基礎論なぜなにスレッド その{φ,{φ}}

時に激しく、たいていまったりと基礎論スレぱーと２でやんす。

お約束通り、過去スレは >>2 に続くです。

過去スレ

基礎論なぜなにスレッド
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/970523340/150

関連スレ
選択公理、Zornの補題
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/1011351649/l50

バナッハ・タルスキーの定理を実証しようぜ！
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/1009466261/l50

フォン・ノイマンVSアラン・チューリング
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/1009039204/l50

数理論理学で有名な教授
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/1007564373/l50

こんなものでしょか？

今回は、おいらは集合論と論理でわけませんでしたが、その辺のごいけん
もいただければと。

スレタイに、数学板ぽい風情があって、(・∀・)ｲｲ!! と思ったんよ。

どうもありがとう>>914さん@前スレ

「バナッハ・タルスキー」が関連スレってのには、結構
笑わして貰いました(^^;

http://cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/970523340/l50
でなくて
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/970523340/150
なのはネタですか？

>>3 >>4
ども、ありがとうございます。

>>5
うぎごは。すまんせん、まちがいっす。もうしわけないです。

アレフって手書きでどうかくの？
あした、ズームイン朝のマイスタ前で何回もやって。
見てるから。

>>7
アレフねえ、私はエックスをひねった感じで書いてますが、
正しい、書き方はやはりヘブライ語の本でも参照してください。

>>８
日テレ前に行ってくれって。
見てるよ！

いいよもう。
日テレの隣はイスラエル大使館だったの思い出したから、
自分で聞いてくるさ。

前のスレッドに書きましたがこちらの方がよいようなので。
>>914
直観主義論理に二重否定除去を付け加えれば、古典論理になるのだから
直観主義論理をベースにすれば、895 のいっていることは正しいと思い
ます。
898 さん(914さんと同じかどうかわかりませんが)がその後説明された
ことは結局、直観主義論理より弱いあるシステム(900)で、二重否定除去と対偶
の論理的強さを比べた結果を説明していたということなのでしょうか？

>>11
「禁止する」という文脈で考えれば、古典論理から何かを禁止して弱める
と考えるほうが自然では？

そう考えた場合、強いほうの対偶を禁止する弱め方全てにおいて
二重否定の除去が排除されるわけではないことはおいらの説明で
わかってくれたと思うんだけれども、、、

>>12
900 に書いた方と思って伺いますが、900で規定された公理と
推論の組に対して、、、、論理いった名前がついているものな
のでしょうか？また、何かよい定理の成り立つ系であるので
しょうか？

>>13 あれに対しては、なんとか論理というような名前はついてません。
し、あれだけだと何もおもろい式を算出したりしません。

二重否定除去が単独ではそれ程強い公理ではないことを示す
意図の実験的なものと考えて下さい。

弱い方で言うと、直観主義論理より弱い体系として、ちょっとは
名前の通った体系では、最小論理 minimal logic というものが
あります。これの「否定」も、あまり否定としては認められないような
弱い代物です。

保守あげ

スマリアンの本
最初に書いてあることから
なんのこっちゃさっぱり分かりません。
なんのことを言っているのやら。

>>16
いっぱいあるじゃん。どの本のこと？

保全あげ

http://www.worldscinet.com/journals/jml/jml.shtml

こんなんでるんやて。

保守あげ

（　´_ゝ`）age...

http://mentai.2ch.net/test/read.cgi/philo/1014017182/l50

わかんないみたいだから教えてあげてちょー。

(*ﾟーﾟ)age！

基礎論と直接には関係ないけど、
”高橋渉　凸解析と不動点近似　横浜書店”
を読み始めた、
いやー、最近法律関係ばっかり読んでたからかもしれないが、
読みやすいな。

>>24
な、なぜ法律関係？？？

>>25
もちろん、パンのためです。でもまだパンにならない。(;_;)

Fermatへの道は遠い。

弟の持ってる簿記の本見たんですけど、わけがわかりませんでしたねー。

簿記アゲ

>>26
法学と論理の共同研究があったけど、それ？

私は数学科生ではないんですけど、基礎論って人気無いんですか？

必殺、

権威に基づく推論

世間では通常、数学者は「理・工系の学者」という「難しいことを
考えている人」の範疇に分類されている。（中略）世の中には、とかく
理由づけをしたがる人間たちが、程度の違いに応じて先細りに分布して
いて、各人は自分の立場が最も健全だと思っている。
世間一般、理・工学者、数学者という系列は、実は、まだ続くのである。
「普通の」（と自称している）数学者たちは、「不完全性定理」や
「連続体仮説はＺＦ集合論から独立である」などという「病的」な考え方
をする数学基礎論の学者たちを白眼視する傾向にあったように思われる。

１９７８年９月の数学セミナー誌には、上のような記事（筆者は多分、
数学基礎論に少し関心のある「普通の」数学者だろうと思う。）があっ
た。
時代が変わって人々の常識が豊富になっても、人間や日本人の特質が
急に変わるとは思わない。

基礎論は人気がありません。

例えて言うなら、格闘技や陸上競技をやりたい人や、
それを戦力や広告塔として利用したい人や利用された
い人は多いが、格闘技や陸上競技をビデオにとって
科学的に分析したい人はそれほど多くない、といった
ところかな。経験があり、しかも科学的に自分の運動
や思考を客観的に分析するというのは、結構限られた人
だけの仕事なのかもしれない。それはロボットの創造に
もつながるはずなんだけどね。だから利用できるなら
利用してやろうというひともいるはずだ。

確かに、数学の形而上学とも言えるけど、
形而下と一体化していることが伝わって無いのが、
基礎論が敬遠される原因かも。
人気がないだけなら他分野でもあるだろう。

日本の数学者の基礎論に対する理解はお寒い限り…

症例１

＞野矢茂樹氏と言えば、『無限論の教室』 (講談社現代新書1420)
＞という本を書いていて、その本は Hilbert のプログラムが
＞Goedel の第二不完全性定理によって挫折したという話で
＞終わっているのですが、 Gentzen や竹内外史以後の仕事に
＞一切触れずにあっさりそう言ってしまって、まともな哲学の
＞お話だと言えるんですかね？

てゆーか、いまどき
「ヒルベルトプログラムマンセー！！」
なんていってる奴ぁ、東北の田舎にだっていやしねぇぞ。

＞もちろん、第二不完全性定理が Hilbert のプログラムに
＞手痛い一撃になったことは事実でしょうが、第二次世界大戦
＞のせいで Gentzen のような次世代の超優秀な論理学者が
＞亡くなってしまっていることの影響も大きいので、そのことにも
＞触れておかないと不公平ですよね。

てゆーか、第二不完全性とか無矛盾性とかしか見てない時点で厨房。
第一不完全性定理の意味がわからん奴はゲーデルを語らんでくれ。

＞そして、 Gentzen のあとを継いだ竹内外史は、
＞ Goedel から精神的にバックアップしてもらった、
＞という話を日本で宣伝しています。

てゆーか、日本の基礎論が竹内を唯一の窓口としていた
ことがいろいろな意味で基礎論に対する重大な誤解を
非専門家（数学者といえども、基礎論屋でない限りは
シロートと同じ）に植え付けてるね。

＞野矢氏は数理論理学およびその歴史に関して不勉強なまま
＞本を書いてしまったんじゃないかな？
＞ Wittegenstein を好きな人って、 positive で困難な仕事を無視し、
＞ negative な雰囲気を持ち、神秘的な快感が得られる仕事を
＞評価する傾向があるように思えます。

