不等式への招待 第５章
928 ：１３２人目の素数さん：2012/02/23(木) 08:30:24.39
ペレルマンのような数学者もいる一方で、有名論文誌にアクセプトされることだけを
夢見ているような人もいるわけだから、世の中いろいろだね。
夢見ているような人もいるわけだから、世の中いろいろだね。
929 ：１３２人目の素数さん：2012/02/23(木) 20:00:02.25
Page 3、Problem 384
http://www.math.ust.hk/excalibur/v16_n3.pdf
∧＿∧
( ;´∀｀) ＜ おまいらも不等式を見てボッキするだろ？
人 Y /
( ヽ し
（＿）＿）
http://www.math.ust.hk/excalibur/v16_n3.pdf
∧＿∧
( ;´∀｀) ＜ おまいらも不等式を見てボッキするだろ？
人 Y /
( ヽ し
（＿）＿）
930 ：１３２人目の素数さん：2012/02/24(金) 00:13:04.88
>>929
〔Problem 384.〕
For all positive real numbers a,b,c satisfying a+b+c=3, prove that
(aa+3bb)/{abb(4-ab)} + (bb+3cc)/{bcc(4-bc)} + (cc+3aa)/{caa(4-ca)} ≧ 4.
〔Problem 384.〕
For all positive real numbers a,b,c satisfying a+b+c=3, prove that
(aa+3bb)/{abb(4-ab)} + (bb+3cc)/{bcc(4-bc)} + (cc+3aa)/{caa(4-ca)} ≧ 4.
931 ：１３２人目の素数さん：2012/02/27(月) 21:51:47.13
>>930
お手上げ侍 ヽ(・∀・)／
お手上げ侍 ヽ(・∀・)／
932 ：１３２人目の素数さん：2012/02/28(火) 13:03:59.60
933 ：１３２人目の素数さん：2012/02/28(火) 16:38:34.82
>>932
うむ、大関の書いた本だからな。ぶりっ
うむ、大関の書いた本だからな。ぶりっ
934 ：１３２人目の素数さん：2012/02/28(火) 18:41:17.41
>>932
先月予約済みだわい
先月予約済みだわい
935 ：１３２人目の素数さん：2012/02/29(水) 11:43:48.53
よだれが出てきた…、うひょひょひょひょひょっ！
( ﾟρﾟ)つhttp://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320019898
( ﾟρﾟ)つhttp://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320019898
936 ：１３２人目の素数さん：2012/02/29(水) 19:34:28.87
937 ：１３２人目の素数さん：2012/03/01(木) 03:56:10.95
ｳﾋｮｯ！
( ﾟ∀ﾟ)つ △ABCの面積Sについて、S ≦ (a+b+c)^2 / (12√3)
( ﾟ∀ﾟ)つ △ABCの面積Sについて、S ≦ (a+b+c)^2 / (12√3)
938 ：１３２人目の素数さん：2012/03/03(土) 15:26:50.71
>>936
〔マシュー（Mathieu）の不等式〕
K > 0 のとき
1/(K + 1/2) < Σ(n=1,∞) 2n/(n^2 + K)^2 < 1/K,
casphy - 高校数学 - 不等式 - 783〜784
http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/783-784
>>937
例によって (a+b+c)/2 = s とおく。
相乗・相加平均から、
(s-a)(s-b)(s-c) ≦ (s/3)^3,
これをヘロンの公式に入れて
Ｓ = √{ｓ(s-a)(s-b)(s-c)} ≦ √{s(s/3)^3} = (s^2)/(3√3).
〔マシュー（Mathieu）の不等式〕
K > 0 のとき
1/(K + 1/2) < Σ(n=1,∞) 2n/(n^2 + K)^2 < 1/K,
casphy - 高校数学 - 不等式 - 783〜784
http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/783-784
>>937
例によって (a+b+c)/2 = s とおく。
相乗・相加平均から、
(s-a)(s-b)(s-c) ≦ (s/3)^3,
これをヘロンの公式に入れて
Ｓ = √{ｓ(s-a)(s-b)(s-c)} ≦ √{s(s/3)^3} = (s^2)/(3√3).
