数学の質問スレ【大学受験板】part35

数学の問題に関する質問をどうぞ。参考書・勉強の仕方等は各専用スレで。

質問をする際の注意
・その問題をどこまで解いたのか、どの部分が分からないのか、具体的に書く。
・必要と思われる場合は、自分がどこまで履修済みか書く。（例：1A2Bまで）
・数式を書くときは、極力誤解のない書き方をする。
　例えば、1/2aより、(1/2)a あるいは 1/(2a) のように書いた方が分かりやすい。

数学記号の書き方
http://members.at.infoseek.co.jp/mathmathmath/
図・グラフ掲示板
http://www6.tok2.com/home2/wi2003/cgi-bin/bbs3/bbsnote.cgi

前スレ
part34
http://school4.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1093350731/

それ以前は>>2-10あたり

part16 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1054193413/
part17 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1056518836/
part18 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1058461770/
part19 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1060183061/
part20 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1061665677/
part21 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1063269681/
part22 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1065931301/
part23 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1067761519/
part24 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1069023159/
part25 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1071117417/
part26 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1073739135/
part27 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1075254162/
part28 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1076522562/
part29 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1078963285/
part30 http://school3.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1083211973/
part31 http://school4.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1085308650/
part32 http://school4.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1088072580/
part33 http://school4.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1090668420/

part1 http://school.2ch.net/kouri/kako/1016/10160/1016008085.html
part2 http://school.2ch.net/kouri/kako/1020/10200/1020087580.html
part3 http://school.2ch.net/kouri/kako/1025/10257/1025785783.html
part4 http://school.2ch.net/kouri/kako/1029/10298/1029866597.html
part5 http://school.2ch.net/kouri/kako/1032/10320/1032026826.html
part6 http://school.2ch.net/kouri/kako/1033/10334/1033469482.html
part7 http://school.2ch.net/kouri/kako/1036/10367/1036785888.html
part8 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1040034565/
part9 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1042765761/
part10 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1044101232/
part11 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1044828874/
part12 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1045895181/
part13 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1047118250/
part14 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1049381621/
part15 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1052403965/

【掲示板での数学記号の書き方例】
■数の表記
　●スカラー：a,b,c,...,z, A,B,C,...,Z, α,β,γ,...,ω, Α,Β,Γ,...,Ω, ... （← ギリシャ文字はその読み方で変換可．）
　●ベクトル：V=[V[1],V[2],...], |V>, V↑, vector(V) （← 混同しない場合はスカラーと同じ記号でいい．通常は縦ベクトルとして扱う．）
　●行列（１成分表示）：M[i,j], I[i,j]=δ_[i,j]
　●行列（全成分表示）：M=[[M[1,1],M[2,1],...],[M[1,2],M[2,2],...],...], I=[[1,0,0,...]',[0,1,0,...],...] （← 行（または列ごと）に表示する．）

■演算・符号の表記
　●足し算：a+b
　●引き算：a-b
　●掛け算：a*b, ab （← 通常"*"を使い，"ｘ"は使わない．）
　●割り算・分数：a/b, a/(b+c), a/(bc) （← 通常"/"を使い，"÷"は使わない．）
　●複号：a±b=a士b, a干b （← "±"は「きごう」で変換可．他に漢字の"士""干"なども利用できる．）
　●内積・外積・３重積：a・b, aｘb, a・(bｘc)=(aｘb)・c=det([a,b,c]), aｘ(bｘc)

■関数・数列の表記
　●関数：f(x), f[x]
　●数列：a(n), a[n], a_n
　●平方根：√(a+b)=(a+b)^(1/2) （← "√"は「るーと」で変換可．）
　●指数・指数関数：a^b, x^(n+1), exp(x+y)=e^(x+y) （← "^"を使う．"exp"はeの指数．）
　●対数・対数関数：log_{a}(b), log(x/2)=log_{10}(x/2), ln(x/2)=log_{e}(x/2) （← 底を省略する場合，"log"は常用対数，"ln"は自然対数．）
　●三角比・三角関数：sin(a), cos(x+y), tan(x/2)
　●行列式・トレース：|A|=det(A), tr(A)
　●絶対値：|x|
　●ガウス記号：[x] （← 関数の変数表示などと混同しないように注意．）
　●共役複素数：z~
　●転置行列・随伴行列：M', M† （← "†"は「きごう」で変換可．）
　●階乗：n!=n*(n-1)*(n-2)*...*2*1, n!!=n*(n-2)*(n-4)*...
　●順列・組合せ：P[n,k]=nPk, C[n.k]=nCk, Π[n,k]=nΠk, H[n,k]=nHk （← "Π"は「ぱい」で変換可．）

■微積分・極限の表記
　●微分・偏微分：dy/dx=y', ∂y/∂x=y,x （← "∂"は「きごう」で変換可．）
　●ベクトル微分：∇f=grad(f), ∇・A=div(A)，∇ｘA=rot(A), (∇^2)f=Δf （← "∇"は「きごう」，"Δ"は「でるた」で変換可．）
　●積分：∫[0,1]f(x)dx=F(x)|_[x=0,1], ∫[y=0,x]f(x,y)dy, ∬_[D]f(x,y)dxdy, �点[C]f(r)dl （← "∫"は「いんてぐらる」，"∬��"は「きごう」で変換可．）
　●数列和・数列積：Σ_[k=1,n]a(k), Π_[k=1,n]a(k) （← "Σ"は「しぐま」，"Π"は「ぱい」で変換可．）
　●極限：lim_[x→∞]f(x) （← "∞"は「むげんだい」で変換可．）

■その他
　●図形："△"は「さんかく」，"∠"は「かく」，"⊥"は「すいちょく」，"≡"は「ごうどう」，"∽"は「きごう」で変換可．
　●論理・集合："⇔⇒∀∃∧∨¬∈∋⊆⊇⊂⊃∪∩"は「きごう」で変換可．
　●等号・不等号："≠≒≦≧≪≫"は「きごう」で変換可．

※ ここで挙げた表記法は１例であり，標準的な表記法からそうでないものまで含まれているので，後者の場合使う時にあらかじめことわっておいたほうがいい．
※ 関数等の変数表示や式の括弧は，括弧()だけでなく[]{}を適当に組み合わせると見やすい場合がある．
※ 上記のほとんどの数学記号や上記以外の数学記号は大体「きごう」で順次変換できる．

前スレの997でa/√3・（1,√2）の部分がいまいちわからないのですが
教えてください。ちなみに数学板行ってないのでコピペではないんですが
同じ質問があったらすいません

数学の漸化式の問題です。お願いしますm(__)m

ａ(1)＝２
　　　　　　　　　　　
ａ(ｎ＋1)−ａ(ｎ)＝−１／ｎ(ｎ＋２)

一般項を求めよ。

998 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：04/09/25 17:07:06 ID:/FdbEWJu
>>997
傾きルート2かつ長さa

-1/{n(n+1)}=1/(n+1) - 1/n
a_(n+1) - 1/(n+1)= a_n - 1/n
あとは分かるだろ。

他スレでも聞いているのですが、質問させてください。

現在二浪目の文系のものなんですが、
センター数学科目の中に「情報」という強化が入っていたんですが、
これは今から始めても間に合いますか？
また、受験用の参考書や問題集は出版されていますか？

>>9
すみません。そこから先が特にわからないので、教えてくださいm(__)m

>>10
取り扱ってるのも有った気がする。
てか、あんまりそれやってる人いないと思うから、
解答は期待しないほうが良いよ。

a_(n+1) - 1/(n+1)= a_n - 1/n=b_nとおく。
b_(n+1)=b_n
b_n=b_(n-1)
…
よって、
b_n=b_1=a_1-1=1
a_n - 1/n=1
a_n=1/n + 1
こんなもの考えれば思いつくはずだ。
思考力をもっとつけよう。

揃いも揃って問題読み間違えるなよ。

>>13
ありがとうございます。
でも、問題集の答えは

5/4＋【2n＋1/2n(n＋1)】

になるんですが・・・

なに

a_n
=2+(1/2)*{1/(n+1)+(1/n)-(1/2)-(1/1)}
=(5/4)+(2n+1)/{2n(n+1)}
=(5n^2+9n+2)/{4n(n+1)}

-1/{n(n+1)}=1/(n+1) - 1/n
ここで間違えてるジャンｗ

a_n-a_(n-1)
a_(n+1)-a_(n)
をならべて足せば出るな。多分。

>>17
ありがとうございました(>_<)！！
ずっと悩んでたので助かりましたm(__)m

>>10
情報関係基礎は過去問しかないから、素直に数２Ｂとったほうがいいよ

>>12>>21
レスサンクスです。
>>21
一応さっき過去問を覗いてみたんですが、やはり参考書無しでは解けそうもありませんでした。
表計算の問題もあったんですが、エクセルとは少し違うようでした・・・

>>22
問題キボン

この問題の２−（２）を分かりやすく解説してください。

ttp://www.yozemi.ac.jp/nyushi/sokuho01/hokkaido/zenki/index.html

↑
文系のほうの２−（２）です

>>25
(1)が何のためにあるのか考えてみよう
実験させておいて、一般化してるだけだよ

>>6
PQ↑は傾きが√2だから(1,√2)に平行で、この向きの単位ベクトルは(1/√3)(1,√2)
PQの長さがaだから
PQ↑=(a/√3)(1,√2)

>>22
情報関係基礎は大学や学部によっては選択できないところもあるから注意。

>>24
答えがある。それでわからないならどこがわからないのかわかりやすくかいて。

>>8>>27
ありがとうございます

>>26-27

（１）の作業を繰り返してみたら、（２）が分かりました
解答例とは違う解法になったけど、
要は>>26さんの言う通りでした
ありがとうございました

同じ形の4個のサイコロを振って出る目の組み合わせは何通りあるか。
という問題が分かりません。同じ形のって言う事は(1,2,3,4)と
(2,1,3,4)などは区別しないってことだから重複組み合わせかな？と
思うのですがどうでしょうか。

>>30
重複組み合わせでいいよ。
C[9,4]になるかな。

>>31
それだと126通りになりますよね？だけど手元の問題集には71通りと
書いてあるんです。どうして？？と思うのですが答えしか載ってないんで
どういう考え方で71通りになるのか全く分かりません。僕は>>31さんと
同じように異なる六個の目から重複を許して4個とる組み合わせかな？と
思ったのですが…解答が間違ってるのかな？

>>32
そりゃ明らかに解答がおかしいよ。違う問題の答えじゃないの？

任意なｎ角形上に二点A,Bをとる。このとき
　・AからBまでの右回りの周に沿った長さと、左回りの周に沿った長さは等しい。
　・直線ABはｎ角形の面積を二等分する。
を共に満たすA,Bが存在することを示せ。

シャーペンが動きません。どなたかお願いします。

logの２乗ってどう計算するんですか？

>>35
logを2乗するんじゃないか?

例えばlog２なんかは２乗するといくつになる？

(log2)^2

そうか。分かりました。

>>34
多角形（閉曲線ならなんでもいい）が凸ならこんな感じ。

周の長さをL、面積をSとしよう。
今、適当に周上に点Oをとって、周上の位置をOから右回りに進んだ長さxで表す。（0≦x≦L）
点Aが位置xにいるとき、1番目の条件をみたすBはx+1/2の位置にいる。
このとき、Aの右側の周と直線ABで囲まれた部分の面積をf(x)とすると、f(x)は明らかにxについて連続。
f(0)=S/2なら問題ないので、今f(0)<S/2とする。
すると、f(0)+f(L/2)=Sだから、f(L/2)>S/2。
よって、中間値の定理より、0<x<L/2で、f(x)=S/2となるxが存在する。

凸じゃない場合も含めるともう少し工夫がいりそう。

(log[a,x])'=(logx/loga)・・・A
ここで(logx)'=1/xだから
(1/loga)・(1/x)=1/xloga
とあるのですが、
(u/v)'=(u'v-uv')/v^2の公式をAで使う事は出来ないのでしょうか？
(loga/x-logx/a)/(loga)^2
=(aloga-xlogx)/ax(loga)^2
ここからどうすれば1/xlogaにたどり着けるのか分からない・・・。

>>41
logaは定数だから、xで微分したら0だよ。

あー！
logx/aとしているところが0になって(loga/x)/(loga)^2=1/xlogaですね。
レスありがとうございました。

>>41
そこでその公式は意味ないんだけど・・・

v=loga=定数
v'=0

(u/v)'
=(u'v-uv')/v^2
=(u'v)/v^2
=u'/v

定数vはそのまま係数として外に出ただけ

ヘボい問題失礼します。一年です。
「箱の中に１から１０までの１０枚の番号札が入っている。この箱の中から３枚の番号札を一度に取り出す。
最大の番号が８以上で、最小の番号が２以下である確立を求めよ。」

お願いします

ここは宿題を代わりにやるスレではないのだが

一応受験意識してやってるんですが

>>45
全部で選び方が何通りか？
最大が8以上で、最小が2以下の選び方が何通りか？

それぞれ求めて割り算。

下の方は最大10、最小1なら間は2〜9まで何でもいいから8通り。最大9、最小1の場合は…って考えていって足せばいい。

ジョーカーを除いたトランプ５２枚の中から１枚のカードを抜き出し、
表を見ないで箱の中にしまった。
そして、残りのカードをよく切ってから３枚抜き出したところ、
３枚ともダイアであった。
このとき、箱の中のカードがダイヤである確率はいくらか。

答えが１／４になる理由がわかりません

>>49
よくわからん問題だが
>そして、残りのカードをよく切ってから３枚抜き出したところ、
３枚ともダイアであった。

この部分を考えなければ単純に52枚のなかから1枚を抜き出したことになる
よって答えは1/4　ってことじゃないのかな？
引用した部分には既に箱に入れた1枚とは関係ない独立試行だし

再来年のセンター数学は

数�TA、数�UBとも、内容（三角比、数列、幾何など）の変更はありますか？
複素数平面がなくなることは知っているんですが、他の内容が知りたいです。
現役3年生ですが、浪人も視野に入れています。

宜しくお願いします。

>>49
＞そして、残りのカードをよく切ってから３枚抜き出したところ、
"よく切って"なら確率は1/4じゃなくないか？

「よくきって（ランダムに）１２枚抜き出したら全部ダイヤだった」って言ったとき箱の中のカードがダイヤである確率は低いよね。
それに対し「第３者が表をみながらダイヤを１２枚選んだ」ってなら1/4のまま。

もちろん１３枚ダイヤを抜き出したら確率はどちらの場合も０だわな。

なんで後の動作によって、それより前に行う動作の確率が変わるんだ。

>>53
後から１３枚抜き出しても1/4ですか？マリックさんならわかるけど…

後に何しようが、52枚から1枚引いてダイヤである確率は1/4だよ。

あぁ、後からダイヤ13枚取り出せたら話は変わるだろうけど、>>52の問題では少なくともね。

>>55
問題読んだ？１枚だけでなく４枚引いてるんだよ？
箱に入れないで４回戻さずにカードを引くって考えればわかりやすいかも。
「４回連続でダイヤを引く確率」と「１回目がダイヤ以外で２〜４回目がダイヤである確率」
どちらが高いか考えてみるべし！

>>57
最初の1枚がダイヤの確率は1/4だろ｡｡｡

>>58
"戻さず"にって言ってるのに＿|￣|○

じゃもっと単純に考えよう。
ハート、ダイヤ、クローバー、スペードが１枚ずつ計４枚あります。
この４枚を戻さずに３回ひいた。１枚目は裏のままで２枚目はハート、３枚目はスペードでした。

１枚目がダイヤである確率は？１枚目がクローバーである確率は？１枚目がハートである確率は？１枚目がスペードである確率は？
それぞれの確率を全て足したらいくつ？

>>49
こちらのスレなどで昔から散々ｶﾞｲｼｭﾂの問題
昔の某大学の入試問題で
http://news13.2ch.net/test/read.cgi/news/1096099922/l50

条件付確率の問題として解くと答えは1/4ではないのだが
どう考えても1/4だろって意見もあり不毛な議論が続いてる。
多分２ちゃんではどこで聞いても両方の意見が出て収拾が付かなくなると思うから
ちゃんとした答えが欲しければガッコの先生に聞くのをお勧めする。

>>59
結局1/4だよ。他の取ったカードが何であろうが「1毎目がダイヤである確率」は1/4。

つまり、2枚目3枚目で何を取っていようが、それを考慮する「1枚目がダイヤ2枚目が…」という問題でない限り、1/4。

この問題は後にカードを取り、そのカードを見ているが、そのカードの確率が考慮されない限り1/4。

カードがダイヤであるとか無いとか断定出来る状況は覗いている。

あ違う

後に抜いたカードで無いことが分かるから
52枚のカードに対し、ダイヤでない2枚を抜くと

13/50

m枚取ってダイヤがn枚出てたら

(13-n)/(52-m)

これで13枚ダイヤが出た時に確率が0になるし、ダイヤ以外の39枚を取った時に確率が1になるし、整合性が出るな。

よしよし。

52→51

1のn乗根の問題って数Bの範囲でしたっけ？

>>65
そう
複素数の範囲

>>65
のう
指数関数の範囲

eの定義についてなんですが、

lim_[h→±∞]（1＋1/h）^h＝e

どうしてマイナス無限大でもOKなのか、がわからないのでお願いします。

>>68
1/h=t とおいてみよう。

>>65
1のｎ乗根という言葉を習うのは指数関数の範囲。
その値を複素数の範囲で求めろってのは複素数平面の範囲。

1のｎ乗根って入試にででるっけ？

>>68
(1+1/h)^h→e (h→∞)を許すと

(1+1/h)^h
={1-1/(h+1)}*{1-1/(h+1)}^{-(h+1)}
→1*e (h→-∞)

Ａ（1，1，1）、Ｂ（3,4,2）、Ｃ（2,3,2）の時
ＡＢベクトルのＡＣベクトルへの正射影ベクトルを求める場合どのようにして求めればいいのでしょうか？

>>73
内積

>>73
(|AB↑|/|AC↑|)AC↑
=(√14/√6)AC↑

>>73
ごめん>>75は間違い
AB↑・AC↑）/(|AB↑||AC↑|)AC↑

>>76
2ベクトルのなす角のcosにＡＣ↑をかけるってことなんでしょうか？
答えは（3/2,3,3/2）なんですが合わないんです

>>73
AB↑･AC↑/AC^2*AC↑
=9/6 * AC↑
=答え

>>76も違ってる
ACベクトルと同じ向きで大きさが|AB↑|cosθ
(AB↑・AC↑)/(|AC↑|^2)AC↑
=(3/2)AC↑
が正解

幾何的な意味としては成す角のcosに長さABを掛け、投射した時の長さを出し、投射する対象のベクトルの単位ベクトル(向きが同じで長さ1)に掛けるといったこと。

このぐらいなら初頭幾何で出せそうだな。

大体理解できました。単位ベクトルをかけるのはどうしてなんでしょうか？

>>82
長さを合わせるため。

ａ(1)＝4、ａ(n+1)=｛a(n)+9/a(n)｝/2 (n=1,2,3,4,5,...)によって定義されている数列｛a(n)｝がある。

(1)　　　a(n)>3 (n=1,2,3,..)を証明せよ。
(2)　　　a(n+1)-3<｛a(n)-3｝/2 (n=1,2,3,4...)を証明せよ。
という問題で(1),(2)はとけたんですが、
(3) a(n)<3+(1/2)^(n-1) (n=2,3,4,5,...)

が解けませんどなたか助けてください！！よろしくお願いします！！

>>84
(2)よりｎ≧2のとき
a(n)-3
＜{a(n-1)-3｝/2
＜{a(n-2)-3｝/2^2
…
＜{a(1)-3｝/2^(n-1)
＝(1/2)^(n-1)
よって
a(n)＜3+(1/2)^(n-1)

xはaで割ると余りが1になる数とします。

xを何乗してもaで割ると余りが1になるのはなぜですか？

おねがいしまつ

＜{a(n-1)-3｝/2
＜{a(n-2)-3｝/2^2

すみません
ここの変化かよくわかりません。

単純計算が一番ダメです。ﾍﾎﾞｲ質問ですがどうかお願いします

x^2+y^2=(x-63)^2+y^2=(x-15)^2+(y-20)^2
の簡潔な解きかたを教えてください。
解は　x=63/2 y=(-8)
なんですが、どうにもそうなりません。

>>86
x≡1 (mod a)
x*x≡1*1 (mod a)
つまり、
x=ka+1とおくと
x^2=a(k^2a+2k)+1

>>88
君がやってる計算手順を書いて

>>85

＜{a(n-1)-3｝/2
＜{a(n-2)-3｝/2^2

すみません
ここの変化かよくわかりません。

a_n-3=b_nとおけば
∀n∈N b_(n+1)<b_n
だから

訂正
a_n-3=b_nとおけば(2)より
∀n∈N b_(n+1)<(b_n)/2
だから

>>91
a(n+1)-3＜{a(n)-3}/2
だから
a(n-1)-3＜{a(n-2)-3}/2
でしょ。
これを
{a(n-1)-3}/2
に代入すれば不等式が成り立つ。

>90
展開して代入して…をやってる内にごちゃごちゃになってしまうんです…

>>89
x≡1 (mod a)
は分かるのですが、それの
x*x≡1*1 (mod a)
への変形がさっぱり分かりません。

しつこくてごめんなさい。

>>93、94
おかげ様でわかりました！！これで安心して眠れます！！
ありがとうございました！！！！

>>96
p≡q,r≡s(mod a)のときpr≡qsが成り立つ。
p=r=x,q=s=1とすればOK

左2辺を展開整理して
2*63x=63^2
x=63/2
最右辺と最左辺を展開整理して
30x+40y=225+400
xの値を代入して、
40y=625-63*15=625-945=-320
よって
y=-8

>>96

>>98なんだけど、それで分からなければ>>89の後半みたいなことが起こってると思えば良いよ。

>>98,>>100
分かりました！modの式の変形(modの定理？)が納得できない思いがありましたが、今は納得できました。
どうもありがとうございます。

>99
ありがとうございます
やはり途中の単純計算で間違っていたようです･･

上で話題になっている確率の問題について。
大数'92.11臨時増刊からの抜粋

…あるいは、もっとアッサリと、52本中に13本のアタリがあるクジビキで、
2〜4番の人がアタリを引いたとして、1番目の人がアタリを引く確率を求め
てもよい。クジビキは神様の順列で、2〜4番の人が引いたアタリ3本を除い
た残りの49本のどれを1番の人が引いたかは、同じ程度に確からしい。そし
て、49本中のアタリは13-3=10本である。
　よって、求める確率は、明らかに10/49である。…

幾つか解答が載っているけど、一番面白そうな解答を選んでみた。
ちなみに、1976年の早稲田の問題だそうだ。

y=log|2x-5|を微分する。
u=2x-5とおけばy=log|u|
dy/dx=(dy/du)・(du/dx)=(1/u)・2
とあるのですが、(1/|u|)・2ではないのでしょうか？

>>104
一般に log|x| を x で微分すると 1/x ですが何か？
不安なら自分でちゃんと証明すれば良いだろ。
x>0 のとき
(logx)'=1/x
x<0 のとき
(log(-x))'={1/(-x)}*(-x)'
=(-1/x)*(-1)
=1/x

�UBの青ﾁｬｰﾄを買いに行って間違えて新課程を買ってしまったのですが、新課程はどこが新しくなっているのですか？そしてこれをこのまま使っていても大丈夫でしょうか？

返品してこれば?

xyz空間で点と平面じゃなくて、点と直線の距離を求める公式ってありますか?