てゆーか、無矛盾性が証明できるとポジティブで、
できないとネガティブだと考えるのはオコチャマ。

ヴィトゲンシュタインはその哲学的思索が、
ウブな人にはとっても意地悪く感じられる
ようだが、その印象をひっくり返せない
人は、何も思索してないんじゃないか？

＞野矢氏の第二不完全性定理に対する態度も全くその通りであると
＞私には感じられました。 (ここまでけなしちゃって大丈夫かな？ (^^;))

てゆーか、＊＊なこといって評判落とすのは自分だからいいんじゃない？
それにしても東北には基礎論が根付いてないなあ。田中先生も、もちっと
同僚を啓蒙しなくてはいかんよ。

>>36

野矢茂樹氏の著書の内容についてはともかく上の文章を書いた人が
「竹内史観」をまったく疑いもなく信奉していることは確かだね。

「パラドックス」という本の中で、林晋氏の書いた「無矛盾性の
パラドックス」は無矛盾性の証明に一喜一憂する態度に対する
警鐘ともとれる。

つまり、無矛盾性をどう定義するかに、確固たる基準があるわけ
でもなく、内容的にはほとんど同じことをいっているはずなのに
ちょっと文句をつけくわえるだけで、体系自身の中で無矛盾性
証明ができてしまったりするし、いわゆるヒルベルトプログラム
におけるゲンツェン等の成果についても、同じような状況が発生
しているというわけだ。

>>37

ちょっと追加しておくと、別に竹内氏をどうこういうつもりはない。
数学者が自分の研究していることに対して個人の思想をもつことは
必要なことだ。ただ、日本で数学基礎論が受け入れられて行く状況で
竹内氏の思想が数学基礎論の思想なのだと受け取られてしまったこと
に関しては、問題があったといわざるを得ない。とはいえ、こういう
ことは往々にして避けがたいし、時がたてば解決されることだろう。

>>36
これはひょっとしてげんちゃんの発言？

>>39

ああ、クロキならこんなもっともらしい発言しそうだな。

>>40
東北で、もとーもらしい発言を BBS でする人なんて一人しか
いない気が、、、（苦笑）

>>36のつづき

症例２

辻下、角田の両氏による「数学の不定性」の主張も、
実際には底の浅さを露呈している。

両氏がよりどころとするのはスコーレムの逆理だが、
これらは一階論理上の結果である。そして、実際の
言語の意味を考える場合において、一階論理上の
形式化された議論は実際不適切である。

例えば、不完全性定理により証明不可能な命題Ｇの
存在が示されるが、スコーレムの結果を安易に用いれば
Ｇの「形式化された」証明可能性をしめす〜Ｇを真と
するモデルを考えることができる。

ここで、「Ｇは（形式化された意味で）証明可能である」
という命題を真とするモデルの存在が、Ｇが証明可能な
世界の存在を示すのかという疑問が生じる。しかし
ながら、とってつけたような超準的証明によって、
示させるような「別世界」は、実際には無意味である
といわざるを得ない。

辻下・角田の両氏の主張は、結局のところ形式の軽薄さ
との戯れといわざるを得ない。ヴィトゲンシュタインは、
哲学において、言葉のもつ軽薄さを暴露しはしたが、
それにおもねることを善しとはしなかったはずである。

>>42
「しかしながら、とってつけたような超準的証明によって、
示させるような「別世界」は、実際には無意味であるといわざ
るを得ない。」
「Gは（形式化された意味で）証明可能である」というGが無意味
っていうことにならないのかね?
そっちの方は意味があるって言い出すと結局、辻下、角田とかわら
ないか、哲学山の狸さんになるか?ってとこだろう。

スコーレムの定理や述語論理の完全性定理は、記号というものを
使ってモデルをでっち上げる定理なんだから、出来上がってくるモデルと
この現実世界と関係は極めて希薄なんだよな。

その定理に訴えて現実世界のなにかについて語るのは危険な行為であるな。
なるほど。

agege

基礎論おもしろい

>ヴィトゲンシュタインは、哲学において、言葉のもつ軽薄さを暴露しはしたが

　ご本尊が聞いたら烈火の如く怒るな。哲学もダメかねチミは。

>>47

ｽﾏｿ、42じゃないけど、わからん、解説ｷﾎﾞﾝﾇ

ヴィトゲンシュタインは語れることの限界を、
語ることによって示そうとしていたんじゃないかな。
その行為は、言語の軽薄さを示すことと全然違うと思う。

＃それにしても、高校で「数学・基礎」か、紛らわしい。
＃もっとも、近い将来「昔は日本語で数学できたんだな。」って会話がされるだろう。

>>49

違うかな？
語れないことがあるってことは、
言語の重厚さを否定してるから
軽薄さをしめしてると思うＹＯ。

加護天使って軽薄だよね？

私は軽薄かもしれないけど、、、。

反竹内のヴィトヲタがくるとスレッドがにぎやかになるね。初代スレの頃から。

不完全性定理のスレッドでも書きましたが
皆さんのバックグラウンドを教えてください。

１．大学の専攻分野
２．数学基礎論に関して今まで読んだ本

上の２点を踏まえた上で、どこから議論するか考えます。

>>54
何を議論するの？ここは質問に答えるスレッドだと思ってたが。

>>54はｺﾋﾟﾍﾟ

田中先生の「数学基礎論講義」、品切れになったね

http://aserve.procen.net/nippyo/books/bookinfo.asp?No=1294

age

ゼロ　　　存在しない。

存在しない。　とはどういうことか。

>>59
からっぽ

>>61
　俺の頭のことか。　そうか、そうだったのか。

　存在しないとは、どう証明するモナー？

>>61
おれもよく知らないけど竹内外資さんの本に
空集合を0と名づけるとか書いてあったよ。「集合とは何か」っていう本。
詳しい人、どうなんですか？

>>62
0 だけの集合を 1 , 0 と 1 だけの集合を 2 ってやって自然数
そして順序数を定義するのが von Nuemann の表記っていうと思った。
集合の要素の個数が丁度対応しているから具合がいいってことなのだろ
うか。つまり、0 は空集合で要素の個数 0。

>>54
１．商業高校なので、商学？
２．最近読んだのは「ハリーポッターと賢者の石」です。
これで良いでしょうか。

「ハリーポッターと賢者の石」はlogicの本だたーんだね

＞＞62、63
　おお！ありがとうございます！
　さっそく、その人の本見てみたいと思います。

集合論の公理ZFでは、「空集合φが存在する」というのは公理になってるね。
そこから他の公理を使って、どんどん別の集合を作っていく。
φがあれば、それだけを要素とする集合{φ}が出来るし、
今度はφと{φ}から{φ,{φ}}ができる。
こうやって作っていくのがフォン・ノイマンの順序数で、
有限のモノは自然数とみなして0=φ, 1={φ}, 2={φ,{φ}}…と
書くっていうのは、６３さんの言う通り。
だからスレタイの「その{φ,{φ}}」というのは、「その2」の別表記だね。
それから、「無限集合が存在する」というのも公理になってる。
何も無いモノの存在と無限の存在は、あらかじめ前提してるんだね。

>>66
65によるとハリポタもlogicの本らしいから一緒に読むといいぞ。
何せベストセラーになったくらいだし、きっと名著に違いない。

age tokune!

