線形代数/線型代数総合スレッド

線形代数に関する話題全般のスレッドです。

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3 ：ぼるじょあ ◆yBEncckFOU ：03/06/21 13:36

　　　　　 ∧ ∧　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣　　　　
　　　　　（　・３・）＜　ぼるじょあがムーンウォークで３ｹﾞｯﾄｫｫｫｵｵｵ！！
　　　 ./ つ　つ　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　　～（＿⌒　ヽ　　　　　　(´⌒(´
　　　　 .)ノ｀J≡≡≡(´⌒;;;≡≡≡
　　　　　　　 (´⌒(´⌒;;
　　　　ｽﾞｻﾞｰｰｰｰｰｯ

4 ：１３２人目の素数さん：03/06/21 13:43

エルミート計量ってそもそもどこから出てきたのですか？

5 ：明石屋さんま：03/06/21 13:48

エ、エ、エ、エ、エルミート計量!?

6 ：ぼるじょあ ◆yBEncckFOU ：03/06/21 13:49

　　　　　 ∧ ∧　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣　　　　
　　　　　（　・３・）＜　ぼるじょあがムーンウォークで５ｹﾞｯﾄｫｫｫｵｵｵ！！
　　　 ./ つ　つ　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　　～（＿⌒　ヽ　　　　　　(´⌒(´
　　　　 .)ノ｀J≡≡≡(´⌒;;;≡≡≡
　　　　　　　 (´⌒(´⌒;;
　　　　ｽﾞｻﾞｰｰｰｰｰｯ

7 ：ぼるじょあ ◆yBEncckFOU ：03/06/21 13:50

>>6

ぷっ、うざいから消えろ。

8 ：ぼるじょあ ◆yBEncckFOU ：03/06/21 14:49

　　　　　 ∧ ∧　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣　　　　
　　　　　（　・３・）＜　ぼるじょあがムーンウォークで７ｹﾞｯﾄｫｫｫｵｵｵ！！
　　　 ./ つ　つ　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　　～（＿⌒　ヽ　　　　　　(´⌒(´
　　　　 .)ノ｀J≡≡≡(´⌒;;;≡≡≡
　　　　　　　 (´⌒(´⌒;;
　　　　ｽﾞｻﾞｰｰｰｰｰｯ

9 ：ぼるじょあ ◆yBEncckFOU ：03/06/21 14:49

>>8

ぷっ、うざいから消えろ。

10 ：ぼるじょあ ◆yBEncckFOU ：03/06/21 14:49

>>8

ぷっ、うざいから消えろ。

11 ：ぼるじょあ ◆yBEncckFOU ：03/06/21 14:50

>>10

ぷっ、うざいから消えろ。

12 ：ぼるじょあ ◆yBEncckFOU ：03/06/21 14:51

>>9

ぷっ、うざいから消えろ

13 ：ぼるじょあ ◆yBEncckFOU ：03/06/21 14:51

>>12

ぷっ、うざいから消えろ。

14 ：ぼるじょあ ◆yEbBEcuFOU ：03/06/21 14:51

>>14

ぷっ、うざいから消えろ

15 ：ぼるじょあ ◆yBEncckFOU ：03/06/21 14:51

>>14

ぷっ、うざいから消えろ。

16 ：ぼるじょあ ◆yBEncckFOU ：03/06/21 14:52

>>15-1000

ぷっ、うざいから消えろ

17 ：ぼるじょあ ◆yBEncckFOU ：03/06/21 14:52

>>17

ぷっ、うざいから消えろ。

18 ：ぼるじょあ ◆yBEncckFOU ：03/06/21 14:53

>>1-1000

ぷっ、うざいから

19 ：ぼるじょあ ◆yBEncckFOU ：03/06/21 14:53

>>100

ぷっ、うざい

20 ：１３２人目の素数さん：03/06/21 14:55

>>19
（・３・）　エェー
うざいってどういうこと？

21 ：ぼるじょあ ◆yBEncckFOU ：03/06/21 14:55

>>10

ぷっ、う

22 ：ぼるじょあ ◆yBEncckFOU ：03/06/21 14:56

>>20ぷ

23 ：ぼるじょあ ◆yBEncckFOU ：03/06/21 14:58

>>22

ｐ

24 ：ぼるじょあ ◆yBEncckFOU ：03/06/21 15:01

25 ：１３２人目の素数さん：03/06/21 15:53

線形代数の本は齋藤のしかありえねぇだろ。

26 ：１３２人目の素数さん：03/06/21 16:07

低質燃料が投下されますた

27 ：１３２人目の素数さん：03/06/21 16:18

アルコール並に素晴らしい燃料に何を言うかおまいは。ｲｯﾃﾖｼ

28 ：１３２人目の素数さん：03/06/21 16:21

>>27は害悪巣ﾏﾝｾｰの鮮人

29 ：１３２人目の素数さん：03/06/21 16:56

【大激論】線形代数or線型代数

のほうが、受けたかもね

30 ：ファイナルアンサー：03/06/21 17:07

>>29
線形代数・・・石村本のタイトル
線型代数・・・斉藤や佐武などのタイトル

31 ：１３２人目の素数さん：03/06/21 17:10

ぐぐってみたら
線形代数　　約13,500件
線型代数　　約1,840件

32 ：１３２人目の素数さん：03/06/21 17:11

☆☆
http://pocket.muvc.net/

33 ：ぼるじょあ ◆yEbBEcuFOU ：03/06/21 17:18

（・３・）　エェー

34 ：１３２人目の素数さん：03/06/21 17:23

>>30-31
石村本がふさわしい学生数＝13,500人
斉藤や佐武が読める学生数＝1,840人

35 ：無料動画直リン：03/06/21 17:24

http://homepage.mac.com/norika27/

36 ：１３２人目の素数さん：03/06/21 17:25

でエルミート計量ってそもそもどこから出てきたのですか？

37 ：１３２人目の素数さん：03/06/21 17:30

別スレで質問したけど返事が得られたなった質問を書いてみます。

A ∈ SL(2,C)、としたとき、
PAP^(-1) =
(α 　0)
(0　 α)

or
(α　1)
(0 　α)

となるような２次の正則行列 P が存在することを証明したいのですが、
証明の大雑把な道筋を教えてください。

38 ：１３２人目の素数さん：03/06/21 17:37

>>37
大雑把にいうと～

証明終わり

かな

39 ：１３２人目の素数さん：03/06/21 17:44

>>37

(a　b)
(0 d)

となるような正則行列 Pが存在することはわかるが。

40 ：ぼるじょあ ◆yBEncckFOU ：03/06/21 17:46

（・3・）　エェー　(α 　0)
　　　　　　　　　 (0　 β)
　　　　だYO！Aの固有値を考えればできるYO！
　　　　特性多項式が重解をもつ場合は、2乗して0になる
　　　　行列を求めろYO！

41 ：ぼるじょあ ◆yEbBEcuFOU ：03/06/21 17:46

（・３・）　エェー
Hermite計量は、複素多様体に入れる正定値の計量だよNE。
実多様体の場合のRiemann計量に対応するYO
松島の多様体入門に解説が出ているYO
線形代数の話題ではないから、このスレで議論するのは不適切かも知れないNE

42 ：１３２人目の素数さん：03/06/21 17:48

見てちょ♪
http://www2.free-city.net/home/angelers/index.html
http://endou.kir.jp/betu/linkvp/linkvp.html

43 ：１３２人目の素数さん：03/06/21 17:56

>>41

ベクトル空間のHermite計量のことだが？

44 ：ぼるじょあ ◆yBEncckFOU ：03/06/21 17:58

>>41
（・3・）　エェー　ふつうに線型代数の話だC！
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＿
　　　　　例えばC＾ｎでｘ・ｙ＝Σx_i・y_iとすると
　　　　　これはｴﾙﾐｰﾄ計量だYO！
　　　　　複素多様体での話は、接空間にこのような
　　　　　内積をいれるんだYO！

45 ：１３２人目の素数さん：03/06/21 18:12

>>44
でエルミート計量ってそもそもどこから出てきたのですか？
教えていただけると感謝です。

46 ：ぼるじょあ ◆yEbBEcuFOU ：03/06/21 18:23

>>45 （・３・）　エェー
ﾎﾞｸは>>36さんに答えただけだYO
>>36さんは、誰に対して聞いているんだろうNE？

47 ：１３２人目の素数さん：03/06/21 18:39

>>46

答えを知っている人なら誰でもいい。

48 ：ぼるじょあ ◆yEbBEcuFOU ：03/06/21 18:47

（・３・）　エェー
Hermite計量は、線形代数と直接は関係ないから、無視すれBA？

49 ：１３２人目の素数さん：03/06/21 18:49

線形代数vs線型代数スレかとｵﾓﾀ

50 ：１３２人目の素数さん：03/06/21 19:00

>>48

直接の関係、大有りだよ。Hermite行列やユニタリ行列をやるだろ。

51 ：１３２人目の素数さん：03/06/21 19:00

☆可愛い彼女が貴方のために・・・☆NO2☆
http://endou.kir.jp/betu/linkvp2/linkvp.html

52 ：ぼるじょあ ◆yBEncckFOU ：03/06/22 03:30

>>45
（・3・）　エェー　歴史的なことを聞いているのかNA？
　　　　　　　　　　よくわかんないけどー
　　　　　　　　　　ふつうに実数体の場合の内積を、
　　　　　　　　　　複素数に拡張したら
　　　　　　　　　　ｴﾙﾐｰﾄ内積になるんぢゃないかNA？

53 ：１３２人目の素数さん：03/06/22 21:08

ケーラー計量って何ですか？教えて下さいんこ。

54 ：ぼるじょあ ◆yEbBEcuFOU ：03/06/22 21:24

>>53
ケーラー多様体に入った正定値内積のことだYO

55 ：１３２人目の素数さん：03/06/22 22:43

>>54

説明になってないが。

56 ：１３２人目の素数さん：03/06/23 04:28

>>40
では T∈SL(2,C) を T:=
( 1 1 )
( 0 1 )
としたときに
PTP^(-1) が対角行列となる正則行列 P を求めて下さい

57 ：_：03/06/23 04:51

http://homepage.mac.com/hiroyuki44/

58 ：ぼるじょあ ◆yBEncckFOU ：03/06/23 07:18

>>55

はぁ？？厨房は２１時には寝な。

59 ：１３２人目の素数さん：03/06/23 07:22

>>58

ケーラー計量が分からないやつにケーラー多様体といっても分かるわけ無いだろう。

60 ：１３２人目の素数さん：03/06/23 11:50

>>56は完全スルーかｗ
恥ずかしい奴だなあ

61 ：１３２人目の素数さん：03/06/23 16:07

問い。
ぼるじょあ ◆yEbBEcuFOU とぼるじょあ ◆yBEncckFOU の相違点は何か？
10 項目以上に分類して簡潔に述べよ。

62 ：ぼるじょあ ◆yEbBEcuFOU ：03/06/23 22:38

（・3・）　エェー

63 ：ぼるじょあ ◆yBEncckFOU ：03/06/23 22:38

（・3・）　アルェー

64 ：ぼるじょあ ◆yBEncckFOU ：03/06/24 01:04

（・3・）　ｺﾞﾙｧ

65 ：二年：03/06/24 01:12

There is more to say about our habit of buying things that look nice without thinking of the environmental.

66 ：１３２人目の素数さん：03/06/24 09:26

There is more to say なんて表現をネイティブはするのか？

67 ：浪人生：03/06/24 19:21

>>36
なんで内積の片方は共役を取るのか? ってのが疑問ってことだと解釈。

それは、任意の x に対して (x,x) が 0 以上の実数になって欲しいから。
(ついでに "(x,x) = 0 なら x = 0" となって欲しい)
そうなれば、x のノルム ||x|| を √(x,x) なんかで定義すれば、
距離を d(x,y) = ||x-y|| とすることで、
計量の定義された空間は距離空間にもなる。

68 ：１３２人目の素数さん：03/06/24 20:39

>>67

それは分かるが、何か人工的な感じがする。
最初は何か物理的応用の必要から考えられたのではないか？

69 ：１３２人目の素数さん：03/06/24 21:06

>>68
確かにエルミート積は量子力学で出てきたりするけど、
そっちが先ってことはないような。

つか、数ベクトルに関して言えば、
共役を取らないと (1, i) が自身と直交しちゃうわけで、
それを回避する策としては一番最初に思いつく自然なものなんじゃ。

70 ：１３２人目の素数さん：03/06/24 22:13

>>69

後知恵だと何かと自然に見えると言えないだろうか？
群の概念だって、かなり自然だが、定式化されたのは１９世紀だし。
最初にこの概念を発表した人（エルミートの可能性が高いが）の
動機を知りたい。

71 ：１３２人目の素数さん：03/06/25 00:17

>>70
> 後知恵だと何かと自然に見えると言えないだろうか？

そういう話もあるかもしれんが、それで済ますのはよくない。
それで済ますとと自然だとか人工的だとか言う話ができなくなる。
個々のケースをちゃんと吟味すべき。

この場合は、実ベクトルの内積というものがすでにあり、
直交という概念が重要であるということがあり、
そして実ベクトルの内積をそのまま複素ベクトルに適用しても
うまくいかないということがあった。
そこで直交という概念がうまく働くように、
複素ベクトルに関しても内積を定義しようという動機があった。
もちろん、複素ベクトルの要素が全て実数なら、
それらの(これから定義しようとしてる複素ベクトルとしての)内積は
実ベクトルの内積と同等であるべきである。
そうなると、片方の共役を取ってみようというアイデアはかなり自然。
まあ、それを思いつく前にいろいろやってみようとはしたのだろうけど。
結局、思いついて、やってみたらうまくいった、ってことなんでは。
重要なことだからといって、それが考えられたときに壮大な動機があったとは限りませんよ。

群の場合はすでにあったものの自然な拡張というようなものでは無かったのだし、
自然であっても、19世紀に定式化されたのが遅かったとは思いません。

72 ：１３２人目の素数さん：03/06/25 20:53

>>71

エルミート内積の数学史を知らないもの同士で議論しても水掛論でしょうね。

73 ：１３２人目の素数さん：03/06/25 22:05

↑知ってるのなら言ってあげなされ。ひねくれ者を貫いても何の特も無いですぞ。

74 ：１３２人目の素数さん：03/06/25 22:12

>>73

>>72は>>70と同一人です。

75 ：全くの部外者：03/06/25 22:32

「エルミート行列」のほうが、「エルミート形式（計量）」よりも
用語が使われた時期が早いとか言ってみるテスト。

あとは自分で調べよう

76 ：１３２人目の素数さん：03/06/25 22:37

>>75
誤爆、すまそ

77 ：１３２人目の素数さん：03/06/26 03:20

> 後知恵だと何かと自然に見えると言えないだろうか？

人工的に見えなければそれでいいって話じゃ。

78 ：１３２人目の素数さん：03/06/26 07:23

>>77
俺には、>>77の解釈(前のほうで書いていたあれ)が人工的に見えるが。

79 ：77：03/06/26 10:10

>>78
>>77? >>67って書こうとしたのか?
或いは>>71を俺だと思っててそう言ってる?

で、どのへんが不自然に見えるの?
俺には直交の概念は自然だと思えるので、
複素ベクトルに関しても内積及び直交が定義出きるほうが自然だと思うし、
複素数自体が実数の自然な拡張なんで、
複素ベクトルの内積も実ベクトルの内積の自然な拡張になってると思うので、
>>71ので不自然なとこはないと思うが。

>>67のほうに対して言ってるにしても、
距離空間の定義は自然なものだし(d(x,y)≧0 とか)、
d(x,y) = √(x-y,x-y) の √ のとこは必ずしも自然とは言えないけど、
内積からノルムを定義して、ノルムから距離を定義するって流れは自然かと。
ただ、>>69に書いてあるような事情のほうが primitive だとは思うけど。

80 ：１３２人目の素数さん：03/06/26 21:10

エルミート内積が不自然に見えるのは、対称でないから。

81 ：１３２人目の素数さん：03/06/26 21:29

大学生になった今でも内積という演算で出てきたスカラーは何を意味しているのか分からない
誰がなんの為に内積という演算を考え出したのか教えてください。

82 ：１３２人目の素数さん：03/06/26 21:31

俺

83 ：１３２人目の素数さん：03/06/26 21:37

>>81

質点がベクトルFの力を受けてベクトルVだけ動いたとする。
このときの仕事量はFとVの内積となる。

84 ：１３２人目の素数さん：03/06/26 23:09

>>81
スカラーの意味がわかるようなら、あなたは病気です。
すぐに白い服を着て、うずまきマークも忘れずに。

85 ：１３２人目の素数さん：03/06/29 19:35

>>81
数学的には、ユークリッド軽量（ユークリッド的な距離）を入れた、
ユークリッド的計量ベクトル空間を構成する際に、
内積を用いてユークリッド計量を構成することになる。

つまり、よく知っている距離空間を扱うためには、
内積が必要となる。

86 ：１３２人目の素数さん：03/07/03 00:18

age

87 ：１３２人目の素数さん：03/07/03 00:29

>>81
よこがどうなってるか知りたいから、何かを計る指標量として、
内積なりメートリックをいれるわけですだ。

88 ：１３２人目の素数さん：03/07/03 00:36

>>81
線型代数の教科書を読め。

89 ：１３２人目の素数さん：03/07/21 10:52

90 ：１３２人目の素数さん：03/07/25 22:02

このスレって需要無いのか?

91 ：１３２人目の素数さん：03/07/25 22:51

ここは最高♪

http://www3.free-city.net/home/akipon/page001.html

92 ：１３２人目の素数さん：03/07/26 07:01

「単位がとれる線形代数ノート」
（株）講談社サイエンティフィック
　著者・齋藤寛靖
どうよ？　この本で勉強すれば単位が取れますか？

93 ：１３２人目の素数さん：03/07/26 18:53

>>92

84 １３２人目の素数さん 03/07/25 19:00
「単位がとれる線形代数ノート」
（株）講談社サイエンティフィック
　著者・齋藤寛靖
どうよ？　この本で勉強すれば単位が取れますか？

85 １３２人目の素数さん 03/07/25 19:23
>>84
まず無理だ。
これやって身につくのは、超基本。
分かったつもりになるが、試験問題が解けるレベルには達していない。
まぁお馬鹿さんには、ちょうどよい目くらましだ。
これやって基本が身についたところで、周りが薦めるまともな本で勉強をはじめることだ

94 ：１３２人目の素数さん：03/07/27 17:55

工学部なんですが、量子力学を学ぶに当たり線形を復習しようと思いました。
で、評判の斎藤「線型代数入門」を見てみたんですが、むずい…
それに写像や空間とか抽象的（？）な所が良く分かりません。
行列式の計算や対角化などはできるんですが…

基本的な例題やちょっとした章末問題的なものをこなしていくのが良いでしょうか？
また、良い演習書を教えてもらえれば幸いです。宜しくお願いします。

95 ：１３２人目の素数さん：03/07/27 18:00

ワイルの「群と量子力学」がいいよ。
あと、Greubなんかも、面白いね。

96 ：１３２人目の素数さん：03/07/27 18:53

>基本的な例題やちょっとした章末問題的なものをこなしていくのが良いでしょうか？

私の経験から言えば、齋藤、線型代数入門の例題や章末問題をしっかりやれば、
十分理解が進み、理解しやすいと思います。

>また、良い演習書を教えてもらえれば幸いです。宜しくお願いします。

齋藤正彦、線型代数演習、東大出版をお勧めします。

97 ：１３２人目の素数さん：03/07/27 19:00

大学一年文系ですが、”ベクトル形式で答えろ”っていう線形代数の問題は　x=　y=　みたいな形で答えるのですか？
（・・・・）
（・・・・）という形で答えるのですか？おしえてください。

98 ：１３２人目の素数さん：03/07/27 19:03

意味不明。
文系ならもう少しわかり易く疑問点を説明しておくれ。

99 ：１３２人目の素数さん：03/07/27 19:07

ベクトル形式で表すというのがどういうものかわからないのです。
例えば
x＋y＋3z-2w＝2
2x+y+5z-4w=6
の問題の答案用紙になんてかけばいいのかわからないのです。計算はできるのですが。

100 ：１３２人目の素数さん：03/07/27 19:08

>>99
文系なら、文章で説明するの得意だろ？
その式をどうしたいの？
式だけ書いても、何をしたいのかわからないよ。

101 ：１３２人目の素数さん：03/07/27 19:11

つまり”ベクトル形式ってなんですか？”ってことなんです・・・
その連立方程式を解けってもんだいで、ベクトル形式で解を表せとあるのでどう解を書けばいいのかわからなくて。

102 ：１３２人目の素数さん：03/07/27 19:15

>>95
それ見てみます！ありがとう。

>>96
そうですか。では、夏に斎藤頑張ります！
そして、その演習書ってのもあるんですね。

103 ：１３２人目の素数さん：03/07/27 19:17

>>101
「ベクトル形式」という特定の用語がある訳ではないのでわからないが、
おそらく、この方程式の解をベクトルで表示せよ、ということだろうね。

変数が４つ、方程式が２つだから、（ｘ，ｙ，ｚ，ｗ）で表すと、解は二次元線型部分空間になる。
解空間は、線型独立な二つのベクトルの線型結合で表せる。

最終的に、解空間を
　ａ（ｘ_1，ｙ_1，ｚ_1，ｗ_1）＋ｂ（ｘ_2，ｙ_2，ｚ_2，ｗ_2）、ａ，ｂは任意の実数（または複素数）
という形で表すんじゃないかな。

104 ：１３２人目の素数さん：03/07/27 19:21

>>102
ジョルダン標準形の記述については、線型代数演習の方が線型代数入門より判りやすい。
ジョルダン標準形は応用上極めて重要だから、無視できないので、演習のほうで補足するとグッド！

105 ：１３２人目の素数さん：03/07/27 19:21

>>103
そういうことですか。ありがとうございます！

106 ：１３２人目の素数さん：03/07/27 19:36

>>104
度々ありがとう！入門は安く手に入れたんですが、演習は初耳でした。
図書館で借りてきまっす。　

107 ：１３２人目の素数さん：03/07/27 21:13

>>99
x＋y＋3z-2w＝2　…①
2x+y+5z-4w=6　　…②
②－①
x＋2z-2w＝4 ⇒　x=4-2z+2w
２×①－②
y+z=-2　⇒　y=-2-z
となるからz,wをそれぞれ任意の実数s,tとおけば
(x,y,z,w)=(4,-2,0,0)+s(-2,-1,1,0)+t(2,0,0,1)
が連立方程式①、②の解となる。
縦ベクトルで書けばより親切かも。

108 ：１３２人目の素数さん：03/07/27 21:16

☆貴方のガス抜きサイトはこちらです（＾－＾）☆
http://endou.kir.jp/yuminet/link.html
http://endou.kir.jp/marimo/link.html

109 ：１３２人目の素数さん：03/07/27 22:24

>>106
斎藤の「線形代数演習」の序文に
「線形代数入門では単因子論を用いてジョルダン標準形を説明したことを反省し…」
みたいなことが書いてあるので（笑）、「線形代数入門」には要注意。
工学系なら「線形代数演習」にこだわらずに、やさしめの問題を数多くこなす方が
ベターだと思う。

110 ：１３２人目の素数さん：03/07/27 22:27

単因子の概念は初めは知らなくてもいいかもね

111 ：１３２人目の素数さん：03/07/27 22:38

>>109
>>110
なるほど。では、女る団標準形は斎藤の本では飛ばして、他の本で補完します。
で、ｻｲｴﾝｽ社の演習書でもすることにします。しかし、ｻｲｴﾝｽ社は図書館にない…
演習書は購入しない！？

112 ：１３２人目の素数さん：03/07/27 22:56

>>111,>>94
線型空間や線型写像はよく理解しておくべし。
分かれば俄然見通しが良くなって面白くなるので、是非がんばってね。

あと、個人的には演習書は自分で買う必要はないと思う。
ネタが欲しいときに、必要なぶんだけ図書館でコピーすれば良いんでは。

113 ：１３２人目の素数さん：03/07/28 22:09

物理科のものですが、物理（や工学）向けの線形代数の良書を探しています。
行列の分割や、ガウスの消去法などを積極的に用いているのがいいんですが・・・

114 ：１３２人目の素数さん：03/07/29 10:57

>>94 >>113
線形代数とその応用 G.ストラング

115 ：１３２人目の素数さん：03/07/29 11:08

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116 ：１３２人目の素数さん：03/07/29 11:49

ジョルダンだけは斎藤の本ではだめなので、
ジョルダンを勉強するにはどの本が良いですか？
また斎藤の本とジョルダンを別の本で保管すれば、
線形代数の基本的なところは大丈夫ですか？

117 ：１３２人目の素数さん：03/07/29 12:14

>>116
平治親分

118 ：_：03/07/29 12:26

http://homepage.mac.com/hiroyuki44/hankaku08.html

119 ：ビッグバン宇宙論は間違いだった！！！！！！！！：03/07/29 15:59

科学者よ、恥を知れ！
ビッグバン宇宙論は完全に間違いだった！
科学の原則を無視した、デタラメのインチキ理論だったのだ。
そして、そのビッグバン宇宙論の世界的な浸透は
アメリカ、ユダヤ・キリスト教勢力による世界支配のための思想的な戦略なのだ！
また、ビッグバン宇宙論の思想によって戦争が起こり、
貧富の差がひらき、終末的な絶望感が世界に蔓延しているのだ。
ビッグバン宇宙論は世界の平和を揺るがす、悪の元凶となっているのだ。
ビッグバン宇宙論とは、
「宇宙は『無』からビッグバン（大爆発）によって誕生した」という理論である。
この理論は、ユダヤ・キリスト教の創造神話（神が天地を創造した）そのものである。
ビッグバン宇宙論の実態は、科学理論ではなく宗教思想なのである。
『無』は科学的に証明できるものではなく、
そして、『無からの誕生』も科学では証明できるものではないのだ。
ビッグバン宇宙論が科学の正統であるという思想を、世界中の人々に
浸透させる戦略が成功したことにより、ユダヤ・キリスト教勢力の
世界における優位性が確立されていったのだ。（２０世紀に）
そして、その思想的支配の最大の例が、アメリカやイギリスによる
イラク戦争なのだ。
ビッグバン宇宙論の浸透により、世界中に終末思想（世界の終わり）が蔓延してしまっている。
そのことにより、自己中心的、せつな的、短絡的な考え方が社会に広がっている。
科学的に間違っているビッグバン宇宙論から脱却しなければならない。
そして、宇宙は無限だということを理解しなければならない。
人間は本当の宇宙観、世界観を構築し、
新しい時代に進んでいかなければならないのだ。
ビッグバン宇宙論が世界を支配している限り、平和な世界にはならないのだ。
そのことを科学者は重く受けとめるべきである。
新時代へ行こう！！！！！！

120 ：１３２人目の素数さん：03/07/29 17:29

ストラングには行列の分割とか書いてないんですよ。
ブロック対角化とか斉藤にものってませんよね？

121 ：１３２人目の素数さん：03/07/29 18:19

>>119
恥を知りました。
ごめんなさい。
悔い改めます。

122 ：１３２人目の素数さん：03/07/30 16:16

偏微分方程式のスレでも出てたけど、
線形代数の良著も斎藤など古い本しかないね。
新しい本で良著でてこないのかなあ。

123 ：１３２人目の素数さん：03/07/30 18:02

S・A・G・A　佐賀！！！

124 ：１３２人目の素数さん：03/07/30 19:04

>>122
東京図書の石村本じゃないけど、売れないんですよ。
佐武斎藤の替わりになる、21世紀の標準テキストは。

佐武先生の新しいのがいい例だけど、ああいう学力低下
向きの本になっちゃうんです、今だと。

125 ：１３２人目の素数さん：03/07/30 19:23

>>124
というよりも、線形代数自体早いうちに学問的に熟してしまっているからなあ。
偏微分方程式のスレでも似たようなこと言っている人いたけど。
斎藤や佐武の本でも書かれている内容は最新の線形代数の内容と対して変わらないと思う。

126 ：１３２人目の素数さん：03/07/30 19:25

佐武先生の線形代数学最高！

127 ：１３２人目の素数さん：03/07/30 19:29

数学者の間では、「ブルバキ　代数２」が最も評価されている。
環上の線形代数が激しく展開されている。

もっとも学部のうちは佐竹・斎藤で十分。

128 ：１３２人目の素数さん：03/07/30 21:26

>>124
おれは「佐竹」って同姓同名の別人かと思った、あの新しい方を初めてめくったときは。

>>127
うちのクラス担当の教官は符号理論の例をよく出してきた。
2進体\mathbb{F}_2上の線形代数。線形符号ってのがあるらしい。
推薦教科書は川久保さんのわりと新しいやつだったけど。
それは初心者向けだけど中身は確からしくて、まあまあの評判らしい。

129 ：１３２人目の素数さん：03/07/31 07:56

佐武の線形代数がいいというとき、どっちを指しているのかな？
数十年前の古い本を持っているが、難しくて良く分からなかったぞ。
Hamilton-Cayleyの定理とかJordan標準型とかの証明が理解出来なかった。
別の本で後から学んだら良く分かった。

130 ：１３２人目の素数さん：03/07/31 08:01

>>129
古い方。

131 ：１３２人目の素数さん：03/07/31 08:01

古いほう

132 ：１３１：03/07/31 08:02

やべっ！！！かぶったｽﾏｿ・・・

133 ：１３２人目の素数さん：03/07/31 08:23

>>129
もう少し整理してくれてもと思うのですが、無理でしょうね。

134 ：１３２人目の素数さん：03/07/31 09:16

>>129
あれくらい理解できないとだめだろ・・・

135 ：１３２人目の素数さん：03/07/31 19:32

>>129
分かりにくいより分かりやすい本のほうがいい。
Jordan標準型をやるなら単因子論もやるべきだろう。
ポントリャーギンの位相群の本では整数環上の単因子論をやっているが、
非常にわかりやすい。多項式環の場合も同様の方針でいける。

136 ：ぼるじょあ ◆yBEncckFOU ：03/08/02 03:08

　　　　∧＿∧　 ∧＿∧
ﾋﾟｭ.ｰ　（　・３・） (　　＾＾）＜これからも僕たちを応援して下さいね（＾＾）。
　　＝〔~∪￣￣￣∪￣￣〕
　　＝ ◎――――――◎ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　山崎渉&ぼるじょあ

