0.999999……は1と等しい？

別の板で見つけたやつなんだけど、
この証明は正しいのかな？
何か納得いかないんだが…



証明

X=0.999…　　　(1)
両辺を10倍する
10X=9.999…　　　(2)
(2)から(1)を引く
9X=9
X=1
よって　1=0.999…

収束がどうのこうのと言ってたな

Ｃ言語の習いたてん時を思い出すなぁ。

まず、0.99999････が「循環小数」なのかどうかの記述が無い時点で
おかしい！
もし仮に「循環小数」と定義してるならば、単純に１０倍は出来ないし、
そもそも、「Ｘ」の定義もされてないので、単純にイコールで結べない。

問題の設定が記されてないので、愚問。

つまり、
lim_{x→1} x ＝ 1
ってことでしょ？

＞３
＞もし仮に「循環小数」と定義してるならば、単純に１０倍は出来ないし、

なんで？普通、そうやって１０倍、１００倍して、少数部分を消して
値を求めるじゃん。

>>3
１．なぜにC言語？
２．「････」って書いてあんだから察してやれよ。
３．循環小数を１０倍できないのはなぜ？
>>4
ちがうだろ。

これとほぼ同じなので、
1/3=0.33333‥‥
両辺に3を掛ける
3*1/3=3*0.33333‥‥
従って
1=0.99999‥‥
ってのもあるね。

S=0.9999‥‥
=0.9+0.09+0.009+‥‥とすると

Sは公比0.9の等比数列の無限和だから、
S = 0.9/(1-0.1)=1
じゃなかった？

↑訂正

公比0.1

0.99999・・・・・
ってなんなのさ？
そんな数字実在するの？

>>6-7
「循環関数」だと断言出来ないとおもいますが？
>>1は
　証明
以下しか記されてないので、不可読みし過ぎでは？

したがい、>>7のような
1/3=0.33333･････
は飛躍し過ぎです。
もし、上記のように分数で表せる
0.99999･････が前提であるとすれば、それをきちんと設問で記すべきです。
それに、Ｘの存在する領域も定義されていません。

>>10と同意見です。

>>11
誤「循環関数」
正「循環小数」

Yahooにあったトピックだな

かなりの投稿があったが今は消えてる

>>13
なんだ、>>1はコピペか・・・

　　　　　　　＿　, ― ､
　 　 　　,−'　　｀　 　　 ￣ヽ_
　 　 　,'　　　　　　　　　　　　ヽ
　 　　(　　　　　　　　　　　 　　） １から0.99999･･･を引くと
　 　 （　 　　 ノ｀ｰ'ｰ'ヽ　　　　　） 0.000000････ゼロが永久に続く
　 　 （　 　 ﾉ●　　●（　　　　　) よってゼロと等しい//
　 　　 (　　 〉 -――-(　 　　　 ）＿　 _
　 　 　 ｀ｰ'ｌ 　● 　 　（　 　 ノ　 　　ヽ )
　　 　　　　 ､‘ｰ'ー’ _ノ｀ー'　　　　　　|
　　 　　　　　 ￣|￣　　　　　　　　　 　|
　 　　　　　 　　/　　/7　　/￣￣/ 　 /
　　　　　　 　　｀ー´ ｀ー ´　　　｀―´

0.9999…　=　lim_[n→∞](Σ_[i=1...n]9/(10^i))
と考えれば、0.9999…は極限値としてみることができますね。

0.999…と１の差は？と聞かれたら答えられないでしょ。
だから0.999…と１は等しい。

莫迦と１７の差は俺には分からん。
だから１７は莫迦。

「0.999999……」は１０文字
「1」は１文字
∴「0.999999……」！＝「1」

１／３＝0.33333....
に得心が逝くのなら、
1=0.99999.....
でなんの不思議もないはず。
なんか問題ある？
ないよね。

じゃ、終了。

0.99999…　！＝　1.0000…
と仮定すると、
0.99999…　！＝　1
になるyo

tan(π-1+0.9999…)=∞
tan(π-1+0.9999…^-1)=-∞
∴0.9999…!=0.9999…^-1
∴0.9999!=1
∴修了

>>20
納得。

>>15-23
なんかメチャクチャ！

>>1
連立方程式でもないのに
（２）−（１）
ってできんの？

百歩譲って
Ｘ≒0.99999･････
なら、まだ可愛げある・・・・

でも、（２）−（１）は出来ない！

>>24
馬鹿？

>>24
工房大使ノウミソメチャクチャ！

>>25
何故に？

解説きぼーん！

>>1
を理解しないやつは、ﾄﾞｷｭｿ！
理系ﾔﾒﾚ！

>>24
連立方程式の意味がわかってないのに、
連立方程式という言葉を使うな！

区別できないから、0.9999…と１が同じだ、
ってのは、ある意味で本質を突いてる。

要は「実数」をどう定義するか、ってこと。
現行で万人が認めてるような実数では、同じ「数」を別の方法で表記したもの。
これらを、違う数だとして実数を再定義すると、加法、乗法の演算に対して、
今まで自然だ、と教わってきた多くの定理を捨てなくてはならない。

というわけで、実数の定義からほとんど明らかなものを証明することに
あまり魅力を感じない。
逆に、この定義を捨てて0.99999…と1を区別するような数の体系のメリットも
イマイチぴんとこない。

>>30
区別することが必要だから、
0.9999…を「1」とは書かずに「0.9999…」と書くんですよ。
だから、「0.9999…」と書かれている場合には、
それを「1」と同一視できない何らかの理由があるんだと考えられますよ。

実数はいろいろな方法で定義される。
その中で
「実数全体の集合は無限小数全体の集合である」
というものがある

だって・・・
お世話になりました・・・

頭ワルッ！

>>32
その何らかの理由ってのはあんまり数の本質に関係ない理由でしょうね。
極端な話、唯名論でいくと「３−２」と「５−４」はある理由で違う表記になってるんだが、
少なくとも掛け算や足し算の前では、1と同じような振る舞いをする。
6+(3-2)=6+(5-4)=7
6*(3-2)=6*(3-2)=6

>>35
関数の右極限と左極限が異なる場合なんかは、
確かな数学的な意味を持っていますよ。

要は、>>1の証明では
無限小を0と考えても問題ないという前提のもとで証明を行ってるから、
暗黙のうちに、無限小を0と同一視しているんですよ。
1さんは、それが納得いかないみたいです。
だから、いかなる場合でも>>1の証明は正しい分けではありません。

終了

>>32
n
lim Σ0.9x10^(-k ) = 1
　　k=0
ｎ→∞

っていう式を見てどう思う？変かしら？

0.9999.... という「数」とおっしゃるが、この表記には、
無限級数が隠されてるわけで、上の左辺と同じわけだよ。
収束値をその値であるとすれば、１になる。一方収束値と
収束の概念は別物なので、本来等式では結べないという
見方もできよう。
1/3と0.3333...についても同様。

実数を連続体（数直線）とみなして、1のところでちょんぎる。
切り口を見ると、右側の数直線の切り口に１がくっついてたとする。
すると、左側の切り口に見える数は0.9999.....のはず。

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>>35
0.9999…をどうとららえるかですけど、
循環する、と決めた時点でもはや左極限ではなく、
単なる有理数だから、どんな関数に使うつもりでも
1と区別は出来ません。

おもしろいね

x=0,999 9.99
1x 10x

数学的に０．９９９９９・・・は何を意味するのか
定義されていない。したがって、これについての
数学的な議論はできない。それ以外の議論をしたいの
なら勝手にやって。
以上

>>43既出です。

じゃぁ、言い換えよう。
０．９９９９・・・は１と定義する。
したがって両者は等しい。
以上

>>45既出です。

>>46既出です。

>>47既出です。

>>38
0.9999…（切断で出来る）<0.9999…(循環）
が成り立ちます。

>>45
０．９９９９・・・を１と定義してしまったら、
１．００００・・・も１と定義することになるけど、
tan(π-1+０．９９９９・・・)＝tan(π-1+１．００００・・・)
が成り立たないのだから、矛盾してます。

収納

>>49
意味不明

ごめん、さっぱりわからないや。
文系の漏れが理系板なんかに来るんじゃなかったよ。

４９を日本語を交えて説明すると、
「１から無限小をひいたもの」<「0.999…と9が無限に続く」
となるように「無限」という言葉の意味を定義されちゃって実数が成り立っている
ということ。
前者は無理数だが、後者は有理数。

>>50
>０．９９９９・・・を１と定義してしまったら、
>１．００００・・・も１と定義することになるけど

なぜ？　０．９９９９・・・を１と定義しても矛盾ないけど。
aは１であるというのと同じ。

実数の位相を考えろyo

そんなこと考える必要なし。
定義がすべて。

４が言ったのをもっと正確にして
lim_{s→+0} 1-s ＝ 1
が正しい。
左辺が0.9999...の定義でしょ。
これ以上議論意味無し。
このスレ完全終了。

まったく....ｳﾞｧｶばっかりだな。
極限じゃなくて厳密に等しいんだって。
実数は１つの数に２つの表示があったっていいんだよ。
１つの数に１つの表示だったら連続じゃ無くなっちまうだろうが。

９．９９９・・・−０．９９９・・・
っていう計算はできるの？
∞ー∞　はできないんだよな。
なんかいまだに腑に落ちない。
まあ、公理みたいなものだといわれればそれまでだが。

>>57氏は極限好きだねー！
------------------------------------------------------
5 名前：Nanashi_et_al. 投稿日：2001/07/18(水) 15:36
lim_{t→+0}\frac{6}{t}=+∞
lim_{t→-0}\frac{6}{t}=-∞
ゆえにlim_{t→0}\frac{6}{t}は不定。
以上このすれ終了。
---------------------------------------------------
もそうでしょ？

９．９９９・・・
無限に続く「９」の果てに何があるのか？
それが問題だ。

┐(´ー｀)┌

>>61
気に入った！

　　　　　　　　　　　　　　　　　┐(´ー｀)┌

>>62
結婚してYO！

>>63
＞結婚してYO！

女は、すぐこれだ・・・
困ったものだ・・・　　┐(´ー｀)┌

>>63
＞結婚してYO！

女は、すぐこれだ・・・
困ったものだ・・・　　┐(´ー｀)┌

そそっかしい俺もいけるだろ？

>>58
> 実数は１つの数に２つの表示があったっていいんだよ。
Why?
> １つの数に１つの表示だったら連続じゃ無くなっちまうだろうが。
連続かどうかなんて最初から聞いてない。
馬鹿はお前だ！

>>65
自演痛い

┐(´ー｀)┌ ﾔﾚﾔﾚ

x=0.999…=1-(10^-n)　　(1)
両辺を10倍する
10x=10-(10^-n)*10　　　(2)
(2)から(1)を引く
9x=(10-(10^-n)*10)-(1-10^-n)
9x=9-(10^-n)*10+(10^-n)
9x=9-(10^-n)*9
x=1-(10^-n)=0.999…

というわけで、1の証明は間違っていました。
（完）

1=0.999999…　？
両辺を３で割る
1/3=0.333333…

>>53
0.9999....が有理数というのはどうやって証明するだに？
１−無限小が無理数という証明も教えてくれ。

気になって全部読んじまったじゃねえか。
どいつもこいつも言ってることが全部正しく見えるのはなぜだ？
くそー、
何とかしてくれ。

>>72
「数学」ってそういうものだろ。

数学的には等しくない
終了

>>71
循環小数は分数で表すことができるって、中学んとき習わなかった?
>>74
ウソいうなＹＯ！

>>1
数学板でやってくれない？

0.999…っていう無限の場合じゃなくて、
有限の場合を考えてみる。

x=0.99　　(1)
両辺を10倍する
10x=9.9　 (2)
(2)から(1)を引く
9x=8.91
x=0.99

こうしてみると、>>1の証明は

『　9.999… - 0.999… = 9　』

の部分でダマシてるって事がわかる。

0.999… かける10は9.999…90（最後のゼロは10倍したから）
となって、そこから0.999…99を引いてるんだから、答えは
ちょうど９ではなく8.999…91になる。

よって、8.999…91 ÷ 9 = 0.999…99 となり、=1にはならない。

めでたしめでたし。

> 0.999… かける10は9.999…90（最後のゼロは10倍したから）
0.999… は循環小数なんだからこうはならないでしょ。

0.999… < 1 と仮定すると
0.999… と 1 の間に実数が存在するはずだが
そんな実数は表すことはできないので仮定は誤り。
よって　0.999… = 1
ていうのはどうでしょ？

工学系人間的にとしては、

必要な任意の精度で1(.000…)
よってどちらも1

1-0.9999････＝0.0000･･･
0が無限に続くから0.0000･･･＝0
差がないから1＝0.9999････

ダメ？

>>77
＞0.999…っていう無限の場合じゃなくて、
＞有限の場合を考えてみる。

証明するまでもなく１より小さいじゃん。

夏だねぇ。今年は暑いしねぇ。
とにかく等しいんだからもう終わろうぜ。

でも一応なんか書いとこ。

1/9=0.11111111....................

9/9=0.99999999....................

9/9=1

はて？（wら

グラフを書いてごらん！

わからなくなったら、視覚化すれ。

よって、左辺＝右辺。

Q.E.D.

眠いよ

それがどおした。そんなことしるか。

もしかして、おまえら全員で俺のこと馬鹿にしてやがんな？
くそー。
暴れてもいいか？
ただし自宅の風呂場でだが・・・
ちなみに、俺んちの風呂場はけっこう狭い。

>>86
許可します。

風呂場は暴れた結果はどうでした？

>>86
あら、おでん屋さんじゃないの？
聖上はどちらへいかれたか知らない？

不可識別者同一視の原理

ぼくは君の１００倍愛してる！
いいえ、私はあなたの１００００倍愛してるわ！！！！

ぼく＝ａ
わたし＝ｂ

だったら、

ａ＝１００ｂ
１００００ａ＝ｂ

ってことでしょう

つまりこの方程式を成り立たせるにはａもｂも
０、ゼロしかないから２人とも愛してないって証明なるよね？

>いいえ、私はあなたの１００００倍愛してるわ！！！！

「いいえ」で直前の命題を否定しているから，別に同時に成り立ってる
なんて主張していないでしょ．

>>91
ちょっとﾜﾗﾀ

面白かったYO!
俺的に久々の名スレ

就職の事考えて工学部にしたが、やっぱ数学科にしておけば良かった（鬱

0.99999999....... < 1

>>91
作家の阿刀田高氏のエッセイにも同じようなことが書いてたね。
>>94
お前の意見には同意だが
語尾にＹＯってつける奴、氏ね！

結局、
「0.999999……<1<1.000000……」が正しいのか、
「0.999999……=1=1.000000……」が正しいのか。



　　 ∧＿∧
　　（　´∀｀）
　　（　　　　） 　＜ショーモナー
　　｜ ｜　|
　　（_＿）＿)

等比数列の和(の極限)じゃだめなのか。

S＝0.999…
とおくと、
S＝0.9＋0.09＋0.009＋… ... (1)
0.1・S＝0.09＋0.009＋… ... (2)
がそれぞれなりたつ。

(1)−(2)を考えると、
S−0.1・S＝0.9
∴(1−0.1)・S＝0.9
∴0.9・S＝0.9
∴S＝1

よって
S＝0.999…＝1

1も同様に
X＝0.999…＝0.9＋0.09＋0.009＋… ... (1)
10X＝9.999…＝9＋0.9＋0.09＋0.009＋… ... (2)
(2)−(1)
9X=9
∴X=1
よって
X＝0.999…＝1
で、つまりあってるんじゃないのかYO。

1と0.9999・・・・は違うだろ。
見た目からして。

どうみても同じにはできないだろ。
数直線にしても、

0.99999・・は1のちょっと前でとまってるだろが。

数学なんて嫌いだ

>>77
「表せないから存在しない」はよせ。恥ずかしい。

>>100どうみても同じにはできないだろ。
そうか？
1−0.9＝0.1
1−0.99＝0.01
1−0.999＝0.001
：
1−0.99999999999…9＝0.0000000000…1

これ無限にやったらゼロにならないか？
(無限にできない。って言われたらアウトだが)

1.1111…＝10/9
っていうのもあるぞ。

無限にやっても0に近付くだけのような気がします。

１０倍する時点で、

0.9999x10=9.999　　でしょ。

0.9999に10をかけても、9.9999にはならんのだよ。

これは0.999…の"…"を使ったたんなるトリックなのだ。
たとえ数が大きくても

0.99999999999999999　これに10をかけたら
9.9999999999999999　　になるでしょう。

そうなると、
__
| x=0.9999　　(1
| 10x=9.999　(2
￣
(2-(1　は、

x=8.991

こういうこと。

↑の最後らへんちょっと間違ってないかな？
俺が言うことでもないかもしれないけど、

コピペ修正だけでｽﾏｿ。これは俺の考え。
----
x=9999　を
１０倍する時点で、

0.9999x10=9.999　　でしょ。

0.9999に10をかけても、9.9999にはならんのだよ。

これは0.999…の"…"を使ったたんなるトリックなのだ。
たとえ数が大きくても

0.99999999999999999　これに10をかけたら
9.9999999999999999　　になるでしょう。

そうなると、
__
| x=0.9999　　(1
| 10x=9.999　(2
￣
(2-(1　は、

9x=8.9991
x=0.9999

上のと同じ　0.9999　になる。

答えのxが変わるのは、どこかが間違っているって、
中１で習った（＾＾

---

んじゃー

本職の数学屋さんの間ではどういうことになってるんですか？
極限を取った値の扱いの問題でしょ？

9.9999･･･
って無限に続いてることを意味してるんじゃないん？
10倍したところで９が続いてんじゃないの？
公式の証明でもこーゆーの使ってた気がする。
言ってる事はわかるけど実際どうなのか
数学屋さん降臨きぼん！

1から0.99999……を引き算したら0.00000……になるだろ？
だから 1=0.99999……

収束はするけど、その値にはならないんじゃん？

0.9999...て数は10進数表記にゃ向いてないんだよ．3進数で書き換えてみな．

>>96

1未満って言い換えると0.99999……以下ってことでいいのかな？
そうするとやっぱり1と0.99999……は同じじゃないね。
数量的には一緒だけど意味が違うってことじゃないかなぁ

理系板だけど、無限の概念を持ってない人が多いのね・・・

1=0.99999…… こっちが正解。

初項0．9公比0．1の公比級数を求める。
階乗を↑で示す（↑２は２乗ね）
0.9+0.09+0.009・・・+0.9*〔0.1↑(N-1)〕
=(1〜N)Σ0.9*〔0.1↑(N-1)〕（以下Σと略す　　）

(１〜N)Σ＝0.9*【〔(0.1↑N〕−1】/（0.1−1 )
　　　　＝1−(0.1)↑N

よってN→無限ならΣ＝1
高校生レベル

>>115

もちろんそれで証明終了。
なぜかそれで納得いかない人多数なんですな、この板。
だから困ってんの。

そういう人は
「無限に小さいとは言え　(0.1)↑N を引いてるじゃないか！」
って言いたいんだと思う。

直感的に

　　＿０．３３３＿・・・
３　） １．
　　＿０＿
　　　１　０
　　　　＿９＿
　　　　　１０
　　　　　＿９＿
　　　　　　１０
　　　　　　＿９＿
　　　　　　　１０

で、0.333････=1/3が納得いくなら
無理やり

　　＿０．９９９＿・・・
１　） １．
　　＿０＿
　　　１　０
　　　　＿９＿
　　　　　１０
　　　　　＿９＿
　　　　　　１０
　　　　　　＿９＿
　　　　　　　１０
とやれば　0.9999････=1　もなっとくいかないっすか？

>>115-116
「無限に小さいとは言え　(0.1)↑N を引いてるじゃないか！」
とは思わないけど0.99999…はいつまでたっても繰り上がるとは思えません。すいません。
>>115の公式は数値を求めるための公式で循環小数の意味は考慮してないんじゃないですか？
消防でごめんね

俺は小学生のくせに0.99999…の意味は中学校ぐらいで聞いた記憶があるんですが
それを元に考えると 0.99999…と１との差は0に限りなく近いということだと思います。
限りなく0に近いということを同じと言っていいかどうかは分かりませんが。
多分駄目な気がしますが。

任意の正の数よりも小さい数は、0です。つまりある数Ａが、任意のε＞0に対して

Ａ＜ε

をみたせば、Ａ＝0となります。

任意のεってなんですか？
なにが言いたいんでしょう
都合によってはA=0とみなすということですか？

この世に無限などない。よって１のほうが大きい。

εは0よりも大きい数。0よりも大きいどんな数を持ってきても、それよりも
0.99999…と１との差は小さいということが言えれば、その差は0、すなわち
0.99999…と１は等しい数であることがわかる。それを言うには(1/10)^nがn→∞
のとき0に収束することを使えばよい。

任意のε＞0をとると、(1/10)^n→0　よりあるＮがあって1/10^N＜εとなる。
このとき1-0.9999......＜1/10^N＜ε　である。εは任意だから1-0.9999....＝0
すなわち1＝0.9999.....

