不等式スレッド

有名な不等式からマニアックな不等式について語り合いましょう。

2

ベルの不等式が有名だすね

だるま不倒式
ダルマさんが倒れないための条件を与える不等式です。

ちんこ不等式

チェビシェフだろ

seele futousiki

三角不等式が一番使える。

AMGM

0≦1
これ有名。＝を抜かさないのがｶｺｲｲ

コーシーシュワルツエネッガーの不等式だっけ？」

>>11
エいらないよ。とマジレスしてみるテスト

>>12
ミスった。
シュワルツェネッガーね。

ヤッホーでシュワルツネッガーで検索すると
　＿
／！＼キーワードに間違いはありませんか？　シュワルツェネッガーでオ☆ニーをしてください。
￣￣￣
ってでましたが何か？

age

相加相乗調和
ヘルダーの不等式
ミンコフスキーの不等式

良スレじゃねぇか
(´д｀；)ﾊｧﾊｧ

不等式だけ集めた本もある。

このスレに期待していいのですか？
(；´д｀)ﾊｧﾊｧ

自分で調べて自分でネット検索して自分で
考えて
考えて
考えて
喜ぶ。
ちなみにその本には確かこうある。
ある者は蝶を集め、ある者は切手を収集し、ある者は不等式を集める。

不等式への招待 現代数学ゼミナール
大関 信雄 (著)
三角形の3辺の長さについての不等式
超越関数を含まない不等式
三角関数、指数・対数関数についての不等式と単調性
(相加平均)≧(相乗平均)の証明方法
相加平均・相乗平均を含む不等式
凸関数についてのJensenの定理
負にならない2次形式について
不等式の作成と証明法
凸関数と優数列について

三角形の3辺の長さについての不等式
超越関数を含まない不等式
三角関数、指数・対数関数についての不等式と単調性
(相加平均)≧(相乗平均)の証明方法
相加平均・相乗平均を含む不等式
凸関数についてのJensenの定理
負にならない2次形式について
不等式の作成と証明法
凸関数と優数列について
積分の不等式

不等式
[原書名：Inequalities〈Hardy, Godfrey Harold；
Littlewood, John Edensor；P´olya, George〉 ]
４１７ｐ　２１ｃｍ（Ａ５）
シュプリンガー・フェアラーク東京 (2003-10-04出版)

・ハーディ，Ｇ．Ｈ．〈Ｈａｒｄｙ，Ｇｏｄｆｒｅｙ　Ｈａｒｏｌｄ〉・リトルウッド，Ｊ．Ｅ．〈Ｌｉｔｔｌｅｗｏｏｄ，Ｊｏｈｎ　Ｅｄｅｎｓｏｒ〉・ポーヤ，Ｇ．【著】〈Ｐ´ｏｌｙａ，Ｇｅｏｒ
[A5 判] NDC分類:413.51 販売価:\4,800(税別)
本書は、Ｇ．Ｈ．ハーディ、Ｊ．Ｅ．リトルウッド、Ｇ．ポーヤという数学界
の巨星たちが、数学のあらゆる分野において重要な役割を果たす不等式たち
について、その起源を遡り、コンパクトに証明をまとめた書。
本書の前半部分では、まず解析学において重要かつ基本的な算術平均と幾何
平均の定理（定理９）、ヘルダーの不等式（定理１１）、ミンコフスキの不
等式（定理２４）を紹介し、それぞれについて、いくつもの視点からの全く
異なる証明を与えている。
そして後半部分では、前半で提起された問題についてさらに詳細に考察がな
されており、複素関数の理論、フーリエ級数の理論、直交関数系の一般論な
どへの格好の入門書ともなっている。

第１章　序論
第２章　基本的平均
第３章　関数の平均と凸関数の理論
第４章　微分積分学の応用
第５章　無限級数
第６章　積分
第７章　変分法の応用
第８章　双線形形式と多重線形形式に関する定理
第９章　ヒルベルトの不等式とその類似と拡張
第１０章　再配列

不等式ヲタからの質問。

不等式（大関信雄、青木雅計）槇書店
P.153, 5-7行があやしい。
あれでは a_kとb_kが無関係でなくなるのでは？

名スレ上げ

0≧1≧2

a<=bから束を作ってみる。
a<=bに相当する関係式をa∪b=b,a∩b=aとする。
a∪b=max{a,b},a∩b=min{a,b}とすると、a<=bならばa∪b=b,a∩b=aである。
また、a>bならば、a∪b≠b,a∩b≠aである。
よって、通常の順序に対応する束の演算は、maxとminである。

>>24
考えて見るかと思って、見たんだが、俺の持っているのではP１５３はTから
Zまでの索引であった。ちなみに１９９２初版第２刷となっておる。

>>24
本が違ってた。
俺のは「不等式への招待」近代科学社
君のは不等式なんだね。

>>24
式書いてみて？
数学の本にはよく誤植があるから、、、。

716

ここに書くには余白が…
質問しておいて偉そうだが、図書館で読んで欲しい。
私は古本屋で運良く手に入れた。

タイトルは(；´д｀)ﾊｧﾊｧなのに、誰もいない悪寒…。
>>1はどこヘ逝った？ 建て逃げかよ…。 _ト￣|○
ところで小難しいのを見つけたのですが、スッキリ証明できません。
よろしくお願いします。

正の数a,b,x,yに対して、次の不等式を証明せよ。等号成立条件も示せ。
　(ax^2+by^2)^3 ≦ (a^3+b^3)(x^3+y^3)^2

ただのヘルダーの不等式

>>35
＿ト￣｜○ 知らなかった…

とりあえず、ヘルダーの不等式を調べてみまつ。

おれはついに、ハーディー、リトルウッド、ポリヤの不等式を買った。
これから、浸かります。

俺は、>>37さんの言う本も、最近出た「不等式の工学へ応用」
も買ったが、いまだ読んでいない

「恐ろしく難解な問題をだせ！ 223,241,967」より

1 ≧ F(a,b,c) ≡ a/(b+c+1) + b/(c+a+1) + c/(a+b+1) + (1-a)(1-b)(1-c) ≧ 7/8.

f(x)=1/(x+1)-1+x/2 とおくと、与式=a･f(b+c)+b･f(c+a)+c･f(a+b)+1-abc だから、求める式は、f(b+c)≦bc/3, etc.
0<x<1のとき、f(x)=-x(1-x)/2(x+1)<0≦bc/3.
1<x<2のとき、f(x)-(x-1)/3=(x-1)(x-2)/2(x+1)<0 より f(b+c)<(b+c-1)/3≦bc/3. q.e.d.

a+b+c=s とおき、F(a,b,c) ≧ F(s/3,s/3,s/3) ≧ 7/8 と分ける。
右側は F(m,m,m)＝3m/(2m+1)+(1-m)^3＝7/8+(m-1/2)^2･{1/2+m(3-2m)}/(2m+1)≧7/8.(0≦m≦1)
等号成立は m=1/2のとき.

基本対称式を a+b+c=s, bc+ca+ab=t, abc=u とおくと、
F(a,b,c)−F(s/3,s/3,s/3)＝(s+1){(7s/3+2)(s*s/3-t)-3(s^3/27-u)}/[(2s/3+1){(2s/3+1)^2-(s+1)(s*s/3-t)+(s^3/27-u)}]
-(s*s/3-t) + (s^3/27-u).

基本対称式を使って表すところが、うまくいかんですだ。
もっと楽な方法ないですか？

オレの計算力では、うまくいかん…
_ト￣|○

>>39
F(a,b,c)−F(s/3,s/3,s/3)＝(s+1){(7s/3+2)(s*s/3-t)-3(s^3/27-u)}/[(2s/3+1){(2s/3+1)^2-(s+1)(s*s/3-t)+(s^3/27-u)}]
-(s*s/3-t) + (s^3/27-u).

負の数-(s*s/3-t)が混じっているのだが、これが正の数になるのか？

F(a,b,c)−F(s/3,s/3,s/3)
=(s+1){2(s^2-3t)+(2s^3-7st+9u)}/[(2s+3)(a+1-a)(s+1-b)(s+1-c)]
　+(s^3-9s^2+27t-27u)/27
右辺第一項は正だから、第二項が正になることを示せばよいのだけど…
[補足]
s^2-3t = {(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}/2 ≧ 0
2s^3-7st+9u
=(a+b)(a-b)^2+(b+c)(b-c)^2+(c+a)(c-a)^2 ≧ 0

第二項は (s,t,u)=(1,0,0)のとき負になるから
やっぱり、第一項と第二項を一緒に考えて、
正の数になることを示さないといけないのか…

降参です。
>>39の問題を書いたやつ出て来いや
ヽ(｀д´)ノ　ｶﾞﾛｧ!

F(a,b,c)−F(s/3,s/3,s/3)≧0
の反例が見つかれば楽なんだけど…

計算が大変そうだが、F(a,b,c)をaの関数とみて微分して
0≦a≦1の範囲で最小値を求める方法を考えてみるかな…

　　　　　　　　　　　　　　☆ ﾁﾝ

　　　 　 　 ☆　ﾁﾝ　　〃　∧＿∧ 　
　 　 　 　 　　ヽ　＿＿_＼（＼・∀・）　経過報告まだぁ〜？
　　 　 　 　 　 　 ＼＿／⊂　⊂＿)＿
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ﾁﾝ　　　　　　☆　　ﾁﾝ　　　　　　　☆
　　　　　　　ﾁﾝ　　　　ﾏﾁｸﾀﾋﾞﾚﾀ〜　　　ﾁﾝ　　　　　♪
　　　　　　　　　　　♪
　　　　♪　　　　　　　　　　☆ﾁﾝ　　　 .☆　 　ｼﾞｬｰﾝ！　　　ﾏﾁｸﾀﾋﾞﾚﾀ〜!
　　　 　 　 ☆　ﾁﾝ　　　〃　 ∧＿∧ 　ヽ 　　　　　 　 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　 　 　 　 　　ヽ　　＿＿_＼（・∀・ #）　／＼＿／　＜　 まだー？
　　 　 　 　ﾁﾝ　 　 ＼＿／⊂　　　　つ 　 　‖　　 　 ＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　　 　 　 　 　 ／￣￣￣￣￣￣￣／| 　 　 ‖　　　　　　　　ﾏﾁｸﾀﾋﾞﾚﾀ〜!
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期待あげ

>>39の問題未定定数法でとけるとおもうけど。
F(a,b,c)≧F(s/3,s/3,s/3)をしめすんでしょ？
a+b+c=sという束縛条件下で
L=･･･-λ(a+b+c-s)とおいて
La=Lb=Lc=Ls=0をとく。たぶんがんばればa=b=c=s/3がでると思うんだけど
がんばらなくてもa=b or b=c or c=aまではなんとかでるからそれから
f(x)= x/(x+s-2x+1) + x/(s-2x+x+1) + (s-2x)/(x+s+1) + (1-x)(1-x)(1-s+2x)
の増減表かいたらできたよ。

>>39の問題を複雑な計算を極力さけるというコンセプトのもとにといてみました。
変数が鬱陶しいのでp=1-a、q=1-b、r=1-cとおいて目標は

　0<p<1、0<q<1、0<r<1の範囲で
　F(p,q,r)=(1-p)/(3-q-r)+(1-q)/(3-r-p)+(1-r)/(3-p-q)+pqr≧7/8 （等号はp=q=r=1/2のとき)
　
でこれをしめすために補題として
G(x,y,z)=(1-x^2)/(3-t^3/x)+(3-y^2)/(3-t^3/.y)+(3-z^2)/(3-t^3/z)+t^6 とおくとき
　
　(1)0<t<1に対し0<x<1、0<y<1、0<z<1、xyz=t^3の範囲で
　　G[t](x,y,z)≧G[t](t,t,t) （等号はx=y=z=tのとき)
　
　(2)0<p<1、0<q<1、0<r<1の範囲でF
　　(p,q,r)≧G[√(pqr)](√p√,q,√r)
　
　(3)G[t](t,t,t)≧7/8 (0<∀<1) (等号はt=1/2のとき)
　
をしめせば十分。(2)は相加相乗平均、(3)は微分すればよし。でやや大変なのは(1)。
G(x,y,z)=(x-x^3)/(3x-t^3･x^2)+(y-y^3)/(3y-t^3･y^2)+(y-y^3)/(3y-t^3･y^2)+t^6
を考える。まずx=e^u、y=e^v、z=e^wと変換して範囲はu,v,w<0、u+v+w=logt。この領域で
(x-x^3)/(3x-t^3･x^2)は(t^3<x<1)において下に凸な関数でx=e^uも凸だから合成関数
(e^u-e^(3u))/(3e^u-t^2･e^(2u))も所与の(u,v,w)の範囲で凸。よってG[t]は所与の範囲で凸。
しかも狭義凸なので最小値はあっても一ヶ所のみでgradG[t]=(0,0,0)なる点が内部にあれば
そこが最小。一方束縛条件を無視するとG[t]はx,y,zの置換で不変なので
gradG[t](t,t,t)もx成分、y成分、z成分の置換で不変ゆえそれは(1,1,1)に平行。
それは束縛条件のgradと等しいので特に束縛条件下では(x,y,z)=(t,t,t)でgradG[t]は0ベクトル。
つまりここが最小。

スマソ。計算まちがいしてた。
＞(x-x^3)/(3x-t^3･x^2)は(t^3<x<1)において下に凸な関数
これ成立しません。最終的に３つたしたg[t]が凸はあってるみたいだけど･･･
今一歩ｶｺﾜﾙｲ。もちょっとなんとかならんものか･･･

修正と差し替え
まずG[t](x,y,z)の定義は
G(x,y,z)=(1-x^2)/(3-2t^3/x)+(3-y^2)/(3-2t^3/.y)+(3-z^2)/(3-2t^3/z)+t^6
でこれにx=e^u、y=e^v、z=e^wを代入してえられる関数のu+v+w=3logt、u,v,w＜0における
凸性の証明を以下にさしかえ。
H(u)=log(e^u-e^(3u))-log(3e^u-2t^3)とおく。第１項は微分すると
log(e^u-e^(3u))'=(e^u-3e^(3u))/(e^u-e^(3u))=3+4e^u/(e^u-3e^(3u))は単調増大ゆえ凸。
第２項は凸関数-log(3e-2t^3)に凸関数e=e^uを合成したものなので凸。
ゆえにH(u)は凸。よってe^H(u)=(e^u-e^(3u))/(e^u-2t^3)は凸。よってG[t](e^u,e^v,e^w)は
所与の領域で凸。

しまった･･･まだまちがってる。もういや。

いやあってた。これ以上はスレ汚しくさいので撤退。

>>50-55
ありがとうございます。
印刷してジックリ追ってみます。

ムズイ。
普通の高校生にも分かるような解き方は無理でしょうかねぇ…

2004 JMOの問題らしい。
別解が挙げられてたが、JMOの模範解答も知りたいです… (つД‘)･ﾟ･｡

a+b+c=1を満たす正の実数a,b,cに対して
{(1+a)/(1-a)}+{(1+b)/(1-b)}+{(1+c)/(1-c)}≦2{(b/a)+(c/b)+(a/c)}
が成立することを証明せよ．ただし,等号が成立する条件を述べる必要はない.

別解　a+b+c=1から(1+a)/(1-a)=1+2a/(1-a)=1+2a/(b+c)などとなるので、示すべき不等式は
3+2(a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b))=＜2(b/a+c/b+a/c)
と同値であり、さらに、a/c-a/(b+c)=ab/c(b+c)などにより、これは、
ab/c(b+c)+bc/a(c+a)+ca/b(a+b)＞=3/2
と同値である。この式の両辺はa,b,cについての斉次式なので、a+b+c=1の条件を取り除いて、
任意の正の実数a,b,cについて上の不等式をしめせばよい。そのためには、abc=1なる正
の実数a,b,cについて
S=1/c^2(b+c)+1/a^2(c+a)+1/b^2(a+b)>=3/2
を示せば十分である。コーシー・シュワルツの不等式より、
{(b+c)+(c+a)+(a+b)}S>=(1/c+1/a+1/b)^2=(ab+bc+ca)^2
なので,S>=(ab+bc+ca)^2/2(a+b+c)となる。この式の右辺が3/2以上であることを示せば良いが、それは
(ab+bc+ca)^2/2(a+b+c)>=3/2⇔(ab+bc+ca)^2>=3(a+b+c)
⇔(ab+bc+ca)^2>=3(a+b+c)abc
⇔1/2{(ab-bc)^2+(bc-ca)^2+(ca-ab)^2}>=0
からわかる。よって示された。

　　　　　　　　　　　　　　　 ＿∧＿∧＿∧＿∧＿∧＿∧＿∧＿∧＿
　　　　　ﾃﾞｹﾃﾞｹ　　　　　　|　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 |
　　　　　　　　ﾄﾞｺﾄﾞｺ　　 ＜　JMOの模範解答ＵＰはまだかね？！　　　　　 　 ＞
　　　☆　　　　　　ﾄﾞﾑﾄﾞﾑ　|＿　 ＿　 ＿　＿　＿　＿　＿　＿　＿　＿|
　　　　　　　 ☆　　　ﾀﾞﾀﾞﾀﾞﾀﾞ! ∨　 ∨　∨　∨　∨　∨　∨　∨　∨
　　ﾄﾞｼｬｰﾝ!　　ヽ　　　　　 /ヘ;;;;;　　　　　ｵﾗｵﾗｯ!!　　　 ♪
　　　　　　　　　＝≡＝　　';=r=‐ﾘ　　　　　　☆
　　　　　　♪ 　　／　〃　 ヽ二/　　　　/　ｼｬﾝｼｬﾝ
　　　　♪　　　〆 　┌＼と＼と.ヾ∈≡∋ゞ
　　　　　　　　　|| 　γ ⌒ヽヽコ ノ　　||
　　　　　　　　　||　ΣΣ 　.|:::|∪〓 　||　　　♪
　　　　　　　 .／|＼人 ＿.ノノ _||_.　／|＼

[分からない問題はここに書いてね４]より

a,b,c は三角形の３辺で、x,y,z は x+y+z=0 をみたす実数のとき
　 a^2xy + b^2yz + c^2zx ≦ 0

とりあえずx,y≧0≧zとして一般性をうしなわない。左辺に(-1)かけてzを消去して
左辺×(-1)
=a^2xy + b^2yz + c^2zx
=(c^2)x^2+(b^2+c^2-a^2)xy+(b^2)y^2
=(c^2)x^2+2bc(cosθ)xy+(b^2)y^2　　←abcを三辺とする３角形のaの対辺の角をθとした。
≧(c^2)x^2-2bcxy+(b^2)y^2
=(cx-by)^2
≧0

[分からない問題はここに書いてね４ : 226-]より

a,b,cは三角形の３辺、rは内接円の半径、Rは外接円の半径のとき
　r/(2R) ≦ abc / sqrt{2(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)}
（出典 MOCP 2000.37）
http://www.cms.math.ca/Competitions/MOCP/2000/sol_oct.pdf

鋭角三角形の場合は模範解答が有効なので、Aが鈍角の場合を考えまつ。

�� = (bc/2)sin(A) ≦ bc/2 ･･････ (1).
A≧π/2 より, (b^2+c^2) ≦ a^2 ･･････ (2).
となるので、残りの (a^2+b^2)(a^2+c^2) が 2(as)^2 より小なることを示しまつ。
F = 2(as)＾2 - (a^2+b^2)(a^2+c^2)
= (1/2)(a^2+2bc)(a^2-b^2-c^2)＋(b+c-a)a^3 ＋bc(b^2-bc+c^2)
> (1/2)(a^2+2bc)(a^2-b^2-c^2).
ここで A≧π/2 なので、F>0.
∴ (a^2+b^2)(a^2+c^2) < 2(as)^2 ･･････ (3).

上記 (1)^4 ×(2)×(3) より,
(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)･(�竸4) < (1/8)(abc)^4･(s^2).
∴ r/(2R) = 2(�竸2)/(abcs) < abc/sqrt{2(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)}.

くだらねぇ問題はここへ書け ver.3.14(27桁略)9502 [711-727] より

実数a,b,cが a<b<c かつ a+b+c=0 をみたすとき
「ア」> (a^2+b^2+c^2)/{(a-c)^2} ≧ 「イ」

(a^2+b^2+c^2)/{(a-c)^2}
=2(a^2+ac+c^2)/{(a-c)^2}　　(b=-a-cを代入)
=2(t^2+t+1)/(t-1)^2　　（t=a/c　とおいた）
=6{1/(1-t) - (1/2)}^2 + 1/2

条件 a<(-a-c)<c から -2<t<-1/2 なので、1/(1-t)=x とおくとき、
1/3<x<2/3 における 6(x-1/2)^2+1/2 の最大最小値問題。

∴ 2/3 > (a^2+b^2+c^2)/{(a-c)^2} ≧ 1/2

くだらねぇ問題はここへ書け ver.3.14(27桁略)9502 [751]より

実数a,b,cに対し、
√{a^2+(b-1)^2}+√{b^2+(c-1)^2}+√{c^2+(a-1)^2} ≧ 3/(√2)

解法は… 　　　＿|￣|○

くだらねぇ問題はここへ書け ver.3.14(27桁略)9502 [761]より

√{(x+1)^2+(y-1)^2}+√{(x-1)^2+(y+1)^2}+√{(x+2)^2+(y+2)^2} ≧ ？

点P(x,y), A(-1,1), B(1,-1), C(-2,-2)とおくと、
PA+PB+PCの最小値だから Pはフェルマー点で…

√{a^2+(b-1)^2}+√{b^2+(c-1)^2}+√{c^2+(a-1)^2}
>= (|a|+|b-1|)/√2 + (|b|+|c-1|)/√2 + (|c|+|a-1|)/√2
= {(|a|+|a-1|) + (|b|+|b-1|) + (|c|+|c-1|)}/√2
>= 3/√2

>>65
神降臨キタ━(ﾟ∀ﾟ)━!!!! 感謝。
自分では思いつけそうもないや…。 ＿ﾄ￣|○

(1/4)≦a≦b≦c≦1, x+y+z=0 のとき ayz+bzx+cxy≦0 を示せ。

たぶん、一文字消してゴチャゴチャでしょう。

ttp://www.kalva.demon.co.uk/bmo/bsoln/bsol903.html より

実数x,y,zに対して √(x^2+y^2-xy)+√(y^2+z^2-yz) ≧ √(z^2+x^2+zx)

[I] x,y,zの中に0であるものが存在すれば、結論の不等式が成り立つことはすぐにわかる。

これ以降x,y,z≠0としてよく、(a/x)+(b/y)+(c/z)の符号をみていくことにする。

[II] x,y,zの内、1つが負、2つが正の時
(i) x or yが負の場合
　それぞれ場合について(a/x)+(c/z)≧0,(b/y)+(c/z)≧0が成立するから、
　(a/x)+(b/y)+(c/z)≧0
(ii) z が 負の場合
　(a/x)+(b/y)+(c/z)≧(1/4)(1/x)+(1/4)(1/y)+(1/z)≧0（∵凸不等式）

(i),(ii)のいずれの場合も(a/x)+(b/y)+(c/z)≧0ゆえ、
両辺にxyz(<0)を掛けて、結論が得られる。

[III] x,y,zの内、2つが負、1つが正の時
x,y,zの替わりに-x,-y,-zを考えれば、[II]に帰着できる。

またもや神降臨 >>69は>>67の解答っすね。
ｷﾀｰ *･゜ﾟ･*:.｡..｡.:*･゜（ﾟ∀ﾟ)ﾟ･*:.｡..｡.:*･゜ﾟ･* !!!!!

>>68
∠AOB = ∠BOC = ∠AOC/2 = π/3、OA=a, OB=b, OC=c とおいて、AB+BC≧CA
等号成立条件は a=b=2b または b(c+a)=ca でＯＫですか？

>>69で
>[II] x,y,zの内、1つが負、2つが正の時
>(i) x or yが負の場合
>　それぞれ場合について(a/x)+(c/z)≧0,(b/y)+(c/z)≧0が成立するから、

ここが分かりません… ＿|￣|○

72は引用先のミス

(ii) z が 負の場合
　(a/x)+(b/y)+(c/z)≧(1/4)(1/x)+(1/4)(1/y)+(1/z)≧0（∵凸不等式）

ここがわかりませんです。

　　　　　　　　　 ...,､ -　 ､
　　　　　　,､ '　 ヾ　、　 　 丶,､ -､
　　　　 ／　　　　ヽ　ヽ　　＼＼:::::ゝ
　／ヽ/　　　i　 i　　　　ヽ　.__.ヽ ヽ::::ヽ
　ヽ:::::l　i.　　l　 ﾄ　　ヽ　 ヽ .___..ヽ　丶::ゝ
　r:::::ｲ/ l　　l.　 i ヽ　　＼　＼/ﾉﾉﾊ　 ヽ
　l:/ /l　l.　　l　　i　 ヽ'"´__ヽ_ヽﾘ }. ',　　',
　'l. i　ト l　　ﾚ'__　　　　'"i:::::iﾞ〉l^ヾ　 |.i.　l 　　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
.　l l　lミ l ／r'!:::ヽ　　　　'‐┘ .}　/　 i l　l　　／教科書読みましょう。
　 l l　l.ヾlヽ ゝヾ:ﾉ　　 ,　　　　 !'" 　　i i/ i＜　その程度自分でやりましょう。
　 iﾊ　l　 (.´ヽ　　　　　_　　 .／　　　 ,' ,'　'　 |　脳味噌ありますか？ 無いんですか？
　　 |l. l　　｀ ''丶　　.. __　 イ　　　　　　　　　｜ それなら学校辞めて
　　　ヾ!　　　　　　　 l.　　 ├ｧ ､ 　　　　　　　＼ペプシ工場で働きましょうよ。
　　　　　　　　　　／ﾉ!　　　/　　｀　‐- 、 　　　　￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　　　　　　 ／ ヾ_　　　/　　　　 ,,;'' /:i
　　　　　　　 /,,　　',. ｀　 /　　　　,,;'''／:.:.i

>>74
氏ね。

そういえば、高校のころはJMO系のマニアックな不等式が
一番苦手だったなぁ。下手に評価を緩くしてあったりすると
逆に難しく見えたりするんだよね。

ＴＶみながら考えてて分かった。
>>74
(1/4)(1/x)+(1/4)(1/y)+(1/z)≧0（∵凸不等式）

凸不等式を使ってるのは、はじめの２項だけですね。
謎はすべて解けたッ！
とりあえず、ｺﾖﾀﾝは二度と来るな！

　　　　　　　　　 ...,､ -　 ､
　　　　　　,､ '　 ヾ　、　 　 丶,､ -､
　　　　 ／　　　　ヽ　ヽ　　＼＼:::::ゝ
　／ヽ/　　　i　 i　　　　ヽ　.__.ヽ ヽ::::ヽ
　ヽ:::::l　i.　　l　 ﾄ　　ヽ　 ヽ .___..ヽ　丶::ゝ
　r:::::ｲ/ l　　l.　 i ヽ　　＼　＼/ﾉﾉﾊ　 ヽ
　l:/ /l　l.　　l　　i　 ヽ'"´__ヽ_ヽﾘ }. ',　　',
　'l. i　ト l　　ﾚ'__　　　　'"i:::::iﾞ〉l^ヾ　 |.i.　l 　　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
.　l l　lミ l ／r'!:::ヽ　　　　'‐┘ .}　/　 i l　l　　／教科書読みましょう。
　 l l　l.ヾlヽ ゝヾ:ﾉ　　 ,　　　　 !'" 　　i i/ i＜　その程度自分でやりましょう。
　 iﾊ　l　 (.´ヽ　　　　　_　　 .／　　　 ,' ,'　'　 |　脳味噌ありますか？ 無いんですか？
　　 |l. l　　｀ ''丶　　.. __　 イ　　　　　　　　　｜ それなら学校辞めて
　　　ヾ!　　　　　　　 l.　　 ├ｧ ､ 　　　　　　　＼ペプシ工場で働きましょうよ。
　　　　　　　　　　／ﾉ!　　　/　　｀　‐- 、 　　　　￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　　　　　　 ／ ヾ_　　　/　　　　 ,,;'' /:i
　　　　　　　 /,,　　',. ｀　 /　　　　,,;'''／:.:.i

くだらねぇ問題はここへ書け ver.3.14(27桁略)9502 [923,931]

非負実数a,b,cがa^2+b^2+c^2+abc=4をみたすとき
0≦ab+bc+ca-abc≦2を示せ。

まずD={(a,b,c) | a,b,c≧0＆a^2+b^2+c^2+abc≦4}とおく。
関数a^2+b^2+c^2+abcは凸関数なのでDは凸領域。
0≦ab+bc+ca-abc≦2＆与式
⇔8≦(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2≦12＆与式
なのでコレをしめす。まずDにおいてa+b+c≦3をしめす。Dは凸なのでa+b+cは境界で最大。
a=0orb=0orc=0などではa+b+c≦2。a^2+b^2+c^2+abc=4上では
Dの凸性から(a,b,c)=(1,1,1)のときが最大でa+b+c≦3。
よって(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2≦3((2a+2b+2c)/3)^2≦12。
つぎにE={(a,b,c) | a,b,c≧0＆(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2＜8}とおく。Eも凸であり凸性から同様にして
E上でabc≦(1/3)^(3/2)。よってabc≦3(abc)^(2/3)でありよって
abc≦3(abc)^(2/3)≦(ab+bc+ca)
よってa^2+b^2+c^2+abc≦a^2+b^2+c^2+(ab+bc+ca)≦(1/2)((a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2)＜4
とくにD＆E=φ。よって(a,b,c)∈D⇒(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2≧8
(実は(a,b,c)=(2,0,0)において等号が成立するので最小値でもある。)

>>78
言うだけ無駄かもしれんが、いい子にして荒らすなよ。

デタラメな解凍貼るな馬鹿

>>80
すまん、読まずに貼り付けた。
間違ってたのか… ＿|￣|○

,

そういえばシュプリンガーから『不等式』なんて本が
出てたよね。アレ読んだ人感想キボンヌ。

買うには買ったがまだ味読してる程度。

買うには買ったが、本棚に飾ってる程度。

<<

『不等式への招待』なる本を見つけたのでとりあえずage

>>88
(ﾟ∀ﾟ) ｲｲﾖ ｲｲﾖ-
これで君も同志だ！

実数a,b,cがa+b+c=1をみたすとき、
(a+1/b)(b+1/c)(c+1/a) ≧ 1000/27

a,b,c>0, a+b+c=S≦3 とする。
F(a,b,c) = (a+1/b)(b+1/c)(c+1/a) = abc + S + (1/a+1/b+1/c)+ 1/(abc)
相乗平均≦相加平均 (1) より、abc ≦ (S/3)^3 ≦1.
g(u)≡u+1/u に対し、平均変化率 [g(v)-g(u)]/(v-u) = 1-1/(uv).
∴ 0<u<v≦1のとき、[g(v)-g(u)]/(v-u) < 0.
∴ g(abc) ≧ g{(S/3)^3}.
調和平均≦相加平均 (2) より、(1/a+1/b+1/c)≧9/(a+b+c) = 9/S.
以上を加えて、 F ≧ (S/3)^3 + S + 9/S + (3/S)^3 = (S/3+3/S)^3.
等号成立は a=b=c=S/3 のとき.

(注1) (a+b+c)^3 - 27･abc = (3a+S/2)･|b-c|^2 + (3b+S/2)･|c-a|^2 + (3c+S/2)･|a-b|^2 ≧0.
(注2) (a+b+c)･(1/a+1/b+1/c)≧ 3^2 (Cauchyの不等式)

a+1/b = a+9/(9b) >= 10*(a/(9b)^9)^(1/10)

(a+1/b)(b+1/c)(c+1/a) >= 1000*(1/((3^27)*(abc)^4))^(1/5) >= 1000/27

>>90-91
こんな数ヲタ達に囲まれて、ぼかぁ幸せ者だ…

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非アルキメデス付値に関しての、不等式を論じた本は無いものだろうか?

>>93
その話で盛り上げてください

>>92
>こんな数ヲタ達に囲まれて、ぼかぁ幸せ者だ…

誉めています、念のため…。

変数が整数に限定される場合にのみ成り立つ，有用な不等式を挙げてみて下さい．

　　　　　言い出したお前が書け！
　　　　￣￣￣￣￣∨￣￣￣￣￣￣￣￣￣

　　　 　　　　　 　　　　 　　　　　∧ 　　　　　　　 ∧
　　　　　　／￣￣￣￣￣￣＼/　ヽ_　　　　　　 / .∧
　　　　／　　　　　　　　　　　/　　 ｀､⌒ヾ⌒ヽ/　　∧
　　　/　　　　　　　　　　　／　　u (.....ノ(....ノ　　　／ ヽ
　 　 l:::::::::.　　　　　＼,, ,, |　　　　　　　　　　u　.:（....ノノ
　 　 |:::::::::: 　　（●）　　/￣￣ヽ　　　　　 ::::::::::::::／`ヽ
　　　|::::::::::::::::: 　 ＼＿(＿＿_..ノ　　u::::::::::::::::::::(....ノノ
　 　 ヽ:::::::::::::::::::.　　＼／　ヽ　　u ::::::::::::::::::::::::::::ノ

　　　　　　　　　　 　　　　 　∧ 　　　　　　　∵ ∧ 　　　☆
　 　 　 　　　　　　　　　　　ζ　*　　　　　 *：/ .∧　　：
　　　　　／￣￣￣￣￣　｀、⌒ヾ⌒ヽω*：ミ/／／；
　　　 ／　　　 　 　　　　＼（ (.....ノ(....ノ／ヽ χ*
　 　 l:::::::::　　　　＼,,　　　　（（从⌒从*（....ノノ　　　　┏━┓┃┃　━┳┛
　　 |:::::::::: 　 （●）　　　（●/￣ヽl　;从 *／`ヽ　　　┃　　┃　　 ━━╋━━
　　 .|:::::::::::::::::　 ＼＿＿　(＿＿_..ノ*�煤i:(....ノノ　　　　　　┃　　　　　　┃　　━╋━┓
　 　 ヽ::::::::::::::::::: 　＼／／ ・（（　;　〜：　　ζ＼*　　　　　 ┃　　　　━┛　　　 ┃　┛　

>>92
でもさー包茎でも禿げでもデブでも病気にしろ不等式でも
そこに悩みが有って、それに対してどうして良いのか判らない人達に
解決策を示せるのは何にしろ価値が有る事だと思うなぁ。

>44
出所は
秋山仁+Peter Frankl 共著「完全攻略 数学オリンピック」日本評論社,p.24-25(1991.11)
ガロアって不等式ヲタ？
>45
値分布を調べた結果、≧7/8と推定しますた。

100げとー
ガロアは代数・群論ヲタかと・・・

479

不等式ヲタが保守します。 また教えて下さい。

　　　　　 キ　　　 　 　 //　　　/::::://O/,|　　 　 　/
　　　　　　ュ　　　　　/　|'''' 　 |::::://O//|　　 　　/
　　　　　　.ッ 　 　 　 ＼ |‐┐ |::://O/ ノ　　 ヾ､/
　　　　　　 ：　　　　　　　|__」　|/ヾ. ／　　　　／
　　　　　　 　 ヽ ／＼　　ヽ___ﾉ　／ . へ、,／
　　　　　　　 ／　 ×　　　　/ 　{　く　　／
　　　 　 　 く　 ／＿ ＼　　 !､.ノ `ー''"
　　／＼　　　　　　 　''"　 //
　| ＼／､／　　 　 　 　 　 ﾞ′
　|＼ ／|＼￣
　　　＼|

【問題】(JMO-1997 本選, 第2問)
a,b,c>0 のとき
(b+c-a)^2/{(b+c)^2+a^2} + (c+a-b)^2/{(c+a)^2+b^2} + (a+b-c)^2/{(a+b)^2+c^2} ≧ 3/5.
を示してくださいです。

※ 左辺第1項 ≧ 2-9･(3/25){1+2a/(a+b+c)} らしいYo.

不等式ヲタのＡＡもアレを流用するか…

口元を変えてみた。

　　 ┏┓　 ┏━━┓　　　　　　　　／￣￣￣￣￣￣＼ 　　　　　　　　 .┏━┓┏━┓
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【問題】 For a,b,c>0,
a/(b+2c) + b/(c+2a) + c/(a+2b) ≧ (a+b+c)^3/{(a+2b)(b+2c)(c+2a)}
≧ (1/3)(a+b+c){1/(b+2c)+1/(c+2a)+1/(a+2b)} ≧ 1.
Equality: a=b=c

※ 中央は Sierpinski(AAH≧GGG≧AHH), 右側は A≧H らしいyo.

>>106 示すべき不等式を X≧Y≧Z≧1 で表す。

[X≧Y]
(左辺)-(右辺) = {a(a-c)^2+b(b-a)^2+c(c-b)^2} ≧ 0
[Y≧Z]
A=b+2c, B=c+2a, C=a+2b とおいて、(A+B+C)^2 ≧ 3(AB+BC+CA) を示す。
(左辺)-(右辺) = (1/2){(A-B)^2+(B-C)^2+(C-A)^2} ≧ 0
[Z≧1]
相加平均≧調和平均、あるいはCauchy-Schwarzの不等式による。

　　　　　　／￣￣￣￣￣￣＼
　　　　／　　　不等式ヲタ　　＼.　　ﾜｸﾜｸ
　　　/　　 ノ（　　　　　　　　　　　ヽ　　ｿﾞｸｿﾞｸ
　 　 l:::::::::　＾　　　＼　 ／ 　 　　　|　　ﾌﾞﾙﾌﾞﾙ
　 　 |:::::::::: 　　（●） 　 　 （●）　　|　　　　ﾊｧﾊｧ
　　　|::::::::::::::::: 　 　 ＿＿　　　　 　|　　　　　ｾﾞｴｾﾞｴ
　 　 ヽ:::::::::::::::::::.　　＼／　　　 　ノ

ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞと言ってくれ！

　.／￣￣￣＼.
　|:::: 　＼ .／　|　ﾜｸﾜｸ
　|::::　(●　(● |
　ヽ:::::::.....∀...ノ

>107-108
Very good job!!
Sierpinskiは牛刀．．．
X−Y = {a(a-c)^2+b(b-a)^2+c(c-b)^2}／{(a+2b)(b+2c)(c+2a)} ≧0.

