解析力学

ここは学部程度の解析力学のスレです
変分原理、一般化座標、一般化運動量、ハミルトン-ヤコビ方程式、ラグランジアン
ハミルトニアン、正準変換、正準共役、不変性と保存則、母関数、ネーターの定理
ポアソン括弧式、シンプレクティック幾何学

まず最初の解説
法則とは
○例外はありえない。
同じ条件ならどんな人がやっても必ず再現される。
wikiで法則で検索すると「例外はない法則はない」と書かれているが
物理ではゆるされない。
○場所時間に依存しない。
実験を行う場所や時間によって結果が変わるとはおよそありえない。

関連スレ
ラグランジアン と ハミルトニアン
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/sci/1003174859/l50
みんなでゴールドスタイン読もうぜ！！
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/sci/1160052454/l50
力学･解析力学のいい本知りませんか？
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/sci/1097029749/l50

乙

ネーターの定理：対称性が保存されれば、ｴﾈﾙｷﾞｰ＆質量も保存する。

オイラー・ラグラジアン方程式から、正準変換でハミルトン方程式
を導ければ、ポアソッン括弧もでるゾｲ

>訂正↑　オイラー・ラグランジュ方程式

対称性があればハミルトニアンが時間をあらわに含まないとき
母関数が生成する量が保存するのでは？

解析力学：ランダウ＝リフシッツ理論物理学教程１巻力学
　　　　　　　岩波現代物理理学叢書　１巻　力学
　　　　　　　サイエンス社　ＳＧＣライブラリ　解析力学　
はいい参考になると思いますよ。

メコスジ力学

ここは学部程度のメコスジ力学のスレです

>>9
自分も同じ本読んでいる。もしよろしければ質問していい？
183pだけど
＞このような事情のために、ハミルトン方式における変数p,qはしばしば
＞単に正準変換と呼ばれる。
で一つの事象は例えばpとqを入れ替えても符号が変わるだけで方程式の
形は変わらない、ともうひとつは無限小変換が定義できて不変性と保存
量との関係が明確にできるということ？

>11　ヒント：ネーターの定理

これじゃ納得しない？
↓
http://www.a.phys.nagoya-u.ac.jp/~taka/lectures/cosmology/webfiles/cosmology-web/node114.html

ちなみに、↑の7.1.14式はMaxwll Equation　４つの式の中
に於ける１式と同等になるよ。

訂正　Maxwll →Maxwell

>>13は
qx→Φ(x)
px→∂xΦ
と置き換えたモノですね
場の話はすこし上なのですが、正準変換の事情はわかりました。サンクス。

方程式ではなくなぜラグランジアン？
ローレンツ変換では方程式の形が変わらないとしているけど
ある種の変換、例えば空間並進、時間推進ではラグランジアンが不変
となる。
このようにラグランジアンに限定した理由は？

ランダウリフシッツの本に、ラグラジアンには時間と位置の完全導関数を付け加えてもよいという任意性がある
という部分があるんだけど、完全導関数の意味教えて

ラグランジアン密度の時間空間積分が作用だけど
その積分で、表面積分になる項
という意味だと思う。

いいかえると、何かの発散になっている項。

完全微分の形に書けてる項は積分したら表面項になって落ちる
だからあっても無くても同じで任意性があるってこと
こういう話は解析力学以外でも割と出てくる

>>20
>表面項になって落ちる
なぜですか？

>>18
d f(x(t),t)/dt という形にできる関数。
もちろん t だけの関数は完全導関数。それから
dx/dtとか　2xdx/dt= d(x^2)/dtは完全導関数。でも(dx/dt)^2は違う。

>>21
部分積分

？

みなさんありがとうございます
>>18だけど、ラグラジアンの決定には時間と位置の完全導関数を付け加えてもよいことの説明を自分で作ってみたから添削して…授業で発表しなくちゃいけないから…

仮定として、ｔ＝ｔ_1、ｔ＝ｔ_2のとき、系はｑ_1、ｑ_2で示される座標にいたとします。

２つのラグラジアンL'(ｑ.ｄｑ/ｄｔ.ｔ)、L(ｑ.ｄｑ/ｄｔ.ｔ)の違いが、ｄf(ｑ.ｔ)/ｄｔとします。つまり
L'(ｑ.ｄｑ/ｄｔ.ｔ)＝L(ｑ.ｄｑ/ｄｔ.ｔ)＋ｄf(ｑ.ｔ)/ｄｔ

Ｓ'の作用を考えて
Ｓ'＝Ｓ＋∫(t_1→t_2){ｄf(ｑ.ｔ)/ｄｔ}dt
＝Ｓ＋ｆ(ｑ_2.ｔ_2)−ｆ(ｑ_1.ｔ_1)
ｑ→ｑ＋δｑと変化させた時、Ｓ'の変化を考えて
δＳ'＝δＳ＋ｆ(ｑ_2＋δｑ_2.ｔ_2)−ｆ(ｑ_1＋δｑ_1.ｔ_1)−{ｆ(ｑ_2.ｔ_2)−ｆ(ｑ_1.ｔ_1)
ここで仮定よりδｑ_1＝δｑ_2＝０が導かれる。
したがって、δＳ以降の項は０、よってδＳ'＝δＳ
したがってδＳ＝０とδＳ'＝０と一致し、δＳ＝０から導かれる運動方程式の形はδＳ'＝０から導かれる運動方程式の形と一致する。

したがってラグラジアンの決定には、位置と時間の完全導関数を付け加えてもよいという任意性が残される。


どうですか…？

だれかお願いします…

>>26
境界でδｑがゼロという条件を使ったのね。
それで合ってると思います。

>>27
ありがとうございます！自信をもって授業にいきます！


ちなみに、ラグラジアンに付け加える関数は、位置、速度、時間の関数はだめですよね？ｔ＝ｔ_1、ｔ＝ｔ_2でδｄｑ/ｄｔ＝０は言えないからダメですよね？

>>28
両端のqをfixする形で変分問題を定式化してあるなら、
おっしゃる通り、だめだと思います。

>>29
ランダウリフシッツの解析力学の本読んでるのですが…



今更なのですが、
δＳ＝∫(ｔ_1→ｔ_2)L(ｑ＋δｑ.ｄｑ/ｄｔ＋δｄｑ/ｄｔ.t)ｄｔ−∫(ｔ_1→ｔ_2)L(ｑ.ｄｑ/ｄｔ.t)ｄｔですよね…？


Ｓ＝∫(ｔ_1→ｔ_2)L(ｑ.ｄｑ/ｄｔ.t)ｄｔが最小値をとる必要条件は、
δＳの被積分関数のδｑ、δｄｑ/ｄｔの１次のベキ展開の項が０になると言われることだと書いてあるのですが…理由教えて下さい…

>>25
ピリオドと書いてあるのはコンマのことだよな？
それが読みにくかった。まあどうでもいいが

>>31
そうです…すみません…次から全角で書きます…

メコスジ力学

ここは学部程度のメコスジ力学のスレです

>>30
変分法の発想そのものだと思うが。
形式的に証明するなら、以下のような感じ。

微分可能な実数値関数f(x)がx=0で最小値をとるならば
f'(0)=0であることはわかるんだよね？

いま、g(t)を境界条件を満たす滑らかな任意の実数値関数として
λを実数パラメとして、δｑ(t) = λ g(t)とおく。
実数値関数
f(λ) = ∫(ｔ_1→ｔ_2)L(ｑ＋δｑ, ｄｑ/ｄｔ＋δｄｑ/ｄｔ, t)ｄｔ
について、上で述べたことを使えばいい。

