1=0.999999999999・・・・・　その５.9999999...

前スレ
http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1066827477/
前々スレ
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1065648782/
前々々スレ
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1045656871/
前々々々スレ
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1022253026/
前々々々々スレ
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1004837995/

この後、無限個のレスが続きます。

1.999999999999999999999999・・・ｹﾞｯﾄｰ

2.999999999999999999999999・・・ｹﾞｯﾄｰ

3.999999999999999999999999・・・ｹﾞｯﾄｰ

x=0.999999……
無限列だから、以下のようにかけ
9+x=10*x
x=1といえる。
証明終わり。

ﾈﾀﾆﾏｼﾞﾚｽｶｺﾜﾙｲ

ソリティア39秒で18612点って、本気出しすぎたかな。

7.999999999999999999999999・・・記念カキコ

で、循環小数が有理数であることを中学までの知識で示してくれる
猛者(前スレ989)はどこにいった？

989 ：１３２人目の素数さん ：04/03/18 12:44
循環小数は有理数ですよ。つーか中学生レベルだぞ、そんなこと。

こいつに賛同

999 ：991：04/03/18 16:11
まず先に実数の連続性と収束（ε-N）、
それから位相について勉強しろ、というのが俺の意見。
「無限」についてあれこれ考えるのはその後で十分だと思う。

小数には
０．２５
のように有限桁で収まるものと
０．３３３３・・・
のように無限に続くものとがある。
無限に続くものでも
０．５３１２１２１２１２１２・・・
のようにあるところから同じ値を繰り返すものと
√２=1.41421356237309504・・・
のように繰り返しのないものがある。
ここで、繰り返すものが有理数、繰り返さないものが無理数である。
繰り返すもののなかでも、あるところから９を繰り返すものは特別で、
たとえば
０．２９９９・・・
は
０．３
と同じ値である。
つまり、すべての有理数は循環小数で表されるわけだ。

>>12
その辺は有理数の定義の問題ですね。
その定義で以って全ての有理数は整数による分数表示ができる事は
中学生には証明できないものなのでしょうか？

できるよ

>>13
ttp://phaos.hp.infoseek.co.jp/part2/sequence/limit/series/repeateddecimal.htm
こんなんでどうだ？

>>15
つまり厳密には収束の概念を必要とするということですね。

>>16
中学生レベルの知識で厳密に言うのは確かに無理だろうな。

便宜上、こういう表現が出てくるが
0.999・・・は「1を表す記号に過ぎない」ということ？
9が無限個とかどうとかとりとめもなくなるので
「0.999・・・の構造自体は深く考えなくてもいい（ていうか考えるな）」でＯＫ？

1/3=0.99999より
0.99999=3*1/3=1

またこのスレか・・・くだらん。

>>18
構造？
まあ素直にε-δでやっとけと。

厨房にでもわかる説明。

０．９９９・・・９はその「９」の個数を多くすることで
１にどれだけでも近づけることができる。
すなわち、１との誤差をどれだけでも小さくすることができる。
たとえば「１との誤差を0.0000005以下にせよ」と言われたら
「９」の個数は7個以上にすればよい。
それが「数列｛０．９，０．９９，・・・｝は１に収束する」の意味であり、
同時に数式「０．９９９・・・＝１」の意味でもあるってこと。

わからん香具師は遠慮なく質問しろ。俺が答えてやる。

1との誤差を0にする場合は
9の個数はいくつになｒのでしょうぁ？

>>23
誤差を0にする必要はない。
「誤差をいくらでも小さくできる」ことを「収束する」と言う。
これは言葉の定義だから、あれこれ考えることでもなかろう。

ただ単に”そう表記することにします”って定義しただけなんだよな。
初代スレからずーっとそう言ってんのに
未だに納得しないヤシがいるってのが不思議だよなｗ

>>18
0.999…=1 を（証明の必要がない）単なる約束に過ぎないと言うのは、
ちょっと語弊がある

0.9+0.09=0.99
0.9+0.09+0.009=0.999
0.9+0.09+0.009+0.0009=0.9999
上の式の左辺と右辺は同じ数の別表現だけど、
左辺=右辺 になることは（足し算の規則を使った）証明が必要

同じように
0.999…=1
の左辺と右辺は同じ数の別表現だけど、
左辺=右辺 になることは（ε-N論法などを使った）証明が必要

>>26

0.999…=1

は証明が必要かもしれないが、

0.9+0.09+0.009+… = 0.999…

は「単なる約束」だろ。
（左辺の極限値を0.999…という記号で表すことにするという）

>>27 そのとおりだと思う

>>9
・循環小数が有理数であること
0.111……=1/9,
0.010101……=1/99,
0.001001001……=1/999,
0.000100010001……=1/9999,……（以下省略）
より察すること
・有理数が循環小数であること
実際に小学生が割り算をどうやってやって計算しているか
考えてみると分かる

>>12
じゃあお前が有理数の定義をまずしてみてくれ。
自然数、整数や有理数の定義がどれくらい難しいか
分かっていっているのか？ 普通の理系の大学生
（と落ちこぼれの数学科の大学生）はPeanoの公理系
もZFCによるωの構成も知らないわけだが。

>>25
別に、同じ人間が「納得できない」「納得できない」と
騒いでいるわけでもないし。

>>29
逆切れカッコワルイ。
「中学生までの知識で厳密に説明するのは難しいようです」と
素直に認めればいいだけなのにね。

厳密ってどういう意味で使ってるのかのほうが気になる。
桁数に関する言明だから帰納法になるんだろうが、
帰納法が証明であることは自然数の定義の問題だし、
要するに定義を明示してあるのが厳密？

>>22

いや、むしろ

＞０．９９９・・・９はその「９」の個数を多くすることで
＞１にどれだけでも近づけることができる。

と書くから厨房が混乱する。
１にどれだけでも近づけるってことは、やっぱり違いは残るってことだろと言われちゃう。
多いということと無限にあるということはぜんぜん違うんだから。

>>33
違いはあるに決まってんじゃん。０．９９９９・・・９≠１だよ？
０．９９９９・・・＝１の左辺は「小数点以下「９」が無限個並ぶ数」を表しているわけではない。
０．９９９９・・・＝１っていう等式そのものが、
「数列｛０．９，０．９９，・・・｝において、任意のε＞０に対して
自然数N（ε）を適当に取ることで第Ｎ（ε）項以降すべての項の１との誤差を
ε未満にすることができる」って意味を表す。
（正確には1−（0.1）＾ｎ→１（ｎ→∞）と書く。）

つーか実は>>33もε-N論法理解していない悪寒

このスレがループし続ける理由がわかる気がする

>>31
漏れは全スレの>>989だが、>>29ではないぞ。
昨日は早々と切り上げたので、スレの進行に追い付けなかったようだ。

で、循環小数が有理数になることの説明に付いてだが、もうさんざん既出だね。
困ったことに、俺がいない間に脚色されて何故か"厳密に"が付いてしまったようだが。
俺は厳密に説明する気など毛頭ない。
その説明は>>15で代用しておく。

まあ、厳密に説明することもε-δなんぞ使わなくてもできる。
やりかたは簡単で、循環小数への演算を公理として規定しておけば良いだけの話。
例えば
[約束事]
乗法の例) 0.34343434*10=3.4343434....
加法の例) 3.11345345345...+3.2=6.31345345345345....
とかね。これで循環小数への演算に疑いをかけることは不可能になる。
ただ、これを厳密な公理にするためには、"一般的な"循環小数に付いて演算を規定しなくては
ならないので、その際にΣが必要になると思う。
だから、中学生に厳密な証明をというのはちょっと無理かな。何しろ中学生は定理の厳密な証明をした経験もないのだから。

>>37
循環小数全体の集合をQ'として、Q'上に>>37によって定義される加法・乗法が
本来のQ＝{q/p| p∈N, q∈Z}に定義されている加法・乗法と
一致することを示すのがﾏﾝﾄﾞｸｻｲ気がする

とりあえず厨房は　収束＝ε-δ　で理解しとけよ

>>38
いや、"Q'上に>>37によって定義される加法・乗法"が使えれば、a∈Q'をq/pに変換することが出来るから、
むしろ一致するのは自明なような。
しかし、厳密にやるなら結構面倒くさいことは否めないかも。

>>40
それだけでQ'における順序構造は自明としてよいのか？
Q'が可換体になることも保証できてないと思うが。

ダメだな。
やっぱり厳密性はε-δにはかなわんかな。

そのわりにはε-δ使った証明は出て来ないんだな。

(ﾟДﾟ)ﾊｧ?

相手にするなよw
結局過去ログを全て読む人はいないから、何度も何度も同じことを書かなくてはならないし、
何度書いてもやっぱり忘れ去られる。意味が理解できない人さえいるのだから。

この問題について延々とループし続けて分かったことと言えば、
このネタが収束(終息)することはないってこと。

結論
数列{An}を"1=0.999..."に関するスレッドの累積レス数とすると、数列Anは発散する。

俺は4スレくらいレスし続けたけど、しばらく様子見にします。
--以上捨て台詞でした--
↓ まあ延々と発散してください

>>37
どうやらやっと、問題の困難さに気付いて頂けたようで。

>>22
>>23
>>24
>>33
>>34

これだけ読めばアホでもわかるじゃん。

>>47
アホはそれで理解した気になるだけでは？

>>48
ん？

>>48
それじゃいかんのか?
理論的な正しさは高等数学が分かる奴なら誰でも理解できる。

ダメ工房、厨房にどう説明するかというテーマなのだから、納得できればそれでいい。

>>50
アホではその本質的な部分を理解はしないと言いたかった

分かったと思って理解することを止めたらそれ以上先には進めない

>>51
あのね、1=0.999..がこのスレのテーマであってそれ以上でもそれ以下でもないんだよ。
"理解することを止めたらそれ以上先には進めない"が先に進むことが"必須"なのではない。

>>52
>1=0.999..がこのスレのテーマ
もうとうの昔に終わっているテーマ、それこそこのスレッドが続いている理由は
そんなものではないと言いたい。

>>53
そんなものだよ。
結局>>45の
>結局過去ログを全て読む人はいないから、何度も何度も同じことを書かなくてはならないし、
>何度書いてもやっぱり忘れ去られる。
ってことで。

このスレッドが続く理由も何も永遠にループしてるだけ。

>>54
>>55

ﾒﾙ欄くらい読んでやれよ

>>24
誤差を0にする必要は無いって言うのは
1との間になんらかの差があってもいいってことなのでしょうか？

初代からスレ見てても
いまだにはっきりわかってない俺のような人間もいるから気にするな

>>57
キーポイント「誤差をいくらでも小さくできる」を100回読んで洗脳しとけ。

なんかただ単にεδ使えると思いこんでる香具師が（←ホントは表面さわってるだけ
威張ってるだけのスレになりつつある。
まちがいない（ぇ

中学生に「厳密な」証明が出来るのは初等幾何だけだよ。
もっとも三角形の相似条件なんかはどこから出てきたのか？
なんて言われても答えられる香具師は皆無だろうけど。
そもそも公理を知らない香具師に厳密な証明が出来る訳がない。

でも大学初年級くらいの数学を勉強していると、たまに公理も
定義も書いてないのに、当たり前に見える命題をことを証明しろ、
なんて無理なことを要求する本があるよね。アレは止めた方が
いいと思う。

>>57
{ 0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, ……} という数列の項と
その極限値はまったく別物なのだという事に注意しましょう。
1 との誤差をいくらでも小さくできる（しかし 1 ではない）のは項の方で、
その場合の極限値は誤差なく 1 なのです。これが極限値の定義だと考えて下さい。
そして 0.999… は極限値を表わすものだと考えるのが一般的な理解の仕方です。

「本当に」理解してる人は結構少ない？

>>61
俺はユークリッド原論を買ってもらってある程度勉強したよ。全部は読まなかったけど。
同位角が等しいと言う証明がなされていて、結構感動した記憶がある(教科書は"計ってみるとどうやら等しいようだ"レベルw)。

>>61
あなたは偉い！（ｗ もしこれがHilbertの『幾何学の基礎』を
買ってもらってある程度公理論の勉強をした、なら数学の鬼
なんだけどね。ジョルダンの曲線定理が自明と書いてあったのが
気に障った、とか言ったらもう完璧。（漏れは表紙を眺めたこと
しかありません。）もっともその後の学問全般により大きな影響を
与えたのは原論なんだけど。

>>65
共立から出てるけど内容はどうなの?
原論読んだ後、読んでみたいと思ったけどなんか高尚そうで躊躇ってる。

>>62
その「定義」にイチャモンつける香具師がいるから困るんだ。

そもそも
0.999…と１には差があると言い張る香具師は
その差がどれだけになるのか言ってみろ。

>>68
そういう言い方ではなく、0.999･･･の定義を明確にしろ
っていうほうが先かと思うが｡

>>68
とりあえずおまえが一番勘違いしてると思われ

1/3=0.333333
より
1=0.33333*3=0.999999

>>64
「平行線の同位角が等しい」って公理じゃないの？それとも、錯角から
証明するのか？

「平行線の同位角が等しい」って公理だとおもう。
「交差する直線の背中合わせの角が等しい」のも公理だと思う。他は忘れた。
ユークリッド忘れた。

>交差する直線の背中合わせの角
これって対頂角のこと？背中合わせって感じはしないけど

>>33と>>34はどちらも「分かっている」者からの説明だが、微妙に差がある。
数列{xn}の極限値がaであることを表すのに、xn→a (n→∞)という記法とlim[n→∞]xn=a
という記法がある。内容は同じだが、微妙なニュアンスの差がある。前者はxnがaにいくら
でも近づくという動的な表現で、後者は極限値limxnがaに「等しい」という静的な表現。

否定した形のxn(→/)bとlimxn≠bで見るとその差がはっきりする。前者は「xnが少なくともb
には近づかない」、後者は「xnの極限値が少なくともbではない」。後者にlimxnの存在が入っ
ているかとうかが微妙（普通はどちらだろう？）だが、limxnという実数を考えた上でbと異な
る、という解釈が自然な気もする。

「0.999…=1」という表現はこのどちらに対応するか。>>34は0.999…9(n個)→1型, >>33は
lim0.999…9(n個) =1型に見える。いいかえると、0.999…≠2という表記の意味が、前者だと「0.999…
と2の差はいくらでも小さくはできない」、後者だと「実数0.999…は2ではない」になる。

0.999…はlim0.999…9(n個)の省略記法と考えるなら後者が自然だが、その場合でも、
0.999…という記号に(0,9,9,9,…)（数字の無限列）という意味を与える必要はない（無
限個の9を空想する必要はない）。（このへんが前スレの最後で議論されていた点）

無限級数の「0.9+0.09+0.009+…」という表記にも同じことがいえる。

はい、対頂角のつもりです。

>>75
前者も後者も同じ。

>>77
藻前は問題点がわかってない。

>>78
ニュアンスの差はない。
いずれもε-Nで記述したときと全く同じ内容。
教科書でも読めアホ

ε-N論法崇拝者が集まるドツボですね。

ちょっと思ったんですけども、
1=0.999999……だとすると、
1-1=1-0.9999999……
0=1/10×1/10×1/10×1/10×1/10×1/10×1/10……
という式は成り立つんですか？

a=lim10^(-n) n-->無限大

当然 a=０ です。

Dedekindの切断ってあるよね
二つに切ると境界点はどっちかにつくってやつ。
1のところで切って、大きい方に1をつけると
もう片方は0.9999･･･みたいなﾓﾜﾓﾜ〜とした
感じになってるわけやねー。

＞1-1=1-0.9999999……
＞0=1/10×1/10×1/10×1/10×1/10×1/10×1/10……

ここは怪しいような気もするけど、
lim[n→∞] (1/10)^n は ０だよなぁ。
これは何が疑問なんだ？

>>83
切断を理解してない奴の発言だな

1/10×1/10×1/10×1/10×1/10×1/10×1/10…＝0
合ってるよ

>>85
ｽﾏｿ、>>83の気分としては、0.9999･･･を
「だんだん9の数が増えていく感じ」
って考えたわけ。だからﾓﾜﾓﾜ。

0.3333･･･のﾓﾜﾓﾜ感はまたちょっと違う。
有限小数のところで切断していくとすると
0.3333･･･ってのは、有限回の切断での境界点
としては現れない。つまりどんどん切断した
破片の履歴みたいな感じかな。

>>88
1/3といってしまえば0.3333･･･のﾓﾜﾓﾜ感は消失するが、
√2の連分数展開のﾓﾜﾓﾜ感は相変わらず。
√2（つまりx^2-2=0の根）といってしまえば
やっぱりﾓﾜﾓﾜ感は消失するが、この場合も
πの級数展開のﾓﾜﾓﾜ感は相変わらず･･･

>>81 はちょっとした釣り名人だな。

1/10×1/10×1/10×1/10×1/10×1/10×1/10……=0
ということは、
1/10×10×1/10×10×1/10×10×1/10×10×1/10×10×1/10×10×……
=0×10×10×10×10×10×10……
従って、1=0
という矛盾が生じる気がするんですけども、どういうことなんでしょうか？

1/10×10=1
だから>>91の式は
1^∞
と書ける。
ところが1^∞は不定だから、
条件次第で０にもなりうる。

0×10×10×10×10×10×10…
=0×∞=不定
のほうがわかりやすいかもね。

1^∞ってなして不定形なの？

1/10×1/10×1/10×1/10×1/10×1/10×1/10…＝0
↑
0.999・・・以上によくわからない
0以上あった数字が
なぜ掛けていくと
最終的に0になってしまうのか

>>95
高３で極限習ったらわかるよ。
（1/10）^n　＝０（ｎ→∞）

>>92
さらっと嘘を書くなよ。

>>94
1^∞ は不定ではなく1ですよ。
(理由は　∀n∈N ,1^n=1)

>>91
1/10×10×1/10×10×1/10×10×1/10×10×1/10×10×1/10×10×……
は一般項を1/10と10の数を合わせてｎ個目までの積とすれば
その数列は1/10と1を交互に繰り返す数列であるから収束しない｡
一方、一般項を1/10×10のｎ個の積と考えるとnによらず
常に1をとる数列となるため収束しその値は1となる｡
同様に
1+(-1)+1+(-1)+1+(-1)+1+･･･
等とかくとどういう数列の極限を書こうとしているのかで解釈が分かれる｡

このように数列を・・・で表現することは解釈の余地を与えることになり、よくない｡
従って通常は数列の第ｎ項目をn^2 ,1/n! ,sin(nπ) というようにｎを用いて表現しておくもの｡
その点で>>93もまた少しぁゃしぃことを言っている事になる｡

>>97
(1+1/n)^n　(n→∞)　は1^∞

>>98
それはそういう書き方をしない｡

100get!

