そうすると今度はある命題が公理かどうかの判定がそもそも出来なくなります

そんな理論は机上の空論であって、われわれが普段
数学と考えているからは程遠いものです

「理性の限界」の話に関しては多分
オッペンハイマーが述べたコメントが元になっているんでしょうけど
私も理性とはあまり関係ないと思います
まあ我々は神様ではない、ということは言えるかもしれませんけどね

>>350
数学を展開できるような公理系には、その公理系が矛盾だとすれば、
証明も反証も出来ないような命題が必ず存在する。

という存在定理です。この定理と「理性の限界」を結び付けたがる心理は面白いですよ。
何か深遠なことを述べた定理であるかのように錯覚したいのでしょう。

間違えた　ｏｒｚ

×　矛盾だとすれば
○　無矛盾だとすれば

>>354
でも、確か当時の数学者の中にも積極的に「理性の限界」みたいなこと言った人が
いるんだよね。

でもまあ、完全を目指した数学でさえ、限界はあった…つー象徴的定理でもある。

理性の限界と言ってもあながち間違いじゃないでしょ
少なくとも我々の自然数とか実数とか言う概念が
実は不完全なものであって、唯一つのものを指していないことは言える

ただあれは論理的に不可能、ということなので
われわれ人間には不可能だけど、宇宙のどこか遠くの
我々より遥かに優れた知性を持った宇宙人には可能、ということにはならないのだけど

公理系の完全性・不完全性なら判るけど、概念が完全とか不完全とか意味ワカメ。電波系の人ですか？

べつにペアノ公理とか持ち出さなくても論理学そのものが不完全なんだから
哲学、法学、心理学その他論理学に立脚する全ての分野が不完全

>>352
>「嘘である(偽である)」と「証明不可能である」とは違うので、
>クレタ人のパラドックスとは同じ構造ではない

>>353
>理論の完全性を保つためには公理を無限個付け加えないといけないですが
>そうすると今度はある命題が公理かどうかの判定がそもそも出来なくなります

ここら辺がよく分からないんですが、不完全性定理は「クレタ人は嘘つき
だ」みたいに、日本語で物語風に説明することができないんですか？

無限個付け加えるということはいったいどういうことなんでしょうか？

ナーゲル、ニューマン著
ゲーデルズプルーフ（日本名、数学から超数学へ）
という本があった。

３５０氏もこれを読めばいいかな。

>>360
前半の文学的な部分はようわからん。

>無限個付け加えるということはいったいどういうことなんでしょうか？

真な命題を全部公理にすれば明らかに完全。でも、どれが公理かわからなくなる。

>>360は真偽の概念は理解できていないと思われ。そこから説明しないとわからないのではないかと。

ゼータ関数からオメガムヨ順を取り出す方法を考えて。

ぺよじゅん

嫁がむジュン

>>358
概念ってのは別に集合論に出てくるテクニカルタームとしての「概念」とかじゃなくて
飽くまで一般的な用語としての「概念」です
我々の知っている自然数に関する性質は高々有限個（せいぜいr.e.）だとすれば
自然数に関する命題の真偽が我々の直観からほとんど独立なものがあるということで
（少なくともZFCから独立な自然数論の命題はあるわけですが）
「自然数」という概念の指すものがきちんと定まっていないことになりますよね

いずれにしろそういうモデル論の話をしてるんじゃなくて
理性の限界がどうの、という話なのであえて完全という言葉を使ったわけですが

>>359
そんなのは数学者には自明でしょう

どっかのスレによると真偽の概念は言い訳に過ぎないそうだね

そういえばゲーデル風に「矛盾への収束」とかを信じる立場に立てば
必ずしも>>367みたいなことは言えないんですね

もっともこういうのはほとんど宗教ですけど

言葉の遊びと数学は違うけど
ま、面倒だから教えてやらねえ。

理性の限界がどうの、っていうそもそも
数学じゃない話なんだからしょうがないじゃないですか

すみません。他のスレで見たんですが、ペアノ算術の公理で、普通はsuccessorを使わず、加算と乗算を関数記号として公理に用いるって書いてあったんですが、それって一般的なんでしょうか？私が知っているのは＋や×を定義するやり方なんですが。

0と1を定数記号に、+と・を函数記号にして
ペアノ算術を定義している本もあるようですよ
私は田中一之さんの本でしか見たこと無いですが

加法を定義せずに乗法が定義できるから便利、
とかそういうことなんでしょうかねえ。。
ペアノ算術の話をするときは逆数学系の人の慣用に従え、
ってことだとしたら無茶だと思うんですけどね

そうですか。その場合、普通successorは使わないんですか？後、メリットは他にはないんでしょうか？

>>373の田中一之さんの本では使っていないようです

どういうメリットがあるのかは知りません
PAより弱い体系を調べるのでなければ
個人的にはどっちでも大差ないような気がするんですけどね

わかりました。専門的でなければ、気にする必要はないと言うことでしょうか。ありがとうございます。

>>360
> 日本語で物語風に説明することができないんですか？

(某書の話を劣化コピー)

ある論理学者が正直者と嘘つきの島
(住人は本当のことか嘘かのどちらかを必ず言う)を訪れ、
そこで一人の島の住人と会い、住人に
「あなたは私が正直者であると論理的に推論することはないでしょう」
と言われた。

このとき、この住人は正直者なのだが、
論理学者が整合的なら、この住人を正直者と推論することも、
嘘つきと推論することもない。

>>377
しかし、論理学者の育ての親はこの住人が正直者だということは「分る」。
何故なら論理学者の育ての親は、この住人の発した言葉の形と、すでに
「論理学者について」研究して分っていたことから判断して、この住人
の言う事が正しいと分るから。