>>30
多変数関数 F(x1,x2,…xn) が最小値を取る必要条件は ∂F/∂xi = 0 っていうのと同じ。

ｄｆ(ｑ.ｔ)/ｄｔ

と

∂ｆ(ｑ.ｔ)/∂ｔ
の違い教えて下さい…

df/dt = (∂f/∂q)・(dq/dt) + (∂f/∂t)

>>36
前者はqもtの関数だとして微分する。

いまさらなんだが…>>25でいうδＳは変化量でなくＳの全微分の意味で使われているのではないか？
だとしたら少し証明は変わらないか？

ラグラジアンに時間と位置の完全導関数を付け加えてもよいことについて質問。ラグラジアンに時間と位置と速度の完全導関数を付け加えることができない証明は

２つのラグラジアンについてL'(ｑ.ｄｑ/ｄｔ.ｔ)＝L(ｑ.ｄｑ/ｄｔ.ｔ)＋df(ｑ.ｄｑ/ｄｔ.ｔ)
/dt
とすると左辺は位置、速度、時間の関数で右辺は
df(ｑ.ｄｑ/ｄｔ.ｔ)＝(∂f/∂ｑ)ｄｑ/ｄｔ＋(∂f/∂(ｄｑ/ｄｔ))ｄ(ｄｑ/ｄｔ)ｄｔ＋∂ｆ/∂ｔ

で第２項に加速度が含まれる。つまり右辺は時間、位置、速度、加速度の関数。
したがって、３次関数＝４次関数となって不適。よって示された。

だめかな？

だめ

なんで？

３次関数とか４次関数とか、どうして突然でてくるんだ？
意味不明すぎて、考える気にもならん。

>>40
「３次関数」と言ってるのは「３変数関数」の間違いか？

あと多変数関数の引数の区切りはカンマで書いてくれないだろうか。読みにくいので。
L(ｑ.ｄｑ/ｄｔ.ｔ)　じゃなくて　L(ｑ, ｄｑ/ｄｔ, ｔ)　という風に

ごめん３変数関数だった…


３次関数→３変数関数
４次関数→４変数関数

に変えたらどうかな？

あと表記気をつけるね

お願いします…

>>40
ラグランジェの運動方程式を変分で出すときには、
時間の両端点での f の差の変分が消えないといけない。

いま、両端点での境界条件はδq=0なので、
fが速度を含んでいると、一般には差が消えない。
だから、fは速度を含んではいけない。

あなたの解答は、fは速度を含んではいけない、ということを
言いかえただけだから、間違いではない。

>>47
最小作用の原理は
δＳ＝０
と書けるらしいんだけど、δＳはＳの変化量？それともＳの全微分

Sの変分

>>49
変分は変化量と違いますか？

メコスジ力学

ここは学部程度のメコスジ力学のスレです

同じだけど、Sは汎関数なので普通は変分といいます

>>48
ふつうは
経路をq → q+δqと変えたときの
作用Sの変化量をδSと表すと思う。

経路を微小な実数パラメータλに応じて
q(t) → q(t) + λ g(t)
ただし、g(t)は境界で消える任意関数

と変えた場合には、作用Sをλの関数と見ることもできる。
この場合には、dS/dλ|_{λ=0}を全微分と思ってもOK.
無限変数の関数の全微分ね。

マルチ氏ね

すみません>>48なんですけど、δＳをＳの全微分と見るか変化量とみるかで悩んでいて、質問があります。
以下の文章では、Ｌはある系のラグランジアン、ｑは系の位置とします

Ｌに時間による積分を作用させることで得られる関数をＳとします。δＳをｑ→ｑ＋δｑと変えた時の変分(変化量)だと仮定します
このときＬに、時間と位置の関数(ｆとします)を時間で微分して得られる関数を付け加えてもいい理由は、
Ｌ'(＝Ｌ＋ｄｆ/ｄｔ)に時間による積分を作用させて得られる関数をＳ'とすれば、δＳ＝δＳ'(境界条件によってδｆ＝０だから)となってδＳ＝０とδＳ'＝０と一致してδＳ＝０から導かれる運動方程式はδＳ'から導かれる運動方程式と一致するから。

ここで疑問があります。
ランダウリフシッツの本に、最小作用の原理がδＳ＝０となる、とあります。δＳを変化量と解釈するとき、この式の理由がないように思います。

またδＳを全微分と解釈します。

このとき、最小作用の原理はδＳ＝０とかける、 ということはわかります。なぜならば、Ｓが最小値をとるならば、Ｓのｑに関する偏微分係数とＳのｄｑ/ｄｔに関する偏微分係数が０になる点が存在してその時全微分も０となると思うからです。

でもこの時、Ｌに時間と位置の関数(ｆとします)を時間で微分して得られる関数を付け加えてもいい理由がないように思います…
δＳを変化量と解釈した時は、境界条件からδｆ＝０となってδＳ＝δＳとなって、
結局ラグランジアンにｄｆ/ｄｔを付け加えてもいいことがわかりますが、δＳを全微分と解釈するとこの証明が成り立たず、ラグランジアンにｄｆ/ｄｔを付け加えてもいい理由がないように思います。

以上のように
[１]最小作用の原理はδＳ＝０となる
[２]時間と位置の関数(ｆとします)を微分して得られる関数ｄｆ/ｄｔをラグランジアンに付け加えてもよい。
とすると

δＳを変化量と解釈→[２]は成り立つが[１]は成り立たない
δＳを全微分と解釈→[１]は成り立つが[２]は成り立たない

となって悩んでいます…どこが間違いでしょうか…長文で読みにくいですが、アドバイスお願いします

>>55
ランダウ／リフシッツの本はその辺の説明がテキトウで感覚的に理解しろという姿勢。
ゴールドスタインならもう少し詳しい。ちゃんと理解したければ変分法の本で補ったほうがいいよ。

>>56
その本ではδＳは変化量か、全微分のどちらで捉えていますか？

>>55
悪いが、なにが疑問なのかわからない。
δSを変化量と見る場合でも、変化量を時間積分で表す式が
δq(x)→0（xについて一様収束）の極限で成り立つという意味で
理解すべきだから、いずれでも同じだと思うが。

ふつうの微分係数f'(x)を
f(x+dx) = f(x) + f'(x) dx + O(|dx|^2)

と定義する話と同じじゃないの？

>>55
δS が ∫(〜)δq dt の部分なのか、 (〜)δq の部分なのかが疑問点？
（〜の部分はEuler-Lagrange方程式の左辺）

>>58
それでは…全微分と見ることが間違いなんですか…？
>>59

δＳ＝δ∫(t_1〜t_2)Ｌdt

とあります…このδが変化量か全微分か悩んでます…

お願いします…

>>61
無限個の変数の関数の全微分です。

いま、簡単のために時間を等間隔の有限個の区間にわけて、
分点の座標を(t0, q0), (t1, q1), (t2, q2), ...., (t_n, q_n)とし、
軌道を折れ線で表したとする。