それと、120の証明は簡単なので自分でやってみ

ああそれと、123の証明には「Archimedesの原理」を暗に用いているし、
数列が収束することの定義がわからなければどうにもならない。
詳しいことが知りたければ解析学を勉強しなさい。そうでないと真の理解は得られません。

超初歩的な質問だと思うんですが
収束することと、イコール記号って一緒の意味に取ってもいいんですか？

ギリシャ人は無限を否定した。それは彼らの自然哲学であり
馬鹿にするものではない。
ルネッサンス以降のヨーロッパ人は無限というお化けを
思考の範疇に取り入れることに成功した。
サイエンスはこの流れに乗っているので
無限の取り扱いには一定の決まりがあるのだ。
115とか120みたいな考え方だ。
ほかの考え方があってもいいと思うが
それはサイエンスと別の流れを作ることになる。
中世に天動説の世界で天文学が発達しえたように
べつの体系になってしまうだけ。

収束するということはその値には決してならないということだ
つまりイコールとは違う

実数は稠密だから 0.99999……＜1 ではありえない。
なぜなら、0.99999…＜Ｘ＜１ を満たすＸは存在しないから。

>>31
超亀レスですが、超準解析ってご存じ？

>>128 でピン！と来た！！！！

そんな難しく考えなくても､この問題は､(1÷9)×9=1です｡

あら、こっちでもやってるんだ。
「数」と「数の表記」って一対一対応が崩れるから納得しにくいのかね。
>>31 超準解析でも 0.999... = 1 だ呂。

3進数ならピッタリ表記と数がピッタリ一致するんだけどねーここでの場合．
(誰も相手してくんないよな〜．なんで10進数なんぞにこだわるかね．)

>>131
0.11111…=1/9だから、
0.99999…=9/9=1ということか。なるほどねぇ。

2.9999999999999の人の職業は何でせう?
　　　　　↑
ほぼ3

ぼく東工大生ですが、何いってるか全然わかりません。
みんなむつかしいことやってんだなあ。

0.9999…を頭の中でビジュアルにイメージして
みれば、「0.9999…」を１文字で書いた"記号"が「1」
なのだと思う。
なので、私としては

0.9999… = 1

を直感的には支持するが、
そもそも実数の集合Ｒ上の
二項関係"="(等しい)とは
何なのかからちゃんと吟味
しないといけないのでは？

0.999…が１と等しくないなら、
0.000…が０と等しくないということもいえる。

ならば、
0.999…と１の間の数は、
「0.999…　−　0.000…」
として矛盾がない。

「0.999…　＋　0.000…」

ね。スマソ

>>137
実数において X=Y であるためには、X<Z<Y 又は Y<Z<X を満たす Z が存在しなければ良い。

>>138
0.00000・・・　は、どうみても０だろ。

>>140
>実数において X=Y であるためには、
>X<Z<Y 又は Y<Z<X を満たす Z が存在しなければ良い。

というのを、X=Yの定義とみなし、論理式で書くと
以下のようになると思われる。(大文字は集合を
表すものとしたいので、X,Yは小文字にした)

∀x,∀y∈Ｒ
x=y ≡ NOT(∃z∈Ｒ, x<z<y OR y<z<x)

となるが、では x,y∈Ｒについて

　　　x < y

はどのように定義されるのだろう？

これは実数の集合"Ｒ"というシステムに関する考察
に属する議論だと思われる。
てか、ワタシ的には大学院のときに輪講で読んだ
「位相と集合」の教科書の初めの方に出てきたような
記憶もあるが、、

そもそも実数って何だ？

数学科専攻の方の哲学的なレスきぼーん

「1=0.999…」とか言っちゃってる人、
正直、頭わるいyo!

等しくないと何が困るの？

ｘに好きな数字を仮定して同じ計算やってみな。

ヴァカたれ！

以上！！！

>>141
140の言ってるのは定義じゃないよ。

>>142
お前が頭悪い。

1=0.9999999999999........
が正しいです。はい。

距離が無限に近い数字の連続はすべてイコールで結ばれていくの？

>>145

>140の言ってるのは定義じゃないよ。

じゃあ単なる必要十分条件？

とりあえず、
>1=0.9999999999999........
>が正しいです。はい。
ってことは、
>>141
の
>「0.9999…」を１文字で書いた"記号"が「1」
という主張は正しいわけね？

ばかじゃない？議論の余地なし

>>148
やれやれ。

0.99999…… と 1では表記が違うのにイコールなのが
気持ち悪いかと思うが、
そもそも、ある意味で「0.99999……」は数の表記ではない。
0.9 , 0.99 , 0.999 , ……という数列の極限値であり、
lim[n→∞]Σ[i=1,n]9*10^(-i)
と言う式と同じ意味。
「1+1」という式と「2」という数がイコールになるように、
「0.9999……」という式と「1」という数がイコールになっても不思議はない

>>150
ﾅｯﾄｸ

あ、おめえら、まだやってやがったな。
くそー、もう何が何だかわからねえから、
都合によっては0.9999…≠１で、
別の都合では0.9999…＝１だってことで安心していいか？

>>88
少しケガをした。なーに、かすり傷だ。

>>89
知らねえ。

> 都合によっては0.9999…≠１で、
> 別の都合では0.9999…＝１だってことで安心していいか？

安心しないでー。
0.9999…＝１ が正しいよー。

関係あると思うんで聞きますが
∞＋１＝∞　なんですよね？

>>140
＞0.00000・・・　は、どうみても０だろ。
0.9999…≠１なら
0.0000…≠0だろ。

この問題は0.9999…≠１で矛盾が生じるか生じないかが問題であって、感覚でやってもしょうがないよ。

>>152
＞都合によっては0.9999…≠１で、
＞別の都合では0.9999…＝１だってことで安心していいか？

安心していい。それが数学。

>>155
1 - 0.9 = 0.1
1 - 0.99 = 0.01
　　　：
1 - 0.9999... = 0.0000....

って言いたいの？　最後の１を忘れてはいないか？
っていうか、無限の概念を知らないのではないか？

ｱﾎｶ

0.9999…＝１って言ってる人、はずかしくないか？
確かに算数では、0.9999…＝１かもしれないが、
数学では0.9999…≠１です。
正直、レベル低い。

>>159
くだらん。

屁も出ねぇよ
貴様の金玉以下だってよ
俺の知ったこっちゃないがな（藁ﾘ

>>159
すごく頭悪そう…友人にしたくないタイプ

ある公理系では0.9999…≠１が正しい。

終了。

>(2)から(1)を引く
>9X=9

これが成立するには
1=0.999…
でなければいけないような…

>>163
>ある公理系では0.9999…≠１が正しい。

ではなくて、

ある公理系では0.9999…≠１となるように"="
が定義されている

が正しい。

>>154
そもそも∞は数ではない。
だから∞＋１は無意味。
…普通の公理系（自然数、実数など）では。

0.999999…＝１を証明するにしても、
無限を無造作に扱って欲しくないな。

キモイ

悪がはびこる ２ちゃんねる　　　 ,悪にまみれた ２ちゃんねる
厨房 煽り age荒し　　　　　　　　　田中 コリンズ りさ子モネー
絶望のふちに 沈むとき　　　　　　正しいスレが sagaるとき
一人の勇者が 立ちあがる　　　　一人の勇者が 立ちあがる

「オマエモナー！」　　　　　　　　　「オマエモナー！」

光かがやく その笑顔　　　　　　　魂ゆさぶる その言葉
三角耳は 正義のあかし　　　　　 丸いしっぽは こころの清さ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 Λ＿Λ
戦えモナー 希望のひかり　　　　 戦えモナー 希望のひかり　.◯（ ´∀｀ ）◯
戦えモナー 勇気のしるし　　　　　戦えモナー 勇気のしるし　　 ＼　　　 ／
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　|⌒I、│
正しいこころが 明日をひらく　　　みんなの願いが ２chを救う　　（＿） ノ
ＡＡ戦士 オマエモナー！　　　　　 ＡＡ戦士 オマエモナー！　　　　　 ∪

1÷9×9は1だ。
でも0.999999…でもよいと主張する人がいる。
俺は分数表記と小数表記は等価ではないと思うんだが。
1/9＝0.111111…
というのは限りなく近い値は＝で結べるということが前提にあって
これは証明する対象であるはずの
0.999999…＝１
と同じ意味だと思う。
つまり証明しなければいけない事柄を
証明の根拠に用いているのではないか？

また、無限の概念の無い奴が来たよ。ﾊｧ

>>170
>限りなく近い値

ﾊｱ？　なんすかこれ？
0.99・・・は完全に1に等しいんですけど

>>171
ちがうちがう、生半可に無限なんて概念があるからだよ。
足りないのは極限という概念。
無限を排除できるのがεδ論法のありがたみだろう？

それに >>170 は結構いい線突いていると思うよ。
「限りなく近い値は＝で結べる」というのを、
「極限値がその値になる」と読み替えれば筋は通っている。
１＝0.99999…… も 1/9＝0.11111…… も同じレベルの問題。
1/9＝0.11111…… を根拠にするのはあまり適当ではないね。

良く考えたら、ここまでの過去ログで、
１≠0.99999…を証明した人はいるけど
１＝0.99999…を証明した人はいないんだよな…
まあ、背反だから１＝0.99999…は証明できないんだけどね

>>174
わざわざ書くのもバカらしいけれど

0.999999……
＝lim[n→∞]Σ[i=1,n]9*10^(-i)
＝lim[n→∞](1-10^(-i))
＝lim[n→∞]1 - lim[n→∞]10^(-i)
＝１−０
＝１

lim[n→∞]10^(-i)＝０の証明
任意のε＞０に対して、 i＝[１／ε]＋１とおけば
１／ε＜i＜10^i および−ε＜０＜10^(-i)より
−ε＜10^(-i)＜ε とできる
従ってlim[n→∞]10^(-i)＝０

>>175
確かにその場合には成り立つかもしれないけど、
１≠0.99999…が成り立つ場合があるから、
すべての場合について１＝0.99999…は成り立たつのではないので
１＝0.99999…とは言えませんね

「１＝0.99999」と言う人と「１≠0.99999」と言う人がいますが、
仮に両方が成り立つと仮定しても（条件は異なる）
「１＝0.99999」と言うためには、条件内のすべての場合について
「１≠0.99999」が成り立ってはならないので、
すべての条件・場合については「１≠0.99999」が正しい。
■■■■■■■■■■■■■終了■■■■■■■■■■■■■

「その場合」ってどの場合よ？

あと、 0.9999……≠１ だと言うならば、
0.999…… と １ の間にはいる数を教えてくれ。
実数は連続だから、
異なる２つの数の間にはいる数が必ず存在するはずだ。

>>179
これがトドメだな。
オレも知りたい。
0.9999……≠１ を主張する人、教えてくれ。

0.9999……中略……95じゃないの？

おーい誰か
>>181
にこずかいでも渡してやってくんな

1/99999…=0.0000…
0.0000…=0
0*99999…=0
1=0
?

>>182
こづかいはいいから、座布団をくれ。

>>183
で？ソレガ何よ？

>>184
いいから、いいから。
な？ガムあげるからオウチ帰んなさい

>>179
0.9999…と1の差は無限小です。
ここで、｜無限小｜≦｜のすべての実数｜と考えると、
0.9999…と1の間にはいる実数はありません。
だから、>>179の定義に従うと無限小は実数ではありません。
また、0.9999…も実数ではありません。
結局、「0.9999…≠１」となりますが、
0.9999…の値を実数に丸め、２つの値を実数として比べると、
「0.9999…＝１」となります。
■■■■■■■■■■■■■終了■■■■■■■■■■■■■

>>187 ｳﾞｧｶ！

>0.9999…と1の差は無限小です。

こんな仮定をするから間違えるんだよ！

1/3 + 2/3 = 1

1/3=0.3333…
1/2=0.6666…

1/3 + 1/2 = 0.9999… = 1

1/3 + 2/3 = 1

1/3=0.3333…
2/3=0.6666…

1/3 + 1/2 = 0.9999… = 1

>>190
さらに訂正は？（ﾌﾟ

もうやめたら・・・

********************************************************************
結　　　　論
********************************************************************

結論：0.99999…（循環）＝1である。

証明）
この議論のメbイントは「極限」という概念を採用するかしないかである。即ち、
　採用：0.9999…＝1
不採用：0.9999…≠1　である。

ここで「極限」の概念を採用しないといけない理由を示す。
===================================================================
かめたん：毎時１キロメートルで進む。
うさぎ　：毎時10キロメートルで進む。
時刻＝0でかめたんがリード。かめたんは位置Ａ0にいる。
--------------------------------------------------
うさぎが位置Ａ0に到達。かめたんは少し進んで位置Ａ1へ。
うさぎが位置Ａ1に到達。かめたんは少し進んで位置Ａ2へ。
うさぎが位置Ａ2に到達。かめたんは少し進んで位置Ａ3へ。
うさぎが位置Ａ3に到達。かめたんは少し進んで位置Ａ4へ。
（以下繰り返し）
もし、極限の概念を用いなければ永久的に追いつけない。
これは明らかにおかしい。よって、極限の概念は採用。
===================================================================

書き込む人は各々何らかの方法で
「0.999・・・とはどういうものだとして自分は説明するつもりか」
を示してよ
計算したり調べたりするからには0.999・・・とはなにかを明確にしてよ
当然のことでしょ
ex.) 0.9 0.99 0.999 という数列の極限値

アキレウスと亀のパラドックスをなぜここで出す

>>181
しつも〜ん
0.9999…99 は 0.9999…… と比べてどちらが大きいですか？
0.9999…99 と 0.9999……95 を比べたら？

哲学者とか名乗ってる粕達に書かせてみたいスレや。とりあえず理系どうしで
こんなふるい問題扱うのやめれ

>>193　あほか
極限のことをよく理解していない人いるようなので確認。
（1/∞）や　lim[n→∞](1/n)　について正確に考えると、
lim[n→∞](1/n)は実数ですが（1/∞）は実数ではありません。
そして、lim関数は無限小を無視して実数として表すことのできる関数です。
つまり、0.9999…とは、実数1-lim[n→∞](1/n)ではなく、
1-(n/∞)を表しています。
そして当たり前ですが、実数に無限小を加えた数においては、
0.9999…≠1となります。
大学生以上なら、これくらい分かるでしょ？

>193
極限の基にある連続性を認めることで１になるんだよ。
証明で極限を持ち出すからといって、そこまで必要な訳じゃない。

>196
・・・　は数学的な表現ではありません。
自明な場合に略して書いてるだけです。

よくわからないのですが
実数と実数以外の和、差はどう定義されるのですか？
実数同士の演算と同じ扱いなのですか？
一般教養レベルで自明のことなんでしょうか？
＞１９８

>>198 なにをいっているんだかさぱりわかりません。
一応情報科学科卒業していますが。
実数に無限小をくわえた数ってなんですか?
数体系のことだと思うと、non standard analysisのことかな..

やっぱ情報科学の奴は頭悪いな（藁

初めてここ読みました。
考えてみると、難しいねぇ。
あやしい意見から説得力のある証明までいろいろだけど、なんか
0.99999999…＝1
で正しいというところに落ち着きつつあるということでいいんでしょうか？
ちなみに>>193はあやしいほうね。

0.99・・・という「記号」を有理数列a_n=Σ[k=1〜n]9*10＾(-k)の極限として
捉えてるのであれば、それは実数で1と等しい。
この解釈で0.99・・・≠1と言ってる人はただのドキュソ

198はただのドキュソ

>>198
普通０.９９９９・・・・は０.９、０.９９、０.９９９・・・の極限として考えるだろ
なんでわざわざひねくれて考えるんだ？
実数に何を加えようが０.９９９・・・が実数である以上＝1となる

なるほど。

>>206
実数に何を加えようが
　　↓
実数という集合にに何を加えようが（例えば±∞）

>>204で終りだな

>>208
にに
↓
に

訂正が止まんね〜

>>206
０.９、０.９９、０.９９９、・・・の極限値は厳密に１
高校で習ったでしょ？

>>211
だから>>206は0.99・・・＝1だって言ってんじゃん（ﾜﾗ

>>212
多分ネタだろう・・

チョットキイテミタイ
数学専攻の人いますか？

>>204　あほか
0.99・・・という「記号」が有理数列a_n=Σ[k=1〜n]9*10＾(-k)の極限の分けないだろ、
おまえは、lim[n→∞](1/n)=0.99・・・
と習ってきたのか？（ﾌﾟ

>>215
またネタが・・・

>>215
>〜極限の分けないだろ

定義なんて人それぞれ。あんた数学界の神か？

>>212
>>206は暗黙のうちに
０.９９９・・・を実数に置き換えているだけ、
そのくらい気づけ

lim[n→∞](1/n)=0.99・・・　　ﾊｧ？

>>215
こうゆうのが出ないように204では「捉えてるのであれば」と書いたんだけどなあ
他人の受け取り方ってのはわかんないもんだねえ

>>217
>定義なんて人それぞれ

それじゃ、何でもありかよ！

>>218
だから普通はって書いてあんじゃん・・・
それが嫌なら別の定義で話を進めりゃいいだろ
こいつなんでこんなにバカなんだろ？

********************************************************************
結　　　　論
********************************************************************

この板の住人の頭では理解不能と思われる

>>221
そうだよ。学部で使う教科書ですら概念の定義なんて異なってることがあるだろ？
高校くらいだと混乱しないようにだいたい揃えてるだろうけど

　　　∧＿∧　　／￣￣￣￣￣￣￣￣
ﾔ　 （´ー｀　）＜終わるな、このスレ...。
ﾚ 　／　　 ＼　＼＿＿＿＿＿＿＿＿
ﾔ⊂／　 　＼つ
ﾚ　 ｜ ｜　|
　　（_＿）＿）

とにかくみなさん、落ち着いてください。

********************************************************************
結　　　　論
********************************************************************

なんでもあり

>>221を見てやっとこいつの正体がわかった
間違いなく学部以下だ
定義が一貫してるとでも思ってるなんてどうしようもない

私の下腹部に注目

　　　　＿＿＿＿＿＿
　　　 |　　　　　　　　　丶
　　　/　/￣￣￣￣￣￣|
　　　|＿ヽ＿＿＿＿＿＿|
　　/ ━　　　━━　ヽ:::::|
　　ゝ(::)>　,　<(::)　>　|::::|　 ああ、ガムやるよ
　　|　　　/　　　　　　 ヽ:）
　 （　　 .(o_o)　　　　　 /
　　）　　＿ll＿　）　　　/
　　|　　 l::::::::::l　　　　/
　　丶 　￣￣ 　　／
　　 人ヾ　＿＿／|　）
　／　　＼＿＿／　　　＼

>>221クン、「なんでもあり」だからってそれが流通するかどうかは別問題だし
もちろん矛盾があったりものすごく使いにくい定義だったら誰も使わないからね
なんでもあり＝全て正しいなどとは思わないように

