２つの封筒問題スレ 4

[問題]
２つの封筒があり、中にそれぞれお金を入れる。
入っている金額の比は１：２とする。
選んで中を見ると10000円だった。
他方の封筒の金額の期待値は？


この問題・類題に関する意見・質問のスレです。
このような問題を他スレで話題にしたりすると、高頻度で荒れる原因になりますので
できるだけ、こちらに書くよう誘導お願いします。


派生元
こんな確率求めてみたい その1/8
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1266017889/

過去スレ
２つの封筒問題スレ
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1267847049
２つの封筒問題スレ 2
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1272010151
２封筒問題スレ　その３
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1286091715/

※注意
ここは数学板の数学スレです。数学的な態度を心掛けましょう。


あくまでも数学の問題として考えて下さい。
期待値が高い方が得なの？交換した方がいいの？実際にやったらどうなるの？実際にはできないんじゃないの？
等、その他数学の範疇でないことに関するレスは、スレ違い・板違いです。

上の[問題]は、そのままでは数学の問題として解けません。
新たな仮定・別の仮定する場合は明記して、別の問題として考えて下さい。

どこを問題とするか、何に興味があるか、何を主張したいか等で、前提が異なることがあります。
前提が異なれば、結論が異なることも当然あり得ます。
前提は明確にしましょう。何を主張したいのかも明瞭にしておくと更に良いです。

主張の結論だけ書くのではなく、その証明も書きましょう。
主張する命題が真であったとしても証明ができないならば、正しい論証ではありません。
「もう解決してる」と思うなら、何が解決しているのかを明瞭に、具体的に書きましょう。

自然言語による説明だけでは、証明にはなりません。
定義を明確にし、論理式や数式を用いて主張・証明しましょう。

他の人の意見が間違っていると主張したい場合は、間違っていることを証明しましょう。
反例が挙げられた命題は否定的に証明されたことになります。
自説を証明したとしても、必ずしも他の説が否定されるわけではありません。
また、説を否定した人が代替案を用意する義務はありません。

偽の命題を前提として推論することはtrivialです。止めましょう。

現代の数学では通常、確率の定義や理論を確率論によって与えています。
確率空間や確率分布がどんなものかくらいは、知っておいた方がよいでしょう。


自然数全体や実数全体に対して一様な確率分布というものは存在しません。

確率分布でないものを確率分布と呼んだり、期待値でないものを期待値と呼ぶのは止めましょう。

どんな確率分布を前提にしているか、明確にしましょう。
(特定の確率分布、一般の離散型確率分布、一般の連続型確率分布、一般の確率分布などなど)

所謂「何の・誰にとっての確率・期待値」を考えているのか整理できていますか？
その確率・期待値は数学の記号でどのように表すのか、わかりますか？

期待値とは、確率と確率変数を掛けた総和、確率による重みを付けた確率変数の値の加重平均です。
単なる加重平均に損得などの特別な意味はありません。また、総和が絶対収束しない場合、普通は定義しません。

期待値が大きいことを期待値的に"得"とか"有利"と言ったり
期待値が正の無限大に発散していることを"期待値無限大"と表現するローカルルールがありますが
損得や期待値の定義を曖昧なまま使う輩が非常に多いので
このスレ内では使わないことを推奨します。


隔離用のスレなので、電波の強い方もホイホイ来ます。
数学的な態度をとれない人にいくら説明しても、理解してはくれるとはかぎりません。
いちいち相手にしたくなかったら、黙殺しましょう。
電波の強い方の反応や、滑稽な解答(のつもりのモノ)を楽しむことが目的の人も、数学的な態度を忘れずに。
数学的な態度をとれず、程度の低い煽りしかできないなら、荒らしや電波の方と同じです。

たけしのコマ大数学科　Part17
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1319347999/43-

43 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2011/10/25(火) 16:43:53.46
封筒のパラドクスの問題がよくわからないんだけど・・・
選びなおしたほうがいいって本当？
中身を見るかどうかで期待値が変わると思えないんだけど

51 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2011/10/26(水) 04:46:53.46
>43
封筒Ａ，Ｂに対して１つを選んだらC円だった。
だからの残りの封筒はC/2か２Ｃ。で期待値は5C/4までは俺でもわかる。

Ｃ円を戻して最初の状態を考えると可能性は（Ｃ，C/2）と（Ｃ，２Ｃ）の二つ。
封筒の合計金額の期待値としては（３/４＋３/２）*C/2で９Ｃ/８。

選んだ封筒、残った封筒の組み合わせは
（Ｃ，C/２）
（Ｃ，２Ｃ）
（Ｃ/２，C）
（２C，C）

変えたときの期待値は上から、−Ｃ/８、+C/４、＋C/８、−Ｃ/４.。
全体としてはプラマイゼロだけど、上二つ下二つで区切ると+C/8と-C/8。
それを9C/8に足すとああなる。
Ｃ円が確定したことで下二つの組み合わせの可能性が消えたから変えたほうが得になる。
ということなのではないだろうかと思ったんだけどどうなの？

83 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2011/10/28(金) 09:30:42.99
封筒のポイントは変更しても０やマイナス（自腹を切る）にならない事

84 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2011/10/28(金) 18:31:50.35
封筒の中身が偶数か奇数か考慮すると結果が違ってくるけど
そんなことはどうでもいいのか
開けた封筒が偶数だった時点でもう片方は2/3の確率で半額だと思うが

ge] 投稿日：2011/10/28(金) 20:18:48.26
本買ったけどよくわからん
なんで見た瞬間に期待値が決まるの？
見てなくてもx円と1.25x円じゃないの？？

87 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2011/10/28(金) 21:08:58.73
>>74
確かに納得できないねぇ

>>84
そこは小切手などで25.5円とかできるで考える
ただでさえ複雑なのにモンティ入れたら収拾付かない

>>86
確かにこの問題においては、見た瞬間に期待値が決まるのに納得はいかんなぁ

２つの封筒をもらえるＡ，Ｂがいて、開封後にＡに交換する権利がある場合の期待値っていくつなんだろう？
その場合のＢの期待値は？


88 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2011/10/29(土) 00:40:37.51
>>87
見たあとなら交換したほうが得ってことはさ、
均等に乱雑な金額が入ってる封筒で片方が２倍で
Aは何も考えずに封筒を１つ選ぶ
Bは見てからもう１つに取り替える
Cは１つ選んで見ないでもう１つに取り替える

こうするとBだけほかの１．２５倍に収束するってことか？
ありえないだろw

89 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2011/10/29(土) 02:11:55.39
「一方の封筒にx円入っていたときに、
もう一方の封筒にx/2円入っている確率と2x円入っている確率が常に同じ」
と仮定すると、封筒を開ける前の時点で、
封筒にx円、2x円、4x円、8x円、16x円、32x円、…入っている確率はすべて同じになる。
つまり、封筒を開ける前の期待値は∞ということになる。（必ず両方に0円入っているという場合を除く）

これが、「常に封筒を変えた方が得」という変な結果になる理由ではないかと思う。
両方の封筒の期待値が∞なので、変える前後の封筒の期待値の比が∞/∞になり、1になるとは限らない。

90 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2011/10/29(土) 04:25:37.20
>>88
＞ 均等に乱雑な金額が入ってる封筒で片方が２倍で 

こんなふうに封筒にお金を入れることは不可能。
よってそれ以降の論議は意味を成さない。

91 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2011/10/29(土) 05:28:27.04
小切手にしてやれ。堅いやつめ。

92 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2011/10/29(土) 08:32:42.53
そうそう、小切手とか、塩の量で考えるのいい

93 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2011/10/29(土) 10:06:14.29
例えば現実に封筒のゲームをやるとする
まず親となる人間が封筒に１０００円と２０００円を入れる
このときプレイヤーは金額を全く知らないが、親から見た期待値は１５００円

そしてプレイヤーが１０００円を引いて交換しようとするとプレイヤー視点の期待値は１２５０円
もし２０００円のほうを先に引いたら期待値は２５００円のように見える

どちらを先に引いても正しい期待値１５００円を計算できないんだから
封筒の金額から期待値を求めるのは間違ってるんじゃないかと思う

97 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2011/10/29(土) 12:31:22.20
問題がおかしい気もするね。
a, 2a の封筒があるときに
aを引けば、変えると2a,1/2aの可能性
2aを引けば、変えると4a,aの可能性
となるが、すべて1/2の確率で２倍か1/2倍になるという仮定をしているが
実際にはそうならない。確率０％の1/2aや4aを50％と見なしているので
おかしなことになる。
問題を変えて、「２つめの封筒を引く前に、１つめの封筒の２倍か1/2倍
の金額に入れ替えました。ただし、２倍か1/2倍のどちらになるかは50%
の確率です。あなたは、２枚目の封筒に変えますか？」
としないとだめだろ。

98 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2011/10/29(土) 12:34:11.56
>>97
問題を変えたら意味ないだろ
パラドクスでもなんでもない

テンプレとこれまでの経緯は以上

20%くらいじゃないの？

20%くらいは専用スレで

とりあえずExcelのマクロ動かしてみた
Sub Macro1()
Dim i As Long
Dim x(1) As Long
Dim coin As Long
Dim jibunnogaku As Long
Dim koukannogaku As Long
Dim koukanshinai As Long
Dim koukansuru As Long

For i = 1 To 10000
Randomize
x(0) = Int(Rnd(1) * 100000) + 1
x(1) = x(0) * 2
Randomize
coin = Int(Rnd(1) * 2)
If coin = 0 Then
jibunnogaku = x(0)
koukannogaku = x(1)
Else
jibunnogaku = x(1)
koukannogaku = x(0)
End If
koukanshinai = koukanshinai + jibunnogaku
koukansuru = koukansuru + koukannogaku
Next i
End Sub

金額が有限ではあるけど、結果は施行するたびにkoukanshinaiが上だったり、koukansuruが上だったり

あとはここみた
http://www.yoshizoe-stat.jp/stat/sinf9307.pdf#search='パラドックス 2つの封筒'

結局、用意できる数字が無限と考えるのがいけないのかな・・・
問題的に無限であっても数学的に計算するときに無限と考えてはいけないケース

金額に範囲があるとすると50%の確率で倍や半分になるのではなく、時には100%の確率で半分に、また、100%の確率で倍になるケースもある。
金額の範囲が仮に1000円〜1億円だとすると
最初選んだのが1000円で100%の確率で1000円の得、1億円の場合は100%で5千万円の損、よってこの1000円と5千万円が全ての確率を相殺しているのでしょうね。

1000円〜1億円と設定したが実際には上にも下にも壁があるというだけでで限りになく0や無限に近い数字なのでしょう

Sub Macro2()
Dim i As Long
Dim x(1) As Long
Dim coin As Long
Dim jibunnogaku As Long
Dim koukannogaku As Long
Dim koukanshinai As Long
Dim koukansuru As Long

For i = 1 To 10000

Randomize
x(0) = Int(Rnd(1) * 100000) + 1
jibunnogaku = x(0)

koukanshinai = koukanshinai + jibunnogaku

Randomize
coin = Int(Rnd(1) * 2)

If coin = 0 Then
koukannogaku = x(0) * 2
Else
koukannogaku = x(0) / 2
End If
koukansuru = koukansuru + koukannogaku
Next i

End Sub

封筒はひとつ、封筒の金額を見た後1/2で倍か半分になるギャンブルをするロジックに変えてみた

なんとギャンブルをするほうが平均的に1.25倍程度に増えます・・・

最初に用意された２つの封筒と、封筒を見た後に1/2のギャンブルをするのでは結果が変わりました・・・

>>17
それはそうなるだろうと思ってた

期待値は？じゃなくて変えたほうがいいかどうかだろ
最初にどっち選んでも変えたほうがよくなるんだから、つまりどちらでも同じということだろ
最初に選ぼうが選ぶまいが中身が決まっているのだからもはや確率ではないんだよ
確率と言えるのは最初に高いほうを選ぶのが1/2というだけ

いや
期待値の計算はどこがおかしいのか知りたい

どの期待値の計算？

だから、期待値という考え方がおかしいんだよ
ランダムなものの中から選んできたら平均でこれぐらいですよ、というのが期待値だろ
もう既に確定しているものを予想するのは数学的な意味での期待値ではない

> ランダムなものの中から選んできたら平均でこれぐらいですよ、というのが期待値だろ 

違う。

＞ もう既に確定しているものを予想するのは数学的な意味での期待値ではない 

確定しているものの確率を数学で扱うことになにも問題はないが？

期待値とは、確率と確率変数をかけたものの総和。 他の意味は(数学的には)ない。

>>24
なんかバカに説明しても無駄だということがようやくわかったよ
おまえさんももうやめときな

確定しているものの確率は１
勝手な想像で1/2と1/2にするのが間違い

>>25
数学板なんだから、数学の話をすればいいと思うよ。

＞ 中身を見るかどうかで期待値が変わると思えないんだけど 

中身をみたら期待値は変わる。
封筒内の金額に関する新たな情報が与えられたのに
期待値が変わらないほうがおかしい。

数学的な期待値と勝手な妄想による己の期待している値をごっちゃにしているバカ発見ｗｗｗ

>>28
おかしいのはおまえの頭

おそらくそんな感じで合ってると思うけど、
じゃあ１つの封筒をあけて1万円だったときもう1個の封筒の期待値はいくらなの？

最初に見た封筒に高額の方の金額が書かれているか、低額の方の金額が書かれているかどうかは1/2づつ。
交換しないを選択し、高額の金額を手に入れるか、低額の金額を手に入れるかも1/2づつ。
交換するを選択し、高額の金額を手に入れるか、低額の金額を手に入れるかも1/2づつである。

しかし、見た封筒の金額がAであったとき、他方の封筒の金額が、2Aであるか、A/2であるかの確率は
1/2づつだと判断できるはずがない。

前者は「○●」があったとき、「○」を選択するか、「●」を選択するかは1/2づつだと言うことを言っている。
最初に「○」を引き、交換するか、交換しないか迷ったり、最初に「●」を引き、交換するかしないか迷おうと、
結局、高額を引く確率、低額を引く確率は、どうなろうとも、最終的には1/2づつである。

後者は、「□」を選んだ時、これは、「◇□」という物の中から「□」を選んだのか、「□☆」という
物の中から、「□」を選んだのか、確率が1/2づつだという判断など出来るはずがないということを言っている。
この確率は、「◇□」と「◇☆」の存在比に依存する。この比が与えられない以上、期待値など計算できるはずがない。

明らかに違うこの両者を「同じ？」と錯覚させるのが、２封筒問題の正体。

訂正
誤：この確率は、「◇□」と「◇☆」の存在比に依存する。この比が与えられない以上、期待値など計算できるはずがない。
正：この確率は、「◇□」と「□☆」の存在比に依存する。この比が与えられない以上、期待値など計算できるはずがない。

>>31
２封筒の合計金額がaである確率を P(a)とすると。

2500(P(15000)+4P(30000))/(P(15000)+P(30000))

>>30
数学板なんだから数学の話をすればいいと思うよ

>>29
誰が？

>>32
>明らかに違うこの両者を「同じ？」と錯覚させるのが、２封筒問題の正体。

そこが最重要ポイントの１つではあるが、それだけじゃない。
そこをクリアしているにも関わらず、
元の問題や派生問題で、パラドクスだと考え、それに関して間違った解決・説明を与えているのも多い。


例えば、以下の２つのような主張や、これに対する説明

「◇□」と「◇☆」の確率の比が全くわからない場合、
どちらが選ばれる(主観)確率も同じと考えるしかないので、パラドクスとなるとする主張：
一方の封筒をあけて10000円だったとき
他方の封筒の金額が5000円である(主観)確率,20000円である(主観)確率は1/2ずつと考えるしかないので
他方の封筒の金額の期待値は12500円。これは確認した金額(交換しない場合の金額)より大きいから
交換した方が良い・交換した方が得である。これはパラドクスである。


「◇□」と「◇☆」の確率の比が与えられていてもパラドクスとなる場合があるとする主張：
n=0,1,2,3,…で
２封筒に2500*(2^n) 円, 5000*(2^n) 円を入れる確率を (1/3) * (2/3)^n であると明らかな場合を考える。
・確認した金額が2500円である時は、他方(交換後)の金額が5000円である確率が1なので
　他方の金額の期待値は 5000*1=5000(円)で、確認した金額2500円より大きいから交換した方が良い・得である
・確認した金額(交換前の金額)が5000*(2^n)円(n>=0)である時は、他方(交換後)の金額が
　2500*(2^n)円である確率は3/5, 10000*(2^n)円である確率が2/5なので
　他方の金額の期待値は 2500*(2^n)*(3/5) + 10000*(2^n)*(2/5)=　(11/10)*5000*(2^n) (円)
　で、確認した金額5000*(2^n)よりも大きいから交換した方が良い・得である
どのような金額を確認した場合でも、交換した方が良い・得であると導かれたが、これはパラドクスである。

上の例はなんも>>32の内容をなんも理解していない人の考えそのもの
下の例は、分布が与えられているのだから、封筒を確認する前の時点でゲームの期待値を計算できるが、発散している。
無限大が絡む話ではその様なことはよくあること。不思議なことかもしれないが、原因は明確。
無限大に繋がる量を、普通の数と同じルールの上で計算しようとしたことにある。
「２封筒問題の不思議」ではなく「無限の不思議」のカテゴリーに入れればよいこと。

はじめの封筒にx円入っている確率をpとすると、
確率分布関数p(x)は、

∫[0;∞]p(x)dx=1かつ
任意のxでp(x)=0

を満たすものとなるよな？
このような関数の持つ性質について

>>39のような分布で２封筒のお金a円・2a円の額を決めることは不可能
1以上∞までのさいころやくじがないから。

仮に主催者が異なる分布たとえばp(1)=p(2)=…=p(1000)=0.001
としてa円を決めその2倍（2a円）をもう1つの封筒に入れたとする。

もう前提が違うので意味のない話だが、
１まい目の金額をb円とすると∫[0;b-1]p(x)dxと∫[b+1;1000]p(x)dx（または額が2倍なのでp(x/2）の積分でも良い)
の大小で2枚目の封筒にするかとどまるか判断すれば良く１：１ではない。
１：１というのは何も情報がない人がとりあえず、勝手に、決めたものである。

>>39
xが離散的な値ではないと仮定しているのか？


>>40
＞ >>39のような分布で２封筒のお金a円・2a円の額を決めることは不可能 
＞ 1以上∞までのさいころやくじがないから。 

ふつうの６面サイコロがあればいい。
1以上∞までのさいころやくじなど必要ないと思うがどうか。

>>40
あ、ごめん。 「>>39のような分布で」 を 「>>37のような分布で」  と読み間違えていた。
>>41は無視してくれ。

128 ：１３２人目の素数さん：2011/11/01(火) 10:41:11.11
「２つの封筒問題スレ」を見る限り、
「封筒を空けて金額を見た瞬間にその後の交換したほうが得」という中村亨の回答・解説は間違いのような気がするがどう？

>>128
「得」という単語の意味を
「現在の封筒の金額の期待値よりも交換後の期待値のほうが大きい」と
置き換えるのなら正しい。

ただし、以下を仮定している。

開けて出てきた金額が今回と異なる金額のときに
他方の封筒の金額が高額である場合と低額である場合が
それぞれ1/2である必要はない。


では、ＡとＢに封筒が渡されて交換が可能、金額を見た瞬間に両方の期待値があがるという事？

二つの封筒で、二倍の場合、十倍の場合、差額が十万円の場合(マイナスなら自腹)などで
一方の金額がわかった後の期待値を考えれば問題の性質がわかるかも
よくわからんが

俺は期待値はあがらないと思うんだけどな

というかコマ大本、もっと解説充実させるべきだろ
あれだけじゃ誰も理解できないじゃん

>>43

＞ では、ＡとＢに封筒が渡されて交換が可能、金額を見た瞬間に両方の期待値があがるという事？ 

両方あがるって何と何のことで、何に対して上がるって言ってる？

「A、Bというのは人で、二枚一組の封筒の一方がA、もう一方がBに渡されたときに
　AとBとが共に封筒を開け金額を確認（互いには見せ合わない）したときに
　A,Bふたりとも交換後の金額の期待値が、現在の封筒の中の金額よりも高い」
ということなのだとしたら、そうだよ。

ただし、封筒を開けた時の金額がいかなる場合でも、自分が持っている封筒が
多い方の封筒なのか、少ない封筒なのかが常に1/2という分布は存在しない。

たまたま、今開けた時の金額のときには1/2だということはあり得る。
A,B共にそういう金額だったということもありえる。
ここでは、そういった場合を想定している。 
そうでなければ、A,B共に交換して増えるか減るかが1/2ということはありえない。
さらにA,Bが増えるか減るかは独立ではない、片方が増えるなら、もう一方は必ず減る。

>>45
何の期待値が、何に対して上がるか上がらないかの話をしている？

>>48
具体的にいうと1枚目をあけて１００００円だったときにあけてないほうが１２５００円になるということ

>>47
>ただし、封筒を開けた時の金額がいかなる場合でも、自分が持っている封筒が
多い方の封筒なのか、少ない封筒なのかが常に1/2という分布は存在しない。

これっておかしくない？
どちらを選ぶかは自由なんだから1/2だと思うんだけど

コマ大から流れてきたから数学の専門的なことはわからないよ
封筒２つの組が２組あって
それぞれ（５０００円、１万円）と（１万円、２万円）の組み合わせしかない時は
１万円の封筒引いたとき交換したほうがお得だよね？
でも問題のようになるとお得ではなくなる？

>>49
そのときＢが中身を見て5000円だったら、Ｂの交換期待値は6250円になるということか？

>>52
俺はおかしいと思うけど、
このコマ大の解答ならそうなるんじゃない？

>>49
それは「期待値が上がる」のではなく、現在の金額より「交換後の期待値のほうが高い」だね。
期待値のほうが高くない（低いまたは同じ）とする理由は？

>>50
＞ どちらを選ぶかは自由なんだから1/2だと思うんだけど

それは封筒を開け金額を確かめる前なら、そのとおり。
金額を確かめたら、そうではない。

誰かコマ大の問題を、正しく再掲載してくれないか？

>>54
たしかにそうだね
確定した金額と期待値を比べているのもおかしいと思うけど、
コマ大の解答は交換したほうがいいって書いてあるよね

金額をたしかめるということによって変わるのがおかしいと思う
見たふりして見なかったらどうなるの？
二人ひと組みで一人だけ見たらどうなるの？？

>>55
それも理解できない
確かめたあとでも
高い方を引いてるか低い方を引いてるかは半々じゃない？

>>56
書こうかと思ったけど、本にのってる文章はどうでもいいこといっぱい書いてあるからすごい長い

箱がある。箱には、「◇□」というものと、「□☆」というものがたくさん入っている（※）。
箱の中から一つの「？？」を取り出し、「？？」の中からさらに一つを選んだら、
「□」がでてきた。「？？」の中のもう一方が、「◇」である確率と、「☆」である確率は？
こんな問題、計算できるはずがない。出来るはずのない問題に対し、あれこれ言っているのが２封筒問題だ。

例えば、(※)が
・箱には、５０個の「◇□」というものと、５０個の「□☆」というものが入っている。
・箱には、９９個の「◇□」というものと、１個の「□☆」というものが入っている。
・箱には、１個の「◇□」というものと、９９個の「□☆」というものが入っている。
の様になっていれば、きちんと計算できる。そして、それぞれに対応して、☆の確率は50%、1%、99%となる。
これが判って初めて、交換してもしなくても同じか、しない方がよいか、した方がよいか決定できる。
逆にこの様なデータがなければ、「判らない」としか言いようがない。

「交換した方が常に得？」←勝手な思いこみを根拠としている間違った判断以外の何物でもない。

>>57
＞ コマ大の解答は交換したほうがいいって書いてあるよね 
すまん、コマ大は放送を見ただけで、
「確かめた金額よりも交換後の期待値のほうが大きいので交換する」
という趣旨の回答だったことはおぼえているんだが
一字一句正確な問題文や、回答文はおぼえていない。

＞ 金額をたしかめるということによって変わるのがおかしいと思う 

これはどうして？

＞見たふりして見なかったらどうなるの？ 

見なかった時と同じ。

＞二人ひと組みで一人だけ見たらどうなるの？？ 

見た方の期待値だけが変わる。 見ていない人は変わらない。
（ただし、中身を確かめるまえの期待値が計算できるかどうかは
　番組の問題文からはわからないはず、おそらく分布は与えられていなかったと記憶している。）

>>58
＞ 高い方を引いてるか低い方を引いてるかは半々じゃない？ 

ちがう。 封筒に入っている金額の分布によって変わる。
開けるまでは、封筒に入っている金額がわからないので
２つの封筒のどちらが高いか低いかは1/2。
しかし金額がわかった後で、いかなる金額でも1/2になるような分布はない。
（何か特定の金額で1/2になるような分布はある、おそらく番組で扱ったのはこのケース）

>>60
じゃあコマ大の解答が間違えているってこと？

その例ならどんなばらつきだとしても
◇は□より大
□は☆より大とか条件つければ
選んだ１つが大である確率は５０パーだと思う
その例自体が不適切なんじゃない？

>>61
つまり
見たあとだと期待値は１２５００円になるから交換したほうがよい
見たあとでは残りが５０００円の確率と１００００円の確率は等しくない

この２つが同時に成り立つってこと？
上と下は同時に成り立たないと思うんだけど

>>60
＞ 逆にこの様なデータがなければ、「判らない」としか言いようがない。

具体的な数値はわからなくても、答えを思考することはできる。
任意に取り出したものが「◇□」である確率をPとすれば
「□☆」を取り出す確率は1-P。
このPを使って、Pがどのような値なら交換後の期待値が大きくなるのかを考えれば良い。

番組では、Pが1/2と仮定した場合についての答を出していたが、他のいろいろな値でも考慮すればいい。

>>63
微妙に異なる。

1) 見た後では、選んだ封筒が高いほうか低いほうか1/2とは限らない。（1/2になることもある）

２） 見た後に、選んだ封筒が高いほうか低いほうか1/2の仮定の下では期待値は１２５００円になる。

１）と２）は同時に成立する。

交換したほうが良いかどうかは、価値観の問題なので数学とは異なる。

>>65
それならたしかに矛盾しないが
それだとコマ大の解答の期待値は１２５００円になるから〜
ってのは仮定を勝手に作ってるということ？
その仮定が成り立つ場合と成り立たない場合がよくわからない

>>62
おれはコマ大なるものを知らない。
設定の違いがあるのなら、それが原因で結論が異なることもあるだろうが、違いがないのに同じ
結論になるのなら、どちらかが間違っているのは自明の事。

後半部分に対しては、>>32でも書いたが、「大きい方」等という指定の仕方をすれば、
それは、「○●」で表現できる「大きい方」と「小さい方」の２種類しか現れないが、
「A円」等という指定の仕方をすれば、「◇□☆」で表したように、「A/2」、「A」、「2A」
の三種類を考えなければならない。この違いをきちんと認識した上で問題を捉えているか？

>>67
＞ 違いがないのに同じ 
＞ 結論になるのなら、どちらかが間違っているのは自明の事。 

言いたいことはなんとなくわかるが、おそらくこれは書き間違いだよな？

>>67
いや、俺自身も>>32と同じ考えだからそれはわかるよ
期待値として計算できないものを期待値としてるってことでしょ？
1/2ずつじゃないってのはちょっとよくわからないけど

コマ大の解答では同じ問題なのに期待値は見る前はわからないが見たあとは12500円になると書いてあって
それが理解できない

>>69
>>32と同じと書いたがほぼ同じというべきだったな
俺は1/2ずつだと思ってるから

>>62
≫60の例は、考え方としては間違いの方向にはないだろう
◇＞□＞☆の関係があるとする

【◇□】も【□☆】の組み合わせも同じ量入っているとする

仮に◇10000＞□5000＞☆2500だとして（引いた人はこれを知らない）

開けた封筒が5000円の場合は50%の確率で+5000円、-2500円の損得
10000円を引いて交換すると常に5000円の損
2500円は常に2500円の得である

5000円を引く確率は50%、10000円、2500円を引く確率は25%づつ

5000円→50%+1250円[50%-2500円、50%+5000円]=
10000円→25%-5000円
2500円→25%＋2500円

そうするとこの箱から選んで交換する場合の期待値はプラスマイナス０です。

>>71
そう結論づけるならわかるよ
つまり交換してもしなくても変わらないってことでしょ？
俺はそうなると思ってるから

71の箱が無限にあり、【□☆】【☆○】も期待値プラマイゼロ71の箱が無限にあり、【◎◇】【◇□】も期待値プラマイゼロと無限に考えれば

【◎◇】【◇□】【□☆】【☆○】の集合でもプラマイゼロと考えられるだろう・・・

>>64
一体、何を書いているんだ？　だからおれは、
>>　逆にこの様なデータがなければ、「判らない」としか言いようがない。
と書く前に、具体的な存在比を仮定して、50%だとか、99%だとか、1%だとか書いただろう。
そして、その数値によって、判断は３つに分かれると。
だから、その判断材料に不可欠な数値が明らかでない以上、判断できないとかいた。

>>具体的な数値はわからなくても、答えを思考することはできる。
すでに、実践して示しる。

そして封筒を開けて□5000円が入っていたとして、それが【◎◇】【◇□】の□か、【◇□】【□☆】の□か、【□☆】【☆○】の□かは不明だが

【◎◇】【◇□】【□☆】【☆○】の中の□がプラマイゼロの期待値だから交換期待値は5000円だと思う

よってコマ大の空けて中身を見ると1.25倍の期待値になるというのは間違いだと思う

>>75
俺も間違えだと思うんだよね
でもあの本が間違えるかな？

>>68　ご指摘の通り　訂正

誤：設定の違いがあるのなら、それが原因で結論が異なることもあるだろうが、違いがないのに同じ
　 　結論になるのなら、どちらかが間違っているのは自明の事。
正：設定の違いがあるのなら、それが原因で結論が異なることもあるだろうが、違いがないのに異なる
　 　結論になるのなら、どちらかが間違っているのは自明の事。

ついでに>>74　も訂正
誤：すでに、実践して示しる。
正：すでに、実践して示している。

補足として、あけて10000円で交換しても期待値が１００００円というのを逆算すると、
残りの封筒に入ってるのは５０００円か２００００円
これの期待値が10000円になるためには、
5000円が2/3、20000円が1/3になる
ということはあけて10000円だった時点でそれが大きいほうだった確率は小さい方だった確率の２倍
10000円という数に意味はないから
無作為に２つの封筒から１つ取ると小さいほうを引く確率が２倍ということになる

