位相について語ろう！２

1 名前：通りすがり 投稿日：2001/07/09(月) 23:25
まず位相って一言で言うと？

俺は数学専門じゃないんで言えないけど。
なんか抽象的すぎて難しい

前スレ
位相について語ろう！
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/994688750/

周波のずれだろ？

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　　Ｖ二ｽ.Y´|　 （(　(ｒ个　 . ___. イヽ） ）)　 　 　 |　 他の素数さんに迷惑だからおとなしくしなさいね♪
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Re:>2 Go the physics board! Phase is not topology.

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位相について語りましょう

ここのスレッドはニセモノっです。
本物はこちら
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1101823185/

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真・スレッドストッパー。。。(￣ー￣)ﾆﾔﾘｯ

そのうち本物のスレストが来るかも。

462

R^m、R^n、R^(n+m)に自然な位相を入れる。
このとき、
R^m×R^nとR^(m+n)は位相同型であることを示せ

って問題なんだけど、実際連続写像をどうやって具体的に作ればいいですか？

Re:>12
(x,y)→(x,y)
これが一対一上への写像であることは容易に分かる。
連続であることも容易に分かる。
R^m×R^nのある点の近傍のうち、R^mの近傍とR^nの近傍の直積になっているものは、像も近傍であることは容易に分かる。
R^m×R^nの近傍は、R^mの近傍とR^nの近傍の直積になっているものの合併になるから、両連続であることが分かる。

位相空間の部分集合Aがある閉集合Fと開集合Oに対して、
　　A=F∩O
と表されるとき、
　　(Aの閉包)-A
は閉集合であることを示したいのですが、にっちもさっちもいきません。
集合算の操作だけで示せるでしょうか？

A=(B,Cを含み、求めたいパラメータαも含む式)
　B=(A,Cを含み、求めたいパラメータαも含む式)
　C=(A,Bを含み、求めたいパラメータαも含む式)
AもBもCも値がわからないです。
こんな感じでループしてるような方程式のことを何というのでしょうか？

>>14
(Aの閉包)-A = （Aの閉包）∩（Aの補集合）
= （(Aの閉包)∩（Ｆの補集合））∪（(Aの閉包)∩（Oの補集合））
= (Aの閉包)∩（Oの補集合）
（∵(Aの閉包)∩（Ｆの補集合）=Φ）。

位相があると間違いそう

>>16
なるほど、(Aの閉包)∩（Ｆの補集合）が空であること見抜けませんでした。ありがとう

へぇー、ほーか

第１可算公理とか第2可算公理ってどういう意味があるの？
そんなの定義してどう使われるの？

　そんなの定義してどう使われるの？
Bourbakiの構造主義について勉強汁！
ってかこの主の疑問は位相空間論の一寸専門的な用語の
ほぼ全てについて、出てくるよね。。。

昔の人が頑張って、いろいろと考えた挙句辿り着いた定義だから、
とりあえずは素直に覚えるのが吉。

>>20
第一とか第二とかどういう意味なんだ。
名称など飾りに過ぎないのです、距離化できないひとにはそれがわからんのです。


まあ、普通は第二のほうをよく見るね

大変申し訳ないのですが
もし前スレを保管している方いらっしゃいましたら
どこかにアップしてくれませんか？

今どうしても必要なんです。宜しくお願いします。

>>24
http://www.70i.net/index.shtml
70i1946.txt

なんでどうしても必要なの?

>>25
なんでtxtでうｐするの？
htmlをloaderが受け付けないから？

うん。他に探すのも面倒だったし。別に問題ないでしょ?

「にくちゃんねる」って所で大抵の板でのdat落ちしたスレッドを見る事が出来るよ

{(x,y,z)∈R^3|x^2+y^2=1}とR^2-(0,0)って位相同型？
どうやって位相同型写像構成できる？

f (x, y, z) = (xe^z, ye^z)

>>30
確かめてないけどありがとう・・・
普通思いつかないよなぁ・・・こんなの小テストで出すなよ

>>31
確認は逆写像が存在して、連続（全単射）であることを示せばよい。

まずは上半分であるx^2+y^2=1 z≧0と位相同型なのは何か？って
考えれば上手く思いつくんじゃないかな

周波のずれだろ？

926

tes

>>31
　　 　______　　　 　　　　　____________________________　　　　　　　　　　　　　　 _________________________________
　 　( ______ )　　　　　　　( ___________________________ )　　　　　　　　　 　　／　　　　　　　　　　　　　　　 ／
　　｜ 　　｜　　　　　　　＼　　　　　　　　　　／　　　　　　　　　　　／　　　　　　　　　　　　　　　／
　　｜　 　｜　　　　⇒　　　＼　　　　　　　／ 　　　　⇒　　　　　／　　　　　　。　　　　　　　　／
　　｜ 　　｜　　　　　　　　　　＼　　　　／　　　　　　　　　　　／　　　　　　　　　　　　　　　／
　　 ( ______ )　　　　　　　　　　　　＼__／　　　　　 　　　　　 ／　　　　　　　　　　　　　　　／
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　／________________________________ ／

{(x,y,z)∈R^3|x^2+y^2=1}　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　R^2-{(0,0)}


こんな風に考えれば>>30の式が思いつくと思うze！

数学板レベルよりは高いレベルのAA作成ご苦労様です。

783

【ﾗﾋﾟｭﾀﾊ】質問はここに書きたまえ！【何度ﾃﾞﾓ蘇ﾙ】（終了）
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1068452767/l50
もうちょっと時間があれば次スレ
【伊丹公理ﾊ】質問はここに書きたまえ！【何度ﾃﾞﾓ蘇ﾙ】
を立てたのに。
990から[sage]1000まで2時間ある。

839

856

737

ここにはアメリカザリガニが　　　。

二点のみからなる連結な閉集合にはどのようなものがあるかを考えているの
ですが、二点のみからなる集合をＸとしてこれに密着位相を入れる場合、Ｘ
は開集合かつ閉集合であると定義しても良いのでしょうか？

>>45
全体集合はいつだって開かつ閉。

>>46
持っている教科書には、任意の集合Ｘに対して、その開集合の族Ｏ_X
をＯ_X＝｛Ｘ，０｝（０は空集合を指す）と定義することによって
定まる位相を密着位相というと書かれているのですが、集合Ｘに密着位相を
入れた瞬間にＸは開かつ閉になっていると考えて良いのでしょうか？

>>47
どんな位相であってもXとφは必ず開集合族に入る
開集合族が特にXとφからなるものが密着位相
さらに位相の公理から、密着位相に限らず
Xは（あるいはφも）常に開かつ閉

>>48
どんな位相であってもＸは常に開となることは分かったのですが、
常に閉でもあるというのがよく分かりません。位相の公理のどの
部分から常に閉であるということが分かるのでしょうか？勉強不足
で申し訳ありませんが、よろしくお願いします。

>>49
何かある意味すごいな・・・
とりあえず「閉集合」の定義を書いて見てくれ。

>>50
「解析概論」には、集合Ｓの集積点がすべてＳに属するとき、Ｓを閉集合
というと書かれていました。開集合の余集合が閉集合だということも閉集合
の定義だと思うのですが、自分ではその集合の集積点が存在するときは
前者、存在しないときは後者でいつも考えているのですが、このような
解釈で良いのでしょうか？

>>51
だめ。
例えば(0,1]は閉でも開でもない。

上に関しては
φは開→φの補集合＝Xは閉

>>52はふつうの位相でってことね。

>>51
集積点による閉集合の定義は一応あってる。

X (全体集合) が閉集合になる、ってのは、位相空間の公理そのものに含まれているから、
示すもクソもないんだが。

思うに、部分空間の位相がよくわかってないんじゃないか？
一般に X を位相空間、A を X の任意の部分集合とするとき、A は部分「空間」 A においては
いつでも開かつ閉になる。これは、A が X において開であるか閉であるかとかには全然関係なくそうなる。
解析概論じゃなくて、何でもいいから位相空間の本で「部分空間」のところを勉強してみ。

>>52
>>51 の閉集合の定義は一応あってるだろ。何いってんの？

>>55
ほお〜
＞存在しないときは後者でいつも考えているのですが

これが合っているとでも？

>>52
ありがとうございます。ということはＸは閉でもあり開でもあると
いうことですね？

>>56
それは >>51 の単なる「態度」だから数学的に合ってるかどうかとかいう問題じゃねーだろ。
もちろんそんなふうにいちいち定義を使い分けるのは非常にアホには違わないが。

つーか、>>52 が単純に意味不明。
0 は (0, 1] の (R での) 集積点で、それが (0, 1]に入ってないから (0, 1] は R で閉集合じゃない。
>>52 は偉そうにしてるが実は「集積点」をよくわかってないと思われ。

あまりに馬鹿馬鹿しいから以下この件にはレスしない。

開集合の余集合が閉集合だというのは閉集合の定義なのですか、それ
とも開集合の余集合であることと閉集合であることが同値であるとい
うだけなのですか？

何を怒っているのかよくわからんが、
ではこれは一応>>51へのレスということで。

＞存在しないときは後者

というのを、集積点が存在しない→開集合
と考えているのかなと思ってのレスが>>52ね。
(0,1]は0を集積点に持つが、0は(0,1]に含まれない。
しかし(0,1]は開集合ではない、ということ。

>>57はその通り。ブルバキ流なら二つの公理から
始まってXが開でもあり、閉でもあることが
演繹的に導かれる。
ふつうはXが閉ある公理には入れてないのでご注意を。

>>59
＞開集合の余集合が閉集合だというのは閉集合の定義

位相に関してはいろいろなやり方があるけど
ふつうは閉集合はそのように扱われる。

どーでもいいが、>>54 に書いたととおり >>51 = >>45 はやっぱ部分空間を
よくわかってないんだと思う。

>>45 に、「二点のみからなる連結な閉集合」と書いているところからもそれがわかる。
位相を指定する前に「閉集合」といっても無意味。

>>60
>ブルバキ流なら二つの公理から 始まってXが開でもあり、閉でもあることが演繹的に導かれる。

X は 空な部分集合族の共通部分だから・・・てやつね。確かにあれはちょと面白い。どーでもいいけど。

二点のみを含む集合に密着位相を入れると、この集合は連結になって
いるのでしょうか？

>>64
だから、もうちょっと基本的なことからしっかり勉強したほうがいいって。
きちんと勉強すればそれが連結なことくらいすぐわかるようになるはず。

>>65
二点のみを含む集合をＸ＝｛α，β｝とし、この集合に密着位相を入れると、
共通点をもたない二つの閉集合に分割できないとき、この閉集合は連結だとい
えるので、とりあえず｛α｝、｛β｝という二つの閉集合に分割できたとする
と、｛α｝の場合、余集合が｛β，φ｝で、これはβが、この密着位相空間の
内点ではないので、｛β，φ｝は開集合ではない。よってその補集合である
｛α｝は閉集合ではない。｛β｝を考えた場合も同様であり、よって｛α｝、
｛β｝はいずれも閉集合ではなくなるので、共通点をもたない二つの閉集合に
分割できないので連結である。
このように考えてみたのですが、このような解釈で良いのでしょうか？

>>66
{α} の補集合は「｛β，φ｝」じゃなくて ｛β}。その他少々日本語として意味不明な
ところがあるが、それを直せば、異様に長たらしいが一応論理的にはあってるかな。
だけど、こんなふうにしか証明できないんだったら、「連結」とかいう前にもっと
基本的なことをみっちりやったほうがいいよ。

ちなみに高校生？大学生？ 位相の本は何を読んでるの？

>>67
ありがとうございます。現在は大学２年です。位相の本は佐久間一浩
著の「集合・位相（基礎から応用まで）」を読んでいますが、それよ
りもほとんど「解析概論」を中心に読んでいます。