>>109
分母を書き忘れてたか。修正ｻﾝｸｽｺ。

　.／￣￣￣＼.
　|:::: 　＼ .／　|　ﾜｸﾜｸ
　|::::　(●　(● |
　ヽ:::::::.....∀...ノ

※ の説明
左辺第1項 = (b+c-a)^2 /{(b+c)^2+a^2} = (3-2x)^2 /{(3-x)^2+x^2}
= 2−9/{(3-x)^2+x^2} ≡ 2-9･f(x).
x=1での接線は、 y = f(1) + f'(1)(x-1) = 1/5 + (2/25)(x-1) = (3/25)(1+2x/3).
(3/25)(1+2x/3)−f(x) = (2/25)f(x)(1+2x)(1-x)^2 ≧ 0.
等号成立は x=1, 3a=a+b+c.

3a/(a+b+c) =x と置きました。

シンプルで易しい問題
a>0,b>0
y=b^x のグラフは下に凸
∴ (1,b)→(x,b^x) の平均変化率はxと共に単調増加。
∴ (b^x-b)/(x-1) > b-1.
【１】
a>1 ⇒ b/(a+b-ab) > b^a > ab+1-a.
a<1 ⇒ b/(a+b-ab) < b^a < ab+1-a.

(a^b)-a, (b^a)-b, (a-1)(b-1) の符号は一致する。
【２】
(a-1)(b-1)>0 ⇒ a^b+b^a > ab+1 > a+b.
(a-1)(b-1)<0 ⇒ a^b+b^a < ab+1 < a+b.

訂正　スマソ.
【１】
a>1 ⇒ ............ b^a > ab+1-a.
a<1 ⇒ b/(a+b-ab) < b^a < ab+1-a.

>【２】
>(a-1)(b-1)>0 ⇒ a^b+b^a > ab+1 > a+b.
>(a-1)(b-1)<0 ⇒ a^b+b^a < ab+1 < a+b.

この辺が分からない私は、生産ラインに組み込まれる人材ですか？

正の数 a_k に対して、次の不等式を示せ。
Σ[k=1 to n]1/(1+a_k) ≧ n/{1+(Π[k=1 to n]a_k)^(1/n)}

帰納法で解こうと思い、n=2のときは差をとって示しましたが、
そのあとが うまくいきません。おしえてください。

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　ヽ::::... .ワ....ノ 　

>116
G≡（Π[k=1 to n]a_k）^(1/n) とおくとき、
G>1 ⇒ Σ[k=1 to n] 1/(1+a_k) ≧ n/(1+G)
G<1 ⇒ Σ[k=1 to n] 1/(1+a_k) ≦ n/(1+G)
Equality: a_k=const or G=1.

>116,118
a_k≧1 (k=1 to n) に限定すれば成立するが．．．．

(；ﾟдﾟ) ﾊｯ！ すみません。
問題文見なおしたら、a_k≧1だった・・・
どうやって次を示すのですか？

G≡（Π[k=1 to n]a_k）^(1/n) とおくとき、
G>1 ⇒ Σ[k=1 to n] 1/(1+a_k) ≧ n/(1+G)

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　|::::: (●　(● |　ﾜｸﾜｸ
　ヽ::::... .ワ....ノ 　

>118,120
a_1=1/10, a_2=2, a_3=5 のとき、左辺 < 1+1/3+1/6 = 3/2 = 右辺 (G=1).
a_1=10, a_2=1/2, a_3=1/5 のとき、左辺 > 0+2/3+5/6 = 3/2 = 右辺 (G=1).

('A`)

>120
G≡（Π[k=1 to n]a_k）^(1/n) とおくとき、
　a_k>1 (k=1〜n) ⇒ �納k=1 to n] 1/(1+a_k) ≧ n/(1+G).
0<a_k<1 (k=1〜n) ⇒ �納k=1 to n] 1/(1+a_k) ≦ n/(1+G).
Equality: a_k=const.

(証) a_k=G (k=1〜n)のときは、明らかに成立。 a_k≠G (k=1〜m)とし、mに関する帰納法による。
a_m>G, a_{m-1}<G （またはその逆）としても一般性を失わない。
いま a_m, a_{m-1} を、それらの中間にある b_m=G, b_{m-1}=a_m･a_{m-1}/G=p/G で置換えてみる。
b_m + b_{m-1} = a_m + a_{m-1} - (a_m-G)(G-a_{m-1})/G < a_m + a_{m-1} = s.
上記の置換えにより、積pは不変で和sは減少する。
S = 1/(1+a_m) + 1/(1+a_{m-1}) = 1 + (1-p)/(1+s+p) は和sについて単調に増加／減少する。
∴ a_k>1 ⇒ p>1 ⇒ S > 1/(1+b_m) + 1/(1+b_{m-1}).
∴ a_k<1 ⇒ p<1 ⇒ S < 1/(1+b_m) + 1/(1+b_{m-1}).
上記の置換え｛a_1,〜,a_m} → {a_1,〜,a_{m-2},b_{m-1},b_m} により mが1つ減少し、Sも減少／増加した。
帰納法の仮定により m-1 に対しては成立しているから、mに対しても成立する。（終）

相加・相乗平均の証明法を使いました．．．

>120
【定理】(Klamkin,1974)
0<a_k<1, e_k>0 (k=1 to n), Σ[k=1 to n]e_k=1, G'=Π[k=1 to n](a_k^e_k) のとき
Σ[k=1 to n] e_k/(1+a_k) ≦ 1/(1+G').

で e_k=1/n (k=1〜n) とおく。（終）

※ 大関信夫・大関清太: ｢不等式への招待｣ 近代数学社(1987) のp.83

>>124-126
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「数学しりとりスレ 232-233」 より

【inglebyの不等式 】
x>0のとき、{1+x^2+x^4+…+x^(2n)}/{x+x^3+…+x^(2n-1)} ≧ (n+1)/n

【Ky Fan の不等式】
0 < x_k ≦ 1/2 のとき、S = Σ[k=1 to n](x_k) とおくと
Π[k=1 to n]{(x_k)/(1-x_k)} ≦ {S/(n-S)}^n

Note to [124] & [126]
Inequalities in [124] are equivalent.
∵ 1/(1+a) + 1/{1+(1/a)} = 1, 1/(1+G) + 1/{1+(1/G)} = 1.

[126] is equivalent to:
Let e_k>0 (k=1 to n), Σ[k=1 to n]e_k=1, G'=Π[k=1 to n](a_k^e_k), then
a_k>1 (k=1〜n) ⇒ Σ[k=1 to n] e_k/(1+a_k) ≧ 1/(1+G').

>128
【Ky Fan】
x_k=S/n (k=1〜n)のときは明らかに成立。 x_k≠S/n (k=1〜m)とし、mに関する帰納法による。
x_m>S/n, x_{m-1}<S/n（またはその逆）としても一般性を失わない。
x_m,x_{m-1} をそれらの間にある y_m=S/n, y_{m-1}=x_m+x_{m-1}-S/n で置換えてみる。
y_m･y_{m-1} - x_m･x_{m-1} = （x_m-S/n)(S/n-x_{m-1})≧0. ∴ 和sは不変で、積pは増加する。
P = [x_m/(1-x_m)]･[x_{m-1}/[1-x_{m-1}]] =p/(1-s+p) は、s≦1では、sについて単調増加。
∴ 上記の置換え(x_1,････,x_m)→(x_1,････,x_{m-2},y_{m-1},y_m) により mが1つ減り Pは増加した。
帰納法の仮定より、m-1については成立するので、mについても成立する。（終）

大関信夫・青柳雅計: ｢不等式｣ 槇書店 p.60,p.128
大関信夫・大関清太: ｢不等式への招待」近代科学社(1987) p.88 例題9

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　|::::: (●　(● |　ﾊｧﾊｧ、ﾊｧﾊｧ…
　ヽ::::... .ワ....ノ 　

>128
【ingleby】
F_n ≡ n[1+x^2+x^4+････+x^(2n)] - (n+1)[x+x^3+････+x^(2n-1)] とおく.
F_1 = [1+x^2] - 2x = (x-1)^2 ≧0.
F_{n+1} - F_n = [1+x^2+････+x^(2n)+(n+1)･x^(2n+2)] - [x+x^3+････+x^(2n+1)+(n+1)･x^(2n+1)]
= (1-x){1+x^2+････+x^(2n) - (n+1)･x^(2n+1)}
= (1-x){1+x^2+････+x^(2n) - (n+1)･x^(2n) + (n+1)(1-x)x^(2n)}
= (1-x){Σ[k=0 to n-1]{x^(2k)-x^(2n)} + (n+1)･(1-x)x^(2n))}
= (1-x){Σ[j=0 to n-1](Σ[k=0 to j]1)･(1-x^2)x^(2j) + (n+1)･(1-x)x^(2n)}
= (1-x)^2{Σ[j=0 to n-1](1+j)･(1+x)x^(2j) + (n+1)･x^(2n)} ≧ 0.　(∵すべての係数>0)
∴ xを固定したとき F_{n+1} ≧ F_n ≧ ･････ ≧ F_1 ≧ 0. 等号成立は x=1.（終）

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　ついでに出しときますた．．．

(注) [132]の下から3行目で次を使いますた。
k<n のとき, y^k-y^n = Σ[j=k to n-1] (1-y)y^j

(注) Gauss の記号 [z] = max{m|z≧m} を使えば、[132]の
F_{n+1} - F_n = (1-x)^2 Σ{j=0 to 2n} [1+(j/2)] x^j
F_n = (1-x)^2 Σ{j=0 to 2n-2} [1+(j/2)][n-(j/2)] x^j

【例題7】(Klamkin,1975)
a_i>0 (i=1〜n)のとき, S≡Σ[k=1 to n]a_k とおくと,
Π[i=1 to n] {(1+a_i/S)/(1-a_i/S)} ≧ {(n+1)/(n-1)}^n.
等号成立は a_i=S/n (n=1〜n)のとき (p.85)

【例題10】
a_i≧1 (i=1〜n)のとき, G≡(Π[k=1 to n]a_k)^(1/n) とおくと
Σ[i=1 to n](1+a_i) > G･Σ[i=1 to n] {1+(1/a_i)}.
Σ[1≦i<j≦n](1+a_i)(1+a_j) > G^2･Σ[1≦i<j≦n]{1+(1/a_i)}{1+(1/a_j)}. (p.90)

よろしくおながいしまつ。

不等式でげす。

１/ｐ＋１/ｑ＝１，ｐ＞１，ａ_i≧０，ｂ_i≧０，( ｉ＝1，2，3，･･･，n)としまする。

｛�納i=1→n](ａ_i)^p｝^(1/p)｛�納i=1→n](ｂ_i)^ｑ｝^(1/q)≧�納i=1→n]ａ_iｂ_i

を示せ。

俺にはｻﾊﾟｰﾘ

>>137
これは ヘルダーの不等式かな？ ﾊｧﾊｧ
証明は帰納法だったと思う…
　　 ＿＿＿
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【系】でつ。

1/p＋1/q＋1/r = 1, p,q,r>1, ａ_i≧0, ｂ_i≧0, ｃ_i≧0 (i＝1，2，3，･･･，n)としまする。

{�納i=1→n](ａ_i)^p}^(1/p) {�納i=1→n](ｂ_i)^q}^(1/q) {�納i=1→n](ｃ_i)^r}^(1/r) ≧ �納i=1→n]ａ_i･ｂ_i･ｃ_i

俺にはｻﾊﾟｰﾘ

>40-57
>>39の問題を書いたやつ出て来いや

では報告しまつ。
【問題】 0<a,b,c<1, s=a+b+c のとき,
F(a,b,c) ≡ a/(b+c+1) + b/(c+a+1) + c/(a+b+1) ≧ s/(2s/3+1) ≧ 7/8.

【方針】 さらに中間項を挟みまつ。 a> (s/3) >b として、
F(a,b,c) ≧ F(s/3,a+b-s/3,c) ≧ F(s/3,s/3,s/3)

F(a,b,c) ≧ F(s/3,a+b-s/3,c) ≧ F(s/3,s/3,s/3)

a=b=c=s/3 なら明らかに成立。 ∴ a> (s/3) >b とする。
(左側) まづ、a,b をそれらの間にある a'=s/3, b'= a+b-(s/3) = (2s/3)-c で置き換えてみまつ。
a'b'= ab + (a- s/3)(s/3 -b) ≧ ab ∴上の置換えで、和は不変で、積は増大する。またこのとき、
F(a,b,c) = a/(s+1-a) + b/(s+1-b) + c/(s+1-c)
= [(s+1)(a+b)-2ab]/[(s+1)(s+1-a-b)+ab] + c/(s+1-c)
= [(s+1)(s-c)-2ab]/[(s+1)(1+c)+ab] + c/(s+1-c)
≧ [(s+1)(s-c)-2a'b']/[(s+1)(1+c)+a'b'] + c/(s+1-c) = F(a',b',c).
により、Fは減少する。

(右側) b',c≠s/3 のとき、再度 置換えを行う: b"=s/3, c'=s/3. 上記と同様にして
F(a',b',c) ≧ F(a',b",c') = F(s/3,s/3,s/3).
が得られますた。（終）

>57
普通の高校生でも分かりそうだな．．．．．(w

やっぱむずかしいなぁ

【問題】 IMO-2001 (USA) Problem 2

For any a,b,c>0 and λ≧8, the following inequality holds:

2 ≧ a/√(a^2+λbc) + b/√(b^2+λca) + c/√(c^2+λab) ≧ 3/√(1+λ).

Left equality: abc=0, and right equality: a=b=c.

http://imo.wolfram.com/problemset/index.html


ヒント： r≧4/3 ⇒ x^2 ≦ 1−(4/3r) + (2/3r){1+(x^r)}(x^r), 等号成立は x=1.

ヒント： λ≧8 ⇒ 1＋λx^2 ≦ (1+λ)･{1＋2(x^r)}^2, r=(3/2)λ/(1+λ).

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ヒントがあるから楽勝だなって思ってたけど、難しいですね
＿ﾄ￣|○

ヒント： 1/√(1＋λx^2) ≦ 1/{(√λ)x}.
. x<1 ⇒ 1/√(1＋λx^2) ≦ 1-{1-1/(√λ)}x.

まちがい、すまそ。
. x<1 ⇒ 1/√(1＋λx^2) ≦ 1-{1-1/(√λ)}x^2. （下に凸だから）

【問題】(retold)
For any x,y,z>0, xyz=1 and λ≧8, the following inequality holds:
2 > 1/√(1+λx^2) + 1/√(1+λy^2) + 1/√(1+λz^2) ≧ 3/√(1+λ).
Right equality: x=y=z=1.

変わり映えしませんが、よろしくおながいします．．．

x=bc/(a^2), y=ca/(b^2), z=ab/(c^2)とおくと、
xyz=1をみたし、a,b,c>0より x,y,z>0 であって、
149 ⇔ 143

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>150
確かに、その方がシンプルでいいな．．．２乗する意味もないし．．
X=bc/(a^2), Y=ca/(b^2), Z=ab/(c^2) とでもおこうか。

>150の形で証明できれば、簡単そうですよね…
まだできてないけど ＿ﾄ￣|○

さくらスレにあったよ。

109 ：PrinceMathematician◇ ：04/05/27 12:02
>91
x_k≧0 (k=1,2,･･･,m)のとき・・・（中略）

F(n)≡(1/m)Σ[1≦k≦m] (x_k)^n とおく.
(補題) bc≧0 ⇒ F(a)･F(a+b+c) ≧ F(a+b)･F(a+c).

(系1) F(n-1)･F(n+1) ≧ {F(n)}^2.

(系2) {F(n)}^(1/n) はnに関して単調増加.

まだ未解決不等式あるよーｶﾞﾝｶﾞﾚ不等式ヲタ

>152
xyz=1のとき、 x,y≦1≦z または x≦1≦y,z としても一般性を失わないYo

応援＆新ネタ 感謝です。
あちこち調べながら、>>149をやってみます
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>>149 【問題】(retold)
For any x,y,z>0, xyz=1 and λ≧8, the following inequality holds:
2 > 1/√(1+λx) + 1/√(1+λy) + 1/√(1+λz) ≧ 3/√(1+λ).
Right equality: x=y=z=1.

(上限の証明)
λ≧8, t>0 のとき 1/√(1+8t) ≧ 1/√(1+λt) だから、
　 x,y,z>0, xyz=1 に対して
　 2 > 1/√(1+8x^2) + 1/√(1+8y^2) + 1/√(1+8z^2)
を示せばよい。この証明は、運よくコレクションにあった。

t>0 において f(t) = (1+8t)^(-1/2) とおくと、
f'(t) = -4t(1+8t)^(-3/2) < 0 だから単調減少する。
対称式かつ xyz=1 だから、次の２つの場合を考えればよい。

(i) 0<x≦1≦y≦z のとき
f(x)+f(y)+f(z) < f(0)+f(1)+f(1) = 5/3 < 2

(ii) 0<x≦y≦1≦z のとき
0<t≦1 において f(t) ≦ 1-(2t/3) が成り立つ。
これは g(t) = (1+8t){1-(2t/3)}^2-1 の増減を調べれば分かる。
1≦t では f(t) < 1/√(8t) を使うと

f(x)+f(y)+f(z)　<　1-(2x/3) + 1-(2y/3) + 1/√(8z)
　 = 2 - 2(x+y)/3 + 1/√(8z)　≦　2 - 4√(xy)/3 + 1/√(8z)
　 = 2 - 2( 2/3 - 1/√(8z) )/√z　<　2

自分では思いつけません…

>137
適当に規格化して、Σ[i=1→n](a_i)^p =1, Σ[i=1→n](b_i)^q =1 とする。

(1/p)+(1/q) =1 より (p-1)(q-1)=1.
y=x^(p-1) ⇔ x=y^(q-1) だからヤングの不等式より
a･b ≦ ∫[x=0,a]x^(p-1)･dx + ∫[y=0,b]y^(q-1)･dy = (1/p)(a^p) + (1/q)(b^q).
∴ Σ[i=1→n]a_i･b_i ≦ (1/p)Σ[i=1→n](a_i)^p + (1/q)Σ[i=1→n](b_i)^q = (1/p)+(1/q) =1.

>>157
最小値のほうは？

>>149の最小値のほうは、相加相乗を使うと
3/√(1+λ)よりも小さくなってしまって失敗。
ムスカしいなぁ…
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　|::::: (●　(● |　ｳｰﾝ、ｳｰﾝ…
　ヽ::::... .ワ....ノ 　

>160
[144]使え

【144】
λ≧8 ⇒ 1＋λx^2 ≦ (1+λ)･{1＋2(x^r)}^2, r=(3/2)λ/(1+λ).

(証) 相乗平均≦相加平均 より x^2 ≦ 1−(4/3r) + (2/3r){1+(x^r)}(x^r).
これにλを乗じて１を加える。
右辺を平方完成する → ｒが定まる。

>(証) 相乗平均≦相加平均 より x^2 ≦ 1−(4/3r) + (2/3r){1+(x^r)}(x^r).

ここが分かりません
どうか この愚か者に説明してください

[163] は A,B,C,q,r,s,x≧0, A+B+C=1 のとき
x^(Aq+Br+Cs) ≦ A(x^q) + B(x^r) + C(x^s).
とほぼ同じ。これをどう示すか。。。

> x^(Aq+Br+Cs) ≦ A(x^q) + B(x^r) + C(x^s).

下に凸な関数 f(t)=x^t に関して、Jensenの不等式から得られるけど
上式が[163]の式とほぼ同じってのが分かりません。
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　|::::: (●　(● |　ｳｰﾝ、ｳｰﾝ…
　ヽ::::... .ワ....ノ 　

>165
A=1-(4/3r), B=C=(2/3r), q=0, s=2r とおきますた。

【問題】 0<a<x,y,z<b のとき、
(x+y+z)(1/x + 1/y + 1/z)
の取りうる値の範囲を求めよ。

さくらスレ１４５
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1085311797/465

どんな難しい問題も・・・
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1081052206/151

>>167
たしか一般化されたのが、幾つかあったような…
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　|::::: (●　(● |　ｳｰﾝ、ｳｰﾝ…
　ヽ::::... .ワ....ノ 　

1977 USAMO 問5 （解答あり）
http://www.kalva.demon.co.uk/usa/usa77.html

1978 ASU 問13 （解答なし）
http://www.kalva.demon.co.uk/soviet/sov78.html
　　 ＿＿＿
　.／　　≧　＼
　|:::: 　＼ .／　|　この不等式ヲタのコレクションに２つあった。
　|::::: (●　(● |　ASUの方の模範解答をキボンヌ。 ﾊｧﾊｧ…
　ヽ::::... .ワ....ノ 　ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞですか？

（下限）
F(x,y,z) = (x+y+z)(1/x+1/y+1/z) = 3 + (x/y+y/x) + (y/z+z/y) + (z/x+x/z)
= 9 + (x/y-2+y/x) + (y/z-2+z/y) + (z/x-2+x/z)
= 9 + {(x-y)^2}/xy + {(y-z)^2}/yz + {(z-x)^2}/zx ≧ 9. (Cauchy)

（上限） x/y+y/x はx/y=1のとき最小で、両側でx/yに関して単調。すなわち、１から遠ざかるほど増加する。
a<x≦y≦z<bとすると、
F(x,y,z) ≦ F(a,y,b) = 3 + (a/y+y/a) + (y/b+b/y) + (b/a+a/b)
= 3 + (b/a+a/b) + {(a+b)/ab}(y+ab/y) = 1 + (b/a+2+a/b) + {(a+b)/ab}{a+b-(b-y)(y-a)/y}
≦ 1 + (b+a)^2/ab + {(a+b)^2}/ab = 1 + 2{(b+a)^2}/ab.

　　 ＿＿＿
　.／　　≧　＼
　|:::: 　＼ .／　|
　|::::: (●　(● |　みんな ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ！
　ヽ::::... .ワ....ノ 　 　n　　
￣￣　　　＼　 　 （ E）
フ 　　　 /ヽ ヽ_／／

>>166
なるほど

>169
1978 ASU Problem 13
USAMO の解答から、Fが最大となるのはn個の変数がすべて a or b のとき。
あとは2組（p,n-p）に分けるだけ。
F(a･･･a,b･･･b)= n^2 + p(n-p){(b-a)^2}/ab だから最大は p=[n/2] or p=[(n+1)/2].
n:even ⇒ F≦n^2･{(a+b)^2}/4ab, n:odd ⇒ F≦1+(n^2-1){(a+b)^2}/4ab, n=3 ⇒ [171].

[149]の最小値の証明について、>>162-166より
　x^2 ≦ 1−(4/3r) + (2/3r){1+(x^r)}(x^r)
ここで r=(3/2)λ/(1+λ) を代入すると
　1＋λx^2 ≦ {(1+λ)･{1＋2(x^r)}^2}/9 ≦ (1+λ)･{1＋2(x^r)}^2

したがって
1/(1＋λx^2) + 1/(1＋λy^2) + 1/(1＋λz^2)
　≧ 1/(1＋λ)･(1/{1＋2(x^r)} + 1/{1＋2(y^r)} + 1/{1＋2(z^r)})

ここまでは分かりましたが、最後に
1/{1＋2(x^r)} + 1/{1＋2(y^r)} + 1/{1＋2(z^r)} ≧ 3
を示すには どうすればよいのでしょうか？

2 > 1/√(1+λx^2) + 1/√(1+λy^2) + 1/√(1+λz^2) ≧ 3/√(1+λ).

>>175の計算で 1＋λx^2 ≦ {(1+λ)･{1＋2(x^r)}^2}/9 の後、

1/(1＋λx^2) + 1/(1＋λy^2) + 1/(1＋λz^2)
　≧ 3/(1＋λ)･( 1/{1＋2(x^r)} + 1/{1＋2(y^r)} + 1/{1＋2(z^r)} )

だから、右辺が ≧ 3/√(1+λ) となるには 次を示したらいいんですよねえ？

1/{1＋2(x^r)} + 1/{1＋2(y^r)} + 1/{1＋2(z^r)} ≧ 1

>177
漏れの機種では"√"が表示されないか．．．．．と思ったら１カ所出てるYo.

あとは x,y,z を a,b,c に戻して, 相乗≦相加 で (終).

すみません、もう少し詳しく教えてください。
x,y,z を a,b,c に戻さないと、相乗≦相加 できないのですか？
戻して相加相乗しましたが、やっぱり分かりません

a^(2r)/{a^(2r)+2(bc)^r} + b^(2r)/{b^(2r)+2(ca)^r} + c^(2r)/{c^(2r)+2(ab)^r}
　≧ 3{(abc)^(2r)/({a^(2r)+2(bc)^r}{b^(2r)+2(ca)^r}{c^(2r)+2(ab)^r})}^(1/3)

>>178
わざわざ x,y,z を a,b,c に戻してから 相乗≦相加 で (終) ということは
a,b,c の式に戻してから、式を何かに変形してからじゃないと
うまくいかないということなのでしょうね？
降参ですから、もったいぶらずに教えて下さいYo.

x,y,zのままでも やれそうに感じて やってみたら、
いつの間にか符号が逆になってしまった。

>180
a/√(a^2+λbc) + b/√(b^2+λca) + c/√(c^2+λab)
= 1/√(1+λx^2) + 1/√(1+λy^2) + 1/√(1+λz^2)
≧ {3/√(1+λ)}[1/{1+2(x^r)} +/{1+2(y^r)}+1/{1+2(z^r)}]
= {3/(1+λ)}[(a^r)/{a^r+2(bc)^(r/2)}+(b^r)/{b^r+2(ca)^(r/2)}+(c^r)/{c^r+2(ab)^(r/2)}]
≧ {3/√(1+λ)}[(a^r)/{a^r+(b^r+c^r)}+(b^r)/{b^r+(c^r+a^r)}+(c^r)/{c^r+(a^r+b^r)}]
= {3/√(1+λ)}.
ここに x=(√bc)/a, y=(√ca)/b, z=(√ab)/c.

(*ﾟ∀ﾟ)=３ ｳﾋｮｰｯ！
しまった、そこで使うのか！
ﾊｧﾊｧ、すばらすぃ！

>178
おかげさまで、やっと理解できました。
ありがとうございます。

【問題】 正の実数a,b,cに対し、次を示せ。
(a^a)(b^b)(c^c) ≧ (abc)^{(a+b+c)/3}
　　 ＿＿＿
　.／　　≧　＼
　|:::: 　＼ .／　|
　|::::: (●　(● |　既出？
　ヽ::::... .ワ....ノ 　

>>185
勃起してきた　その不等式
　　 ＿＿＿
　.／　　不　＼
　|:::: 　＼ .／　|
　|::::: (≧　(≦ |　
　ヽ::::... .∩....ノ 　

　 　, -‐−-､　　ヽ∧∧∧ //　　|
. 　/////_ﾊ ヽ＜ 釣れた！＞　ハ
　 ﾚ//ｊ け ,fjlﾘ　/ ∨∨V ヽ　　h. ﾟl;←不等式に魅入られた数ヲタ>>186
　ﾊｲｲﾄ､"ヮノﾊ　　　　　//　　　|::: ｊ　　｡
　 /⌒ヽヾ'ﾘ、　　　　　// 　 　　ヾ､≦ '
.　{ 　　j｀ｰ' ﾊ 　 　 　//　ヽ∧∧∧∧∧∧∧∧/
　 ｋ〜'ｌ 　　ﾚﾍ. 　 ,r'ス　＜ さぁ、君も今日から＞
　 |　ヽ ＼　ト､ ヽ-kヾｿ　＜ 　不等式ヲタだ！　＞
.　 l　　＼ ｀ｰ‐ゝ-〈/´　　　/ ∨∨∨∨∨∨∨∨ヽ
　　l 　 　 `ー-､___ﾉ
　　ﾊ 　 ´￣｀　〈/‐-､

>>185
その証明がまた(´д｀；)ﾊｧﾊｧ
一粒で２度美味しい(´д｀；)ﾊｧﾊｧ

　　 ＿＿＿
　.／　　≧　＼　【>>185】　正の実数a,b,cに対し、
　|:::: 　＼ .／　|　　(a^a)(b^b)(c^c) ≧ (abc)^{(a+b+c)/3}
　|::::: (●　(● |　
　ヽ::::... .ワ....ノ 　ﾊｧﾊｧ、ﾊｧﾊｧ…

対称性から a≧b≧c>0 としてよい。

a^(3a)*b^(3b)*c^(3c) /(abc)^(a+b+c)
　= (a/b)^(a-b)*(a/c)^(a-c)*(b/c)^(b-c) ≧ 1

等号成立条件は a=b=c

>189

> 対称性から a≧b≧c>0 としてよい。

は不要？　　x>0,y>0 ⇒ (x/y)^(x-y)≧1, 等号はx=y.

ハッ！そうですね。
ってことは、こう書けばよかったんだ。

a^(3a)*b^(3b)*c^(3c) /(abc)^(a+b+c)
　= (a/b)^(a-b)*(b/c)^(b-c)*(c/a)^(c-a) ≧ 1

　　　　　　 　　∧＿∧
　　　　　　 　 （´Д｀　）　　　死んでお詫びを…
　　　　　 　　 / 　y/　 ヽ　　　　　　
　　　　Σ(m)二フ ⊂[_ノ
　　　　　 　 （ノノノ | | | l ）
　　　￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣

>191
つまり、a_k>0、 (a_1+a_2+････+a_n)/n=A とおくと、
(a_1^a_1)(a_2^a_2)････(a_n^a_n)／{(a_1･a_2････a_n)^A} = Π[i=1 to n](a_i)^(a_i-A)
= Π[i=1 to n] Π[j=1 to n] (a_i)^{(a_i-a_j)/n}
= Π[1≦i,j≦n] (a_i/a_j)^{(a_i-a_j)/n} ≧1 だな。

　　∧＿∧
　　( ;´∀｀) ﾊｧﾊｧ…
　 人　Y　/
　(　ヽ し
　（＿）＿）

簡単だがネタを。何通りの証明があるかな？
正の数a,b,cに対して a^4 + b^4 + c^4 ≧ abc(a+b+c) を示せ。

[>>194]について、
普通に思いつくのが、解析学的な方法。
abc=0のときは、自明である。
以下、abc≠0とする。
a,b,cを-a,-b,-cに変えても左辺と右辺は変わらない。
だから、c>0を仮定してもよい。
a,b,cをka,kb,kc(k>0)にしても不等号は変わらない。
だから、c=1を仮定してよい。
f(a,b):=a^4+b^4-a*b*(a+b+1)
とする。
∂_{a}(f(a,b))=4a^3-2ab-b(b+1)
∂_{a}(f(a,b))=0をaについて解くと、大変なことに…。

a^4+a^4+b^4+c^4>=4a^2bc
b,cも同様にして、加えると
4(a^4+b^4+c^4)>=4abc(a+b+c)

a^4+b^4-ab(a+b+1)
=(a+b)^4-4a^3b-4b^3a-6a^2b^2-ab(a+b+1)
=(a+b)^4-4ab(a^2+b^2)-6(ab)^2-ab(a+b+1)
=(a+b)^4-4ab((a+b)^2-2ab)-6(ab)^2-ab(a+b+1)
そして、(a+b)^2-4ab>=0より、ab<=(a+b)^2/4
さて、x=a+b,y=abとすると、
2y^2+(-4x^2-x-1)y+x^4,y<=x^2/4である。
平方完成(?)すると、
2(y-(4x^2+x+1)/4)^2+x^4-(4x^2+x+1)^2/8となる。
x^2/4<=(4x^2+x+1)/4は容易に分かる。
だから、y=x^2/4のとき、式が非負になればよい。
しかし…。

kingって、結局できないのか。たいしたことないな。
分かってから書き込め！ ウザイ！

失敗のデータは、本当は成功のデータと同じくらい重要なのだ。
失敗のデータは、ここで行き止まりだという情報を含んでいるからだ。

がんばれＫＩＮＧ！

kingは荒らしてるだけか…、クズめ！

不等式を制する者は解析を制す。

だれが荒らしていると？

得るもののないレスが多い。
とくにキングマスかきのはな・・・

ここ10レスで >>196だけか。
糞レスが多すぎ！

>194 再掲
簡単だがネタを。何通りの証明があるかな？

正の数a,b,cに対して、次を示せ。
a^4 + b^4 + c^4 ≧ abc(a+b+c)
　　 ＿＿＿　
　.／　　≧　＼
　|:::: 　＼ .／　|　６通りかな
　|::::: (●　(● |　ﾊｧﾊｧ
　ヽ::::... .ワ....ノ

（解１） 相加相乗平均による解法 　（by 196 さん）
a^4+a^4+b^4+c^4 ≧ 4a^2bc
a^4+b^4+b^4+c^4 ≧ 4ab^2c
a^4+b^4+c^4+c^4 ≧ 4abc^2　 を辺々加える。

（解２） 相加相乗平均による解法 　（その２）
a^4+b^4+c^4
= (a^4+b^4)/2 + (b^4+c^4)/2 + (c^4+a^4)/2
≧ a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2
= (a^2b^2+b^2c^2)/2 + (b^2c^2+c^2a^2)/2 + (c^2a^2+a^2b^2)/2
≧ab^2c + abc^2 + a^2bc
= abc(a+b+c)

（解３） Cauchy-Schwarzの不等式と相加相乗平均による解法
　(1^2+1^2+1^2)(a^4+b^4+c^4) ≧ (a^2+b^2+c^2)^2
　(1^2+1^2+1^2)(a^2+b^2+c^2) ≧ (a+b+c)^2
　(a+b+c)/3 ≧ (abc)^(1/3)
a^4+b^4+c^4
≧(a^2+b^2+c^2)^2/3
≧{(a+b+c)/3}^3*(a+b+c)
≧abc(a+b+c)

（解４） Jensenの不等式（凸不等式）と相加相乗平均による解法
　f(x)=x^4は下に凸だから、{f(a)+f(b)+f(c)}/3 ≧ f((a+b+c)/3)
　(a+b+c)/3 ≧ (abc)^(1/3)
(a^4+b^4+c^4)/3
≧((a+b+c)/3)^3*(a+b+c)/3
≧abc(a+b+c)/3

（解５） Cebysevの不等式と相加相乗平均による解法
(a^4+b^4+c^4)/3
≧(a^3+b^3+c^3)/3*(a+b+c)/3
≧abc(a+b+c)/3

（解６） 差をとる。
（左辺）―（右辺）
= {a^2+(b+c)^2}(b-c)^2 + {b^2+(c+a)^2}(c-a)^2 + {c^2+(a+b)^2}(a-b)^2
≧0

　　 ＿＿＿　
　.／　　≧　＼
　|:::: 　＼ .／　|　>>196さんの証明が一番気に入ってる。
　|::::: (●　(● |　ﾊｧﾊｧ、ﾝ〜ﾓｳ ﾀﾏﾗﾝｯ！
　ヽ::::... .ワ....ノ

さすが不等式ヲタ
そこにシビれるあこがれる〜ぅ！

>>195
結局両辺を ｃ＾4 で割ってるだけだろ。

どうもおかしいと思ったら、1を足し忘れていた。

ｋｉｎｇは、ただの荒らし

　　　　　　　　　　　放置推奨

変身忍者嵐

居直り強盗
↓

このスレも とうとう荒らしに目をつけられたか…

>206-210
【定理】a_i>0 のとき、Σ[i=1,n] (a_i)^(n+1) ≧ Ｇ･Σ[i=1,n] a_i.
ここに Ｇ≡Π[i=1,n] a_i.

（解１）相加相乗平均による方法 (by [196])
［(a_j)^(n+1) +Σ[i=1,n] (a_i)^(n+1)］/(n+1) ≧ a_j･Π[i=1,n]a_i = Ｇ･a_j
j=1,･･･,n を辺辺加えて
Σ[i=1,n] (a_i)^(n+1) ≧ Ｇ･Σ[i=1,n] a_i.

（解４） Jensenの不等式（凸不等式）より、
f(x)=x^(n+1) は下に凸だから、{Σf(a_i)}/n ≧ f({Σa_i}/n).
相加相乗平均より、(Σa_i)/n ≧ Ｇ^(1/n).
∴{Σ a_i^(n+1)}/n ≧ {(Σa_i)/n}^n ・(Σa_i)/n ≧ Ｇ･(Σa_i)/n.


（解５）Chebyshev不等式より
(1/n)Σ[i=1,n] (a_i)^(n+1) ≧ (1/n)Σ[i=1,n] (a_i)^n ･ (1/n)Σ[i=1,n] a_i
相加相乗平均より、(1/n)Σ[i=1,n] (a_i)^n ≧ Ｇ.
∴(1/n)Σ[i=1,n] (a_i)^(n+1) ≧Ｇ･(1/n)Σ[i=1,n] a_i.


（解６）差をとる方法。
（左辺）−（右辺）
= Σ[i=1,n]{(a_i)^(n+1)−Ｇ･a_i} = Σ[i=1,n]a_i･{(a_i)^n−Ｇ}
= Σ[i=1,n](a_i-g)･{(a_i)^n−Ｇ} + g･Σ[i=1,n]{(a_i)^n−Ｇ}
= Σ[i=1,n](a_i-g)･{(a_i)^n−Ｇ} + ng(Ａ−Ｇ).
ここに、g=Ｇ^(1/n), Ａ=(1/n)Σ[i=1,n] a_i.