939 ：１３２人目の素数さん：2012/03/03(土) 17:47:32.94
>>938
-1 < K < 1 では
2{ζ(3) - 2Kζ(5)} ≦ Σ(n=1,∞) 2n/(n^2 + K)^2 ≦ 2ζ(3),
の方がいい鴨。
(略証)
(n^2 -2K)/n^6 < {(n^2 - K)/n^4}^2 < 1/(n^2 + K)^2 < 1/n^4,
から。
-1 < K < 1 では
2{ζ(3) - 2Kζ(5)} ≦ Σ(n=1,∞) 2n/(n^2 + K)^2 ≦ 2ζ(3),
の方がいい鴨。
(略証)
(n^2 -2K)/n^6 < {(n^2 - K)/n^4}^2 < 1/(n^2 + K)^2 < 1/n^4,
から。
940 ：１３２人目の素数さん：2012/03/08(木) 18:02:50.09
( ﾟ∀ﾟ)つ 答えを持っていないので申し訳ないが…
鋭角三角形の辺の長さをa、b、c、内接円の半径r、外接円の半径Rに対して、
r/R ≦ sqrt{2*(2a^2-(b-c)^2)*(2b^2-(c-a)^2)*(2c^2-(a-b)^2)} / {(a+b)(b+c)(c+a)}
鋭角三角形の辺の長さをa、b、c、内接円の半径r、外接円の半径Rに対して、
r/R ≦ sqrt{2*(2a^2-(b-c)^2)*(2b^2-(c-a)^2)*(2c^2-(a-b)^2)} / {(a+b)(b+c)(c+a)}
941 ：１３２人目の素数さん：2012/03/08(木) 18:22:22.06
もう一つあった ('A`)ｳﾞｫｴｧ！
R/2r ≧ exp{(a-b)^2/2c^2 + (b-c)^2/2a^2 + (c-a)^2/2b^2}
R/2r ≧ exp{(a-b)^2/2c^2 + (b-c)^2/2a^2 + (c-a)^2/2b^2}
942 ：１３２人目の素数さん：2012/03/08(木) 18:23:06.92
>>941は任意の三角形で。
943 ：１３２人目の素数さん：2012/03/08(木) 23:01:47.16
｜{exp(tx)}-{exp(ty)}｜≦(t/2)*|x-y|*({exp(tx)}+{exp(ty)})
t,x,yは任意の実数
この不等式の証明が判りません。
教えていただければ幸いです。
お願いします。
t,x,yは任意の実数
この不等式の証明が判りません。
教えていただければ幸いです。
お願いします。
944 ：１３２人目の素数さん：2012/03/09(金) 04:01:50.89
>>943
u>0 とする。
f(u) = exp(u) とおくと
∫[-u,u] f(u ') du ' = ∫[-u,u] exp(u ') du ' = exp(u) - exp(-u),
一方、台形近似では
u*{f(u)+f(-u)} = u*{exp(u)+exp(-u)},
f(u) は下に凸だから、
|exp(u) - exp(-u)| ≦ |u|{exp(u) + exp(-u)},
これに u = |(t/2)(x-y)| を入れて exp{(t/2)(x+y)} を掛ける。
u>0 とする。
f(u) = exp(u) とおくと
∫[-u,u] f(u ') du ' = ∫[-u,u] exp(u ') du ' = exp(u) - exp(-u),
一方、台形近似では
u*{f(u)+f(-u)} = u*{exp(u)+exp(-u)},
f(u) は下に凸だから、
|exp(u) - exp(-u)| ≦ |u|{exp(u) + exp(-u)},
これに u = |(t/2)(x-y)| を入れて exp{(t/2)(x+y)} を掛ける。
945 ：１３２人目の素数さん：2012/03/09(金) 10:49:34.81
>>944
すごい！ありがとうございます、お陰ですっきりしました！
すごい！ありがとうございます、お陰ですっきりしました！
946 ：１３２人目の素数さん：2012/03/09(金) 16:17:45.67
>>943
t<0なら成立しない
t<0なら成立しない
947 ：１３２人目の素数さん：2012/03/09(金) 22:39:54.45
確かによくみたらtは非負って書いてました。
ご指摘ありがとう。
ご指摘ありがとう。
948 ：１３２人目の素数さん：2012/03/10(土) 03:09:30.30
949 ：１３２人目の素数さん：2012/03/11(日) 23:26:05.21