“１ざんす”さんは今どこで何を？

いまさら、

>>42
＞実際の
＞言語の意味を考える場合において、一階論理上の
＞形式化された議論は実際不適切である。

に激しく同意してみる。

>>71

そのココロは？

＞某天使
何で日本語で数学出来ないようになるのか説明希望。
あと、メジャーな言語の数学適性も教えてほしいですね。

>>73
日本語の論理性とか日本人の論理性とかの問題ではない。

現在、数学の教科書はかなり高度な物まで日本語のが入手できるけど
あまりに需要が減って教養程度のそれも出来なくなるのではないかということ。
そして、何かのきっかけで数学をかじってみようと考えても、
外国語で書かれた入門書しかない状態になるかもしれない。

> 74

それはないと思われ。

例えば、微分積分の教養向けの教科書に関しては、
わしの学生時代(約20年前)よりも
種類が確実に豊富になっているようである。
(学生数は、今よりも少なかったと思われるのに)

それとも、最近は日本語の数学の本が減ってきているのか？
とてもそうは思われないのだが。

>>75
74 ではないが、今までの流れでは、極めて易しい本ばかりで入門（門にはいる
のだから外から覗いてるだけではない）しようとする人が読む日本人の書いた
本がなくなるのではないか？ってことなのではないですか？

つまり、今の日本は、趣味で入門する人たちがある程度いたり、
理系ばかりではなく文系でもある程度高度な数学を利用する人
がいたりして、専門に数学を専攻するものだけではなく、
そういう人たちも数学書の市場を支えてるんだけど、日本の
数学教育の弱体化に伴って市場が小さくなって、日本語で
本が出せなくなるんじゃないのか？ってことでしょ？

特に基礎論なんて専攻する人間は日本じゃ少ないのだから
基礎論の専門書が日本語で出てこなくなる可能性は大きいね（笑）。

日本語で専門書が出てこないと、中高生をリクルートするのは
難しくなるねえ。日本語で基礎論の話が読めるのはこのスレだけに
なったりしてな（苦笑）

関係ないけど、今の東大の理系の教養の論理学は野矢茂樹氏が担当してるの？

>>76
>>77
そういうことです。（私の表現力の無いことに苦笑）

>>72
いや、なんのことはないよ。普通の言語には、名詞の動詞化と動詞の名詞化が
シンタックスレベルで用意されてるのに、一回の述語論理にはそんなものない
やん？

>>74

大丈夫、その頃の教養人は日本語しゃべらないから（笑）
つまり、教養ある人間はさっさとアメリカやヨーロッパに
いってしまって、日本には一般大衆しかいなくなるから。
あ、もしかしたらその頃には中国人が大挙して日本に
押し寄せて、日本は中国になってるかも。

age

今はまだ新刊が出るみたい。

数の体系と超準モデル
田中 一之 (著)
価格： ￥4,200
単行本 - 265 p (2002/04/01)
裳華房 ; ISBN: 478531530X

>>80
間が抜けた頃の書き込みですが、ここに表われた現象としては74に
書かれた意図と異るように理解した人は1人で2人はそのとおりとった
のだから、表現力が無いってことはないと思う。ついでにいえば、い
くつか「加護天使」の名前の書き込みを読んだなかで、わけがわから
ないといったことはなかったと思う。「表現力がない」ってのは誤解
した人をかばったのかな? 加護天使だから。

保守あげ

>>85
うん、あの人はいいひとだね。

ほめられて、ちょっとはづかしい。

保全

保全

基礎論の最終目標って何ですか？

>>91
それを言っちゃあ、御終い。

>>91のせいで、こんなに下がっちゃったyo(w

いやきっと
>>88 のせいだ。(w)
＃加護天使だと read.cgi ver6.01pで返ってくる名前が
＃こちらのブラウザでは上手く解釈できないみたいなのでこちらにします。

>>94
いやいや、「燃料」がいないせいではないか、とかいってみる。

言語学板にこんなスレッドがあったよ

意味論
http://academy.2ch.net/test/read.cgi/gengo/995816650/

＞1 ：Dowtyが読めない ：2001/07/23(月) 00:44
＞形式意味論についての易しい解説書をだれか教えて。くろしおの杉本孝司の意味論１は途中まで簡単なんだけど、ラムダ演算子のところから急に難しくなってよくわからな〜い。

>>96
言語学のことは良く知りませんけど，ラムダ演算子って(λx.x)とかってやつですよねぇ．
そんなに難しいかなー？？
でも，言語学でλが出てくるなんて，ちょっとビックリ．

λx.fx=（　´_ゝ`）ﾌｰﾝ

>>96
うーん、線型論理の問題、
LLLをダウンロードしたままになってるのを読まないといかんな。

>>99
トリップが一瞬"LLL Algorithm"に見えた…
なんで基礎論スレに？って思っちゃったよ。

　

>>99
LLL ってどんな話か解説をきぼーん。

LLLはLight Linear Logicの略、
線型論理の一種でなかなかいい性質をもってるらしい。

ここから、ダウンロードさせてもらった。
Articles de Jean-Yves Girard
http://iml.univ-mrs.fr/~girard/Articles.html

>>104
さんきゅーでし。早速見てきます。

そろそろあげとくか

Ｐ（ｘ）とかけてＱ（ｘ）とときます。

＃その心は？

Ｐ（ｘ）∧Ｑ（ｘ）。

＃うまい！

ＡはＡでもＲ（ｘ）なＡってな〜んだ？

＃Ａ∩｛ｘ｜Ｒ（ｘ）｝？

正解！

http://js-web.cside.com/

>>109 >>110
どうつっこめばいいんでしょうか？

＞１０９
もうちょいシャープに決めないと

線形論理って何か役に立つの？

>>114
論文書く役にたつんじゃない？

>>114
google で「線形論理 応用」でひいてみたまい。

分散コンピューティングの理論研究に利用するという話とかでてくるね。

コンピュータか。
論理学の応用っつうと、やっぱりそれが初めに出てくるのね。

agege

基礎論やるならアメリカ行った方がいいんですか？

>>119
詳しいわけでも無いけど、日本よりは状況はかなーり良いと思うよ。
日本の数学界は選択肢狭いし、情報系も理論系はそれほど多く無いし。
東大の情報科学でさえ理論系の先生は一人じゃ無かったか？

あげ

一人って誰？
何やってるひと

>>119
計算機科学よりのでよければ，日本でもできると思うよ．
確かに，>>120の言うとおり，アメリカなら腐るほどその手の先生いるけどね．
ホント，腐るほど．
インディアナ大学とか，カーネギーメロン大学とか，ペンシルバニア大学とかの
HP見てみたらいいと思うよ．

基礎論やりてえなんて言ってるやつはダメダメでしょ。
数理論理学ならいいけど。

>>123
ttp://slashdot.jp/article.pl?sid=02/07/30/0644201

みたいな現状だと工学系だと慎重に選ばないとダメだめっぽいね。

>>124
そうか？量子コンピュータの数学理論ものすごく
面白いと思うが。
それにしてもドイッチエ、こいつはホーキンスに並ぶほど
ぶっ飛んだ論文をかく。

2^7ｹﾞﾄｽﾞｻﾞ

>>126
情報サンクス．
確かに全然数学の勉強させないダメダメ情報工学科も（私大は特に）多そうだけど，
宮廷以上なら大丈夫だと思います．

基礎論、確かにおもしろい。
学生時代「社会に出て役にたたねー」なんて言って専攻しなかったのを後悔してます。

>>130
大学に基礎論専攻があったんですか?

