数学基礎論・数理論理学のスレッド　その7

1 ：１３２人目の素数さん：2010/11/11(木) 22:13:57

数学基礎論は、素朴集合論における逆理の解消などを一つの動機として、
19世紀末から20世紀半ばにかけて生まれ、発展した数学の一分野です。
現在では、証明論、再帰的関数論、構成的数学、モデル理論、公理的集合論など、
多くの分野に分かれ、極めて高度な純粋数学として発展を続けています。
（「数学基礎論」という言葉の使い方には、専門家でも若干の個人差があるようです。）
応用、ないし交流のある分野は、計算機科学の諸分野や、代数幾何学、
英米系哲学の一部などを含み、多岐にわたります。
（数学セミナー98年6月号、「数学基礎論の学び方」
ttp://www.math.tohoku.ac.jp/~tanaka/intro.html
或いは岩波文庫「不完全性定理」 6.4 数学基礎論の数学化などを参照）

従ってこのスレでは、基礎的な数学の質問はスレ違いとなります。
他のスレで御質問なさるようにお願いします。

前スレ
数学基礎論・数理論理学のスレッド　その6
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1265884076/

2 ：１３２人目の素数さん：2010/11/11(木) 22:17:05

3 ：１３２人目の素数さん：2010/11/11(木) 22:17:25

以降こちらでどうぞ。
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1288001068/

4 ：１３２人目の素数さん：2010/11/12(金) 00:41:01

>>0' 乙

5 ：１３２人目の素数さん：2010/11/12(金) 00:41:36

>>1
乙

復活祝。

6 ：１３２人目の素数さん：2010/11/12(金) 01:56:07

猫に小判、まで読んだ。

7 ：１３２人目の素数さん：2010/11/12(金) 03:10:13

>>3
数学板名物　強迫観念的過剰整理集約者

8 ：１３２人目の素数さん：2010/11/12(金) 07:21:26

Well-Pointed 付き圏が形成するような、
ZFC、GBなどの代替2階述語空間では
バベリアン・ライブラリ圏を定義できます。
これはバベルの図書館的情報海をヒントに作られた
表現可能宇宙全体をスタックとして移動していきます。
つまるところ定義自体が定義の生成圏となっています。

9 ：１３２人目の素数さん：2010/11/12(金) 07:38:54

>>8
隔離スレへ帰れ！ハウスハウス！

10 ：１３２人目の素数さん：2010/11/12(金) 07:44:02

無限集合論のアーレフなんかも
数種類知られているが、
キリスト教徒による無限の解釈は
濃度の非切断性による圏論的定式化だったといわれている>>8

11 ：１３２人目の素数さん：2010/11/12(金) 07:46:46

荒らしに何言っても無駄だとは思うが、とりあえず圏論はスレ違いってことで。

12 ：１３２人目の素数さん：2010/11/12(金) 08:46:56

こんだけ無内容なレスできるのも一種の
ポストモダン的な才能だな

13 ：１３２人目の素数さん：2010/11/12(金) 13:04:51

モデル理論は、何を研究するの？

14 ：１３２人目の素数さん：2010/11/12(金) 19:08:54

>>13
数学全体の基礎に述語論理があるけども、
モデルというのはススリンの木によるダイアモンド原理を
実現するためにクリプキによって導入された理論。
基本的にはドゥルーズ以前の樹形図による発展的論理学。
ポストの定理が証明されてからはリゾームへ移行している。

15 ：１３２人目の素数さん：2010/11/12(金) 19:17:49

隔離スレ池谷カス

16 ：１３２人目の素数さん：2010/11/12(金) 19:35:11

Model theory is the geography of tame mathematics. (Hrushovski)

17 ：１３２人目の素数さん：2010/11/12(金) 20:03:08

>>14
で、何を研究すんの？

18 ：１３２人目の素数さん：2010/11/12(金) 20:20:56

397 ：23世紀の論理学の提唱：2010/04/25(日) 11:16:36
さて、スペンサーブラウンが提唱した形式の法則であるが、
これはCalculusに基くブール代数の構成を可能にした「区別」と
呼ばれるシステムの自己観察機能による再循環－これは
マトゥラーナ＝ヴァレラ図式によるもの－に「拡大」可能となっている。
例えば「横断」による算法、これは自己同型写像による対象aの分布関数
R：Spec(∑_N0)；B(a,ε)→Vll(-<>r)
を意味するもので、primary algebra の公理からアイオーンの時間の固体化、
即ちリンデンバウム補数の位相が閉であること(ArrX/R)、
また複素散乱ウカシェベッチ型ベクトルの縮減対応から得られる
「埋め込み」が線型写像であること⇔Θ：ξ(Asc(3))ΛΓ(A_0)→Γ(A_0)の作用が存在する。
直線的被覆が「シミュラークルの質料」というXの規定、これが即ち論理学である。

山之内　彰

19 ：１３２人目の素数さん：2010/11/12(金) 20:24:55

◆ 略　歴 ◆
　山之内　彰（やまのうち・あきら）八戸市出身。
保健体育教諭。八戸高―早大。
卒業後に教員となり、八戸工高、八戸南高などを経て、９６年に八戸高に赴任。

20 ：１３２人目の素数さん：2010/11/12(金) 20:29:54

　model theory = universal algebra + logic
by Chang & Keisler "Model theory"
　algebraic geometry - field = model theory
by W. Hodges by "A shorter model theory"
らしいよ。universal algebraは知名度的に微妙にマイナーだから
後者の方が分かりやすいと思う。
代数幾何は体Fに対して代数式で定義されるようなF^n内部の「図形」を
研究する。もっと一般的に対象領域Dがあるときに、
論理式（代数式、不等式なども含むけど量化論理式なども含む）で
定義されるようなD^n内の「図形」を研究するのがモデル理論だと思っとけば良い。
だから代数幾何には応用しやすくて、実際に代数幾何の定理が
モデル理論を用いてどんどん証明されていたりするわけだ。