？？？？？

これはどこが間違えてる？？

>>74
＞ そして、その数値によって、判断は３つに分かれると。 

３つにわかれる？
交換する、しない、以外に何があるんだ？

>>76
間違えてもおかしくはないと思うけど・・・こういう時はコマ大チームの出番だと思うけど、

大量に二組の封筒を混ぜた箱から一組選んで1万回くらいやって、変えた場合、変えない場合のトータル金額を出す

大量に二組の封筒を混ぜた箱から選ぶというのが問題の意に反するといわれたどうしようもないが・・・

>>74
＞ すでに、実践して示しる。 

先に手にした封筒が高額の方の封筒である確率がどのくらいの範囲ならば
交換後の期待値が高くなるのか等、示されていないと思うが。
実践というのは、そのような具体的な数値を示すことは含まないのか？

>>80
そういう試行したら絶対変わらないと思うんだよね
見たか見てないかで結果が変わるってのはありえないでしょ

あの番組に出てる数学者の人って一応それなりの人でしょ？
有名問題だし間違えるというのは考え難いなぁ

>>78
うまくいえないけど、
5000円が1/2、20000円が1/2の場合もあるし、5000円が0/1、20000円が1/1の場合もあるし、5000円が1/1、20000円が0/1の場合もある事も考慮に入れないといけない
それを平たくすると5000円が2/3、20000円が1/3となる、しかしこの2/3とか1/3は確率ではなく期待係数みたいなものかな・・

>>78
＞ 無作為に２つの封筒から１つ取ると小さいほうを引く確率が２倍ということになる 

逆じゃないか？ 大きい方をひく確率が２倍だと言いたいんじゃないの？

もっとも、「交換後の期待値が交換前の金額と一致する」というところは間違い。
それは一致しない。
（たまたま一致することはあるが、するとは限らないと言ったほうがいいか？）

>>83
うーん
それがよくわからないな
大と小と書かれた二つの封筒があって
無作為に封筒あけて大きいほうである確率はさすがに1/2だよね？

>>84
そうだ、大きいほうが２倍の間違え

やっぱり確定した金額と期待値を比較するという概念自体が間違えてるということ？
じゃああけて１００００円だった封筒がある
この封筒の期待値っていくら？？

>>85
それで間違いないと思う、
この集合には見えない下限と見えない上限が存在するとすると、下限の出現する可能性と上限の出現する可能性は等しい
しかし、下限のときに100%プラスになる金額と上限のとき100％マイナスになる金額の差が膨大
よって長いことこの封筒の交換を行うと交換してもしなくても期待値は同じになる
よって個々の施行の期待値も同じであると考える

まとめると、
10000円引いたとき残りの封筒が5000円である確率は0か100%
10000円引いたとき残りの封筒が20000円である確率は0か100%
それを合成して5000円1/2、20000円1/2としているのが間違いなんだろうね

>>87
差が膨大ならプラスのほうが大きくなるんじゃないの？
というか言ってることの意味がよくわからない

>>88
まぁ、それはそうなんだよね
それが正しいのはわかる

結局もう１枚の期待値も今引いてるほうの期待値も定義できないってことでしょ？

コマ大は間違えてるってことになるけどそれもおk？

でもそれだと結局取り替えても変わらないってことでしょ？
それはもう１枚の期待値も１万円ということにはならない？？？
いや、期待値を考えることすらできないんだからならないのか？

>>87
書かれている金額にマイナスがあるんならその通りだけど、下限が０なら、上に発散する。
すると、「交換する方が常に得」という状況もあり得るが、無限を仮定した世界ならば、
このような事があっても不思議ではない。

>>88
正しい。面白い切り口だな。

>>91
取り替えた方がよいか、取り替えない方がよいか、判断に必要な材料がないのだから
判断できないのであって、変わらないというのとはニュアンスが違う。
期待値が考えられないというのは正しい

>>93
つまり、変えても変わらないのでなくて、
変えたら得になるかどうかは期待値の視点からもわからないということ？

だとすれば１つ目の封筒を見て替えることと見ないで替えることは
全く同じということでいい？

>>90
コマ大間違いはＯＫだと思う、

コマ大の先生は偉いから間違いないというなら、こちらのえらい先生は間違いというパラドックスが生まれてしまう
http://www.yoshizoe-stat.jp/stat/sinf9307.pdf#search='パラドックス 2つの封筒'
>>89
上限のときは100%-1億円とかになるから、マイナスに触れるの意味

>>91
半分になる確率や倍になる確率は不明でも、期待値は1万円でいいと思う

>>92
かりに無限があるとして、無限の2倍という存在し得ない数字がないと成立しないので上限てきな物は必ずあると考えている。また無限に０に近い数字というのものも考慮する、これは1/2に出来る数字ではない
あくまで期待値を求めるために考慮しないといけない存在・概念の話ですが・・・

>>95
まったく同じだろうね、実際に100万回やって、1.25倍の差は出ないと思う

ただ100万回の施行するのにどのような条件の元施行すればいいのか考えるのが大変

>>96-97
それだとなんの疑問も無くなってしまうな
ただ、
>半分になる確率や倍になる確率は不明でも、期待値は1万円でいいと思う

この部分はおかしくない？
確率不明で１万円ってことは、ありえる金額は５０００円か２００００円なんだから、
>>78の議論になってしまわない？？

>>94
「期待値の視点」というのは「期待値」が計算できて使えるもの
期待値を計算するには、(5000,10000)と(10000,20000)の存在比が不可欠
それが判らないから、期待値は、計算できない。よって、そのような視点は「使えない」
あえて「期待値」について触れれば、「5000より大きく、20000より小さい値の何処か」
にあるとしか言えない。（「7500以上15000以下」ではない)

>>90
コマ大は視聴の対象だけど信仰の対象ではないよ。

参加費１万円で1/2で金額が倍1/2で金額が半分になるゲームがある
これは期待値の考えからいうと参加したほうが得

これは真だよね？
これと混同してしまっているところがパラドクスなわけだよね？

>>100
その考えなら最初の自分の考えと同じだからなんの問題もないわ

なるほど、なら、
個々の期待値不明だが、ある必要十分以上の試行回数において[Ｘ円ｘ試行回数]の期待値とするのがいいかな

>>101
それは真だね、1/2で金額が倍1/2で金額が半分と定義されているので・・・

期待値は不明だけど、
理想的なモデルがあればおそらく、もう１個の封筒の金額も最初に開けた封筒と同じ金額に収束すると考えていいのかな？

>>105
そうだと思う、そう考えるとパラドックスが解消される

>>106
そうだね
そうすると収束するということは期待値も１万円になりそうなものだけどそうならないのが不思議だなー
１枚目も色々金額が変わってその結果x円に収束して、２枚目もx円に収束する
１回ごとは期待値不明、みたいなイメージかな

これで一回毎の期待値は等価で他に矛盾がなければすっきりするとことなんだが・・・

>>108
１回ごとの期待値を定義できないんだけど、取り替えても得しないってのがすっきりしないよね

>>109
得しないんじゃなかった
わからないのが正解か
長い目で見るとおそらく変わらないってことか

人の会話が入っている音声テープがある。
所々音声を無音化してしまうと、何を言っているか判らないが、無音部分を電車の騒音の様な雑音に置き換えると、
なぜだか聞こえてしまうと言う現象がある。これは、脳が勝手に雑音部分を補完してしまって起こる現象だ。
経験がもたらした、脳の高度な機能と言える。

>>108>>109
すっきりしないのは当然。
数学の問題として成立させるために必要な情報が欠如しているんだから、答えが導けない問題なのだ。
そんなところに、>>101のような別のゲームの存在を脳は知っている。
冷静に考えれば、全く違う問題だと判るのに、あえて必要な情報を取り除いたことで、
勘違いあるいは錯覚を誘発させている。これこそが２封筒問題の正体だ。

封筒は２つだけど一万円を引く確率は１／３じゃないの
引いた金額が１／２と１と２のどれに該当するかの１／３
その場合替えなかったら期待値11666円
結果でしか計算できないから問題にならないんだと思う

>>111
>>37の後半のように必定な情報が欠如してないのにもかかわらず矛盾が導ける例が存在する

>>113
無限が絡む例では、良くある例。
「無限に潜む不思議な話」に分類すればよいだけ。

>>88
＞ 10000円引いたとき残りの封筒が5000円である確率は0か100% 
＞ 10000円引いたとき残りの封筒が20000円である確率は0か100% 

そんな確率があるか。

>>87
どんな分布を仮定して、期待値を考えているんだ？

>>101
期待値を、損得の指針にしている所が問題。
期待値は一般には損得の指針にすることはできない。

損得は人間の感情による価値判断が含まれるので数学では扱えない
もしくは、数学的に扱えるような損得を定義する必要がある。

２封筒問題の根本は、それと混同しているところではない。

>>115
「◇□」と「□☆」がたくさん入った物の中から、ひとつの「？？」を選び、
「？？」の中かから一つ選ぶと「□」がでてきた。
もし、選んだ物が「◇□」だったら、残りの一方が「◇」である確率は100%で、「☆」である確率は0%
もし、選んだ物が「□☆」だったら、残りの一方が「◇」である確率は0%で、「☆」である確率は100%

残り一方が「◇」なのか「☆」なのかは、「◇□」と「□☆」の存在比が判らないと計算できない。

>>113
矛盾が導ける？ まさか？ どこに？

>>112
それ違う問題。

>>118
それ、
明日大地震が起きたら、大地震が起きる確率は１００％
明日大地震が起きなかったら、大地震が起きる確率は０％
だから大地震が明日起きるのは、１００％か０％
と、言ってるのとなんかちがうのか？

文章の上辺しか読めないかわいそうな人だね。
論理的思考をしっかりと行うために、比較対象が可能なように、当たり前のことを丁寧に書いている。

□がでたとき、他方が◇なのか☆なのかは、◇か☆しかあり得ないから、1/2づつ等という乱暴な
考えが出来ないことを丁寧に示している。

他方が◇であるためには、選んだ物が「◇□」でなければならない。
他方が☆であるためには、選んだ物が「□☆」でなければならない。
それならば、他方が◇であるか☆であるかは、選んだ物が「◇□」であるか「□☆」であるに依存する。
その確率は、たくさんあった物のなかの「◇□」と「□☆」の存在比に依存する。

この論理展開の説明の一部分があの中にある。
今日の投稿ぐらい、きちんと読み直してから、書き込みしたら？

Aを選んでからBにかえるのと
Bを選んでからAにかえるのと
どっちかが高くてどっちかが安いんだから得する確率はどちらかが1でどちらかが0
AもBも事前に確定しているのだから、2回目のケースが枝分かれすることはない

>>121も「だからといって1/2とは言えない」ことを端的に表しているので
結局は数学的な期待値に影響するような違いではなく
あつかうテーマの違いでしかないということでいいのか？

また

＞ □がでたとき、他方が◇なのか☆なのかは、◇か☆しかあり得ないから、1/2づつ等という乱暴な 
＞ 考えが出来ないことを丁寧に示している。

これは「理由不十分の原理により1/2」とは適応できないだけの
十分な理由があると言っていると考えていいのか？


レス内容の人格の問題については、ここは数学版なのでわざわざ考慮も反論もしない。

>>123
＞ 2回目のケースが枝分かれすることはない 

詳しく。 何を言っているのか意味不明。

主観確率
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%BB%E8%A6%B3%E7%A2%BA%E7%8E%87

ベイズ確率
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%82%A4%E3%82%BA%E7%A2%BA%E7%8E%87

という考え方(哲学的解釈)があるのを知らないのか、あるいはこれを認めない主義なのか？
例えば
偏りがあり、投げた時に表裏のどちらかが出やすいことは判明しているが
どちらがどれだけ出やすいのか全く不明なコインを１回だけ投げた場合の表が出る確率は

[A]判らない。０以上１以下で、１／２ではないとしか言いようがない
[B]１／２である

という２つの考え方があって、どちらもそれぞれで正しい
(どちらの値に関してもそれぞれ確率論の公理を満たすようにできるから、それぞれ確率と呼べる)。

[A]の考え方(前提)では確かに
> □がでたとき、他方が◇なのか☆なのかは、◇か☆しかあり得ないから、1/2づつ等という乱暴な
> 考えが出来ない
となるが、
[B]の考え方(前提)では
他方が◇である確率1/2, 他方が☆である確率1/2　としてよい。
また[B]の考え方の下で矛盾が導かれることはない。

[A]と[B]を混同したり、期待値の計算を間違えたり、損得の定義がいい加減である
と正しい推論ができない。

>>124
>>32 >>33 >>60 >>67 >>77 >>100辺りに私の意見は書いてある。
1/2とは出来るはずがない理由、「判断できない」が正答だという理由も書かれている。
期待値を求めるのに必要な情報がないからだ。その辺りを読み直して欲しい。

>>119
矛盾が導けるってのは言いすぎたかもしれんが
変えた方の期待値の方が高くなるってのは直感には反してると思う

>>127
＞ 1/2とは出来るはずがない
という結論は
「理由不十分の原理により1/2」とは適応できないだけの 
十分な理由があると言っていると考えていいのか？ 
それとも理由不十分の原理については考慮の外なのか？

この２封筒問題を始め、最初のカードがダイヤの確率問題などの
一見簡単そうな確率の問題がよく話題になり延々ともめるのは
問題そのものの根本とはあまり関係なく関係なく
数学の用語についての定義もろくに知らないようなのが
自分の主張が伝わらないのは、自分の理解や説明が不足して
いるからはなく相手の頭が悪いからだと考え
相手の人格や能力について批判を始めるところにある。

>>128
矛盾が導けるものと、直感に反するもののどちらもをパラドクスと呼ぶことがあるが、
それらは一方が他方を含むとか、階層構造を成すというような関係のものではない。

極端な言い方をすれば、非自明な定理はすべてパラドクス（直感とは結果が異なる）とも言えるが
矛盾という意味でのパラドクスは、その定理そのものが矛盾しているのではなく
仮定（公理）が矛盾を含んでいるのである。

一言で言うと、2回目の結果は1回目の従属事象なので
1回目が終わった後に独立に計算するのが間違い

交換前と交換後を１回目２回目と言ってるのかな？

用語は、他人に伝えるのを目的に選んでほしいなぁ

>>117
期待値の考えからと限定してるだろ
だから期待値がプラスかどうかを損得に定義してるんだよ

>>133みたいなバカは理解できなくていいよ

>>129　他方の封筒が5000なのか、20000なのかは、元々の封筒のペアが(5000,10000)なのか、
(10000,20000)なのかに依存する。
問題文には、その封筒のペアが、(5000,10000)である確率と、（10000,20000）である確率
あるいは、(5000,10000)と（10000,20000）だけの存在比率は確認できない。
確認できるのは、二枚の封筒の一方が他方の二倍だと言うだけ。
高額の方を引く確率と低額の方を引く確率は1/2づつだということははっきりしているが、
10000が高額の方の金額である確率((5000,10000)と言うペアを採用する確率）や
10000が低額の方の金額である確率((10000,20000)と言うペアを採用する確率）について、
何も情報が与えられていない以上、判断のしようがない。

具体例を出すと、例えばもし、50組の(5000,10000)が入った大袋と、50組の（10000,20000）
が入った大袋、合計100の大袋の中から、一つの大袋を選び、その大袋の中の二つの袋の中
から一つの封筒を選んで10000がでたというのなら、他方の封筒が5000である確率と20000で
ある確率は、両方とも1/2づつになる。
もし、1組の(5000,10000)が入った大袋と、99組の（10000,20000）が入った大袋、合計100の
大袋の中から、一つの大袋を選び、その大袋の中の二つの袋の中から一つの封筒を選んで
10000がでたというのなら、他方の封筒が5000である確率は1/100、20000である確率は99/100となる。
このように、(5000,10000)と（10000,20000）の存在比等がはっきりしていれば、確率は計算
できるが、この問題には、この様な情報がないため、判断のしようがない。
偶然か故意かはともかく、>>111で書いたような効果と相まって、混乱を引き起こす問題となっている。

>>129
[理由不十分の原理]と言う言葉は初めて聞いたので、検索したら、
[不十分理由の原理]というものが見つかった。（両方使われているようだ）

>> 統計学上の原理で，種々の場合が同様に確からしく起こるということに，反対理由
>> が見いだされない場合には，やはり同様に確からしく起こるという原理．
ttp://kotobank.jp/word/%E4%B8%8D%E5%8D%81%E5%88%86%E7%90%86%E7%94%B1%E3%81%AE%E5%8E%9F%E7%90%86

高額の封筒を選ぶか、低額の方の封筒を選ぶかについては、この原理は適用（適応×）でき1/2と出来るが、
10000を引いた時、他方の封筒が5000か、20000かについては、この原理は適用できない。
反対理由がある。
(5000,10000)内で、前者か後者か、あるいは、(10000,20000)内で、前者か後者かは原理に従い1/2だが、
ペアが、(5000,10000)なのか、(10000,20000)なのかは、>>136のような任意性もあるし、作為も出来る。
この原理が適用できる訳がない。
また、(5000,10000)なのか(10000,20000)なのかが同様に確か等という内容も問題文には一切記されていない。

えらくわかりづらい内容だな
もうちょっと簡潔に書いてほしいもんだ

頭の悪い人はどう説明しても理解できないだろ
ここまでにまともな説明が既にいくつも出てきてるんだから

>>139
まともな説明はどれですか？

ざっと読んでわからないのなら
これだと言われて読んでも理解できないだろう

>>135
さっそく>>130の実践

>>134
＞期待値がプラス

また新しい用語の自分定義か？

>>143
交換したほうが期待値が高くなるってことね
くだらない揚げ足取りやめてくれる？

>>137

＞ この原理が適用できる訳がない。 


「他方の封筒が２倍の時と半分の時では等確率でない」と書かれていないことも含め
封筒の金額の分布に関する情報が、問題文には一切無いことには同意しているにもかかわらず
それが等確率ではないという「理由」は何か？ 

理由不十分の原理が適応できない以上は「等確率ではない」という情報が必要だということは
理解しているか？
それとも、「理由不十分の原理」そのものを認めないという考えなのか？

>>144
「期待値が高く【なる】」というのは、期待値が変化するってこと？

>>139
>>130

>>146
>>101の例でいうと期待値が10000円より上という意味

微妙な問題を扱っているという自覚があるなら
最初から誤解のない言い方にしてほしい。

>>145
「理由不十分の原理」は事象Aと事象Bの発生確率に差をつける理由がないなら
p(A)=p(B)だということを言うものであろう。
「理由不十分の原理」が適用できないとは、p(A)とp(B)の間に、≠を入れるものではない
p(A)とp(B)の間に入れるべき不等号、等号記号が、どれなのか判断できないという意味である。
p(A) > p(B) や p(A) < p(B) や p(A) = p(B) の可能性全てを残している。

作為的に、等確率にすることも、偏った確率にすることも可能である。
実際に等確率が実現するような例を示している。


>>理由不十分の原理が適応できない以上は「等確率ではない」という情報が必要だということは
>>理解しているか？

これはこの原理の意味を正しく理解している人の言とは思えない。

>>121
封筒の中身が決定したのは過去、それなのに地震の問題は明日と未来にしているところの悪意を感じる

昨日大地震が起きたら、昨日大地震が起った確率は１００％
昨日大地震が起きなかったら、昨日大地震が起きなかった確率は０％

ＯＫ？

>>151
封筒の中身を知るのは未来であるから、同じでないと思う。

同じにするなら、「昨日地震が起こったかどうかまだ知らない。あとで教えてもらう。」
などを追加せねばならんような。

>>150
国語の問題かもしれんが 

＞ 差をつける理由がないなら p(A)=p(B)だということを言うものであろう。 

＞ 適応できない以上は「等確率ではない」という情報が必要

同じ意味ではないのか？

それとも情報ではない理由があるのか？

>>151
よくある

＞ 投げた時に表裏のどちらかが出やすいことは判明しているが 
＞ どちらがどれだけ出やすいのか全く不明なコインを投げた時に表が出る確率

という例えは、コインに作為的に裏またはおもてのどちらかだけにしか偏らないように
細工をする可能性をがあるから理由不十分は適応できず、1/2とするのは正しくないという立場のひと？

>>151
A) 
封筒の中身を先に決定しておく （封筒の中身が決まったのは過去）

B） 
1. 先に封筒をひとつ選ばせ、渡すとき（開ける前）にこっそりとある金額を入れる。
2. プレイヤーが封筒を開け金額を確かめる。
3. プレイヤーが交換するしないを決めたら、残った封筒にこっそりと適当な（Aと同じ分布になるように）金額を入れる。
4. プレイヤーは交換を決めただなら、交換後の封筒を開け金額を確かめる。

A) と B）では 金額が決定するタイミングが異なる（プレイヤーの意思決定の前後）が
プレイヤーへの支払い金額を含め、確率的な差異はなにかあるのだろうか？

プレイヤーにとって金額が決定するのは封筒を開ける時であって
封筒に金を入れる時ではないのではないか。

地震も同じ、いつ地震が起こるのかは関係なく
プレイヤー(?)が地震についての情報を知る時が重要。

おもしろいな。
問題文に書かれていない作為の介入を理由にできるのなら
すべての確率の問題文に
 「サイコロやカードやコインなどには作為の介入は行われていないこととする」
という注意書きが必要になりそうだ。

>>153　　国語の問題ではないし、同じでもない。

小さなカードがある。カードの表は青、裏は赤だ。
見えないように手の中で振り、机の上に置く。見える面が青か赤かは1/2づつ
この確率の決定には、「理由不十分の原理」が適用されている

両面青いカードと、両面赤いカードがある。それを何枚かづつ袋の中に入れ、
適当に一枚を取って机の上に置く。見える面が青か赤かは1/2づつだとは言えない。
この確率の決定には、「理由不十分の原理」が適用できないからだ。
しかし、青いカードと赤いカードの枚数を同じにすれば、1/2づつである。

「理由不十分の原理」が適用できないのに、1/2の例だってある。
当然、入れる枚数によって、1/3と2/3にすることだって、他の値にすることだって可能

この様に、人間の意志や、条件設定で確率を変化させることが出来る場合は、
「理由不十分の原理」は適用できない。>>137で言うところの反対理由があるからだ。

>>157
てことは>>56なのか？

>>157
＞ 両面青いカードと、両面赤いカードがある。それを何枚かづつ袋の中に入れ、 
＞ 適当に一枚を取って机の上に置く。

これは言えるという立場と、言えないという立場がある。
以下のどこからが言えて、どこからが言えないのかは、４通りの立場がある。

偏りがあり、赤いカードか青いカードかのどちらかが多く入れられている可能性があることは判明しているが
どちらがどれだけ多いのかは同じなのかは全く不明な袋の中のカード

偏りがあり、赤いカードか青いカードかのどちらかが多く入れられていることは判明しているが
どちらがどれだけ多いのかは全く不明な袋の中のカード

偏りがあり、投げた時に表裏のどちらかが出やすいことは判明しているが 
どちらがどれだけ出やすいのか全く不明なコイン



 

失礼、最初の例の 「偏りがあり」は削除

赤いカードか青いカードかのどちらかが多く入れられている可能性があることは判明しているが 
どちらがどれだけ多いのかは同じなのかは全く不明な袋の中のカード 

>>157
＞ 人間の意志や、条件設定で確率を変化させることが出来る

前者をできない、後者をできる、とする「違い」について詳しく説明してくれないか？

入れる枚数 は人為的調整や条件設定だが
カードの裏表を見ない（他の条件は与えられていない）で選ぶのは
人為的ではなく条件設定はできないとする理由が知りたい。

「明示されていなければ、可能性があるかぎり疑う」 という立場なのか
「明示されていないことは、起こっていない」 と考える立場の違いの話
なのかと思っていたがどうやらそうではないようだ。
国語の問題でなければ、常識の違いの問題なのか？
 

>>152
どのみち>>121のたとえが正しくないことには変わりない・・・

>>155
地震の話は「明日起こったら明日起こる確率は」とおかしな現象の話になっている

また、Aと同じ分布になるように入れる方法を示してくれ

>>155
どちらの例も、プレイヤーにとって（２つの封筒の）金額が決定するのは封筒を開ける時ではなく、封筒にお金を入れるときと思えるが、何か間違えてるかな？

>>155
ＡとＢの例えが、地震の話の根拠になってないぞ

>>155
>>121の言ってることの補足にはなってないぞ

>>167
補足などではないが、何を言ってるんだ？
なにか行き違いがあるように思える。

>>165
誰にとって決定しているのかを考えていないのかな？

ABCは サイコロの出目の分だけ金貨をもらえる事になった。
サイコロは一度だけAが振り、全員がその出目の分だけ金貨をもらえる。

Aはサイコロを振ってその出目を見た、３だった。
Bはその目を見せてもらえない。
Cは横からサイコロを見ることが許された。５が見えた
（上面が５でと２ではないことが解っている。）

この時点で、ABCのそれぞれの立場でもらえる金貨の期待値はわかるか？

>>169
あなたがどちらの意見の方かはわからないが、12500円の立ち位置の人かな？

仮にサイコロの状態からその期待値の判断が出来るからといって、もう片方の封筒の中身を判断できることの証明にならないのだけど・・・・

>>170
＞ もう片方の封筒の中身を判断できることの証明にならない

そういう話をしているのではなく、期待値は立場によって変わるという話をしている。

「金額が決定する」という言葉を
「プレイヤーの視点で起こる事象が１通りに定まる」という意味で使わないで
「プレイヤーにはその金額は解らないが、封筒に金額を入れた時点で金額は決まっている」
という意味で使うのならば、それは確率的には意味のない主張になってしまう。

分布が同じなら、 いつ封筒に金を決めようが入れようが、確率的には同じ事象。

>>169>>171
結局どっちサイドなんだ？

ちなみに、封筒の問題で期待値不明の立場からものを言わせてもらえば、Cの立場でもらえる金貨の期待値も不明になるだけどね・・・

>>171
同様に地震の話も確率は不明というのが正解だろうね
地震なんてどんな情報を持っていたとしても確率なんて割り出せないでしょ、それと封筒の確率は同じだよ、それだけの情報だけでは確率や期待値はわからないの無理やり出そうとしている
そういう意味では上のサイコロの問題も前提条件が不足しているので確率や期待値は出せない

立場によって変わることってここにいる人間なら誰でもわかっることと思うんだが、論点がずれただけで何の役にも立ってないぞ

>>171
その分布を図ることができないからあとから意図的に分布どおりにお金を入れることができない。
よって確率的に同じ事象ではない

>>121
その地震の例えに間違えはない、ただの条件付確率って事だよね
よって>>118にも間違えはない

>>172
Cの期待値が不明なのはなぜ？
Bは不明なの？不明じゃないの？

>>174
「分布を図ることができない」というのはプレイヤーの視点からの話ではないの？
お金を入れるのはプレイヤーではないよ、ディーラーだよ。

ディラー視点では、「何らかの方法」で金額を決定するのだから
その分布を知ることもできるし、同じ分布となるようにもできるのではないかな？

>>173
＞ 地震なんてどんな情報を持っていたとしても確率なんて割り出せないでしょ

数学以外の話をしたいの？

>>165
「金額が決定する」というのは、
プレイヤーが確率１でその金額になることをプレイヤー本人が知ることを言う。

プレイヤーは、封筒を開けるまで、封筒の中身の金額を知ることはできない。
しかし、ディーラーの視点では、プレイヤーが開けなくても金額は解っている。
神の視点では、ディーラーが封筒に金を入れる前から、金額が解っている、

明日地震が起こるかどうかは、プレイヤーは知らない
しかし、神の視点ではもうそれは決まっている。

>>176
サイコロの形状などを自分の思うように考えている
その点で封筒が1/2でと思い込んでいるのと同等だよ

サイコロとは「１〜６の自然数がすべて等確率に出目として現れるもの」
という仮定からして覆そうということ？

サイコロって言われれば、断りが無くてもどの目の出やすさも同じと考えて問題を解く
カードの裏表と言われれば、どちらの面が出るのも同じと考えて問題を解く

だけど、好きな数字を選び、その数字とその数字の２倍を書けと言われたら、どんな数字
のペアが書かれるか全く判らない。

２封筒問題は、左の封筒か右の封筒かの２択だから、
「高額の封筒を選ぶ確率は1/2で、低額の封筒を選ぶ確率が1/2だ」というのは正しい。しかし、
「10000が高額である確率が1/2で、10000が低額である確率も1/2だ」というのは正しくない。

「10000が高額である」というのは、好きな数字として5000を選んだこと。
「10000が低額である」というのは、好きな数字として10000を選んだこと。
だから、「10000が高額ある確率」と、「10000が低額である確率」は、ディーラーが好きな数字
として5000を選ぶ確率と、10000を選ぶ確率の相対比になる。
これが、1:1だなどと判断できるわけがない。（不明という意味で、1:1である可能性を否定するものではない）

けちなディーラーで最初から、数千円程度しか眼中になかったら、10000で有った可能性は0だろう
正２０面体サイコロに１〜２０の数字を書き、出目の千倍を好きな数字にしたなら、5000も10000も1/2づつ。
自分の財布の中から適当な札を一枚取って、それを好きな数字にしたなら、5000円札は普通０〜２枚程度。
万札は０〜？？。万札を引いた可能性の方が高いかも知れない。この様に、全く不明なのだ。

なるほど数学ではない話がしたいのか。
それなら板違いだ。

テストをして点数の分布が次のようになった。この分布から平均点を求めよ。
81〜100：２人
61〜80：３人
21〜40：１人
という設問があったなら、疑義はない。平均点はきちんと求められる。しかし、与えられたデータが
81〜100
61〜80
21〜40
だったらどうだろう。平均点は求められるか？
勝手に各ランクに一人づつと思いこんで平均を求める人も現れるようだが、それは正しいか？

２封筒問題は、この様なもの。必要な情報が欠けている。だから求められない

勝手に人数を仮定して平均値を求めるのと、必要なデータがないから求められないと指摘し
回（解）答するのとでは、どちらが正しい対応か

>>184
いやその平均点は求められないだろ。
それとも答えを区間で（○○＜平均＜△△）てなふうに平均を求められるかどうかの話なのか？

>>182
現実のには、サイコロは正確な６面体にならないし、各面が等確率で出るサイコロなど存在しない。
カードの裏表を、ランダムにしかし1/2に決める方法も存在しない。

