不等式への招待第６章

ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
　　　　　　　　　　＿＿＿　　　　　　　　　　----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
　　　　|┃三　.／　　≧　＼　　　
　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／　|　
　　　　|┃　≡|::::: (●　(● |　　不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ　　　　黙っちゃゐられねゑ！
　　　　|┃=＿＿　　　＼　　　　　　　　　ﾊｧﾊｧ…
　　　　|┃　≡　）　　人　＼ガラッ

まとめWiki　http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/

過去スレ
・不等式スレッド　（第１章）http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待第２章　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
・不等式への招待第３章　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/
・不等式への招待第４章　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/
・不等式への招待第５章　http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/l50
・過去スレのミラー置き場　http://cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/

姉妹サイト（？）
キャスフィ高校数学板不等式スレ
http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/
Yahoo! 掲示板「出題不等式」
http://messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=l&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=10000

不等式の本

[1]　不等式，ハーディ・リトルウッド・ポリヤ，シュプリンガー，2003年
　　http://amazon.jp/o/ASIN/4431710566
[2]　不等式，大関信雄・青木雅計，槇書店，1967年（絶版）
[3]　不等式への招待，大関信雄・大関清太，近代科学社，1987年（絶版）
　　 http://direct.ips.co.jp/book/Template/Goods/go_Boo...
[4]　不等式入門（数学のかんどころシリーズ９），大関清太，共立出版，2012年
　　 http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/978432001...
[5]　不等式入門，渡部隆一，森北出版，2005年
　　 http://amazon.jp/o/ASIN/4627010494
[6]　不等式の工学への応用、海津聰、森北出版，2004年
　　 http://amazon.jp/o/ASIN/4627075812
[7]　不等式（モノグラフ４），染取弘，科学新興新社，1990年
　　 http://amazon.jp/o/ASIN/4894281740
[8]　数学トレッキングツアー第３章「相加平均≧相乗平均」，東京理科大学数学教育研究所，教育出版，2006年
　　http://amazon.jp/o/ASIN/4316801988
[9]　数学オリンピック事典，数学オリンピック財団，朝倉書店，2001年
　　http://amazon.jp/o/ASIN/4254110871
[10]　獲得金メダル！国際数学オリンピック第１章「不等式」，小林一章，朝倉書店，2011年
　　http://www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-1113...
[11]　三角法の精選103問（シリーズ：数学オリンピックへの道 2），T.アンドレースク・Z.フェン著，朝倉書店，2010年
　　http://www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-1180...
[12]　The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities，J. M. Steele，Cambridge Univ. Pr.，2004年
　　 http://amazon.jp/o/ASIN/052154677X
[13]　Inequalities: A Mathematical Olympiad Approach，Birkhaeuser Basel，2009年
　　 http://amazon.jp/dp/3034600496

不等式の記事

[1]　特集「現代の不等式」（数理科学 No.386），サイエンス社，1995年8月号（絶版）
[2]　特集「不等式の世界」（数学セミナー No.2-569），日本評論社，2009年2月号
　　 http://amazon.jp/o/ASIN/B001O9UIZ8
[3]　連載「不等式の骨組み」（大学への数学 vol.53，全12回，各4ページ），栗田哲也，東京出版，2009年4月号-2010年3月号
　　 http://www.tokyo-s.jp/index.shtml

不等式の埋蔵地

[1]　RGMIA　http://rgmia.vu.edu.au/
[2]　Crux Mathematicorum Synopses　http://www.journals.cms.math.ca/CRUX/synopses/
[3]　Maths problems　http://www.kalva.demon.co.uk/
[4]　Mathematical Inequalities & Applications　http://www.ele-math.com/
[5]　American Mathematical Monthly　http://www.maa.org/pubs/monthly.html
[6]　Problems in the points contest of KoMaL　http://www.komal.hu/verseny/feladatok.e.shtml
[7]　IMO リンク集　http://imo.math.ca/
[9]　Mathematical Olympiads Correspondence Program　http://www.cms.math.ca/Competitions/MOCP/
[10]　Mathematical Excalibur　http://www.math.ust.hk/excalibur/
[11]　MathLinks Contest　http://www.mathlinks.ro/Forum/contest.html
[12]　MATH PROBLEM SOLVING WEB PAGE　http://www.math.northwestern.edu/~mlerma/problem_s... (要自動登録)
[13]　Wolfram MathWorld　http://mathworld.wolfram.com/
[14]　GRA20 Problem Solving Group　http://www.mat.uniroma2.it/~tauraso/GRA20/main.htm...
[15]　American Mathematical Monthly Problems　http://www.mat.uniroma2.it/~tauraso/AMM/amm.html
[16]　Journal of Inequalities and Applications http://www.hindawi.com/journals/jia/

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　／:::::; -‐''"　　　　　　 `ｰノ
　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼
　　　　 /　　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 |
　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 |
　　　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ|
　　　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　
　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　ﾋﾆ二、　＼
.　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼　 |　'､　　＼
　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 |
　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､　/:＼__/‐､
　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣|
　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/

海外不等式ヲタの生息地

[1] Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics　http://jipam.vu.edu.au/
[2] MIA Journal　http://www.mia-journal.com/
[3] MathLinks Math Forum　http://www.mathlinks.ro/Forum/forum-55.html

　　　　　⊿　　　　　○　　　∇　、＿＿＿,､´｀ﾞ；~､　　';冫　☆
　　　　　　　　　　　┏　 ━ゝヽ''／　　≧　＼━〆Ａ!ﾟ━━┓。
　╋┓"〓┃　＜　ゝ＼',冫｡'　|:::: 　＼ .／　|゛△│´'´,.ゝ'┃.　　　　　 ●┃ ┃┃
　┃┃_.━┛ヤ━━━━━━|::::: (●　(● |━━━━━━━━━　　━┛ ・　・
　　　　　　　　∇ 　┠─Σ-　　ヽ::::... .ワ.....ノ　　冫　そ',´; ┨'ﾟ,。
　　　　　　 .。冫▽　＜　　 ⊂ 　　　./⊃　　　　乙　　≧　　　▽
　　　　　　　　　。　┃　　 Σ　　（⌒ゞ　,l,　､'' 　│ 　て　く
　　　　　　　　　　　┠─ム┼ 　　ゝ,,ﾉ　ﾉゝ.　､,,　.┼ ｧ　Ζ┨　ミｏ''｀
　　　　　　　　　。､ﾟ`。､　　　i／　　　レ' o。了　､''　×　个ｏ
　　　　　　　　○　 ┃ 　　`､,~´＋√ ▽　　',!ヽ.◇　　　ｏ┃
　　　　　　　　　　 ┗〆━┷　Ｚ,.'　/┷━''ｏヾｏ┷+＼━┛,゛；
　　　　　　ヾ　　　⊿　　　　　　　　　　　　　　　'、´　　　　∇

我々は不等式ヲタだ！
お前達を同化する。抵抗は無意味だ！

まとめwiki、もっと充実するといいね。
俺もだけれど、暇な時でも見つけてスレ内の面白かった不等式(とその証明)のっけていければいいのだけれど

不等式は人気者だな

>>2のurl何かおかしくね？

>>8
具体的に、どの本？

>>2 の修正
すまなんだ
まとめWikiからコピペしたら、長いURLは ...... と略されるのを忘れていました

不等式の本
[1]　不等式，ハーディ・リトルウッド・ポリヤ，シュプリンガー，2003年
　　http://amazon.jp/o/ASIN/4431710566
[2]　不等式，大関信雄・青木雅計，槇書店，1967年（絶版）
[3]　不等式への招待，大関信雄・大関清太，近代科学社，1987年（絶版）
　　 http://direct.ips.co.jp/book/Template/Goods/go_BookstempKindai.cfm?GM_ID=KD1006&CM_ID=004300504&SPM_ID=1115&HN_NO=00430&PM_No=&PM_Class=
[4]　不等式入門（数学のかんどころシリーズ９），大関清太，共立出版，2012年
　　 http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320019898
[5]　不等式入門，渡部隆一，森北出版，2005年
　　 http://amazon.jp/o/ASIN/4627010494
[6]　不等式の工学への応用、海津聰、森北出版，2004年
　　 http://amazon.jp/o/ASIN/4627075812
[7]　不等式（モノグラフ４），染取弘，科学新興新社，1990年
　　 http://amazon.jp/o/ASIN/4894281740
[8]　数学トレッキングツアー第３章「相加平均≧相乗平均」，東京理科大学数学教育研究所，教育出版，2006年
　　http://amazon.jp/o/ASIN/4316801988
[9]　数学オリンピック事典，数学オリンピック財団，朝倉書店，2001年
　　http://amazon.jp/o/ASIN/4254110871
[10]　獲得金メダル！国際数学オリンピック第１章「不等式」，小林一章，朝倉書店，2011年
　　http://www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-11132-3/
[11]　三角法の精選103問（シリーズ：数学オリンピックへの道 2），T.アンドレースク・Z.フェン著，朝倉書店，2010年
　　http://www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-11808-7/
[12]　The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities，J. M. Steele，Cambridge Univ. Pr.，2004年
　　 http://amazon.jp/o/ASIN/052154677X
[13]　Inequalities: A Mathematical Olympiad Approach，Birkhaeuser Basel，2009年
　　 http://amazon.jp/dp/3034600496

　　　　　　人
　　　　　（＿_）
　　　　　（＿＿）　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　　　(∩・∀・)＜　もしもし? このスレに不等式１人前お願いします
　□……(つ　　　)　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
￣￣￣￣￣￣￣￣|

( ﾟ∀ﾟ) ﾏｲﾄﾞｰ、税込1050円ﾃﾞｽ

x、y、z > 0、xyz=1 のとき、(x/(1+x))^2 + (y/(1+y))^2 + (z/(1+z))^2 ≧ 3/4

不等式の本が出たってのに、なぜかスルーですな

x、y、z > 0、xyz=1 のとき、(x^2/(1+x))^2 + (y^2/(1+y))^2 + (z^2/(1+z))^2 ≧ 3/4

　　　　　　人
　　　　　（＿_）　　　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　　　（＿＿）　　／　あ～もしもし、追加注文お願いします
　　　　　(∩・∀・)＜　うんち特盛り…じゃなくて、類題１人前
　□……(つ　　　)　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
￣￣￣￣￣￣￣￣|

　　　　　( ﾟ∀ﾟ) ﾏｲﾄﾞｰ、税込850円ﾃﾞｽ
　　　　　(　O┬O
　　≡ ◎-ヽJ┴◎ 　ｷｺｷｺ

x、y、z > 0、xyz=1 のとき、x/(1+y) + y/(1+z) + z/(1+x) ≧ 3/2

>>11-14
不等式の左辺の分母の1を(abc)^(1/3)に置き換えたり、
あんなことやこんなことをするんだろうと思うけど、できぬ・・・

三角形の辺の長さ a、b、c に対して、(a^2)/(b^2 +ac) のとりうる値の範囲を求めよ

>>16
分母分子a^2で割って、b/a、c/aを置き換えて三角形の成立条件とか使うん蟹？

これってエレガントというか、きれいな解法はないだろうか？
そんなに各種不等式に詳しくないので、ここで聞きます。

abc=1を満たす正の実数a,b,cにたいして、
a^3+b^3+c^3+6≧(a+b+c)^2

>>18
コレクションにあるかな～と思って探したけど持ってなかった
とりあえず ( ﾟ∀ﾟ)ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ！
考えてみ松

589:１３２人目の素数さん[]
2012/04/13(金) 17:58:32.59

表の出る確率がp(1/2≦p≦1)のコインを奇数枚投げたとき
表の出たコインの枚数が,裏の出たコインの枚数より多い確率は
p以上であることを示せ

★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第二十問
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1325575627/

グラフを描いてみると成り立ってそうだけど証明法が解らずにいる不等式

x erfc(x) < 1/4.

http://www.cs.berkeley.edu/~wkahan/MathH90/Putnam99.pdf

Problem B4: Let ? be a real function with a continuous third derivative such that ?(x) ,
?'(x) , ?"(x) and ?'"(x) are positive for all x . Suppose that ?'"(x) ￡ ?(x) for all x . Show
that ?'(x) < 2?(x) for all x .
Solution B4: For any x and X , Taylor’s formula for ?(X) with an integral remainder is
?(X) = ?(x) + (X?x)?'(x) + (X?x)2?"(x)/2 + ox
X (X?t)2?'"(t)dt/2 ; and if X < x we find, since
?'"(t) > 0 , that ?(X) < ?(x) + (X?x)?'(x) + (X?x)2?"(x)/2 . Set X := x ? ?'(x)/?"(x) < x to
infer first 0 < ?(X) < ?(x) ? ?'(x)2/?"(x) + (?'(x)2/?"(x))/2 and then ?'(x)2 < 2?(x)?"(x) .
Similarly ?'(X) = ?'(x) + (X?x)?"(x) + ox
X (X?t)?'"(t)dt ; now, since ?'" ￡ ? and X?t has
the same sign as X?x and also dt , we infer ?'(X) ￡ ?'(x) + (X?x)?"(x) + ox
X (X?t)?(t)dt .
Integration by parts turns this last inequality into
?'(X) ￡ ?'(x) + (X?x)?"(x) + (X?x)2?(x)/2 + ox
X (X?t)2?'(t)dt/2 .
Again, if X < x we find, since ?'(t) > 0 , that ?'(X) ￡ ?'(x) + (X?x)?"(x) + (X?x)2?(x)/2 ;
this time set X := x ? ?"(x)/?(x) < x to infer from 0 < ?'(X) that ?"(x)2 < 2?'(x)?(x) . This
combines with the inequality ?'(x)2 < 2?(x)?"(x) inferred above to prove ?'(x) < 2?(x) , QED.
( An example of such a function ?(x) is s + exp(m・x) for any constants s 3 0 < m ￡ 1 . The
example s + (mx + O(m2x2+1))n for n 3 2 , s 3 0 and m ￡ 3O((5/2)5/2/(n(n+1)5/2(n+2))) is
less obvious.)

>> 18
Cirtoajeのプレプリのアイデアを応用すれば, x,y,z が正のとき,
x^9+y^9+z^9 + 6x^3 y^3 z^3 ≧ xyz((x^6+y^6+z^6)+(x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3))
が成り立つことは証明できますが, 泥臭くて長い計算(A4版TeX印刷で2ページくらい)になります。
p=x+y+z, q=xy+yz+zx, r=xyz とおいて, 不等式の (左辺)-(右辺) をp,q,rで書き直したとき, rの2次式になるのがポイントです。
鮮やかな簡明な証明は思いつきません。
ところで, 次の問題のほうがずっと難しいと思いますよ(私の証明でA4版10ページくらい)。
x, y, z が正のとき
x^5+y^5+z^5 + (5 \root{4}\of{5}/4 - 1)xyz(x^2+y^2+z^2)
≧ (5 \root{4}\of{5}/4)(x^4y+y^4z+z^4x)

斉次対称不等式はいろいろな一般論が利用できますが, 巡回不等式のほうは難しいのです。

5/4^(4/5).

>>23
不等式の本を早く出してください、ﾜｸﾜｸ…

0≦x[i]≦1,x[1]+x[2]+…+x[n]=1のとき
x[1]+x[1]x[2]+x[1]x[2]x[3]+…+x[1]x[2]x[3]…x[n]
の最大値って出せます？

>>26
ラグランジュの未定乗数法は試した？

１。

解決しました
最大値はx[1]=1のときですね

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　／:::::; -‐''"　　　　　　 `ｰノ
　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼
　　　　 /　　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 |
　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 |
　　　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ|
　　　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　
　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　ﾋﾆ二、　＼
.　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼　 |　'､　　＼
　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 |
　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､　/:＼__/‐､
　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣|
　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/

自演バレバレだぞ prime_132

さいきん数学板のあちこちに糞AAを貼りまくっている奴の正体がprime_132なのか
検索すると、あちこちに出没しているようだな

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　／:::::; -‐''"　　　　　　 `ｰノ
　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼
　　　　 /　　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 |
　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 |
　　　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ|
　　　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　
　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　ﾋﾆ二、　＼
.　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼　 |　'､　　＼
　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 |
　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､　/:＼__/‐､
　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣|
　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/

調べてみたら自分より有能な人の存在を認めたくない有象無象の1人にしか見えんのだが。
こんなあわれな子供が荒らしに時間を費やしているとしたら世も末だなぁ。

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　／:::::; -‐''"　　　　　　 `ｰノ
　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼
　　　　 /　　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 |
　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 |
　　　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ|
　　　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　
　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　ﾋﾆ二、　＼
.　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼　 |　'､　　＼
　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 |
　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､　/:＼__/‐､
　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣|
　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/

ところで, 日本では, 不等式の研究集会とかシンポジウム, って聞きませんね。
誰か開く予定があったら教えて下さい。

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　／:::::; -‐''"　　　　　　 `ｰノ
　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼
　　　　 /　　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 |
　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 |
　　　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ|
　　　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　
　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　ﾋﾆ二、　＼
.　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼　 |　'､　　＼
　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 |
　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､　/:＼__/‐､
　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣|
　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/

18 abc=1を満たす正の実数a,b,cにたいして、
a^3+b^3+c^3+6≧(a+b+c)^2>>

Schur's Inequality

x, y, z>0⇒(x^3+3y^3)/(5x+y)+(y^3+3z^3)/(5y+z)+(z^3+3x^3)/(5z+x)≧(2/3)(x^2+y^2+z^2)

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　／:::::; -‐''"　　　　　　 `ｰノ
　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼
　　　　 /　　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 |
　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 |
　　　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ|
　　　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　
　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　ﾋﾆ二、　＼
.　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼　 |　'､　　＼
　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 |
　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､　/:＼__/‐､
　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣|
　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/

876　　　ななし　[2012/04/26(木) 01:52:05] sage
>>872
コーシーで
　{x(5x+y)+3y(5x+y)+y(5y+z)+3z(5y+z)+z(5z+x)+3x(5z+x)}{左辺}
　　≧ (x^2 +3y^2 +y^2 +3z^2 +z^2 +3x^2)^2
　　=　16(x^2 +y^2 +z^2)^2,
ここで
　x(5x+y) +3y(5x+y) +y(5y+z) +3z(5y+z) +z(5z+x) +3x(5z+x)
　　= 8(x+y+z)^2
　　= 24(x^2 +y^2 +z^2) -8(x-y)^2 -8(y-z)^2 -8(z-x)^2
　　≦ 24(x^2 +y^2 +z^2),
より、
　{左辺} ≧ (2/3)(x^2 +y^2 +z^2),

877　　　prime_132　[2012/04/26(木) 01:57:59] sage
>>873-876
　正解です！
いろんな方法があるんですね。

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　／:::::; -‐''"　　　　　　 `ｰノ
　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼
　　　　 /　　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 |
　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 |
　　　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ|
　　　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　
　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　ﾋﾆ二、　＼
.　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼　 |　'､　　＼
　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 |
　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､　/:＼__/‐､
　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣|
　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/

実数 a、b、c が a^2 + b^2 + c^2 = 1 をみたすとき、ab+bc+ca のとりうる値の範囲を求めよ

>>2
[4]を買ったので、GWに読んでみます。
[2][3]を図書館で借りておいた方がいいですかね？

>>48ですが、[2][3]を確保しました

こんな不等式あった
http://s3.gazo.cc/up/s3_7474.png

　 ┏┓　　　　┏┓　　　　　　　　　　　┏━┓　┏━┓
┏┛┗┓ ∧∧　┗━┓　　　　　　　　┃　 ┃　┃　 ┃
┗┓┏(　つﾟДﾟ).┏┓┃┏━━━┓ ┃　 ┃　┃　 ┃
┏┛┗ ＼　ｙ⊂ ）　┛┃┗━━━┛ ┗━┛　┗━┛
┗┓┏ ／　　　　＼┓┃　　　　　　　 ┏━┓　┏━┓
　 ┗┛∪￣￣￣＼)　┛　　　　　　　 ┗━┛　┗━┛

>>50
どうやって証明するのでしょう？

>>50,52
証明してみた。
http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/d/%B8%C4%CA%CC%A4%CE%CC%E4%C2%EA%B2%F2%C5%FA?wiki_id=54872#content_7

綺麗すぎワロタ
右辺がすっきりしてるのにも理由があるのか

>>53
ふつくしい…

>>53
あなたが神か…

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　／:::::; -‐''"　　　　　　 `ｰノ
　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼
　　　　 /　　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 |
　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 |
　　　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ|
　　　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　
　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　ﾋﾆ二、　＼
.　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼　 |　'､　　＼
　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 |
　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､　/:＼__/‐､
　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣|
　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/

専ブラで糞AAをあぼーんしている俺に死角はない

>>53
きたか…!!

　　( ﾟдﾟ )　ｶﾞﾀｯ
　　.r　　ヾ
＿_|_|　/￣￣￣/＿
　　＼/　　　　/

>>47
-1/2 ≦ ab+bc+ca ≦ 1

こんなのあった
正数x,y,zがx+y+z=1　をみたすとき、x^3+y^3+z^3+3xyz≧2/9

あ…ありのまま今　起こった事を話すぜ！
ＧＷが始まって不等式にﾊｧﾊｧしていたはずが気がついたらＧＷが終わっていた…
何を言ってるのか分からねーと思うが、俺も何をされたのか分からなかった…
頭がどうにかなりそうだった…
催眠術だとか超スピードだとか、そんなチャチなもんじゃあ　断じてねえ
もっと恐ろしいものの片鱗を味わったぜ…

非負実数 a、b、c が a+b+c=5 をみたすとき、(a^4)b + (b^4)c + (c^4)a ≦ 256

>>47
(a^2 + b^2 + c^2) + 2(ab+bc+ca) = (a+b+c)^2 ≧0
(a^2 + b^2 + c^2) - (ab+bc+ca) = (1/2){(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2} ≧0

>>61
わかりませんぬ

>>53
え、どっかのサイト？

>>65
聞く前に自分で確認しろや糞蟲

実数 a、b、c が a+b+c=0、a≧1 をみたすとき、a^4 + b^4 + c^4 -3abc ≧3/8

( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！

>>67
なんか見たことあるなあ

>>66
糞蟲野郎

>>63
問題間違ってないか？

>>70
間違ってないはずだけど、反例がありましたか？

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　／:::::; -‐''"　　　　　　 `ｰノ
　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼
　　　　 /　　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 |
　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 |
　　　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ|
　　　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　
　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　ﾋﾆ二、　＼
.　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼　 |　'､　　＼
　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 |
　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､　/:＼__/‐､
　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣|
　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/

>>71
ごめん。いいかも。

>>61どうやるの？おしえて不等式の神様

俺洩れも知りたい

次数が3ってことはあれだな

> 61 は 9(x^3+y^3+z^3 + 3xyz) - 2(x+y+3)^3 ≧ 0 をSchurの不等式で証明するだけ.
非負実数に関する3変数3次斉次対称不等式はSchurの不等式とMuirheadの不等式だけから証明できる、という定理があります．
> 63も5次斉次式にしてみれば，全部に項が正なので自明.
ところで，次は本当に2日前に(非初等的に)証明できた超難問です．

p = 1.48941118... は次の5次方程式解とする．
7 p^5 + 17 p^4 + 16 p^3 + 16 p^2 - 64 p - 128 = 0
このとき，任意の実数(負数も含む) x, y, z, に対して
x^4+y^4+z^4 + p(x^3y+y^3z+z^3x) ≧ 0
非自明な等号成立条件もあります．

ワクワクしますね

77さんがここのno1なの？

それはどうか知らんが、ここ一、二ヵ月ほどは、
どんな不等式でもたちどころに証明してしまう不等式神を見かけないので寂しい

どなたか　>>21　お願いします　(._.)

>>79
どうやら、不等式ヲタに同化されたのは最近のようだな
不等式ヲタとは何たるかを過去ログの書込で説明しよう！

学問・理系 [数学]　“不等式への招待第２章”

217 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/03/24(木) 22:03:28
>>216
不等式ヲタは群生体だから、無限の知識と無尽蔵の体力を持ってるんだよ ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
不等式ヲタは１人２人じゃなく、１ヲタ２ヲタと数えるんだよ ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
不等式ヲタは三角関数や nCr でもﾊｧﾊｧしちゃうんだよ ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ

不等式ヲタはデルタ宇宙域からやってきたよ ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
不等式ヲタは世界中のあらゆるところから不等式を鬼集してるよ ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
不等式ヲタは集めた不等式を同化し改良するから、抵抗は無意味だよ ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ

不等式ヲタはちょっとキチガイ入っているよ ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
不等式ヲタは他スレを荒らさないから安心してね ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
不等式ヲタのレスの半分は自作自演、残りはなりすましでできてるよ ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ

不等式を見て興奮した君は、すでに不等式ヲタに同化されているよ ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
今日から君も不等式ヲタだ ( ﾟ∀ﾟ)９ﾃﾍｯ

$a>0,\ b>0,\ a^2+b^2<1$ のとき，$\frac{ab(1-a^2-b^2)^{1/2}}{a(1-a^2)^{1/2}+b(1-b^2)^{1/2}}$の最大値を求めよ。

>>83
ヒントくれ！

甘えるな！

なんだとー

これむずいな

彡　　　　　　　　ミ{､{v､⌒ヽ､　　　　　　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　 xイ　　　　　　　　　　　　㍉ｲヽ、　ヽ.　　　　　|
　〃　　　　　　　　　　　　　川　　ヽ.ヾヾ.　　　　.|
　　　　　　　　　　　　　　　リ　　　　ヽ.v|｝　　　.|
　　　　　　　　　　　　　彡ｲ＿＿　 rｪ'v'　　　 |　↑　おねえちゃん　いいからだしとるやんけ
　　　　　　　　　　　彡彡〃二二､＿＞'卞》,　　 |
　　　　　　　　 ,xイ　,.ｘ≦《ｔッ=　〕f‐〔テ.}　》　　|　おれのもちものはでっかいぜ
　　　　　　　　_,,ｘ≦三ﾆ≡《＿＿》"　　ヽrく　　＼
　　　　＿_ｘﾁ'＜, 　　　　　￣￣ f⌒ ,,..　}:.　,　　　/／￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　ｌ´⌒>’`ゝ:;;ゝ　　　　　　 f ゝ-'´`く:.:. i　　 /'
　　　{　　仆i 　　　　　　　　　　 ,　:.　,xｪｭ,:　|
　.　 ∧　ゝﾑ　　　　　　　　',:. r''ﾆ二え |
　∨ 　ゝ、＿ >,　　　　　　　　　　`　 :::　　､.|
　　＼　{　　　　: 　　　　　　　　　､.::.:.:.:.|
　　　 }川　　　　　:　　　　　　　　:.:.　.　ー'',r'
　　　　　l｢￣￣≧ｘ､,_　　　　　　　 :::::::::::／

考えるな感じるんだ

　　　　　　　　＼　　　　　不等式と言えば？　　　　　　　　 / Schurﾑｽﾞ…　Jensen最強　　Lehmusって
　　　　　　　　　　＼　　　　　　　　∧＿∧ ∩AM-GMだろ /　∧＿∧　　　　 ∧＿∧　　　　 ∧＿∧
Ｍａｒｋｏｖの不等式＼　　　　　　（　・∀・）ノ＿＿＿___　 /　（；・∀・）　　　（； ´Д｀）　　　（´Д｀；）
の証明おしえて ∧ ∧＼　　　　（入　　　⌒＼つ　／|. /　 ⊂　　 ⊂ ）　　　 ( つ ⊂ ）　　　（ ⊃ 　　⊃
　　　　　　　　　（ﾟДﾟ）＿＼　　　ヾヽ　／＼⌒)／　|/　　　〉　〉＼＼　　　〉　〉くく　　　／／（　（
　　　　／￣￣∪　∪ ／|　＼　　|| ⌒|￣￣￣|　　 /　　　（＿_）　（＿）　（＿.）（＿）　（＿）（＿_）
　　　／∧＿∧Polyaを読め　＼　　　　∧∧∧∧ /　　　　　　　　　　　
　／　（；´∀｀）＿／　　　　　　　＼　＜不　　＞レスの半分は自作自演、残りはなりすましでできてるよ
　||￣（　　　つ　||／　　　　　　　　＼＜等　ま＞　集めた不等式を同化し改良するから、抵抗は無意味だよ
　||　（_○_＿_)　　||　　　　　　　　　　　＜式　　＞　群生体だから無限の知識と無尽蔵の体力を持ってるよ
――――――――――――――― .＜ヲ　た＞―――――――――――――――――――――
　　　　　　　　∧＿∧　いつもながら　＜タ　　　＞　　　 ∧＿∧ﾃﾍｯ∧＿∧ 　／￣￣￣￣￣￣￣
　　　　　　　（；´∀｀）　見事じゃのぉ＜か　　＞＼　　（　´∀｀）　　（´∀｀　）＜不等式への招待
　　　 _＿＿__（つ＿と)_＿＿　　　　　　 ./∨∨∨ 不＼　（　　　　）＿_（　　　　）　＼＿＿復刊ﾏﾀﾞｧ？
　. ／＼　　　　　　＿＿＿＼ｷﾀｧ　　/　　∧＿∧等＼∧　∧ 　 ∧　∧ ￣￣￣／.／／|￣￣￣
　.<＼※ ＼＿＿__.|i＼＿＿＿ヽ.ｳﾋｮ ./γ(⌒)・∀・）式　＼　；)　（　　；）　　／ ┃| ｜
　ヽ＼ ※　※　※|i　i|.====B|i.ヽ　　/（YYて)ﾉ　　ﾉ　　ヲ　　＼↑￣￣↑＼)＿／　　 |__|／
　　　＼`ー──-.|＼.|___|__◎_|_.i‐>/ ＼￣￣￣￣＼　タ　　　＼数ヲタ　 | |　┃
　　　　　￣￣￣￣|.　|￣￣￣￣|　/　||ヽ||￣￣￣￣||　　め　　　　＼　　　.|_）

>>83

$\frac{ab(1-a^2-b^2)^{1/2}}{a(1-a^2)^{1/2}+b(1-b^2)^{1/2}}=\frac{(1-a^2-b^2)^{1/2}}{\frac{(1-a^2)^{1/2}}{b}+\frac{(1-b^2)^{1/2}}{a}}$

$a^2+b^2=k^2$と固定し，分母$\frac{(1-a^2)^{1/2}}{b}+\frac{(1-b^2)^{1/2}}{a}$が最小になるときを求める。

$a^2+b^2=k^2$から$\frac{(b^2+1-k^2)^{1/2}}{b}+\frac{(a^2+1-k^2)^{1/2}}{a}=\sqrt{1+\frac{1}{\frac{b^2}{1-k^2}}}+\sqrt{1+\frac{1}{\frac{a^2}{1-k^2}}}$…★となる。

$f(x)=\sqrt{1+\frac{1}{x}}$は，$f''(x)>0$より下に凸なので，$\frac{f(s)+f(t)}{2}\geq f\left(\frac{s+t}{2}\right)$

$s,\,t$にそれぞれ$\frac{a^2}{1-k^2},\,\frac{b^2}{1-k^2}$を代入することにより，★は$a=b$のとき最小とわかる。

すると1変数になるので，あとはどうとでもやれ。$a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}$のときに最大値$\frac12\left(\sqrt2-1\right)$をとる。

最後の行まちがった。
$a=b=\sqrt{1-\frac{1}{\sqrt{2}}}$のときだ。

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　／:::::; -‐''"　　　　　　 `ｰノ
　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼
　　　　 /　　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 |
　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 |
　　　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ|
　　　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　
　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　ﾋﾆ二、　＼
.　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼　 |　'､　　＼
　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 |
　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､　/:＼__/‐､
　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣|
　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/

>>67

|a| ≧ 1 より
(左辺) - (右辺)
　　≧ (3/8)a^4 + b^4 + c^4 - 3aabc
　　≧ (5/8)a^4 + (1/2)(bb+cc)^2 -3aabc
　　≧ (5/8)a^4 + (1/8)(b+c)^4 -3aabc
　　=　(3/8){a^4 + (b+c)^4} - 3aabc　(← |a|≧|b+c|)
　　=　(3/4){a(b+c)}^2 - 3aabc
　　=　(3/4){a(b-c)}^2
　　≧ 0,

>>21　>>81

・x>1 のとき、
　-t^2 ≦ -x^2 -2x(t-x),　　(t=x での接線)
　erfc(x) < (2/√π)exp(-x^2)∫[x,∞) exp(-2x(t-x)) dt
　　= (2/√π)exp(-x^2)∫[0,∞) exp(-2x･t') dt'
　　= (2/√π)exp(-x^2) [ -(1/2x)exp(-2x･t') ]_0,^∞
　　= 1/(x√π)exp(-x^2)
　　< 1/(e(√π)x)　　　　　　　(← x>1)
　　= 1/(4.8180x),

・x<1 のとき
　exp(-t^2) ≧ 1 - t^2,　　(マクローリン)
　erfc(x) = 1 - (2/√π)∫[0,x] exp(-t^2) dt
　　< 1 - (2/√π)∫[0,x] (1-t^2)dt
　　= 1 - (2/√π)[t -(1/3)t^3 ]_0,^x
　　= 1 - (2/√π){x -(1/3)x^3}
　　< 1 -(9/8){x -(1/3)x^3}　（← π<(4/3)^4）
　　= 1/(4x) - {2 -8x +9x^2 -3x^4}/(8x)
　　= 1/(4x) - {(1-x^2)(1-2x)^2 + (1-x)^4}/(8x)
　　< 1/(4x),

>>21 >>81

　x･erfc(x) ≦ 0.240375586831011
　等号は x = 0.531596885149393

pを正の定数とする。
周の長さがpである三角形ABCの三辺の長さをa,b,cとする。
このとき、L=1/(a+b-c)+1/(b+c-a)+1/(c+a-b)のとり得る値の最小値をpを用いて表せ。

>>63　（念のため記録）

〔問題〕
非負実数 a,b,c と自然数n≧2 について、
　(a^n)b + (b^n)c + (c^n)a ≦ K_n (a+b+c)^(n+1),
ここに　K_n = (n^n)/(n+1)^(n+1),

(略解)
　G(a,b,c) = K_n (a+b+c)^n - (a^n)b -(b^n)c -(c^n)a,
とおいて偏微分すると、
　G_a = (n+1)K_n (a+b+c)^n - na^(n-1)･b - c^n,
　G_b = (n+1)K_n (a+b+c)^n - a^n - nb^(n-1)･c,
　G_c = (n+1)K_n (a+b+c)^n - b^n - nc^(n-1)･a,
辺々たす。
　G_a + G_b + G_c ≧ 3(n+1)K_n (a+b+c)^n - (a+b+c)^n
　　　= {3(n+1)K_n - 1}(a+b+c)^n
　　　= {3[n/(n+1)]^n - 1}(a+b+c)^n
　　　> (3/e - 1)(a+b+c)^n　　{← (1 + 1/n)^n < e}
　　　> 0,
∴　{a,b,c} の差を固定して一斉に増加するとき、Gも増加する。
たとえば a,b≧c≧0 のとき、
　G(a,b,c) ≧ G(a-c,b-c,0)
　　　　　　= G(a',b',0)
　　　　　　= K_n (a'+b')^(n+1) - (a')^n･b'
　　　　　　= (1/n){(a'+a'+･････+a'+nb')/(n+1)}^(n+1) - (a')^n･b'
　　　　　　　　　　　　　n個
　　　　　　≧ 0,　　　　　　　　(← 相加･相乗平均)
　等号成立は a'=nb' すなわち、{a,b,c}={n,1,0} とその rotation

A.563＋B.4461
http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201205&t=mat&l=en

A.561、B.4449、C.1124
http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201204&t=mat&l=en

B.4433、B.4436
http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201203&t=mat&l=en

A.556、B.4427、B.4431、C.1114、K.329
http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201202&t=mat&l=en

A.552、B.4417
http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201201&t=mat&l=en

　　　∧＿∧　やあ
　　（´・ω・｀)　　　　　　 /　　　　　　　　　　ようこそ、不等式スレへ。
　　／∇y:::::::＼　　　[￣￣]　　　　　　　　　この不等式はサービスだから、まず飲んで落ち着いて欲しい。
　　|:::⊃:|:::::::::::::|　　　|──|
￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣|　うん、「また」なんだ。済まない。
￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣|￣￣　仏の顔もって言うしね、謝って許してもらおうとも思っていない。
￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣／|
　　　　∇　∇　∇　∇　　　　　　／.／|　　　でも、このスレタイを見たとき、君は、きっと言葉では言い表せない
　　　　┴　┴　┴　┴　　　　／／　.|　　　「ときめき」みたいなものを感じてくれたと思う。
￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣|／　　 |　　　殺伐とした世の中で、そういう気持ちを忘れないで欲しい
￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣　　　　 |　　　そう思って、このスレを立てたんだ。
　　　(⊆⊇)　(⊆⊇)　(⊆⊇)　　　　　 |
　　　　 ||　　　　||　　　　.||　　　　　　　|　　　じゃあ、不等式を証明しようか。
　　　.／|＼　／|＼　／|＼

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　／:::::; -‐''"　　　　　　 `ｰノ
　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼
　　　　 /　　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 |
　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 |
　　　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ|
　　　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　
　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　ﾋﾆ二、　＼
.　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼　 |　'､　　＼
　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 |
　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､　/:＼__/‐､
　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣|
　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/

>>101

A.556. (s)
　Prove that for arbitrary real numbers a_1, a_2,･････, a_n there exist a real t such that
　　Σ[i=1,n] |sin(t-a_i)| ≦ 1/tan(π/2n).

A.561. (s)
　Show that
　　(a^3)b/(3a+b)^p + (b^3)c/(3b+c)^p + (c^3)a/(3c+a)^p
　　　　　≧ (a^2)bc/(2a+b+c)^p + (b^2)ca/(2b+c+a)^p + (c^2)ab/(2c+a+b)^p
　holds for all positive numbers a,b,c,p.

A.563. + B.4461.
　Let 1≦p<2 be a real number.　Prove that
　(x+y)^p + (X+Y)^p + (x+Y)^p + (X+y)^p ≦ x^p + y^p + Y^p + X^p + (x+y+Y+X)^p,
　for all non-negative real numbers x,y,Y & X.

B.4417. (s)
　Solve the equation　sin(x) + (1/2)cos(x) = {sin(x+45ﾟ)}^2

B.4427. (s)
　Show that if α,β and γ are the angles of a triangle, then
　　(sinα + sinβ + sinγ)^2 > 9(sinα)(sinβ)(sinγ).

B.4433.
　Solve the equation　(1+x)^8 + (1+x^2)^4 = 82x^4.

(s) は解あり。

>>101

C.1114.
　Solve the equation
　log_2{log_3(x)} = log_3{log_2(x)}.

C.1124.
　Solve the following simultaneous equations:
　x^(x+y) = y^3,
　y^(x+y) = x^12,

K.329.
　Given that x is a positive real number such that x^2 + 1/(x^2) = 7,
　determine the value of x^5 + 1/(x^5) without finding the value of x.

(s) は解あり。

>>103

A.561.
　f(x) = (x^2)/(2x+k)^p (k>0) は下に凸だから、
　(a^2)/(2a+k)^p ≧ (1/2)(a+c)^2/(a+c+k)^p - (c^2)/(2c+k)^p
　　　　　　　　 ≧ 2ac/(a+c+k)^p - (c^2)/(2c+k)^p,　(k=a+b)
∴　(a^3)b/(3a+b)^p ≧ 2(a^2)bc/(2a+b+c)^p - ab(c^2)/(a+b+2c)^p,
　循環的にたす。

B.4417.
　(右辺) = {sin(x+45ﾟ)}^2 = (1/2)[1－cos(2x+90ﾟ)] = (1/2)[1+sin(2x)] = (1/2) + sin(x)cos(x),
∴　{sin(x)-1/2}{cos(x)-1} = 0,

B.4433.
　(左辺) = (1+2x+x^2)^4 + (1+x^2)^4
　　　　= (x^4){(1/x +2 +x)^4 + (1/x + x)^4}
　　　　= (x^4){(t+1)^4 + (t-1)^4}
　　　　= 2(x^4)(t^4 +6t^2 +1),
∴　t^4 +6t^2 +1 = 41,
　　(t^2 +10)(t+2)(t-2) = 0,
・t=-2 のとき、
　t = 1/x +1 +x = -2,
　x = -φ^2, -1/φ^2,
　φ = (1+√5)/2 = 1.618034：黄金比
・t=2 のとき、解なし。

>>104

C.1114.
　ln{ln(x)/ln(3)} / ln(2) = ln{ln(x)/ln(2)} / ln(3),
　ln(3/2)ln{ln(x)} = ln(3)･ln[ln(3)] - ln(2)･ln[ln(2)],
　ln{ln(x)} = {ln(3)･ln[ln(3)] - ln(2)･ln[ln(2)]}/ln(3/2) = 0.881381626
　ln(x) = 2.414232972
　x = 11.18119078

C.1124.
　(x^2)^(x+y) = y^6,
　y^(x+y) = (x^2)^6,
より
　{y/(x^2)}^(x+y) = {(x^2)/y}^6
∴　y = ±x^2,
また、
　{(x^2)y}^(x+y) = {(x^2)y}^6,
　y = ±1/x^2　または　y = 6-x,
　(x,y) = (±1,1)　　(x,y) = (2,4) (-3,9)

K.329.
　(x + 1/x)^2 = 7+2 = 9,
　T = x + 1/x = ±3,
　x^5 + 1/x^5 = (x + 1/x){(x^4 +1/x^4) -(x^2 +1/x^2) +1}
　　　　　　　= T{(T^4 -4T^2 +2) -(T^2 -2) +1}
　　　　　　　= T(T^4 -5T^2 +5)
　　　　　　　= ±123.
　(x は ±φ^4, ±1/φ^4 らしい....)

>>106

C.1114.
対数の底をすべて3/2に変換して解くと、x = (3/2)^( 3^(log(log3)) / 2^(log(log2)) } でOK？（logの底は3/2）

>>103
B.4427.
　0≦a,b,c≦1　ゆえ、相加･相乗平均から
　(a+b+c)^2 ≧ 9(abc)^(2/3) > 9abc,

>>104
K.329.
　x + 1/x = c のとき
　x^n + 1/x^n = 2Ｔ_n(c/2),
　Ｔ_n は第1種のチェビシェフ多項式

>>105
A.561. (訂正)
　相加･相乗平均から
　(a^2)/(2a+k)^p ≧ 2ac/{(2a+k)(2c+k)}^(p/2) - (c^2)/(2c+k)^p
　　　　　　　　 ≧ 2ac/(a+c+k)^p - (c^2)/(2c+k)^p,　(k=a+b)

>>107
　たぶんOK

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　／:::::; -‐''"　　　　　　 `ｰノ
　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼
　　　　 /　　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 |
　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 |
　　　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ|
　　　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　
　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　ﾋﾆ二、　＼
.　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼　 |　'､　　＼
　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 |
　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､　/:＼__/‐､
　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣|
　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/

>>97
うおおおおおおおお！　ありがとうございます！

今まで Schurの不等式を、シューアの不等式と読んでいた… ('A`)ｳﾞｫｴｧ！
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A4%E3%82%B5%E3%82%A4%E3%83%BB%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%83%AB

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　／:::::; -‐''"　　　　　　 `ｰノ
　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼
　　　　 /　　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 |
　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 |
　　　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ|
　　　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　
　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　ﾋﾆ二、　＼
.　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼　 |　'､　　＼
　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 |
　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､　/:＼__/‐､
　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣|
　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/

>>106
C.1124.
　{y/(x^2)}^(x+y-6) = 1
　{(x^2)y}^(x+y+6) = 1

(1) x+y=6 のとき、(x,y) = (2,4) (-3,9)
(2) x+y=-6 のとき、
(3) x+y≠±6 のとき、(x,y) = (±1,1)

(2)のとき、x^3+x^2+1=0 の実数解１つも解じゃないの？

>>113
(×) x^3+x^2+1=0
(○) x^3+6x^2+1=0

書き間違えました ('A`)ｳﾞｫｴｧ！

>>113-114
　そうだった......orz

　{y/(x^2)}^(x+y+6) = 1
　{(x^2)y}^(x+y-6) = 1

　x^3 +6x^2 +1 = (x+2)^3 -12(x+2) +17,
より実数解は
　X = -2 -{(17-√33)/2}^(1/3) -{(17+√33)/2}^(1/3)
　　= -6.02752466284293
　Y = -6－X = 1/X^2,

>>111
　またまたシュールな読みを....

C.1121.
　a,b,c are non-zero integers satisfying a+b=c, a≠b.
Prove that if n is a natural number, then the value of the sum
　　(a^n)/{b(b-a)} - (b^n)/{a(b-a)} + (c^n)/(ab)
is an integer.

>>111
シュアーな読み方は...
　数セミ増刊「100人の数学者」p.183 日本評論社 (1989)

ヘルマン・ヴァイル

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　／:::::; -‐''"　　　　　　 `ｰノ
　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼
　　　　 /　　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 |
　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 |
　　　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ|
　　　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　
　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　ﾋﾆ二、　＼
.　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼　 |　'､　　＼
　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 |
　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､　/:＼__/‐､
　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣|
　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/

B.4461.
　Let p≧2 be a real number.　Prove that
　(x+y)^p + (X+Y)^p + (x+Y)^p + (X+y)^p ≦ x^p + y^p + X^p + Y^p + (x+y+X+Y)^p,
　for all non-negative real numbers x,y,X & Y.

　f(z) = z^(p-1)　は下に凸　→　Jensenで

>>119
まったく分かりませんぬ

(x+y)^p + (X+Y)^p ≦ (x+y+X+Y)^p
(x+Y)^p + (X+y)^p ≦ (x+y+X+Y)^p

これは分かるが、あとのゴミは何だ？

>>50,53

The inequality is my own. I proposed first the inequality in 2004.

kunnyｷﾀ━━━(ﾟ∀ﾟ)━( ﾟ∀)━( 　ﾟ)━(　　)━(ﾟ　 )━(∀ﾟ )━(ﾟ∀ﾟ)━━━!?!?

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　／:::::; -‐''"　　　　　　 `ｰノ
　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼
　　　　 /　　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 |
　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 |
　　　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ|
　　　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　
　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　ﾋﾆ二、　＼
.　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼　 |　'､　　＼
　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 |
　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､　/:＼__/‐､
　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣|
　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/

>>121
　不正解です。

　z^p = z･f(z)　です。

>>123
一体どうしたんだ？

>>119
f(x+y) ≦ {xf(x) + yf(y)}/(x+y) より、 (x+y)^p ≦ x^p + y^p
f(y+z) ≦ {yf(y) + zf(z)}/(y+z) より、 (y+z)^p ≦ y^p + z^p
f(z+w) ≦ {zf(z) + wf(w)}/(z+w) より、(z+w)^p ≦ z^p + w^p
f(w+x) ≦ {wf(w) + xf(x)}/(w+x) より、(w+x)^p ≦ w^p + x^p

∴ (x+y)^p + (y+z)^p + (z+w)^p + (w+x)^p ≦ 2(x^p + y^p + z^p + w^p)

　　　　ｳﾜｧｧ!!
　　　　(>'A`)>
　　　　( ヘヘ

>>119

　(x+y)f(x+y) + (X+Y)f(X+Y) + (x+Y)f(x+Y) + (X+y)f(X+y) ≦ xf(x) + yf(y) + Xf(X) + Yf(Y) + (x+y+X+Y)f(x+y+X+Y)

そこで x,y,X,Y の係数を取り出すと････

>>128
右辺のｆは５つなのに、左辺は４つあるから使い方が分からん

　..::::::,､_,､::: ::::: ::: :　
　　/ﾖﾐﾞヽ)-､. :: ::::
─（ﾉ─ヽ.ｿ┴─

>>119

xの係数：　　f(x+y) + f(x+Y) ≦ f(x) + f(x+y+X+Y),

一方、Jensenから
　f(x+y) + f(x+Y) ≦ f(x) + f(x+y+Y),　etc.

