１＋１はどうして２になるの？

どうしてなんですか？
教えて下さい。

１→０の次の数
２→０と１の距離と同じだけ１から離れた次の数
＋→＋の左側の数を「右側の数と０の間の距離」だけ進める作業を記号化したもの
＝→左側の内容と右側の内容が等しいことを意味する

以上を定義すると、
１＋１→「１」を「０と１の距離」だけ進める
　　　→０から「０と１の距離」だけ進め、さらに「０と１の距離」だけ進める
ここで、２は０と１の距離と同じだけ１から離れた次の数
　　　→０から「０と１の距離」だけ進め、さらに「０と１の距離」だけ進める
１＋１＝２

>>1
まず1や2や+が何を意味するかを教えてください

１＋１＝２　は、約束です。これが成り立たないものは実数の足し算とはいいません。

>>2
距離の概念がどうしてそこで出てくるので？
ま、だいたいわかりました。

>>3
何を意味するのかを教えて下さい。

>>4
そう定義したからそうなのですか？
では、１＋１＝３を約束としたら、１＋１＝３なのですね？

>>5
１＋１＝２というのは過去の習慣に従っているので、
ものの数え方や普段の生活での数字の扱いが上の規則に従っていれば
他の記号でも構わないはずです。ギリシャ数字などアラビア数字以外の数字はありますしね。

>>6
過去の習慣って？

>>7
アラビア数字では、ものが一つあるときに「１」、二つあるときに「２」、
を使ったそうです。アラビア数字はエジプトの線文字がルーツだったと思います。
略式の文字で穀物の生産高の管理や取引の記録に用いられたそうです。

>>1は誰が何をいっても徹底的にイチャモンをつける気なんだな。
>>2があまりにもまともな論理展開をしてしまったから、出鼻をくじかれたが。

>>8
なるほどぅ。

>>9
違いますよ。
別にいちゃもんつけようとしているわけではないです。

>>1さん。
定義というものは証明できるものじゃないんです。
取りあえず1+1=2という定義をしてみたら、それに従って
現実世界の事がうまく説明できたから、この前提にのっとって
算術が成り立っているわけです。
だから、1+1=3という計算が成り立つ世界においては、それを
土台に算術が開発されているのかもしれません。
しかし、少なくとも我々が生きているこの世界では、1つと１つを
合わせれば２つにしかならないので、そう言う約束に決めたということです。

N: 最初の元があるこれを１と表記
xがNの元の時 succ(x) も N　の元

succ(1) を　2と表記する
succ(x) = y の時 x =pre(y)と表記する

x + y を　次のように　定義する
x +1 = succ(x)
x + y = succ(x+pre(y))

という形自然数と足し算を定義した場合も
1+1 = succ(1) =2
は単に定義しかない。

>>12
そんな定義してる暇あったら
りんご二つ机の上に置いて数えてろ！

>>12
それって順延で自然数を定義する方法の特殊ケースじゃない。

>>1
横レスです。無視して下さい。
少し切口を変えます。

まず、1+1 が 2 となるな代数系があるんだと納得できるような説明があります。

そして、こう質問してみて下さい。

"1+1 が 2 となる代数系はどうして現実の世界でも使えるの?"
"頭の上で定義したことが、実在のりんごやみかんでも成り立つのはなぜ?"

1時間その話に費やされて小学校のときの教師は切れる寸前でした。

"1+1=2" ならば、当然だろうと思いますが、
これが、標本化定理とかになったら、本当に不思議です。
なんで、公理系から導出できる定理が実際の電波でも成り立つのだろうと、
よく考えました。


みなさんなら、きっとスマートな説明ができると思います。

２分の１の林檎が２つありまして、それを２つあわせていくつの林檎になるでしょうか？
答え：２分の１のりんごが二つ。

あくまでりんごは２つでしょ？
１つには戻らないでしょ？
これは屁理屈ですか？
こんなこと言ってたら、数学できませんか？

>>16
屁理屈です。
1/2のリンゴを一個だと思うことにすれば
あなたの言ってることが正しい。
単位を何に取るかという問題。

物事を抽象的に考えると言うことを覚えてください。

>>17
なるほどなるほど。
１＋１＝２の１の単位はなんですか？

>>16
できるよ。
数字の扱い方は人によって様々だよ。
自分の定めた（但しwell-definedである必要がある←分からない人は
この発言を無視しても、まあ良い)扱い方を統一し続ければ、
数学の理論を適用できるよ。
そもそも数学はそのように構築されてるから。

>>18
おいおい！
おまえが単位を見失ってどうすんだよ。
お前間違い。

>>16 >>17
の場合、「１」と「１個」を
区別してるだろうよ。
良く読め！

>>19
ふむふむ・・・難しぃです。

>>20
１個も、２分の１個も、単位は個でしょ？
でも、２分の１個２つは、１個にはならないですよ？
また屁理屈？

>>21
おいおい！
２分の１の「量」を１「個」と言ってるだろう。
では、
量としての「１」は何個ですか？
答え：２「個」
意味解る？？

直接的な指摘：
君は「個」のみが単位だと思ってる。
>>16は、「個」と「量」を区別している。
すなわち、単位を区別している。（多分16本人は気づいてないけど）
と、いうことです。

反論あったらレスして下さい。
口調が興奮気味なんで、反省してます。ごめん。

>>22
あのう、1=16=18=21なんですけど(^^;
名前欄見てくださいな。

# ちなみにワタシは1ではないです(w

>>23
鋭い！！
見落としました。

英語とかの感じでいくと
１／２のリンゴの単位は「かけら」かな？

１／２のリンゴが２かけら

>>25
そうそう。
うまいこというね。

>>22
なるほど。
量としての１は２個ですね。
理解しました。
しかし、１＋１＝　という問題が真っ白い紙にただそれだけ書いてあります。
さて、これはどの単位なのですか？
それともありとあらゆる単位において成り立つものですか？
・・・また屁理屈？なんか、屁理屈ばっかり？別にいちゃもんつけてるわけではなくて、純粋に疑問が湧いたから聞いてるだけなのです。
ちなみに、数学において、専門的な知識は、あんまりないです。

>>25
なるほど。
かけらとな。
分かりました。

>>22
今まですみません。ちょっと口調が荒かったっす。ごめん。

ところで、
和が定義されています。
しかし、単位が明記されていない。

「和が定義されていて、かつ、単位が異なる場合、
　単位は問題文中に定義されなくてはならない。」

待遇をとると・・・。
以上です。
答え：「和が定義されているが、（定義より）
　　　　単位が問題中に定義されていない。
　　　　よって、単位は等しい。」

↑>>22は>>27の間違い。すみません。

28無視
書き直し


今まですみません。ちょっと口調が荒かったっす。ごめん。

ところで、
和が定義されています。
しかし、単位が明記されていない。

「和が定義されていて、かつ、単位が異なる場合、
　単位は問題文中に明記されなくてはならない。」

待遇をとると・・・。
以上です。

答え：「和が定義されているが、（定義より）
　　　　単位が問題中に明記されていない。
　　　　よって、単位は等しい。」


レス中の一部分を「定義→明記」　としました。

>>30
言葉遣いについては、気にしないで下さい。
私も気にしておりません。

じゃあ、１＋１＝　という問題において、林檎１個と、お茶一杯という２つを、それぞれの１に当てはめることは不可能ということですね。
不可能というか、あてはめるな、という数学界の常識ですか？

ちなみに、この
「和が定義されていて、かつ、単位が異なる場合、
　単位は問題文中に明記されなくてはならない。」
という命題は、常識的には正しいと思う。
しかし、この命題は数学的に正しいとは言えない。
厳密には、「単位は全て等しいものとする。さて、1+1＝？」
という問題文にしなければならない。

＞数学界の常識ですか？
という質問の答えとしては、「No」
ただし、人間界の常識としては「Yes」だと思う。
小学生に問うとしたら、「単位は全て等しいものとする」という条件はつけないよね。
余計に小学生だったら混乱する。人間界の暗黙のルールを前提とする他ないよね。
これが数学と算数の違いじゃないかな。

どう思う？

＞３１
三角関数の微分を説明するとき度をラジアンに直したよね
あれと同じことすればいいんじゃない？

>>32
１＋１を考えるということは、数学全部をひっくるめて考えるということです。
何故なら、１＋１が成り立たなければ、数学それ自体が成り立たないから。
なんて言ってみました。
変ですか？
「算数」でなく、「数学」という世界においても、単位の定義を行わずに数式がいきなり出てくる問題は、いくらでも出てきますよね。
学校での定期試験しかり。
センター試験然り。
ですが、みなさん、なんの疑問も無く「１＋１＝２」と答えられます。
それは、考えた「１＋１」ではなく、反射だと思うのですが。
その１＋１を考えてみたわけです。

人間界の常識でしたか。
数学界の常識ではないのですね。
安心しました。
では、数学界では、>>31の林檎とお茶はどうなりますか？
「あてはめるな」ですか？

>>33
>>12のことですか？

数学の場合は基本的に単位を持たない。
単位を持たないことで同一の単位であるとして、演算を可能にしている。

単位を持つ場合は違う学問とするのが普通かな？

>>31
>>34

もー。だから言ってるでしょが。抽象的に考えるということを覚えろと。

まず、一体何を考えたいのかをはっきりさせること。
たとえばリンゴのことなら、物体としての個数を求めたいのか、
リンゴまるごと一個という単位でいくつあるのかを調べたいのか。
前者なら 1+1=2 だし、後者なら 1/2+1/2 = 1

ものとして見えているのは同じでも解釈の仕様は複数あるってことです。
お茶とリンゴの話なら、とにかく物体の個数を求めたいなら1+1で良いけど、
お茶とリンゴを見分けたいなら お茶 + リンゴ。
お茶をxとかきかえて、リンゴをyと書き換えるとx+y。

たとえば、文章題として
ある店でお茶を4つ、リンゴを3こ求めたあと、
別の店でお茶を3つ、リンゴを5つ求めました。

お茶とリンゴ合わせていくつ?という問題なら

4+3+3+5 = 15で15個。

お茶はいくつでリンゴはいくつ?という問題なら

4x + 3y + 3x + 5y = 7x + 8y

でリンゴ7つとお茶8つ。
どういう対象を考えたいかで表現が変わってくるんです。
わかりませんか? もう!

>>36
なるほど。
単位を持たないというのが、数学の大前提だったのですね。
理解しました。

単位を持つ場合は、何になるんでしょうね？

>>37
ああ・・・問題文まで・・・。
親切なレス、ありがとうございます。
理解しました・・・なんとなく。

>>34
数学に出会ってから定義されている通り
数学（算数ではない）において単位なしの１は自然数だよ。
中学以来定義されている通り
１「個」ではないし、１「かけら」でも１「ｃｍ」でもないよ。
従って1+1＝2だよ。

＞では、数学界では、>>31の林檎とお茶はどうなりますか？
＞「あてはめるな」ですか？

あてはめてもいいけど、和は定義されないよ。

４リンゴ＋３お茶＝　　単位が違うので計算できない。
４リンゴ／リンゴ＋３お茶／お茶＝４＋３＝７　（比として計算可能）
現実と数学をつなぐために上のような変換をしてみたら。

ああ・・・。
>>37で全て言われてしまっていた。

一応くぎを差しておきますけど
ならx^2でリンゴの二乗って何よ、とかそういう指摘は
無意味ですからね。リンゴの二乗が元々適切に定義
できるなら x^2 は意味のある表現だけれど
今の場合 x は"リンゴ"の略記ですから2乗の定義ができません。

難しい言葉で言うと整数係数の加群(ベクトル空間のようなもの)として
リンゴとお茶という独立基底を取ってきているということです。

>>41
それこそ屁理屈。
感覚でものを語り過ぎ。
物理的な感覚だね。
単位を無理やりそろえても（というより消しても）無駄。
どういう意味か説明して？って聞かれても、「演算として・・・。もごもご」
というオチだろ。
これが物理の限界。

>>41
数学を誤解してない？
それで物理やってけんの？
物理にとって数学は道具だろ？？
正しく使えよゴルァ！！(w

>>40
あてはめても和は定義されない・・・。
よく意味が・・・？？

>>41
分かりやすいけど、下で否定されてるよ？

>>43
元々適切に定義できるって、どういうこと？
難しい言葉では言わないで下さい。
分かりません。

>>44-45
なるほどと思ったことが、否定されたりしている。
なんだか、ちょっとわからなくなってきた。

>>41
それは私の例で言うなら

Zx \oplus Zy -> Z ((a,b) |-> a+b)

という準同型を考えるということですね。

だからまあ、1さんの疑問に対応できる数学は
ちゃんとあるということです。何をやりたいのかを
考えて、それをどう抽象化したらいいのか、を考えるのが
数学(の一部)だといういい方もできますね。納得いただけましたか?

ここまでつっこむ人がなんで
>>41でなるほどって思えるかなぁ。
もしや、煽ってるだけ？荒らし？

>>47
う〜ん、書いてる数式は理解出来ないけど、要するに、私の書いてる疑問は、教科書読めば書いてある、ということですね。
なるほど。

>>48
いやね、それは多分、私に知識がないからじゃないかと思うのよ。
>>41は分かりやすかったけどなあ・・・。
間違いなの？

>>47
Z ((a,b) |-> a+b)
ここを詳しく説明してみなよ。

間違いというか、
これまでのレスで一番つっこみどころ満載ってかんじじゃない？
どう？＞1

ちなみに間違いではない。
「個数」の概念に忠実に即した導き方だよ。
説明にはなってないけどね。

テイノウはシネ

>>50
ん?なんか問題ある?ちゃんと準同型だと思うけど。

>>51
う〜ん・・・よくわかんないんだけど、最初っからつっこみどころは満載だったと思う。

>>52
間違いではないんだよね。
だったら、どうしてつっこまれるんだろう？？

このスレは物理の野郎が口を出してから荒れ出したな。
これからは>>41は無視ということで平和に暮らそう。

>>47
「個数」の概念はどう説明する？
1/2のりんごと1/2のりんごは２個の1/2のりんごだよね。
これを君の式に当てはめると答えは１個にならないかい？

どう？>>53

いいスレだ

５０さんへのレスが返って来ないから、真相がわからない・・・。
どうなんだろう？
でも、私の知り得ない何らかの方法で証明できるらしいから、なっとくしとくかな・・・。

それでいいのか？

>>50

はあ?なんか間違ってません?
>>47に書いたのはリンゴとお茶を別々に数えたあとで
合わせていくつ?_ってかんがえる場合に作る写像の
モデルですよ。整数の足し算の定義じゃありません。

>>37で書いた文章題で言うなら、お茶7個とリンゴ8個の
表示は(7、8)で、それを合わせてやると15でしょ。
>>47にあるのはまさにその通りになっていませんか。

>>47は、
　ＺxＺ→Ｚ
　(a,b)├→ a+b
というものを考えているでｱﾃｰﾙですか？
これと>>41との繋がりがﾜｶﾘﾏﾍﾝ

>>41は単位が違うから計算ができないとか言ってるけど
それが間違いのもとだね。形式和を考えれば良い。すなわち
単位が違うもの（baseの間に関係のない２つの代数形の元）を足
そうとすれば、普通は２つの代数系の直和を考え、その空間の
元だと思うのが普通だ。特に何の断りも無く１＋１と書いた場合には
この１は同じ代数の単位元だと思うのが普通なので、2となるわけだ。
というより２というのは一般にある代数の単位元を２つ足し合わせた
もの、というのが定義です。（これは整数の記号の定義の話では
ありません。整数が完全に定義されたあとの話です。あしからず）

>>57
なんか根本的な勘違いをしていると思われ。

>>60
えと。最初の方でも誰かがいっているように
1+1=2というのは定義です。証明することじゃありません。

私が口を酸っぱくして言ってたのは数学というのはある考えたい
問題があって、それをモデル化するにはどうするか、という
考え方のことだ、って言うことです。

1さんがリンゴの例を持ち出してきたときに単位という言葉を
使ったのでちょっと混乱しましたが、1+1=2というのは
たとえばリンゴが1個あるところにもう一個持ってきたら
2個になった、ということの数式モデルなわけです。
だから 1+1=2 は定義です。

あげ

はいはい、エジソン君、1を泥の団子一つとしますねこれを二つ、きれいにくっつけると一つの団子になりますね、だけど重さは確実に二つ分になりますよ、単位をグラムなどの重さに当てると、解り易いですね。りんごや、みかんでも、そうですね計りの上に置いたと考えれば良いのですよ。

そして個数を求める場合に『二つ分』では変なので、計りにのせ〜と言う部分は、あくまで頭の中でのイメージとして、単位を再び『個』にもどす訳です、いかがでしょうか。

不変量に何を取るかですね。

メシ１回おごるのに４５０円でも９００円でも同じ１回だ
って言うのと同じじゃん

一回は一回じゃん

>>61
よくはないですが、私には理解できない数式（言葉）でしか説明がつけられないと言われれば、反論のしようがないでしょう。

>>64
うお・・・難・・・。
代数系の直和・・・？？
くそ・・・専門知識が無いと、折角説明してもらっても理解できない・・・。
ああ、ままならないなあ。

>>66
１＋１＝２が定義だということは、分かっています。
ただ、定義は証明できないものなのでしょうか？
定義が定義じゃなくなったら、数学崩れますか？
だんだん混乱してきていますが（私が）、定義を証明できるのなら、どうやるのかな、という疑問でした。

>>68-69
なるほど。
確かに重さは２つ分ありますね。
そういう意味では１＋１＝２なのですか。
しかし、数（個数）としては、１＋１＝１ですね。
要するに、実社会では、一つの事象において、複数の１＋１が生まれることがある、ということですか？

>>70
不変量？

>>71-72
なるほど。

>>73
りんごを「リ」と定義する。
みかんを「ミ」と定義する。

これ証明できる？できないっすよね。

同様に、１+１＝２と定義する。
これも証明できません。

>>74
>複数の１＋１が生まれることがある、ということですか？
そうです。それに気付けば数式でのモデル化と言うことも
理解できるはずです。

事実、
1+1=1
1+0=0
0+1=0
0+0=0
等というような0と1だけからなる代数系も存在します。
これはand積と呼ばれるもので、プログラミングをする人は
当たり前に使う演算の一つです。

# ただし通常演算の表現を + とは書きませんが。

後全体に、1さんは言葉に引きずられて本質を
見失っていることが多々あるように見受けられます。
もっとしっかり自分の疑問を見つめ直すことをおすすめします。

たとえば定義が定義でなくなれば数学が崩れるだとか、
定義を証明するだとか。言ってることの意味がわかりません。
証明という言葉の意味をしっかり理解していますか?

>>76
>1+1=1
>1+0=0
>0+1=0
>0+0=0
>等というような0と1だけからなる代数系も存在します。

２元体の積の話みたいだな

あげ

１と一、�Tがそれぞれ同じものであるのと同じようなことだと思います。
1+1は2だってことは。

こここんなに盛り上がってたのか・・・書かなきゃよかった（藁（えなひ

結局なんらかの枠組みを作れば良いんですよ。カゴの中に一つ林檎があってもう一つ入れると幾つ？とかそしてこれを基本にして、その後の単位の定義を無視した計算に結び付ける、後は、実生活での事象に対応しながらそれを使えば良い訳ですな。

これ、本に書いてあったんだけど
規則は行為の仕方を決定できない。
なぜなら、いかなる行為の仕方もその規則と一致させることはできるから。
規則　R　の提示のもとににわれわれが一致して行為　ａ　を為すからこそ、
行為　ａ　は規則　R　の適用例とされるのである。　　　　だってさ。

これ、本に書いてあったんだけど
規則は行為の仕方を決定できない。
なぜなら、いかなる行為の仕方もその規則と一致させることはできるから。
規則　R　の提示のもとににわれわれが一致して行為　ａ　を為すからこそ、
行為　ａ　は規則　R　の適用例とされるのである。　　　　だってさ。
ひどく納得・・・。

1×1=1
lim[(1+h)×(1+h)]=1+h
h→0

１＋１＝２ の証明は今井のＨＰにあるぞ。

>>85
やめれ。

四色問題の証明はM_SHIRAISHIのHPにあるぞ。

>>87
URLはどこで解る？
知ってたら教えてくれ。

>>88
http://www.apionet.or.jp/~eurms/FCTj_7.html

っていうか、このスレを読むのが早いにょ。（↓）

http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=math&key=985233643

>>89

おお、でじこ嬢もあのスレ読んでたのか。

１+１=２。これでいいんじゃないんですか？
もしもこれがおかしいとしたら、ほかにどれを使えと。
べつに１+１=３でもいいけど、昔の人がこう決めたんだからこれに従えばいいんじゃないんですか？
深い意味はないと思いますよ。偶然２という形ができたからこれにしたんだと思います

１＋１＝３に決まってるじゃないか。
１と１が合体すればもう一人ふえて
３になるんだよ。

>>92
残念、双子ですた。

>>93
残念、三つ子ですた。

きりないっちゅーねん。

>>89>>90
えっ？でじこさんって女のかたなの？だったら
“女はやっぱり数学ができない”ってスレで
“私女だにょ”とかいったらあのスレおわるんちゃう？

>>96
元々あのスレにはバカな煽りしかいないよ(ﾜﾗ

>>96
でじこって、数学できるのか？

>>98
（・▽・）ｽﾙﾄﾞｲ!

