複素関数論スレッド

補足：
a, b の取り方はピタゴラス数から

>199
なんでexp(A)が単位行列になるのかわからないんですが。

>>202
a,b の前のiはよけいでした．
それならはじめから i, j, k使えばよかったな．

a=6π, b=8π
などに訂正です．

AB = BA ⇔ exp(A+B) = exp(A)exp(B)
は実数行列についてだけだったかも。
それなら成り立つんでしょうか？

>>179
exp(A+B) = exp(A)exp(B)
⇒ exp(A)exp(B)=exp(A+B)=exp(B+A)=exp(B)exp(A)
だからexp(A)とexp(B)は可換となり
exp(A+B) = exp(A)exp(B)の両辺をt乗すれば
exp((A+B)t) = exp(At)exp(Bt)

＞exp(B+A)=exp(B)exp(A) ホアイ？
＞両辺をt乗すれば　ハウ？

>>206

＞exp(B+A)=exp(B)exp(A)

　また「任意のＡ,Ｂに対して」と錯覚してるんじゃない？

>>206
行列の実数乗ってどう定義するんだ？

>>205
実数係数にかぎっても同じとおもわれ。整数a,b,c,d,e,fを
a^2+b^2=c^2、d^2+e^2=f^2で(ae)^2≠(bd)^2となるようにとる。
行列A=[[0,2πa^2],[-2πd^2,0]],A=[[0,2πb^2],[-2πe^2,0]],
とおくとA+B=[[0,2πc^2],[-2πf^2,0]]でA,B,Cの固有値はそれぞれ
±2πadi、±2πbei、±2πcfiだからexpA=expB=exp(A+B)=Eだけど
AB≠BA。

Ｍ(n,Ｃ)からＭ(2n,Ｒ)への単射準同型があるからね。

>>211
それで説明できんの？いま考えてるのはM(2,R)だからその準同型だと
n=1のばあいでしょ？それだとM(1,C)のなかに非可換な２元がとれないんじゃ
ないの？M(1,H)なら非可換だけどそれだとこんどはM(2,R)に準同型
がとれなくなるんじゃないの？とれるの？

いやＭ(2,Ｃ)でできたらＭ(4,Ｒ)で自動的にできると
それだけのいみです

>>213
ああ、そういう意味ね。ならわかる。やっぱりM(2,R)のときは別にあつかわんとダメね。
まあ、この問題もうおわっちゃったけど。

よおし，反例つくってから証明するぞ
ってじょうだんじゃなかったんだ．
206のことよ．

206って181じゃあないんだろうな

>>210 うわぁ 完全に僕の勘違いだったか。
AB = BA ⇔ exp(At+Bt) = exp(At)exp(Bt)
ってのを間違って覚えてたのかも。ｽﾏｿ

そうだと思ってた。
だけど反例作りが面白いから黙ってた

>>216
たぶん別人。
こんなやつっていっぱいいるんだ。
きっと。

よく問題を読まずに解こうとする奴ってよくいるけど，
だめだな．期待できない．

ところで>>74まだ解けないの？

それこそ>>220じゃないけど、
「問題を良く読まなければ」解ける、って感じかな（笑）。

>>74、まじで難問だって。

>>221
何とか今年中には証明したい。

あの、exp(A+B)≠exp(A)exp(B)である例ってあるの？

exp(A)=�納0≦n]A^n/n!と定義して|A+B|≦|A|+|B|が必ず成り立つのなら
exp(A+B)=exp(A)exp(B)ってなる気がするのだが…

http://cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/1006859798/483
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/1006859798/521
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/1006859798/567
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/1006859798/576
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/1006859798/789

>>224
て凄いね，上の話ぜんぜんみてないのか．
もっとあたりまえのこと聞いてきたぜ．
それにしても何でさげてんの?