::::::::::::::::::::..................
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::............
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::............
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::..............
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::＿＿＿::::::::::::::::::::::::......
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::／￣ヽ::::::::／￣＼:::::::::::::::::::.........
:::::::::::::::::::::::::::::::::＿＿:::::::::::::::/ ￣／::::::::::￣:::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::::::.........
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::ヽ::::::::|:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::ヽ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::┌'⌒ヽ:::|::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::／　━┓| ヽ ,＿ヽ:::::::::::::::::::::::::::::::分かった・・もう何も言うな。
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::|　　　━ ヽ/　 　　＼＿:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::.........
::::::::::::::::::::::::/⌒ヽﾉ　　　　　〈_,、　　　　　|:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::...............
::::::/ニヽ::::::＼ヾ　　　　　　　┤＼　　　 /ヽ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
::::::| ニ⊇::::::ノ￣、　　　　 　 _||　　　／　　＼＿:::::::::::::::::::::::::::
::::::,ー―'::／　　　 ￣￣￣￣::::￣￣＼　　　　　 ￣::::::::::::::::::::
／:::::::::::::::::::＼＿　　＿/＼::::::::::::::::::::::::＼　 ＿／::::::::::::::::.....
::::::::::::::::::::::::::::＼ ￣() /::::::::ヽ:::::::::::::::::::::::::￣:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::.........
::::::::::::::::::::::::::::::::＼　 /

結局は定義の扱いも知らない夏房だったのか（ププ！

211が荒らしてるもよう　　　　（´ー｀）キエナ

ようは高校生が喚いてただけ、と・・・

　　 ∩ _∩
　　（ ´ー`）　＜おまえらも暇なやつらだなあ。
　　（　 　 ）
　　｜｜｜
　　（___） _）

で、結論は？

　　　　　　　　　　　　　　　*　o　∵.：∵.∵ o
　　　　　　　　　　　　　*　o　：∴:.:　:　.::　::∴ o　*
　　　　　　　　　　　　 +o ∴:::..　　　　　　 ..:::∴ o +
　　　　　　　　　　　*　o ∴::.　　／■＼　 .:: ∴ o　*
　　　　　　　　　　　　 o ：:::..　　（ ´∀｀ ） ﾜｼｮｰｲ +
　　　　　　　　　　　　+o ∵::....　　　　　　.: ::∵ o　　*
　　　　　　　　　　　*　　o ∵：.:　:..　:.　.:　:∵ o +
　　　　　　　　　　　　　 +　o　∴∴∴∵∵ o　　 *
　　　　　　　　　　　　 *　　 +　o　o　o　 o　　+
　　　　　　　　　　　　　　　*　　 +　　　+　　　　*
　　　　　　　　　　　　　　　　　　*　　　 *
　　　　　ｳﾝ
　　　/■ヽ
　　 （:::::::　）　　　　　　／■＼　／■＼
　 ／|::::::: ヽ　／■＼／■＼　／■＼　／■＼
　（::: し し ＼ ﾖｸﾐｴﾙｶｲ? 　／■＼　／■＼　:）
　　 （::::::::　　）　（::::::　　）　（ :::::::::　）（　::::::::　）
　　 （::::::::::::　）
　　　|::::: |:::　|
　　 （＿（:＿_）

下腹部に再注目

0.0000000・・・・・・＝　0　？

********************************************************************
結　　　　論
********************************************************************
0.999…＝（ ´∀｀ ）と定義すると、
0.999…＝（ ´∀｀ ）

>>240
過去レスくらい読め。
「Ａ＝Ｂ？」と聞くからにはＡとＢの定義がなければ意味がない
0.000・・・とゆう記号を自分がどうゆうふうに理解してるのかを
示さなければ質問は成り立たない

>>240
だから、定義を書けヴォケが！

>>241
それはそうだけど今の場合はそういう話じゃないからね
それはわかってるよね？

-n
lim　10 っていくつ？
n→∞

出ない
　　　　-n
lim　10 っていくつ？
n→∞

放置推奨

９９９９９・・・・・・って３で割り切れるの？

このスレの常連にはこっちもまたいとおかしとおぼしかりけり
　↓
http://ebi.2ch.net/test/read.cgi?bbs=rikei&key=998416770

>>248 それは無限の数？　無限はどんな有限の数で割っても無限です。

0.99999…=1が成立するように=を定義すれば0.99999…=1だ。
証明するのに計算をする必要はない。
1/3=0.33333…とかを持ち出して計算すると
1/3=0.33333…自体が0.99999…=1と同じ定義の=を使うので意味ない。

限りなくＤカップに近いＣかっぷは巨乳とイコールであるか否か

>>251
=の定義？　数学にはそんなものないよ
と、意地悪はやめておくけど0.99・・：＝1と定義するわけじゃないんだよねえ
0.99・・は有理数列の極限として定義する。そうするとそれは実数であって
値はたまたま1になるってこと。
実数を定義するのに一々値まで持ち出したりはしない
に必要なのは値じゃなくて収束性だけ。

>>253
最後の行は「定義に必要なのは〜」に訂正

色即是空　空即是色

>>253
同値関係の定義をいいたいのかな？
だったらいいんじゃない
あんまり意味がないと思うけど>>251

>>252
CカップとDカップの差を軽く考えてるんじゃあるまいな

「カップ勾配の不連続性理論(2001)」

同値関係(=)の定義

(1) A=A
(2) A=B ならば B=A
(3) A=B, B=C ならば A=C

明らかに 0.9999.... > 1 は誤り。

0.99999.... < 1　と仮定する。
実数の連続性より、0.99999...<X<1 を満たす X が存在する。
ここで、X = 0.1*A1 + 0.1^2*A2 * 0.1^3*A3 ... と表記する。
（ただし、An∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} ）
すると、0.999...<X となるためには、
9<An を満たす n が存在しなければならないが、
そのような n は存在しない。

よって背理法より、0.999...=1　　　　　　　□

>>259
その３つをみたす関係の総称じゃないの？
同値関係自体はそれぞれ定義できるでしょ

＞実数の連続性より、0.99999...<X<1 を満たす X が存在する。
ってことは1の直前の数とか1に限りなく近い数なんてものはないってことなの？

かたぎり背理

>>260
＞ここで、X = 0.1*A1 + 0.1^2*A2 * 0.1^3*A3 ... と表記する。
そのように表記できる保証は？

>>264
３６５次元モナー理論から導け

>>264
オレが保証人だが、何か？

0.9999... is a special number. It is almost equal to 1.
In fact, it is so close to 1 that you cannot express it as a
fraction. (Like, 0.3333... = 1/3. 0.9999... has no fractional
equivalent.) The only good way to write the number 0.9999...
is in limit-form, like this:

(1) x=0.9999...=(a-epsilon)/a ; epsilon approaches zero

multiply (1) by 10:

(2) 10x=10*(a-eps)/a=(10*a-eps)/a
(10*eps=eps since eps approaces zero)

subtracting (2)-(1) gives

9x=(9*a-2*eps)/a=(9*a-eps)/a

divide both sides by 9:

x=(a-(eps/9))/a=(a-eps)/a

which is back where you started, and everything is OK.

　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　∧_＿∧　　　//~⊇
　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　　（　´_ゝ`）　　./ /
　 　　　　　　　　　　　　　　　 　 　　 /.　　　 ＾ヽ-’ ./
　　　　　　　　　　　　　　　 　⊆ヽ＿ノ|　 　　 |`ー-'　 　　 　　　⊂ー‐-、
　　　　　ふーん　 ∩　　　　　 `ー ―|　　　 ｜ 　　　 　　 　 　 　 `ヽ |
　　　 　∩＿∩　 //　　　　　　　　 ／ 　 　 ｌ⌒ｌヽ 　　 　　 ∧_＿∧ |｜
　　　　（　´_ゝ`）.//　　　　　　　　 /　／"`ー|__/-’　　 　　 （´く_`　） |.｜ ふーん
　　　　 （二二二_/　　　　　　　　く　(　　　　　　　　と`ー、,／　 　　 `'.ノ
　　　　　 ヽ　　　　ヽ二つ　　　　　ヽ ｜　　　　　 　　`ー、__ノ、　　　 ）
　　＿＿＿|＿＿＿|＿_＿＿_＿＿ _|.｜＿＿＿＿_＿＿＿（　　x　　 ）
　 ＼　　　　　　　　　　　＼　 　　　( 　l　　　　　 ＼.　　　　￣￣￣￣￣＼
　　||＼　　　　　　　　　　　 ＼　　　 ￣　　　　　　　＼　　　　　　　　　　　 ＼
　　||＼||￣￣￣￣￣￣￣￣||||￣￣￣￣￣￣￣￣||||￣￣￣￣￣￣￣￣||
　　||　 ||￣￣￣￣￣￣￣￣||||￣￣￣￣￣￣￣￣||||￣￣￣￣￣￣￣

いまだに0.999・・・を明確にせずに書く奴らはなんなわけ？
定義を示せって言うと、数学オタだとかそういう言い方するひとがいるけど
定義をしめさずに物事を論ずる事ほどばかばかしいことはない
と思うんだけど。数学やってなくったって普通定義ぐらい示すよ。

先日、勤務先のスーパーにて。
警備室から｢万引きを捕まえたんですが、、、あの、とにかく来ていただけ
ますか？｣ ナンダよ、万引きなんて俺には関係ないのに？と思いながら警
備室に行くと、 いましたよ、モナーが！
じっとうつむいているモナーの前には万引きしたと思われる商品が。
｢あ、ほんとにいたんだ？｣思わず口を出た言葉に気づいたモナーが私を見
るなり、 ｢ウエーーーン｣と泣きながら駆け寄ってきました。そして私に
抱き着いて、 ５分ぐらい泣いていました。突然の出来事に私はすっかり
固まってしまい、 ただモナーを抱きしめてやるのが精一杯でした。
やがて落ち着きを取り戻したモナーは、警備さんをきっと睨むと、
｢モナーは治外法権なの！｣
と叫ぶと同時にトテテテテ、と逃げていきました。
あっけにとられている警備さんを置いて、私はモナーを追いかけておも
わず叫んでしまいました。
｢あれやってくれ！｣
トテテテテ キューッと効果音つきで止まったモナーは、 満面の笑みで一言、
｢オマエモナー｣
ああこんな幸せな気持ちになったのは初めてです。

>>264 １０進数だから

↓ここに載ってる。
ttp://www.hi-ho.ne.jp/yoshik-y/mathematics/m003.html

-------------------------終了-----------------------------

↓ここにも載ってる。
ttp://web2.incl.ne.jp/yaoki/anssiki7.htm

-------------------------改めて終了--------------------------

>>272
>>273

新手のブラクラ

>>274
ドキュソの脳ミソが頭痛に襲われるのか？（藁

1=0.9999... ですよー。みなさん。

>>272

それに納得がいかないからこれだけのレスがついてるのだと思うが。
特に
0.111111･･････=1/9
ってのは、0.9999････=1ってのと同意だしね
まぁ、俺は0.999999･･=1で十分な信頼性出せるから良いんだが

ワケわかんねーこのスレ。
どうみても
1≠0.999...
じゃねーか。
1>0.999...
だろ？

>>278
激しく同意。

いいかげんこの手のスレはやめてほしいよね．
DQNには文系はいくらいっても無理なんだから．
　　　　　　　　　　0.9999...=1
-----------------------終了----------------------------

1=0.9999... ですよー。みなさん。

>>263
そういうの大好き。
砂漠のオアシスっていうか底なし沼。

>>281

0.5は四捨五入すると1ですよね？
では0.49を四捨五入すると0ですよね？
では0.499を四捨五入しても0ですよね？
…と続けて0.4999.....を四捨五入すると0になります。
0.5と四捨五入すると1、0.499...を四捨五入すると0。
それじゃあ、0.5≠0.4999.....？？？(‥;)

数直線で書こう。
すると1は1と書かれたポイントに黒丸で表し
0.999999…は1と書かれたポイントに白丸で表す。
つまりこの二つは違う。

>>1が言っているのは
数直線で表していい連続な値なのだろうか。

>>285
＞すると1は1と書かれたポイントに黒丸で表し
＞0.999999…は1と書かれたポイントに白丸で表す。

そんな自分ルールを持ち出されても…

ほんとは、0.9999・・・の
「・・・」の（省略の）部分をどう読むかってことなの。
それは人によって変わる。

でも、そんなこと言っちゃお話にならない。
「だから」みんな決めたがるの。こうだ、って。

１か、１でないか、どちらかであると「みなす」こと、
それが重要なんだよ。
だから「なぜ」っていう問いは、絶対に満たされることは
ないんだ。だってこう考えろ！っていう答えしか
与えないから。だれもかれも。（そしてそれが全てである）

これは前提であって、疑いをさしはさめる種類の問いじゃないんだ。
納得いかないっていうの自体が、問題にしてもらえないでしょ。
自分でも何が問題なのかよくわからないし。
（そして自分もやがては忘れてゆく）

問い原文「0.999999……は1と等しい？」
翻訳「どうして0.999999･･･…を1と同じとみなすのか？」

答え原文「あたりまえじゃん。だってうーたらかーたらだから」
翻訳「飲み込め！疑っちゃいかん！だって当然そうであるはずなんだから
　　　ただ叩き込む！そう考えるんだ！でもってなんでと聞かれたら
　　　うーたらかーたらだからと答える！OK？」
解説「答えは期待できません。（それで正常）
　　　1+1=2ってどういう意味？という質問と同じだから。
　　　（こんなのに答えてたらきりがなくなる）」

1と0.999999…　が違う数なら数直線状に別別の点として記すことができるはず。
ということは、その点間に新たな点をとれるはず。
したがって、点をとれないことは1と0.99999…が等しいことと等価である。
あと、俺が高校生のとき思いついたやつ↓
　　　　　　　　　　　　
0.9999
　　　　　　　　　　　 　＿＿＿＿
　　　　　　　　　　　　1）1.0000
0
＿＿＿
1 0
9
＿＿＿
10
9
＿＿＿
10
…　　　　　こりゃちっと下らんね。
とにかく1と0.99999999999 は等価。

ずれた（爆笑
自分で考えてくれ（ｗ

>>286
中学校あたりで習ったでしょ？
数直線で
≦、≧は●
＞、＜は○使って表すの。

まぁ本気でレスしてるわけではないから。

>>289
数直線で表す連続な数って線であって、
点が集まってできてるわけじゃないから
新たな点がとれるかどうかなんてナンセンスじゃないの？
0.99秒と1秒の間にはいくつ秒が存在するのかって言ってるのとおんなじでしょ。
（たとえなのでプランク定数持ち出すの禁止）

>>283〜>>290
てめぇらしつこいぞ！
定義によって、0.999999…＝1にも0.999999≠1
なるって結論が出てるだろ！
過去ログ読め！

実数では、0.999999…＝1
極限では、0.999999…≠1
世界貿易センターが崩れて大変なんだよ、早く寝ろ！
終了。

極限でも「＝」。
カナリ陳腐な話だけど、アキレスはカメを抜けなくなるぞ。

＞アキレスは亀を抜けなくなるぞ
　　↑（以下略）

なんだい、まだ納得行ってないのかい。
0.999999…＝1 だよ。

>>291
…いや、だからね。黒とか白とかはどうでもよくて
「数直線で書こう。
すると1は1と書かれたポイントに黒丸で表し
0.999999…は1と書かれたポイントに黒丸で表す。」
これが正しい文章。勝手に1>0.999…にしないでってこと。
＞0.99秒と1秒の間にはいくつ秒が存在するのかって言ってるのとおんなじでしょ。
全然違いますが。

>294
バカは氏ね！

混乱の元はいわゆる仮無限と真無限の違い。
極限値の計算などでnなどを無限大に増大させていくのは仮無限。
一方、目の前にある直線に含まれる点の個数などといった、
既に完成されている静的な無限が真無限。
0.999999…は真無限にあたり、１に等しい。。
9を並べるのは仮無限を通して真無限を求めようとしているのに過ぎない。

>294
まともな話だとおもうけど。
現実世界ですら収束が確認できる良い例じゃんー。

>>299
てめぇの定義で勝手に話を進めるな！
氏ね！

悪いが、0.9999n は、数学的（算数かも）には、
間違いなく 1 ではないでしょ。
高校で学んだはず・・・
なんでこのトピックが盛り上がるのか謎。

>>302
（ﾟДﾟ)？　ﾊｧ?

なんだい、まだ納得行ってないのかい。
0.999999…＝1 だよ。

>>304
定義のない奴は氏ね！

なんだい、まだ納得行ってないのかい。
0.999999…＝1 だよ。

0.999…≠1派は間違った数学的帰納法を使っている人が多いね

命題Ａ(1)が真
命題A(n)→命題A(n+1)

この二つから導かれるのは、
任意の自然数nについてA(n)が真ということであって、
A(∞)が真とはかぎらない。
∞は自然数ではないから。

１＝0.99……＋0.00……∞1
ってことにはならないのかな？
最後の１は定義できないもんなの？
ログにある証明は納得はできるんだけどさ。

国語だったら１に「限りなく近い」って時点で１ではないって事になっちゃうけど
数学だと等しくなっちゃうんだね。だからおもしろいんだけど。

あ、0.00……は結局＝0だから
１＝１+０ってことになっちゃうのか？

0.999999…において、
9を無限に並べていってると思っている人は、
≠1。
極限値だと思っている人は、
＝1。

つうか、等しくないと困るだろ。
どうでもいいって奴もいるだろうけど。
>>305
定義か・・・。難しいな。
誰か、0.999999…と1の定義を。

>>299
仮無限と真無限ってのは古い言葉だな。
可能無限と実無限って言った方が分かりやすい。

>>302
1=0.999…は高校で極限やるときに習う。
>>310
９を無限に並べたものが極限値ですが。

数学的にいうと可能無限ってのはどう表現すればいいんだろう。
「無限と書いてありますが実は有限で止めてあります」
こんなところ？

>>313
まったく....ここはｳﾞｧｶばっかしだな。
1=0.999....は厳密に「等しい」のであって極限が等しいという意味じゃないよ

>>315
「=」は厳密に「等しい」と言う意味だけど、「0.999…」は極限値なのだ。
だから「極限が等しい」という表現で全然間違ってないと思うけれど。

0.99999…と9を増やしていっても有限個しか並べてないなら1より小さい。
無限に並べているなら1に等しい。
つまり、極限が等しい。

1*1*1*…は1ですか??
0.99999…*0.99999…*0.99999…*…
は1ですか???

>>315
なんのこっちゃ。1と0.999…は厳密に等しいですけど何か？
「厳密に等しい」と「極限が等しい」の違いを教えてくれ。
人をｳﾞｧｶよばわりする位だから簡単だろ？

>>318
等比数列の極限値の問題に変化しただけで、
結果は0.999999…が1と等しいかどうかで決まるような。
そうか。もし、1＞0.9999999…と言い張るなら、
0.99999…*0.99999…*0.99999…*…は、
0にも1にもならないことを認めないといけないわけか。

>>319
同感。
「厳密な定義」という言葉はそもそも厳密に定義できないだろう、
などと言ったら脱線か。

(1+h)^(1/h) h->0　はeになるそうです
こんな書き方でわかりますか
すると1の無限乗は1以外の値になるのかな
頭痛い

>>321
1^(1/h) = 1 (h→0)
だが、
a^b (a≠1 ∧ a→1 ∧ b->∞)
の極限はaとbの関係によって無限大にもなれば０にもなる。

もちろん、０になる場合は
a<1 だけどね。

自然対数の意味わかってる？（ﾜﾗ

実数の数直線を「1」で切断すると、片方は端がとがっていて、
片方は端が丸まっている。（実数の定義）
尖っているほうが1で、丸まっているほうは0.999...
切断は「１」でしたのでこれらは同じものでなくてはいけない。
∴1=0.999...