21 ：１３２人目の素数さん：2010/11/12(金) 20:33:18

代数幾何学が盛んな筈の日本で、モデル理論知らんて代数幾何学の研究者が殆どなのは何故？

22 ：１３２人目の素数さん：2010/11/12(金) 20:59:31

小耳に挟んだことくらいはある方が普通だと思うけど。

23 ：１３２人目の素数さん：2010/11/12(金) 21:21:15

乞食が殺到する程の有効性が無いのだろう

24 ：１３２人目の素数さん：2010/11/12(金) 21:32:12

極小モデル理論とは関係ないの？

25 ：１３２人目の素数さん：2010/11/12(金) 21:59:41

以前書いたが例えば
ヒルベルトの既約性定理をモデル理論で証明
するより、Puiseux級数を使ったりして、
具体的な構造を見る方が重要なんだって。

26 ：１３２人目の素数さん：2010/11/12(金) 22:01:16

基礎論を学ばない言い訳w

27 ：１３２人目の素数さん：2010/11/13(土) 00:33:40

>>22
同意
日本でだって、『幾何的モデル理論入門』 by 板井昌典　（日本評論社）なんて教科書まで一応は出てるんだし
その本にも出てるHrushovskiの仕事ぐらいは知ってる代数幾何屋は少なくないんじゃないの？

少なくともモデル理論は基礎論極右というか基礎論原理主義者の巣窟の証明論よりは
普通の数学者(Mac Lane風に言えば working mathematicians、「現場の数学者」とでも訳すのが正解かな？)にも
「数学の分野として存在意義アリ」と認知されてるんじゃないの？

その点、証明論はなあ
最近は "Applied Proof Theory"なんて本も出てるみたいだけど、コンピュータサイエンスの理論屋にはともかくとして
普通の数学者からはどこまで存在意義を認められてる事やら

28 ：１３２人目の素数さん：2010/11/13(土) 00:53:51

working mathematician は職業数学者じゃねーの？

29 ：１３２人目の素数さん：2010/11/13(土) 02:23:02

今読んでる本にλ計算というのが出てきたんだが、何だこの記号…すげえ見辛い…

30 ：１３２人目の素数さん：2010/11/13(土) 02:51:33

λカリキュラスなんて、あんなもんやってもなあ・・・

31 ：１３２人目の素数さん：2010/11/13(土) 14:38:01

こんちにはみさなんおんげきですか？　わしたはげんきです。
このぶんょしうはいりぎすのケブンッリジだがいくのけゅきんうのけっか
にんんげはもじをにしんきするときそのさしいょとさいごのもさじえあいてっれば
じばんゅんはめくちちゃゃでもちんゃとよめるというけゅきんうにもづいとて
わざともじのじんばゅんをいかれえてあまりす。
どでうす？　ちんゃとよゃちめうでしょ？
ちんゃとよためらはのんうよしろく

32 ：１３２人目の素数さん：2010/11/13(土) 16:34:39

>>25
一般的には具体的な計算が困難（実際的には不可能）だから非構成的な証明が考案されるわけでしょ。
ゴルダンに戻るわけ？

33 ：１３２人目の素数さん：2010/11/13(土) 17:01:18

ヒルベルトの神学、なんて言われた時代もあったんだってねえ

34 ：１３２人目の素数さん：2010/11/13(土) 17:18:02

数学を形式的に記述していって、例えば実際に微積分まで形式化した人はいるんでしょうか
プリンキピア・マテマティカでさえ実数論までだと聞いていますが

35 ：１３２人目の素数さん：2010/11/13(土) 17:39:00

>>34
ツァリス（ツァリス・エントロピーの考案者）が、
多重線形積分まで形式化した。
トラック・サンジャイロ構成や第3層制限解釈によって
分裂しやすい論理学を生成してからカリー・ハワード対応を与えることで。

36 ：１３２人目の素数さん：2010/11/13(土) 19:43:32

Coq http://coq.inria.fr/ などのアプローチは
>>34 に該当するだろうか
ライブラリには derivative の文字も見えるが

37 ：１３２人目の素数さん：2010/11/28(日) 22:50:53

バートランド・ラッセルのプリンキピア・マテマティカと
ヒルベルトの形式系はどの点で違うんでしょうか？

素人向きの解説書、どなたかご存じありませんか？

38 ：１３２人目の素数さん：2010/11/28(日) 23:03:46

プリンキピア・マテマティカは型付きの体系なのが一番の違い
解説書としては「確かさを求めて」とか

39 ：１３２人目の素数さん：2010/12/17(金) 05:16:50

超数学と数学基礎論の違いを教えてください。

全く異なる分野なのですか,
それとも片方が他方の一分野の関係になっているのでしょうか?

40 ：１３２人目の素数さん：2010/12/18(土) 01:16:09

『算術的命題、すなわち一階算術で記述可能な命題に関しては、
選択公理を使った証明があればそれを使わなくても証明できる。』

この定理の証明が載っている文献をどなたか御存知ありませんか？

41 ：１３２人目の素数さん：2010/12/20(月) 16:53:54

多くの公理的集合論の本に載っている有名な基本的な定理の系。
オリジナルに近いものを読みたいならば、Goedel の本をどうぞ。
Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum-Hypothesis with the Axioms of Set Theory.
Princeton University Press

42 ：１３２人目の素数さん：2010/12/20(月) 17:59:37

>>41
ありがとうございます。
趣味で基礎論を勉強している身ですが、やっと公理的集合論に取り掛かる決心がつきました。

43 ：１３２人目の素数さん：2010/12/23(木) 15:45:33

俺もやるよ。

44 ：１３２人目の素数さん：2010/12/29(水) 10:14:23

初歩的な質問で申し訳有りませんが2つ質問させてください
1.
命題論理や一階述語論理よりも基本的な公理系はありますか？
あるのでしたら教えてくださいませんか？
2.
公理的集合論は一階述語論理の上に定義されるから
"公理系"の"系"って公理的集合の一種にはなりませんよね？
だとすると"系"っていったい何なんですか？
"系"を組み立てるための"公理系"が存在してしまったら循環論法になりませんか？
あるいは「まず素朴に定義しておいて、後に公理的集合論を定義したあと、
その素朴な定義が、公理的集合論と矛盾しないことを示す」
みたいな回避方法を取るのでしょうか