神降臨！
　　 ┏┓　 ┏━━┓　　　　　　　　／￣￣￣￣￣￣＼ 　　　　　　　　 .┏━┓┏━┓
　┏┛┗┓┃┏┓┃　　　　 　 　／　　　不等式ヲタ　　＼.　　　　　　　┃ 　┃┃　 ┃
　┗┓┏┛┃┗┛┃┏━━━/　　　　　　　　　　　　　　　ヽ.━━━┓┃ 　┃┃　 ┃
　┏┛┗┓┃┏┓┃┃　 　 　 l:::::::::　　　　＼　　　　／　　　|　　　　 ┃┃ 　┃┃　 ┃
　┗┓┏┛┗┛┃┃┗━━━|:::::::::: 　　（●）　　　（●）　　 |━━━┛┗━┛┗━┛
　　 ┃┃　 　 　 ┃┃ 　 　 　 　|:::::::::::::::::　　　 ＿＿　　　 　　|　　　　　　┏━┓┏━┓
　　 ┗┛　 　 　 ┗┛　　　　　　ヽ::::::::::::::::::.　　＼／　　　 　.ノ　　　　　　┗━┛┗━┛

>218 の末尾
= Σ[i=1,n](a_i-g)･{(a_i)^n−g^n} + ng(Ａ−Ｇ) ≧ 0.
ここに、g=Ｇ^(1/n), Ａ=(1/n)Σ[i=1,n](a_i)^n.

　|　 |-　20
　|　 |
　|　 |-　10
　|　 |
　|　 |-　0
　|　 |
　|　 |- -10
　|　 |
　| 　|- -20
　| 　|
　|　 |- -30　　∧＿∧　　　／￣￣￣￣￣￣
　|┃| 　 　 　 （´∀｀　）　＜　このスレ寒すぎ
　|┃| 　 　 　 （　　　　）　　 ＼＿＿＿＿＿＿
. （●）　　 　　｜ ｜　|
　 ￣　　　　　（＿（_＿）

だが、それがいい。

ｎを正の整数とするとき、次の不等式を示せ。

√(ｎπ) ＜ {(2ｎ)!!}/{(2ｎ-1)!!} ＜ √{(ｎ+0.5)π}

>223
偶然だが昨日、次の不等式を証明したよ。
1/(2ｎ+1) ＜ {(2ｎ-1)!!}/{(2ｎ)!!} ＜ 1/√(2ｎ+1)
　　 ＿＿＿　
　.／　　≧　＼
　|:::: 　＼ .／　|　
　|::::: (●　(● |　ﾊｧﾊｧ
　ヽ::::... .ワ....ノ

>>196,206
東北学院大・経 (1997)か？
↓にもあるよ

安田亨:「入試数学 伝説の良問100」講談社ブルーバックスB-1407 (2003.4) \1155

(2n)!!/(2n-1)!!=√πΓ(n+1)/Γ(n+0.5)だから、各辺logとって整理すると示すべき不等式は

log(n)<(f(n+1)-f(n+0.5))/0.5<log(n+0.5)　ただし、f(x)=log(Γ(x))

あとは、log(n)=f(n+1)-f(n), log(n+0.5)=f(n+1.5)-f(n+0.5), fは凸関数であることに注意すればよい

【問題】 0<a<π/4、0<b<π/4 であるa,bについて下の不等式が成立することを証明せよ。

√{tan(a)･tan(b)} ≦ tan((a+b)/2) ≦ {tan(a)+tan(b)}/2

分かスレ１７２
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1087644616/381

>>227
自明すぎてつまらん．

>228
y=ln(tan(x)) は上に凸、y=tan(x) は下に凸。

>227
Right = sin(a+b)/[2cos(a)cos(b)] = Middle/[2cos(a)cos(b)]{1+cos(a+b)}.
(Right - Middle)･[2cos(a)cos(b)] = Middle･[1+cos(a+b)-2cos(a)cos(b)] = Middle･[1-cos(a-b)] ≧0.

Left = tan(a+b)/2[1-tan(a)tan(b)].
Middle = tan(a+b)/2[1-tan{(a+b)/2}^2].
Middle^2 - Left^2 = 1 - 2tan{(a+b)/2}/tan(a+b) - [1 - {tan(a)+tan(b)}/tan(a+b)]
= {2/tan(a+b)}(Right - Middle).

>>223
∫(0→π/2)(sin x)＾ｎ dx を評価すれば出る。

>231
上式を I_n とおくと、I_n = [(n-1)/n] I_{n-2}.
∴ I_{2m+1} = (2m)!!/(2m+1)!!, I_{2m} = [(2m-1)!!/(2m)!!](π/2)
I_0 = π/2, I_1=1, I_2=π/4, I_3=2/3, ･･･ で単調減少

>>227
昔の京大の問題だから調べてね

>>227 >>233
'91 前期 理 4番
の問題ですね。
結構難易度の高い問題だったはずです。
とくに, 左側の不等式は難問です。

>>234
左側の不等式は，>>229の書いてるとおり，logとればただの凸不等式．
難問には思えないんだけどなあ．

3,4行目に誤り、すまそ。↓に訂正

tan(x)･tan(y) = 1 - {tan(x)+tan(y)}/tan(x+y)

ネタを幾つか仕入れてきたので、
まずは自分で解いてみてから書き込みます。

　 　, -‐−-､　　ヽ∧∧∧ //　　|
. 　/////_ﾊ ヽ＜ 釣るぞ！＞　ハ
　 ﾚ//ｊ け ,fjlﾘ　/ ∨∨V ヽ　　h. ﾟl;←不等式に魅入られた私
　ﾊｲｲﾄ､"ヮノﾊ　　　　　//　　　|::: ｊ　　｡
　 /⌒ヽヾ'ﾘ、　　　　　// 　 　　ヾ､≦ '
.　{ 　　j｀ｰ' ﾊ 　 　 　//　ヽ∧∧∧∧∧∧∧∧/
　 ｋ〜'ｌ 　　ﾚﾍ. 　 ,r'ス　＜ さぁ、君も今日から＞
　 |　ヽ ＼　ト､ ヽ-kヾｿ　＜ 　不等式ヲタだ！　＞
.　 l　　＼ ｀ｰ‐ゝ-〈/´　　　/ ∨∨∨∨∨∨∨∨ヽ
　　l 　 　 `ー-､___ﾉ
　　ﾊ 　 ´￣｀　〈/‐-､

お勧めトリップ集
KingOfKingMathematicianの後に付けるのがおしゃれ。

H06dWILLhA : #/{\@%YwX
H06djy9xBA : #SgHdO'H%
H06dYXOYLA : #*｢A@?NVF
H06dhKnt9A : #[Aｼsudｾl
H06dWifa1A : #{SfbN(6ｦ
H06dyzvgzA : #QAiEｼEp- 　　←使用中

あげ

非負整数x_kに対し
(x_1)! (x_2)!…(x_n)! ≧ [ { (x_1+ … +x_n)/n }! ]^n
右辺の[a]はガウス記号とする。

すまん、書き間違えた。

非負整数x_kに対し
(x_1)! (x_2)!…(x_n)! ≧ ([(x_1+ … +x_n)/n]!)^n

右辺は相加平均にガウス記号つけたものの階乗のn乗です

x≧1でlogΓ(x)は単調増大凸関数だから明らか。

> x≧1でlogΓ(x)は単調増大凸関数だから明らか。
x≧2の間違いだな。
まあ、左辺は1より小さくならないから、
明らかであることに変わりはないけど。

【問題】 次式を示してくださいです。。。
-3(√3)/2 ≦ sin(x) + sin(y) + sin(x+y) ≦ 3(√3)/2

さくらスレ１４６
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1087307114/461

面積最大の三角形
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1041437063/198

周期2πだから、|x|,|y|≦πで考えれば十分。
sin(x) + sin(y) + sin(x+y) = 4sin((x+y)/2)cos(x/2)cos(y/2) と変形できるから、
(x+y)/2の正負で場合分けして、-log(cos(x))の凸不等式を使えばよい。

　 どきどき 　 | 　　　　　マダー？　　マダー？
　　　　　　 , -┴‐-､ﾟ ｡
　　　　　/´ 237 ∠}ヽ　 ∧＿∧　∧＿∧　∧＿∧
　　　 　 |　　　u　ノ)）））（　・∀・）（　´∀｀）（ ´･ω･） 　
　　　 　 | u　　 ｄ!!!l　　 （　∪ ∪（　∪ ∪ （　∪ ∪
　　　f^ｉﾉ　 　u　ﾘノ　　 と＿_）__）旦＿）__）旦＿）__） 旦
　 　 「((（(( (（（((ト､
　　　|　 i######|　}
　　　`ｰ'l######レ'　｡oO（ど、どしよ……）
　　　　 ﾉ#####〈

>245
sin(x) + sin(y) + sin(x+y) = 2sin{(x+y)/2}[cos{(x-y)/2} + cos{(x+y)/2}],
-1 + cos{(x+y)/2} ≦ cos{(x-y)/2} + cos{(x+y)/2} ≦ 1 + cos{(x+y)/2}.
-2･sin{(x+y)/4}^2 ≦ cos{(x-y)/2} + cos{(x+y)/2} ≦ 2･cos{(x+y)/4)}^2.
までは出るが．．．

>>247
0≦(x+y)/2≦πなら、sin((x+y)/2)≧0で、sin((x+y)/2)=cos(π/2-(x+y)/2)
-π≦(x+y)/2≦0なら、sin((x+y)/2)≦0で、sin((x+y)/2)=-cos(-π/2-(x+y)/2)

どうでもいいけど、「け ,fj」って何？

どうして荒らすのかなぁ > Q.man

-log(cos(x)) (|x|≦π/2)の凸不等式をつかう。

(x+y)/2≧0のとき
0≦4sin((x+y)/2)cos(x/2)cos(y/2)=4cos(π/2-(x+y)/2)cos(x/2)cos(y/2)≦4(cos(π/6))＾3=3(√3)/2

(x+y)/2<0のとき
0≧4sin((x+y)/2)cos(x/2)cos(y/2)=-4cos(-π/2-(x+y)/2)cos(x/2)cos(y/2)≧-4(cos(-π/6))＾3=-3(√3)/2

∴-3(√3)/2≦sin(x)+sin(y)+sin(x+y)≦3(√3)/2

新ネタ投下 ﾊｧﾊｧ

自然数nに対して、次の不等式を示せ。
(n!)e^n > {n+(1/2)}^{n+(1/2)}

>>206-210
（解７）
　2{(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ca)} = (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 ≧ 0
より a^2+b^2+c^2 ≧ ab+bc+ca が成り立つ。
これを２回繰り返す。
　a^4+b^4+c^4 ≧ (ab)^2+(bc)^2+(ca)^2 ≧ abc(a+b+c)

>>252
log(x)と接線を考えて積分で評価したら、ちょっとだけいい評価が出た

(n!)e^n > (√2){n+(1/2)}^{n+(1/2)}

　　 ＿＿＿
　.／　　不　＼
　|:::: 　＼ .／　|
　|::::: (≧　(≦ |　ﾊｧﾊｧ
　ヽ::::... .∩....ノ 　

実数a,b,c,d,eに対して、次の不等式を示せ。
1 < a/(a+b) + b/(b+c) + c/(c+d) + d/(d+e) + e/(e+a) < 4

まぁだまだ 逝くよぉ〜

n個の正の数 a_1,a_2,…,a_n に対して、
基本対称式（k個ずつの積の和）を s_k で表すとき、次を示せ。
　(s_k)(s_{n-k}) ≧ (s_n)C[n,k]^2

不等式な上に、nCrまで…
　　 ＿＿＿
　.／　　不　＼
　|:::: 　＼ .／　|
　|::::: (≧　(≦ |　ﾊｧﾊｧ
　ヽ::::... .∩....ノ 　

Re:>256 そういうのいけない。
a=1,b=-.999,c=10,d=1,e=1
範囲を正の数に限定すれば大丈夫だ。

う、おっしゃるとおりで。
正の実数でした。

任意の実数で成り立つ(*´д｀*)ﾊｧﾊｧする不等式はないの？

(>_<)

ａｂ≦１/２(ａ^2＋ｂ^2)ぐらいしか思いつかん

>257
(s_k)/項数 = (s_k)/Ｃ[n,k] ≡ P_k とおくと P_0=1. もし
(P_i)/P_{i-1} ≧ P_{i+1}/(P_i) ･････ (1)
が成り立てば
(P_k)/(P_0) = Π[i=1,k] (P_i)/P_{i-1} ≧ Π[i=n-k+1,n] (P_i)/P_{i-1} ≧ (P_n)/(P_{n-k}).
∴ (P_k)(P_{n-k}) ≧ (P_0)(P_n).

よって (1) に帰着する。

>>263
等号成立条件は？
　　 ＿＿＿
　.／　　不　＼
　|:::: 　＼ .／　|
　|::::: (≧　(≦ |　ﾆﾔﾆﾔ
　ヽ::::... .∀....ノ 　

>263 神キタ━(ﾟ∀ﾟ)━！！！
しかし、分からない…

>263さん、あなたにかかっています。
　　 ＿＿＿　
　.／　　≧　＼
　|:::: 　＼ .／　|　
　|::::: (●　(● |　ﾊｧﾊｧ
　ヽ::::... .ワ....ノ

>264
等号成立条件は、a_1 = a_2 = … = a_n
　　 ＿＿＿　
　.／　　≧　＼
　|:::: 　＼ .／　|　
　|::::: (●　(● |　ﾊｧﾊｧ
　ヽ::::... .ワ....ノ

>254
n! = C･{(n+1/2)^(n+1/2)}/(e^n) とおく。

x=k での接線から Ln(k) > ∫[x=k-1/2,k+1/2] Ln(x)dx.
台形公式から {Ln(k)+Ln(k+1)}/2 < ∫[x=k,k+1] Ln(x)dx.

Ln(n!) = Ln(a!) + Σ[k=a+1,n] Ln(k) > Ln(a!) + ∫[x=a+1/2,n+1/2] Ln(x)dx
= Ln(a!) + (n+1/2){Ln(n+1/2)-1} - (a+1/2){Ln(n+1/2)-1},
∴ Ln(C) > Ln(a!) - (a+1/2)Ln(a+1/2) + a.

Ln(n!) = Ln(a!) + (1/2)Ln(a+1) + ∫[x=a+1,n] Ln(x)dx + (1/2)Ln(n)
= Ln(a!) + (1/2)Ln(a+1) + n{Ln(n)-1} - (a+1){Ln(a+1)-1} + (1/2)Ln(n)
= Ln(a!) + (n+1/2)Ln(n) -n -(a+1/2){Ln(a+1)-1} + 1/2
< Ln(a!) + (n+1/2)Ln(n+1/2) -n -(a+1/2){Ln(a+1)-1}
∴ Ln(C) < Ln(a!) - (a+1/2){Ln(a+1)-1}.

C → √(2π/e)=1.520347 (n→∞)

>264-266

【263の(1)】
1≦i≦n-1 ⇒ Q_i ≡(P_i)^2 - P_{i-1}･P_{i+1} ≧0.

(略証） n(変数の数)に関する帰納法で示す。

For i=1,
Q_1 = (P_1)^2 - P_0･P_2 = (1/n)^2･(�納j=1,n] x_j)^2 - {2/n(n-1)}(�納j>j'] x_j･x_j')
= {1/[n^2･(n-1)]}{(n-1)�納j=1,n](x_j^2) -2･�納j>j'] x_j･x_j'}
= {1/[n^2･(n-1)]}�納j>j'] (x_j-x_j')^2 ≧ 0.
n=2 ⇒ i=1 ∴ n=2のとき成立。

Consider a new member x'= x_{n+1}.
s'_i ≡ s_i + x'･s_{i-1}　　　　(1≦i≦n),
P'_i ≡ [(n+1-i)/(n+1)]･P_i + [i/(n+1)]x'･P_{i-1},
Q'_i ≡ (P'_i)^2 - P'_{i-1}･P'_{i+1},
and
(n+1)^2･Q'_i = (n-i)(n-i+2)･Q_i + (n-i)(i-1)[P_i･P_{i-1}−P_{i+1}P_{i-2}]x' +(i^2-1)･Q_{i-1}(x')^2 +[P_i-P_{i-1}x'}^2.

Provided Q_i≧0, Q_{i-1}≧0 for a certain n, then
P_i/P_{i+1} increase monotonously with i: P_i/P_{i+1} ≧ P_{i-2}/P_{i-1}.
∴ Q'_i≧0.

【263の系】
P_1 ≦ (P_2)^(1/2) ≦ ････ ≦ (P_k)^(1/k) ≦ ････ ≦ (P_n)^(1/n)

スマソ

【263(1)の系】
P_1 ≧ (P_2)^(1/2) ≧ ････ ≧ (P_k)^(1/k) ≧ ････ ≧ (P_n)^(1/n)

　　 ＿＿＿　
　.／　　≧　＼
　|:::: 　＼ .／　|　ﾑｽﾞｶｼ…
　|::::: (●　(● |　ﾊｧﾊｧ
　ヽ::::... .ワ....ノ

ここにも燃料を投下していたのですが、過疎スレだけに…。
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1002903143/703

＞274
反例？を書いて来たよ。

いい加減自演止めろ、うざい。

>276
自演じゃないですよ。

数オリや 数セミ 外国の月刊誌のAMMなどから
nCrの和や 三角関数や 不等式の問題を収集してきて
各スレに貼っている数オタは私ですが、解く力は弱い。

その問題を、私の写し間違いまで訂正した上で
一般化までして解説してくれている神は別人ですよ。

>>276
失せろ, 嫌なら見るな

>>278
氏ね、池沼。

あちこちのスレでよく見かけるけど、
池沼の意味が分かんないんですが？

>276は ageられたスレを見て、ウザイと反応しているのかな？

>>280
おまいの事だよ。

荒らしにも困ったものだ。

>256
f(a,b,c,d,e) = a/(a+b) + b/(b+c) + c/(c+d) + d/(d+e) + e/(e+a) とおくと
　f(a,b,c,d,e)+f(a,e,d,c,b)=5 … (1)
また、a/(a+b) > a/(a+b+c+d+e) などから
　f(a,b,c,d,e) > 1 … (2)
これらより、 1 < f(a,b,c,d,e) < 4

f(a^4,a^3,a^2,a,1) → 1 (a→0) だから、これと(1)より、
f(a,b,c,d,e)は1から4の間のすべての値をとる

＞また、a/(a+b) > a/(a+b+c+d+e) などから
これは、実数a,b,c,d,eに対して無条件で明らかですか？
ー(a+b)＜c+d+e＜0＜a の時はまずそうですが？

これから、(2) が出るのも、おれには明らかではない？

あぁ、問題文のミスで、a,b,c,d,eは正の数って約束があるんですよ。
すんません。>>259あたりにそのことが書いてあった。

了解。

＞227
＞　0<a<π/4、0<b<π/4 であるa,bについて
＞　√{tan(a)･tan(b)} ≦ tan((a+b)/2) ≦ {tan(a)+tan(b)}/2


この相加平均と相乗平均の間に挟まれているタイプの不等式を拾ってきたYo！

異なる正の数a,bに対して
√(ab) < (a-b)/{log(a)-log(b)} < (a+b)/2

>287
sinh(|x|) ≧ |x| ≧ tanh(|x|) より １≦ sinh(x)/x ≦ cosh(x).
x=(1/2)･Ln(b/a) とおき, 各辺に√(ab) を掛ける。
等号成立は x=0 つまり a=b.

【問題】
0<x<y<1 または 1<x<y に対して
　{y^(x^y)}/{x^(y^x)} > y/x > (y^x)/(x^y)

　　∧＿∧
　　( ;´∀｀) ﾊｧﾊｧ…
　 人　Y　/　 ﾓｳ ﾀﾏﾗﾝ
　(　ヽ し
　（＿）＿）

0<x<y<1または1<x<yに対して、
x^y*y-y^x*xをxyで割り、
x^(y-1)-y^(x-1)を得る。
yで偏微分してln(x)x^(y-1)-(x-1)y^(x-2)を得る。
y>=xでそれは正となる(?)。

>289
（右側）題意より (x-1)(y-1)>0.
Ln(x)/(x-1)>0 は単調減少だから
x<y ⇒ Ln(x)/(x-1)>Ln(y)/(y-1)>0 ⇒ x^(y-1)>y^(x-1)>1 ⇒ y/x > (y^x)/(x^y).

>291
さすが！

>290
荒らすな！

自演はげ

age

The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities
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マルコフの不等式

　　∧＿∧
　　( ;´∀｀) ﾊｧﾊｧ…
　 人　Y　/　 ﾓｳ ﾀﾏﾗﾝ
　(　ヽ し
　（＿）＿）

三角形ABCの内角について、
sin(A)+sin(B)+sin(C) と sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2)
の大小関係は定まりますか？

>298
二等辺三角形(A=B)の場合を考えると
0<A<19.178215°では 2sin(A)+sin(π-2A) ＜ 2sin(A/2)+cos(A)
19.178215°<A< 90°では 2sin(A)+sin(π-2A) ＞ 2sin(A/2)+cos(A)

>299
ありがとうございます。あと２式のとりうる値について、凸不等式から
0 < sin(A)+sin(B)+sin(C) < 3sqrt(3)/2
sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2) < 3/2
となりましたが、下側の式の最小値がうまくでません。
1/2のようなのですが、証明のしかたを教えて下さい。

書き間違い…

0 < sin(A)+sin(B)+sin(C) ≦ 3sqrt(3)/2
sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2) ≦ 3/2

>300
　1 < sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2) ≦ 3/2.
　0 < {sin(A)+sin(B)+sin(C)} / {sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2)} ≦ √3.

>302
ありがとうございます。神キタ━(ﾟ∀ﾟ)━！！！
１行目の式の下限が１になるのは、どのような計算でしょうか？
２行目の不等式を考えてますが、
　sin(A)+sin(B)+sin(C) = 4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)
　sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2) = 4cos(A/4)cos(B/4)cos(C/4)
ここまで変形して、辺々割ってみたんですけど、その後が…
もう少し考えてみますが、よければヒント下さい。

>303
sin(A/2) + sin(B/2) + sin(C/2) = 4cos{(π+A)/4}･cos{(π+B)/4}･cos{(π+C)/4} +1
ぢゃないか？？

>304
ほんとだ間違ってる、ありがとうございます

telescopic 不等式

任意の自然数 m,n と任意の正の数 x に対して
　{(x+m)/(n+m)}^(n+m) ≧ (x/n)^n
　　 ＿＿＿　
　.／　　≧　＼
　|:::: 　＼ .／　|　
　|::::: (●　(● |　ﾊｧﾊｧ
　ヽ::::... .ワ....ノ

一般化して、正の数 a,b,c に対して
　{(a+c)/(b+c)}^(b+c) ≧ (a/b)^b
が言えそうですね、ハァハァ。

>307
平均値の定理（コーシー）より、
{Ln(x+m)-Ln(n+m)}/{Ln(x)-Ln(n)} = {1/(ξ+m)}/{1/ξ} = ξ/(ξ+m).
ところで、ξはxとnの中間の点だから、(ξ-n)(x-n) >0, (ξ-n){Ln(x)-Ln(n)} >0.
∴ (n+m){Ln(x+m)-Ln(n+m)} - n{Ln(x)-Ln(n)} = {(n+m)ξ/(ξ+m)-n}{Ln(x)-Ln(n)}
= {m/(ξ+m)}(ξ-n){Ln(x)-Ln(n)} ≧ 0.
∴ (n+m)･Ln{(x+m)/(n+m)} ≧ n･Ln(x/n).

微分法を使わない方法きぼんぬ

>307
Ln(x)/(x-1)>0 は単調減少だから
{Ln(z)/(z-1) - Ln(y)/(y-1)}(y-z) >0.
これに z=1+a/(n+m), y=1+a/n を代入して、{(n+m)･Ln[1+a/(n+m)]-n･Ln[1+a/n]}/{n(n+m)} ≧0.
∴ (n+m)･Ln{1+a/(n+m)} ≧ n･Ln(1+a/n).
ここで a=x-n とおく。

>309
>微分法を使わない方法きぼんぬ
　　 ＿＿＿　
　.／　　≧　＼
　|:::: 　＼ .／　|　相加相乗でﾊｧﾊｧと…
　|::::: (●　(● |　
　ヽ::::... .ワ....ノ

>311
thanx. x/n がn個と１がm個でつね。

【系】
　(1+a/n)^n はｎについて単調増加（極限はe^a）
　[略証] 相加相乗ﾊｧﾊｧと･･･ 1+a/n がｎ個、１が１個。

>312 【系】 (*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ

掘り出し物

任意の実数 x,y,z に対して、次式をみたすMの最小値を求めよ。
√(x^2+y^2)+2√(y^2+z^2)+3√(z^2+x^2) ≦ M√(x^2+y^2+z^2)

2√7

>>315
ﾜﾛﾀ。

>316
ハズレ

M=3+√5

>319
どないすんねん？

おらおら！

　　　　　　 |　　 _,.. -‐"／￣/　 /| ￣　l ヽ 　＼~`"'ー､ﾉ　　　たのも〜♪
　　　　　　 ｹﾌ"　／ /　 ,.-'‐￣/ .i 　　.i ￣＼- ＼　＼ヾ
　　　　　　/ ／.l　l　l .//　/ .／　 l　　/ 　　　ヾ　 iヽ　　i.＼　　　　　たのも〜♪
　　　　 　ノ　 |　l　l　l Y ／"¨''ヽ　.i　/　ｧ''"¨ヾ i ｲﾞi.　ﾘ
　　　　 　 `ヽ　r､ 丶l i` 　　　　　　ﾚ　　　　　　 |　 ｲ/"
　　　　　　 　 ＼　ヽ　 ヽ　"""　 iー'ｰv'　 """ /　　'
　　　　　　　　 　ヽ　ヾ-　ゝ　　　　._／　　　.／
　　　　　　　　　/''"" ＼Ｙ.':　∧∧　　 ∧∧ｿ ｀"ヽ､
　　　　　　　　,ィ"　 　,.ィ."ヽ(=ﾟωﾟ)人(ﾟωﾟ=)ﾉ｀丶,”､
　　　　　　　/"　ヾ,.-"　　〜（　 x）､ /（x　 ）〜　　 ｀丶、
　　　　　　／　/"　　　　＼⊃U U　y　U U⊂／　　　　 ヽ

>316 の失敗は、シュワルツの不等式でやったんだろうな。
正解は >319 だが、どうやるのかにゃ？

y=0 のときだと見破れば簡単

見破るって…、それでいいのか？
ちゃんとした証明をキボンヌ

普通に束縛条件x^2+y^2+z^2=1を設定して左辺の
x>0,y>0z>0での最小値と
x=0,y,z≧0、y=0,z,x≧0、z=0,x,y≧0での最小値をくらべればいいんじゃないの？

>>326
＞x>0,y>0z>0での最小値と
↑これ極値ね。最小値であることまで示す必要はない。
･コンパクト領域x,y,z≧0、x^2+y^2+z^2=1のどこかで最小値をとる。
･内点で最小ならそれは極値である。
から境界での最小値と内点での極値のうちいちばん小さいのが最小値。
↑この論法でどんどん変数の次元をさげていくのが一般的な未定定数法の使い方だな。

なるほど。

>325
x^2=X, y^2=Y, z^2=Z, λ>0, μ=√(1+λ^2) とおく。
コーシーの不等式より、√(X+Y) + λ√(Y+Z) ≦ μ√(X+2Y+Z) ･････ (1)
ルートは上に凸だから、 √(X+2Y+Z) + √(X+Z) ≦ 2√(X+Y+Z) ･････ (2)
∴ √(X+Y) + λ√(Y+Z) + μ√(X+Z) ≦ 2μ√(X+Y+Z).
これに、√(X+Z) ≦ √(X+Y+Z) ･････(3) の(3-μ)倍を加える。
等号成立は (x,y,z)=x(1,0,λ) のとき.
ぬるぽ

【類題】
λ≧0とする。　任意の負でない実数 X,Y,Z≧0 に対して次式をみたすM　
の最小値M(λ)を求めてくださいです。。。　
√(X+Y) + λ･√(Y+Z) + (λ+1)･√(X+Z) ≦ M･√(X+Y+Z)　
ぬるぽ　

>330
μ=√(1+λ^2) とおく。
コーシーの不等式より、√(X+Y) + λ√(Y+Z) + μ√(Z+X) ≦ √(1+λ^2 +μ^2)･√{2(X+Y+Z)} = 2μ√(X+Y+Z).
∴ M(λ) = 1+λ+√(1+λ^2).

(ﾟДﾟ )ﾊｧ?

>316のようにコーシーの不等式を使って、
とりえない解を出した前例があるッ！
気をつけろッ！

(X,Y,Z)=X(1,0,λ^2) で等号成立でつ。。。

>332
　√(Z+X) ≦ √(X+Y+Z)
の(1+λ−μ)倍を [331]の式 に加えれ。

>331
理解したッ！
君は英雄だ、最大の功績だ！

コーシー・シュワルツの不等式を、ロシアでは
コーシー・ブニャコフスキーの不等式という。
北朝鮮ではなんと言うのだろうか？
金日成の不等式?

暑いのぉ…

(a+b+c+d)^2 ≧ 8(ac+bd) が成り立つための実数 a,b,c,d の条件を求めよ。

正の数 a,b,c が a^2+b^2+c^2=1 をみたすとき、次式を証明せよ。
　(a^2)bc + a(b^2)c + ab(c^2) ≦ 1/3
　　 ＿＿＿　
　.／　　≧　＼
　|:::: 　＼ .／　|　
　|::::: (●　(● |　ｵﾗｵﾗ
　ヽ::::... .ワ....ノ

>339
左辺 = (a^2)bc + a(b^2)c + ab(c^2) = (a+b+c)abc
= (1/27)(a+b+c){(a+b+c)^3 -3a(b-c)^2 -3b(c-a)^2 -3(a-b)^2} ≦ (1/27)(a+b+c)^4,

(a+b+c)^2 = 3(a^2+b^2+c^2) -(b-c)^2 -(c-a)^2 -(a-b)^2 ≦ 3(a^2+b^2+c^2).

>339
a^2=A, b^2=B, c^2=C とおく。
左辺 = A{B+C-(b-c)^2}/2 + B{C+A-(c-a)^2}/2 + C{A+B-(a-b)^2}/2
≦ BC + CA + AB = (1/6){2(A+B+C)^2 -(B-C)^2 -(C-A)^2 -(A-B)^2}
≦ (1/3)(A+B+C)^2.

等号成立はA=B=C すなわち a=b=c.

しょうも無い不等式やな。

>338
0 ≦ (a+b+c+d)^2 -8(ac+bd) = (a+b-c-d)^2 +(a-b-c+d)^2 -(a-b+c-d)^2.
ぬるぽ

ﾊｧ?

正の数 a,b,c に対して、次を示せ。
(a^3-a^2+3)(b^3-b^2+3)(c^3-c^2+3) ≧ (a+b+c)^3
　　 ＿＿＿　
　.／　　≧　＼
　|:::: 　＼ .／　|　
　|::::: (●　(● |　ｵﾗｵﾗｵﾗ…
　ヽ::::... .ワ....ノ

>345
a=b=c の場合を考える。
1<t<√3 ⇒ (t^3 -t^2 +3) - 3t = (t-1)(t^2 -3) < 0.

>346
不等式の証明をしたことがありますか？

を挙げますた。証明できんと思われ。 >347

>345
問題文が違っていると思われ…
確認して切腹せよ！

ﾁﾝﾁﾝ！ ﾁﾝﾁﾝ！ （AA省略）
問題文の訂正と、切腹まだあー

>339
abc = (1/27){(a+b+c)^3 -(3a+s)(b-c)^2 -(3b+s)(c-a)^2 -(3c+s)(a-b)^2} ≦ (1/27)(a+b+c)^3.
s = (a+b+c)/2.

すみません、間違ってました。
死んでお詫びを…

　　　　　　 　　∧＿∧
　　　　　　 　 （´Д｀　）　　　
　　　　　 　　 / 　y/　 ヽ　　　　　　
　　　　Σ(m)二フ ⊂[_ノ
　　　　　 　 （ノノノ | | | l ）

ｱﾁｬｰ、間違ってました。５乗でした…

正の数 a,b,c に対して、次を示せ。
(a^5-a^2+3)(b^5-b^2+3)(c^5-c^2+3) ≧ (a+b+c)^3

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∧＿∧　　死んでお詫びを…
　 　　　 _ _　 ξ　　　　　　 　　　　　（´Д｀　）
　　　 (´ 　 ｀ヽ、>>340　　　 　 　　 / 　y/　 ヽ　>>345
　　⊂,_と（　 　 ）⊃　　　　　Σ(m)二フ ⊂[_ノ
　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 （ノノノ | | | l ）

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|| 電柱でござる、電柱でござるぞ。 >351-352

任意の複素数 x,y,z に対して
|x|+|y|+|z|+|x+y+z| ≧ |x+y|+|y+z|+|z+x|
　　 ＿＿＿　
　.／　　≧　＼
　|:::: 　＼ .／　|　懲りずに
　|::::: (●　(● |　ﾊｧﾊｧ
　ヽ::::... .ワ....ノ

　　　　　　 |　　 _,.. -‐"／￣/　 /| ￣　l ヽ 　＼~`"'ー､ﾉ　　　たのも〜♪
　　　　　　 ｹﾌ"　／ /　 ,.-'‐￣/ .i 　　.i ￣＼- ＼　＼ヾ
　　　　　　/ ／.l　l　l .//　/ .／　 l　　/ 　　　ヾ　 iヽ　　i.＼　　　　　たのも〜♪
　　　　 　ノ　 |　l　l　l Y ／"¨''ヽ　.i　/　ｧ''"¨ヾ i ｲﾞi.　ﾘ
　　　　 　 `ヽ　r､ 丶l i` 　　　　　　ﾚ　　　　　　 |　 ｲ/"
　　　　　　 　 ＼　ヽ　 ヽ　"""　 iー'ｰv'　 """ /　　'
　　　　　　　　 　ヽ　ヾ-　ゝ　　　　._／　　　.／
　　　　　　　　　/''"" ＼Ｙ.':　∧∧　　 ∧∧ｿ ｀"ヽ､
　　　　　　　　,ィ"　 　,.ィ."ヽ(=ﾟωﾟ)人(ﾟωﾟ=)ﾉ｀丶,”､
　　　　　　　/"　ヾ,.-"　　〜（　 x）､ /（x　 ）〜　　 ｀丶、
　　　　　　／　/"　　　　＼⊃U U　y　U U⊂／　　　　 ヽ

　　　　　　　　 ＿＿＿
　　　　　　　.／　 ≧ ＼　　　神降臨まだぁ〜
　　　　　　　|:::: 　＼ .／　|　ﾊｧﾊｧ
　　　　　　　|::::: (●　(● |
　　　　　　　ヽ::::... .∀....ノ ／　　ﾁﾝ　☆
　　　　　　＿(　　⊃　　⊃　　ﾁﾝ　☆
　　　　　　|＼￣￣￣￣旦￣＼
　　　　　　|　|￣￣￣￣￣￣￣|
　　　　　　＼|　　愛媛みかん　|

>354
Hlawkaの不等式.

x+y+z=-w, 左辺=|x|+|y|+|z|+|w|=Ｓ とおく。

|x+y|=|z+w|, |x+z|=|y+w|, |x+w|=|y+z| ･･････(1)

0 = |x+y+z+w|^2
= (|x+y|^2 +|z+w|^2) +(|x+z|^2 +|y+w|^2) +(|x+w|^2 +|y+z|^2) -2(|x|^2 +|y|^2 +|z|^2 +|w|^2).
∴ Ｓ^2 = (|x|^2 +|y|^2 +|z|^2 +|w|^2) + 2{|x||y|+|x||z|+|x||w|+|y||z|+|y||w|+|z||w|}
= (1/2){|x+y|^2 +|z+w|^2 +|x+z|^2 +|y+w|^2 +|x+w|^2 +|y+z|^2}
+2{|x||y|+|x||z|+|x||w|+|y||z|+|y||w|+|z||w|}
= |x+y||z+w| +|x+z||y+w| +|x+w||y+z| +2{|x||y|+|x||z|+|x||w|+|y||z|+|y||w|+|z||w|}
= |x+y||z+w| +(|x|+|y|)(|z|+|w|)
+|x+z||y+w| +(|x|+|z|)(|y|+|w|)
+|x+w||y+z| +(|x|+|w|)(|y|+|z|) ･･･････(2)

(1),(2)により、
Ｓ・{Ｓ -(|x-y|+|x+z|+|x+w|+|y+z|+|y+w|+|z+w|)/2}
= Ｓ^2 -Ｓ(|x+y|+|z+w|)/2 -Ｓ(|x+z|+|y+w|)/2 -Ｓ(|x+w|+|y+z|)/2
= |x+y||z+w| +(|x|+|y|)(|z|+|w|) +|x+z||y+w| +(|x|+|z|)(|y|+|w|) +|x+w||y+z| +(|x|+|w|)(|y|+|z|)
-(|z|+|w|)|x+y| -(|x|+|y|)|z+w| -(|y|+|w|)|x+z| -(|x|+|z|)|y+w| -(|y|+|z|)|x+w| -(|x|+|w|)|y+z|)}
= {|x|+|y|-|x+y|)(|z|+|w|-|z+w|) +(|x|+|z|-|x+z|)(|y|+|w|-|y+w|) +(|x|+|w|-|x+w|)(|y|+|z|-|y+z|) ≧0.
∴ Ｓ - (1/2)(|x+y|+|x+z|+|x+w|+|y+z|+|y+w|+|z+w|) ≧0.

大関：「不等式への招待」例題8, p.33 近代科学社 (1987.10) ￥1575
153p, A5判, ISBN:4764910063

お〜！
そんなところにありましたか
ありがとうございます。

(補足)
0 = |x+y+z+w|^2 = (x+y+z+w, x+y+z+w)
= |x|^2 +|y|^2 +|z|^2 +|w|^2 +2{(x,y)+(x,z)+(x,w)+(y,z)+(y,w)+(z,w)}
= |x+y|^2 +|z+w|^2 +|x+z|^2 +|y+w|^2 +|x+w|^2 +|y+z|^2 -2(|x|^2 +|y|^2 +|z|^2 +|w|^2).

【問題】(D.D.Adamovic)
m>2, Σ[k=1,m] x_k↑ = 0↑ のとき、
1).　(m-2) Σ[k=1,m] |x_k|^2 = Σ[1≦i<j≦m] |x_i +x_j|^2.
2).　(m-2) Σ[k=1,m] |x_k| ≧ Σ[1≦i<j≦m] |x_i +x_j|.
を示してくださいです。。。

>352
F(x) = x^5 -x^2 +3 ≧ F{(2/5)^(1/3)} = 3 - (3/5)[(2/5)^(2/3)] = 2.67426989 ≡ f.

次の補題を基にして評価する。
【補題】
F(a)F(b)F(c) ≧ 27abc ＋ (1-a)^2 [(f^2)a + (9f/2)(b+c)]
＋ (1-b)^2 [(f^2)b + (9f/2)(c+a)] ＋ (1-c)^2 [(f^2)c + (9f/2)(a+b)].