作用は、q1, q2, ..., q_n-1の関数です。(q0, qnは固定してるから除いた）
S = S(q1, q2, ...., q_n-1)

いま、軌道の変分を考えるということは、
n-1次元空間の点(q1, q2, ..., q_n-1)が、実数パラメータλの関数である
と考えること。その場合、Sもλの関数になる。その全微分は
dS/dλ = ∂S/∂q1 dq1/dλ + ..... + ∂S/∂q_n-1 dq_n-1/dλ

あるいは
dS = ∂S/∂q1 dq1 + ..... + ∂S/∂q_n-1 dq_n-1

時間分割を細かくする極限を考えて、これを積分で書いたのが変分の式。

>>62

ありがとうございます…読んでみます…

>>55
＞ランダウリフシッツの本に、最小作用の原理がδＳ＝０となる、とあります。δＳを変化量と解釈するとき、この式の理由がない
変分＝0が最小作用の原理なんだから理由もクソもないと思うんだが

>>64

変分というのはｑをｑ＋δｑと変化させた時のＳの変化量ですよね？
δＳ＝０のあとに、変分を実行して
δＳ＝∫(t_1→t_2){δｑ･∂Ｌ/∂ｑ＋(δｄｑ/ｄｔ)∂Ｌ/∂(ｄｑ/ｄｔ)}ｄｔ
とあるんだけど、理由がわからないんだ…

f(x+dx,y+dy)-f(x,y)の計算と同じ

>>65
ランダウのあの辺の記述は天下り的だからなぁ。
確かその前にLがどんな関数かの記述があったはずだからそれを参考に変分を求めてみてはいかが？

>>67
考えてみます…ありがとう

>>68
変分のアイデアというか、
最小作用原理から運動方程式を出すときの
根本にあるアイデアはつかめてる？

つまり、q-t空間で２点A, Bを決めたとき、AとBを結ぶ経路
（運動を表す軌道）Cはたくさんある。
そのような経路すべてからなる集合（空間）をΩとしよう。
Ωに属する各経路Cに対して、作用積分の値S[C]を考えることができる。

最小作用原理というのは、空間Ωのなかで関数S : Ω→Rを最小にする
経路C0を求めると、それが古典軌道になっている、ということだ。

さて、経路C0が作用を最小にしているなら、経路C0を少しずらしても
Sの値は、ずれの２次の微小量でしか変わらないはずだ。
（ふつうの微分法で最小値を考えるときと同じ。）

つまり、すこしずらした経路をC0+δCと書くならば、
S[C0+δC] - S[C0] = O(|δC|^2)

任意のずらし方δCに対して、SのずれがδCの１次では消える、
という条件から、運動方程式が得られる。

>>69
いくつか質問があります

Rとはなんでしょうか？

あとＳのずれは経路のずれの２次の微小項になる理由教えて下さい…

>>70
Rは実数の集合。

Sのずれが経路のずれの２次の微小量になるのは、
たとえば２変数関数f(x,y)が原点(0,0)で極大になるとき
グラフというか曲面z = f(x,y)が原点で山になっていて、
接平面が水平であるのと同じ。

数式で書くなら、テーラー展開

f(x,y) = f(0,0) + 0・x + 0・y + ax^2 + b xy + c y^2 + ....

の１次の項の係数がゼロだから。

>>71
なんとなくわかってきた気がします。読んでみます。ありがとう

なんとなくじゃなくてその程度のこと完璧にわかれ
まだまだ先は長い
健闘を祈る

>>72
君みたいな人にはランダウより山本義隆の方がわかりやすいかもね。
難しい難しい言われてるけど、式変形が丁寧に書いてあるからある意味ランダウより簡単だよ。
まあ俺はあの本は半分理解できたかどうかって所なんだが…

変分なんて普通の微分で表わせるのにね。
あのδを使う書き方は議論をいくらか短くするんだろうけど、
躓きの元になってる分、害の方が大きい気がする。

Sは関数じゃないからそもそも全微分って定義できなくねぇ？

汎関数だろ

汎関数≠関数

「関数から数値への写像」だから変数無限個の関数

あ、汎関数の話ね。

関数＝写像でいいんだっけ？
それと汎関数⊂関数としても全微分って定義出来るのか？

>>81
できる。
バナッハ空間B上で定義された実数値関数fの全微分。
g : R → B
f : B → R

f(g(t))のtによる微分だね。

バナッハ空間は、ヒルベルト空間をもう少し一般化したもの。

ペレルマンの論文にはこんなのが一杯でてくるはず。

２つ質問です

最小作用の原理において、空間の点１から点２の運動に対して、積分
Ｓ＝∫(1→2)ｍｖ^2/２ｄｔは、質量ｍが負の場合、最小値を持つことができないとあるのですが理由を教えて下さい


ある座標系の質点の対応する線素をｄｌすると速度は
ｖ^2＝(ｄｌ/ｄｔ)^2＝ｄｌ^2/ｄｔ^2
とあるのですが、意味がわかりません…ｌ^2をｔ^2で微分するということでしょうか…

お願いします

>>83
前半。
運動エネルギーが負になるから、x-t空間でぎざぎざの経路を考えれば
積分Sはいくらでも負の大きな値にできる。

後半
v^2 = (dx/dt)^2 + (dy/dt)^2 + (dz/dt)^2

dl = sqrt(dx^2 + dy^2 + dz^2)

という意味だと思う。

一つの質点の運動についてのラグラジアンは、空間と時間の一様性ゆえに、位置ベクトルにも、時間にも陽には依存しない。
ゆえに、ラグラジアンは速度だけの関数で、空間の等方性により、速度の方向にも依存しない、したがってラグラジアンは速度ｖの２乗、ｖ^2だけの関数である。


この理由がわかりません…ラグラジアンは何故ｖ^2の関数なんですか？｜ｖ｜の関数ではないのですかね？

|v| も v^2 の関数

なんでラグランジアンをラグラジアンって書くの？

>>86
なんで… ？
>>87
ごめん間違えた

√

じゃあラグランジアンはｖ^2の関数と考えても、｜ｖ｜の関数と考えてもいいの？

自由粒子のラグランジアンなら、スカラー量としての「速さ」にしか依存しないということを言いたいだけだから、(v↑)^2と書こうが|v|と書こうが差はない。

>>85
君の｜ｖ｜の定義を書いてみてよ

>>91
わかったありがとう
>>92
速度ベクトルｖの大きさで考えてた…

ラグランジアンにハミルトニアン、だいたい、応用できるのが数少ないらしい
のに、なぜ、おまえは出てくる？西洋人の頭脳の特徴か？微分方程式でいいじ
ゃないか？誰か一言で、解析力学の新定義をしてくれ・・・・・！