解析入門の段階だったら
開集合閉集合とかは
距離空間としてやっときゃえんじゃね？

今までに書き込んで頂いた回答を参考に再構築しているのですが、考えてい
るうちに一つ分からなくなってきたことがあります。二点のみからなる集合
Ｘに密着位相を入れる場合、この集合Ｘは開集合として定義するとして良い
のですか？何度も同じような質問で申し訳ないのですが宜しくお願いします。
Ｘが閉集合になっていることはお陰様でようやく分かりました。

>>70
うーむ・・・まだわからないか・・・
とにかく根本的なところで何か勘違いしてるようなので、その勘違い
正すことがまず必要です。

たとえば「この集合Ｘは開集合として定義する」というところとかかなり
意味不明なんですが、何を言わんとしているのか数学的に詳しく書いて
みてもらえますか？

>>71
二点のみからなる集合Ｘに密着位相を入れる場合、｛Ｘ，φ｝をＸの
開集合族と定義して位相を入れるので、元々のＸがどのような集合
であれ、この密着位相を入れるときはＸは開集合と定義して良いのか
どうかということをお聞きしたいのです。分かりにくい文章だと思い
ますが、宜しくお願いします。

Ｘを開集合と定義するときＸは開集合と定義してよいかって？
ワケワカメ

>>72
「｛Ｘ，φ｝をＸの 開集合族と定義して位相を入れる」というのは、
「X の開集合が X と φ だけであると定義する」というのと同義です。
なので、「Ｘは開集合と定義して良いのか」という質問には意味がありません。

それと「元々のＸ」とか書いているところからみて、おそらく R^n の具体的な部分集合だけ
を常に例として考えているんじゃないかと推測しますが、位相空間論のような公理的方法
というのは、そいうい具体的な対象から議論に必要な部分だけを取り出して捨象するとい
う点に 1 つの主眼があるので「元々のＸ」の性質はいったん「忘れる」必要があります。
なので「元々のＸがどのような集合であれ」という但し書きも "当たり前" で意味がありません。

>>74
ありがとうございます。「元々のＸ」の性質はいったん忘れて、元々開集合
でなかっても位相を入れるときは開集合として考えるということでしょうか？

>>75
What is the definition of an OPEN SET for you?

位相をＸ「だけ」で決まるみたいに考えてる？

だからさあ…

Ｘを何か別の位相空間（Ｒとか）の部分空間と考えたときの相対位相でＸが開とか
閉とかいう話と、Ｘだけで位相空間を考えている話を混同するなよ。

Ｘだけを「全空間」とし、Ｘに位相を定義する場合、Ｘ自身とΦはつねに開集合。
（それ以外にどれだけ「開集合」があるか、を定義することが、位相空間の定義になる。）
開集合の補集合は閉集合で、ＸとΦは互いに他の補集合だから、ＸとΦはつねに閉集合でもある。

密着位相というのは、ＸとΦ以外には「開集合」がひとつもない、ということにした位相。
（ＸとΦだけはどうしても自動的に開集合なので除けない）

こういうことを理解せずに、Ｘが開集合なのかとか、開集合としてよいのかとか、
トンチンカンなことばかり言うからワケワカと言われるのよ

もう一度言うが、たとえＸがＲの部分集合であったとしても、ＸがＲの集合として開集合かそ
うでないかという話とは関係ないからな！ そこんとこ、よろしく。

>>76
各点が内点である集合のことだと思うのですが。位相空間についての
サイトで調べてみたところ、集合Ｘのべき集合の部分集合Ｏを開集合
という。と書いてありました。また、位相空間では集合Ｘのべき集合
の部分集合は開集合系であると公理化される。と書かれていたので、
位相空間Ｘを考えるときには結局、Ｘ自身は開集合であることは公理だと
いうことなのでしょうか？

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%96%89%E9%9B%86%E5%90%88
http://markun.cs.shinshu-u.ac.jp/learn/topology/index-j.html
http://www.google.co.jp/search?hl=ja&q=%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93%E8%AB%96&lr=
あまり詳しく書いてないし、良い記事でもないですが、あなたの理解の
百倍マシです。あと、解析概論の第一章の内容はもう少々古く、
また充分一般的でも無いので、他の本を参照する事が必要かと思います。

>位相空間Ｘを考えるときには結局、Ｘ自身は開集合であることは公理だと
>いうことなのでしょうか？

YES.
あなた何という教科書を持ってるんですか？
教科書の書名と筆者を教えていただけると嬉しい。
どんなとんでもない事が書いてあるんだろう？。。。

>>81
佐久間一浩著の「集合・位相（基礎から応用まで）
uenidetetayo

>>81
その佐久間氏の本おれは読んだことないが、本のせいにするのはかわいそうかも。

>>79
> 位相空間Ｘを考えるときには結局、Ｘ自身は開集合であることは公理だと
> いうことなのでしょうか？

位相の本持ってるんだろ。その本で位相空間の公理のとこ読んだんじゃないの？
それここにそのまま写してみ。

>>79
もしかして、「開集合である」とか「閉集合である」ってのが「位相を入れる」のとは無関係に
最初から決まってると思ってんじゃねーの。

「開集合である」とか「閉集合である」ってのは、位相を入れた＊後＊に初めて
決まるんだよ。

位相を入れる＝開集合を定める
でねえの？

Re:>86 ところがそうとは限らない。各点の近傍系で位相を入れる場合もあるし、閉集合系から位相を入れる場合もある。

なるほど。king先生に教えられるとは思わなんだ。

閉集合系から位相を入れた場合、φは閉集合に決まるというのは
正しいのでしょうか？

Re:>89 φって何？空集合のこと？空集合は閉集合に決まっている。

>>89
どんな公理を用いようと入る位相は一緒。
でないとふつうに考えてまずいでしょ。
場合によっては閉集合から位相を入れた方が
自然なときがあるってこと。
例えばザリスキー位相

位相空間Ｘの部分集合に空集合が入っているのに、位相空間のある一点の補集合に
なぜ空集合は含まれないのですか？

含まれますが。

>93
なぜ>>67にある回答で｛α｝の補集合は｛β，φ｝じゃなくて｛β｝と書かれて
いるのでしょうか？

>>94
{α}^c=X＼{α}={α,β}＼{α}={β}
だからです。

>>94
だいたい、{β,φ}って何だよ。集合の「要素」に「集合」を含めるなよ。

開集合「族」（集合の集まり）と混同してるのか？

>>91
例えば、集合Ｘ＝｛α，β，γ｝に｛｛α｝，φ，Ｘ｝を開集合族として位相を
入れた場合の位相空間では｛α｝は開集合になり、｛｛α｝，φ，Ｘ｝を
閉集合族として位相を入れた場合の位相空間では｛α｝は閉集合になると
思うのですが、このような二つの位相空間でも入る位相としては同じだと
いうことでしょうか？

｛｛α｝，φ，Ｘ｝を閉集合と定めたら
開集合は｛｛β，γ｝，φ，Ｘ｝だから違うじゃん

lim[z->i] (zz~-iz-iz~-1)/(z^2+1) = -1

>>98
ということは、開集合系から位相を入れても閉集合系から位相を入れ
ても入る位相は同じというのは、開集合系から入れた位相と同じ位相
になるように適当な閉集合を定義して閉集合系から位相を入れること
ができるということですか？

そういうことでつね

任意の集合Ｘに対して空集合は部分集合であることの証明は、
「ｘ∈φ　⇒　ｘ∈Ｘ」を示せばよく、ｘ∈φ　は起こらないので
偽である。ｘ∈Ｘ　も起こらないので偽である。
「偽である命題」⇒「偽である命題」は真なので、φはＸの部分集合
である。
このような示し方で良いのですか？

Ｐが偽ならＱはなんであれＰ⇒Ｑは真。

＞ｘ∈Ｘ　も起こらないので偽
偽とも言えん

>>103
Ｐが偽ならＱはなんであれＰ⇒Ｑは真
というのは数学というより論理学で真理値をこのように定めると決まってい
るのですか？

>>104
そうだよ。
高校で習わなかったか？

>>102
それって証明できるの？
空集合φは任意の集合の部分集合と定めるんじゃなかったの？

>>79　
＞各点が内点である集合のことだと思うのですが。

その場合、「内点である」の定義はどうなってるの？

集合に対して、「含む」とか「含まれる」という言葉を使うのは初学者に優しくない。

「解析概論」に「Ｓは一個以上または無数の開集合の合併である。」という
表現があるのですが、一個以上といえば一個であるということも含むと思う
のですが、一個の開集合の合併というのはどのように解釈すれば良いのでし
ょうか？

>>109
マルチ氏ね

Re:>109 0個の集合の合併は空集合と解釈する。すると？

何となく思いついた問題なんだが、
定義域が連結位相空間である連続写像のグラフは定義域と終域の直積位相空間に関して連結であるという命題は成り立つのかな？

>>109
ズバリ、その集合のことです。
一個の集合の共通部分もその集合自身に一致。

あなたは上の方や解析概論スレでも質問している人だよね。
時には誰かに質問しながら疑問を残さず解決していくというのは非常に大事なことだが、
他人に聴く前にまず、どう解釈したら最も合理的であるか自分でじっくり考える癖を付けないと
数学の実力は付かないよ。

>>112
f: X → Y のグラフは X → X × X → X × Y の像だから、X が連結なら連結。
ここで1個目の写像は対角写像、2 個目の写像は id × f。

「解析概論」に連結されている閉集合が少なくとも二点を含むとき、それを
連続体というと書かれているのですが、一般に開集合だと、連続体とは言わ
ないのですか？

In general, continuum is a compact connected metric space containing at least 2 points.

801

345

連続体なんて言葉自体一般的ではない

この穴にはクマがいそう

yonda KUMA??

質問です。教えてください。

連結でない位相空間 X の部分∈ Y を考える．Y および Y の補集合 Y^c が
ともに連結集合ならば，Y は X の開集合かつ閉集合であることを示せ．

ご教授お願いします

ここには、位相について考えてるヤツがいそう。

Re:>122 とりあえず数学者に意味が分かるように書いてくれ。
Re:>123 位相をphaseと訳す人もいそう。(というか、phaseとtopologyが何故日本語では同じなんだ？)

>>124
は？数学者にもわかるように？お前アホ？誰でもわかるだろ

>>124
>>124
>>124
>>124
>>124
>>124
>>124
>>124
>>124

Re:>125 じゃあお前が[>122]に答えろ。

集合を∈と変換ミスした

訂正しますた。質問です。教えてください。

連結でない位相空間 X の部分集合 Y を考える．Y および Y の補集合 Y^c が
ともに連結集合ならば，Y は X の開集合かつ閉集合であることを示せ．

ご教授お願いします

Re:>128 位相空間Xの部分集合Yが連結であることの定義は、ある二つの開集合A,Bに対してY⊂A∪BかつA∩B∩Yが空集合になることかな？

>>130
いいえ、定義は単に「部分空間として連結である」ときをいうみたいです。
必要十分としていろんな定義の方法はあると思うのですが・・・

[>130]は間違いだな。

[>130]は、A∩YとB#8745;Yがともに空集合でないという条件を付けると正しくなる。

Ｙが連結成分だから。

>>134
詳しく

どなたかわかりませんか？

>>136
>>134

>>137
詳しく

>>138
Y と Y^c とがXの相異なる連結成分である事を言えば良い。

根本的な質問なんですが、位相の定義で

(ii) O_1∈O、O_2∈OならばO_1∩O_2∈O
(iii) (O_λ) (λ∈Λ)をOの元からなる任意の集合族とすれば、∪O_λ∈O

ってなってますが、(ii)が部分集合2つで述べてるのに、(iii)が集合族を
導入しているのは何故なんでしょう？
（ちなみに松坂和夫「集合・位相論」から引用、一部はしょってます）

