数理論理学　基礎

数理論理学のうち、基礎的な部分の話題を扱います。

主なテーマは、古典命題論理と、１階古典述語論理。
シンタクスとセマンティクス、証明図、代数モデル、等。

また、それらの発展として、様相論理・直観主義論理を含む
非古典論理、２階述語論理などの話題もアリですが、あくまで
基礎ですので、大部分の数理論理学者が異を唱えない範囲に
とどめるようにしてください。

話題の多少の逸脱は構いませんが、極度に哲学的な議論や、
人物・立場の批評、数学史考証、罵り合いなどは、各自判断の上
別スレにお回りくださるようお願いします。

関連スレ

より高度な話題はこちら
基礎論なぜなにスレッド その{φ,{φ}}
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1014140987/

日常語との差異を考察
数学で用いられる日本語表現
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1020836761/

濃度とか順序とか超限なんちゃらとか
：：：集合の本質とは何か：：：
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1005480805/

らむだ、こんびねーた（今のところ糞スレ）
λの世界
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1026997804/

数理論理学で有名な教授（dat逝）
http://cheese.2ch.net/math/kako/1007/10075/1007564373.html

基礎というのは入門レベルという意味だよね？

>>3
そうです。すみません。
>>1の内容にある「基礎」という部分は、全て「入門」に
置き換えて解釈して頂いて結構です。

「数学基礎概説」（大芝）ｖｓ「証明論入門」（外史＆八杉）

先に読むべきはどっちでしょっかー？

>>5
”林晋　数理論理学　コロナ社”のほうがよさそう。

>>1
お勧めの本教えれ

ゼミで個人で服部なんとかの放送大学用教材読んでます。
１４章くらいあるんだけど７章の構造んとこで詰まってる。

質問です。ゲーデルの一階述語論理の完全性定理って
トートロジーと一階述語論理の知識だけで理解できますか？

>>1

M_SHIRAISHI先生のHP↓

http://www.apionet.or.jp/~eurms/Ronri_Kaikaku.html

で「決まり」だろが、ヴァーカ。

>>10
真面目にやろうとしてる人たちの邪魔するなよ（ｗ

スレスト希望（￣ー￣)ﾆﾔﾘｯ

>>10は他のスレ逝け

＞＞11

まじめな話だ、ヴァーカ！！！

テメエら、大恥かきたいか！！！

>>10
>>14
の言う通りだよ。　M_SHIRAISHI氏のHPは、そのタイトルのでかいのに
驚かされるが、内容よく読んでみると、真剣そのもので、タイトルは
内容をそのまま反映してるよ。
これの英語版が準備中のようだけど、それが出来上がったら、世界中の
注目を浴びることになる可能性、大きいと思うな、俺。

>>10=>>14=>>15
ｼﾞｻｸｼﾞｴﾝするなら名前くらい書きかえようね。

>>16
ジョークの分からない人がそんなこと書いてくるの待ってたんよ〜ん。

>>14 の次に出してるのに、自作自演だったら、「二重カキコ」で
投稿はリジェクトされるはずじゃあなぁ〜い？（ｗ

？？？

？？？

恥ずかしい１０のいるスレはここですか？

>>17
御意。
# でも、わざと人を嵌めるってのは、チミも「人が悪い」ねっ！

>>21
おいおい。納得するなよ。
投稿時間の差をみてみれ。第一二重カキコじゃねえじゃねえか。

？？？？

>>22
>>21も10だと思われ。

>>22 も >>21 も >>10 って、どういうこと？？？？

なーんつーか、俺、こんがらがってきた。　
もう、ここ来るのよそっと。

これこそ論地学の問題です。

２ch初心者でもない限り、こんがらがるほどでも

結局論理ネタって荒れるのね(ﾄﾎﾎ
ＧやＭシラのいない世界

俺、「ならば」の問題で悩んだくちの一人なんだけど、M_SHIRAISHI氏の
HPでは（ある意味で）この問題が鮮やかに「解決」されているのは事実
だよなー。 本当のところ、数理論理学は今後どうなっていくんだろう？

どう悩んだの？
どう「解決」されたの？
おせ〜て。

>>30
その意味からして、 >>14 で >>10 が逝っているのは、本当にその通りだと、漏れには思えるが・・・。

＞＞３１
ひとにたずねるより、自分でM_SHIRAISHI氏の
http://www.apionet.or.jp/~eurms/Ronri_Kaikaku.html
読んでみろつーの！　

あれ読むのって、けっこう骨おれるけどな（ｗ

読みたくないからきいたのに。。。

>>34
「ラクしよう」と思うんだったら、論理学なんか勉強すんな、アホ！！！

誰も>>9に答えられない（ﾜﾗ

>「ラクしよう」と思うんだったら、論理学なんか勉強すんな、アホ！！！
なんでそんなにイライラしてるの？

>>9
特に専門的な知識は必要ないと思います。
私が完全性定理を習ったのも、大学２年の時の
予備知識を仮定しない論理学の授業で、ヘンキンの証明を教わりました。
ただ、モデルについてちゃんと理解してないと大変かもしれません。
完全性定理は、実質的にはモデルの存在定理ですし。
今思えば、その時は私はモデルというものがよく分かってなかったので
完全性定理もよく理解できていませんでした。

>>38
ありがとうございます。
ヘンキンの証明というものはわかりませんが、
「モデル」について理解しないとだめなのですね。
今、ゲーデルの原論文を読むように先生に誘導ｗされていて、
とりあえず一階述語の完全性定理なら楽かなと思い読んでいます。
専攻も¬(数学∨論理学)な阿呆ですが頑張ります。

Wangのアルゴリズムについて書いてある本ってあったっけ？

どうして　偽⇒偽　偽⇒真　を真と定義するの？

>>41
定義しなくてもいいんじゃねぇの？自分で相応の体系を作れれば

＞４１
ハイチュー律、逆は真ならず、推移律を満たそうとすると
必然的にそう定義せざるをえなくなる。
「論理学をつくる」（戸田山）参照

早速レスくれてありがとーございます。
よく解らないけど、今度その本を見てみます。

>>39
ゲーデルのオリジナル論文にヘンキンの定理は出てこない。

ゲーデルのオリジナルに近い完全性定理の証明は「現代論理学入門」に
のってたはず。

モデルの存在定理に関わる面白い定理があるので、ゲーデルのオリジナルに
こだわらず標準的な教科書で勉強することをすすめる。

ちなみに，ヘンキンによる証明は松本和夫の『数理論理学』にも載ってる．

>>30
relevant logic でぐぐれ。べつに「ならば」をめぐって研究してるのは御大だけではない。
ちゃんとオーソライズされた研究なんぞいくらでもあるぞ。

＃御大はあんなものはだめといってるけどな（笑）

日本ではあまり知られてないだけ。

「ならば」ってさぁ、単なる2変数の論理記号なんじゃないの？
他にそういう論理記号の関数作ればそれでOKじゃないの？

>>48
それがどんなにめんどくさいことかよく認識しろよ（苦笑）

そういや非古典論理の和書って少ないね。
だから>>30みたいな意見が出るんだろうか。

教養としてのサナチョバ[論理形式とは何か]

1 ：謎の覆面仮面 ：02/09/18 18:43
＜厨房による厨房のための哲学教養講座シリーズその１＞

　[論理形式とは何か]

http://academy.2ch.net/test/read.cgi/philo/1032342220/-100

「PならばQ」が、Pが偽のとき真だ、という事実は「矛盾した理論では任意
の命題が真」という事実に帰着される。これは直観主義論理でも正しい推論
だが、それすら認めないのは最小論理と呼ばれる。

>>52
「矛盾した理論では任意の命題が真」を認めないというだけでは
最小論理の特徴づけにはならない。他にもいろんな体系で成り立た
ないよん。

最小論理は、排中律とかほぼほとんどの否定の性質といわれるものが
成立しないからにゃあ。（だから最小なんだけど）

>>50
そういうことなんだろな。せいぜい、直観主義論理、最小論理、量子論理と
様相論理（K, S4, S5あたりで、S3, S3.5, S3.4, D とかはでてこない。）、ファジー論理ぐらい
かな？

53氏のツッコミがあったので正確に述べると、¬ＰをＰ⇒⊥で定義して¬を基本論理
記号からはずし、ゲンツェンタイプのNJで記述された直観主義論理の推論規則から
（⊥消去）を除いた推論体系が最小論理

入門レベルのスレだってことをお忘れなく

話題は古典論理限定にしたほうがいいんじゃない？

>>57
それでは入門にすらならないと思われ（笑）日本語の教科書レベルの
話ならここのほうが良いような。最小論理なら難しい話じゃないし、
初等教科書レベルの話でしょう。

話が難しくなってきたころ合いを見計らって元祖へ誘導でよいのでは
ないかと。

＞それでは入門にすらならないと思われ（笑）
そんなことはないんじゃない？
>>40や>>48を見るまでもなく、古典論理もよくわかってない人は大勢いるでしょ。

話題の限定は１に決めてもらうのがいいのではないかと。

入門レベルの知識を既知としているのか？

それとも論理学の本はいっさい読んだことがない
あるいは読み始めたばかりの人を対象とするのか？

明確にしたほうがいい。

まずは、エムシラの新論理学とやらをコテンパンにしてから。
その程度のことができなれば論理学を語る資格はない。

基礎論関連スレってどれを見ても同じ（ｗ

エムシラ、シンゴ、クロッキの話
あとは説明にも会話にもならない知識のひけらかし

人生ネタがぬけてるぞ。

何でもいいけど知識ひけらかしは他のスレでおながいしますよ。ええ。
例えば学歴板とか、ペット大好きとか。

＞＞６１
＞まずは、エムシラの新論理学とやらをコテンパンにしてから
そんなことしようとしたら返、り討ちにされそ。　俺らのレベルでは。(＾＾;)

>>65
そだな。「とんでも旗本の筆頭マツシン痰」が、御大の逆鱗に触れて、叩き殺されたってのは、有名な話だもんなー。

誰かエムシラの論理改革をコテンパンにしてくれ．

もう、「違う宇宙に棲んでる者同士」という認識でいいんじゃない？
はっきり言って罵倒合戦には飽き飽き。
どうせ「議論」にすらなっていないんだから、他でやってくれよ。

>>59
＞話題の限定は１に決めてもらうのがいいのではないかと。

それならもう１に非古典論理も簡単なのはありってかいてあるやん。

>>59
＞>>40や>>48を見るまでもなく、古典論理もよくわかってない人は大勢いるでしょ。

もちろん、そういうふつうの質問はめいんでしょ。で、初心者が初等教科書を読んでの
疑問もここで吸収するのが趣旨なら、簡単な非古典論理の話題もここであつかった方が
といいたかったわけで。

簡単な非古典論理の話をして「論理革命」への免疫をつけるのも初心者には
親切なような気がする今日この頃。

特定人物ネタはよそでやっとくれ。

＞人物・立場の批評、罵り合いなどは
＞別スレにお回りくださるようお願いします。

簡単な非古典論理の話をして、「論理革命がなぜ必要なのか」の道案内をするのも
初心者には親切なような気がする今日この頃。

このスレは、「荒らされる宿命にあるのか」って感じが・・・。

fjでも２ちゃんねるでもある程度の期間以上エムシラと他のやつらとの
やりとりをみたことがあれば一目瞭然なんだが、エムシラはfjでもここ
でもコテンパンにされているのよ、既に、激しく。
ただ、彼にその事実を認識させるのが恐ろしく困難なだけで…。

>>74
論理革命はなしにしようよう。

＞７３
てゆーか、論理＆基礎論ネタは荒らされる
Ｇと白石が死ぬまでは駄目だね

「エムシラ」「Dr.G」「論理改革」等々の文字列を含むレスは、
（たとえどんなに有意義っぽいレスであっても）このスレでは放置する
(或いは上の文面を引用する)、とかいう決まりにすればどうだろう？　ダメ？

しかし、こんなことから話し合わなければならない数理論理学っていったい、、、(ﾄﾎﾎ

＞Ｇと白石が死ぬまでは駄目だね
Ｇのほうなら、もうだいぶ前に死んでしまってるけど・・・。

こんなことから話し合わなければならない数理論理学って、さすがにスバラシイ。

昔、天文学で、天動説が地動説に取って代わられようとしていたのと同じようなことが、
今、論理学の世界でおきつつあるのかも。
ここ、数年、目が離せないなぁー、ワクワク、ゾクゾク。

>>81
ﾝﾅﾜｹﾈｰww

＞Ｇのほうなら、もうだいぶ前に死んでしまってるけど・・・。
白石なら、最初から死んでしまっているけど・・・。

>>82

「ﾝﾅﾜｹﾈｰ」のかどうかは、数年のうちに分かることじゃない。

>>57

話題を古典論理に限定する必要はありません。

>>58

賛成。ただ昔の教科書は不親切なのでその点は真似なさらないように。

>>59

古典論理を理解するために、非古典論理を除く必要はないでしょう。
いまここで私が決めました。もう文句はないですね。

>>60

既知概念はないとします。
しかし、それは教科書で語られることを排除することにはなりません。
ここでカキコする人は、簡潔に解説をお願いします。
それができない場合には、書きこみをご遠慮いたします。
ここのスレッドの目的に反するからです。

>>83
＞白石なら、最初から死んでしまっているけど
それって、どこの“白石”のこと？　
M_SHIRAISHI氏なら、目下、fj で「大活躍」中だけど。

>>61

ここではその話題は遠慮してください。
特定人物に対する論評も避けてください。

>>87

数学と全く無関係な話題は他所でお願いします。

＞それができない場合には、書きこみをご遠慮いたします。

君が遠慮してどうする（ｗ

>>90

書きこみをご遠慮ください。

>>91は1の書きこみです。

2chでスレを管理しようとする>>1はアフォですか?

１はトリプ付けるべし

>>93
＞2chでスレを管理しようとする>>1はアフォですか?
阿呆ですけど、何か？

いっそのこと、>>1も今井のように自分で板作れば？

質問。古典論理って何

＞９７
誤解を恐れずに簡単に言ってしまえば
君が数学の問題を考える時に使っているであろう論理を
整理してまとめたもの。

、、、というのは乱暴であろうか（ｗ

乱暴ってゆうか、わかんないと思うｗ

何となく98,99が同一人物に見えた。
レスが似てるからどうなんだ？といわれると返答に困るけど。

>>98
＞君が数学の問題を考える時に使っているであろう論理を整理してまとめたもの
なーんつーのが、“古典論理”に対しての「典型的な誤解」！

"古典論理"と呼ばれているものは、フレーゲに始まり、ラッセル、ヒルベルトと受け継がれた
論理学理論で、ゲンツェンのLK（エル・カー）と同値とみなされているもののこと。

>>102
もっと平易に、直観的な説明をしてくれ。

フレーゲがなんたら、なんてゴタク並べるくらいなら、
「古典論理」＝「LKで証明可能な論理式全体」
でいいじゃん。

尤も、これは「古典論理の定義を述べよ」という試験問題に
対する答えであって、初心者がこんな説明でわかるわけがないけど。

白石美帆

演繹論理の推論図の仮定の除去が分かりません。

論理学理論
この回文初めて見たYO

＞「古典論理」＝「LKで証明可能な論理式全体」

違うんでない？

ではＬＫとは？
ってことになっちゃうわけで、そういう答えでは
厨房は納得して帰ってくれないのです。

納得出来ないから変えれないﾓﾅｰ

数理論理学とは違うかもしれないけれど、
マグロウヒル大学演習とかってやつで、論理学�T、�Uってあるじゃん？？
あれで勉強するのはどう？
やっぱちゃんとした数学書で勉強したほうがいい？？

マグロウヒルってなんか馴染めない。あれがアメリカンスタイル?

古典論理は、「ならば」の推移律とウィークニング、それと二重否定の除去を
認める形の論理体系、かな。

LKってエルケーって読んだら笑われるの？

エルカー
いるかー

じゃＬＪはなんて読むのよ

エルジャー

ﾜﾗﾀ

>>114
別に笑われることもないと思う。環境にもよるかもしれないが。

エルヨット

エルよど号

このスレ終了。

とりあえず論理革命について教えてくれ

論理革命とはエムシラによって唱えられている呪文。

エムシラがケンブリッジで授業を聴いた可能性があると思われる
Susan Haack の本で、古典論理以外の可能性について述べた一文
があり、非古典論理の研究をする人のいう、まあ普通のことが
書いてある。これを拡大解釈し、二階のベン図という、ロンドンの
二階のだてバスのイメージをおった子供だましをかかげ、HPと
Internet の掲示板でのみの活動により、常に 4,5 年後をめどに
起きるはずである革命についての呪文。この呪文によって拘束を
受けているものが、２人存在し、一人はエムシラであり、もうひ
とりはマツシンといわれているものである。詳しいことはネット
数学者のスレッド参照のこと。

＞＞１２４＝マツシン

マツシンのオジンのことは、どーでもいいのだ。

このスレッドは終了しました。

終了を定義して下さい

>>128
終了＝「発言番号が１０００に達し、なおかつ、次スレが建たないこと」を十分条件とする状態。

>>111
あれは多分普通に数学をするときに必要な部分の話が載ってる本だから、
他の教科書を読む前にこなしておくって位置づけではないのかなあ？？

マグロウヒルは「集合論」しか持ってないので推測でしかないけど。

ーーーーーー発言番号が１０００に達し、なおかつ、次スレが建たないことーーーーーーー

>>131
「十分条件」が抜けてるよ

このスレッドは終了いたしました。

このスレッドが再開したがっています。

テイラー展開って何に使うんですか？
実務現場での応用例教えて下さい

>>136
スレ違いな上にマルチぽ。こないだ問題スレで聞いた奴だと同じだろお前。

確かにマルチですがそれが何か？
くそスレ乱立させるやつよか、よっぽどディスク無駄使いしてないしヨロシイかと
しかもオレの場合、2つのスレに書いただけだし
そもそもマルチのどこが悪いか言ってみて下さいよ、言うほどウザイ事じゃないと思うけど
マルチするとすぐにウザイとか言う奴、条件反射的にまわりに釣られて言うのはやめて下さい

↑ｳﾞｧｶ発見

１３７＝１３９
見苦しいぞ。

>>140
確かに。

でも>>136の質問はツマラン。

このスレッドは終了いたしました。

ＬＪ＝エルヨット？

あと、マルチってなんですか？

このスレッドは終了いたすますた。

>>144
複数

終了したらしいので煽り。
スレ違いなことにはコメントしないの？>>138

このスレッドは終了いたすますた。

終了いたすますたは何故上げる（２ｃｈ七不思議の一）

「終了いたすますた」は、終了すたから上げる。

白石さんってまだお元気だったのですね。
5年くらい前から「あと数年で論理学が変わる」って逝ってません?
彼の「数年」ってどういう定義なんでしょうか。

しかしよくこんなにあからさまな自作自演ができるものだ。
まぁ彼の厚顔無恥は今始った事じゃないけど。
なーんてかまうとまた喜んじゃうんだろうな。皆さんスマソ。

>151
お元気、お元気!
彼の「数年」って、ってことですが、ネット数学者についてのスレッドでは
「エムシラの4,5 年後」という合成熟語として通用する言葉です。
未来はいつも4,5 年後、という説明がされており、決して来ない未来を
さす表現とされています。

1999年7月に大変革が起きると騒いでたノストラ厨に、
2000年あたりになってから、あれどうなったの？と訊いたよ。
どうだ俺の言ったとおり大変革が進行中だろ？
これから数年でもっと変わるぞ！
と目を輝かせてた。

>>152
マツシンというトンデモがネットに流したデマだろ。

誰か俺の悪口いってやがるな！

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
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結論
エムシラ＝マツシン

このスレッドは終了いたすますた。

>154
これは老中マツシンのながしたデマではありません。
ネット数学者スレッドにおける「定説」です。

このスレッドは終了いたすますた。

我々は264(http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1033320305/264)が
何故このようなレスを書き込んだのかという疑問を解決するため、
264の故郷である（とhttp://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1035039764/773が指摘した)
「数理論理学　基礎」スレに向かった。

ていうか、今こうして来たわけだが。(w　その真相や如何に？　

　　　　　　　　　このスレッドは終了いたすますた。

>>160

てか、こっちのほうがよかない？

http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1014140987/

>>162
マツシン痰が基礎論スレの正規住人のわけないじゃん（ｗ

tes

>>163
今ある基礎論スレの前のスレにはいたような気がする。

>>165
いつも通り間違い指摘されたか何かで暴れ出して
「そんな些末な数学的細部に興味はないね
ナイーブな哲学しか持たない数学小僧どもめ」
とかわめきちらしてたあれ？

>>166
いつも通り何が間違いか指摘もできない基地外が
何の根拠もなく間違いだと騒ぎ立て、あげくのはてに
「数学なんて興味ないね。高校は数学�Tでおしまいだぴょーん」
とか開き直るのがオチ

>>160さん、ほら、今来てるよ264が！

>>168

君か？264というのは（笑）

>>168

てか、こっちのほうがよかない？

http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1035039764/l50

264
>ビジービーバー関数は決してシミュレーションでは求まりません。
>つまり一定の状態数を持つチューリングマシンでは表現できません。

>この件に関しては、計算論に関する基本的な教科書
>"Computability and Logic" Boolos and Jeffrey (Cambridge Univ. Press)
>をお読みください。

ん？別に変なこといってないじゃん。
chap4のUnconputablity via the busy beaver problem(p34-42)のことでしょ。

>>171
世間の狭い学部学生がしったかでかいているから、自分の狭い知識の範囲に
入ってないと「変なやつ」呼ばわりするのれす。

ていうか「計算論の専門家」ならもっと他に挙げる教科書あるだろ

>>173

２６４は専門家なの？そんなこといってないんじゃない？

ビジービーバー関数の計算不能性の証明が書いてある
本を紹介しただけなんじゃないの？

日本語で適当な本があればよかったんだろうけど
それがなかったんで、英語の本を紹介しただけでしょう。
だいたいBoolos-Jeffreyなんて基礎レベルの教科書だよ。
そんなんで、専門家面してると思うのはトーシロだって

「トーシロ」って言葉、久し振りに見たなあ。和んだ。

マツシン痰が常駐してるみたいなんで、ここを
【徹底】ネット数学者総合スレ【検証】
のIVとして使わない？

罵りと知識のひけらかし
論理やってる奴にろくな奴いない

初めの方は割と良スレだったのに、
「エムシラ」とかいうのが絡んだ途端に駄スレ化。

>>175はトーシロ。

いや確かに私はトーシロですが。

　　　　　　このスレッドは終了いたすますた。

数理論理学の良い教科書きほんぬ

数学板で、議論が盛んなのは数理論理学関係だけだね。
なんででしょ？

>>183

アホでもわかるからでしょ（ｗ

>>184
むしろわからないから「議論」になるとおもわれ。

「否定」しやすいから

論理学というのは、命題（つうか判断というあいまい？なものを表す表明）を
扱うから、数学屋さんの好み易いものではないだろう。数学屋ってえのは、数
のようなキッチリしたものを論じるのが好きで、「論じる」ことを反省する必要
をあまり感じていない。数理論理学の主流は記号論理学で、命題を表す文や式を
意味無しの記号列と見て（もちろん、本来の意味との対応はきっちり背後に有る）
論じるから、数学屋でも扱い易いはずだが、一旦は記号列を意味抜きのものと見
たり、また意味有りのものと見たりとか、いろいろややこしいのだと思う。それ
の達人になるのは、ごりやくも有るのだが、誰にでも出来る事ではない。

「論じる」事自体を研究する学問であるが為に、実際の議論も盛んなわけか。

>>187

論理そのものは誰でも分かるんだよ。
ただ、論理に関する知見というものは、論理そのものを扱うのとは
別の話なんだよな。

例えばＬＫとかいう体系は、別に推論の厳密性の為に用いられる
わけではなくて、例えば無矛盾性を証明するのに、単純な記号操作
として考えるほうが都合がいいから用いてるわけ。
カットの除去だってそう。カットを除去することで余計な記号が
現れることがなくなって無矛盾性の証明が簡明になるからそうする
わけ。やってることは徹頭徹尾数学なわけ。

でもなんかそういう頭の切り替えが、普通の人にはどうも
あまり理解されてないというか、理解されにくいわけ。
そのあたりで、見解の相違が大きいんじゃないか？

>>189

ところで、昔は論理学の教科書っていうと必ずといっていいほど
ＬＫについて説明してたけど、ボクはあれは普通の人の論理に
対する関心とはズレてるから、やめたほうがいいと思う。

例えば戸田山さんの「論理学をつくる」（名古屋大学出版部）でも
丹治さんの「タブローの方法による論理学入門」（朝倉書店）でも
LKなんて出てこなくて、代わりにタブロー法を用いてるけど、
あれは命題の証明手続きの説明という点では簡明でいいと思うよ。
計算機による自動証明もタブロー法がよく使われてるらしいし。

>>190

余談だけど、戸田山さんも丹治さんも哲学関係の人なんだよね。
でも、数学的にも、とっても分かりやすいと思うよ。

>>190
＞計算機による自動証明もタブロー法がよく使われてるらしいし。

一般的には自動証明やplolog といえば「節」なわけですが。

自動証明はホーン節とかいった「節 closure」を扱うのが理論的な
背景とされるのれすが、タブロー法も実際は節に変換する手法でも
あるので、そういうこともいわれるのでせう。

やべ、スペル間違えた。節はclauseでやんす。

やべ、スペル間違えた。プロローグはprologでやんす。

prolog ----- もう化石の言語だな、それは。

>>192

細かいことをいうと、tableau法は、Prolog等で用いる
resolutionとは違う技法だよ。

ま、詳しいことはMelvin Fittingの本でも読んでチョ。

命題論理で両手法を比較すると、タブロー法は、与えられた式の否定を
選言標準形に直して、充足不可能性を調べる手法、レゾリューションは、
与えられた式の否定を連言標準形に直して充足不可能性を調べる手法。
これで説明になるれせうか？

一階の述語論理だと、連言標準形ではなくてスコーレム標準形な
わけでしが。

ちょっと調べたけど、タブロー法も論理データベースで利用されてるっ
ぽいね。

>>197
ま、そんな感じですね。

極東の島国日本じゃ、あまり知られてないだろうけど
タブロー法に関する国際会議も1992年以来開かれているのよね。
Melvin Fittingさんも委員会のメンバーなのよね。

http://i12www.ira.uka.de/TABLEAUX/

ついでだけど、自動推論に関する国際会議CADE
(Conference on Automated Deduction)は
もっと歴史が古くて1974から開かれてるのね
http://www.cs.albany.edu/~nvm/cade.html

最近だと同時にCADE ATP System Competition(CASC)
とかいう自動証明システムの競技会も開催されてるのよね
http://www.math.miami.edu/~tptp/CASC/

> タブロー法に関する国際会議も1992年以来開かれているのよね。

なんか法律関係の会議をネタに使ってるのかとｵﾓﾀ
「国際学会」って書いてほすぃ。

>>198
うーんそのConference ぜんぜんしらなんだ。っていうか、Fittingさんて
現役なのか（笑）

>>201
Fittingさんは1942年生まれということでもう還暦です。
HPみつけました。なんかいい爺さんですね（笑）
http://comet.lehman.cuny.edu/fitting/

>>196の本はこれです。

First-Order Logic and Automated Theorem Proving.
Springer-Verlag, 1990. Second edition, 1996.