ということで良いですか？

案外親なんて子供のことをあまりよく理解していないものですよ

とか言ってみる手酢津

>>378
論理学者本人以外は住人が正直者と分かるわけだが、
その前に論理学者が何故、住人が正直者と推論できないかが重要なわけで、
それはいいのか？

>>360
「決定不能の論理パズル」を読め

>>367
> いずれにしろそういうモデル論の話をしてるんじゃなくて
> 理性の限界がどうの、という話なのであえて完全という言葉を使ったわけですが

公理系の完全性を議論するのにモデル論は不要

どちらかというと完全性じゃなくて範疇性というような意味で使っていたんですけどね
もっとも集合論に対してその言葉を使うとちょっとややこしいことになりますけど

いずれにしろ私は>>357では「完全」という言葉を
証明論的な完全性という意味でも意味論的な完全性という意味でも使っておらず
日常用語の意味で使っていたつもりですが、紛らわしいと仰るのなら
確かにそうかもしれません。"不完全"と書くのも意味が分かりにくいし、
完璧ではない、とか、我々の数学が考察しているものの外延が
定まっていない、とか言えば良かったかもしれませんね

ようするに、不完全定理のいわんとしていることは、どんな理論でも揚げ
足をとれると言うことですか？
反論できないロジックはないということでしょうか？

「この世には絶対はない」
「じゃあ、この世に絶対がないと言うことも絶対じゃないんだね」

と言う風に。

単純な質問ですが、この世には反論できない論理というもはあるんで
しょうか？　無いんでしょうか？

無限個の対象を扱う「形式的」理論とその論理てえのは、
その形式的理論のあらゆる解釈に共通の真理を導くことは
出来るが、或る特定の解釈のもとでのあらゆる真理は導け
ないという「感じ」でどう？　そんなの当たり前じゃんと
言う人がいそうだが、その「形式的」理論が「自然数」を
キッチリ定義したかたちの理論だよ、と言われると、
「エッ？」と思わない？
「形式的」の意味も、数学科の教授でも分ってない人が多い
だろう。

　 　　∧ ∧ ∩∩　
ﾋｿﾋｿ（°ώﾟ)（ﾟώ°）ﾋｿﾋｿ

ようするに、普通の数学者よりも、もっと数学的にキチンと
勉強した上で考えなくては、不完全性定理とかの意味は分ら
ないんだろ。それも個人や数学界の進歩とともに変る。

>>387
バカは高校の教科書をながめてろ

>>388
３８７が馬鹿であることを証明せよ。証明出来なければ、３８８
が馬鹿だろうよ。

>>389
証明は自明だろ。

>>387は
> ようするに、普通の数学者よりも、もっと数学的にキチンと
> 勉強した上で考えなくては、不完全性定理とかの意味は分ら
> ないんだろ。

と書いているけど、ゲーデルの不完全性定理は、ゲーデルの論文または
適切な教科書を読めば理解できる。定理の意味と証明のアイディアだけなら、
解説本でも十分だ。

上のようなことを書くのは、>>387自身がゲーデルの不完全性定理を理解していない
証拠だよ。

普通の数学者がこの定理の意味と証明のアイディアを理解する能力が
有るということは誤りだろ。
普通の数学者の能力では実際理解出来ないということはしばしば
観察される事実でしょう。
普通の数学者に理解能力があると観察しているのなら、その観察者
には観察能力がないのだろう。
あるいは分っていても同業者や先輩を悪く言えないのか。

>>391
> 普通の数学者の能力では実際理解出来ないということはしばしば
> 観察される事実でしょう。

ゲーデルなんか興味ね〜という数学者は大勢いるけど、
勉強しても理解できない数学者なんているのか？
いるとすれば、証明のどの段階でつまずくのか？

事実と願望の混同

それよりも３８５が馬鹿だと証明してくれないかな。
あげあしとりじゃなくて話の大筋において。

>>385は読解不能。したがって反駁不能。

３９５は読解力が低過ぎる。

別に385に反論することはたいしてない気もするけど、
あれを読んで誤解なく理解できるのはそもそもモデルの概念とか
それなりにわかってる人だけなんじゃないのという気もする

>>392

>>391は自分自身を普通の数学者と思っている。
その>>391が不完全性定理を理解できないと言っているのだからそれで十分だろう。

>>397
自演乙

あれが自演に見えるようでは
ほんとに読解力が低いんだな

あ
　ん

公理化と形式化の違いにすら興味のない数学者が珍しくなかったな。

メコスジの不完全性定理って何？

興味が無かったら一生理解出来ないんじゃなかな。

メコスジに興味が無い男子はいないはずだ！

無意味な些事に拘るのはヲタク

もういいよ。

メ










　　　　　　　こ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ス



















ジ

メコスジとは？

>>409
ここら辺のスレで聞けばいいとおもうよ。
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1138366916/l50

メコスジは男のロマン

関東の人もそう言うの？

公理化と形式化の違いは無意味な些事ではない。
それすら説明出来ない数学者が「ゲーデルなんて興味ない」という態度を取る
のは正しい。数学者の大半がそのレベルだった。そして彼等は「理解出来ない
ことを嫌悪する」ということから、数理論理学者を嫌悪したのだ。この事実に
３８８や３９０は目をつぶっているのだろう。

そのレベルの数学者には不完全性定理を正しく評価することは出来ない。

３８８や３９０はメコスジをすすっているのだろう。

能書きはいいから論文かけ
はなしはそれからだ

普通に数学を研究していく上では不完全性定理なんて、たいして気にしなくてもいいしな。
基礎論やる人にとっては重要かもしれないけど。

【メコスジのあり方について。】(1行リレー論文)
従来メコスジは、男子の心身を惑わすこの世で最も美しい筋と言われていたが

>>414
Working mathematicianは研究成果を出すのが仕事。評価は史家に任せればよろしい。

一般人が誤解したまま分かった気になる数学の話題の
多分、上位にくるだろう「ゲーデルの不完全性定理」に関して
明確なガイドラインを作っておくことはこのｽﾚ的には有益なのではないでしょうか。