間違えた。
「集合・位相入門」でした。

無限個の開集合の和は開だし、
有限個の開集合の共通部分は開だけど、
無限個の開集合の共通部分は開とは限らないから。

っていう答えを聞きたいのかな。

ageてみよ

690

>>142
ありがとうございます。
> 無限個の開集合の共通部分は開とは限らないから。
これはどの辺を参照すればわかるでしょうか、って初学者が聞くのは
危険でしょうか・・・

>>145
> > 無限個の開集合の共通部分は開とは限らないから。
> これはどの辺を参照すればわかるでしょうか、

ほんじゃさ、例えば、実数の直線上で、
「0を含むあらゆる開区間の共通部分」
を考えてみ？
それってどんな集合？そしてそれは開？

ぐはぁ、何か解った気がします。

＞それってどんな集合？そしてそれは開？
{0}＝[0,0]にしかなり得ないですよね… ﾅﾙﾎﾄﾞorz

心の片隅に引っかかっていたつかえが取れました。
ありがとうございました。

>147
なんか、間違って理解してる様な気がする・・・

例えば、
A_n = (-1/n , 1/n)
という開集合を考える。
で、
∩_{n>1} A_n (無論これは、開集合の無限個の共通部分)
というのを考えると、この集合は、何になるか分かる？

>>148
はい、わかります。

位相ってさ、例えば多項式があるだろ。
あれの順序を変えても計算できるような、なんというか3次元以上の空間概念をつかってさ、
計算順序を変えて別のところで繋いだり、入れ子状態にして演算することを、同時に把握する概念じゃねーの?
なんかガウスはそういうこと考えてたのかとずっと思ってたんだけど。

>>149
これ偽者です。

>>147
ううすんません、わかってないかも…

>151
ちなみに、>148は
{0}になる。
（証明は、自分でやってみるといい。
ヒントとしては、使うのはアルキメデスの原理だけ）
なので、
∩_{n>1} A_n={0}で
開集合では無くなるって事。

位相の定理が色々出てきても、
実数の位相ってのは、例を考える上でも重要だから
しっかりと、イメージや感覚を養ってから
一般位相を勉強した方がいいよ。

>>152
> ちなみに、>148は
> {0}になる。

ああ、それならわかります。てっきり{0}ではないのかと思って、悩んでしまいました…

ちなみに、証明はこんな感じでOKすか？
----------
任意のn ∈ N について ∩_{n>1} A_n ≠ {0} が成り立つと仮定する。
∩_{n>1} A_n が0を含むのは自明なので、∩_{n>1} A_n ≠ {0} ならば ∩_{n>1} A_n ⊃ {0}

これはすなわち ∀n∈N ∃r∈R について 0 < r < 1/n が成り立つ事を意味する。

しかし、アルキメデスの原理から、実数 1/r に ついて 1/r < n' なる自然数 n' が存在
このようなn'に対して 1/n' < r となり、仮定は矛盾。∴ ∩_{n>1} A_n ＝ {0} ■

> 位相の定理が色々出てきても、
> 実数の位相ってのは、例を考える上でも重要だから
> しっかりと、イメージや感覚を養ってから
> 一般位相を勉強した方がいいよ。

了解っす。

>>153
間違えた。
証明のところ、最初の「任意のn ∈ N について」は抜いてください。
3行目も n>1 は条件として入っていた方がよさそうですか。

>>140
（�A）は「有限個の開集合の共通部分も開集合になる」という主張で
（�B）は「無限個の開集合の和集合も開集合になる」という主張。

>>153
∩_{n> 1}( A_n )={0} の証明
---------------------
（１）∩_{n> 1}( A_n )⊃{0}
---------------------
　自明
---------------------
（２）∩_{n> 1}( A_n )⊂{0}
---------------------
∀x∈∩_{n> 1}( A_n )　に対して
もし　x≠0　だと仮定すると
　x＞0ならば、アルキメデスより　1＜Nx　となる自然数Ｎが存在する。
　　　このとき、　1/N＜x　となるから、x はA_N　には属さない。
　　　よってx は　∩_{n> 1}( A_n )　には属さない。
　x＜0ならば、-x＞0 だからアルキメデスより、1＜N(-x)　となる自然数Ｎが存在する。
　　　このとき、x＜-(1/N)　となるから、ｘ はA_N　には属さない。
　　　よってx は　∩_{n> 1}( A_n )　には属さない。
以上より　x=0　∈{0}

以上（１）（２）より　∩_{n> 1}( A_n )={0}

age

ＱとＱヽ{0}が同相の証明ってどうする? 直接写像つくんのは無理かな?

この木にはくわがたが位相だ

ではこの木を"とぽろ木"と名付けよう

とっぽろっ、とっぽぉ〜ろ♪

　　　・・・・　となりのとぽろ

とっぽろ雪祭り。
雪が少々溶ける程度では図形の位相的性質は変化しない。

境界が、曲線的だったのが、フラクタル的になれば変化しますけどね。

Ｘ：パラコンパクトなハウスドルフ空間　とする。
y∈Ｘの開近傍Ｕが与えられたとき、ｙの開近傍Ｖで
（Ｖの閉包）⊆Ｕとなるようなものが存在するか？
という点で悩んでます。どうなんでしょうか？

する。

age

O

505

>>164
Xがハウスドルフ空間であるとは
∀ｘ∈X，∀ｙ∈X　（ｘ≠ｙ）に対して、
　　ｘ∈U，ｙ∈V，U∩V＝φを満たす開集合Ｕ，Ｖが存在する
事ですよね。

Ｘがパラコンパクトってどんな定義ですか？

talk:>>169 任意の開被覆に対して、その局所有限である細分被覆が存在する。分からない用語があればそれについて訊くように。

Ｘがパラコンパクトであるという事は、すなわち、

Ｘの任意の被覆｛Oλ|λ∈Λ｝に対して、次の2つの条件(1)，(2)を満たすような被覆｛Pμ|μ∈Μ｝が存在する；
　　(1)　∀x∈Ｘに対して、集合｛μ∈Μ|　Pμ∩Ｕ(x)≠φ｝が有限集合である近傍Ｕ(x)が存在する。
　　(2)　∀λに対してPμ⊂Ｏλとなるようなμが存在する。

ということで良いんでしょうか？

>>170 細分被覆とは？

>>172
私は　170　じゃないけど。
たぶん、より細かい被覆って意味じゃないかな。

被覆Ψについて、ある被覆Ωが存在して
　　∀Ａ∈Ψに対してＢ⊂ＡとなるＢ∈Ωが必ずあるとき
被覆Ωを被覆Ψの細分被覆という。

違うだろうか？

>>171
170ではないけれど、それで良いでしょうね。
(1)の特徴が被覆｛Pμ|μ∈Μ｝が局所有限ということだし、
(2)の特徴が｛Pμ|μ∈Μ｝が被覆｛Oλ|λ∈Λ｝の細分被覆ということでしょうね。

talk:>>172 普通は「細分」と呼ぶのかな？意味は[>>173]の書いてあるとおり。(「ある被覆Χが存在して」とは？)

>>173
＞被覆Ψについて、ある被覆Ωが存在して
＞　　∀Ａ∈Ψに対してＢ⊂ＡとなるＢ∈Ωが必ずあるとき
＞被覆Ωを被覆Ψの細分被覆という。

表現おかしいな。

被覆Ψについて、被覆Ωが
　　「∀Ａ∈Ψに対してＢ⊂ＡとなるＢ∈Ωが必ずある」
という条件を満たすとき
被覆Ωを被覆Ψの細分被覆という。

こうだな。

"ある被覆Ωが存在して.." というのは、英語でいう
"there is a covering Ω such that .." の直訳の気持ちなんだと思う。

演習なんかではこういう言い方のほうが中身が伝わるようにも思う。

369

理工系の学部2年生です。
位相の授業が全くわからないのですが、皆さん最初はどのような本から理解していった
のでしょうか？
サイエンス社の位相の本3冊、30講の2冊を持っていますが難しくて入っていけませんorz

裳華房の集合と位相を読んだ
授業はよくわかんなかったけどなぜか余裕で読めた

age

位相がわかりづらいなら、さしあたって距離空間を考えればよい。
大体、数学に使われるほとんどの位相空間は距離付け可能。
だけど、距離空間の位相は一様位相なんで、基本列とか完備性とか
いう概念は一般位相空間には適用できない。

一様位相だって？
距離が入っていなくても基本列などの概念が入りうるのか？
フィルターに関する完備というのもありうるのか？
大学でもきちんと位相空間を習ったのに、何故私は知らないのだ？

検索したら確かに一様位相という言葉もあった。
しかし、何故か私の見たことのある本には一様位相の説明は一度も出てこなかった。
不思議なこともあるものだ。

>>183

例えば、第一可算公理の成立たない位相群は一様空間だけど
距離付け出来ない。この場合、コーシーフィルターが定義出来て、
任意のコーシーフィルターが収束するとき完備という。

>>184
ブルバキを読んだことないのか？
不思議なこともあるものだ。

ブルバキ読んでない('A`)

一般の関数空間について完備とかを考える時に必要になるんですかね＞一般位相

間違えた。一般位相でなく一様位相だた

上でも書いたけど位相群は距離空間とは限らない一様空間になる。
超関数論で使われるフレシェ空間はこの特別な場合。

フォーミン・コルモゴロフがやさしい本じゃないかな

ゲーム理論スレ
http://academy4.2ch.net/test/read.cgi/economics/1093842818/667
から

> ここで，Euclid距離空間位相をO(d)，Hausdorff空間位相をO(h)とする．
>(中略)
> 「O(d)はO(h)より粗」．

ここが完全な勘違い。既に離散位相(当然ハウスドルフ)は、ユークリッド位相
より強いことを示した。一体何故こんな結論になるのかさっぱりわからん。
距離付け不可能なRのハウスドルフ位相が全てRの通常の位相より強いと言いたい
のか？

距離付け問題は詳しくないが、実際にRの通常の位相よりも強いハウスドルフ位相
で距離付け不可能な例を示してくれ。例えばRの通常の位相での開集合系をO(R)と
して、O(R)の元と一点{0}を開集合とする最弱の位相をO_1(R)とするとき、O_1(R)
はO(R)∪{0}から生成されて当然O(R)より強いわけだが、こいつは距離付け不可能
なのか？

>フォーミン・コルモゴロフ

コルモゴロフ・フォミーンやで

>>192
> 既に離散位相(当然ハウスドルフ)は、ユークリッド位相
> より強いことを示した。一体何故こんな結論になるのかさっぱりわからん。
> 距離付け不可能なRのハウスドルフ位相が全てRの通常の位相より強いと言いたい
> のか？

ああ、失礼。こちらが勘違いした。これじゃ反論にならん。
「Rのユークリッド位相がRのどのようなハウスドルフ位相より弱い」
というのを示してくれ。

> ここで，Euclid距離空間位相をO(d)，Hausdorff空間位相をO(h)とする．
> 集合Xの任意の異なる2点x1, x2に対して
> x1∈S1, x2∈S2, S1∩S2＝空,を満たす2つの開集合S1, S2∈O(d)
> を（Euclid距離空間ならば）取れるから
> O(d)⊂O(h)．
> すなわち
> 「O(d)はO(h)より粗」．

