面白い問題おしえてーな 九問目
267 ：１３２人目の素数さん：
>>248
前半は分かった。三角形ABCの内部に点Pをとる。PからBCにおろした垂線の足をD、
CAにおろした垂線の足をE、ABにおろした垂線の足をFとする。
明らかに、四角形AFPEは円に内接し、外接円の直径はAPである。従って正弦定理より
FE/sin(∠FPE)=APが成立し、∠FPE=π-∠Aであるため、FE=APsinA ∠は省略が成り立つ。
今、点F,Eから直線BCに垂線をおろし、その足をF',E'とすればEF≧E'F'が成立する。従って
APsinA≧E'F'が成り立つ。また、E'F'=E'D+DF'が成立し、E'D=PEsinB DF'=PFsinCが成り立つ。
このことから、AP≧(sinB/sinA)PE+(sinC/sinA)PFが成立する。
同様にして、PB,PCについても同等の不等式を得れば、
AP+BP+CP
≧((sinC/sinB)+(sinB/sinC))PD + ((sinB/sinA)+(sinA/sinB))PE + ((sinC/sinA)+(sinA/sinC))PF
≧2(PD+PE+PF)
等号成立条件は∠A=∠B=∠Cかつ、EF=E'F'等なので、△ABCが正三角形でかつ
点Pが重心に位置するとき。
前半は分かった。三角形ABCの内部に点Pをとる。PからBCにおろした垂線の足をD、
CAにおろした垂線の足をE、ABにおろした垂線の足をFとする。
明らかに、四角形AFPEは円に内接し、外接円の直径はAPである。従って正弦定理より
FE/sin(∠FPE)=APが成立し、∠FPE=π-∠Aであるため、FE=APsinA ∠は省略が成り立つ。
今、点F,Eから直線BCに垂線をおろし、その足をF',E'とすればEF≧E'F'が成立する。従って
APsinA≧E'F'が成り立つ。また、E'F'=E'D+DF'が成立し、E'D=PEsinB DF'=PFsinCが成り立つ。
このことから、AP≧(sinB/sinA)PE+(sinC/sinA)PFが成立する。
同様にして、PB,PCについても同等の不等式を得れば、
AP+BP+CP
≧((sinC/sinB)+(sinB/sinC))PD + ((sinB/sinA)+(sinA/sinB))PE + ((sinC/sinA)+(sinA/sinC))PF
≧2(PD+PE+PF)
等号成立条件は∠A=∠B=∠Cかつ、EF=E'F'等なので、△ABCが正三角形でかつ
点Pが重心に位置するとき。
|
|
|