★東大京大入試作問者になったつもりのスレ★

だいぶ廃れてきたな。では問題を。

nを自然数とする。
実力が互角な(2n+1)チームによる総当たり戦を行うとき、
どのチームもn勝n敗になる確率を求めよ。
ただし引き分けはないものとする。

　　 　 ∧＿∧∩　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　 （　´Д｀）/＜　先生！ 自然数に0は入りますか？
　＿ / /　　 /　　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
＼⊂ノ￣￣￣￣＼
　||＼　　　　　　　　＼
　||＼||￣￣￣￣￣||
　||　 ||￣￣￣￣￣||
　 　 .||　 　 　 　 　 ||

高校範囲ということで、入れない方向でおながいします。

>>602
入りますよ。って中学の時の先生が言ってた。
恐ろしくバカな教師だ。

>>602
入れるかどうかは個人の自由。

>>601
2{(2n)!/(2^n･n!･(n-1)!)}^(2n+1)÷2^C[2n+1,2] になった。あってる？

しまった。まちがった。無視して下さい。

>>601
2{(2n)!/(n!n!2^n)}^(2n+1)÷2^C[2n+1,2]
これでどう？

>>608
自分も答えに自信がないんだけど、多分違う。
2{(2n)!/(n!n!2^n)}^(2n+1) がn=2で整数でないし。

あ、ホントだ。逝ってくる

>>601
もしかして2^(-2n)？

ちがった。逝ってきます。

>>605
　　 　 ∧＿∧∩　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　 （　´Д｀）/＜　先生！ おまんこにてぃむぽは入りますか？
　＿ / /　　 /　　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
＼⊂ノ￣￣￣￣＼
　||＼　　　　　　　　＼
　||＼||￣￣￣￣￣||
　||　 ||￣￣￣￣￣||
　 　 .||　 　 　 　 　 ||

おいお前ら

答えが２ｃｈになる東大問題考えれ！！

>>614
答えが2abになる問題持ってきてaとbをcとhに変えれば終わり

>>590
ほんとうなのか？

>>616
本当です。

>>614
2 * c * h
http://www.google.com/search?q=2+%2A+c+%2A+h&ie=Shift_JIS&hl=ja&btnG=Google+%8C%9F%8D%F5&lr=

>>614
どちらかというと物理の答えに出てきそうな感じ。

>>590
1/2bcsinA 1/2acsinB 1/2absinC　全部整数にならなきゃいけなくて、
しかもa,b,c素数だから、少なくとも2つの辺は2。
三辺を2,2,aとすると、面積は(4-a^2/4)^(1/2)*a*1/2だけど、
aが2だと整数にならないから、(4-a^2/4)^(1/2)は２の倍数じゃなきゃいけないけど、
aは奇数だから無理。

間違ってるかな・・・

>1/2bcsinA 1/2acsinB 1/2absinC　全部整数にならなきゃいけなくて、
>しかもa,b,c素数だから、少なくとも2つの辺は2。
が嘘くさい。論理が飛躍しすぎ。

>>621
一応、一つ目から、b or cが２の倍数　以下同様　で
偶数素数は２のみだから、少なくとも２つは２
とやっていったのですが、ダメですか？・・・

たとえば
sinA=2/5 のとき、b=5,c=11
とかでも整数になるよ。

>>623
ああ、そうですね・・・。
簡単だと思ったw

>>624
難しく考えすぎなんだよ。
>>591がほとんど答えを言っているようなもの。

>>591のヒントなしだと試験にならないのでは？

いや、与えられた情報が辺の長さのみで
面積の話なんだからヘロンの公式は当然だろ。

もしかして今ヘロンの公式って教科書載ってない？
だったら（1）にヘロンの公式の証明が必要かも…。

>>627
ごもっともだけど、>>591自体軽くはないから、やるには度胸が必要（ｗ
理IVの試験ならともかく

>>628
そんな感じで、あらぬ方向に目を向けて時間を潰さないための措置が
ないと可哀想な気が

時間倍ならノーヒントでOKとも思うけど

そうか、すまなかった。
でも>>590は>>591よりはかなり簡単なんだよ。じつは。

>>591でも相当簡単になってるけど。これ以上に簡単にしめせるん？

いや、三角形の成立条件を考えるとp,q,rがそれほど
散らばらないってこと。大して変わんない。

もうここまできたら良いか。以下解答。

a,b,cを題意の三角形の3辺として面積はヘロンの公式より
{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}^(1/2)/4
であたえられる。これが整数となるには
(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)
が偶数であることが必要。そのためにはa,b,cの1つまたは3つが
偶数であることが必要十分。
1つが偶数のとき、それは2である。残りの2つをq,rとする。
もし q≠r とすると |q-r|>2 となり三角形の成立条件を満たさない。
したがって3つが偶数の場合も含めて {a,b,c} = {2,p,p} （p素数） とかける。
すると面積は (p^2-1)^(1/2) となって整数でない。（∵p≧2）

訂正

もし q≠r とすると |q-r|>2 となり三角形の成立条件を満たさない。
↓
もし q≠r とすると |q-r|≧2 となり三角形の成立条件を満たさない。

なるほど

>>633
漏れが解いたのと同じ感じ。
回答はさりげなく短いけど、（凡人には）try&error必須なんで結構辛いね。

E★★★★くらい？

東京大学よりも難しい問題出してるとこだってあるのに、なんでこのスレ立ち上げたの

「理系で数学が得意な高校生が２５〜５０分で解ける問題」
ってのは小ネタとしては丁度いいのですよ

　　　　　　　　　　　　 __　　　/⌒ヽ
　　　　　　　　　　_,.-ﾆ二ヽ〃´￣￣｀ヽ、
　(⌒⌒)　　　 ／　_,.-‐''"´｀ヽ/⌒ヽ、　｀ヽ、
　 ＼／　　　〃 ／　　_,.-‐-　‐- ､　 ヽ ＼ヾ、
　　　　　　,-‐／　　／ /　/　　 　 ＼　 ヽ ヽ
　　　　 ／　/　　　/_//_/l/|l　l /|_i,,,_ヽ　 ヽ､!
　　　／　　/ｲ　　ﾊ/l/__l | ヾN/ _!｣,,i/ﾄ　　 lヽ、　　アイアイアイフル〜♪
　　 ｀ｰ--‐|/|　ｲ/ |｀￣ﾞ''　　 　 〃::ﾟ!i!|　 　 l　ヽ
　　　　　__　 ﾚﾄ_lヾi、　　　__ '　 ヾ;;ﾂ,l!.ﾚ'　!. l　　＼
　　　　 ヽ､ヽ (ヽ ヽ|＼　　｀‐'　　 ｀／)|　 ﾚi |｀ｰ-一'
　　　　　　(⌒ヽ｀ヽ ｀ﾚ|＞､,.-r‐ﾆ´￣´|ﾊ| ﾚ'
　　　　　　{ ｀二)-､ト､_i´￣｀ii´￣｀!___　　＼
　　　　　　,へｰ'____ﾊ　＼,.-､／￣ }￣ヾ､__/ﾊ
　　　　　 //ハ､____,ｲ ＞{___}＜　　〉　　｀￣´ }
　　 　 　 {∨　 〉　　 l　／l| |i＼_／-‐'-､/　 ,ﾉ
　　　　　 ＼　/i　　　|´　 |l　!|　　L-‐-､/￣
　　　　　　　｀ｰ|　　　|　　||　||　　 |　　 |

>>601答えおしえてくれage

http://www.doze.com/members/bigfrog/

東京大学同窓生・在校生の為のＢＢＳ・チャットルーム。

>>601答えおしえてくれage ぱ〜とつ〜

(2n)!/2^{n(2n+1)}

>>642
それどうやって証明するんですか？

Π[1≦k≦n](2k Ｃ k)/　2^{n(2n+1)}

>>644
なんでそんな小出しにかくんですか？答えスパッと書いてよ。

このスレ終わったな

というか>>642≠>>644じゃないの？>>644計算しても>>642にならないもん。
計算機でやったら違う値になった。どっちが正しいの？

ちなみに計算プログラムと結果
def combination(i,j)
if(i==0||j==0||j==i)
return(1)
else
return(combination(i-1,j)+combination(i-1,j-1))
end
end

def factor(n)
if (n==0)
return(1)
else
return(n*factor(n-1))
end
end

def func1(n)
r=1
for i in 1..n do
r=r*combination(2*i,i)
end
return(r)
end

for i in 1..10
print func1(i)," "
print factor(2*i)
puts
end

−結果−
2 2
12 24
240 720
16800 40320
4233600 3628800
3911846400 479001600
13425456844800 87178291200
172785629592576000 20922789888000
8400837310791045120000 6402373705728000
1552105098192510332190720000 2432902008176640000

再帰使ってcombinationの計算させると遅いよ。

>>650
そうなん？どうするのがいいの？

>>644はn=2で合わないような気がするのだが。

まあプログラムの実行速度の問題はさておき>>642とか>>644は論述部分が
ないからどっちが正しいのか判定できないね。かといって>>601の組み合わせ
かぞえあげるプログラムはそんなに速攻ではつくれないし。
明日休みだからプログラム組んでみよ。

>>652
そうだねn=2みたら>>642の方があってそう。

>>651
この方が速いはず。

def c(n, i)
　return 0 if i < 0 or n < i
　return 1 if i == 0
　return c(n, n-i) if 2*i > n
　c = 1; i.times{|j| c = c*(n-j)/(j+1)}
　return c
end

>>655
thx. すなおに(m+n)!/m!n!つかったほうがいいってことね。そりゃそうか。多謝。

間違ってるかもしれんがPCで数え上げたらこうなった。
2
24
2640=2^4*3*5*11
3230080=2^7*5*7^2*103
これから考えると単項式では表せないっぽい？

大田豚江は、道頓堀への飛び込みを煽り死者を出しただけでなく、
府庁舎内に億単位の金をかけて女子便所を作り、
数千万の金を四天王寺ワッソという、
朝鮮人の捏造祭り（11/3開催）につぎ込み、
朝鮮人のテーマパークを関空横に大金をかけて作ろうとし（2005年春）、
大阪と縁もゆかりもない阪神タイガースのパレードを
御堂筋に誘致しようとしているキチガイだ。

創価学会パワー、炸裂ですか？
府民を冒涜するのもたいがいにせい。
こいつは一体、
な　に　を　か　ん　が　え　て　い　る　ん　だ　。

>>657
ソースは長い？

DelphiPascalです。
function c(m: Integer): Integer;
const
MAX = 100;
var
x: array[0..MAX{2*m}] of Integer;//loop counters
a: array[0..MAX{2*m}] of Integer;//勝敗表

procedure loop(i: Integer);
var j,k: Integer;
begin
if i > 2*m then begin
// 全試合終わった
for j := 0 to 2*m do begin
if a[j] <> m then Exit;
end;
Inc(Result);
Exit;
end else begin
// i対kとの試合
k := x[i];
if x[i] < i-1 then begin
Inc(x[i]);

if a[i] < m then begin//枝刈り
//i勝ち, k負け
Inc(a[i]);
loop(i);
Dec(a[i]);
end;

if a[k] < m then begin
//k勝ち, i負け
Inc(a[k]);
loop(i);
Dec(a[k]);
end;

Dec(x[i]);
end else begin
if a[i] < m then begin
//i勝ち, k負け
Inc(a[i]);
loop(i+1);
Dec(a[i]);
end;
if a[k] < m then begin
//k勝ち, i負け
Inc(a[k]);
loop(i+1);
Dec(a[k]);
end;
end;
end;
end;

begin
FillChar(x, SizeOf(x), 0);
FillChar(a, SizeOf(a), 0);
Result := 0;
loop(1);
end;

>>660-661
乙。コードにあやまりがないかどうかパッとはわかんないけどあってるとすると
いままであがってる解答は全部まちがってるってことだね。
出題者の解答はどうなってるんだろ？

考えずに作った変なコードだったので、
コードを見直した。
ついでに標準Pascalにし、またグローバルを使って
Cに変換しやすいようにしてみた。
数え上げの結果は変わらなかった。

var k: Integer; //チーム数は2*k+1
　　w: array[0..10{2*k}] of Integer; //勝敗表
function loop(i, j: Integer): Integer;
var res: Integer;
begin
　if j > 2*k then
　　loop := 1// すべてのチームが勝ち数kで終わった
　else // i対jの試合(i<j)
　　if i < j then begin
　　　res := 0;
　　　if w[i] < k then begin//勝ち数k以下が必要
　　　　w[i] := w[i] + 1; //i勝ち, j負け
　　　　res := res + loop(i+1, j);
　　　　w[i] := w[i] - 1
　　　end;
　　　if w[j] < k then begin//勝ち数k以下が必要
　　　　w[j] := w[j] + 1; //j勝ち, i負け
　　　　res := res + loop(i+1, j);
　　　　w[j] := w[j] - 1
　　　end;
　　　loop := res
　　end else
　　　loop := loop(0, j+1)
end;

function count(n: Integer): Integer;
var i: Integer;
begin
　k := n;
　for i := 0 to 2*k do w[i] := 0;
　count := loop(0,1)
end;