>>131
> 一方、Jensenから
> 　f(x+y) + f(x+Y) ≦ f(x) + f(x+y+Y),　etc.

どうやったらJensenの不等式から出てくるのか分かりませんぬ

　　　　|　　　　　　　　　
　　　　|　　('A`)　　　　
　　　／￣ﾉ( ﾍﾍ￣￣　　　　　　　

>>132
　fは下に凸、y>0, Y>0 より

　f(x+y) ≦ {Y･f(x) + y･f(x+y+Y)}/(y+Y),
　f(x+Y) ≦ {y･f(x) + Y･f(x+y+Y)}/(y+Y),
辺々たす。

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　／:::::; -‐''"　　　　　　 `ｰノ
　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼
　　　　 /　　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 |
　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 |
　　　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ|
　　　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　
　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　ﾋﾆ二、　＼
.　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼　 |　'､　　＼
　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 |
　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､　/:＼__/‐､
　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣|
　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/

>>133
スゴ杉！自力では絶対に気づかない罠
x、y、z、wで計算していたので、直すのが面倒なので、そのまま書くと

f(w+x) + f(x+y) ≦ f(x) + f(w+x+y) …①
f(x+y) + f(y+z) ≦ f(y) + f(x+y+z) …②
f(y+z) + f(z+w) ≦ f(z) + f(y+z+w) …③
f(z+w) + f(w+x) ≦ f(w) + f(z+w+x) …④

①×x ＋ ②×y ＋ ③×z ＋ ④×w より、

(x+y)f(x+y) + (y+z)f(y+z) + (z+w)f(z+w) + (w+x)f(w+x)
　≦ xf(x) + yf(y) +zf(z) +wf(w) + xf(w+x+y) + yf(x+y+z) + zf(y+z+w) + wf(z+w+x)

示したい右辺は
　≦ xf(x) + yf(y) +zf(z) +wf(w) + (x+y+z+w)f(x+y+z+w)

なので、次式が成り立てば解決なのか…
xf(w+x+y) + yf(x+y+z) + zf(y+z+w) + wf(z+w+x) ≦ (x+y+z+w)f(x+y+z+w)

ぬ～ん…

　　　　／⌒ヽ
　　／⌒ 　・　＞
　 E￣Ｕ) ε　|　
　 E￣∩)　・　＞
゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛

a^2+b^2+c^2+d^2=4 (a,b,c,d>0)→(a+b+c+d-2)(1/a+1/b+1/c+1/d +1/2)>=9

>>136
あやしい

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　／:::::; -‐''"　　　　　　 `ｰノ
　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼
　　　　 /　　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 |
　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 |
　　　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ|
　　　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　
　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　ﾋﾆ二、　＼
.　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼　 |　'､　　＼
　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 |
　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､　/:＼__/‐､
　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣|
　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/

>>133
降参でござる

　　　　　　　　　　　,　/　　　　,
　　　　　　　　, 　 / / 　 , 　 / 　,
　　　　　 / '＾ﾒ-' ─/- ､　 /　,
　　　　 ∠ｒ　　_,゛_　/ 　,　ヽ/__/ ﾓｳﾀﾞﾒﾀﾞ…
　　　　　 ''ヽ'_･.ノ｀ '　ｒ/、　ﾍ /‐’
　　　　　 ./ " j　厂ﾞj　| ﾚ_｀> j__ /
　　　　 ' 　.:‘::'ニ‘.:‐'´─ﾞ.:´一’
　　　　　　.:.::::::.:　 .:.::.: 　 .:.:::::.:
　　　 .:.:::::::::::.: .:.:::::::.:　.:.:::::::::.:

>>135

fが下に凸だから、線分
　(x, f(x))　ー　(x+y+Y, f(x+y+Y))
は線分
　(x+y, f(x+y))　ー　(x+Y, f(x+Y))
の上側にある。
線分の中点のx座標はいずれも x+(y+Y)/2 なので、y座標を比べる。

　定義から、fは単調増加....

>>141　訂正

線分の中点のヨコ座標はいずれも x + (y+Y)/2 なので、タテ座標を比べる。

>>142
それを比べて出てくるのは、{f(x+y)+f(x+y)}/2 < {f(x)+f(x+y+Y)}/2 より
　f(x+y) + f(x+y) < f(x) + f(x+y+Y)

>>135より何も進展しない

>>143

　定義から、fは単調増加....

　f(x+y+Y) < f(x+y+X+Y), 　

>>144
なるほど、そうですね
最終的に ≦ じゃなくて＜になるけど、元の不等式に等号成立条件はないのですか？

>>145

　xX = yY = 0,

ところで本題、A.563. (1≦p<2) の方は.....

三角形ABCにおいて(sinA)^(sinB)+(sinB)^(sinC)+(sinC)^(sinA) > e^(-1/e)+1

>>146
お手上げ侍

>>147
　　　　　　　ヽ|/
　　　　／￣￣￣｀ヽ、
　　　 /　　 ≧　　　　ヽ
　　　/　＼,, ,,／　　　|
　　　|　（●）（●）|||　 |
　　　| 　/￣⌒￣ヽ　U.| 　　・・・・・･･･ｺﾞｸﾘ。
　　　|　 | .ｌ~￣~ヽ |　　 |
　　　|U ヽ￣~￣ﾉ　　 |
　　　|　　￣￣￣　　　 |

136 これ、どうやって解くんだ
難しくねえ?

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　／:::::; -‐''"　　　　　　 `ｰノ
　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼
　　　　 /　　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 |
　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 |
　　　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ|
　　　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　
　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　ﾋﾆ二、　＼
.　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼　 |　'､　　＼
　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 |
　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､　/:＼__/‐､
　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣|
　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/

正の数 x、y、… に対して、相加平均を A(x、y、…)、総乗平均を G(x、y、…)であらわすことにする

正の数 a、b、c、d に対して
A(a、b、c、d)
　≧ G(A(a、b、c)、A(b、c、d)、A(c、d、a)、A(d、a、b))
　≧ G(A(a、b)、A(a、c)、A(a、d)、A(b、c)、A(b、d)、A(c、d))
　≧ G(a、b、c、d)

>>151

　　∧＿∧
　　( ;´∀｀) ＜　おっきしました
　人　Y　/
　(　ヽし
　（＿）＿）

>>151
類題が過去スレにあったようなハロゲンガス
ちょっと探してみる

┌──────────────────────―─┐
│　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜
│　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜
│　　　　　　　　　　　　　　　∧＿∧　　　　　　　　　　　　...｜
｜　　　　　　　　　　　　　　（；´∀｀）　　　　　　　　　　　　　　｜
｜　　　　　　　　　　　　　　人　Y　/ 　　　　　　　　　　　　.｜
｜　　　　　　　　　　　　　　 (　ヽし　　　　　　　　　　　　　　　｜
｜　　　　　　　　　　　　　　（＿）＿）　　　　　　　　　　　　　　｜
｜　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 .｜
│　　　　　　　　　　　　　Now Bokkiing. ... 　　　　　　　　　　｜
│　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜
│　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜
│　　　　　しばらくちんちん勃ててお待ちください。　　　　..｜
│　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜
└───────────────────────―┘

>>151

A（a,b,c,d）
　=　A（A(a,b,c)、A(b,c,d)、A(c,d,a)、A(d,a,b)）
　≧ G（A(a,b,c)、A(b,c,d)、A(c,d,a)、A(d,a,b)）
　=　G（A(A(a,b),A(b,c),A(a,c)) 、A(A(b,c),A(b,d),A(b,d))、A(A(a,c),A(a,d),A(c,d))、A(A(a,b),A(a,d),A(b,d))）
　≧ G（G(A(a,b),A(b,c),A(a,c)) 、G(A(b,c),A(b,d),A(b,d))、G(A(a,c),A(a,d),A(c,d))、G(A(a,b),A(a,d),A(b,d))）
　= G（A(a,b)、A(a,c)、A(a,d)、A(b,c)、A(b,d)、A(c,d)）
　≧ G（G(a,b)、G(a,c)、G(a,d)、G(b,c)、G(b,d)、G(c,d)）
　=　G（a,b,c,d）

やぁ、待たせたね
この不等式はサービスだから、まずは証明して落ち着いてほしい

\sqrt{A(a^2、b^2、c^2、d^2)}
　≧ A(a、b、c、d)
　≧ ★
　≧ G(a、b、c、d)

ここで ★には、次の (1) または (2) が入るが、(1) と (2) の間に大小は定まらなかったと思う

(1) \sqrt{A(ab、bc、cd、da)}
(2) \sqrt{A(ab、ac、ad、bc、bd、cd)} ≧ \sqrt[3]{A(abc、bcd、cda、dab)}

>>151は、★に (3) が入ったものだが、(1)、(2)、(3) の式のどれかに大小はつくのだろうか？

(3) G(A(a、b、c)、A(b、c、d)、A(c、d、a)、A(d、a、b)) ≧ G(A(a、b)、A(a、c)、A(a、d)、A(b、c)、A(b、d)、A(c、d))

ヽ(`Д´)ノ　　　ﾎﾞｯｷｱｹﾞｽﾊﾟｲﾗﾙ！
ヽ`Д´)
　(ヽ`Д)
　(　ヽ`)
(　　ヽ
ヽ(　　 )ノ
ヽ　　)
(ヽ　 )
　(´ヽ )
(Д´ヽ
ヽ(`Д´)ノ

>>154
Now Bokkiing している間に片付けられてしまうとは…

>>155
お待ちしておりますた。。。？？

　A(a,b,c,d) =　A（A(a,c)、A(b,d)）
　　　　　　 ≧ G（A(a,c)、A(b,d)） = (1)
　　　　　　 ≧ G（G(a,c)、G(b,d)）
　　　　　　 =　G（a,b,c,d）

>>151
今月の学コンの問題じゃん

入試問題？ＪＫに解けるん？

正の数 a、b、c が a+b+c=1 をみたすとき、(a^2 + b^2 + c^2)^2 ・(1/a + 1/b + 1/c) ≧ 1

!　　　　 |　　　　 |　　　　　　　 |　　!　　|　　｜　　　　　 |　　　|　　　 !　　　 |
　|　　　 |　　　　 !　　　｜　　　 |　　　 |　　！　　　　 _ﾍ､＿___|＿＿＿＿＿!＿
　|　　　 |　　　　　　｜　　　 |　　　 |　　　　　　　　 / _/ _/ _/ |_/ _/ _/ _/ _/ _/
　|　　　 !　　　　　　　　 |　　　 !　　　 | 　 |　　　　　/ _/ _/ _/ _ ﾍ、_/ _/ _/ _/ _/
　|　　　　　 |　　　　　　|　　　　　　　　！　 |　　　　/ _/ _/ _/ _/ _/ _/ _/ _/ _/ _/
　!　｜　　　 |　　　　　　!　　　　　｜　　　　|　　 |　~~~|~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
　　　|　　　 |　　　|　　　　 |　　 |　　　　 |　　 |　　 |　　＿＿＿＿＿＿＿__
　　　|　　　 !　　　|　　　　 |　　 |　　　　 !　　 |　　 | 　 ||　　　 | |／／　　||
　　　|　　　　　 |　　　　|　 |　　 !　　　|　　　 |　　 | 　 ||　　　| |／　　　 ||
|　　！　　　　　 |　　　　|　 ! 　　　　 |　　　 |　　 | 　 ||,_,ﾊ, 　.| |　　　　 ||
|　　　　　|　　　　 !　　　　|　　 | 　　　 |　　　 !　　 | 　 ||ω･ '. .| |　　　　 ||
!　　　　　 |　　　　　　　 !　　 | 　　　 !　　　　　　　｜　￣￣￣￣￣￣￣￣
彡　　　 |　　　　 |　　　　　 |　　　　　　　|　　　　　 |
;;;;;彡　　　!　　　　 |　　　　　 |　　　　　　　|　　　　　 |＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿_
;;; 彡,@ｿ　　　　 | ........... 　　 |　　　　　　　|　　　　 """""""""""""""""""""""
彡;;; ~;;彡　 ....... 　 !　　　　　　　ﾍ､ ............ 　 |　.......　　　　..........　　　　..........
;;;彡;;;彡彡　　　　.......　　　　　 .........　　　　 !　　　.....　　　　　　　..........　　　　　.....
'''''''''''''''''''　...............　　　　............　　　　　　　　..............　　　　.....　　　　　　　........

136の不等式、難しいね。上手い方法、誰か、ありますか？

これに比べて、160は簡単です。

161=136乙

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　／:::::; -‐''"　　　　　　 `ｰノ
　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼
　　　　 /　　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 |
　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 |
　　　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ|
　　　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　
　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　ﾋﾆ二、　＼
.　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼　 |　'､　　＼
　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 |
　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､　/:＼__/‐､
　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣|
　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/

AAのおっ、っていうのかわいいよね。ついつい、保存してしまう。

>>164
おっ？
どんなやつですか？

(´・ω・｀)こんな感じ

>>166は>>165

名前があったんですな

名前はないというか聞いたことないけど
名前ないのかな(´・ω・｀)しょぼーんかな。

>>160
　f(x) = x^r　とおくと　
　f "(x) = r(r-1)x^(r-2),

r<0 または r>1 のとき y=f(x) は下に凸
　a^r + b^r + c^r ≧ 3{(a+b+c)/3}^r,

0<r<1 のとき y=f(x) は上に凸
　a^r + b^r + c^r ≦ 3{(a+b+c)/3}^r,

等号成立は a=b=c

>>161　成程｡｡｡

Jensenの不等式って、万能包丁かYO！（・ε・）YO！YO！

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　／:::::; -‐''"　　　　　　 `ｰノ
　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼
　　　　 /　　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 |
　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 |
　　　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ|
　　　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　
　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　ﾋﾆ二、　＼
.　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼　 |　'､　　＼
　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 |
　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､　/:＼__/‐､
　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣|
　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/

数学を知ってれば簡単に作れます。

「ウ☆ディ☆タ」とは？　
・完全無料のゲーム作成ツールです。
・ツクールでは物足りないけどプログラミングは苦手という方にお勧め。
・作成したゲームは自由に配布したり、コンテストに投稿することも可能。
・他人が作成した「コモンイベント」を利用すれば、自分では開発が難しい
　システムも容易に実現できます。

難易度：ミジンコ
問　題： 0 < a、b、c < 1 のとき、a + b + c < abc + 2 を証明せよ

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　／:::::; -‐''"　　　　　　 `ｰノ
　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼
　　　　 /　　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 |
　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 |
　　　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ|
　　　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　
　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　ﾋﾆ二、　＼
.　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼　 |　'､　　＼
　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 |
　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､　/:＼__/‐､
　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣|
　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/

>>174

　2-a-b-c+abc = 2(1-a-b-c+ab+bc+ca-abc) + a(1-b-c+bc) + b(1-c-a+ca) + c(1-a-b+ab)
　　　　　　　= 2(1-a)(1-b)(1-c) + a(1-b)(1-c) + (1-a)b(1-c) + (1-a)(1-b)c,

難易度：ミジンコのツノ
問　題：正の数 a、b、c、d が a+b+c+d=1 をみたすとき、m の最大値は？
　　　　　　 1/(a+2b+3c) + 1/(b+2c+3d) + 1/(c+2d+3a) + 1/(d+2a+3b) ≧ m

a ← ミジンコ

ミジンコを魚（捕食者）といっしょに同じ水槽に入れると頭がだんだんとんがってくるとか…

8/3

a, b, c, d>0, abcd=1

1/a+1/b+1/c+1/d+9/a+b+c+d>= 25/4

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　／:::::; -‐''"　　　　　　 `ｰノ
　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼
　　　　 /　　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 |
　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 |
　　　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ|
　　　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　
　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　ﾋﾆ二、　＼
.　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼　 |　'､　　＼
　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 |
　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､　/:＼__/‐､
　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣|
　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/

>>177

相加･調和平均 or コーシーで
　(左辺) ≧ (4^2)/{(a+2b+3c)+(b+2c+3d)+(c+2d+3a)+(d+2a+3b)}
　　　　 =　(4^2)/{6(a+b+c+d)},

　b　d　q　← ミジンコの寒風干し

>>180
　中国女子数学オリンピック(CGMO)の問題　第10回(2011)

　f(a, b, c, d) = 1/a + 1/b + 1/c + 1/d + 9/(a+b+c+d),
とおく。
　ab<2　⇒　f(a, b, c, d) ≧ f(√{ab}, √{ab}, c, d)
これから結局、
　F(A) = f(A^3, 1/A, 1/A, 1/A) ≧ 25/４,　　　(A≧1)
に帰着する。
　A^4 + 3 = (1/3)A^4 + (1/3)A^4 + (1/3)A^4 + 3
　≧ (4/√3)A^3　　　　(← 相加･相乗平均)
　>　(9/4)A^3,

F(A) - 25/4 = {(1/A^3) +3A -4} + (9/4){4A/(A^4 +3) -1}
　　= (A-1)^2･(3A^2 +2A+1)/A^3 - (9/4)(A-1)^2･(A^2 +2A+3)/(A^4 +3)
　　> (A-1)^2･{(3A^2 +2A+1) - (A^2 +2A+3)}/A^3
　　= (A-1)^2･2(A^2 -1)/A^3
　　≧ 0,　　　　　　　　　　　(A≧1)

（参考）
　　[前スレ.498]　[前スレ.508,511-513]
　　casphy - 高校数学 - 不等式 - 673
　　http://www.imojp.org/
　　http://www.imojp.org/challenge/index.html　過去の問題集

Aren't there any solutions without using mixing variables?

f(a, b, c, d) ≧ f(√{ab}, √{ab}, c, d)

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　／:::::; -‐''"　　　　　　 `ｰノ
　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼
　　　　 /　　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 |
　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 |
　　　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ|
　　　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　
　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　ﾋﾆ二、　＼
.　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼　 |　'､　　＼
　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 |
　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､　/:＼__/‐､
　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣|
　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/

最近は数オリに出て来る様な不等式ばかりになって、このスレも堕ちたもんだな

>>186
ROMの分際で抜かすな

m,nは正の整数で、m<nとする。
0<x<1のとき、{1+(x/m^2)}^m , {1+(x/n^2)}^nの大小を定めよ。

1977 東工大の過去問

a, b, c>0, a+b+c=1のとき, sum_{cyc} sqrt{(1/a)+45-46a} の最小値

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　／:::::; -‐''"　　　　　　 `ｰノ
　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼
　　　　 /　　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 |
　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 |
　　　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ|
　　　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　
　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　ﾋﾆ二、　＼
.　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼　 |　'､　　＼
　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 |
　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､　/:＼__/‐､
　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣|
　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/

x, y, z≧0⇒(x^2+2yz)^{7}+(y^2+2zx)^{7}+(z^2+2xy)^{7}≦(x^2+y^2+z^2)^{7}+2(xy+yz+zx)^{7}

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　／:::::; -‐''"　　　　　　 `ｰノ
　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼
　　　　 /　　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 |
　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 |
　　　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ|
　　　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　
　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　ﾋﾆ二、　＼
.　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼　 |　'､　　＼
　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 |
　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､　/:＼__/‐､
　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣|
　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/

だれか, こんな幼稚の不等式のスレッドではなくて, 大人いうか, 学問的な不等式の
ｓレッドをたててくれませんか？見ていて不愉快です。

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　／:::::; -‐''"　　　　　　 `ｰノ
　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼
　　　　 /　　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 |
　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 |
　　　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ|
　　　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　
　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　ﾋﾆ二、　＼
.　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼　 |　'､　　＼
　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 |
　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､　/:＼__/‐､
　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣|
　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/

質問です
何処かの大学の過去問です
ネットで探しても答えは出てきませんでした

(1)
1以上の実数aと0以上の実数x,cに対して
不等式(x+c)^a>=x^a+c^aを示せ
(2)
1以上の実数aと0以上の実数x1x2x3.....xnに対して
不等式(x1+x2+......xn)^a>=x1^a+x2^a....xn^aを示せ
(3)
正の整数pqがp>=qを満たす時0以上の実数x1x2x3.....xnに対して
(x1^q+x2^q.....xn^q)^p>=(x1^p+x2^p.......)^q
を示せ

お願いします

>>195
(1)
　f(x) = x^a　は下に凸だから、
　　{c･f(0) + x･f(x+c)}/(x+c) ≧ f(x),
　　{x･f(0) + c･f(x+c)}/(x+c) ≧ f(c),
辺々たすと
　f(0) + f(x+c) ≧ f(x) + f(c),

>>196
ありがとうございます
(1)使えば2出来るのはわかりました
(3)がさっぱりです

>>197
　p/q = a,　xk^q = yk　とおく。

>>189

最小値：17.1412604723691

　a = 0.19140424903813
　b = 0.19140424903813
　c = 0.61719150192374
のとき。

>>199
恐れながら大佐、凡人にも理解できるように経過を辿って解説をお願いしたいと思います

199 手計算でせんか！コンピュータを使うせこいまねなんてすんな、どあほ！！

>>11

xyz=1 だから、いつものように x=b/c, y=c/a, z=a/b (a,b,c>0)とおく。

　D = (a+b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ca) - abc ≧ 8abc,

　{(左辺) - (3/4)}･D^2
　　= {(a+b)b(c+a)}^2 + {(a+b)(b+c)c}^2 + {a(b+c)(c+a)}^2 - (3/4)D^2
　　= (1/4)D(D-8abc) + (AAB+BBC+CCA-3ABC)
　　≧ 0,

ここに、A=a^2, B=b^2, C=c^2, D=(a+b)(b+c)(c+a)

>>13

　{x/(1+x)}^2 = X,　{y/(1+y)}^2 = Y,　{z/(1+z)}^2 = Z　とおく。
これらは x, y, z と同順序である。

r≧0 のとき、チェビシェフにより
　(x^r)X + (y^r)Y + (z^r)Z ≧ (1/3)(x^r + y^r + z^r)(X+Y+Z)
　≧ (xyz)^(r/3)･(X＋Y＋Z)　(← 相加･相乗平均)
　=　X+Y+Z,　　　　(← xyz=1)
　= （>>11 の左辺）

>>14
　xyz=1 だから、例によって x=b/c, y=c/a, z=a/b とおく。

　D ’= (a+b)(b+c)(c+a)abc = {(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc}abc,

　{(左辺) - (3/2)}･D '
　　= (ab+bc+ca)^3 -(7/2)(a+b+c)(ab+bc+ca)abc +(9/2)(abc)^2 +(ABB+BCC+CAA-3ABC)
　　= (1/2)(ab+bc+ca)abc･Ｆ_{-1}(a,b,c) + (1/2)(abc)^2･Ｆ_{-2}(a,b,c) + (ABB+BCC+CAA-3ABC)
　　≧ 0,

ここで Schur's を使った。
　Ｆ_{-1}(a,b,c) = {(ab+bc+ca)^2 -3(a+b+c)abc}/(abc) ≧ 0,
　Ｆ_{-2}(a,b,c) = {(ab+bc+ca)^3 -4(a+b+c)(ab+bc+ca)abc +9(abc)^2}/(abc)^2 ≧ 0,

>>188
　n-m=1 の場合

　{1+(x/m^2)} / {1+(x/n^2)} = 1 + (1/m^2 - 1/n^2)x/[1+(x/n^2)],

　[{1+(x/m^2)}/{1+(x/n^2)}]^m > 1 + m(1/m^2 -1/n^2)/[1+(x/n^2)] > 1 + (x/n^2),

ところで　n-m=1, x<n^2 から
　m(1/m^2 -1/n^2)/[1+(x/n^2)] > 1/n^2,

　[{1+(x/m^2)}/{1+(x/n^2)}]^m > 1 + m(1/m^2 -1/n^2)/[1+(x/n^2)] > 1 + (x/n^2),

よって、{1+(x/m^2)}^m > {1+(x/n^2)}^n,　(n-m=1)

>>205
不等式素人だから教えてほしいんだけれど、
「xyz=1 だから、例によって x=b/c, y=c/a, z=a/b とおく。」ていうのって一つのセオリーみたいなものなの？

>>207
小生も不等式は素人なので分かりませんが、「小手技」はあるみたいです。
http://izumi-math.jp/kotewaza/index_j.html

For positive real numbers a_2, a_3,..., a_n with a_2a_3・・・a_n=1.

Prove that :

(a_2+1)^2(a_3+1)^3・・・(a_n+1)^n≧ n^{n}.

>>209

　{x^k, 1, 1, ･･･, 1} の相加･相乗平均は
　　　　　k-1 個
　x^k -kx +(k-1) = (x-1){x^(k-1) +x^(k-2) + ･･･ +x -(k-1)}
　　 = Σ[L=1,k-1] (x-1)(x^L - 1)
　　 ≧ 0,　　　(x>-1)

　x = {(k-1)/k}(a_k + 1) とおくと、
　(a_k + 1)^k ≧ {(k^k)/(k-1)^(k-1)}a_k,
　k=2～n について掛ける。

　　∧＿∧
　　( ;´∀｀)
　人　Y　/
　(　ヽし
　（＿）＿）

( ﾟ∀ﾟ)つ a_k>0 に対して、1 + a_1 + … + a_n < (1+a_1)(1+a_2)…(1+a_n) < e^(a_1 + … + a_n)

>>209 の改良

ラグランジュの未定乗数法で極小をさがす。
　a_k = λ/(k-λ),　　　　(k=2,･･･,n)
　(与式) = Π[k=2,n] {k/(k-λ)}^k,

・n=3 のとき、
　λ = 6/5,　a_2 = 3/2,　a_3 = 2/3,
　(与式) ≧ 3125/108 = 28.935185･････ > 27 = 3^3

・n=4 のとき
　a_k = λ/(k-λ),
　λ = {9 + [6*SQRT(11901)-81]^(1/3) - [6*SQRT(11901)+81]^(1/3)}/6
　　 = 1.3802745863984086
　(与式) ≧ 359.6812734317 > 256 = 4^4

>>195
(3) r＝p/q≧1, y1＝x1^q, y2＝x2^q,…≧0 として
(y1＋y2＋…)^r≧y1^r＋y2^r＋… を示す。
y1＋y2＋…＝1 の制約条件で y1^r＋y2^r＋… の最大値を求める問題にすると
ラグランジュの未定乗数法で
L＝y1^r＋y2^r＋…－λ(y1＋y2＋…－1) の最大は
∂L/∂y1＝r y1^(r－1)－λ＝0　∴　y1^(r－1)＝y2^(r－1)＝…＝λ/r
∴　y1＝y2＝…＝1/n
y1^r＋y2^r＋…＝n(1/n)^r＝1/n^(r－1)≦1＝1^r＝(y1＋y2＋…)^r

>>209 の改良
　L = Σ[k=2,n] {k･log(a_k + 1) - λ･log(a_k)},
　∂L/∂a_k = k/(a_k + 1) - λ/(a_k) = 0　　より
　a_k = λ/(k-λ),
　(2-λ)(3-λ)･････(n-λ) = λ^(n-1),　････決定方程式

・n=5 のとき
　(2-λ)(3-λ)(4-λ)(5-λ) = λ^4,
　λ = {71 + [(42√1749261)-13411]^(1/3) - [(42√1749261)+13411]^(1/3)｝/42
　　 = 1.54263254839049
　(左辺) = 7407.43642129488 > 3125 = 5^5,

n→∞ のとき、λ→2

>>212 >>214

決定方程式（特性方程式）

・n=3 のとき
　λ^2 -(λ-2)(λ-3) = 5λ - 6,

・n=4 のとき
　λ^3 +(λ-2)(λ-3)(λ-4)
　= 2λ^3 -9λ^2 +26λ -24
　= {(2λ-3)^3 + 25(2λ-3) + 6}/4,

・n=5 のとき
　λ^4 - (λ-2)(λ-3)(λ-4)(λ-5)
　= 14λ^3 -71λ^2 +154λ -120
　= {(42λ-71)^3 + 4281(42λ-71) + 26822} / 5292,

勉強や努力が足りなくて優秀になれない奴が惨めな思いをするのは当然
なんだよ。それを自分で何もせずに優秀な人間の足を引っ張るとは言語
道断である。他人を貶めるだけで自分は楽をする奴は恥を知れ。今後も
そういう馬鹿者を発見次第、即刻攻撃を掛けて当該スレを焼け野が原に
するので、覚悟をする様に願いたい。こういう考え方が国家を滅ぼす。
無能な馬鹿は自滅するに任せ、優秀な人材こそを選択的に抽出し、それ
を国家が意図して保護しなければならない。そうする事が国家が生き残
る唯一の道である。繰り返す。何の努力もしない馬鹿を無条件に保護す
れば、その結果として誰も努力しなくなるだけである。だから馬鹿を保
護しては絶対にならない。

描

>みんなで優秀な人間の足を引っ張って沈もうよ。
>そうすれば自分だけが馬鹿で惨めな思いをしなくて
>すむから楽チン。
>一億総白痴可で横並びになれば怖くは無い
>

>>199-200

a,b は次の根。
1557376x^7 -3114752x^6 +2369920x^5 -838304x^4 +132066x^3 -7273x^2 +466x -94 = 0

a, b, c > 0, abc=1 のとき、(a^2+b^2)/(a+b+c^2) + (b^2+c^2)/(b+c+a^2) + (c^2+a^2)/(c+a+b^2) ≧ 2

＿|　::|＿
￣|　::|／|　　　　　　　　　　 ┌──┐
　 |　::|　 |　　　　　.┌──┐| ∧＿∧　　いいな、俺たちの誰かが殉職したら･･
／|＿|　 |┌──┐| ∧＿∧|(・ω・｀ )
　 |文|　 | |　∧＿∧（　　　　）⊂　　　）
　 |￣|　 | | （　　　　）⊂　　　）（＿Ο Ο　:::
　 |　::|　 | | ⊂　　　）（＿Ο Ο　わかってる、生き延びた奴が
　 |　::|／ .|_　（＿Ο Ο　::::::::: :::::: 不等式を収集し、証明する !
　 |　::|　:::::::::::::::::::::::::::::::: 俺たちゃ死んでも仲間だぜ !!

>>218
　a,b,c>0, a+b+c=s のとき、

　(a+b)^2/{(a+b)s/3+c^2} + (b+c)^2/{(b+c)s/3+a^2} + (c+a)^2/{(c+a)s/3+b^2} ≧ 2*2,

(略証)
　 {(a+b)s/3 + c^2} + {(b+c)s/3 + a^2} + {(c+a)s/3 + b^2}
　= {(s-c)s/3 + c^2} + {(s-a)s/3 + a^2} + {(s-b)s/3 + b^2}
　= s^2 + {(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2}/2
　≧ s^2,
これとコーシーで････

うむ

>>218　(続き)

････では上手く行かない .... orz

そこで、方針を変えて、
　a+b+cc ≦ (a+b)(a+b+c)/3 + cc ≦ (5aa+5bb+8cc)/6 = (5S+3cc)/6,

　(aa+bb)/(a+b+cc) ≧ 6(S-cc)/(5S+3cc)
　　　　=　(10/9) -(4/3S)cc + 4(cc -S/3)^2／{S(5S+3cc)}
　　　　≧ (10/9) -(4/3S)cc,
ここに　S = aa + bb + cc.
循環的にたすと、
　(左辺) ≧ (10/3) - (4/3) = 2,

>>218 (続き)

つまり、6(1-x)/(5+3x) = f(x) は下に凸なので

　(左辺) ≧ f(aa/S) + f(bb/S) + f(cc/S)
　　　≧ 3f((aa+bb+cc)/3S)
　　　= 3f(1/3)
　　　= 2,

>>219

(左辺)
　= (a+b)^2／{(a+b)s/3 + c^2} + (b+c)^2／{(b+c)s/3 + a^2} + (c+a)^2／{(c+a)s/3 + b^2}
　= 3(s-c)^2／(ss-cs+3cc) + 3(s-a)^2／(ss-as+3aa) + 3(s-b)^2／(ss-bs+3bb)
　= g(c/s) + g(a/s) + g(b/s),

ここに、g(x) = 3(1-x)^2／(1-x+3xx)　とおいた。
　g(1/3) = 4/3,　g(1/2) = 0.6

x=1/3 における接線:
　g(x) - g(1/3) + (16/3)(x - 1/3) = (16x-1)(x - 1/3)^2／(1-x+3xx),
　g(x) > (4/3) - (16/3)(x - 1/3),　　(x>1/16)

x=1/2 における接線:
　g(x) - g(1/2) + 3.36(x - 1/2) = 1.44(7x+2)(x - 1/2)^2 > 0,
　g(x) > 0.6 - 3.36(x - 1/2),

・a, b < s/16 < c のとき、
　(左辺) > g(a/s) + g(b/s) > 2g(1/16) = 2(25/9) = 50/9,

・a < s/16 < b,c のとき、
　g(a/s) > g(0) - (32/9)a/s = 3 - (32/9)a/s,　　(0<a/s<1/16)
　g(b/s) + g(c/s) > 2g(1/2) - 3.36(b+c-s)/s = 1.2 + 3.36a/s
　(左辺) > 4.2 - 0.2a/s > 4,

・s/16 < a,b,c のとき、
　x=1/3 での接線の上側にあるから、
　(左辺) = g(a/s) + g(b/s) + g(c/s) > 3g(1/3) = 4,

>>218

　abc=1 だから、s=a+b+c≧3,
　これと〔補題〕 >>219 から簡単に･･･

神あらわるあらわる

Σ[k=1 to n] 2(4k^2+6k+1)/(2k+2)! < 1 を証明せよ

簡単すぎてｽﾞｺｰ
　　　　　　　　∧∧
　　　　　　ヽ(･ω･)/　　
　　　　　＼(.＼ノ
　　　　､ﾊ,,､　￣
　　　　￣

>>226

　2(4k^2 +6k +1)/(2k+2)! = 2{(2k+2)(2k+1) - 1}/(2k+2)! = 2/(2k)! - 2/(2k+2)!
k=1 to n についてたす。

　　∧＿∧
　　( ;´∀｀)
　人　Y　/
　(　ヽし
　（＿）＿）

>>227
この程度でボッキするなら、以下の問題ならフルボッキが静まらないだろうな ( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！

(1) Σ[k=1 to n] k・k!
(2) Σ[k=0 to n-1] 2^k・tan(2^k・x)

>>228

簡単すぎる！

描

>367 ：匿名希望：2012/07/23(月) 17:23:38.69
> >>365
> 頭悪いのはお前の方だろ？
> 「猫」という字を「描」に間違えやがってｗｗｗ
> 小学生並みの頭の悪さだぞ、お前！
> 焼かれるのはお前の方だろ？
> 外国では猫の丸焼きというゲテモノ料理もあるらしいぜｗｗｗ
>

>>228

(1)　k･k! = (k+1)! - k!,

(2)　tanθ = cotθ - 2cot(2θ),

　　2^k･tan(2^k･x) = 2^k･cot(2^k･x) - 2^(k+1)･cot{2^(k+1)･x},

描

>367 ：匿名希望：2012/07/23(月) 17:23:38.69
> >>365
> 頭悪いのはお前の方だろ？
> 「猫」という字を「描」に間違えやがってｗｗｗ
> 小学生並みの頭の悪さだぞ、お前！
> 焼かれるのはお前の方だろ？
> 外国では猫の丸焼きというゲテモノ料理もあるらしいぜｗｗｗ
>

>>228 の〔系〕

Σ[k=1 to n] (1/2^k)tan{x'/(2^k)} = (1/2^n)cot{x'/(2^n)} - cot(x'),

>>233
　　∧＿∧
　　( ;´∀｀) ＜してやられたわい
　人　Y　/
　(　ヽし
　（＿）＿）

( ﾟ∀ﾟ)つ Σ[k=1 to ∞] arctan{1/(n^2+n+1)}

>>235
ミスった ( 'A`)つ Σ[n=1 to ∞] arctan{1/(n^2+n+1)}

ティンコ臭いスレはここでつか？

>>236

　1/(n^2 +n+1) = {(1/n) - 1/(n+1)}／{1 +(1/n)(1/(n+1))},
　arctan{1/(n^2 +n+1)} = arctan(1/n) - arctan{1/(n+1)},
あるいは
　1/(n^2 +n+1) = {(n+1)-n}／{1+n(n+1)},
　arctan{1/(n^2 +n+1)} = arctan(n+1) - arctan(n),

描

>462 名前：１３２人目の素数さん：2012/07/26(木) 23:54:17.40
> >>461
> 専門学校生が
> 「あらやだイケメンに触られて気持ちいい」
> って思ってたら通報されなかっただろうに
> 気持ち悪いおじさんになるために努力を積み重ねてきた結果
> 「キモ顔のおじさんが、気持ち悪く触ってきて超キモい」
> って思わせることに成功し逮捕されたんだよね
> 努力を実らせた立派な人だと思う
>
>
> 努力して痴漢で逮捕される夢を叶えた描者さんはただ者じゃないと思います
> すばらしい
>

p≦a, q≦b, r≦c のとき、
p+q+r + √{(p+q+r)^2 -3(pq+qr+rp)} ≦ a+b+c + √{(a+b+c)^2 -3(ab+bc+ca)}

は成り立つですか？

勉強や努力が足りなくて優秀になれない奴が惨めな思いをするのは当然
なんだよ。それを自分で何もせずに優秀な人間の足を引っ張るとは言語
道断である。他人を貶めるだけで自分は楽をする奴は恥を知れ。今後も
そういう馬鹿者を発見次第、即刻攻撃を掛けて当該スレを焼け野が原に
するので、覚悟をする様に願いたい。こういう考え方が国家を滅ぼす。
無能な馬鹿は自滅するに任せ、優秀な人材こそを選択的に抽出し、それ
を国家が意図して保護しなければならない。そうする事が国家が生き残
る唯一の道である。繰り返す。何の努力もしない馬鹿を無条件に保護す
れば、その結果として誰も努力しなくなるだけである。だから馬鹿を保
護しては絶対にならない。

描

>みんなで優秀な人間の足を引っ張って沈もうよ。
>そうすれば自分だけが馬鹿で惨めな思いをしなくて
>すむから楽チン。
>一億総白痴可で横並びになれば怖くは無い
>

>>240

p≦a, q=b, r=c のとき、

　(右辺) - (左辺) = a +√{(a+b+c)^2 -3(ab+bc+ca)} -p -√{(p+b+c)^2 -3(pb+bc+cp)}
　　　= (a-p) + (a-p){a+p-(b+c)}/[ √{(a+b+c)^2 -3(ab+bc+ca)} + √{(p+b+c)^2 -3(pb+bc+cp)} ]
　　　= (a-p)(1+δ)
　　　≧ 0,

∵ |δ| = |a+p-(b+c)| ／ [ √{(a+b+c)^2 -3(ab+bc+ca)} + √{(p+b+c)^2 -3(pb+bc+cp)} ]
　　　 ≦ |a+p-(b+c)| ／ [ |a-(b+c)/2| + |p-(b+c)/2| ]
　　　 ≦ 1,

* (a+b+c)^2 - 3(ab+bc+ca) = |a-(b+c)/2|^2 + (3/4)(b-c)^2 ≧ |a-(b+c)/2|^2,
　(p+b+c)^2 - 3(pb+bc+cp) = |p-(b+c)/2|^2 + (3/4)(b-c)^2 ≧ |p-(b+c)/2|^2,

馬鹿が嫉妬してそういう事を延々と続けてるから：
★★★『この国からはマトモな人が誰も出て来ない。国家が傾くだけ。』★★★
ですよね。その結果としてこの国は馬鹿で溢れ返ってしまうんですよね。
たとえ有能な者であっても、自分が努力をして上昇スルよりも、サボっ
て自分が馬鹿になって他人の足を引っ張った方が周囲の理解も得られ易
いし、加えてその方が楽ですからね。だから誰も向上心を持つ事に価値
を見出せない。でもその結果があの国会ですよ、あの国会ね。まあ：
★★★『向上心を持って努力する人を皆で潰す国家に明るい未来なんて有り得ない』★★★
なんですけどね。こうやって国家が滅んで行くんですワ。そして『ソレ
で良し』とするのがその考え方でしょ。まあ沈むのは貴方なんだから、
まあ勝手にしたらエエんだけどサ。こんな嫉妬を正当化スル考え方しか
出来ないから、例えばジョッブスみたいな人材が出ないんですよね、こ
の国からはサ。あの天才ジョッブスでさえ、周囲の馬鹿ゾンビから足を
引っ張られたら、あんな凄い歴史的な実績は残せなかったでしょうナ。
まあ日本にはイノベーションは必要無いから、ソレこそ『同じ穴の狢』
という言い方で、皆で協力して国家を崩壊に導いてるんですよね。

そう、貴方が国家を潰してるんだよ。でもどうぞお好きに潰しなさいな。
私にはもう関係が無いのでね。馬鹿の国だよ、この国は。どうぞ貴方が
国会議員にでもなって、この国の息の根を止めて下さいな。サッサと国
が崩壊したら、皆が一瞬で楽になるヨ。

描

>有能であれば、その卑劣な行為を回避すればいい
>足を引っ張られるのであれば、それは要領がない証拠
>それは有能ではなく無能者である
>
>同じ穴の狢
>

ｘ≧０、ｙ≧０、ｚ≧０、ｘ＋ｙ＋ｚ≦１の解の集合Ｘを、凸多面体としてパラメータ表示せよ

誰か教えてください！おねがいします

ソレは絶対にお断りや。こんな有害無益な馬鹿板なんてワシが最後まで
徹底的に焼き払ったるヨ。そやし思いっきり苦しんで耐え忍べや。まあ
『アンタ等は自業自得』っちゅう事やろうナ。執拗な妨害行為が今後も
何年にも亘って延々と続くんを覚悟をスルっちゅう事やろうナ。

ワシはやナ、オマエ等みたいなド馬鹿に謝って欲しいんでも反省して欲
しいんでも何でもナイのや。唯単に崩壊して消えて欲しいだけなんだヨ。
そやからこうやって徹底抗戦をしてや、アンタ等みたいな馬鹿を傷め付
けてるだけなんやワ。そやし早よ諦めろや。

因みにもし「優秀な人の足を引っ張っても良い」のであれば：
★★★『馬鹿の足を思いっきり引っ張っても、ソレは当然の事ながら許される。』★★★
という事にナリマスわナ。

描

>664 名前：１３２人目の素数さん：2012/07/30(月) 22:05:57.48
> 猫頼むから消えてくれ
>

>>191
　f は3回微分可能で f ''' >0 とする。

　f(S) - f(S-A) - f(S-B) + f(S-A-B) = g(S) - g(S-B)
　　　= B･g '(S-Bθ)　　　　　(←平均値の定理)
　　　= B{f '(S-Bθ) - f '(S-A-Bθ)}
　　　= AB f "(S-Aφ-Bθ)　　　(←平均値の定理)
　　　= AB f "(ξ),　　　　　　　　　　　(*)
ここに　min{S,S-A,S-B,S-A-B} ≦ ξ ≦ MAX{S,S-A,S-B,S-A-B}

　(右辺) - (左辺) = f(x^2 +y^2 +z^2) + 2f(xy+yz+zx) - f(x^2 +2yz) - f(y^2 +2zx) - f(z^2 +2xy)
　　　= f(x^2 +y^2 +z^2) - f(x^2 +2yz) - f(z^2 +2xy) + f((2x-y+2z)y)
　　　- {f((2x-y+2z)y) - 2f(xy+yz+zx) + f(y^2 +2zx)}
　　　= (δ^2)f "(ξ1) - (δ^2)f "(ξ2)　　　　(← *)
　　　= (δ^2)(ξ1 - ξ2)f '''(η)　　(← 平均値の定理)
　　　≧ 0,　　　　　　　　(← ξ1-ξ2≧0, f '''≧0)

ここで、δ=(x-y)(y-z),　ξ1 ≧ (2x-y+2z)y,
y は xとzの中間にあるとしても一般性を失なわないから、ξ2 ≦ (2x-y+2z)y,
∴　ξ1-ξ2 ≧ 0,

ソレは絶対にお断りや。こんな有害無益な馬鹿板なんてワシが最後まで
徹底的に焼き払ったるヨ。そやし思いっきり苦しんで耐え忍べや。まあ
『アンタ等は自業自得』っちゅう事やろうナ。執拗な妨害行為が今後も
何年にも亘って延々と続くんを覚悟をスルっちゅう事やろうナ。

ワシはやナ、オマエ等みたいなド馬鹿に謝って欲しいんでも反省して欲
しいんでも何でもナイのや。唯単に崩壊して消えて欲しいだけなんだヨ。
そやからこうやって徹底抗戦をしてや、アンタ等みたいな馬鹿を傷め付
けてるだけなんやワ。そやし早よ諦めろや。

因みにもし「優秀な人の足を引っ張っても良い」のであれば：
★★★『馬鹿の足を思いっきり引っ張っても、ソレは当然の事ながら許される。』★★★
という事にナリマスわナ。

描

>664 名前：１３２人目の素数さん：2012/07/30(月) 22:05:57.48
> 猫頼むから消えてくれ
>

>>246

　fは2回微分可能で f " は単調増加
でもおk.

正の実数 x, y ,z が x^2+y^2+z^2=3 をみたすとき
1/(x^3+2) + 1/(y^3+2) + 1/(z^3+2) ≧ 1
が成り立つことを示せ

お願いします

>>249

　1/(x^3 +2) = (3-x^2)/6 + (1/6)(x+2){x(x-1)}^2 /(x^3 +2) ≧ (3-x^2)/6,
循環的にたす。

>>249の一般化

n 個の正の実数 x_1, x_2, ,, x_n　が（x_1）^{n-1} + (x_2)^{n-1} + …+(x_n)^{n-1} = n を満たすとき、
　1/( (x)^n+ n-1) + 1/((x_2)^n +n-1) + … + 1/( (x_n)^n + n-1) ≧ 1

が成り立つことを示せ。

>>250 の一般化

　n(n-1) - {n-x^(n-1)}(x^n +n -1) = x^(n-1) (x^n +n -1 -nx)
　　　= x^(n-1) (x-1)^2 Σ[j=0,n-2] (n-1-j)x^j
　　　≧ 0,　　　(相加･相乗平均)

∴　1/(x^n +n -1) ≧ {n-x^(n-1)} / {n(n-1)},

∴　(左辺) ≧ {n^2 - Σ[k=1,n] (x_k)^(n-1)} / {n(n-1)},

>>18
〔問題〕
正の実数a,b,cに対して、
　a^3 + b^3 + c^3 + 6abc ≧ (a+b+c)^2･G,
　ここに　G = (abc)^(1/3),

（ｷｬｽﾌｨｰの解答）
基本対称式を
　a+b+c = s,
　ab+bc+ca = t,
　abc = G^3,
とおく。
　(左辺) = s(s^2 -3t) + 9G^3,
　(左辺) - (右辺) = s^3 -3st + 9G^3 - Gs^2
　　　= (3/4)(s^3 -4st +9G^3) + (1/4)(s^3 -4Gs^2 +9G^3)
　　　= (3/4)F_1 + (1/4)(s-3G)(s^2 -Gs -3G^2)
　　　≧ 0,
>>42 に従って Schur's (n=1) を使った。
　F_1 = s^3 -4st +9G^3 ≧0,
また
　s^2 -Gs -3G^2 = (s-3G)^2 + 5G(s-3G) + 3G^2 ≧ 0,

全然エレガントぢゃねぇ...