１＋１＝田に決まってるじゃないか

確かに田にもなるけど、それじゃ書きにくいでしょう。５画だし。

＞１
定義です。

>>96
え〜、でじこは♂にょ。
90さんは、恐らく元ネタのでじこ（デ・ジ・キャラット、♀）にちなんで
「でじこ嬢」と表現なさっているだけだと思うにょ。

この板に中島○ち子たんはいないのかにょ〜？

1+1=2にどうして104もレスが付くの？

ちゅどーーーーーーん！！！！！！

１＋１＝２もわからん奴は

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くそっ
時機を逸した

中学の数学の先生が授業中に
「１＋１＝２を証明するっちゅーのは、
大学の数学系学科の学部卒論くらいのテーマだ」
とか言ってたのを今ごろ思い出したが、実際どーなんだろ。
その話を大学時代に数学系学科の友人に聞いたら
「それはまず○○を定義して、さらにそこから○○を定義して・・・」
とか言われて、結論として「めんどい」とか言われた記憶もある。
(○○のところは忘れた)
ちなみに私は、数学は高校程度でもあやしいのでまったくわかりません。

なんか、すでに終了した感じなので、sageで

＞６４
最後の括弧の中はどゆ意味？
２の定義なのだから記号の定義の話では？
足し算だけのはなしなら、俺は
１． ０を定義（和の単位元）
２． １を定義（０以外の元）
とすれば、１＋１、１＋１＋１、１＋１＋１＋１のように他の数を定義できる
書きにくいから２、３、４、などと略記する。あとは逆元。

ということでいいと思うが（つまり１＋１＝２は記号の定義ということ）君が
あの括弧の中で何いいたいのか良く分からんのだけど？

正しい数学教科書を作る方法については
http://www.geocities.co.jp/Technopolis-Mars/3422/mat.htm
を見てください。

自分で勉強しろ

ユークリッドは偉大なり…

１たす１が３にも４にも
５にも１０にも〜〜

って辻よしなりが言った

1+1=0 1+1=-5　そういう世界もある。

>>114　寒い氏ね！！

>>114
それとは無関係に1+1=2は常に成り立っているように思うが。

>>116ほんまに!!　ああゆう奴>>114は、膣に帰ったほうが良いね

.　､＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　 ､＞　　　　　　　　　　　　　　.|
　　＞＿＿＿＿＿＿＿＿　　 .|
　　￣ 　　.|./＿　　 ＿＼ |　　 |　　　
　　　　　　| /　 ヽ／　 ヽ　|　　|　　
.　　　　　 | | 　 　 | 　　　|　 V⌒ｉ　
　　　＿　 |.＼　 人＿_ノ　　　6 |
　　　＼￣　　○　　　　　　　　/　　
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　　　　　／　 ＿＿＿＿_／　　　　
　　　　　￣￣, -/へ／＼/｀- ､
　　　　　　 ／./　 ./o　　　　i.　＼

↑　アタマわるそうだな・・・

mod２なら、1+1=0
mod７なら、1+1=-5

１１４さんのいってることは正しいと思うけど

０／０が無限大になることを証明してくれと言うクオ−ク さんの方が寒いです

>>120
114は1+1=2が成り立たない世界がある、とか言おうとしてないか？
mod2だろうがmod7だろうが1+1=2でしょ。

なるほど、２＝０や２＝−５だから、１＋１＝２にはちがいないと。
ただ１１４さんは、
＞114は1+1=2が成り立たない世界がある、
と明言はしていないとおもうが。
仮にそうだとして、「１＋１＝２自体は成り立ってる」と指摘するのはいいとしても、
クオ−ク さんが、その尻馬に乗って罵倒してるのは何だかな〜、と思った次第で。

私はメーテル。
あら、ここも楽しそうね。

>私はメーテル

999の説明は出来なかったんですか

メーテルさん
１さんに、
１＋１＝２を、わかりやすく説明してあげなよ

>>16
＞２分の１の林檎

１は見事に墓穴をほったね。
２分の１個って何？

まさかリンゴを２つに切ればそれぞれ２分の１とか
「バカ」なこといってるんじゃないだろうね？

>>16って、数学じゃなくて言葉の綾の問題なんだよね

age

メーテル、なんで０！＝１なの、わかりやすく教えて

てゆーか、π＝３　でいいのかよ、メーテル

>>130
π　を自然数としたいと、御上が決めたこと
なので一般庶民が口出ししたら、手打ちにあうでしょう。

>>121
１１４では、代数的な見方かもしれないけど、
１＋１＝２っていうのは記号の規約だってことを
言ってんだけど。
内容的には体の演算を表した記号に過ぎないから、
理由をきくもんじゃない、っていうこと。
１＋１＝２にこだわっても、そこまでいうなら、２ってなに？
ということになるんじゃないの。
で、ペアノの公理を持ち出したら、１＋１＝２　って、自明な命題なんですけど。

というか、体の標数にかかわり無く１＋１＝２が成立する、とうのは、
分かりやすいように
記号を流用しているだけだと思います。

考えている体の標数が2なら
1+1＝0だ。

ちなみに、ここでいう1とは乗法に関する単位元、
0とは加法に関する単位元。

大小関係を持つ集合を分類せよ。

標数が２の世界で、その標数をどうやって
記述すればよいだろうか。２が無いので２とは
かけない。１＋１とかくと０になるので駄目だ。

10
(1,0)

別に定義次第ではどうにでもなるだろが（ﾜﾗ

↑の人みたいに10って考えるのもまた１つの定義だろうし、

1+1=10
10+1=11
11+1=100
みたいな２進数で定義するのならまたそれもよし。

↑君、「十分小さい数」の人？

http://cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/1002893257/562

それとも、↓で必死になってた人？

http://cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/1001663346/l50

あげとこ

１＋１＝２と定義されているんじゃないかなぁ。
もしそうだったら、数学のルール上、突っ込み不要でしょう。

三角形の内角の和が１８０度になるのはなぜ？
というのは証明する価値があると思うのね。
直線の角度が１８０度であるという定義から
証明されることだからね。
でも直線の角度が１８０度になるのはなぜ？
という質問は答えようがない。
定義なんだから。

>>138
・・・私怨の香りがします・・・

age

論理和の世界では１＋１＝１になるらしいよ。

２進数だと、１０です。

>>145
それは＋の定義が違う

ねむい

1+1=2の奥の深さにびびりました。　ところで、皆さん相当できるみたいなので
聞きたいことがあります。　SF映画などで過去に戻るってのが有るけど、時間という
単位を仮に戻せた場合、細胞の成長も戻せるんでしょうか？やはりタイムマシーン
は、夢物語なんでしょうか？
弐　どこでもドアについて、遠い未来には、人の遺伝子情報を頭の先から足の先まで
よみとり、その情報を目的地に転送。　X物質に情報を書き込む。　コピー完了
って、できないんですか？

人殺しは良くない

そんなん相対性理論騙るまでもなく夢
ただすんごい速いロケット（光速なみ）に乗って１年旅して戻ったら
地球時間は数十年たってるってのはありうる
遺伝子情報を全て読み取るのといきなりないところにその情報をもった物質を出現させるのは違う話

みんな頭良すぎて哲学的になってる（妄想癖か）

>>151
過去には戻れなくても、遠い未来には
行くことが出来るのでしょうね。
ま、未来に行くには、冷凍人間になっておく
という手もありそうだけど（ｗ

１＋１は２の香り

実は何度も過去にもどっているかもしれない
のである。ただ自分の記憶･認識自体も過去に戻ってしまうため
過去に戻ったと言う認識が出来ないだけなのである。

自己認識の正体とは脳みその中の記憶でしかない。
決して肉体ではない。要するに自分とは記憶情報でしかない。
クローンから作られた標準的な肉体があって、それの脳みそに
外部から自分の記憶情報を書き込めば、少なくとも自分という
認識を持つ存在は伝達可能である。

しかもそれはいくらでも複製可能であるし、また肉体の寿命から
解放され、未来永劫の存在ともなれるのである。

定説です

＞＞　ただすんごい速いロケット（光速なみ）に乗って１年旅して戻ったら
地球時間は数十年たってるってのはありうる
　たとえば、光速の乗り物に乗れた場合時間と比例して、細胞活動も遅くなるんですか？
あと、相対性理論なんだけど、光の速さは、地球でも月でも同じ速さなんですか？
ものを認識する速さと、光の速さはどちらが速いのですか？　ただ単に、地球の
回転する速さ＋−○kmの範囲では、時間の進む差が余りなく、光速で動くものには
光速で動く世界に別の時間が存在して、人の動きなんかもその各時間に左右される
てことですか？

>>157
逮捕する！

>>1
3になったら困るでしょ。

エジソンが「１＋１はなんで２なの？」と先生に言って基地外扱いされた逸話が
今の今まで語り継がれて、いろんな小説なり漫画なりに勘違い青春してる主人公が
勉強したくない言い訳としてよく使われるよね。これ。
思うに「数学」というものをわかってないよね。こいつらって。泥団子を２つくっつけたら
１つになったから１＋１＝１だとか、くだらない。
数学は、自然界に起こっている物事を系統立てて理解するために現実とは全く切り離された
概念なのに、ケーキを半分に切っても量が変わらないから1/2=1だとか、あほすぎる。

ふぉふぉふぉ

１＋１は２、これ常識。

>>130
遅レスだがπ=3だとかいってる奴は馬鹿すぎだろ
ゴミ以下だね

[定義]
1+1＝2とする
完

>166
詳しいことはしらんが、そんな定義を使ってる学者はいないと思う。

>>162
ブール代数だと1+1=1だって。何の話をしているのか断って話さないと
聞いている方が混乱するだろ。

>>1
泥団子２つを混ぜても１つになるということでしょ？
数は一つでも量は増えるだろ。
さらに言うと、１＋１を１と置いたら、足し算はすべて１になるな。

みんなどうして泥団子なの
はなくそじゃいけない？

>>170
誰か忘れたけど、偉大っぽい人がそれを説いたから。

偉大っぽい人ってキリストか？

だから１+１＝２ってのは定義なんだよ。
太郎君が太郎君であるのに証明は必要かい？

>>173
太郎くん、身分証を出しなさい。

0÷0=∞
っていうのは正しいの？

>>172
エジソンがガキのときに学校の先生に言ったの。
ほんとかどうかはしらないけど、伝記に書いてあった。

add(1,1) =

エジソンみたいにただ否定するのではなく、何故そうなるかについて考えてみれば、
もう少しぐらい頭がマシな奴がいたのだけど。

１＋１の総本山

age

　　　,　.　`'""`'""`'""`'""`'""
　　 ﾐ　　　　　　　　　　　　　　　 ﾐ
　　 ﾐ　 ﾍﾍヘﾍﾍﾍﾉﾉﾍﾍﾍノﾍ　　ﾐ
　　 ﾐ ﾐ　　　　　　　　　　ﾉ　　彡ﾐ
　 「6 ゛　　　　　　　　　　　　　 ″6ﾌ　思　い　メ　こ　ま
　　＼|　⊂・⊃　ｌ　ｌ　 ⊂・⊃　 |／ 　 わ　る　メ　ん　さ
　　　 |　　　　　 (・ ・)　　　　　 |　 　　 な　と　ク　な　か
　　　 |　　　　　_ヘヘ _ 　　　　 | 　　　か .は　ラ　所
　　　 |　　 　　 ヽ￣-'　　　　　ﾉ 　　　 っ　　　ゲ　に
　　　 ＼　　　　　　　　　　　ノ 　　　　 た　　　が
　　　　　　 ￣|￣ ￣￣|￣
　 ────┤　　　　├──── 、
|　　　　　　　 ｰ　　　　　ｰ　　　　　　 |
|　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ／　ヘ
＼　　　　＼　　　　|　　　　　　 |／　　　　 ヨ
　 ＼　　　　＼　　 |　　　　　／　　　　　　ヨ
　　　＼　　　　＼ 人　　　／　　　 ／ |￣
　　　　 ＼　　　　　　　　　　　　／　　|

１＋１の総本山

age

ねじ式 age

>>142がいいこと板！
この板は>>142で終わってなきゃいけなかったんだ！
ちなみに三角形の内角の和の証明は直線の角度の定義だけじゃ補えないね。

１年３ヶ月か、まあまあの長寿スレだな（w

５０８。

１＋１＝２

　Ｈ＿２　＋　Ｈ＿２　＝　２　Ｈ＿２
　Ｏ＿２　＋　Ｏ＿２　＝　２　Ｏ＿２
　Ｎ＿２　＋　Ｎ＿２　＝　２　Ｎ＿２

２＋１→２＋？

　２Ｈ＿２　＋　Ｏ＿２　→　２　Ｈ＿２Ｏ　＋　？

？＝φ

スレ違いかも知れませんが、
−×−＝プラス　になぜなるのか教えてください。

>>196
マイナスは加法群の逆元を求める演算子なので
逆元の逆元を取ると元に戻る。

>>1
1と1は量的に同じもの
しかし2つあり、別のもの
+とは、その2つをつなぐ記号

2とは1+1の省略語に他ならないのでR

別に1+1が2に変化しているわけではない

過去ある1+1=2のスレで
すばらしく良すれ

>>1
たぶん、もうちょっと根本的、というよりも
原理的に考えないとあなたみたいなのは納得できないんじゃないかなぁ。
そもそも何である対象が数として扱えるか分かってますかー？
音楽の12律にしても、電話番号にしてもいろんな物が
数によって表現できてるわけですけど。

>>197
　逆の逆だから…くらいの理解でいいんですよね？？

　例えば借金したとして、手元にあるお金として考えると「＋１００円」
だけど、返さなくちゃいけないお金として考えると「−１００円」。
　どっちとして捉えるかで「−×−」は成立すると考えたんですが、
間違ってますか？？
　とある数学のＨＰで「全然理解してない」と、言われたんで気になって
仕方ないです…。
　それとも、>>1さんが言われてたように、現実と照らし合わせちゃいけないの？？

単位をつけちゃうと（現実と照らし合わせちゃうと）
1+1=2
にならないものはたくさんある。

>>202

1t+10kg=2tになるはずねーだろ
数学の法則を最初から無視した発言してんじゃねーよ！

1+10=2　だなんて誰も言ってませんが？
新定説？

速度って1+1=2にならないんじゃなかったっけ？
お〜い物理屋〜！

あげ

>>205
光速の相対速度が秒速３０万キロ超えないってやつね。
その式思い出したいと常々思っていたんだけれど、
いないかね書き込んでくれる人。

速度の合成公式は(u+v)/(1+uv/c^2)。
uとvが２者の速度。cが高速。
uおよびvが十分小さい時は近似式u+vで代用する。

その場合は「1」が純粋な数でないか、それとも
「＋」が加法としてのプラスでなく単なる日本語に過ぎないから２じゃないんでしょ

209が「純粋な数」をどういう意味で使っているのかはわからないが
速度の合成式は、１＋１が２にならない例というよりは
長い間ごく自然に自明的にまた実験的に加法であると信じられていた
速度の合成が、後になって他式に修正された例だと考えられる。

たとえ速度においても１＋１が２であると考えても、問題はないのだが、
その計算結果には速度が合成されたものという意味はないということ。
ただし、速度の合成に加法がよい近似式として広く用いられていることに
ついて否定するものではない。

「スカラー量」って言葉使うの自信なかったから純粋な数って
言っちまったが、かえって逆効果だったな。

>>196
>スレ違いかも知れませんが、
>−×−＝プラス　になぜなるのか教えてください。

一×一＝一　マイナスのような気がしますか？(^_^)/

そう定義されているからではないのか？
この場合、“＋”も同様にこの演算に関しては定義されていると見なせるのでは？

とりあえず１は童貞

すべては概念。以上。

０の次に１、１の次に２を、０と１の間隔と等間隔のところに定義したから。

>>212
　マイナスに見えます…。でも基本的には、反対の反対だから＋かな…
という程度に理解してて、まあそんなもんかなと思ってます。
　どうしても引っかかるのが>>201に書いた事です。もし、私がもらった、
「理解してない」という返事の意味がお分かりでしたらどうか教えてください。
　もう半年くらい悩んでます…。よろしくお願いします。

>>208
ありがとうございます。

>>196>>212
ここに、へその位置を基準にした四つの文を示す。
立ったとき頭の方は空を指す
立ったとき足の方は地を指す
逆立ちしたとき頭を指せば地を指す
逆立ちしたとき足を指せば空を指す
立つ＋、逆立ち−、足−、頭＋とすれば、さらにそこから考えて順に、
＋Ｘ＋＝＋{既知}
＋Ｘ−＝−{<=空と違う地}
−Ｘ＋＝−{上に同じ}
−Ｘ−＝＋{＋Ｘ＋と同じ'空'なので＋}
{}内は説明。

>>217
>
>一×一＝一　マイナスのような気がしますか？(^_^)/
↑　↑　↑
いちいちいち

やっぱり、いちはプラスじゃないのかな？

>>218
　お〜…なるほど、面白いですね〜！！
　と、すると、私が「理解してない」と言われた以下の疑問。

　例えば借金したとして、手元にあるお金として考えると「＋１００円」
だけど、返さなくちゃいけないお金として考えると「−１００円」。
　どっちとして捉えるかで「−×−」は成立すると考えたんですが、
間違ってますか？？

　これは使い方の問題と、そうなる理由の問題で、すりかわってしまっているから
「理解してない」と言われたのだということでしょうか？？

>>219
　なるほど〜。なんとなく懐かしいひっかけですね（ｗ　　

超遅レスですが。

>>200
>音楽の12律にしても、電話番号にしてもいろんな物が
>数によって表現できてるわけですけど。

12律ってただ倍の周波数までを分けただけですよね？
なんで12？
ヲぬきの5音階やインドネシアの7音階..
数学的に意味が？

すみません、スレ(板？)違いか..
頭悪いな漏れ。

音階は基音の倍音の部分集合だと思うが‥
すべての民族的音階もそうなのかどうかまでは知らない
数学と音楽の関係スレ
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1026495885/l50
できいてみ？

保守

>>222
倍音の意味が分かってる？
自然倍音の第ｎは基音のｎ+1倍の周波数を持つ。
だから、オクターブの違いを無視すればどんな高さの音にでもいくらでも近い倍音がある。
ただしこれは極限の話であって、当然無理数倍の周波数の音は含まれない。
だから、いくらでも近い音があっても、平均律でも厳密には倍音の部分集合には含まれない。

じゃー１＋１＝２にならないことを証明してみなさい。

下のページを見なさいよ

http://imai48.hp.infoseek.co.jp/japanese/shizensu/no001.html

>>227
-----------------------------------
☆おしらせ☆
2ちゃんねるでは今井屑爺には数学のレスをつけないことに決定しました。
まともに相手にするにはあまりにも低レベルですから。
数学以外の次のようなレスが推奨されます。

・「今井ダニ爺はさっさと氏んでください。」等の今井に対する誉め言葉
・トンデモの研究を主眼としたまじめな議論
・能登半島の地理的研究
-----------------------------------

ヤフーではこんなスレッドはありませんよ。全員卒業です。

卒業せずにウジウジするのが好きなのです。へラ#のように。

>>229=今井爺
煽る暇があったらまともな数学の話をしろ。出来ないなら消えろ。
「☆おしらせ☆」が読めないのかい、じいさん。

あげ

あげ

１+１って定理なんですか？

おおっ！
すでに>>2がすばらしすぎる証明やってるやないか。
ところで>>234で書いたこと撤回ね。
こんな汎用性のないものが定理なわけねー。

泥団子の話。

「泥から成る球状の塊」１個を”泥団子１個”と定義する。
（この定義においては、塊の持つ質量や体積は意味を持たないことに注意）

「泥団子１個と泥団子１個を完全に混ぜ合わせ新たに泥団子１個を作り出す操作」
を、”泥団子和”として定義する。

今、略式の表現として、泥団子１個を”１”と表わし、泥団子和を”＋”と表わすことにすれば、
定義より明らかに、１＋１は１になる、という結果が導かれる。
この意味で、１＋１＝１というエジソン少年の主張は正しい。

しかし、上で述べたような定義は、学校の先生が言うところの”１”および”＋”の定義とは異なるため、
これによって学校の先生の主張（１＋１＝２）が否定されることにはならない。

もしエジソンが以上のようなことを全て承知の上で１＋１は１であると主張したとするなら
彼は救いようの無い粘着である（先生をイビるための行動とも取れる）と思われるし、
そうではなく何の考えもなしに１＋１は１であると主張したとするなら、幼くして
自身の抽象的思考の限界に至ってしまった哀れなガキであると思われる。

119 名前：１３２人目の素数さん 投稿日：2001/11/03(土) 16:14
70 名前：Nanashi_et_al. 投稿日：01/11/02 11:00
俺は基礎論専攻だったけど、>>32のリンク先で、
「１＋１＝２は要請だから証明出来ない」なんて言っているのはおかしい。
数学者ではあっても、基礎論を知らない人だと思う。

各自然数の定義は、超大雑把だが、以下の様な感じ。
（「序数」という言葉は便宜的に使っただけなので、あまり深く追求しないで）

0の存在は公理で認める
1の定義⇒0の次の序数
2の定義⇒1の次の序数
3の定義⇒2の次の序数
・・・・・
というのが定義。「2とは1+1の和の事である」なんて公理・要請は見た事が無い。

次に＋の定義（帰納的定義）
　�@x＋0＝x
　�Ax＋yが定義されている時、「x+(yの次の序数）」＝「(x+y)の次の序数」と定義する。

・1+1の値を求めてみる
　�@1+0=1
　�A1+0が定義されているので（1+0=1）、
　　1+1＝1+(0の次の序数）=(1+0)の次の序数=1の次の序数=2

この＋の定義の仕方で、通常の１＋１＝２の他、
１＋１＝１になったり０になったり３になったりもする。


↑において
1+1を1の次の次の序数、つまり3にできる+の定義が分からん

219 名前：209 投稿日：2001/11/11(日) 00:24
>>119は定義としてなかなか良いと思うけど疑問が。
０，１，２，３までは定義されているからいいとして次に・・・のところは
４の定義だろうと予測されるけどここで０，１，２，３，４，・・・と順序が
決まっているということを使ってる。自然数が定義出来ていないのに順序が
判ってるのはおかしくない？なぜ０が初めで次が１で次が２で次が３で次が４なの？
この順序は自然数の定義の前に決めておくということ？

221 名前：１３２人目の素数さん 投稿日：2001/11/11(日) 01:04
>>219
お前が望むなら、
　０，１，２，３，厨，房，逝，っ，て，よ，し，・・・
というふうに定義してもいいが？

