面白い問題おしえて〜な 七問目

面白い問題、教えてください

過去スレ

[1]面白い問題教えて
http://cheese.2ch.net/math/kako/970/970737952.html
[2]面白い問題教えて 第２版
http://natto.2ch.net/math/kako/1004/10048/1004839697.html
[3]面白い問題おしえてーな
http://science.2ch.net/math/kako/1026/10262/1026218280.html
[4]面白い問題おしえて〜な 四問目
http://science.2ch.net/math/kako/1044/10441/1044116042.html
[5]面白い問題おしえて〜な 五問目
http://science.2ch.net/math/kako/1049/10495/1049561373.html
[6]面白い問題おしえて〜な 六問目
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1057551605/

>>1
もつ

>>3
埋まってしまうかとひやひやしました。数学板なのにｗ

これは簡単かな？
Σ_{k=0}^{n-1}exp(2πik/n)=0の成り立つ正整数nの範囲を求めよ。

expってなんだっけ？

>>1
あんな空気の中でよく立ててくれた。
ﾏﾘｶﾞﾄｳ

>>6
経験値

しつこくしつこく３回目の出題。
　
n≧２とする。n次元ユークリッド空間E^nからE^nへの写像f:E^n→E^nが
　
　d(P,Q)=1⇒d(f(P),f'Q))=1
　
をみたすときfは等長写像であることを示せ。ただしd(P,Q)はPQの距離をあらわすとする。

模範解答示せｺﾞﾙｧ

そだね。もう３回目だし。来週ぐらいに解答かきまふ。ではまた来週！
サヨナラ。サヨナラ。サヨナラ。

等長写像ってなに？

等距離写像。

>>11
d(P,Q)=d(f(P),f(Q))が任意のP,Qについて成立するような写像。

9 名前：１３２人目の素数さん 投稿日：03/10/01 19:01
しつこくしつこく３回目の出題。
　
n≧２とする。n次元ユークリッド空間E^nからE^nへの写像f:E^n→E^nが
　
　d(P,Q)=1⇒d(f(P),f'Q))=1
　
をみたすときfは等長写像であることを示せ。ただしd(P,Q)はPQの距離をあらわすとする。

>>14
サンクス

難しい問題ばっかりが面白い問題じゃないだろってことで、

∫[0,2π] √( 1-(cosθ)^2 )dθ

を求めよ。
--
即答しろって言われたら間違えるんじゃね？

ここはつまらない問題を書き込むスレですか？

ttp://math.josai.ac.jp/fun/indexj.html
一番下のが分からんねやけど誰か教えて

よこの２面づつ２組がそれぞれ１面づつになるから５面だとおもう。

あーあー
なるほど。サンクス。

正四面体の各辺の中点を結ぶと一辺が1/2になった正四面体が4つとれる。
この4つを取り外すと正八面体が出来る。これを2つに分割した奴の1つと
それにくっつく1/2正四面体1つを合わせた物が>>19のリンク先物体になるな。

平面上に凸図形がある。その周の長さはL、その面積はSである。
いま、この図形のほかに、二定点A,Bをとる。動点Pをとり、∠PAB=θとする。
APに平行な異なる二直線を引き、その両方が与えられた凸図形に接しているとする。
このとき、この異なる二直線の距離をf(θ)と置く。

∫f(θ)dθ

の値を求めよ。
----

簡単かな？

>>23
訂正。

∫[0,2π] f(θ)dθ。


積分範囲書き忘れた。

>>19
５面体になることの証明

http://ebizen.hp.infoseek.co.jp/cgi-bin/img-box/img20031007035243.jpg

正方形をどの２つも合同でない３つの相似な図形に分割せよ．

>>26
http://w2.oekakies.com/p/2chmath/p.cgi
の85です

>>26
答えは無限にある

>>28
それを説明しないと…。
>>28は、ゼミで「明らかである」と言って教授に突っ込まれるタイプ。

円周率の小数点以下10^10000桁目を求めよ(もち10進法な)。
できたら俺氏んでやる

>>26
直角3角形Aをつくるため対角線で切ると残りは
Aと掃除になるように気ると合同になる
（残りの直角の点から垂線を下ろして直角作ると
二分する各と二編同じ→合同）
また、Aに相似な物は頂点を切るしかないのに、
他の頂点では火掃除、頂点外では4角形。
（以上は三平方の証明の応用）

四角形に切るとき（最初の切り方は３，４角形しかない）
斜線で切ると、次も斜線で切らなければ行かず、
直角が2つ付く偏が出来ないので却下。

真直ぐ垂直に切るとき
どれくらいきる化を
一回目a
二回目b
つまりひは、
1:a
1-a:b
1-a:1-b
の三つ、ただし順序は以下で考える
ひをa(=a/1)としてやる（もちろん0<a<1 かつ 0<b<1）

i)a>bのとき
略
(√5-1)/2 < a < 1のとき
二回目の時に合同になるのでボツ（ちなみに日は2/3）
0=a^3-a^2+2a-1 なるaが
1/2 < a < (√5-1)/2
の範囲であって、合同名別け方じゃなければいいが
計算できないので、まかせます。(b=(2a-1)/a)

つづき
ii)b>aのとき(b=1+a(a-1))
同じ式
0=a^3-a^2+2a-1
がでてきて、(0<a<1)の範囲で買いがあって、
だいじょぶならおｋ
グラフで描かせたら、0.5以外でありそうなので、
二回目で別けたやつ同士は合同じゃないけど、
他が・・・・
3次式解ける人検算お願いします

>>29
実数x, yを、x^2+y^2-x-y+xy=0 を満たすように取る。
ただし0＜x＜y＜1 とする。1辺1の正方形ABCDで、

ADを x：1-x に内分する点をE
BCを y：1-y に内分する点をF
CDを (1-y)/x：(1-x)/y に内分する点をG

とし、EFを結び、GからADに平行な直線を引いて
それがEFと交わる点をHとする。

こんな感じでどうかね。
たとえば x=3/7、y=6/7 などがその一例。

30へ、こういう問題にはこんな回答を出す人が居る。
[π*10^10000]-10*[π*10^9999]
30はどうするのか？

今は昼だ。
さて、111111111111111111111111111を27で割ったときのあまりを0以上27未満の整数で答えよ。
制限時間は180秒間。(30秒もあればできるだろう。)

>>30
小心者め。

>>35
111*1001001001001001001001001

もっと簡単なやり方ある？

>>34
[π*10(10^10000)]-10*[π*10^((10^10000)-1)]?

111-108=3を使えば。
0

（１）円を相似だが合同でない２つの図形に切り分けよ

（２）正三角形を相似だが合同でない２つの図形に切り分けよ

（３）正方形を相似だが合同でない２つの図形に切り分けよ

お絵かき掲示板
http://w2.oekakies.com/p/2chmath/p.cgi

>>40
http://w2.oekakies.com/p/2chmath/31.png?81

沈んでいるので問題を。数ヲタには簡単だろうけど…

任意の正の数a,b,c,d,e,fに対して、次の不等式を示せ。
ab/(a+b) + cd/(c+d) + ef/(e+f) ≦ (a+b+c)(d+e+f)/(a+b+c+d+e+f)

. .: : : : : : : : :: :::: :: :: : :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
　　　　. . : : : :: : : :: : ::: :: : :::: :: ::: ::: ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
　　　.　. .... ..: : :: :: ::: :::::: :::::::::::: : :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
　　　　　　　 Λ＿Λ . . . .: : : ::: : :: ::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::
　　　　　 　/:彡ミ゛ヽ;）ー､　. . .: : : :::::: :::::::::::::::::::::::::::::::::
　　　　　 / :::/:: ヽ、ヽ、 ::i . .:: :.: ::: . :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
　　 　　 / :::/;;: 　 ヽ　ヽ ::ｌ　. :. :. .:: : :: :: :::::::: : ::::::::::::::::::
￣￣￣（_,ノ ￣￣￣ヽ､_ノ￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　　　　　わからん・・・

円周率の小数点以下10^10000桁目を求めよ(2進法な)。
できたら俺氏んでやる

　　　　　　　　　　　,..-‐−-　､、
　　　　　　　 　　,ィ":::::::::::::::::::;;;;;iii>;,、
　　　　　　　 　 /:::::::::::::::;;;;;;;;iii彡" ::ﾔi､
　　　　　　　 ./::::::::::::;:"~￣　　　　 ::i||li
　　　　　　　 .|::::::::::j'_,.ィ＞､、　　 .:::iii》　　
　　　　　　　 ヾi´｀, 　`‐-‐"^{"^ヾﾉ"　　
　　　　　　　　　Y　　　　　,.,li｀~ ~i　　　そろそろ時間だ！
　　　　　　　　　 i、 　 ･=-_､,　 :/　　　　答えを聞こうか！
　　　　　　　　　　|ヽ　　　 ''　..:/
　　　　　　　　　　|　 ` rー､.,ノ__
　　　　　／｀ーヘl丶ー--‐ l |＼￣ ニ-､
　　　　ノ､ノ＾⌒へ＼ー--‐' /,＿ ＼ 　　 ＼
　　　／⌒　　,◎､ 　＼　／ |　： ￣　　 　 ＼
　 /::::　　　 ／|_.|ｲ-､ ､V ￣　　： ｜　　　　 ＼
　 >-―　__/､ﾆEl（,,ﾉ : |o　　i　：　o
　（　　 ／　〈　ﾆニﾉ　: |　　　｀｀'''―'⌒
　　＼|　　　＿ーノ　 : |
　　 ＼｀ー´／￣　　 :｜

勘で0

値を示す問題じゃないやーーん

勘で1

ｒ;;;;;ノヾ　
ﾋ‐=r=;'　　
ヽ二/　　　　茶でも飲みながら、3分間待ってやる！
(､っiｮc)
ﾞ'ｰ'ﾞｰ'

44と勘違いしていた。
ｽﾏｿ

.　　　　　　　∧＿∧　 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　　　　　（；´Д｀）＜　スンマセン、直ぐに片付けます
　　-=≡ 　/　　　 ヽ　 ＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
.　　　　　 /|　|　　 |. |
　-=≡　/.　＼ヽ／＼＼_　　ｒ;;;;;ノヾ
　　　　/　　　 ヽ⌒)==ヽ_）= ﾋ‐=r=;'
-= 　 /　/⌒＼.＼　||　　|| 　ヽ二/　　どこへ行こうというのかね？
　　／ ／　　　 >　） || 　 ||　( つ旦O
　/　/ 　　　　/ ／＿||＿ ||　と＿)＿) ＿.
　し'　　　　　（＿つ￣(_））￣ (.)）￣ (_））￣(.)）

　 　 　 　 　 |　　　　　|　　　　　 　 |
　 　 　 　 　 |　　　　　| 　　　　　　 |
　 　 　 　 　│　 　　　￣￣￣￣￣
　　　　　 ｒ;;;;;ノヾ
　　　　 　ﾋ‐=r=;'　　　誰も解かないのか…
　　　　 　ヽ二/　 　 　 　 　
　 　 　 　 (∩∩)────────────────
　 　 　 ／
　 　 ／
　 ／！

＜血液型Ｏ型のいかがわしい特徴＞ （ なんでも気を許していると調子に乗ってつけこんでくるぞ！ ）
■その道の達人をコケにして安心しようとする。多数派のときだけやたら強気。才能ある人間を歪んだ目でしか見れない。
■場所が変わると手のひらを返すように態度が豹変する （　あの連中の中じゃヘコヘコさせられてきたが、うちに来たら見ていろ！ 礼儀を教えてやる。 ）
■読みが浅い。粘着に睨まれる事を言っておいて関係ない人に振り向けバックレようとする姑息さ （ どうせ>>１さんはヒッキーでしょ？ / 関西人だってｼﾞｻｸｼﾞｴﾝしてるぜ ）
■早とちりが多く、誤爆と気付いても釈明できない。イイ人を装って忘れる （ そういう土地柄だったのさ ） 　他人の勘違いは許せない。
■話題と関係ない個人攻撃で場の空気を険悪にする。なぜか次第に自分から耐え切れなくなりあきれて話題をコロコロ変える。
■いつの間に恩を貸してるように振舞うが、自分のためであると見抜かれる。恥ずかしさをごまかすために大袈裟にキレるが相手がキレると今度はビビる。
■顔が見えない相手と喋っているのに毒舌かつ強気。面と向かった相手には他人が言ったことに。 （ 俺が言ったんじゃないけど、Ｋさんがあなたをアホかとバカかと… ﾋﾋ）　ネット弁慶。
■無理な人の真似をしケチをつけ、批判される所には現れない。観察される側になると極度に焦る（ 直接対決が苦手。言い返されにくい状況を計算する ）
■自分が企んでいるのに相手を悪人に仕立て上げて餌食にする。わざと攻撃を誘って自分の憎悪に酔いしれる。人の裏切りを許せないわりに自分の裏切りは覚えていない鈍感さ。
■世間に通用しないような事ばかりしつこく繰り返して自分に課した目標から逃げる。あげくのはてに相手にわからない方法でキレる。
■半端な人生経験で集団的にばかり相手を気にする （ 君のような人はウチでは… / ○さんによく似てるから駄目だろうね / 背が高い奴はどいつも… ）

>>50は>>47と考えられる。以上っ！

　 ||
/ヘ;;;;;　　だれも挑戦してくれないのか…
';=r=‐ﾘ　　
ヽ二/ ヽ
　| | 　　|　
　∪ / ﾉ　　　
　 | ｜|　
　 ∪∪
　　　；
　-━━-

2n+1個の整数　a(1)，a(2)，…，a(2n+1)を次の性質をみたす整数の集合とする。
性質：これらの整数のどの１つを除いても，残りの２ｎ個の整数は，２つのｎ個の整数の集まりに分解でき，それらの和が一致する。

このとき， 2n+1個の数は全て等しい事を示せ。

で結局、ムスカは無視かよ？

>>55
不等式の問題か？

まじめに分からんので解説してくれ

二進法での円周率の小数点以下
10^(10^(10^(10^10)))桁目を求め、
どちらかの扉に進めと問題を出されて、
扉が2つある。片方は0 片方は1
どちらかは天国。どちらかは地獄へ通じている。
あなたは未来における、人類史上最強の数学者です。
制限時間は予め決められてます。
選択肢は3つあります。どれかを選ぶまでは時間はカウントされません。
悪魔は心を読めるので、どれかを選択してるとみせかけてその間、
解くのに時間をかけることはできません。解きだしたら�@と見なされカウントされ出します。
一旦どれかに決定したら後から変更は出来ません。
�@解けるまであがきつづける。(制限時間に間に合わないと悪魔に強制的に地獄送りされます)
�A勘でどっちかに賭ける
�Bあがくなんて無駄。諦めて悪魔に地獄に放り込んでもらってスッキリ

�Cを選ぶ

二進法で10^(10^(10^(10^10)))桁目だろ
10^(10^(10^(10^10)) = 10^(10^(10^100)) = 10^(10^1000) = 10^10000 = 100000
十進法に直せば32じゃねーか。　制限時間によっては�@を選ぶよ。

>>61はあほ

二進法で指数計算てどうやんの？
初めて見た

>>61
二進法だったとしても、

20035299304068464649790723515602557504478254755697514192650169737108940595563114
53089506130880933348101038234342907263181822949382118812668869506364761547029165
(19440桁ほど略)
59888384311451189488055212914577569914657753004138471712457796504817585639507289
5337539755822087777506072339445587895905719156736桁目の計算なのですが？

>>56
問題の前提となっている性質は
任意の定整数kを一つ取って，各a(i)のそれぞれからkを引いたa(i)-k についても
成り立つ性質である．必要なら順番を入れ替えてa(1)≦a(2)≦...≦a(2n+1)
としておいてよい．今，kとしてa(1)を選び，各iについてa(i)-kをあらためてa(i)とすると
2n+1個の整数 0,a(2),a(3),...,a(2n+1) がまた問題の性質をもつ．
さて，a(2),...，a(2n+1)を適当にn個づつ2組に分けそれぞれの和をつくると
等しくなるから，a(2)+a(3)+・・・+a(2n+1)は偶数である．
ここで任意のa(i)をa(1)=0で置き換えても同様の理由から偶数であるから，
どのa(i)も偶数であることがわかる．すべてのa(i)が偶数であるから
それぞれを2で割ったものをあらためて，a(1)=0,a(2),・・・,a(2n+1)とすると
やはり同じ性質をもつ．するとa(1)=0だから，やはりa(2)以下すべては偶数である．
よってa(i)の中に0でないものがあるなら，結局どれかのa(i)が奇数になるまで
割っていくことができ，それら全体がやはり問題の性質をもちつつ
相変わらずa(1)=0なのだから，これは矛盾である．
よって，最初にk=a(1)を引いた時点ですべては0になっている．
つまり，a(i)同士はみな等しい．

http://www.2ch.net/tako/comic/kako/958/958465192.html

■■　　　　■■
　 ■■　■■

の2つのパターンのみがランダムに現れるテトリス。
横のサイズは10、縦のサイズは20とする。
出現するパターンの分かるものは、今落ちているパターンの他に次に落ちてくるパターンのみとする。

有限時間内に負けない方法があるのならばその手順を、
有限時間内に必ず負けるのであればその証明を示せ。

■■　■■■■
■■

の2パターンのみがランダムに出現する場合はどうか？

<<67
有限時間内に負けない方法がある　と
有限時間内に必ず負ける　では　すべての場合を覆えない。
有限時間内に負けない方法がある　と
有限時間内に（ブロックの出現のある場合に対しては）負ける可能性
がある　ではないでしょうか？
67は難しいが
68では有限時間内に負ける可能性がある

例えば、■■■■がずっと出た場合。テトリスは消えない
なぜなら、横１０列より。　証明終わり

>>69
＞有限時間内に（ブロックの出現のある場合に対しては）負ける可能性がある

これを「有限時間内に必ず負ける」と表現したつもりです。
無限にゲームを行い続けようとしても高々有限時間内に必ず負ける、と。

>>70
えっと、テトリスなんで回転は出来ますが。

失礼。
それで68は負けない方法はありますね。
厳密な証明はまだ考えてないですが。
また考えてみます。

経験上、深さが20段あれば、どんなブロックがどんなパターンで
降ってきても負けることはない。

もちろん、思考時間と操作時間が十分与えられた場合の話ね。
問題は単純なアルゴリズムでそれを実現することか…。

あと、どう配置しても必ず負ける降らせパターンが存在するような、
深さの最大値はいくつになるのか興味がある。

>>73
高々数百回数千回の経験でもって
無限に続けられると結論付けるのは数学屋としてどうか。

★エイト・クイーンズの解
□□□□□□□□　エイト・クイーンズというひとり遊びのゲームがある。　
□□□□□□□□　ルールは、
□□□□□□□□　　◆８×８のチェス盤の上に８つのクイーンを配置する。
□□□□□□□□　　◆クイーン同士がお互いをとることのできない位置に配置する。
□□□□□□□□　　　クイーンは縦、横、斜めにどこまでも移動可能。
□□□□□□□□　　　つまり、クイーンを置いたマスの縦、横、斜めのライン上には
□□□□□□□□　　　他のクイーンがあってはならない。
□□□□□□□□
例えば、
□□□□□□●□
□□□□●□□□　このように、配置する。
□□●□□□□□　
●□□□□□□□　さて、このゲームの解は何通りもあるが、
□□□□□●□□　（１）一番隅のマスにクイーンを配置した解は存在するか？
□□□□□□□●　
□●□□□□□□　（２）解は全部で何通りあるか？　
□□□●□□□□　　　　ただし、回転、反転して同じ解になるものは全てあわせて一通りとする。

>>73
普通にゲームした場合には同じブロックが数十回連続で出てくることなんてまず無いでしょ。
でも数学的に無限に続けられるかどうかを論じるためにはそのようなケースも考慮しないと駄目。

>>72
>>68の負けない方法教えてー

>>68って負けない方法ある？
いや、一見負けそうにはないんだけど、どうも手順が見つからないような

0≦p,q,r,s≦1　の実数p,q,r,sを考え
x=p-q　、　y=r-s　とする。このとき、x,yのとりうる値をx-y平面上に図示せよ。
---

図示すると形がきれいになるので出題。

>>79
忘れてた。
p+q+r+s=1
の条件が抜けてる。。。

|x+y|≦1,|x-y|≦1

>>79-80
|x|+|y|≦1

毎時（１時台、２時台・・・）必ず１本だけバスが来る停留所があります。
ただし何時台のバスもその時間の何分に来るのかまでは分かりません。
何分に来るのかは各時間ごとに全くのランダムです。

さて、時計を見ずに適当な時間にこのバス停に来た人の
バスの平均待ち時間は何分でしょうか？

30分

>>84
ちゃう

>>83
(1分+1時間59分)/2= 1時間

答え：1時間

これで満足か？

>>86
意味不明

>>87
答えが合ってるんだからいいだろ。禿げ。
具体的に説明したところでおまえのような奴はいいがかりつけるだけだろ。

>>88
答えも間違ってんだよ禿げ

25分

>>90
ちゃう

35分だっ。

５０分

>>92
せーかい！

35分

ｘ分に人が来たとすると、
１）その前にバスが来ていない確立は　1-x/60
そのときの平均待ち時間は、(60-x)/2

２）その前にバスが来ている確立はx/60
そのときの平均待ち時間は(90-x)

和をとって、-x^2/120 +x/2+30
Σ(-x^2/120 +x/2)/60=5 (0<x<59)
30+5=35

ああ遅かったか

毎分1/60の確率でバスが来る停留所があります。

このバス停に来た人の
バスの平均待ち時間は何分でしょうか？

だったら1時間になるけど
低脳にはそれがわからなかったのね(ﾌﾟｸｽ

> 毎分1/60の確率でバスが来る停留所があります。

いやなバス停だな

>>98も低脳

>>96
＞和をとって、-x^2/120 +x/2+30
＞Σ(-x^2/120 +x/2)/60=5 (0<x<59)

積分したほうが良さげ。

ｘ分からｘ＋ｄｘ分の間に人が来る確率はｄｘ／６０

よって
S　（-x^2/120 + x/2 + 30） dx/60　（0から60まで）　＝　３５

>>73
単純に
■■
　 ■■
のみを無限に落とし続ければ、プレイヤーは負ける。
高さが何段あってもだ。

ごめん、そうでもないな。

　 ■　 ■　 ■　 ■　 ■
■■■■■■■■■■　列がそろったら
■　 ■　 ■　 ■　 ■

　　　　　　↓

　 ■　 ■　 ■　 ■　 ■　そろった列が消えて
■　 ■　 ■　 ■　 ■　　 消えた分だけ落ちる

だよね、テトリスは。
# ボンブリス(知ってる奴いる？)だと確か全部消えてしまう

>>104の下図の後は、
まさに>>104の上図のパターン通りに下図にブロックを置けば、
２ライン消えて再び下図に戻るね。

これは無限に負けない。

>>83と似てるんだけど、基本問題で、

「ランダムだが平均して1時間に1本バスがくる停留所がある。
バス停にきた人が1時間以内にバスに乗れる確率は？」

これ、知らない人が結構いるみたい。

>>106
お客がバス停に来た時点を時刻0として時間軸を取り、
この時点から先T時間の様子を考える。この間に
T本のバスが来て、それらは独立で、時間 [0,T] 内に
一様に分布しているとしてよい。

このとき、ある1本のバスが時間 [0,1] 内に来ない確率は
(T-1)/T で与えられる。これがＴ本あるから、時間 [0,1] 内に
1本もバスが来ない確率は((T-1)/T)^Tとなる。

ここでＴ→∞とすればこれは1/eに収束する。
よって求める確率は 1-(1/e)

>>107
正解です。そして、計算するとわかりますが、
意外？にも待ち時間の平均が1時間になるんですよね。
いわゆるポアソン過程というやつです。

>>83の「1時間にランダムに1本」を「N時間にランダムにN本」として、
さらにN→∞とした場合に対応します。

>>9をだいぶ前（初回の出題時）から暇を見ては考えているんだが
上手い方針が全く思いつかない。ヒントくれよ！

せめて

・fの連続性
・fの全単射性
・d(P,Q)=1⇔d(f(P),f'Q))=1

のどれか1つでも示せればだいぶ違ってくるんだが。

>>109
おお、考えてるしといたのか。とりあえずn=2の場合やってみると高次元化は簡単。
n=2の場合の証明のポイントは
(I) d(P,Q)=√3⇒d(f(P),f(Q))=√3 or 0を示す。
(II) d(P,Q)=√3⇒d(f(P),f(Q))=√3 を示す。
(III) あるe<1が存在しd(P,Q)=e⇒d(f(P),f(Q))=eをしめす。
(IV) 等長写像であることをしめす。
でいける。(I)はかんたん。(I)⇒(II)はd(P,Q)=√3である２点にたいしある２等辺３角形を
考えるといける。(II)⇒(III)は３辺のながさが1の正三角形と３辺の長さが1,1,√3の３角形を
重ねたものをつかう。(III)⇒(IV)は３角不等式。
(II)⇒(III)、(III)⇒(IV)の証明のポイントは
d(P,Q)=e⇒d(f(P),f(Q))=e (∀P,Q)が成立するときd(P,Q)≦ne (n≧2)⇒d(f(P),f(Q))≦ne
がなりたつことを利用することがポイント。

サンクス。(II)までは俺も到達してたんだけど、
そこから先が続かないのでこの方針ではダメかと思ってた。
ヒントを元にもうちっと考えてみるわ。

平面上の点集合Sについて、Sのどの二点を取ってもその距離が1を超えないとする。
関数f:S→Sを考え、
S∋A,Bならば、
d(A,B)≦d(ｆ（A）,f(B))
が成立している。　このとき、任意のS∋A,Bに対して
d(A,B)=d(ｆ（A）,f(B))
を示せ。


最近、少ないね。ネタ切れか？

>>112
なんか一瞬自明に見えた

テトリスの証明しよう

テトリスが数オタノ心をがっしりキャッチすることの証明か。

>>112
反例みつからんか？

>>112
ヒントくれアゲ

>>117
S⊂T　を満たす点集合Tを考える。
Tをある特殊な集合として、さらに写像fにも必要に応じて、回転、平行、対称移動を加える。
すると、あら不思議 TとSの差集合に属する T-S∋X　任意の点Xに対して、T-S∋f(X)が成立してしまいます。

ポイントとしては、写像fはある程度いじっても距離には影響を与えない所
あとは。。。Tをどう考えるか。

S上の写像fがT上に拡張できる根拠は？

>>119
それも問題を解きながら考えてくれ。

>>118
まったく意味わからないんだけど･･･Tぐらいおしえてよ。

>>112
なんか、出題者の方が間違ってる気がするが・・・一応ヒント通りにやってみるか。

Tぐらいおしえてくれあげ

問題文の S, f は固定ですよね？

十分に大きい実数Rに対して、半径Rの円盤TはS⊂Tを満たすとして良い。
x-y座標を導入し、点集合Tをx^2+y^2≦R^2と定義して以下の議論を進める。
ちなみに、俺には写像fをSからT上に拡張する方法が分からないので、写像fは無条件にＴ上で考えても良いとする。だって、わからないんだもん。

A=(R,0)　　B=(-R,0)　の二点A,Bに対して、d(A,B)=2R　さらに、f(A)、ｆ（Ｂ）∈Ｔより、d(f(A),f(B))≦2R
よって、d(f(A),f(B))=2R。この事から、f(A)=( Rcosα , Rsinα ) 　f(B)=( Rcos(α+π) , Rsin(α+π) )
が成立し、写像fに回転を加えると、一般性を失わずf(A)=A　f(B)=Bとしてよい。
さらに、C=(0,R)　D=(0,-R)　とすれば、上と同様にして、f(C)=C　f(D)=D　またはf(C)=D　f(D)=Cが得られ、ここでも写像fに必要に応じて対称移動を加える事で、f(C)=C　f(D)=Dとして良い事が分かる。

さて、T∋Xの任意のXに対して条件より
d(A,X) ≦d(A,f(X))
d(B,X) ≦d(B,f(X))
d(C,X) ≦d(C,f(X))
d(D,X) ≦d(D,f(X))
が成立する。このような条件を満たすのはf(X)=Xのみである。従って、f:T→Tは恒等写像となる。

さて、俺にはここが限界なのだが・・・

f:T→T　が恒等写像なので、X,Y∈S⊂Tの任意のX,Yについても
d(X,Y)=d(f(X),f(Y))
が成立する。


思いっきり間違いつつもQ.E.D.