ちなみに自分は文系でその理解するところは

・数学の公理系はその公理系の中では証明も反証もできない命題が必ずある。
　その命題を作る方法をゲーデルが考案した。
　その方法は公理系を改良して、そのような命題を無くす行為が、
　あらたに同様の命題を生み出す仕掛けが組み込まれた巧妙な方法である。

・だから、「無矛盾」で「完全」な公理系を作って新たに数学の土台にしようとする
　試みは原理的に不可能である。
　
「無矛盾」とはある公理系から互いに矛盾する命題が作れたりしないこと。
　「完全」とはその公理系から作られる命題が全て恒真命題であること。
　「恒真命題」とはその公理系で証明可能な命題のことである。

……ここで疑問なんスが、はじめの公理系に必ず出てきてしまう
「証明も反証も出来ない命題」をもっと強い公理系（はじめの公理系から出てくる
全ての命題を証明できる公理系）を作って外から解決してやる行為は、
結局その強い公理系自体が自分で抱えている「証明も反証も出来ない命題」を
自分自身で解決できない以上堂々巡りになる、でいいのでしょうか？

で、完全性に於いては堂々巡りになるわけですが、これと、


「ある公理系が無矛盾であるとき、
　自らの無矛盾性をその公理系だけでは証明できない」

の無矛盾性とはどう絡んでくるのでしょう？
そこがめんどくさいところなのか、比喩で説明のつく話なのでしょうか？

その方法は公理系を改良して、そのような命題を無くす行為が、
　あらたに同様の命題を生み出す仕掛けが組み込まれた巧妙な方法である。

は誤り。どこでかじってきたかは知らんが。

>>384は不完全性定理を例え話で理解しようとするのは止めた方が良い
>>377はかなり正確な例えだと思うけどけど、
それを全然理解せずに（まあ>>377だけで理解できるはずないんだが）
的外れなことばかり言っている

>>385が最初に述べているのは完全性定理の話だから、
不完全性定理の話の説明としては論外だろ
それに＞キッチリ定義したかたちの理論だよ
なんて曖昧でデタラメな言葉は不完全性定理の
ステートメントと成立条件を正しく理解している人間が吐く言葉じゃない
第一、ペアノ算術がが、自然数を「キッチリ定義している」なんて絶対言わない

>ペアノ算術がが、自然数を「キッチリ定義している」なんて絶対言わない

んー。じゃどうやって定義すんの？

＞その方法は公理系を改良して、そのような命題を無くす行為が、
＞あらたに同様の命題を生み出す仕掛けが組み込まれた巧妙な方法である。
これは多分間違って理解してますね
というか多分「公理系を改良して、そのような命題を無くす行為」
で言わんとしている操作が具体的に何なのか理解してないと思う

そもそもそれ以前に「完全」の意味間違えてるみたいだけど
（不完全性定理の話してるんだよね？）
何という本で不完全性定理のことを読んだんだろ

で、第二不完全性は、単に、或る理論から証明も反証も出来ない
論理式の例として、その理論の無矛盾性を述べていると解釈できるような論理式がある、
というだけのこと

>>423
定義しようが無い

ペアノの公理からは証明できないけど正しい命題が
実際に書ける以上キッチリしているなんて言えないだろ

そりゃ「キッチリ」という言葉の意味は>>385にしか分からんから
ペアノ算術はキッチリしている！だってこんなにキッチリしているじゃないか！
とか言われりゃ御仕舞いだけどねｗ

スマリヤンを読めスマリヤンを。
あれは文系でも充分読めるし、決定不能命題を簡単に構成してくれる。

それから、読み終わっても決してわかったと思うな。
原論分を査読しろ。それがほんとうに身にしみてわかったら、
そうしたら、もう何も言うな。
その段階に至れば、いかに世間に馬鹿が多いかがよくわかる。

では、下記の解釈でしょうか。

・数学の公理系はその公理系の中では証明も反証もできない命題が必ずある。
　
・さらにそのような命題の中に公理系自身の無矛盾性を示す命題がある

・自身の無矛盾性が証明も反証も出来ない命題として示されるので
　公理系自身の無矛盾性はその公理系では証明できないことになる

この過程はゲーデルにより数学的に誤りのない証明が与えられた。　


で、


・だから、「無矛盾」で「完全」な公理系を作って新たに数学の土台にしようとする
　試みは原理的に不可能である。

　「無矛盾」とはある公理系から互いに矛盾する命題が作れたりしないこと。
　「完全」とはその公理系から作られる命題が全て恒真命題であること。
　「恒真命題」とはその公理系で証明可能な命題のことである。

「完全」の意味が間違えているとのことですが、正しくはこの場合どうなるのでしょう。

ちなみに不完全性定理に関してはこのスレでは評判の悪い
ブルーバックスの吉永氏のもの……orz

と、あと林晋氏のも恐らく読んでます。
あと、論理学関係の解説書の内容と混じってるかもしれません。

>>428
数学以外の公理系ではどうなのか考えてみようぜ

数学のある自然な公理系にはその公理系の中では証明も反証もできない命題が必ずある。

>>428
まずは、まともな解説書・教科書を読め。余力があれば原論文を読め。

ああ、だから完全性の定義間違ってるんですか
吉永さんの本のネガティブキャンペーンお疲れ様ですｗ

いや、完全性の意味は、著者の吉永さん自体が本のなかで間違えているらしいのですよ
（私自身は読んだことないんですがｗ）
だからあなたは多分あまり悪くないと思います

不完全性定理は、三平方の定理とかと同じで
過程も結論も数学的に厳密に述べられる数学の定理ですから
解釈がどうのとか言う余地はありません
哲学者の書いたことを後世の学者がああだこうだというのとは違います
三平方の定理の正しい解釈は、とか言いませんよね？