とりあえず
a[1]=1,a[2]=1,a[n+2]=a[n+1]+a[n]
(フィボナッチの数列)
これの一般項a[n]を求めよ
東大京大の問題にはふさわしくないかもしれんが
高校までの知識でだれか解いてみ。
俺は高1で解けたから、おまいらなら余裕で解けるはず。

P={(i,j)|(i,j)∈{1,2,...,2n+1}^2(i≠j)}とする時
{i(1),i(2)),(i(2),i(3)),(i(3),i(4))....(i(m),i(1))という形の
集合をPの鎖といいます。
Pを鎖で分割する方法、すなわちPのどの元も漏れなくただ一つの鎖にただ一回
現れるような、鎖の集合の和で表す方法はどの位あるでしょうか？
出来ればnの式で表して下さい・

>>663-664
乙です。オレもいまBCCでくんで>>657と同じ答えになった。n=5計算してみようとしたら
うんともすんともいわなくなった。オレの愛機ではこのへんが限界のようだ。
というわけで外出の解答>>642>>644はいづれもまちがってるくさい。どっちか出題者なのかな？
そうだとしたら出題ミスでファイナルアンサー？>>601

>>666
出題者？もってる答え>>657と同じになる？

>>665
そんな超既出問題だすな低脳

>>665
教科書にのってる

とりあえず
a[1]=1,a[2]=1,a[n+2]=a[n+1]+a[n]
(フィボナッチの数列)
これの一般項a[n]を求めよ
東大京大の問題にはふさわしくないかもしれんが
高校までの知識でだれか解いてみ。
俺は中3で解けたから、おまいらなら余裕で解けるはず。

>>671
No-Hintは出題範囲違反に抵触する。この問題が現実に出題される
ことは有り得ない。

>>672
そう？３項間関係の漸化式なんてNo-Hintででまくってそうな気するけど？
やさしすぎて出ない可能性は高いけど。

>>674
精々特性方程式が自然数、或いは有理数の解を持つ場合だけ。
以前は特性方程式を使って解く方法を教えていたようだが、
この方法自体古い方法なので教えられなくなった。復活した
可能性は薄いので、特性方程式が無理数の場合は誘導付の筈
しかし見え透いているので確かに出題率は低い。

フィボナッチをだすなら、リュカ数との混合問題にした方がいいだろ。

∫x^x dx を求めよ (挑戦問題)

※挑戦問題 とは？
受けに来る者達の学力からでは、
到底解く事ができないであろう問題だが、
その難題をいかにして解こうと努力したかの経緯を
見る為の問題。他にも呼び方はある。
こういう問題出す大学、もうないんだろうな

今ならそんな問題出したら、問題に不備があるとか
突っ込まれるだろうなぁ。解けないし。

昔はそんなものを出したこともあったのか？

自然数a,b,cが
1/a + 1/b = 1/c
を満たすとき、a,b,cが満たすべき条件を求めよ。

>>677
回りからバカにされているのに気付かない人だね

１０１０１０・・・０１０１となる１０１以上の数のうち素数となるものを全て求めよ。

101

次の各命題が正しい場合は証明し、誤りである場合は反例を挙げよ。

(1) a, b を実数とする。a+b, ab がともに有理数となるための
　　必要十分条件は、a, bがともに有理数であることである。

(2) a, b を有理数とする。a+b, ab がともに整数となるための
　　必要十分条件は、a, bがともに整数であることである。

# ちとヌル過ぎかな？まあゴッツアン問題ってことで。

a + b, ab は a, b を解に持つ二次方程式の係数だから……。

mを正の実数の変数とするとき、座標平面上に曲線Ｃ：y=(e^x）^tanx（0≦x≦π/4）,直線ｌ：y=mx+1がある。
このとき、曲線Ｃ・直線ｌによって囲まれる部分と曲線Ｃ・直線ｌ・x＝e^π/4によって囲まれる部分の面積の総和が
最小となるmを求めよ。

もう厭きたこのタイプ

なら解いて下さい。

a,b,c,d,x,yはいずれも実数で xy≠0 とする。数列 {x[n]}, {y[n]} が
　x[1] = x ,　y[1] = y
　x[n+1] = ax[n] + by[n] ,　y[n+1] = cx[n] + dy[n]　（n=1,2,…）
をみたしている。
次の命題が真となるためにa,b,c,dがみたすべき条件を求めよ。

（命題）
「{x[n]}, {y[n]} がいずれも等差数列ならば
　行列([a,b][c,d])はE（2次の単位行列）の実数倍ではない。」

｢はみだし切り法｣とかいうのが昔使えてたらしいけどそれが使えれば瞬殺の問題でしょ？
それを今の受験数学でつかえる範囲で書きなおす作業をするだけ。
そもそも｢はみだし切り法｣が今の受験数学でつかえないのかどうかも微妙なんだけど。
−解答−
f(x)=e^(xtanx)とおく。m<f'(0)で面積は単調減少、m>(f(1)-f(0))/(1-0)で単調増大なので
f'(0)≦m≦(f(1)-f(0))/(1-0)においてSは最小値をとる。
直線の仰角をθ、仰角がθのときの面積の和をS(θ)とする。
直線と曲線の交点でx>0の部分にある方のx座標をa(θ)とする。
a(θ)は微分可能(略)。
十分小さいh>0について
S(θ+h)-S(θ)≦a(θ+h)･a(θ+h)･(tan(θ+h)-tanθ)-(1/2)･(tan(θ+h)-tanθ)
S(θ+h)-S(θ)≧a(θ)･a(θ)･(tan(θ+h)-tanθ)-(1/2)･(tan(θ+h)-tanθ)
S(θ-h)-S(θ)≦(1/2)･(tanθ-tan(θ-h))-a(θ)･a(θ)･(tanθ-tan(θ-h))
S(θ-h)-S(θ)≧(1/2)･(tanθ-tan(θ-h))-a(θ+h)･a(θ+h)･(tanθ-tan(θ-h))
(図をかけばしめせる。詳細略)
よってS(θ)は微分可能でS'(θ)=(a^2-(1/2))(1/cos^2(θ))。
よってa=1/(√2)となるときが最小で傾きは(e^((1/√2)tan(1/√2))-1)/(1/√2)。

（誤）
「{x[n]}, {y[n]} がいずれも等差数列ならば
　行列([a,b][c,d])はE（2次の単位行列）の実数倍ではない。」
（正）
「{x[n]}, {y[n]} がいずれも公差が.0でない等差数列ならば
　行列([a,b][c,d])はE（2次の単位行列）の実数倍ではない。」

必死だな（ｗ

>>688
はみ出し法は其の区域内で其の関数が連続で微分可能、一次導関数が０以上かつ二次導関数が解を持たない（つまり負又は正）
でないと、その1/√2:1-(1/√2)に内分する点が面積最小だとは言えない。
恐らく二次導関数は１つ解を持ってＣとＬが３回まざわるときが解だと思われます。

>>694のタイプの問題なんどもなんども貼りつける香具師がいるんだがマニアなのかな？

694に期待

りんごが３つ、みかんが３つ、マスカットが４つあります。
果物は全部合わせていくつあるでしょう。
ただし、解答は「微分・積分」「行列」「複素数」のいずれかを使って論拠の整ったものにしなさい。

次の（1）〜（3）を計算せよ。
（1）lim[x→+0](x^0)
（2）lim[x→+0](0^x)
（3）lim[x→+0](x^x)

>>694ﾏﾆｱﾊｹｰﾝ

lim[x -> +0] f(x) = 0
lim[x -> +0] g(x) = 0
lim[x -> +0] f(x)^g(x) = π
となる f(x), g(x) を構成せよ。

f(x)=(1/π)^(1/x)、g(x)=-x

次の(i)(ii)をみたす数列 {a(n)} の一般項 a(n) を求めよ。
(i) a(1)=1, a(2)=1
(ii) n*a(n+2) = {(n+1)^2}*a(n+1) + {(n^2)+n}*a(n)

>>699の答えおしえてくれage

僕も

悪い。問題の条件間違えてた。
駄問でスマン。

(ii) n*a(n+2) = {(n+1)^2}*a(n+1) - {n(n+1)}*a(n)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　~~

a(n)=(n-1)! (n≧3)かな？

あたり。0!=1 として n≧1 でもいけます。

補足トリビア

(ii) ⇔　a(n+2) - (n+1)*a(n+1) = {(n+1)/n}{a(n+1)-n*a(n)}

この変形を見抜いたらすごい。

>>705
そうかなぁ

ん結局
>>601って
(1/2)^{(3n^2+n)/2}
と出たけどＯＫ？

中核派と核マルの戦いなんて悲惨そのもの。
いい歳した団塊の世代のオヤジが未だに襲撃しあったりしている。

お前らの人生って一体なんだったの？って感じ。

>>707
>>657と一致しないからまちがってると思う。

2^a+3^b=5^c をみたす自然数の組(a,b,c)をすべて求めよ。

(a,b,c)=(4,2,2),(1,1,1)ですか？

>>710
採点しる！

>>711
それ以外にないなら証明しる！

　　　　|┃三　　 人　　　　　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　　　　|┃　　　（＿ ） 　　　／
　　　　|┃　≡ （＿＿） ＜　　オヤジ！冷やしうんこ一丁！！！
＿＿__.|ミ＼＿_(　・∀・) 　＼
　　　　|┃=＿＿　　　 ＼　 　￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　　|┃　≡　）　　人　＼ ガラッ

下図のような3×3のマスがある。
┌─┬─┬─┐
│１ │ ２│ ３│
├─┼─┼─┤
│４ │ ５│ ６│
├─┼─┼─┤
│７ │ ８│ ９│
└─┴─┴─┘
時刻0においてA君は１のマスに、B君は９のマスにいるとする。
時刻が1増えるごとにA君、B君は隣のマスにランダムに移動する。
例えば２のマスにいるときは、１，３，５のマスに移動する確率がそれぞれ1/3である。
さて、時刻tにA君とB君が同じマスにいる確率をP(t)として
P(2), P(3), P(4) を求めよ。

1/6 2/9 35/162
センターで誘導で出そう

>>714はいい問題だと思うけど本当に自分で考えたのかな？

>>715
正解。

>>716
thx. 一応自作です。

追加問題：
時刻tまでに少なくとも1回A君とB君が出会う確率をQ(t)として
lim[t→∞]Q(t)=1 を証明せよ。

<<717
すごくいい問題だなあ（ただ717はまだ解いていない）！！
特に本当に717が示せるなら、確率論の2次元ランダムウォークの
再帰性を条件付ながら示したことになる！！
寝て起きたら解いてみます。ここのスレ面白い問題結構あるね。
<<30もよいと思う。どこかの入試ででるかも？

１．　方程式 x^3-kx+1 = 0　・・・(a)　を考える。
　　(1)　方程式(a)の持つ解の個数を求めよ。
　　　 (2)　方程式(a)はkが十分大きいとき異なる３つの解を持つ。その解を小さい方からα(1)、
　　　　　　α(2)、α(3)とおく。このとき、n=1,2,3に対して極限
　　　　　　　　　lim[k→∞] α(n)/x^t　
　　　　　が０でない定数に収束するように実数tの値を定めよ。

２．　最高次数が２以上である多項式f(x)に対して、関数g(x)を
　　　　　　　　　g(x) = f(x)・f(1/x)
　　　と定める。t = x+(1/x) とおくと、g(x)はtの多項式として表せることを
　　　示せ。

３．　楕円C1: (x^2/4) + y^2 = 1
　　　楕円C2: x^2 + (y^2/4) = 1
　　　を考える。C1上の点(2,0)に点Pが、C2上の点(0,2)に点Qがあり、Pでの
　　　C1の接線をl、QでのC2の接線をmとすると、点Pと点Qは常にlとmが直交す
　　　るように、反時計回りに連続的に動く。

(1)　PとQの交点をRとする。Rが動いてできる曲線Crは、xとyの多項式
　　　　　f(x,y)を用いて
　　　　　　　　　f(x,y) = 0
　　　　　の形で表される。f(x,y)を求めよ。
　　 (2)　Crは直線 y=x に関し対称であることを示せ。
　　 (3) 傾きが-1である直線で、Crと異なる２点で交わるものを考える。
　　　　　そのような直線のうち、次の条件を満たすものを一つ求めよ。
　　 「CrがLから切り取る長さが最大である」

t＞3であればA、Bともにどの場所にいてもよいので、A,Bが重ならないような配置を考える。
この際、正方形は点対称な図形であるので、時刻Tにおいて
（1、2）にいる確率をＡｔ、（1、3）をＢｔ，（1、5）をＣｔ，（1、8）をＤｔ，（1、9）をＥｔ、（2、4）をＦｔ，（2、5）をＧｔ，（2、8）をＨｔ
としてA、Bが出会わないという条件下で8個の漸化式を立てる。
っと・・・これ以降は書くと死ねるので割愛・・・
ただ一応lim[t→∞]Q(t)=1にはなりそうです。計算途中ですが（ぉ