ようかんﾏﾝが100get
　　　　 ＿＿
　 　 ヽ|・∀・|ノ
　　　　|_100.|
　　　　　|　|

　　　　 ＿＿
　 　 ヽ|・∀・|ノ　･･･
　　　　|_100.|
　　　　　|　|

ようかんﾏﾝが103get
　　　　 ＿＿
　 　 ヽ|・∀・|ノ
　　　　|_103.|
　　　　　|　|

>>98
いや、一応そんな書き方をする人もいる。
(1に近づく函数)^(無限大に発散する函数)が、必ずしも
1に収束するとは限らないことを注意するために。
というか、それはただの書き方の問題だから、人の自由。

>>94
「不定形」じゃなくて「不定」な

>>97
1^∞っが不定形なのだということも知らないなら黙ってろよ

>>98
それがeになるということまで書いてやらないと
ここの連中はなんのことか理解できないみたいだね。

>>105
(ﾟДﾟ)ハァ？

一言で切って捨てられるほどおかしな事書いたつもりはないんだが･･･。
そうは書かないと言われりゃ、じゃ0*∞は不定でなくて0なの？と思うわけで。
別にこんなことは>>104の言うとおりどうでもいいことだけどな。

eの定義は

　lim (１＋１/n)^n
n→∞

そこで、

ｎを１０とすると
1.1^10＝2.5937424601

ｎを１００とすると
1.01^100＝2.7048138294215260932671947108075

ｎを１０００とすると
1.001^1000＝2.7169239322358924573830881219476

ｎを１００００とすると
1.0001^10000＝2.7181459268252248640376646749131
　　・
　　・
　　・
1.000000001^1000000000= 2.7182818270999043223766440238603

どんどんｅに近くなります。

ハァ？

>>109
本当にわからないのか、バカにしているのか、どっちだ？

>>79
何か習うと教条主義化して思考停止するパターンだな。しゃーない、もういちど噛み砕い
て書くか。

xn→aとlimxn=aは数学的内容は同値（そうとも！）だが、「ニュアンス」に差があると言
っている。
同じ数学的事実を表記するのに、前者は数列{xn}を主役にしてその挙動として、後者
は極限値limxnを主役にしてその性質として書いている点が違う。（表記している事実
自体に違いがあるとは言っていない。くどくてスマソが、読解力のないヤシがいるよう
なので念の為）

そして、前者のニュアンスを保持した否定のxn →/ aと、後者の否定limxn≠aはもはや
同値ではない。（前者にはlimxnが確定するかどうかは入っていないが、後者はlimxnが
確定した上でaと異なる実数であるという式。xnが特定の実数に収束せず、±∞に定発散
もしない場合、xn →/ aとは書けるがlimxn≠aとは普通書かない。存在しないものを
わざわざlimxnと書くのは不自然だから）

ちなみに、この差はルベーグ積分論などでは表面化することがある。
http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1043423127/878-894

注釈を加えておくと、fn→f a.e. とlimfn=f a.e.は同値ではあるが、自然な除外集
合は異なり得る。
たとえばfnが単調増加で積分値が一様有界の場合、Beppo-Leviの定理によってfnは
a.e.収束する。それをlimfnと書くわけだが、limfnが∞値をとる除外集合はfnによ
って完全に定まる。その意味でfn→fとlimfn=fはa.e.には同値だが、各点的な収束
状況はけっして同値でない。

a_nの極限aが存在して……と書いた方が間違いがないし
明晰だけどね。でも表現の異なる式は、それを使う数学者、
使うときと場合には必ず違いがある。実際任意の、と全ての、
はニュアンスが違う、という数学者もいる。

>>112
>>79にとってはニュアンスの違いはなかったというだけでは?

どいつもこいつもアホな発言ばかり

ん〜　厨房の漏れにとってはちょっぴり難しいお話。
つまり、0×∞は計算できないということにしているんですか？

>>115
計算はできるよ。
ただし答えがいくつになるかは条件次第。

>>97、>>106、>>109、カエレ

>>117
(ﾟДﾟ)ﾊｧ?
　_, ._
( ﾟДﾟ)ハァ？
　　　　　　 /　＼ 　 　　　―,;　¬フ　.'⌒,i.　|
((((ﾟДﾟ))))/　　　＼ｧァｱアﾉ'　　ノ　　　 i'　　|
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　O 　！

とりあえず
1＝0.999・・・を分かる人間を分からない人間がいて
わかる人が説明、説得しようとするけど
中途半端におかしな説明、もしくはちゃんと本質を理解してない奴が率先して解説したりするから
余計ややこしくなってる？

x=0.99999・・・とおく。
10x=9.99999・・・

10x-x=9
∴x=1

コレが中学生への説明だな。

コレでスッキリ納得して疑念を持たなかった俺が、
いま厨房の塾講師。

とりあえず
定期的にまともな説明が出て解決してるけど
時間がたつと新たな厨が湧いて出る。

>>120
その説明のミソは、「0.9999…」をひとつの（確定した）実数として処理している
ところがミソ。
0.9999…=1は、A=Bという式すなわち実数Aと実数Bが等しいという式なのだから、
それは当然なのだが、0.999…9→1という「状態」で説明しようとする人がいて、混
乱するヤシが出てくるのではないか？
0.999…9→1 ⇔ 0.999…=1 ではあるが、0.999…（9を無限個並べた表記）を無限数
列の表示と考えず、その極限であるところのひとつの実数の表示であると考えることが
大切というのが漏れの意見。
「0.999…は1に収束する」という言い方は正しくない（「0.999…9は1に収束する」な
らよいが）。「(0.999…9の極限値であるところの)0.999…は、1に等しい」とはっき
り言うべき。>>119の指摘もこのへんにあてはまるのでは？

まあ、1+1/2+1/3+…のような無限「級数」の表記も、数列の表示なのか「和」の表
示なのか微妙に曖昧なところがあるが。（「級数」という言葉自体が曖昧）

>>97の一番下
オイラーの時代に帰れ

ついにオイラの時代が来たんですよ！

0.999…9→1

と

0.999…=1

の違いがわからないやつがつぎつぎと湧いて出てくるのが問題てことね。

【結論】
有理数体の完備化によって実数体を構成する立場から述べるならば、
1-(0.1)^n→1　(as n→∞)　であり、
そのことを慣用的に　0.999....=1　と表記する。

>>125
ちがいをおしえて！

>>126
それでOkです

―終了―

>>126
>1-(0.1)^n→1　(as n→∞)　であり、
>そのことを慣用的に　0.999....=1　と表記する。

完備化を持ち出さなくてもそれは述べられるでしょう。

いつくしみ深き　友なるイエスは
罪とが憂いを　とり去りたもう。
こころの嘆きを　包まず述べて
などかはおろさぬ　負える重荷を

>>いつくしみ深き　友なるイエスは
何故このスレに書くのか知らんが、高校のときに
歌わされた気がする

すまん。スレの進行についていけない。

>>72
>「平行線の同位角が等しい」って公理じゃないの？
違う。図書館で"ユークリッド原論 共立出版"を借りて調べてみることだ。

>>73
>「平行線の同位角が等しい」って公理だとおもう。
>「交差する直線の背中合わせの角が等しい」のも公理だと思う。他は忘れた。
上に同じ。

ユークリッドの公理は完全ではないが、お前らのいう基本性質は公理から証明されているので自分の目で確認すると良い。

-----　再開　-----

ユークリッド幾何って完全ではないの？
どんな独立命題があるの？

>>134
簡潔に言うと、原論の中では、定められている5つの公理以外にも使われている公理があるということ。
ヒルベルトの論文"幾何学の基礎"(共立から出てる)で発表された。
で、結論から言うと公理は19個必要。

数学板てこんなに低脳なヤツが集まってんだな（ﾌﾟ

いや、冗談ではあるが（メール欄）、漏れは
任意の論理式Aに対して、Aか¬Aかのどちらか一方が証明される、
と言う意味で完全、と言う言葉を使ったんだけど……
ユークリッドの公理系が不十分であることくらい知ってるよ
順序の公理がないし、かと思えば議論とあまり関係のない公理が
ある。（ソフィストが五月蠅かったからしょうがないんだけど）

>>136
今頃気付いたか？

ところで、
「１．０００００００・・・・」
ていう表示はどういう意味を持つことになるんでしょうか？
実数をすべての無限小数表示されるもの全体の集合と定義すると
（普通に考えた場合の）一つの同じ数字に対して
１．００００・・・、０．９９９９９９・・・という２つの表示が存在することになって
切断とかが成り立たなくなると思った

> 実数をすべての無限小数表示されるもの全体の集合と定義すると

実際はそう定義するわけじゃないからな。

表示されるものと表示は違うのだから表示が一意でなくとも困らない。

でも、１０進少数展開が実数を表すということが定理としていわれている
（もしかしたら自分の見てる本が間違ってるだけかもしれないのでもう一度調べにイッテミル

>>141
「全ての実数に対して一意な10進展開が存在する」などとは一言も言われてないね。
わかるかな？

>>141
ごめん。よく読んでなかった。
> すべての無限小数表示されるもの
を
> すべての無限小数表示
だと思った。

つっても、「されるもの」で「されるもの」を定義するってのは定義にならん。

まあ、>>140, >>142 さんの言うとおりです。

>>138
まさに、その二つの表示が存在するのが有理数。
一通りしかないのが無理数。
教科書にも書いてある。←（こう書いておかないと、またハアァ？とかいうやつが洗われるからな。）

その二つの表示が存在するのは
既約分数の分母が 2 と 5 の倍数のときだけだよ。
十進数ならね。

>>145
アホですか？

>>146
1/3 = 0.333333...
は他にどういう表示があるの?
それとも一通りだから有理数ですか(w

それとも一通りだから無理数ですか(w

って言いたかったんです、はい、死んできます。

>>12を読めばわかるように
有限小数に限って２通りの小数による表現があるのだった。
誤記スマソ。

正しくは、
有理数は、有限小数と循環する無限小数に分けられる。
有限小数は循環する無限小数としても表せる。すなわち２通りの表示を持つ。

無理数は循環しない無限小数である。

ワタシも逝ってきます

で、十進で有限小数になるということが
既約な分数で表したとき分母が 2 と 5 の倍数ということと同値なわけだ。

>>149の

有限小数は循環する無限小数としても表せる。すなわち２通りの表示を持つ。

を書き直すと

１　は　０．９９９・・・　としても表せる。すなわち２通りの表示を持つ。

ということだね。

>>144
＞教科書にも書いてある。←（こう書いておかないと、またハアァ？とかいうやつが洗われるからな。）
こういうやつは数学にふさわしくないやつだからそのこと自体は気にしないくていいよ。
教科書に書いてあると書かないからという理由でハアァ？とかいうのじゃなくて
書いてあることを素直に読んでおかしなこといっとるなと感じたという理由でハアァ？とかいうってのが数学やるものの態度だろう。

ぜんぜん関係ないけど、

０×∞ ＝ ハルウララ×武豊騎乗

ちょっとまて
1=1.000000000000･････････････
だよな？

>>154
0×∞＝ー１ってどう？

>>155
そうだよ。

「循環」をちゃんと定義しないと、0.999…が循環節1の循環なら1.000…もそうだと
か言われそうだ。

>>158
1.000…が循環小数と言っても特に問題はないよ。
一貫性のある扱いをしている限りは。

ほとんどの術語は一貫性さえあれば問題がない
とも言える。

ところで、
1
と
1.000000000000･････････････
は別の表記とみなすのか？

別にどっちでも
同一視しても良いし、表記としては別だ、
ということにしてもOK

定義とか解釈とかいうとけっきょくは人それぞれみたく聞こえる。
もちろんそうじゃないだろうけど一応内包とか外延とかで言い直せない？
ガイシュツだったら誘導ヨロ。

公理化された数学の立場から言えば、「定義」とは
新たに新しい記号と公理を理論に入れること。
（もちろんただの略記に過ぎない定義もあるが）ラッセルの
逆理が定義をしただけなのに矛盾するのはそのせい。
「解釈」とは与えられた公理系の公理を全て満たすような
構造への写像です。

163が言いたいこととずれてたらごめん

>>163
内包とか外延とかいうとけっきょくは屑哲学みたいに聞こえる。
てか定義とか解釈を統一しておかないのが「人それぞれ」の原因で、
それを避けるために定義とか解釈とか言うわけだが

>>165
で、誰が統一すんの？

>>166
「Aさんの定義で統一したときの議論」とか「Bさんの定義で統一した議論」とかを
別々にやればいいのであって誰かがどれかに本当に統一する必要はない。

0.99999･･･････は整数だろ？

定義、解釈って別に論理的整合性を保つために
やるだけじゃないの？

数学では同じものを指していることが分かれば、違う定義から
始めてもよい、というのが普通の立場だと思うが

　　・
１．０

　　・
０．９

釣りか？
1=0.999999999999・・・に関しては
「同じものを指している」かどうか自体が
「定義、解釈」次第だろ。

同じではない、と主張する側が、
まともな定義すら提示できていない
というのは置くとして。

0,99999・・・・・・・=1-1/∞
1/∞≠0

∴ 0.99999・・・・・・・≠1

と前まで考えていたが、「∞」が実数じゃなかったらこの計算式自体ナンセンスなのかな・・・・・

1/∞は標準では=0だ罠。

>>172
ふつー、∞は数じゃないし。
仮に数だとしても、1/∞の値を定めるにはそれなりにつかえる演算体系を定める必要がある。
たとえば ∞×(1/∞) の値を何にするのかとかね。

1/∞=0は「∞に発散する任意の数列{a_n}に対し1/a_n→0」という意味で読める。

>>175
必要に応じて極限で実関数の値を定義することもあるが、
>172みたいに違いが分かっていないのもいるんだよ。

>>175
それって便宜的な記法じゃない？
ここで必要なのはＲ∪{∞}に位相環の構造を入れるとか
そういった話だと思う。

0,99999・・・・・・・=1-1/∞
がすでに違ってるもん。

それ以前に、0．999999･････という表記が何らかの実数を表すのは
実数をどういう風に定義した時なのかをちゃんとしてほしい
そして、その場合、「1」という表現はちゃんとした実数を表現するのか、
そもそも、「1」は単に乗法の単位元という意味合いで使われているのでは
ないかとも思える。
その場合スレタイは単に0.999999･･･は乗法の単位元だという主張に過
ぎないのかもしれない

１を表わすのに他にはどういう表現があるの？

一

1=0.999999・・・を証明できたらボクのFiedls賞さしあげます。

「極限」だから等しくなくても等しいという事にして良い？
ハァ？
何いってんの？
そんな勝手なルール作んなよ
等しくないものは等しくない
この当然のルールを破って得意げになってるバカの集うスレ

「等しくないものは等しくない 」
ハァ？
何いってんの？
そんな勝手なルール作んなよ
等しいものは等しい
この当然のルールを理解できないやつは数学板にくるな

「等しくないものは等しくない」
∀x∀y(x≠y→x≠y)
紛れもなく正しい。
(証)
[x≠y]仮定1
仮定1をdischarge
x≠y→x≠y
∀y(x≠y→x≠y)
∀x∀y(x≠y→x≠y)

えっと、NJでの証明ですか？

そうでつ

「等しくないものは等しくない 」
「等しいものは等しい」

そりゃそうだな。

ここから日本語を検証するスレになりました。

無限の目を持つサイコロ
1 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 02/12/15 16:59
１が出る確率は？

15 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 02/12/15 18:18
0

16 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 02/12/15 18:27
0を幾ら集めても0なんだから目の出る確率を全部の目に
ついて合わせても0になっちゃっておかしいじゃないですか

21 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 02/12/15 19:29
１が出る率は０でいいけどなんらかの目がでる率は１００％

22 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 02/12/15 19:54
ということは
確率０のはずの事象が必ず起こってしまうという事？
ふしぎ・・・

>>190
０×∞＝不定の典型的な例ですな

無限の目をもつサイコロって球ですか？
完全な球を完全な平面の上で振ったら目がでないかも？

そもそも無限の目を持つという実現不可能なもので確率議論してもねぇ

数学だからそれもアリなのでは？
完全な点
完全な線
完全な直線
完全な平面
どれもあり得ないが、それを想定して性質を探るのが数学。
物理屋とはここが違う。

具体例をあげると、
具象に足をとられて本質から目が逸れていくという
典型的な例ですな。

無限の整数のウチから、１つ数が選び出される時
それが１である確率
とか、そんな感じの話なのに、サイコロの形状の話になっちゃってる。

っていうか、これは 1=0.999999999999・・・ と何か関係があるのか？
無いなら無いで別にいいんだけどね。

a÷0＝不定は知ってるけど
０×∞も不定なんだ？

0÷0=不定は知ってるけど
a÷0も不定なんだ？まじで？本当にそれでいいのか？

>>195
で、無限の整数のウチから、１つ数が選び出される時それが１である確率
はなんなの？
０？

>>198
求められない。以上

１÷０が0.999999999999・・・だろ。
不定な値と１が等しい？
そんんわけがないだろ。

>１÷０が0.999999999999・・・だろ。
>１÷０が0.999999999999・・・だろ。
>１÷０が0.999999999999・・・だろ。
>１÷０が0.999999999999・・・だろ。
>１÷０が0.999999999999・・・だろ。
>１÷０が0.999999999999・・・だろ。
>１÷０が0.999999999999・・・だろ。
>１÷０が0.999999999999・・・だろ。
>１÷０が0.999999999999・・・だろ。
>１÷０が0.999999999999・・・だろ。
>１÷０が0.999999999999・・・だろ。
>１÷０が0.999999999999・・・だろ。
>１÷０が0.999999999999・・・だろ。
>１÷０が0.999999999999・・・だろ。
>１÷０が0.999999999999・・・だろ。
>１÷０が0.999999999999・・・だろ。
>１÷０が0.999999999999・・・だろ。
>１÷０が0.999999999999・・・だろ。
>１÷０が0.999999999999・・・だろ。
>１÷０が0.999999999999・・・だろ。

>１÷０が0.999999999999・・・だろ。
>１÷０が0.999999999999・・・だろ。
>１÷０が0.999999999999・・・だろ。
>１÷０が0.999999999999・・・だろ。
>１÷０が0.999999999999・・・だろ。
>１÷０が0.999999999999・・・だろ。
>１÷０が0.999999999999・・・だろ。
>１÷０が0.999999999999・・・だろ。
>１÷０が0.999999999999・・・だろ。
>１÷０が0.999999999999・・・だろ。
>１÷０が0.999999999999・・・だろ。
>１÷０が0.999999999999・・・だろ。
>１÷０が0.999999999999・・・だろ。
>１÷０が0.999999999999・・・だろ。
>１÷０が0.999999999999・・・だろ。
>１÷０が0.999999999999・・・だろ。
>１÷０が0.999999999999・・・だろ。
>１÷０が0.999999999999・・・だろ。
>１÷０が0.999999999999・・・だろ。
>１÷０が0.999999999999・・・だろ。

0 だろ。
的に当る確率を1として、的のある点に当る確率は0なのと一緒では。

>>198

(極限を考える場合の)
０×∞ とか ０÷０ は「不定形」であって、「不定」じゃないと思うんだが…

>>203
０じゃないだろ。
半径１の的なら、1/πｒ^2 で当たる。

>>206
面積１の点ならな。

それ点じゃないし。

>>20
てきは円だとは限らないだろ。

>>206
いや
それ以前に、そのｒは何だ？

>>206
> 半径１の的なら、1/πｒ^2 で当たる。

半径1の点を定義せよ。

ひさびさの大漁ですか>>206

>>206
^2 つーのも意味わかんないしｗ
２倍って事？ でも２πｒは円周だろ？

>>213
その釣りはイマイチ。

>>210
半径だろ

>>215
その釣もどうだろう。

このスレの半分は釣りでできてます

残りの半分は優しさ？

釣られじゃない？

分からないことを聞かれると釣りだといって考えない

「面積Ｓの点ｎ」っていうのは意味を持たないと思う。
つまり点の面積は１でもないし０でもない。

>>213　「aのn乗」→「a^n」と表記するのは常識だろ・・・・・

じゃあ点の面積を 1 - 0.9999.... としよう。

アホか

釣れますか

点の面積は0だとユークリッド幾何で習っただろ。

たしか超準解析を使うと、ある点に当たる確率が
無限小≠0になって、しかも的全体で積分すれば
1になるんだよね。だから？という気もしなくはないが

そんなことより、
(x-a)(x-b)(x-c)･･･(x-z)
を計算すると0になってしまうのは何故？！
一説によると、式の途中に(x-x)が入っており、これを計算すると0に成るそうなんだが。

ただの引っ掛け。以上。

>>226

>>222 と殆ど一緒だな。

222は論理的には訳分からんことを言っているだけだが、
超準解析のほうは真面目にモデル理論から頑張って勉強すれば
だれでも納得できるようになる。だから違う。

あ、でも微積に入る前に
1=0.999999999999……で躓いてしまったら同じだな（ｗ

222は論理的には

じゃあ点の面積を０としよう。

っていってる。訳分からんってほどでもない。香ばしいのは確かだが。

なんかよくわからんのですが超ウルトラハイパースーパークソ厳密に言っても
1 = 0.99999999999999...
なんですか？

これは、いつごろから発見された難問なの？解かれることはないの？

0.999999……がまず何を意味するのかで（このスレでは）
見解が分かれている。というか、現行の数学ではもう大昔に
決まった取り決めに従わない人が居るだけ。しかも、それなら
それで代わりの厳密な理論でも作るならまだしも、だれも
そんなことはしない（そんなことやっても唯の�dデモに過ぎない
と言う説もあり）

>>232
意味がよく分かりませんが

>超ウルトラハイパースーパークソ厳密に言っても
厳密に言っても、少々厳密性を失っても結果は変わりませぬ。

つうかそれを論じるためには
0.999.....のウルトラスーパー厳密な定義が必要なわけで

超スーパーウルトラダブルトリプルミックス激辛ダブリューエックスターボ
ハイパーゴールデンメタリックボンバーに厳密でも変わらないよね。

lim1^n
n→∞　



は不定形ですか？それともやはり１ですか？

1^n＝(s/s)^n＝s^n×(1/s)^n＝∞×０

よって不定形

>>240
何それ・・・。

1^xのグラフでも考えてみれば

>>239
lim[n→∞]1^n = 1

>>240
稀に見るアホだなｗｗｗ

ネタだろう。

>>244
激しくアホですいません・・・僕は240ではないのですが、
なぜ間違っているのでしょうか・・・？

240じゃないけど、
http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1080838655/l50
を見ると240が正しいと思う。

>>246
かける順序を変えてるから、
有限個の積なら交換法則使えるけど、
無限個の場合かける順序を変えると値が違ってくる

前にも１＾ｎが不定形といってた香具師がおったなぁ。。。大丈夫かい？

>>246
lim[n→∞](1/x)^n=?