>>325
氏ね。

>>120 と >>123 の言っていることが理解してからにしてくれ。
そーすれば、1=0.9999.... だということが分かる。

はっきりいってさ、哲学的には1=0.99999… でも1>0.999999…　でも、
どっちでもいいんだよ。その人の解釈のもんだいなんだからさ。
だけど、数学的には等価じゃなきゃいけないと思う。
何気ない整数一つ一つとかただの足し算とかだって、意識することはなくても、
れっきとした定義の下に成り立ってるわけで、その積み重ねの結果1=0.99999…　が
高校程度の数学で証明されることはしってるでしょう。＞否定派の方
これを否定することは数学の諸定義を否定することと等しくないかな。
否定はいいが、哲学上にとどめてほしい。

>>328
数学的により厳密に考えるなら等価ではないと考えるべきだろ、
ボケが。

>>329
厳密に等価だと思ふ。

>>329
厳密に等価だ（断定）

327 名前：Nanashi_et_al. ：01/09/15 02:17
>>120 と >>123 の言っていることが理解してからにしてくれ。
そーすれば、1=0.9999.... だということが分かる。

無限小は0とすればそういうことなんでしょうが

>>331
おまえ、かわいそうな奴だな。

そもそも
0.99999999.......は実在するのか？

リミットの式上で考えれば
1=0.9999,,,,,,,,,,
だけど

実在するしないで考えると
1（実在する）=0.999999999..........（実在しない）
で成り立たない気もするが

>>332
無限小の大きさは厳密にゼロです。
>>334
数学では矛盾無く定義できるものは「実在する」んだよ。

>>335
中学生かよ！

>>336
なんで？

>>334
実在する、というのが実無限の立場です。
例えば、円周率がとある数値を持っている、とするのも実無限の立場となります。

>>335
数学の世界では、「実在」は公理に何を持ってくるかで決まります。
0.9999999999…＜1を前提にした公理系を構築しようとしたとき、
その体系が無矛盾であることを示せれば、
その公理系において0.9999999999…＜1は正しいということです。

しかし、多くの方が指摘されているように、
実数論の範囲では極限値に対して実在を認めているのも事実です。

つーか、このスレッドもう誰も見てないか。

>>338
そういう話は正しいのだが、理解できない奴が多い。
0.99999...=1 を理解できないヴァカが多いのはその所為。

　　 　　　　　　　 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　 ∧η∧ 　　＜　　　ダマレコゾウ！
　 (,,・Д・)　　 　 ＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　ミ＿_ﾉ

問題は
無限=無限+1
をなにも考えずに認めてるとこだね

でも都合のよいところでは
無限<無限+1
を使ってるのよね

>>341
見とめてない。
使ってない。

X=0.999…　　　(1)
両辺を10倍する
10X=9.999…　　　(2)
(2)から(1)を引く
9X=9　　<--- ここがちがいます

9X=8.999…
です
でも最後の数字が9か1かは判定できません

＞最後の数字

>>342 >>343 >>344
氏ねよバーカ

>>343
9X=8.999…というのは違うような気がします。
でも、この証明はこの引き算の所でごまかしているのは確かだと思います。

はい間違えです
9X=8.999…91
です
…は無限につづきます

無限=無限+1 これは正しいので、
1=0.9999.... です。

ホントですってば。

この違いが問題になるのってどういうときなの・・・・？

>>349
カオス理論

>>348
氏ねよバーカ

>>351 ホントですってば。

うわー、このスレまだ続いてるんだー
みんなもしかして暇？
つーか２，３人で回してるんだろうけどさ

このレスは、無限巡回に入った様です。

ばかうけ

こうやって見ると∞の概念が数学の中でもいかに特殊なものかよくわかるね。

数学じゃなくて、厨房の頭の中で特殊なのです。

∞=∞+1 は正しいですか？

＞＞358
素人が入っちゃおけないかもしれませんが、お許しを
∞＝∞+1　は成り立たないのじゃないでしょうか
そもそも、無限大という数値は存在しいない（だろう）から
∞＝∞
と定義できないのでは

無限の数に有限の数を足し引きしても、やっぱり無限だよ。
イコールで表して良いかは・・・ゴメン、知らない。

うなぎ+1 > うなぎ ですか?

点（何でもいいが）が無限に詰め込まれている箱があったとする。
これに、追加して１個の点は入るのか？
無限に詰め込まれているので、それ以上入りそうもない気がするが。
無限を有限の中に押し込めてはいけないとかあるのだろうか？

実は無限にも種類がある。代表的なものは、可算無限と非可算無限という２種類。
可算無限は１つずつ順番に数えていくと、漏れなく全部数えられそうなもの。
非可算無限は１つずつ順番に数えていっても、どうしても漏れが出てしまうもの。

ちなみに、自然数の数は可算無限。実数の数は非可算無限。

続く。

（無限の話をする上で、よく使われる無限ホテルの話・・・）

無限の部屋の数を持ったホテルがあり、その夜は満室でした。
そこに１人の旅行者がやってきて、泊まりたいことをフロントに告げました。
ホテルのオーナーは、部屋に居る人に次のように移動するように言いました。

１番目の部屋の人は２番目に移動
２番目の部屋の人は３番目に移動
　　　　　　：
ｎ番目の部屋の人はｎ＋１番目に移動

そうすると１番目の部屋が空いたにもかかわらず、
全員が部屋に収まることができました。めでたしめでたし・・・



と思っていると、無限の客がやって来ました。
でも、ホテルのオーナーは冷静に対処をします。

１番目の部屋の人は２番目に移動
２番目の部屋の人は４番目に移動
　　　　　　：
ｎ番目の部屋の人は２ｎ番目に移動

そうすると、今まで部屋に居た人は全て偶数番目の部屋に移り、
無限個ある奇数番目の部屋が全て空き、
全ての客は部屋に納まることができました。
めでたしめでたし・・・
・・・というわけで、無限の数に有限の数を加えようが、無限の数を加えようが、
やっぱり無限なのでした。

（ちなみにこの話は、可算無限を前提にしております）

ということは
無限の数　ひく　無限の数　は
0 だったり　1　だったり　はたまた　無限の数
だったりするのだな

>>364 >>365
死ねよバーカ

ばかうけ

次は対角線論法のネタかな？
文章力のある人きぼんぬ

>>366
理解できなくて逆ギレしてるの？

>>368
俺が書いてもいいけど、
ここは無限について語るスレじゃないからなぁ。

てかまじむかついてきた。
一般の公理系において
0.999999999…=1
がなりたつこと、わかんねえやつなんていんのか！？
もうDQNは消えろ！！！！！

>>370
死ねよバーカ

>>371
なに？なっとくいかんの？（ｗ　

|0.999999999…|=|1|
0.999999999…<1

終了。

数学は純粋なものではない。
数字で表記する、あるいは述語記号で表記する、
という文法がある以上、そこに詭弁は入り込む。
実際、分数、小数、負の数は存在すらしない。

まあ、１＝０．９９９９・・
に文句つけてるのってただの厨房でしょ
学歴高いから賢いとはいわないけど、ちゃんとある程度のレベルの
大学とかで数学やった人でいまさら文句つけてる奴いるのか？

1=0.999n と言って疑わない人の学歴が知りたいものです。
私は理系の院以上のレベルとしてはちょっと議論の質が・・・
専攻も知りたいものです。
いいたいことは、
1=1・・・納得
1=0.999n・・・何故？0.999と書いてあるのが認識できないのでしょうか。

結局、無限について語らないと

１＝０．９９９９・・ をなぜ認めないやつがいるのか
理解できないみたいだぞ

結局、恣意性ということなんですよ。
数字を書いて、何を伝えたいのか、何を示したいのか、
ということです。立場や考え方によって、使い分ければ良いことです。
科学は、恣意性ありき、です。

>>377
死ねよバーカ

レベル低い。

　　　　　　　--―――--　、
　　　　　 ／::::::::::::::::::::::::::::::::::::＼
　　 　 ／:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::＼
　　　 |::::厂￣'''ー――一''￣￣|:::::|
　　　 |:::|　　　　　　　　　　　　　|::::|
　　　 |:/　_＿＿＿　/＿＿＿___ヽ:|
　 /^''Yﾆ　-=ﾆ・ﾆ>卅彡ﾅナﾅ　 ﾆY''ﾍ
　 | 久|ﾆ　　　ー'´|　 　`ー　 　　ﾆ|/ﾍ|
　　!.イ|ﾆ　　 　　 l|　　　　　　 　 ﾆ|ヽ
　　 ヽ_|彡/　　　l|､＿l 〕 　　　ヽミ|_ノ　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　　 |`<//　 v======v　ヽヾ>|　　 ＜　おまえら数学をなめるのもいいかげんにしろ！！
　　　　 |:::::`<// ヽ＿＿_/　ヾ>'::::|　　　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　　　　 | :l:::::::`< `――‐'′>'::::|:: |　　
　 　 　 |　l ::::::::::＼＿＿／::::::: l 　|　　
　　　／　 l　 :::::::::::::::::::::::::::::::　ｌ　　

>>379
君、文系？　もしくはリアル厨房？

１＝０．９９９９・・・　ですが、何か？

>>381

（＾∀＾）ｹﾞﾗｹﾞﾗ

>>376
＞私は理系の院以上のレベルとしてはちょっと議論の質が・・・

まず日本語の勉強しろよ（藁

無限については有限と違う振る舞いをするのがわかってない奴がいるな
相対論とかと同じで直感的な理解がしにくくて、ついてけなくなる奴が増えてくるところ
無限に続く数の一番下の桁がどうとかいってるし、その程度の奴がよくかけるな
１＝０．９９９９・・・は当然だろ
院生でも馬鹿はいるからな

>>376
２＝１＋１なぜ？１＋１と書いてあるのが認識できなのでしょうか？（藁

浅はかものめ
X=0.999…　　　(1)
両辺を10倍する
10X=9.999…　　　(2)
(2)から(1)を引く
の場合　最後の桁が1だが途中は無限に続く少数と
考えたほうが自然じゃないのかな

0.999…を十倍したとたんに9の個数が一個増えるより

>>384
死ねよバーカ

恥ずかしくないか？
自分がバカだと晒してるようなものだから、
もう2chで書き込みしない方がいいよ。

この問題は本が出版されるくらいの話だけどさ、
あくまで数学的な解釈の範疇ならもう考察は不要でしょ…
わかんない人は本屋でも行って数�Vの教科書だの参考書だの購入すればー。

>>0.999…

>>388
数�Vの程度の知識しか無いから
１＝０．９９９９・・・
このような間違った認識をする。

頭の逝かれたヤツの意見があるなかで、
混乱している人も少なからず居ると思われる。
というわけで、混乱しているひとはこちらをご覧下さい。
www.hi-ho.ne.jp/yoshik-y/mathematics/m003.html

>>391
高校生かよ！？

0.00000……と0.00000……1は等しい？等しくない？
等しくないと思った人。あなたは見かけに騙されています。
小数点以下１桁目は一致しています。
小数点以下２桁目は一致しています。
…中略…
任意の自然数nについて小数点以下n桁目は一致しています。
ですから、0.00000……と0.00000……1は等しいのです。

>>393
あほか

言いたいことも分からなくないが、
間違った説明・誤解を招く説明は良くないぞ。>>393

というわけで、>>391 をご覧下さい。

>>391のリンク先の5番目に書いてある説明はわかりやすかった。
1 - 0.99999・・・ = (1/10)^n って考えれば良かったのか。

キティー扱いされてしまったよ
それならばもっと飛んでしまおう
0.00000……と0.00000……1が等しいかどうかの判定は
有限の世界では不可能なのです。

↑ >>395 の言葉が耳に入ってないようだな。

１≠０．９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９

0.000…0001＝0です。
…がついているからループしています。
永遠に0が続くだけです。
いくら執拗に0を並べたところで最後の1には、
永久にたどり着くことはありません。
無限も無も自然界には存在しない。
表記上のつじつま合わせです。

　　　 ／∵∴∵∴＼
　　 /∵∴∵∴∵∴＼
　　/∵∴∴,（･）（･）∴|
　　|∵∵／　　 ○　＼|
　　|∵ /　　三　|　三　|　　／￣￣￣￣
　　|∵ |　　　＿_|＿_ 　|　＜　うるせー馬鹿！
　　 ＼|　　　＼＿/　／　　＼＿＿＿＿
　　　 　＼＿＿＿_／

>>400
だとすると
0.00…01と0を比較することじたい馬鹿げてると
思うのだが。

でも　>1 の証明を認めるには
0.999…　
を10倍したものの
最後の数字は0なのか9なのかと
あほなことを考えてしまうのだけど

>>390
　はっきりいってさー、大学以上の知識あるからってかしこぶってるやつがそういうこと、
言うんだよね。だってこの命題って定義の取り方や公理系によって結果に違いがでるっしょ。
俺はあくまで一般的な数学のこといってんだよ。
このスレのお題がどうゆう状況下でのことを言ってるかはしらんけど、
そうやってかき乱さないでくれる？
やりかたによっちゃぁ　１＋１＝２だって成立しないんだからさー。
一般論でいこうよ、一般論。

おまえらアホか？
無限小＝０のわけねぇだろ！
両辺に無限大を掛けてみろ！

>>403
一般論なんて数学的定義は存在しないぞ！
実数で話が進めたいのなら、はじめから実数だと宣言しろ！

>>404
無限小って何？無限大って何？
わたしゃ極限としての無限しか考えてませんが、
あんたはどういう体系で考えてるん？

無限なんてただの言葉。
無限は存在しません。
公理としては当然あります。
私たちは近似値で満足するしかないのです。

>>406
おーい。君の考えは、1/9 = 0.111111.... を認めないってことだけど、いい？

どうでもいいけどね
この問題だけ切り離してもしょうがないしさ
都合のいいほうでいいんじゃない
おれは＝成り立つってことでいいや

>>406
こいつみたいに、
自分の頭の中で勝手に実数だと定義をして話を進める奴ばかりだから、
話にならんな。

＞４０７
１を９等分できるなんて本気で考えてる人いないです

＞４１０
数学者は本気で考えてます・・・

test

その画像ならココ
http://www.f2.dion.ne.jp/~impact14/

>>409
いや、だからさ。
あんたの考える実数以外の体系って具体的には何よ？

>>414
無限大、無限小は実数では無い。
そもそも、0.9999…と無限に続くものを、
強引に実数だと考えるのに問題がある。

>>415
あんたは 1/3 = 0.333333・・・　を認めなくていいんですか？

>>410
>１を９等分できるなんて本気で考えてる人いないです

できるできないは、数学と関係ありません。
矛盾するか、しないかが重要です。

単なる１０進表記の限界だな。

ちょうじゅんかいせき

1=0.99999999999...は、判るけど

じゃぁ「１未満」っていくつからなの？

　１は１未満じゃないけど
　0.99999999999...は１未満。
　でも、1は0.99999999999...に等しい。
　だとしたら、矛盾しまくりだし。

>じゃぁ「１未満」っていくつからなの？

１未満で最大の実数は存在しません。
１に限らず、Ｎ未満で最大の実数は存在しません。

>　0.99999999999...は１未満。

これは誤り。

>>420
バカ丸出し

感覚的に
１．０００００...＝１って書き方は分かるけど
０．９９９９９...＝１は何で？って感じがする。

何で書き出しが、０．から始まるんだ？！

>>421
以外にそうでもないと思うが。

強引に実数とするのがおかしいだのなんだの誰か言ってるが、
じゃあたとえば実数と実数の和は何で実数なんだ？
そんなもんそう暗黙の了解で決まってるだけにすぎないんだよ。
別にそうならないように定義して論理体系つくってもいいんよ。
ただ、実用性、発展性に乏しいからしないの。
日常的感覚にある程度そぐわって考えたがるからね、人は。
だから、無限の概念が出ると頭こじらすんでしょ。
線形非線形だったら線形とか、ユークリッドと非ユークリッドだったらユークリッドみたいに、
ある程度広く認知されている一般的な公理系でかんがえるなら、
1=0.9999999999999･･･　　は絶対だよ。
416の言うとおり、出来る出来ないとか、実在するかしないかなんてどーでもいいんだって。
1=0.9999999999999･･･　を導くまでに定義してきたことや、そこから導かれた他の公理に矛盾しなけりゃいいんだって。
1≠0.999999999･･･　を頭ごなしに否定はしないが、通常の体系ではありえない。
叫びたいなら別の論理体系であることを同時に示さないと誤解をまねくよ。
数学の範疇で物事を言うにはね。

>>421
どこがどのように間違えているの？
420の言っていることは正しいようだが？

>>423
んなこたぁない。
0.9999999･･･=1とは定義されていない。
それに、貴方が知らないだけで矛盾してますよ。

矛盾って…何？

カントルとかいう人が
0.9999999･･･=1と定義したらしいが
みとめてない方も大勢いるらしい

定義だとすると＞1の証明は嘘とゆうことになるな

>>425
　数学の定義って矛盾しなければ自由にできるんですよ。（一般の感
覚に合えばなおよいけどね）ですから，0.999…=1と定義すると矛盾
が発生するという事を言わないといけないんだけど…そんなものある
のかな？

　ちなみに，0.999…≠１と定義しても別に矛盾は発生しない。だか
ら，どちらでも良いんだけど，0.999…＝１とした方が何かと便利だ
から（アキレスと亀の問題が簡単に説明つくとか，解析学の基礎部分
が簡単になるとか）そうしているんでしょ。

数の連続性とか稠密生とかいう奴のひとつの表現というだけじゃないのか？
極限の概念を用いた計算の中で実際に交換可能というわけではないだろう。

x = 0.999… （x → 1-0）のとき
y = 1/(x-1)　→ -∞
y = 1/(1-x)　→ ∞

x = 1 のとき
y = 1/(x-1)
y = 1/(1-x)
は定義されない。

9x=9が間違い。既出ならすまん

>>429
成程。納得。
極限値としては等しいが定義域からはみ出る場合、
交換不可能になる、ってことか。

0.999999…を定義するなら（x → 1-0）ってことにして、
等しいかどうかすでに問題にする必要もないような気がする。

この問題、結局、「無限小は０に等しい？」って問題と同じだろ。
で、どう定義するかによって決まってくるとか言うのでは？

定義域されていたとしても、置き換えていいとは限らない。

例えばデルタ関数とか不連続な関数はそうだ。

1/x と 1/(x^2) （x → ∞）の極限はどちらも 0 だが、
一つの式の中にあったら区別しなければならないことが多い。

>>425
0.9999999･･･=1 と定義してあるとはいってないす。

　だんだん、議論が収束の兆しを見せてる気がして、
こころなしか嬉しい（´∀｀）

0.9999999･･･の起源を考えると、
大きさは1と同じだけど、1より小さいと定義されたものじゃないの？
つまり、(x<1)の場合のxが取れる最大の値。

議論に、1/3=0.333333…というものを持ち込む人がいますが、
両辺を３倍すると、1=0.99999…になると思っているようですが、
一般的には、1=1となります。だからもし、1ではなく、あえて0.99999…
と表記されている場合は、それを1とすることが出来ない、何らかの理由があり、
このような表記が行われている場合、0.99999…は1と定義が異なります。
なぜ、あえて0.99999…と表記しなければいけないのか考えてみてください。

>>435
だから解釈の仕方はどーでもいいんだって。
それは人間の「認識」に対する問題提起であって、話してもしょうがない。

0.3 + 0.03 + 0.003 + .... いつまで経っても 1/3 にならねーじゃねーか！
1/3 = 0.3333... というやつはドキュソ！

つーか、>>120 と >>123 で 1=0.99999... は証明されているよ。
でも、他の公理を持ち出せば、0.9999…≠１ でも正しいかもしれない。
そんなとこ。

数学なんて、直感と違う答えが出てくることはよくあるじゃん。
そこが数学の面白いところなんだけどなぁ。

>>437
そりゃ無限にやらなきゃならないでしょ（ｗ

>>438
４３７は言いたいのは・・・
無限を認めず 1 != 0.9999.... だと言うのは、
1/3 != 0.33333... だと言っているのと同じ。

ってことなのでは？

>>439
0.3 + 0.03 + 0.003 + .... が1/3にならんから1/3≠0.333...
といってるかとてっきり思った（ｗ
>>437
真相は…？？

>>437
ドキュソはお前だよ

>>434
>大きさは1と同じだけど、1より小さいと定義されたものじゃないの？

意味不明。

>つまり、(x<1)の場合のxが取れる最大の値。

「最大の値」と逝ってしまってはいけない。
仮にそのような値が存在するとして、それをXとおくと、
X < X + (1-X)/2 <1
となり、X < x < 1 なる x が存在することになり、不合理である。