誰か補完ｷﾎﾞﾝﾇ

>>125
かいてある部分については大体ただしそうだけどこの方針でいくならS,fを条件をみたす
ものとするときあるO∈E^2とR>0とTとgで
(1)S⊂T、g:T→T、g|S=f、d(A,B)≧d(g(A),g(B)) (∀A,B∈T)
(2)∀A∈T、d(O,A)≦R
(3)∃A,B,C,D∈T d(A,O)=d(B,O)=d(C,O)=d(D,O)=R
をみたすものがとれる。がいえればよいと。この方針でいいの？＞出題者

円形の台紙の中央に針が一本ついてて、その針をくるくる回すルーレットのようなものを考える。
台紙の１２時の位置に印を付けておく。
誰か他人に自分の見えないところで適当にランダムに針を回させて、
台紙の１２時の位置から針の止まったとこまでを時計回りに黒く塗らせた。
（これで台紙が領域黒と領域白に分かれたことになる）

準備完了。

（１）さて、こうしてできたルーレットを、
　　やはり自分の見えないところで誰かに１回まわさせたとき、
　　針が領域黒に止まる確率は？

（２）さて、こうしてできたルーレットを、
　　やはり自分の見えないところで誰かに２回まわさせたとき、
　　針が２回とも領域黒に止まる確率は？

>>128
領域黒の割合b (0<=b<=1)として、
領域黒がbとなる密度関数p(b)=1、
領域黒に針が止まる確率はbなので
(1)\integral_{b=0}^{1} bp(b)db = 1/2
(2)\integral_{b=0}^{1} b^2p(b)db = 1/3

>>129
やはり瞬殺ですか。

（２）の答えが（１）の二乗にならないのがちょっと面白い。
ちょっとだけね。

　　　　　　 ∧　 ∧
　　　　　　 |1/　|1/
　　　　 ／￣￣￣｀ヽ、
　　　 /　　　　　　　　ヽ
　　　/　　⌒　 ⌒　　　|　　
　　　|　（●） （●）　　 |　＜　自称　有栖川です
　　 /　　　　　　　　　　|　
　 /　　　　　　　　　　　|
　{　　　　　　　　　　　　|
　 ヽ、　　　　　　　ノ　　|
　　　｀`ー――‐''"　　　|
　　　 /　　　　　　　　　　|
　　　|　　　　　　　　　　|　|
　　 .|　　　　　　　　|　　|　|
　　 .|　　　　　　　　し,,ノ　|
　　　!、　　　　　　　　　　/
　　　 ヽ､　　　　　　　　 / 、
　　　　　ヽ、　 ､　　　／ヽ.ヽ、
　　　　　　 |　　|　　 |　　　ヽ.ヽ、
　　　　　 （＿_（＿＿|　　　　 ヽ､ニ三

>>130
じゃあ問題を追加してみたー

（3）さて、こうしてできたルーレットを、
　　やはり自分の見えないところで誰かに1回まわさせたとき、
　　領域黒に止まったことを教えられた。
　　次の1回の試行で領域黒に止まる確率は？

2/3?

>>112
なんとなくできたかも。まわりくどい証明かもしれないけど。なんにせよおもろかった。
（解答）
集合Sと写像f:S→Sについての以下の条件をかんがえる。
Sは有界で∀A,B∈S d(A,B)≦d(f(A),f(B))･･･(※)
　
補題１
(S,f)が(※)をみたすとき、(T,g)でこれも(※)をみたしS⊂T、g|S=f、
Tはコンパクト集合となるものがとれる。
(∵)T=clS(Sの閉包)とおく。Tの各元Aにたいして点列P(A,i)をP(A,i)∈S、limP(A,i)=A、
limf(P(A,i))は収束、A∈SのときP(A,i)=Aをみたすように選ぶ。（Sが有界ゆえ可能）
そこでg(A)=limf(P(A,i))と定めると(T,g)が求める条件をみたすことがわかる。□
　
補題２
A1,A2,A3,A4,B1,B2,B3,B4がd(Ai,Aj)≦d(Bi,Bi)≦d、d(A1,A2)=d(A3,A4)=dをみたすとき
d(Ai,Aj)=d(Bi,Bj)
(∵)A1=B1=(0,0)、A2=B2=(d,0)として一般性を失わない。さらにy(A3),y(B3)＞0としてよい。
（ここにx(P)はPのx座標、y(P)はPのy座標。）このときd(Ai,Aj)≦d(Bi,Bi)≦dより
y(A4),y(B4)＜0もわかる。d(A1,A3)=p、d(A2,A3)=q、d(A1,A4)=r、d(A2,A4)=sとおきさらに
X={P|d(A1,P)≧p、d(A2,P)≧q、y(P)＞0}、Y={P|d(A1,P)≧r、d(A2,P)≧s、y(P)＜0}とおけば
A3,B3∈X、A4,B4∈Yであり簡単な計算からd(P,Q)≧d (∀P∈X,∀Q∈Y)、
d(P,Q)=d ⇔ P=A3、Q=A4(∀P∈X,∀Q∈Y)であることがわかる。よって仮定からA3=B3、A4=B4。□
　
系３
(S,f)が(※)を満たすときd=diamS=sup{d(P,Q)|P,Q∈S}とおき
X={P∈S|∃Q∈S d(P,Q)=d}とおくときf|Xは等長写像である。

補題４
Cが点Oを中心とする半径d/2の円でYをその周の稠密な部分集合とする。このときCの周または
内部の点Rに対しDの点Piを
∀S d(O,S)≦d/2,d(Pi,S)≧d(Pi,R)⇒S=R
が成立するようにとれる。
(∵)略
　
補題５
(S,f)が(※)を満たし、Sがコンパクトとする。このときあるnが存在しf^nが不動点をもつか
fは等長写像である。
(∵)d=diamS=sup{d(P,Q)|P,Q∈S}、X={P∈S|∃Q∈S d(P,Q)=d}とおく。f(X)⊂Xであり
補題３よりf|Xは等長写像である。f|Xがべき等、つまり(f|X)^n=idとなる自然数nが
存在するときはf^nが不動点をもつ。
そうでないと仮定する。f|Xはべき等でない等長写像なのである点Oとθ/πが有理数でない
実数θが存在しf|XはOを中心としてθだけ回転させる写像である。このときP,Q∈Xをd(P,Q)=d
となるようにとりY={f^n(P)}、Z={f^n(Q)}とおく。このときY,ZはそれぞれOを中心とする
半径d(O,P)、d(O,Q)の円の円周上の稠密な部分集合となる。よってこのとき
d(O,P)+d(O,Q)=sup{d(P',Q')|P'∈Y,Q'∈Z}≦dであるがd(O,P)>d(O,Q)と仮定すると
P',P''∈Zをd(P',P'')>d(O,P)+d(O,Q)をみたすようにとれるゆえdの定義に矛盾。
ゆえにd(O,P)=d(O,Q)=d/2である。この円の周または内部にないSの元Rがあるとすると
P'∈Yをd(P',R)>dととれるので矛盾。ゆえにSはこの円の周または内部に含まれる。
f|Xは等長写像ゆえg:E^2→E^2を等長写像でg|S=fとなるものととりh=g^(-1)fとおく。
h|Xは恒等写像となる。R∈Sをとるとき補題４よりP1,P2,P3,P4を
∀S d(O,S)≦d/2,d(Pi,S)≧d(Ai,R)⇒S=R
をみたすようにとれる。h(Pi)=Pi、d(Pi,h(R))=d(h(Pi),h(R))≧d(Pi,R)により
h(R)=Rである。∴f(R)=g(R)。つまりfは等長写像である。□

補題６
(S,f)が(※)をみたすとする。任意のP∈SにたいしX={f^n(P)|n≧0}とおくとき
f|Xは等長写像である。
(∵)TをXの閉方とする。補題１よりg:T→Tをf|Xの拡張で(T,g)が(※)をみたすようにとれる。
gが等長写像であることをしめせばよい。
補題５より自然数nでg^nが不動点をもつと仮定してよい。Rを不動点とする。
このとき0≦m＜nおよび自然数列(ni)をlimg^(n･ni+m)(P)=Rとなるようにとれる。このとき
0=limd(g^(n･ni+m)(P),R)=limd(g^(n･ni+m)(P),g^(n･ni)R)≧d(g^m(P),R)
よりg^m(P)=Rである。非負整数lに対しl+r≡m (mod n)となる非負整数rをとれば
d(g^(l+n)(P),g^l(P))≦d(g^(l+n+r)(P),g^(l+r)(P))=d(g^(m+kn+n(P),g^(m+kn(P))=0
よりg^n|Y=idでありとくにT=Yとなりgは(※)をみたすべき等写像なので等長写像である。□

定理７
(S,f)が(※)をみたすとするときfは等長写像である。
(∵)P,Q∈Sをとる。X={f^n(P)|n≧0}、Y={f^n(Q)|n≧0}、T=(X∪Yの閉包)とする。
fのgへの拡張を(T,g)が(※)をみたすようにとる。
d(P,Q)=d(g^n(P),g^n(Q)) (∃n)をしめせばよい。
gが等長写像なら明らか。gは等長写像でないと仮定する。補題５より
ある自然数nをとってg^nは不動点R∈Tをもつと仮定してよい。RはXの閉包の元と
仮定して一般性を失わない。よってある0≦m＜nと自然数列(ni)で
limg^(n･ni+m)(P)=Rとなるものがとれる。このとき
0=limd(g^(n･ni+m)(P),R)=limd(g^(n･ni+m)(P),g^(n･ni)R)≧d(g^m(P),R)
よりg^m(P)=Rである。非負整数lに対しl+r≡m (mod n)となる非負整数rをとれば
d(g^(l+n)(P),g^l(P))≦d(g^(l+n+r)(P),g^(l+r)(P))=d(g^(m+kn+n(P),g^(m+kn(P))=0
よりg^n|X=idである。
補題６よりg|Yは等長写像なのでg|Yはべき等であるかまたは
点Oとθ/πが無理数である実数θをg|Yが点Oを中心とするθ回転となるものがとれる。
前者なら主張は成立。
後者ならYはOを中心とする半径d(O,Q)の円の稠密な部分集合となる。
O≠Pと仮定すると自然数k,lをk<l,d(g^k(Q),P)>d(g^l(Q),P)となるようにえらべるが
これは仮定に反する。ゆえにP=Oであり特にd(g^n(P),g^n(Q))=d(P,g^n(Q))=d(P,Q)
である。□

>>132
条件付き確率で、
（２）の答え　／　（１）の答え　＝　２／３　ですな。

世の中には３種類の人間がいる。
数をかぞえられる人間と、数をかぞえられない人間だ。

あと一種類は？

>>133,137
そうです。結果を聞いただけで確率が変わるようにみえるのが
ちょっと面白い、かな。ほんとは当然なんだけど。
>>138
例外の無い法則は無い。

>>139
>>138が「数を数えられない人間」なんだろう。

>>140
「例外の無い法則は無い。」 … ★
と書いているが、この法則の真偽は？

★ ⇔ 「法則に例外がある」

★が真ならば、★にも例外があって、★は偽になる。
★が偽ならば、★に例外がないから、★は真になる。

ということかに？

どんな事柄についても「絶対」なんてことは、絶対にありえない。

真っ白い正N面体がある。
これを転がして下にきた面を黒く塗る。
M回目転がしたとき、下に白い面が来る確立は？

確立と書いてるところが気に食わん。
しぬぇ〜〜〜！

>>138
それって、俺が「頭の悪い発言」スレに書いた事じゃねえか・・・
しかも、それに対してのレスもまったく一緒・・・

>>145
N個のアイテムをランダムに選ぶとき、特定のアイテムが、
M-1回の試行の後に一度も選ばれていない確率ってことかな？
((N-1)/N)^(M-1)

>>148を読んで思い出したけど、
「麻雀をm局やって焼き鳥が発生する確率を求めよ。
ただし流局や複数ロンは無いものとする。」

これはまあいいとして、これを一般化した次の問題は
結構難しかった記憶がある。

「n人でやるゲームをm回行なう。焼き鳥（一度も勝てない者）が
発生する確率はいくらか？ただし1回のゲームでは必ず1人の
勝者があり、実力は全員等しいものとする。」

>>149 難しいねー

全ての場合の数 P0(n,m)=n^m
特定の1人が（最低1回）勝っている場合の数 P1(n,m)=P0(n,m)-P0(n-1,m)
特定の2人が（両方最低1回）勝っている場合の数 P2(n,m)=P1(n,m)-P1(n-1,m)
…
と真面目に計算していって、Pn(n,m)をもとめ
1-Pn(n,m)/P0(n,m)を計算するしかないのかな？

たとえば4人の場合は1-(4^m-4*3^m+6*2^m-4)/4^mで、
m=0-3→1
m=4→29/32
m=5→49/64
…
あってるかな？

漸化式の形からも
Pn(n, m) = 1 * 4^m - 4 * 3^m + 6 * 2^m - 4 * 1^m + 1 * 0^m からも
Pn(n, m) = \sum_{i=0}^n (-1)^i nCi i^m が予想できる。

あとはこれを漸化式に放り込んで証明すればいい。

二行目は P4(4, m) だった

未解決問題を少し変えた所から出題。

p,qを素数。　a,bを２以上の自然数として
p^a - q^b = 1
を満たすp,q,a,bを全て求めよ。

ギブアップした方はこちら。
http://www.kalva.demon.co.uk/putnam/psoln/psol763.html

αがβをかっぱらったらεしたなぜだろう？

>>153
プログラム組めばいけるけどコンピューター使わないで理詰めでいけるのか？

>>155
おれ出題者じゃないけど理詰めでいけるみたいよ。

わかんなくなったら、リンク先見ればいいじゃん。
答え書いてあるよ。

数直線上の原点０に点Pがある。
１回につき、0.4の確立で正方向に１、0.6の確立で負の方向に１すすむ。
この試行を何回か繰り返し、点Pが＋10か-10の位置に来たら終了とする。
このとき、＋10で終了する確立は？

((3/2)^0-(2/3)^10)/(3/2)^10-(2/3)^10)？

Σ[k=1,n] ( tan(kπ/2n+1) )^2
をもとめんしゃい。

箱の中に赤い球が10個白い球が20個ある。
ランダムに2個同時に取り出し、
・同色なら1個は捨て1個は箱に戻す
・違うなら白は捨て赤は戻す
これを繰り返す。
この時最後に白い球が残る確率は？

すぐ答え分かっちゃった。

>>162
中1の時の数学の先生がこういう論理パズル好きで
授業中出された問題の一つなんだけど、
答えが意外だったのと説明が簡単なのとで
当時「すげー面白え」と思ったんで出してみた。
今見ると簡単過ぎるな、やっぱｗ。
ま、偶にはこういうのもありかと。

箱の中に赤い玉が10個、白い玉が11個入っている。
箱からランダムに偶数個取り出したとき
赤玉の数と白玉の数が等しいときはその玉をもらうことができる。
何個取り出すのが戦略的にもっとも得か？

>161
（メール欄）ですか？

>>165
すみません。どこのメール欄をさしていってるか教えてもらえないでしょうか。

自然数からランダムに1つ数を選ぶとする。
そのとき数字3を含む数を選ぶ確率はどれくらいか？

たとえば100までには、19個の数がある。
(3,13,23,30〜39,43,53,63,73,83,93)

出典:クリフォード・A・ピックオーバー「無限へチャレンジしよう」
森北出版、1997年7月22日、ISBN4-627-01890-8、4200円。

ちなみにこの本にある3つの質問が面白かったです。

・読者はπを一兆桁計算しようという計画に賛成か？
・政府がその計画に100万ドルを支出するというのを支持するか？
・研究の結果、πの数字の分布がランダムでない
　　(すなわち偏りや非一様性)が発見されたとしたとき、
　　読者はこれを大発見と思うか？(p70)

>>167
無限個から1つの数を選ぶというのは設定が難しいので、
次のように考える。

自然数N以下に存在する、3が含まれる自然数の個数を
f(N)とする。lim[N→∞]f(N)/N を求めよ。

N=10^n としたとき、f(N)=10^n-9^n だから、
lim[n→∞]f(10^n)/10^n=1。
従って、f(N)が収束するとすれば、1以外の値にはなりえない。
問題はこれが収束するかだが、直観的には収束しそうだけど
厳密にはわからん。

>>167
10^nまでに数字３を含む数は10^n-9^n個ある。
よってこの時数字３を含む数を選ぶ確率は(10^n-9^n)/10^n=1-(9/10)^n
nを無限に飛ばすと１

他の飛ばし方すると変わってくるかも。
めんどい。

そもそも自然数をランダムに3つというのは well defined な概念なんだろうか?
有界上の一様分布の極限で代用できるとすると Saint Petersburg Paradox
みたいなのにハマる気がするんだが。

>>171
他にも2つの封筒の話とか、変なのがでてくるよな。
なんで可算無限個からランダムに選ぶ想定だと
奇妙な話が起こるのだろうか。

連続濃度から1つを選ぶことを想定する問題では、
そのような変なことが起こる例は聞いたことがないのに。

>>172
濃度よりも有界性が問題だろう。R上の一様確率分布というものもないわけで。

>>173
開区間 (0,1) にある有理数全体に一様確率分布を定義できる？

>>174
なるほど。
考えてみるに一様分布を定義できるのは
コンパクトで連結成分が有限個の場合だけなんじゃなかろうか。
というかその場合しか思いつかん。

(0,1) の一様分布というのはアリだからコンパクトは必要じゃないや。
有界で連結成分が有限個ってことかな。

零集合を除いても一様分布になるのか。連結成分の有限性は関係ないや。難しい。

円周率についての問題を見つけてきた。

[x] をxを超えない最大の整数と定義する。
[π^n]が素数になる自然数ｎは有限個しか存在しない事を示せ。

http://problems.math.umr.edu/FMPro?-db=problems.fp3&-format=%2fmaindetail.html&-lay=all&StrippedProblem=prime&-recid=34708&-find=

http://problems.math.umr.edu/FMPro?-db=problems.fp3&-format=%2fmaindetail.html&-lay=all&StrippedProblem=integer&-recid=33939&-find=#Comments0

[0,1]∩Q上で、P([a,b]∩Q)=b-aと定義したら、[0,1]∩Q上の一様確率分布
になるかしら？？
（完全加法性はもたないだろうけど、有限加法性はもつ？）

素数って整数なんじゃないの？

整数でない素数は有限個しか存在しないことを示せ

>>181
こりゃ面白い！

整数でない素数は存在しません・・・定義より。
よって求める素数の数は０個であり、有限です。

ん？　>>178が間違ってるん？

1とその数以外の整数で割れない数字が素数の定義だったら
∞にあるな


ってそんな定義じゃねーよｳﾜｱﾝ

atamawaruso

とっても　おもしろい良問を１つ
　３７人にビー玉９６２個を次のようにくばる。
　くじで　あたった７人に�]個
　くじで　はずれた３０人にはＹ個　くばる
　Ｘ＞Ｙとするとき、
　　�]、Ｙの組合わせを全て　答えなされ。

　

ついでに　もう１問！
半径　１．２．３．４．５ｃｍの中央に穴のある円盤が５枚ある。
これを、棒にさしこむ。
例えば、
　上から、４．２．５．１．３の順にさし、真上から見ると２枚見える。　
（１）ちょうど４枚　見える差し込み方は何通りあるか？
（２）ちょうど２枚　見える差し込み方は何通りあるか？

もうしわけございません。
当スレでは宿題は取り扱っておりませんのでお引き取りください。

188は拡張するとちょっとおもしろいかも。

「半径が1,2,3,…,nの計n枚の円盤がある。これを棒にさしこんだとき、真上からみて見える枚数の期待値を求めよ。」

n/2

>>190
棒が水平においてあるので、真上からみると全ての円盤が見えます。
…
というオチじゃないとすると、結構難しいような。
>>188 の5枚の場合でも
5枚見える…1通り
4枚見える…10通り
3枚見える…35通り
2枚見える…50通り
1枚見える…4!=24通り
なので、期待値は2.283…。n/2は違うかと。
正直わからん。

n 枚のとき m 枚見えるのを P(n, m) とおりとすると

m >= 1 のとき P(n+1, m+1) = P(n, m) + n P(n, m+1)
P(n+1, 1) = n!