222 名前：> 投稿日：2001/11/11(日) 01:09
>決まっているということを使ってる。自然数が定義出来ていないのに順序が
>判ってるのはおかしくない？なぜ０が初めで次が１で次が２で次が３で次が４なの？
>この順序は自然数の定義の前に決めておくということ？
119あたりの話は
なぜも何も
1. 0　は　自然数
2. x が　自然数のとき　succ(x) も　自然数
みたいに自然数を定義してるだけの話

そうきめたあとは
めんどくさいから　succ(0) を１という　シンボルで表記する
succ(succ(0))を　２というシンボルで表記する
succ(succ(succ(0))) を　３と表記する
　　　　　　　　　succ(succ(succ(succ(0)))) を　４と表記する
みたいな発想
天下り的に 1,2,3,4 の順序がきまってるわけではなく
記号をそうわりあてたということ。

224 名前：209 投稿日：2001/11/11(日) 01:35
>>221 >>222
それなら０，１，厨，房，逝，っ，て，よ，し，・・・ も可だと思うけど。
そうすると１＋１＝厨となるので１＋１＝２が証明できないけど。

230 名前：１３２人目の素数さん 投稿日：2001/11/11(日) 02:00
>>244 の側に立って、>>222を読めば、
「succ(succ(0))を　２というシンボルで表記する
つまり、2はそう定義されてるから、1+1=2 である。」
と言えなくもないし、これが限界っていう人もいるだろう。

このスレでは、「1+1=2」を見て、「succ(0)+succ(0)=succ(succ(0))ことだよ」
といってるわけだから、1とか2なんかの記号の意味は問題じゃないの。

364 名前：スレ違いレスの転載（校正済） 投稿日：2002/03/16(土) 14:14
1=0.9999999999999999999999999999・・・
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/1004837995/308-312

308 名前：１３２人目の素数さん 投稿日：2002/03/14(木) 20:30
ここの住民に聞きたいんだけど、
１＋１＝２
の証明出来る？もちろん完全なね。

309 名前：１３２人目の素数さん 投稿日：2002/03/14(木) 21:11
(1) Q5
　　　Q |- ∀x∀y[x+S(y) = S(x+y)]
(2) 1, UI
　　　Q |- S(0)+S(0) = S(S(0)+0)
(3) Q4
　　　Q |- ∀x[x+0 = x]
(4) 3, UI
　　　Q |- S(0)+0 = S(0)
(5) =fn.
　　　Q |- ∀x∀y[x = y → S(x) = S(y)]
(6) 5, UI
　　　Q |- S(0)+0 = S(0) → S(S(0)+0) = S(S(0))
(7) 4, 6, MP
　　　Q |- S(S(0)+0) = S(S(0))
(8) 2, 7, ∧I
　　　Q |- S(0)+S(0) = S(S(0)+0) ∧ S(S(0)+0) = S(S(0))
(9) =trans.
　　　Q |- ∀x∀y∀z[x = y ∧ y = z → x = z]
(10) 9, UI
　　　Q |- S(0)+S(0) = S(S(0)+0) ∧ S(S(0)+0) = S(S(0)) → S(0)+S(0) = S(S(0))
(11) 8, 10, MP
　　　Q |- S(0)+S(0) = S(S(0))

374 名前：文系学部生 投稿日：2002/03/18(月) 11:38
>>364

↓こんな感じですか？
5と9が解らなかったので教えて下さい．

以下，公理系Qにおいて証明する．

1
公理Q5により，任意の自然数x，yについて，
(xと(yの次の自然数)との和)と((xとyとの和)の次の自然数)とは等しい．

2
1，全称特例化により，
((0の次の自然数)と(0の次の自然数)との和)と(((0の次の自然数)と0との和)の次の自然数)とは等しい．

3
公理Q4により，任意の自然数xについて，(xと0との和)とxとは等しい．

4
3，全称特例化により，((0の次の自然数)と0との和)と(0の次の自然数)とは等しい．

5
=fn.?
任意の自然数x，yについて，xとyとが等しいならば，(xの次の自然数)と(yの次の自然数)とは等しい．

6
5，全称特例化により，((0の次の自然数)と0との和)と(0の次の自然数)とが等しいならば，
(((0の次の自然数)と0との和)の次の自然数)と((0の次の自然数)の次の自然数)とは等しい．

7
4，6，肯定式により，
(((0の次の自然数)と0との和)の次の自然数)と((0の次の自然数)の次の自然数)とは等しい．

8
2，7，連言の論理記号の導入により，
((0の次の自然数)と(0の次の自然数)との和)と(((0の次の自然数)と0との和)の次の自然数)とは等しく，
かつ，(((0の次の自然数)と0との和)の次の自然数)と((0の次の自然数)の次の自然数)とは等しい．

9
=trans.?
任意の自然数x，y，zについて，xとyとが等しく，かつyとzとが等しければ，xとzとは等しい．

10
9，全称特例化により，
((0の次の自然数)と(0の次の自然数)との和)と(((0の次の自然数)と0との和)の次の自然数)とが等しく，
かつ，(((0の次の自然数)と0との和)の次の自然数)と((0の次の自然数)の次の自然数)とが等しいならば，
((0の次の自然数)と(0の次の自然数)との和)と((0の次の自然数)の次の自然数)とは等しい．

11
8，10，肯定式により，((0の次の自然数)と(0の次の自然数)との和)と((0の次の自然数)の次の自然数)とは等しい．


375 名前：１３２人目の素数さん 投稿日：2002/03/19(火) 16:28
>>374
その通りです. 5と9も読めてるじゃないですか.

Qはロビンソン算術と呼ばれる公理系.
公理Q4, Q5は2変数関数+の定義.
=trans., =fn.は2変数述語=の定義の一部 (あるいは, =を定義する公理から
導かれる定理. =trans.を特に推移律と呼ぶことがあります).

376 名前：375 投稿日：2002/03/19(火) 17:20
> S(0)+S(0) = S(S(0))
> ((0の次の自然数)と(0の次の自然数)との和)と((0の次の自然数)の次の自然数)とは等しい

S(x)にあたる日本語として「xの次の自然数」という言葉を使いたくなります
が, その「次」という概念の定義に「x+1」は必ずしも含まれません.
任意の集合Aに対するA∪{A}という操作によって自然数を
　0 := φ (空集合)
　1 := 0∪{0} = {0}
　2 := 1∪{1} = {0, 1}
　3 := 2∪{2} = {0, 1, 2}
と定義し, 1変数関数Sを
　任意の自然数Aについて, A∪{A}をS(A)と表す
と定義します. ここからただちに
　1 = S(0)
　2 = S(S(0))
　3 = S(S(S(0)))
が導かれますが, 「x+1」はまだ登場しません. これに+の定義
　(Q4) ∀x[x+0 = x]
　(Q5) ∀x∀y[x+S(y) = S(x+y)]
を加えてはじめて
　x+1 = S(x)
が (任意の自然数xについて, 特にS(0)について) 証明されます.

377 名前：１３２人目の素数さん 投稿日：2002/03/19(火) 17:21
S(x)はあくまでS(x)であって「xの○○」にあたるような日本語は無いって事かな

379 名前：１３２人目の素数さん 投稿日：2002/03/19(火) 17:35
>>377
その通りですね. 普段から使っている算術をわざわざ証明するために
いろいろな概念を基本にまで分解するので, 日常使っている日本語の
言葉使いが邪魔になることが (例えば推論の飛躍の原因になるとか)
あるのかもしれません. もちろん, 日常の言葉使いがおおよそ正しくなる
ように定義や公理を導入するのですが.

419 名前：１３２人目の素数さん 投稿日：2002/07/13(土) 22:42
>>119 が解りやすかったYo-
でも、>>122 の

＞結局1+1=3であると同時に1+1=2というオチだった。

がよーわからん。

十の定義（帰納的定義）を
　�@ x十0＝x
　�A x十y が定義されている時、
「x十(yの次の序数)」=「(x十y)の次の次の序数」と定義する。

とすれば、

　　x十y = x+2*y

なる（交換律も結合律もみたさない）２項演算「十」が導入できて、
1十1= 3 となることまではわかったんだが…
（亀ﾚｽ ｽﾏｿ）

422 名前：１３２人目の素数さん 投稿日：2002/07/14(日) 16:27
>>421

>>119 や >>415 を見れば、
「自然数＝序数、すなわち、「次のもの」が明確に定義されたもの。
であり、その中に加法 + は自然に定義できる」
ということのようだが。

じゃ、「りんごが１コ、２コ、、、、、１００コ」
というときの「個数」という概念はどう成立しているのかね？

ついでに、乗法の定義は見つからんが、これって、「個数」の概念を
抜きにして成立しうるのか？


423 名前：１３２人目の素数さん 投稿日：2002/07/14(日) 17:44
「個数」という概念がどんな物か、
特に>>119>>190>>364だけじゃ足らない部分を説明してくれれば答えられるかもね。
あと、掛け算を帰納的に定義する際にその「個数」の概念とやらを使わなきゃいけないかも教えてくれ。

*の定義
・x*0=0
・x*(yの次の序数)=x+x*y

424 名前：１３２人目の素数さん 投稿日：2002/07/14(日) 18:18
>>119 って結局、
(0からx番目の物)＋(0からy番目の物)＝(0からx番目の物)のy後ろの物
と定義するわけだろ。
これと
ｘ(個)＋ｙ(個) ＝ ｘとｙをあわせた個数
の間にギャップを感じるのよ。

＞　*の定義
についてはThanx. 定義自身は問題なさそうだな。

＋に比べると、「(0からx番目の物) の (0からy番目の物) 倍」
というもに実感が伴わないんだよ。
（りんごが）「ｘ個入った袋が y 個ある」とは、
直接は結びついていないだろ。

425 名前：１３２人目の素数さん 投稿日：2002/07/14(日) 18:48
ギャップを埋めるために1+1=2を証明してるんじゃないのか？
あと「x*(yの次の序数)=x+x*y」ってのは直感を結構表してると思うけど。

426 名前：１３２人目の素数さん 投稿日：2002/07/14(日) 19:05
>>425
＞ギャップを埋めるために1+1=2を証明してるんじゃないのか？
そうなの？
それに、1+1=2　って「証明するもの」なのか？
119 では 0 からはじめているから、帰納的な手順が少し必要で
｢証明｣したような気分になれるが。
415 ように 1 から始めれば、
[1] 1+1 = 1' と定義する。
[2] 1' を 「2」と書く。(あるいは、 2 =1' と定義する)

で定義そのものだと思うが？

427 名前：１３２人目の素数さん 投稿日：2002/07/14(日) 19:19
415は
＞[1]a+1 を a'とする。( a がどんな自然数であっても、 a に 1 を加えたものは a の後者 a' に等しい。)
の部分、もしペアノの公理系使うんだったら、ここに証明いるけどね。
「1+1=2と定義する」も「それぞれの記号が何を意味しているか」を定義しなきゃいけないから
そうやって戻っていくと結局は「1+1=2」、もしくは「1+1≠2」をが導かれる事になるよ。

「証明」したような気分になれると言うけど、
「1+1=2」を証明するのも「x^(n+2)+y^(n+2)=z^(n+2)を満たす自然数x,y,z,nは存在しない」も
定義と公理から命題を導いてるのには変わらなくて、証明した気分になれるかどうかなんて
単なる主観だよ。


429 名前：１３２人目の素数さん 投稿日：2002/07/20(土) 14:24
・x*0=0
・x*(yの次の序数)=x+x*y
ってのは*の定義なんだから直感を表してるとかいってもしょうがない

444 名前：１３２人目の素数さん 投稿日：2002/07/31(水) 20:36
１．自然数の体系
　まず、自然数とは何かと突き詰めていくと、次の公理を満たすものであることが分かる。
　集合N、その中の一つの元0（今は便宜上集合Nにゼロを含めて考える。そうしたところで「１＋１＝２」の証明には何ら差し支えない）、および写像 s：N→N の組 (N,0,s) が次の公理を満たすとき、Nの元を自然数と呼ぶ：
(P1) s：N→Nは単射である。
(P2) 0はs(N)に含まれない。つまり任意のn∈Nに対してs(n)≠0
(P3) S⊂Nで、0∈Sかつs(S)⊂S（すなわちn∈Sである任意のnに対してs(n)∈S）ならば、S=Nである。

　これを「Peanoの公理」という。これから先の話はこれを前提として話を進める。
　新しい用語として、n∈Nに対してs(n)はその「後継者」、写像sは「後継者写像」と呼ぶことにする。
２．帰納的定義の原理
　以下に述べる定理が、これからの全てのキーとなる。この証明のよりどころは上記Peanoの公理のみである。

【定理１】Xをひとつの集合とし、Xの一つの元xと写像t：X→Xとが与えられたとする。その時次の性質（１）（２）を持つような写像f：N→Xがただ一つ存在する：
（１） f(0)=x
（２） 全てのn∈Nに対して f(s(n))=t(f(n))

（証明）本来これが全てのよりどころなので、証明すべきであろうが、あまりにも長く難解なので、証明はfiubengaさんの言うとおり本に譲りましょう。

　この定理から特に、Peanoの公理の完全性、すなわち公理を満たすべき体系は一意的であることも示される。

３．自然数の加法
　定理１を用いると、自然数の体系に加法を定義することが出来る。

つづく

445 名前：１３２人目の素数さん 投稿日：2002/07/31(水) 20:37
【定理２】mを与えられた自然数とするとき、
(A1) f_m(0)=m
(A2) f_m○s=s○f_m
を満たす写像f_m：N→Nが一意に存在する。

（証明）定理１においてX,x,tをN,m,sとして適用すればよい。（終）

　任意のm,n∈Nに対してf_m(n)をm,nの「和」とよび、「m+n」と書く（この時点では我々のなかの「当たり前」、例えばm+n=n+mのような法則が成り立つかどうかはまだ未知である。それをこれから確認していく）。条件(A1)(A2)によって
�@　　m+0=m
�A　　m+s(n)=s(m+n)
である。またNの恒等写像も明らかに(A1)(A2)を満たすから、全てのnに対して
�B　　0+n=n
である。さらに少々面倒な計算の後
�C　　s(m)+n=s(m+n)
も導ける。これら�@から�Cによって、我々の「当たり前」すなわち「交換律」m+n=n+m、「結合律」(l+m)+n=l+(m+n)という、自然数に於けるもっとも基本的な法則を導くことが出来る。すなわち

【定理３】自然数の加法は交換律、結合律を満たす。

（証明）上記�@から�Cによるが、少々長くなるので割愛。

つづく

446 名前：１３２人目の素数さん 投稿日：2002/07/31(水) 20:37
４．「１＋１＝２」の証明
　上記のような予備知識を経て、我々はやっと本題にたどり着くことが出来る。まずその前に「１＋１＝２」の何を示したいのかを考えておく。それは、
　　（＊）『「１」の後継者が集合Nのなかに存在する』
ということである。「２」という記号はあくまで「記号」であって、重要なのはその「２」という「記号」によって表される数が、きちんとPeanoの公理に基づき、集合Nのなかに存在するかどうかである。

　さて、s(0)、つまり「0の後継者」を「１」という記号で表せば、�@�Aによって
�D　　s(n)=n+1
である。すなわち『後継者写像sは、“「１」を「加える」写像”n→n+1 に他ならない』のである。

　ここまでくれば「１＋１＝２」を示すことが出来る。
　s(1)、つまり「１の後継者」を「２」という記号で表せば�Dより
　　s(1)=1+1
　∴ 2=1+1 （証明終）

　以上が証明のアウトラインです。ここまで見てみれば、「１」や「２」という「記号」は全く本質的ではなく、結局（＊）や�Dが一番重要なのである。

以上、つい昨日落ちちゃったスレ、
１＋１＝２である事を証明してみろ！
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1004597379/l50
から使えるレスをサルベージ。

誰も読む気しねぇよ、という突っ込みに震えつつサルベージ。

自分用ポップアップ
>>237>>238>>239>>240>>241>>242>>243
>>245>>246>>247>>248>>249>>250>>251

FAQあげ

よくもまぁ、２年も続いたわ

（＾＾）

さすがのガウスも一歩踏み込みが足りませんでしたねぇ

整数論の本を読もう

(･∀･)ｹﾞﾊﾊﾊﾊ

このスレ読んで思い出した。
15年ぐらい前、小学校1年生の算数の初歩の授業で先生がこんなことを言った。
「１＋１は何かわかるかなー？」
児童は答えた。
「２−！」
先生は問うた。
「えー、何で？１と１を一緒にしたら１１じゃないの？」
児童たちは答えられなかった。
そのあと先生はどう説明したか、覚えていない。

俺がこの先生だとしたら、どう説明するだろう？
小学一年生にわかるように、だ。
…このレベルだと、数学の知識というよりどう上手いこと言って納得させるか、
そういう子供の扱い方の能力の問題だけど。

1のひとつ次は2だからです。

保守

＋１は０から小さい順に並べた自然数の次のものを表すから＋１＋１は０の次の次のものだから１＋１＝２　証明終わり。

１２３４５６７８９ってより大きいものを表すために次々とアラビア数字を作っていったんでしょ
だから１＜２という不等号は１＋１＝２という等号よりも原初的な決まり
だからもしも１＋１＝２を証明以前の観察事実として認めないのならば
以上のように序数論的な考え方から出発して証明すべき

>>263
元々１２３４５６７８９は、大きさを表すものではなく順序を表すものだからね。

この問題、立教の数学科ででてきてな

数学基礎論のような表現になるのだが、
(さらに、既出かもしれないが、)
私が1+1=2の説明をすることにしよう。
{φ}という集合と一対一に対応付けられる集合は、１個の元からなると考え、
{φ,{φ}}という集合と一対一に対応づけられる集合は、２個の元からなると考えられるのだ。
１個の元からなる２つの集合の`直和'をとると、
それは当然{φ,{φ}}と一対一対応が付く。
だから1+1=2なのだ。
(カントルは、ものの個数を、一対一対応によって説明した。)

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おれたちはとんでもない思い違いをしていたようだ。これを見てみろ。
まず a=1 , b=0 と定義する。
このとき (a+a)b=b が成立することは誰の目にも明らかだ。
この式の両辺に b があるので、両辺を b で割るのが当然だ。
すると導き出される式は a+a=0
ここで、最初に定義した値を定数に代入する。
すると導き出される式は 1+1=0

つまり！１＋１はゼロだったのだ…ッ！！

>>268
a+a=0？

<<268
a=1,b=0と定義するならば（１）が成り立つ
(a+a)b=b　（１）　
a+a=0………???
∴ 1+1=0
＜上述の誤りを証明＞
（１）式の両辺をｂで割る
（a/b+a/b）b=b/b＝0
ここで
a/b＝1/0
という分母が0になる数は数学的に存在しない
∴　　1+1≠0はありえない。

俺的に思うに（１）式が成立することはうなずけるが
（１）式のa+aにおける解は無数にあるのでは？
よって（１）式が成立するのは無意味なことなのでは？

>>270
訂正のお知らせ
１２行目の1+1≠0はありえない
ではなく1+1＝0はありえないでした
申し訳ありません。

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おれたちはとんでもない思い違いをしていたようだ。これを見てみろ。
まず a=1 , b=0 と定義する。
このとき (a+a)b=b が成立することは誰の目にも明らかだ。
この式の両辺に b があるので、両辺を b で割るのが当然だ。
すると導き出される式は a+a=1
ここで、最初に定義した値を定数に代入する。
すると導き出される式は 1+1=1

つまり！１＋１は1だったのだ…ッ！！

1＋１＝１なんだ！！！！

粘土か？

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　今なんて･･･？
　　　　　　　　　　　 ,. -─- ､._　　　　　　　　　　　　 　 ,. -─v─- ､._　　　　　＿
　 　 　 　 　 　 ,. ‐'´　　　　　　`‐､　　　　　　　　__, ‐'´　　 　 　 　 　 ヽ, ‐''´~　　 ｀´￣`‐､
　　　　　　　／　　　　　　　　　　　ヽ､_／)ﾉ　　 ≦　　　　　　　　　ヽ‐'´　　　　　　　　　 　 `‐､
　　　　　　/　　　　 ／￣~`'''‐- ､.._　　　ノ　　　≦　　　　　　　　 ≦　　　　　　　　　　　　　　 ヽ
　　え？　i. 　　　／　　　　　　　　 ￣l　7　　　　１　 ｲ/l/|ﾍ ヽﾍ　≦　　　,　,ﾍ ､　　 　 　 　 　 i　　キ
　　　　　　,!ヘ.　/ ‐- ､._　　　　　　　　|/　　　　　 l |/ !　! | ヾ ヾ ヽ_､l　ｲ/l/|/ヽlﾍﾄ､　　　　　　│　　、
.　　　　　 |〃､!ﾐ:　　 -─ゝ、　 　 ＿_ .l 　 　 　 　 ﾚ二ヽ、 ､__∠´＿ |/ |　! |　 | ヾ ヾﾍﾄ､　　　 l　　キ
　　　　　　!_ﾋ;　　　 Ｌ(.:)＿ `ｰ'"〈:)_,` /　　　　 　 rｉヽ_(:)_i　　'＿(:)_/ ! ‐;-､ 　 ､__,._-─‐ヽ.　,.-'､　 バ
　　　　　　/｀ﾞi　　 　 　 　 ´　　　 ヽ　 !　　　 　 　 !{　　　,!　　 `　　 （ } ' (:)〉　　´(.:)｀i　 　 |//ﾆ !　ヤ
　　　　_／:::::::!　　　　　　 　 　 　 ,,..ゝ!　　　　　　 ﾞ!　　 ヽ '　　　　　 .ﾞ! 　７　　　 ￣　　　　| ﾄy'/　 シ
_,,. -‐ﾍ::::::::::::::ヽ、　　　 r'´~｀''‐､　 ／　　　　　　　 !、　 ‐=ﾆ⊃　 　 /!　 `ヽ"　　　　　　 　 ;-‐i´　　さ
　!　 　 ＼::::::::::::::ヽ　　　`ｰ─ '　／　　 　 　 　 　 　 ヽ　　‐-　　 ／　ヽ　 `￣二)　　　 　 /ヽﾄ､　　ん
　i､　　 　 ＼:::::::::::::::..､　　~"　／　　　　　　　　　　　　 ヽ.＿__,.／　　//ヽ、　ー　　 　 　 　　　　　　？