>>442
だから、そんなものは存在しないってこと。
つまり、実数ではない。

おいおい、まだ直感で判断しようとしているヴァカが居るのかい？

www.hi-ho.ne.jp/yoshik-y/mathematics/m003.html

ここを見ろっつーの。

>>444
それは証明になってないちゅうの
1 = 0.9999....だから1 = 0.9999....
とかいてるのと同じだよ
説明３と説明５がよさそうだが

スレの趣旨とずれる算数の話で申し訳ないんだが、小学生のころ
対頂角とか錯角を勉強したあたりで３つくらい定義があった
と記憶している。しかし、その定義がいかなる経緯で
なされたのかいっさいの説明はなかった。
みんな錯角が同じ角度であることは「直感」でわかっていたはず。
あの定義も数学者の直感だったのかな？
マジであほなこと書いてるんじゃないかってびくびくもんだけど
だれかわかるひといる？

あげ。なれてないもので

定義でなくて定理ですね
公理から証明できます。
ただ錯角が等しいということが成り立つように
公理を作ったのかもしれません。

ところで
無限小が0というのは証明できるのかな
無限小とは円とその接線の角度のことだけど

あーあー

無限に9が続くのかぁ．
きっとこの議論も無限なんだろうな．
みんなが納得する答えなんて出ないでしょ．

>>443
確定した値としては存在しないが、実数だ。

自分の信じたいように信じれば？
どうせ専門じゃないんでしょ？
アマチュアが電波学問をやるなんてどこの世界にでもあることさ。

>>452
そうだよね。

いろんな主張があるが、0.9999…≠１ の納得行く証明を見たことがない。
0.9999...=1 は騙されたような気がするが、なんとなく納得行く。

ここまでくると数学も哲学だよね。
その人の数学の概念にもよるんじゃない？

>>455 きみ文系？ 1=0.9999... って証明されてるよ。
1>0.9999... だと主張する厨房に騙されるなＹＯ！

（他の公理を持ち出せば 1>0.9999... かもしれないが、
　1>0.9999... の証明は見たことがない）

　1>0.999…　を証明する為には、そうなる様に実数を定義し直せば良いわ
けですよ。ただそれだけ。

　たとえば、実数は連続って事に今の数学ではなっているんだけど、現実の
直線は本当はプランク長よりもさらに微少な長さで量子飛躍するような離散
的なものやも知れず（証拠無し）。実数は現実の直線をシュミレートしたも
のとして、それに合わせて実数を定義し直すと…

　おっとこれもダメか…結局どこか途中で量子飛躍が入るから、1=0.99…
になるかもね〜。以外と難しいな。

　というわけで撃沈（ｗ

　きっちりした数じゃないとその量子飛躍が無いと仮定したら
どうだろう？それなら 1>0.999… になるかも…。
　ちなみにアキレスと亀の問題も、もうこれ以上分割できない
距離（あるいは時間）があるんだから、無限分割を防げるので
解決するわけだね。

　でも、これって 0.999…<1 なんじゃなくて、最初から 0.99…
が存在しないって事になりはしないのか？またまた撃沈（ｗ

みんな騙されるなよ
0.9999...=1
の証明はカントルのとある定義にもとずいて
証明されるわけで
そのカントルの定義は
無限小が0でないと成り立たないからな
無限小が0である証明はだれか知っているか

>>459
　でも無限小が０でない超準解析でも、1=0.99…なんだそうだ。
（さすがによく分からないけど）

　　０．８ 　　　　　　　　　　　　　０．９　　　　　　　　　　　　　１．０
　　　┝━━━━━━━━━━┿━━━━━━━━━━┥
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　88彡ミ8。 　 /)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8ﾉ/ノ＾＾ヾ8。( i )))
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 |(| ∩　∩|| / / 　　＜ｺｺ!
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　从ゝ__▽_.从 /
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 /||＿､＿|| /
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 / （＿＿＿)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＼(ﾐｌ＿,＿(
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　/. 　＿　＼
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　／_ ／ 　＼ _.〉
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　／　／　　　／　/
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(二/　　 　　（二）

おばかさんばっかなので、おしえてあげるね。
x(n)=0.999・・・9（9がnこ続く小数）と定義する。
∀ε>0（任意の小さい数って意味）に対して、十分大きな自然数nが存在し
0<｜1-x(n)|<ε　とすることが出来る。
これがx(n)→1(n→∞)の数学的証明です。

そのこころは、「ふむふむ、ちみは0.999・・・（9が「ずっと」つづく数、以下同じ）は1では
ないと言うんだね。じゃあ、その0.999・・・と1の差をε>0(≠0)としてみよう。
ところで、任意のnに対して、x(n)<0.999・・・≦1だよね。
あれっ？へんだねぇ。もれは、nを十分に大きくとることで、1-x(n)<εとできるＹＯ
これって、0.999・・・<x(n)<1だよね。おっかしいねぇ、うえのx(n)<0.999・・・
と矛盾しちった、えへっ♪そっか、「0.999・・・≠1」って仮定が間違ってたにだＮＥ」
ということです。

ただしε-δ論法なんて実数の切断による定義そのものみたいなもんなので、
直感的には明らかなことを公理主義的に理解しようとしているだけです。

1÷2÷2÷2÷2÷・・・・∞
はゼロですか？

>>462
習ったばかりの知識を披露できて嬉しいかい、学部生クン？

http://resq.to/fun/ryoukohiro/

やれるもんならやってみろぉ〜〜！！！

順番的には

これを見てから
http://isweb33.infoseek.co.jp/play/liloatx/yoshi.html
これかな
http://isweb33.infoseek.co.jp/play/liloatx/gol2.html

ここがちがう
任意のnに対して、x(n)<0.999・・・≦1だよね。
任意のnに対して、x(n)≦0.999・・・<1だよ

x(n)→1(n→∞) であって　x(n)=1(n→∞) ではないぞ

X<1
として、Xの取れる最大の数は実数として存在はするが、表記は出来ないという事?
それって無理数って言うんだっけ?(分数表記できないのが無理数?)

>>464 お前だろ！ 1>0.9999... なんて言うアホウは！

いいじゃんいいじゃん、信じさせてやろうよ
0.999...<1を彼らが信じてたって、彼らの学問には影響無いわけだし。
まー、理系としてどーかと思うけど。

専門外になると途端にとんちんかんになるのは、ありがちなことさ。
解ってないことが解ってないのが、見てて愉快なんだけどもね。

http://px.a8.net/svt/ejp?a8mat=6I6N9+G994FM+CI+BWVTF

. -∞
0.9 + 10 ＝１ ？

ずれた。

０．９９９９・・・＋０．０００００・・・００１＝１　？
という意味。

>>474
その「1」の後ろに数はないの？無いならその「1」は何桁目？

無限の概念で混乱しているようだね。

>>469
>として、Xの取れる最大の数は実数として存在はするが、表記は出来ないという事?
>それって無理数って言うんだっけ?(分数表記できないのが無理数?)

実数空間上に存在するが、確定した値ではないということ。
円周率は分数で表記することは出来ないし（つまり無理数）循環小数でも表記できないが、確定した値として存在するので、「π」という記号で表すことにすれば、普通の数値として計算できる。

しかし、「無限」はいくつと確定しない。
0.999…は値を仮定した瞬間、「その数と１の間の数は？」ということになる。
無限大は値を仮定した瞬間、「その数＋１は？」ということになる。

>>462
>0.999・・・（9が「ずっと」つづく数）と1の差をε>0(≠0)としてみよう。
>もれは、nを十分に大きくとることで、1-x(n)<εとできるＹＯ

「9が「ずっと」つづく」んだろ。
「十分」っていくつだい？

ε-δ論法をもとに証明しているつもりらしいが、上での「nを十分に大きくとる」と

>∀ε>0（任意の小さい数って意味）に対して、十分大きな自然数nが存在し
>0<｜1-x(n)|<ε　とすることが出来る。

での「十分大きな自然数n」はどう違うんだ？
君の論法なら、
0 = ｜1-x(n)|
とすることも出来るってことだろ？

それから、ε-δ論法は十分直感的に理解できると思うが。

>>476 はDQNなのか？それが問題だ。
1-x(n)=10^(-n)と確定した数値を持ちます、とうぜん０ではない。
n>-log_10(ε)とすればいいんだＮＥ！
極限の定義ってしってます？
記号論理学から勉強しましょう、がんばってね。

0.999・・・！≡1

>>477
問題にもならんね。>>476=DQN
これは自明。

ﾚｰﾍﾞﾙ低いらしいYO!

>>477
>1-x(n)=10^(-n)と確定した数値を持ちます、とうぜん０ではない。

それは、n と 1-x(n) と 10^(-n) の関係が確定しているということでしょ。
n → ∞
とした場合、n に代入すべき確定した値は存在しないと思うのだけど。

>>476の後半はDQNだと思うが。

俺的には、

1　　　　　　　　　　　　　　　　　　÷3=0.333333333…(永久に3が続く)

0.999999999…(永久に9が続く)÷3=0.333333333…(永久に3が続く)

よって、
1=0.999999999…(永久に9が続く)

というのが一番分かりやすい。

>>482
DQN!

>>482
（・∀・）ｲｲ!

0.9999999…は明日こそ1になろうと努力する健気な数字さ！

その画像ならココ
http://www.f2.dion.ne.jp/~impact14/

1÷3=0.333333333…(永久に3が続く)
どうやって証明するのだ
有限の範囲でしか証明できないぞ
0.99999…÷3=0.333333…
も同じだな
0.9999…(永久に9が続く)=0.99999…(永久に9が続く)
さえも証明できないぞ

１／３＝０．３３３３３３３３３・・・・・・・・
３×１／３＝３×０．３３３３３３３３３・・・・・・・・・・
３／３＝１＝０．９９９９９９９９９９９９９・・・・・・・？？

ループしてるYO！

3進数で考えてみましょう。

10進数で書くと
1÷3=0.3333…*3=0.9999…
それを、3進数で表記すると
1÷10=0.1*10=1

つまり、
[10進]1　　　　　　=　[3進]1
[10進]3　　　　　　=　[3進]10
[10進]0.3333…　=　[3進]0.1
[10進]0.9999…　=　[3進]1

よって、
[10進]1=[3進]1=[10進]0.9999…

というのは駄目?

>>487 に0.3333…*3=0.9999…を証明しろって言われるかな（ｗ
数学って1/3が0.3333…の循環小数って事や
0.999999…=0.999999…まで証明しないといけないの?
俺には、1/4=2.5になる事を証明しろって言ってるように聞こえるんだけど

まぁ、結局は 1=0.99999.... ってことでしょ。

>>490
0.3333…*3=0.9999…　は証明が必要ですねぇ。

0.3333…*3は、普通に計算していたら、永遠に終わる事が無いからね。
それに、1=0.9999…　の逆説的な命題が導かれてしまうので、
「直感的に明らか」では済まないでしょ。

でも、1/3=0.3333…が循環小数である事は、
「任意の有理数は、循環小数として表せる」という定理でOKだと思う。

数学的に0.999999…とは、
数列　0.9、0.99、0.999、0.9999、・・・の極限値を表す記号である。
また、この数列は、1-10^-nと表せる。
この極限値は１なので、結局、1=0.999999…である。

又は、
1≧0.9999…≧1-10^-n　の不等式は、任意のnで成り立つが、
そうすると、はさみうち定理から、1=0.999…であるしかない。
という背理法的な説明もある。

みんな亜穂だからこんな話題に首突っ込むんだよ
こんな低レベルな話して楽しいんか？

よって終了

あと話題にならなかったけど、>>260の様な証明も捨てがたい。

>>260を少しアレンジ（厳密性を追求したので、証明文が長くなってしまった）

0.9999…は循環小数なので、明らかに実数である。よって、実数の各種性質が使える。

　1＞0.9999…であるならば、
　1＞α＞0.9999…なる実数αが存在する（実数の基本性質より）

　β＝α−（0.9999…）＞０を考えるとこれも実数なので、無限小数で表せる（定理です）。
　β＞０である事から、無限小数に０が永遠に続く事はなく、
　ある位で０でない数字が表れる（小数第Ｎ位だとする）

　ここで、（0.9999・・・・＋β）の小数第Ｎ位を考える。
　　0.9999の小数第Ｎ位は当然　9
　　βの小数第Ｎ位は　０で無い数字。
　よって、第Ｎ位の足し算で、桁上がりが生じる。
　0.9999・・・・の小数第１位、第２位、第３位・・・第（Ｎ−１）位は、みんな9だから、
　結局、（0.9999・・・・＋β）は１を超えてしまう。

　0.9999・・・・＋β＞１
　（0.9999・・・・）＋α−（0.9999…）＞１
　α＋（0.9999・・・・−0.9999…）＞１　（交換法則・結合法則）
　α＞１　（　X-X＝０は、任意の数において成り立つ）
　で、当初の　1＞αと　矛盾。
　よって、1＞α＞0.9999…　なるαは存在せず。
　だから、1＞0.9999…ではない。
　でも、1＜0.9999…　でも無いのだから、
　結局、1＝0.9999…　しか有り得ない。

>>495
あほか、0.9999…の本来の定義を考えろ、
実数のわけねえだろ。氏ね。

>>496
つーことは複素数か
ガ━━(ﾟДﾟ;)━━ン！
し、知らなかった

>>496

無限小数と実数が同値である事は、証明されているのですが・・。
（自然も3.00000・・・という無限小数の一種だと考える）

訂正
自然→自然数及び有限小数

>>496-497
ﾜﾗｲﾏｼﾀ

>>498
ドキュン！
屁もでねぇよ。

無限少数は実数だが

>>502
そんなレベルでは話にならんな・・・

>>496
逝ってよし！
厨房は市ね。

>>495 >>498
レベル低い

>>503
いばっている今井（レベルが同じ）

>>505
文句があるなら具体的に示せ。
ケチをつけるだけなら厨房でもできる（ｗ

最近は高校で無限大,無限小は実数ではないと習わないのか？
それともﾘｱﾙ厨房？
おまえらもっと勉強しろよ．．．恥じらいも知らないのか？
死に晒せ。

分数を循環少数で表現するのは、インド人の発明らしい
証明なんかされてない
定義だ ﾄｵﾓｯﾀｶﾞ

>>509
　証明できるよ。
　ａ／ｂ　は　ａ÷ｂ　だから、わり算の筆算形式にして無限
少数になったとする。このさい、わり算の「あまり」の部分は
必ずｂ未満になるから、かならず「あまり」はいつかは同じ数
になる。そして…循環するわけだね。

>>510
証明になってないだろ、バカが。
できるものなら、全ての循環小数は分数で表すことができると証明してみろ。

>>511
式が長くなるので、特別な場合だけ書くね。

abcが限りなく続く循環小数
　x=0.abcabcabcabc・・・について考える。

すると、この数は、

x=(abc/1000)+(abc/1000)~2+(abc/1000)~3+・・・=limΣ(abc/1000)^n

と無限級数の形に表せる。初項はabc/1000、公比は、abc/1000。

すると無限級数の和の公式より
x=a/(1-r)=(abc/1000)／(1-abc/1000)=abc／(1000-abc)と、有理数の形で表せた。


一般の場合も、循環小数は無限級数の和で表現出来るから、
全く同様の方法で証明出来るよ。

0.999…は循環小数じゃないだろ

>>513
循環小数だって。

>>508も、無限大と無限小数の区別がつかない愚か者だし。

0.999999…って循環小数だから有理数となり、アレフゼロに属する・・か？
無限小ってのは超準解析だと0に等しくならなくて、
数直線上で位置を確定できないからアレフワン？実数なのか？
それともアレフツー？
この辺がわからん。

>>508
高校出たばっかだけど、無限小とか、高校では教えてくれなかった。
無限についての知識も付け焼刃だし。

無限小は実数か？そもそもそんなことを考える所からして間違っているのか？
超準解析とは無限概念を有限のごとく扱うとか言うらしいが・・・。
本でも読んで出直す。

>>515
通常の実数の体系に、"無限小"という数もどきを付加して、新たに体系を構築すると、
矛盾が発生しない。
その為、"無限小"は、通常の意味では実数ではないにしても、
拡張された意味では、"実数"と言っても良い。

>>515さん、>>508は相手にしない方が・・・。

１のこのスレに対し、海外メディアも絶賛の嵐！
BBC「これが島国の実力だ」
FRANCE2「米中心のグローバリズムに再考をうながす快挙です」
ZDF「ポーランドとの歴史的和解に匹敵するニュースだ」
TVE「我が国は日本にザビエルを贈った。日本は世界に１を贈った」
CNN「自由で公正な競争こそが、１のような人材を産むのです」
KBS「１の存在は半島統一への希望だ」
NHK「『クローズアップ現代』は１関連のニュースの為11:30からの放送となります

>>517
死ねよバーカ　

やっぱり 1=0.9999... の証明しか出てこないね。

>>519
そういうスレなのでは。
アンタは何が望みだったんだ？

>>520
ていうか、>>519は、1と0.9999...は等しくないという説明は、
出てこなかったね、と言いたいんだと思う。

>>519
過去ログに腐るほど出て来ているだろ。
やる気の無い奴は帰れ！

>>522
ほんっきでヴァカだな
じゃあみせろよ

>>522
>>393の批判に耐えられないものばかりだと思うが。

>>523
　証明はできるんじゃないの？別の実数の定義を使えばだけど。
でも、非常に面倒くさそう。0.99999…って数が定義できて、１
にはならなくて、かつ普通の実数の定義からあまり離れていない
ってのは厳しいね。数学科の人に頑張って貰うしか…。

>>524
1と0.9999…は等しい？等しくない？
まず、第１桁目を比べます。
1>0
第１桁目の大小関係は第２桁目の大小関係に関わりません。（定理）
同様に、第２桁目の大小関係は第３桁目の大小関係に関わりません。
よって、無限に桁が続く場合でも、1＞0.9999…と帰納的に証明されました。

1と0.9999…は等しい？等しくない？
この二つの数を小数点以下を切捨てると、
1,0という異なる値をとります。
小数点以下を切り捨てる操作は関数であるから、
1≠0.9999…が証明されました。

「小学生でも分かる1＞0.9999…」
両辺を％を使って表すと100％＞99.99…％となります。
見て分かるよう、右辺は100％ではありません。

>>528
その調子で今後もﾖﾛｼｸ

>>526
実数について、上げられている定理を証明してから来い

>>527
数式で切り捨てを定義してから来い

>>528
同語反復でしか無い。
こんなのを証明と言っている時点でDQN確定

>>528
激しく同意。

>>530
算数も出来ないバカは生きる価値がありません。
あなたが死ぬのを、みんな待ち望んでいます。

>>526
確かに、無限の性質を考えると
そっちの方が>>393より正しいな

>>510
それは数学的帰納法による証明ね
1/3=0.33333.... が数学的帰納法により証明されたとすると
0.9999...../3=0.333....も数学的帰納法により証明され
結局　1=0.9999.....が証明されるのだけど

まてよ
1　が　0.9999.....でないことも数学的帰納法で証明されるのだけど

と言うことは、
　1.循環少数の定義がまちがっている
　2.循環少数の0.33..と0.3 0.33 0.33 ... 0.333.....という数列の極値で
　 あらわされるものは、ことなる
　3.数学的帰納法は、正しくない
ということになるのだけど
どれをとっても1/3=0.333...は証明できないという結論になるのだけど

>>532
>>530みたいなのは無視すればいいだろ
議論に参加してるとはいえないからな

>>534
1/3=0.33333.... が数学的帰納法により証明されても
0.9999...../3=0.333....は数学的帰納法により証明されませんよ

>>534
0.33333....=1/3と定義された0.33333....を３倍しても、
0.9999.....にはなりません。それでは、もともとの定義と矛盾しています。

>>526 と >>527 の証明もなんとなく合っているような気がするけど、
1>0.9999... とすると実数の連続性に矛盾するんだよなぁ。

＞よって、無限に桁が続く場合でも・・・

このあたりに無理がありそうだし、

＞第１桁目の大小関係は第２桁目の大小関係に関わりません。（定理）

この定理の証明も知りたい。

>>528
＞両辺を％を使って表すと100％＞99.99…％となります。
＞見て分かるよう、右辺は100％ではありません。

右辺は１００％と等しいですが何か？

>>538
>>526と>>527の誤りは、帰納法を誤解している事にある。
帰納法は、任意の自然数についての証明法であって、無限大についての証明法では無い。

>>526の証明では、9が続く任意の「有限小数」に対して、
　1>0.9、1>0.99、1>0.999、1>0.9999　　　　・　・　・
が言えるに過ぎない。
これは、9がどんなに長く続いても良いんだけど、
「無限に長く続いた場合」まで正しい訳では無い。