137 ：１３２人目の素数さん：03/08/03 15:12

なんで

138 ：１３２人目の素数さん：03/08/03 16:29

佐武や斎藤の教科書を根をつめて読むのもいいけど、
気楽に読めてかつためになるという本もある。
数学専攻以外の人に特に勧めたい。

線型代数　草場公邦 (著)　朝倉書店

139 ：１３２人目の素数さん：03/08/03 18:43

斎藤の教科書の次に読むべき本はなんですか？
私の分野（多変量解析＠社会学）では斉藤で十分らしいけど斉藤だと少し物足りないような気が･････

140 ：１３２人目の素数さん：03/08/03 21:33

線型代数にあまり時間かけないほうがいいと思うけど
線型代数は一通り勉強したらどんどん先に進んで
必要になったらそこを重点的に読み直すとか
そういうのでいいと思う

141 ：１３２人目の素数さん：03/08/03 21:54

>>140
しっかりやっとかんと解析の本すら読めないような気がするが？

142 ：１３２人目の素数さん：03/08/03 22:00

>>141
それはいくらなんでもやらなさすぎなんでは

143 ：１３２人目の素数さん：03/08/03 23:13

>>140
やってるうちに慣れてくると言うのもあるよね。
解析であれ、代数であれ使ううちに身についてくる。

144 ：１３２人目の素数さん：03/08/03 23:26

>>141
それは「一通り」読んですらない

145 ：１３２人目の素数さん：03/08/04 00:25

>>138
すうがくぶっくすｷﾀｰ！！！

斎藤のｼﾞｮﾙﾀﾞﾝの変わりに、岩波基礎数学の杉浦「ｼﾞｮﾙﾀﾞﾝ標準形　テンソル代数」借りてきました。
どないでしょうか？

146 ：１３２人目の素数さん：03/08/04 01:00

あっ！！それ俺も聞きたい。（俺は佐武だが）

147 ：１３２人目の素数さん：03/08/04 02:10

すうがくぶっくす20, 21 線形代数と群の表現1-2 平井武朝倉書店
群論に踏み込んでいるが線形代数の平易な話題も含むまだ若い数学者wanna-be向け

線形代数とその応用 G. ストラング産業図書
最小2乗法、数値計算、線形計画法、ゲーム理論など上を目指す工学者向け

線形代数学ア・イ・マリツェフ東京図書＜絶対絶版だな、東京図書ってもうだめぽ
単因子、2次形式、テンソル、シンプレクティックなど理論物理向け

148 ：１３２人目の素数さん：03/08/04 02:46

>>147
今僕は佐武を読んでいる物理科の一年なんですが、
その3番目のア・イ・マリツェフ
という人の本はどれくらいのレベルなんでしょうか？
非常に興味があります。

149 ：１３２人目の素数さん：03/08/04 09:20

斎藤は行列の分解にほとんど触れていないが、ここはどの本でみんな学んだの？

150 ：１３２人目の素数さん：03/08/05 20:55

特威値分解さえも載っていないのは確かに問題だな

151 ：147：03/08/05 21:20

>>148
「総合大学や教育大学で」使うために書かれたらしいが、レベルは佐竹より高い。
明らかに初学者向けではないと思うんだけど...
物理向けと銘打ってるわけではないが、数理物理をやる人には役立つでしょう(さすがロシア)
調べたところやはり絶版(fxxk!)らしいので、図書館で探すのがよろしいかと。
古本を買うときには、2分冊の旧版との区別に注意。新装初版78年です。

>>149
佐竹やストラングいいっすよ。もちろん自分の目で好みに合うか確かめて欲しいけど。

152 ：148：03/08/05 22:51

>>151
レスありがとうございます。
ああ・・・のどから手が出る程ほしい。（英語版あるのかな？）

153 ：１３２人目の素数さん：03/08/08 20:07

ハルモス(Halmos)もいいらしい。誰か読んだ人いる？

154 ：１３２人目の素数さん：03/08/10 12:51

>>138
jordan標準形のところで少なからぬ誤植に脚をとられながら読んだ。
おもしろいが、誤植が多いので初心者にきついかも。
出版社はさっさと正誤表なりつけてください。

155 ：１３２人目の素数さん：03/08/13 18:06

僕は佐武でJordan標準形やってるんですが
斉藤に書いてある単因子論とかゆーものもしっとかないとまずいんでしょうか？

156 ：１３２人目の素数さん：03/08/13 18:13

>>155
単因子論は知っておいたほうがいい。

157 ：１３２人目の素数さん：03/08/14 01:04

物理専攻の者ですが、いきなり斉藤は難しそうだったので、岩波理工系の
基礎数学（藤原毅夫）買いました。あと、演習も必要だと思ったので
小寺平治の演習も買いました。
小寺の演習で評判いいのって線形だけですよね？

158 ：１３２人目の素数さん：03/08/14 02:21

平治親分

159 ：山崎渉：03/08/15 18:20

　　　 (⌒V⌒)
　　　│ ＾＾ │＜これからも僕を応援して下さいね（＾＾）。
　　⊂|　　　　|つ
　　　（＿）（＿）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　山崎パン

160 ：１３２人目の素数さん：03/08/19 21:53

斎藤本で自習しているのですが

随伴行列とはなんなんでしょうか？
実数の範囲に限れば
随伴行列＝エルミート行列＝対称行列
でいいのでしょうか？

そしてその中で
Ａ*Ａ＝Ｅを満たせば特にユリタリ行列＝直行行列（実数の範囲）

という認識でいいのでしょうか？
おばかな私に御教授ください。お願いします。

161 ：１３２人目の素数さん：03/08/19 23:28

>>160
＞実数の範囲に限れば随伴行列＝エルミート行列＝対称行列
これはＯＫ

＞そしてその中でＡ*Ａ＝Ｅを満たせば特にユリタリ行列＝直行行列（実数の範囲）
「その中で」は余分。｛ユニタリ｝⊆｛エルミート｝でも｛ユニタリ｝⊇｛エルミート｝でもない。両者は別物
それ以降はＯＫ

＞随伴行列とはなんなんでしょうか？
おそらく>>160は斉藤の２章を学習中なのだろう。
行列の知識だけでは、随伴性、エルミート性、ユニタリ性等の概念を直感的に把握するのは困難だ。
第４，５章に進んで、線形変換の性質として認識できるようになれば、直感が湧くようになるから、
それまで辛抱してください。

162 ：１３２人目の素数さん：03/08/19 23:36

>>160
すまん。よく読んでなかった。
＞実数の範囲に限れば随伴行列＝エルミート行列＝対称行列
これは駄目。
随伴行列＝元の行列（つまりＡ＊＝Ａ）がエルミート行列（実業列の範囲では対称行列）の定義だから、ね。
従って、実数の範囲に限れば「エルミート行列＝対称行列」はＯＫ

163 ：１３２人目の素数さん：03/08/19 23:36

「直交基底」を「直交基」ともよぶのって一般的ですか？
今読んでる本ではじめてみたので、これって一般的なのかと思ったのですが。

164 ：１３２人目の素数さん：03/08/20 20:16

>>162
丁寧で解かり易いご返答ありがとうございます。
お陰様である程度、頭の中で整理できました。

165 ：１３２人目の素数さん：03/08/21 07:42

>>163 あまり聞かない。

166 ：１３２人目の素数さん：03/08/22 20:49

質問です。

n 次元ベクトル
( 2 , 4 , 1 , 0 ,....., 8 )
( 1 , 9 , 9 , 1 ,....., 1 )
の２ベクトルは常に平面を創るのでしょうか？
また３ベクトルは三次元空間を常に創ると考えてよいのでしょうか？

アドバイスお願いします。

167 ：１３２人目の素数さん：03/08/22 21:26

宿題は自分で考えないと身につきませんよ。
あなたの言う「平面を創る」とは何か、「空間を創る」とは何か、
まずそれを教科書読んで理解しましょう。
キーワードは「張る」「線形独立」「基底」
これらが導入されている節を30回読み返しましょう。
で、あなたの言葉で「創らない」としたらどうなるのか、とか。

168 ：１３２人目の素数さん：03/08/23 18:34

>>166
>>167氏が素晴らしい助言をしているので、お節介にしかならないかもしれませんが…

a:=( 2 , 4 , 1 , 0 ,....., 8 )、b:=( 1 , 9 , 9 , 1 ,....., 1 ) は線形独立ですから、ａ，ｂの張る部分空間は、平面になります。

３つのベクトルが線形独立である限り、その３つのベクトルの張る部分空間は、三次元空間になります。

169 ：１３２人目の素数さん：03/08/24 15:18

今あえて言おう。佐武一郎「線型代数学」は誤りだらけである！
以下にその一部を例として記し、もって処遇を大衆の判断に任せんとする。

p.79 (巡回行列式) ×「よつて」◯「よって」
p.109 (斉次連立方程式) ×「V^m一つの部分空間」◯「V^mの一つの部分空間」
p.147 (SN分解) ×「単凖純」◯「凖単純」
奥付 ×「第59版」◯「第59刷」これは誤りとは言えないやも知れぬ。

170 ：１３２人目の素数さん：03/08/24 15:52

>>169
暑さにやられたか？

171 ：１３２人目の素数さん：03/08/24 16:09

>>169
きみ面白いな

172 ：１３２人目の素数さん：03/08/24 20:51

>>169
びっくりするぐらいどーでもイイ誤りだな。

173 ：１３２人目の素数さん：03/08/24 21:41

おしっこっこ

174 ：１３２人目の素数さん：03/08/24 22:49

お気に入り集 ☆

http://beauty.h.fc2.com/

175 ：ルミタン：03/08/24 23:54

http://sikao.fc2web.com/mondai3.jpg
の答えが
http://sikao.fc2web.com/kotae.jpg
にあるのですが、納得できません。

（１）は分かりますが、（２）と（３）が分かりません。
（２）では、a!=0なのは分かりますが、これだと、
固有方程式がx^2(x-a)になるはずです。ｘは重解を持って
しまいます。なので、対角化できるはずないと思います。
（３）は、a=0になるのは分かります。そして、Aがゼロ行列
にはならないことも、分かります。でも、ジョルダン標準形
にできなくて困ってます。
よろしくお願いします。

176 ：yoyogi：03/08/25 00:50

test

177 ：１３２人目の素数さん：03/08/25 08:36

>>175
(3)解答にあるように、最小多項式が重解を持たないのでよい。
なぜ固有多項式だけから対角化「できない」といえるのか？
（対角化できるための必要条件ではない）
(4)１を左下に書く流儀？
Jordan細胞の分け方は
３次、２次＋１次、１次×３個（零行列）が考えられるが、
A^2を計算することで３次の可能性が消え、
(b)より零行列でもないから、あの形しかありえない。

178 ：１３２人目の素数さん：03/08/27 20:17

仕事で線形代数使ってる人いますか？
Ｃ、Ｃ++のライブラリとして一番使われているのはなんでしょうか？

179 ：１３２人目の素数さん：03/08/27 23:58

>>175
HPの方も見せてもらったよ。今何を専攻してるのかな？で、どこの院を受ける？
かなり厳しいとは思うが、頑張ってくれい。

>固有方程式がx^2(x-a)になるはずです。ｘは重解を持って
>しまいます。なので、対角化できるはずないと思います。
それは間違い。固有方程式が重解を持っても対角化できることはあるよ。
例えば、単位行列。これは元の形が既に対角化されてるわけだけどね。
固有方程式と最小多項式をゴッチャにしないようにね。
特に、「方程式」というときは、F(x)=0 の形で書くように。
というか、環論をかじったことない人には最小多項式の概念は難しいかもしれないから、
できるだけ避けてやった方がいいかもね。この問題ならそれでも解けるし。

ちなみに、Aの固有値はいくらになるかわかってる？
あ、それ以前に、わかっているかどうか不安なので、
零行列のジョルダン標準形と固有値を求めてみてくれるかな？

180 ：１３２人目の素数さん：03/08/30 07:22

ねえねえルミタンいったい何日考えてるの？

181 ：１３２人目の素数さん：03/08/30 10:20

ん？ルミタンって何だ？エルミート行列のことか？

182 ：１３２人目の素数さん：03/08/30 10:52

>>181
175のこと。

183 ：１３２人目の素数さん：03/08/30 12:40

最後の質問の意図が・・・
さすがに、零行列をどう変形しようとしても
零行列しか得られないことはあきらかだと思うが。

184 ：１３２人目の素数さん：03/08/30 13:21

Jordan標準形ってどういう方法で求めてる？

１．固有値を求める
２．固有値たちの固有空間の次元（Jordan細胞の個数）を求める
　　　　（n-rank(A-αE)、n-rank(A-βE)とか）

ここでJordan細胞たちの組み合わせが決定できれば終わり
この時点では決定できない場合、つまり、
Jordan細胞たちの組み合わせが何通りかある場合

３．最小多項式を求める

という方法がいちばん労力が少なそうと思ったんだけど、
他になにかいい方法はないかな？

185 ：１３２人目の素数さん：03/08/30 22:14

>>184
固有多項式 t^7, 最小多項式 t^3, Jordan細胞の個数 3 個
だと Jordan標準形は定まらないよ。

186 ：１３２人目の素数さん：03/08/30 22:53

>>185
そういうときにはこれを使えば解決しそうな気がします。
（Jordan標準形に昨日入ってまだわかってないです。）

４．i 次のJordan細胞の個数J(i)を求める
　J(i) = rank(A-αE)^(i+1) - 2*rank(A-αE)^i + rank(A-αE)^(i-1)

固有多項式 t^7, 最小多項式 t^3, Jordan細胞の個数 3 個　のときは、

J(1) = rank(A-αE)^2 - 2rank(A-αE) + rankE =
J(2) = rank(A-αE)^3 - 2rank(A-αE)^2 + rank(A-αE) = 0-2*
J(3) = rank(A-αE)^4 - 2rank(A-αE)^3 + rank(A-αE)^2 = 0-2*0+
J(4) = rank(A-αE)^5 - 2rank(A-αE)^4 + rank(A-αE)^3 = 0-2*0+0 = 0
J(5) = rank(A-αE)^6 - 2rank(A-αE)^5 + rank(A-αE)^4 = 0-2*0+0 = 0
J(6) = rank(A-αE)^7 - 2rank(A-αE)^6 + rank(A-αE)^5 = 0-2*0+0 = 0
J(7) = rank(A-αE)^8 - 2rank(A-αE)^7 + rank(A-αE)^6 = 0-2*0+0 = 0

となるので、rank(A-αE) と rank(A-αE)^2を求めれば決定できる。
（α＝０）

187 ：179：03/08/31 01:26

>>183
いや、固有値に0も許されるというのは意外と初学者には盲点だと思ったのでね。
俺も昔、詰まったことあるから。

188 ：１３２人目の素数さん：03/09/05 16:18

一年生たちよこの時期に質問はないのかage

189 ：１３２人目の素数さん：03/09/07 23:45

基底の変換の意義がすっかりわかりません。

その応用？の
inv(φ) * T * φ
なんてさっぱりです。

188さん教えて。

190 ：１３２人目の素数さん：03/09/08 00:48

↑本読めよ・・・

191 ：１３２人目の素数さん：03/09/08 00:49

192 ：１３２人目の素数さん：03/09/08 00:52

>>189
複雑な対象を、うまく基底を取ることで分かりやすく出来る、というのが一つの意義でしょ
うか。具体例にたくさん触れてみるのがよいと思います。

平面 R^2 を考えます。x軸、y軸を適当に作って、y = -2x, y = (1/2)x を引いてみてくだ
さい。さて、xy平面上に2本の直線が今ひかれたわけですが、逆にこれを座標軸とみな
してしまうこともできます。座標軸が変わりましたから、当然今まであった点の座標も変
わってしまいます。この変化は具体的にどういう式で表されるのでしょうか？
座標というのは基底が決まらないと定まりません。xy-座標には暗黙の基底として (1, 0),
(0, 1) があり、それに関する成分表示として座標があるのです。
逆に言えば基底が定まるとそれにより、基底に応じた座標が定まります。先ほど2つの直
線を軸とする、と言いましたがこれは直線の方向ベクトルを新しい基底とし、その基底の
もとでの座標を調べよということなのでした。

線型写像にはある行列が対応していますが、それも基底をとりかえると変わってしまいま
す。行列の対角化などといった操作は、空間の基底を取り替え、写像の表現を簡単にし
てしまおうということです。具体的な計算方法は、演習するとかで慣れてくださいね。

193 ：１３２人目の素数さん：03/09/08 01:02

正規行列の対角化とかやったらわかるんじゃない？

194 ：研究者見習Z ◆fqGm6guJDc ：03/09/09 01:36

面白そうですがむずかしそうですね。

195 ：１３２人目の素数さん：03/09/09 14:52

どなたか「エレガント線形代数」という本をご存知ありませんか？
ベクトル空間における線形写像の説明が非常に明解だということで薦められたのですが。
これは現在絶版になっている松坂和夫の線形代数の本と同じ記述なのだそうです。
松坂のほうでもよいので、読んだことがある方の感想をお願い致します。

196 ：１３２人目の素数さん：03/09/09 18:22

http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4768703194/
これか。
しかし、「同じ記述」っていうのはどうなんだろって思いますが。

197 ：１３２人目の素数さん：03/09/09 18:30

>>196
ええ、それです。松坂さんの本を読んだことがおありですか？
物理板で紹介されていたんです。「松坂和夫が同じ方法で記述しているが
現在絶版。エレガント線形代数がいいよ」ということなのですが・・・

198 ：１３２人目の素数さん：03/09/09 18:34

漏れはどっちも読んだこと無いです…。

199 ：１３２人目の素数さん：03/09/09 20:45

そうですか・・・
松坂さんの解析入門のほうは評判がよいようですが、
線形のほうは数学板でもあまり話題にあがらないんですかねぇ・・・

200 ：１３２人目の素数さん：03/09/09 20:51

200げっと

201 ：１３２人目の素数さん：03/09/09 20:52

エレガント線形代数、斜め読みしたけどあんましエレガントじゃない
ほかの本で勉強してから副読本として読むとそこそこ面白そうだけどね

202 ：１３２人目の素数さん：03/09/09 20:58

>>199
いや、話題には上がってたことがあったと思う。

203 ：１３２人目の素数さん：03/09/09 21:00

松坂さんの線型は数学板でも評判良かったはず。
たしか、絶版になる直前に確保してた人も何人かいたと思う。

204 ：199：03/09/09 23:10

皆さん、情報ありがとうございます。エレガント線形代数は確かに副読本として
薦められていました。
ところで、当方は物理科の者なので、これまで読んできた数学本は、この板の人
からするとヘタレのようなものが多いのですが、松坂さんの「解析入門」は
理工系でもいけますか？自分のレベルとしては、線形なら斎藤さんのは
なんとか読めますが、佐武さんは苦しい、といった感じです。
解析入門のほうが解析概論より読みやすいし、定番だときいたものですから。
スレ違いの質問で申し訳ございませんが、よろしくお願いします。

205 ：199：03/09/09 23:15

すいません、「解析入門」についての質問は松坂さんではなく小平さんのでした。

206 ：１３２人目の素数さん：03/09/09 23:16

http://www.nn.iij4u.or.jp/~blueimg/girls/file/princess/doll3.jpg

207 ：１３２人目の素数さん：03/09/10 00:33

小平解析の読みやすさは斎藤と佐武の間ぐらいな気がする。

208 ：１３２人目の素数さん：03/09/10 11:35

>>207
ということは斎藤さんのよりは難しいということですね。
小平さんのは解析概論よりは易しいと聞いたのですが、
となると高木さんの解析概論は結構難しいということですか・・・

209 ：●のテストカキコ中：03/09/10 11:59

http://ula2ch.muvc.net/　(このカキコは削除しても良いです)

210 ：１３２人目の素数さん：03/09/10 14:31

【学校教育は間違っている!!!既存の学説にとらわれない考えで科学界に革命を起こそう!!!】
「魂の量子論」、「ランゲージ・クライシス」および「間違いだらけの科学法則」はいずれも作者の革新的、独創的かつ学際的な考えがにじみ出ているサイトです。
今回のおすすめは「ランゲージ・クライシス」第2編・”言語システムの危機”、この中でも特に表意文字についての記述は超専門レベルの内容となっています。
また、文法についても既存の文法とは異なる独自の文法を提唱しています。
http://www1.kcn.ne.jp/~mituto

211 ：１３２人目の素数さん：03/09/10 14:45

定義
線型空間Xにおいて次の3条件を満たす写像∥･∥ : X→Rをｾﾐﾉﾙﾑと言う｡
(1)半正値性 : ∥u∥≧0 (u∈X)
(2)ｽｶﾗｰ乗法に関する同次性 : ∥α∥=|α|∥u∥ (α∈C , u∈X)
(3)三角不等式 : ∥u+v∥≦∥u∥+∥v∥ (u , v∈X)

定義
上記の条件を満たし､且つ､次の条件を満たす写像∥･∥:X→Rをﾉﾙﾑと言う｡
(1')∥u∥=0⇔u=0

定義
線型空間Xにﾉﾙﾑを与えたものをﾉﾙﾑ空間と言う｡

定義
線型空間Xにおいて定義された2つのﾉﾙﾑ∥･∥_1と∥･∥_2が互いに同値であるとは､任意のu∈Xに関して次の条件を満たすδ , δ'>0が存在する事である｡
δ∥u∥_1≦∥u∥_2≦δ'∥u∥_1

定理
有限次元線型空間において定義された任意の2つのﾉﾙﾑは互いに同値であるが､無限次元線型空間においては必ずしも同値ではない｡

定理
ﾉﾙﾑ空間の有限次元部分空間は全て閉部分空間である｡

212 ：１３２人目の素数さん：03/09/10 16:50

線形＝１次、１次のつぎは２次 ----
ということは、２次代数ってあるの？

213 ：１３２人目の素数さん：03/09/10 19:49

2次形式

214 ：ななし：03/09/10 20:42

>>211
ノルムの同値性って、δ，δ’は u に依存するの？

215 ：１３２人目の素数さん：03/09/10 23:48

Linear Algebra
by Georgi E. Shilov
http://www.amazon.com/exec/obidos/tg/detail/-/048663518X/qid=1063205204/sr=1-1/ref=sr_1_1/002-1400283-4816865?v=glance&s=books
読んだ人居ますか？
佐武のが終わったので（テンソルは除く）やってみたいんですけど
感想おながいします。

216 ：１３２人目の素数さん：03/09/11 01:30

佐竹読んだんならもう線型代数はいいんじゃない？

217 ：215：03/09/11 01:56

う～ん
そうゆうモンなんですか？
当方物理学科でして佐武は数学科向けすぎるなぁと思ったんで
もう一冊くらい読もうかなと思ったんですけど。

218 ：１３２人目の素数さん：03/09/11 02:03

佐竹がきちんとフォローできたんなら、別にもう一冊読む必要にない
と思うけど。
物理なら関数解析とか勉強した方がいいんじゃない？位相も勉強する
必要があるけどね。

219 ：１３２人目の素数さん：03/09/11 02:07

>>217
佐武の内容(研究課題なんかは除く)はほとんど理解したのか?
したなら、別にいらないよ。
それでも何か読みたいというなら、線型代数って感じではないが、
キーポイント行列と変換群梁成吉
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4000078682/
なんかが良いと思うぞ。物理の人なら。

220 ：215：03/09/11 02:22

>>218
函数解析ですか・・・
まだ杉浦やってるとこでしてまだまだ先の話です
あと集合と位相のオススメ本聞いてもいいですか？
>>219
>佐武の内容(研究課題なんかは除く)はほとんど理解したのか?
一応自分ではそのつもりです
佐武は「難しい」というより（テンソル除く）「読みにくい」といった感じですね
一言添えてくれればすぐわかることを、まるでワザトのように削ってありますから
それが所謂、行間を読むって事なんでしょうか。

>キーポイント行列と変換群梁成吉
ですか・・・キーポイントシリーズはと納得するシリーズはどうしても使いたくないんです（なんとなくｲﾔ）
「群」という概念は普通は代数学で習得するものなんでしょうか？
一年生ゆえよくわかりません。

221 ：１３２人目の素数さん：03/09/11 02:32

佐武は，私が自分の満足するレベルまで書き込みをしていったら，
文字数が1.5倍量くらいになりました．そういう本だと思います．
そしてそれは「読みにくい」というのは違うと思います．
数学書で「読みにくい」というのはああいう本を指しません．
実際，内容の割には信じられない程うまくまとまっていると思います．
さて，
> 「群」という概念は普通は代数学で習得するものなんでしょうか？
とのことですが，群に触れた機会があまりなかったようですね．
佐武は群論をかなり意識して書かれているので，群論の初歩抜きでは魅力半減です．
キーポイントでもすうがくぶっくすでも簡単な群論の本を手に入れ，軽く目を通したら，
もいちど佐武を読み直しましょう．
というか，あれは「線形代数学」であって「線形代数学入門」ではないところがミソ．
あれは「表現論入門」ですよ．

222 ：名無しさん＠Ｅｍａｃｓ：03/09/11 02:33

いまさら大学のころ使っていた斎藤線形代数を睡眠薬代わりに
読んでいるサラリーマンです。
で、線形変換の行列式っつーものがあるんですが、これって
その行列表現を使わないと定義できないものですかねえ。
なんか、一度特定の座標系に依存した表現を通るのが気持ち悪くて。
他に、Traceとかのスカラー値もかっこよく定義できたりしないかなあ..

223 ：１３２人目の素数さん：03/09/11 02:37

>>220
> キーポイントシリーズはと納得するシリーズはどうしても使いたくないんです（なんとなくｲﾔ）

ああ、そういう気持ちはよく分かる(w
でも、その本は結構しっかり書かれていて、いいと思うのだけどね。

まあ、それは却下ってことにして、
線型代数の復習と集合、位相と関数解析の入門を兼ねて
"Introductory Real Analysis" by A. N. Kolmogorov, S. V. Fomin
http://www.amazon.com/exec/obidos/tg/detail/-/0486612260/
なんか良いんじゃないか。
杉浦やってる途中でも、途中ぐらいまでなら読めるよ。

>>222
行列式の値は基底の変換に対して不変です。

224 ：１３２人目の素数さん：03/09/11 02:42

あ、不変なことは分かってるのか。すまそ。

225 ：１３２人目の素数さん[：03/09/11 07:43

>>222
できるよ。

226 ：１３２人目の素数さん：03/09/11 08:09

行列式は外積代数使えば行列表現を用いない定義ができる。
トレースもテンソルの縮約の一例として理解すればよい。

227 ：226：03/09/11 08:31

n次元複素線形空間上の線形変換全体を A とすると、
A から複素数体への線形写像 T で、全ての X,Y∈A
に対し T(XY)=T(YX) を満たし、かつ恒等変換 I に
対し T(I)=n を満たすようなもの、としてトレース
を定義してもよい。これだと、無限次元の場合にも
拡張できる。（T(I)=n を、１次元射影を 1 に移す、
に代える。）

228 ：１３２人目の素数さん：03/09/11 08:43

>>215 には松坂一夫「集合・位相入門」なんかも教えておきます。ベタな選択肢だが。
まあコルモゴロフ＆フォミンも評判好いけど。しかしそうなると
数学の本 6版目 http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1062383371/
向けの話題だな。

ところで今杉浦さんの「Jordan標準型と単因子論」岩波講座読んでるんだけど、
今まで見落としてきたことがいっぱいあることを痛感。
杉浦さんは、かんで含めるような説明がありがたいですね。

229 ：１３２人目の素数さん：03/09/11 09:33

賀藤潮子等

230 ：ななし：03/09/11 13:40

>>227
無限次元の場合はちょっと怖い気がする。
慎重にしないと…

231 ：１３２人目の素数さん：03/09/12 00:59

>>214
任意のu∈Xに対してだった様な…
だとしたら､δ , δ'>0はuに依存する必要が無いと思ﾜﾚ

232 ：１３２人目の素数さん：03/09/12 01:03

>>231
＞だとしたら､δ , δ'>0はuに依存する必要が無いと思ﾜﾚ
　
きっと>>214さんはそんなこと百も承知と思ﾜﾚ。質問形式にして本人に訂正するチャンスをあげたんだよ。きっと。

233 ：222：03/09/12 02:33

>>225-227 よくわからんけどできるのですか。
外積代数って初めて聞いたけど、面白いものかしらん。
とりあえず一通り読みおわったらしらべてみよう...