解析力学の歴史は量子力学のハッテンの歴史に比べると余り見たことが無いな

>>94
力学を解析します

>>95
そういう面では山本義隆は優れてるかもね

微積分学が発展する前の数学では、たとえば図形の面積を求めるには
個別の図形に応じた特殊な求積法を一つ一つ開発する必要があった。
が、微積分学の発展によって、一般の図形の面積と、曲線の局所的な勾配を表現する方法が得られたおかげで、
面積や傾きという概念を超えて、変化する量の厳密な表現を、微分と積分という概念を使って精緻化することに成功した。
同様に、運動方程式が定式化された段階では、それぞれの物理系に応じた特殊な解放をそのつど用意しなければ
ならなかった。
が、ラグランジュやハミルトンが推し進めた、言うなれば「力学の微積分的精緻化」は、求積法で微分積分が演じたように
力学という論理構造が持つべき本質的な性質をえぐり出して、何が力学構造にとって瑣末的な部分なのかを明らかにした。
20世紀初頭、量子力学という全く新しい未知の力学が持つべき論理構造を物理学者たちが探し求めていたときに
指導原理として正しい方向性を指し示したのがまさに「古典」解析力学であったのは単なる偶然ではなく全くの必然である。

Eulerは f(x,x・，t)、Lagrangeは L(q,q・，t)、Hamiltonは H(q,p，t)ですね
その(q,P)は、距離と運動量で、量子力学のDirac括弧で
[qi，Pk]=Piqk-qkPi=i(h/2π)δikというのが出てくるんですが、その言いたい
事がわかりません。
もひとつ、H^ψ=Eψで、なぜこの行列がハミルトニアンなのか、素人にわかる
ように、誰かよろしく。

>>96
ハミルトンについて、山本氏って書いてたっけ？

>>98
どんな教科書見ても、説明があると思うが。

量子論ではｑやｐが、ヒルベルト空間に作用する
作用素になるってわかってる？

>>99
ハミルトニアンの取り扱いのところでちらりと触れる程度だった記憶が…

>その(q,P)は、距離と運動量で

はぁ？
おまえはまず。解析力学の意味がまったく理解できてないな。
まず、一般化運動量を勉強しなおせ。まずそれからだな。

＞距離

笑

俺が中古で買ったランダウにも最初のラグランジアンのところで「q:距離」っていう書き込みがされてたな。
持ってんの恥ずかしいから買いなおしたけど。

>>104
消しゴムで消せよｗ

>>105
完全にボールペンだったんだよ。
消しゴムで書いてあったところは消したよ。
序盤で力尽きたのか書き込みがあったのは最初の数ページだけど

>>106
q:距離って具体的なイメージを沸かせるために書いただけじゃないのか？
そんなに恥ずかしがるほどのものには思えんが

ってか最初から新品で買えよｗ

>>107
幾何学的な距離という概念を取り除いて一般化座標としたことで解析的な手法がとれるのが
解析力学の強みなんだから、それを距離としてちゃまずいだろうと。
カノニカル変換でもしたら最早距離でもなんでもないんだし。

105-107　くだらんスレ汚しはやめれ

108に同意。一般化座標どころか、
「距離」と書くこと自体、高校物理さえ理解してないと思うが。
「座標」とか「位置」ならまだしも、センスを疑う。

そんなレベルでは解析力学以前に高校の力学から学習しなおせと言いたい。

質問者はビビって逃げ出したようだけどｗ

W

９８だが、新型インフルでちょっと休憩してた。
qが距離だろうが、変位だろうが、座標だろうが、次元的には同じ。
つまり、言いたいのは、Hamiltonの H(q,p，t)の(q,P)は、長さと力積で、
量子力学のDirac括弧で[qi，Pk]=Piqk-qkPi=i(h/2π)δikというのが、
この理論の中心のひとつだと言うことだ。なぜ、座標変数と一般化運動量が
１０種類以上の微分方程式の末に出てきたのか？そして、H^ψ=Eψを考える
ために、刺激を求めて書き込んだわけだ。２ｃｈにあまり期待してないよ。笑

やっぱり解析力学のことは全然わかってないのが確認できた

力積？

>111

馬鹿だなぁ。一般化座標って何か説明してみな


>Hamiltonの H(q,p，t)の(q,P)は、長さと力積で、

もう、オマエは消えな。馬鹿すぎてお話にならないね

>力積

笑


やっぱ、こいつ高校物理もわからんレベル

以後、スルーでよろしく　>>　ALL

>>108
位相空間上の位相、すなわち距離として認識すればあるいは間違いではないんじゃね？

>>116
二次元空間の座標と距離をどう同一視する？

>>116
それなら運動量も距離か

111さん、たぶん知っていると思うけど
一般座標qとはxyz座標の他に例えば球座標のrθφや２粒子からなる力学系の
自由度で表すx1y1z1x2y2z2や多粒子では3N個の自由度など広くとらえている。
一般運動量はそのラグランジアンをそれら一般座標の時間微分で割ったヤツ。
式ではpi＝∂Ｌ/∂qi・
まちがいないですね。

H(q,p，t)の(q,P)のラージPは何？

>>111
こういう、論破されておきながら捨て台詞はくのって本気でかっこ悪いな。
分かってないなら分かってないと言っておけば何ぼか綺麗なのに

論破されたというより何が間違ってたのか分からないということだな

>>117
ああ、そうか。
q:距離って書いてあったのか。
何か根本的なところを勘違いしてたわ。ごめん

>111
これは釣りでないの？
論破とか馬鹿相手には使わないってｗ

１１１だが、沸いちゃってますね。おかげで、刺激を感じてやる気がでて、
Hamiltonが、なぜ「距離と運動量」かを調べて、微分方程式の１階・２階の
関係で理解した。つぎはなぜ「ｐとｑの入れ替えを考える必要があるのか？」
を調べるつもり。また沸いちゃってください（ハート）
>>119 普通の人もいたんですね。ラージＰは自分の理解する「運動量」を、
強調した感じですね。
しかし、解析力学で挫折して性格の悪くなった人が多いなあ。気をつけようっと！

気をつけるも何も手遅れだろ

こいつ>>124のいい加減さにあきれるぜ　

だからさぁ　距離でないでしょ　
って注意されてんだけど
字読めないのか？

で、一般化座標って何かしらべたのかな？ボクちゃんは

111はまともに解析力学を勉強した人間じゃないでしょ？
単に量子力学でHamiltonianが出てきて、それが何かよく分かってないから先に進めない。
一度最小作用の原理から出直せ。

メコスジ力学

量子力学やらないと解析力学の有り難味がわからんからなあ。
その辺、物理学全体のパラダイムを再構築する必要があると思う、ってのは言い過ぎか？

解析力学はそれ単体でも十分面白いと思うけどな。
ハミルトン力学系のカオスとか。

今、線形代数がマイブームでいろいろ読んでいた。内積を定義すると距離を作れる。オマケに角度も付いてくる。
内積空間から角度を取り除いたのがノルム空間、ノルム空間から距離を取り除いたのが位相空間って書いてあった（気がする）
位相空間には距離がないからドーナツとコーヒーカップは同じになるのか、フムフム。
内積空間は僕らが住んでるふつうの空間だな。
はて、ノルム空間の具体例って何だろう・・・想像できんorz
距離だけがあって角度のない物。。。うーむ。