数学では、そこをなんとか「もし、等確率のサイコロやカードがあったら」という仮定の下で思考をする。
もちろん等確率でない仮定もできるが、その場合の結果は、等確率と仮定した場合と異なっていても
仮定が違うのだから矛盾してないと考える。 どちらがより正しいかなんてこともない。

それはサイコロやガードに限らず、ルーレットだろうが封筒だろうが、ディーラーでさえも
そのように仮定することができる。
封筒やディーラーだけを、サイコロやカードと区別しなければならない理由はない。

開けた封筒から１００００円出てきたときには、それが高額の封筒であったのか
低額の封筒であったのか、等確率に起こるとの仮定の下では
けちなディーラーがいる可能性など、考慮する必要などまったくない。

もちろん、あなたが、ディーラーはケチだと決めて（仮定して） 開けていない封筒には
２万円ではなく５千円が入っていることが圧倒的に多いのだ、という別の数学を展開することは
何の問題もなく自由。 しかし、その場合でも、けちなディーラーを仮定しない他の数学に対して、
それはおかしい間違っているなどというのは、まったくもってナンセンスなことである。

>>184
分布が分かってても無理なパターンがある>>37の後半のような
しかし、だからといって必ず交換戦略はこの場合有効ではない！
なぜならこの場合期待値が無限大へと発散するからだ
無限大の1.1倍の期待値はやはり無限大でありどちらが上だと言えない状況なのだ
いや当然ながら10000円が出たならば交換したほうがいいし20000円が出ても交換したほうがいい
だが！この交換したほうがいい戦略はは全体へとはつながらない
この『個々の事象なら交換したほうがいい』→『よって全体としても交換したほうがいい』
この矢印が間違いの元だと思う

>>182
＞ 好きな数字を選び、その数字とその数字の２倍を書けと言われたら

好きな数字を選ぶためには、選ぶ方法が必要だろう。

>>182
たぶん貴方の心のなかには サイコロやカードには 等確率であることを受け入れる理由があって
封筒（ディーラー？）の場合にはないのだろう。

その「ある・なし」の違いが、経験によるものなのか、嗜好によるものなのかはわからないが
その違いに、数学的な違いを見出さない限りは、ここでの（数学板での）論議は徒労に終わると思う。

>>186
サイコロの目やカードの裏表、選んだ封筒が高額か低額かには「理由不十分の原理」が使える
（＝同様に確からしく起こると言うことに反対する理由はない）が、

ディーラーが(5000-10000)という封筒のペアを用意したか
ディーラーが(10000-20000)という封筒のペアを用意したかには、「理由不十分の原理」が使えない。
理由は、同様に確からしく起こるということに反対する理由があるから。

これが理解できないなら、残念だ。これ以上あなたとは関わる事に価値はないだろう。

想像するにたぶん>>184は、正解が先に用意されてから与えられる問題を解くというスタイルの
数学しか受け入れられないのだろう。
解を求めるためにはさらにどのような仮定が必要か、どのような仮定ならば別の結果が得られるのか
などの探求よりも、彼は「この問題では解が唯一に定まるための条件が欠けている」と問題の不備の
指摘をするほうが正しい対応だと主張するのだから。

>>190
＞ 理由は、同様に確からしく起こるということに反対する理由があるから。

その理由は数学的なものではなくて、「けちなディーラーがいるかもしれないから」 なのか？

>>190
問題に、「ディーラーはケチではない、不正もしない。」と書かれていたら使えるの？

>>190
↓ こう言ってるってことは>>150 とは別の人だよね？
＞ 同様に確からしく起こるということに反対する理由があるから
その理由がなんなのかを言えばいいと思うよ。

>>194
>>182の最後の方に書かれているディーラーがけちだったら5000の確率が高いとか、
20面体サイコロを使っていたら1/2づつだとか、財布から一枚の札を選んだんだったら10000の
方が可能性が高いかもとかが、反対する理由。

サイコロの目とか、カードの裏表とか、選んだ封筒が低額か高額かとかは、偶然でそうなったと
しか言えないけど（いかさまサイコロを使っていたら、とかは別の話）、上のような例だったら、
偶然じゃない要素がたくさん入り込める。だから「理由不十分の原理」が使えない。

横から失礼。
>>190には同意だが、その理由として>>195は弱いと思うよ。
金ではなくただの数字ということにすれば「けち」とか関係なくなるし。
20面体サイコロとか財布、、、はいかさまサイコロと同程度の理屈に聞こえる。
いかさまサイコロが別の話ならそんなサイコロとか財布とかも別の話じゃん。

すくなくとも>>195は数学の話じゃないな。
６面体サイコロやカードは無条件で信じられるが封筒は信じられないとう感情の話でしかない。
>>193に答えられない。

選んだ封筒が高額側の封筒なのか低額側の封筒なのかは、「理由不十分の原理」により、五分五分。確率1/2だ。（★）
しかし、中を見た封筒(10000を確認)が高額側の封筒なのか、低額側の封筒なのかについては、確率は判らない。（☆）

上は何度も繰り返し説明している事だが、>>186等の書き込みを見ると、未だにこの違いが理解できていないようなので、
具体例を使って説明を加える。

5000-10000のセット90組と、10000-20000のセット10組を用意し、箱の中に入れたという前処理があったとして問題を考えてみよう。
箱の中をよくかき混ぜ、中から一つのセットを選ぶ。そのセットの中には二つの封筒が入っていて、一方を選択した。
さて、ここで第一問目。「この封筒は高額側の封筒なのか？それとも低額側の封筒なのか？」
これに答えを与えているのが（★）だ。1/2ずつである。
状況を進めよう。先ほど選んだ封筒を開けると、10000が入っていた。
ここで、第二問目。「この10000が入っていた封筒は高額側の封筒なのか？それとも低額側の封筒なのか？」
(☆)はこの時点での説明を行っている。答えは、高額側の封筒（=他方の封筒には5000）である確率は90/100、
低額側の封筒(=他方には20000)である確率は10/100だ。
オリジナルとは状況が違い、分布が判っているからこの様な計算が出来るが、分布が判らなければ、こんな事は出来ない。

(★)は偶然「だけ」が支配するもの。(☆)は0〜1まで、自由に変えられるものだ。
(★)と(☆)は全く異質な確率なのだ。
(★)と(☆)が全く異なることを端的に示すために持ち出したのが「けちなディーラー」だ。
けちなディーラーは(☆)で偏りをつけることは出来ても、(★)の確率を変化させることは出来ない。
２封筒問題の最重要ポイントは(★)のような顔をしている問題が、実はけちなディーラーが支配できる(☆)の問題であることにある。
だから、この部分が強調される「情報がないから計算できない。」を私の答えとしている。

「「5000-10000」と「10000-20000」の分布が1:1ならば、．．．」の様な設定の問題なら、「けちなディーラー」は介在しない。
義務教育で習う問題だ。そこでやればいい。
しかしオリジナルは違う。(★)から(☆)への性質変化がコッソリ行われ、惑わせている。これが２封筒問題の正体である。

>>196
「けち」などが本質であるわけがない。
(★)と(☆)の違いを感じ取ってもらうのに都合の良さそうな例として用いただけのものである。

失礼。 >>189がとっくに指摘していたか。

そういう意味では、サイコロだって 異質な確率だろう。
問題文に「６面はそれぞれ等確率で出るものとする」と、ことわられていない以上は
サイコロを用意するディーラーがいくらでも出目を支配できるようなサイコロを用意できる。
書かれていないから、分布がわからない、と言う意味では全く同じだ。

なのにサイコロの目は偶然にしか支配されないとするのは
サイコロは、数学の問題として頻出なので、書かれていなくても疑わない
という感情的経験的な理由でしかないのではないか？
カードも裏表を決定する手順が明記されていないので、いくらでも不正が介在できる。
カードやサイコロだけを特別視する理由は、数学ではなく教育（または経験や感情）のせいだろう。
この板では、国語や心理学の話をしてるんじゃないんだ。数学的にやろう。

・ディーラーは不正なくサイコロを振った
・ディーラーは不正なくカードを選び裏表を決めた
・ディーラーは不正なく封筒を用意した

封筒を特別視したいのなら、こうやって同じ前提を付けたときに
「なぜ」封筒は違うのかを言わなくてはならないんだよ。

>>200 は>>197 の書き込みです。  投稿前に更新するべきでしたね。

＞ (★)から(☆)への性質変化がコッソリ行われ、惑わせている。これが２封筒問題の正体である。 

浅い。  過去スレを嫁。

>>198
>>172 は あなたですか？ それとも別人？

とりあえず「サイコロは一様に等しい」でいいじゃないか
地震とか出すと論点がずれる


封筒は
・2つの封筒を選ぶとき、金額が多い封筒を引くのも、金額が少ない封筒を引くのも1/2から選ばれる
という前提があり（ここまでは民が認めているはず）
・選ばれた封筒が�I円の場合、交換した場合は≪1/2≫の確率で1/2�I円になり、1/2の確率で2�I円になる、故に交換すると期待値1.25�I円になる
と言えるかどうか。


Ａ上記で間違いない
Ｂこの1/2というものが間違い、この確率・分布は数学的に計りしえないので数学的・確率的な期待値は求められない
Ｃ�I円のままでは交換期待値は�I円だが、封筒をあけ10000円を確認すると、交換期待値は12500円になる。

これ以外に派閥があれば、ＤとかＥとか宣言して欲しい、あるいはＢ´とかも可

またどの意見に賛同なのかわからないし、過去どの発言から言ってるのか判らないから
名前にＢ太郎、Ａ吉など派閥＋固有の名称で発言してくれると助かる

Ａ意見の人に聞きたいのは

2人で封筒を受け取り、交換可能な場合について

甲が最初に受け取ったＸ円とすると、交換すると交換期待値は1.25Ｘ円になり
乙が受け取ったＹ円は交換すると交換期待値は1.25Ｙ円になる
交換しないと二人の金額の総和はＸ＋Ｙ円
交換した場合、二人の金額の期待値は1.25Ｘ＋1.25Ｙ円になる矛盾を解いて欲しい



Ｃ意見の人に聞きたいのは

甲が最初に受け取った１００００円とすると、交換期待値は１２５００円になり
乙が受け取った金額が５０００円だとすると交換期待値は６２５０円になる
交換しないと二人の金額の総和は１５０００円
交換した場合、二人の金額の期待値は１８７５０円になる

Ａが最初に受け取った１００００円とすると、交換期待値は１２５００円になり
Ｂが受け取った金額が２００００円だとすると交換期待値は２５０００円になる
交換しないと二人の金額の総和は３００００円
交換した場合、二人の金額の期待値は３７５００円になる

常に総和が増加する矛盾について解決して欲しい

訂正：

Ａ意見の人に聞きたいのは

2人で封筒を受け取り、交換可能な場合について

甲が最初に受け取ったＸ円とすると、交換すると交換期待値は1.25Ｘ円になり
乙が受け取ったＹ円は交換すると交換期待値は1.25Ｙ円になる
交換しないと二人の金額の総和はＸ＋Ｙ円
交換した場合、二人の金額の期待値は1.25Ｘ＋1.25Ｙ円になる矛盾を解いて欲しい



Ｃ意見の人に聞きたいのは

甲が最初に受け取った１００００円とすると、交換期待値は１２５００円になり
乙が受け取った金額が５０００円だとすると交換期待値は６２５０円になる
交換しないと二人の金額の総和は１５０００円
交換した場合、二人の金額の期待値は１８７５０円になる

甲が最初に受け取った１００００円とすると、交換期待値は１２５００円になり
乙が受け取った金額が２００００円だとすると交換期待値は２５０００円になる
交換しないと二人の金額の総和は３００００円
交換した場合、二人の金額の期待値は３７５００円になる

常に総和が増加する矛盾について解決して欲しい

俺はB派だがその期待値を足すのはナンセンスだと思うよ
期待値っていうのはお互いの今持ってる情報が同じ場合にのみ足せる
Aの人はX円を受け取ったっていう情報Xを元に行動する
Bの人はY円を受け取ったっていう情報Yを元に行動する
AとBの持っている情報が違うので期待値を足すことはできない

>208
そうか？
競馬もカードゲームも、おのおのの買い目、手の内から期待値が算出できて、胴元の取り分など計算に入れれば１になるはずだが・・・

>208
今持ってる情報が同じというか、同じ情報源上にいるかどうかだろ
この場合封筒の交換の相手なので同じ情報源上にいると考えないといけないだろう
封筒の中身を交換しても交換しても総額は増えないと考えるのが自然で、この点において矛盾している

あんたのいうような、お互いの今持ってる情報が同じ場合のみ期待値が足せるのであれば、現在有効とされているゲーム理論のほぼすべてが無効になってします。

>>209
両方が交換したら得になるって状況はわりとあるんだよ
例えば(5000,10000)・(10000,20000)・(20000,40000)・(40000,80000)っていう封筒の集まりが1:1:1:1であったとして
Aが10000円引いて、Bが20000円引いたとする(A,Bは相手の金額を知ることはできない)
このとき交換するときの期待値はAは12500円、Bは25000円で期待値の合計は37500円だが実際の合計値は当然30000円
これは無頓着にお互いの期待値を足したのが原因

今朝までは、問題文に与えられれていない分布を仮定することの是非についての話だったのに
新たな参加者があったのか新たな論点がでてきているようだな。
これまでに出ている、立場を追加しておく。

D　この確率・分布は数学では仮定することは正しくない。仮定することができない。 （Bより強い）

E　この確率・分布は仮定することができ、その仮定の下で期待値を求めることができる 。 
　　Bと違うのは「わからない」で終始するのではなく、仮定をすることを許す。

F  具体的な分布を仮定するまでもなく、分布の存在を仮定するだけで期待値を考えることができる。

E,Fははっきりとした対立があるわけではない。 （FはもちろんEを含む、EもFを否定した書き込みはないようだ）

>>205での B の立場の書き方が Dに近いので 誤解があるかもしれないが
DもEもFも 
「分布が与えられていないので 何らかの分布を仮定しないと期待値は計算できない」
という意味では共通。
Dはその仮定を許さない立場。
Eは具体的な数値の分布(たとえば1/2とか）をつかう。
Fは封P(x)などと分布を一般化したものでよいとする。

>>212
昨日からの論議はそこではなく
封筒の場合、理由不十分の原理を受け入れられない理由として
「イカサマやケチなどディーラーの性格や行動」を認めて良いかどうか

てゆうか、ここにいまAやCの人なんかいるの？ 
過去スレにはいたようだが。

>>207
私はA派ではないが、Aについて、

＞交換しないと二人の金額の総和はＸ＋Ｙ円
＞交換した場合、二人の金額の期待値は1.25Ｘ＋1.25Ｙ円になる矛盾を解いて欲しい

これは、何をもってして矛盾しているというのか示してほしい。
少なくとも、期待値の和が、元の金額の和を越えることそのものだけでは矛盾は言えない。

失礼、編集途中で送ってしまった。
AだけでなくＣも同じ。
期待値の総和が増えることだけを根拠に矛盾は言えない。
（実際にそのような分布を構成することができる）
もし207の言うように矛盾があるとすれば、他の理由があるはずだ。

>>214
理由不十分の原理、判ってる？

サイコロやカードの裏表など、見分けのつかないｎ個の中から一つを選んだ時、
ある一つが選ばれる確率が１／ｎだということを、もっともらしく原理と呼んでいるだけだぞ。
偶然しか関与できないものに対してそう呼んでいる。

いかさま、ケチ、その他予め不公平になるように、数で調整したりすることも出来る。
偶然以外の関与で、確率を変化させられる。このようなものが、「反対理由」そのもの。
「反対理由」が存在するから「理由不十分の原理」が使えない。
たったこれだけのこと、理解できないの？

>>218
数学以外にも理由不十分の原理があるのか？
頼むから数学の話をしよう。

>>218
あなたが、サイコロやカードには、イカサマなどの不公平が入らないと思っている理由が知りたい。

「ディラーは不正をしない封筒」と「ディーラーが不正をしないサイコロ」の違いはなんだ？

>>218
＞ ある一つが選ばれる確率が１／ｎだということを、もっともらしく原理と呼んでいるだけだぞ。 

どこでそんなことを教わった？ 自己流？

釣りにしても、ずいぶん余裕のない釣りだな。 それとも真性なのか？

>>209
０和のゲームならばそういうことになるが、そうでないものもある

>>210
＞ 封筒の中身を交換しても交換しても総額は増えないと考えるのが自然で、この点において矛盾している 

自然に反するから矛盾て…
数学でないものは他所でやったほうがいい

>>218
＞ たったこれだけのこと、理解できないの？

あなたが何を言っているのかはわかるんです。
しかしそれではサイコロと封筒を区別するには不十分だと言っている。

理解出来ないのは、 貴方の主張の内容ではなくて
あなたがその主張が十分だとする理由なんですよ。

まず、どこかで聞きかじってきた
「理由不十分」なんて用語を忘れるところから
やりなおしたほうがよさそうだな

おそらく彼の公理には、他の人の公理にはない「サイコロは公平、ディーラーは不公平」 と書いてある。
数学的な違いが説明できないのに数学でないことをやっていると思っていない以上、残るのはもうそれしかない。

これが実際の賭博の現場なら、ディーラーの性格やイカサマも理由の一つとして十分だろうが
それだとサイコロもルーレットも同じだわな。
信頼に値するゲームかどうか、ディーラーかどうかは、数学とは関係ない話になってしまう。

>>210
足せるかどうかと、足すことに意味があるかどうかは別でしょ。

>>225　サイコロと封筒と等と言っている時点で、私の主張を理解していない証拠だ
（封筒を使った言葉には両方のケースがあることを私は何度も述べている）
サイコロと封筒に本質な差はない。サイコロの１の目か、２の目か、、、６の目かは、
右の封筒か左の封筒かと同様、差はないさらに、高額側の封筒を選ぶか、低額側の封筒を
選ぶかも区別できない。これらは、1/2ずつだ。

しかし、10000が入った封筒が低額側か、高額側かと問われた時には、差が出てくる。
10000が低額側と言うことは、(10000,20000)というペアだったと言うこと。
10000が高額側と言うことは、(5000,10000)というペアだったと言うこと。

つまり、10000が入った封筒が低額側か、高額側かと言う問いは、
封筒のペアが、、(10000,20000)だったか、(5000,10000)だったかと置き換えられる。
この確率は、サイコロや、左右の封筒、封筒の高額／低額側を選択する、等のように
どちらが起こるか、同様に確からしいから1/2ずつだ等と安易に判断することは出来ない。

君は、サイコロ目が1/6づつ、カードの裏表が1/2ずつだと判断するのと同様に、1/2ずつと判断するのか？

そんなことはわかってるよ。
サイコロでは安易に仮定することができて
封筒は安易に仮定することができないのはなぜ？

>>231　やっぱり君は判ってない。
サイコロも、封筒も「原理」により、それぞれの確率は同確率だ。
この様な場合は、「封筒は安易に仮定することができないのはなぜ？ 」ではなく、
「『中身を確認した』封筒は安易に仮定することができないのはなぜ？ 」と聞かなければ、
この『中身を確認した』が肝なのだから、それを省略することなどあり得ない。
そのような対応だから、こちらの話を理解した上での発言とは受け取れなくなる。

逆に聞くが、サイコロでは各目が出る確率は同じと仮定して良い理由は何？
それと同じ理由を、(5000-10000)というペアを選択したか、(10000-20000)というペアを選択したかに
適用できるか？

訂正
誤：「『中身を確認した』封筒は安易に仮定することができないのはなぜ？ 」と聞かなければ、
正：「『中身を確認した』封筒は安易に仮定することができないのはなぜ？ 」と聞かなければならない

二つある封筒のうち、左側を選んで、これが高額であるか低額であるかのどちらかである。
「これはカードの裏表の様なもので、同様に確からしいから、原理が適用でき、1/2ずつだ。」・・・（Ａ）

これまでの情報からディーラーが用意したペアは(5000-10000)か(10000-20000)かのどちらかである。
「これはカードの裏表の様なもので、同様に確からしいから、原理が適用でき、1/2ずつだ。」・・・（Ｂ）

（Ａ）の判断はだれも疑わない。
（Ｂ）のような判断を君はするのか？

>>232
だからさ、国語の問題じゃないんだからそんなところに突っかかるなよ。
問題にしてるのは封筒の場合、２封筒の選択ではなくてそこなのはとっくに了解済みだろう。
２封筒の選択がおかしいといった書き込みがひとつでもあったかい？

サイコロを仮定して良いのは、そのように仮定しても矛盾が起きないからだ。
同じ理由で、もう一方の封筒についても仮定できる。
同じだと仮定しても矛盾は起きないんだよ。

>>234
＞ 「これはカードの裏表の様なもので、同様に確からしいから、原理が適用でき、1/2ずつだ。」・・・（Ａ） 

「同様に確からしいから原理が適用でき」

同様に確からしいなら、原理など適用しなくても1/2だろ。 
なにか誤解してないか？
(A)の判断を誰も疑わないなんて考えてるので、おかしな考えに陥るんだよ。

たぶん234はBの立場からAやCに反論していると思っているんじゃないかな？
他の人は、Dの立場からEやFに反論されていると考えているから、いつまでも話がまとまらない。

DEFの違いがわかってないのかも

>>235>>236>>237
>>231の疑問に答えただけなのだが、どうやら、話をそらしてゴワサンにしたいようだな。

おそらく＞＞234の勘違いは↓のあたり

・絶対に 同様に確からしくはないと 解っていることでも他になにも情報がなければ、1/2とする事ができる。
　（不正コインの例は有名）

・原理を適用するのはあくまでも仮定なので
　その仮定がたとえ（他の心理学や哲学社会学的な数学以外の理由で）間違っていたとしても
　数学としての結論が否定できるような性質のものではない。

・もちろん仮定を採用しない（それも仮定）こともできる。それが数学的に間違いっているということもない。

・選択した仮定に（数学的に）間違いがあるということもないわけではない。 背理法などはその例。
　しかしそれも、選択した仮定が矛盾を含むことを言うだけで、その過程から導いた結論そのものは正しい。 

>>239
うまい落とし所を見つけたな
話を逸らしてるのはどっちなのやら。 

>>239
で、 1/2だと仮定することは、どこに矛盾を含むの？

>>239
・ディラーは不正をしない封筒
・ディーラーが不正をしないサイコロ
の違いをさんざん聞かれているのに
答えないでおいてなんなのそれ？

はいはい、開き直ったやつの相手はしないでくださいね。 荒らしと同じですよ。

質問をして回答を得たら、それに即して何らかの反応をするべき。
質問者でないのなら、茶々は入れなくて良い。反応できない質問者養護とみなされる。

不正サイコロ、不正コインなどの話は論外。そのような物を登場させる場合は、
それに触れればよい。触れてなければ、不正のないサイコロ、コインという前提の下に
話が進んでいる。あえて、そのような物を持ち出そうとするのは、話を混沌へと持って
いきたい意図があると見なされても仕方ない。

正当なサイコロ、裏表の区別のつかないカード、全く見分けのつかない２枚の封筒、
フェアなディーラーであればよい。
フェアなディーラーであっても、彼が用意する（した）ペアが、(5000-10000)という
ペアか(10000-20000)というペアかはということについては、サイコロの出目、カード
の裏表なんかと同じような議論で、同じ確率だと判断することは出来ない。
質が異なる事象なのだ。

>>245
質がどう違うかについてまともな回答がないことが問題なのではないか？
イカサマなんてのは、それを説明するために持ち出されたものなんだがなあ…

>>245
そういうのがやりたいなら、どっかの非匿名コミュでやったほうがいいんじゃないか？

>>245
違うと言い続けるだけで何が違うのかが説明できないてことは、お前 >>234だろ

コインの裏表、サイコロの出目、見分けのつかない二つ封筒から一つの選択
どちらになるのかは偶然だけが支配するもの。
可能性は６つとか、２つとか有限の中の物からひとつが選ばれる。どの候補も同様に
確からしいと考えるのが妥当で、（１／候補数）という確率が与えられる。

ディーラーは無限の可能性のある数値の中から、一つの数値を選び、その数値と、
その数値の二倍を書く。状況の進展で、選んだ数値は、5000か10000かに絞られたが、
これは、最初から、5000か10000かの二択から何れか一方を選んだのではなく、
無限の可能性の中から一つが選択されたもの。
候補数は無限にあったのだから、（１／候補数）という方法は使えない。
問題の性質から、選択肢が二つに絞られただけ。
（１／候補数）が使えないからと言って、（１／選択肢数）で確率を与えて良いものではない。

また同じ事を飽きもせず延々と。

「無限の可能性がある数値の中から」なんてのも、問題文には書かれていない
かってな仮定なんだということにそろそろ気づけよ。
「有限の候補の中から選択された」という仮定と、何ら変わらない。

>>249
1/2という仮定を否定するためには
1/2と仮定すれば矛盾が起こることを言うしかないんじゃないか？
開封前の任意の金額の時で否定ならまだしも
１００００円出てきてしまったらそれを否定することはできないよ。
現実に、そのような分布は構成可能なのだから。

>>205、212 あたりのEやFの立場を否定するのは、数学の中では無理だと思うよ。
もちろん数学以外ではいくらでも否定できるよ。
仮定に実利がないとか現実に即してないとか
もっと利がある仮定や現実に近いモデルを提示すればいい。

というか、どうしてそうまでして1/2という仮定を否定したいのかがよくわからんわ。
1/2だけでなく2/3も1/4もいかなる過程も否定したいのか、それとも1/2だけが気に入らないのか
そもそもそのような確率を考えること事態を否定したいのか
言ってる内容からも、そのあたりは見えてこない。 ただ1/2はダメだと言うだけ。

>>250　じゃ、5000が選ばれた確率は(1/有限数)で、10000が選ばれた確率も(1/有限数)
同じ物同士だから、5000も10000も等しく1/2ずつという考えなんだな

× 事態を否定
○ 自体を否定

もとのままでもたいして変わらんか。

>>252　
「1/2という仮定を否定」なんてしてない。
不明だと言っているだけ。コインやサイコロで使えた論理を使って
1/2ずつだと判断することは出来ないと言っているだけ。

>>253
その「 確率は(1/有限数)」が同じ物同士というのは
何を言っているのかよくわからないので、それを理由に1/2だということはないが
１００００円が出てきたときに交換後の封筒が高額である確率が1/2である分布は
仮定できることを否定する理由はないよ。
仮定することを認める。 と そう考えるとは異なることはわかってるのかはちょっと不安だけど。

>>255
＞ コインやサイコロで使えた論理
いやそれ、ただの仮定でしょ。 そんな論理はないよ。

分布が不明と言っているだけ。
いかなる分布だって、仮定して議論したければすればよい。
ただ、数学の問題として捉えた時、期待値という言葉を用いているのに、それに必要な
情報が無いから、不備のある問題だと指摘している。

あ、なるほど、もしかして
自分がサイコロやコインを等確率だとしたなんらかの（数学でない）論理があってその仮定を受け入れているが
封筒の場合はその論理が使えないからその仮定は受け入れられないって意味なのかな？
仮定を選ぶ理由に、そんな必要ないんじゃない？

「どうやって決めているのかは解らないが、ディーラーはそのようになる分布で金額を決めている」って論は
受け入れがたいのかな？構成的な決め方なら納得行くのかな？

>>258
うん、>>1の問題文のままでは分布は不明だよ。
それはもう>>2に書いてある。

>>260　じゃ君は、２封筒問題は分布を仮定することからはじまる問題だとでも言いたいのか？

>>258
1/2にはならないと言っていた人とは別人なのかな？

サイコロの目も特に断りがなければ等確率と考える習慣があるというだけで
なにも書いてなければ分布は不明だよ。
入試問題などでは誤解を避けるために等確率だと但し書きがある場合が多いよね。

他にもコインやカードなども慣例上そのように考えるだけで、とくに定義されていなければ
やはり分布は不明。

ではいったいどこまでが慣習上等確率と考えるのかは、コレといった正解はなく
人によって違うと思うとしかいいようがない。
このあたりは数学ではなく行動心理の範疇かもね。

>>261
「はじまる」 という言い方は なにを言いたいのかよくわからないが
２封筒問題に限らず、確率の問題はみななんらかの分布を仮定すると思うよ。
少なくとも分布を考えないままででは確率も期待値も出せない。

>>258の 「不備のある問題」 というのは、
「正答が一意に定まらない」というような意味ということでいいのかな？
それとも「矛盾を含んでいる問題」というような意味？

中高の数学のように、試験のための問題ばかりを見慣れていると
>>258のような感想を持つのも仕方が無いと思う。

>>262　1/2である可能性を否定してはいない。不明だと言っているだけ。
不正とかいかさまとかを排除したサイコロやコインは、偶然のみが支配する物。
そのようなものには、「理由不十分の原理」を用いて、「仮定」ではなく、「原理」から
確率を定めることが出来る。もちろん、「仮定」して確率を決めることを否定はしない。

一方(5000-10000)なのか(10000-20000)なのかは、偶然ではない。
「理由不十分の原理」を用いて確率を定めることは出来ない。
ディーラーの意志なり、箱の中のいくつかの封筒セットから一つを選ぶなり、
何らかの方法で決めることが出来る。恣意的に確率を支配することが出来る。
こちらは、「原理」から出された確率ではなく、封筒セットの決め方等で、本来は計算で
求められる物。しかし、２封筒問題ではそれが示されて無く、情報がない。この場合は、「仮定」
して解くことも可能だが、あくまで「仮定」であり、例の「原理」からだされるものではない。

>>263
普通の問題では仮定などしない。きちんと問題に書かれている値を使うだけ。

>>264
必要な情報がないことを不備があると書いた。
情報がないから、解答できない。情報が与えられれば答えられるし、一意に定まる。
矛盾らしきものが現れることもあるが、無限を扱うことに起因する物で矛盾ではない。

>>262
未だに気づいていないようなので、指摘しておくが
「1/2だと判断は出来ない」は、
1/2という値を否定したものではなく、「判断できる」を否定したもの

>>267
スレ検索しても 「1/2だと判断は出来ない」 というのは見つからないんだけど。

「1/2とは出来るはずがない、『判断できない』が正答」 
というのはみつかったけど、ずいぶんニュアンスが違うので他の人のようだよ。

>>266
なんかよくわからんが、貴方がそういう流儀なのは分かった。
仮定をした上で論じることを禁止るるものでないことも分かった。

サイコロとディーラーが異なるのは、ディーラーの行動が構成的でないからなのかな？
ディーラーが不在で、自動的に金額を決める手段が提供されていれば
恣意的に確率を支配することはできなくなるので、サイコロと同様に考えても良い
ということでいいのかな？