だから E(n+1) = (Σ_{m=1}^{n=1} (m+1)P(n+1, m+1) + P(n+1, 1)) / (n+1)!
こっからあとはまかせた

>>42
そろそろ答えを教えて下さい

>>96
今更だが96の解説がいまいちわからん。
誰か教えて

どこが分からんのか言ってくれないと説明のしようがない

＞和をとって、-x^2/120 +x/2+30

ここ。どこの和？

１）その前にバスが来ていない確立は　1-x/60 　←Ａ
そのときの平均待ち時間は、(60-x)/2 　　　　　　←Ｂ

２）その前にバスが来ている確立はx/60 　　　　←Ｃ
そのときの平均待ち時間は(90-x) 　　　　　　　　←Ｄ

ＡとＢを掛けたものとＣとＤを掛けたものの和です

>>154
ドラえもんに聞かないと分からない。

・・・計算あわねェ。ﾅﾝﾃﾞﾀﾞﾛ

Ａ×Ｂ＝（60-61ｘ+ｘ＾2）/120

Ｃ×Ｄ＝（90ｘ-ｘ＾2）/60

だよねぇ？

1-x/60は1-（x/60）ですよ。

ぐはぁ、そうでした。
お手数かけてどうもすんまそん。（；´д｀）

お前ら
Σ[n=1,∞] (sin(n))/n
Σ[n=1,∞] (sin(n))/(n^2)
の二つを計算してみ。

>>203
答え逆三角関数とかつかう？

Σ[n=1,∞] (sin(n))/(n^2)＝0

>>204
使わん。

>>190
E(n)=�納k=1〜n](1/k)
調和数列の和

>>203
とりあえずe^i=ρとおいて
im�敗in(n)/n
=im��(ρ^n)/n (←これが収束するとすると仮定してAbelの定理より)
=imlog(1-ρ) (logsはRes>0で定義された正則関数でlogs=log|s|+iargs
=arg(1-ρ)
=arctan(sin1/(1-cos1)) となったんだけど。よく考えるとさらに
=arctan(2sin(1/2)cos(1/2)/2sin^2(1/2))
=arctan(cot(1/2))
=arctan(tan(π/2-1/2))
=π/2-1/2
あってる？

>>203
今気付いた。�納n=1,∞]sin(nx)/n=(1/2)(π-x)にx=1ほりこんだらいいだけか･･･

>>205
なぜ？

>>160
教えてくれ。

>>160
2n+1=mと置く
ドモアブルの定理より　(cosx+isinx)＾m=cos(mx)+isin(mx)
二項定理より　(cosx+isinx)＾m=Σ[K=0,m]comb(m,k)*(i^k)*cos^(m-k)(x)*sin^k(x)
虚部を比較して　sin(mx)=Σ[k=0,n](-1)^k*comb(m,2k+1)cos^(m-2k-1)(x)*sin^(2k+1)(x)
この式の両辺をcos^(2*n)(x)*sinxで割ると　
sin(mx)/{cos^(2n)(x)sinx}=Σ[k=0,n](-1)^K*comb(m,k)*tan^(2k)(x)
となる。左辺はx=k*pi/m　k=1〜nで0になるので、右辺でtan^2(x)をxと置きなおし
Σ[k=0,n](-1)^K*comb(m,k)*x^k=0　というn次方程式を立てると、解は
x=tan^2(k*pi/m)　k=1〜n　解と係数の関係より
Σ[k=1,n]tan^2(k*pi/m)=comb(2n+1,2n-1)/comb(2n+1,2n+1)=n*(2n+1)

>>213
さんくす。

Σ[n=1,∞] arctan( 2/(n^2) )

ほい、三角関数の計算問題。

>>203
(2)の答えおしえてくれage

203＝215（ぷっ

>>216
ちがう。オマエできたの？きになるだろ。フツー
　
Σ[n=1,∞] (sin(n))/(n^2)
　
これどうやんの？

スマン、出題ミスだ
Σ[n=1,∞] (sin(n)/n)^2

二乗がね、分数の外にかかってるんだよ。ごめん。

答えは
(π-1)/2
がんばれや。

>>214
これもわかりません。答えかせめてヒントを〜

>>214
arctan(1/n)
がヒント。

これいじょうだせっかい。

じゃせめて出典おしえてくらはい。

こっちは解決
��(sin(n)/n)^2
=��(1-cos2n)/(2n^2)
ここでフーリエ展開の公式
�把osnx/(n^2)=(1/4)(x-π)^2/4-π^2/12
にx=2を代入して
�把os2n/(n^2)=(1/4)(2-π)^2-π^2/12
だから
=��(1-cos2n)/(2n^2)
=(1/2)(��1/n^2-�把os2n/(n^2)
=(1/2)(π^2/6-(1/4)(2-π)^2+π^2/12)
=(1/2)(π^2/4-(1/4)(2-π)^2)
=(1/8)(π+(2-π))(π-(2-π))
=(1/8)(2)(2π-2)
=(π-1)/2
まあ�敗in(n)/nの方でフーリエ級数使ったから次もそうだろうなとあたりはついてたんだけど。

>>214
出典は忘れた

a(n) = arctan(1/n)として、
tan( a(n+1)-a(n-1)

でも考えてみ。

http://www.cms.math.ca/Competitions/MOCP/2003/prob_apr.html
出典探してきた。


スレ汚しｽﾏｿ。

>>223
とりあえず計算機つかって強引にといた。計算機つかって第３項以降たしてみると
だいたいπ/4になることからb(n)=2/(n+2)^2とおいて数列anを
a(0)=1,a(n)=(a(n-1)-b(n))/(1+a(n-1)b(n))
を計算機に計算させるとa(n)=(2n+5)/(n^2+5n+5)になった。初項と２項の和はπ/2
だから答え3π/4だね。なんとも不思議なもんだ。
･･･
とおもってたら答えみたいなヒントが･･･答えきいてみるとなーんだってかんじだね。

昔々小学生の時、担任から大学の試験で出る問題と言うのを聞いた

「1+1=2」を証明せよ

あれから十年ほど立つが未だにわからん。誰か教えてたも
あとここに書いたのは面白そうだからかな

>>226
自然数の公理と自然数に関する加法の定義より
1+1=xを満たすxは一意に存在し、
後者関数をsとしてs(s(0))と表せる。
このs(s(0))に与えられた名前が2である。

つづきは以下へ
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/986656055/l50

ｻﾝｸｽｺ
まさか本当に証明できるとは思って無かったよ

1,2,3,4,5,6,7,8,9の数字を一回ずつ全て用いて１０進数９桁の数字を作る。
このとき、作った数が自然数の自然数乗になるとき、その数を求めなさい。

もちろん、一乗ってのは無し。２乗以上ね。

>>229
求める数をa^nとすると、
a >= 2
n >= 2
10^8 < a^n < 10^9
a>=10でこれをみたすnがないのは明らか。またaとして4=2^2, 8=2^3, 9=3^2
はa=2,3の場合に含めるとすれば、ありうる数は、
2^27, 2^28, 2^29, 3^17, 3^18, 5^12, 6^11, 7^10の8つのみ。
そしてこれらで、
「1,2,3,4,5,6,7,8,9の数字を一回ずつ全て用いて」
という条件を満たすものはない。

あ、あれ？違ってる？

a>=10でこれをみたすnがないのは明らか。

すまんがここが俺にとって明らかではない。説明しる。

>>231
まちがってた、スマン。
2乗とか考えればすぐわかる、すごいぼけかただな…

やりなおし。

求める数をa^nとすると、
a >= 2
10^8 < a^n < 10^9
なので、2 <= n <= 29。nが素数の場合のみ検討すれば十分なので、
n=2,3,5,7,11,13,17,19,23,29について
10^(8/n) < a < 10^(9/n)
の範囲で題意を満たす数を探せば良い。結果、次の30個の数が答。
(以下略)

>>233
＞nが素数の場合のみ検討すれば十分なので、

説明しる！

>>234
n=pm, p:prime
のとき、もとめたい数がa^nとすると、a^n=a^(pm)=(a^m)^pなので、
ベキ数が素数の場合だけ調べれば十分、じゃないかな。

n <= 29
なぜ？

8/log(10)a <= n <= 9/log(10)a
ってことか。

a^n≡0(mod9)
a^6≡1(mod9)だからかなり絞られるね。

あまりに簡単で自明だと思ったのですが、
いざ証明しろと言われると、悔しいことに証明できませんでした。
誰か賢い方、証明を教えてください･･･。


相異なるn個の実数が格納されている配列a[1]〜a[n]がある。
この配列の中から最大値を調べるためには、すべての配列を調べる必要がある
　(つまり、どんなにうまいアルゴリズムでもnに比例した時間がかかってしまう)
ことを証明しなさい。

>>239
仮にa[1]からa[n-1]まで調べたとしても、
依然としてa[n]が最大値である可能性も最大値でない可能性も残されてるので、
結論は出せない。
よって全て調べる必要がある。

これじゃ駄目かい？

>>240さん

おそらくはそれでいいのだと思いますが、
なんとなく「言葉で説明している」感が強いじゃないですか。

>>a[n]が最大値である可能性も最大値でない可能性も残されてるので
あたりを、数式ですっきり説明できないか、と思ったのです。

>>241
ううむ。
一つの配列を調べることで得られる情報量の評価をすればいいのかしら？
よくわからん

>>241
∃a=(a[1],…,a[n])∈R^n.(max{a[k]|k=1,…,n}>max{a[k]|k=1,…,n-1})
とかか？
何か大袈裟になっただけのような気がせんでもないが。

>>239
単純に任意の自然数1≦k≦nのkに対してa[k]が最大になる確率は1/n。　（なぜならば、a(n)は相異なる実数）
故に、a(n)からm(≦n)個の数列を取り出したとき、その中に最大の数が含まれていない確率は・・・


じゃ、ダメなのか？

>>241
言葉で説明している感が強いのはダメなのか。じゃあε(ry

max{a[0],...,a[n-1]}<=max{a[0],...,a[n]}

241です。みなさん、いろいろすごいお答えをいただいて恐縮です。

ことに>>243さんの答えは、
たぶん>>240を数式化したものだと思いますが、すごいと思います。

>>245さん
「言葉の説明でも、立派な証明だ」と言い切れるのでしたら、僕も安心なのです。
ただ僕は「言葉の証明は証明ではない。もっと厳密にやれ」と教師に言われたら、
自信を持って言い返せないのです。言い返していいんでしょうか？

>>244さん
確率が決して0にはならないから、ってことですよね。
たぶんそれでもいいと思います。
ただ、その、これも>>245的な不安がいまいち残ってしまうのです。

せっかくの皆さんの答えに、
いちいち文句つけてるような感じで、すみません。もうやめます。

いちおう出典を示します。

ジョン・ベントリー
「珠玉のプログラミング-本質を見抜いたアルゴリズムとデータ構造-」ピアソン・エデュケーション、
2000年10月25日、3400円、ISBN4-89471-236-9。
(の問題を、すこし変形しました。ちなみにこの本には解答は載っていませんでした)

247です。先ほどは失礼しました。
お詫びに「珠玉のプログラミング」からちょっと変形した問題を紹介。

いま長方形の、ある程度の厚みがある、
同じ大きさ・厚さのプラスチックのカードが1024枚あり、
1〜1024までの連番が振ってあります。
そして、ごちゃごちゃに混ぜられています。

ところがいたずらな子供が、一枚を盗んで捨ててしまいました。

1〜1024まで、すべてのカードが揃っている必要があるので、
子供が捨てた番号のカードを、急いで作り直す必要があります。

つまり問題は、
「欠番となってしまった番号を、すばやく探し出す方法を述べよ」です。

1〜1024までのカードを、番号順に並べなおせばいいのでしょうが、
それはとてつもない時間がかかります。
もう少しラクな方法はないでしょうか？

>>248
欠番を探すためには結局全てのカードにアクセスしなきゃいけないから
どううまく番号順に並べるか、になりそうだが…。

普通にバケットソートでもいいが一枚ずつとってきて書かれている番号を全部足していけばいい。
1+2+...+1024=1024*1025/2 だからいくつ少ないかを計算すれば欠番がわかる。

>>248
>1〜1024までのカードを、番号順に並べなおせばいいのでしょうが、
>それはとてつもない時間がかかります。
これが、どういうオーダーをさしているのかがわからないのですが、
ともかく(もとがn枚とすれば)n-1枚の表示を調べなければならないので
nのオーダーは必要ですよね。
たとえば>250さんの方法でも同じですが、一番素直には、1-1024の数字を
書いた升目を用意してそこにカードを並べていくんじゃないかな。
「探し出す」だけならこれ以上にもこれ以下にもならないと思うのですが…

盗んだ子供をとっつかまえるのが早い

>>247
> 「言葉の説明でも、立派な証明だ」と言い切れるのでしたら、僕も安心なのです。
> ただ僕は「言葉の証明は証明ではない。もっと厳密にやれ」と教師に言われたら、
> 自信を持って言い返せないのです。言い返していいんでしょうか？

それは良くない誤解の典型。記号で書けば立派というわけではない。
記号は分かりやすさのために使われるに過ぎない。
言葉で書いた方が分かりやすいなら言葉で書いた方が良い。

それはそれとして、多くのプログラミング言語の場合、a[n] まで
調べる必要がいつもあるわけではない。なぜなら多くのプログラミング言語で
実数と呼ばれるものは浮動小数点数であり IEEE754 によって規定される。
IEEE754 では最大の浮動小数点数が定義されている。だから、
k<n なる a[k] が最大の浮動小数点数ならばその時点で
探索を終了して良い。しかし「時間が f(n) に比例する」というのは
最悪の場合の時間を意味するので、「nに比例した時間がかかってしまう」
ということは正しい。

>>253
ひとつひとつの要素について「マシンで表現可能な最大値」と
比較するだけで、処理時間は倍になる。

定数倍ならオーダーは変わらん。

>>251
それがバケットソート。
バケットソートでも>>250の方法でも計算量はO(n)だが係数がだいぶ違う。

>>256
揚げ足を取るようで悪いが、人間がやるとしたら
係数が逆転することも考えられるね。
つまり計算1ステップの時間が違う。

コンピュータなら速く正確に足し算できますが、
人間なら間違うこともあるし、
途中できっといやになっちゃいますね。

コンピュータなしにひとりでやるとしたら、
とりあえず最初に全部のカードを調べて
100番台、200番台・・・てな山に分けておいて、
それぞれ枚数を数えて、
足りないところだけじっくり調べる・・・かな。

>>258
> それぞれ枚数を数えて、
ある程度の厚みのあるカードなので、重ねて高さを比較すれば ok.

>>248です

もしかしたら、本を下手に変形したため、出題ミスになってしまったかもです。
こちらの想定していた正解は >258, 259さんの答えと同じです。

つまりまず1024枚のカードを、「小」つまり1〜512までと、「大」つまり513〜1024に分けます。
その2つの山を積み重ねると、どちらか一方だけが1枚、少ないはずです。
欠番はその山にあります。
いま仮に「大」の山のほうが少なかったとしましょう。
あとは繰り返しです。つまり
「大」の山513〜1024を、さらに半分、
つまり「513〜768」と「769〜1024」に分けます。
すると、どちらか一方だけが1枚、少ないはずです。
そして・・・と続けていくと、欠番のカードがみつかる、という話です。

ペンダントが豪華なケースに入って、６万４５００円で売られている。
「ケースだけの値段は？」とたずねると、ペンダントの値段はケースよりも
６万４０００円高いといわれた。
では、ケースだけの値段はいくらになるだろうか。

暗算でやってみましょー

>>260です。
お詫びに、既出かも + 数学じゃないかも、ですが紹介します。

サイト「cyberglass.net」
http://www.cyberglass.net/
に行き、「flash」の「flash mind reader」を選択してください。

10〜99までの数をひとつ、思い浮かべてください。
たとえば75とします。
で、10の位の数と1の位の数を足してください。7+5=12。
この数を、もとの数から引いてください。75-12=63。

さて、水晶玉の右にある表を見てください。
63の横に模様がありますね？

で、水晶玉をクリックすると・・・なんと、その模様があらわれます！
あなたがどんな数字を心の中で選んでも、いつも当たります。
なぜ当たるのか、が問題です。
(が、わかった人も種明かしをしないほうが、みんなに親切かもです)

>261
似た問題この前どっかのスレで見たなあ

じゃあソート問題。
5枚のカードがあってすべて異なる強さが定義されている。
カードの強さは見た目ではわからず、2枚のカードの強弱を決める機械が
ありこれを使わないと知ることができない。
強弱の順序関係、A>BかつB>CならA>Cはもちろん成立している。
カードを強さ順に並べたい。機械を何回使えば必ずソートが完了するか？
(ワーストケースでの最小値という意味です)

>>261
500円　引き算だろ

>>265
ドボン

聞かなかった事にしてください_|￣|○

>>267
まじでひっかかったのかよｗ
どんまい

>>264
単に｢ｎ回で可能｣って答えじゃダメ？｢ｎ−１回以下では不可能｣の証明もいるの？
パッと見７回くさいんだけど。

>>264
７回で出来る？がんばっても８回になるんだけど、漏れアホだ。

>>270
数えまちごた。８回でつ。吊ってくる･･･

７○９|６○○|５○３
○○○|○４○|８○○
６○○|○○５|○１○
――― ――― ―――
２○○|○９○|３５○
○１○|５○７|○４○
○○５|○２○|○○７
――― ――― ―――
○３○|２○○|○○５
○○４|○７○|○○○
８○○|○５１|９○６

よく新聞のパズル欄にあるやつです。
朝からやってるのに解けません・・・。誰か救いの手を！！

>>269-271
そう、6回で不可能なのはすぐわかるし、8回でできるのもすぐわかる。
問題は7回で（多分）できないんだけど、それをどう説明するかなんですよ。

>>261
わからない　答えと理由きぼんぬ
500じゃないのか

>>274
ケース500円ならペンダント64000円で差は63500円じゃん。

>>273
んー自信ないけど、「ワーストケースを考えているので
どのカードも必ず２回は測らないといけないから」かな。

つーとケースが250円か？
するとペンダントは64250円。
差額64000円。

あってる？

>>272
できた
７４９｜６１８｜５２３
３５１｜７４２｜８６９
６２８｜９３５｜７１４
──┼──┼──
２６７│８９４│３５１
９１３│５６７│２４８
４８５│１２３│６９７
──┼──┼──
１３６│２８９│４７５
５９４│３７６│１８２
８７２│４５１│９３６

くわしい解説きぼんた

>>279
どれの？

261のです
まんまとひっかかってて理解できないぽ

>>281
>>275-277以上に説明するのはﾑﾘﾎﾟ

数の単位を100円とかに落とすとか・・・むりでしょうか。。

ttp://aiko.fam.cx/

>>281
連立一時方程式を立てて解け。

>>264は7回でできるわ。
問題の意図は、log(5!)/log(2)=6.906...
なのに7回でできない、というのを狙っていたんだけど…
ワーストケースでも7回ですむアルゴリズムは？という問題にしとこう。

ん？７回で出来ないことを証明できてしまった。

かなり泥くさい証明なので、書くのが難しいが・・・。
>>286 と意見が分かれてもーた

全部で 120 通りの可能性がある。

１回目、ＡとＢを比べる。
A>B となったとする。残り可能性 60 通り。

２回目
i)ＡとＣを比べた場合
A>C となると、残り可能性は 40 通り。2^5=32 なので、残り５回では決定できない。
ii)ＣとＤを比べた場合
C>D となったとする。残り可能性 30 通り。

３回目
i)ＡとＥを比べた場合
A>E となったとすると、残り可能性は 20 通り。2^4=16 を上回るのでアウト。
ii)ＡとＤを比べた場合
A>D となったとすると、残り可能性は 25 通り。2^4=16 を上回るのでアウト。
iii)ＡとＣを比べた場合
A>C となったとすると、残り可能性は 15 通り。

この時点で、残ってる可能性は

a)ＡＢＣＤ
b)ＡＣＢＤ
c)ＡＣＤＢ
のどこかにＥを入れた１５通りである。
と考えると、以下の計算が楽になる。

続き。

４回目
i)Ｅを比較に使わなかった場合
(a)(b)(c) から候補が減らせるだけで、残り可能性は 10 通りまでにしか減らない。
2^4 = 8 を上回るのでアウト。
ii)Ｅを比較に使った場合
Ｅが何番目に入るか分かったとしても、残り可能性は 9 通りまでにしか減らない。
2^4 = 8 を上回るのでアウト。

よって、７回での判定は無理。
天秤を使って、２枚と２枚を比較できればどうなるか分からないけど。

>>264をn枚のカードにしたらどうなるんだろう？

折れは間違ってるの？

42 ：１３２人目の素数さん ：03/10/10 20:32

任意の正の数a,b,c,d,e,fに対して、次の不等式を示せ。
ab/(a+b) + cd/(c+d) + ef/(e+f) ≦ (a+b+c)(d+e+f)/(a+b+c+d+e+f)

>>292
それ解けないんだよ。あげ

数を減らして出来ないかな？ たとえば、
ab/(a+b) + cd/(c+d) ≦ (a+c)(b+d)/(a+b+c+d)
が成り立つとか？ で、それを繰り返し使うのでは？
ていうか、問題が間違ってるんじゃないの？
右辺が、こうじゃないと綺麗くないＹＯ

ab/(a+b) + cd/(c+d) + ef/(e+f) ≦ (a+c+e)(b+d+f)/(a+b+c+d+e+f)

>>294
みつけた
http://search.yahoo.com/search?p=ab%2F%28a%2Bb%29%2Bcd%2F%28c%2Bd%29%2Bef%2F%28e%2Bf%29+positive&ei=UTF-8&n=20&fl=0&x=wrt

しかし、解答はなかった…

いい仕事だ　>>295

http://www.kalva.demon.co.uk/bmo/bmo83.html

元ネタはイギリス数学オリンピックって所だな。

すう折はやっぱり難しいんだな

ンナコトないと思うぞ。　問題が間違ってなければ解いてみせる・・・・・・


自信ないけどな。

　　ちょいまってろ

むずかしいっていうか･･･

>>292
おかしいね。これやっぱり。a→∞の極限とると
左辺=b+cd/(c+d)+ef/(e+f)
右辺=d+e+f
であきらかに左辺≦右辺はb,c,d,e,f＞0で成立しないね。

とりあえず>>294ならできた。
f(x)=(x+c+e)(b+d+f)/(x+b+c+d+e+f) - xb/(x+b) + cd/(c+d) + ef/(e+f)
とおく。x>0で単調減少なのでf(x)≧0 (∀x>0)⇔lim[x→∞]f(x)≧0
ここでlim[x→∞]f(x)=d+f-cd/(c+d)-ef/(e+f)=d^2/(c+d)+f^2/(e+f)≧0

スマン･･･>>301まちがい･･･吊ってくる

>>294の方針じゃダメですか？

>>294
与式⇔b^2/(a+b)+c^2/(c+d)+f^2/(e+f)-(b+d+f)^2/(a+b+c+d+e+f)=Sとおく。
Sをa,c,eの３変数関数とみなして極値
⇒b^2/(a+b)^2=c^2/(c+d)^2=f^2/(e+f)^2
⇒b/(a+b)=c/(c+d)=f/(e+f)=1/kとおくと
f(bk-b,b,dk-d,d,fk-f,f)=(1/k)(b+d+f-b-d-f)=0
∴極値は（存在したとしても)≧0。あとは

>>303
できると思う。

数オリでは微分は範囲外だから、
もっと簡単な方法があるはず・・・

まあ･･･あるかもしれないけど･･･そうなると｢中学入試スレ｣とかでいわれてたみたいに
それはもはや｢数学｣とはいえない。ただの｢数学的パズル選手権｣みたいになってしまう。

>>307
考えてみる価値はありそう。さっき気づいたんだけど、>>294の
ab/(a+b) + cd/(c+d) ≦ (a+c)(b+d)/(a+b+c+d) を変形すると
1962.Vietnum.Q1 と同じ式になった。まだ証明は出来てませんが…
http://www.kalva.demon.co.uk/vietnam/viet62.html

何故すぐ同値な問題を発見したかと言うと、不等式オタだから…。
夏休み頃から あちこち検索して不等式を収集していたので （/ρ＼）
ただ不等式が好きなだけで、解く力が弱いので質問しまくってますが…

>>308の問題の解法を教えて下さい。

>>309
偏微分つかっちゃいかんの？

できれば、微積なしでお願いしたいです。
理解する力が乏しいので… （泣）

いま ab/(a+b) + cd/(c+d) ≦ (a+c)(b+d)/(a+b+c+d) の差をとって
分子をゴリゴリと変形してるけど、グチャグチャになってます。

>>309
すくいなくとも右辺-左辺=(a+c)(b+d)/(a+b+c+d)-ab/(a+b)-cd/(c+d)だから
f(x)=(x+c)(b+d)/(x+b+c+d)-xb/(x+b)-cd/(c+d)とおいてf(x)の増減表をかくと
x=bc/dのとき最小がわかるので最小値計算すると
f(bc/d)=0になった。
↑これもダメ？

なるほど、分かりそうです。
微分して増減評書いてみます。
ありがとうございます。

>>287
最初3回はまったく同じで、
A>B, C>D, A>C
としても一般性を失わず、15通りのパターンが残る。
4回目CとEの比較で(ここで数え間違えていると思います)
C>E→残り8パターン、5回目D,E比較
C<E→残り7パターン、5回目A,E比較
以下、結果に従い分岐していくが、4回目以降を羅列すると
C>E→D>E→B>D→B>C : ABCDE
C>E→D>E→B>D→B<C : ACBDE
C>E→D>E→B<D→B>E : ACDBE
C>E→D>E→B<D→B<E : ACDEB
C>E→D<E→B>E→B>C : ABCED
C>E→D<E→B>E→B<C : ACBED
C>E→D<E→B<E→B>D : ACEBD
C>E→D<E→B<E→B<D : ACEDB
C<E→A>E→B>C→B>E : ABECD
C<E→A>E→B>C→B<E : AEBCD
C<E→A>E→B<C→B>D : AECBD
C<E→A>E→B<C→B<D : AECDB
C<E→A<E→B>C : EABCD
C<E→A<E→B<C→B>D : EACBD
C<E→A<E→B<C→B<D : EACDB

>>292
両辺に(a+b+c+d+e+f)をかけて右辺-左辺
=(a+c+e)(b+d+f) -ab(a+b+c+d+e+f)/(a+b) -cd(a+b+c+d+e+f)/(c+d) -ef(a+b+c+d+e+f)/(e+f)
=(a+c+e)(b+d+f) -ab -ab(c+d+e+f)/(a+b) -cd -cd(a+b+e+f)/(c+d) -ef -ef(a+b+c+d)/(e+f)
=ad+af+bc+cf+be+de -ab(c+d+e+f)/(a+b) -cd(a+b+e+f)/(c+d) -ef(a+b+c+d)/(e+f)
=ad+bc -ab(c+d)/(a+b) -cd(a+b)/(c+d) + af+be -ab(e+f)/(a+b) -ef(a+b)/(e+f) + cf+de -cd(e+f)/(c+d) -ef(c+d)/(e+f)
={(ad+bc)(a+b)(c+d) -ab(c+d)^2 -cd(a+b)^2}/(a+b)(c+d) + {(af+be) -ab(e+f)^2 -ef(a+b)^2}/(a+b)(e+f) + {(cf+de) -cd(e+f)^2 -ef(c+d)^2}/(a+b)(e+f)
=(ad-bc)^2/(a+b)(c+d) +(af-be)^2/(a+b)(e+f) + (cf-de)^2/(a+b)(e+f)
>0

す、すごい （自分はとっくに挫折してました）
神キタ━（ﾟ∀ﾟ)━!!!!
印刷して計算を追ってみます。大感謝！
数学板の住人ってスゴすぎる…。

＞={(ad+bc)(a+b)(c+d) -ab(c+d)^2 -cd(a+b)^2}/(a+b)(c+d) + {(af+be) -ab(e+f)^2 -ef(a+b)^2}/(a+b)(e+f) + {(cf+de) -cd(e+f)^2 -ef(c+d)^2}/(a+b)(e+f)
ここミスった
正しくは
={(ad+bc)(a+b)(c+d) -ab(c+d)^2 -cd(a+b)^2}/(a+b)(c+d) + {(af+be)(a+b)(e+f) -ab(e+f)^2 -ef(a+b)^2}/(a+b)(e+f) + {(cf+de)(c+d)(e+f) -cd(e+f)^2 -ef(c+d)^2}/(a+b)(e+f)

まだミスってる
={(ad+bc)(a+b)(c+d) -ab(c+d)^2 -cd(a+b)^2}/(a+b)(c+d) + {(af+be)(a+b)(e+f) -ab(e+f)^2 -ef(a+b)^2}/(a+b)(e+f) + {(cf+de)(c+d)(e+f) -cd(e+f)^2 -ef(c+d)^2}/(c+d)(e+f)

何度もスマン＿|￣|○

既に3行目から間違ってるよ。

この手の問題自動的に解答つくるアルゴリズムつくれないかな。

Lagrangeの未定乗数法とかでゴリゴリ解けばいいのでは……。

いつの間にか>>294の下 = >>296を解いてた…

>>292
a=2, b=2, c=2, d=1, e=1, f=1のとき

左辺 = (2*2)/(2+2) + (2*1)/(2+1) + (1*1)/(1+1) = 13/6
右辺 = (2+2+2)(1+1+1)/(2+2+2+1+1+1) = 2

これでどう？

>>324
>>292が成立しないのは外出なんだが･･･

ごめんなソーリー

面白そうなので質問スレよりコピペ。
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1065589228/836
ちょっと考えてみたがわからん。

0≦r＜1

Σ[k=0,∞]r^(2^k)
=r+(r^2)+(r^4)+(r^8)+(r^16)+…
=???