空間ってそういう空間なのか？
適当な集合に過ぎないだろ。

てかその位相空間と物理の位相空間は別物だからスレ違いだな。

111は釣り士
燃料を投入してるだけ。

ハミルトニアンを理解したければ
まず、関数解析だな。手始めにヒルベルト空間を学べ

>>131
その本はあまりよくないですね。その説明はちょっとひどい。

内積空間はノルム空間に含まれます。

空間の等方性とは何？地球ではそれは成り立ってるの？

地球の中心だったら成り立つと思うが

>>136
地表付近ではどうですか？

重力加速度があるから上と下の区別ができる、

ＩＳＳには重力加速度があるが内部は無重力
上と下の区別ができない
もうちょっと利口そうに言えｗ

では、地表付近では等方性は破れているのですね？

破れているからLagrangeanにポテンシャルなんて項がくっついてくるのでは？
等方性が守られていればLagrangeanがv^2の関数になるのはランダウにも書いてあるし。

>>141
ああ、それでバルクの表面では別個に議論しないと駄目なのか。
何か謎が解けた気がしてすっきりしたよ

>>139
ISSの内部の曲率はゼロじゃない。
メトリックの２階微分は、どんな座標系をとっても消えない。
だから、上と下の区別はできる。

>>135>>140-141
記述の仕方による。
地球を物体の１つとして系に含めるなら破れていない。
地球を系に含めないなら破れている。

>>143
おお、利口そうな答え。　>>139には理解できないだろうけどww

ばーか、頭の方が上と決まっとる。

メコスジ力学

ここは恥部程度のメコスジ力学のスレです

>>126 １２４だ。教えてやろう。 直交座標では、(x,y,z)と(Px,Py,Pz)
つまり(距離，距離，距離)と(運動量，運動量，運動量)
極座標では、(r,θ,φ)と(Pr,Pθ,Pφ)は
(Pr,Pθ,Pφ)=(mr^2,mr^2θ・,mr^2(sinθ)^2φ・)
つまり(距離，角度，角度)と(運動量，角運動量，角運動量)
次元解析では(L，無次元，無次元)と(ML/T，ML^2/T，ML^2/T)
角運動量は運動量とは別概念。（これは、賢明な著者は指摘している）
だから、ｑ，ｐを「一般化座標と一般化運動量」というのになんの疑問も
感じない者は物理のセンスがない。「距離と運動量」を批判するなら、
「ｑ座標とｐ座標」とでも言うべきだ。
書いてある用語を受け売りするのが、物理の勉強だと思っているなら考えたほ
うがいい。「ラーメンじゃなくって中華そばでい！ばかやろ！」って言って
いるのと同じだな。おまえら、失礼、君たちその程度？

座標
距離
は
違う

そんな
高校レベルもわからない低脳

>148
おまえ何が言いたいの
正準変数とは何か
勉強して来いよカス

148は　速度と速さの違いもわからんに百万ゲロ

>148

一般化座標とは何か？

質問にまったく答えてないんだけど。

質問に答えられないなら、もう相手してやんねよ。

低脳クン

>>148
>角運動量は運動量とは別概念。（これは、賢明な著者は指摘している）

はぁ？著者って誰？
ｑが距離と書いてある解析力学の本ってどれ？教えてもらえるかな？
是非その本を読んでみたいｗ

>148

おまえさ、自分でそれ書いていて
「距離」と「運動量」には　
なってない事がわからないの？

一般化座標とか一般化運動量という場合、
すでに位置座標や運動量の次元ではないってこと
ほんと馬鹿だね。自分で書いてるのに。

馬鹿は死んでも直らんな

>>155
何この馬鹿

と馬鹿

>だから、ｑ，ｐを「一般化座標と一般化運動量」というのになんの疑問も
>感じない者は物理のセンスがない。「距離と運動量」を批判するなら、
>「ｑ座標とｐ座標」とでも言うべきだ。

だから、一般化座標とか一般化運動量は
もはや、運動量とか位置とかの次元でないから、そう呼ばれてる。

そんな基本すら知らないで
距離とか言ってるから
馬鹿にされても仕方ないな

>>111
>qが距離だろうが、変位だろうが、座標だろうが、次元的には同じ。
>つまり、言いたいのは、Hamiltonの H(q,p，t)の(q,P)は、長さと力積で、

ほら
馬鹿の
書いた
馬鹿な
書き込み
残ってるぜＷＷＷＷ

解析力学ってそんなに難しいかな？
やってることはフーリエ変換して微積分を解くのと大して変わらんと思うのだが。

微分積分を解く
ってなに？

98 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2009/10/20(火) 21:15:44 ID:fXi7jqqk
Eulerは f(x,x・，t)、Lagrangeは L(q,q・，t)、Hamiltonは H(q,p，t)ですね
その(q,P)は、距離と運動量で、量子力学のDirac括弧で

＞距離

笑

正準変換もわからず解析力学なんて
お笑いだな

微積分（の教科書に載っている問題）を解く。揚げ足取り乙

距離って言っちゃうと|x2-x1|のような長さの意味になるから紛らわしいよ。
座標、せめて「場所」とかの単語使った方がいいと思われ

解析力学をまるで理解してないバカが二人に増えた予感

ネタかなにか知らんが、言葉の定義くらいちゃんと教科書で確認しようか…

P,Q とかは正準共役変数であれば　座標、運動量である必要はない。
それが解析力学の強みだ。

基本の基本がわかってない奴が多いな。

それはそうだが、件の「距離」を使っている初心者はそれがわかってないんだから
意味の近い単語を使って説明するしかないんじゃないの？

いっそのこと統計力学に突入した方が、解析力学をただの道具だと割り切ることができていいかも試練ね。

>qが距離だろうが、変位だろうが、座標だろうが、次元的には同じ。

pp

>>148
>だから、ｑ，ｐを「一般化座標と一般化運動量」というのになんの疑問も
>感じない者は物理のセンスがない。「距離と運動量」を批判するなら、
>「ｑ座標とｐ座標」とでも言うべきだ。

誰でも、最初は初心者で勘違いするのはありがちなんだが
なんで、この人は　ここまで自信たぷりなんだ？

精神障害者？
それともネタなのか

なんか解析力学分かってそうな人がいっぱいいるみたいだからここで聞くけど、
解析力学ではあんなに自由にpとqを正準変換で移り変われるのに、
正準量子化するときとか状態数数えるときとかは、他のどの一般化座標／運動量でもなく、
普通の座標と運動量でないといけないのはどうして？

逆に、量子力学では普通の位置と運動量が特別視されるのに、
hbar→0の極限をとると自由に正準変換できるようになるのは物理的にはどう解釈すればいいの？

>>172
>分かってそうな人
分かった振りしてるだけだよ。
みんな、分ちゃいないよ。
おれもな。他を当たってみな。

状態数ってカノニカル変換前後で変化してるの？
ヤコビアン１の変換だから相空間体積は変わらず保存されていると思ってたんだが

直交座標⇔極座標の変換も正準変換に含まれるんだけど

ごめん、寝呆けてた
座標と運動量両方考えりゃちゃんと帳尻合ってるな

>172
>普通の座標と運動量でないといけないのはどうして？

これは間違い

いずれにせよ解析力学でなく量子化の問題だからスレ違いだな

>逆に、量子力学では普通の位置と運動量が特別視されるのに、

これも間違い

スレ違いなことだけは分かりました。ありがと。

ん？
極座標でハミルトニアン書いて素直に
正準交換関係を設定したら
水素原子とか、エネルギー準位が実験と合わないんじゃなかったっけ？

>180

極座標でエルミートなハミルトニアンをうまく作れば可能。
勉強しなおせ。
ただしハミルトニアンに不定性があるのは事実。

>>181
もちろん、可能なことは全員が知っているわけだが。

極座標での古典的なハミルトニアンから
量子論でのハミルトニアンを作るときに
オペレータの積の順序に任意性があって
自己共役性を要請しても１つには決まらず、
そのうちのあるものが実験に合う、という理解でよろしいか？