あれを公式というのかどうかわからんけど
点と平面の距離と同じじゃないの？

>>108
外積を使えばある。

でも、空間での直線の方程式は＝が二ついるじゃない？
どうやって代入するの?

>110どういう奴ですか?

空間内の直線が点A（a↓）を通り、方向ベクトルがｄ↓とすると
点と直線の距離は

｜（a↓）X（ｄ↓)｜/｜ｄ↓｜

>>113
イメージ的には

距離＝(平行四辺形の面積)/(底辺)

みたいな感じですか？

>>114
そうです。
さっきの式は原点との距離でした。
原点以外の点との場合は適当に修正してください。

>>115

ありがとうございました。

や、めっちゃどうでもいい事なんだけど、ド忘れしちまったんで。

判別式作るときにさ、ax^2-(b+1)x+cって、xにかけてある数がマイナスだったら、

D=-(b-1)^2-4acってなるんだっけ？　最初にマイナス付くか付かないか微妙…。orz

それはど忘れじゃなくて、理解していないんじゃないか？
ax^2+bx+c=0
だったら、D=b^2-4acだ。
bが-(b+1)に変わったらどうなるんだ？

>>118
>>117は釣りだろうさすがに。

y=x√(x^2+1)+log(x+√(x^2+1))
これを微分する問題なのですが、どうしても答えと合いません。
x√(x^2+1)=x(x^2+1)^(1/2)
この式を微分すると(2x^2+1)/√(x^2+1)
log(x+√(x^2+1))を微分すると
(1+1/2(x^2+1)^(-1/2)・2x)/(x+√(x^2+1))
=(1+x/√(x^2+1))/(x+√(x^2+1))
となって、この二つを足しても解答の2√(x^2+1)になりません。
どこで間違えているのでしょうか。

>>117
a が a , b が -(b-1) , c が c なので
D={-(b-1)}^2-4ac です。

>>120
＞この二つを足しても解答の2√(x^2+1)になりません。
ここで間違えています。

解けません・・・計算手順を教えて下さい。

y=x√(x^2+1)+log(x+√(x^2+1))
y'=√(x^2+1)+x*x/√(x^2+1)+{1+x/√(x^2+1)}/(x+√(x^2+1))
=(2x^2+1)/√(x^2+1)+(x+√(x^2+1))/{(x+√(x^2+1))√(x^2+1)}
=(2x^2+2)/√(x^2+1)
=2√(x^2+1)

>>122
自分で信頼できるだけの自分の計算力をつけよ。

>>123
ありがとうございました。
3行目までは計算できたんですが、
そのあと
(x+√(x^2+1))/{(x+√(x^2+1))√(x^2+1)}
が
1/√(x^2+1)
になるのがわかりませんでした_no

教えてください。。。
正方形を縦横それぞれ8等分した東西9条、南北9条の街路がある。
南西の端から東北の端へ遠回りをしないで行く道筋の中で、
点対称なもの、線対称なものは、それぞれ何通りあるか。
お願いします。

>>126
点対称：ド真ん中の点に関して点対称ってことね。正方形を縦横4分割して考える。（田の字型に）
左上の部分を通るとしたら点対称な右下の部分も通らなければならないが、
最短距離を通るとしたら左上と右下を両方通るということはありえない。
したがってド真ん中の点を通ることになる。
また左下の部分の通り方を１つ決めればそれに対応して点対称に右上の部分の通り方も１つに決まるから
左下の5×5の道の部分の通り方だけを数えればよい。

>>127
すばやいレス有り難うございます！
理解できました。
線対称の場合はどうなるのでしょうか。。。

>>126
線対称：まず正方形の対称の軸は縦横十字の2本と斜めの対角線2本の計4本である。
縦の軸を対称の軸とすると、南西の頂点に対応するのは南東の頂点、北東の頂点に対応するのは北西の頂点だが
最短距離で行くためには南東の頂点と北西の頂点を同時には通れない。
したがって縦の軸は対称の軸にはならない。横の軸も同様。
斜めの2本の軸のうち南西と北東の頂点を結んだ線が対称の軸のときについては
南西の点から1歩右に進んだとすると南西の点より１つ上の点も通らなければならないが、これはまずい。
最初1歩上に進んだとしても今度は南西の点の１つ右の点も通らなければならなくなり、まずい。
したがって、対称の軸としてありえるのは北西と南東を結んだ対角線のみである。

このとき対称の軸上に９つの点があるが、この対角線上の点に到達するまでの通り方を１つ決めれば残りの通り方も対称に１つに決まるので
この９つの点それぞれについて到達のしかたを何通りか計算して、全部加えればよい
（９つのうちどの点も同時に通ることはないので普通に足せる）

ちなみに、東北じゃなくて北東だと思うぞ。

>>129
有り難うございます！
丁寧に書いてくれたので私にも理解できました。
＞ちなみに、東北じゃなくて北東だと思うぞ。
そうですね。。。(^^;

私が出そうとした問題がそのまんま載ってた
ありがとう　>>126 & >>129

問題に関する質問というか、答えに関する質問です。

問題を解き終わった後、（証明終）や（答）なんかを最後に書き忘れてしまうんですが、
この、最後の記述は絶対書かなければいけないのでしょうか？

絶対ってことはないけど、
どの部分が最終結果なのかを採点者に伝えるのは大事。
答のところには下線をひく、というのはその手段のひとつ。

>>132
分かるように示していれば○
証明終わりにはQ.E.Dという書き方もある。
Quod Erat Demonstrundum(書く示された)
の略で、オレは多用する。

((1+h)^n)/n の極限を求めろって問題です。

解説に、(1+h)^n ＞ 1+nh+(n(n+1)h^2)/2 より・・・・


と、あります。
おそらく二項定理からでしょう。
この場合、　(1+h)^n ＞ nh だけでも、問題解けるんですが、
(1+h)^n ＞ nh だけじゃあダメなんですか？　弱いんですかね？

>>133-134
なるほど、確かにちゃんと確実に分かるように示さないといけませんねー、、
ありがとうございました。

>>135
その部分が２項定理だとわかるように書いたのかな。

>>135
(1+h)^n>nh だけでも解けるのならばかまわない。
それでダメなのか、弱いのかを判断するためには問題を書いてもらう必要がある。
「((1+h)^n)/n の極限を求めろ」では問題として不充分であるのは間違いない。
たとえば、h>0 , n は自然数で、n→∞ での極限を求めるのであればその条件では不充分に思われる。

>>138
あぁ、そうだね。。。

三角形OABの辺OAを１：２の比に内分する点をM、
辺OBを２：５の比に内分する点をNとし、
線分AN、BMの交点をCとする。また、点PはOP↑＝s(OA↑)＋t(OB↑)
（s,tは実数）と表される点とする。
（1）OP↑＝3s(OM↑)＋t（OB↑）だから、点Pが直線BM上にあるための条件は
　　□s＋t＝□である。
（2）点Pが線分AN上にあるための条件は、□s＋□t＝2　かつ　□≦s≦□である。
（3）点Pが点Cと一致するとき s=□/□□,t＝□/□□　であり、三角形ABC の面積
は三角形OABの面積の□□/□□倍である。

最初のOP↑＝3s(OM↑)＋t（OB↑）はわかりましたが、
あとがぜんぜんわかりませんでした・・・。
宜しくお願いします。

st平面上において、(1,0)にAを、(0,1)にBをとると
Mは(1/3,0)、Nは(0,2/7)となる。
直線ANの式は2S+7t=2,AN上にPがあるためには0≦s≦1
(3)の前半は直線ANと直線BMの交点を求めるだけ

OP↑＝□s(OM↑)＋t（OB↑）
が
OP↑＝３s(OM↑)＋t（OB↑）
この部分が分かっただけです。
説明不足すいませんでした・・・。
宜しくお願いします。

>>142
一応>>141は>>140へのレスなんだが

>>140
2点A,Bを通る直線:
OP↑=sOA↑+tOB↑　t+s=1

ちゃんと教科書のベクトル方程式の所に書いてある。
これを使うだけで解ける問題。
最後の面積の問題は、直線OCとABの交点をDとすると、DC:DOが高さの比になる。

>>141
st平面上ってことは、座標において考えるということですか？？
もう少し詳しく教えていただけないでしょうか？
宜しくお願いします。

>>145
教科書に載っているようにやってもいいし、
OA↑、OB↑は1次独立なのでOA↑、OB↑を基底にして
st平面を考えると簡単な直線の式を求める問題になる。

>>145
受験用には、>>144をお勧めします。てか教科書読もうな。

問「実数aに対して、関数y=-x^2+aのグラフと円x^2+y^2=2を考える。このとき、２つの曲線が接するときのaの値を求めよ。」
というもので解答が
解「y=-x^2+a…�@　x^2+y^2=2･･･�A
�@と�Aを連立した　y^2-y+a-2=0･･･�B
1)�@が重解をもつとき　y-a=0
これを�Bに代入　a=√2,-√2
2)�Bが重解をもつとき　a=7/4」
となっていました。僕は図で場合わけをして解いたのですが、解答の「1)�@が重解をもつとき　y-a=0」というところの意味がさっぱりわかりません。何のためにしてるのでしょう？教えてください。

判別式

>>148
その解答って板書写したりしたやつ？
それとも書籍か何かの解答？
明らかに解答が間違ってると思う。

y^2-y+a-2=0･･･�B
この式のｙが重解を持てばいいから
9-4a=0
∴a=9/4
これが解答だと思うけど。。

>>150
それは違うってか、確かに解答は答えは合ってるよ。一般に曲線と曲線では接することと重解をもつことは同じとは限らないから。

>>149
何のための判別式？？

ああ。もう一つの場合分けもしないといけないな。。
150の解等に付け加えて
a=+√2、-√2
うっかりしてた

>>151
確かに148は計算ミスはしてるが。

図書くと簡単だけど、この解答はさっぱり。ちなみに、出典は塾テキストの解答。どっかの業者作成。

>>153
そのa=√2,-√2の解答の導き方がなぞ。

ｘ＾２−２ｐｘ+１＝０の１つの解が３より大きく
他の解が３より小さくなるときの定数ｐの値の範囲はｐ＞□である

って問題なんすけど答えは５/３になるのですが
途中の過程が分からないので教えてください。。

>>157
解の公式で-のほうを3以下として、大きいほうが3以上って式をとけばでないの？

>>157
もっと簡単だった。x=3代入して負になればいいじゃん

>>156
a=+√2、-√2
これは放物線が円の一番上と、一番下と
それぞれ接するときの条件。
導き方というか>>151の言うとおり曲線同士が接する条件は単に解の個数では議論できないから、
幾何的に場合分けするしかないと思う。
この場合は円にかぶさるようにか、円の一番上、一番下にそれぞれ接する場合があるから、
それぞれに的を絞って計算するしかないんじゃない？
だれか補足お願い。。

>>159
サンクス、あんた天才だ！！

>>156
�Bはxを消去してるから、円を関数として考えるためにy方向に半分にして考えてることになるから
端点は別の方法じゃないと出ない。で、多分1）は、yを定数(横線)と考えて、一度直線に重解条件を移して、改めて�Bの式で考えてるのかな。
どのみち、わかりづらい解法だ。

>>148
円の一番上、一番下の部分と放物線が接する場合分けをした上で、
このときx=0は明らかだからこれを�@に代入してy-a=0
っていう式が出たんじゃない？

でもそれだと重解って書いてる意味がなくない？？

というかそもそも�@は関数であって方程式ではないから重解云々の議論が出来ないはずだけど。。

だからY=yみたいな定数関数との重解みたいに捕らえてるんじゃないのかな。>>162みたいな。

やっぱり定数関数としてみたとして、
仮に判別式から重解を持つ条件としてy-a=0
が出たとしても、式としてまったく意味のないような。。
それを�Bに当てはめたところで意味不明な式でしかない。。

>>162
xを消去したところで円を半分にしてることにはならないんじゃない？
端点って言うのは何を指してるの？
やっぱりｙを定数とは考えられないと思うんだけど。。

暇だなこんなのどう?
Y=-y+aとおく。
Y=x^2
よって、
Y^2+Y(1-2a)+a^2-2=0かつ
Y≧0
これが重解を持つので、
4a=9
∴a=9/4
また、Y=0の時、1-2a>0の下で、
a^2=2
∴a=-√2

xを消したってことはx=±√(y^2-2)を代入してるから、半分にしてるのと同じだと思う。端点は円を縦割りしたときの上と下。
定数関数としてみたとして、判別式から重解を持つ条件としてy-a=0とすると、・・・の意味は確かにいまいち。

てかこの解答もともとおかしくない?明らかに3点接触してない?a=√2の時。

x=±√(y^2-2)を代入したんじゃなくて
x^2=a-yだよ
式�Bは�@、�Aの連立式と同値だから�Bは�@、�Aの連立式の定義域で成立してるよ。
>>端点は円を縦割りしたときの上と下。
これは具体的に言うと(0,-√2)、(0,√2)の２点のこと？

>>170
√２のとき確かに３点で交点を持ってはいますがそのうちの一点は接しているので
命題の接するという条件を満たしてるので適当だと思います。

質問です。
鋭角三角形ABCにおいて、AB上に点D、BC上に点E、CA上に点Fをとる。
DE+EF+FDが最小値を取るとき、AB⊥DC、BC⊥AE、CA⊥BFを示せ。

という問題が分かりません。

>>173
座標設定して計算で押していけばできそう
もっと簡単な幾何的な解き方があるんだろうけど

>>173
例えば、Dを固定したとき、DとBCに対して対称な点をG、DとCAに対して対称な点をHとしたとき、GHとBC,CAとの交点をそれぞれE,FとすればDE+EF+FDが最小になる。

ということを使わないと計算が厳しいかも。

x軸に平行な直線を微分すると結果は０ですか？

もちろん

f(θ)=cos2θ＋2sinθ＋1の最大値と最小値、そのときθの値をそれぞれ教えてください！

極大値はθ＝π/4のとき1+√2
極小値はθ＝3π/2のとき-2

>>176
x 軸に平行な直線によって表される関数は x に関する定数関数となります
x に関する定数関数を x について微分すると 0 になります。
微分の質問をするのであれば、どの関数をどの変数について微分するのかを書きましょう。

>>178
f(θ)=-2sin^2θ+2sinθ+2
t=sinθ とおく (-1≦t≦1)
-2{t-(1/2)}^2+(5/2)
t=1/2 すなわち θ=(1/6)π+2nπ , (5/6)π+2nπ のとき最大値 5/2
t=-1 すなわち θ=(3/2)π+2nπ のとき最小値 -2

二次曲線上の点(x_1,y_1)における楕円の接線の方程式の証明で
x^2/a^2+y^2/b^2=1
微分して
2x/a^2+(2y/b^2)(dy/dx)=0
dy/dx=(-2x/a^2)・(b^2/2y)=-(xb^2/ya^2)
y=-(x_1b^2/y_1a^2)(x-x_1)+y_1
a^2(yy_1-(y_1)^2)+b^2(xx_1-(x_1)^2)=0
などとやってみましたが解けませんでした。
計算手順を教えて下さい。

>>181
その計算でできてるよ。
あとは、（x_1,y_1）が楕円上の点であることを使えばいい。

>>182
解けました！ありがとうございました。

>>180
ありがとうございました！

△ABCは円Oに内接し，AB＝AC＝4，BC＝3とする。頂点Aを通らない弧BC上を点Pが動く。
(1)BPとCPはxについての2次関数x^2-2xAPcosB＋AP^2-16＝0の解であることを示しなさい。
(2)BP＋CPの最大値を求めなさい。

全然わかんないのでおねがいします。

>>185
(1)△PBCに余弦定理を適用
(2)解と係数の関係

細野真宏さんので「〜が面白いほどわかる本」と「〜が本当にわかる本」の二冊がありますが
違いってなんなんですか？どちらか買うつもりなので教えてください！

先日、東京聖徳学園の職員採用試験を受けました。
筆記試験のとき、副理事長とかいう奴が出てきて、
自分の話を聞かない志願者に一喝！
でもよく考えてみてよ。まだお宅の職員じゃないよ。お客さんだよ。
それに驚いたのはその職員採用試験に聖徳出身者がかなり多い！
しかも制服着ているということは体育会かな？
とにかく聖徳大学に行っても就職できないってことだよ。
一番驚いたのは面接試験のエントリーシート。
志願者の父親・母親の出身学校を記載させる欄がある！
中途採用なら25歳は過ぎてる人も多いのに…。無意味だし、失礼だ！
（四流大学が志願者の親の学歴を気にしてどうするの？）
形だけ採用試験をやって
本当は就職できない哀れな聖徳大生を救ってるんでしょう。
バカバカしい。
そのエントリーシートには聖徳に知り合いがいるかどうか
詳しく書かせる欄もある。

受験生の皆さん！入試名前を書いたら合格できますが、
馬鹿が運営する四流大学なんかに行ってもしょううがないですよ。
聖徳グッズをつくって学習塾に配り歩いている学校です。
その広告費はどこから出ているのかな？

>>186
(1)の方詳しくお願いします

>>185
(1)△ABPに余弦定理を適用。

31+9d＜100＜31+10dから
69/10＜d＜69/9
にはどうすればなるんでしょうか

>>191
31+9d<100<31+10d
⇔ 31+9d<100 かつ 100<31+10d
⇔ 9d<69 かつ 69<10d
⇔ d<69/9 かつ 69/10<d
⇔ 69/10<d<69/9

>>191
31+9d＜100　かつ
100＜31+10d

>>185
数学板にマルチしまっくてるな。

>>194
マルチは1ヶ所しか見つけられなかったんだが、そんなにしまくってるのか？
ってかマルチ予備軍相手にまともなレスなんかしてしまって正直ｽﾏﾝｶｯﾀ。

複利計算についての色々な解説を読んだのですが、さっぱり意味が分かりません。

借入額の完済時における価値＝毎回の返済額の完済時における価値の和

という概念が理解できないのです。特に右辺の意味するところがまったく
見当も付かない状態です。イメージできないのです。なぜそんな突拍子の
ないものを出してくるんだという感じです。

>>196

例えば、年利が3%である社会においては、現在の100万円は10年後には、
100万円*(1.03)^10≒134万円の価値があると考えます。

一般にお金の価値は時刻の関数なので、2つを比べるときには時刻をそろえる必要があります。
>>196の場合には左辺が完済時なので、右辺も完済時の価値に変換して計算します。


あるいは、右辺は借り入れと同率の利子で積み立てをした合計額と解釈し、それが（利息を含んだ）
借入額と等しくなったときが返済完了である、と説明することもあります。

微積分基礎の極意の第3章の10問目についての質問なんですが、

問題　半径1の円Cの内部に円Cと接する半径の等しいn個の円A_1、
A_2…、A_nを順に並べる。ただし、隣り合うどの円も互いに外接するものとする。
　このとき、n個の円A_1,A_2…A_nの面積の総和をS_nとして、lim_[n→∞]nS_nを求めよ。


という問題があり、解答にはA_1〜A_nの半径をr_nとすると
2(1-2r_n)<2nr_n<2πが成り立つとあり、ここまでは分かるのですが、
その次に

従ってπ/(n+2π)<r_n<π/n

となっており、何故この式の左の不等号が成り立つのか分かりません。
解法の大まかな流れは分かるのですがこの部分だけどうしても分かりません。
どなたか教えてください。お願いします。

>>198
2(1-2r_n)<2nr_n<2π ではなくて、2π(1-2r_n)<2nr_n<2π ではないですか？

>>198
左辺の不等式を解いただけ
>>1989の式であってる

>>199
すいません、間違えました。そうです。

>>200
本当だ。ありがとうございました。
アホな質問してすいません。

>>186
(2)は解の係数からどう解くの？？

次の複素数をa+biの形に直せ
(1)z=1+iの時z+z^-1
(2)z=2-iの時z^2

(2)はただ二乗すればいいだけだとは分かるのですが、(1)がよく解りません…
よろしくおねがいします

1+i=√2(cos45ﾟ+i*sin45ﾟ)

>>203
解と係数の関係より
BP+CP=2APcosB
APが直径となるとき右辺は最大。

>>204
z^(-1)=1/z

>>204
1/(1＋i)は分母分子に(1−i)をかけて分母を実数化する。
もしくはz*z~＝|z|^2＝2を用いて
1/z＝z~/2

フーリエ解析の問題集で良いのがあったら紹介してください。

板違いﾌﾟﾌﾟ

>>209
線型代数演習
東大出版

線形か線型か。赤と黒の本。

やり方だけなら物理数学なんかの本に載ってる。マクローラン展開は微積や物理数学。

ﾌﾘｰｴ解析って線形代数だったのか？
そういや大学の授業で使ってる線形代数学サイエンス社は激しくムズイし糞ﾌﾟ

あぁ、ごめん。演習の方には載ってなかった。

>>213
結局はベクトルの投影だからな。フーリエ級数における内積の定義と単位ベクトルの考え方が分かればフーリエ級数は理解出来る…

>>208
よく解りました、有難うございました

>>197 やっと理解できました。私にとってはこれ以上ないくらい
分かりやすい説明でした。ありがとうございます。

テンソル積の普遍性について教えてください

>>217

代数系として何をとるかによって、ステイトメントが多少異なりますが、単純な場合として、

可換環R上の加群L, M, N、双線形写像 F : L×M → N について、
L, Mのテンソル積をM(×)N、標準的な単射をι:L×M → L(×)M とすると、
準同型f :L(×)M → N が一意に存在し、F=f*ι をみたす。

↑の命題を指して普遍性と呼ぶことが多いと思います。
つまり、直積をテンソル積に置き換えることで、双線型を線型に置き換えられますが、
このとき情報は失われない、ということです。

受験に一〜三次のテーラー展開って必須ですか？計算が楽になるといわれましたが本当ですか？

>>219
化学の計算で1次は使った。

化学って、使うんだ。因みにどの分野ですか？
�VＣまでなら三次まではいりますか？

というか、知ってると便利だけど、
必要ではない。

数学では３次までの近似から作った問題とか見るけど、
マクローランとかテイラーとか解答用紙でつかっていいかどうかもわからないし、
知ってると、役には立つことは確かだが、
深入りはやめとき。

使った例
√(101)=10√(1+0.01)≒10(1+0.005)

っていうよりテイラー展開は記述式の答案では大学入試では使っちゃだめだよ。

ところで、微分の公式より、
lim[h→0](f(x+h)-f(x))/h=f'(x)
だから、hが0に近ければ、
f(x+h)≒f(x)+hf'(x)
っていうのは最近の高校の教科書にはないのかな？

これがテイラー展開の1次までの近似。

すみませむ
ａ(ｎ)＝(ｎ−1){ａ(ｎ−1)−ａ(ｎ−2)}
の漸化式はどうやって解きますか？

>>223
旧課程なら数�Vの教科書にある。
新課程は知らんけど。

>>224
その漸化式を解けって問題なの?