>>129
文部省の変な方針のせいで変な名前になってるのは東大ですらあるから
「宮廷以上なら大丈夫」という思い込みはちょと危険かも。

>>131
レアなケースだけど、数学科に基礎論の講座がある大学はあることは
あるみたいだよ。

>>132
筑波にはあったなぁ
坪井さん（モデル理論、安定性理論）とか、本橋さん（数学基礎論）、塩谷さん（公理的集合論）
といった面々がいるらしい。

>>133
いけね、日本の拠点の筑波を忘れてた。

あと、九州大学、北海道大学、神戸大学とかかな？

もっと細かく言うと、大学によって基礎論といっても盛んな分野が
違うこともあるので、そこも調べよう。証明論やりたくて筑波に行っても
ちょっと大変かもしれない。

>>134
東北大は？

>>135
こうやってあげてって、リストを作ろうか？

>>135
田中一之先生

agegege

そういえば、名古屋近辺ではどうですか？

名古屋近辺と言えば、名古屋（？）、静岡あたりかな。

北見工大にいた渕野先生が中部大学つーとこに移ったらしいけど。
また工学部の先生らしい。ロジシャンてそんなに職が無いのかな....

ロジシャンで仕事探してもないから、
仕方無しに計算機やってる人とか
多そうだね。

とりあえずニュースあげ
PRIMES in P
http://www.cse.iitk.ac.in/news/primality.html

あの有名な山口人生先生も基礎論じゃない？

野矢は優秀だぞ

>>144
あの方の業界での評判は昔からですがなにか？業界人にとっては
２chの騒動など何を今さらですが。ガイシ御大は追っ払うために
学位を出したとか、しょっちゅうねたになってますたが。

２chが最先端と言うわけではねえんですよ。

>>145
どう言う意味で？

ヒデキー

加護天使のオモテの商売が気になる...

基礎論age

>>143
何も読まずに転載したのが良くなかったなあ。

>>149
気にしない、気にしない。

>>148
ちょっとわらった（笑

数学基礎論サマースクールに行った人いないの？

隈部正博「数学基礎論｣はどうよ？
放大のラジオと一緒に聞けば味わいがあるよ

東北大の逆数学

>>154
ラジオでやってるの？テレビじゃないのね？

>156
そう
http://www.u-air.ac.jp/

あげとくよん。

前スレでがいしゅつだけど、
むか〜し放大でやった前原先生の「数学基礎論」のビデオも
幕張とか行くと視聴できるらしいね。

放送大学のビデオは市販しないのかな。

>>160
しないみたいですなあ。

>162
「しないみたい」ときけば、なおさら「みたい」
前原先生、いいよね！

>>163
外部への貸し出しもしてないみたいですぜ、旦那。
幕張は遠いんだけどなあ、、、

めんてあげ。

不完全性定理がどうとか、完全性定理がどうとか、教養の論理のレポートがどうとかは
ここで聞いてね！！

敬老あげ。古典を読んでみようっと

竹内外史の本が理解不能なのは、仕様ですか？

>>167
どの本ですか？

>>167
仕様です。

過去ログでも何度かでてくるよなあ、この話題（笑）

竹内外史「直観主義的集合論」にはやたら誤植があるように思うのですがそれも仕様ですか？

>>170
明示的に途中で記号の省略で表記を変えることもあるから、
一概にはいえないけど。

age とくね。

で竹内予想はどうなったんでショッカー

どの竹内予想でしょうか、
私は最近のことにうといのでわかりませんが、ブール回路計算量のほうですか。

ゲンツェンの基本的理が高階述語論理に拡張できれば、
実数の無矛盾性が証明できる・・・・　つ〜のがありませんでした？
誰かが証明したけどそれは非構成的な方法で、
期待の島内剛一先生はコンピュータに行ってしまったらしいのですが。

"Proof Theory 2ed"のp197にある予想ですね、高橋元男先生が証明されたそうです。
この予想の証明が「有限的な方法」で仮に不可能であっても、
どこまでできるのかはかなり重要ではないかと、興味が蘇ってきました。

あげ

>>175
>ゲンツェンの基本定理が高階述語論理に拡張できれば、
>実数の無矛盾性が証明できる・・・・　つ〜のがありませんでした？

そんな昔のヨタ話、よく覚えてるな。でも無駄だから忘れろ。
竹内以外の研究者にそんな問題意識はない。
それに島内剛一氏はもう故人。

基本定理の拡張は、構成的数学としては面白いかもしれんが、
それは無矛盾性とは全く別の問題意識。

日本人は＊＊の一つ覚えで無矛盾性というが、
それが証明されなくてはならないと考えるところに
日本人の「何も信じることができない弱い精神」
という病理をまざまざと見ることができる。

>>178
＞日本人の「何も信じることができない弱い精神」
＞という病理をまざまざと見ることができる。

別に日本人に特有な病理じゃねーだろ。19世紀末から20世紀初頭に
感染者が続出していたじゃんか。数学史でそのあたりの研究も結構あ
るだろ。

まあ、そのころの精神性に日本人が浸っていると言うよりも、
未だに「無矛盾性」が基礎論の中心的な話題のように扱ってる
数学マスコミに原因を求めた方が理性的であるようにも思えるがね。

「神は死んだ」とかいう時代は遠い昔ですけど、
まあ、無矛盾性が十分信じられる体系でないと心配ですね。(^_^)

「無矛盾性」を含めても、マスコミの話題にのぼる頻度が少ないことが
「無矛盾性」を足がかりにしないといけない状態をつくってるような。

質問です。

xが蛙であるをF(x)、xが緑色であるをG(x)とすると
「蛙だけが緑色である」はなんで
　　∀x(F(x)→G(x))
になるの？「だけ」のニュアンスが無いんでなんか変に感じるんだけど

>>181
＞なんで・・・になるの
なりません。

顔洗って出直せ。

＞別に日本人に特有な病理じゃねーだろ。

そりゃそーだ

＞19世紀末から20世紀初頭に感染者が続出していたじゃんか。

ラッセルが妙なパラドックスを見つけたからな（笑）

＞数学史でそのあたりの研究も結構あるだろ。

精神医学で研究すべき問題だと思うぞ（笑）

＞未だに「無矛盾性」が基礎論の中心的な話題のように扱ってる
＞数学マスコミに原因を求めた方が理性的であるようにも思えるがね。

理性的であろうとする態度は非理性的だというのを知ってるか？
はっきりいったらどうだ？竹内のせいで基礎論は誤解された、と（笑）

＞まあ、無矛盾性が十分信じられる体系でないと心配ですね。(^_^)

信じ方にもいろいろある。
基本予想の証明だけが唯一の道ってわけじゃない。

とにかく無矛盾性はきれいさっぱり忘れろ。

>>182
ここでそうなってるんですよ。
なんだか全称記号はよーわからんです。
http://www.nara-su.ac.jp/~takeyama/material/logic/book96.htm

>ここでそうなってるんですよ。
なってない
顔洗って（略

GとFが逆だｗｗｗ
つーか逆でもう一度>>181を考えてくれ。

>>185

よく見ろ。ＦとＧが逆だ。

(19) 蛙だけが緑色である．
(19) ∀ｘ(Ｇｘ→Ｆｘ)（緑色ならば、蛙である）

あいあいわかった。ありがとう。

P(x)がyを含まないとき
P(x)∧∀y[Q(y)] ⇔ ∀y[Q(y)∧P(x)]