234 ：（　´_ゝ`）ﾌｰﾝ ◆hoonMlDHCw ：03/09/12 09:49

行列式に関しては、以下の性質を満たすものとして定義した方が、
本質的だと思います。

いま手元にないので未確認ですが、佐竹には外積代数のことも、
以下のことも記述があったように思います。こちらのほうが睡眠薬
としてもよいかと・・・

235 ：（　´_ゝ`）ﾌｰﾝ ◆hoonMlDHCw ：03/09/12 09:49

(1)　D(fg)＝D(f)D(g)
(2)　v_1,・・・,v_nを一次独立なベクトルとして、fが
　　　f(v_1)＝λv_1，f(v_i)＝v_i（i≠1）
　　　を満たすとき、D(f)＝λ
(3)　Dは恒等的に0でない。

この3つの性質を満たすものは一意的に存在し、それが行列式
です。証明は、(1)-(3)を次の(1')-(3')に読みかえて、次元に関す
る帰納法でやればよいです。
A＝(a_1,・・・,a_n)をn次の正方行列として（a_i は列ベクトル）
(1')　D(・・・,λa_i＋b,・・・)＝λD(・・・,a_i,・・・)＋D(・・・,b,・・・)
(2')　a_i＝a_j（i≠j）ならばD(A)＝0
(3')　D(I_n)＝1

(1')-(3')は連立方程式を解く操作でDは不変ということで、これが
行列式の起源なんでしょうね。

236 ：１３２人目の素数さん：03/09/12 18:56

作用素論やるなら線型代数の何処をおさらいしたら良いのかなぁ

237 ：ななし：03/09/12 20:15

>>236
作用素論のどの辺（研究内容）を進みたいの？

238 ：215　亀レスｽﾏｿ：03/09/14 09:11

>>221
>キーポイントでもすうがくぶっくすでも簡単な群論の本を手に入れ，軽く目を通したら，もいちど佐武を読み直しましょう．
うぃっす！共立の線形代数と群でも読んでみます。

>>223
Kolmogorovやってみます

>>228
松坂一夫を大学の図書館で探してみたんですけど、なかったんですよね～
買うしかないのか・・・
（物理学の本だけでも高いのに）

239 ：１３２人目の素数さん：03/09/14 09:24

age

240 ：１３２人目の素数さん：03/09/14 14:34

佐武の線形代数学のどこがそんなにいいんだ？
最初に読む線形代数の本としては適当でないとか言ってる
奴がいるが、あの本が扱ってる内容は、そんな高度
なものじゃないだろ。それなのに、理解しにくいのは
本質的にいい教科書じゃないってことじゃないのか。

241 ：１３２人目の素数さん：03/09/14 14:51

>>240
「線型代数」と名の付いたほんとしては、高度なことまで扱っている本の一つだと思うが？

242 ：１３２人目の素数さん：03/09/14 15:06

>>241
例えば、あの本が扱ってる高度な題材って何？

243 ：１３２人目の素数さん：03/09/14 15:14

>>241
仮に高度な題材も扱ってるとしても、
基本的な事項の説明がわかりにくいのなら、
教科書として失格ですよ。しかも、入門書の次に読む本にしては、
比較的｢高度｣な題材の説明は中途半端。
要するに、イメージ的に、いい本に見えるだけじゃないの？

244 ：１３２人目の素数さん：03/09/14 16:59

5章のテンソル代数は他のテキストに譲ったほうがよかったかもしれない。
群の表現なんかも書いてあるけど、ページ数が足りなくていまいち。
逆に、2章の行列式の研究課題や4章の標準形などは面白いので
もっと詳しく書かれているとよいと思う。

全体を通して気になるのは、練習問題が少なすぎること。
（少ないうえにテキストで省かれた証明を埋めよという問題が結構ある…）
線形代数は道具でもあるのだから、定理を証明したらはい終わりという
ものでもないでしょ。折角証明したのだから使わせてくれよと…
標準化できたことによって、手を使って解けるようになる問題もたくさんあるけど、
少ししか書いてないし。行列の指数関数は1章ではなく4章の標準化にあった
ほうがいいのでは。

245 ：１３２人目の素数さん：03/09/16 16:37

いわゆる「高度」な本というのは、すごく一般的な関係式を導いておいて、
「○○の定理」なんかを「(2.33)でm=2として得られる」という風にすっと流すものでしょう。
全部読みとおせば広いクラスの問題に対応できるようになるが、
例えば定期テストに出るような「頻出事項だけ」を学ぶには役立たない、と。
数学の本には流れがあるわけで、数学の本のレベル差と、
英語の単語帳の「1000語収録」と「3000語収録」との差とは違いがあるでしょうな。

あと、斎藤は持ってるけどもれには無味乾燥という感じがした。佐武ﾏﾝｾｰ
まあ、誰かが21世紀のスタンダードを書いてやるぜ、と言うなら無論反対はしません。
佐武はちっと古いところがありますから。

246 ：１３２人目の素数さん：03/09/16 19:38

佐武の本に高度なことなんか書いてない。
単に、中途半端なだけ。
基本的なことに絞って、分かりやすく書けばいいのに。
テンソル代数とか、群の表現とか、線形リー群とかは専門書
にまかせればいい。

247 ：１３２人目の素数さん：03/09/16 20:52

質問です。n次正方行列 A, B が交換可能なとき、
(1) A, B が対角化可能なら A, B は同時に対角化可能
　　(ある P が存在し P^{-1}AP, P^{-1}BP は対角行列)
(2) A, B は同時に三角化可能
などという定理があるのですが、これの類似、
『A, B が交換可能なら A, B は同時にジョルダン標準形になる』
という命題は成り立たないみたいです。しかし、一般固有空間とかジョルダン標準形
に関わってくる直和分解がB-不変なので、そのへんから A をジョルダン標準形に
する基底で、かつ B を "ジョルダン標準形っぽい形" に出来るものがありそうなので
すが、どうなんでしょうか。同時に B を次のような形の行列を並べたものに出来るの
ではないかと予想してます。
*　1　0
0　* 1 (ジョルダンブロックの固有値部分が、Bの固有値のどれかになったもの)
0　0　*

248 ：１３２人目の素数さん：03/09/18 03:30

とりあえず「良い本」かどうかについて語るのはやめれ。
例えばミスプリが多い本だって、ミスの確認や自習の機会を多く与えるから
教育的な本だという考え方だってできるし、実際にそういう側面もある。

249 ：１３２人目の素数さん：03/09/18 07:03

>>248
それだと、すべての本が良書ということになるな。
本の批判は、無意味となるな。

250 ：１３２人目の素数さん：03/09/19 19:12

「演習問題の充実した本」や「証明や説明文が丁寧に書かれている本」
の議論なら可能だが、「良書」か否かの議論は実際無意味だな。

251 ：１３２人目の素数さん：03/09/19 20:32

>>250
常識と、かけ離れた主張をするからには、
納得のいく説明をしてもらいたいですね。

252 ：１３２人目の素数さん：03/09/19 20:37

>>251
自分は != >>250 だけど、ほんの評価をする中、どの視点に基づいて評価するのか、
というのをまず決めないことにははじまらないといいたいのでは？

253 ：１３２人目の素数さん：03/09/19 20:58

>>252
そりゃ当然だろう。佐武の本の場合は、線形代数の入門書として
良書かどうかということが問題になっている。これは、文脈から
明らかでしょう。

254 ：１３２人目の素数さん：03/09/20 00:49

>>253
＞線形代数の入門書として
＞良書かどうかということが問題になっている
だから何をもって（線型代数の入門書としての）良書とするんだよｗ
線型代数だと良書の条件は決まってるのか？
ざっと考えたところでも
・線型性の概念の説明に力を注いでるのか
・基礎的な演習問題が多いか
・工学的な応用問題が多いか
・古典的な例題が多く載っているか
・群論などを見据えた構成になっているか
などなど、いくらでもテーマはあるでしょ。
何がどう文脈から明らかなんだ？

255 ：１３２人目の素数さん：03/09/20 00:52

>>254
文脈からは明らかではないが、>>253が厨なことは明らかだから

　　　　　　良書＝厨向け

ということだろう。

さんすうおばさんのほんで十分すぎ。

256 ：１３２人目の素数さん：03/09/20 01:34

線形代数というものは、解析と並んで数学全般の基礎には違いないが、解析学とは性格が大きく違うと俺は思う。
解析学は、元々が物理学のために進歩してきたものだから、直感的イメージを描きやすいし、数学的な細かい理論以外はそのまま応用の役に立っている。
しかし、線形代数は、元々はその応用的（物理的な）イメージの内容ではなく、数学的表現形式だけの問題だったと言える。
むしろ線形代数の理論自体は、数学的にはそれに続く群論などのために存在するのではないのか？
遠回しに言えば、代数幾何もそうか。
その証拠に、戦前の大学での数学には、線形代数という科目は存在しなかった。
解析学の中で、申し訳程度に行列と行列式についてということで説明されていただけだった。
戦後、多くの学生達があまりにもそこに消化不良を起こしていたために、解析学とは別の独立した科目として登場したらしい。
したがって今でも、数学的な表現形式以外には数学科の人以外からは価値をあまり認められていない。
それで、数学科以外の卒業生では、よくて固有値や固有ベクトルの理論を勉強している位で、ジョルダン標準系にいたっては、名前すら知らない人が多い。物理科の教官にも、無用論を言う人がいる。単因子論なんて、物理や工学とはあまり関係なかったもんね。
つまり、線形代数の分かりやすいテキストに対しては、今まであまり需要が少なかったせいで、決定版と言えるものがなかったのかも。
線形代数の理論的側面を理解したいなら、いつまでもこの本をあさってるよりも、群論などの本を読んでみて、改めて考え直してみるのがいいのかも？
俺も、かつて群の本を読んでから、ジョルダンの標準形なども理解できたような気がした。

それと外積代数だが、これはベクトル解析の延長上にあるような気がするが、むしろ多重線形代数という分野なのだろうか？
誰か詳しく知っている人いたら、外積代数や多重線形代数の良いテキストを紹介してくれ。

257 ：１３２人目の素数さん：03/09/20 08:59

>>254
入門書の主な目的は、基本的事項を読者に習得させることに決まってるだろう。
このことから、この場合の良書というのが何か、おのずから明らかだろう。

258 ：１３２人目の素数さん：03/09/20 09:44

>>256
テンソル空間と外積代数横沼健雄

259 ：１３２人目の素数さん：03/09/20 12:52

>>257
この場合の良書は、石村本だね。おのずから明らかｗｗ

260 ：１３２人目の素数さん：03/09/20 13:21

皮肉らしいが、石村本を読んだことが無いので、その皮肉がわからん。

261 ：１３２人目の素数さん：03/09/20 13:39

>>257
「線型代数の基礎的事項」なんていくら議論しても収拾しないような言葉を
平気で使っちゃう時点でダメダメだな。
それに仮に基礎的事項とやらを箇条書きに出来たとして、それをどういう視点で
扱うかっていう問題があるわけで。基礎的事項を具体的な演習問題を通じて教える方法もあるし
抽象的な概念のまま伝えようとする姿勢、工学・経済学部の学生をターゲットにした説明にする、
なんていうふうに選択肢はいくらでもある。

まあ今更引っ込みつかなくなったんだろうけど、もういいよｗ

262 ：１３２人目の素数さん：03/09/20 14:25

>>261
基礎的事項なんて、おおよそ決まってるだろう。
しかし、扱ってる事項に多少の違いはあってもいい。
目的が達成出来れば、方法はいろいろあっていい。

263 ：１３２人目の素数さん：03/09/20 15:10

>>262
その目的が人によってバラバラなことが問題なわけだが。

264 ：１３２人目の素数さん：03/09/20 15:47

>線形代数というものは、解析と並んで数学全般の基礎には違いないが、
>解析学とは性格が大きく違うと俺は思う。
性格とは何か？曖昧にするのは困る。解析学にあって、線形代数には無
いのは、連続性という強い仮定。線形代数のほうが「弱い」数学なわけ
だ。しかし応用性の広範さでは線形代数のほうが、微積分より上。微積
分は「強い」数学だが、適用可能範囲が外れると非常に弱い。
>解析学は、元々が物理学のために進歩してきたものだから、直感的イメ
>ージを描きやすいし、数学的な細かい理論以外はそのまま応用の役に立っている。
物理学で良く使われてきたからといって、物理学の為にというのは誤謬。
ニュートン力学に基づく様々なモデルの数理解析が解析学の発展を大きく
促してことは否めないが。解析学は応用科学で応用される段階で発達し、
線形代数等の「弱い」数学の技法を用いて整理統合されて現在の姿に至
っている。イメージが描きやすいというのは、発達の歴史も関連している
つまり解析学は具体的事例を集成したものを纏めて出来上がったもので
それを伝統的な数学を用いて統合編纂し、体系化されたものだといえる。
解析学は華麗な応用事例を用いて紹介されるので、「わかりやすい」とか
「おもしろい」という声が多い。（しかしその背後には膨大な地味過ぎ
たり間違いを含む為に日の目を見ることが決して無いが重要な応用事例
が大量に眠っている）解析学の教育法が興味本位的過ぎるという批判も
提示されてから時間がかなり経っている。
線形代数は他の学問と同様、応用から独立的に発達した時期もあったり
応用されることによって深められたりということを繰り返す発達方法を
取っている。むしろ解析学が極めて特殊な学問であるという認識のほう
が正確だろうね。

265 ：１３２人目の素数さん：03/09/20 15:48

>しかし、線形代数は、元々はその応用的（物理的な）イメージの内容で
>はなく、数学的表現形式だけの問題だったと言える。
>むしろ線形代数の理論自体は、数学的にはそれに続く群論などのために
>存在するのではないのか？
非常に狭いモノの見方だね。線形代数は、宇宙の創造を暗示した芸術作品
であるという人も居る。宇宙は非常に弱いが浸透性の高い原理から出来上
がっているという宇宙観に基づくもの。こうなると宗教に近いものがあった
りする。１９世紀末期から２０世紀前半の物理学はこういう雰囲気濃厚であ
ったし、量子力学等もこの考え方に基づく。
「弱い」法則性と「強い法則性」の関連を調べるのが、量子力学の中心課
題だった。１９世紀以降の物理学に強い影響を与えているのはむしろ線形
代数で解析学が物理学に影響を与えたのは１７世紀からせいぜい１８世紀
のお話だと思う。

266 ：１３２人目の素数さん：03/09/20 15:55

>>263
入門書の主要な目的は、読者に基礎的事項を習得させることだと
書いただろう(>>257)。

267 ：１３２人目の素数さん：03/09/20 16:12

理工系の線形代数の本は、いくつか目標によります。
「ベクトル、正方行列、ランク、次元、一次方程式系（一般的扱い/特定で有効な諸公式）
　行列式、線形独立、線形従属、線形空間、内積、内積空間～計量空間、
　線形写像、Ｋｅｒ、Ｉｍ、線形写像の基本定理、線形写像のトレースなど、
　行列の対角化、行列に関する有効な諸公式等（det{Exp(A)}=Exp(Tr(A))など）、
　二次曲線の分類、固有空間、固有値、固有方程式まで」
ここまでは、理工系・数学科にかかわらずって感じで基本でしょう。
「＋ジョルダン分解、ジョルダン標準形」
ここまでやれば学部でも大学院でも基礎はできてます。
「＋テンソル空間（→テンソル代数/テンソル解析）」
という方向性でテンソルもカバーすれば理工系としての道具はそろうでしょう。
テンソルやっておいて、微積分も下地にベクトル解析とか、微分位相幾何の
ラウンドをかじってみるのもひとつの道でしょう。

268 ：１３２人目の素数さん：03/09/20 16:24

>>266
非数学科の友達っていますか？
仮にいたとして、その人たちと数学の話をしたことはありますか？
線型代数でなくても、(実数の)微積分や、複素解析などでもいいですが。

269 ：１３２人目の素数さん：03/09/20 16:30

>>「線形代数は、宇宙の創造を暗示した芸術作品
であるという人も居る。」

素直にその意見には賛成できないですが、言っているある部分では
賛成です。その理由は、
●別に宇宙自体が、線形の構造を元にあるわけではない。
●だけれども、自然を観察したら思索をしてきた人間の脳は、
　基本的に線形なものしか理解できないから、世界つまり
　その人の様に線形代数が宇宙の創造を暗示するとかいうわけ。
●世界は基本的には非線形だが（人間の認識は基本的に線形の
　ものしか理解/認識できないから）あるオーダーやある階層では、
　非線形の中にとてもきれいな形として線形性をしめす構造が
　自然界に見出せる。ともいえる。

所詮、今われわれが持っている自然や宇宙にたいする世界観
（：特に個人の認識に左右されないものの対象）は、人間の
脳を通して築き上げたものであるので、自然や宇宙そのもの
ではない。その内、人間が理解できる範囲での構造なり法則
でそれに対しての”人間の”世界観であることも注意しない
といけないと思う。

270 ：１３２人目の素数さん：03/09/20 17:00

>>268
なんだ、藪から棒に。線形代数の入門書の話をしている。
ここは、数学板なんで、基本的に、俺は数学を勉強している人
を念頭に話している。

271 ：１３２人目の素数さん：03/09/20 17:11

宇宙の創造と破壊を暗示する芸術作品、線形代数学。

ただ解析学や幾何学が宇宙の創造と破壊を主体的に担ってきたとい
うドグマのほうが広くが蔓延している。歴史が如実に証明してきた
のは、解析学や幾何学は強力で自然を破壊したり創造に協力した部分
があったが、宇宙の創造や破壊まではできなかったという事実。

272 ：１３２人目の素数さん：03/09/20 19:41

>>270
とりあえず、最新の15レスくらいは読んで、話の流れをつかもうね。

273 ：１３２人目の素数さん：03/09/20 19:46

>>269
線形の定義を書いてください。

274 ：１３２人目の素数さん：03/09/20 20:01

線形空間Ｖの一つの基底Ｅ=＜e1,e2,....en＞を選べば、ＶからＫｎへの同型写像φが決まる

とありますが、具体的にこの写像とは（e1,e2,...en)の逆行列でいいのでしょうか？

275 ：１３２人目の素数さん：03/09/20 20:08

はあ？

276 ：１３２人目の素数さん：03/09/20 20:26

>>272
佐武の本は、主に数学科の学生を対象にして
るんだろう。俺もそれを前提として、あの本を批判した。
前にも書いたように、ここは数学板だから、それは当然の前提だろ。

277 ：１３２人目の素数さん：03/09/20 21:35

274ですが何かトンチンカンな事いってますか？
数日かけて理解したつもりなんですが・・・・

278 ：１３２人目の素数さん：03/09/20 21:46

>>274
Vは、数ベクトル空間とは限らない。従って、（e1,e2,...en)を
行列と見なすことは出来ない。

279 ：１３２人目の素数さん：03/09/20 23:30

はあ？

280 ：１３２人目の素数さん：03/09/20 23:44

行列・行列式・線形写像(空間)
これ、３つの柱。
どの順番で記述されているのが、良いのか？
正統派は線形空間(写像）->その特性量である行列式->有限次元の
表現の道具としての行列の特殊論って感じになるのかな、やっぱり。
専門書（洋書）は大体そんな感じ。固有値論なんてその求め方とか
に触れず存在を前提として、一気に線形区間（写像）の個所で
展開してしまう。これ通好み。
じゃ残りの５つの順序はどうか？
解析のカリキュラムに協調・連動する伝統的な理工学部の講義じゃ
行列式（積分の変数変換の時に必要なので）->行列(陰関数の存在定理等
でちょっと使う）-＞線形写像（線形微分方程式絡み）で固有空間分解
の話にちょっと触れるって感じ。
６つの配列において、長所と短所を列挙してみよう。
行列（連立一次方程式・線形不等式（LP絡み））
行列式（簡単な群論・線形群論）
線形写像（表現・固有空間・次元論）
が線形代数の教科書の柱だとして。

281 ：１：03/09/20 23:47

はあ？とかいうの失礼っぽくない？
一応にも真剣に考えてたりするんだから。そういわれると堪えるよ

たしかにここは２ちゃんねるだけどさ

282 ：１３２人目の素数さん：03/09/20 23:52

はあ？

283 ：１３２人目の素数さん：03/09/20 23:55

べつにいいんでない？
たとえば、>>278対>>279は、>>278の勝ち。
>>279は、単に線形代数が分からないバカであるをさらけ出しているだけ。

284 ：１３２人目の素数さん：03/09/21 00:00

線形代数は微積系と異なり、定理に情報量を含まない場合が多いです。
例えばn次元ベクトル空間からK^nへの同型写像
Σaiei->(a1,a2,...,am)
なんて情報量ゼロです。
しかし、「情報質」みたいなものはとてつもなく大きいわけです。そこらへん
誰しもが面食らうわけです。量から質への発想の転換が要求
されるわけです。はい。

285 ：１３２人目の素数さん：03/09/21 01:10

そんなもの定理と呼ぶなよ

286 ：１３２人目の素数さん：03/09/21 02:40

>>274
基底 E = <e1,e2,...,en> を選べば V の任意の元 a は
a = a1*e1 + a2*e2 + ... + an*en と表せ、
φ(a1*e1 + a2*e2 + ... + an*en) = (a1,a2,...,an)
という同型写像 φ を考えることができるってことでつ。

287 ：１３２人目の素数さん：03/09/21 02:58

>>274
なんか、凄くトンチンカンな事言ってるな・・・
まさか数学科じゃあるめーな？

288 ：１３２人目の素数さん：03/09/21 04:33

>>287
Vが数ベクトル空間なら、>>274の主張は正しい。

289 ：１３２人目の素数さん：03/09/21 06:57

線形代数の「定理」群の一つ一つの情報量はひどく小さいわけですが
それを組み合わせると恐ろしいほどの情報量を含むことがあります。
非常に効率的に情報量が増えるように定理が洗練されているわけです。
独立性が高いだけでなく、同型性を利用することにより再帰的に利用
できるところに秘密があるようです。微積分の定理は一つ一つが華麗
であるものが多いのですが、組み合わせて利用することが中々難しい
ことが多いです。組み合わせて利用すると信頼性が酷く落ちます。
前提条件がキャンセルしあって成り立たなくなることが多いからです。

290 ：１３２人目の素数さん：03/09/21 09:11

>>289
具体例を示してくれると有り難い。

291 ：１３２人目の素数さん：03/09/21 09:28

例は体に具わります。

292 ：１３２人目の素数さん：03/09/21 09:37

有限体で非可換なものは存在しない等の定理は代数系の定理の中でも
恐ろしい程の情報量を持ったものです。
コンピュータ等を利用しても計算不能な解析の問題があったとしまし
ょう。この場合前提条件の厳しい陰関数微分やロピタルの定理類を繰
り返して使用して得られた計算結果に対し全面的な信頼を託すことが
出来る人は余りいません。

293 ：１３２人目の素数さん：03/09/21 09:46

>>292
この場合の情報量って、どういう意味なんですか？

294 ：１３２人目の素数さん：03/09/21 10:27

>>293
こういったものは、コンピュータ内に定理とその証明をある定まった一つ
の手法で表現した場合、絶対情報量に相当するものが結構明確に数値化でき
るのではないかと想像されます。ここでいう情報量に相当するものは
ある中間的な前提条件の持つ情報量からの相対比になっているかも
知れません。この前提条件の取り方によって相対情報量は大きく変動
しますが、こういった絶対数学の立場からは、解析学のように
「高次化（実数を含む体系を本質的に内包する）」された定理群は相対
情報量が漸減していく傾向にあるといわざるを得ません。
絶対数学の立場を取らなければ結果はどうなるかは知りませんが、
しかしやはり相対情報量が漸減するか、或いはその逆に無限大に発散
していまうかのいずれかだと思われます。（∞、つまりどんな定理も
成立してしまう）ただ、行過ぎた絶対主義は前提条件の一般性・適用
範囲を過剰に広げすぎてしまう結果結果として同型類を多数認めざるを
得ずその矛盾に苦しむようです。こういった話は基礎論をやっている
人に聞いてください。

295 ：１３２人目の素数さん：03/09/21 10:53

>>294
説明になってないだろ。君のいう数学の定理の情報量とは何なのか、
わかるように説明してくれ。それが出来ないのなら、情報量などという
あいまいな言葉を、使いなさんな。

296 ：１３２人目の素数さん：03/09/21 11:18

新しく出来つつある定義は、必ずしも明確ではない。
数学の定義だって、出来るのには何百年・何千年とかかることもあるし
むしろそれが普通。積分や群が定義されるのに何千年かかったのか知っ
ているのか？積分なんて未だ完全には定義はされていないとする人だ
って数学者の中にもいるぞ。
すべての定義は過去の定義の上に明確に定まるもであり、定まるもののみ
が数学の概念の定義であるとする立場は絶対主義とか公理主義だね。
過去の定義を用いて表現することはあっても、新しい定義はそれ以上
のものを包括していることが多いし。

297 ：１３２人目の素数さん：03/09/21 11:27

また変なのが紛れ込んできたな。

298 ：１３２人目の素数さん：03/09/21 11:41

>>296
明確に説明出来ないのなら、それが出来るまで待ってから、
公に発表してくれ。　我々には、何のことか、さっぱり分からない。

299 ：１３２人目の素数さん：03/09/21 11:46

我々って誰？（藁

300 ：１３２人目の素数さん：03/09/21 11:49

>>296
数学を知らない人が数学用語をつなげてでっち上げたような文章ですね。

301 ：１３２人目の素数さん：03/09/21 11:54

>>299
296以外のこのスレの読者である程度、論理的に物事が考えられる人。

302 ：１３２人目の素数さん：03/09/21 12:11

数学的に物事を考えることと論理的に物事を考えることは一見似てい
るようでま～ったく逆方向なんですけどね。素人さんへ得てして間違
える。数学やる以前の問題だから、そこらへんよ～く勉強してね。

303 ：１３２人目の素数さん：03/09/21 12:18

>>302
数学の定理の情報量という言葉の意味がはっきりしていない
ということを理解するのに、論理的に考える能力があれば十分
でしょう。

>数学やる以前の問題だから、そこらへんよ～く勉強してね。

そのまま、返すよ。

304 ：１３２人目の素数さん：03/09/21 12:30

バカ同士のあおりあいは止めなさい

305 ：１３２人目の素数さん：03/09/21 12:48

>>304は本物のバカなので、パス。

306 ：１３２人目の素数さん：03/09/21 12:56

はっきりしていないものを暫定的に明確化していきながらも
失敗していくプロセスを繰り返すことによって非常に長い時間を
かけて新しい概念を獲得していくのが数学者の魂というもんじゃ
ありませんか？線形代数もそうやって作られてきたわけです。
で、得られた概念は本当にはっきりしたものですか？その基礎に
対して相対的に明確なだけです。
一つの基礎である群を例にとってみても、すべての群の同型類を完
全分類することに人類は成功していますか？
「数学者」が「論理的」基礎においている概念の殆どは実はまだま
だ曖昧模糊なのです。

307 ：１３２人目の素数さん：03/09/21 13:04

>>306
そのことと、数学の定理の情報量という訳のわからない言葉
とどういう関係があるのかね。

308 ：１３２人目の素数さん：03/09/21 14:01

ちょっとおかしぃですね。

309 ：１３２人目の素数さん：03/09/21 14:06

>>306
すべての群を完全分類することは基礎的なことなのかい？

310 ：１３２人目の素数さん：03/09/21 14:52

何故基礎的なことから、群を完全分類することを敢えて外そうと
するのか？
ある時点で可能なことと、基礎的であるということは同値じゃない。
その時点で可能なことは、所詮は基礎の一部分でしかない。
そもそも数学の定理の情報量という概念は数学的なのか？つまり
数学内部の言葉のみで定義可能なのか？そして何故その必要性が
あるのか？恣意的になる可能性はあっても
ある程度外部の学問で決定される量を参考にしなければならないのでは？
さらに言うならば数学的に定義可能な量は恣意性から無縁であると断定で
きる根拠は？

311 ：１３２人目の素数さん：03/09/22 23:01

角の三等分家って、こういう感じなんだろうな

312 ：１３２人目の素数さん：03/09/23 06:52

>>310の云う情報量とは>>310がなんとなく感じてるもののことなので、
まったく数学的ではありません。普遍的なものでもございません。

313 ：１３２人目の素数さん：03/09/23 13:53

無定義用語ってのは、あれは数学的なんですか？
数学の土台は感覚的なものじゃないですか？
数学の方法がもっともらしくみえるのは感覚じゃないですか？

314 ：１３２人目の素数さん：03/09/24 07:35

数学の土台が感覚的なものなんじゃなくて、
数学の土台の起源が感覚的なものなんでしょう。

あなたは論理のすり替えが好きみたいですね。

315 ：１３２人目の素数さん：03/09/24 14:27

論理的であるとはその基礎的土台に対して無批判的・無感覚になること。
数学的であるとはその基礎的土台に対して反省的・感覚的になること。
似ているようで異なるわけだ。態度の問題なのかも知れないね。

316 ：１３２人目の素数さん：03/09/25 15:23

点型代数学
線型代数学
面型代数学
立体型代数学
超平面型代数学

317 ：１３２人目の素数さん：03/09/25 18:00

論理と感覚は実は同じ意味なんだ！

318 ：１３２人目の素数さん：03/09/25 18:54

感覚は短い時間ではOr-Logicな振る舞いをする。つまり閾値付近を除いて
Logical-Circuitでエミュレート出来る。複雑な回路網はまた別。
論理性とは縁を切ることが出来ない。
閾値付近は線形性があるので、算術的な振る舞いを見せる。

319 ：１３２人目の素数さん：03/09/29 07:34

もへ～ Jorたん標準型って難しいね。奥が深い。
でも杉浦せんせの「Jorたん標準型と単因子論」面白い。
代数的な応用、解析的な応用の両方とも詳しい。

320 ：１３２人目の素数さん：03/10/17 11:00

あ

321 ：１３２人目の素数さん：03/10/18 16:15

今、大学で線形代数の講義を受けていますが、
話が抽象的でいまいちわかりません。
講義用テキストは筧三郎著の「工科系　線形代数」を使っています。
前期は、なんとか通りましたが、後期は
講義が線形空間へと進み、講義は聴いていますがさっぱりです。

自習用の入門テキストがあれば紹介していただけませんか？

322 ：１３２人目の素数さん：03/10/18 16:23

>>321
君のレベルがよく分からんのでアレだが、キーポイント線形代数

323 ：Which不一致 ◆v.V7zKGUME ：03/10/18 16:34

佐武にだけは手を出すなよ！！！

324 ：321：03/10/18 19:09

>>322
レベル・・といいますと、そんなに頭は良くないです。
いま国立大学の一年です。

調べてみたところ、評判がいいようなので、
早速、キーポイント線形代数、取り寄せてみたいと思います。

>>323
わかりました

325 ：１３２人目の素数さん：03/10/18 20:56

>>322
>>321 は
>講義が線形空間へと進み、講義は聴いていますがさっぱりです。

と言っているのですが、キーポイント線形代数にそういう話は書いてありましたっけ？

326 ：１３２人目の素数さん：03/10/18 21:31

佐武『線型代数学』ｐ１３９の別証（7行目）：
φ(A)=0であるからφ（ｘ）は行列係数の多項式としてxE-Aで割り切れる
の部分がわかりません。誰か教えてください。

327 ：Which不一致 ◆v.V7zKGUME ：03/10/18 21:39

わかりません

328 ：Which不一致 ◆v.V7zKGUME ：03/10/18 21:53

誰か答えてやれよ＞頭のいい香具師

329 ：１３２人目の素数さん：03/10/18 21:54

どこがわからんのかわからん

330 ：３２６：03/10/18 21:54

φ(x)は行列Aの最小多項式です。お願いします。

331 ：３２６：03/10/18 21:58

＞３２９
僕は因数定理が理解できてないんでしょうか？とにかくわからんのです。

332 ：１３２人目の素数さん：03/10/18 22:17

因数定理って可換環ならなりたつんだからそれつかうのでは？つまり
――
Rが可換環、φ(x)∈R[x]、a∈Rがφ(a)=0をみたすときψ∈R[x]を
φ=(x-a)ψ(x)となるようにとれる。
――
これ成立してそうだけど。でRをAで生成される可換環にとればよさそう。

333 ：３２６：03/10/18 22:33

＞３３２
何度も読み返して何とか理解できました。まだ環とか群について習ってない
のですが（なんとなくは知っている）、いわれてみれば確かに因数定理は
可換環で成り立つし、
Rが可換環、φ(x)∈R[x]、a∈Rがφ(a)=0をみたすときψ∈R[x]を
φ=(x-a)ψ(x)となるようにとれる。
もなりたちますね。ありがとうございました。

334 ：１３２人目の素数さん：03/10/19 00:16

佐武『線型代数学』は難しいよ。

335 ：１３２人目の素数さん：03/10/19 03:19

というか、解析学と線形代数学は学としての成立年代が実はかなり違う。
１９世紀にヨーロッパの大学で並列に学ぶ方法が一般化したようだが、
ともにしっかり学ぶ場合は、並列に学習しないほうがいいと思う。

線形代数学はあくまでも代数学の一分野として学ぶべきで、数論等も
絡んでくる。関数解析学との接続性もあるけどこちらのほうまでやると
解析学の勉強も深まるが、かなり高度な話になってしまう。
料理に例えるとフルコースタイプだから、段階を追っていかなければ
やっていけない。どうしても数学科向けのものになってしまう。

解析学は要するに微積分学の有名公式を懐石料理のように一品単位で
学んでいく。線形代数のカリキュラムとは合わない。定理・その基礎理論・
多数の応用事例という具合に応用事例とその拡張を重視し、リズミカルに
講義は進められるべき。
応用事例には天文学や機械工学・電子工学等の工学系カリキュラムが散り
ばめられる筈。解析学は工学に吸収合併するか（学部レベルでは薦め
られない）或いは学部段階では、工学の基礎授業をすべて解析学で統一する
ことも可能だしむしろそうしたほうが良い。
工学の基礎理論などは、それが数式として定式化された段階でほとんど
解析学の理論であるとすら言える。
問題としている物理・数学モデルを数式に乗せる以前のdelivationこそ
がその学科固有の問題でありそちらをずっと重視すべき。
その辺りで各学科が差をつけるべきであり、ひとたび数式に乗った段階で
各学科の共有資産として統一された解析学の講義で行ったほうが有益になる。

336 ：１３２人目の素数さん：03/10/19 07:40

>>335
calculus と analysis を混同してないか？

337 ：１３２人目の素数さん：03/10/19 08:33

ま、基礎解析とか解析学と呼ばれている教科は微分積分（学）と昔はいったかな？
今じゃ高校の補修と混同されて教える講師・教授が嫌がるみたいでそう一応そう
呼ばれてはいるが、良いことではないかもね。解析学が誤解されてしまう。
本来の意味での解析学(ana-lisys)の意味とは違っているね。本来の意味での
解析学なんてのは結構高度な代数学と重複している部分も多いし数学科でもカリ
キュラム上で正式に学部生レベルに教えるのは難しい。
応用解析学なんてのもなんか不適当だし。
一つのアイデア。複素関数論を複素解析関数論ときちんと呼び、今の意味での一
般の微分積分とその周辺の応用の講義（基礎解析系）を関数学と総称する。まぁ、
こうすれば、解析学への誤解は消え、同時に教える教授・講師にも角が立たない
ってところか。

338 ：１３２人目の素数さん：03/10/19 10:08

>>336
calculus と analysis の違いを教えてください。

339 ：321：03/10/22 10:21

キーポイント線形代数で自習を始めました。
かなりわかりやすいと思いました。ありがとうございました。

340 ：１３２人目の素数さん：03/10/22 20:35

齋藤本の95ページに

n次実正方行列の全体[Ｍn(R)]から実数全体の集合Ｒへの写像det:A→detAは、Ｍn(Ｒ)からＲの上への写像であるが、
一対一ではない。とくにdet-1(0)は非正則行列全体の集合である。