>>136の改題

a,b,c,d >0 のとき

　(a+b+c+d+2)(1/a+1/b+1/c+1/d +1/2) ≧ 9

を示せ。

>>253
そんな小細工するより、普通に c=1/ab を代入して左辺ー右辺≧0 を示すのが一番簡単で早い。

>>254
　右辺は25だな。

>>255
　ではﾄﾞｿﾞｰ

>>254
シコって賢者タイムに入ってから考え直せ！

　　(*^дﾟ)　シコッ☆
　＿(ヽηﾉ＿　
　　　ヽヽ　

>>256 >>257
なら >>136の解答を教えてください。
考えているができないのです。

>>258
出典を述べよ

>>259
出典って言ってても、 >>136じゃないから分からんよ。

うせろかす

>>261
分からないんなら、そう言えばいいのに

>>136 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2012/06/13(水) 22:09:17.84
> a^2+b^2+c^2+d^2=4 (a,b,c,d>0)→(a+b+c+d-2)(1/a+1/b+1/c+1/d +1/2) >=9

x= a/2, y =b/2, z= c/2, d=w/2 とおくと、
　x^2 + y^2 + z^2 + x^2= 1 のとき、
　　(x+y+z+w-1)(1/x +1/y +1/z +1/x +1) ≧ 9
を示せばよい。

描

>14 名前：１３２人目の素数さん：2012/08/07(火) 17:39:00.96
> >>13
> 旧コテ猫あらため描つまりお前自身の事だろ、増田哲也に限り無く近い人間｡
> 筑波大学で痴漢と言えば増田哲也だから連続性も明らかになってるから
> わざわざ限り無く近い人間なんて呼び方しなくていいんだけどな
>

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　／:::::; -‐''"　　　　　　 `ｰノ
　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼
　　　　 /　　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 |
　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 |
　　　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ|
　　　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　
　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　ﾋﾆ二、　＼
.　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼　 |　'､　　＼
　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 |
　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､　/:＼__/‐､
　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣|
　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/

>>263
分からないんなら、そう言えばいいのニダ

描

>14 名前：１３２人目の素数さん：2012/08/07(火) 17:39:00.96
> >>13
> 旧コテ猫あらため描つまりお前自身の事だろ、増田哲也に限り無く近い人間｡
> 筑波大学で痴漢と言えば増田哲也だから連続性も明らかになってるから
> わざわざ限り無く近い人間なんて呼び方しなくていいんだけどな
>

>>256
それでは･･･

　f(a,b,c) = a^3 + b^3 +c^3 - (a+b+c)^2　とおく。
　ab≧1≧c　としても一般性を失わない。
　√(ab) = γ とおくと、相加･相乗により a+b ≧ 2γ ≧ 2,

∴　{f(a, b, c) - f(γ, γ, c)}/(√a - √b)^2
　= (a+b+γ)^2 -(√a + √b)^2 -2c
　= (a+b-2)(a+b+2γ+1) +ab +2γ +2(1-c)
　≧ 0,
となるので、a=b の場合を考えればよい。
　 f(a,a,1/a^2) = 2a^3 + 1/a^6 +6 -(2a + 1/a^2)^2
　　　　= (2a^9 -4a^8 +6a^6 -4a^5 -a^2 +1)/(a^6)
　　　　= (a-1)^2 (2a^7 -2a^5 +2a^4 +2a^3 +2a^2 +2a+1)/(a^6)
　　　　≧ 0,

エレガントでない事ぢゃあ引けをとらねぇ....

>>268 の訂正を....orz

　f(a,b,c) = a^3 + b^3 + c^3 ＋６ -(a+b+c)^2　とおいた。

(a^3 + b^3 + c^3)/3 ≧ 3√(abc) =1 より a^3 + b^3 + c^3 ≧ 3

a^3 + b^3 + c^3 -3 = a^3 + b^3 + c^3 -3abc = (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 -ab -bc- ca)

>>253
　華麗なるキャスフィー、偉大なキャスフィー、

>>136, >>263
[一般化]
　n 個の実数 x_k >0 が ∑_[k:1->n] (x_k)^2 = 1 を満たすとき、

　( ∑_[k:1->n] x_k - 1)( ∑_[k:1->n] 1/x_k + 1) ≧ n^2 -n √n -1

が成立することを示せ。
（n=4 のときが >>136）

描

>14 名前：１３２人目の素数さん：2012/08/07(火) 17:39:00.96
> >>13
> 旧コテ猫あらため描つまりお前自身の事だろ、増田哲也に限り無く近い人間｡
> 筑波大学で痴漢と言えば増田哲也だから連続性も明らかになってるから
> わざわざ限り無く近い人間なんて呼び方しなくていいんだけどな
>

>>273

n=2 のときは
　(x+y-1)(1/x + 1/y +1) = x+y + xy/{(1+x)(1+y)} + {1 - 1/[(1+x)(1+y)]}(xx+yy-1)/(xy)
　　= √(1+2xy) + xy/{(1+x)(1+y)}　　　(←題意)
　　> 1
で簡単だが....

〔例〕
x_1 = √{1-(n-1)ε^2},　x_2 = ･･･ = x_n = ε,
ε→0 とすると　(左辺) → (n-1)^2.

>>275
右辺を以下の様にするとどうでしょう？
n=4の時は >>136と一致します。

【改題】
[一般化]
　n 個の実数 x_k >0 が ∑_[k:1->n] (x_k)^2 = 1 を満たすとき、

　( ∑_[k:1->n] x_k - 1)( ∑_[k:1->n] 1/x_k + 1) ≧ (n-1)^2

を示せ。

>>276

n≧4 では >>273
　ただし右辺は n^2 -(n-1)√n -1,　等号成立は x_k = 1/√n

n≦4 では >>276

かな？

>>277
証明が出来ないorz

是非、解答をお願いします。
（n の値で不等式が変わるのは面白いですね）

>>278

ぬ～ん…

　　　　／⌒ヽ
　　／⌒ 　・　＞
　 E￣Ｕ) ε　|　
　 E￣∩)　・　＞
゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛

>>278
　　　　　　　　　　　,　/　　　　,
　　　　　　　　, 　 / / 　 , 　 / 　,
　　　　　 / '＾ﾒ-' ─/- ､　 /　,
　　　　 ∠ｒ　　_,゛_　/ 　,　ヽ/__/ ﾓｳﾀﾞﾒﾀﾞ…
　　　　　 ''ヽ'_･.ノ｀ '　ｒ/、　ﾍ /‐’
　　　　　 ./ " j　厂ﾞj　| ﾚ_｀> j__ /
　　　　 ' 　.:‘::'ニ‘.:‐'´─ﾞ.:´一’

　　　／　　　　　　　　　 i丶　　＼　
　　 /　　　　/　　∧.　　　　l　＼　　ヽ
　　,'　/　　 !.　　/　',　　　　　l　　ヽ　　 ',　　　　　　　　　　　　　/
　　!　l　　　 l.　 /　　 ',　　　 lヽ､＿__',.　　}　　　　　　　　　　　　/ 　＼
　　|　l　　　 |　/ ＿_ノﾍ　　 /ﾘ!　　　ｌ　　|　　　　　　　　　　　￣￣￣ヽ
　　|　| 　　 l￣　　　　 ',　//　　＿　ｌ　　|
　　j　l　　　 l　　　　＿　Ｖ　　〃￣ ` !〉 l/　　　　　　　　　　　│　　│
.　　V 〉､　　 !　／´￣｀　　　　　　　　 l∧!　　　　　　　　　　　　 │　　│
　　 !{　_＼　l　　　　　　　　　　　 j　　　　　　　　　　　　　　　　　ノ
　　　l ゝ __ ヽl　　　　　　＿＿_　　　 /l　　　　　　　　　　　　　　　＿＿
　　　 !　　　＞.　　　　丶＿_ノ　　ｲ l　　　　　　　　　　　　　　 /＿_/ ヽヽ
　　　 l　　　　　｀＞　､　　＿_　. ＜　 |　　　　　　　　　　　　　　　　 /
　　　|　　　　　　ﾘ丶＿___r‐'＜／）＿j_　　　　　　　　　　　　　　　 /
　　　|　　　　＿/_: : : : : :: ＞'　／｀ー､＼
　　　 |　　＞'´ ..ィ: ＼_: :／-､／}＞ｧ'´ 　＼',　　　　　　　　　　　　─┼─
　　　 r＜_. ＜: : : : : :.／　ヽ　Y　 i　／　　＼　　　　　　　　　　　 │
　　　 l: :＼: : : : : : :／　　ヽ　＼〉l´Ｖ　／　　＼　　　　　　　　　　ノ

　　　　 ∧,,∧　 ∧,,∧　　　　　　　　 ∧,,∧ 　∧,,∧　　　 ∧,,∧　 ∧,,∧　　　　　　　　 ∧,,∧ 　∧,,∧
　　∧ (´・ω・) (・ω・｀) ∧∧　　∧ (´・ω・) (・ω・｀) ∧ (´・ω・) (・ω・｀) ∧∧　　∧ (´・ω・) (・ω・｀) ∧∧
　(　´・ω)　Ｕ) ( つとﾉ(ω・｀ )(　´・ω)　Ｕ) ( つとﾉ(　´・ω)　Ｕ) ( つとﾉ(ω・｀ )(　´・ω)　Ｕ) ( つとﾉ(ω・｀ )
　｜　Ｕ (　　´・) (・｀　　)　とﾉ｜　Ｕ (　　´・) (・｀　｜　Ｕ (　　´・) (・｀　　)　とﾉ｜　Ｕ (　　´・) (・｀　　)　とﾉ
　　ｕ-ｕ（l 　　　∧,,∧ 　∧,,∧　ｕ-ｕ（l 　　 ) (∧,,∧ｕ-ｕ（l 　　　∧,,∧ 　∧,,∧　ｕ-ｕ（l 　　 ) (∧,,∧ 　 /⌒ヽ
　　　　　 `ｕ-∧ (´・ω・) (・ω・｀) ∧∧`ｕ-∧ (´・ω・) (・ω`ｕ-∧ (´・ω・) (・ω・｀) ∧∧`ｕ-∧ (´・ω・) (・ω・｀) ∧∧
　　　　　　　(　´・ω)　Ｕ) ( つとﾉ(ω・｀ )(　´・ω)　Ｕ) ( つとﾉ(　´・ω)　Ｕ) ( つとﾉ(ω・｀ )(　´・ω)　Ｕ) ( つとﾉ(ω・｀ )
　　　　　　　｜　Ｕ (　　´・) (・｀　　)　とﾉ｜　Ｕ (　　´・) (・｀　　｜　Ｕ (　　´・) (・｀　　)　とﾉ｜　Ｕ (　　´・) (・｀　　)とﾉ
　　　　∧,,∧ｕ-∧,,∧　　 ) (　　　ﾉu ∧,,∧-ｕ∧,,∧　 ) (∧,,∧ｕ-∧,,∧　　 ) (　　　ﾉu ∧,,∧-ｕ∧,,∧　 ) (　　　ﾉu　∧,,∧ 　∧,,∧
　　∧ (´・ω・) (・ω・｀) ∧∧　　∧ (´・ω・) (・ω・｀) ∧ (´・ω・) (・ω・｀) ∧∧　　∧ (´・ω・) (・ω・｀) ∧∧-u'∧ (´・ω・) (・ω・｀) ∧∧
　(　´・ω)　Ｕ) ( つとﾉ(ω・｀ )(　´・ω)　Ｕ) ( つとﾉ(　´・ω)　Ｕ) ( つとﾉ(ω・｀ )(　´・ω)　Ｕ) ( つとﾉ(ω・｀ ) (　´・ω)　Ｕ) ( つとﾉ(ω・｀ )
　｜　Ｕ (　　´・) (・｀　　)　とﾉ｜　Ｕ (　　´・) (・｀　｜　Ｕ (　　´・) (・｀　　)　とﾉ｜　Ｕ (　　´・) (・｀　　)　とﾉ｜　Ｕ (　　´・) (・｀　　)とﾉ
　　ｕ-ｕ（l 　　　∧,,∧ 　∧,,∧　ｕ-ｕ（l 　　 ) (∩,,∩ｕ-ｕ（l 　　　∧,,∧ 　∧,,∧　ｕ-ｕ（l 　　 ) (∩,,∩ 　 /⌒ヽ -ｕ（l 　　 ) (　　　ﾉu-ｕ
　　　　　 `ｕ-∧ (´・ω・) (・ω・｀) ∧∧`ｕ-∧ (´・ x ・) (・ω`ｕ-∧ (´・ω・) (・ω・｀) ∧∧`ｕ-∧ (´・ x ・) (・ω・｀) ∧∧`ｕ-ｕ'　`ｕ-u'

f''(x)≧0 (x≧0) のとき、x≧0に対して ∫[0, x] {f(2t)-f(t)} dt ≦ x{f(2x)-f(x)}/2 を示せ。

('A` )　ﾌﾟｳ
ノヽノ) =3'A`)ﾉﾋｬｰ
　くく　へﾍﾉ

　　　/　　　　　　　　　 /　　　　　　　　　　 ′　　｀ヽ
　　　′　　　　　　　／ ´￣｀ヽ　　　　　 /　　　　　､ヽ
　　 !　　　　　　　／´ .,. -､　,ﾉ　　　　　, '　　　　､　　　ヽ
　　 l　　　　 _　´/　.,´　./　{　　　　／　　l.　　 l　　 l　ヽ
　　　　 _　- ´　　､　 >　.{　 /._　　／　 '´ ｢｀　、 !　　 |　　＼
　　　ヾ　　　　　｀´　　｀´(_,ﾉィ´　　 .ﾊ.　l .l　　,|　　 l　　､　ヽ､　　　 ,　-─- ､
　　　　｀ - _　　　　　　　　　,ｨ´ |l　　　 l |' /-+､./　　　ﾊ　　ヽ､　ヽ､　〈　　　　　｀ヽ
　　　　　　｀ ┬--r‐　7´ﾊ. ﾄ　l ､　　,'　ﾚ´l::::ﾚ､ヽ　 /　l　l ヽ｀ヽ､ヽ､｀ -―- ､　　ヽ
　　　　　　　　　｜　l! 　　ハ｢ヽﾄ､､./　' lｰ'::::::::}/l〉/. 　′|　､　　｀ー｀-　　　 }　　 .l
　　　　　　　　 ′ l |.､　〈| し::::::::l　´　　､::::::;ﾉ .ﾚ'　　′ |!　 l　　　　､⌒ ｰ-‐'　　 ./
　　　　　　 /　ｨ　 l　ヽ　ﾄヽ;;:::::ｿ　__'　-,､｀´ "ｲ　　/　　| !　.|　　 , - ､､, - ､＿／
.　　　　　　 /　/l 　lヽ　｀ヽ_ゝ""　　 V　　　}　.／|　 /.　　ｌ　l　l　　ﾉ、　}
　　　　　　／- ´ l 　.| ヽ　　l　｀,‐-　＿ゝ __,ﾉｨ´　,ｲ　/,ヽ_ ./.　 l l ／／｀´
　　　／´ 　　 | 　|!　ヽ.　 l　l｀　､_　｀ヽ_,/_..∠ | /( .( 〉 r┐ ／／
.　　　　　　　 l 　| ､　ヽ　l人　　｀＞'ﾖ_ト､　｀l ′｀´.｀_o｣ '.／
　　　　　　　　､ |　､　　>､l-'Ｏ　_,>､/ | |　､｀'｀￣｢￣ノｽ,.<
　　　　　　　　｀　　＼〉,､,_ -_>､. /　.| |　ゝ　　 .〉- '　ﾉ　＼
　　　　　　　　　　　　　　　/｀.┬＝t'/　｀ｰ'　ｰ´　　　/ ､／　　　＼
　　　　　　　　　　　　　 /　　｀ - _＞　 _＿　　 _,.　´　　｀　､　　　　ヽ
　　　　　　　　　　　 /　　 ,.　'´　　　　￣￣　　　　　　　　｀　､　　ヽ
　　　　　　　　　 /　／　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ヽ　　ヽ

　　　　　　 |: : : : : : : :,イ　／'7 /: : : : : : :／　＼　＼
　　　　　　 |: : : : : :／: {　ゝ::/　7: : : : ／　　　　＼　ヽ
　　　　　　|:__; ;- ´: : : ｀ ´: :｀:´○::／　 ',　　　　　ヽ　,
　　　　　　 'ヽ: : : : : : : : : : : : : :.iイ　　 i　|ヽ __|　　i i, ',`､
　　　　　　　　｀ - : :_:_:_:_: : イ」_|_|,　　ﾄ,イ´,　|| |　| .|　,ヽ
　　　　　　　　　　　 /　|'／´|V,,ゝﾄ, 　ｲﾚ　}ﾉ |.|　i|i　　, ＼
　　　　　　　　　 / 　 |　　{ O::::`, ヽﾉ　／⌒'7 ﾉｲ) 　 , 　＼
　　　　　　　（⌒ヽ/　/　＼ |ヽヾﾆｿ　,　　　　/／ﾚ　　 i＼　＼ _,,,--,,,_
　　　　　　　｀{ニ;(´＼　| ヽﾄ.　　　＿ノ　　ノ|　 / 　 |　|　｀ー|　　　　＼
　　　　　　　／{＿ﾌ7　 }　|　 | ＞ ,,＿＿,, ＜　/　/　　 |　|　　　｀´⌒ヽ　ヽ
　　　　　／´ ヽフ　ノ　 |　|'＼_:_::ゝ／´: : :V　/　|　 ||　|　　　　　　　} 　　}
　　　　　　　　　 7i二二it ﾅ＼|　［:ニ［|＼-'-/／　 /　/'| ,|　　く´⌒｀ｰ　　ノ
　　　　　　　　　 |　|　　| ロ　ヽ　/:/ |;ト′ |￣''ヽ/__./　|/　 r ヽヽ_, ‐-‐‐´
　　　　　　　　 |　|　　ー-ｯ--く∠__|:》___　ー´　〈〈｀i　　...:::ヽノ
　　　　　　　 |　i|　　　／　　　　　 ´　　［二＞,,,○|...::::''''
　　　　　　　　　／: :ー ´:ヽ　　　　　　　　{: :［ﾆ／ヽ:::'''、
　　　　　　　　／: : : : : : ／￣｀ー　＿＿_ノ／　　／: : :＼

　　　　　　　　　　　　　　　　　_,_. . : : : : .　､
　　　　　　　　　　　　　　 _,. :'´: : : : : : : : : :｀ヽ
　　　　　　　　　　　 _,．:'´: : : : : : : : : : : : : : : :ﾊ
　　　　　　　　　 ∠,ヽ: : : : : : : : : : : : : : : : : : :i
　　　　　 ,　'´￣¨´‐.､｀y : : : : : : : : : : : : : : {　　　　,.、
　　　　　 /　 .　　 :　:　Ｙ } 　ヽ: : : : : : : : : : :　|　　_,.ｆ´__,＼
　　　　 .′ :　　 :　　　 :}v　　,,ゝ: : : : : : : : : : |―￢;.:.:.:.:_:.:.:＼
.　　　　 l　.　　:　　　 :. .:!| ￣ ! ヽ : : : : : : : : ヽj_,.-亠'¨⌒ヽ:_ﾉ
　　　　 ! {　　:　　:.　 |:.:,!ｒ' ,　､〉　　＼∧＿: : : :＼
　　　　　}.:}.　 :.l　 :.:　.!:.i　T~＾.|　　　　　　　￣＝-'¨
　　　(_,ノ_;{:...:.:.:!: .:.:. .ﾊ:{_.｀|　 i
　　　 f彡Y:.:.}:|:.!:.:!:{:ｲ'`　|　 !　　　　　　　　　／￣￣￣￣ヽ＼
　／＼　⌒j,ｨ:.{:!:ﾊ:|:!{{| 　 j　 !　　　　　　　　/　　　　　／　|
/ 　ｌ　 , '´￣,ﾄ!　}川,,ｰ/,.　 {,,,.........,,,,,.,,,,,,,,,,.ト .... ＿ _ -　´　　 | ,,,,,,
l 　 |　 / 　 __｣､__ﾉ―-}n.n r}ー＝==-=-=- l ､　/_,-､　)　　　ノ-=''
.､　｀ ´　 /　　　　　　　 ´ ﾞ　　　　　　　　　　　>､＿'ｰ'o_　- ´　
　ヽ､　　／
.　　｀ ´
はてなようせい
http://www6.atwiki.jp/moetext/pages/14.html

>>283
微分のことは微分でするのもいいが...

　(左辺) = ∫[0,x] ∫[0,t] f '(t+u) du dt
　　　　 = ∬[0≦u≦t≦x] f '(t+u) du dt　
　　　　 = (1/2)∫[0,x] ∫[0,x] f '(t+u) du dt　(←対称性 t & u)

　(右辺)　= (1/2)∫[0,x] du ∫[0,x] f '(t+x) dt
　　　　　= (1/2)∫[0,x] ∫[0,x] f '(t+x) dt du
題意より、
　u≦x　⇒　f '(t+u) ≦ f '(t+x)

【問題】
実数 a, b, c >0 に対して、次の不等式を示せ。

a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) ≧ 3/2

【問題】
実数 a_1,,, a_n >0 に対して、次の不等式を示せ。

a_1/a_n + a_2/a_1 + a_3/a_2 + ・・・+ a_n/a_{n-1} ≧ n

>>288

コーシーにより
　2(ab+bc+ca)｛左辺｝
　= {a(b+c) + b(c+a) + c(a+b)} {a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)}
　≧ (a+b+c)^2
　≧ 3(ab+bc+ca),
また題意より、ab+bc+ca >0,

参考文献[3], p.28-30 (1987) 例題4
H.S.Shapiro: Amer. Math. Monthly, ６１, p.571 (1954)　"Problem 4603"
L.J.Mordell: Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, ２２, p.229-240 (1958)
A.Zulauf: Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, ２２, p.240-241 (1958)

参考文献[3] は神！日本人の書いた本で、これを超える不等式本はないよな。

　　　　　　　　　　　　　　　　　 __________________
　　　　　　　　　／　　　　　 ∩|不等式への |
　　　　　　　　／　　　　　　/ /|　　　　招待 |
　　　　　　　　　　　／　　/ / ..|_________________|
　　　　　　　　　　　　　 / /　　　　| |
　　.　　　　　　　　／　/ /∧　　 ./ /
　　　　　　　　　　　　/ /　´_ゝ`）／　復刊キボンヌ！
　　　　　　　　　／　|　　　　／
　　　　　　　　　　　　|　　　　/
　　　　　　　　　　　　|　　／⌒l
　　　　　　　　　　　　ヽ　　 |　/
　　　　　　　　　　／　| ﾞー'|　L
　　　　　　／　　　　 |　 /（_　ヽ
　　　　　　　　／　／　ノ
　　　　　　　／　　/　／
　　　　　／　　　（　ヽ　

小中学校のときに、夏休みの宿題の読書感想文に課題図書が指定されてたよな
そこでだ！
高校生の夏休みの宿題に「不等式への招待」を課題図書として指定しようではないか

>>288

コーシーまたはチェビシェフ(*)により
　(左辺) = (a+b+c){1/(b+c) + 1/(c+a) + 1/(a+b)} - 3
　　　　 = (1/2){(b+c) + (c+a) + (a+b)} {1/(b+c) + 1/(c+a) + 1/(a+b)} - 3
　　　　 ≧ 9/2 - 3
　　　　 = 3/2,

*)　Σ 乱順序積 ≧ Σ 逆順序積

>>294　に1行追加...

　= (1/2){(b+c) + (c+a) + (a+b)} {1/(b+c) + 1/(c+a) + 1/(a+b)} -3
　= (1/2){9 + α(b-c)^2 + β(c-a)^2 + γ(a-b)^2} -3
　≧ 9/2 - 3

ここに、α = 1/[(c+a)(a+b)],　β = 1/[(a+b)(b+c)],　γ = 1/[(b+c)(c+a)],

>>289
nについての帰納法による。

・n=2 のとき
　(左辺) = a_1/a_2 + a_2/a_1 = 2 + (a_1-a_2)^2 /(a_1･a_2) ≧ 2　(←相加･相乗平均)

・n>2 のとき
　左辺を S_n とおく。
　a_n を最大（or 最小）の要素としても一般性を失わない。
　S_n - S_(n-1) - 1 = a_1/a_n + a_n/a_{n-1} - a_1/a_{n-1} -1
　　　　　　　　　　= (a_n - a_1)[1/a_{n-1} - 1/a_n]
　　　　　　　　　　≧ 0,

ここの住人って>>288-289のような数列の不等式に強いな。

逆に、>>283 のような微積分の不等式には弱い気がする。
Jensenの不等式や積分の平均値の定理とかで出る。

>>297
　積分だけで出ますが何か？

>>283 >>297

部分積分で
　(左辺) = x{f(2x) - f(x)} - ∫[0,x] t{2f '(2t) - f '(t)} dt
　　　　 = (右辺)*2 - ∫[0,x] t{2f '(2t) - f '(t)} dt,
これより
　(左辺) - (右辺) = (1/2)∫[0,x] {f(2t) - f(t) - 2t･f '(2t) + t･f '(t)} dt
　　= (1/2)∫[0,x] t{f '(t) - f '(2t)} dt
　　+ (1/2)∫[0,x] {f(2t) - f(t) - t･f '(2t)} dt,
ところで、題意より
　　f '(t) - f '(2t) ≦ 0,　　(0<t)
　　f(2t) - f(t) - t･f '(2t) = ∫[0,t] {f '(t+u) - f '(2t)} du ≦ 0,　(t<u)
とか。

>>291
今買える本の中では、渡部隆一の本がわりとしっかり書いてある。

[5]　不等式入門，渡部隆一，森北出版，2005年
　　 http://amazon.jp/o/ASIN/4627010494

>>297
チッチッチッ、弱いんじゃないんだな～、これが！
積分使うのは一本道で簡単だから、それ以外の方法を紹介してくれているんだyo
その程度のことは、初代スレからの常連達は暗黙の了解の上なんだyo yo
蒐集して出題した者達も、想定外のどんな解答を見せてくれるかﾜｸﾃｶしながら見ているんだyo yo yo

言い忘れたが、出題された不等式を改造するのは暗黙の約束
元よりも良い評価をしたり、変数を増やしたり、類題を作ったりするのは日常茶番劇なのだyo
恐れ入ったか、この野郎ｗ

>>300
表紙の色が変わっているぅ！
俺のはピンク色のフニャフニャ表紙なんだぜ！

>>302
ヘンタイのすくつなんですね

>>302 >>304
そう言われると改造しない訳には････

>>289 の系
　(b_1･b_2････b_n)^(1/n) = G,　(相乗平均)
　a_1 = b_1/G,
　a_k = a_{k-1}･b_k/G　　(1<k<n)
　a_n = 1,
とおくと、
　(b_1+b_2+････+b_n)/G ≧ n,
すなわち
　(b_1+b_2+････+b_n)/n ≧ G,

>>304
ｺﾆｬﾛ、ﾃｨｸｼｮｳﾒ！最高の褒め言葉ﾀﾞｾﾞｨ！

>>305
神キタ━━━┌(_Д_┌ )┐━━━！！

>>301
>>294-296は標準的な解答で、とても想定外とは思えんのだが

積分が一本道だとか、積分の不等式の威力を分かっとらんな。
アプリオリ評価とか面白いのが沢山ある。

>>307
口だけなら何とでも言える

盛り上がってまいりました

　　　　　　　　　　　　　　 __)__)_〉
　　　　　　　　 _ ‐≦つＣ≧‐.._　　　　＿|＿○
　　　　　　　　　　i/´_ ﾆ　 _ニ‐､`ヽヽ.　　 / | ヽ
　　　　　　　　 ! 　{ ・ ) { ・｀!　　｀y
　　　　　　　　　　{i　ﾐ `ﾆ立` - 'ﾐ　u _j　　　‐/‐,
　　　　　　　　　 /　　ゝ=､(　　｀　　∫}　　 / ./
　　　　　　　 i　　　`ｰij' `　　　ｰｲ
　　　　　　　　　 '､　　　､__,　　　　　 /　　　　　|
　　　　　　　　　, ‐ゝ .. _ 　　__　-‐く　　　　 |
　　　　　　　　 /　　　　　￣　　　　ヽ
　　　　　　 / y　　　　　　　 !　 i　　　ヽ　 /
　　　　　 / /　o　　　　　　o　　 } 　l　　　＿／
　　　　　 ,'　i　　　　　　　　 l　 |

【283】の類題
f '''(x)≧0 のとき、x≧0に対して
　∫[0,x] {f(3t)-2f(2t)+f(t)} dt ≦ x{f(3x)-2f(2x)+f(x)}/3,
でしょうか？

>>308
では n ≧４のとき、>>276 を証明してください。

>>312

n>4 のとき √n > 2,

　a_k = 1/√n,　　[k:1→n] とおくと

　(左辺) = (√n - 1)(n√n +1)
　　　　= n^2 -(n-1)√n - 1
　　　　< n^2 -2(n-1) -1
　　　　= (n-1)^2,
にて >>276 は不成立....orz

【283】の類題
f ""(x)≧0 のとき、x≧0に対して
　∫[0,x] {f(4t)-3f(3t)+3f(2t)-f(t)} dt ≦ x{f(4x)-3f(3x)+3f(2x)-f(x)}/4,
でしょうか？

一般に、x≧0 で f^(n) ≧0 のときは、
　g(x) = Σ[k=1,n] (-1)^(n-k) Ｃ(n-1,k-1) f(kx)
だろうなぁ...

>>305
この解法は上手いね

>>313
右辺を変えると成り立ちますか？

【改題】
[一般化]
　n 個 (n ≧４) の実数 x_k >0 が ∑_[k:1->n] (x_k)^2 = 1 を満たすとき、

　( ∑_[k:1->n] x_k - 1)( ∑_[k:1->n] 1/x_k + 1) ≧ n^2 -(n-1)√n - 1

を示せ。

【問題】
実数 a_1,,, a_n >0 に対して、次の不等式を示せ。

a_1/a_n + a_2/a_1 + a_3/a_2 + ・・・+ a_n/a_{n-1} ≧ n

x/y+y/x=x/y+1+(y-x)/x=1+(xx+yy-xy)/xy=1+1+(y-x)(y-x)/xy
x/z+y/y+z/x=1+x/z+z/x=3+(z-x)(z-x)/xz
w/z+x/y+y/x+z/w=4+(y-x)(y-x)/xy+(z-w)(z-w)/wz
...

　２０代と６０代の、ニート・無職の虫けらども！！！！！！！！！！！！！！

　早く定職に就け！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

df/dai=1/(ai-1)-(ai+1)/ai^2=0
ai=((ai+1)(a1-1))^.5
ai=a
f(a)=n

>>275-277

n=2 のときは
　(x+y-1)(1/x + 1/y) = (x+y-1)(x+y)/xy
　　= (x^2 +y^2 +2xy -x-y)/xy
= (2xy-x-y+1)/xy 　　　(←題意)
　　= {xy + (1-x)(1-y)}/xy
　　= 1 + {(1-x)/x}{(1-y)/y}
　　> 1,
で簡単だが....

※別法
　x = (1-t^2)/(1+t^2),　y = 2t/(1+t^2),　(0<t<1) とおく。

n=3,4 の時はどう？

>>320

ぬ～ん…
　
　　　　／⌒ヽ
　　／⌒ 　・　＞
　 E￣Ｕ) ε　|　
　 E￣∩)　・　＞
゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛

　　　　　　　　　　　,　/　　　　,
　　　　　　　　, 　 / / 　 , 　 / 　,
　　　　　 / '＾ﾒ-' ─/- ､　 /　,
　　　　 ∠ｒ　　_,゛_　/ 　,　ヽ/__/ ﾓｳﾀﾞﾒﾀﾞ…
　　　　　 ''ヽ'_･.ノ｀ '　ｒ/、　ﾍ /‐’
　　　　　 ./ " j　厂ﾞj　| ﾚ_｀> j__ /
　　　　 ' 　.:‘::'ニ‘.:‐'´─ﾞ.:´一’　

lllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll
llllllllllllllllllllllllll／￣￣ヽlllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll
lllllllllllllllllllll /　　　　　　ヽllllllllllllllllllllllllllllllllllllll
iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii　試そあ　.iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii
iiiiiiiiiiiiiiiiiiiii|　合こき　 |iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;|　終でら　 |;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;|　了　　め　 |;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;|　だ　　.た　 |:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:
;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;|　よ　　ら　 |:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:
:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:ヽ、　　　　　 /.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:
:. :. :. :. :. :. :. :. ‐‐--‐‐':. :. :. :. :. :. :. :. :. :. :. :.
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :　,.‐- 、 : : : :
　　　　　　　　　　　　　　　　　　廴ﾐﾉ
　　　　　　　　　　　　　　　　　／//¨' ､
　　　　　　　　　　　　　　　　 y':;:;:;:/⌒i!
　　　　　　　　　　　　　　　　⑪:;:;:;:;};:;:/;},
　　　　　　;il||||li'　　　　　　　t`'---‐';:;:;:l
　　　　 ,.r'"''､,┘　　　　　　　 7;:;:;:;:;:;:;:;「
　　　　ﾉ4　(⌒i　　　　　　　　.}:;:;:;:;:;:;;/
　　　/..,__彡{, |　　　　　　　　　`i:;:;:;:;:;}
　　（　　.ミi!} l､　　　　　　　　　.」:;:;:丿
　　ｸｭ二二`Lっ)　　　　　　　　`==='

n=3くらいは強引に出来ないものか？

＿ﾉ乙(､ﾝ､)＿ﾓｳﾀﾞﾒﾀﾞ…

>>276

( ∑_[k:1->n] x_k - 1)( ∑_[k:1->n] 1/x_k + 1)
= ∑_[k:1->n] x_k ∑_[k:1->n] 1/x_k + ∑_[k:1->n] x_k - ∑_[k:1->n] 1/x_k -1

ここで、第１項はコーシー・シュワルツの不等式より、
　　　∑_[k:1->n] x_k ∑_[k:1->n] 1/x_k　≧　{ ∑_[k:1->n]　1 }^2 =n^2

また、条件 ∑_[k:1->n] (x_k)^2 = 1 より、
　　　 ∑_[k:1->n] x_k ≦ { ∑_[k:1->n] (x_k)^2 }^{1/2} {∑_[k:1->n] 1^2}^{1/2} = √n　
となる。
よって、

>>325
> よって、

　　　　　　　ヽ|/
　　　　／￣￣￣｀ヽ、
　　　 /　　　　　　　　ヽ
　　　/　＼,, ,,／　　　|
　　　|　（●）（●）|||　 |
　　　| 　/￣⌒￣ヽ　U.| 　　・・・・・･･･ｺﾞｸﾘ。
　　　|　 | .ｌ~￣~ヽ |　　 |
　　　|U ヽ￣~￣ﾉ　　 |
　　　|　　￣￣￣　　　 |

このスレを見て不等式に魅了されましたが>>2の[4]は不等式初心者でも理解できますか？

3=log_(2){8}

3^2=9

3-3=0

3÷3=1

3 ! = 3 × 2

>>327
最後のほうは厄介だけど前半分は高校生でも頑張れば分かるレベル

このスレって高校数学のスレだったのか…

ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める

ここにこれを書いたのは俺なんだよ。自慢でもなんでもなく。
ただ、数学板が「数学」になればいいなと思ってさ。
無論元ネタは別だよ。あの本もいいよね。

>>335
へんな奴が沸いたな

数学板のあちこちに書き込んでるな
新しい荒らしか？
とりあえずＮＧ登録しておこう

あらしでもなんでもない。ほんとうの事だ。ななしにあきただけだ。君が
おれのなをNG登録するのは君の自由だ。ここはけいじばんなんだぜ。

>>332
上手いな

339は簡単
３×３＝９

>>339
他所でやってくれないか？

>>334
高校生もいるが、主に高校の教師や予備校，塾の講師が多い。
いずれにせよ、受験関係者で、研究者は少ない

ただの不等式ヲタも居まつ！

>>342
そんな不等式ヲタに問題

[問題]
実数 a_1 … a_n と正数 x_1 … x_n >0 に対して、次を示せ。

Σ_[i,j=1 … n] (a_i a_j)/ (x_i + x_j) ≧ 0

　　　／　　　　　　　　　 i丶　　＼　
　　 /　　　　/　　∧.　　　　l　＼　　ヽ
　　,'　/　　 !.　　/　',　　　　　l　　ヽ　　 ',　　　　　　　　　　　　　/
　　!　l　　　 l.　 /　　 ',　　　 lヽ､＿__',.　　}　　　　　　　　　　　　/ 　＼
　　|　l　　　 |　/ ＿_ノﾍ　　 /ﾘ!　　　ｌ　　|　　　　　　　　　　　￣￣￣ヽ
　　|　| 　　 l￣　　　　 ',　//　　＿　ｌ　　|
　　j　l　　　 l　　　　＿　Ｖ　　〃￣ ` !〉 l/　　　　　　　　　　　│　　│
.　　V 〉､　　 !　／´￣｀　　　　　　　　 l∧!　　　　　　　　　　　　 │　　│
　　 !{　_＼　l　　　　　　　　　　　 j　　　　　　　　　　　　　　　　　ノ
　　　l ゝ __ ヽl　　　　　　＿＿_　　　 /l　　　　　　　　　　　　　　　＿＿
　　　 !　　　＞.　　　　丶＿_ノ　　ｲ l　　　　　　　　　　　　　　 /＿_/ ヽヽ
　　　 l　　　　　｀＞　､　　＿_　. ＜　 |　　　　　　　　　　　　　　　　 /
　　　|　　　　　　ﾘ丶＿___r‐'＜／）＿j_　　　　　　　　　　　　　　　 /
　　　|　　　　＿/_: : : : : :: ＞'　／｀ー､＼
　　　 |　　＞'´ ..ィ: ＼_: :／-､／}＞ｧ'´ 　＼',　　　　　　　　　　　　─┼─
　　　 r＜_. ＜: : : : : :.／　ヽ　Y　 i　／　　＼　　　　　　　　　　　 │
　　　 l: :＼: : : : : : :／　　ヽ　＼〉l´Ｖ　／　　＼　　　　　　　　　　ノ

>>343

与式をn次元空間 (a_1,a_2,････,a_n) における２次函数と考え、f(ａ) とおく。
ａ=０で ∇f = ０となり停留値である。
さらに２次函数のヘッセ行列Ｈは定数であり、

　Ｈ = det(∇∇f)
　　 = ⊿(x)^2 ／ Π[i,j=1,････,n] (x_i + x_j)
　　 > 0　　(←題意)

ただし、⊿（x） = Π[1≦i<j≦n] (x_j - x_i),　　(差積、Vandermonde)

∴　f は半正値で、f(ａ) ≧ f(０) = ０.

〔補題〕　(Cauchy)
n次正方行列について
　det| 1/(x_i + y_i) | = ± ⊿(x) ⊿(y)／Π[i,j=1,････,n] (x_i + y_j)

>>345
素晴らしい！

>>345 の補足。

n次対称行列 { 1/(x_i+x_j) }_{i,j=1,････,n} をＦとおく。

補題により、Ｆの左上角の主座小行列式（principal minor）はすべて非負。

　det| 1/(x_i+x_j) |_{i,j=1,････,k} ≧ 0,　（k=1,････,n)

また、Ｆは対称（エルミート）行列ゆえ、fは半正値。

問題
　a, b, c > 0 が abc=1 を満たすとき、
a^2 + b^2 + c^2 ≦ a^3 + b^3 + c^3
を示せ。

>>348
改造せずにはいられない ( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！

abc=1 をみたす正の数 a、b、c に対して、a^3 + b^3 + c^3 ≧ a^2 + b^2 + c^2 ≧ a+b+c

いやいやいや、もっと ( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！

abc=1 をみたす正の数 a、b、c と任意の自然数 n に対して、a^n + b^n + c^n ≧ a^(n-1) + b^^(n-1) + c^^(n-1)

(ﾟ∀ﾟ )　ﾌﾟｳ
ノヽノ) =3'A`)ﾉﾋｬｰ
　くく　へﾍﾉ

【問題】
A = (a_{ij} ) を n 次正方行列とし、λ_1, , , λ_n をその固有値とするとき、次の不等式を示せ。
Σ_[i=1,,n] |λ_i|^2 ≦ Σ_[i j =1,,n] |a_{ij} |^2

>>349
さらに改造

abc=1 をみたす正の数 a、b、c と任意の実数 x に対して、a^x + b^x + c^x ≧ a^(x-1) + b^(x-1) + c^(x-1)

>>351
a=2, b=1, c=1/2, x=0

>>351
ｊ実数 x≧1 ではなかろうか？ ( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁョ！

>>353
改良

abc=1 をみたす正の数 a、b、c >0 と実数 x　≧ y >0 に対して、次を示せ。

　a^x + b^x + c^x ≧ a^y + b^y + c^y

>>354
　(abc)^(1/3) = G とおく（相乗平均）。
　(x-y)y ≧ 0,

〔解1〕
　(y/x)a^x + {(x-y)/x}(a^y+b^x+c^x)/3
　≧ (y/x)a^x + {(x-y)/x}G^x　　(←相加･相乗平均)
　≧ a^y･G^(x-y),
循環的にたす。
　(左辺) ≧ (a^y + b^y + c^y)G^(x-y)
　　　　 = (右辺)G^(x-y),

〔解2〕
　 {a^y, b^y, c^y} と {a^(x-y), b^(x-y), c^(x-y)} とは同順序。

　(左辺) ≧ (右辺){a^(x-y) + b^(x-y) + c^(x-y)}/3　(←チェビシェフ)
　　　　 ≧ (右辺)G^(x-y),　　　　(←相加･相乗平均)

>>354-355
すげー！

解法も鮮やかだが、ここまで一般化できるのか！

>>354-355
さらに拡張

[問題]
(a_1…a_n) =1 をみたす正の数 a_1、…、a_n > 0 と実数 x　≧ y ≧ 0 に対して、
次の不等式が成立する。

　(a_1)^x + (a_2)^x + … + (a_n)^x ≧ (a_1)^y + (a_2)^y + … + (a_n)^y

[解答]
G= (a_1…a_n)^{1/n} を相乗平均とする。
また、a_1≧a_2≧…≧a_n としてもよいので、
　 {(a_1)^y, …, (a_n)^y} と { (a_1)^(x-y), …, (a_n)^(x-y)} とは同順序。

　(左辺) ≧ (右辺){ (a_1)^(x-y) + … + (a_n)^(x-y)}/n　(←チェビシェフ)
　　　　 ≧ (右辺)G^(x-y),　　　　(←相加･相乗平均)
　　　　＝（右辺）（← G=1）

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　／:::::; -‐''"　　　　　　 `ｰノ
　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼
　　　　 /　　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 |
　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 |
　　　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ|
　　　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　
　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　ﾋﾆ二、　＼
.　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼　 |　'､　　＼
　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 |
　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､　/:＼__/‐､
　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣|
　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/

解法はともかく、不等式自体はムーアヘッドの特殊化だよね

【問題】
x, y, z >0 が xyz ≧1 を満たすとき、 (1+x)(1+y)(1+z) ≧ 9 を示せ。

>>360の訂正
【問題】
x, y, z >0 が xyz ≧1 を満たすとき、 (1+x)(1+y)(1+z) ≧ 8 を示せ。

>>361
　(xyz)^(1/3) = G　とおく。

　(左辺) = 1 + (x+y+z) + (xy+yz+zx) + xyz
　　　　 ≧1 + 3(xyz)^(1/3) + 3(xyz)^(2/3) + xyz
　　　　 = 1 + 3G + 3G^2 + G^3
　　　　 = (1+G)^3,

>>361
相加・相乗平均より、
1 + x ≧ 2 (x)^{1/2}
y, z についても同様なので、
　（左辺） ≧ 2 (x)^{1/2} ・2 (y)^{1/2}・2 (z)^{1/2}
　　　　　　＝8 (xyz)^{1/2}　≧ 8．

(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…

>>361

〔コーシーの拡張〕
m>1, n>1 は自然数, a_k(i) ≧ 0 とする。
　Π[i=1,m]{Σ[k=1,n] a_k(i)} ≧ (Σ[k=1,n] G_k)^m
ここに、G_k = {Π[i=1,m] a_k(i)}^(1/m)

(略証)
I.　m=2^L (2ベキ) のときはコーシーをL回使う。

II.　2^(L-1) < m < 2^L のとき
　m < i ≦ 2^L に対して　a_k(i) = G_k　とおいて I. を使う。

(*´∀`)=3 ﾊｧﾊｧ…

[問題]
x, y, z≧０が x+y+z=1 を満たすとき、 x^3 + y^3 + z^3 + 6xyz ≧ 1/4 を証明せよ。

>>367

　x^3 + y^3 + z^3 +(15/4)xyz -(1/4)(x+y+z)^3
　= (3/4){x(x-y)(x-z) + y(y-z)(y-x) + z(z-x)(z-y)}
　= (3/4)F_1(x,y,z)
　≧ 0,　　　　{← x,y,z≧0, Schur(n=1)}

>>368
その係数はどうやって思いつくんだよ

>>368
>>367の不等式が荒くて、もっと改良できるってこと？

等号成立条件は？

>>367
　(左辺) -(1/4)(x+y+z)^3 = (3/4){x(x-y-z)^2 + y(y-z-x)^2 + z(z-x-y)^2},
　等号成立は (x,y,z) = (x,x,0) (x,0,x) (0,y,y)

>>368 は牛刀でござる。
　x=y=z でも等号成立。

(；´ρ｀) ﾊｧﾊｧ…

>>372
素晴らしい！

ところで、Shur の不等式って４変数以上でも成り立つの？

a[0] = a > 0
b[0] = b > 0
a[n+1] = (a[n] + b[n])/2
b[n+1] = (a[n]*b[n])^(1/2)
とするとき、lim[n→∞] a[n]、lim[n→∞] b[n] を求めよ

おなら貼り忘れた（不要なのは分かっているが、貼りたい年頃なんだ…、小学生が皆うんち好きなように…）

('A` )　ﾌﾟｳ
ノヽノ) =3'A`)ﾉﾋｬｰ
　くく　へﾍﾉ

プロ棋士が二歩で負ける瞬間
ttp://www.youtube.com/watch?v=MUdvinVHoNs&feature=related

>>377
素で吹いた

http://www.youtube.com/watch?v=SR7vs5hS76o&feature=relmfu

冷えぴた

将棋はスレ違いじゃないのかな、夏厨くん

おいらも冷えぴたを貼って、試験に臨むか

>>375
n≧1に対して、a[n] ≧ a[n+1]、 a[n] ≧ b[n]、 b[n+1] ≧ b[n]
つまり、a[1] ≧ a[2] ≧ … ≧a[n] ≧a[n+1] ≧ … ≧ b[n+1] ≧ b[n] ≧ … ≧ b[2] ≧ b[1] までは分かった
で、それからどうするんだっけ？

>>382
有界単調数列は収束するので、極限をα、βとすると、
　α = (α + β)/2
　β = (αβ)^{1/2}
が成立する。
これを解けば、α＝β

なるほど、同じ極限値に収束するノッカー
で、その値はどうやったら得られるのですカニ？

>>375

算術幾何平均とか云うらしい。(Gauss)

極限値は
　α = β = π(a+b)/{4Ｋ(k)},　k = |a-b|/(a+b),
ここに
　Ｋ(k) = ∫[0,π/2] 1/√[1 - (k･sinφ)^2] dφ,
　第１種の完全楕円積分

参考文献
　http://ja.wikipedia.org/wiki/算術幾何平均
　http://mathworld.wolfram.com/Arithmetic-GeometricMean.html
　高木：「解析概論」改訂第三版、岩波書店 (1961) p.33　練習問題１の (1)

相加平均と総乗平均を使って定義された数列の極限を弄ったら、楕円積分が出てきたの巻…

藪をつついたら蛇が出たの巻

正の数a、bの相加平均、総乗平均、調和平均をA、G、Hとおくとき、 G = √(AH)
つまり、「総乗平均は、相加平均と調和平均の総乗平均に等しい」

3文字以上のときは、G と √(AH) の大小って簡単に分かるんです蟹？

k=1 の時とかは入試問題にありそうだな

>>388
とりあえず↓が有り鱒。

〔シェルピンスキーの不等式〕
n文字のとき、
　{A^(n-1)･H}^(1/n) ≧ G ≧ {A･H^(n-1)}^(1/n),

参考文献[3]、p.79～80 (1987)

むむむ…、不等式め、侮れぬ…

>>390 の補足

n文字のとき、
　(k次の基本対称式)／C[n,k] = P_k とおくと、
　A = P_1,　G = (P_n)^(1/n),　H = P_n／P_(n-1),

>>390 は
　(P_1)^(n-1)･{P_n/P_(n-1)} ≧ P_n ≧ P_1･{P_n/P_(n-1)}^(n-1),
すなわち、
　P(n-1)/{(P_1)^(n-1)} = Π[k=1,n-2] (Q_k)^(n-1-k) ≧ 1,
　{P_(n-1)}^(n-1)／{(P_1)(P_n)^(n-2)} = Π[k=2,n-1] (Q_k)^(k-1) ≧ 1,
ここに、Q_k = (P_k)^2／{P_(k-1)･P_(k+1)}^(n-1-k).
よって次の補題に帰着する。

〔補題〕
　(P_k)^2／{P_(k-1)･P_(k+1)} ≧ 1,　　(k=1～n-1)

この補題については
　数セミ増刊「数学の問題」第(1)集、日本評論社 (1977) No.21
　Hardy-Littlewood-Polya: "Inequalities", Cambridge (1934) §2.22, 公式51-55
　Beckenbach-Bellman: "Inequalities", Ergebnisse叢書、Springer-Verlag (1961) p.11

【問題】
x+y+z=1 を満たす実数 x, y, z ≧ 0 は次を満たすことを示せ。
　x^2 y + y^2 x + z^2 x ≦ 4/27

不等式って何で不等式っていうんですか。
A＝Bが等式なら、不等式はA≠Bの形であるのが負触りい用語のように思うのでウsが

A≧Bなら　例えば　大小式　くらいの用語がふさわしのではないかと

>>349
数学用語は西洋の物だから

例えば、英語では大小関係のある「不等式」は、
(upper/lower) bound, estimate や majoration などと言い、
　inequality よりは良く用いられる。

>>395
>　inequality よりは良く用いられる。
これ本当かいな？

いちいち数えたことないけど、体感ではダウト

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　／:::::; -‐''"　　　　　　 `ｰノ
　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼
　　　　 /　　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 |
　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 |
　　　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ|
　　　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　
　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　ﾋﾆ二、　＼
.　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼　 |　'､　　＼
　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 |
　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､　/:＼__/‐､
　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣|
　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/

>>396
estimate や bound を使うのは解析（偏微分方程式）が多いかな

a priori estimate とは言うけど、a priori inequality とは余り言わんね。

http://www.amaga.me/image/nz19203341267.png

正数a,b,cが　ab+bc+ca+2abc=1　を満たすとき
2abc+Σ[cyc]1/(1+2a)^2≧1

のような問題に対して、
a=x/(y+z)、b=y/(z+x)、c=z/(x+y)　とおいて・・・とやる解法って不等式オタにとっては一般的なの？

いろんな置き換えあるよなぁ
どんな式のときにどんな置き換えが有効なのか知りたい

>>400
このサイトって、どこですか？
過去ログを遡って、不等式を蒐集しまくりたいです

>>401
>>3にもあるんだけど、www.mathlinks.ro/　だよ。
こういう置き換え、誰かリストアップしてくれないかなあ・・・

>>402
サンクス、潜入してくるわ

お取込み中ですが....