(1-a)^2 + (1-b)^2 = (1/2)(a-b)^2 + (1/2)(2-a-b)^2 ≧ (1/2)(a-b)^2 を使って変形すると、

F(a)F(b)F(c) ≧ 27abc ＋ (a-b)^2 {[9f/4 -(f/2)^2]c + (f/2)^2(a+b)}
＋ (b-c)^2{[9f/4 -(f/2)^2]a + (f/2)^2(b+c)} ＋ (c-a)^2 {[9f/4 -(f/2)^2)b + (f/2)^2(c+a)}
≧ 27abc ＋ (a-b)^2 (a+b+7c)/2 ＋ (b-c)^2 (7a+b+c)/2 ＋ (c-a)^2 (a+7b+c)/2
= (a+b+c)^3.

∵ 9f/4 -(f/2)^2 ≒ 4.2291774 > 7/2, (f/2)^2 ≒ 1.78792986 > 1/2.

【補題】の略証
F(x) = x^5 - x^2 + 3 = 3x + (1-x)^2 (3+3x+2x^2+x^3) = 3x + G(x) とおく。

F(a)F(b)F(c) = [3a+G(a)][3b+G(b)][3c+G(c)] = 27abc ＋ G(a)･D_a ＋ G(b)･D_b ＋ G(c)･D_c
D_a = 9bc + (3/2)[bG(c)+cG(b)] + (1/3)G(b)G(c),
D_b = 9ca + (3/2)[cG(a)+aG(c)] + (1/3)G(c)G(a),
D_c = 9ab + (3/2)[aG(b)+bG(a)} + (1/3)G(a)G(b).
ここで D_ の上限を２とおりに評価できる。
D_a ≧ (3/2){bF(c)+cF(b)} ≧ (3f/2)(b+c) = 4.01140483(b+c),
D_a ≧ F(b)F(c)/3 ≧ (1/3)f^2 = 2.38390647.
∴ (3+3a)D_a ≧ (f^2)a + (9f/2)(b+c)
また、G(x) ≧ (1-x)^2(3+3x) より,
F(a)F(b)F(c) = 27abc ＋ G(a)･D_a ＋ G(b)･D_b ＋ G(c)･D_c
≧ 27abc ＋ (1-a)^2(3+3a)･D_a ＋ (1-b)^2(3+3b)･D_b ＋ (1-c)^2(3+3c)･D_c
≧ 27abc ＋ (1-a)^2[(f^)a + (9f/2)(b+c)] ＋ (1-b)^2[(f^2)b + (9f/2)(c+a)] ＋ (1-c)^2[(f^2)c + (9f/2)(a+b)].

>352
等号成立は a=b=c=1 のとき。

[362]の]訂正
D_の下限を２とおりに・・・

>360 (1)
0 = |Σ[k=1,m] x_k↑ |^2 = Σ[k=1,m] |x_k|^2 ＋ Σ[1≦i<j≦m] 2（x_i, x_j）
= Σ[1≦i<j≦m] {|x_i|^2 +|x_j|^2 +2（x_i, x_j）} − (m-2)Σ[k=1,m] |x_k|^2
= Σ[1≦i<j≦m] |x_i +x_j|^2 − (m-2)Σ[k=1,m] |x_k|^2.

>361　
　f=2 で十分と思われ．．．
　x<1 のとき F(x)> -x^2 +3> 2
　x>1 のとき F(x) = x^2(x^3-1)+3 > 3

　　∧＿∧
　　( ;´∀｀) 　＜ぬるぽ　

いつもお世話になります、だめぽ不等式ヲタです。
いくつか入手したので、分からないのがあったら質問します。
よろしくお願いします。
　　 ＿＿＿　
　.／　　≧　＼
　|:::: 　＼ .／　|　懲りずに
　|::::: (●　(● |　ﾊｧﾊｧ
　ヽ::::... .ワ....ノ

>>352
F(x) = x^5 -x^2 +3 ≧ x^3 +2 だから次の［命題］に帰着する。
（証）F(x) - (x^3 +2) = x^5 - x^3 -x^2 +1 = (x^3 -1)(x^2 -1) ≧0.（終）

【命題】a,b,c≧0 ⇒ (a^3 +2)(b^3 +2)(c^3 +2) ≧ (a+b+c)^3.
（略証） 下の補題より、
(a^3 +2)(b^3 +2)(c^3 +2) = (abc)^3 + 2{(ab)^3 + (bc)^3 +(ca)^3} + 4(a^3 +b^3 +c^3) +8
= [(abc)^3 +1+1] + [(ab)^3 +a^3 +1] + [(ab)^3 +b^3 +1] +[(bc)^3 + b^3 +1]
+ [(bc)^3 +c^3 +1] + [(ca)^3 +c^3 +1] + [(ca)^3 +a^3 +1] + [a^3 +b^3 +c^3] +a^3 +b^3 +c^3
≧ 3{2abc + (a^2)(b+c) +(b^2)(c+a) +(c^2)(a+b)} + a^3 +b^3 +c^3
= (a+b+c)^3.　
等号成立は a=b=c=1 のとき.（終）

【補題】（相加相乗平均）
x+y+z≧0 ⇒ [x^3 +y^3 +z^3] ≧ 3xyz.
(証)　x^3 +y^3 +z^3 - 3xyz
= (x+y+z)(x^2 +y^2 +z^2 -xy -yz -zx)
= (x+y+z){(x-y)^2 +(y-z)^2 +(z-x)^2}/2 ≧0.　
　等号成立は x=y=z のとき. (終)

>367 神降臨キタ━(ﾟ∀ﾟ)━！！！
> (a^3 +2)(b^3 +2)(c^3 +2) ≧ (a+b+c)^3

Helderの不等式でもﾊｧﾊｧ…。
　(a^3+1^3+1^3)^(1/3)*(b^3+1^3+1^3)^(1/3)*(c^3+1^3+1^3)^(1/3) ≧ a+b+c

既出かもしれないけど、保守ついでに…。

a≧b≧c≧0, a+b+c=3 のとき、ab^2 + bc^2 + ca^2 ≦ 27/8

[2002 中国]らしい、確認できなかったけど…）

>369
(a+b+c)^3 - 8(ab^2 +bc^2 +ca^2) -3abc = (a+5c)(a-b)^2 +(4a-4b+c)(b-c)^2 +c(a-b)(b-c) ≧ 0.
∴ ab^2 + bc^2 + ca^2 + (3/8)abc ≦ (1/8)(a+b+c)^3.
でもいいらしい。確認できなかったけど･･･

>368
Hoelder の式は >>137,>>139 にありまつ。略証は >>158
ぬるぽ　

>369
(a+b+c)^3 - 8(ab^2 +bc^2 +ca^2) -3abc = (a+5b-5c)(a-b)^2 +(4a-4b+c)(b-c)^2 +c(a-b)(b-c) ≧ 0.
でないといけないらしい。すまそ．．．

　　 ＿＿＿
　.／　　≧　＼
　|:::: 　＼ .／　|
　|::::: (●　(● |　
　ヽ::::... .ワ.....ノ　 　|　|　ｶﾞｯ　
　　と　　　 　）　 　.|　|
　 　　 Ｙ　/ノ　　　 人
　　　　　 /　）　 　 < 　>__Λ∩
　　　 ＿/し'　／／. Ｖ｀Д´）/ ←>>370
　　　（＿フ彡　　　　　 　　/

任意の自然数ｎについて，∫[n-1/2→n+1/2]√ｘdx＜√ｎを示せ．
わからんぽ…教えてくり

>>373
y=√xの点(n,√n)における接線をy=ax+bとするとax+b≧√x、等号はx=nのときのみ
なので
√n=∫[n-1/2,n+1/2](ax+b)dx＞∫[n-1/2,n+1/2]√xdx

>374
y=√x は上に凸なので．．．．．
ぬるぽ

任意の自然数ｎについて，∫_[n-1,n] √x dx ＞ {√(n-1)＋√n}/2 を示せ．
わからんぽ…教えてくり

>>376
面積比べれ、台形と。

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もっとおもろいん無いのけ

>379

面白い問題おしえてーな
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1093676103/

>>357
x,y,zがベクトルのときの Hlawkaの不等式の等号成立条件は
「x,y,zが同じ向きのとき」 または 「x,y,zの少なくとも一つが0」
でよろしいですか？

>381
等号成立は「x,y,z,wのうちの3つが同じ向きのとき」でつ。
このとき x+y+z+w=0 から他の1つは逆向きとなり、x,y,z,wは共線または0でつ。
「x,y,zの少なくとも一つが0」であっても等号が成立するとは限りません。
ぬるぽ

【Hlawkaの不等式】
任意のベクトル x,y,z に対して
|x|+|y|+|z|+|x+y+z| ≧ |x+y|+|y+z|+|z+x|

x,y,zのうちの少なくとも一つ、例えば z=0のとき
(左辺) = (右辺) = |x|+|y|+|x+y|

y=px, z=qx (p,q>0) のとき、
(左辺) = (右辺) = 2(1+p+q)|x|

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>382の切腹まだぁ？

>385
等号成立は「x,y,z,wが共線で、その3つが同じ向きのとき」でつ。
このとき x+y+z+w=0 から他の1つは逆向きとなりまつ。（0↑はどの方向とも共線とする）

すみません、間違ってました。
死んでお詫びを…

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　　　　Σ(m)二フ ⊂[_ノ
　　　　　 　 （ノノノ | | | l ）

【問題】
f(x),g(x)は 0≦x≦1で連続とし、f(0)=0, f(x)>x, g(1)≦1 を満たし、
f(x)/x, g(x)/x はともに狭義の単調増加であるとする。 このとき
　0<x<1 で f(g(x)) ≦ f(x)g(x)/x ≦ g(f(x)).
を示してくださいです。　〔R.P.Boas: Math.Magazine,５２(1979)〕

不等式（ヒルベルト）でげす。

1/p＋1/q=1, p>1, f(x)>0, g(y)>0 (x≧0,y≧0) としまする。

{∫_[0,∞) f(x)^p dx}^(1/p)｛∫_[0,∞) g(x)^q dy}^(1/q) > {sin(π/p)/π}∫∫{f(x)g(y)/(x+y)}dxdy

を示してくださいです。

俺にはｻﾊﾟｰﾘ

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　ヽ::::... .ワ....ノ

>>387
f(x),g(x)は 0≦x≦1で0≦f(x)≦1とか0≦g(x)≦1とか仮定していいの？
でないとf(g(x))とかg(f(x))とかかんがえるとき困るとおもうんだけど。

>>388
まず極座標(r,θ)に変換して、rについてヘルダーの不等式を使う。
t = 1/p, tanθ = s とすると、
∫[0,∞) (1+s)s^t ds = π/sin(πt) (0<t≦1/2)を示せばよいことがわかる。
t ≦ 1/2 かつ t が有理数のときは留数定理で計算できる。
tについての連続性からt ≦ 1/2でもこの等式は成立する。

分かスレ１８５にありますた。

513 ：１３２人目の素数さん ：04/09/12 13:57:18
a,b,c,d>0 ならば (a+b+c+d)^3 - (a^3+b^3+c^3+d^3) ≧ 15abcd(1/a+1/b+1/c+1/d)
を示してくださいです。

http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1094542985/513,547

訂正　∫[0,∞) (1+s)s^t ds →　∫[0,∞) 1/{(1+s)s^t} ds

>>392
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1094542985/547
で解決したんじゃないの？

>394
ここは 不等式の収集場所だから いいのれす。

>393
> ∫[0,∞) 1/{(1+s)s^t} ds = π/sin(πt) (0<t<1)

高木：「解析概論」改訂第三版、岩波書店
　p.242 [例]
　p.264 練習問題(5)-(8)[注意]

マルチ

>392
【類題】n≧3, a_1〜a_nのk次の対称式をＳ_k とおくと、
(Ｓ_1)^3 - Σ[k=1〜n](a_k)^3 ≧ {6(n+1)/(n-2)}Ｓ_3.

（略証）
左辺 - 右辺 = 3(Ｓ_1･Ｓ_2 - Ｓ_3) - {6(n+1)/(n-2)}Ｓ_3
= [3/(n-2)]{(n-2)Ｓ_1･Ｓ_2 - 3nＳ_3}

(n-2)Ｓ_2･Ｓ_1 −3nＳ_3
= (n-2)Σ[i<j] a_i･a_j Σ[k=1〜n] a_k - 3nΣ[i<j<k] a_i･a_j･a_k
= (n-2)Σ[i<j] a_i･a_j･(a_i+a_j) - 6Σ[i<j<k] a_i･a_j･a_k
= Σ[i<j] {Σ[k≠i,j]a_k}{(a_i)^2 +(a_j)^2} - Σ[i<j] {Σ[k≠i,j]a_k}2a_i･a_j
= Σ[i<j] {Σ[k≠i,j]a_k}(a_i-a_j)^2 ≧ 0.
ぬるぽ

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>392
【類題】n≧r≧1, a_1〜a_n>0, j次の基本対称式をＳ_jとおくと、
　(Ｓ_1)^r −Σ[k=1〜n](a_k)^r ≧ {((n^r)-n)/Ｃ[n,r]}Ｓ_r,
　等号成立は r=1,2, n=1 または a_1=･･･=a_n のとき。
　Ｃ[n,r]は2項係数でつ。

>398の最後の式変形は、解読するのにすごく時間が掛かった。
>400は、もっと大変そうな予感…。

任意の実数a,bに対して、a^2+b^2+1 ≧ (√2)a(b+1) を示せ。

>402
(a^2 +b^2 +1)^2 - 2{a(b+1)}^2
= a^4 +2(a^2)(b^2 +1) +(b^2 +1)^2 -2(a^2)(b^2 +2b +1)
= a^4 -2(a^2)(2b) + (2b)^2 + (b^2 -1)^2
= (a^2-2b)^2 + (b^2 -1)^2 ≧0.
∴ a^2 +b^2 +1 ≧ √2 |a(b+1)|.

>402
2(b^2 +1) = (b+1)^2 + (b-1)^2 ≧ (b+1)^2.
∴ 左辺 = a^2 + (b^2 +1) ≧ 2|a|√(b^2 +1) = (√2)|a(b+1)| ≧ 右辺.
等号成立は a=√2, b=1 のとき。
ぬるぽ

>402
(1/2)a^2 + b^2 = (√2)ab + (a/√2 -b)^2 ≧ (√2)ab, 等号は a/(√2)=b.
(1/2)a^2 + 1^2 = (√2)a　+ (a/√2 -1)^2 ≧ (√2)a,　等号は a/(√2)=1.
辺々たす。
ぬるぽ

キタ━(ﾟ∀ﾟ)━!!!!
405の解き方には全く気づきませんでした
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　　　 ＿/し'　／／. Ｖ｀Д´）/ ←>>403-405
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既出だったらスマソ。
正の数 a,b,c に対して、次の不等式を示せ。

1/{a(1+b)} + 1/{b(1+c)} + 1/{c(1+a)} ≧ 3/(1+abc)

�納k=1→n]1/2^k＜(n/(2^n))�納k=0→n](nCk)/(2k+1)を証明せよ

ムズ

>400
降参です。
模範解答を教えて下さい。

>>400
相加相乗つかうだけじゃないの？
以下１以上の整数nと整数1≦r≦nを固定する。
D={(di)∈Z^n | diは非負実数}、d∈Dと不定元X1･･･Xnに対し
X^d=Π[i=1,n]Xi^diと書く。Πr={(πi) | π1≧π2≧･･･は非負整数列で�買ﾎi=r}、
π∈Πに対しd(π)=(π1,π2,･･･πn)とする。
n次対称群G=SnをDに自然に作用させてG(d)={σ|σ(d)=d}とさだめる。以下をしめせばよい。
----
またπ∈ΠにたいしてS(π)=�納σ∈G]X^(σ(d(π)))とする。このとき任意の正の実数の
組(x1,･･･xn)にたいしてS(π)(x1,･･･,xn)≧(n!/C[n,r])Sr(x1,･･･,xn)、等号成立はπ1=π2=･･･πr=1のとき
またはx1=x2=･･･=xnのとき。
(証明)d0=(1,1,･･･,1,0,･･･0,)(最初のr個が1である多重次数)とおく。
このとき相加相乗平均の関係式より
(1/r)�納σ∈<(1,2,3,･･･,r)>]x^{σ(d(π))}≧(Π[σ∈<(1,2,3,･･･,r)>]x^{σ(d(π))})^(1/r)=x^d0
∴�納σ∈<(1,2,3,･･･,r)>]x^{σ(d(π))}≧rx^d0
∴�納τ∈G,σ∈<(1,2,3,･･･,r)>]x^{τσ(d(π))}≧r�納τ∈G]x^τ(d(0))
等号成立は主張の等号成立条件が成立するとき。左辺はrS(π)
であり右辺は(n!/C[n,r])Sr(x1,･･･,xn)。

>408
右辺 = {n/(2^n)}Σ[k=0,n] Ｃ[n,k]/(2k+1)
= ∫_[x=0,1] {n/(2^n)}Σ[k=0→n] Ｃ[n,k] x^(2k) dx
= ∫_[x=0,1] n{(1+x^2)/2}^n dx
> ∫_[x=0,1] n{(1+x^2)/2}^(n-1) xdx
= ∫_[u=1/2,1] n{u^(n-1)} du
= [u^n](u:1/2→1)
= 1-(1/2)^n
= Σ[k=1→n] 1/(2^k)
= 左辺.
ここに u=(1+x^2)/2 ≧x, du=xdx.
ぬるぽ

>>411
すばらしいね。
うまく最後まで持っていくところは感銘を覚える。
ぬるぽ

分かスレ１８７にありますた。

459 ：１３２人目の素数さん ：04/09/28 18:22:22
（前略）
0＜ｂ＋ｃ，0＜ｃ＋ａ，0＜ｃ＜ａ＋ｂならば，1/(ａ＋ｂ) ＜ 1/(ｂ＋ｃ) ＋ 1/(ｃ＋ａ)
の証明を教えてください．

http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1095840922/459,460

460 ：１３２人目の素数さん ：04/09/28 18:40:18
>>459
(a+b)(a+b+2c)-(b+c)(c+a)
= (a+b)^2 +2(a+b)c -(c^2) -(a+b)c-ab
= (a+b)^2 +(a+b)c -(c^2) -ab
= (a^2)+ab+(b^2) +c(a+b-c) > 0

(b+c)(c+a) < (a+b)(a+b+2c)
1/(a+b) < (a+b+2c)/{(b+c)(c+a)} = {1/(b+c)}+{1/(c+a)}

不等式のコレクションがイパーイ！
(;´Д`)ﾊｧﾊｧ /lァ/lァ ／/ア／/ア！！

a,b,c,d は実数。a^2+b^2≦1 のとき次を示せ。
　(a^2+b^2-1)(c^2+d^2-1) ≦ (ab+cd-1)^2

正の数 a_1,…,a_n が、
　 1/(a_1+1998) + … 1/(a_n+1998) = 1/1998
をみたすとき、次を示せ
　 {(a_1…a_n)^(1/n)}/(n-1) ≧ 1998

正の数 a,b,c,d が abcd=1 をみたすとき、次を示せ。
　 (a^3+b^3+c^3+d^3) ≧ max{a+b+c+d, (1/a)+(1/b)+(1/c)+(1/d)}

>415-417をたのもー

　　　　　　 |　　 _,.. -‐"／￣/　 /| ￣　l ヽ 　＼~`"'ー､ﾉ　　　たのも〜♪
　　　　　　 ｹﾌ"　／ /　 ,.-'‐￣/ .i 　　.i ￣＼- ＼　＼ヾ
　　　　　　/ ／.l　l　l .//　/ .／　 l　　/ 　　　ヾ　 iヽ　　i.＼　　　　　たのも〜♪
　　　　 　ノ　 |　l　l　l Y ／"¨''ヽ　.i　/　ｧ''"¨ヾ i ｲﾞi.　ﾘ
　　　　 　 `ヽ　r､ 丶l i` 　　　　　　ﾚ　　　　　　 |　 ｲ/"
　　　　　　 　 ＼　ヽ　 ヽ　"""　 iー'ｰv'　 """ /　　'
　　　　　　　　 　ヽ　ヾ-　ゝ　　　　._／　　　.／
　　　　　　　　　/''"" ＼Ｙ.':　∧∧　　 ∧∧ｿ ｀"ヽ､

>417
相加相乗の関係（Ｒべき）より、0≦r≦1 に対して
　(1-r)･a^n + (r/3)(b^n +c^n +d^n) ≧ a^{n(1-r)}･(bcd)^(nr/3) = (abcd)^(nr/3)･a^s.
ここに、s=n(1-4r/3) とおいた。
文字変数を巡回的に入れ替えて加えると、
　a^n +b^n +c^n +d^n ≧ (abcd)^(nr/3)･(a^s +b^s +c^s +d^s)
r=(3/4)(n-1)/n のとき s=1, r=(3/4)(n+1)/n のとき s=-1.
ぬるぽ

>415
c^2+d^2≧1 のときは 左辺≦0≦右辺 より明らか。
c^2+d^2≦1 のときは、0 ≦ 1-a^2 -b^2 ≦ 1-2ab, 0 ≦ 1-c^2-d^2 ≦ 1-2cd より、
左辺 ≦ (1-2ab)(1-2cd) ≦ (1/4){(1-2ab)+(1-2cd)}^2 = (1-ab-cd)^2 = 右辺.
ぬるぽ

神キタ━(ﾟ∀ﾟ)━！！！！ 　いつもありがとうございます。
　ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ!　　　 ＿_ 　 ∩　　　　　　　　　　　 ∩ ＿
　　　　　　　　-´─- ､＼H- 、_,,,,.....．イﾍへ、_/７'´＿~二ﾆ
　 　 　　 　 　 ｒ=＝⊂ｴﾆ/__::_:::＼::／／ハ::::::::V´二二二
　　　　　　　　 ｌ　　　／::/:::::::::::＞::::::::::/::ゞ;ｌ;::::::八コ⊃　/
　　　　　　　 　 l　／/::/:::/:::／::::::::::::/:ｉ::l:::ｌ::ｌ:::::::::::!ヽ＼
　　　　　　　　　|/::/:::/:::/::/::/|:|:::::／|::|:::|::|!:l:::::::::::|::::ｌ　 ＼
　　　　　　　　 /|:/|::/:|:::|:::||::|_,!|／::::::!:||::ｊ::|!::l::::::::::|::::::l＿ノ
　　　　　　　 //.|! .!::|::|::|ゞ|V_ｉ:|;､:::::::/ｊﾉjﾑﾉ|/!:::ｌ:::::l:::::::ｌ
　　　　　　 //　　 .|::|::|;;|/〇:ﾞli　ゞノ　ｆl〇::lﾄ |::::ｊ::::ｌ_::::::|ｌ
　　　　　__ `ー-､　|::|::ｆ＾ﾍ.ゞ:ﾉｊ　　　　{|ゞ::ﾉｊ !:::/:::ｊ ﾘ::∧!　／
　　　　/ 　ｌ 　　 ＼!:|:八! ｀¨´　ｒｰ-ｖ、｀`¨´ ｌ:::/::/ノ　　K´
　 ,．- !､_. {　　　//|:ﾄ;:::::ゝ､.　　!　　ﾉ　　　_ﾉ:/!::/:||　　 |ｌ
. ｊ　　__　 ） ﾞｉ＿//　ゞｆ⌒ゞ=＞_`_ﾆ　- ェヱ:/〆し||　　 |ｌ
. !　　　￣）.八:::￣Ｔ''亠-く_冫 /:l ﾄ／／:::://　　　 _〕 　 |ｌ
. ｌ　　｀¨　）　 !:::::::::l、__ﾉ::::::〕, ,':::ゞ|／:::ｒｰ!/　　　＜||　　 |ｌ
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>415の類題
a,b,c,d は実数。a^2+b^2≦1 のとき次を示せ。
　(a^2+b^2-1)(c^2+d^2-1) ≦ (ac+bd-1)^2

>422
c^2 +d^2 ≧1 のときは 左辺≦0≦右辺 で明らか。
c^2 +d^2 ≦1 のときは、(a,b)=ｒ↑, (c,d)=Ｒ↑, ｒ↑･Ｒ↑= s とおくと
1-a^2-b^2=1-r^2, 1-c^2-d^2=1-R^2, 1-ac-bd =1-s, s≦min(rR,2-rR) で、
右辺−左辺 = (1-s)^2 - (1-r^2)(1-R^2) = (r-R)^2 + (rR-s)(2-rR-s) ≧0.
ぬるぽ

＞４１９
＞相加相乗の関係（Ｒべき）

なんですか、それは？

>416
a_k/1998 = x_k とおくと、Σ[k=1,n] 1/(1+x_k) - 1 = 0.
(1+x_1)(1+x_2)･････(1+x_n) を掛けて通分すると
Σ[k=0,n] (n-k)Ｓ_k −Σ[k=0,n] Ｓ_k =0.
ここに、Ｓ_k は {x_1,x_2,････,x_n} のk次の基本対称式,
相乗平均 (x_1･x_2･････x_n)^(1/n) = (Ｓn)^(1/n) =u.
0 = Σ[k=0,n] (n-k-1)Ｓ_k
≧ Σ[k=0,n] (n-k-1)Ｃ[n,k]u^k 　　（相加相乗平均）
= Σ[k=0,n] (n-k)Ｃ[n,k]u^k −Σ[k=0,n] Ｃ[n,k]u^k
= nΣ[k=0,n-1] Ｃ[n-1,k]u^k −Σ[k=0,n] Ｃ[n,k]u^k
= n{(1+u)^(n-1)} −(1+u)^n
= (n-1-u){(1+u)^(n-1)}.
∴ u/(n-1) ≧ 1.
ぬるぽ

>424
相加相乗の関係について
　a,b,c,････≧0, r,s,t,････≧0, r + s + t + ･･････ = 1 のとき
　a･r + b･s + c･t + ･････ ≧ (a^r)(b^s)(c^t)････.

べき r,s,t,････∈Ｑ（有理数）の場合、通分すれば相加相乗平均に帰する。
べき r,s,t,････∈Ｒ（実数）の場合は、連続性による。（やや面倒）

>426
(;´Д`)ﾊｧﾊｧ /lァ/lァ ／/ア／/ア！！

文献の紹介をキボンヌ。

>427
　↓岩波数学辞典の付録の公式の不等式のところ。

　ａ_1,ａ_2, ･････ ,a_n≧0 のとき ・・・・・ また重みつき平均値について,
　�納ν=1,n] λ_ν・ａ_ν ≧ Π[ν=1,n] ａ_ν^λ_ν （�納ν=1,n] λ_ν =1, λ_ν>0）.
　（略証）y=Ln(x) が上に凸であることからJensenの定理を使って導く。
　ぬるぽ

　y=exp(x) が下に凸であることから導いてもよい。

>416
a_k/1998 = x_k とおく。
【補題】(Klamkin,1974)
　x_k>1 ⇒ �納k=1,n] 1/(1+x_k) ≧ n/(1+u), ただし u = (x_1･x_2･･････x_n)^(1/n)：相乗平均。
（略証）nに関する帰納法による。
　x_kがすべて等しいときは明らかに成立するので、 u は x_n と x_{n-1} の間にあるとしてよい。
　いま y_n =u, y_{n-1} =x_n･x_{n-1}/u とおくと 積は不変で、和は
x_{n-1} + x_n - y_{n-1} - y_n = (u-x_{n-1})(x_n-u)/u ≧0 だけ減少する。
∴ 1/(1+y_{n-1}) + 1/(1+y_n) ≦ 1/(1+x_{n-1}) + 1/(1+x_n).
　｛x_1 ････ x_{n-2}, y_{n-1}｝の n-1 個で考えると、相乗平均はu.
∴帰納法の仮定(n-1)により、
　�納k=1,n] 1/(1+x_k) ≧ ｛�納k=1,n-2] 1/(1+x_k) + 1/(1+y_{n-1})｝ +1/(1+u)
　≧ (n-1)/(1+u) + 1/(1+u)
　= n/(1+u).
　ぬるぽ

(;´Д`) ﾊｧﾊｧ /lァ/lァ ／lア／lア！！

参考文献をキボンヌ！

(Klamkin's Inequality)

-1 < x,y,z < 1 のとき、
　 1/{(1-x)(1-y)(1-z)} + 1/{(1+x)(1+y)(1+z)} ≧ 2

>432
　相加相乗ハァハァと･･･
　左辺 ≧ 2/√{(1-x^2)(1-y^2)(1-z^2)} ≧ 2.
　ぬるぽ

【問題】 正の数 a,b,cに対して、次式を証明せよ。

(1) \sqrt{(a^2b+b^2c+c^2a)(ab^2+bc^2+ca^2)}
　　　≧ abc + \sqrt[3]{(a^3+abc)(b^3+abc)(c^3+abc)}

(2) \sqrt(a^4+b^4+c^4) + \sqrt(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)
　　　≧ \sqrt(a^3b+b^3c+c^3a) + \sqrt{(ab^3+bc^3+ca^3)

　　∧＿∧
　　( ;´∀｀) ＜　勃起しますた。 ﾊｧﾊｧ…
　 人　Y　/
　(　ヽ し
　（＿）＿）

>416
（430の続き）
【補題】の条件を、 ∀(i≠j); x_i･x_j -1 >0 に緩めても成立する。
（略証）　1/(1+x_{n-1}) + 1/(1+x_n) = 1 - [x_{n-1}･x_n -1]/[1-(x_{n-1}+x_n)+x_{n-1}･x_n] は (x_{n-1}+x_n) について単調増加。
∴ 1/(1+y_{n-1}) + 1/(1+y_n) ≦ 1/(1+x_{n-1}) + 1/(1+x_n).

[416]では 1 > 1/(1+x_i) + 1/(1+x_j) = 1 - [x_i･x_j -1]/[(1+x_i)(1+x_j)] により x_i･x_j -1 >0.


>434
　(2) 相加相乗とコーシーでハァハァと･････
　{√(a^4 +b^4 +c^4) + √[(ab)^2 +(bc)^2 +(ca)^2]}／2 ≧ {(a^4 +b^4 +c^4)[(ab)^2 +(bc)^2 +(ca)^2]}^(1/4) ≧ √(a^3･b +b^3･c +c^3･a)
　{√(b^4 +c^4 +a^4) + √[(ab)^2 +(bc)^2 +(ca)^2]}／2 ≧ {(b^4 +c^4 +a^4)[(ab)^2 +(bc)^2 +(ca)^2]}^(1/4) ≧ √(a･b^3 +b･c^3 +c･a^3)
　辺々たす。
　ぬるぽ

>390
　f(0)=0, 0≦g(x)≦1 ですが、f(x)≦1 は不要。
　たとえば f(x)=arcsin(x) も可。
　大関信雄・大関清太 共著：「不等式への招待」,近代科学社 (1987) p.62の定理

>434 (1) ハァハァ
　右辺 = abc･{1+[(a^2 +bc)(b^2 +ca)(c^2 +ab)/(abc)^2]^(1/3)} ≡ abc(1+u).
　左辺 = √{(abc)^2 +(a^2 +bc)(b^2 +ca)(c^2 +ab)} = abc･√{1+(u^3)}.
　u^3 = 8 +{bc/(a^2)+(a^2)/bc -2} +{ca/(b^2)+(b^2)/ca -2} +{ab/(c^2)+(c^2)/ab -2} ≧ 8.
∴ u ≧ 2.
　(左辺)^2 -(右辺)^2 = (abc)^2･{(1+u^3)-(1+u)^2} = (abc)^2･u(u+1)(u-2) ≧0.
∴ 左辺 ≧ 右辺.
　ぬるぽ

>430
>いま y_n =u, y_{n-1} =x_n･x_{n-1}/u とおくと 積は不変で、

(y_kの積)
= (x_kの積)^2/{x_1*x_2*u^(n-2)}
= (x_kの積)u^2/(x_1*x_2)
≠(x_kの積)
だと思うのですが…

>438
分かりにくくてすまそ。全部書けば、
　y_k = x_k (1≦k≦n-2),　y_{n-1} = x_{n-1}･x_n/u,　y_n = u.
したがって
　y_{n-1}･y_n = x_{n-1}･x_n,　　(y_kの積) = (x_kの積) ≡ u^n.
ってことでつ。
ぬるぽ

嗚呼、成程。

この機会に、根号のついた不等式でハァハァしちゃうぞ！

　　　　　�凵@　　　　○　　　∇　、＿＿＿,､´｀ﾞ；~､　　';冫　☆
　　　　　　　　　　　┏　 ━ゝヽ''／　　≧　＼━〆Ａ!ﾟ━━┓。
　╋┓"〓┃　 ＜　ゝ＼',冫｡'　|:::: 　＼ .／　|゛△│´'´,.ゝ'┃.　　　　　 ●┃ ┃┃
　┃┃_.━┛ヤ━━━━━━|::::: (●　(● |━━━━━━━━━　　━┛ ・　・
　　　　　　　　∇ 　┠─Σ-　　ヽ::::... .ワ.....ノ　　冫　そ',´; ┨'ﾟ,。
　　 　 　 　 　 .。冫▽　＜　　 ⊂ 　 　　./⊃　　　　 乙　　≧　　　▽
　　　　　　　　　。　┃　　 Σ　　 （⌒ゞ　,l,　､'' 　│ 　 て　く
　　　　　　　　　　　┠─ム┼ 　　ゝ,,ﾉ　ﾉゝ.　､,,　.┼ ｧ　Ζ┨　ミｏ''｀
　　　　　　　　　。､ﾟ`。､　　　i／　　　レ' o。了　､''　×　 个ｏ
　　　　　　　　○　 ┃ 　　`､,~´＋√ ▽　 　',!ヽ.◇　 　　ｏ┃
　　　　　　　　　 　 ┗〆━┷　Ｚ,.'　/┷━''ｏ ヾｏ┷+＼━┛,゛；
　　　　　　 ヾ　　　�凵@　　　　　　　　　　　　　　'、´　　　　∇

(1) [Carson's Inequality]　a,b,c>0に対し
　\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)/8} ≧ \sqrt{(ab+bc+ca)/3}

(2)　a,b,c,d>0に対し
　\sqrt{(a^2+b^2+c^2+d^2)/4} ≧ \sqrt[3]{(abc+bcd+cda+dab)/4}

(3)　a,b,c>0に対し
　(|a-b|+|b-c|+|c-a|)/3 + \sqrt[3]{abc} ≧ (a+b+c)/3

(4) [1998,Hong Kong]　a,b,c>1に対し
　\sqrt{a-1} + \sqrt{b-1} + \sqrt{c-1} ≦ \sqrt{a(bc+1)}

(5) [1998 APMO]　a,b,c>0に対し
　(1+ a/b)(1+ b/c)(1+ c/a) ≧ 2(1+ (a+b+c)/\sqrt[3]{abc})

(6) [1997 Latvia]　a,b>0、nは自然数のとき、
　1/(a+b) + 1/(a+2b) + … + 1/(a+nb) < n/\sqrt{a(a+nb)}

(7) [1997 Hong Kong]　a,b,c>0に対し
　abc(a+b+c+\sqrt{a^2+b^2+c^2})/{(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)} ≦ (3+\sqrt{3})/9

(8) [1999 Austria-Poland]　a,b≧0に対し
　{(\sqrt[3]{a^2b}+\sqrt[3]{ab^2})/2}^(3/2)
　 ≧ (a+\sqrt{ab}+b)/3
　 ≧ (a+\sqrt[3]{a^2b}+\sqrt[3]{ab^2}+b)/4
　 ≧ {(\sqrt{a}+\sqrt{b})/2}^2

さて、
xを0より大きい実数とするとき、
Γ(x+1)≥(x/3)^x
となることを証明せよ。

このスレまじ勃起する

>443の馬鹿がまた荒らしとる！

俺は不等式ヲタの神々とひっそりとﾊｧﾊｧしたいのに、
糞kingは、糞レスしかできないくせにage荒らししやがる！

>>194-204

　| |　 　 　 　 　 　 | |　 　 　 　 　 　 |┃|　:|
　| |　 　 　 　 　 　 | |　 　 　 　 　 　 |┃|i　|　／>>408￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　| |　 　 　 　 　 　 | |　 　 　 ｶﾞﾀｶﾞﾀ |┃|　＜　nCrと聞いちゃ、黙っていられ・・・・
　| |　 　 　 　 　 　 | |＿＿＿＿＿＿|ミ | .i.|　|　あれ？開かない・・・？
　| |￣￣￣￣￣￣| |　 　 　 　 　 　 |┃|:. ,|　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　| |　 　 　 　 　 　 | |　 　 　 　 　 　 |┃|　i|
　| |　 　 　 　 　 　 | |　 　 　 　 　 　 |┃|　:|
　| |　 　 　 　 　 　 | |　 　 　 　 　 　 |┃|i　|
　| |　 　 　 　 　 　 | |　 　 　 　 　 　 |┃|, :.|
　|_|====――●==|_|＿＿＿＿＿＿|┃|　i|＿＿＿＿＿＿＿

>>408
示すべき不等式を変形すると (2^n-1)/n < Σ[k=0,n]C[n,k]/(2k+1)
>>411のその証明を真似ると、
　Σ[k=0,n]C[n,k]/(2k+1) < Σ[k=0,n]C[n,k]/(k+1) = … （以下同様）
結局
　(2^n-1)/n < Σ[k=0,n]C[n,k]/(2k+1) < (2^{n+1}-1)/(n+1)
　　　　　　　　　　＿＿＿
　　　　|┃三　.／　 nCr ＼　　　＿＿＿＿＿＿＿＿
　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／ |　　／　もっといい
　　　　|┃　≡|::::: (●　(●|　＜　　評価式はできないかなぁ…
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .∀....ノ 　＼　　　ﾊｧﾊｧ /lァ/lァ　　
　　　　|┃=＿＿　　　 ＼　 　　￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　　|┃　≡　）　　人　＼ ガラッ

自然数nに対して

Σ[k=0,n]C[n,k]/(2k+1)
　≦ Σ[k=0,n]C[n,k]/(k+2)
　= ∫[0,1]Σ[k=0,n]C[n,k]x^{k+1}dx
　= ∫[0,1]x(1+x)^kdx
　= （部分積分して）
　= (n*2^{n+1}+1)/(n+1)(n+2)
　　　 ＿＿＿
　　.／　 nCr ＼　　　まだ いけるかなぁ
　　|:::: 　＼ .／　|　ﾊｧﾊｧ
　　|::::: (●　(● |
　　ヽ::::... .∀....ノ ／　　ﾁﾝ　☆
　＿(　　⊃　　⊃　　ﾁﾝ　☆
　|＼￣￣￣￣旦￣＼
　|　|￣￣￣￣￣￣￣|
　＼|　　愛媛みかん　|