45 ：１３２人目の素数さん：2010/12/29(水) 13:25:40

形式化というのは飽くまでも無矛盾性を示したり
或る命題が独立であることを示したり、或いは
証明が厳密に行われることを保障するために行うものなので、
別に循環論法だとかそういうことは無いと思う。

集合論やら述語論理やらを記号列に関する形式的なルールの集まりとして表現した時に、
そのルール自体は、元の理論で直接扱うようなものでは無いんです。

46 ：１３２人目の素数さん：2010/12/29(水) 13:38:38

「より基本的」というのが「証明できる論理式がより少ない」という意味なら
最小論理、直観主義論理、etc...があるけども

47 ：１３２人目の素数さん：2010/12/29(水) 15:47:20

公理系ってのは
あるパラダイムの中でしか
意味を為さない

48 ：１３２人目の素数さん：2010/12/29(水) 15:51:01

そりゃそうだ

49 ：１３２人目の素数さん：2010/12/29(水) 16:04:50

哲学に憧れて厨二的誇大解釈をしてしまう人も稀にいるのかもしれない

50 ：44：2010/12/29(水) 17:08:00

>>45
なるほど・・・
では間接的になら扱うことが可能なのでしょうか
>>46
二階述語論理に対する一階述語論理、
一階述語論理に対する命題論理のような意味での基本的という意味です
論理ではなくて単なる記号の規則でも良いです

51 ：１３２人目の素数さん：2010/12/29(水) 18:25:32

間接的にで良いなら、自己言及「的な」現象が起こることがあって、
その良い例が不完全性定理。

基本的と言うか、より一般的な記号列の機械的な書き換えということになると
オートマトンだとかチューリングマシンだとかの話になるけど、
だんだん数理論理というより計算機科学よりの話になる。

52 ：１３２人目の素数さん：2010/12/30(木) 00:31:12

>>45
完全性定理の証明に選択公理が使われてても問題ないのか？
納得できん

53 ：１３２人目の素数さん：2010/12/30(木) 03:05:37

ゲーデルによる不完全性定理の証明に中国剰余定理が使われているようなもの。
計算量理論の観点からすると問題になるらしく、この定理を使わない改良版もあるそうだ。

54 ：１３２人目の素数さん：2010/12/30(木) 08:05:03

確か前スレに完全性定理と選択公理の話あったぞ

55 ：１３２人目の素数さん：2010/12/30(木) 22:01:05

選択公理を無くせ

56 ：１３２人目の素数さん：2010/12/31(金) 17:24:04

>>54
前スレ見たけどいまいち。

「式の集合」がZFCのモデルになっているとは考えにくいし。

57 ：１３２人目の素数さん：2010/12/31(金) 17:28:09

「式の集合」がZFCのモデルになっているなんて話あったかなあ、

58 ：１３２人目の素数さん：2010/12/31(金) 19:08:16

>>57
あ、そこまでは言ってないや。
でもZornの補題とほぼ同じような論拠で極大理論をもってきてるでしょ。
理論＝公理の集合。つまりは式、というか文字列の集合だし、そんなものが
ZFC（の一部かな？）のモデルになってるわけないや、と。

59 ：１３２人目の素数さん：2010/12/31(金) 20:58:41

ごめん前スレよく見たら131あたりで議論してるね。
有限な立場では完全性定理の証明はできないってところまでは合意済み（？）のようだ。
それと上記の疑問はまた別物と言うことで。

60 ：１３２人目の素数さん：2010/12/31(金) 21:16:55

人間や計算機が実際に扱うような理論は、有限個の記号しか扱わないから
論理式を整列できるし、選択公理も別に要らない。
だから認識論的なことを話題にする限りは別に問題にはならなくて、
選択公理が問題になるのは、そもそも理論で使う基本的な記号の集まり自体が
基数を持たない、みたいな場合なので、別に問題ないんじゃないかと。

61 ：１３２人目の素数さん：2010/12/31(金) 22:54:53

>>60
そうなのか？
記号が有限、個々の論理式の長さは有限、全体としては可算無限まで。
その中から矛盾にならないよう論理式を選んでいって極大理論に至る。
これが論理式が整列できるなら選択公理いらない？

62 ：１３２人目の素数さん：2010/12/31(金) 23:20:03

ところで完全性「定理」っていうけど何理論の定理？
一階述語論理における真理ではあるんだろうけど、「定理」って？

63 ：１３２人目の素数さん：2010/12/31(金) 23:38:16

A1 A2 A3 …：閉論理式の枚挙
①Γ_0 ：無矛盾集合
②Γ_i まで得られたとして、Γ_i+1 を次のように定める
　Γ_i │─ ￢A_i+1 ならば Γ_i+1 ＝ Γ_i
　Γ_i │─ ￢A_i+1 でないならばΓ_i+1 ＝ Γ_i ∪ { A_i+1 }

Γ_∞ ＝ Γ_0 ∪ Γ_1 ∪ Γ_2 ∪ … と定めると、これは無矛盾かつ完全（どの閉論理式も証明可能or反証可能）

記号が可算個なら閉論理式は可算個なので、
選択公理の替わりに上の事実を用いて極大無矛盾集合を作ればよい

64 ：１３２人目の素数さん：2011/01/01(土) 01:00:12

2011明けましたおめでとう
>>63
各 A_i+1 または￢A_i+1 を追加する箇所でどっちが無矛盾か判定する手続きはないから作ることはできないよね。
「作ることができる」じゃなくて「存在するよ」だったら言えるのか。
枚挙された閉論理式の集合の冪集合の中に「すべてをうまく選んだ例」が一つは存在するよ、って主張だろうか。
選択公理の使用だけじゃなく他にもいろいろ気になるなあ。