187に詳しい人よろしく

>>226
並べかたを求める問題です。

>>224
とりあえず、初項第二項くらいかけ

223 確かに教科書には乗ってますが、それを＝で結ぶためにはどうしたらいいのですか？因みにe^(i･π)=1はテイラー展開で表せますか？
テイラーがダメならヘロンやロピタル等もダメなのですか？

e^ix=cosx+isinx

はマクローリン展開じゃね？
ま、マクローリンとテイラーの違いがよくワカラン漏れには関係ない話だが。

xではなくπですが、、、。まあ教科書以外は書かないほうがいいみたいかな、、、

xにπ代入したのがオイラーの公式だろ？
ちなみにe^iπ=-1ね

わざわざすいません、、、富豪間違えてた、、、

オイラーの公式はマクローラン展開で出す。ちなみにマクローラン展開∈テイラー展開。
ヘロンの公式は知らないが、極限値を求める問題でロピタルを使うのは基本的に反則。

a<a_n<b
a_n<a_(n+1)
∴a_n→a

というのも無し。

ヘロンは三角の面積で三辺がa、b、cのとき面積S=√{s(s-a)(s-b)(s-c)}ただしs=(a+b+c)/2 というやつです。
ということは検算しか使えないということですね

>>236
あぁ、それか。それは確か使えた。基本的に大学レベルのテクニックは検算か時間が無い時の点数もぎ取り作戦にしか使えないと思った方が良い。

わかりました。つまり苦肉の策で使うくらいしか役に立たないということですか。ヘロンが使えるなら円に内接する四角形の公式も使えますかね？

なんか、マクローラン展開って言われると
ローラン展開とマクローリン展開が頭の中で交差するんだが……

>>238
トレミーの定理か？

>>240たぶんブラマグプタの公式だと思います

>>238
センターなどのマークならいいと思いますがブラマグプタをそのまま記述しては駄目だと思います。

y＝x~3-3x~2＋9｜x-a｜＋1

が常に増加aの範囲ってどうやって解いたらいいです？一回微分したらaがなくなってしまうのでわかりません

>>242　絶対値ついてるね。場合わけ。
x<a のとき
y'=3(x+1)(x-3)>0 となる x の範囲は x<-1 , 3<x
これが x<a を満たすすべての x について成り立つための a の範囲は a≦-1
x≧a のとき
y'=3(x^2-2x+3). 判別式 D/4=-2<0 だからy'のグラフより常に y'>0
これが x≧a を満たすすべての x について成り立つための a の範囲は実数全体
(a がどんな値であっても y'>0 が成り立つんだからね)

求めるのはすべての実数 x に対して常に y'>0 となる a の範囲だから
x<a のときにも y'>0 となり、かつ x≧a のときにも y'>0 となる a の範囲なので
「a≦-1」かつ「a は実数全体」で
a≦-1

>>235
それってa_nが収束することは言えるけど極限値まではでないでしょ？

関数を微分して０になる代入値を求めて、
その前後の代入値における微分結果の符合から極大極小を判断しますよね？
この時に書く増減表の書き方が分かりません。
たとえば０になる代入値より±１の代入値において微分して増減表を書いても、
その間でどう変化してるのか示せませんよね。
２で-　３で0　４で+　となっても
実は２．５から+　３で0　３．５で-　とかかもしれない。
増減表ってどう書けば良いんでしょうか？

>>245
その微分した関数が０になる代入値しか極値にならないので
代入値と代入値の間は単調増加か単調減少のみ

>>246
なるほど。
分かりました。
ありがとうございました。

>>244
aとbがそれぞれ上限と下限なら

>>243

よくわかりました。ありがとうございます。

�Vのグラフかくときに必要な変曲点って
調べないときありますよね？
いったい、どういうときに必要で、どういうときはいらないのでしょうか？
�Uなら３次関数変曲点なしにかいてましたよね。

>>250
関数〜のグラフを書け→変曲点必要
微分して最大、最小値を求める場合→変曲点の必要なし

>>251
ありがとうございます。
でも、陰関数のグラフで調べてない問題があるんです・・・

d^2y/dx^2の意味教えてください。。。

模様みたいな対称性のあるグラフをかくときに
第２次導関数を調べてないのはどうしてですか？

調べてないことに意味なんかあるのか？
調べた方がより正確に書ける　そういうものじゃねーの？

第二次導関数って言葉知ってるならd^2y/dx^2の意味普通分かるべ
関数ｙを変数ｘで二回微分した関数

すみませぬ

三角形ＡＢＣにおいて、ＡＢ＝５、ＢＣ＝３、cosＣ＝５/９であるとき　ＡＣ＝□である。

っていうすごい単純な問題で答えは　６　になるはずなのですが
どうしてもならないので途中の過程を教えて下さい。。

正弦定理で角度Ｂを求めて余弦定理。あとは適当に計算すれば出ます

って解答用紙に書けば満点もらえるよ

うそついたｗ
いきなり角度Ｃに関する余弦定理で十分だね

５／９　＝　（ｘ＾２＋９−２５）／６ｘ

>>255
ありがとうございます

内接四角形の面積Sは各辺をa,b,c,dとするとS=√{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}ただしs=(a+b+c+d)/4 というやつです。ただ定理かどうかはわかりません

>>258
ホント申し訳ない、ありがとうございますた。。。

それがブラマグプタだろ

ブラマグプタというのですか？高３なのに知らなかったことに恥ずかしい、

しかも２６０微妙に間違えてるような

>>260
s=(a+b+c+d)/2だね

図形の△ABCとか∠ABCとかのABCの順番がどうやって決まるのかよくわからないのですが…
適当でいいんですか？

>>266
三角形ならどうでも構わない。(普通は反時計回り)
角の場合は、真ん中に書いた点の部分にある角を指すことになる。
四角形より大きいのは、順番につないでねじれなければOK。

　直交座標において、点A（√3,0）と準線x=4/√3 からの距離の比が
√3:2である点Pの軌跡を求めよ。
　またAを極,x軸正の部分の半直線AXなす角θを偏角とする極座標を定める。
このとき点Pの軌跡をr=f(θ)の形の極方程式で求めよ。

お願いします。

>>268
P(p,q)とする。点A（√3,0）と準線x=4/√3 からの距離の比が√3:2より
(p-√3)^2+q^2：(p-4/√3)^2＝3：4
4{(p-√3)^2+q^2}＝3(p-4/√3)^2
これを整理して(p^2)/4+q^2=1
Aを原点に置き直すと
(p-√3)^2/4+q^2=1
よってcosθ=(p-√3)/2,sinθ=qとおけるので
p=2cosθ+√3,q=sinθ
r^2=p^2+q^2
=4(cosθ)^2+4√3cosθ+3+(sinθ)^2
=3(cosθ)^2+4√3cosθ+4
=(√3cosθ+2)^2
r=√3cosθ+2

よろしくお願いします。 長方形ABCDがあり、AB＝CD＝397、AD＝BC＝239とする。（単位は�o）
　このとき、対角線ACの長さはいくつか。また、そのときできる直角三角形の、内角をそれぞれ求めよ。 これが問題です。よろしくお願いします。

>>270
写し間違い？

工作かなんかでもとめるのがめんどかったんだろ。

>>270
三平方の定理と三角関数表と電卓を使いな。

関数f(x)=xlog(x/a)+(1-x)log{(1-x)/(1-a)}-2x^2+4ax(0<x<1)
についてf(x)の最小値を求めよ。ただし、aは0<a<1を満たす定数とする。

この問題については以下の様な考え方で解けば良いのでしょうか？（独学なので勘違いが無いか心配です）
まず微分して０になるｘの値をもとめて、第二次導関数を使ってそれが極大か極小かを判断して、
後は定義域の両端と値を比較すれば・・・と思ったのですがこういう場合定義域の両端はlim[x→0]とかで良いんでしょうか？
第一次導関数ではx=aで０になり、これが極限の候補で
第二次導関数を求めると
{(2x-1)^2}/{x(1-x)}
となり、0<x<1の範囲では常に０以上、ということは第一次導関数がこの範囲では常に増加
第一次導関数は増加を続けてx=aで０だから、aより前ではマイナス、aより後ではプラスになる。
だからx=aが極小で最小。f(a)=2a^2でこれが最小値。

>>274
＞こういう場合定義域の両端はlim[x→0]とかで良いんでしょうか？
考え方としてはかまいませんが、あまり意味はないです。
両端の値を求めて大小を比べて…　って解き方は楽に解くためのテクニックなので
両端の値が楽には求まらない、または両端自体が存在していないときに無理にやることでもないです。
微分して、増減調べて、最大・最小となる x の値を求めて、ってのが本来の解き方です。これだけでも十分。

＞第一次導関数ではx=aで０になり、これが極限の候補で
違います。極値の候補です。

考え方はOKです。あとは、単調増加・単調減少という言葉を使いこなせれば望ましいと感じます。

C：y=x^2+(6a+2)x+3a+4
の頂点をPとする
Cが異なる二点A、Bでx軸と交わるとき三角形APBの外接円の中心の座標を求めよ
お願いします

青チャート数Ｂの例題58（Ａ）についてなんですが、解答の３行目
｜→a｜＝1だから
→OH＝（cosθ）→a＝kaになるのかが、わかりません。一時間近く考えてます。それでもわからないんです。よろしくお願いします。

>>277
正射影でぐぐれ

>>276
aのことはひとまず置いといて
放物線C1：y=(x-p)^2+q
として問題を解く

対称性から外接円は
C2：(x-p)^2+(y-(q+r))^2=r^2
と書ける

C1とC2が点A(s,0)を通ることから
0=(s-p)^2+q
(s-p)^2+(q+r)^2=r^2
この2式より
r=(1-q)/2

外接円の中心は
(p,q+r)=(p,(1+q)/2)
pとqをaの式に直して終了

>>279 �dクスです。ちなみにこの問題センターの本試験です。
捨て問だな。こりゃ

>>280
文系なんですね
理系ならまた来年まで頑張ってください

来年度に訂正

複素数 z,w があり、
　　|z-i|=1 , w=(-i/2)z^2
を満たしている。ただし、ｚ≠0，ｚ≠2i とする。

(z-w)/w は純虚数である事を示せ。

とりあえず、共役な複素数との和が０になる事を示せばいいと思うのですが、
ｗの共役な複素数の出し方が分かりません。

|w|=|z^2|/2
|w|^2=(|z^2|^2)/4
ww~=)(z^2)(z^2)~)4
w~=)(z^2)(z^2)~)4w

これでいいんですかね？
全く以っていい気がしません。。。

|w|=|z^2|/2
|w|^2=(|z^2|^2)/4
ww~=((z^2)(z^2)~)/4
w~=((z^2)(z^2)~)/4w

に訂正します、すいません。

>>284-285
|z-i|=1 ⇔ ｚz~=i(z~-z)

(z-w)/w=-2/(iz)-1

>>283
計算間違いはしてないように見える。

複素数 a,b に対して
(a+b)~=(a~)+(b~) , (ab)~=(a~)(b~)
が成り立つことを踏まえて
w の共役の求め方なら
w~={(-i/2)z^2}~
=(-i/2)~(z^2)~
=(i/2)(z~)^2

((z-w)/w)~=(2/(-iz)-1)~=(-2i)/(z~)-1

(z-w)/w+((z-w)/w)~=(2i)/(z)-1+(-2i)/(z~)-1
=(-2/|z|^2)(|z|^2+iz-iz~)

ここで、|z-i|=1より、
|z-i|^2=(z-i)(z-i)~=(z-i)(z~+i)=|z|^2+iz-iz~+1=1　ゆえ
|z|^2+iz-iz~=0

f(x)=Σ_[n=0,∞]x^2/(1+x^2)^n
でy=f(x)を求める問題なんですが、

x=0のときf(x)=0 は分かるのですが
x≠0のときは無限等比級数の和の公式を使って解けばよいのですか？

一般に0が無限に足されると0だとは言えないが、方針は正しい。

http://www.hasegawa.ath.cx/clip/img/79.mp3

>>289
０はいくら足しても０だよ．

>>280
それはまずいぞ
もっと勉強しる

>>291
0*∞は不定形だろ?

>>293
この場合、0は極限じゃないだろ。
a_n→0, b_n→∞　なら、a_n*b_nは不定形だが、
a_n=0なら、b_n→∞でも、任意のnについて、0*b_n=0。

>>289は連続濃度の和（もはや和とは言いがたいが）みたいなことをイメージしてるんじゃないの？よく知らんが。

>>269
ありがとうございました

lim_[k=1→n]1=
この答えがnになるのですが何故ですか？
数列はなく定数1なのでkに1からnまで代入して和にできないのだから答えは0じゃないのですか

>>296
limじゃなくてΣ[k=1→n]1じゃないの？
Σ[k=1→n]1=1+1+…+1 (n個)=1だよ。

定数1だから、k（は実際には無いけど）に何をいれても1。

Σ[k=1→n](k+1)だったら、(1+1)+(2+1)+…+(n+1)って考えるでしょ？
これでkが0だったら…、って考えたら納得できないかな。

>>296
＞数列はなく定数１なので
違います。数列はあります。
1 , 1 , 1 , 1 , 1 , …
という数列です。第何番目の項であるかにかかわらず定数１であるような数列です。
一般項(すなわち第 n 項)は a_n=1 となります。a_1=1 , a_2=1 , a_3=1 , a_4=1 , …

1＋2＋2^2＋2^3＋……＋2^(n-1)＝2^n-1
なんでこうなるのかわかりません
教えてくれませんか？

初項a=1、公比r=2の等比数列の一般項は、a[n]=a*r^(n-1) = 1*2^(n-1) で表せる。
よって第n項までの和は公式から、S = a{(r^n) - 1}/(r-1) = 1*(2^n-1)/(2-1) = (2^n)-1

>>300
ありがとうござましゅ
等比数列の和はまったく頭に無く、ほかのことばっかり考えてて
まったく気付きませんでした…

順列の問題です。お願いします。

立方体の各面に１から６の数字が書いてあり区別が付くとする。
各面を赤か青かのいずれかに塗るとき、色の塗り方は何通りあるか。

>>302
2^6

>>297-298
1,1,1,1,1,1,1…
これが数列だったとはorz
ありがとうございました。

ガッコで平面図形に入ったんですが、定理ってうじゃうじゃあるじゃないですか。
あれはきちんと全部証明できた方がいいんですか？
私的に定理だけ覚えておけば良いかと思うんですが。
ｲｹﾝください。

>>303
ありがとうございます。
分かりました

>>305
きちんと全部証明できた方がいい。

aは0<a<πを満たす定数とする。
n=0,1,2,3,4,5・・・・に対し、nπ<x<(n+1)πの範囲にsin(x+a)=xsinxを満たすxがただ1つ存在するので、
このxの値をx_nとする。
(1)極限値lim[n→∞](x_n-nπ)を求めよ。

この問題でまず、nπ<x<(n+1)π から、xは弧度法の単位円で言えば０とπを含まない全てに成り得るのだと考えたのですが、
ところがこれの解答で、
sinx_n=(1/x_n)sin(x_n+a) ・・・　１
lim[n→∞]x_n=+∞
また|sin(x_n+a)|≦1
よって、１から、lim[n→∞]sinx_n=0
と書いてあったのですが、理解出来ません。
x_nが０とπにならないとすればsinx_n=0となる事は無いはず。
でも１の右辺が０になるのは分かります。
何処が間違っているのでしょうか？

>>306
sinx_n=0となることはないけど、0に近づく、という状況だよ。
この問題の場合は、x_n=nπ+a_nとでも書けば、0<a_n<πなんだけど、a_n→0という状況になっている。

>>308
α＝0とα→0を混同してるから

何故きちんと証明できた方がいいのでしょう？根拠があればぜひ聞かせて欲しいものです。
定理を覚えれば自然と証明できそうな気がするんですけどね｡｡｡

>>311
自然と証明は難しいでしょう。定理の証明をできるようにしとけば、証明の途中の知識が武器になる気がします。
先人の知恵的証明も図形ものにはおおいですし。

>>311
証明できないより証明できたほうが良いにきまってるでしょう？
定理を覚えていることによって自然と証明ができているのであれば、それは証明ができるということです。
ちなみにきちんとしていなければ証明とは言いませんよね？
「証明ができる」と「証明の方針を知識として丸暗記している」というのは異なります。

「証明ができる」ことが無理でも「証明の方針を知識として丸暗記している」状態にしとくだけでもずいぶん効果はありますね。
証明が必要ないというのはもったいないと思います。

必要か必要でないかと聞かれたら、どの程度の学力を目指すのかなどの目的によって変わってくるでしょうが
良いか悪いかと聞かれたらできるほうが良いに決まってるじゃない。

x^2+y^2=2の円において、点Aが円上を動くとき
B（x+y,xy)は
y=(1/2)x^2-1
の放物線上の（　　）≦x≦（　　）
また、Aが円状の内部の領域を動くとすると
Bが動く領域内には、x-y座標の格子点は（　　）個ある。

3つの括弧を求める解法を教えてください

>>316
5行目訂正
円状の→円の

例えば極座標に直す

普通にやれば解けるよ。
x+y=X
xy=Y
とおく。
但しX^2-4Y≧0
また、
x^2+y^2=2
X^2-2Y=2
2Y=X^2-2
先の条件より、
-2≦X≦2

また、
x^2+y^2≦2
X^2-2Y≦2
2Y≧X^2-2かつ
X^2-4Y≧0
X=0→2
X=1→1
X=2→1
よって対称性より
6個

単なる同値変形の問題+おまけ

5行目の「但し」はどのようにしてその条件が出てくるんですか？

>>321
　頻出。
　ｘ＋ｙ＝X
　ｘｙ＝Y
　なる変換を施した場合、XとYが存在することが必要で、
　実数X、Yが存在するとは、「ある二次方程式ｔ^2−（ｘ＋ｙ）ｔ＋ｘｙ＝０」が実数解を持つっつーこと。
　この二次方程式の判別式Dが（ｒｙ

たびたび失礼
何故、XとYが存在する条件が「その二次方程式が実数解を持つとき」なんですか？

>>323
　ｘとｙを、この二次方程式の実数解と見てるんだよ。
　「ｘ＋ｙ、ｘｙが共に実数」→「ｔ＾２−（ｘ＋ｙ）ｔ＋ｘｙ＝０が２つの実数解」
　解と係数の関係　みたいな。

実数xとyが存在する⇔t^2-(x+y)t+xyの解が存在する⇔判別式(x+y)^2-4xy≧0
つまり
X^2≧4Y

青茶の例題98、対数の問題です。

log{2}(3)の値を小数第２位以下を切り捨てて、小数第1位まで求めよ。

指針
1<log{2}(3)<2であるから、次の条件を満たすaの値を求める。

1+a/10<log{2}(3)<1+(a+1)/10 aは整数、0≦a≦9

ここまでがすでにわかりません。お願いします。

>>326
実数の十進小数展開についての理解が必要かもしれませんね。

まず実数 x>0 について、n≦x＜n+1 となる整数 n が必ずただひとつだけ存在します。この n が x の整数部分と呼ばれるものです。
次に、n〜n+1 の区間を幅 1/10 の小区間10個に10等分します。数直線でイメージしてください。
この10個の小区間に左から順に 0〜9 までの番号を振っておくと、この番号はその小区間に含まれる数の小数第1位を表すことになります。
このとき n≦x＜n+1 なので、x はこの10個の小区間のいずれかに含まれます。x の含まれる小区間が第 a 番目(0≦a≦9)の区間だとすると
n+a/10≦x＜n+(a+1)/10 と書けます。この a が x の小数第1位です。
次に、n+a/10〜n+(a+1)/10 の区間をさらに10等分します。10等分したものをさらに10等分するのだから区間幅は1/100になってます。
同様に小区間 0〜9 までの番号を振ると、これはその小区間に含まれる数の小数第2位を表します。
このとき n+a/10≦x＜n+(a+1)/10 なので、x はこの10個の小区間のいずれかに含まれます。第 b 番目(0≦b≦9)に含まれるとすると
n+a/10+b/100≦x＜n+a/10+(b+1)/100 と書けます。この b が x の小数第2位です。
以下同様にして小数第3位、第4位… と求めていって x の十進小数展開
x=1.abcd… すなわち
x=1+a/10+b/10^2+c/10^3+d/10^4+…
が得られます。どんな実数もこの方法で無限小数として表すことができるのです。

これを踏まえて、考えてみてください。

すみません。お願いします。

(1)立方体の各面に数字がなく区別が付かないものとする。
　　各面を赤か青かのいずれかに塗るとき、色の位置関係だけに注目すると
　　色の塗り方は何通りあるか。
(2)（１）と同じ条件で、赤と青と黄のうちのちょうど二色を用いて
　　各面を塗り分ける場合、色の塗り方は何通りあるか。

ここは宿題を代わりにやるスレではないよ。

1対1対応の演習3C（旧課程）から、
微分演習11で、
(2)　f´(x)=(-α)/x+(1-α)/(1-x)　(0<x<1)　(0<α<1)
これが増加関数

(3)　g´(α)=log(1-α)/α　(0<α<1)
これが減少関数
らしいんですが、どうやったら分かるんですか？

>>328
(1)10通り
(2)30通り

>>330
y＝(-p)/x　　と　　ｙ＝p/(1-x)　　（p>0）のグラフを書いてみろ。
どちらもｘについての増加関数であることから、それらを合成した関数
f´(x)=(-α)/x+(1-α)/(1-x)　がｘについて増加関数であることが言える。

(3)もｙ＝(1-α)/α　のグラフを書いてみたら分かる。

書き方が悪かった。
合成するのは　(-α)/x　と　(1-α)/(1-x)　ね。

１＜α≦２に対して、ある自然数ｍ、ｎが存在して、
[ｍα]＝[ｎ＋ｎ/(α−1)]が成り立つならば、αは有理数であることを示せ。

[ ]はガウス記号です。全然わかりません、ご教授お願いします

>>332
分かりました。ありがとう

>>334
β＝　1　+　1/（α-1）と置くと、（1/α）+（1/β）＝1
[ｍα]＝[ｎβ]＝ｋ　とすると、ガウス記号の定義より

[ｍα]≦ｍα＜[ｍα]+1　⇔　[ｍα]/α≦ｍ＜｛[ｍα]+1｝/α
[ｎβ]≦ｍβ＜[ｎβ]+1　⇔　[ｎβ]/β≦ｎ＜｛[ｎβ]+1｝/β

辺々加えると、

　（ｋ/α）+（k/β）≦ｍ+ｎ＜（ｋ+1）/α　+（ｋ+1）/β
∴ｋ≦ｍ+ｎ＜ｋ+1　………★
ｍ、ｎ、ｋ　は整数であるから、
ｍ+ｎ＝ｋ
∴（ｋ/α）＝ｍ、　（k/β）＝ｎ
∴α＝ｋ/ｍ、β＝ｋ/ｎ　
したがって、αは有理数である。■

>>336
天才やね。君、理III受かるよ。

教えてくださいm(__)mXY平面上の曲線y=x^2上の３点をx座標のちいさいものから順にＡ、Ｂ、Ｃとする。ＡとＢのx座標の差はa（a>0の定数）ＢとＣのx座標の差は１の関係を保ちながら３点が動くとき、∠ＢＡＣが最大になるときの点Ａのx座標をaで表せ。