>442
　(8)の初めの不等号は a or b→0 の場合は成り立たな伊予柑....

　| |　 　 　 　 　 　 | |　 　 　 　 　 　 |┃|　:|
　| |　 　 　 　 　 　 | |　 　 　 　 　 　 |┃|i　|　／>>442,450￣￣￣￣￣￣￣￣
　| |　 　 　 　 　 　 | |　 　 　 ｶﾞﾀｶﾞﾀ |┃|　＜　確かにAB=0のとき成り立たないね、(8)番
　| |　 　 　 　 　 　 | |＿＿＿＿＿＿|ミ | .i.|　|　あれ？開かない・・・？
　| |￣￣￣￣￣￣| |　 　 　 　 　 　 |┃|:. ,|　＼＿ (8)は1993年の問題で、…
　| |　 　 　 　 　 　 | |　 　 　 　 　 　 |┃|　i|
　| |　 　 　 　 　 　 | |　 　 　 　 　 　 |┃|　:|
　| |　 　 　 　 　 　 | |　 　 　 　 　 　 |┃|i　|
　| |　 　 　 　 　 　 | |　 　 　 　 　 　 |┃|, :.|
　|_|====――●==|_|＿＿＿＿＿＿|┃|　i|＿＿＿＿＿＿＿

>450 ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ
(8)は引用元の問題が 既に誤植でした。
別のところから探してきて確認したら、正しい形は以下の通りです。

(8) [1993 Austria-Poland]　a,b≧0に対し
　{(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2})/2}^(3/2)
　 ≧ (a+\sqrt{ab}+b)/3
　 ≧ (a+\sqrt[3]{a^2b}+\sqrt[3]{ab^2}+b)/4
　 ≧ {(\sqrt{a}+\sqrt{b})/2}^2

　　　　　　 　　∧＿∧　　それでは、不等式solverの皆様方、
　　　　　　 　 （´Д｀　）　　よろしくお願いします。　
　　　　　 　　 / 　y/　 ヽ　　
　　　　Σ(m)二フ ⊂[_ノ　　　　　　とりあえず、死んでお詫びを…　　
　　　　　 　 （ノノノ | | | l ）

>444
不等式に勃起する君も、今日から不等式ヲタだ！

　　∧＿∧
　　( ;´∀｀) ＜　勃起しますた。 ﾊｧﾊｧ…
　 人　Y　/
　(　ヽ し
　（＿）＿）

>443
　Γ(x+1) = xΓ(x) = x∫_[t=0,∞) t^(x-1) e^(-t) dt
　 ≧ x∫_[t=0,x] t^(x-1) e^(-t) dt
　 ≧ e^(-x)∫_[t=0,x] x･t^(x-1) dt
　 = e^(-x) [t^x](t=0,x)
　 = e^(-x) (x^x)
　 = (x/e)^x.
ぬるぽ

>>442(2)
a,b,c,d>0に対し
　\sqrt{(abc+bcd+cda+dab)/4} ≧ \sqrt[3]{(ab+ac+ad+bc+bd+cd)/6}

>>455
f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)=0 は重解を含めて４個の正の解をもつ。
y=f'(x)のグラフを考えれば、f'(x)=0も重解を含めて３個の正の解 α,β,γ をもつ。
解と係数の関係を用いて、示すべき不等式を α,β,γ で表すと
　 (αβ+βγ+γα)/3 ≧ \sqrt[3]{(αβγ)^2}
となる。これは相加相乗平均の関係だから不等式は示された。
等号成立条件は α=β=γ で、このとき y=f(x) のグラフを考えて a=b=c=d.
(*ﾟ∀ﾟ)=3

もひとつルートの不等式追加。

(9) 実数 a,b が ab>0 をみたすとき、
　\sqrt[3]{a^2b^2(a+b)^2/4} ≧ (a^2+10ab+b^2)/12

ちょっと話し変わるけど、
http://www.kalva.demon.co.uk/short/soln/sh01a3.html

この不等式の証明で、CS不等式を使った後
　√{Σ(b_i)^2} ≦ 1
をどうやって示すのですか？ リンク先の最後の行
　(b_1)^2 ≦ (x_1)^2/{1+(x_1)^2} = 1 - 1/{1+(x_1)^2}
の意味は分かりますが、b_2,… について同様にしても得られないのですが。

　　　　　　 |　　 _,.. -‐"／￣/　 /| ￣　l ヽ 　＼~`"'ー､ﾉ　　　>458をたのも〜♪
　　　　　　 ｹﾌ"　／ /　 ,.-'‐￣/ .i 　　.i ￣＼- ＼　＼ヾ
　　　　　　/ ／.l　l　l .//　/ .／　 l　　/ 　　　ヾ　 iヽ　　i.＼　　　　　たのも〜♪
　　　　 　ノ　 |　l　l　l Y ／"¨''ヽ　.i　/　ｧ''"¨ヾ i ｲﾞi.　ﾘ
　　　　 　 `ヽ　r､ 丶l i` 　　　　　　ﾚ　　　　　　 |　 ｲ/"
　　　　　　 　 ＼　ヽ　 ヽ　"""　 iー'ｰv'　 """ /　　'
　　　　　　　　 　ヽ　ヾ-　ゝ　　　　._／　　　.／

16x+260-13x+20≦300
を整理すると・・
3x≦20

整理途中の計算を教えて下さい
マジレス宜しく御願いしますm(__)m

そういう質問は質問スレに書け！

ワロタ

Re:>460
不等式の基本事項：
a≤bかつc≤dならば、a+c≤b+d.
任意のcに対して、a≤bとa+c≤b+cは同値。(*)
0<aかつ0<bならば、0<ab.
任意のc>0に対して、a≤bとca≤cbは同値。
(*)により、
16x+260-13x+20≤300
⇔16x+260-13x+20-280≤300-280.

>>463ご丁寧に説明いただき有り難う御座いました
やっと、解く事が出来ました。

>458
(b_i)^2 = (x_i)^2/[1+(x_1)^2 +(x_2)^2 +...+(x_i)^2]^2
≦ (x_i)^2/[1+(x_1)^2 +(x_2)^2 +...+(x_{i-1})^2][1+(x_1)^2 +(x_2)^2 +...+(x_i)^2]
= 1/[1+(x_1)^2 +(x_2)^2 +...+(x_{i-1})^2] - 1/[1+(x_1)^2 +(x_2)^2 +...+(x_i)^2].
　∴ Σ[i=1,n] (b_i)^2 < 1．
　と読むんだろうな。
ぬるぽ

ぬるぽ神キタ━(ﾟ∀ﾟ)━！！！

そうか、その手があったか！！ ありがとうございますです！！！
　　 ┏┓　 ┏━━┓　　　　　　　　／￣￣￣￣￣￣＼ 　　　　　　　　 .┏━┓┏━┓
　┏┛┗┓┃┏┓┃　　　　 　 　／　　　　　≧　　　　　＼　　　　　　　┃ 　┃┃　 ┃
　┗┓┏┛┃┗┛┃┏━━━/　　　　　　　　　　　　　　　ヽ.━━━┓┃ 　┃┃　 ┃
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　　 ┗┛　 　 　 ┗┛　　　　　　ヽ::::::::::::::::::.　　＼／　　　　　ノ　　　　　　┗━┛┗━┛

>457
　(9)の不等号は逆向きの悪寒....

>467 仰せのとおりにございます。

(9) 実数 a,b が ab>0 をみたすとき、
　\sqrt[3]{a^2b^2(a+b)^2/4} ≦ (a^2+10ab+b^2)/12

　 ,､|,､
　(f⌒i
　 U j.|
　　UJ
　　 ：
　 ‐＝‐

>442 (1〜5)
(1) (a+b+c)^2 - 3(ab+bc+ca) = {(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}/2 ≧0.
　　(abc)^(2/3) ≦ (ab+bc+ca)/3 ････ 相加相乗平均
　　∴ (左辺)^3 = {(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc}/8 = (1/8)[(√3)-1/(3√3)](ab+bc+ca)^(3/2) ={(ab+bc+ca)/3}^(3/2) = (右辺)^3.

(2) 左側: (a^2 +b^2 +････)/n - {(a+b+････)/n}^2 = {1/(n-1)n}{[a^2+b^2] + ･･･ -(1/n)[a^2+b^2+2(n-1)ab] -････}
　　　= (1/n)^2 {[a^2 +b^2 -2ab] + ････}
　　　= (1/n)^2 {(a-b)^2 +････} ≧0.
　　右側: {(a+b+････)/n}^3 - (abc + ････)/Ｃ[n,3]
　　　= (1/n)^3 {a^3 +b^3 +････ +3(a^2b+b^2c+c^2a) +3(ab^2 +bc^2 +ca^2) + ････ +6(abc+････)} - (abc+････)/Ｃ[n,3]
　　　= {1/n^2Ｃ[n,3]}{(1/3)[a^3 +b^3 +c^3]････+ ((n-1)/2)[a^2b+b^2c+c^2a] +((n-1)/2)[ab^2 +bc^2 +ca^2] + ････+((n-1)(n-2)-n^2)(3n-2)(abc+･･･)}
　　　= {1/n^2Ｃ[n,3]}{(1/3)[a^3 +b^3 +c^3 -3abc]････+ ((n-1)/2)[a^2b+b^2c+c^2a-3abc] +((n-1)/2)[ab^2 +bc^2 +ca^2 -3abc]+･････} ≧0.

(3) u≧min(a,b,c) のとき、左辺 = 2(MAX-min) +3u ≧ 2MAX +min ≧ a+b+c =右辺.

(4) b,c≧1のとき、{√(b-1) +√(c-1)}^2 = bc - {√(b-1)√(c-1) -1}^2 ≦ bc.
　　∴ √(b-1) +√(c-1) ≦√(bc), 等号成立は 1/b +1/c =1.
　　同様に、a≧1, bc≧0 のとき {√(a-1) +√(bc)} ≦√{a(bc+1)}, 等号成立は 1/b + 1/c = a-1.

(5) 相加平均 ≧ 相乗平均 ≧ 調和平均 より
　　 (1/3)(a+b+c)(1/a +1/b +1/c) -1 = (1/3){(a/b +b/a)+(b/c +c/b)+(c/a +a/c)} ≧ 2.
(2/3)(a+b+c)(1/a +1/b +1/c) ≧ 2(a+b+c)/[(abc)^(1/3)].
　　辺々たす。
　　ぬるぽ

>442 (6〜7)
(6) nに関する帰納法による。
　　n=1のときは明らかに成立
　　(n+1)/√[a(a+(n+1)b)] - n/√[a(a+nb)] = [(n+1)/f -n]/√[a(a+nb)] = cd/[a+(n+1)b]
　　f = √{[a+(n+1)b]/(a+nb)} > 1,
　　c = (2n+1)/[(n+1)/f +n] > 1,
　　d = {a+(n/2)[1+1/(2n+1)]b}/√[a(a+nb)] > 1.
　　∴ 1/[a+(n+1)b] < (n+1)/√[a(a+(n+1)b)] - n/√[a(a+nb)].

(7) a^2 +b^2 +c^2 = (1/3){(a+b+c)^2 +(a-b)^2 +(b-c)^2 +(c-a)^2} ≧ (1/3)(a+b+c)^2.
　　(a+b+c)(ab+bc+ca) = 9abc + a(b-c)^2 + b(c-a)^2 +c(a-b)^2 ≧ 9abc.
　　∴ abc{(a+b+c)/{(a^2 +b^2 +c^2)(ab+bc+ca)} ≦ abc{(a+b+c)/{(1/3)(a+b+c)^2 (ab+bc+ca)}
　　= 3abc/{(a+b+c)(ab+bc+ca)} ≦ 3/9.
　　abc{√(a^2 +b^2 +c^2)/{(a^2 +b^2 +c^2)(ab+bc+ca)} ≦ abc/{(1/√3)(a+b+c)(ab+bc+ca)}
　　= (√3)abc/{(a+b+c)(ab+bc+ca)} ≦ (√3)/9.
　　辺々たす。
　　ぬるぽ

>442 (8〜9)
(8) a^(1/6) =A, b^(1/6)=B とおく。
　　上： {[a^(2/3) + b^(2/3)]/2}^3 - {[a+√(ab)+b]/3}^2
　　= (1/8){A^4 +B^4}^3 - (1/9){A^6+(AB)^3+B^6}^2
　　= (1/8){A^12 +3(A^2B)^4 +3(AB^2)^4 +B^12} - (1/9){A^12 +2(A^3B)^3 +3(AB)^6 +2(AB^3)^3 +B^12}
= (1/72){A^12 -16A^9B^3 +27A^8B^4 -24A^6B^6 + 27A^4B^8 -16A^3B^9 +B^12)
　　= (1/72)(A-B)^4{(A^4 -B^4)^2 +AB(4A^2 +10AB +4B^2)(A^4 +B^4)} ≧0.

　　中： [a+√(ab)+b]/3 - [a^(1/3) +b^(1/3)][a^(2/3) +b^(2/3)]/4
　　= [A^6 +(AB)^3 +B^6] - [A^2 +B^2][A^4 +B^4]/4
　　= [A^6 -3A^4B^2 +4(AB)^3 -3A^2B^4 +B^6]/12
　　=(A-B)^2 {A^4 +2A^3B +2AB^3 +B^4}/12 ≧0.

　　下： [a^(1/3) +b^(1/3)][a^(2/3) +b^(2/3)]/4 - [(√a +√b)/2]^2
　　= (1/4)[a^(1/3) +b^(1/3) -2(ab)^(1/6)](ab)^(1/3)
　　= (1/4)[A^2 + B^2 -2AB](AB)^2
= (1/4)(A-B)^2 (AB)^2 ≧ 0.

　なお、{(a^r +b^r)/2}^(1/r) はrについて単調増加
　　(略証) r<R とすると、y=x^(R/r) は下に凸だから、
　　{(a^r +b^r)/2}^(R/r) ≦ (a^R +b^R)/2, {(a^r +b^r)/2}^(1/r) ≦ {(a^R +b^R)/2}^(1/R).

(9) (ab+ab+c^2)/3 ≧ (abc)^(2/3)　････ 相加相乗平均
　　c=(a+b)/2 とおく。
　　ぬるぽ

神キタ━(ﾟ∀ﾟ)━！！！ いつもながら流石でございます。
ありがとうございます。 今夜はタップリ抜けそうです。

　∧＿∧
（　；´∀｀）とにかく一発！ 　　　
人　Y　/ 　　 　 　　
(　ヽωつ ο°ｏ。　
（＿）＿）

(2)は次式の略証でつ・・・
　a,b,c,･････>0 に対し
　√{(a^2 +b^2 +c^2 +･････)/n} ≧ (a+b+c+･････)/n ≧ {(abc+･････)/Ｃ[n,3]}^(1/3).

[455]は
　\sqrt[3]{(abc+bcd+cda+dab)/4} ≦ \sqrt{(ab+ac+ad+bc+bd+cd)/6} ?

>473
嗚呼、またもや書き間違い。
[455]ですが 仰せのとおりにございます。

　　　　　　　　　　r〜〜〜〜〜
　　　＿_　　　　_ﾉ うっうっうっ・・・
　 ／__　 ｀ヽ_ ⌒ヽ〜〜〜〜〜
　 |〈___ﾉf レ1(
　,L|　しL.し'ﾞ"
　"｀　　"′

↓分かスレ１８８から借用

404 ：１３２人目の素数さん ：04/10/09 15:59:40
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　,／|ﾐ=､
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ／　 .|ﾐﾐﾐ|
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.|　 　 |ﾐﾐﾐ|
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ,／|ﾐ|　　　|ﾐﾐﾐ|
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　,／　 |ﾐ|　　　|ﾐﾐﾐ|
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 |　 　 |ﾐ|　　　|ﾐﾐﾐ|
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　　　　　　|　 　 |ﾐ|　　　|ﾐﾐﾐ|
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　　　| 　 　|ﾐ| 　 　|ﾐﾐﾐ|
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　　　| 　　 |ﾐ| 　 　|ﾐﾐﾐ|
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　|　 　 |ﾐ| 　 　|ﾐﾐﾐ|
　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　_,-'"|.　　 |ﾐ|　　　|ﾐﾐﾐ|
　　　　　　　　　　　　 _,. -'' "￣~ﾞ三=-_､_　　　 _,.-'"　　 |.　　 |ﾐ|　　　!ﾐﾐﾐ|
　　　　　　　　　 ,,.-''"　r _､ 　 　　　三三ﾀ_,.-''"　　　 　 |　 　|ミ|　 ,.彡ヾﾐ|
　　　　　　　　／　　　 i {ぃ}} 　 　 　 _ﾆ/　　　 　 　 -=三|　　｣ミﾋ彡彡ｲﾐヾ
　　　　　　　/,.､　　 　 `--"　　　　　 ﾆｌ 　 　　-=ﾆ三=-''レ彡ﾐﾐr'"　 　|ﾐﾐﾐ|
　　　　　　 ｌ {ゞ}　　　　i　　　　　　　　.ﾆl==三三ﾆ=''"　 　,＞'"|ﾐ|　　　 |ﾐﾐﾐ|
　　　　　　.l　`" i_,,...-''| 　 　　　 　 　 ニ`=-=i'"　 　 　 　|　　　|ﾐｌ,..-=彡ヾﾐ|
　　　　　_,.-!　 　 !　　i　　　　 　 　　-ﾆ三三/ 　 　 　 　 L.. -ﾆヾ|ヾ彡'='''"
　 　 　 l´,.- l 　 　＼/　　　　 　　 -ﾆ三三／　　　　　　　 ヾ-‐''"
　　_.　 !　ｒi　l＼　　　　 　　__--三三三='"
　 j'‘´l `´ |　!　 `　ミ三三三三三＝''"
　i',.. '´}　　|　|
　 l,.. r´　　 '´

世俗と離れた山奥で、ひっそりとやっている感じが たまらなく (ﾟ∀ﾟ) ｲｲｯ!

不等式の証明問題って、両辺の文字の次数が一致するものばかりだと思っていた。
一致しなくても、積一定などの与えられた条件を使って書き換えたら一致するのとか。
そうじゃないのもあるって今ごろ知った。

【問題】 正の数 a,b,c に対して、次の不等式を示せ。
　 1/{a(1+b)} + 1/{b(1+c)} + 1/{c(1+a)} ≧ 3/(1+abc)

>>430の補題の仮定 x_k>1 は、x_k≧1 でもOKですよね？

>478
桶
>>118-129 も嫁

>455 (474)
　(k次の基本対称式)/Ｃ[n,k] = Ｐ_k とおくと、問題は　(Ｐ_3)^(1/3) ≦ (Ｐ_2)^(1/2).

【定理】
　相加平均 = Ｐ_1 ≧ （Ｐ_2)^(1/2) ≧ (Ｐ_3)^(1/3) ≧ ･････ ≧ (Ｐ_n)^(1/n) = 相乗平均 ････(1).
　(略証)　補題の(2)をk乗して掛けあわせ、共通項を約せばよい。

【補題】
　Ｐ_{k-1}･Ｐ_{k+1} ≦ (Ｐ_k)^2 ･･････････････ (2).
　(略証)　f(x) ≡ (x-a)(x-b)････ = �納L=0,n] ((-1)^L)･Ｃ[n,L]･Ｐ_L･x^(n-L)
　　　　　g_k(x) ≡ {x^(k+1)}･(d/dx)^(n-k-1) f(x) = {n!/(k+1)!}･�納L=0,k+1] ((-1)^L)･Ｃ[k+1,L]･Ｐ_L･x^L
　　　　　h_k(x) ≡ (d/dx)^(k-1) g(x) = ((-1)^(k+1))･(n!/2)[Ｐ_{k-1} -2Ｐ_k･x +Ｐ_{k+1}･x^2].
　　　　　f(x)=0 の根はすべて正の実数だから、ロルの定理により、g_k(x), h_k(x) についても同様である。
　　　　　h_k(x)=0 は実根をもつから、判別式Ｑ_k = (Ｐ_k)^2 - Ｐ_{k-1}･Ｐ_{k+1} ≧0. (終)

【参考書】
　「数学の問題=第(1)集」, 第21問 日本評論社 (1977)
　E.F.Beckenbach and R.Bellman: "Inequalities", p.11, Ergebnisse叢書, Springer Verlag (1961)
　↑ >>84-86 の本

【別法】nに関する帰納法
　　>>263-271
　ぬるぽ

【参考書】
ビブンのことはビブンでする向きには
　G.H.Hardy, J.E.Littlewood, G.Polya共著, : 「不等式」, ｼｭﾌﾟﾘﾝｶﾞｰ･ﾌｪｱﾗｰｸ東京
　　　　　細川尋史 訳, A5, 450p. \4800, ISBN 4-431-71056-6
　D.S.Mitrinovic': "Analytical Inequalities", Springer-Verlag (1970)

>>442(7) は、最小値の方は出ないでしょうか？

>482
　a,b,cのうち1つだけ→0 のとき →0 と思われ．．．
　ぬるぽ

Mを正定数, a,b,cを実定数とする。
f(x)=ax^2+bx+c において |f(-1)|, |f(0)|, |f(1)|≦M ならば、
|x|≦1において |f(x)|≦5M/4 を示せ。
こやつめをたのもー。

a=0 のときは f(x) は一次式以下だから、区間の端点で最大最小値をとるので
|f(x)| ≦ max{|f(-1)|, |f(1)|} = M

a>0のときを考える。（a<0のときも同様にできる）
このとき f(x) は下に凸だから、グラフを考えると
|f(x)| ≦ max{|f(-1)|, |f(-b/{2a})|, |f(1)|} = \max{M, |f(-b/{2a})|}

ということで、|f(-b/{2a})|≦5/4 を示せれば一件落着だと思うのだけど、
そのあとが分からんちん。

訂正
>ということで、|f(-b/{2a})|≦5M/4 を示せれば…

軸の位置によって、|-b/(2a)|>1のときは
|f(x)| ≦ max{|f(-1)|, |f(1)|} ≦ M

|-b/(2a)|≦1のときは、D=b^2-4ac≧0のときには、
|f(-b/{2a})| の最大値を考えないといけないんだけど
|f(-b/{2a})| = |-b^2/(4a)+c| ≦ (|b|/2)*|b/2a|+|c| ≦ (M/2)*1+M = 3M/2

ここで、|2b|=|f(1)-f(-1)|≦2M、|c|=|f(0)|≦M を用いた。
5M/4にならんのですが…。

　｜ｆ（ｘ）｜
＝｜ｆ（−１）ｘ（ｘ−１）／２＋ｆ（０）（１−ｘ＾２）＋ｆ（１）ｘ（ｘ＋１）／２｜
≦Ｍ（｜ｘ（ｘ−１）／２｜＋｜１−ｘ＾２｜＋｜ｘ（ｘ＋１）／２｜）。

−１≦ｘ≦０のとき
　｜ｘ（ｘ−１）／２｜＋｜１−ｘ＾２｜＋｜ｘ（ｘ＋１）／２｜
＝１−ｘ−ｘ＾２
≦５／４。

０≦ｘ≦１のとき
　｜ｘ（ｘ−１）／２｜＋｜１−ｘ＾２｜＋｜ｘ（ｘ＋１）／２｜
＝１＋ｘ−ｘ＾２
≦５／４。

>486
なるほど、その手がありましたか！ 激しくありがとうございます。
係数 a,b,c を f(-1), f(0), f(1) で表すんですね。

この条件の下で、同様に考えると |x|≦1において |f'(x)|≦4M
また、g(x)=cx^2+bx+a を考えると、|x|≦1において |g(x)|≦9M/4, |g'(x)|≦3M

となりますね。たぶん。

[1992 MeXico]
正の数 a,b,c が a+b+c=3 をみたすとき、次の不等式を示せ。
6 < \sqrt{2x+3}+\sqrt{2y+3}+\sqrt{2z+3} ≦ 3\sqrt{5}

右側は Cauchy-Schwarz でも Jensen の不等式でも得られますが、
左側は一体どうやるのでせうか？ たのも〜。

>487の訂正。
ぬーん、|g(x)|≦2M なのか…。

類題発見。京大1995後期理系３番
http://hw001.gate01.com/akiyoshi/pdf/95ks.pdf

はっきり言って、a≧0, b≧0 の条件は要らない。
絶対値がついているから a の符号はどっちでもいいし、
x=t,-tの場合を考えれば、bの符号もどうとでもなるし。

|f(x)|≦M の条件は強すぎると思う。
３箇所、例えば |f(-1)|, |f(0)|, |f(1)| ≦ M で十分じゃないの？

>488
　√ は上に凸ゆえ 0<x<3 ⇒ (3+x)/2 < √(2x+3)
　辺々たす。
（3+2√3 も可能）
ぬるぽ

>490
ありがとうございまする。

0<x<3 において、ｙ＝(3+x)/2 と y=√(2x+3) のグラフを考えるんですね？
ｙ＝(3+√3)x/3 +√3 と y=√(2x+3) のグラフから、3+2√3 を出したんですね

　　　　 |
　＼　　__　　／
　＿　（ｍ）　＿ﾋﾟｺｰﾝ
　　　　|ミ|
　／＿＿＿＼　
　.／　　≧　＼　
　|:::: 　＼ .／　|　そうか！
　|::::: (●　(● |　
　ヽ::::... .ワ.....ノ

(1) 正の数 a,b,c が abc=1 をみたすとき、
　(1+a)(1+b)(1+c) ≧ 2(1+\sqrt[3]{b/a}+\sqrt[3]{c/b}+\sqrt[3]{a/c})

(2) x>0 に対し、
　[(x+ 1/x)^6-(x^6+ 1/{x^6})-2]/[(x+ 1/x)^3+(x^3+ 1/{x^3})] ≧ 6

(3) 1≦a≦b≦c≦4のとき、
　(a-1)^2 + (b/a -1)^2 + (c/b -1)^2 + (4/c -1)^2 ≧ 12-8√2
　　　　　　　　　＿＿＿
　　　　|┃三　.／　 nCr ＼　　　＿＿＿＿＿＿＿＿
　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／ |　　／
　　　　|┃　≡|::::: (●　(●|　＜　　ﾊｧﾊｧ /lァ/lァ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .∀....ノ 　＼　　　
　　　　|┃=＿＿　　　 ＼　 　　￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　　|┃　≡　）　　人　＼ ガラッ

>492
(1) 相加相乗平均より (b/a)^r +(c/b)^r +(a/c)^r ≧3.
左辺 = -1+(b+1 +1/a)+(c+1 +1/b)+(a +1/c) ≧ -1 +3{(b/a)^(1/3) +(c/b)^(1/3) +(a/c)^(1/3)}
≧ 2 + 2{(b/a)^(1/3) +(c/b)^(1/3) +(a/c)^(1/3)} = 右辺.

(2) x^6 +1/(x^6) +2 = {x^3 +1/(x^3)}^2 より,
　左辺 = (x+ 1/x)^3 - {x^3+ 1/(x^3)} = t^3 -(t^2 -3)t = 3t ??

(3) Σ[k=1,n](x_k)^2 - (1/n){Σ[k=1,n] x_k}^2 = (1/n)Σ[i≠j] (x_i-x_j)^2 ≧0 より
　左辺 ≧ 4{(a/1 +b/a +c/b +4/c)/4 -1}^2 ≧ 4([4^(1/4)] -1}^2 = 4(√2 -1)^2 = 4(3-2√2) = 右辺.
ぬるぽ

訂正
(2) 左辺 = (x+ 1/x)^3 - {x^3+ 1/(x^3)} = 3(x +1/x) ≧ 6.

>492
(1) [442]の(5)と同じ．．．

(3) r>1 のとき y=x^r は下に凸ゆえ、 {Σ[k=1,n](x_k)^r}/n ≧ {(Σ[k=1,n] x_k)/n}^r.
　∴ Π[k=1,n] a_k =Ｐ ⇒ Σ[k=1,n] (a_k -1)^r ≧ n{(1/n)(Σ[k=1,n] a_k) -1}^r ≧ n{Ｐ^(1/n) -1}^r

>493-495
(ﾟ∀ﾟ) うひょっ！ ありがとうございます。
(1)が442(5)と同じことに気づかなかったです…。

(1) 0≦a,b,c,d≦1 と 0≦x≦1 に対して
　1/|x-a| + 1/|x-b| + 1/|x-c| + 1/|x-d| < 40

(2) [ASU 1969.14] 正の数 a_k に対して
　a_1/(a_2+a_3) + a_2/(a_3+a_4) + … + a_n/(a_1+a_2) ≧ n/4
　　　 ＿＿＿
　　.／　 ≧ ＼　　　(2)を見ると Shapiro の巡回不等式を思い出すけど…。
　　|:::: 　＼ .／　|　ﾊｧﾊｧ
　　|::::: (●　(● |
　　ヽ::::... .∀....ノ ／　　ﾁﾝ　☆
　＿(　　⊃　　⊃　　ﾁﾝ　☆
　|＼￣￣￣￣旦￣＼
　|　|￣￣￣￣￣￣￣|
　＼|　　愛媛みかん　|

(3) [Ukrine 1992]
a≧b≧c>0 のとき
　(a^2-b^2)/c + (b^2+c^2)/a + (c^2-a^2)/b ≧ 3a-4b+c

(4) a≧b≧c≧d>0, a+b+c+d≧1 のとき
　7a^2+5b^2+3c^2+d≧1

(5) [Vietnam 1980]
正の数 a_k が a_1+ … +a_n=s をみたすとき
　{a_1+ 1/(a_1)}^2 + … +{a_n+ 1/(a_n)}^2 ≧ n{n/s + s/n}^2

>498
(3) 因数定理より (a^2 -b^2)/c + (b^2 -c^2)/a +(c^2 -a^2)/b = (a-b)(b-c)(a-c)(a+b+c)/abc.
　　(2/3)a = b = c のとき 左辺 = 2(c^2)/a = (8/9)a < a = 右辺. むずい??

(4) a≧d≧0, b≧c≧0 より、左辺 ≧ 4(a^2 +b^2 +c^2 +d^2) ≧ (a+b+c+d)^2 ≧ 1.

(5) r≧1 ⇔ (x_1)^r +(x_2)^r +･････+(x_n)^r ≧ n{(x_1 +x_2 +･････+ x_n)/n}^r
　　調和≦相加 より (1/n){1/(a_1) + 1/(a_2) +････+ 1/(a_n)} ≧ n/s.
ぬるぽ

>499(4) その手があったか、さすが！ /lァ／lァ

>497
(2) 左辺をＳとおく。
　a/(b+c) +2b/(c+d) - {(a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+d) -1} = (b^2 +cd)/[(b+c)(c+d)] >0.
　∴ a/(b+c) +2b/(c+d) > (a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+d) -1.　
　循環的に加えて相加・相乗平均を使えば
　3Ｓ > 2Σ[k=1,n] (a_k +a_{k+1})/(a_{k+1} +a_{k+2}) -n > 2n-n = n.
　ただし a_{n+1}=a_1, a_{n+2}=a_2 とした。
　∴ Ｓ≧ n/3.
ぬるぽ

>501 a/(b+c) +2b/(c+d) > (a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+d) -1
　　　　　　　不等式神キタ━(ﾟ∀ﾟ)━！！！
こんな不等式、自力では逆立ちしても思いつきませんです。 (;´Д`) ﾊｧﾊｧ

　　　　　　　　　　　　　　　ゝ_i/ / //　/ | l / !　| l i　　　〉'　⌒⌒_/
　　　　　　　　　　　　　　　｢ﾐ| / /ｨ'｢´!　! l l ｣___| l |l　_,くﾐ ､_/￣´
　　　　　　　　　　　　　　 〈 j | ﾊ{ ,l-ﾆ!､ | l | ,|=､|ヽ|l/!　'ヽ,-ｧ
　　　　　　　　　　　　　　　ヽ　} j' {i'r':j!　　　,.=､ヾ!/　　　　r'
　　　　　　　　　　　　　　　　|　i' ,, ゞ='　　　i!-':i! i!'　　　　/
　 ┃　　 ┏━┃　　　　　　 {　ﾄ､　 r‐‐- ､_ﾞ''=' /　　/　 /.　　　　　┃┃┃
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　　　　　　　　　　　　　　　 ∧--‐‐‐''"ヽヽ_! |　 〉　 /
　　　　　　　　　　　　　　　/ﾄ､　　 @/　　ヽ_/　/｀-/
　　　　　　　　　　　　　　 / !　ヽ　　{　r.‐‐‐┐ /　/
　　　　　　　　　　　　　　j　　　　 @ l　!(ﾟ∀ﾟ)l /　/

[477]　正の数 a,b,c に対して、次の不等式を示せ。
　 1/{a(1+b)} + 1/{b(1+c)} + 1/{c(1+a)} ≧ 3/(1+abc)

（解１） 次式を整理すれば得られる。 こんなもの思いつかんわい！
ab(1+b)(1-ca)^2+bc(1+c)(1-ab)^2+ca(1+c)(1-ab)^2 ≧ 0

（解２） 相加相乗平均の関係を用いる。 簡単だが気づかんわい！
(1+abc)(左辺)+3
＝ {(1+abc)/(a+ab)+1} + {(1+abc)/(b+bc)+1} + {(1+abc)/(c+ca)+1}
＝ {(1+a)/(a+ab) + (b+bc)/(1+b)} + {(1+b)/(b+bc) + (c+ca)/(1+c)} + {(1+c)/(c+ca) + (c+ca)/(1+a)}
＝ {(1+a)/(a+ab) + (a+ab)/(1+a)} + {(1+b)/(b+bc) + (b+bc)/(1+b)} + {(1+c)/(c+ca) + (c+ca)/(1+c)}
≧ 6

（解３） 並べ替え不等式 （同順序積）≧（逆順序積） を用いる。かっこよすぎ！
(1+abc)(左辺)
＝ (1/a)*{1/(1+b)}+b*{1/(1+ 1/a)} + (1/b)*{1/(1+c)}+c*{1/(1+ 1/b)} + (1/c)*{1/(1+a)}+a*{1/(1+ 1/c)}
≧ (1/a)*{1/(1+ 1/a)}+b*{1/(1+b)} + (1/b)*{1/(1+ 1/b)}+c*{1/(1+c)} + (1/c)*{1/(1+ 1/c)}+a*{1/(1+a)}
＝ 1/(1+a) + a/(1+a) + 1/(1+b) + b/(1+b) + 1/(1+c) + c/(1+c)
＝ 3

（元ネタ） http://www.komal.hu/verseny/2003-09/A.e.shtml
　　　　　　　　　＿＿＿
　　　　|┃三　.／　 nCr ＼　　　＿＿＿＿＿＿＿＿
　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／ |　　／
　　　　|┃　≡|::::: (●　(●|　＜　　ﾊｧﾊｧ /lァ/lァ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .∀....ノ 　＼　　　
　　　　|┃=＿＿　　　 ＼　 　　￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　　|┃　≡　）　　人　＼ ガラッ

>503
【補題】a,b,c>0 のとき、u=(abc)^(1/3)とおくと
　　 1/{a(1+b)} + 1/{b(1+c)} + 1/{c(1+a)} ≧ 3/{u(1+u)}.

　（略証）(解２)と同様に 1+abc = (1+a) -a(1+b) +ab(1+c).　
　∴ (1+abc)/{a(1+b)} = (1+a)/{a(1+b)} -1 +b(1+c)/(1+b).　
　循環的に加えて相加・相乗平均を使えば　
　(1+abc)(左辺) ≧ 3(1/u -1 +u) = 3(1+u^3)/{u(1+u)}
　∴ 左辺 ≧ 3/{u(1+u)}　(終).　

なお、3/{u(1+u)} ≧ 3/(1+u^3) = 3/(1+abc)　は　(1+u^3)-u(1+u) = (1-u)(1-u^2) ≧0 から明らか。

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[442](2)　a,b,c,d>0に対し
　\sqrt{(a^2+b^2+c^2+d^2)/4} ≧ \sqrt[3]{(abc+bcd+cda+dab)/4}

ここで、次式が成り立つ。
　(a+b+c+d)/4 ≧ \sqrt{(ab+bc+cd+da)/4}

ということで、次の２つの大小関係は定まりますか？
　\sqrt[3]{(abc+bcd+cda+dab)/4}, \sqrt{(ab+bc+cd+da)/4}

あぁ書き忘れた。もう一回書き直すと
[473](2)と[506]の真ん中より、a,b,c,d>0 に対し
　\sqrt{(a^2 +b^2 +c^2 +d^2)/4} ≧ (a+b+c+d)/4 ≧ \sqrt[3]{(abc+bcd+cda+dab)/4}
　(a+b+c+d)/4 ≧ \sqrt{(ab+bc+cd+da)/4}

右側の２つは比較できないかなと言うことでした。

>506-507
>>455 (474), >>480 の辺りにないか？
ぬるぽ

>506
Q. 次の２つの大小関係は定まりますか？
　　{(abc+bcd+cda+dab)/4}^(1/3), sqrt{(ab+bc+cd+da)/4}

A. 定まらないと思われ．．．
　a=b≠c=d のとき, 左辺 = {ac(a+c)/2}^(1/3) < (a+c)/2 = 右辺.
　a=c≠b=d のとき, 左辺 = {ab(a+b)/2}^(1/3) > sqrt(ab) = 右辺.
　a=b=c≠d のとき, 左辺 = {a^2･(a+3d)/4}^(1/3) < sqrt{a(a+d)/2} = 右辺.
　∵ {a･[(a+3d)/4]^2}^(1/3) < (a+d)/2. より {a^(1/2)･(a+3d)/4}^(1/3) < sqrt{(a+d)/2}.
ぬるぽ

なるほど、ありがとうございまする。

[>>455] の不等号の根号の中身は逆ですね。正しくは
　\sqrt{(ab+ac+ad+bc+bd+cd)/6} ≧ \sqrt[3]{(abc+bcd+cda+dab)/4}

死んでお詫びを…（ＡＡ略） まとめると、こんな感じですか。

A = \sqrt{(a^2 +b^2 +c^2 +d^2)/4}
B = (a+b+c+d)/4
C = \sqrt{(ab+ac+ad+bc+bd+cd)/6}
D = \sqrt[3]{(abc+bcd+cda+dab)/4}
E = \sqrt{(ab+bc+cd+da)/4}
F = \sqrt[4]{abcd}

A ≧ B ≧ C ≧ D ≧ F
　 　　B ≧ E　　　　≧ F

CとE、DとEの大小は定まらない。

あげ

>511 ついでに
　C ≧ {(C^4)/B}^(1/3) ≧ D ≧ {C(F^2)}^(1/3) ≧ F.