65 ：１３２人目の素数さん：2011/01/01(土) 08:02:53

ゲーデル解釈っぽく考えたら心理的な違和感はだいぶ解消する
つまりＡという命題を「Ａでないということはない」、
「Ｇ（ｘ）となるｘが存在する」を「全てのｘに対してＧ（ｘ）でない、ということはない」と解釈する

66 ：１３２人目の素数さん：2011/01/01(土) 16:16:48

>>65が流れと関係あるのかどうかわからんね。
完全性定理への選択公理の使用有無は>>63にもう一度聞きたいな。

67 ：１３２人目の素数さん：2011/01/01(土) 22:23:43

存在という言葉にこだわるのは楕円曲線を考えるとき楕円をイメージするくらい意味のない行為

68 ：１３２人目の素数さん：2011/01/01(土) 22:31:41

だって素手でやっていい範囲でって言われても、その範囲がわかりにくいじゃん。
楕円曲線とかは抽象的存在と割り切って議論進めてるんでしょ？使っていい道具も決まってるんだろうし。
論理式の集合だと実在してるものを相手にしてる感じだし～

69 ：東大生：2011/01/01(土) 23:13:34

おまえら馬鹿なんだから、蘊蓄はいいよw

70 ：１３２人目の素数さん：2011/01/01(土) 23:18:02

> 蘊蓄
へー、なんて読むんですか～？

71 ：１３２人目の素数さん：2011/01/02(日) 00:32:47

うんち

72 ：１３２人目の素数さん：2011/01/02(日) 01:16:41

くいたい

73 ：１３２人目の素数さん：2011/01/02(日) 02:37:57

eのe乗、πのπ乗、πのe乗が有理数でないことの証明をお願いします。
ウィキのゲルフォントの証明のページで、eのπ乗しか証明されておらず驚きました。
できないものなのでしょうか？

74 ：１３２人目の素数さん：2011/01/02(日) 11:19:17

ここ数論のスレじゃないから。
>>69-72みたいな話するところでもないけど。

75 ：68：2011/01/02(日) 11:45:49

集合論とかの道具を使っていいのかってよりも、成り立たない場合をどう考えればいいのか、とか
正直よくわからないんだよねー。
あれから少しぐぐったところ完全性定理への選択公理の使用有無については
>>63と同じ様なこと書いてあるサイト見つけたんだけど、
　ttp://ysserve.int-univ.com/Lecture/SymbolLogic/node42.html

やっぱり冪集合公理や選択公理を使用してるのかしてないのか、成り立つとしていいのか
ダメなのかについて理解が進展しないや。

76 ：１３２人目の素数さん：2011/01/02(日) 15:27:50

そもそも無限公理は使って良いの？
外延性公理は？

77 ：１３２人目の素数さん：2011/01/02(日) 19:44:58

論理式を「実在するもの」と考えるのなら、構文論的に考察することにならない？
述語論理の「意味」なんて考え出したら超越的議論が必要になるのは、感覚的に自然

78 ：１３２人目の素数さん：2011/01/02(日) 22:32:30

>>76
少なくとも無矛盾性を問題にしているときに無限公理を疑うってのは極悪過ぎない？
>>77
論理式を実在物として構文論的に考察しているときのことを言ってるんだが。
「理論」の拡張時に無矛盾性を保ちながら極大集合を得る話でしょ。構文論だと認識してるが。

79 ：１３２人目の素数さん：2011/01/03(月) 00:44:17

>>44
＞公理的集合論は一階述語論理の上に定義されるから
＞"公理系"の"系"って公理的集合の一種にはなりませんよね？

俺も初心者だけど
まさに>>78の言うように「構文論的」に考察しているからこそ
たとえ集合論が一階述語論理を用いて定義されていようが
「一階述語論理で記述された公理系の性質」について調べるときは
公理系を論理式の集合と考えて、集合論という道具を使って調べるんじゃないかな

80 ：79：2011/01/03(月) 00:59:47

>>79の最後が抜けてた

だから公理系は公理的集合の一種になると思う

81 ：79：2011/01/03(月) 01:37:26

ごめん>>80はちょっといろいろ言い切りすぎてるか

「一階述語論理の公理系がなにがしかの性質をもつことを、厳密に示す場合」には
公理系を集合とみなして、集合論を道具として使って議論を進めて
その集合論に基づく議論によって得られた結果をもってして
「一階述語論理の公理系はこれこれの性質をもつことが示された」
と考えるんだと思う。

あと、もちろん、その超数学的議論の中では
その発想のおおもとや意味が有限的なものではない
集合論のいろいろな公理とか、モデルや解釈や
それを集めるとか一つ選ぶとかいった概念が登場するけど
それは普通は問題とは考えない。

・・・あれ、なんだろ
なんか今になって急に恥ずかしくなってきた
もしかして俺、場違い？

82 ：79：2011/01/03(月) 02:11:44

ありゃ
>>52からの流れで
>>56みたいな疑問が出てきて
さらに>>64の論点も追加で出てきて
本当に集合論？という話になってるのか
すいません場違いでした

83 ：１３２人目の素数さん：2011/01/03(月) 02:18:47

極大イデアルの存在を言うために選択公理を使うのは抵抗ないのに
極大無矛盾理論のときはなんかひっかかる

考えてみればおかしな話だ

84 ：１３２人目の素数さん：2011/01/03(月) 02:32:38

公理的集合論を組み立てていくときに
述語論理の完全性だとか、極大無矛盾理論の存在だとかは
無関係、必要ない情報なんじゃないかと思うのだけど

そうして、既に組み立てられた公理的集合論を用いて、
「論理式からなる集合」について一層詳しい性質を調べることは
別におかしくない

85 ：１３２人目の素数さん：2011/01/03(月) 09:50:46

おはよう。
誰が誰やらわからんけど、>>82の言うとおりの流れだと思ってる。

>>84の
>公理的集合論を組み立てていくときに・・・必要ない情報
も、必要な部分だけつまみ食いすればいいだけという意味であってると思うが、
論理式の集合がZFCのモデルになっていると素直には認められないんで、その点で
いろんな立場があり得るんじゃないかと考えてる。
またその流れで>>62の疑問も出てきてる。