だれか例つくってやれよ。
Ｍ(2,Ｒ)で１と０適当にまぜれば
だいたい反例になる

やばい、中学生だから何言ってるかわかんない。

>>74>>221-223
なんとか力技で…

f(n,m)=Σ[Ｚ∋i,j≧0]a_ij･n^i･m^jとおいて、(n=m=0に対してfが定義されているとして)
f(m-1,n)+f(m+1,n)+f(m,n-1)+f(m,n+1)=4a_00+4na_10+4ma_01+4nma_11+…
だから、4*f(m,n)-f(m-1,n)+f(m+1,n)+f(m,n-1)+f(m,n+1)=(n,mの二次以上の項)となり、
よって、f(n,m)=a+bn+cm+dnmの形のときのみ、∀n,m∈Ｚに対して条件(2)は成り立つ。
さらに、条件（１）より、b=c=d=0.よって、fはn,mに依存しない定数。

間違いがあったら適当に修正してください（汗
同じ論法で三次元以上にも拡張できるはずです

>>229
>f(n,m)=Σ[Ｚ∋i,j≧0]a_ij・n^i・m^jとおいて、

こう書けるのは自明なの？
たとえば f(1,1)=Σ[Ｚ∋i,j≧0]a_ij となるけど・・・

>>229
ｆ（ｍ，ｎ）がｍ，ｎの多項式で表せないもので
（２）を満たすものがあるので間違い。

>>230-231
本当だ、逝って来る

複素数習いたての高2ドキュソですがちょと気になったので質問
X軸に実数、Y軸に虚数を取るって事は
Z軸に次の概念が出てくる数学の分野もあるんですか？
もしあるのなら複素平面と同様その概念を用いて
空間を解析できるのでしょうか？教科書には載ってないので
板違いならスマソ

いい疑問だ。
でも複素数というのはなぜか不思議なほど完結してるんだ。
４元数というのがあって三次元の幾何に使われたりもするが
重要性ではとても複素数に比肩しうるものじゃない。

>>233
おいおい、高校生＝DQNってわけじゃないぞ。

>106
>でも、これが連続の場合に対応してる定理なんでしょ？

離散の場合と連続の場合が１対１に対応してるとは限らないよ
適当な極限を取って連続の場合の定理になればいいわけだから

>>233はドキュソ高校2年という意味では？（ｗ

高校生＝DQNだろ？（ｗ

>>234マリガトコザイマス
ここの板などを見てるとどうやら複素数というのは
ただの図形解析の道具ではなくて関数とかに関係のあるものなんですね。
奥深い。数学のテストの点はあまりよくないし授業も面白くないけど
こうやって教科書外れて背伸びして考えてみるのは面白いですね。
大学理学部逝こうかな

>>234の「いい疑問だ。」のセリフに
>>234の優しさを感じた一瞬．

柄にもなく人をほめてみたりする

>>74もうちょいでイケそう。

以上中間報告

マジで恥ずかしいミスしたのでお詫びとして74今年中に解きます。
241よりは早く解いたる

>>241
いけー！待ってるぞ。

>>242
がんばってね。「241より早く」というよりは「241とは別の発想の」解を期待しています。

KARLﾀﾝ最近芸風かえた？

>>236
＞１対１に対応してるとは限らないよ

１対１の対応を期待している訳ではありません。
私の文章がまずいので、そう読めたのかもしれませんね(^^;

＞適当な極限を取って

期待しているのは、そこの部分です。も少し、具体的にお願いします。

「あとちょいでいけそう」ということですので、かなりワクワクしてます！！

>>74
は正しいが，ちょっと計算しないといけないな．
大域的な問題だから，アタリマエではない．
いい問題ですよ．私も結構たのしんだ．

>>247
本当にできたの。

証明を書き下してはいないが，正しいことが
確信できる程度に問題を把握した．
証明の方針を言ってもいいが，
ほかの皆さんの楽しみを奪うのはよくないから，
まだ黙ってますよ．煽られても言わない．

ヒントは．．．言いたいけどやめとこう．

あやしいな
言うだけならただだからな

方針を書いたとたんに間違いの指摘をされたりして。

がんばれage

ところで、「上にも有界」って条件をつけた場合に、
証明できたよ。

‥‥‥たぶん(^^;