泥団子だろｗ

　　 |丶　　　＼　　￣￣~Ｙ〜　､
　　|　　＼　＿＿　　　　/　　　　＼
　 |ゝ､ヽ　　─　　　　　/　　　　ヽ　|
　│ ヾ　ゝ＿　　　　　　　　　＼　　|
　│　　ヽ＿ ＿ ／　/| |＼　　　＼｜
　　＼ヽ　　　＿ ／/ / |　　＼　　 ｜
　　　ヽ＼二＿二//　∠二二二| ﾍ|
　　　　| | | ヽゝｿゝ|TT|<ゝｿ ﾌ　|/ｂ｝
　　　　ヾ| ヽ＿__ ﾉ/|| .ミ＿＿ ﾉ | ﾉ
　　　　　 | 　 　 　 �凵@　　　　 /ﾌ
　　　　　　|　u　.F二二ヽ　　 /|/
　　　　　　＼. 　 |/⌒⌒|　　 ｲヽ
　　　　　　/. ＼　 ＝＝′／ |.| |
　　　　 ￣|｜　 ヽ＿＿／　　/ /￣
　　　　　　＼ヽ＿＿＿＿＿ノ ﾉ
　　　　　　　　───―――
俺は数学の矛盾を見つけてしまったんだ・・・！！

ちょっとひかえめに言ってみると…
　　　　　　＿人人人人人人人人人人人人人人＿
　 　 　 　 ＞　　　　な　なんだってー！！　　　　＜
　　　　 　 ￣^Ｙ^Ｙ^Ｙ^Ｙ^Ｙ^Ｙ^Ｙ^Ｙ^Ｙ^Ｙ^Ｙ^Ｙ^Ｙ^Ｙ^￣
　 　 　 　 _,,.-‐-..,,_　　　　　　 _,,..--v--..,_
　　　　／　　　　　｀''.v'ν　Σ´　 　 　 　 `、_,.-'""｀´""ヽ
　　　 i' 　 ／￣""''--i 7　　/ ,.イi,i,i,、 、,、 Σ　　　 　 　 ヽ
. 　 　 !ヘ /‐- 、u.　　 |' 　 |　ノ-、 ' ` `,_`　| /i'i^iヘ、 ,、、 |
　 　 |'' !゛　i.oニー'〈oニ! 　 iiヽ~oj.`'<_o.7 !'.__ ' ' ``_,,....、　.|
.　　　,`| u 　 　 　 ..ゝ! 　 　 ‖　 .j　　　　 (} 'o〉 `''o'ヽ　|',`i
_,,..-<:::::＼ 　 (二> ／　 　 　 ! 　_`-っ　 / | 　7　　￣ u |i'/
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　!、＼　 ＼.　,￣　　　　　　　 γ/|￣　〃　　 ＼二-‐' ／／`

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ふっ・・流石だな俺

　　　　　　　,.ｨ , - ､.＿　　 　 、
.　　　 　 ,ｲ/ l/　　　 　 ￣￣｀ヽ!__
　　 　 ﾄ/ |'　{　　　　　　　 　 　 　 ｀ヽ.　　　　　　　　　　　 ,ﾍ
　 　 Ｎ│ ヽ. `　　　　 　 　 　 　 　 　 ヽ　　 　 　 　 /ヽ　/　 ∨
　　 N.ヽ.ヽ、　 　 　 　 　 　 ,　　　 　 　 }　　　　l＼/　　`′
.　　ヽヽ.＼　　　　 　 　 ,.ｨｲﾊ　　　　 　 |　　 ＿|
　　 ヾニｰ　__　_　-=_彡ｿﾉ u_＼ヽ、 　 |　　＼　　　つまり！
.　　 　 ￣ﾞr=<‐ﾓﾐ､ﾆr;＝=ｪ;ｭ＜_ゞ-=7´ヽ　　　>
.　　　　 　 l 　 ￣ﾘーh ｀ ｰ‐‐'　l‐''´冫)'./　∠__　　
　　　　　　 ﾞiｰ- ｲ'__　ヽ､..＿__ノ　　 ﾄr‐'　　　　/　　ageるんだよ！
　　　　　　　l　　 `＿__,.、 　 　 u　./│　　　　/＿　
.　　　　　 　 ヽ.　 }z‐r--|　　 　 ／　 ﾄ,　　　 　 　 |　 ,、
　　　　 　 　 　 >､`ｰ-- '　　.／　 ／　|ヽ　　　　　l／　ヽ　　 ,ﾍ
　　　　　　_,.／| ヽ`ｰ--‐ _´.. ‐''´ 　 ./　 ＼､　　　　　　　＼/　ヽ/
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IQ170だと嫌でも思いついてしまうんだよ・・・では諸君の健闘を祈る・・

>>272-281
あんたの言っていることはようわかったからとりあえず
270よっく見てから考え直してくれや・・・。

>>281
お前は, 低俗なAA張りたいだけちゃうんかと, 問い詰めたい, 小i(回線が切断されました

>>272
ﾜﾛﾀ

>>1
公理だから

1+1=2を証明したとして、その証明が正しいことを
どうやって証明するのですか？

数学は単なる記号体系。言語体系と同様に定義によってその前提が成り立つだけ。

（＾＾）

重複スレがagaってたので保守age

1AND1=1
1OR1=1
1XOR1=0
1NOT=0
炉利演算CC名無したん

>>1
それはね、そんなに簡単には説明できないから数百ページにわたって
証明している（しようとしている）本があるからそれを見て分からない
所は教授に尋ねよ。

（＾＾）

1＋1＝10

だからさ、1+1=2になるかどうかってのは、ペアノの公理などについて、
公理を採用するのかしないのかの話であって、証明するとか、証明可能・不可能
の問題じゃないだろ。

だれだ？
「証明」なんかしてんのは。
恣意的に採用した公理の同値変形じゃん。

1の質問は、恣意的に採用した公理系を同値変形してそれを証明とせよ、
ということでは全くないだろ。
「なぜ、１＋１＝２が成り立つ様な公理系を採用するべきなのか。
そうでない可能性は本当にないのか。」
と読み替えるべきである。

なんだか香ばしいヴァカがいるな・・・。

一＋一＝二

1の質問は実に深淵であり、「我々は本当に実数を使うべきなのか」
「和の概念が無くとも実用的な算術は成立するのではないか」などの
哲学的なテーマをはらんでいるのであり、記号論理の出る幕じゃないな。

− + ＿ = 二

ファジー工学でも・・・

>>299
はぁ？ (ﾟДﾟ)ﾊｧ?

>>297 >>300
４〜５回「＋」するとどうなんのそれ？

なんだか一名ついて行けないやつがいるみたいだな。

>>304
2 の定義を述べよ。

>>305
2ってなに？

2が自然数を意味する必然性はどこにもないし、その恣意を理解しないで
論理展開をすると、恣意的に選択した公理の同値変形を見せる証明となる。
でも、それって情報量ゼロだろ。
変形に過ぎない。

だから1+1=2になるのはなぜか、という文章を見て、
脊髄反射で証明を考えようとすること自体終わってんだよ。

問われてるのは公理を採用する妥当性・実用性・意味などだ。
証明始めるやつは知性がない。

수리논리학

>>306-308
そんな話は、既に >>3-4 あたりで終わっている。

そろそろアフォは氏ね。

수학

>310
4は1や2に実数以外の意味がないと勝手な想像を押しつけているな。
あまりに恣意的。
3は良い質問だが、1自身が明確に1,2,+,=の定義を持っているかどうかは不明だ。
だから1の定義を元に１の出す命題を証明しようというコンセプト自体が成り立たない。
１は恣意的に与えられた実数・自然数を受け入れると言っているわけでもないし、
かといって自分なりの明確な定義があるとも行っていない。

１が言いたいことは、既存の概念にとらわれずどのような定義が可能で、
意味があるのかということだ。

つまりそれを一緒に考えようという質問だと解釈できる。

つまりだ。
未定義＝証明不能≠ゼロ情報
なんだよ。

>>313
で？だから？お前は何を >>1 に教えてやれるって言うんだ？

>>313
君のレスが最も恣意的なわけだが。

たとえば、四則演算がすべて成立していなくとも交易が可能であった時代の実例などや、
実数体よりも一般的な代数系で実用的な演算が可能である例を示すとか。

その上で1+1=2が成立しているような、自然数体とか実数体は違う代数系を提案するとか。

>>313
1 やら 2 のような一般的な記号をわざわざ使ってまで、
何の定義も与えずに、別の概念と解釈しようという人間の思考こそが
正に恣意的であると、たった今証明されたわけだが？

>>316
そんなものは、当の昔に語られているわけだが、ニモカカワラズ、
君は一体何故、そんな偉そうにものが語れるのかね？

匂うよ〜！すごく臭うよ〜！

くさいよー

このスレ、１の次はいつも２だよな？>>all

>>321
「いつも」の意味がわからん

スレッド立つごとに

>>323
このスレ？

数を全く使わずに買い物をする手法を考えよう。
そしたら自然数体なんかとはおさらばだ。

自然数体って何？

>326
買い物中に、ものの値段やおつりが硬貨・紙幣で表現できない金額になったことあるか？

>327
マジレス
消費税

>328
消費税は脳内では小数点ですが、実際の商取引では
四捨五入されてちゃんと自然数体の元になってる。

>>329
円レート

>330
145円30銭とかってどうやって払うの？
よくわからん。

>>329
自然数体って何？

自然体が一番だね！

>332
四則が通用する自然数の代数構造。
割り算の答えは四捨五入される体系なので割り算の答えも自然数体の元になってる。

334 名前：１３２人目の素数さん 投稿日：03/04/19 01:13
>332
四則が通用する自然数の代数構造。
割り算の答えは四捨五入される体系なので割り算の答えも自然数体の元になってる。


　　∧_∧　ｯﾊﾟｼｬ　ｯﾊﾟｼｬ
　　(　　 )】 　
　　/　 /┘　＜(･∀･)ｲｲﾖｲｲﾖｰ
　ノ￣ゝ 　

演習問題：自然数全体が体をなすことから、1=2を証明せよ

1=1/2+1/2=1+1=2 //

実際この計算は正しいぞ。
通貨体系においては1=2であることが可能だ。

ハッキングで銀行口座の金額の小数点以下の金額を、
収支に矛盾無くかすめ取って多額の現金を取得したという事件がある。
1=2どころか、0=１００万とかですらある。

演習問題2：自然数全体が体をなすことから、ひろゆきがローマ法王であることを証明せよ

ていうか自然数全体がっつー時点でドキュソな訳だが。
加法・乗法・逆元の定義次第ではちゃんと体になる。
もちろん=も定義し直す必要があるが。

=の定義を変えるんじゃあ残念ながらもはや自然数とは呼べない

自然数体における=の定義
a=bであるとは、f(a,b)=|a-b|が0≦f(a,b)<0.5を満たす時を言う。

推移律は？

>344
1=2=3だから全然おっけー。

それ以前に、f(a,b)=|a-b| の=はどう定義されているんだよ

>>341
おいおい、自然数の定義を変えればそりゃなんだって出来るよ
ペアノの公理を満足させたままやってみろボケ

>1　はまだ1+1が解らないの？
へーそうなんだ。
でも心配しなくても大丈夫だよ。
俺も赤ん坊のころは知らなかったんだからさ。
がんばって勉強してくれたまえ。

1+1=3 でもいいじゃないか
3が我々の世界の3の量を持ってるわけではない。

>>337
＞1=1/2+1/2
ここですでに間違っている

「数える」と「合わせる」は別。
まず数え方を習う。
その後に、「合わせると幾つになるか？」という問題が成立する。
（自然）数の数え方が分かっているとして、「ここにミカンが・・以下略」
で、「では幾つになったか数えてみましょう」
「イーチ、ニー」
「ハイ、二つになりましたね。」
ということでしょう。

自然数の順序を個体の量の大きさにあてはめることで成り立つ。

個体の量の大きさ？

なるほど。では自然数体における=の定義は、
a=bであるとは、f(a,b)=|a-b|が0≦f(a,b)≦0.5を満たす時
でよろ。

個体数でいいのですが、これは順序ではなく量でしょう。

A,B が有限集合のとき A から B への全単射を指示するのが数えることかもね。

　　 ∧＿∧
　　（　　＾＾ ）＜ ぬるぽ（＾＾）

規則に従い限りなく「数」を数えていくことができる。
指差しながら数えるということで、
１を起点として順番に生成された数から
一山のミカンへのmappingをしていることになる。

お前ら凄いなｗ

2年前からやってるんだなｗ

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このスレは氷山の一角に過ぎないんだけどね

ほしゅったらageろ！

重複スレageるバカがいたのでage

age age

━―━―━―━―━―━―━―━―━[JR山崎駅（＾＾）]━―━―━―━―━―━―━―━―━―

　　　 　∧＿∧
ﾋﾟｭ.ｰ　(　　＾＾ ） ＜これからも僕を応援して下さいね（＾＾）。
　　＝〔~∪￣￣〕
　　＝ ◎――◎ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　山崎渉

15

数学は使えネーナ

The proof starts from the Peano Postulates, which define the natural
numbers N. N is the smallest set satisfying these postulates:
P1. 1 is in N.
P2. If x is in N, then its "successor" x' is in N.
P3. There is no x such that x' = 1.
P4. If x isn't 1, then there is a y in N such that y' = x.
P5. If S is a subset of N, 1 is in S, and the implication
(x in S => x' in S) holds, then S = N.
Then you have to define addition recursively:
Def: Let a and b be in N. If b = 1, then define a + b = a'
(using P1 and P2). If b isn't 1, then let c' = b, with c in N
(using P4), and define a + b = (a + c)'.
Then you have to define 2:
Def: 2 = 1'
2 is in N by P1, P2, and the definition of 2.
Theorem: 1 + 1 = 2
Proof: Use the first part of the definition of + with a = b = 1.
Then 1 + 1 = 1' = 2 Q.E.D.
Note: There is an alternate formulation of the Peano Postulates which
replaces 1 with 0 in P1, P3, P4, and P5. Then you have to change the
definition of addition to this:
Def: Let a and b be in N. If b = 0, then define a + b = a.
If b isn't 0, then let c' = b, with c in N, and define
a + b = (a + c)'.
You also have to define 1 = 0', and 2 = 1'. Then the proof of the
Theorem above is a little different:

Proof: Use the second part of the definition of + first:
1 + 1 = (1 + 0)'
Now use the first part of the definition of + on the sum in
parentheses: 1 + 1 = (1)' = 1' = 2 Q.E.D.

　　 ∧＿∧
　　（　　＾＾ ）＜ ぬるぽ（＾＾）

一元体














と言ってみる。

１＋１＝２

なるものはなる

age　　　　　

x∈Nとして，y'=xなるy∈Nの一意性は?

検索してみた
ttp://www.google.co.jp/search?num=100&hl=ja&inlang=ja&ie=Shift_JIS&q=%22The+proof+starts+from+the+Peano+Postulates%22&btnG=Google+%8C%9F%8D%F5&lr=

>>370
N={1,2}, 1'=2, 2'=2

　__∧＿∧_
　|（　　＾＾ ）|　＜寝るぽ（＾＾）
　|＼⌒⌒⌒＼
　＼ |⌒⌒⌒~|　　　　　　　　　山崎渉
　　 ~￣￣￣￣

19

むしろ>>1の存在意義をおしえてくれ

11

○
↑
はい！○はいくつ？一個だよね〜よくできまちたぁ〜

○○
↑
これはいくつ？２個だね〜

ΘΘ
ん？

ΘΘ
Ｕ
ー

age

>1+1はどうして2になるの?

２になると決まっている訳じゃない
そう考える理由を書いてくれ

1+1が2にならない例を見せてやらなければ、納得してくれないだろう

1+1はいいからさ-1*-1が1になるのは何でだよ。

冬が来れば自ずと分かる

俺はこのスレにマジメに答えてる>>2-以降に感動したよ

>>1
結果が２になる演算の一つに１＋１があるのが、その理由。

そもそも 0とは何？1とは何？

何か

なんて逃げはだめですよ。数学者さんたち。

もう哲学の世界だ、永久に答えは出なさそう

>>390
なんでそれが逃げになるの？

>>390に回答


実は、昔、数学の世界でもそんなことが問題になりました。
ユークリッド原論の幾何学上の定義にこんなものがあります。

1.点とは部分に分割できないものである
2.線とは長さがあって幅を持たないものである

さて、これで点や線は充分に説明されたことになるでしょうか?
なりませんね。何故なら「部分」「分割」「長さ」...などが説明されていないからです。
さて、ここで「部分」や「分割」の説明を考えてみて下さい。
.
.
どうですか?
さて、>>390さんの考えた「部分」の説明はどんなものか知りませんが、
「部分」以外の新たな単語を使って説明しているのではないでしょうか。
そうすると、その「新たな単語」をさらに定義しなくてはなりません。
つまり、ある言葉や概念を定義するためには必ず他の言葉、概念を使うことが必要になるのです。

しかし、これでは、線や点は永久に説明されないことになります。

そこで、ヒルベルトによってこんなことが主張されました。
「線や点というのは説明不可能な要素だ。「無定義元素」にしてしまおう」と。
無定義元素とは、「定義されない言葉、概念」のことです。
これは、人間が点を想像するときに必ず思い浮かべる「黒ポツ」という「具体的な」事例から逃れるものとして歓迎されました。
数学の抽象化です。

例として、ここで公理系を創ってみましょう。
まず、0や1は「無定義元素」、「足す」(+)「等しい」(=)は「無定義関係」としましょう。
つまり、これらは何らの意味を持ちません。
これで、普通の定義が作れます。
2の定義: 2=1+1
3の定義: 3=2+1
4の定義: 4=3+1
公理1: a=b+c,b=x+yならばa=x+y+c
公理2: a=x+y+c,b=x+yならばa=b+c (公理1の逆ですね)

では、ここで定理の証明をしてみます。

定理: 4=2+2
証明

4=3+1(4の定義),3=2+1(3の定義)と公理1より
4=2+1+1 ---[1]
[1]から、2=1+1(2の定義)と公理1より
4=1+1+1+1 ---[2]
[2]から、2=1+1(2の定義)と公理2より
4=2+2

証明終


=や+や1,2の意味がどんなものであれ定理の証明は出来るということです。
現実世界に当てはめて考えるときには、それらに「現実的」な意味を与えれば良いのであって、数学上ではこれらに意味がなくとも問題はないのです。

>>395

まあでも自然数の歴史から言えば、現実世界の様子をモデル化したのが
自然数の公理なわけで、自然数の公理が先にあるわけじゃないよね。。。


と、思ってたんだが「ものを数える」機能ってのは脳の中でも独立の
モジュールなんだな。なんとなく世界を観察するうちに身につける能力
みたいに思ってたが。

>現実世界の様子をモデル化したのが自然数の公理

モデル化することは必然的に「抽象化」の意味を含むだろ。

1+1=10

>>396
> と、思ってたんだが「ものを数える」機能ってのは脳の中でも独立の
> モジュールなんだな。なんとなく世界を観察するうちに身につける能力
> みたいに思ってたが。

それは「ものを数える」機能という分節化をどう行なうかによる。
脳の働きはどれも脳のアーキテクチャによるものと考えることが出来るが、
機能をどう設定するかによって実装との対応がとれたりとれなかったりする。
脳については特に、既知とされることに対して、どういう実験でどういう主張が
なされているかを気にかけた方が良い。

とりあへず500get
>>1は頑張って小学校に入ろう。優しい先生が手取り足取り教えてくれるよ。

コップを水で満タンにする。
この状態を「1」として、
同じモノをもう一つ用意する。
水の入ったコップに、もう一つのコップの水を入れてみよう。
さぁ、1+1は？

1+1=1ですねぇ。

>>401

二元体の積だな。

0 + 0 = 0
1 + 0 = 1
0 + 1 = 1
1 + 1 = 1

>>402
一元体だとどうなる？

普通一元体なんて考えないし、考えたとしても元が0しかないぞ。いやまあ0も乗法の単位元と見ることも出来るが。

Spec Z --> Spec F_1

絶対数学キター

菅直人「１＋１は、いったい何なんですか？」
小泉　「２です」
菅直人「ですから、１＋１なんですよ。質問に答えてください」
小泉　「２ですね」
菅直人「全く質問に答えていない。国民が聞きたいのは１＋１なんですよ！」
小泉　「どうあっても２です」
菅直人「全く説明になっていません」
小泉　「誰が何と言おうと２です」
菅直人「うまく逃げましたね。あなたはいつもそうだ」
小泉　「……？」
菅直人「あまり国民をなめないで頂きたい！」
小泉　「ですからねぇ・・・原則として、１＋１は２、
　　　　　これは揺らがない、私はずっとそうお答えしています」
菅直人「いいでしょう、最後に私は、小泉総理は１＋１について
　　　　　国民をあざむいたと、そう申し上げて答弁を終了します」

さすが菅直人

0.6+0.4はどうして1になるの

解説きぼん

age

>>407
笑ったからどっかに貼り付けてこよう
もともと、コピペなのかも知れんが

o+o=oo

>>409
0.6+0.4=1/10*(6+4)=1/10*10=1

>>1
これが1+1=2の理由
http://etc.2ch.net/test/read.cgi/denpa/1060860725/74

何であれ「1」と「+」を定義すれば、
1+1=2の世界にある「2」も1+1=3の世界にある「3」も
呼び名が違うだけで本質的には同じである。

２や３の定義がなされていないから、
本質的に同じとはいえないのでは？
２や３の定義に＋や１を使うというのならまた話はかわるが、
↑の文ではそこまで読めない

ポアンカレのどれかに1+1=2を証明しようとしてた人の話が
書いてあったような気がするけど、ポアンカレのどれだっけ？

126の言っている意味がわからない。
二分の一個じゃおかしいの？

>>386

1*(times)1=1　なら、1円を1回もらえば、1円得する。
1*(-1)=-1　なら、1円を1回ゆずれば、1円損する。
(-1)*1=-1　なら、1円の借金を1回もらえば、1円借金している。
(-1)*(-1)=1　なら、1円の借金を1回ゆずれば、1円得する。