これって成り立ちますか？

>>190
成り立つ

ところで、論理学スレってなかったっけ？

「論理」で検索したらいかがわしい題のしか
ひっかからなかったんだけど…

＞１９２
「通常の数学を学ぶのに最低限必要な論理学」みたいなタイトルで新規スレたててよ

論理学と言う場合、ほとんど数理論理学を指すわけで

>>192
確かにいかがわしいのしかなかったｗｗｗ

数理論理学にするとＬＫとかの話になっちゃうじゃん。

論理学を突き詰めるとそっちしか無いんじゃないの？知らないけど

>>183
でたなＤｒ．Ｇ

自然数論に限れば、直観主義的自然数論の無矛盾性が証明できればよい。
そのためには次の「基本的な性質」が証明できればよい。
（中略）
しかし、直観主義論理の「有限の立場での解釈」は困難。
（注意。排中律は使用不可。）
しかし、手頃な解釈は存在する。例えば、
１９３５のゲンツエンの第０証明。１９５８のゲーデルの別の証明。
１９３６．ゲンツエンはベルナイスの異議を受け、第１証明を発表。
１９３８．ゲンツエン、第２証明を発表。これは日本でも知られている
が、その裏に、有限の立場からのゼクヴェンツの内容的解釈が潜んでいる
ことなど、読者には想像もつかないほど、形式的によく整理された証明だ。
ところで、ゲーデルの解釈によって真と解釈されるゼクヴェンツの範囲は
ゲンツエンのより狭い。その差異は「真」ということの定義にゲンツエン
が一般帰納的と呼ばれる手段を全部使ったのに対してゲーデルは原始帰納的
汎関数によって表現される範囲に留めたところにある。この差異によって、
ゲーデルの場合は「ゼクヴェンツが真であるという性質が各推論によって
次々に遺伝していく」ということを、ゲンツエンの第１証明と同じ強さの
証明手段によって示すことが可能となる。ベルナイスの異議によってゲン
ツエンが証明をあきらめざるを得なかった内容が、このように形をかえて
再現されるとは、さすが帰納的関数論の元祖。以上のように直観主義の
「ならば」の解釈は意外にむずかしい。そこにこそ自然数論が無矛盾性の
証明を必要とする理由がある、とゲンツエンが言っただけのことはある。
では有限の立場での「ならば」の意味はむずかしくないのか？

>>199

この文章を書いた奴は全然わかってないな。

（ゲンツェンの方法について）
カットを除くのは、それが新しい式を追加してしまうから。
カットがなくなれば、元の式を分解するだけのことだから、
矛盾が証明されないというのは、明らかだ。

（一般的に）
「真」の定義とか解釈とかなんてどこにも出てこない
直観主義や「ならば」もまったく関係がない。
著者は全く証明を読まずに、それ以外の文章から
当て推量だけで語っているのは明らか。
そんな程度にしか読めないのなら、数学はやめとけ。

ずばり、>>199を書いたのはM_SHIRAISHIだろ？

本論でいくら荒れてもよいが、Dr.GだのShiraishiだのは、やめてくれ
つまらん

199の「基本的な性質」とは、「ゲンツエンの基本定理」のことではないはず。
199のタネは月刊マセマティクス（１９８０）

>>201
ちがうだろ。

なんか久々に活気があるね（笑）

>>196
なりません。

>>197
だからならねーよ。

>>183
＞はっきりいったらどうだ？竹内のせいで基礎論は誤解された、と（笑）

げげ、みすかされとるよ（笑）

>>203
>199の「基本的な性質」とは、「ゲンツエンの基本定理」のことではないはず。

>>200の（ゲンツェンの方法について）は、
>>199の基本的な性質のことをいってるわけではないよ。

で、「基本的な性質」とは何だと思うわけ？

数理論理学スレ、勃てたYO。

数理論理学　基礎
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1035210795/

今後>>181みたいのはこっちに誘導してね。

>>199
199自体の引用もとは何？
都合が悪くなければ、教えてください。

>>203
マセマティックス２号の前原先生の解説はいま引っぱり出してきました。

>>208
おつかれさまです。

初心者の質問なんですが、
結局、自分自身を含む集合って言うのは無いことになったんですよね？

>>210　同じく初心者ですが、
いくつか回避できる技があるんじゃないの？

>>210
ZFC AFA でぐぐれ。正則性公理はないシステムも作れる。

>>212
やや、そうなんですか。

完備かつatomicなブール代数は、あるPXに同型である、っていう、基本的な
定理がありますよね。この「atomic」っていう部分は、ZFでいうところの、
正則性の公理に対応しているのかな、とずっと思っていたんですが（違いま
すか？）

正則性の公理がないシステムが構成できるっていうことは、上の定理でatomic
ってのをはずしても、通常のZFとは異なる（？）集合論において、同型なPX
が存在し得る、ということなんでしょうか？　それともそんなことは言えない
のでしょうか。

なんか、こないだ立てた数理論理学スレで
偽物の１が仕切っているみたいだよ。
俺がしゃしゃり出ると余計荒れそうなので、
当分傍観します。

しかしひでえ有様だなあ

>>213
ブール表現定理のこと？

いや、BPIと同値なstoneの表現定理はatomicの制限はない。
213のいう同型定理は、その原型でfilerを使わない。
でも、ZFかBG上でやってたような気がするんだけど。

＃紛らわしいので、ZF(-FA)とか書いてね。

>>214

せっかく１９２さんが立てた数理論理学スレも絶望的、
これでは誘導できないなあ、こまったこまった。

>>217
自己レス
もちろん、filerはfilterの打ちまちがい

>>217
なるほど、なるほど。

くわしくないので自信はナッシングれすが、まあ、集合束の方の元は
「集合」で、「集合の要素」ではなく、順序は「包含関係」で
「membership relation」ではないでしょうから、
基底公理いじってもあんまり影響はないと思われますが。

なるほど、じゃあ、私の質問は、あんまし意味なかったですね。
ありがとうございました＞>>216-219

>>192氏
残念ですが、数理論理の方は、デムパスレになってしまわれました。
なむなむ(^^;

>>220
atomic という制限は、P(X) の集合束の方に要素が一つの集合が元として必ず
あるから、それと対応してるのではないかな？

それよりお前ら、どこまで沈む気でつか？(w

>>222
とりあえず、２５６ぐらいまで潜行したらかんがえるというのでどーだろ？

大丈夫。今週中には板圧縮が起こって自動的に上がる。

ゲーデルの完全性定理と不完全性定理についての質問です。

それぞれ完全性の意味が違うってどういうことですか？

学校の先生に聞いても意味不明なこと言ってたので、
やさしい東大生あたりに答えてほしいです。

まるちぽすとわやめませう

>>227
まあ、引っ越しということなら構わんのでわ。

ただ、こっちで進めるのならば、わからんすれにその旨書いておいて欲しいのお。

わからんスレで話がそれなりに進行してるので、そっちでやるほがよさげだね。

わからないスレでさらにわからないことがでてきたので質問します。
ここのスレを荒らした形になってしまってごめんなさい・・・。
このスレに一本化します。

質問

一階の述語論理について、
完全性定理と不完全性定理の両方が成り立つのですか？
そんなはずはないですよね？？

なんだか、頻出疑問集としてスレの先の方にでもおく必要があるかな。

こういう質問への解答は修士の１年か学部の３，４年生にさせてみたいと
思う今日この頃。

さくらスレの方は、89と92だけ読めば、それで良いでしょう。
関係ないレスを読むから、かえって混乱するのです。

不完全性定理についての叙述に、
「真であるにもかかわらず証明することができない命題がある」
というものをしばしば目にするのですが・・・
これは完全性定理とぶつからないのですか？？