86 ：１３２人目の素数さん：2011/01/03(月) 13:04:25

無限公理を疑うのは極悪過ぎる（？）、だから認めて良い、とか
理屈になってないと思うんだけど……

だいたい「論理式の集合がZFCのモデルになっている」
ってどういう意味で言ってるんだろうか。普通こういう言い方はしないと思うけどなあ。
論理式の集合が即理論のモデルになるわけじゃなくて
論理式の無矛盾な極大集合を一つ取って、そいつが持ってる情報から
モデルを組み立てる、ということをやってるだけなんだけど。

87 ：１３２人目の素数さん：2011/01/03(月) 13:48:48

>>86
無限集合の存在を認めて初めて理論の無矛盾性を問題にできるんだから、
理論の無矛盾性を問題にしておきながら無限集合の存在は認めません、という態度は
話にならないと思ったんだが。

論理式の無矛盾な極大集合を一つ取るってことがどうして可能になるの？
論理式の集合がZFCのモデルになってると考えてるからでは？

88 ：１３２人目の素数さん：2011/01/03(月) 13:52:14

＞「論理式の集合がZFCのモデルになっている」
完全性定理の証明の過程で、
一階理論（これはZFCを特別な場合として含む）のモデルの存在を示す
ことを指していると推測

>>86に加えて言うと、
モデルを組み立てられるのは、元々の理論が無矛盾という仮定の下での話
ZFCが本当に無矛盾かどうかは未だに不明

＞論理式の集合がZFCのモデルになっていると素直には認められないんで
これを認めるのは、ZFCが無矛盾であると認めるのと同じこと

89 ：１３２人目の素数さん：2011/01/03(月) 15:31:10

無矛盾ってのはφ ∧ not φがどちらとも証明できてしまうようなことが起きない、
ということなのだから、構文論的にはある記号変形手続きが存在しないことで、
すべての自然数が～～を満たさない、程度のことは扱える必要があるけど
無限集合を扱う必要はないと思うけど。
だいたい完全性定理を前提にしない限り、モデルと無矛盾性は直接関係無い。

とりあえず完全性定理の証明を良く読んで
自分で証明を再構成できるようになるのが一番の近道な気が

90 ：イスラエルの数学：2011/01/03(月) 16:23:33

サラハやシュピロなどによる、
数理論理学・集合論的位相空間論・無限組み合わせ論や保型関数論などの発達が近年目覚しいが、
なぜかまったく話題にならない数学世界。

91 ：１３２人目の素数さん：2011/01/03(月) 16:42:29

保型関数論がどうしてそこに付いてるのか良く分からん

92 ：イスラエルの数学：2011/01/03(月) 17:02:56

シュピロの保型関数研究は有名ですが。
いずれにしろシェラハに全く言及できていない時点で
日本数学界の世界数学からの取り残され感がするのですが。

93 ：イスラエルの数学：2011/01/03(月) 17:08:14

そもそもシェラハのやっている数学を理解できている人間が日本にいるのだろうか。
いまだにグロタンディークで盛り上がるような世界では
Ω-logicもpcf-thoryも知られていないでしょうが・・・。

94 ：１３２人目の素数さん：2011/01/03(月) 17:58:45

>>89

論理式の長さやその総数に制約を付けないという前提で
A ∧ not Aの証明があるか、ないか
を問題にしてるんですよね？

論理式や証明というものが無限にある、という主張などいちいちせずとも構文論的な考察はできる
というのが「無限集合を扱う必要はない」という意味でしょうか？

>>88
中段と後段はわかります。なので
「論理式の集合がZFCのモデルになってると証明できない（←当然だが）だけでなく、
モデルになっていないと感じている」
ぐらいの言い方に変更します。

95 ：79：2011/01/03(月) 19:57:46

すいません
流れが読めてないついでにもうちょっと聞いてみたいんですけど
>>56 = >>88 さんの主張は
「閉論理式の集まりは，ZFCで集合として取り扱えるものではない」
あるいは
「極大無矛盾集合の構成には，ZFCでは許されていない操作が含まれている」
ということなんでしょうか？
それとも
「完全性定理の証明にはなんらかの超越的な公理が必要だが
それはかくかくしかじかの点で問題がある」
ということなんでしょうか？

96 ：１３２人目の素数さん：2011/01/03(月) 21:44:30

>>95
まず>>56 ≠ >>88 なんだけど、自分の主張は
「閉論理式の集まりは，ZFCで集合として取り扱えるものではない」
が一番近いと思う。>>85もそういう気持ちで書いている。
だけど、逆（モデルになっている）の捉え方をされていたかも。（>>86とか>>88とか）

97 ：79：2011/01/03(月) 22:34:08

>>96
56 = 87 と書くつもりが間違えました．ごめんなさい．

＞「閉論理式の集まりは，ZFCで集合として取り扱えるものではない」
＞が一番近いと思う。>>85もそういう気持ちで書いている。

近い，とは・・・？

98 ：１３２人目の素数さん：2011/01/04(火) 00:10:09

＞「閉論理式の集まりは，ZFCで集合として取り扱えるものではない」
ZFCの枠組みの中で、帰納的に定義された集合について調べよう。その集合はたまたまZFCの公理系と読めるものだ。
というだけの話では？