マルチすんなクズ

>>327の答えは出たの？

出てないみたいだよ

http://up.isp.2ch.net/up/fdc7b7e279e9.gif
↑なんですが 64 = 65???
矛盾がわかりません。

>>331
実際にやると真ん中に小さい隙間が空く。それが丁度面積１

センスを問います　
問題：正しい事を確率4/5で言う3人がいる。この3人の前でコインを5枚投げたところ
3人とも「5枚とも表が出た」と言った。
1）このとき本当に5枚とも表が出ている確率は4/5より、大きいか？小さいか？
　　（解答時間15秒以内）
2）その確率を求めよ　（メインは１）

出目がどうあれ、5人とも正しいことを言う確率は
かなり小さい気がする。もちろん直観だけど。

うわ、5人じゃなくて3人だった。
計算してみるか…

正しい事を高い確率で言う人が揃って正しいと主張するから
それは一人の場合よりあたる確率は高くなる　なんちゃって。

答えはこうなったんだけど。
見直しもしてないので自信ない。

>>337 と同じになった。

・・・予想はずれたよヽ(`Д´)ﾉｳﾜｧｧｧﾝ!!

確率p 　n人　m枚　　での一般解はどうなるの？

99%正しい事言う奴が100人集まって表でたっていったら
ほぼ間違いなくあたってんじゃねーの？
99%より下がっちゃうんですか？　ヽ(`Д´)ﾉﾅｯﾄｸﾃﾞｷﾝ!!

少しでも嘘をつく可能性があるヤシは、
たくさん集まれば集まるほど信頼性が低くなるってことでは？

素朴な疑問でごめんなさい
８割本当のことを言う人が二人いてその二人がA＝Bといったとき
A＝Bである確率ってどうだすのですか？
4/5・4/5ではないですよね？4/5＋4/5のはずないですよね？
１−（1−4/5）(1−4/5) ですか ???よく分かりません

>>342
P_A(B) で、「Aが起こったという条件下でBが起こる確率」を表す
ことにすると、

P_A(B) = P(A∩B)/P(A)

これで計算する。

>>333
問題に不備がある気がする。
そのままだと、ある1人が、5枚のうちに裏があるのに
「全部表だ」と答える確率が計算できない。

問題：
正しい事を確率4/5で言う3人がいる。
この3人の前でコインを5枚投げ、
「5枚とも表が出たか？」と問うたところ、
3人ともyesと言った。以下同文。

こうしないとダメなんじゃないだろうか。

>>344
俺もそう思う

>>344とすると、>>337で正解、なのかな？
自分もそうなったんだけど…

(10＾210)/(10^10+3)の整数部分のけた数と、1の位の数字
を求めよ。
ただし、3＾21=10460353203を用いてよい。

４／５より大きいか否か、って聞かれるとちょっと困惑するね。
計算手順から言っても、直感で決められるものじゃないから。
>>340人数が増えるほど、信頼性は高くなるはずだけど（未確認）
たとえば登場人物が一人の場合の時から、
確率は９９％を下回っているので（コインの枚数にもよるが）
１００人の場合が９９％より高いかどうかは一概には言えない。

かなり寝ぼけているので間違ってたらすまん。

>>337は当たってるけど、一人の場合の確率は4/5よりかなり低い。

魔方陣5*5を完成させよ（縦横斜の和が全て等しい）
使う数字は1〜25各1つづつ。また手順を説明せよ。

>>350
もう有名すぎてﾀﾞsb；いうあｓｄｇんさｋｊｄんｇぁ

>>348
Excel で試行してみた。

1人　0.114285714
2人　0.340425532
3人　0.673684211
4人　0.891986063
5人　0.970616114
6人　0.992488490
7人　0.998111483
8人　0.999527201
9人　0.999881758
10人　0.999970437
11人　0.999992609
12人　0.999998152
13人　0.999999538
14人　0.999999885
15人　0.999999971
16人　0.999999993
17人　0.999999998
18人　1

３３７さん正解です　はやいですねー
解答はいうまでもなく条件付確率です　
とりかかると単純だけど直感ではなにかひっかかる問題

pをある事象Xが起こる確率、qが一人が本当のことを言う確率、nがその人数だとすると
全員が「xが起こった」と言ったとき、本当にxが起こっている確率は
p*q^n/{(1-p)(1-q)^n + p*q^n}となり
q>1/2のとき、1-q<qなので
p*q^n/{(1-p)(1-q)^n + p*q^n}＝p*q^(n+1)/{(1-p)(1-q)^n*q + p*q^(n+1)}　　（分子分母*q）
＜p*q^(n+1)/{(1-p)(1-q)^(n+1) + p*q^(n+1)}　　（∵{(1-p)(1-q)^n*q＞(1-p)(1-q)^(n+1)）
よってq>1/2の時に限り、nが増えるほど信頼性は増す。

>>347
灯台文型の入試問題だった気がする。

単位正方形Sと同一平面上にあり、Sの各頂点からの距離が
0でない有理数であるような点は存在するか？

>>356
ヒント希望AGE

>>356
オレは答えキボンあげ

[x]でxを超えない最大の整数を表す。
a(n)= [ √(2*n - (7/4)) + 1/2 ]
と数列を定義するとき、
kを固定して、a(n)=kとなるnの個数をkで表せ。

>>356
問題を読み違えてなければ、いっぱいあると思う。

>>360
座標で書いてくれ。
正方形の各頂点の座標を（０，０）、（０，１）、（１，０）、（１，１）として
どこに点をおけばいいの？

問題読み違えてたぽ。
正方形の中に取らなきゃいけないのか。

>>362
外でもいいから例を示してくれ

ごめんちがったｗ

>>364
つまり外でもみつかってないでオケ？

オケ。多分ないんじゃないかなぁ

とりあえず、正方形の各頂点の座標を（０，０）、（０，１）、（１，０）、（１，１）として
点( x , y )からこれら四点へのきょりが有理数になるとき、x,yが有理数になる事は簡単に示せた。
っていうことは、背理法で示すとして、この図形を適当に拡大すれば、

各頂点、および、考えている点が全て格子点であって
かつ、それらの距離も整数値。という常識では考えられないパターンに行き着くわけだが・・・

>>367
＞点( x , y )からこれら四点へのきょりが有理数になるとき、x,yが有理数になる事は簡単に示せた。

その証明おしえて

あるサイトからコピペ。

１０人が輪になってすわっています。
それぞれの人に「右隣の人はどんな人ですか？」と聞いてみたところ，
全員が「私の右隣の人はうそつきだ！」と答えました。

さて，この中に正直な人は何人いるでしょう。

嘘つきが2連続することはない。
正直者が2連続することもない。
よってありうるのは嘘つき5人と正直者5人が
交互に座っている場合のみ。

>>368
（０，０）〜（ｘ、ｙ）への距離が有理数になるため、距離の定義より
√（ x^2 + y^2 ）　が有理数。この事から、x^2 + y^2=有理数^2であり、x^2 + y^2も有理数となる。
また、(０，１)〜（ｘ、ｙ）への距離が有理数である事から、
√( x^2 + y^2 - 2y + 1 )　が有理数。x^2 + y^2 - 2y + 1が有理数になるので、上の結果とあわせれば
2y-1が有理数。結局、yが有理数となる。xも同様。


ダメかな？　ひょっとして、これだけ分かれば、問題の解答ができたとか・・・
ちょっと期待！

>>368
A(0,0)、B(1,0)、P(x,y) とおき、
APとBPがともに有理数であるとする。

AP = √(x^2+y^2) = q/p
BP = √((x-1)^2+y^2) = s/r

これらを辺々2乗してx^2+y^2を消去すれば、
xは有理数になることがわかる。

yについてはB(1,0)の代わりにC(0,1)を考えればいい。

かぶったすまん。

　サインカーブを書いて切り取って
丸めたとき円柱を切った切り口になる
ってのはどうやって証明するんでしょう？

>>374
分からないスレっぽい話だが・・・暇なので考えてみよう。
円柱を x^2+y^2≦1 -1≦z≦1 として、平面z=yで切ったときを考える。
その断面の周はパラメータθを用いて
x=cosθ　y=sinθ　z=sinθ
と表される。
よって、これを広げると、サインカーブができあがる。逆も明か。。。

あんま、面白くない。スレ違い。

>>356
今日は出題者みてないのかな？
ヒントほしい。これ
　
＞同一平面上にあり
　
ってのは正方形の外部もかんがえないとダメなの？

ヒントくれアゲ

>>376
外部ありなら明らかに存在するっつーような問題じゃないんだから、
仮に出題者が内部のみと考えてたとしても、
普通に外部ありで考えてやればいいじゃないか。

まあ俺はもともと外部ありでの出題だと思ったけど。

普通に考えると平面って言うのは、正方形内部の事を指してる訳じゃないよ。
だから、同一平面って言ったら、正方形内部に限定される物じゃない。

内部、外部、周上、全てを考えなきゃダメ。・・・なんだが・・・ちょっと証明が思い浮かびそうだな。

>>378-379
なんとなく内部、周はできそうなんだけど外部が･･･まったく手のつけようがないん･･･
どうしたもんかと･･･もしかして出題ミスじゃないのかなと思ったんだけど。
そうだねオレもまさか>>356の文面がうっかり内部限定をわすれてるとは思えないんだけど。
外部の場合の証明がまったく手がでない･･･。

さて、背理法でいってみよう。　ちょい、コピらせてもらう。

A(0,0)、B(1,0)、P(x,y) とおき、　APとBPがともに有理数であるとする。
AP = √(x^2+y^2) = q/p　　　BP = √((x-1)^2+y^2) = s/r
これらを辺々2乗してx^2+y^2を消去すれば、
xは有理数になることがわかる。　yも同様。

また、△XYZにおいて、X,Y,Zの座標がどれも有理数で表されるのならば、
その面積も有理数になる。なぜならば、X,Y,Zを平行移動させ、Xが原点になるようにすれば、
Y,Zの座標を(y(1),y(2)) (z(1),z(2))として、| det( (y(1),y(2)) (z(1),z(2)) ) |/2が△ＸＹＺの面積。
これは有理数である。

以上より、PA,PB,PC,PDが有理数になるときは、適当な自然数を見つけ全座標を等倍してやることにより
各頂点の値が整数、△PAB、△PBCなどの面積も整数値をとる事が分かる。

・・・ぜーんぜん、分かりません。

中間結果(0,1)(0,9)(1,0)の３点からの距離がすべて有理数であるような
点は（少なくとも１つは）存在する。これに加えて今のところ(1,1)からの
距離が有理になるような点の存在は否定出来ていない.
(x,y)=(80/45,84,45)
x^2+y^2=(116/45)^2
(x-1)^2+y^2=(91/45)^2
x^2+(y-1)^2=(89/45)^2

>>382で
(0,9)=>(0,0)です。訂正します。

(x,y)=(80/45,84/45) ですね。

なんとなく証明できたかも･･･面積つこた。

>>385
お願い。

>>386
すまん。まちがってた。吊ってくる･･･

>>382
＞(0,1)(0,0)(1,0)の３点からの距離がすべて有理数であるような
＞点は（少なくとも１つは）存在する。

(3/4,0)とか(12/5,0)とか色々（無限に）あるでよ。

やはり証明は、ピタゴラス数をこね回す類のものになるんだろうかね。

出題者のカキコらしきもの全然ないんだけど。これホントに絶対正しいの？自信あるの？

x軸、y軸上に無いことくらいは証明できないかなあ。
考えたけど、難しいなあ、これ。

>>390
正しいも何も、出題者はあるかどうかを聞いてるだけだろ。

ｘ軸上、ｙ軸上にもありそうな気がする…
手計算では見つからんけど

>>392
いや、正解があるにせよないにせよ証明、もしくは実例をあげる必要がある。
実例のほうならまちがいもなにもないけど証明の方ならもってる証明がホントに
あってるのかどうかは疑わしいよ。何人もの査読を通ってるわけじゃないんだから。

>>394
あぁ、つまり、自分で証明できたのかってことか。
別に考えるのが面白ければ、解決してない問題を出す事もあっていいと思ったから
上みたいに書いてみた。

ただ単純に、単位正方形に対して、条件を満たすような点が存在するかどうか
それを聞くだけだったら、解決できるかどうかはともかく、問題としては間違ってない
って言ってみただけ。　　　ｽﾏｿ

とりあえず自分できちんと答えもってるのかどうかだけでも答えてもらわないと
はじまらないんだが。数学板には“この問題はきっととけるハズだ”みたいな問題を
この手のスレに平気ではる香具師もいるし。

>>391
ってか、ｘ軸、ｙ軸上にないことを示せばあとは簡単なんじゃ？
んなことないかな。

>>397
なんで？

誰か四次元の場合のヘロンの公式知ってるヤツいないか？
あれを使えば、この問題が解けるような気がしてきた。

点Pと正方形ABCDの五点を考えて、どの二点を結んでも線分の長さが整数になる。
このとき、四次元単体PABCDの体積を考えて、仮に0にならないようにできるのなら、
平面性から矛盾を導く事ができるのだが・・・誰か知らんか？

正方形の辺が軸に平行でないならいくらでも例がつくれるからその方針では無理くさい。

そうだったな。　はやとちった。

いやまて・・・
例えば、一辺の長さが5の菱形で、対角線の長さが6,8の物を考えると、確かに
四角形ABCDと点PでAB,BC,CD,DA、PA,PB,PC,PDが整数の例を作ったりすることが可能だけど、
問題の場合、AB=BC=CD=DA　PA≠PD　PB≠PC　(※)　が成立しているだろ。ここら辺利用できんかな？

※
正方形ABCDの対角線をADとする。仮にPA=PDとすれば点Pは対角線BC上(または、その延長線上)に存在する。
ABが整数である事から、BCは無理数。よって、PB+PCが無理数になるか、またはPB-PCが無理数。
どちらの場合も、PB,PCの少なくとも一つは無理数になるため、条件を満たさない。

>>402
嘘だ。PC≠PA　PB≠PDだった。

役にたってない・・・

>>347できないの？

>>404
外出すぎでつまらんの。前の方でそう指摘されてるじゃん。

　　　あげ

具体的な数字が一切与えられずに、関数が求まってしまうのが興味深い問題。

次の条件を満たす関数ｆのうち、最も次元の低いものを求めよ。

ｆと単位円が共有するすべての点で、ある正方形をなす。

f(x) = ±√2/2

>>407
問題の意味がわからん

>>408で正解なの？

次元？次数？

>>408は明らかに間違いだろ。
とりあえず３次式になりそうだが計算がめんどくさい。

>>407
f(x)はxについての多項式・・・だよね？

>>407
ある正方形をなす　ってのは　正方形の４頂点となる　ってこと？

具体的な説明が一切与えられず、問題の答えが求まってしまう興味深い問題。
>>407

次元っつうぐらいだから、多変数関数なのだろう・・・。

>>414
ﾜﾗﾀ

問題きれたみたいだから出題してみる。
　
※※※※※問題※※※※※※
f(x)を最高次の係数が1である整数係数の次数nの多項式とし
α1･･･αnをf(x)=0の解とする。D=Π[i<j](αi-αj)^2とおく。
f'(x)x^(i-1)をf(x)でわったあまりを(ai1)+(ai2)x+(ai3)x^2+･･･+(ain)x^(n-1)とおく。
（つまりaijは剰余の多項式の係数。)行列AをA=(aij)とおく。
(detA)/Dをもとめよ。
　
結構ムズイと思う。

あ、A=(aij)のiは1〜nまでうごかしまつ。つまりA=(aij)はf'(x)x^(i-1)をf(x)でわった
あまりの係数をi=1〜nまでならべたn次の正方行列でつ。

P(x)をxについての多項式として、P(2)=nを満たすとする。(ただし、nは自然数)
P(x)の係数が0,1,2,3のどれかであるとき
考えられる多項式P(x)の総数をnを用いて表せ。

整数論で出てくる話だな

>>419
ヒントきぼんアゲ

>>419
わかった。
係数が0,1,2,3である多項式の全体をSとおく。S(k,n)を{P∈S|P(k)=n}とおく。
もとめたいのはS(2,n)対応f:S×S→Sを(Q,R)→P(x)=Q(x^2)+xR(x^2)でさだめる。
この対応は全単射でP=f(Q,R)のときP(2)=Q(4)+2P(4)。よって
#S(2,n)=�納m=0,[n/2]]]#S(4,m)×#S(4,n-2m)。
一方で４進数展開をかんがえればS(4,n)=1(∀n)。
∴S(2,n)=[n/2]+1。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 .　　　 ／＼
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ／ あ　＼
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ,´彡　 げ ..＼
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ノ ﾉっ＼　 て　＼
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 .／ ／´　　 ＼　 も　.＼
　　　　　　　　　　　　　　　　　／　/´.　　　　　 ＼　 い　＼
　　　　　　　　　　　　　　　　　|　 / /ヘ;;;;; 　　　　 .＼　 い　＼
　　　　　　　　　　　　　　　　　|　 ） ';=r=‐ﾘ 　　　　　　 ＼　か.　＼
　　　　　　　　　　　　　　　　　|　 　 ヽ二/ 　　　　　　　　＼　？....>
　　　　　　　　　　　　　　　　　)ヽ　｀_　 〈、_　＿､＿＿＿,-っ_　／ |!
　　　　　　　　　　　　　　　　　〉,;　/　　 ,⌒´　 ,,＿＿__,,､τｲミ、
　　　　　　　　　　　　　　　　 /　　｀　 ｲ／⌒￣　　　　　 .⌒｀　i!|!;
　　　　　 　　　　　　　　／⌒＼　　 ／　　　　　　　　　　　　　 ;i!|
　　　　　　　　　　　　／　人　　ヽ､/　　　　　　　　　　　　　　　.!i
　　　　　　　　　　 ／ ,／´　|＼.　.＼　　　　　　　　　　　　　　　!;
　　　　　　　　　 / ;／　　　 >　ヽ　　）

次スレは 「面白い問題おしえてたも 八匁」 だな

A(n)を1からnまでの素数の積とする。
このとき�尿(n)/n!(n=1〜∞)を求めてください。

あげ

>>356
遅い上俺数学得意じゃないから間違ってるかもしれないけど
細かい定義は省いて極座標で考えると
APをLとする。Lは有理数。AP^2＝L^2(有理数)、BP^2＝有理数+sinR
CP^2＝有理数+sinR+cosR、DP^2＝有理数+cosR
sinRとcosRが同時に有理数になるのはπ/2の倍数の時ですよね？
よって点Pは正方形の辺の延長上以外に存在しない
で (L^2+1)＾(1/2) はLが0以外の時無理数だよね？
だから題意に合う点Pは無い。

もろ間違いでした...

>>429
これ未解決問題だってさ
救済スレってのがあるから、見てみな。

ふと思いついた問題。面白くないかも。

まんじゅうを買うために４人の人が並んでいます。
彼らは出来るだけたくさん買いたいと思っているのですが、
一度に買えるのは３つまでと決まっていて、
ｎこ買ったらｎ人分後ろに並びなおさなければ
ならないというルールがあります。
（１個買ったら１人に順番を譲る。
３個買ったら一番後ろに並びなおし。）
まんじゅうは全部で10個あります。
彼らはそれぞれ何個買えるでしょう。

>>431
自分の総獲得数が同じであるケースが２通り以上あった場合、
どういう戦略をとるの？

例えば、できるだけ多くの人にまんじゅうを与えたいと思うのか、とか。

>>431
順に買っていけば5個づつ買えるということで、前2人が結託する。
しかし、3個づつ買った時点で裏切ったほうが6個ゲット。
裏切られた方が4個購入。とか。

まあ、この条件では決まらないかな。

>>426

>>426 解けそうで解けん

>>426は｢素数名人スレ｣で当時素数名人をなのってたコテハンが自分で思いついた
とけるアテもなくつくった問題。

また未解決問題かよ

解答用意してない出題者は
ちゃんとその旨を銘記してくだちい

凸多面体の辺の数をkとする。
k=7となる凸多面体は存在しない事を示せ。

k=6、または、k≧8を満たす自然数ｋに対して
辺の数がk個となる凸多面体が存在する事を示せ。

出題From数蝉

解けるよ。

＞解けるよ。
　
そらそやな･･･

まだ頭の中でうまく整理できて無いのでめちゃくちゃな日本語になるが。
まだ正しいのか判断してないし直感なんでﾄﾝﾃﾞﾓとレスが付くかも知れないが。

3次元空間内で多面体が多面体として存在するためには
各頂点から3本以上の辺が無ければならない。
しかしk=7の場合、全ての頂点から出てる辺の数を3本以上にする事が出来ない。
よって、k=7の多面体は存在しない。終わり

tu-ka、これ辺が曲線ってのもありだったらk=7の多面体が存在する事になるよな？
馬鹿な俺に教えて偉い人　もしくはエロイ人

各頂点から3本以上の辺が無ければならない。
しかしk=7の場合、全ての頂点から出てる辺の数を3本以上にする事が出来ない。

ここを証明しなきゃ駄目だよ。

辺の数が７の凸多面体があるとする。
もし４角形以上の面があれば辺の数は８以上。
つまりあればすべての面は３角形でなければならない。
面の数をsとするとき3s=2･7でないとだめだけどそんなこた−ない。

>>438
後半教えて

>>436
ありがとう。

n≧3にたいし(0,0,1)と(cos(kπ/(2n)),sin(kπ/(2n)),0) (k=0〜n-1)のn+1点の凸閉は辺の数が2nになる。
さらに(cos(π/(4n),sin(π/(4n),1/2)をくわえた凸閉は辺の数が2n+3になる。
よって辺の数が6,8,9,･･･の凸多面体は存在する。
ちなみに
辺の数がnで三角形の面を少なくともひとつ凸多面体が存在する
⇒辺の数がn+3で三角形の面を少なくともひとつ凸多面体が存在する
が証明できることと
辺の数が6,8,9で三角形の面をもつ凸多面体は具体的に構成できるので
（それぞれ正４面体、底面が正方形である錐、正四面体２つを一つの面ではりあわせたもの）
これから帰納的にもしめせる。

辺の数が6,8,10で三角形の面をもつ凸多面体は具体的に構成できるので
（それぞれ正４面体、底面が正方形である錐、底面が正５角形形である錐）
これから帰納的にもしめせる。
↑これに訂正。

pを奇素数u,v,wをpと互いに素である整数とするとき合同方程式
ux^2+vy^2+wz^2≡0 (mod p)
の解の個数がp^2-1であることをしめせ。

↑まちがった。(x,y,z)=(0,0,0)をわすれてた。
の解の個数がp^2であることをしめせ。に訂正

>>417-418
↑これ面白くない？挑戦中の人とかいない？答イラネ？

※※※※※問題※※※※※※
f(x)を最高次の係数が1である整数係数の次数nの多項式とし
α1･･･αnをf(x)=0の解とする。D=Π[i<j](αi-αj)^2とおく。
f'(x)x^(i-1)をf(x)でわったあまりを(ai1)+(ai2)x+(ai3)x^2+･･･+(ain)x^(n-1)とおく。
（つまりaijは剰余の多項式の係数。)行列AをA=(aij)とおく。
(detA)/Dをもとめよ。