>>393
　f(x,y,z) = (4/27)(x+y+z)^3 - (左辺)
　　　　　 = (1/27)(x+y+z)^3 + g(x-y,y-z,z-x),
とおく。
{x,y,z} を一斉に増加するとき、fも増加する。
∴　min{x,y,z} = m とおくと
　f(x,y,z) ≧ f(x-m,y-m,z-m)
　　　　　 =　f(0,a,b)　　　　(a≧0, b≧0)
　　　　　 = (1/27)(4a+b)(a-2b)^2
　　　　　 ≧ 0,
等号成立は (x,y,z) = (0,2,1)　(2,1,0)　(1,0,2)

>>392　訂正ｽﾏｿ.
　ここに、Q_k = (P_k)^2／{P_(k-1)･P_(k+1)},

神乙！

不等式コレクションに分類していたときに、置き換えについて整理したことがあったんだけど、
そのときのTeXファイルがどこかに逝ってしまったの巻… ( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！

>>405
>　そのときのTeXファイルがどこかに逝ってしまった
Oh....

>>404

具体的に書けば
　g(x-y,y-z,z-x) = {(x+y-2z)(x-y)^2 + (y+z-2x)(y-z)^2 + (z+x-2y)(z-x)^2 + 9⊿}/2,
ここに
　⊿(x,y,z) = (x-y)(y-z)(z-x),

>>393 は >>100 （n=2）と同じ....

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　／:::::; -‐''"　　　　　　 `ｰノ
　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼
　　　　 /　　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 |
　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 |
　　　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ|
　　　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　
　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　ﾋﾆ二、　＼
.　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼　 |　'､　　＼
　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 |
　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､　/:＼__/‐､
　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣|
　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/

>>400
文字を置き換えるのは工房レベル

大学数学ではLagrangeの未定乗数法がほぼ万能

余裕のない奴だな。もっと楽しめよ

面白みのない男でつね

>>411-412
ｺﾆｬﾛ、ﾃｨｸｼｮｳﾒ！最低の褒め言葉ﾀﾞｾﾞｨ！

x, y, z>0, xyz=64/27 ⇒ √(1+x^2)+√(1+y^2)+√(1+z^2)≧1+x+y+z

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　／:::::; -‐''"　　　　　　 `ｰノ
　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼
　　　　 /　　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 |
　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 |
　　　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ|
　　　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　
　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　ﾋﾆ二、　＼
.　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼　 |　'､　　＼
　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 |
　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､　/:＼__/‐､
　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣|
　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/

〔補題〕
⊿ = (a-b)(b-c)(c-a) とおくとき
　|⊿| ≦ (2/√27)(s^2 -3t)^(3/2),
ここに、s=a+b+c, t=ab+bc+ca, u=abc.

(略証1)
　bはaとcの中間にあるとしてよい。|a-b| =x, |b-c|=y とおく。
　s^2 -3t = {x^2 + y^2 + (x+y)^2}/2 ≧ (3/4)(x+y)^2,
　|⊿| = xy(x+y) ≦ (1/4)(x+y)^3 ≦ (2/√27)(s^2 -3t)^(3/2)

(略証2)
　27⊿^2 = 4(s^2 -3t)^3 - (2s^3 -9st +27u)^2,
　楕円曲線論に出てくる公式。

割り込んですいませんが、「不等式」の本できました。
九大の学会の書籍展示で先行販売していますので、ちょと眺めてみて下さい。

　　　　　　　　　　　　　　l三｀ｰ､_;:;:;:;:;:;:j;:;:;:;:;:;:_;:;:;_;:〟-三三三三三l
　　　　　　　　　　　　　 l三　 r＝ﾐ''‐--‐';二,_￣　　 ,三三三彡彡l_
　　　　　　　　　　　　　　lﾐ′　￣　　　　ー-'"　　　 '＝ミﾆ彡彡/‐､ヽ
　　　　　　　　　　　 l;l　 ,_-‐ 、　　　 __,,.. - ､　　　彡彡彳､.//　　
＿＿＿＿＿＿＿∧,､＿∥　`之ヽ､, i　l´ _,ｨ辷ｧ-､、　　　彡彡'r ノ/＿＿_＿＿＿_
￣￣￣￣￣￣￣'`'`￣　1 　　￣ﾌ/ｌ　l::. ヽこ~￣　　　　彡彳~´/ ￣￣￣￣￣￣
　　　　　　　　　　　　　ヽ　　　´　:l　.l:::.　　　　　　　　　彡ｨ-‐'′
　　　　　　　　　　　　　　　ゝ、　　/ :.　 :r-､　　　　　　　　彡′
　　　　　　　　　　　　　／ｨ:ﾍ　　｀ヽ:__,ｨ='´　　　　　　　　彡;ヽ､
　　　　　　　　　 _,,..-‐'7　/:::::::ヽ　　　_: :_　　　ヽ　　　　ｨ´.}::ヽヽ、
　　　　　　_,-‐'´　　　 {　ヽ:::::::::ﾍ｀'ｰ=＝=ｰ--　'　　　／ﾉ /::::::ﾍ, ヽｰ､

不等式よりABC予想の時代

知恵袋での拾いもん、大したもんじゃないかもしれんが

正の数a,b,c,dが1/a+1/b+1/c+1/d=1を満たすとき、ab+bc+cd+da+ac+bd≧96

>>420
コレクションにあるかな～と思って探したけど見つからなかったの巻…

>>417
http://comingbook.honzuki.jp/index.php?detail=9784903342702

前スレで予告されていた本ですね
さっそく予約してきました ( ﾟ∀ﾟ) ﾜｸﾜｸ…

>>422
情報通乙！

　　　　　　　　　　　　　　 _.. ..‐::´／
　　　　　　　　　　　　　_/::::::::::::/
　　　　　　　　　　　＿/:::::::::::::/　＿＿＿_
　　　　　　　　 ,..::::´:::::::::::::::::::::￣:::::::::::._／
　　　　　　　／:::::::::::::::::|　ヽ､:::::;::::::::::::／
　　　　　　 /:::::::::::::::::::::|´|ヽ　　　|/_:::.::／
　　_ .. -─':::::::::::::::､::|｀'　　,　　　.!::∠
　　｀''　‐-.._:::::::;-‐､｀（●）　　（●）　|::::｀::-､オッス！オラ、不等式ヲタ
　=ﾆ二::::::::::::::::|６　　＼＿＿_／､｜　-──｀まだ発売されていないってのに
　　　　‐=.二;;;;;｀‐ｔ　　　＼／　　ノ　　　　　　　なんだかすっげえワクワクしてきたぞ！

>>421
誰かしらから解答来たらそれの載ってたＵＲＬはるお

∀k a[k]≧0 と、∀k p[k]≧0 と、Σp[k]=1 を満たす実数列a[1],...,a[n]とp[1],...,p[n]が与えられたとき
y>x≧1なら Σ{p[k] * (a[k]^x)}^(1/x) ≦ Σ{p[k] * (a[k]^y)}^(1/y)
が成り立ちますか？

>>420

1 = 1/a+1/b+1/c+1/d ≧ 4・{1/(abcd)}^(1/4) より、 abcd ≧4^4
ab+bc+cd+da+ac+bd ≧ 6・{(abcd)^3}^(1/6) = 6・(abcd)^(1/2) ≧ 6・(4^4)^(1/2) = 6・4^2 = 96

　　　　,ィ´￣￣￣｀`ヽ
　　 /:::::::::::::::::::::::::::::::::::＼
　　厶 -…ー─‐--､:::::::::::|
∠＿__,ィ´￣￣￣｀ヽ､＼＿}
　　　|　<●） /、（●>、 |||| 　　　
　　　|　　,,　<、_,> ヽ、, 　 |　　　　そうか！相乗か！
. 　　 | 　　ｍj |＝‐ｧ'　 .::::|　　　
　　　＼,〈＿_ﾉﾆﾆ´　.:::／
　　　／ノ　　ﾉ |||/一´＼

正の数 a_1、…、a_n が Σ(1/a_k) = 1 をみたすとき、Σ_[k<m] (a_k)・(a_m) ≧ nC2・n^2 ．

ってことになるの蟹かまぼこ？ ( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！

基本対称式を
　S_1 = a_1 + … + a_n
　S_2 = a_1・a_2 + …
などとおくと、逆数和が一定のとき、全部この方法で分かるわけ貝？ ( ﾟ∀ﾟ) ﾎﾍｰ

0＜x＜π/4のとき
∫[0→x]costdt＞2∫[0→x]sintdt

>>426
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1194388471

これの（２）だったんだが、独立して解けたのか…
てっきり（１）が（２）の応用かと思ってた

4-3=1

>>430
いろんな解き方があって参考になります

　　　　,ィ´￣￣￣｀`ヽ
　　 /:::::::::::::::::::::::::::::::::::＼
　　厶 -…ー─‐--､:::::::::::|
∠＿__,ィ´￣￣￣｀ヽ､＼＿}
　　　|　<●） /、（●>、 |||| 　　　また俺っちのコレクションが増えたぜ！
　　　|　　,,　<、_,> ヽ、, 　 |　　　　ありがとな！
. 　　 | 　　ｍj |＝‐ｧ'　 .::::|　　　
　　　＼,〈＿_ﾉﾆﾆ´　.:::／
　　　／ノ　　ﾉ |||/一´＼

>>425
不等号の向きが逆です

（・3・）くわちくおちえてくだちゃい

>>417
いま九州大学に行けば手に入るんですか？

>>417
いつ書店に並ぶんだＹＯ！風邪引いちまうぢゃないか！

>>435
落ち着けww
もう少ししたら発売されるだろww

[4]　不等式入門（数学のかんどころシリーズ９），大関清太，共立出版，2012年
　　 http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320019898

これじゃない感が凄かった

>>436
落ち着け。
全裸で待機しても発売日が早まるわけじゃないから、とりあえずパンツ履け。

>>438
かんどころシリーズは、One Point双書の21世紀版を目指したらしいが、大失敗だな
素直にOne Point双書をジャンルごとに数冊ずつ纏めて１冊にして発売したほうが売れただろうに…
ゆとりっ子のレベルに合わせたって言い訳しそうだが、実際は編集部の質が落ちているだけだと思う

書店で「かんどころシリーズ」を見たことある？
数学に興味のある中学生向けの内容じゃんか！
その中でも、「かんどころ⑨不等式」は頑張っている方だと思う

このシリーズで出しさえしなければ、前著「不等式への招待」の続編的位置付けになったろうに…
編集部にダメ出しされまくって、著者は泣く泣く証明部分や未紹介の不等式を削ったに違いない
別の出版社から、しっかりした不等式の本を出してほしいと思う吉宗であった

>>425
∀k a[k]≧0 と、∀k p[k]≧0 と、Σp[k]=1 を満たす実数列a[1],...,a[n]とp[1],...,p[n]が与えられたとき
y>x≧1なら {Σ( p[k] * (a[k]^x) )}^(1/x) ≦ {Σ( p[k] * (a[k]^y) )}^(1/y)
が成り立ちますか？

の間違いでした
>>425だとp[k]^(1/x)を比べるだけになってしまいますねすいません
証明出来ました

>>441
だから、結果の不等号の向きが逆

>>440　別の出版社から、しっかりした不等式の本を出してほしいと思う

だから、>>422で新しい不等式の本が出るではないか！
発売日は、９月２４日になっている。

不等式　～21世紀の代数的不等式論～
著者安藤哲哉
出版社数学書房
本体価格 3500円
ページ数 288p
発売予定日 2012-09-24

内容紹介
不等式を証明するには、式変形の技巧ではなく、
代数・幾何・解析学の諸理論が役に立つことを示した理論的・体系的解説書。

「不等式への招待」のシリーズの他の本はオンデマンド版で販売されているのに、「不等式の招待」だけ販売無し…

不等式で卒業論文書きたいなあ
研究するのは厳しい分野なんかな

>>443
それとは別に、大関の書いた本が読みたいんだyo！

このスレの神？が書いたテクニカル本とか

あちこちからかき集めて出題するコレクター悪魔と
それらを片っ端から証明した上に改造もする神の共著ですか？
いや神一人で必要十分ですな

>>420

　ab+bc+cd+da+ac+bd ≧ 36／(1/ab + 1/bc + 1/cd + 1/da + 1/ac + 1/bd)
　　　　　　　　　　≧ 36／{(6/16)(1/a+1/b+1/c+1/d)^2}
　　　　　　　　　　= 96／(1/a+1/b+1/c+1/d)^2,

>>449
最初は相加調和平均、次は？

>>429

(左辺) = ∫[0→x] cos(t)dt = sin(x) = 2sin(x/2)cos(x/2),

(右辺) = 2∫[0→x] sin(t)dt = 2{1-cos(x)} = 4sin(x/2)^2,

題意より
　(右辺)/(左辺) = 2tan(x/2)
　　≦ 2tan(π/8)
　　< 2tan(π/8)／{1-tan(π/8)^2}
　　= tan(π/4)
　　= 1,

>>445-446
まだ現役だから、本人に頼めば
http://www.eng.utsunomiya-u.ac.jp/koukou/kenkyu/kikai_kyouzyu/ozeki/index.html

>>443
> 不等式を証明するには、式変形の技巧ではなく、

ヲタは要らんということですね

式変形の技巧にﾊｧﾊｧしたい年頃なんですがね
数学者に否定されると…

>>452
面識もないのにどうやって頼むんだyo！

　　　　　　／￣≧￣＼
　　　　　／　　＼　／　　＼　　　　　我々は不等式ヲタだ！
　　　　 |　　 (●　　　(●　 |　　　　　貴殿の本気が見たいのだ！　　　
　　　　 |　　　　（__人__）　　|　　　　　　少ないが取っておき給へ！　
　　　　＼　　　｀ ⌒´　　／　　　☆
　　　　/ヽ､--ー､＿＿,-‐´ ＼─／
　　／　>　　ヽ▼●▼<＼　　||ｰ､
　 / ヽ､　　　＼ i　|｡|　|/　ヽ　(ニ､｀ヽ
　.l　　　ヽ　　　 l　|｡|　| ｒ-､y　｀ﾆ　ﾉ＼
　l　　　　 |　　　 |ー─ | ￣ l 　　｀~ヽ＿ノ＿＿＿_
　　　　／￣￣￣￣ヽ-'ヽ--'　　／　壱万円札／|
　　　.|￣￣￣￣￣￣|／|　　　 |￣￣￣￣￣￣|／| ＿＿＿＿＿＿
／￣壱万円札／|　￣|__」／_壱万円札／|￣|__,」＿＿_　　　　／|
|￣￣￣￣￣|／壱万円札／￣￣￣￣|／壱万円札／|　　／　.|
|￣￣￣￣￣|￣￣￣￣￣|／l￣￣￣￣|￣￣￣￣￣|／ |　／
|￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣|

>>445
研究って未解決や未知の問題を明らかにすることだからねえ
不等式の場合、研究すべき未解決の問題を探しにくい所だろうね。
結局、面白い問題を見つけるには、他の数学の深い理論を勉強しないと出てこないし

「不等式への招待」にも、こんな不等式は必要に迫られてでないと作り出せないとかなんとか…

>>416

3次式 X^3 -sX^2 +tX -u の根がすべて実数となる条件は

　9st -2s^3 -2(s^2 -3t)^(3/2) ≦ 27u ≦ 9st -2s^3 + 2(s^2 -3t)^(3/2),

出番やで

919cielblue　[2012/09/20(木) 11:26:30]

x, y, z>0, xyz=64/27 ⇒ √(1+x^2)+√(1+y^2)+√(1+z^2)≧1+x+y+z

http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/l50

>>457
確かに…
Shapiroの不等式のように、絶妙な問題を出したShapiroは偉いですね。

不等式の場合、問題より予想の方が大事かもね。

ｷﾀ―――（゜∀゜）―――！！！

大関本の復刊！！！
http://www.amazon.co.jp/%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F%E3%81%B8%E3%81%AE%E6%8B%9B%E5%BE%85-%E5%A4%A7%E9%96%A2-%E4%BF%A1%E9%9B%84/dp/4844372661/ref=ntt_at_ep_dpt_2

大関の次は横綱ですね

>>459
2chに慣れているせいか、このスレを利用したことがなかったな
そういや何度かリンクが貼られていたこともあったが、ずっとヌルーしていたな ('A`)ｳﾞｫｴｧ！

>>461
　　　　　　　　　　　　　　l三｀ｰ､_;:;:;:;:;:;:j;:;:;:;:;:;:_;:;:;_;:〟-三三三三三l
　　　　　　　　　　　　　 l三　 r＝ﾐ''‐--‐';二,_￣　　 ,三三三彡彡l_
　　　　　　　　　　　　　　lﾐ′　￣　　　　ー-'"　　　 '＝ミﾆ彡彡/‐､ヽ
　　　　　　　　　　　 l;l　 ,_-‐ 、　　　 __,,.. - ､　　　彡彡彳､.//　　この感じ…、奴が帰ってきたのか！
＿＿＿＿＿＿＿∧,､＿∥　`之ヽ､, i　l´ _,ｨ辷ｧ-､、　　　彡彡'r ノ/＿＿_＿＿＿_
￣￣￣￣￣￣￣'`'`￣　1 　　￣ﾌ/ｌ　l::. ヽこ~￣　　　　彡彳~´/ ￣￣￣￣￣￣
　　　　　　　　　　　　　ヽ　　　´　:l　.l:::.　　　　　　　　　彡ｨ-‐'′
　　　　　　　　　　　　　　　ゝ、　　/ :.　 :r-､　　　　　　　　彡′
　　　　　　　　　　　　　／ｨ:ﾍ　　｀ヽ:__,ｨ='´　　　　　　　　彡;ヽ､
　　　　　　　　　 _,,..-‐'7　/:::::::ヽ　　　_: :_　　　ヽ　　　　ｨ´.}::ヽヽ、
　　　　　　_,-‐'´　　　 {　ヽ:::::::::ﾍ｀'ｰ=＝=ｰ--　'　　　／ﾉ /::::::ﾍ, ヽｰ､

>>461
俺は　不等式，大関信雄・青木雅計，槇書店，1967年（絶版）の方が好きだな

>>461
オンデマンド (ペーパーバック) とは何ぞや？
ハードカバーが、ふにゃちんカバーになってしまうのかな？

俺の持ってるやつは、書き込んだり消したりした上に、
読みながら寝てしまって、ヨダレとか、顔の油とかで汚れてしまっているから買い直したいな

最も洗脳効果の高かった不等式本ですな
俺の中では神！

>>461
おお！
って、持っているから特に買うつもりは無いが

>>465
俺はまだその本は見たこと無いんだ。
大関・大関本とどう違うかずっと気になっているんだが

>>465
これも神！
探しても手に入らなくって、図書館の書庫で紛失していたのを探して借りた
このために、当時３万円くらいの家庭用コピー機（紙は一枚ずつ手差し）を買って、
片面コピーしたのを裏返して差し込んで両面コピーして背表紙に木工用ボンドを塗って製本した
これも復刊してほしい！

おまいら不等式が好き過ぎだな
問題解決の道具に過ぎないものを道具の方に惚れこんでしまったのか
よいぞよいぞ・・・

>>468
不等式に賭けるその想い、素晴らしい！！

個人的には、大関本よりも系統立てて書いている渡部本が好き。
こっちは、４，５年前に復刊されたのを買ったんだが、スッキリしていていい。

>>465
1967年発売なら、もう著作権切れてないか？

>>470
POD版とやらが復刊されて暫くしてから知って、急いで本屋巡りしたけどどこにもなくて、取り寄せてもらったな
有名不等式を一通り紹介してくれているので、知ってるつもりの知識が整理できてよかった

高校で「モノグラフ不等式」を何気なく買って、
大学生協で色ヤケしていた「不等式への招待」をたまたま買って洗脳され、
図書館書庫で発掘した「不等式（大関・青柳）」のコピー本を作り、
ずっと後になって、不等式（ハーディ）、不等式の工学への応用、不等式（渡部版）、不等式（かんどころ）を購入

不等式の和書って、少ないですなあ…

>>471
槙書店はWebサイトないんよな
復刊してくれんかなあ

http://www.hotfrog.jp/%E4%BC%81%E6%A5%AD/%E6%A7%99%E6%9B%B8%E5%BA%97

>>472
そこに待望の新書>>443の発売で、胸が熱い
もうアマゾンでポッチってしまった…

最近の洋書だと、
　The Cauchy-Schwarz Master Class:
　J. M. Steele，Cambridge Univ. Pr.，2004年
が中々良かったです。

検索していたら、こんなのを見つけた

復刊ドットコム『不等式（大関信雄・青柳雅計）』復刊リクエスト投票
http://www.fukkan.com/fk/VoteDetail?no=27792

>>474
著者の書き込み（>>417）の翌日に予約しました
この不等式ヲタに抜かりはない ( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！

The Cauchy-Schwarz Master Class は、何スレか前に紹介されたときに購入しました
本棚に飾ったまま、さっきまで買ったことすら忘れていましたが…

　 ,､|,､
　(f⌒i
　 U j.|
　　UJ
　　：
　 ‐＝‐

>>469
道具を収集して楽しむなんて、貴族のような人たちですね。

>>469
すでに>1で完結している

> ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
> 　　　　　　　　　　＿＿＿　　　　　　　　　　----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
> 　　　　|┃三　.／　　≧　＼　　　
> 　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／　|　
> 　　　　|┃　≡|::::: (●　(● |　　不等式と聞ゐちゃぁ
> ＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ　　　　黙っちゃゐられねゑ！
> 　　　　|┃=＿＿　　　＼　　　　　　　　　ﾊｧﾊｧ…
> 　　　　|┃　≡　）　　人　＼ガラッ

未だにムーアヘッドやマジョライセーション不等式が分からないまま放置プレイしている

>>477
職人にとって道具は命

>>462
不覚にも笑った

埋まっているので再掲

>>459
> 出番やで
>
> 919cielblue　[2012/09/20(木) 11:26:30]
>
> x, y, z>0, xyz=64/27 ⇒ √(1+x^2)+√(1+y^2)+√(1+z^2)≧1+x+y+z
>
> http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/l50

かんどころで紹介されていた大関がﾊｧﾊｧするほどの洋書が、地元の図書館になかったでござる

ここは不等式に飢えた狼たちのすくつでつね

行列（固有値）の不等式も中々面白いぞ

Matrix Inequalities (Lecture Notes in Mathematics,No.1790)
Xingzhi Zhan (著)
ペーパーバック: 132ページ
出版社: Springer; 2版 (2002/10)
http://www.amazon.co.jp/Matrix-Analysis-Graduate-Texts-Mathematics/dp/0387948465/ref=sr_1_10?ie=UTF8&qid=1348248699&sr=8-10

Matrix Analysis (Graduate Texts in Mathematics)
Rajendra Bhatia (著)
ハードカバー: 347ページ
出版社: Springer; 1版 (1996/12)
http://www.amazon.co.jp/Matrix-Analysis-Graduate-Texts-Mathematics/dp/0387948465/ref=sr_1_10?ie=UTF8&qid=1348248699&sr=8-10

Ky Fan の不等式について（大関信雄）　1973
http://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/107253/1/0191-5.pdf

>>485
まとめサイトの参考文献の洋書に入れとくか
こんなときに、キバヤシに教わったAmazonのURL短縮法が役立つとは思わなかった

http://www.amazon.co.jp/…/dp/(10桁の数字)/…
…はノイズなので削除する
www．も削除してもいい

　　ヽ､.三ﾐﾆ､＿＿＿＿ _,. ‐'´／/-─==＝＝=-､ヾ　　　／ヽ
　　　　　　　 ,.‐'´　`''‐- ､._ヽ　 /.i　∠,. -─;==:- ､ゝ‐;----//　ヾ.､
　　　　　　　[　|､!　 /'￣r'bゝ}二. {`´ '´＿_ （_Y_）,. |.r-'‐┬‐l l⌒　| }
　　　　　　　ﾞl |｀}　..:ヽ--ﾞ‐´ﾘ￣ヽd､　''''　￣￣　 |l　　　!ﾆ! !⌒ //
.　　　　　　　 i.! l .:::::　　　ｿ;;:..　ヽ､._　　　　　_,ノ'　　　　　ゞ）ノ./
　　　　　　　　｀ｰ＝=--‐'´(__,. 　 ..、　￣￣￣　　　　　　i／‐'／
　　　　　　　　　 i　　　　　 .:::ﾄ､￣ ´　　　　　　　　　　　 l､_／::|
　　　　　　　　　　!　　　　　　　　　　　　　　　　　　 |:　　 |
　　　　　　　　ヽ　　　　　ｰ‐==:ﾆﾆﾆ⊃　　　　　　　 !::　　　ト､
おれたちはとんでもない思い違いをしていたようだ。これを見てみろ。
まず「アマゾン」を英字で表記すると『amazon』
洋書はamazonで注文すればokだから、語尾にokとつける『amazonok』
これを逆にすると、『konozama』
そしてこれを更に日本語に直すと『コノザマ』
注文しても発売日に発送すらされないことが多いことを考えれば…

>>486
達筆すぎて読めねーよ！

この人がよく不等式出題してる
http://suseum.jp/gd/all_berry_list/3504

>>489
　　＿＿＿
　.／　　≧　＼
　|:::: 　＼ .／　|
　|::::: (●　(● |　ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ！
　ヽ::::... .ワ....ノ　　n　　
￣￣　　　＼　　（ E）
フ　　　 /ヽヽ_／／

燃料投下（>>422、>>461）で、プチ祭り状態だな

　
　　　＿＿＿　　　　食欲の秋
　.／　　≧　＼　
　|:::: 　＼ .／　|　　　　　不等式の秋　　　　
　|::::: (●　(● |　
　ヽ::::... .ワ.....ノ
　　　( つ旦O　　　 ,.-、　　 ,.-、　　,.-、
　　　と＿)_) 　　　(,,■)　　(,,■)　　(,,■)

>>483
どの本？

>>485
洋書を追加

Inequalities: Theorems, Techniques and Selected Problems,
Zdravko Cvetkovski
Springer-Verlag; 2012
http://www.amazon.co.jp/gp/product/3642237916/

Analytic Inequalities,
Dragoslav S., Dr. Mitrinovic
Springer-Verlag;1970
http://www.amazon.co.jp/dp/3642999727/

　　　/ ノ　≧　ヽ
　＿|＿＿＿＿_|＿　　　　わたしが訓練教官のハートマン先任軍曹であるッ！
　　　|:::　＼ .／ |　　　　　　話しかけられたとき以外は口を開くな。
　　　|:::: (●　(●|　　　　　　　口でクソたれる前と後に『Ｓｉｒ』と言え！！
　　　ヽ::::......ワ...ノ　　　　　　　　分かったか、ウジ虫どもー！
　　　人つゝ人,,　　　　　　　　　　　　----- sir, yes sir !
　　　Ｙノ人　ノノノゞ⌒～ゞ　　ふざけんな！もっと大声をだせー！　
.　ノ /ミ|＼、　　　ノノ　（　彡　　　　　 ----- SIR, YES SIR !!!
　　 `⌒ 　.Ｕ~Ｕ`ヾ　　　　丿　　　よーし、それでいい
　　　　　　　　　　 ⌒～⌒　　　　　　
>>494
追加しますた

>>487
つまり、こういうことですな
http://www.amazon.co.jp/(書籍名・著者名情報)/dp/(10桁の数字)/(アフェリエイトなどのパラメータ)
　↓
http://.amazon.jp/dp/(10桁の数字)

>>489
実によく訓練された不等式ヲタだ
不等式の埋蔵地のリンクに追加しておこう！

>>493
貴様、それでも不等式ヲタか！とりあえず買って本棚に並べておきたまえ！
http://www.amazon.com/dp/0387048375

　　　　　＿　（）)二) )) 、,r:ﾆヽ　　いいぞ　ベイべー！
　@ニ＝＝＝)二二ニニ)('A` ))　不等式を収集し証明する奴は数ヲタだ！！
　　　　　^￣" ﾌ＼''|ﾉ=ﾉ-(　　)　　不等式を改造し拡張する奴はよく訓練された数ヲタだ！！
　　　　　　　_/　　＼_ 　　L L　　ホント不等式はﾊｧﾊｧするぜ！ﾌｩﾊﾊﾊｰﾊｧｰ

>>493
>>494の２冊目じゃないの？

理系への数学10月号を立読みしてたら「対称同次平均」とかいうのがあったけど、検索しても見つからんな
も一回書店に確認に行ったら、売り切れていたでござる

　　　　　　　　　　　　　　　　　 _______
　　　　　　　　　／　　　　　 ∩| 　　|
　　　　　　　　／　　　　　　/ /|不等式
　　　　　　　　　　　／　　/ / 　|____|
　　　　　　　　　　　　　 / /　　　　| |
　　.　　　　　　　　／　/ /∧　　 ./ /
　　　　　　　　　　　　/ /　´_ゝ`）／　おうい！安藤の新刊書を手に入れたぞー！
　　　　　　　　　／　|　　　　／
　　　　　　　　　　　　|　　　　/
　　　　　　　　　　　　|　　／⌒l
　　　　　　　　　　　　ヽ　　 |　/
　　　　　　　　　　／　| ﾞー'|　L
　　　　　　／　　　　 |　 /（_　ヽ
　　　　　　　　／　／　ノ
　　　　　　　／　　/　／
　　　　　／　　　（　ヽ　

>>498
今度は投げんなよ！

　　　　　　　　　　　　　　　　　 _______
　　　　　　　　　／　　　　　 ∩| 　　|
　　　　　　　　／　　　　　　/ /|不等式
　　　　　　　　　　　／　　/ / 　|____|
　　　　　　　　　　　　　 / /　　　　| |
　　.　　　　　　　　／　/ /∧　　 ./ /
　　　　　　　　　　　　/ /　´_ゝ`）／　おうい！大関の復刊書を手に入れたぞー！
　　　　　　　　　／　|　　　　／
　　　　　　　　　　　　|　　　　/
　　　　　　　　　　　　|　　／⌒l
　　　　　　　　　　　　ヽ　　 |　/
　　　　　　　　　　／　| ﾞー'|　L
　　　　　　／　　　　 |　 /（_　ヽ
　　　　　　　　／　／　ノ
　　　　　　　／　　/　／
　　　　　／　　　（　ヽ　

不等式教団がジワジワと勢力を拡げているな

A.566
http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201209&t=mat&l=en

　　　　　　　　　　　　　　　　　 ___________
　　　　　　　　　／　　　　　 ∩| 　　　　|
　　　　　　　　／　　　　　　/ /|不等式|
　　　　　　　　　　　／　　/ / ..|_________.|
　　　　　　　　　　　　　 / /　　　　| |
　　　　　　　　　　／　/ /∧　　 ./ /
　　　　　　　　　　　　/ /　´_ゝ`）／　ﾋｬｯﾊｰ！
　　　　　　　　　／　|　　　　／　　　大関・青柳の絶版書を借りてきたぞ～！
　　　　　　　　　　　　|　　　　/
　　　　　　　　　　　　|　　／⌒l
　　　　　　　　　　　　ヽ　　 |　/
　　　　　　　　　　／　| ﾞー'|　L
　　　　　　／　　　　 |　 /（____ ヽ
　　　　　　　　／　／　ノ
　　　　　　　／　　/　／
　　　　　／　　　（　ヽ

>>494
> Analytic Inequalities,
> Dragoslav S., Dr. Mitrinovic
> Springer-Verlag;1970
> http://www.amazon.co.jp/dp/3642999727/

Amazonでポチッてみました、あポチッとな！
これが、大関が毎晩ﾊｧﾊｧしているやつなんですね

アマゾンで洋書買うにはどうしたらいいですか？

>>486
大関氏の実筆にﾊｧﾊｧ

>>505
上の洋書みたいに、日本に発送可なら、そのまま注文するのだ！

海外に発送してくれると書いてあっても、購入手続き中に日本は無理って表示が出る場合がある
（英語圏じゃないところには、面倒がって発送してくれないところがあるのだ）
そんなときは、代行業者に依頼して注文すればよい

洋書じゃないが、STAR TREKの模型を買いまくった時期があるが、個人が出品しているものを
代行業者に依頼して落札してもらって、送ってもらった事がある（安いプラモだったので関税０円）
代行業者にはいい加減なところが多いらしいが、俺が頼んだところはいいところだったぜ ( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！

>>505
amazon.co.jp で買えば、通常の和書と同じ

amazon.comだと、アメリカからだから、送料が取られるが、
円高なのでそれでも安い場合がある。

http://up3.viploader.net/pic/src/viploader1242778.jpg

>>507 >>508
ありがとうございました(´ω｀)

ちゃんと勉強してください
http://up3.viploader.net/pic/src/viploader1242778.jpg

Wirtinger 型不等式に関する一考察　（高橋・三浦） 2002
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1253-14.pdf

>>505
英語がわからないの？

普通に買ってるぞ

>>512
　　∧＿∧
　　( ;´∀｀) ＜　おっきしました
　人　Y　/
　(　ヽし
　（＿）＿）

>>512
　＿＿＿
.／　　≧　＼
|:::: 　＼ .／　|
|::::: (●　(● |　ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ！
ヽ::::... .ワ....ノ　　n　　
⌒｀γ´⌒`ヽ( E)
(　.人 .人　γ ﾉ
ﾐ(こﾉこﾉ　｀ｰ´
)にﾉこ(

http://comingbook.honzuki.jp/index.php?detail=9784903342702

届いた人レポよろ

久々に来たら、祭り状態になって興奮したﾊｧﾊｧ

>>516
発売予定日が早まっていたのは知っていたが、土曜日に手に入ったのはラッキーだった
週末にジックリ…

…読むつもりだったが、雑事が入って碌に睡眠もできていない
で、まだ袋から出してもいないのだ

>>518
使えねー野郎だな
読んだやつはいないのか？

　　　　　　　　　　　　　　　　　 ___________
　　　　　　　　　／　　　　　 ∩| 　　　　|
　　　　　　　　／　　　　　　/ /|不等式|
　　　　　　　　　　　／　　/ / ..|_________.|
　　　　　　　　　　　　　 / /　　　　| |
　　　　　　　　　　／　/ /∧　　 ./ /
　　　　　　　　　　　　/ /　´_ゝ`）／　ﾋｬｯﾊｰ！
　　　　　　　　　／　|　　　　／　　　洋書を手に入れたぞ～！
　　　　　　　　　　　　|　　　　/
　　　　　　　　　　　　|　　／⌒l　←>>504
　　　　　　　　　　　　ヽ　　 |　/
　　　　　　　　　　／　| ﾞー'|　L
　　　　　　／　　　　 |　 /（____ ヽ
　　　　　　　　／　／　ノ
　　　　　　　／　　/　／
　　　　　／　　　（　ヽ

巡回セールスマン問題やナップサック問題とかは不等式に入る？

　　　　 /: : : : : __: :/: : ::/: : :／/: : :/l::|: : :i: :l: : :ヽ: : :丶: : 丶ヾ　　　　＿＿＿
　　　 /;,, : : : //::/: : 7l,;:≠-::/: : / .l::|: : :l: :|;,,;!: : :!l: : :i: : : :|: : ::､　／　　　　ヽ
　　　 /ヽヽ: ://: :!:,X~::|: /;,,;,/: :／　ﾘ!: ::/ﾉ　 l｀ヽl !: : |: : : :l: :l: ﾘ /　そ　そ　お　＼
　　　/: : ヽヾ/: : l/::l |／|||llllヾ,､　　/ |: :/ , -==､　l＼:::|: : : :|i: |　/ 　う　う　前　　|
.　　 /: : : //ヾ ; :|!: ｲ､||ll|||||::||　　　ﾉノ　ｲ|||||||ヾ､ |: ::|!: : ｲ: ::|/　　な　思　が
　　 /: : ://: : :ヽｿ::ヽl |{ i||ll"ﾝ　　　 ´　　　i| l|||l"l　｀|: /|: : /'!/l 　　ん　う
　∠: : : ~: : : : : : : :丶ゝ-―-　　　　　 , 　ｰ=z_ｿ　　 |/ ﾊﾒ;, :: ::|.　　　だ　ん
　　 i|::ﾊ: : : : : : : : : : : ､ﾍﾍﾍﾍ　　　　､　　ﾍﾍﾍﾍﾍ /: : : : : ＼,|.　　　ろ　な
　　 |!l　|: : : : : : : : :､: ::＼　　　　､-―-,　　　　　　/ : : :丶;,,;,:ミヽ　　う　ら
　　　　　丶: :ﾊ､lヽ: :ヽ: : ::＼__　　｀~　"　　　　　 /: : ﾄ; lヽ）　　　ゝ
　　　　　　ﾚ　｀|　｀､l｀､＞=ﾆ´　　　　　　　 ,　　_´ : :}　｀　　　／
　　　　　　　　 ,,､r"^~´"''''"t-｀r､ _　　-､　´ヽノ　＼ﾉ　　　／　　　　お・
　　　　　　　,;'~　　_r-- ､__　　　　　~f､_>'､_　　　　　　　　 |　　で　　前・
　　　　　　f~　　,;"　　　　　~"t___　　　　ﾐ､ ^'t　　　　　|　　は　　ん・
　　　　　 ,"　　,~　　　　　　　　　ヾ~'-､__　ﾐ_ξ丶　　　　　|　　な　　中・
　　　　　;'　　,ｲ　.. 　　　　　　　　　ヽ_　　ヾ､0ヽ丶　　　　l　　　　　　　　　/
　　　　（　;":: |:　:: ..　　　　　　　　　 .｀,　　ヾ　丶 !　　　　＼＿＿＿＿／
　　　　　;;;; :: 入:: :: :: 　　　　l｀ｰ-､　　）l　　ヾ　丶
　　　　　"~､ｿ:: :い:: :　　　　　＼_　　ノ　,　　　ヾ　丶

不等式祭りも終わったようだな…

さみしい．．．

(a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2)*cos(pi/5) ≧ ab + bc + cd + de - ea

>>523
俺の頭の中では年中祭りなんだが… ( ﾟ∀ﾟ)

>>524
なんじゃこりゃ！

a, b, c≧1, a+b+c+2=abc のとき,

bc√(a^2-1)+ca√(b^2-1)+ab√(c^2-1)≦[(3√3)/2]abc

>>524 Please edit the problem.