1+2+・・・n={n(n+1)}/2
だって、nはどんなに大きくても良いんだが、
「nが無限大の場合でも正しい」と言えない。それと一緒。

>>540
>>527は帰納法を使ってないだろ
逆に>>534も帰納法を使っているから正しくないのか

>>541

>>527は、表面上出て来ないが、暗黙に帰納法の論理を使っている。
0.9の切り捨て、0.99の切り捨て・・・・からの類推として、
0.999・・・の切り捨て値を勝手に0だと決めつけたところが、>>527の間違い。

切り捨てる操作は確かに関数だけど、この関数は1で不連続だよね。
だから0.9、0.99、0.999　　の有限小数の切り捨て値の極限として、
0.999・・・の切り捨て値は定義出来ないよ。

>>542
0.999・・・は1の左極限と考えることが出来るから、
1で不連続な関数でも使うことが出来るでしょ。
そう考えれば、0.999・・・の小数点以下を切り捨てると0になるよ。

>>543
切り捨て関数は、1の"左側"で不連続だから、
0.999・・・が1の左極限だからといって、何の意味も持たないよ。

でも切り捨て関数は、1の右側では連続だから、
1.0000・・1の極限値から、1の切り捨て値を求めるのはアリなんだけどね。

分かるかな？　大学初年級の思考が必要だよ。


ちなみに、>>534は、>>541の言う通り帰納法を使っているから正しくない。

>>544
普通、たとえ不連続であっても、定義域に含まれてさえいれば、
関数は値を返すことが出来るんじゃないの？

>>545
その通り、値を返す事は出来ます。
でも不連続関数の場合、極限値と実際の値が異なる点に注意。
だから、左極限から値を推測していっても、正解は求まらないのです。

http://www5.justnet.ne.jp/~ttp/

結局、極限値(0.999・・・)と実際の値(1)は異なるってことかー

実数は無限小数全体の集合。
よって自然数も無限小数であらわすことができる。
１を無限小数であらわすと0.9999…となる。

いつまでくだらんスレをw

どうせ誰も間違いを認めないんだからほっとけ
夢を見させてやればいい
社会に実害はないし。

結局、
0.9999…:＝1-(1/∞)＜1
0.9999…:＝lim[k→∞]{1-(1/k)}＝1
これが全て。
定義によって異なる。

>>551
最初の式は違うだろ。
1-(1/∞)　は、lim[k→∞]{1-(1/k)}＝1 の略号だよ。

それに、1/∞=0として扱うのが普通だが。

実数なら0.999…=1
0.999…<1
になるのはどんな数なのかおれは知らない。
知ってる奴は知識を開陳しる！

Ｘ＜１の最大値（定義できないとかは無しで）と０．９９９９…はどうなの？

>>554
実数での話をいえば、
X<1のとき、
Xの最大値は存在しない。

任意のX<1について、
X<0.999…

>>555
こんな論法は？

　0.99999…<1だと仮定する。
　すると、0.99999…はXに含まれる。

　一方、任意のX<1について、 X<0.999…　であるから、
　X<1の最大値は0.999…である事になる。

　ところが、Xには最大値は無いのだから、矛盾。

　故に、0.99999…はXに含まれない、
　つまり 0.99999…<1では無い。

１を１で筆算を使って割るときに強引に位ずらしたら、
0.999999…にならない？

>>556
矛盾している時点でその論法は誤り。

>>558
背理法なんですけど・・・。

>>557
0.9999999・・・<1 としたら、任意のx<1について
0.9999999・・・≦では。
f(x)=xが連続で、xが実数である以上、0.99999・・・=1　

>>557
まちがった。ごみん。
>>556

>>560
ゴメソ。等号の入れ忘れ。

こんだけ説明しても 1=0.999... が分からないヤツが居るのか。
ここは文系板じゃないよな？ ネタだと信じたい。

ここまでくると逆に楽しい（´∀｀）
エンドレスにガッツンガッツンやりますか！

おまえ１０００までわしゃ９９９まで！！

ズラプマくん、こないだの遺産もんだいおもろかったよ

*任意の自然数 n について Σ[k=1..n](9*0.1^n) ≠ 1
*lim[n->∞]{Σ[k=1..n](9*0.1^n)} = 1

0.999…9 ≠ 0.999… おわかり？

>>563
　普通の数学だと1=0.99…なんだけど，普通の数学じゃないのを
前提にすれば別にそうならないんだから，それがどんな実数の定義
なり数学になるのかを探るのもまぁ意味あるんじゃないの？

あれ、誤植だわ。(２ヶ所いずれも)
誤) Σ[k=1..n](9*0.1^n)
正) Σ[k=1..n](9*0.1^k)

「小数点以下、9が *自然数個いくら続いても*、けっして１にはならない。」
これは正しいんだけれども、それは 0.999… ≠ 1 を意味しない。
表現するとするなら、 0.999…9 ≠ 1 だってこと。

ちなみに、0.999… の意味を lim[n->∞]{Σ[k=1..n](9*0.1^k)} で定義する
つもりはまったくない。持ち出したのは極限厨房向け。

確認。
0.999…:≠1

確認。
0.999…:≠1

０.９９９…：＝「任意のｎ∈Ｎに対して、１ー(１／１０)＾ｎ≦ｘ≦１を満たす実定数ｘ」(のいい加減な表現)。

０.９９９…<０.９９９…<０.９９９…< …
といういろんな０.９９９…ができるのが
きもちわるいので
特別な定義をすれば
０.９９９…=1となるが
これはもっと気持ち悪い

>>571
ε−δ式に表現してよ。

>>573
＞数学板

>>572
0.999…を考えるのに…を乱用しちゃだめ

もうこのスレageるなよ
数学が苦手だってことはもうわかったからさ

>1
> X=0.999…　　　(1)
> 両辺を10倍する
> 10X=9.999…　　　(2)

右辺は、10倍してるワケじゃなくて、単に9を足してるだけ。
10倍してるというのは思いこみ。捏造。便利なだけ。

>>576
なにか問題が…？

9+X=10X

>>576
じゃあ、0.99999×9の本当の値は何だよ。
有理数×9=有理数だから、循環小数か、分数で表せるぞ。表してみろ。

>577
> 9+X=10X
この10Xというのは、どっから沸いて出てきたの? Xの10倍だろ?
「右辺を10倍しちゃダメ」って言ってるんだよ。だから左辺もダメ。
もし10倍したとすると「9X=8.999…」みたいになるよ。意味なし。

ちなみに「0.333…」の2倍が「0.666…」というのも、
れっきとした「捏造」です。そこんとこ4649!

>>580
否定君はいつもそうだね。
なぜネツゾウかは示さない。証明しない。
俺らは、別に0.99999…≠1　を頭ごなしに否定はしてない。
ただ、一般教養として0.99999…＝1　と覚えておいても間違いはないということで。
やれやれ。

http://www.himawari.sakura.ne.jp/%7Eloveseat/Adu/index04.html

>>581-582

>>581-583

>>581
死ねよバーカ

>>578
9+X=9.999…を無条件に認めるなら、10X=9.999…も認めないわけには…。
X=0.999… に演算を施した結果の値を決めてしまって、そいつを利用している
ところに>>1の証明のうさんくささを感じてるのでは？
そういう意味では、9.999…=9+Xとしちゃうのも危険じゃない？

数学に　一般教養として0.99999…＝1　なんてものは存在しないのだ
仮定と推論により0.99999…＝1が証明できるのなら問題ないのだが
ここでは、仮定が曖昧だから無限ループに入ってるの

>>587
証明？笑わせんな！
そこにはただ、定義が存在しているだけだ。

>>587
禿同。
仮定は「実数の公理」なんだけど、その知識無しに議論しようとする人がいる。
例えば、>>588みたいに。

>>588
だよねえ。
だから、0.999… という実定数の存在を認めるとすれば、
その表現の仕方のみに注目して、
0.999… :=「１は越えない、でも１未満の全ての実数以上である実定数」
ならどう？

>>589
定義の無い奴は死ね

だからさ、この板のメンツじゃ実数も扱うに余るんだよ。
数学得意だと思い込みたいんならYahooに行けば優越心に浸っていられるよ。

親切に本当のことを教えて上げたって、なんにも得なことないよ。
せっかくだから、だまされていてもらおうよ

eの定義では　limx→0　(1+x)^∞ = 2.71828......
0.99999...は１に左から収束する値
1.00000...は１に右から収束する値　これの∞乗は2.71828......
1の∞乗は1　よって1と1.0000...は異なる。
では1と0.999999....も異なるのでは？
この考え方は間違ってるでしょうか？

^1/x (x→0)　　が関数に加わってる自体で、
もう別物。

＞５９５

1/x (x→0)が関数に加わってる自体で
とはどういうことですか？

関数の中身のさ、
(1+x)
と
1/x
が同時に収束するやん。
(1+x)^1/x (x→0)
(1-x)^1/x (x→0)
が違うのは当たりまえっしょ。
カッコの中は収束すると同時に累乗されてんだから。

なるほど。
では、limx→0　(1-x)^∞　の値を求めると
1になるのでしょうか？

ならんよ。
手計算してみ。
簡単だって。

ついでに言うと　　^∞　　
って表現まずいですよ。

>>599
冗談で言っているのか！？

>>594-600
ageNAYOboke

だまれ

もまれ

>>602
ageもsageも理解できない連中に忠告するだけ無駄

思ってた以上に脇役で、想像通りつまんない。＜ガッコ
ゆっこにも、自分がいいと思う先生像を演じてほしー。
ホンなんか無視しろー。

誤爆…

>>607 == 606 != 605
さらに名前欄ﾏﾁｶﾞｴﾀ。もうこのスレ、kill-file に封印しとくわ。

563 ：Nanashi_et_al. ：01/10/05 00:59
こんだけ説明しても 1=0.999... が分からないヤツが居るのか。
ここは文系板じゃないよな？ ネタだと信じたい。

>>609
ageNAYOtako

なんで近代文明は12進数を採用してくれなかったんだ。バビロニア人カムバック。

0123456789AB という１２進数の体系が一般に使われているとしても、
1=0.BBBBBBB... ? というスレが立つんだろうな。

まだ1=0.9999････が理解できない人がいるみたいですが。
こう考えてはどうでしょう。
1と0.999999･････の差はいったいいくつなのか。
1-0.99999････=0.00000･････（←これって0ですよね）
だから1=0.99999･････ってことですよ。
なんでも始まりがあるとか、終わりがあるとか思っている人には
理解できないかもしれませんけど。
それって空の上にはなにがある？と同じじゃないですか。

理解してないわけじゃないよ

平行線が無限のさきで交わるか交わらないかの話をしてのよ

いつか交わるものを「平行線」っていうの？

それとも正確に「平行」ってものがそもそもあるのか？ってこと？

>>614
理解してないじゃん。

普通の実数論の0.9999・・・・・・は、
0.9、0.99、0.999、0.9999　　・・・・　　　
の極限値の事を指しているんであって、
「・・・・・・が無限に続いた結果、1に等しくなる」なんて考え方はしない。


平行線が無限の先で交わる、というのは言葉の綾でいう事はあっても、
普通のユークリッド幾何学では、「無限の先」なんて問題にならないのだから、
交わるとも交わらないとも言えない。

あと「平行が有るか無いか」について。
現代数学では、平行は無定義用語だから、
「平行」が存在するかしないかの論議は無意味。

いつまで続くんだ、このスレ。
大学の実数論を習わないと、1＝0.9999・・・・は証明出来ないのだから、
知識の無い人にいくら教えても無駄、という気がする。

確かに。「無限」に「その先」があるってどういうこと？
>>614　そういうこと考えたくなるのまったくわからなくはないけど、
よしといたほうがいいとおもうよ。じぶんが「無限」に生きていられる
んだったらべつだけどね。

>>617
>大学の実数論を習わないと、1＝0.9999・・・・は証明出来ないのだから、

>>613
>1-0.99999････=0.00000･････（←これって0ですよね）

でいいと思う？ スレあげちゃったのも613さんみたいだし。

0.9、0.99、0.999、0.9999　　・・・・　　
数列の極限が1なら0.9999...は1だというのは
ほとんど定義そのもの
この定義が問題なのね

>>617
　大学の実数論を仮に習ったとして…デテキントの切断を認めるにせよ，コーシー
列から導入するにせよ，結局はそれらは有界な単調増加数列が極限値を持つことと
同値なんだから，なんだかんだ言って１＝０．９９…を認める事と同値であって，
単に言葉を言い換えしているだけに過ぎないんじゃないの？

　でも，ここではそれ以前の論議があまりにも多いんですけどね（ｗ

>>621
で？結局なんなのかなあ。
一体全体どんな答えを求めてるの？
もしかして>>621自身が「同値」なんじゃないですかね。

よかったら遊びに来てね。
http://www.asahi-net.or.jp/~tj2h-sgmt/index.htm

何だかみんな数学の知識があるか無いかに関わらず、
論理的思考能力が低いな・・・
とはいっても、それは比較的に標準レベルなのでしかたないけど、
ちょっとガッカリ。

>>624
貶すだけなら誰にも出来る

1=0.999･･･
なら
2-1=2-0.999･･･=1.000･･･=1
ということになるのかな

するってえと

するってえと

０捨１入

>>627
早く続きを！！！

>>629
何急いでるの？

0.999･･･=1.000･･･=1だから
tanの計算で
プラスのようでプラスでない　ﾍﾞﾝﾍﾞﾝ
マイナスのようでマイナスでない　ﾍﾞﾝﾍﾞﾝ
それは何かと尋ねたら
ﾊｧｰ　１　１　１　１

0.9999999.... の母です (以下略)

とりあえず反論するヤツみんな(*’ｍ’）ﾌﾟｯ

>>633
ｵﾀｶﾞｲﾆﾅｧ

ｵﾀｶﾞｲﾆﾅｧ

ノーベル賞のニュース見て初めて理系の板に来たけど、こんな感じだったんだね。
なんか

異なる数だとすれば、実数の連続性からその
途中の数が存在しなければならないが、
（たとえば中点でもいいが）そのような点は
ないことが少し考えれば判る。よって同一の
点の異なる表現に過ぎない。

>>637
75点かな…

>>637
はずかしいこというな

(´ー｀)y-~~~

０！＝１は？

>>640
死に晒せ。

１＝０．９９９９９・・・
ってなることと、
１≠０．９９９９９・・・
ってなることの違いはまだ誰にもわかんないんだな？

って書くと↓に１＝０．９９９９９・・・を証明する（ワケわかんない）式が出てきて、
さらにその↓に１≠０．９９９９９・・・っていう（略）
さらに↓・・・（略）
・
・
・
（以下省略）

１＝０．９９９９９・・・だと理解しているが、
>>643の言っていることは理解できない。

をい644
１<>０．９９９９９・・・だということも理解しているか??

>>645

理解するもなにも、俺はいまのところ１≠０．９９９９９・・・が正しくなるような公理を知らない。

>>646
勉学に励めよ・・・

0.9999....→1

以上。

>>648
勉学に励めよ・・・

>>648
それって、0.999…≠1 っていいたいわけ？

0.9999...が1と同じわけ無い、見た目でわかるだろ！

このスレの1は１だよ

>>651
2/4と1/2が同じわけ無い、見た目でわかるだろ！

>>654
勉学に励めよ・・・

1は１に一致します。

>>655
　オヤジギャグですか？

>>654
　自分を鼓舞しているんですか？

はいはいお昼寝の時間でちゅよ、
ねましょうね

１＝０．９９９９９・・・

ところで、このスレの1はリアル厨房?
>>1の証明法って、高校教科書にあったと思うが。

あと、1≠0.999999…ってしてしまうと、実数全体の数が加算無限に
なってしまうような気がするが、どうよ。

>>659
死ね。低脳。

lim_{x→1+0} x = 1
という定義自体が0.999･･･ = 1の意味を含んでると思うので、
この定義を用いずに0.999･･･ = 1を証明してくれれば納得できるんだが。
1/9 = 0.111･･･ という式を上述の概念なしで証明できれば、
それで済む問題かもしれないが。
できれば>1の証明のような、無限-1 = 無限というのも使わずに。

1 - 0.999･･･ = aとすると、
aは0.1の∞乗。
ｒの∞乗（|r|<1)を0と定義したから、
1=0.999･･･なんて式が生まれたんじゃないの？
この式が納得できなければ、1≠0.999･･･
ってことで勝手に自己完結します。

>>661
すべてが無意味。

>661
「数値的には違うが計算しようがないから
1=0.99999999999・・・・　として置きましょう」
となってます

数学の初心者をﾏｼﾞでまどわそーとする悪の結社の存在を予感するｽﾚ

うーん、0.99999999......ってのは、
まず、最初に、０があって、９が並んでるものですよねぇ。

だから、それは、0+0.9+0.09+0.009+0.0009.....に等しいです。

これは、どうやって計算しましょう。

それは、Σ(0.9)のn乗（n=1〜∞)ですね。
これのやりかたは、(1-(rのn乗))/(1-r)で、r=0.9,ｎ=無限大にすればよいです。
これを計算すると、１になる、ということですね。。

どうなんだろな、コレ。

1.000000....1=lim[n→∞](1+0.1^n)=1の母です(以下略)

これってアキレスと亀と同じ事？

>>668
ちげーよ。あれはトートロジ。
「追い越していない間は、まだ追い越していない」
っていってるよーなもんだ。

一回の操作にかかる時間を考えれば即解決だしな。

>>670
　そりゃ時間を考慮するとアキレスと亀は解決するが、何で距離
だけで論議していた事柄に、いきなり全く別の物を持ち出すのは
納得できない！何故最後まで距離で論議しないんだ？

うわ、お前ら、まだやってやがったな。
くそー、俺の知らない間に俺が馬鹿にされていたような気がするじゃねえか。
早く決着を付けて安心させてくれ。
さもないともう一回風呂場で暴れるぞ。それでもいいか？
それにしても、こんなことでこんなに揉めるとは驚いたな。

>>665
その悪の結社はどっち側だ？
0.9999･･･＝1の方か？
0.9999･･･≠1の方か？
それとも両方か？
それともお前ら全員か？

>>669
ﾄﾞｷｭｿでｽﾏｿ
追いつくまでの区間を同じ演算操作の繰り返しで刻めるってことだと思ってましたが。

0.999999...=lim[n→∞](1-0.1^n)=1の母です(以下略)

このトリックは、桁ごとにあらわしたとき、
「0.9999…」と 9 が並ぶように書いておきながら、実際は
「1.0000…」と 0 の並びになってしまうことだな。
これが不思議とかっていう意味だろう。

実際の桁の並びを書いて数をあらわしたつもりが、
書いた通りの値にならないってことだ。

なんかの数学の教科書でみたことあるな。
たしか、証明の基本的間違いとかなんとか書いてあったような…

じゅんかんしょうすう

>>677
漢なら漢字で書けYO!