とありますがｎ次実正方行列を実数に変換する事ができるのでしょうか？
いまいちイメージがわきません。具体例などありましたら御教授ください。

よろしくお願いします。

341 ：１３２人目の素数さん：03/10/22 20:45

>>340
行列式はまだ知らない？知らなかったら行列式の項目を
一度は読まなければ、理解は難しいだろうな。
（数学の教科書は、全体を通読して、もう一度二度読み直さなければ
真の意味が通らない個所が多いよ）
変換は出来ないけど、対応をさせることが出来る。例えば
二次行列A=((a,b),(c,d))^tに対しdetA=ad-bcとか
det:行列から実数への写像
det^(-1):実数から行列の集合への写像（とみなせる）
det^(-1)(0)=非正則行列全体からなる集合
なぜならば正則行列Aに対しdetA≠0で逆も成り立つから。

342 ：１３２人目の素数さん：03/10/23 04:22

Ker(det)と書かないのか

343 ：ななし：03/10/23 08:26

>>342
"Ker" と書くと、準同型（線形）写像の kernel って感じで、ちょっと嫌だ。
いや、確かに積を考えるとそうなんだけど…

344 ：１３２人目の素数さん：03/10/23 09:10

齋藤の本はKerがこの後に出てくるからね

345 ：１３２人目の素数さん：03/10/28 21:10

斎藤の本で、XA = E となる正方行列 A, X があれば A は正則であることを
いやに面倒な方法で証明してる。行列式を使えば簡単だが、斎藤の本では
行列式を導入する前にこれを証明している。しかし、行列列式を
使わなくとも、線形写像の一般論からすっきりと証明できる。
つまり、A を線形写像と見ると、上の式から、A は単射であることが
わかる。したがって、A の像は、その定義域と同じ次元であり、
A が全射でもあることがわかる。

346 ：１３２人目の素数さん：03/10/28 21:58

>>345
n 次元数ベクトル空間の次元が n であることの証明は？
この部分は、どこかで面倒なことをしなくてはならないのは常識。

347 ：１３２人目の素数さん：03/10/28 22:53

>>346
次元の一意性のことですな。これは、置き換え法がてっとり早い
(佐武もそうやっている)が、ジョルダン・ヘルダーの定理の
一部（組成列の長さが一定）を数学的帰納法で証明するほうが
解りやすいし、本質的である。いずれにしろ、次元の一意性は
証明が面倒だろうと、線形代数をやるからには
理解しなければならない。

348 ：１３２人目の素数さん：03/11/09 10:57

相似の概念がちんぷんかんぷんです。

Ｂ = Ｐ-1 * Ａ * Ｐ

相似についてサルでもわかるような説明をお願いします。

349 ：１３２人目の素数さん：03/11/09 11:33

>>348
X をベクトル空間とする。
A を X の一次変換とし、
P を X の自己同型とする。
Ｐ-1 * Ａ * Ｐ: X → X → X → X
を考える。(Ｐ-1 * Ａ * Ｐ)x は、x と Px を同一視したときの
Ax である。Aを座標変換 x → Px で変換したものとも言える。

350 ：１３２人目の素数さん：03/11/09 15:31

>>349
教科書並に難しいです。
私はサルです。サルに説明するのはやっぱり無理ですか？

とりあえずありがとうございます。

351 ：１３２人目の素数さん：03/11/09 15:54

>>350
まあ、そう諦めずに。俺も面倒だったんで簡単に説明しすぎた。
何がわからないか、説明してくれると有りがたい。

352 ：１３２人目の素数さん：03/11/09 16:41

ひとつの線型写像には、ひとつの行列が対応します。ただし、この行列は基底の取り方
によって変わってきます。例えば、ベクトル空間 R^3 において、
　　e_1 = (1, 0, 0), e_2 = (0, 1, 0), e_3 = (0, 0, 1) ←縦ベクトルと思って。
というのは基底ですが、例えば
　　v_1 = e_1
　　v_2 = e_1 + e_2
　　v_3 = e_1 + e_2 + e_3
という v_1, v_2, v_3 も基底です(実際に確かめてみてください)。写像の行列表現というの
は基底によって変わりますが、この二組の基底による表現の間にはどのような関係があ
るのだろうかという問題の答えが『二つの行列は相似である』です。そして、この基底を取
り替えるという操作は、行列の対角化や三角化で有効に使われます。

353 ：１３２人目の素数さん：03/11/09 23:08

暖かいレスありがとうございます。
お陰さまで少しずつわかってきたような気がします。
そもそも相似以前の線形空間を理解していないのが問題のようです。

教科書を見返してみて疑問に思ったのですが
「基底の変換行列」と「表現行列」
は全く同じ事を言っているのでしょうか？

引き続きアドバイスよろしくお願いします。

354 ：１３２人目の素数さん：03/11/09 23:16

100回くらい読み返したほうが良いでしょう。
全く別のことを言っています。

355 ：１３２人目の素数さん：03/11/09 23:20

>>353
似たものであることは確かだけど、「全く同じ事」というのは
語弊がありすぎです。
基底をとらない（成分表示しない）抽象的な線形空間という概念
を把握できてないのでは？

356 ：１３２人目の素数さん：03/11/10 02:35

解析は、ラングの解析入門を終わらせたのですが、
解析入門レベルの線形代数の参考書ってありますか？

357 ：１３２人目の素数さん：03/11/10 02:37

>>112
あほかお前は

358 ：１３２人目の素数さん：03/11/10 05:06

>>356
そんな君は名著と言われることもある松坂和夫の線型代数を
読んでみたいと思うだろうが、ただいま絶版中。

359 ：１３２人目の素数さん：03/11/10 22:28

353です。御指摘のように質問するにも勉強不足なのでもう少し自分で勉強します。

>基底をとらない（成分表示しない）抽象的な線形空間という概念
>を把握できてないのでは？

把握できていません。早速教科書を見返してみました。
ここら辺が解かれば芋づる式にわかりそうなんですよね。自分的に。

色々ありがとうございました。

360 ：１３２人目の素数さん：03/11/10 22:52

>>359
＞ここら辺が解かれば芋づる式にわかりそうなんですよね。自分的に。

老婆心ながら私なりの説明してみます。曖昧な書き方しかできませんが、
勉強の「つかみ」になれば幸いです：

たとえば、「空間内の有向線分の全体（平行移動で重なるものは同じとみなす）」
と、「2次以下の多項式で表される関数の全体」と、「３つの実数の組の全パター
ンの集まり」、これらはそれぞれ異なる数学的対象の集合ですが、共通する性質が
あります。それは何でしょう。

　…それは、任意の要素a,bの和a+bや実数c倍ca,cbを自然に定義することができ
て、たとえば 3a + (2+1)b + 2(4a-b) = 3a+3b+8a-2b = 11a + b
のような計算が自由に、普通どおりにできる、ということです。
つまり、太字のaやbで表されている対象が、幾何学的な矢印どうしの場合も、
関数どうしの場合も、組にした実数みたいなものである場合も、上のような
記号で書いてしまえばみんな、扱いとしては「同じ」です。でしょ？

　そこで、aやbが「なんなのか」はあまり気にせず、計算法則だけから言えるこ
とを調べよう…と考えて、必要な共通性質をもった集合Ｖを定義して、共通性質
だけをもとにしていろいろな性質を導く。これが抽象論です。

そのメリットは、aやbが具体的に何なのかにわずらわされず、共通でない性質を
うっかり使う危険も避けられ、しかも導いた定理はモデルになったどのケースに
対してもいっせいにあてはまるので、対象ごとに証明を繰り返す必要がないこと。

こういう「考え方」が分かれば、教科書が何をしようとしているのかわかってく
ると思うのですが…

「そのくらいならクリアしてた」場合はスマソ

361 ：１３２人目の素数さん：03/11/11 15:08

f(x)=det|x 1 |
| x |}n
| ... |
| 1 x |
...は連続して続く。
こんな問題があったんですが、全然意味がわかりません。
どうやって解くのでしょうか？お願いします。

362 ：１３２人目の素数さん：03/11/11 15:15

|x 1 |
| x |
| ... |n
| x |
| 1 x|
ずれてました。こんな感じです。すみません

363 ：１３２人目の素数さん：03/11/11 15:19

|x 1 1 1 1 1 |
|1 x 1 1 1 1 ||
|1 1 x 1 1 1 ||
|1 1 1 x 1 1 |n
|1 1 1 1 x 1 ||
|1 1 1 1 1 x ||
すみません。。。こんな感じでxがn回続くみたいなんですが。。。

364 ：１３２人目の素数さん：03/11/11 15:59

(x-1)^(n-1) (x+n-1)か？

365 ：１３２人目の素数さん：03/11/11 16:02

det_n(x)を>>363で定義される行列式として
1行の1/x倍を他の行から引くと
det_n(x)=x((x-1)/x)^(n-1)det_n(x+1)
とか....あってるかどうかは知らないよ。

366 ：１３２人目の素数さん：03/11/11 16:03

det_n(x)=x((x-1)/x)^(n-1)det_(n-1)(x+1)ね、ゴメソ

367 ：363：03/11/11 16:15

多分問題が悪いと思うのですが・・・。
とにかく答えてもらってどうもです^^

368 ：363：03/11/11 16:30

ちなみに、行列のかっこは、 | ではなくて大きな ( だったんですけど答え同じですか？

369 ：１３２人目の素数さん：03/11/11 19:02

>>368
むしろ( ) でないとおかしい。

370 ：１３２人目の素数さん：03/11/11 20:38

>>368
det(行列)を|行列|と書いたりもするが、 det|行列|だと意味が重複するだろ！

ていうか、そんなことすら把握してないのか…(;´д`)

371 ：１３２人目の素数さん：03/11/11 23:11

>>360
本当に解かりやすい説明をありがとうございます。
ずばりわたしの理解の足りないところの一つのようで
久しぶりにパズルのピースが揃った感覚を味わいました。
言うまでもなくまだまだ虫食いだらけなのですが。。。

これからまた独学に励もうと思います。
重ね重ねありがとうございました。

372 ：１３２人目の素数さん：03/11/12 09:36

>>19に同意

373 ：１３２人目の素数さん：03/11/18 17:25

M[n](K)(体K上のn次正方行列全体)上の線型写像 f ≠ 0 が次を満たすとする:
　　任意の X, Y ∈ M[n](K) に対して f(XY) = f(X)f(Y)
このとき、ある P ∈ M[n](K) を用いて
　　f(X) = P^{-1}XP (X∈M[n](K))
と表されることを示せ。

行列をK^n上の線型写像と見たとき、それらを f で写してもお互いの間の関係が変わら
ないなら、f は基底の取替えぐらいしか行っていない…という雰囲気なのは分かるので
すが、それ以上進まないです。自分で示すことが出来たのは
1. f は全単射となり、自己(環)同型写像である。
2. (あまり関係なさそだが) M[n](K)上の環同型がすべて条件を満たすわけではない
　　(ex. M[n](C)上の複素共役)。
3. X～Y ならば f(X)～f(Y) (～: 相似, A～B ⇔ ∃P, P^{-1}AP = B)
何かかすってるような、関係ないようなという感触なのですが…。
どなたかよろしくお願いします。

374 ：１３２人目の素数さん：03/11/24 10:35

抽象的ベクトル空間とは
(a1,a2)
(a1,a2,a3)
.
.
(a1,a2,a3....an)

これら全てのn項数ベクトル空間を一つの集合として考えるという事でいいのでしょうか？
アドバイスお願いします。

375 ：１３２人目の素数さん：03/11/24 11:26

>>374
ぜんぜん違います。どの本読んでそう思ったの？

376 ：１３２人目の素数さん：03/11/24 15:17

>>373
できたと思う↓
fは0でない環準同型でM[n](K)は0と自分自身しか両側イデアルがないのでfは自己同型である。
Eij=(i行j列のみ1でのこり0の行列)、vi=(第i成分のみ1でのこり0のベクトル)とおく。
Fij=f(Eij)とおく。まずfはランクを保つ。(∵行列AにたいしrankA=n-(1/n)dim{X|AX=0})
よってFiiはべき等であるランク1の行列。またEiiはたがいに可換なのでFiiも互いに可換かつ
その固有値はすべてKの元なので基底(wi)をFii(wj)=δijwjとなるようにとることができる。
(δijはクロネッカーのデルタ。)いまwiをviにうつす線形写像をあらわす行列をQとし
g(X)=Q^(-1)XQでさだめる。このときgfも線形写像で環準同型でgf(Eii)=Eiiで
∃P∀X f(X)=P^(-1)XP⇔∃P∀X gf(X)=P^(-1)XPであるから最初からf(Eii)=Eiiと仮定してよい。
Ek･Fij･El=f(Ek･Eij･El)=δikδjlf(Eij)=δikδjlFij
であるからFij=λijEijとなるλij∈Kがとれる。行列Rを
Rjj=λj1、Rij=0 (i≠j)とおく。
R^(-1)Fi1R=Ei1であるからさきほどと同様に最初からf(Ei1)=Ei1と仮定してよい。
するとE11=E1j･Ej1=f(E1j)･f(Ej1)=λ1jE1j･Ej1=λ1jE11よりλ1j=1。∴F1j=E1j。
よってFij=f(Eij)=f(Ei1･E1j)=f(Ei1)･f(E1j)=Ei1･E1j=Eij (∀ij)
fは線形であったからfは恒等写像である。□

377 ：１３２人目の素数さん：03/11/24 20:51

374です。自己解決しました。
(n,m)行列
などが抽象的ベクトル空間ですね？
違ったらまた御指摘ください。

378 ：１３２人目の素数さん：03/11/24 20:57

>>377
...何を読んでそういうまったくはずした理解をしてるんですか？
そもそも「抽象的ベクトル空間」っていう言葉をどこで知ったんですか？

379 ：１３２人目の素数さん：03/11/24 20:58

長谷川浩司さんの線型代数の本がそのうち出るみたいよ。
http://www.math.tohoku.ac.jp/~kojihas/

380 ：１３２人目の素数さん：03/11/24 20:59

yahoo推薦だから安心です
http://click.dtiserv2.com/Click2/10-98-7254

381 ：１３２人目の素数さん：03/11/24 21:04

>>377
もしかして唯一の実体的な「抽象的ベクトル空間」ってものがあるって思ってる？
そうじゃなくて、「抽象的ベクトル空間」っていうのは、ある特定の性質を持つ
任意の集合のことです。「特定の性質」っていうのがベクトル空間の公理。

382 ：１３２人目の素数さん：03/11/25 01:40

> 自己解決しました。

warata

383 ：１３２人目の素数さん：03/11/25 10:45

>>355

変なこという人だな。基底の変換行列と、線形写像の表現行列は
似ているどころか全く別物でしょ？
基底変換による座標変換を表現する行列なら、基底変換の行列とは、
逆行列として1対1に対応するけど。

まあ基底変換から誘導される自己同型を線形変換と捉えれば
写像の表現行列とも言えるが、初心者には混乱を引き起こす発言のようだが

ｓ

384 ：１３２人目の素数さん：03/11/25 22:12

行列は計算する上で非常に便利な考え方だと思うんですが、
この概念はいつ、どのような理由で発生したんでしょうか？

教科書とか見てもベクトルの座標みたいなものを数値化した
図しか書いていないもので。

参考文献でもいいので教えてください。

385 ：１３２人目の素数さん：03/11/26 01:48

>>384
高校の教科書かなんかか?
行列は線型写像を表すものです。大雑把に言うと。

386 ：１３２人目の素数さん：03/11/26 20:54

>この概念はいつ、どのような理由で発生したんでしょうか？

数学全般のこういった内容を取り扱ってる書籍はありますか？

387 ：１３２人目の素数さん：03/11/26 21:21

有理数体の代数的閉包って何？

388 ：１３２人目の素数さん：03/11/26 21:48

>>387
有理数係数の一変数多項式の根となるような複素数の全体だ。
非常に基本的だが深く神秘的な数学的対象。

389 ：１３２人目の素数さん：03/11/26 22:35

外積はよく3次元ベクトルによって表されてるけど、
2次元ベクトルの外積とかｎ次元ベクトルの外積って
どのように表され、それはどういう意味をもつのでしょうか？

390 ：１３２人目の素数さん：03/11/26 23:49

>>389
[a×b]_i = ε_ijk a_j b_k
これを自然に拡張して、
[a×b×c×...]_i = ε_ijkl... a_j b_k c_l ...
ただしアインシュタインの記法を用いている。

391 ：１３２人目の素数さん：03/11/27 02:25

>>389
390のでもいいけど、抽象的な定義が知りたかったら、
代数の本で「外積代数」っての調べてみな。
佐武「線型代数学」にも確か書いてあったと思う。

392 ：１３２人目の素数さん：03/11/27 10:02

>>386
数学史の本色々

393 ：１３２人目の素数さん：03/11/28 21:31

ある行列Mが与えられたとき、
その逆行列の転置行列と、その転置行列の逆行列は等しいですか?
t(A^{-1}) = (tA)^{-1} となる？

394 ：１３２人目の素数さん：03/11/28 22:50

>>393
なるけど、
> 宿題の丸投げは止めましょう。
って>>1に書いてあるのが見えないのか?

395 ：１３２人目の素数さん：03/11/29 09:27

>>394
別に宿題じゃなかったのだけどね。
本を読んでいて、上のことが成り立てば、直に証明できてしまうのに気づいて
どうだったかなぁと。

396 ：ぼるじょあ ◆yEbBEcuFOU ：03/11/29 10:10

>>393 >>395
Ｔを実内積空間（Ｖ，<，>）の線形変換とする。
　∀ｘ，ｙ∈Ｖ　　<Ｔｘ，ｔ｛Ｔ＾（－１）｝ｙ>＝<Ｔ＾（－１）Ｔｘ，ｙ>＝<ｘ，ｙ>＝<ｘ，ｔＴ（ｔＴ）＾（－１）ｙ>＝<Ｔｘ，（ｔＴ）＾（－１）ｙ>
　⇔　ｔ｛Ｔ＾（－１）｝＝（ｔＴ）＾（－１）
Ｔの表現行列をＡとすると、ｔ｛Ａ＾（－１）｝＝（ｔＡ）＾（－１）

397 ：１３２人目の素数さん：03/11/29 12:23

AA^(-1)=E（単位行列）の両辺の転置をとる。

398 ：１３２人目の素数さん：03/11/29 16:30

>>397
これが一番わかりやすいかもね。

399 ：１年：03/12/08 00:13

線形代数習いはじめて早半年になるんでが、一体なんなんですかあれ？
超つまんないんですけど。計算はめんどいし。
いまようやくユークリドベクトル空間ってところに入ったんだけど、これから面白くなるんですかね？

400 ：１３２人目の素数さん：03/12/08 00:19

数学やるなら、どの分野いっても線型代数使うよ。

401 ：１３２人目の素数さん：03/12/08 00:19

>>399
お前のレベルに合わせているんだから、つまんないのくらい我慢しろ

402 ：１３２人目の素数さん：03/12/08 00:29

>>399
12月でベクトル空間って、いったいどういうペースよ？

403 ：１３２人目の素数さん：03/12/08 00:30

>>399
半年も経ったのにユークリドベクトル空間ってのは大変ですね。

404 ：１年：03/12/08 00:40

なんかうわさだと今年はかなり遅いらしい。
授業出てないから、一体１８０分／週の貴重な時間を、どう消費していたのか知らんが。
あ～明日テストだ・・・やだやだ。
全然分かってないけど、つまらな過ぎて勉強する気にならん。

405 ：１３２人目の素数さん：03/12/08 00:42

>>404
DQN短大文系の選択科目ならそうかもしれないな

406 ：１３２人目の素数さん：03/12/08 00:43

どの本で勉強してんの?

つか、そもそも、君は数学が好きなのか?
面白いと思うのか?

407 ：１年：03/12/08 00:47

いちおう３流国公立大学の数学科、必修科目なんですけどね；
数学は好きですよ。同時に習ってる集合論と微積は面白いし。
教科書が悪いのかな？分かりにくくはないんだけどなぁ・・・

408 ：１３２人目の素数さん：03/12/08 00:50

数学科？
ウソだといってくれ。

409 ：１３２人目の素数さん：03/12/08 00:51

そうか。それなのにつまらないのか。
まあ、趣味趣向の問題かもな。

410 ：１３２人目の素数さん：03/12/08 00:52

>>407
真面目に講義に出ているなら、それ多分教官のせいだ
やる気なしの奴ではないようだから、せめてニュートラルに抑えろよ＞407の担当
そんなことに惑わされず、自習すべし
手がかりは、この板ですら腐るほどあるはず

411 ：１３２人目の素数さん：03/12/08 00:56

馬鹿学生に合わせなきゃいけない立場なんじゃないか。教官。

412 ：１３２人目の素数さん：03/12/08 00:59

とりあえず、線形代数をちゃんとやらんと、代数は勿論のこと微分幾何とか
関数解析etc いろいろ困るべ。

413 ：１年：03/12/08 01:01

じゃあ、違う参考書や問題集でも使って勉強しなおしてみます。
明日のテストには間に合わないけど。前期のわずかな貯金で乗り切るか。

414 ：１３２人目の素数さん：03/12/08 01:01

線型代数を理解していなかったら、常微分方程式ではやばやと撃沈すると思われ。

415 ：１３２人目の素数さん：03/12/08 01:16

>>410だが…

>>411
学生を満足させられない教官は反省汁！（←半島はしらんけど、飴は露骨にそんな感じ）
これが染み付いているからな…
でも、一方的に教官を責めるのもよくないな、と言ってみるテスト（←我が国ならではの反省？）
飴と日本、どっちがいいのか…

それはともかく、つまらない理由を明確に汁！
低レベルでつまんねー　　　→心ある先生は喜んで相談に乗るはず
高レベルでつまんねー　　　→先生に相談汁！
講義の中身がつまんねー　→こんな学生ｷﾎﾞﾝ
話術つまんねー　　　　　　　→劇場じゃないんだから…けど、修行しまつ

416 ：411：03/12/08 01:44

染み付いてるのかなぁ?
むしろ、最近の傾向じゃないか。
学生に授業を評価させるとか。

417 ：１年：03/12/08 01:53

たぶん線形と相性が悪いんだと思う。
それと、テストで出る問題が、こんなのやり方覚えてたら誰でも出来るよ、てなのばっかんなんだよね
（まあ、他のどんな問題でもいえることなんだけど、程度がある）
頑張って勉強した成果がでるようなテストなら、俄然やる気も沸くんだけど。

418 ：１３２人目の素数さん：03/12/08 07:18

>>417
お前が線型代数で相性が悪い、と言ってるのは小学生が掛け算を見て、
相性が悪いと言ってるようなもの。これは相性云々以前の基本的なところ。
で、お前は目前のテストのために勉強してるのか？線型代数は基本だから
頑張って勉強しないと来年からアウトだぞ。

419 ：１３２人目の素数さん：03/12/08 10:27

>>417が読んでる教科書は何？

420 ：１３２人目の素数さん：03/12/08 12:08

書き方から察するに、行列計算がメインの授業を受けてるんだと思うけど、
「線型代数」と称してそんなのを習わされたら面白くないのも当然のような気がする。

421 ：１３２人目の素数さん：03/12/08 12:26

でも、>>404で「授業で出ない」とか書いてるよｗ

422 ：１年：03/12/08 23:57

テスト終わりました～。
今回はほどんど勉強しなかったけど、そんなむづくなかったんで６割いったかな？
超つまんないとは言いましたけど、一応最低限の勉強はしてるよ。
やっぱテストなかったら、どの教科も勉強しないだろうな～
いちおう数学好きだけど、自主的にどんどん勉強するほど情熱はないし・・・

423 ：１３２人目の素数さん：03/12/10 00:48

>>422
自主的に勉強しない「好き」ってのが想像できない。
特に、大学生だし。

424 ：１３２人目の素数さん：03/12/11 01:31

たとえば「エルミート行列はユニタリ行列で対角化できる」の証明を追うことと，
[1 2 3]
[2 3 1] を手計算で対角化することとは，だいぶ違うよね．
[3 1 2]
1番目たりぃ，計算できりゃいいじゃん，ってのと，
2番目うざい，論理知ってりゃいいじゃん，ってのに分かれても不思議はないと思う．
で，自戒を込めて言いたいのは，

この程度の数学，論理も計算もこなせ

めんどくさがらないでやっとけば後で違うからさ．マジで．

425 ：１３２人目の素数さん：03/12/17 05:56

426 ：１３２人目の素数さん：03/12/26 18:53

線形代数のオススメの参考書を教えてください。
数学科１年生です。
学校で使ってる教科書も分かりやすいんですが、ちょっと厳密性や量にかけるので。

427 ：１３２人目の素数さん：03/12/26 19:00

>>426
斎藤正彦「線型代数入門」東京大学出版会

428 ：１３２人目の素数さん：03/12/26 19:01

サンクス。いまアマゾンで確認しました、よさげですね。

429 ：１３２人目の素数さん：03/12/27 01:49

「線形代数学」(伊吹山知義)を買って、この本で勉強しようと思うのですが
(小学生が九九を覚えるみたいにひたすら計算練習はしたくないので)
この本を読んだ人居たら感想きぼんぬ。数学完全ガイダンスでは一応
推薦されていたけど。因みに、佐武先生の教科書(当然裳華房)の方が
良いことは知っているんですが、まず薄い本で勉強したいので......

>>428
斎藤先生の本と佐武先生の本が良く推薦されます。(というか、それだけで
このスレの意義のかなりが既に(ry
佐武先生の本は難しいけど、読めば良く分かる + 後ろにテンソル代数の
解説がついてる、斎藤先生のはより薄くてスタンダードだが、ジョルダン
標準形の議論で単因子論を使ってるのが一寸(数学科に来る分には良い
のだろうが)というのが大方の意見だと思います。でも、2冊以外でも
良い本はきっとあると思います。僕も数学科志望の1年なので、お互い
頑張りましょう。

430 ：１３２人目の素数さん：03/12/27 04:15

429が可愛い。

431 ：１３２人目の素数さん：03/12/27 14:26

そんな430が愛しい

432 ：１３２人目の素数さん：03/12/27 18:46

ジョルダン標準形ということで、ちょっと違った本を推薦してみる。

堀田良之「加群十話」
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/425411463X/

433 ：１３２人目の素数さん：04/01/05 18:14

基底!

434 ：１３２人目の素数さん：04/01/05 18:37

>>432
偶然だけど、正月休に読んでました。
途中まで勉強したまた止まっていたので。

7章と8章の最後の節(おそらく、ここがハイライト)が難しかった。

435 ：１３２人目の素数さん：04/01/13 08:08

381

436 ：１３２人目の素数さん：04/01/13 08:24

もし、
ƒ(χ)＝sinχ
だとしたら、
ImƒとKerƒはどうなるんですか？
ImƒとKerƒの感覚がさっぱりつかめないんです。

437 ：１３２人目の素数さん：04/01/13 08:24

ageておきます

438 ：１３２人目の素数さん：04/01/13 08:32

sinは線型写像ではないんだが。

線型や準同型以外でkernelと言うのかどうか分からんが
あえて言えば{nπ}か。
像は[-1,1]

439 ：１３２人目の素数さん：04/01/13 15:28

質問いいですか？

今、過剰条件方程式（未知数より条件式が多い連立方程式）を解こうとしてます。
Ax=b　　　　(A：m×n行列(m>n)、x：n×1行列、b：m×1行列）

そして、これを最小二乗法を用いて
　　　　　　　　r=b-Ax （r：残差）

残差の2-ノルムが最小する解を求めたいんです。
そして、下のような正規方程式にしたのですが
　　　　　　　　A'Ax=A'b （A'：Aの転置行列）

これが何故固有値問題としてあつかえるのかわからずにつまっています。
意見や参考になるサイトなどを教えてください。お願いします。

440 ：１３２人目の素数さん：04/01/22 16:47

『線形代数入門』（松坂和夫）を復刊させよう！！
http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1065879299/
> 1 ：u ：03/10/11 22:34
> 数学版でもたびたび名著として名前があがっていながら、なぜか現在
> では入手する事ができない幻の本。
>
> つうわけで、名著を葬り駄本を量産するクソ出版業界にはうんざりですが
> とりあえず復刊させてやりましょう。投票よろしくお願いします。
> http://www.fukkan.com/vote.php3?no=8526

興味がある人は投票お願いします。
http://www.fukkan.com/vote.php3?no=8526

↓出来ればこっちもお願いします。
岩波書店復刊リクエスト受付
http://www.iwanami.co.jp/aidoku/index4.html

441 ：１３２人目の素数さん：04/01/25 18:13

すいません、質問です。
ユニタリ行列を用いて対角化する方法は、
正則行列を用いて対角化する方法とやり方はかわらないのでしょうか？

442 ：１３２人目の素数さん：04/01/25 18:26

対称行列を直交行列で対角化する方法と
エルミート行列をユニタリ行列で対角化する方法はほぼ同じ。
何を対角化するのか知らないけど。

443 ：１３２人目の素数さん：04/01/25 18:32

複素行列をユニタリ行列で対角化したいんですが、

１　固有値求める
２　固有値に対応する固有ベクトルを求める
３　固有ベクトルを正規化する
４　３で求めた固有ベクトルを並べた行列がユニタリ行列なのでそれを使って対角化する。

この流れで

444 ：１３２人目の素数さん：04/01/25 18:33

よろしいんでしょうか？

445 ：１３２人目の素数さん：04/01/25 18:43

すいませんエルミート行列を対角化したいです。

446 ：１３２人目の素数さん：04/01/25 19:07

>>445
それでＯＫです。
内積が Σ xi yi~ （~は複素共役）となることに注意すれば
対称行列の直交行列による対角化と同じ。

447 ：：04/01/28 13:12

基底ってなんすか

448 ：１３２人目の素数さん：04/01/28 20:29

ｷﾃ━━━━(ﾟ∀ﾟ)━━━━ｲ !!!!!

449 ：１３２人目の素数さん：04/01/28 20:35

>>448
ﾂﾏ━━━━(ﾟ∀ﾟ)━━━━ﾗﾝ !!!!!