>>336
ごめん、もうちょっと教えてください。

＞∴（ｋ/α）＝ｍ、　（k/β）＝ｎ
になるのはなんでですか？

>339
さかのぼっていくと、不等式のすべてが等号成立でなければならないことが分かるyo

>>340
ｋ/α≦ｍ＜(ｋ＋１)/α⇒ｋ/α＝ｍになるんですか？？全然わからんですばい・・・

∴ｋ≦ｍ+ｎ＜ｋ+1
ｍ、ｎ、ｋ　は整数であるから、
ｍ+ｎ＝ｋ
からすべての等号成立がうまれるよ

>>342
ああああ、やっとわかりました。
こういうことですよね？
ｋ≦ｍ+ｎ＜ｋ+1⇒ｋ＝ｍ＋ｎだったので、これが成り立つためには、逆をたどり、
（ｋ/α）+（k/β）＝ｍ+ｎで、またたどり、[ｍα]/α＝ｍ、[ｎβ]/β＝ｎである。
てことですよね？

すいません。お願いします。

AC＝CB＝BD＝DA＝３　　OC=OD=５のとき
OC・ODが一定値であることを示せ。

>>331
自分もそう思ったんですが（２）のほうの答えが
解答では24通りになっているんですが・・

>>332-333で関数の和を関数の合成と誤表記しているのが気になった。

>344 その文字はベクトルですか？

>>346
確かに。ご指摘ありがとう。

>>345
ミスったわ。（2）は「ちょうど二色」だから、（1）から2を引いた8を3倍して、答えは24通りだ。

338
の解き方をお願いします、できれば計算も。m(__)m河合の東大文系数学の添削問題です。数学の得意な方お願いしますm(__)m

>>345
「ちょうど2色」なので
（1）から赤一色の場合と青一色の場合を除いてから3倍する必要がある
よって（10-2）×3より24通り

>338
ちなみにaは正の定数です。お願いします！

>>347
ベクトルじゃありません。よろしくお願いします

>>338>>349
自分で悩んだほうが力がつくのでは？と思いつつ

A(p,p^2),B(p+a,(p+a)^2),C(p+a+1,(p+a+1)^2)とおくと
ABの傾きは2p+a,ACの傾きは2p+a+1

tanα=2p+a,tanβ=2p+a+1とおくと
tan∠BAC=tan(β-α)
=1/(1+(2p+a)(2p+a+1))
これが最大になるのは、分母が最小になるときで
p=-(2a+1)/4のとき（答）

>>344>>352
ベクトルじゃなければ
OC・OD=25
なので当然のごとく一定では？

>>354
すいませんｍ(＿ ＿)ｍ訂正です
OC＝OD＝５→OA＝OB＝５
申しわけないっす

>353
ありがとうございます！Ｂのx座標をtとおいたうえにCOSで解こうとした計算でルートの微分が出てきたりして止まってました(^o^;

>>344
点Cと点Dが一致するとき値が異なるから一定ではない。

そうですよね
問題がやっぱり間違ってますね。ありがとうございました

>>327
ありがとうございます！解けました☆★

答えが分からなくて困ってます。どなたか質問に答えていただけませんか？
「正の実数r,tに対し，点(t,t)を中心とし１辺が2rtの正方形をＳとする。
ただし，Ｓの各辺はx軸またはy軸に平行であるとする。
このとき，正方形Ｓと曲線y=log x が交わりをもつようなtが存在するためのrの条件を求めよ。
(log は自然対数とする)」という問題なんですが

この問題で
f(t)=log(1+r)t-(1-r)t (t>0)とおくと
f(t)≧0となるtがあるとき，y=log x とSは共有点をもつ
というところまでは分かったんですが
ここからrの場合分けのやり方が分からないんですが詳しく教えていただけませんか？

>>360
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1095840922/879-882

>>361
そのやり方でやってもr場合分けが必要になるみたいだし
だからr場合分けのやり方を聞いてるんですが(場合分けないと不正解りそうだから

訂正
不正解りそうだから→不正解になりそうだから

>>362-363
だったらそっちのスレで聞きな。マルチポスト(・Ａ・)ｲｸﾅｲ!!

>>364
分かりました。そうします

(確かに問題文は同じだけど)この質問はここでしかしてないのにマルチって言われるのか・・・
マルチって全く同じことをいろんなところで聞くことじゃないんですか？

y=f(x)をxで微分したときなどに使う、
「y'」と「dy/dx」は全く同じ意味の記号として使っていいんでしょうか？

y^2=x
両辺をxで微分すると
2yy'=1

という部分が解説の途中にあるんですが
2yy'=1を2y・dy/dxと書き換えても問題ありませんか？

かなり基本なのかも知れませんが分かりません。教えてください。

すいません、訂正です。

＞2yy'=1を2y・dy/dxと
　　　　↓
2yy'=1を2y・dy/dx=1と

2y・dy/dx=1　→　意味は同じだが、2y(dy/dx) =1 と、ｶｯｺで括ったほうがいいかも。

点（0,2）を中心とする半径r（＞0）の円をCとする。
Cの領域y≧x＾2に含まれるようなｒの最大値を求めよ。

お願いします。

点A(0,2)とする
放物線y=x^2上の点P(t,t^2)と点Aとの距離の2乗は
AP^2
=t^2+(t^2-2)^2
=t^4-3t^2+4
=( t^2-(3/2) )^2+7/4
よってAPの最小値は(√7)/2で、これがrの最大値

ある観光船の船客のうち、
27人は男の子供、
15人は日本人の子供、
27人は男の大人、
21人は外国人の男の子供、
42人は日本人、
18人は日本人の男、
21人は外国人の女である。
船客は全部で何人か。

この問題、順に人数をa,b,c,d,e,f,gと置くと
(a+c)+{(e-f)+g}=99
と解けてしまうようなのですが、提示された条件を使い切らずに解くのには何か違和感があります。
どこかに罠が隠れていたりするんでしょうか

>>370
ありが�d♪

>>369
【訂正】
誤：Cの領域
正：Cが領域

>>371
使わなくていい条件を探すのも問題のうちでしょ。

>>371
日本人の子供、日本人の男∈日本人
よって日本人は42人
男の大人＋男の子供-日本人の男＝外人の男＝３６
外人の男＋外人の女＝外人＝５７
よって船客は９９人

(a+b+c)(ab+bc+ca)≧9abc を証明してください 左辺‐右辺 したんですけどくくれなくて

>>375
相加平均相乗平均の不等式って聞いたことある？

一応ありますけど あんまりよくわかりません(>_<)

>>377
んじゃまず、それを調べて、それに関する練習問題をいくつかやって
そいでから、もう一度問題を見直してみろ。

というか数と式の問題端からやった方が良いかと。

(tanθ)^2の原始関数はどうやったら求められますか？
一応いろいろ変形させてみたんですが、
どうやっても上手くいかないんです。

>>381
tanθ - θ

>>375
a=-2,b=0,c=3

tan^2(θ) = sin^2(θ)/cos^2(θ) = {1 - cos^2(θ)}/cos^2(θ) = 1/cos^2(θ) - 1

>>383
すいません。できたら
>>1/cos^2(θ)
この先をもう少し詳しくお願いできますか？

>>384
教科書嫁

組立除法で、割る数が分数の時、求めた商を割る数で割るのは何故ですか？問題集に説明がありません。

>>383
すいません、自己解決しました・・・
わざわざすみませんでした。

>>386
f(x)=(ax-b)Q(x)+R(x)より
f(x)={x-(b/a)}aQ(x)+R(x)
となるから

[問題]
曲線y=x^3-3x^2-1の接線で原点を通るものを求めよ｡

接線は原点を通るからy=mxとおいてy=x^3-3x^2-1に代入、整理して
x^3-3x^2-mx-1=0が重解となるmを求めればいいまでは考えましたが、
そこからが分かりません。

>>389
萩野だったらブチ切れな解法だな。
接点のｘ座標をおいてから計算するんだよぉ！！！って。

>>389
接線を求めるわけだから微分汁
y=x^3-3x^2-1　　�@
y'=3x^2-6x　　　　�A
接点の座標(x,x^3-3x^2-1)　　�B
�@�A�Bより、接線の方程式
y=(3t^2-6t)(x-t)+t^3-3t^2-1　　�C
これに原点を通すんだから y=x=0
これを�Cに代入
0=-3t^3+6t^2+t^3-3t^2-1
0=-2t^3+3t^2-1
これでtを求めて、それを�Cに代入して整理する
三次関数の因数分解は面倒なので俺はここまでで・・・

y'=3x^2-6x
よって、
(y-t^3+3t^2+1)=(3t^2-6t)(x-t)
x=y=0
-t^3+3t^2+1=-3t^3+6t^2
2t^3-3t^2+1=0
(t-1)(2t^2-t^2+1)=0
よって、t=1
y=-3x

>>390
？？

>>391>>392
なるほど、ありがとうございます｡
接線の問題は分かったけど

「x^3-3x^2-mx-1=0が重解となるmを求めよ｡」
こっちの解き方はどうなんだろう？答えは同じはずだけど。

x^3-3x^2-1=mxは重解なのでx^3-3x^2-1=0とy=mxは接する。
よってｍはx^3-3x^2-1=0の接線のうち原点を通るものの傾きである（以下>>391に続く）

ってやるわけ？こんなんおもいつかねー。数字変わったら絶対わかんねー。

>ってやるわけ？こんなんおもいつかねー。数字変わったら絶対わかんねー。

微分して条件代入するだけじゃん。普通の解き方をすれば解ける。
てか、この問題３次式だし、解が多そうだから普通重解かどうかではしないよね。
やっぱりmに微分した値を代入して３次式をとくだけだよね。
その中で解が重なる部分が解かな。

そうでもないか。微分した時点で接線の条件になってるから、
後は>>391に帰着だね。

x^3-3x^2-1=mxは重解なのでx^3-3x^2-1=0とy=mxは接する。
よってｍはx^3-3x^2-1=0の接線のうち原点を通るものの傾きである（以下>>391に続く）

じゃなくて

x^3-3x^2-1=mxは重解なのでy=x^3-3x^2-1とy=mxは接する。
よってｍはy=x^3-3x^2-1の接線のうち原点を通るものの傾きである（以下>>391に続く）

の間違いだね。きゃー恥ずかしい。

上の解き方だと､mがｘの係数ならOKだけど、mがｘ＾2の係数にくるともうわけわかめに
なる・・・。OTZ

「x^3-3x^2-1=mxは重解なので」なんて書いてる時点で駄目だな。

どぉでもいいが、もう1本接線ひけない？

http://www.mashiko-tcg.ed.jp/masityu/1/img-box/img20041008232324.jpg

模範回答とは別にlog{3}を底にしてみたのですが答えがあいません。
たぶんめっちゃバカな事でスベってるんだとおもうんですが、ご指摘おねがいします。

>>399
3行目が間違い
log_{3}(4)/log_{3}(2)
については分子だけをまず考えて
log_{3}(2)^2 ⇒　2log_{3}(2)
よって
2log_{3}(2)/log_{3}(2)
=2/1=2

あっりがとうございます！
マジこーゆー事先生に聞くと答えてもらった後気まずい雰囲気なんすよ。
だからでかい問題のついでにもってくしかなくって・・・
どーもでした！

>>392
y'=3x^2-6x
よって、
(y-t^3+3t^2+1)=(3t^2-6t)(x-t)
x=y=0
-t^3+3t^2+1=-3t^3+6t^2
2t^3-3t^2+1=0
(t-1)(2t^2-t-1)=0
(t-1)(2t+1)(t-1)
よって、t=1,1/2
y=-3x , -9/4

>>402
もしよかったらどうやって3次関数を因数分解してるか教えてもらえないだろうか・・・
いつもそれの分解で時間を食ってしまう
ちなみに私は
2t^3-3t^2+1=0
などの場合まず先頭の項と定数項の公約数あたりを考えて
(2t-1)(t^2 -1)
(t-1)(2t^2 -1)
(2t+1)(t^2 +1)
(t+1)(2t^2 +1)
なんて置いて一個ずつ当てはめていくんだが…orz

(a+b+c)(ab+bc+ca)≧9abcの証明の仕方をおしえてください(>_<)やっぱりどうしてもわからないんです

１入れて０になったから(t-1)で割ってみた。
なんていうか定数項の約数の正と負を代入したら大抵出る。
それ以外は別の方法を考える。

±定数項の約数/再高次の係数の約数
だね。

>>404
a=-2,b=0,c=3 代入したら成り立たないよ。
全部正とかの条件が抜けてない？

>>405
なるほど・・・
確かにどっちか出ればだいぶ楽に分解できそう
ありがとう

>>393
http://www.yozemi.ac/sateline/mov-2004sp/movie-2004sp/mov-2004sp-ogino.wmv

>>409
代ゼミのサテラインの授業映像と思われる。
内容から教科書基礎レベルぐらいかと思われ。

ＰＣ精神ともに無害。

>>409は
>>390への返信だね。

>>393
>「x^3-3x^2-mx-1=0が重解となるmを求めよ｡」

F(x)=x^3-3x^2-mx-1
F'(x)=3x^2-6x-m

3次式が重解を持つときのグラフを思い描いてみてください
y=F(x)がx=aのときに極大値（極小値）を持ち、その値が0になればよいので
F(a)=0とF'(a)=0を連立してm=(15/4),-3を得ます

>>412
良いね。それ。

404 ごめんなさい(>_<) 全部正です

>>412
どうも、ありがとうございます。
>>409
ﾜﾗﾀ。僕は誘惑に負けたのか。

スレへの恩返しのために>>404の問題を解いてみます。

(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc
=(b+c)a^2+(b+c)^2a+bc(b+c)←aについて整理
=(b+c){a^2+(b+c)a+bc}
=(b+c)(a+b)(a+c)
≧2√(bc)・2√(ab)・2√(ac)←a,b,cが正より相加相乗平均の関係より
=8abc
よって(a+b+c)(ab+bc+ca)≧9abc

>>415
機械的にやるなら(x-a)(x-b)^2を展開して
(x^3-3x^2-mx-1)と係数比較してもいいでしょう

>>415

どうせ相加相乗使うのなら、

a+b+c ≧ 3 √(abc)　　※ この √ は3乗根と思ってくだされ
ab+bc+ca ≧ 3 √(abc)^2　　※ この √ も3乗根と思ってくだされ

右辺の3乗根の中は、(abc)^3 になるから3乗根は外れて
右辺は、9abc になるね。

>>1みたら、累乗根の書き方は

●累乗根：[n] √(a+b)=(a+b)^(1/n)
らしいね。

a+b+c ≧ 3 (abc)^(1/3)
ab+bc+ca ≧ 3 (abc)^(2/3)

(a+b+c)(ab+bc+ca)≧9(abc)^(1/3+2/3)=9abc

>>414
解1
a+b+c≧3(abc)^(1/3),ab+bc+ca≧3(ab*bc*ca)^(1/3)
(いずれも等号成立はa=b=cのとき)
より
(a+b+c)(ab+bc+ca)
≧3(abc)^(1/3)*3(ab*bc*ca)^(1/3)
＝9abc(等号成立はa=b=cのとき)

解2
(a+b+c)(ab+bc+ca)-9abc
＝(b+c)a^2+(b^2+c^2)a+bc(b+c)-6abc
≧2(bc)^(1/2)*a^2+2abc+(bc)^(3/2)-6abc(∵相加相乗平均、等号成立はb＝Cのとき)
＝2√(bc){a^2-2√(bc)+bc｝
＝2√(bc){a-√(bc)｝^2
≧0(等号成立はa＝√(bc)のとき)
∴(a+b+c)(ab+bc+ca)≧9abc(等号成立はb＝Cかつa＝√(bc)、すなわちa＝b＝cのとき)

>>416
いろいろなやり方があるんですね。

>>415で突然(a+b+c)(ab+bc+ca)-abcを因数分解した動機は説明がいるかも。
前に(a+b+c)(ab+bc+ca)-abcの因数分解をやったことがあって結果も特徴的だったから覚えてたんですね｡
(a+b+c)(ab+bc+ca)を見たとたん、(a+b+c)(ab+bc+ca)-abcと関係あるかなと思ってやってみたらたまたまうまく行っただけの話です。
もっと自然な発想の解法があると思います。このスレの神達がきっとレスしてくれるでしょう。

と思ったらさっそく神（>>417）が！

3変数の相加相乗平均ですか。そんなの授業でやらんかったよ。OTZ
興味深いんで証明してみよ｡
a+b+c ≧ 3 √(abc)を認めるなら、うちのより筋の良いかつ瞬殺の解答ですね。

>>420
ていうか、アンタ相加平均相乗平均の不等式を知らないのか？
別に２変数とか３変数だけの物じゃないぞ。

>>421
知ってますって。でも教科書見てもチャート式覗いても
a+b ≧ 2 √abしかないです。３変数のは初耳です｡

http://sophere.s7.xrea.com/obfp/node3.html

>>422
2変数が一般的でそれ以上は確かに発展的だが、3変数までは知ってたほうがいいよ。
証明もやさしいし。

正の実数a(1),a(2),…,a(n)に対して
Σ[k=1,n] a(k)/n
を相加平均といい、
(Π[k=1,n] a(k))^(1/n)　　　( ←ΠはΣの掛け算バージョン )
を相乗平均という。
んで、相加平均相乗平均っていうのは、相加平均≧相乗平均っていう不等式。
等号成立条件a(1)=a(2)=…=a(n)
だから別に２変数でなくても良い。　証明は簡単だから略。

>>423-425
ほえーｎ変数までできるのか。こいつはたまげた。
>>423は理解不能だけど、3変数までは証明やって見て納得した｡

今日はいろいろと勉強になった。皆さん本当にありがとう。

ｺｰｼｰｼｭﾜﾙﾂの不等式より、
{(√a)^2+(√b)^2+(√c)^2}{(√bc)^2+(√ca)^2+(√ab)^2}≧(√abc+√abc+√abc)^2=9abc
等号はa=b=cのとき成立

複素数α、βで↓これの証明ってどうやればいいんですかね？
｜α＋β｜≦｜α｜＋｜β｜

図に描いてみるとなんとなくわかるんですけど、式での証明ができません。

三角不等式を知らんのか

>>428
一般に複素数 z=x+yi について
|z|=√(x^2+y^2)≧√(x^2)=|x|≧x=Re(z)
(等号成立は y=0 かつ x>0。すなわち z が正の実数)
したがって
|α+β|^2=(α+β)(α~+β~)
=αα~+αβ~+α~β+ββ~
=|α|^2+2Re(αβ~)+|β|^2
≦|α|^2+2|αβ~|+|β|^2
=|α|^2+2|α||β|+|β|^2
=(|α|+|β|)^2
よって
|α+β|≦|α|+|β|
等号成立は αβ~ が正の実数のとき
すなわち、arg(αβ~)=0°
⇔argα-argβ=0°
⇔argα=argβ

>>430で微妙に間違えた。
3行目
　x>0 →x≧0
　正の実数→負でない実数
下から4行目
　正の実数→負でない実数
その下3行の後ろに
　または αβ~=0
　⇔ αβ=0
を追加

要するに αとβのどちらかが０のときも等号成立ってこと。

>>404
相加相乗平均をつかわないでも
左辺-右辺をやって
(a+b+c)(ab+bc+ca)-9abc
=(b^2+c^2)a+(c^2+a^2)b+(a^2+b^2)c-6abc
=(b^2-2bc+c^2)a+(c^2-2ca+a^2)b+(a^2-2ab+b^2)c
=a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a-b)^2≧0(a,b,cはすべて正なので、等号はa=b=cの時成立）

で証明できるよ。

行ベクトルと列ベクトルの違いって何ですか？

問題解いてて、行ベクトルを何の断りもなしに、列ベクトルを使って表してかまわないの？
内積とか出す時に。

>>433
行ベクトルと列ベクトルの違いは成分を縦に並べて書くか横に並べて書くかの違いです。
それぞれ(1,n)型行列、(n,1)型行列とみなせます。行列同士の加法は型が同じときのみ定義されてます。

何の断りもなく行ベクトルを列ベクトルとして扱うのはダメ。
何の断りもなく座標を列ベクトルで表すのはOK。
座標は行ベクトルで表すことも列ベクトルで表すこともできますが、１つの問題内ではどちらか片方に統一しておきましょう。

内積については、定義を見ればわかるように成分の並べ方には関係ない。縦に並べようが横に並べようが斜めに並べようが問題ない。
ただ、ベクトルを行列とみなして内積を行列の演算を用いて定義しているような場合は別ですが、高校ではそんなことやらんでしょ。

Ａ↓=（a,b） , Ｂ↓=（c,d） とした時、
２つのベクトルの内積を、（a,b）･（c,d）　と表してはいけないと高校で言われたんですが、かまわないんですか？

>>435
おまいの学校の採点基準は知らん。間違いではないし、かまわないと思う。
ただ見にくい。誤解を招く可能性もないことはない。望ましい表記ではない。

1+1=田

>>430ｔｈｘ。すごいです。

y=x^2をx^2+(y-a)^2=r^2に代入して
y+(y-a)^2=r^2⇔y^2-(2a-1)y+a^2-r^2=0…★
★の解からy=x^2とx^2+(y-a)^2=r^2の位置関係をどうやって決めるのですか？
参考書にもなんかごまかして書いてあるのでよろしくお願いします。

とりあえず
y=x^2かつ
x^2+(y-a)^2=r^2
⇔
y^2-(2a-1)y+a^2-r^2=0 かつ
y≧0
な。

>>439
妙に判別式っぽいよね。

あとは>>440から古典的解の配置問題に帰着して終了。

>>442
この判別式ではx=0で接するときのを重解で求められないです

判別式じゃなくて、y≧0なんだからy=0でも接するじゃん。

判別式は使わないんですか？

判別式も使うよ。

じゃあ放物線の内側にある円がx=0のみで接するとき
★の解が0と虚数ではなくて0と0以下の解になるのはなぜですか？

y≧0
なのに0以上の解なんて出る？

０未満だな。

a>0とする。y=0を通るので★よりa=r。
この時★はy{y-(2a-1)}=0よりy=0、2a-1
2a-1>0のとき放物線と円は三点の共有点。
2a-1<0のとき放物線と円はy=0のみで接する。
こういう意味。

何が疑問なのかがわからない。。。

y^2-(2a-1)y+a^2-r^2=0 かつ
y≧0

y=0で接するとき、
a=rよって、
y^2-(2a-1)y=0かつ
y≧0
すなわち
y{y-(2a-1)｝=0かつ
y≧0
2a-1≧0の時、
y≧0とは２点で接触し、
y=0 かつ　y=2a-1
すなわち、y=0で接し、y=2a-1で共有点を持つ。
2a-1<0のとき、
y≧0とはy=0のみの共有点。
すなわち、
y=0で接するのみ。

>>450
まず、a=rならば、x=0で円と放物線は接する。
接しても、yの方程式については重解ではないんだよ。
y=x^2だから、
y{y-(2a-1)}=0
は、xの方程式にすれば、
x^2{x^2-(2a-1)}=0
となって、きみの納得できる方程式になると思うが。

http://cgi.f33.aaacafe.ne.jp/~phpphp/up/img/242.jpg

右がy軸な。

x^3(x-2)-(3x-2)(x-2)が(x-2)(x-1)(x^2+x-2)
になるのを教えて下さい。

チンコが勃起するのは何故ですか？方程式で説明してください。

http://www.mashiko-tcg.ed.jp/masityu/1/img-box/img20041009211549.jpg
茶のラインのあるところがわかりません。
なぜこうなるんですか？