>>266
俺の知っている理由不十分の原理とはずいぶん異なるものを
そう呼んでいるようんなんだが、その理由不十分の原理では
出る面に偏りがあって、投げた時に表裏のどちらかが出やすいことは解っているが 
どちらがどれだけ出やすいのか全く不明なコインを１度投げた場合に表が出る確率
には、その「理由不十分の原理」は適応して1/2ふだということはできるの？
原理は仮定ではないということなので、もし適応できるなら1/2以外になることは
できないということなの？

誤字が多いので書きなおす

その「理由不十分の原理」を適用して1/2だということはできるの？ 
また、原理は仮定ではないということなので、もし適用できるなら
逆に適用させずに1/2以外になることはできないということなの？ 
もし、適用させたりさせなかったりが自由にできるということなら
それは仮定と何が違うの？

>>266
＞ 普通の問題では仮定などしない。きちんと問題に書かれている値を使うだけ。

それは、サイコロやカードを使う問題で、問題文に各面や各カードが出る確率の
値が書かれていない問題は普通では無いという意味？
そういう問題はわりとよく見かけるけど。

>>266
「恣意的」とか「確率を支配」とか、意味がどうとでもとれる単語ではなく
もうすこし数学的に言ってくれないかな。 かえってわかりにくくなっている。

サイコロが等確率なのは、慣習ではなく原理で決まっている。
一方、(5000-10000)なのか(10000-20000)なのかは、金額を決める手段が確定的でないから
原理が適応できない。
という主張ということでよろしいか？

すまん。 >>269が既に同じ事を言ってるな。273は無視してくれてい。

>266の人気に嫉妬

＞ 普通の問題では仮定などしない。きちんと問題に書かれている値を使うだけ。 

そういう問題しか見たことないのかな？ 

おまえら、なんでそんなに意地悪してんの？
２封筒問題で1/2を仮定できないのは
もっと積極的な理由があるだろうよ。

「積極的な理由」は散々既出だし、それをあらためて>>266に説明しても理解出来るとは限らないしね。

ところで>>266の主張では
「ディーラーがサイコロを振りました。」と書かれていればその原理とやらを適用可能だが、
「ディーラーが１から６までの自然数のどれかを選びました」と書かれている場合には適用出来ない。
ということだよね？
まぁ、>>266がそういう立場をとるとしてもそれは哲学の話だからそれはそれで別に良いんだけど。。。
ただ二封筒問題の本質的な部分とはあまりにもかけ離れているけど。

>>270　　137で引用した物を再掲する　
>> 統計学上の原理で，種々の場合が同様に確からしく起こるということに，反対理由
>> が見いだされない場合には，やはり同様に確からしく起こるという原理．
ttp://kotobank.jp/word/%E4%B8%8D%E5%8D%81%E5%88%86%E7%90%86%E7%94%B1%E3%81%AE%E5%8E%9F%E7%90%86
偏りがある事が判っているコインは、「偏りがある」という「反対理由」を見いだせるため
この原理を用いることはできない。

>>273　「原理で決まっている」ではない。「原理」からその値を使う。理由が原理の適用だと言っている。

>>269
>>ディーラーが不在で、自動的に金額を決める手段が提供されていれば
>>恣意的に確率を支配することはできなくなるので、サイコロと同様に考えても良い
「自動的に金額を決める手段」を決める時に、確率を決めることが出来る。感情の有無が問題なのではない。
偶然「だけ」が支配するものではない。確率を自由に決めることが可能であることが、決定的に違う。
サイコロやコインなどは、(1/候補数)がそのままそれぞれの確率(原理由来の確率)になるが、金額が
決まった封筒は、(5000を選択する確率)/((5000を選択する確率)+(10000を選択する確率))等という条件付
き確率になる。サイコロやコインのように、「原理」の適用から直接的に求まる物ではない事も異なる。
「選んだ封筒が高額側か低額側か」というのと、「10000が入った封筒が高額側か低額側か」は明確に区別できる。

>>278　ディーラーが金額を決める手段が予め決まっていると言うことは、分布が決まっていること。別の問題だ。

>>279
>>278 は 手段が決まっている話なんかしていないと思うなあ。

書かれていない手段を勝手に仮定したら別の問題になるんじゃななかったの？

>>278
これだけ書延々と書き続ける暇があるにもかかわらず
そこいらにいくらでも転がってるものを読む暇はないなんてことは考えにくい。
そんなことはとっくにみんなわかってて
「俺は釣られてるんじゃない釣ってる方だ合戦」を延々続けてるんだろう。

１つ目の封筒をAと固定して、２つ目の封筒は 2Aか 1/2Aが 1/2の確率になる
という前提で考えているからおかしくなるんでしょう。

A, 2A が入っている２つの封筒がある。
１つ目に Aを引けば２つ目は100%の確率で2A
１つ目に 2Aを引けば２つ目は100%の確率でA
つまり、１つ目の期待値は3/2A、２つ目も3/2A

１つ目が1000で、２つ目が2000または500というのは
A=500, 2A=1000
A=1000, 2A=2000
ということであり、
A=1000, 1/2A=500
A=1000, 2A=2000
として計算しているからおかしいのでは？

>>282
＞ １つ目に Aを引けば２つ目は100%の確率で2A 
＞ １つ目に 2Aを引けば２つ目は100%の確率でA 
＞ つまり、１つ目の期待値は3/2A、２つ目も3/2A 

１行目のAと２行目のAの値が異なるので、３行目を結論できない。

最初に出てきた金額が１００００だったとき
１行目は １００％の確率で２A つまり２００００円
２行目は １００％の確率でA つまり５０００円
と言っている。 
そこで、３行目の3/2A とは１万５千円なのか７千５００円なのか？
それともまた異なる値か？

>>279
＞ 「自動的に金額を決める手段」を決める時に、確率を決めることが出来る。感情の有無が問題なのではない。 

そこで1/2になるように決めたらどうなの？
サイコロだってわざわざ１〜６の目が1/6になるように、目の振り方を決めているわけでしょ。
その気になれば１は1/3ででるが６は出ないサイコロだって作れるのに。

>>281 ちょ、おま

>>283
１行目のAと２行目のAは同じで考えてくれ。
A=10000のパターン
１つ目が10000なら、２つ目は20000(*1)
１つ目が20000なら、２つ目は10000
期待値は、１つ目も２つ目も15000

A=5000のパターンは
１つ目が5000なら、２つ目は10000
１つ目が10000なら、２つ目は5000(*2)
期待値は、１つ目も２つ目も7500

実際には期待値は、２つとも見た時点でしか計算できない。
10000を引いても、それがA=5000なのか、A=10000なのかはわからない。

Aの値が違うにもかかわらずこの２つのパターン(*1と*2)を無理矢理足しているから
交換した方が1.25倍得というおかしな結果になるのではないか。

>>286
＞ 期待値は、１つ目も２つ目も15000 
＞ 期待値は、１つ目も２つ目も7500 

どういう期待値だそれは？
ふたつの封筒の平均金額が、交換前と交換後で変わらないかどうかを考えてるのかな？

思いつきで書いてしまったので、なんか違っていたようですまん。

有限個の組み合わせを考える。小数が出ないようにすべて2の倍数のみ考える。
2,4
4,8
8,16
の３つの封筒の組み合わせがあるとする。
それぞれ１つ目,２つ目 に引く可能性があるのは以下の６通り
2,4
4,2
4,8
8,4
8,16
16,8
この場合、１つ目が4または8なら確かに1.25倍期待値が上がる。
2,4(2倍になる) と 16,8(1/2倍になる) のパターンを考えていないので、
必ず1.25倍になるわけではない。
つまり、大多数の場合は1.25倍になるのだが、大損するパターンがあるので、
トータルとしては１つ目も２つ目も期待値は変わらない。
(ちょっと得するパターンがたくさんと大損するパターンが１つある。)

楽しむも何も授業でやったことを
ちょっと意識して忘れないようにすることが
なんでそんなに苦痛なのかわからん

2つの封筒の金額の比はA：2A、もしくはA：A/2

2つの封筒のうち、金額Aの封筒を選ぶ確率はa、もう一方の封筒を選ぶ確率は1-a
もう一方の封筒の金額がAの倍額である確率はb、半額である確率は1-b


(最初に選ぶ封筒の金額,他方の封筒の金額)【確率】は
(A,2A)【ab】
(A,A/2)【a(1-b)】
(2A,A)【(1-a)b】
(A/2,A)【(1-a)(1-b)】
の4通り

最初に選ぶ封筒の期待値は、A(1+a+3b-3ab)/2
他方の封筒の期待値は、A(2-a+3ab)/2

封筒を選ぶ条件が同じ場合
a=1/2で期待値はどちらも同じA(3/2+3b/2)/2になる

213 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2011/11/05(土) 10:11:10.69
封筒の問題だけどさ、最初に選ぶ期待値は
(1/2)*A+(1/4)*(A/2+2A)=9A/8

で、見た後の残りの封筒の期待値は
先に見たのがAの時、(1/2)*(1/2)*(A/2+2A)=5A/8
A/2の時、(1/4)*A=A/4
2Aの時、(1/4)*A=A/4
で足すと9A/8になって一緒なんじゃねーの？

先に見たのがA/2か2Aなら中身はAの可能性だけなのに、
それをBとおいて残りの封筒が2BとB/2が1/2ずつってするのはおかしい

既出かどうか分からないけど
この問題と逆の問題を考えたらいいんじゃないかと思っています。

Q
同じように封筒を２枚用意。
重さや見た目では高額や低額の封筒は判別出来ない。
片方の封筒はもう片方の封筒の倍額入ってる。
２枚のうち１枚を選ぶ。
今回は選ばなかったほうの封筒を開ける。
１万円入ってます。この１万円と選んだ封筒を交換できます。
交換したほうが得でしょうか？

A
自分の持ってる封筒は５千円か２万円の可能性がある。
高額な封筒を見極めることは出来ない。
高額を選ぶ確率も低額を選ぶ確率も1/2だから、
期待値を計算すると12500円。
交換すると期待値の4/5倍しかもらえなくなるので交換しないほうが得。

これならB君を入れて相手の金額を知った上で相互交換しても
両方4/5倍の期待値になるので互いに交換しないほうが得。
元の問題の5/4倍の期待値との釣り合いも取れそうな気がします。

>>279
>>278の疑問文は（二封筒に限らず）一般的に君の主張によればこういうことになるよね？という質問
もちろん君の答えはYesだよね？以下も一般論として
「裏表の出方に偏りがあるコイン」にはその原理は適用出来ない。
「裏表の出方に偏りが無いコイン」は、原理を適用するまでもなく、裏表が出る確率は等しい。
「裏表の選び方に偏りのあるディラー」にはその原理は適用出来ない。
「裏表の選び方に偏りが無いディラー」は、原理を適用するまでもなく、裏表選ぶ確率が等しい。
ここまでは誰もが認めると思う。

なんの説明も無く「コイン」とだけ言われた場合>>279によると原理を適用出来る。
なんの説明も無く「ディラーが裏表選ぶ」とだけ言われた場合>>279によると原理を適用出来ない。
この違いは何だ？「ディラーが選ぶ手段」が問題なのであれば、
「コインがどのような状態からどのような初速、回転数で投げられるか」はなぜ問題とならないのか？
そもそも>>279にとっての「コイン」の定義は何だ？（もちろん現実のコインは裏表に偏りが有る）
ディラーの選び方に対しては
>偶然「だけ」が支配するものではない。
と考えているようだが、コインに対しては「偶然「だけ」が支配する」と言えるのか？

>>281
延々と？私はこのスレでは>>196と>>278しか書いていない。

>>291
＞ 封筒の問題だけどさ、最初に選ぶ期待値は 
＞ (1/2)*A+(1/4)*(A/2+2A)=9A/8 

何を言っているのかわからない。
Aってなんだ？

>>293
そんなに理解しにくい書き込みだったかな？ >>281は>>278の↓にレスしたもので

＞ 「積極的な理由」は散々既出だし、それをあらためて>>266に説明しても理解出来るとは限らないしね。 

なにも>>728がそうだと言っているわけではないよ。

もともと、一つめを開ける前は
期待値なんか無い

封筒二つで100倍なら、
平均の期待値なら、換えたほうが
高くなるし。

それだけじゃん

>>297
馬鹿の来る所ではありません。 巣に帰りなさい。

入っている金額の比が１：２の封筒の一方の中身を見ると10000円だったので

2つの封筒の中身は
�@(10000,20000)
�A(10000,5000)
の2パターン

�@と�Aの起こる比はm：n


他方の封筒の金額の期待値は
20000m/(m+n)+5000n/(m+n)=10000(4m+n)/2(m+n)
交換して得になる確率はm/(m+n)


他方の封筒の金額はどちらかで固定なので、
m>nならば交換するべき


他方の封筒が20000円もしくは5000円がm：nの比率で入った物になる時、
10000(4m+n)/2(m+n)>10000ならば交換するべき

>>299
＞ m>nならば交換するべき 

m > n/2 ならば 交換するべき

の間違いじゃね？

おもしろい問題だな

黄金比関係あるね

ないない

100倍なら封筒100個?

封筒の価値は金額に含めませんよ

最初に選んだ封筒を開けて出てくる金額をa円としたら封筒ペアは、
（a/2、a)、（a、2a)のどちらか。 
このうち低額（a/2、a)のほうのペアである確率がpであるとしたら
3a（2-p）/4 なので、 これをpが0〜1の区間で積分すると9a/8になる。

つまりは本来、期待値9a/8であったところが実際に引いてみると
a円しか出て来なかったのである。 これは期待値よりもa/8も少ない。
となると、残った封筒には9a/8よりもa/8多い5a/4入っていて然るべきである。

さて、問題文の通り封筒を開けてみると10000円入っていたとしよう。
のこった封筒には5a/4= 12500円入っていることが期待されて当然ではないか。

>>305では、勝手な分布の仮定は一切していない。 
問題では分布が与えられていないので、期待値は計算できないと言う諸氏の
ご意見を拝聴したい。

いやもう釣りはいいから

>>300
それは最後の行を整理するとそうなる
引いた金額(10000円)に対して新たにどちらかが用意されるなら
m>n/2ならば交換するべき

m=nとする時、
期待値は12500、得になる確率は1/2、m>n/2なので交換するべき



問題の場合は金額は�@�Aのどちらかを選んで固定されてるから、
m>nならば交換するべき（�@である可能性が高い）

m=nとする時
期待値は12500、得になる確率は1/2、交換するべきかどうかは同じ

m：nの比が不明だったら交換するべきかは不明

>>306
aを決める確率分布を知っているとすると、そういう計算は間違っていることになる。

>>14
おいこらお前、その分布にした根拠を述べろよ。

>>309
＞ aを決める確率分布を知っているとすると、

知らないでやってるんじゃないの？

>>308
＞ �@と�Aの起こる比はm：n だったとき
＞ 他方の封筒が20000円もしくは5000円がm：nの比率で入った物になる時

両者は同じなのになぜ結果が異なるんだ？

>>311
「知らない」と言う意味が分からない。

>>311
私が袋に赤だまを何個か、白だまを何個か入れます。
個数はあなたには教えません。
ここから無作為に1つとったときの赤球をとる確率を求めなさい。
2色の球の材質などは同じとします。

>>312
比は全て同じとして(X,2X)で行った時に、

Xを引いた時2XかX/2、
2Xを引いた時4XかXの入った封筒が交換対象
こういうルールなら交換した方がいい

問題の場合は、
Xを引いた時2X、
2Xを引いた時Xの入った封筒が交換対象

最初に選ぶのはX,2Xのどちらか、交換するのは残りのどちらか
最初にどちらを選ぶかが1/2なら残りも1/2で同じ

封筒に、X円か、2X円が入っている。

どちらかの封筒を開いて Z円だったとき

(A) Z = X であれば

. 交換 すると 2X円 ...(1)
. そのままだと X円 ...(2)

(B) Z = 2X であれば

. 交換 すると X円 ...(3)
. そのままだと 2X円 ...(4)

よって、交換するとき (1),(3) より
(X + 2X) /2 = 1.5X 円 ...(5)

交換しないとき (2),(4) より
(2X + X) /2 = 1.5X 円 ...(6)

ただし、Zをひいたとき、それが X か 2X かの区別はつかない。■

y=X/√2として、やってみそ

翻訳コード：X円→安い方、2X円→高い方　に通すと

(Ａ)封筒を開いて、安い方であれば
.交換すると高い方...(1)
.そのままだと安い方...(2)
(Ｂ)封筒を開いて、高い方であれば
.交換すると安い方...(3)
.そのままだと高い方...(4)
よって、交換するとき、(1),(3)より、{(安い方)+(高い方)}/2...(5)
交換しないとき、(2),(4)より、{(高い方)+(安い方)}/2...(6)

ただし、封筒を引いた時、それが安い方か高い方かは区別はつかない。■

で、増えるパターン
Z -> 2Z (Z増えた)

減るパターン
Z -> (1/2)Z ( (1/2)Z減った)

で、「Z 増える」か、「(1/2)Z減る」か、の二択に見えるけど、
増えるパターンと減るパターンでは、
そもそもZがちがう[(A)ならZ=X (B)ならZ=2X]から、比較にならない。

そもそも、最初にひいた Z円は、
(X + 2X)/2 = 1.5X 円 の期待値。

1.5X -> 2X となるか、
1.5X -> 1X となるか、であって、
その平均は (2X + 1X)/2 =1.5X

交換しても
増えたり減ったりしない。

もしこの問題を理解したいと真剣に考えている人が居るなら
英語版wikipediaを読むといいよ。
http://en.wikipedia.org/wiki/Two_envelopes_problem
（ただし>>1の問題と一般的に二封筒問題と知られている問題は少しニュアンスが違うけど。）

>>295
了解

>>313
知ってる、の補集合ですよ

>>314
こういうこと？
私は２つの封筒にある金額を入れますが、それぞれどんな金額を入れるかはあなたには教えません。
どちらかの封筒を選んで金額を確かめたら封筒を交換することもできます。
最初に開けた封筒が１００００円でした。封筒を交換したときの期待値はいくらでしょうか。

まだあったんだ。

X、2Xの場合は、
期待値を相加平均で求めるからいけないんだろ。
相乗平均にすればなんの問題もない。

X、X+α なら
期待値を相加平均にする。

X、f（X）なら
f特有の平均を考える。

これで全て解決。

>>324
＞ 期待値を相加平均で求めるからいけないんだろ

相加平均で求めてなにも問題はない。
そもそも期待値とはそういうものだ。 

>>315
で、交換後の期待値はいくらになるの？

>>316
封筒を開けて出た金額が Xと ２Xで異なる場合の
交換後の期待値を合算したり平均をとってはいけない。

>>325
そりゃ問題はないさ。
期待値なんて、ただの根拠のない単なる値だからな。


だが、相乗平均だと計算しても1倍だが、
相加平均は1.5倍になっちまうけどなwwwwww、

手元の封筒の中身が 1000円 と判った時点で、

もうひとつの封筒の中身が 2000円 である確率が 1/2、

500円 である確率が 1/2 というのはホントか？

を反省してみる必要がある。

最初に金額の多い封筒を引くか、少ない封筒を引くかは五分五分だから、

条件付確率は

P(手元1000円｜総額3000円)＝1/2

P(手元1000円｜総額1500円)＝1/2

でよいが、



ベイズの定理より

P(手元1000円｜総額3000円)・P(総額3000円)＝P(総額3000円｜手元1000円)・P(手元1000円)

P(手元1000円｜総額1500円)・P(総額1500円)＝P(総額1500円｜手元1000円)・P(手元1000円)

と、



自明な

P(総額3000円)＋P(総額1500円)＝1

P(総額3000円｜手元1000円)＋P(総額1500円｜手元1000円)＝１

を併せても、

判ることは

P(総額3000円)／{１-P(総額3000円)}＝P(総額3000円｜手元1000円)／{1-P(総額3000円｜手元1000円)}

くらいのもので、

P(総額3000円｜手元1000円) を知るためには、最初の総額が 1000+2000円 だったか、

1000+500円 だったかに関する情報 P(総額3000円) が必要になる。

P(総額3000円) のデータは、この話では与えられていない。

安易に

P(総額3000円｜手元1000円)＝1/2

P(総額1500円｜手元1000円)＝1/2

としたところに混乱の元がある。

>>328
＞ 相加平均は1.5倍

なにの1.5倍になるんだ？
もしかして交換前の金額の、だったらならないぞ

>>329
スレの現在の話題は、もうその段階ではない。

最初の封筒を開け10000円が出てきたときに
もうひとつの封筒の中身が 20000円 である確率が 1/2、 
5000円 である確率が 1/2 と仮定すれば
期待値は12500円となることになにも問題はない。

現在の話題は、その仮定をすることに
何か問題はあるのか、だ。

>>333
問題はないが、根拠がないから意味もない。
１：２ではなく１：１０００だった場合を考えてみよう。
「選んだ方をあげる」と言われれば、１０００円を見た時点で
もう一方は１円なんだろうと考える。
P(総額3000円)＝P(総額1500円)=1/2 だと考える根拠は何もない。

>>334
もう一方が 1000000

>>334
数学でないことをやりたいなら、相応しい板へ移動するべき

>>333
> 最初の封筒を開け10000円が出てきたときに
> もうひとつの封筒の中身が 20000円 である確率が 1/2、
> 5000円 である確率が 1/2 と仮定すれば
> 期待値は12500円となることになにも問題はない。
>
> 現在の話題は、その仮定をすることに
> 何か問題はあるのか、だ。

結論から言えば問題だらけだ。その間違った仮定をする事が、この問題がパラドキシカルに見える原因だと言って良いと思う。
即ち、そのような仮定をするという事は、この２封筒ゲームのルールを変えているのと同じだ。

封筒の選択の前に２つの封筒それぞれに入れられた金額は固定される。
選択で可能なのは高額のお金の入った封筒を選ぶか低額のを選ぶかだけだ。
その選択に於いて各封筒を1/2で選ぶというのを仮定する事は、封筒は区別がつかないといった問題文の記述から妥当だろう。

しかし、既に２つの封筒の中身の金額がセットアップで固定されている以上、選択後に選んだ封筒の中身の額をみたところで
残りの封筒の金額は変わらない。
つまり10000円を見た時点で分かる事、現在のプレイ中のゲームに関しては、
（A)もう一つの封筒の中身が20000円の確率が１のゲームであるか、
あるいは
（B)5000円の確率が１のゲームであるか、
そのいずれか以外の金額では有り得ないという事だけ。

もう一つの封筒の中身をどうしたかというのは、現在プレイ中のゲームが始まる前の封筒のセットアップの時点で
決まっており、封筒のセットアップに関する確率分布は問題文で何も規定されていないのだから、
（A)と（B)とが平等の確率1/2でセットアップされると仮定するのは妥当ではない。

この２封筒ゲームを何度もプレイする場合に、封筒を用意する側は常に5000円と10000円の金額で２つの封筒をセットアップする事が
問題文の記述からは何ら禁止されていないからだ。

なんども同じ事を言わせるな
数学でないことをやりたいのなら他の板でやれ。

>>338
> なんども同じ事を言わせるな
> 数学でないことをやりたいのなら他の板でやれ。

ゲームの根幹を変更するような仮定を立てて云々こそ数学でないんだが。
ゲームの根幹のルールを変えるという事は、数学で言えば定理を証明する際に公理を勝手に変更してしまう事だぞ。

> その仮定をすることに
> 何か問題はあるのか、だ。

選択に先立ち封筒の中身の金額は決まっているので、既に書いた通りその仮定はナンセンスだが、
その点に目を瞑っても、正の有理数全ての集合という可算無限集合に対して自然な測度は存在しないので
仮定は成立しない。

なんか、読み返したら、>>32 と >>60 で終わってた。

>>339
＞ ゲームの根幹のルールを変えるという事は、
＞ 数学で言えば定理を証明する際に公理を勝手に変更してしまう事だぞ。 

証明した定理は、変更追加した公理の下での定理であって
もとの公理下の定理ではないから何も問題ない。
公理と定理の関係になにか誤解があるんじゃないか？

>>340
もっとよく読んでみてくれ。 >>2で終わってるから。

存在比は関係無い

と、するか、それぞれ1/2 とするかが
曖昧なところ

存在比がわからないから、、、は、
交換後の期待値 1.25 の説明には
全くならない、バカ解答

>>339
＞ 選択に先立ち封筒の中身の金額は決まっているので、既に書いた通りその仮定はナンセンスだが、 

どういう理屈だよ。
プレイヤー視点とディーラー視点を混同してんのか？

>>345
そんなこと言ってる奴はここにはいないと思うが
比がわからないから答えられない、仮定は無意味 とする立場と
1/2と仮定すれば12500円という立場とを
混同してるんじゃないか？ よく読めよ。

>>339
＞ 正の有理数全ての集合という可算無限集合に対して自然な測度は存在しないので仮定は成立しない。 

加算無限集合とか自然なとか意味不明。

もしかして封筒を開けたら10000円入っていた時だという
条件付き確率の問題だということを忘れてないか？
あとアンカーくらいちゃんと打てよ。

>>348
有理数は可算無限集合じゃないの？

>>349
有理数全体、または一部の部分集合は加算無限集合だよ。 

しかし、この問題で直接扱う金額は、たった２通りなので有限集合だね。

もちろん、それを考えるのに加算無限集合を用いるのは構わない。
なんのためにどう使うのかくらいは説明したほうがいいけどね。

>>350
ああ失礼。
ここで議論しているのは、オリジナルの２封筒問題じゃなくて、>>1で規定されてる一方の封筒の金額は10000円だと固定されたゲームなのか。
ならば可算無限は関係なかった。

但し、1で定めているゲームのルールからは、２つ封筒の中身を、5000円と10000円の場合と、10000円と20000円の場合とを、ディーラが如何なる比率でセットアップせねばならないか、という制限が全く導かれない。

従って、それら２つの場合それぞれの確率が>>1にあるゲームのルールから定まらない以上、もう一方の封筒の中身の期待値に関しても5000円以上で20000円以下という事以外には何も言えない。

その期待値に関して、何らかの具体的な金額…例えば12500円…を主張する事は、２つの場合それぞれの確率に対して勝手な仮定を導入しているに等しいので、そんな議論はもはや数学ではないと考える。

自然数とかいうものをかってに仮定しているのも
ユークリッド空間とかいうものをかってに仮定しているのも
まったく数学らしくないよな

排中律もずいぶん勝手な仮定だね。問題文にはそんなことは書いてないよな。

>>352
公理系がなきゃ数学がはじまらんだろ。

公理と勝手な仮定をどこで線引きするのか

選択公理や連続体公理は勝手な仮定か

仮定 と 公理は 同じものだということを知らんのだろう

国会かと思うほど、議論が空転しているが、
P(総額30000円｜手元10000円) : P(総額15000円｜手元10000円)
= P(総額30000円) : P(総額15000円)　だが
P(総額30000円) も P(総額15000円) も問題で与えられてない
…という点は、一同納得でいいの？

納得も何も、そんなことは>>2に書いてある

そこが終わってるとすれば、あとは、
ジャンボ宝くじは１〜７等orハズレだから
１等１億円が当たる確率は1/8だ
…と思うか思わないかだけの問題になる。

分布が発表されてるものについてそう考える理由はなんだ？
やはりなにか勘違いしているとしか思えない。

分布が等しかったらで話してるのはこの問題がテレビで扱われて
その条件の中で交換したほうがいいという結論だった事に突っ込む為でしょ

数学で言う「わからない」は、
「同様に確からしい」
かと思っていたよ。

そう思う人のための ≫359.