ちなみに、最近本を出したようですね。
確かゲーデルの神の存在証明の話だったような…
Types, Tableaus, and Goedel's God, Kluwer, 2002

>>202
僕のおやじより若かったのか。失礼しました（笑）、Fittingさん。

＞確かゲーデルの神の存在証明の話だったような…

遠い昔の「現代思想」で紹介されてたね。

誰か俺の悪口いってやがるな！

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
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age

From:Wakamatu kazuhiro ([email protected])
Subject:[RL] 同値とうそつきパズル
Newsgroups:fj.sci.math
Date:2002-12-14 22:20:02 PST
＞Ａ⇔（Ｂ⇔Ｃ） は （Ａ⇔Ｂ）⇔Ｃ と同値

をひをひ、ホントかよ。（゜д゜；）

・・・調べてみた・・・

をひをひ、ホントだよ。（´д｀；）

展開するとこうなる。

　(A∨B∨C)
∧(A∧¬B∨¬C)
∧(¬A∨B∨¬C)
∧(¬A∨¬B∨C)

Newsgroups: fj.sci.math
Subject:「論理的センス」の問題

From: M_SHIRAISHI

Wakamatu kazuhiro wrote:

> ところが RL の観点からは、(3) など（Ａ⇔（Ｂ⇔Ｃ））⇔（（Ａ⇔Ｂ）⇔Ｃ）
> なんて論階が崩れすぎて表記すら出来ないのではないか？

（Ａ⇔（Ｂ⇔Ｃ）） のような式を見て、「何か変だな？」という気が
しなかったとしたら、論理的／言語的センスが「鈍い」のだよ、
キミ―。　　ヽ(＾。＾)ノ

475 名前：１３２人目の素数さん ：02/12/19 10:54
>>474

M_SHIRAISHIの論理改革自体、
「「ならば」という言葉の
　形式論理における「誤用」と
　「正しい用法」に基づく論理の提案」

そんな言語ヲタクの彼が
「誤字脱字」の指摘に血道をあげるのは当然。
彼にとっては「重箱の隅」が全てなんだYO。

エムシラの電子本を買う気がしないのですが，あれは何が書いてあるんですか？
含意の再考に関しては，relevant logicで結果が出ているような気がするのですが．

買った者などいないと思われ（爆笑

＞＞２１０
いや、案外売れてるんじゃないのかな？
　
fjで「注文したので、届くのが楽しみだ」って記事に書いてた奴いたＹＯ。

>>209
＞含意の再考に関しては，relevant logicで
＞結果が出ているような気がするのですが．

そうだね。M_SHIRAISHIが含意の問題に目をつけたことは
決して悪くはないのだが、その解決についていえば、
relevant logicのレベルにも至っていないね。
まるで今井数学が、今の実数論や複素数論のレベルに
至っていないのと同じように

>>209
もし、あなたが毎月出銭ランドなどで１万円を消費しても「安い」
と思えるような暇＆裕福な人なら、エムシラの電子本を購入しても
良いかもしれません。一方、数年に１度そういうところで遊ぶことに、
身銭を切るような思いがあるなら、けっしてお勧めできません。

>>213
助言はありがたいのですが，含意に関しては"Entailment"で十分ですね．

relevant logicに関しては，慶応の岡田光先生が
「あんなものはくだらない．」
とおっしゃっていたそうです．
学部の卒論でrelevant logicを扱った私には，
どこがどういう風にくだらないのかさっぱり理解できないのですが，
どなたか説明できる方はいらっしゃいますか？

>>215
本人に聞けよ。

モデルの分けのわからなさから批判者がいることはたしかだが、
ジャンルとしては面白いことは否定できないだろ。

>>215
Copeland "On When a Semantics is not a Semantics: Some Reasons for Disliking the Routley-Meyer Semantics For Relevance Logic" は読んだ？

てかそれ系のロジックって目的がわからないんですが・・・
数学より他の分野で実用するためのもの？

>>215
＞「あんなものはくだらない．」

そりゃ岡田さんだから言えるんだよ(笑)

そういえば、岡田さんは「基礎論は死んだ」ともいったらしい。

これらの発言と白石の暴言とは全然別の話

>>219
＞「基礎論は死んだ」

これは、「数学の基礎付け」が失敗した
という意味で言ったと思われる。

>219
それは岡田さんがものをわかっていないからいえるってことですか？
>215
岡田先生は自分のやってることはまあ、面白いと思ってやってるんで
しょうね。ところで何やっていらっしゃるんですか？

>>221
君はヴァカか（笑）

岡田先生がおっしゃるからには、
relevant logicは下らなくて、基礎論は死んでしまったんでしょうね。

ところで岡田先生ってどちらの方ですか？

>>218
ぐぐればいくらでも応用研究が出てくるぞ。調べてから愚痴を言うとよい。

とはいえ「適切さの論理」という訳語だけは理解できん。「連関論理」が
無難な訳語と思うんだがなあ。

>>223
＞ところで岡田先生ってどちらの方ですか？

ぐぐれ。っていうか、慶応って書いてあるじゃん。（名前間違ってるけど）

しかし、線形論理もrelevant logic も substractural logic の
仲間なのに〜。なんでなかまはずれにするのかなあ〜。

>225
線形論理もrelevant logic もどっちも面白いとは思えないが
ご本人にしてみると似ているものは目の仇にするとか。

＞論理学に於ける含意は何も実質含意の公理体系だけでなく、限定含意
＞の公理体系、厳密含意の公理体系、更に等べき含意の体系、添加含意
＞の体系等があり、

（M_SHIRAISHI）氏の恐るべきは、そう言うものの存在を（すべて）知った上で
あの結論にいたっているという点なのです。

（東工大教員：しどり ともき 氏）談

>>227

これって実は
「ｽｨﾗｲｽｨって、実はなんもわかってねーじゃん。」
って言ってるんじゃん。（ｗ

（＾＾）

数学マタク関係ナイ　ズブの素人ですが、
数理論理学オモシレーと思う私は以上でつか？

>>230
> 数学マタク関係ナイ　ズブの素人ですが、
> 数理論理学オモシレーと思う私は以上でつか？

そう思うところが「ズブの素人」なんです

ほしゅしゅしゅしゅ

終わったな（ｗ

嵐が来た…

浮上！

今amazonあたりで手に入るまともなreleant logicの本ってあります？
アンダーソンとベルナップのEntailmentは図書館で一週間しか貸してもらえないので・・・．

>>236
マトモで何を意味してるかによるけど、

An Introduction to Non-Classical Logic、Graham Priest
An Introduction to Substructural Logics 、Greg Restall

じゃだめなの？両方ともペーパーバックもあって安いよ。

ちなみに、Entailment は買って持っている私。本はあるうちに買わないとダメだよ。
日本の図書館は使い勝手悪いしね。

>>237
どうもありがとうございます．
残念ながらうちの大学の図書館にはないようなので，
アマゾンで買ってみます．値段も手ごろですね．

僕の提言に乗せようとしているのですが、
数学の世界は数学のルールがあるからなのではないでしょうか?
僕の提言は、
　　　　　　「ルールがあるなら世界ができる」
です。
ほかにも、野球には野球のルールがあるから、野球の世界ができる。
などです。

>>240
激しく既出ですが何か？「規約主義」でぐぐれ。

>>239
どういたまして。

Priest の本は様相論理や三値論理、直観主義論理も出てくるので
お買い得だと思うよ。

あと、Paraconsistent Logic: Essays on the Inconsistent (Analytica)
はまだ在庫があるようだね。3万円だけど（苦笑

これにも、Priest や Mayer の論文が多数収録されているよ。

Frontiers of Paraconsistent Logic (Studies in Logic and Computation Series, 8)
は手ごろだけど在庫切れ。おれまだこれかってねーよ（泣）

あと、Relevant Logics and Their Rivals Richard Routley 著 のペーパー
バックはまだ在庫あるよ！もれも注文しよう。

>>240

世界にルールは必要ない。

ルールは幻

http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1044067158/
こちらもよろしくお願いします。

　

ageage

LKって何の略なんだろう・・

　　　______________
　／:＼.＿＿＿_＼
　|:￣＼(∩´∀｀)　＼　　＜先生！こんなのがありました！
　|:在　 |:￣￣ U￣:|
http://saitama.gasuki.com/mona/

日本語で書かれた良い入門書はありますか？

>>247

↓ここを参照。
http://blade.nagaokaut.ac.jp/cgi-bin/scat.rb/~poffice/news/fj.sci.math/264

ただし、Gentzen の原論文には何の略かは書いてないので、たぶん
前原さんが勝手に推測したんだと思う。

リンクありがとうございます

>>250
懐かしの fj.sci.math の記事だ。このころはよかったなあ（遠い目

＞このころはよかったなあ（遠い目

まだ“エムシラ大先生”からヒドイ目に遭わされてはおらず、実名の“Shingo Matsumoto”で fj.sci.math に投稿できていたし・・・。（グスン

そのエムシラ大先生も他の連中から無視されて
fj.sci.mathから姿を消したね。

>>254
エムシラは未だにfj.sci.mathに粘着してますが何か？

>>254
まだぜんぜんがんばってるじゃないか。なに言ってんだ？？？

Newsgroups: fj.sci.physics, fj.sci.math
Subject: Re: エントロピー保存
From: M_SHIRAISHI

Tanaka-Qtaro-Yasuhiro wrote:
>
> (質量)＋(エネルギー)＋(情報)
>
> に目を展げると、エントロピー保存が言えるのではないか，そして，それが量
> 子力学と相対論，ミクロの世界とマクロの世界をつなぐ突破口になるのではな
> いか，というのが目くるめくような僕の予想なンだ

上記で、「僕の予想」とある部分を「僕のトンデモな予想」に置き換え
ましょう。　ヽ(^。^)ノ

情報が物質とかエネルギーに（可逆的に）転換するんだってぇ〜？　

笑わしちゃあイケナイ。

［ウサマ・ビン・ラディンが生存している］という情報が得られているけど、
この情報が、一体、どういう≪物質≫に転換すると言うのかな？

# ビン・ラディンが、もし、射殺されるようなことになれば、［ウサマ・ビン・
ラディンが生存している］という情報は≪消滅≫するわけだけど、そしたら、
この情報は［ウサマ・ビン・ラディンの死体とそれに撃ち込まれた弾丸］
に≪転換≫したとでも主張するのかな？　

冗談もいい加減にしようね。　ヽ(＾。＾)ノ

「良く知られているようにcut除去定理がなりたつ
体系の多くにおいては、その subformula property
を用いることにより決定可能性を導くことができる。」
とかあるんですけど、どうやって導くんでしょうか。

>>255-257

おそらくfj.jokesに投稿するつもりが間違ったのでしょう。
数学にまったく無関係の冗談ですから。ヽ(＾。＾)ノ

>>258
subformula property があれば、証明図をさかのぼっていくと、
記号の数が少なくなって証明図を伸ばすことができなくなるでしょう？
式に含まれる記号の数が有限ならいつか必ずとまりそうでしょ？

そんな感じかねえ。

>>260

直感的に納得できました。
分かりやすい説明ありがとうございます。

厳密な証明は後々自分できちんと調べてみたいと思います。

どういたしまして。

age

Gentzenの自然数論の無矛盾性証明とGoedelの第二不完全性定理（無矛盾性の証明不可能性）との関係はどうだと考えればよいの？超限的証明と有限的証明の違い？

ゲンツェンの証明は自然数論の中では出来ないから、ということじゃない？
>超限的証明と有限的証明の違い
まあそんな感じなのかな、間違ってても私は責任持ちませんけど。

ゲーデルの作ったのは証明不可でも、ロッサーだか誰だかの作った
自然数論の無矛盾性を表す論理式は証明可能なんですよね、確か。

tondemo

>>265

ゲーデルの意味の証明（通常の意味）
ロッサーの意味の証明（途中に矛盾が現れない）
の同値性は自然数論では示されません。

ゲンツェンの意味の証明（カットが現れない）
もロッサーの場合と同様、ゲーデルの意味とは違います。

カット消去は、両者の同値性を示すものと考えられます。
したがって、その証明は自然数論では出来ません。

んでもなく初歩的な質問で申し訳ないのですが、

　Aが∀xBか∃xBの形の論理式のとき、任意の項tに対し
　B[t/x]の部分論理式はすべてAの部分論理式である。

というのが部分論理式の定義として本に載っているのですが、
この定義によれば、例えば

　∀xP(x,y)

の部分論理式は、

　P(x,y)
　P(z,y)
　P(f(x,z),y)
　…

等々ということで良いのですよね。そして、

　P(x,z)
　P(x,f(y,z))

等々は違うと。

つまり、元々の論理式で「束縛変数だったところ」に、
任意の項tを代入する、という読みで宜しいでしょうか。

さらに

　∀x∃yP(x,y)

の部分論理式は、

　∃yP(x,y)
　∃yP(z,y)
　∃yP(f(x,z),y)
　P(x,y)
　P(z,y)
　P(f(x,z),y)

等々ということで良いのですよね。
間違っていましたらご指摘よろしくです。

特に間違いは無いと理解しておきます。

「情報科学における論理」でつね。

そうでつ。

にっこり

・理論Tが無矛盾ならば、理論Tはモデルを持つ
・理論Tがモデルを持つならば、理論Tは無矛盾である

というのは、ちょっと変形すると、

・理論Tが構文論的に無矛盾ならば、理論Tは意味論的に矛盾しない
・理論Tが意味論的に矛盾しないならば、理論Tは構文論的に無矛盾である

となりますよね。間違っているでしょうか？

>>274
「意味論的に矛盾しない」なんて用語法が間違い。

>>67
＞誰かエムシラの論理改革をコテンパンにしてくれ

コテンパンにしようとして、本人がコテンパンにされてしまった（京大などの助手・助教授クラスを含む！）
のが実情なんだよなぁ〜。

# コテンパンにされてしまったヤシのうちで、もっとも悲惨な例が スンゴ（＝松本真吾）。

エムシラ本人はケンブリッジ講演の予定を公言してしてるんだから、コテンパンにされるのを
願うとしたら、頼みはケンブリッジの教授連だろ。 日本には御大に太刀打ちできる者は
いないと思われ　(＾＾；)

>>276
＞日本には御大に太刀打ちできる者はいないと思われ　(＾＾；)

ショック・・・。

”御小”の何に太刀打ちするのかな？

罵倒？頑固？まさか知性ではないよね（ｗ

>>278
罵倒と茶目っ気と思われ。

”御小”って、M_SHIRAISHI御大へ無謀にも太刀打ちしてコテンパンにされた「アッフォーの松芯炭」のことか？

よく検討してみたのだが、どうも、「M_SHIRAISHI氏の理論」のほうが正しいようだな。

例えば、対偶律は、従来は、 (Ｐ⊃Ｑ)⊃(¬Ｑ⊃¬Ｐ) で表わされるもののこと
と考えられていたのだっただが、これは、どうやら、誤りだったようだ。そして
M_SHIRAISHI氏の言う［Ｐ(ｘ)⇒/x/Ｑ(ｘ)］⇒/p,q/［¬Ｑ(ｘ)⇒/x/¬Ｐ(ｘ)］
こそが、対偶律を正しく捉えてたものと考えられる。

M_SHIRAISHI氏（たち？）の主張する「論理革命」は、恐らく、世界を席巻することとなろう。

>>281
そんな心配はしないで、4,5年後のケムブリッジの講演の準備を
されたし。

　　　/⌒⌒⌒⌒⌒⌒ ))　　　　
　　（　　　从　　　　ノ.ノ 　 　
　　　( .／ ￣￣￣￣＼ 　　　　
　　　|::::::　　ヽ　　　　　丶.　　　
　　　|::::._＿＿＿､_　 _,＿_)　
　　（∂:￣￣| ・ー |=|・ー |　　　
　　　（　　（　　￣ )・・(￣ i 　　Mｼﾗｲｼことﾍﾟｸ･ﾁｮﾝ同志はいつも前説だけしかやらないﾆﾀﾞ
　　　ヘ＼　 　.._.　)3( .._丿　　　
　／　　＼ヽ　＿二__ノ|＼
/⌒ヽ. 　　＼__／＼i／＼_|　　　　
|　　　ヽ　　　　　　　＼o　＼　　
|　　　　| 　 　 　　　　　＼o　＼

識者＝Mｼﾗｲｼことﾍﾟｸ・ﾁｮﾝ同志に告ぐ。

我々EURMSの目的は、欧米の形式論理学を批判することにある。

ﾍﾟｸ･ﾁｮﾝ同志の
http://www.age.ne.jp/x/eurms/GDL.html
は、Bew xの問題点が十分明確でない。

論理の形式化によって、同一論階でBew xなる
述型が書けてしまったことが、形式論理学の
最大の誤りである。
ﾍﾟｸ･ﾁｮﾝ同志のHPには、これが明確に記載されていない。

我々は、常に一つ上の階で”証明”するという
弁証法的論理により永久革命を推進するのであって
この点を蔑ろにするならば、ﾍﾟｸ・ﾁｮﾝ同志は
EURMSにとって好ましからざる修正主義者となる。
真摯なる自己批判を望む。

偉大なる首領より。

>>284
マツシン、無駄な抵抗だ（爆笑

>>281
そういう話はネット数学者すれでやってくれ。

一言だけ言わせてもらうが,御大の意見が

http://www.age.ne.jp/x/eurms/Honron-2.html#02-2

とか、みると、一見ただしげなのは、ある意味あたりまえで,
標準的な論理学会でも普通に価値が認められてる主張だから。

日本の学問状況では、そのような非標準論理に関する教育が
一般的な理学系の学部ではほとんどなされていないから、
無知な人々がひっかかるだけ。

そういう不具合を解消しようという試みはいくらでもある。

ただ、御大にそれを言っても,そういうのは全部ダメだとおっしゃるけどな（笑

>>286

オマエ、今更、そんなことを言ってみても、もう遅いな（ｗ

ここは既に「エムシラ主義者」によって乗っ取られたのだ。

春厨はしゃぎまくり

独りだけ冷静になったふりして煽る暇があるんなら、さっさと去ってくれ。

去るのは、オ　マ　エ。

>>290　ここをトンデモスレにしたいのか？

はじめから、ここは「トンデモ・スレ」だったのだが、オ　マ　エ　がそれに気がつかなかっただけ。（ｗ

>>292
試しに君が書き込むのを止めてみたらどうだい？
それでも変わらなかったら292は正しいだろね。

書き込みを止めることになるのは、オ　マ　エ。

>>294
そんな事したら君が残ってしまうよ。それは問題だぞ。

清水義夫『記号論理学』って評判はどうなのでしょうか。
こちらでは良書と言われているようですが。
http://groups.google.co.jp/groups?q=%E8%A8%98%E5%8F%B7%E8%AB%96%E7%90%86%E5%AD%A6%E3%80%80%E6%B8%85%E6%B0%B4%E7%BE%A9%E5%A4%AB&hl=ja&lr=&ie=UTF-8&oe=UTF-8&selm=3A3D0551.292A802C%40apionet.or.jp&rnum=1
http://groups.google.co.jp/groups?q=%E8%A8%98%E5%8F%B7%E8%AB%96%E7%90%86%E5%AD%A6%E3%80%80%E6%B8%85%E6%B0%B4%E7%BE%A9%E5%A4%AB&hl=ja&lr=&ie=UTF-8&oe=UTF-8&selm=91lbeq%247qa%241%40news01cd.so-net.ne.jp&rnum=3

>>296
えらい懐かしい投稿だ。御大fjデビューすぐのころのじゃない？

長年東大の１，２年向けの論理の授業で使われてた本で,悪い本では
ないですよ。

Mｼﾗｲｼのfjデビューは1998年だよ。

とにかく「･･･ってどうですか」と聞くのはやめとけ。
悪書を読まないですまそうという人間は、
良書を読む気もないのが相場。
読む気があるなら、何でも読むし
良し悪しも自分で判断する。
それができないならやめておくべし。

>>297

そうなんですか。ありがとうございます。
ネットではあまり評判を聞かないので訊いてみました。
（Googleグループ検索をしたら漸く出てきました。）
完全性定理の証明がきちんと載っているとのことなので、
買って読んでみます。

>>299

それは素晴らしいスタンスだと思いますが、
全ての分野についてそのスタンスを保つというのは
少なくとも自分には時間的にも気力的にも無理なので、
やはり評判を調べたり聞いてみるのも良いかと思います。

＞全ての分野について

欲張りすぎ。分野を一つに絞れ。

＞自分には時間的にも気力的にも無理なので

それなら、まず学問はやめとけ。
24時間の全てを費やしても何も得られない可能性が９９％

＞学問はやめとけ

それ、ワスに対して言っているように聞こえるのは、どうしてだろう・・・。

> 欲張りすぎ。分野を一つに絞れ。

もちろん、専門は一つです。
そして自分の専門分野に対するスタンスとしては、
あなたの仰るようなスタンスが理想的だと思います。
ただ、それ以外の分野というか、周辺分野の学習が
その専門を深めるために必要だったり、あるいは趣味でちょっと
かじってみたかったりする場合、というのがありますよね。
そういった場合、その分野の専門の方々の持っている情報を
活用させて頂いたりするのは、普通のことだと思うんですが、
そういうことが言いたかったわけです。
ここは入門レベルの話題を扱うスレですから、
そういった情報を享受しても良い人々も多数いるかと思います。

分野をふとつにすぼれだとぉ〜！　ワスにむかって何ちゅうこと言うか！

　　　　　　　　／:::::::::::::::::::::＼
　　　　　　　／::::::::::::::::::::::::::::::::＼
　　　　　　　|:::::::::::|＿|＿|＿|＿|＿|
　　　　　　　|＿|＿ノ∪　＼,, ,,／ ヽ
　　　　　　　|::（ 6　　ー─◎─◎　）
　　 　 　　　|ﾉ　　（∵∴∪（ o o）∴）
　　　　　　|　　　<　　∵　　 ３　∵>
　　　　　／＼　└　　　　＿＿_　ノ
　　　　　　 .＼＼U　 　＿＿＿ノ＼
　　　　　　　　 ＼＼＿○○＿）　　ヽ

>>298
たしかに、よくみりゃ日付は2000年ですた（笑

>>301
これこれ、すぐに煽らない。もちつきなさい。

>>303

言い訳は無用。
専門を一つに絞る、というのは、他のことは諦めること。
とにかく、人の情報は当てにならないから自分でまず読むこと。
それができないなら、きっぱりと諦めること。
入門ならなおさらそう。情報はあてにならない。

>>306
落ち着けって言ったのが読めない？

そういう情報量0の御託はいいなさんな。数理論理学の基礎なんて、
そんな風に一生懸命言うほどのもんでもないだろ？

一般的な初学者向けの入門書がどれがいいのか人に聞くのは
当然の話で、いやむしろそこで自分で勝手なものを読むほうが
変な癖がついてよくねーんだよ。これは俺の師匠がいってることで、
俺もなるほどと思ったね。

そこをクリアして、専門の道に入ったときには、論文読んで
自分で切り開かなきゃならねえけどね。ここはそういう
スレッドじゃないんだよ。

最近の成果を取り入れた新しい初学者むけのテキストを紹介したほうがよい。

いろいろ最近の本読んでるだろうし、いろいろ日本の論理研究事情にも
考えがあるんだろうから、それにそってテキストを紹介したらどう？

M_SHIRAISHI先生のＨＰ↓が目下のところ、やはり「最高」と思われ。

http://www.apionet.or.jp/~eurms/Ronri_Kaikaku.html

>>309
そだな。

>>307

お前がもちつけ（ｗ

数理論理学の本なんてそんな構えて読むようなものでもないだろ。

一般的な初学者むけの入門書なんてそれこそ人に聞く前に
読んだっていいかわるいか当然分かるだろ。
そもそも変な癖っていうのは本じゃなくて読む人の問題なんで
本を選んだって無意味。

>>308
＞最近の成果を取り入れた

例えば、様相論理とか構造規則を除いた論理
（適切論理とか線形論理とか）のことを
言ってるのかな？

ま、それなら小野寛析の
「情報科学における論理」
（日本評論社）かね。

ただ、全くの初学者なら様相論理とか線形論理とかに
色目をつかう前に、古典論理をバッチリ押さえてほしい。

その意味では、戸田山和久の「論理学をつくる」
（名古屋大学出版会）をすすめるね。
記述がとにかくこれ以上ないというほどクソ丁寧（ｗ

命題論理、述語論理の基本はこれでバッチリだろう。
基本的にはタブロー法だが、自然演繹やヒルベルト流に
ついても説明されているから、流儀の違いによる
コミュニケーションギャップも埋められる（と思う）

その先の不完全性定理となると･･･

そもそも不完全性定理をどういう目的で学ぶかが問題。
チャンとゲーデル数によるコード化を隅々まで学びたい
という物好きな人はともかくとして、”素人”はそこまで
望んではいないだろうから、そういう人には前原の本とか
はお勧めしない。

>>314

ということであれば、スマリヤンの本がいいのでは？

また、どういう目的に学ぶにせよ、ブルーバックスの
あれは初学者には不味いですな。

でもないか・・・

>>311

＞数理論理学の本なんてそんな構えて読むようなものでもないだろ。

初学者にしてみればそれなりの負担になるだろ。

＞一般的な初学者むけの入門書なんてそれこそ人に聞く前に
＞読んだっていいかわるいか当然分かるだろ。

初学者の主観は当てにならん。

＞そもそも変な癖っていうのは本じゃなくて読む人の問題なんで
＞本を選んだって無意味。

んなわけないだろ。極論杉だ。

×小野寛析
○小野寛晰

＞スマリヤンの本

といってもいろいろあるからなあ。
個人的には、これなんかいいかも

数学パズル 美女か野獣か?―楽しみながらゲーデルの謎にせまる
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4627018606/qid=1049676434/sr=1-8/ref=sr_1_2_8/250-6951802-3942614

あとこれも面白そう
数学パズル ものまね鳥をまねる―愉快なパズルと結合子論理の夢の鳥物語
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4627019017/qid=1049676434/sr=1-7/ref=sr_1_2_7/250-6951802-3942614

つーかさ、ホントは、ホフスタッターの
「ゲーデル・エッシャー・バッハ」
とか文庫にならんかなあとか思ってるんだけど。
（３分冊くらいになるかもしれんなあ）

吉田武の「オイラーの贈り物」とかより
よほどイイと思うんだが・・・

ttp://www.google.co.jp/search?hl=ja&ie=UTF-8&oe=UTF-8&q=%E5%B0%8F%E9%87%8E%E5%AF%9B%E6%97%A5%E6%9E%90&lr=
これはいくら何でも・・と思う。

＞それなりの負担になるだろ。

負担に耐えられないなら学問なんかやめろよ。

＞主観は当てにならん。

自分が信用できないなら生きるのやめろよ。

＞極論杉だ。

苦労をいやがり、自分すら信用できない
人間のどこに価値がある？

＞負担に耐えられないなら学問なんかやめろよ。

人生は有限だ。

＞自分が信用できないなら生きるのやめろよ。

真実は疑うことから始まる。

おまいらもちつけ

おまいら！もちつけ！

　　　　　／＼⌒ヽﾍﾟﾀﾝ
　　　／　 ／⌒)ﾉ ﾍﾟﾀﾝ
　 ∧＿∧ ＼ （(　∧＿∧
　（； ´Д｀））'　））（・∀・ ；） 　
　/　　⌒ノ　（ ⌒ヽ⊂⌒ヽ
.（O　　 ﾉ　)￣￣￣(）__ 　 ）
　）_）＿） （;;;;;;;;;;;;;;;;）（＿（

おまいら！
もちつけぇェェェっぇェェェェェッェぇぇっぇぇ!!!!
　 ＿＿_　　　ｶﾞｽｯ
　|＿＿_ミ　　　　　　ｷﾞﾋﾞｼｯ
　　 .||　　ヾ　ﾐ ､　　　　　 ｸﾞｼｬｯ
　　 ∩　∧/ヾヽ　　　　　　　　
　　 | ,| ﾟ∀ﾟ）. .|　 |；,　 　　　　ｹﾞｼｯ
　　/ ⌒二⊃=| 　|∵．
　.O　　　ﾉ ％`ｰ‐'⊂⌒ヽ　　ｺﾞｼｮｯ
　　 )　） ）　)~￣￣(）__ 　 ）
　　ヽ,lヽ） （;;;;;;;;;;;;;;;;;）（＿（

＞人生は有限だ。

余裕なさすぎ

＞真実は疑うことから始まる。

自信なさすぎ

教養書だが野矢茂樹の「論理学」がメチャクチャ面白い。

>>327
目を閉じよ。そしたらお前は見えるだろう。

>>322
＞自分すら信用できない人間のどこに価値がある？

そげなこと言って、ワスを追い詰めんでくれ。

>>327
いいかげんにしろ

>>328
うーん、俺はあまり好きじゃないなあ。論理のお話の本でしかないからなあ。
あれで論理計算の計算力とか、完全性定理の証明とか、学べないと思うんだが。

>>327
もうほっときなさい。

>>327
お前がいい加減にしろ。

>>332
確かに完全性定理の証明とかは学べないが、学習意欲
の向上に役立つと言うことで、最初の取っ掛かりとい
うことなら良いと思う。普通の数理論理学の本は読ん
でいて退屈でしょう。

>>333
＞普通の数理論理学の本は読んでいて退屈でしょう。

退屈なら学問なんかやめろよ。

＞学習意欲の向上に役立つと言うことで

意欲なんてないんだろ？
学問はアクセサリーじゃないぞ。

>>334
学問は手段でもあるんだよ.