直交座標だと量子化で積の順の任意性が問題にならないかというとそうでもないのでは。
位置だけの関数の項をハミルトニアンに加えるだけで書けるような力しかなければ
そうかもしれないが、
たとえばローレンツ力があったりすると違ってくるんじゃないか。

１４８だ。湧いてくれてありがとよ。ますます、やる気が出た。
誤 (Pr,Pθ,Pφ)=(mr^2,mr^2θ・,mr^2(sinθ)^2φ・)
正 (Pr,Pθ,Pφ)=(mr・,mr^2θ・,mr^2(sinθ)^2φ・)
だったんだが、誰も指摘しないのは何故か。分っている人は単なるミスだとパス
したんだろうが、怒っている人たちは突っ込み所を逃すとは、本当に残念な状態
のようだな。そういう人に一言、言わせていただくが、理系の学問は他人のアラ
探しだけが得意な人間には向いていない。早めに他方面に言った方がいいと思う。
それから、(q,p)だけでなく、(t,-E)、(ω,J)、(θ,L)もあるらしい。現在、
Hamiltonの3パターンをほぼ終わり、正準変換と、Legendre変換〜Dirac括弧迄を
事業仕分け中。

もう流石に飽きた。
解析力学理解してないのはともかく、ただの日記ならチラシの裏にでも書いてほしい。
分からないなら教えてと頼めよ

>182

全員ってのは違うでしょｗ

ハミルトニアンの不定性は考えてる系の対称性などから
限定されるってのがあらすじだと思う。

具体的にはゲージ不変性、ローレンツ不変性などなど。
この辺の話は場の量子論で考えるべきことらしいね。
少し勉強し直してくるわ。

量子化でハミルトニアンの不定性の選択について詳しく書いてる本ってありますか？

メコスジ力学

ここは恥部程度のメコスジ力学のスレです

距離空間で考えるなら
p:距離でもなんら問題ないと思うのは俺だけか？

詳しい議論は他所に譲るとして…

はぁ？
何、距離空間って　

調べて出直して来い

>187
猪木・河合にある程度解説があったような気がす

清水明にも解説あり

>192
清水によると量子力学のほうが力学より適用範囲の大きな理論だから
極限に古典力学と一致しないハミルトニアンがあっても当然だ。
ってなことが書いてあったような気がする。今手元にないんであやふやだが。

正準変換と、Legendre変換ほぼ理解した。無限小変換で変分法の意味を見直す必要が出てきた。

>193
有名な量子力学の本でも、ハミルトニアンの量子化について
かなりいいかげんな記述の本もある。小出とかマジ適当。

前に量子化でデカルト座標のハミルトニアンは特殊かどうかって話出てたが、やっぱ特殊なんでないの？

「解析力学」大貫義郎（岩波）
10章 ハミルトン・ヤコビの理論　p.143
S(q,t,α)において、q...,α...は独立であるから　det[d^2Ｓ/dq dα]≠0,...
ここが理解できなくて足踏みしています、同じ本持っていてここが判る人いませんか。
「独立であるから」ってそれだけじゃ「≠0」にならないように思いました。
この行列式が０でなければ、q について解けるってのは理解しています。

何か別ルートで「≠0」が保証されているのか、或いは「≠0」なら議論が簡単だという願望にすぎないのか。。。

>>197
もってないけど、いいかな。
αってなに？

>>197
αってたぶん、保存する運動量（の成分）だよね。

そうすると
p = ∂S/∂q
なわけだから、
∂^2 S/∂α∂q　＝　∂p/∂α
ということで、結局、運動量（の成分）どうしが独立かどうか、
という話になる。

ｘ方向の運動とｙ方向の運動とか、
動径方向の運動と角度方向の運動とか、
最初から運動の自由度として独立なら、とうぜん、
行列式はゼロじゃないと思うけど。

>>198
ハミルトン・ヤコビ方程式は、n+1 変数の１階偏微分方程式なので、
その完全解の一つに現れる互いに独立な任意定数を、α1,...,αn としています。
（定数付加の自由度は除いて考えるので、n 個の定数）
完全解：Ｓ ＝ Ｓ(q,t,α) と書いて
p ＝ ∂Ｓ(q,t,α)／∂q　　----(1)
β＝ ∂Ｓ(q,t,α)／∂α ----(2) として変数を増やすと
その形式から、(q,p) ⇒ (β,α) は Ｓ を母関数とする正準変換という事ができます。

定義式(2)より、
�刄ﾀ＝ ∂∂Ｓ／∂α∂q * �冫 + ∂∂Ｓ／∂α∂α* �刄ｿ + ∂∂Ｓ／∂α∂t * �冲
ここで det[∂∂Ｓ／∂q∂α]≠0 ならば、 �冫 ＝ ...�刄ﾀ+ ...�刄ｿ+ ...�冲 とできるので、（少なくとも局所的には） q ＝ q(β,α,t) と書けます。
定義式(1)より、p ＝ p(β,α,t) も得られます。

続き
で、ハミルトン・ヤコビ方程式の完全解から求まった解
{ q ＝ q(β,α,t),　　p ＝ p(β,α,t) }　が
ちゃんと、ハミルトンの運動方程式を満たしている事を示すのにも、
det[∂∂Ｓ／∂q∂α]≠0 の条件を使っています。

>>199
なので、ちょっと違います。

>>201
ハミルトン・ヤコービの偏微分方程式のもっとも一般的な解は、
常微分方程式のようにいくつかの任意定数を含むモノではなくて、
１つまたはそれ以上の任意関数を含むもののはずですね。
（ゴールドスタイン、第１０章）

だから、ここで考えている「完全解」は、かなり限定された形のものです。
その限定をさらに強めて、問題の行列式がゼロでないことを
最初から天下り的に要請している、ということでは？

>>202
ありがとう。そのゴールドスタイン１０章を読んで熟考したら理解できました。

まず任意定数 α1...αn と時間 ｔ を固定します。
この時、Ｓ＝Ｓ(ｑ, ｔ, α) は、n+1 次元空間中の n 次元曲面（M{α,t})を表しています。(パラメータ変数ｑ,自由度:n)
また ｎ個(Index:j)の行ベクトル(Index:i)型関数(変数q): ∂∂Ｓ／∂ｑi∂αj ＝ Ｓ{ij} は線形独立となっている事が示せます。(※１)
即ち det[S{ij}] ≠ ０ が保障されています。
よって任意定数 β1...βn を固定して、ｎ個の関係式： β＝ ∂Ｓ／∂α を要求する事は、M{α,t} の自由度を n 個減らす事に相当します。(※２)
これは、M{α,t} 上の曲線座標として β を採用してよい事を意味します。
とにかくこれで、 ｑ ＝ ｑ(β,α,t)　として解ける事が判りました。