宝くじが二枚ある。価値が異なることだけは判っている。
（１等から７等、ハズレの8つ異なる価値のうち、何れか二つ）
どちらか一方をもらえることになっている。

一方を選ぶと７等であることが判った。
今選択した方をもらうことも、他方をもらうことも出来る。
ただし、今、決めなければならない。どうする？

>>363
宝くじのユニットあたりの分布は発表されている。
「わからない」じゃないんだ。

「ひいてみたら100円だった」からはじめる。

「50-100のセット」の割合 :a
「100-200のセット」の割合：b
a+b=1, a>=0, b>=0

ひいてみたら 100 で、交換したあとの期待値 :Z とおくと、

Z = (50a+200b)/(a+b)

a=0.5, b=0.5 であれば、

Z = (50)(0.5) + (200)(0.5) = 125

で、これが 125 円の根拠。

「ディーラーの匙加減がわからない」じゃなくて、
「期待値は割合による関数として求められる」かな。

Z = 50a + 200b
= 50a + 200(1-a) = 200 -150a

a が 1 (全部 50-100)なら 50
a が 0 (全部 100-200)なら 200

超算数ｗ ■

>>364
どうするか？ とか どっちが得か？ なんてのは 数学の話ではないことに注意。

あ、「ひいてみたら1000円」でヨロｗ

>>1には10000円とあるが、100円や1000円にしたがるのはなぜなんだろう？

書き間違い、スマｗ

割合aの「500-1000」と、
割合bの「1000-2000」のセットのうちから、
たまたま1000をひいてしまった、

というところからはじまっていた、ということで。

なぜ確率という言葉を使わずに割合という言葉を使うのだろう？
宝くじのくじは複数枚あるので「当たりの割合は、、、」と言うのは理解できる。
一方>>1の問題では１組みの封筒しか存在しないのだが、一体何の割合を考えているのだろうか？

>「期待値は割合による関数として求められる」かな。
「期待値とは、確率と確率変数を掛けた総和」(>>3より)

どっちが得か？はその行為を統計で見た話だけど
問題の「10000円だった」を必ず起きるか偶然起きたかによって
意見が変わるのがこの問題のメインなんじゃないの？
分布を均一前提で見なければ不明なのは当然

問題の「10000円だった」が偶然ではなく
かならずおきるものだったら、
２つの封筒のどちらを開けても10000円と
いうこと。
これは問題にある２つの封筒の金額比に反する。

>>373
＞ どっちが得か？はその行為を統計で見た話だけど 

あなたの性格では「統計」なのだと思う。
どっちが「得」か、という概念は、個人の性格や資質に依る所が大きい。

交換しても期待値は上がらない(てゆうかそれは期待値と言わない)
もうFAでてるのに、コマ大の間違った説明のせいで無理解難民が増えてるな

何を期待値と言わないんだって？

「それ」ってのは何なんだろうな？ 上がらないものらしいが。

電波テロ装置の戦争(始)
エンジニアと参加願います公安はサリンオウム信者の子供を40歳まで社会から隔離している
オウム信者が地方で現在も潜伏している
それは新興宗教を配下としている公安の仕事だ
発案で盗聴器を開発したら霊魂が寄って呼ぶ来た
<電波憑依>
スピリチャル全否定なら江原三輪氏、高橋佳子大川隆法氏は、幻聴で強制入院矛盾する日本宗教と精神科
<コードレス盗聴>
2004既に国民20%被害250〜700台数中国工作員3〜7000万円2005ソウルコピー2010ソウルイン医者アカギ絡む<盗聴証拠>
今年５月に日本の警視庁防課は被害者SDカード15分を保持した有る国民に出せ!!<創価幹部>
キタオカ1962年東北生は二十代で2人の女性をレイプ殺害して入信した創価本尊はこれだけで潰せる<<<韓国工作員鸛<<<創価公明党 <テロ装置>>東芝部品)>>ヤクザ<宗教<同和<<公安<<魂複<<官憲>日本終Googl検索

魂は幾何学


誰か(アメリカ)気づいた
ソウルコピー機器

封筒の金額比は1：2ではありませんが、二封筒の分布で悩まなくてよい問題をドゾー

ホストが封筒Ａ、封筒Ｂにそれぞれお金を入れる。
封筒に入れる金額を以下のように決定する。
さいころを奇数が出るまで連続して振る、出目は奇数偶数どちらも1/2の確率で出るものとする。
この時、偶数の目が出た数をn とし、このｎを基に、一方の封筒に100^n円、もう一方に100^(n+1))円を入れる事にする。

＜＜確率計算により、封筒に(100^n,100^(n+1))円を入れる確率は 1/2^(n+1)となります(n=0,1,2,...)。
つまり、(1,100)円を入れる確率は1/2で、以後金額が100倍になるごとに確率が1/2倍ずつになる等比数列です。
(100,10000)円は1/4、(10000，1000000)円は 1/8…という具合です。＞＞

1〜5の数字が書かれた5つの出目のあるルーレットを回し（それぞれの目の出る確率は1/5とする）、
1〜3までが出れば高額な方【100^(n+1)円】を封筒Ａに入れ、残りの低額な方【100^n円】を封筒Ｂに入れる。
4〜5が出れば高額な方【100^(n+1)円】を封筒Ｂに入れ、残りの低額な方【100^n円】を封筒Ａに入れる。
つまり、封筒Ａには3/5の確率で高額になり、2/5の確率で低額になります、封筒Ｂはその逆です。

ゲストはこの決定プロセスを知っているため、確率そのものは知っていますが、
さいころを振っているところ、ルーレットを回し封筒にお金を入れるところを見ていないため、
ｎの値や封筒に実際にいくら入っているかは知りません。


（問１）ゲストは封筒Ａか封筒Ｂどちらか片方の封筒を選びそれを得られる場合
　　　　どちらを選んだ方がよいでしょうか？またその理由は？

（問２）ゲストが封筒Ａを選び中身を確認すると10000円だった。
　　　　このときに、ゲストが封筒Ｂと交換してよい場合、交換し封筒Ｂを得た方がよいか？
　　　　またその理由は？

http://seki.jpn.org/modules/pukiwiki/index.php?TwoEnvVarBの問題を改変しました。

オーナーが200枚のカードを持ってきた。
200枚のカードのうち、100枚は「金銀カード」と呼ばれ、一面が金色、もう一面が銀色である。
残りの100枚のカードは「銀銅カード」と呼ばれ、一面が銀色、もう一面が銅色である。
銅色より銀色の方が、銀色より金色の方が、「より輝いている色」と呼ぶこととする。

オーナーは、大きな袋に金銀カードを n 枚、銀銅カードを 100-n 枚入れた(0≦n≦100)。・・・・・★
ホストは腕だけを袋に入れ、よくかきまぜ一枚のカードを引き、それをテーブルの上に置き、
カードの色が判らないよう手で覆ってゲストに言った。
「表か裏か選んでください。選んだ面と同じ色のコインを差し上げます。」
問題１：表より裏の方が、より輝いている色である確率は？
ここで、オーナーがホストに言った。「それではなんも面白くない。手をどけろ。」と。
ホストは手をどけ、カードの表面が銀色であることが確認できた。
問題２：表より裏の方が、より輝いている色である確率は？

★の行の一文だけを「オーナーは、大きな袋に金銀カードと銀銅カードをあわせて100枚入れた。」
に変え、同じ問題を考えよ。ただし、問題の番号をそれぞれ３と４に変える。

解答
１：1/2　 　 ,２：n/100
３：1/2　 　 ,４：判らない（不明、判断できない、求めようがない）

４を言い張るのが、問題不備で計算不能と言い続けるやつと同じ。

「金銀カードの枚数をとし、nの式で表しなさい」と言われないと
何もできない。

>「金銀カードの枚数をとし、nの式で表しなさい」と言われないと

お前はチョソンか、日本語で書け。

使い慣れた母国語でないと、たった１文字の脱字
程度でいきなり理解できなくなるよね

狭量な日本語の定義が好きだなお前ら

これ問題が変わってしまってるだろ。>>1ならフツーに期待値は
20000円×0.5＋5000円×0.5＝12500円
で何の問題もないぞ。
オマエら落ち着け。

おもうんだけど、そもそもこの２封筒問題って、パラドクスになってないだろ。
封筒Aを選ぶと封筒Bのほうがいいように見える、封筒Bを選ぶと封筒Aのほうがいいように見える
だから、どっちがいいのか結論が出ないってことだろ？

結論が出ないってことからなんでパラドクスだって話しになるのか？
どっちを選んだほうがいいのか結論が出るほうがパラドクスだろ。
封筒Aを選ぶのと封筒Bを選ぶのとどっちが得なのか分からないんだから。

つか、この問題矛盾してるよな。
どっちを選ぼうと一方が他方の1:2になるように金を入れるって、
そもそも不可能じゃんかwww

存在しない条件で問題を考えていたからおかしくなっただけだな、これって。

封筒Aを選んだ上で、封筒BにはA:B=1:2またはA:B=2:1になるように
お金が入っています。封筒Bを選んだほうが得でしょうか？

答え：イエス
----------------------------
封筒Bを選んだ上で、封筒AにはA:B=1:2またはA:B=2:1になるように
お金が入っています。封筒Aを選んだほうが得でしょうか？

答え：イエス
----------------------------
封筒Aも封筒Bも選ばずに、どっちを選ぼうとも、片方が片方に対して
1:2になるようにお金が入っています。１度選んだ後、選び直したほうが
得ですか？

答え：いえ、そもそもそのようなお金の入れ方は全く不可能です。
問いが問いとして成立していません。
----------------------------

これがFA。

最後をちょっと修正。

-----------------------------------
封筒Aも封筒Bも選ばずに、どっちを選ぼうとも、片方が片方に対して
1:2または2:1になるようにお金が入っています。１度選んだ後、選び直したほうが
得ですか？

答え：いえ、そもそもそのようなお金の入れ方は全く不可能です。
問いが問いとして成立していません。
-----------------------------------

じゃあ試しに、封筒Aには１００００円、封筒Bには２００００円入れてみようか

そうしたらなんと、どっちを選ぼうとも、片方が片方に対して 
1:2または2:1になるようにお金が入っているじゃないですか。

そもそもそのようなお金の入れ方は全く不可能なはずなのに
これはパラドクスですね。

nを10000以上の整数とする.
ひとつの空の封筒にはx円入れ,もうひとつの空の封筒に2x円入れた.
P(x=k)=n^(-1)(k=1,…,n)とする.
はじめの封筒を選ぶ確率も二つ目の封筒を選ぶ確率も1/2とする.
選んだ封筒の中に10000円入っている条件のもともう一方に入っているものの期待値を求めると12500円になる.
ある仮定のもと期待値がそうなるということ.

>>393
オマエが戦いに参加するまで追跡スルさかいナ。

猫

>393 名前：KingMathematician ◆LoZDre77j4i1 ：2011/12/03(土) 07:36:40.84
> nを10000以上の整数とする.
> ひとつの空の封筒にはx円入れ,もうひとつの空の封筒に2x円入れた.
> P(x=k)=n^(-1)(k=1,…,n)とする.
> はじめの封筒を選ぶ確率も二つ目の封筒を選ぶ確率も1/2とする.
> 選んだ封筒の中に10000円入っている条件のもともう一方に入っているものの期待値を求めると12500円になる.
> ある仮定のもと期待値がそうなるということ.
>

>>392
頭悪過ぎるだろ。ネタかよ。

金銀カードの話で尽きてるんじゃないの？
おまいら、パラドクスに浪漫懐き過ぎ。
数学は、単純だよ。

事象1) 開けた封筒が10000円、開けてない封筒は20000円。
事象2) 開けた封筒が20000円、開けてない封筒は10000円。
事象3) 開けた封筒が10000円、開けてない封筒は5000円。
事象4) 開けた封筒が5000円、開けてない封筒は10000円。

どちらの封筒を開けるかが等確率てことは、
各事象の起こる確率の比が
事象1:事象2 = 事象3:事象4 = 1:1 だってこと。事象1:事象3 の確率比は、二封筒問題では未定義。
よって、開けた封筒が10000円という条件下の
条件付き期待値は定義されない。Q.E.D.F.A.

他方の封筒の中の期待値が12500円になるのは,封筒に10000円より多く入れてもよかろうという思い込みが含まれている.
10000円と5000円しか持っていない奴が封筒に仕掛けをする場合は20000円は入れられない.

>>397
馬鹿者の書き込み。

猫

>397 名前：KingMathematician ◆LoZDre77j4i1 ：2011/12/04(日) 02:54:07.88
> 他方の封筒の中の期待値が12500円になるのは,封筒に10000円より多く入れてもよかろうという思い込みが含まれている.
> 10000円と5000円しか持っていない奴が封筒に仕掛けをする場合は20000円は入れられない.
>

>>396
そんなことはもうとっくに>>2や前スレで了解済みだ。

一般の条件付期待値は,(5000円*少ないほうに5000円が入る確率+20000円*多いほうに20000円が入る確率)/(少ないほうに5000円入るか多いほうに20000円入る確率).

封筒Aを選んだ上で、封筒BにはA:B=1:2またはA:B=2:1になるように
お金が入っています。封筒Bを選んだほうが得でしょうか？

答え：イエス
例えば、Aに１０００円、Bに２０００円入ってる確率が５０％、
Aに１０００円、Bに５００円入ってる確率が５０％
という確率空間を考えます。すると、Aの封筒を開けた時、A:Bの金額の
比は１：２または２：１で、それぞれ確率は半々です。
そして期待値は１２５０円になるからBを選んだほうが得です。
（注意）Bを先に選んだら、それが２０００円だった場合は、Aに入っているのは
１０００円なのだから、
「A:Bの金額の比は１：２または２：１で、それぞれ確率は半々です。」
とはなりません。A:Bの金額の比は１：２が１００％、２：１は０％です。
また、Bを先に選んで、それが５００円だった場合もやはり、
「A:Bの金額の比は１：２または２：１で、それぞれ確率は半々です。」
とはならず、Aが１０００円なのだから、A:Bの金額の比は１：２が０％、
２：１は１００％です。
-----------------------------
封筒Bを選んだ上で、封筒AにはA:B=1:2またはA:B=2:1になるように
お金が入っています。封筒Aを選んだほうが得でしょうか？

答え：イエス
例えば、Aに４万ドル、Bに２万ドル入ってる確率が５０％、
Aに１万ドル、Bに２万ドル入っている確率が５０％
という確率空間を考えます。すると、AとBが逆になるだけで、上とほぼ同様です。
-----------------------------
（ちょっと訂正）封筒Aと封筒B、どっちを選ぼうとも、片方が片方に対して
1:2になる確率が５０％、2:1になる確率が５０％になるようにお金が入っています。
１度選んだ後、選び直したほうが得ですか？

答え：いえ、そもそもそのようなお金の入れ方は全く不可能です。問いが問いとして成立していません。

存在しないものを前提にして議論していたから、パラドクスが起こっている
ような錯覚をしていたわけね。

キレイに解決したじゃん。

>>401

ｐ：封筒Aと封筒B、どっちを選ぼうとも、片方が片方に対して 
　　1:2になる確率が５０％、2:1になる確率が５０％になるようにお金が入っている。 

ｑ：１度選んだ後、選び直したほうが得である。

ｐ→ｑ は正しい。

答えは： 「いいえ」ではなく「はい」がふさわしい。  

>>403
何言ってるか分かりませんです、はい。

>>404
あなたは 、命題A が 真の時に
「Aは正しいですか？」 と問われて
「はい」 「いいえ」 の どちらを答えますか？

このような基本的な言語の使い方が一致していない人と
論議をすることは非常に難しいと思いますか？

「p」,「q」,「pならばq」の真偽は、それぞれ別物。

「p」が真かつ「pならばq」も真ならば、「q」も真になる。

「p」が偽ならば、「pならばq」はいつでも真になる。
ただし、この場合「q」は真だとは限らない。

それがなにか？

「2が奇数ならば、3は素数である」 は真である。
「2が奇数ならば、3は合成数である」 もまた真である。


問い：2が奇数ならば、3は素数でしょうか？
答え：はい。その仮定のもとでは、3は素数です。
答え：いえ、そもそも2は偶数なので、問いが問いとして成立していません。

この場合、前者の答え(はい)が正しい。問いとして聞かれているのは
「pならばq」の真偽であるから、今の場合は真である。


問い：2が奇数ならば、3は合成数でしょうか？
答え：はい。その仮定のもとでは、3は合成数です。
答え：いえ、そもそも2は偶数なので、問いが問いとして成立していません。

これもまた、前者の答え(はい)が正しい。問いとして聞かれているのは
「pならばq」の真偽であるから、今の場合は真である。

>>406
封筒にどんなルールでお金が入っているのかわからないなにも前提のない状態で
「１度選んだ後、選び直したほうが得」 の 真偽が決まると思っている人は
いくらなんでもいないと思うよ。 

>>408
その場合、前提(p)無しのときにqの真偽を考えることができるので
例としてはあまりよろしくないね。
先の話では、 pなしにqの真偽を考えることはできないような命題だからね。

>>405
↑
たぶんこのあほは、なんかわかんないけど悔しいんだろうと思う。自分が的外れなことを言ってることに
気づいていない。
存在しないものを前提にしたらなんでも正しくなる。任意の命題は真になる。つまり、任意の命題の否定も真になる。
すべての命題は正しい、かつ間違いになる。だから、議論が意味を成さなくなるわけね。つまり

＞答え：いえ、そもそもそのようなお金の入れ方は全く不可能です。問いが問いとして成立していません。

ということね。なんも間違ってない。このマンマでオケ。

もうこのスレ終了でいいんじゃね？どうみても終わっただろ。

相手の言うことが理解出来ない場合、あほだと蔑んでおけば
自分のアイデンティティは傷つかずに済むという図式。

＞ 存在しないものを前提にしたらなんでも正しくなる。

そうか？ 
たとえば >>411にとって虚数は存在するのか？

>>412
問題そのものの解決は、もう３つくらい前スレから言われていること。

ここは、それでは我慢出来ない人たちの隔離スレ。
だからいつまでたっても終わらない。

過去には、隔離スレの主役は問題が全く理解できていない人たちだったが
現在では、半端な自己流の理解をしたうえで、相手が全く理解できていない
と思い込んだひとがこのスレの主役になりがちである。

>>415
見たいだね。いままでの経過を全然知らないで書き込みしてるんでね。
メンヘラの集まりになっちゃってるみたいだね。

>>413
それまるっきりオマエのことね。

物理板が腐ってからだいぶ経つけど、数学板もとうとうなのか。。。

人への念の盗み見による介入を阻め。

まあまあ君たち、落ち着いて以下の問題でも解いてみたまえよ

ホストが封筒Ａ、封筒Ｂにそれぞれお金を入れる。
封筒に入れる金額を以下のように決定する。
さいころを奇数が出るまで連続して振る、出目は奇数偶数どちらも1/2の確率で出るものとする。
この時、偶数の目が出た数をn とし、このｎを基に、一方の封筒に100^n円、もう一方に100^(n+1))円を入れる事にする。

＜＜確率計算により、封筒に(100^n,100^(n+1))円を入れる確率は 1/2^(n+1)となります(n=0,1,2,...)。
つまり、(1,100)円を入れる確率は1/2で、以後金額が100倍になるごとに確率が1/2倍ずつになる等比数列です。
(100,10000)円は1/4、(10000，1000000)円は 1/8…という具合です。＞＞

1〜5の数字が書かれた5つの出目のあるルーレットを回し（それぞれの目の出る確率は1/5とする）、
1〜3までが出れば高額な方【100^(n+1)円】を封筒Ａに入れ、残りの低額な方【100^n円】を封筒Ｂに入れる。
4〜5が出れば高額な方【100^(n+1)円】を封筒Ｂに入れ、残りの低額な方【100^n円】を封筒Ａに入れる。
つまり、封筒Ａには3/5の確率で高額になり、2/5の確率で低額になります、封筒Ｂはその逆です。

ゲストはこの決定プロセスを知っているため、上記の確率そのものは知っていますが、
さいころを振っているところ、ルーレットを回し封筒にお金を入れるところを見ていないため、
ｎの値や封筒に実際にいくら入っているかは知りません。

ゲストは封筒Ａか封筒Ｂどちらか片方の封筒を選びその中身を確認する事が出来る
片方のみを確認後、改めてA、Bどちらかの封筒を選びそれを獲る事が出来る。

問1）　　�@　封筒Aを先に確認し、交換して封筒Bを選ぶ
　　　　　�A　封筒Bを先に確認し、交換して封筒Aを選ぶ

　　　　　�@、�Aどちらが得られる金額の期待値が大きくなるか？

まあまあ君たち、落ち着いて以下の問題でも解いてみたまえよ

ホストが封筒Ａ、封筒Ｂにそれぞれお金を入れる。
封筒に入れる金額を以下のように決定する。
さいころを奇数が出るまで連続して振る、出目は奇数偶数どちらも1/2の確率で出るものとする。
この時、偶数の目が出た数をn とし、このｎを基に、一方の封筒に100^n円、もう一方に100^(n+1))円を入れる事にする。

＜＜確率計算により、封筒に(100^n,100^(n+1))円を入れる確率は 1/2^(n+1)となります(n=0,1,2,...)。
つまり、(1,100)円を入れる確率は1/2で、以後金額が100倍になるごとに確率が1/2倍ずつになる等比数列です。
(100,10000)円は1/4、(10000，1000000)円は 1/8…という具合です。＞＞

1〜5の数字が書かれた5つの出目のあるルーレットを回し（それぞれの目の出る確率は1/5とする）、
1〜3までが出れば高額な方【100^(n+1)円】を封筒Ａに入れ、残りの低額な方【100^n円】を封筒Ｂに入れる。
4〜5が出れば高額な方【100^(n+1)円】を封筒Ｂに入れ、残りの低額な方【100^n円】を封筒Ａに入れる。
つまり、封筒Ａには3/5の確率で高額になり、2/5の確率で低額になります、封筒Ｂはその逆です。

ゲストはこの決定プロセスを知っているため、上記の確率そのものは知っていますが、
さいころを振っているところ、ルーレットを回し封筒にお金を入れるところを見ていないため、
ｎの値や封筒に実際にいくら入っているかは知りません。

ゲストは封筒Ａか封筒Ｂどちらか片方の封筒を選びその中身を確認する事が出来る
片方のみを確認後、改めてA、Bどちらかの封筒を選びそれを獲る事が出来る。

問1）　　�@　封筒Aを先に確認し、交換して封筒Bを選ぶ
　　　　　�A　封筒Bを先に確認し、交換して封筒Aを選ぶ
　　　　　�B　封筒Aを先に確認し、１円であれば交換して封筒Bを選ぶ、それ以外は封筒Aを選ぶ
　　　　　�C　封筒Bを先に確認し、１円であれば交換して封筒Aを選ぶ、それ以外は封筒Bを選ぶ

　　　　　�@、�A、�B、�C、この中ではどの戦略が最も得られる金額の期待値が大きくなるか？

上げ忘れた

連投してもた、すまんだむ

封筒ABに名前が書いてあるのも珍しいな。

>>418
私の作業がそろそろ終了する頃合いですかね。

猫

>>424
他からの転載、改変なんだけどね
ちなみにあなたは�@〜�Cどの方法で封筒を決めればよいと思う？

よい、というのは、期待値が大きいという意味で言ってるのか？

>>427
そりゃ期待値が大きい方がいいよね
小さい方がいいと思う人いるのかな？

＞ 小さい方がいいと思う人いるのかな？

期待値ではなく、別の基準で損得や良い悪いを考える人は結構多いと思うよ。

期待値だけで考えれば保険には誰も入らない。

そんな人は「別の基準で」選んだ理由を書けばいいんじゃない？

で、あなたはどれを選ぶの？

他の基準を持っている人もいることを理解できたのなら
どんな基準で問題を出しているのかも書いたほうがいいと思うよ。
でなければ良いとか得とかの人によって基準が違うものをもちこまないで
単純に期待値の高い方というかだね。

>>431

そうですね、では問題の

�@　封筒Aを先に確認し、交換して封筒Bを選ぶ
�A　封筒Bを先に確認し、交換して封筒Aを選ぶ
�B　封筒Aを先に確認し、１円であれば交換して封筒Bを選ぶ、それ以外は封筒Aを選ぶ
�C　封筒Bを先に確認し、１円であれば交換して封筒Aを選ぶ、それ以外は封筒Bを選ぶ

�@、�A、�B、�C、この中ではどの戦略が最も得られる金額の期待値が大きくなるか？

に答えてみて下さい。

いずれも期待値が発散している場合にはなんて答えたらよい？

>>433
�@と�Aだけなら発散してても分かるけど
�Bと�Cを加えると分からなくなるんですかね？

「別の基準で」答えてもいいいんですよ
まず分かる範囲で答えてみて下さい

（ヒント）　すべてをいきなり比べようとすると分からなくなるので
�@と�Aを比較、�@と�Bを比較、�@と�Cを比較
�Aと�Bを比較・・・・・　、と順番にすると分かり易いと思いますよ

>>433以外の人でも分かる人がいたら
遠慮せず書き込んでみて下さいアゲ

戦略�@、�A、�B、�Cにおける獲得金額の期待値は、いずれも存在しない
(期待値は総和が絶対収束する場合でないと定義しないため >>3)。
存在しないもの同士の大小関係など答えられない。
故に、戦略�@、�A、�B、�Cは「獲得金額の期待値」では優劣を評価できない。
で>>432は数学的にはFA

＞「別の基準で」答えてもいいいんですよ
＞まず分かる範囲で答えてみて下さい
何を基準に評価を定義するかで戦略の優劣は変わり得るので、
その「別の基準」とやらがなんなのか定義されていないならば
答えようがない。
また、「何を基準とすべきか」等の問は、数学の範疇の問ではない。

>>436
�@と�Aどちらがよいかは分かります？
それも分からない？

たとえばサンクトペテルブルクのパラドックスのように封筒に入れる金額を決定し
封筒Ａには2＾(n-1)円入れ、封筒Ｂに2＾n円入れた場合はどうです？
どちらも期待値は発散しますが、封筒Ｂのほうが大きいことは分かると思います
それとも分からない？

なにがよいかはもちろん自分の頭で考えるんですよ
数学を応用して問題を解く姿勢が大事だと思いますよ

何を基準とすべきか分からないのはご自身の能力不足なのでは？

>>437
問題：正の奇数の合計と、正の偶数の合計どちらが大きいか？
答え：
１＋３＋５＋７＋．．．＋（２ｎ−１）＋．．．
２＋４＋６＋８＋．．．＋（２ｎ）＋．．．
項毎に比べると、常に下の方が大きい。だから、正の偶数の合計の方が大きい

という主張をあなたはしたいのですか？

Rに二点a,bを追加してX＝R∪{a,b}と置く。

xρy (x,y∈Rかつx≦yのとき)
aρx (x∈Rのとき)
xρb (x∈Rのとき)
aρb

としてX上に半順序ρを定義する。このとき、ρはX上の全順序となり、
Xに順序位相θを入れて位相空間と見なしたとき、(X,θ)はコンパクトである。
さて、R⊂Xであるから、Rにはθに関する相対位相を入れることが出来る。
この位相は、Rの通常の位相に一致するので、(X,θ)はRの自然な拡張の一種だと見なせる。
直感的には、bは＋∞に相当し、aは−∞に相当する。

(続く)

(続き)

>>432
＞�@、�A、�B、�C、この中ではどの戦略が最も得られる金額の期待値が大きくなるか？

この問いは、「期待値」の定義によって答えが変わる。

解答その1：どの場合も、期待値はR内には収束しない。従って、
「期待値」の定義にR内での収束性が要求されているならば、

「どの場合も期待値は定義できない」

となり、期待値の大きさは比較できず、問いとして不適切。


解答その2：位相空間(X,θ)における収束性で以って「期待値」を定義してある場合は、
�@〜�C全てにおいて期待値は存在して、その値は等しく b となる。従って、

「どの場合も期待値は等しい」

となる。

上記以外にも、「期待値」の定義は好き勝手に変更してよい。
当然ながら、定義ごとに答えは変わる。あとは、>>432がどのような
定義を使ってほしいのか、>>432が自分の口から要求するしか無い。

何の要求もないなら、個々人が好き勝手に定義した「期待値」に基づいて
好き勝手に>>432に解答することが可能となり、それらの解答は、
それらの定義において全て正しい。

>>440

では、次に以下に答えて下さい

たとえばサンクトペテルブルクのパラドックスのように封筒に入れる金額を決定し
封筒Ａには2＾(n-1)円入れ、封筒Ｂに2＾n円入れた場合はどうです？
どちらも期待値は発散しますが、封筒Ｂのほうが大きいことは分かると思います
それとも分からない？

分かるか、分からないかでどうぞ

正の奇数の合計と、正の偶数の合計とは根本的に違いますよね
なんか混同や勘違いなどをしていないですか？
>>439や>>440も無駄な事をしてますし、統合失調症かなにかですかね？

＞>>439や>>440も無駄な事をしてますし、
全く無駄ではない。>432で聞かれているのは

「�@〜�Cのどれが一番、期待値が大きいか？」

という問題である。これに対して

「その問題は "期待値" の定義によって変わる」

と言っているのが>>439-440であり、わざわざ "期待値" の定義方法の
具体例を2つも挙げてキミに説明してやったのだ。

＞封筒Ａには2＾(n-1)円入れ、封筒Ｂに2＾n円入れた場合はどうです？

「どうです？」が意味不明。ちゃんと書きなさい。

「封筒Ａには2＾(n-1)円入れ、封筒Ｂに2＾n円入れた場合は、期待値は�@〜�Cのどれが一番大きいか？」

という問題を聞いているのか？それとも

「封筒Ａには2＾(n-1)円入れ、封筒Ｂに2＾n円入れた場合は、�@〜�Cのどれが一番、得をするか？」

という問題を聞いているのか？


もし前者なら、やはり "期待値" の定義によって答えは幾らでも変わる。たとえば、
解答その1の定義なら、「どの場合も期待値は定義できないから、問題として不適切」となるし、
解答その2の定義なら、「�@〜�C全てで期待値は等しいから、どれでも同じこと」となる。


また、もし後者なら、「得をする」とはどういうことなのか、君の口から
詳しく説明しなければならない。

>>441
問題’：０以上の奇数の合計と、０以上の偶数の合計どちらが大きいか？
438の「主張」に準ずる答え：
１＋３＋５＋７＋．．．＋（２ｎ−１）＋．．．
０＋２＋４＋６＋．．．＋（２ｎ−２）＋．．．
項毎に比べると、常に上の方が大きい。だから、０以上の奇数の合計の方が大きい

０以上の偶数の合計と、正の偶数の合計は、「０」の有無だけなので、
同じと考えられるが、そうすると、「問題」と「問題’」では矛盾している。

原因：
部分毎の比較で、全体の大小を判断した。
収束する場合には可能な方法だが発散する場合には使えない。

あなたは、ここで「原因」としたものに心当たりはありませんか？

>>444
これでもいいな。

問い：「０以上の偶数の合計」と「正の偶数の合計」では、どちらが大きいか？

解答：
０＋２＋４＋６＋……
２＋４＋６＋８＋……
項毎に比べると、常に下の方が大きい。だから、「正の偶数の合計」の方が大きい。


……しかし、「０以上の偶数の合計」と「正の偶数の合計」は、
０の有無だけなので、本当はイコールなのではないか？

果たして、両者はイコールなのか？
それとも、「正の偶数の合計」の方が大きいのか？

そもそも、上の解答のような "部分毎の比較で全体の大小を判定する" という判定法は正しいのか？
特に、級数が発散する場合において、この判定法は使えるのか？

封筒Ａ,Ｂの金額(の確率変数)をそれぞれa,bとする。

＞たとえばサンクトペテルブルクのパラドックスのように封筒に入れる金額を決定し
＞封筒Ａには2＾(n-1)円入れ、封筒Ｂに2＾n円入れた場合はどうです？
＞どちらも期待値は発散しますが、封筒Ｂのほうが大きいことは分かると思います

この場合
P(b>a)＝１
「封筒Ｂの金額bは封筒Ａの金額aよりも確実に(確率１で)大きい」
が成立する事は言えるが

E(b)>E(a)
「封筒Ｂの金額の期待値E(b)は封筒Ａの金額の期待値E(a)よりも大きい」
とは言えるわけではない。
なぜならE(a),E(b)は存在しないから。
「E(a),E(b)も無限大だけど、E(b)の無限大∞_bの方がE(a)の無限大∞_aよりも大きい」
などということは言えない。


期待値とは、
"確率と確率変数の値の積"の総和として一意に定まる値

無限個の総和は、部分和(の列)の極限値として定義されるが
極限値が存在しない場合(極限が発散する場合)や
部分和(の列)の取り方により異なる値に収束する場合(級数が条件収束する場合)
は、"一意に定まる値"が存在しないので、期待値は存在しない。

>>446
　
では、同じように封筒Ａには2＾(n-1)円入れ、封筒Ｂに2＾n円入れようとするが
封筒Ａの中身は17/20の確率で入れない、封筒Ｂの中身は9/10の確率で入れないことにしましょう。