450 ：１３２人目の素数さん：04/02/01 05:19

347

451 ：ゆに：04/02/04 00:23

ユニタリの定義ってなんですか？どなたか教えていただけないでしょうか。

452 ：ゆに：04/02/04 00:33

分かりそうなのでやっぱり大丈夫です。失礼しました。

453 ：１３２人目の素数さん：04/02/04 00:37

もうすぐ線型代数のテストだ…………
しかも固有値とか対角化とか全然勉強してないし

454 ：１３２人目の素数さん：04/02/04 01:11

34x^2-24xy+41y^2+40x+30y-25=0
を満たす(x,y)平面上の点全体のなす図形の概形を、
適当な回転および平行移動をして式をわかりやすい形に
変形することにより描け。
解き方を教えてください。

455 ：１３２人目の素数さん：04/02/04 01:22

>>454
平行移動で1次の項を消してから回転でxyの項を消す。

456 ：454：04/02/04 01:58

>>455
ありがとうございます。でも、その具体的なやり方がわかんないです･･･。

457 ：１３２人目の素数さん：04/02/04 01:59

>>454
34x^2-24xy+41y^2=（x　y）（34　-12）（x）
　　　　　　　　　　　　　（-12　41）（y）
と表せるので、対称行列を直交行列で対角化することに帰着される。
上の行列の固有値は25,50でそれぞれに対する固有ベクトルは
(4/5,3/5),(3/5,-4/5)だから
（34　-12）=（4/5　3/5）（25　0）（4/5　3/5）
（-12　41）（3/5　-4/5）（0　50）（3/5　-4/5）　となる。これを使うと
34x^2-24xy+41y^2=（(4/5)x+(3/5)y　(3/5)x-(4/5)y）（25　0）（(4/5)x+(3/5)y）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（0　50）（(3/5)x-(4/5)y）
=25{(4/5)x+(3/5)y}^2+50{(3/5)x-(4/5)y}^2
すると
34x^2-24xy+41y^2+40x+30y-25
=25{(4/5)x+(3/5)y}^2+50{(3/5)x-(4/5)y}^2+50{(4/5)x+(3/5)y}-25
=25{(4/5)x+(3/5)y+1}^2+50{(3/5)x-(4/5)y}^2-50=0 より
(1/2){(4/5)x+(3/5)y+1}^2+{(3/5)x-(4/5)y}^2=1

458 ：454：04/02/04 02:16

>>457
ありがとうございました！

459 ：１３２人目の素数さん：04/02/05 01:06

岩波の『一般線形代数』伊理正夫ってどうなんですか。
読んだ人居たら感想教えてください。

460 ：福田和也 ◆P.o66TRa1E ：04/02/09 06:13

行列式の意味ってなんですか？線形ではこれと二次形式、ジョルダン形式がわからん。

461 ：１３２人目の素数さん：04/02/09 06:31

>>460
お前はもっとまともだと思ってたんだが…。

462 ：福田和也 ◆P.o66TRa1E ：04/02/09 07:26

わからんもんはわからん。何が悪い？

463 ：１３２人目の素数さん：04/02/09 11:19

頭が悪い。

464 ：福田和也 ◆P.o66TRa1E ：04/02/09 12:57

事故レス。ベクターが張る図形の体積ね。なるほどよくわかった。

465 ：福田和也 ◆P.o66TRa1E ：04/02/10 01:33

ジョルダン標準形がよくわからん。対角化可能な行列による変換を理解するには、
ＰＡＰ-1　　但しＡは対角行列、Ｐは正則とすると、
＜Ｘ1、・・・・、Ｘｉ、・・・Ｘｎ＞（Ｘｉ＝Ｐ･ｅi、eiは標準基底の元）
によってＲｎが張られると理解するのが基本でしょ？
ジョルダン標準形もこれと同じでいいわけ？

466 ：１３２人目の素数さん：04/02/10 02:24

固有空間の次元と同じ数の基底がとれない場合、基底もどきを見つけないといけない。

467 ：福田和也 ◆P.o66TRa1E ：04/02/10 10:09

>>466
基底もどき？固有ベクトルもどきからなる基底じゃ無いですか？

468 ：福田和也 ◆P.o66TRa1E ：04/02/10 10:11

追加。
固有ベクトルもどきからなる基底でＲｎが張られると
理解すれば標準形は一段落つくわけ？

469 ：１３２人目の素数さん：04/02/11 00:33

これじゃあ、宮西先生もたいへんだな・・・

470 ：１３２人目の素数さん：04/02/11 01:08

>>463
わらた

471 ：１３２人目の素数さん：04/02/11 07:11

まず固有多項式が (X - α)^n の形の行列のジョルダン標準形を
考えるのがいい。

472 ：１３２人目の素数さん：04/02/13 17:03

斎藤線型の問の答えってどっかにないの？

473 ：１３２人目の素数さん：04/02/13 18:50

日本理学書総目録を見た。
線型代数の教科書って２００冊以上もあるのね・・・

474 ：ぼるじょあ ◆yEbBEcuFOU ：04/02/13 23:42

>>472
ここで聞けば、答えが返ってくるだろう。

475 ：１３２人目の素数さん：04/02/15 21:46

佐武『線型代数学』ｐ１81の上から4行目：
O（ｐ，ｑ）＝ O（ｑ，ｐ）とあるのですが、ここはどう考えれば理解できるでしょうか。
ヒントでもいいから誰か教えてください。

476 ：１３２人目の素数さん：04/02/15 22:17

>>475
サボらず全部書け。

477 ：４７５：04/02/16 00:35

まず、Ep,qと言うのを定義します。
Ep,qはｐ+ｑ次単位行列のｐ+１行目からｐ+ｑ行目までの１を-１にしたものです。
ｔTEp,qT＝Ep,qとなるようなT全体の集合（これは群をなす）をO（ｐ、ｑ）とする。
ちなみにｔTはTの転置行列。
このときO(ｐ、ｑ）＝O（ｑ、ｐ）だと、さらっと書いてあるんですが理解できません。
簡単なことを見落としているかもしれないので疑問があったら指摘してください。
皆さんよろしくお願いします。

478 ：１３２人目の素数さん：04/02/16 00:39

>>477
O(p,q)とO(q,p)は同型っていってるんじゃないの？ピッタリ＝にはならないような･･･

479 ：４７５：04/02/16 00:44

同型ってのはある正則行列PがあってO（ｐ、ｑ）＝P-O（ｑ、ｐ）Pとなるってことを指してるんですか？

480 ：１３２人目の素数さん：04/02/16 00:47

>>479
普通単に群GとHが同型というともっとよわい条件だけどこの問題の場合そこまで
いえるような気がする。

481 ：４７５：04/02/16 01:02

479に書いたことが成立することはもう自分で導いたんですが、ただ、ここで
問題にしているO(ｐ、ｑ）＝O（ｑ、ｐ）という記述のちょっと前にO（A）＝P-O（B）P
となることをO（A)とO(B)が共役であると言うと説明してるんですよね。ちょっと前で
そういう語句を導入した後ならなおさら＝なんて使わないと思うんですが、つまり
＝としないでO(ｐ、ｑ）、O（ｑ、ｐ）は共役であると言うような気がするんですが。
まあ、気持ちの問題なんですけどね。
しかしピッタリにならないっぽいですね。成分計算したら、どうやらそれらしいです。
それでもまだ他人の意見を聞きたいのでまだまだご意見ください。

482 ：１３２人目の素数さん：04/02/16 01:19

>>481
ぴったり一致はしないだろ？p=2,q=1のとき
O(2,1)は[[a,b,0],[-b,a,0],[0,0,1]] (a^2+b^2=1)の形の行列を含むけど
O(1,2)はこの行列ふくんでないから。

483 ：４７５：04/02/16 01:34

>>482
成分計算して見て一致しないっぽいって書いてるんだから許してやってくれ。
しかも４８２と全く同じサンプル。・・・それでも不安だからみんなの意見聞きに来たんです。
ピッタリ一致しないことがわかった今、この記述＝は共役のことを言ってるとみなします。
群構造に着目するって書いた直後の記述だからなんの前置きもなしに＝で表したんですね。
付き合ってくれた皆さんありがとうございました。完。

484 ：１３２人目の素数さん：04/02/18 15:07

これの解への糸口を教えてください。
ttp://www.geocities.co.jp/CollegeLife-Lounge/3374/linear001.jpg

485 ：484：04/02/18 15:45

分からないのはイ)です。

486 ：484：04/02/18 18:44

演習書52頁に回答発見しました…。

487 ：１３２人目の素数さん：04/02/18 18:57

解き方分かって書こうと思った時だったのに（ｗ

488 ：１３２人目の素数さん：04/02/18 19:33

斎藤のか。

489 ：１３２人目の素数さん：04/02/18 20:17

>487
すみません。

>488
そうです。

490 ：１３２人目の素数さん：04/02/24 03:05

G・ストラングの本分かり易くていいね
工学部だったらこれで十分？

491 ：１３２人目の素数さん：04/02/28 03:52

あげ

492 ：１３２人目の素数さん：04/02/29 18:41

線形代数がつまらんぞと先輩、親、知人に言われたけど、

ヤバい。マジで楽しすぎる。
微積分よりはるかに楽しいっす。

493 ：１３２人目の素数さん：04/03/02 04:49

上げてよいっすか？

494 ：１３２人目の素数さん：04/03/02 05:55

スカラーとノルムって違うものですか？
大きさって意味だと思うのですが

495 ：１３２人目の素数さん：04/03/02 06:24

>>494
-1もスカラーです

496 ：１３２人目の素数さん：04/03/02 06:52

>>495
ノルムが大きさ（絶対値）で、スカラーは定数ってことですね。
失礼しますた

497 ：１３２人目の素数さん：04/03/02 07:28

ツッコミどころが有り過ぎてツッコミづらい。

498 ：１３２人目の素数さん：04/03/02 08:11

　　　　　｜　Hit!!
　　　　　　｜
　　　　　　｜
　　ぱくっ｜
　　　　　／V＼
　　　　/◎;;;,;,,,,ヽ
　＿　ﾑ::::(,,ﾟДﾟ)::| 俺は釣られないぞ！！
ヽﾂ.（ﾉ:::::::::.:::::.:..|）
　ヾソ:::::::::::::::::.:ﾉ
　　｀ー U'"U'

499 ：１３２人目の素数さん：04/03/02 13:25

線型代数が面白いならBourbakiシリーズなんていいかも。
面白いぞー

と、冗談はともかくLie群、Lie環や表現論がお勧め。

500 ：１３２人目の素数さん：04/03/03 19:41

Lie群は数学セミナーの連載で分かった気になっておりますが、やっぱり専門書を買った方がいいのかな。

501 ：１３２人目の素数さん：04/03/03 20:56

ここは一つ杉浦先生の深緑のヤツで

502 ：１３２人目の素数さん：04/03/04 00:15

>>490
「線形代数とその応用」だよね。
工学部だけど、先生に薦められて読んだ。
他の本とアプローチの仕方が違う。
これに適した演習書ってないのかな？

503 ：１３２人目の素数さん：04/03/04 00:47

質問です。

A=a(11)....a(1n) 　
. .
. .
a(1n)....a(nn)

を実対称行列(行列の括弧は省略)として、

a(11)....a(1n) x_1
. . .
. . .
a(1n)....a(nn) x_n
x_1........x_n 0

というAに第ｎ+1行と第ｎ+1列にx_1...x_n,0を付け加えたｎ+1次の行列Ｌを考え、
２次形式、detＬ=Σ(i,j=1…n)b(i,j)x_ix_j
の係数行列をＢ＝(b(i,j))とします。

この時、「det(A)=0ならばＢのランクは１以下」
って成立しますか？成立するはずだけど上手く証明できません。

504 ：１３２人目の素数さん：04/03/04 01:40

ひどく原始的な方法です。

A=(a_1 a_2 ... a_n) と表す。

A が正則でないので、ある列は他の列の線型結合で表すことができる。
たとえば a_1= c_2 a_2 + c_3 a_3 + ... + c_n a_n とする。

L の 1 列から 2 列の c_2 倍、3 列の c_3 倍、...、n 列の c_n 倍を引く。
1 列は (n+1,1) 成分が x_1 - c_2 x_2 - c_3 x_3 - ... - c_n x_n 他の成分は 0 になる。

この行列の 1 行から 2 行の c_2 倍、3 行の c_3 倍、...、n 行の c_n 倍を引く。
1 行は (1,n+1) 成分が x_1 - c_2 x_2 - c_3 x_3 - ... - c_n x_n 他の成分は 0 になる。

したがって、det L は (x_1 - c_2 x_2 - c_3 x_3 - ... - c_n x_n)^2 の定数倍になる。
この例では、定数は A から 1 列と 1 行を除いた行列の行列式の -1 倍。

505 ：１３２人目の素数さん：04/03/04 02:06

>>504
ありがとうございます！
行列式の基本変形を忠実にすればよかったのですね。

506 ：490：04/03/04 16:27

>>502
確かに、この本にそった演習書って見当たらないよね。
内容が応用に主眼を置いたものだから普通の線形代数の入門書とは違うみたいだし。
そもそもこの本、章末の演習問題の解答が無いし・・・

507 ：１３２人目の素数さん：04/03/04 18:51

奇数次の交代行列の行列式は0であることを証明せよ。

お願いします

508 ：１３２人目の素数さん：04/03/04 22:58

X を奇数 n 次の交代行列とすれば
det X = det transpose X (transpose: 転置)
　　　 = det (-X) = (-1)^n det X = - det X

∴det X = 0

上記は多少技巧的(というほどでもないが)な解法ですが、
実交代行列の固有値はすべて 0 か純虚数であることを補足しておきます。
固有方程式を考えれば X が bi なる純虚数を固有値に持てば -bi も固有値ですから
奇数次のときは 0 を固有値に持たないといけません。

509 ：１３２人目の素数さん：04/03/04 23:27

小平先生が昔の自分の数学の勉強法を振り返ったエッセイで、
行列式を展開した式でのsign σの意味は理解するのが難しかったが、
どうにかこうにか理解できた、なんて書いてあったんだが、
結局符号の意味って何なんですか？展開するとこうなるんだ、或いは
それが定義だ、位の理解しかないのだが。

510 ：１３２人目の素数さん：04/03/05 02:41

行列式はゼロか非ゼロかが問題だったり
固有値なんかではイコールゼロにしたりするから
符号なんて気にしたこともなかったなあ

511 ：１３２人目の素数さん：04/03/05 07:32

>>508　この後、

「偶数次の交代行列の行列式は成分の完全平方多項式であることを証明せよ」

と続きますが同様にして解けますね。ありがとうございました。

512 ：１３２人目の素数さん：04/03/07 12:01

成分がすべて整数であるような正方行列 A が正則で、かつ A の逆行列がまた整数行列
であるためには、A の行列式が±1 であることが必要かつ十分な条件であることを示せ。

|A|=±1 から A の逆行列が整数行列であることの示し方が分りません。

513 ：１３２人目の素数さん：04/03/07 12:08

>>512
成り立たない。

Ａ＝［［０．５，０］，［０，２］］は正則で、Ａ＾（－１）＝［［２，０］，［０，０．５］］、ｄｅｔＡ＝ｄｅｔ｛Ａ＾（－１）｝＝１だが、Ａの成分は全て整数でない。

514 ：１３２人目の素数さん：04/03/07 12:17

>>513
A が整数行列を仮定すると、|A|=±1 から A の逆行列が整数行列であることは示せますか？

515 ：１３２人目の素数さん：04/03/07 12:20

>>514
問題文を以下のとおり修正する。
　　成分がすべて整数であるような正方行列Ａあるとする。
　　Ａが正則で、かつ逆行列がまた整数行列であるためには、
　　Ａの行列式が±１であることが必要かつ十分な条件であることを示せ。
これなら、十分性は以下の様に示せる。

ｄｅｔ（Ａ）≠０だから、Ａは正則。
Ａの成分は全て整数だから、Ａの余因子行列Ａ~の成分も全て整数。
Ａ＾（－１）＝Ａ~/ｄｅｔ（Ａ）だから、Ａ＾（－１）の成分も全て整数。

516 ：１３２人目の素数さん：04/03/07 12:26

>>515
余因子行列を使うのですね。ありがとうございました。

517 ：４７５：04/03/07 16:39

佐武先生『線型代数学』ｐ１83の下から3行目：
A≠0であるからA[x。]=0なるx。がある。（p.158問題１参照）
とあるんですがよくわかりません。一応自分で考えたことを書きます。
背理法
∀ｘ∈K＾ｎ（A[x]=0)⇒∀ｘ∈K＾ｎ（∂＾2/∂xi∂xjA[x]=2aij=0）(∵p.158問題１）
⇒A=0 然るにA≠0。

問題はKが任意の体であるということなんです。実数体以外の微分は知らないんです。
文脈からして任意の体でp.158問題１は成り立つんでしょうが、それすらも、いや
そもそも任意の体で微分ができるのでしょうか、知らないのです。
任意の体の微分が実数体のそれと基本的に同じならば上記1番目の⇒が許されて万事解決だと思うんですが。

もしかしたら全くの思い違いをしているかもしれないのですが（例えば全く別の考え方で
理解される部分であるとか）そういったことも含めて皆さんのご意見、ご指摘を享受させて下さい。
よろしくお願いします。

518 ：１３２人目の素数さん：04/03/07 17:09

>>517
Aは対称行列で A[x] は x'Ax を表していると考えていいのかな。
ここで x は列ベクトルで x' は x の転値行ベクトル。
A[x] = 0 が任意の列ベクトル x について成り立つとする。
x, y を任意の列ベクトルとしたとき、
(x + y)'A(x + y) = x'Ax + y'Ay + x'Ay + y'Ax
これから x'Ay = 0 が出る(体の標数は２でないとする)。
これから A = 0 が出る(x, y として単位ベクトルを動かせばいい）。

519 ：１３２人目の素数さん：04/03/07 17:11

この場合では微分には形式的な操作としての意味しかないんですよ。

520 ：５１７：04/03/07 17:47

>>518、519
微分を使わずに示せたんですね。よく分かりました。
標数２でないというのは2=1+1≠0のことですね。
517で任意の体といいましたが2=1+1≠0と限定されてました。なるほど。

ところでこれは僕の考えた解法と本質的に同じだとみなしていいんでしょうか。
微分が形式的な操作であるというのが理解し難いのですが、518さんの方法を
形式的な計算でやったのが517の解法かなと519さんのレスから憶測してみたんですが。

・・・そもそも僕の解法はあってるんでしょうか。それすら分からないのです。

521 ：１３２人目の素数さん：04/03/07 18:24

>>520
∂＾2/∂xi∂xjA[x]=0
これは何故こうなるか説明できる？

522 ：５１７：04/03/07 18:51

>>521
K＾ｎが連続なら実数体の時と同じだと思うんですけど。
K＾ｎが連続じゃない場合そもそも偏微分がどうなるのか分かりません。
実を言うと体については定義くらいしか知りません。

523 ：１３２人目の素数さん：04/03/07 18:57

>>522
ちょっと私の聞き方がわるかったかな。
実数体の場合を聞いているんだけど。

524 ：５１７：04/03/07 19:06

>>523
∀ｘ∈K＾ｎ（A[x]=0)だから明らかだと思うんですけど、微分の定義から。
なんか試されてるみたいですね。

525 ：１３２人目の素数さん：04/03/07 19:49

試してんだよ、ヴァカ！

526 ：１３２人目の素数さん：04/03/07 20:28

>>524
f(x) を微分可能な関数として、
f(a) = 0 なら df/dx(a) = 0 といえるのかな？
なお、>>525は俺じやない。気にするな。

527 ：５１７：04/03/07 20:48

任意の点で同じ値だからゼロだと思ってるんですけど違うんですか。
df/dx(a)=limf(b)-f(a)/Δ=lim0-0/Δ=0 Δ＝d(b、a)→0
こんな風に考えたんですけども。

528 ：１３２人目の素数さん：04/03/07 22:23

>>527
それだったら微分を使う必要ないんじゃない？
A[x] = 0 なら A = 0 となるんじゃないの？

529 ：５１７：04/03/07 23:18

>それだったら微分を使う必要ないんじゃない？
>A[x] = 0 なら A = 0 となるんじゃないの？

ん、これはそもそも517の背理法中で∂＾2/∂xi∂xjA[x]を
持ち出すことが無意味であるという暗示ですか。
それとも527の記述が誤っているという指摘なのでしょうか。527が間違いならそう断言してください。

発言の真意が前者だとすると、文中にp.158問題１参照と書いてあるんで∂＾2/∂xi∂xjA[x]を
使う方法があるのは確かだと思うんです。用いない理解の仕方がある事は518さんが
示していらっしゃいますけど。佐武先生の説明も理解したいんです。

∀ｘ∈K＾ｎ（A[x]=0)⇒∀ｘ∈K＾ｎ（∂＾2/∂xi∂xjA[x]=2aij=0）(∵p.158問題１）
⇒A=0
Kは1+1≠2である一般の体。
ちなみにp.158問題１は
∂＾2/∂xi∂ｙjA[x]=aij　特に∂＾2/∂xi∂xjA[x]=2aij
を示す問題です。

530 ：５１７：04/03/07 23:23

すいません。訂正します。
ちなみにp.158問題１は
A=（aij)とすれば
∂＾2/∂xi∂ｙj　ｔｘAｙ=aij　特にAが対称の時∂＾2/∂xi∂xjA[x]=2aij
を示す問題です。ｔｘはベクトルxの転置。

531 ：１３２人目の素数さん：04/03/07 23:23

>>503
今更だけど、>>503について、再度質問させてください。

>>det L は (x_1 - c_2 x_2 - c_3 x_3 - ... - c_n x_n)^2 の定数倍になる。

ここからBのランクが1以下になることがわかりません。

続いて「Bの符号数とAの符号数は等しい。」ということを証明したいんですが、
B＝PAP^（-1）となる直交行列Pの存在を示せればよいと思うのだけど、
そこから先へ進めないです。
どうすればよいですか？

532 ：１３２人目の素数さん：04/03/07 23:51

>>529
f(x) = 0 が常に成り立つからといって df/dx = 0 とは
限らない。
例えば、K を３個の元 {0, 1, -1} からなる体とする。
f(x) = x^3 - x は K において常に０になるけど
df/dx = -1 は０ではない。

533 ：１３２人目の素数さん：04/03/07 23:58

セミナーだったらメッタ刺しだな。

534 ：１３２人目の素数さん：04/03/08 00:01

>>531
>>504の解法はよくわからんけどとりあえずAが対角行列の場合に帰着できてその場合
A=diag(l1,l2,･･･ln)のときは
detL=-∑[i=1,n](-1)^(n)(Π[j≠i]li)(xi)^2
になるのでどれかのliが0ならBのランクは１以下。
　
＞続いて「Bの符号数とAの符号数は等しい。」ということを証明したいんですが、
＞B＝PAP^（-1）となる直交行列Pの存在を示せればよいと思うのだけど、
　
そんなPは存在しないし大体主張自体成立してない。n=1、a(11)=1のとき
Aの符号数=1-0=1、一方でdetL=-x1^2であるので
Bの符号数=0-1=-1。

535 ：534：04/03/08 00:09

訂正。
detL=-∑[i=1,n](Π[j≠i]li)(xi)^2
だと思う。

536 ：５１７：04/03/08 00:10

>>532
それも実数体っていうんですか。
体については本当に知らないんで実数体といったら
RとかR＾ｎとかだけのことだけを指すものと思っていました。

あと思ったんですが
f(x) = x^3 - x は K において常に０になるけど
df/dx = -1 は０ではない。

ということは　この体ではもう微分は
df/dx(a)=limf(b)-f(a)/Δ　　　Δ＝d(b、a)→0
こういう定義でないということでしょうか。

詳しく知っておられそうなので説明お願いします。

537 ：１３２人目の素数さん：04/03/08 00:16

>>517
A[x]って何？xは列ベクトルで単に掛け算してるだけ？

538 ：５１７：04/03/08 00:20

あーすいません。前回も説明不足を指摘され・・・・。

ええっと
A[x]=txAx A：対称行列、ｘ：列ベクトル　ｔは転置です。
ちなみにtはｘのみにかかっています。

539 ：１３２人目の素数さん：04/03/08 00:25

>>536
３個の元からなる体は実数体じゃない。
一般の体の元を係数とする多項式の微分は形式的に定義する。
つまり、(x^n)' = nx^(n-1) などと定義する。
ここは講義をする場所じゃないからこれ以上の説明は控える。
私見だけど線形代数の初歩で一般の体まで考える必要はない。
因みに佐武は初学者向きじゃないと思う。

540 ：１３２人目の素数さん：04/03/08 00:27

>>534
ありがとうございます。

>>とりあえずAが対角行列の場合に帰着できて

とありますが、どうしてですか？

>>そんなPは存在しないし大体主張自体成立してない。

おお！！そうでしたか。

541 ：１３２人目の素数さん：04/03/08 00:27

>>536
R^n が実数体だったらものすごい楽だな。

542 ：５１７：04/03/08 00:36

>>539
そういう意味で微分は形式的な定義って519さんは仰っておられたのですね。
そうすると517の背理法は間違いだということになると思うんですが
その場合佐武先生が考えていた理解の道筋はどうなりますか。
p.158問題１参照の真意は。

ちなみにp.158問題１は
A=（aij)とすれば
∂＾2/∂xi∂ｙj　ｔｘAｙ=aij　特にAが対称の時∂＾2/∂xi∂xjA[x]=2aij
を示す問題です。ｔｘはベクトルxの転置。

>>541
R^n が実数体じゃないんですね。あてずっぽうでした。そうかなあってね。

543 ：１３２人目の素数さん：04/03/08 00:37

>>540
U^(-1)AU=A'が対角行列になるような直交行列Uをとるとき
L'、B'をA'にたいしてL,Bと同様に構成すると
detL=L(Ux) (=xにUを作用させて得られるベクトルをLに代入したもの)
でdetA=0⇔detA'かつ
Bのランクが1以下
⇔detLが１次式^2の定数倍
⇔det'Lが１次式^2の定数倍
B'のランクが1以下
だから。

544 ：１３２人目の素数さん：04/03/08 00:41

>542
だから>>517の背理法は実数体の場合には正しい。それにそもそも実数体でない体では
A≠0⇒(∃x≠0 s.t. A[x]=0)
自体が成立しないんだってば。

545 ：543：04/03/08 00:43

⇔いっこぬけてた。
　
Bのランクが1以下
⇔detLが１次式^2の定数倍
⇔det'Lが１次式^2の定数倍
⇔B'のランクが1以下
　
でした。

546 ：１３２人目の素数さん：04/03/08 00:45

>>542
有限体を知らない、実数体すら知らない。それがなんで佐武のリー群の
あたりの話や二次形式論あたりのはなしをやろうとしとるんだ？

547 ：５１７：04/03/08 00:55

.>だから>>517の背理法は実数体の場合には正しい。
そうだったんですか。いや、分かります。
実数体について説明したところ（>>523)、
>>532の指摘があったのでうろたえてるだけで、理解はできます。本当ですよ。
実数体はR全体。通常の加法と乗法で、ですね。

>それにそもそも実数体でない体では
>A≠0⇒(∃x≠0 s.t. A[x]=0)
>自体が成立しないんだってば。
よく分かりません。説明お願いします。

>>546
最近松坂先生の代数系入門始めたばっかなんです。まだ整数のとこです。
佐武先生の本はこの板で評判がよかったので手を出してしまいました。反省します。

548 ：544：04/03/08 01:04

すまぬ。よみまちがえてた。というか>>517でしめしたいとおもってる命題がわからん。
何を証明したいの？
＞A≠0であるからA[x。]=0なるx。がある。
これだけだったらx。=0にとればいいじゃん。

549 ：５１７：04/03/08 01:08

ごめんなさい。今までずっと気づかなかったの。
A≠0であるからA[x。]≠0なるx。がある。
です。そうすると背理法やってる意味も分かると思います。それだとどうですか。

550 ：１３２人目の素数さん：04/03/08 01:10

示したいのはもしかして
　
A≠0であればA[x。]≠0なるx。がある。
　
か？それだったら全く任意の体で成立するけど。

551 ：１３２人目の素数さん：04/03/08 01:14

>>549
やっと問題の意味がわかった。>>517の証明は全く一般の体で成立するけど
その場合“微分”が実数体とはちがう定義をするのでつかわないほうがいいとおもう。
微分つかわないなら。
A≠0にたいして
(i)あるiでAii≠0であるとき
このときxを第i成分が1でソレ以外が０であるものをとれば
A[x]=aii≠0
(ii)すべてのiでAii=0であるとき
Aij≠0となるi≠jをとる。xを第i成分と第j成分が1でソレ以外が０であるものをとれば
A[x]=2aij≠0
でいづれの場合も桶
って感じのほうがよさげ。

552 ：５１７：04/03/08 01:15

もしかして自明のことですかね。説明が欲しいです。どなたか説明を。

553 ：551：04/03/08 01:18

ふたたびスマン。一般の体では成立しない。成立するのは標数が２でない体。
証明は>>551で桶。(>>517の方針だと有限体のとき結構めんどうになりそう。
さけたほうがよさそう。)

554 ：１３２人目の素数さん：04/03/08 01:18

>>552
とりあえず、日本語喋って。

555 ：１３２人目の素数さん：04/03/08 01:27

というかみんなつられすぎですよっと

556 ：５１７：04/03/08 01:28

>>551
よく分かりました。初めかららこういう柔軟に考える姿勢があればよかったんですね。
本当は偏微分を使った証明を理解したかったんですが、
勉強不足の私にはとうてい理解できそうにないことがこれまでのやり取りではっきりしたので
あきらめます。

皆さんありがとうございました。本当に感謝しています。どうもありがとね。

>>554
そんなに私の文章変ですか。文章に滲み出てしまったかな、頭の悪さが。

それではさようなら～。

557 ：文系人間：04/03/08 23:44

　微積がおもしろいというのはわかります。高校でもそう思いましたから。
　それから通俗書で知った無限にも段階があるという話（対角線論法など）もとても興味深いでした。
　しかし、線形代数だけは何が面白いのかさっぱりわからない。連立一次方程式を鮮やかに解くため
の画期的な方法でもあるのかと思えばそうでもなさそうだし（クラメルの公式は実践的には役立たな
いらしい）。
　たとえば微積におけるオイラーの公式のような素人にもこれはすごいと思わせるようなめざましい
応用例はないのでせうか？

558 ：１３２人目の素数さん：04/03/08 23:47

>>557
オイラーの公式の何処がすごいのか力説してください。

559 ：１３２人目の素数さん：04/03/09 00:10

線形代数がおもしろいなんて誰が言った？　どうしても必要だから
できたのであって、別におもしろくもなんともない。上に進むため
の単なる土台だ。土台がないと家が建てられない。家ではいろいろ
とおもしろいことが起こる・・・。

560 ：１３２人目の素数さん：04/03/09 00:58

土台がないとザクも飛べない

561 ：１３２人目の素数さん：04/03/09 03:19

次藤は立花兄弟の土台

562 ：１３２人目の素数さん：04/03/09 07:58

>>557
通俗書は卒業して真面目に勉強してください。

>>559
俺はおもしろかったけどな。まあ、人それぞれだろ、おもしろさは。

563 ：１３２人目の素数さん：04/03/09 08:02

行列式なんて結構面白いと思う。

564 ：562：04/03/09 08:04

行列式か…。俺はおもしろくなかったな…。

565 ：１３２人目の素数さん：04/03/13 03:54

マルチで失礼します。緊迫しておりますゆえ。
線形と非線形の違い、線形微分方程式と非線型微分方程式を詳しく説明してくださる方おりませんか？
軽く二、三行でおわる説明ではなくて（導関数に関して一次式だ・・・とか）包括的な理解ができないかなと思います。

566 ：１３２人目の素数さん：04/03/13 04:03

>>565
教科書嫁

567 ：１３２人目の素数さん：04/03/13 04:42

>>565
線形の微分方程式で一番重要な性質は、例えば、
f(x)y''+g(x)y'+h(x)y=0
みたいな斉字（定数項が０）の方程式のときに、解の集合が
ベクトル空間を作ってるってことだと思う。
解に定数をかけたり、解同士を足したり引いたりしてもまた解になるって意味。
これがあるおかげで一般解が簡単に書けたり、いろいろ扱いやすかったりする。
あとは、ほんと、親切で頭いい人が降臨するのを気長に待つんでなきゃ、
こんなことでも念頭において教科書読んだほうがいいと思う。
あと、この質問は線形代数とはちょっと違うから、次回は別スレでどうぞ。

568 ：１３２人目の素数さん：04/03/13 09:38

>>565
Elementary Differential Equations
William E.Boyce and Richard C.DiPrima
John Wiley & Sons
のテキストの最後のほうに書いてあるよ。

569 ：１３２人目の素数さん：04/03/14 16:13

「スピノル」とはどういうものか、教えて貰えますか？もし、簡単でないとすれば、お勧めの本はありますか？
ちなみに私は、代数が苦手なため、余り基礎知識なしに読める本を歓迎します。

物理の本を読んでいたら、「スピノル」の記述が出てきました。
その本では、座標変換の法則でスピノルを定義していたのですが、
ベクトルやテンソルの旧式な定義みたいで、数学的に理解することはできませんでした。

岩波数学事典をみたところ、古典群の一種で、テンソル代数の商多元環（クリフォード多元環）
から導かれる古典群の一種であることまでは何となく判りました。
でも私は、数学事典の記述だけで理解できるほど頭が良くないので、困っています。

570 ：１３２人目の素数さん：04/03/14 16:14

age忘れますた

571 ：１３２人目の素数さん：04/03/14 17:59

スピノル群Sp(n)とは回転群SO(n)の普遍被覆群だと記憶してるけど。
違うかもしれん。ChevalleyのTheory of Spinorsという本が
有名だけど読んだことないので薦められるかわからん。
誰か？

572 ：１３２人目の素数さん：04/03/14 18:03

回転群の二重被覆ってことは720度回ると元に戻るってことと思いねえ

573 ：569：04/03/14 19:32

>>571
岩波数学事典にも、参考文献に上げられていますた。

574 ：569：04/03/14 19:34

　おっと、途中で書き込まれてしまった。

出来れば、日本語で読めるお手軽が本がないでしょうか？

575 ：１３２人目の素数さん：04/03/14 20:20

ヒルベルト空間のスピノルディラック
2次形式田坂隆士
あとはなんか物理の本に載ってるだろ。

576 ：569：04/03/14 20:27

ありがとうっす

577 ：１３２人目の素数さん：04/03/22 17:48

東大出版の斎藤正彦の「線型代数入門」の
１８８ページの最初に
「～～に対等である」って言葉を使ってるけど、意味がわからへん

578 ：１３２人目の素数さん：04/03/22 18:07

索引ってものを知らんのかお前は。

579 ：１３２人目の素数さん：04/03/22 18:42

今年大学に入学するものですが、
線形代数を初めて勉強する時に買った方がいい教科書はなんですか？
東大出版の線形代数入門がいいのですか？

580 ：１３２人目の素数さん：04/03/22 18:50

伊理正夫『一般線形代数』（型だったかな？）
がお勧めです。最近は殆ど大学の教養レベルの授業では
この本を使っています。ページ数が多い割に読み易く
初学者にも少し慣れた人にも絶好の教科書です。

581 ：１３２人目の素数さん：04/03/22 19:02

>>580
「理系のための・・・」は使われてないのか？

582 ：１３２人目の素数さん：04/03/22 19:30

> 最近は殆ど大学の教養レベルの授業ではこの本を使っています。

ほんと? ソースは?