ここに貼ってみる。

次の条件を満たす正の整数nをすべて求めよ。

条件：nは(2^n)+1を割り切る

たくさんあり過ぎて困る。

f(x)x^(i-1)をf(x)でわったあまりは常に０ではないんでしょうか？

f'(x)とf(x)は違う罠。

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>>451
B=(bij)、bij=(αj)^(i-1) とおけば、detB≠0であり

さらに、C=(cij) cij=δij*f'(αi) とおいて、BC=ABとなることから detA=detC=Π[i=1〜n]f'(αi) ・・・�@

f(x)=Π[i=1〜n](x-αi)　より　f'(αi)=-αiΠ[j≠i](αi-αj)

従って　D=Π[i=1〜n]f'(αi)=(-1)^(n(n+1)/2)*Π[i=1〜n]αi ・・・�A
�@�Aより
(detA)/D=(-1)^(n(n+1)/2)*Π[i=1〜n]αi　となる。

他スレで誰も答えてくれましぇん
�@与えられた四面体の6つの2面角(即ち隣り合う面の間の角)の内5つが等しいときこの四面体は正四面体であるかどうかを示せ。
�A1辺の長さが2の立方体の内部(表面とは限らない)に立方体の最も遠い2つの頂点を結んでいる折れ線がある。折れ線の頂点は立方体の表面にあり折れ線を構成する各辺の長さは3である。このような折れ線の辺の数の最小値を求めよ。
�B平行で相違なる2枚の平面Π1,Π2上に各々凸多角形α=A1A2...Am,β=B1B2...Bnがある。点P,Qが各々多角形α,β上を動くとき線分PQが動いてできる立体Tをα,βを底面とするプリズム体と呼ぶ。Π1とΠ2の丁度中央(両平面から等距離)にある平面Π3によるTの切り口をμとする。
α,β,μの面積がa,b,mであり,Π1とΠ2の間の距離がhであるときプリズム体Tの体積をa,b,m,hを用いて表せ。

ここは宿題スレじゃないので放置
つかマルチか？

マルチで解答済みだす

平面上に有界な凸図形Sがある。
次の問に答えよ。

(1)　Sの面積を二等分する直線が無数に存在する事を示せ。
　また、Sの面積を二等分する直線を全て求めよ。

(2)　ある点Pが存在し、(1)で求めた無数の線分のうち少なくとも
　三本がその点で交わる事を示せ。

(3)　点Pのうち条件を満たす物を一つ求めよ。

(4)　(1)で求めた直線のうち、どの４つをとっても、同一の点で交わらないような
　図形Sが存在する事を示せ。

>>461

(3)までは解答を持っています。　(4)は適当なので、外れてるかも知れないし
未解決かも知れないし、すぐに解かれるかも知れません。

超難問
定規だけで（2点を結ぶ直線を引くだけで）正方形の面積を7等分する方法を記せ。

正方形の一辺をSとすると正方形の面積はS^2
七等分された面積の


この方法じゃ詰まることが分かったから書くのやめた

正方形ABCDにおいて線分ABをB側に伸ばした先に点Eをとる。
DEとBCの交点をFとし、AFとBDの交点をGとする。
EGを伸ばした直線とADの交点をHとするとAE*EF*DH=BE*DF*AHより
HはADの中点となる。

BHを伸ばした直線とCDの交点をIとするとCD=DI。
同じようにしてABをA側に延ばした先にAJ=ABとなるJが取れるので
ABCDの隣に正方形ADIJを作れる。

A(0,0) B(1,0) C(1,1) D(0,1)とすると上の方法によって任意の格子点を
求められる事が分かるので、a=1〜6について(-a,1)と(7-a,0)を結んだ線分と
ADの交点を求めればADを7等分出来る。BCも7等分出来るので
ABCDも7等分出来る。

>BHを伸ばした直線とCDの交点をIとするとCD=DI。

ここが嘘

ＣＤ＝２ＤＩだろバカ

>>463
過去ログ探せばどっかにあるぞ。

AからEまでの長さをnとすると
n*CD=DIになる。と思う。
証明はｼﾃﾅｲｶﾞﾅｰ
Function Viewで再現してみたらそんな感じになった

コンパス使えない＝長さを移せないってこと？

http://w2.oekakies.com/p/2chmath/49.png?99
AH=DHで直線ABと直線CDが平行だからAJ=DI=AD=IJになると思うけど…違う？

>>465
さくらスレ82の489辺りに昔答えを書いたぞ

>>465
＞求められる事が分かるので、a=1〜6について(-a,1)と(7-a,0)を結んだ線分と

(-a,1)じゃなくて(0.1)でない？
それ以外はOKだと思う。

>>473
(0,1)→(1.0)に訂正

>>473
更に訂正

訂正はなかったことに。

>>475
>訂正はなかったことに。

訂正→指摘　に訂正

i.e. >>473それでOK

>>473-476
明日休みといっても無理して起きてる必要は無いぞ。
寝た方がいいんじゃね？

(　´∀｀)いい夢見ろよ

>>477
これからエアマスの実況がありますから

>>473-476
確認作業に感謝

>>472
そっちの解答は正方形から線分がはみ出てないのね。素晴らしい

「>>463のように正方形内に定規のみを使って作図出来る点or線分は、
　『途中で引く線分が正方形内からはみ出さないようにする』というルールを
　加えても必ず作図出来る事を示せ」
って問題を昔考えたけど『作図』を厳密に考えるのに難儀してた結果止めた記憶がある。
でも結局これは正しいような気がする。

それじゃ自分も寝ます
　

>>461
教えてAGE

http://66.98.132.154/upro/source3/No_0002.mpg

>>457
ちがうよ。f(x)=x^2-3x+2とかで実験してミソ。

>>482
>f(x)=Π[i=1〜n](x-αi)　より　f'(αi)=-αiΠ[j≠i](αi-αj)

>従って　D=Π[i=1〜n]f'(αi)=(-1)^(n(n+1)/2)*Π[i=1〜n]αi ・・・�A
>�@�Aより
>(detA)/D=(-1)^(n(n+1)/2)*Π[i=1〜n]αi　となる
ここを大幅修正(というか微分を間違えてどうする漏れ！)

f(x)=Π[i=1〜n](x-αi)　より　f'(αi)=Π[j≠i](αi-αj)

従って　detA=Π[i=1〜n]f'(αi)=Π[i=1〜ｎ]Π[j≠i](αi-αj)
　　　 　 　 　 =(-1)^(n(n-1)/2)Π[i＜j](αi-αj)^2=(-1)^(n(n-1)/2)*D …�A
�@�Aより
(detA)/D=(-1)^(n(n-1)/2)　となる

>>483
御名算

>>472
再うｐ禿しく希望。

>>461
答えきぼんアゲ

>>485
さくらスレ82
http://science.2ch.net/math/kako/1048/10486/1048630335.html

>>461

えーと、ヒントはまだ出しません。
ちなみに(4)は自力で解けて、どうやら簡単な形をしたある図形が
条件を満たしてくれるようです。

>>164の答えお願いします。

もらえる玉の個数の期待値なら、直観で20個取り出した時が最大かな。

秤を使わないでジャンボジェット機のだいたいの重さを知りたい。
どうすればよいか。

とりあえず「ジャンボジェット 重量」でぐぐってみる。

>>461
全部解けたつもり。が、書くのがメンドイ。
直線を連続的に動かしていけばいいんだよな。

(1) では、Sの周上の一点 R を固定しておくと、
R を通る直線によって S が二つに分割されている。
小さい方の面積を大きく、大きい方の面積をするように直線を動かすと
どこかで面積のつりあいがとれる。

(2) は、面積を二等分する直線(L)を一本固定する。
その直線のコピー( L'(t) )をSをニ等分する性質を保たせたまま
半回転させる。そのときの、LとL'(t)の交点Q(t)の移動をおっていくと
ある t で Q(t) = Q(t') となる。このとき、L, L'(t), L'(t') は一点で交わる。

(4) は、正三角形でどう？

正三角形でいいならどんな三角形でもいい。

じゃあ半円でファイナルアンサー。

>>491は某社の入社試験。

MSだな

ある立体がある。これをどんな平面で切断しても、切り口は円になるという。

球以外に上記の性質を満たすものがあれば例をあげ、
なければそれを証明せよ。

>>495
半円とは？

>>493
(3)は重心

>500
重心がどうしたの？

>>498
ないと思う。３次元の場合は簡単に証明出来る。

いや、>>461の(3)の答えとして重心が挙げられると思って。。。

証明もあるけど、いる？

>>164の解き方お願いします。

>>502
証明してよ

>>503
おながいします。

>>505
502 じゃないけど。こんな筋書き?

(1) 凸である。
(2) 有界である。
(3) 半径が最大となる切り口の中心が球の中心。

一つ平面をとる。
その平面上の円の中心を通りその平面に垂直な平面を全部考える。
垂直な平面上の円の中心は最初の円の中心を通り
最初の平面に垂直な直線上にあるので
その直線との共通部分が全ての円の直径になるので球。

レベル低下中

題意の性質を持つR^3の部分集合をSとする｡

切り口が常に1点の場合、Sは1点よりなる

切り口が半径r(＞0)の円となるものがあるときその一つをD1その中心をO_1とする。
O_1を通りD1に垂直な平面を一つ取りその平面でのSの切り口の円をD2その中心をO_2とする。
∂D1と∂D2の交点をP、QとしO_1、O_2をとおる直線をLとする｡

ここで中心O_2 半径 PO_2の球S_0を考えると
S_0はD1、D2を切り口に持ち題意を満たす｡

逆に互いの乗る平面が直交し共通部分が一方の(ここではD1とする)中心を
通る線分となるような2つの円盤D1,D2をとり D1,D2を切り口に持ち題意を満たす集合をSとしたとき
D1∩D2=PQ　D1の中心をとおりD2に直交する直線をL ∂D1=C1、∂D2=C2 として

Lを含む平面によるSの切り口に現れる円は少なくとも
C1上のある点とそのC1での対蹠点、そしてC2とLとの交点の4点を通らなくてはならず
これはC1,C2(従ってD1,D2)により一意的に定まる。

以上のことから題意を満たすSは球となる。

>D1∩D2=PQ　D1の中心をとおりD2に直交する直線を…
D2に直交→D1に直交

>>508でいいんじゃないの？

「ある立体がある。これをどんな平面で切断しても、切り口は円になるという。」
を少し変えて
「ある立体がある。これをどんな平面で切断しても、切り口はある特定の図形Aに相似となる。」

とすると>>498の問題の難易度が上がる。

レベル低下中

>>448-449を誰かやってみてちょ。

Ａにどんな条件をつけたらいいんだ。
思いついた問題を書き込めばいいってもんなじゃない。





x^7+7*y^7が素数となる時のx,yの性質若しくは、その素数の性質を考えよ。

>>516
答えおしえてくれAGE

>>517

516は思いついた問題を書き込めばいいってモンじゃないっていう
実例を示しただけだと思うが・・・

>>518
でも答えが知りたいsage

>>518
そうなのか･･･なんだ･･･ちなみに>>513は解けないの？つまり
「ある立体がある。これをどんな平面で切断しても、切り口はある特定の図形Aに相似となる。」
つまり
「ある立体がある。これをどんな平面で切断しても、切り口はすべて相似となる。
このときある立体はどんなものか？ 」
と読めるとおもうんだけどこれって球しかないような気はするんだけど。
到底とけそうにないの？

>>516
x,yを実数とする。明らかにx^7+7*y^7は任意の素数をとりうる。
よって、素数をpとしてp=x^7+7*y^7ならば、pは任意の素数である。

また、x^7,7*y^7は任意の実数値をとりうるので、どのようなxに対しても必ず
あるyが存在し、p=x^7+7*y^7が成立する。
従ってxは任意の実数。


ほれ。どうだ。文句あるか？

>>513は見た事があるんだけどなぁ。解き方は忘れた。

解けるはずだと思う。根拠はない。ただ、思いっきり記憶のどこかに引っかかってる。

>>520
自分は解けなかったんでスレを引用しとく
http://cheese.2ch.net/math/kako/979/979198460.html

>>522
貴方は↑のスレの誰かさんですか？

>>523
おお、こんなスレが昔あったのか･･･でもこのスレでも結局未解決のまま終わったんだね。

>>523
そこのスレの事は知らんかったが、10年ほど前に見た事がある問題。
その時は数学の知識も乏しく、この問題が自分に解けるのか？ということはおろか
未解決問題なのか、それとも、解決した問題なのかすらわからなかった。

当時の俺の行動から考えて、数学セミナーのエレガントな解答を求むあたりを
探してみると、案外見つかるかも知れない。今度の休みに行ってみる。
ちなみに・・・いつになる事やら・・・

さて、口直しに少々簡単な問題を出すとするか。どこかの国の数学オリンピックから出題だ。

1でない任意の有理数 k に対し、kに対応する、次の条件を満たした二つの集合A,Bが
存在する事を示せ。

1) A∪B = N　　ただし、Nは正の整数の集合
2) A∩B = 空集合
3) Aに属するどの二つの自然数x,yをとってもx/yはkにならない。
　　また、Bに属するどの二つの自然数z,wをとってもz/wはkにならない。

>>526
できた。
素数pを(k,p)_p=-1であるようにとる。(ただし(-,-)_pはヒルベルト記号)
A,Bを
A={n|(n,p)_p=1}
B={n|(n,p)_p=-1}
とおけばこれがもとめるものである。･･･ダメ？

あ、だめだ。しまった。kが平方数ならそんな素数pはとれないや。吊ってきます。

>>526
再挑戦
k=Π(pi)^(ei) (piはすべてことなる素数)としてp=p1、e=e1とおきさらに
有理数rにたいしv(r)=(pの多重度)とおく。そこで
A={n|v(n)≡0,1,2,･･･,e-1 (mod 2e)}
B={n|v(n)≡e,e+1,e+2,･･･,2e-1 (mod 2e)}
とおく。するとa,a'∈Aおよびb,b'∈Bにたいしv(a/a')=v(a)-v(a')≠e、v(b/b')=v(b)-v(b')≠e
なのでa/a'もb/b'もkにはなりえない。

x∈Nに対してx*k^n∈Nとなる最大のn∈N+{0}をf(x)とする。
（ただしkが自然数の時はx*k^nでなくてx/k^n）
A={x∈N|f(x)が偶数} B={x∈N|f(x)が奇数}でどうでしょ。

被ったー。ごめんなさい

正解。　ちなみに、出題元はこれ。
http://www.kalva.demon.co.uk/aus-pol/ap78.html

今回発見されたフセインが本物である確率は？

>>521
x,yが整数の場合に限るとどうなるか？

素数p,q,rが次の式を満たすとき、その値を求めよ。
　p | q^r + 1
　q | r^p + 1
　r | p^q + 1

>>534
>>516って問題として成立してないんじゃないの？

とりあえず間違いでも自分が答えもってる問題以外はやめてほしい。

>>537
「難しい問題といて〜な」っていうスレを作れば、ええんちゃう？

答えを知らないことを明記しておけば、構わないと思う。

>>539
それはそうだね。しかし過去未解決問題とか自作の答えない問題かいてる香具師で
そういう気遣いする香具師ゼロ。２、３日メチャメチャ悩んで未解決問題だったときすげ―ショックなんだが。
ホントやめてほしい。

彼らを隔離するためにも、ここは一つ
「お前ら表に出ろ！ 俺の作った問題を解け！」

>>536
http://www.unl.edu/amc/a-activities/a7-problems/questions/q-tse/-pdf/tse03.pdf

まだ分からんが、一応解ける問題らしいな。

>>542
こんなページがあったのか〜

>>542
>>516のってないけど？

恐らく、>>535と間違ったんだろう。
>>535なら載ってる

>>535ならでけた。
容易にすべて相異なる素数ではある。
まずどれか一つは2であることをしめす。全部奇数と仮定する。
pが最大としてよい。r|p^q+1よりp^q≡-1 (mod r)。フェルマの小定理よりp^(r-1)≡1 (mod r)。
ここで(q,r-1)=1 or q
(i)(q,r-1)=1のとき
uq+v(q-1)=1となる整数u,vをとると仮定よりuは奇数。∴p≡p^uq･pv(q-1)≡-1 (mod r)
∴r|p+1。rが奇数だから(p+1)/rは偶数。∴q^(p+1)=(q^r)^((q+1)/r)≡1 (mod p)
フェルマの小定理よりq^(p-1)≡1 (mod p)。∴q^2≡1 (mod p)。∴p|q^2-1。
∴p|q+1 or p|q-1。これはpの最大性およびすべて奇数に反する。
(ii)(q,r-1)=qのとき
r=kq+1とおけるのでr≡1 (mod q)。仮定よりr^p≡-1 (mod q)。∴2≡r^p+1≡0 (mod q)
∴q=2。これは仮定に反する。
以上でどれかひとつは２であることがいえた。
以下r=2と仮定すると与式はp|q^2+1、q|2^p+1 (p,q は奇素数)と同値。
4^p≡1 (mod q)。フェルマの小定理より4^(q-1)≡1 (mod q)。
ここで(p,q-1)=1 or p
(i)(p,q-1)=1のとき
このとき4≡1 (mod q)。∴q=3。p|q^2+1よりp=5。
(p,q,r)=(5,3,2)は与式をみたすのでこれは解の一つ。
(ii)(p,q-1)=pのとき
q=kp+1とおけるのでq≡1 (mod p)。∴2≡q^2+1≡0 (mod p)。これはpが奇素数であることに矛盾。
以上より解は(p,q,r)=(5,3,2)およびその置換にかぎる。

次の等式を、組合せ論的解釈により証明せよ。
ただし、C(n,r)はn個の中からr個を取り出す組合せの数とする。
Σ[k=0 to n]C(2n-2k,n-k)C(2k,2k) = 4^n

正直者（常に正しいことを言う人）か
または嘘つき（常に間違ったことを言う人）である人に
電話で「あなたは男ですか？」と尋ねた。
(1)「はい。私は男です」という答えが返ってきた。彼は男か？
(2)「私が男だというのは正しいね」という答えが返ってきた。彼は男か？

既出だったらスマソ

>>548
確実に武富士社員に盗聴されてるな。間違いない。

有るところに尺取虫がいた。
そして立方体があった
尺取虫はその立方体の辺上を歩くものとする
しかしその立方体の頂点のうち一つだけ毒が塗ってある
その毒の上を尺取虫が歩くと死ぬ
尺取虫が頂点Ａ（毒が塗っていない任意の頂点）
を出発した
一辺進むのに一年かかる。
毒に当たらない限り尺取虫が死なないとすると
この尺取虫の平均寿命は何年か

５８／７年。

何故？

>>550
毒の塗ってある頂点と、虫のいる頂点との距離によって寿命が違うと思うんだけど、
頂点Aはランダムと考えるの？
そうなら>>551と同じになるんだけど。

>>553
君、ランダムの意味を辞書で確認した方がいいと思うよ。

出発点が、毒でない7つの頂点から等確率で選ばれ、
なおかつ、各頂点での虫の進む道が、3方向から等確率で
選ばれるとすると、>>551になる。

n個の非負実数、a(1),a(2),…,a(n)は次の不等式を満たす事を示せ

( Σ[k=1,n] a(k) )( Σ[k=1,n] (a(k)^(n-1)) ) ≦ nΠ[k=1,n]ａ（ｋ） + (n-1)Σ[k=1,n] (a(k)^n)


えぇっと、解答は持ってます。
とある本からの出題です。Web上では同じ問題を見つける事ができませんでした・・・

不等式ヲタがこのスレに興味を持ったようです。
|　 |
|＿| ﾟ∀ﾟ）.ﾊｧﾊァ
|文|　⊂）
|￣|ｕ'ｕ'
""""""""""

|　 |　　　 ∧∧
|＿|　_＿（ ﾟ∀ﾟ）.ﾊｧﾊァ
|文| （　　し　　）つ
|￣|　ｕ'ｕ-ｕ'ｕ'

不等式ヲタが>>556を解けなかったようです。
|　 |
|＿| ´Д｀）ｼｮﾎﾞｰﾝ
|文|　⊂）
|￣|ｕ'ｕ'
""""""""""

>>548
「私が男だというのは正しいね」ではこれ一つで真偽が定まってしまうように見える。
つまり、男である嘘つきはこう言うようには思えないし、女である嘘つきはこう答えうるように見える。
「私は男かという質問にはいと答えるだろう。」くらいの方が問題に適していると思うがどうだろう？

…これで(1)と(2)が同じ命題という釣りだったら…

そうすね。すいません。

前回の問題がまだ解かれていないのに、新たな追加問題。

h(n) = Σ[k=1,n] (1/k)
とおくとき、n≧2の自然数ｎに対して

n + Σ[k=1,n-1] h(k)

を簡単にせよ。　結果にはhを用いてもよい。　　答えはメール欄。


>>556のヒントいる？

かｎぎｎけｎさｍて＝たからくじ
えｎねｍあｎえ＝いっぱい
のとき
らｎざｎわｍい
はなにをあらわすか

n + Σ[k=1,n-1] h(k)
=
n
+1
+1+1/2
+1+1/2+1/3
・・・
+1+1/2+1/3+...+1/(n-1)
=
n
+
(n-1)*1+(n-2)*1/2+(n-3)*1/3+.....(n-(n-1))*1/(n-1)
=
n
+
n(1+1/2+1/3+...1/(n-1))+(-1-1-1-...-1)
=
n
+
n*h(n-1)+(-n+1)
=n*h(n)

今、ふと思ったんですけど四角形の成立条件ってどうなるんですか？

四角形PQRSの各辺の長さを
PQ＝a　QR＝b　RS＝c　SP＝d
とするとき　a,b,c,d　にはどんな関係があるか？

もちろん答えはわかりません。

面白いことを考えるなぁ…
とりあえず潰れないために
a+b+c>d, b+c+d>a, c+d+a>b, d+a+b>c …(1)
であることが必要だけど、これだけではマズイね。
2辺が一直線になってしまわない条件も考えないといけない

>>565
a,b,eとc,d,eで三角形の成立条件をみたすようなeが取れること。
b,c,fとd,a,fで三角形の成立条件をみたすようなfが取れること。
…あと足りない条件てあるんだろうか？
尋ねられるととっさに答えにくいな。

よく考えてみたら

c＋d＞│a−b│

この条件だけでいいんじゃないのかな？

四角形の辺の長さになる。
＜＝＞
全て正の実数でありどの数も他の三つの和より小さい。

>>568
（ａ，ｂ，ｃ，ｄ）＝（１，１，１，４）。

ｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞﾄｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞﾄｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞﾄｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞﾄｽｺｺｺ
ｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾝｽｺﾊﾞﾝｽｺｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄ ☆＿∧＿∧＿∧＿∧＿∧＿∧＿
ｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞﾄ从☆`ヾ/゛／'　　"＼' /". ☆　　|　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　|
ｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊ≡≪≡ゞｼ彡 ∧＿∧ 〃ﾐ≡从≡=　＜ うぉぉぉぉー、>>547と>>556の解答まだぁ〜〜！！
ｽｯﾄｺﾄﾞｯｺｲｽｺｺｺ'=巛≡从ミ.（・∀・# ）彡/ﾉ≡》〉≡　.|＿　 ＿　 ＿　＿　＿　＿　＿＿＿|
ﾄﾞｯｺｲｼｮﾄﾞｽﾄﾞｽﾄﾞｽ=!|l|》ﾘｎl⌒!Ｉ⌒Ｉ⌒I⌒Iﾂ从=≡|l≫,ﾞ　　 ∨　 ∨　∨　∨　∨　∨　∨
ｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄ《l|!|!l!'~'⌒^⌒(⌒)⌒^~~~ヾ!|l!|l;"ｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾝｽｺﾊﾞﾝｽｺｽｺｺｺ
ｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞl|l|（（　(〇)　））（（　(〇)　））|l|》;ｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾝｽｺﾊﾞﾝｽｺｽｺｺｺ
ｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞ`へヾ―-―　　　 ―-―　.へヾｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾝｽｺﾊﾞﾝｽｺｽｺｺｺ
　　　　　　　　　　　　　　／|＼人 ＿.ノ _||_.　／|＼

>>570
あ，そーゆー問題嫌いです。

ある水槽に１６種類のアメーバがいます。
１分間に１回争い、勝てば相手を取り込み２個に分裂します。
２回に１回は引き分けます。
従って１分後には８種類の１個のアメーバと４種類の２個の
アメーバになります。
さて平均して何分後にこの水槽のアメーバは１種類になるでしょうか。
但し、同一種類同士も争うものとします。

>>565の問い
成立条件って書き方しているからこんがらがっていたけど、
a,b,c,dにどんな関係があるかというと>>566,>>569の通りで良いっぽいですね。
でこれが成立条件であるかというと>>566に書いてあるように2辺が一直線になってしまわない条件が足りないと。
なんでこんなことになるかというと、4辺の長さが定まっても四角形は一意には定まらないからなんですね。
3辺の長さが成立条件を満たして定まれば三角形は必ず一意に定まりますから。