>>672
>さもないともう一回風呂場で暴れるぞ。それでもいいか？

いいよ。

つーか結局のところ、↓これだろ。

327 ：Nanashi_et_al. ：01/09/15 02:17
>>120 と >>123 の言っていることが理解してからにしてくれ。
そーすれば、1=0.9999.... だということが分かる。

>>679
冗談で言っているのか？

っていうか要するにどこまで極限の概念を認めるかってことでしょ。
lim{x→+0}1-x＝０
１≠0.9999…といっている人はこの極限を認められないってことでしょ。

それぞれの考え方によって違う。
でも極限の概念を論議するときには
１＝0.9999…
は成り立つよね。

終了。

もともと「極限」と「等」とはちがらしい
だれかさんが　極限と等しいを同じということにしたれど
そうしないと微分は永遠にゼロに限り無く
近い値をとりあつかなわなくてはならないのだが

どうやら
1=0.99999…
は正しいらしいな。
自然数全体の濃度と実数全体の濃度が違うことを証明するときに
自明のものとして扱ってら。

>>683
　普通の数学じゃそだよ。でも、俺もその証明を見たけど、それ以前に
1=0.999…の証明とかやってなくてなんでいきなり「自明」のこととして
扱うんだーとも思ったけどね。（まぁ、教科書の内容から直ぐに証明でき
るけど）

>>682
　結局、数学ってのは「同じ数」ってのを新しい数が出てくる度に定義し
直さなければいけないんだよね。例えば「4/2=2」とかね。定義の基準は
矛盾がないこと。矛盾が無ければどう定義しても許される。
　1=0.999…とふつうの数学では定義するのは、そう定義しても矛盾は発
生しないし、アキレスと亀とか飛ぶ矢は飛ばないとかの古典的なパラドッ
クスが簡単に説明できるし、また解析学の基礎も簡単になるという良いこ
とずくめだからだ。ただ単にちょいと心の奥底に納得できない部分が少し
残る人がいるっていうのは問題なのかも知れないけどね。
　ところで、時々デテキントの切断等からこの事を証明しようとする人が
いるけど、結局はこの事と同値なんじゃないの。

漏れは「可能無限派」なので
1=0.999999...
を「認めません」。

「実無限派」のヒトは、「認めても」オッケーでしょうな。

数学板からやってきたが
数学板じゃ毎年恒例のガイシュツネタ
これで議論するのももう飽きてきたな

>>685
数学オンチな私に教えてください。
「可能無限派」って
1/9 = 0.111111... は認めるのですか？
1 と 0.9999.... の間には数は存在するのですか？

そもそも可能無限って何ですか？

1/9>0.111111111... だろ？（藁

いくら１を並べても1/9に限りなく近づくだけで、1/9にたどりつけないんだから。

小数点以下を幾ら並べてもたどりつけないんだから
π>3.1415...
√２>1.41421356...
なのも当然（藁

>>688

>小数点以下を幾ら並べてもたどりつけないんだから
無限に並べればたどりつける？

>>689
無理。

>>687
＞数学オンチな私に教えてください。
＞「可能無限派」って
＞1/9 = 0.111111... は認めるのですか？

可能無限の立場がこれを認めるワケないでしょ（ｗ
これ認めてしまうと
「なんで1/9=0.111...や1/3=0.333...は認めて
1=0.999...は認めねえんだゴルァ！」
ってなるのは明らか。

つーかそもそも、可能無限の立場が「0.999999...」なんて
数の実在そのものを認めてないんです。

＞そもそも可能無限って何ですか？

高校数学で広く普及している考え方で、多くの日本人が採用しているのは
「実無限派」だな。無限というものを既に存在する「数」として安易に考えている。
でもこれ説明すると一冊本が書けてしまう位濃い内容なので、
レスはこのへんにしとくよ。この議論だって、院生レベルの難しい内容だと
漏れ個人的には思うわけだし。

そういうわけだから可能無限の立場では実数なんて実在なんか認めていないし、
πなんて数にも懐疑的。
こんなのは直径と円周の長さの比をとことん計算していった
先にたどり着くであろう「可能性」でしかないんだから。
詳しく知りたいヒトは無限論とか連続体仮説とかについて書かれた本でも
買って読んでくれ。

可能無限の立場から考えると、>>688 の、

＞いくら１を並べても1/9に限りなく近づくだけで、1/9にたどりつけないんだから。

はまさに正論。>>689 の、

＞無限に並べればたどりつける？

は全くナンセンスなツッコミ、ということ。無限回並べるなんて行為が
そもそも無理なんだから。
「無限」という存在が既に「数」として存在するという前提で考えている。
まさに >>689 は「実無限派」の立場で考えている。

通常の高校数学の立場、つまり実無限の立場で考えるのであれば、
1=0.99999...
1/3=0.33333...
1/9=0.11111...
これらは全て認めないと話にならんな。
これは分数と10進小数展開による表記の差であるだけ。

説明うまくないけど、まあこんなところです。

数が実在ってのが意味不明。

　可能無限って良く聞くし、面白そうなんだけど…理論を今の
数学並に作り上げるまで棘の道が立ちふさがっている気がする
のですが…。
　現状では数学者は大抵実無限の立場を取っているし、一部の
哲学が入った人が可能無限の立場…という認識で良いですか？
（煽りじゃないです）
　肝心の理論の構築の方はどうなっているのかな？

　俺としてはそんな棘の道を進むより、1=0.99…を認めて早く
楽になった方が良い気が（ｗ

＞　現状では数学者は大抵実無限の立場を取っているし、一部の
＞哲学が入った人が可能無限の立場…という認識で良いですか？

まあそれでいいんじゃない？

＞　肝心の理論の構築の方はどうなっているのかな？

とりあえず、きっとあなたが考えている世界よりも
ずっと先には進んでいるとは思います。
有限の立場のメタ数学では無矛盾性・完全性ともに証明不可能
ってなところまでは・・・。

だからそこまで知りたかったらここに書き込むよりも
本買って読みなさいて。
可能無限、実無限の話って、
公理系の完全性・無矛盾性とかヒルベルト・プログラムとかを
考える時には避けては通れない概念だよ。

＞　俺としてはそんな棘の道を進むより、1=0.99…を認めて早く
＞楽になった方が良い気が（ｗ

そのようですね（ｗ

俺が一番不自然に思うのが、

０．９９９…　＝　１　＝　１．０００…

になること。

>>681の指摘がナイスだったね。

１＝０．９９９･･･？
てのは数学者の間でも見解は一致してないんですか？

>>697
だから、
可能無限の立場では 0.999… という表記自体がありえないので
これが1と等しいかどうかなんてナンセンスな議論なのでしょう。

閑話休題。
「アキレスと亀のパラドックス」はご存知かと思いますが、

アキレスが、さっき亀のいた所まで行った時に既に亀は先の地点へ、
この時にカウントを取りましょう。
さっき亀のいた地点に到着するたびに「１、２、３…」という具合に。
ものすごく速く、ものすごく正確にカウントを取れると仮定します。

実際は亀を追い抜いてしまうのですが、追い抜いた瞬間、
いったいいくつを数えているのでしょう？
それとも、「私は今、全ての自然数を数え上げたぞ！」とでも
言うのでしょうか？

要するに、>>681の指摘がナイスだったね。

>>691
可能無限の立場っていうのはわかります。ただ一点、

＞可能無限の立場から考えると、>>688 の、
＞＞いくら１を並べても1/9に限りなく近づくだけで、1/9にたどりつけないんだから。
＞はまさに正論。

について、「いくら１を並べても 0.111… にはならないんじゃないの？」
と聞き返してもいい？
それとも、0.111…は、可能無限の立場では、単に「1をいくつもたくさん
ならべたもの」としてとらえるのが、正論？

＃へ理屈だったらスマソ。無視してけろ。

>>700 自己レス
あっ、そうかそもそも 0.111… というような表記が存在しないだから、
後半の疑問はナンセンスでした。
でもやっぱり、>>688 のあの部分を正論とするのは…？

>>701
たしかに、688の後半を正論とするのは変ですね。
だって、πや√2は無理数であり、一方3.1415・・・のような10進表記は結局のところ
有理数の和であるわけだから、正確にあらわせないのは実無限とか可能無限とか
関係なく当然であると思いますが。

だかーら、要するに、>>681の指摘がナイスだったね。

>>701
あっ、そうかそもそも 0.111… というような表記が存在しないだから

ってさ。「もし無限にならべたら」って仮定の下やってるの。
実際表記できるかなんてどうでもいい。

＞「もし無限にならべたら」って仮定の下やってるの。
＞実際表記できるかなんてどうでもいい。

もしそういう前提で話をするんだったら、それは
>>685 = >>691 が言うところの「実無限の立場」で話をしてるわけだろ。
ならばこれは、いわば公理のようなもので、極限の定義から自明なのだから、
つべこべ言わずにもう 1=0.99999… を認めるしかないでしょう。
って、>>691 が既にこれ書いていたね。

まったく疲れるな。ドキュソがなんでこんなに多いんや。

＞可能無限の立場から考えると、>>688 の、
＞＞いくら１を並べても1/9に限りなく近づくだけで、1/9にたどりつけないんだから。
＞はまさに正論。

が何故に理解できない？・・・

小数点以下、1を一億並べようが三千兆並べようが、
七百京並べても、1/9よりは小さく、決して等しくならない
のは理解できるだろ。

んで、さっきからあんた達は無限個並べたらどうなる？とか
ドキュソなツッコミをしてるんだけど、
その主張こそ実無限派の立場じゃないか。

可能無限の立場では、「無限個1を並べる」ということを
そもそも認めていないのだよ。

>>706
「いくら1を並べても、1/9にたどりつけない」のと同様、
「いくら1を並べても、0.111… にはたどりつけない」
んだから、>>688 の

＞1/9>0.111111111... だろ？（藁

の説明としては、足りていないんではないかなということなんだけど…
可能無限の立場で 0.111…(無限個)を認めないのとは、別の話だと思うんですが…

可能無限の立場で「無限個1を並べる」のを拒否するのは問題ないと思うし、
逆に実無限の立場でも、例えば 0.000…(無限個)…001 なんて
表現は認めてない(というか無意味)ですよね。

「いくら1を並べても、0.111… にはたどりつけない」

↑なにこの日本語？（ｗ

＞逆に実無限の立場でも、例えば 0.000…(無限個)…001 なんて
＞表現は認めてない(というか無意味)ですよね。

ここ違うと思う
実無限の立場では、これを認めないとだめ
つまりこれが「無限小」というやつ
lim x→∞ (1/x) でしょ

おっと悪かった説明不足。

>>688 の
＞いくら１を並べても1/9に限りなく近づくだけで、1/9にたどりつけないんだから。

は正論だが、

＞1/9>0.111111111... だろ？（藁

これは完全におかしいよな（実無限の立場では）。

>>710自己レス

誤＞は正論だが、

正＞は正論だが（可能無限の立場では）、

何度も言うように
＞1/9>0.111111111... だろ？（藁
は可能無限の立場では議論の対象外。

つーか、>>688 も可能無限と実無限をごっちゃにして
考えてるようだな。こんな書き方じゃ混乱するのも無理はない。

無限という数の実在に疑問を持ったことなどなかったです。

直行座標の無限大点を有限領域に表現できるような変換
（応用面すぎてすみません。例えばスミスチャート）
で無限大点が白丸に抜かれるというイメージでしょうか？

なるほど、無限存在否定派は表記すら禁じている訳ですな。これは失礼。

でもそうなると「いくら１を並べても」と書いた途端
「いくらでも並べる事ができるような書き方をするな！」
って怒られそうだ。まぁ
「絶対に」禁じられることはあっても
「永久に」禁じられることはないから大丈夫（藁

っていうかせっかく688で藁ってつけたんだからネタだと判ってくれよぅ（藁

>>709
＞実無限の立場では、これを認めないとだめ
＞つまりこれが「無限小」というやつ
＞lim x→∞ (1/x) でしょ
「0.000…(無限個)…001」を認めたとしても、これは正確に0ですよね。
一方、「無限小」はあくまで0でない数なのでは…？
{ 0.1, 0.01, 0.001, …, (1/10)^n, … }
という数列の、極限値の表記としては、不適当とは言い切れないと思いますが…

もっとも、例が悪すぎ…。言いたいのは、

上の数列では「…」が２ヶ所使われてるけど、暗黙の了解として、
前者は「有限個の省略」、後者は「無限個の省略」を意味しますよね。
大雑把にいって、可能無限の立場では前者のみを、実無限の立場では
両者を認めるということだと、理解しています。

その違いを考えた上で、例を変えると、
「0.111…(有限個)…111 (最終桁が1でおわる)」は認めても、
「0.111…(無限個)…111 (最終桁が1でおわる)」は、
普通認めず、
「0.111…(無限個) (最終桁はない)」としなければならないと
思うんですが、どうなんでしょう？

>>706,713
分かる人には分かると思うんで、重箱の隅をつついたのは、申し訳ないです。

>>714
＞上の数列では「…」が２ヶ所使われてるけど、暗黙の了解として、
＞前者は「有限個の省略」、後者は「無限個の省略」を意味しますよね。
＞大雑把にいって、可能無限の立場では前者のみを、実無限の立場では
＞両者を認めるということだと、理解しています。

その見解で問題ないとオレも思います。ただ、

＞「0.111…(有限個)…111 (最終桁が1でおわる)」は認めても、

これは良いとしても、

＞「0.111…(無限個)…111 (最終桁が1でおわる)」は、
＞普通認めず、

これは実無限可能無限両派にとってもダメじゃない？
無限に続く数列の「最終桁」ってなにさ？ってことになっちゃう。

＞「0.111…(無限個) (最終桁はない)」としなければならないと
＞思うんですが、どうなんでしょう？

これは実無限派のみ、ということでしょうな。

実無限でも可能無限でもさー
結局解釈によるってことで。

無限って数なの？

>>717
コテハンどおりドキュソなヤツだな
>>704 のときもそうだったが（ｗ

この程度で思考停止するような自己完結馬鹿は
そもそもここに来んな　ヴォケが

>>718
だからよー、前レス少しでも読めって
オマエみたいのがしばらく経ったら
数学板にがいしゅつスレ立てるんだろな

>>718

いんや、そういう状態・・・・・・・・・でいいよね？

だよねー

可能無限派の人は有限回のステップで構成できる数のみを認める、ということ？

そうすると、
1/9は構成できる。0.111…は構成できない。
√2は構成できる。1.414…は構成できない。
なのは分かるけど、eやπって構成できるの？

あと、可能無限派の人にとっては排中律は成り立つの？

>>719
（藁
もちろん暇つぶしにちょこちょこレス入れてるだけだよね？
ここでホンキで議論する気？
だとしたらリアルDQNはお前だちゅうに。
キリのいいとこで思考停止しようや。
ここであーだこーだ言っても
きっとお前の口からは既出の概念しか出てこないだろうね。
世界のどこかで誰かさんが何度も口走った考えしか。
べつにさ、ほとんどの人がそうだし、ここはそういう場なんだからいーんだろーけどよ、
「思考を続けます」みたいなことえらそーに言うなって（ｗ
1の質問がDQNなんだからレスの内容もDQNでいいだろ？ネタだろーけど。

>>723
そりゃおまえだろ。
自明だし。

て、ことでおわろうぜ。

>>722

何が「πの超越性が証明された、すげー！」だよ、バカバカしい。
もともとπなんて数など、存在しないというのに…。

＃eも同様。

あらあら・・まだ続いてるんですねぇ・・汁
まぁ理解できないひとに、何言っても無駄ですねぇ

可能無限でも、πやeの構成には問題なし。
実数直線に穴があくわけでもない。

>727

数学で漫才やって楽しんでる人達にそういうこと言われてもなぁ。

>>729
ここは、身体と身体のぶつかり合い、
熱い議論をエンジョイするスレだYO!

>>728
をいをいデタラメゆーな　DQN確定やで

DQNはこちらへ
http://ebi.2ch.net/test/read.cgi/rikei/1002118511/l50

>>726
なるほど。eやπすらないという訳ですか。

694ではずっと先に進んでると書いてありましたけど、
数学基礎論以外の分野に影響を与えることなんてあるんでしょうか…

「じゃあ、可能無限派のアナタは実数そのものを認めていないんですね？」
「当然です」

証明

1*X=1*0.999…　　　(1)
両辺を10倍する
10*X=10*0.999…　　　(2)
(2)から(1)を引く
9*X=9*0.999…
↓
9X=8.999…

X≠1
よって　1≠0.999…

ヴァカすぎる。オマエ本当に氏ねよ（ｗ

>>735

「9=8.999…」
この命題と
「1=0.999…」
この命題は同値じゃんか

オマエの言う
＞9X=8.999…
ここまではいいが、この式から
＞X≠1

を導き出してるのがオカシイことに気づかない？
痛すぎる・・・。

そしてその結果をもって
＞よって　1≠0.999…

とやってるのがさらに痛い。。。

>>734
その「実数」ってのは実数の集合のこと？

1=0.999999………

が、成り立つと、何か良いことあるんですか？

>>1
0.9999....を10倍すると、9.9999....になる事を証明しろ。

０．９９９９・・・・、というものって実在する？
数学的じゃなく実在的。
ないなら意味なし、証明も議論も。

はぁ？

証明

X=0.999…
Y=0.999…
X=Y 　　　(1)
両辺を10倍する
10X=10Y 　　　(2)
(2)から(1)を引く
9X=9Y
X=Y
よって　0.999…=0.999…

1はﾄﾞｺﾀﾆｷｴﾀ?

文字が違うから　≠でいいじゃん。

9.9999....っていうネタに理系ヲタ、食いつく食いつく。（藁
いいかげん気づけよ．でもそんなところが可愛いんだけどな．

>>743

　じゃ，文字が違うから「4/6≠2/3」なのかよ。

>>745
演算子も知らないのかよ！？

>>746
　分数のつもりで書いたのだが？

＞742を分かり易く
証明

X=(0.999…) 　　　(1)
両辺を10倍する
10X=10*(0.999…)　　　(2)
(2)から(1)を引く
9X=9*(0.999…)
X=(0.999…)
よって　1=0.999… は証明できない。
つーか違う！

理系って数学弱いの？

２の５０の解法に匹敵する！

よし，続けろ！


あーひゃひゃひゃひゃひゃひゃひゃひゃひゃひゃひゃひゃひゃひゃひゃひゃひゃひゃ
あーひゃひゃひゃひゃひゃひゃひゃひゃひゃひゃひゃひゃひゃひゃひゃひゃひゃひゃ
　　　　　　　 　 .∧⊂ヽ　　　　　　　　∧⊂ヽ　　　　　　　　∧⊂ヽ　　　　　　　 .∧⊂ヽ
　　　 　∧ ∧　 (ﾟ∀ﾟ)ﾉ　　　 ∧ ∧　 (ﾟ∀ﾟ)ﾉ　　 　∧ ∧　 (ﾟ∀ﾟ)ﾉ　　　∧ ∧　 (ﾟ∀ﾟ)ﾉ
　　　　（ ﾟ∀ﾟ） 　|⊃ |　　　　（ ﾟ∀ﾟ）　 |⊃ |　　　　（ ﾟ∀ﾟ） 　|⊃ | 　　　（ ﾟ∀ﾟ）　 |⊃ |
　　　／⊃　つ　.| 　 |　　　／⊃　つ　.| 　 |　　　／⊃　つ　.| 　 | 　　／⊃　つ　.| 　 |
　〜′ ／ 　 .〜ゝ ⊃　〜′ ／ 　 〜ゝ ⊃　〜′ ／ 　 〜ゝ ⊃ 〜′ ／　　〜ゝ ⊃
　 ∪ ∪　　　　 .∪　 　 ∪ ∪　　　　 ∪　 　 ∪ ∪　　　　 ∪　　 ∪ ∪　　　　 ∪
あーひゃひゃひゃひゃひゃひゃひゃひゃひゃひゃひゃひゃひゃひゃひゃひゃひゃひゃひゃひゃひゃ
あーひゃひゃひゃひゃひゃひゃひゃひゃひゃひゃひゃひゃひゃひゃひゃひゃひゃひゃひゃひゃひゃ

>>748は，きっと自分自身を持ち上げて，月まで逝けるはず．

>>1
9 * 0.999･･･ = 8.999･･･1
だが何か？

8.999･･･1（どっかで１になる。きっとどっかで。）

9 * 0.999･･･ = 8.999･･･1
8 * 0.999･･･ = 7.999･･･2
7 * 0.999･･･ = 6.999･･･3
6 * 0.999･･･ = 5.999･･･4
5 * 0.999･･･ = 4.999･･･5
4 * 0.999･･･ = 3.999･･･6
3 * 0.999･･･ = 2.999･･･7
2 * 0.999･･･ = 1.999･･･8
1 * 0.999･･･ = 0.999･･･9

なのかな。

0.999....=1
１に近づくことはあっても１にならないのでは？

0.999999･･････=1
で正しいですよ。

「デデキントの切断」と言われている問題の一例です。
実数の連続性により、二つの異なる実数の間には必ず無限個の実数が存在します。
0.999999･･･････と１の間には他のいかなる実数も存在しないので、
この0.9999999･････と１は同一の実数であると見なすのです。

この手の「問題」は一見「問題」のように見えますが、実は実数に関する「定義」なのです。
ですからこれは「証明」しようがありません。
数学はこの「実数の連続性」の上に成り立っているのです。

大体、高校数学の教科書記載事項で証明不可能なものは定義なんだよね。

−と−の掛け算が＋になるのも定義なのか？

http://www.beum.jp/2ch.htm

>>756
　定義だよ。

　整数の性質に「交換則」がある事を認めるとそれが証明できるけど、
結局のところ何故交換則が成立するのかって疑問にはなにも答えてい
ない。（環から始めるヒトもいるね）

分数の割り算が逆数の掛け算になるのも定義？

順序数から0.999…=1って証明できなかったっけ？

>>759
　それは、除法が乗法の逆演算と「定義」すれば自ずと出てくるでしょ。

>>761
そうなのか。
小学生のとき、あれこれ考えて結局よくわからなかったが、
定義なんだな。

イマイチ分数の割り算が理解できなかったが、
定義なら定義と教えろよ。小学校で。

実数の０乗が１とか、実数と０の積が０とか、実数を０で割れないとか
全部定義なんだな。

>>762
　はぁ？日本語読める？

>>763
　仮に定義だとしても、どうしてそう定義するのが合理的なのか
納得させる必要あるべさ。

http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=math&key=1000538168

>>754
デタラメ言うな。

>>751 >>752

無限小数に「最終桁」なんぞ存在するか、アフォ！


それから、前レス少しくらい読め！可能無限とかの話してるところだ＞ALL

>>768
果たして構成主義者がまだこのスレにいるのか疑問です。
>>734の言ってるのが超越数なのか実数の集合なのかどちらか
分からないままうやむやになっちゃいました…

>>768
ふふふ。
無限小数をある整数で掛けると、有限小数になるのさ。

だから、
0.9999....*10=0.9999....9
になるのさ。

完璧だろ？

>>770-771
…ﾊｧ?