ZFCに用意された記号、論理式をZFCの考察の対象とすることに
自己言及のような気持ち悪さを感じているのだろうか。
はたまた、さらにそこから新しい記号を導入して、元のZFCから拡張されてしまうことになるから、
拡張された体系は一体何物なんだ、ということか。

そうではなくて、例えば…

自然数1を￢　自然数3を⇒　自然数5を∀
自然数8n+7を関数記号f_n

等とみなして、これら自然数の（帰納的に定義された）特定の列からなる集合を考える。
ということ。
自己言及ではない。

見当違いの指摘だったらｽﾏｿ

99 ：１３２人目の素数さん：2011/01/04(火) 00:11:55

>>97
とは・・・？　って聞かれても．．．
ただ素朴なモノの集まりとしてみた場合に、集合論が成り立ってる気が全然しないというだけ。
ベキ集合の公理とか、選択公理とか。

100 ：99：2011/01/04(火) 00:21:11

>>98
すれ違いになっちゃったけど・・・

> 記号、論理式をZFCの考察の対象とすること
これ自体は何の違和感も感じてないつもり。
ZFCを拡張してるなんてことも思ってないです。

ごめんなさい。何か決定的な勘違いしてるんじゃないかと不安になってきた。

101 ：１３２人目の素数さん：2011/01/04(火) 03:46:53

>>93
何年か前の数セミでも、PCFは紹介されてた。

102 ：１３２人目の素数さん：2011/01/04(火) 09:17:07

論理式の集まり F があったときにその冪集合の元は別に論理式じゃないんだから
論理式の全体の中でいくら探してもその中に F の冪集合なんか無い訳だけど、
当然の話だし、何も問題ないと思うけどなあ。

論理式の集まりがZFCのモデルになるんじゃなくて
ZFC（のモデル）が論理式を扱える、というだけでしょ。

だからZFCの方に論理式を素朴に扱う上で必要の無い余計な公理
がちょっと位付いててもそんなに大きな問題は無いと思うんだけど。

103 ：ノニ：2011/01/04(火) 17:49:14

>>101
そうでしたか。
日本でシェラハがここまで無視されているのは、
なぜなんでしょうか。

104 ：ノニ：2011/01/04(火) 17:57:07

>>102
一見したところ、それが正しい理解のようでした。
自身をもって結構ですよ。
確かにZFCのモデルは論理式を扱えますが、
それが２階の述語論理に基づくものだということを確かめてくださいね。
バベルの図書館的宇宙はモデルより先にあるのですから。

105 ：１３２人目の素数さん：2011/01/04(火) 19:10:45

うっせ帰れ

106 ：猫は作業 ◆MuKUnGPXAY ：2011/01/04(火) 19:42:51

>>105
まあエエがな。ソレともワシがアンタの相手をスルかァ！

猫

107 ：99：2011/01/04(火) 21:53:52

>>102
もともとは完全性定理の証明に超越的な方法が使われているかどうかが
問題だったのに、ZFCのモデルなどという話にしちゃったのは申し訳ないです。
冪集合のこともおっしゃる通り。

で、>ZFC（のモデル）が論理式を扱える　ってとこだけど、論理式を素朴に扱う上で
必要の「ある」公理って何を指してますか？
冪集合公理は関係ないとしても、選択公理がそこに含まれるかどうかが最初の疑問
だったわけですが、そこらへんは>>64あたりから前に進めていない気がする。

>>83
環とかは最初から（集合論でいうところの）"集合"として考えるわけで、構成手続きを経て文字から
組み立てられる具体的な論理式は同次元に捉えられないです。
それに極大イデアルの存在は選択公理に依存している、と言うとみんな「その通り」と返してくると思うけど、
極大無矛盾理論のときはそういうすっきりした回答が無いのでは？

108 ：１３２人目の素数さん：2011/01/04(火) 22:52:08

どうしても理論のモデルが欲しいんだい！などと我侭を言わずに
あくまで構文論的に論理式を扱う限りでは
ペアノ算術で充分過ぎるくらいで、実際はもっと弱い算術でも大丈夫。
選択公理ACが無くてもZFはペアノ算術を解釈できますから
論理式の操作も充分扱うことが出来ます。
というか置換公理も基礎の公理も要らないから、
順序数とか使って複雑なことをしたりしない限りZ-とかでも大丈夫。

で、どうしてもモデルとかそれに類する超越的対象が欲しいといったときに
極大無矛盾理論の存在がどの程度超越的なのかについては、
前スレで話が出た通りです。
逆数学的な方向じゃなくてもっと大雑把にZFの上でどうなのかは
あまり調べる気がしませんが、Löwenheim-Skolemの定理が
ACと同値なのは昔から知られているので、仮に完全性定理が
ACと同値だと分かったとして、そりゃあそういう結果が出るだろうなあ、という感じです。

109 ：１３２人目の素数さん：2011/01/04(火) 23:09:36

ストーンの定理、ブール主イデアル、完全性定理が同値でなかったっけ。

110 ：１３２人目の素数さん：2011/01/05(水) 13:01:24

ヒューズの様相論理入門』に
●が定理であるなら□●が定理　必然性規則
●→□●　公理（ここで、●は定理）　は駄目
というくだりがあったと思うんですが
反例が思い浮かばずに（思い出せずに、今、手元に本ありません）苦しんでます
なんで駄目なんでしたっけ？

111 ：１３２人目の素数さん：2011/01/05(水) 20:19:48

偶然に真だけど必然的に正しい訳じゃないみたいな例を挙げれば良いんじゃないの？

112 ：１３２人目の素数さん：2011/01/05(水) 21:24:26

A→∀xA　がダメなのと同様に考えればいいんじゃないの？

113 ：１３２人目の素数さん：2011/01/05(水) 21:39:33

>>108-109
了解しました。というか何となくすっきりしました。

まあACがない場合どうなるか、という仮定だと面白い結果が無いんでしょうね。
wikipediaでは「一階述語論理における意味論的真理と統語論的立証性の対応を確立した」とか
いかにも絶対に成立する結果のように書いてるけどｗ