以上、>>567でしょぼいことを書いた懺悔のまとめレポート提出。

ユークリッド（超）空間上に点A,B,Cがあり、AB=c,BC=a,CA=bに対し、
a,b,cのどの数も他の２数の和より小さい（つまり等しくならない）時、
それは三角形である。
ユークリッド（超）空間上に点P,Q,R,Sがあり、PQ=a,QR=b,RS=c,SP=dに対し、
a,b,c,dのどの数も他の３数の和より小さい（つまり等しくならない）時、
それは四角形とは限らないどころか同一平面上にあるとも限らない。
…で、そんな当たり前のことを書くなと言われそうだが、
四面体の成立条件とかあるんだろうかとふと思ったんで。
やっぱり三角形の成立条件４回当てはめるだけかなぁ？

凹んだ四角形もできてしまう罠。
凸多角形となる条件も必要なのでは？

>>574
四角形はという言葉に凹んだ四角形も自然に含ませています。自分は。
というかこの問題（＝四角形の成立要件）は辺の長さだけでは語れなくなってきたと思いまする。

そうだったのか…
凹んだのを入れるなら、四辺形と言ったほうがイクナイ？
しょうーもないことだが

ていうか、最初っから、そう断っとけ！

　　　 _, ,_ 　ﾊﾟｰﾝ
　（　‘д‘）
　　　⊂彡☆))Д´） ←>>575

>576
ばぁぁぁぁぁか(ﾌﾟｯ

>>576
殴ったね！　父さんにも（以下略

>>577
まぁ、心の奥に留めてやってあげてよぉ。

じゃあ、ｎ角形の場合も

ｎ角形の辺の長さになる
　　　　　↑↓
辺の長さが全て正の実数であり、どの数も他のｎ−１個の和より小さい。

でいいのかな？？

>>579
角度を適切に取れば、それが結論のような気がしますね。

>>556できた。与式は同次形なので束縛条件�蚤k=1を導入して一般性をうしなわない。
S=nΠ[k=1,n]ａ（ｋ） + (n-1)Σ[k=1,n] (a(k)^n)-( Σ[k=1,n] a(k) )( Σ[k=1,n] (a(k)^(n-1)) )
とおいてコンパクト集合{(ak)|ak≧0、�蚤k=1}での最小値が0以上であることをしめす。
最小値がak=1/n以外の点ではありえないことを示す。ak=1/nでない点で最小値をとったと仮定する。
a1＞1/n＞a2、a1≧akと仮定して一般性を失わない。微少量eについて変換a1→a1-e、a2→a2+eを考える。
この変換の１次の寄与を計算する。
n((a1-e)(a2+e)Π[k≧3]ak-Πak)=n(a1-a2)(Π[k≧3]ak)e+O(e^2)
(n-1)((a1-e)^n+(a2+e)^n-a1^n-a2^n)=n(n-1)(-a1^(n-1)+a1^(n-1))+O(e^2)
(a1-e)^(n-1)+(a2+e)^(n-1)-a1^(n-1)-a2^(n-1)=(n-1)(-a1^(n-2)+a1^(n-2))+O(e^2)
だから
総変化量
=n(a1-a2)(Π[k≧3]ak)e+n(n-1)(-a1^(n-1)+a1^(n-1))+(n-1)(-a1^(n-2)+a1^(n-2))+O(e^2)
≦n(a1-a2)a1^(n-2)-(n-1)a1^(n-2)(na1-1)+(n-1)a2^(n-2)(na2-1)e+O(e^2)
≦a1^(n-2)(na1-na2-(n-1)(na1-1)+(n-1)(na2-1))e+O(e^2)
＝a1^(n-2)(na1-na2-(n-1)na1+(n-1)na2)e+O(e^2)
＝a1^(n-2)(-n^2+2n)(a1-a2)e+O(e^2)
ゆえこれは負の値をとりうる。これは最小値であったことに矛盾。
ゆえに最小値はak=1/nでとる。この点でS=0は容易。

ﾏｼﾞﾂﾏﾝﾈ

20本の紐を左手で握ります。
握った手の上側から出ている20本を2本ずつペアにして結びます。
下側から出ている20本も同じように2本ずつペアにして結びます。

左手を離したときに、紐が一本大きなワッカになっている確率はどれくらいだと思う？

文系のオイラが、１から最後まで全部眺めました。
とっても難しくて、よくわからなかったんだけど、理系の人たちが、こういった数学の
体系の美しさに惹かれていることは、なんとなく理解できました。
待ち時間の平均が３５分っていう問題、解説読んでもｻﾊﾟｰﾘわかりましぇん・・

しかし、みなさん、頭が良さそう。
オイラにわかる数字扱うものは、簿記だけです。

>>583
９！／１９・１７・１５・１３・１１・９・７・５・３・１

自信なし…

>>583
すうおりか

>>583
これは片側を固定して考えればいいわけだよな？片側がどうなった場合でも同様になるから。
すると、もう片側でできるマッチングの数、ぶんのいち？
ってどう考えるんだっけか。

まずは直感でどれくらいになりそうか書いてみて。
そのあと計算してみてよ。

>>586 いや、数オリではないです。

>>588
直感だと１％くらいとｵﾓﾀ
計算したら>>585（０.０５％くらい）にﾅﾀ
あってる？

>>593
(10!÷2×2^10)/(20!/(2!)^10)かな？だめ？

いやいや、意外と確率は高いよー。

なんか6点で考えてみたら見えた気がする。
18・16・〜・2／19・17・〜・1
って感じ？
電卓うちまちがってなければ、 0.2837731927515っぽい感じ

あ、ちがう気がしてきた。

１８・１６・１４・１２・１０・８・６・４・２←分子
　
１９・１７・１５・１３・１１・９・７・５・３←分母

考え方かえたら答えもかわった。２８％くらい？？

いや、やっぱいいのか。いいんだよきっと！

漏れの場合、分子のほうは、すでにペアになってるのを一筆書きでループにできる場合を数え上げた感じでやったよ

おれは、最初に一本選んで、その紐のもう一個の端以外をペアとして選ぶ確率が18/19
今結んだ紐のもう一個の端が、最初に選んだ紐のもう一個の端以外をペアとして選ぶ確率が16/17
以下同様に…って感じ

２人挑戦して答え一緒だからきっとあってるはず…と思うがどうなの>>583

ちょっと考えていた値と微妙に違ってたから検算してた。
答えはそれで合ってます。

こっちで用意していた答えは、2n本の紐のケースで
(2n-1)!/{(2n-1)!!}^2 = 2^(2n-1)/(n*C(2n,n)) でした。

２０％くらいじゃないの？

これ、パソコンで計算させたら、0.199くらいの値が出てきてたので
「20%くらいでしょ」という解答があるかと密かに期待して
出題したんだけど、どうも計算に誤差がたくさん入ってしまってたみたいです。

ちなみに、プログラム組んでモンテカルロをしてみたら
10000回やって2920回ワッカになりました。

>>599
ありがとう(TT)

正解ﾜｼｮｰｲ
ネタ的には不発だったかもしれんが漏れは面白かったよ

意外と確率高いんだなァ

確率が20%くらいになるのは、40本のときみたい。
そのときの確率が、0.19940....。

多分問題出すときに自分で導いた式が2n本の時の
答えであることを忘れて、n=20で計算してしまったんだと思う。
と自己弁護w

>>592 ありがとね。

604=583ね。名前入れるの忘れた。

問題です。

麻雀の、天和が起こる確率を求めよ。

>>606
ただし、円周率を３とする。
が抜けてますよ。

おしえてage

F(x)=x^3+x+1とおく。実数xにたいし集合P(x)を
P(x)={p:素数|F(x)≡(x-a)(x-b)(x-c) (mod p) ∃a,b,c∈Z}
とおく。lim[n→∞]P(x)/(x以下の素数の数)をもとめよ。

訂正
F(x)=x^3+x+1とおく。実数xにたいし集合P(x)を
P(x)={p:素数|p≦x、F(t)≡(t-a)(t-b)(t-c) (mod p) ∃a,b,c∈Z}
とおく。lim[n→∞]P(x)/(x以下の素数の数)をもとめよ。

http://www.google.co.jp/search?q=%E5%A4%A9%E5%92%8C%E3%80%80%E7%A2%BA%E7%8E%87&ie=UTF-8&oe=UTF-8&hl=ja&lr=

まだ訂正しきれてない。

これで桶？
F(x)=x^3+x+1とおく。実数xにたいし集合P(x)を
P(x)={p:素数|p≦x、F(t)≡(t-a)(t-b)(t-c) (mod p) ∃a,b,c∈Z}
とおく。lim[x→∞]P(x)/(x以下の素数の数)をもとめよ。

>>613
a,b,cはmodpで異なるっていう条件はいらないよね。

保守。

>>614
いらない。

三角形ABCがある。三辺の長さをa,b,cとしてSを面積とする。
a,b,cが自然数、かつ、Sが平方数であるとき、三角形ABCを求めよ。

存在しないと思うなら、理由をつけて示せ

意外とむずい。答え持ってるこれ？

>>617
三辺が9・10・17のやつと3・25・26のやつが面積36になった。

>>617 の問 2 です。

また、Sが一辺の平方数であるとき、三角形ABCを求めよ。

存在しないと思うなら、理由をつけて示せ

さらに問 3 もあったり…。

一般に、Sが (n/2)a^2 と表せるとき、n の条件を求めよ。
ただし、n は自然数

>>613
2/3

>>622
ちがう･･･ハズだが･･･なんでそうなった？

>>620-621
ヒントきぼんage

nを正の整数として、平面上にn個のベクトルがある。
今n個のベクトルを
↑A(1) , ↑A(2) , …, ↑A(n)
として、
1 = Σ[k=1,n] | ↑A(k) |
が成立している。

この時、n個のベクトルからなる集合をを三つの部分集合に分割する事ができ、(空集合もOK)
それら三つの集合X,Y,Zは次の条件を満たすようにできる事を示せ。
1) X∪Y∪Z={ ↑A(1) , ↑A(2) , …, ↑A(n) }
2) | Σ[ ↑A(x)∈Ｘ ] ↑A(x) | + | Σ[ ↑A(y)∈Y ] ↑A(y) | + | Σ[ ↑A(z)∈Z ] ↑A(xz) | ≧ (3√3)/(2π)

>>625
おっと、忘れた
3) X∩Y=空集合、　Y∩Z=空集合、　Z∩X=空集合

>>620-621
ヒントきぼんage Secound Edition

あげわすれた･･･

ヘロンの公式かな

>>629
出題者？

>>630
違。
思いついただけの横レス
でも出来ないぽ

というか>>620-621自体思いつきでつくった問題くさい。

>>620

これは整数論の中では知られた問題で, 出来ないことが証明されていたはず。
だから, 思いつきとは限らないであろう…。

>>633
＞これは整数論の中では知られた問題で, 出来ないことが証明されていたはず。
　
まじ？ソースキボン
　
＞だから, 思いつきとは限らないであろう…。
　
どうかな？今まで出題者のカキコ一回もないし。絶対思いつきだって。

三角形の内接円半径r，外接円半径Rとする
2r≦Rを証明せよ

>>635
それこそヘロンの公式だろ。

>>625
Give me a Hint, Please!! AGE

>>625
ヒントくれくれくれくれくれくれくれくれ

あぁ、スマン>>638
http://www.unl.edu/amc/a-activities/a4-for-students/problemtext/mc97-98-01feb.pdf
これの223ページ24番を写しただけだ答えは持ってない。っていうことで、自分で考えてけろ

げげ――――――――――――――――――――――――――
なに―――――――――――――――――――――――――――
くそ―――――――――――――――――――――――――――
年末いそがしいのに――――――――――――――――――――

>>640
すまん。ただ、一ヶ月後にこれの解答が載っている本が届く。
なので、その頃まで待ってもらえれば答えが出せる。


つーか、解答の用意されているはずの問題なんだから答えられると思うけど・・・誰かが。

期限は一ヶ月ときまりますた。さぁみんなでかんがえよぉ！

>>635
三角形の3つの中点を通る円(9点円)の半径はR/2。
内接円は三角形の三辺すべてと共有点をもつ円の中で
最も小さな円であるからr≦R/2。
∴2r≦R。

論理問題だと思うんで
「ビル・ゲイツの面接試験」でぐぐった問題
http://www.atc.ne.jp/seikindo/html/bilgeituno.htm
http://www.isis.ne.jp/mnn/senya/senya0888.html
http://d.hatena.ne.jp/knack/asin/4791760468

1： 太陽は必ず東から出ますか。
2： マンホ−ルの蓋はなぜ丸いのでしょう。
3： マイナス２進法で数を数えなさい。
4： 時計の針は１日に何回重なるでしょう。
5： 富士山を動かすにはどれだけ時間がかかるでしょう。
6： ミシシッピ川の１時間の最大流水量は。
7： アイスホッケーリンクの総重量は？
8： 世界にピアノの調律師は何人いますか。

クイズ板からの転載で
9：
5人の海賊A,B,C,D,Eが100個の宝石を手に入れた。その宝石の分け方の問題。
まず順番を決め、最初の1人目が分配方法を提案し、多数決を採る。
賛成多数の場合はその方法を採用して終了。
賛成人数が反対人数以下ならば、その1人目を殺して次の2人目が同様に提案し、多数決を採る。
以下同様にして、決まらない場合は最後の1人になるまでこれを繰り返すものとする。
さて、1人目はどのような分配方法を提案すればより多くの宝石を手に入れられるだろうか。
もちろん死なずに。

1〜5、9は最低限考える取っ掛かりはあるんだが
6,7,8は取っ掛かりすらない・・

7 ホッケー場の広さ×氷の厚さ×氷の比重？

>>646
そうなんだよね。
例えばホッケー場のサイズをたまたま知ってたやつが
「広さはx(m^2)で厚さがy(m)であの氷の比重がz(kg/m^3)なので答えはxyz(kg)です」
なんて答えを出すことを求めてるかといえば、
なんか違う気もするんだよなぁ。
俺にとっては（特に9なんかは）久々の論理系の良問だったんで
きっとなにか、こう、取っ掛かりがあるんじゃないかと・・

自分なりにひねり出した解
5：

□□□□●●■■□□□□□□
□□□●●■■■■□□□□□
□□●●■■■■■■□□□□
□●●■■■■■■■■□□□

　　　　　　　　↓

□□□□□□■■●●□□□□
□□□□□■■■■●●□□□
□□□□■■■■■■●●□□
□□□■■■■■■■■●●□

これを「動いた」と定義してしまう。
この「●」を極限まで小さくすると
多くとも富士山の外周を半周する時間ですむ。
さらに回転角も極限まで小さく取る事を考えると以下のようになる。

「富士山の最も外側にある砂粒のうちの一つを、
　外周にそってほんの少し移動させるために要する時間」

f,T;[0,1]→[0,1]、f(x):=1/2-|x-1/2|、T(x):=��2^(-n)f(2^n*x-[2^n*x])
(nは0から∞)とする、Tは無限個の点で値2/3を取ることを示せ。特に
Tが2/3の値をとる点を無限個与えよ。それが出来たら、Tの変域の制限を
変更したときにどうなるかを考えよ。友人への年賀状に書いた問題なので
(即興で作った)、瞬殺だとは思いますが。あと、下らん函数だ、などと
言うと罰が当たりますよ。

2.蓋が落ちないように。別に円でなくても構わないが(e.g. 正三角形+Π/3の
弧3つの図形、なんていうんだっけ)円が一番素直な形だから。

4.22回?

6.から8.は、見積もりの問題だから実験屋の人とか、社会科学の人は
得意かも。

9.まず、残り二人になった場合、提案者になってしまえば、即、死決定だと
思うんだが... 誰からも不公平だという文句の出ないような公平な分売
の方法なら分かるんだが、この問題は少し違うみたい...

上の問題はもしかすると、一寸難しいかも。とくに、Tを初めて見た人は。

aとbが無理数でa^bが有理数になるようなa,bが存在することを
高校数学における対数以上の知識を用いないで(対数も使っちゃだめ)
示せ。まぁ、対数を使った証明が分からん人は使った証明を考えても
いいけど。

上の問題とは648の問題、という意味です。

次の証明の問題点を述べよ。(数学科のプロの人は瞬殺の筈)
「円に内接する面積最大の三角形は正三角形である」
　一辺を固定して考えれば残りの2辺の長さが等しいときに高さが最大と
なる。同様にして、任意の2辺の長さが等しくなるとき、つまり、正三角形
のときに面積は最大となる。

>>651
1辺を固定して残りの2辺を等しくした状態から、その2辺が同じ長さという性質を満たしたまま
初めに固定した1辺も上のどちらかの辺（即ち2辺）と長さが等しい状態に動かせるような推論が行われているのがマズイ
でいいのか？
何かうまく表現出来ん…。

>>652
もう少し考えましょう。ヒント書き忘れました。
1.Weierstrass、ディリクレの原理
2.次の証明から考えてみては
「1は最大の自然数である」
なぜなら、nが最大の自然数であるとするとn^2はn以下である。
即ちn^2≦n、i.e.n≦1。nは自然数であったからn=1 q.e.d
651はこれと同じ轍を踏んでいます。

>>651
面積最大の三角形が存在することを言わなきゃ駄目ってことかな？

3辺をa,b,cとする。
a≠bのときその三角形は面積最大とはなり得ない。
なぜならcを固定して（略
よって面積最大となるためにはa＝bであることが必要条件である。
同様にしてb＝cが必要条件であることも言えるので、
結局、面積最大となるためには3辺の長さが等しいことが必要条件である。

↑
取りあえずこれは合ってるよね？（あくまで必要条件で攻めてみた）

馬鹿ばっか

>>655
その言葉のあとに

見事な証明つけてくれたらなぁ・・・。

>>655
君のことだな

>>655
そんな事言えるのなら頼むからこのスレの無数の未解決問題をどうにかしてくれ…

各辺の長さ１の正四面体１個と
各辺の長さ１のピラミッド (正四角錐---底面は正方形、側面は正三角形)１個を、
正三角形の面で頂点と頂点があうように貼り合わせます。
できる立体は何面体か？

正四面体の各辺の中点を結ぶと一辺が1/2になった正四面体が4つとれる。
この4つを取り外すと正八面体が出来る。これを2つに分割した奴の1つと
それにくっつく1/2正四面体1つを合わせた物が>>659の物体になる。

作り方から面は6つ。

作り方から面は6つ。→作り方から面は5つ。

正四面体の面は４つ。正四角錐の面は５つ。
このふたつの立体が１つの面を共有する。
共有された面は外から見えなくなるから
全部で面は７つ。

５つで正解。
>>662は誤答。

この問題、どこかのテストに出て、
その模範解答が間違っていたといういわくつき問題。

1から自然数nまでの和をS(n)、自然数nまでの素数の和をP(n)とおく。
P(n)/S(n)の極限を計算してください。

0

>>664S(n)＞P(n)なんやからｎを無限に飛ばしたら０になるにきまっとうやろ

666 名前：甲陽高１ ◆uqmQ5k/uJs ：03/12/28 00:55
>>664S(n)＞P(n)なんやからｎを無限に飛ばしたら０になるにきまっとうやろ

>>666
ヴぁか丸出しじゃんか…

>>666
【ｺﾖﾀﾝ萌え】天才ほいほい２【怒濤（どす）】
http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1072095905/l50
数学の範囲に拘り数学の真の面白みを知らぬ愚か者よ、帰せよ。

P(n) := { nまでの素数全部 } としたとき、
P(n)の要素数は、素数定理より、n→∞では
n/(log n) で近似できる。

従ってΣ[k∈P(n)] k ≦ n^2/(log n) と評価でき、

(Σ[k∈P(n)] k ) / Σk ≦ 2n^2/(n(n+1)(log n)) → 0

酔ってるので尻滅裂かも‥‥

>644.9
三人目、五人目には分け前０で
残り３人で３等分

>>670であってるような・・・

>>671
100個の宝石を、どうやって3等分すればよいですか？

重さで。
っていうか、その答え間違ってるよ。

z

>数学的帰納法は普通は
>(I)n=1のときを証明
>(II)n=kのとき成り立つと仮定してn=k+1のときの成立を証明
>という手順を踏みます。
>
>だけどこんな問題を出されたのです。
>
>「数学的帰納法において、ｋを使わずにnのまま証明して、証明したことになるか否かを述べよ」
>つまり
>(I)n=1のときを証明
>(II)nのとき成り立つと仮定して、n+1のときの成立を証明
>という手順で証明してもいいのかどうか。ということです。

ちょいとおもしろいと思った。

>>671
その場合、BCEが反対するためにAは死ぬ事になる。
Bは自分が提案する番になると
その提案以上の宝石をせしめる事が出来るからだ。

２人以下の時、Ｅが必ず百個取れるとすると、
３人になった時に、Ｃが百個取るとしてもＤは受け入れざるを得ない。
４人の時、Ｂの提案に対しＣは必ず反対するだろうが、ＤとＥは
一個でも分け前があれば賛成すべきだ。
５人の時、Ａの提案に対しＢは反対するが、Ｃ，Ｄ，Ｅは
一個でも分け前があれば賛成するだろう。
とすると、Ａは９８個を自分でとり、一個ずつＣＤＥの適当な二人に
与えるのが正解では無いだろうか？

ある４けたの自然数をまん中で２けたの自然数２つに分けるとその和は１１３で、上２けたをそのまま下２けたに移して４けたの自然数を作ると、もとより４８５１だけ小さい数になりました。
もとの４けたのある自然数は何でしょう？


●▲■◎

●▲＋■◎＝１１３

●▲■◎−■◎●▲＝４８５１

>>678
最後がちょっと違う。Ａが９７個、Ｃが１個、ＤかＥに２個、だと思うよ。
次以降に期待できる額が同じなら、殺してしまうという前提においてだけど。

>>680
>次以降に期待できる額が同じなら、殺してしまうという前提

ちょっと強すぎる前提では。
1、死にたく無い
2、1に反しない限り多くの宝石が欲しい
という定義だけでは、彼らが殺したがりなのか生かしたがりなのかまでは確定しないと思う。
そしてどちらの立場を選択するかによって答えが変わってしまう。
（個人的にはここがこの問題のキモだと思ってる）

定義から以下を導けば十分だと思う。
「次に期待できる額が同じならどちらかを確実に選ぶ事はしない。（不確定状態）
ただし彼らは絶対に死にたく無いので、生死不確定な状態よりも確実な生を選ぶ」

結論は同じなんだけどね。

>>676を誰か教えて。
俺は問題ないと思うんだけど。

>>681
確定しないからこう前提をおくのが合理的ってことだよ。

残りの人間は、次の提案者が馬鹿であることにして期待して殺してしまうのが
いいし、提案者は残りの人間がそう考える可能性のあることを考慮して、賛成
を確定させるために、次の期待額以上を提案するほうが安全になる。

一番死の危険にさらされているのは提案者だから、「確実な生を選ぶ」のは提案
者にあてはめるべきだよ。

なるほど

>>682
普通は問題ないよ。
本当は、「nで成り立つ」というのは「あるnで成り立っている」とするのが正しい。
文脈からは明らかだからそんなにこだわらんでもいいけど。

>>685
＞「nで成り立つ」というのは「あるnで成り立っている」とするのが正しい。

ん、なるほど。

切符でよくやる、並び替えと括弧と加減乗除だけで１０を作るやつ。

１　１　５　８

さあどうぞ。

８／（１−１／５）＝１０。

>>687
答えは>>688のみ。

さすが数学板。瞬殺か。

太郎君のお母さんには3人の子どもがいました
（子どもたち）
�@　�D　�I


それぞれ名前が
�@＝一郎君

�D＝五郎君　　と言います

さて�I君の名前は何でしょう？

太郎君

�I＝野口五郎君

>>683
確定しないから合理的な前提を置くべきなのは同意なんだが、
この問題が成り立つために以下を前提とする必要があると思うんだ。

・彼らは常に最善策を選択する
・そしておたがいその事を知っている

もしこれが成り立たないとしたら
（他人が非最善策をとる可能性を考えなければならないなら）
例えば>>678のような推論は不可能になるんじゃないか？
それか以下のような強引な推論になってしまう。

〜〜〜
A提案が「98-0-1-0-1」であった場合、Eの立場だと
「AかBのどちらかの提案には必ず賛成するつもりだが
Bは馬鹿かも知れないから俺に2枚以上という提案をするかも知れない。
でも俺に0枚という提案をするほどBは馬鹿じゃない。だからAは殺した方がいいな」
だからAとしてはEに2枚という提案が必要である。
〜〜〜

>>693
そだね。ただ、Ｅにとって、
Ａの「98-0-1-0-1」という提案をＡを殺さずに受け入れるのと、
Ａを殺して、Ｂの「98-0-1-1」という提案を受け入れるの
はどちらも最善になる。

ＡはＥが最善策をとるのはしっているが、どちらを選ぶかは分からない。
という状況では、Ａにとっては死ぬ確率をゼロにするためにＥに２枚与える
のが最善だ、とならない？