(1/x)^n=(s*(1/s)*(1/x))^n=s^n*(1/s)^n*(1/x)^n=∞*0*0=不定形ですか？？



なわけない

lim(s/s)^n
n→∞
と
lim{s^n×(1/s)^n}
n→∞
はイコールではない

>>251
それはイコールだよ。
イコールじゃないのは
lim[n→∞]{s^n×(1/s)^n}
と
lim[n→∞]s^n × lim[n→∞](1/s)^n
だよ。

それはイコールじゃないか

lim と掛け算の順序の交換の問題なんだよ。

さっきからそういってるじゃん

ここまでバカばっかだとはなｗｗｗｗ

さらしあげ

>>251 >>253
お前記号の使い方変だよ。
lim[n→∞]s^n × lim[n→∞](1/s)^n
の意味で
lim{s^n×(1/s)^n} (n→∞)
と書くもんじゃないよ。
これじゃ掛け算してから lim とってることになる。

>>239

>>108を読め

ところで、
詭弁を使わないで１＝０.９９９９を証明する事は出来ないのか？

>>260
過去に何度も何度も出てきてるよ。
ε-δが詭弁と言うのならどうしようもないけどね。

>>260
詭弁って何ですか？

＞詭弁を使わないで１＝０.９９９９を証明する事は出来ないのか？
そりゃぁ、無理だろうな。

詭弁を使わないと無理。
てか、261は260が0.9999...て書いてるもんだと思ってるようだが、
実際のところどういうつもりなんでしょ?

>>258

>>253 は記号を使ってませんよ。

どうでもいいが馬鹿にlimとか理解できると思うかい？

>>266
少なくともお前には無理。limのネ申は漏れだけ。

limタンはエロかわいい

１−０．９９９９９９・・・・＝０．００００００・・・
を永遠に計算しとれや厨房が。
永遠の時間が終了したら答え教えてやるよ。ﾌﾟｹﾞﾗｯﾁｮ

269よ、厨房臭いレスを有難う！

>>270釣れた釣れた。必死な数ヲタが釣れたｹﾞﾗｹﾞﾗ
モニターの前で顔真っ赤にしてろや（ｗ

>>270嘘です。暴言は撤回します。すみません。
僕は必死なちんぽです。許して下さい。
僕ほどちんぽなちんぽヤローはいません。許して。

ちちちちちちちぃーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
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ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーんぽ

>>263
は？お前勝手に人のHN使ってんじゃねぇよ糞が

>>274
は？勝手に人のHN使ってんのはお前だろ？馬鹿？しかも>>263へのレスでつか？ｗ

以上、>>273->>275は全員漏れではない。

>>276
黙れうんこ。まんこちんこ。うんこうんこちんこまんこちんこまんこちんこまんこちんこ
まんこまんこちんこうんこちんこまんこまんこまんこまんこうんこうんこうんこうんこちんこ

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　|　今　・ 　こ　 ・　 .基　俺　そ　そ　聞　小 .　　　　　|
　|　頃　・ 　の　 ・　 本　が　の　し　 く　 学 .　　　 　 |
　|　俺　・ 　言　 ・　 的　思　結　て　と 　校. 　　 　 　|
　|　を　過　葉　い　に　 う　果　最　こ　 の 　 　テ 　|
　|　笑　去 .に　え　は　.に　得　期　ろ　 性 　 　ィ .　|
　|　っ　に　騙　 い .譲　　、 た　に　に　 教　　　ッ 　|
　|　て　戦　さ　 え　り　 精　人　勝　よ　 育 . . 　シ . |
　|　い　っ　れ　.お　合　子　生　ち　る　 で.　.　. .ュ　|
　|　る　た　続　先　い　達　が　残　 と　　、　 　　 　.|
　|　の　精　け　に　　　.は　　、　っ　莫　自　.　　　.　|
　|　か　子　た　ど　　　 戦　こ　 た　大　分 　. 　 　　|
　|　　　 た　の　う　　　　っ　の　の　な　 が　　　　 　|
　|　　　 ち　が　ぞ　　　 て　有　が　 数　昔　　　 　　|
　|　　　　　 俺　！　　　 い　 り　俺　 の　　、　 　 　　|
　|　　　　　 だ　　　　　　な　 様　様　精　精 .　 　 　　|
　|　　　　　 と　　　　　　.い　　　　だ　子　子.　　.　　　|
　|　　　　　 思　　　　　　の　　　　と　 と　だ　 .　　 　 |
　|　　　　　 う　　　　　　 で　　　　い　戦　っ.　　.　　　.|
　|　　　　　 方　　　　　　は　　　　う　 っ　た.　 　　 　 |
　|　　　　　 が　　　　　　な　　　　事　た　事　.　　　　.|
　|　　　　　 自　　　　　　い　　　　だ　ら　 を　 　　　　|
　|　　　　　 然　　　　　　か　　　　　　 し.　知　 　 　 　|
　|　　　　　 だ　　　　　　　　　　　　　　い　.っ 　 　 　　|
　|　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.　た 　 　 　　|
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ちちちちちちちぃーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
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ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーんぽ

親も見分けの付かない双子がいる。
しかし見分けることのできる人は2人だけいる。
それは俺と君である。

>>280
勝手に人のＨＮ使って書き込むんじゃねーよカスが。
ここ荒らしたのもお前だろ？
http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1080996457/

>>280
勝手に人のＨＮ使って書き込むんじゃねーよカスが。
ここ荒らしたのもお前だろ？
http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1080996457/

あぼーんだな。

以下全員、紳士　菊田

>>265
>>253が誰にレスしてるのか分からんようだな。

これってやっぱ中学の知識じゃ無理な問題だったんだな。
チクショー、まあ中学数学もこの歳じゃ怪しいけどな。

>>264
その通りです。
よく読んでなかった…＿|￣|○

>>285
> >>265
> >>253が誰にレスしてるのか分からんようだな。

>>253 のレスは誰が見ても >>251 ですよ。

黒木板に哲廚が・・・

http://www.freeml.com/ctrl/html/MessageForm/[email protected]/1987/

これはちょっと笑えた。

↑「相対性理論は間違っている」と主張する連中と同じニオイを感じるな。

>1/3=0.333...だが、0.333...=1/3ではないと思うのです。
既に等号の意味さえ変化させてしまっているw

こいつはすごいな。
なんかMy数学から"公用数学"の証明を批判してるし、そもそも意味のあることをやっているとは思えん。

1と0.999…が異なる実数なら、1と0.999…のあいだに必ずある実数が存在している
はずだが､はたしてそのような数はあるだろうか？

っていうふうにどっかにあった・・・

異なる実数
異なる実数
異なる実数

>>294
さんざん外出だが、0.999...<1 と仮定するならばたとえば
2つの正の数m,nを使ってx=(m*0.999...+n)/(m+n)と書けるような数は
すべて0.999...<x<1を満たす。
ただそれだけの話。特に矛盾も何もない。

>>294
例えば0.999……1がそれです。
……は無限個9が並んでいます。無限の先に、1があるのです。
ここのところのニュアンスを良く考えてください。
この無限の先に1があるというのは、本質的なことであって、
空間的時間的広がりとは無関係にあるものでなければならないと思うのです。
空間的時間的広がりとして、１の存在を考えると、無限だから、
いつまでたっても、1など見えてこないといえそうですが、そうではありません。
以下略。長過ぎ。

>>297
下手な釣り　or　実数のじの字も知らないアフォ

この問題ここでいいんじゃないの？

くだらねぇ問題はここへ書け ver.3.14(28桁略)5028
http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1079485235/l50

ダメ。こっちへ。
雑談はここに書け！【１６】
http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1080601212/

>0.999...は、どこまでいっても1には行き着かないはずですよね。
勝手に決めんなヴォケw
>そのことを単純に考えても、0.999...=1は、成り立ちませんよね?
だから勝手に決めるなとw
>行き着かないわけですから。1に行き着かないという事実が、行き着くという事実にどうして変るのでしょうか?
お前は背理法という言葉を知らんのかw
"1に行き着かないという事実が、行き着くという事実にどうして変る"なら仮定が間違っていたというだけの話。




もう論理として破綻しまくり。

0.999...=1は、成り立ちませんよね?
こんなことをほざいてる香具師はちゃんと証明を書いてから議論してみろ

参考
１≠２であることの証明（簡単ヴァージョン

１と２が同じ実数を表すのであれば
�@∀ｘ＜１∃ｙ＜２（ｘ＜ｙ）
�A∀ｘ＜２∃ｙ＜１（ｘ＜ｙ）
の両方が成立するはずである
しかし、�Aでｘ＝３／２について成立しない。
よって１≠２

「或る式
0.9+0.09+0.009+0.0009+....（以下無限に続く）　がある。
この場合、ある正の数が無限に加算されていくので、それは無限の数になる。
よって、
0.9+0.09+0.009+0.0009+...=∞　となる。

有界でかつ単調な数列は収束する。

誰かこのトプンって奴を論破してくれ
その手順がここでも役に立ちそうだしｗ

トプンは特殊すぎるので、あまり参考にならんと思う(もはや論理にもなってないし)。
とりあえず捨て台詞を残して逃げていったみたいだけど。

>>302

おめでたいやつだな
それは　1=3/2=2の証明だろうが

そーいうことよね。
何かこのスレレベル低すぎない？ｗ

×このスレ
○この板

入試に出せばいいんじゃないか、これ。

仮定１) x＝0.999… を 0.9＜0.99＜0.999＜…＜x≦1 を満たす数 x とみなす。
すなわち「任意の自然数 n に対して、1-0.1^n＜x≦1 である数 x」を考える。
仮定２) アルキメデスの公理を認める。
すなわち「任意の正数 a, b に対して、na＞b が成り立つような自然数 n が存在する」
仮定３) 通常の式変形等は認める。
以上を仮定する。

任意の自然数 n に対して 1-(0.1)^n＜x＜1 であると仮定すると、
⇔ 0＜(1-x)＜(0.1)^n
⇔ 10^n＜1/(1-x)
ここで 10^n＝(1+9)^n＝1+9n+…+9^n＞9n より、9n＜10^n＜1/(1-x).
したがって、任意の自然数 n に対して 9n＜1/(1-x) が成り立つ。
一方アルキメデスの公理より、9n＞1/(1-x) が成り立つような自然数 n が存在する。
２つの結果は矛盾であり、任意の自然数 n に対して 1-(0.1)^n＜x＜1
が成り立つような x は存在しない。したがって、x＝1 である。(証終)

＃たまに出てくる lim[n→∞]{1/n}＝0 の証明の焼き直し。
＃実数論的にはWeierstrassの公理を使うパターン。
＃>>297の 0.999……1 も 1-(0.1)^n＜0.999……1≦1 と
＃他の仮定を認めるなら、同じ結果になる。

だから
0.999……
は　自然数ではないんだってば

自然数
自然数
自然数

それは
”じねんすう”
といって
皆がふつう　"自然数（しぜんすう）”といってるのとは
違う概念です。

　そうでしたか、印象だけで、上記の説明の意味を良く理解もせずに語り
申し訳ありませんでした。つまりロゴス、比率は、論理のみの世界に相当
するわけですね。
　ただ、私は、印象としてですが、ミクロ的極小無限の世界は、我々の実
生活において何気なく扱っていることであり、宇宙のマクロ的極大無限の
世界は、実生活からかけ離れたものとして見つめていました。そういう意
味で、前者は、現実的、後者は、可能的かというように見つめてしまいま
した。
　いずれにせよ、このようなことが、無限数の問題について何らかのかか
わりがあるだろうという意味で、興味の持てる事柄ではあるわけです。

　とは言え、無限数の問題は、アキレスと亀のパラドックスに似たところ
があると言うことを考えると、現実的無限の立場というのは、1に行き着
く公用的な数学に相当し、可能的無限の立場は、1に行き着かないトプン
数学に相当するということになりそうですが、実際もそうなんでしょう
か?　つまり、アキレスと亀のパラドックスは、現実における時間や速さ
をその話の条件に取り入れず無視している所にあります。　つまり、現実
の条件を満たしていないことから来るパラドックスであるわけです。
　では、この無限数の場合はどうでしょうか?
１に行き着く公用の数学における、無限のかなたにおける「ずれ」を無視
した見方と、1に行き着かないトプン数学という「ずれ」を取り入れた見方と
ではどちらが正しいことになるのでしょうか?
　翻って言えば、前者は、1-0.999...においては、少数以下の差は、全て0
になり、後者は、無限の先で1になるわけです。前者は、この1には行き着か
ないというわけです。なんだか、ここでは、話が上記とは逆転しているよう
に思われます。いいかがなものでしょうか。

論破されそうになったら"感情的な議論"とか何とか言って逃げた挙げ句に、
こんどはtani_hiroに食いついてやがるw

自然数だろボケ市ねクタバレ

幼女の股座を嘗め回したい

実数の都合17個位の公理（実数は順序体で、有界な単調増加列は
収束する）と、収束する、ということの簡単な性質（厳密な定義で
なくて良い）から1=0.9999・・・が導けないかな。万人に
理解して貰えるような説明付きで。

有界な単調非減少数列は、その上限に収束する。

０．９９９９・・・は整数です。

分子と分母が同じ整数である分数(zeroを除く)は1に等しい。(…a)(自明)
分子と分母が同じ整数ではない分数は1に等しくない。(…b)

ところで、
0.9＝9/10と表現される。
0.99＝99/100と表現される。

0.9999・・・とは上記分数の分子下1桁に9を
分母下1桁に0を繰り返し付加していった(…�@)分数と言える。

ここで上記�@を何度も繰り返したところで、分子と分母の差は1(…�A)である。

冒頭(a)において、分子と分母の差が0(…�B)の分数は1に等しいと申し上げた。

本議論では、�Aと�Bは絶対的に異なる数であり(0=1であると主張する者がいればそれは除く)、
従って、冒頭(b)が成立し、0.9999・・・は1に等しくない。（証明完）

※但し、実社会においては、0.9999・・・と1との差は殆ど無視できる程度の
ものであり、0.9999・・・を1と見なすことに関し何等問題は生じない。

つ　れ　ま　す　か　？

1+1/2+1/4+1/8+…………=1はどうなるんですか？

トプンって教師なんだね。

> 私は、0.333...も0.111...も有理数ではないので、分数にはならない
> といいました。

立派な有理数だろうが。だいたい、分数を循環小数で表現するやりかたは小学
校で習ったぞ。

算数・数学の教師でないにせよ、ここまでバカな教師に習ってる生徒が可哀想。
さっさと教員免許をとりあげてほしいものだな。

√2≠1
√2≠1.4
√2≠1.41
√2≠1.414
………………
よって、√2≠1.41421356……
左辺のほうが右辺より少しだけ大きい。
よし、完璧。

>>12にちゃんと書いてあるよ

小数には
０．２５
のように有限桁で収まるものと
０．３３３３・・・
のように無限に続くものとがある。
無限に続くものでも
０．５３１２１２１２１２１２・・・
のようにあるところから同じ値を繰り返すものと
√２=1.41421356237309504・・・
のように繰り返しのないものがある。
ここで、繰り返すものが有理数、繰り返さないものが無理数である。
繰り返すもののなかでも、あるところから９を繰り返すものは特別で、
たとえば
０．２９９９・・・
は
０．３
と同じ値である。
つまり、すべての有理数は循環小数で表されるわけだ。

０．００００００・・・・＝０か？

０．００００００・・・を
０と書くのは、
．００００００・・・を省略したから。
０．９９９９９・・・=１
とするのとは意味が違う。

>>328
そうだよ。
何か？

いや、
１が0.99999・・・
２が1.999999・・・
と書けるなら
０は同形でどのように書けるのかな？と

>>331
10の補数表現ならば、

0 = 999999.999...

となりますね。

>>331
同じパターンで書くなら、
０＝−０.９９９９９９９９・・・
となる。

トプン曰く、
> この内容は、私の友人の関係の出版局に、大げさな形ではありませんが、ある
> 形で掲載してもらうよう依頼する予定の論文の一部です

その友人という人もとんでもない奴を友達に持ったものだ。
実名でちゃんと恥をさらすのならいいけどね。

>>333
それは違いますよ。

-0.999999... = -1

です。

>>326
釣れますか？

いや、漏れはこんな例を挙げれば
自分の馬鹿さ加減に気づいてくれる香具師も
出てきてくれるのではないかと思ったんだけど。

結論
トプンは人間のカス。早く死ね (ここで言ってもしょうがないけどな)。

> 私は数学を哲学しているのです

数学基礎論という分野があることも知らんのだろうな。

322って何かのネタ？

>>340
>>290のリンク先からのコピペ。

トプン、素晴らしいな。他人の言うことをまるで聞かないところがｗ

「∀」「∃」の読み方と意味を誰か教えて下さい。お願いします

>>324
1+1/2+1/4+1/8+…………=1
　↓
1+1/2+1/4+1/8+…………=2

>>342
「∀」 ターンエー
「∃」 よ

>>333
それっておかしくない？
どうみても−０.９９９９９９９９・・・は０じゃないでしょ。

0.9999…は1に等しいかどうか説明してください。
（2005年東大理系問6）

「トプン数学」っていう科目がある学校ある？一回でいいから授業受けてみたい

>>345
もちろんそうです。
これは、
１＝0.99999・・・ を敷衍するとこうなってしまう
つまり、もともとがトンデモである事をわかりやすく説明した。

>>348
釣りはもうたくさん、おなかいっぱい。
ゲップ

おっと失礼

ところで0/0は1なのか？

>>350
ｙ＝ｘ/ｘのグラフを描いてみな。

>>351
いや、y=0/xのグラフを描くべきだ。

じゃぁ、中を取って
y=x/2xのグラフを描く
という事でどうか。

この同類項め

それなら
y=x/0のグラフを描けばいい。

それなら
y=∞/∞のグラフを描けばいい。

きみだんごがキレて暴言吐き始めましたｗ
↓現在の最新
http://www.freeml.com/ctrl/html/MessageForm/[email protected]/2048/

>>356
それだと0/0はどこに出てくるんだ？
話把握してる？

>>358

ここら辺では。
y=(1/∞)/(1/∞)

>>356
変数１個で
どういうグラフを

1=0.9999999999999・・・

やっと議論が終わるかと思っていたら、
今度はきみだんごが香ばしくなってきたなw

1≠0.999....
でしょう?
だって0.999...は1に行き着かないんだから。
















....................................................................................................
....................................................................................................
....................................................................................................
....................................................................................................
....................................................................................................
....................................................................................................
....................................................................................................