なるほどなー
950 ：１３２人目の素数さん：2012/03/12(月) 14:11:25.99
正の実数a, b, c が、a*b*c=1 を満たすとき、
a^3 + b^3 + c^3 ≧ a^2 + b^2 + c^2
が成り立つことを証明せよ。
a^3 + b^3 + c^3 ≧ a^2 + b^2 + c^2
が成り立つことを証明せよ。
951 ：１３２人目の素数さん：2012/03/12(月) 16:14:45.47
>>950
一目で５通りくらいの解法が浮かぶほどの既出問題。
ぶりぶりっと改造せずにはいられない。( ﾟ∀ﾟ)ブリｯ！
abc=1をみたす正の数a、b、cと任意の自然数nに対して、
a^n + b^n + c^n ≧ a^{n-1} + b^{n-1} + c^{n-1}
一目で５通りくらいの解法が浮かぶほどの既出問題。
ぶりぶりっと改造せずにはいられない。( ﾟ∀ﾟ)ブリｯ！
abc=1をみたす正の数a、b、cと任意の自然数nに対して、
a^n + b^n + c^n ≧ a^{n-1} + b^{n-1} + c^{n-1}
952 ：１３２人目の素数さん：2012/03/12(月) 18:02:52.91
953 ：１３２人目の素数さん：2012/03/12(月) 18:47:43.70
ヒラメキなしで普通に解くなら、
f(x) = a^x + b^x + c^x が単調増加することを示す
( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾞﾘﾌﾞﾘﾌﾞﾘｯ！
f(x) = a^x + b^x + c^x が単調増加することを示す
( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾞﾘﾌﾞﾘﾌﾞﾘｯ！
954 ：１３２人目の素数さん：2012/03/12(月) 20:00:00.25
ｐ＞ｑ≧０。
ｘ≧０。
ｙ≧０。
ｚ≧０。
ｒ＝（ｐ−ｑ）／３ｐ。
ｓ＝（ｐ＋２ｑ）／３ｐ。
ｒｘ＋ｒｙ＋ｓｚ≧ｘ＾ｒｙ＾ｒｚ＾ｓ。
ｘ＋ｙ＋ｚ≧（ｘｙｚ）＾ｒ（ｘ＾（ｓ−ｒ）＋ｙ＾（ｓ−ｒ）＋ｚ＾（ｓ−ｒ））。
ｘ＝ａ＾ｐ。
ｙ＝ｂ＾ｐ。
ｚ＝ｃ＾ｐ。
ａｂｃ＝１。
ａ＾ｐ＋ｂ＾ｐ＋ｃ＾ｐ≧ａ＾ｑ＋ｂ＾ｑ＋ｃ＾ｑ。
ｘ≧０。
ｙ≧０。
ｚ≧０。
ｒ＝（ｐ−ｑ）／３ｐ。
ｓ＝（ｐ＋２ｑ）／３ｐ。
ｒｘ＋ｒｙ＋ｓｚ≧ｘ＾ｒｙ＾ｒｚ＾ｓ。
ｘ＋ｙ＋ｚ≧（ｘｙｚ）＾ｒ（ｘ＾（ｓ−ｒ）＋ｙ＾（ｓ−ｒ）＋ｚ＾（ｓ−ｒ））。
ｘ＝ａ＾ｐ。
ｙ＝ｂ＾ｐ。
ｚ＝ｃ＾ｐ。
ａｂｃ＝１。
ａ＾ｐ＋ｂ＾ｐ＋ｃ＾ｐ≧ａ＾ｑ＋ｂ＾ｑ＋ｃ＾ｑ。
955 ：１３２人目の素数さん：2012/03/15(木) 07:24:30.66
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| |/ / / /| ,ﾊﾉ| /|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'
| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
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| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
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956 ：１３２人目の素数さん：2012/03/23(金) 20:45:32.87
_______
／ ∩| |
／ / /|不等式
／ / / |____|
/ / | |
. ／ / /∧ ./ /
/ / ´_ゝ`）／ おうい！大関の新刊書を手に入れたぞー！
／ | ／
| /
| ／⌒l
ヽ | /
／ | ﾞー'| L
／ | /（_ ヽ
／ ／ ノ
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／ （ ヽ
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／ / /|不等式
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957 ：１３２人目の素数さん：2012/03/23(金) 20:47:16.26