提案者にとっては、残りの者の最善策がどちらでもいい場合は、自分を殺す
方を選択するはずだ、と考えて行動するのが死ぬ確率を減らす上で最善とな
る、ということ。

>>625
できたぜ。
j=1,2,3にたいし↑B(j)(x)=(cos(x+2jπ/3),sin(x+2jπ/3))とおく。
i:1〜nにたいして関数fi(x)をfi(x)=max{↑A(i)･↑B(j)(x) | j=1,2,3}とおく。
このとき∫[0,2π/3]fi(x)dx=|↑A(i)|∫[0,2π/3]cos(x)dx=(√3)|↑A(i)|
よってf(x)=�納i]fi(x)とおくとき∫[0,2π/3]f(x)dx=√3。
よって平均値の定理から0＜a＜2π/3をf(a)=(3√3)/(2π)となるようにとれる。
X'(j)={i | fi(t)=↑A(i)･↑B(j)(a)}とおき、X(j)=X'(j)＼(∪[k<j]X'(k))とおく。
さらに↑C(j)=�納i∈X(j)]↑A(i)、↑C(j)･B(j)(a)=m(j)とおく。θjをC(j)とB(j)(a)のなす角とする。
�納j]m(j)=f(t)=(3√3)/(2π)であり|↑C(j)|≧|↑C(j)||B(j)(a)||cosθj|=|m(j)|
から�納j]|↑C(j)|≧�納j]|↑C(j)||B(j)(a)||cosθj|=�納j]|m(j)|≧|�納j]m(j)=f(t)|=(3√3)/(2π)
よってX=X(1)、Y=X(2)、Z=X(3)、とおけばよい。

>>687
ここの下の方に 1, 1, 5, 8, 10 と入れると結果が表示される。
http://www.amy.hi-ho.ne.jp/odasan/com/programs/number4/number4.html

>>694
＞ＡはＥが最善策をとるのはしっているが、どちらを選ぶかは分からない。
＞という状況では、Ａにとっては死ぬ確率をゼロにするためにＥに２枚与える
＞のが最善だ

全く異論なし。なので言い方の差だけかも。

確実な生＞生死不確定＞確実な死

の大きな方を常に選択する、ということだもんね。

さて、6人目を考えると新たなジレンマが発生する。
参加者をZABCDEとするとして、
ZがDに1枚を提案したらDは賛成するか？
（Z案での確実な1枚）と（A案での不確実な2枚）はどちらかが重い？等しい？
うぬぬ・・

A案では0かも知れない。C,Eに配分する場合。

>>679
8132

>>697
考え方は同じだよ。「確実な生＞生死不確定＞確実な死」に則る。
そういう判断をZができない以上は、確実にZがD(orE)から賛成を得るには3個が必要になる。
同様にCは2枚、Bは1枚が必要となる。5人中3人の賛成を得なければいけないから、
[94,0,1,2,0,3] or [94,0,1,2,3,0]が正解。

でも[94,0,1,2,0,2] or [94,0,1,2,2,0]でもいいかもしれないな…。
ここは難しい。

実際にやったら絶対Ａは頃される。

>>702
B,C,D,Eが馬鹿なのか・・・

>>702 ﾜﾛﾀ
まぁ、nが小さいときから帰納的(因みにプロの言葉では再帰的)に
解いていくべきなのは明らか。それから、当面皆は論理的にものを考える
ことにしよう。まぁ、A〜Eはお互いを良く知ってるかもしれないから、
例えばDのみが論理的にものを考えない場合、Bがnon-logicalで、Dが良く
分からない場合、なんて場合分けしてもいいが、複雑すぎる。
そこで、次の概念を導入する。Xが論理的海賊(Logical Pirates LP)
であるとは海賊集合の元Xが論理的推論者であることと定義する。(w
それから、次回以降の期待額が同じ場合に、提案者を殺すのかそうじゃない
のかもはっきりさせないと。まぁ、これは場合分けして解くことにしても
いいが、非本質的なことに労を費やすことになる。

651の略解です。
>>次の証明の問題点を述べよ。
>>「円に内接する面積最大の三角形は正三角形である」
>>一辺を固定して(ry
最大値の存在を仮定しています。若しあなたが高校生なら、中心角を
変数にとって二等辺三角形の面積のグラフをかいて、グラフより最大値の
存在は明らか、と言えば有能な教師からは褒めて貰えるでしょう。
理系大学生なら閉区間で(ryを使ってください。

>>620, >>621
は n についての条件をまとめて解くしかないかも…。

>>634
整数論の中では知られた事実と言うことは聞いた話で, ソースは探すのが難しい…。
海外の論文(文献)にあるだろうけど, 自分の力では探すことが出来ませんでした。


この問題は『楕円曲線』の知識を使って解くことが出来ます。
ヒントになるかな？

>>701
あら。ここは全く反対の考えだ。Dにとって確実により多くの宝石を得るには
目の前の1枚＞次の不確定な2枚
かと思ったけど・・（この場合[97-0-1-0-1-1]になる）

この不等号を不確定とすると
[95-0-1-*-*-*] (*のうち2人に2枚)
となるのかな？
確定2枚＞不確定2枚
は確実に言えそうだし。

まぁ参加人数は5人までにするのが無難かな。
最善策を定義しきれない。

# どの考えでも言えることだけど、(不確定枚数は期待値を採用するとかね)
# 参加人数がどれだけ増えても提案者以外の獲得枚数は2枚以下になる模様。

# そして相変わらずピアノ調律師の人数は数えられない・・・

>706
ただの直角三角形とは違うのん？
漏れ題意を違えてる？

>>707
704さんの言ってる、
「次回以降の期待額が同じ場合に、提案者を殺すのかそうじゃない
のかもはっきりさせないと。」
の部分だよ。

期待値、という考えなら、もしZがEが考慮する不確実さの事前分布を0も2も1/2
と考えた場合、期待値は1となって同じになるからね。

ま、この辺をはっきり定義するべきだ、ってことだね。

>>702
そもそも順番を決めるために一悶着あるはずだしねw
合理的ならこんな分け方に同意するはずもないし。
なんて言ったら問題の意味がないけどw

>>708
直角三角形とは違います。
直角三角形は今回の場合の特殊な場合ですね。

ちなみに 直角三角形の方についての証明は下記 URL を参照してください。

http://www1.ocn.ne.jp/~yoshiiz/pdf/area_of_right_triangle.pdf

海外のサイトの証明もありますが, URL を忘れてしまいました。
スミマセン。

>>706　
出題者なの？
　
＞この問題は『楕円曲線』の知識を使って解くことが出来ます。
＞ヒントになるかな？
　
この問題ってどれよ>>620のこと？>>621のこと？
だいたい>>621みたいな｢条件をもとめよ｣なんて数学の問題になってると思えない。
究極の条件として

　(ある３辺が整数の三角形が存在してその面積をSとするとき)
　Sが (n/2)a^2 と表せる必要十分条件は16(n/2)^2･a^4=(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)が
　整数解a,b,cをもつことである。
　
だってまちがいじゃないんだから。何をもとめてるのかさっぱりわからん。
思いつきで作った問題だって。

>>621
Ｓが平方数だからｎは平方数の二倍。

はぁ〜。
じゃ〜 もう模範解答をもう載せておきますね。

△ABCの３辺の長さa,b,cを有理数、底辺aをn、高さhを１とする。
AからBCに下した垂線の足をHとし, BH=u, HC=vとする。
ただし、簡単のため、
　　　∠ABC > π/2の場合は、BH=-u (u<0)
　　　∠ACB > π/2の場合は、HC=-v (v<0)
とする。このとき、
u+v=n
　　　b^2=u^2+1
c^2=v^2+1
である。
x=u-v
y=4bc
とすると、
2u=n+x
2v=n-x
より、
　　 y^2=16b^2c^2
=(4u^2+4)(4v^2+4)
=((n+x)^2+4)((n-x)^2+4)
=x^4-2(n^2-4)x^2+(n^2+4)^2
を得る。点(x,y)は曲線
C_n:y^2=x^4-2(n^2-4)x^2+(n^2+4)^2
の自明でない(y!=0である)有理点である。

曲線C_nは双有理変換
x=(n^2+4)(X+4)/Y,
y=(n^2+4){2X^3+(n^2+20)X^2+8(n^2+8)X+16(n^2+4)-Y^2}/Y^2 ;

X=(n^2+4)(y+n^2+4-x^2)/{2x^2},
Y=(n^2+4){(n^2+4)(y^2+n^2+4)-(n^2-4)x^2}/{2x^2} ;
により、楕円曲線
E_n: Y^2=X^3+(n^2+8)X^2+4(n^2+4)X
に有理同型である。

n>0なので、E_nのねじれ点群E_n(Q)_{tors}は、
Z/2ZxZ/2Z={(0,0),(-4,0),(-n^2-4,0),O}
である。

n=5のとき、E_5: Y^2=X^3+33X^2+116X
のMordell-Weil群E_5(Q)は、rank=1で、その基底は(-9,30)である。
E_5の有理点からC_5の有理点を計算して、題意を満たす(n,b,c)を探すと、
　　(5, 241/120, 409/120),
(5, 16354950889/2152746960, 5858756089/2152746960),
(5, 15224080676149012091689/13756901884302741868440, 63765406834896547107361/13756901884302741868440),
(5,　24218187327122647056442140614568372561841/4468251181812602388323869082371370448480,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4701093187965500335736065885533838399441/4468251181812602388323869082371370448480),
(5,188505117184298045766443476808536487676309408915680510143752001/155003203560506231309765165551107549384742417766438341246176600,

895804429223810234900835181391095219906663545142679754041146249/155003203560506231309765165551107549384742417766438341246176600),
.....

のようになる。これらと相似で３辺の長さが整数になる三角形(a,b,c)を計算す
ると、
(600, 241, 409),
(10763734800, 16354950889, 5858756089),
(68784509421513709342200, 15224080676149012091689,　63765406834896547107361),
(22341255909063011941619345411856852242400,　24218187327122647056442140614568372561841,　 4701093187965500335736065885533838399441),
(775016017802531156548825827755537746923712088832191706230883000,　188505117184298045766443476808536487676309408915680510143752001,
　　 895804429223810234900835181391095219906663545142679754041146249),
....
を得る。

参考文献
[1]Allan J.MacLeod, "A simple practical heigher descent for large height
rational points on certain elliptic curves", July 15, 2002.

>>695　乙。
正解だな。感動したよ。

n=1,...,30について、３辺の長さが整数で、底辺の長さが高さのn倍に等しい三角形をいくつか計算してみました。

結果は次のようになりました。
n=1,2,3,4,7,10,11,12,16,24,25,27,28,30の場合は、解なし。
n=5,6,8,9,13,14,15,17,18,19,20,21,22,23,26,29の場合は、解あり。

n=6の場合は、最小解[a,b,c]が小さいので、小さい解をもつ問題を出題するなら、こちらの方が良いかもしれません。
あるいは、n=2の場合に解がないことを証明しなさい、という問題も面白いと思います。

楕円曲線E_n 　　　　　　　　 三角形の３辺
n [0,a_2,0,a_4,0] rank(E_n(Q)) E_n(Q)の基底 [a,b,c]
---- ---------------- ------------ ------------ -------------------
1 [0, 9, 0, 20, 0] 0 -- --
2 [0, 12, 0, 32, 0] 0 -- --
3 [0, 17, 0, 52, 0] 0 -- --
4 [0, 24, 0, 80, 0] 0 -- --
5 [0, 33, 0, 116, 0] 1 [-9 : 30 : 1] [600, 241,409],[10763734800, 16354950889, 5858756089],...
6 [0, 44, 0, 160, 0] 1 [-8 : 32 : 1] [120, 29,101],[27415440, 27772729, 4569289],...
7 [0, 57, 0, 212, 0] 0 -- --
8 [0, 72, 0, 272, 0] 1 [-36 : 192 : 1] [120, 113,17],[23974080, 5547169, 19537249],...
9 [0, 89, 0, 340, 0] 1 [-5 : 20 : 1] [9360, 1769,10841],[2193892307923680, 335564764696849],...
10 [0, 108, 0, 416, 0] 0 -- --

11 [0, 129, 0, 500, 0] 0 -- --
12 [0, 152, 0, 592, 0] 0 -- --
13 [0, 177, 0, 692, 0] 1 [-121 : 858 : 1] [291720, 315121,31849],[986435564564501697360, 827765313659746079929,179031046508032125289],...
14 [0, 204, 0, 800, 0] 1 [-20 : 240 : 1] [2184, 685,1525],[3102786960, 3874500361, 796811929],...
15 [0, 233, 0, 916, 0] 1 [-49 : 630 : 1] [10920, 8297,2753],[1399306337629200, 184391575222969, 1561148767833769],...
16 [0, 264, 0, 1040, 0] 0 -- --
17 [0, 297, 0, 1172, 0] 1 [11236 : 245973 : 64] [116433779280,8405427241, 111771268729],[11670441288604186032511890990181342444475040,
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　9569225044530597073751214140775621146980849,　2233967780403995054623788795320612578673809],...
18 [0, 332, 0, 1312, 0] 1 [-200 : 2240 : 1] [6254640,6532649, 439289],
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[121912996594096227283152480,　96186506119044368085563761, 26834058234370029973355281],...
19 [0, 369, 0, 1460, 0] 1 [31680 : 675120 : 1331]　 [45798405066480, 32279148533449,　13821198008281],
　　　　　　　　　　　　　　　　　　[379625543589728572904666977237492035627972880961288160　　　　　　　　　86182251259758751530022455146839302807111409456623409,
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　463890202432451443335875107166868472678484477836703569],
20 [0, 408, 0, 1616, 0] 1 [-324 : 2880 : 1] [46800, 54781,　8269],[1328412804494162400, 1323626120375260129, 66733491312342529],...

21 [0, 449, 0, 1780, 0] 1 [-125 : 2200 : 1] [121265760,　112752209, 10409969],　[14794720810392116418692000253120,
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1167572755316636045893632472801, 13881540004580080404719114203681],...
22 [0, 492, 0, 1952, 0] 1 [-200 : 3360 : 1] [11651640,11532109, 545749],[835113361625825952930340080,
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　300163776632474933570433721, 538698603464021032708637641],...
23 [0, 537, 0, 2132, 0] 1 [9984 : 301600 : 27]
???????
24 [0, 584, 0, 2320, 0] 0 -- --
25 [0, 633, 0, 2516, 0] 0 -- --
26 [0, 684, 0, 2720, 0] 1 [-40 : 960 : 1] [15600, 5641,10009],[3859613000224800, 5654150911242289, 1798724912017489],...
27 [0, 737, 0, 2932, 0] 0 -- --
28 [0, 792, 0, 3152, 0] 0 -- --
29 [0, 849, 0, 3380, 0] 2 [-13 : 312 : 1],　[-729 : 7830 : 1]
[737760, 31681,719329],[412064257777120320, 335396785055745169, 78269171337328849],...
30 [0, 908, 0, 3616, 0] 0 -- --

>>713
これのどこが解答なのかわからん。
nでパラメトライズされた楕円曲線の有理点をもとめる問題に還元したとして
でnに関する条件ってのはなんなんだ？答えがたとえばn≡3 (mod8)のときは
解があるとかなんとかそんな形になるならともかくこんなのが答えっていわれて
なっとくいくわけね―。
大体このスレで出題者が思いつきでつくった問題かどうかは重要な問題で
何回も出題者のレスをもとめられてるのにそれにちゃんと答えるつもりがないなら
出題すんなよ。

あれ、なんか腹の中から黒い感情がこみ上げてくるよ。

>>713-715>>717-719
不正解。

すみませんが>>644の完全な解答をお願いしまつ

一辺が１の正方形ＡＢＣＤが有ったとする。
ＡＤの中点をＥ、ＢＣの中点をＦとし、ＡＢ上で点Ｒを移動させる。
Ｒと点Ｅ、点Ｆを結び延長した線と、ＣＤを延長した線との交点を
それぞれＰ，Ｑとすると、△ＲＰＱの面積は１となる。
底辺ＰＱの長さはＲに無関係で２である。
ｒ＝ＡＲとする
｜ＲＰ｜＝√（１＋４ｒ＾２）
｜ＲＱ｜＝√（１＋４（１−ｒ）＾２）
この二つの長さがともに有理数になれば、この△ＲＰＱの
整数倍の相似な三角形は題意を満たすはず。

ｒが有理数なら、既約分数をn/mとおける（m>0）
|RP|=√(m^2+4n^2）/m
|RQ|=√(m^2+4（m-n)^2)/m
m^2+4n^2 及び m^2+4(m-n)^2 が共に平方数となれば良い

>>704
ああ、そう言えば
Xが論理的人道主義的海賊(Logical Humanity Pirates LHP) であるとは、
海賊集合の元Xが論理的推論者でかつ、
宝石の数がいっしょなら殺しを避けてしまう
と定義した場合の考察をしてなかった。

E[100]
D[0-100]
ここでDが1枚でも欲張ると殺される。
人道主義的海賊Eにとって、Dの命は宝石一個よりは軽い。

C[100-0-0]
Dは自分の番との獲得枚数が一緒なので賛成する。

B[100-0-0-0]
ここで人道主義炸裂。

A[100-0-0-0-0]
4/5の賛成を集め無事可決。

>>723
いやぁ、、本を買うという方法がありまっせ。

題意で明らかにされていない海賊の行動原理はあるものの、
回答としては
100-0-0-0-0と97-0-1-2-0と97-0-1-0-2の三種類があるんやね。

>>621
（ａ，ｂ，ｃ，ｎ）＝
（４，１３，１５，３），（８４，９４９，１０２５，５），
（３，２５，２６，８），（８４，９６５，１００９，１０），
（８，１２３，１２５，１５），（２８，１３４５，１３７１，１８），
（５，１２２，１２３，２４），（２８，１３４７，１３６９，３０），
（１２，４２５，４２７，３５），（４，１９３，１９５，４２），
（８，５０５，５１１，４２），（７，３３９，３４０，４８），
（１２，１１８９，１１９９，５５），（６，４８１，４８５，６０），
（１６，１０１５，１０１７，６３），（９，７２４，７２５，８０），
（１５，１４８９，１４９６，８８），（２０，１９８９，１９９１，９９），
（１５，３３６１，３３７４，１１２），（１１，１３２５，１３２６，１２０），
（２４，３４４３，３４４５，１４３），（１３，２１９０，２１９１，１６８），
（１１，２６６５，２６７０，２１６），（１５，３３６７，３３６８，２２４），
（３，８６５，８６６，２７２），（４，２７０１，２７０３，５８５）。

>>727
100-0-0-0-0は明らかに無いだろ。

あのとき見た問題での条件：
・提案者も１票持ち・同数可決（実質１．５票持ち）
・自分の命が何より
・他人の血が流れるのを見るのは好き
・しかし何人死のうと金貨１枚には値しない

つまり同じ枚数の時のみより後の案を好む
つまり分け前たったの１枚で手のひらを返す

逆算して表にすると２００人まで芸術的結果になったなぁ。
で２０１人目と２０３人目で何かが起こったのですよ。ええ。

０．５票持ちとか−０．５票持ち（自分以外で「過」半数必須）とかだとどうなるんだろ？

あ、勿論海賊は全員論理的だったとしてです。

【補題】さて同様の配分が１００枚ずつ連続で何回か（例えば３回）あったらどうなるのだろうか？
上座に近い人間は提案権を得ようと目の前の金貨１枚を捨てるのか？

追加条件：
死者の財産の再配分はしない（現実的にはまずありえないが）
累計資産により差別しない（再配分が無くても現実的には金持ちは恨まれるものだが）

でも「これまでの配分結果に（頭数の変動を除き）影響されない」ようにしないと
逆算で計算し切れないし。

判断基準の順位：
長く生き延びる＞手持ち金貨が多い（処刑時も）＞斬殺ショーを多く楽しむ

>>644がいまだによくわからない＿|￣|○

正答は>>683でおｋ？

さぁて、今年も後僅かなわけだが、
2004年にちなんだ問題って言うのはまだでんのか？

一応、某サイトにもうぷったが、ここにも即興で作った
拙い2004年問題上げとくな・・・・・・まぁあまりにもつまらないわけだが。


---問題---
Σ[k=1,167] k/(x-k) ≧ 7
を満たすxの存在する範囲の長さを求めよ。
----------


で・・・誰か、もっと面白い新年問題プリーズ。

>>733
某サイトってどこですか？
その問題にも興味ある

題意は同数否決じゃないの？

>733
xに制約条件（整数とか、非負とか）ないと厳しいです

（７になるｘの和）−（∞になるｘの和）。

>>733
http://www.kalva.demon.co.uk/imo/isoln/isoln884.html

これが元ネタ。出題方法間違えたかな・・・
えーと、>>734その某サイトにも同じ問題を上げているから
見ても意味がない。っていうかまだ、更新されていないので
問題が上げられるのは、後日っていうところだね。



>>736
そうかなぁ？　グラフ描いてみたけど、なんとなく求まりそうだけど？

>>738
元ネタ、って答えを載せてるようなもんじゃないw
2004になるように作り変えた、ってことね？

>>730
＞・提案者も１票持ち・同数可決（実質１．５票持ち）

問題に深みがないような。

（そろそろ、まとめページが欲しいですね）

で、問題：
紅白のカードがそれぞれn枚ずつあり、これらを横一列に並べます。
左からm枚目までのカードに注目したとき、どんなmについても、
紅のカード≧白のカード
となるような並べ方は何通りありますか。
nについての関数で、f(n)=○○○という風に解答して下さい。

f(n)=0,5×(ｎ！/(2×0,5ｎ！))　？

階乗を使うのは正解ですが、まだ間違いです。
例えば、n=3のときには、

紅紅紅白白白
紅紅白紅白白
紅紅白白紅白
紅白紅紅白白
紅白紅白紅白

となるので、f(3)=5 で、５通りとなります。

>>741
f(n)=(2n)!/((n+1)!*n!)

大正解！　ネタを明かすと、カタラン数をちょっとアレンジしてみました。

http://web2.incl.ne.jp/yaoki/report.htm
http://www80.sakura.ne.jp/~aozora/taiwa/node85.html

次の数列を求めよ
１１、４０、１１、５８、８７、１７、６３、４７、３０、・・・

単調増加（減少）じゃない数列の一般項って求めるのムズそう。
１１→４０
１１→５８
と、２通りあるってことは、単に a_n+1 - a_n を考えても無駄ってことだよね。

四つの玉を一つの袋に入れます。玉は黒が一つ、白が一つで、他の2つの玉は赤です。
袋をよく振って、誰かが袋から2つの玉を取り出し、取り出した玉の一つは赤だ、と言いました。
もう一つの玉がやはり赤である可能性は、どれくらいあるでしょう？

>>748
当然の事かも知らんが一応。

> 取り出した玉の一つは赤だ
は
> 取り出した玉２つの内、少なくとも一つは赤だ
という意味だよな？

>>749
はい、そうです

>>748
楽勝！ >>749 の仮定の通りだとして、確率1/5

>>751
正解です！！

ところで、といってはなんですが。
なぜそう言う解答に至ったのか、説明して貰えませんか？

只今の論点は、答えはなぜ１/３でなく１/5なのかなのです。

もっと言うと、
赤玉1と赤玉2の組合せは
�@最初に取ったのが赤１　もう一方は赤２
�A最初に取ったのが赤２　もう一方は赤１
の二通りの組合せがあるのではないか。

というところです。

>>753
ここ行ったら？

分からない問題はここに書いてね１４５
http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1071929807/

>>752
書き出したら分かる訳だが･･･
赤１赤２、赤１黒、赤２黒、赤１白、赤２白

>>753
ああ、そういうことね。
＞赤１黒、赤２黒、赤１白、赤２白
では赤玉を区別するのに、なんで赤玉同士だと区別しないかってこと？

…説明が難しいな。

>>753
それは組み合わせとは呼ばない。順列。
赤１赤２と赤２赤１は同じ組み合わせだから区別しようがない。

>>756
難しくないだろ。順列で考えて赤１赤２と赤２赤１を区別するなら、赤１黒と黒赤１も
区別して考えなきゃいけないだろ？

>>752 じゃあ説明しますと、赤玉は２つあるので、赤A,赤Bと表記すると、
1(赤A,赤B)
2(赤A,白)
3(赤A,黒)
4(赤B,白)
5(赤B,黒)
6(白,黒)
の6通りが考えられる。「取り出した玉２つの内、少なくとも一つは赤」ということは、最後の6は除外される。
よって、確率1/5

>>753
「赤１黒」と「赤２黒」を区別するんなら
「赤１赤２」と「赤２赤１」も区別しないと！ってことか。
前者は組み合わせが違い、後者は順序が違うよね。
この２つの区別は意味が違う。
組み合わせが問題になっているので順序の区別は必要ない。

>>757
ありがとうございます。

>>755-760
ありがとうございます。
これで帰れます。

>>753の考え方で（無駄な手順を踏んで）解いても、
結局１／５になるはずなんだけどな。
赤１と赤２のとこだけ特別扱いするこたない。

箸休めにでもﾄﾞｿﾞｰ。

中学生になった気分で求めよ(中学数学の範囲で。三角関数は使用不可)

問題１
∠Ａ=108°、ＡＢ=ＡＣ、の二等辺三角形ＡＢＣの３辺の比

問題２
∠Ａ=30°、ＡＢ=ＡＣ、の二等辺三角形ＡＢＣの３辺の比


おおまかにでも方針なり過程なりは書いてね。じゃなきゃどんな解き方したか分からんから･･･

>>764
２次方程式の解の公式は使ってＯＫ？

>>765
中学範囲だからおｋ

>>764
(1) は、108°を 36°と72°に分けて、後は相似。
(2) は、ＡＣ上にＤを、∠ＡＢＤ＝45°となるようにとって、
ＤからＡＢに垂線を下ろした。
後は相似と三角定規で。

むずひ……。

>>767
正解！

解法はいくらでもあるけどね。(2)なんか特に。
(2)は∠ＣＡＤ=30°となるＢとは異なる点ＤをＢＣ上にとって
角の二等分線の公式で、ＡＢ：ＡＤ=ＢＣ：ＣＤってやって解くのが一番楽かな？