封筒Ａの方が金額が高額になる確率が高くなりますがどうですか？

封筒Ａ、封筒Ｂどちらを選んでそれを得られる場合
どちらを選べばよいか分かりますか？

>>447
＞どちらを選べばよいか分かりますか？

↑
そして>>427に戻る。やれやれ。


君が言っている「よい」の意味が「より期待値が大きい」ということならば、
既に書いたとおり、"期待値" の定義によって答えは変わる。

"期待値" とは違った意味で「よい」という言葉を使っているならば、
君の言う「よい」の定義を、君の口から詳しく説明しなければならない。


どちらにせよ、君の質問は意味が無い。
「よい」の定義次第で、どんな解答も正しく出来るからだ。
誰の目から見ても損をしているような戦略でさえ、"よい戦略である" ように出来る。
なぜなら、そのように「よい」という言葉を定義すればいいからだ。
そして、そのような下らない解答を防ぐには、
「よい」とは何なのか、出題者が細かく制限を加えなければならない。
すなわち、「よい」の定義を出題者が口にしなければならない。

しかし、「よい」の定義を出題者が口にした段階で、答えは自ずと決まってしまう。
それは、出題者が用意した "答え" を、自分から暴露してしまうことに通じる。

従って、君はそれを避ける。すなわち、「よい」とは何なのか、
君の口からは決して言わない。かわりに、元の問題を変形して

「この問題ならどうですか？どういう戦略が "よい" と思いますか？」

と周囲に問い続ける。君が用意した「よい」の定義を
誰かが言い当てるまで、君のこの作業は続く。


実にくだらない。君がやっていることは、数学ではない。君がやっていることは、

「 私が心の中で思っている "よい" の定義を、皆さん言い当ててください 」

ということである。これは数学ではない。ただのエスパー検定である。


エスパー検定は、数学板ではなく、別の板でやってもらいたい。

>>437
> �@と�Aどちらがよいかは分かります？ 

何度も言うが、「よい」を定義しろ。 

>>440
＞ それらの解答は、 それらの定義において全て正しい。 

いくらなんでもこれは回答者の答を信用しすぎ。
「それらの定義が異なれば、それぞれに異なる正解がある。」
くらいに留めておくのがいいと思う。

期待値は発散している、もしくは同じだから分からないんじゃないんですか？
Ａ、Ｂどちらを選んでも同じと答えればいいじゃないですかｗ

ちゃんと解いてからじゃ無いと能書きに説得力がありませんよ

数学を使い、自分が有利だと思う方を述べればいいだけです
定義定義って自分で定義できないんですか？

アホですか？

＞数学を使い、自分が有利だと思う方を述べればいいだけです

"有利","有利だと思う"の数学的な定義が定まらないなら数学は使えない。
自分で勝手に定義を決めていいのなら、各自で勝手にやればいいだけ。
そのような行為はもはや数学の範疇でないので、
この板の殆どの住人には興味がない。むしろ板違いなので邪魔でしかない。

誰かに答えて欲しい・考えて欲しいならば、どこか別の所でやった方が
君にとっても有意義だろう。


もし君に、"有利"の数学的な定義の面白いアイディアがあるなら
それをさっさと披露すればよい。
数学的にきちんした定義ならば、興味をもった人が応えてくれるかもしれない
(但し、つまらない考えならば、やはり誰も相手にしない)。

>>452
発散するものを「同じ」とする理由は？

>>454
>>443に書いてあるだろう

>>454
「もしくは」と言う
言葉の意味が理解出来ないのか？

A,B の金額の期待値は発散しているが、
ひとつめの封筒を開けた後での
条件付き期待値は有限じゃないか。
それを、開けた封筒の金額と比べることに
意味があるかというと、「よい」の定義の問題
になってしまうが…
サンクトペテルブルクの問題にしてしまうよりは、
条件付き期待値を考えたほうが
＞＞１ の話題に沿うように思う。

>>457
>>421の問題は
条件付き期待値として考えると、
初めに封筒Ａを選ぼうがＢを選ぼうが、
その中にどのような金額が入っていても他方の期待値の方が大きくなる。
それを信じて交換すると�@や�Aの戦略を取ることになる
�@が得られる賞金の期待値は�Cより小さいし
�Aは�Bより小さい、

条件付き期待値として考えるのは間違いだと分かるように問題を作ったんだけどね

10000円のとき、交換の期待値は、10000円のまま、変わらないと仮定する。《仮説Ａ》

5000円になる確率 2/3　20000円になる確率 1/3 となる。

開封する前の金額の確率分布を、超無理やり求めちゃう、で
625円未満はありえない。割り切れない。 1:2という条件から免脱するから。

事象 確率(有効数字小数点以下1桁）
───　　────────
625円 0.293　厳密には、1 - 2^(-0.5)
1250円 0.207　厳密には、上記の 2^(-0.5)倍
2500円 0.146　〃
5000円 0.104　〃
10000円 0.073　〃
20000円 0.052　〃
...
と定まることになる。しかし、そんななんだか変！だから

《仮説Ａ》を廃棄。よって、交換すれば、期待値は変化する（可能性）大

で増えるかどうか吟味中

>>458
＞条件付き期待値として考えるのは間違いだと分かるように問題を作ったんだけどね

どのような定義をすべきか定まっていないので正否など論ぜない。

特定の定義の下で、戦略の優劣が
�@＜�C、�A＜�B
となっても、間違いでもなんでもない。
単に君が気に食わなかっただけだろう。

>>460
サンクトペテルブルクのパラドックスのように封筒に入れる金額を決定し
封筒Ａには2＾(n-1)円入れ、封筒Ｂに2＾n円入れようとするが
封筒Ａの中身は17/20の確率で入れない、封筒Ｂの中身は9/10の確率で入れないことにする。

どちらの封筒を選んだほうが期待値が大きくなるか？

この問題にも答えられない人が何を言っても無駄ですよ
数学板でこんな簡単な問題が分からないのってあなただけでしょ

>>460

他の人はこんな問題には興味が無いみたいな事を言ってましたが
私もそうです、こんな簡単な問題には興味はありません。

発散してるから比較不能と言う苦しい言い訳をする人を眺めるのが面白いんです。
どうやって、どちらの封筒を選べばよいか判断するんでしょうねー
やっぱ分からないんですかね？どちらを選べばよいか
もちろん、よいとは期待値が大きくなる方を選ぶ事ですよｗ

「期待値」の定義と「大小関係」の定義を述べられないくせにでかい口をたたくもんだ。
聞いた話だが、本当のキチガイは自分が変だということに気づかないらしいよ。

期待値の定義なんて散々既出でしょ
「確率と確率変数を掛けた総和」です

大小関係の定義なんて高々正の実数で必要無いと思いますが？

「本当のキチガイは自分が変だということに気づかない」には同意します

>>461の問題でどちらの封筒を選べばいいか分からないんですよね？

封筒Aに入っている金額の期待値は、コインの裏が出た回数をｋと置けば　2＾(ｋ-1)*3/20
封筒Bに入っている金額の期待値は、同じように2＾ｋ*1/10

封筒Aの期待値：封筒Bの期待値＝2＾(ｋ-1)*3/20：2＾ｋ*1/10＝3：4
となり、【あなた以外】は、封筒Bの方が期待値が大きくなる事が分かります

因みにｋの値の上限は無いけれども、コインの表が出た後なので必ず有限の値です。

＞コインの裏が出た回数をｋと置けば

>>421の問題のnや>>441の問題のnを、n=kと置いた場合の金額aの期待値は、
「n=kという条件・仮定の下での金額の条件付期待値」等と呼びE[a|n=k]と表して
単なる「金額の期待値」E[a]とは区別される。

>>421の問題や>>441の問題では、nは未知数なので、「n=kとおく」というのは勝手に仮定した条件であって
「任意のkに対してE[b|n=k]＞E[a|n=k]」は成立するが「E[b]＞E[a]」は成立しないし
「n=kと置く」とは別の条件Dを勝手に仮定した場合「E[b|D]＞E[a|D]」とは限らない。

「n=kと仮定する場合の金額の条件付期待値による損得・優劣の判断だけが"正しい"のであって
　他の期待値・条件付期待値や、それ以外の方法による損得・優劣の判断は"間違い"である」
というのは君の思い込み・願望でしかない。

他の人が君とは異なる基準・定義によって
「>>421の戦略の優劣は�@＜�C、�A＜�B 」「>>441は封筒Aの方が"よい"」と判断したからといって
なにか矛盾が生じることはないし、その判断が"間違っている"わけではない。
単に君が気に食わないだけだろう。


＞因みにｋの値の上限は無いけれども、コインの表が出た後なので必ず有限の値です。

>>421の問題や>>441の問題(サンクトペテルブルクの問題)のようにn=kの値を決める場合、
コインを投げる前や表が出る前からn=kは有限の値になると判っている。
何故ならn=kの値は、その決め方(確率分布)から、確実に(確率1で)自然数になることが判っており、
任意の自然数は有限値だから。

>>465

ずいぶんとトーンダウンしましたね。

まあ今回はこの辺でやめときましょう。
あなたに２封筒問題を理解、納得させるのが目的ではないのでこれぐらいで十分です。

お疲れ様でした

>>462
＞もちろん、よいとは期待値が大きくなる方を選ぶ事ですよｗ
君はそう思うのかもしれないが、他の人が必ずしもそう思うとは限らない。
何が良いのかは、各個人の感性や状況によって変わり得る。

確かに期待値によって有利/不利を評価するという事は良くありがちだが
評価によく期待値が用いられる理由は

大数の法則
ある賭け(賭け方)がいくつかの条件(「期待値が存在して有限値」等)を満たす時、
その賭け(賭け方)を何回もやった時の平均値は、その賭け(賭け方)の期待値に近づく

が成立するからだ。賭けがこの"いくつかの条件"を満たさない場合や、賭けを何回もやらないorできない場合
期待値への近づき方が非常に遅い場合には、期待値による評価が妥当だとは私は思わない。


また、効用を用いて損得を考えるという手法も昔から知られている。

お金の価値の感じ方(効用・効用関数)は各個人によって異なっており、例えば
100円貰う場合の嬉しさの度合と、１万円貰う場合の嬉しさの度合の比は、単純に金額の比と同じとは限らず
前者は後者の100倍以上という人もいれば、ほとんど同じという人もいるだろう。
あまりの大金を得る場合は人生が狂ってしまいそうで色々と怖いからむしろ嬉しくない(効用が単調増加しない)という人や
100円失う(-100円得る)場合は、100円得る場合の嬉しさの5倍大きさで残念(嬉しさの度合が-5倍)という人もいるかもしれない。

価値の感じ方(効用関数)が異なれば、嬉しさの度合(効用)の期待値(期待効用)
を大きくするような選択・戦略は変わる。単に
＞よいとは期待値が大きくなる方を選ぶ事
と言っても、
金額の期待値が大きくなる選択、効用の期待値(期待効用)が大きくなる選択
それ以外のなんらかの期待値が大きくなる選択
では、それぞれ全く別の選択に成り得るので、それだけでは「よい」の定義が不十分。考えが浅はか。

＞＞４５８

＞＞４５７の者だけど、
(1)でも、(4)でも、各封筒の期待値は発散してるんだから、
(1)対(4)とか、(2)対(3)とか、トータルの期待値で比較すること
こそが不可能なんじゃないかね。
金額の確率分布がサンクトペテルブルク問題と類似している以上、
開けた封筒にどんな金額が入っていたとしても、「あっちは更に高額かも」
と考えるのには根拠があり、
条件付き期待値が高いことを「よい」と定義するならば、
(1)または(2)の戦略をとるのが正解。ただし(1)と(2)は比較できない。

効用は数学じゃないだろ、それこそ板違い
文系の経済学者にでも語らせとけ

そうだね。
だから、効用ではなく期待値の話をしよう。

とりあえず>>421君は、封筒の中身を確認した直後に計算できる期待値と、
ゲームのルールを定めた、あるいは、戦略を決めた時点で計算できる期待値＝封筒の中身を確認する前までの期待値
の違いを理解していないようだ。
前者は、分布と、確認した金額で簡単に計算できる。
後者は、引く可能性のある金額全ての重ね合わせなので、発散する可能性が出てくる。
後者であっても、分布の作り方によっては発散させないようにすることも可能。
この場合は、「ゲームの期待値」あるいは、「各戦略毎の期待値」を有限に値として得ることが可能。

ほら始まった
言い訳が苦しくなってくると、どちらの期待値も正しいとか言い始める

分布が有限だったり、ゲームの期待値が収束するような
簡単な問題の話はしてませんよ

前提条件がぶれないように、問題設定してる
それ以外の分布の問題なんて言及してないよ

１つの封筒の値を確認した後の条件付き期待値も出せるし、理解してる、
理解したうえで（ゲームの期待値が収束してる場合など以外は）、間違ってるって言ってんの

因みに君は>>421の問題で�@〜�Cのいずれかの行動しかとれない場合、どれを選ぶの？

いい訳って何？
>>421以降では俺は、偶数の和と、奇数の和、どちらが大きいかの話しかしてない
全く不適切な書き込みだ
俺は、それ以前の書き込みで、勝手な分布の仮定は２封筒問題ではないとしている
２封筒問題の本質は、選んだ封筒が高額側か低額側かは、封筒を選んだ時点では
1/2づつだが、金額を確認した瞬間に、その確率は判らなくなることにあるとしている
この巧妙なすり替えトリックこそが２封筒問題の正体だ

だから君が考えている問題は、もはや２封筒問題ではない。表面上は似ていても、本質を考えると、
２封筒問題の亜種ですらない。サンクトペテルブルク問題等の亜種と分類すべきものだ

１から４の戦略は、金額の確認前に決まる期待値だ
それを、金額確認後に計算できる条件付き確率で評価しようとしている
これらをごちゃ混ぜに考え、混同していることを指摘したのだ
これは、ちょうど偶数の和と奇数の和の大小を、各項の比較で評価しようとしている
ことに似ている。それを指摘した

なにかを言いたいのなら、クイズ形式ではなく、最初から主張を書けばいい。
掲示板利用者は、反応する義務等負っていない。クイズ形式では、君の言いたいことを
披露する前に、終了する可能性だってあるんだから。

いや、だから、期待値が高いことを「よい」と定義するならば、
≫421の答えは、(1)または(2)が「よい」戦略で、(1)対(2)は比較不能。
高校生でも解る話だよ？
≫421は、もとのニ封筒問題と異なり、封筒に入れる金額の確率分布が
与えられているのだから。

>>474
はい出ました
>(1)対(2)は比較不能

君も

表が出るまでコインを投げ、それまでに裏が出た数をｎとする。
封筒Ａには2＾(n-1)円入れ、封筒Ｂに2＾n円入れようとするが
封筒Ａの中身は17/20の確率で入れない、封筒Ｂの中身は9/10の確率で入れないことにする。

どちらの封筒を選んだほうが期待値が大きくなるか？

が分からないクチかね。
分かるなら、�@と�Aどちらが期待値が大きくなるか分かるよね

もちろん出るよ、「比較不能」。
「よい」を期待値が高いことと定義すれば、
期待値∞と期待値∞は比較しようがない。
同じ∞だから同じだけ「よい」と言ってしまうほど
無知な訳ではあるまい？

>>476
封筒Aに入っている金額の期待値は、コインの裏が出た回数をｋと置けば　2＾(ｋ-1)*3/20
封筒Bに入っている金額の期待値は、同じように2＾ｋ*1/10

封筒Aの期待値：封筒Bの期待値＝2＾(ｋ-1)*3/20：2＾ｋ*1/10＝3：4

コインの裏が出た回数はいくらであっても封筒Bの方が期待値が大きくなる

っと、晒し上げ

いや、まあいいんだけどさ
２つの封筒問題を条件付き期待値を求める問題として、
交換した方が期待値が大きくなると言う意見の人ってなんでこんなにアホなの？

俺の自演に見えるジャン

≫477
プレイヤーが k の値を知っているならば、
そのとおりだが。
コインを投げてるところを見せながらやるのかね？
k を教えないのであれば、プレイヤーは各封筒の
総期待値を比較せざるを得ず、∞と∞の大小は
「比較不能」。
それを、k 毎に比較してよいと思うのなら、
偶数の総和と奇数の総和を比較してみるか、
ヒルベルトのホテルでも訪ねてみるといい。
赤点。

>>477　まず、>>421の問題は、
「確認した金額がXだったとする。
　Xが1か、そうでないか、及び、確認した封筒がAなのかBなのかで場合分けし、
　>>421　の(1)〜(4)の戦略のどれが優れているか検討せよ。」
というタイプではなく
「各戦略によって得られる金額がYとなる確率をP(Y)とすると、ΣY*P(Y)を計算して
　>>421　の(1)〜(4)の戦略のどれが優れているか検討せよ。」
というタイプの問いだと言うことを確認して欲しい。

そこで、問題：「２の倍数の合計」と「３の倍数の合計」、どちらが大きいか？
解法１．第ｎ項までの和をそれぞれ求め、ｎ→∞で、大小を比較　両方とも発散→比較不能と判断
解法２．第ｎ項までの和をそれぞれ求め、ｎ→∞で、大小を比較　両方とも発散→同じと判断
解法３．「第ｎ項までの２の倍数の合計」／「第ｎ項までの３の倍数の合計」を求めｎ→∞で、2/3になり、後者が大と判断
解法４．6N以下までの和をそれぞれ求め(※)、N→∞で、大小を比較　両方とも発散→比較不能と判断
解法５．6N以下までの和をそれぞれ求め、N→∞で、大小を比較　両方とも発散→同じと判断
解法６．「6N以下までの２の倍数の合計」／「6N以下までの３の倍数の合計」を求めN→∞で、3/2になり、前者が大と判断

※
6N以下の2の倍数の合計=(6N/2)*(6N+2)/2=3N*(3N+1)=9N^2+3N
6N以下の3の倍数の合計=(6N/3)*(6N+3)/2=N*(6N+3)=6N^2+3N

普通は解法１や解法４を通して、比べられないとする。
しかし君は、解法３を取り、後者が大と主張する
解法６のような考え方はダメなのか？ダメな理由は？

ここで、改めて言う。>>421で与えられた問題は、文頭の前者のタイプではない。
前者のタイプなら、>>477の主張が正しい。しかし、後者のタイプだ。だから、比較不能。
何度も繰り返すように、奇数の合計と、偶数の合計、どちらが大きいか、という問いに対し、各項を比較して、
一方が大きいと言っているようなもの。もし、「2n-1」と[2n]どちらが大きいか、という問いなら答えは出せるが、
それらの合計だから、発散する量同士の比較になり、不能となる。

また、正の奇数の二乗の逆数の合計=Σ[k=1,∞]1/(2k-1)^2　と、正の偶数の二乗の逆数の合計=Σ[k=1,∞]1/(2k)^2なら、
両方とも収束する事を別の方法で確認した後に、各項同士の比較　1/(2k-1)^2 > 1/(2k)^2　から、
正の奇数の二乗の逆数の合計の方が大きいと判断することは正しくなる。

・前者タイプの問題と後者タイプの問題を区別できていない
・発散する量同士の比較を、収束する場合の方法(各項同士の比較)で行おうとしている
これが君の間違いだ

＞期待値が高いことを「よい」と定義する

何を仮定とする何の(条件付)期待値なのか不明瞭なので、定義が不十分。


>>421の戦略�@�A�B�Cの「(何も仮定しない)獲得金額の期待値」はいずれも存在しないので
「(何も仮定しない)獲得金額の期待値」では評価できない。

戦略�@�A�B�Cを
「(何も仮定しない)獲得金額の期待値」で評価する場合と
>>464のように「n=k(定数)とおいた下での獲得金額の条件付期待値」で評価する場合、
「確認した金額をx(定数)とする(仮定する)時の獲得金額の条件付期待値」評価する場合とで
どの方法が正しいか、採用すべきかということは、数学的には言えない
(評価方法自体の正否や優劣がきちんと定義されていない為)。

ただし、ベイズ確率の理論(考え方)的には、
実際に得られた情報のみを最大限加味した(条件付)確率・期待値が正しい確率・期待値なので
金額確認前は「(何も仮定しない時の)期待値」
金額確認後は「確認した金額をx(定数)とする(仮定する)時の条件付期待値」
で考えなければならず、勝手に「n=k(定数)とおく」等とするのはNG.


ちなみに、何も仮定しない場合でも、
(２つの金額(２封筒の金額や、戦略�@と�Cでそれぞれ得られる金額など)をx,yとして)
２金額の合計に対する割合の期待値E[x/(x+y)],E[y/(x+y)]なら存在するので
(実数上の大小関係で)大小比較できる。

>>421の問題文では
「nの値(金額の組100^n円,100^(n+1)円)が決定した後に、その組に応じて封筒A,Bの金額を決める」
という過程になっているが、他の過程であっても

確率分布
「封筒Aの金額100^n円,封筒Bの金額100^(n+1)円」である確率 (2/5)*(1/2)^(n+1)
「封筒Aの金額100^(n+1)円,封筒Bの金額100^n円」である確率 (3/5)*(1/2)^(n+1)
n=0,1,2,3,...

が同一であるならば、確率・期待値は同一である
(期待値とは、確率分布により定まる値なので、確率分布が同じならば期待値も同じ)。
例えば

1 ) (封筒A,Bの金額を決める前に)ゲストは[α]と[β]のどちらか片方を選ぶ。
2a) [α]を選んだ場合は封筒Aの金額が確率的に決定し、ゲストは封筒Aの金額を確認する。
2b) [β]を選んだ場合は封筒Aの金額が確率的に決定し、ゲストは封筒Aの金額を確認する。
3 ) その後で(もう片方の金額を決める前)ゲストは、[封筒A]か[封筒B]を選ぶ。
4 ) もう決定した方の金額に応じてもう片方の金額も確率的に決定する。
5 ) ゲストは、3)で選んだ封筒の金額を得る

ただし、封筒A,Bの金額は上の確率分布に従い決まるとする


という過程で決まる設定は、数学的・ベイズ的には>>421と全く同じとみなされる。


>>421のように
「nの値(金額の組100^n円,100^(n+1)円)が決定した後に、その組に応じて封筒A,Bの金額を決める」
という場合には、勝手に「n=k(定数)」とおいても"問題ない"と直観的・気分的には思うかもしれないが
数学的に考える(確率分布だけで考える or 上のような確率分布が同一だが別の設定で考える)と
勝手に「n=k(定数)」とおいては不自然で、ダメである。

≫482

それは、≫457 に書いた。

勝手に「n=k(定数)」とおいては不自然で、ダメであるｗ

自分(=>>433=>>463)の主張は>>465やそれ以降に書いている人たちと同じだけど
キチガイくんにはそれらの書き込みが理解できないようなので例え話をさせてもらうよ。

問題
さいころを投げた。
さいころは1から6まで等確率で出ることを知っているが、出た目の値nは知らないものとして答えよ。
nはいくつか？nの期待値はいくつか？

主張1
問題文の仮定よりnは分からない。
期待値は確率と確率変数を掛けた総和だから1/6+2/6+,,,+6/6

主張2
nをkとすれば、nはk。
nをkとすれば、確率1でnはkなのでnの期待値はk

どちらも命題として正しい主張であるが、普通の人は問題の答えとして正しいのは主張1のみと考える。
主張2を正解とする場合には、問題文に「nを固定した時の期待値は？」や「nの値は既知とする」などの
説明が必要と考える。まぁ、このスレには普通じゃない人が一人居るみたいだが。

表が出るまでコインを投げ続け、それまでに裏が出た回数×２＋２円だけ封筒Aに
それまでに裏が出た回数×２＋１円だけ封筒Bに入れる。
ただしプレイヤーにはその回数も金額も知らせない。

問題A
裏が出た回数をｋと仮定すると
封筒Aには2k+2円、封筒Bには2k+1円入っている。
これはkかいくつであったとしても封筒Aを選んだほうが１円多い。…(1)

A-１） (1) より 封筒Aを選んだほうが封筒Bに交換したときよりも得られる金額は高いといえるか？ 
A-２） (1) より 封筒Aを選んだほうが封筒Bに交換したときよりも得られる金額の期待値は高いと言えるか？
A-３） (1) より 偶数の自然数の合計は奇数の自然数の合計より多いと言えるか？

問題B
実際に封筒Aをを選んで開けてみたら、10000円入っていた。…(2)

B-１） (2) より 封筒Aを選んだほうが封筒Bに交換したときよりも得られる金額は高いといえるか？ 
B-２） (2) より 封筒Aを選んだほうが封筒Bに交換したときよりも得られる金額の期待値は高いと言えるか？
B-３） (2) より 偶数の自然数の合計は奇数の自然数の合計より多いと言えるか？

この手の言い合いで例え話とか質問形式なんて議論を発散させるだけの下策。
議論の仕方が下手糞なのは、主張内容が正しいかどうかと関係なしに
第三者からは頭が悪いと思われるよ。

自分はこういう前提でこう考えてこういう結論になったってハッキリ書けば、
まともな人間には一番理解しやすい。それで理解できない奴は放っとけばいい。

第三者はあまり関係ないんじゃない？
皆、彼に理解させるために書いてるんでしょ？
だって彼以外にこんなレベルが低い間違いする人いないし。
そして、君の言うような書き込みは>>465がすでにしている。
しかしながら彼相手にはまともな議論は進まない。

ひとつわかっていないことがある。

ここは既に他からほっとかれるためのスレなのだ。

>>488
よくわからんのだが、もしかして自分とあとひとりしかこのスレにいないと思ってる？

>>401,402で終了してます。議論すべき箇所はありません。

うん。20,000円か、5,000円の半々の確立でいい。

さすが「確立」と仰る方の言葉の重みは違いますな

ワイが聞いた情報によると、もうじき中国はバブルがはじけて昔の貧乏な中国に戻るんだぜ（もともとの）
もう経済は破綻してて、取り戻すのは無理なんだそうだな （知ってるって）


その世界ではとても、有名な政府関係者筋から聞いた確かな情報だ（すごい）

まあお前ら頭の良い連中様には、今さらなくらいなネタだね、
君たちからすれば、もう常識的なくらいの知識だろうな
２ちゃんねるやってる奴だからもうすでに大儲けしてるんだろうな

>>492
>>401は正しくないよ
一問目は
封筒BにはA:B=1:2またはA:B=2:1が「等確率」になるように
と修正する必要がある。二問目も同様。
三問目はより重大な間違いをしている。
>そのようなお金の入れ方は全く不可能
という主張をするためには
例えば、問題に「確認した封筒の金額がいかなる場合でも等確率になるような」というような条件が必要。

>>496
何言ってるか分からん。いい加減にしなさい。
もう終了してます。

>>496
もうそれじゃ精神病者だよ。

わからないから終了という態度は
理解出来ないから精神病という態度

病的なのは、≫401 のほうかと思う。
≫32 あたりで終わっているものを、
あの蒸し返しかたは普通ではない。
≫496 みたいなのは、「異常」より「厳密」と
呼ぶのがふさわしい。

すでに終了していて議論すべき箇所はない。という点は同意なんだけどね。
よりによってダメダメな解答>>401をreferenceしているのはおかしいと思うんだ。（厳密すぎるのかな？）

１、さんざん使うべきでないと指摘されている「得」という言葉。
２、問題に確率が書かれていないのに勝手に50％として解答している。
（もしかしたら>>401は以下の３と混同しているのかもしれない）
３、「封筒」というのは「選び手にとって区別がつかない（ランダムに選ぶ）」という意味の暗喩。
便宜的に封筒ＡとかＢとか名前を付けるのは構わない。
しかし、「封筒」問題について考えるのであれば、
選び手はこれらのどちらかを50％の確率で選ぶという設定で考えるべき。
４、「封筒問題は条件付き確率の問題であり、
封筒を選んだ時点とその中の金額を知った時点では期待値が違う」
ということは何度も指摘されている重要な点。>>401は「封筒を選ぶ＝中の金額を知る」という
言葉使いをしているようだが、そうすべきではない。
５、前々スレあたりでさんざん議論されて証明されたのは、
「一方の金額を知った時点で、たまたまその金額のときに他方が2倍または1/2倍となるような、
封筒へのお金の入れ方の確率分布は存在する。しかしながら、確認した金額いくらであっても、
そのような確率になる確率分布は存在しない」ということ。
数学において「あるxに対して、、、」と「任意のxに対して、、、」の違い重要。
第三問目の文章を見る限り>>401は本質的にこのことを理解していないんじゃないかなと思う。

ぱっと見では正しい解答と同じようなことを述べているように見えるけど、
これまでに指摘されてきた重要な部分をことごとくはずしているように思うんだが。

>>501の訂正
>たまたまその金額のときに他方が2倍または1/2倍となるような、
は
>たまたまその金額のときに他方が2倍または1/2倍となる確率が等しいような、

>>401は釣り堀を楽しみたいひとのための餌

釣り堀を楽しみたいひとが投げた餌だろ

もう期待値が大きくなるなんて信じてる奴いないだろ
初めの主張を曲げたくない奴が苦し紛れに反論してるだけさ

例えば、ランダムな整数を取ってきたときにそれが偶数である確率は？と聞かれたら
ランダムな整数の定義は？あらゆる数字が等確率で出てくるモデルなんて考えられない、みたいに答えるのが正しいの？

レスあまり読んでないけど2^(k-1)円と2^k円、kは1以上n以下の整数、各kの選ばれる確率1/n、(nは十分大きな整数)って条件なら
k<nのとき交換、k=nのときそのままで期待値+になるよな
n→∞だとk=nが成立できなくなるからパラドックスに見えるだけ
数学詳しくないから間違ってたら指摘してくれ

前スレ解決まで戻ると、二封筒問題が
>>508のような極限についての問題かどうか、
題意が確定していないのが悪い
ってことだと思うな。

期待値が大きくなるかの前に確率変数が何かという問題がある.