上手い解法例教えて下さい（汗

ヒント。
ﾏﾝﾄﾞｸｾｰのでtが奇数のときのみを考えてみる。
するとA君B君ともに偶数番号のマスにいる罠。
A君B君がどの偶数番号のマスにいても次の偶数時刻において出会う可能性がある。

t→∞で
sが奇数の時　A,Bが同じマスにいる確率は1/4
sが偶数の時　A,Bが同じマスにいる確率は2/9
よってt→∞でA,Bが少なくとも一回出会う確率はほぼ　lim[t→∞]1-{(3/4)^(t/2)}*{(7/9)^(t/2)}=1

こんなんじゃだめ？ｗ

実験用のHTMLを作ったのでよかったら使ってみて。（JavaScript使用）
ttp://up.isp.2ch.net/up/867dc3ea7a7f.zip

xy平面上に(x/a)^2 +(y/b)^2 =1の楕円Ｃが存在する。（a,b実数）
この楕円Ｃは常に周の長さが1である時、楕円Ｃの存在しうる領域の面積をもとめよ。

>>724を受験してきますた。

ちょっと酒入っているので解けるか不安でしたが…
23:50開始

楕円の酋長？こりゃ鬼門だパス…と思ったが、今回は一問しかない(´･ω･`)　(0.5分)
誘拐領域なのは明らかだな(1分)
絵をいっぱい描いてあそぶ　フジテレビマークも描いたよ(3分)
手の運動のため、条件をxで表してみる…だから何？(5分)
パラメータ表示してもだめだろうな、やっぱり(7分)
友達から電話がかかってきたので相手をする(20分)
おっと、時間が…というか、制限時間何分？
あ、平成少女図鑑 SHO-003 中村由季ﾀﾞｳｿ完了(32分)

やーめた
漏れの入学時に出なくて良かった

>>725
ﾜﾛﾀ

724解けるの？（高校範囲内で）

>>724
愚問。
ってか解けないだろ。

>>724
これオレも解けない気がするんだけど。また出題ミス？

楕円の周の長さは楕円積分という積分で表されるだけで、実値は近似値しか出せない。
だから、特殊な方法でも使わないと解けないのは明らか。

各項が正である数列{a(n)}が、任意の正整数nに対して
　{a(1) + a(2) +・・・+ a(n)}^2 ＝ a(1)^3 + a(2)^3 +・・・+a(n)^3
を満たすとき、{a(n)}の一般項を求めよ。

>>731
a(n)=n

半径１の円Ｃと、円Ｃの中心と距離が1/2の直線Ｌが存在する。
円Ｃを直線Ｌについて回転した立体の体積を求めよ。

簡単かな？

>>732
それに限ることを示してもらわんと・・・

帰納法で示せる。
Σ[i<n]a(i)=aとおいて{a+a(n)}^2=a^2+a(n)^3を解くと正の解は一つしかない。

>>731
俺高3だけどその問題見たことあるぞ
熊本女子大とかの問題だったっけ

パップス・ギュルダンの定理によると回転体の体積は
　（回転図形の面積）＊（回転図形の重心の移動距離）
と表すことが出来る。
さて、半径１の円Ｃと、円Ｃの中心と距離がcosθ（0≦θ≦π/2）の直線Ｌが存在し、
ＣをＬについて回転したとき、上定理に従えば、どこに回転図形の重心があると考えるのか妥当か。
その重心と直線との距離をθで表せ。

こんな入試絶対出ないけど・・・

a_1=a_2=1 a_(n+2)=a_(n+1)+a_n を満たす数列｛a_n｝について

ミスった

a_1=a_2=1、a_(n+2)=a_(n+1)+a_n を満たす数列｛a_n｝について
｛b_n｝を　b_n=�納k=1→n]｛(a_k)^(a_k)｝　で定義する。
b_11111! の下２桁を求めよ。

>>739
でけた。メンドイので合同式つかわせてもらってまず自然数a,bに対し
a≡b (mod 100)⇒a^a≡b^b (mod 25)
実際a≡b (mod 100)と仮定する。5|aならa^a≡b^b≡0 (mod 100)
(a,5)=1なら Z/25Zの乗法群が位数20であることから
a≡b (mod 20)より a^a≡a^b (mod 25)。
またa≡b (mod 25)より a^b≡b^b (mod 25)。
同様にして a≡b (mod 4)⇒a^a≡b^b (mod 4)
以上よりa≡b (mod 100)⇒a^a≡b^b (mod 100)
さらにa(n)≡a(n+300) (mod 100)より
�納k=p+1→p+300]｛(a_k)^(a_k)｝≡�納k=p+301→p+600]｛(a_k)^(a_k)｝ (∀p≧0)
よって11111!/300=mとおくとき
b_(11111!)≡(b_300)･m (mod 100)
一方m≡0 (mod 100)であるのでb_(11111!)≡0 (mod 100)
･･･受験数学でつかっていいかどうかあやしいテクつかいまくりだが･･･

>>736
俺もやったことある。有名問題だろ、たぶん。

…前スレからの滞在者いる？？
もしいたらみんなでどの問題が良問か言い合って
その中からいくつか絞って２ch数学版問題をつくりませぬか？？

って、もう誰か言ったかな？？

言い出しっぺの法則

>>740
あんたすげぇ。その問題、実は
ｈttp://www.tokyo-s.jp/susanowo/2001_012/index.html
のやつなんだけどね。


あなた予備校の講師とか？

>>742
(・∀・)ｲｲ!!ねそれ

mathemaniaの問題を集めたスレならあった。

>>742
前ｽﾚが立ったときから見てますよん
あと、☆２ちゃんねらーず編・大学入試数学問題集☆
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/988730706/　も
リアルで出版するってこと？おもしろそう
ぜひ問題集の傾向としては定石でぱっと解けるんじゃなくて
式の図形的意味を考えた、こんな見方があったのかって解法を重視していきたいな
あと大学入試の範囲におさまらず
大学で習う数学の範囲だけどみんなが興味を持ちそうな分野の紹介とか入れたい

（１）正十二角形の隣り合う面のなす角をθ゜とすると、110＜θ＜120となることを証明せよ。
（２）θと115の大小を調べよ。

まず自分の解答が怪しいので解答してくれると助かります（ぉぃ
（２）はできる・・・のかな？

>>744
>あなた予備校の講師とか？

いんや、名も無き引き篭もりだが何か？
こんな問題、たいしたことないぜ。
予備校の講師に憧れているのかしらんが、レベルの低い奴ばっかりだぜ。
口の悪い２チャネラーの方が、よっぽど頭いいと思うぞ。

１２面体？

>>750
さようでございます（汗）
ただ問題ミスのようなので正十二面体の隣り合う面のなす角の余弦を求めよ。
とします。

何度も失礼します（汗汗）
>>748の（２）は解けるのであれば、宜しくお願いします（ぉぃ
作成いておいて何ですが、高校履修範囲内では解けそうにないので・・・

cosθ=-1/√５であってる？

ｎ個の整数を掛け合わせたときの下一桁がｋになる確率Ｐ（ｋ，ｎ）を求めよ。

>>749
ほんと引き篭もりなの？なんかもったいない存在だなぁ
予備校の講師とかになって金かせげばいいじゃないですか

>>719
1．の（2）だけどlim[k→∞] α(n)/x^t　じゃなくてlim[k→∞] α(n)/k^tじゃない？
っていうか回答を・・・　

>>753
あっています。

xy平面上にf(x)>0で連続な関数f(x)が存在する。
このxy平面上にx=0,x=a（a>0),x軸,y=f(x)で囲まれる面積をn等分するように,直線x=x_i
（i=1,2・・・n-1、且つx_i＜x_i+1）をとった。
このとき下の等式が成立することを証明せよ。

lim[n→∞]Σ[0〜n-1]f(x_i)/n
=∫[0〜a]{f(x)}^2 dx/∫[0〜a]f(x) dx

>>754
P(0,n)=(10^n-2*8^n+7^n)/10^n

0以外はムズそうなのでパス。
0も簡単な割にはひどく面倒だった。

>>754
下一桁は０〜９まで同様に確からしいと仮定していいの？

n、mを自然数、pを3以上の素数とし、
n＜m 　　　p＜m　　　が成り立っている。
また、複素数α、β、γにおいて、
|α|：|β|：|γ|=p：n：m
α/β=(p/n)i
α+β+γ=0
が成り立つとき、nが4の倍数であることを示せ。

結構楽に解けるはず

|α|：|β|：|γ|=p：n：m ....(1)
α/β=(p/n)i ....(2)
α+β+γ=0 ....(3)

(2),(3)より、
α=(p/n)βi ....(4)
γ=-((p/n)i +1)β....(5)

(4),(5)を(1)の左辺に代入して整理すると、
(1)の左辺=|α|：|β|：|γ|=p：n：√(p^2+n^2)....(6)
となる。
(6)と(1)の右辺より、∴m=√(p^2+n^2).....(7)
(7)を変形すると、
p^2=m^2-n^2=(m-n)(m+n)....(8)
pは素数であるから、
m-n=1....(9) と m+n=p^2....(10)　が言える。
(9),(19)より、mを消去すると、
2n+1=p^2....(11)
ここでpは3以上の素数で、奇数であるから
p=2k+1(k:整数) とおくと、(11)は
2n+1=4k^2+4k+1....(12)　となる。
∴n=2k(k+1).....(13)　
ここでk(k+1)は偶数であるから、k(k+1)=2q(q:整数) とおくと、
∴n=4q [答].

>>762
合っています

>>754
この問題、かなり面白い結果になりそうだ。特にkが奇数の時。

面白い問題スレ行きだろこりゃ。

kが5以外の奇数のとき、でけた。

mod 10 で考えてｲﾊﾟｰﾝ性を失わない。0〜9の数字からなるランダムな列を考え、
先頭から1つ取ったとき、それがいくつかによって場合を分けて漸化式を立てる。

たとえば全部かけて1になるケースは、先頭の1つが
・1だった場合、残り全部の積が1
・3だった場合、残り全部の積が7
・7だった場合、残り全部の積が3
・9だった場合、残り全部の積が9
となればよい。これらを3,7,9についても同様に考えることにより、
　　　　　　　　　　先頭が1　　3　　　7　　　　9
P(n+1,1) = (1/10) (P(n,1)+P(n,7)+P(n,3)+P(n,9))
P(n+1,3) = (1/10) (P(n,3)+P(n,1)+P(n,9)+P(n,7))
P(n+1,7) = (1/10) (P(n,7)+P(n,9)+P(n,1)+P(n,3))
P(n+1,9) = (1/10) (P(n,9)+P(n,3)+P(n,7)+P(n,1))

また仮定より P(1,k)=1/10

これらを解いて（対称形なのであっさり解ける）、
P(n,1)=P(n,3)=P(n,7)=P(n,9)= (4^(n-1)) / 10^n

なんか位数10の巡回群の構造がモロに出てきてるので、
群の知識を使えばもっと簡単に解けるのかも？と思う。
俺には無理。

P(n,0) = (10^n+4^n-8^n-5^n) / 10^n
P(n,1) = P(n,3) = P(n,7) = P(n,9) = 4^(n-1) / 10^n
P(n,5) = (5^n-4^n) / 10^n
P(n,2) = P(n,4) = P(n,6) = P(n,8) = (2^n - 1)4^(n-1) / 10^n

面白かったけど疲れた。計算ミスの嵐で地獄を見た。

>>754
確かに面白そうな問題だけど、題意不明瞭。
n個の中に重複あり？正負の記載がないのはわざと？（それも問題のうち？？）
平凡な工房（そうでないﾔｼごめん）相手なら、ちょっと問題を捏造してこんな感じ。

Nを正の整数とする。
N以下のｎ個の正の（もしくは、負でない）整数を掛け合わせたときの下一桁がｋになる
確率をＰ（N, ｋ，ｎ）とする。
lim[N->∞] Ｐ（N, ｋ，ｎ） を求めよ。

と言いつつ、これを解こうとして挫折（ｗ
>>759が前提にしていることは却下なので、不等式評価の分だけ難しそう。

不明瞭を引きずってしまった。

Nを正の整数とする。
N以下の正の（もしくは、負でない）整数からをｎ個（重複あり/なし）を任意に選び、これらを
掛け合わせたときに下一桁がｋになる確率をＰ（N, ｋ，ｎ）とする。
lim[N->∞] Ｐ（N, ｋ，ｎ） を求めよ。