これはRのユークリッド位相がハウスドルフ位相であることを示しただけだ。
まるで証明になってない。

もう面倒なので、Engelking見ちまった。ゾルゲンフライ直線
(Sorgenfrey line)がお前さんの主張

「Rのユークリッド位相はRのハウスドルフ位相で最弱」

の反例。これはRの完全正規な位相で勿論ハウスドルフ。定義は
次の通り。

「実数xと有理数rでx<rとなるものの組み全てを取り、半開区間[x, r)
の全体
B'={[x, r); x∈R, r∈Q, x<r}
を準基底として生成した位相をRに入れる。」

こいつはRのユークリッド位相と比較可能じゃない。実際上の半開区間
[x, r)はゾルゲンフライ位相で(閉かつ)開集合だが、ユークリッド位相
で開集合にならない。

>>195
> 「実数xと有理数rでx<rとなるものの組み全てを取り、半開区間[x, r)
> の全体
> B'={[x, r); x∈R, r∈Q, x<r}
> を準基底として生成した位相をRに入れる。」

準基底じゃなくて基底だ。後は問題ない。

>>195
ゾルゲンフライ直線(定義訂正済)

> 「実数xと有理数rでx<rとなるものの組み全てを取り、半開区間[x, r)
> の全体
> B'={[x, r); x∈R, r∈Q, x<r}
> を基底として生成した位相をRに入れる。」

で比較不可能というのは誤りだった。こいつはRの通常の位相
より強い。実際Rの通常の位相での基底をなす開区間(a, b)が
a<x<r<b, x∈R, r∈Q
となる半開区間全体の和[x, r)で表される。よって

「Rのユークリッド位相はRのハウスドルフ位相で最弱」

の反例にならない。しかもこれは>>192の

> 実際にRの通常の位相よりも強いハウスドルフ位相で距離付け
> 不可能な例

の実例となる。つまり「完全正規で距離付けできないRの通常の
位相よりも強い位相」ということになる。どうもRの通常の順序
から出発してハウスドルフ空間を作ろうすると通常の位相より
強くなる気がする。

さて、どうする？というわけで、通常の順序を放棄して整列定理で
整列順序を入れることにした。よってZFCでのお話になる。

Rに次のように整列順序を入れる。自然数の全体N⊂Rには通常の
自然数の整列順序を入れておく。次にA=R-Nを整列定理で整列し
て整列順序を入れ、整列集合の整列和
R=N+A
を作る。min Aはωで表す。勿論集合として同じだからω∈R。
紛らわしいのでこの順序に関する概念には*をつけることにする。
これに全順序集合の順序位相を与える。すなわち下切片*(←, x)*
と上切片*(x, →)*の全体を準基底として位相を生成する。この
位相で孤立数xの一点集合{x}は閉かつ開になるが極限数、例えば
ωの基本近傍系は
*(x, ω]*, x *<* ω
の形の半開区間になる。よって離散位相とはならない。Rの通常の
位相をO_1, この整列順序による位相をO_2とする。

>>197-198の続き。

(R, O_2)はハウスドルフ空間。
証明。x <* yをRの相異なる二元とする。どちらか、例えば{x}が
孤立数ならばxの近傍V_xとしてV_x={x}, yの近傍V_yとして
V_y=R-{x}を取れば、V_x∩V_y=φ。双方が極限数ならば
x <* z <* y
となる孤立数z∈Rが必ず存在する(例えばxの直後の元)から、
V_x=*(←, z)*, V_y=*(z, →)*
とすればこれはそれぞれxとyの近傍でV_x∩V_y=φ。
(証明終)

>>199の続き。

O_2はRの通常の位相O_1より強くない。
証明。ω=min AはRの元。そこでωを中心とRの通常の順序での
長さ1の開区間
S=(ω-1/2, ω+1/2)
を取る。SはRの通常の位相で開集合、すなわちO_1の元だから、Sが
(R, O_2)で開集合でないことを言えばO_1⊂O_2が否定されて、O_2が
O_1より強くないことがわかる。証明は極めて簡単で、Sは長さが1だ
から、高々一つの自然数しか含まない。しかるにωの基本近傍系は
*(x, ω]*, x *<* ω
の形であるから無限(可算)の自然数を含む。よってO_2でω∈SはSの
内点ではない。
(証明終)

間違いがあれば指摘してくれると嬉しい。

>>197
> 実際Rの通常の位相での基底をなす開区間(a, b)が
> a<x<r<b, x∈R, r∈Q
> となる半開区間全体の和[x, r)で表される。よって

細かい訂正だけど「となる半開区間[x, r)全体の和で表される」ね。
ほとんどチラシの裏になってるな。誰か>>198-200のチェックお願い。

恒等写像が連続でないようにするなら二点を交換するだけでいい。

>>202
交換というのは？近傍系全体を問題の二点間で交換するという
こと？

ところで次のようにすれば、選択公理など使わずとも任意の無限
集合にハウスドルフ位相が入ることに気づいた。似た例が教科書
にもあったのになんで思い付かなかったんだろう？Xを無限集合と
して一点x_0を固定し、開集合としてx_0を含まないXの部分集合ま
たはXでの補集合が有限集合になるようなXの部分集合全体を取れば
いい。x_0以外の点xに対し{x}はやはり閉かつ開になり、x_0の近傍
はx_0を含む無限集合で補集合が有限なものに限ることになる。
XにRを取って、x_0=0としてやれば、この位相で例えば開区間(-1, 1)
が開集合にならない。

202 ではないけど。

>>203
> 交換というのは？
例えば f:R→R を f(0)=1,f(1)=0, それ以外の x では f(x)=x とし、
O を普通の位相として O' を f から導かれる位相とすると
O' はハウスドルフかつ O と比較不可能

ということだと思う

>>204
始集合に位相Oを与えて、f^{-1}{G}がOの開集合になるようなGの全体
をとればいいんだよね？0と1をどちらも含まなければ、fの定義からも
との開集合はO'に入る、でいいのかな？1のO'での近傍はどうなるかと
いうと、まさしくOでの0の近傍で1と0を交換したものになるわけなのか。
確かに比較不可能なハウスドルフになるみたい。

ついでなので、いくつか質問を。

Rの通常の位相と比較不可能なハウスドルフ位相が確かにあることは
わかったけど、実際にそれより弱い異るハウスドルフ位相はあるだろ
うか？つまり強弱に関してRの通常の位相はハウスドルフ位相の極小に
なるのか？通常の位相より弱いT1位相はいくらでも例があるけど。更に、
位相全体が強弱で完備束になるんだから、ハウスドルフ位相全体に対
する下限があるけど、どんなものなんだろ？密着位相になるのかなら
ないのか？

>>205
> 位相全体が強弱で完備束になるんだから、ハウスドルフ位相全体に対
> する下限があるけど、どんなものなんだろ？密着位相になるのかなら
> ないのか？

またまた自己レス。眠れなかったので考えた。どんな集合でもT1の
下限(最小)、すなわち「有限集合の補集合全体が作る開集合系」と
一致する。実際有限集合ならば、離散位相だけがハウスドルフ。無
限集合ならば、各x_0∈Xに対して>>203のハウスドルフ位相を作って
それらの共通分を取ると、これが「有限集合の補集合全体が作る開
集合系」となる。ハウスドルフ空間の下限この開集合系の部分集合
だけど、ハウスドルフ空間はT1空間だから、下限がT1空間の下限を
下回ることはない。よってこれが下限。

異る

いかに？

age

ＢがＲの通常の位相で開集合で
任意のｘに対してｘ∈Ｂならば正の整数ｎが存在してｘ＋ｎＺ⊂Ｂ
となるＢを開集合とする位相をＡとすると
Ａは通常の位相より弱いハウスドルフ空間。

>>210
おお、サンクス。久しぶりにおまいさんを見た。

898

iso

【かっこ悪い】建部崩れ、見参！【情けないｗ】
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1135765594

534

820

共立講座『距離空間と位相構造』(矢野公一 著) を読んでいます。
p.73 の【定理2.9】 が意味不明なのですが、どなたか説明していただけませんか？

【定理2.9】
X, Y を位相空間、A を X の部分空間とし、その包含写像を ι:A→X とおく。
このとき、写像 ｆ: Y→A が相対位相に関して連続であることと、
合成写像 φ・ι: Y→X が連続であることとは同値である。

f とφの関係について何も記述がありませんが、これでいいの？

φ は f の間違いと予想

>>218
ありがと！たしかにそんな感じだね。

距離空間（Ｘ,d）の二点に対し、d'=d/(1+d)と定義する。d、d'により定められる位相は一致することを示せ。
サッパリです・・・

距離の入れ方って色々あるよね
で、距離d(x,y)を一つ決めると、開集合系が決まる
（或る部分集合が開かそうでないかが決まる）

それで、
・距離dを入れたときに開になる集合はd'を入れたときにも開集合にもなること
・逆にd'を入れたときに定まる開集合はdを入れたときにも開集合になる
の二つを示せ、ということ

一様構造さっぱりわからん
任意のV∈Uに対してW・W⊆Vとなる或るWが存在するってなんだそりゃｗ
（・はX×Xのグラフの合成）

754

>>158
激しく亀だがなぜか今日ふと思いついたのでレス
これで Q-{0} から Q への同相作れないかな？

a を無理数とし {a_n} を a に収束する狭義単調減少な有理数列として、
x>1 のとき f(x) = x+a_1
1/(n+1) < x <= 1/n のとき f(x) = n(n+1){((1/n)-x)a_{n+1} + (x-(1/(n+1)))a_n}

つまり (1/(n+1), 1/n] と (a_{n+1}, a_n] の同相を各 n について作って繋ぎ合わせる。

x<0 のときは単調増加で a に収束する有理数列について同じことをやる

king位相の定義を述べよ

talk:>>225 私を呼んだか？

>>220 へのポインタとしては >>221 で十分だと思うが、暇つぶしに別解。
位相が一致 とは 位相の生成系(用語忘れた)が一致することと必要充分。
Xの各点xについて、その開円近傍系は、dー位相とd'ー位相で明らかに同値。
もっとエレガントというか、発展性のある解答もありそうだ。

>>225
密着離散位相

↑馬鹿位相

かわ位相なやつらだ

314

124

邦語の教科書で，一様構造について詳しく述べた教科書はないだろうか？
　ケリー　「位相空間論」
　児玉　　「位相空間論」
　三村　　「現代数学概説�U」
　森田　　「位相空間論」
以外のテキストでご存知のものがあったら教えてほしい．ただブルバキの
位相の巻というのはやめて．入手が困難だから・・・

age

>>235
どれも見たことがないがそいつらには
一様構造のことが書いてあるのか？
で一様構造の何がしりたいのか？

>ブルバキの
>位相の巻というのはやめて．入手が困難だから・・・

大学の図書館で借りろよ

>>237
基本定理

1) Xは完全正則空間　<==> 位相空間Xには一様構造が入る

がありますね。==> の証明は難しくありませんが、<== の証明がごたごた
して読みやすくないです。<== を猿でも分かるよう分かりやすく説明した
本があるといいなあーと思います。

それと一様構造の擬距離族付き空間として定式化とその定理について興味が
あります。これはむしろ位相空間論というより、解析学で扱う内容なのかもし
れませんが。

猿でも分かる証明か。そういうことなら、あのお方に尋ねなさい。King様なら
きっとこの問題を解決してくださる違いない！　King様は呼べばいつでもやってくる。
出て来い King 姿を現せ！

>>239
岩波演習叢書「解析学の基礎」に、一様空間についての解説が
無かったでしたっけ…
３部の線形位相空間の項辺りで。
うろ覚えすまそ。

>>241
THX。参照してみます。
証明読み直してみましたけど、以前読んだときよりは易しく感じます。
慣れもあるでしょうが。どの道Urysohnの補題に類した議論が複雑なのは
あたりまえ。正規被覆列から擬距離を構成するのがムズイと泣き言いって
も始まらんってことでしょうか。

一様空間についてしりたければ
5000円札をみて一葉さんにききなされ
一応きいてみるとよいよ

>>239

Bourbakiがぴったりｗ
君の知りたいことが非常にすっきりと証明されている。
一様空間はBourbakiが開発(実はWeil)したようなもんだから当然だが。

了解です。図書館に借りに行きます。

ところがだ。
そのブルバキがまたなんなのよ。
あれなのよ。
Weilのもととぶるばき初版のほうがひょっとしていいかもね。
フランス語よめれば。

497

図書館に行ってどうなったかな？

If X is compact and X^2 doesn't contain an uncountable discrete subspace, then X is separable.