いずれにせよめんどいけどね。
でもこれが実際に高校入試で出てたりするんだよなぁ。

すまん。意味通じるとは思うけど訂正

×　点ＤをＢＣ上にとって
○　点Ｄを直線ＢＣ上にとって

年末にフジテレビで確率ネタの番組をやってました。
そこでモンティホールディレンマがとりあげられてました。
知らなかったのですが、面白いので改題してみました。

3つの箱のうちひとつだけがあたり。主催者だけがあたりの箱を知っている。

(1) 回答者が箱をひとつ選んだあと、主催者は残り２つのうちはずれの
ひとつをオープンして見せる。ここで回答者は選ぶ箱を替えることができる。
回答者は箱を替える方が得か？(もとの問題)
(2) 回答者が箱をひとつ選んだあと、第三者が残り２つのうちひとつを
オープンしたところはずれだった。ここで回答者は選ぶ箱を替えることができる。
回答者は箱を替える方が得か？

(2)替えても替えなくても同じ。

円形の池で女の子がボートをこいでいると池のほとりに痴漢が現れた。
痴漢は池の周囲を先回りして女の子を池のほとりで待ち構えまている。
痴漢の走る速さは女の子がボートをこぐ速さの4倍である。

問題：女の子が無事逃げるにはどうしたらいいか。

既出だったらスマン

>772
大声を出して助けを呼ぶ。

>>772
携帯で助けを呼ぶ。

>>772
入水自殺
天国へ逃げられます

・・・てかこのスレでは既出ではないかもしれんが、
回答を真面目に書く気にはならん。

>>773近くに助けを呼べるような人はいません
>>774携帯は持ってません
>>775現実世界でないと逃げたことになりません

一応ちゃんとした数学の問題です

>>776
一応言っておくが知ってるよ。
放置された私のWebページ上にある問題。
1-(1/4)πと1/4の大小関係。

岸にあがっところで痴漢に出会ったら
股間を蹴っ飛ばして逃げる。

パパ、マジレスしちゃうぞ。
池の直径を1として、中心から直径1/4よりわずかに内側で
ぐるぐる回っていれば、痴漢−中心−自分が一直線になる位置が取れるはず。
そこからおもむろに陸に向かって漕げば、距離3/8。痴漢は
π/2回ってくるのでかろうじて逃げ切れる。

こう？

痴漢のスピードをどこまで上げられるか考えると面白そう。
かなり難しそうだけど。

770です。はじめに答えありきで作ったんで、つまんなかったスマソ
(1) 選択を替えるべき
(2) 替えても意味なし(>>771さん正解)

>>780
1-(1/x)π < 1/x
なるx

>>782
ダウト。陸に向かって漕ぐところまでは>>779と同様にして、
半径の中点まで来たら進行方向を痴漢と反対方向に60度曲げ、
あとは陸まで直進すれば、xの値は4.2までは上げられる。

痴漢の最大速度に対応する女の子の軌跡は、
何かの螺旋になる気がする。

>>779正解！
正解者が出たら>>780を問題２にしようと思ってました。

問題2：女の子が無事逃げられるための(ボートの速さに対する)痴漢の速さの最大値(または上限)を求めよ。

4.2倍よりもっと上げられます。

円周上を動く痴漢を常に正面に見るようにボートを漕ぐ。
計算ﾏﾝﾄﾞｸｾ

この問題の出題者ではありませんが、追問として
「また、このとき女の子が漕ぐ距離を求めよ」なんてのはどうでしょう？

池をx^2+y^2=1、女の子と痴漢の初期位置それぞれ(0,0),(-1,0)
女の子と痴漢の速さをv、kvとしたとき

(dx/dt)^2+(dy/dt)^2=v^2
{(sin kvt)+y}(dy/dt)={(cos kvt)+x}(dx/dt)

こんな微分方程式が出てきた。解けねぇ‥

>>785
求める上限をxとすると、池の中心、直径の1/xより外側を女の子が
移動しているときは、痴漢のほうが角速度は速いので、痴漢は一方向に
追いかけるほうが有利。
一方女の子は、1/xの円周上で中心をはさんで痴漢と反対の位置をとった
あと、痴漢が移動をはじめたら上陸点を決めてそこへ直線で進むほうが
有利。
すると結局痴漢の移動方向と逆に90度折れてまっすぐ進むのが最適で、
このときx上限は
x=4.6033...(tan(θ)=θ+π、x=1/cos(θ)の解)

かな？

ちょっとまってくれ。
ボートから降りた後、高速で走る痴漢から走って逃げ切れるのか？

>>789
＞あと、痴漢が移動をはじめたら上陸点を決めてそこへ直線で進むほうが
＞有利。
＞すると結局痴漢の移動方向と逆に90度折れてまっすぐ進むのが最適で、
　
この部分は証明がいるのでは？

モンティーホールジレンマの一般化。

n個の箱にm個のあたりが入っている。（n-m>=2,m>=1,ひとつの箱にあたりが2個以上入ることはない。)
今、ゴンザレス君は箱Aを選んだ。あたりがどの箱にあるかを知っているクリスティーナちゃんは
あたりが入っていない箱Bをあけてゴンザレス君に見せて、今なら別の箱に変えてもいいよ、と言った。

この条件の下で、ゴンザレス君から見て、箱をA,B以外に変えたときにあたる確率は、箱Aのままの場合
の何倍になるか？

ただし、クリスティーナちゃんは箱A以外ではずれの箱を一様の確率で選ぶとする。
（今はその結果が箱Bだった、ということ。）

>>772
今夜はこのネタでオナるか
妄想力をかき立てられた

>722
無限に早くできる気がする。

あ，今の>>785ね

そのこころは？

この(>>772>>780)問題ってこんなに奥が深かったのか・・・
もうちょい考えてみよう・・・

>>792
n-m>=2が肝ですね。クリスティーナちゃんは必ずはずれ箱を
あけられるので、最初にゴンちゃんが選んだAがあたりの確率はm/n、
Aじゃない箱のあたり確率の総和は(m/n)*(n-1)で不変。
なので、箱を変更した場合にあたり確率は、
((m/n)*(n-1)/(n-2))/(m/n)=(n-1)/(n-2)倍になる。
かな？

>>798
結果は合ってるよ。でも、
「最初にゴンちゃんが選んだAがあたりの確率はm/n、Aじゃない箱のあたり確率の総和は(m/n)*(n-1)で不変。」
は自明な事実ではなく、クリちゃんがはずれを一様に選ぶことから導かれるんだよ。

問題がもし、「クリちゃんは箱Bを選べるとき（すなわち箱Bがはずれのとき）は絶対に箱Bを選ぶ（ことをゴンちゃんは知っている）」
場合はどうなる？

勝手に>>772の問題を弄ってみる。

時刻 t における女の子の位置を点 G_t 、痴漢の位置を点 R_t とする。
女の子と痴漢の移動速度をそれぞれ V_g 、V_r とおく。

1.勝手に初期条件を決める。
　・女の子の初期位置 G_0 は、湖の中心。
　・痴漢の初期位置 R_0 は、円周上のある点。
（それぞれを任意のままにしておくと、女の子が岸のすぐ傍からスタートしたり
　痴漢が湖の遥か遠方からスタートしたりしてしまうケースを想定しなくてはならず、
　上限等を求めるのが困難）

２.移動速度不変を明示
　・女の子、痴漢はそれぞれ常に任意の方向へ一定の速度で移動することができ、
　　方向転換によるロスや同方向に進み続けることによる加速等は無いものとする。

３.勝手に痴漢の移動ルールを制限
　・痴漢は、常に円周上で最も女の子に近い点A_tについて、弧 R_t A_t が短い側の
　　弧上をA_t に向かって移動する。
（女の子の移動アルゴリズムを分析して対処したり、フェイントをかけたりといった
　知的な行動や、無駄な遠回りなどは行わないことを定義しておく）

4.勝手に脱出条件を定める
　・女の子が円周上の任意の点に到達したとき、G_t R_t 間に d 以上の距離が
　　無くてはならない。
（d を「0より大きければ可」などとしてしまうと、『アルキメデスと亀』の屁理屈によって
　痴漢は無限に近い速さを持っていても絶対に女の子を捕まえられない）

とりあえず、G_t と R_t は原点を湖の中心に置いて（長さ, 角度）の座標系で表すと計算し易そうかな。
R_0の座標を (ｒ,0) （ｒ は湖の半径）として、R_t は　(ｒ , θ_rt) と１変数で表せるし、
G_t を ( x_t, θ_gt ） と置くと、x_t ≠ 0 のとき A_t は （ｒ, θ_gt) になるので、
Ｖ_ｒ とか d とかを角速度・角度差に換算しておけば、痴漢のほうの動きは簡単な式になりそう。

>>800
4.は必要かな？少なくともアルキメデスと亀の話は違うと思う。
どんなに小さなdをとっても、ある距離以上進めばアルキメデスは
亀との距離をd以下にできるのだから。
むしろ、女の子と池の中心との距離を単調増加させるという条件を
つけないといくらでもトリビアルに解が増えてしまいそう。

>>785
求める上限をxとすると、池の中心から、直径の1/xより内側を
ぐるぐる回っていれば、痴漢−中心−自分が一直線になる
位置が取れるはず。
そこからおもむろに、常に痴漢−中心−自分が一直線になる
ようにして陸に向かって漕げば、xの値にかかわらず、また痴漢が
どんな動きをしても、必ず逃げ切れる。

>>799
たしかにそうですね。

逆にクリスティーナがはずれ箱をえらぶ方針によらない問題を考えると、

1. 最初に選んだ箱を替えない。
2. 最初に選んだ箱から、別の（開かれていない）箱のうちの無作為に選んだ
一つに替える。
という2つの方針の、あたり箱をひく事前確率の比ならば(n-2):(n-1)

という感じかな。

>>803
＞そこからおもむろに、常に痴漢−中心−自分が一直線になる
＞ようにして陸に向かって漕げば、

無理だろ

>>791
この問題、ちゃんとは説明できないなあ。自分では正しいと思うけど
自信はない。

痴漢と女の子の速さをそれぞれx(>1)、1とし、池の半径をxとする。
従って、痴漢は池の周囲を、中心から見て角速度1で移動できることになる。
女の子の方の角速度についてみると、池の中心から半径1の円の内側では痴漢より
速く移動できるが、外側では痴漢より遅くしか動けない。

ここで
・女の子は、初期状態では池の中心にいるとする(これは勝手に決めたけど
出題の意図に反しないはず。池の何処からでも中心には行けるので。)

逃げる手順としては、
(1) 女の子は、池の中心半径1の円周上で、痴漢-池の中心-女の子が一直線となる
位置をとる。 *1
(2) 女の子は、(1)の直線に沿って池の周方向へ漕ぎはじめる。
(3) 痴漢は、女の子が池の中心半径1の円から外へαだけ進んだ時点で右周り
(左でもいい)に池の周に沿って走りはじめる。 *2
(4) 女の子は、(3)で痴漢が移動をはじめた時点で、進行方向を痴漢と逆側に
曲げ上陸点に直進する。 *3
(5) 上陸点-池の中心を結ぶ線と(1)の直線とのなす角度をθとする。
-π<θ<πかつx*cos(θ)>=1の範囲で考えればよい。*3

つづく

つづき

女の子が逃げ切れるためには、
(π+θ)^2 > x^2-2*x*cos(θ)+1

ここでF(θ,x)=(π+θ)^2-(x^2-2*x*cos(θ)+1)とすると、
∂F/∂θ=2*(π+θ-x*sin(θ))、
∂^2F/∂θ^2=2*(1-x*cos(θ))だから、上記θの範囲では、
x>=x_1のとき、∂F/∂θはπ+θ-x*sin(θ)=0となり得、このとき
Fは最大値-(x*cos(θ)-1)^2 <=0 をもつ。
x<x_1のとき、∂F/∂θはπ+θ-x*sin(θ)>0であり、x*cos(θ)=1なるθで
Fは最大値(π+θ)^2-(x*sin(θ))^2 >0 となる。
ここでx_1=1/cos(θ_0), π+θ_0=tan(θ_0)である。

したがって、女の子が逃げ切れるためには、上記x_1=4.6033...が上限値であり
また、上陸点として、x*cos(θ)=1すなわち(1)の直線から、痴漢が回ってこない側へ
90度向きをかえて直進したとき到達する点とすればよい。

*1 女の子は、池の中心半径1の円より内側では、痴漢との位置関係を自由に
選べる(中心から任意の距離r<1の円周上を、痴漢より速い角速度で回れるので。)

*2 女の子が池の中心半径1の円より外側に漕ぎ出したら、痴漢は一方向に追い
かけるほうが有利。女の子-中心-痴漢のなす角度を単調に減らしていくことが
できるので。もし途中で追いかける方向を反転すると、痴漢-池の中心-女の子
が一直線になる瞬間(1)と同様の状況になり、かつ女の子は池の中心から1以上
離れている可能性があり、不利。

*3 女の子は、池の中心半径1の円より外側に漕ぎ出したら、この円の周上、内側
には戻らないとする(戻ったら*1より、初期状態からやり直しと同様なので。)

>>806
＞(4) 女の子は、(3)で痴漢が移動をはじめた時点で、進行方向を痴漢と逆側に
＞曲げ上陸点に直進する。

なんで「直進」なの？
螺旋状に進んだほうが効率が良くなる可能性はないの？

>>808
自信がある訳じゃないけど、
・痴漢が一方向全速力でしか追ってこないのなら、最適解の軌跡はスタートした
ときに決まってしまい、よって上陸点も一意に決まるだろう。
・上陸点が決まっているなら、そこへ到達するには線速度の上限が決まっている
のだから直進するのが一番速いはず。
という発想です。

>>809
軌道を変えると、痴漢の動きも変わることに注意。

>>810
この場合、女の子の動きかたによって痴漢が動きかた(一方向回転、
中心からみた角度が追い付くまでは全速力)を変更するメリットって
あるんだろうか。それが想像できないんですよ。

>>809
９０度向きを変えて直進して到達するだろう点よりも
さらに最初痴漢がいた側の点に到達したい場合は？
この点に直進で行こうとすると中心からの距離が単調増加にならずナンセンスだ。

>>810
中心からの距離が単調増加になるように動くのであれば、それはない。

>>808
「効率よく」の定義によるんじゃない?
最短時間で逃げるなら、可能な限り直進すべき。
常に痴漢との距離を最大に保ちたいのであれば、>>803になる。

ちなみに>>803のケースで、痴漢が一方向全速力で移動すると
仮定すると、ボートの軌跡は螺旋状にぐるぐる回るはず。
中心からスタートして、ボートがこの軌跡で移動して、
中心からの距離が直径の((1/2)-(x/π))倍になった時点で最も
近い陸地に向かって直進すると、最短時間で逃げられる。
(直進開始後の任意の時刻に痴漢が向きを変えたとしても、必ず逃げられる)

誤:((1/2)-(x/π))倍
正:((1/2)-(π/x))倍

>>806-807
これじゃだめだろ。Step(4)で女の子が進行方向を曲げた直後に痴漢が
走る方向を反転させうる。つまり
痴漢がどんな戦略をとって女の子を追跡してもおいつけないことの証明にはなってない。

>>815
痴漢が走る方向を反転させたら女の子に有利になるだけ。
>>807の＊２

>>816
自分でいうのも何だけど、そうも言い切れないような。
どちらも相手の動きをみて、遅れなく反応できるという条件なので
どちらも池の中心をはさんだまま動き出せないという問題がある。

ただ、一度女の子-中心-痴漢の直線が崩れたら、あとは痴漢は
一方向に追うべきだとは思うけど。

>>808の疑問を図にしてみた。

http://garden.under.jp/lounge2chup/img/lounge2ch470.jpg

>>806さんによれば矢印１より矢印２の方がいいらしい。
でも矢印３の経路は考慮しなくていいの？ということです。

>>817
その問題は無視していいんじゃないの。

>>816
もちろん女の子に有利になるけど有利になったことを利用して女の子は進行方向を
変化させないといけない。痴漢もそれをみてまた進行方向を変化させうる。
女の子も痴漢も相手の出方に応じて進行方向を変化させうるので結局証明は
相手がどんな戦略をとったとしても女の子が逃げうることをしめさないといけないんだから
ダメだとおもう。｢有利になる｣じゃなくて｢痴漢がこうきたら女の子はこう応じる｣という具合に
記述しないと。

>>818
その図右半分、2の到達点の下側の領域の岸に到達する経路で、
内側の円の中に入らない最短経路は、
出発点から内円周に沿って動き、その接線が上陸予定点にあたるような
点から直進するような経路になるはず。(糸を張って引っ張ればそうなるよね。)
内円周をうごく角速度が痴漢角速度と同じことを考えると、結局
それは矢印2と同じことになるはず。
他の螺旋経路を通れば、同じ上陸点により遅く到達するので
それは解とはならないはず。

答えはでてないんだけど>>785の問題を数学的にどう定式化するか考えてみた。
以下D={(x,y) | x^2+y^2≦1} S={(x,y) | x^2+y^2=1}
で以下のように解釈してみたらどうだろう？
　
―問題―
正の実数vで以下の条件をみたす関数F(θ,p):S×D→R^2が存在するものの
下限をもとめよ
(条件)
(I) |F(θ,p)|≦v
(II) 任意の|dθ/dt|≦1をみたす関数R→Sにたいして積分方程式
∫[0,t]F(θ(u),p(u))du=p(t) (0≦t≦T)
を満足するようなp(t),Tが存在してさらにそれが
(i)p(t)∈D
(ii)p(t)∈S⇒t=T
(iii)p(T)≠θ(T)
も同時に満足する。
　
つまり女の子の逃避の戦略は痴漢の位置θと女の子の現在地pについてどちらのむきに
どれだけの速度でこぐかをあたえる関数F(θ,p)であたえられてその戦略にしたがって
逃走すればT秒後にはSに到達しその位置はθ(T)でないと。
どう？もちろんまだ全然とけないんだけど。

痴漢、大人気だなw

>>821
>>818の赤い点(現在地)からは、矢印1の上陸地点の方が矢印2の上陸地点
の方が明からに近い。と言うことは、矢印2の方向に進み出した瞬間、
痴漢は向きを変えるはず。
すると女の子も向きを変えなければいけない。仮に180度向きを変えると、
痴漢もまた逆向きになる。これを繰り返すと、現在地から動けなくなる。

ゆえに矢印2は成立しない。矢印1しかありえないと思うけど。

>>807 の*2で、
>もし途中で追いかける方向を反転すると、痴漢-池の中心-女の子
>が一直線になる瞬間(1)と同様の状況になり、
ここまでは正しいが、
>かつ女の子は池の中心から1以上離れている可能性があり、不利。
痴漢-池の中心-女の子が一直線になったにもかかわらず、角速度は
痴漢の方が上なんだから、痴漢が有利になる。

最高難度
新しいメルセンヌ素数を探す

>>824
痴漢がめざすのは女の子から最短距離にある岸であって
矢印2の上陸地点ではないよ。

>>827
痴漢(または女の子)がめざす場所がどこであっても、
女の子が内円周からわずかでも外へ出た瞬間に、
痴漢は女の子と負号の異なる角速度で移動する。

>>824
まあ、確かに789の方針では817にも書いたように、両者とも動かず
だめだよね。ただ、最近点に直進した場合の速度比の最大値は
π+1=4.14...だけど、比が4.2の場合でも確実にいける方法が
あることはわかっているわけで、直進以外の最適解があるはず。
自分にはちょっとわからないけど…

とりあえず>>785の解答を聞きたい。ホントにできてんのかな？

>>829
おれもまだちゃんと考えてないんだけど、最初矢印1の方向(垂直)に
進んで、それから痴漢と角速度の符号が等しくなるように、向きを
少しずつ変えていくのがいい思う。
痴漢は停止している訳にはいかないから、どちらかの向きに全力疾走
する。もし途中で痴漢が向きを変えたら、角速度の絶対値を少しずつ
小さくしていって、痴漢―中心―女の子が一直線上になったときに
再び垂直方向になるような動き方が最適になるんじゃないかな。
そうすれば、x>4.2でも逃げ切れるはず。

>>825
＞痴漢-池の中心-女の子が一直線になったにもかかわらず、角速度は
＞痴漢の方が上なんだから、痴漢が有利になる。

そうか？
女の子が有利だと思うが。

>>828
＞痴漢(または女の子)がめざす場所がどこであっても、
＞女の子が内円周からわずかでも外へ出た瞬間に、
＞痴漢は女の子と負号の異なる角速度で移動する。

んなことないでしょ。
>>827の言うとおり、痴漢が目指すのは
その時々で女の子から最短距離にある岸でしょ。

最初にぐるぐる回るとき、円じゃなくて楕円軌道を取って回れば少し外側を回れるかな？

なんで痴漢が逆向きに走ろうとするのかさっぱりわからん。

>>821
そうですね。
矢印３は考えなくていいですね。
となると俺は矢印２が解であるに一票。

なあなあ、痴漢に捕まらないように
池のほとりまで逃げ切れたとしよう。
ここからが問題だよ。
当然女の子が陸地に上がってからも
痴漢は追いかけてくるんだろ？
周りには助けてくれる椰子なんかいないみたいだし
とどのつまりが
女の子はお触りに対して甘受しなけりゃいけないってことだろ？
それともなにかい？
女の子が痴漢から逃げ切れるかどうかを
数学的に証明できるってのかい？

女の子の地上での移動速度を痴漢のそれよりも大きいと定めれば、問題なく逃げ切れるよ。

男の最適戦略としては、
「男が池の中心を見据えた時に女の子が左側にいる限りは時計回りに、
　池の中心を見据えた時に女の子が右側にいる限りは反時計回りに追う」
でよろしいかな？
女の子の進行方向は関係なしなんだけどもいいでしょうか？

で、女の子の戦略としては、
内円周から少し出たとこで一瞬待つ。
仮に男が時計回りに追ってきたとしたら、
右に９０度進行方向を曲げて一直線に岸へ向かう、と。
（男から見ると常に中心より左側に女の子がいることになるので、
　男は時計回りに追い続けるはず）

お前らアホだな。まだやってたのかこの問題
中学生の僕にでも分かるぞ。

ちなみに，痴漢の速さは無限に速くしても女の子は逃げれる

俺は男が進行方向を変えるケースは考えるに値しないと思うが、

もし仮に男が進行方向を変えて来るような馬鹿な奴だったら、
女の子はジグザグにこいで岸へ向かえば、男は反対側の岸でうろうろしてんじゃない？ｗ

>>832
>んなことないでしょ。
んなことあるよ。矢印2の向きへ進み出して、痴漢に>>828の
戦略を取られたら、女の子は向きを変えない訳にはいかない。

向きを変えたら、角速度の速い痴漢の方が勝つ。

>>841
>女の子はジグザグにこいで岸へ向かえば、男は反対側の岸でうろうろしてんじゃない？ｗ
ジグザグの極限を取ると、矢印1の向きになるはず。

>>843
そのとき男は反対側の岸でうろうろしている、と。
それでいいのか？ｗ

そーか２ｃｈねらーは皆小学生だったのか

>>842
＞矢印2の向きへ進み出して、痴漢に>>828の
＞戦略を取られたら

こんなの考える必要あるの？
明らかに損してるじゃん。
こんな馬鹿な男が相手だったらどんなに早くても逃げ切れるよ。

っていうか「人」のイメージに惑わされてない？
数学的に円と２つの点を考えれば

＞「男が池の中心を見据えた時に女の子が左側にいる限りは時計回りに、
＞　池の中心を見据えた時に女の子が右側にいる限りは反時計回りに追う」

男の戦略はこれ以外考えられないんだが。
この戦略に対して逃げ切れるかどうかで上限速度が求まるはず。

ちなみにこの問題って男の加速度の上限は無し？

じゃあ、その場合の女の子の戦略は
「女の子が池の中心を見据えたときに男が延長線上に居るように逃げる」
ですか？

>>848
それが可能なのは例の図で女が”内”に居るとき

>>848
内円周を出たら男の方が角速度が速くなるから
常に真反対岸に男を見据えることは不可能でしょ。

ってか此の問題、池の形変えて類似問題いっぱい作れそう

ちなみに螺旋の線の長さって求まる？

>>852
求まるのは求まるんじゃね

>>833ってダメ？
円の半径と同じ長軸半径を持つ楕円軌道をまわれば1周にかかる時間が少なくなる
ってことはより外側をまわっても痴漢-池の中心-女の子となる位置関係に来れると思うんだけど

>>852
逃げ切るのに要した時間が求まれば、女の子の速度と掛けるだけで求まりそう。

>>855
逃げるのに要する時間を求めるのに使いたかったんだが

>>854
男が>>383の戦略をとってる場合は駄目。
女が内円周を出た瞬間から「角　男-中心-女」は単調減少しつづけるため、
内円周の外部でこれが１８０度になることは有り得ない。

>>383じゃなくて>>838の間違いだ。

＞「男が池の中心を見据えた時に女の子が左側にいる限りは時計回りに、
＞　池の中心を見据えた時に女の子が右側にいる限りは反時計回りに追う」

こいつね。

>>856
いずれにせよこの問題の解は螺旋にはならないんじゃん？

>>857
それは円軌道を回っている場合でしょ？
楕円軌道なら角速度も増えない？