21世紀の代数的不等式論、get, 一通り読みながした。かなり、専門的な内容のようだ。
全部、理解しているわけではないが、ここに出てくる定理は、何度か、目にしたことがある。
このような定理を使わずして、本当に解けないものなのだろうか。おそらく、そうなのだろう。
そうであっても、不等式の証明は、悪なきロマンの追求だなあ。やめられない。

>>524
http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/l50

投稿してるのはいつもの方だと思うけど
連投は違うサイトでは極力控えた方がいいと思うよ

0≦a, b, c, d≦1⇒

(a+b-ab)(b+c-bc)(c+d-cd)(d+a-da)≦(ac+bd-abcd)^2

(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…

524だが、そのリンク先は俺じゃない

>>529
大雑把に理解するには、どのくらいの知識量が必要ですか？

>>534
代数的不等式論ってあるように、代数の知識（有限群論や置換、不変式論）あたりかな。
でも有限の世界だから、不等式自体を証明するには、式変形でほぼ証明できそう。

積分に関する不等式が無いのが物足りない。
こちらは、洋書しかないか>>494

そういや昔は英語が苦手なので洋書なんて…と思っていたが、
数式を見れば大体分かるので洋書でも気にならなくなった。
でも数式の殆どない洋書は無理だわ

>>536
洋書の場合、序文が一番難しかったりするからね
数式の殆ど無い洋書は確かに辛いが、和書でもそうなんじゃないかな？

難しい物は洋書だろうが和書だろうが難しい。
言語の問題ではないだろう。

>>535
この本はこれでいいと思う。望みどおりじゃないか。
似たような本が出てもしょうがないし…

r≧0, 0≦x,y,z＜1 のとき
　(x^r)/(1-yz) + (y^r)/(1-zx) + (z^r)/(1-xy) ≦ (x^r)/(1-x^2) + (y^r)/(1-y^2) + (z^r)/(1-z^2)

>>539

相加･調和平均で
　1/(1-yz) = 2/(2-2yz) ≦ 2/(2-y^2 -z^2) ≦ {1/(1-y^2) + 1/(1-z^2)}/2,

分子は正かつ単調増加だから、チェビシェフで良さげ･･･

不等式～２１世紀の代数的不等式論～を買った

でも難しすぎて全然分からない…涙目

どんな不等式が載ってました？

abc 予想

>>542
不等式──21世紀の代数的不等式論
http://www.sugakushobo.co.jp/903342_70_mae.html

第 l 章　基本的な不等式

1.1　AM-GM不等式
　　 1.1.1　AM-GM不等式
　　 1.1.2　Maclaurinの不等式
　　 1.1.3　Newtonの不等式
1.2　Jensenの不等式
　　 1.2.1　凸関数
　　 1.2.2　Jensenの不等式
　　 1.2.3　重み付きAM-GM不等式
　　 1.2.4　Karamataの不等式
　　 1.2.5　Muirheadの不等式
1.3　他の有名な不等式
　　 1.3.1　Cauchyの不等式
　　 1.3.2　Chebyshevの不等式
　　 1.3.3　並べ替え不等式
　　 1.3.4　Holderの不等式
　　 1.3.5　Power Mean不等式
　　 1.3.6　Minkovskiの不等式
　　 1.3.7　Bernoulliの不等式

第 2 章　3変数斉次巡回多項式型不等式
2.1　ウォーミングアップ
　　 2.1.1　対称式と巡回式
　　 2.1.2　対称不等式
　　 2.1.3　巡回不等式
　　 2.1.4　5次以上の対称・巡回不等式
　　 2.1.5　一般の多項式型不等式
　　 2.1.6　三角形型斉次対称・巡回不等式
2.2　3次斉次不等式
　　 2.2.1　基本対称式
　　 2.2.2　凸錐
　　 2.2.3　3次巡回不等式の基本定理
2.3　4次斉次不等式
　　 2.3.1　4次対称不等式の基本定理
　　 2.3.2　4次巡回不等式の基本定理
　　 2.3.3　基本定理の応用
2.4　5次斉次不等式
　　 2.4.1　5次対称不等式の基本定理
　　 2.4.2　5次巡回不等式
2.5　6次斉次不等式
　　 2.5.1　6次対称不等式の基本定理
　　 2.5.2　例題
　　 2.5.3　6次巡回不等式詳論

第 3 章　3変数有理・無理不等式
3.1　有理式型不等式
　　 3.1.1　一般論
　　 3.1.2　分母が1次の斉次巡回有理不等式
　　 3.1.3　分母が1次の一般有理不等式
　　 3.1.4　分母が2次の斉次巡回有理不等式
　　 3.1.5　分母が2次の一般有理不等式
　　 3.1.6　分母が3次以上の有理不等式

3.2　無理不等式
　　 3.2.1　一般論
　　 3.2.2　斉次巡回無理不等式
　　 3.2.3　一般無理不等式
3.3　制約条件下の不等式
　　 3.3.1　一般論
　　 3.3.2　多様体上の不等式
　　 3.3.3　領域上の不等式
　　 3.3.4　無理不等式

第 4 章　凸解析
4.1　基本定理
　　 4.1.1　Hungの定理
　　 4.1.2　RCF-定理
　　 4.1.3　Popoviciu-Cirtoajeの不等式
　　 4.1.4　EV-定理
　　 4.1.5　UMV-定理
4.2　例題

第 5 章　巡回和
5.1　やさしい巡回不等式
　　 5.1.1　Shapiro型の巡回不等式
5.2　Shapiroの巡回不等式
　　 5.2.1　基本定理
　　 5.2.2　指数とセグメント
　　 5.2.3　Bushellの定理
　　 5.2.4　Bushell-McLeadのセグメント定理
　　 5.2.5　短いセグメント
　　 5.2.6　命題P_12とP_23の証明
　　 5.2.7　n=14, n=25 の場合の考察
　　 5.2.8　Drinfel'dの定理

ヲタ向けでなく、不等式の最先端の研究の専門書

不等式の代数的理論は，Muirheadの不等式が 1902年に発見されて以来，
数十年間めぼしい進展がなかった．
そのため，多くの数学者からは，代数的不等式論は「終わった数学」
のような扱いを受けてきて，あまり省みられることがなかった．

しかし，1990年ころから，多数の新しい定理が次々に発見され始めた．

不等式は高校数学の延長のようなものだから，式変形のテクニックさえ
達者であれば，何とか証明できるだろう，などと考えるのは，ちょっと時代錯誤である．

20世紀半ばまでに証明できなかった不等式は，式変形の技巧だけでは，なかなか証明できない．
本格的な理論や道具を工夫することによって，はじめて証明できる不等式も多いのである．
本書では，従来の不等式の本より，体系的理論の説明が多く，式変形の技巧による
不等式の証明ではなく，代数幾何や凸解析を利用した間接的な証明が多く登場する．

　　俺のテクニックは時代遅れだったのか…

　　　　　　　　　　　,　/　　　　,
　　　　　　　　, 　 / / 　 , 　 / 　,
　　　　　 / '＾ﾒ-' ─/- ､　 /　,
　　　　 ∠ｒ　　_,゛_　/ 　,　ヽ/__/ 　ﾓｳﾀﾞﾒﾀﾞ…
　　　　　 ''ヽ'_･.ノ｀ '　ｒ/、　ﾍ /‐’
　　　　　 ./ " j　厂ﾞj　| ﾚ_｀> j__ /
　　　　 ' 　.:‘::'ニ‘.:‐'´─ﾞ.:´一’　
　　　　　　::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::

5+4=9

5-5=0

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　／:::::; -‐''"　　　　　　 `ｰノ
　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼
　　　　 /　　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 |
　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 |
　　　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ|
　　　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　
　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　ﾋﾆ二、　＼
.　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼　 |　'､　　＼
　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 |
　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､　/:＼__/‐､
　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣|
　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/

Jack Steinberger

第4章のこれらの定理は,2005, 6年あたりから, 世界的には知られている
定理です. でも, あといくつかの定理がこの本では触れられていませんね。
このようなことが影響しているのでしょうか。最近, IMOで不等式の出題が影を
ひそめていました。今年,出題されましたけれども。この問題は,完答しなければ
IMOでは, 戦えないですね。

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　／:::::; -‐''"　　　　　　 `ｰノ
　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼
　　　　 /　　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 |
　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 |
　　　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ|
　　　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　
　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　ﾋﾆ二、　＼
.　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼　 |　'､　　＼
　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 |
　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､　/:＼__/‐､
　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣|
　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/

　。+　＋。｡。。｡ |l|ＦＦＦＦＦＦＦ|。。 .｡ +|l≡≡≡|ﾐ|EEEEEEEEEEE|ｌｌｌ|　.。＋
　　*　o　　o.　　|l|ＦＦＦＦＦＦF ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　　　。。oo　 |l|ＦＦＦＦＦＦ　|　今まで俺たちのやっていたことは何だったんだろう…
　　　／|￣￣￣ｌ ::|ＦＦＦＦＦＦF ＼
　　　|ミ|:」」:」」:」| ::|ＦＦＦＦＦＦ　　￣|/￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　|ミ|:」」:」」:」| 〇ＦＦ.。　 ∧＿∧　 |l≡ｏ＋ +!　＋　。　〇　　　＋
　　　ｌミｌ.」」.」〇　+＋　＋　　（´・ω・）　ｏ　　〇　。　o　　+　　　〇　。　+
　　＿＿〇＿＿＿。＿ﾟ＿＿/ ~つと）___＿o＿＿＿＿＿＿〇＿＿o__＿。
　　二Ｉl二Ｉl二Ｉl二Ｉl二Ｉl二Ｉl二Ｉl二Ｉl二Ｉl二Ｉl二Ｉl二Ｉl二Ｉl二Ｉl二Ｉl二Ｉl二Ｉl二Il二

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　／:::::; -‐''"　　　　　　 `ｰノ
　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼
　　　　 /　　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 |
　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 |
　　　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ|
　　　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　
　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　ﾋﾆ二、　＼
.　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼　 |　'､　　＼
　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 |
　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､　/:＼__/‐､
　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣|
　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/

ちょっとナノマシン程度の小問を

a+a > a+ b > a+c > b+b > b+c > a+d > c+c > b+d > c+d > d+d をみたす自然数解を求めよ

>>547
つまり、山のふもとでﾊｧﾊｧしていたわけですね

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　／:::::; -‐''"　　　　　　 `ｰノ
　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼
　　　　 /　　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 |
　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 |
　　　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ|
　　　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　
　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　ﾋﾆ二、　＼
.　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼　 |　'､　　＼
　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 |
　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､　/:＼__/‐､
　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣|
　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/

>>559
１９９０以前の数学か
俺たちは時代の流れに取り残されたのか…

アンティークを愛でるのも一興
これからは君達を「骨董品コレクター」と呼ばせてもらうよ

数値評価こそが不等式の存在意義

通　　　素材の味を楽しむ　　　　　　　　　自然本来の味　　　　　う　　　　　塩でその店のレベルがわかる
は　　　　　　　　　　　　塩最高　　　　　素材の味　　　　　　　　　　な　素材の味　　　　　　　　　　　　　　　　　　　素材
塩　　　「塩で」　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ぎ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　の味
　　　　　　　　　　　甘ったるいタレで焼き鳥が食えるか　　　　　　の　　　タレ厨は味覚障害者
　　　　　　　　素材の味　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　白..　異　　　　　　　　　　　　　　高い店で食ったことないんだろ？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　臭い肉をごまかすためのタレ　焼　.　.論　　素材の味
タレは子供用　　　　　素材の味　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　き　　　は　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　素
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　素　　　　　　／￣￣￣＼　　　　　　　認　　タレはタレの味しかしない　　　材
　　　　最終的にたどり着くのは塩　　材　　　 ...／.＼　　／.　＼　　　　　　め　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　の　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　の　　／　 <●> 　<●>　＼　本　　　な　　焼き鳥＝塩　　　　　　　　　　　　味
.　「タレ」から「塩」に　　　　　　　　　　　味　　|　　　　（__人__）　　　　|　当　　　　い
　　　　　　　　　　　　　普通は塩　　　　　　　＼　　　 `ー'´　　　／　の　　　高い店なら塩、安い店ならタレ
　　　　　シンプルに塩　　　　　　..　　　　　　　／　　　　　　　　＼　味　　
　　　　　　　　　　　　　　　　素材の味　　　　　　　　　　　　　　　　　　　覚　　たれ（笑）　　素材本来の味
　素材の味　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　子供の頃はタレだったが今は塩
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　塩こそ最高の調味料！！

>>531

〔類題〕
0 ≦ a,b,c,d ≦ 1　⇒
　(ac+bd-abcd)^2 ≦ (a+b-ab)(b+c-bc)(c+d-cd)(d+a-da) ≦ ac+bd-abcd,

>>565 (右側)

　{a,b,c,d}のうちの２つが１ならば等号成立。

(右辺) - (左辺) = A(1-b)(1-c)(1-d) + (1-a)B(1-c)(1-d) + (1-a)(1-b)C(1-d) + (1-a)(1-b)(1-c)D + (1-a)(1-b)(1-c)(1-d)E,
ここに、
　A = (a^2)c,
　B = (b^2)d,
　C = (c^2)a,
　D = (d^2)b,
　E = ac(b+d-bd) + bd(a+c-ac) + (ac+bd+abcd),

〔参考〕casphy - 高校数学 - 937～938

>>565 (左側)

　ac+bd-abcd = (a+b-ab)(c+d-cd) -a(1-b)(1-c)d -(1-a)bc(1-d)
　　≦ (a+b-ab)(c+d-cd),
　bd+ac-abcd = (b+c-bc)(d+a-da) -ab(1-c)(1-d) -(1-a)(1-b)cd
　　≦ (b+c-bc)(d+a-da),
辺々掛ける。

〔参考〕 casphy - 高校数学 - 939～940

リハビリ程度（大学入試）の問題キボンヌ

>>568
>>558

>>569
もっと骨のある問題を下さい

>>273-282
>>319-324

n=3 のとき　>>458 を使って強引に解く。

基本対称式を
　a+b+c = 1+σ, ab+bc+ca = t, abc = u,
とおくと、
　u ≦ {－(1+σ)[2(1+σ)^2 -9t] ＋ 2[(1+σ)^2 -3t]^(3/2)}／27,

>>319-324　(続き)

題意により、
　(1+σ)^2 - 2t = a^2 + b^2 + c^2 = 1,
　t = σ(2+σ)/2,　(0≦σ≦√3 -1 < 7/9)
　(左辺) = σ{σ(2+σ)/(2u) + 1},

ところで、>>571 から
　u ≦ {－(1+σ)(2-5σ-2.5σ^2)＋2(1-σ-0.5σ^2)^(3/2)}／27

よって本問は次の補題に帰着する。

〔補題〕
　0≦σ≦√3 -1 のとき、
　{－(1+σ)(2-5σ-2.5σ^2)＋2(1-σ-0.5σ^2)^(3/2)}／27
　　≦ σ^2･(2+σ)/{2(4-kσ)},
　k = 4/9 - 4/25 = 2.56/9 = 0.2844444

>>319-324 (続き)

〔補題〕の略証　　>>572
　-(1+σ)(2-5σ-2.5σ^2) ＝ -2 +3σ +7.5σ^2 +2.5σ^3,
また
　(1+σ)^2 -3t ＝ 1 -σ -0.5σ^2,
　√(1-σ -0.5σ^2) ≦ 1 -0.5σ -0.375σ^2,
を辺々掛けて
　2･(1-σ -0.5σ^2)^1.5 ≦ 2 -3σ -0.75σ^2 +1.25σ^3 +0.375σ^4,
以上により
　(左辺) ≦ σ^2･(6.75 +3.75σ +0.375σ^2)/27
　　= σ^2･{8 +(40/9)σ +(4/9)σ^2}/32
　　< σ^2･(2+σ)(4+kσ)/32　　(← *)
　　< σ^2･(2+σ)/{2(4-kσ)}
　　< (右辺),

*)　8 + (40/9)σ +(4/9)σ^2
　< 8 + (40/9)σ +(4/9)σ^2 + (4/25)σ(7/9 - σ)
　= 8 + (4+2k)σ +kσ^2
　= (2+σ)(4+kσ),

(参考)　casphy - 高校数学 - 三次方程式教えてくださいスレ - 16～19

　華麗なるキャスフィーでござるよ。

>>571-573
凄い！

n=3の時だけでもこんなに大変なのか！
n≧4の時は絶望的か？

>>573
>　華麗なるキャスフィーでござるよ。

労力は認めるが、華麗とは思えないなあ

>>325の続きマダ―

325 自分：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2012/09/04(火) 01:20:05.87
>>276

( ∑_[k:1->n] x_k - 1)( ∑_[k:1->n] 1/x_k + 1)
= ∑_[k:1->n] x_k ∑_[k:1->n] 1/x_k + ∑_[k:1->n] x_k - ∑_[k:1->n] 1/x_k -1

ここで、第１項はコーシー・シュワルツの不等式より、
　　　∑_[k:1->n] x_k ∑_[k:1->n] 1/x_k　≧　{ ∑_[k:1->n]　1 }^2 =n^2

また、条件 ∑_[k:1->n] (x_k)^2 = 1 より、
　　　 ∑_[k:1->n] x_k ≦ { ∑_[k:1->n] (x_k)^2 }^{1/2} {∑_[k:1->n] 1^2}^{1/2} = √n　
となる。
よって、

>>576
次が分かればいいんですね

[問題]
∑_[k:1->n] (x_k)^2 = 1 を満たす x_1, x_2, ,, ,x_n >0 に対して、
∑_[k:1->n] 1/x_k の最大値を求めよ。

x_1→0でいくらでも

グレート・キャスフィー

村上春樹の一番のお気に入りの本。
「この小説に出会わなければ、僕は小説家になっていなかった。」とまで言わせる至上最高の作品。
（もちろん彼にとって）

>>576-578
２項目と３項目の最小値が問題なのでは？

[問題]
∑_[k:1->n] (x_k)^2 = 1 を満たす x_1, x_2, ,, ,x_n >0 に対して、
∑_[k:1->n] x_k　- ∑_[k:1->n] 1/x_k の最小値を求めよ。

Given a $\triangle ABC$ with the side lengths $BC=a,\ CA=b,\ AB=c$.
Prove that :
$$\displaystyle \frac{a^2+b^2-c^2}{a+b-c}+\frac{b^2+c^2-a^2}{b+c-a}+\frac{c^2+a^2-b^2}{c+a-b}\le a+b+c$$

http://suseum.jp/gq/question/1852

>>581

BC=a, CA=b, AB=c のとき

(a^2+b^2-c^2)/(a+b-c) + (b^2+c^2-a^2)/(b+c-a) + (c^2+a^2-b^2)/(c+a-b) ≦ a+b+c,
ですね。
　a=y+z, b=z+x, c=x+y (x,y,z>0) とおく。

以下casphyで...

あまりcasphy荒らすなよ
誰も書かなくなってるじゃん

a[i]>0(i=1,2,3,...)とする。
Σ[k=1→n]1/a[k]=1のとき、Π[k=1→n](a[k]-1)≧(n-1)^nを示せ

>>582
casphyぢゃなく、こっちに書いてくだされ！
情報が分散していると整理しづらいでござるよ ( ﾟ∀ﾟ) ﾆﾝﾆﾝ

ところで casphy の過去ログとかあるんですか？
スレは>>869
あの一つだけ？

>>586
変なのが混じった
スレは一つだけ？

スレ一覧見てると
http://www.casphy.com/bbs/test/subject.cgi?all=highmath

まあマイナー？掲示板だし2007年からのスレだし違う不等式スレは無かったんじゃない？

>>581 の解答（クロニャンコ／のんぶ）を転載

分母を
　b+c-a = A ･････ (1)
　c+a-b = B ･････ (2)
　a+b-c = C ･････ (3)
とおく。(1) + (2) + (3)　から
　a+b+c = A+B+C ･････ (4)
(1),(2),(3),(4) から
　a = (B+C)/2,
　b = (C+A)/2,
　c = (A+B)/2,
分子は
　b^2 +c^2 -a^2 = {A(A+B+C) - BC}/2,
　c^2 +a^2 -b^2 = {B(A+B+C) - CA}/2,
　a^2 +b^2 -c^2 = {C(A+B+C) - AB}/2,
よって
　(左辺) = (3/2)(A+B+C) -(1/2)(BC/A + AC/B + AB/C)
　　= A+B+C -(1/2)(BC/A + CA/B + AB/C -A -B -C)
　　= A+B+C -{(BC)^2 + (CA)^2 + (AB)^2 -ABC(A+B+C)}/(2ABC)
　　= A+B+C -{(A^2)(B-C)^2 + (B^2)(C-A)^2 + (C^2)(A-B)^2}/(4ABC)
　　= a+b+c -{(b+c-a)^2･(c-b)^2 + (c+a-b)^2･(a-c)^2 + (a+b-c)^2･(b-a)^2}/(ABC)
　　≦ a+b+c,　　　(← ABC>0 ← 題意)

等号成立は、a=b=c のとき。 (a-b=c=0 は A=B=0 となる。不適)

※ A/2, B/2, C/2 は各辺を内接円の接点で分けた線分の長さ。

【AoPS forum - Inequalities ･ Art of Problem Solving】

http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewforum.php?f=32&

既出？

>>590
玉石混交で、面白いのを探すのが大変ですね ( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！

玉石混合じゃないんだ・・・
今までずっと（ｒｙ

それはちょっと恥ずかしい加茂

http://wind.ap.teacup.com/skreduhs/timg/middle_1188101073.png
http://wind.ap.teacup.com/skreduhs/timg/middle_1187758499.png
http://wind.ap.teacup.com/skreduhs/timg/middle_1187487844.png
http://wind.ap.teacup.com/skreduhs/timg/middle_1187408412.png

http://wind.ap.teacup.com/skreduhs/168.html

>>594

問1　関数f(t)は、つねに f "(t) ≧ 0 であるとする。
　　u(x) = ∫[-x,x] f(t)dt
とおく。 x{u '(x) - 2f(0)} ≧ 0, u(x) ≧ 2f(0)x,

問2　関数g(s)は、つねに g "(s) ≧ 0 を満たすとする。a<b のとき、不等式
　　　∫[a,b] g(s)ds ≧ (b-a)g((a+b)/2),

(1)　x>0 のとき、　log(x+1) - log(x) < 1/x,
(2)　x≧1 のとき、　x･log(x) ≧ (x-1)log(x+1),
(3)　自然数n（n≧3）に対して、　(n!)^2 > n^n,

>>595

問1　
　u(x)は奇関数、u '(x)は偶関数
　u(0) = 0,
　u '(x) = f(x) + f(-x)
　u '(0) = 2f(0),
　u "(x) = f '(x) - f '(-x) = ∫[-x,x] f "(t)dt ≧ 0,
　x{u '(x) - u '(0)} ≧ 0,
　u(x) ≧ u '(0)x,

問2
　{g(s) + g(a+b-s)}/2 ≧ g((a+b)/2),
　（左辺) ≧ g((a+b)/2)∫[a,b] ds = (b-a)g((a+b)/2),

>>595

(1)
　　log(x+1) - log(x) = ∫[x,∞) {1/t - 1/(t+1)}dt
　　　= ∫[x,∞) 1/{t(t+1)} dt
　　　< ∫[x,∞) 1/t^2 dt
　　　= 1/x,

(2)
　　log(t+1) - log(t) < 1/t,
　∫[1,x] {log(t+1) - log(t)}dt < ∫[1,x] 1/t dt,
　　(x+1)log(x+1) - x･log(x) -2･log(2) ≦ log(x),

(3)　x=1,2,････,n-1 で和をとる。
　　n･log(n) -2log(2)(n-1) < log{(n-1)!},
　　　　4^(n-1)･(n-1)! > n^n,

あんまり綺麗じゃない不等式だが・・・
今年の某大学入試より。

0≦x≦π/2　において、　(sin(x)+cos(x))*((7/4)-sin(x)*cos(x))≦(3/2)^(3/2)

高校数学はスレ違い

帰れよ！

>>580
【問題】
∑_[k:1->n] (x_k)^2 = 1 を満たす x_1, x_2, ,, ,x_n >0 に対して、次の不等式を示せ。
Π_[k:1->n] { x_k　- (1/x_k) } ≧ { √n - (1/ √n) }^n

>>598

{sin(x)+cos(x)}^2 = 1 + 2sin(x)cos(x),
(7/4) -sin(x)cos(x),
(7/4) -sin(x)cos(x),
この３つの相加平均は 3/2 なので....

>>601
高校数学はスレ違い

帰れよ！

キチガイ注意報発令

>>601
高校数学はこちらのスレでどうぞ
http://www.casphy.com/bbs/test/subject.cgi?all=highmath

不等式
http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/

　　Λ＿Λ　　＼＼
　（　・∀・）　　　|　|　ｶﾞｶﾞｯ
　と　　　　）　　 |　| 　　
　　Ｙ　/ノ　　　 .人　　
　　　 /　） .人　< 　>__Λ ∩
　＿/し'　< 　>_Λ∩Д´）/　　
　（＿フ彡　Ｖ｀Д´）/　　 / ←>>599
　　　　　　　　　　/ ←>>602

casphyのコピペは止めろや！

　　casphy
　　Λ＿Λ　　＼＼
　（　・∀・）　　　|　|　ｶﾞｶﾞｯ
　と　　　　）　　 |　| 　　
　　Ｙ　/ノ　　　 .人　　
　　　 /　） .人　< 　>__Λ ∩
　＿/し'　< 　>_Λ∩Д´）/　　
　（＿フ彡　Ｖ｀Д´）/　　 / ←>>603
　　　　　　　　　　/ ←>>605

>>606
ここは不等式回収所だぞ

　　＿＿＿　
.／　　≧　＼　仲良くしたまえ！
|:::: 　＼ .／　|　
|::::: (●　(● |　＼＼
ヽ::::... .ワ.....ノ　　.|　|　ｶﾞｶﾞｶﾞｶﾞｯ人
　と　　　　）　　 |　| 　　人　　< 　>__Λ∩
　　Ｙ　/ノ　　　 .人　　< 　>__Λ∩Д´）/
　　　 /　） .人　< 　>__Λ ∩Д´）/　　 / ←>>599
　＿/し'　< 　>_Λ∩Д´）/　　 / ←>>602
　（＿フ彡　Ｖ｀Д´）/　　 / ←>>605
　　　　　　　　　　/ ← >>606

>>580
　∑_[k:1→n] (1/x_k － x_k) の最小値。
　f(y) = 1/√y - √y　は下に凸だからイェンゼンより
　∑_[k:1→n] f({x_k}^2) ≧ n･f((1/n)∑_[k:1→n] {x_k}^2）
　　　= n･f(1/n)
　　　= n･(√n - 1/√n)
　　　= (n-1)√n,

>>598
2sin(x)cos(x) = S とおくと、 |S| ≦ 1
　(3/2)^3 - (左辺)
　= (3/2)^3 - (1+S){(7/4) -S/2}^2
　= (1/16){54 -(1+S)(7-2S)^2}
　= (1/16)(5-S)(1-2S)^2
　≧ 0,
等号成立は　sin(2x)=S=1/2,　2x=π/6,　x=π/12.

Prove that :
$$\tan{A}+\tan{B}+\tan{C}+2(\sin{A}+\sin{B}+\sin{C})>3\pi$$.
http://suseum.jp/gq/question/1829

有名なe^π＞π^eを示す問題っていくつ解法ありますか

>>610　より転載

スネリウス-ホイヘンスを使う方法(クロニャンコ etc.）が簡単。
他には、
　f(x) = tan(x) + 2sin(x) -3x　
とおくと
　f "(x) = 2sin(x){1-cos(x)^3}/cos(x)^3 ≧ 0,
ゆえ f(x) は下に凸
から Jensen を使う方法（Sayan）や

　tan(x) > x +(1/3)x^3,
　sin(x) > x -(1/6)x^3,
　sin(x) > x -(1/6)x^3,
をたす方法（nicusorz）がある。

>>612
スネリウス-ホイヘンスって、なんじゃらほい？

>>611
証明は意外と簡単。
f(x) = logx / x が x ≧e で単調増加であることを言えばOK

>>614
訂正：単調増加→単調減少

>>611 e^x≧1+xを使えば, 秒殺！

>>616
ん、どうするの？

>>614流で秒殺(1分掛からないの意？)なら、まあわからなくもないが
どうするんだろ？

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　／:::::; -‐''"　　　　　　 `ｰノ
　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼
　　　　 /　　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 |
　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 |
　　　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ|
　　　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　
　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　ﾋﾆ二、　＼
.　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼　 |　'､　　＼
　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 |
　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､　/:＼__/‐､
　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣|
　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/

>>617
> f(x) = logx / x が x ≧e で単調減少であることを言えばOK

これで秒殺と思えないのは、高校数学からやり直せ！

>>611
f(x) = logx / x が x ≧e で単調減少である（微分すれば分かる）ので、
log e / e > log π / π．
すなわち、
log e^π > log π^e
log は単調増加だから、
e^π > π^e
となる。

>>620
ん、違う違う。それはわかってるんだ。
俺が言ってるのは>>616の

>　>>611 e^x≧1+xを使えば, 秒殺！

てどういう解法？ってこと。

　　オマエたちは、定職に就くのが先決だろがああああああああああああああああああああああ！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

　ニート・無職の、クズどもがあああああああああああああああああああああああああああああああ！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

>>622
> >>611 e^x≧1+xを使えば, 秒殺！

x= π/e－１とおくと、
e^{π/e－１}　≧ π/e
よって、
　e^π　≧π^e

えっ？

確かに、まさに秒殺だが…
思いつけと言われても無理です＞＜

感動が大きいんだが・・・

>>626
まあ >>621 の解答が一番自然じゃないかな。
e が出てくるんだから log を使うのも自然だし、道筋も王道。

技巧的な証明でも、このレベルじゃ対して価値は無いし

>このレベルじゃ対して価値は無いし

そんなことはないと思うが。

技巧的な証明が、そうでない証明と比較してもなお価値があるのは
より初等的な概念だけを使って、少ない道具立てで証明できているときかな？

もしくは構成的な証明であるとか

>>630
禿同

>>621と>>624じゃあ大差ないわな
まだ理論的な>>621の方が他の問題にも使えるし、価値が高い。

[拡張問題]
f(x) = e^x -x^e ≧ 0 となる実数 x の範囲を求めよ。

>>613

947　　　prime_132　[2012/10/14(日) 18:26:04] sage

>>870
〔Snellius-Huygens の式〕
　θ < (2sinθ + tanθ)/3,　（0<θ<π/2)
略証1.
　相加･相乗平均より
　1 < {cos(x) + cos(x) + 1/cos(x)^2}/3,
　xで積分する。 [0→θ]
略証2.
　-cos(x) > -1　　(0≦x)
を [0,x'] で3回積分すると、
　sinθ ≧ θ{1 - (1/6)θ^2},　････ (1)
もう一度積分して
　1 - cosθ ≧ (1/2)θ^2 - (1/24)θ^4,
∴　cosθ ≦ 1 - (1/2)θ^2 + (1/24)θ^4 ≦ {1 - (1/6)θ^2}^3,　　( |θ| < 3)
∴　tanθ ≧ θ/{1 - (1/6)θ^2}^2 ≧ θ{1 + (1/3)θ^2},　･････ (2)
(1)(2)から相加･相乗平均で
　θ < sinθ/(cosθ)^(1/3) < (2sinθ + tanθ)/3,

ありがとうございますだ

Let $0\le x,y,z\le 1$, find the maximum of $\sqrt{|y-z|}+\sqrt{|z-x|}+\sqrt{|x-y|}.$

http://suseum.jp/gq/question/1858

>>636
この投降者、よく訓練された不等式ヲタですね

よく訓練されたＡＡキボンヌ ↓

　　　　　＿　（）)二) )) 、,r:ﾆヽ　　いいぞ　ベイべー！
　@ニ＝＝＝)二二ニニ)('A` ))　不等式を収集し証明する奴は数ヲタだ！！
　　　　　^￣" ﾌ＼''|ﾉ=ﾉ-(　　)　　不等式を改造し拡張する奴はよく訓練された数ヲタだ！！
　　　　　　　_/　　＼_ 　　L L　　ホント不等式はﾊｧﾊｧするぜ！ﾌｩﾊﾊﾊｰﾊｧｰ

そこまでハｧハｧされたらしょうがねぇ。。。

>>636
　0≦x,y,z≦1 のとき √|y-z| + √|z-x| + √|x-y| の最大値を求めよ。

(略解)
　min{x,y,z} = m について単調減少で、m=0 のとき最大。
　Max{x,y,z} = M について単調増加で、M=1 のとき最大。
　中間元をxとしても一般性を失わない。
このとき
　(与式) ≦ √(1) + √(1-x) + √(x)
　　　　≦ 1 + 2√(1/2)　　(← √x は上に凸)
　　　　=　1 + √2,

>>634

sinθ/(cosθ)^(1/3) = f(θ)　とおくと、

　f '(θ) = {(cosθ)^2 + (cosθ)^2 + 1}/{3(cosθ)^(4/3)}
　　　　　≧ 1,　　(← 相加･相乗平均)
　f(θ) ≧ θ.
でもよい。

Let x, y are real number, find minimum value of 2x ^{2} +y ^{2} -2x+ \frac{4}{x ^{2} + y ^{2} +1}

http://suseum.jp/gq/question/1859

なんか、三角関数系で興奮できる不等式教えてください・・・

一目で殺せる瞬殺問題なので興奮できないが、三角関数系のうんちレベル問題

x>1に対して、sin{1/(x-1)} - sin(1/x) > sin(1/x) - sin{1/(x+1)}

(2/1)*(4/3)*(6/5)*・・・*{(2n)/(2n-1)} ≧ √(3n)

a,b,c≧1のとき
2^(a+b+c)≧2^(a+b)+2^(b+c)+2^(c+a)-4を示せ

3 < ∫[0、π] x・√(1 - sin^3 x) dx < 4 を証明するナリよ、キテレツ

>>644
目で殺すって…

>>624
　　　　　　／.⌒ヽ
　　　　／　　　　.＼
　　　 ../　　　　　ヽ.　＼
　　　 (./　　　　　　ヽ.　）
　　　 /　　　　　　　　l"
　　 .ﾉ　　　　　　　　l　　甘い痺れがいつまでもとれません！
　　 l 　＞　　　＜　　..|
　　 l　　　一　　　　　|
　　ヽ.._____ 　　　 _,ノ　ビクッ
.　　丿ﾉ　ﾉ丁丁￣l＼　ぶるぶる
　 . く_(__（＿（_._」____）ノ

∫[0、π] x・√(1 - sin^3 x) dx
＞∫[0、π] x・√(1 - sin^2 x) dx
＝∫[0、π] x・｜cos x｜ dx

330:大学への名無しさん[]
2012/10/16(火) 07:16:58.78 ID:BrZTwPa50
(1) 任意の実数xに対し、不等式 e^x ≧ 1+x　を示せ。
(2) e^{π/e－１}　≧ π/e を示せ。
(3) e^π ≧ π^e を示せ。

332:大学への名無しさん[]
2012/10/16(火) 13:26:36.09 ID:BrZTwPa50
私は結構感動したのですけど向こうではイマイチ不評だったので
コチラの住人的にはどうかな、と思って…

334:大学への名無しさん[]
2012/10/16(火) 13:33:46.87 ID:BrZTwPa50
f(x) = log(x)/x の増減から証明する方法は知ってましたが
よりシンプルな e^x > 1+x から示すのは知りませんでした。
これ有名なんですか。よかったらこれが載ってる参考書とかサイトとかあったら教えて下さい。

335:大学への名無しさん[sage]
2012/10/16(火) 13:34:48.41 ID:BrZTwPa50
「これ」とは勿論「この証明方法」のことです。

【月刊大学への数学】学力コンテスト･宿題14
http://kohada.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1345559361/

(2)がないとE★★★…★★★
(2)があるとA☆

は？

>>651
雑誌からのネタだったのか…
最初に考えたやつスゴイな

>>647
　f(πｰx) = f(x) のとき、
　∫[0,π] x･f(x) dx = ∫[0,π/2] {x + (π-x)}f(x) dx
　　　　= π∫[0,π/2] f(x)dx,

　√{1-sin(x)^3} > √{1-sin(x)^2} = |cos(x)|
より
　∫[0,π/2｣ √{1-sin(x)^3} dx
　> ∫[0,π/2] cos(x)dx
　= [ sin(x) ](x=0,π/2)
　= 1,　　　　　 >>650

　√{1-sin(x)^3} < 1 -(1/2)sin(x)^3 = 1 -(3/8)sin(x) +(1/8)sin(3x)，
より
∫[0,π/2] √{1-sin(x)^3} dx < [ x +(3/8)cos(x) - (1/24)cos(3x) ](x=0,π/2)
　　= π/2 -(3/8) +(1/24)
　　= π/2 - (1/3),

　π < (与式) < π(π/2 - 1/3) = 1.2374630π
　3.14159265 < (与式) < 3.88760465

なお、(与式) ～ 1.09010166π

∫[0,π/2] √{1-sin(x)^3} dx
＜∫[0,π/2] √{1-sin(x)^4} dx
＝∫[0,π/2] cosx√{1+sin(x)^2} dx
＜∫[0,π/6] cosx√{1+sin(π/6)^2} dx
＋∫[π/6,π/2] cosx√{1+sin(π/2)^2} dx

>>655
上限はSchwarzの不等式で ( ﾟ∀ﾟ)ｳﾋｮｯ！

　　　　　　　　　　　　　ｒ､ﾉVV＾ｰ八
　　　　　　　　　　　　､^':::::::::::::::::::::::＾vｨ　　　　　　　､ヽ l / ,
　　　　　　　　　　　　　 l..:.::::::::::::::::::::::::::::ｲ　　　　　　= 　　　　=
　　　　　　　　　　　 |.:::::::::::::::::::::::::::::: |　　　　　ﾆ=　仙そ　-=
　　　　　　　　　　　　　 |:r￢‐--─勹:::::|　　　　　ﾆ=　道れ　=ﾆ
　　　　　　　　　　　　　　 |:} _＿　､.＿｀}f'〉ｎ＿　　 =-　な. で　-=
　　、､ l | /, ,　　　　　　 ,ﾍ}´`'｀｀　`´`　|ﾉ:::|.|　　ヽ　ﾆ　.ら. も　ﾆ
　.ヽ　　　　　´´, 　　　　　,ゝ|、　､, 　　 l|ヽ:ヽヽ　　}　´r　：　　ヽ｀
.ヽ　しき仙　ﾆ.　　　／|｛/ :ヽ　-=-　./| |.|:::::| |　　|　　´/小ヽ｀
=　てっ道　 =ﾆ　／:.:.::ヽ､　　＼二／ :| |.|:::::| |　 /
ﾆ　く. とな　　-=　ヽ､:.:::::::ヽ､.＿､　　＿,ﾉ/.:::::| | /|
= 　れ.何ら　　-= 　ヽ､:::::::::＼､＿＿／::.z先.:| |' :|
ﾆ　ると　　　=ﾆ　　　| |:::::::::::::::::::::::::::::::::::.|'夂.:Y′ﾄ､
/,　：　か　　ヽ､　　 | |::::::::::::::::::::::::::::::::::::_土_::|　 'ﾞ, .＼
　/　　　　　ヽ、　　　 | |:::::::::::::::::::::::::::::::::::.|:半:|.ﾄ､　　　＼
　 / / 小＼　　　 r￢|ﾉ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::|　＼

不等式ヲタなら、鶏を裂くのに牛刀を用いたいわけでつ ( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！

昔の大数から

四面体の6本の辺の長さの積をL、体積をVとするとき、L^2/V≧72 を示せ

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　／:::::; -‐''"　　　　　　 `ｰノ
　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼
　　　　 /　　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 |
　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 |
　　　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ|
　　　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　
　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　
.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　あら、こうちゃん、どうかなったの？
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　　当々○○○○になったの？
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　ﾋﾆ二、　＼
.　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼　 |　'､　　＼
　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 |
　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､　/:＼__/‐､
　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣|
　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/

>>654
違うお
こっちのスレが先で、感動を分けたくて向こうの板に(問題形式で)転載したんだお

Let $x,\ y,\ z$ be positive real numbers with $x+y+z=1$.
Prove that : $$(x^2+y^2+z^2)^2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\geq 1.$$

Let $a,\ b,\ c$ be real numbers such that $\displaystyle \frac{1}{|a+b|}+\frac{1}{|b+c|}+\frac{1}{|c+a|}=3.$
Prove that :
$$\displaystyle |a|+|b|+|c|\geq \frac {3}{2}.$$

Find all non-zero real numbers $x$ such that
\[\min \left\{ 4, x+ \frac 4x \right\} \geq 8 \min \left\{ x,\frac 1x\right\} .\]

For positive real numbers $a,\ b,\ c$ with $a+b+c=2010$, find the minimum value of the expression:
\[\frac{b^2+c^2}{a}+\frac{c^2+a^2}{b}+\frac{a^2+b^2}{c}\]

$a_1 + a_2 + \cdots + a_n = 0$, for some $k$ we have $a_j\leq 0$ for $j\leq k$ and $a_j \geq 0$ for $j > k$. \
If $a_i$ are not all 0, show that $a_1 + 2a_2 + 3a_3 + ... + na_n > 0.$
\begin{flushright}1966 Swedish Mathematical Olympiad\end{flushright}

Let $ x$ and $ y$ positive real numbers such that $ (1+x)(1+y)=2$. \ \\
Prove that?: $$\ \displaystyle xy+\frac{1}{xy}\geq\ 6.$$

Let $a,\ b,\ c$ be positive real numbers such that $a+b+c=1$.\ \\
Find the minimum value of the expression:\ \\
$$\displaystyle a\left(\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\right)+b\left(\frac{a}{c}+\frac{b}{a}\right)+c\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\right).$$

http://suseum.jp/gd/all_berry_list/3504?page=17

>>662
すうじあむの不等式ヲタ（←勝手に決めつけている）の出題した問題を全問攻略するんですね、分かります

>>661
その解法の出典って大数？
だとしたら何年の何月号とか教えて欲しいんだが。

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　／:::::; -‐''"　　　　　　 `ｰノ
　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼
　　　　 /　　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 |
　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 |
　　　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ|
　　　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　
　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　
.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　何時もおんなじ事を書く
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　　馬鹿で無能のこうちゃんは
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　やっぱり只の糞キチガイ
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　　ネコも大して変わらない　　　
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　反論出来ないこうちゃんは
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　ﾋﾆ二、　＼　　　　　　　　　　　　　誰もが認めるクズでカス
.　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼　 |　'､　　＼
　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 |
　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､　/:＼__/‐､
　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣|
　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/

>>664
いやだから出典はこのスレ>>624 。これに感動して向こう(受験板)にも貼ったんだ。
624氏のオリジナルかなあ。

つまり大数の過去問ではないということですね
分かったかな、664君

>>666
過去問も何も、こんな証明古くから知られているよ

ていうか、e^x ≧ 1+x を用いるのは、相加・相乗平均の証明で使うだろ。
技術面だけに目を奪われるから、こんなので驚くんだよｗ

http://www.artofproblemsolving.com/Forum/blog.php?u=155553

>>611

i) f (x) = log x と置いて、これに区間 [1, log π] で平均値の定理を適用すると、
{f (log π) - f (1)}/{(log π) -1} = f '(c) = 1/c, 　 1 ＜ c, これより
1 ＞ (log log π)/{(log π) - 1}, 　 log (π/e) ＞ log log π,　 π/e ＞ logπ, 　π ＞ log (πe) より出る。（勿論、 1 ＜ e ＜ π 位は仮定する）

ii) 別解、積分を使う物。
∫[ 1 → π/e] {1 - (1/x)}dx ＞ 0 （被積分関数は積分範囲で端点を除いて正）より、　π/e ＞ logπ を出す

×　π ＞ log (πe)
○　π ＞ log (π^e)

>>669
　　　　　　　　ﾊｧﾊｧ　　　∩
　　　　　　　　　　　　　　 ( ⌒)＿　　 ∩_ _　ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ!!
ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ!! .＿＿＿　／/,. ノ≧　＼ .i　.,,E）__
　　　　　／ nCr　＼| /　/＼ .／　|/　/ cos ＼
　　_n 　.|::::＼ .／　　|/　/(●　(● |　ノ＼ .／　|
　（　l　　|::●)　●)　.|　/:::... .ワ ....ノ／(●　(● |　　　ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ!!
　＼＼ヽ:::::.∀ 　 .ノ　　　　　　／ヽ:::::... .▽....ノ　　n
　　　ヽ__￣　　　ノヽ　　　　　 |　￣　　　＼　　（ E）
　　　　　/ 　　/　　＼　　　　ヽﾌ　　　 / ヽヽ_／／

>>662

[1]　　　　　　　　　　　　　　　　>>160　>>170-171
x>0, y>0, z>0　のとき、
　(x^2 +y^2 +z^2)^2･(1/x + 1/y + 1/z) ≧ (x+y+z)^3,

[2]
　(|a|+|b|+|c|)･(1/|a+b| + 1/|b+c| + 1/|c+a|) ≧ 9/2,

[4]
a>0, b>0, c>0, a+b+c=s　のとき、
　(b^2 + c^2)/(as) + (c^2 + a^2)/(bs) + (a^2 + b^2)/(cs)　の最小値

[5]
　a_1 + a_2 + ････ + a_n = 0,
ある k があって、
　a_j ≦ 0　(j≦k)
　a_j > 0　(j>k)
のとき、
　a_1 + 2･a_2 + ････ + n･a_n > 0,

[6]
x>0, y>0, (1+x)(1+y) = 2　のとき、
　xy ≦ (√2 - 1)^2,
　xy + 1/(xy) ≧ 6,

>>673

[2]　相乗･調和平均より
　1/|a+b| + 1/|b+c| + 1/|c+a| ≧ 9/(|a+b|+|b+c|+|c+a|)
　　　≧ 9/{2(|a|+|b|+|c|)},

[6]
　2 = (1+x)(1+y)
　　= 1 +(x+y) + xy
　　≧1 +2√(xy) + xy
　　= {1+√(xy)}^2
∴　(√2 -1)^2 ≧ xy,

　1/(xy) -6 +xy = {1 -6xy +(xy)^2}/(xy)
　　≧{(√2 +1)^2 -xy}{(√2 -1)^2 -xy}/(xy)
　　≧ 0,

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　／:::::; -‐''"　　　　　　 `ｰノ
　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼
　　　　 /　　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 |
　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 |
　　　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ|
　　　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　
　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　
.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　何時もおんなじ事を書く
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　　馬鹿で無能のこうちゃんは
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　やっぱり只の糞キチガイ
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　　ネコも大して変わらない　　　
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　反論出来ないこうちゃんは
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　ﾋﾆ二、　＼　　　　　　　　　　　　　誰もが認めるクズでカス
.　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼　 |　'､　　＼
　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 |
　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､　/:＼__/‐､
　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣|
　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/

>>668
じゃあ
この証明を紹介している本とか教えて下さい。

おそらく、mathematical excursion

秒殺の解法のヒント

肩の荷を降ろそう

>>677
何ですか、それは？

a_{n+1}=2(a_n)^2 (n≧1) は, どう解くかね？

不等式じゃ無い

要するに、対数を取れってことだよ。

このスレも馬鹿が多いな

おま

>>624 e^x≧1+xを使えば, 秒殺！

x= π/e－１とおくと、
e^{π/e－１}　≧ π/e
よって、
　e^π　≧π^e

これって, かなり有名ですわ。

http://www.wilmott.com/messageview.cfm?catid=26&threadid=38623

結局, 671の方のやり方ですわ。

>>679 >>681
等式と不等式の区別も付かない阿呆ども

>>679
スレ違いだろ馬鹿

( ；ﾟд)ｻﾞﾜ(；ﾟдﾟ；)ｻﾞﾜ(дﾟ； )

　６０代の、無職の、女性恐怖症の、頭デッカチの虚弱児・ひ弱の、関西の、ゴミ・クズ・カス・無能・虫けらのクソガキ！

　死ね！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　／:::::; -‐''"　　　　　　 `ｰノ
　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼
　　　　 /　　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 |
　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 |
　　　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ|
　　　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　
　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　
.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　何時もおんなじ事を書く
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　　馬鹿で無能のこうちゃんは
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　やっぱり只の糞キチガイ
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　　ネコも大して変わらない　　　
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　反論出来ないこうちゃんは
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　ﾋﾆ二、　＼　　　　　　　　　　　　　誰もが認めるクズでカス
.　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼　 |　'､　　＼
　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 |
　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､　/:＼__/‐､
　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣|
　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/

Hey!
Do not be angry.
Are you NONKE?
NONKE is very good.

I am wrong.

NONKI is correct.

686>> 考え方は同じだろ, がきみたいなこといってんじゃねえ　ばーーか

>>673

[4]
コーシーで
　(2s)s･(与式) = (a+a+b+b+c+c)s･(与式) ≧ (2s)^2
∴　(与式) ≧ 2,

(別解)
r≦0 または r≧1 のとき Jensenの不等式で
　a^r+ b^r + c^r ≧ 3(s/3)^r,　>>170-171

これとチェビシェフで
　(与式) ≧ (2/3)(a^2 +b^2 +c^2)(1/a + 1/b + 1/c)(1/s)
　　　　 ≧ (2/3)(1/3)s^2 (9/s)(1/s)　
　　　　 = 2,

[2] は相加･調和平均だった....orz

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　／:::::; -‐''"　　　　　　 `ｰノ
　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼
　　　　 /　　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 |
　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 |
　　　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ|
　　　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　
　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　ﾋﾆ二、　＼
.　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼　 |　'､　　＼
　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 |
　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､　/:＼__/‐､
　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣|
　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/

>>645
　a_k = (2k)!!/(2k-1)!!
　b_k = (2k-1)!!/(2k-2)!!
とおくと
　a_k･b_k = 2k,
　a_k･b_(k+1) = 2k+1,
また
　a_k ～ √{(4k+1)π/4}
　b_k ～ √{(4k-1)/π}

>>646
　2^a ≧ 2 + A,
　2^b ≧ 2 + B,
　2^c ≧ 2 + C,
とおく。題意より A,B,C ≧0
　(左辺) - (右辺)
　= (2+A)(2+B)(2+C) -(2+A)(2+B) -(2+B)(2+C) -(2+C)(2+A) +4
　= ABC + AB + BC + CA
　≧ 0,

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　／:::::; -‐''"　　　　　　 `ｰノ
　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼
　　　　 /　　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 |
　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 |
　　　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ|
　　　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　
　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　
.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　何時もおんなじ事を書く
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　　馬鹿で無能のこうちゃんは
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　やっぱり只の糞キチガイ
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　　ネコも大して変わらない　　　
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　反論出来ないこうちゃんは
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　ﾋﾆ二、　＼　　　　　　　　　　　　　誰もが認めるクズでカス
.　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼　 |　'､　　＼
　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 |
　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､　/:＼__/‐､
　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣|
　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/

>>662
Proof of Inequality 120 が最新だけど、古いやつを見ようとしたら全部消されていた…
こないだまで見れたのにな ('A`)ｳﾞｫｴｧ！

　　　　／／　　　　　　　　　　　　　　　／／
.　　　 / /　　　　　∩　　　　　　　　　／／
　　　/ /　∩ ～'::""::''ヽ､　　　　　　/ /
　／／／r‐､　___　　　　＼　　　 / / うわぁぁあああぁあぁぁぁ
／／　/　ﾉ●_)(_●つ　　　　ヽ､.. l　l
／　／　（__ ノ´　　　　　　　　　}　.|　| ダメだぁぁああぁ　もうダメだぁぁぁ・・
　 /　　　　　　( _●_)　彡-､　　ﾉ　|　|
　{　　　 -_二 -‐''￣　　　）　ミ　ﾉﾉ
　ヽ　　（　　　　,r'' " ''‐-‐′ﾉl／／
　　彡　`― ''′　　　　　ノ／／
　　　　　　　　　　　　　　／／

あっちの板で出てたけど、
pi^(pi^e)＞e^(e^pi)ってどう説明できる？

>>697
マジかYO！
見つけたときに保存しておくべきだったな

不等式関係以外残してるの見ると十中八九このスレが原因だな
何が気に入らなかったんだ？

何でだろうね？
問題の権利を主張したいのかな？
年末年始の時間のあるときに、ジックリ解こうと思って楽しみにしていたのになあ
誰か問題を全部じゃなくてもいいからメモしてる人いないかな？

http://suseum.jp/gd/index/3504
すうじあむ - 投降した人近谷邦彦さん

たぶん以下の人と同一人物だと思う
http://univ.ena.co.jp/?title=school_guide_ena_kunitachi_h

>>702
問題解くよりも、問題を作る方が難しいから

研究じゃなくて、単なるゲームになり下がってしまった。
ロールプレイングゲームと同じ、あるいは、それ以下

不等式120問が消されたなんて、今年最大のショックだな ('A`)ｳﾞｫｴｧ！

>>703
> >>702
> 問題解くよりも、問題を作る方が難しいから

よく分からん理屈だが、苦労して作ったのを他人に解かれるのが嫌なの？
器が小さいとか言う以前に、ネットで公開した時点で矛盾しているような？

>>705
そうじゃない
自作の問題を、他人作にされるのが問題なんだろ。
著作権と一緒だよ

本人が模試の問題とか色々貼ってるし
著作権にあまりうるさくなさそうだけどなあ

あまり不等式に関係ないレスで進行してもしょうがないから控えよ

エスパー検定３級の俺がリーディングしてみる

　自分が作った or 探してきた不等式を「すうじあむ」で紹介した
　　　↓
　自分の知らないところ（2chの不等式スレ）に転載されている
　　　↓
　転載するなら一言書いてけよ。なんか面白くねえから消そう

じゃないのかな？
何ヶ月も楽しめる分量だけに、もったいない…
もう消されて見れないんだから、この話は終わりですな

不等式じゃないけど最大値最小値求める問題は残ってたから

Let $a,\ b,\ c$ be non-negative real numbers such that $a+b+c=9.$
Find the minimum value of $(a^2+4)(b^2+4)(c^2+4).$

Let $a,\ b$ be positive real numbers such that $a^2+b^2=9.$
Find the minimum value of $\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{a}+\frac{1}{b}.$

For $0<x<1,\ 0<y<1$, find the possible maximum value of $\displaystyle \frac{xy(1-x-y)}{(x+y)(1-x)(1-y)}.$

Let $a,b$ be real numbers such that $a^3+b^3=8-6ab$. Find the maximum and minimum value of $a+b$.