>>235
ケリーももう絶版だし
森田とか三村とかもそうだぞ

ブルバキが特に（挙げてある本の中で）入手困難ってわけでもないかと

位相の本格的教科書は絶版が多いね。
ケリーとか小平、河田、三村の概説はよく古本屋で見かける。
ブルバキは明倫か四方堂以外は無理っぽいね。

そんな古い本じゃなくて、最近の新刊で高度な内容の位相の教科書ってないの？
古本なんて買える保証ないんだし。

和書限定で探している奴は低レベルDQNｗ

洋書限定で位相の上級コースの新刊教えてよ！

>>254
普通にKelleyでいいじゃん。

磯はやめとけ

位相同型いそどけ

Kelleyの原書は絶版じゃないよ。お手ごろ価格で買える。
それと岩波のは絶版じゃなく品切れ。
定期的増刷するから、欲しい人は出たらすぐ買おう。

>>249
Rの部分空間で反例作れるぞアホ

>>259
くわしく！

児玉・永見が手に入りやすい本の中では一番高度かな
三村とか森田よりはレベルが高い

いそじんうがい

Armstrong no

"General Topology" by Springer Verlag

miro!!!!

UTMだったっけ
UTMって基本的になんか見る気起きないんだよね
何故か

f：X→Yを商写像、B⊆Yを部分空間とするとき、
fの制限f：f^{-1}(B)→Bは商写像になるか？
という問題を考えています。
　おそらく一般には正しくないと思うのですが、反例を知っておられたら教えていただけないでしょうか。

正しい。

＞266さん
ありがとうございます。
もしよろしければ、証明の概略を示していただけないでしょうか?

問題設定があいまいだったかもしれないので、もう少し書いておくと、
fは全射とし、BとA＝f^{-1}(B)にはそれぞれ、Y,Xからの相対位相を入れたときに、
制限f|Aは商写像となっているか？ということを考えています。

BがYの開集合または閉集合ならば容易に証明が付けられるのですが、
一般にやろうとすると、
V⊆Bに対し、f^{-1}(V)がAの開集合なら、UをXの開集合として、
f^{-1}(V)＝U∩Aとできる。
とここまではいいのですが･･･
V＝f(U∩A)についてどうしようもなくて困っている、という状況です。

790

777

457

150

二年。

king

age

>>267

f自身が商写像でなくてはいけないんじゃないかな？

この問題で、ｆ｜Aが商写像になるための必要十分条件、
十分条件は、ブルバキの数学原論・位相第１章にあった。

しかし、一般にはこの主張は成り立たない。
ブルバキ位相第１章§３の演習１５）に、反例を構成するものがある。

>>265
>>266
>>267

k-space の圏で考えるのならば、正しい。

>>275
f：X→Yを商写像と書いてあるけど

めずらしい位相空間知らない？
あんま参考書とかに載ってないやつ。

Counterexamples in Topologyは「参考書」に入りますか？

>>278
キサマのくっだらん人生の位相空間

talk:>>273 私を呼んだだろう？

kingly generated space

talk:>>282 つまり、I'm the King of kings.

Ｏ⊂Rを開集合とするとき、Ｏは高々可算個の互いに素な開区間の和集合になることを示せ。

第一可算公理を満たし、可分である位相空間は第二可算公理を満たす。

>>285
＞Ｏは高々可算個の 互 い に 素 な 開区間の和集合になることを

talk:>>286 共通部分が空集合でない開区間の和集合は開区間になる。

959

king

age

talk:>>289 私に何か用か？

次の方程式の解を求めよ．

きんぐ　＝　うんこ　＝　金愚　＝　禁句　＝　king ＝　チョソ

talk:>>292 お前に何が分かるというのか？

トポ・ロジー
たいぷ・ろじっく
好みの形について・語る

巡回リーマン問題

197

age

離散位相がつねに距離化可能であることの証明を教えてください。

talk:>>298 とりあえず距離の設定をしてみたらどうだ？

>>299神
レスしてくださってありがとうございます！！

距離は離散距離を定義しようと思います。
（X，O）：離散位相空間とする。
　任意のx，y∈Xに対して
ｄ(x,y)＝1　if x not y
d(x,y)=0 if x=y

talk:>>300 次は、その距離位相が離散位相になることを証明しよう。

>>301　神
ありがとうございました！！神の助言でマジで助かりました！！
たぶんすぐできると思うので、わかったら答え書きます！

king様　頭こんがらがってきました。（><）

まず、離散位相が常に距離化可能であることを示すのだから、
（X,O）を離散位相空間としますよね？
そしてそれが距離位相と一致することを示すのではないのですか？？

しにてー

人の脳を読む能力を悪用する奴を潰せ。

お前は黙って就活してろ

男でも黙っていられないときはある。

>>303
まず、というより「離散位相がつねに距離化可能である」十分条件を与えればいいのでは？
十分条件は>>300
具体的ある距離を入れたら離散位相になった。
よって十分

>>308　具体的にある距離を入れたら離散位相になった。

つまり
離散位相が常に距離化可能であることを示すためには
結局、Xのベキ集合B(X)とさっきのｄから定まる位相Odに対して、

B(X)＝Od を示せばいいんですよね？？？

これ勘違いですか？？

>>308　あら、具体的にある距離を入れたら離散位相になった。

これってはこれだったら、そのある距離だけが、離散位相になった、というだけじゃないですか？

すいませんバカで。
とりあえず、>>309はあたっていますか？

早くレスしてーーーーーーーーーー！！

いや、
B(X)＝Od示せばいいんでしょ？・・・・

レスしてにゃあ★

お前は黙って数活してろ

>>300、313 d(x,y)<0.5で決まるxの近傍は何？

>>315　ｘのみを含む一点集合ですよね？？

位相空間が距離付け可能であることの定義

（X,d）距離空間とする。　集合X上の位相Oがひとつの距離位相に一致するとき
この位相Oは距離化可能であるという。

弟子はちょっとウザすぎるのでスルーで

>>318　いや、位相の話してるんだから別にいいだろ。

こうやってレスつけられても徹底スルーで

人の脳を読む能力を悪用する奴を潰せ。

人の脳を読む能力を悪用する奴を潰せ。

離散位相空間は常に距離化可能である。

証明　（X,B(X)）：離散位相空間　とする。　集合Xに対して距離ｄを、ｄ（x、y）＝1　(if x not y) or 0 (if x=y)
　　　　ｄは距離の3条件を満たす。距離空間（X,d）の開集合全体の集合をOdとおく。
　　　　β（X）＝Od を示す
　　　　Oｄ⊂β（X）は明らか。　β（X）⊂Odを示す。
　　　　∀N∈β（X）をとる。N＝Ni を示せばよい。∀ｘ∈Nをとる。ε＝1とおけば、N(x；1）⊂Nである。

　　　　なぜなら、∀ｙ∈N(ｘ；１)をとるとｄ（ｘ、ｙ）＜１　よってｄ（ｘ、ｙ）=０　ゆえにｘ＝ｙ
　　　　よってy∈N
　　　　よってN(x；1）⊂N
　　　　よって　N=Ni
　　　　よってN∈Od
　　　　よってβ（X）＝Od

　　　　よって離散位相空間は常に距離化可能である。
　

誰もレスなしかい？？

俺の証明正しいでしょ？？？？？？？？？？？

もう出るな馬鹿

もう「数学の本」スレの方に行くな。せめてここにいろ。

>>326　了解しましたにゃん★

(X,O）位相空間
（X,O）から積空間(X,O)×(X,O)への対角線写像
Δ(x)=(ｘ、ｘ)は連続写像である。

証明
ｘの近傍系をｎ(ｘ)であらわす。

∀Ｎ∈ｎ(Δ(ｘ))に対してΔ^-1(Ｎ)∈ｎ(ｘ)であることを示す。
Ｎに対して
∃Ｕ、Ｖ∈ｎ(x)　s.t. U×V=N　と仮定してよい。
明らかに　U⊂Δ^-1(Ｎ）かつV⊂Δ^-1(Ｎ）
x∈U＾i　であるからx∈（Δ^-1(Ｎ））＾-i


よってΔ^-1(Ｎ）∈n(x)

これであってますか？

>>328
うんこ

ライバル落とし必死だなｗｗｗｗｗｗｗ

直積空間からの直積成分への射影は開写像である
（松坂の集合位相入門）

これから連続写像が言えるんじゃないのか？

>>331　それのってました？
了解しました。とりあえず見てみます。
証明もしわかれば教えてもらえますか？

ベールの定理って何がすごいんですか？

位相のこころを読んでると近傍フィルターが盛んに登場しますが、
手持ちの本では松坂の集合・位相入門が唯一演習問題でフィルターに触れられている程度です。
フィルターを明示的に持ち出して位相を説明してる本って他にないですか？
あと、このフィルターってのは確率過程などで登場する増大する情報の流れとして使うフィルターとは違うものなのでしょうか？

>>334
ブルバキの位相を読め。ちなみに訳者は森毅自身。

http://bookweb.kinokuniya.co.jp/guest/cgi-bin/wshosea.cgi?KEYWORD=%83%75%83%8B%83%6F%83%4C+%88%CA%91%8A
http://www.amazon.co.jp/s/ref=nb_ss_b/249-6527907-4575552?__mk_ja_JP=%83J%83%5E%83J%83i&url=search-alias%3Dstripbooks&field-keywords=%83u%83%8B%83o%83L+%88%CA%91%8A&Go.x=10&Go.y=12&Go=Go


（´・ω・`）ｼｮﾎﾞｰﾝ

776

filterよりnetの方がいい

＞違うものなのでしょうか？
たぶん違うものだと思います。

フィルターは児玉・永見の位相空間論とかを参照してみてください。
ちょっと載ってる自信ないけど。
あとBourbakiは仏語原書第二版とか英語版なら手に入ります。

単に線型順序のついた近傍フィルター考えてるだけじゃネーの？

有向点列、擬有向集合も知らんのか・・・

フィルターについてはこの板の 「代数的整数論 006」 に書いてある。
そこでフィルターの有り難味が分かるだろう。
フィルターが学部学生の常識になってないのが不思議。

>>235

一様構造についてはこの板の 「代数的整数論 006」 にかなり詳しく書いてある。

おっと >>239 を見落とした。
これらについてはこれから書く予定。

ｸﾏｰがこのスレに涌いてるのか…

>>345
蛆虫を連想させるそのカキコはちょいと可哀想だな

771

三年。

age

論証・集合・位相　という本を読むことになったのですが
これは代数とか解析学を読んでからでないとつらいでしょうか。
それとも整数論でしょうか

そのまま読めるよ

正規空間Xを同値関係〜で割った商空間をX/〜、
π:X→X/〜を標準全射とするとき、
πが閉写像⇒X/〜は正規空間
ってなりたちます？

age

niemytzki平面

これなんて読むの？

検索してみたら =U\kfZXY って綴りがでてきた
これならニェムィツキィ、が近いかな

化けてしまった。これでどうだ
Немыцкий

>>356
niemytzkiはロシア人ってこと？

ロシア人かどうかは知らないけど見た感じその系統っぽい名前

V.V.Nemytskii=V.V.Niemytzkiはロシア人。

「Niemytzki平面はAlexandroff and Hopf(1935)で定義され（かつ
Niemytzkiに帰せられ）ている。」
(Engelking, General Topology, revised ed. p.23.)