>>767
いったいどこがデタラメ？

無限関係はちょっと弄るとすぐにパラドックスが出てきて、
数学のフィクションを破壊してしまうね（藁

0.999999･･･････と１の間には他のいかなる実数も存在しない
これは0.999999･･･････と１が等しいと定義するから
そう結論づけられるだけである。

0.999999･･･････がなんらかの極限値と考えると
0.999999･･･････と１の間には無限に実数が存在するよ

0.000＝0　は０なのですか？

>>775
勘違い野郎死ね

0.999999…＝0.9＋0.09＋0.009＋0.0009＋0.00009＋…
初項ａ＝0.9、公比ｒ＝0.1の無限等比級数
無限等比級数の和を用いると、
0.999999…＝ａ/1−ｒ＝0.9/1−0.1＝0.9/0.9＝1
よって0.999999…＝1

>>778
その前に、0.1^n→0（n→∞）を証明しないといけないね。

1=0.99999… は定義なんだ。
だから証明はできない。

前の方よく読んだら、
1=0.99999… は定義って書いてあるな。
もうとっくに議論は終了してるじゃないか。

0.1^n→0（n→∞）も定義。
証明不可能。

ｵｲｵｲ。
極限操作の定義ぐらい勉強しろ。

>>740

1というものって実在する?
数学的じゃなく実在的。
ないなら意味なし、証明も議論も。

>>780 >>781
あほか。定義されてると証明されてないだろ。
論理的に考えろ。

証明できないっという証明だ

>>785
＞あほか。定義されてると証明されてないだろ。
＞論理的に考えろ。

うわぁ、希に見るドキュソだ（涙笑

…あのぅ、「定義」って言葉の意味、解ってますぅ？？

定義されてることの証明…うぷぷぷ…苦ちぃ…。

>>787
数学科専攻の人って、数学のことしか考えられなくなるのか・・・
「証明」と言われると数学の範囲内での「証明」しか考えられないのか。
はずかしいから、もっと外の世界に顔を向けるといいよ。
ちなみに、>>785の言っている「定義の証明」っていうのは、
実際にその様に定義されているかどうかっていうことだろ。
できるものなら証拠を持ってきて証明してみろ。
これでも、この日本語が正しく理解できないのなら、

>>787
数学者ってこんな奴ばかりかよ（ﾌﾟ

＞定義されてると証明されてない

何度読んでもﾄﾞｷｭﾝにしかみえん。
もっと日本語に気を使え。ここは理系板だぞ。

>>787
レベルﾋｸｰ

0.1^n→0（n→∞）を認めてしまえば、
1=0.99999… は成り立つのかな？

等比数列の和の公式はnが有限のときしか
導出できない。なのにn→∞として極限を求めてよいのか？

785==788==789==791
＞はずかしいから、もっと外の世界に顔を向けるといいよ。
恥ずかしいのは理系板で「定義の証明」なんて言ってるDQN厨学生のオマエ

＞ちなみに、>>785の言っている「定義の証明」っていうのは、
＞実際にその様に定義されているかどうかっていうことだろ。
恥の上塗り。なにが「ちなみに」なんだか（ワ
恥ずかしくて他人のふりするくらいだったら、書き込みなんかするなよ。

>>794
顔を真っ赤にして何いってるんだか

通りすがりの煽りですが、なにか？

コワー

鬱＋鬱＝２鬱
　　　≠２欝
どうように
０．９９９９９…≠１
まあ、お前らの頭で考えても分からないだろうがな(ﾌﾟｯ

ｷﾀ━━━━━━(ﾟ∀ﾟ)━━━━━━ !!!!!

>>787 だけど

>>788 >>789 >>791
「定義されているかどうかの証明」？
まったく何を熱くなって語ってるのか理解できんがな。
メタレベルでの議論を主張してるのか？だったら初めからそう言えヴォケが。

＞「証明」と言われると数学の範囲内での「証明」しか考えられないのか。

通常議論する時のフィールドは、ある「定義」に基づいた「公理系」
の中でやるもんだろ。
それが全然解ってないからドキュソだと言ったんだ、文句あるか。

追伸

>>794 フォローせんくす
ｼﾞｻｸｼﾞｴﾝｼﾞｬﾅｲﾖ

まあとにかく、785==788==789==791は極バカということで。

>>797
ここは理系一般板
電波お花畑板じゃあない　レス間違えたね

>>799
数学勉強する前に日本語勉強しろよ（ｗ
ここでは議論している各人の”ある「定義」に基づいた「公理系」”
は必ずしも同一では無いということも知らないのか。
自己中心的すぎて周りが見えてないようだから、言っても無駄っぽいけどな。

キミの言いたいことはみんな良くわかってるから、
せめて「定義だっていう証拠はあるのか」とか
「それは事実なのか＞定義されている」とか
そういうふうに書くべきだったね。あと、
「数学勉強する前に日本語勉強しろ」と言う前にまともな数学のお勉強をして
実数の定義くらいは確認してから議論をはじめてね。おねがい（はぁと

＞ここでは議論している各人の”ある「定義」に基づいた「公理系」”
＞は必ずしも同一では無いということも知らないのか。

それじゃそもそも議論にならないだろが

>>802
＞ここでは議論している各人の”ある「定義」に基づいた「公理系」”
＞は必ずしも同一では無いということも知らないのか。

それを日本語で「土俵が違う」と言うんだったような…。
>>802 曰く、オレ日本語出来てないらしいから正しいかどうかわからんが…。

それでは議論が成り立たないと思うです、はい。

>>804
冗談で言っているのか？

>>772
(ﾟДﾟ)ハァ？

>>772
無限の最後のどこかで、10倍されなければならないだろ。9を10倍したら90だ。

数の最終桁が無くなるっての？
可笑しいじゃないか。滅茶苦茶だよ。
小数の顔をしてるけど、小数じゃないじゃないか。

lim 1-0.1^n
n→∞
ってかいちゃうと超簡単だけど、その意味は単に収束するよといってるだけで、
無限の意味を答えてない。
だから、無限と有限の境を答えていない。

ああ。そうか。
0.9999....=0.9999....99
とする。
9 * 10 = 90
であるから、
0.9999....99 * 10 = 9.9999....90
9.9999....90 - 0.9999....99 = 8.999999....9

無限だけど、無限の果てまで、基本的な加減乗除を成立させるには
こうすれば良いんじゃないか？

スマソ。
8.9999....9→8.9999....99

またまたスマソ。
8.9999....9→8.9999....91

>>809

＞0.9999....=0.9999....99
＞とする。

この段階で既に間違っている。左辺と右辺は同じではない。
よってこれは >>1 の命題の検証には使えない。

そもそも
0.9999....99　= 1 なワケないじゃん（ｗ

QED

>>812同意。そして>>768に続く。無限ループ（涙

数学的には等しいが、等しくないような理論なら等しくない。

よって、公理系が示されていない以上どちらとも言えない。
でいいですかね。

「数学的」とかいうと、数学でしか物事を考えられないのか、というお叱りを受けるし。

繰り返しますが、数学的には等しいです。数学的に等しいことは何をいっても否定することはできません。その他の理論でやりたいならどうぞ。

>>814
数学における公理系は複数存在します。（定義できる）
貴方の考える数学的公理系では真であっても、
他人の考える数学的公理系では真とは限りません。
自己中もたいがいにしなさい。

>>812
0.9999....は、いつまで経っても9が続くという意味なのだから、
最後も必ず9である。

もし、最後がないと主張されるのであれば、
0.9999....に対する計算は永遠に終了しない。
つまり、
0.9999....*10
は
9.9999....
とは＝で定義できない。
なぜなら、まだ、計算が終わっていないからだ。
＝ではないのである。

>>814
おやおや
数学がおわかりでないようですね。

>>817
無限という概念が理解できないようだな

すみません、数学にもいろいろあるのは一応知っていたのですが、
あんな変なことを書いてしまいました。

じゃあ、結局、等しい時もあるし等しく無い時もある。
で、結論ですかね。

文字としては等しく無いのはあきらかだし。

結局、>>1が、どういう比較方式で比較してほしいのか書いていない以上、等しかったり等しくなかったりするんじゃないんですかね。

>>820
>>1は関係ないだろ。
>>1に書かれた証明が誤っていることはもう分かったし、
>>1はそれ以外に何かを求めている分けではないから。

一般的な公理系では等しいから等しいと言い切って問題無し。
等しいのを否定している奴はただのバカ。
超準解析とかをやれるくらい頭がいい奴はこんな事では突っ込まない。

>>819
では、無限などんな数でも飲み込んでしまうと？

ハッキリ言って馬鹿げてますね。
もし、そうであるならば、無限小数には、基本的な計算が成立しないな。
つまり、その定義は使えない。意味無し。

>>822 覇外道
＞超準解析とかをやれるくらい頭がいい奴はこんな事では突っ込まない。
言い換えれば
「超準解析とかをやれるくらい頭がいい奴はこんな事ではスレをいちいち立てない。」

よーするに１はドキュソだということだ。
また何週間か経ったらこのテのクソスレ立つんだろうなあ…鬱氏（数学板が特にひどい）。

>>823
一般的に使われている公理系を否定するのね。それはそれでヨシ。
で、違う公理系を主張してあんたは何を言いたかったの？

>>825
単に、この方法なら計算がちゃんと成立するよ〜。
1=0.9999....は全く可笑しいよ〜。

と言いたかっただけ。

それ以上は勝手に解釈してください。
じゃっ。

>>826
書き逃げ低脳厨房ｶｺﾜﾙ

一般的な公理系(ここでは実数と考えて)では、
0.999・という循環小数は１に等しいとしても、
0.999…という記号は上と同じ意味合いではなく、
大きさは1と等しいと考えてよいが1より僅かに小さい数を
表すために、使われていると思います。
なぜなら、0.999…という記号が1という記号と全く同じ定義であったら
わざわざ1と表記さずに0.999…と表記する意味が全く無いと思います。
それにその場合そのような無意味な記号が定義された由来が理解できません。
また、0.999…を循環小数だと思われている方がいるようですが、
確かにそれが定義されていれば1に等しいですが、一般的には意味合いの
違いによって区別して使われていると思います。
その辺の記号の正確な定義を知っている人がいましたら教えてください。

>>828
問題の意味を取り違えてない？
ここでの問題は0.99999･････という無限循環小数があったとしてそれが１に等しいと言えるかどうか
であって、0.99999･････という表記に意味があるかどうかは全く関係がないでしょう。

>>828
0.999... を 0.333... 、1 を 1/3 に置き換えて同じこと言える？

>>829
表記が異なれば、定義も異なるのではないかと疑うのが普通だと思うけど、
0.99999･･･が循環小数だなんて定義聞いたことないよ。
似ているから先入観で定義が同じだといってるだけじゃないの？

>>830
そもそも、小数点以下99999と無限に続く少数は存在しないのに、
そんな循環小数は定義されているのか？
たとえ便宜的に定義されていたとしても、それでは1と全く定義が
等しくなってしまうから、あえてそれを使う理由はなくなる。
にも関わらず、そのような表記が使われていることを考えると、
当然、定義が異なると推測されるのだが・・・

>>831
普通そこは常識で判断するところでは。
特殊な定義があるのなら、それは書いてあるはず。
循環小数の表記はネット上では見づらいから0.99999････と書いてるだけと
判断するのが常識人だと思います。
それとも
･
0.9って書いて欲しいんですか？

点がずれてしまった。
　･
0.9
今度は合ってるかな。

>>832
＞そもそも、小数点以下99999と無限に続く少数は存在しないのに、

だーかーらー、それこそ可能無限の立場だろ、前レス少し読めよ

高校レベルでやる普通の公理系では実無限の立場だから
極限の定義から自明に 0.9999…（最終桁なんて無いぞ）
は出て来るんだよ　いいかげん無駄なレスやめいて

ってマジレスしちまったよ鬱氏

>>833
0.99999････
本当に、このような表記を知らないのですか？

>>836
知りません。説明して下さい。

>>835
そんなこと前レス読んでる人は知ってますよ。
だから、問題なのは0.9999…の「…」の定義。
いいかげん、いいかげんなこと自分の裁量で決め付けて
自己中心的なことを言うのをやめてください。

>>837
本当に学ぶ意志があるのなら、自分で調べみなさい。

>>839
ないです。教えて下さい。
それとも専門ぶってるだけですか？

>>829 = >>837 = >>840
はただのアオリ厨、相手にするだけ時間と労力の無駄。
ヒトにケンカ売って何が楽しいんだろうね、最悪板逝けよこの吉外。

>>841
いいですよ。
その前に0.999999･････という表記にどういう意味があるのか教えて下さい。
どちらかと言うと貴方の言葉遣いのほうがアオリ厨房では？

学ぶ意思がないのだから、教える義理は1mgも無し
＊＊　終了　＊＊

>>827
論理で来いよ。

書き逃げ低脳厨房。（ｗ

>>843
さよなら厨房さん。
今度来るときはコテハンで来てね。
最後に常識というものを教えてあげます。

1.4142･････
とあったらこれに続くのは1356です。
分かりますね？このあとに31415等が続くと思う人は常識が欠けています。
同様に
0.999999･････
とあって、これに続くのが2781だとか思う人も常識が欠けています。
貴方のような人を普通世間では教条主義者といいます。

（１）0.999999　を10倍すると
（２）9.99999　　になるから
（２）−（１）は8.999991　［（１）の９倍］
無限に続く場合も１０倍すると左に１ケタずれるはず、
最後のケタは当然0のはずなのに、そこも9と勘違いしたため、
１のような証明ができてしまった。

ま、文系者だからよく知らないけど。

>>845
(ﾟДﾟ)ﾊｧ?
マジ既知外だコイツ。。。

>>845
デムーパ

1/3を少数で表そうとすると
0.3333.... ....はずっと3が続くということ
となって少数では表せません
そこで循環少数というものを定義して
1/3=0.3....
1/9=0.1....　と表すことにしたのですが

ここで問題になるのが
0.9.... なのですが
循環少数に対応する分数は存在しないのです。

0.3....X3=0.9....
というのは証明できません　0.3....X3=1です
また
0.9..../3=0.3.....
というのも一瞬証明できそうですが
0.9....の存在というか数字かどうかさえはっきりしてない
ので0.9....関する演算は証明には使えません。

ということで
0.9....という数は存在しないと定義するのも正解でしょう

>>847
>>848
そんぐらいのことしか言えないんですか？
取り合えず0.999999･･････
の････････と言う表記に特別な意味があるのなら説明して下さい。
数学科の友達に聞きましたが「特に決められた意味はない」とのことです。
「その友達がおかしい」とか言う解答はなしですよ。
この表記に特別な意味があるのならそれを書いておくのがすじでは？
あとそのことが書かれている文献も。

>>850
おまえがおかしい

ﾅｱ､ﾀﾉﾑｶﾗ ﾃﾞﾑﾊﾟｵﾊﾅﾊﾞﾀｹｲﾀ ﾆ ｲｹﾖ
>>850

>>849
「証明できないから、存在しない」ってのもよくわからんし、
1=0.9999... の証明なら、このスレにいくらでもでてきてる。


>0.9.... なのですが循環少数に対応する分数は存在しないのです。

1/1 も分数ですが、何か？
ちなみに全ての循環小数は有理数です。
0.9999... も有理数で、１に等しい。

>>853
>1=0.9999... の証明なら、このスレにいくらでもでてきてる。
よく読めよ、全部定義があいまいで、
確かに証明できていると言えるものは一つも無い。
>1/1 も分数ですが、何か？
整数は循環小数ではありません。

>>854 (=849か？）
0.333... という表記を認めるなら、0.999... という表記もできるだろ？
循環小数は、もともと分数を小数で表記するために考えられたが、
循環小数が 1 になっても問題ない。


>整数は循環小数ではありません。

1.00000..... ほら、循環小数。
整数⊂有理数＝循環小数⊂実数

>>855
>0.333... という表記を認めるなら、0.999... という表記もできるだろ？
>1.00000..... ほら、循環小数。
表記できるか否かが問題ではなく、実際の定義が問題。
>循環小数が 1 になっても問題ない。
定義と異なっていれば問題です。

循環小数⊂実数 これ嘘ね
逆は真ならず
すべての分数は、循環少数で表現できるが
すべての循環少数が分数であるとは限らない。

あ　ここでいう分数とはA/B A,Bとも整数で表される数のことね。

>>857
まじで?
例えばどんな反例があるの?

>>858
冗談はよせ

何が冗談？
反例は？

循環小数って、ある特定の周期で同じ数字の列が出てくる数列の事ですよね。
0.10100100010000....みたいなのは含みませんよね。
なら絶対に分数で表せるんじゃ。

>>856
あんたの言ってる定義って何？
小数点以下の数字の列が、一定周期で繰り返されるのが循環小数。
「元の数は、必ず割り切れない分数であること」という定義は無いよ。
「割り切れない分数を小数で表記するため」に考えられたとは思うが。

>>857
>循環小数⊂実数 これ嘘ね

嘘だったら証明は簡単ですね。どうぞ、反例を言って下さい。

>>860 >>862
反例、反例と言っているが、
「真でなければ偽」という考え自体が誤り。
真とも偽とも定義できない場合がある。
その場合、反例は存在できない。
>>857が言っていることがそれに該当するかどうかは別だけど。

>>863
そういう時は
「私は排中律を認めません」と言うんだよ。

>>851>>852
証明をしろ。
貴様はなんのために数学を学んでるんだ？（ｗ

っていうか、一定周期で同じ数字の列が繰り返される循環小数が分数で表せないわけ無い。
無限級数で考えてみればわかるじゃん。

循環小数に対する加減乗除は可笑しくなるね。

0.3....+0.3....+0.3....+0.3....=1.3....
1.3....-0.3....=1

馬鹿げてるな。

1- 0.333333333333 - 0.333333333333 - 0.333333333333 = 0.000000000001

1は何処へ？

0.999...が循環小数かどうかが問題

>>869
この程度のこともわからんでレスしてるイタイヤツがいるから
ここはいつまでもDQN

9がいつまでも循環してるだろが。お前馬鹿？

>>865
証明をしろ。
貴様はなんのために数学を学んでるんだ？（ｗ

>>867
どこがおかしい？

>>868
それは循環小数ではありません。

>>867
おかしいか？

>868
どこが不思議なのだ？