期待値が大きくなると主張してる奴は
２つの封筒問題の題意に沿った樹形図が書けない

>>507
OKただし
>ランダム「に」整数を

>>508
>n→∞だとk=nが成立できなくなるから
n→∞とする議論自体が意味不明。
確率分布の極限をどうやって定義するのか？
そしてそれが二封筒問題とどんな関係があるのか説明してくれ。

>>509
そんな書き込みあったか？あったとしても主要な意見ではないと思うが。

>>506
>>511
「一方の金額を確認した時点で、他方の金額が二倍か半分かが等確率」
という仮定の下では「交換した方が期待値が大きくなる。」
という主張は正しい。もちろん仮定が変われば結論は変わる。

念のため付け加えておくと
(*)「一方の金額を確認した時点で、他方の金額が二倍か半分かが等確率」
が常に成立するような、封筒へのお金の入れ方の確率分布は存在しない。
しかし、>>1の「選んで中を見ると10000円だった。」ときに
たまたま(*)が成立するような封筒へのお金の入れ方の確率分布は存在する。

≫513
そんな特殊な確率分布を仮定することが
どう正当化できるのか？ 特に、
「もうひとつの封筒は二倍に違いない」と
勝手に決めつけることとどう違うのか？
については、説明が必要と思う。

≫512
確率密度関数の極限が全積分=1 の関数になる場合は、
それを極限の確率密度関数とすればよいのだけれど。
そうならない場合が問題になる訳ね。

>>512
>>508の条件はk=1,n以外なら、初めにどちらの封筒を選んでも
「一方の金額を確認した時点で、他方の金額が二倍か半分かが等確率」が常に成立する
ここからk=nの場合(ついでにk=1の場合)を故意に無視するためにはnを無限大に持ってくしかないと思いました
(あり得るあり得ないは別として)この問題を見た人が想定するモデル?のいい例だと思うし
交換した方が期待値が高い説明にもなってるし、なによりあり得ないからこそのパラドックスだと
定義とかはわからんが言いたい事は伝わると思ってる

>>514
アンカーくらいはまともに打ってくれ

>>499-503
いや>>401でいい筈だよ。
指摘がまと外れだと思う。>>501とかどれも意味のない指摘。

１、別に期待値が高い＝得で構わない。
２、分からないものは等確率と考えるでｵｹ。違うと考えるときに理由が必要。
言ってることが逆立ちしてる。
３、はまるっきりイミフ。
４、>>401は「封筒を選ぶ＝中の金額を知る」という言葉使いをしているようだが、
してません。
５、は、だから、不可能だって言ってるじゃんよ。何言ってるの？？？

これ単に、AでもBでも「どっちでもいいから片方開けて考える」ってケースを
「どちらも選んでない」場合と混同させて、パラドクスが起こってるように
錯覚させたということ。
だから>>401-402でいい。

>>519
>４、>>401は「封筒を選ぶ＝中の金額を知る」という言葉使いをしているようだが、 
>してません。 

てことはこれは開けて中の金額を調べていないんだな？
↓
>封筒Bを選んだ上で、封筒AにはA:B=1:2またはA:B=2:1になるように 
>お金が入っています。封筒Aを選んだほうが得でしょうか？ 

>>521
どっちでもいいんじゃね？

封筒を選ぶ前の期待値は少ない方の金額x(1+2)/2=1.5（少ない方の金額）
で２つともおなじだから、一方を開いて１万なら他方も１万だよ。

>>516
自然に解釈すると、「n→∞」とか「nを無限大に持ってく」というのは>>508の一行目で定義された確率分布の極限を考える
という意味だと思われる。しかしながら>>515が書いているとおりその極限を自然に定義することは不可能。
よって「n→∞」は意味不明（不可能な操作）である。よって
>n→∞だとk=nが成立できなくなるからパラドックスに見えるだけ
この文章は意味不明。

この手の（極限を不適切に用いる）間違いは大学数学でちゃんと極限を学んでいない人がよくする間違いなので、
おそらくこの場合もそうなのだと思う。もしそうではなくて、君の文章中の「n→∞」という言葉に論理的に議論可能な
何らかの意味が存在するのなら詳しく説明してくれ。

>>514
おそらく君も知っていると思うのだが。
良く知られている二封筒問題には「これより他方の金額が二倍か半分かは等確率となり、、、よって期待値は交換した方が大きくなる」
という誘導がある。（この部分はミスリードを引き起こす重要な部分）
よって>>513の最後の主張を述べることも意味があると思う。

>>519
１、２、はローカルルール。一般的にそのような決まりごとは数学にはない。１については>>3にも書かれている。
出来るだけ一般的な言葉使いを用いるべき。そうでない人とは議論しても混乱するだけだ。
３、５、について理解できない部分があるのなら調べるか質問すればよい。

>>519
４、について、もしそうであるなら君（あるいは君ら>>520>>522）は「選ぶ」という言葉の意味を間違っているよ。
世の中の多くの人の意味では、「選ぶ」という行為によって封筒Ａや封筒Ｂの金額の確率分布は変化しない。
一方、「金額を確認する」「封筒を開ける」という行為によって金額の確率分布は変化し得る。
例えば「選び手は封筒Ａ、Ｂの金額を知らず確率分布のみ既知という設定の場合、
封筒を選んだ時点では、Ａ，Ｂの確率分布は変化しない。選んだ封筒の金額を確認した時点でその封筒の金額は既知の情報となり固定される。」
これが普通の人の「選ぶ」「金額を確認する」という言葉の用い方。
（普通の人の意味では）「選ぶ」ことによって確率分布は変化しないのだから>>401の三つの問いの議論はナンセンスだし、
問の解答において勝手に「封筒を開けて」いるのも間違いだ。

とりあえず君は他の人々の書き込みをよく読んで言葉の概念や用い方を良く理解してから書いた方が良いよ。
そうしないと、仮に君の考えが正しかったとしても間違った主張をすることになるよ。

>>524
> しかしながら>>515が書いているとおりその極限を自然に定義することは不可能。 

この場合の「自然に」とは何を指すのか？

>>525>>526
違う。何か根本的に勘違いを君らはやっている。
そういうことじゃなくて、この２封筒の問題は、そのようなことがらは
そもそも問題とはならないと言ってるの。
指摘が正しいか間違っているかではない。的外れなの。

無いものを仮定して話しをしたから、パラドクスが起こっているような
錯覚をしていると言ってるんだよ。そしてそれですべて。

余計なことを言って必死でごまかそうと君らはやっている。
とにかくなにかくやしいらしいが、滑稽だ。

>>401は一番最後だけでよい。それだけで意味が分かるんならね。

数学的素質に特別恵まれてるわけではない一般の人でも一発で納得するような決定打を頼む

「「10000円を入れた封筒」と「5000円を入れた封筒」」を入れた大きな封筒　を50袋　（合計75万円必要）
「「10000円を入れた封筒」と「20000円を入れた封筒」」を入れた大きな封筒　を50袋　（合計150万必要）
あわせて100袋を用意し、箱の中に入れ、よくかき混ぜ、目をつぶって一つの大きな袋だけを取り出した。
大きな袋の中から一つの封筒を選び、確認すると、10000円が入っていた。
大きな袋の中のもう一方の封筒に、入っている金額はいくらか？
答え　50%の確率で5000円　50%の確率で20000円

「「10000円を入れた封筒」と「5000円を入れた封筒」」を入れた大きな封筒　を99袋　（合計148.5万円必要）
「「10000円を入れた封筒」と「20000円を入れた封筒」」を入れた大きな封筒　を1袋　（合計3万必要）
あわせて100袋を用意し、箱の中に入れ、よくかき混ぜ、目をつぶって一つの大きな袋だけを取り出した。
大きな袋の中から一つの封筒を選び、確認すると、10000円が入っていた。
大きな袋の中のもう一方の封筒に、入っている金額はいくらか？
答え　99%の確率で5000円　1%の確率で20000円

「「10000円を入れた封筒」と「5000円を入れた封筒」」を入れた大きな封筒　をn袋　(nは0以上100以下)　
「「10000円を入れた封筒」と「20000円を入れた封筒」」を入れた大きな封筒　を100-n袋　
あわせて100袋を用意し、箱の中に入れ、よくかき混ぜ、目をつぶって一つの大きな袋だけを取り出した。
大きな袋の中から一つの封筒を選び、確認すると、10000円が入っていた。
大きな袋の中のもう一方の封筒に、入っている金額はいくらか？
答え　n%の確率で5000円　(100-n)%の確率で20000円

「「10000円を入れた封筒」と「5000円を入れた封筒」」を入れた大きな封筒
「「10000円を入れた封筒」と「20000円を入れた封筒」」を入れた大きな封筒
それぞれ、適当に用意し、箱の中に入れ、よくかき混ぜ、目をつぶって一つの大きな袋だけを取り出した。
大きな袋の中から一つの封筒を選び、確認すると、10000円が入っていた。
大きな袋の中のもう一方の封筒に、入っている金額はいくらか？
答え　それぞれの封筒の割合が分からないから、分からない。必要な情報がないから、分かるわけがない。

二つの封筒がある。その封筒は
「10000円を入れた封筒」＆「5000円を入れた封筒」か、
「10000円を入れた封筒」＆「20000円を入れた封筒」かのどちらかである。
一つの封筒を選び、確認すると、10000円が入っていた。
もう一方の封筒に、入っている金額はいくらか？
答え　分からない。必要な情報がないから、分かるわけがない。

>>531
やべえ、とうとう分かったかも・・・・・

＞「「10000円を入れた封筒」と「5000円を入れた封筒」」を入れた大きな封筒　を50袋　（合計75万円必要）
＞「「10000円を入れた封筒」と「20000円を入れた封筒」」を入れた大きな封筒　を50袋　（合計150万必要）
＞あわせて100袋を用意し、箱の中に入れ、よくかき混ぜ、目をつぶって一つの大きな袋だけを取り出した。
＞大きな袋の中から一つの封筒を選び、確認すると、10000円が入っていた。
＞大きな袋の中のもう一方の封筒に、入っている金額はいくらか？

この前提を与えられれば確かに期待値は12500円になる
(20000＋5000)÷2=12500 という計算は、50袋：50袋という前提に基づいているわけか
前提が与えられていないうちから計算を始めてしまう人が多いということか

二つの封筒があり、一つを選んだ段階では、その選んだ封筒が「高額側」である確率も
「低額側」である確率も５０％づつ。至極当然のこと。
しかし、封筒を開けて、「10000円」と確認した瞬間に、選んだ封筒が「高額側」である
確率、あるいは、「低額側」である確率は、「不明」に変化する。
「10000円」が「高額側」であると言うことは、それは、用意されていた封筒のペアが
「10000円と5000円」であることを意味し、「10000円」が「低額側」であると言うことは、
それは、用意されていた封筒のペアが「10000円と20000円」であることを意味する。
用意されていた封筒のペアが、「10000円と5000円」だったのか、「10000円と20000円」
だったかについては、何も情報がない。だから確率など判るはずがない。

封筒の中身を確認する前は、選んだ封筒が高額側である確率は５０％だが、
封筒の中身を確認した瞬間に、選んだ封筒が高額側である確率は不明に変化する。
封筒の中身の確認により、確率が５０％→不明と変化することこそが、この問題の本質。
変化することをきちんと認識できるかどうかが、この問題を理解できたかどうかに直結する。

誰かが、「不可能な状況を議論している」等のような事を言っているが、別の問題にすり替えて、理解したと思いこんでいるだけ。

これまでにいくつかの正しい解答が提示されている。

一つ目は、>>534や>>32>>60が述べている
「高額を選ぶか低額を選ぶかは確率1/2である。
しかし、一方の封筒の金額を確認したときに他方の金額が二倍か半分かの確率は、それとは別である。
封筒に入れられた金額の確率分布が与えられていないので後者の確率は計算不能である」という主旨のもの。
>>2にも
>上の[問題]は、そのままでは数学の問題として解けません。
と述べられている。

二つ目は、
「{一方の金額を確認した時点で、他方の金額が二倍か半分の確率は1/2}
が（確認した金額によらずに）常に成立するような封筒へのお金の入れ方の確率分布は存在しない。」
という主旨のもの。（ただしこれは自明では無く、証明にはちょっとした計算が必要ある。）
この解答は、二封筒問題で通常述べられる誘導文のswitching argumentと呼ばれる議論
「一方を確認したときの他方の金額が二倍か半分かの確率は1/2だから、期待値は交換した方が大きくなる。
この議論は確認した金額によらずに成立するから、金額によらずにかならず交換した方が期待値は大きくなる。
よって金額を確認しなくても交換した方が期待値は大きくなり、繰り返し交換し続けると期待値は増加し続ける。」
の間違いを指摘するものである。

もちろん一つ目の解答を理由にswitching argumentの「確率1/2だから」の部分には根拠がない。と主張することも可能である。
これら以外にも、「金額確認後の条件付き確率と確認前は別であるからswitching argumentの最後の部分は成立しない」とか
「金額によらずにかならず交換した方が期待値は大きくなること自体は、期待値が無限大に発散しているような確率分布の場合にはあり得ることで、
パラドックスではない」などの解答もあった。

>>528
>そういうことじゃなくて、この２封筒の問題は、そのようなことがらは
>そもそも問題とはならないと言ってるの。
>指摘が正しいか間違っているかではない。的外れなの。

私の指摘が二封筒問題の的を外れているかどうかはどうでもよい。
私の>>501>>525>>526の書き込みは>>401の間違いを指摘するのが主旨。
私の指摘が正しいのであれば>>401は間違いということだが、それでＯＫ？

>無いものを仮定して話しをしたから、パラドクスが起こっているような
>錯覚をしていると
これが>>535の二つ目の解答を意味しているなら、同意。
しかし、>>401はこれとは全く違う内容であり間違い。

>>529
>>401は最後だけでも間違い
例えば、Aに１０００円、Bに２０００円入ってる確率が５０％、
Aに２０００円、Bに１０００円入ってる確率が５０％という確率分布を考えれば
問題文の「封筒Aと封筒B、どっちを選ぼうとも、片方が片方に対して
1:2になる確率が５０％、2:1になる確率が５０％になるようにお金が入っています。」
を満たす。

>>527
質問の主旨が良くわからないが
「自然に定義する」が指しているのは>>515が書いた通り「関数の極限を用いて確率分布の極限を定義する」ことを指している。
もちろん「自然な」はTPOによる。この状況でこれ以外に自然な定義方法があるなら教えてくれ。

そもそもは自然な定義である必要性も無い。
>>508の書き込みについて議論しているのであるから、>>508自身が「ここでの極限の定義は、、、です」
というのであればそれで良いのだ。しかし
>>516
>定義とかはわからんが言いたい事は伝わると思ってる
とのことだ。誰か伝わってる人がいたら教えてくれ。

>>534
> 用意されていた封筒のペアが、「10000円と5000円」だったのか、「10000円と20000円」 
> だったかについては、何も情報がない。

なにも情報がないのなら、理由不十分の原理により1/2、とすればよいではないか。

>>537
TPOによって意味の異なる語はなるべく持ち出さないほうがよい。
他に意味があるのではないかと勘ぐってしまう。

>>538
商店街の福引が１等から７等まであったら、
１等の当たる確率は１／７なの？

>>540
事前情報が全くないならそう。

>>538
理由不十分の原理は数学で認められていない原理なので
数学的に考える場合は用いてはいけない
でFA


しかも今回の場合、そのように理由不十分の原理を用いるのはあまり自然ではない。

>>540とか見てると、とにかくまるで分かってないアサッテなことを言ってるのが
よく分かる。

何度でもいうけれど、>>401で終了してる。
無い状況を仮定してるからおかしくなった。
それだけのこと。

くやしいから反論になってないことをグジャグジャ言って反論してるように見せかけているだけ。

終わらない原因はオマエらなの。
>>401で終了している。特別な疑問点など何もない。

よく考えてごらん。

Aを選んだとき、A:B=1:2または2:1で確率半々だと言うのが
正しいのなら、Bを選び直した時もはや、A:B=1:2または2:1で
確率半々という状態は不可能だ。

そしてそれは、封筒の中身を開けて中を見るかどうかは関係ない。
Aの金額は何か分からない。とにかくその金額を便宜的に1としよう、
でちゃんと議論は出来るんだから。

>>401で言ってるように

>封筒Aと封筒B、どっちを選ぼうとも、片方が片方に対して
>1:2になる確率が５０％、2:1になる確率が５０％になるように
>お金が入っています。

この状況は存在しないんだよ。
巧妙に騙されてただけ。

>>535
＞封筒に入れられた金額の確率分布が
＞与えられていないので
＞後者の確率は計算不能である

いわゆる二封筒問題では
確率分布を設定しているので
上記の発言はただの事実誤認。

>>535
＞{一方の金額を確認した時点で、
＞ 他方の金額が二倍か半分の確率は1/2}
＞が（確認した金額によらずに）常に成立するような
＞封筒へのお金の入れ方の確率分布は存在しない。」

もっとも、
1/2＞二倍の確率＞1/3
2/3＞半分の確率＞1/2
となる確率分布は存在し得るし、
その場合にも"逆理"となるので
上記の説明だけでは答えにならない。

太郎君が封筒を２つ用意する。花子さんに見せて、お金が入っているから
好きなほうを選んで、という。
花子さんが片方を選ぶ。中身は見ても見なくてもよい。

太郎君が「いや実は、その封筒の金額の２倍か半分のお金がもう片方に
入ってるんだよね。選び直してもいいよ。どうする？」

これなら、選び直したほうが得。

-----------------------------------------
太郎君が封筒を２つ用意する。花子さんに見せて、お金が入っているから
好きなほうを選んで、という。

花子さんが片方を選ぶ前に、太郎君は花子さんに向かって言う。
「実は、どっちを選んでもその封筒の金額の２倍か半分のお金がもう片方に
入ってる確率が半々になるんだよね。」

これは無い。太郎君はウソを言っている。

>>535
＞金額によらずにかならず交換した方が期待値は大きくなること自体は、
＞期待値が無限大に発散しているような確率分布の場合にはあり得ることで、
＞パラドックスではない

文章が不十分。正しくは
1行目の期待値は「封筒の金額確定時の期待値」
2行目の期待値は「封筒の金額不明時の期待値」
と書くべき。

>>544
>封筒Aと封筒B、どっちを選ぼうとも、片方が片方に対して
>1:2になる確率が５０％、2:1になる確率が５０％になるように
>お金が入っています。

その書き方だと、お前の意図した意味にならない。
お前の言いたいことは分からんでもないが、お前のその書き方だと


＞例えば、Aに１０００円、Bに２０００円入ってる確率が５０％、
＞Aに２０００円、Bに１０００円入ってる確率が５０％という確率分布を考えれば
＞問題文の「封筒Aと封筒B、どっちを選ぼうとも、片方が片方に対して
＞1:2になる確率が５０％、2:1になる確率が５０％になるようにお金が入っています。」
＞を満たす。
(>>536より)

こういうことになる。

>>547
ところで、もし太郎が
「いや実は、その封筒の金額は、君が選ばなかった封筒の
　２倍か半分のお金なんだよね。選び直してもいいよ。どうする？」
といったらどうする？

選ばなかった封筒の金額をａ円とする。
交換すると、ａ／２円得するか、ａ円損するかのいずれか。

この問題の引っ掛けは２つの封筒の期待値が同じという事実は金額を見る前に決まっている。
金額を見てもかわらない。

見る前　E（A）＝E（B）
見た後　E（B）＝（２００００＋５０００）/２＝１２５００

１００００を出して２００００か５０００をもらうことは
（（２００００ー１００００）＋（５０００ー１００００））/２＝２５００
の期待値になる。

１００００を取っておく方がお得です。

無限ループで永久機関ができそうだなこのスレｗ

>>542
>　理由不十分の原理は数学で認められていない原理なので
>　数学的に考える場合は用いてはいけない

要出典

> しかも今回の場合、そのように理由不十分の原理を用いるのはあまり自然ではない。


「あまり自然ではない」
理由にならない。用いてはならないとするなら
明確な理由が必要。

>>547
>　これなら、選び直したほうが得。
もう一方の封筒の金額の方が高額である確率がわからないと、そうは言えない。



>　これは無い。太郎君はウソを言っている。

そのような封筒に入れる金額の決め方はないという意味なら誤り。

>>551
何を言っているのかさっぱりわからん

結論：
世の中には色盲だけではなく、数盲、あるいは論理盲とでも呼ぶべき者がいる。
彼らには、いくら説明を加えても無駄である。
「○○の原理」等という物を教えてしまうと、条件や範囲などを無視してところかまわず使いたがる。
餌やり厳禁。

上限金額が分からない場合は、
高額、低額、２種類の封筒の内、高額の封筒を1/2以上の確率で選べれば得、
他方の封筒が1/3以上の確率で高額であればよいと思うのは勝手だが
それは上限金額が分かっている場合だけにしか適用出来ないことを理解してほしい

そう、切に願うスレ

１万の封筒を引いた時、上限２０万でも上限なしでも計算方法は変わらない気がするんだが

お兄さんと弟がそれぞれ封筒に入った遺言をもっています。

>>538
理由不十分の原理とやらは数学の決まりごとではない。
問題に書かれてもいないものを勝手に用いるべきではない。
しかし、（理由不十分の原理でも宗教的理由でもなんでも良いが）
君が1/2と考えたいならそう考えることは自由。
ただし、>>2に書かれているルール
>新たな仮定・別の仮定する場合は明記して、別の問題として考えて下さい。
を守ること。そして1/2と考えた場合についてはすでに
>>512の最後>>513や>>531冒頭に書かれている。

>>539
一行目には同意。ただし、ここではあえて用いた方が良いと思って用いた。
「自然に定義する」とか「自然な拡張」という大学数学では割と標準的な言葉使いがあるのだが、
それは知っている？知っていてレスしてるならそれで良いのだけど。

>>543
私が>>401の間違いをいくつも指摘しているのにそれに対する反論無しにそのようなことを述べても説得力がない。
>終わらない原因はオマエらなの。
>>>401で終了している。特別な疑問点など何もない。
私もすでに終了していると思っているし何も疑問点は無い。ただし>>401は間違い。
「もし細かい間違いはあるけど本質的には正しいはずだ」などと考えているのであれば、
まずは>>401を正しい文章に書き直せ。その場合には「君のルール」ではなく「一般的な数学のルール」に従って書くこと。
例えば、
１、得という言葉を使うべきではない。使うなら「得とは期待値が大きくなることを意味する」などと併記せよ。
２、理由不十分の原理など数学の決まりではないものを勝手に使うな。
使うなら「、、、の確率と、、、の確率は等しいものと仮定する」と明記せよ。
３、封筒を開ける前の二つの封筒に関する条件は対称にせよ。
封筒を受け取った側にとっては、封筒を開ける前の時点ではどちらも同じ状態の封筒である。
そうでない場合は二封筒問題とは別の問題だ。
４、「封筒を選ぶ」と「封筒を開ける」の違いを正しく区別せよ。二封筒問題は封筒を受けとった側の立場で判断する問題であり、
受け取った側は選んだ時点では封筒の金額はしらない。封筒を開けて初めて封筒の金額がいくらであるか分かる。
これは大きな違いであり、「選ぶ」としか問題に書かれていないのに勝手に「開けた」ことにして期待値を考えるのは間違いだ。

>>546
その件については>>535の最後の解答で述べている。付け足しで短めに書いたので文章が分かりにくく悪かった。
>>548のご指摘通りだ。

>>557
封筒を開けた時点での確率を述べているのか、開ける前の確率か明快にせよ。
同一人物かどうか知らんが「得」という言葉を使うやつの書き込みはアホばかりだな。
これだけ使うべきではないと言われているのに使うのは心の病か何かか？

>>562
得って言うのはね、数学を使い論理的に考えて有利って事
得の意味や概念が分からない程に日本語が不自由ならＲＯＭってた方が良いと思いますよ

>>563
アホか？
使うべきでないと言われている言葉の意味を、これまた>>3で使用を推奨されていない「有利」という言葉で説明して何が言いたいのだ？
>>563に数学用語が一つも見当たらないが、君は数学的に考える気はないのか？言葉遊びをしたいのか？
まぁ、私の>>561も良い文章とは言えないから少し訂正させてもらうよ。
１、得という言葉を使うべきではない。使うなら「得とは期待値が大きくなることを意味することとする」などと「数学的定義」を併記せよ。

「得」という言葉は数学用語では無い。
「期待値の増加」という意味で用いる人もいるが、金額の期待値が減少する場合を得だと考え行動する人（例えば保険の購入）もいる。
そもそも>>1は損得は問うものではなく、期待値を問うている。
ここまで言われても「得」とか使うやつがいたらやはり心の病としか思えない。

ちなみに日本語の問題としても君のレスはおかしい。
「得」という言葉の意味に「数学を使い論理的に考えて」などという意味は含まれていない。この部分を削除して
「得って言うのはね、有利って事」とすれば日本語としては正しい。もちろん数学的には何の意味もない文章だが。

>>563
何の説明にもなっとらんし
「論理的に考えて」と書いただけでは論理的に考えたことにはならん。

数学の論理や用語の定義は、日常で用いられる論理や言葉の意味とは全く異なる。
そんなこともわからないような奴には数学を活用することなど不可能だろう。

>>561
理由不十分の原理を数学では用いてはならない、ということについて
ダメだからダメだなどというのではなく、論理的な説明がまたは
信頼のおける出典を示してもらえないか？

失礼
× 論理的な説明がまたは 
○ 論理的な説明か、 または 

ちなみに、誤解のないように断っておくが
私の立場は「理由不十分」に関するところ以外では>>561にほぼ同意である。
さらに言えば、もちろんこ２封筒問題には「理由不十分の原理」は適応できない。
ただしそれは「数学的ではないから」というような理由ではなく
不十分でない（十分な）理由があるからだと考える。

百個の箱に、それぞれ二つの封筒が入っている
五千円と一万円が入っているのが五十箱
一万円と二万円が入っているのが五十箱

さて、百個の箱から任意に一箱選び、片方の封筒を開封したら一万円が出てきた
もう片方に交換すべきだろうか？　当然すべきだ
これなら期待値は12500円で間違いない

１〜３行が前提になっていれば４〜６行は正しい
１〜３行が前提になっていなければ４〜６行は正しくない
そこに問題を解く鍵がありそうな気がする

片方にはもう片方の二倍、というルールを変えて、片方にはもう片方より2000円多く入っている、としてみよう
10000円のもう片方は、12000円＋8000円の二分の一、つまり期待値10000円となる
開封側の金額と、非開封側の期待値は同じである

2000円多く、というルールでは非開封側の期待値も10000円のままだが、
二倍、というルールでは期待値12500円になってしまうように思えるのは何故なんだろうか？

普通の平均は、相加平均である。期待値も相加平均の一種である。

「片方にはもう片方より2000円多く入っている」
これは、一方を「基準+1000」、他方を「基準-1000」と入れることと等しく、
相加平均が、「基準」に一致する入れ方。

「片方にはもう片方の二倍入っている」
これは、一方を「基準/√2」、他方を「基準*√2」と入れることと等しく、
相乗平均が、「基準」に一致する入れ方。

一方が他方の２倍とか、１００倍とか、いろいろ変えることが出来るが、
これらは、適当な基準を取り、その基準の√n分の一、√n倍になるように入れていると言えるが、
相乗平均が基準に一致するように入れていると言える。
そのような入れ方に対し、相乗平均ではなく、相加平均を取ると、基準より大きくなるのは、
「相加平均と相乗平均の性質」として知られている事柄。つまり、
(相加平均)^2-(相乗平均)^2 = {(a+b)/2}^2 - {√(ab)}^2 = {(a-b)/2}^2 ≧ 0 が背景にある。

>>568
＞ １〜３行が前提になっていなければ４〜６行は正しくない 

ダウト。

A⇒B だからといって ¬A⇒¬Bではない。

>>569
＞ 二倍、というルールでは期待値12500円になってしまうように思えるのは何故なんだろうか？

実際に期待値12500円だから。

>>563
「得」や「有利」の意味を数学的に定義できないほどに数学に不自由なら
ROMってたほうが良いと思いますよ。

>>571
１〜３行が前提になっていれば交換すべきと言える
１〜３行が前提になっていなければ交換すべきとは言えない

という意味だろｊｋ

>>572
>実際に期待値12500円だから。

その通り。
このゲームを何度やろうが、その都度、交換の期待値は＋２５％。
しかし、このゲームを多数回繰り返して（必ず交換して）も、その期待値（得られた金額の総和÷元の金額の総和）は決して＋２５％には収束しない。
結果は不定となる。
それがこの２封筒問題がパラドックスと言われるゆえん。

>>573
何度も言ってるけど、数学的に得って言うのは、期待値が大きくなることな
それ以外の意味で使ってる奴いないだろ

あと数学板で保険とか、宝くじを得と思って買ってる白痴いないだろ
あんなのは可処分所得で安心感や射幸心を満たしてるだけで得とは言わんよ

どっちも何回言ったか分からん
まさにここは無限地獄、しかも、もう４丁目

つまり期待値という概念には実用性がないということか
儲けたいと思ってる人はかかわらない方がいい、と

んーと、上限値とか確率分布？とかが存在して
その内容を選ぶ側も分かっていればパラドックスは起こり得ないって事でよろしいか

でも知らなかったとしても適当な仮定をして考えてやる他無いよな
ええい大きいか小さいかで1/2だァ！って訳にはいかないし

>>576
> それ以外の意味で使ってる奴いないだろ

いる。そのように使われた場合、
得の意味を「期待値が大きい(方)」とは別の意味・定義で用いているのか、それとも
期待値の定義を理解していない(期待値でないモノを期待値だと思い込んでいる)のか
他の人には判断できないので、一々どちらなのか確認しなければならない。
「得」などという語を用いなければ前者の可能性はありえないから、
そのような煩わしい確認作業が省けるので、「得」などという語は使わない方がよい。


> どっちも何回言ったか分からん

数学的に「期待値が大きい(方)」等と簡単に書けることを
わざわざ別の語によって定義しなおす必要など全くない。
「得」という語を用いなければ良いだけの話なのに、
何度使うなと言われても、「得」の使用にこだわり続ける事の方が異常。

数学以前の問題で、単なる誹謗ではなく冗談抜きで、
判断機能か何かが正常でない可能性があるので、
冷静になって、リラックス、リフレッシュして自分を見つめ直し、
それでもダメなら精神や人格あるいは脳の検査することを勧める。

>>576
>何度も言ってるけど、数学的に得って言うのは、期待値が大きくなること
君のなかでそのような決まり事があるのならば、君が「得」のかわりに「期待値が大きくなること」を用いれば何も問題ないはずだ。
君があえて「得」を用いるのは何か理由があるのか？

>あと数学板で保険とか、宝くじを得と思って買ってる白痴いないだろ
>あんなのは可処分所得で安心感や射幸心を満たしてるだけで得とは言わんよ
実際私は任意の自動車保険に入っているし多くの数学者もそうだ。
私は、わずかな金額を支払うだけで、万が一億単位の賠償金を支払う可能性を排除出来るのは、
例え資産の期待値が減少するとしても得であると考える。
わずかな金額で安心感が得られるのは少なくとも私にとっては得だ。

「得」は数学用語ではない。日本語の「得」という言葉の意味は数学用語のように厳密に定義されたものではないので、
「期待値が大きくなること」の意味以外にも上記のような意味にも用いられる。