逆対応というのがいまいちピンとこないのですが
AからBへの対応がｆ（）だったとして、
それの逆関数とおもってよいのでしょうか

ｆが全単射、連続ならばｆが開(閉)写像であることが必要十分条件である

これが理解できなくていろんな本を見たけど、この証明は省かれています。
なぜこれは成り立つのですか？
どなたか教えてください。。

煮え観月平面

>>360
集合論を勉強したほうが良い。

>>361
全単射、連続な写像 f : X→Y について
f が同相 ⇔ f が開写像 ⇔ f が閉写像
だよね。

f の逆を g とすると、

f が同相
⇔ g が連続
⇔ 開集合 O⊂X について g^{-1}(O) が開
⇔ 閉集合 F⊂X について g^{-1}(F) が閉

g^{-1}(O) = f(O) なので下から二行目の条件は f が開写像であることと同値
同様に最後の条件は f が閉写像であることと同値

位相空間論の勉強法について：
裳華房の内田先生の「集合と位相」が難しく感じるのですが、
もっとわかりやすい本はないものでしょうか？

あと、集合の記号を使った証明がどうしても理解しにくいのですが、
例えばＡ⊆Ｂといった包含関係がすぐに納得いかない場合、
Ａ∋a⇒B∋aといったことをやっぱり
皆さんいちいち頭の中で確認しているのでしょうか？

いちいち、とは思わんけども
なれないうちは確認しながら
定義になれるまでがんばるしかない

＞365
なぜ、数学科で必ず集合や位相空間を学習するのかわかる？
抽象的議論や記号に慣れるためだよ。
記号の集まりが数学と言ってもいいんだから、記号で理解できないなら
数学は止めたほうが良い。

読み物として志賀の30講が参考になった。
それ以上に演習書で自分の頭を使って問題を考えるのが一番有効だった。

念のため
内田の「集合と位相」
も読んだが、いい本だと思う。
他に松坂や亀倉の本を使った。

ふいちさん以上の集合位相の和書は見たことがない。

ブルバキがいいよ

今日気付いたけど
有限交差性ってfinite intersection propertyの訳なんだよね。
要するに「有限個の共通部分に関する性質」くらいの意味なんだから
「有限交差」とかそんな言葉使うのは何だかなあ、、

U1∩U2∩.........∩Unのことを
{U1,U2,......,Un}の有限交差なんて普通言ったりしないよね。

>>371
別におかしくない。
おかしいのはあんたの解釈。
「有限個の共通部分に関する性質」では何のことかわからない。
「有限個の共通部分が必ず交わるという性質」なら正しい。
これじゃ長いから有限交差性にしたんだろ。

少なくとも原語では
「finite intersectionがnonemptyになるという性質」
じゃなくて
「finite intersectionの性質」だけど。

〜〜 propertyで、「〜〜に関する性質」とか
「〜〜が必ず含まれるという性質」を意味するような例は他にも結構あるよ。

>>373
この場合、intersectionって言葉に交わる、つまり共通部分が空でないという
意味がある。

「有限なら交わる性質」くらい？

>「finite intersectionの性質」

finite intersection property
であれば、「finite intersection という性質」と訳するのが自然じゃない？

「finite intersectionの性質」
であれば、property of finite intersection となるのではないかと。。

(finite) intersectionという言葉で、
交わり「が空でない」ということを意味する例ってありますか？
無いような気がするけど。第一intersectionって名詞だし。

日本語で交わる（動詞）と言えば共通部分が空でないという意味だけどね。

>>376
「有限個の交わりという性質」じゃ正しい日本語になってないよ。
finite intersectionというのはあくまで
U1∩U2∩.........∩Unのことであって、
U1∩U2∩.........∩Un≠Øという文のことじゃないでしょ。

>>377

intersection を｢交わること｣と訳すればよい。

ムリヤリ意味の通らない訳しかたをするより、
ムリヤリ意味の通る訳しかたをしたほうがマシ。

>(finite) intersectionという言葉で、
>交わり「が空でない」ということを意味する例ってありますか？

ジーニアス英和辞典によると、intersection という単語には、
「交差（すること）」
という意味がある。
「交差」という言葉も、「交わること」を表すのだろう。
もちろん、「交わり」と訳するのも、個人の自由だが、
それでは意味がわからない。

U1∩U2＝Ø
これをU1とU2が「交わらない」と通称するだろ。
ということは
U1∩U2≠Øは「交わる」ということになる。

>>379
>もちろん、「交わり」と訳するのも、個人の自由だが、
>それでは意味がわからない。

ゆとり乙

>>381

「有限個の交わりという性質」じゃ正しい日本語になってないよ。

動詞とか名詞とか言い出す英語センスの悪さに驚いた

用語の厳密性も程度問題。
ほどほどにしておかないとくどくて読むに耐えないものになる。
例えば、位相空間 X といっても厳密に言うとこれじゃおかしい。
位相空間は台集合 X とその上の位相構造を合わせた概念だからだ。
有限交差性も同様。
正しくは「有限個の交わりが常に空でない性質」だが、
これだと長いしくどい。

>>382
日本語になってない訳は訳した人間のせい。
「交わり」という正しい日本語の単語のせいではない。

「有限個が交わるという性質」ならおかしくない。

>>385

それは同意するが、せっかくだから、>>377 に言ってやってくれ。

交叉。

>>367　ライバル落とし必死だなｗｗ

>>352　そのぐらい自分で考えてみろよ。
　与えられた正規空間の商空間の位相がどんなものになるかわかるだろ？

別に有限交差性って言葉でＯＫだと思うよ。

つまり用語の厳密性も程度問題。
ほどほどにしておかないとくどくて読むに耐えないものになる。
例えば、位相空間 X といっても厳密に言うとこれじゃおかしい。
位相空間は台集合 X とその上の位相構造を合わせた概念だからだ。
有限交差性も同様。
正しくは「有限個の交わりが常に空でない性質」だが、
これだと長いしくどい。

それにムリヤリ意味の通らない訳しかたをするより、
ムリヤリ意味の通る訳しかたをしたほうがマシ。

日本語だって形容詞の後のもの・ことを略した
『絶対格』を…「それなにご？」能格言語学用語。
「〜い」（元は「〜き」）が述語の文で見られる。

これは英語の「略していいケース」なのかな。
位相付き空間が位相空間（ｗｉｔｈ？）だから
…何？何か…え？

漢字の『差』の意味に「指示」が入ってる？
ほんとだｗ　対象を指差す（こと）だな。
交差の差は交のおまけじゃなくて…文本体？

…つまり交点などを「差す行為」の動詞があって
「行為対象を表す代名詞としての『交差』」があり
状況描写・形容に使うのはその応用なのか。

形容詞を名詞化するのには〜「子」がいるけど
名詞を形容詞化するのには何もいらない。
（日本語なら「〜き」→「〜い」が入るところ？）

もしそうなら複合語の対象は名詞で、しかも
（その間の差分などを）差せる対象になる？
交差、段差、偏差…視差は視野の像の差か…

まず何か行為対象にできるような名詞がある？
今は「差す」用法が珍しいんでイメージも貧困…。
やっぱりこれはもっと上の年代の人に以下ふじこ。

近傍系と基本近傍系は一言でいうと何が違う？

埋め込まれた小さな文としての二語熟語は
後半を動詞としたときの行為結果を表す、
という仮説になった。差分は分割結果？

文の埋め込みは今の生成文法で扱える、
基本的とされる文法では扱えてないので、
もっと強力な数学的な道具が必要になる。

それには数学的な対称性を導入しないと。
各種の文法的変換とそれに伴う不変性…
それ何て位相？局所性はありそうだけど。

全体のトップダウン分岐しか扱えてない
現在の生成文法や、それを基礎に置いた
様々なプログラム言語の現状があるけど。

それを位相とそれに関する各種の操作や
法則で拡張できるかは解らない。可能なら、
言語学はともかくプログラミングは変わるね。

すごいや位相。局所構造などに何か大きな、
たとえば何か新しいものを加えたりした時の
全体としての性質（特に下記※）は得意だし。

※文脈解析では確定用文脈の限定が命。
　相互の関係がありうる時の影響の有無、
　どこまで広げて見ればいいかなどの扱い。

しょぼいテーマだとガンガン書き込む椰子がいるなぁ

>>394
ﾜﾛﾀ

もしその役が妥当じゃないって思っても、間違っているものはたくさんあるから
仕方ないべ。線形空間だって訳おかしいいでしょ？

そんなこと考える暇あったら数学勉強したほうが良いんじゃないの？

開基とかについて語ろうよ。

>>396

216

age

611

実際、位相って退屈だよな。パラダイムの転換みたいな話があるわけでもなし。
おもろーない。
応用からやって、オンデマンドで辞書的に参照するほうがいいんでないの
おもしろくないんだよな。XXの定理に証明だけ載せるんじゃなくて、
定理の使われ先みたいな話は紹介しておいてほしいよ。

測度はもっと退屈w

＞退屈
根性が足りん！！

>>401
つまんなく感じるならやらなければいいじゃん

207

実数が可付番でないことを示すのに対角論法がありますが、
たとえば有理数 a(n)=0.123123123・・・に対して定まる
有理数 b=0.212121・・・もa(n) \neq bってなりませんかね？

あ、有理数全体に対して対角論法を使った場合、有理数も可付番にならないんじゃないか？って話です

あ！間違った b=0.212121じゃなかった。ｽﾏｿ
この場合bは無理数になるんだな。

対角論法で出てくる数はR-Q

粒粒入りのみかんジュースを茶漉しでこして飲む岬ちゃん

キムグの排便のでお

キムグの排便ビデオきぼんぬ。

Reply:>>411 ビデオ作成手数料および危険手当合わせて100000000円を払え。

ギャルソネは一日に７回以上うんこするそうだけどKingは何回するの？

543

736

Reply:>>413 何を以って一回とするか。

A,BがコンパクトならA×Bがコンパクトであること示すのには
別に選択公理必要ないよね

>>417
いらない．
チコノフは無限直積だから選択公理を使う．

うるさい。

四年一時間。

連結なのに弧状連結でない簡単な例ってありますか？

キミの心の中にあるよ

>>421
A={(0,y) | |y|≦1}
B={(x,sin(1/x)) | 0<x≦1}
とおいてAとBの和集合

>>423
有り難うございました！
ご自分で思いつくんですか？
凄いですね。

割と有名な例だよ。

>>424
寧ろ貴方が使ってる教科書は貴方には合わない可能性がある
ちゃんと連結なのに弧状連結でない例が載ってあるような本を
図書館で色々探してみた方がいいんじゃないかい

>>426
竹之内修著の｢位相空間論｣という本を使っていて
それには例がありませんでした。
今度別の本を探してみます。
どうも有り難うございました。

連投すみません。

訂正
× 竹之内修著｢位相空間論｣
○ 竹之内修著 「トポロジー」

×竹之内修
○竹之内脩

584

>>423はtopologist sine curveだかって名前がついてて超有名
　こんなのも乗ってない本はちょっとどうかと思うぞ。
　連結⇒弧状連結とか勘違いしやすいんでな。