>492,503
　なぜかnＣrヲタがやって来る．．．
ぬるぽ

a,b,c,d,p,q,r,s>0 かつ a + b + c + d = 1 かつ p + q + r + s = 1 のとき，
a log(a/p) + b log(b/q) + c log(c/r) + d log(d/s) ≧ 0 を示せ．

log は自然対数．

>515
下に凸なf(x)=log(1/x)に対して、Jensenの不等式を用いると
af(a/p)+bf(b/q)+cf(c/r)+df(d/s)
≧ f(a*(p/a)+b*(q/b)+c*(r/c)+d*(s/d))
＝ f(p+q+r+s)
＝ 0　　　　　　　　　　＿＿＿
　　　　|┃三　.／　　≧ ＼　　　＿＿＿＿＿＿＿＿
　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／ |　　／　不等式と聞いちゃぁ
　　　　|┃　≡|::::: (●　(●|　＜　　黙っちゃゐられねゑ…
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .∀....ノ 　＼　　　ﾊｧﾊｧ /lァ/lァ　　
　　　　|┃=＿＿　　　 ＼　 　　￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　　|┃　≡　）　　人　＼ ガラッ

>513
さすが不等式神ッ！ 常に一歩先を行くぅ〜。そこに痺れる憧れるぅ〜。

３変数でやると、A ≧ B ≧ C ≧ D が成立。ただし

A = (a+b+c)/3
B = \sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)/8}
C = \sqrt{(ab+bc+ca)/3}
D = \sqrt[3]{abc}





（AAの額が nCr だったのは、言われるまで気づかなかったミス。
不等式ヲタ ＝ nCrヲタ ＝ 三角関数ヲタ ＝ 関数方程式ヲタ なのは公然の秘密）

>>516
お見事！

【問題A】 正の数 a,b,c が ab+bc+ca=1 をみたすとき

(1) [1994 Hong Kong]
a(1-b^2)(1-c^2)+b(1-c^2)(1-a^2)+c(1-a^2)(1-b^2) ≦ (4√3)/9

(2)
a/(1+a^2) + b/(1+b^2) + c/(1+c^2)
≧ 2a(1-a^2)/{(1+a^2)^2} + 2b(1-b^2)/{(1+b^2)^2} + 2c(1-c^2)/{(1+c^2)^2}


【問題B】 正の数 a,b,c が abc=1 をみたすとき

(3) [1997 Romania]
(a^3+b^3)/(a^2+ab+b^2) + (b^3+c^3)/(b^2+bc+c^2) + (c^3+a^3)/(c^2+ca+a^2) ≧ 2

(4) [2000 Hong Kong] さらに a≧b≧c のとき
(1+ab^2)/(c^3) + (1+bc^2)/(a^3) + (1+ca^2)/(b^3) ≧ 18/(a^3+b^3+c^3)


【問題C】 正の数 a,b,c が a^2+b^2+c^2=s をみたすとき

(5) [1991 Poland] s=2のとき、a+b+c ≦ 2+abc

(6) [1999 Belarus] s=3のとき、1/(1+ab) + 1/(1+bc) + 1/(1+ca) ≧ 3/2

　| |　 　 　 　 　 　 | |　 　 　 　 　 　 |┃|　:|
　| |　 　 　 　 　 　 | |　 　 　 　 　 　 |┃|i　|　／ 条件不等式と聞いちゃあ
　| |　 　 　 　 　 　 | |　 　 　 ｶﾞﾀｶﾞﾀ |┃|　＜　　黙っちゃゐられねゑ…
　| |　 　 　 　 　 　 | |＿＿＿＿＿＿|ミ | .i.|　|　？ 開かない・・・？
　| |￣￣￣￣￣￣| |　 　 　 　 　 　 |┃|:. ,|　＼
　| |　 　 　 　 　 　 | |　 　 　 　 　 　 |┃|　i|

>517
　そこまで言われるとつい．．．．でに
　　A ≧ B ≧ (AC^2)^(1/3) ≧ C ≧ {(C^4)/A}^(1/3) ≧ D.

（略証）相加･相乗平均を使う。
　A = (1/2){(a+b)+(b+c)+(c+a)}/3} ≧ B

　A ≧ D, C ≧D より
　B^3 = (a+b)(b+c)(c+a)/8 = [(a+b+c)(ab+bc+ca) -abc]/8 = (9AC^2 -D^3)/8 ≧ AC^2,
　∴ B ≧ (AC^2)^(1/3).

　A^2 = (1/9)(a+b+c)^2 ≧ (ab+bc+ca)/3 = C^2.
　∴ (AC^2)^(1/3) ≧ C ≧ {(C^4)/A}^(1/3).

　C^4 = {(ab+bc+ca)/3}^2 = {(x+y+z)/3}^2 ≧ (xy+yz+zx)/3 = [(a+b+c)/3]abc = A(D^3),
　∴ {(C^4)/A}^(1/3) ≧ D.
ぬるぽ

【問題D】正の数 a,b,c に対して

(7) [1997 Ireland] a+b+c≧abc のとき、a^2+b^2+c^2 ≧ abc



>520 キタ━(ﾟ∀ﾟ)━！！！

【問題B】 に追加。 正の数 a,b,c が abc=1 をみたすとき

(8) [1997 TOT]
1 ≧ 1/(1+a+b) + 1/(1+b+c) + 1/(1+c+a)

(9) [1997 Bulgaria]
1/(2+a) + 1/(2+b) + 1/(2+c) ≧ 1/(1+a+b) + 1/(1+b+c) + 1/(1+c+a)

この２つの不等式は、一つにまとめられそうな予感。でも、どうなるんでしょう？
　　　　　　　　 ＿＿＿
　　　　　　　.／　　 ≧ ＼　　　神降臨待ち
　　　　　　　|:::: 　＼ .／　|　ﾊｧﾊｧ
　　　　　　　|::::: (●　(● |
　　　　　　　ヽ::::... .∀....ノ ／　　ﾁﾝ　☆
　　　　　　＿(　　⊃　　⊃　　ﾁﾝ　☆
　　　　　　|＼￣￣￣￣旦￣＼
　　　　　　|　|￣￣￣￣￣￣￣|
　　　　　　＼|　　愛媛みかん　|
　　　　　　　　￣￣￣￣￣￣￣

Youngの不等式の多変数バージョンってあったっけ？

>523 見たことないです。

>522 (8)(9) できた。
正の数 a,b,c が abc=1 をみたすとき、次式が成立。
1 ≧ 1/(2+a) + 1/(2+b) + 1/(2+c) ≧ 1/(1+a+b) + 1/(1+b+c) + 1/(1+c+a)

〔証明〕
a+b+c=x, ab+bc+ca=y, abc=1 を用いると、示すべき不等式は
　1 ≧ (4x+y+12)/(4x+2y+9) ≧ (x^2+4x+y+3)/(x^2+xy+2x+y)
ただし、相加平均・相乗平均の関係から x, y≧3 に注意する。

（左側） 示すべき不等式は y≧3 だから成立。

（右側） x-3=s, y-3=t とおくと s, t≧0。分母を払って差をとると
(4x+y+12)(x^2+xy+2x+y)-(4x+2y+9)(x^2+4x+y+3)
＝ 3x^2y+xy^2+6xy-5x^2-y^2-24x-3y-27
＝ 3s^2t+st^2+30st+4s^2+2t^2+27s+54t
≧ 0
　　　　 |
　＼　　__　　／
　＿　（ｍ）　＿ﾋﾟｺｰﾝ
　　　　|ミ|
　／＿＿＿＼　等号成立条件は、いずれも a=b=c=1 のとき。
　.／　　≧　＼　
　|:::: 　＼ .／　|　簡単でした。
　|::::: (●　(● |　
　ヽ::::... .ワ.....ノ

>497 (1)
　0≦a≦b≦c≦d≦1 は所与とする。
　(1+a)-d, d-c, c-b, b-a の和が1だから
　Max{(1+a)-d, d-c, c-b, b-a} = w ≧1/4.
　そこで xとして 幅wの区間の中点をとると、
　Min{|x-a|,|x-b|,|x-c|,|x-d|} = w/2 ≧ 1/8.
　左辺 < 8+8+8+8 = 32.
ぬるぽ

　　 ＿＿＿　　　>525 ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ！
　.／　　≧　＼　　　　いつもながら素晴らしい！結局こうですね。
　|:::: 　＼ .／　|　　
　|::::: (●　(● |　　　　4 ≦ 1/|x-a| + 1/|x-b| + 1/|x-c| + 1/|x-d| ≦ 32
　ヽ::::... .ワ....ノ 　 　n　　
￣￣　　　＼　 　 （ E）
フ 　　　 /ヽ ヽ_／／

>>525
いや、やっぱり分かりません。
たとえば a = b = c = d = 0 のとき、
　（左辺） < 4/|x| → ∞ (x→0)
だから、いくらでも大きくなるような気がします。

>525 2-3行目は
1-d, d-c, c-b, b-a, a-0 の和が1だから
　Max{1-d, d-c, c-b, b-a, a} = w ≧1/5
とすべきでは？
まだ問題の意味が分かってないけれど…

いや、525でよかった。すみません。

>519 (3〜7)

【問題B】 abc=u≧1 のとき
(3) 3(a^2 -ab+b^2) - (a^2 +ab+b^2) = (a-b)^2 +(b-c)^2 +(c-a)^2 ≧0.
　∴　(a^3 +b^3)/(a^2 +ab+b^2) ≧ (a+b)/3.
　∴　左辺 ≧ 2(a+b+c)/3 ≧2u^(1/3).

(4) 左辺 ={1/(a^3)+1/(b^3)+1/(c^3)} + {a(b^2)/(c^3) +b(c^2)/(a^3) +c(a^2)/(b^3)}
　　≧ 3/u +1 ≧ 6/u ≧ 右辺.

【問題C】ａ^2 +b^2 +c^2 =s のとき
(5)
(i) a,b,c≦1 のとき、
　左辺 = 3-(1-a)-(1-b)-(1-c) ≦ 3-(1-a)-a(1-b)-ab(1-c) = 3 -(1-abc) =右辺.
(ii) a,b≦1<c,s≦2 のとき、x = {1+x^2 - (1-x)^2}/2 より
　左辺 = {3+s-(1-a)^2 -(1-b)^2 -(c-1)^2}/2 = 1 +s/2 +ab -{(a+b-1)^2 +(c-1)^2}/2
= 1 +s/2 +abc -{(a+b-1)^2 +(c-1)^2 +ab(c-1)}/2 ≦ 1 +s/2 +abc ≦ 右辺.

(6) 左辺 ≧ 9/(3+ab+bc+ca) ≧ 9/(3+s) = 右辺.

【問題D】(a+b+c)/(abc)=k のとき
(7) 左辺 ≧ 3{(a+b+c)/3}^2 ≧ √{3(a+b+c)(abc)}=√(3k)･abc
ぬるぽ

>526
　まだまだ改良できると思われ．．．
　1/4≦w≦1/2 のとき: 幅wの区間の反対側の区間幅≦w, 残り2つの幅の合計x+y≧1-2w.
　　左辺 = 2/(w/2) +1/{(w/2)+x} +1/{(w/2)+y}
(i) 1/4≦w≦1/3 のとき x,y≧1-3w
　　左辺 ≦ 2/(w/2) +1/{(w/2)+w} +1/{(w/2)+(1-3w)} = (4 +2/3)/w +2/(2-5w) ≦ 64/3.
(ii) 1/3≦w≦1/2 のとき x,y≧0
　　左辺 ≦ 3/(w/2) +1/{(w/2)+(1-2w)} = 6/w +2/(2-3w) ≦ 18+2 = 20.
(iii) 1/2<w のとき
　　左辺 ≦ 4/(w/2) =8/w ≦ 16.
ぬるぽ

>530
神キタ━（ﾟ∀ﾟ）━！！！

(3) 書き間違いですね。 3(a^2 -ab+b^2) - (a^2 +ab+b^2) = 2(a-b)^2

(5) ですが、元の問題みたら、a,b,c の条件は実数でした。 死んでお詫びを…。

(7) そんな手があるとは…。

むずぽ

>532
(3)は仰せのとおり。　死んでお詫びを．．．(AA略)

(5)の修正でつ
　(i) -1≦a,b,c≦1 のときは変更なし．．．
　(ii) -1≦a,b≦1<c のとき、d≡ a+b-1 = ab-(1-a)(1-b)≦ab より
　　右辺 - 左辺 = {(a+b-1)^2 +(c-1)^2 +ab(c-1)}/2 ≧ {d^2 +(c-1)^2 +(c-1)d}/2 ≧0.
　(iii) c<-1≦a,b≦1 のとき、 左辺 = (a+b+|c|) +2c ≦ 2 +(ab-2)|c| ≦ 2-ab|c| = 右辺.

(7)は 相加・相乗平均 {(a+b+c)/3}^(3/2) ≧ √{abc} を使いますた。 ハｧハｧ
ぬるぽ

(5) またまた修正
　(ii)　右辺 - 左辺 = (1 +s/2 +abc) - (a+b+c) = (1/2)(a+b+c-2)^2 + (1-a)(1-b)(c-1) ≧ 0.
すまそ

>534
>右辺 - 左辺 = (1/2)(a+b+c-2)^2 + (1-a)(1-b)(c-1)

すげー！ こんな変形 気づきません。（；´д｀）ﾊｧﾊｧ

正の数 a, b, c が a^2+b^2+c^2=1 をみたすとき、次式の最小値をキボンヌ。
　(a^5)/(b+c) + (b^5)/(c+a) + (c^5)/(a+b)

巡回的に対称だから、a≧b≧c または a≧c≧b としてよい。
　前者のとき a/(b+c)≧b/(c+a)≧c/(a+b)、
　後者のとき a/(b+c)≧c/(a+b)≧b/(c+a) だから、
チェビシェフの不等式により、どちらも次の同じ不等式を得る。
　与式 ≧ (1/3)(a^4+b^4+c^4){a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)}

3(a^4+b^4+c^4)-(a^2+b^2+c^2) = (a^2-b^2)^2+(b^2-c^2)^2+(c^2-a^2)^2 ≧ 0 より
　a^4+b^4+c^4 ≧ (1/3)(a^2+b^2+c^2)^2 = 1/3

あとは、a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) の最小値が分かれば…。 たのも〜！

　　　　　　　　　　r〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜
　　　＿_　　　　_ﾉ このあと、どうすれば・・・
　 ／__　 ｀ヽ_ ⌒ヽ〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜
　 |〈___ﾉf レ1(
　,L|　しL.し'ﾞ"
　"｀　　"′

自己解決。 Jensenで瞬殺だった。

ついでに条件不等式を投下。 [>>519(1)(2)]もたのも〜。

(1) [1996 Poland]
a, b, c≧-3/4、a+b+c=1 のとき、a/(1+a^2) + b/(1+b^2) + c/(1+c^2) ≦ 9/10

(2) [1998 Poland]
a, b, c, d, e, f>0、a+b+c+d+e+f=1、ace+bdf≧1/108 のとき、abc+bcd+cde+def+efa+fab ≦ 1/36

も一つおまけに絶対不等式を投下。

(3) [1992 Poland]
実数 a, b, c に対して、(a+b-c)^2(b+c-a)^2(c+a-b)^2 ≧ (a^2+b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)(c^2+a^2-b^2)

　　　　　　 　 | |‖│||
　　　　┌―　| |‖│||　―┬────
　　　　｜　 　| |‖│||　　 ｜
　　　　｜　 　　 　 　 　 　 ｜　|￣￣￣ 　　　不等式と聞いちゃあ
　　　　｜　 　/￣￣∨ヽ.　 |　 | 　　　　　　　　　黙っちゃゐられねゑ…
　　　　｜ 　 / 　　　　∨.　 ｜　|＿＿＿
　　　　｜　 /___________ヽ　 ｜ｶﾞｼｬﾝ
　　　　｜　 / | ＼／_|ヽ　 ｜
　　　　｜　 | |　　ﾟ| □|　＼.| 　← 不等式ヲタ
　　　　｜　 | |　　ﾟ|　　|＼__|つ
　　　　｜　 | |　　ﾟ|　　|　　｜

書き忘れ。上の問題はここにありまつ。模範解答はないけど…。（；´д｀）ﾊｧﾊｧ
http://www.mimuw.edu.pl/~chel/Olimp/archive-om.html

>538
(2) [1998 Poland] 49th, 2nd round, 1st day(1998.2.27), No.3a
　a+d>0, b+e>0, c+f>0, a+b+c+d+e+f=s, ace+bdf=u のとき、相加相乗平均より
　左辺 =(a+d)(b+e)(c+f) -(ace+bdf) ≦ {[(a+d)+(b+e)+(c+f)]/3}^3 -(ace+bdf)=(s/3)^3 -u.
　http://www.mimuw.edu.pl/~chel/Olimp/2etang98.html

ついでに >>519
【問題A】 ab+bc+ca=t とおく。
(1) t≧1, a+b+c≧√(3t), abc≦(t/3)^(3/2) を使って
　 左辺 = (a+b+c)-a(ca+ab)-b(ab+bc)-c(bc+ca)+abct = (1-t)(a+b+c) + (3+t)abc
　　≧ (1-t)√(3t) + (3+t)･(t/3)^(3/2) = √(3t)･(1-t/3)^2.
ぬるぽ

>536
　よけいなお世話だが．．．
（解１）　b+c=A, c+a=B, a+b=C とおくと a=(B+C-A)/2, b=(C+A-B)/2, c=(A+B-C)/2.
　∴ a/(b+c) = (B/A + C/A -1)/2.
　循環的に加えて相加･相乗平均を使えば、
　左辺 ≧ (3+3-3)/2 = 3/2.

（解２）通分して　a(c+a)(a+b) +b(a+b)(b+c) +c(b+c)(c+a) - (3/2)(b+c)(c+a)(a+b)
　　= (1/2){(a-b)(a^2 -b^2) +(b-c)(b^2 -c^2) +(c-a)(c^2 -a^2)} ≧0.
ぬるぽ

>541 神キタ━（ﾟ∀ﾟ）━！！！
ありがとうございまする。解法のコレクションが増えました。
今更ながら >537 に書いた方法は…

a+b+c=s とおくと 0<s≦√6。 この範囲で任意に s を固定する。
f(x) = x/(s-x) = s/(s-x)-1 は 0<x<s において下に凸だから、

a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) ＝ f(a)+f(b)+f(c) ≧ 3f((a+b+c)/3) ＝ 3f(s/3) ＝3/2

となって、a=b=c (=1/√3) で最小値をとる。

[>>519(2)] について…。

正の数 a, b, c が ab+bc+ca=1 をみたすとき
a/(1+a^2) + b/(1+b^2) + c/(1+c^2) ≧ 2a(1-a^2)/{(1+a^2)^2} + 2b(1-b^2)/{(1+b^2)^2} + 2c(1-c^2)/{(1+c^2)^2}

条件式から得られるものは、
(a+b+c)^2 ≧ 3(ab+bc+ca) = 3
a^2+b^2+c^2 ≧ ab+bc+ca = 1
1 = {(ab+bc+ca)/3}^(3/2) ≧ abc > 0

右辺の分子を 1-a^2 = (1+a^2)-2a^2 と変形して整理すると、示すべき不等式は
(4a^3)/(1+a^2)^2 + (4b^3)/(1+b^2)^2 + (4c^3)/(1+c^2)^2 ≧ a/(1+a^2) + b/(1+b^2) + c/(1+c^2) … (A)

右辺の分子を 1-a^2 = 2-(1+a^2) と変形して整理すると、示すべき不等式は
3a/(1+a^2) + 3b/(1+b^2) + 3c/(1+c^2) ≧ 4a/(1+a^2)^2 + 4b/(1+b^2)^2 + 4c/(1+c^2)^2 … (B)

(A), (B) のどちらか一方が示せればいいんだけど…。 むずぽ。

a=cot(A),b=cot(B),c=cot(C)を満たす鋭角三角形ABCを考えたら？

(A) の左辺にチェビシェフの不等式を用いると、
（Aの左辺）
＝ {(4a^2)/(1+a^2)}*{a/(1+a^2)} + {(4b^2)/(1+b^2)}*{b/(1+b^2)} + {(4c^2)/(1+c^2)}*{c/(1+c^2)}
≧ (1/3)*{(4a^2)/(1+a^2) + (4b^2)/(1+b^2) + (4c^2)/(1+c^2)}*{a/(1+a^2) + b/(1+b^2) + c/(1+c^2)}
となるから、次が示されれば…。
(1/3)*{(4a^2)/(1+a^2) + (4b^2)/(1+b^2) + (4c^2)/(1+c^2)} ≧ 1

(A) の左辺に、上とは別の方法でチェビシェフの不等式などを用いると、
（Aの左辺）
＝ 4a*{a/(1+a^2)}^2 + 4b{b/(1+b^2)}^2 + 4c*{c/(1+c^2)}^2
≧ (1/3)*(4a+4b+4c)*[{a/(1+a^2)}^2 + {b/(1+b^2)}^2 + {c/(1+c^2)}^2]
≧ (1/3)*(4a+4b+4c)*(1/3)*{a/(1+a^2) + b/(1+b^2)+ c/(1+c^2)]^2
≧ (4\sqrt{3}/9)*{a/(1+a^2) + b/(1+b^2)+ c/(1+c^2)]^2
となるから、次が示されれば…。
(4\sqrt{3}/9)*{a/(1+a^2) + b/(1+b^2)+ c/(1+c^2)] ≧ 1

どっちも むずぽ｡

>>544
下書きしているうちに レスが…。
ありがとうございます、考えてみまする。

>540
> 左辺 =(a+d)(b+e)(c+f) -(ace+bdf)

この変形に勃起しました。 （；´д｀）ﾊｧﾊｧ

>538
　(1) [1996 Poland] 47th, 2nd round, 1st day(1996.2.23), No.3
　曲線 y=x/(1+x^2) 上の点（1/3, 3/10）で接線を引く： y= (9/50)(1/3 +4x).
　x≧-3/4　⇒　x/(1+x^2) = (9/50)(1/3 +4x) - (18/25)(x+3/4)(x-1/3)^2 ≦ (9/50)(1/3 +4x).
　x=a,b,c について加えれば、 左辺 ≦ (9/50){1+4(a+b+c)}.
　http://www.mimuw.edu.pl/~chel/Olimp/2etang96.html
ぬるぽ

>519 (1) 下の方の不等号が逆向き、すまそ。

このスレ、まるで初等幾何のスレだな。
違うのは図が無いところだけ。

>>549
それは簡単に言うと馬鹿にしているのですか？

不等式を制する者は、解析を制する。
不等式は下からの評価が結構難しい。

マニアックな不等式をいくら積み重ねてもしようが無いわね。

L^2 とか、uniform space の不等式を積み重ねなさいよ。

　 　 　 　　　　　　　Ｌ -‐ '´ ￣ ｀ヽ- ､　　　〉
　　　　　　　　　　／ 　 　 　　　　　　ヽ＼ /
　　　　　　　　／/ 　/ 　/ 　 　 　ヽヽ　ヽ〈
　 　　　　　　ヽ､レ! {　 ﾑ-t ﾊ　li ､ i　i　　}ﾄ､
　　　　　　　　　ﾊＮ |　lヽ八l ヽｊﾊVヽ､ｉ j/ l　!
　 　　　　　　　/ﾊ. ｌ ヽｋ=＝　,　r= ､ﾉﾙｌ　lＬ」
　　　　　　　　ヽN､ﾊ ｌ　 　┌‐┐ 　 ﾞl ﾉl　l
　 　　　　　　　　　ヽﾄjヽ､　ヽ_ノ 　 ノ//ﾚ′
　　　　r７７７７７７７７７tﾉ｀ ｰ　r ´ﾌ/′
　　　ｊ´ﾆゝ　　　 　　　　ｌ|ヽ 　_/｀＼
　 　〈　‐　書き込み　ｌﾄ、　/ 　 〃ゝ、
　 　〈､ﾈ.. 　　　　　　 　.ｌＦ Ｖ=＝"／ ｲl.
　　　ト |　 と思ったら　 ニヽ二／　　ｌ
　　　ヽ.|l.　　　　　　　　〈ｰ- 　 !　｀ヽ. 　
　 　 　 |l 荒らしでした ｌﾄﾆ､_ﾉ 　 　ヾ、
　 　 　 |l_＿_＿_＿_＿__ｌ| 　　＼ 　　　ソ

>>554
それもｋｉｎｇ信者による荒らし。
working woman をＮＧﾜｰﾄﾞしる！

解けない人の妬みにしか聞こえんな。

>>519 (2)
　[544]の続き。 a=cot(A), b=cot(B), c=cot(C), 0<A,B,C<π/2.
　A+B+C=π より
　左辺 = (1/2){sin(2A)+sin(2B)+sin(2C)} = 2sin(A)sin(B)sin(C).
　右辺 = (1/2){sin(4A)+sin(4B)+sin(2C)} = 2sin(2A)sin(2B)sin(2C).
　右辺／左辺 = 8cos(A)cos(B)cos(C)
　f(x)=cos(x) は [0,π/2) で正で上に凸なので、log|cos(x)| も上に凸（∵補題）
　∴ 8cos(A)cos(B)cos(C) < 8{cos[(A+B+C)/3]}^3 = {2cos(π/3)}^3 = 1.

　【補題】f(x)≧0 が上に凸ならば log|f(x)| も上に凸。
　（略証）{log|f(X)|} " = (f '/f) ' = {(ff " -(f ')^2}/(f^2) <0

[519] の解答のレス番（主なもの）
　(1) 540　(2) 544+556　(3)〜(7) 530　(8),(9) 524
ぬるぽ

[557]の後半を修正
　右辺／左辺 = 8cos(A)cos(B)cos(C) ≦ {2[cos(A)+cos(B)+cos(C)]/3}^3
　y=cos(x) は [0,π/2) で上に凸なので、
　2[cos(A)+cos(B)+cos(C)]/3 ≦ 2cos[(A+B+C)/3] = 2cos(π/3) = 1.
すまそ

>519 (2) について
うひょっ。�dクスです。自分なりに解決しました。またもや Jensen を使いました。

正の数 a, b, c が ab+bc+ca=1 をみたすとき
　a/(1+a^2) + b/(1+b^2) + c/(1+c^2) ≧ 2a(1-a^2)/{(1+a^2)^2} + 2b(1-b^2)/{(1+b^2)^2} + 2c(1-c^2)/{(1+c^2)^2}

>543(A) に書いたように同値変形して
　(4a^3)/(1+a^2)^2 + (4b^3)/(1+b^2)^2 + (4c^3)/(1+c^2)^2 ≧ a/(1+a^2) + b/(1+b^2) + c/(1+c^2)

>545前半に書いたように、左辺にチェビシェフの不等式を用いて
　（Aの左辺） ≧ (1/3)*{(4a^2)/(1+a^2) + (4b^2)/(1+b^2) + (4c^2)/(1+c^2)}*{a/(1+a^2) + b/(1+b^2) + c/(1+c^2)}

したがって、次式を示せばよい。
　(1/3)*{(4a^2)/(1+a^2) + (4b^2)/(1+b^2) + (4c^2)/(1+c^2)} ≧ 1

同値変形して、結局 ab+bc+ca=1 をみたす正の数 a, b, c に対して、次を示せばよい。
　1/(1+a^2) + 1/(1+b^2) + 1/(1+c^2) ≦ 9/4

f(x) = 1/(1+x) は x>0 において、下に凸な減少関数であることと、(a^2+b^2+c^2)/3 ≧ (ab+bc+ca)/3 =1/3 だから、
　f(a^2)+f(b^2)+f(c^2) ≦ 3f((a^2+b^2+c^2)/3) ≦ 3f(1/3) ＝ 9/4
　　 ＿＿＿
　.／　　≧　＼
　|:::: 　＼ .／　|
　|::::: (●　(● |　ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ！Jensen
　ヽ::::... .ワ....ノ 　 　n　　
￣￣　　　＼　 　 （ E）
フ 　　　 /ヽ ヽ_／／

>557-558 激乙。いつもありがとうございまする。
残るは >>538(3) ですね。またネタを探してきます。

後で見るときに分かりやすいだろうから、一気に出しておきます。
とりあえず分類したものから、ボコッと投下。

発掘元は、>>539 や以下のサイトなど。（解答のないものばかり）
http://www.math.nwu.edu/~mlerma/problem_solving/

　　　　　�凵@　　　　○　　　∇　、＿＿＿,､´｀ﾞ；~､　　';冫　☆
　　　　　　　　　　　┏　 ━ゝヽ''／　　≧　＼━〆Ａ!ﾟ━━┓。
　╋┓"〓┃　 ＜　ゝ＼',冫｡'　|:::: 　＼ .／　|゛△│´'´,.ゝ'┃.　　　　　 ●┃ ┃┃
　┃┃_.━┛ヤ━━━━━━|::::: (●　(● |━━━━━━━━━　　━┛ ・　・
　　　　　　　　∇ 　┠─Σ-　　ヽ::::... .ワ.....ノ　　冫　そ',´; ┨'ﾟ,。
　　 　 　 　 　 .。冫▽　＜　　 ⊂ 　 　　./⊃　　　　 乙　　≧　　　▽
　　　　　　　　　。　┃　　 Σ　　 （⌒ゞ　,l,　､'' 　│ 　 て　く
　　　　　　　　　　　┠─ム┼ 　　ゝ,,ﾉ　ﾉゝ.　､,,　.┼ ｧ　Ζ┨　ミｏ''｀
　　　　　　　　　。､ﾟ`。､　　　i／　　　レ' o。了　､''　×　 个ｏ
　　　　　　　　○　 ┃ 　　`､,~´＋√ ▽　 　',!ヽ.◇　 　　ｏ┃
　　　　　　　　　 　 ┗〆━┷　Ｚ,.'　/┷━''ｏ ヾｏ┷+＼━┛,゛；
　　　　　　 ヾ　　　�凵@　　　　　　　　　　　　　　'、´　　　　∇

再掲 >>538(3) [1992 Poland]
実数 a, b, c に対して、(a+b-c)^2(b+c-a)^2(c+a-b)^2 ≧ (a^2+b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)(c^2+a^2-b^2)


(1) 複素数 a, b, c に対して、|\sqrt(a^2+b^2+c^2)| ≦ max(|a|+|b|, |b|+|c|, |c|+|a|)

(2) [1999 Poland] 実数 a, b, c, d に対して、(a+b+c+d)^2 ≦ 3(a^2+b^2+c^2+d^2)+6ab

(3) 正の数 a, b, c に対して、(a^2b+b^2c+c^2a)(ab^2+bc^2+ca^2) ≧ 9(abc)^2

(4) 正の数 a, b, c, d に対して、ab^4+bc^4+cd^4+da^4 ≧ abcd(a+b+c+d)

(5) [2003 Poland] 正の数 a, b, c, d に対して、(a+b+c+d)^3 ≦ 4(a^3+b^3+c^3+d^3)+24(abc+bcd+cda+dab)

(6) [2002 Poland] 正の数 a_k, b_k に対し、Π[k=1 to n]a_k + Π[k=1 to n]b_k ≦ Σ[k=1 to n]√{(a_k)^2+(b_k)^2}

(7) [1999 Poland] 整数 a_k, b_k に対して、 Σ[i<j](|a_i-a_j|+|b_i-b_j|) ≦ Σ[i<j]|a_i-b_j|

(1) [2000 Poland] 正の数 a, b, c が a+b+c=1 をみたすとき、a^2+b^2+c^2+2√(3abc) ≦ 1

(2) [1996 Poland] a, b, c ≧ 0 と 1/2 ≧ p, q, r ≧ 0 が、a+b+c = p+q+r = 1 をみたすとき、pa+qb+rc ≧ 8abc

(3) [1999 Turkey] a≧b≧c≧0 に対して、(a+2c)(c+3b)(b+4a) ≧ 60abc

(4) [1991 Vietnum] a≧b≧c>0 に対して、b^2c/a + c^2a/b + a^2b/c ≧ a^2+b^2+c^2

(5) [1993 Itary] 0≦a, b, c≦1 に対して、a^2+b^2+c^2 ≦ a^2b+b^2c+c^2a+1

　　類題に [1994 Rumania] 0≦a, b, c≦1 に対して、a+b+c ≦ ab+bc+ca+1 がありました。

(6) 0 < a, b, c < 1/2 に対して、(1/a -1)(1/b -1)(1/c -1) ≧ {3/(a+b+c) -1}^3

(7) 自然数 m, n と実数 0≦x≦1 に対して、(1-x^n)^m+{1-(1-x)^m}^n ≧1

(1) 正の数 a, b, c に対して、(a^3+b^3+c^3)/(a+b)(b+c)(c+a) の最小値。

(2) 実数 a, b, c が a^2+b^2+c^2≠0 をみたすとき、 abc(a+b+c)/{(2a^2+b^2)(b^2+2c^2)} の最大値。

(3) a^2+b^2+c^2=1 をみたす実数 a, b, c と、非負実数 p, q, rに対して、次式の最大値と最小値。
　\sqrt{(pa)^2+(qb)^2+(rc)^2} + \sqrt{(pb)^2+(qc)^2+(ra)^2} + \sqrt{(pc)^2+(qa)^2+(rb)^2}

(4) 異なる実数 a, b, c が bc+ca ≧ 1+ab+c^2 をみたすとき、次式の最大値。ただし n は自然数。
　{(a-b)^(2n+1)+(b-c)^(2n+1)+(c-a)^(2n+1)}/{(a-b)(b-c)(c-a)}

(5)-(i) 非負実数 a, b, c が a+b+c=1 をみたすとき、(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2) の最小値。
(5)-(ii) 非負実数 a, b, c が a+b+c=1 をみたすとき、(1+√a)(1+√b)(1+√c) の最小値。

(6) 非負実数 a, b, c と自然数 n に対して、常に次式が成り立つような定数 k の最小値。
　k(a^3+b^3+c^3)+(9-3k)abc ≧ (a+b+c)(a^2+b^2+c^2)

(1) [1963 Eotvos] 0<x<π/2 のとき、(1/(sin x)+1)(1/(cos x)+1) > 5

(2) [1978 Austria] tan k (k = 1度, …, 44度)の相加平均をA、相乗平均をGとおくとき、A > (√2)-1 > G

(3) [1959 IMO shortlist] 0≦x≦π/2、π/6<y<π/3 のとき、
tan{(π sin x)/(4 sin y)} + tan{(π cos x)/(4 cos y)} > 1

(4) 0<x<π に対して、{sin(x)/x}^3 < {(π^2-x^2)/(π^2+x^2)}^2　 [類 ： 不等式への招待 P.39 ]

(5) 0<x<1 に対して、(1-x^2){1+(x-x^2)^3}/(1+x^2) < (sin πx)/(πx)

(6) [1994 Poland] △ABCに対して、1/a + 1/b + 1/c ≦ 1/(a+b-c) + 1/(b+c-a) + 1/(c+a-b)

(7) △ABCに対して、{(b+c)cosA}/a + {(c+a)cosB}/b + {(a+b)cosC}/C ≧ 9(a+b+c)

(8) 鋭角三角形ABCに対して、内接円の半径を r とするとき、
a^2(cos A/2)/\sqrt(b^2+c^2) + b^2(cos B/2)/\sqrt(c^2+a^2) + c^2(cos C/2)/\sqrt(a^2+b^2) ≧ (9r√2)/2

>557
A+B+C=π、 0 < A, B, C < π/2 において、cosAcosBcosC ≦ 1/8 の別証明。

cosA、cosB、cosC > 0 だから、相加平均・相乗平均の関係を用いた後、
y=cos x は 0 < A, B, C < π/2 において上に凸だから、Jensenの不等式を用いる。

cosA cosB cosC ≦ [(cosA+cosB+cosC)/3]^3 ≦[cos{(A+B+C)/3}]^3 = (cos π/3)^3 = 1/8

くだらねゑ問題が混ざってゐた。スマソ。

>>562(3)
（解１） 左辺の２つの括弧にそれぞれ相加相乗不等式で瞬殺。等号成立条件は a=b=c=1。
（解２） Schwarzの不等式を使ってから、相加相乗不等式で瞬殺。

【問題】 正の数 a_1, …, a_n の総和を s とするとき、 Σ[k=1 to n]\sqrt{(s-a_k)/a_k} ≧ n\sqrt(n-1)

コーシー・シュワルツの不等式から、
　Σ[k=1 to n]\sqrt(a_k) ≦ \sqrt(ns)
　Σ[k=1 to n]\sqrt(s-a_k) ≦ \sqrt{n(n-1)s}
相加平均・調和平均の関係から、
　Σ[k=1 to n]1/\sqrt(a_k) ≧ (n^2)/Σ[k=1 to n]\sqrt(a_k)

ここで行き詰まってます。たのも〜（AA略）

ついでに、分子と分母を逆にした式は、チェビシェフの不等式を使って、
　Σ[k=1 to n]\sqrt{a_k/(s-a_k)} ≧ (Σ[k=1 to n]\sqrt(a_k))/\sqrt{n^3(n-1)s}
で合ってますか？

発掘元：S73
http://www.math.nwu.edu/~mlerma/problem_solving/problems/math_hor-10-3-feb03.pdf

>ついでに、分子と分母を逆にした式は、チェビシェフの不等式を使って、
>　Σ[k=1 to n]\sqrt{a_k/(s-a_k)} ≧ (Σ[k=1 to n]\sqrt(a_k))/\sqrt{n^3(n-1)s}
>で合ってますか？

チェビシェフの不等式のあと、相加平均・調和平均の関係を使って
　Σ[k=1 to n]\sqrt{a_k/(s-a_k)} ≧ \sqr[n/{s(n-1)}]*Σ[k=1 to n]\sqrt(a_k)
これ以上は綺麗にならないでしょうか？

>559
　結局、 ab+bc+ca=1 をみたす正の数 a,b,c に対して、次を示せばよい。
　　 1/(1+a^2) + 1/(1+b^2) + 1/(1+c^2) ≦ 9/4.