コレはどぅ？
スレと関係ないけど。

ヵッォぉゃっょ

>>416
「２や３の定義に＋や１を使う」
その通りです。
まさしくそれが数論の「2」の定義でしょう。
故に「何故に1+1=2？」という疑問は
「何故私はこの世界を造った？」という
世界（秩序）を造る為（維持する為）に作った規則に対する疑問と同義でしょう。

「1＋1＝2」を疑う＝「数の存在を疑う」＝・・・・・。

>>1よ。そもそも>>415の言うように1及び+の定義はできているのか？
1+1が2であろうが3であろうがxであろうがyであろうがそれらは
1+1というイデアを表記する為の代数にしか過ぎんのだよ。
1+1=xで1+1=yならx=yだろ？

1+1の存在を認めてかつ1+1=2を疑うというのは矛盾しているのではないか？

それならば、そう書かねば同様とはいえない。
1＋1＝２　と１＋１＝３
は定義次第ではまったく意味の違うものにもなりえる。
今思えば、仮に１と＋で２や３を定義したとしても
意味の違うものになりえる。

>>1
１＋１＝２　は正しいが　1＋１は２になる　は正しくないと思う
１＋１は３−１にもなりうるからである。
よって>>1の質問の解答としては、
２にならない　が正しいと思う。

f(1,1)=2

>>422
言葉足らずですまぬ。しかし、
2と3-1こそまさしく呼び名は違えど本質的には同じの例えにはならないのか？
>>421のxとyが=で成り立つように・・・。

確かに本質的に同じだった（汗
グハッ

5

１＋１＝２　これって単純に見えて難しいよね
最初の１の存在は？
１＾ａ　、　ｉ＾４ｂ　、（−１）＾２ｃ　、（−ｉ）＾２ｄ
次の１の存在は？同上４種以外にも
−（ｘ）と考えた場合に組み合わせは色々あるよね。
（１＋ｉ）（１−ｉ）かもしれない。
２も考えたらいろいろあるよね。
これは最も単純モデルと考えれば、色々な展開もできるかも。

電波さんのおなーりー

結局僕らはいろんな世界（ものの見方）にすんでいて
人間の長い歴史の中でしみついた　１＋１＝２　っていう演算が直感的に理解しやすいだけなんじゃないかなぁ。

139

15

age

定義です。じゃダメなんですか？

097

「１足す１は２」というのは定義じゃないよ。
１足す１は２となることを導くための定義としては次の二つがいえる。

（１）
任意の数「Ａ」に、１を加えると、元の数「A」より１だけ大きな数になる。
それゆえ、１に１を加えると、１より１だけ大きな数、すなわち２になる。

（２）
任意の数「Ａ」に、同じ数「A」を足すと、元の数「A」のちょうど２倍の数になる。
それゆえ、１に１を加えると、１のちょうど２倍の数、すなわち２になる。

>>435
1だけ大きな数 と 1を足した数 は何が違うの?
それが同じで、2 の定義が 1より1だけ大きな数 なら、
1+1=2 は定義じゃん。

















ていうか、お前 Peano の公理系知らんだろ。

Peano の公理で加法が定義されてるから、それをつかって１＋１＝２が得られるんじゃないの？
１＋１＝２そのものは定義じゃないだろ。

有理整数環Ｚでの定義じゃん。
剰余環（体）Ｚ/２Ｚだと１＋１＝０

ワラタ

最高の回答思いついた
１リットルの水と１リットルの水をあわせたら２リットルでしょ
だから１＋１＝２なんだよ

１つの粘土と１つの粘土を足したら
１つの粘土になりました。

ゆえに　１＋１＝１

ψとかφとかξとかさー読みかたがわかんなくなるんだよ。マジやばい。

＞
わからんギリシア文字は
ウザイとかクサイとかダサイでいい

>>441
ﾁｮﾝは自分の国にｶｴﾚ(・∀・)

>>441
大きさは２個分だから２だろ。
１個にするには「くっつける」という過程が必要。
＋にはくっつけるという過程は含まれてない。

先ず、この足し算が整数の集合上で定義されていることを認める。
例えば、足した結果が分数にならない、小数にならない、等々を、
足し算の結果は必ず整数になることを認める。

次に 1+1 が 2 になるものとならないものとを考える。

1+1=2
1+1=(2ではない整数)

2≠(2ではない整数)

∴1+1≠1+1 矛盾。

従って、2=(2ではない整数) である。

即ち、(2ではない整数)は実は2だった、または、(2ではない整数)が
2に等しくなるような決まりがあると考えられる。

>>446
なんか違うような、気がする
０＜１＜２ の場合
１+１＞ｘ １+１＜ｙ
は０＜１ｘ≦２≦ｙ
となり、完全に否定は、できない。

ごめん間違えた。
ｘ≦２≦ｙ
です

>>446
まずその途中にある1+1=2はどうやって出したのかという問題があるのだが

実数体では2って1+1として定義されてるんだよ。
最も単純な体として1+1=0ってのがあるんだよ。ほんとだっぽ。

1+1=1+1がもっとも正しい答えだと思う。誰かが、特定の条件の時に1+1=2と
定義した時に初めて、2、が出てくる。

1を含む集合Sの元に対して演算+を下記のように定義する.

1∈S に対し、1+1∈S .

括弧()で演算+の順番を表すものとすると、1,1+1∈S から

1+(1+1)∈S .


こうして作ったSから自然数への写像が全単車だから 1+1 に 2 を
対応させようということではないのかな。無限可算集合なら同じ
ことがいえるだから、1+1=2 は定義だともいえるのかもしれない。

数字を１２３４５６７８９の順に定義したからだろ。
もし１９８７６５４３２の順だったら１＋１＝９になるだけ。

1-1=0も定義だとすると、1はどのように、定義すれば良いのですか？

>>453
０と２の間と定義しましょう。

>>453 2を定義するのに1が必要なのでは？
1を使わずに2を定義してください

もりあがってるな。もっと殺伐としているべきなんだよ、１＋１スレってのは。

>>452
+は2項演算？
その定義域は？

>>452
ペアノの公理から作られる自然数Nに
演算"+"を導入することで可換半群となること
Nの初めの元を1その次の元を2と書いたとき
その演算のもとで 1+1=2が成立することを示す。

これが1のやりたいことでは？(可換半群であることを示したいかどうかは知らんが)
ペアノの公理により作られる自然数にはまだ演算が入っていないから
定義というのはどうかと･･･｡

集合論Ｚから自然数を構成したときは、こんな感じか。
無限公理から作ってきた自然数の集合を ω と書く。
（非公式な書きかただと ω={0,1,2,3,...}）
"x∪{x}" を "S(x)" と省略して書く。
0∈ω ∧ ∀x∈ω(S(x)∈ω)
は、この段階で言える。（他のペアノの公理も）
ω の元について、演算 "+" を次のように再帰的に定義する。
　　x + 0 = x
　　x + S(y) = S(x + y)
これから、
　　S(0) + S(0) = S(S(0) + 0) = S(S(0))
となる。
"S(0)", "S(S(0))" を省略して書いたものが、それぞれ "1", "2" なので上の式は、
　　1 + 1 = 2
となる。
この意味だと、1+1=2 は定理になる。

"1" は "{0}" を、"2" は "{0,{0}}" を、"x+1" は "x∪{x}" を
省略して書いたものと解釈することも可能。
"1", "2" については >>460 で書いたものと同じになるが、
"x+1" の "+" は、>>460 で定義した "+" とは意味が違う（と思う）。
この場合、
　　{0}∪{{0}} = {0,{0}}
は定理なので、これを省略して書いた
　　1+1 = 2
も定理（？）。

1+1=2 を "2" の定義式と見ることも可能だろうが、
"1+1" の左の "1" と右の "1" の意味が違うので、なんとなく見苦しい気がする。
つっこみを松。

すいません。素人なのでよくわからないんですが
チンポ記号まで使わないといけないぐらい複雑なもんですか？

2で答えは出たのかと思ってたんですが。

>>462
アイディアはそう変わらないけれども、
数学的に定式化する必要があるということ。

"1+1=2"の意味の捉え方は>>460が云うように少なくとも2通りはあり、
1つは自然数の構成段階で出て来る記号として1+1を2と略記したという見方。
もう1つは、その構成された自然数に対してある演算"+"を導入すると、1+1の演算結果が2になるというもの｡

普通、1つの代数系を構成する場合には元となる集合を用意して、それに演算を入れるというものであるけれど
>>2ではその順番がごちゃ混ぜになっていて、よろしくないということ｡
まずは自然数を集合として定義しそれに"+"という和算を入れてやるのが自然な流れ｡(と自分では思っている｡)

>>462
マジレスしとくと、この問題がどういう文脈で提出されたかによるだろう。
小学校の教室でなら当たり前ですますのが妥当。
基礎論のゼミの最中に教官ができのよくない学生をつかまえての質問なら、
２項演算の"+"が云々という答が要求されている。
２ｃｈのﾈﾀﾚｽになら、ブール代数では 1+1=0 と返すのもありだろう。
（論理学の講義で 1+1=2 を証明したA4のプリントを配られたことを今思い出した）

>>462 が数ｦﾀを目指すなら、数学基礎論の教科書を読むもよし、
小学校で習ったことで十分納得なら、それですますもよし。

いいか、おまえらの股間ににチ○ポが一本あるとしよう。
そこに誰でもいいから男を一人連れて来るんだ。
そしてそいつのパンツを脱がしてみよう。

ほうら、チ○ポが二本になっただろう。
1+1が2になるってのはそういうことさ

>>465
納得しますた

いいか、おまえらの股間ににチ○ポが一本あるとしよう。
そこに誰でもいいから女を一人連れて来るんだ。
そしてそいつのパンツを脱がしてみよう。

ほうら、チ○ポがマ○コに入っただろう。
1-1が0になるってのはそういううわっなにするやめ

>>467
あいにくチンポが小さいため膣の長さとキャンセルできませんですた。

そこで少数が登場するわけだ。

>>468
お前のチンポは０．５

いいか、おまえらの股間ににチ○ポが一本あるとしよう。
そこに誰でもいいから男を一人連れて来るんだ。
そしてそいつのパンツを脱がしてみよう。

ほうら、チ○ポがア○スに入っただろう。
1+1が1になるってのはそういううわっなにするやめ

つまんねーｗ

嫁はホーモーな話がつまらんらしい

糞して寝たまえ

１＝１(という分量)と１(という分量)とを足せば、２(という分量)になる、ということ。

まず1と2の定義をしないと証明も、この場合説明さえ出来ませんね。
まぁ1はいわゆる無定義述語の定数記号になっちゃうかもしれませんが。
話はそれから。2の定義とは一体何でしょうか……

続きは最寄の数学基礎論の入門書で。

なぜ人間は数を数えられるのか

なぜ人間は言葉を使えるのか

なぜこの世は存在するのか
の要領

2=φ(1)

x + 1 ::= φ(x)
x + φ(y) ::= φ(x + y)

３＋３＝６

両辺を３で割って
（３＋３）÷３＝６÷３

∴１＋１＝２

どのスレに書くべきか悩みましたが、単純に問題を解くという話題でもないのでこちらに。
ふさわしいスレがありましたら誘導願います。

17歳の親戚の子に数学を教えています。
訳あって高校を中退し、現在通信制に在籍しています。
数学の成績は「普通」程度で、二次方程式までの計算は普通にこなしますし、
関数も y-q=a(x-p)^2 の二次関数までなら、値・最大値/最小値・グラフなど、
ほとんどの問題は解けます。

そんな彼女なのですが、ピンポイントで「納得できないこと」があるというのです。
それは、
　「『−１と＋１の幅』が『２』となること」
です。

しかし、
　・−１と０の幅が１であることは納得できるのだそうです。
　・０と＋１の幅が１であることは納得できるのだそうです。
　・＋１−(−１)＝２であることは納得できるのだそうです。
　・「＋１」と「−１」以外のもの、例えば「『−３と＋３の幅』が『６』となること」
　　　は納得できるのだそうです。

具体的なものに例えて話をしてみましたが、
　「『人』と『円』とか、単位がついた数でなら納得できる、でも、
　　　純粋な数としての「＋１」と「−１」では納得できない」
だそうです。

この話題で１時間以上を費やしてしまいました。
お知恵を貸してください。

>>481
先ずは彼女の股間を満たす事から考えたい所存だあります。

>>481
+1と-1以外のもので納得できて、ピンポイントで+1と-1の幅がわからない・・・うーん。
普通は「+1-1の幅が２」を認めたらそれ以外のは納得できる、って考えるよね？

というかそれって納得するものなのか？

>>482
残念ながらソレは満たされてるようです。
かわいい子で、中２からつきあってるという彼とラブラブです。
だからその方面については俺の出番はありません。

>>481
「わからない」んじゃなくて「納得できない」んだそうです。
現に ＋１−(−１)＝２　は「計算方法として習ったから『わかる』」んだそうで。
でも、中１の時に正負の数を習ったときから、納得はできなかったそうな。
「納得できない」という表現は適切じゃないかも。
「合点がいかない」の方が合ってる気がします。

合点がいく/いかない　じゃなくて、公理のように「こうなるもの」として、
覚えるべきものだと思うんですけどね。

1-(-1)
1+(-(-1))
1+1

この3つが同じものというのではだめなのかな。
それともこれも計算方法として捉えられてしまうのかな。

>>484
>現に ＋１−(−１)＝２　は「計算方法として習ったから『わかる』」んだそうで。

分かってるんではなく、覚えてるだけだろう。
そいつは負の数が理解できてないんだよ。
-1：1の加法に関する逆元
と同様にa∈R(実数) に対して
-a：aの加法に関する逆元
と定義されていて、a-b:=a+(-b) という定義であることを教えてやれ。
(これが a>b の場合の拡張となっていることを示唆するもよし)
この定義の元で
b=-a⇔a=-b
(-1)*a=-a
などを示すと、-(-1)=1 がわかり
1-(-1)=1+(-(-1))=1+1=2　となる。

エジソンはよく成績が悪かったとか言われるが「１＋１がなぜ２になるか」について
悩んだってのは有名だよね

ブール代数では
１＋１＝１
だぞ。

ブール代数ってホモだったのか。

>>486
中２だよ、中２。中学生、高校生レベルなら「こういうもの」として教えてもいいかと思う。
１と−1の幅は２　と「納得させる」べき。

問. 1=-(-1) を示せ。(2点)

>>485
その手のものはたいがい提示済みです。
ことごとく、「それは計算だから、そうなるのはわかる」と言われて玉砕。

>>486
>分かってるんではなく、覚えてるだけだろう。
おっしゃるとおり。「こういうふうに計算すれば良い」と覚えているだけです。
計算自体は難なくこなすだけに、逆に、どう説明すればいいのか手詰まりで…
逆元とかを用いての説明は無理です。俺自身がすっかり忘れてます。

>>487
彼女に「お！納得した！」と言わせたいのです。
「こういうことになってんだ。そういうもんだ。グダグダ言わずに覚えろ。」では
済ませたくないんですよ。

>>488-489
すでに私の辞書に「ブール代数」なるものはありませぬ。＿|￣|○

>>490
やっぱり「グダグダ言わ（ｒｙ」しかないってことですか…

>>491
中１の１学期中間テストあたりにありそうな問いですね。

　答．
　マイナスを借金と考えれば、-(-1) は「１の借金がなくなること」を表している。
　それは「財産が１増えること」と同じだから、+1=-(-1) と言える。

と書けば、中学１年生の解答としては○ですかね。

>>493
1=-(-1) が中学のテストであったらびっくりだな。

ためしにおまい証明して見れ。

"純粋な数"の間に"幅"などというものがあるのか、
というところから話を始めるべきでは

>>492
というか、a,b∈R に対してaとbとの距離を|a-b|で定義する。
というだけの話だろう？
お前なんも分かってないのな。そういう奴に教える資格無し。

なんだよぉ…　俺自身が叩かれるのかよぉ…

>>494
「証明しなさい」じゃなくて、「説明しなさい」程度だとあるよ。
はやりの「考える力を養う」とかいうやつで。
知人の子供のテストを実際に見せてもらって、その知人と
「時代は変わったねぇ」という話もしたし。
証明は…俺は…無理です。

>>495
「幅」ってのは、彼女なりの表現で、まぁ俺も普通に「幅」として
いろいろ説明してたわけだけど…やっぱりダメ？

>>496
だから、「定義する」とか「そういうもんだ」では納得してくれないわけよ。
ここのスレタイの話題みたいにさ。
「俺もわかってない」っていうのに対しては、返す言葉がない。
でも、俺、親戚だから教えに行ってるだけで、無償奉仕なんだよぉ…
この疑問以外のことは、スムーズにいってるんだよ。
きちんとした優秀な家庭教師ならば彼女の疑問を解いてあげられる？
というか、あなたならできるの？
できるんなら、その文言を教えてよ。
ちなみに「a,b∈R に対してaとbとの距離を|a-b|で定義する。」じゃ無理だよ。

>>497
スレタイとは話題がずれるが

子供っつーのは「そういうもの」として教えられ、だんだんと疑問を抱かなくなっていくもんだよ。
逆に言うと頭が固くなる。だから学校教育は「同じ（世界観をもった）人間を作りだす」なんて言われてる。

彼女の頭を固くしたくないなら「議論」がベストなんじゃないか？

>>497
教えられてる奴がかわいそうだ。
お前は定義というものを軽く見すぎだ。

1=-(-1)は、+と-の定義のような気がする。
+と-が明確に定義が、できれば、定理だけど。

>>500
群論の初歩を理解できてる奴なら、その辺はちゃんと説明できるだろう。
497はそれすら理解していないということだ。>>497よちゃんとお前も勉強しろ。

>>501
では、説明お願いします

G：群 とする。(演算は*で表す。)
∀a∈G ,∃!b∈G s.t. a*b=b*a=0 このbを-aと書きaの逆元という。
この記号の元で
a*(-a)=(-a)*a=0 及び逆元の定義よりaは(-a)の逆元
つまり a=-(-a)

以上のことからZが"+"に関して群をなすことを示せばよい。

>>503
>>503
つまり a=-(-a)
が良くわかりません。
a=-(-a)があるから、a*(-a)=(-a)*a=0が成り立つのでは？

俺は大学できちんと数学を学んだわけじゃないので、
逆元とか、群とか、もう「名詞」としてしか認識してません。
試験は普通の点数をとってたし、卒業もできたんだから、
その当時はある程度はわかっていたのでしょうけど。

でも今はもう、それらの用語を使っての説明は無理です。

しかし、そもそも高１修了時で中退した彼女に対して、
それらの用語で説明すべきなのでしょうか？

高校中退の彼女に対して有効な、俺自身が
「おぉその説明ならいけるかも！」と思える説明を
お聞きしたかったのですが、それは残念ながら叶いませんでした。

数学科の方や、数学が得意な方って、どうして「自分がわかることは
他人もわかるはず」という前提で話をするんですかね？
かつての同級生もそうでしたが…

なんか叩かれて、愚痴を書いて、そして逃げるのは、とても
かっこ悪いですが、このレスをもってこのスレから去ります。

関わって頂いた皆さん、ありがとうございました。

でも、俺は彼女に教え続けます。彼女とその両親に頼られたのだから、
できる限りの時間を割いて教えます。
彼女らが「この人では力不足」と思い、俺を「いらない」という日までは
教え続けます。

>>505
「用語」を使う必要など無い。同じ論理を別の言葉で言えばよい。

>>504
ちがう。
理解できているか、-(-a) という記号で書かれる"もの"とはどう定義されたか。

(-a) に対して a は逆元。-(-a)も逆元。
(-a)に対する逆元は一つだから(2つあると仮定すると矛盾する)、
∴a=-(-a)

でいいのかな。

>>507
-(-a)は、掛け算が、定義された、結果出てきたものとして
考えれば、良いのですか？

>>505
乙！数学屋に絡まれて大変だったな。おまいのできる範囲でｶﾞﾝｶﾞﾚ！
おまいもわからないことは、彼女一緒に悩めばいいじゃん。どうせ金
もらってるわけでもないんだし。
彼女の両親だって、高校中退してフラフラしがちな彼女に目をかけて
くれる大人がそばにいてほしいという意味でおまいに頼んだのかもし
れないし。本気で学力を付けさせたいと思ったら、きちんとした家庭
教師を頼んだり、予備校に通わせるだろうしさ。
あと、案外、彼女、おまいとじゃれたくて、わかってることをわかってない
ふりして聞いてたりしてな。
去るみたいだけど、もう一回リロードするぐらいはありだろうから、書いとくよ。ｶﾞﾝｶﾞﾚ！

>>509
a=-(-a) は a の加法に関する逆元として -a を定義した結果。
逆元の一意性がミソ。

>>511
これで、加減法の定義は、大体わかりました。
1と=の定義は、おいといて、後は、2を定義すれば、このスレも終わりですね。

>>512
このスレはもう終わっているんだが・・・。
過去ログ読んでみな。
>>505
ほんと、応用力無いのな。
群や環といった言葉なんて必要ないんだよ。
a∈Zとすれば a+b=0 を満たす整数bが一意に存在するということを使うだけだろうが。
高校生に1=-(-1)を説明するのに>>503見たいな説明するとでも思ったのか？
噛み砕いて伝えるということを覚えろ。

>>512
「加減法」 は日本の教育数学では因数分解の解法の一つのを意味する。
そもそも、既にスレは終わっているわけだが、本来、「1」 や 「=」 をきちんと
定義するほうが重要で、おいとくのは本末転倒。

>>512
だったら終わって無よ、「1」 や 「=」 をきちんと定義して

>>515
その話も終わっている。

1+1=2
移行して
1=2-1=1
よって成り立つ。

>>513
だから、オマエの言うところの「かみ砕いた説明」をハッキリと書いてあげればいいじゃないか。
ヤツだってそれを請うていたのだし。
そうやって、彼を見下した態度で講釈を垂れてるだけじゃ、優越感に浸りたいだけのバカと変わらん。
オマエみたいなやつがのさばってるから「これだから数学屋は…」と揶揄されるんだよ。