注１:　非自明な線形関係： ０＝Σ S[i,j] * δj があったとすると、これは、ｐ’ ＝∂Ｓ/∂q (ｑ, ｔ, α+δ) ＝ ∂Ｓ/∂q (ｑ, ｔ, α) ＝ ｐ を意味します。
各ｑに関しての偏積分により、Ｓ’ ＝ Ｓ(ｑ,ｔ, α+δ) ＝ Ｓ(ｑ,ｔ,α) + δＳ(α,ｔ) ＝ Ｓ ＋δＳ となる事が判ります。
∂(δＳ)/∂t ＝ ∂Ｓ'/∂t − ∂Ｓ/∂t ＝ Ｈ(ｑ,ｐ,ｔ) − Ｈ(ｑ,ｐ’,ｔ) ＝ ０, よって δＳ は α のみの関数です。
しかしこれは、α が 『付加定数の自由度を除いた』,『完全解の独立パラメータ』 である事に反します。

注２:　各βは固定されているので、微分量は ０＝ Ｓ{ij}�冫{i} となります。
よって、det[Ｓ{ij}] ≠ ０ より �冫 ＝ ０ が判ります。つまりｑの自由度は無くなってしまいました。

ゴールドスタインでも、完全解に含まれる任意定数をα1...αn としていました。
一般解に含まれるという任意関数は、完全解の任意定数間の関係式を与えるもので、その際の完全解の包絡面が一般解となります。
こうしてまとめてみると、ゴールドスタインも大貫も説明を省略しすぎな気がします。。。

>>202
>ここで考えている「完全解」は、かなり限定された形のものです。
『付加定数の自由度』 が ＋α[0] の形で簡単に取り除けるようなものに限定しているという事ですね。そもそもの「完全解の構成手順」を知らないので何とも言えないのですが、そんな完全解は常に作れると思って良さそうです。

簡単に取り除けない例：
１階偏微分方程式： Ｓ0 + sqrt{ (Ｓx)^2 + (Ｓy)^2 + 1 } ＝ ０ の
完全解の例： Ｓ＝±sqrt{ (t*α[0])^2 - (ｘ - α[1])^2 - (y - α[2])^2 }
「これ＋付加定数」 の解を得るには、適当な包絡面を作る必要があります。

なんかスゲー詳しく検討してるね。
オイラなんか行列式がゼロにならないのは、自然だから無問題
で流し読みしちゃったけどね。
ちょっと金シュタインで再勉強してみっかな。

金だけじゃなくちゃんと石も訳せよ

電磁場の一般化座標を電位とベクトルポテンシャルにとった場合、
ベクトルポテンシャルに共役な運動量は電束密度になる。
でもネーターの定理から導かれた保存則に登場する電磁運動量密度や
マックスウェルの応力テンソルはこれとだいぶ違ったものになっている。
どうも腑に落ちないんだけど、これってどう考えたらいいの？

>>207
始めの２行の「運動量」は、一般化された意味での正準共役な運動量で
後の３行の「運動量」は、並進対称性に対応したふつうの意味での運動量。
ちがって当たり前じゃないの？

たとえば、単振り子の運動を角度θで記述するとして、θに共役な運動量は
角運動量なわけだけど、その表式がmvと違うのは当たり前ではないでしょうか。

あ！そういうことか！アホだ、俺。
ありがとう>>208

メコスジ力学

ここは恥部程度のメコスジ力学のスレです

並進運動と回転運動の式は
2自由度系だとどうやって立てればいいのですか？

>>211
２次元で質点２個でも４自由度あるんだが、
２自由度系ってなに？

ところで、最小作用の原理が成り立つのはどうしてですか？

そういうもんなの。
知りたかったら作者（神様）に聞いてくれ。

最小作用の原理はL=T-Uと同じことを言ってるんですか？

Lの時間積分が最小ということ。

規制がとれた記念カキコ。で、かなりの遅レスになるけど、
完全解がいつでも作れる云々ってレス（204）あるけど、
作れたらパラメターαは運動の積分になっちまうので、それは無理でしょう。
3体問題とかは積分不能だったはず。確かウィッテッカーに完全解が
いつでも作れる、という主張があって（要するにるリューヴィルの定理を
いつでも成立する、みたいに言ってる）アーノルドがそれを批判していた気が
する。（残念ながらソース覚えていない、文脈としてはリューヴィルの定理の
前提（包含的な極大な数の積分の存在）はいつでも成立するのではない、
と強調）

>>217
完全解が存在することと
完全解が解析的であることは違うのでは？
三体問題が積分不能というのは、後者の意味だったような。

>>213
量子力学まで行くと、経路積分での説明がある。粒子は様々な経路を取りえるが、作用を最小にする
（正確には、極値をとる）経路を通る確率が一番高くなる。

え？　量子の世界で、粒子の経路だって？　ご冗談ですよね？

それが意味をなすのを見出したのがFeynman 。最初は冗談扱いされ、
論文を出したら当たり前扱いされてrejectされたそうだが。

と、冗談で誤摩化さないでください。

学部では未だに経路積分は教えないのか？
まあ量子力学の基礎の一つだから、Feynmann-Hibbsの本か
とりあえずwikipediaで経路積分みてみればいい。

と書いてはみたが、なんか煽りくさいなこいつ

>>223
>経路積分
数学でさえない。

>>223
>wikipediaで
（´<_｀ 　） 流石だね

やっぱ煽りか。

最近は、教科書を買わないで、wikiで物理を勉強している学生が多いらしいよ。

経路積分は一種の伊藤積分でしょ？

経路積分は、数学的にどうかなんて気にせずに使え。
物理屋は、使えるもんなら使う。それでいい。

経路積分は数学者には難しすぎる

そうなの？　数学者にも分からないことがあるの？

うぃきは俺が書いてるから信用できないぞ

経路積分は積分もどきであって積分ではないのだよ。

何処がどう違うの？
反函数空間の積分じゃないの？

反関数って何？

>>234
関数空間にうまく測度を定義することができない。

なんで？

非相対論的な量子力学だったら問題ない。

これ以上は量子力学スレでやったほうがよい。

みんな、どこへ行った？
「距離」と「運動量」だ。あれから益々勉強にターボがかかりまして、解析力学を思い切り粉砕
→正準変換・gauge変換→一般座標変換見直し→Galilei変換・Lorentz変換
→電磁場・相対論→統計力学・量子力学方面で放浪中。
結局、(q,p)は運動方程式を平面グラフで表すための一手法でしかないと思う昨今です。
Lagrange・Hamilton大したことないぜ。(笑)　

>>240
それではお尋ねします。ハミルトン・ヤコビ方程式の存在意義って何？
なんでわざわざこんなものを考えるの？

わざわざなんで複素数を考えるの？
という質問に対する（物理からの）答は
量子論が登場するまで200年ほどわからなかった
とも言えるね。

ハミルトン・ヤコービも似たようなものでしょう。

>>242
無粋なつっこみだが、量子論よりずっと前から複素数は物理の役に
立っていると思うけど。

一個のスカラー関数の方程式見るだけで、多次元の運動が解けるってのは
それなりに楽しいことだと思うけどな。>ハミルトン・ヤコビ

>>243
そういうつっこみを想定してわざわざ「物理からの」と入れたんだけど...