まあ、完全性以外はあまり致命的な間違いも無く、大体どういう定理か、というのは
非常に大雑把には捉えられているんじゃないでしょうかね

完全性は今ここで私が説明しても多分誤解の種にしかならないと思いますけど
それでも説明するなら

一階述語論理の上の形式的な理論に対して、モデルという概念があるのですが
「恒真命題」は、全てのモデルの上で恒に真となる（とはどういうことか、当然定義します）命題です
完全性定理の「完全性」は、
　どんな恒真命題も証明可能である、
という意味です
或る理論から証明される命題が全て恒真になるというのは、「完全」の逆ですが、
健全という場合もありますし、こっちはほとんど明らかなので完全性に含めてしまうこともあります
不完全性定理の「完全性」は、
　どんな命題pを考えてもpかnot pのどちらかは証明可能である
ということです
（無矛盾というのは、pとnot pの両方が証明できることはない、ということですから
無矛盾の場合、ちょうどどっちか片方だけってことになりますね）

「完全性定理」の「完全」と「不完全性定理」の完全とは
意味が違うけど、完全性定理の話と不完全性定理の話は
無関係ではない。「関係がある」の定義を述べよと言われ
ても困るけど。

>>434
どう関係するのか書けばよいだけではなかろうか

不完全性定理を検索していたら、こんなサイトを見つけた。
http://www.h5.dion.ne.jp/~terun/doc/fukanzen.html
このサイトを読んでなんか、不完全性定理が理解できたような気がする。
重要なのは「クレタ人は嘘つきだ」と言った状態ではなく、

>つまり、「ボクは正直者だ」という命題は、
>真でも偽でも、どちらでも成り立ってしまい、
>結局、真とも偽とも決められないのである。）

と言う状態のほうだったんだね。
「クレタ人は正直だ」と言う状況のほうが、不完全性定理としては重要だったんだ。

たしかにクレタ人は正直だろうが嘘つきだろうが、「クレタ人は正直です」
と答えるしかない。
つまり、クレタ人は正直とも言えるし、嘘つきとも言える。

不完全性定理は、「どんな理論でも揚げ足がとれる」というより、「どんな
理論でも、否定も肯定もできない、あるいは、否定しても肯定しても矛盾
がない命題が存在する」ということだったんだね。

おまえは決定不能命題がなんだと思っていたのか？

またまた

「どんな理論でも、否定も肯定もできない、あるいは、否定しても肯定しても矛盾
がない命題が存在する」

違うな。
「ある種の自然な論理体系では、真である事も偽である事も証明可能な命題が存在する。」
が正しい。

ヘン

眠い

>>436
そんなとこですかね

揚げ足取り、とか感情的なことは一切言っていないです

正確には「どんな理論でも」ではないのだけど、まあそこらへんはいいや

>>439
わろすわろす

おまえ>439は正しいんだが？

肯定しても否定しても矛盾がない。

それじゃあどんな理論からでも矛盾は出てこないわな。

連続体仮説が論証不可能な命題の一つ。
いや、違ったらすまない。

少なくとも>>445は

>「ある種の自然な論理体系では、真である事も偽である事も証明可能な命題が存在する。」

の例ではないな。

>446
真であるがそれを証明することが出来ない命題(不完全性定理の変種)だった気がする。

真などと言えないんだよ。

真であることは言える

まだ真と確信する人はいないだろう。
それともいつのまにかそういう時代になってたのか。

>250
無矛盾である体系が(真偽は論証不可な)命題を含んだときに、依然として体系が矛盾しないという事実は、どんな公理から導かれるのだろうか。

アンカミス>250→>450

完全性定理

ちゃんとしたことはしかるべき本で読んで考えるしかない。
ここでは、関連事項とか、あえてあいまいな表現をする場面
とかを設定してやんわりと話すだけ。
ただ、数学者達の生態についての発言とか、数学的発言とかに
明らかな誤りがあると叩かれることが多い。

一階述語論理…算数が出来ない論理は、完全なのよね…
数学って、キッチリしてる感じなのに不完全だったりして、そんなところがキュートよねぇ

>454
ありがとう、すこし書籍で調べてみることにする。

>>455
あなたは吉永さんですか。

僕なんか、あまり自信がないのに、よくもずうずうしくも
書きこむもんだと我ながら思うよ。でもあまり間違った
記憶はないつもり。

>458
それで知識が増えるなら構わないだろう。誤った知識は正せばよいだけだ。

ゲーデルとチューリングはできてた。

すいません。
「クレタ人は嘘つきだ」（クレタ人は嘘つきでも正直でも、こうは言わない）
「クレタ人は正直だ」（クレタ人は嘘つきでも正直でも、こう言う。よって、これだけでは否定も肯定もできない）

というのは理解できたんですけど、
「この世に絶対はない」と言う命題ではどうなるんでしょうか？

「この世には絶対はない」（ということは、この命題も絶対と言うことはなくなってしまい、絶対というものがあることになる）
「この世に絶対はある」（もし絶対があるのなら、この命題はそのまま正しい。でも、絶対がなかった場合は……どうなるの？）

ちょっと考えてると頭がこんがらがってくるのですが、
論理学上では「この世に絶対はない」と言う命題と、「この世には絶対が
ある」という命題はどっちが正しいのですか？
両方とも否定したり肯定したりできるのですか？

記号論理学ではそういう「絶対」のような
読む人の解釈でどうにでもなるような文学的な表現はしません

ですからそもそも「この世に絶対はない」と言うのは命題とは言えません

半可通は黙ってて

いや実際「この世には絶対はない」に対応する
自然数論の命題なんて考えたりしないと思うけど

あんたがこれはどうなるんだろ？と思いついただけの話だろ？
>>462のどこを読んで半可通だと判断した？
少なくとも>>461よりは余程きちんと理解していると思うけど