>>233
さくらスレの89はちょっとまじいようなきがいたしますが？かといって、
誤解を生まないような簡単な説明は思い付かないなあ、、、

>>234
ぶつからないよ。

ここらへんは「真」ということはどう定義されるのか？から説明始めないと
いけないからしんどいなあ。

>>226

本当は違わないんだよね。

　完全性定理：一階述語論理では任意の解釈で真になる命題は証明可能
不完全性定理：二階述語論理では任意の解釈で真になる命題でも証明不可能なものがある。

　自然数論は、述語を全称化した形の数学的帰納法を用いて定式化した
二階の理論の場合、解釈は１つに定まる。さらに、形式化された理論の
証明可能性は、算術化によって自然数論に埋め込める。二階の述語論理
の形式化された完全な理論があると、自然数論の命題は真偽が決定可能
になるけれども、ゲーデルは対角線論法を用いて、真でも偽でもこれが
形式化された理論によって決定可能だとすると矛盾するような命題を
構築してみせることで、そのような理論がないことを示したというわけ。

ちなみに自然数論を一階述語論理で定式化した場合は、解釈は一つとは限らない。

>>230

大抵の人が理解する「不完全性定理」というのは、実は
「自然数論の非決定性定理」とでもいったほうがいい。

ところで、一階述語論理も、証明できるか出来ないか
（つまり、どんな解釈でも真か、それとも偽なる解釈があるか）
を決定する手続きはやっぱり存在しない。

>>234

これについては>>237を読んで。

一階述語論理の完全性定理に即して考えれば
「自然数論のゲーデル命題が証明も反証も不可能であるならば
　これを真とする解釈と、偽とする解釈の２つが存在する」
ことになる。

ゲーデル命題を偽とする解釈をとると、ゲーデル命題の
「証明」のゲーデル数が存在することになるが、
このようなゲーデル数は、１，２，３・・・と、
自然数であることが証明できるような数の中にはない
（あれば、実際にゲーデル命題の証明が作れることになる）

みなさんどうもありがとうございます。

要するに、
命題関数や集合の集合を項としてとると、
証明も反証もできないものがでてくるということでしょうか？

>>240

なんか基本的なことがわかってないみたいだな。

>>240
↑は気にするな！
だいたいそんな感じだよ！

述語論理は関数についての公理系を含まないからな。
一部充足一部不充足な式は証明も反証もできないだろ。

>>242

あんたも基本的なことがわかってないみたいだなぁ。

>>241>>243さんへ

すいません…ものわかりが悪くて（・´з`・）
それではもう少し説明していただけませんでしょうか？

"ちゅきちゅきたん"みたいな顔文字ですな（笑

>>240の「証明も反証もできないものがでてくる」という部分は、別に
間違ってる訳ではないです。ただ、そういう書き方だと、せっかく>>239氏
が説明してくれた「真」の意味を、あなたが理解できているのかどうか、
はた目にもよう分からん、ということなんじゃないですかねー。

あ、ちなみに。
>>240の「関数やら集合の集合が云々」ていう部分は、正しいのかどうか
私には分かりません。

分かりませんが、あまりそういう話ではないような気も。

>>246
それこそ，解釈によって真だったり偽だったり．

みなさんどうもです。

>>246
述語論理と素朴集合論が同値だってｶﾞｯｺの先生が言ってたんでつい…
真とは何かについてもっと勉強してみます。

＞述語論理と素朴集合論が同値だってｶﾞｯｺの先生が言ってたんでつい…

それは意味不明だな。

フレーゲの提案した「素朴」述語論理と素朴集合論が、
同値というならそうかもしれない。

ここで「素朴」述語論理とは、述語と対象を分離しないということ。

>>249
そうなんですか・・・。
なんか鬱。
もっと勉強してからまた質問したいと思います。
質問自体が意味不明なんで・・・

>>2
２げっとずざ

>>249
>述語と対象を分離しないということ

そうだったっけ？フレーゲの意味論では対象と述語は峻別されるん
じゃなかったっけ？

フレーゲの算術の基本法則のシステムが一種の素朴集合論になってる
ことは確かだから、そっちだろうね。概念記法のほうは単に今の一階
述語論理であったように記憶してるけど。あれ読むのしんどいからなあ（笑

>>238
述語を一項述語に限定した場合は決定手続きが存在するんだけどね。

ちなみに自然数論は掛け算を持たない足し算のみのシステムの場合は
完全になるます。ほかにも完全になるシステムはいくつかあるそうだよ。

>>237
>自然数論は、述語を全称化した形の数学的帰納法を用いて定式化した

高校生には意味不明と思われ。

>>253
>述語を一項述語に限定した場合は決定手続きが存在するんだけどね。

でもそれじゃ集合論は無理だね。「∈」は二項述語だから（ｗ

>ちなみに自然数論は掛け算を持たない足し算のみのシステムの場合は
>完全になるます。ほかにも完全になるシステムはいくつかあるそうだよ。

でも掛け算がなくちゃ計算が面倒だよ。

>>254

「すべての述語について・・・」という文句を使うかどうかの違いでしょ。

>>252
>フレーゲの意味論では対象と述語は峻別されるんじゃなかったっけ？

それなら、ラッセルのパラドックスにはひっかからないんじゃない？

>>255
＞ でもそれじゃ集合論は無理だね。「∈」は二項述語だから（ｗ

二項述語があると決定不能になるとものの本にはあるますね。

ほかにもいろいろ決定可能な部分系があるんだけど、そういうのは
情報工学の人のが詳しいように思うなあ。

>>256
一階の理論の帰納法の公理をみたことないだろうから、「述語を全称化」する
のが何が違うのか分からないとおもうのよ。

>>210
マンデルブロー集合体はどうよ？

>>257
述語に制限を加えないで、述語から集合を作れるようにしたのが
パラドックスの原因だから、わけててもわけてなくても引っかか
ると思うよ。

まあ、「述語から集合を作れるように」てるところを、わけてない
と言う見方もできなくはないかもだが。

>>260
>まあ、「述語から集合を作れるように」てるところを、わけてない
>と言う見方もできなくはないかもだが。

てゆーか、あきらかに境をブチ壊してるだろ。

>>261
＞てゆーか、あきらかに境をブチ壊してるだろ。

フレーゲの存在論にそれほど明るいわけではないのであれだが、

「名前が与えられているものが対象物である」
「一般名は述語であって名前ではない」

というフレーゲ的な述語論理システム設計の基本方針からすると、述語と
対象物はわけられてしかるべきなんだけど。

結果的にブチ壊しちゃったのと、そもそもブチ壊すつもりだったのは
わけて考えたほうがいいと思うわけなのよ。

＞「素朴」述語論理とは、述語と対象を分離しないということ。

素朴内包公理はたしかにそういう見方も出来そうな公理だけどね。

何かもとネタがあると推測するのだけれど、よければそういうふうに
フレーゲのシステムの特徴づけのソースを教えて欲しいのでアリアス。

フレーゲ著作集を買ってくるよ。

ソースブックをもってるけど、フレーゲはあんまり読む気がしないなあ。
あまりに独創的な記号というか図だから、、。

独走的

計算量理論のクラスＰとかＮＰが”問題”のクラスだと言うことを知ったのですが、
そんなものが許されるんだったら、当然それらより大きいクラスとして
クラス”問題”が、考えられるはずですが、このクラスについて何か研究があるのでしょうか？
自分で考えようとしたら気が狂いそうになったんですが・・・