Let $a,\ b$ positive real numbers such that $a^3+b^3=5$. Find the range of $a+b$.

Let $a,\ b$ be positive real numbers with $a+b=1$.
Find the minimum value of
$$\displaystyle A=\frac{1}{a^3+b^3}+\frac{1}{ab}.$$

If $a\geq0$,$b\geq0$,$c\geq0$ and $a+2b+c=4$ then find the maximum value of $ab+bc+ca$.

Let $a,\ b,\ c$ be positive real numbers such that $a+b+c=1$.\ \\
Find the minimum value of the expression:\ \\
$$\displaystyle a\left(\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\right)+b\left(\frac{a}{c}+\frac{b}{a}\right)+c\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\right).$$

>>709
激しく乙！

また消された…

もしかしてproof of inequality復活してる？

してるよ。

ちなみに例のサイトのファイル保存方法↓
例)
http://suseum.jp/gq/question/abcd
なら、http://suseum.jp/　以下を　/gq/swf_data/abcd　としてやればswfファイル単体で切り出せる。

コメント部分は保存できないから、ページとして保存した方がいいのかも。
他のうまいやり方知ってる人がいれば教えてちょ。

ガラケーからだから俺には無理そうだな

むむっ、復活していますね
次のようにしたら、コメントごと保存できると思います

ファイル > 名前をつけて保存 > Webアーカイブ、単一のファイル（*.mht） > 保存

┏━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━┓
┃－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－┃
┃麻呂用しおり　　　　　|　三ｼ　ヾﾐ　　　　彡ｼ　ヾ三 |　ﾋﾟｷｰﾝ!!　　　　　　　　　　 ┃
┃　　　　　　　　　　　　　|　三|　-丶､.,_ノ 'i'´（_,,／｀_,. i三 | 　　　　　　　　　　　　　 ┃
┃＿＿＿＿＿＿＿＿＿ト､ﾆ|　＜でiﾝヽ　 ;'i"∠でiﾝ　|三|.＿∧,､＿＿＿＿＿＿＿＿_○┃
┃￣￣￣￣￣￣￣￣￣',.iヽ!i　ヾ｀= ‐'　/　､　｀ー´　i|ｼ,ｲ￣'`'`￣￣￣￣￣￣￣￣￣　 ┃
┃　　　　　　　　　　　　　 i,ヽﾘi　　　　　,':　 :､　　　　i|ｆ. ﾉ　　　　　　復活祭とな !?　　　 ┃
┃－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－┃
┗━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━┛

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　／:::::; -‐''"　　　　　　 `ｰノ
　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼
　　　　 /　　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 |
　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 |
　　　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ|
　　　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　
　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　
.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　このスレ馬と鹿と豚ばかりね。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　ﾋﾆ二、　＼
.　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼　 |　'､　　＼
　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 |
　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､　/:＼__/‐､
　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣|
　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/

　ε⌒ ﾍ⌒ヽﾌ
（　　( 　・ω・）　ブヒ
　しーし─Ｊ

もう保存したか用無し
消していいよ

>>718
そんなこと言うから消されるんだよ
感謝しろよ！

既出？
http://www.imojp.org/challenge/old/images/cgmo11q1.jpg

おお、相変わらずで、馬鹿板が本領を発揮してるがな。

ケケケ描

元ネタは大学入試問題

n ≧ 3 のとき次の不等式が成り立つことを示せ．（ｅはネイピアの数）

Π[k = 0, n-1] { ( nC2 - k ) / nC2} ＜1/e

>>720
2012年・第11回中国女子数学オリンピック

正の整数n、非負実数a_1、…、a_nに対して、次の不等式にハァハァせよ
1/(1+a_1) + a_1/{(1+a_1)(1+a_2)} + a_1・a_2…a_n/{(1+a_1)(1+a_2)…(1+a_n)} ≦ 1

描

>アホしかいない
>つまり、増田哲也自身がアホ
>
>しかも増田哲也は性犯罪者であり
>アホの中でも最底辺の者にだけ許されるジ・アホの称号を持っている
>

>>709
〔問題〕

(1)　a,b,c は非負実数で、 a+b+c = 9 のとき、
　1360 ≦ (a^2 +4)(b^2 +4)(c^2 +4) ≦ 2352.25 を示せ。

(2) a,b は正の実数で a^2 +b^2 = 9 のとき、
　　(2√2)/a + 1/b ≧ √3　を示せ。{等号成立は a=√6, b=√3}.

(3) 0<x<1, 0<y<1 のとき、{xy(1-x-y)}/{(x+y)(1-x)(1-y)} の最大値を求めよ。

(4) a,bは実数で、a^3 +b^3 +(-2)^3 -3ab(-2) = 0 のとき、
　　a+b = -4 または 2　を示せ。

(5) a,bは正の実数で、a^3 + b^3 = 5 のとき、
　　5^(1/3) < a+b ≦ 20^(1/3)　を示せ。

(6) a,bは正の実数で、a+b=s のとき、
　　A = s^3/(a^3+b^3) + s^2/ab ≧ (1+√3)^2　を示せ。{等号は ab/ss = 1/(3+√3)}

(7) a≧0, b≧0, c≧0, a+2b+c=4 のとき、
　　ab+bc+ca ≦ 4 を示せ。{等号成立は a=c, b=0}

(8) a,b,c は正の実数で、a+b+c=1 のとき、
　　a(c/b + a/c) + b(a/c + b/a) + c(b/a +c/b) の最小値を求めよ。

>>725
　解凍例

(1)
　{0, 0, 9} のとき最小 1360
　{0, 9/2, 9/2} のとき最大 2352.25

(2)
コーシーより
　(a√2 + b)･(与式) ≧ (2+1)^2 = 9,
また
　(a√2 + b)^2 + (a-b√2)^2 = 3(a^2 + b^2) = 3r^2,
　|a√2 + b| ≦ (√3)r,
辺々割って
∴　(与式) ≧ 9/(a√2 +b) ≧ 9/{(√3)r},
題意により、r=3

(4) c=-2 とおくと、
　a^3 + b^3 + c^3 -3abc = (a+b+c){(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2}/2,
題意より、a+b+c=0 または a=b=c,

>>725
　解凍例

(5)　
　(1/4)(a+b)^3 ≦ a^3 + b^3 ≦ (a+b)^3,
　{左等号は a=b, 右等号は ab=0}

(6)
　ab/(s^2) = t とおくと、題意より 0<t≦1/4,
　A = (s^3)／(a^3 + b^3) + (s^2)／(ab)
　　= (s^2)／(s^2 -3ab) + (s^2)／(ab)
　　= 1/(1-3t) + 1/t
　　= (1-2t)／{(1-3t)t}
　　= (1+√3)^2 + [1-(3+√3)t]^2／{(1-3t)t}
　　≧(1+√3)^2,
　{等号は t = (3-√3)/6,　a,b = (1/2) ± √{(√3)/2}･t のとき}

(7)
　(与式) = (1/4){(a+2b+c)^2 -(a-c)^2 -4b^2}
　　　　≦ (1/4)(a+2b+c)^2,
　{等号は a=c, b=0 のとき}

>>723

a_1･a_2…a_(k-1)/{(1+a_1)(1+a_2)…(1+a_k)}
= a_1･a_2…a_(k-1)/{(1+a_1)(1+a_2)…[1+a_(k-1)]} - a_1･a_2…a_k/{(1+a_1)(1+a_2)…(1+a_k)},

　telescoping,　ハｧハｧ

>>647、655

(∫[0、π] √(1 - sin^3 x) dx)^2
　≦ (∫[0、π] 1^2 dx)・{∫[0、π] (1 - sin^3 x) dx}
　= (π/2)・(π/2 - 2/3)
　= …
　< (1.25)^2

∫[0、π] x・√(1 - sin^3 x) dx
　= π∫[0、π] √(1 - sin^3 x) dx
　< 3.2・1.25
　= 4

( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！

簡単すぎ

もっと骨のある問題だしたら？

描

>192 名前：１３２人目の素数さん：2012/10/23(火) 11:55:56.36
> >>187
> その運営と予算獲得に『すら』関心を示さずに
> 女性の股間にだけ関心を持った猫先生は
> 『研究のアクティビティ』とは無縁だったね。
> 『女性のティクビ』は好きだったんだろうけど。
>

私は某女子短大で教えているが、女子学生は全員全裸になり、
学生証を安全ピンで乳首に刺して止めておくべきだ。血が出るかも。
やらなければこちらがブスッと刺す。
クリスマスは私と女子学生の乱交パーティーだ

等と云った妄想を毎日している。

せっかく削除したのに復活とか、バカじゃね？

>>733
口を慎み給へ、君はラピュタ王の前にいるのだぞ！

新しいの来てた
１２１
Let $a,\ b,\ c$ be non-negative real numbers such that $ab+bc+ca=1$.
Prove that :
$$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq \frac 52.$$

http://suseum.jp/gq/question/1863

さっぱり分からねぇ

\geq \frac 52. って？

>>737
TeX で処理すれば
　　\geq → ≧
　　\frac52 → 5/2

\frac{5}{2}じゃなくてもいけるのか
ありがとう

しかし糞みたいな問題ばかりだな

そうだな

>>725 (1)

{a,b,c} = {a,a,9-2a} については、　　　(0≦a≦9/2)

(a^2 +4)(a^2 +4){(9-2a)^2 +4} = (17^3)/4 + (2a-1)^2 {a^4 -8a^3 +21a^2 -49a + 527/4}
　= (17^3)/4 + (2a-1)^2 {(a^2)(a-4)^2 +5a^2 -49a + 527/4}
　= (17^3)/4 + (2a-1)^2 {(a^2)(a-4)^2 +5(a-4.9)^2 + 117/10}
　≧(17^3)/4
　= 1228.25　　････最小値 (a=1/2)

>>742
蛇足だが.....

　a^4 -8a^3 +21a^2 -49a + 527/4 は a ～ 4+(1/9)√3 付近に極小をもつ。

　a^4 -8a^3 +21a^2 -49a + 527/4
　= 14.85284737 + 0.000303782a + {a-4 -(1/9)√3}^2･{[a+(1/9)√3]^2 +5 +2(1+12√3)/27}
　> 14.85284737 + 0.000303782a

なお、極小値は 14.85412096 @ a=4.19244421181163

>>725 (8)
　a+b+c=s のとき、
　(与式) =　(b+c)b/a + (a+c)c/b + (b+a)a/c
　　　　=　s(b/a + c/b + a/c -1)
　　　　≧ 2s,

１
Let $x,\ y,\ z$ be positive real numbers with $x+y+z=1$.
Prove that : $$(x^2+y^2+z^2)^2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\geq 1.$$
２
Let $a,\ b,\ c$ be real numbers such that $\displaystyle \frac{1}{|a+b|}+\frac{1}{|b+c|}+\frac{1}{|c+a|}=3.$
Prove that :
$$\displaystyle |a|+|b|+|c|\geq \frac {3}{2}.$$
３
For positive real numbers $a,\ b,\ c$ with $a+b+c=2010$, find the minimum value of the expression:
\[\frac{b^2+c^2}{a}+\frac{c^2+a^2}{b}+\frac{a^2+b^2}{c}\]
４
$a_1 + a_2 + \cdots + a_n = 0$, for some $k$ we have $a_j\leq 0$ for $j\leq k$ and $a_j \geq 0$ for $j > k$. \
If $a_i$ are not all 0, show that $a_1 + 2a_2 + 3a_3 + ... + na_n > 0.$
５
Let $ x$ and $ y$ positive real numbers such that $ (1+x)(1+y)=2$. \ \\
Prove that?: $$\ \displaystyle xy+\frac{1}{xy}\geq\ 6.$$
６
Let $a,\ b,\ c$ be positive real numbers which are less than 1.
Prove that : $$a+b+c-abc<2.$$
７
Let $n\geq 2$ and let $0<x_i<1\ (i=1,\ 2,\ \cdots ,\ n).$\ \\
Prove that :$$(1-x_1)(1-x_2)\cdots (1-x_n)+x_1+x_2+\cdots +x_n>1.$$
８
Let $a,\ b,\ c$ be positive real numbers with $ab+bc+ca=1.$ \ \\
Prove that : $$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq \sqrt{3}+\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}.$$
９
Let $a, b$ and $c$ be the lengths of the sides of a triangle such that $ab+bc+ca=1$. \ \\
Prove that : $$(a+1)(b+1)(c+1) < 4.$$
１０
For $x>1,\ y>1$, prove that : $$\frac{x^2}{y-1}+ \frac{y^2}{x-1}\geq 8.$$

１１
Let $a,\ b,\ c$ be positive real numbers.\ \\
Prove that $$\log_2 \frac{(a+b)^{671}(b+c)^{671}(c+a)^{671}}{(a^{671}+b^{671})(b^{671}+c^{671}
)(c^{671}+a^{671})}\leq 2010.$$
１２
Find the possible maximum value of $a$ such that:
\[\sqrt{x^2+y^2}\geq x+y+a\sqrt{xy}\]
holds for all positive real numbers $x,\ y$.
１３
For positive real numbers $a,\ b,\ c$ with $a+b+c=abc$,
Prove that:
$$\frac{1}{(a+b)(b+c)}+\frac{1}{(b+c)(c+a)}+\frac{1}{(c+a)(a+b)}\leq \frac 14$$
１４
Let $a,b,c$ be positive real numbers.
Prove that :
$$\frac{a}{a^4+a^2+1}+\frac{b}{b^4+b^2+1}+\frac{c}{c^4+c^2+1}\leq \frac{1}{3}\left(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\right)$$.
１５
Let $ a,\ b,\ c$ be positive real numbers.
Prove that :
$$ \frac {1}{\sqrt {ab}}+\frac {1}{\sqrt {bc}}+\frac{1}{\sqrt {ca}}+2\sqrt {3}\sqrt {a+b+c}\geq 9.$$
１６
Let $a,\ b,\ c$ be positive real numbers.
Prove that :
$$\frac{a^{2}}{a+b}+\frac{b^{2}}{b+c}+\frac{c^{2}}{c+a}\geq \frac{\sqrt{2}}{4}\left(\sqrt{a^{2}+b^{2}} +\sqrt{b^{2}+c^{2}}+\sqrt{c^{2}+a^{2}}\right)$$１７
Let $a,b,c,d$ be positive real numbrs such that $a+b+c+d=1$.
Prove that :
$$\frac{1}{4a+3b+c}+\frac{1}{3a+b+4d}+\frac{1}{a+4c+3d}+\frac{1}{4b+3c+d} \ge 2.$$
１８
Prove the following inequality.
\[\int_1^e \frac{(\log_e x)^{2009}}{x^2}dx>\frac{1}{2010\cdot 2011\cdot2012}\]

１９
Let $a,\ b,\ c$ be positive constants.
(1) If the sum of positive real numbers $x,\ y$ equals to a constant $h$, then
Prove that : $$\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\geq \frac{(a+b)^2}{h}.$$
(2) If the sum of positive real numbers $x,\ y,\ z$ equals to a constant $k$, then
use the previous result to find the minimum value of $$\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}.$$
２０
Given real numbers $a,\ b,\ c$ with $abc=1$.
Prove that：
$$\frac {1}{a^{3}\left(b ＋ c\right)} ＋ \frac {1}{b^{3}\left(c ＋ a\right)} ＋ \frac {1}{c^{3}\left(a ＋ b\right)}\geq \frac {3}{2}.$$
２１
Given positive real numbers $a, b, c$ with $a^2+b^2+c^2+(a+b+c)^2\leq4$.
Prove that :
$$\frac{ab+1}{(a+b)^2}+\frac{bc+1}{(b+c)^2}+\frac{ca+1}{(c+a)^2}\geq 3.$$
２２
Let $a,\ b,\ c$ be positive real numbers. Prove the following inequality.
$$2\left(\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}\right)\leq 3\left(\frac{a+b+c}{3}-\sqrt[3]{abc}\right)$$
２３
Given real numbers $x,y,z$ with $x+y+z=0$.
Prove that :
\[\frac{x(x+2)}{2x^2+1}+\frac{y(y+2)}{2y^2+1}+\frac{z(z+2)}{2z^2+1}\geq 0.\]
２４
Given real numbers $x_{1} \geq x_{2} \geq \cdots \geq x_{n}$ and $\ y_{1} \geq y_{2} \geq \cdots \geq y_{n}.$
Let $z_{1}, z_{2},\ \cdots, z_{n}$ be a permutation of the numbers $y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n}.$
Prove that :
$$\sum_{i=1}^{n} ( x_{i} -\ y_{i} )^{2} \leq \sum_{i=1}^{n} ( x_{i} - z_{i})^{2}.$$
２５
Let $a,\ b,\ c$ be real numbers such that $a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+3(a^2+b^2+c^2)=12.$
Prove that：
$$a+b+c+2(ab+bc+ca)\leq 9.$$

２６
For $a,\ b$ with $0<a<b$, Prove that :
$$\int_a^b (x^2+1)e^{-x^2}dx\geq e^{-a^2}-e^{-b^2}$$
２７
Let $a,\ b,\ c,\ d$ be real numbers such that $0<a<1,\ 0<b<1,\ 0<c<1,\ 0<d<1$ and
$a+b+c+d=2\sqrt{3}$.
Prove that :
\[\sqrt{1-a^2}+\sqrt{1-b^2}+\sqrt{1-c^2}+\sqrt{1-d^2}\leq 2\]
２８
Let $x,\ y,\ z$ be real numbers such that $\displaystyle 0\leq x<\frac{\pi}{4},\ 0\leq y<\frac{\pi}{4},\ 0\leq z<\frac{\pi}{4}.$
Prove the following inequality.
$$\sqrt[3]{\tan x\tan y\tan z}\leq \tan \frac{x+y+z}{3}\leq \frac 13(\tan x+\tan y+\tan z)$$
２９
Let $A,\ B,\ C,\ D\in{(0,\ \pi)}.$ Prove the following inequalities.\ \\
(1) $\displaystyle \sin A+\sin B+\sin C+\sin D\leq 4\sin \frac 14(A+B+C+D)$\ \\
(2) $\displaystyle \sin A+\sin B+\sin C\leq 3\sin \frac 13(A+B+C)$
３０
Let $ a,\ b,\ c$ be positive real numbers such that $ a+b+c=1$.
Prove that :
$$ \sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ca}+\sqrt{c+ab}\leq 2$$.
３１
Given positive real numbers $a,b,c,d$ with $a+b+c+d=1$.
Prove that :
$$6(a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3})\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+\frac{1}{8}$$
３２
Given non-negative real numbers $a,\ b,\ c$ with $a+b+c=1$.

アニオタきめえええええ

>>745-748
なんかどれも糞問題ばかりだな

何かもっと骨のある問題や興奮する問題は無いのかよ

>> 735

なかなかむずかしいなあ

TeXコマンド解読するのは面倒だから放置

数式全部$で囲まれてるからコピーして処理すればそのまま読めるぞ

>>745-748
ttp://www1.axfc.net/uploader/File/so/84927&key=ineq

>>750
巣に帰れ

>>752
tex じゃなくて、英語が分かんないんだろｗ

多分1回ぐらいTEX触れたことないとキツイだろ

中学生未満の英語力だが、バッチリ分かるぜ！
考えるな、感じるんだ！

>>750
>>758
確かにこのレベルの問題なら、数学よりも英語の方が難しいかもな

３３
For $ a>0,\ b>0,\ c>0$, prove that $\displaystyle \frac{a^3+b^3+c^3+6}{ab+bc+ca}\left(\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}+\frac{a^2}{c}\right)\geq 9.$
３４
Let $ a,\ b,\ c$ be postive real numbers such that $\displaystyle \frac{a^2+b^2}{(a+b)^3}+\frac{b^2+c^2}{(b+c)^3}+\frac{c^2+a^2}{(c+a)^3}=\frac{3}{2}$.
Prove that $\displaystyle a^2+b^2+c^2\geq \frac{3}{4}$.
３５
Let $a,\ b,\ c$ be positive real numbers.
Prove that :
\[\left(\frac{1}{a}+b\right)\left(\frac{1}{b}+c\right)\left(\frac{1}{c}+a\right)\left(a+\frac{1}{a}\right)\left(b+\frac{1}{b}\right)\left(c+\frac{1}{c}\right)\geq 64.\]
３６
Let $a,\ b,\ c$ be positive real numbers such that $a^ab^bc^c=1$.
Prove that $a+b+c\leq 3$.
３７
For $-2\leq a,\ b,\ c\leq 1$ and $a+b+c=0$, prove that $a^2+b^2+c^2\leq 6$.
３８
Given positive real numbers $x,\ y,\ z$ with $x+y+z=1$.
Prove that :
\[ x\sqrt[3]{1+y-z}+y\sqrt[3]{1+z-x}+z\sqrt[3]{1+x-y}\leq 1. \]
３９
For $\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$, prove that $\displaystyle \left (\frac{\sin x}{x} \right )^2 > \cos x >\left( \frac{x}{\tan x}\right)^2.$
４０
Let $ a,\ b$ be real numbers with $ 0<a<b$ and $ x,\ y,\ z$ satisfy :
$$a\leq x\leq b,\ a\leq y\leq b,\ a\leq z\leq b$$
If $ x+y+z=a+2b$, then prove that $ xyz\geq ab^2$.

４１
Let $a,b,c$ be real numbers such that $|a+b|+|b+c|+|c+a|=3$.
Prove that $(a+b)^{\frac{2}{3}}+(b+c)^{\frac{2}{3}}+(c+a)^{\frac{2}{3}}\leq 3$.
４２
Given positive real numbers $a,\ b,\ c$ with $ab+bc+ca = 1.$
Prove that :
\[ \sqrt[3]{ \frac{1}{a} + 6b} + \sqrt[3]{\frac{1}{b} + 6c} + \sqrt[3]{\frac{1}{c} + 6a } \leq \frac{1}{abc}. \]
４３
Given positive real numbers $a,\ b,\ c$ with $ab+bc+ca+abc=4$.
Prove that :
$$a+b+c\geq ab+bc+ca.$$
４４
Given real numbers $x, y, z$ such that $x^2 + y^2 + z^2 + 2xyz = 1$.
Prove that :
$$\displaystyle x^2+y^2+z^2\ge \frac{3}{4}.$$
４５
Given real numbers $a,b,c$ such that $ab+bc+ca=3abc.$
Prove that :
$$4(a^2+b^2+c^2)+9\ge 21abc$$.
４６
Let $a,\ b,\ c,\ x,\ y,\ z$ be positive real numbers.
Prove that :
\[\left(\frac{x}{a^2}+\frac{y}{b^2}+\frac{z}{c^2}\right)(ax+by+cz)^2\geq (x+y+z)^3. \]
４７
Let $a,\ b$ be real numbers such that $a>1,\ b>1.$
Prove the following inequality.
\[\int_{-1}^1 \left(\frac{1+b^{|x|}}{1+a^{x}}+\frac{1+a^{|x|}}{1+b^{x}}\right)\ dx<a+b+2\]
４８
Let $a,\ b,\ c$ be positive real numbers.
Prove that: \[\frac{a^3}{(a+b)^2}+\frac{b^3}{(b+c)^2}+\frac{c^3}{(c+a)^2}\geq \frac{a+b+c}{4}\]

４９
Given real numbers $a,b,c,d$ with $a+b+c+d=6,\ a^2+b^2+c^2+d^2=12.$
Prove that :
\[36 \leq 4 \left(a^3+b^3+c^3+d^3\right) - \left(a^4+b^4+c^4+d^4 \right) \leq 48.\]
５０
Let $a,\ b$ be positive real numbers such that $a+b=1.$
Prove that : $a^{a}b^{b}+a^bb^a\leq 1.$
５１
Let $a,\ b$ be positive real numbers.
Prove that :
$$ a^2b^2(a^2+b^2-2) \geq (a+b)(ab-1).$$
５２
For $0\leq a\leq 1,\ 0\leq b\leq 1,\ 0\leq c\leq 1$,
Prove that :
$$\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ca+1}+\frac{c}{ab+1}\leq 2.$$
５３
For real numbers $a,\ b,\ c$, prove that :
$$a(a+b)^3+b(b+c)^3+c(c+a)^3\ge \frac{8}{27}(a+b+c)^4.$$
５４
For any real numbers $a,b,c$, prove that
$5a^2 + 5b^2 + 5c^2 \ge 4ab + 4ac + 4bc $
and determine when equality occurs.
５５
For positive real numbers $a,\ b,\ c,\ d$ with $abcd=1.$
Prove that :
$$\displaystyle \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d} + \frac{9}{{a + b + c + d}} \geq \frac{{25}}{4}$$.
５６
Let $x,\ y,\ z$ be positive real numbers such that $x+y+z=1$.
Prove that :
$$\displaystyle \sqrt{xy(1-z)}+\sqrt{yz(1-x)}+\sqrt{zx(1-y)}\leq \sqrt{\frac {2}{3}}$$

全問暗算で解けた

>>1のAAがキモい

a,b, c, d>0⇒a^2/(a^2+(a+b)^2)+b^2/(b^2+(b+c)^2)+c^2/(c^2+(c+d)^2)+d^2/(d^2(d+a)^2)≦4/5

訂正

a,b, c, d>0⇒a^2/(a^2+(a+b)^2)+b^2/(b^2+(b+c)^2)+c^2/(c^2+(c+d)^2)+d^2/(d^2+(d+a)^2)≦4/5

また消えてるな

復活させなくていいよ

>>768
お前が変なこと言うからだよぅ（・3・）YO！

>>662 >>745

１. For x>0, y>0, z>0, prove that: (x^2+y^2+z^2)^2･(1/x + 1/y + 1/z) ≧ (x+y+z)^3.

　　凸不等式（イェンゼン）。
　　x^r + y^r + z^r ≧ 3{(x+y+z)/3}^r,　(r≦0 or r≧1) 　>>662 [1]

３. For a>0, b>0, c>0, prove that:
　　(b^2+c^2)/a + (c^2+a^2)/b + (a^2+b^2)/c ≧ 2(a+b+c),

　　a+b+c = s とおく。
　　(左辺) = (a^2 +b^2 +c^2)(1/a + 1/b + 1/c) - s
　　　≧ (1/3)s^2･(9/s) - s
　　　= 3s - s
　　　= 2s.　　　　　　　>>662 [4]

４. a_1 + a_2 + ････ + a_n = 0, with a_i are not all 0. There is such a ｋ that:
　　　a_j≦ 0 for j≦k, and a_j ≧0 for j>k.
　　Show that:
　　　a_1 + 2a_2 + 3a_3 + ... + n a_n > 0.
　　(1966 Swedish Mathematical Olympiad)

　　(左辺) - (k + 1/2)(a_1 + a_2 + ････ + a_n)
　　= Σ[j=1,k] (k + 1/2 -j)(-a_j) + Σ[j=k+1,n] (j-k -1/2)a_j
　　> 0,　　　　　　　>>662 [5]

>>709　>>725

(1) Let a≧0, b≧0, c≧0, with a+b+c=9. Prove that:
　(17^3)/4 ≦ (a^2 +4)(b^2 +4)(c^2 +4) ≦ (97^2)/4
　1228.25 ≦ (a^2 +4)(b^2 +4)(c^2 +4) ≦ 2352.25

(右)
　min{a,b,c} ≦ 3　だから、a+b≧6 としてよい。
　{(1/4)(a+b)^2 + 4}^2 - (a^2 +4)(b^2 +4) = {(1/16)(a+b)^2 +(1/4)ab -2}(a-b)^2 ≧0,
　よって a=b≧3≧c の場合を考えれば十分。
　(与式) ≦ {(1/4)(9-c)^2 +4}(c^2 +4) ≦ (97^2)/4

>>745
１～５は >>662　>>673-674 に外出であった。

６. Let 0<a,b,c<1. Prove that: (a+b+c) -abc < 2.

　　2 -(a+b+c) +abc = a(1-b)(1-c) + (1-a)b(1-c) + (1-a)(1-b)c + 2(1-a)(1-b)(1-c) ≧ 0,

７. Let n≧2 and let 0<x_i<1 (i=1, 2, ････ , n). Prove that:
　　　(1-x_1)(1-x_2) ････ (1-x_n) + x_1 + x_2 + ････ + x_n > 1.

　nについての帰納法で。
　　(1-x_1)(1-x_2) ････ (1-x_n) + x_1 + x_2 + ････ + x_n
　= (1-x_1)(1-x_2) ････ (1-x_{n-1}) + x_1 + x_2 + ････ + x_{n-1}
　+ {1－(1-x1)(1-x2)･････(1-x_{n-1})}x_n
　> 1.

８. Let a>0, b>0, c>0, with ab+bc+ca=t. Prove that:
　t/(a+b) + t/(b+c) + t/(c+a) - ab/(a+b) - bc/(b+c) - ca/(c+a) ≧ √(3t).

　(左辺) = (t-ab)/(a+b) + (t-bc)/(b+c) + (t-ca)/(c+a) = a+b+c ≧ √(3t).

１０. For x>1, y>1, prove that: (x^2)/(y-1) + (y^2)/(x-1) ≧ 8.

　x-1 ≦ (x^2)/4, y-1 ≦ (y^2)/4 より
　(左辺) ≧ 4(x/y)^2 + 4(y/x)^2 = 4(t + 1/t) > 8.

>>746

１２. Find the possible maximum value of a such that:
　　√(x^2+y^2) ≧ x + y + a√(xy), holds for all positive real numbers x, y.

　　明らかに a <0.
　　x^2 + y^2 ≧ (x^2 + y^2) + {(2+a^2)√xy + 2a(x+y)}√xy,
　　-2a(x+y) -(2+a^2)√xy ≧ 0,
　　-2a(√x - √y)^2 -(2+4a+a^2)√xy ≧ 0,
　　∴　a<0　かつ　2+4a+a^2 ≦ 0,
　　∴　-2-√2 ≦ a ≦ -2+√2,
　　∴　最大値は -2+√2,

１３. Let a>0, b>0, c>0, with a+b+c=abc. Prove that:
　　1/{(a+b)(b+c)} + 1/{(b+c)(c+a)} + 1/{(c+a)(a+b)} ≦ 1/4,

　　(左辺) = 2(a+b+c)/{(a+b)(b+c)(c+a)} = 2abc/{(a+b)(b+c)(c+a)} ≦ 1/4,
　　∵　(a+b)(b+c)(c+a) -8abc = a(b-c)^2 + b(c-a)^2 + c(a-b)^2 ≧ 0,

１４. Let a>0, b>0, c>0. Prove that:
　　a/(a^4+a^2+1) + b/(b^4+b^2+1) + c/(c^4+c^2+1) ≦ (1/3){a/(bc) + b/(ca) + c/(ab)}.

　　x/(x^4 +x^2 +1) = x/{3x^2 + (x^2 -1)^2} ≦ x/(3x^2) = 1/(3x),
　　(左辺) ≦ 1/(3a) + 1/(3b) + 1/(3c)
　　　　　= (ab+bc+ca)/(3abc)
　　　　　≦ (a^2 + b^2 + c^2)/(3abc)
　　　　　= (1/3)(a/bc + b/ca + c/ab),

>>746

１５. Let a>0, b>0, c>0. Prove that:
　　1/√(ab) + 1/√(bc) + 1/√(ca) + 2√{3(a+b+c)} ≧ 9.

　　相加・相乗・調和平均。　a+b+c=s とおくと
　　(左辺) ≧ 2/(a+b) + 2/(b+c) + 2/(c+a) + 2√(3s)
　　≧ 9/s + √(3s) + √(3s)
　　≧ 9.

１６. Let a>0, b>0, c>0. Prove that:
　　(a^2)/(a+b) + (b^2)/(b+c) + (c^2)/(c+a) ≧ {(√2)/4} {√(a^2 + b^2) + √(b^2 + c^2) + √(c^2+a^2)}.

　　√(a^2 + b^2) ≧ (a+b)/√2 より
　　(a^2)/(a+b) = (a^2 + b^2)/{2(a+b)} + (a-b)/2
　　　　　　　　≧ {(√2)/4}√(a^2 + b^2) + (a-b)/2,
　　循環的にたす。

１７. Let a>0, b>0, c>0, d>0. Prove that:
　　1/(4a+3b+c) + 1/(3a+b+4d) + 1/(a+4c+3d) + 1/(4b+3c+d) ≧ 2/(a+b+c+d).

　　コーシー。
　　左辺に {(4a+3b+c) + (3a+b+4d) + (a+4c+3d) + (4b+3c+d)} = 8(a+b+c+d) を掛ける。

１８. Prove the following inequality.
　　　∫[1,e] {log(x)^2009}/(x^2) dx > 1/(2010･2011･2012)

　　x=exp(t)　とおく。
　∫[0,1] (t^2009)exp(-t)dt = (1/2010)t^2010 exp(-t) + (1/2010)∫(t^2010)exp(-t)dt
　　　= {(1/2010)t^2010 + (1/(2010･2011))t^2011 + (1/(2010･2011･2012))t^2012 + ････}exp(-t) ](t=0,1)
　　　> {1/(2010･2011･2012)}(3/e)
　　　> 1/(2010･2011･2012)

>>747

１９. Let a>0, b>0, c>0.
　(1) Let x>0, y>0, with x+y=h(positive constant). Prove that: (a^2)/x + (b^2)/y ≧ (a+b)^2 /h.
　(2) Let x>0, y>0, z>0, with x+y+z=k(positive constant). Prove that: (a^2)/x + (b^2)/y + (c^2)/z ≧ (a+b+c)^2 /k.
　　コーシー。

２１. Given a>0, b>0, c>0, with a^2 + b^2 + c^2 + (a+b+c)^2 ≦ 4. Prove that:
　　(ab+1)/(a+b)^2 + (bc+1)/(b+c)^2 + (ca+1)/(c+a)^2 ≧ 3.

　　ab + 1 ≧ ab + (1/2){a^2 + b^2 + (b+c)(c+a)}
　　　　　 = (1/2)(a+b)^2 + (1/2)(b+c)(c+a), etc.　より
　　(左辺) ≧ 3(1/2) + (1/2){(b+c)(c+a)/(a+b)^2 + cyclic.} ≧ 3(1/2) + 3(1/2) = 3.

２２. Let a>0, b>0, c>0. Prove the following inequality.
　　　2{(a+b)/2 - √(ab)} ≦ 3{(a+b+c)/3 - (abc)^(1/3)}.

　　相加・相乗平均で
　　(右辺) - (左辺) = √(ab) + √(ab) + c - 3(abc)^(1/3) ≧ 0.

２５. Let a, b, c be real numbers such that (ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2 + 3(a^2+b^2+c^2) = 12.
Prove that:　　(a+b+c) + 2(ab+bc+ca) ≦ 9.

　a+b+c=s, ab+bc+ca=t とおく。
　　　(ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2 ≧ (1/3)t^2,
　　　a^2 +b^2 +c^2 = s^2 -2t,
　　よって題意より、
　　　12 ≧ (1/3)t^2 -6t +3s^2
　　　　 ≧ (1/3)t^2 -2t +(5/3)s^2　　(s^2≧3t)
　　　　 =　(1/3)(t-3)^2 +(5/3)s^2 -3,
　　∴　s ≦ 3,
　　∴　t ≦ (1/3)s^2 ≦3　より成立。

>>748

２６. For a<b, prove that:∫[a,b] (x^2 +1) e^(-x^2) dx ≧ e^(-a^2) - e^(-b^2),

　　x^2 +1 ≧ 2x を使うと、積分を実行できる。

２７. Let -1≦a,b,c,d≦1. Prove that:
　　√(1-a^2) + √(1-b^2) + √(1-c^2) + √(1-d^2) ≦ √{16-(a+b+c+d)^2},

　　凸不等式（Jensen)　円の上半分だから上に凸。

２８. Let 0≦x,y,z<π/4. Prove the following inequality.
　　{tan(x)･tan(y)･tan(z)}^(1/3) ≦ tan{(x+y+z)/3} ≦ {tan(x) + tan(y) + tan(z)}/3,

　(左)　f(x) = log(tan(x)) とおくと、
　　f '(x) = 1/{sin(x)･cos(x)} = 2/sin(2x)　は 0<x≦π/4 で単調減少、fは上に凸。
　　{f(x)+g(x)+h(x)}/3 ≦ f((x+y+z)/3),

　(右)　g(x) = tan(x) とおくと、
　　g '(x) = 1/cos(x)^2　は単調増加、gは下に凸。
　　g((x+y+z)/3) ≦ {g(x)+g(y)+g(z)}/3,

２９. Let A,B,C,D ∈ (0,π). Prove the following inequalities.
　　(1)　sin A + sin B + sin C + sin D ≦ 4 sin{(A+B+C+D)/4},
　　(2)　sin A + sin B + sin C ≦ 3 sin{(A+B+C)/3},

　　凸不等式（イェンゼン）

>>748

３０. Let a>0, b>0, c>0, with a+b+c=s.　Prove that:
　　√(a+bc) + √(b+ca) + √(c+ab) ≦ √{s(3+s)},

　　凸不等式（イェンゼン）
　　(左辺) ≦ √{3(a+b+c)+3(ab+bc+ca)} ≦ √(3s + s^2) = √{s(3+s)}.

３１. Given positive real numbers a,b,c,d with a+b+c+d=s.　Prove that :
　　6(a^3 + b^3 + c^3 + d^3) ≧ (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)s + (s/2)^3,

　　チェビシェフ。
　　6a^3 - sa^2 -(1/8)s^2･a = (4a-s)･a(12a+s)/8,
　　(左辺) ≧ {(4a-s)+(4b-s)+(4c-s)+(4d-s)}{a(12a+s) + cyclic}/32 = 0,

　　6a^3 - sa^2 -(1/32)s^3 = (4a-s)･(48a^2 +4as +s^2)/32,
　　(左辺) ≧ {(4a-s)+(4b-s)+(4c-s)+(4d-s)}{(48a^2+4as+s^2) + cyclic}/128 = 0,

取り急ぎ御回答まで。

>>760

３５. Let a>0, b>0, c>0. Prove that:
　　(1/a + b)(1/b + c)(1/c + a)(a + 1/a)(b + 1/b)(c + 1/c) ≧ 64.

　　(1/a + b)(1/b + c)(1/c + a) ≧ 2√(b/a)･2√(c/b)･2√(a/c) = 8,
　　a + 1/a ≧ 2,
　　b + 1/b ≧ 2,
　　c + 1/c ≧ 2,
　　辺々かける。

３７. For -2 ≦ a,b,c ≦1 and a+b+c=0, prove that a^2+b^2+c^2 ≦ 6.

　ab, bc, ca ≧ -2 より
　a^2 + b^2 + c^2 = (a+b+c)^2 -2(ab+bc+ca) ≦ 6.

>>761
４４. Given real numbers x,y,z such that x^2 + y^2 + z^2 + 2xyz = 1. Prove that:
　　x^2+y^2+z^2 ≧ 3/4.

　　x^2+y^2+z^2 = S　とおく。
　　2xyz ≦ 2{(x^2 +y^2 +z^2)/3}^(3/2) = 2(S/3)^(3/2),
∴　(左辺) ≦ S + 2(S/3)^(3/2)　これを f(S) とおく。
　　題意により、f(S)≧1,
　　一方、f(S) は単調増加で、f(3/4) = 1,
∴　S ≧ 3/4.

４６. Let a>0, b>0, c>0, x>0, y>0, z>0. Prove that:
　{x/(a^2) + y/(b^2) + z/(c^2)}(ax+by+cz)^2 ≧ (x+y+z)^3.

　コーシーの拡張。

>>762

５４. Prove that:　5(a^2 + b^2 + c^2) ≧ 4(ab+bc+ca),
　and determine when equality occurs.

　(左辺) - (右辺) = a^2 + b^2 + c^2 + 2(a-b)^2 + 2(b-c)^2 + 2(c-a)^2 ≧ 0,
　等号成立は a=b=c=0 に限る。

>>735
　casphy -　高校数学 - 不等式 - 950～953
　シューアを使うもの。

今日はこの辺で。。。

>>766　凡例

　a,c を固定して b,d→0　とすると...

また糞スレからのコピペかよｗ

>>782
口を慎み給へ

何言ってんだ、このバカ

実際糞な問題ばかりだろ

>>766　判例

　b/a = c/b = d/c = ε として ε→0 とすると....

>>762

４９. Given real numbers a,b,c,d with a+b+c+d=6, a^2+b^2+c^2+d^2=12. Prove that:
　36 ≦ 4(a^3 +b^3 +c^3 +d^3) - (a^4 +b^4 +c^4 +d^4) ≦ 48.

http://www.imo-official.org/problems/IMO2010SL.pdf　の　Problem A2
Yahoo!掲示板 - 科学 - 数学 - 出題(不等式) - 1500～1503,

　(中辺) = 6S_2 -4S_1 +4 -(a-1)^4 -(b-1)^4 -(c-1)^4 -(d-1)^4,
　-(S_2 -2S_1 +S_0)^2 ≦ -(a-1)^4 -(b-1)^4 -(c-1)^4 -(d-1)^4 ≦ -(1/4)(S_2 -2S_1 +S_0)^2,
　(a-1)^2 +(b-1)^2 +(c-1)^2 +(d-1)^2 = S_2 -2S_1 +S_0,
　S_0 = 4, S_1 = 6, S_2 = 12.