私は「数学的に得」という言葉の意味を知らない。
もしそのような独特な言葉使いを君が常にしてくれるならば、今後の書き込みでは「期待値が大きい」という意味だと理解できる。
しかし、誰かがただ単に「得」という言葉を用いたとき、それが「期待値が大きい」を意味するのか？
それともより広い通常の日本語の意味での「得」を意味するのか？
どうやって判断する？もしかして君は数学板においては日本語の意味での「得」という言葉を用いてはいけないと考えているのか？

私は、「得」という言葉を用いたレスであっても、「得」＝「期待値が大きくなる」と補完して考えれば理解出来るものに対してはここまでうるさい指摘はしない。
しかし、例えば>>557の場合は、「得」＝「期待値が大きくなる」と補完しても理解不能な書き込みだからツッコミをいれている。

>>575
>このゲームを何度やろうが、その都度、交換の期待値は＋２５％。
>しかし、このゲームを多数回繰り返して（必ず交換して）も、その期待値（得られた金額の総和÷元の金額の総和）は決して＋２５％には収束しない。
>結果は不定となる。
証明してくれ。もし証明出来ないなら、ただ単に「君がそう思っている」ということで良いか？

>>577
面倒なので詳しいことは書かないし数学的な書き込みではないが、
期待値というのは指標の一つに過ぎない。特にその賭けを小数回しか行えない場合には、
期待値の大小のみによらず他の条件も考慮して損得を判断することをお勧めする。
何回でも（十分に大きい回数）繰り返し行える場合には、期待値の大小で損得を判断することをお勧めする。

>>577
（追加）他の数学的概念についても同様にいえる事だが、
「期待値」に実用性があるかどうかは、それを道具として用いる人の能力次第だ。

遅レスですまんが
>>545
>確率分布を設定しているので
封筒に入れられた金額についていかなる確率分布が設定されているか教えてくれ。

私は>>542ではない。
私の意見は>>560>>561に書いた通り
「（理由不十分の原理より）ここでは、、、の確率と、、、の確率は等しいものと仮定する」と明記すれば用いてよい。
しかし、数学の議論のみをしたいならば（理由不十分の原理より）の部分は書かないことをお勧めする。
（私は理由不十分の原理を用いたわけではないが）>>512最後と>>513の書き込みを見てくれ。

数学では、数学的に明快な文章で述べられている限り、いかなる仮定を用いても議論として成立する。
しかし、その仮定（例えば理由不十分の原理）を用いることに対する主観的な評価は別の問題であり。
もし試験において出題者の意図しない仮定を用いて議論すれば減点されるだろうし、
もし研究集会において参加者が無意味だと考える仮定を用いて議論すれば無視されるだろう。

一般論として、もし「確率分布について何も情報がない」場合。
任意の確率分布を仮定として付け加えても、それによって数学的議論に矛盾が起こることはない。
なぜなら、もし矛盾が起きるならば、確率分布として「そのような確率分布を仮定すれば矛盾が起きる」という情報があることになり
前提に反するから。（トートロジーを述べているにすぎないが）
確率変数が有限個の場合には、「任意の確率分布」の特別な場合として「一様分布」を仮定しても矛盾は起こらない。
（ただし確率変数が加算無限個の場合には「一様分布」自体が存在しないが。）
理由不十分の原理を用いることは「一様分布」を仮定することに相当する。

>>581
＞何回でも（十分に大きい回数）繰り返し行える場合には、期待値の大小で損得を判断することをお勧めする。

これはおかしいんじゃね？
非開封側の期待値は常に開封側の1.25倍なのであれば、必ず交換することになっちゃう
封筒Ａと封筒Ｂで行うと、最初Ａを選んだ人はＢに、Ｂを選んだ人はＡになるだけ
交換派が何回やっても、非交換派と同じ獲得額になるのは明らか

>>584
>>568について話しているのか？いったいどんな問題を考えているのだ？
問題設定をちゃんと述べよ。

「選んだ封筒を開封したら一万円が出てきて、他方の封筒は二万円である確率と５千円である確率が等確率」という仮定なら、
他方の封筒の期待値は12500円である。
しかし、こんな仮定がＡを選んだ人にもＢを選んだ人にも当てはまる事はあり得ないだろ？

二封筒問題に疑問があり理解したい人は英語版wikiのtwo envelopes problemを読むのが良い。
一応過去スレのもの（少し改変した）を貼っておく。
二封筒問題
１、２つの封筒があり、中にそれぞれお金が入っている。入っている金額の比は１：２とする。
２、ランダムに一方を選ぶ。（つまり、金額が高いほうを選ぶか、低いほうを選ぶか、それぞれの確率は1/2であるとする。）
３、選んだ封筒の中を見ると10000円だった。
４、このとき他方の袋に入っている金額は5000円か20000円である。
５、それぞれの確率は1/2である。
６、よって他方の袋の金額の期待値は12500円となり、選んだ封筒の金額の1.25倍。
７、初めに選んだ金額がいかなる場合においても、他方の封筒が2倍、1/2倍である確率はそれぞれ1/2である。
８、初めに選んだ封筒の金額がいかなる場合にいおても他方を選べば1.25倍になる。
Ｐ、よって封筒の金額を見なくても、交換した封筒の期待値は選んだ封筒の金額の1.25倍になる。本当？
Ｑ、一人が一方の封筒、別の一人が他方の封筒選んだ。彼らは中身も見ずに互いに交換することによって期待値が1.25倍になる。本当？
Ｒ、中身を見ずに、やっぱりこっちにする。やっぱりこっちにする。と交換するだけで期待値が1.25倍、1.25倍と増える。本当？
答え
Ａ、５の確率には根拠がない。５は条件付き確率であって２の確率とは別物であり、
「初めにどのような確率分布でお金を入れたのか？」に依存する。
それが与えられていないので「それぞれの確率は分からない」が正解。
Ｂ、問題の流れに従い根拠はないが５が正しいと仮定して話を進めよう。
つまり、１において５が正しくなるような確率分布でお金を入れたものとしよう（実際そのような確率分布は存在する）。
その場合には６は正しい。
Ｃ、しかしながら、７を正しいとすることは不可能である。つまり、７が正しくなるような確率分布は存在しない。
（ただし、余白が足りないのでこのことの証明はここには書けない。）よって８以降は誤った仮定の下での考察であり無意味である。
Ｄ、ただし、８が成立するような封筒へのお金の入れ方の確率分布は存在する。
ちなみに、この確率分布の開封前の期待値はどちらの封筒も無限大に発散している。

>>585
俺は>>584だが、あくまで>>1の問題について話してるよ

まず>>572 >>575で、開封側が１万なら非開封側の期待値は12500とある
次に>>581で
＞何回でも（十分に大きい回数）繰り返し行える場合には、期待値の大小で損得を判断することをお勧めする。
とある
俺はそれに反論してる

最初の開封が１万の人は非開封側期待値12500だから交換、２万の人は25000だから交換、五千の人も6250だから交換
>>581の引用部分に従えば結局みんな交換する
こんなことしても得にならないのは明らか

二封筒問題
１、二つの封筒があり、中にそれぞれ1:2の金額の比でお金が入っている。
２、ランダムに一方を選ぶ。（つまり高額を選ぶか低額を選ぶか、それぞれの確率は1/2であるとする。）
３、選んだ封筒の金額を確認すると10000円だった。
４、このとき他方の封筒の金額は5000円か20000円である。
５、それぞれの確率は1/2である。
６、よって他方の封筒の金額の期待値は12500円となり、確認した封筒の金額の1.25倍。
７、初めに確認した金額がいかなる場合においても、同様の議論により他方の封筒が2倍、1/2倍である確率はそれぞれ1/2である。
８、初めに確認した金額がいかなる場合にいおても、他方の期待値は1.25倍になる。
Ｐ、よって封筒の金額を確認しなくても、他方の封筒の期待値は選んだ封筒の金額の1.25倍になる。本当？
Ｑ、一人が一方の封筒、別の一人が他方の封筒選んだ。彼らは金額を確認せずに互いに交換することによって期待値が1.25倍になる。本当？
Ｒ、金額を確認せずに、繰り返し交換するだけで期待値が1.25倍、1.25倍と増える。本当？
答え
Ａ、５の確率には根拠がない。５は条件付き確率であって２の確率とは別物であり、
「１の時点でどのような確率分布でお金を入れたのか？」に依存する。
それが与えられていないので「それぞれの確率は分からない」が正解。
Ｂ、問題の流れに従い根拠はないが５が正しいと仮定して話を進めよう。
つまり、１において５が正しくなるような確率分布でお金を入れたものとしよう（実際そのような確率分布は存在する）。
その場合には６は正しい。
Ｃ、しかしながら、７を正しいとすることは不可能である。
つまり、１の時点で７が正しくなるようにお金を入れる確率分布は存在しない。
（ただし、余白が足りないのでこのことの証明はここには書けない。）
よって８以降は誤った仮定の下での考察であり無意味である。
Ｄ、ただし、１の時点で８が正しくなるようにお金を入れる確率分布は存在する。
ちなみに、この確率分布の（もちろん金額確認前の）期待値はどちらの封筒も無限大に発散している。
Ｅ、Ｄで述べた確率分布の場合には、Ｐ、Ｑ、Ｒに対する答えはどうなるのか？
無限大に発散しているものどうしを比較して1.25倍か？という問い自体が意味不明である。

連投ごめん。少し書き直したものが>>588だ。まだ不備があるかもしれん。

>>587
どんな問題を考えているか条件をはっきりかけ。>>1には確率のことは何も書かれていないぞ。

>１万の人は非開封側期待値12500だから交換、２万の人は25000だから交換、五千の人も6250だから交換
これらは全て、他方の金額が二倍か1/2になる確率は1/2ずつとの仮定のもとでの期待値の計算だろ？
そんな仮定は>>1には無いぞ。
>>588のＣを読め。

>>589
つまりあなたは>>572 >>575には賛成してないわけか
だったら俺の勘違い　すまんかった　忘れてくれ

>>590
君は他人の文章をちゃんと読め。
私は>>572と同意見だよ。>>575とは違うが。

>>568では
>五千円と一万円が入っているのが五十箱
>一万円と二万円が入っているのが五十箱
と仮定されているだろ。この仮定の下で「片方の封筒を開封したら一万円が出てきた」ならば
「もう一方の封筒の期待値は12500円」で正しい。

人々がどんな仮定のもとで発言しているかちゃんと読め。
自分がどんな仮定の下で考えているかもはっきり述べよ。
仮定が変われば、結論は違うんだよ。

>>591　そもそも、
＞五千円と一万円が入っているのが五十箱
＞一万円と二万円が入っているのが五十箱
この限定ルールで話してるレス番号はどれ？
あなたがそうだと思うものを全部挙げてほしいわ

上限額付近を引いたら、交換すると半分確定
下限額付近を引いたら、交換すると２倍確定
どちらでもない場合は、交換すると期待値は常に125%(片方の金額を確認した後の期待値/金額ペアが選ばれる確率が等しい場合)
三つ合わせるとトントンで、非交換派の論拠である、「期待値は常に交換しない＝常に交換する」が成り立つ(封筒に入れる金額を決めるところまで含めた期待値)
しかしながら非交換派は三行目だけを考えた際にも、期待値が変わらないと思ってるような節がある
一、二行目のような条件において「交換するかしないかで期待値が変わるのはおかしい」とは思わないだろう？これは三行目も同じ
+25%派は一、二行目は自明だから説明するまでもないが、三行目については非交換派の認識を改めさせる必要があると思って頑張ってるわけだ


ところで>>558のＣＤがわからん。1:2かつ８が成立したら７も成り立つんじゃないのか？

>>593
下限について考える必要はないんじゃね？
ゼロ以上でありさえすれば半分にすることが出来るから

金額で考えるなら下限というより奇数か

>>592
レスの時間や当然のごとく確率1/2で計算している点から
>>569は>>568の話とつながっていると思い込んでいたが、
>>569は>>568と関係なく>>1の話をしているのかもしれないね。
>君は他人の文章をちゃんと読め。
などとエラそうなことを言ってすまなかった。

もし>>569が>>568と関係ないならば、
>>569はなぜ確率1/2ずつとして期待値を計算しているか説明する必要がある。
「ここで確率1/2ずつという仮定の下で考えてみる」と書くとか、あるいは他の何らかの条件から確率1/2を導くとか。
>>572や>>575も同様。

>>593
Dはご指摘通り誤りだ。訂正と解説を以下に書くよ。
おそらくそれでほとんどの人の疑問は解消されると思う。

「この中に一人以上○○が居る」と同じような論理パズルにできそう
上限値知ってる合理的なＡ、Ｂを用意する
二人に一つずつ渡し、中身を確認した後両方に「交換したいですか？」って聞く
両方「はい」なら「相手はこう言ってるけどまだ交換したいですか？」って聞く
繰り返していくと必ず二倍のを引いた方が先に「いいえ」と答える

ちなみに両方合意で交換成立ってルールだと下限額以外最初から「いいえ」って答えちゃってダメ

>>588の訂正
１、二つの封筒があり、中にそれぞれ1:2の金額の比でお金が入っている。（ただし金額は常に正とする。）
Ｄ、ただし、金額の比1:2を変えて、さらに８の「1.25倍になる。」の部分を「1.25倍以上になる。」と変えれば、
１の時点で８が正しくなるようにお金を入れる確率分布は存在する。
よって８のような事が起こったとしても不思議（パラドックス）ではない。
ちなみに、上記のような確率分布の（もちろん金額確認前の）期待値はどちらの封筒も無限大に発散しているものしか存在しない。
Ｅ、仮に８が成立するとしてもそのことからＰＱＲのように期待値1.25倍とは言えない。なぜならＡで述べたとおり
金額確認後の期待値と確認前の期待値は別物だから。
ちなみに、二封筒問題における金額確認前の二つの封筒に対する仮定は対称だ。
よって選んだ方の封筒と他方の封筒の（金額確認前の）期待値は等しい。
金額確認前の期待値がともに正の有限値の場合ＰＱＲは成立しない。
ともに無限大に発散している場合には1.25倍か？という質問自体意味不明だ。

>>588>>598の解説
Ａについて：>>32>>60>>534など。
Ｂについて：条件付き確率の計算より以下が示される。
「選んだ封筒の金額を確認すると10000円だった。」ときに５が成立するのは、
(*)「１において(10000円,20000円)という金額の組を入れる確率と(5000円,10000円)という金額の組を入れる確率が等しい」
場合そしてその場合のみである。
この確率をpとする。（pは正である。）ただし、これだけでは、確認した金額が他の場合についての確率は分からない。
Ｃについて：５が成立することより上記の(*)が成立する。そしてその場合、確認した金額が20000円と場合もあり得て、
同様に条件付き確率の計算と７より、１において(20000円,40000円)の組を入れる確率もpとなる。
同様に(40000円,80000円)、(80000円,160000円)、、、の組を入れる確率もpである。
確率の総和は1出なければならないが、p+p+p+、、、は無限大に発散する（矛盾）。よって７は正しくない。
Ｄについて：１において2^{-n}の確率で(r^{n}円,r^{n+1}円)の組を入れる（ただし、n=1,2,3,,,）とする。
このとき、全確率は2^{-1}+2^{-2}+,,,=1であり、金額比は1:rである。
確認した金額がr^{k}円であるとき、他方がr^{k-1}円である確率とr^{k+1}円である確率はそれぞれ、1/3と2/3である。
よって他方の金額の期待値r^{k-1}/3+2r^{k+1}/3がr^{k}の1.25倍となるのは1+2r^2=3r×1.25のとき。
rをこの正の解とすれば、Ｄを満たす確率分布となる。

二封筒問題について知りたい人は英語版wikipediaのtwo emvelops problemを読むことを勧める。

>>597
交換したい・したくないは気持ちの問題だ、数学的に定義されたものでは無い。
数学的に議論したいならば彼らがどんな時に「交換したい・したくない」と答えるのか数学的に定義せよ。
他の問題設定も説明不足と思われる。君の文章を普通に読めば、
最初に中身を確認した後は、中身を確認せずに交換しているという意味になるが本当にそれで良いのか？
確認するのは「自分の」封筒の中身のみということで良いか？
>繰り返していくと必ず二倍のを引いた方
どのプロセスを繰り返すのか？何の二倍なのか？

k回目(１回毎)の交換前の金額をA_k,交換後の金額をB_kとし、期待値をE[・]で表すとする。

任意のkに対して
k回目(１回毎)の交換前後の金額の期待値の増加率 (E[B_k] - E[A_k])/E[A_k] ＝ 0.25
すなわち、１回毎の交換前後の金額の期待値の比 E[B_k]/E[A_k] ＝ 1.25 である時
複数回(ｎ回)行った時の
"交換後の金額の総和の期待値"と"交換前の金額の総和の期待値"の比は
E[B_1 + … + B_n]/E[A_1 + … + A_n] ＝ 1.25 となる。(∵期待値の線形性)
"交換後の金額の総和の期待値"と"交換前の金額の総和の期待値"の比は(n→∞で) 1.25 に収束する。


一方
任意のkに対して
k回目(１回毎)の交換前後の金額の増加率の期待値 E[(B_k - A_k)/A_k] ＝ 0.25
すなわち、１回毎の交換前後の金額の比の期待値 E[(B_k/A_k)] ＝ 1.25 である時
複数回(ｎ回)行った時の
"交換後の金額の総和"と"交換前の金額の総和"の比の期待値は
E[(B_1 + … + B_n)/(A_1 + … + A_n)] ＝ 1.25 とはならない。

２封筒問題の場合、金額確認前の各A_k,B_kが同一の確率分布(かつ A_k,B_kが対称な分布)に従うならば
(金額確認後の期待値では必ず E[(B_k/A_k)] ＝ 1.25 が成立することはないだろうが)
"交換後の金額の総和"と"交換前の金額の総和"の比の期待値は(n→∞で) 1 に収束しそう(未証明)。

>>600
交換した後の方が封筒内の金額の期待値が大きくなると判断したなら「はい」、それ以外なら「いいえ」と答える
交換は実際には行わない。確認するのは「自分の」封筒の中身のみ

繰り返すのは
両方「はい」なら「相手はこう言ってるけどまだ交換したいですか？」って聞く
の部分。二倍ってのは二つの封筒のうち金額の大きい方って意味

>>599
>確認した金額がr^{k}円であるとき、他方がr^{k-1}円である確率とr^{k+1}円である確率はそれぞれ、1/3と2/3である。
どうでもいいが1/3と2/3は逆だと思う

あとk=1だった場合を無視してるよね
>rをこの正の解とすれば、Ｄを満たす確率分布となる
ここのrをただの正の解じゃなくてr>2にすれば、期待値は1.25倍「以上」にはなるけど
r<2なら金額確認前の期待値は有限で、この場合総和の期待値？はk=1の部分とk>1の部分で打ち消しあって交換前後で変わらないという結果になる

>>599のＤの訂正
Ｄについて：p>1,r>1とし、１においてp^{-n}/(p^{-1}+p^{-2}+,,,,)の確率で(r^{n}円,r^{n+1}円)の組を入れる（ただし、n=1,2,3,,,）とする。
このとき、全確率は1であり、金額比は1:rである。
確認した金額がr^{k}円(ただしk>1)であるとき、他方がr^{k-1}円である確率とr^{k+1}円である確率はそれぞれ、p/(p+1)と1/(p+1)である。
よって他方の金額の期待値pr^{k-1}/(p+1)+r^{k+1}/(p+1)がr^{k}のM倍となるのはp+r^2=M(p+1)rのとき。
また確認した金額がr^1のとき他方の金額は必ずr^2であり金額（の期待値）がM倍以上となるのはr>=Mのとき。
M>1のときこれらの二つの条件を満たす解r,pが必ず存在する。
なぜなら、f(r)=r^2-M(p+1)r+pとおくと、十分大きなrに対してf(r)>0であり、f(M)=p(1-M^2)<0でありfはrに関して連続であるから。
（ちなみにf(p)=p(p+1)(1-M)<0より、ここで得た解r,pはr>pを満たすことも分かる。）
M=1.25として上記の二つの条件を満たす解r,pを用いて確率分布を定めればDを満たす。

これでいいかな。もう少し推敲すべきかもしれんが。計算ミスがあったら失礼。
>>603
>どうでもいいが1/3と2/3は逆だと思う
ご指摘どうも。
k=1は無視していたわけではなく、これを逆にして計算してたために正の解は一つだけでそれが1.25倍「以上」を満たしていた。

>>602
だいたい意味は分かったし面白いと思う。
念のため聞くが、確率分布は一様分布を考えているということだよね？

>ちなみに両方合意で交換成立ってルールだと下限額以外最初から「いいえ」って答えちゃってダメ
この部分がわからない。
>交換した後の方が封筒内の金額の期待値が大きくなると判断したなら「はい」、それ以外なら「いいえ」と答える
ということだから、実際に交換するのかしないかは判断に影響しないんだよね？

2封筒問題は交換しないことによって実質的な期待値が大きくなる
上限があろうとなかろうと交換しないという選択が出来ない、もしくはしないのであれば
期待値は変わらんよ

>>605
実際に交換するルールだと
相手が確認した額が上限値/2より大きかったら、相手にとって交換しても金額が大きくなる事は無いので必ず「いいえ」と答えるだろう
自分が確認した額が上限値/4より大きく上限値/2以下ならば、上記より相手の金額のほうが大きい場合は交換が成立しないので、上と同じ理由で「いいえ」
という事を相手も考えるだろうから自分の確認した額が上限値/8より大きければ同様に「いいえ」
以下帰納法的に相手が上限値/2^kなら不成立→自分が上限値/2^(k+1)なら「いいえ」と考えていくとそういう結論になる
この先読みを一瞬でやっちゃうからダメ

交換はしないけど「交換したいですか？」って聞く場合は、相手の次の発言は気にしなくてもいいって点が違う、と思う

>>607
だいたいそんな感じの話だろうとは思ったけど、そういう話にしたいのならば
>交換した後の方が封筒内の金額の期待値が大きくなると判断したなら「はい」、それ以外なら「いいえ」と答える
この説明は不十分だと思うよ。
交換が成立するかしないか、実際に交換するかしないかに関係なく
交換したら手に入る封筒（つまり今相手が持ってる封筒の）期待値の方が大きいと判断したなら「はい」と答える
という意味にも読める。その場合
>交換が成立しないので、上と同じ理由で「いいえ」
という部分はおかしい。
交換が成立する・しないが判断基準に関係あるのならば、もう一度「はい」「いいえ」の判断基準を詳しく書いて。

あと、
>ちなみに両方合意で交換成立ってルールだと
というのももう少し説明がいると思う。両方合意の場合「のみ」交換するということ？

あーその通りだな、その判断基準は返答と交換するかどうかが無関係な場合についてだけだった
よく考えたら「交換したいですか？」の意味自体が違うんだな
合意で交換の方は「この質問に二人とも「はい」と答えたら交換、一人でも「いいえ」ならそのままです。交換しますか？」って感じか

判断基準はそのまま書くと、「二人とも「はい」と答えたら交換、一人でも「いいえ」ならそのまま」という操作をした後で手元にある封筒の金額の期待値 が大きくなるような回答をする
ちょっと整理すると、相手が「はい」と答えるという条件下での相手の(今の)封筒の期待値が自分の封筒より大きければ「はい」小さければ「いいえ」と答える
(相手の戦略次第だから期待値っていうのは不適切かもしれないが、相手も最適な選択をするという前提では計算可能)

[問題]
２つの封筒があり、中にそれぞれ金のグラム数が書いてある。
入っているグラム数の比は１：１億とする。
選んで中を見ると１兆グラムだった。
この金を俺のいる場所に空から落としてくれるらしい。
他方の封筒に交換してもいいと言われたが、どうするのが得なんだろうか？

という問題です。

>>609
ルールは理解した。
上限からも下限からも十分に離れた金額を受け取った場合、彼らは何と答えるのだろうか？
自分の金額を見た時点で、相手の金額も上限や下限から十分に離れていることが分かる。
両者ともが自分も相手も上限や下限から十分に離れた金額であることを理解する。
このとき
>相手が確認した額が上限値/2より大きかったら、相手にとって交換しても金額が大きくなる事は無いので必ず「いいえ」と答えるだろう
という先読みは成立しない。

両者ともが上限や下限から十分に離れた金額を受け取った場合には、
>>597の前5行の問題では、両者とも「はい」と言い続ける。
6行目の問題では、最初に両者とも「はい」と言い交換する。（交換後については、どのような手続きをとるのか書かれていないので分からない。）
ということになると思う。

前者は上限額/(2^k)円より大きい額を引いた側がk回目に「いいえ」と言う
後者の問題だと理論上は先読み(の先読みの…の先読み)は成立するし両者「いいえ」と答えるはず

でも多分実際にやる分には「はい」と答えても問題ないんだよね

>>613
2＾（ｋ-1）円を引いたときに君は交換を申し出るのか？
相手が2＾ｋ円だったら交換してくれないから無駄だよね、
交換出来る場合は相手が2＾（ｋ-2）の時だけどそれでいいの？
なんで2＾（ｋ-1）を引いた相手は「いいえ」と答えるだろ
だったら君は2＾（ｋ-2）円を引いた場合に「はい」と答えても無駄だよね
なぜなら2＾（ｋ-1）を引いた相手は交換してくれないからね
だったら2＾（ｋ-2）円を引いた場合は「いいえ」と言わなきゃね
と言うことは、君が2＾（ｋ-3）円を引いた場合はどうだろう？
以下繰り返す

>>613
私の書き方が悪かったかな？

>相手が確認した額が上限値/2より大きかったら、相手にとって交換しても金額が大きくなる事は無いので必ず「いいえ」と答えるだろ
この命題は正しい。しかし、
両者ともが自分も相手も上限や下限から十分に離れた金額であることを理解している場合には
命題の仮定「相手が確認した額が上限値/2より大きかったら」が偽だと知っているのだから。
命題の結論「必ず「いいえ」と答えるだろ」の真偽は不明。

命題の仮定が偽の場合には、結論が何であっても（真でも偽でも）その命題は真となる。例えば
両者ともが自分も相手も上限や下限から十分に離れた金額であることを理解している場合には
「相手が確認した額が上限値/2より大きかったら、相手は必ず「はい」と答えるだろう」
という命題も真である。
つまり、仮定が偽の命題をもとに考えるのは意味がない。

実際、私は「相手が確認した額が上限値/2より大きくない」と知っている状況では
>相手が確認した額が上限値/2より大きかったら、相手にとって交換しても金額が大きくなる事は無いので必ず「いいえ」と答えるだろ
などということをもとに何か判断することは無い。
君の言うところの「合理的なＡ，Ｂ」というのは、正しくない仮定の下で色々考えて判断する人たちなのか？

もう一度、考え直してみてくれ。

別の説明をする。
(*1)「上限額/2円より大きい額を引いた人が「いいえ」という」
(*2)「上限額/2^2より大きい額（ただし上限額/2より小さい）を引いた人は、
相手が上限額/2を引いた場合に(*1)の行動をとることをもとに先読みする」
(*3)「上限額/2^3より大きい額（ただし上限額/2^2より小さい）を引いた場合、自分（Ａ）は自分（Ａ）も相手（Ｂ）も(*1)に該当しない事を知っている。
しかしながら相手（Ｂ）は自分（Ａ）が(*1)を満たす可能性を排除出来ないので(*1)(*2)をもとに先読みする。」

「上限額/2^4より大きい額（ただし上限額/2^3より小さい））を引いた場合、
両者ともがどちらも(*1)に該当しないことを知っているので(*1)およびそれらを用いた先読み(*2)(*3)をすることはありえない。」

>>574
だからそれがダウトだと言っている。
１〜３行が前提になっていなくても（別の前提でも）交換すべきと言える時がある。
 

>>576
＞ 何度も言ってるけど、数学的に得って言うのは、期待値が大きくなることな 

いつ言いました？ 何度もってことは少なくとも３解以上は言ってますよね？ 
どのレスですか？

数学的に得とは期待値が高い方（を選ぶ）と言う意味だと言う人に訪ねたい。

このゲームは表裏等確率なコインを表が出るまで何度も投げ続ける。
表が出たらゲームは終了、それまでに裏が出た回数をnとする。
ゲームの賞金は２^n円とする。

このゲームの賞金の期待値を計算すると無限大に発散してしまう。

このゲームに参加費１００万円を払って参加するのは 得 だということでよろしいか？

>>619
サンクトペテルブルグなんてこのスレの奴みんな知ってる
そういう例外は別として、
基本的に得＝期待値が高いとするのはさほど問題がないだろ

>>619
相手に2＾1000001円以上の支払い能力があり
かつそれが実行されるのであれば得=期待値が大きいと言えるだろ

2＾1000001円以上の支払い能力がありかつそれが実行される
こんな前提が満たされる様な経済はきっとハイパーインフレ状態だから
貨幣に価値なんてないだろうけどね

>>619
ゲームは、お互いどのような結果になろうとも、きちんと支払えることが証明されている上で、成立する。
そのゲームは真に成立するのか？

>>616
上限が1024の場合にさ、俺が128を引くじゃん
相手は256かもしれないよね、相手が256だった場合交換してくれるの？

256の相手は、俺の事を512か128だと思って、もし俺が512引いた時は交換してくれないから
交換出来る場合は128だけと思うよね、そんな256の相手は交換してくれるの？

しないよね、相手が256を引いた場合交換を、じゃあさ、おれ128引いた時に交換するべきなのかな？

>>610
1兆グラムの金を球状にすると、半径約23mになる。落ちてくると判って10秒あれば、逃げることが出来る。
適当な場所を用意しておけば、他人に被害を与えることもなく、また、かくして保管
することも不可能ではないだろう。
また、これまでに人類が採掘精製加工した金の量は0.16兆グラム程度。
価値の大半が希少性に由来する金の総量が、一気に７倍にもなれば、
価値は数分の１になってしまうが、その6/7を有する者が、とてつもなく、大きな
資産を持っていることには変わりない。

その一億倍となると半径は約10kmとなる。それが、頭の上から落ちてくるとなると、とても逃げ切れない。
というか、この質量のものが、一般的な隕石なんかと同程度の相対速度で、地球に衝突すると、6500万年前の再現。
たとえ、静かに渡してくれたとしても、そのような大量の金を隠し続けることが出来ない。
情報が漏れれば、一気に金は暴落し、材料としての価値しかなくなるだろう。

この選択は、避けなければならない。従って、交換すべきではない。