＞退屈なら学問なんかやめろよ

ワスのこと言われてるような気しっす。

頼むからもちつけ

かあちゃんの為なら、エーンヤコラッ！

>>333
うーん。そういういみの副読本としてなら、スマリヤンの
哲学ファンタジーのほうがいいとおもうな。

>>339
うーむ、それなら、むしろ”タオは笑っている”のほうが
おもしろいんじゃないか？なんちって

>>340
あれはどうかなあ（笑

外史の『【新版】ゲーデル』が(･∀･)ｲｲ!!　と思いました．

ゲーデルに関しては、廣瀬・横田著「ゲーデルの世界」も酔い。

ゲーデルに関してなら、これ↓だ。

http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/0195147200/qid=1049910140/sr=1-4/ref=sr_1_0_4/249-9046977-7510750

>>275
> 「意味論的に矛盾しない」なんて用語法が間違い。

意味論的に矛盾って、戸田山「論理学をつくる」に載ってなかったっけ？

あった。p.262だ。

式の集合Γがセマンティクス（意味論）的に矛盾している（Γ｜=と書く）
⇔Γに属する式を一斉に真にする真理値割り当て／モデルが存在しない。
Γが意味論的に矛盾していないとき、Γは充足可能または整合的であるという。

・・・とあります。

戸田山は、その本の中で、semantics での用語と syntax での用語をごちゃまぜにして使っている。 ケシカラン！

おい！　識者気取りのアホウ！ 　オマエには「論理学に semantics とか syntax の区別を持ち込んだのが、
そもそもの間違いだった」ってことが分かってないようだな（爆笑

>>346
てゆーか、
　セマンティクス（意味論）的に矛盾
⇔真理値割り当て／モデルが存在しない。
と定義してるなら無問題では？

>>348
エムシラ関係者は(･∀･)ｶ　ｴ　ﾚ　!　!

>>347
どのあたりで、何という用語について、
ごちゃ混ぜにして使っているのでしょうか？

矛盾という言葉については、普通の矛盾はその本では
構文論的な矛盾と呼ばれ、それと意味論的な矛盾とは、
きちんと区別されているように思いますが・・・

普通の矛盾（構文論的な矛盾）についてはp262-267にかけて、

式の集合Γがシンタクス（構文論）的に矛盾している（Γ｜-と書く）
⇔Γ｜-A，Γ｜-¬Aとなるような論理式Aが存在する。
Γが構文論的に矛盾していないとき、Γは無矛盾であるという。

・・・とあり、それに続けて「この二つの定義は全く別物だ」とあります。

>>346
戸田山の定義に基づけば>>274は無問題
ということなら、同意れす。

>>351とはいっても、なにぶん分厚いので、
実はまだ全部は読んでないんですが・・・

ワスは、「さる御方」の逆鱗に触れてすまい、幽霊になってすまったッス。　こわいッス。

　　　　　　　　／:::::::::::::::::::::＼
　　　　　　　／::::::::::::::::::::::::::::::::＼
　　　　　　　|:::::::::::|＿|＿|＿|＿|＿|
　　　　　　　|＿|＿ノ∪　＼,, ,,／ ヽ
　　　　　　　|::（ 6　　ー─◎─◎　）
　　 　 　　　|ﾉ　　（∵∴∪（ o o）∴）
　　　　　　|　　　<　　∵　　 ３　∵>
　　　　　／＼　└　　　　＿＿_　ノ
　　　　　　 .＼＼U　 　＿＿＿ノ＼
　　　　　　　　 ＼＼＿○○＿）　　ヽ

ワスはマツシンを滅ぼしたつもりであったが
毎晩きゃつの幽霊が夢に現れてワスを責めるのじゃ。

　　　　　　　　／:::::::::::::::::::::＼
　　　　　　　／::::::::::::::::::::::::::::::::＼
　　　　　　　|:::::::::::|＿|＿|＿|＿|＿|
　　　　　　　|＿|＿ノ∪　＼,, ,,／ ヽ
　　　　　　　|::（ 6　　ー─◎─◎　）
　　 　 　　　|ﾉ　　（∵∴∪（ o o）∴）
　　　　　　|　　　<　　∵　　 ３　∵>
　　　　　／＼　└　　　　＿＿_　ノ
　　　　　　 .＼＼U　 　＿＿＿ノ＼
　　　　　　　　 ＼＼＿○○＿）　　ヽ

やはり、M_SHIRAISHI大先生にケムブリッジで「大講演」を打って貰わないことには、始まらんな ---- マジで。

（＾＾）

　　 ∧＿∧
　　（　　＾＾ ）＜ ぬるぽ（＾＾）

一階述語論理の完全性と決定不可能性はどのように
整合するのでせうか。完全性定理の証明可能、とい
うのは、機械的な手続きとは限らない、ということ
でせうか。では、どのような手続きが混入している
のでせうか。

正しい式は証明できる、でも任意の式が証明できるかどうかが有限時間で判断できる手続がない。
LKを逆に辿っていく方法で完全性定理を証明するとそこらの事情がわかる。

おまえら、ほんまに、アホやなぁ〜。

# 「述語論理の完全性」と言うときの“完全性”と「ゲーデルの不"完全性"定理」と言うときの "完全性" と
では、同じ「完全性」という語を使ってはいても、意味が、全然、違うってことを知らんのか？（大爆笑

>>360
こういう質問をする人が、往々にして
「一階述語論理の式は、真か偽かのいずれかだ」
と思っている。

もしそうなら、正しい式が証明できるなら
決定可能だと思うだろう。

実際には、一階述語論理の式の大半は
「真な場合もあれば、偽な場合もある式」
である。
そしてそのような式は、それ自身もその否定も
証明されないわけで、証明手続きが止まらなくなる
可能性があるというわけだ。

>LKを逆に辿っていく方法で完全性定理を証明するとそこらの事情がわかる。

今日色々調べてみたところ、林先生の本に載ってそうですね。
今度見てみます。

># 「述語論理の完全性」と言うときの“完全性”と「ゲーデルの不"完全性"定理」と言うときの "完全性" と
>では、同じ「完全性」という語を使ってはいても、意味が、全然、違うってことを知らんのか？（大爆笑

それは意識しています。（ﾏﾂｼﾝﾌｧﾝなので。）

>こういう質問をする人が、往々にして
>「一階述語論理の式は、真か偽かのいずれかだ」
>と思っている。

私の場合は、
「決定（不）可能とは、正しい式が決定（不）可能」
と思ってたので、そうなりました。
今日、図書館で決定可能性について
きちんと書いてある本を読んだら分かりました。
任意の式について、なんですね。
また、半決定可能性というのがあって、
それによれば、正しい式については、決定可能なのですね。
というわけで、良く分かりました。

みなさまどうもありがとうございました。

そだな。(＾＾；)

>>364
ﾏﾂｼﾝﾌｧﾝ＝落ちこぼれ（ｗ

ﾏﾂｼﾝに自分のｳﾞｧｶさ加減を気が付かされて
ﾑｶついてる香具師とは>>366のことですか？

そだな。(＾＾；)

じゃ、あげますか

記号の読み方が分かりませぬ。
構造(structure)を表す記号として使われたりする、
あの一連の記号です。
言語Lに対する構造○=<U,I>見たいな感じで・・・
　　　　　　　　↑
　　　　　　　　コレ
それ系の記号の二番目の奴は、"B"みたいな形してるんですが・・・
って、これじゃ何言ってるのか分かりませんね。

>>370
それ、それ! ドイツ文字だろう、アーかべーだろうきっと。
あれ、いやだよな。なんで、英文字で書かないの?

どうもです。
ドイツ文字でサーチしたら分かりました。
http://www2.neweb.ne.jp/wc/STEINER/text-16.html

ワスは、「さる御方」の逆鱗に触れてすまい、幽霊にされてすまったッス。　こわいッス。

　　　　　　　　／:::::::::::::::::::::＼
　　　　　　　／::::::::::::::::::::::::::::::::＼
　　　　　　　|:::::::::::|＿|＿|＿|＿|＿|
　　　　　　　|＿|＿ノ∪　＼,, ,,／ ヽ
　　　　　　　|::（ 6　　ー─◎─◎　）
　　 　 　　　|ﾉ　　（∵∴∪（ o o）∴）
　　　　　　|　　　<　　∵　　 ３　∵>
　　　　　／＼　└　　　　＿＿_　ノ
　　　　　　 .＼＼U　 　＿＿＿ノ＼
　　　　　　　　 ＼＼＿○○＿）　　ヽ

ワスは、ﾏﾂｼﾝの幽霊にたたられてるッス。　こわいッス。

　　　　　　　　／:::::::::::::::::::::＼
　　　　　　　／::::::::::::::::::::::::::::::::＼
　　　　　　　|:::::::::::|＿|＿|＿|＿|＿|
　　　　　　　|＿|＿ノ∪　＼,, ,,／ ヽ
　　　　　　　|::（ 6　　ー─◎─◎　）
　　 　 　　　|ﾉ　　（∵∴∪（ o o）∴）
　　　　　　|　　　<　　∵　　 ３　∵>
　　　　　／＼　└　　　　＿＿_　ノ
　　　　　　 .＼＼U　 　＿＿＿ノ＼
　　　　　　　　 ＼＼＿○○＿）　　ヽ

　　　　　　__-=≡///::　;;　''ヽ丶
　　　　／ 　 　　''　　~　　　　 ヾ:::::＼
　　　/　 　　　　　　　　　　　　 ＼:::::＼
　　　|　 　　　　　　　　　　　　　 彡::::::|
　　≡　 　　　　,　、　　　　　　　 |:::::::::|
　　≡ _≡=-、＿＿, - -=≡=_ 、 |:;;;;;/
　　 | | ,ｰ●　|　　　|　●ー　|─´ /　＼　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　 | ヽ二＿,(　　　）＼＿二/　　 >６　/　＜　松本真吾クン、学会は、いつでもキミの「入信」を待っているよ。
　　/ 　　　/(　　　　　)ヽ　　　　　　|__/　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　.|　 　　/　　⌒｀´⌒　　　　　　　　）　|
　|　 　　　　　　　　　　　　　　／　　|　|
　（　　　　|＿／ヽ_'＼＿／　　　 　 ）　|
　.＼　　､ ＼￣　￣／ヽ　　　　　 /　/
　　 ＼　 　|　￣￣ 　　 ＿／／　/
　　　 ＼　 ヽ＿＿＿＿／　　　　／
　　　　　＼＿ ー─　　＿＿ ／
　　　　　／￣／￣￣￣￣＼￣＼
　　　　　|　 | ＼　|＼ ／|　／　|　 |
　　　　　|　 | ／　|　ハ　|　＼　|　 |
　　　　　|　|　＼　＼　／　／　 |　 |
　　　　　＼|　　 ＼ ヽ　 ／　　　|／
　　　　　　 |＿＿＿/ヽ＿＿＿ |
　　　　　　　|　　　　金　　　　　|
　　　　　 ＿|＿＿＿Λ＿＿＿|＿
　　　　＜＿＿＿＿|　 |＿＿＿＿＞

age

ぬるぽ

やはり、ここは、M_SHIRAISHI大先生にケムブリッジで「大講演」を打ってもらわんことには、始まらんな ---- マジで。

みんなでネット読書会しようぜ。

━―━―━―━―━―━―━―━―━[JR山崎駅（＾＾）]━―━―━―━―━―━―━―━―━―

━―━―━―━―━―━―━―━―━[JR山崎駅（＾＾）]━―━―━―━―━―━―━―━―━―

━―━―━―━＜通行止＞―━―━―━―━―━[JR 松本駅]━―━―━―━―━＜脱線・転覆＞―━―━―━―━―
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　↑
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　マツシン飛び込み自殺現場
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

「連言」は何と読むのですか?

>>383
「れんげん」

>>384
たぶん「れんげん」だろうと思って「連言 AND れんげん」で汎用サーチエンジンで
探しても見つからず、広辞苑にも「れんげん」は無し。
同じく「れんごん」も無し。
数冊見た論理学の本にはどれも「連言」の説明はあるが、読み方は無し。

それなのに「れんげん」で意思統一が図られているとしたら、
それは一体何に基づいているのですか?

>>385
> 広辞苑にも「れんげん」は無し。

広辞苑第五版にはありますよ。

また、こちらにもあります。
http://dictionary.goo.ne.jp/search.php?MT=%CF%A2%B8%C0&kind=ej&mode=0&jn.x=20&jn.y=12

＞「連言」は何と読むのですか?

“リェンイェン”と読む ---- 現代中国語では。

1

>>385
師匠に読み方を習うから。国語の辞書というものは業界内での
ただし読み方を追認するものにすぎず、そんなものは何の根拠に
もならんと思われ。

ここにもある
http://dictionary.goo.ne.jp/search.php?MT=%A4%EC%A4%F3%A4%B2&kind=jn&mode=0

ついでに言うとこれも
http://dictionary.goo.ne.jp/search.php?MT=%A4%C4%A4%C4%A4%B8&kind=jn&mode=0

そして最終的には、これ
http://dictionary.goo.ne.jp/search.php?MT=%A4%EC%A4%F3%A4%B2%A4%C4%A4%C4%A4%B8&kind=jn&mode=0

ここ数年、レンゲの花見てないなあ。

（A∨¬B)∧（¬A∨B）と¬（A→B)∨B
この二つの式の選言標準形ってどうやって出すんですか？

先ずは真理値表を書く

ファジィ論理の入門書でなにかよいものはないでしょうか。
スレ違いならスマソ

>>396
用途は？それによって違うと思われ。

ファジィ基本的な概念を理解したいのです。何かの機会に心理学に応用したいと思いまして。

定期age

４００

　__∧＿∧_
　|（　　＾＾ ）|　＜寝るぽ（＾＾）
　|＼⌒⌒⌒＼
　＼ |⌒⌒⌒~|　　　　　　　　　山崎渉
　　 ~￣￣￣￣

　__∧＿∧_
　|（　　＾＾ ）|　＜寝るぽ（＾＾）
　|＼⌒⌒⌒＼
　＼ |⌒⌒⌒~|　　　　　　　　　山崎渉
　　 ~￣￣￣￣

age

押し出し

押し出し２

現在、数理論理学を学んでいるのですが、以下の課題が
よく分かりません。ご教授いただけたらありがたいです。

対象領域は、歴史上存在したすべての女性の集合である。
Mxy:xはyの母親である。
Exy:xとyは同一人物である。

「xとyは姉妹である」という文をMとEを用いた論理式で表現しなさい。
「xには姉も妹もいない」という文をMとEを用いた論理式で表現しなさい。

>>406
Mzx＆Mzy＆notExy:xとyは姉妹である
Mzx＆Mzy⇒Exy:xには姉も妹もいない

私も脱いでます♪探してみてね♪
http://yahooo.s2.x-beat.com/linkvp2/linkvp2.html

>>407
存在記号、全称記号が使われていないため、以下の意味となっている。
最初のものは、「ｚがｘ、ｙという２人の母である」というもの
２番目は「ｚがｘ、ｙの母ならｘ、ｙは等しい」というもの。

http://www.k-514.com/sample/sample.html
　　_、_ 癒し系か・・・
（　,_ﾉ` )y━･~~~　見たらどうだ・・・

n階述語論理ってnをどんどん大きくするとどうなるんですか？

そのうち収拾がつかなくなって、ラッセルのパラドックスに行きつきます。

論理学初心者です。
「偶然Ｐである」の記号化として正しいのは
次のどちらなのでしょう？

(1)Ｐ∧□〜Ｐ

(2)◇Ｐ∧◇〜Ｐ

（2)の方が正しいと書いてある本もあるのですが、
たとえば戸田山先生の本には（１）が載っています。

>>413
偶然とは何か？
そういう用語や概念の定義の仕方による。

□や◇に対する意味づけは、偶然や必然以外にも
いろいろある。

>>414
なるほど。
では(1)と(2)は「偶然」という概念に対する
二通りの意味付けであると言ってよいのですね。
そしてどちらを採用するのも任意であると。

>>413
(1)は
　(1') P∧〜□P
の間違いだよね？

「Pでなくともよいのに現実にはPである」が（１）
「Pであることは可能であるし、Pでないことも可能である（現実にはどうなのかの
情報は無い）」が（２）

ただそれだけ。

>>416
間違えました。すいません。
（１）Ｐ∧◇〜Ｐ
のつもりでした。
>>417
ご丁寧にありがとうございます。
「偶然」という言葉にこだわる必要はないということ
がよくわかりました。

>>406
同一の母親を持たなくても、同一の父親を持つ、異なる2人の女性は姉妹である、
という事実を受け入れると、「xとyは姉妹である」はMとEでは書けないね。

その事実は無視して、
2人の女性が姉妹であるとは、2人が異なっており、同一の母親を持つことである
と仮定すると、
「xとyは姉妹である」は∃z(Mzx＆Mzy)＆〜Exy
「xには姉も妹もいない」は、↑を応用すると〜∃y[∃z(Mzx＆Mzy)＆〜Exy]

　　　 (⌒V⌒)
　　　│ ＾ ＾ │＜これからも僕を応援して下さいね（＾＾）。
　　⊂|　　　　|つ
　　　（＿）（＿）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　山崎パン

〜∃y[∃z(Mzx＆Mzy)＆〜Exy]
⇔∀y[∃z(Mzx＆Mzy)⇒Exy]

20

すいません。スレの腰を折りぎみなんですが質問です。
量子論理に関する良サイトを紹介してもらえないでしょうか。
量子コンピューティング系統・量子力学計算系統ではなく
純粋に量子論理を論理学の1分野として扱っている
入門サイトみたいなのを希望です。ココ以外にも聞いたんですが
まっとうにレスが返ってくるのがココぐらいしかなさそうなので・・・。

>>423
そんな奇特なサイトは知らないなぁ．検索しても適当なのは出てこないしね．
純粋にロジックとして量子論理やってる人ってどれくらいいるのかな．
日本だと，昔，大出晁氏が頑張ってたけどね．とりあえず，Dalla Chiara おばさん
のサーヴェイを読んでみられては．100ページの分量があって，入門的なところ
から一通り書いてある．

ここでダウンロードできるよ．↓
http://jp.arxiv.org/abs/quant-ph/0101028

３段論法は、「AならばB、かつ、BならばC、であるならば、AならばC、である」と
聞きましたが、「(A⇒B)∧(B⇒C)＝A⇒C」にはならず「(A⇒B)∧(B⇒C)≠A⇒C」に
なってしまいます。なにがまちがってるんでしょう？

ちなみに「(A⇔B)⇔(A⇔C)＝A⇔C」だったらなっとくできるんですが。。。

>>425
あっ、間違い。
「(A⇔B)⇔(B⇔C)＝A⇔C」ですね。

>>425
そのイコール記号はどういう意味なんだ？
ちなみに、もともとの3段論法というのは、次の形をしている。

A、および、A→B が真ならば、Bも真。

>>427
>ちなみに、もともとの3段論法というのは、

伝統的な論理学の用語は定義を確認しておいた方がよろしいかと。

>>425
たとえば
0=0⇒0=0
と
(0=0⇒0≠0)∧(0≠0⇒0=0)

>>383
"ヨノン" in Korean

>>425
((A⇒B)∧(B⇒C))→(A⇒C)
が、三段論法だよ。＝（イコール）の部分は、
←が成り立たないよね。

⇔と＝の違いはなんだ？

哲学系ではどうか知らんが、
数理論理学ではmodus ponensといえば
A∧(A→B)⇒B だよ。

>>431みたいのと同値かどうかは‥‥
検証するのが面倒くさいのでやめ。

ああ、→は論理結合子、⇒はシーケントの矢印とでも思ってくれ。

>>428 さんが言ってるのは、modus ponens や cut は、伝統的論理学
（アリストテレス以来の）における三段論法に「相当」するものではあって
も、それを忠実に形式化したものにはなってないので、どちらの意味で使っ
てるのかをはっきりさせたほうがいいのでは？　という話だろう。

>>424
遅ればせながらありがとうございます。
しかし、量子論理の基礎に関するサイトは数年前にはけっこうたくさん
あったのになー・・・。なんでぱったり消えてしまったんだろ・・・。

>>434
だいたいそういうことです。

論理学の本を何冊かめくって見た範囲では、三段論法は個々の推論の形式
ではなく推論の形式の族を指しているようです。

B→C および A→B から A→C を推論する。

は仮言三段論法のひとつであるという説明があります。三段論法という名前で

A および A→B から B を推論する。

を指すという説明は、伝統的な論理学の本には見当らず、数理論理学の本でも
少数派で、modus ponens, detachment rule, 分離規則、前件肯定式、→の除去、
というような名前で呼んでいるものが多数です。

おまいら、揃いも揃って、レヴェル低いな（爆笑

# 偽と矛盾との違いさえ分からんだろ？

矛盾・・・「PとnotPのどちらも証明できること」
決定不能・・・「PとnotPのどちらも証明できないこと」

ってのは、あってます？

決定不能と不完全てどう違うんだっけ？

>>439
決定不能な命題が存在する体系を不完全な体系と
言うんじゃなかったっけか．．．（ちがった？）

>>438
そんなとこです。もう少し正確には
あるPについてPとnotPが証明できるとき（単純）矛盾
PもnotPも証明できないときPは決定不能という

>>440
それで合ってると思う。

決定不能というのは、

「どんな命題Pが与えられても、それが真か偽かを有限時間で判定する」
ようなアルゴリズムが存在しないことをいう。

古典命題論理は決定可能だが、古典1階述語論理はもう決定不能になる。

>>441>>442レスどおもっす

>>437が言ってるのは「偽と矛盾との違いは何んか？」で、「矛盾と決定不能との違いは何か？」の問題じゃないやろ（ｗ

誰も>>437など相手にしていない。

そういやスルーされてるな

リロードすればよかった…

エステdeリロード

いっぺん言ってみたかった。
あー積年の思いが晴れた。

>>445
M_SHIRAISHI がらみのコピペに反応してはならん。

http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1060071844/l50
このスレの1にこんな事が書いてある。

>学生：２＝１ というのはあきらかに矛盾ですね
>ラッセル：そうだよ

コレおかしいだろ。
「２＝１」は矛盾した命題ではないだろ。
正しくは、
「２＝１」は偽の命題だろ。

そこんとこどうよ？

>>451
その会話がなされた当時そんな区別があったのだろうか？

>>451
自同律に矛盾した命題，かつ偽なる命題
ってことではないの？

>>451
Russell の名前の綴りを間違えるような人が書いた内容を
どれだけ信用するかという問題ではないかと。

丸か罰か！

>>436
＞論理学の本を何冊かめくって見た範囲では

おまいの見た範囲は、みーんな「日本語で書かれた論理学の本」の範囲だな（ｗ

# "三段論法"なんて言い方は日本語独特のものであって、西洋には昔も今もそんな言い方は無い。

>>456
三段論法という用語の使い方の話なので、「西洋には昔も今もない
概念ならば」日本語の本を見るのは当然でしょう。

modus ponens, syllogism, hypothetical syllogism を「一緒くた」にして、
“三段論法”と俗称しているのが、論理学の後進国である我が国の実情だ。