>>458
両辺の対数をとっただけ
対数関数は単調増加関数だよ

log_{a}x=p　が成り立つとき　a^p=x
…指数関数の基本中の基本だぞ

すまん、指数関数じゃなくて対数関数だな

げ・・・どうもでした。>>459-461

>>459
底によるだろ ＞ 単調増加

ですよね、0<a<1だとグラフが対称っすよね

二次方程式 ax^2+bx+c=0 (aは自然数、b,cは整数)
が重解をもつとき、
√(100*a+10*b+c)が整数となるような(a,b,c)の条件を求めよ

これは(1,2,1)だけですか？

>>464
いや・・・・ちがう

一つ抜けたこれも(1,-2,1)

>>465
（4,8,4）は？

重解を持つとき方程式は
m(x+n)=0
とかける。このとき　a=m, b=2mn, c=m(n^2)
よって
√(100*a+10*b+c) = √(100m + 20mn + m(n^2)
=√{m( n^2+20n+100)}
=√{m(n+10)^2}
=(n+10)√m
mが整数のとき√は整数となる。
k,lを整数とすると、求める(a,b,c)の組み合わせは(k^2 , 2(k^2)l , 2(kl)^2)
じゃなかろうか？

書き間違えだらけだった
重解を持つとき方程式は
m(x+n)^2=0
とかける。このとき　a=m, b=2mn, c=m(n^2)
よって
√(100*a+10*b+c) = √(100m + 20mn + m(n^2)
=√{m( n^2+20n+100)}
=√{m(n+10)^2}
=(n+10)√m
mが整数の二乗のとき√mは整数となる。
k,lを整数とすると、求める(a,b,c)の組み合わせは(k^2 , 2(k^2)l , 2(kl)^2)
じゃなかろうか？

>>470
great!

k,lを自然数とすると、求める(a,b,c)の組み合わせは(k^2 , 2(k^2)l , 2(kl)^2)
a,b,cが自然数だからこっちでよかったっぽ。

>>470>>472
解答乙。微妙なとこ補完しとく。
a は自然数で b,c は整数だから k は自然数で l は整数。
ラスト答えの c が違う。c=(kl)^2
あと計算途中ルート外すところで (n-10) ではなくて |n-10|

補完を間違えてどうすんだ漏れorz
n-10 でなくて n+10 ね。書かなくてもわかると思うけど…

三角関数についてなんですがsin,cos,tanの180度以上の値を
出すのに時間がかかります。単位円書いてやるかなれるかしかないんでしょうか？

やってたら覚えるよ。

>>475
360°-θ の公式使って 180°未満に直せばよろし。
さらに 180°-θ の公式使って 90°未満に直せばよろし。
さらに 90°-θ の公式使って 45°未満に直せばよろし。

覚える方が早いが。

>475
慣れてしまえば、頭の中に単位円が浮かんで、そこに三角形描いて、で求まると思う。
教えてる身の感覚だけど、頭のよしあしとは別に数学に不向きな人、図形イメージが
浮かばない構造の脳の人がどうしてもいる。
あなたが三角関数にまだ慣れていないなら、慣れるのを待ちましょう。
長いこと三角関数を使っていてパッと思い浮かばないなら、それはそれ。
単位円描いてもかかる時間はせいぜい一分未満ですから、着実に、あせらずが一番ですよー。

問題あってて解けました
菱形ＡＣＢＤの中点とＣの距離をｘとおくと
ＯＣ・ＯＤ＝（√（５＾2−ｘ＾2）−√（３＾2−ｘ＾2））（√（５＾2−ｘ＾2）＋√（３＾2−ｘ＾2））
　　　　　 ＝２５−ｘ＾2−９＋ｘ＾2＝１６

>>470>>472>>473
間違い。

ロピタルの定理って入試の答案で使ってもいいんですか？？

>>481
答え出すだけの問題ならいいけど、記述式の問題で使うのはよろしくない。

整数問題なんですが
Q.自然数nに対して、4^n + 6n -1が27の倍数となる条件を求めよ

数学的帰納法で、nが自然数のときに上の式が常に9の倍数になることはわかり、
さらに実験的にnが3m,3m-1(mは自然数)であれば成り立つこともわかったのですが、解答が書けません
よろしくおねがいします(´･ω･`)

>>483
4^n=(1+3)^nと考えて2項展開してごらん。
4^n=27の倍数+(n(n-1)/2)*9+3n+1
となることが分かるはず。後はできるでしょ。

>>484
そこで二項展開ですか、なるほど。

計算してみれば、(3^3){1+…+3^(n-3)}+(9/2)n(n+1)
となって、nが3m,3m-1(mは自然数)であれば確かに成り立ちますね(連続2整数の積が2の倍数になることは明らかなことですし…)

ご教授ありがとうございました。

ｂ（ｎ−１）−ｂ（ｎ）＝（−１／２）＾（ｎ−１）
はどうやってｂ（ｎ）＝の形にするんでしたか？教えて下さい。

>>486
　b(n-1) - b(n) 　= (-1/2)^(n-1)
+ b(n-2) - b(n-1) = (-1/2)^(n-2)
+ b(n-3) - b(n-2) = (-1/2)^(n-3)
　　　　　　　　(中略)
+ b(2) 　- b(3)　 = (-1/2)^2
+ b(1) 　- b(2)　 = (-1/2)
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　b(1)　 - b(n)　 = Σ(k= 1 〜 n-1) (-1/2)^k

あとは漸化式の計算だけっす。

b_(n+1)-b_n=-n/2 + 1/2
よって
b_(n+1)-b_1=-n(n+1)/4 + n/2
b_(n+1)-b_1=-n(n-1)/4
b_n=-(n-1)(n-2)/4 + b_1

あぁ、間違えた。まぁ、いいや。

1-1=日

>>482
そうか。記述で「ロピタルの定理より」ではだめなのか…。
じゃあ極限の計算は難しいものでも
微分の定義とかからなんとかだすしかないのか…。

1-1=日

>>491
lim[x→0](sinx)/x=1 とはさみうちだけ使えれば高校範囲の関数の極限はOK。
微分の定義やロピタルを使う方法は、知ってると得する程度のもの。と思うのだがどうよ？

>>493
いや例えばさ
lim[x→0](e^x-1)/xは微分の定義を使えば　
f(x)=e^x-1とおくとf'(x)=e^x

(e^x-1)/x=f(x)/x
=f(x)-f(0)/x-0→f'(0)=1 (x→0)
となるけど、微分の定義での解き方知らなきゃ解けないよな。

こうゆう問題は出ないと言ってしまえばそれで終わりだけど
教科に微分の定義はちゃんと書いてあるしさ。
入試範囲内だよなぁ。
それとも出題されるときは誘導がついてたりするんかな。

OA＝３、OB＝４である三角形OABの辺OBの中点をM、辺ABを１：３に内分する
点をDとし、線分OD、AMの交点をPとする。また、OA↓＝a↓、OB↓＝b↓とする。
このとき、
OD↓＝3/4a↓＋1/4↓である。
次に、直線AM上の点をQとし、OQ↓＝sa↓＋b↓（s,tは実数）とすると、
ｓとｔの間には関係式　s＋2t＝１が成り立つ。

と、あるんですが、

ｓとｔの間には関係式　s＋2t＝１が成り立つ。
というのは、どのように考えればいいのでしょうか？

OQ↓＝s・a↓＋1/2t・b↓/t＋s
と、なるのは分かるんですが・・・。

訂正です。

※誤　Q↓＝s・a↓＋1/2t・b↓/t＋s

※正 Q↓＝（s・a↓＋1/2t・b↓）/t＋s

宜しくお願いします。

>>495
OQ↓=sa↓+tb↓とすると
a↓=OA↓,b↓=OB↓=2OM↓だから
OQ↓=sOA↓+2tOM↓
今、点Qは直線AM上にあるから
s+2t=1


最後の２行がなんでそうなるか
分からないなんてことはないよな？？

極限だろうがなんだろうが、教科書レベルはマスターしとけよ、最低限。
極限なんてそんなに難しくないんだしさぁ。

>>497
その最後の２行がわかんないんです・・・。
教科書も見てみましたが、
わかんないです・・・・。

>>499
点Qが直線AM上にあれば、AQ↓=tAM↓(tは実数)
となることはわかる？

これがわかってれば、
OQ↓=OA↓+AQ↓=OA↓+tAM↓
=OA↓+t(OM↓-OA↓)
=(1-t)OA↓+tOM↓

となって、各ベクトルの係数の和が1じゃなければならないことがわかるでしょ。これが内分点のベクトルの公式。

係数の和が1って別に流してもいい所だとおもう

>>501
は？？
ベクトル習う上での基本だしめちゃくちゃ大事なことだろ。

あたりまえのことすぎてそんなところで言い争うような部分ではないと思う。

OQ↓＝(1-t)OA↓＋tOM↓になるのはわかるんですが、
a↓とb↓に直すと、
OQ↓＝（1-t）a↓＋1/2（b↓）となって
(1-t）＋1/2t＝１　となって、
（1-t）＝sとおいて
s＋1/2t＝１　となって
2s＋t＝2　となるような気がするんですが、
どの部分の考え方が、間違っているんでしょうか？

>>504
なんで？

平面上に20個の円がある｡
それらのどの2個も2点で交わりどの3個も1点で交わらないとする｡
これらの20個の円は平面を何個の部分に分けるか？

>>505
OQ↓＝(1-t)OA↓＋tOM↓
から
s＋2t＝1
の導き方がわかんないんです・・・。

>>504
>OQ↓＝（1-t）a↓＋(1/2)t（b↓）となって
ここから、
>(1-t）＋1/2t＝１　となって、
にいく過程が間違い。

>>497とよく見比べてごらん。
OQ↓=sa↓+tb↓
とおいたときに、sとtの関係がs+2t=1になるんだよ。
OQ↓＝（1-u）a↓＋(1/2)u（b↓）　（紛らわしいから文字を変えただけ）
との対比では、1-u=で、(1/2)u=tとおいている。
uを消してみ。

>>508
最後から2行目、1-u=sね。

>>504
OQ↓＝（1-t）a↓＋1/2（ｔb↓）となって
(1-t）＋1/2t＝１
が間違ってる。
OQ↓＝（1-t）a↓＋1/2（ｔb↓）
＝（1-t）OA↓＋1/2（ｔOB↓）
ここで直線ＡＢ上にＱがあるとは誰も言ってない。

重なった…。悪い。

>>508
>>510
なるほど〜、連立して解けばよかったんですね。
AQ:QMをt:（1-t）のようにおいていたから、分からなかったっぽいです。
じゃなく、u:（1-u）のようにおいて考えたら、あっさり分かりました。

どうも、ありがとうございました！

>>506
2^20

>>506
一見基本くさいけどいやらしい問題だな（ｗ

円が1個のとき分けられた平面は2個
円が2個のとき平面は4個
円が3個のとき平面は8個だから
円が20個のとき平面を2^20個とする輩が多いんだよなあ。
ダメだよぉ。円が4個のとき平面は14個なんだから。ちゃんと書いてみ？

2　4　8　14･･･

階差を取ると､2　4　6・・・だから階差数列は初項2公差2の等差数列と予想（？）できる
円が20個のとき平面は2+2･1+2･2+･･･2・19=382個に分けられる。
でも予想の部分が論理的に説明できないとちゃんとした答案にならんよなあ（ｗ

n個の円によって平面が分けられているところに
条件を満たすように(n+1)個目の円を書くと、
(n+1)個目の円は、それまでにあった円と2n個の交点を作る。
よって分けられる個数は2n個増える。

これでよさげじゃない？(ちょっと文章わかりにくいから誰か添削を。。)

その予想も5個目以降で覆される思い込みかもよ？>>513みたいにね

１対１にでてくる複素数の折り返しって何に使うのですか？それを使う問題みたことないのですが私の演習不足でしょうか？高３東北理系です

公式の質問です
円と軌跡
円(x-a)^2+(y-a)^2=r^2の周上の点(x0,y0)における接線の方程式
↓
(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r^2

になるのがわかりません。

まちがえた

×(x-a)^2+(y-a)^2=r^2の
○(x-a)^2+(y-b)^2=r^2の

x≧1のとき、xlogx≧(x-1)log(x+1)を示せ。

という証明問題なんですがアプローチの仕方がわかりません。
とりあえず
f(x)=xlogx-(x-1)log(x+1)
を２回微分してf(x)＞0みたいな感じにしてみたんですが曖昧です。
よろしくお願いします。

>>518
x-a=X
y-b=Yとおく。
Y'=-X/Y
よって、
Y-Y0=-(X0/Y0)*(X-X0)
Y0Y+X0X=X0^2+Y0^2=r^2
よって
(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r^2

>>520
f'(x)=log(x)+1-log(x)-(x-1)/(x+1)={(x+1)-(x-1)}/(x+1)=2/(x+1)>0
f(1)=0より、
f(x)≧0

>>520
　多少テクニカルだけど、
x≧1のとき、xlogx≧(x-1)log(x+1)を示せ。
　の両辺をx(x-1)で割っちゃって、
　f(x)＝logx/(x-1)　と見れば、左辺＝f(x)　右辺＝f(x+1)　になる。
　んで、このf(x)が単調減少であることを示しちゃえばいいんでね？

>>518
接線上の任意の点P(x，y)，接点Q(x0，y0)，中心C(a,b)とすると
常にPQ⊥QCですから、その内積＝Oとして、内積の成分計算をすればいつかはその式になるんじゃない？
PQの傾き・QCの傾き＝-１でもいいけど。
PQがx軸に垂直なときは、別に考察しないとダメなのでうざい。

>>524
521のでいいんじゃないか？？

>>525
もちろん
でもね、>>521は数３の知識を使っているじゃないですか。
>>518が文系ということを考慮して２Bまでで理解できる方法を提示してまで。

実数x,yが(ｘ−１)^2＋(ｙ−１)^2＝１なる条件のもとで変化するとき、
２−2√2≦ｘ＋ｙ≦２＋2√2であることを証明する問題です。

お願いします＞＜
できれば途中計算など細かく書いて頂けると助かります。

>>527
x+y=k とおく。k の範囲を求めればよい。
y=k-x を条件式に代入すると(文字 k を含んだ) x についての2次方程式ができる。
この x についての2次方程式が実数解を持てばよい。

図を描いて求める方法もある。ここで図は描けないから説明しないが。

>>522>>523
ありがとうございました。
>>523の両辺をx(x-1)で割るという発想に感動しました(´Д⊂

>>522
>f'(x)=log(x)+1-log(x)-(x-1)/(x+1)={(x+1)-(x-1)}/(x+1)=2/(x+1)>0
f(1)=0より、　　↑↑↑
f(x)≧0　　　　






f'(x)=log(x)+1-log(x+1)-(x-1)/(x+1)
=log(x)/(x+1)+2/(x+1)
ここでg(x)=(x)/(x+1)とおくと
g'(x)=1/(x+1)^2>0となりg(x)は増加関数
よってlog(g(x))も増加関数だから、f'(x)>0
f(1)=0よりf(x)≧0

じゃないか？？

>>494
(e^x-1)/x
=(e^x-1)/[log{1+(e^x-1)}]
=[log{1+(e^x-1)}/(e^x-1)]^(-1)
=[log{1+(e^x-1)}^{1/(e^x-1)}]^(-1),
lim[x→0](e^x-1)=0(∵e^x:continius at x=0).

かなり初歩的な質問かもしれませんが、
「aの値を求めよ」「〜を示せ」とかいったときに、
どういう場合に、「逆に〜を代入すると成り立つ」という必要十分の書き足しが
必要なのかいまいちわかりません。どういう場合に必要なんでしょうか？

>>532
論証の各ステップで、同値変形でないところが一箇所でもあったら必要。

例えば青チャの例題５でいう、ｘ＝0を代入すると、っていうところで必要になるんですか？

>>534
　問題文全部写そうね。

>>532
原則として必ず必要。書くかどうかの判断は、省略可能かどうかの判断。
明らかなことは省略可能。明らかでないことは省略可能でない。見る人にわかるように書く。
省略をするかしないかに関わらず必要十分性のチェックは必ずする。
迷ったら全部書いておいて問題ない。

>>536
　初学者には余計に混乱招きそう。

>>532
必ずしも必要では無いだろう？全部に書いても間違いじゃないけど。
論証が全て同値変形によっておこなわれていれば必要ない。

>>538のレスアンカー間違えた。
>>532ではなく>>536でした。

どんな問題かによる

必要条件が足りないなら必要条件を書く。
十分条件が足りないなら十分条件を書く。

>>531
そうか！解けるのか。
でも変形ムズいし、eの定義使ってるし
微分の定義使わなくても難しいな。
531さんすごいです！自力でこの解法思いついたんすか？
もしそうだったら尊敬します。



それより>>530ってあれで合ってますかね？？
522は明らかに計算間違いだと思います。

>>542
＞log(g(x))も増加関数だから、f'(x)>0
？？

>>542

大学入試で(e^x -1)/x (x->0)を聞かれたら
「e^xのx=0における微分係数だからe^0=1」で十分
これを正解にしない大学はないよ

下手に回りくどいことを書くと，碌に回答も読まずに
「こいつはこんな基本的なことも判ってないのか・・・それじゃ×」
と思われかねんよ

>>544
入試なら理由無しで使っていいよ。
微分の定義なんていうから
そんなんいらんってつもりで>>531書いただけだよ。

>>544
例えが悪くないか？

それが必要な場合には
「ただし(e^x -1)/x→1(x→0)は証明不要」
などと問題文に注釈がつくこともあるので
一概にはいえない微妙な問題だろう

教科書もごまかしの証明をするくらいなので
実際にこんな問いはありえないが
もし(sinx)/x (x→0)を聞かれたら
「sinxのx=0における微分係数だからcos0=1」で十分
…ということになってしまう

果たして十分か？
循環論法では？

sinxのx=0における微分係数だからcos0=1
それでただしいだろ。

>>546
「それが必要」の「それ」がいったい何を指すのか意味不明だが．．．
要は数学的に正しい解答を簡潔明瞭に記述する限り
不正解にされることはない，ということだ

> 「ただし(e^x -1)/x→1(x→0)は証明不要」
> などと問題文に注釈がつくこともあるので
> 一概にはいえない微妙な問題だろう

その問題においては既知の事実として
証明をつけずに使ってよい，というだけのことだ

証明しろという設問に対しては正しく証明しないといけない

> 実際にこんな問いはありえないが
> もし(sinx)/x (x→0)を聞かれたら
> 「sinxのx=0における微分係数だからcos0=1」で十分
> …ということになってしまう
>
> 果たして十分か？
> 循環論法では？

三角関数を図形的に定義する場合は何らかの
循環論法がつきまとう

上の回答が循環論法的で気持ちわるいというのであれば
整級数を使って三角関数を定義する必要がある．
論理的に正しく書こうとすると微積の教科書の数節を
費やす内容になってしまう

試験時間内にそんなことはやってられんから
上の回答で十分だ

>>547
結果は正しいんだけど、sinxの導関数を求めるときにsinx/x→1 (x→0）を使うから、論理としてはその論法は間違いなんだよ。

>>548
要は本人が数学的に正しいつもりなだけの解答ということ
試験時間内にそんなことはやってられないだろうから注釈がつく場合がある
注釈がなければ>>531のようにすればよい

>>550
まあこれくらいで解放してやるが

>>544の解答が正しいことくらい大学入学までには理解しておいてくれ

数学的には正しくなくても得点できる事実があるから十分だ、というならさもありなん

>>552

君，もしかしたら本当に544が正しいことが判らないの？

微分の定義を理解していないとか，exp xの導関数がexp xに
なることを証明できないとか，まさかその程度の理解度かい？

e^xのx=0における微分係数だからe^0=1

e^xの導関数は教科書の公式だから既知として良い。

d/dx (e^x) = e^x は e^x の定義
lim[x->0] sin(x)/x = 1 は ラジアンの定義

くだらない質問スマソ

(a/6)^2/3　＝　2/3a√a

って成り立ちますか？
右が模試の解説と自分の書いた答えが違ってたんで。

>>556
　2/3a√a　って　2/3*a√a？ならない。

>>556
両辺の対数とってみれ

>>556
(a/6)^2/3=[3]√(a/6)^2

３乗根でルートの中身の6やaが２乗でしかないんだから
ルートの外に出せるはずがない。

９人を３組に分ける方法は何通りあるか、求めよ。

>>560
青茶嫁。

>>560
9C3*6C3*3C3か


釣られた。
すまん。

9C3*6C3*3C3÷3
じゃないんですか？

積分しないで面積だけを一発で出す技√Ｄ＾３/|a＾２|

誰かこの詳細を教えてくれ…

|x^2+1|=|-3x^2+2|

これを解きたいんですが、両辺二乗しないとダメですよね？

|x^2+1|=|-3x^2+2|
x^2+1>0
-3x^2+2=-3(x-√(2/3))(x+√(2/3))

>>566
なるほど。ありがとう。

円に内接する四角形ABCDがあり、
AB=AD=5、BC=10、cos∠ABC=4/5
をみたしている。
(1)対角線ACの長さを求めよ。
(2)cos∠ADCの値と、辺CDの長さを求めよ。
(3)辺BCの中点をMとするとき、三角形ACMと三角形ACDの面積比を求めよ。

模試の問題なんですが、答えをもらえなかったのでさっぱりでした・・・。
よろしくお願いします。

何が分からないのか分からない。

>>528
あいがとうございました！

>>563
3人ずつ分けたきゃそんな感じ。
ちょっと惜しいけど。

>>568
たぶん基本が分かっていない。
悪いことは言わないから、ここで説明してもらうより、
中学の幾何と三角関数の復習をして理解した方がいい。

空間上に６つの点をおく。どの四点も同一平面上にないと仮定する。
このとき、６つの点を適切に３つずつに分け、それぞれ、A,B,CとA',B',C'とすれば、
このとき、△ABCの周と△A'B'C'の内部が一点を共有し、△A'B'C'の周と△ABCの内部が一点を
共有するようにできることを示せ。
----
という問題が分かりません。教えてください。

図を書けば良いのかな？

３組に分けるとは言ったが、誰も一組が３人だなんて言ってませんよ。>>560

>>575
そうか。すまん、早とちり。


じゃあ、９人を二つの仕切りで３組に分けると考えれば
８Ｃ２＝２８か？？

>568 3√5 -4/5 2 5:2

>>576
それはA組B組C組のように区別した場合の数

>>573
どの4点も同一平面上にない6点は八面体をなす。
6頂点から面と一致しない三角形をなす3点を選びA,B,Cとする。
残りをA',B',C'とし、AA'は八面体の辺と一致しないものとする。
BCとB'C'はねじれの位置にあるから
1. BCがA'B'C'と共有点を持ち、かつB'C'がA'B'C'と共有点を持つ
2. ともに共有点を持たない
のどちらかになる。2.の場合AB'C'とA'BCについて考えると、
1.のような状況が成立している。

>>578
本気で聞きたいなら、人を区別するのか、組を区別するのか、各組は1人以上属さないといけないのか、とかをはっきりしろ。

｛3^9-3･(2^9-2)-3｝/3!