実数係数の微分方程式を解く際の計算テクニックとしての複素数の利用
のこととかを言ってるんでしょ？

でも、基本法則に複素数が登場したのは量子論からだと思う。

場の理論でのハミルトン・ヤコービについて書かれた本ある？

>>242
ハミルトン・ヤコービとボーム流の量子力学は似てるよね？

>>245
>そういうつっこみを想定してわざわざ「物理からの」と入れたんだけど...
>実数係数の微分方程式を解く際の計算テクニックとしての複素数の利用
>のこととかを言ってるんでしょ？
　それって物理で使っているじゃん。減衰振動とか。

>>245
>でも、基本法則に複素数が登場したのは量子論からだと思う。
交流回路とかは？

ファラデーが電磁誘導の法則を発表したのが1983年。
ファラデー家はとても貧しく、彼は小学校を卒業後製本工場で（ｒｙ

彼が複素数を使っていたかどうかは知らん。

>>247
そらそうよ

だから、減衰振動も交流回路も複素数使うと便利だけど、
それらはテクニックとしての複素数の利用にすぎないよね。

物理の＝基本法則＝に複素数が登場するのは量子論からだと思う。

ニュートンの運動方程式→複素数は登場しない
古典質点系の作用積分→複素数は登場しない
マクスウェル方程式→複素数は登場しない

19世紀に剛体の回転扱うのに、もしかしたら複素数どころか
四元数まで使っていた可能性もあるけど、それもやっぱり
テクニックとしての複素数の利用だと思う。

シュレディンガーの波動力学の原論文ってたしか
ハミルトン・ヤコビの運動項をちょこっと修正するとか
いう方針で水素原子のシュレディンガー方程式を導いていた
ような気がする。

そのあとでおなじみの楕円形偏微分方程式の固有値問題を
解くんだけど、この辺の数学は当時すでに常識となっていたみたい。
まあ、シュレディンガーが偉かっただけかも知れないけど。
迷いなく一直線に超幾何級数使ってあざやかに解いてる。

んなこと言ったって複素数なんて二つの実数の組に
(a,b)・(c,d)=(ac-bd,ad+bc)という規則で積を定義したというに過ぎない。
二次実正方行列の特殊なものだと思っても良い。
実数は実在するが虚数は実在しないなどというのは世迷言以上のものではない。

量子力学で複素数が出て来ると言うのは
要は同じ演算規則に従うような数の計算が出て来るというだけなんだから、
本質的に物理数学のテクニックの問題で、減衰振動も交流回路も変わらないでしょ。

>>253
> 迷いなく一直線に超幾何級数使ってあざやかに解いてる。
そりゃ論文は整理して書くものでしょ。

>>254
>という規則で積を定義したというに過ぎない。
>二次実正方行列の特殊なものだと思っても良い

まさにそれを「複素数」というんだよ。

減衰振動や交流回路と、量子力学が質的に違うのは
スピンあたりまで考えれば納得できると思うが。

>>255
そりゃそうだ。
でも現在の下手な教科書より、よほど明快なんだw

未だに正準変換やポアソン括弧が分からん。
量子論を学ぶための解析力学は読んだのに…。
誰かこんなバカな俺にレクチャーしてくれOTL

>>250
>ファラデーが電磁誘導の法則を発表したのが1983年。
おまい、物知りだな。

>>258
慣れだよ

>>259
なぜ、わざわざ誉めてるのか？と思ったらｗ

>>260
慣れねえ…

慣れれば、日常言語になるよ。

Young man, in mathematics you don't understand things. You just get used to them. -- John von Neumann

慣れたら理解できるのでは無くて、理解したかのような錯覚を起こしてる、
もしくは最初の疑問をもはや忘れてしまっていると言う可能性は無いのか？

あるよ。だけど、そうなってからじっくり考える方が
なんの知識もないままあれこれ妄想するよりもいいよ。

じゃあ慣れた上で解析力学の本読み直したいんで
良い感じの解析力学の問題集教えて下さい

並木美喜雄あたりがいいんじゃないか？

0911.0411 とか、

ここは恥部程度のメコスジ力学のスレです

>>258
その辺は適当にとばして
先に量子論やってハイゼンベルグ形式とか理解してから
戻った方が楽だと思う。

>>271
そう考えて先に進んでた時期があるのですが（つーか今もそう）
指導教官に「お前は基礎がなっとらん」と説教されたわけで

指導教官だって少しつっこまれたら何もわからんだろｗ

単純に、物理に向いてないだけじゃないのか？

意味なんて未だにわかんねーよ
変数を変えたいだけじゃね？
とか言ってみる

幾何を知ってれば「見える」ようになるんだが、
まぁ、幾何を全くしらないまま解析力学の授業なんか持っちゃってる物理の先生もいるわけで、
結論としては、まあわからないままでいいんじゃね？

>>241
「ハミルトン・ヤコビ方程式の存在意義」即答したい気持ちはあったが、
そういえば、正準変換はいろいろ収集したが、H'=0となる正準変換を収集していなかった。
で、久保謙一「解析力学」だが、92ページ辺りからおかしくねーか。

あれは著者がよく理解できていない

アーノルドが亡くなったそうだね
合掌

棒や

くっそ釣られた

質問スレにも書いたのですが、よい回答が得られなかったので。
ランダウの力学の冒頭で、ある時刻に粒子の座標とその一階微分がわかれば、
その二階微分である加速度も分かる、(そしてその後の時間発展も分かる)
と書いてあるのですが、その数学的導出がよくわかりません。
頭のいい皆様、どうぞご教示ください。

753 名前：名無しさん＠そうだ選挙に行こう[sage] 投稿日：2010/07/11(日) 17:15:54 ID:???
運動方程式が時間に関して2階って言ってるだけじゃないの？

↑これで十分だと思うけどね。

例えば自由落下とかばねの運動方程式解くとき、初期条件として、
初期位置と初期速度（ある時刻の粒子の座標とその一階微分）
が必要でしょう。
それで解いた後、加速度は位置を２回微分すれば求まるでしょう。

例えば、ばね運動で、mx・・+kx=0が、x・=vとおくと、v・=(-k/m)vになる。
これを、相空間微分方程式という。この延長に Hamilton方程式がある。

ハミルトン系の正準変換に関しての疑問です．
古い変数を小文字，新しい変数を大文字で表します．
点変換X=X(x)
を満たす正準変換を与える母関数S(P,x)としてfを任意の関数として
S(P,x)=Px+f(x)
が考えられますよね．
いっぽう，
古いハミルトニアン→ルジャンドル変換→古いラグランジアン→点変換→新しいラグランジアン→ルジャンドル変換→新しいハミルトニアン
と変換していくと古いハミルトニアンから新しいハミルトニアンには一意に変換が決まりますよね．
（たぶん先ほどの母関数のf=0とした変換に決まる）
母関数を定義したときの変換の多価性はどこからきたものなのでしょう？

すみません．５行目ミスです．
S(P,x)=P・X(x)+f(x)
です．

ラグランジアンでの点変換に母関数って無くない？ハミルトンでの母関数と比較できるものが無いと思う。
母関数が多価でも、最終的にハミルトニアンが一意に決まるなら問題なくない？
（うろ覚えなもんで、勘違いしているかもしれないけど）