（）部は出題者の気分次第（答えに影響はなさげだが）。
負まで考えると二重limだし、あんまり面白くないだろうからこんな感じにしてみた。

＞整数からをｎ個（重複あり/なし）を任意に選び
えーと、どの数も等確率で選ぶんだよね？

>>740
10行目「さらに〜」の式はどうやって示すの？

>>756
出しっぱなしな問題多いよな…。

>>770
>＞整数からをｎ個（重複あり/なし）を任意に選び
>えーと、どの数も等確率で選ぶんだよね？
そうだよ。
ただ、引用するなら

>N以下の正の（もしくは、負でない）整数からをｎ個（重複あり/なし）を任意に選び
こうして欲しかったけど。

これで等確率で選ぶことと同値と伝わったかどうかは、文才が無いから微妙かも。

落ち着いて読んでみた。
全然日本語になっていないよ、ごめんな　∧||∧
こう言いたかった。

Nを正の整数とする。
N以下の正の（もしくは、負でない）整数からｎ個（重複あり/なし）を任意に選び、これらを
掛け合わせたときに下一桁がｋになる確率をＰ（N, ｋ，ｎ）とする。
lim[N->∞] Ｐ（N, ｋ，ｎ） を求めよ。

>>771
まずm≡n (mod 6)⇒a(m)≡a(n) (mod 4)
は実際やってみりゃわかる。
n　　　　　　　　　　　　　│0 1 2 3 4 5 6 7 ･･･
─────────┼────────
an(を4でわった余り)　│0 1 1 2 3 1 0 1 ･･･
m≡n (mod 100)⇒a(m)≡a(n) (mod 25)もa(n)を25でわったあまりを１０２個ならべてみればわかるけど
それがいやなら以下のようにしてもしめせる。
　
α=(1-√5)/2、β=(1+√5)/2とおく。a(n)=(β^n-α^n)/(β-α)=(β^n-α^n)/√5
R=Z[α]とおいて各r∈Rにたいしv(r)=max{n|r/(√5)^n∈R}とおく。これはRの加法付値になる。
m-n∈100Nと仮定する。このとき(√5)(a(m)-a(n))∈(β^100-1)R+(α^100-1)R。
まずv(α^100-1)≧5をしめす。
(2^100)(α^100-1)
=C[100,1]√5･2^99+C[100,2]5･2^98+C[100,3]5√5･2^97+C[100,4]25･2^96+C[100,1]25√5･2^95+･･･
25|C[100,1]、25|C[100,2]、25|C[100,3]、25|C[100,4]、から前の４項はvの値が5以上。
それ以降の項のvのあたいはあきらかに5以上。よってv((2^100)(α^100-1))≧5。
一方でv(2^100)=0 (∵2RはRの素イデアル)
∴v(α^100-1)≧5。示せた。
同様にしてv(β^100-1)≧5。∴v(√5)(a(m)-a(n))≧5。
∴v(a(m)-a(n))≧4。つまりa(m)-a(n)=25rとなるr∈Rが存在するが25R∩Z=25Zゆえa(m)-a(n)∈25Z。
　
以上からm≡n (mod 300)⇒a(m)≡a(n) (mod 100)

f(x)=ax^2+bx+cとf(x)=dx+kの共有点の個数を調べよ

>>756
おれ出題者じゃないけど1.の(2)なら
α(n)は方程式x^2+1/x=nの最小解でn>1に対しそれはx<-1の領域にある。
この領域においてx^2-1<x^2+1/x<x^2なので
x^2-1=nの最小解x=-√(n+1)はα(n)より小さく
x^2=nの最小解x=-√(n)はα(n)より大きい。つまり
-√(n+1)＜α(n)＜-√(n)
よってlim[n→∞]α(n)/n^(ｔ)が0でない定数に収束する⇔t=1/2
だと思う。

AとBが戦ったときAが勝つ確率は常にp（1/2<p<1）であり、引き分けはないものとする。
AがBより先にn連勝する確率をP(n)とするとき、P(n)<P(n+1)を証明せよ。
ただしAとBは十分回戦うものとする。

>>775
さすがにそれは簡単すぎるだろ。

>>758
これどうやって解くの？全然方針たたないんだけど

>>779
大体方針立ててみた。

∫[0,a]f(x)dx=Aとおく。
∫[x_(i-1),x_i]f(x)=A/n (i=1,.,n-1)
よりΣ=Σ[i=1,n-1]として
Σf(x_i)/n=(1/A)Σf(x_i)∫[x_(i-1),x_i]f(x)dx
=(1/A)Σ∫[x_(i-1),x_i]f(x_i)f(x)dx
ここで|f^2(x)-f(x_i)f(x)|
<=(max[x_(i-1),x_i]|f(x))×|f(x)-f(x_i)|
<=(max[0,a]|f(x)|)|×|f(x)-f(x_i)|
=M×(max[x_(i-1),x_i]|f(x)-f(x_i)|)
ここで|x_(i-1)-x_i|->0(一様、n->∞)を使うと(*)
∫[x_(i-1),x_i]f(x_i)f(x)dx->∫[x_(i-1),x_i]{f(x)}^2dx(iに関して一様)
Σをとって
lim(n->∞)Σf(x_i)/n=∫{f(x)}^2dx/A
(*)の部分はもしかして単にf(x)が連続だけじゃ成り立たないかも知れない。

もちろｎこのままの解答じゃ(*)の部分の証明は大学入試レベルじゃないし、
別の証明も無さそうだからこの問題は入試問題としては全く不適切だと思う。

>>777
これ事象が無限にでるから入試問題にはでないのでは？
―解答―
まず非負整数tを固定する。
今Bがb勝し(0≦a≦n-1)次にBがb1勝、がb1勝、･･･、Bがbt勝、Aがbt勝、･･･、
そして最後にAがn勝する(1≦ai,bi≦n-1)確率は
q^a･p^(a1)･q^(b1)･･･p^(at)･q^(bt)･p^n
よって0≦a≦n-1、1≦ai,bi≦n-1の範囲でこれらを足し合わせると
(1+q+･･･+q^(n-1))･(p+･･･+p^(n-1))･･･(q+･･･+q^(n-1))･p^n
=((1-q^n)/(1-q))･(1-p^(n-1))^t･(1-p^(n-1))^t･p^n
これをt=0から∞までたしあわせるとAが先にn連勝する確率は
(p^(n-1)-q･(pq)^(n-1))/(p^(n-1)+q^(n-1)-(pq)^(n-1))
関数f(x)をf(x)=(p^x-q･(pq)^x)/(p^x+q^x-(pq)^x)とおく。これがx≧0の範囲で単調増大
であることをしめせばよい。さらにy=(q^x-p･(pq)^x)/(p^x-q･(pq)^x)とおけば
f(x)=1/(1+y)、y≧0。1/(1+y)はy≧0において単調減少なのでyがx≧0の範囲で
単調減少であることをしめせばよい。y=(p/q)(((1/p)^(x+1)-1)/((1/q)^(x+1)-1))
であるのでz=(1/q)^(x+1)とおくとy=(q/p)(z^(logp/logq)-1)/(z-1)。
0<logp/logq<1であるのでyはzに関して単調減少。さらに1/q>1なのでzはxに関して
単調増大。∴yはxに関して単調減少。∴fはxに関して単調増大。□

(x-a)(x-b)(x-c)・・・・・(x-z)を計算せよ

>>782
0

>>780
(*)を解消するには、逆関数をとり、変換して解き直すか、中間値の定理を利用して解くかすれば良いです。
（私も最初考えたとき、悩んでしまいました）

易しくはないかもしれませんが、C(orD)****ぐらいでは？

>>758
この問題高校の知識でとけると思う。
　
F(x)=∫[0,x]f(t)dtとおく。F(a)=bとおく。f(t)>0よりF(x)は単調増大。
よって逆関数G(y):[0,b]→[0,a]がとれる。このとき
I=lim[n→∞]Σ[0〜n-1]f(x_i)/n
=lim[n→∞]Σ[k:0〜n-1]f(G(bk/n))/n
=∫[0,1]f(G(bt)dt
=(1/b)∫[0,b]f(G(u))du
ここでG(u)=vと置換するとu=F(v)よりdu=F'(u)du=f(u)du、u:0〜aだから
I=(1/b)∫[0,a]f(v)^2dv
=∫[0〜a]{f(x)}^2 dx/∫[0〜a]f(x) dx

>>785
正解です。ただ受験生がこの手の問題で逆関数という発想が出来るかというのは別問題でしょうか・・・
平均値の定理（上では血迷って中間値と書いていました）（汗）は、n等分→平均と読みとれれば比較的に楽になります。

連続関数って概念が高校数学には無いから、具体的な関数を与えた方がいいね。
y=(sinx)^2って奴だと今年の東大後期に少し似てるのがある。

>>774
レスありがとう。なるほどそういうやり方があるのかあ。
2つだけ教えてください。
r,s∈Rとしてv(rs)=v(r)+v(s)が成り立つのはどう示すの？
あと14行目からの二項展開の計算合ってる？α^100-1<0だよね。

教えて君かつややスレ違いすいません。

>>780
f(t)>0であることを使っていない。
F(x)=∫[0,x]f(y)dy,F(a)=Aとおく.F(x)は単調増加
F(xi)=Ai/n(i=1..n)
A/n=F(x(i+1))-F(x(i))で左辺でn->∞で０に近づくことと、F(x)が単調増加
であることを合わせると|x(i+1)-x(i)|->0
(逆関数の連続性を使っているが、この辺りは高校範囲外だと思う）
Σ[i:1〜n]f(xi)/n=ΣF'(xi)(F(x(i+1))-F(xi))
=ΣF'(xi)F'(θ(i))(x(i+1)-x(i))　x(i)<θ(i)<x(i+1)(∵平均値の定理)
x(i)<=x<=x(i+1)に対し
f(x)>0だから
min[x(i),x(i+1)]f^2(x)<=f(xi)f(θ(i))<=max[x(i),x(i+1)]f^2(x)より
Σmin[x(i),x(i+1)]f^2(x)(x(i+1)-x(i))<=ΣF'(xi)F'(θ(i))(x(i+1)-x(i))<=
Σmax[x(i),x(i+1)]f^2(x)(x(i+1)-x(i))
左辺と右辺は積分の定義よりそれぞれ∫[0,a]f^2(x)dxに近づいていく。
∴ＡΣf(xi)/n=∫[0,a]f^2(x)dx

lim(n->∞)ＡΣf(xi)/n=∫[0,a]f^2(x)dx の間違いです。
あとmin[x(i),x[i+1]f^2(x)(x(i+1)-x(i))
とかは、{min[x(i),x[i+1]f^2(x)}(x(i+1)-x(i))
とか読み替えて下さい。

お前馬鹿じゃねーの？とかいわれそうですけど・・・
７５８さんの問題、Σ[0〜n-1]f(x_i)/n は
Σ[i=0〜n-1]f(x_i)/nってことでいいんですよね？

i=1からなのにi=0〜n-1でも・・・いいんですか？
x_0

x_0=0ってことですかね？

なんかすっごい馬鹿っぽい書き込みになっちゃいましたね・・・
スレ汚してｽｲﾏｾﾝ。マジで。

自分を愚かと表現するのに馬鹿と気安く使うな。馬や鹿に失礼也。

馬さん鹿さんごめんなさい

>>788
＞r,s∈Rとしてv(rs)=v(r)+v(s)が成り立つのはどう示すの？
　
素イデアル分解の一意性をつかう。以下<x>=(xで生成されるイデアル)とするとき
v(r)=m⇔∃I:Rのイデアル <x>=<√5>^m･I I+<√5>=R
証明はさほど難しくない。
　
v(r)=m、v(s)=n、p=(√5)Rとするとき
(r)=(rで生成される素イデアル)=p^m･I、p+I=R
(s)=(sで生成される素イデアル)=p^n･J、p+J=R
となるI,Jが存在する。このとき
(rs)=(rsで生成される素イデアル)=p^(m+n)･IJ、p+IJ=R
　
＞あと14行目からの二項展開の計算合ってる？α^100-1<0だよね。
　
これはまちがってる。ｽﾏ。ただしくは
((2α)^100-1)
=C[100,1](-√5)･2^99+C[100,2]5･2^98+C[100,3](-5√5)･2^97+C[100,4]25･2^96+C[100,1](-25√5)･2^95+･･･
　
ちなみにもっと初等的な方法もあるだろうと思う。しかしこの問題についてはa(n)を
25でわった余りを102個ならべるという究極の初等的方法があるのでわからなければ
そっちでやったほうが早いと思う。

つーかあんた頭良すぎ
俺工房だからイデアルとか分かんないけど
すげえ頭良さそうに見える

25でわった余りを102個ならべるという究極の初等的方法があるので

な、、、なにこれ

次の命題の真偽を判定せよ。
『aを実数として、どのような自然数nに対してもa^nが自然数にならないとき、
任意の正数εに対してa^m - [a^m] ＜ ε となる自然数mが存在する』