> f(x) = 1/(1+x) は x>0 において、下に凸な減少関数であることと、･････から、
>　f(a^2)+f(b^2)+f(c^2) ≦ 3f((a^2+b^2+c^2)/3) ≦ ････

ちょっと変な希ガス。そこで迂回路↓

　基本対称式を a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおく。
　a^2 +b^2 +c^2 = s^2 -2t, (ab)^2 +(bc)^2 +(ca)^2 = t^2 -2su.
　∴ 9/4 -1/(1+a^2) -1/(1+b^2) -1/(1+c^2)
　= {(9/4)[1+(s^2 -2t)+(t^2 -2su)+u^2]-[3+2(s^2 -2t)+(t^2 -2su)]}/{(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)}
　= {-3+(s^2-2t)+5(t^2 -2su)+9u^2}/{4(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)}
　= {(-3-2t+5t^2)+(s-u)(s-9u)}/{4(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)}.
　ここで t=1, st-9u≧0 だから 左辺≧0.
ぬるぽ

>545,559
　蛇足だけれど、
　チェビシェフの不等式を使うところ：
　(x^2)/(1+x^2) の大小と x/(1+x^2) の大小が一致することを示してほすぃ。
　（前者は単調増加、後者はx=1で極大だが．．．）
ぬるぽ

>570 ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ！
気づきませんでした。Jensenの不等式を使ったところが逆でした。
　f(a^2)+f(b^2)+f(c^2) ≧ 3f((a^2+b^2+c^2)/3)
ありがとうございます。

>571 ﾊｯ！
しまった。後者は単調増加じゃないですね。
あちこちダメポ…。

>545,559 のチェビシェフを使うための大小が一致することの確認。
x≧y>0のとき、
(x^2)/(1+x^2) - (y^2)/(1+y^2) = (x^2-y^2)/{(1+x^2)(1+y^2)} ≧ 0

x/(1+x^2) - y/(1+y^2) = (x-y)(1-xy)/{(1+x^2)(1+y^2)} …[1]

[1] は xy ≦1 のときに ０以上になるが、
a. b. c は正の数であることと、条件式 ab+bc+ca=1 より、
ab も bc も ca も１より小さい正の数であるので、[1]>0であることが分かる。



>571 いつもながら、ありがとうございます。

>574の最後の行の訂正。
> …[1]≧0であることが分かる。

>563(1)
a+b+c=s、ab+bc+ca=t、abc=u とおくと、示すべき不等式は (s^2-2t)+2√(3u) ≦ 1
s=1 を代入して整理すると、√(3u) ≦ t
両辺ともに正だから、２乗の差を比較して
　t^2-3u = t^2-3su = (ab-bc)^2+(bc-ca)^2+(ca-ab)^2 ≧ 0
等号成立条件は、a=b=c=1/3。

左辺しか与えられてなかったら、どうやって最大が１を示すのだろう…。

>563(3) が解けそうで解けない。
いろんな単語でWeb上を探したら、時間が掛かったけど見つけた。
http://www.google.com/search?hl=en&lr=&c2coff=1&q=60abc+1998

このサイト内で略解を見つけたけど、ハンガリー語（？）で解読不能。
http://matek.fazekas.hu/portal/feladatbank/gyujtemenyek/Nem/AM17.htm

数式だけ追ってみると、次のようになっていた。

【問題】 0≦a≦b≦c に対し、(a+3b)(b+4c)(c+2a) ≧60abc

(a+3b)(b+4c)(c+2a)
≧ 2(a+b)*(5/2)(b+c)*(3/2)(c+a)
＝ (15/2)(a+b)(b+c)(c+a)
≧ (15/2)*2√(ab)*2√(bc)*2√(ca)
＝ 60abc
　　　 ＿＿＿
　　.／　 nCr ＼　　最初の不等号の評価が謎。
　　|:::: 　＼ .／　|　　　たのも〜
　　|::::: (●　(● |
　　ヽ::::... .∀....ノ ／　　ﾁﾝ　☆
　＿(　　⊃　　⊃　　ﾁﾝ　☆
　|＼￣￣￣￣旦￣＼
　|　|￣￣￣￣￣￣￣|
　＼|　　愛媛みかん　|
　　 ￣￣￣￣￣￣￣

　（ａ＋３ｂ）（ｂ＋４ｃ）（ｃ＋２ａ）
≧（４（ａｂ＾３）＾（１／４））（５（ｂｃ＾４）＾（１／５））（３（ｃａ＾２）＾（１／３））
＝６０（ａ＾５５・ｂ＾５７・ｃ＾６８）＾（１／６０）
≧６０（ａ＾６０・ｂ＾６０・ｃ＾６０）＾（１／６０）
＝６０ａｂｃ。

>578
キタ━(ﾟ∀ﾟ)━！！！
ソレダッ！！
ありがとうございます！

>>558,566 の別証明。

【補題】A+B+C=π, 0<A,B,C<π のとき、
　cos(A)cos(B)cos(C) ≦ [1-cos(A)][1-cos(B)][1-cos(C)] ≦ 1/8.

（略証）　1-cos(x) = 2{sin(x/2)}^2 に注意.
　（右側）：　sin(x) は(0,π)で上に凸だから、
　　sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2) ≦ {(1/3)[sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2)]}^3 ≦ {sin[(A+B+C)/3]}^3
　　= {sin(π/3)}^3 = (1/2)^3 = 1/8.
　　これを2乗して8倍する。
　（左側）： 左辺 = cos(A)cos(B)cos(C) = -cos(A)cos(B)cos(A+B) = {sin(A)sin(B)-cos(C)}cos(C).
　　中辺 - 左辺 = [1-cos(A)][1-cos(B)] - {[1-cos(A)][1-cos(B)]+sin(A)sin(B)}･cos(C) + [cos(C)]^2
　　= [1-cos(A)][1-cos(B)] - 2√{[1-cos(A)][1-cos(B)]}･cos[(A-B)/2]･cos(C) + [cos(C)]^2
　　= X^2 -2XY･cos(θ) +Y^2 = |X-Y|^2 + 2XY[1-cos(θ)] ≧ 0.
　　（鈍角三角形のときは 左辺<0 より自明．．．．）
ぬるぽ

>>580
その補題を使って>>538(3)が出来るはず。

>538
　(3) [1992 Poland] 44th, 1st round, (1992.Sept-Dec.), No.9
　右辺の3つの因子のうちの2つの和は ≧0 だから、負の因子はあっても１つだけ。
　(i) 負の因子があるとき、0>右辺 より明らか。
　(ii)3つとも ≧0 のとき。
　　　文字a,b,cの符号を変えても右辺は変わらない。また左辺は
　　　(a+b+c)^2, (-a+b+c)^2, (a-b+c)^2, (a+b-c)^2 の中の3つの積になる。
　　　これが最も小さくなるのは、 最大の因子 (|a|+|b|+|c|)^2 を欠く場合、すなわち同符号の場合。
　　　∴ a,b,c >0 場合を考えれば十分。このとき、a,b,cを3辺とする鋭角三角形が存在する。
　　　(a+b-c)(b+c-a) = b^2 -(c-a)^2 = 2ca[1-cos(B)] などにより、
　　　左辺 = {8(abc)^2}[1-cos(A)][1-cos(B)][1-cos(C)].
　　　右辺 = {8(abc)^2}cos(A)cos(B)cos(C).
[580]の補題（左）により、左辺＞右辺.
　http://www.mimuw.edu.pl/~chel/Olimp/1etang93.html

[538]の解答のレス番（主なもの）
　(1) 548　(2) 540　(3) 581
ぬるぽ

[580] の途中に写しまちがい
　（右側）： ･･････ ≦ {sin[(A+B+C)/6]}^3 = {sin(π/6)}^3 = (1/2)^3 = 1/8.
　　死んでお詫びを．．．（AA省略）

>580-583 ｷﾀｷﾀｷﾀｷﾀ━━━(ﾟ∀ﾟ≡(ﾟ∀ﾟ≡ﾟ∀ﾟ)≡ﾟ∀ﾟ)━━━━!!!!!!!!!!

>>580
中辺 - 左辺
= [1-cos(A)][1-cos(B)] - {[1-cos(A)][1-cos(B)]+sin(A)sin(B)}･cos(C) + [cos(C)]^2
= [1-cos(A)][1-cos(B)] - 2√{[1-cos(A)][1-cos(B)]}･cos[(A-B)/2]･cos(C) + [cos(C)]^2

のところですが、第２項の

{[1-cos(A)][1-cos(B)]+sin(A)sin(B)} = 2√{[1-cos(A)][1-cos(B)]}･cos[(A-B)/2]

は、どうやって変形したのですか？

>585
　1-cos(x) = 2{sin(x/2)}^2 に注意して
　[1-cos(A)][1-cos(B)] = {2sin(A/2)sin(B/2)}^2.
　sin(A)sin(B) = {2sin(A/2)sin(B/2)}・{2cos(A/2)cos(B/2)}.
　辺々加えて、cos()の加法定理を使いまする。
ぬるぽ

なるほど、分かりました。
sinAsinBsinC ≦ (3√3)/8 に (1-sinA)(1-sinB)(1-sinC) を挟んでみたけど
力不足で証明できませんでした。成り立つのかさえ分かりませんが…。

>581 関係があるとは気づかなかったです。

>562
　(6) 任意の正の数 a_k, b_k に対し、Π[k=1〜n]a_k + Π[k=1〜n]b_k ≦ Π[k=1〜n]√{(a_k)^2+(b_k)^2}
　　を満足するような正整数ｎをすべてキボンヌ.

　　ぢゃない？
　http://www.mimuw.edu.pl/~chel/Olimp/2etang02.html

>>588Σ('д'*;)!!






|　　／／　／
|／／　／┃
　／￣'''　┃　 ﾌﾟﾗｰﾝ
　|　　　(-＿-)
　|　　　 U　U
　|　　　　UU
　|　　　　　　　（○）
　|　　　　　　　ヽ|〃
￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣

>588
　n=2 はコーシー、n>2は帰納法で。n=1はだめぽ.

>587
　むりぽ.

実数 x, y に対して、xy/\sqrt{(x^2+y^2)(3x^2+y^2)} の最大値を求めよ。

>562-565 が難しいので、息抜きに簡単なのをやってみたら、できなかった…。
おねがいします。むずぽ。

問題A15.3
http://matek.fazekas.hu/portal/feladatbank/gyujtemenyek/Nem/A15.htm
解答
http://matek.fazekas.hu/portal/feladatbank/gyujtemenyek/Nem/AM15.htm

>>568
相加･相乗平均だけでよい。 a_1, a_2,･････,a_n の積を u とおくと、
　s - a_k =Σ[i≠k] a_i ≧ (n-1)･(u/a_k)^[1/(n-1)].
　∴ 左辺 ≧ sqrt(n-1)･Σ[k=1〜n] {(u/a_k)^[1/2(n-1)]}/sqrt(a_k)≧ n･sqrt(n-1).
ぬるぽ

>591 x^2 =a, y^2 =b とおくと、
　(x^2 +y^2)(3x^2 +y^2) = (a+b)(3a+b) = (a√3 -b)^2 +(4+2√3)ab ≧ [(1+√3)xy]^2.
　∴ 与式 ≦ 1/(1+√3) = 1/k.

　【問題15.5】 [2002 Irish] Test 1
　0<a,b,c<1 のとき a/(1-a) + b/(1-b) + c/(1-c) ≧ s/(1-s/3) ≧ 3u/(1-u).
　ただし s=a+b+c, u=(abc)^(1/3).　

>592
ありがとうございます。 最後の部分が分かりません。
　Σ[k=1〜n] {(u/a_k)^[1/2(n-1)]}/sqrt(a_k) ≧ n
書き換えると、Σ[k=1〜n] (u/{(a_k)^n})^[1/2(n-1)] ≧ n ですけど
なんでそうなるのかが分かりません。

>593
なるほど！ そういうことだったのか。
ありがとうございます。


（問題15.5の証明）
下に凸な増加関数 f(x)=1/(1-x) に、Jensen と相加相乗平均を用いる。
等号成立条件は、a=b=c。
　f(a)+f(b)+f(c) ≧ 3f( (a+b+c)/3 ) ≧ 3f( \sqrt[3]{abc} )

【問題】 正の数 a, b, c が a<b+c をみたすとき、a/(1+a) < b/(1+b) + c/(1+c)

x>0 において f(x)=x/(1+x) は増加関数だから、a<b+c より f(a) < f(b+c)
f(b)+f(c)-f(b+c) = bc(2+b+c)/(1+b)(1+c)(1+b+c) > 0
よって、f(a) < f(b+c) < f(b)+f(c)


第3回シュプリンガー数学コンテスト問題A(a)
http://www.springer-tokyo.co.jp/contest/contest3.pdf
(b)なんてただの飾りです…（以下略）

>594
　相加･相乗平均により
Σ[k=1〜n] (u/{(a_k)^n})^c ≧ n・Π[k=1〜n] [u^(1/n)/a_k])^(nc) = n・{1}^(nc) = n

なるほど、相加相乗を２回使ったのですか。

>595 (問題15.5)
　なるほど！ そういうことだったのか。
　ありがとうございます。

　なお、両端だけなら相加相乗３回で出まつ。 ぬるぽ

[599]の補足 > 593
>　なお、相加相乗３回で出まつ。
1/(1-a) +1/(1-b) +1/(1-c) ≧ 3/[(1-a)(1-b)(1-c)]^(1/3) ≧ 3/(1- s/3) ≧ 3/(1-u).
　の各辺から３を引く。 ぬるぽ

【問題15.1】
　a,b,c≧0 のとき、 7(ab+bc+ac)(a+b+c) ≦ 2(a+b+c)^3 +9abc.
　よろしくおながいします。

>601
a+b+c=s のとき、a/s, b/s, c/s を改めて a, b, c とおけば、同じ不等式をみたす。
したがって、a+b+c=1としてよく、【問題15.1】 は次の問題に同値になる。

[1999.3 BMO]
a, b, c≧0、a+b+c=1 のとき、ab+bc+ca-9abc/7 ≦ 2/7
http://www.kalva.demon.co.uk/bmo/bmo99.html

最小値も追加した次の不等式を示す。


【問題】 a,b,c≧0, a+b+c=1 のとき、0 ≦ ab+bc+ca-9abc/7 ≦ 2/7

（左側の証明）
対称式なので a≧b≧c≧0 としてよい。
1 = a+b+c ≧ 3c より、1/3 ≧ c ≧ 0 だから
ab+bc+ca-9abc/7 = (a+b)c + ab(1- 9c/7) ≧ 0
等号成立条件は、対称性を取っ払って a, b, c のうちの少なくとも2個が0のとき

（右側の証明）
(i) 9/7 ≦ a ≦ 1 のとき、1 ≦ 9a/7 より、bc ≦ 9abc/7.
また b+c = 1-a ≦ 2/9 より、ab+ca = a(b+c) ≦ 2a/9 <2/7 だから、不等式は成り立つ。

(ii) 0 ≦ a ≦ 9/7 のとき、(b+c)^2-4bc = (b-c)^2 ≧ 0 より、
bc ≦ (1/4)(b+c)^2 =(1/4)(1-a)^2 だから、以下のように示される。等号は a=b=c=1/3.

ab+bc+ca-(2+9abc)/7
＝ a(b+c)+bc(1- 9a/7)-2/7
≦ a(1-a)+(1/4)(1- 9a/7)(1-a)^2 -2/7
＝ -(1/28)(a+1)(3a-1)^2
≦ 0

[1984.A1 IMO]
a, b, c≧0、a+b+c=1 のとき、0 ≦ ab+bc+ca-2abc ≦ 7/27
http://www.kalva.demon.co.uk/imo/imo84.html

[1993.26 IMO shortlist]
a, b, c, d≧0、a+b+c+d=1 のとき、abc+bcd+cda+dab ≦ (1+176abcd)/27
http://www.kalva.demon.co.uk/short/sh93.html

[1999 CMO]
a, b, c≧0、a+b+c=1 のとき、a^2b+b^2c+c^2a ≦ 4/27
http://www.kalva.demon.co.uk/canada/can99.html

[2000.33 MOCP]
三角形の3辺 a, b, c が a+b+c=2 のとき、2 > a^2+b^2+c^2+2abc ≧ 52/27
http://www.cms.math.ca/Competitions/MOCP/2000/prob_sep.pdf

[1989.10 ソ連]
三角形の3辺 a, b, c が a+b+c=1 のとき、1/2 > a^2+b^2+c^2+2abc
http://www.kalva.demon.co.uk/soviet/sov89.html

[2003.B1 アイルランド]
三角形の3辺 a, b, c が a+b+c=2 のとき、1 < ab+bc+ca-abc ≧ 28/27
http://www.kalva.demon.co.uk/irish/irish03.html

　　　　　　　　　　＿＿＿
　　　　|┃三　.／　　≧　＼　　　>601 呼んだ？
　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／　|　私のコレクションは
　　　　|┃　≡|::::: (●　(● |　　　半端じゃありませんよ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ　 　　　　ﾊｧﾊｧ…
　　　　|┃=＿＿　　　 ＼　　　 　　
　　　　|┃　≡　）　　人　＼ ガラッ

さぁ、遠慮なく (;´д｀)ﾊｧﾊｧ してください。

>600
なるほど。


>>565(6) [1994 Poland] について…
△ABCに対して、1/(a+b-c) + 1/(b+c-a) + 1/(c+a-b) ≧ 1/a + 1/b + 1/c ≧ 9/(a+b+c)

両端だけなら、相加平均・調和平均の関係で出るんだけどなぁ…

>601
直接に差をとって証明しようとすると、a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u として

2(a+b+c)^3 +9abc-7(ab+bc+ac)(a+b+c) = 2s^3-7st+9u = 2s(s^2-3t)-(st-9u)

となって、だめぽ。いい方法ないですか？

>>605
1/xの凸不等式で右側も左側もすぐに証明できるんじゃないの？

>605,607
　なるほど！ そういうことだったのか。
　ありがとうございます。
　「相加平均･調和平均の関係で」「右側も左側もすぐに証明できるんじゃないの？」
　（左側）　 [1/(a+b-c) +1/(b+c-a)]/2 ≧ 1/b を循環的に加える。

>606
　2(a+b+c)^3 +9abc -7(ab+bc+ac)(a+b+c) = (a-b)(a^2 -b^2) +(b-c)(b^2 -c^2) +(c-a)(c^2 -a^2).
ぬるぽ

>606
　s(s^2-3t) -(st-9u) ≧0 も成り立つらしいYo.

>607-609
キタ━(ﾟ∀ﾟ)━!!!
なるほど！ ベリィ�dクスです。

>609
b が a, c の中間にあるとすると、(a-b)(b-c)≧0, a-b+c≧0 ゆえ,
　s^3 -4st +9u = a(a-b)^2 +c(b-c)^2 +(a-b)(b-c)(a-b+c) ≧0 ･････(1)
これと
s^2 -3t = (1/2)[　 (a-b)^2 +　 (b-c)^2 +　 (c-a)^2] ≧0 ･････(2)
ts - 9u =　　　[　c(a-b)^2 +　a(b-c)^2 +　b(c-a)^2] ≧0 ･････(3)
t^2 -3su =(1/2)[c^2(a-b)^2 +a^2(b-c)^2 +b^2(c-a)^2] ≧0 ･････(4)
　を使えば かなりできそうだが．．．．（△を除き）
ぬるぽ

>>564(3)(5) ができそうで出来ません。 たのも〜

それと、下の問題も小一時間考えても分からないので教えて下さい。
たのも〜

【問題】 実数 a, b, c が abc=1 をみたすとき、
a^3+b^3+c^3+(ab)^3+(bc)^3+(ca)^3 ≧ 2(a^2b+b^2c+c^2a)
http://www.journals.cms.math.ca/CRUX/synopses/2004/n5/PDF/v30n5syn.pdf

>>564 (3)
a,b,cの符号によらないから、a,b,c ≧0 の場合を考える。 与式を X+Y+Z とおくと、
　最大値：　X+Y+Z ≦ √{3(X^2 +Y^2 +Z^2)} = √{3(p^2+q^2+r^2)(a^2+b^2+c^2)}
　　　　　= √{3(p^2+q^2+r^2)}.
　最小値：　X≧(pa+qb+rc)/(√3), Y≧(pb+qc+ra)/(√3), Z≧(pc+qa+rb)/(√3).
　　　辺々たすと X+Y+Z ≧ (p+q+r)(a+b+c)/(√3) ≧ (p+q+r)/(√3).

>612
　相加・相乗平均により、(2a^3 +c^3)/3 + (ab)^2/c ≧ (a^2)[c +(b^2)/c] ≧ 2(a^2)b.
　循環的に加える。 ぬるぽ

>>613
負の時もそれでいいの？

>613
キタ━(ﾟ∀ﾟ)━!!!
なるほどッ！

>614
考察する式には、a^2, b^2, c^2 だけで a, b, c は入っていないから
最大値最小値を考えるには、a, b, c ≧ 0 の場合を考えただけで十分でしょ。

>>615
>>612の問題の方のことだけど

>>534 (5)-(i)
　f(x)=log(1+x^2) は 0<x<1 で下に凸だから
　与式 = exp{f(a)+f(b)+f(c)} ≧ exp{3f([a+b+c]/3)} = {1 +[(a+b+c)/3]^2}^3 = (10/9)^3.
　
>612, 616
任意の実数に対しては成り立たない希ガス．．．(たとえば c=-1 のとき 左辺=-2, 右辺=-2b^2)
　おそらく右辺の chirality が原因．．． ぬるぽ

>>563(6) 0 < a, b, c < 1/2 に対して、(1/a -1)(1/b -1)(1/c -1) ≧ {3/(a+b+c) -1}^3

f(x) = 1/x -1 は、0 < x < 1/2 において下に凸な減少関数で f(x) > 1。
したがって、0 < a, b, c <1 において f(a), f(b), f(c) > 1。
問題に手を加えて、次式を証明したい。

　[f(a)+f(b)+f(c)]/3 ≧ \sqrt[3][f(a)f(b)f(c)] ≧ f((a+b+c)/3)

左辺 ≧ 中辺 … 相加相乗平均より成立
左辺 ≧ 右辺 … Jensenの不等式より成立

中辺 ≧ 右辺 … これが原題ですが、うまい方法ないでしょうか？

　　　 ＿＿＿
　　.／　　≧　＼　　ついでに調和平均が、この不等式の
　　|:::: 　＼ .／　|　　　 どこに入るか分かれば教えて下さい。
　　|::::: (●　(● |
　　ヽ::::... .∀....ノ ／　　ﾁﾝ　☆　　　　たのも〜
　＿(　　⊃　　⊃　　ﾁﾝ　☆　　　　　　　　たのも〜
　|＼￣￣￣￣旦￣＼
　|　|￣￣￣￣￣￣￣|
　＼|　　愛媛みかん　|
　　 ￣￣￣￣￣￣￣

>>564(1)
a^3+b^3+c^3 = (a+b+c)^3-3(a+b)(b+c)(c+a) より、
　（与式） = [(a+b+c)^3]/[(a+b)(b+c)(c+a)] -3

相加相乗平均より、2(a+b+c) = (a+b)+(b+c)+(c+a) ≧ 3\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)}
∴ （与式） ≧ (3/2)^3-3 = 3/8

等号成立条件は a=b=c

>618
　>>563(6) f(x) = 1/x -1 とおくと {log|f(x)|} '' = {log(1-x) -log(x)} '' = 1/(x^2) -1/(1-x)^2.
　 log|f(x)| は 0<x<1/2 で下に凸だから、 f(a)f(b)f(c) ≧ {f([a+b+c]/3)}^3.
ぬるぽ

>620
(*ﾟ∀ﾟ)=3 ありがとうございます！

age

>622
屑はageか3桁の数字を書き込むことしか出来ない

>>563(5) [1993 Itary] 0≦a, b, c≦1 に対して、a^2+b^2+c^2 ≦ a^2b+b^2c+c^2a+1

b, c を固定して f(a) = (a^2b+b^2c+c^2a+1)-(a^2+b^2+c^2) を考える。
b=1のとき直線、0≦b<1のとき上に凸な放物線だから、区間の端点で最小値をとる。
　f(0) = (1-c){c+(1-b^2)} ≧ 0
　f(1) = b(1-b)+c^2 ≧ 0

類題も同様にすればいい。

>>563(2) 綺麗な形をしているけど分からんちん。
>>563(4) できそうで できない。
>>564(4) 条件式が汚いからサッパリ。
>>564(5) できるのか、これ？

というわけで、せんせー方、たのも〜 （ＡＡ略）

>>564(5) [>>617]
　(i) f(x)=log(1+x^2) は 0<x<1 で下に凸だから
　与式 = exp{f(a)+f(b)+f(c)} ≧ exp{3f([a+b+c]/3)} = {1 +[(a+b+c)/3]^2}^3 = (10/9)^3.

(ii) g(x)=1+√x は上に凸なので、log|g(x)| も上に凸
　与式 = g(a)g(b)g(c) ≧ g(0)g(0)g(1) = 1+√2.

訂正、　　与式 = g(a)g(b)g(c) ≧ g(0)g(0)g(1) = 2.

>627-628
ありが�dございます。
なるほど、凸を使うのか。 （*ﾟ∀ﾟ）=3

>627-628
(5)(ii) ですが、やっぱり分からんです。
g(x) = 1+√x は、x≧0 において上に凸で、g(x)>1 なので、
G(x) = log g(x) も、x≧0 において上に凸。 Jensenの不等式より
　G(a)+G(b)+G(c) ≦ 3G((a+b+c)/3) = 3G(1/3)
　∴ g(a)g(b)g(c) ≦ {g(1/3)}^3 = 2+(5/9)√3

と最大値はでますが、最小値は何故 g(a)g(b)g(c) ≧ g(0)g(0)g(1) なのですか？

>629-630 　 564(5)-(ii)の補足
　G(x)=log|g(x)| は上に凸:　 G(x) ≧ G(0)･(1-x) + G(1)･x
　∴ G(a)+G(b)+G(c) ≧ G(0)･(3-a-b-c) + G(1)･(a+b+c) = G(0)+G(0)+G(1).
　∴ g(a)g(b)g(c) ≧ g(0)g(0)g(1).
ぬるぽ

>631
>G(x)=log|g(x)| は上に凸:　 G(x) ≧ G(0)･(1-x) + G(1)･x

凸関数をそう使うのか (;´Д`) ﾊｧﾊｧ ／lァ／lァ ／lア／lア！！
ありがとうございます。少し賢くなったような気がしまする。
凸関数があったら Jensen ばかり使っていた自分は…

同様にすると、(5)(i) の最大値は、
f(x)=log(1+x^2) は 0≦x≦1 で下に凸だから、f(x) ≦ f(0)(1-x)+f(1)x
　f(a)+f(b)+f(c) ≦ f(0)(3-a-b-c)+f(1)(a+b+c) = f(1)
　∴ (1+a^2)(1+b^2)(1+c^2) ≦ 2

等号が成り立つのは、x=0 または 1 のときだから、
　(a, b, c) = (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)

>>538(2) を 条件を a, b, c > 0、a+b+c=1 に変えると、
　1/2 ≦ a/(1+a^2) + b/(1+b^2) + c/(1+c^2) ≦ 9/10

f(x) = x/(1+x^2) は 0≦x≦1 で上に凸だから、
左側は、f(x) ≦ f(0)(1-x)+f(1)x = x/2 より、右側はJensenの不等式。

うひょ〜 (＊ﾟ∀ﾟ)＝3

a, b, c≧0 が a+b+c=1 をみたすとき、a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b) のとりうる値の範囲について、
最大値について、Jensenの不等式を用いたら出ないのですが、どこがおかしいか教えて下さい。

a^2(b+c)=a^2(1-a) より、f(x) = x^2(1-x) を考える。
0≦x≦1において f(x) は上に凸だから、Jensenの不等式より
　a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b) = f(a)+f(b)+f(c) ≦ 3f((a+b+c)/3) = 3f(1/3) = 2/9
等号成立条件は a=b=c=1/3。

ところが、例えば (a, b, c) = (1/2, 1/2, 0) のとき、1/4 の値をとり、これは 1/4 > 2/9 なんです。
Jensenの不等式の使い方間違ってますか？

　　　　　　　　　　r〜〜〜〜〜
　　　＿_　　　　_ﾉ うっうっうっ・・・
　 ／__　 ｀ヽ_ ⌒ヽ〜〜〜〜〜
　 |〈___ﾉf レ1(
　,L|　しL.し'ﾞ"
　"｀　　"′

ゴメン。書いてて気がついた。はずかし…
上に凸じゃないや、ダメダメだね俺。吊ってくるわ （ＡＡ略）

スレ汚しの罰に、問題ＵＰ

0≦a, b, c≦1のとき、S=\sqrt{a(1-b)(1-c)}+\sqrt{b(1-c)(1-a)}+\sqrt{c(1-a)(1-b)} について

(1) S ≦ 1+\sqrt{abc} を示せ。等号成立条件も。
(2) S の最大値を求めよ。

Problem 175 （これって、何かの雑誌？）
http://www.math.nwu.edu/~mlerma/problem_solving/problems/math_hor-11-1-sep03.pdf

>>563(4)　 できそうで．．．
　左辺−右辺 = (a^2)(b-c)/c - (b^2)(a-c)/a + (c^2)(a-b)/b
　= a(a-c)(b-c)/c + b(a-b)(a-c)/a -c(b-c)(a-b)/b
　= (a/c)(b-c)^2 + (b/a)(a-b)^2 + {a/c +b/a -c/b}(b-c)(a-b)
　= (a/c)(b-c)^2 + (b/a)(a-b)^2 + {(a/c-1)+(b/a)+(1-c/b)}(b-c)(a-b)≧0.
ぬるぽ

>638 √a =sin(A/2), √b =sin(B/2), √c= sin(C/2) （0≦A,B,C≦π）とおく。

(1) S(A,B,C) = sin([A+B+C]/2) + sin(A/2)･sin(B/2)･sin(C/2) ≦ 1+√(abc), 等号成立はA+B+C=π.

(2) 2∂S/∂A = cos([A+B+C]/2) + cos(A/2)･sin(B/2)･sin(C/2) = 0,
　　2∂S/∂B = cos([A+B+C]/2) + sin(A/2)･cos(B/2)･sin(C/2) = 0,
　　2∂S/∂C = cos([A+B+C]/2) + sin(A/2)･sin(B/2)･cos(C/2) = 0.
　∴A/2=B/2=C/2=θ, これを上式に入れて, cos(3θ) + cosθ･(sinθ)^2 =(3x^2 -2)x=0,
　　x=cosθ=√(2/3), θ=90ﾟ-54ﾟ44', a=b=c=1/3, ∴ S≦2/(√3).
ぬるぽ

>639-640
キタ━（ﾟ∀ﾟ）━ ! ! !
さらりと解いてしまう、そこに しびれる あこがれる〜！

>640
その置き換えに痺れる憧れるぅ〜。 (；´Д`) ﾊｧﾊｧ しました。
しかし、(2)の最大値は 9/8 ではないでしょうか？

(1)より得られた上限値 1+sin(A/2)･sin(B/2)･sin(C/2) に、Jensenの不等式を用いる。
[>>557補題] より、0≦x≦π において f(x) = log sin(x/2) は上に凸だから、
　f(A)+f(B)+f(C) ≦ 3f((A+B+C)/3) = 3f(π/3)
　∴ 1+sin(A/2)･sin(B/2)･sin(C/2) ≦ 1+{sin(π/6)}^3 = 9/8
等号成立条件は、A=B=C=π/3 すなわち a=b=c=1/4
　　　 ＿＿＿
　　.／　　≧　＼　　
　　|:::: 　＼ .／　|　　　 これでいいでしょうか？
　　|::::: (●　(● |
　　ヽ::::... . ワ ....ノ ／　　ﾁﾝ　☆　　　　たのも〜
　＿(　　⊃　　⊃　　ﾁﾝ　☆　　　　　　　　たのも〜
　|＼￣￣￣￣旦￣＼
　|　|￣￣￣￣￣￣￣|
　＼|　　愛媛みかん　|
　　 ￣￣￣￣￣￣￣

あぁそうか、勘違いしてました。
(2)はSの最大値で、1-√(abc) の最大値じゃないんですね。

　　　　　 ∧＿∧
　　　　　（ ´Д｀ ） 　　 まことに
　　　　 /　　　　 ヽ
　　　　 し､__X__,ﾉJ

　 　 　 /´⌒⌒ヽ
　　　　ｌ⌒ 　 　⌒ｌ 　　すいませんでした
　　　⊂ （　　　） ⊃
　　　　　 V￣V

あーでも変だなぁ…
どこがおかしいんだろ？

自己解決。
A+B+C=π という束縛の下で解いたから最大値が小さくなったんですね。
sin((A+B+C)/2) が1にならないときに最大となる可能性があるから…。
普通に解いてみました。

>638の最大値を求める。 >640の置き換えより、
　（与式） = sin((A+B+C)/2) + sin(A/2)･sin(B/2)･sin(C/2)

0≦x≦π において g(x) = sin(x/2) は、g(x)≧0 かつ上に凸だから、
相加相乗平均とJensenの不等式より
　g(A)･g(B)･g(C) ≦ [g(A)+g(B)+g(C)/3]^3 ≦ [g((A+B+C)/3)]^3
等号成立条件は A=B=C

これと３倍角の公式から、（与式） ≦ [g(3A)+g(A)]^3 = 3g(A)-3[g(A)]^3

0≦g(A)≦1 における最大値を考えて、g(A)=1/√3 で極大かつ最大値 2/√3 をとるぽよ。

下から2行目の書き間違い

(×) これと３倍角の公式から、（与式） ≦ [g(3A)+g(A)]^3 = 3g(A)-3[g(A)]^3
(○) これと３倍角の公式から、（与式） ≦ g(3A)+[g(A)]^3 = 3g(A)-3[g(A)]^3

ネタが尽きかけたので、補充しまつ。

【問題】 文字は全て正の数とする。

(1) 1/[1/(1+a) + 1/(1+b) + 1/(1+c)] - 1/(1/a + 1/b + 1/c) ≧ 1/3

(2) [1997 Belarus] a/b + b/c + c/a ≧ (b+c)/(a+b) + (c+a)/(b+c) + (a+b)/(c+a)

(3) [1995 Russia] 1/(ab) ≧ a/(a^4+b^2) + b/(a^2+b^4)

(4) [1997 Belarus] (a+y)x/(a+x) + (a+z)y/(a+x) + (a+x)z/(a+y) ≧ x+y+z ≧ (a+z)x/(a+z) + (a+x)y/(a+y) + (a+y)z/(a+z)

(5) [1997 Romania] a^2/(a^2+2bc) + b^2/(b^2+2ca) + c^2/(c^2+2ab) ≧ 1 ≧ bc/(a^2+2bc) + ca/(b^2+2ca) + ab/(c^2+2ab)

(6) [1993 Poland] (a+c)(b+d)/(a+b+c+d) ≧ ab/(a+b) + cd/(c+d)

(7) [1999 Moldova] ab/[c(c+a)] + bc/[a(a+b)] + ca/[b(b+c)] ≧ a/(c+a) + b/(b+a) + c/(c+b)


発掘先 (;´Д`) ﾊｧﾊｧ /lァ/lァ ／lア／lア！！
http://myhome.personaldb.net/ideahitme/psine1.pdf
http://myhome.personaldb.net/ideahitme/psine2.pdf

下らん不等式並べるなよ馬鹿

>>564(6)
>　実数 a,b,c≧0 に対して、常に次式が成り立つような定数 k の最小値。
> k(a^3 +b^3 +c^3) +(9-3k)abc ≧ (a+b+c)(a^2 +b^2 +c^2)

　a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおく。
　k(s^3 -3st +3u) +(9-3k)u ≧ s(s^2-2t).
　(k-1)s(s^2 -3t) -(st-9u) ≧ 0.

　k=2 のときは、↓により成立。
　　s^3 -4st +9u = a(a-b)^2 +c(b-c)^2 +(a-b)(b-c)(a-b+c) ≧0 ･････(1) [>>611]
　k>2 のときは、これと (k-2)(a^3 +b^3 +c^3 -3abc)≧0 とを加えて成立。
k<2 のときは、a=b, c=0 の場合、左辺=2(k-2)a^3 < 0 で不成立。

----------------------------------------------------------------------

一方、ts -9u = [ c(a-b)^2 +a(b-c)^2 +b(c-a)^2] ≧0 ･････(3)　[>>611]

>>601-602 [1999.3　BMO]　左側：(3)から,　右側：[>>608] または {(1)×2＋(3)}/7
>>603(1)　[1984.A1 IMO]　左側：(3)から,　右側：{(1)×7＋(3)}/27
ぬるぽ

お〜なるほどッ！

>>562
(1)　|a|,|b|≧|c| とすると, |a^2 +b^2 +c^2| ≦ |a|^2 +|b|^2 +|c|^2 ≦ |a|^2 +|b|^2 +2|ab| = (|a|+|b|)^2.

(2)　[1999 Poland] 50th, 1st round (1998 Sep.-Dec.), No.2
　　a+b=s とおくと、右辺−左辺 = 3(s^2 +c^2 +d^2) -(s+c+d)^2 = (s-c)^2 +(c-d)^2 +(d-s)^2 ≧0.

(3)　相加･相乗不等式で瞬殺。[>>567]

(4)　相加･相乗平均により (10ab^4+11bc^4+7cd^4+23da^4)/51 ≧ a(abcd). これを循環的に加える。

(5)　[2003 Poland] 54th, 1st round (2002 Sep.-Dec.) No.12
　　4文字の基本対称式を a+b+c+d=S, ab+bc+ca+ad+bd+cd=T, abc+bcd+cda+dab=U, abcd=V とおく。
　　A = a^3+b^3+c^3+d^3 = S^3 -3ST +3U, B=U.
　 右辺−左辺−9U = 4A +15U - S^3 = 3(S^3 -4ST +9U).