じゃあはなから論理学者の言葉遣いどおりに
「・・・は自然数論の言語の文ではありません」と
言えばいいだけのことだね

言語の統語論を固定せずに

> ですからそもそも「この世に絶対はない」と言うのは命題とは言えません

なんて言ってるようでは
公理系を固定しないで可証性を考えてるのとどっこいどっこい

統語論ｗｗｗ

>>462
「絶対に」という様相オペレータを入れて、命題に対して量化できるような
システム考えれば簡単に形式化できますが何か？

おそらくその様相オペレータの振る舞いは「必然的」などと似た様なものになるだろう。

おそらく、自然数論が構築できる言語で、モデルが記述できるだろうから、
自然数の言語の文にもなりそうだけどな。

まあ、そのモデルをお前が認めるか認めないかの問題は残るが。

>>461

多分、自己言及は例外、という規則を設けて
解決したことにするんじゃなかろか。

ここに張り紙をしてはいけないという張り紙

とか、

ある村に住む床屋が髭を剃っていいのは自分で髭を剃らない人だけに限る

とか、

自分自身を要素としない集合全てを要素として持つ集合

とか。

無知なヤツの文体は偉そうだな。
中身はスカスカだが・・・

これが自己言及というものか……

自信タップリなやつにこそ要注意。
ボクは、、、。

仮に様相論理を使って「この世には絶対的なものはない（「もの」は命題を含む）」
ということを定式化したとしても、>>461が想像するものと
実際にやっていることとの間には大きな差が出来ると思うけどね

いろいろ解説ありがとうございます。勉強になりました。
最後にこれだけ教えてください。

「万能の神は存在するか？」と言う命題です。

「万能の神は存在する」と主張したら、「それじゃあ、神さまが持ち上げられ
ないぐらい大きな岩をつくってよ」と揚げ足を取られます。
しかし、「万能の神は存在しない」と主張したら、なんの矛盾もありません。

と言うことは、論理学的には、「万能の神は存在しない」と言うことが最終
結論でいいんですか？
哲学板に行けと言われるかも知れませんが、ここのスレの住人の意見を
聞きたいのです。

人間の浅はかな論理に頼るからそういった結論になる














と言ってしまえば何でもおｋ

ばかっぽい

なんか>>384はかなり論理学というものを勘違いしてると思うんだが。。

まあ、お客さん扱いされてるけど、話のキッカケにされてる
だけだな。
レスするほうも、
「バリバリのベテラン（慎重）」「バリバリの若手（欠陥有り）」
「昔或る所まではちゃんと論理学を学んだので、それを思い出したり
　最近の論理学の常識を覗くために投稿している」
「論理学の素養のあまりないすぐれた数学者」
　とかが混在しているような気がする。後者の二つのタイプが
「半可通」と言われやすいのだろう。
　誰も肝心のところには突っ込んでいないのじゃないか？
　というか、あまりにも精神内容が違いすぎる。でも関心は
　大いに有るようだから、レスしてあげたくなるんだろうな。

論理は完全ではない。だから情緒で補わなければならない。

もしかして藤原正彦さん？

>>474
不完全性定理は数理論理学の定理で、そこに書いてるような「論理学」とは違うんだけど…
なんか、任意の命題を勝手に持って来られると勘違いしてるみたいだけど、
ペアノ算術みたいな簡単な作りのシステムの中でゲーデル文が構成できる
ってことがそもそも驚異的なことだと思うんだが

>>477
肝心のところって何？

半可通は黙っててくれません？

昔はしんごとシライシでにぎわったものだそうだ。

この間酔っ払ってエッチした。
頭がぐるぐる回った中の行為だった。
行く瞬間抜いてしまったのでそこいらじゅうに飛び散った。
それ見て嘔吐してしまった。

ゲー出る不完全性処理

なんつって＾＾；

匿名の掲示板で無料で教えてもらおうとする以上、「自分はまともで
自分より下は馬鹿」と思ってる人達の発言を止めることは出来ない。
それがいやなら、スマリアンあたりを過程教師として雇えばいい。

>>485
あのおじいちゃんをチューターにしたら、それはそれで大変そう。
オヤジギャグを連発する癖があるんでしょ？あのおじいちゃんは…

ゲーデルは自然数論が無矛盾かつ完全であること示すために不完全性定理を証明した。
こんなことも知らずに妄想する奴が多すぎ。

わろすわろす

｢わろす｣って古文単語みたいな感じがした

「わろし」ならねｗ

自然数論の完全性を証明してご覧にいれましょう。

実はそれは公理に該当するべき命題だった。ってのと
それこそが、避け得ない決定不能命題である。ってのは

根本的に意味が違ってくると思うのだが、なんだか、今ではごっちゃになっている。

>>474
そんなあなたにゲーデルの神の存在証明

＞なんだか、今ではごっちゃになっている。
そうでもないと思うが

>>474

三浦俊彦って大学の先生をやってる自称小説家が

全能の神の全能ってのは論理的に可能なことに関してのみ全能だと
定義すればいい、っていってたな。

ようするに、字義通り矛盾する文章をこさえたら
その先は考えられなくなるのは当然のことで、
神の存在証明とかは関係ないと思います。

所で、論理学的に矛盾の無いことは
全て可能な神がもし仮にいたとしたら、
排中律と無限に関してはどのような見解をもつんでそね。

どんな立派な公理系を立てても、その中に真か偽かわからない命題が存在する
ということですけど、
真か偽かは「人間には知ることが出来ない」だけであって
真か偽かは「決まってはいる」のでしょうか？
「決まってはいるけど、人間には知ることが出来ない」ということでしょうか？
だって命題は真か偽かのどちらかしかないのでは？と思うのですが。
それとも
真か偽かは「決まってすらいない」のでしょうか？