まあ、流れとしては、
まず、計算できるか、できないかが研究され、
どうできないか（不可能次数だったけ）が研究され、
振り返って、多項式時間が見直されたというところでしょうか。

昔から気になっていたんだが、
レーヴェンハイム・スコーレムと実数のユニーク性とは矛盾しないんだろうか？

レーヴェンハイム・スコーレム・・・
「第一階の述語論理において、たかだか可算個の公理からなる公理系が無矛盾ならば、その公理系を満たし、しかも、可算個の元からなる対象領域が存在する。」
実数のユニーク性・・・
実数の公理系を満たすものは、同型を除いてユニーク

同型ってことは、我々が普通に知っている実数からの全単射が存在するわけでしょ。
可算個の元からなる実数ってどうやって作るのさ？

>>269
正確には実閉体でしょう。
解析的な意味の実数に関する公理系はユニークじゃないと思うよ。

ところでさ、最近、巨大数スレって人気らしいんだけど、
これって基礎論的にも面白いんじゃない？

http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1033320305/

>>270の補足

つまり、実閉体の理論の場合には、級数も極限も出てこないわけで
代数的な関係しか記述できないわけよ。

>>270
そのスレ、ちょっと前までは普通の意味で人気だったのにねぇ

おお、ありがとうございます〜

>>270
解析的な意味の実数に関する公理系はユニークじゃないと思うよ。

ということは・・・「解析的な意味の実数に関する公理系」を満たすもので
可算個の元から成るものがある？
あるいは、実は完備性の公理は、実は１階の述語論理でない？←述語論理を分かっていない。

>>273
＞「解析的な意味の実数に関する公理系」を満たすもので
＞可算個の元から成るものがある？

一階論理上の公理系として表現するならそうなるね。

すっごい昔の数学セミナーで恐縮だが、
92年6月の特集・同じに見える!?で、植野義明さんはこう言っている。
公理(R1)-(R3)(引用者注：R1は体の公理。R2は順序について。R3は連続性)を満たす集合Kは互いに順序体として同型で、かつ同型写像はただ1つである。
・・・連続性=「解析的な意味」だよねぇ？？

>>269
矛盾しない。モデルが可算ということはそのモデルでは真ではないから。

なるほど。
つまり、実数（R1-R3を満たすという意味）には、
モデルが可算なものと非可算なものがあって、
各々、どちらかが、真であるときはもう片方は真でない、と。

そして、可算なほうでも、実数の基本的な性質、および同型定理が成り立つ、と。

じゃあ、「実数」っていった場合に、「どのモデルの実数？」って聞き返さなければならないってこと？

>>277
どうも誤解しているのではないかな？
可算モデルの中の実数と、そのモデルの中の自然数は、そのモデルの中の
写像で１対１対応が付かない、というだけのこと。
　モデルの外から見て可算だったり１対１写像があったりしても、そのモデ
ルの中では可算とか１対１写像があるとは限らない。

完全性定理と不完全性定理がムジュンしないことを説明できますか？ >>277
といってみるテスト

>>277
278さんの書かれたことを凄く直感的に説明すると。
モデルを外から見たとき、可算であるのが可算モデル。
モデルの「なか」では集合が少ないから、関数も少ない。
だから、その「なか」では自然数との１対１関数がない無限集合があり得る。
それで、
その無限集合がそこでの自然数との関係において、
実数の公理を充たしているとき、それを実数の可算モデルというということです。

＃用語によるミスリーディングなのかな。

>>275

「順序体として同型」というだけじゃ、解析的な数学的構造までは
入ってないと思うよ。

公理として連続性を定義していても、実際に２つの数列が等しいか
どうか判定できるかどうかはまた別の話でしょ。それは順序体という
枠組みでは議論できないと思うよ。

>>281
レーヴェンハイム・スコーレムの定理を適用するのに必要なのは、
「形式化された理論」の「文」のすべての有限集合が「モデルを持つ」ことだけ。
必要なら解析学で必要な定義をすべて公理としてつけくわえれば良い。

>>279完全性定理と不完全性定理がムジュンしないことを
>>説明できますか？ >>277
>>といってみるテスト

その2つって言ってる対象が全然違うでしょ。似てるのは名前だけ。
・・・とは言うものの正確な内容は知らない。
矛盾しない、という知識しかしらない。

まあ、何にせよ、だいたい状況は理解できました。
ありがとうございました！

>>269
＞同型ってことは、我々が普通に知っている実数からの
＞全単射が存在するわけでしょ。

これ、みんなひっかかるんだけど（実は僕もひっかかった）違うよ。
同値(equivalent)と言ってるのは、理論内の命題が同じ真偽値を持つってこと。
でも決してisomorphismがあるとはいってないのね。

(　´�D｀)ノ＜　280と284を読むと何かわかったような気がするのれす

J.R.Shoenfield "Mathematical Logic"
Chapter 5. The Theory of Models
5.5 Complete Theories

Lemma1. For a consistent theory T,the following are equivalent:
a) T is complete
b) every two models of T are elementarily equivalent;
c) for every model A of T,T is equivalent to Th(A)

The theories T and T' are equivalent
if each is an extension of the other,
i.e.,if they have the same language
and the same theorems.

Two structure A and B for L are elementarily equivalent
if the same formulas of L are valid in A and B.
This clearly implies that A and B are models of the same theories.

このJ.R.Shoenfield "Mathematical Logic"のcompleteの定義
だと文句いって騒ぐ人がいるね。こうこれでいいと思うけど
ゲーデルの時代では、、、っていう人がでる予感。

>>286-287
"elementarily equivalent"が大事だよね。

>>288
ゲーデルの時代の意味でも、
完全性関連３定理から算術の不完全性定理はでたはずだけど。
（ちがったかな）
まあ、用語の違いは時代とともに出てくるのはしかたないなあ。
何某の定理も本人が「聞いてないよ」というくらい変わるもの。

>>288

A formula A of T is undecidable in T if neither A not ~A is a theorem of T;
otherwise, A is decidable in T. A theory T is complete if it is consistent
and if every closed formula in T is decidable in T.
This may be restated: T is complete if for every closed formula A in T,
exactly one of A and ~A is a theorem of T.

Shoenfieldの場合

Completeness Theorem
First Form (Goedel)

A formula A of a theory T is a theorem of T iff it is valid in T.

とあるけど、この意味で"complete"という言葉を用いることはないんだよね。
つまり、あくまで定理の名前として"Completeness Theorem"といってるだけ。

ただ、その立場を徹底させるためには定理の名称も変更するべきかもしれないね。

>>288
＞ゲーデルの時代では、、、っていう人がでる予感。

今どきそういうことをいうことはないだろ。

まあ、歴史研究をする人間が注意しなければならないとこだけど、
散々既出の話題ではあるね。

J.R.Shoenfield "Mathematical Logic"
Chapter 5. The Theory of Models
5.6 Categoricity

We say that a theory T is categorical if every two models of T are isomorphic.