しばらく沈黙してるな。
きみだんごは議論の終結を了承するのかそれともまたキレだすのかw

>>357

きみだんごがちゃんとわかっている奴なら、その程度は暴言とは言わねい。

が、

http://www.freeml.com/message/[email protected]/0002051

> 実を言うと、解析学では
>
> 　　　　1=0.9999999........
>
> などという表記はしません。あくまで、無限級数
>
> 0.9+0.09+0.009+0.0009+................
>
> が１に収束する（無限に近付く）という事実以上の主張はできないのです。厳密な表
> 記はこの級数のｎ項までの和をS(n）とする時
> 　　　lim　S（n)=1
> 　　ｎ→∞
> という表記が正確で、私も何故 1=0.999999............という表記がなされるのか
> 分かりませんが、これは簡略的な表記と考え、深く考える必要はありません。

これだものなぁ…

トプン以上にアフォだ。

トプソ以上かどうかはともかく、
無知識のくせに偉ぶっていると来たらもう救いようが無いな。

少なくとも、トプソは自分が無知識であることを認めている分、
ソクラテス的賢さはある。
考え方はハチャメチャだが。

無知の知って99%幻想だろ

世の中には「０．９９９…」という表記の意味するところを
「小数点の次に有限個の９の連なりがあり、
その９の個数がどんどんどんどん（永久に）増え続けるもの」
だと誤って理解している香具師が、意外にも大勢いるんだよな。
そしてその誤った理解こそを「０．９９９…」の正しい理解だと頑迷に信じ込んで、
「１＝０．９９９…」を誤った式だと見なし、数学に不備があると訴える…。

もうね、責任者出てこいと言いたい。

おいおい、釣りか？
そんなの定義次第だろ。

「小数点の次に有限個の９の連なりがあり、
その９の個数がどんどんどんどん（永久に）増え続けるもの」
という定義を「誤ってる」とする根拠は何だ？

＋の定義を論理和としたときの議論では（もちろん、普通の和と
区別できる記号である事が望ましいが、やっていけない話ではない）
１＋１＝１になるわけだが、368みたいなやつは
「誤ってる」って言っちゃうんだろうな。

頑迷なのは誰だろうか。

もっとも、ドンドン増えつづける系の定義の場合は、
１/３＝０.３３３３３・・・
とは書けないので注意が必要だ。

なるほど、0.999...は1に行き着くんだな。
トプソのおかげでそれがよくわかった。

>>369
あふぉ?

はい。

そうか…がんがれ

0.999...=1がしっくりこなくてこのスレ読んでたら
頭が痛くなってきました。
これは定義だからそういうもんなんだ、でいいんですか？

納得しない人々は、
『ある値の10進表記が具体的にどういう数字列であるのかを知るためには
「計算を進めて」いかなければならない』ということと、
『ある規則下で表記された値がどういうものであるか』とを区別できないのかな。

>>374
まぁそう。
「...」を無限にあるもの（増えるんじゃなくてある）を省略してる記号だと認めるなら
0.999...=1は必然。

というか、

　0.9
　0.99
　0.999
　…

が近づいていく対象となる数 (つまり極限) を、0.999… という表記で表す、という決まりごと。
近づいていくその先であって、近づいていく過程ではない。

近づいていく、という表現はどうだろうか。

0.99999999999999999999999……＜1じゃだめなの？

お。憂さ晴らしに書き散らした俺の文章にレスがついてるな。

>>369
>そんなの定義次第だろ。

もちろん定義次第だ。が、その定義を決めるのは一体誰だ？
個人個人が好き勝手に決めて良いものではないだろう。

>「小数点の次に有限個の９の連なりがあり、
>その９の個数がどんどんどんどん（永久に）増え続けるもの」
>という定義を「誤ってる」とする根拠は何だ？

まず、歴史的な経緯。
「０．９９９…」は、「小数点の次に、無限個の９が既に並んでいるもの」
として理解され、使われてきた。
現在の学校教育でも、無限小数とはそのようなものであると
教えられるはずだ。

そして、「０．９９９…」を「有限個の９の連なりが増え続けるもの」と
した場合に、それが実用に耐えないという事実。
まともに理論構築できたとしても、２つの実数の比較だけで一冊の本に
なるくらい、煩雑な議論をしなければならなくなるぞ？

>＋の定義を論理和としたときの議論では（もちろん、普通の和と
>区別できる記号である事が望ましいが、やっていけない話ではない）
>１＋１＝１になるわけだが、368みたいなやつは
>「誤ってる」って言っちゃうんだろうな。

言うわけないだろう、馬鹿。

>おいおい、釣りか？
>そんなの定義次第だろ。

my定義を持ち込むと混乱するのでやめてください。
+を論理和として定義する場合だって、そのことを宣言してからでないと普通は誤りとされる。

0.999…9
これはいつまで９を書き足しても１ににはならない。

0.999…
これは、すでに無限に９があるので、最初から1である。

この違いがわからないやつがつぎつぎと湧いて出てくるのが問題てことね。

>>381
> 0.999…
> これは、すでに無限に９があるので、最初から1である。

ビミョー。

>>379 >>381 は極限を知らなそうな気がする。
別に間違ったことを言ってるわけじゃないんだけどね。

>>375
＞「...」を無限にあるもの（増えるんじゃなくてある）を省略してる記号だと認めるなら
＞0.999...=1は必然。

(ﾟДﾟ)ﾊｧ?

スレ違いだが
トプンのＭＬで議論してる奴って
全員トプン並におかしい奴ばっかりのような気がしてきた
揚げ足取り、すりかえばっかりだし。言葉遊びばかりしてるように見える

その後の人質事件の議論見てても、きみだんごは完全に狂ってるな。
他の奴らもなんだかアレだが。

とりあえず>>1-386あたりが馬鹿なこと言ってら（ﾌﾟｹﾞﾗｳﾋｮｰ

変なのが沸いてきてるな。
381は、別に変な事を書いてないし、
「すでに無限に９があるので、最初から1である」なんて
極限が判ってないと書けないだろ。

1 という表示とは異なる。

>>385
そりゃ、1≠0.999...の説明なんて
必然的に言葉遊びばっかになるだろ。

>>389
超ガイシュツ
もっと新しい切り口キボンヌ

>>388
＞「すでに無限に９があるので、最初から1である」なんて
ε-δによる定義とはずいぶん違いますな。
そもそも「無限」の定義が曖昧なわけで。

お前等まず日本語勉強した方がいいんじゃないのか？

定義1:　0.999… という表記は、lim(0.999…9) を表すと約束する。
定理1:　lim(0.999…9)は1に等しい。

定義1と定理1を認めれば、0.999…=1は明らかだが、定義1と定理1の
それぞれが議論されていて、そのうえこの2つの議論を混同している
(人々がいる)のが問題の根源かも。

たとえば、「すでに無限に9があるので、最初から□である」という議論
は定義1の自然さを主張しているのがメインの内容であって、□が具体的
に1かどうかは定理1によるわけだが、定理1がなぜわかるか(たとえばε-δ)
という議論が反論のメインとして出てくるとか。

極限をε-δによって定義する立場にいるのなら
「0.999・・・＝（0.999・・・9の9が無限個連なったもの）」って定義のは見当違いだろ。

極限をε-δによって定義する立場にいるのなら
「0.999・・・＝（0.999・・・9の9が無限個連なったもの）」って定義は見当違いだろ。

見当違い以前に定義になっていないと思われ。

「生半可なヤツほど語調が荒い」の法則。

「0.999・・・9の9が無限個連なったもの」は、
素直に解釈すれば
lim[n→∞]{Σ[k=1,n](9/10^k)}
を、あまり厳密でない言い方をしてる感じに読めるのだが、
この定義は見当違いかねぇ。

>>396
極限の定義と表記の定義は別の話。
それが混同ってこと。

>>398
対偶は
「語調が丁寧な奴ほど、その事柄に精通している」
なんだけど、これ真か？

0.333...=xとおくと
10x=3.333...
よって
10x-x=3.333...-0.333...
9x=3
∴x=1/3
このようにして
x=0.999...としたらx=1となるんですけど・・・
思うに
1=2/2=3/3=4/4...
というように１の別のあらわし方ではないかと

うぁ…トプソ、やる気満々だよ…

出版の話は進んでいるようだぞ、おい！ｗ
http://www.freeml.com/ctrl/html/MessageForm/[email protected]/2084/

頑張るねえ。これじゃ哲学畑の人にもほとんど相手に
されないぞ、多分。

>>402

これって、実数の定義に依存してるの？

実数の公理からすべての実数は十進小数で
表されることがわかるから、0.999……≠1とすると、
(右辺)=r,(左辺)=lとおいたときに(r+l)/2が小数でどうにも
あらわせなくなって困る。

>>404
トンデモ本は売れるからな。
しかも内容はノーチェックでいいから編集者もラク。
出版社にはおいしいビジネス。

>>399
>「0.999・・・9の9が無限個連なったもの」は、
>素直に解釈すれば
>lim[n→∞]{Σ[k=1,n](9/10^k)}
>を、あまり厳密でない言い方をしてる感じに読めるのだが、

「0.99…9の9が無限個連なったもの」を「lim[n→∞]{Σ[k=1,n](9/10^k)}」
と解釈しそう定義する、ということ自体は見当違いではないと思うが、この
「定義」の内容は、前者のあいまいな表現を後者の厳密な表現と解釈するとい
う約束だけであって、後者の具体的な定義はまた別の話であることに注意。

limうんぬんが何であるかはともかく、あるひとつの実数を定義していると
いうことが重要で、それを納得してもらうのが第一段階。（逆にそれさえ認
めれば、limの定義抜きでも>>402のようにして1であることは導ける）

「lim[n→∞]{Σ[k=1,n](9/10^k)}」の定義なり計算なりを理解してもらうのは
第二段階。

極限や実数を持ち出すのはどうも必要以上に大げさという感じがする。
元々整数の四則演算で出た疑問だよね。有理数までで話は閉じないのかな。
なんで>>402で充分じゃないのかな？

無限級数の収束

>>410
> 極限や実数を持ち出すのはどうも必要以上に大げさという感じがする。
> 元々整数の四則演算で出た疑問だよね。有理数までで話は閉じないのかな。

有理数と収束は必要な気がする。

循環小数の集合に体の構造を入れて有理数と同型になるようにすれば
必ずしも収束は要らないと思う。

その場合は、循環少数を無限級数として扱うんじゃなくて
0から9までの数字の列として扱うわけだよね。
それってちゃんとやろうとしたら
ものすごく煩雑になるんじゃないかな。
例えば、級数の概念を使わずに
一般の循環小数の積をどう定義する？
極限や収束の議論は必要以上に大げさなんじゃなくて、
むしろ議論を簡単にしてるんだと思うけど。

>>414
別に簡単になるとは言ってないよ。全く貴方の言う通り。
商なんかほとんど絶望的だな。

(問)非循環部と循環部の組で与えられた循環小数から
同様の表示による逆数を求めるチューリング機械を書け。

循環小数表示を使わずに分数表示を使えば問題は出ないよね。（当たり前か）

>>415の(問)
それが絶望的なの？
循環小数を分数にするのは>>402の手順だし、
分数を循環小数にするのは筆算で割り算をする手順なのだけど。

>>414
現代は公理化が成功してだいぶ経った後だから、
既に得られてる強力な道具を使うのが楽だ。
という話なら、その通りだと思う。
しかしこの疑問は小学生が言い出すような問題なわけで。

やっぱりこれは、循環小数表示における規則でしょう。

トプン、また黒木板に現れてるよ。
そして相変わらず何にもわかってない。

そのうちここにも乱入してくるかな。

>>416
あーそうか。
今のスレの流れで循環小数←→分数の対応を使わずに計算しなければならないと思い込んでたよ…。

>>417
K氏は意地悪という空気になってるけど、
俺はトプンみたいのの相手してるだけ親切だと思う。

トプンはさっさとアク禁にすべき。

>>412
比の問題として
９粒の米粒において1/9は１粒だと言える。
小数展開して1/9＝0.111…(*とするとき
全体に対して１粒は0.111…の量と考えるのが妥当なら
総米粒の比率は0.999…＝1になるわけだな。
(*の算術的商法表示が実量として把握できるかどうかじゃないのか？

こいつを実数論に持ち込んだとき
lim[n→∞]{Σ[k=1,n](9/10^k)}やε-δが実量的な
比の問題にコミットできなければ別問題ってことになるし
小数展開と収束は同じ問題なのかそれとも別次元なのか？

>>420
訂正
×算術的商法表示
○筆算による商表記

意味わからんこと書いた…吊ってくる

０．９＜１
０．９９＜１
・・・
０．９９９・・・９＜１
なのに。唐突に
０．９９９・・・９・・・＝１
ですか？

頭大丈夫ですか？

頭悪いな。

「0.9、0.99、0.999、… という数列の極限を 0.999… と表記する」

っていう「十進表記の決まり」なんだから、0.999… = 1 に決まってるだろ。

0.9、0.99、0.999、… という数列の極限が1

もうこの文が僕にはわからない
数列とは？極限とは？
中2にもわかるように教えて

>>424
数列ってのは数を一列に並べたもの。
0.9,0.99,0.999,…
も数列。
この数列の極限が1ってのは、
どんどん数を並べていけば、最後に書いた数と1との差をいくらでも差を縮めることができるってこと。

≫422
なんで０．９９９・・・９・・・＜１
になるんですか？
頭大丈夫ですか？

BC=3 CA=2 AB=4 である三角形ABCの、AB上にD,Eをとり、AD=1 ∠ACD=∠BCEとなるようにする。このとき、線分BEの長さを求めよ。

ジュニア数学オリンピックの問題です。余弦定理を使わないで解く方法を教えてください。

>>425
つまり、いくらでも縮めることが出来るだけで
等しくなるわけでも何でも無いのに
イコールという「決まり」があるというだけで
本当に等しくなるわけではないのですね
よくわかりました
ありがとう

>>428
その釣りには乗らないぜ。

息の長いスレハッケソ

>>429
釣りじゃないんじゃない？

「いくらでも縮めることが出来るだけで
等しくなるわけでも何でも無い」
この数列のどんな項も
「本当に」1と「等しくなるわけではない」

は正しいじゃん。

�@：9/9=1

�A
1)9/9を筆算に書く
2)初めに0を立てる
3)割られる数が90となり、次に9を立て計算する
4)再び割られる数が90となり、9を立て計算する
5)以下繰り返し

�@と�Aより1=0.99999....

という話（≠証明）を本で読んだことがある。
（上手く伝わってなかったらｽﾏｿ

>>428
本当に、死ぬほど馬鹿だな。

0.9、0.99、0.999、…は 1 に等しくならないけど、その極限は 1 なんだから、
0.999…は本当に1に等しいんだよ。それが「表記の決まり」なんだから。

「0.5 は 1/2 に等しい」だって「10進法の表記の決まり」なんだが、お前は
「イコールという『決まり』があるというだけで本当に等しくなるわけではない」
というのか?

少しは思考しろ。カス。

Σ[k=1,n](9/10^k) は ｎがいくらであっても１とは等しくない。
0.5 と 1/2 とは等しい。
「表記の決まり」の問題ではない。

「"."の右側n桁目で10^-n の位を表す」ってのは決まりじゃないとでも? そこまで馬鹿でよくこれまで生きてこられたな。

「10進表記の決まり」は数概念の発展と共に何度も拡張されてきたわけで、
そのいくつ物決まりの中に「無限小数は極限を表す」ってのもあるんだよ。

> Σ[k=1,n](9/10^-k) は ｎがいくらであっても１とは等しくない。
(10^k を10^-k に修正)

が、Σ[k=1,∞](9/10^-k) は1と等しい。

0.999…は Σ[k=1,n](9/10^-k) ではなくΣ[k=1,∞](9/10^-k)である。

話はおしまい。お前は馬鹿。

あ、すまん -k に修正する必要はなかった

0.1111…=1/9 を9倍して、
0.9999…=9/9=1 だよね。

極限とか分からない人は、これで納得してください。

0.999…=1を否定するアフォは、必然的に 0.111… = 1/9 も否定しなければならないから、
それじゃ納得しないだろ。アフォであるがゆえに 0.111…=1/9　は否定しなかったりするか
もしれないがな。

喧嘩しようとしてるんじゃないんだったら、
間違ったことや変なこと言ってる奴の発言に対して
馬鹿っていうのやめない？

なんだか必死な人が居るね。
しかし、言ってる事が間違っているのではなく、
問題点が把握できていないのがイタいんだって事に、
最後まで気づかなかったらしい。

馬鹿は馬鹿。

>>431
>「いくらでも縮めることが出来るだけで
>等しくなるわけでも何でも無い」
>この数列のどんな項も
>「本当に」1と「等しくなるわけではない」
>は正しいじゃん。

もちろん正しいが、それがどうかしたのか?
0.999...を数列そのものと捉える根本的な誤りだな。

>>444
自分以外を馬鹿だと思い込みたい奴の巣窟か？ここは。

だれが、いつ「0.999...を数列そのものと捉え」たのだ？
失礼な。

>>445
数列と捉えなければ、
>「いくらでも縮めることが出来るだけで
>等しくなるわけでも何でも無い」
>この数列のどんな項も
>「本当に」1と「等しくなるわけではない」
なんて発言は意味を持たないのだが。

蛇足
>>428みたいな(ついでにその発言の正統性を認める>>431)
「0.999...は1に"近付く"から"="ではない」とか言ってる奴らへの言葉だ。

収束するとか近付くとかいう言葉が意味を持つのは関数や数列においてのみ。
>>428のように0.999...が1に近付くという考え方は完全に誤り。

>>446
はあ？
数列と捉えているのは{Σ[k=1,n]0.9*0.1^(k-1)}であって
0.999..じゃないぞ。

どこをどう読んだらそんな風に人を馬鹿にできる解釈ができるの？

>>447
>>428のように0.999...が1に近付くという考え方は完全に誤り。
そのとおりだよ？
わたしゃそんなこと一言もいっとらん。

あたりまえすぎることかもしれないが一応

数列
Sn = Σ[1,n](9/10^-n)
とする。

× 0.999...= Sn
こういう勘違いをしている奴に言わせると、0.999...が1に"近付く"ことになる。

実際は
○ 0.999...= lim[n→∞] Sn

lim[n→∞] Sn =1だから、0.999...=1は自明すぎて議論する気にもならん。

ついでにわたしゃべつに>>428の発言の正当性なんぞを認めたこと
一度もないよ？ちゃんと431読んだ？

>>448
>>428を読め。

>>449
>>431のお前の発言

>「いくらでも縮めることが出来るだけで
>等しくなるわけでも何でも無い」
>この数列のどんな項も
>「本当に」1と「等しくなるわけではない」
>は正しいじゃん。

という発言は、0.9999...と1のことを指したものではないのか?
そうでないならそもそも話題自体がスレ違い。

>>451
では読み直してみよう。

>>431のお前の発言
>「いくらでも縮めることが出来るだけで
>等しくなるわけでも何でも無い」
>この数列のどんな項も
>「本当に」1と「等しくなるわけではない」
>は正しいじゃん。

>>428
>つまり、いくらでも縮めることが出来るだけで
>等しくなるわけでも何でも無い
これをお前は正しいと言っている。
>イコールという「決まり」があるというだけで
これについてはお前は何も言っていない
>本当に等しくなるわけではないのですね
これをお前は正しいと言っている。