形式的体系は意味が抜き取られた体系だから、フォーミュラ（論理式）の
証明可能性（導出可能性）は意味があるけど、「真偽」は解釈（モデル）
を一時的にでも定めなくては意味がない。モデルを定めれば、真偽は定
まっているはず。

完全性定理により、「その公理系のあらゆる解釈（モデル）において真で
あるようなフォーミュラ（命題を表せる式）」は証明できるのだから、
「証明出来ないフォーミュラ」というのは、そのフォーミュラが真でなく
なるような解釈がある」ということになろう。
だから、ちょっと飛躍するけど、自然数論の通常のモデルとは別の
モデルが存在するということのようだ。

集合論の連続体仮説はこれとは別の話だが、「多くの人が納得する公理が
みつかって、真偽が明らかになる」という可能性はあるらしい。「連続体
仮説」（あるいはその否定でもよいが）そのものを公理に付け加えてしま
えば、問題なくその公理系においては証明可能で、或る解釈（どんな解釈
か知らないが）においては真となるのだろう。　　　　唐突にそんな複雑
そうなものを公理にすると言われても、集合論の通常の解釈においては
到底「当たり前」に思えないのだろう。

ボクが上に書いた内容が真であると信じる？
誰がどんな気持ちで書いたか分らないんだから、信じちゃダメだよ。

自己言及的な命題は矛盾を導く事はよく知られている。
例えば「この命題は偽である。」とかね。
算術を含む形式的な論理体系においては、上記の様な明示的な命題を除いた
としても、原理的に自己言及的な命題が構成可能である。って言う事。
不完全性定理とはそういう話。

論理には色々ある。
命題論理。述語論理。様相論理。、、、、、。
ひらたく言って、論理の対象が新しく付け加わる度に異なった論理が必要。
だから、自然数、実数、複素数、関数、空間、、、、、
同一視できる場合も出てはくるが、それぞれの論ずる対象によって、異なってくる。

ということは真か偽かは決まってはいるんですね。
ただそれを人間には知ることが出来ないというだけであって。
それを聞いて安心しました。ありがとうございました。

じゃあ連続体仮説も真か偽のどっちか、決まっては居るんですね
選択公理が真だってのは有名ですけど

>>496
不完全性定理は、真偽の話じゃなくて証明可能の話でしょ
たとえば「この命題の否定が証明可能である」みたいなね

>>499
？実数を扱うときは述語論理じゃ駄目で別の論理が必要、
複素数を扱うときはさらにまた別の論理が必要、と言うこと？
本気で言っている？

>>501
ﾆﾔﾆﾔ

選択「公理」って書いてあるだろ。公理に真も偽もないだろ。

公理ってのは、これからのお話ではこれを真として話をすすめていきますって話。
言ってみればあくまでも、全理論の仮定みたいなもの。

連続体仮説で、真とした論理全体でも、偽としてた論理全体でも矛盾を生じないって言うなら、
これまた似た話で、決まってる訳ないだろ。

>>502
命題論理と述語論理だけで、論理はいいのかもしれない。俺は知らないが、、、、。
ただ、その対象はあくまでも定義していかなくてはいけないから、
全体の論理の結果は違ってくるだろう？
特に無限を入れるかどうかの一線ではげしくめんどくさい話になるのは予想ができる。

つまり、ある公理系内に真偽不明の命題（定理）があったとして、
その命題の真偽を「知ることは出来ない」
ということであって
その命題の真偽は「決まってはいる」
ということですよね？

だから、決まってなんかないよ。って言うか命題の真偽の判定を何によって
定めるつもりでいるのかが、俺にはわからない。

ﾆﾔﾆﾔ
・・・の季節

決定不能命題なんだから、真なんだか偽なんだか決めようのない命題。
それは命題ではないはずだ。というあなた。その通りです。
もし命題がただ
「真なのか偽なのかが定められる文章」
であれば、、、。

ちなみにこれはただの存在定理で、論理を積み上げていった時に
そんな決定不能命題があらわれてしまう。そんな話。

何か、全体的に用語が混乱しすぎてるな。考えも「「記号」論理」の基礎を
踏まえていないようで混乱してる。４９６にレスする側もちょっとお粗末
過ぎるような。自演だが、４９７は「信じるな」と言ってるが、結構いい線
いってると思うのだが。「信じるな」じゃなくて、９５％信じてもらって
いいかもしれない。
正直言って、５０４には、黙ってほしいと思った。あの手の数学科生
（それも普通の数学はよくできるから困る）が存在することは知ってるけど。

>>508
>決定不能命題なんだから、真なんだか偽なんだか決めようのない命題。

それは「人間には」決めることが出来ない（知ることが出来ない）
ということでしょうか？
それとも真か偽かは「もともと」決まっていないということなのでしょうか？
しかし、真か偽か決まってない命題というのは今まで見たことが無いのですが、
具体的にどんな例がありますでしょうか？
真か偽か「人間にはわからない」命題ならたくさんありますけど
真か偽か「決まってすらいない」命題というのは想像もつきません。
ものごとには真か偽かの２個しかないと思うのですが。。。

真か偽か決まってすらいない命題というのは例えばこんな例でしょうか？
「面積が１２の四角形は縦３横４である」
これは真であるとも偽であるとも言えません。
何故なら縦２横６かもしれないからです。

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「面積１２の長方形は縦３横４である」は偽。
何故なら上の文字列全体の意味は「面積１２の長方形は必ず縦３横４」
という意味だから、反例が有れば偽。