| | | | |
| | | || | | | |
| | ∧＿∧ | |
|| | /⌒（ ´_ゝ`） 本気だせよ！ タコ助
| |/ ノ ) ﾉ || | |
| / ﾉゝ / ﾉ | | | |
（ ヽ ＿＿ヽ || | | | |
＼ ＼ | | / ／ | || || | |
| |＿/ /ヽ つ|不等式つ 7 | || || | |
| / _＿__＜ |＿_| ＞
＜ ガシャッ!!!
Ｖ Ｖ Ｖ Ｖ
| | | || | | | |
| | ∧＿∧ | |
|| | /⌒（ ´_ゝ`） 本気だせよ！ タコ助
| |/ ノ ) ﾉ || | |
| / ﾉゝ / ﾉ | | | |
（ ヽ ＿＿ヽ || | | | |
＼ ＼ | | / ／ | || || | |
| |＿/ /ヽ つ|不等式つ 7 | || || | |
| / _＿__＜ |＿_| ＞
＜ ガシャッ!!!
Ｖ Ｖ Ｖ Ｖ
958 ：１３２人目の素数さん：2012/03/23(金) 20:52:36.97
∧＿∧ ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
（ ・∀・）＜ 不等式専門の本が出ただけでも良しとせねば
（ 建前 ） ＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
｜ ｜ |
__（_＿）＿）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
（ ＿）＿）
｜ ｜ ｜
（ 本音 ） ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
（ 。Ａ。）＜ いくら素人向けシリーズでも、手を抜くなよ！
∨￣∨ ＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
959 ：１３２人目の素数さん：2012/03/24(土) 12:35:17.99
かわいいｗ
他のシリーズとレベルを合わせたのかもね
他のシリーズとレベルを合わせたのかもね
960 ：１３２人目の素数さん：2012/03/24(土) 18:41:11.73
共立のDQNシリーズは、DQNをなめすぎだと思うよ
かつてのワンポイント双書の平成版ということらしいが、どうだか…
かつてのワンポイント双書の平成版ということらしいが、どうだか…
961 ：１３２人目の素数さん：2012/03/24(土) 19:04:10.09
著者には本気で不等式の本を執筆してもらいたいものだな ( ﾟ∀ﾟ)
962 ：１３２人目の素数さん：2012/03/24(土) 20:57:23.87
本文よりも寧ろ参考文献として挙げられているヤツが気になった
963 ：１３２人目の素数さん：2012/03/25(日) 02:31:17.73
他に買った人の意見を聞きたいッ！
964 ：１３２人目の素数さん：2012/03/25(日) 10:17:10.37
>>962
kwsk
kwsk
965 ：１３２人目の素数さん：2012/03/25(日) 10:45:17.90
>>964
http://www.amazon.com/Analytic-Inequalities-D-S-Mitrinovic/dp/0387048375
不等式ヲタに違いない著者の大関が、こう述べている
「一応分類はされているが、不等式がこれでもかというほど並んでいて、いくら眺めても飽きない」
http://www.amazon.com/Analytic-Inequalities-D-S-Mitrinovic/dp/0387048375
不等式ヲタに違いない著者の大関が、こう述べている
「一応分類はされているが、不等式がこれでもかというほど並んでいて、いくら眺めても飽きない」
966 ：１３２人目の素数さん：2012/03/25(日) 11:25:59.51
>>958
他のシリーズを立読みしてみたら、なんとなく分かったような気がした
前作の「不等式への招待」は枠で囲んであって読みやすかったが、
今回の読みづらさ、余白の多さはシリーズ全般に当てはまる
シリーズの構成上、紹介本にせざるを得なかったんじゃないのかなと…
だからこそ、シリーズじゃない不等式の本を出してほしいと思った
他のシリーズを立読みしてみたら、なんとなく分かったような気がした
前作の「不等式への招待」は枠で囲んであって読みやすかったが、