そんな名前だったのか
初めて知った＞トポロジスト死ね曲線

>>432 俺が使ってる本には書いてたよ
　正式名称じゃなかったらすまん

googleでの検索結果は713件だね
wikipediaとかを見た感じでは複数の本で
その名前で呼ばれてるっぽいから良いんじゃない？

まあ位相空間論は特にそうだけど、数学って
Sorgenfrey直線とか、それ自体は知ってても
名前なんて知らない、っていう例が結構あるよね

age

有理数体ＱとＱ×Ｑは同相らしい！
でも、証明できない・・・

だれか、証明のアイデアか、証明載ってる本やら教えて

4+3=7

age

>>436
a=√2,b=√3とするよ
Qは(b,b+a)∩Q、(b+a,b+2a)∩Q、(b-a,b)∩Q、(b+2a,b+3a)∩Q、…という風に
可算個の互いに同相である連結成分に分けられるし
Q×Qも(b,b+a)×(b,b+a)∩Q×Q、(b,b+a)×(b+a,b+2a)∩Q×Q、…という風に
同じ感じに分けられる
だからA=(b,b+a)∩QとB=(b,b+a)×(b,b+a)∩Q×Qが同相であることを示せば十分

Aを横に4等分して出来る小片をA[1,1]、A[1,2]、A[1,3]、A[1,4]とおくと
それらは何れもQの連結成分になる
Bを縦横それぞれで2等分、つまり2×2等分して出来る小片を
B[1,1]、B[1,2]、B[1,3]、B[1,4]とおくと、これらも何れもQ×Qの連結成分となる。
以下A[n,m]を横に4等分して出来る小片をA[n+1,4m-3],A[n+1,4m-2],A[n+1,4m-1],A[n+1,4m]、
B[n,m]についても同様に小片を定義すれば
A=∪{i=1,4}A{1,i]=∪{i=1,16}A{2,i]=∪{i=1,64}A{3,i]=…
B=∪{i=1,4}B{1,i]=∪{i=1,16}B{2,i]=∪{i=1,64}B{3,i]=…と表せる
後は1≦m≦4^nとなる∀n,m∈Nに対してf(A[n,m])=B[n,m]となるfは1つしか無いから
それが同相写像になるんじゃないか？

>>439
436です！
なるほど、いけてそうな気がしますね・・・。

ちょっと同相性などチェックしてみます！
ありがとうございました。

ミスドでは位数０と２のドーナツを売っています。

種数？

有理数体Ｑってどんな位相いれるのが自然なの？

Rの相対位相じゃないの？
Rの距離の制限で距離空間にできるし。

まあ、そうね

面白い問題かんがえた＾＾
有理数Qに対し(Q,U)が完備となる位相Uをすべて求めよ。

>>446
どうでもいいけど、
完備って距離空間に対して定義される言葉じゃないの？

ha?

完備性は一様構造に関する性質。距離空間には（もっと一般に完全正則空間には）
位相構造と両立する一様構造を定義することは常に可能だが、
その一様構造は（コンパクトでない限り）一意的ではない。

つねづね疑問だったのだが、「距離空間が完備である」という命題は、
コーシー列によって明確に定義されるけれども、その完備性って、
（距離から決まる位相構造を変えずに定義できるいろいろの一様構造のうち）
特定の一様構造に関しての仮定にすぎないから、そのことを断らないと
「距離空間が完備である」という命題は（「位相空間が完備である」みたいに）
定義として不完全なんじゃないかと思う。

距離から決まる位相構造を変えずに定義できるいろいろの一様構造の全てが完備であればいいのでは。

そうだといいんだけど。どうなんだろ。どっかの本に書いてない？
（一様位相空間のいい本って持ってなくて…）

p進数体から実数体への連続写像で局所定数でないものは存在しますか?

自己解決しました。

質問です
位相空間における収束って
ネットとフィルターどちらが主流ですか？
それとも同じくらい使われてるものなんでしょうか？

>>454
そういう基本的な概念だと
どっちが主流とかは無いよ。

必要な場面に使いやすい方を使うっていう程度でＯＫ

そうですか
了解しました
ありがとうございました

878

『 f:N→R の全単射が存在しないことを背理法を使わずに証明せよ 』

上の証明を教えてください、おねがいします
転部試験で毎年出る問題で困ってます
背理法がダメってことは対角線論法を使うなってことだと思うのですが、
|N|＜|R| が言えないとなると |N|+|R|=|R| もいえませんし、お手上げです

>>458
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1029254080

>>458 5000円で教えるけどどうする？

>>459
2ch以外もマルチになるとは知りませんでした、気をつけます
>>460
タダでは無理ですか

試験の過去問の答えただで教えてもらおうってどんだけアマちゃんなんだよ。
死ね

>>460
自分で調べることにします、すいません

ttp://yambi.nobody.jp/sukiso/node28.html

人の書いたやつで申し訳ないけど
この29個の位相って間違ってないかい？？

なんでこういう輩はどういう点かということを書かずに他人に間違いを探させようとするのかね。

709

完備ブール代数に
O(a_i)ならばO(∨{a_i})、
O(a1)かつO(a_2)ならばO(a1∧a2)
となるような性質Oを定義されていた場合
或る位相空間と同型になると言えるでしょうか？

>>467

言えない。

ありがとうございます

ということは位相空間をモデル論的な意味での
構造とみなす為にはOiたちが全部最初から
関係として入ってないといけないんですね
これだと使い物にならなそう
数学原論の集合の巻で「構造」がどういう定義になっているか
分からないけどたぶん使えないのは同じでしょうね

>>469

数学原論ならば、集合論ね和訳第3巻に、数学的構造の定義があります。

階梯構成図式とかを注意深く見ると、位相構造と代数構造が一致するケースって、ないのではないかと。

まあ>>467の構造はもう純粋な代数構造じゃないですし

「数学的構造」は主基構造と副基構造と代表的特性記述と公理の集まりの四つ組ですね。

冪を繰り返した階梯を用いるせいでV(rank(X)+ω)の集合が全部入ってくるので、
もう集合論の研究にしか役に立たないんじゃないかと

もっともこれはXが整礎だと勝手に仮定した場合の話なので
本当に忠実にやるとさらにXが非整礎である場合とかの議論も必要でカオスなことに

774

五年四十六日一時間。

基本近傍系が与えられたとき、開基(の一つ)を具体的に
作る方法はありませんか？

開集合全体の集合は開基になるから
基本近傍系を使って開集合を作って全部集めればよい

なるほど。
どうもです。

ほ

R^2のコンパクト化は色々あるのか

　　　　　　　　　　　　２ちゃんねるなんか見ずに演習しろバカ

>>478　コンパクト化したものに一点付け加えて
　自明な位相入れればやはりコンパクト化

http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~kikuchi/asada-klein-bottle.html
浅田彰『構造と力』の《クラインの壺》モデルは間違っていない 〜 一トポロジストの異論

http://d.hatena.ne.jp/Serkan_Kawasaki
川崎和男 【９pp.Ｄ論】の《クラインの壺》人工心臓モデルは間違っていない ..... 一トポロジストの異論

age

曲面としてのクラインの壷はちゃんと定義されてるけど
世間は壷という語感からその中身（？）らしき物も考えたいようで
でもそうすると曲面としてのクラインの壷を境界とする、
もしくは境界の一部とする3次元多様体を考えなきゃいけない訳だが
それはこういう多様体を考えるのが標準なんて共通了解がある訳でもない

そこら辺を無視して色々クラインの壷について語る人達は皆胡散臭い人達だ

メビウスの帯で荷作りするような話なのになｗ

その胡散臭い人が　阪大の教授なんですけど
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/rikei/1270976498/
東大にドイツ生まれトルコ共和国国籍で11カ国語を話す
アニリール・セルカンさんという人がいるんです。
彼は、この分野にとても詳しく月に1回くらい会ってお話ししています。
トルコ始まって以来の宇宙飛行士で、ジャンボジェットも操縦出来る面白い人です。
彼がタイムマシンという考え方がある事とか、
宇宙に行くのにロケットを飛ばす必要がなく、
宇宙までエレベーターを作ればいいんだという話をしてくれました。
そのような中で、僕がデザインしているモニターは、
一度も数式で考えたことがなかったので、
三次元の世界に時間軸である映画やDVDを置いて考えてみたんです。
でもそれをそのまま見るわけにはいかないから

二次元の世界で見るにはどうすれば良いのかを考え、
三次元の世界をそこから外していかないといけないということに気が付きました。
そこで、三次元の世界を外すためにはどういう計算方法があるのか、
ずっと計算している時期がありました。
今、五次元を研究しているリサ・ランドールさんの考え方が
正しいのかどうかというのを、デザイナーとして取り組んでみようと思っています。
そういった話が出来る相手が

セルカンさんぐらいなんですよ。

http://www.bookclubkai.jp/interview/contents/0071.html

>宇宙に行くのにロケットを飛ばす必要がなく、宇宙までエレベーターを作ればいいんだという話をしてくれました。

これはガンダム（多分ゼータ）でそういう場面があった。
地球から銀河鉄道の誘導用線路みたいな感じでシャトルで宇宙に逃げるあたり。
ただ、エスカレータじゃなくて光の道で仮想的にシャトルの起動を誘導していくのやつだったね。

よくわからんが、出来る出来ないの話じゃなくて、
メビウスの帯で荷造りできるからどうした？何か意味あんの？
ってことじゃないの？
荷造りできるからって、「メビウスの帯のトポロジー的性質が・・・」と言われても困るだろ。

スマン。川崎スレに書き込もうとして誤爆した。

天才デサイナー博士、川崎和男の疑惑について語ろう！
トポロジー空間論？？が専門だそうです　　

●セルカンの詐称・盗用を弁護 （国立大学（阪大）の教授が不正行為、不法行為を堂々と擁護）
●毎日 Twitter で醜態を晒し、「貴様の名前所属を調査してみるから！」と脅迫。
●ホラ吹き論文： ９ページＤ論（クライン壷の人工心臓）、 日本原子力学会和文論文誌
●売名：「基調講演」の嵐 　●商魂：博士取得後すぐ Kazuo Kawasaki Ph.D. を商品名に転用
●Wikipediaの経歴も彼の勤め先のIPから編集されている。（自分で編集？）

http://togetter.com/li/5725 -- http://togetter.com/li/8893
http://neta.ywcafe.net/001060.html -- http://neta.ywcafe.net/001064.html
http://www5.diary.ne.jp/logdisp.cgi?user=545461&log=20100308

＞川崎先生は全面的にセルカン氏を擁護して、
＞彼は悪くない、知識がある、
＞東大は匿名の人間の言葉なんか信じるな、
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/rikei/1270976498/l50#tag659

これはガンダム（多分ゼータ）でそういう場面があった。
ダブルオーですね。。。

その宇宙エレベーターのセルカンさんは
今年東大始まって以来の学位取り消しで
解雇ですが

宇宙飛行士の採用歴があり、数学教室の（教員での）在籍歴があり、専門が建築とかぬか
す時点で香ばしさ満点だがなw　一般人が騙されるのは仕方がないが、専門家が騙される
とは。。。一体どんなチェック体制になのか？　＞東大

今回の失敗に学び、再発防止のための多重チェック体制等のシステム確立し、それをきち
んと公表すること。「自分達は天才だからor選ばれた人間だから」という傲慢で歪んだ自
意識が、時として許されざるミスを犯すことをよく自覚することだ。

すみません。

ある本に、
「位相空間Xがコンパクトであるという性質は、
　私たちの場合は距離空間と仮定しているから、
　'Xの中にある相異なる無限点列{x1,x2,…,xn,…}は必ず集積点を持つ'
　と言い表される。」

とありました。これは

'Xの中にある相異なる無限点列{x1,x2,…,xn,…}は必ずXの中に集積点を持つ'

と「Xの中に」を補う必要はないのでしょうか?