しかし「面積１２の長方形」という文字列に「日本人」という意味を
持たせて、「縦３横４」という文字列に「人」という意味を持たせれば
真である。

命題とは真偽が定まっている判断のことだが、無意味な文字列の
フォーミュラは、命題になるような意味の定め方に依存して真偽が
定まる。だからフォーミュラには真偽どころか意味も定まっていない。

フォーミュラ（論理式）を命題と呼んではならない。こういう記号論理の
１頁目から始めなくては、ゲーデルのころの古い論理学の話は出来ない。

ということは、連続体仮説は命題ではないのですか。

確か、ゲーデルは素朴集合論ではない公理的集合論に彼なりの解釈
（モデル）を考えたうえで、「連続体仮説は真偽が定まっているはず
で、私は真だろうと推測する」と思っていたのだと私は思っていたが、
私の思い違いの可能性もある。

ゲーデルは連続隊仮説は偽であると推測していたんじゃないの？

隊→体

あ、ほんとだ。竹内外史著「現代集合論」を見たら、ゲーデルは
連続体仮説は偽であろうと強く思っていたようだ。

「現代集合論」は「現代集合論入門」に訂正する。

不完全性定理は超越時空論で解かれる

２００９年のことだ。

>>504
それは要するに言語L（いわゆる無定義述語）が違うから
理論Tも異なってくる、というだけの話でしょ
「論理」という言葉を理論Tの意味で使ってるんだろうけど、
それは命題論理と述語論理とかの区別の話とはまた別
少なくとも様相論理とかが出てくる余地は無いような

>>512
＞フォーミュラ（論理式）を命題と呼んではならない。
そんなん初めて聞いたけど、、

素朴集合論の教科書みたく
「命題とは真偽がはっきりと定まるような数学の文章のことである」
みたいな意味で「命題」と言う言葉を使うならそうだろうけどね

とりあえず>>496は連続体仮説とか選択公理とかを勉強しなさいな
（自然数論にも決定不可能命題はあるんだろうけど、
すこし初心者には敷居が高いと思う）

或るモデルを一つ固定して考えたときに、そのモデルで
或る理論における論理式が真なのか偽なのか、は決まっている（と考える）よね

難しいのはある理論における論理式φが恒真なのかどうかは決まっているのか？
ということで証明可能なのか証明不可能なのかは、
ある記号列を計算機で変形して言ったときにφに変形可能か、ということなんだから
完全性定理からどちらか片方に決まっていると考えたくなるんだけど、
「〜は証明できない」は証明できない、というタイプの定理もあるし、
そもそもメタレベルの命題の真偽は全て定まっている、と考える理由も無いから
本当にそんなこと決まっていると言えるのか、かなり怪しい気がする

面倒だな。
フォーミュラ（論理式）というのは、「無意味」な記号列の１種だから命題では
ない。

命題というのは、
真偽の定まった判断の内容。
真偽の定まった文または式（等式とか不等式とか、読んだときに
文になる式のみ）というと、文の文字列のことか、文の内容のことか、
ちょっと微妙な表現になってしまうけどね。

連続体仮説とかも、そう呼ばれる表現の文字列が公理と呼ばれる文字列から
機械的に導出可能なら「証明可能」と言うことになってる。機械的に導出
不可能なら「証明不能」。でも、ゲーデルの想像する望ましい解釈のもとでは
「真」と推定されたのだろう。

>>523
訂正
「真」と推定された　ー＞　「偽」と推定された

そもそもpropositionなんて言葉はあまりロジックじゃ使わないような

カントールは連続体仮説は命題だと考えていたと思うのだが、それはどうなるの？

＞連続体仮説とかも、そう呼ばれる表現の文字列が公理と呼ばれる文字列から
＞機械的に導出可能なら「証明可能」と言うことになってる。機械的に導出
＞不可能なら「証明不能」。でも、ゲーデルの想像する望ましい解釈のもとでは
＞「真」と推定されたのだろう。
>>515>>517

みなさんくわしい説明ありがとうございます。
ところで、今まで、
「ものごとには「真」か「偽」の２個しかない」と思っていたのですが、
「ものごとには「真」か「偽」か「真でも偽でもない」の３個ある」んですね。
としますと新たな疑問が生じるのですが、
それは背理法についてです。
ある命題が成り立つことを証明するときに
その命題は「偽」であると仮定する→矛盾が生じる→だから「真」だ
というやり方ですけど、これって
「ものごとには「真」か「偽」の２個しかない」ことを前提としてますよね？
しかし、ゲーデルの不完全性定理により
「ものごとには「真」か「偽」か「not真∧not偽」の３個ある」わけですから
「偽」と仮定して矛盾が生じたのなら
残りは「真」か「not真∧not偽」かということになるはずですよね？
つまり数学において背理法は使ってはいけないのではないか、と思うのですがここはどう考えたらよいでしょうか？

なんちゅーか、受験勉強のノリだね。
どこかに「正しい考え方」なるモンが存在しており、学習とはソイツを会得することである、というスタンス。

「真」か「偽」か「真でも偽でもない」の3種類じゃなくて
「恒真」か「恒偽」か「恒真とも恒偽とも分からない」って言った方が正確じゃないかな
あるいは「恒真とも恒偽とも定まっていない」、とかね
それにモデルを固定すれば、命題は真か偽のどっちかですよ

　証明可能ということを真であることは同じことだ　(*)

と考えれば（つまり真である限り証明できるはずだ、と無反省に信じるのであれば）

＞ものごとには「真」か「偽」か「not真∧not偽」の３個ある

となりますけど、まあ

論理式φには「φ自身が証明可能な論理式」と
「¬φ（φの否定）が証明可能な論理式」と
「φも¬φも証明不可能な論理式」の3種類ある

といった言葉遣いで止めておいたほうが穏当かと。。

まあ中には
「φが証明可能」または「φが証明不可能」
のどちらか一方がなりたつ、なんてことは実際に証明してみるか
証明不可能性の証明が得られないと言えない、なんていう人も居るかもしれませんが（藁