ただし、[x]はｘを超えない最大の整数を表す。

出題形式をもってわざとらしく難しくするのは、試験としていかがなものか

f(1)=f(2)=1　、　f(n+2)=f(n+1)+f(n)
α=(1+√5)/2
と定義する。

自然数ｎに対して
f(2n+1) = Σ[k=1,n] [ (α^n)*ｆ（ｎ） + 1/2 ]　　　←　Σの中ガウス記号ね。
が成立する事を示せ。

ただし、[x]はxを超えない最大の自然数であるとする。

数オリ系になってきた。

>>801
＞f(2n+1) = Σ[k=1,n] [ (α^n)*ｆ（ｎ） + 1/2 ]　　　←　Σの中ガウス記号ね。

じゃなくて

f(2n+1) = Σ[k=1,n] [ (α^ｋ)*ｆ（k） + 1/2 ]　　　←　Σの中ガウス記号ね。

の間違いだった。

>>801
できた。
α=(1+√5)/2、β=(1-√5)/2とおく。
f(n)=(α^n-β^n)/√5
一方k≧2にたいし0<β^(2k)/√5+1/2-(-1)^k/√5<1であるから
[α^(2k)/√5+1/2-(-1)^k/√5]=(α^n-β^n)/√5+[β^(2k)/√5+1/2-(-1)^k/√5]=f(2k)
k=1のときは1<β^(2k)/√5+1/2-(-1)^k/√5<2であるから
[α^(2k)/√5+1/2-(-1)^k/√5]=(α^n-β^n)/√5+[β^(2k)/√5+1/2-(-1)^k/√5]=f(2k)+1
よって
Σ[k=1,n] [ (α^k)*ｆ（k） + 1/2 ]
=Σ[k=1,n] [ (α^ (2k)-(-1)^(2k))/√5+ 1/2 ]
=1+�納k=,n]f(2k)
よって1+�納k=,n]f(2k)=f(2n+1)を示せばよいがこれは帰納法から容易ゆえry

>>799
偽である。
α=2+√2、β=2-√2とおく。α、βはt^2-4t+2=0の解である。t[k]=α^k+β^kとおく。
漸化式t[k]=4t[k-1]-2t[k-2]、t[0]=2、t[1]=4よりt[k]はすべて整数。
よって[α^k]=α^k+β^k+[-β^k]=α^k+β^k-1でありよってα^k-[α^k]=1-β^k。
これは√2-1より小さくなくことはない。

面積１の正方形を正三角形で完全に覆い尽くすとき、正三角形の面積の最小値を求めよ。



・・・だめ？

面積１の楕円にしろ

nが6で割って3余る自然数の時、
n^2 + 2^n
は素数である事を示せ。

また、上の命題の逆は成り立つか？

27^2+2^27 = 134218457 = 73 × 521 × 3529

すまん。。。逆だった。
n^2 + 2^n　が素数の時、nは6で割って3余る事を示せ。
また、上の命題の逆は成り立つか？


っていう問題だった。
逆が成り立たないのは、既に証明済みという事で・・・

n=1

>>798
これがフィボナッチ数列を25でわったあまりを第０項〜第１０１項までならべたもの。
１００項目、１０１項目が０項目、１項目と等しくなるので以下周期１００で繰り返しになる。
　
0 1 1 2 3 5 8 13 21 9
5 14 19 8 2 10 12 22 9 6
15 21 11 7 18 0 18 18 11 4
15 19 9 3 12 15 2 17 19 11
5 16 21 12 8 20 3 23 1 24
0 24 24 23 22 20 17 12 4 16
20 11 6 17 23 15 13 3 16 19
10 4 14 18 7 0 7 7 14 21
10 6 16 22 13 10 23 8 6 14
20 9 4 13 17 5 22 2 24 1
0 1

5(x^2)-3(y^2)=1
整数解があるなら例を示し、ないなら証明しなさい。

ってかこれってもしかして入試よりレベルひくい？

全然ひくい。

東大入試なら、ちと易しすぎるな。
整数問題に慣れていたら解く方針もすぐ立つし。

ﾅｧｰﾝﾀﾞ・・・(´・Д・`)

>>814
略解だけど・・・
整数解が存在するので有れば、x^2≡2（mod3）で有ることが必要。
しかし、m∈Zとすると,(3m)^2≡0（mod3）　　(3m+1）^2≡1（mod3） (3m+2)^2≡1（mod3）であるので
x^2≡2（mod3)となる整数xは存在しない。
以上より与式は整数解を持たない. Q.E.D.

こんな感じで終わってしまうから、もう少し煩雑にすれば解きにくくなるかも。
（ただ悪問になりかねないけど）

はぁ？
5x^2=3y^2+1に整数解が無いなんて...
mod 5で考えれば3y^2+1=0(mod5).
(y+5k)^2-y^2=0 mod 5だから
y=0,1,2,3,4について3y^2+1≠0 mod 5だけ示せば十分
それぞれ1,4,3,3,4だから全然だめじゃん。

819より818の方がエレガント。

mod 3 で -1 は平方非剰余、の一言で瞬殺したいところ。
（まあ、実際の答案は 818 のように丁寧に書くにしても）

見かけ倒しの問題を一つ。
実数α、β、γ、δが次の三つの条件を全て満たすとき、その値を求めよ。

・0＜α＜β＜γ＜δ
・この４つの実数は全て　4(x^4) - a(x^3) + b(x^2) - cx + 5 = 0　の解である
・(α/2) + (β/4) + (γ/5) + (δ/8) = 1　を満たす。


まぁ、答えは・・・
正の実数だから、微分して・・・とかやってると求められないから意外と難しいかも。。。
んなわけないかな。

解と係数の関係じゃ上手くいかないようだ

うまくいくっちゅうの。てか閉条件がαβγδ=5/4、(α/2) + (β/4) + (γ/5) + (δ/8) = 1
しかないのに値がきまるってことからだいたい推測できる。

>>823
あ、ホントだ。４忘れてた

やっぱ、瞬殺されたか。
相加平均・相乗平均だっけ？あれ関係の不等式を使うと瞬札です。

ちなみに解法は？

821の解法（のつもり）です。
αβγδ=5/4・・・（A）
(α/2) + (β/4) + (γ/5) + (δ/8) = 1・・・（B）
このとき、0＜α＜β＜γ＜δより（B）に（A）を代入したものの左辺について相加相乗平均の大小を考えると、
（γ=5/4αβδとして代入）
（Bの左辺）＝4・（α/2*β/4*1/4αβδ*δ/8）^1/4≧1 　　　　　
となり（B）は、上式の等号成立時にのみ成立する。
よって、　α/2=β/4=γ/5=δ/8=1/4より（α,β.γ.δ）＝（1/2,1,5/4,2）となる。

おまえらきもいな

あげ

みなさんネタぎれですか？

α＞0, β＞0, α+β＜π のとき
(sinα-sinβ)^2+{sin(α+β)}^2＜2(sinα+sinβ)sin(α+β)
が成り立つことを示せ。

ｘｙｚ空間においてｙｚ平面上の双曲線ｙ^2-ｚ^2/2＝１をｚ軸のまわりに
１回転してできる回転体Ｑと２平面ｚ＝ｙ＋１及びｚ＝ｙ−１によって囲まれる
立体図形をＫとする。
（１）回転体Ｑ上の点をＰ（ｘ、ｙ、ｚ）とする時、ｘ＾2＋ｙ＾2を
ｚで表せ。
（２）平面ｚ＝ｙ＋ｔ（−１≦ｔ≦１）をαとし、回転体Ｑの方程式と平面αの方程式から
ｚを消去することによって、平面αによるＫの切り口のｘｙ平面上への正射影の周の方程式
および正射影の面積を求めよ。
（３）平面αによるＫの切り口の面積Ｓ（ｔ）を求めよ。
（４）Ｋの体積Ｖを求めよ。

>>831
それどっかの過去問じゃないかい？
それこそ東大の

>>833
え、まじ？　普通に自作のつもりなんだけど。

Y=(logX)^(logX)^(logX)
をXで微分せよ。

>>835
それぐらい根性でやれ

0≦x≦1においてL:y=x,C:y=x2,点P（t,t）を考える。（0<t<1）
この点Ｐからx軸,y軸と平行な直線をひきCとの交点をとり、次にこの交点からy軸に平行な直線をひき、さらにLとの交点をとる。
この作業を限りなく行い、[それらの交点]と[その交点ともっとも近い交点]を結んだ階段状の線とLによって囲まれる面積は、どのような値に近づいていくか。

>x軸,y軸と平行な直線をひき
ﾑﾘﾎﾟ

x-y座標平面上に凸図形がある。この凸図形を
(cosθ,sinθ)に平行な二本の直線で挟み込み、その時の距離をf(θ)と置く。
このとき、∫[0,π] f(θ)dθを求めよ。

必要なら、凸図形の周の長さをL、面積をSとして用いて良い。
---

言うまでもなく、面積は使わない。

平面上にあるどのような形の鈍角三角形または直角三角形も、有限個の線分を用いて
六つ以下の鋭角三角形に分割する事はできない事を示せ。

また、平面上にあるどのような形の鈍角三角形または直角三角形も、有限個の線分を用いて
七つの鋭角三角形に分割に分割する事ができる事を示せ。


ここで、鈍角三角形とは三角形の内角のうち一つが90°を超える物を言い。
直角三角形とは三角形の内角のうち一つが90°になる物を言う。
鋭角三角形とは、鈍角三角形でも直角三角形でもない三角形である。

>>840
数学の部屋になかった？

数学セミナーの問題だよ。　っていうか、ピーターフランクルの幾何学の本にも載ってる。

>>839
ちょい、日本語がおかしいので訂正。

x-y座標平面上に凸図形がある。この凸図形を
(cosθ,sinθ)に平行な二本の直線で挟み込み、その時の二直線の距離をf(θ)と置く。
このとき、∫[0,π] f(θ)dθを求めよ。

必要なら、凸図形の周の長さをL、面積をSとして用いて良い。

うぅむ。次の入試までもたないか

＞(cosθ,sinθ)に平行な
「(0,0)と(cosθ,sinθ)を結んだ直線に平行な」
って意味だよね？

>>845
そうだね。ごめん。

2004系統の問題作ってみようかな

三角形ABCの内部に点Pを置く。
PからBCに下ろした垂線の足をD。CAに下ろした垂線の足をE。ABに下ろした垂線の足をFとする。
このとき、不等式
PA+PB+PC≧2(PD+PE+PF)
を示し、等号成立条件を求めよ。

f(0)=f(1)=0。f(x)＞0　(0＜x＜1の時)
f(x)を二階微分可能な関数とするとき、
∫[0,1] | f''(x)/f(x) | dx ＞ 4
を示せ



　　過去問にあるかも・・・

>>849
変分法の問題？

>>849
その問題知ってる。
変分法は使わないで解けるやね。

たくさん出たんだから、誰か解いてくれ。。。

俺は一問も解けない。

>>849
答えかヒントくれあげ

>>853
ヒント
１．条件を満たす関数は、0＜x＜1の範囲で最大値を持つ。
２．Webのどこかに同じ問題がある。しかも日本語。

>>854
降参。答え教えてたも。

あげ

こういう問題はノーヒントで是非自分で解答を見つけることね。

>>857
できたひと？出題者？

>>849の問題、
f(0)=f(1)=0なのに、[0,1]でf''(x)/f(x)を考えても良いんでしょーうか。

積分のことをしっかり理解してないことが見え見えかも（´･ω･`)

広義リーマン積分でいけ

>>859
そうそう。だからこの問題スレちがいといえばスレちがい。
これ積分値有限確定値になる例すらおもいつかないんだけど。
もしかしてかならず積分値∞とかになるのかな？

849は数学発想ゼミナールって言う本の中で取り上げられているよ。
この本ほとんどの問題が解答がついてないんだけど、
この問題は例題として載っていて解答もちゃんとついている。

んじゃ、a,bを0＜a＜b＜1として、どのようにa,bを選んでも
∫[a,b] f(x)dx ＞ 4
が成立する事を示せ。

ほい。これなら、問題あるまい。

>>862
もう降参。たのむ。答えおしえて。

>>863
それではますます文句でると思うぞ。

>>865
にゃぜ？　f(x)は上のような条件を満たす問題だよ。

＞んじゃ、a,bを0＜a＜b＜1として、どのようにa,bを選んでも
＞∫[a,b] f(x)dx ＞ 4
　
だってこれじゃ任意の0＜a＜b＜1で所与の不等式が成立するとよめてしまうけど
b→a+0のとき左辺→0だとおもうけど。