またある本に、
「集合Mが次の性質(C)を持つとき、Mはコンパクト性を持つ、あるいは
　簡単に、Mはコンパクトであるという。
　『(C) Mの中から任意に無限点列を取ったとき、この無限点列は
　　Mの中に必ず集積点を持つ』
　
　また、有界であったとしても閉集合でなければ (C) は成り立たない。
　なぜなら、Mは、閉集合でないとする、この時、
　Mの点列P1,P2,…,Pn…が存在して、この点列は1点Pに収束するが、
　P∉Mという事態が起きている。平面全体で考えれば、
　P1,P2,…,Pn,…　の集積点は明らかにPただ一つである。
　・・・」

この最後のところの「集積点は明らかにPただ一つである。」
というのは正しくないのではないでしょうか?

>>493
Xの外のことなど考えていないんだろう
まあありがち
気になるなら、自分で補いましょう

>>494
文脈がわからないので、何とも言えない
距離空間なら、集積点は存在すればただ一つ

>>496
距離空間でも、
M={(-1)^n(1-1/n) | n=1,2,…}

の場合は、集積点は、-1と1の二つありますよね?

>>495
それは、考えているのが「集合X」ではなく「空間X」だから、
空間の外のことは考えないからですか?
「集積点が存在する」と言った場合、そもそも空間の外の
集積点自体がありえないから?

>>497
>>494 で
＞ Mの点列P1,P2,…,Pn…が存在して、この点列は1点Pに収束するが、
と書かれているので、収束しない点列はここでの考慮の対象にならない

>>499
だとすると、その後の
「P1,P2,…,Pn,…　の集積点は明らかにPただ一つである」
の文の必要性は?

その後で使うからに決まってるだろ。

なるほど、少し勘違いしてました。

閉集合Mとは、
「Mの点列P1,P2,…,Pn…が1点Pに収束する　⇒　P∈M」

なので、「Mが閉集合でない」時は：
「Mの点列P1,P2,…,Pn…が1点Pに収束するのにも関わらず、
　P∉M となる点列P1,P2,…,Pn…が存在する。」

ので、>>494の

「Mは、閉集合でないとする、この時、
　Mの点列P1,P2,…,Pn…が存在して、この点列は1点Pに収束するが
　P∉M という事態が起きている。」

と言えるわけですね。

ちなみに、有限集合は必ず「閉集合」ですよね。

違う

どの辺が?

http://www.rimath.saitama-u.ac.jp/lab.jp/fsakai/htop4.html

↑

「有限集合はいつでもコンパクトである」
とあります。
「コンパクト⇔有界閉集合」
ですから、

「有限集合はいつでも有界閉集合」

ではないのでしょうか?

>>507
コンパクトである事と有界閉集合である事は、常に同値である訳ではない

>>508
例えばどんな場合に同値ではないんでしょう?

二乗総和可能な数列のなすヒルベルト空間では
有界閉集合は必ずしもノルム位相でコンパクトではない

>>510
「数列のなすヒルベルト空間」
「ノルム位相でコンパクト」
の意味が分かりません。

だいたい距離空間でない一般の位相空間で有界も何もないだろ

有界性の概念は一様空間で考えられる

>>512
距離空間でない位相空間というのが分からない。

ぐぐれ

「位相空間Xがコンパクトである事」の定義は、
「Xが加算個の開集合 O1,O2,… によって、X=O1∪O2∪…
　と覆われているならば、これらの開集合の中から適当な有限個の、
Oi1,Oi2,…,Ois をとると、既にこの有限個によって、
　X=Oi1∪Oi2∪…∪Ois と覆われている。」

とのことですが、そもそも「X=O1∪O2∪…」と覆われているとは言えない
場合は、どうやってコンパクトであるかどうか判断するんでしょうか?

例えば、Xが「有界閉集合」の時、開集合 O1,O2,… によって、
X=O1∪O2∪…とは書けないのではないでしょうか?

Aになる可能性が全くないとき、
「A⇒B」
は真。と言うことは、開集合 O1,O2,… によって、X=O1∪O2∪…と
書けない場合は、Xはコンパクトである、と言って良いと言うこと?

ということは、「有界閉集合ならば、コンパクトである」は真?

空間自体が「一点P」しか含んでいない場合、
{P}を集合Aだとすると、Aは、開集合でもあり、閉集合でもある、
という命題は真ですか?

＞例えば、Xが「有界閉集合」の時、開集合 O1,O2,… によって、
＞X=O1∪O2∪…とは書けないのではないでしょうか?
何か勘違いしてると思う
被覆出来ない場合もあるけど出来ることの方が多いと思っといた方が良い

あとX=O1∪O2∪… じゃなくてX⊆O1∪O2∪…

一冊ちゃんとした教科書を読まないと絶対分かるようにならないよ
位相空間の定義ですら分かってないように見える

>>518は正しい

>>519
>あとX=O1∪O2∪… じゃなくてX⊆O1∪O2∪…

>>516 で書いた定義は、群論への30講のp.217に出てます。
誤植ですか?

Wikipedia：
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93
に
「A の内部（ないぶ、interior）または開核（かいかく、open kernel）とは、
　条件「A は x の近傍である」を満たす X の点 x 全体の集合である。この
　とき x は A の内点（ないてん、interior point）であるという。集合 A
　の内部を Int A または Ao で表す。」
とありますが、

条件「A は x の近傍である」 は誤りで、
条件「x の近傍がAに含まれる」　が正しいのではないでしょうか?

>>519-520
Xは「集合」ではなく、「空間」なので、Xより大きな集合が存在しないので
「⊆」を使う必要がないのでは?

「R^nの中の有界な閉集合はコンパクトである。だから、
　3次元空間の中の球や球面やドーナツ面などは全てコンパクトである。
　一方、数直線や平面全体はコンパクトではない。また、
　球の内部だけを考えると、開集合となってコンパクトではない。」

とありますが、最後の一文が納得できません。
球の内部をMとすると、無限個の開集合O1,O2,…では
M⊆O1∪O2∪…
と出来ても、その内の有限個のOisを取ると覆えない、というのでしょうか?

>>522
あ、なるほど
そうでしょうね

>>521
「A は x の近傍である」
⇔x∈O⊆Aとなる開集合 O が存在する
⇔「x の近傍がAに含まれる」
だからどっちでも良い

>>523
例えば原点中心の半径 r の球の内部（開球）をB(r)とすると
{B(r)| 0<r<1}は単位開球B(1)を被覆するけど、その有限部分では端っ子が絶対覆えない

言ってることは正しいけど「コンパクト」は位相空間論の中でも比較的難しい話題だから
群論への30講だけで理解しようとせずに主に位相空間について書いた本で勉強した方が良いよ

>>524
後半の球の内部については納得しました。

中間の
>「A は x の近傍である」
>⇔x∈O⊆Aとなる開集合 O が存在する

が分かりません。

ある正数εがあって、
A=O_ε(x)={y; |x-y|<ε}
という意味ではないんですか?

近傍の定義が違うのかな?

A⊇O_ε(x)={y; |x-y|<ε}ね
それなら同値

後は教科書参照

だとすると、
1.「A は x の近傍である」と
2.「A は (x の近傍)である」とでは違ってきますね。

xの近傍 ≡ O_ε(x)={y; |x-y|<ε}

と定義されているのですよね?

＞xの近傍 ≡ O_ε(x)={y; |x-y|<ε}
＞
＞と定義されているのですよね?
O_ε(x) = {y; |x-y|<ε} は x の近傍だけど
x の近傍はそれだけじゃないよ

後は教科（ｒｙ

A、Bがコンパクトのとき、
A∩BやA∪Bがコンパクトにならない例ってありますか？
距離が入らない例を探さないといけないので
こんな簡単な問題で躓いて先に進めません

一晩考えましたがどうも閉集合と同様に
Aiがコンパクトの時、A1∪A2、∩Aiはコンパクトで
∪Aiはコンパクトとは限らないみたいですね

∪_[ε↓0] [x+ε, y-ε] = (x, y)

岩波の復刊で、彌永、彌永の「集合と位相」きましたね。例が幅広く取られていて、20年位前に大分お世話になりました。

>>531
コンパクトというときに、ハウスドルフ性を仮定していないのならば、
共通部分がコンパクトになるとは限らない。

集合・位相空間要論（培風館）の161〜162ページについて質問です。

X:ノルム空間　M：Xの線形部分空間　x_0：Xの元であるがMの元ではない
[x_0]：x_0のスカラー倍全体の集合
M_0 = M + [x_0]：Mと[x_0]で張られた空間
ｆ_0：M_0上の連続線形汎関数

M_0の任意の元yは、y = x + α*x_0 (xはMの元、αは実数)と一意に表される。
||f_0|| = 1 を満たすためには、|f_0(x + α*x_0)|≦||x + α*x_0|| とすればよい。

最後の不等式は十分条件ではないような気がするのですが、解説をお願いします。

作用素ノルムならそれでいいだろ、何が疑わしいのかちゃんと説明したほうがいいぞ
質問しようと疑問点を整理してたら質問するまでもなく解決したなんてざらにある。

>>536
これでいいのですか。
よく分かっていないのですが、||f|| = sup (||f(x)||/||x||) ですよね？
|f(x)|≦||x||ならx≠0のとき|f(x)|/||x||≦1とはなりますが、
これだと||f||≦1しか言えないのではないでしょうか？
よろしくお願いします。

>>537へ補足です。
||f|| = sup (||f(x)||/||x||) = 1　は、|f(x)|/||x||が1に限りなく近づけるか
最大値が１という意味に解釈しています。
よろしくお願いします。

age

R^nの部分集合Xで
Xは可算個のコンパクト集合の和で表せるけど
R^n-Xはそうは表せない奴を教えて下さい

age

>>540
Q^n

内田伏一著の「集合と位相」の90ページ例19.1の説明がよくわかりません。
積位相のところですが。。

『n次元ユークリッド空間(R^n,d^(n))について、d^(n)から定まるR^nの距離位相をO_nで表そう。R^pの点x=(x_1,..,x_p)と
R^qの点y=(y_1,...,y_q)の対(x,y)に対して、R^(p+q)の点(x_1,..,x_p,...,y_1,...y_q)を対応させることによって、直
積R^p×R^qとR^(p+q)を同一視すれば、積空間(R^p,O_p)×(R^q,O_q)の積位相O_p×O_qは距離位相O_(p+q)に一致すること
がわかる。なぜならば、ユークリッドの距離について、等式
(d^(p+q)((x,y),(x',y'))^2 = (d^(p)(x,x'))^2 + d^(q)(y,q'))^2
が成り立つので、開球体について
B_p(x;ε/√2) × B_q(y;ε/√2) ⊂　B_(p+q)((x,y);ε) ⊂ B_p(x;ε) × B_q(y;ε)
が成り立つからである。』

となるのですが、なぜこれが成り立つことが、積位相O_p×O_qは距離位相O_(p+q)に一致するといえるのかわかりません。
どう理解すればよいのでしょうか。

>>543
R^(p+q) の部分集合Uが、O_p×O_qでopenと仮定する
Uの点を任意に取って (x,y) とする
これに対してε_1とε_2が存在して、(x,y) ∈ B_p(x;ε_1) × B_q(y;ε_2) ⊆ U
ε' = min{ε_1,ε_2} とおけば、(x,y) ∈ B_p(x;ε') × B_q(y;ε') ⊆ U
従って、(x,y) ∈ B_(p+q) ((x,y);ε') ⊆ U
よって、UはO_(p+q)でもopen

逆は自分でやって