５０. Let a>0, b>0, such that a+b=1. Prove that:
　(a^a)(b^b) + (a^b)(b^a) ≦ 1.

　0<a≦b とする。
　(左辺) = (ab)^a (a^|b-a| + b^|b-a|)
　　　　 ≦ (ab)^a 2{(a+b)/2}^|b-a|　　　*
　　　　 =　(ab)^a 2^(2a)　　　(a+b=1)
　　　　 = (4ab)^a
　　　　 ≦ 1,　　　　　　　　(4ab≦1)

*)　y = x^|b-a| は上に凸　(0≦|b-a| <1)

５４. Prove that:　5(a^2 + b^2 + c^2) ≧ 4(ab+bc+ca),
　and determine when equality occurs.

　(左辺) - (右辺) = a^2 + b^2 + c^2 + 2(a-b)^2 + 2(b-c)^2 + 2(c-a)^2 ≧ 0,
　等号は a=b=c=0 に限る。

>>787　
久方ぶりです。
４９. Given real numbers a,b,c,d with a+b+c+d=6, a^2+b^2+c^2+d^2=12. Prove that:
　36 ≦ 4(a^3 +b^3 +c^3 +d^3) - (a^4 +b^4 +c^4 +d^4)

対象式ｓ１、ｓ２、ｓ３、ｓ４
であらわすと
ｓ１＝６
ｓ２＝１２
はあきらか
　
P = 4(a^3 +b^3 +c^3 +d^3) - (a^4 +b^4 +c^4 +d^4)
　＝　ー１２ｓ３＋４ｓ４＋１４４
さらに判別式　Q　＝　-27s3^4;432ｓ３＾３＋１５１２ｓ４ｓ３＾２－１７２８ｓ３＾２
-1152s4^2s3-22464s4s3+256s4^3+８７８４ｓ４＾２＋８２９４４ｓ４　＞＝０

ラグランジュ法により
ｓ３＝１８、ｓ４＝２７、λ＝－１/２０７３６をえる
　このとき最小値　３６を得る。

いきてたか！
　死ね！　　　仙石６０め！

シュアーの不等式に慣れたいからかなり易しめ～普通レベルの問題くれ

５７
For positive real numbers $a, b, c$,
Prove that :
\[\frac{a+b}{\sqrt{a^2-ab+b^2}}+\frac{b+c}{\sqrt{3b^2-2bc+3c^2}}+\frac{c+a}{\sqrt{6c^2-3ca+6a^2}}\leq \frac{11}{3} \]
５８
Let $a,b,c$ be real numbers such that $a+b+c=3$.
Prove that :
$$\frac{1}{5{{a}^{2}}-4a+11}+\frac{1}{5{{b}^{2}}-4b+11}+\frac{1}{5{{c}^{2}}-4c+11}\le \frac{1}{4}$$
５９
For $0\leq x,\ y,\ z\leq 1$, prove that :
$$\displaystyle (2^x+2^y+2^z)(2^{-x}+2^{-y}+2^{-z}) \leq 10.$$
６０
For real numbers $a,\ b$, if $ab\geq 1$, then prove that $a^2+b^2\geq a+b.$\ \\
６１
For positve real numbers $ a,b,c $,
Prove that :
$$ \frac{(b+c-a)^2}{(b+c)^2+a^2}+\frac{(c+a-b)^2}{(c+a)^2+b^2}+\frac{(a+b-c)^2}{(a+b)^2+c^2}\geq\frac{3}{5} $$
６２
Let $a,b$ be real numbers such that $ a(a^2+1)^2+b(b^2+1)^2=8$.
Prove that :
\[\ a+b\leq 2\]
６３
For $x,y,z \geq 0$ with $ x+y+z=3 $.
Prove that :
$$ (x^2+y+z)(y^2+z+x)(z^2+x+y) \geq 27 $$
６４
Let $a,b,c$ be positive real numbers such that $abc=1$.
Prove that :
$$\displaystyle \frac{a+3}{(a+1)^2}+\frac{b+3}{(b+1)^2}+\frac{c+3}{(c+1)^2}\ge 3.$$

６５
For $0\leq x\leq 1,\ 0\leq y\leq 1,\ 0\leq z\leq 1$,
Prove that :
$$\frac{x+y+z}{3}+\sqrt{x(1-x)+y(1-y)+z(1-z)}\leq \frac 32$$
６６
Prove the following inequality.
$$\frac 1{2\cos 1}\int_1^{\frac {\pi}2}\frac {\sin x}x\ dx\, \leq\, \frac {\log_e \pi-\log_e 2}{\pi-2}$$.
６７
Let $a,\ b,\ c$ be distinct real numbers.
Prove that :
$$|a-b|+|b-c|+|c-a|+\left|\frac{b-c}{a-b}\right|+\left|\frac{c-a}{b-c}\right|+\left|\frac{a-b}{c-a}\right|+\left|\frac{c-a}{a-b}\right|+\left|\frac{a-b}{b-c}\right|+\left|\frac{b-c}{c-a}\right|$$
$$\geq 2\sqrt{|a-b|}+2\sqrt{|b-c|}+2\sqrt{|c-a|}.$$
６８
Let $a,\ b,\ c$ be positive real numbers such that $\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=4.$
Prove that :
$$\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c}\leq 1$$
６９
Let $a,\ b,\ c$ be positive real numbers such that $a+b+c=1$.
Prove that :
$$\sqrt[3]{\left(\frac{1}{ab}-2\right)\left(\frac{1}{bc}-2\right)\left(\frac{1}{ca}-2\right)}\geq 7$$
７０
Let $a,b,c$ be non-negative real numbers such that no two of which are 0.
Prove that :
$$\frac {ab}{(a+b)^2}+\frac {bc}{(b+c)^2}+\frac {ca}{(c+a)^2}+\frac 1{4}\ge \frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}$$

７１
Let $ a$, $ b$ and $ c$ be the side lengths of a triangle. Prove that
\[ a^{2}b(a - b) + b^{2}c(b -c) + c^{2}a(c - a)\ge 0.
\]
７２
Let $a,\ b,\ c$ be real numbers such that
$$a<b<c,\ a+b+c=0,\ ab+bc+ca=-3.$$
Prove that :
$$-2<a<-1<b<1<c<2.$$
７３
Given positive real numbers $a,\ b,\ c$ with $abc=1$.
Prove that :
\[a^4+b^4+c^4+33\geq12(ab+bc+ca)\]
７４
Let $a,b,c$ be positive real numbers.
Prove that :
$$a^{b+c}+b^{c+a}+c^{a+b}\geq 1.$$
７５
Prove that $\displaystyle x\cos x\leq \frac{\pi^2}{16}$ for $\displaystyle 0\leq x\leq \frac{\pi}{2}.$
７６
Given non-negative real numbers $a,b,c,d$ with $a+b+c+d=4$.
Prove that :
\[\displaystyle \frac{a}{a^3+8}+\frac{b}{b^3+8}+\frac{c}{c^3+8}+\frac{d}{d^3+8}\le\frac{4}{9}\]

７７
For $a,\ b,\ c,\ d>0$ with $a^2+b^2+c^2+d^2=4.$
Prove that :
$$\displaystyle (a+b+c+d-2)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}+\frac 12\right)\geq 9.$$
７８
Given non-negative real numbers $x,y$ with $x^2+y^2=2$.
Prove that :
\[4\leq x^4+y^4+x+y\leq 4+\sqrt2.\]
７８’
Given a triangle $ABC$ with side lengths $a,\ b,\ c$.
Prove that :
$$a\left(\frac{1}{B}+\frac{1}{C}\right)+b\left(\frac{1}{C}+\frac{1}{A}\right)+c\left(\frac{1}{A}+\frac{1}{B}\right)\ge2\left(\frac{a}{A}+\frac{b}{B}+\frac{c}{C}\right)$$
７９
Let $a,\ b$ be positive real numbers.
Prove that :
$$\frac{1+a}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{1+b}{\sqrt{1+b^2}}\geq 2\sqrt{2}\left(\frac{a}{1+a^2}+\frac{b}{1+b^2}\right)$$.
８０
Let $a,\ b,\ c$ be postive real numbers with $abc=1$.
Prove that :
$$a^3+b^3+c^3+6\geq (a+b+c)^2.$$

>>760

３３. For a>0, b>0, c>0, prove that: {(a^3+b^3+c^3+6)/(ab+bc+ca)}{(b^2)/a + (c^2)/b + (a^2)/c} ≧ 9.

　(1)　a^3 +1 +1 ≧ 3a, b^3 +1 +1 ≧ 3b, c^3 +1 +1 ≧ 3c,　(相加･相乗平均)

　(2)　(b^2)/a + (c^2)/b + (a^2)/c ≧ a+b+c,
　∵　コーシー　あるいは
　　abc･{(b^2)/a + (c^2)/b + (a^2)/c -(a+b+c)} = (b^3)c + (c^3)a + (a^3)b - abc･(a+b+c)
　　= (1/7)Σ[cyclic] {4(b^3)c + (c^3)a + 2(a^3)b - 7a(b^2)c} ≧ 0,　（相加･相乗平均)

　(3)　(a+b+c)^2 - 3(ab+bc+ca) = (1/2){(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2} ≧ 0,
　以上から出る。

３６. Let a>0, b>0, c>0 such that a^a･b^b･c^c=1. Prove that a+b+c ≦ 3.

　　f(x) = x･log(x) とおくと、
　　f '(x) = log(x) +1　は単調増加。
　f は下に凸。イエンゼンより

　0 = a･log(a) + b･log(b) + c･log(c) ≧ (a+b+c)log{(a+b+c)/3},
　(a+b+c)/3 ≦ 1,

３９. For 0<x<π/2, prove that: {sin(x)/x}^2 > cos(x) > {x/tan(x)}^2.

　tan(x/2) = t　とおく。(x < 2t)
　(左辺) = {(2t)/(1+t^2)x}^2 ≧ 1/(1+t^2)^2 ≧ (1-t^2)/(1+t^2) = cos(x),
　(右辺) = {x(1-t^2)/(2t)}^2 ≦ (1-t^2)^2 ≦ (1-t^2)/(1+t^2) = cos(x),

　左辺と右辺の相乗平均が cos(x)

４０. Let 0<a<b and a ≦ x ≦ y ≦ z ≦ b, x+y+z = a+2b, then prove that: xyz ≧ ab^2.

　y ≦ b より x+z≧a+b,
　xyz ≧ (x+z-b)yb ≧ abb,

>>761

４１. Let a,b,c be real numbers such that |a+b|+|b+c|+|c+a|=3. Prove that:
　　(a+b)^(2/3) + (b+c)^(2/3) + (c+a)^(2/3) ≦ 3.

　　y=x^(2/3) は上に凸だから、イェンゼンより
　　(左辺) ≦ |a+b|^(2/3) + |b+c|^(2/3) + |c+a|^(2/3)
　　　　 ≦ 3{(|a+b|+|b+c|+|c+a|)/3}^(2/3)
　　　　 =　3,
４２. Given a>0, b>0, c>0, with ab+bc+ca=t. Prove that:
　　{(t/a) + 6b}^(1/3) + {(t/b) + 6c}^(1/3) + {(t/c) + 6a}^(1/3) ≦ t^(5/3)／(abc).

　　(左辺) ≦ 3{(t/3)(1/a + 1/b + 1/c) + 2(a+b+c)}^(1/3)
　 ≦ 3{(t^2)/(3abc) + 2(t^2)/(3abc)}^(1/3)
　　 = 3{(t^2)/(3abc)}^(1/3)
　　≦ t^(5/3)／(abc).　　　{3(a+b+c)abc≦t^2}

>>762

４９. (右)
　4a^3 -a^4 ≦ 4a^2,　etc.
循環的にたすと、
　(中辺) ≦ 4S_2,
等号成立は a～d = 0 or 2.

>>791

５９. For 0≦x,y,z≦1, prove that:
　　(2^x+2^y+2^z){2^(-x)+2^(-y)+2^(-z)} ≦ 10.

　　yはxとzの中間にあるとしてよい。
　　(左辺) = 3 + {2^(x-y)+2^(y-x)} + {2^(y-z)+2^(z-y)} + {2^(z-x)+2^(x-z)}
　　　　　≦ 5 + 2 {2^(z-x) + 2^(x-z)}
　　　　　≦ 5 + 2{2 + 1/2}
　　　　　= 10,
　　　等号は {x,y,z} = {0,0,1} {0,1,1}

６０. For real numbers a, b, with ab≧1, prove that a^2+b^2 ≧ a+b.

　　(a+b)^2 = (a-b)^2 + 4ab ≧ 4ab ≧ 4,
　∴　|a+b| ≧ 2,
　　|a+b-1| ≧ 1

　(左辺)-(右辺) = (1/2)(a-b)^2 +(1/2)(a+b)^2 - (a+b)
　　　　　　　　= (1/2)(a-b)^2 + (1/2)(a+b-1)^2 - (1/2)
　　　　　　　　≧ 0,

６２. Let a,b be real numbers, such that a(a^2+1)^2 + b(b^2+1)^2 =8. Prove that:
　　a+b ≦ 2,

　　(左辺) = (a^5+b^5) +2(a^3+b^3) + (a+b)
　　　　　 = (a+b){a^4 -(a^3)b +(ab)^2 -a(b^3) +b^4 +2(a^2 -ab +b^2) +1},
　　題意より、s = a+b > 0,
　　8 = (左辺) ≧ s{(s/2)^2 +1}^2 = f(s),
　　f は単調増加だから、s ≦ 2.

>>792

６５. For 0≦x,y,z≦1, prove that:
　　(x+y+z)/3 + √{x(1-x)+y(1-y)+z(1-z)} ≦ 3/2,

　　チェビシェフより
　　x(1-x) + y(1-y) + z(1-z) ≦ (1/3)(x+y+z)(3-x-y-z) = (1/3)s(3-s)
　　　=　{(3/2) - (1/3)s}^2 - {(3/2) - (2/3)s}^2
　　　≦ {(3/2) - (1/3)s}^2,

６６. Prove the following inequality.
　　1/{2cos(1)}∫[1,π/2] sin(x)/x dx ≦ log(π/2)/(π-2).

　　チェビシェフより
　　{sin(x)/x + sin(y)/y} - {sin(x)/y + sin(y)/x} = {sin(x)-sin(y)}(y-x)/(xy) ≦ 0,
　　(左辺) = 1/{2cos(1)}∬_[1,π/2] {sin(x)/x + sin(y)/y} dxdy /(π-2)
　　　　　≦ 1/{2cos(1)}∬_[1,π/2] {sin(x)/y + sin(y)/x} dxdy /(π-2)
　　　　　= log(π/2)/(π-2),

６７. Let a, b, c be distinct real numbers. Prove that:
　|a-b| + |b-c| + |c-a|
　+ (1/2){|(b-c)/(a-b)| + |(a-b)/(b-c)|} + (1/2){|(c-a)/(b-c)| + |(b-c)/(c-a)|} + (1/2){|(a-b)/(c-a)| + |(c-a)/(a-b)|}
　≧ 2√|a-b| + 2√|b-c| + 2√|c-a|.

　　相加・相乗平均で
　　(1/2)(|x/y| + |y/x|) ≧ 1,
　　|a-b| + 1 ≧ 2√|a-b|,
　　循環的にたす。

>>792

６８. Let a>0, b>0, c>0. Prove that:
　　1/(2a+b+c) + 1/(a+2b+c) + 1/(a+b+2c) ≦ (1/4)(1/a + 1/b + 1/c).

　　相加・調和平均で
　　　1/(2a+b+c) ≦ (1/16)(1/a + 1/a + 1/b + 1/c).
　　循環的にたす。

６９. Let a>0, b>0, c>0, such that a+b+c=s. Prove that:
　　{(ss/ab -2)(ss/bc -2)(ss/ca -2)}^(1/3) ≧ 7,

　(ss-2ab)(ss-2bc)(ss-2ca) = s^6 -2(ab+bc+ca)s^4 +4abcs^3 -8(abc)^2
　　　　≧ s^6 -(2/3)s^6 +4abcs^3 -8(abc)^2
　　　　=　(1/3)s^6 +4(abc)s^3 -8(abc)^2
　　　　≧ 243(abc)^2 +108(abc)^2 -8(abc)^2　　　(s^3 ≧27abc)
　　　　= (7^3)(abc)^2,

>>794　

７７. For a>0, b>0, c>0, d>0 with a^2 +b^2 +c^2 +d^2 =4. Prove that:
　(a+b+c+d-2)(1/a + 1/b + 1/c + 1/d + 1/2) ≧ 9.
　>>136 >>273-277 を参照。

８０. Let a>0, b>0, c>0, with abc=G^3. Prove that:
　　a^3 +b^3 +c^3 +6abc ≧ G(a+b+c)^2.

　　>>18-19 >>42 >>253 >>268-269 も見てね。

>>800
さすが神！いつもながら乙の極みでござるよ

きめえ

またお前か

いい加減にしろ！

荒らし報告するぞ

　２０代と６０代の、ニート・無職の、女性恐怖症の、頭デッカチの虚弱児・ひ弱の、関西の、ゴミ・クズ・カス・無能・虫けらのクソガキども！

　死ね！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

>>760

３４. Let a>0, b>0, c>0 such that (a^2+b^2)/(a+b)^3 + (b^2+c^2)/(b+c)^3 + (c^2+a^2)/(c+a)^3 = 3/2.
　　Prove that: a^2+b^2+c^2 ≧ 3/4.

　コーシーで
　{(a+b)+(a+b)+(b+c)+(b+c)+(c+a)+(c+a)}（左辺）≧ {a/(a+b) + b/(a+b) + b/(b+c) + c/(b+c) + c/(c+a) + a/(c+a)}^2,
　4(a+b+c)（左辺）≧ (1+1+1)^2 = 9,
　(a+b+c) ≧ 9/{4(左辺)} = 3/2,
　a^2 + b^2 + c^2 ≧ (1/3)(a+b+c)^2 ≧ 3/4,

３７. For -2 ≦ a,b,c ≦1 and a+b+c=0, prove that a^2+b^2+c^2 ≦ 6.

　a+b+c = s　とおくと、
　a^2 + b^2 + c^2 = 6 -2(1-a)(1-b) -2(1-c)(2+c) +s(a+b-c-2)
　　　= 6 -2(1-a)(1-b) -2(1-c)(2+c)　　(←s=0)
　　　≦ 6,　　　　　　　　　　　　　(← 題意)

>>761
４８. Let a>0, b>0, c>0. Prove that: (a^3)/(a+b)^2 + (b^3)/(b+c)^2 + (c^3)/(c+a)^2 ≧ (a+b+c)/4,

　　a+b+c=s とおく。
　　s･(左辺) ≧ {(a^2)/(a+b) + (b^2)/(b+c) + (c^2)/(c+a)}^2,
　　2s{(a^2)/(a+b) + (b^2)/(b+c) + (c^2)/(c+a)}
　　= {(a+b)+(b+c)+(c+a)}{(a^2)/(a+b) + (b^2)/(b+c) + (c^2)/(c+a)} ≧ s^2,
　　(a^2)/(a+b) + (b^2)/(b+c) + (c^2)/(c+a) ≧ s/2,
または、コーシーの拡張(4)で一発。
　　(a+b+c){(a+b)+(b+c)+(c+a)}^2 (左辺) ≧ (a+b+c)^4,
　　4s^3（左辺）≧ s^4,

>>762

５１. Let a>0, b>0. Prove that: (ab)^2･(a^2 +b^2 -2) ≧ (a+b)(ab-1).

　√ab = G　とおくと、
　(a-b)^2 = (a+b)^2 - (2G)^2 = (a+b-2G)(a+b+2G),
　(左辺) - (右辺) = (G^4){2(G^2 -1) +(a-b)^2} - (a+b)(G-1)
　　　　= 2G(G^2 -1)(G^3 -1) + (a+b-2G){(a+b+2G)G^2 -G^2 +1}
　　　　≧ 0,

*　(a+b+2G)G^2 - G^2 +1 ≧ 4G^3 -G^2 +1 ≧ 1 - 1/108,

>>762
５３. Prove that:
　a(a+b)^3 + b(b+c)^3 + c(c+a)^3 ≧ (2/3)^3･(a+b+c)^4.

19 = 3^2 + 3^2 + 1^2　より
　(左辺) - (右辺) = (1/27){3a^2 -3b^2 +c^2 +(7ab-22bc+11ca)/4}^2 + (3/16){a(b-c)}^2 + cyclic.
または
　(左辺) - (右辺) = (1/27){3a^2 -3b^2 -c^2 +(113ab-131bc+46ca)/28}^2 + (3/16){a(b-c)}^2 + cyclic.
[第５章.494、 504]

５５. For a>0, b>0, c>0, d>0, prove that:
　1/a + 1/b + 1/c + 1/d + 9/(a+b+c+d) ≧ 25/(4G),
　where G = (abcd)^(1/4).
　[第5章.498, 508-513]

>>791
５９. For 0≦x,y,z≦1, prove that:
　　(2^x+2^y+2^z){2^(-x)+2^(-y)+2^(-z)} ≦ 10.

〔補題〕
a≧0, b≧0　のとき
　　cosh(a) + cosh(b) ≦ 1 + cosh(a+b),
(略証)
　(右辺) - (左辺) = {cosh(a)-1}{cosh(b)-1} + sinh(a)sinh(b) ≧ 0,
または、cosh は下に凸だから、
　　cosh(a) ≦ {b + a･cosh(a+b)}/(a+b),
　　cosh(b) ≦ {a + b･cosh(a+b)}/(a+b),
辺々たす。

>>791

６４. Let a>0, b>0, c>0, such that abc=1. Prove that:
　　(a+3)/(a+1)^2 + (b+3)/(b+1)^2 + (c+3)/(c+1)^2 ≧ 3,

　　(a+3)/(a+1)^2 = 1/(a+1) + 2/(a+1)^2,　etc.
a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおくと、
　　1/(a+1) + 1/(b+1) + 1/(c+1) = (3+2s+t)/(1+s+t+u),
　　1/(a+1)^2 + 1/(b+1)^2 + 1/(c+1)^2 = {(3-6u) + (4-2u)s + 2s^2 + 2st + t^2}/(1+s+t+u)^2,
よって
　(与式) ={9(1-u) + (13-2u)s +(4+u)t +6s^2 +7st +3t^2}/(1+s+t+u)^2
　　= 3 + {3(2-5u-u^2) +(7-8u)s -(2+5u)t +3s^2 +st}/(1+s+t+u)^2
　　= 3 + (-12 -s -7t +3s^2 +st)/(1+s+t+u)^2　　　(← u=1)
　　= 3 + {(5s/3 +4 +t)(s-3) +(4/3)(s^2 -3t)}/(1+s+t+u)^2
　　≧ 3,
　等号成立は s=t=3 すなわち a=b=c=1 のとき。
　[第5章.655, 663]

>>793

７３. Given a>0, b>0, c>0. Prove that:
　　a^4 + b^4 + c^4 + 33G^4 ≧ 12(ab+bc+ca)G^2,
　　where G=(abcd)^(1/4).
　　[第5章.699,723-726]

７４. Let a>0, b>0, c>0. Prove that:
　　a^(b+c) + b^(c+a) + c^(a+b) ≧ 1.
　　[第5章.698, 708]

７６. Given a≧0, b≧0, c≧0, d≧0. Prove that:
　　a/(a^3 +8) + b/(b^3 +8) + c/(c^3 +8) + d/(d^3 +8) ≦ (4/9)(s/4)^(2/3),
　　where s=a+b+c+d.

　　(x^3 +8)(2x+1) - 27x = (x-1)^2･(2x^2 +5x+8) ≧ 0,
　　x/(x^3 +8) ≦ (2x+1)/27,　　… x=1 での接線
　　x = a,b,c,d についてたす。
または、
　　x^3 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 ≧ 9 x^(1/3),　（相加･相乗平均)
∴　(左辺) ≦ (1/9){a^(2/3) + b^(2/3) + c^(2/3) + d^(2/3)} ≦ (4/9)(s/4)^(2/3).
　　[第5章.727-729]

５１. 訂正ｽﾏｿ.
　(左辺) - (右辺) = (G^4){2(G^2 -1) +(a-b)^2} - (a+b)(G^2 -1)

７３. 訂正ｽﾏｿ.
　where G=(abc)^(1/3).

今日はこの辺で。

>>762
５１. Let a>0, b>0. Prove that: (ab)^2･(a^2 +b^2 -2) ≧ (a+b)(ab-1).

　√ab = G　とおくと、
　(a-b)^2 = (a+b)^2 - (2G)^2 = (a+b-2G)(a+b+2G),
　(左辺) - (右辺) = (G^4){2(G^2 -1) +(a-b)^2} - (a+b)(G^2 -1)
　　　　= 2G(G^2 -1)(G^3 -1) + (a+b-2G){(a+b+2G)G^2 -G^2 +1}
　　　　≧ 0,
*　(a+b+2G)G^2 - G^2 +1 ≧ 4G^3 -G^2 +1 ≧ 1 - 1/108,

>>797
６２. (蛇足)
　a+b = s,
　f(x) = x{(x/2)^2 +1}^2,　とおくと、
　(左辺) = {f(2a) + f(2b)}/2
　　　= (a+b){a^4 -(a^3)b +(ab)^2 -a(b^3) +b^4 + 2(a^2 -ab +b^2) +1}
　　　= f(s) + (1/4)s|a-b|^2･{(5/2)s^2 + (5/4)|a-b|^2 + 6}
　　　≧ f(s)　　　　(s≧0)

>>762

５２. For 0≦ a,b,c ≦1, prove that:
　　a/(bc+1) + b/(ca+1) + c/(ab+1) ≦ 2.

通分して、
　2(bc+1)(ca+1)(ab+1) -a(ca+1)(ab+1) -b(ab+1)(bc+1) -c(bc+1)(ca+1)
　= abc + a(1-b)(1-c) + (1-a)b(1-c) + (1-a)(1-b)c + 2(1-a)(1-b)(1-c)
　≧ 0,
等号成立は {a,b,c} = {0,1,1}

５６. Let x>0, y>0, z>0. Prove that:
　√{xy(x+y)} + √{yz(y+z)} + √{zx(z+x)} ≦ √{2(x+y+z)(xy+yz+zx)},

　(左辺)^2 = xy(x+y) + yz(y+z) + zx(z+x)
　　　　+2y√{z(x+y)}√{x(y+z)} +2z√{x(y+z)}√{y(z+x)} +2x√{y(z+x)}√{z(x+y)}
　　　≦ xy(x+y) +yz(y+z) +zx(z+x) +y{z(x+y)+x(y+z)} +z{x(y+z)+y(z+x)} +x{y(z+x)+z(x+y)}
　　　= {(x+y)+(y+z)+(z+x)}(xy+yz+zx)
　　　= 2(x+y+z)(xy+yz+zx),
　　等号成立は x=y=z.

>>791

６１. For a>0, b>0, c>0, prove that:
　(b+c-a)^2/{(b+c)^2+a^2} + (c+a-b)^2/{(c+a)^2+b^2} + (a+b-c)^2/{(a+b)^2+c^2} ≧ 3/5.
　(JMO-1997 本選, 第2問)

　3a/(a+b+c)=x 等とおくと、x+y+z=3,
　左辺第１項 = (3-2x)^2 /{(3-x)^2 +x^2}
　　　=　2 - 9/{(3-x)^2 +x^2}
　　　≧ 2 - 9/{5-2(x-1)}
　　　≧ 2 - (9/25){5+2(x-1)}
　　　= (1/5) - (18/25)(x-1),　　(x=1における接線)
　循環的にたす。
　[初代スレ.103,111-112]

>>748 >>776

２８. Let 0≦x,y,z<π/4. Prove the following inequality.
　　{tan(x)･tan(y)･tan(z)}^(1/3) ≦ tan{(x+y+z)/3} ≦ {tan(x) + tan(y) + tan(z)}/3,
　　(京大・理、1991前期、4番)

　　y = log(tan(x)) は上に凸、y = tan(x) は下に凸。
　　[初代スレ.227-229,233-235]　[分かスレ１７２.381]

>>791

５７. For a>0, b>0, c>0, prove that:
　　(a+b)/√(a^2-ab+b^2) + (b+c)/√(3b^2-2bc+3c^2) + (c+a)/√(6c^2-3ca+6a^2) ≦ 11/3.

　　 a^2 - ab + b^2 = (1/4)(a+b)^2 + (3/4)|a-b|^2 ≧ (1/4)(a+b)^2,
　　3b^2 -2bc +3c^2 = 　　 (b+c)^2 +　　2|b-c|^2　≧　　　(b+c)^2,
　　6c^2 -3ca +6a^2 = (9/4)(c+a)^2 + (15/4)|c-a|^2 ≧ (9/4)(c+a)^2,
　(左辺) ≦ 2 + 1 + (2/3) = 11/3.

>>814
　　　≧ 2 - 9/{5-2(x-1)}
は間違い。
*)　{(3-x)^2+x^2}{5+2(x-1)} - 25 = 2(2x+1)(x-1)^2 ≧ 0,

ではまた明日。

a, b, c, d が実数のとき,

a^4+b^4+c^4+d^4+4abcd+2(a^2+d^2)(b^2+c^2)+2

≧2a^2+2b^2+2c^2+2d^2

>>816

　a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = S　とおくと、
　(左辺) = (S-1)^2 + 1 -2(ad-bc)^2
　　 = (1/2)(S-2)^2 + (1/2)S^2 -2(ad-bc)^2
　　 = (1/2)(S-2)^2 + (1/2)(S-2ad+2bc)(S+2ad-2bc)
　　 = (1/2)(S-2)^2 + (1/2){(a-d)^2 +(b+c)^2}{(a+d)^2 +(b-c)^2}
　　 ≧ 0,
等号成立は (a,b,c,d) = (0,1,1,0) (1,0,0,1) のとき。
ぬるぽ

>>797

６０.
　直角双曲線 xy=1 の外側の点Ｐ(a,b) について、 |a+b| ≧ 2,
xy=1 の点D(1,1)
　C(1/2, 1/2) と P(a,b) との距離CP ≧ CD,
∴　√(a^2 + b^2 -a -b +1/2) ≧ √(1/2),
でござるな。

新しいの来てた

１２２
Let $a,\ b$ be positive real numbers.
Prove that :
$$\displaystyle \frac{(1+a)(1+b)(1-ab)}{(1+a^2)(1+b^2)}\leq \frac{3\sqrt{3}}{4}$$

http://suseum.jp/gq/question/1870

>>819

１２２. Let a>0, b>0. Prove that:
　　(1+a)(1+b)(1-ab)/{(1+a^2)(1+b^2)} ≦ (3√3)/4,
　　等号成立は a = b = 2-√3 = tan(π/12).

　a=tanα, b=tanβ とおくと、（0 < α,β< π/2）
　(左辺) = (cosα+sinα)(cosβ+sinβ)cos(α+β)
　　　　 = 2cos(α -π/4)cos(β -π/4)cos(α+β) 　
　だが....

>>817

a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = S　とおくと、
　(左辺) = (S-1)^2 + 1 -2(ad-bc)^2

何をやってるかわからん！

>>817 の訂正を...

(左辺)－(右辺) = {S^2 -2(ad)^2 -2(bc)^2 +4abcd +2}－2S
　　　　　　　= (S-1)^2 +1 -2(ad-bc)^2
　　　　　　　= ･････
ですた。ｽﾏｿ.

>>122

a, bを正に限る必要がわからん！

>>819

　(左辺) = (cosα+sinα)(cosβ+sinβ)cos(α+β)
　　　　 = {cos(α-β) + sin(α+β)}cos(α+β),

・|α+β|≦π/2 のとき、cos(α+β) ≧ 0,
　(左辺) ≦ {1 + sin(α+β)}cos(α+β)
　　　= (1+sinθ)cosθ = f(θ) ≦ f(π/6) = (3√3)/4,
　∵　f '(θ) = (1+sinθ)(1-2sinθ)　より、sinθ=1/2 で極大。

・π/2 ≦ |α+β| ≦π のとき、cos(α+β) ≦ 0,
　(左辺) ≦ {-1 + sin(α+β)}cos(α+β)
　　　= (1-sinθ)(-cosθ) = g(θ) ≦ g(-π/6) = (3√3)/4,
　∵　g '(θ) = (1-sinθ)(1+2sinθ)　より、sinθ=-1/2, で極大。

あるいは
　|sin(α+β)| ≧ |sin(α+β)cos(α-β)| = |sin(2α)+sin(2β)| /2 = |s|,
より
　(左辺)^2 = {1+sin(2α)}{1+sin(2β)} {1 - |sin(α+β)|^2}
　　≦ {1 + [sin(2α)+sin(2β)]/2}^2・(1-s^2)
　　= (1+s)^2･(1-s^2)
　　= (27/16) - (1/2 -s)^2･{(3/4)+(1+s)+(1+s)^2}
　　≦ 27/16,
等号成立は s=1/2, (α,β) = (π/12,π/12) かな？

>>725
　解凍例

(3)
x+y>1 の場合は 1-x-y<0 だから (左辺) <0.
∴　x+y≦1 の場合を考えれば十分。
　1-x-y = z ≧ 0 とおくと、
　(左辺) = xyz/{(y+z)(z+x)(x+y)}
　　　　 = xyz/{8xyz + x(y-z)^2 +y(z-x)^2 +z(x-y)^2}
　　　　≦ 1/8,
　　等号成立は x=y-z=1/3.

>>725
　解凍例

(1)
　z = (2+ia)(2+ib)(2+ic)
　　= 8 +4i(a+b+c) -2(ab+bc+ca) -iabc
　　= 2(4-ab-bc-ca) +i(4a+4b+4c-abc)
　　= 2(4-ab-bc-ca) +i(36-abc),

　|z|^2 の最小値を求める。

〔問題966〕
a,b,c>0, ab+bc+ca + 2abc = 1 のとき
　a+b+c + 4abc ≧ 2,
を示せ。（じゅー）

　casphy - 高校数学 - 不等式 - 966

>>793

７１. Let a, b & c be the side lengths of a triangle. Prove that:
　　a^2･b(a-b) + b^2･c(b-c) + c^2･a(c-a) ≧ 0.

　(b+c-a)/2 =x, (c+a-b)/2 =y, (a+b-c)/2 =z, とおく。(x,y,z>0)
　a=y+z, b=z+x, c=x+y,
　a^2･b(a-b) = (y+z)^2･(z+x)(y-x)
　　　　　　 = (xy^3 +yz^3) + (zy^3 -xz^3) +{2(yz)^2 -(zx)^2 -(xy)^2} +xyz(-2x+y-z),
　(左辺) = 2(xy^3 +yz^3 +zx^3 -xyz(x+y+z)}
　　　　= 2{(2/7)xy^3 +(1/7)yz^3 +(4/7)zx^3 -(xyz)x} + cyclic
　　　　≧ 0.

x,y,z≧0, x^2+y^2+z^2+xyz=4 のとき, x+y+z≧xy+yz+zx.

>>793

Σcyc (1/2)(a-b)^2(a+b-c)≧0

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　／:::::; -‐''"　　　　　　 `ｰノ
　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼
　　　　 /　　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 |
　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 |
　　　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ|
　　　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　
　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　
.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　このスレは馬と鹿と豚ばかりね。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　　　
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　ﾋﾆ二、　＼
.　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼　 |　'､　　＼
　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 |
　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､　/:＼__/‐､
　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣|
　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/

角度を初等的に求める問題って、いつまで経っても解けるようにならんよな
不等式はどうだろう

ｷｬｽﾌｨｰの解答から...

>>827
定石どおりに置くのがシュアー
　a = x/(y+z), b = y/(z+x), c = z/(x+y),
　a+b+c + 4abc -2 = F_1(x,y,z)/{(x+y)(y+z)(z+x)} ≧ 0,
ここに
　F_n(x,y,z) = x^n･(x-y)(x-z) + y^n･(y-z)(y-x) + z^n･(z-x)(z-y) ≧ 0.

>>828
７１.
　(左辺) = (1/2)Σ_cyc (a-b)^2･(a+b-c)(b+c-a) ≧ 0,

ｷｬｽﾌｨｰの解答から...

>>829
(2+x)(2-x-yz) = (y-z)^2 ≧ 0,
　0 ≦ 2-x-yz,
循環的にたすと、
　0 ≦ 6-s-t ≦ 6 -√(3t) -t = (√3 -√t)(2√3 +√t)
∴　0 ≦ t ≦ 3,
∴　(s+t)(s-t) = s^2 - t^2 ≧ (3-t)t ≧ 0,
∴　s-t ≧ 0.

ここに、s=x+y+z,　t=xy+yz+zx.

a+b+c=0をみたす実数a,b,cに対して、ab+bc+ca≦0

ｷｬｽﾌｨｰの解答ぢゃないが...

>>835
　ab+bc+ca = {(a+b+c)^2 -a^2 -b^2 -c^2}/2
　　　　　 = -(a^2 +b^2 +c^2)/2
　　　　　 ≦ 0.

a+b+c=2 (a, b, c≧0)　のとき,
√(a+4bc)+√(b+4ca)+√(c+4ab)≧4√(ab+bc+ca)

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　／:::::; -‐''"　　　　　　 `ｰノ
　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼
　　　　 /　　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 |
　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 |
　　　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ|
　　　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　
　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　
.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　このスレには馬と鹿と豚さんしかいないのね。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　　　
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　ﾋﾆ二、　＼
.　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼　 |　'､　　＼
　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 |
　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､　/:＼__/‐､
　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣|
　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/

Find the largest possible value of S = x^2y + 2x + 3 + 2y + xy^2, given that x^2 + y^2 = 2.

C.1144
http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201211&t=mat&l=en

暗算で解けた

正の数x,y,zに対して
(x+y)(y+z)(z+x)≦(x^3+1/y)(y^3+1/z)(z^3+1/x)

だれか助けて

>>839-840

C.1144.
解1.
　x^2 + y^2 = r^2　とおくと、
　1 ≦ xy+2 = (1/2){r^2 -(x-y)^2} +2 ≦ (1/2)r^2 +2,
　|x+y| = √{2r^2 - (x-y)^2} ≦ (√2)r,
等号が両立するのは x=y のとき。

∴ S = (xy+2)(x+y) +3
　　≦ (xy+2)|x+y| +3
　　≦ {(1/2)r^2 +2}(√2)r +3.

解2.
　S = (2-x^2)x + (2-y^2)y +2(x+y) +3
　 = {3x－(1+1+x^3)} + {3y－(1+1+y^3)} + x+y +7
　　= -(2+x)(1-x)^2 -(2+y)(1-y)^2 + x+y +7
　　≦ x+y +7　　　　(等号はx=y=1)
　　≦ |x+y| +7
　　= √{2r^2 -(x-y)^2} +7
　　≦ (√2)r +7,

安産...

>>837

これ,難しい。ようやく, 解けたが...

出題、既出か？

a,b,c>0　⇒　a/(2a+b+c)+b/(a+2b+c)+c/(a+b+2c)≦3/4

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　／:::::; -‐''"　　　　　　 `ｰノ
　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼
　　　　 /　　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 |
　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 |
　　　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ|
　　　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　
　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　
.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　このスレ馬と鹿と豚ばかりね。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　ﾋﾆ二、　＼
.　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼　 |　'､　　＼
　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 |
　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､　/:＼__/‐､
　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣|
　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/

>>844

相加･調和平均（またはコーシー）により
　(左辺) = 3 -(a+b+c){1/(2a+b+c) + 1/(a+2b+c) + 1/(a+b+2c)}
　　　　 ≦3 -(a+b+c)*9/{(2a+b+c)+(a+2b+c)+(a+b+2c)}　　(相加-調和)
　　　　 = 3 -(a+b+c)*9/{4(a+b+c)}
　　　　 = 3 - (9/4)
　　　　 = 3/4.

>>846　早い、さすが

自分の解答

a/(2a+b+c)
=a/｛(a+b)+(c+a)｝
≦a*｛1/(a+b)+1/(c+a)｝/4（∵相加調和平均）
=(1/4)｛a/(a+b)+a/(c+a)｝

他も同様にして、辺々を加えると目的の不等式を得る　って考えた

他所で出題したやつだけど…

x,y,zが三角形の三辺　⇒　(x+y-z)/(2x+2y-z)+(y+z-x)/(2y+2z-x)+(z+x-y)/(2z+2x-y)≦1

出題
a,b,c>0 ⇒　(a^2+ab+bc)/｛b(c+2a)｝+(b^2+bc+ca)/｛c(a+2b)｝+(c^2+ca+ab)/｛a(b+2c)｝≧3

なんか形が汚い；

>>848
ｷｬｽﾌｨｰの解答から...

解1.
分子 >0 だから
　(x+y-z)/(2x+2y-z) = 2(x+y-z)/[3(x+y-z)+(x+y+z)]
　　　≦ (1/2)(x+y-z){1/[3(x+y-z)] + 1/(x+y+z)}　　(調和･相加平均)
　　　=　(1/6) + (x+y-z)/[2(x+y+z)],
循環的にたす。

解2.
条件を緩め、分母>0 とする。
　(x+y-z)/(2x+2y-z) = {2(2x+2y-z) -(x+y+z)}/[3(2x+2y-z)]
　　　= (2/3) - (1/3)(x+y+z)/(2x+2y-z),
循環的にたすと
　(左辺) = 2 - (1/3)(x+y+z){1/(2x+2y-z) + 1/(2y+2z-x) + 1/(2z+2x-y)}
　　　≦ 2 - 3(x+y+z)/[(2x+2y-z)+(2y+2z-x)+(2z+2x-y)]　　(相加･相乗平均)
　　　=　2 - 1.

シュアー使う簡単な問題くれ

>>849

(a^2+ab+bc)/｛b(c+2a)｝=(a^2/b+a+c)/(c+2a)である。

ところで
(a^2/b+a+c)(b+a+c)≧(a+a+c)^2(∵コーシーシュワルツの不等式)
両辺を(a+b+c)(c+2a)で割って
(a^2/b+a+c)/(c+2a)≧(c+2a)/(a+b+c)

循環的に加えれば、(左辺)≧3

abc=1 をみたす正の数 a、b、c に対して、(a+b)/(ab+a+b) + (b+c)/(bc+b+c) + (c+a)/(ca+a+c) ≧ 2

やる気スイッチ、ポチッとな ( ﾟ∀ﾟ)！

　ﾊﾟﾁﾝ　＿_ノ＼
　　 off |　 .ノ＼| off
　　　　　￣￣￣

>>853
　a=G/A, b=G/B, c=G/C, とおくと、
　ABC = G^3,
　(左辺) = (A+B)/(G+A+B) + (B+C)/(G+B+C) + (C+A)/(G+C+A)
　　　= 2 + {(A+B+C)(AB+BC+CA)-G^3 -2(A+B+C+G)G^2}/{(G+A+B)(G+B+C)(G+C+A)}
　　　= 2 + {(A+B+C)(AB+BC+CA-3G^2) +(A+B+C-3G)G^2}/{(G+A+B)(G+B+C)(G+C+A)}
　　　≧ 2,
∵　相加相乗平均より A+B+C-3G≧0,　AB+BC+CA-3G^2≧0,

>>852
x = a+c≧0. コーシーより
　(a^2/b +x)(b+x) - (a+x)^2 = (a^2/b + b -2a)x = {(a-b)^2 /b}x ≧ 0,

>>854

その置き換えに気づきませんが、ヒラメキですか？
理詰めで、こう置けば上手くいくだろうとか、式の形から分かるものなのですか？
ちなみに模範解答は、もっと気づきにくい解法でしたが…
http://www.fen.bilkent.edu.tr/~cvmath/Problem/1209a.pdf

>>855

分母が２次式のままでは通分したくない。（メチャ面倒）
１次分数式にもってくる為に逆数変換しますた。（定石）

３乗根も使いたくないし....

なるほど～、そう言われると必然な気もしますが、自分で気づけと言われてもなかなか…
精進しまつ

　ﾊﾟﾁﾝ　＿_ノ＼
　　 on |　 .ノ＼| on
　　　　　￣￣￣

AA手抜きwww

n!*e^n / {n+(1/2)}^{n+(1/2)} > 1

出題、他所で出しちゃったけど
|a|,|b|≦1,a+b≠0　⇒　√(1-a^2)+√(1-b^2)+1≦2√(1+1/(a+b)^2)

阿呆の書き込みは軽蔑に値するだけ。

狢

>389 名前：粋蕎 ◆C2UdlLHDRI ：2012/11/23(金) 20:18:33.20
> 低脳撲滅主義の下では現低脳が絶える時に低脳上限上昇による新低脳が生まれる故の無限淘汰地獄｡
> 低脳撲滅主義に於いて低脳認定基準を設けても時代と共に基準は改正されるので無駄な事である｡
> つまり猫改め描改め狢は学力的弱肉強食主義である。行き過ぎた撲滅主義は文化衰退を招く｡
>

>>859
n->∞で√(2π/e)か、おもしろい

阿呆の書き込みは軽蔑に値するだけ。馬鹿蕎麦が思いっきり晒す低脳。

狢

>389 名前：粋蕎 ◆C2UdlLHDRI ：2012/11/23(金) 20:18:33.20
> 低脳撲滅主義の下では現低脳が絶える時に低脳上限上昇による新低脳が生まれる故の無限淘汰地獄｡
> 低脳撲滅主義に於いて低脳認定基準を設けても時代と共に基準は改正されるので無駄な事である｡
> つまり猫改め描改め狢は学力的弱肉強食主義である。行き過ぎた撲滅主義は文化衰退を招く｡
>

１２３
Let $a,\ b,\ c$ be positive real numbers such that $abc=1$.
Prove that :
$$a+b+c \geq \frac{2}{a+1} + \frac{2}{b+1} + \frac{2}{c+1}$$.

http://suseum.jp/gq/question/1893

うほっ、いい不等式

>>860
　ｷｬｽﾌｨｰの解答から....

a+b=s とおく。y=√(1-x^2) は上半円だから上に凸。
∴　(左辺) ≦ 2√{1 - (s/2)^2} +1 = √(4-s^2) +1,
∴　a=b=s/2 の場合を考えれば十分。

　(右辺) = 2√(1 + 1/s^2) = R(s) とおく。

　{[R(s)-1]^2 -(4-s^2)}{[R(s)+1]^2 -(4-s^2)}
　= {R(s)^2 -1}^2 -2{R(s)^2 -1}(4-s^2) +(4-s^2)^2 -4(4-s^2)
　= {R(s)^2 -1 -(4-s^2)}^2 -4(4-s^2)
　= (4/s^2 -1 +s^2)^2 -4(4-s^2)
　= (4/s^2 -1 -s^2)^2
　≧ 0,
　等号成立は s^2 = {(√17)-1}/2 のとき。

∴　[R(s)-1]^2 = (4-s^2) + (4/s^2 -1-s^2)^2／{[R(s)+1]^2 -(4-s^2)}
　　　　　　　 ≧ 4-s^2,

∴　√(4-s^2) +1 ≦ R(s),

私は某女子短大で教えているが、女子学生はキャンパス内では全員例外なく全裸になり、
学生証を安全ピンで乳首に刺して止めておくべきだ。
やらなければこちらがブスッと刺す。血が出るかも。
生理の時は私がタンポンを入れたり抜いたりしてやる。血が付くかも。
云う事聞かない奴は逆さ吊りだ。トイレに行きたくなっても行かせない。
クリスマスは私と女子学生の乱交パーティーだ。勿論女子学生同士の愛も OK.
女子学生は皆食べ頃だ。参加しない奴には単位を出さない。

等と云った妄想を毎日朝から晩までしている。
授業中もチンコが立ちっぱなしで困る。

新着きてるぞ
http://suseum.jp/gq/question/1903

a[i]=(cosx[i])^2　 0≦x[i]≦π/2
で終わり

>>868
　ｷｬｽﾌｨｰの解答から....

相乗・相加平均：
　(a1･a2･････an)^(1/n) ＋ {(1-a1)(1-a2)･････(1-an)}^(1/n) ≦ 1.
で終わり

>>841　その問題の作者だけど解答上げるね,コーシーだけで解けたりする。

(x+y)^2≦(x^2+1)(1+y^2)（∵コーシー）
循環的にかけて、
｛(x+y)(y+z)(z+x)｝^2≦｛(x^2+1)(y^2+1)(z^2+1)｝^2…①
また、
(x^2+1)^2=(√(x^3)√x+√(1/y)√y)^2≦(x^3+1/y)(x+y)(∵コーシー)
循環的にかけて、
｛(x^2+1)(y^2+1)(z^2+1)｝^2
≦(x^3+1/y)(y^3+1/z)(z^3+1/x)(x+y)(y+z)(z+x)…②
①,②より
｛(x+y)(y+z)(z+x)｝^2≦(x^3+1/y)(y^3+1/z)(z^3+1/x)(x+y)(y+z)(z+x)
両辺を(x+y)(y+z)(z+x)(>0)で割れば
(x+y)(y+z)(z+x)≦(x^3+1/y)(y^3+1/z)(z^3+1/x)

今月の大数の宿題

△ABCが鋭角三角形のとき
(sinA+sinB+sinC)/(cosA+cosB+cosC)
のとりうる値の範囲を求めよ

東工大かどっかで似たようなの見たことある気がする

http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/kakomon/2011/images/11tokoAO.gif

これ？

あーそこまで似てないか

http://iask.sina.com.cn/b/17590565.html

>>872

　{sin(A)+sin(B)+sin(C)}／{cos(A)+cos(B)+cos(C)} = f(A,B,C)
とおく.
　f(A,B,C) － f((A+B)/2,(A+B)/2,C)
　　= 2sin(C-(A+B)/2){1-cos((A-B)/2)}／{[cos(A)+cos(B)+cos(C)][2cos((A+B)/2)+cos(C)]}
　　= 2sin((3C-π)/2){1-cos((A-B)/2)}／{[cos(A)+cos(B)+cos(C)][2cos((A+B)/2)+cos(C)]}
　　　　（← 題意）

A≦B≦C としてよい。
題意より、C ≧ π/3､
∴　f(A,B,C) ≧ f((A+B)/2, (A+B)/2, C)
　　　　= f((π-C)/2, (π-C)/2, C)
　　　　= {2cos(C/2) + sin(C)}/{2sin(C/2) + cos(C)}
　　　　= 2cos(C/2){1+sin(C/2)}／{[1+sin(C/2)]^2 －3sin(C/2)^2}
　　　　≧ √3,
　　　等号は A=B=C=π/3 のとき。

題意より、A ≦π/3,
∴　f(A,B,C) ≦ f(A,(B+C)/2,(B+C)/2)
　　　　= f(A,(π-A)/2,(π-A)/2)
　　　　= {sin(A) + 2cos(A/2)}／{cos(A) + 2sin(A/2)}
　　　　= 2cos(A/2){1+sin(A/2)}／{[1+sin(A/2)]^2 －3sin(A/2)^2} 　　　　　
　　　　< 2,
　　等号は (A,B,C) = (0,π/2,π/2) のとき。

快進撃ですな

125 http://suseum.jp/gq/question/1905
126 http://suseum.jp/gq/question/1906

右側の第４問 ( ﾟ∀ﾟ) ｳﾋｮｯ！
http://www.bmoc.maths.org/home/bmo2-2010.pdf

>877

www

　　　 ∩＿＿＿∩　　　　　　　　∧∧ 　　 ∧∧
　　　 |　　　　　　ヽ　　　　　　　（　｡_｡）　（　｡_｡）＜旦那様が
　　　/　●　　　● ヾ　　　　　／<▽>　／<▽>
　　 |　　　( _●_)　　|　　　　 |::::::;;;;::/　|::::::;;;;::/　　　　｢エサはまだか？｣
　　彡､ |）　|∪| .ⅲ｀ミ　　　　|:と),__｣　.|:と),__｣
＿/ ＿∥　ヽノ　∥＿＼＿_. |::::::::|　　.|::::::::|　　　　　　と申しております
　(＿＿＿）　　　(＿＿ノ　　＼:::::::|　　|:::::::|

１２５
Given real numbers $a,\ b,\ c\in{[0,\ 2]}$ with $a+b+c=3$.
Prove that :
$$\sqrt{4-a^2}+\sqrt{4-b^2}+\sqrt{4-c^2}+(\sqrt{3}-1)(|a-1|+|b-1|+|c-1|)\geq 3\sqrt{3}.$$

１２６
Let $a,\ b,\ c,\ d$ be real numbers such that $a^2+b^2+c^2+d^2=20$.
Prove that :
\[|a+2|+|b+2|+|c+2|+|d+2|+|a|+|b|+|c|+|d|+|a-2|+|b-2|+|c-2|+|d-2|\leq 28.\]

１２７
Let $a,b,c$ be positive real numbers such that $ab+bc+ca+2abc=1.$
Prove that :
$$a+b+c-8abc\ge\frac{1}{2}.$$

>>878
１２５.
0≦x≦2　のとき
　g(x) = √(4-x^2) + (√3 -1)|x-1| ≧ √3 +1 -x,

∵　y=√(4-x^2) は上半円の一部なので、上に凸。
　0≦x≦1　⇒　g(x) ≧ g(1) + {g(0)-g(1)}(1-x) = √3 +1 -x,
　1≦x≦2　⇒　g(x) ≧ g(1) + {g(2)-g(1)}(x-1) = √3 +1 -x,

１２６.
　|x-2|+|x|+|x+2| = Max{4+|x|, 3|x|} ≦ (9+x^2)/2,
　　等号成立は |x| = 1, 3 のとき。
∵　(9+x^2)/2 - (4+|x|) = (1/2)(1-|x|)^2 ≧ 0,
　　(9+x^2)/2 - 3|x| = (1/2)(3-|x|)^2 ≧ 0,

>>882
１２７．定石どおりに
　a=x/(y+z), b=y/(z+x), c=z/(x+y), (x,y,z>0)
とおく。　　>>400 >>833
　x+y+z = s,
　xy+yz+zx = t,
　xyz = u,
とおくと、
　(x+y)(y+z)(z+x) = st-u,
　(左辺) = {(x^3 +y^3 +z^3 -3xyz) + (st-5u)}/(st-u)
　　 = (1/2) + {(x^3 +y^3 +z^3 -3xyz) + (st-9u)/2}/(st-u)
　　 ≧ 1/2.
∵　相加相乗平均より
　x^3+y^3+z^3 -3xyz ≧0,
　st-9u = x(y-z)^2 + y(z-x)^2 + z(x-y)^2 ≧ 0,

>>879
ｷｬｽﾌｨｰの解答から....