114 ：１３２人目の素数さん：2011/01/05(水) 22:49:52

そりゃあ普通、選択公理は認めるものですし…

115 ：１３２人目の素数さん：2011/01/06(木) 20:31:31

田中尚夫の公理的集合論
どこにも売ってねえ（ノД｀）゜。゜。

116 ：１３２人目の素数さん：2011/01/06(木) 20:55:06

もう絶版でしょ
古本で買うしかないけど、今はKunenの訳書あるからなあ

117 ：１３２人目の素数さん：2011/01/07(金) 17:00:07

質問です。アレフって極限基数なんですか?　それとも直前の基数が存在するんですか?
証明付きでおながいします。

118 ：１３２人目の素数さん：2011/01/07(金) 17:27:52

Introduction to Cardinal Arithmetic でgoogleブック検索せよ

119 ：１３２人目の素数さん：2011/01/07(金) 20:28:07

なぜにその本

120 ：１３２人目の素数さん：2011/01/08(土) 18:15:24

集合論はPDFがネット上にたくさん転がってるでしょ。

121 ：猫は作業 ◇MuKUnGPXAY：2011/01/08(土) 18:42:30

もうエエかァ？　ほしたらや：

■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■
■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■
■■■■■■■ このスレは他板・他スレ運営妨害の非常に悪質糞スレの為に ■■■■■■
■■■■■■■反感を買って終了しました。皆様のご愛顧有難う御座いました■■■■■■
■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■
■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■

猫

122 ：117：2011/01/09(日) 21:30:03

>>117
答えは解っているのですか？それとも未解決なんですか？

123 ：１３２人目の素数さん：2011/01/10(月) 00:35:54

どっちも（ZFCから）示せないはず。
2^(aleph 0) が後続基数 aleph(n+1) だと仮定しても
矛盾しないことは昔から分かってる。
（n=0のときGo¨del、nが正の整数のときCohen）

極限基数でも良いんだけど、ただしaleph_ω とかaleph_ω^2とかと
等しくなることは出来ない、というのは簡単に証明できて、
よく一、二年の集合論の期末試験で証明問題として出されたりする。
じゃあどういう極限基数 κ なら良いんだということになると、
少なくとも共終数cf(κ)がωよりも大きくないといけないことは
同様に証明できるんだけど確かこのようなκの存在は証明不可能だったと思う。
つまり敢えて難しく言うと
「「連続体濃度が後続基数であることは証明できない」ということは証明できない」
ということが証明できるということです。
そうは言っても皆「連続体濃度が後続基数であることは証明できない」のは
ほとんど確実だと思ってるんですけどね。

124 ：１３２人目の素数さん：2011/01/10(月) 00:37:45

最後らへん本当にそうなのか不安になって来た。
もっと詳しい人フォローお願いします。

125 ：１３２人目の素数さん：2011/01/10(月) 07:27:12

すみません。どこで質問していいのか判らないのでここかもと思って書いてみました。
親切な方がいたら教えてくれたら嬉しいです。
また、もし「スレチだ、ここに書くな」という人がいましたら、出て行きますが
もしできたら適切なスレを教えて貰えたりすると嬉しいです。

では、質問です。
この問題に詳しい人はこんな質問をすること事態が疑問かもしれませんが
お願いします。

テレビのドラマを見ていて４色定理というものをみました。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9B%E8%89%B2%E5%AE%9A%E7%90%86

これなのですが、以下のような地図の時はどうするのだろうか？ということです。

-------------------------------------------
│ 土地A │
--------------------------------------------
│土地B　│土地C　│土地D　　│　土地E　│
--------------------------------------------

こんな形なのですが・・・・
土地B・C・D・Eは飛び地ということなのでしょうか？
宜しくお願いします。

126 ：１３２人目の素数さん：2011/01/10(月) 07:28:31

あっ、ごめんなさい。

-------------------------------------------
│ 　　　　　　　　土地A 　　　　　　　　│
--------------------------------------------
│土地B　│土地C　│土地D　　│　土地E　│
--------------------------------------------

こうです。

127 ：１３２人目の素数さん：2011/01/10(月) 07:32:03

宮崎の口蹄疫、実は韓国産

韓国の口蹄疫ウイルス、宮崎とほぼ一致　水際対策を強化
ttp://www.asahi.com/national/update/0107/TKY201101070483.html

　農林水産省は７日、韓国で大流行している家畜伝染病・口蹄疫（こうていえき）のウイルスを分析した結果、昨年に宮崎県で広がったものと遺伝子配列がほぼ一致したと発表した。農水省は国内への侵入を防ごうと、
空港や港など水際での防疫対策を強めている。
　農水省によると、韓国では昨年１１月に東部の慶尚北道・安東で確認されたのを皮切りに、５道１市とほぼ全土に拡大した。今月７日までに９９例が発生し、牛や豚約１０７万頭が殺処分の対象になった。このほか
約１２０万頭にワクチンを接種中だ。
　このウイルスを韓国政府が分析した結果、宮崎のウイルスと遺伝子配列が９９％以上一致したという。韓国では昨年４月にも発生していた。

128 ：１３２人目の素数さん：2011/01/10(月) 07:56:01

-------------------------------------------
│ 　　　　　　　　土地A 赤　　　　　　　　　　　　　　　　│
--------------------------------------------
│土地B 青│土地C 黄　│土地D 青│　土地E 黄│
--------------------------------------------
でこの場合は３色でOK