For if T has an infinite model, then the cardinality theorem shows
that T has models of many different cardinalities; and two models
with different cardinals cannot be isomorphic.

漏れもなにか定義を書き込もうかな。

ZFCを最短文字数で構成してください

>>295
最短公理系競争は今世紀初頭に流行ったけど最近は流行らないね。

「ZFC」より短くって・・・２文字か１文字で表せってこと？

>>296
ただいま大ブレークってことですか？

そうか、ここ数年は「数年前」を「今世紀初頭」と表現できるのか！　カコイイ！

すまん。そういえばもう21世紀だったんだ（笑）

ちなみに古典命題論理の公理は確かニコーのシステムが最短だったはず。
20世紀前半にそれが最短であることの証明がなされてるです。

ZFC で最短がどうとかって話題はおれはしらないなあ。

あげとくね

所詮、ZFだと、公理型を含むから最短はナンセンス。
独立性なら意味あるけど。

age

日本に基礎論屋さん（？）ってどのくらいいるんですか？

>>304
プロの人がどれぐらいいるのかは分らないけど、
趣味レベルで関心持ってる人は多いんじゃないの？
おれは本もよく買ってるし、基礎論市場にも貢献してる
ほうだとは思う（藁。
おれは計算機方面の検証証明からの動機だけど、
他の素人さんはどういったところから？

ラッセルのパラドックスに感銘を受けたのが動機です。
修士で基礎論専攻して、２階算術で修論書いて、今は普通の民間研究員。

305だけど、306さんみたいなちゃんと教育を受けて
真っ当な仕事に就いている人をおれは素人とは呼びたくない（藁

「他の素人さん」と書いてあったね。スマソ。
俺は全く優秀ではないんで、素人と同レベルということで許して。
今やってる仕事は数学と無関係だし。基礎論は趣味で続けてます。

>>304
数論屋ﾘﾝｸみたいなのはあるけど基礎論は無いね・・・

集合のパラドックス発、ゲーデル経由、超準解析で挫折中。

物理的な直感が超準解析でオケーと勘違いして本読みましたが
新しい集合の構成でギャフンです。

違うルートにもなんとなく慣れたのでさらに離れてしまいましたが。

先生が「なんとなく」基礎論の雰囲気があった。
吉田洋一著「零の発見」で、（賢そうな）数学者もゼノンのパラドクスに
（本当は）明快な解答を出していないのが残念とか書いてあった。
ライフサイエンスライブラリー（昭和４０年）の「数の話」にゲーデル
のことが載ってた。
高校の教科書は、いやなが先生のだったし、予備校の元大学教授も基礎論
のような感じだった。
大学１年のときの数学の先生は数理論理学が専門だった。

数論屋で検索したら、今井が出てきた
( ￣□￣)y─~~
( ￣□￣)y＿

>>312
激しくﾜﾛﾀ

いまいって専門分野(w は数論だったのか？！　Σ(￣□￣)

ゼータ星人今井

河合文化研究所の数学基礎論シリーズはどうですか？

>>306

二階算術は、リッパな基礎論だね。
ちなみに僕は修論では証明からのプログラム抽出でなんか書いたけど
人にお見せできるようなものではないなぁ

>>305
＞おれは計算機方面の検証証明からの動機だけど、

それは御仕事ですか？

そっち方面だと、証明論とかモデル理論とかの高尚な理論やるより
命題論理とか述語論理の証明手続き（述語論理の場合には、証明
できないときは止まらない場合があるけど）とかやるほうが、
実際に役立つ感じがします。そのあたり、純粋数学と応用数学の
差みたいなものがありますね。

>>317
> 二階算術は、リッパな基礎論だね。
もちろんそのつもりで書いたのだけれど、確かに
「基礎論以外のことで修論を書いた」という風にも読めますな。申し訳ない。
因みに、私の修論も人にお見せできるような（略

ついでに２階算術の宣伝をしておこう。(w
選択公理関係の話題が好きな人は、２階算術の公理系を勉強すると、
選択公理の一部を制限した公理とかが出てきて面白いかも。特に逆数学はお勧め。
参考書としては、和書なら>>316の「逆数学と２階算術」、
洋書ならSimpsonの「Subsystems of Second Order Arithmetic」(Springer)かな。

＞洋書ならSimpsonの「Subsystems of Second Order Arithmetic」(Springer)かな。

しばらく前から品切れです。

>320
えらく専門的じゃない？
でも逆数学って、なんか数学じゃないみたいだね。

>>321
思いっきり専門的だね。
だから、まったく関心がない（ｗ

本の在庫情報だけなら、Springerのwebでわかるよ。

河合文化教育研究所の基礎論シリーズといえば、
「いざない」・「入門」・「入門への補追」を再編集したような本があると、
（できれば「集合論」も）
日本評論社の「基礎論講義」とうまく補っていいなとは思う。

関数全体がP(P(ω))になるのは何故？

いきなりωが出てくる理由がわからないぞ。
基数の演算とかは本を見てくださいね。

ＤからＤへの関数をグラフで定義するとする。
ＤとＤの直積の部分集合で関数の性質を充たすものが一つの関数を表現する集合。
だから、Ｐ（Ｄ×Ｄ）でおさえられる、
さらに関数全体はそのべき集合をとればいいのでたかだかＰ（Ｐ（Ｄ×Ｄ））となる。
そして、ω×ω＝ωであればＰ（Ｐ（ω））

>>325
恥ずかしい、自己訂正
＊325の下２行削除

＃おおぼけでした。

>>324は実数関数についての質問じゃないのかな？
ところで、>>325は半分しか説明してないですね。
部分集合は2値関数と見なせる（部分集合に属す時は１で属さない時は０）から
べき集合は関数全体の集合でおさえられます。
これと325をあわせれば、べき集合と関数全体の集合の濃度が一致することが示せます。

レスどうもありがとうございます。
たぶん分かったと思います。
関数が、直積の部分集合でＯＫっていうのが思いつかなかったです・・・
あと、一応確認したいんですけど、
この考え方で行くと、一点だけとか、平面全体とか、
めちゃくちゃな模様みたいなものとかもその中に含まれている
っていうことですよね？

なんか、よく考えたら、これだと余分なものが入りすぎてるような･･･
普段関数と読んでるものより、圧倒的に多くのなんだか分からない点の集合が入っちゃってるような･･･

ベルンシュタイン使えばいいじゃん。

（＾＾）

実数と有理数の直積で>>325のやり方を使うと、
一つの実数ｘに対して、有理数の部分集合が対応する関数が出来る。
で、有理数の部分集合は実数１コと同一視できるので、
この関数は一つの実数ｘに対して一つの実数ｙが対応する関数と同一視できる
で、その濃度はＰ（Ｒ×Ｑ）の濃度なのでやっぱり同じになる。
っていうのを考えたんですが、あってますか？

あと、325みたいな一つのｘに対して非可算個のｙが対応してるようなものも
関数って呼ぶのが普通なんでしょうか？

関数といえば、１つのx に対して1 つだけ対応してるので、この
やり方は 325 に書いてあるやり方ではない。RxR の部分集合で考える
のが 325 のやり方。332 は関数のグラフとはいわないが、値域が部分
集合の族のときはこのように表すこともできるということ。
あってることはあってます。ただ濃度が等しくなるという議論はぬけて
いる。(以下ということしか示していない、それでよいのなら正しい。)

だからベルンシュタインだってば。