583 ：１３２人目の素数さん：04/03/22 19:30

高いよ。。
4400円

584 ：580：04/03/22 19:34

もちろん他の教科書を使うところもあるにはありますが、
（そうでないと日本の線型代数の本はこれ一冊だけに
なってしまいます）最近は、定番は伊理である、という
意見に固まってきているようです。
「理系のための」は著者の顔ぶれは無駄に凄いですが、
理論的な事項をある程度先に持ってきている為スマートでは
あるものの数学が苦手な学生にはきついかも知れません

585 ：１３２人目の素数さん：04/03/22 19:36

>>583
じゃあ、1900円の斎藤正彦。

586 ：１３２人目の素数さん：04/03/22 19:42

>>584
だから、ソースを聞いてるの。私が知ってるところは斎藤か佐武が多いんだけれど。

587 ：580：04/03/22 19:50

大学の講義でそう聞きました。（当然伊理先生では
ないので変な誤解をなさらないように）実際日本の
大学の数学の教官は大半がこの本を教科書として教えています。
例えば日本の高校では直積集合の定義を殆どの教師は
教えませんが、数研の教科書等には（数年前までは）書いて
あります。でもソースは、などと聞かれても実際に自分で
確かめてみてくれ、としか言いようがないのと同じです。

588 ：１３２人目の素数さん：04/03/22 19:53

京大では一応「理系のための」が教科書に指定されてたよ。

589 ：１３２人目の素数さん：04/03/22 20:07

>>580はネタ

590 ：580：04/03/22 20:24

あ、おいおい、それ言うなって。（580のメール欄見てね）
というか、マニアックだけど其処まで悪い本ではないと
思います。工学なんかで行列使うにも、数学に進むにも
良い本です。漏れは伊吹山先生のヤツがコンパクトで
良かったけどね。微積や線型代数の本は店頭で見てから
買った方が確実です。

591 ：１３２人目の素数さん：04/03/22 20:34

線形代数やった人さ、
ジョルダン標準形すぐ理解できた？
全然わかんねー

592 ：１３２人目の素数さん：04/03/22 21:19

工学部卒の数学はインチキです。

593 ：１３２人目の素数さん：04/03/23 03:52

>>579
有馬哲『線型代数入門』も
いいとおもうが東京図書の野郎が・・・

594 ：１３２人目の素数さん：04/03/25 17:25

斎藤の114頁の例5です。

数列e_iの第k項を考えることにより、
Te_0=-a_0 e_k-1, Te_i=-a_i e_k-1 + e_i-1(1≦i≦k-1)
が得られるから…

の部分が分りません。

数列e_iの第k項とはt(0,…,0,1)のことでしょうか。
これをどう考えると上記の式が成り立つのですか。

混乱しています。

595 ：１３２人目の素数さん：04/03/26 10:02

最近線形代数を学び始めた者なのですが質問です。
このｽﾚを最初から読んでみて疑問に思ったのですが、
>>99にある非同次の連立方程式でも解の集合は>>103に書いてあるように
線形空間になり得るんでしょうか？

596 ：１３２人目の素数さん：04/03/26 10:08

なりません。一般に。
１つの解を見つければ、そこを通るAffine部分空間になります。

597 ：１３２人目の素数さん：04/03/27 07:04

>>594
各 e_i は数列で、第 0 項から第 k-1 項までは与えられているのだから、
第 k 項は例 2 に書いてある漸化式から計算できるでしょ。

598 ：１３２人目の素数さん：04/03/27 12:42

>>595
(1) Ax = b (x と b はベクトル, A は行列)
(2) Ax = 0

Av = b, Aw = 0 なら足して A(v+w) = b なので v+w も(1)の解。
Av = b, Aw = b なら引いて A(v-w) = 0 なので v-w は(2)の解。

つまり、任意の(1)の解に任意の(2)の解を足しても(1)の解となる。
逆に任意の(1)の二つの解の差は(2)の解となる。

よって全ての(2)の解にある(1)の解を足せば全ての(1)の解が得られる。

しかし、(1)の解 v, w を足しても A(v+w)=2b≠b (b≠0 のとき) なので
(1)の解はベクトル空間にならない。

599 ：１３２人目の素数さん：04/03/27 13:12

>597
例えば、

Te_k-1 = e_k = -a_k-1 e_k-1 - … - a_0 e_0

ですよね…

600 ：１３２人目の素数さん：04/03/27 15:38

>>599
T の定義で混乱しているようです。

たとえば、k=3 のとき。

e_0, e_1, e_2 はそれぞれ第 0 項、第 1 項、第 2 項が次のようになっている数列。

e_0 = 1, 0, 0, ...
e_1 = 0, 1, 0, ...
e_2 = 0, 0, 1, ...

しかも、e_0, e_1, e_2 は今考えている線型空間の基底になっていることが重要。

漸化式を用いて e_0 の第 3 項を計算すると、-a_0 になっているので、
e_0 = 1, 0, 0, -a_0, ...

T({x_n})={x_{n+1}} なので、
Te_0 = 0, 0, -a_0, ...

これを、基底 e_0, e_1, e_2 の線型結合で表すことを考える。
Te_0 = p e_0 + q e_1 + r e_2 = p, q, r, ...
とおいて、第 0 項、第 1 項、第 2 項を比較すれば、
Te_0 = -a_0 e_2
が得られる。Te_1, Te_2 も同様に計算できる。

601 ：１３２人目の素数さん：04/03/27 16:31

>600
>漸化式を用いて e_0 の第 3 項を計算すると、
どうやって計算するのか分りません…

602 ：601：04/03/27 16:49

a_0 x_0 + a_1 x_1 + a_2 x_2 + a_3 = 0
から
a_0*1 + 0*0 + 0*0 + a_3 = 0

∴a_3 =-a_0

ということかな。

603 ：１３２人目の素数さん：04/03/27 17:00

>>602 それで ok.

604 ：603：04/03/27 17:03

間違えた。

a_0 x_0 + a_1 x_1 + a_2 x_2 + x_3 = 0
から
a_0*1 + 0*0 + 0*0 + x_3 = 0
なので
x_3 = -a_0.

605 ：１３２人目の素数さん：04/03/27 17:20

>604
a_3 じゃなくて x_3 ですね。すみません。

何か見えたような気がするのでもう一度問題の解答を作ってみます。
ありがとうございました。

606 ：１３２人目の素数さん：04/03/27 21:59

　講談社の「理工学者が書いた数学の本」シリーズの線形代数（甘利俊一・金谷健一）
は初学者向けですか？

607 ：１３２人目の素数さん：04/03/27 22:27

>>606
質問に質問で返してごめん．
すごい著者だね・・・．
中見てみたいけど，なんだってそんな本で勉強するの？

608 ：１３２人目の素数さん：04/03/27 23:36

>>607
　あんた、ひょっとしてそいつらの同僚ですか。あるいは学生時代同期だったのかな（Ｗ

609 ：１３２人目の素数さん：04/03/28 21:57

>>606
yes

610 ：595：04/03/29 03:45

>>596さん>>598さん回答ありがとうございました。

611 ：１３２人目の素数さん：04/04/01 12:53

質問です。

　２　－１　０　　０
　０　　２　　０　　０
　０　－１　２　　０
　０　　０　　０　　２

という行列Ａをジョルダン標準形にする、という問題なのですが

｜Ａ－ｔＥ｜＝（ｔ - 2）＾4　

となって
最小多項式は　( t - 2 )^2
となる、と説明されています。

4乗から２乗にできる理由が分かりません・・・・

612 ： ◆BhMath2chk ：04/04/02 08:00

固有多項式は最小多項式の倍数であることを使って
あとは計算すればいい。

613 ：611：04/04/03 22:32

>>612
ありがとうございました。

614 ：１３２人目の素数さん：04/04/11 06:53

M_n(K) から K への任意の線型写像 T は、ある n 次 K-行列 A によって、
　　　　T(X)=TrAX
と表されることを証明せよ。

解答
(i,j) 成分のみが 1で他は全て 0である n 次行列を E_i_j とする。
T(E_i_j) =a_j_i 　A=(a_i_j)と置けばよい。

ということですが理解できません。解説をお願いします。

615 ：１３２人目の素数さん：04/04/11 07:09

>>614
そこで言ってる文字の定義をちょっとわかりやすく書いてほしい。

616 ：１３２人目の素数さん：04/04/11 07:18

>>614
(i,j) 成分？全部１じゃん

617 ：１３２人目の素数さん：04/04/11 07:41

>615
K　　：R(実数)またはC(複素数)のどちらか一方。
M_n(K)：Kを成分とする(n,n)型行列全体の集合。

問題中の X は (n,n)型行列だと思います。

>616
>(i,j) 成分のみが…

は多分、”(i,i)成分のみが…”の誤植だと思います。
書き写すまで(i,j)と書いてあることに気が付きませんでした。

618 ：１３２人目の素数さん：04/04/11 07:53

>>614
なんか題意が読み取れないな。
解答も謎過ぎる気がする・・・いきなりａが出てきてるのが謎だ

619 ：１３２人目の素数さん：04/04/11 08:11

>(i,j) 成分のみが 1で他は全て 0である n 次行列を E_i_j とする。

は、例えば、E_1_1 は

(1,1) 成分のみが 1で他は全て 0である n 次行列を E_1_1 とする。

となるので、考え違えていたようです。

>618
もう少し考えて見ます。

620 ：１３２人目の素数さん：04/04/11 08:12

>>614
>解答
>(i,j) 成分のみが 1で他は全て 0である n 次行列を E_i_j とする。

明らかに n^2 個の E_i_j は n^2 次元ベクトル空間 M_n(K) の基底になっている。

>T(E_i_j) =a_j_i 　A=(a_i_j)と置けばよい。

何故これで「よい」のかと言うと、このとき
X=(x_i_j)∈M_n(K)が
X=Σ(x_i_j)E_i_j と書けることに注目すると
T(X)
=Σ(x_i_j)T(E_i_j)
=Σ(x_i_j)(a_j_i)
=Σ(a_j_i)(x_i_j)
=TrAX（←AXの対角成分の和）
となるから。

621 ：１３２人目の素数さん：04/04/11 08:14

>>620
グッジョブ

622 ：１３２人目の素数さん：04/04/11 08:24

>620
ありがとうございます。

623 ：１３２人目の素数さん：04/04/11 08:29

書いて相手に伝えようとすると、見えてくるものがありますね。

624 ：１３２人目の素数さん：04/04/15 16:17

量子力学に出てくるブラケットで書かれている線型代数の本ってあるのでしょうか？

625 ：こぴぺ：04/04/15 16:30

世界は無料リソースであふれていた。…今まで知らなかった。
すごい！感動！得した気分！でも英語読めない！

Welcome to Joshua オススメ!
セント・マイケル大学のJim Hefferon教授が公開しているテキスト。
テキストとしても参考書としても自習用としても使える学部生向きのテキストとのこと。問題の解答有。
Gilbert Strang's Home Page オススメ!
マサチューセッツ工科大学のGilbert Strang教授の講義の動画ramファイル。
教授のテキスト"Linear Algebra and Its Application"(和訳有り）は情報系の人必読。
講義では別の著書"Introduction to Linear Algebra"というテキストを使用してます。
Home Page for Thomas S. Shores
ネブラスカ・リンカーン大学のThomas S. Shores教授が公開しているテキスト。
書籍としても出版されている。オンラインで公開しているのでコピーしにくいし。
Elements of Abstract and Linear Algebra
マイアミ大学のEdwin H. Connell教授が公開しているテキスト。
純粋数学の立場で抽象代数（群や環の話）から線形代数へと展開される。簡潔。
APPLICATION OF LINEAR ALGEBLA
線形代数の応用について知りたいならこれ。
行列の安定性や疑似逆行列の説明もある。

626 ：１３２人目の素数さん：04/04/15 16:31

http://joshua.smcvt.edu/
http://www-math.mit.edu/~gs/
http://www.math.unl.edu/~tshores/index.html
http://www.math.miami.edu/~ec/index.html
http://www.cs.ut.ee/~toomas_l/linalg/

627 ：１３２人目の素数さん：04/04/16 17:50

『線形代数入門』（松坂和夫）が重版されます
ttp://www.iwanami.co.jp/.BOOKS/00/9/0055560.html

628 ：１３２人目の素数さん：04/04/22 22:05

裳華房からでてる線形代数学とかいう古い本って名著なの？
この本は大学の授業でわからないところとか厳密に知りたい箇所を自分で調べるのに適してるかな

629 ：１３２人目の素数さん：04/04/23 03:36

線形空間の定義、零元の存在と逆元の存在はどうやって証明するの？

630 ：１３２人目の素数さん：04/04/23 04:23

>大学の授業でわからないところとか厳密に知りたい箇所を自分で調べるのに適してるかな

テンソルとかも書いて在るけど（R,S）まで書いてなかった気が…。
悪い本じゃないけど難しい割には中途半端で整理されてるとは言いがたい。
ただ、斉藤ではけいさんとか全くふれてない対称群の基本的な扱いが書いてあっていい。
辞書としては不整理だけど、一次方程式の公式が詳しくかいてあるのはいい。

行列式の形でかいてあるので、後でフレームとかに話を拡張するとき、
天下りにそれ使えば、本当にc^∞級？とかいうことが曖昧でなくなる。

＞線形空間の定義、
証明できるの？

＞零元の存在と逆元の存在はどうやって証明するの？

定義の中にはいっていたようなきがするのですが？
定義をうまくすれば、外せるのかなー
はずせねーよな。つか逆元ってマイナスのこと？

631 ：１３２人目の素数さん：04/04/23 09:52

>>629は定義を証明するもんだと思ってるんだよ。

632 ：628：04/04/23 09:57

ではお勧めな線形代数の本は何かありますか？正直理工書の数が多すぎて迷いまくってます

633 ：１３２人目の素数さん：04/04/23 19:26

線型代数
長谷川浩司 (著)
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4535783713/

こんな本がでてた。
表紙が数学の教科書っぽくない。
中身は普通なんだろうけど。

634 ：１３２人目の素数さん：04/04/23 22:08

はじめまして、今年数学科に入学した１年生です。
線型代数を勉強しようと思い、図書館で名著と名高い線型代数入門(松坂和夫著)を借りてきました。
先輩に聞いたところしょっちゅう貸し出し中になってるらしいので、コピーしようと思います。
この本の他には、先輩から譲り受けた佐武氏と斉藤氏の線型代数の本があるのでこの本(線型代数入門)が
二つの本より優れている部分や、初心者にもわかりやすく記述されている部分をコピーしようと考えています。
よろしければこの条件に適する部分を教えてくださいませんか？お願いします。

635 ：１３２人目の素数さん：04/04/23 22:28

春だね。

636 ：１３２人目の素数さん：04/04/23 22:58

共立出版の２１世紀の数学っていいよね。。。。
初版からけっこう年数経っているのにかなりいいよ。。。。
新入生にはおススメ♪♪

637 ：１３２人目の素数さん：04/04/24 11:11

一般解を求めよ。

y'''-7y'+6y=0

この解について質問があります。

y(0)=(1,0,0), y'(0)=(0,1,0), y''(0)=(0,0,1)

として得られる解を e_0, e_1, e_2 としたときの、
基底<e_0, e_1, e_2> に関する微分作用素 D→dy/dx の行列を
作るための y''(0) の4番目の項が何になるのか分りません。

638 ：ペプシ工員：04/04/24 11:44

>>637
何か誤解している様だ。
（ｙ（０），ｙ’（０），ｙ”（０））＝（１，０，０），（０，１，０），（０，０，１）として得られる解をｅ_０，ｅ_１，ｅ_２とするのでないと、意味をなさない。
また、「ｙ”（０）の四番目の項」の意味が判らない。
基底＜ｅ_０，ｅ_１，ｅ_２＞に関するＤの表現行列を求めるのであれば、
｜　０　１　０｜
｜　０　０　１｜
｜－６　７　０｜
となるのだが。

639 ：638：04/04/24 11:53

＞何か誤解している様だ。

すみません。もっとよく読んでみます。

640 ：638：04/04/24 16:13

あ、分りました。ありがとうございました。

641 ：１３２人目の素数さん：04/04/25 17:14

>>634
本ってのは全体で1つの作品になってるんだから、部分的に抜き出しても意味が無いよ。

642 ：１３２人目の素数さん：04/04/25 17:39

～～テイストとか～～系とか師匠がいたら無意識的に師匠のテイストにはまる

643 ：１３２人目の素数さん：04/04/25 19:03

>>641
そそ。
定理の並び方とか、それがどういう風に使われているかとか、そういうことを
意識しつつ本を読まないとね。

644 ：634：04/04/26 22:59

>>641 >>643さん
ご意見ありがとうございます。
たしかに仰るとおりです。とりあえず返却日までに一通り読むだけでも読んでみようかと思います。

645 ：１３２人目の素数さん：04/04/27 09:52

あほ

646 ：１３２人目の素数さん：04/04/28 12:41

初学者向けの本を教えてください

647 ：１３２人目の素数さん：04/04/28 13:09

648 ：１３２人目の素数さん：04/04/28 18:35

>>646

>>379 >>633 が良さげだよ

649 ：１３２人目の素数さん：04/04/29 22:43

うるせえ！ちんぽこ野郎！
教官がそういったんだ！

650 ：１３２人目の素数さん：04/04/29 23:45

線型空間Vの元xに対して((V^*)^*)の元T_xを
T_x(f)=f(x)で定義する。無限次元の場合
φ(x)=T_xは一般にVと((V^*)^*)の線型同型写像とは
ならない、と書いてあったのですが、φが同型に
ならないような例ってどんなものがありますか。

ついでに、無限次元の場合もきちんと扱っているような
教科書はないでしょうか。

651 ：１３２人目の素数さん：04/04/30 19:42

l^∞ : 有界な数列全体にsupノルムを入れたBanach空間
c_0 : l＾∞の部分空間で、0に収束するような数列全体

(c_0)^{**} = l^∞

652 ：１３２人目の素数さん：04/05/01 10:36

http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1047632638/l50 に
> 176 ：１３２人目の素数さん：04/04/27 23:44
> 　ブルーバックスには微積関連の本はたくさんあるが線形代数（ベクトルと行列）にテーマを絞った
> 本は一度も出されてないんじゃないかな？
> 　やはり面白く解説できないからだろうか。

> 177 ：１３２人目の素数さん：04/04/28 15:18
> 線形代数はＤＱＮ本が腐るほど出てることと、
> 行列を書くとページ数が馬鹿にならんから出さないんじゃないかな？

という書き込みがあったのですが、具体的にはどんなＤＱＮ本があるのでしょう。

653 ：１３２人目の素数さん：04/05/01 10:54

表紙に銭形平次の絵があったり、
そのまま試験に書ける○○とか、
やさしい○○とか、よくわかる○○とか、

腐るほどあるわ！ヴォケ！

654 ：１３２人目の素数さん：04/05/01 11:50

裳華房の線形代数学と東京大学出版の線形代数入門ってどっちが初学者向きでつか？

655 ：１３２人目の素数さん：04/05/01 11:59

>>654

656 ：１３２人目の素数さん：04/05/01 12:00

>>655
意図が分かりません。

657 ：１３２人目の素数さん：04/05/01 12:47

↑どっちも初学者向けでないという事では？（斉藤はそうでもないが）

658 ：１３２人目の素数さん：04/05/01 15:04

齋藤は初心者向けだよ。
第六章は難しいけどね。

659 ：１３２人目の素数さん：04/05/01 16:43

ジョルダン標準形のところが単因子論だから理解しにくいわぁ。

660 ：１３２人目の素数さん：04/05/01 17:35

>>659
可換環論をちょこっとやった後で読み直すとわかりやすいのだけど、初めて読んだときは
??? だった。

661 ：１３２人目の素数さん：04/05/01 17:58

>>654
佐竹の「線型代数学」でなくて、岩堀長慶他の「線形代数学」なら
大学初年の教科書として使った。

http://product.esbooks.co.jp/product/keyword/keyword?accd=01778704

元々、高校まででも行列とか一次変換とか好きだったから、
読むのは苦痛じゃなかったけど、どちらかというと、
　※線型空間の構造を（後で考えると）王道の代数学として説明
してる感じがある。

もちろん、行列式の計算や基本変形の具体例などもきちんと載ってるけど、
それとても、例えば、行列式の所の説明も主役は、行列式とはどういうもので、
それは、どういう構造をしてて、置換群を用いて構成して。。。となっている。

行列による線型空間の説明と、一般的な線型空間の説明がダブってる所があって、
そこが冗長な感じもするが、初学者が丁寧に理解するには、
却って好都合だった記憶がある。
ジョルダン標準形も私には、そこまで丁寧に読んで来た場合、判り易いと感じた。

この本を丁寧に読めば、その後に代数学の本も、すぐにきちんと読むことができる。
例えば、
　「代数入門－群と加群－」　堀田良之　裳華房(数学シリーズ)

662 ：１３２人目の素数さん：04/05/02 04:48

質問です。Ｃ↑はＲ↑上のベクトル空間であること
を示せ。
　どのような方針で証明すればいいかわかりません。

663 ：１３２人目の素数さん：04/05/02 06:19

「↑」の意味がわかんない

664 ：１３２人目の素数さん：04/05/02 08:50

線形代数というのは環上の加群の理論に一般化されるけど、
この加群の理論を突き詰めるとホモロジー代数にいきつく。

665 ：１３２人目の素数さん：04/05/02 12:01

ちょっと横道にそれるけど、「加群」と「可換群」って何が違うのでしょう？
公理をみると同じように見えるのですが…。

666 ：１３２人目の素数さん：04/05/02 12:19

>>665
同じだけど。ただ加群という場合、有理整数環とは限らない環を
係数環とする可換群というニュアンスがある。

667 ：１３２人目の素数さん：04/05/02 13:50

>>663
ベクトルです。

668 ：１３２人目の素数さん：04/05/02 14:11

>>667
おまいさん、集合のための太字とベクトルのための太字を混同して
ないかい？

ところでベクトル空間の公理って何に使うか知ってるか？

669 ：662：04/05/02 16:54

Vの任意の２つの元a,bに対し,和と呼ばれる演算＋が
きまっており,その結果a＋bもまたＶの元である

がベクトル公理ですよね。　何に使うかはわかりません。

670 ：１３２人目の素数さん：04/05/02 17:03

V×VからVへの写像ならなんでもいいだろう、それじゃ。
半群でさえないぞ。

671 ：１３２人目の素数さん：04/05/02 17:47

>>662
(1) Cが和に関して可換群をなすことを示す
(2) 任意のx,y ∈ C, a,b ∈ Rに対して
　　1x = x, a(x + y) = ax + ay, (a + b)x = ax + bx, (ab)x = a(bx)
　　を示す

672 ：１３２人目の素数さん：04/05/02 18:11

良スレはここの他、数えられるくらいしかないね

673 ：１３２人目の素数さん：04/05/02 18:49

まあスレの数は高々有限個だしな。

674 ：１３２人目の素数さん：04/05/02 18:55

正規変換 T の、任意の正規直交基底 E に関する行列 A は正規行列である。

示し方を教えてください

675 ：１３２人目の素数さん：04/05/02 20:28

>>674
Aはユニタリ行列になるのでA* = A^(-1)。
よってA* A = E = A A*よりAは正規行列。

676 ：１３２人目の素数さん：04/05/02 20:48

>>675
T がユニタリ変換なら A はユニタリ行列になると思うのですが、
T が正規変換でも A はユニタリ行列になるのですか？

677 ：１３２人目の素数さん：04/05/02 21:59

>>674
示すもなにも正規変換と正規行列の定義から明らか、だと思う。

678 ：ぼるじょあ ◆yEbBEcuFOU ：04/05/02 22:23

（・３・）工エェー

正規行列の定義がＴＴ＾＊＝Ｔ＾＊Ｔ、正規行列の定義がＡＡ＾＊＝Ａ＾＊Ａだとすれば、
Ｔの随伴変換Ｔ＾＊の表現行列が、Ａの随伴行列Ａ＾＊であることを既知とするならば、
確かに題意は明らかだＹｏ。

679 ：１３２人目の素数さん：04/05/02 22:26

>>674
マルチすな。

680 ：１３２人目の素数さん：04/05/02 22:27

>>674=http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1083080731/690

681 ：１３２人目の素数さん：04/05/02 22:32

>>678-680
ここでレスを貰っているのにマルチする理由がありません。
誰か他の人がコピペしているのだと思います。

>>677-678
「明らか」が分らないので考えています。

682 ：１３２人目の素数さん：04/05/02 23:07

Tを線型変換、ある正規直交基底に関するTの行列をAとする。

Aの随伴行列A*によって表現される線型変換をTの随伴変換T*と呼ぶ。
T* T = T T*が成り立つような変換を正規変換と呼ぶ。
A* A = A A*が成り立つAを正規行列と呼ぶ。

明らかに正規変換の任意の正規直交基底に関する行列は正規行列である。

683 ：１３２人目の素数さん：04/05/02 23:58

>>682
どう書けばいいのか分らないので、例えば、

ユニタリ変換 T の、任意の正規直交基底 E に関する行列 A はユニタリ行列である。

を示すときに

Tを線型変換、ある正規直交基底に関するTの行列をAとする。

Aの随伴行列A*によって表現される線型変換をTの随伴変換T*と呼ぶ。
T*T = T T*=E が成り立つような変換をユニタリ変換と呼ぶ。
A* A = A A*=E が成り立つAをユニタリ行列と呼ぶ。

明らかにユニタリ変換の任意の正規直交基底に関する行列はユニタリ行列である。

と理解してますか？

684 ：１３２人目の素数さん：04/05/04 06:00

これは自己解決すべき問題だな

次の質問の方どーぞ。

685 ：１３２人目の素数さん：04/05/04 07:03

斉藤 p.183

任意の正方行列Aとその転置行列tAとは相似であることを示せ。

686 ：１３２人目の素数さん：04/05/04 13:57

２平面a･x=c,b･x=dと等距離の軌跡は
(a+b)･x=c+d,(a-b)･x=c-dである。
がどうしてか分かりません。教えてください。

687 ：ペプシ工員：04/05/04 14:52

>>686
記号が良く判らないが、ａ，ｂ，ｘがｎ次元実内積空間のベクトル、ｃ，ｄが実数と言うこととみなす。
連立方程式（ａ＋ｂ）・ｘ＝ｃ＋ｄ，（ａ－ｂ）・ｘ＝ｃ－ｄ　は、ａ・ｘ＝ｃ，ｂ・ｘ＝ｄ　と同値で、これは２超平面の交点のｎ－２次元超平面だ。
２超平面から等距離の点の奇跡とは異なる。

ａは超平面ａ・ｘ＝ｃの法線ベクトルだから、ｘから超平面ａ・ｘ＝ｃへ下ろした垂線の足をｔａ＋ｘ（ｔは実数）とすると、ａ・（ｔａ＋ｘ）＝ｃ。
これを解いて、ｔ＝（ｃ－ａ・ｘ）/｜ａ｜＾２で、ｘと超平面ａ・ｘ＝ｃとの距離は、｜ｔａ｜＝｜ａ・ｘ－ｃ｜/｜ａ｜。
同様に、ｘと超平面ｂ・ｘ＝ｄとの距離は、｜ｂ・ｘ－ｄ｜/｜ｄ｜。
距離が等しいためには、｜ｂ｜｜ａ・ｘ－ｃ｜＝｜ａ｜｜ｂ・ｘ－ｄ｜が必要十分。

688 ：１３２人目の素数さん：04/05/04 16:05

>>687
ありがとうございます！すっきりしました。
ある問題集に質問したような記述があったもので、なやんでしまっていました。

689 ：１３２人目の素数さん：04/05/06 01:43

数学の免許取ろうと思ったら線形代数が必修として存在しました
全く意味不明です。元々数学は得意だったけど行列とかそういうのは苦手でした
なんかいい参考書とかないですかね？

690 ：１３２人目の素数さん：04/05/06 09:22

線型代数(と、その考え方)っていうのは『大学数学』のいたるところに現れてるんだから
必修であるのも無理は無い。行列遊びは本質じゃないのよー。

> いい教科書
三代目数学学習マニュアル（大学生、院生編）
http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1058276942/

スレッドを張りつつ。
もし貴方が数学専攻だとか物理専攻とかなんだったら、線型代数は本当に『必修』なの
で、苦しくても体系的な本で勉強することをオススメします。図書館で借りてもいいし。
そうでないなら、単位が取れればいいだけという雰囲気(違ったら失礼しました)なので、
「そのまま使える答えの書き方」なんかでも良いのかもしれません。いや、あれはあまり
薦めたくないですが、単位とるのには良い本かと。