>>458
> modus ponens, syllogism, hypothetical syllogism を「一緒くた」にして
普通の和書では、これらの概念に対応して別の訳語をあてていますが。

もう一つ。
"modus ponens, syllogism, hypothetical syllogism"
の順に列挙すると、物を知らないと思われますよ。

おまえがなぁ〜（ｗ

今日、「数の体系と超準モデル」立ち読みしてきた。
完全性と決定可能性について書いてあったことを、
憶えてる範囲でちょっと書き出してみる。

理論Tの任意のσについて、T|−σあるいはT|−¬σが成立するとき、
Tは完全であるという。
理論Tの任意のσについて、T|−σあるいはT|＋σということが
有限の手続きで判定できるとき、Tは決定可能であるという。
（「|−」はターンスタイル。「|＋」はターンスタイルの否定。）
大体の数学理論において「完全であれば決定可能」が成立する。

>>458
そうでもない。logic プロパー向けでは確かに混同してる
本はそうないが、工学部や般教向けの教科書では全部同じ。

「三段論法」が，モーダス・ポネンスとカットの両方の意味で使われているのは
前々から気持ち悪いと思っていたのだが・・・．
「三段論法」っていう単語をなくすべきかもな．

あと，再帰と帰納もごちゃごちゃだな．
Endertonのテキスト読んだときに情けない気分になったっけ．

a

伝統的論理学の三段論法を忠実に形式化するのって、けっこう大変なんじゃないか？
Lukasiewicz以来、いくつか試みはあるようだけど。

>>463
普通の和書と書いたとき、伝統的な論理学についての記述がある本や、
数理論理学の本しか念頭になかった。(それ以外は本ではないという偏見)

論理について十数ページで済ませているような本を読む限り、三段論法
が syllogism に対応しているとはとても思えないだろうなあ。

ゴキブリ好きですか？

命題論理なんですが、どうしてもわかりません。

A,B,x::¬A,y::¬B |- A⊃B の証明をつくれ

>>469
(¬AかつA = ⊥)⊃Bという方針で。

命題論理で、
A |- ¬¬(A∨¬A)　の証明ができません。おねがいします。

ちなみに
¬¬(A∨¬A) by ¬-I{
(x::¬(A∨¬A))[
⊥ by ¬-E{
x;
A∨¬A by …

から排中律の処理がわかりません。

>>470
469は、なんとかとけました、ありがとうございます。

Natural Deduction 風

[1:A] |- A∨¬A by ∨I

[2:¬(A∨¬A)] & A∨¬A |- ⊥by ¬E

([2:¬(A∨¬A)] |- ⊥) |- ¬¬(A∨¬A) by ¬I (ここで2の仮定は落ちる）

残った仮定は1:A

¬¬(A∨¬A) by ¬-I{
(x::¬(A∨¬A))[ ⊥ by ¬-E{
x;
A∨¬A by　∨-IL{
(y::A)[
y]
}
}
}

としたらいいってことでしょうか？
うーん。

>>474はちょっと読みとく気になれないので
473を↓にしてみた。

　1:A
-------
A∨¬A　　2:¬(A∨¬A)
--------------------
　　　　　　⊥
　　　------------2
　　　¬¬(A∨¬A)

>>475
どうやらあっていたようです、ありがとうございます。

>>425
亀レスごめん。

単純な計算で分かるが、
(A→B)∧(B→C)=(¬A∧(B→C))∨((A→B)∧C)
となる。これに(A→B)=Tと(B→C)=Tを代入すれば、
(A→B)∧(B→C)=(¬A∧(B→C))∨((A→B)∧C)=¬A∨C=A→C
となる。
つまり、「AならばBが成立ち、BならばCが成り立つ、という状況で、
(AならばB、かつ、BならばC、であるならば、AならばC)、である」
ということになる。

「××という状況下で、○○が成り立つ」ということの意味が
飲み込めるようになったら、次はシーケント計算あたりを勉強してみるべし。
間違ってもエムシラのように「２０世紀の論理学は時代遅れで間違っている」
などとあさはかな結論に飛びつくべからず。

●●●マスコミの「盗聴、盗撮」は許されるのか？その８●●●
http://natto.2ch.net/mass/kako/1011/10115/1011522150.html
290 名前： 投稿日： 02/02/14 11:38 ID:6fbKGLCS
>>266
大衆週刊誌（文春とか新潮とかポストとか）の漫画家も盗聴を使っているね。俺
が思いついたネタを使っていた漫画家を偶然見つけたことがある。そいつはテレ
ビで生意気なことをしゃべっているよ。盗聴がばれているのに、哀れだ。
ただし、漫画家家本人が盗聴を使っているのか、雑誌社が盗聴を代行している
のかは、わからない。俺は雑誌社だと見ているのだが。

240 名前： 213 投稿日： 02/02/10 15:36 ID:jE2ivfkk
一般人で「お部屋拝見」で見せている人も、実は陰で裏切られている
（盗聴されている）んだと思うと、可哀相だなと思う。
芸能界に入りたいと思った事は無いが、
マスコミや華やかさに憧れるのは、別にその人の勝手だし、有名になるのが好きな人は、
その人なりの夢なんだろう。その夢まで何か言おうとは思わない。
でも、そういう人だからといって、盗聴されたり、嫌がらせを受けていいわけではない。

84 名前： ○○○ 投稿日： 02/01/31 01:15 ID:l3fSW81R
>>78
たぶん、君が書いている通りだよ。確信犯だ。テレ朝が、俺の電話を盗聴
したネタを使っているのは、ずいぶん前から確認している。俺だって、メディアに
ネタを提供するために生きて行くつもりはない。ついでに書くが、フジの「恋のちから」
をチラッと見たが、盗聴からヒントを得ている。盗聴は盗聴。いいかげんにしろ。

>>477
お前、エラそうなことぬかしてるわりには、まったく分かっとらんな。

　 ∧ ∧
　 (,,ﾟДﾟ)
　 ,,U,,U,.
　ﾐ・д・ﾐ　ﾎｯｼｭ!
　 """"

やっぱり、２０世紀の論理学は時代遅れで間違っていたのか・・・。　うーむ。

5

279

NHKブックスの論理学入門という本を買って、
論理学を勉強しようと思ったのですが。
論理記号がでてきたとたんに理解不能になってしまいました。
始まって10ページくらいでです、ですからもっと簡単な入門書
論理記号をわかりやすく理解できる入門書などがあったら教えてください。

あの、と言いますか板違いじゃないですよね？哲学板は違うって言われたのですが
当方まったくの論理学の素人でして、といいますか勉強の素人といいますか
なにしろ勉強した事がないドキュンでして。
なにとぞご教授ご鞭撻の程よろぴくお願いいたします。

論理記号をわかりやすく説明している
サイトなんかもあったらよろしくお願いします。

Ｐ　Ｑ　Ｐ∨Ｑ　〜(Ｐ∨Ｑ)　〜(Ｐ∨Ｑ)ならＰ

Ｔ　Ｔ　　Ｔ　　　　？　　　　　　？
Ｔ　Ｆ　　Ｔ　　　　？　　　　　　？
Ｆ　Ｔ　　Ｔ　　　　？　　　　　　？
Ｆ　Ｆ　　Ｆ　　　　？　　　　　　？

これが演習問題の1なんですけど、〜(Ｐ∨Ｑ)のところはわかるんですけど
〜(Ｐ∨Ｑ)ならＰのところがわからないんです。
それから、ならの記号ってどうやって出してますか？

ならばは→⊃好きな方を使いたまえ。

P→Q≡〜P∨Q

>>479>>491

エムシラキモ！　　∧＿∧
　　　　　∧＿∧ 　（´<_｀ 　）　　　こいつってとことんまで終わってるなw
　　　　 （　´_ゝ`）　/　　 ⌒i 　 　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　　　　／　　　＼　 　　　|　| 　／　彡川川川三三三ﾐ〜 ﾌﾟｩ〜ﾝ
　　　 /　　 　/￣￣￣￣/　／　　　川｜川／　Ｍ＼｜〜
　 ＿_(__ﾆつ/　I.I.I. Inc. / ∠ 　　　‖｜‖　◎---◎ |〜　　　やっぱり、２０世紀の論理学は時代遅れで間違っていたのか・・・。　ヽ(^。^)ノ
　 　　　 ＼/＿＿＿＿/　　|　　　川川‖　///　3///ヽ〜
　　　　　　　　　　　　　　　　|　　　川川　　　 ∴）д（∴）〜
　　　　　　　　　　　　　　　　|　　　川川　　　　　　 〜　/〜　　　　　　　　　　 ＿＿＿
　　　　　　　　　　　　　　　　|　　川川川‖　　　 〜　/川〜　ﾋﾟｭｯﾋﾟｭｯ　　　 .|　 |　　 |＼＿
　　　　　　　　　　　　　　　　|　　／　川川　　　 ＿／　;|＼〜　　　　　　ρ　 |　 |　　 |　| 　|＼
　　　　　　　　　　　　　　　　|　/　　　　／　　　　　　 　;|　|　　　ρ　　　　　　|　 |　　 |　| 　|::::|
　　　　　　　　　　　　　　　　|（　　　　 （;;　　・　　　　　･;)　ρ　　　　　　　　　|　 |　　 |　|　 |::::|
　　　　　　　　　　　　　　　　|　＼　　　 ＼　　　　亠　ρ）;;　　￣￣＼　　　　|　 |　　 |　|　 |::::|
　　　　　　　　　　　　　　　　|:　　＼　　　＼　　　Ｃ)) ;）￣￣＼っ））））〜〜|　 |　　 |　|　 |::::|
　　　　　　　　　　　　　　　　|　　　　　＼　　￣つ/　/　;）　　|￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣|
　　　　　　　　　　　　　　　　|　　　　　　＼　　（__/　 _;）　　￣￣￣.|　＿＿＿＿＿＿＿__. |
　　　　　　　　　　　　　　　　|　　　　　　　;;＼＿_/　 ;）　　ｼｺｼｺ　　|　|　　　　 　　　　　　..|.|
　　　　　　　　　　　　　　　　|　　　　　　　（;;;　）;; ）　 ＼　　　　　　 |　|　　ヽ(＾。＾)ノ　　......|.|
　　　　　　　　　　　　　　　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

>>486
その本をみてないんで詳しいことはわからないが、「ならば」の
真理表はすでに与えられてるわけでしょう？　だったらそれを
機械的に適用すればいいじゃん。

〜(Ｐ∨Ｑ)→Ｐ
　　　　T
　　　　T
　　　　T
　　　　F

>>484
> あの、と言いますか板違いじゃないですよね？哲学板は違うって言われたのですが
ﾜﾛﾀ

今、哲学板の論理学スレみてきたら、初学者がＯＦＷとかいうわけのわからん
やつに「内在と超越」とかへんなこと吹き込まれて大変なことになってた。

>>485
http://sakharov.net/foundation.html

このリンク集に論理学関係のサイトが山ほど紹介されてるから、お好きなのをどうぞ。

>>486
〜(Ｐ∨Ｑ)を R に置き換えて、R⊃P として考えてみましょう。
R, P の真理値が分かれば、R⊃P の真理値も分かりますよね。
⊃は「きごう」を変換すれば出来ると思います。

NHKブックスの論理学入門って三浦俊彦の本ですね？
あの本は論理学の教科書というより、あの著者独自の
語用論的立場を強調した哲学的読み物として読んだ方がいいと思います。

http://www.logic.at/kgs/icons/goedel2.gif
ゲーデルですが何か。

命題論理で¬¬P⊃Pの証明はどうすればいいんでしょうか
方針だけでもお願いします
P⊃¬¬Pと¬¬¬P⊃¬Pは簡単に出るんですが…

古典命題論理なら真理値表を書いておわり。

真理値じゃないと無理ですか？できれば公理から出したいんですけど…

⊥├A
A⇒B├A⊃B
A⊃B,A├B
A,B├A∧B
A∧B├A
A∧B├B
A├A∨B
B├A∨B
A∨B,A⇒C,B⇒C├C
A⇒⊥├¬A
A,¬A├⊥

>>496
それは構成的論理（直感主義論理）の公理系ですので、
　排中律 P∨¬P
　二重否定の除去 ¬¬P⊃¬P
は導けません。導けないことの証明は本を見てください。

496に対して、公理として
　排中律 P∨¬P
　二重否定の除去 ¬¬P⊃¬P
のどちらかを加えるか、または推論規則
　背理法 ¬A⇒⊥├A
を加えると、古典論理になります。

ちなみに496+背理法からは、
　¬A　　¬¬A
　-------------
　　　　　⊥
　-------------仮定¬A落ち
　　　　　A
　-------------仮定¬¬A落ち
　　¬¬A⊃A

>>496

1.　¬P　　　（仮定）
2.　¬¬P　　　（仮定）
3.　⊥　　　（1,2,「A,¬A├⊥」より）
4.　P　　　(1,3,「A⇒⊥├¬A」より）
5.　¬¬P⊃P　　　（2,4,「A⇒B├A⊃B」より）

帰謬法をつかうために、¬Pを仮定するのがポイントです。

あ！　>>498 は間違い。>>497 が正しいです。ﾊﾂﾞｶｼｲ…
A⇒⊥├¬Aって、単に「ならば導入」でAを落としただけじゃん。帰謬法じゃ
なかったでつね…

>>489
機械的に当てはめて考えるとは、こういう感じで考えれば良いのでしょうか？
これを⊃の真理表に当てはめて考えると回答と合うのですが。

〜(Ｐ∨Ｑ)　 Ｐ

F　　　　　　T
F　　　　　　T
　F　　　　　　F
　T　　　　　　F

>>489
すいません、全くちんぷんかんぷんな事を書いてしまってますか？
なにしろ自分が何がわかってないのかも良くわかってない状態でして
でも何がわかっていないか、一つわかりました機会的な適用なし方はわからないです。
何しろ論理学が理系なのかも、いまいちわかっていなかったくらいです。
理系全般板で論理学はどの板かというの質問をしたらこのスレを教えていただきました。
いくらこのスレが基礎を謳っているからといって、ここまで数学的思考(ですか？)が身について
いない人間がくるスレじゃないって事ですね。
論理学を勉強するにあたって、やはり中高の数学はできていないと無理でしょうか？

>>490
やはり哲学板のスレは違うんですね。
理系全般板のスレで間違っても哲学板の論理学スレにはいくなと忠告を受けました。

>>491
すいません英語も全くダメなんです。

>>495
それは「証明」ではないぜ。

>>501
＞何しろ論理学が理系なのかも、いまいちわかっていなかったくらいです。

日本の伝統的な区分では論理学は文系だよ。ウルトラフィルターとか出てくる
文系の授業と言うのも凄いよな（笑

２chでは、数学板の方に Philoshical Logic 系統も来てる様子なので
こっちで聞いておいたほうがよいようにおもわれ。

>>492
そうです、三浦俊彦という人の本です。
読物という事は、論理学の基礎を学ぶには他の本の方が良いのでしょうか？
なんとなくこの本を立ち読みして、はじめにの所に書かれている事に刺激を受けて
軽い気持ちで勉強してみようと思ったのですが、やっぱり勉強してこなかった人間には難しいですね。
でもわからないなりに、てきとうに色々考えてるのは楽しいですね
とりあえず論理学にはかなり興味がわきました。

Ｒに置き換えてとは任意のアルファベットＲという事ですか？
ちょっと考えてみます。

>>503
ん、やはり文系なんですか？
ウルトラフィルター？Philoshical Logic 系統？！
ちょっとわかりませんが（笑
質問はここであっているという事ですよね？

この板の人たちはとにかくすごいな。
という素直にアホっぽい感想を持ちました。

>>506
「〜(Ｐ∨Ｑ)ならばＰ」の真理値は、〜(Ｐ∨Ｑ)の真理値とＰの真理値から決まる。
　〜(Ｐ∨Ｑ)　：　Ｐ　：　〜(Ｐ∨Ｑ)ならばＰ
　　　　T　　　　　T　　　　　　　T
　　　　T　　　　　F　　　　　　　F
　　　　F　　　　　T　　　　　　　T
　　　　F　　　　　F　　　　　　　T
〜(Ｐ∨Ｑ)の真理値は、Ｐ∨Ｑのの真理値から決まる。
　　Ｐ∨Ｑ　：　〜(Ｐ∨Ｑ)
　　　　T　　　　　　　　F
　　　　F　　　　　　　　T
Ｐ∨Ｑの真理値は、Ｐの真理値とＱの真理値から決まる。
　　　　Ｐ　：　Ｑ　：　Ｐ∨Ｑ
　　　　T　　　T　　　　T
　　　　T　　　F　　　　T
　　　　F　　　T　　　　T
　　　　F　　　F　　　　F
機械的に1つ小さい論理式の真理値に還元し、最小単位の命題変数Ｐ、Ｑに辿りついたので、
今度はＰ，Ｑへの真理値の割り当てをベースとして、1つの表に組み合わせると、
　　　　Ｐ　：　Ｑ　：　Ｐ∨Ｑ　：　〜(Ｐ∨Ｑ)　：　〜(Ｐ∨Ｑ)ならばＰ
　　　　T　　　T　　　　T　　　　　　　　F　　　　　　　　　　　T
　　　　T　　　F　　　　T　　　　　　　　F　　　　　　　　　　　T
　　　　F　　　T　　　　T　　　　　　　　F　　　　　　　　　　　T
　　　　F　　　F　　　　F　　　　　　　　T　　　　　　　　　　　F
私は理系として学んでいます。

>>500 そうそう、それで合ってるよ。詳しくは >>507 氏が解説してくれている通り。

>>505　論理学が文系か理系かというと、確かに日本ではちょっと微妙なところがあるけど、
一般に「論理学者(ロジシャン）」を名乗る人は基本的には数学者（あるいは計算機科学者）
だと思ったほうがいい。（そうでない自称「論理学者」もたまにいるけど、そういう香具師
はろくなことがない。）

ウルトラフィルターというのは、論理体系の代数的意味論（ブール代数とか）に登場する概念
で、一から定義して解説してると長くなるので、説明はご勘弁を。詳しい解説はたとえば、

田中俊一、『位相と論理』（日本評論社、2000年）
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4535601275/

あたりをご覧ください。

Philosophical Logic というのは、元来は哲学的関心から開発されたさまざまな非古典論理の
体系 （様相論理、認識論理、時間論理、等々）に関する、数学的研究のことを指す。

これらは元々は哲学の研究のなかから生まれたので Philosophical と形容されてるけど、現代
では むしろ計算機科学との関係で研究されることが多く、やってることは完全に数学と考えた
ほうがいい。 この分野に関しては、

非古典論理について語るスレ
http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1071060325/l50

で質問されるのがよいかと（寂れてるけど）。だいたいどんなことをやってるのかを手っ取り早
く知るには、

L. Goble (ed.), The Blackwell Guide to Philosophical Logic (Blackwell, 2001)
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/0631206930/

がおすすめです。

　集合論では
　「ある個体が鳥類の一種であるニワトリに属するならば、その個体は鳥類
　　に属する」
　ですね。一方、真理表は
　「鳥類の一種であるニワトリに属するすべての個体がある性質をもつならば、
　　鳥類に属するすべての個体はその性質をもつ」
　ではなく（それは誤り）、
　「鳥類に属するすべての個体がある性質を持つならば、鳥類の一種である
　　ニワトリに属するすべての個体はその性質をもつ」
　ということを表現しています。
　個体、種、類とは実体（＝遇有的諸関係の総体）の内的区別であり、
　モノと諸性質という外的関係とは逆（内在と超越、内包と外延）だということ。

>>507
わかりやすい解説どうもありがとうございます。
自分の買った本には、そういう風に親切な解説はしてないんですよ
普通の人はすぐ理解できると思うのですが、自分は中高と数学は2か1の落ちこぼれでして
自分で出した答が問題の解答と合っていても、偶然じゃないかとかたまたまだろって思ってしまって
やっと先へ進めます(笑

>>508
という事は論理学の場合は、文系の人の書いた本などは買わないほうが良さそうですね。
自分の場合は理系も文系もないってくらいの者なんですけど、
数学は特に苦手で、購入した論理学入門の本は数字も見当たらないし
数学的な本とは思わずに購入しました、ようするに数学的という事がどんな物かもわかっていないんです。
でも論理学が理系の本だとわかっていたら、まず買わなかったですね。
結果的には良かったと思います、論理学をある程度理解できたら
少しは物の考え方も効率よくなる？かもしれないし、
このわかりにくい文章も少しはまともになるかもという気がしますし。
それにただの読物としてみておもしろいですね、小説なんかよりぜんぜん面白いです。

リンク先見てみます、しかし初めて見る単語ばかりですよ(笑

>>511
哲学者の書いた論理学書でもちゃんとしたものはあるよ。戸田山和久氏の本とか、清水義夫氏
の本とか。彼らはちゃんと数学としてのロジックを勉強してるからね。三浦氏の本は教科書とい
うよりは読み物なので、多少本格的に論理学の勉強をしたいのなら、戸田山氏の『論理学をつくる』
という本が初学者向けでおすすめです。ものすごく親切。

気をつけたほうがいいのは、>>509 みたいなことを言う人です。

ただ、

> 論理学をある程度理解できたら少しは物の考え方も効率よくなる？

こういう幻想は抱かないほうがいいと思う。論理学というのはあくまでも、正しい推論を数学的
に特徴づけることを目的としているので、それを勉強したからといって正しく思考できるよう
になるわけではないです。ちょうど、一流サッカー選手の動きを科学的に分析したからといって、
サッカーがうまくなるわけではないのと同じ。

>>503 >>505 >>508
ウルトラフィルタは論理じゃなくて数学だろ（ｗ
だいたいモデル理論（代数的意味論）が数学なんだけどね。
ま、ここは数学板だから数学の話をするのは当然だけどさ。

>>512のいう「ちゃんとしてる」って例えば算術の計算みたいに
機械でもできる手続きが書かれているってことみたいだな。

ま、手続きなんていうのは、別に数学だけが独占してるわけでは
ないんで、文系の哲学屋にだってちゃんとわかることだよ。

すくなくとも小学校で習う筆算が理解できる程度のオツムの持ち主なら
記号論理学の証明手続きは理解できる。同じ程度の話だから。

理屈からいえば、数学の問題も完全に論理式として記述できて
証明が存在するなら、完全に機械的な手続きで求まる。
（代数の式にできれば機械的計算で答えが求まるのと同じ）
ただ、代数的計算と違うのは、実に膨大な時間がかかること。
だからお勧めしない。

人間が賢いのは機械的計算以外の知恵があるから。
こういうことは論理学では教えない。すべて経験の問題。

>>514
＞理屈からいえば、数学の問題も完全に論理式として記述できて
＞証明が存在するなら、完全に機械的な手続きで求まる。

証明が存在しない場合、止まらない可能性が多々ある。
（例えば２次方程式の解が無理数なのに、分数で
近似しようとすると終わらなくなるとかいうのと同じ）

>>484氏のつまづきは初心者にはよくありがちのものと
思うので、めげずにじっくりやれば乗り越えられると
思う。少なくとも微積分や平方根の計算よりは簡単。

>>514 は論理学者は機械的な記号変形だけやってるとでも思ってるのか？
だったらそもそも論理学なんて研究する必要ない罠

>>516は論理計算と論理研究を混同してる罠

整数論の研究と四則演算を混同してたりして（藁

論理を計算に変えようとする傾向は、哲学者ライプニッツ以来のもので
すが、ラッセルやフレーゲ辺りに起源をもつ現代の形式主義論理学や
記号論理学は、コンピュータという成果を除けば、むしろ論理的思考や
記号理解を妨げる数学主義と言えるでしょう。哲学者ヘーゲルの言葉に
「数とは無思想（無概念的）な概念であり、数学的推論（証明等）とは
事物の内面に入り込まない外面的（外延的）思考である。」
という趣旨の批判がありますが、物事の内面的な本質を理解することは、
それを計算処理することではないし、むしろ「集合、真理（表）、計算、
推理等々とはどういう事柄なのか」を反省的・概念的に理解することが
論理的思考を鍛えることに結びつくでしょう。

>>518
あはは、そもそも君がいいたい思考や理解は、
論理的じゃないし記号処理でもないんだよ。

つまり君のいう内面的な本質は論理を超えた直観なわけ。
集合の公理、真理「表」はヘーゲルいうところの無思想な概念
計算、推理はヘーゲルいうところの外面的思考なわけ。
鍛えるべきは、非論理的直観なわけ。
それがわからないから、君は数学で結果を出せないわけ。

>>509 >>518
哲学板からへんなものコピペしてくるのはやめてくれ

http://academy2.2ch.net/test/read.cgi/philo/1038386875/197
http://academy2.2ch.net/test/read.cgi/philo/1038386875/200

>>508
ところでPhilosophical LogicのPhilosophyを捨てて
Logic（あるいは端的にCalculusといったほうがいいか）
だけを”盗む”やり口は、つねにオリジナルを馬鹿にし
コピーを良しとする日本人の好むところだ。

またやってるよエムシラｗ
　　　　　　　　　　　　∧＿∧
　　　　　∧＿∧ 　（´<_｀ 　）　毎日毎日よく飽きねーよな、、、
　　　　 （　´_ゝ`）　/　　 ⌒i 　 　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　　　　／　　　＼　 　　　|　| 　／　彡川川川三三三ﾐ〜 ﾌﾟｩ〜ﾝ
　　　 /　　 　/￣￣￣￣/　／　　　川｜川／　Ｍ＼｜〜
　 ＿_(__ﾆつ/　I.I.I. Inc. / ∠ 　　　‖｜‖　◎---◎ |〜　　　Philosophical LogicのPhilosophyを捨てて(ry
　 　　　 ＼/＿＿＿＿/　　|　　　川川‖　///　3///ヽ〜
　　　　　　　　　　　　　　　　|　　　川川　　　　∴）д（∴）〜
　　　　　　　　　　　　　　　　|　　　川川　　　　　　 〜　/〜　　　　　　　　　　　 ＿＿＿
　　　　　　　　　　　　　　　　|　　川川川‖　　　 〜　/川〜　ﾋﾟｭｯﾋﾟｭｯ　　　　 .|　 |　　 |＼＿
　　　　　　　　　　　　　　　　|　　／　川川　　　 ＿／　;|＼〜　　　　　　ρ　　 |　 |　　 |　| 　|＼
　　　　　　　　　　　　　　　　|　/　　　　／　　>>521 　;|　　　　　　ρ　　　　　　|　 |　　 |　| 　|::::|
　　　　　　　　　　　　　　　　|（　　　　 （;;　　・　　　　　･;)　　ρ　　　　　　　　　|　 |　　 |　|　 |::::|
　　　　　　　　　　　　　　　　|　＼　　　 ＼　　　　亠　ρ）;;　　￣￣＼　　　　　|　 |　　 |　|　 |::::|
　　　　　　　　　　　　　　　　|　　　＼　　　＼　　　Ｃ)) 　;）￣￣＼っ））））〜〜|　 |　　 |　|　 |::::|
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　　　　　　　　　　　　　　　　|　　　　　　＼　　（__/　 _;）　　￣￣￣.|　＿＿＿＿＿＿＿__. |
　　　　　　　　　　　　　　　　|　　　　　　　;;＼＿_/　 ;）　　ｼｺｼｺ　　|　|　　　　 　　　　　　..|.|
　　　　　　　　　　　　　　　　|　　　　　　　（;;;　）;; ）　 ＼　　　　　　 |　|　　ヽ（＾。＾）ノ　　....|.|
　　　　　　　　　　　　　　　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

以前（旧）「論理学」スレで形式論理論者達と議論して良い所まで行ったが、
　スレがパンクして尻すぼみになってしまった。その最後において確認で
　きたのは、＜真理表＞に関して、仮定と断定との混同、記号と個別命題
　との矛盾、といった問題があるということでした。
　「命題Ａが真であると“仮定”すれば、命題Ａは真であることが“導出”
　される。」と聞いたときは、何でそうなるの？？とマジで驚いた。
　つまり、形式論理の方こそ、「何とでも言い逃れができる」無謬性を誇
　っているドグマだということです。（例：＜可能的意味の世界＞におけ
　る「爬虫類かつ人間」の存在）

>>521
必要の無いものを捨てることがオリジナルへの冒涜なのか?