書かなくても分かると思ったからね。
玉などじゃなくて人間　だから、ふつう区別はする。３組に分ける　だからふつう組は区別しない。

>>560
は放置で。

sappari wakaran orz

つーか560は自分が分かってて書いてんだから
質問じゃないだろ。
スレ違い。

>>581
thxあってるよ

いや、試しただけ。どれくらいの人ができない・放棄するか

>>583
放置じゃなくて　わ　か　ら　な　い　の間違いだろ。言葉間違ってるよ。
ちゃんと条件は書いてんだし、出来てる奴もいる。

>>587
問題もまともに掛けない奴は去ね。

これでも解いてろ。
0≦a≦1
0≦b≦1
x=a-b
y=a^3-b^3
で定まる点(x, y)のとりうる範囲を求めよ。

文系数学だよ。えらそうなこと言ってる前にさっさと勉強しろ。

簡単すぎたか。まぁいいや。

>>589
どっかで見たぞ。お前それ2chで拾っただろ。
そういうお前みたいな目的でやった訳じゃない

>>591
オレが出した問題だからな。

２ｃｈで、リュードベリに。

ﾏﾝﾄﾞｸｾ。難しくてもいいからすぐ終わるのにしれ

>>594
さっさと消えろ。

いちいち構うなよ。放置しろ

曲線y=√(x-1)上の点と曲線y=(x^2)+1上の点を結ぶとき、その２点間の
距離の最小値を求めよ。

お願いします...

>>595
確認だけどう上の問題の出典言える？
嘘はよくないよ　ウソ　は。はったり君

>>579
ありがとうございます。でも、
＞どの4点も同一平面上にない6点は八面体をなす。
の部分が分かりません。例えば、凸包として四面体を考えた場合もこのようになるのでしょうか？

>>597
図を描いてみると対象性が見えるだろう。
凸性から直線y=xに最も近くなる点を結んでみてはどうだろうか。

>>589は出典も何も有名問題だろ…

>>597
その2曲線はy=xについて対称だから･･･

簡単な計算も出来ない奴が何偉そうにアドバイスしてんだか・・

>>598
ちなみに東大文系数学の冬期講習テキストから。

>>601
だろ？あたかもこいつID/Io7CW6I　が出したみたいなハッタリ言ってたから

>>604
なるほど、そこから自分が一番解けなそうなのを出した訳ね。
納得。

>>606
君には難しかったからそう感じるのかもね。

以下放置します

放置しろって。見たらわかるだろ。最初から嵐目的だこいつは

君の気持ちは十分分かったから。もういいよ

こんなとこに嵐も正統派もねぇよ。勉強せずに２ｃｈしてる時点で皆同類項

pを２以上の整数とする。２以上の整数ｎに対し、次の条件A、Bをみたす
複素数の組（z1,z2,...,zn)の個数をanとする。
A　k=1,2...,nに対し、zk^p=1かつzk≠1
B　z1z2...zn=1
このとき、次の問いに答えよ
(1)a3を求めよ。
(2)anを求めよ。

お願いします

>>599
1.6点が八面体をなす
2.5点が六面体をなし、内部に1点がある
3.4点が四面体をなし、内部に2点がある
に分けるべきでした、失礼。
1.は証明済みで、2.の場合について。
========================================
六面体をなす5点をABCDEとし、AEは六面体の辺でないとする。
6個目の点Fは四面体ABCDの内部とする。
線分AEは△FBC,△FCD,△FDBのいずれかと交わる。
△FBCと交わるとすると、△AEDと△FBCは題意を満たす。
========================================
3.の場合について
========================================
四面体をなす4点をABCDとする。
内部の点E,Fについて考える。
点Fは四ABCE,四BCDE,四CDAE,四DABEいずれかの内部。
四ABCEの内部とする。
線分DFは△ABE,△BCE,△CAEのいずれかと交わる。
△ABEと交わるとする。
△ABEと△CDFを選べば題意を満たす。
========================================
以上です。

>>613　ありがとうございます。

>>612
問題文正確に書いて。。
何をしたいのかわからん。。
ｐは任意の数なのか、それともＡを満たすようなｐが少なくとも一つ存在するのか。
複素数の組の数はｎに関係なく１つだと思うが。。

誰か>>612お願いします。
よく分かりません

>>615
問題文そっくりそのままです。
見にくいところといったら　zk^pのｋは添え字です。またBは積です

>>612
arg(z_k)=(l/p)*2π (lは1〜p-1までの自然数）
Σ[k=1 to n]arg(z_k)=2mπ　（mは整数）
となるような、z_kの組を求めりゃいい。

結局、1〜(p-1)までの自然数いずれかをとるn個の数で、足すとpの倍数になるようなもの、が何通りあるかを求めることになる。

a_2=p-1　は明らかで、
a_n=(p-1)^(n-1)-a_(n-1)
って漸化式が成り立つからa_nが求まるな。

うーん。題意すらまともに分からない俺は逝ってよしか・・

問：１から１００までの整数について、３で割ると１余る数の和

これって「１」も含まれるんですか？
1÷3=0.3・・・余り0.1じゃないんですか？

>>1÷3=0.3・・・余り0.1じゃないんですか？
これがわけわかめだが、1も含まれるよ。 1 = 3*0 + 1

△ＡＢＣにおいて、点Ａから対辺ＢＣの中点Ｍに中線をひく。
∠ＡＭＢの二等分線をひき、その直線と辺ＡＢとの交点をＤとおく。
同様に∠ＡＭＣの二等分線をひき、その直線とＡＣとの交点をＥとおく。
このとき、ＤＥ＜ＥＣ＋ＤＢを示せ。（中２内容です。教えてください。。。）

>>623

いろんな解答がありそう。

-----------------------------------------------------------------------
Cを通りBDに平行な直線を引き、【DB=CF…�@】になるように点Fを取ると、
四角形BDCFは平行四辺形になるので、【DM=MF…�A】

∠EME=1/2∠BMC=∠R　と�Aより、
△EDFは、【DE=FE…�B】の二等辺三角形

△EFCにおいて三角不等式より EF＜EC+CF が成立するが、
�@�Bより DE=EF＜EC+CF=EC+DB
-----------------------------------------------------------------------

後、細かい記述は面倒なので省くが
----------------------------------------------
MB=MB'になる点PをAM上に取ると、
△BMD≡△PMD → BP⊥MD → BD=PD が順に言える。
同様に、CE=PE も言える。
そして△PDEにおいて、DE＜PE+PD=EC+DB
----------------------------------------------
みたいな流れもある。

>>621
それしちゃうと7÷3=2.3あまり0.1ってなって不適になっちゃうぞ

------------------------------------------------------
AM:BM=AD:BD, AM:CM=AE:CE だが
ここでは BM=CM なので、AD:BD=AE:CE　よって DE//BC
DE=BC*a/(a+b), EC=AC*a/(a+b), DB=AB*a/(a+b)

△ABCにおける三角不等式より BC＜AC+AB が成立するので
両辺 a/(a+b) 倍した DE＜EC+DB も成立する。
------------------------------------------------------

>>622>>625
なるほど。そうですねｗ
オイラが馬鹿ですた。

確率についての質問です。
というか自分の解答の不備の指摘きぼんぬ。
【問題】
赤玉５個、白玉４個、青玉３個の入った袋から無作為に四個取り出す。
４個の中に赤玉、白玉、青玉が全て含まれる確率を求めよ。

模試の解説には　「赤２個　白１個　青１個」　「赤１個　白２個　青１個」　「赤１個　白１個　青２個」
のいずれかだから…として計算して答え　6/11　を導いています。
この解答は理解できたのですが、
自分の解答のどこがいけなかったのかが分からないので不備な点を指摘して欲しいのです。

自分は
（全事象）−（全部赤）−（全部白）ー（赤と白のみ。ただし全部赤と白は除く）
　　　　　　ー（白と青のみ。ただし全部白は除く）ー（青と赤のみ。ただし全部赤は除く）
として495-5-1-120-34-37=298
よって答えは298/495　して必死に頑張ったのですが爆死しました。

あとできればこれに似たやり方での別解もよろしくお願いします。

「nの倍数」に0は含まれますか？
この前の模試の解答では含まれていたんで、いくつかの辞書や参考書で調べてみたんですが、定義はまちまちです。
「約数」の対義語だと考えると0は含まれないと思うんですが、問題解く上では異なったりするんでしょうか。

>>628
「青赤のみ」は、8C4-5=65じゃね？
そしたら合ってね？

>>629
倍数っていったら0も負も含むし、約数っていったら負の約数も含むんじゃね？
でも問題によっては、正の整数を全体集合としてる場合もあるんじゃね？

>>630
あ〜亜ｗせｄｒｆｔｇｙふじこｌｐ；＠
部分点ｹﾞｯﾂ！
マジ感謝です。自分では気づきませんでした。
確率に対して絶望的になってたんですが少し救われました。
でも基本的には模試の解説の方針を先に思いつくようじゃないとダメなんだろうけど。
重ね重ねサンクス

正の数x,y,zが a/x+b/y+c/z=1　をみたしながら動くとき、x^2+y^2+z^2の最小値を求めよ。

お願いします

a,b,cを正の定数とします>>633

整数p,qは0<p<q, pとqは互いに素　をみたすものとする。
数列{a_n}を a_n=pn/q-[pn/q] (n=1,2,3,・・)　で定める。
ただし、[x]はxをこえない最大の整数を表す。また、 S_n=�納k=1 to n]　とする。
このとき、lim S_n/n　を求めよ。

これもよろしくお願いします

↑訂正　S_n=�納k=1 to n]a_k　です。

期待値の問題を復習していたのですが、わからないところがでてきましたあ〜･｡.･(⊃д｀).･｡.･教えて先輩方!!
問)２つのサイコロをふり、出た目のうち、小さくない方をＸとするとき、Ｘの期待値を求めよ。

なんで小さくないなんて変な言い回ししてるんだあ( ´Д`)

>>637
同じものが出たときの事を考慮してのこと。
AとＢの組み合わせは
11 22 33 44 55 66
12 23 34 45 56
13 24 35 46
14 25 36
15 26
16
とその逆なんだから、21*2/6^2=7/6となるわけだ。

あ、ごめん、間違えた。てか何してんだ。
ちゃんと書かなきゃな。
11 12 13 14 15 16
21 22 23 24 25 26
31 32 33 34 35 36
41 42 43 44 45 46
51 52 53 54 55 56
61 62 63 64 65 66
のうち、一番左上が１
左上２×２から１になるものを除くと、３つが２
……(2n-1個がnになることが分かる)……
1*1+2*3+3*5+4*7+5*9+6*11=161
よって、
161/36が期待値。

�T　a,b,cを正の定数とする。
正の数x,y,zが a/x+b/y+c/z=1　をみたしながら動くとき、x^2+y^2+z^2の最小値を求めよ。

�U　整数p,qは0<p<q, pとqは互いに素　をみたすものとする。
数列{a_n}を a_n=pn/q-[pn/q] (n=1,2,3,・・)　で定める。
ただし、[x]はxをこえない最大の整数を表す。また、 S_n=�納k=1 to n]a_k　とする。
このとき、lim[n→∞] S_n/n　を求めよ。

誰かお願いします

>>638さん
ありがとうございます(>_<) 小さくない方とは、同じ目の場合も考慮する事なのですかー。
学びました☆

aベクトル= ( L,-2,3 )
bベクトル= ( 3,M,1 )
cベクトル= ( 2,5,N )
a,bベクトルは始点が同じであり、M＞0である

上記の3つのベクトルが三角形を作るときL,M,Nを求めよ

(純虚数)≠０

ですか？

>>643
0は実数だろがあ〜！

>>644
「何聞きたいのか分からん」って答えてやるほうが>>643のためのような気もするけどね。

>>643
複素数とは a+bi (a,b は実数) という形で表される数のことを言います。a を実部、b を虚部と言います。
この複素数の中で特に a+0i という形をしたものを、実数 a と同一視して実数とみなします。
この同一視を通して考えることで、複素数は実数を含むといえるわけです。
そして、実数でない複素数のことを単に虚数と言います。すなわち虚部 b≠0 であるような複素数 a+bi が虚数です。
この虚数の中で、実部 a=0 となるもののことを純虚数と呼びます。
したがって純虚数とは a=0 かつ b≠0 であるような複素数 a+bi のことです。
といったことは教科書に書いてあるはずですので、自分できちんと調べてから聞くようにしましょう。

同一視の説明が少しおかしいね。

>>640
I
めんどくさそうだな…。大学以上になればこんなのはラグランジュの未定乗数法っていうので解くんだけど…。
(a^(2/3)+b^(2/3)+c^(2/3))^3になると思う。

�U
a_nは、pk+1≦n≦pk+(p-1)の範囲で、1/q〜(p-1)/qを１回ずつ取る。
まず、これを示すこと。後は求まるだろ。

nが２よりも大きな自然数だったら
Ｘ^n＋Ｙ^n＝Ｚ^n
を満たすような自然数Ｘ、Ｙ、Ｚは存在しない

という問題はどうやれば証明できますか？

>>648
�U　a_nは、qk+1≦n≦qk+(q-1)の範囲で、1/q〜(q-1)/qを１回ずつ取る。
に訂正。ｽﾏｿ

>>649
複素数を使った面白い証明法を思いついたが、紙が足りないのでここに書くことは出来ない。

>>649
俺も思いついたが、ここに書くには余白が少ない

>>649
一生を数学のためだけに捧げれば証明できるかもしれません。

>>649
もう少しで思いつきそうだったのに・・・

>>649
高校の範囲からは少し外れるのですが、つぎを読んでみると良いと思います。

A. Wiles : Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem, Ann.Math.142(1995),443-551
http://math.stanford.edu/~lekheng/flt/wiles.pdf

>>642
三角形をつくるので、
a-b=cまたはb-a=cが成立
Mの条件より後者のみ採用

２円x^2+y^2+lx+my+n=0,x^2+y^2+px+qy+r=0が交わるとき
その二つの交点を通る円は
x^2+y^2+lx+my+n+k(x^2+y^2+px+qy+r)=0 (k≠-1)

がわかりません。このｋってなんですか？二つたすのはなぜ？
また、この公式を使わないでとく方法ありませんか？

>>657
別にその公式使わなくても、2円の交点の座標を求めれば解けるよ。
それを一度やってみれば、その公式のありがたみがわかるであろう。

加減法の基礎定理より、

x^2+y^2+lx+my+n=0かつ
x^2+y^2+px+qy+r=0
⇔
x^2+y^2+lx+my+n+k(x^2+y^2+px+qy+r)=0　(k≠-1)
かつ
x^2+y^2+px+qy+r=0

かな。

(A-1)a+Ab=0
(A-1)b+Ac=0
(A-1)c+Aa=0

Aを求めたいのですが、どのようにすれば求められますか？

>>660
左辺全部足して=0とすると
(2A-1)(a+b+c)=0
∴a+b+c≠0のときA=1/2
　a+b+c=0のときAは一つに定まらない.

三角比の問題なんですが

三角形ＡＢＣの頂点Ａ、Ｂ、Ｃから対辺へ下ろした3つの垂線の長さ
がそれぞれ１５，１２，１０である。いま、３辺の長さを
ＢＣ＝ａ、ＣＡ＝ｂ、ＡＢ＝ｃ
とするとき、
ａ：ｂ：ｃ＝４：５：６である。
この時ｃｏｓＡの値とａ、ｂ、ｃの値を求めろ

【解答】
三角形ＡＢＣに余弦定理を適用して
ｃｏｓＡ＝５^２＋６^２−４^２／２･５･６＝３／４

ａ、ｂ、ｃの値はｃｏｓＡを利用してＳｉｎＡ＝√１−ｃｏｓＡ^２＝√７／４･･･････�@
ところで、
∠ＡＥＢ＝９０゜なので、　ＢＥ／ＡＢ＝ＳｉｎＡ････････････�A
∴ｃ＝ＡＢ＝ＢＥ／ＳｉｎＡ＝４８／√７･･･････････�B
ａ＝４／６ｃ、ｂ＝５／６ｃより
ａ＝３２／√7、ｂ＝４０／√7

で、分からない所が�@、�A、�Bなんですが
�@はｃｏｓをＳｉｎに変換する理由がわかりません。
�Aはなぜ、ＢＥ／ＡＢがＳｉｎになるのか全く分かりません∠ＡＥＢが９０゜ならｃｏｓになると
思うのですが。
�Bはｃ＝ＡＢまでは分かるのですが、正弦定理の
ＢＥ／ＳｉｎＡとイコールになる理由が分かりません。
よろしくお願いします。

具体的な問題の質問じゃないんですが
自分、一浪なんですが最近気づきました。
計算力が欠けてると思うんです。
たまにココでも質問させてもらうのですが
方針はあってるのに四則計算で間違えるんです。
和田秀樹の本で計算力テストやったのですがボーダーラインで
「中学の参考書をやりなおすといい」みたいな感じなんです。
今、中学の頃やりまくってた参考書やってるんですが
計算力アップにはどうしたらいいですか？
このまま中学の計算をやってるのでいいのでしょうか。
時間的にも本来ならばこんなことやってる時期じゃないんですが

2浪汁

0≦χ≦π、0≦у≦π、k＞1のとき、
-k≦cosχ≦k
は、どうして
0＜y＜πになるんですか？だれか教えてください。

663ですが
664さんの言葉は最高のやる気になりました
二浪はゆるされません

>>663
まずは和田の方法論の間違いに気付こうな。

Y=e^-xの微分ってどうなるんですか？教科書にかいてないんです

>>668
合成関数の微分法は教科書に載ってるよな？

>>669
載ってますが、eについては書いてないんです。同じように-1をかければいいんでしょうか？なにぶん独学なもので。

f(x)=e^x,g(x)=-xとすると
f(g(x))=e^(-x)
まったく同じ問題が載ってないとできないってのはちとあれかと思われ

ま、独学だと最初はツライと思うよ

>>662
sinは、正弦定理の方じゃなくて、斜辺／対辺っていう定義の方を使ってるんだよ。
忘れたころに出てくる解法だから、覚えておくといいかも

(2)でcosじゃないのは、cosだと、垂線によって角が割れてしまい、うまく使えないから。

>>672
レスありがとうございます。
＞sinは、正弦定理の方じゃなくて、斜辺／対辺っていう定義の方を使ってるんだよ。
その定義は知ってます。cosが斜辺／底辺ですよね？
斜辺以外の底辺、対辺は直角の位置によって変わるという解釈でいいですか？
あとこの長さを求めるにはcosに変換しなければいけないのでしょうか？
お願いしますｍ(．．)ｍ

今年受験で一通り全部公式も覚えて問題集をしてて
数学はセンターのみなんですがこの程度の問題は解けないとヤバイでしょうか・・？

あ、あと
＞垂線によって角が割れてしまい
っていうのはどういう事でしょうか？お願いします

お絵かき掲示板が使えない・・・

>>673
>斜辺以外の底辺、対辺は直角の位置によって変わるという解釈でいいですか？

うん。そんな感じ。三角比は、あくまでも角が主体なんだよね。
直角三角形があったときに、ある一つの角（直角で無い角）に注目。このとき、この角の
正面（この角が接してない角）にある辺が対辺で、斜辺と違う側にある接している辺が底辺。

今回は、解答から考えるに、
　　　　　Ｂ


Ａ　　　　Ｅ　　　Ｃ

みたいな位置関係だよね。ここで、直角三角形ＡＢＥに注目。
角Ａのcosの値が分かっているから、角Ａに注目してみる。
角ＡはＡＢとＡＥに接しているから、△ＡＢＥ（辺はＡＢ，ＡＥ，ＢＥ）において、
角Ａの対辺（Ａと接してない辺）はＢＥ
斜辺はＡＢだから、底辺は残ったＡＥ。

このときcosA=AE/AB
cosAは求められているけど、ＡＥの長さは分かってない。ＡＢも分かってないから
未知数はＡＥとＡＢの二つ。けれども式は一つだからコレは解けない。
だからcosは使えない。

次にsinに注目してみよう
sinA=BE/AB
問題文中にＢＥの長さは与えられている。ここまでで、未知数はsinAとABの２つ。
しかし、sin^2(A)+cos^2(A)=1を使えば、式２つになるから解ける。

>今年受験で一通り全部公式も覚えて問題集をしてて
数学はセンターのみなんですがこの程度の問題は解けないとヤバイでしょうか・・？

ちょうど、センターがこの程度の問題レベルのはずだよ。
今ヤバイかどうかより、今からどうやって過ごすかの方がはるかに大事。
別に今すごくよく出来てたとしても、例えば１〜２ヶ月全く勉強しなければ、力なんて簡単に落ちるんだからさ
（大学一年生の人に遭ってみると、わかるかも）

現役なら、
・問題になれること
・解法を整理すること
・弱点を認識して対策をとること
あたりが冬までにしておくことだと思う。

google電卓リファレンス

http://hp.vector.co.jp/authors/VA013937/google.html

ＡＢ＝３，ＢＣ＝５，ＣＡ＝４の三角形ＡＢＣの重心をＧとする。ＡＢ，ＡＣ上に２点Ｐ，ＲをそれぞれベクトルＡＰ＝αベクトルＡＢ、ベクトルＡＲ＝βベクトルＡＣ（０≦α１、０≦β≦１）にとる。さらに点Ｑを三角形ＰＱＲの重心がＧに一致するようにとる。

>678
続きです。
（１）ベクトルＡＱをベクトルＡＢ，ＡＣ，α，βを用いて表せ
（２）ＱがＢＣ上にあるとき、三角形ＰＱＲの面積の最小値を求めよ

数学苦手でまったくわかりません。どなたか解説をお願いできますでしょうかm(__)m

>>679
αとかβとはベクトルの記号にしてはキモイ記号だな

そこのところはtとsと相場が決まってるんだぜ

>>679
まぁ △ＡＢＣの重心＝△ＰＱＲの重心
の式を立てればＱが出るし

面積は苦手だと全然わからんレヴェルなのでおれもわからんよＷ

すみませんm(__)m無知なもので…しかし、問題をそのまま書き写しました。

>>678
ベクトルの基本
1.起点となる点を決める（問題中にベクトルが与えられていれば必要なし）
2.起点から始まるベクトルを２本（空間なら3本）決める（大概は問題文中で与えられるが）。
これを基本ベクトルとでも呼ぶとする
3.問題文に出てくる点を、2.で決めた基本ベクトルで表していく(未知数を使っていってＯＫ)
4.辺の長さが与えられていれば、内積の値を出しておく
5.問題文中の条件（「垂直」とあれば内積ゼロ。「線分〜〜上」とあれば係数足して１　など）
を使い、4.で設定した未知数を消していく

>ＡＢ＝３，ＢＣ＝５，ＣＡ＝４の三角形ＡＢＣの重心をＧとする
ふんふん　と読んで行く

>ＡＢ，ＡＣ上に２点Ｐ，ＲをそれぞれベクトルＡＰ＝αベクトルＡＢ、ベクトルＡＲ＝βベクトルＡＣ（０≦α１、０≦β≦１）
ベクトルAB(以下ｂと書く)とベクトルＡＣ（以下ｃと書く）を基本ベクトルにしよう