691 ：１３２人目の素数さん：04/05/08 08:33

3次の正方行列

1 -1 1
0 3 -2
0 2 -1

のジョルダン標準形は

1 1 0
0 1 0
0 0 1

であっているでしょうか？
計算方法があっているか確認したいので。

692 ：１３２人目の素数さん：04/05/08 10:49

単位行列引いて２乗したら０になるから，合ってる．

693 ：１３２人目の素数さん：04/05/10 14:02

非線形代数をはじめたのですが、さっぱりわかりません。
講義に出ても、教科書開いても、配布物見てもさっぱりわかりません。
オススメの出版物はありませんか？

694 ：１３２人目の素数さん：04/05/10 16:58

非線形になると突然むずかしくなるからな～。。

695 ：691：04/05/10 19:47

>>692
どうもありがとうございます。

696 ：１３２人目の素数さん：04/05/10 21:51

非線形代数って例えばどんなもの？

697 ：KingMathematician ◆5lHaaEvFNc ：04/05/10 22:56

Re:>>696 一般の代数系の議論かもしれない。

698 ：雀聖：04/05/10 23:10

V=R^3(３次元ベクトル空間)において
W_1={(x_1 x_2 x_3)｜x_1 + x_2 + x_3=1}は
部分空間にならないと参考書に書いてある
のですがなぜなんですか。お教えください。

699 ：１３２人目の素数さん：04/05/10 23:25

>>698
教科書嫁カス

700 ：１３２人目の素数さん：04/05/10 23:40

W_1に零元（ここでは0）は入ってる？

701 ：雀聖：04/05/10 23:43

例えば x_1=0 x_2=0 x_3=0 のとき0∈Wにならないからですか？
こんなのでいいのですかね。

702 ：雀聖：04/05/10 23:45

>>700さん
わかりました。どうもありがとう。
失礼しました。

703 ：O：04/05/11 08:23

すいません、行列式を出す時に、教科書では置換を使っているのですが、
なぜ置換がいきなり出てくるのかよく分かりません。置換と行列式には、
どういう関係があるのでしょうか？

704 ：１３２人目の素数さん：04/05/11 13:24

Ｒ3のベクトル３つが張る平行六面体の体積の出し方の証明教えてください。
やり方は、３つをａ，ｂ，ｃとするとｄｅｔ(ａ，ｂ，ｃ)で体積が出せます
これの証明をしているサイトまたは自分で証明したものをお願いしまつ(*_ _)

705 ：１３２人目の素数さん：04/05/11 13:58

各基本行列を作用させることによる体積の変化をみればいいだろう。

706 ：ぼるじょあ ◆yEbBEcuFOU ：04/05/11 20:53

>>704　（・３・）工エェー

どんな教科書にでも書いてあるから、読みなさいＹｏ
横着してはダメだＹｏ♪

707 ：雀聖：04/05/11 22:01

http://www.core.kochi-tech.ac.jp/m_inoue/work/2000/pdf/work11.pdf
本当に７０４はサイトを探してみたのだろうか。
すぐに探せたんだけどな。

708 ：１３２人目の素数さん：04/05/11 22:07

>>707
お前人のこと偉そうにいえないと思うがな

709 ：sage：04/05/11 22:45

>>705->>708
アリガトゴザイマス＆ゴメンサイ
一応探したんだけど証明は見つからなくて。。。アフォ大学名もので教科書には
一切書いてなかったんです。。。でも、ほんとにどうもです(_ _(--;(_ _(--;

710 ：O：04/05/12 08:50

どうか、置換についてお教えください。
２次や３次は計算してみればその形になっていることは分かりますが、
なぜ、置換と関係があるのか分からないのです。ヒントだけでもお願い
します。

711 ：O：04/05/12 08:55

あ、行列式と置換の関係についての質問です。↑

712 ：１３２人目の素数さん：04/05/12 09:02

関係も何も、行列式の定義が
　∑sgn(σ)a_[1σ(1)]a_[2σ(2)]……a_[nσ(n)]
だろ。

713 ：１３２人目の素数さん：04/05/12 09:10

教科書嫁って言うのかと思った

714 ：１３２人目の素数さん：04/05/12 10:34

各列から行番号の違う成分を取り出すのを置換を使って表している、
とでも思っておいたら。

715 ：１３２人目の素数さん：04/05/12 23:06

行列式の意味って意外と教わらないのな。

三次元空間 R^3 において、三本のベクトル v_1, v_2, v_3 が張る
『符号付き体積』を V(v_1, v_2, v_3) で表すことにする。
V は次を満たすことが分かる。
(1) 多重線型性
V(v_1 + w_1, v_2, v_3) = V(v_1, v_2, v_3) + V(w_1, v_2, v_3)
V(v_1, v_2 + w_2, v_3) = V(v_1, v_2, v_3) + V(v_1, w_2, v_3)
V(a v_1, v_2, v_3) = a V(v_1, v_2, v_3) (a: スカラー) などなど
(2) 入れ替えによる符号の変化
V(v_1, v_2, v_3) = - V(v_2, v_1, v_3) など
(3) 立方体の体積は 1
V(e_1, e_2, e_3) = 1

各 v_i を、v_i = a_1i e_1 + a_2i e_2 + a_3i e_3 のような線型結合で表して、
(1) を使って V(v_1, v_2, v_3) を展開していくと、V(e_2, e_3, e_1) だとか、V(e_3, e_1, e_3)
のようなものの和になる。このようなものを (2), (3) を使って計算すると、
置換の符号がなぜこういう形で導入されたのか分かると思う。
四次元以上でも同様で、三次元のときの体積と同じことが成り立つだろうとして
計算していくと、結局行列式と同じものを得る。

716 ：１３２人目の素数さん：04/05/12 23:13

面倒なので二次元で書くと
V(a e_1 + b e_2, c e_1 + d e_2)
= a V(e_1, c e_1 + d e_2) + b (e_2, c e_1 + d e_2)
= a c V(e_1, e_1) + a d V(e_1, e_2)
+ b c V(e_2, e_1) + b d V(e_2, e_2)
= ad - bc

ここで V(e_1, e_1) = - V(e_1, e_1) (入れ替えを行った) より V(e_1, e_1) = 0
V(e_1, e_2) = - V(e_2, e_1) = -1

三次元のを同じようにやると分かるかもしれない。
一回交換するたびに符号が反転するので、
置換の符号＝(-1)^(互換、つまり入れ替えの個数) みたいに。
こういうのがあって、行列式をあのように定義する。

717 ：１３２人目の素数さん：04/05/13 00:28

>>715
まーそういう説明の仕方もあるかもしれんけど、行列式ってのは要は
連立方程式の不変量なわけだからねー。

718 ：１３２人目の素数さん：04/05/13 01:03

歴史的にはどうなのかって話は知らないし、
連立方程式の不変量ってのも分かるけど、
この説明が一番具体的で納得いくんじゃないかと思ったの。

719 ：１３２人目の素数さん：04/05/13 01:22

う～ん、符号付き体積ってのはどのように定義してるの？

720 ：１３２人目の素数さん：04/05/13 03:19

>>715
むかーしむかし高校生の頃に読んだ本の説明がそれだったなぁ。（遠い目）
おそらく、遠山啓という人の本ではなかったかと思うのだけれども。
こうやって体積を定義すると、連立線形方程式が解けるという話に
感激しました。クラメールの公式でしたか。まあ、計算量的には、
クラメールの公式を使うのはおろかな行為ですが、幾何学的なイメージって、
理解を大きく助けてくれる気がする。

>>719
あるいみ、715が定義と思いますが、それではいかんですか？
こうするとクラメールの公式が自然に見えてくるから、"体積"を
こう定義する、というスタンスではないかと思います。違うかな？

721 ：１３２人目の素数さん：04/05/13 06:09

>>720
2次元と3次元で幾何学的イメージを大事にしてしっかり理解するというのは重要なことだと思う。

722 ：１３２人目の素数さん：04/05/13 07:09

俺も>>715に近い形で習ったけど、疑問が「連立方程式と符号付体積の関係は
どういう意味を持つのだろう」というものに変わっただけだった。

「環上の加群が～」とかそういう感じのもっと本質的な意味がありそうなんだよな…。

723 ：１３２人目の素数さん：04/05/13 11:06

>>722
絵を描けば明らかだと思うんだけれどなぁ。
\Sum_1^n c_i \vec{v}_i = \vec{b}
の c_i を求めればよいのでしょう？ \vec{v}_1 ～ \vec{v}_{n-1} と \vec{b} の張る
平行多面体の体積を考えたら、 \vec{v}_1 ～ \vec{v}_{n-1} が張る"底面"と平行な
移動に関しては (c_1 ～ c_{n-1} の変化に対しては) "体積"が変わりませんね？
体積は "高さ" c_n だけに比例します。符号込みで比例させるなら、"体積" も符号付きで
ないと... ( c_n = V(\vec{v}_1, ..., \vec{v}_{n-1},\vec{b}) / V(\vec{v}_1, ..., \vec{v}_{n})
というのがクラメールの公式です。記憶違いでなければ。)

724 ：１３２人目の素数さん：04/05/14 13:13

こんな式がありました。

J=inv((A'))*M*inv(A);

逆行列を転置したものにさらに逆行列をかけるというのはどういう意味なんでしょうか？？？

725 ：KingMathematician ◆5lHaaEvFNc ：04/05/14 15:45

Re:>>724 行列の転置に、もとの行列をかけることは、内積をすべて計算することに対応する。
それにしても、3行目と5行目がマッチしていない気がするのだが。

726 ：１３２人目の素数さん：04/05/14 22:39

線形写像についてなんですが

Ron(T)もWの部分空間であるという証明が分かりません。
任意のW1W2=Ron(T)
任意のab∈K
に対して
aW1+aW2∈Ron(T)
を示せばいいと分かったのですがそこからが分かりません。
お願いします。

727 ：１３２人目の素数さん：04/05/14 23:15

Ron(T)ってなんだよ。Wってなんだよ。
問題文はちゃんと書け。

728 ：１３２人目の素数さん：04/05/14 23:39

>>727
よくチャットとかで使う「ｗ」です

729 ：726：04/05/14 23:43

Ron(T)={T(u)|u∈V}
T:V→W　が線形ですね。
あ、任意のw1w2=Ron(T)、aw1+aw2∈Ron(T)でした。
すみません。

730 ：１３２人目の素数さん：04/05/14 23:51

Ｔでw1,w2に移るようなVの元を１つずつとってみれ。
それを使って、aw1+aw2へ行くようなものを作る。

731 ：１３２人目の素数さん：04/05/15 00:38

>>729
>あ、任意のw1w2=Ron(T)、aw1+aw2∈Ron(T)でした。
>すみません。

何これ？「任意のw1, w2∈Ron(T)」と書きたかったのか？
質問する前に問題を正確に書くこと練習しろ。

732 ：１３２人目の素数さん：04/05/15 08:08

>>729

Ron(T)の定義より、任意のw1, w2 ∈ Ron(T)に対して、
w1 = T(v1), w2 = T(v2)となるv1, v2 ∈ Vが存在する。
w1, w2の任意の線型結合aw1 + bw2（a, b ∈ K）を考える。
a, b ∈ KかつVは線型空間よりav1 + bv2 ∈ V。
T(av1 + bv2) = aT(v1) + bT(v2) = aw1 + bw2よりaw1 +bw2 ∈ Ron(T)。
明らかにRon(T) ⊆ Wなので、Ron(T)はWの部分空間となる。

733 ：726：04/05/15 09:31

>>732
ありがとうございました。

734 ：１３２人目の素数さん：04/05/15 12:09

Ron(T)のRonって何の略なんだ？

735 ：１３２人目の素数さん：04/05/15 12:17

ＴＳＵＭＯ(Ｔ)

736 ：１３２人目の素数さん：04/05/15 12:29

rise of nation

737 ：１３２人目の素数さん：04/05/15 12:30

Pon(T)

738 ：１３２人目の素数さん：04/05/15 13:27

>>734
Ronaldではなく、"range on"あたりではなかろうかと推測してみる。
Im(T)とかIm Tって記法はそんなに普及してないの？代数学で普通に
使われてると思うけど。

739 ：１３２人目の素数さん：04/05/15 13:47

Im(T)は使わないテキストのほうが少ないが、
Ron(T)を使うテキストは無いに等しい。
常識もわかってないから、こんなくだらない質問するんだろうな･･･

740 ：１３２人目の素数さん：04/05/16 16:59

今年大学入ってから線形代数始めたビギナーです。
教科書の問題は解説が結構省略してあるので別の教科書を買おうと思っているのですが、
皆さんのお勧めの教科書を教えてほしいです。

携帯からなので上の方みれないので（金銭的に）、
もし既出の話だったらそこのレス番貼ってくれると助かります。

宜しくお願いします。

741 ：１３２人目の素数さん：04/05/16 17:17

お勧めの前に今使ってるテキストは何か書かないと

742 ：１３２人目の素数さん：04/05/16 18:07

「線形代数入門」（斎藤）です。

743 ：１３２人目の素数さん：04/05/16 18:12

ビギナーにはちとキツかろう

744 ：１３２人目の素数さん：04/05/16 19:11

線型代数入門　松坂和夫　岩波書店
ttp://www.iwanami.co.jp/cgi-bin/qsearch
は評判がいいそうです。もうすぐ重版されます。

745 ：ペプシ工員：04/05/16 20:12

>>743
私自身、余り偉そうなこと言えた義理ではないけど、確かに第七章は晦渋だが、他はそう難しくない。
入門書としては良くできていると思うよ。

746 ：１３２人目の素数さん：04/05/16 20:41

>>745
まぁあのジョルダン標準形だけは読む価値ないと思う。
あと、俺はあの表記方法が見難くていやだな。
書かれてることは難しくないけどとにかく見難い。

個人的には定理がきれいにまとめられている、見やすい表記の、
裳華房の線形代数入門　内田伏一他著がいい。ビギナーにはね

747 ：１３２人目の素数さん：04/05/16 21:08

それうちの学校で使ってる奴だ。

748 ：１３２人目の素数さん：04/05/16 21:09

>>747
む？同じ大学か

749 ：KingMathematician ◆5lHaaEvFNc ：04/05/16 21:21

ロンスキャンの略かと思う人は日本人。

750 ：１３２人目の素数さん：04/05/16 21:25

>>749
ここをのぞいている大半が日本人だと思うが。

751 ：１３２人目の素数さん：04/05/16 21:27

>>746
ジョルダンのところを読む価値がないというのはどういう理由でですか？
とくに重大な誤りがあるというわけではないんですよね？

752 ：１３２人目の素数さん：04/05/16 21:29

>>751
ｽﾏｿｽﾏｿ
今じゃあまり聞かない単因子論ってやつで説明してる。
初学者にはなんのことやら読んでもわからんだろう。

753 ：１３２人目の素数さん：04/05/16 21:33

>>752
単因子論なくしてジョルダン標準形を語るのか？

754 ：１３２人目の素数さん：04/05/16 21:33

>>753
ビギナーいうてるやん

755 ：KingMathematician ◆5lHaaEvFNc ：04/05/16 21:34

Re:>>751
行列のexpを計算するときはジョルダン標準形を求めないとかなり厳しいのだが。
(ラプラス変換を利用して計算できるのだったか？吾はそれを忘れてしまったが。)

756 ：１３２人目の素数さん：04/05/16 21:38

>>752
そうなんですか。ありがとうございます。
>>753
すると、理解できるなら読んだほうがいいということですか？

757 ：１３２人目の素数さん：04/05/16 21:52

>>756
単因子論によるジョルダン標準系の導入が理解できたとしても
スタンダードな方法も知っておかなければいけない。
数学科でも無い限り単因子論なんて使わないだろうし。
（俺自身工学部なわけだが、
単因子論だけ知ってても計算はできんような気がする。）

758 ：１３２人目の素数さん：04/05/16 21:57

>>757
ありがとうございます。
分かり難かったらおとなしく演習書のほうを読むことにします。

759 ：１３２人目の素数さん：04/05/16 21:58

>>758
そうそう、演習なけりゃなんにもできない。まぁｶﾞﾝｶﾞﾚ

760 ：１３２人目の素数さん：04/05/18 00:59

　なぜ線形代数の教科書にはベクトルの外積の説明を省略しているものが
多いんでしょう？　物理ではよく使うのに。

761 ：１３２人目の素数さん：04/05/18 01:27

>>760
物理で使う程度のことは説明するまでもないから？

762 ：１３２人目の素数さん：04/05/18 05:28

>>760
物理の人間が書いていないから?

763 ：１３２人目の素数さん：04/05/18 19:07

>>760
Tensorと外微分形式から導入したほうが論理的に綺麗だから？

764 ：１３２人目の素数さん：04/05/18 21:03

>>760
斉藤のは書いてたように思う。

765 ：１３２人目の素数さん：04/05/22 22:11

数学嫌い

766 ：１３２人目の素数さん：04/05/22 22:20

質問です。次の問題が解けません。どなたか解法を
ご教授いただけませんでしょうか。
「A,B,C∈M_n(C)のときに、次の条件が同値であることを示せ。
(1)任意のX,Y,Z∈M_n(C)について、det(XA+YB+ZC)=0となる。
(2)或る零ベクトルでないx∈C^nについて、Ax=Bx=Cx=0となる。」

767 ：１３２人目の素数さん：04/05/22 23:49

>>766
(2) を仮定し、そのような x をとる: Ax = Bx = Cx and x ≠ 0
任意の X, Y, Z に対して (XA + YB + ZC)x = 0 だから det(XA + YB + ZC) = 0
(x ≠ 0 が存在し Mx = 0 ⇔ det M = 0 を利用した)

逆に (2) が成立しないと仮定する(つまり (1) => (2) の対偶を考えている)。
(2) が成立しないということは Ker A ∩ Ker B ∩ Ker C = 0 を意味する。
このことから det(XA + YB + ZC) ≠ 0 なる線型写像 X, Y, Z が存在することを示す。

さて以下概略:
Ker A の補空間の一つを W_A とすると、C^n = W_A + W_B + W_C となる。
うまく W_A, W_B, W_C の部分空間 V_A, V_B, V_C を選んでやって、
C^n = V_A + V_B + V_C (直和) となるようにする。
次のように X

…とか感じるままに書いたのだが、もうちょっと分かりやすい方法がありそうだ。
エレガントな解法を求む。

768 ：１３２人目の素数さん：04/05/22 23:54

修正してたら書き込みボタン押してしまった・・・

C^n = V_A + V_B + V_C (直和) となるようにする。
次のように X をとれる：
　　V_A 上では XA は恒等写像、なおかつ Ker XA = (V_B + V_C)

これは、A の制限 A~: V_A → A(V_A) が正則あることを利用して、
X を、A(V_A) 上では A~ ^{-1}, A(V_A) の補空間の上では 0 となるようにとればいい。

Y, Z も同様にとれば、 XA + YB + ZC = E となり det ≠ 0

769 ：１３２人目の素数さん：04/05/27 00:03

( λ　1　　　　　　　　　　　　)
( 　　λ 1　　　　　　O　　　 )
(　　　　λ 1　　　　　　　　　)
(　　　　　　λ 1　　　　　　　)
(　　　　　　　　λ 1　　　　　)
(　　　　　　　　　　λ 1　　　)
(　　O　　　　　　　　　λ 1　)
(　　　　　　　　　　　　　　λ)

λλλλλλλ..................ｻｻﾞｴｻｰﾝﾊﾕｶｲﾀﾞﾅｰ　ﾄﾎﾞﾄﾎﾞ・・・

770 ：１３２人目の素数さん：04/05/27 00:14

行列つかってフィボナッチ数列解けるって聞いたんだけどどうやんの？

771 ：１３２人目の素数さん：04/05/27 00:42

>>770

f:(a, b)→(a + b, a)

という線形写像を考える。(1,1)にfを作用させると(2,1)に、
もう一回作用させると(3,2)に、もう一回作用させると(5,3)。。。

あとは適当に推測汁。

772 ：１３２人目の素数さん：04/05/27 01:03

>>770

>>771の線型写像を対角化して計算すれば n の式として考えられる。

773 ：１３２人目の素数さん：04/05/27 08:26

線形代数を体で覚えるのにいい演習本はありませんか？
問題豊富解説豊富な香具師きぼんぬ

774 ：１３２人目の素数さん：04/05/27 13:20

>>773
渋谷に東大数理出身のおねえさんがいるフーゾクがあるので
体で教えてもらえ。

775 ：773：04/05/27 13:56

>>774
(*ﾟ∀ﾟ)=3・・・・・・・・(´･ω･`) ｼｮﾎﾞｰﾝ

776 ：KingMathematician ◆5lHaaEvFNc ：04/05/27 15:17

Re:>>774 東大数理は女性自体が少ないというのに…。

777 ：１３２人目の素数さん：04/05/27 21:48

「銭形平次：銭型平次＝線形代数：線型代数」というわけでもあるまいが……。

http://www5a.biglobe.ne.jp/~sunomono/iro0048.html 2002-06-03 (1) 23:39:45

778 ：１３２人目の素数さん：04/05/28 00:24

>>379
チラと立ち読んできたけど、なかなか面白げだった。

779 ：１３２人目の素数さん：04/05/28 14:40

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780 ：１３２人目の素数さん：04/05/30 21:06

次の行列は体角化不可能である。
（　３　０　０　）
（　２　１　０　）
（　０　１　１　）

その理由は、「固有空間が１次元なので」らしいが・・・・
どういうことなのかよくわからんです。

噛み砕いて説明してくれ～

781 ：１３２人目の素数さん：04/05/30 21:07

わりい、「対」角化だった。

782 ：１３２人目の素数さん：04/05/30 21:10

対角化できる
→一次独立な固有ベクトルが三つある。

ってことだ。それを踏まえてどんな固有ベクトルがあるか計算してみそ。

783 ：１３２人目の素数さん：04/05/30 21:34

固有ベクトルはなんとか出せたょ。２つ出ました。
「対角化できる→一次独立な固有ベクトルが三つある」
アホで申しわけないが、それがどうしてかがわからん。。。

784 ：１３２人目の素数さん：04/05/30 21:36

対角化して

（　a　0　0　）
（　0　b　0　）
（　0　0　c　）

となるなら、(1 0 0), (0 1 0), (0 0 1)ってベクトルは固有ベクトル
だろう。しかもそれぞれ一次独立だ。

785 ：１３２人目の素数さん：04/05/31 17:51

('A`)
K上の線形空間V、Wについて

Hom(V→W)

とか書いてあるんですけど、
Homの定義って何ですか？

786 ：１３２人目の素数さん：04/05/31 18:40

おそらく準同型写像の集合だろう．

787 ：１３２人目の素数さん：04/05/31 18:53

ようするに、線形写像の集合なわけだが。

788 ：１３２人目の素数さん：04/05/31 22:31

Hom = Homomorphism

789 ：１３２人目の素数さん：04/06/06 21:12

これどうやるの？

ＶをＫ係数の３ｎ以下の多項式全体のなすベクトル空間とする。
ωを１の虚数立方根とし、
Ｗ＝｛f（ｘ）∈Ｖ｜ f（ωｘ）＝f（ｘ）｝とおく。

（１）ＷはＶの部分空間であることを示せ。
（２）Ｗの基底を１組求めよ。

題意すらよくわからんが。

790 ：１３２人目の素数さん：04/06/06 21:20

>>789
随分と偉そうだな。
人にものを聞く態度じゃないな。

791 ：数学科二年 ◆z43KfXmNYE ：04/06/06 21:20

>>789
f（ωｘ）＝f（ｘ）を満たすような多項式を持って集めたものがＷ、ＷがＶの部分空間になる証明は、
Ｗの任意の２元の和ｈ（ｘ）もｈ(ωｘ)＝ｈ(ｘ)をみたすことをいえばいいし、任意のスカラー倍もみたす（これは自明）ことを言う。
基底は一意的じゃないから、適当に１組もってくれば十分。

792 ：１３２人目の素数さん：04/06/06 21:40

なるほど！　感謝します！

793 ：１３２人目の素数さん：04/06/06 21:53

1,x^3,x^6,…だべ

794 ：789：04/06/07 00:18

あれ・・・・・。
やっぱり何だかよくわからなくなった・・・。

明日、黒板に解かなくてはいけなくなったんですが、どなたか黒板に書ける解答例をお願いできますか（ＴＴ）

795 ：１３２人目の素数さん：04/06/07 00:24

自分で解けないなら、前に出て解く必要はないんじゃないか。

796 ：789：04/06/07 00:35

強制的に当てられたんだ。

797 ：１３２人目の素数さん：04/06/07 00:38

力強く、教師に向かって「出来ませんでした。」と言うのじゃ。
前日まで放置してきた藻前が悪い。

798 ：おyaじ：04/06/07 00:48

それでとりあえず単位がとれりゃいいやん。

799 ：789：04/06/07 00:49

べつに説教を頼んだつもりもないが？

800 ：１３２人目の素数さん：04/06/07 00:51

>>799 君には失望した、帰りなさい。

801 ：１３２人目の素数さん：04/06/07 00:52

>>800

そう冷たい事言ったらかわいそうだ。黙って放置してあげないと。

802 ：789：04/06/07 00:55

なにを偉そうに。
実はおまえも解けないんじゃなかろうな。

くだらん・・・・。寝るか。

803 ：１３２人目の素数さん：04/06/07 11:41

すいません。以下の証明の仕方を教えてください。
本当に困っています。よろしくお願いします。

「ある正方行列Aが非負定値行列だとします。
このときdet(A)はAの対角成分の積以下になる。」

804 ：１３２人目の素数さん：04/06/07 13:07

detA=0の時は明らか。
Aが正定値行列ならば、A=†TTとなるような三角行列Tが存在するから明らか。

805 ：１３２人目の素数さん：04/06/07 16:04

>>804
今気付きました。助かりました。
本当にありがとうございました。

806 ：１３２人目の素数さん：04/06/07 19:52

439

807 ：１３２人目の素数さん：04/06/07 20:15

なんで部分空間って原点とおるの？そうきめたから？定義の、元のｘ、ｙについてｘ＋ｙがその集合に
属すとは限らないくなるから？
いってることがよくわからなかったらごめんなさい。スウガク初学者なので、、、

808 ：１３２人目の素数さん：04/06/07 21:12

>>807
体K上の線形空間Vの定義に

0x = o （0はKの加法に関する零元、oはVの零ベクトル）

を含めれば自明だね。

含めない場合は……

809 ：１３２人目の素数さん：04/06/07 21:45

>>808
0x = 0 を定義に含める？なにそれ？
そんな説明では >>807 はさらに混乱するだけだと思うが。

810 ：777：04/06/07 21:48

スレタイを見て線形環/線型環～商環の話をするスレかと思ったYo.

http://mathworld.wolfram.com/QuotientRing.html

811 ：１３２人目の素数さん：04/06/07 21:51

>>810
なんだそれ？
普通、環（algebra)を割るのは部分環じゃなくてイデアルだろ。

812 ：777：04/06/07 21:55

>>811
はぁ？シラねーよﾎﾞｹ。
てめえ、ぬっころすぞ！！

813 ：KingMathematician ◆5lHaaEvFNc ：04/06/07 22:00

Re:>>812
Rを環として、SをイデアルでないRの部分環とする。
R上の同値関係～を、a～b⇔a-b∈Sとして定める。
R/～に自然な環の構造を入れることは可能か？

814 ：KingMathematician ◆5lHaaEvFNc ：04/06/07 22:04

Re:>>807
Xを線型空間(一般にR-module(Rは単位元をもつ環))として、Yを部分空間としよう。
Yは空でないから、y∈Yをとって、
-y=(-1)*y∈Y,
y+(-y)=0∈Y

815 ：１３２人目の素数さん：04/06/07 22:21

Uがユニタリ行列で，Qが準正定行列とします。
このときUQU†のトレースとQのトレースは等しい。
（U†はUの複素共役転置）

この命題あってますか？あってるとしたら証明お願いします。

816 ：１３２人目の素数さん：04/06/07 22:24

一般に正方行列A,Bに対してtr(AB)=tr(BA)だよ。

817 ：815：04/06/07 22:26

>>816
すいません。自分文型なのでそれを使ってどう示せばいいのか
分かりません。どうか教えていただけないでしょうか？

818 ：１３２人目の素数さん：04/06/07 22:27

>>814
> -y=(-1)*y∈Y
-yはyの逆元だと思うが，一般の線形空間において上の等式はどこから導ける？

819 ：815：04/06/07 22:29

>816
すいません。分かりました。
レベルの低い質問で晩を汚して申し訳ありませんでした。

820 ：１３２人目の素数さん：04/06/07 22:30

>>818
馬鹿かお前。大丈夫か？？？

821 ：１３２人目の素数さん：04/06/07 22:34

>>820
では線形空間の公理から導いてみてください。

822 ：１３２人目の素数さん：04/06/07 22:35

0y+0y=(0+0)y=0y ∴0y=0
y+(-1)y=(1-1)y=0y=0 ∴-y=(-1)y

823 ：KingMathematician ◆5lHaaEvFNc ：04/06/07 22:36

Re:>>818
とりあえず、Rを単位元をもつ環として、R-moduleの上で話をしよう。
Rの単位元を1と書く。Rの零元を0と書く。
0*y=0*y+0*y-0*y=(0+0)*y-0*y=0*y-0*y=0
(-1)*y=(-1)*y+y-y=(-1)*y+1*y-y=(-1+1)*y-y=0*y-y=-y

Re:>>817
行列の積の定義とtrの定義から直接証明できる。

824 ：１３２人目の素数さん：04/06/07 22:36

>>821
コイツ、真性？？？

825 ：１３２人目の素数さん：04/06/07 22:44

>>823
よく理解できた。ありがとう。

826 ：１３２人目の素数さん：04/06/07 22:44

>>813-814
加法群のほうはもちろんOKだから問題は掛け算だな。
掛け算がうまく定義できん。

だいたい >>777 は線型代数～線型環～algebraって
どういう言葉の感覚してんだよ。

827 ：１３２人目の素数さん：04/06/07 22:47

>>823はいいが，>>822は変だな。

828 ：１３２人目の素数さん：04/06/07 22:48

やっぱ真性だったようだ。(-∧-；)　ﾅﾑﾅﾑ

829 ：１３２人目の素数さん：04/06/08 01:50

スペクトル分解と特異値分解のイメージみたいなものがあったら
おしえてもらえませんか？
こういう感じ！みたいな・・。
いまいちイメージがつかめないです。
こんな質問でごめんなさい。
よろしくおねがいします。

830 ：１３２人目の素数さん：04/06/08 13:00

>>829
射精する直前に体がゾクゾクする感じ

831 ：１３２人目の素数さん：04/06/08 22:59

>>830
ペドさん？

832 ：１３２人目の素数さん：04/06/09 01:40

行列Aと行列Bの固有値が多重度も含めて等しい事をいうには
何が言えればいいですか？

833 ：１３２人目の素数さん：04/06/10 21:11

>832
正則行列Pにより相似 A=PBP~ (PP~=I)

834 ：832：04/06/11 00:44

>>833
Thx

835 ：linear PDE ◆O5M8Y2WWjk ：04/06/11 00:46

>>831
違うずら。
漏れならもうちょっと上品だよ。
このスレ今日初めて来た。

836 ：１３２人目の素数さん：04/06/11 00:49

>>834
A, B が対角化可能とかを仮定していないと、間違いなんだけど。

837 ：１３２人目の素数さん：04/06/11 00:53

>>832
固有値求めるしかない
うそ

838 ：１３２人目の素数さん：04/06/11 02:07

>>832
特性多項式の一致が必要十分条件です。

>>833
多重度を含めて固有値が一致しても相似では無い
行列A,Bは簡単に作れます。

(例)
A: (1,2)成分のみ1で他成分は全て0の2次行列
B: 2次の零行列

839 ：１３２人目の素数さん：04/06/11 07:44

>838
[833]は十分条件の一つでつ（必要条件ではない）。

840 ：１３２人目の素数さん：04/06/11 07:51

>>839
>>838がそう言ってる。

841 ：１３２人目の素数さん：04/06/11 08:24

その例だと、Aの固有値は0でBの固有値は0（重複度2）じゃないの？

842 ：１３２人目の素数さん：04/06/11 14:05

固有値の重複度を
>>838 は固有多項式における重複度
>>841 は固有空間の次元
と解釈している。さて、どちらが正しいでしょうか。

843 ：KingMathematician ◆5lHaaEvFNc ：04/06/11 16:05

Re:>>842
固有値の重複度なんて聞いたこと無いような気がするが、
固有多項式の根の重複度なら分かる。

844 ：１３２人目の素数さん：04/06/11 16:08

>>843
勉強不足

845 ：１３２人目の素数さん：04/06/11 17:44

multiplicity one theoremとは固有値の重複度が1であるという定理

846 ：１３２人目の素数さん：04/06/11 17:46

でないと、無限次元のベクトル空間ならどうするのか、ということになる。

847 ：１３２人目の素数さん：04/06/11 19:51

力学では縮退度（degree of degeneracy)と呼ぶらしいYo.