「かみ砕いた説明」を書けや！

二一一口ソ口ル日月

バラした説明かよ！

>>518
言うべき説明は一通りじゃねえんだ。相手の反応を見ながら言う台詞は変わって来るんだよ。
こういう場合(一方的な説明で納得してくれない場合)対話しながらが一番教えやすいんだがな。
一応かいておこう。1=-(-1) についてだ。

1に何を足せば0になるだろうか。-1と答える人が殆どだろう。それは1+(-1)=0 となることを知っているからだ。
では1+x=0 ⇒ x=-1 は正しいのだろうか？つまり-1と異なるものを足して0になることはあるかとうことだ。
x≠1⇔x<-1 or x>-1 であるから
x<-1ならば1+x<1+(-1)=0 つまり1+x<0
x>-1ならば1+x>1+(-1)=0 つまり1+x>0
従ってx≠1⇒1+x≠0 となる。対偶を取れば1+x=0 ⇒x=-1 が正しいことが分かる。
これまでのことは1では無く実数aを１つとってきてa+x=0 ⇒x=-a・・・*
と言い換えることができるのが分かると思う。

ところで-aというのは何だろう？例えばa=5.22 とすればx=-5.22 であるから -aは-5.22を表している。
ではaとして負の数、例えばa=-1をとってみてはどうか？(-1)+1=0 であるから*のことから1=-(-1)と書かれる。
-(-1)=1であるとなったのだがこれはどういうことだろう？これは"数"として-(-1)と1が等しいことを示している。
"数"として等しいとはどういうことか？それは御幣があるかもしれないが"数"として扱う以上同じものとして扱えるということだ。
数学において"数"は同じものでもしばしば異なる表現で表される。例えば4=2+2=2*2 のように
(これらの等式は定理というべきかも知れないがいずれにせよ4という"数"を異なる表現で表していると見ることができる。)
話が脱線してしまったが、つまり言いたいことは-aというのはaと足して0になるものを表しているということ。
そこで繰り返しになるが1+(-1)=0という等式をみれば-1に1を足して0になるのだから1=-(-1)となることが分かる。

"1と-1の幅"についてはもっと基本的なことに触れなければならない。
その>>505が教えている相手というのが"aとbとの幅"をどう捕らえていて
何が納得いかないのかが分からない限りその相手が納得する説明をここに書くことは難しい。

>>518
突込みどころはあるだろうが俺に今書けるのはこんなとこだ。
上の説明ですんなり納得してくれるならよし
納得いかないところはそこをまた詳しく説明すればよい。

無理な注文しやがって糞が。本文が長すぎと言われただろうが。

１＋１はどうして２になるの？
１＋１はどうして２にならないの？

クリプキに聞いてみな

　　 _,,,,,,,,
　　　　 , - ' ﾞ 　　　｀` ‐ 、_,,,,,
　　　,r'　　　　　　　 　　／＝ミ
　　/　　　　　　　　　　　彡ll',''´
.　/ 　　　　　 　　　　　　彡lll
　!-- .､　　　 ,､､､､,,,　　 彡lﾉ
　l,,,,,__　/　　　___　　 　 'r''ﾞヽ
.　|`ﾞ'' ./　　　`'ﾞ'''"　　　 .〉,l |
　|. 　 ,'　　　　　　　 　　　//
.　',.　,'　　　 　 　　　　 ,　r'
.　 ﾞ,　ﾞ'ｰ　‐`　 　　　　l　 |
　 　ﾞ､''ﾞ ,,､二''‐　　　 ﾉ　 l、
''''''''7'ヽ　 '''　　　　／　 　/`〉｀ﾞT''''''''''
　　l　　` ､,,,,､- ' "　　　 / /.| 　|
.　 |　 |　 .l i　　　　　　 / ./ | 　|
　 |　 |　　| l　　　　　 / ./　.|　 |
.　|　 |　　 | l　　　 　/　/　 |　 |
　|　 |　　　| ',　　　/　/　　l 　.l
【ゴールデンレス】
このレスを見た人はコピペでもいいので
10分以内に3つのスレへ貼り付けてください。
そうすれば１４日後好きな人から告白されるわ宝くじは当たるわ
出世しまくるわ体の悪い所全部治るわでえらい事です

1+1が2になることに説明が必要だと思っている馬鹿がいるスレはここですか。

>>526
クリプキに言ってみな

>>526
1+1が2になることは証明が必要だが、それが何か？

君は一体、「+」という演算がどう定義されているのかと(ry

↓はい、次の方。

あまり出世しすぎても責任が重くなるので遠慮します。

少しは欲を出してもいいと思います。

1つのだんごと1つのだんごをくっつけると
おおきな1ができるとおばきゅうがいってました

その大きな１を小さな１と区別するために２と名付けたんじゃよ

クリプキはいいます。

疑的問題

『我々のパラドックスはこうであった。即ち、規則は行為の仕方を決定でき
ない、なぜなら、いかなる行為の仕方もその規則と一致させられうるから。』
以下、懐疑的パラドックスのクリプキによる説明を要約する。
われわれは通常「６８＋５７」という数式の答えは「１２５」であると考
える訳だが、たとえばその計算の規則をプラスでなくクワスと考える人がい
たとする（ここではＢさんとする。）Ｂさんにとってはこの足し算の規則は
次のようなものである。

もし X,Y<57 ならば X*Y=X+Y (*はクワスを意味する）
そうでなければ X*Y=5

Ｂさんがこのような規則に則って「６８＋５７＝５」という答えを出した
とき、われわれはその答えが間違いであると言い得るだろうか。結論としては
言い得ないのである。
通常最初に足し算を習った時、１００回くらいやると「わかった」という気
持ちになるわけだが、仮にその瞬間、全く違うことがわかったとしても区別は
できない。つまりどんな出鱈目な答えであっても、規則に従っているといえる
のである。逆にいえば、ある規則について、それがたしかに自分が理解してい
るところの規則であるという確実な根拠はないことになる。これは、あらゆる
言語に当てはまる。これが『即ち、規則は行為の仕方を決定できない、なぜな
ら、いかなる行為の仕方もその規則と一致させられうるから。』（哲学探求第
２０１節）というパラドックスの指し示す所のものである。

1＋1=2の答えは人の数だけ存在するのか？

パラドクスか・・・・バベルの図書館（対角線論法）が
いまいち理解出来ないな〜。

>>1へ。
1+1は、どの方程式を使って解いても2になるから。
何故そう決まったかは、全世界の人類をナイフで一人ずつ殺して、無罪をもらってきてからにしてくれ。
決まってるものを変えようとするな。

>>1+>>1=>>2

つーか、加減乗除の演算規則ってのは公理じゃねーかw
そんなものに説明を求める方がおかしい。

>>538
それはいわない約束でしょう

>>535
俺の1+1は2.004だ。
平均すれば2に収束することが証明されている。
中には1+1=-3πというとんでもない連中もいる

>>539
じゃあこのスレって何?

演算規則が公理って何? 公理じゃないでしょ。

>>541
1+1=2になる理由について屁理屈を並べて楽しむスレ

>>543
>>538
見事なループ

>>542
ペアノ公理系も知らんのか?
レベルが低い事自体は悪いことではないが、低いなら低いなりに謙虚になれ。

>>545
お前こそ知らんのか?
ペアノの公理に演算規則と呼べるようなものはない。
演算規則は別に定義するんだよ。

>>538
>>545
マジレスするとペアノの公理は自然数と言う集合を構成するための公理であり
そうして構成された自然数に自然な演算(和と積)を入れることで内部演算を持った(代数的構造を持った)
自然数というものが定義される。

自然数における減算と除算はそれぞれ和、積に関する逆元を(存在するならば)加算、乗算することで定義される。
演算できる体系が閉じていると都合がよいので加減に関して整数が、加減乗除に関して有理数が
それぞれ自然数の拡張として定義することができる。

公理公理と云って徒に議論を避けようとするのはどうか？
何を公理として何を定義したかくらいは弁えて欲しいもの。

少しズレてしまいますが、ここで質問するのがよさそうなので
教えて下さい。

一元一次方程式の未知数は、変数なのですか、未知の定数なのですか？

文脈次第。

>>548
変数とか定数といった言葉は数学的に厳密に定義されていないから。
549の言うように文脈に沿って適当に判断すればよいかと。

すみません。
例えてください。

ax+b=0 を満たす x をほにゃらら、と言えば定数。
満たすと言わなくても ax+b=0 などと出してくれば
大抵その式が正しいものとしてるだろうから、
そういうときも定数。ただ、a と b が定数じゃなければ x も定数ではない。
a と b によって x は変わるので、x は従属変数と呼ばれる。
そのとき a と b は独立変数という。
あと形式論理では定数記号と変数記号というのに分かれてて、
6 とか 10 なんかは定数だけど、a とかは特定の文脈では定数であっても
変数記号なので変数ということになる。
述語論理(∀や∃が出てくる論理)では例えば ∀x ax+b=0⇒p(x) などという文では
∀ のついている x は束縛変数、∀ などがついてない a, b は自由変数と呼ばれる。

まあ、そんなような感じだ。

あ、ax+b=0 に言及されてても、
x がそれを満たすとは限らないというときは x は変数ね。

>>546,547
まだまだだな。数学基礎論の歴史について勉強して来い。
ペアノ公理系において加算は自然数を定義ための手段になっているから加算は別に定義...というのは読みが浅い。
加算は普通は無定義関係になっているよ。

何かを定義するためには、必ず新たな何かが必要になるから、一番基本的な部分は無定義元素、無定義関係になっている。
ヒルベルトの時代からは皆そうなっている。
そんなものに説明を求めるも何も、説明などない事柄なんだよ。

1+1の説明のようなもの

無定義関係
"+" n+n
"=" n=n

無定義元素
1

無定義関係である1+1によって2を定める。
はい、糸冬了。

おっと
無定義関係
"+" m+n
"=" m=n
だな。訂正。

ヤヴァい。寝ぼけてるw

無定義関係
+
=

無定義元素
1

定義 2=1+1によって2を定義する。

>>554
ペアノの公理において出てくるいわゆる"次の数"を記述する方法が
えてしてa+1というような表現になるからこういう奴が出てくるんだろうか。
どう考えてもこの"+"は演算の"+"ではなく、集合を決定するための表記の約束だろう。
その約束に加算を入れるということだろう。

ペアノの公理には2元の和については触れられていないように見受けられるが
ペアノの公理といったときにa+bといった表示の元の指定もするものなのか？
歴史的にどうであれ、残った公理を解釈するとペアノの公理には可算を定めるような部分は
(骨子となる部分はあるが)無いように思われるが？

>どう考えてもこの"+"は演算の"+"ではなく、集合を決定するための表記の約束だろう。
だからその"+"に説明を求めるのがおかしいと言っているのだが。

なんか不毛なので質問の仕方を変えようじゃないか。

テーマ:
1+1を定理として成立させるためには、どんな公理が必要なのか?

>>559
わからんやつな、自然数の演算で使う"+"について1+1=2を示すのがこのスレッドの目的だろう。

いうなればペアノの公理のa+1(aの次の数)をa'と書いたときに1+1=1' を示すというもの。
これは演算の定義から明らかだが、これが演算の定義となっているわけではない。

要するにだな。
>>559は+を最初において自然数を定め、
>>561が自然数が最初にあって+を定め...

ようとしてるってことか?

>>550
>>525

有り難うございました。
なんか半分くらい分かったような気がします。

育江ﾀﾝ

誤爆ｽﾏｿ

>>554
せいぜい +1 が無定義関係になってるだけだと思うけど。
ていうか、君にいっぺんペアノの公理を全部挙げてもらいたいのだが。

あと、どうでもいいけど、無定義関係って用語を使ったりしてるあたりからして、
科学哲学とかの文系の人ですか？

無定義関係ってヒルベルトが使い出した言葉だぞ。

あと、気になっていたのだが、加減乗除を"約束事"だと思わない人がいたら名乗り出てくれ。

>>568
>>534のクリプキ

>>567
それはそうだけど、その言葉ってあまり使われないじゃん。

一個の粘土と一個の粘土足したら一個になるじゃねーか

>>571
数学は閉じた世界で考えようとしているから、（多分）、
　現実世界の、粘土とか、リンゴとかの「かぞえ数」を持って
　きてはいけないんじゃなかったでしたっけ？

>>1-572
市ね

一個の粘土と一個の粘土足したら一個になるじゃねーか

粘土を足したら本当に一個になるのですか？

ためしてみろハゲ

1+1=2

↑ﾌﾟﾍﾞﾗ

小さい粘土の集合Ａ，Ｂを含む大きい粘土の集合Ｃ

０＋０＝００

ブラック魔王

ペアノの公理には欠点が指摘されていますよ。
０をまず定めて、０の次の数を１とする。
そして次のかず、また次の数とＮに含めていって、
自然数を定義するってのがペアノの公理ですが、
そうすると、次の次の数というものが直接できないから、
濃度の検査である対角線論法にもっていけない。
だから、ＺＦ集合を使って数を定義したほうがよい、
というのが今の一般的な見方だと思うがどうだろう？

で、１＋１＝２となぜなるのか？と聞かれたら、
簡単に説明すると、そのように定めたから、というので
納得してもらうしかない。
厳密なはずの数学のもっとも基本的な部分が、納得するしか
ないってのもおかしなものだが、数学者であるおれの叔父さんは、
数学は人間が勝手に規則を決めていじりまわしている閉じた
世界だから、結局、どうしてそのように定義したのか？という
疑問に対しては、「そのように定めておくと何かと便利だから」
としか答えようがないし、その答えが最も数学の本質を
表しているのだよ、と言っておりました。

> そうすると、次の次の数というものが直接できないから、
> 濃度の検査である対角線論法にもっていけない。

意味が分からん。

>>582
ＺＦからωを作ってくるにしても、
いきなりペアノの公理を満たす集合として整数の集合を定義するにしても、
そこには二項演算としての "+" はまだ入っていない。
s(x) を x の後者として、"+" は
x + 0 = x, x + s(y) = s(x + y)
という演算規則を満たす二項演算として導入するのが普通。
この立場に立つと、1+1=2、つまり、s(0)+s(0)=s(s(0)) は
きちんと証明すべきことがら。
1+1=2 を「そのように定めた」とか「定義」とか言うのであれば、
"1", "2", "+" などをどのように定義したかをちゃんと書いてほしい。

# 1+1=2 を定義と主張する書き込みはたまにあるが、結局なにを定義として
採用しているかという肝心のところを見せてもらったためしがない。
>>582 には悪いが、ちょうどいい機会なので書かせてもらった。

>>584
あ、書き方が悪かったね。
というよりおれはウソ書いてるね。
ごめん。

定義されていない。
公理とはなにか？というのもはっきりしていない。

公理系なんて言葉を使っている奴に聞きたいが、
公理って何？
公理は現在では、定義または仮定とされているが、
だったら公理なんて用語使うなボケ！
といいたい。
と書いているおれも使ってるんだな。
すまんな。

つまりは、うまく説明できないことは、
結局説明していないってことなんだな。
だから、数学が学問として成立するんじゃないかな？
全部わかって、全部説明できたら、そもそも
研究対象がなくなってしまうからなあ。

そして、世の中ではいろんなところで数学が
使われているが、その説明のできない部分を
無視するかわりに、便利なものを手に入れた
ということなんだろうな。
つまり、理屈はどうでもよい、便利で使えるなら
使ってしまいましょう。不明な部分は学者の
悩むにまかせましょうってところだろうな。

そう思いませんか？

1+1にあまり関係ないが、
それは応用数学者、物理学者的な考え方。

そしてそれがさらに進むと工学者ということになる。

○この丸記号の個数を１とよぶ事にします。
○○この丸記号の個数を２とよぶ事にします。
○＋○＝○○　　　１＋１＝２　よってなる。

違うと思うぜ。
個数ってのを使っている段階でダメなんじゃないかな？
だって個数って何？ってきかれるだけじゃん？

リンゴ一個とは違うよねえ？
だって、かじったりんごは、ある人にとっては一個でも、
他のひとにとっては、すでにかじられているリンゴは
数えないっていうかもしれないから、数学の閉じた世界のなかで
結局「個数」を説明できないかぎりは使えないことになる。

>>582, >>585-586 はあまり知らないことについて急いで結論を出し過ぎな感じ。

↑おまえも何も知らないのね

1-0-1　はダースベーダーの戦闘機になるね

＞＞５８９
個数と言うのは同じ物の数的状態と考えればどうだ？
齧ろうが大きかろうが小さかろうがリンゴはリンゴとして。
さらに「同じ物」を数学ではなく、国語の範囲で捕らえれば
お莫迦な君でも理解できるだろ？

↑かじったリンゴと同じか？
笑わせるなバカ。

数の定義。
N　を数とする。またN を幾つか並べたものも数とする。別に犬とすることも猫とすることもできるが、とりあえず数としておく。数には意味は与えなくてよい。

例　　N は数である。　NNは数である。　　NNNNNも数である。

略記。
N を１とする。また、NNを２とする。また、NNNを３とする。子とか丑とか寅とかにしてもいっこうにかまわないがとりあえず１，２，３等としておく。

＋の定義。
＋はその両側に数を置くことができる。また数が両側に置かれた場合＋自身を取り除くことが
でき、その際できたスペースを詰めることができる。

＝の定義。
＝はその左に幾つかの数と＋を置くことができる。またそうして可能になったNおよび＋の操作の結果を右側に置くことができる。一例をあげよう。　

Nがある。またＮがある。それから＋がある。これはN＋Nと並べられる。
N＋Nがある。また＝がある。これはN＋N＝と並べられる。これは
N＋N＝N N　　→　　　N N＝NN　　つまりN＋N＝NNであると書ける。
以上の記号列に略記をあてがうと　　
１＋１＝２
となる。

あ、わすれてた。
NNという数が与えられたとする。別の文脈でNNという数が与えられたとする。
はじめのNNと次のNNは同じ見掛けをして識別できない。不可識別者同一の
原理によりこれら二つのものは同じとみなしてよい。
つまり、上の例でできたNNと２と略記したはじめのほうのNNは同一であるから
後のNNも２とみなしてよい。

つまり、１＋１＝２は記号論的な定義と規則だけで導けるって事ね。
ということは、その記号列に実際に活用できる意味がないということだ。
するとリンゴが１つとみかんが一つ、あわせて何個？とかいう現実のもの
や自然数という数学的概念を当てはめることができないじゃないか。

三年十六分。

>>594
齧ったらリンゴじゃなくなるのか？

沢山の実がなっているリンゴの木が1本と
齧りかけで腐ったリンゴの実が１つあります。
合わせて幾つあるでしょうか？

単位が違っても、
数えられる形にすれば足し算は成立するんだよね
1つの銀河系＋１CCの空気が1つ、とかでも。

「齧りかけのリンゴ」は「リンゴ」のサブタイプだから
リンゴとして数えてもいいんだと思うが。

銀河系と空気じゃ無理だな。

>>600
＞数えられる形にすれば足し算は成立するんだよね
単位が違うものをそのまま計算するのはまずいだろ。

例えば、
「1kgの鉄球と1gの鉄球合わせて何g？」
と聞かれて、「2g」と答えたら当然おかしいだろ？
それと一緒

銀河系一つと１�tの空気一つ足すのは妥当でもありうるし妥当でなくもある。
要はそれらをどのように定義した上で何の集合の要素とみなすかによる。
要するにタイプ理論に従えばいい。
もちろん後からルールを変えてはならない。

「オレ様の夢に出てきたもの」とでも定義すれば
銀河系と空気でも足し算できる

３匹の猿と３本のバナナを足しても３のままだ
猿がバナナを食べてしまうからな
だが３個のリンゴと３個のみかんは足せぬものでもあるまい

まんこ

数学でひとを幸せにするのは
むりみたいですね

不幸せのするのも無理のようだがな
幸せかどうかを決めるのは結局本人だ

>>605
＞猿がバナナを食べてしまう
あまりにもステレオタイプすぎないか？

前に、日本で野生の猿を捕獲するのに、餌としてバナナを使ったが
野生の猿はバナナを見たことがなかったので失敗したというニュースがあったな。

単位が同じなら足してみる価値がある

>>605
残った皮で足し算しる！

527

245

あ

353

その様な事例が多かったから。それだけだよ。

ttp://www.za.ztv.ne.jp/j3jyw7dd/
∴ 。=2/3

853

なぜ数学板は数字だけのレスがこんなに多いんだ?