>ＡＢ＝３，ＢＣ＝５，ＣＡ＝４の三角形ＡＢＣの重心をＧとする
出てきている点はA,B,C,G。これらを基本ベクトルで書いていく。
Ａは起点なので無視。Ｂはb。Ｃはc。
Ｇは重心なので（「重心」を見たときに１/3公式を想いだす）ベクトルＡＧ≡g=(b+c)/3

>ＡＢ，ＡＣ上に２点Ｐ，ＲをそれぞれベクトルＡＰ＝αベクトルＡＢ、ベクトルＡＲ＝βベクトルＡＣ
そのまま、p=αb,r=βcと書いちゃう

>さらに点Ｑを三角形ＰＱＲの重心
三角形ＰＱＲの重心は(p+q+r)/3

>三角形ＰＱＲの重心がＧに一致する
(p+q+r)/3＝g=(b+c)/3
p=αb,r=βcだから
αb+q+βc=b+c
だから、q=(1-α)b+(1-β)c

>>679
１）Ａを原点ＡＢ方向をy軸ＡＣ方向をｘ軸とした座標を取って、重心の公式を用いて重心の位置が一致するという条件を数式で表せ。
２）　１）からＱの位置が分かるので、ＱにＢＣ上である条件を代入し、ＰとＲの位置を考え、面積を求めよ。

>(2)ＱがＢＣ上にあるとき
「ＡＱ＝□ＡＢ＋△ＡＣのとき、□＋△＝１」を思い出して（線分上にあるとき、係数足して１）、
(1)より(1-α)+(1-β)=1
⇔α＋β＝１

問題中に辺の長さが与えられているから内積を出しておく
角Ａ＝９０度より
b・c=0

以下、何通りか解き方があるけど、とりあえず、力技の方で。
三角形ＰＱＲの面積＝1/2*√（QP^2*QR^2-ベクトルQP・ベクトルQR）・・・（I）
ベクトルＱＰ＝ベクトルＡＰ−ベクトルＡＱ＝（2α-1）b-(1-β)c
ベクトルＱＲ＝ベクトルＡＲ−ベクトルＡＱ＝（2β-1）c-(1-α)ｂ

QP^2=(（2α-1）b-(1-β)c )^2=9(2α-1)^2+16(1-β)^2
QR^2=(（2β-1）c-(1-α)ｂ)^2=16(2β-1)^2+9(1-α)^2
ベクトルQP・ベクトルQR=9(2α-1)(1-α)-16（2β-1）(1-β)

上３つを(I)に代入して、α＋β＝１でβを消去してαだけの一変数関数にした後、
あとは０≦α≦１のもとでの最小値を出しちゃってください

ベクトルを使わないなら、α＋β＝１の後、
AP:PB=CR:RA=BQ:QC=α:1-α
を使って（ｑ＝（1-α）ｂ＋αcとなるから、ＱはＢＣをα：１−αに内分する点）
面積を出してもＯＫ

みなさん解説ありがとうございましたm(__)m尊敬します

現在センター数学対策中の浪人です。

河合パーフェクト問題集数学２Bの
空間ベクトル【89】で出てきたところなんですが、
途中計算の所なので問題は省いています。

http://castaff2620.hp.infoseek.co.jp/cgi-bin/img/17.jpg

因数分解か平方完成するんだと思うんですけど係数がでかくてよくわからないのです。
過程を詳しく教えてください、おねがいします。

そんな事だから浪人するんだよ。
もう１年浪人しろ。

>>689
お前絶対自分で解こうとしてないだろ？
読んでるだけじゃねえの。手を動かせ。
ちゃんと手を動かせ。
ただの平方完成だよ。
係数が大きくてわからないなんてことありえない。
わからないじゃなくて出来ないならまだ少しはわかるが。

>>690
>>691
すみません。690でｶﾞｰﾝときて、もう一度自分でやってみたらできました。
因数分解にこだわっていてできなかったみたいです。平方完成したらできました。
どうもすみませんでした。

導関数についての質問なんですけど
ある関数f(x)について、たとえば f'(3)=2は x=3におけるf(x)の傾きは2ってことを表しますよね？
じゃあ f''(3)=2 の2って何を表すんでしょうか？

３角形ＡＢＣの内接円をＯとします。円Ｏと３辺ＢＣ，ＣＡ，ＡＢとの接点を
Ｐ，Ｑ，Ｒとします。線分ＡＱ，ＡＲ，円Ｏに同時に接する円と円Ｏとの接点をＬ，
線分ＢＲ，ＢＰ，円Ｏに同時に接する円と円Ｏとの接点をＭ，線分ＣＰ，ＣＱ，円Ｏ
に同時に接する円と円Ｏとの接点をＮとします。このときＰＬ，ＱＭ，ＲＮは一点で
交わることを証明して下さい。

>>693
f'(x) の x=3 での傾き．または f(x) は x=3 の十分近くで f(3) + f'(3) x + f''(3)/2 x^2 に近似出来るから，
f''(3) = 2 は f(x) を x=3 の十分近くで二次式に近似すると x^2 の係数が 1 になることを表してる．

チンコが赤くなるのは何故ですか？

法政の社会学部志望なんですが、今青チャが途中まで終わってるんですけど文系は黄チャの方がいいと言われました。黄チャに乗り換えた方がいいですか？

すみません。スレ違いでした。

>>675‐>>676
有難うございます。お陰でよく分かりました
つまり
　　　　　Ｂ


Ａ(θ)　　　　Ｅ　　　Ｃ

で考えればいいってことですね？

>>697
青ちゃが難しいと感じているなら黄ちゃ
じゃなきゃそのまま池

695
ということは、2という数字自体は編曲点とは関係ないんでしょうか？

>>701
横レスだけど、変曲点に関係あるのはf''(x)=0だけでしょ。
他の点でf''(x)求めて何がうれしいかって言われたら、
下に凸か上に凸かが重要な情報になる問題では役立つ。

お願いします

半径が１の３つの円柱があり、軸は原点Oにおいて互いに直行している。
このとき、３つの円柱の共通部分の体積Vを求めよ。

>695 >702
そうかぁ、やっとわかりました。わざわざ答えてくれてありがとうございました。

立方体を5色の色を使って隣り合う面が同じ色にならないような塗り方は
なん通りありますか？

>>703
高校の知識で出せるのか謎。
とりあえず図は描けた？
>>705
３色---１通りずつ
４色---１色を３回使うか、２色を２回ずつ使うか
５色---２回使う色はどれか、あとは数珠順列

130

>>705
すべての色を使います。
答えもよろしくお願いします

>>708
５×３！＝３０かな？
答え聞いちゃったら面白くないと思うけど。

>>703
http://www.fukkan.com/vote.php3?no=3629
の「立体の捉え方」に、図、発想法、計算、答えともに書いてる

ごめん、３０÷２＝１５だわ、多分。

答えは自分なりに出しました。16-8√2になった

>>712
正解

>>706の言ってるような立体の概形を考えるんじゃなくて
断面積しか考えてないんですが・・

>>714
よく出たねえ。立派なもんです。

>>705の問題の答えは15ですか？

x≧0、y≧0において
C(x+y)≧2√xy…Ａとするとき(Cは正の数)
(1)C≧1のときＡが成り立つことを示せ
(2)Ａが成り立つときC≧1であることを示せ
(3)√x+√y≦K√x+yを満たす最小のKを求めよ

わかりません(´д｀)
だれか教えてくださいm(＿)m

>>716
そうだよ。

>>717
√xy=√(xy)
√x+y=√(x+y)
だと思うが、分かるように書いたほうがよい。

>>718
スイマセン(>_<)

>>703
題意がようわからん。
円柱の中心軸と座標軸が一致してるってことか？

それなら、
座標をx,y,zとおいて
x^2+y^2≦1
y^2+z^2≦1
x^2+z^2≦1
x-y,y-z,x-z平面のどれで切っても同じ切り口になりそうだから
例えば、x=t,y=t,z=tのどれかにおける切り口の面積を求めりゃいいだろうね。
まぁz=tで切るなら
x^2≦1-k^2
y^2≦1-k^2
x^2+y^2≦1か。
この３つの不等式で囲まれる領域の面積を求めればいい。
正方形の大きさを考えて場合わけするべし。

こういう問題が出てきたら、まずは図形の不等式を作って
求めやすい平面で切ることを考えよう。

誰か>>717お願いします泣

√2かな
違うかも

>>717
（１）
（左辺）−（右辺）
=C(x+y)-2√(xy)
={(x+y)-2√(xy)}+(C-1)(x+y)
(x+y)-2√(xy)≧0（∵相加相乗）、(C-1)(x+y)≧0（∵C≧1、x+y≧0）より
（左辺）−（右辺）≧0
よってAが成り立つ。

（２）
x≧0、y≧0を満たす任意のx,yでAが成り立つ。
C(x+y)≧2√xy≧0より、両辺2乗すると、（左辺）＾2−（右辺）＾2≧0が成り立つ。
（左辺）＾2−（右辺）＾2を平方完成すると、Cについての条件式が出てくるので
それを解くとC≧1が示される。

（３）
√x+√y≦K√(x+y)･･･Bとする。
x≧0、y≧0を満たす任意のx,yでBが成り立つとよい。
まずK√(x+y)≧√x+√y≧0より明らかにK≧0・・・（*）
Bの両辺を2乗して（右辺）＾2−（左辺）＾2を計算すると、(K^2-1)(x+y)≧2√xy
ここで（１）（２）より、(K^2-1)(x+y)≧2√xyがx≧0、y≧0を満たす任意のx,yで成り立つには、
K^2-1≧1であることが必用十分条件なので、（*）とからK≧√2
よってKの最小値は√2

>>723
おつかれさん

(2)はx=y=1を代入するほうが早いよ

>>723
わかりました!!
ありがとうございます涙

(a^2/8)-3a+10　が　-(1/8)*(a-12)^2 -8 に
する方法がわかりません。
(a^2/8)-3a+10 = a^2 -24a+80 =　ここから・・・わからん。

>>726
ax^2+bx+c=a(x-b/2a)^2-(b^2-4ac)/4a
解の公式ってこうやって導くの知らん？

ｘ、ｙ、ｚに関する同次連立一次方程式
ｘ+ycos(ν)+zcos(β)=0
xcos(ν)+y+zcos(a)=0
xcos(β)+ycos(a)+z=0
はa+β+ν=0のとき、自明でない解を持つことを示せ。

よくわからないので、宜しくお願いします。

>>727
a =a^2/8 、b=-3a 、c=10 を　a(x-b/2a)^2-(b^2-4ac)/4a にあてはめると
(a^2/8)*(x-(12/a))-16になりました。

わかりません。すいません細かくお願いします。

>>728
自明な解ってのは(x,y,z)=(0,0,0)ってのはOK？
つまり(0,0,0)じゃない解を持つようにせよってこと。
角度はa,b,cにした。
zを消去して
x{1-cos^2(b)}=y{cos(a)cos(b)-cos(c)}
y{1-cos^2(a)}=x{cos(a)cos(b)-cos(c)}
x,yを消去して
{1-cos^2(a)}{1-cos^2(b)}={cos(a)cos(b)-cos(c)}^2
1-cos^2(a)-cos^2(b)=cos^2(c)-2cos(a)cos(b)cos(c)---(*)
これを満たすa,b,cの条件はa+b+c=360*nになるんじゃない？
ちなみに(*)は三次の行列式。知らなくてもいい。

>>731
なんで右辺のようになるのかは
「展開するとそうなるから」としか言えん。
ただ言っとくと俺も覚えてるわけではない。
頭ん中で考えて係数合うように変形すんの。
右辺の形にできたら=0の方程式を解いてみ。
a(x-b/2a)^2-(b^2-4ac)/4a=0
a(x-b/2a)^2=(b^2-4ac)/4a
(x-b/2a)^2=(b^2-4ac)/4a^2
x-b/2a=±√(b^2-4ac)/2a
x=b/2a±√(b^2-4ac)/2a

間違った。731って俺じゃん(笑)
731は>>729ね。

>>730
あぁ、そういうやり方もあるんですね。
ただ、描き忘れたんですが>728は行列(の階数)を用いて
解けという問題だったので、行列のほうの解法を教えてくれませんか？
質問が不完全で申し訳なかったです。

２次関数ｙ＝ｆ（ｘ）とｙ＝cosｘはｘ＝０で共通の接線をもち、
かつ点（Π／２、０）で交わる。
このとき、２曲線ｙ＝ｆ（ｘ）とｙ＝cosｘの０＜ｘ＜Π／２
における上下関係を調べよ。


という問題なんですけど、
なぜ「Ｘ＝０で共通接線をもつ」と言う条件からｆ（ｘ）＝aｘ＾２＋１と
おけるんでしょうか？

>>733
はなから行列かよ(笑)
だったら行列式＝０でいいじゃん。
上のとまったく同じ結果がでるよ。
上三角に変形してrank=2の条件を求めたって
行列式＝０を導くだけじゃない？

>>734
cos(x)の接線はy=1
つまり(x,y)=(0,1)を通り傾き0
二次関数で接線の傾き0となるのは頂点
すなわち二次関数の頂点は(0,1)
(0,1)を頂点とする二次関数の一般形はそれ。

>>735
よくわかりました。
どうも有難うございました。

ロル、ロピタル、チェバ・・・などの様々な定理は会得したほうがいいでしょうか？

>>738
チェバは中学で会得してるはず。
ロルは平均値の定理と同じっしょ？
ロピタルは大学入ってからで十分。
受験で使うと激しく粗捜しされる。

>>736
ありがとございます

>>731
ありがとうございます。

なぜ、関数を積分すると
ｘ軸とその関数で囲まれる部分の面積になるんですか？？

>>742
数�Vの教科書に証明が載ってるでしょ？

>>742
逆だよ、逆。
積分によって面積を定義するのが本当。
高校の教科書は誤魔化し。
面積という概念が既に存在しているとして話を進めている。

>>744
面積で積分定義しますか？
不定積分の定義は微分の逆演算のはず。

>>744
ああゴメン。読み間違えた。
でも面積って積分で定義するんだ、へ〜。

>>744
つまり、本当は
積分したらたまたまそれが面積だったってことですか？？

微分の逆演算で不定積分が定義されるとは限らない。
解析概論でも読め。

よーく考えてみなよ。
放物線と直線で囲まれた部分の面積ってなんだ？
広さを厳密に定義しようと思ったら、小さい長方形とかで埋めつくしていって極限とるしかないだろ？

■初項A　公差d　の等差数列{An}の和Ｓｎは、n=8のとき最大値136となる。
Aとdを求めなさい。

という問題なんですが、等差数列の和の公式から
2A+7d=34　と出ました。A9以降が負になることは分かるんですがここから
進みません。誰か教えてくれませんか？

>>749
教科書にある区分求積法っていうやつですか？？


lim(n→∞)(k=0)��(n-1)f(a+(b-a)k/n)(b-a)/n=∫a→b f(x)dx
という公式が書いてあるけど、説明読んでなんとなくわかった気がします。

>>750
A,dは整数とかない？

>>751
高校レベルだとそのイメージで良い。

>>750
n=8で最大となることをどのように解釈する？

>>752
ないです。
>>754
A9以降は負になる・・・ことしか思いつきません。

大学レベルでは積分の定義はRiemann和(区分求積法のようなものとでも思ってくれ)によって定義される。
そして面積は重積分というもので定義される。

が、高校レベルのイメージとしては、区分求積法ぐらいで良いだろう。

多少のごまかしはしかたない。
これは理解をするためのものだ。
中学生にH+は水の中に存在すると言われているが、実際は存在しないといったり、
高校生に、原子の周りをある一定の軌道(orbit)を描いて飛んでるイメージはうそだといったりしては
ただ混乱を招くのと同じ。

>>755
A8>0,A9<0を不等式で表して何とかならない？

>>756
レスありがとうございます。

とりあえず区分求積法で
なるほどと思えたので良かったです。

それにしても微分と積分を考えた昔の人って
どんな頭してたんでしょうか。
「なぜこんなことを思いつくんだ？」ってかんじです。

>>758
もともとは微分と積分は別々のものとして発達していた。
微分は接線の傾きを求めるためのもので、
ｵｲﾗｰががんばっていたように思う。
レムニスケート曲線やアルキメデスの螺旋に接線を引いていたように思う。
ラテン語で説明がなされていた。

積分は。。。あまり記憶が無いが、面積を求めるためのものだったように思う。

そして、ニュートンやライプニッツが、ニュートンは物理に生かすために、
ほぼ同時期に、違う場所で、
微分と積分の形を整えたのだったと思う。

そしてライプニッツ型の変数分離の微積と
高校などでやる、ニュートン型の微積が生まれた。

ちなみに世界で最も早く微積を整えたのは日本人で、
ほぼ一人で作り上げた天才が(驚くべきことに)ほぼ同時期にいたわけだが、
これはヨーロッパで発表をしていないので、
現在残っているのは、上のふたつの流派を組んだ微積分だけである。

というのを大学の教養学年のときにやった。

>>757
その不等式と2A+7d=34から、適当に当てはめてA=31 d=-4が出たんですが
なんか上手い解法はないのかなぁと思いました。

>>760
それしかないんじゃない？
それ以外情報ないし。

>>760
なぜそれが成り立つ？A,dは整数とは限らないんでしょ？

>>760
整数条件を探す方がよいのかも。
設問の最初の方に書いてない？

高校一年生を教えているんですが、三角比・三角関数で、
大学受験の範囲において、単位円を使うメリットは何なのか教えてもらえませんか。

>>475>>478にあるようなsin、cos、tanを求めるために使ってみる、
というのぐらいしか知らないんですが。あとは還元公式のために使うぐらい？
私はsin、cos、tanを覚えるときに目安程度に使っていたぐらいで、
加法定理さえ覚えていればいいや、って感じで
単位円にそれほどのメリットを感じずに過ごしたもので。

>>764
メリットを感じなかったのなら、
君にとって、使う必要性はなかったのだろう。

具体的に言うことは難しいが、
おれは結構多用する。

-(b-c)(a-b)(a-c)
=(a-b)(b-c)(c-a)
なんでですか？
やっぱいちいち展開するんですか？
青チャートIAの例題12より

3 sinθ + 4 cosθ　（ 30°≦ θ ≦ 240°)
みたいな式の最大最小を求めるときに、

a↑ = ( 3 , 4 )
b↑ = ( sinθ , cosθ )

とすれば、xy座標上で視覚的に処理出来たりしません？


もっと単純に、
sin(π/2±θ) = cosθ
みたいなものも、視覚的に処理が出来る。

加法定理だって、何年か前に東大で出題されたように、
単位円を使って証明するわけだし。

>　b↑ = ( sinθ , cosθ )

すまん。θを書きたくないのでコピーしたら
sinとcosの順番間違えた。

>>766
-(b-c)(a-b)(a-c)
=(b-c)(a-b)(-a+c)
=(a-b)(b-c)(c-a)
なにかぼけてるのか？

766です
>>769さん優しく答えてくれてありがとうございます
なんかわかんないけど俺って
ほんっとひょんなとこでつっかえるんです。
計算力が低いのかと思っていまでも毎日一時間中学の数学やるくらいです

>>770
中学の勉強しても計算力はそんなにつかんよ。

問題解くときに集中して、間違えないように解く事にいみがあるんだ。

たしかに、ちょっとヌけてるかも
ちゃんと集中してやってみます。アドバイスどうもでした。

０＜１−ｘ＾２≦２ｘ

ってどういうふうになおせばいいんですか？教えてください

>>773
０＜１−ｘ＾２≦２ｘ は1-x^2が0よりは大きいけど2x以下だということだ。
つまり・・・

>>767
意味不明

>>775
>>764の言う単位円を使う、という意味からは少しずれているかもしれないが、意味は分かるだろ。

加法定理の語呂合わせ教えてください

順列のとこで質問ですが記述模試の時
例えば円順列の場合いきなり円順列なので
(６−1)！=５
と書いていったら
×にされますか?
参考書には
６人が円卓に着席する
方法は､
異なる６個の円順列
であるから
と詳しく書いてありますが
ちょっと省略したら
駄目かなと思いまして｡

あと１０人の生徒のなかから､
兼任を認めないで､
部長､副学長､会長を
一人ずつ選出する方法は全部で何通りあるか｡
という問題ですが
これは模試の時
求める場合の数は
１０個の異なるものの
なかから３個とった
順列に等しいので
10P3=10×9×8=720通りと答案に書いたら駄目でしょうか?
参考書にはかなり詳しく書いてありますが
模試の時そんなに
詳しく書いてたら
時間足りないような感じがするので
上のようにシンプルな感じで
書いたら駄目ですか?
アドバイスよろしく
お願いします

まぁこれくらいの問題なら問題ないんじゃないかな

参考書は何もわかってない人が1から見てもわかるように、
少し冗長になってることがあるからね。

>>778-779
確率や場合の数は答えだけ書いてもあってれば満点もらえるよ。
けど計算間違いしてたら部分点すらもらえないから、計算式と、それでもまだ不安なら計算式の説明を書き添えればいい。
書きすぎで減点されることはないから。

数列の特性方程式が分かないのですが、どうしてa(n)と、a(n+1)を同じxと置いて良いのでしょうか？

a_(n+1)=pa_n+q、p≠1の時
a_(n+1)-α=β(a_n-α)と変形できるとすると
a_(n+1)=βa_n+α(1-β)となり
係数を比較して
α(1-β)=q
β=p
∴α=q/(1-p)
これは最初の漸化式でa_(n+1)=a_n=xとおいた1次方程式の解と同じ

>>784 分かりました！どうもありがとうございましたm(__)m

a_(n+1)=pa_n+qに対し、
α=pα+qを満たすαを考えれば、
上の式引く下の式をすることで
{a_(n+1)-α}=p{a_n -α}となり、
等比数列に
帰着させられる。

ということに過ぎない。
この特性方程式の考え方は複素数の１次変換等の問題でも使えたりして、
意外と数学全般で使ってたりする考え方なのだ。

得意な人やって

１個の玉を打つとアタリかハズレに同様に確からしく入り
はずれると０個、当ると２個玉が出てくるパチンコマシンがある。
今１個の玉を持った人が破産するまでに玉を打つ回数の期待値を求めよ。

合成って何で合成できるんですか？
問題は解けるんだけどどういう理由
で合成できるかが分からない。誰か
おせーて。

なんの合成だよ。

相加平均≧相乗平均　という関係において、

(A+B+C+D)/4 ≧ (ABCD)^(1/4)

↑が成り立つと思うんですが、
この場合、等号はどの場合に成り立ちますか？
A=B=C=D の時のみですか？

うん
だいにゅうしてみなよ。

>>790
A=B=1,　C=D=-1を入れてみたら成立しなかったよ。


ついでだ、暇だから相加平均・相乗平均の不等式の証明を書いてやるよ、
a(1),a(2),…a(n)＞0として、一般に
( Σ[k=1,n] a(k) )/n ≧ ( Π[k=1,n] a(k) )^(1/n)
が成立する。