848 ：１３２人目の素数さん：04/06/12 19:11

157 名前：KingMathematician ◆5lHaaEvFNc [] 投稿日：04/06/12 18:55
Re:>>149
それじゃあ、お前が固有値の重複度を説明しろ。

Re:>>148
それにしては、どこが間違っているのか説明しないな。
無限回微分可能とはなにか？
そして、無限回微分可能と無限回連続的偏微分可能が同値なのかどうか、
それを述べてもらう。
それと、一日も経たないうちに逃亡したなどと云うなよ。

849 ：１３２人目の素数さん：04/06/12 19:58

>>848
なるほど、

＞843 ：KingMathematician ◆5lHaaEvFNc ：04/06/11 16:05

からは丸一日たったわけですな。
「一日も経たないうちに逃亡したなどと云うなよ」とは言ったが、「一日
経ったら逃亡したと云ってよい」とは言わなかったとレスしそうですなｗ

まさか、向こうで教えてもらってから、こっちでレスするつもりかい。

850 ：KingMathematician ◆5lHaaEvFNc ：04/06/12 20:20

Re:>>848-849
わざとやってるだろ。
荒らしは数学板に来るな。

851 ：KingMathematician ◆5lHaaEvFNc ：04/06/12 20:22

【数学板の】KingMathematician【貴公子】
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1086433573/415

852 ：KingMathematician ◆5lHaaEvFNc ：04/06/12 20:23

sageで文句を云うのは卑怯だぞ。

853 ：１３２人目の素数さん：04/06/12 20:25

>>850
お前他のスレで趣旨無視した連続レスして、荒らすなと言われても一向に無視。
で、お前はなんだ、偉そうに。もっと考えろよ

854 ：テスト：04/06/13 03:06

test

855 ：１３２人目の素数さん：04/06/14 03:01

　　　　　　　　　　　　　　「￣￣了
　　　　　　　　　　　　　　l h「￢丨　＜　はーいKingMathematicianが通るからどいて
　　　　　　／￣￣＼＿_,ト、Д/＿＿＿＿
　　　　　／　　　/￣Yi.　/　 jﾃ、　　　　　 f￣ヨ
　　　　/　　／∧ /　/　 /.i　l　iー――‐u'￣
　　　./　／ Д｀ /　/　 / /　l　l
　　 i'　　／　　ｌ　ヽ../　　ﾚ'　　l　l
.　 /　 _/　＼　 !、　lヽ＿＿＿_」　l
.　 !、/　＼.　＼　＼l　　　　　　ト./
　　　ﾄ、＿_＼/ﾄ、/ﾄ、　　y　　 l
　　　l　　　￣(　）y　）　 /l　　　i
　　　l　　　l 　 Y''/ー'　 / .l　　　l
　　　!、　　l　　l./　　　/　 l　　　l
　　　/　　/　　l/　　 ,/　　i'　　 l
　　/_　 ./l　　 l｀ー‐〈　　　ﾄ.＿_」
　　L_｀`^yﾄ.＿」、ー"　　　`ヽ＿」
　　　`ー'　`ヽ＿」

856 ：１３２人目の素数さん：04/06/15 14:43

test

857 ：１３２人目の素数さん：04/06/19 21:43

>>767
(2)が成立しないと仮定すると､
X、Y、ZをそれぞれA、B、Cの随伴行列としたとき、
∀x(≠0) (XA+YB+CZ)x≠0 ∴ det(XA+YB+ZC)≠0
これは矛盾

858 ：１３２人目の素数さん：04/06/19 22:13

CZ→ZC
"これは矛盾"→"(1)⇒(2)"

859 ：１３２人目の素数さん：04/06/22 07:22

線形代数ってどのへんが面白いんですか？マジ分けわかんなくてつまらんです。

860 ：１３２人目の素数さん：04/06/22 20:17

すべてが面白いわけじゃない。

面白くなくてもやらないといけないことはある。

861 ：１３２人目の素数さん：04/06/23 06:03

リー代数とかの概論的な本を読むのはどうかな？
リー代数や群の作用の話を知って線型代数をやり直す学生って少なくないはず。

862 ：１３２人目の素数さん：04/06/23 06:04

というか、線型代数って結構奇麗だと思ったけど・・・。感覚の違いか。

863 ：１３２人目の素数さん：04/06/23 08:03

わかんなくてつまらんって話なら、
何が面白いかより、まずわかるようにならんと。

864 ：１３２人目の素数さん：04/06/23 20:44

直行行列＝正則行列

としか思えないのですが間違っているでしょうか？
アドバイスよろしくお願いします。

865 ：１３２人目の素数さん：04/06/23 20:48

>>864

866 ：１３２人目の素数さん：04/06/23 21:24

>>864
直交行列の全体⊂正則行列の全体
　 ~~

867 ：１３２人目の素数さん：04/06/23 21:32

>>862
一般的な話はきれいだけど、Jordan 標準形とか固有値が縮退する
場合は、けっこうめんどいと思う。
nilpotent orbit に美を感じる人もいるだろうけどね。

868 ：１３２人目の素数さん：04/06/23 21:32

P-1 * P = I

を満たせば直行行列とありました。
正則行列でこれを満たさない場合などあるのでしょうか？

869 ：１３２人目の素数さん：04/06/23 21:33

>>868
そんな本は捨ててしまって、別の本で勉強すべき。

870 ：１３２人目の素数さん：04/06/23 23:35

>>867
そうですね．確かにジョルダン標準型を初等的な知識で取り扱うと
面倒でしかたがないです．
友人が単因子のアプローチでやったら見通しが良くなるとか言ってた
ような．．．岩波基礎数学選書の杉浦ジョルダンでも読むと良いのかも．

871 ：１３２人目の素数さん：04/06/24 13:25

>>868
t と -1 を間違えたんじゃね。いや、しかし t は左に書くものか…。
とりあえず、なんて本か教えれ。

872 ：１３２人目の素数さん：04/06/24 19:34

SO(n) ⊂ O(n) ⊂ GL(n)

としか思えないのですが間違っているでしょうか？
アドバイスよろしくお願いします。

873 ：１３２人目の素数さん：04/06/24 19:50

>>872
まー確かにそーとしか思えんな。

874 ：１３２人目の素数さん：04/06/24 19:58

>>871
それで正解でない？右に書く人もいる。

875 ：１３２人目の素数さん：04/06/24 21:27

ご察しの通り
t と -1 を間違えました・・・

結果的に
P-1 * P = I
になるとの事です。。。

お騒がせしてすみませんでした。

876 ：１３２人目の素数さん：04/06/24 22:05

質問させてもらいます。

行列の基本変形をしても、保たれる性質とは何でしょうか？
斎藤本でも、具体的な説明はしていないように思えます。
なんとなく解らなくもないのですが、、、、やっぱり解りません。

具体的に箇条書きなどしてある書籍、Webページなどありましたら教えて下さい。
よろしくお願いします。

877 ：１３２人目の素数さん：04/06/24 23:22

>>876
det

878 ：１３２人目の素数さん：04/06/24 23:46

>>876
階数

879 ：１３２人目の素数さん：04/06/25 00:05

>>876
連立方程式の解

880 ：１３２人目の素数さん：04/06/25 20:02

>>877
ある列（行）に0でない定数をかけたらdetは保たれない。

881 ：１３２人目の素数さん：04/06/25 20:44

四元数体上の線形代数は実数体上や複素数体上とどう違うんや

882 ：KingOfKingMathematician ◆H06dC8bpwA ：04/06/25 22:22

Re:>881 スカラー同士の積が可換でない。

883 ：１３２人目の素数さん：04/06/26 07:48

>>882
だから何？
四元数体上の1次正方行列は全て a + bi に相似（共軛）になる。 n 次正方行列は相似で分類すると、どうなるのだ。

884 ：１３２人目の素数さん：04/06/26 07:51

>>883 = ｳﾞｧｶ ?

885 ：１３２人目の素数さん：04/06/26 16:39

>>883
追加 b ≧ 0

886 ：１３２人目の素数さん：04/06/27 16:29

一次方程式系の解き方が全くわかりません(´･ω･`)

887 ：１３２人目の素数さん：04/06/27 18:55

マセマの線形台数キャンパスゼミの次にやる問題集ってなにかいいのありますか？

あの黄色い線形台数演習って良いの？

888 ：１３２人目の素数さん：04/06/27 21:29

>887
>マセマの線形台数キャンパスゼミ

プ
お子様向けのクソ本やるガキは
いつもでもお子様向けクソ本読んでろ

889 ：１３２人目の素数さん：04/06/27 21:33

>>888
ﾊｹﾞﾄﾞｳ

890 ：１３２人目の素数さん：04/06/27 22:30

ここはじめて来たが、哀れなやつ多いな
考え方がくされみたいな

891 ：１３２人目の素数さん：04/06/27 22:32

890が一番哀れ

892 ：線形太郎：04/06/28 12:16

部分空間であることを示すにはどうしたらいいんだ・・・
こういうことが当たり前にわかるようになるくらいお子様向けじゃない本
で分かりやすくてお勧めなのがあったら教えて(　ﾟдﾟ)ﾎｽｨ…
線形台数といったら今まで行列＆行列式の話ししか知らなかった
頼みますマジレスです

893 ：１３２人目の素数さん：04/06/28 14:26

どんな本にも、ベクトル空間の定義の次に短く書いてあるよ。
W が V の部分空間であるとは、
W の任意の元 u、v と、任意の実数(複素数) a、b について
au＋bv が W の元になる。
と言うこと。
実数を掛ける、和をとる、の意味が解ってれば、イメージできるよ。
＞行列＆行列式の話ししか
教科書にはその他色々書いてある筈だから読み直せ。大発見がいっぱい有るぞ。

894 ：１３２人目の素数さん：04/06/28 14:29

>>892
演習の本は或るの？模範解答を参照すれば一発だ。

895 ：１３２人目の素数さん：04/06/28 20:53

>>893
ベクトル空間におけるスカラー（積）って、実数か複素数しか考えなくていいの？
環であればよさそうな気がするが…斎藤でも限定されてたような。

896 ：１３２人目の素数さん：04/06/28 21:37

>>893
> W が V の部分空間であるとは、

V の空でない部分集合 W が V の部分空間であるとは、
と書いてあるはずです。

> W の任意の元 u、v と、任意の実数(複素数) a、b について
> au＋bv が W の元になる。

897 ：１３２人目の素数さん：04/06/28 21:58

>>895
＞スカラー（積）って、
スカラー倍ならば、ベクトルの応用範囲を考える時、複素数までと、制限して考えた方が自然だ。
制限なしでは、特に接ベクトルや、函数空間をベクトルとして扱う上で余分な但し書きが必要になる。
ベクトル間の外積まで考えるときは環とか代数と呼び、環係数で考える時は、モジュール(加群)等と
呼び、線型代数の応用として別の扱いをする。一貫した名付け方は確立してないかも。

>>896
重要な補足深謝。資料なしがばれた。↑についてもよろしく。

898 ：１３２人目の素数さん：04/06/29 13:32

大学院入試には行列の難しい問題も出るが
あれは線形代数にはいるのか？

899 ：１３２人目の素数さん：04/06/29 13:46

>>898
行列の問題は線形空間の問題に帰着できれば、明かと云うパターンが多かろう。

900 ：線形太郎：04/06/29 16:02

「一次従属｣とか「一次独立」とかいった概念が意味を持つのは次のうちどれか？
・ベクトル空間の要素のｎ組
・実ベクトル空間のｎ組
・一次結合λ1V1+λ２V2・・・λｎVｎ
全部意味を持つように思うんですが、答えは一個目だった・・・
なんでですか？

901 ：１３２人目の素数さん：04/06/29 16:10

>>900
複数のベクトルについて意味が有る概念なのだ。二個目は空間の組、三個目は単一ベクトル。

902 ：１３２人目の素数さん：04/06/29 19:23

>>898-899
大学入試でも行列の難しい問題が出ている。
2004年度帯広畜産大。
あれが線型空間の問題に帰着出来るとは思えん。
解き方教えて。

903 ：１３２人目の素数さん：04/06/29 19:26

>>902
お前さん、全員が2004年度帯広畜産大の問題知ってるのかとｗ
どんな問題か教えてくれよ

904 ：１３２人目の素数さん：04/06/29 19:27

>>902
大学入試だから2次行列だが、勿論一般次数のバージョンで。

905 ：線形太郎：04/06/29 19:35

>>901
納得しました。ありがとうございます。
>>894,893
今教科書読み直してます。ぜんぜん理解不能に近いですが、ちょっとずつ分かってきたような
気がしてます

906 ：１３２人目の素数さん：04/06/29 19:37

>>903
失礼!
正方行列 A の逆行列を A^ で表す事にする。
A, B が正定値実対称行列で、 A - B も正定値なら、 B^ - A^ も正定値。

907 ：１３２人目の素数さん：04/06/29 19:39

正定値ってなんだっけ・・・？

908 ：１３２人目の素数さん：04/06/29 21:07

Aが正定値であることを、A>0とかく。B^(-1/2)=Cとおく。
　X>0ならば、任意の正則行列Yに対して、Y^*XY>0　・・・(1)
これは、定義に戻れば明らか。
　X-E>0ならば、E-X^>0　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・(2)
これは、Xを対角化すればよい。

A-B>0 ⇒ C(A-B)C=CAC-E>0 ⇒ E-C^A^C^>0 ⇒ C(E-C^A^C^)C=B^-A^>0
　　　　 (1)　　　　　　　　　　　　 (2)　　　　　　　　　(1)

909 ：KingOfKingMathematician ◆H06dC8bpwA ：04/06/29 21:58

Re:>907
(Ax,x)>0 for all x≠0

910 ：UltraMagic ◆NzF73DOPHc ：04/06/29 21:59

(,)と書いたのは勿論内積である。

911 ：１３２人目の素数さん：04/06/30 09:08

>>908
thanks
B^(-1/2)とは気が付かなかった。
これ好きの定理を使って出た事は出た。

912 ：１３２人目の素数さん：04/06/30 10:35

＞これ好きの定理
てなぁに？

913 ：１３２人目の素数さん：04/06/30 10:51

>>921
例えば
http://www.e.u-tokyo.ac.jp/~omori/Ox/Sample/matrix.htm
参照

914 ：１３２人目の素数さん：04/06/30 11:15

>>913
参照ページ見て「コレスキ分解とは」で検索し直して分かりました。
こんなことにも人名を付けるのね。中身しか知らないのが多い。両方知らないのも･････。

915 ：１３２人目の素数さん：04/06/30 19:53

冪零行列は、対角成分が0の上三角行列を想定すればいいのですか？

916 ：UltraMagic ◆NzF73DOPHc ：04/06/30 19:55

Re:>915
そうだな。冪零行列は固有値が0のみであることに注意しよう。
そして、任意の正方行列は、適当な上三角行列と相似であることから[>915]に行き着く。

917 ：１３２人目の素数さん：04/06/30 19:56

>>915
それで良いと思います。
代数閉体上ではその様な行列に相似になります。

918 ：１３２人目の素数さん：04/06/30 20:00

>>916-917
素早いレスありがとうございます。

919 ：UltraMagic ◆NzF73DOPHc ：04/06/30 21:34

念のため言っておくが、上三角行列だけが冪零行列なのではない。

920 ：１３２人目の素数さん：04/07/01 12:27

>>919
当たり前だ。ｱﾌｫ

921 ：１３２人目の素数さん：04/07/01 12:55

>>898
有限群(の表元)、リー群、リー環、多様体、代数群などの問題が形を変えて出るって事だよ。

922 ：１３２人目の素数さん：04/07/03 17:46

マセマがお子様向けらしいけど、俺アレで部分空間とかの概要は理解できて
普通の本でも理解できるようになったよ。

ここって数学科専用？

923 ：１３２人目の素数さん：04/07/03 17:50

バカ抜かせ
甘えに理解出来るわけがない

924 ：１３２人目の素数さん：04/07/03 18:00

>>923
出来るって（怒）！

で、君数学科なの？そうなら俺のやってることはまだ程度が低いかもしれない。

925 ：１３２人目の素数さん：04/07/03 19:48

大学1年までだったら数学科もそれ以外の理科系も大して変わりはない。

926 ：１３２人目の素数さん：04/07/05 18:13

無限次元ベクトル空間の線型写像の固有値ってどうやって求めるの？
(位相はないとする。)

927 ：１３２人目の素数さん：04/07/07 18:40

>>926　の続き。
例えば基底が v_n, n ∈ Z で与えられるベクトル空間で、
a_ii = a, a_ij = b (|i - j| = 1) a_ij = 0 （その他）
で与えられる行列の固有値は？固有ベクトルは？固有空間は？

928 ：ペプシ工員：04/07/08 00:19

>>926-927
関数解析を勉強するとわかる

929 ：１３２人目の素数さん：04/07/08 00:37

「スペクトル、レゾルベント」でネット検索、が良さげ。

930 ：１３２人目の素数さん：04/07/08 16:16

>>685
AとtAの特性x-行列xE-AとxE-tAが対等であることを言えばよい。
基本行列の積で構成されるP(x)とQ(x)は可逆行列で、xE-Aと対等な標準形D(x)が得られたとする。
　　　P(x){xE-A}Q(x) = D(x), D(x)は標準形で対角行列は単因子より成る。
　　　t{P(x){xE-A}Q(x)} = tD(x) = D(x) =tQ(x){xE-tA}tP(x)
P(x)とQ(x)が基本行列の積で可逆なら、tP(x),tQ(x)も基本行列の積で可逆行列。
これよりxE-tAとD(x)は対等であることが分かる。
従ってxE-AとxE-tAは対等、よってAとtAは相似である。

931 ：Ａ^n=Ｏ：04/07/08 19:43

　 ∧＿∧ 　　
　（　´∀｀）＜　にるぽ

932 ：Ａ^n=０：04/07/08 19:54

　（　・∀・）　　　|　|　掛ｯ
　と　　　　）　　 |　|
　　Ｙ　/ノ　　　人
　　　 /　）　　 < 　>__Λ∩
　＿/し'　／／. Ｖ｀Д´）/ ←>>931
　（＿フ彡　　　　　　　/

933 ：１３２人目の素数さん：04/07/10 15:44

ねえねえ、ジョルダン標準形のジョルダンって「カミーユ・ジョルダン」っていう名前なんだってさ！
Ｚの鼓動を感じるよね！

934 ：１３２人目の素数さん：04/07/10 17:18

同じ事書くなｳﾞｧｶ

935 ：１３２人目の素数さん：04/07/10 17:32

>>930
の証明は一般の体では通用しないが、
例えば、全ての行列を有理数上で考えても成立するのか？
（つまり有理数を要素とする行列の意）

936 ：１３２人目の素数さん：04/07/11 04:21

>>935
> >>930
> の証明は一般の体では通用しないが、
？？？？？

937 ：１３２人目の素数さん：04/07/12 07:51

>>936
＞対角行列は単因子より成る。

単因子を一次行列と見れば通用しない。

938 ：１３２人目の素数さん：04/07/13 02:29

つい先日　Ｋ塾（予備校）の講師室で単なる固有値問題の質問に答えてる講師が「スペクトル分解が～～」とか言ってた。
漏れが無知なのかもしれないが対角化のこと（三角化でも可　所詮大学入試レベル）をスペクトル分解というの？

939 ：１３２人目の素数さん：04/07/13 03:03

ある行列Mとその転置行列で行列式が等しいこと
det(M) = det(tM)
の証明を荒っぽくでいいから教えて！

940 ：FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM ：04/07/13 06:56

Re:>939 行列式の定義を見よう。

941 ：FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM ：04/07/13 06:57

あるいは、展開を使いつつ、数学的帰納法。

942 ：１３２人目の素数さん：04/07/13 07:00

>>939
体のときにしか使えないけど。

行列式の多重線型性と交代性より、
基本行列 P に対し、det(AP)=det(A)det(P),
A が正則でないならば、det(A)=0.

また、P が基本行列ならば det(tP)=det(P) である。

det(M)=det(tM) の証明は次のようになる。

M が正則でないとき。
det(M)=det(tM)=0 なので ok.

M が正則なとき。
M=P1P2...Pn と基本行列の積で表す。
det(tM)=det(tPn...tP2tP1)=det(tPn)...det(tP2)det(tP1)
=det(Pn)...det(P2)det(P1)=det(P1)det(P2)...det(Pn)
=det(P1P2...Pn)=det(M)

943 ：１３２人目の素数さん：04/07/13 18:27

>>938
主に対称行列などの時。

944 ：１３２人目の素数さん：04/07/13 18:28

>>939-942
体でなくても OK

945 ：939：04/07/13 19:07

>>940-944
どうもありがとうございます。

自分の持っている線型代数の本では、行列式の定義を使って証明していました。
(質問した時点では見つけられなかった。)

946 ：１３２人目の素数さん：04/07/13 20:46

>>937
それじゃ>>685の証明作ってみてよ

947 ：１３２人目の素数さん：04/07/13 23:37

固有多項式は不変

948 ：１３２人目の素数さん：04/07/14 00:24

よくわかんないけど>>930の証明の方針にしたがって
(xE-tA)=B(xE-A)B BはBij=1 (i+j=n+1 のとき) 0 (それ以外)で定義される行列。(nは行列のサイズ)
じゃダメ？

949 ：１３２人目の素数さん：04/07/14 00:33

あれ？よく考えたらxE-AもなにもtA=BAB^(-1)なんだからこれでおわりのような･･･

950 ：１３２人目の素数さん：04/07/15 10:47

help!この問題が解けません。線形代数の問題だと思うんですが・・
誰か解き方教えてください（多分結構難しい気がします）

以下の直線ｍ、ｌの共通垂線上における距離を求めよ。ただし２直線は平行でなく交わらない

ｍ：　（x-a)/J = (y-b)/K = (z-c)/L

　ｌ：　（x-d)/M = (y-e)/N = (z-f)/P

951 ：FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM ：04/07/15 15:20

Re:>950
回転(裏返しありでもよい。)して一方の直線をx軸に乗せると楽になるかもしれない。

952 ：数学科二年 ◆ww/WWWwwws ：04/07/15 15:37

>>950
ｌと交わるような法線ベクトルを考えればいけるよ

953 ：１３２人目の素数さん：04/07/15 15:40

>>950
x=(J,K,L),y=(M,N,P)
a=(a,b,c),b=(d,e,f)

a-bをx*yに正射影すればいい。

|<a-b,(x*y)/|x*y||>| = |det(a-b,x,y)|/||x*y||

954 ：１３２人目の素数さん：04/07/15 22:23

いぱーいれすありがトン
何とか自力で解いたんですが、なんかスマートじゃない
いろんなテクニックがあるもんなんですね
回転？さっぱり分かりません
正射影？聞いたことありますねちょっとやってみます
方程式が３つ立てられてクラメルの公式とか使ったりしたんですけど
これってだいぶ遠回りなんでしょうねぇ。。。

955 ：FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM ：04/07/15 22:25

Re:>954
回転とは、正格直交行列で座標変換すること。

956 ：テスト前大学生：04/07/17 15:50

助けてください！！右手系と左手系ってどーゆー違いですか？ってゆーか何ですか？！

957 ：FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM ：04/07/17 15:53

Re:>956 ベクトルを、基準となる基底における成分で表して並べてできる行列の行列が正か負かの違い。

958 ：FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM ：04/07/17 15:54

Re:>956 全てのベクトルを、基準となる基底における成分で表し、順番どおりに並べてできる行列の行列式が正になるか負になるかの違い。

959 ：FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM ：04/07/17 15:55

Re:>956 こんな説明では分かりにくいかも知れないが、まぁよく考えてくれ。

960 ：１３２人目の素数さん：04/07/17 15:57

>>959
引っ込めバカ

961 ：FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM ：04/07/17 15:58

Re:>960 おまえもな。

962 ：１３２人目の素数さん：04/07/17 16:47

私は右手系、左手系などと言わず、ﾁﾝ系、ﾏﾝ系と言って居る

963 ：テスト前大学生：04/07/19 15:24

ではベクトルX=(X,X^2,X^3)とし
X=a,b,c,d(a<b<c<d)となる四つを代入してできる点についてそれぞれA、B、C、Dと呼ぶと
ベクトルAB AC ADは右手系ですか？左手系ですか？
順に並べて行列にするってのはこの場合
３つのベクトル成分を列ベクトルにしてAB AC ADの順に並べて三次の正方行列にして行列式を計算すればいいんですか？

964 ：１３２人目の素数さん：04/07/19 15:29

>>963=YahooBB219043202078.bbtec.net (219.43.202.78) Mozilla/5.0 (Windows; U; Windows NT 5.1; ja-JP; rv:1.4) Gecko/20030624 Netscape/7.1 (ax)

965 ：１３２人目の素数さん：04/07/19 16:06

そろそろ新スレですな。

966 ：１３２人目の素数さん：04/07/21 20:29

>>930
の類題。有理数を要素とする正方行列 A は、
その転置行列と有理数を要素とする可逆行列 P により相似。

967 ：１３２人目の素数さん：04/07/23 21:21

ＶをＩＫの上のｎ次元ベクトル空間とし（Ei）i=1からｎ、をVの基底とする。
ベクトルu∈Vの基底（Ei）i=1からｎ、に関する成分をu^ｉとする：u＝Σi=1からｎ、u^iEi・ａｉ＞0を定数とし、
写像ｇ：Ｖ×Ｖ→ＩＫを
　　 n
g(ｕ,ｖ)：＝Σai(u^i)^*v^i, u,v∈V
i=1
によって定義する。このときｇはＶの内積であることを示せ。
初心者なので全くわかりません。
問題の書き方もよく分からなかったので見にくかったらすみません。
ヒントだけでもいいので教えてください。
お願いします。

968 ：967：04/07/23 21:26

4行目と6行目のｎとｉ=1はΣのi=1からｎまでというのです。
見にくくて本当にすみません。

969 ：１３２人目の素数さん：04/07/23 21:27

内積の条件を順に確認していくわけだが、
どの条件が分からん？

970 ：１３２人目の素数さん：04/07/23 21:30

もしかして(u^i)^というのは共役をとってるのか？
だとすると内積の定義では右側の線型性を仮定してるのか？

971 ：１３２人目の素数さん：04/07/25 09:59

行列の行列乗って何？

972 ：A^n=O：04/07/25 10:10

　 ∧＿∧ 　　
　（　´∀｀）＜　にるぽ

973 ：１３２人目の素数さん：04/07/25 12:02

>>971
形式的には A^B = exp (B log A)　で定義できる。
実係数なら収束範囲、複素係数なら更に分岐の採り方を考慮する。

974 ：１３２人目の素数さん：04/07/25 12:06

＞973
もう一つ　A^’B = exp {(log A)*B}　と二通りになるか。

975 ：１３２人目の素数さん：04/07/25 12:09

>>973 >>974
A, B の次数が違う時はどうするの？

976 ：１３２人目の素数さん：04/07/25 12:35

＞975
何を考えている？
A+B , AB 等で、A, B の次数が違う時はどうするの？　とは考えないのか？

977 ：１３２人目の素数さん：04/07/25 12:58

exp(A) = e^A で、 e は1次正方行列、 A は n 次正方行列。
これの一般化。

978 ：１３２人目の素数さん：04/07/25 17:53

アフィン結合について詳しく説明してある本やwebページって
ないですかね？

979 ：１３２人目の素数さん：04/07/25 20:15

線形代数/線型代数 2
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1090754133/

たてたよ。

980 ：１３２人目の素数さん：04/07/26 23:35

行列冪はどうなった

981 ：866：04/07/27 01:47

そろそろ終わるな

別スレの866

982 ：１３２人目の素数さん：04/07/27 01:55

λと人って似てるよね！

983 ：１３２人目の素数さん：04/07/27 13:13

>>982
友達だし

984 ：１３２人目の素数さん：04/07/27 13:34

一年三十六日。

985 ：１３２人目の素数さん：04/07/28 07:51

>>978
係数の和が1になるような一次結合のこと?

986 ：１３２人目の素数さん：04/07/28 09:25

>>985
(ﾟДﾟ )ﾊｧ?

987 ：１３２人目の素数さん：04/07/28 11:53

>>986
いや、合ってるだろ。

988 ：978：04/07/28 13:52

書き間違えた。アフィン結合じゃなくて、アフィン写像（変換）
について… だった。アフィン結合は確かに係数の和が１になる
ような一次結合だよね。そのときアフィン写像は線形的に
振舞われるし。

989 ：１３２人目の素数さん：04/07/29 00:12

さくらスレにありますた。

649 ：１３２人目の素数さん：04/07/28 03:50
Aを対称行列　Pを直交行列　でその転置がP'とすると
T(P'AP) = T(A) = ΣΣa[i,j]^2

661 ：659 ：04/07/28 11:13
Aを正方行列　Uをユニタリ行列でその共役転置行列がU†とすると
τ(U†AU) = τ(A) ≡ ΣΣ |a[i,j]|^2

◆ わからない]問題はここに書いてね１４８ ◆
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1090409749/649,659,661

990 ：１３２人目の素数さん：04/07/30 01:01

９９０。

991 ：１３２人目の素数さん：04/07/31 01:01

９９１。

992 ：１３２人目の素数さん：04/07/31 05:06

>>971 >>973-977
■をクロネッカー積とすると、
A^B = exp(B■log A)

993 ：１３２人目の素数さん：04/07/31 10:41

質問です。

n 次実正方行列 A, B に対し、 B = PAQ なる直交行列 P, Q が
存在するための必要十分条件は何ですか?

994 ：１３２人目の素数さん：04/07/31 10:44

Hamilton-Cayley の定理の綺麗な別証が得られたから次のスレに
書くつもり。誰か次スレを立ててくれないかな。
別証といっても俺が今まで知らなかっただけだろうが。

995 ：１３２人目の素数さん：04/07/31 10:47

次スレはもうあるわけだが