このスレ初めてきたが、なんか凄いな。というより滅茶苦茶な屁理屈大杉。
１とか２という抽象的概念とそれに単位を与えた、具体的概念や、
量的変化がある段階で質的に変化する概念が混沌として貼り付けてある。
Oh、JESUS・・・糞してくる。。。

3年分の書き込みだからそりゃ混沌としてるのも仕方ないですね

727

結局、数って何なんだ？

数とは何か、説明できる人はいない。
だが、説明する必要はない。
そんなものを知らなくても、困らないのだから。

むしろ、誰も正確にその定義を述べられないにもかかわらず、
みんな不思議と「数」というものをしっかり理解していると言う事が
驚異だと思うのだが。

『1+1=2』 の100ページ以上に及ぶ証明があると聞いたので、このスレによったわけですが、
だれかソースを知りませんか？
とりあえず、以下のようなホームページを見つけたのですが。

http://mathforum.org/library/drmath/view/51551.html

数字という概念を人間が手にするまでに
どれだけ苦労したかがわかるスレですね

>>1+>>1=>>2
ですか？

910

１＋１＝１０です。

1+1=1+1

消滅直前sage

危機一髪だったぜ

>>600

「足し算」の定義がちゃんとしてあればね。

477

この際、2進法などの場合は除いて10進法で表される自然数を考えるとして。

普段我々が使う「数」のイメージにマッチするように数の公理を適当に定めれば、
定理として１＋１＝２が必然的に出て来る。
では、数とはそもそも何なのだろうか？
当然のことながら、「１つ」を数えることが出来なければ、それ以上の（有限の）数を数えることは出来ない。
その「１つ」は、一体どのようにして定めるのだろうか。
「果物は何個」という問ならば、果物以外の物を「１つ」とは数えないし、果物かどうか微妙なものであれば、
それを「１つ」と数えるかどうかを定めることは難しい。

120

２は１に１を足したものと定義されているからだと思っていたのだが。

>639
> ２は１に１を足したものと定義されているからだと思っていたのだが。

「１の次の数」という定義もできる。

非ユーグリッド幾何学が作られたように
１＋１≠２になるような数学を考えてみるのも面白い。

>>641
こういうこと云う奴って何も考えてないことが多いよな

>>641
おまえ群とか知らないだろ？

テスト

178

10でいいじゃん。
計算機なら。

474

論証の正しさはform(形式)のみによって決まり、
content（内容）によるものではない。







って、分厚い本に書いてありました。

1+1=1 になることもあるよ。

もしx=1なら、x^2=x だよね。
両辺から1を引いても同じだよね、 x^2-1=x-1

ここで左辺を因数分解するね、(x+1)(x-1)=x-1
両辺にx-1があるから、これで割ると、(x+1)=1
になるよね、そしてx=1だったのを思い出してね。

xに1を代入すると、1+1=1

偶数のことを0、奇数のことを1とかくと
1+1=0
0+1=1
1+0=1
0+0=0

論証の正しさは(content)内容のみによって決まり、
form(形式)によるものではない。

って、薄っぺらい本に書いてありました

「１」より１大きい数が「２」という定義があるから
１＋１＝２

1+1=2の証明には加群Z上のコホモロジー代数の知識が必要なのだが、
ゆうに大学院レベルの難題であり、証明には数百ページを費やすので
普通学校では「1+1=2は自明」と教えることにしている。

それより、ペアノの公理
(0は自然数であり、0を後者とする自然数は存在せず、
任意の自然数に唯一つの後者があり、
互いに異なる自然数の後者は互いに異なり、
自然数nに関する命題P(n)に対して、P(0)かつn未満の全ての自然数kに対してP(k)ならばP(n)ならば、
全ての自然数nに対してP(n))
を満たす自然数の中にどうやって加法を定義するの？
(過去ログ読めとか言わないで。それでも言ったら探すけど。)

>>253見れ

ペアノの公理の段階で、「n未満」とかいう言葉を使うのはやっぱりおかしいかな？

ペアノの公理での帰納法の規則の前提は
P(0) and (P(k)→P(k+1))

595

612

「１」「＋」「＝」「２」の定義も無しに「１＋１＝２」を証明することなど出来るわけがない。
まず公理系がないと話が進まない。

よ―――――――――し。おじさん定義しちゃうぞ。
――――――――――定義――――――――――
１略。
＋略。
＝等号。
２とは１＋１である。

>>661
略じゃ分からないし、「２」を最初から「１＋１」と定義するのは反則。

>>654
その場合は、sを successor として、
　a(0, y) = y
　a(s(x), y) = s(a(x, y))
で定められる関数 a ではダメなんですか？

おじさんは反則をもろともしないぞ！！

もろになっちった。

>>1
おまい二進数とか、勝手に足し算を定義した
ケース考えてるだろ。確かに二進数では
1+1=10
だがこれは
1+1=2
という意味なんだ、ヴォケ！

>>666
十進数の意味に限定しても「１」「＋」「＝」「２」の厳密な意味が分かりません。
もちろん日常的な意味では分かりますが、公理系がどうなっているのかわかりません。

>>667
こーら、日常的な意味がほとんど全てであとは数学者
の遊びなんだ
数字を使わないなら
1+1=2
は○があるところに○を持ってきたら○○
という状況になるということなんだ、何も
疑問の余地はないだろが！

>>668
○は＆#9679; だから、○が２つだったら＆#19358;＝䮞かも知れないし、
◎かも知れないし、
ピッタリ重ねたら○かも知れないし、
○があるところに○を持ってきたら○○になるとしても
１は○の何なのか、２は一体何者なのかと考えると疑問は尽きません。

>>669
数が何かを考えろ、１とか壱とか�Tとか色々書き方は
あるけど表現しているもには同じもの。
>○は＆#9679
これはコンピューター上で○に数を対応させただけの事。
コンピューターは実はビットパターンしか扱えないのでね。

2は1の次の数だ。
だから1番目のものと1番目のものを足すと2番目のものになる。
運動会で1等賞をとった子供が2人集まると、2等賞になる。
ビリの子供とビリの子供が集まると、ビリから2番目になる。

技ありが２つ集まると一本になる
つまり技あり＝１／２本てこと？

>>670
＞数が何かを考えろ、１とか壱とか�Tとか色々書き方は
＞あるけど表現しているもには同じもの。
数って何ですか？考えただけでは分かりません。
表現しているものは同じと言っても、一体何を指しているのかが分かりません。
日常的な意味での１を表す表記を「１」に限ったとしても、果たしてその「１」が何を指しているのか分かりません。

>>673
小学校で最初に数を習ったときのことを思い出せ、
りんごやみかんが並んでいたはずだ。

>>674
りんごを切ったら２つになりますし、りんごとみかんを接着剤でくっつければ１つになります。
３次元座標上にりんごとみかんを置いたときに、りんごとみかんを数える一般式が分かりません。

>>675
これを小学校に逝って説明して下さいw

>>676
ここは小学校じゃありません。


x(x-1)(x-2)(x-3) + y^2 ≦ 0 が表す領域は（日常的な意味では）２つですが、
一般に F(x, y) ≦ 0 が表す領域の個数を求める一般式があったら教えて下さい。
数式で表現できる関数ですら個数を求める一般式が存在しないのに、
ましてやりんごやみかんのように数式で表現できないようなものの個数がどうして求められるでしょうか？

数学と関係ない話になってますな。

実数の概念は既知とする

1+1=2 は既知とする

まあ２にしてもだれも困らんのだから２っちゅうことにしとこうぜ。

1+1を2から変えることで、一部の業界が儲かる仕組みになっとるんですよ

ペアノの公理から、0の後者の後者を2と表すことにしただけのこと。
加法をどのように定義するかという問題が残るところ。

背理法を使って
1+1=2
を証明できないものかな・・・
1+1≠2と仮定する…この続きが書けん！

>>683
n：0を除く自然数 に対して
"n回"という概念を使ってよいならこうしてはどうだろう。

[prop]
次の性質を満たす写像 f：N×N → N が唯１つ存在する｡
1) ∀k∈N ,f(k,0)=k
2) ∀k∈N ,f(k,1)="kの後者"
3) g：N → N を g(k)=f(k,1) と定義した時
∀k∈N ,∀n∈N-{0} ,f(k,n)=g^n(k)
注) g^nはgをn回合成したもの , 1は0の後者を表す
<proof>
1)よりf(0,0)=0 ,f(1,0)=1 と定めなくてはならない
全ての自然数kに対してf(k,0)及びf(k,1)の値が1)2)に矛盾なく一意に定まることは明らか
これによりgが定まる。さらに3)により k∈N ,n∈N-{0,1}に対しては f(k,n):=g^n(k) と定義しなくてはならないが
これもまた1)2)3)に矛盾なく定義できている。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　q.e.d

自然数Nに於ける二項演算"和"(これを"+"で表す)を
propで存在を示されている写像fにより定める(i.e. m+n:=f(m,n))

この演算によりNは単位的可換半群になることが示されると思われる(未確認)

こんなモンはただのお約束

自然数の公理系に新しい定数記号1,2と
2つの公理S(0)=1,S(S(0))=2を導入するだけ、ですな。

>>683
>>685に対する意見をどうぞ

>>684
両辺から1を引いて1≠1←矛盾が生じる
でいいんじゃない？

>１＋１はどうして２になるの？
これを小学校で言ったら小学生に馬鹿にされそうｗ

泥団子を２つくっつけて１＋１＝１を「証明」したという
エジソンの逸話は有名だが、
ではエジソン流の「引き算」はどうなるか。

１−１を団子から一個ちぎる操作と定義すると
１−１＝２ (！)

２−１はどう定義すればよいだろう。
２つの団子からそれぞれ１つずつちぎる操作とすると、
２−１＝４ (！)

いやーまことに結構ですなあ。。。

>エジソン流の「引き算」はどうなるか。
エジソンて頭おかしい奴だったのか？
でも電球を発明したり蓄音機を発明
したり大いに人類に貢献している。
暇な数学者がへばりついて変な事
でも言わせたのだろうかｗ

121

>>691
> ではエジソン流の「引き算」はどうなるか。
>
> １−１を団子から一個ちぎる操作と定義すると
> １−１＝２ (！)

それはどっちかというと割り算のような気がする

331

887

「Aより1大きい数」と「Aに1加えた数」が等しくなるのはなぜ？

Re:>697 Aより1大きい数はAに1を加えたものではなくて？

それは……定義なのか？

1+1が毎回同じ解答になるのは何でですか？

Re:>700 別に{{},{{}}}でもいいんじゃない？

Kingさん使ってください。

　　　　　　　　　　　　　|二二二二二二二二二二二二二
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　　　　　　　　　　　　　| |　　　　　　　　 人　　　 　　　 | |
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このスレ面白いな。

>>697>>699
加算の定義は
・A+succ(B)=succ(A)+B
・A+0=A
で与えられるから、Bを0とすればA+1=succ(A)がわかる。

１＋１はどうして２になるの？

足し算の結果に疑問をもっているということは足し算の意義や方法について
あやふやながらも一応納得していると思われる。
しかし、足し算の意義や方法について納得していれば上の問いは馬鹿じゃねーの！
で片付けられてしまう程度の問いだ。が、１氏は馬鹿ではあるまい。これは本当は

１＋１＝２は何を意味しているの？

という疑問を文章化する段階でやや誤った表現をしてしまっていると
考えるのが自然だ。

809

化学なんかで
1mol+1mol=1mol
になる世界もあるから。

数学の数の定義でいくと
1+1=2

>>707
> 数学の数の定義でいくと

そこが問題だ

>>1＋>>1＝？

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ''ﾐ″　　.ヽ l".,lﾞ.,,,_
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 `'x,.｀ﾟ''i､ﾞll,,,lメ゜｀~"x,,,
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 ~',u'"｀ ﾞﾟx¬ｰ ,,r″
　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 _,,,-‐"｀ﾞﾟＬ.,r'"ﾞﾞ'ｨ''"＾
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 _,,,-‐'ﾞ＾　　　 ._,,,{|*、　 .ヽ、
　　　　　　　　　　　　　　　　_,―''"｀,,,,,――‐ﾆ巛,,、　ヽ、　 ｀'､、
　　　　　　　 　 　 　 　 　 ,ij,ぃ,,,,,｣'" -''''""ﾞﾞ'''-､‘i､ﾞl,,,,,,,.ﾞ'i､　　 ｀'､、
　　　　　　　 　 　 　 　 　 | ｀ﾞン'ﾞ｀、 .,/',,r,,-.,,-　'''“''･,,‘'i､ﾞi､　　　＼
　　　　　　　 　 　 　 　 　 | ,/ﾞ,,-'".,-'ン／,/′　.i､i､i､ ｀ .ヽ‘i､　　、｀'i､
　　　　　　　　　　　　　　 ,ビ'"/`,,i´,/ .″"　　　,lﾞ.| .） │ .|　｀'ｺ'″　 ヽ
　　　　　　　　 　 　 　 　 |'lﾞ ││,,―ｰ''"　 ヽ、’ " .|　.|　 | ,／　　　 ,/
　　　　　　　　　　　　　　｀ l / /,lﾞ ､i″ｭ　　　_,,,ヽ,、｀　.| .,,〃　　　 .,/′ たすけてっ！
　　　　　　　　　　　　　　　 |.| lﾞlﾞ　 |ﾞ'fr"、　 "| ｀''l,、 ,､,!'"　　　　／ 　　　Kingに犯された上に殺される！
　　　　　　　　　　　　　　　 |ﾞl.,!｛ .| ﾞl,　.r‐，　ﾞﾟ'-f广_//¨ﾞﾞﾞ"〕　,-"
　　　　　　　　　　　　　　　 ﾞl.ﾞ' .ﾞl ﾞl､.ヽ.ヽ/　　 ,,/,/ｉジ''''''Ｔ　|,i´
　　　　　　　　　 　 　 　 　 ,!ト .、　″.ﾞ|ヽｗﾆ,,,/,i´'"　　 .| ,/ﾞ|、
　　　　　　　　 　 　 　 　 ,/､lﾞ .lﾞ　　._,､ト-,,,,r'ｹ,i´　　　　,,ﾈ　 ﾞl
　　　　　　 　 　 　 　 _,-'ﾝ゛lﾞ _|,,,-''',ン‐フ”　|.lﾞ　　　　,/　|　　ﾞl,
　　 　 　 　 　 _,,,,,-‐彡',ﾝｯ?ﾞ”゛,／＾　,/｀　.| |.|　　　 ./|　 .ﾞl　　ヽ、
　　　　　 .,,-'"｀ ,／゛r''^,i´　 ／｀'l..) ,!　　 ."'|ﾞl　　 ／ |　　ﾞl　　 ｀'i､
　　　 _,／｀　 ,／　 .,ｽ ｛　　 |　　　　|　　　　ﾞlﾞl　_イ　 ｛　　ﾞl,　　　 ヽ
　　.,,i´　　　／　　,/｀ﾞl ﾞl、　｛　　　　|　 .,,/　 ﾞlﾞl'" |　　.|　　 ヽ　　　 ヽ、

660

762

>>707
質量保存の法則を適用したら確かに化学でも成立。

>>697
ガウス記号の問題で
[ｘ＋１]＝[ｘ]＋１　の証明が宿題で出たんだけど、
当たり前過ぎてできない罠

Re:>714
x+1を超えない整数の最大をMとする。
このとき、もし、x≥Mとすると、x+1≥M+1が成り立ち、Mの条件に反するから、
≥M>xが成り立つ。
さて、問題。
また、x+1≥Mより、x≥M-1が成り立つ。
よって、xを超えない整数の最大はM-1である。
よって、[x-1]=[x]+1.
まあ、数学を専門的にやらないと、こういう証明は出来ないけどね。

数学を専門的にやってても、これは出ないか。

≥M>xが成り立つ。
さて、問題。

亀だけど、(-1)*(-1)=+1の証明(っぽいの？)

(n-1)*(n-1)を考える。
nは適当な数でいいと思うけど、反証があればよろ。
ひとまずn=5としてみる。
4*4=(5-1)*(5-1)=5*5-2*5*1+(-1)*(-1)
∴16=25-10+(-1)*(-1)
⇔(-1)*(-1)=1

こんなん黒板に書いてたら友人にバカにされた。
高専生の自分(´･ω･`)

なんとなくだけど、>>1の言いたいことが分かる。
「数」としての1+1=2は納得できるが、それを「現実世界の個数」に拡張しても成り立つのが分からない。
それが「なんでリンゴ1個と1個で2個になるの？」という質問を生んだのだと思う。
どう？

みなさん、２ちゃんねる専用ブラウザを使用して、「Re:>」をNGワードに設定しましょう。
「Re:>」をNGワードにすると偽者もあぼ〜ん出来るし、他のトリップを使ってる人を無視しなくて済みます。
kingが名前をしょっちゅう変えるのは、NGワードに登録されてあぼ〜んされるのを防ぐためらしいので、この方法が有効です。

みなさんねGeorge Orwellの1984を読んでみると分かるけど。
２＋２は５にもなるんだよ

Re:>717 まあ、トリビアルではある。(-a)*(-b)=a*bも、分配法則を利用して証明するわけだし。

o+r+z=orz

>>721
その結合は和じゃなくて積じゃないのか？

正確には
o*100+r*10+z=orz
なら苦しいけどいい気がする

368

イギリスのラッセル卿って言う人が１＋１＝２を証明したらしい。

なるものはなる

o*26^2 + r*26^1 + z*26^0 = orz

>>717
＞なんでリンゴ1個と1個で2個になるの？
リンゴ1個と1個という状況をりんご2個というだけですよ。

989

　こんなにまじめなスレだとは（←文学部卒）。
　結局これって定義で、証明するとて、２みたいに定義の説明を含むしかない
ものなんでしょう？
　１０進数の世界では０〜９の存在は設定しなきゃ始まらないから仕方ない、と
いうことでそう思うのですが。
　まあ、私は門外漢だし、遠い昔（大学1年の時）教養の記号論理学の授業で、
「Ａ＝Ａ」　は証明できるものであって、よって公理ではないと知ってショック受け
た思い出がある者でしかないでつが（しかし証明は忘れた…良ければ下ちい）。

背理法

>>719そこから「我思う故に我あり」に繫がるんだよな。

１＋１＝３
にもなる。

私はn×０＝０になることのほうが不思議だなぁ。
例えば３×０＝０
でも０÷０＝なしで、成り立たない。
普通は３×５＝１５、１５÷５＝３のように成り立つ。

Ｘ÷Ｘ＝１

>>735
X＝0の場合は？

age

学問体系にはまず証明不可能な公理が存在する。

>>692
エジソンなりのユーモアだろｗｗｗ
頭悪いやつはだまされるんだよ。

こんなのどう？
　　50+50=97
水50mlとメタノール50mlを混合した溶液の体積

>>738
容積はアカンでしょ。質量一定のもとでそうなるんだから。

１＋１はどうして２になるの？
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/986656055/2

１→０の次の数
２→０と１の距離と同じだけ１から離れた次の数
＋→＋の左側の数を「右側の数と０の間の距離」だけ進める作業を記号化したもの
＝→左側の内容と右側の内容が等しいことを意味する

以上を定義すると、
１＋１→「１」を「０と１の距離」だけ進める
　　　→０から「０と１の距離」だけ進め、さらに「０と１の距離」だけ進める
ここで、２は０と１の距離と同じだけ１から離れた次の数
　　　→０から「０と１の距離」だけ進め、さらに「０と１の距離」だけ進める
１＋１＝２

自然数の位置付けは大きくわけて２つ（定義っぽいもの）

�@ペアノの公理系による位置づけ（序数的立場）
�A集合論的立場による位置づけ

�@はググればいっぱい出てくると思うが、主な条件は
(1)自然数Ｎは１（始めの数）を含む
(2)自然数Ｎの要素ｎには必ず後者が存在し、数学的帰納法を保証する
これで２は１の後者として存在が説明できると思う

�Aは代数学での一般的な定義なので略


�@と�Aの位置づけの大きな違いとしては、ここに◎がいくつかあって
◎ ◎ ◎ ◎
何個ある？に対し「４(個)」が�Aの解釈に近く
一番右は？に対し「４(番目)」が�@の解釈に近い
同じ「４」でも集合数の４と順序数の４で、「４」の意味が異なるのが
分かると思う。

ペトリネット！！！

>>1
１＋１＝２は定義

ﾊﾞﾋﾞﾗ

高校の国語の雑談教師が
「数学では１＋１＝２はいまだに誰も証明できてないんですよ。不思議でしょ？」
ってエラそうに語ってたんですが
こいつはバカってことで良いですか？。

国語は数学と違って答を勝手に定義できちゃうから楽でいいよな〜

いつかは証明できない事柄にたどり着く。
しかし、ペアノの公理から加法を定義した上で1+1=2の証明はできるはずだ。

地球１つと、石ころ１つ足しても、２なの？

Re:>748 カントールによると、自然数は一対一対応によって説明できるとのこと。

数学ばかり考えて言語能力が乏しい人の疑問だな。単位がないからわからない、なぜ？と屁理屈つけたがる。

会社で、あなたの上司があなたの顔（目）を見て「ちょっと」と言いました。
あなたは、その”ちょっと”が誰に言っているのかわからない？
なぜ「ちょっと」の一言で自分が上司のデスクへ行かねばならないのか、と問いかける行動と同じレベルの話だね。

ＴＰＯを考えて、定義されなくても最適と思える行動を採る。
１＋１＝
とだけ白紙に書かれていたら、１とは何か、＋とは何か、＝とは何か、と
自分の中でいくつもの定義ができるだろうが、その中で最適なチョイスをするのが常識。

おそらく日本国民の９９．９％が「２」と答えるでしょうな。
その中で「なぜなんだろう」と考えるのは素晴らしいことだと思うが、
人が決めたに過ぎない記号の中で「どうして」と考えるのは馬鹿らしい。

１は１だし、一でもあるし�Tでもある。誰かが決めた文字と同じだ。君が今から「あ」を「い」と発音させるのは不可能だ。
福沢諭吉は「ブ」を「ヴ」と直させたという意味では前人未到の偉人だ。

そんな記号の定義をグダグダ言ってないで、外に出てみよう。果たして、現在の自然界における物理学は正しいのだろうか、
はたして本当に宇宙は存在するのか、といった根本的なこと、自分の目に映る物から疑ってみよう。

映画「マトリックス」がなぜ素晴らしいかといえば、その哲学要素にある。君は夢を見たことがあるだろう。
今ははたして現実なのか夢なのか、そこから疑ってみたまえ。
そうすれば、この世界では自分は人間という生き物で、日本に生きているという事実でさえ疑わしい「定義」だと思える。
サトラレやイグアナの娘が冗談の世界だと誰が言えようか。自分のことではない、となぜ言えるのか。

まぁ面白くない話だったな。

>>750
おまえかっこいいな(。−_−。)ポッ

>>750
> おそらく日本国民の９９．９％が「２」と答えるでしょうな。

おそらく、たし算も、数さえ数えられない０〜１歳児が
少なくとも１パーセントくらいはいるだろう。

>>752おまえかっこ悪いな(´σ｀)