皆さんの御意見をお伺いしたいので、今週末か来週頭くらいに
ここにupしようかな。その前に自分で間違いを見つけたら、
これは全部取り消し（笑）。

「上には有界でない」場合と比べたら、随分と難易度が
低い感じではある‥‥‥。

>>74
>「この問題の関数方程式はラプラスの方程式に相当する方程式だから、
>ラプラスの方程式で成り立つ定理と最大値の原理を使えば、ほとんど自明である。」
>と言うようなこと

これは一見正しそうだが，ちゃんと計算してないからそう見えるだけで，
離散版に右から左には移せない(少なくとも私には)．
わからない人へのヒントは，連続版の方が易しいんじゃないか，という
こと，を付け加える．もちろん私の思いもよらないすばらしい方法が
あったら脱帽だが．

つまり，言いたいことは，連続版のアナロジーでできるが，そのためには
基礎の計算をちゃんとやってみないと(多分)いけないということ．

>>254
できたの？どうやんの？連続ｲ版のアナロジーったってどの連続版の証明？
漏れの知ってる証明は複素数値正則関数が実部が正である関数を
考えることに帰着する方法で、そこからメビウス変換で有界ケースにもちこんで
最大値の原理を使うんだけど離散版だとメビウス変換に相当するものが構成できなくて
つまっちゃうんだけど。これとはちがう方法？

>>255
もっと素朴にやればいいんだよ．
調和関数といえば，ポアソン核．

ああ，ヒント言っちゃった．

>>255
2次元ラプラス方程式だと
正則関数に持ち込んでそういう話
でできるけど，
一般の次元のラプラス方程式だと
どういう風にやってるんだろうか。
だれかポテンシャル論に
詳しいひといるかな？

>>256
境界値問題だとポアソン核だけど
境界がどんどん外へ動いていくわけだから・・・

>>258
まあその線で考えて

>>256
わ〜か〜ら〜ん〜。ポアソン核に相当するものが構成できるの？
というかポアソン核を利用した連続版の証明ってどんなん？
それだけでもおしえて。

ポアソン核でできるんなら
最大値の原理だけでもできるはずだ。
その線で考えてたんだが・・・・

そんなこと教えて他の人から恨まれるのいややな．

でもいいか．ポアソン核の評価から，中心付近での値
は中心の値で評価できるってわけ．
全体で正ならあまり変動できないわけよ．

>>257
いわれてみてはじめて気づいた。そういや漏れ暗黙のうちに２次元の
しか知らんかった。つまり
“fがR^n全体で定義された非負値調和関数であるときそれは定数である。”
って成立するの？知らんかった。そりゃ成立しそうな感じだな。
どうやって証明するん？

最大値の原理だけじゃなくて
平均値の性質ね。
それで条件使い切ってるはずだよね。

>>262
＞そんなこと教えて他の人から恨まれるのいややな．

だれに恨まれるの？

＞でもいいか．ポアソン核の評価から，中心付近での値
＞は中心の値で評価できるってわけ．
＞全体で正ならあまり変動できないわけよ．

さっぱりわからん。具体的にはどうやんの？連続版でもいいから
おしえてたも。ひまなときでいいから。

やっぱりアヤシイよな

>>266
同感

>>266
怪しむのは勝手だろうが，問題を一生懸命考えてる
人間にとっては，先を越されるのは悔しいにきまってるだろ．
推理小説の犯人教えちゃうのおなじようなことじゃないか．

上のほうでは，一生懸命考えてる人たちが，途中経過など
報告して涙ぐましいじゃないか．

答えだけわかればいいってのは数学じゃないんだよ．
(君には分からないかもしれないが)

というかポアソン核という話が
腑に落ちないといってるだけだと思う。

？？？
ポアソン核を使えば境界で与えられた
関数から内部での調和関数を書き下せるんだから，
ポアソン核が大事なのはアタリマエじゃないだろうか．

P(w, z) をポアソン核として(ゼータと入力するのが
面倒なのでwで代用)
連続版で0を中心の半径Rの円板内で考えると，
|z| が(1/2)R以下なら，P(w,z)は4P(w,0)でおさえられるだろ．
このことから
半径Rの円周上で関数が0以上なら，半径(1/2)R以下では
関数の値はz=0での値の4倍で押さえられる訳だな．