[ 証明 ]
両辺を( Π[k=1,n] a(k) )^(1/n)で割り、
b(i) = a(i)/ ( Π[k=1,n] a(k) )^(1/n)
と置き直せば、 Π[k=1,n] b(k) =1　の条件の下 Σ[k=1,n] b(k)≧nを示す問題に置き換えることができる。
n=2の時、不等式の成立は明らかなので、帰納法によりn≧3の時、成立することを示す。

n=k(≧2)の時、成立したとして、帰納法を用いる。
明らかにb(i)≦1≦b(j)となるようなi,jが存在する。bを並べ替え、b(1)≦1≦b(2)としても問題ない。
( b(1)-1 )(b(2)-1)≦0が成立し、これを展開すれば
b(1)b(2) + 1 ≦ b(1)+b(2) が成立する。
以上より、

Σ[i=1, k+1] b(i)
= b(1)+b(2) + Σ[i=3, k+1] b(i)
≧ 1+ b(1)b(2) + Σ[i=3, k+1] b(i)
が成立する。　明らかにb(1)b(2) + Σ[i=3, k+1] b(i)に対して帰納法の仮定を用いればb(1)b(2) + Σ[i=3, k+1] b(i)≧k
が成立する。

ここまで書けば、わかるっしょ。
んで、>>790はA,B,C,Dが正っていう条件が抜けてる。

x_i≧0　(i∈N)
Σ[i=1 to n]x_i/n=A
(x_1*x_2*……*x_n)^(1/n)=Gとおく。
x>-1に対してe^x≧1+x≧0が成り立つので、
Σ[i=1 to n](x_i/A-1)=0
1=e^0=e^{Σ[i=1 to n](x_i/A-1)=0}=e^(x_1/A-1)*e^(x_2/A-1)*……*e^(x_n/A-1)
≧(x_1 /A)*(x_2 /A)*……*(x_n /A)=G^n/A^n
よって、
A≧G

a≠0のときf(x)=sin(ax)の周期が2π/|a|であることを証明せよ｡

周期の定義はすべてのxについてｆ(x+p)=ｆ(x)をみたすpのうち正の最小値である｡
f(x+2π/|a|)=sin(ax+(a/|a|)2π)=sin(ax±2π)=sin(ax)=f(x)なので
p=2π/|a|のときすべてのxについてｆ(x+p)=ｆ(x)をみたすのは分かりますが
p=2π/|a|が正の最小値であることの説明が分かりません。

>>794
sin(ax)=0となるxの値は
x=0、±kπ/|a|　　kは自然数　つーか、kπ/aでいいんだけどな　k∈Zとして……

ま、んなことはいいとして、

上のことより、明らかsin(ax)の周期はπ/|a|の倍数となり、今>>794の定理により
2π/|a| は周期の条件を最小性以外満たしている。2π/|a|が周期であるためには
π/|a|が周期でないことを示せばよい。
明らかに、
sin( π/2|a| ) ≠ sin( π/2|a|+π/|a| )
が成立するため。　あ〜〜めんどせ

>>794
sin(a(x+p))＝sin(ax) ⇔ 2cos(ax+ap/2)sin(ap/2)＝0
これが任意のxについて成り立つには？

a,bを異なる実数とする時、xに関する方程式
（xー2a)(x-2b)-(2x-a-3b)＝0は異なる２つの実数解を持つ事を
証明せよ
展開して判別式使う所まではできたのですがそのあとが分かりません
教えて下さい。

>>796
sin(ap/2)＝0、ｎを整数として
ap/2=ｎπつまりp=2ｎπ/aが成り立つことです。
・・・！
p=2ｎπ/aのうち正の最小値となるのは
a>0のときはp=2π/a、a<0のときはp=-2π/a
合わせるとp=2π/|a|！！

ようやく分かりました。ありがとうございました｡
>>795のは正直よう分からんですけど、レス感謝です。

（xー2a)(x-2b)-(2x-a-3b)＝0
これは
y=（xー2a)(x-2b)
y=(2x-a-3b)=2{x-(a+3b/2)}
が異なる２点で交わることに同値。


図を描けば終わり。

>>798
何がわからんのだ？

>>797
判別式D
=a^2+b^2-2ab+a-b+1
=(a-b)^2+(a-b)+1
=(a-b+1/2)^2+3/4
＞0
よって異なる2実数解をもつ。

>>797>>798で>>794はOKだけど、
>>794の性質はたいてい和積公式の前に習うよな。
>>794を習ったときどういう説明をされたんだろう。思い出せん。
>>795でもなかったし。まあどうでもいいか。

>>797
>>799と本質的には同じだが．．．

f(x)＝（x-2a)(x-2b)-(2x-a-3b) はx＾2の係数が正で
f((a+3b)/2)＜0 より題意は成り立つ．

この手の問題は展開しないで解くのが近道．
因みに(a+3b)/2 は 2a と 2b の内分点．

>>799
ありがとうございます。判別式使うことばかり考えてました。
そういう解き方もあるんですね
>>801
ありがとうございます
>>803
すいませんが内分点ってなんですか？

>>804
たとえばOAを1：2で内分する点P、と言えば
OP：PA＝1：2　になるような点のこと

>>804
たとえばOAを1：2に内分する点P、と言えば
OP：PA＝1：2　になるような線分OA上の点Pのこと

>>789
sinX＋cosX=√2sin(X＋α)とか。
どうか親切な方教えてください。

>>807
グラフかけ

数列の和から一般項を求める問題で、
n=1をS(n)に代入して求めたa(1)と、
求めた一般項a(n)にn=1を代入して求めたa(1)の値
が同じになったり違う値になったりするのはどうしてなのでしょうか？

>>809
多分、S(n) (n≧1)が与えられていて、a(n)=S(n)-S(n-1)で求めるような場合を言ってるんだと思うけど、これから求めたa(1)は、
a(1)=S(1)-S(0)
だ。S(n)はn=0のときは定義できないから、この式には本来意味が無いんだけど、たまたまS(0)=0であれば、
a(1)=S(1)
となる。

Ｓ（０）＝０だからＳ（１）−Ｓ（０）＝ａ（１）。

>>807
sinx+cosx
=√2{(1/√2)sinx+(1/√2)cosx}
=√2{sinxcosα+cosxsinα}(←この場合αはcosα=sinα=1/√2をみたす角、すなわち45°)
=√2sin(x+α)
というふうに、加法定理から導く。

>>810>>811
レスどうもです。

S(0)が0じゃない場合があるなんて、考えませんでした。a(1)の値が同じになったり、違う値になったりするのは理解出来ました。
因みにS(0)が0じゃないってどういう状況なのでしょうか？数列の和として定義したSがS(0)の時値を持つということに対して、モヤモヤ感が残るので。

>>813
たとえば、a(1)=2, a(n)=1 (n≧2)とか。
このとき、S(n)=n+1。

>>813
S(n)を数列の和として定義したのであれば、S(0)は0項の和なので定義されていない。値は持たない。
数列の和を S(n) (n≧1) で定義したのであれば、S(0)の値は数列に対して何の影響も与えないのでどんな値であってもかまわない。

半径5cmの円の中心をOとします。中心Oから3cmはなれた点をPとします。
Pを通り直交する円の２つの弦　ABとCD　を引きます。
このとき　四角形ACBDの面積の最大値と最小値を求めてください。


PはOからの距離が3のところにあるのだから半径3の円上にあるとしてよく、また対称性より第１象限にあるとしてよいのでP(3cosθ,3sinθ).(0≦θ≦π/2)
さてACBDの順に並ぶとしてAB⊥CDかつAPB,DPCは一直線上にある。
よってABがx軸に平行、CDがｙ軸に平行であるとしてよく
A,C,B,D順に(-√(25-9sin^2θ),3sinθ),(3cosθ,-√(25-9cos^2θ)),(√(25-9sin^2θ),3sinθ),(3cosθ,√(25-9cos^2θ))
□ACBD=AB*CD=2√(1600+81sin^2(2θ)))
だから最大値は82最小値は80
どこかおかしいでしょうか？答えがないのでお願いします

あっ！！痛恨のミス２で割るの忘れてました。最大値は４１最小値は４０です

相加相乗平均ってどういう時につかうのでしょうか？

使いたいときに。

>>818
ちょっとした空き時間とか。

>>818
a>0のとき、8a+(2/a)+1 の最小値を求めよ。

相加相乗で即答できる一例

>>８２１
どういう風に見極めるんですか？
まだよくわかりません。。。

>>822
とりあえず正で（和）≧（積）の証明ならつかえるかもね、くらいでいいのでは
あとは a+(1/a) みたいに積が定数になりそうな時とか

>>814>>815
レスさんくす。
これでスッキリしました。どうもでした。

＞＞812
レスありがとうございます！
とても分かりやすかったです。

ｎは自然数、１≦ｘ≦eにおいて
（logx）＾（n+1)≧０になるのは何故ですか？

>>解答する気のある人たちすべて
>>826がもし釣りでないなら、答えてやらないほうが>>826のためだとおもう。

いやマジで教えてください。

回答するも何も．．．

>>828
何が分からんの？
あるいは何が分からんから分からんと思う？

ほんとに教えてください。

>>826
何が分からないのか分からない。

何がわからないか書いてくれ

頂点(1,3)で(-1,1)を通る放物線の方程式を求めよ。

って問題なんですけど、
y=(x-1)+3
にするまではわかるんですが、
この後がわかりません。
どなたか簡単に教えていただけませんか？
宜しく御願いします。
うんこな質問ですみません。

まぁy=logxのグラフでも書いてみれや。
基本的な関数のグラフを覚えるのは必須だよ。

logx≦０になりませんか？

>>834
頂点(1,3)な"2次曲線"は
y=a(x-1)^2+3 (a≠0）
であらわせる。
未知数一個だから一つ式が作れればとける。
あとはわかるでしょう。

>>836
だからグラフかけって。

>>836
log_{e}aってどういう数だと思ってるの？

y=(x-1)^2+3
じゃないだろ。
y=ax^2+bx+cなんだから、３つの条件が無いと一つに定まらない。
すなわち、上の式は２つの式で１つの変数が残ってないといけないのに、
もうすでに変数が残ってないから間違い。

頂点が(1, 3)である条件は、
(y-3)=a(x-1)^2
これは原点が頂点である放物線y=ax^2を動かしたものだ。
そしてこれが(-1, 1)を通るのだから、
(1-3)=a(-1-1)^2が成立するaの値を求めれば良い。

つまり、a=-2/4=-1/2

>すなわち、上の式は２つの式で１つの変数が残ってないといけないのに、
>もうすでに変数が残ってないから間違い。

訂正。頂点が(1, 3)という条件で2つの条件を使ってまだ一つ残っているはずなのに、
もうすでに変数が残ってないから間違い。

>>836
底がeのlogの関数y=log(x)をグラフに描いてみてくれ。

あー分かりました！！
すいませんあほすぎました。
すいませんすいません。
これでも偏差値６０はあるんです。ごめなさい

>>843
がんばれ。超がんばれ。

>>843
まぁたまにはそんなことも・・・ねえよｗ

まじすいません。

OA↑=a↑,OB↑=b↑,|a↑|=|b↑|=1,a↑・b↑=k
のとき、なぜOH↑=(cosθ)a↑=ka↑になるんですか？

>>847
Hって何よ。まぁなんとなくわかるけど・・・
俺はめんどくさいから説明しないけど、正射影ベクトルでググってみてはどうか。

BからOAへの垂線をBHとし∠AOB=θ
としたときです…

a, bをベクトルとする。ベクトルOHをhとする。
内積<a, b>=||a||*||b||*k=k
よって、||h||=k(三角形を描いて確かめよ)
よって、||h||*a/||a||=ka

ってことでもう一問出させてください。

ｆ（ｘ）＝｜ｘ＾２−２ｘ｜に対して、
数列｛a(n)｝が漸化式a(n+1),１＜a(1)＜2を満たす時
グラフを利用して極限値lim a(n)（n→∞）を求めよ。

スゴイ特殊な解き方してあるんで良く分かりません。

あ〜分かりました！！ありがとうございます！
あと△ABCの重心をG、外接円の中心をEとする時
EA↑EB↑EC↑=3EG↑
になるのはどうしてですか？

漸化式はa_(n+1)=f(a_n)でいいかな？

>>852
>EA↑EB↑EC↑

なにこれ。ちゃんと書こうね。

>>851
すごくよくある解法ですよ。
自分でもうすこし考えてみる価値がある解法だと思うよ。
てか文字で説明しにくいしね。

ｆ（ｘ）＝｜ｘ＾２−２ｘ｜に対して、
数列｛a(n)｝が漸化式ｆ（a(n）)＝a(n+1),１＜a(1)＜2を満たす時
グラフを利用して極限値lim a(n)（n→∞）を求めよ。です。

EA↑＋EB↑＋EC↑=3EG↑です！
ごめんなさい

>>851
0<a_n<1 (n>1)を示す。
0<a_2=3/4<1
a_kで成り立つとすると、
0<a_(k+1)=-a_k^2+2a_k<1

さらに、a_(k+1)-a_k=-a_k ^2 +a_k=-(1/2 -a_k)^2+1/4>0
よって、a_(k+1)>a_k

ここで、(極限は1だと分かるので)
1-a_(n+1)=1+a_n ^2-2a_n=(a_2-1)^2>(1-a_2)(1-a_k )
∴{1-a_(n+1)}=(1-a_2)(1-a_k )=(1-a_2)^(n-1)→0
よって、a_n→1

>>857
成分表示して確かめろ。

>>858
訂正
0<1-a_(n+1)=1+a_n ^2-2a_n=(a_n-1)^2<(1-a_2)(1-a_n ) (なぜならばa_n>a_2∴0<1-a_n<(1-a_2) )
∴0<{1-a_(n+1)}<(1-a_2)(1-a_k )<(1-a_2)^(n-1)→0

挟み撃ちにより、a_n→1

>>857
ベクトルe=(e_1, e_2)
ベクトルa=(a_1, a_2)
ベクトルb=(b_1, b_2)
ベクトルc=(c_1, c_2)
とおく。
e-a+e-b+e-c=3e-(a+b+c)=3e-3g=3EG↑

2回も申し訳ないです。

軸の方程式がx=3で、かつ2点、(2,-2),(5,4)を通る放物線の方程式は？

これで最後にします。
どうか教えていただけないでしょうか。

>>862
頂点の座標を(3、b)とおけるからあとは上にあったのとおなじ。
未知数が二つだから二つ式を立てればいい。

>>862
y=a(x-b)+c
軸がx=3よって、
b=3
さらに2点を通るので、
-2=a+c
4=4a+c

マセマの実践ゼミp118の演習問題39の(2)です。
∫[0,1]x*e^-x^2dx
なんですが、僕は今までだと、1/2*xを微分していましたが、この参考書ではe^-x^2を微分して、やっているみたいです。
しかし、なぜそこから導けるかが分かりません。
どなたか教えて下さい。
非常に簡単な問題なのに申し訳ありません。
お願いします。

>>865
x*e^(-x^2)の原始関数は(-1/2)e^(-x^2)じゃない？
f(g(x))の微分はg'(x)f'(g(x))でしょ？
f(t)=(-1/2)e^t,g(x)=-x^2とおけば
f(g(x))=(-1/2)e^(-x^2)で微分は(-2x)*(-1/2)e^(-x^2)=x*e^(-x^2)じゃん。

>>809-815
階差数列の時の場合はどうなの？

>>815
ていうか数学偏差値７３だがS(1)とa_1とが一致しないということが分からない。

誰か例題でも持ってきてくれないか？

>>868
a(0)があったら一致しないんじゃない？

>>868　心配しなくてもS(n)=Σ[k=1,n] a(k)
と定義している限りは、間違いなくS(1)=a(1)だと思われ。
他の定義をしないと駄目だろ

>>870
だよね。オレにはあの議論が理解できない。
というか、一致しない事例にぶつかったことも無いし、
それで問題もいくつも解いてきた。

ただ、問題となるのはS(n)=Σ[k=1,n] a(k)が成立するかじゃないの？
あらかじめ、問題文にS,aが与えられている場合は、成立するとは限らないわけで。

>>872
どんな問題？

問題もクソも、　普通に
S(n)=n^2　a(n)=3n　とかだったら……っていう意味なんだけど、わかりにくくてｺﾞﾒｿ

だってa_nとS_nの関係の定義って、
S_n=a_1+a_2+……+a_(n)
a_n=S_n-S_(n-1) (n≧2) or S_1 (n=1)
だぜ。
a_n=S_1 (n=1)
という定義がある以上、一致しないのは、
a_nとS_nを構成する数列が違う数列だからと言うほか無い。

追記、　常識で考えればSは和Sumを現すわけだけど、
問題を作る人によって、んなものはいくらでも変わるって言う意味。

でなければ、S(1)=a(1)が必ず成立しちゃうよぉ
使っちゃいかんっていうのはa(n)=S(n)-S(n-1)だろ、上を見ると。
っていうことは、この式S：N→Rなんだから、n-1≧1なわけで、n=1の時に使ったら
そら、いかんぜよ。

S(n)=n^2　a(n)=3n　
だってこれはS_nを構成する数列じゃないじゃん。

ま、ID:dbhszTcBﾀﾝの考えは全く問題ないと思われ。

そもそも、上で議論しているのは
a(n)=S(n)-S(n-1)　が恒に成立するかじゃないの？
だったら、自分で書いてるとおりだろ。

何もめてんだかわからんがS1=a1は常に成り立つにきまってんだろｸｿﾊｹﾞども

>>878
そうか。。。ありがと。

>>879
a(n)=S(n)-S(n-1)がn=1でも成り立つかどうかってことね。。。
ごめんログの概略しか見てなかったかもしれない。。。

>>880
S_n=a_1+a_2+……+a_(n)
a_n=S_n-S_(n-1) (n≧2) or S_1 (n=1)
だから常に成り立つね。

>>882
S(n)がa(0)からの和かa(1)からの和かは問題によるって。

>>883
n'=n+1
とおけば問題ない。

>>884
その通り。逆に言えばS(100)=a(100)ともS(-20)=a(-20)とも言える。
定義次第ではS(100)=a(-20)にだって出来る。
ゆえに常にS(1)=a(1)だというのはナンセンス。問題文から判断する。

バカか?nは自然数で定義されんだよフツー。何負の数値いれてんだ禿

885はキティ害としか思えない

あのすみません。質問はもうちょっとあとのほうがよろしいでしょうか？

場合によっては-∞〜+∞っていう可能性もあるよ。
ところによってはS(n)=Σ[k=-∞,n] a(n) 　( ←　極限を取って考えてね。収束する場合のみ )
とかって書いてあるのもあるしな。自然数とは限らない罠。

>>888
今でも問題なし

では書いてきます。一応出典はオークションで買った京大数学理系です。

どこの問題だかもってこい。大体ある規則にしたがって並ぶのが数列。第一項以前を考えようとするのがナンセンス。だいたい何自分で定義してんだ?神になったつもりか?

xの多項式f(x)があり、任意の実数aに対して,f(x)-f(a)がつねにx^3-a^3で割り切れるとする。このとき、ある多項式g(x)によって、f(x)=g(x^3)と表せることを示せ


セクションは複素数と書いてありますが、どう展開すればいいのやらorz

しかもらりった和分式まで持ちだして。ありえない

因数定理臭いな。

下から進まないんです
f(x)-f(a)=(x^3-a^3)Q(x)=(x-a)(x^2+ax+a^2)Q(x)=(x-a)(x-α)(x-β)Q(x)
ただしα=(-1-√3i)a/2,β=(-1+√3i)a/2
またα=a{cos(4π/3)+sin(4π/3)},β=a{cos(2π/3)+sin(2π/3)}とかける。
複素数ωを使って表せばω^3=a^3の解・・・？

>>893
補題
h(x)をxについての多項式とする。xh(x^3) - ah(a^3) が任意の実数aについてx^3-a^3で割り切れるなら、hは恒等的に0である。

x^3=1の1でない解の一つをωとして、xh(x^3) - ah(a^3)がx-a、x-ωa、x-ω^2aで割り切れると仮定する。
x-aで割り切れることは明らかなので、x-ωaで割り切れるかどうかを考える。
xh(x^3) - ah(a^3)　にx=ωaを代入する。
ωah(a^3) - ah(a^3) = (ω-1)ah(a)
これが全ての実数aに対して0になるためにはhが恒に0でなければならない。

この補題と同様にh(x)をxの多項式としたときx^2h(x^3) - a^2h(a^3)がx^3-a^3で割り切れるときはhが恒等的に0になる。


今、明らかに
f(x) = g(x^3) + xh(x^3) + x^2p(x)　　、g,h,pはxの多項式、
と表記できるので、上の補題より条件を満たす。

(a)=f(α)=f(β)=0よりf(ω)=0
f(x^3)=f(ω^3)=０なのでf(x^3)=g(x^3)とすることにより表せる。

これはなんか気持ち悪いんですけど
必要条件がいえて十分条件は逆のことを言えばいい？のかなorz

となんか入れ違いになってるし、、
ありがとうございます。拝見させていただきます

>>898はおかしいのでスルーで結構です。

>>900　んなことは分かってる。俺の書いたのはあってるか？
あってて、理解できたら、もう寝るから、なんか言え。

もっと簡単に。
３回以上微分すると定数項にQの微分した回数が３回差ずつのものしかこないことが分かるから、
それを言えば、Qには３の倍数乗項のものしかこないことがわかる。
そうすればf(x)=g(x^3)だと言える。

これなら複素数も使わないし、簡単な微分だけで片付く。

暇なんで別解考えてました。

定数項っていうか、
f(0)のときの値ね。

>>897
文をにらめっこしてましたが流れがよくわからないです
>>902
拝見させていただきます

>>902
あれ？多項式って微分可能とかって普通に使えましたっけ？

>>905
あっそ、んじゃ、もう寝るわ。ぱっと見たけど、俺が書いたのには
大きな間違いがないみたいだし、特に大恥かくことも無いだろうと言うことで、
今日はお休み。

なんかあるはずなんだけどな。複素数だからもっと簡単にできる方法が。

あああああああああああ
みっすってるううううううううううううううううううううううううううううううう。

もういいや、寝るﾉｼ

>>892
フーリエ級数の部分和とか．S(n) = Σ[k=-n,n] a(n), a(n) = exp(i n x)
こんなんいくらでもあるよ．

ごめん、俺が間違ってた。a0が初項の問題早速みつけてきた。Snがらみじゃなかったけど。まあ高校数学の範囲ではnが負の問題は見たことないんでフーリエなんていわれたら利根川にとびこんで寒中水泳してくるしかない。土下座m(_ _)m

数学ピンチ・・・

蒸し返すようで悪いんですが、はじていの数列の問題
S(n)=3^n+1 (n=1.2.3...)
の一般項を求めよという問題で
n=1の時、a(1)=S(1)=9
n≧2の時求めた一般項a(n)に1を代入したa(1)=6
となりa(1)が食い違うことをはじていレベルの僕でも分かるような説明お願いします。

それとはじていには階差数列の所でもa(1)が一致しないこともあるような感じで書いてあるんですが、それはどういうことでしょうか？

>>914
S(n)-S(n-1)=a(n) (n≧2)
=3^(n+1)-3^(n)=2*3^(n)
a(1)=S(1)=9
∴a(n)=2*3^(n) (n≧2)or 9 (n=1)
…何か問題でも？

1 と 3 は互いに素？

>>916
http://www.asahi-net.or.jp/~tt9h-hskw/sugaku/gcm-lcm/
最大公約数が１となる２つの数は、「互いに素である」と言います。

これを参考に考えろ。