">>428の発言の正統性を認めている"と解釈されるのが普通だと思うが。

>>453
nを大きくすればΣ[k=1,n]0.9*0.1^(k-1)と1との差はいくらでも
縮めることができるだけで等しくなるわけでもなんでもない。
数列{Σ[k=1,n]0.9*0.1^(k-1)}のどんな項も本当に1と等しくなるわけではない。

>>428の発言の一部分を上のように解釈するとこの部分は正しい。
あとの
「イコールという「決まり」があるというだけで 」
は主語も目的語も何も書いてないから勘違いしてるともしてないとも
とれる。だからノーコメント。

にしたんだよ。わかれよ。それくらい。

スレが殺伐としてる...
お前らもちつけ。

　　　　　／＼⌒ヽﾍﾟﾀﾝ
　　　 ／　 ／⌒)ﾉ ﾍﾟﾀﾝ
　 ∧＿∧ ＼ （(　∧＿∧
　（； ´Д｀））'　））（・∀・ ；）
　/　　⌒ノ　（ ⌒ヽ⊂⌒ヽ
.（O　　 ﾉ　)￣￣￣(）__ 　 ）
　）_）＿） （;;;;;;;;;;;;;;;;;;;）（＿（

>>454
>>>428の発言の一部分を上のように解釈するとこの部分は正しい。
>あとの
>「イコールという「決まり」があるというだけで 」
>は主語も目的語も何も書いてないから勘違いしてるともしてないとも
>とれる。だからノーコメント。

2/3を正しいと発言し、残りの1/3について何も言わなかったら
君の発言は、">>428の発言の正統性を認めている"と解釈されるのが普通だと思うが。

>>451の
>ついでにわたしゃべつに>>428の発言の正当性なんぞを認めたこと
>一度もないよ？

というのは無理があるかと。

>>456
普通かどうかは知らない。貴台がそう感じたことだけは分かる。
でははじめから>>454のように書いておけばわたしゃ貴台には
私の意図はつうじたのかな？

そんなことより見ず知らずの人間の発言を
頭から悪意に解釈したりお前呼ばわりすることは
変だと思うのは”普通”じゃないかい？

>>>456
>普通かどうかは知らない。貴台がそう感じたことだけは分かる。
>でははじめから>>454のように書いておけばわたしゃ貴台には
>私の意図はつうじたのかな？
>>454自体が>>428の正統性を認めているだろ。
">>428の発言の一部分を上のように解釈するとこの部分は正しい。"と言い、それ以外はノーコメントにしたのだから。

お前呼ばわりとか悪意とか議論に関係ない話を持ち出すのは止めて頂きたい。

---前の発言---
>つまり、いくらでも縮めることが出来るだけで
>等しくなるわけでも何でも無い
>これをお前は正しいと言っている。
>イコールという「決まり」があるというだけで
これについてはお前は何も言っていない
>本当に等しくなるわけではないのですね
これをお前は正しいと言っている。
---終わり---

という事実に間違いはないだろ?
とすれば
>ついでにわたしゃべつに>>428の発言の正当性なんぞを認めたこと
>一度もないよ？
という発言は明らかに自己矛盾だと思うのだが。

>>458
>>454自体が>>428の正統性を認めているだろ。
認めてません。何でそう解釈できるのかな。

431以外のわたしの発言は>>425と>>441です。
したがって「お前呼ばわりとか悪意とか」についても
議論したかったのですがね。

>431以外のわたしの発言は>>425と>>441です。
え゛....>>454は?

>何でそう解釈できるのかな。
>">>428の発言の一部分を上のように解釈するとこの部分は正しい。"と言い、それ以外はノーコメントにしたのだから。
と理由を書いておいたのに意図的に無視されているようですな。
俺は根拠を述べたのだから、次に説明責任があるのはお前の方。

お前らもちつけ。

　　　　　／＼⌒ヽﾍﾟﾀﾝ
　　　 ／　 ／⌒)ﾉ ﾍﾟﾀﾝ
　 ∧＿∧ ＼ （(　∧＿∧
　（； ´Д｀））'　））（・∀・ ；）
　/　　⌒ノ　（ ⌒ヽ⊂⌒ヽ
.（O　　 ﾉ　)￣￣￣(）__ 　 ）
　）_）＿） （;;;;;;;;;;;;;;;;;;;）（＿（

認めた認めないはどうでもいいから、元の議論に戻ろうぜ。

元の議論って何だ？

>>462
説明責任ね。はい、果たしましょう。
あなたも読んで理解しようとする責任を果たしてね。

一部を私流に解釈し、その解釈なら正しい。
一部はちょっと私には多様な解釈ができるから保留したのです。

したがって正当性を認めているのは>>428の発言に対する私の
発言に対してであって>>428の発言そのものに対してではありません。
>>428の発言に対する私の態度は「保留」です。
そのことを>>454で書いたつもりだったのですが。

大体ね。
中2を自称する方からの「わかるように教えて」に答えようとしたのが
発端なのですよ。この話は。それが>>425ね。
そしたら>>428のような反応が返って来たの。

そこには勘違いしてる可能性とはあるものの、解釈の仕様によっては
一部理解してるかもしれない形跡があったのですよ。
そしたら、その後は自分で長い時間かけて極限概念を
習得していけばいいじゃないですか。
かれの意欲に水をさすような発言をしないでおこうとするのは
”普通”のことだと思うんですがね。

まあ、落ち着いて牛でも飲め

少なくとも、私は>>425ではないわけだが

>>465
>したがって正当性を認めているのは>>428の発言に対する私の
>発言に対してであって>>428の発言そのものに対してではありません。

>>431で、
>「本当に」1と「等しくなるわけではない」 <----これって<<428の発言だよね
>は正しいじゃん。
と>>428を正しいと言っているぞ。


>>>428の発言に対する私の態度は「保留」です。
>そのことを>>454で書いたつもりだったのですが。

お前がどう思っていたかはともかく、俺は
>">>428の発言の一部分を上のように解釈するとこの部分は正しい。"と言い、それ以外はノーコメントにしたのだから
>>454自体が>>428の正統性を認めているだろ (引用の都合上文を逆にしてある)
と推論したのだが、この論理は間違っているだろうか?
間違っていないなら、単にお前が自分の思っていることを表現出来なかっただけの話。

[続き]
>大体ね。
>中2を自称する方からの「わかるように教えて」に答えようとしたのが
>発端なのですよ。この話は。それが>>425ね。
>そしたら>>428のような反応が返って来たの。
>そこには勘違いしてる可能性とはあるものの、解釈の仕様によっては
>一部理解してるかもしれない形跡があったのですよ。
>そしたら、その後は自分で長い時間かけて極限概念を
>習得していけばいいじゃないですか。
>かれの意欲に水をさすような発言をしないでおこうとするのは
>”普通”のことだと思うんですがね。

俺が論じているのは、お前が"自身の発言を通して">>428の意見の正統性を認めたということであって、
お前の心情など興味は無い。

自分の"発言"をもう一度思い出しておくと良いだろう。↓
>「いくらでも縮めることが出来るだけで
>等しくなるわけでも何でも無い」
>この数列のどんな項も
>「本当に」1と「等しくなるわけではない」
>は正しいじゃん。

>ついでにわたしゃべつに>>428の発言の正当性なんぞを認めたこと
>一度もないよ？ちゃんと431読んだ？

もういい加減やめろ。

何事もなかったかのように次どうぞ。

もういい加減やめろ。

何事もなかったかのように次どうぞ。

もういい加減やめろ。

何事もなかったかのように次どうぞ。

もういい加減やめろ。

何事もなかったかのように次どうぞ。

いい加減にしろよ

>>428 のおかしなところは、

　主張1
　　　「0.9、0.99、0.999、…」はいくらでも (1との差を) 縮めることが
　　　　出来るだけで (1と) 等しくなるわけでも何でも無い

ことをもって

　主張2
　　　(0.999…と1が) イコールという「決まり」があるというだけで
　　　本当に等しくなるわけではない

と結論付けるところだろ。

主張1の正否は誰も問題にしていない (否定してる奴はいない) のだ
から、>>429の「釣り」発言は、つまり >>428 が「わざと」間違っ
たことを述べているのだろう、と言っているわけだが、当然のこと
ながら、その「わざと間違える」部分は主張1であるはずがない。

なのに、>>431は「主張1は正しいんだから釣りじゃない」と言った
のだろ。だから、>>431は

　・主張1から主張2が導けると思っている
　・何が問題になってるのかを理解できない

のどちらかとしか受けとりようがないだろ。

だから、>>431 が「本当は」どんなつもりだったか、なんてことを
議論する余地なんてないんだよ。

＞2/3を正しいと発言し、残りの1/3について何も言わなかったら
＞君の発言は、">>428の発言の正統性を認めている"と解釈されるのが普通だと思うが。

ずいぶんと特殊な「普通」ですな。

>>431は
・主張１までは正しいと認める
・主張２まではコメントしなかった
これが一般的な解釈だろう。
「主張1の正否」しか「問題にしていない」ことは
通常の解釈能力があればわかることだ。

「主張1の正否」を問題にする事自体が無意味かどうかは別の問題として。

>>468
＞>">>428の発言の一部分を上のように解釈するとこの部分は正しい。"と言い、それ以外はノーコメントにしたのだから
＞>>454自体が>>428の正統性を認めているだろ (引用の都合上文を逆にしてある)
＞と推論したのだが、この論理は間違っているだろうか?

間違ってると思う。

>>474
＞>>428 のおかしなところは、

＞　主張1
　　　「0.9、0.99、0.999、…」はいくらでも (1との差を) 縮めることが
　　　　出来るだけで (1と) 等しくなるわけでも何でも無い

＞ことをもって

＞　主張2
　　　(0.999…と1が) イコールという「決まり」があるというだけで
＞　　　本当に等しくなるわけではない

＞と結論付けるところだろ。

私はそうじゃない可能性を指摘しただけだよ。

433や444は文章読解能力に
致命的な欠陥があった

という事でＦＡ

> 私はそうじゃない可能性を指摘しただけだよ。

どこでどんな可能性を指摘したの?

どう見ても>>431には

　「主張1は間違ってないから釣りじゃない」

以外のことは書いていないのだけどな。

>>478
はは。私は
「主張１は間違っていない」と「釣りじゃないかも」
という発言はしたけど、両者の因果関係については
何も言ってないよ。

0.999999…は現代数学ではlim_{n→∞}(�農{k=1}^{n}(9/10^k))と解釈するのが普通だが、
これ以外の見解はあるのだろうか。
1と等しくならない見方もあるだろうか？

>>479
ああ、そうかよ。じゃあ

　「>>428は釣りじゃない」
　「>>428の主張1は間違いじゃない」

の二つしか述べていない>>431で、お前はどんな「そうじゃない可能性」
を述べたつもりなんだよ。というか「そう」ってのは何を指すんだよ。

>>481
>>431の一行目にはさ、「>>428は釣りじゃない」 じゃなくて
「釣りじゃないんじゃない?」って書いたんだけどね。
可能性の示唆として。

>>481
「そう」は「釣り」

>>482
ああ、わかったよ。で、「そうじゃない可能性」とは?
まさか「釣りじゃない可能性」か?

>>484
なんでまさかなのかな。
「そうじゃない可能性」の「そう」が「釣り」だったら
「そうじゃない可能性」は「釣りじゃない可能性」
と一意に解釈できると思うけどね。

この果てしない失望感をどう表現するべきだろうか。やっぱり

　　　＿|￣|○

か。

いや、俺がアホだったと素直に認めるべきかもしれん。

一応書いておくが、484を書いたときは、まだ 483は見ていなかった。
「まさか」そこまで馬鹿じゃないだろう、と冗談半分に書いたことが
的中してしまう脱力感は…いやもうこれ以上は書くまい。空しいだけだ。

じゃあこっちも一応書いとこう。
>>428は

「いくらでも縮めることが出来るだけで
等しくなるわけでも何でも無い」
この数列のどんな項も
「本当に」1と「等しくなるわけではない」
しかし
「いくらでも縮めることができる」ことを0.999…「イコール」1と書く
決まりがあるんだ

という風に理解_かもしれないじゃん
っていってるだけなんですがね。

その可能性を考えた私はあなたにとっては
「果てしない失望感を与えるほどの馬鹿」なのね。

>>488
理解_→理解した

変換ミスｽﾏｿ。

実は428は宇宙人で、428に書いてある日本語のようなものは宇宙人語であり、
日本語に訳すと「三馬鹿は死ね！」という意味で、数学板に誤爆した。
という可能性もあるな。

>>432
つまりこうだろ

　 0.9999・・・
　--------------------
9) 9
　 81
　--------------------
　 90
　 81
　--------------------
　　：
　　：

これはこれで面白いわなw

議論もいいが
もっとクールに本質のことだけ話し合ってくれ

煽りあいの部分とかいらないから

誰がどう読んだって >>431は、

少なくとも主張１の部分までは正しいわけだから、
この先、まともな議論に発展する可能性があるかもしれない、という意味で、
>>428が単なる釣りでない可能性を示唆した

という意味にしか解釈できない。

>>444は、431を、何故か
「主張1から主張2が導ける」という主張だと思ってしまった。
完全に444の読み間違い。
「・何が問題になってるのかを理解できない」のは444。

議論したいなら、直接>>428に戻って、
444以降の自己正当化の嵐については無視しましょう。
あまりにも馬鹿馬鹿しすぎる。

どう見ても釣り。

また釣り氏か。

--議論の流れ--

発端は>>428
>つまり、いくらでも縮めることが出来るだけで
>等しくなるわけでも何でも無いのに
>イコールという「決まり」があるというだけで
>本当に等しくなるわけではないのですね
>よくわかりました
>ありがとう

>>429
>その釣りには乗らないぜ。

>>431の発言
>釣りじゃないんじゃない？

>「いくらでも縮めることが出来るだけで
>等しくなるわけでも何でも無い」
>この数列のどんな項も
>「本当に」1と「等しくなるわけではない」

>は正しいじゃん。

で、>>431が>>428の主張が正しいと言ったのか言わなかったのかということでもめているわけです。

>>488
>「いくらでも縮めることができる」ことを0.999…「イコール」1と書く
>決まりがあるんだ

>という風に理解_かもしれないじゃん
>っていってるだけなんですがね。

ところで、それって間違いじゃないの?
馬鹿トプソの議論(0.999...→1とか言い出した)と似た間違いをしているような。
http://www.freeml.com/ctrl/html/MessageListForm/[email protected]

（１）0.999…9
これはいつまで９を書き足しても１ににはならない。
すきなだけいくらでも９を書き足すことが出来るといっても
いくらたくさん書いても有限である限り
つまり、どこかで９を書くのをやめてしまえばそこから先の分だけ１より小さな数で終わってしまう。

（２）0.999…
これは、すでに無限に９があるので、最初から1である。


この違いがわからないやつがつぎつぎと湧いて出てくるのが問題てことね。

（１）のイメージしかもてない人が、ごねているとしか思えない。
（１）はぜったい１にならないから、君たちの考えはその意味では正しい。
でも、このスレタイは（２）のことを言っている。
君たちの主張はまったく違う数についての主張だから的外れ。

超実数を考えているからだと思う。

>>488
自分で一旦「『そうじゃない可能性』とは『釣りではない可能性』のこと」と書いておいて、
いまさら何を言ってるのだ?

0.999...=1なの？
┬＝だよ派┬数列Sn=Σ_[k=1,n](9/10^-k)の極限lim_[n→∞]だよ派（実数派）（保守中道）（最大派閥）
│　　　　　 │　　　　　 ├無限級数Σ_[k=1,∞](9/10^-k)を意味するよ派（収束派）
│　　　　　 │　　　　　 └主にアルキメデスの公理で背理法で証明できるよ派（>>311派）
│　　　　　 └循環小数だよ分数にできるよ派（有理数派）（保守原理主義）
│
└≠だよ派┬0より大きい無限小を考えるんだよ！派（超準解析派）（改革路線）
　　　　　　 └0.999...はどこまでいっても1には行き着かないよ派（トプン派）（過激派）

上の二つは同じだろ (無限和の意味によるが)。

＝派は解釈次第だよな。
基本的には同じ事を言ってるわけだし。

≠派は、大きく分けて、
・0.9999… ≠ lim_[n→∞]{Σ_[k=1,n](9/10^-k)} 派と
・0.9999… ＝ lim_[n→∞]{Σ_[k=1,n](9/10^-k)} ≠ １ 派とがある
と見たがどうか。

>>500
いくらバカでも
「>>428は〜という風に理解したかもしれない」
＝「釣りではない可能性」
というのは判るだろ。

おまえ、見苦しすぎる。

スマンがさっぱりわからんので解説してくれ。

0.9999…に別の定義を与える派
・0.9999… ≠ lim_[n→∞]{Σ_[k=1,n](9/10^-k)} 派
の場合、その別の定義が
・１と異なるような定義派
・結局、その定義でも１と等しくなっちゃう派
がある。

・0.9999… ＝ lim_[n→∞]{Σ_[k=1,n](9/10^-k)} ≠ １ 派
は、単に極限がわかってないだけかな。

今日その辺り授業でやったけど、２秒で過ぎ去ってたよ、さらっと。
怖えーと思った・・・

９０＋９００＋９０００＋．．．≠１。

>>508
まあそうだろうな

不等式の証明の高校数学の常套手段
1 - 0.9999…　を考える。 これで解決。

1 / 0.9999… や 0.9999…/1　もあり?

>>508
詳しく

>>512
508って、単にでっかくなるだけなんじゃ……

やっぱりわかってないやつがいる

なぜみんなlim_[n→∞]{Σ_[k=1,n](9/10^-k)} と間違える？
同一人物？
コピペ？

1=0.99…問題分析
├→1=0.99…でも1≠0.99…でもないよ派(詭弁系)
└→1=0.99…または1≠0.99…だよ派(正論系)
　　├→1=0.99…かつ1≠0.99…だよ派(矛盾系)
　　└→1=0.99…か1≠0.99…かのどちらか一方だよ派
　　　　├→0.99…の定義によって変わるよ派
　　　　├→イコールの定義によって変わるよ派
　　　　├→1=0.99…ではあるが1≠0.99…ではないよ派
　　　　│　　├→1/N*N=1で証明できるよ派
　　　　│　　│　　├→N=9がいいよ派
　　　　│　　│　　└→N=3がいいよ派
　　　　│　　├→N倍して引く方法もあるよ派
　　　　│　　│　　├→N=10がいいよ派
　　　　│　　│　　└→N=1/10がいいよ派
　　　　│　　├→1-0.99…=0.00…=0で明かだよ派
　　　　│　　└→0.99…の定義が重要だよ派
　　　　│　　　　├→0.99…は循環小数だよ派(ピタゴラス学派)
　　　　│　　　　└→0.99…はlimΣ9・10^(-k)で定義される実数だよ派
　　　　│　　　　　　├→limΣ9・10^(-k)=1は自明だよ派(時代錯誤派)
　　　　│　　　　　　└→limΣ9・10^(-k)=1をε-Nで証明するよ派(コーシー学派)
　　　　│　　　　　　　　├→ε-Nで証明できるらしいよ派(言いたいだけちゃうんか系)
　　　　│　　　　　　　　├→有理数体のアルキメデスの原理を使うよ派(原理主義)
　　　　│　　　　　　　　├→実数体の連続性を使うよ派
　　　　│　　　　　　　　│　　├→アルキメデスの原理を使うよ派(主流派)
　　　　│　　　　　　　　│　　└→完備性で一発だよ派(迷走系)
　　　　│　　　　　　　　└→limΣ9・10^(-k)=1を超準解析で証明するよ派(ロビンソン学派)

　　　　└→1=0.99…ではなくて1≠0.99…だよ派
　　　　　　　├→1=0.99…なのは何故ですか派(反論系)
　　　　　　　│　　├→ε-Nは分からないので使わないで下さい派(教科書読みましょう系)
　　　　　　　│　　├→limは分からないので使わないで下さい派(その程度自分でやりましょう系)
　　　　　　　│　　└→分数は分からないので使わないで下さい派(脳みそありますか系)
　　　　　　　└→1≠0.99…だよ派
　　　　　　　　　├→明らかに1＞0.99…だよ派(太公望学派)
　　　　　　　　　├→a=lim a_nのイコールは厳密にはイコールじゃないって先生がいってたよ派(権威主義)
　　　　　　　　　├→0.99…は計算できないよ派
　　　　　　　　　│　　├→永遠に計算が終わらないよ派(ゼノン学派)
　　　　　　　　　│　　└→実無限を認めないと計算できないよ派(野矢学派)
　　　　　　　　　└→超準の立場だと≠だよ派

ここまで書いて力尽きた。あとよろしく〜

>>515
コピペ
多分、437か501をそのままコピペってる。

0.99…＝０ですよ？

>>519
詳しく

無限の想像するのに何秒かかる？

>>501
超準解析からアプローチしても
結論は0.999・・・＝１になるわけだが。

漏れは中間値って考えてますが
駄目ですか?