> 750
> おそらく日本国民の９９．９％が「２」と答えるでしょうな。
> 人が決めたに過ぎない記号の中で「どうして」と考えるのは馬鹿らしい。

どうしようもない文章だし、
基本が分かっていないのも明らかだけど。

こういう思考しかできない人がいるというのが、
やはり寂しいというか・・
それだけ。無駄レスすまん。

>>750
第二段落以外はけっこうおもしろいとおもう。

このスレタイの答えを教えてやる。それが定義だから。その定義は
ものを数えたり、量を測ったりするときに、よく用いられるための概念であり
ごく自然に、人間の抽象的思考の産物として定着した。つまり、数、足し算
は自然界の法則でもなんでもない。自然界の法則から得られた一つの形式に過ぎない。

>>750
ばかだな、1+1=2と決めたんじゃ何の面白味もないじゃないか
TPOを考えなきゃいけないのはお前だよ、ここは数学板

入試問題で昔「１＋１＝２」を証明しろという問題があったような気が・・・。

１がスレッドを立てました。
次の人は２GETをします。
つまり１より１多い数を取った人が２ＧＥＴできるわけです。

>>757
数学的にはＰＡ（あるいはＱ）とかＺＦでＦＡじゃないの

有名な芸術家がそれ解いたよな

>>750
「5分前の創造」かよ。

１）１＋１＝２を定義だと思っている人
−＞あまりものを考えない人

２）１＋１＝２を公理から説明しようとする人
−＞実際的なものの考え方をする人

３）公理主義は知っているが、それでも疑問が残る人
−＞哲学者

ここでは（３）にあたる人こそが、
その疑問を整理し、論点を示すべきだと思うがね。

>>763のいう（３）の答えが>>756に書いてある。あと公理も定義も
本質的に同じですから。

http://bbs.infoseek.co.jp/Board02?user=imai20000

3366 管理者は当掲示板を捨てました 管理者 - 2005/02/20 18:45 -
管理者は当掲示板を捨てました。新掲示板を下記ページに作りました。蛆虫さんたちはご自由にお使いください。

http://bbs.infoseek.co.jp/Board01?user=imai20002

>>764
ワケわからん・・

もし（３）のような疑問をもつ人に、
>>756 が答えだといったら、怒りだすよ・・
それともあなたは公理主義を知らないのか？

あと１＋１＝２は命題（ある公理系から証明すべきもの）。
命題と定義を”本質的に同じ”として、
それでなにか得るものがあるか？

公理から定理が得られる。定義から定理が得られる。定義も公理も何かもの
ごとを証明なしに決めるということ。ただ公理は都合に沿うように決めると
いうだけ。数学という大きな形式の中ではこれらに本質的違いはない。
命題と定義は違うに決まってんだろ！

公理：トートロジーとされる命題
定義：概念、数学的略式の取り決め
全く似て非なるモノ

ちなみに「1＋1＝2」はPAの公理から導かれる定理
定義ではない

>>768だーかーらー、定義もトートロジーな命題とみなせるだろが！
>>769そんなことだれでもしってます。

どちらもトートロジーな命題と”定義”すること。いっしょじゃん。
てかそもそも定義と公理が、”同じ”とは何か？違うとは何か？何であるべきか？答えは数学の
大きな枠組みのなかでの位置づけが”同じ”かどうかでいいのでは？そうすれば
公理も定義も同じということになるだろう。わざわざ違う呼び名にするのは>>767
に書いた。

>>770

Ｐeanoの公理系のことですか？

>>767
・・きみ中学生か高校生だろう？
まあいいか・・

公理も命題も定理も定義も”本質的に同じ”というなら言ってもいいけどね。
ここでは”なぜ１＋１が２になるか”、ということを話してる。
そこで、”定義”と”定義から導かれるもの”をいっしょくたにしても、
なにも得るものはないだろう？

だいたい”公理系と現実は違う”という考え方は、
みな承知してるんだよ。
（だから>>756 が答えだ、みたいに言われると、
とまどってしまうわけ。）

”１＋１＝２は定義”というところで止まらずに、
その先を考える、というのが、
>>763 の（２）と（３）の態度なんだから。

ゲーデルの不完全性定理とかちょろっと耳にしたんですが、
公理系の正しさは、公理系自信では証明出来ないという意味だったと
思いますが。。。という事は、キリなしつうこってすね。

ゲーデルの証明したいくつかの定理は、
公理系のレベルや”完全”の意味合いがそれぞれに違ってたりするので、
不用意に使われても混乱するだけだけどさ。

ただ”公理系にキリがない”というとらえ方は、
間違いではない。

大学生だが。定義と定理をだれが一触体にしたって？なんかお前、前から勘違いしてるぞ。
おれはそんなこといってない。
>>774は違った意味で勘違い。おれはペアノの公理が正しい、正しくない、
をいってるんじゃないぞ。現実に実用されるべく作られたのが自然数で、それ
を数学の枠に強引にいれるためにペアノの公理が作られただけのこと。

俺は、公理と定義が同じといっただけ。命題、定理はこれとちがうに決まってんじゃん。

> 大学生だが。
・・そうか・・

>>777
> 公理と定義が同じといっただけ。命題、定理はこれとちがうに決まってんじゃん。

なら”１＋１＝２は定義”、ではないんだね？
それならなんの問題もない。

>>770
申請のバカ？

たとえば位相空間の定義はトートロジーな命題なのかね？

誤字った
申請×　→　真性

>>779いいかた悪かったな、定義も、トートロジーな命題としましょう、ていうことじゃん。馬鹿はお前だ。
>>756でたしかに１＋１＝２は”定義”と書いちゃってるね。何故１＋１＝２なのか？という問いは”何故そうさせた”？ということ
が論点でしょ。それを考える際にはこれをひとまず定義とみなして、何故１＋１＝２と定義したのか？という
問に対する答えを見つければ、上記の問に対する答えに、それがそのままつながることになる。そういうステップを説明すべきだったな。

>>781
>定義も、トートロジーな命題としましょう、ていうことじゃん
こいつアフォ過ぎて話にならんな。

たとえばアルティン環の定義はトートロジーな命題になりうるのかね？
ならないだろ。
定義と公理は重なってる部分もあるが明確に違う。
むりやりお前だけの脳内で一緒くたにするんじゃない。

定義というときは、主に新しい用語が現れるのだ。
公理というときは、新しい用語が出ることは絶対にない。

>>782なるじゃん。
>>783公理でも新しい言葉よくでてますが・・。

>>782
きみトートロジーの意味わかってる？
アルティン環の「定義をトートロジーと認めたら、それ以外の環の存在とが矛盾するモノとなり
一気に数学が破綻するのだが、（基礎論的にいえば全ての命題が証明可能）になってしまう。

ただなんの根拠もなく「なるじゃん」と脊髄反射で無責任なこというな！

Re:>784 どんな公理だよ？

定義の、”〜と呼ぶ”を、”〜である”にしてみろ。
>>786ほぼ全て。例えば確率の公理はどうですか？

わかった。
こいつ釣りだわ。

ならばの命題に解釈しろ。
基礎論やってる人にでも聞いてみれば？

ＡをＢと定義したら、ＡがＢであることはトートロジーだって言いたいんじゃないの？
実際その通りだと俺も思う。
数学を￥公理体系として捉えるならば、すべての公理に新しい言葉があらわれるとも言える。
定義によって導入された言葉はさかのぼれば無定義語に行き着くから。

ただし、無定義語を新しい言葉とするならば。

>>790やっとまともなやつがあらわれたか・・。>>791の言うとおり。それは
公理にも定義にも当てはまる。だから数学の大きな形式のなかで両者に違い
はない。

>>789-792
釣り＆自演乙
ネタを承知でマジレス
>>790
"AをBで定義する”という場合はAは概念でBは命題にあたるので
「AならばB」自体は論理式にならない。
>>792
「数学の大きな形式」って何？詳細説明してみな？

>>793はぁ？Ｂは名前。Ｂが命題？？？。。。笑えるよ、お前。

>>795
ネタに更にマジレス
Bが名前ならなおのこと
「AならばB」は論理式にならない。

>>794
素直に単純ミスは認めよう。指摘されて気付いたが
>>793でのAとBは逆だった。
それについては誤解を与えた。申し訳なく思う。

>>790さんのいうように、”ＡがＢである”のほうがいいね。でも”ならば”
で雰囲気かんじれないかなぁ・・。こんな簡単なことそこまで真面目に言わ
んとわかんねぇのかよ・・。てーか>>790の意見は認めるよね？

あと俺は”ＡならばＢ”とかいってないし。

おまいらな、「俺は」とか言うならコテ若しくはトリップつけろや

自分の間違いにきずいた途端トンズラかいな・・情けないですね。

>>800
誰のことを言っているの？

Peanoがうまれる以前は「1+1=2」は公理だったのか？

>>801紫色の方。何人か知らんけど

Re:>802 そうなんじゃないの？

815

>1はトットローだといえば、沖縄の人間は皆納得する。

保守age

679

どっかの学者が1+1=2を証明した式を発表してました。ものすごい長かったです。

>>804
まずはその名前使うのやめろ

高卒の俺に言わせればカレーライスとオムライスを1個ずつ食べたい！！でもお金が足りない。ん！？オムライス1個とカレーライス1個食べたら2個食べることになる。
ここで問題なのはカレーライスは1個では1杯と言うのだ！
つまり1たす1は2かもしれない。半分ずつたべたら0.5杯と0.5個になるんだ！！以上21年間の全てをつぎこんだ論理です。

オムライスとカレー両方食ったら食いすぎ
金あるなしに関係なくオムカレーにしておくべき。

道端で100円硬貨を拾ったとする。
もうちょっと歩いて、また100円硬貨を拾ったとする。

このとき「今日は道端で200円拾ったぞ！」と思えれば良いのだけれど。
どうしてもそれが納得できないの？

オムカレーは不味そう、
やはり、麻婆オムライスだな。

まあ2を知らないひとがいたら
100円二枚を大きな100円だと思うでしょうね

Re:>810 お前誰だよ？

BlackLightOfStarは釣り師ですか？
(両方とも)

Re:>817 釣れた！

四年。

age

林檎一個と林檎一個＝林檎二個

　　　　　　　　　　 __,,,､,､,､_
　　　　　 　 　 　／´ 　 ノﾉﾘ ｀ヽ,
　 　 　 　 　 　/ 〃 　　　　　人　 ヽ
　　　　　　　　i　　 ﾘﾘﾘﾘﾘﾘﾘki’　ﾘﾘﾘ}
　　　　　 　 　| 　　〉 　　-‐　　 '''ｰ {!
　　　　　 　 　 | 　 |　　 ‐ｰ　 くー　|　　 　
　　 　 　 　 　 ﾔヽﾘ　´ﾟ　 ..,ｒ(､_>､ ﾟ'｝　　　
　　　　　　　　 ヽ_｣ 　 　:: ト‐=‐ｧ'::. !　　　　
　　　　　　　　　 ゝヽ、　::..｀二´'.::ノ　　　
　　　 　 　 　 　 　　ｒ| ｀ ー--‐ｆ´ 　 　 　
　　　　　　　　　_／ | ＼　　　／|＼_
　　　　　　 /￣/　　| ／｀又´＼|　 | ￣＼

せっかくだからこっちにも書いておこう。

>>1
ようするにおまいのいうことは1/2の逸話と同じだろ。
ではその1/2の逸話を話そう。

「１÷２はいくらですか」と訊かれたらもちろん普通なら「1/2です」と答えるだろう。
しかしそこに１個のケーキがあるとしよう。
そしてそれを２つに分けたとする。
それは１÷２と同じはずだ。
しかしそのケーキを数えるときはどうするだろう？
普通「1/2、1」っていうだろうか？おそらくいわないだろう。
たぶん「１、２」と数えるはずだ。
ようするにケーキは２個になったのである。
１÷２は1/2のはずなのになぜか２になってしまった。
さあどうしてだろう？

おまいのいってるのはこういうことなんだよ。

970

>>260,>>407,>>705,>>750
このような答え方私は好きです。

このスレを起てた方の質問（問題提起）を分析すると
　　１＋１はどうして２になるの？ ⇒　１＋１が２な事は知っているがなぜ２なの？
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　林檎はどうして林檎なの？　
　　ロミオはどうしてロミオなの？　　と同類ではないだろうか？

　１＋１が２であることを知っているなら、君はどうして１＋１が２であることに
　　疑問をもつのですか？

　　しかし、よくも延々と・・・、もっと続けてくれろ。

人間のパターン認識の一つとして、個数の認識がある。
個数の識別とはパターン繰り返しの識別である。
閾値により弁別できるパターンに対して、
それが「1回」繰り返される場合に「1」という言葉を当てはめているのだ。
すなわち、ここで行われる処理は直感の記号化、つまり演繹ということだ。

人間の(そして恐らくは相当数の生物の)能力として、
外的刺激を元に構築された概念は、閾値に基づき
拡張・継承したり、一般化・適用することが可能である。
(必ずしも記号を介する必要は無いが、人間においては記号化・言語化が著しい)

人間が存在するスケールでの世界は完全にランダムではなく、
往々にして一定のパターンが繰り返し現れるという事実に基づく認知の進化といえる。

化学的で生物的な認知現象=本能と自我・思考世界との接点だな。
なので自我から見て「分かりづらく」感じるのは仕方が無いのかもしれない。

結論を言うと、りんごの個数の例は、脳が認識した現象に対して、
対応付ける記号は何であるべきか?という問題である。

記号とは、情報のグループ化であり、これもパターン認識の一つである。

半分に割った林檎を「1切れ」と認識するか「1/2個」と認識するかは、その時々で変わるのだ。

りんごの単位「個」にこだわった場合、それは例えば、「物体としてのりんご」が主眼に置かれているかもしれない。
りんごの単位「切れ」にこだわった場合、それは例えば、「食べ物としてのりんご」が主眼に置かれているかもしれない。

シチュエーションを考えてみよう。

1+1=2
これは、可能な限りシチュエーションを排除し、
パターンを一般化して操作するための認識であるといえる。

age

1+1=0にもなるけど

1+1
succ(1)
One's Next
某銀行
http://www.smbc.co.jp/index.html

890

そもそも１という数字はない

い ろ は に ほ へ と
でやることを俺はお勧めする。

この手のスレって、毎年4〜5月にやたらとたちまくる傾向でもあるの？

2x2+2/2が5になるのがわかりません
3ではないのですか？

(2x2)+(2/2)

>>1
たまに3になる。

●＋●＝●●
なんだかんだいって現実世界にそくしてる。

principiamathematica とかいう本よんだらどうか。
俺はめんどいから無理

●＝リンゴ1個とする。
●＋●＝●●だから。
リンゴ2個

●＋('A`)＝
リンゴ1個に毒男を足すと0なる(゜∀゜)
さて何故でしょう？

1個食べたオレがいる、、、('A`)




ﾀｲ━|Φ|(|ﾟ|∀|ﾟ|)|Φ|━ﾎ

>>838
●●がリンゴ２個ということを説明してくれ

>>841
「２」の定義：　２＝１＋１
ですのでＯＫでした。

２の定義：　１＋１．
自然数 Ｎ の定義: Ｎ＝（Ｎの一つ前の自然数）＋１

以上により自然数のすべてが定義できる。

>>842
散々既出だけど、普通 2 の定義は「1+1」じゃなくて「1の後者」
「後者」は結局「+1」なんだけど、
それは加算に関する公理を入れて初めて言えること

１＋１は２になった方が、人間の頭で考えやすいから。
多分酒１リットルと水１リットルを足しても２リットルにはならないと思う。

１＋１＝２がなぜ成り立つ　ではなく、２という数を１＋１
として定義したのです

へえ〜、そういうレベルの理解で先生やってるんだ

>>846無知
>>845に補足
順序数なので、

順序数で考えると2の定義が1+1なのか？

それ言っちゃうと、誰かさんの公理の話になってつまんなくなるよ・

アキシオムを立証しようという心に打たれる。素晴らしい。でも、アキシオム
をベースにもっと複雑な理論が存在する。やはり４番の回答に一番納得する。

>>1-850
全員バカだな。
そんな暇あったら学校の宿題でもしてろ。

>>1って教育板のハイパー険悪コテ「招き猫」みたいだ

>>2の説明以外に加算を定義する方法教えれ。
他にも絶対あるはず。

>>2の方法では乗算が定義できない。

9

>>851
お前のほうがよっぽど馬鹿。

age

sage

>>856
そうでもないと思うが。
>>1->>850が全員バカってのは極論すぎだが
2行目は的を射た発言かと

age

0

age

ageしか言葉知らないような馬鹿とかに比べれば、
いろいろと言葉知ってる香具師は、ずっとマシだな。

多数決で決めたんですよ。

こんな糞スレが４年も続いてんのかw

ttp://imai48.hp.infoseek.co.jp/japanese/shizensu/no001.html

age

ようするにだ、1+1=2が嫌なら使わなければいいんだろ。
1+1=3がいいならそれ使って日常生活送ればいいじゃん。

1+1=3だと
1+2はいくつ？

自然数は、1,3,2,4,5,6,7,…

という主張で、1+2=4、という事では？

1+1=3ということは、2が存在しないか、2が変な位置にあるか。

1+1は必ずしも2にはならない

なんで１＋１が２になる場合があるの？と問うべきだな。

テーブルの上にリンゴが１個ありました
その隣にリンゴが１個ありました
テーブルの上には他にリンゴはのっていないとします
今、テーブルの上にはリンゴが何個のっていますか

１＋１＝２（個）です。他にはあり得ません

ねんどのたまとねんどのたまをおしつけました。

ねんどのたまは何個あるでしょう？

エジソン

ベクトルP(r､θ)=(1､0)、Q(r､θ)=(1､π/2)の時
P+Q=(√2､π/4)となる

P、Qの大きさはともに1だが、その和のベクトルの大きさは√2になる

史上稀にみる良スレ！
＋の定義:数直線上を右に進む。
−の定義:数直線上を左に進む。
x＋yはxから右にy進んだ値。
ゆえに1＋1=2。
著しく厳密性を欠きますが大雑把に言えばこんなところでしょう。

ｼｮｳｼﾞｷ>>2が一番よく説明できてる気がする

レディオヘッドの
2+2=5
を証明できる人いますか？

age

>>880
4は縁起が悪いから使わないんだろ。

talk:>>882 どこの国の人だよ？

１＋１が２？
ハハハ(笑)、君たちはアホか(笑)
１＋１が本当に２だと命を賭けれるか？(笑笑)

>>884は日本国語が弱い。

ら抜き言葉により立証。

あ、スレ違いで板違い
⊂(ﾟεﾟ;)⊃

ペアノの公理によれば、自然数の集合Ｎは
N={1 , 1+1 , (1+1)+1 , ((1+1)+1)+1 , ……}
これを、簡単のために
N={1 , 2 , 3 , 4 , ……}と書く。
つまり、　1+1=2　は「2」という数の定義そのもの。

「2」の定義は「1+1」じゃなくて「0の次の次の数」だと何度言わせれば気がすむんだよ

素養がない人間には次という言葉も通じない。

>>887
2=0+1+1　ってこと？

>>889
そういうことだな
だが、そうすると今度は0の定義が必要になる

>>886
そのペアノの公理の説明が書いてある本かサイトを教えてください。

talk:>>890 ペアノの公理で0の性質は述べられているが、0の定義とは何か？

>>888
ペアノの公理の話をしてるんだろうが。
素養の問題じゃねえよあほたれ。

>>889
そうじゃない。このスレに既に書いてあるから
このスレの過去ログ読んだらわかる。

n+1=o を満たす自然数nが存在しない数oを0という　でいいのかな

>>894
その場合の「自然数」「数」とは何だ？
その「0」が、ただひとつしか存在しないってことは言えるのか？

+1の意味が分からん

>>896 たしかに。n+1でnが自然数ならoは0だけじゃなくて1も作れんじゃん

>897の意味が分からん

保守したらしかられる?

>>899
行動の判断基準が「しかられるかどうか」なんだな。
善いこと正しいことを自分で考えることが出来ないタイプ

だって・・
おにいちゃん、えっちなことするんだもん

なんつって＾＾；

鹿られる。

芝刈れる。

Ｎ上で演算+は次で定義される。
・∀x∈Ｎ x+o=x
・∀x、y∈Ｎ x+y'=(x+y)'

「'」の定義は？

お次。

自然数全体Nは次で定義される。

(�T)o∈N が(�U)〜(�X)を満たす。
(�U)∀x∈Nに対してx'∈Nが一意に定まる。
(�V)∀x∈Nについてx'≠o
(�W)∀x、y∈Nについてx≠y⇒x'≠y'
(�X)Nの部分集合Sが『∀x∈Sについてx'∈S かつ o∈S』を満たすならばN=S

またN上で演算+を次で定義する。
(�Y)∀x∈Nについてx+o=x
(�Z)∀x、y∈Nについてx+y'=(x+y)'


ここで、∀x∈Nはo'''…で表せることがわかる(∵(�Y)、(�Z))。つまりoは唯一のものだからoを0と呼ぶことにした。同様にo'を1、o''を2…、と呼ぶことにした。

では、1+1について考えよう。
定義から0'=1だから、1+1=1+0'
(�Z)から、1+0'=(1+0)'
(�Y)から、1+0=1
よって1+1=1'
定義から1'=2
すなわち、1+1=2

糸冬了

公理

足し算の定義は何？

>>911
2+5
=(1+1)+(1+1+1+1+1)
=1+1+1+1+1+1+1
=1'''''''
=7
じゃね？

>>911
足し算の定義・・・引き算の取り消し

talk:>>913 引き算の定義は？

>>912
本来の定義にもどると、
((((1+1)+1)+1)+1)
みたいになるんじゃね？

「１＋１＝２」の妥当性を疑っている状況下で「足し算の定義は○○である」と言い切れる自身がない。

そういうことか。

1+1=2を疑うというが、とっとと反例もってこいっつー感じだな。


「普段我々は「いいから反例持って来い」
「無条件に１+１＝２である「いいから反例持って来い」
事を信じているが「いいから反例持って来い」

>>918
反例があれば、疑うことなく「偽」じゃないか

>>918
全てのカラスは黒(ry

2

大森荘蔵は1+1=2は論理的であり、論理的であることは冗長と言った。
すなわち、1+1の時点で　既に2であることを言い表しているのである。
ただ我々はそれを言い換えているのである。

という観点から説明できない？