その命題をφとして¬φであると仮定する→矛盾が生じる→だからφだ
というような背理法を認めない人たちが居るのは確かですが、その人たちも
φであると仮定する→矛盾が生じる→だから¬φだ
という種類の背理法は認めるので、ちょっとあなたの言うことはずれていると思います

あなたっていうのは>>496さんのことね

>>531
まず、「証明可能な命題」はある
それ以外のうち、「証明不可能なことが証明可能な命題」はある
さらにそれ以外のうち、「証明不可能なことが証明不可能なことが証明可能な命題」はある
で、ゲーデル命題は、体系が無矛盾なら
「証明不可能なことが証明不可能なことが証明不可能なことが・・・」
な命題。

>>533
おばかなひとですか？

いや、おバカは君だ。
ゲーデル命題Ｇは
Ｇ⇔¬Provable（Ｇ）
となる命題だから。

はいはい、あんたが大将、あんたが大将

はいはい不動点不動点

Ａ「不動点不動点　不動点々テテンテン」
Ｂ「オリラジか」
Ｃ「そりゃタカアンドトシだよっ！」

Ｑ．Ｃは誰でしょう

他人が馬鹿であることを証明しても、
自分が馬鹿でないことの証明にはならない。

> で、ゲーデル命題は、体系が無矛盾なら「証明不可能なことが証明不可能なことが証明不可能なことが・・・」

なに、この智将ｗｗｗ

>>535
易しい問題。

PA の論理式 A, B が与えられたとき、
論理式 A≡B -> Prov(A)≡Prov(B)
が証明可能かどうかを調べよ。

不完全性定理理解するなら
変に論理にこだわるより計算可能の概念とか勉強したほうが
てっとりばやいと思うんだが

≡ってどういう意味だっけ

こことか
ttp://www.iba.k.u-tokyo.ac.jp/~yabuki/tip/lisp/unknowable/godel.html

ごめん分からん（というかなんでmathematica とかlispとか出てくるんだろう）
同値記号とは違う意味なんだっけ？

広瀬健『帰納的関数』読んでも良いよ。

それも正論なのだろうが、それとは別に、僕には廣瀬先生の思い出が
ある。大学じゃないところでちょっと授業を受けただけだが、いい先生
だったと思う。合掌。
もちろん素晴らしい学者だったらしい。

>>428

肝心な前提条件が抜けているような･･･

　”自然数論を含む再起的な公理系から成る”数学の公理系は〜

基本的な質問なのですが

「面積１２の長方形は縦３横４である」は偽の命題ですが、
「面積１２の長方形」という文字列をＡと置いて、
「縦３横４」という文字列をＢと置いた場合、
「ＡはＢである」という文章が出来上がりますけど、
「フォーミュラ」とはこの「ＡはＢである」という文章のことでしょうか？
つまり「フォーミュラ」とは「意味を抜き取った文章」のことでしょうか？

そして「モデルを定める」ということの意味は
例えば、
「Ａに「リンゴ」、Ｂに「果物」という文字を代入すること」
という意味でしょうか？
つまり「意味を代入する」ということでしょうか？

なんだ、そんなことも判らんのにゲーデルの不完全性定理を妄想していたのか。
論理学の初歩的な教科書嫁

>>510

　貴方のような思い込みをしている人には直観主義論理の意義は理解できないでしょう。
　命題の真偽があらかじめ決まっている、というのは古典論理の世界の中に住んでいる人
にとっての前提であって、要するに前提に過ぎないということに気づくべきですね。

(logical) formulaってのは論理式のことだよ
意味を抜き取った文章、みたいな理解は宜しくない

>>551
とりあえず直観主義の話は>>510では誰もしてないんじゃないの
なんでいきなり直観主義が出てくるのか分からんが

３８＋１
はＦＯＲＭＵＬＡではない。起源的には、３８という数という物を表す名詞の
記号列みたいなもんだな。ＴＥＲＭだな。他の物を表すことにしてもいいだろう
し、無意味な記号列と見てもいいが。

３８＋１＝２
はＦＯＲＭＵＬＡでいいだろう。起源的には「３８＋１と２は等しい」
という平叙文を表す記号列と言っていいだろう。他の平叙文や平叙文的
な数式を表すことにしてもいいだろうし、無意味な記号列と見てもいい。

こんな話よりも、しっかりした書物を読むのが一番。まず故前原昭二氏の
すべての著書を購入して、僕のアバウトな説明で混乱した頭を修正するの
がいいいだろう。

というか最初に変数記号やら述語記号やら関数記号やらを
定めてやらないと論理式であるとも論理式で無いとも言いようが無い

そもそも記号論理学とはどういうものか、まだまったく理解してないように見える
まあ教科書よめ

起源的？

変な日本語をあえて使ったのも良くなかった。
僕は深く知らないが、５５４の「まあ教科書よめ」には賛成。
さて、僕には僕のしごとがある。

今月の日経サイエンスにチャイティンが寄稿しているね。
オメガぁ〜！

>>557
巨大数スレでビージービーバーと関係あるみたいなことが書いてあったけど本当？

>>515絡みで。よそで
ＺＦＣ+ＢＭＭ├2^ℵฺ_0=ℵฺ_2
つーのが書いてあったんだけど、ＢＭＭって何？ＭＭは理解はしていないが聞いたことあるんだけど。

>>552
　直観主義を持ち出したのは話の方便。
　命題があらかじめ「真」か「偽」のいずれかに定まっている、という考えが、
単なる仮定に過ぎないことを注意したかっただけ。

Bounded Martin’s Maximum の略かな？

>>560
kwsk