0.9999...=limΣ9・10^(-k)なんだろ？
項比が０に収束するじゃん？
０に収束する無限m級数の和は０なんだろ？
だったら0.99…＝０ですが何か？

Re:>>524 果たしてどこから突っ込むべきなのか？

突っ込めるもんなら突っ込んでみたらいいじゃな

0.999…→1の誤差





なわけないか…

>>524
和じゃなくて積の間違い。
０に収束する無限級数の積は０になるよ。
和だったら、少なくとも最初に置いた数より小さくなるはずが無い。

きゅう‐すう 【級数】
1 数学で、数列の各項を順に加法記号（＋）で結んだもの。例えば、数列［an］で、a1+a2+a3+…+an+…をいう。項が有限個であれば有限級数、無限個であれば無限級数という。
2 写真植字の文字の大きさを級で表す数。最小七級から最大一〇〇級まで二四種あり、一級は四分の一ミリ、一二級がほぼ八ポイントにあたる。
--------------------------------------------------------------------------------
[ 大辞泉　提供：JapanKnowledge ]


a1*a2*a3*…を級数とは言いません。

>>524が正しいとする。

0 < a < 1 のとき、

　S_n = Σ[k=1...n]a_k
　T_n = Σ[k=0...n]a_k = 1 + S_n

だから、明らかに

　lim[n→∞]T_n = 1 + lim[n→∞]S_n

そして、S_n、T_n はどちらも 524 の条件を満たすから

　lim[n→∞]S_n = 0
　lim[n→∞]T_n = 0

すなわち

　0 = 1 + 0

故に 1 = 0

0.999……は無限等比級数の和だから
0.9………＝0.9+0.09+0.009+……
（初項0.9,公比0.1の無限等比級数【０に収束】の和であるから）
　　　　　＝0.9 /（1-0.1）
　　　　　＝0.9/0.9
＝１

こんなんじゃだめなの？

亀レスだが・・・
結局>>428がアホな勘違いしたまま解った気になってレスを入れたのが原因だろ。
そんなのにマジレスするから荒れるんだ。
428 = ｱﾌｫ でFAしとけば不毛な煽り合いなんてせずに済んだものを・・・

不毛な煽り合いが楽しくないのに
このスレにいるひともいるんですね

実数の基本事項：
数列の極限が存在するならば、それは唯一つである。
実際、実数xが実数列x_{n}の極限であったとしよう。また実数yを、x≠yとする。
このとき、任意の正の数ε>0に対して、あるNが存在して、
n>=Nに対して|x_n-x|<εが成り立つ。
ε=|x-y|/3としたとき、xのε近傍とyのε近傍が互いに交わらなくなる。
よって、十分小さいε>0に対して、|x_n-y|>=εとなるnが無限に存在する。
よって、yはx_nの極限にはならない。
(付記：極限の一意性は一般にハウスドルフ空間において成り立つ。証明はほぼ同様にできる。)
つまり、1=0.999999…が証明されれば、0.999999…がその他の実数値を採ることは無いのである。

学校で習ったことだけど
実数は、有理数のコーシー列全体を同値関係で割ったものとして
構成できる(らしい)
その同値関係の定義にもとづくと
1 , 1 , 1 , ・・・・と
0.9 , 0.99 , 0.999 ・・・・
は同じものになる。これでいいとおもうんだけど?

>>535
説明になってないヨ

えっ、なんで? どこがいけないんだろう。

>>428 = >>533
そうか、お前はここまで読んでスレの本質が「煽り合い」だと判断した訳か。
真性だな・・・。どうやらお前と遣り取りしてもスレ汚しにしかならなそうだ。
俺はもう相手するの止めるよ。お前も余計なｶｷｺせずにROMってろ。

>>538
だから何度も正しい考え方が示されても
スルーされて新たな質問が出るわけね。
悲しいね。

>>538
お前は罵り合いの当事者だったんだな。
バカの方だったのか、
言ってる事は間違ってはいないが何の役にも立たないうわごとを書いている方だったのかは知らんが、
とにかく罵り合いを止めてくれるのなら
こちらとしては大助かりだ。

>540
538だが、当事者の名誉の為に言っておくが、俺≠当事者だ。
しかし妙な煽りを入れて来る奴だな。
何よりその内容は当事者が気を悪くするぞ。
本気で罵り合いを止めたいのならそういう書き方はしない方がいい。

私は533ではない。
勝手に誰かと同一人物にされて気分を害したのは
私の方が君よりも先だ。
自分が嫌がる行為に対しては当然の権利であるかのように抗議するのに
全く同じ事を他人にするのは平気なのだな。

>542
それは失礼した。
妙な勘違いからあらぬ方向へスレ趣旨が歪んでいったのが
見るに絶えなかったので思わず書き込んでしまった。
とにかく、不毛な話を蒸し返して済まなかった。
今度こそROMに戻る。

>>540
少なくともわたしは相手の名無し氏を、
あからさまに罵る言葉を使ったことは一度もない。
相手の発言の疑問点と相手の発言態度を改めるように要請はしたが。
それに、呼びかけに応じただけだ。
彼がわたしに「説明責任」を求めたもんだからね。

しかし、これはきりがないと思い、相手に何らかの思い違いが
残ってることは明白だが、引き下がっただけだ。
あなたの発言は>>541氏の言うように確かにわたしの気を悪くした。

なお428関連の事柄については今後一切発言しないので、
あの一連のやりとりを苦々しく思っていた方々は安心してください。

>>544
「慇懃無礼」という言葉を知っているか？

>>545
よく

>>546
なるほどね。
故意にやってたわけなんだ。

>>547
絶対に罵る言葉だけは使うまいとしただけです。

＞なお428関連の事柄については今後一切発言しないので、

>>549
428関連の発言ではない。
545の問いかけに答えているだけである。

>>549
宣言後の話題に関しては、返事をしてもいい、
あるいは呼びかけに関しては返事をする「義務」が有る、とかいう自分ルールでもあるんだろ。

イタタなやつの代表的な例じゃねーか。

「発言しない」宣言をしたなら、たとえどんな中傷をされようとも沈黙を貫けよ。
覚悟が無いなら宣言なんかするな。

って、案の定だったか。

>>533の言うことももっともだな

>>551
わかっていないようですね。
545の問いかけは428とは全く関係ありませんから返事をしてもいいのです。

原子レヴェルよりもゼロに近いんだからどーでもいいじゃん。
俺心臓あるけどんだけどさ、その心臓より（０より大きい）0.000000000000....離れたところは心臓だぜ。

なんで0.0000000...をゼロとみとめられないんだ。

初めての理由が分からないのは納得できる。
そりゃ不可解だからな。不可解な程チカイからな。
でもサンザ言われたんだから納得しなって。

0.9999999999...　は、こりゃ１だろ？　ざっと１００個は9がならんでんだから１でいいじゃん。到達してるって。そこは同じ位置だって。
ダメなの？

まぁまったくスレは読んでないけどね。最初の１００レス程度しか。
がんばってください。
質問はどんどんしたほうがいいよ。煽らない、やさしい学者さんにだけね。
例えばだな
「なんで0.9999999999999は１なんですか？」
「学者が説明するだろ。」
「その後が欲しいな。」

0.9999999999...という表記は「小数第一位から小数第十位までは、
9が続くけど小数第十一位以降の桁も9とは限らないがなにかつづいている数」
という意味しか表していないので1かもしれないし、そうじゃないかもしれない
ぐらいにしかとれない。

よって

0.9999999999＜0.9999999999...≦1

が正しい

1／3=0.3333333333333333････
1／3＋1／3＋1／3=1

(ﾟдﾟ)ﾊｧ?

1/3+1/3+1/3=(1+1+1)/3=3/3=1は一般に正しい。
問題は1/3=0.333333…の部分だ。
これはやはり、lim_{n→∞}(�農{k=1}^{n}(1/3^n))だ。

lim_{n→∞}(Σ_{k=1}^{n}(9/10^n)) = 1
ですがなにか？

やばい、素で間違えた。
lim_{n→∞}(�農{k=1}^{n}(3/10^n))だ。

>>558
>>559
>>560
０。

無限小数のあらわす実数の定義の問題。
それ以上でも以下でもない。

有理数しかでてきてないきがしますが。

>>563
いや、有理数も無理数も定義は同じだろ。じゃないと
γ=0.577……なんて実数を1/2より大きいかどうかも
公理からは導けないことになるぞ。
それに√2やπを例に出すことで納得してくれる香具師も居るだろうし

有理数も無理数も定義は同じ
有理数も無理数も定義は同じ
有理数も無理数も定義は同じ

超簡単な証明方法
ｘ＝０，９９９９…←�@
１０ｘ＝９，９９９９…←�A
�A−�@９ｘ＝９
∴ｘ＝０，９９９９…＝１（証明終）
完璧だと思うけど、どう？

>>566
過去ログ読んで出直して来い。

>>566
どれくらいがくしゅつかかぞえてみてね

初めて来たから知らんかった。
正直、スマンかった。
けど、この証明方法でこの不毛な議論も終わりなんじゃない？

もう少しコンパクトにまとめてみよう

おれも初めて来たけど５６６の解答はいいとおもうけど。
答えは>>566に間違えない。

>>571
おまえはとりあえず国語をなんとかしろ。

>>566
で、その「10倍なら桁シフト」はどう証明するの？ lim無しで証明できる？
もしその証明にlimが必要なら、最初からlimを使った場合と比較して
ちっとも「超簡単」になんかなってないよ。

1)0.99999....の....を極限をとる操作と解釈して、これは1と等しいはず派
2)0.99999....は超準解析的には1と等しくないだろうが派
3)小学校で習った説明を繰り返すだけ派
4)厨（主張は雑多）

A=0.999999999999999999......
とするだろ？

10A=9.999999999999.....
だから、

10A-A=9
9A=9
A=1

0.999999999............=1

なんかはじめてきたやつが多いなあ

春だからしかたないけど

超準解析的に１と等しい。

春厨的に1と等しい。

春厨的には等しくないのではないかと

等しい派にもイタいのは居る。

分数なんてものは正規の数学ではない。1/3＝0.3333333・・・・
とした時点でこの命題は本質的には解決されない。
円を三等分しようとすると、中心の点は永久に分割されない。
その点＝0、00000・・・・1
解るかな・・・

角度の三等分ならともかく、円の三等分 (円周の三等分の意味だと解釈して) は
簡単だろ。

勝手に違うものに解釈して「簡単だろ」って言うのは
新手の釣りですか？

二等分のときの中心はどこに。

>>573高校の数学�T・Ａの教科書に普通に載ってたから、証明はいらないかなと。

＝　って、何桁まで同じ時に成立するのだろう

>>586
そこの証明はいらないって、あなた。
それじゃ元の問題を先送りしてるだけで証明になってないよ。
こう言ってるのと同じ。

「三平方の定理を証明せよと言う問題について。
みんな補助線引いたり等積変形したり面倒な方法でやってるけど、
実は超簡単な証明方法がある。座標を使うんだ。
斜辺の長さは点A(a,0)と点B(0,b)の距離を考えればよく、
距離の公式よりAB=√(a^2+b^2)だからね。
えっ、その座標平面の距離の公式はどう証明するかって？
その公式は高校の教科書に載ってたから証明は要らないかなと」

>>588
別いいじゃん

前提条件が必要なものが簡単な説明といえるものか？
ただのごまかしじゃん

小中学生向けの「説明」としてなら別にいいと思うよ。
ただ、それが「証明」ではないことも教えておくべきだと思うけどね。

しかし>>566の

586 名前： ５６６ 投稿日： 04/04/25 22:06
>>573高校の数学�T・Ａの教科書に普通に載ってたから、証明はいらないかなと。

これだと、小中学生向けの説明としても機能しないな・・・

>>5は、無限というき念（なぜか変換できん）をまったく理解してないくずだ。

1/3=0.333333.....
は正しくない。
1/3>0.3333.....
がただしい。
小学校でちゃんと教えろぼけ

おまいら無限無限いってるが、無限が存在してること証明してから使え！

>>593
> 無限というき念（なぜか変換できん）
ガイシュツの逆だな。

新ネラー語　”きねん”　誕生＊記念＊日ができることを祈念します、

>>593
「なぜか変換できない」ネタを入れれば釣りだと思ってくれると思ったら大間違いだぞ

1=0.999999.....と
0=0.000......0001は同じこと？

Re:>>598 この突っ込みが適当かどうか知らないが…
lim_{n→∞}(1/10^n)=0

そうだね。改めてこの問題を人にどう説明するかを考えてみると、１が無限点列の上界、もしくは０が無限点列の下界であるとしかいえないんだなぁ。
収束点が(0,1)に含まれるかどうか、という前提の違いが、この問題に対する２つの立場を生み出していると思うね。

アナログで「その前後の数字」って
どうやって求めるの？

>>601
２の前後の数は１と３だよ。

ここ見てると
lim_{n→∞}(1/10^n)=0
↑こういうのがたくさん出てくるんだけど
こういうのなしでなんか上手く説明できへん？

Re:>>603 現代数学においては、
0.999999…=lim_{n→∞}(�農{k=1}^{n}(9/10^k))
だから、limの式が必要なのだ。
0.999999…に他の解釈が与えられるかどうかはまた別の話だが…。

>>603
604がなんか言ってるけど、それは置いといて
ただ納得してもらうだけなら10倍してから元の数を
引けばいい。それでも「厳密じゃない！」とか言って
食いついてくる人には極限を使わないと説明は難しい。

Re:>>605 厳密ではない上、こんなことが出来たりする。
S=1+2+4+8+16+32+…として、
2S=2+4+8+16+32+64+…となる。
S-2S=1より、S=-1が導かれる。

円錐を、底面と平行な高さで切断する
切断面の直径は、
ﾃﾞｼﾞﾀﾙ界では 上下 等しい
ｱﾅﾛｸﾞ界では 下面の方が大きくなる

>>606
俺、高卒(通信制)
目からｳﾛｺ

>>566
その証明はここがダメ

X=0.999… とする。
ここで 10X=9.999… という式は、
1) 0.999…=1 の場合には成り立ち、
2) 0.999…<1 の場合には成立しない式である。
　　今、Y=0.999…<1 として検証すれば
　　9Y<9 , 9Y+Y<9+Y , 9Y+Y<9+0.999… となるから、10Y<9.999… が導かれる。

　　よって 0.999…=1 を証明するのに、0.999…=1 の関係が前提で成り立つ式 10X=9.999… を用いることは許されない。

>>606
確かEulerが
「これは普通の-1とは異なる無限大の-1だ！」
とか言ってたんだっけ？
でも1=0.999……を「説明」するのに、普通連続の公理から始めるか？

>>609
いや、明らかに
a.bcde……の10倍はab.cde……だろ。ところが0.999…<1
とすると矛盾するから、結局0.999<1では無い事になる。

とすると矛盾するから
とすると矛盾するから
とすると矛盾するから

609の趣旨はよくわからないが、

611
>いや、明らかにa.bcde……の10倍はab.cde……だろ

それを明らかとするから問題なのであって。
単なる実用計算なら明らかとして良いのだが、
今回のように「1=0.999……」といった基礎的な命題を
証明する場合には安易に使えない。
証明対象以上に明らかなこととは言えないから。
lim a(n)の定義を確認すれば済むレベルの問題に
αlim a(n)=lim αa(n)という定理(これを示すには当然
limの定義を確認するだけでなく多少複雑な議論が必要)
を援用することが妥当かどうか少しは疑問を持つべし。
「自分の知っている定理」に帰着するだけでは必ずしも
数学的証明にならない。(初学者向けの「説明」としては使えるが)

おまえらﾈﾀ乙

>>613
＞>いや、明らかにa.bcde……の10倍はab.cde……だろ
＞それを明らかとするから問題なのであって。

いや、明らかにa.bcde……の10倍はab.cde……だろ。

１０倍された方のｎ桁目は元の数のｎ＋１桁目だろ。
そんなもん否定してどうする。
突っ込みどころがおかしいよ、お前。

>>615
それを明らかとして良いなら、1=0.999……は「もっと明らか」だ。
「m進法で記述された有限小数をm倍すれば桁が左へずれる」なら
本質的に分配法則しか使わない機械的な証明で済むが、
対象が有限小数でなく無限小数になれば結局limの議論が必要になる。

0.9999...と言う数値を説明する為には∞と言う数値の定義が必要
しかし、∞自体は虚数(概念でのみ存在する数)
∞自体が自己矛盾で崩壊してるのに、それを使って何を説明できる？

稚拙な持論から言えば、この世界の空間や時間すらも虚数
(瞬間はゼロ時間、ゼロは何倍してもゼロ)
俺たちが矛盾の世界で生きているのに
数値の一個や二個くらい狂っててもおかしくはない

「瞬間」は存在する。
連続するゼロ時間の中の一つが瞬間。
神のマスタートリガー信号により、次の瞬間へと移動する

そもそも時間は連続なのか？
この問いは現代物理からの問いです。

>>619
子音は、それ自体に音がない
連続して母音に繋がることにより(スレ違いのため以下略

時間は有界なの？量子力学では時間は量子化されないの？

ビッグバンが始まってから、ブラックホールで消滅するまで
時間は有界、でも内部では無限の時間が流れて。。。

光を粒子と見れば波の性質は消える
光を波と見れば粒子の性質は消える

よく理解してないけど
高校で習う微分って奴で瞬間の変化量ってのを習うんでしょ？
それでx=y直線でも使ってx=1の時のyの変化量を求めれば
それが1と0.999の差になるんじゃないの？

波と粒子を統一的に扱う数学はないの？連続と不連続の数学？
ｘ軸が連続でｙ軸が離散な座標？

>>624
1と0.999の差は0.001

>>619
> そもそも時間は連続なのか？

正午は午前であるか午後であるか。

>>927
それはまた違う問題だよな

また違う問題
また違う問題
また違う問題

寝た乙

乱数を発生させる機械があったとして
そいつが　１　を　発生させる確率は　0

>617
>しかし、∞自体は虚数(概念でのみ存在する数)
デンパか釣りネタか知らんが、一応誰かつっこんだ方がよくない？

∞と言う数値の定義
∞＞n,nは∞でない数？

つうか数値って何じゃ？　まあ数のことだとすると、
とくに断りがなければ∞は数じゃなくて、命題の略記法の部品。

>>632
いや、確かに∞は虚数でしょ
今まで気がつかなかったケド

虚数(概念でのみ存在する数)
がすでに誤ってるからね。
imaginary numberじゃなくて"imaginary" number
なら良いのだけど。

2乗したらマイナスになる数でいいよもう

y=1/xグラフで
x軸を時間とすると
yは永遠に0にならない

あ、ごめん時間を有限と限定してた。

時間が∞なら…
う〜ん。どうなんだろ

x>0 ならば 1/x>0 だけど、だからなに？

y=x²　と　x²+(y-a)²=1
が接するときaの値と接点の座標を言え

お願いいたします

誤爆しました
ごめんなさい

>>641は無視して下さい

9.9999999-0,9999999=9

「1=0.999999999999・・・・・」
は、
文章にするとどう言えばいいんだろう
「”0.999・・・”と、小数点以下に9が無限に続く場合、1と等しくなる」？？