今回の読みづらさ、余白の多さはシリーズ全般に当てはまる
シリーズの構成上、紹介本にせざるを得なかったんじゃないのかなと…
だからこそ、シリーズじゃない不等式の本を出してほしいと思った
967 ：１３２人目の素数さん：2012/03/26(月) 13:23:55.51
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| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
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968 ：１３２人目の素数さん：2012/03/26(月) 17:56:17.70
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| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
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| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
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969 ：１３２人目の素数さん：2012/03/26(月) 18:53:37.98
このスレまで荒らし始めたか、キチガイだな
970 ：１３２人目の素数さん：2012/03/27(火) 00:40:55.78
__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
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971 ：１３２人目の素数さん：2012/03/27(火) 04:14:07.44
新刊書に面白い不等式は載ってないん？
972 ：１３２人目の素数さん：2012/03/27(火) 05:06:09.35
パラパラッと見たけど、難しい不等式に限って「証明略」なんだよな…
略すんなら、掲載されている論文とか書いとけよと… ('A`)ｳﾞｫｴｧ！
略すんなら、掲載されている論文とか書いとけよと… ('A`)ｳﾞｫｴｧ！
973 ：１３２人目の素数さん：2012/03/27(火) 06:50:32.28
>>971
( ﾟ∀ﾟ)つ 自然数m、nに対して、1/(m+n+1) - 1/{(m+1)(n+1)} ≦ 4/45
( ﾟ∀ﾟ)つ 自然数m、nに対して、1/(m+n+1) - 1/{(m+1)(n+1)} ≦ 4/45
974 ：１３２人目の素数さん：2012/03/27(火) 12:35:26.75
ハアハア・・・( ﾟ∀ﾟ)
975 ：１３２人目の素数さん：2012/03/27(火) 12:54:03.92
__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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976 ：１３２人目の素数さん：2012/03/27(火) 13:15:59.00
次の不等式は，ある定理から簡単に導かれるのですが，基礎知識なしで解くと，どの程度の難易度と判定されるのでしょうか．
a, b, c を任意の実数とするとき，
(3+\sqrt{3})(a^6+b^6+c^6) + (45-3\sqrt{3}) a^2 b^2 c^2 ≧ 18 a b c (a^3+b^3+c^3)
等号成立条件は a=b=c の他，(a:b:c) = (\sqrt{3}-1 : 1 : 1) とその置換.
類似の不等式が10個ほどあります．
私も不等式の本を1冊書きますので，よろしくお願いします．
a, b, c を任意の実数とするとき，
(3+\sqrt{3})(a^6+b^6+c^6) + (45-3\sqrt{3}) a^2 b^2 c^2 ≧ 18 a b c (a^3+b^3+c^3)
等号成立条件は a=b=c の他，(a:b:c) = (\sqrt{3}-1 : 1 : 1) とその置換.
類似の不等式が10個ほどあります．
私も不等式の本を1冊書きますので，よろしくお願いします．
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