問題４.
　x,y,z>0　⇒　4(x+y+z)^3 > 27(xxy+yyz+zzx),

(略解)
　x≦y,z としても一般性を失わない。
　y-x=b>0, z-x=c>0 とおく。

　f(x,y,z) = (x+y+z)^3 - 9(xxy+yyz+zzx),
　　= f(0,y-x,z-x)
　　= f(0,b,c)

　(左辺) - (右辺) = 4(x+y+z)^3 -27(xxy+yyz+zzx)
　　= (x+y+z)^3 + 3f(x,y,z)
　　= (3x+b+c)^3 + 3f(0,b,c)
　　≧ 4(b+c)^3 -27･b^2･c
　　= (4b+c)(b-2c)^2
　　≧ 0,
　等号成立は b-2c=0,　(x,y,z)=(0,2,1) とそのrotation
　>>100 に一般化がある。

ｷｬｽﾌｨｰから....

１２７.の〔類題763〕
a,b,c >0 が ab+bc+ca + 2abc =1, を満たすとき次を示せ。（じゅー）
　a/(1+a^2) + b/(1+b^2) + c/(1+c^2) ≦ 6/5,

　casphy - 高校数学 - 不等式 - 763

>>879　>>885

　>>393 >>404-408 で解決済....

正の数 a、b、c が ab+bc+ca=3 をみたすとき、(3a^2+2)(3b^2+2)(3c^2+2)≧125

272 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2012/01/27(金) 00:52:05.16
拝啓
寒さがひとしお身にしみるころとなりましたが如何お過ごしでせうか。
遅ればせながら、的確なる御指摘に慎んで感謝致しまつ。
風邪など召されませぬやう、くれぐれもお気をつけてお過ごしくださいませ。
急ぎ用件のみにて失礼いたしまつ。
敬具

274 返信：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2012/01/27(金) 00:58:55.75
>>272
多忙に付きせんだっての件挨拶が遅れてたいへんもうしわけなく思っていました

0≦a≦1、0≦b≦1、a^2+b^2=1のとき、(a+b)(7/4-ab)≦1.5^1.5

凄まじい。既成政党を打破とか言ってるけどお前のとこが一番独善的
共産党やナチスより酷い妙ちくりんな集団
前科者も複数紛れて、いかにも大阪らしい

無党派さん[] 投稿日：2012/12/03(月) 21:55:03.05 ID:3W6Dp3GZ [11/13]
http://www.jiji.com/jc/c?g=pol_30&k=2012120300800

維新　比例名簿の登載順位は次の通り。
（丸囲み数字は順位。同一順位の重複立候補者名は省略。前＝前職、元＝元職、新＝新人。敬称略）
　【北海道＝４人】(1)重複候補３人　(4)米長知得（新）
　【東北＝１１人】(1)小熊慎司（新）＝福島４区　(2)重複候補２人　(4)重複候補８人
　【北関東＝１８人】(1)上野宏史（新）＝群馬１区　(2)石関貴史（前）＝同２区　(3)重複候補１４人　(17)植竹哲也（新）(18)仲田大介（新）
　【南関東＝２０人】(1)小沢鋭仁（前）＝山梨１区　(2)松田学（新）　(3)重複候補１６人　(19)田中甲（元）　(20)横田光弘（新）
　【東京＝２２人】(1)石原慎太郎（元）　(2)今村洋史（新）　(3)山田宏（元）＝東京１９区　(4)重複候補１８人　〔２２〕上村昭徳（新）
　【北信越＝１０人】(1)中田宏（元）　(2)重複候補８人　(10)堀居哲郎（新）
　【東海＝１４人】(1)藤井孝男（元）　(2)今井雅人（前）＝岐阜４区　(3)重複候補１１人　(14)近藤浩（元）
　【近畿＝４０人】(1)東国原英夫（新）　(2)西村真悟（元）　(3)重複候補８人　(11)三宅博（新）　(12)重複候補２８人　〔４０〕喜多義典（新）
　【中国＝８人】(1)重複候補６人　(7)藤井昇（新）　(8)谷本彰良（新）
　【四国＝７人】(1)重複候補４人　(2)重複候補２人　(7)大内淳司（新）
　【九州＝１９人】(1)松野頼久（前）＝熊本１区　(2)重複候補１７人　(19)黒仁田典之（新）

マスコミに踊らされる前に、中身見たほうがいいな

>>525
数学者になりたかったら：
１．『犯罪に手を染めない事』：★★★重要な追加事項★★★
２．もし出来たら論文でも書きましょうネ。♪

どや、コレでエエのんかァ！　お返事してや～

ケケケ狢

>525 名前：１３２人目の素数さん：2012/12/02(日) 15:30:43.08
> >>524
> 犯罪に手を染めない事も付け加えとけ、前科者｡
>

>>886
ｷｬｽﾌｨｰの解答から....

a/(1+a^2) = (1+28a)/{25(1+a)} - {(1+7a)(1-2a)^2}/{25(1+a)(1+a^2)}
　　≦ (1+28a)/{25(1+a)}
　　= (28x+y+z)/{25(x+y+z)},　　(← a=x/(y+z)）
循環的にたす。等号成立は a=b=c=1/2,

>>892
うるせぇ！

芳雄

>>525
数学者になりたかったら：
１．『犯罪に手を染めない事』：★★★重要な追加事項★★★
２．もし出来たら論文でも書きましょうネ。♪

どや、コレでエエのんかァ！　お返事してや～

ケケケ狢

>525 名前：１３２人目の素数さん：2012/12/02(日) 15:30:43.08
> >>524
> 犯罪に手を染めない事も付け加えとけ、前科者｡
>

おら猫、返事しろや

>>890
降参

　　　 ∩＿＿＿∩　　　　　　　　∧∧ 　　 ∧∧
　　　 |　　　　　　ヽ　　　　　　　（　｡_｡）　（　｡_｡）＜旦那様が
　　　/　●　　　● ヾ　　　　　／<▽>　／<▽>
　　 |　　　( _●_)　　|　　　　 |::::::;;;;::/　|::::::;;;;::/　　　　｢解答はまだか？｣
　　彡､ |）　|∪| .ⅲ｀ミ　　　　|:と),__｣　.|:と),__｣
＿/ ＿∥　ヽノ　∥＿＼＿_. |::::::::|　　.|::::::::|　　　　　　と申しております
　(＿＿＿）　　　(＿＿ノ　　＼:::::::|　　|:::::::|

>>890
ｷｬｽﾌｨｰの解答から....

便宜上、√1.5 = t とおく。
　(右辺) - (左辺)
　　= t^3 -(a+b){(9/4)-(1/2)(a+b)^2}
　　= t^3 - (3/2)(a+b)t^2 + (1/2)(a+b)^3
　　= {t + (a+b)/2}(t-a-b)^2
　　≧ 0,
等号成立は a+b=t,　ab=1/4 のとき。
　{a,b} = {(√6 -√2)/4, (√6 +√2)/4}
　　　　= {sin(π/12), cos(π/12)}.

>>890
　　　 ∩＿＿＿∩　　　　　　　　∧∧ 　　 ∧∧
　　　 |　　　　　　ヽ　　　　　　　（　｡_｡）　（　｡_｡）＜旦那様が
　　　/　●　　　● ヾ　　　　　／<▽>　／<▽>
　　 |　　　( _●_)　　|　　　　 |::::::;;;;::/　|::::::;;;;::/　　　　｢a=sinθ、b=cosθ、0≦θ≦π/2と置きたい｣
　　彡､ |）　|∪| .ⅲ｀ミ　　　　|:と),__｣　.|:と),__｣
＿/ ＿∥　ヽノ　∥＿＼＿_. |::::::::|　　.|::::::::|　　　　　　と申しております
　(＿＿＿）　　　(＿＿ノ　　＼:::::::|　　|:::::::|

美しい不等式の世界 ─数学オリンピックの問題を題材として─

A5／272ページ／2013年01月25日
ISBN978-4-254-11137-8　C3041
定価3,990円（税込）
佐藤淳郎訳

"Inequalities A Mathematical Olympicd Approach"の翻訳。
数学全般で広く使われる有名な不等式や実用的テクニックを系統立てて説明し，
数学オリンピックの問題をふんだんに使って詳しく解説。
多数の演習問題およびその解答も付す。

http://www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-11137-8/

きたか…！！

　　( ﾟдﾟ )　ｶﾞﾀｯ
　　.r　　ヾ
＿_|_|　/￣￣￣/＿
　　＼/　　　　/

>>888

a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおく。
題意より、s≧3, t=3, u≦1.
便宜上、K > 1.4444847 とする。

(3a^2 +K)(3b^2 +K)(3c^2 +K) - (t+K)^3
　= -(3u + ct/2)c(a-b)^2 -(3u + at/2)a(b-c)^2 -(3u + bt/2)b(c-a)^2
　　+ 3{cc(a-b)^2 + aa(b-c)^2 + bb(c-a)^2}K
　　+ 1.5{(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2}K^2
　=　 (-3u -ct/2 +3ccK +1.5KK)(a-b)^2
　　+ (-3u -at/2 +3aaK +1.5KK)(b-c)^2
　　+ (-3u -bt/2 +3bbK +1.5KK)(c-a)^2
　≧　(-3 -3c/2 +3ccK +1.5KK)(a-b)^2
　　+ (-3 -3a/2 +3aaK +1.5KK)(b-c)^2
　　+ (-3 -3b/2 +3bbK +1.5KK)(c-a)^2,
また、
　-3 -3c/2 +3ccK +1.5KK
　= (3/K)(1/4 - cK)^2 + (3/2K)(K^3 -2K -1/8)
　≧ 0,　etc.

解法ダサすぎ

む、むむむ…

不等式が得意じゃないので、是非勉強したいと思います。
a^2+b^2+c^2≧ab+bc+ca
まずこれから証明を得たいと思います
でも検討がつきません。
よければコツを教えてください

>>905
それは代表的な参考書に必ず出ている典型問題
まず自分の持っている参考書を全ページ見直し給え
載っていなかったなら本屋に行って載ってる本を購入し直すことを勧める
その不等式をそのままぐぐっても手掛かりが見つかるはず
ヒントだけ言っとくと2乗の和の形に整理する

1.2変数から3変数の拡張

2. aについての2次不等式とみなす

3. 対称性に着目

正の実数 a,b,c が a+b+c=3 を満たすとき, (aa+bb+cc)^2≧3abc(aaa+bbb+ccc)
を示してください。

>>905 のコツ

・差をとって、２乗の和の形に整理する。　>>906

・相加相乗平均で a^2 + b^2 ≧ 2ab、循環的にたす。

・コーシーで (a^2 +b^2 +c^2)(A^2 +B^2 +C^2) ≧ (aA+bB+cC)^2,
　　A→b, B→c, C→a.

・チェビシェフで、　∑同順序積 ≧ ∑乱順序積,

・min{a,b,c)=m, {a,b,c}={m,m+x,m+y} とおく。
　(左辺) - (右辺) = x^2 + y^2 - xy = {x^2 + y^2 + (x-y)^2}/2 ≧ 0

普通に
(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 + 2 (a b + b c + c a) =
2 ( a^2 + b^2 + c^2)

∴( a^2 + b^2 + c^2) >= (a b + b c + c a)
でいいんじゃ？

>>877
デタラメな解答書くな

>>877

　f(θ, (π-θ)/2, (π-θ)/2)
　　= {sinθ + 2cos(θ/2)}／[cosθ + 2sin(θ/2)]
　　≡ g(θ),
とおくと、
　g '(θ) = {sin(3θ/2)-1}／[cosθ + 2sin(θ/2)]^2 ≦ 0,
で単調減少。
　f(A,B,C) ≧ g(C) > g(π/2) = 1 + (1/√2),
　f(A,B,C) ≦ g(A) < g(0) = 2,
と言いたかった？

>>910
　仰せのとおり。

910>>

それは,解法を知っているからさくっと、変形できるのですな。

a, b, c, d>0 のとき, a^4+b^4+c^4+d^4-4abcd≧0 を正値式の和形による変形してみよ。

>>877＝>>912 だろ

>>913
たとえば
　a^4 + b^4 -2(ab)^2 = (a^2 -b^2)^2,
　c^4 + d^4 -2(cd)^2 = (c^2 -d^2)^2,
　(ab)^2 + (cd)^2 -2abcd = (ab-cd)^2,
　(ab)^2 + (cd)^2 -2abcd = (ab-cd)^2,
辺々たす。
（符号条件は不要かも....）

>>901
密かに期待している、これ読めば解法が身につくだろうか？
パッと見てどの置き換えでいけばいいか見えてくればいいのだがの

１２８
Prove that :
$$\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n-1}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \geq 1\ (n=2,\ 3,\ \cdots)$$
without using definition of $e$.

　２０代と６０代の、ニート・無職の、女性恐怖症の、頭デッカチの虚弱児・ひ弱の、ゴミ・クズ・カス・無能・虫けらのクソガキども！

　死ね！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　／:::::; -‐''"　　　　　　 `ｰノ
　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼
　　　　 /　　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 |
　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 |
　　　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ|
　　　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　
　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　ﾋﾆ二、　＼
.　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼　 |　'､　　＼
　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 |
　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､　/:＼__/‐､
　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣|
　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/

>>917

１２８.
まづ、
　1+x ≦ e^x より、log(1+x) ≦ x,

　log(1 -1/N) = -log(1 + 1/(N-1)) ≧ -1/(N-1),
∴　(N-1)log(1 -1/N) ≧ -1,
N = n^2 とおいて n+1 で割ると、
　(n-1)log(1 -1/n^2) ≧ -1/(n+1),
一方、
　log(1 +1/n) = -log(1 -1/(n+1)) ≧ 1/(n+1),
辺々たすと、

　log(左辺) = (n-1)log(1 -1/n) + n･log(1 +1/n)
　= (n-1)log(1 -1/n^2) + log(1 +1/n)
　≧ -1/(n+1) + 1/(n+1)
　= 0,

自然数nに対して
∑[i=0,n](n-i)*(2nＣi)<2^2n

コレって正しいですか？
Ｃがあるとうまい方法が思い浮かばない

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　／:::::; -‐''"　　　　　　 `ｰノ
　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼
　　　　 /　　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 |
　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 |
　　　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ|
　　　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　
　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　
.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　このスレは馬と鹿と豚さんばかりね。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　　　
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　ﾋﾆ二、　＼
.　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼　 |　'､　　＼
　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 |
　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､　/:＼__/‐､
　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣|

>>921

　(n-i)*Ｃ[2n,i] = {(2n-i)*Ｃ[2n,i] - i*Ｃ[2n,i]}／2
　　　　　　　　= n*{Ｃ[2n-1,i] - Ｃ[2n-1,i-1]},　　(0<i<2n)
　(n-i)*Ｃ[2n,i] = n = n*Ｃ[2n-1,i]　　　　　　　　(i=0)
よって
　(左辺) = n*Ｃ[2n-1,n] = (n/2)*Ｃ[2n,n]

答:　n≦12 ならば正しいが、n≧13 ならば正しくない。

正しい不等式ではなかったんですね
それにしても左辺がこんなにきれいな形になるなんて驚きました
教えてくださってありがとうございます

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　／:::::; -‐''"　　　　　　 `ｰノ
　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼
　　　　 /　　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 |
　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 |
　　　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ|
　　　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　
　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　
.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　このスレは馬と鹿と豚さんばかりね。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　　　
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　ﾋﾆ二、　＼
.　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼　 |　'､　　＼
　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 |
　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､　/:＼__/‐､
　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣|
　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/

>>917
ｷｬｽﾌｨｰの解答から....

１２８.
{n/(n-1), ････, n/(n-1), 1} のn個で相加･相乗する。
　(1 + 1/n)^n > {n/(n-1)}^(n-1),

正の数 a_i (i=1,2,…,n)、n≧2 に対して、(Σa_i)・{Σ(1/a_i)} ≧ n^2 - 2 + [ {Σ(a_i)^k}・{Σ(1/a_i)^k} - n^2 + 2^k]^(1/k)

n leq 2, ((n+1)^(n-1))((n+2)^n) > (3^n)(n!)^2

>>928
ｷｬｽﾌｨｰの解答から....

・略解1
nについての帰納法による。
n=1 のときは、等号成立。
n≧2 のときは
(n+2)^n／n^(n-2) = {(n+2)/n}^n・n^2
　　= (1 + 2/n)^n・n^2
　　> 3・n^2　　　（←２項展開公式）
により成立。

・略解2
　n=1,2 のときは成立。
　n>2 のとき
　(左辺) > 2^(2n-3)･n!･(n+1)! > (3^n)(n!)^2,

〔補題〕
　(n+1)^(n-1) > 2^(n-2)･n!,
(略証)
　(n+1)^2 ≧ 4k(n+1-k),　[k=2,3,････,n-1]
辺々掛けて√すると
　(n+1)^(n-2) > 2^(n-2)･(n-1)!

なるほど、帰納法か

そういや昔、帰納法って書いたら怒られたことがあった。
それは帰納法じゃなくて数学的帰納法だと。
何が起こったのか分からなかったぜ、ありのままに起こったことを話したぜ

　 |l､{　　j}　/,,ｨ//｜　　　　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　 i|:!ヾ､_ﾉ／ u {:}//ﾍ　　　　　|　あ…ありのまま今　起こった事を話すぜ！
　 |ﾘ u' }　 ,ﾉ　_,!V,ﾊ |　　　＜　『おれは奴の前で階段を登っていたと
　 fト､_{ﾙ{,ィ'ｅﾗ　, ﾀ人.　　　　|　　思ったらいつのまにか降りていた』
　ヾ|宀| {´,)⌒`/ |<ヽﾄiゝ　　　|　催眠術だとか超スピードだとか
　　ヽ iLﾚ　u' |　| ヾｌﾄﾊ〉. 　　|　そんなチャチなもんじゃあ　断じてねえ
　　ﾊ !ニ⊇　'／:} 　V:::::ヽ.　│　もっと恐ろしいものの片鱗を味わったぜ…
　 /:::丶'T'' ／u'　__ /:::::::/｀ヽ＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

>>930
「数学的帰納法」は演繹のテクニックなので決して「帰納法」とは呼べないのだ。

すうじあむで見つけた不等式、微分してもできんのだけど、不等式ヲタなら瞬殺ですか？
http://suseum.jp/gq/question/1930

>>902

a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおく。
便宜上、K≧t/3=1 とする。

(a-b)^2 の係数
　=　-3cu + (-t/2 +3K)cc + 1.5KK
　≧ -3cu + (1/2)cct + (1/6)tt　　(← K≧t/3)
　= 3c{-u +(t/3)^(3/2)} + (1/2)t{c-√(t/3)}^2 　
　≧ 0,　etc.
∵　(t/3)^(3/2) ≧ u,

>>888

　a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおく。
　便宜上、K≧t/3 とする。

(左辺)－(右辺) =
　= -(t^3 -27u^2) + 6K(t^2 -3su) + 3KK(s^2 -3t)　････ (*)
　= 3(sK-3u)^2 - t(t-3K)^2
　≧ (1/3)(st-9u)^2,　　　(← K≧t/3)

*) Kについて単調増加。

http://ja.wikipedia.org/wiki/枕投げ

>>932は誰もできないの？

>>936
君に任せた！

ヤクザやなりすましを使い成人式を荒らしているのは広告代理店やテレビ局の自作自演です。
反原発デモでチンドンや太鼓を鳴らし、ソントを行っている在日
街宣車に乗り、騒音を撒く朝鮮人

構図は全て同じです
http://mamorenihon.files.wordpress.com/2011/10/zainichi_seijinshiki_1.jpg
http://4.bp.blogspot.com/-1_jEcAWVs1s/Tm4X2mLBhhI/AAAAAAAABok/MObw2nzMyoI/s1600/IMG_9062-714071.jpg
http://wave.ap.teacup.com/renaissancejapan/timg/middle_1228711905.jpg

ソント(声闘)・・朝鮮人は、声が大きければ音が大きければ、主張が通る、どんな凶悪犯罪でも無罪になると思い込む。
だから、朝鮮人は大音量で街宣車を走らせる。
原発サウンドデモ＝ソント

在日(もちろんテレビや新聞は通名で報道)が凶悪犯罪を起こしたとき、人権派()弁護士が異様に沢山付くのも
弁護士が多ければ=声が大きければ、無罪になると思い込んでいるから。

>>937　任されちまった。生姜ねぇなぁ...

〔問題932〕
次を示せ。ただし eは自然対数の底で 2.7<e<2.8 とし、整数乗の計算には計算機を用いてもよい。
　x>0　ならば　e^x > 1 + (3/2)x^2,

ヲタなら、まづ相加･相乗するだろうな....
　(2/3)x + (1/3!)x^3 ≧ (2/3)x^2,
　x/12 + x/12 + (1/4!)x^4 ≧ (1/4)･(1/2)^(1/3) x^2 = 0.198425 x^2,
　x/18 + x/18 + x/18 + (1/5!)x^5 ≧ (1/9)･(12/5)^(1/4) x^2 = 0.138296 x^2,
より、
　e^x > Σ[k=0,5] (1/k!)x^k > 1 + 1.503388 x^2 > 1 + (3/2)x^2,　　(ｷｬｽﾌｨｰ)

あるいは

　(2/3)x + (1/3!)x^3 ≧ (2/3)x^2,
　x/8 + x/8 + (1/4!)x^4 ≧ (1/8)･3^(2/3) x^2 = 0.260010 x^2,
　x/36 + x/36 + x/36 + (1/5!)x^5 ≧ (1/9)･(3/10)^(1/4) x^2 = 0.082231 x^2,
より、
　e^x > Σ[k=0,5] (1/k!)x^k > 1 + 1.508908 x^2 > 1 + (3/2)x^2,

>>932 >>936

〔類題〕
次を示せ。ただし eは自然対数の底で 2.7<e<2.8とし、相加・相乗平均を用いてはいけない。
　x>0　ならば　e^x > 1 + (e/2)x^2,

トゥルルル、トゥルルル・・

女「もしもし、いきなりごめんね。正月って暇？」

　　　　　　　　i
　　　　　　　〔!(^o^)／ｷﾀｰ
　　　　　　　 ( 　)
　　　　　　　　　 | |

男「えッ！？＼(^o^)／う、うん暇だよ！＼(^o^)／」

　　　　　　　　i
　　　　　　　〔!(^o^)／　ｳ、ｳﾝ、ﾌﾄｳｼｷｲｼﾞｯﾃﾙﾄｵﾓｳｹﾄﾞﾋﾏﾀﾞﾖ！
　　　　　　　　 ( 　)
　　　　　　　　／　＼

女「あはっ、やっぱりーｗ」（後ろで大勢の笑い声）

　　　　ヽ＼w／／
　　　　　　　　i
　　　　　　　〔!＿(^o^;)
　　　　　　　　　 /　)＼
　　　　　　　　　|　＼

ガチャ、ツー、ツー

　　　　　　　　i
　　　　　　　〔!＿(ﾟдﾟ )
　　　　　　　　　 /　)＼
　　　　　　　　　|　＼

>>908
　正の実数 a,b,c に対して
　{(a+b+c)(aa+bb+cc)/3}^2 ≧ 3abc(a^3 +b^3 +c^3),

(略証)
例によって
　min{a,b,c} = m,
　{a,b,c} = {m,m+x,m+y}　　(x≧0, y≧0)
とおく。
　a+b+c = 3m + (x+y),
　aa+bb+cc = 3mm + 2m(x+y) + (xx+yy),
　a^3 +b^3 +c^3 = 3m^3 +3mm(x+y) +3m(xx+yy) +(x^3 +y^3),
　abc = m^3 + mm(x+y) + mxy,
より
　(a+b+c)(aa+bb+cc)/3 = 3m^3 + 3mm(x+y) + (1/3)m(5xx+4xy+5yy) + (1/3)(x+y)(xx+yy),

　(左辺) = 9m^6 + 18m^5･(x+y) + m^4･(19xx+26xy+19yy) + 2m^3･{6x^3 +10xy(x+y) +6y^3} + (1/9)mm{43x^4 +76(x^3)y +102xxyy +76x(y^3) +43y^4} +(1/9)m(x+y){10x^4 +8(x^3)y +20xxyy +8x(y^3) +10y^5) +{(x+y)(xx+yy)/3}^2,
　(右辺) = 9m^6 + 18m^5･(x+y) + m^4･(18xx+27xy+18yy) + 2m^3･{6x^3 + 9xy(x+y) +6y^3} + 3mm{x^4 +4(x^3)y +4x(y^3) +y^4} + 3m(x+y){(x^3)y -xxyy +x(y^3)},
辺々引いて
　(左辺) - (右辺) = m^4･(xx-xy+yy) + 2m^3･xy(x+y) + (1/9)mm{16x^4 -32(x^3)y +102xxyy -32x(y^3) +16y^4} +(1/9)m(x+y)(10x^4 -19(x^3)y +47xxyy -19x(y^3) +10y^4} +{(x+y)(xx+yy)/3}^2
　　　　　　　　　≧ 0,

＼　　 |　　|　　／　　　　／　　　　　　ヽ-‐　_;　---　 _　　　　　＼　　　　　　　＼　　 |　　|　　／
＿　　　　　　　　＿　　　/, -‐＝=ミ　　　 _,ｨﾆ-‐……ｰ-: ､｀ヽ、　　　ヽ、　　　　　＿　　　　　　　＿
＿　　集　　も　　＿　　　 _　 ´　　　　　≠:7　　　　　　　　　ヽ、ヽ |　 i　　,　　　＿　　　集　　　＿
＿　　め　　っ　　＿　　／　　　 -‐　7´　 / ,ﾊ　　　ヽ　　　ゝ-- ＼ |　　!　　,　　　＿　　　め　　　＿
＿　　ろ　　と　　＿　/, -‐／　　　　ｉ　　/ィ爪　＼　＼　　＼　　｀ト　 !　　′　＿　　　ろ　　　＿
　　　　：　　　　　　〃　 /　　　　　 | イ　ハ |　＼　､＼　　xｨ￢ト､　|　 .!　　　 ,　　　　　　　：
／　　　　　　　　＼　　 /　 /　　　 /ｌ　|/Гト､　　　　　　/ |_,ノ0　ヽ |　 i　　　 ′　／　　　　　　＼
　／　 |　　|　　＼　　　|　/ /　　　i　i　| |ノ0　ﾄ　　　　　　　|　∩　ﾄ |　 !　　　　 ,　　／　|　|　＼
　　　　　　　　　　　　　∨ｉ　|　　　|　ヽ|　| ∩　|　　　　　　　!　∪　 |　|　 i　　　　′　　　　　　　　　　　　　 ,ｨ　/〉
　　　　　　　　　　　　　　 |　|　 i　 ',　|　 | ∪　|　　　　　　　|　　　　! ｜　i　　　　　′　　　　　　　　　　　 /　レ厶イ
　　　　　　　　　　　　　　ヽﾊ　　､　ヽ|　 l　　 |　　　,　　　 └―-┘　!　 i　　　　　　′　　　　　　　　　ノ　　 ⊂ﾆ､'
　　　　　　　　　　　　　　　い、　＼/　　￣￣　　　　　　　　　　　　　',　 i　　　　　　　′　　　　　_, - '　　　⊂ニ,´
　　　　 r ､　 _　　　　　　　　　ヽ　〈　　　　　　　 <_ ￣_フ　　　　　　 |　　!　　　　　　　　,.-‐T　　　_,. -‐'´￣
　　　くヾ;　U｜　　　　　　　　　　 |　＼　　　　　　　￣　　　　　　　／|　　i　　　　_, -‐'　　　|　／
　　ｒ―'　　　ヽ、　　　　　　　　　 |　　＼　　　　　　　　　　　　　イ　　|　　i_,. -‐　　　　　　 |／
　　　｀つ　＿　　￣￣Τ`ー―-- L　　　　｀　　　_　 _＿　　　〔　　|　 r┬ '

>>943
http://www.fen.bilkent.edu.tr/~cvmath/Problem/1212q.pdf

ヤクザやなりすましを使い成人式を荒らしているのは広告代理店やテレビ局の自作自演です。

反原発デモでチンドンや太鼓を鳴らし、ソントを行っている在日
街宣車に乗り、騒音を撒く朝鮮人

構図は全て同じです
http://mamorenihon.files.wordpress.com/2011/10/zainichi_seijinshiki_1.jpg
http://4.bp.blogspot.com/-1_jEcAWVs1s/Tm4X2mLBhhI/AAAAAAAABok/MObw2nzMyoI/s1600/IMG_9062-714071.jpg
http://wave.ap.teacup.com/renaissancejapan/timg/middle_1228711905.jpg

ソント(声闘)・・朝鮮人は、声が大きければ音が大きければ、主張が通る、どんな凶悪犯罪でも無罪になると思い込む。
だから、朝鮮人は大音量で街宣車を走らせる。
原発サウンドデモ＝ソント

在日(もちろんテレビや新聞は通名で報道)が凶悪犯罪を起こしたとき、人権派()弁護士が異様に沢山付くのも
弁護士が多ければ=声が大きければ、無罪になると思い込んでいるから。

　（´Д｀;）解けネーヨ！　　　　　
　　　∨）　　　　　　　
　　　（（　

>>944

Bilkent Univ.,　Dept. of Math.

〔Problem of the month〕

Term: January 2013

Find the minimum value of the expression
　　a/(bbb+27+27) + b/(ccc+27+27) + c/(aaa+27+27),
over all non-negative real numbers a,b,c satisfying a+b+c=1.

>>944　>>947

(略解)
　最小値は 0.0184826291090075
　(a,b,c) = (0,1-C,C) またはその rotation のとき。
　C = 0.7485464789148035　　{C^4 +216C -162 =0 の根}

Problem 410
http://www.math.ust.hk/excalibur/v17_n3.pdf ( ﾟ∀ﾟ)ｳﾋｮｯ！

　　　　　　　　　　　　　　　　　_,_. . : : : : .　､
　　　　　　　　　　　　　　 _,. :'´: : : : : : : : : :｀ヽ
　　　　　　　　　　　 _,．:'´: : : : : : : : : : : : : : : :ﾊ
　　　　　　　　　 ∠,ヽ: : : : : : : : : : : : : : : : : : :i
　　　　　 ,　'´￣¨´‐.､｀y : : : : : : : : : : : : : : {　　　　,.、
　　　　　 /　 .　　 :　:　Ｙ } 　ヽ: : : : : : : : : : :　|　　_,.ｆ´__,＼
　　　　 .′ :　　 :　　　 :}v　　,,ゝ: : : : : : : : : : |―￢;.:.:.:.:_:.:.:＼
.　　　　 l　.　　:　　　 :. .:!| ￣ ! ヽ : : : : : : : : ヽj_,.-亠'¨⌒ヽ:_ﾉ
　　　　 ! {　　:　　:.　 |:.:,!ｒ' ,　､〉　　＼∧＿: : : :＼
　　　　　}.:}.　 :.l　 :.:　.!:.i　T~＾.|　　　　　　　￣＝-'¨
　　　(_,ノ_;{:...:.:.:!: .:.:. .ﾊ:{_.｀|　 i
　　　 f彡Y:.:.}:|:.!:.:!:{:ｲ'`　|　 !　　　　　　　　　／￣￣￣￣ヽ＼
　／＼　⌒j,ｨ:.{:!:ﾊ:|:!{{| 　 j　 !　　　　　　　　/　　　　　／　|
/ 　ｌ　 , '´￣,ﾄ!　}川,,ｰ/,.　 {,,,.........,,,,,.,,,,,,,,,,.ト .... ＿ _ -　´　　 | ,,,,,,
l 　 |　 / 　 __｣､__ﾉ―-}n.n r}ー＝==-=-=- l ､　/_,-､　)　　　ノ-=''
.､　｀ ´　 /　　　　　　　 ´ ﾞ　　　　　　　　　　　>､＿'ｰ'o_　- ´　
　ヽ､　　／
.　　｀ ´

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　／:::::; -‐''"　　　　　　 `ｰノ
　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼
　　　　 /　　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 |
　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 |
　　　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ|
　　　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　
　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　
.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　このスレは馬と鹿と豚さんばかりね。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　　　
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　ﾋﾆ二、　＼
.　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼　 |　'､　　＼
　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 |
　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､　/:＼__/‐､
　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣|
　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/

f は C^2 級、f(0) = f(π) = 0 のとき、∫[0 → π] f''(x)^2 dx ≧ ∫[0 → π] f(x)^2 dx

続けたまえ

朝鮮人犯罪があまり報道されない、そしてテレビが日常的に嘘を吐く理由。（間借りしているだけなどと言う工作員に注意）
（間借りしているだけだ等と言う社員と工作員には注意）

韓国文化放送(MBC)　〒135-0091　東京都港区台場2-4-8 18F
フジテレビジョン　、、　〒137-8088　東京都港区台場2-4-8　

韓国聯合TVNEWS(YTN)　〒105-0000　東京都港区赤坂5-3-6
TBSテレビ　　　　　、、、 .〒107-8006　東京都港区赤坂5-3-6　

大韓毎日　　、、、、、、、、、、、、〒108-0075　東京都港区港南2-3-13 4F
東京新聞(中日新聞社東京本社)　〒108-8010　東京都港区港南2-3-13

京郷新聞　、、、、、、〒100-0004　東京都千代田区大手町1-7-2
産経新聞東京本社　〒100-8077　東京都千代田区大手町1-7-2
(ｻﾝｹｲｽﾎﾟｰﾂ、夕刊ﾌｼﾞ、日本工業新聞社)

朝鮮日報　　、、、　〒100-0003　東京都千代田区一ツ橋1-1 4F
毎日新聞東京本社　〒100-8051　東京都千代田区一ツ橋1-1-1

日本放送協会、、〒150-8001 東京都渋谷区神南2-2-1
韓国放送公社(KBS) 〒150-0041 東京都渋谷区神南2-2-1NHK東館710-C　

http://www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-11137-8/
　　　　　　　　　　　　　　　　　 _______
　　　　　　　　　／　　　　　 ∩| 　　|
　　　　　　　　／　　　　　　/ /|不等式
　　　　　　　　　　　／　　/ / 　|____|
　　　　　　　　　　　　　 / /　　　　| |
　　.　　　　　　　　／　/ /∧　　 ./ /
　　　　　　　　　　　　/ /　´_ゝ`）／　おうい！不等式の新刊書を手に入れたぞー！
　　　　　　　　　／　|　　　　／
　　　　　　　　　　　　|　　　　/
　　　　　　　　　　　　|　　／⌒l
　　　　　　　　　　　　ヽ　　 |　/
　　　　　　　　　　／　| ﾞー'|　L
　　　　　　／　　　　 |　 /（_　ヽ
　　　　　　　　／　／　ノ
　　　　　　　／　　/　／
　　　　　／　　　（　ヽ　

>>955
ﾊｧﾊｧできますか？

>>948 の補足

　C^4 + 216C - 162 = (C^2 + 18L)^2 - 36L･(C - 3/L)^2
　　　　　　　　　 = C^4 + 216C - 162･(2/L - 2L^2)^2,
となるように、定数Lを決める。
　2/L - 2L^2 = 1,
補助方程式は
　L^3 +(1/2)L -1 = 0,
これを解くと
　L = {(1/2)[√(55/54) +1]}^(1/3) - {(1/2)[√(55/54) -1]}^(1/3)
　　= 0.835122348481366

　C^4 + 216C - 162 = {C^2 +6(√L)･(C -3/L) +18L} {C^2 -6(√L)･(C -3/L) +18L}
　　　　　　　　　 = (C+6.23164851584700)(C-0.748546789148035)(C^2 -5.48310172669896C+34.7290828674771)

>>956
このスレの過去ログなどで既出のものばかりでしたが、それらのまとめノート的なものだと思えば非常にお得です！
ポチってください

0<a<1,0<b<1
⇒　2-√(ab)≧√2｛√｛a(1-b)｝+√｛b(1-a)｝｝

>>959だけど右辺ちょっとわかりにくいかったなすまん
√2｛√｛a(1-b)｝+√｛b(1-a)｝｝は
(√2)*｛√｛a(1-b)｝+√｛b(1-a)｝｝ね
全部ルートに入ってるように見えてた人ごめん

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　／:::::; -‐''"　　　　　　 `ｰノ
　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼
　　　　 /　　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 |
　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 |
　　　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ|
　　　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　
　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　
.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　このスレは馬と鹿と豚さんばかりね。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　　　
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　ﾋﾆ二、　＼
.　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼　 |　'､　　＼
　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 |
　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､　/:＼__/‐､
　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣|
　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/

>>959-960

　Ａ↑ = （√a, √(1-a)）
　Ｂ↑ = （√(1-b), √b）
は単位ベクトル。
　(Ａ・Ｂ)^2 + |Ａ×Ｂ|^2 = |Ａ|^2･|Ｂ|^2,
　Ｃ↑ = (Ａ・Ｂ, |Ａ×Ｂ|） = （√[a(1-b)] + √[b(1-a)], √[(1-a)(1-b)] - √(ab)）
　|Ｃ| = |Ａ|･|Ｂ| = 1,
　Ｄ↑ = (2(√2)/3, 1/3）
も単位ベクトルだから
　(Ｃ・Ｄ) ≦ 1.

おお、ベクトルの解答もきれい
相加相乗を自分は考えてた

2≧√2｛√｛a(1-b)｝+√｛b(1-a)｝｝+√(ab）
1≧(1/√2)｛√｛a(1-b)｝+√｛b(1-a)｝｝+√(ab)/2 を示す

右辺
=√(a/2)(1-b)+√(b/2)(1-a)+√(a/2)(b/2)
≧｛a/2+(1-b)｝/2+｛b/2+(1-a)｝/2+｛(a/2)+(b/2)｝/2
=a/4+(1-b)/2+b/4+(1-a)/2+a/4+b/4
=1/2+1/2=1=左辺

いろいろ手があるんですね

>>955
美しい不等式の世界: 数学オリンピックの問題を題材として
http://www.amazon.co.jp/dp/4254111371/
価格：￥ 3,990
出版社: 朝倉書店

翻訳より原著の方が安いなｗ

Inequalities: A Mathematical Olympiad Approach
http://www.amazon.co.jp/dp/3034600496/
価格：￥ 3,814
出版社: Birkhauser Basel

　テメ～ら、いいかげんにしねえと、ブッ殺すぞ！

　２０代と３０代の、ニート・無職の、知的障害の、女性恐怖症の、頭デッカチの虚弱児・ひ弱の、ゴミ・クズ・カス・無能・虫けらのクソガキども！

　死ね！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　／:::::; -‐''"　　　　　　 `ｰノ
　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼
　　　　 /　　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 |
　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 |
　　　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ|
　　　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　
　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　ﾋﾆ二、　＼
.　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼　 |　'､　　＼
　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 |
　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､　/:＼__/‐､
　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣|
　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/

■ＮＨＫの間抜けなツイッター工作発覚■

ＮＨＫの24時のニュースは視聴者からのツイッターを流しているが
自民党や日本企業の話題の時には批判コメントしか流さないなど、
以前からＮＨＫによる意図的な反日工作が指摘されていた。

1月31日深夜のＮＨＫ24時ニュースの放送開始の頃にツイッターのサーバーが落ちた。
その時ツイッターがずっと使えない、書き込み自体が出来なかったのは、視聴者が確認している。

にもかかわらず、その時画面では
「地震だったの？」とか「あ、○○さんだー」「都会にこんなのがあるのかー」
と番組の流れに沿ったツイートが流れていた。

番組終了時にＮＨＫは
「ツイッターを『表示するシステム』の不具合があったので、事前に来ていたツイートを流した」
と苦しい説明。

当然視聴者からのツイートは放送できるものを選別しているのだろう。
選別なら別にいいのだが、問題は
視聴者からのリアルタイムのツイートと称して
実際には、ＮＨＫが事前に用意したインチキ捏造ツイートを流していたということだ。

>>940
　(z-1)(e^z - e) ≧ 0,　　(← 単調増加)
　e^y - ey = ∫[1,y] (e^z - e)dz ≧ 0,
　e^x -1 -(e/2)x^2 = ∫[0,x] (e^y - ey)dy ≧ 0,　(x≧0)

>>952 (Wirtinger)
　f(x) = Σ[k=1,∞) a_k sin(kx),
とフーリエ級数に展開すれば簡単だが....

正の実数x_1, …, x_n
x_1+x_2+…+x_n≦x_1^3/x_n^2+x_2^3/x_1+x_3^3/x_2^2+…+x_n^3/x_(n-1)^2
大数

〔問題〕自然数nについて、次を示せ。

　Σ[k=n+1～∞) 1/(k^2) < 1/(n +1/2),

　Σ[k=n+1～∞) 1/(k^3) < 1/{2n(n+1)},

　Σ[k=n+1～∞) 1/(k^4) < 2/{3n(n+1)(2n+1)},

　casphy - 高校数学 - 不等式２ - 013～015

>>970
　コーシー不等式の拡張より
　(右辺){x_n+x_1+･･･+x_(n-1)}{x_n+x_1+････x_(n-1)} ≧ (x_1+x_2+････+x_n)^3,

>>971
ちょっと改良....

〔問題〕自然数nについて、次を示せ。

　1/(n+1) < Σ[k=n+1～∞) 1/(k^2) < 1/(n +1/2),

　1/{2n(n+1)+1} < Σ[k=n+1～∞) 1/(k^3) < 1/{2n(n+1)},

　2/{3[n(n+1)+1](2n+1)} < Σ[k=n+1～∞) 1/(k^4) < 2/{[3n(n+1)+2](2n+1)},

有名過ぎないかね

まじ？

>>970
　ｷｬｽﾌｨｰの解答から....

　凸不等式でもOK（じゅー）

・f(x) = x^3 は下に凸。
　(右辺) = xn･f(x1/xn) + x1･f(x2/x1) + …… + x(n-1)･f(xn/x(n-1))
　　≧ {xn+x1+ … +x(n-1)}f((x1+x2+ … +xn)/(xn+x1+ … +x(n-1)))
　　= {xn+x1+ … +x(n-1)}f(1)
　　= {xn+x1+ … +x(n-1)},

・g(x) = 1/x^2 は下に凸。
　(右辺) = x1･g(xn/x1) + x2･g(x1/x2) + …… + xn･f(x(n-1)/xn)
　　≧ (x1+x2+ … +xn)g((xn+x1+ … +x(n-1))/(x1+x2+ … +xn))
　　= (x1+x2+ … +xn)g(1)
　　= (x1+x2+ … +xn),

>>971 >>973

m,n:自然数のとき
　Σ[k=n+1～∞) 1/k^(m+1) < 1/{m･(n + 1/2)^m},

A New Proof of Shapiro Inequality (by T. Ando)
http://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~ando/Shapiro.pdf

>>978
むかし読んだことがあるようなハロゲンガス

>>944 >>947
附帯条件が変更されますた。　a+b+c = 9/2.
回答期限も延期されますた(2月末)。といっても2日しかないが。

http://www.fen.bilkent.edu.tr/　→　Mathematics　→　Problem of the month　→　2013　→　February 2013
http://www.fen.bilkent.edu.tr/~cvmath/Problem/1301q.pdf

>>946
　全くごもっとも。

今年の入試問題
http://nyushi.yomiuri.co.jp/13/sokuho/tokyoikashika/zenki/sugaku_i/images/mon3_1.gif

>>981
フルボッキした！

>>981
単なるベータ関数じゃんｗ

ベータ関数とガンマ関数の性質で瞬殺だな
B(x,y)= Γ(x)Γ(y)/ Γ(x+y)
Γ(x+1) =xΓ(x)
Γ(n+1)= n!

>>28

三百三十九日。

三百四十日。

>>949

〔Problem 410.〕
(略証)
(x+y)√{(y+z)(z+x)} -x(y+z) -y(z+x) = x√(y+z)･[√(z+x)-√(y+z)] + y√(z+x)･[√(y+z) - √(z+x)]
　=　[x√(y+z) - y√(z+x)]･[√(z+x) - √(y+z)]
　=　{t(x-y)/[x√(y+z) + y√(z+x)]}(x-y)･{(x-y)/[√(z+x) + √(y+z)]}
　=　{t/[(x+y)√{(y+z)(z+x)} +xy +t]}(x-y)^2
　≧ {t/[(x+y)(x+y+2z)/2 + xy +t]}(x-y)^2　(← 相乗･相加平均)
　≧ {t/(x^2 +y^2 +z^2 +2t)}(x-y)^2
　=　{t/(x+y+z)^2}(x-y)^2,
循環的にたす。　ここに、t = xy+yz+zx.

　/excalibur/v17_n4.pdf より。

三百四十一日。

9-9=0

三百四十二日。

00:58:23.

９＝９÷３

a

三百四十四日。