0.999...と小数点以下に9が無限に続く十進表記は1を表している。

なぜ、＝派も≠派も決定的な結論が出せないのでしょうか。
それは、無限に９が続いているという事を無視しているからです。
0.9999・・・は、有限時間内に決定する値ではないという事なのです。
「＝１」である、とも「≠１」である、とも「断言できない」のが、この問題の本質であり、
＝派や≠派はどちらも間違い、自分の意見を言わずに他人を批判しているだけにしか見えない
非≠派、または非＝派だけが、結果的に正しいのです。

おお、目からうろこ。

>>647
至言ですな。
これが結論という事でＦＡ。

無限に９が続くという事実だけが在るんであって時間は関係ないでしょ。
９が１秒ごとに１０こずつ増えるってわけじゃないし。

断言するかどうかの問題ではなかろう。各自納得すればよいこと。

各自が納得するのは勝手だが
それを他人に押し付ける事はできない

「勝手だが」と逆接なのはなぜなんだ？
納得と押し付け不可は意外性なく両立するんじゃないかな。

「各自の勝手な納得」と「押し付け」が両立しないということだろ

「９が無限に続く」と説明すると
>>647みたいに考える人も出てきてしまうって事だね。
ε-δ（もしくはε-N）で考えれば「1=0.999…」というのは

任意の正の実数εに対し、ある自然数 m が存在して
m より大きい自然数 n に対しては
| 1-Σ[k=1,n](9/10^k) | ＜εが成立する

と解釈するのが一般的で、こう考えれば
「無限」という概念を使わなくてすむんだけど、
でもまあ、ε-δはある程度慣れないと納得できないんだろうな。

>>655
> 任意の正の実数εに対し、ある自然数 m が存在して
> m より大きい自然数 n に対しては
> | 1-Σ[k=1,n](9/10^k) | ＜εが成立する
>
> と解釈するのが一般的で、こう考えれば

それは解釈ではなく定義。その定義を理解しているどうかとは別。

647はトプン。

もう面倒だから、ゆとり教育で良いよ

「９が無限に続く」というのは
自然な解釈だろう。
というより、そこから始まらない議論は
なにか嘘臭いというか、作為的というか。
間違ってる、とは言わないが。

むしろ、無限に続くとはどういうことかを確定する必要がある。

いまさらながら実数の公理。
Rは体である。
Rには順序≦が入っている。その順序は、0<1であり、
同じものを両辺に足しても順序が変わらない。また、同じ正の数を両辺にかけても順序が変わらない。
任意の二つの実数a,bに対して、a<b,a=b,a>bのいずれか一つのみが成り立つ。
ここで、a<bとは、a≠bかつa≦bの意味で、a>bはb<aのこととする。
任意の基本列は収束列である。

何度も言わせてもらうけどさ。「無限」って言葉を使うなっての。

もう見てらんないよ・・・・
誰だよ有限時間とか言ってるアホは・・・
ここは算数板じゃないんだからさ・・・・

(∀ε>0)(∃n_0∈N)(∀n≧n_0)(|9Σ_[k=1,n]10^(-k)-1|<ε)

とりあえずここの皆さんは
この程度のことは理解している上で
0.999...=1について議論してるんですよね？

>>647=トプン....と言おうとしたらもう言われてた。

2.9999…≠3だとしたら日清は大変なことになる。
だって、いつまでたっても
2.9分
2.99分
2.999分
・
・
・
2.9999…分
って、いつまでたってもカップヌードル食えない。
てか腹減った…

>>655
∀n≧n_0　（表現は664のを使用）
思いっきり「無限」という概念を使ってますがな。
∃n_0∈N　のNでもう無限が出てくるし。

有限桁で終わってない数なんだから
小数点以下を無限に足しつづけなければならない
故に0.9999…＝0.9+0.09+0.009+…＝∞
無限大だ
これが結論

おお、目からうろこ。

a < b というのは a < x < b なる x が存在する，でファイナルマスマティシャン?

もちろん a < x というのは a < y < x なる y が存在する，でファイナルマスマティシャン.

>>667
(ﾟДﾟ)ﾊｧ?

>>664
大半は理解していないと思われ

おお、目からうろこ。

ねむい〜〜
１３０あたりまで読んで見たのですが眠いのでその後は飛ばしました。
過去レスも見てみたいのですが見方がわかりません。もしどなたかご存知の方
教えてくれるとうれしいです。

さて、僕の意見ですが、1=0.9999999・・・だと思います。なぜなら
０・９９９９９９・・・・と１との差は僕が思うに０より大きい値では決定されないからです。
その差を「竜太」とした場合、
まず０．９９９９９９９９９・・・（←これを�@とする）×１０＝９.９９９９９９９９・・・
となり、
９.９９９９９９・・・−９＝０.９９９９９９９・・・（←これを�Aとする）となる。
この時、１０倍した事で、９.９９９９９９・・・・と１０との差は
１０×竜太（１０竜太）となり、�Aと１との差も１０竜太となる。
�@＝�Aより
竜太＝１０竜太となるから
竜太＝０になり
１＝0.99999・・・+0
だから1＝0.99999・・・

目から角膜

>>675
＞まず０．９９９９９９９９９・・・（←これを�@とする）×１０＝９.９９９９９９９９・・・

ダウト。

>677
え？？どうして？

>678
0999・・・と表記するところのものが何ぞや？
を論じてる時に、
　それに関する性質や演算を何のことわりもなくもちこむことがだめ。
　それがありならそもそも
　0.998・・・　は　１です。といいきってしまえばそれで決着。

　

９が小数点のあとに無限に存在する。
なら小数点第Ｘとした場合に、このＸは正の整数ならすべて存在出来る。
と言う事は９．９９９９９・・・で必ず小数点「Ｘ-１」が存在する事になるから、
同じく少なくとも正の整数ならすべて存在でき、個数で言えば「無限」だ。

これで結論でてるだろ
(∀ε>0)(∃n_0∈N)(∀n≧n_0)(|9Σ_[k=1,n]10^(-k)-1|<ε)

>>680
そういった立場に立つと、収束性を一切無視することになる。
上のほうにも何度も例が出ているが、たとえば
X=1+2+4+8+16+・・・に対して2X=2+4+8+16+・・・なので
辺辺引いてX=-1という奇妙な結果を得る。
もちろん2進体などの新しい代数系の中では
この等式は普通に成り立つものだが、
ここでは実数の（もしくはもっとせばめて有理数の）範囲内で考えるべきことであるから、
そのときにそのような演算を勝手に定義してしまうのはまずい。
とりあえずε-N論法勉強なされ、話はそれからだ。

>>681
＞(∀ε>0)(∃n_0∈N)(∀n≧n_0)(|9Σ_[k=1,n]10^(-k)-1|<ε)
の式のどこに 0.999… が出てくるんだ？ ε-δ厨認定されるよ(w

うーん・・・そうか。
でもこの場合-1にはならないよ。
X=1+2+4+8+16+・・・のＸ回目に足す数（�@）の２倍が
2X=2+4+8+16+・・・のＸ回目に足す数（�A）だから
Ｘが無限の場合、�@が無限になって�Aは無限の2倍になる。
2X=2+4+8+16+・・・で１回目からＸ−１回目に足す数の合計は
X=1+2+4+8+16+・・・の2回目以降に足す数と等しくなり、
答えは無限×２−１になるから無限になる。

同じように考えると

９．９９９９９９・・・の小数点以下の９の個数は無限-１個になる

９.９９９９９９・・・（１０倍したやつね）から０.９９９９９９・・ひくと
厳密には９.のあとに０が無限に続いて最後に９になる

�@が無限になって�Aは無限の2倍？
無限-１個？

無限は何を引こうが掛けようが無限じゃないの？

>>687

「無限に続いて最後に９」
↑
未だに収束もε-N論法もよく分からない俺でもこれはわかる
ダウト

＞６８８
そうだよ。６８４の最後の段にもそう書いてある。
＞６８９
どうして？ちなみにその数は９+０で９です。

＞６８８
同じ無限でも区別をつけるため（名前みたいなもん）書いただけだよ。

あー、おれもε-δ厨だ。杉浦光夫なんて読むんじゃなかったよ

ttp://www.faqs.org/faqs/sci-math-faq/specialnumbers/0.999eq1/

「無限に続く数」に「最後の数字」はない

つまり０

９+０＝９

９.９９９９９９・・・（１０倍したやつね）から０.９９９９９９・・ひくと
厳密には９.のあとに０が無限に続いて最後に９になる

↑
９.９９９９９９・・・　−　０.９９９９９９・・・　＝　９

じゃないの？

９.９９９９９９・・・　−　０.９９９９９９・・・　＝　９．００００００・・・９

にはならないと思うが

同じだよ。

>>竜太

釣りなの？

０．９９９９・・・＝１
が成り立たないと永遠に時間が経過しないじゃないか！

>699
ちがうって・・・。

９.９９９９９９・・・　−　０.９９９９９９・・・　＝　９．００００００・・・９ ？

９．００００００・・・９
　　　　　　　　↑
　　この間にあるのはなんですか？

９.９９９９９９・・・　−　０.９９９９９９・・・　＝　９ 　じゃないの？
９.９９９９９９・・・　−　０.９９９９９９・・・　＝　９．００００００・・・９ 　にはならないと思うが

698 名前： 竜太 投稿日： 04/05/01 11:24
同じだよ。

ということは

９ = ９．００００００・・・９ ??

さらに

0　=　０．００００００・・・９ ??

そうだよ。
単純に考えて０が無限に続けば０.０００００・・・９は、量のあるもの（言い方変かな）になれない（量が決定されない）。
限りなく０に近づいていく。
「竜太」を使えば、
０.００００・・・９（�@）と０との差を「竜太」にした場合、
０.００００・・・９×１０（�A）と０との差は１０竜太になり（�A）
�@と�Aはどちらも０が無限にあるから（厳密には�Aは無限−１個だが無限−１は無限なので同じ）
�@＝�A
よって竜太＝１０竜太となり、
この時竜太を満たす数は「０」
よって０.００００００・・・９＝０+０
＝０

ああ〜！！！
変なとこに（�A）がある。

＞０.００００・・・９×１０（�A）と０との差は１０竜太になり（�A）

の最後の（�A）は無視してください・・・。

>>683
普通に出てるやん。目悪い？

だからさ。「９が無限に続くか」とかそういう問題じゃないんだって。
いい加減気づけよ。とりあえずこのスレのログくらい全部嫁や。

>>684
なぜXが無限だと言える？
逆になぜ0.999...が有限確定値だと言える？
それは結局収束するかどうかの問題だろ？
だから収束の定義に従って議論する必要があるんだよ。わかる？

＞竜太
まず「無限」を数学的に定義してごらん。

>708
え？「・・・」って無限に続くって意味じゃないの？
あと有限確定値ってなに？
字からして、有限で確定される値だと思うけど。

>>710
では

0.999...=0.9+0.09+0.009+...＝無限

でよろしいか？

ああＸ回目のＸじゃなくて
X=1+2+4+8+16+・・・のXか・・・
それなら６８４に書いたよ
ちなみに0.999...=0.9+0.09+0.009+...は、左から順に見た場合、
常に１とそれまで足した数の合計との差よりも少ない数を足す事になるからもちろん
１を超える事はない。

>>704
>限りなく０に近づいていく。

「竜太」と書いて「とぷん」と読むのですか？

0　=　０．００００００・・・９

なら

0　=　０．００００００・・・１

が成り立ってもおかしくないね

そして

０．００００００・・・１　＜　０．００００００・・・９

さらに

0＜0

あれ？

このスレいつまで続くんだ？

>>715
714みたいな馬鹿がいなくなるまで

Re:>>714 何故極限で<が<=に変わらないのか？

竜太・・ﾊｹﾞｼｸﾜﾗﾀ

>>716>>717
それは竜太（トプン）に言ってくれよ

＞７１４
＞0　=　０．００００００・・・１
もちろん成り立つ。

＞０．００００００・・・１　＜　０．００００００・・・９

これはなに？０．００００００・・・１も　０．００００００・・・９も
「０」という同じ値なのに・・・

>>714

7+8=15って少なくね？
http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1053128282/

これでもよんで勉強汁>>

言葉で言ったらわかりやすいかな？
０が無限に続くから、いつまでたっても「９」は出てこない。
７０４にも説明あるんだけどな

だから無限に続くとか意味不明な表現やめろ
無限の桁の数列がある、とか他の表現にしろ

697 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 04/05/01 11:20
９.９９９９９９・・・（１０倍したやつね）から０.９９９９９９・・ひくと
厳密には９.のあとに０が無限に続いて最後に９になる

722 名前： 竜太 投稿日： 04/05/01 19:14
言葉で言ったらわかりやすいかな？
０が無限に続くから、いつまでたっても「９」は出てこない。

＞厳密には９.のあとに０が無限に続いて最後に９になる

＞０が無限に続くから、いつまでたっても「９」は出てこない。

lim_{n→∞}(9/10^n)=0

じゃあ定義しよう。
ある列が次の２つを満たすとき、
「小数点の右に無限に９が続く」という。
（１）小数点のすぐ右に９がある。
（２）９のすぐ右には必ず９がある。

つーか意味分からないのが、最後。
最後がないから...だろ。いわば...が最後なんじゃないの？

だとすると・・最後の次なんてあるの？

つーか、0.999..が１なんてことはみんな分かってて。
それをどうにか説明しようとしてるんだぜ。竜太。
もっと具体的に分かりやすくしたほうがいいんじゃない？

竜太。数式を並べたって理解できない奴には理解できないんだ。
たとえばだな。

0.999..で少数点以下に9がずっと続く意味を考えてみろよ。
それってさ、繰り上がろうとしてるんじゃない？
そうでなきゃ無限に9が並ぶ必要なんてないだろ。
そんな健気な0.9999...って１なんじゃない？

みたいな。

＞つーか、0.999..が１なんてことはみんな分かってて。

分かってない、もしくは間違った理解をしている奴は多いと思われ
他板でこのスレへのリンクよく貼られてるし

>>728
逆に

繰り上がることを拒否して
永遠に小数点以下の底へ潜ろうとしている

とも解釈できそうだな、それだと

>>729
まじ？

>>730
なるほど。
それなら、ずっと９を続けなくてもいいじゃん。
３個ぐらいでよしとけば。
まぁ>>730は分かってるみたいだからいいけど。

>>731
世間一般の香具師なんか
中学程度の数学知識で止まってるから（別にバカにしているわけではない）
他板からここに飛ばされたら、そりゃ迷うだろう
0.99999・・・　が　1　になる？ナンジャソレ？ってな感じで
知らない人間をいくらでも釣れる、呼び込めるネタだし

>>731
僕も中卒レベルだとは思うけど・・。

なんで分からない奴が0.999...を0.999...のまま扱いたいのかが分かんない。（まぁ0.999...は１なんだけど。）
円周率はπで計算したほうが楽だと思うな。

そりゃ誰でも最初は分からないだろうけど。
ここまでくどく説明されてまだ分からないってのが。
なるほど分かりました！　って書き込み皆無じゃん・・。

しかも最近分かってる人同士での話になってない？

無限に続けたいのです。

極限をとったからって繰り上がるわけじゃないよ。
同一視してもいい、と言う約束事があるだけで
現実には、どこまで行っても1>0.999999999999・・・・・のまま。
この関係に変化は無い。

おお、目からうろこ。

>>670

Re:>>735 同一視してもいいというよりも、有理コーシー列からなる同値類が実数だという定義がある。

昔、漏れの予備校の先生が1÷3×3を素直に1と答えられる人は文系向け頭脳で0.999…と考える奴は理系向け頭脳だと言ってた ちなみに漏れはそのとき0.111…と脳内で計算していた…

その先生はアフォだと思う。

何度も出てるけど 0.999・・・ の ・・・ を
「９を無限に並べる動作」と捕らえると間違い。
「９を無限に並べた状態」と捕らえるように。

0.999・・・
勝手に無限に並んでるとか決めないように（笑
これでハッキリしているのは、「３桁では終わらない」という事だけで
もしかしたら１００万桁で終わるかもしれないし、６桁かもしれない。
もちろん「無限でない」とは言い切れないが、逆に「無限である」とも言い切れない。

もし、上司が「99.9・・・％大丈夫」とか言った時に、
「スーガクてきには１００％と同値だから絶対大丈夫なんですね！」
とか言ったら、怪訝な顔をされた挙げ句、次のプロジェクトからは外されるよ。
最悪の場合はオー人事オー人事に電話される。

0.999999999.......
9は無限に並ぶがその中にひとつだけ8を入れておく
4834787854900508127885477346672398962675132487346桁目に
こっそり

>>742
オー人事は上司に不満があるときだろ（Ｗ
お前がオー人事だよ（爆笑

>>744
オー目からうろこ

>>742
上司が５０％大丈夫と言っても、「俺なら１００ﾊﾟｰ可能です。」って言う。
自身のある奴が次からのプロジェクトに外されるとは思えないな。
なんで上司がそんな回りくどい言い方するのかも気になるな。
99.9999....％とかスムースに言えるか？
一言で言うなら・・・・１００パーセント・・・。

仮にスーガク的には・・・とか言っても上司は
「そのとおりだ！」
と格好をつけるだろうな。そうでなきゃ99.999....％なんて使わないだろ。

0.999...の9は無限ですよ。君使ってるじゃん、....ってこれはずっと続いてるってことなんだぜ。
どっかで止まるなら１より小さいだろうな。
オー目からうろこ。

それと数学的とか言ってる時点でちょっとやられてる。
何的にも0.9999...は１。
それが適用されるのが数学だけだと思ってるんだから・・・。
知ったかくせーんだよ。

>>742
>0.999・・・
>勝手に無限に並んでるとか決めないように（笑

無限に並んでいることを表す略記法なんですが。

>>743
>0.999999999.......
>9は無限に並ぶがその中にひとつだけ8を入れておく
>4834787854900508127885477346672398962675132487346桁目に
>こっそり

それは 0.99999999....... とは書かない。

Re:>>741 無限の動作をあたかも完了したかのように書くのはどうかと思う。

また狭量なのが来たな。

>>748
>742にはともかく
>723にマジレスはやめなさいｗ
誰にもみつかんないってｗ
多分、そんな桁地平線の向こうにあるだろうし。
ひょっとしたら・・、足元に・・。

>>794
僕、頭よさそうな749ﾀﾝとは戦いたくないけど。
0.999の後に、...と書くことで、動作は完了してるんじゃないの？？
>>741は正解かと。


ｼｯﾀｶｍ９(・Ａ・)ｸｾｰﾝ
これ考えたので流行らしますまじで。
ええ、パクリですがね。

0.999・・・（無限個）・・・９８９・・・（無限に続く）
は０ですか１ですか？

１です。
また竜太を使うのですが、
0.999・・・（無限個）・・・９８９・・・（無限に続く）（これを�@とする）と１との差を「竜太」とした場合、
0.999・・・（無限個）・・・９８９・・・（無限に続く）×１０−９（これを�Aとする）と１との差は「１０竜太」になる。
だが、�@と�Aは同じ数になるので、
竜太＝１０竜太となり、
このとき竜太を満たす数は「０」
よって
１＝0.999・・・（無限個）・・・９８９・・・（無限に続く）+０
そんだから１と同じになると思う。

>>752
えっとねー。
説明がむずかしいんだけど。
...は、最後に使うもんなんだ。だから、...の後に何か来ることはないの。
どこかで、８になることだけ分かるっていう状況も想定できないでしょ？