詳しいことは自分で補ってもらうことにして，これが
連続版の証明の一つのキーを与えている．

連続版では「平均値定理」だけからも
導く方法もあるが，離散版に移すのは
そのままでは行けなさそうに思える．

〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜しおり〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜
折れも参戦してみようかな。もう遅いかも，だけど。
〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜ここまで読んだ〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜

がんばれ

>>270-271
もう少し詳細きぼん。
＞|z| が(1/2)R以下なら，P(w,z)は4P(w,0)でおさえられるだろ．
これどうするの？評価式の名前だけでも教えて。
＞導く方法もあるが，離散版に移すのは
このポアソン核をつかう方法なら離散版にうつせることは確認ずみ？
具体的にかけるの？

ポアソン核より
グリーンの公式のほうが
形を問わないだけ有望だと思ってたんだが。
四角いのを作るんだから結局同じかな

>>272
もう遅いもなにも>>270さんはもうできたんじゃないの？

グリーンの公式の場合
δ関数相当品を何にとるかだな。

δ関数相当品じゃなくて基本解の方ね

>>274
不等式について
連続版ならポアソン核の具体形
(R^2-|z|^2)/|w-z|^2
から分かるのでは．

離散版で具体形は面白そうだな．
評価式は酔歩をつかってみると
大体正しそうだと思うけど，まだ確信はもてないな，
正直のところ．

すまない。漏れも昨日から参加してるのでよく流れがよめん。
この問題とけてるの？解けてないの？べつにすくなくとも漏れは
一番のりに解答をうぷしたいわけじゃないし、漏れがこのスレを
よんだ範囲では(どうも古くからの数学板の問題みたいだけど)
そんなことをのぞんでるひともいないみたいだから、できたのなら
解答うぷしてもだれもおこらないと思う。うぷしてちょーよ。
>>270さんはできたの？この方針ならできそうっていう見こみにすぎないの？

みんながんばれ
まだ間に合うぞ

>>270のくちぶりはできてるようだよ。
この問題自体は古くから知られた結果らしい。

>>282
古典的有名問題なのか？なんて問題か知ってる？情報きぼんぬ。
証明あるんならなんか印刷されてるものないかな？
とりよせてでも読んでみたい。

ポテンシャル論のプロだったら
そう苦労せずにひねりだすんだろう
多分

>>74
［証明のつもり］
M={f | fは（１）（２）を満たして，かつf(0,0)=1を満たす},
a=sup{f(1,0)| f∈M}とおく．
h(1,0)=aとなるh∈Mをとる．（このようなhは存在する．）

hを前後左右に1だけ平行移動したものをそれぞれ
p,q,r,sとおく．（p(m,n)=h(m,n-1)等．）
明らかにp,q,r,sも（１）（２）を満たす．
数aの定義より
p(1,0)≦a*p(0,0),
q(1,0)≦a*q(0,0),
r(1,0)≦a*r(0,0),
s(1,0)≦a*s(0,0)
が成り立つが，
p(1,0)+q(1,0)+r(1,0)+s(1,0)
=4*h(1,0)=4*a*h(0,0)
=a*p(0,0)+a*q(0,0)+a*r(0,0)+a*s(0,0)
だから実は
p(1,0)=a*p(0,0),
q(1,0)=a*q(0,0),
r(1,0)=a*r(0,0),
s(1,0)=a*s(0,0)
が成り立つ．（↓）

（↓）
同様の論法により，結局，任意のm,nに対して
h(m,n)=(a^m)*h(0,n) であることがわかる．
定数関数1がMの元だからa≧1なのは明らかだが
ここで仮にa＞1だとすると
h(m,n)は横方向には凹とゆうことになり，
このことと条件（２）より縦方向には凸になっている．
するとどこかでh(m,n)＜0となってしまい矛盾．
よってa=1で，これはMの元が定数関数だけで
あることを意味する．［証明終］

…アホなことやってるかもしれん．
270の話にはついていけそうもないし…（汁

>>285
＞このようなhは存在する
ここんとこ、も少し詳しくお願いします。

↓「このようなhは存在する」の理由です．

lim f_k(0,0) = a
を満たすf_1, f_2, f_3, ...(∈M)をとる．

各(m,n)で
{f_1(m,n), f_2(m,n), f_3(m,n), ...}
が有界であることに注目して，対角線論法を使うと，
{f_k}の部分列{g_i}が存在して，各(m,n)で数列
g_1(m,n), g_2(m,n), g_3(m,n), ...
は有限な値に収束する．この極限値をh(m,n)とおく：
h(m,n) = lim g_i(m,n).