>>524
盗人にとっては動機は必要ないだろう。
思いつく苦しみが嫌だから盗んでいるんだからな。

>>523
これも哲学板のコピペ？
クズ哲って本当にアホだね。「言い逃れ」って…

>>511
日本では logic は哲学科の中で行うことが主流だったので、その文系の人に
まともな人は多いし、古い本ならば哲学系の物しか存在しなかった。

現在はともかく、歴史的には日本の基礎論＆論理研究はまま子扱いで
数学科ではまともにやらせてもらえてなかったはずだよ。前原先生や
竹内先生は若いころ苦労したと聞いているけれど。

>>508
＞ これらは元々は哲学の研究のなかから生まれたので Philosophical と形容されてるけど、現代
＞では むしろ計算機科学との関係で研究されることが多く、やってることは完全に数学と考えた

やってることはほとんど数学だが、「計算機科学との関係で研究されることが多く」というのは、
誤解を招きかねない。Anderson、Priest、Meyer、Belnap、da Costa といった非古典論理の
海外の著明な研究者の肩書きは哲学者じゃないか？

もちろんコンピュータサイエンスの人も多いけどね。

>>513
君は知らないだろうが、その昔、清水義夫先生が東大で教養の古典論理の
授業をしていた時、後期のおわりはブール束をモデルに使った古典論理の完全性の
証明だったのだよ。

>>524
海外の基礎研究にただ乗りして工学的な応用ばっかやってることを
批判されてると言うことなら甘んじて受け入れるべきじゃないのかな？

人の研究の成果を応用するのはそんなに悪いことなのか

>>529
君のような無能な人間は甘受するしかないだろう。
>>530
自分では成果を出さないのは悪いとかいう以前に、研究者ではない。

>>528
君は知らないだろうが、ブール値のモデル＝ウルトラフィルタではない。

オレは悪くないというのは悪

>>532
はいはい。きみは誰かに口調が似てるな（笑）清水先生の「記号論理学」では
そこでウルトラフィルタの話しもすると言うだけのことだよ。

>>532
「知らないだろうが」つーたのは、当時の東大の理１の学生の間での
ヨタ話しだから。なんかプライド傷つけたようならあやまるよ（w。

>>527
今の哲学科で論理をまともに扱ってるところは限られてるけどな。
哲学板の論理スレはご承知の通り厨のたまり場だし。

つーか、なんで日本の大学の哲学科・数学科の大半は論理学を嫌ってるんだ？

⇒、⊃、∨、∧、¬、∃、∀を含んでいなくて⊥でない命題A（何て言うんでしょうか）については
常にA∨¬Aを仮定したとき、
∃xA∨¬∃xAと∀xA∨¬∀xAは示せるんでしょうか？

(A⊃B)∨¬(A⊃B)、(A∨B)∨¬(A∨B)、(A∧B)∨¬(A∧B)、¬A∨¬¬Aは出せたので
あとこの２つを導出出来れば排中律使い放題になって嬉しいんですが、どうしてもうまくいきません
ひょっとして無理なんでしょうか

>>537
導けない。
たとえば HA (直観主義的自然数論) では s=t の形の論理式に関しては
排中律が成立するが、任意の論理式についての排中律は成立しない。

>>536
数学科しか知らないけれど、嫌っているわけではなくて、
教えられる人がいないだけだと思う。
学生の側からの需要は確実にあるのだけれど、一学年に
一名程度の希望者では応えられないでしょう。

やっぱり無理ですか(´･ω･`)
諦めるか、個別の命題ごとに頑張るしかないって事ですね

これに∃xA∨¬∃xAと∀xA∨¬∀xAのどっちかを仮定に加えれば
古典一階述語論理になるって事でいいんでしょうか

>>540
それもうまくいかない。

＞清水先生の「記号論理学」ではそこでウルトラフィルタの話しもすると言うだけのことだよ。

話だけだろ（ｗ
東大の理�Tはプライドばかり高くて無能な奴らばっかり（ｗ

>>537
> あとこの２つを導出出来れば排中律使い放題になって
そもそも、ここの議論が誤り。

うーん、本当ですね
やっぱり「全ての命題で排中律が成り立つ」まで行かないとダメなんですかね
それともその間にうまくいくところがあるんでしょうか

>>543
うーん…
A∨¬A、B∨¬Bなら
(A⊃B)∨¬(A⊃B)、(A∨B)∨¬(A∨B)、(A∧B)∨¬(A∧B)、¬A∨¬¬Aが出るんだから
A∨¬Aから∃xA∨¬∃xAと∀xA∨¬∀xAが出れば、⊃、∨、∧、¬、∃、∀の組み合わせの形は
全部排中律成り立つようになりませんか？
どこが間違ってるんでしょうか…（そもそも間違ってるんですけど）

>>545
最初の質問では、A が原子論理式のとき A∨¬Aから∃xA∨¬∃xAと
∀xA∨¬∀xAが出るかという話だった。
いつのまにか、任意の論理式 A に対し、A∨¬Aから∃xA∨¬∃xAと
∀xA∨¬∀xAが出ることを仮定してしまっている。

>>546
原始論理式AでA∨¬Aから∃xA∨¬∃xAとかが出せれば、
その証明の中のAをA⊃Bとかに変えれば(A⊃B)∨¬(A⊃B)から∃x(A⊃B)∨¬∃x(A⊃B)とかの証明になりますよね
(A⊃B)∨¬(A⊃B)はA∨¬AとB∨¬Bから出せるんだから、
A∨¬AとB∨¬Bから∃x(A⊃B)∨¬∃x(A⊃B)が出ることになりますよね
これをそれぞれの関係について繰り返せば、どんな論理式でも排中律出せませんか？

なんかHytingモデル考えたら>>537が成立しそうな感じがしたんですが。
ちょっと証明を試みてます。

あ、述語が入ると無理ですね。
そうでなければ成立しそう。

＞戸田山氏の『論理学をつくる』

「論理学はつくるものだ」と思っているところが痛い。

>>547
君の述語論理は∀とか∃とかが高々一個しかつかないんだね。
まるで、アリストテレスかエムシラ御大だね。

>>551
すいません、何でそういうことになるのかわかりません…
同じようにA∨¬A⇒∃xA∨¬∃xAとA∨¬A⇒∀xA∨¬∀xAが出れば、
A∨¬A⇒∃xA∨¬∃xAの証明の中のAを∀xAに変えれば∀xA∨¬∀xA⇒∃x∀xA∨¬∃x∀xAの証明になって、
A∨¬A⇒∀xA∨¬∀xAなんだからA∨¬A⇒∃x∀xA∨¬∃x∀xAですよね
さらにA∨¬A⇒∀xA∨¬∀xAの証明の中のAを∃x∀xAに変えれば、上と合わせて
A∨¬A⇒∀x∃x∀xA∨¬∀x∃x∀xAが出るし、A∨¬A⇒∃xA∨¬∃xAの証明の中のAを∀x∃x∀xAに変えれば、
A∨¬A⇒∃x∀x∃x∀xA∨¬∃x∀x∃x∀xAが出るし、いくつでも付けられると思うんですが

>>539
logic ヘの嫌悪をあからさまに公表する数学者もいることから、「嫌ってる」というのは
あながち外れた話ではないんじゃない？数学の政治史的な研究を待たないとあれだが、
数学の中では基礎論はつまはじきだったことは否定できないよ。

ちなみに哲学で真面目にやってないのは、logic の研究は英米系が主流だった
けれど、日本ではヘーゲル、マルクス、ハイデガーといったドイツ系の哲学が
主流で、そのため20世紀型の論理はあまり盛んではなかったようだよ。

>>550
はあ？プラトニズムの方ですか？そのほうが痛いんですが？

>>553
＞そのため20世紀型の論理はあまり盛んではなかったようだよ。
→「そのため20世紀型の論理はあまり盛んではなかったためのようだよ。」

「20世紀型の論理」なんてエムシラ召喚フレーズを唱えて大丈夫なんかい？

>>552
＞Aを∀xAに変えれば

なんでそうできるの？
君、>>537で
「⇒、⊃、∨、∧、¬、∃、∀を含んでいなくて⊥でない命題A」
と書いてるよね。
だから”∀”を含む命題は代入できないよね。
（終）

>>553
＞logic の研究は英米系が主流だったけれど、

けどじゃなくてけれどと書くところにエムシラの匂いが。

ちなみに、
「日本の哲学で真面目にやってないのは、
　logic の研究は英米系が主流だったけれど、
　日本ではヘーゲル、マルクス、ハイデガーといった
　ドイツ系の哲学が主流だったから」
と書くべきだね。

「で、そのため20世紀型の論理はあまり盛んではなかったようだよ。」
なんてアホなこと言わないほうが身のためだよ。

>>556
？？？
一旦「⇒、⊃、∨、∧、¬、∃、∀を含んでいなくて⊥でない命題A」でA∨¬A⇒∃xA∨¬∃xAが出来れば、
その証明の中の「A」を全部機械的に「∀xA」に置き換えれば、
それはそのまま∀xA∨¬∀xA⇒∃x∀xA∨¬∃x∀xAの証明になるはずじゃないですか
一階述語論理の公理にAでは成り立って∀xAでは成り立たなくなるものなんてないはずですが？

>>547
あらごめんなさい。
いつの間にか、頭が論理のモードでなく理論のモードになっていました。

今回はどちらでも大丈夫だと思うけれど、単に A∨¬A から ∃xA∨¬∃xA
が出ると書くと、「A∨¬A⇒∃xA∨¬∃xA が証明できる」と「A∨¬A が
証明できれば ∃xA∨¬∃xA が証明できる」の区別が必要なときに困るの
で注意が必要かも。

>>558
ん？排中律ぬきの論理に
「原始論理式AでA∨¬Aから∃xA∨¬∃xAとかが出る」
という”公理”を加えて、排中律を実現するって
話じゃないのかい？

>>560
「直観主義論理において、任意の原子論理式pに関して p∨¬p が成立している時、
任意の論理式Aに関して A∨¬Aが成立する。」

が証明したいことなんだよね？

証明できないなら反例を作る、正しいなら式の複雑さに関する帰納法で
証明するのが定石だと思うんだけど、なんでこんなふうに錯綜してるの？

>>557
いや、別にそんな添削しなくても文意は読み取れますが？？

>>549
そのとおりで、少なくとも命題論理の範疇では成立します。

論理式に含まれる論理結合子の数を degree と呼ぶことにすると。

1) degree = 0 のときは、仮定により成立
2) degree < n のとき成立を仮定すると、

(A⊃B)∨¬(A⊃B)、(A∨B)∨¬(A∨B)、(A∧B)∨¬(A∧B)、¬A∨¬¬A

がそれぞれ、A∨¬A, B∨¬B という仮定から導出できることから、
degree = n でも成立する。

以上のことから、この仮定が成立している時には、任意の論理式で排中律が
成立することが分かります。

さて、述語論理になるとどうなるでしょうね？

>>560
今までの議論は537の話で、
「原始論理式AでA∨¬A⇒∃xA∨¬∃xAとかが証明出来ると仮定する」と何でも排中律が成り立つだろう、という話です。
「原始論理式AでA∨¬A⇒∃xA∨¬∃xAとかを仮定する」とは違う話です（540がこれなので混乱したかも知れませんけど）
下の方は間違いで、上の方は正しいがA∨¬A⇒∃xA∨¬∃xAが証明出来ないので役に立たないということです

講義で教官に2階算術の参考書を個人的に教えてもらって、今度持ってきて
やる、と言われたのにサボってしまった。なんか、非常に申し訳無いこと
をしたような気が... というか、俺って糞だなw

多分537はLJか何かの話をしていて、任意のatomic formulaに対して排中律
を公理に加え、さらに任意の命題Aに対してA∨¬A⇒∃xA∨¬∃xAと
A∨¬A⇒∀xA∨¬∀xAの両方(もしくは一方?)を公理に加えると任意の命題A
に対してA∨¬Aが証明できる、と言っているんだと思われ。
もっともそんなことしても、あまり嬉しくないような気はするけどw

>>564
＞ もっともそんなことしても、あまり嬉しくないような気はするけどw

そう？直観主義論理への古典論理の埋め込みは、嬉しい嬉しくないはともかく
良くある問題ではあるが。

最初に証明したのはゲーデルで、当時は結構センセーショナルな定理だった
はずだ。

>>565
＞そう？直観主義論理への古典論理の埋め込みは、嬉しい嬉しくないはともかく
良くある問題ではあるが。

をひをひ、>>537は埋め込みじゃないだろ。
直観主義論理に公理を追加して古典論理にしてるだけ。

>>566＝�dデモ助平町人マツシン痰（ｗ

>>567＝エムシラ御大？

>>553
＞プラトニズムの方ですか？ そのほうが痛いんですが？

おまえ、相当、「足らん」な。（爆笑

おまえは、例えば、「質量がエネルギーに転化する」という法則を
アインシュタインが“造った”とでも言いたいのか？

# アインシュタインは、そういう法則が存在することを「発見した」
だけの話であって、決して「造った」わけじゃないだろが！

ですよね。　論理法則も、発見されたものであって、人が勝手につくったもんじゃ〜決してない。

『論理学をつくる』ってのは、発想からして間違いってことなのれすかね・・・。

そうですか? 少なくとも、少なくとも線型論理や様相論理などの非古典論理
は人間が作った、といえる部分がかなりあると思うんだが。別に人間が
作ったから無意味だ、なんて述べている訳じゃない。そもそも、Brouwerは
「数学的概念とは数学者の精神の産物でありその存在、真偽は構成によって
定めらるべきである」と考えている。例えば、選択公理や連続体仮説は
真か偽か? 非古典論理や集合論を勉強したことのある人なら安易に
プラトニスト的発言は出来ないと思う。恐らく古典論理にも、数学の中にも
人間が創った部分と発見した部分が在ると思う。(古典論理は「神様の論理」
だけど、そもそも「神様」は人間の創造の産物だ。)
尤も、この板は数学板だから(数学的)プラトニストが他の板の5割増しで
居るのだと思う。(例えば一部のζ函数の研究者等は公然と自分は
プラトニストであると公言すると思う)別に数学的プラトニズムが誤っている
等とは私は考えないが、(自然数は人間の恣意的概念か? あのKroneckerで
さえ神様が創ったと認めている!)飽くまで数学の概念の非範疇性や不完全性
定理やLoewenheim-Skolemの定理の結果が意味することなどを理解した上で、
反省の上に公然と自覚的にプラトニズムを信奉するべきだと思う。
いかがでしょうか。私は論理学に発見するものだと思っている550も
プラトニズムは痛いと数学板で公然と述べた553も思慮不足だと思う。
(我々は少なくとも自然数論の無矛盾性は確たる根拠なしに"妄信"せねば
ならない)『論理学をつくる』のなかでプラトニズムに対する批判が
書いてある。でも、公然とプラトニズムからの離脱を述べたこの題名は
たしかに凄い。(素晴らしいかどうかは分からない。)
それにしても、同じ形式化可能な学問なのに(論理学は数学の青年時代で
あり、数学は論理学の壮年時代である by Bertland.Russell)論理学は人間が
作るもので数学は発見するものだと、それぞれの研究者は固く信じきって
いる。ちょっと面白いな。

「線型論理や様相論理などの非古典論理は人間が作った」が為に、間違いだったのですた。ヽ(^。^)ノ

>>572

論理学は、「記号化」することなら、勿論、可能だが、「形式化」できると考えるのは≪妄想≫である。
論理学は、従来のおおかたの予想に反して、実質的な学問なのである。 形式的に見えるのは、物理学
のような１階の理論ではなくして、それが２階の理論だからである。

“形式論理”などという用語を造ったのは、論理学を全く誤解していた"馬鹿Kant(Immanuel Kant)"
愚かな所業であり、後世の笑いものとなろう。

>>573
まぁ、正直なところ、線型論理はそう言われても仕方がないかも
しれないですが(私はあまり興味は湧きませぬ...)
でも、いわゆる自動販売機の例は、線型論理を考える1つの意味を説明
してくれているし、様相論理には、自然数論において、在る適当な解釈
をすると
　　　　　　　　□x⇔XはSで証明可能
　　　　　　〜□〜X⇔XはSで無矛盾
　　　　　　　〜□X⇔XはSで証明不可能
　　　　　　　□〜X⇔XはSで反証可能
□X∨□〜X⇔XはSで⇔XはSで決定可能
　　〜□X∧〜□〜X⇔XはSで決定不可能
　　　　　　〜□⊥⇔Sは無矛盾
　　　　　　　□⊥⇔Sは無矛盾
というアナロジーが成立するらしいと聞いたので、あまり不自然には
思っていません。(様相論理の星の数ほどある公理系の殆どは人間が
創った公理でしょうけど。)あまりこのことに関して存じていないので
確かなことは分かりませんが、証明可能、という命題或いは在る証明(図)
が正しい、という命題がそんなに不自然でしょうか?

失礼、□⊥⇔Sは(無矛盾ではなく)矛盾です。それから、証明可能、という
(命題ではなく)性質、と敢えて訂正します。
まぁ、非古典論理に対する人工的な感じは本質的だとは思うのですが、上の
"翻訳"を知ってから、少し私のその感じは和らぎました。(c.f. Boolos,
The Logic Of Provability? 見たことすらないのですが多分参考になるか
と。)様相論理(というか、証明可能論理というのかな)を使うと、
第2不完全性定理が即座に証明できるらしいです。知識がないのであまり
詳しいことは申せませんが。

なんか、このスレだけ、妙に変な言葉遣いしてんな、漏れ...(w

>>572
知ったかぶって語る君が一番イタイ（ｗ

論理屋、集合論屋以外の数学屋はなんも知らんからプラトニストでいられる。
知ってしまったらそうはいかない。
現に足立恒雄センセイはプラトニストを卒業された。

「線型論理や様相論理などの非古典論理は御大には理解できない」が為に、間違いだと御大は思ってるのですた。
ヽ(*。*)ノ←お手あげ

>577
＞足立恒雄センセイはプラトニストを卒業された。

足立恒雄だってよ（ｐu;

>>all 内容が数学から離れてしまっているとしたら申し訳ないです。
>>577
知ったかぶってるというか、まぁ、胡散臭い感じがしないでもない(w
ほんの少し前までは自分自身がガチガチのプラトニストであったので、
基礎論を齧ってみてもしかしたらその信念は無批判に認めて良いものでも
ないのでは、などと思ったりもしたので生半可なちょっと哲学臭い事を
書いたのです。足立恒雄さんが、自分は数学的プラトニストではない、と
直接或いは間接に言明した文献を(彼が公的にその事を表明しているのなら)
教えて下さい。
あと、漏れは全ての数学者がプラトニストだとは言ってません。
今でも海外には少数生息している直観主義者は多分プラトニストではない
と思いますが、漏れは直観主義は採れません。例えば√2が有理数でない
事を証明するのが如何に大変になるか。
>>知ってしまったらそうはいかない。
Goedelが(恐らくは数学の哲学的には)プラトニストであったのをご存知
でしょうか?

>>580
「無限の果てに何があるか」「無限のパラドクス」あたりに
そんなようなことが書いてなかったっけ？
あと、直観主義でも√２が有理数でないことの証明は同じ。
知ったかぶりは恥ずかしいよ。

＞Goedelが(恐らくは数学の哲学的には)
＞プラトニストであったのをご存知でしょうか?

ゲーデルはただのプラトニストじゃないよ。
神の存在を証明しちゃった人だから（藁

古典論理だって、その古典論理事態はなにか神秘的な実体があるかもしれないが、
そこから形式的体系を作り出すのは人間。さまざまな体系があり、そこには確かに
制作者の創意がある。変に題名に絡んでるやつは一つしか体系を知らないのだろう。

>>576
＞第2不完全性定理が即座に証明できるらしいです。知識がないのであまり

決定不能の論理パズルぐらい読んでから出直せ。

>>566
？？？？。Gödel-Gentzen negative translation による直観主義論理への
古典論理の埋め込みの証明の命題論理部分と本質的に同じじゃないですか？

「論理パズル」は人間がつくるが、「論理法則」は人間がつくるわけではない。 当たり前のことだが（ｗ

うわっクサッ！！！

マツシンのこく屁の成分の８０％は硫化水素ちゅうから、そりゃ臭いの何のって、たまんらんぜ、ほんま。

（数学的な）Platonismを擁護してやりたかったのですが（実際数学をする
ときに、Platonismはなぜか役に立つ!!）どうも、痛い失敗をしてしまった
ようです。√2の無理性はの証明は良く考えてみたら、¬-introであって
¬¬-elimではないので、直観主義的には（も）"帰謬法"ではなく、容認
されるのですね。（しかし、以前某有名大で「背理法を30〜100字で説明
せよ」という問題が出たんだが、採点は如何に行われたのだろうか......）
(√2^√2)^√2の例は知っていたのですが、一寸直観主義（或いは数学的
構成主義)に対する批判としては苦しいだろうと思ってうっかり馬鹿な事を
遣らかしてしまったようです。多分√2の存在証明も中間値の定理か何か
から構成的に得られるのでしょう。BishopやRichmanは構成主義的解析を
構築しているし、Weylもゲッティンゲンで新入生用の解析入門を直観主義
の立場で講義したらしいので。もっと高度な数学では事は簡単には運ばない
だろうとは思いますが。古典論理に毒され過ぎているかも知れません。
勉強を遣り直す必要が在るようです。別に直観主義者になる訳ではないので
ご安心を(^^; 私の書き込みを不快に思われた方はすいません。
>>581
Goedelが一寸不思議な人で、偏屈な人だったのは知っていますが、足立先生
とどちらが数学の基礎について良く考えた人かを考えたとき、私はGoedel
だろうと思ったのですが...
>>582
出直してきます。(w
最後に、572死すともPlatonismは死せず!!