０ではないですね。おそらく。

無限って事を考えてみよー♪

�@を１０倍して�@引いて
９×�@＝９
�@＝１としてもいいけど。

９が無限に続くから０.９９９９９・・・（要するに１）と同じになる。
記号を左から順に理解していったら限りなくそれに近づく。

質問
中学生にでも分かる数学の不思議を教えてください。
１＝０．９９９９・・はなしね。（解決済み

ここのスレの人は、dense とか compact とか知っているんだよね？

いや、ここのスレでは伝統的にその手の話は抜きで進んでいます。

完備はまずいな。多分。もっとわからなくさせる恐れがある。
稠密は説明を試みてもいいが、その手の話を拒否するやしが質問者って
設定らしい。詳しくは知らんが、、、、。

まず，稠密と連続の違いから説明しよう．

>>761
はやくしろよ。

０．９９９９９９・・・が「９が無限に並ぶ」と定義するのならば、
「無限に並ぶ」というのがどういうことなのか、もう少し考えて見れば、
０．９９９９９・・・・＝１の意味がわかるだろう。

任意の有限ではなくて、無限であるわけですね。

>>749
無限の動作と考えるのが間違いだっつってんだろ、ボケ！！

動作じゃないから「完了」なんてこの場合そもそもありえないんだよ。
0.9999... っていう一つの「確定した数値」を表してるだけなんだからさあ。

Re:>>751 現代数学においては、
0.999999…=lim_{n→∞}(�農{k=1}^{n}(9/10^k))であり、
limの定義は、次の通りである。
lim_{n→∞}(a(n))=aとは、任意の正の数εに対して、ある自然数より大きい全ての自然数nに対して、|a(n)-a|<εとする。
この論法の中に、無限に繰り返すというものはどこにも無い。
まずは、topologyというものを覚えてくれ。
まだ実数論を知らないなら、topologyよりも先に実数論をやった方がいいだろう。

Re:>>764 [>>765]のは現代数学の定義にそのまま則っているだけで、このスレではあまり意味がないものかも知れない。
無限の動作と考えるのが間違いと云っても、
無限とは何なのかはっきりしないかぎり、云いたいことがよく分からない。
[>>765]では無限がどこにも無いと云うようなことを書いたが、
実際には、近傍を限りなく小さくとるとき、依然としてa(n)は十分先で近傍に全ておさまるかどうかを考えているわけで、
それで結局nをどんどん大きくとったときにどのような挙動を示すかを、例えば0.999999…では調べている、といえる。
むしろ、無限の動作と考えるのは正しいように思われる。
(なんか、アリストテレスvsプラトンみたいになりそうだな。)

>>765
この場合、上のaに当たるものは0.999999…ですか、1ですか。

Re:>>767 どちらも当てはまる。そして、極限の一意性から、0.999999…=1がいえる。

ようするに、０．９９９９・・・・≠１　論者は、数学的帰納法で
物事を考えているわけだけど、数学的帰納法は、無限にまでは
拡大できないのです。
無限まで拡大するには、イプシロンーデルタとかそういう手続きが必要に
なります。

>>768
1 - 0.999999… が非常に0にちかい、ということと同じですか

[>>765]の a はオーバーロードされていて、関数としての a(n) と、
定数としての a の2通り。

>>kingmathematician
・・・ほえー。
素人には推奨できませんね・・。
大学行ってそういうの習いたかったな。
独学でやってみます。

そういうの分からないと数学板で話せないって切ないな。

　根本的に、数の表現方法とは何かということを考えないといけないのでは？
有限個の数字を使用して、数を表現するという手法は、どういう制限事項を
うけるのかということ。
　数字を並べて「桁」をあらわすというのはどういうことなんでしょうか。並べて
書くということが、並べるという動作を必要としているのでしょうか。
　有限個の数字で表現される数を考えるときには、並べるという感覚は抱かないのに、
無限の数字を表示する必要性がある数を考えるときには、並べるという感覚が出てきて
しまう。そこには、人間の想像力の限界があるのかもしれませんね。

Re:>>772 大丈夫。誰でも最初は分からない。分からないからといって、そこで諦めては本当に身に付かない。

>>KingMathematician
>むしろ、無限の動作と考えるのは正しいように思われる。
収束性を調べる際は「無限の動作」と考えてもいいが収束した値は「一つの確定した値」である。

>>指し指
ごまかされないように。

そのヌルポな引用辞めてくれ．

>>77
ガッ

>>772
今まで何回もこの類の説明はあっただろが。クソが。

この広い宇宙の中で人間の存在など果てしなく小さい。
0.000000000000・・・・・・・・・1だろう。

そこで、こう言ってみよう。

1 = 俺達が居る宇宙
0.99999999999999999・・・・・・ = 俺達が居ない宇宙

1 = 0.9999999999999999999・・・・・・
であるから、よって

俺達が居る宇宙 = 俺達が居ない宇宙

終わり

>>779
俺＝宇宙じゃないし

君の存在は無限に小さくはないぞ

>>778
3日前の発言にそんな噛みつき方しなくても・・・

1 ＝ 0.9999999999999999999・・・・・・
だとすると、
0.9999999999999999999・・・・・・ − １ ＝ ０
ってことになるだろ。
これはおかしい（明らかに ＜０になるはず）

よって、
1 ≠ 0.9999999999999999999・・・・・・

>>782
おお、目からうろこ。

穴からうんこ。

無限に続く循環小数を分数にする方法というのがある。
循環している数の一区切りを分子、その桁数だけ9を並べたのを分母に持ってくるんです。
たとえば、0.123123123･･･という小数ならば、
123/999
となるのです。（約分できる場合もある）
ここで、0.99999･･･という無限に続く循環小数について考えてみると、
９が並んでいるのですから、最小の区切りは9。
で、それと同じ数の9を分子に持ってくるのですから、分数にすると
0.99999…＝9/9＝1
つまり、0.99999…=1だといえるのです！！

>>785
またお前か…20%スレ荒らした次はこっちか。

矢印で表現すべきものを、エクスキューズなしに等号に変えてしまう微妙な異和感といったものが、たとえば超準解析という発想の培養基になっていると思うよ。

1 - 1/n -> 0.99999… = 1

>>787
じゃあ
　　lim[n→∞] 1/n → 0
とでも書いてろ。

>>789
無限小を解消しようとする手続きへの異義申し立てが自発しなければならないといえばよいのかな。
等号によって、大事な何かを失うという直感がまず働かないことにはなかなか。
その辺り、数学の根幹に関わる問題のような気がするよ。

εーδでファイナルアンサー

>>790

で，どの矢印が等号にかわったんだい．

無限の収束をどう解釈するかでしょう。
マクロな系で見れば、見かけの収束によって無限小は消えるのだけれど、ミクロな系のプロセスに注意を払えば無限小はどうしても消せない。
アキレスと亀の話と一緒。
アプリオリな二者の合一を前提に話をすればマクロ式（スタンダード）。
アキレスの視点から記述をすればミクロ式（ノン・スタンダード）。
思考の流れからいけば、前者は
　0 →　lim[n→∞] 1/n
（距離の消滅地点から無限を語り始める神話）
後者は
　　lim[n→∞] 1/n → 0
（無限小から０へのジャンプを試みる歴史）

釣られん!

lim[n→∞] 1/n = 0 を
1/n が n を無限に大きくしていたら 0 になる
と考えるのがそもそもの間違いなんだよ。

イメージ的には極限値としての 0 が先に存在していて
数列 {1/n} の値を待ち受けてる感じ。
1/n は n をどんなに大きくしても 0 にならないのはアタリマエ。

それはつまり
0.999999999999・・・・・　の次は１だけど、
0.999999999999・・・・・　自体は１ではないということですね。
わかりやすいですね！

>>795
「どんなに大きくしても」っていうのは、任意の有限の値では、0にならない。ってことで、

>>796
0.999・・・ っていうのは、9 の数がすでに無限大まで到達しています。これは任意の有限ではない。
だから、0.999・・・は 1です。

>>796
その「次」って何だ、「次」って。
「次」がいえるのはその数が有限のときだけじゃないでしょうか？
0.99999･･･≠0.999･･･999
ですから。

無限に続くからこそ、>>785など、分数を使って説明してるわけだし。

＞「次」がいえるのはその数が有限のときだけじゃないでしょうか？

>>797
「0.999・・・ っていうのは、9 の数がすでに無限大まで到達しています。これは任意の有限ではない。」
全くをもって勘違い。
有理数列a{n}=0.999...9(9はn個)が1に収束するだけの話。

>>795でいいと思うのだが、何で>>796みたいのが出てくるかねえ。
0.999…は数列0.9,0.99,…が限りなく近づく先の値としてあって
それは1に等しい、でいいのに。（あくまでイメージの話ね）

イメージとしては、という事は
人間が理解できない世界では
1と0.99・・・に違いはあるという事？

所詮、有限の範囲しか頭が働かないやつらか。

すまないが、ザクにはリミットの無限大まで耐える力は・・ない。
少佐あああああああああああああああああああああああああああ！！

有限の範囲しか頭が働かないやつのためにεδ論法があるといえる。(そうでもない。)

>>805
どっちだよ。

「無限」を使って議論することに意味がない。

>>807
連続体仮説とか議論するのも意味ないとでも？

宇宙が無限に広がる、
またはすでに無限だとすると
宇宙の中で地球が占める割合は
0％？

>>809
そうだよ。

>>809
そうじゃないよ

Re:>>809 どちらとも云えない。

何故なら何を無限と見るのかがはっきりしていないからだ。

とりあえず何を無限としようと
地球は確実に存在するのに
０パーは酷いような

宇宙外の視点を仮設して、「遠方より」見た場合、地球は０と見なして差し支えない。
それが慣用なのだというのが、大抵の数学をかじった者の結論だ。
慣用そのものが問題視されていることに気付かなければ議論は白熱化しない。

袋の中に赤玉１個と白玉９個が入っている。
袋の中を見ないで１個取り出し、白玉であればその時点で「勝ち」である。
赤玉であればそれを袋に戻し、白玉が出るまで繰り返す。
＊無限回＊連続して赤玉が出たとき「負け」とする。
このとき、「勝つ確率」「負ける確率」「引き分けとなる確率」をそれぞれ求めよ。

＃これなら全員同じ解答になるだろうか？

もし宇宙が「無限」なら、地球が占める割合は０％だ。

>>817
ほんじゃ、地球が０％、太陽が０％、…、どっかの天体が０％、…
こいつら全部足しあわせても０％ってことになり、
「無限である宇宙」＝「宇宙を構成する全天体」＝０％
ってことにならないか？

天体の数が無限にあれば無問題。

なんていうか、簡単な表記をめざす数学的無意識といったものが俎上にあげられるべきなんだよ。
0.9999･･･に落ち着かないで、1という「きれいな」数を要請する働きがね。
無理数を封印しようとしたﾋﾟﾀｺﾞﾗｽ学派の不安は不滅だよ。

というわけで以降は>>820さんが、数学を「あるべき姿」に再構築するのを待つスレになりました。

まぁ、無限の考え方が分からないやつは、微分も積分もない
算数やってろってこった。

>>819
0×∞＝∞
ということですか？

なんだなんだ、
測度論を再発明するスレになったのか？

>>800
あってると思うけど？
0.999…が A = { s[n] | a[n] = Σ[n=1〜n] 9*(1/10^n), n∈N } に
属さないっていってるんでしょ。

閉じた宇宙論で行けば宇宙は有限だが
そんな事はどうでもいいな。

>>809
宇宙が無限って？

仮定の話でしょ
まあ、宇宙でもなんでもいいんだろう
そこに何かがあるのに0％という不思議が気になるって事じゃない

だから具体例を出すなと。
宇宙が無限かどうかなどという関係ない話に突っかかる人が出てくるんだよ。

別に提示した問題は悪くないよ。
あげ足とられまいと数式で固めるレスより問題の勘所をついてるよ。

このスレよく伸びるね。
アホのせいでループしてるだけだけど。

受験で習わないのだから仕方ない。

というより、思い込みや妄想を「直観」とカンチガイする香具師が多いだけだろう。

Re:>>832 受験で0.999999…=lim_{n→∞}(�農{k=0}^{n}(9/10^k))を習わないという意味なのか？

>>834
Kingよ、世の中には中卒という人々がいるのを忘れてはいけない。

Re:>>835 中卒か。吾も一部の科目は中学校どまりだけどね。

>>836
言わなくてもわかるよ。四文字だろ。ほ○○○○○○。

保型形式。

コテハンの人は名前の通り本当に数学者なの？

>>839
東大院かと思われ。

http://homepage1.nifty.com/kaneko/water3.htm 水粒子サンプルプログラム３D版
http://homepage1.nifty.com/kaneko/nfight.htm 物理演算とIKベースの格闘ゲーム（になる予定）
http://homepage1.nifty.com/kaneko/missile.htm ミサイルデモプログラム

逮捕された
winny製作者が過去に作っていたフリーソフト

漏れプログラムとかしたことないから分からんけど
これってすごいの？それともこれくらい作れて普通？
物理とかの知識も要りそうなんだけど

ぜんぜん横道にそれるけど（糞スレだから許して）、閉じた宇宙の周りには何があるんだ
老化。

>>842
宇宙=全空間だから周りとか考えること自体おかしい。
その「周り」も宇宙の一部。

閉じた宇宙に周りなんか無いよ。
少なくとも３次元的には。

３次元のランダムウォークで
最初の場所に戻ってくる確率は０だが、
戻ってくるパターンは確実に存在する。

地球が０％でもおかしくない。

０％とということは
我々は存在しないという事？

確率の話しであって、存在かどうかではない。

>>845
無限回戻ってくる確率はゼロだけど、一回戻ってくる確率は35%だよ。

実数全体の集合の中から任意に1つの数を選ぶ操作を考える。

問、0を選ぶ確率を求めよ。

解、0。


地球が宇宙の中で占める割合が0%であるのもこれと同じ原理。

０以外が選ばれる確率は何％？

100%

>>849
ほんのちょっと違うだろう。
問、0以上かつ1以下の数を選ぶ確率を求めよ。　解、0。
の方がより近い。

-10^1000以上かつ10^1000以下の数でも確率0。

>>850
１００％。

>>852
あまり変わらん。

まあ実数ってのは細かいように見えて意外とおおざっぱなものの計り方だってこった。

Re:>>854 どうして大雑把と云えるのか？
第二可算公理が成り立つことが、実数空間そのものが大雑把だという根拠にはならない。

>>849
無限集合から選べるって、選択公理？

>>842
数学では定義できない。
ブラックホールの中心には特異点がある。
そこと同じだ。

>>856

「選択公理」って言ってみたいだけの厨房は帰ったほうがいいよ。

マジレス、無限集合から一つの元を選べるのは自明だ。(選択公理は必要ない。)

コインランドリーの洗濯機から下着を盗み出して自分のバッグに入れられるのが、洗濯公理。

>>856
Let A be a set. If A≠φ then ∃a s.t. a∈A.

差が０じゃないんでしょ？
それなのに、なぜイーコールなの？

差は0だよ。

数学的に限りなく1に近いというのは1そのもののことである。
（それが1未満とかいう条件付だったら別）

ときどき疑問に思うんだけど、

０.９９９９・・・　って、
小数点以下が全部（無限に）９ってだけなのに、
勝手に「限りなく1に近い数」と定義してる人が居るのは何故？

>>865
限りなく1に近いという意味で0.99999999…って書く人もいる罠。
Σ[k = 1 to ∞]{ 9^(-10*k) }ってのは>>865の言っている意味だろうけど。

>>865
限りなく１に近くない？
９の次って１０じゃん。

・・・まぁ0.999...は1だから・・。

「何を 0.899999... と書いたか」というのが本題であって
「0.899999... は１か否か」というのは問題として成立しない。
１と等しいものを 0.899999... と書いたのなら それは１だし、
１と異なるものを 0.899999... と書いたのなら それは１ではない。

という事になってしまいますか。

「小数点以下が全部（無限に）９」という数を表したものなら＝１。
「１ではないが限りなく１に近いモノ」を表した 何か記号であると言ってしまえば
実数ではないナニカであって、≠１であるモノと言えてしまう訳だ。

上の「0.899999...」は、全部「0.999999...」の間違い。

0.899999...は1ではありませんよ。
0.9です。

0.899999...は9に近くなるけど
9そのものではないんじゃないの？

9に限りなく近いのは9そのものだよ。

有理数体とか実数体みたいな稠密なやつは
a≠bならその間に無限個の数を含むよ。
だからこの場合a=bだよ。

おまいら

lim 1/n = 0 ってのは、素直に認めるのに
lim Σ(9/10)^n = 1 に疑問もち杉

1に限りなく近い

この「限りなく近い」という言葉が

「近いけど同一ではない」という錯覚を感じさせるのかな？

単純に日本語の問題？

数学において1未満と１以下とはまったく同じ意味である。

んなわけないでしょ。
xが1未満と1以下じゃ違うじゃない。

lim 1/n は０に収束するというだけであって
１/∞は０ではありませんよ。

1未満の数字で
もっとも1に近い数字を表記してみてください

>>878
０じゃなくって0だ。ﾎﾞｹ

1以下の数字で
もっとも1に近い数字を表記してみてください

>>875
質問なんですが、
＞「近いけど同一ではない」という錯覚
を感じていると思われるレスはどれですか？

>>878
1/∞などという数は存在しない。数じゃないなら大丈夫。

>>879
有理数体や実数体は稠密なので存在しない。

>>881
1

>>873
>>883
＞有理数体とか実数体みたいな稠密なやつは
＞有理数体や実数体は稠密なので

こういうこと言ってると馬鹿だと思われるぞ

いいよ馬鹿だから

各点xで、xの近傍全ての共通部分が{x}になるかどうか、それが問題だ。

Sの閉包がXになるということを、少し分かりやすくいうと、
Xの任意の元xに対してSの点列で、xに収束するものが取れるということだ。

>>886
>>887
そういうこと以前に、任意の位相空間Xに対して
XはXにおいて稠密だぞ、と。>>885はこのことをよく考えて見れ。

>>886
>>887
>>888
スレ違い。

x=0.99999
10x=9.9999
9x=9.9999-0.99999=9
x=1

9x=9.9999-0.99999=8.99991
x=0.99999

>>890
なんつー手抜きな釣りだ

正確性を重視すれば.09999･････≠1になる。
こんな自明なことが否定されるのは詐術だよ。

釣れますか？

いわば整数のｳﾞｧｼﾚｰｼｮﾝを認めるか認めないかという立場の違いということじゃないの？

下手な釣りと、そこそこ上手い釣りがある。

数学という学問からも、釣りというﾃｸﾈｰは不可欠なわけだよ。明智くん。

>>マジレス、無限集合から一つの元を選べるのは自明だ。

に亀列

無限の集合から無作為に一つのものを選んだ場合に
それが目的のものである確率は0である。

従って無限集合から、任意の要素を選び出すことはできないといえる

意志があれば　選ぶことができるというなら
それは　公理としなくてはならない

>>898
＞無限の集合から無作為に一つのものを選んだ場合に
＞それが目的のものである確率は0である。

これは、無限集合上に測度が定義されており
しかも任意のsingletonの測度が0であるという事ですね。

＞従って無限集合から、任意の要素を選び出すことはできないといえる

測度が０という事と「選び出すことはできない」という事は別物ですよ。

>898
「目的のもの」を念頭に置いた段階で既に、
選び出すという行為は完了しているわけだが。

>>899-900

つられてますよー。

無限って存在してるのを証明するのが無理に近いキネンだから、ある程度勝手に妄想定義しなきゃならんでしょ。
とりあえず、1/x->0(x->∞)をすくなくとも無限がみたすと認める定義としたら、
0.99999....、９が「無限」に続くと解釈して上の定義から演繹したら、１だよな？
0.99999...が９がずっと続く(≠無限)と解釈したらオレは解けないｗ

>>902
ちょっと書き方が痛いですよ

1 = 0.999999・・・・・・・・・・　である。
∴実数において x＜1 と x≦1 は同じ条件である。