すまん。ぼけてた。

>>863は忘れて・・・おおぼけ

まぁ、>>849はどうでもいい
>>848と>>839の解答お願い

>>849
f(0)=f(1)=0　f(x)＞0　(0＜x＜1)より、f(x)はx=Aにおいて最大値Bをとる。
平均値の定理から、
(f(A)-f(0))/(A-0)=f'(C)　　ただし、0＜A＜C
(f(1)-f(A))/(1-A)=f'(D)　　ただし、A＜D＜1
が成立する。これを整理して
B/A=f'(C)　-B/(1-A)=f'(D)

　∫[0,1] |f''(x)/f(x)|dx
＞∫[C,D] |f''(x)/f(x)|dx
≧∫[C,D] |f''(x)|dx /B
＝( f'(D)-f'(C) )/B
＝1/(A(1-A))

ほい。

すばらしい･･･

>>871
それで示せてるの？
A(1-A）で？？

お前には無理だから心配いらん

>>871の続き
0＜A＜1　より、
0＜1-A＜1が成立。

相加平均・相乗平均の不等式より
1＝A+1-A≧2√(A(1-A))
両辺二乗して、整理すれば、
1/(A(1-A))≧4

だが何か？

>>873
単純な二次関数の逆数

∫[C,D] |g'(x)|dx
＝g(D)-g(C)
？？？？？？？？

lim[n->∞] Σ[k=0,n] 1/(k!)
が収束する事を示せ。
また、その収束値をαとするときαは無理数である事を示せ。

お前には無理だから心配いらん

下からの評価がほしいだけなんだから
≧∫[C,D] |f''(x)|dx /B
≧|∫[C,D] f''(x)dx |/B
＝|f'(D)-f'(C) |/B
と修正すればいいのでは？

あぁ、分かったよ>>877
≧∫[C,D] |f''(x)|dx /B
≧∫[C,D] f''(x)dx /B
＝( f'(D)-f'(C) )/B

でいいんだろ

よく考えたら
eが収束する証明って
1+1/2+1/4+1/8+・・・が収束するから自明じゃん
有界で単調な数列だから・・
無理数はまあ普通に教科書に載ってるｗｗｗ
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>>878
有名まんだい
解析がいごんに出てる

「eが収束する」って何だよ

>>882
証明は載っていない。

wの連打（笑

しかも>>878って別にeについて直接聞いてる問題じゃないんだよな。
Σ[n=0,∞] 1/(n!)
について聞いてるんだよね。もちろん、この値はeだけど、高校生なら知らなくてもおかしくない。
出題としては、なんら不思議のない形式だと思う。

[x]をxを超えない最大の整数とする。

Σ[k=1,n^2] ( [(k^2)/(n^2)] + [n*√（k）] )

を求めなさい。



あぁ、出題溜まってきたな。

>>878
簡単な問題の解答はささと書いておこう。（背理法を使うので入試問題には不向きかと...）
α=lim[n→∞]Σ[k=0,n]1/(k!)が存在すること
Sn=Σ[k=0,n]1/(k!)とおく。
n>m>1に対しSn-Sm-1=1/m!+1/(m+1)!+....+1/n!
<1/m!(1+1/(m+1)+1/{(m+1)(m+2)}+1/{(m+1)(m+2)(m+3)}+.....
<1/m!(1+1/m+1/m^2+....)
=1/m!(m/(m-1)<1/(m-1)!→0(m→∞)より{Sn}は収束する。
αが有理数とすると適当な自然数mがあってl(自然数)>mに対し
l!α=lim[n→∞]Σ[k=0,n](l!)/(k!)は自然数
が成立すべき。しかしlを十分大きく取るとこれは成り立たない。
実際l!α=lim[n→∞]{Σ[k=0,l]l!/k!+Σ[k=l+1,n]l!/k!}でΣ[k=0,l]l!/l!は自然数だが
1/(l+1)≦lim[n→∞]Σ[k=l+1,n]l!/k!<1/(l+1){1+1/(l+2)+1/{(l+2)(l+3)}+...}<1/l
だから自然数ではなく、結局l!αも自然数ではない。

原点Oのxy平面上に点A（a,0）点B（b,0）点Ｍ（(a+b)/2,0）そして直線Ｌ：y=mxがある。
（0<a<b、m≧0）φ
この時、点Ｐ（p,mp）（p>0）をとり、∠APB=θとする。次の問に答えよ。
（１）θが最大になる時,pの値をa,b,mで表せ。
以下の問いでのpは（１）で求めた値を適用する。
（２）∠OPMがπ/2になる時の∠POM=φとする。tanφをa,bで表せ。
（３）mを0〜tanφまで動かしたときに線分MPが通過する領域の面積Ｓをa,b,φで表せ。
　　　またlim[b→a+0]S/(b-a)^nが発散,又は0に収束しないためのnの値を求め、その時の極限値を求めよ。

自作。かなり簡単になってしまったり、不備があったりするかもしれませんが、講評いただければ幸いです。

↑直線Ｌはほとんど関係ありません（汗）

ヒント
>>839　　多角形で考える
>>840　　鈍角または直角三角形の最大の内角をAとして、Aを分割する線分は三角形のどこで止まるでしょう？
>>888　　f(x)=(x^2)/(n^2)の逆関数ってなんだと思う？

あえげ

>>888は試験に出てもおかしくなさげ
ノーヒントだとC☆☆、ヒント付きならA☆辺りかな

>>894
俺は解けんな
894解法教えて

>>894　解けたの？

>>888は普通に[××]=aとなる××の数数えるんじゃないの？

>>897
意味分からない。[××]って何さ？

x-y平面を考えて
普通に0≦x,y≦n^2内の格子点とy=x^2の上の格子点を数えるんじゃないのか？

>>898
答えお願いします。

>>888　　うーん。解いてくれた人の数が少ない。簡単だと思ったんだが

x-y座標平面で考える。
関数f(x)=(x^2)/(n^2)を考える。この逆関数はg(x)=n*√(x)である。
Σ[k=1,n^2] ( [(k^2)/(n^2)] + [n*√（k）] )
のシグマの中身に注目する。
[(k^2)/(n^2)] + [n*√（k）]
前半部分は、x=k、0≦y≦f(k)の範囲にある格子点の総数である。
後半部分は、x=k、0≦y≦g(k)の範囲にある格子点の総数である。
結局、
Σ[k=1,n^2]　[(k^2)/(n^2)]
は0≦y≦f(x)　0≦x≦n^2、の範囲にある格子点の総数である。同じように
Σ[k=1,n^2]　[n*√（k）]
は0≦y≦g(x)　0≦x≦n^2、の範囲にある格子点の総数である。
ここで、gはfの逆関数なので結局
Σ[k=1,n^2] ( [(k^2)/(n^2)] + [n*√（k）] )
は0≦x,y≦n^2内部の格子点とy=f(x)上の格子点をあわせた物になる。

これから先は簡単じゃね？

間違った

[(k^2)/(n^2)] + [n*√（k）]
前半部分は、x=k、1≦y≦f(k)の範囲にある格子点の総数である。
後半部分は、x=k、1≦y≦g(k)の範囲にある格子点の総数である。
結局、
Σ[k=1,n^2]　[(k^2)/(n^2)]
は1≦y≦f(x)　1≦x≦n^2、の範囲にある格子点の総数である。同じように
Σ[k=1,n^2]　[n*√（k）]
は1≦y≦g(x)　1≦x≦n^2、の範囲にある格子点の総数である。
ここで、gはfの逆関数なので結局
Σ[k=1,n^2] ( [(k^2)/(n^2)] + [n*√（k）] )
は1≦x,y≦n^2内部の格子点とy=f(x)　(1≦x≦n^2)　上の格子点をあわせた物になる。

オレは[k^2/n^2]=uとなるuの数をa(u)としたとき前の項=�盃a(u)になった。
でa(u)を計算すると0≦u≦n^2-1についてa(u)=[n√(u+1)]-[n√(u+1)]±b(n)
b(n)=1 (uが平方数のとき) -1 (u+1が平方数のとき) 0 (それ以外のとき)
になった。そこで�納u=1,n^2-1]u[n√(u+1)]-[n√(u)]を計算すると
�納u=1,n^2-1]u[n√(u+1)]-[n√(u)]
=�納u=1,n^2-1]�納v=u,n^2-1][n√(v+1)]-[n√(v)]
=�納u=1,n^2-1](n^2-[n√u])
=�納u=1,n^2](n^2-[n√u])
=n^4-(所与の式の第２項)
となる。�巴(n)は簡単に計算できるので結局もとめる和はn^4+�納u=1,n^2-1]ub(u)+n^2と
なった。�盃b(u)=�納v=1,n-1]v^2b(v^2)+�納v=2,n](v^2-1)b(v^2-1)なので
さらっと計算できた。

ぐはぁ、ダメだ。思いっきり間違ってる。>>900-901は無視しろ。

と思ったらあってた。　・・・何考えてたんだか。

結局答えは何にせよ。n^4 + n

さぁ、次行ってみよう。

>>900
出題者なの？なのに解答無視しろとは？

いや、>>900=904=出題者なので、察してくれ。
なんか勘違いしてた。

>>901はあってると思う。

以前、この方法で解けたと思ってて（実際に合ってるわけだが）
ついさっき見たら、>>901の続きを計算するとn^4+n^2になってしまった。


いや、なるわけ無いんだけどね、n^4+nが正解。>>901をきちんと計算すると
ちゃんとn^4+nになる。


n^4+n^2になってしまったのは俺がぼけてたから。

さて、出題者がいるうちに>>839を聞いておこう。
教えてください。

やっぱ簡単ですか？

（・・・他の奴は結構難しいなぁ）

このスレ・・なつか（　ﾟдﾟ)ｽｨ…

>>910
pを変数とし，a，b，mを与えられた実数の定数として考える．
で，θの取りうる値が鋭角に限られるならば，最大値を与えるpはp=√{(ab)/(m^2+1)}かと。
もし，θが鈍角にもなりうるのならば，θの最大値は限りなく180度に近くなるので，
最大値が存在しないことになるというか・・。
たとえば，a=1，b=1000000000000，m=0.000000000000001 のときなんかはθは鈍角になるだろうし。
定数の与え方次第でいくらでもθは変化するので，各々に応じた場合わけが必要？

>>911
問題設定が微妙でしたね・・・
まず、a,bは定数、そしてpは変数、mは（１）で定数（として）、（２）ではある条件におけるmを、（３）ではmを動かしています。

つまりは、
（１）点Ｐを直線Ｌ上で動かして、求まったpでの点を定点として固定。
（２）それを動かしていって、tanφを求める。
（３）そして直線Ｌを傾き０〜tanφまで動かして面積を求め、極限値を求める。
といった手順です。
ただ直線Ｌとx軸が重なるときは、（１）で定めた点Ｐを求めるべき点とします。

座標系ではなく、図形的に明示した方がよかったですね・・・

>>890
(1)の場合、△ABPが直線y=mxに接した場合にθは最大になる
OP^2=OA*OBより、p^2(1+m^2)=ab　p=√( ab/(1+m^2) )

(2)　Pを通りy=mxに垂直な線分が点Mを通る事から
-mp=(-1/m)*( (a+b)/2 - p )　この式にpを代入して解けば
m=( b-a )/( 2√(ab) )
tanφ=m=( b-a )/( 2√(ab) )

(3)m＞0の場合を考える。また、簡単化のためp（ａ，ｂ，ｍ）=√( ab/(1+m^2) )とする。
　MPの傾きは(-mp)/( (a+b)/2 - p )と表される。これをmの式と見なし微分すればその導関数は
( 4ab - 2(a+b)p(a,b,m) )/( (1+m^2)( a+b - 2p(a,b,m) )^2 )
となり、分母は明らかに正である。この分子をさらにmの関数と見なして再度微分すれば
2m(a+b)p(a,b,m)/(1+m^2)
これは常に正の値をとる。故に、( 4ab - 2(a+b)p(a,b,m) )は増加関数。さらにm=( b-a )/( 2√(ab) )のとき
( 4ab - 2(a+b)p(a,b,m) )=0より、結局、( 4ab - 2(a+b)p(a,b,m) )/( (1+m^2)( a+b - 2p(a,b,m) )^2 )＜0　(m＞0)が成立する。
よって、MPの傾きはmについて減少関数。
ここでMが定点である事に注目し、線分MPが通る点(x,y)について考える。
yを固定して、xの最大・最小を考えると、MPの傾きが減少関数である事から、
xはMPの傾きが最大の時に最小値をとり、最小の時に最大値をとる事が分かる。
また、yを固定したとき、xが最小値となる点は点Pの軌跡上の点である。
また、yを固定した時、xが最大値となる点はm=tanφとなるときの線分MP上の点である。