　哲学板でも、論理学と言えば形式（主義）論理学を指す場合が殆どです
　が、「論理的とはどういうことか？」といった論理の本質に関する設問
　となると、むしろ形式論理学では解けないでしょうね。

＞形式（主義）論理学

主義はいらないよ。
直観主義論理に対比する場合は、古典論理というけどね。
（つまり直観主義論理も形式論理の一つなので）

＞「論理的とはどういうことか？」といった
＞論理の本質に関する設問となると、むしろ
＞形式論理学では解けないでしょうね。

世間でいう論理的とは単に前提から結論までの推論を
はっきりさせるという意味合いしかない。

ところで論理的だから「正しい」ということにはならない。
つまり前提が間違っていれば、結論は無意味だ。
数学においても、「そもそも、公理って無矛盾なわけ？」
というツッコミに「然り」といえない状況である。

＞世間でいう論理的とは単に前提から結論までの推論を
＞はっきりさせるという意味合いしかない。
＞ところで論理的だから「正しい」ということにはならない。
＞つまり前提が間違っていれば、結論は無意味だ。
　たとえば、
　「すべての馬は２本足である。」（Ａ）
　「それは一頭の馬である。」　　（Ｂ）
　「故に、それは２本足である。」（Ｃ）
　において、
　１．推論は、はっきりしていて論理的と言うべきなのか、
　　　論理的だが正しい推論ではないと言うべきなのか？
　２．結論は無意味なのか、誤り（事実と違う場合）なのか、
　　　正しい（それが事実として２本足の場合）のか？
　については、如何？
　あくまで、論理学の初心者向けの回答をよろしく。

君は論理的でないというのかね？
誤りは意味があるというのかね？

＞君は論理的でないというのかね？
＞誤りは意味があるというのかね？
　質問に質問で返すこと（反問）は、初めの質問の意図の確認の場合以外
　はフェアではないとも思うが、まあ良いでしょう。
　私の意見は、
　１．論理的ではない
　　何故なら、論理的に考えるとは、しっかりとした前提から思考を始める
　　ということであり、「４本足の動物」という規定性が含まれる＜馬＞の
　　正しい概念から始めない上記の例は、論理的ではない
　２．意味はある
　　何故なら、およそ誤謬は概念、判断、推論において必然的であり、
　　「誤謬は真理の必然的な契機としては、もはや誤謬ではない」（ヘーゲル）
　　だからです。つまり、思考の論理性の根拠を教える点で意味がある
　ということですね。如何でしょう？

質問に質問で返すのは、意図があるから。
いずれ君にも分かるだろう。

さて

＞　１．論理的ではない
＞　　何故なら、論理的に考えるとは、しっかりとした前提から思考を始める
＞　　ということであり、「４本足の動物」という規定性が含まれる＜馬＞の
＞　　正しい概念から始めない上記の例は、論理的ではない

　また君にたずねるが（笑）、＜馬＞を「４本足の動物」と規定するのは
いったいいかなる論理によって正当化されるのかね？。もし何の論理も
ないのであれば、それがいかに君にとって自然なことであっても、論理的
とはいわないのではないかね？

ということで私は>>590の推論は論理的だと思う

>>575
線形論理の直感的な把握を助けきれない自販機の比喩と一緒にしない
ほうがいい。

多くの場合 G と呼ばれる様相論理は、その様相を「証明可能」と読むのに
妥当であると logician が確信するにたる定義をされている。

＞　２．意味はある
＞　　何故なら、およそ誤謬は概念、判断、推論において必然的であり、
＞　　「誤謬は真理の必然的な契機としては、もはや誤謬ではない」（ヘーゲル）
＞　　だからです。つまり、思考の論理性の根拠を教える点で意味がある

君の立場に立つならば、真理は論理以前に明らかなのであるから
論理はまったく意味がないということになる。

例えばヘーゲルは太陽系には５つの惑星しかないことを
神学の体系から証明した。その後、ガウスは天文学の
計算から小惑星ケレスを発見した。
ヘーゲルの「論理」は真理を見つけることには何ら貢献せず、
単にヘーゲルが信じるところの「神学」の無意味性を明らかに
しただけであった。もちろん、それを知ったことでヘーゲル
自身には意味があっただろうが、ガウスからいえば
「ガリレイの時代ならともかく、このご時世に何をいまさら」
というようなものだろう。
いっとくが、物理学が絶対に正しいなどという妄言を吐く
つもりはない。むしろ昨日の神学は明日の物理学かも知れない。
もし論理に意味があるとしても、それはあくまで人間のアテ推量
の前提の誤りを穿りだすネガティブな意味でということだ。
決して真理を明らかにするポジティブなものではない。

＞意図があるから。
　＜討議の倫理性＞（byハーバーマス）に反する、＜戦略的思考＞ですね。
　誠実性がない場合、論理的な対話は始めから困難でしょう。
＞＜馬＞を「４本足の動物」と規定するのはいったいいかなる論理によって
＞正当化されるのかね？。
　無論、生物学的な種の固有性という規定ですね。生物学における、種の
　発見からその起源に到るまでの、多くの観察、仮説、論証、実証の全体が
　論理的だと言うことです。　　
＞もし何の論理もないのであれば、それがいかに君にとって自然なことで
＞あっても、論理的とはいわないのではないかね？
　「ある言明に論理が無ければ、それを論理的とは言えない。」とは
　同語反復であり、無意味でしょう。再び、「論理とは何か」。
＞ということで私は>>590の推論は論理的だと思う。
　「ということで」（故に）とは何を受けているのかな？
　言明の根拠が示されない以上、論理的な回答ではないと思うが、如何？

＞真理は論理以前に明らかなのであるから
＞論理はまったく意味がないということになる。
　どのようにして、上のカキコから、そういう結論が導出されるのかな？
　“含意”その他の形式を使って、論理的に証明できますか？
＞もし論理に意味があるとしても、それはあくまで人間のアテ推量の前提
＞の誤りを穿りだすネガティブな意味でということだ。　
＞決して真理を明らかにするポジティブなものではない。
　それが回答のようですね。
　論理に意味があるとしても
　：「論理」とはなにか、が論理という言葉の意味（概念）ですね。
　アテ推量の前提の誤りを穿りだす（穿つ？搾る？）ネガティブな意味
　：通常、仮説とは多くの観察事実に基づき、
　　「もし、○○ならば、この事実は整合的に説明できる。」
　　と立て、その検証が始まるわけです。科学的な仮説→検証（実証、反証）
　　の論理とは非常にポジティブであり、近代科学技術成功の鍵ですね。

>>583
＞Gödel-Gentzen negative translation による
＞直観主義論理への古典論理の埋め込みの証明の
＞命題論理部分と本質的に同じじゃないですか？

>>537だけではそうとはいえないんじゃない。
何しろ肝心なことが何も書いてないから。
で、もし同じなら命題論理部分だけじゃなくて
述語論理部分もうまくいくはずだけど。

>>594
あれは□の性質が証明可能性の性質をトレースしてるから
ある意味、当たり前っていえば当たり前。

ただし、証明可能性の定義によっては、条件を満たさなくなる。
ロッサーの定義では、第二不完全性定理は証明できない。

＞ロッサーの定義では、第二不完全性定理は証明できない。

実際無矛盾性が証明できる。だからといって
「ゲーデルの壁は破られた」とは誰もいわない。
（詳しくは前原昭二「数学基礎論入門」
第１０章”ゲーデルの第二不完全性定理”
10.5"クライゼルの注意"を読まれたい
　この証明はあまりに簡単で拍子抜けする。）

直観主義論理への古典論理の埋め込みって
ぐりべんこの事でOK?
ちょっと(かなり?)古風に書いてみました。

reduction to absurdity(不条理への還元、帰謬）とは、弁証法的な内容
　を含んでおり、結論が単なる無意味ではなく、必然的な不条理に帰すが
　故に、真理の媒介となる（否定の否定）ということでしょう。たとえば、
　「人間は、羽のない２本足の動物である。」という＜定義＞を立てた
　プラトンに対して、羽をむしった雄鶏を示して、その背理を突きつけた
　ディオゲネスは、市民から「ただの犬」（犬儒派、４本足の哲人？）と
　呼ばれ、妥当的な（正常な）人間ではないと見なされたそうな。
　この場合、上記の言明が仮説（＜人間＞の本質は羽のない２本足の動物
　である）ではなく、定義（羽のない２本足の動物を「人間」と呼ぶ）に
　過ぎないことを事実をもって示したわけだが、プラトンは定義の修正
　（「平たい爪をもつ」との特性追加）により定説を維持するだけで、
　「人間の前提とは何か？」にまで遡及しなかったため、単なる否定で
　終わった。白昼にカンテラをかざし、「真の人間（人間の概念に相応しい
　実存）はいないか？」と探し回った、活きた論理（背理の徒）の一例。

帰謬法(reductio ad absurdum)は、そのような「つまらん議論」とは無縁だ、アッフォー！

▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲
人々は宇宙を途方もなく大きいものだと認識していますが、実は宇宙は
とても小さいものなのです。
　ネズミは人間から見れば小さな生き物ですが、ダニにしてみればネズミ
は大きな生き物です。そしてダニから見た人間は途方もなく大きなものな
のです。その途方もなく大きな人間も鯨から見れば尻尾の先でしかありま
せん。その鯨も・・・
　実はこの宇宙というものは神様の鼻くその一部でしかないのです。

　【我々人間は大きいものを大きいと認識して、小さいものを小さいと認識
していますが、果たしてそれらは真に大きいものであり、真に小さいもの
なのでしょうか？】

まず　【この世は有と無から成ります】
、何も無い空間。その空間には大きさも重さも何もありません。
全ての【認識は不可能】です。
次にその何も無い空間に一点の有(物体、個体)をイメージします。
そこから【認識は始まり】ます。

無(空間)は有(物体)に働きを与え、有は様々な現象、実像を起こします。
一点の有には一方向の時間(無)という実体の無いものの働きにより運動
(有、変形)が起こります。
時間を宿した有はやがて二方向の実体のないものの働きによりAとaの
二点に分裂(有)されます。
Aとaの分裂は新たなる個々の時間の発生を意味しますが、同時に一つ
の全体の時間というものにAとaは繋がれています。

大きさにしても重さにしても【量は二点で決まります】
二点の内の一点(基準)は我々個々に存在しています。
その(人間)基準から見れば宇宙は間違いなく大きいものなのです。

　【我々人間は大きいものを大きいと認識して、小さいものを小さいと認識
していますが、果たしてそれらは真に大きいものであり、真に小さいもの
なのでしょうか？】
この愚問には基準が存在していません。量の認識は不可能。


http://aa4a.com/chichannel/
8/29【2千5百年の眠りから】
▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼

議論の腰を折るようなんですが、質問いいですか？

この前、経済学部博士課程院生（専攻；ロシアの軍需産業）という人が、
「正しいとは、具体例があることである」
とか言ったのに反論して、
「正しいとは、矛盾がないことです」
と答えたんですけど、合ってますかね？

わかる人いたら、教えてください。

すいません。経済学部ではなく、経済学です。

質問です。

スマリヤンの『ゲーデルの不完全性定理』を読んでるんですが、
ゲーデル数がでてくるたびにわけわかんなくなってしまいます。

ゲーデル数って、何のためにあるんですか？
これがないと、不完全性定理の証明に困ることとかあるんですか？

＞ゲーデル数って、何のためにあるんですか？

論理を、数の計算に変換するためにある。

＞これがないと、不完全性定理の証明に困ることとかあるんですか？

当然必要だな。

わかんねー！
そこから先は、自分でやれと言うことか（ToT）

>>607
矛盾した命題は偽であるが、偽は矛盾した命題であるとは限らない。

>>607
矛盾していないでかつ無意味な命題や現実にそぐわない理論が存在しうる以上、君のテーゼは
全く正しくない。「矛盾していない」は正しいことの必要条件でしかないよ。

たとえば、天動説の理論は矛盾しておらず、現象を説明できるが正しいとは見なされない。

まず、Ａ（およびＢ）の形式内容として、ざっと、
　１．「Ａ」とは一つの記号であり、それは任意の＜命題＞を代表している。
　２．「命題」とは定立された＜判断＞であり、通常「主語ー述語」という
　　　構造をもつ平叙文（○○は××である）により表現され、全体として、
　　　何らかの＜事態＞を対象的（客観的）に明示する。
　という規定が必要ですね。それらは、立派な（形式上の）内容です。

形式論理学では、命題について＜論理的な真偽＞という概念を導入して、
　ある命題が事実と合っている（いない）場合、その命題を真（偽）である
　と言う。さらに、＜真理値＞（そしてその割り当て）という概念を導入
　して、任意の命題を代表する記号Ａの真偽を云々する。そうなると、
　「すべての馬は２本足である。」の真偽の意味は明確だが、「Ａ（である）
　の真偽」とは何のことか曖昧になる。つまり、Ａが真である場合とは、
　解釈１：事態「すべての馬は２本足である」は除外されている世界
　解釈２：判断「すべての馬は２本足である」が正しい（事実）である場合
　のいずれか？
　さらに、仮言判断「もしＡならばＢである」について、たとえば、
　　もし「すべての馬が２本足である」ならば「この馬は２本足である」
　は、たとえ事実と違っても、その判断が妥当なことは十分理解できるが、
　すべての無関係な命題Ａ、Ｂについて「もし」「ならば」という用語を
　使う場合、何を考えればよいのか（無関係な対象間の関係とは何か）？
　（例：もし「月がチーズでできている」ならば「ジョーンズは家にいる」）

最後に、推論の帰結として「したがって，Ｂである．」が出てくる。
　前提と媒介（「ならば」）の両者に同一記号Ａがあり、媒介と帰結の両者
　に同一記号Ｂがあることが、妥当性（「したがって」）の唯一の根拠の
　ようだが、それを「証明」と呼ぶ場合、一体、何が証明されたのか？
　結局、任意の命題が成立する世界を予め“前提”すれば、何でも（不合理
　すら）証明可能であり、そのモデル世界では、すべてが妥当的でしょう
　から、問題は世界の存立性としての根拠に移るでしょう。
　日常生活で「もし」「したがって」等の用法を学び、小中学校で数学を
　習ってきた高校生も、上記の理解なしには、論理的思考は鍛えられない。　
　ちなみに、ヘーゲルは上記を＜推移的推論＞と呼び、数学以外では、非
　妥当的（不当）なものと見なしています。
・・・ということで、皆様よいお年を。

▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲
http://aa4a.com/chichannel/　8/29【2千5百年の眠りから】より
　速度というのは時間や長さ重さといったものと比べると人的要素の強い
量といえます。計算をしなければ値がでなかったり、ものさしとスピードガン
とを比べても分かると思います。
　さて、光速(熱速)ですが。【実は光速には速度はありません】
　　　光速=無
　　　音波=振動
　　　水波=上下動
　上記を見れば分かると思いますが波(光も波とされている)には速度の
値に相当する空間位置の移動というものが無いのです。例えば音速が
秒速350ｍとすると、何が秒速350ｍもの速さで移動するのか考えてみれ
ばわかると思います。音を伝えるのは空気ですが、空気が秒速350ｍで
移動してるのではないのです。ましてや光となると、媒体するものすら無
いのですから速度の概念がまったく当てはまらないのです。

次に【光速というものには相対性がありません】光速=約30万�q/sという
値ですが、これは分数のプロセスを持った部分的な値なのです。値という
ものは一点(個体)基準の整数と、全体(気)基準の分数があるのですが、
光速の場合は全体基準の値より成り立っているのです。
　光(熱)は水面にできる波紋と似たようなものです。波紋というものは全
体に広がります。一昔前、地球の裏側のチリで起きた津波が日本にきた
こともあります。ＴＶで糸電話はどこまできこえるのか？という疑問に答え
るべく実験をやったのを見ましたが、それに対し専門家は「せいぜい2、30
m位だろう」と答えましたが確か7/800までいって糸が切れこれが記録と
なりました。気の遠くなるような何万光年という所からでも光は届くのです
が、もともと伝達というものは全体に広がるものなのです。光の速さを測
る実験ではよくもこんな方法を考えたものだと関心しましたが、この実験
ではレーザーが使われています。一見、レーザーは集中的なもので全体
とは無縁に感じますが、垂直方向からも線状に見えます。しかしその見え
ること自体が垂直方向への広がりをも示しているのです。

変化(光)ははるか遠くの物にも変化(光)をもたらします。さて光速=約30万
�q/sという値ですが、これは全体に広がる伝達時間（分母の数値は不確定）
を１秒で区切ったというもので、簡単にいってしまえば先程も述べましたが
全体基準の分数です。速度も分数の数式で表せますが、その値は一点(0)基
準の整数になります。時間は時間で等分できても、距離は時間では等分でき
ないのです。一個のリンゴは5秒という単位で区切ることはできません。
　速度(整数)でしたら確かに相対性はありますが分数には相対性はありませ
ん。しいていえば分数の性質は一定(等分)です。ものさしの目盛りが一定で
なかったら困ります。
　相対性理論というのは光速を速度だとし、一定の値を示す光速に対し、
速度は相対的であるはずだとして理論を展開していったものなのです。
つまり観測結果(一定)を捻じ曲げ、空間を捻じ曲げ、帳尻を合わせたもの
といえます。
▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼

レス数が増えてるのでエムシラが臭い腹話で年越してるかと思って来てみたら、
哲厨のコピペかよ。

とりあえずまともな数理論理学の本読んで出直して来い。

＞ある命題を意識がどのように定立し、どのように論理的に関連付けるかという問題

な〜んて考えることが、論理学を誤解している証拠（ｗ

命題を定立するのではなくて、定立した後で登場するのが、論理学。
　
例えば“「xが人ならば、xはいつか死ぬ」という命題が定立された場合、
「xがいつまでたっても死なないのであれば、xは人ではありえない」と
いう命題*も*成立しなければならない”ってな具合に。

「定立した後」でも、それらの命題らをどのように関係させるか
という問題がどこまでもつきまとうと思います。
だから論理学は意識の作用と不可分であるといいたかったのです。

ハイデガーのいうところの「了解」を抜きにして、
論理的操作だけやっても、人類社会システムの
総体的知的能力はちっともあがらないでしょ。

つまり、あたしたちの仕事は、たいして楽になんないわよ。
いまのコンピュータネットワークと大差ない。

▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲
┣★╋╋╋┫　　(1目盛＝5m)
0・・・・・・・・・25
┣★╋╋╋┫　　(1目盛＝1分)
0・・・・・・・・・5
>>700でののポイントは距離÷時間ではなく、時間を時間で等分したこと
にあります。>>700で【分母の数値は不確定】としていますが、これだと理
解しにくいことでしょうから確定している図で考えてみましょう。
0〜25の所に波が到達するまで5分かかったとします。0〜★の数値は
距離÷時間でも(5)出ますし、5分を1分で等分しても(5)出ます。
　光速の測定方法は形の上ではどちらかというと距離÷時間の形となり
ますが、では何を基盤として成り立つかというと全体性を有する伝達時間
であり、分数のプロセスである時間を時間で等分したものとなります。

不確定の数値で考えるとどうなるかというと、実はこれはあまり考える必
要はありません。問題とするのは一点基準か全体基準かだけになります。

「こんなデコボコ(不特定の分母)のりんご3等分なんかできるわけないじゃ
ないか！しかも3分の1は割り切れねぇだろ」
「うるせー！3分の1つったら3分の1だ。割り切れねぇだと？3進法で考え
りゃ割り切れるだろドアホ」
　整数に分数、一点基準に全体基準。これはそもそも人間が数字という
ものを生み出す前の考え方で、数値はどうでもいいのです。

　視点(基準)を変えることにより本質も変わります。相対性→一定。割り
切れない→割り切れる。天動説→地動説。どの視点にたった考え方で
あるのか。これが問題なのです。
http://aa4a.com/chichannel/　8/29【2千5百年の眠りから】
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＞まず命題は「判断」だとは普通は考えない．
　そうではなく、判断の対象が事態（Sache(独)、matter(英)）という
　存在形式をもつ存在者（物的ならぬ事的存在）であり、それを言語的に
　定立したものが、命題（Satz(独)、proposition(英)）だということ。
　事態とは、事象（事件）、現象、現実（事実）、事柄といった発展段階
　をもつ対象の総称と言えます。また、定立とは単なる措定ではなく、
　存立をもち、まさに根拠の上に“立てる”こと。
＞今事実として雪が降っていないときに文「雪が降っている」
　判断は常に主観的契機をもち、客観的判断（根拠ある判断）と区別される。
＞でもこの文にも命題が対応してるとは言える．
　実在の変化性（非本質性）を記述（措定）しても、命題とは呼ばない。
＞事態に対応していない命題や文はそもそも命題や文じゃない
　偽の概念、判断、推理もあれば、偽の事態、現実もあるから、たとえば、
　「イラク戦争は、国際社会とテロとの新しい戦争である。」という命題
　は偽りの命題でしょう。大体、戦争とは国家間の紛争を指していう概念。

수리논리학

数学科に進みたいと思っています。
入門書を斜め読みしただけなんですが、
数学科の授業（数理論理学）でも、フレーゲとかラッセルとか、出てくるんですか？
それとも、これらの人物は、哲学科でのみ語られているのでしょうか？
愚問で、すみません。

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>>628
フレーゲが登場する数理論理学の入門書は見たことない。
ラッセルは「ラッセルのパラドクス」というTipsでのみ出てくる。

数学系の論理やるなら、少なくとも縦書きの書物じゃダメだよ。
（無論、横書きならいいというわけではない）

>>628
大学の学部の講義では、いきなり
・ゲーデルの述語論理の完全性定理
・ゲーデルの自然数論の不完全性定理
・ゲンツェンの基本定理
かな。

あくまで「数理」論理学であって、
数学の結果しか興味ないから。

ちなみに、ゲーデルの不完全性定理は、
ラッセルのパラドックスと同様の論法を
使う。

>>630 >>631
ありがとうございます。

数学も哲学も、まだろくに勉強していないくせに言うものなんですが、
自分も「数理」に興味があるのですが
「哲学」のほうにも浮気心がわいてきてしまいます。
こんなんでは、本業の数学の勉強に支障となるかな.....

>>632
＞数学も哲学も、まだろくに勉強していないくせに言うものなんですが、
だったらいっとくけど、どっちも就職にはちっとも得にならないよ（ｗ

＞自分も「数理」に興味があるのですが
＞「哲学」のほうにも浮気心がわいてきてしまいます。
学部で数理論理学をやって、大学院で哲学やったら？

>>633
アドバイス、ありがとうございます。
まずは、こつこつ勉強を続けます。

こつこつも大切なんだが、実際はすごく範囲は広範なので、この歳になってみると
全体を見渡した戦略も大切だと思います。如何に研究者として成果をあげるかって
事ならやっぱりプロだから戦略が大事だろう。

628ではありませんが、質問。

「全体を見渡した戦略」とは？
>>635は、どうしてるの？

俺は数学者になれなかった人物だから、それでも言うと。
つまり、今、現在の知性（数学分野の）の裾野、地平線（つまり今の限界
何処までわかっているのかって事。）が見えてくるまで、正直結構かかるん
だよ。
で。仮にだよ、あるていど見えてきて、その上で君の専門分野なり研究課題を
設定しよう。その時、どの数学分野をもっとやる必要があるかとかまあ見積も
りを作って更に実行しないと。まあ、そんな様な意味です。
言っておくけど、どんなにうまくやっても、無駄が生きてくるって事は常にあ
ります。
プロなら、研究方法を戦略的に設定すべきでしょう。やっぱり、、。どこらへん
で自分は世界に対して仕事（つまりさっき言った地平線を広げる事なんだが）
をしていけるか、よく考えるべきなんですよ。自分の実力をよく見てね。

>>637
はっきりいって、数学で何が分かってるかなんて
学部じゃよう分からんよ。
仮に分かったとしても、自分が研究しようとする
頃にはもう過去のことかもしれない。
結局のところ、研究室や大学院は大まかに
雰囲気で決めるしかない。
そもそも、研究者としてのセンスなんて
数学科の学生２０人に１人くらいにしか
ないでしょ。数学科の中だって９割以上は
サラリーマンや教師になるのがオチだって。

山口大学の方ですか？

>>630
そうか？俺の読んでるテキストはイントロダクションに一応名前は
書いてあったぞ。確かに、日本語の本では少ないけどねえ。

>>639
いいえ、山形大学の者ですが、何か？

山形って何県だっけ？

★プラス(+)とマイナス(-)が示すもの
▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲
時(運動)は流れて変化(分裂、融合)を生じます。
質量。つまり重力ですが、これも電磁、光熱などと同様に【宇宙の変化
の一環】に他なりません。宇宙ではこの重力という実体の無いものの働
きにより分裂と融合が行なわれます。
　【重力といのは対天体に働く二つのベクトル↓↑です】　
現在物理学では重力には引力しかなく、反重力はないとされていますが
これは誤りです。
A水蒸気　a地球
B熱気球
Cロケット
一般にはABCの動きを反重力とはいいません。例えばBとCではまるで
別物の力の働きだとしてみてしまいますが・・・確かにその通りです。
しかし別物と認識するにはB対C、C対Bであり、対aつまり対地球的な視
点ではないのです。重力の考え方は対地球的でなければなりません。

人はロケットをロケットとして認識しますが、そのような認識を必要とす
るのは人位なものです。宇宙の原理を知るにはそのような認識は必要
ではありません。対地球的な視点に立てばロケットも単なる物体(個体・
有)でしかないのです。そしてその物体と地球の関係は二つのベクトルに
よって成り立つのです。
　引力が発生するには必ずその反発力(反重力)が存在します。雨が降る
には水蒸気となって上がった過程があります。リンゴが落ちるのはリンゴ
の木が引力に逆らい成長し、地中の水分を吸い上げた結果なのです。
熱気球だから、ロケットだからといって地球との関係に特別な数式は必要
ないのです。現在の物理はこれらの考え方を無視していますが果たして
無視していいことなのでしょうか。物理では電磁と重力はまったく別物でま
るで統一できないというようなことを聞いたことがありますが・・・どちらもこ
の宇宙の変化の一環なのです。数式にしてもプラスとマイナス。マイナス
は【プラスの反】なのです。
http://aa4a.com/chichannel/　8/29【2千5百年の眠りから】
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＞「客観的判断」は主観的な要素が排除されたもの、ということでしょうか？
　排除という表現はあまり適切ではないでしょうね。通常、判断とは主観的
　な働きと考えられており、典型的には「私は、○×と判断する。」（形式１）
　という形で表される。ここで、
　１．私：判断主体（subject)
　２．○×：判断内容であり、標準形として「○は×である。」（形式２）
　　　　　　という形で表される。この場合、○は主語（subject）、また、
　　　　　　×は述語（object）と呼ばれる。そして、主語は対象（object）
　　　　　　を指示し、述語はそれを概念（concept）により述定（規定）する。
　判断が主観的（subjective）であるとは、形式１が使われる場合であり、
　それが客観的（objective）であるとは、形式２が使われる場合です。
　後者の形式で表現された判断を、特に、命題と呼ぶわけです。
　いわゆる述語論理では、○を単なる名辞として扱い、モノの性質（それは
　「△は○、×を持つ」という形式で表される）と同等の関係とするから、
　事態を捉えそこなっているわけです。

>>643->>645 ＝ 全部、たわごと（爆笑

ああ、もうめんどくさいな。
話はこつこつからだった。
こつこつもいいが、ざっと、数学世界を観るには
当りをつけるってたいせつなんじゃない？って話だ。

十二指腸、おまえはもう出て来るな！　ヴォケ！！！

184

只今ゲーデルの不完全性定理（スマリヤン）で勉強中。
しかし、Arithmeticに数論と言う訳語を充てるのはやめてくれない
だろうか。どうしても所謂整数論が連想されてしまう......もう一つ、
ポカミスだろうが、pp15の証明可能であると同時に証明不可能な文が……
は明らかにミスだと思う。丸善には校閲はいないのか？訳書だから
いないのかも知れないけど。

∃ｚ(¬R(x,y,z)→(¬P(x,y)∧Q(x,z)))

ってどうやって求めるんですか？
初め(頭)に全称記号がないからわからないです。

>>650
最後まで読め
「体系Ｌにおいて
　証明可能であると同時に証明不可能である文が存在しないとき、
　Ｌは無矛盾と呼ばれ･･･」
と書いてあるだろ。

>>651
free なんだからつけたきゃ勝手に全称記号をつけて closure にすれば？

>>652
その本を読んだことはないが，「証明不可能である文が存在しないとき」ではなく
「その否定も証明可能である文が存在しないとき」なんじゃないの？

>>650
原著で確認するからもっとどこか分かるような情報をちょうだい。

>>650
その本は原書で正しく書かれているところまで嘘を書いてあったりするから注意

すいません、ちょっと質問なんですが。
命題の真理値を計算している"過程全体"を、真理値不定とするのは妥当なんでしょうか。
また、過程のある段階の真偽値の割合から、文の真偽値を決定することは可能でしょうか。