このhが条件（１）（２）を満たし，
h(0,0)=1,
h(1,0)=a
であることはすぐわかる．

注：
fが条件（１）（２）を満たすなら
f(m,n)≦(4^(m+n))*f(0,0)
が成り立つので，各(m,n)に対して
{f(m,n)| f∈M}は有界集合です．

>>285さん
レスどうもありがとう。色々と、勉強になります。

ところで、>>288の極限関数h(m, n)が題意の調和条件を満たす
ためには、「部分列{g_i}」は、(m, n)によらずに定められなければ
いけませんよね？

そのような、「(m, n)の関数ではない」部分列{g_i}を、選ぶことが
できる、ということなのでしょうか？

>>289
288に書いた通りです．

ある部分列{g_i}が存在して，任意の(m,n)に対して
g_1(m,n), g_2(m,n), g_3(m,n), ...
は有限な値に収束する．

…ということです．

>>285-290
なぜsage進行？
>>285は全部理解できたんだけど>>286の冒頭
＞同様の論法により，結局，任意のm,nに対して
がわからない。も少し詳しくきぼん。

>>291
あ、いまわかった。なるほど。あってるかも。

漏れはポアソン核使った証明を知りたい

285-286 の証明でいいんとちゃう？
もとの問題は既に誰かが証明してるらしいけど、これが新しい証明だとしたら
"A short proof of ○○'s theorem"
みたいな題で短い論文を書いてもおかしくないような。

　ｆ（０，０）−（１／４）ｆ（１，０）
＝ｒ（ｎ）ｆ（０，０）＋�狽唐�（ｍ，ｎ）
≧ｒ（ｎ）ｆ（０，０）
でｌｉｍ＿｛ｎ−＞∞｝ｒ（ｎ）＝３／４から
ｆ（０，０）≧ｆ（１，０）。

>>295
なにが言いたいのかわからんのだけど？>>285-286の証明がまちがってるって言いたいの？

すまないのだが
＞{f_k}の部分列{g_i}が存在して，各(m,n)で数列
＞g_1(m,n), g_2(m,n), g_3(m,n), ...
＞は有限な値に収束する．
となる理由をもう少し詳しく教えて頂けないだろうか？>>285

あと>>295
r(n)と�敗f(m,n)はどんな関数なのか教えてくれ

う〜ん、私も>>297さんと同じく、どうやって部分列{g_i}を
選ぶことができるのか、ちょっと分かりません。

>>285さんでも良いし、「この証明が理解できた」と言っている
他の人達でも良いです。

部分列{g_i}の具体的な選び方を、教えて下さい。

>>298
285 さんではありませんが。。。
点 (m,n) 全体は可算集合だから番号をつけて P_1,P_2,・・・ とする。
まず {f_k(P_1)} は有界数列だからボルツァノ・ワイエルシュトラスの定理より収束部分列
{f_k(P_1):k∈I_1} を含む。ここで I_1 は自然数からなる可算集合です。
次に {f_k(P_2):k∈I_1} は有界だから収束部分列 {f_k(P_2):k∈I_2}, I_2⊂I_1, を含む。
以下同様にして自然数からなる可算集合の減少列 I_1⊃I_2⊃・・・ ができる。
自然数の増大列 k_i を k_i∈I_i となるように取り g_i=f_k_i とおけばよい。
これでマズければ 285 さん、正解をどうぞ。。。

300ゲット(^^;

>>299
どうもありがとう！！
>>285さんも凄いけど、>>299さんも賢いねー。

有界条件下での証明は、今更馬鹿馬鹿しいのでupしません(^^;


丁寧な解説のおかげで、ようやく私にも今回のレース（？？）が
>>285さんの完勝であることが理解できました。
あなたは、偉いっす。