点Pの軌跡はmをパラメータとして、( √( ab/(1+m^2) ) , m√( ab/(1+m^2) ) )　　（0＜m＜( b-a )/( 2√(ab) )）
√( ab/(1+m^2) )=xとすれば、( x , √(ab-x^2))　　　√(ab)＜x＜2ab/(a+b)　である。
これは、半径√(ab)、中心点O、・・・・


arctan使わないかこれ？　間違ってる？・・・・
いや、こんな複雑な計算してたら、間違うだろうな俺。
つーわけで、間違いを教えてくれ。ほぼ確実に間違ってる。

ごめん、φを見落としてた。
続き
これは、半径√(ab)、中心点O、中心角φの扇形の弧になる。
結局、求める面積は△OPM(m=tanφの時) − 上の扇形の面積
=(b-a)(√(ab))/4 - abφ/2

次に、
S=(b-a)(√(ab))/4 - abφ/2
=( tanφ-φ )/2
より、　S/( (tanφ)^3 ) -> 1/6　(φ->0)　が成立する。
tanφ=( b-a )/( 2√(ab) )　なので、n=3。
極限値は1/(24a^3)

ふー・・・間違ってる可能性高いなぁ。

>>914
Ｓ=ab(tanφ-φ)/2ですので、惜しいと言っちゃ惜しいですｗ
また、S/( (tanφ)^3 ) -> 1/6　(φ->0)の過程を明記した方がグッドです。
（n=3でのみ0以外で収束することも言及しなければなりませんし）
答えは・・・そちらの値をちょっと弄くったモノになります。

xy直交座標平面上の有理点を各頂点とする正多角形は
正方形以外に存在しないことを示せ。

>>839>>843
答えおしえてくれage

>>917
主題者がこない限り、俺も分からんが、凸多角形の場合に限って解答。

長さLのある線分αを、(0,0)と(cosθ,sinθ)を結ぶ線分に平行な二直線で挟んだ時、その二直線の距離をd(θ)とする。
線分αと二直線の成す角をφとすれば、明らかに、d(θ)=L*sinφが成立し、
∫[0,π] | d(θ) | dθ
=L*∫[0,π] | sinφ | dθ
=L*∫[a,a+π] | sinφ | dφ
=2L
が成立する。

このため、凸多面体を平行な二直線で挟むときを考えれば、結局その二直線間の距離f(θ)は
凸多面体を構成するn個の辺の長さをL(i)として、2f(θ)=Σ[i=1,n] L(i)sin(φ(i)) が成立する。
　∫[0,π] 2f(θ)dθ
=Σ[i=1,n] L(i)*∫[0,π]sin(φ(i))　dθ
=2Σ[i=1,n] L(i)
=2L　　(周の長さをLとする)

よって、
∫[0,π] f(θ)dθ=L

----
補足。　もし仮に、凸図形の周をn等分して、そのn等分した点を元に凸n角形を作り、
この凸n角形の極限(n->∞)を考える事で、一般凸図形に対して
∫[0,π] f(θ)dθ=L
を言っても良いのであれば、それで一般の図形に対する答えになる。
しかし・・・俺にはそこまでできない。

失敬
∫[0,π] | d(θ) | dθ
=L*∫[0,π] | sinφ | dθ
=L*∫[a,a+π] | sinφ | dφ
=2L

ではなく、

∫[0,π] d(θ) dθ
=L*∫[0,π] | sinφ | dθ
=L*∫[a,a+π] | sinφ | dφ
=2L

だな。

また間違えた。

　∫[0,π] 2f(θ)dθ
=Σ[i=1,n] L(i)*∫[0,π]sin(φ(i))　dθ
=2Σ[i=1,n] L(i)
=2L　　(周の長さをLとする)

ではなく

　∫[0,π] 2f(θ)dθ
=Σ[i=1,n] L(i)*∫[0,π] | sin(φ(i)) |　dθ
=2Σ[i=1,n] L(i)
=2L　　(周の長さをLとする)

だな。

ある平面にランダムに点が奇数個ある。それぞれ最小距離の点との距離は全て異なる。
この点が最小距離の他の点にむかってそれぞれ等しい距離で動く。
二つが重なった時、それは一つの点となる。
どれほどの時間がたっても、点の数が変わった瞬間には
すべての点において最小距離の点との距離は等しくないことを証明せよ

>>916
正n角形の頂点を( x(i) , y(i) )と表記する。
仮にx(i)、y(i)ともに全てのｉについて有理数であれば、
適当な自然数をかけてやる事で、全て整数に変える事ができ、
また、全ての点を平行移動させる事によって
Σ[i=1,n] x(i) = 0　　 x(i)は全て整数
Σ[i=1,n] y(i) = 0　　 y(i)は全て整数
を満たすように正n角形を変形できる。無論、変形後も正n角形の形は崩れない。
よって、あるnに対し、全ての頂点が有理数であるような正n角形が存在したならば、
全ての頂点が整数になり、上の条件を満たすような正ｎ角形が存在する。
以下、全ての頂点が正ｎ角形の頂点( x(i) , y(i) )が上の条件を満たすときのみを考える。

条件を満たす正n角形のうち、一辺の長さが最小の物を考え、その長さをL(n)と置く。　(各頂点が整数なので最小の物が存在。)
正n角形の中心O。隣り合う二点をA,Bとすれば、AB=L(n)であり、OA=OB、∠AOB=2π/n。である。
そのため、OA*sin(π/n)=L(n)/2が成立し　n≧7の時、OA＞L(n)が成り立つ。
今、( x(i) , y(i) )が上の条件を満たすとき、
( x(i)-x(i-1) , y(i)-y(i-1) )を頂点とする正n角形も上の条件を満たす。　ただし、x(0)=x(n)と循環するように考える。
ここでn≧7の時、OA＞L(n)だったのだから、
正n角形( x(i) , y(i) )よりも正n角形( x(i)-x(i-1) , y(i)-y(i-1) )の方が一辺の長さが小さくなる。
ところが、これは上で考えた最小性に矛盾する。　従ってn≧7の時は条件を満たさない。よって、n=3,4,5,6のどれか。
また、OA*sin(π/n)=L(n)/2　、OA、L(n)が整数である事より、sin(π/n)は有理数。
ところが、n=3,4,5,6のうち、これを満たすのはn=4のみ。

よって条件を満たす正n角形は正方形のみ。
そして、正方形の場合、確かに条件を満たしている。

スマン。大嘘だ。ここまでミスったのはある意味スゲー。

訂正
よって、n=3,4,5,6のどれか。
また、A=(a,b)　B=(b,c)として、△OABの面積は|ad-bc|/2なので、a,b,c,dが有理数ならば△ABCの面積も有理数。
ここで、正n角形X(i)=( x(i) , y(i) )は三角形OX(i)X(i+1)をn個あわせた物なので、その面積は有理数となる。
正n角形の一辺の長さをL(n)とすれば、その面積は(L(n)^2)/(2tan(π/n))となる。L(n)^2は有理数なので、
結局tan(π/n)が有理数である必要がある。

よって、n=3,4,5,6のうち、これを満たすのはn=4のみ。。。


なんてボケだ

>>848
解答お願い

実数から実数への写像fが次の条件を満たすとき、fを求めよ。
任意の実数x,yについてf(x+y)=f(x)+f(y)
f(1)=1
任意の実数a,bに対し、区間[a,b]において、f(x)は有界である。

>>925
Ｑを有理数全体
1)f(x)=x (x∈Ｑ) 証明(ry
2)xを無理数とする。任意のε>0に対し次の条件を満たす整数M,Nの組
が無限個ある.|Mx-N|<ε証明(ry
3)ある無理数xがあってf(x)≠xとする。
任意のε>0に対し|Mx-N|<εを満たす整数(M,N)の組が無限個ある。
f(Mx-N)=f(Mx)-N=Mf(x)-N
Mf(x)-N-(Mx-N)=M(f(x)-x)であるがMを十分大に取ると右辺は幾らでも
(絶対値が)大きくなる。Mx-N>-εより結局f(Mx-N)=Mf(x)-Nは幾らでも
絶対値が大きくなりえる。
これは[-ε,ε]でfが非有界であることを意味する。従ってf(x)=xでなけれ
ばならない。

nを自然数とする。
x(1),x(2),…,x(n+1),x(n+2)についての連立方程式、
x(n+1)^2 = Σ[k=1,n] ( x(k) )^2
x(n+2)^2 = Π[k=1,n+1] x(k)
が自然数解を持つようなnが存在するのならば、それを一つ求めよ。
また、そのようなnが一つも存在しないのならば、その事を示せ。

一辺の長さaの正方形がx-y座標平面に置かれている。
この正方形の内部、および周上に格子点が一つも存在しないとき、
aの満たす条件を求めよ。

無限数列a(1),a(2),…,a(n),…が全て正の実数であるとき
b(n)=( ( Σ[k=1,n] a(k) )/n ) - ( Π[k=1,n] a(k) )^(1/n)
と定義する。任意の自然数nに対して
b(n)≦b(n+1)
を示し、等号成立条件を求めよ。

nは自然数であるとする
x(k)=cos(kπ/n)
として、f(x)をn-1次以下のxについての一変数多項式とする。
Σ[k=0,n-1] ((-1)^k)*(f(x(k+1))-f(x(k)))
を条件を満たす全てのfに対して求めよ。


さーて、そろそろ解くか。

>>922
4行目〜6行目がぁゃιぃんだが。証明しる。

>>931
その通りだ良く気づいた。

正n角形のn個の頂点を( x(i) , y(i) )とする。
X = Σ[i=1,n] x(i)
とすれば、Xは有理数。また、両辺からXを引けば
0 = Σ[i=1,n] ( x(i) - X/n )
が成立して、 x(i) - X/nも有理数となる。ここでx(i) -> x(i) -X/nという変換は平行移動を意味している。
従って、正n角形のn個の頂点を( x(i) -X/n , y(i) )と変形しても、形は崩れない。
同様に、Y = Σ[i=1,n] x(i)　とおき、( x(i) -X/n , y(i) - Y/n )　を考えれば、これは正n角形を成す。
ここで、x(i) -X/n , y(i) - Y/n　は共に有理数なので、適当な自然数Mをかける事により整数に変形できる。
適当な変数Mをかける事は図形的には拡大を意味するので、これも形を崩さない。・・・以下略。

>>918　の採点希望。

>>918
おお、すばらしい。

>>934
いや、だから。これ工房レベルじゃないと思うのよ。
自分でも間違ってるって書いたじゃん>>918

>>918を書いた本人が間違ってると思ってるのに、すばらしいって言われても・・・

>>918ってまちがってるの？その後訂正は入ってるみたいだけど。
　
＞いや、だから。これ工房レベルじゃないと思うのよ。
　
それはそうだろうね。だんだん問題だす側のタガが外れてきた気はする･･･

>>918の補足以下を見れば分かると思う。
あれはあくまで、凸多角形に対してのみ証明を行った物。
問題は凸図形に対して聞いているので、凸多角形に対してのみの解答だと不十分だと思う。
それと、
http://coolee.at.infoseek.co.jp/mondai3.html#15
に凸多角形から凸図形に変形する際、f(θ)の一様収束性を使った証明が載ってたけど、
やっぱり、工房レベルじゃないよねぇ。

つまり凸図形についてはただしいんでしょ？だったらもう解決でいいんじゃないの？
そもそも工房レベルの問題じゃないんだし数学科の標準的な実力があれば
たとえば境界が区分的にC1の場合とかに拡張するのはすぐできるだろうし。
（というか一般的に｢周長をもつ図形｣といって説明もなんもない場合には
境界は区分的にC1は仮定していいだろうし。）

>>938
そだね。解決という事にしとこう。

頑張ったぞ俺＠化学専攻/数学離れ歴10年

乙、そしてgood job!