>>657
対象の論理は何だ？過程って何？計算って何？段階って何？割合って何？
ステートメントが曖昧過ぎて何も答えられない。

436

ゲーデルの不完全性定理全然分かりません。
なるべく分かりやすく教えてもらえませんか？

それだけじゃ教えようが無いと思うんだが
せめてどこが分からないかくらい書いてくれないと

▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲
>>617>>618>>619で相対性理論の理論を否定しましたが、観測より成る
(理論ではなく)数式自体は多分問題ないでしょう(俺は知らんが)これは
ニュートン力学>>643>>644も同様です。プラスとマイナスがあってプラス
が引力、マイナスは反発力ではない。とする説明がダメなだけで数式自体
は有効です。ぶっちゃけた話、数式は帳尻があえばいいのです。説明が
立派でも帳尻の合わない数式は糞といえましょう。
数字を駆使してこの宇宙を解明しようという人達もいるようですが、プラス
とマイナス、整数と分数すら気づかない人達にそのようなことができるで
しょうか。数学は自然の法則というよりは人間の法則です。数字なんても
のは人間が滅びれば数字も滅びます。帳尻の合う立派な数式も糞と化す
のです。
しかし数字よりも更なる根源、【量】>>604>>605であったらどうでしょうか、
人間が滅んだところで犬や猫も【大きい、小さい】を認識するのです。
▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼

すいません。不完全性定理全体を漸進的に理解するための手掛かりがわかると嬉しいのですが。 ツールとしてのゲーデル数、対角線論法はどのように使われるのでしょうか？

>>663
不完全性定理は形式体系に関する定理であるからゲーデル数はツールでは
なく定理の前堤あるいは仮定。
質問の意図をくんで答えると：
対角線論法がリシャ−ルのパラドックスでどう使われるかを学ぶのはそう
難しくないと思う。つぎに、それが矛盾を導いていない、つまり論理的に
おかしいところがあるというところをみつけ、その論法の論理性を保つ
ためにどのような設定にすればよいか? という道筋を想像しながら本を
読めばまあわかる可能性があるかな? と思います。

▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲
人々は宇宙を途方もなく大きいものだと認識していますが、実は宇宙は
とても小さいものなのです。
　ネズミは人間から見れば小さな生き物ですが、ダニにしてみればネズミ
は大きな生き物です。そしてダニから見た人間は途方もなく大きなものな
のです。その途方もなく大きな人間も鯨から見れば尻尾の先でしかありま
せん。その鯨も・・・
　実はこの宇宙というものは神様の鼻くその一部でしかないのです。

　【我々人間は大きいものを大きいと認識して、小さいものを小さいと認識
していますが、果たしてそれらは真に大きいものであり、真に小さいもの
なのでしょうか？】

【この世は有と無から成ります】
まず、何も無い空間を考えましょう。その空間には大きさも重さも何もあり
ません。全ての【認識は不可能】です。
次にその何も無い空間に一点の有(物体、個体)をイメージします。
そこから【認識は始まり】ます。

無(空間)は有(物体)に働きを与え、有は様々な現象、実像を起こします。
一点の有には一方向の時間(無)という実体の無いものの働きにより運動
(有、変形)が起こります。
時間を宿した有はやがて二方向の実体のないものの働きによりAとaの
二点に分裂(有)されます。
Aとaの分裂は新たなる個々の時間の発生を意味しますが、同時に一つ
の全体の時間というものにAとaは繋がれています。

大きさにしても重さにしても【量は二点で決まります】
二点の内の一点(基準)は我々個々に存在しています。
その(人間)基準から見れば宇宙は間違いなく大きいものなのです。
　【我々人間は大きいものを大きいと認識して、小さいものを小さいと認識
していますが、果たしてそれらは真に大きいものであり、真に小さいもの
なのでしょうか？】この愚問には基準が存在していません。量の認識は
不可能。となります。
そしてこの逆が人間の言葉でいう【無限】です。基準は存在しても量を決
定するもう一点がないものです。
【無】は限りがありません。大きくも小さくもなく、広くもなく狭くもありませ
ん。しかし人間は量があるかのごとく無限【大】などとして形容します。
無限に大きいものは存在しません。分かる範囲のみが量として成立する
のです。つまり量は【有限】なのです。
http://aa4a.com/chichannel/　8/29【2千5百年の眠りから】
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【永世中立】自衛隊は日本軍に変えるべき【徴兵制】
ttp://sports2.2ch.net/test/read.cgi/iraq/1071385810/470-

ここに「策して策に溺れる」馬鹿が発生している。
教科書通りの「荒らしの典型」を地でいく阿呆が大ハッスル中。
自分の論理の綻びを指摘されるたびに、話のすり替え、揚げ足取り、
屁理屈と言い訳を繰り返し、仕舞いにはAAでスレを荒らし始める始末。
人が壊れていく様をみたい者は集うが良かろう。

>>660
あなたのレベルにもよるけど、一般向けの本で不完全性定理を扱った本もある。
Ｒ.スマリヤン　「決定不能の論理パズル」「無限のパラドックス」「美女か野獣か？」
Ｄ.Ｒ.ホフスタッター　「ゲーデル、エッシャー、バッハ」
自分はゲーデルの証明を知ったあとでこの辺を読んだが、十分面白かった。

>>669
スマリヤンの本は論理関係の一般向けの本では一番面白いね。
ただ、「美女か野獣か？」は訳がちょっと……スマリヤンの
文章の訳が難しいのは分かるんだが。
ホフスタッターはゲーデルと関係ないところも面白い。

▲▲▲　光熱　▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲
★熱力学第二法則・熱は自発的に冷たい物から熱い物に流れることはない。
　｜――――　│───
　｜高｜低｜　│　│　│　
　｜　→　　｜　│同　温│　
　｜温｜温｜　│　│　│
　――――｜　────
物理では熱力学第二をいろいろな形で説明していますが、その内の一つ。
A:高温の物体と低温の物体を接触させると高温から低温に熱は流れるが
低温から高温に熱は流れることはないと物理では説明しています。
確かにサーモ何とかというやつで赤い部分(高温部)の流れを見ると青
(低温部）に流れ込みます。しかしこれは【熱を熱いもの】であるとした場合
であって、【熱を冷たいもの】と仮定すると青が高温部に流れ込みます。
実は熱というのは【熱い、冷たい、をひっくるめて熱】なのです。
よって【熱の流れは熱くもなり↑寒くもなる↓】ということがいえます。
夏になれば・・・冬になれば・・・・・・当たり前のことです。

B:次に高温と低温の二つの物体を接触させておくと同温になり、高温と
低温に分かれることはないと物理では説明しています。
確かに常温の実験室で考えるとその通りです。しかし夜一定の温度を持っ
た岩が朝日を浴びると境界線こそはできませんが高温部と低温部になり
ます。宇宙空間においてはもっと温度差が出るそうです。自然現象というの
はあいにく実験室みたいな常温ではないのです。
熱力学第２はすべて人間の勝手な基準設定により成り立っています。
これに関連するものにエントロピーがありますがこれも【閉鎖系】が前提
になっていますが本当に熱を閉じ込めれるものなのでしょうか？南極に
魔法瓶にお湯でも入れて持っていけば解るでしょう。
★熱力学第一法則・熱は運動エネルギーである。
これも糞にあたります。仮にこの世に熱が無いにしても磁気や重力で運
動は起こります。それに対し、時間が無ければ運動は起こり得ません。
運動に直接結びつくのは時間なのです。そして熱は光なのです。
http://aa4a.com/chichannel/過去投稿一覧8/29【2千5百年の眠りから】
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だいぶわかってきました！ 質問なのですが、 ゲーデル数によって算術化された自然数での議論が 形式的体系での議論に移すことができることはどのように証明されているのですか？

あと、この不完全性定理が現代数学や物理学など 多くの分野で注目されているのはどんな理由からなのですか？ 質問ばっかですいません。

>>673
それはそれほど大事なことではないけど、673さんが算術、つまり
直観的な数論と、形式的自然数論（例えばPeano算術）の違いを
きちんと分かっていて、尚且つ厳密にやりたいなら、表現定理に
ついて書いた本を参照して下さい。もしかすると表現可能性に
ついての一定理として記載されているかもしれません。
>>674
物理学でそれほど注目されていると言う話は私は聞きません。
現代数学でもいまでは数学基礎論の研究者は、ごく普通の数学者
からは爪弾きにあっている感があります。なぜこの定理が大切
なのかに関しては、数学基礎論の立場では、ヒルベルトのプログラム
と呼ばれた研究の否定的な解決と考えられることです。「色々な分野
で」注目される理由は、人によって考えが多少異なりますが、例えば
計算機のような完全に機械的、形式的なシステムの限界を示した所、
それからこれはもう数学ではありませんが自己言及ということを考える
際の重要な足がかりとなることなどでしょう。多分林晋という方の
書かれた本を読まれれば良いかと思います。

ついでに不完全性定理の証明を理解するため何に気をつけるべきか
私見を述べておくと、不完全性定理にはGodelオリジナルの古典的証明
と、函数のグラフを用いた現代的な証明がありますが、第一不完全性定理
の古典的証明はリシャールのパラドックスのある概念（664さんに倣い
敢えて伏せておきます）を別の概念に置き換えて少し（かなり？）工夫
すると得られること、に注意して読んで下さい。第二不完全性定理は
証明がかなり面倒ですが、証明に必要な本質的条件は恐らくLoebの
可導性条件と呼ばれるものですが、第二不完全性定理の完璧な証明
を書いてある日本語の本は殆どないので厳密に理解したい場合は
注意してください。

▲▲▲　統一　▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲
小物のボーア君も東洋哲学をしてたそうで・・・・・老子を引用します。
　　老子　第40章　　　　　(中国の古典2　麦谷邦夫訳　学習研究社)
根源に立ち返るのが道の動きで:、柔弱なのが道の働きだ。
この世界の万物は有から生じるが、その【有は無から生じる】のだ。

よく問題にされる[有は無から生じる]を解りやすく現しているのが交流発
電機で、磁石【SN、NS】をくるくる回すだけでコイルに電子が発生します。
磁気というものには実体といえるものはありません。その実体のない磁気
【無】が実像的な電子【有】を生み出します。ビックバン説などのように何も
ないところから物体が生まれるというのとは違います・・・の訳がない。
重力にしても熱気にしても同様でこの実体のないものの働きにより実像的
な現象を生み出すのです。
軽軽熱熱S S
↑↓↑↓↑↓
重重冷冷N N

　　　　　　第42章　　　　　　　　
道が一気【↑】を生じ、一気が陰陽二気【↑↓】を生じ、
陰陽二気が交わって陰陽冲和の三気【＝】が万物を生み出す。
万物は陰気を背負い陽気を抱き、冲和の気によって調和を保っているのだ。

一気というのは【一つの方向性、時間(生命)】のことでですが時間には実
体はありません。その実体のない時間が実像的な【運動】を起こします。

一気を宿したものはやがて陰陽二気、つまり実体のない二つのベクトルを
生み出します。つまり物理的には【陰気を有した雌】と【陽気を有した雄】
との間で【融合と分裂】という【変化】を起こします。変化は全体に対する個
というものを決定づけるものであり、それは全体の時間(ひとつの時間)に
対して固有の時間というものを決定付けるものでもあります。

重くなれば(↓)大地に融合され、軽くなれば(↑)大地から分裂し、冷たくな
れば(気体→液体→固体)融合され、熱くなれば(固体→液体→気体)分裂。

さて、同極は引き合い、異極は反発するという現象こそは見ることができ
ますが、磁気でも↑↓で融合と分裂が本当に起こるのでしょうか？
これは極微の世界で認識することができます。対消滅と対発生です。
二つのベクトルは、分裂する時、融合する時に、起こります。しかし分裂し
た後、融合した後、は【気の変動はなくなり冲和(＝)】されます。
観測というのは観測対象となるものの磁気変動をとらえ、その磁気変動が
観測者側に実像を生み出すのです。よって磁気変動がなくては観測でき
ません。それがあたかも物体が真空に対消滅したり、真空から対発生して
見えるのですが、これはただの融合と分裂なのです。
何もないところから物体が発生したり、消滅するわけがない。

自然界に存在する4っつの力？熱はどうする？生命は？生命だって自然
界に存在するもの。物理学の統一理論はまるでダメ。未だ電磁と重力すら
まとめれない始末。つまり理がないからいつまでもまとめれないのである。
人も時間(魂)を宿し変化を成します。【この世は有と無からなる】のです。
▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼

>>676
>不完全性定理にはGodelオリジナルの古典的証明と、
>函数のグラフを用いた現代的な証明がありますが

ベリーのパラドックスを使った初等的証明もあるよ

「＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
　の倍の文字で定義できない最小の数が存在する」

ここで「定義する」とは、数に関する存在命題があって
それが証明可能であることを指す。

前述の命題が証明されると、その文字数が
「＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊」
の倍の文字数なので、（なぜなら、＊の数が
「の倍の文字で定義できない最小の数が存在する」
の文字数と同じだから）その文字数で定義できて
しまうことになる。

つまり、ゲーデルの不完全性定理を証明するために
必要な自己言及は実にゆるいものでよい（つまり
中身を全部伏字にして文字数だけ同じにしても
証明できる）ことがわかる。

>>680
そういうのって今度は逆に数学と見なされなくなりませんか？
Godelのオリジナルのあとでなら、あーこれはあれの言い換えなんだ
ってことになるけど。

その内容を算術で記述するんでなはいの？

Goedel数化できちんとPAの論理式として書けるなら問題はないと
思うけどね。W(a,b)でaをゲーデル数とするような論理式における
記号の数はbである、とかね。Boolosだっけ？
ゲーデルのパラドックスもリシャールのパラドックスを少し弄っただけ
だしね。もっとも当時はベリーのパラドックスは飽くまで言語学の問題で
あり、数学者のかかづらう問題ではない、なんて意見の数学者も居た
わけだが。

今思ったけど*****の部分は少し算術化が難しくないですか

>>681
いいんじゃない？無用な衒学趣味が払拭されて
>>682
もちろん、算術化は必要
>>683
はじめに言い出したのはBoolos
でもこの証明のタネは、多分Tibor Radoによる
ビジービーバー問題の計算不能性証明だな。
これは1960年代の話。ちなみにRadoは、
1920年代にはプラトー問題に関っていた人
>>684
数の表現の問題。自然数のもともとの定義によるなら
その数だけ記号を並べることになるから問題なし。
ちなみに足し算だと計算によって記号の数は増えないが、
掛け算だと増える。実はそこがポイント。

東大でも出題
http://www.yozemi.ac.jp/nyushi/sokuho03/tokyo/koki/sogoI/mon3.html

おまいら、揃いも揃って、レヴェル低いな（爆笑

# 偽と矛盾との違いさえ分からんだろ？

やはり、これからの時代は、何と言っても、御大の「論*狸*学」でしょう。

http://www.age.ne.jp/x/eurms/Ronri_Kaikaku.html

wikipediaの公理の項が激しく文系臭い

命題論理の公理系とか、述語論理の公理系とか、
述語論理や命題論理と、自然数論といったある公理系との関係について、
いまひとつ、よくわかっていません。

ゲーデルが述語論理の完全性を証明した、とかって言われると、
述語論理は公理系か？なんて思うのですが、

あと、
完全であることを示す関係で、

論理式Aがある公理系の定理である。　⇔　Aは恒真式である。
（論理式Aがある公理系の定理である→Aは恒真式である。がなりたつとき、公理系Kは健全。
論理式Aが恒真式である→Aはある公理系の定理である。がなりたつとき、公理系Kは完全。）

ということを、示せば、
その公理系は完全で、
どんな恒真式もいくつかの公理を出発点において推論規則によって変形していくとでてくる、
そのようにして出てくる論理式はどれも恒真式になっている、

と、いうことらしいですが、

どんな恒真式も、とか、
公理以外の、残りの恒真式をすべて、とか

そこらへんのところが、よくわかりません。
公理や推論をくわえれば到達できる論理式がふえて、完成度が高くなる、というか、で、
完全であることが知られている命題論理や述語論理は、健全性をやぶらないような新しい公理や推論をくわえても到達できる論理式は変わらない、というか、
なんか、そこらへんのところが、よくわかりません。

余地無し、以上、みたいな感じで。

ちなみに、
例の、なんかでかい論理学の教科書を、どんなもんかな、と興味半分で見ているものです。
証明とかは、飛ばして、読んでいます。証明されてんねんな、よしっ、ってなかんじで。

証明とかを、自分で、追ってみれば、そこらへんのところが、わかってくるのかなぁ・・・

>>690-691
「論理式」「恒真式」の定義をもう一度確認すべし。
論理式は、どういう時に恒真式と呼ばれるか。
恒真かそうでないかを判定する際に効いてくる外的条件は何か。

おぉ、レスがついた。

＞「論理式」「恒真式」の定義をもう一度確認すべし。
＞論理式は、どういう時に恒真式と呼ばれるか。

はい、理解しているかぎりの知識を並べてみます。

論理式の帰納的定義
１原子式、P,Q,R,・・・・,P1,P2,P3,・・・・は論理式である。
２A,Bを論理式とすると、（A∧B）,（A∨B）,（A→B）,（¬A）はおのおの論理式である。
３　１，２によって論理式とされるもののみが論理式である

１でまず出発点となる論理式を列挙し、２で、すでに論理式と認められたものからさらに複雑な論理式を作る規則を与えている。
３の規則によって、出発点となる論理式から出発して、２の規則を繰り返し当てはめて作られたものが、論理式である、ということになる。それ以外の論理式はない、ということとなる。
このような形式の定義を帰納的定義と言う。
出発点となる式と、これまでに与えられた論理式から新しい論理式をつくるための規則の２つを明確にすることによってすべての論理式を捉えようとするもの。

恒真式とは、
恒真な論理式
真理関数的に妥当な式　
それに含まれる原子式の真理値の取り方に関係なく常に１となる式。（それに含まれる原子式の論証の内容によらないで常に１となる式。）

真理関数的とは、
きのうサンドラは鯖を食べた、かつ、きょうサンドラはじんましんになった。
というとき、
かつ、という結合子は、構成要素となる単純命題の真偽が決まればそれだけで全体の真偽が一通りにきまる。
このことをさして、かつという結合子は真理関数的であるという。
一方、
論理式P∧Qは恒真式ではない。
Pがスパイク・リーは映画監督である、QがマルコムXは暗殺されたという命題を記号化したものであれば、Pも真、Qも真なのでP∧Qは真になる。
Pがスパイク・リーは映画監督である、QがマルコムXは映画監督であるという命題を記号化したものであれば、P∧Qは偽になる。
P∧Qは、P、Qがどのような内容なのかに応じて真になったり、偽になったりする。

P→Pのような恒真式は、Pの真偽にかかわらず常に真になる。（論理定項自体に根拠を置いているというのはあるが）つまり、Pがスパイク・リーは映画監督であるという命題でも、マルコムXは映画監督であるという命題でも、とにかく何で合っても真になる。
つまり恒真式とは、構成要素となっている命題の内容によらず、その形式だけで真になるような命題、言い換えれば形式的に真になる命題（より正確には論理定項の意味だけによって真になる命題）を論理的に捉えなおしたもののことだ、と言える。

（話は変わりますが、論理定項＝結合子という言葉の使い方であってますか？）

＞恒真かそうでないかを判定する際に効いてくる外的条件は何か。

その形式だけで真になるとか、どうとか、
そういうことですか？
外的条件という言葉自体が、なんだかよくわかりません。


書いてるうちに、
真理関数？、付加関数？、どうちがうねん、とかって、疑問が・・・
真理関数は、それこそ、真理関数的に、値が定まってる、（結合子自体に根拠を置いているというか、そういう意味での、意味論的なそれという理解であってますか？）
付加関数は、値を与えてやるというか、？、

ところで、真理値割り当て＝付値関数という理解であってますか？


あかん、わからんことが多すぎる。

>>693-694
論理式の定義は、命題論理ではそれでいい。
重要なのは、論理式とは、それ単体では
ただの文字列に過ぎないということだ。

恒真に関しても、命題論理ではその考え方でOK。
※古典命題論理では、恒真式のことをトートロジーともいう。
外的条件と言ったのは、論理式というのはそれ自身だけでは
真も糞もなく、外から与えられる「付値」とセットになって初めて
真偽や恒真性などが議論できるということに注意してほしかったため。

で、述語論理でこれと同じような話を展開しようとすると、
付値の考えを大幅に拡張する必要がある。
理論に公理を追加して拡張するとか、そういう話は全て述語論理での
話なので、そこのギャップで混乱しているのだと思う。

あと参考。

論理式の集合で、三段論法と代入に関して閉じたものを「論理」という。
すなわち論理式の集合Xが、
(1) A∈X、A→B∈X ならば B∈X
(2) f(A1,A2,…,An)∈X ならば 任意の論理式B1,…,Bnに対しf(B1,B2,…,Bn)∈X
を満たすなら、Xは論理である。

以下は命題論理での話。
論理式全体の集合Fはもちろん論理である。これを矛盾論理という。
また、トートロジー全体をBとすると、Bも論理であって、B⊂F。（⊂は真の包含）
ここで重要な事実があって、「B⊂X⊂Fとなる論理Xは存在しない。」
つまりBはFの部分集合である論理のうちで最大であり、Bに1つでも
論理式を追加して拡張すると、それはFになってしまうということだ。

前述の
論理式Aがある論理の公理系の定理である→Aは恒真式である。
論理式Aが恒真式である→Aはある論理の公理系の定理である。
ということを、示せば、
そのある論理の公理系は完全で、
どんな恒真式もいくつかの公理を出発点において推論規則によって変形していくとでてくる、
そのようにして出てくる論理式はどれも恒真式になっている、
（ある論理の公理系（例えば、述語論理や命題論理など）　といった言葉の使い方や理解は正しいですか？）
と
論理式の帰納的定義
とを考え合わせれば、696のような話になるような、

代入ってのは、推論規則の一種ですよね、たぶん、
三段論法？、勉強不足です、ちょっと、まだわかりません。

「論理」という。という時の、「論理」という言葉の使い方が、なんか、ちょっと初見です。
論理という。はい。・・。　で、何が？、みたいな。（教科書を手に取ったときから、論理、論理、論理、論理って、何回も見てるんだけど）

＞論理式全体の集合Fはもちろん論理である。これを矛盾論理という。
＞トートロジー全体をBとする
＞ここで重要な事実があって、「B⊂X⊂Fとなる論理Xは存在しない。」
＞つまりBはFの部分集合である論理のうちで最大

Ｂ＝Ｆ　と簡単に認識しちゃうのはなんかまずいんすかね？
そういう雰囲気がなんか漂っているので・・
論理式全体の集合F。これを矛盾論理という。
というときの、矛盾っていう意味合いは、そこいらへんからですか？

ちなみに、６９６あたりの話は、論理学ではどういった章だてのところに書かれている内容なのでしょうか？

＞重要なのは、論理式とは、それ単体では
＞ただの文字列に過ぎないということだ。

＞論理式というのはそれ自身だけでは
＞真も糞もなく、外から与えられる「付値」とセットになって初めて
＞真偽や恒真性などが議論できるということに注意してほしかったため。

＞論理式の定義は、命題論理ではそれでいい。
＞恒真に関しても、命題論理ではその考え方でOK。

＞述語論理でこれと同じような話を展開しようとすると、
＞付値の考えを大幅に拡張する必要がある。

真理関数、
付値関数、
命題論理、
述語論理、
恒真、
真理値割り当て、

たぶん、そこいらへんのことだと思うんですが、
どなたか、簡単に、解説していただけないでしょうか？

命題論理の意味論的なそれが、真理関数ということですか。

「命題論理における、そのただの文字列とか、その真偽や恒真性とかってなんなんですか？」
「真理関数的にそうですよ。
真理表を見れば、それが正しいということがわかるでしょ。」
みたいな。


述語論理に「付値」を与えるのが付値関数？
述語論理と命題論理との関係は？
述語論理にとって、真理関数はどういった存在？


それは、違う、それは正しい、というかんじでもよいので、
どなたか、解説、よろしくおねがいします。

論理での恒真と、理論 (=論理+数学的公理) での恒真との
区別がついていないのが問題なのでしょうね。

>>697
とりあえず>>697最初10行ほどにレス。

何度も言うように、論理式単体では、それが恒真かどうかを
決めることはできないんだ。付値の決め方を定めて、初めて
「その付値の決め方に対し恒真か否か」が決まる。
たとえばある論理式Aは、付値の体系Vでは恒真だが、
別の体系Wでは恒真ではなくなることもある。

上の方で、「恒真式とは、どんな付値に対しても真になる論理式」
と書いたが、あれは書き方がまずかった。
正確には、「【付値の体系Vに従って】どのように付値を与えても、
真になる論理式」と書くべきだった。
このとき、その論理式は「付値体系Vに対して恒真である」という。

たとえば、集合{0,1}を考え、この集合に内部算法∩∪→¬を、
真理値表に従って入れる。この体系を「二値のブール代数」という。
ある論理式Aが、この体系上での任意の付値で1の値を取るとき、
「Aは二値ブール代数上で恒真である」という。それはすなわち
トートロジーのことである。

ところが、仮に{0,1,2}という集合上に、適当に内部算法∩∪→¬を
定義してやり、「俺代数」とでも名付けてみる。
Aは、俺代数の上では、もはや恒真になるとは限らないのだ。

ちょっと上の方で話題になってましたが、
ゲーデルの不完全性定理については、
田中一之編「数学基礎論講義」(日本評論社、品切れ?)が分かり易そうかなぁ、と。

ていうか、私自身、今これを読んでるワケですが…。

やはり、これからの時代は、何と言っても、御大の「論*狸*学」でしょう。

http://www.age.ne.jp/x/eurms/Ronri_Kaikaku.html

>>702
第一章がやたら適当にかかれてそうなのが気に
入らないわけですが。定理の証明を省略されても気になるし。

536

とりあえず、ある体系において、真偽を言うには、
（結合子の意味論的なそれ（結合子の意味論的なそれは、大体の場合、最初の語彙の取り決めのところで、体系に取り込まれる。）と、論議領域と）
付値関数（論議領域と、付値関数は、モデルという形で、後から付与される。）、が必要、
ということ、なんとなく、わかりました。


もう少しだけ、質問させてください。

まだ、論理というものが、どういうものか、よくわかっていないのですが、
命題論理のモデル、もしくは、命題論理の公理系のモデルというような言い方はありますか？
命題論理の付値関数は、たぶん、ブール関数（真理関数）とか、そういう感じだと思うのですが。

あと、
論理とは、はじめに取り決めた、語彙、項・論理式の定義、でつくられるすべての記号列の集合である、という理解で合っていますか？

やはり、これからの時代は、何と言っても、御大の「論*狸*学」でしょう。

http://www.age.ne.jp/x/eurms/Ronri_Kaikaku.html

>>690（まだ居るかな？）
なんか、混乱してるようですが、取り敢えず、
〜みたいな。のような書き方を止めてどこが分からないのか
明確にすると、スムーズに行くようになりますよ。あと、
戸田山さんの本は（数理論理学の本の中では）どちらかと言うと
哲学系の人のための本なので、話の通じないかも知れません。
悪しからず。