【補題】S^3 -4ST +9U ≧0 は4文字の場合も成り立つ。
　（略証） S^3 -4ST +8U = (a+b-c-d)(a-b+c-d)(a-b-c+d)　･･････ (*)
　　対称式だから、a≧b≧c≧d>0 としてよい。 a-b=f, b-c=g, c-d=h とおくと、U≧abc.
　 S^3 -4ST +9U ≧ (f+2g+h)(f+h)(f-h) + abc = (f+2g+h)(f^2-h^2) + (f+g+h+d)(g+h+d)(h+d)
　　≧ (f+2g+h)(f^2 -h^2) + (f+g+h)(g+h)h = f^2(f+2g+h) +gh(f+g) ≧ 0. (終)
　　なお、3文字のときは [>>611]

※　S^2 -(8/3)T = (1/3)Σ[i<j] (a_i-a_j)^2,　
　　ST-6U = (1/2)Σ[i<j] (S-a_i-a_j)(a_i-a_j)^2,
　　S^3 -4ST +8U = S{S^2 -(8/3)T} -(4/3)(ST-6U) = (1/3)Σ[i<j] (2a_i+2a_j-S)(a_i-a_j)^2 より.

>>562
(6)　[2002 Poland] 53rd, 2nd round, 2nd day (2002.2.23) No.6
　　n=2 のときはコーシーの不等式、n>2 のときは帰納法で。 n=1は不成立。[>590]
　
(7) a_1 = b_2 ≠ a_2 = b_1 の場合を考えると･･･

　[562]の解答のレス番（主なもの）　　
　　(1) [651] (2) [651] (3) [567] (4)[651] (5) [651] (6) [590] (7) ?
ぬるぽ

>651-652
神キタ━（ﾟ∀ﾟ）━ ！！！

651(4)、うますぎる！とても作り出せない…。
abcd=1 としてゴチャゴチャやってましたができませんでした。
＿|￣|○

連立方程式をたてて解けばいいんだよ・・・

実数 x に対して、|sin x + cos x + tan x + cot x + sec x + cosec x| ≧ 2√2 - 1

[AMM_Oct._2004 P.682] より発掘。解答は P.685

(；´Д`) ﾊｧﾊｧ /lァ/lァ ／lア／lア！！

s=sinx,c=cosx,s^2+c^2=1
|s+1/s+c+1/c+s/c+c/s|≧2√2-1

>656
ドラクエでもやれば？
( ﾟ∀ﾟ) ｱﾊﾊ八八ﾉヽﾉヽﾉヽﾉ ＼ ／ ＼／ ＼

>655
(i) 0<x<π/2 のとき 各項>0 ゆえ
　与式 = {sin(x) +1/sin(x)} + {cos(x) +1/cos(x)} + {tan(x)+cot(x)} > 2+2+2 = 6.
(ii) π/2 < x < 2π のとき
　z=cot(x/2) とおくと, 1-z>0.
　sin(x) + cos(x)= 1 -2(1-z)/(1+z^2),
　tan(x) + 1/cos(x) = [sin(x)+1]/cos(x) = -(1+z^2)/(1-z) -ｚ,
　cot(x) + 1/sin(x) = [cos(x)+1]/sin(x) = z.
　∴ 与式 = 1 -2(1-z)/(1+z^2) -(1+z^2)/(1-z) ≦ 1 -2√2　(←相加･相乗平均).
　等号成立は、z =−(1/2)√2 ± √(√2 -1/2) のとき.

>658(ii) (補足)
[sin(x) +1]/cos(x) + [cos(x)+1]/sin(x) = [1+sin(x)+cos(x)]/[sin(x)cos(x)]
= -2/[1-sin(x)-cos(x)].

(続き)
　1-sin(x)-cos(x) =y とおくと 与式 = 1-y-2/y.　∴ ｜与式−1｜ =｜y +2/y｜≧ 2√2.

（続き）　以上により↓が示された。
【命題】　F= sin(x) + cos(x) + tan(x) + cot(x) + sec(x) + cosec(x) とおくとき
　F≧ 3√2 +2 または F≦-(2√2 -1).
ぬるぽ

>>563
(1) a+b+c=s、ab+bc+ca=t、abc=u とおき、次の同次形を示す。　s^2 -2t +2√(3su) ≦ s^2. [>>576]

(2)　綺麗な形をしているけど分からんちん。
　　同次形は (a+b+c)^2･(pa+qb+rc) -8abc(p+q+r) ≧0.
　　左辺−右辺 = {(a+b+c)^2 -8bc}pa + {･･･}qb + {･･･}rc としても {･･･}≧0 とは言えない...
　　題意により (p+q+r)/2 ≧ p,q,r ≧0 だから、 p,q,rは三角不等式を満たす。そこで
　　左辺−右辺 = f(a,b;c)(p+q-r) + f(b,c;a)(-p+q+r) + f(c,a;b)(p-q+r).
　　f(a,b;c)≡{(a+b)+c}^2･(a+b)/2 -8abc≧ {4(a+b)c}･(a+b)/2 -8abc≧ 0.

(3) 相加・相乗平均でハァハァと [>>578]

(4) できそうで できない。 a,b≧cの使い方。[>>639]

(5) 上に凸 [>624]
　　類題は　 (ab+bc+ca+1) - (a+b+c) = (1-a)(1-b)(1-c) + abc ≧0.

(6) f(x) = 1/x -1 とおくと {log|f(x)|} '' = {log(1-x) -log(x)} '' = 1/(x^2) -1/(1-x)^2.
　　log|f(x)| は 0<x<1/2 で下に凸 [>>620]

(7) 0≦y≦1, n≧1 のとき 1-y^n≧1-y を使う。

[563]の解答のレス番号（主なもの）
(1) [576] (2) これ (3) [578] (4) [639] (5) [624] (6) [620] (7) これ
ぬるぽ

>>662 ぬるぽ神 ｷﾀ─wwﾍ√ﾚvv〜(ﾟ∀ﾟ)─wwﾍ√ﾚvv〜─ !!!
ありがとうございます。

(2) ｳﾎｯ！ どうやって同次系の不等式を思いつくのですか？ コツがあるのでしょうか？
a+b+c も p+q+r もどちらも１なので、組合せは何通りも考えられますよね。
その後の進め方もまた （；´ρ`） ﾊｧﾊｧ /lァ/lァ ／lア／lア！！

(5)類題、こんなにアッサリ片付くとは…。文字を固定してゴリゴリ証明してました。

(7) うう、分かりません。 「0≦y≦1, n≧1 のとき 1-y^n≧1-y を使う」 と、
　左辺第１項 ≧ (1-x)^m
　左辺第２項 ≧ x^n
となるから、左辺 ≧ (1-x)^m - x^n となって、その後どうするのでしょうか？

>654 なるほど、連立方程式の立て方が分かりました。 （ ￣ー￣） ﾆﾔｿ

>>564
　基本対称式を a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおく。

(1) 相加･相乗でハァハァと [>>619]
　　a^3 +b^3 +c^3 = s^3 -3(a+b)(b+c)(c+a)
　　s^3 = {(3/2)[(a+b)+(b+c)+(c+a)]/3}^3 ≧ (3/2)^3･(a+b)(b+c)(c+a).
　　∴ 与式 = (s^3)/[(a+b)(b+c)(c+a)} -3 ≧ (3/2)^3-3 = 3/8.

(2) 分母 = (2a^2+b^2)(b^2+2c^2) = t^2 +(b^2 -ac)^2 +a^2(b-c)^2 +c^2(a-b)^2 ≧ t^2.
　　∴ 与式 = us/(t^2) ≦ 1/3.

(3) 最大値：√{3(p^2+q^2+r^2)},　最小値：(p+q+r)/(√3). [>>613]

(4) 条件式が汚いからサッパリ。
　b-c=x, c-a=y とおくと a-b=(-x-y), 条件式は xy≧1.
　F(x,y) = {(x+y)^(2n+1)-x^(2n+1)-y^(2n+1)}/{xy(-x-y)}
　= {(x+y)^(2n) - x^(2n) +x^(2n-1)･y-････+x･y^(2n-1)-y^(2n)}/xy
　= Σ[k=0,2n-2] {Ｃ[2n,k+1]+(-1)^k} x^k･y^(2n-2-k)
　= Σ[k=0,2n-2] {Ｃ[2n,k+1]+(-1)^k} {x^k･y^(2n-2-k) + x^(2n-2-k)･y^k}/2
　≧ |xy|^(n-1)･Σ[k=0,2n-2] {Ｃ[2n,k+1]-(-1)^k}　　（←相加･相乗平均）
　= |xy|^(n-1)･F(1,1) ≧ F(1,1) = 2^(2n) -1.

>>564
(5) できるのか、これ？ [>>617,>>627-631]
　0<a,b,c<1, a+b+c=s のとき, g(x)=1+x^r,　f(x)=log|g(x)| とおくと
　f '(x) = g '(x)/g(x) = r･x^(r-1)/(1+x^r),
　f ''(x) = {g(x)g ''(x)-g '(x)^2}/{g(x)}^2 = r･(r-1-x^r)･x^(r-2)/[(1+x^r)^2].

　(i)　r≧2 のとき f(x) は 0<x<1 で下に凸だから
　log(与式) = f(a)+f(b)+f(c) ≧ 3f(s/3) = 3log|g(s/3)|.
　f(x) ≦ f(0)(1-x) + f(1)x.
　∴ g(s/3)^3 ≦ 与式 ≦ g(0)^(3-s)･g(1)^s.

　(ii)　0≦r≦1 のとき g(x)=1+x^r はx>0 で上に凸
　∴ f(x)=log|g(x)| も上に凸： f(x) ≧ f(0)･(1-x) + f(1)･x
　∴ log(与式) = f(a)+f(b)+f(c) ≧ f(0)･(3-a-b-c) + f(1)･(a+b+c) = f(0)･(3-s) + f(1)･s.
　∴ g(0)^(3-s)･g(1)^s ≦ 与式 ≦ g(s/3)^3.

(6) k≧2 成立、 k<2 不成立。 [>>649]

[564]の解答のレス番号（主なもの）
　(1) [619] (2) [664] (3) [613] (4) [664] (5) [617][627] (6) [649]
ぬるぽ

>651(5)
遅レスですが、勉強になりました。ﾊｧﾊｧ…

>664(4)
なるへそ。条件式を変形した式から b-c=x, c-a=y とおくことに気づくわけか…
その後の nCr の計算に ﾊｧﾊｧ…
条件式から xy≧1 だし、x^k･y^(2n-2-k) も x^(2n-2-k)･y^k も正だから相加相乗か…
計算の後を追いかけるのがやっとです。とても自力で出来ません。

だめぽ ＞ （：D）|￣|＿

>587
【補題】A+B+C=π, 0<A,B,C<π のとき、
　0　< sin(A)sin(B)sin(C) ≦ {(3√3)/2π}^3 ABC ≦ (3√3)/8.
　-1 < cos(A)cos(B)cos(C) ≦ [1-cos(A)][1-cos(B)][1-cos(C)] ≦ 1/8.

　フランダースの不等式 とか言うらしい．．．
　http://mathworld.wolfram.com/FlandersInequality.html
ぬるぽ

ｷﾀ━(ﾟ∀ﾟ)━( ﾟ∀)━( ﾟ)━( )━(ﾟ )━(∀ﾟ )━(ﾟ∀ﾟ)━!!!!

>>388の証明(>>391)がよくわかんない。詳しく教えてくれ。

>668
パトラッシュ、疲れたろう。
右側は相加相乗だけど、左側はどうするんだろうね
　　　,.-─-、
　　 /　/_wゝ-∠l
　　　ヾ___ノ,.　-　>
　　 /|／（ヽY__ノﾐ
　　.{　　　rｲ　　ノ

僕もう疲れたよ…
何だかとても眠いんだ…パトラ…

>671
　f(x) = log|sin(x)| - log|x｜ とおいて f '(x) = 1/tan(x) -1/x,
　f ''(x)= -1/[sin(x)^2] +1/(x^2) <0（上に凸）を使うんだろうな･･･ネロ･･･

AAらしい
http://www.geocities.co.jp/Playtown-Darts/3851/fra.html
壁紙らしい
http://www.accessup.org/anime_j/Frandarce%2520dog.html
公式サイトらしい
http://www.bandaivisual.co.jp/flanders/fd_flmf.html
http://www.nippon-animation.co.jp/new/title/flanders/
http://www.nippon-animation.co.jp/na/flanders/

>670
[>>391]にしたがって、まず極座標(r,θ)に変換する。
　∫∫{f(x)g(y)/(x+y)}dxdy = ∫{∫f(r･cosθ)g(r･sinθ)dr}/(cosθ+sinθ) dθ
次にrについてヘルダーの不等式を使う。
　∫_[0,R]f(r･cosθ)g(r･sinθ)dr ≦ {∫_[0,R]f(r･cosθ)^p dr}^(1/p)･{∫_[0,R]g(r･sinθ)^q dr}^(1/q)
　= {∫_[0,R･cosθ]f(r')^p dr'}^(1/p)･{∫_[0,R･sinθ]g(r")^q dr"}^(1/q)･(1/cosθ)^(1/p)･(1/sinθ)^(1/q)
　→　(1/cosθ)^(1/p)･(1/sinθ)^(1/q)･F^(1/p)･G^(1/q). (R→∞)
一方、θについての積分は、
　I = ∫_[0,π/2] 1/{(cosθ)^(1/p)･(sinθ)^(1/q)･(cosθ+sinθ)} dθ
となるが、ここで tanθ = t とおくと、cosθ=1/√(1+t^2), sinθ=t/√(1+t^2), dθ=dt/(1+t^2) を使えば
　I = ∫[0,∞) 1/{(1+t)t^(1/q)} dt = π/sin(π/p) となる。　　（←[391][396]）
∴　∫∫{f(x)g(y)/(x+y)}dxdy ≦ {π/sin(π/p)}F^(1/p)･G^(1/q).
ぬるぽ

>>673
なるほど。
>>388に書かれてるように、真の不等号が成り立つっていうのは証明難しい？

>674
　ヘルダーの不等式を使う所で、等号成立する場合がないことを示すのかなぁ？？

　>>137-139, >>158　(総和形）
　http://www007.upp.so-net.ne.jp/masema/Lebesgue.html

>671
　フランダースの場合は　あまりにも　お犬さん
　フランダースの場合は　あまりにも　優しい
　ベルギー　アントワープの　大聖堂　雪の　朝に
　ネロと　そっと　ひとつ
　フランダース

　(98/11/09)
　http://www2.gol.com/users/maroon/kaenor-1.htm

>>672
なるへそ！ 凸な関数に目をつけるんだね、パトラッシュ。

A+B+C=π, 0<A,B,C<π のとき、
　0 < sin(A)sin(B)sin(C) ≦ {(3√3)/2π}^3 ABC ≦ (3√3)/8

一方、相加相乗平均とJensenの不等式から
　0 < sin(A)sin(B)sin(C) ≦ ( [sin(A)+sin(B)+sin(C)]/3 )^3 ≦ (3√3)/8

気になるのが ( [sin(A)+sin(B)+sin(C)]/3 )^3 と {(3√3)/2π}^3 ABC の大小。
　sin(A)+sin(B)+sin(C) = 4cos(A/2)cos(B/2)cos(B/2)
だから、f(x) = log cos(x) - (1/3)log(x) とおくと　f(A/2)+f(B/2)+f(C/2) と log((3√3)/4π) の大小。
f(x) の 0<x<π/2 における凹凸が一定でないので、わからんちん。

　　　,.-─-、
　　 /　/_wゝ-∠l
　　　ヾ___ノ,.　-　>　僕もう疲れたよ…
　　 /|／（ヽY__ノﾐ　何だかとても眠いんだ…パトラ…
　　.{　　　rｲ　　ノ

>>647(5) の類題
[2003 Baltic Way] http://www.liis.lv/NMS/bw03/uzd/bw03eng.pdf

正の数 a, b, c に対して、2a/(a^2+bc) + 2b/(b^2+ca) + 2c/(c^2+ab) ≦ a/(bc) + b/(ca) + c/(ac)
　　　　　　　＿＿＿　


彡　　　　 ／　　≧　＼　　　　彡　ﾋﾞｭｩ……
　　彡　　 |:::　 ＼ .／ |　　彡
　　　　　　|:::: (●　(●|　　　　
　　　　　　ヽ::::......ワ...ノ　　　　ネタを仕入れるために
　　　 　 　 人つゝ 人,,
　　　　　 Ｙノ人　ノ ノノゞ⌒〜ゞ 　　　　　旅立とう・・・
　　　 .　 ノ /ミ|＼、　　　 ノノ　（　彡
　　　　 `⌒ 　.Ｕ~Ｕ`ヾ　　　　丿
　　　　　　　　　　　　 ⌒〜⌒

>>647　 a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおくと, s^2 -3t≧0, st-9u≧0, t^2 -3su≧0. これでゴリゴリ

(1) 左辺 = (1+s+t+u)/(3+2s+t)- u/t = 1/3 + [(st-9u) +2(t^2 -3su)]/[3t(3+2st+u)] ≧ 1/3.

(2) 相加・相乗平均により (ca^2/b +2ab^2/c +4bc^2/a)/7 ≧ bc. これを循環的に加えて,
　　(ca^2 +ab^2 +bc^2)(1/a +1/b +1/c) = (a^2 +b^2 +c^2) +(ca+ab+bc) +(ca^2/b + ab^2/c +bc^2/a)
　　≧ (a^2 +b^2 +c^2) +2(ab+bc+ca) = s^2.　
　　左辺 = (ca^2 +ab^2 +bc^2)/u ≧ (s^2)/t,
　　右辺 = {(s^3 -st +3u) +(ca^2 +ab^2 +bc^2)}/(st-u).
　　[左辺−右辺]･(st-u) = (st-2u)(左辺) -(s^3 -st +3u) ≧ (st-2u)(s^2)/t -(s^3 -st +3u)
　　= -2(s^2)u/t +st -3u ≧ -2st/3 +st -3u = (st-9u)/3 ≧0.

(3) 1/(2ab) = a/(2a^2b) ≧ a/(a^4+b^2).
　　1/(2ab) = b/(2ab^2) ≧ b/(a^2+b^4).
　　辺々たす。

(4) 左辺 - 中辺 = (y-z)x/(a+z) +(z-x)y/(a+x) +(x-y)z/(a+y)
　　= [a(xz^2 +yx^2 +zy^2 -3xyz) +(t^2 -3su)]/[(a+x)(a+y)(a+z)] ≧0.
　　右側：　x/(a+x), y/(a+y), z/(a+z) の大小と a+x, a+y, a+z の大小は一致する。
　　∴ チェビシェフの不等式により成立。

(5) (a^2)/(a^2 +2bc) ≧ (a^2)/(a^2 +b^2 +c^2) などより 左辺≧1.
　　 bc/(a^2+2bc) ≦ (1/2)(b^2 +c^2)/(a^2 +b^2 +c^2) などより 右辺≦1.
　　なお、(左辺) + (右辺)×2 = 3.

(5)の類題[>679]：　相加･相乗平均より 2a/(a^2 +bc) ≦ a/√(au) = √(au)/u ≦ (2a^2 +b^2 +c^2)/4u.
　　循環的に加える。

>>647 (続き)
(6) [1993 Poland] 44th, 2nd roud, 1st day No.1 (1993.2)
　　S=a+b+c+d, U=bcd+cda+dab+abc とおく。
　　左辺 - 右辺 = (a+c)(b+d)/S -ab/(a+b) -cd/(c+d)
　　= [(a+c)(b+d)(a+b)(c+d)-SU]/[S(a+b)(c+d)] = (ad-bc)^2 /[S(a+b)(c+d)] ≧0.

(7) b/c=x, c/a=y, a/b=z とおくと u=xyz=1.
　　左辺 = x/(y+1) +y/(z+1) +z/(x+1) = [3u +(s^2 -2t) +t +s]/[(x+1)(y+1)(z+1)].
　　右辺 = 1/(y+1) +1/(z+1) +1/(x+1) = (t+2s+3)/[(x+1)(y+1)(z+1)].
　　[左辺−右辺]･(x+1)(y+1)(z+1) = (s^2 -2t) -s
　　= (1/2)[(x^2 +y^2 +z^2 -3) +(x-1)^2 +(y-1)^2 +(z-1)^2] ≧0.
ぬるぽ

>680-681 さすが不等式王！
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＿＿＿,
　 ┏┓　 ┏━━┓　　　　　　／　　≧　＼.　　　　　　　 　.┏┓┏┓
┏┛┗┓┃┏┓┃　　　　　　|::::　＼ .／　|　　　　　　　 　 ┃┃┃┃
┗┓┏┛┃┗┛┃┏━━━|::::: (●　(● |━━━━━┓┃┃┃┃
┏┛┗┓┃┏┓┃┗━━━ヽ::::... .ワ.....ノ!━━━━━┛┗┛┗┛
┗┓┏┛┗┛┃┃　　　　　　（ （つ　　丿ﾉ　　　　 　 　　.　┏┓┏┓
　 ┗┛ 　 　 　┗┛　　　　　　　 （　ヽノ　　　　　 　 　 　　　┗┛┗┛
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　し（＿）　　

どうでもいいことだけど、>>392 + >>592 を合わせて…

非負実数 a, b, c, d に対して次式が成立。
4(a^3+b^3+c^3+d^3) + 24(abc+bcd+cda+dab) ≧ (a+b+c+d)^3 ≧ (a^3+b^3+c^3+d^3) + 15(abc+bcd+cda+dab)


（；´д｀）ﾊｧﾊｧして書いた。
不等式なら何でもよかった。
今は反省している。

a,b,c≧0 のとき、 a^3+b^3+c^3+6abc ≧ (ab+bc+ac)(a+b+c)
（証明）
差をとれば、Schurの不等式のλ=1 の場合になる。（不等式への招待 P.28）
左辺-右辺 = a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b) ≧ 0

一方、>>601 a,b,c≧0 のとき、 2(a+b+c)^3 +9abc ≧ 7(ab+bc+ac)(a+b+c) が成立。

そこで気になるのが、7(a^3+b^3+c^3+6abc) と 2(a+b+c)^3 +9abc の大小。
a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおくと、a^3+b^3+c^3 = s^3-3st+3u より

7(a^3+b^3+c^3+6abc)-[2(a+b+c)^3 +9abc]
= 5s^3-21st+54u
= 2(2s^3-7st+9u)+s(s^2-3t)-4(st-9u)

うまくいかんちん…
s, t, u に成り立つ不等式は、 s^3-27u ≧ 0 とか、
>>42より、2s^3-7st+9u = (a+b)(a-b)^2+(b+c)(b-c)^2+(c+a)(c-a)^2 ≧ 0
　　　 ＿＿＿
　　.／　　≧　＼　　
　　|:::: 　＼ .／　|　　　 よろしくおねがいします！
　　|::::: (●　(● |
　　ヽ::::.... ワ ....ノ ／　　ﾁﾝ　☆　　　　たのも〜
　＿(　　⊃　　⊃　　ﾁﾝ　☆　　　　　　　　たのも〜
　|＼￣￣￣￣旦￣＼
　|　|￣￣￣￣￣￣￣|
　＼|　　愛媛みかん　|
　　 ￣￣￣￣￣￣￣

非負実数 a, b, c に対して、（；´д｀）ﾊｧﾊｧ できそうな不等式

(a+b)(a^4+b^4) ≧ (a^2+b^2)(a^3+b^3)
(a+b+c)(a^4+b^4+c^4) ≧ (a^2+b^2+c^2)(a^3+b^3+c^3)

これって、一般化できるのでせうか？

>>685
>>153とは違うのか？

>686 ��(￣ワ￣；)！ 見逃してた。ありがとうございます。

>153 x_k≧0 (k=1,2,･･･,m)のとき、 F(n)≡(1/m)Σ[1≦k≦m] (x_k)^n とおくと
> (補題) bc≧0 ⇒ F(a)･F(a+b+c) ≧ F(a+b)･F(a+c).
> (系1) F(n-1)･F(n+1) ≧ {F(n)}^2.
> (系2) {F(n)}^(1/n) はnに関して単調増加.

補題で、a=b=1, c=2, m=2, 3 の場合が >685ですね。
ちなみに153は、「モノグラフ４ 不等式 P.57」より九州大の問題。
ところで、153の証明って…

>687
　項別に比べれ。
　>>153 の（補題）はさくらスレ１４５にありますた．．．

109 ：PrinceMathematician◇ ：04/05/27 12:02

(補題) bc≧0 ⇔ F(a)･F(a+b+c) ≧ F(a+b)･F(a+c).

　　F(a)･F(a+b+c)−F(a+b)･F(a+c)
　　= (1/m)^2 Σ[1≦i≦m][1≦j≦m] (x_i･x_j)^a･{x_j^(b+c)-(x_i)^b(x_j)^c}
　　= (1/m)^2 Σ[1≦i<j≦m] (x_i･x_j)^a･{x_i^(b+c)+(x_i)^b･(x_j)^c+(x_j)^b･(x_i)^c+x_j^(b+c)}
　　= (1/m)^2 Σ[1≦i<j≦m] (x_i･x_j)^a･{(x_i)^b-(x_j)^b}{(x_i)^c-(x_j)^c}
　　〜 {(x_i-x_j)b}{(x_i-x_j)c} 〜 bc.　
　〜は同符号の意味。 等号成立は x_1=x_2=･･･=x_m のとき. (終)

>679 >>647(5) の類題
[2003 Baltic Way] http://www.liis.lv/NMS/bw03/uzd/bw03eng.pdf

正の数 a, b, c に対し、
　A = a/(bc) + b/(ca) + c/(ab)
　B = 1/a + 1/b + 1/c
　C = 1/√(ab) + 1/√(bc) + 1/√(ca)
　D = 2a/(a^2+bc) + 2b/(b^2+ca) + 2c/(c^2+ab)
　E = 3/\sqrt[3](abc)
　F = 2/(a+b) + 2/(b+c) + 2/(c+a)
　G = 6/\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)}
　H = 9/(a+b+c)
とおくと
　A ≧ B ≧ C ≧ D
　C ≧ (E, F) ≧ G ≧ H
E, Fの大小は定まらない。(a, b, c) = (1, 1, 27), (1, 1, 1), (1, 1, 8) のとき、≧、＝、≦。
　　　 ＿＿＿
　　.／　　≧　＼　　
　　|:::: 　＼ .／　|　　　 D と (E, F) ≧ G ≧ H は
　　|::::: (●　(● |　　　　　　　　ドッキングできないですか？
　　ヽ::::.... ワ ....ノ ／　　ﾁﾝ　☆　　　　たのも〜
　＿(　　⊃　　⊃　　ﾁﾝ　☆　　　　　　　　たのも〜
　|＼￣￣￣￣旦￣＼
　|　|￣￣￣￣￣￣￣|
　＼|　　愛媛みかん　|
　　 ￣￣￣￣￣￣￣

>>688
おっ！ 書き込んでいる間に。
ありがとうございます。
さっそく印刷して読みます。

>683
　どうでもいいことだけど >>562 (5) を合わせて･･･　↓が成り立たんかな？

　4(a^3+b^3+c^3+d^3) + 15(abc+bcd+cda+dab) ≧ (a+b+c+d)^3.

>691
> 683 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：04/11/24(水) 11:29:45
> どうでもいいことだけど、>>392 + >>592 を合わせて…

「>>392 + >>562 を合わせて…」 の書き間違いでした。

>>691
成り立つね。

>651の証明から成り立ってますね。�dクス。691,693
（：D）|￣|＿

>>689
(1,1,2)を代入してみたら H≧D だけど、もしかして常に成り立っているのかな。

成り立ってないよ

うちのおじいちゃんの名前　成田多内
うちのおばあちゃんの名前　成田つね

>>696
反例キボンなり

a = 3, b = 1, c : きわめて 0 に近い数

>>699
ぉぉｰ、�dｸｽ

>>697
ageると荒らしの目にとまる一例。

じ

うちのおばあちゃんの名前　成田たね

(1) [Komal. A358] http://www.komal.hu/verseny/2004-11/mat.e.shtml
正の数 a, b, c が abc=1 をみたすとき
　1/a + 1/b + 1/c - 3/(a+b+c) ≧ 2(1/a^2 + 1/b^2 + 1-c^2)/(a^2+b^2+c^2)

(2) [AMM 2003.10 Prob.10944]
正の数 a, b, c が abc≧2^9 をみたすとき
　1/√(1+a) + 1/√(1+b) + 1/√(1+c) ≧ 3/√(1+\sqrt[3]{abc})

以下の問題は [Bonus Problems 2] http://www.dpmms.cam.ac.uk/~par31/bmos/0304/ineqsOundle.pdf

(3) 正の数 a, b, c が abc=1 をみたすとき、a^5 + b^5 + c^5 ≧ 1/a + 1/b + 1/c

(4) 実数 a, b, c, d が ad-bc=1 をみたすとき、a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + ac + bd ≧ √3

(5) 三角形の３辺の長さ a, b, c が a+b+c=1 をみたすとき、23/216 ≦ a^2b+b^2c+c^2a ≦ 1/8

(6) 正の数 a, b, c, d, e が abcde=1 をみたすとき
　(a+abc)/(1+ab+abcd) + (b+bcd)/(1+bc+bcde) + (c+cde)/(1+cd+cdea) + (d+dea)/(1+de+deab) + (e+eab)/(1+ea+eabc) +≧ 10/3

(7) 正の数 a, b, c に対して、a^4 + b^4 + c^4 + [(a+b+c)^4]/27 ≧ 2(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2)

(8) 正の数 a, b, c に対して、(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) ≧ 9 + 3(1- a/b)^(2/3) + 3(1- b/c)^(2/3) + 3(1- c/a)^(2/3)
　　　　　　　＿＿＿　
彡　　　　 ／　　≧　＼　　　　彡　ﾋﾞｭｩ……
　　彡　　 |:::　 ＼ .／ |　　彡
　　　　　　|:::: (●　(●|　　　　
　　　　　　ヽ::::......ワ...ノ　　　　ネタを仕入れてきました
　　　 　 　 人つゝ 人,,
　　　　　 Ｙノ人　ノ ノノゞ⌒〜ゞ 　　　　　
　　　 .　 ノ /ミ|＼、　　　 ノノ　（　彡
　　　　 `⌒ 　.Ｕ~Ｕ`ヾ　　　　丿
　　　　　　　　　　　　 ⌒〜⌒

（問題）
　a,b>2 のとき、{1/(a+b)}^(1/a) + {1/(a+b)}^(1/b) >1.
　おながいします。

>703
　ねた足りな．．．

>>663
　662の(7)を修正
　左辺の (1-x^n)^m =f(x) の下限を考える。
　a=1-[1/(m+n)]^(1/m), b=[1/(m+n)]^(1/n) とおくと, 0<a≦b<1.　（←[705]）
　f_1(x) = 1-m(x^n)　 （0≦x≦b）,
　f_2(x) = n(1-x)^m　　（a≦x≦1） とおく。
f_1, f_2 とも単調減少で、　f_1(x) > f_1(b) = n/(m+n) = f_2(a) > f_2(x)　（a<x<b）
　次に、これらが f(x) の下限となることを示す。
　(1)　f(x) ≧ f_1(x)　（0≦x≦b）
　(2)　f(x) ≧ f_2(x)　（a≦x≦1）
　（略証）
　　(1) 相加･相乗平均を使う： X^m +(m-1) ≧ mX から。
　　(2) f(a) > f_1(a) > f_1(b) = f_2(a).
　　　また f(x)^(1/m) = 1-x^n は上に凸、f_2(x)^(1/m)は直線だから
　　　　f(x)^(1/m) ≧ [f(a)^(1/m)/(1-a)](1-x) ≧ [f_2(a)^(1/m)/(1-a)](1-x) =f_2(x)^(1/m).

　同様にして 1-f_1(x) （0≦x≦b）, 1-f_2(x)（a≦x≦1）は [1-(1-x)^m]^n の下限となる。
　それぞれの区間でこれらを加えれば ≧1 となる。(終)
ぬるぽ 　

>706 の補足
　m=1 or n=1 のときは、等号成立。
　m=2, n>1 のときは、左辺 - 右辺 = (x^n){x^n +(2-x)^n -2} ≧ 0. （← y=x^n は下に凸）
　よって m,n>2 の場合を考えればよい。
ぬるぽ

>>681(7) ab/[c(c+a)] + bc/[a(a+b)] + ca/[b(b+c)] ≧ a/(c+a) + b/(b+a) + c/(c+b)
> b/c=x, c/a=y, a/b=z とおくと u=xyz=1.
> 左辺 = x/(y+1) +y/(z+1) +z/(x+1) = [3u +(s^2 -2t) +t +s]/[(x+1)(y+1)(z+1)].

左辺の分子は、xy^2+yz^2+zx^2+(s^2-2t)-s-3 となりますが…

>>708
> 左辺 = x/(y+1) +y/(z+1) +z/(x+1) = [3u +(s^2 -2t) +t +s]/[(x+1)(y+1)(z+1)].

2番目の等号は≧の間違えでしょ。

>>709
なるほど。�dｸｽです。

マニアックな不等式教えてくれ

　　 ＿＿＿　　>711
　.／　　≧　＼　　　-3≦r≦3、
　|:::: 　＼ .／　|　　　a_1, …, a_n ≧ 1
　|::::: (●　(● |　　　G を a_1, …, a_n の相乗平均とするとき
　ヽ::::... .ワ....ノ 　 　　
￣￣　　　＼　 　 　Σ[k=1 to n](1+a_k)^r ≧ G^r*Σ[k=1 to n]{1+ 1/(a_k)}^r
フ 　　　 /ヽ ヽ

>>711
いちいち上げんな、ボケ！

>>704(3) 次式を回して加える。等号は a=b=c=1。
a^5+a^5+b^5+b^5+c^5 ≧ 5\sqrt[5]{a^(10)b^(10)c^5} = 5/c

　まづ y = x^(2/a) 上の点（1，1）で接線を引きまつ： y = 1+(2/a)(x-1).
　a<2 のときは下に凸、a>2 のときは上に凸ゆえ、
　{x^(2/a)- 1 -(2/a)(x-1)}(2-a) = {x^(2/a) -(a+2x-2)/a}(a-2)≧0.
　∴ {(1/x)^(2/a) -a/(a+2x-2)}(a-2) ≧0.
　これをベルヌーイの不等式とか言うらしい．．．．．
a,b>2 のとき
　{1/(a+b)}^(1/a) = {1/√(a+b)}^(2/a) = {(1/2)^(2/a)}・{2/√(a+b)}^(2/a)
　= {(1/2)^(2/a)}・{2/√(a+b)}^(2/a) ≧ {(1/2)^(2/a)}・a/{a+√(a+b)-2}.
　{1/(a+b)}^(1/b) ≧ {(1/2)^(2/b)}・b/{b+√(a+b)-2}.
　左辺 ≧ {(1/2)^(2/a)}・a/{a+√(a+b)-2} + {(1/2)^(2/b)}･b/{b+√(a+b)-2}.
これが >1 であることを示したいんでつが．．．　　増すますむずぽ．．．．．

>>704(1)(6) を教えてたもれ。
さっぱりわからん。

早く教えれ

>>717
上げんなボケ！氏ね！

>704(1), 716-717
　a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおくと s^3 -4st+9u≧0, s^2-3t≧0. [>>611]
　左辺 = (t/u) - (3/s),
　右辺 = 2(t^2 -2su)/[(s^2 -2t)u],
　左辺 - 右辺 = {(s^3 -4st+9u)t +(s^2 -3t)}/[su(s^2 -2t)] ≧0.
ぬるぽ

>712
　nに関する帰納法による。
　n=2のとき、a^(r/2)=A, b^(r/2)=B とおくと G^r = AB, B-A 〜 (b-a)r. (〜は同符号の意味)
　左辺 = (1+a)^r +(1+b)^r = A･(√a +1/√a)^r + B･(√b +1/√b)^r.
　右辺 = (G^r)･{(1/A)(√a +1/√a)^r + (1/B)(√b +1/√b)^r}.
　　　 = B･(√a +1/√a)^r + A･(√b +1/√b)^r.
　f(x)=√x +1/√x は x≧1 では単調増加だから、f(b)-f(a) 〜 b-a.
　∴ 左辺 - 右辺 ≡ d(a,b) = (A-B)･{(√a +1/√a)^r - (√b +1/√b)^r} ≧ 0.
　d(a,b)は ある意味での「距離」である。

　n>2 のとき、
　a_1=･･････=a_n のとき、等号成立。
　そうでないとき、a_{n-1} < G < a_n (または逆) としても一般性を失わない。
　c_{n-1}=a_{n-1}･a_n/G, c_n=G とおくと、相乗平均Gは変わらない。
　a_{n-1} < c_{n-1}, G < a_n (または逆) だから d(a_{n-1},a_n) ≧ d(c_{n-1},G)
　∴ F_n(a_1, ･･････, a_n) ≧ F_n(a_1, ･･････, a_{n-2}, c_{n-1}, G)
　　= F_{n-1}(a_1, ･･････, a_{n-2}, c_{n-1})
　となるが、帰納法の仮定により 右辺≧0 である。(終)
>　-3≦r≦3、
　要りまつか?
むずぽ

>>720
神キタ━(ﾟ∀ﾟ)━!!!!
発掘元は 「不等式への招待 P.51 注意」 からです。
その本によれば、P.49の例8を用いて証明したそうなので
条件 -3≦r≦3 がついたのかな…

>>565(7) をたのも〜。なんかできません。

　s=(a+b+c)/2, x=(b+c-a)/2, y=(c+a-b)/2, z=(a+b-c)/2
とおくと、三角形の成立条件から x, y, z>0 で
　s=x+y+z, a=s-x, b=s-y, c=s-z
また t=xy+yz+zx, uxyz とおくと、
　（左辺）-（右辺） = (2s^3-5st-3u)/u - 18a = (2s^3-5st-3u-18su)/u
とここまでやって…
　　　　　ダメポ ＞（|ﾝ：(）|￣|＿

a=b=c=1で成り立ってないけど。

>720
r<-3, 3<r には反例が．．．
　a_1=1, a_k=2 (k=2 to n), n=10, G=2^[(n-1)/n]=1.8660659830736, r=4 のとき,
　左辺 = 745 < 746.49040900637 = 右辺.
　a_1=2, a_k=1 (k=2 to n), n=10, G=2^(1/n)=1.0717734625363, r=-4 のとき,
　左辺 = 0.574845679012346 < 0.575995685961706 = 右辺.
したがって -3≦r≦3 は必要と思われ。

>724
　�dｸｽ.
　2個の相乗平均√(a_{n-1}a_n)が全体の相乗平均Ｇと異なるため、そのままの比較は無理のようでつ。　
すまそ。

>>565(7)は、通分してゴリゴリするのは地獄を見そうだし…
なにかいい手があるのかな？