Ａ君とＢ君とＣ君が相撲をする。
始めにＡ君とＢ君が勝負し、勝った方がＣ君と戦う。
以下、だれかが２連勝するまで、「前の試合の勝者が、前の試合で戦わなかった者と勝負する。」
を繰り返す。

Ａ君がＢ君に勝つ確率が　１/２
Ｃ君がＡ君に勝つ確率が　ｐ
Ｃ君がＢ君に勝つ確率が　ｐ

であるとき、優勝確率は3人とも等しいという。
このときｐを求めよ。

http://web2.incl.ne.jp/yaoki/sumo.htm

>>926
1),2)を信じるとしても、3)で帰謬法を使っているから大減点。
東大入試では帰謬法・背理法は減点対象.0点も有り得る,
特に背理法の場合、そればかりでなく他の問題があってても減点になるぞ。
3)の正しい解答は
|f(x)|<L |x|<ε<Lの時
M|f(x)-x|=M|f(x)-N/M+N/M-x|<=|Mf(x)-N|+|Mx-N|=|f(Mx-N)|+|Mx-N|<2L
|f(x)-x|<2L/Mで、xが無理数でもMは幾らでも大きくなり得るから
|f(x)-x|=0∴f(x)=x
これで、1),2)を出題者が信じればf(x)=xであると出題者は納得する。

帰謬法は問題文で明示されている前提を組み合わせると結果が矛盾するこ
とを指摘する方法。まぁ、出題者の主張の矛盾を指摘する方法だから嫌わ
れて当然だな。
背理法は問題文で明示されている前提を組み合わせて、問題文に明示され
ていないが一般的により強く信じられている原理への背理を指摘する方法
で、これは出題者が異端者であることを暗に指摘し、改宗を促す洗脳行為
と見なされるから当然嫌われる。（俺が採点者だったら０点付ける）

ちなみに京大ではむしろ背理法や帰謬法を使った解答のほうが評価は高い
というウワサ。
1),2)を省略せずに書けばの話だが。1)2)3)と分けずに一つの文章で纏め上げて
出題者の提示した前提の矛盾を導くか出題者の背教行為を指摘すればよい。

(背理法や帰謬法・帰納法を用いずに)
√2が無理数であることを示せ

粗悪燃料（北朝鮮産）投下あげ

縦読み？

>>943
お前が採点者になることはありえないから安心だ。

>>848
やっと解けた。　高校レベルだったよ。良問かも。

∠CABを単純にAと略す。同様に、∠ABC=B、∠BCA=Cと記す。
条件より、PF⊥AB、PE⊥CAが成立するため、四角形AFPEは円に内接し
その直径の長さはAPである。また、四角形AFPEの外接円は三角形AFEの外接円でもあるので、
その直径は正弦定理を用いて、EF/sin(A)となる。よって、PA=EF/sin(A)、EF=PA*sin(A)が成立する。
ここで、点Eから直線BCに下ろした垂線の足をE'とし、同様に点FからBCに下ろした垂線の足をF'と定義する。
明らかにEF≧E'F'が成立する。よって、PA*sin(A)≧E'F'。　　[eq.1]

また、DF'=PF*sin(B)　DE'=PE*sin(C)　E'F'=PF*sin(B)+PE*sin(C)が成立する。　[eq.2]
[eq.1]と[eq.2]をあわせれば、
PA*sin(A)≧PE*sin(C) + PF/sin(B)
よって、
PA + PB + PC
≧( (sin(C))/(sin(B)) + (sin(B))/(sin(C)) )PD
+ ( (sin(A))/(sin(C)) + (sin(C))/(sin(A)) )PE
+ ( (sin(B))/(sin(A)) + (sin(A))/(sin(B)) )PF
≧2(PD+PE+PF)

>>929
う〜ん、n*b(n)≦(n+1)*b(n+1) なら示せそうなんだが…。むずい…。

>>951
ごめん、出題者の俺が間違っただけ。
元ネタは
http://www.pp.iij4u.or.jp/~yonemura/pdf/78s.pdf
アナタの方法で正解です。

ちなみに、>>927も間違っててn≧2の条件が抜けてた。これがないとメチャ簡単。
あとは>>929の元ネタも
http://www.pp.iij4u.or.jp/~yonemura/pdf/71s.pdf
>>930は数学セミナーからチェビシフの多項式でございます。

座標平面上に円C：x^2+y^2=1と，2点A(2，2)，B(a，0) (aは定数)があり，
円C上を動く点をPとする。ただし，点PはA，B，Pが△ABPをなすように動く。
(1) a=0のとき，△ABPの面積の最大値を求めよ。
(2) △ABPの面積の最大値をaを用いて表せ。
(3) △ABPの面積の最小値が存在しないためのaに関する必要十分条件を求めよ。

四面体をある平面によって0より大きい体積を持つ二つの領域に分割する。
このときの断面積をSとすれば、Sは最大値を持たない事を示せ。

正六面体を２つの平面によって0より大きい同体積を持つ３つの領域に分割する。
このときの断面積の合計をSとすれば、Sは六面体の表面積よりも小なる事を示せ。

てめぇが示せ バカ！

本当に難易度が高くなった。せめて、元ネタだけでも希望する

元ネタっていっても少なくとも>>953以降はオリジナル問題に見えるけど。
>>953以降ぐらいの問題だったらホントに受験問題でもでても不思議じゃないぐらい
のレベルにみえるけど。

>>958
解いてくれ・・・頼む。

>>959
どれ？

>>960・・・スマン、全部解けた。

954はつまり体積が０になれないから最大値が定義されないってこと
955は１つの断面の面積の最大値を求めれば、糸冬

ここに出される問題って大抵元ネタありなのか？（自作ばかりだと思っていたから、流石だなと思っていたが）

a_n+1=4(a_n)^3-3(a_n)となる数列{a_n}が7個の数値しか持たない時の、一般項a_nを求めよ。

1〜2004の自然数のうち、倍数にぞろ目を持たない数の個数を求めよ。

愚問。

>>964 1804個

>>966
おれの計算だと、1175個だったよ。

10と互いに素な自然数ってぞろ目が倍数にならない？

>>966 >>967
どちらも間違いです。
一応入試ならば、求めるべき条件の明示と証明も必要になるから、問題としては形になっているかなと思うのだが

計算しなおした。340個？

>>964
ぞろ目とは？

>>969
正解。一応理由と軽い証明法もあったらもっと良かったけど。

ぞろ目・・・すべての桁の数が同じ数字

全ての桁の数が同じか・・・なぁんだ、ワンペアがあればいいのかと思った。

2〜4008で
2、22、222、2222
4、44、444
　……
8、88、888

あれ？？？あわねー！！！

倍数にゾロ目を〜
ってあるけど、倍数って何よ？何の倍数よ？

>>964に対する俺的な疑問。

1,2,0,4の数字が出ているが、当然５進数で考えるんだよね？
倍数って言う言葉があるけど、何の倍数？
ぞろ目を「持たない」っていう言葉があるけど、途中にぞろ目があればいいの？
　　例えば、1223とか・・・　それとも、1323みたいなのも含む？　それとも111みたいなのだけ？

>>969>>971
なんで？>>967ってまちがってるの？10と互いに素な香具師だけで
もっと多いとおもうんだけど。

自然対数ｅが円周率πよりも小さいことを証明せよ。

>>976
愚問じゃないか？そもそもeもπもろくに定義もできない状態で大小比較なんて。

んで、次スレは？

>>973 >>974
問題を解釈すると・・・
1〜2004の中の自然数の一つをkとする。
kを整数倍した時に、ぞろ目になるモノが１つでも含まれていれば集合Aに、そうでないモノをBとする。
では、Bの要素はいくつになるか？
ということです。

またぞろ目というのは、「各位の数がすべて一致」することを意味している（つもりです）

>>975
結果から言うと、10の倍数,16の倍数,25の倍数が求めるべき条件です。
余事象は10と互いに素からもっと絞り込めます。

>>978
たてられませんでした。>>981頼む。
できればテンプレ文の最後に「それ以上の難題はスレ違いです。」
くらいを付け加えてほしい。

＞結果から言うと、10の倍数,16の倍数,25の倍数が求めるべき条件です。
＞余事象は10と互いに素からもっと絞り込めます。
　
わかった。Ａの方をもとめてた。Ｂの数か。

体積がVの粘土の塊がある。これで直円錐形のやじりを作るときやじりの表面積の最小値を求めよ。

　　　　　　　　　　　　　　 /　　／　　　　　／　　　|　 　 　 ＼ ヽ
　　　　　　　　　　　　 　 /　／　 ／　　 / /　　　 ||　 |　　i　 ヽ i
　　　　　　　　　　　　　 i　/　　/　/　　/ / /　 　 ||　 ||　　|│ |ﾉｽ
　　　　　　　　　　 　 　 |//　 /　/___, -一ｧ|　　/! |ﾄ、|│　|　|　く」
　　　　　　　 　 　 　 　 |,-‐¬ ￣---┘'７ |!　 ﾊ! |,､-┼十|!　|　| |
　　　　　　　　　 , -‐ ''"　　し' '´_ ／,ィ二l |ﾄ、/!ヽﾄ､＼_ヽ!|!l　| ﾊ |
　　　　　　　,r／　　　　　　__　　 ,イ|ﾘ ヾハ! ヽ!　 ,ィ⌒ヾﾐﾘﾉ!/ﾘ　 |
　　　　　 ／ ||ヽ　　-'　　 　 ／￣ )｀　__　　　　　　|ヒﾉ:} '` ,ｲ/ |　 |　
　　　 ,r '　　 ヾ､　　,-､＿___ , イ￣,r=＝-　　　　　　==-'　 ﾚ' /|　 | 　　
　　／　ヽ　　　 `ーｿ　 '　|　|ﾄ､,ﾍ ′""　　　　　　　 　 "" / / ||　|　　　
. ／　　　 ＼_　　／　　|　ﾊ　ヽ｀ﾞ'ﾍ　　　　　　 ' '__. ィ　　／ / | |　 |　　
　　 　 　 　 　 ／　　 /　/ |　 ヽ 川＼　 　 ヾ三ﾆ‐'′／/! |　 | |　 | 　　　次スレをよろしくであります
　　　　　　　 /　　　 /　/ 八　 ＼川| |`ト-　..　 __ , イ‐ｧﾍ |　 | ||　 |!
　　　　　　／　　　 /　/ /　 ＼　 ＼ 「`ー- ､　　　　／ 　.〉　 ト､|　 ヽ、
　　　　 ,イ　　　 ／-─＝¬ﾆヘ､_　 ＼ 　 厂＼　厂ヽ　/!| 　 |　`ｰ＝ﾍ
　-‐ ￣ /─　' ￣　　　　　├-　ヽ＼　 ＼ﾉ＼　＼　人 ﾊ!ヽ　||　　|-┤ ヽ
　 　 　 /　　　　　　　　　 ／!‐--　| |＼ 　 ﾄ､_｀ヽ oヽ　　ﾄ､!　 ||　　|‐┤- ヽ
　　／/ 〉　　　　　　__ ／　 ├‐-　 ||　 | 川-‐　　|　|　　厂7! ﾊ!　 ├:┤　￣ヽ
　　／ / ｰ ─ 　 ￣ 　 　 　 ├‐-　ﾘ　 || ﾊ!ﾍ　　 |　|　　ト┤|/′　ヾ,┤　　　ﾞi_
　　‐ '　　　　　　　　　　　　　 〉‐-　　　 | /　/＼ .|o |　/ヽ/（′　 　 ∨　　　　 ＼
‐--─　──-r､___-､　　　　/ー_　　 　 {(　　　'´＞､! /ヽ/　　　　　　 |＼ 　 　 　 ＼
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ (第一問)
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1000592003/l50
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ (第二問)
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1046165076/l50

タイトルは 「★東大入試作問者になったつもりのスレ★ (第三問)」 でいい？

立てられませんでした…

　　　　　　　　　　　　　　☆ ﾁﾝ

　　　 　 　 ☆　ﾁﾝ　　〃　∧＿∧ 　 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　 　 　 　 　　ヽ　＿＿_＼（＼・∀・）＜ねぇ、新スレまだぁ〜？
　　 　 　 　 　 　 ＼＿／⊂　⊂＿)＿ ＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　　 　 　 　 　 ／￣￣￣￣￣￣￣／|
　　　　　　　　| ￣ ￣￣￣￣￣￣:|　:|
　　　　　　　　|　　　　　　　　　　　 |／
　　　　　　　　￣￣￣￣￣￣￣￣

　 　 　 　 　 　 　 　　Λ＿Λ　ぁぁ-
　　　　 ∧＿∧ 　 　（・∀・；）
　　　　（　・∀・）　⊂　⊂＿ ) 　　　_＿＿＿＿＿
　　　⊂　　　／|　≡≡≡≡≡≡／　　　　　　 ／|
　　　　 |　 ＿／　≡≡≡≡≡≡|￣￣￣￣￣|　 |
　　　 （_＿）彡 　 ≡≡≡≡≡≡|.愛媛みかん|／

　　　　　　　　　　　ﾎﾞｺｯ

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｼｰﾝ
　　　　　　　　　＝≡＝　∧＿∧
　　　　　　　 　　／　　　（・∀・　） ＜静かにしてます
　　　　　　　　〆 　 ┌　 |　　　　| .∈≡∋
　　　　　　　　　|| 　γ ⌒ヽヽコノ　　 ||
　　　　　　　　　||　.｜　　　|:::|∪〓　 ||
　　　　　　　 .／|＼人 ＿.ノノ _||_.　／|＼

　　　　　　　　　　　　　ｳｽﾞｳｽﾞ…

　　　　　　　　　＝≡＝　 ∧＿∧ 　　I'm ready.......
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http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1069171672/l50
新スレ

なんで京大の文字を消したんじゃーーーマジで許せねーーーーーー

東大の入試は解いたことないから分からんけど、
聞いたところによると、入試問題は京大のほうが難しいらしい。

兄弟の問題の方がしつこいというか、ねちっこい印象がある。

京大と東大の比較とかが問題なのではなく
スレタイに京大が入ってない事の方が問題なのだ。

何故抜かしたんじゃーーー

もうね。許せませんよこれは。呪いますね

お前を一生呪ってやるーーー

さらば愛しき東大京大スレ

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