真な文の集合をどう呼ぶかは、人によると思います。
初等ダイヤグラムなどと呼ぶ人も居るようです。
元々の質問に対しては、* 論理記号の性質を規定する公理と、
数学的なある主張を表す公理（例えば、任意のa,bに対し、
a+b=b=aなど）では性格が違う、と言っておけばいいでしょうか。
論理の公理、数学の公理などと言って区別する人も居ます。
* 命題論理は個々の命題の造りまで考えない時の論理、述語論理は
個々の命題を述語+変数（変項）に分けて考える時の論理です。
当然数学の在る理論は特定の言語、公理に基いた述語論理と言う
ことになります。

こいつはアッフォー（ｗ

俺のどこがアホなのか、言ってみろよこのタコ！

>>710

よこ(横)のタコ？　縦のタコってのもいるのか？（ｗ

>>710
＞俺のどこがアホなのか
人様に教えてもらわずに、自分で悟れ、ボケ！

俺はアホじゃねぇ！
つうか俺は天才なんだよこのカス！！

もう608はいないみたいですな。
しかし、お前本当に708か？（ｗ

>>709
煽り耐性のなさげな子供をそうやってからかうな。

数理物理学との関連は、

またやってるよエムシラｗ
　　　　　　　　　　　 ∧＿∧
　　　　　∧＿∧ 　（´<_｀ 　）　毎日毎日よく飽きねーよな、、、
　　　　 （　´_ゝ`）　/　　 ⌒i 　 　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　　　　／　　　＼　 　　　|　| 　／　彡川川川三三三ﾐ〜 ﾌﾟｩ〜ﾝ
　　　 /　　 　/￣￣￣￣/　／　　　川｜川／　Ｍ＼｜〜
　 ＿_(__ﾆつ/　I.I.I. Inc. / ∠ 　　　‖｜‖　◎---◎ |〜　　人様に教えてもらわずに、自分で悟れ、ボケ！
　 　　　 ＼/＿＿＿＿/　　|　　　川川‖　///　3///ヽ〜
　　　　　　　　　　　　　　　　|　　　川川　　　 ∴）д（∴）〜
　　　　　　　　　　　　　　　　|　　　川川　　　　　　 〜　/〜　　　　　　　　　　 ＿＿＿
　　　　　　　　　　　　　　　　|　　川川川‖　　　 〜　/川〜　ﾋﾟｭｯﾋﾟｭｯ　　　 .|　 |　　 |＼＿
　　　　　　　　　　　　　　　　|　　／　川川　　　 ＿／　;|＼〜　　　　　　ρ　 |　 |ＬＧ |　| 　|＼
　　　　　　　　　　　　　　　　|　/　　　　／　　　　　　 　;|　|　　　ρ　　　　　　|　 |　　 |　| 　|::::|
　　　　　　　　　　　　　　　　|（　　　　 （;;　　・　　　　　･;)　ρ　　　　　　　　　|　 |　　 |　|　 |::::|
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37

636

レス下さった方々。ありがとうございます。

（一階の理論で用いられるところの）述語論理の語彙、項・論理式の定義を用いてつくられる恒真な論理式の集合が完全である、
といった、論理の公理系の完全性、くらいまでは、わかるようになりました。

今、まだ、よくわからないのは、理論の完全性（不完全性）についてです。

また、ちょっと、質問させてください。

質問�@
自然数論の公理系の要素をいっせいに（意味論的）真にする真理値割り当て・モデルが存在するかどうか（自然数論の公理系の要素の集合は、充足可能かどうか）

質問�A
理論の公理系の完全性について
・いかに語彙、項・論理式の定義、モデルを設定しようとも、それらからつくられる集合は、完全ではありえない。
のか、
・語彙、項・論理式の定義、モデルの設定しだいで、完全な理論をつくることは可能である。
なのか、
ということについて


おまけ
質問�B

自然数論の公理系は不完全であるらしいですが、
健全性についてはどうですか？



よろしく、おねがいします。

>>720
完全性と不完全性という言葉は誤解のもとのように思います。
ゲーデルの不完全性定理の論文では、「不完全」という言葉が使われていま
せん。ゲーデルの完全性定理と不完全性定理の両方に通用する「完全」と
いう概念は公理化可能という概念を考慮しないとできないようです。しかし
公理化可能という概念は必ずしも簡単ではありません。それで、「完全」
というは使わずに説明します。

1．数学で使われている自然数全体集合と和積の組がそのようなモデルです．
これから公理を作ったのですから．(つまり，この質問は公理とは何故つく
るのかわかっていない人の質問です．)

2．ひとつモデルを決めればすべての閉論理式の肯定か否定かが決まります．
(その成立しているもの全体を公理化できるか? というのが上記のことです．)

3．健全性というのは述語論理に公理を付け加えている体系では必ず成立
するとで，この質問をするということは，述語論理が健全であるということ
が分かっていないということです．

言葉の使い方について。

論理式Aがその集合内で証明可能である。　→　論理式Aがその集合のモデルのもとで（意味論的）真である。（健全性）
論理式Aがその集合のモデルのもとで（意味論的）真である。　→　論理式Aがその集合内で証明可能である。
がなりたつとき、その集合は完全であるという。

俗に意味論的完全性とよばれるものですが、以下、混乱のないように、この意味でしか、完全という言葉は用いません。


この意味における、自然数論の公理系は完全ではない、ということについてですが、

よくわからないのが、
自然数論の公理系は完全ではない、ということが確かであるなら、

論理式Aがその集合内で証明可能である。　→　論理式Aがその集合のモデルのもとで（意味論的）真である。（健全性）
論理式Aがその集合のモデルのもとで（意味論的）真である。　→　論理式Aがその集合内で証明可能である。（もしくは、これと同値な結果の　ヘンキンの定理　論理式の集合Γが無矛盾　→　Γは充足可能）

が、なりたってはいけないはずなのに、

＞3．健全性というのは述語論理に公理を付け加えている体系では必ず成立
＞する

＞1．数学で使われている自然数全体集合と和積の組がそのようなモデルです．
自然数論の公理系は、その要素をいっせいに（意味論的）真にする真理値割り当て・モデルを持っているように読めてしまいます。（自然数論の公理系の要素の集合は、充足可能である）


これでは、どこが、問題（完全であるための障害）になっているのか、わからなくなってしまいます。



どっかに、概念の行き違いがあると思うのだけれども。

ちなみに、

戸田山和久　論理学をつくる
清水義男　記号論理学
という2冊で勉強しています。
公理というものが、どういうものか、ということについてはあまりページを割いていないようで

私自身、

公理系、
ある分野の知識はすべて、いくつかの公理と推論規則から、引き出すことができるということから、理屈の上では、その分野の知識の全体を手中に収めている、ということができる。

という程度のことしか、公理や公理系についての知識はありません。


公理化可能という概念について、少し、興味を持ちました。
もし、よろしかったら、勉強するのに適当な本を教えていただけたら、幸いなのですが。

>>722
自然数論(ペアノの公理系)が完全でない、というのは肯定も否定も
証明できない閉論理式があるということです。ですから、完全という
言葉は混乱のもとであるといったのです。たぶん、本を読んでもわか
るようにはならないと思います。大学でもいってよくわかっている人
の説明を受けるのがよいと思います。

清水義夫　記号論理学
のなかで、

ゲーデルの第一不完全性定理自体は、（自然数論の）意味論的完全性の否定ではないが、
しかし一方で、ゲーデル文（その肯定形も否定形も、自然数論では証明できないような閉じた論理式）が、自然数論において、意味論的真な論理式と解釈することができることから、結局は意味論的な完全性の否定も主張してくることになる。
（ゲーデル文が、自然数論において意味論的真な論理式であるなら、意味論的完全性の条件である「論理式Aが意味論的真　→　論理式Aは集合のなかで証明可能」　が崩れるため、自然数論は意味論的に完全ではない、ということになる）
というようなことが最後のほうに、書いてあって、

ところが、
ゲーデル文が、自然数論において、意味論的真な論理式と解釈することができることから
というところの説明が少ないために、

一連の内容が、よくわからないでいる、という次第です。

それに関する質問なのですが、
ここでいう、ゲーデル文が、自然数論において、意味論的真な論理式と解釈できるということは、
ゲーデル文が、
>>720
＞1．数学で使われている自然数全体集合と和積の組がそのようなモデルです．
でいうところの、自然数論のモデルのもとで、意味論的真になる、ということですか？

証明の部分にはまったく手をつけていないので、そこらへんのところが、具体的にはよくわからないのです。

>>725
清水義夫著「記号論理学」という本を読んだことがないのでよくわからない
のですが、もし以下の記述があるならそれは数学の本でないことは確かです。
「、、、の否定ではないが、結局、否定も主張してくることになる」
というようなことは、要するに矛盾しているということですから。
ともかく本を読んでわかるようなことではないので、もうお答えしません。

>>725
「意味論的完全性の否定」とは「意味論的に真ではあるが
証明できない閉論理式が存在する」という事かな。
それなら「 ゲーデルの第一不完全性定理自体は、
（自然数論の）意味論的完全性の否定ではない」という部分は、
直接「意味論的完全性の否定」を証明しているんではなくて
肯定形も否定形も証明できないような閉論理式の存在を
証明している定理だという事を言ってるのだと思います。

ただし、ゲーデル文は「この論理式は証明できない」と解釈できて
実際、ゲーデル文は証明できないので、意味論的に真になる。
つまり、ゲーデル文は（標準的な解釈では）
意味論的に真だが証明できない論理式である。
「結局は意味論的な完全性の否定も主張してくることになる」
という部分は、この事を指摘しているんでしょう。

ここで言っているゲーデル文の解釈は直観的なものだけど、
定理の証明に使われているゲーデル数や原始帰納関数などを
標準的な自然数論のモデルのもとでの演算として解釈すれば、
その自然数論のモデルのもとで意味論的真になりますね。

それから、証明には手をつけてないとの事だけど
こういう教科書は説明の所だけ読んでも分からないと思いますよ。
まあ、この辺は迷路に入り込みやすい所だから、
独学はある意味危険なんですが……

>>727
＞標準的な解釈
＞標準的な自然数論

実はこの「標準的」というのが一階論理では公理化できない。
戸田山の「論理学をつくる」の二階論理のところまで読めば
そのことが書いてある筈。

ところで戸田山自身は哲学者かもしれんけど、あの本は
結構キッチリ書いてあるのでちゃんと読めばわかりますよ。

ところで一階論理上の自然数論の意味論は奇怪だよ。

例えばｹﾞｰﾃﾞﾙ命題の「この命題が証明できない」が
証明できないということは、一階述語論理上では
「この命題が証明できない」が偽になる解釈がある
ということになる。つまりその解釈のなかでは
「この命題が証明できない」の証明があることになる。

それどころか「無矛盾性」が証明できないということは
どの命題も証明があるような解釈が存在することになる。
（命題すべてに証明があっても、命題自身の真偽が
矛盾なく定まっていれば、解釈自体は無矛盾である
ことに注意）

>>729
なぜこういう奇怪なことが起きるかというと
我々が素朴に考える「証明できる」と
実際に算術として表現された「証明できる」が
違うから。
さらにいうと、これは証明の定義をいくら
いじっても無駄で、もともとの数学的帰納法を
一階論理のものから二階論理で述語全体を全称化
したものに変えないとダメ。
でも、そうすると今度は論理が完全でなくなる。

>>730
二階論理では完全性が成り立たないような印象を与えますが、「論理が
完全でなくなる」というのはどういう意味ですか?

＞二階論理では完全性が成り立たないような印象を与えますが
二階論理でも完全性が成り立っているような口ぶりですが
戸田山の本のp343-344はことごとく間違ってるということかな？

>>732
その本はしらないのですが、たぶん2階論理で2階の変数の変域を
部分集合すべて解釈する principal model しか考えていないから
だろうと思います。以前、誰かが別のスレッドで書いていましたが
Henkin の論文があります。戸田山さんの本はそれには触れていな
いのでしょうか?

>>733
Henkinのmodelでは自然数論のmodelの範疇性は示せない。
範疇性を示すには君のいうprincipal modelでないと。

一階の古典述語論理のような標準的なものを扱うときならともかく、
syntax と semantics の両方を指定しなければ、完全性について議論
するときに無用な混乱を招くのはあたり前ではないかと。

>>735
一階の古典述語論理が標準だって？冗談だろ？
二階論理の完全性って言う場合にprincipal modelで考えるのは当然で
むしろHenkin modelなんて考えるほうが無用な混乱を招くだろ。
もっとも最近は一階述語論理しか知らない不勉強な奴が多いらしいが。

>>736
標準という単語の使いまわしの問題じゃない?

相変わらず、わかってない人の方がいばってるね。
わかりたい人は、大学にいって専門家にきくこと。

>>738
相変わらず、知ったかぶりの人がいるね。
大学で専門家に聞いたら君が間違ってるってさ

>>739
あなた、有名なマツシンさんでしょ。

>>740
マジレスしたらマツシンにされちったよ。

>以前、誰かが別のスレッドで書いていましたがHenkin の論文があります。
>戸田山さんの本はそれには触れていないのでしょうか?

戸田山の本では触れてないね。

マツシンさんだとするとどうせわかんないだろうから書かない
つもりだったが、そうでないならまあ書いておきましょう。
範疇性というのは、唯一であるということであろうと思いますが、
一階の自然数論のモデルの範疇性は二階算術で導かれる。つまり、
二階算術のモデルであれば必ず成立するので、principal model
に限ったことではない。>>735 の指摘のとおりで 734 および
736 は syntax と semantics の違いがわからない人の書き込み
となっている。まあ、とても頭はいいんでしょうが。

>>743=>>735なら指摘のとおりというのは自画自賛だな。
まあ、同一人物だとしても別人だと言い張るんだろうけど。
＞一階の自然数論のモデルの範疇性は二階算術で導かれる。
＞つまり、二階算術のモデルであれば必ず成立するので、
＞principal modelに限ったことではない。
それは単に二階算術の中でのモデルを考えることで
範疇性を実現してみせただけで、当の二階算術それ自身
のモデルを一階述語論理上の公理系として考えたら
範疇性がないわけだから意味がないな。
まあ、とても頭はいいんでしょうが。

>>744
やっぱりマツシンじゃないか!
お前馬鹿だなぁー。えっ、マツシンじゃないの?
うーん、まあ、オウム返しと威張りたいのはマツシン
のオハコってわけじゃないってことか。

つまらないところで揚げ足とられないように

×「当の二階算術それ自身のモデルを
　一階述語論理上の公理系として考えたら」

○「当の二階算術自身を一階述語論理上の公理系として
　　そのモデルを考えたら」

>>745
マジでマツシンじゃないよ。
てゆーか、>>743はSimpsonマンセーなんだろうけど
漏れはShapiroの本からSOLに入ったからちょっと違うんだよなぁ。

ところで>>745はマツシンを目の敵にしてるところみると
Ｔ北大のＴ中研の関係者かい？

>>747
違うんだ。ふーん。大丈夫だよ、揚げ足なんかとらないから。
別に Simpson どうのではないけど、744の主張は哲学なんだよ！
数学として面白いことがないってことさ。
でも、マツシンでなくて残念というか、よかったっていうか。

>>736 の答え方でもわかりますが、他人と自分の間での定義や
状況設定が異なるのを知りながら、その違いを説明しようとし
ないのだから、正しい情報伝達ができることを期待する方が間
違っています。

>>732 も、引きあいに出された著者が迷惑でしょう。
この本は、高階論理の解説がメインではないので、本当に導入
部分だけを証明抜きで数ページにまとめてあり、Henkin の
general model について解説するような紙数はありません。
しかし、完全性の件については「標準的なセマンティクスで完
全ではない」と書いてあり、他のセマンティクスの存在を示唆
しています。

>>732 や >>742 は、そのあたりの事情がわからないような書き
方を選んでいるわけです。

>>749
＞744の主張は哲学なんだよ！
うん、これは数学じゃなくて数理哲学だよ。
集合論を一階述語論理の公理系として考えた場合
集合の全体という存在論はそっくり抜け落ちるだろ。
数学者のSimpsonが考えるような二階算術でも
同じことが起きるのさ。
Shapiroは数理哲学者だから、そこが哲学的に興味あるわけ。

>>750
数学的帰納法の定義ってどう理解してる？
普通は、任意の述語について・・・と考えるんじゃない？
デデキントの自然数は皆同型っていう定理ってあるよね
あれって一階述語論理上の公理系ではできないよ

戸田山はジェフリーの本も翻訳してるけど、そこでは
「第２階の論証の妥当性を認識するための
　健全で完全なルーチンを設計するという
　決定問題は非可解である」（ｐ１８５）
とはっきりいってるよ。
この本もヘンキンのモデルなんて紹介してない。
多分、”不自然な人工物”だと思ってるんじゃない？

例えば戸田山の本p342で
第２階のペアノ算術PA2の数学的帰納法
∀X((X0∧∀x(Xx→XSx))→∀xXx)
と、第１階のペアノ算術PA1の数学的帰納法
"xを自由変項としてもつPA1の任意の論理式Axについて
　(A0∧∀x(Ax→XSx))→∀xAx"
の違いを説明してるよね。で２階の方では
”PA1で表せないような述語についても成り立つ”
とまで言ってるよね。これって重大な違いだよね。

>>752
ともかく 743 と 735 は違う人なんだな、言い張るつもりもないが。
752 = 751 = 744 = ... だと思うが、735 = 750 ?
750 と 751 は違うみたいだけど、って750 って理解力抜群?

例えばゲーデル命題は第１階のペアノ算術では偽という解釈もありえるけど
第２階のペアノ算術では明らかに真という解釈しかないよね。
だって第２階のペアノ算術では数学的帰納法は任意の述語に対して
成り立つといっているんだから。
で、我々が数学的帰納法として考えているのが、第１階のような
唯名論的なものではなくて、第２階のように存在論にコミット
したものならば、やっぱりゲーデルの結果は、数学の不完全性
を示しているってことになるんじゃない？
ゲーデル以降、数学の人は、形式主義者＝唯名論者だって
顔をしたいみたいだけど。それって結局"逃げ"じゃないかな？

＞750 って理解力抜群?

743と違って何も中身について述べてないのに
そう考えるのは実は735=743=750だから？

>>755
何がいいたいのかわからないが、数学の人ってのは数理論理学とか
数学基礎論の人っていうことなのだろうね。普通の数学の人はそんな
ことに興味をしめさないし、わからないから。「逃げ」っていうなら
哲学の人は集合論はどう総括するわけ? 2階っていっても集合概念
がはっきりしないとなれば「逃げ」ないけど「野たれ死に」って
ことじゃない?

>>757
本当に分からないの？それって思考停止じゃない？
数学者は集合について全く興味を示さないの？

＞哲学の人は集合論はどう総括するわけ?
なぜ、いきなり総括なの？
これって数理哲学の難問なんだけどな。

＞2階っていっても集合概念がはっきりしないとなれば
＞「逃げ」ないけど「野たれ死に」ってことじゃない?
マジで１階論理で書かれていることだけ取り扱うのが
数学だって信じてるわけ？それってかなり異常な態度
だと思うんだけどなあ。違う？

ところで君はプラトニストではなくて形式主義者なの？
数学板を見る限り、数学やってる人って大抵プラトニストで
本当の形式主義者ってそれこそ数理論理学だけしかやってない人
に見られるかなり不自然な態度だって感じがするんだけど。

>>758
集合論の成果は無限集合ってのは「難しい」ってことなんじゃないの？
哲学志向の人はわかるんじゃないか？なんて考えるかもしれないけど
数学的にはそんな夢みたいなこと考えないんだと思うよ。

>>760
＞集合論の成果は無限集合ってのは「難しい」ってことなんじゃないの？
なんかガクッと格調が落ちたね。

＞哲学志向の人はわかるんじゃないか？なんて考えるかもしれないけど
そうじゃないよ。
哲学でも「無限」はもちろん分からないことだらけだよ。
だいたい分かってることなんて哲学するに値しないよ。

＞数学的にはそんな夢みたいなこと考えないんだと思うよ。
夢は考えないけど、論文書くための”虚構”は考えるわけだ。
そりゃそうだよね。論文書いて評価されないと
大学で職にありつけなくって御飯の食い上げ
だもんね。

コーエンのフォーシングなんていうのも一種の”虚構”だよね。
連続体仮説etcが決定不能問題だって示すための道具としては
いいけど、実際、決定不能性が明らかになったところで、集合
についてなんか分かったっていえるのかどうか難しいよね。
最近、数学関係で、集合論の評価が低いのもそんなところに
あるのかも。多分ポジティブな感じがしないんだろうね。

例えば、ヒルベルトの第１０問題で、集合論でも解の無いことが
証明できない不定方程式があるっていうけど、これって形式主義の
立場では、解があるようなモデルもあるってことになるよね。

でも実際にはこういう場合についても解は存在しないって考えると
思うんだ。そう考えると形式主義ってかなりヘンだよね。

>>761 >>762
なんかマツシン相手にしてる雰囲気なんだけど、まあいいか。
要するに、「無限」を対象とするなら、哲学でやるなら乞食を
するしかないが、数学ですれば、少しは食える可能性があるって
違いだろう。それと全然違うのは、現在、集合論の研究者は数学者と
して飛び切りのが何人かいるってとこだろう。

>>764
＞現在、集合論の研究者は数学者として飛び切りのが何人かいる
集合論研究者の仲間内で褒めあっても意味ないんじゃない？
一歩外に出ると集合論って何やってんだ？って感じらしいし。
そんな状況じゃあんまりおいしい仕事じゃないんじゃないかな。
ちなみに哲学者でも食っていける人はいるよ。
とにかく一度Shapiroとか読んでみろって。世界観変わるよ。

久しぶりにこの板来たが
基礎論スレは消えたのか？

{φ,{φ},{φ,{φ}}}が落ちて以来、立ってないようだ。
http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1043049229/

集合論なぜなにスレッドはこちら
http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1064299337/

�@ある一階の算術の理論の公理系Kの語彙
�AKの項・論理式の定義
�BKの公理、推論規則
�C意図されたモデルＭ
からつくられるある一階の算術の理論の公理系Kがあって、
そこで、意味論的真（�@�A�Cのもとで意味論的真）だが、その理論の公理系の中で証明可能ではない論理式Aをつくることができる。と、
Aは意味論的真である　→　Aは証明可能である　が崩れるため、Kは意味論的完全ではない

が、
論理式Aを意味論的真ではなくする�@�A�B�C’（超準モデル）からなるある一階の算術の理論の公理系K’というものをつくることができるらしい。と、
そこでは、論理式Aは、意味論的真（�@�A�C’のもとで意味論的真）ではないし、証明可能でもない、ということになる。（少なくとも、論理式AはK’においては、意味論的完全性をいうときの障害にはならない）


よくわからないのは、
（１）
K’は、意味論的完全であるか、という点（例えば、Kのときのように、そこで、意味論的真（�@�A�C’のもとで意味論的真）だが、その理論の公理系の中で証明可能ではない論理式をつくることができるというようなことはないか、という点）

（２）
KとK’は、なんらかの集合の部分集合なのだと思うのですが（間違ってますか？）
そのなんらかの集合自体は、意味論的完全であるか、という点、

（３）おまけ
戸田山和久　論理学をつくる　P336
Q(ある一階の算術の理論）は第一階の理論だから完全性定理が適用できる。
ここのところがよくわかりません。

です。

お手すきの方、どなたか、お教え願えませんか。

中学レベルなんですけど、さっき、ふと　

y = x^2 は、単調増加だよなぁとか…思いながら、とりあえず自乗してた。
１の2乗は１
３の2乗は９
４の2乗は１６
0.1の2乗は0.01
1/2の2乗は1/4 …………
あ。へってる。？。単調増加のはずだよな。

…………。
あたりまえやん。

しばらく考えてた（←マジで馬鹿というかアホだよ。こりゃ）。定義域は略。

>>770
アホすぎてわらえる（汗）

>>769

>>722の言い方でいえば
「ゲーデル文は、一階の自然数論では意味論的真ではない」
なぜなら、ゲーデル文を真とする一階の自然数論のモデルもあれば
偽とする一階の自然数論のモデルもあるから。
「ゲーデル文は、二階の自然数論では意味論的真である」
なぜなら、ゲーデル文を偽とする一階の自然数論のモデルは
皆二階の自然数論の数学的帰納法を満足しないから。

これで、>>735がいった
「syntax と semantics の両方を指定せよ」
というクレームに対する義務を果たした。

>>769
さらにダメ押ししておくと
一階の公理系としては無矛盾でも、
述語の全称のところを二階の限量子で
解釈した二階の公理系として考えた場合
矛盾するようなものがある。
例えばゲーデル文の否定を付け加えた公理系は
二階の公理系としては矛盾する。

>>772
> これで、>>735がいった
> 「syntax と semantics の両方を指定せよ」
> というクレームに対する義務を果たした。

そんな要求はしていない。
syntax や semantics が何かを聞いていたのは >>731.
>>735 は、その質問に >>732 のような答をする奴と議論は
成立しないだろうという指摘。

＞syntax や semantics が何かを聞いていたのは >>731.

いやそんなことは聞いていないよ。
一階も二階も意味論は同じと決め付けた上で
誤りを口にさせようとしただけ
732はその思い込みを思いっきり突いただけで
議論を否定したのは間違いを認められない
誰かさんの脆いプライドのせい。

>>775
なんで、他人がきいたことについて、きいているかどうか
わかるのかな? まあ「頭」がいいからなんでもわかるのか?
まあ、やっぱりマツシンと似たかよったの「頭」だよ!

>>776
ん？君は>>731なの？それじゃ意味論意味論って騒ぐの無理ないな
要するに意味論が全然分からないから教えてっていうんだろ？
マツシンでもだれでもいいから

今日図書館でJon BarwiseとJohn Etchemendyの
面白い本を見つけたのでとりあえずage
外国のロジシャンは気合が入ってるなあ。
たかが嘘つきパラドックスに。いつか読みたいが
いつになるだろうか？今は再帰的函数論の勉強の
最中だし、最近基礎論は食傷気味だし。

ときに、論理学、基礎論関係のスレって
二階述語論理が話題に出る→荒れるの法則が
成り立っていませんか？

後悔論理ｲﾗﾈ

多分、騒ぎの中心は同一人物ではないかと思う。

それは誰のこと

778=779です。
まあ二階述語論理を絶対視する変な人が居るのも、
竹内先生の祖国っぽくて良いんでしょうけどね（ｗ
『証明論入門』もいずれは読みたいんですが
アレを読む暇なんてくるんだろうか。

>>783
そういうことを書くと、「THE 二階論理」の人にからまれます。