129 ：１３２人目の素数さん：2011/01/10(月) 08:45:46

BCK論理ではラッセルのパラドクスが発生しない。
BCK論理を中心とする部分構造論理は数学のすべてを記述するだろう。

130 ：１３２人目の素数さん：2011/01/10(月) 16:13:01

>>128
あっ、そうか。
俺、あほだな。
ありがとね。

131 ：１３２人目の素数さん：2011/01/13(木) 00:32:45

自然数の0のことを 0: = Ø = { } と定義しちゃったら
空集合と0を区別して使いたい場合に困るじゃないか、
仮に0を退避させてもその先で用途が今後被るかも知れないじゃないか、
っていうことは公理的集合論を勉強し始めたときに気持ち悪い点の一つだと思う。
順序対の定義とかもそうだけど、最初に集合論を勉強し始めたら
結構な人が違和感を持つんじゃないだろうか。

これは、これこれの対象と関数と述語が存在して
自然数論の公理を満たす構造になっている、
という公理系 T を別に考えて理論の合併 ZFC ∪ T を考えれば良くて、
ZFC ∪ T では0=Øみたいな式が証明されることは絶対無いので
実際に数論とかの数学をやるときはこっちのほうが自然。
でも集合論の公理系のことを主に考えている場合は
T の∃z ～～とかは実はZFCの公理から普通に証明できるので、
敢えて公理にする必要無いよねって話だと思うと良い。

人間が読めば文脈で区別できます、みたいな返答はあんまりじゃないかなあ。
そりゃそうだがそんなこと言ってるんじゃないだろうよ。

132 ：１３２人目の素数さん：2011/01/13(木) 06:20:19

>>131
ツイッターから出てくるなよゴミカス

133 ：１３２人目の素数さん：2011/01/14(金) 22:30:41

「数学のロジックと集合論」によると
完全性定理は選択公理よりもちょっと弱いらしいよ
こないだ立ち読みしてたら書いてあった

134 ：１３２人目の素数さん：2011/01/15(土) 01:41:29

ゲンツェンによる自然数論の無矛盾性証明における
証明図の簡略化は有限回で終わるのか。
言い換えれば、対応する順序数は整礎なのか。

正しいような正しくないような…モヤモヤする…

135 ：１３２人目の素数さん：2011/01/15(土) 06:04:33

最近、数学するときに不完全性定理のことを
もっと真剣に考えないといけないと思うようになりました

真とも偽とも判断が付かない命題があるなら
真か偽かを考えると同時に証明できない可能性も考えるべきだと思います

そこで、ある命題が「真とも偽とも証明できない」ことを
証明するような手段を知りたいのですが、
何か手順・プログラムなどがあったら教えてください

136 ：１３２人目の素数さん：2011/01/15(土) 08:31:57

簡単なところでは反例を作るとか。
集合論的な独立命題なら強制法使って独立性示したり
他の良く分かっている命題に帰着させたりとか。

137 ：135：2011/01/15(土) 18:53:51

レスサンクスです
強制法とか参考になります

自分はそれほど論理学をマスターしていないので
もう少し詳しく教えていただけるとありがたいです

> 反例を作るとか。
これはどのような反例を作ればよいのでしょう？
真または偽と証明できたと仮定して反例を導くのでしょうか？
しかし不完全性の例だと、真であっても偽であっても
矛盾しないような気がします。

> 集合論的な独立命題なら強制法使って独立性示したり
強制法をいまチラ見しただけでまだよく分かってないのですが
任意の命題（集合論的な独立命題でないもの）に対しては
適用できない手法ですか？

よろしくお願いいたします

138 ：１３２人目の素数さん：2011/01/15(土) 19:58:30

例えば、～～という前提のもとでAとnot Aのどちらが正しいのか？
とか言った場合にAを満たす例とnot Aの例の両方を作るとか。

強制法が適用できないような独立命題もあって良さそうなものだけど、
現実問題としてはあまりそういうものは知られてないんじゃないかと思う。
だから独立性のことが気になるなら強制法が一番強力な武器なのは間違いないと思う。
ロジックでは強制法が使えないほど弱い理論（たとえば限定算術）から或る定理が
独立かどうかとかが問題になることもあるのだけど、
普通の数学ではZFCから証明出来たら、証明できたものと見做す。

だいたいAもnot Aも証明できないというのが真実だとしても、
「Aもnot Aも証明できない」ということが必ずしも証明できるとも限らない。

139 ：１３２人目の素数さん：2011/01/15(土) 20:31:18

ありがとうございます！大変参考になります。

> だいたいAもnot Aも証明できないというのが真実だとしても、
> 「Aもnot Aも証明できない」ということが必ずしも証明できるとも限らない。
そうですね。証明可能性を分類していくと

A (が証明できる）
not A (が証明できる）
「A か not A か証明できない」（ことが証明できる）
『「A か not A か証明できない」ことが証明できない』（ことが証明できる）

と続けて n 段階目を

「A か not A かという」 [ことが証明できない]^n (ことが証明できる）

と書ける。これを n 段階証明不可と呼ぶと、
n はいくらでも続けることができてω段階証明不可という命題を妄想します。
さらにω段階証明不可が証明不可であることを（ω+1）段階証明不可として
、nω段階、ω^n段階、ω^ω段階のようなことを妄想します。

これらの可能性を包括的に走査するプログラムなどを当方は妄想していますが
不完全性からは無謀な試みでしょうか？

140 ：１３２人目の素数さん：2011/01/15(土) 21:46:21

そんなつまみ食いで何かできるとしたらよほどの天才

141 ：１３２人目の素数さん：2011/01/15(土) 21:53:19

しっかり栄養をつけて食べるにはどう学習したらよいでしょう？
いまのところ戸田先生の『論理学をつくる』をざっと眺めました。
他の論理学の本は、なんだか頭に入ってこないというか、
書き方が難しいです。哲学よりの本も多いし…
数理論理学をやるのによい中級の本はないでしょうか？

142 ：１３２人目の素数さん：2011/01/15(土) 21:55:34

全く無謀な試みです。

……なぜかと言うと、矛盾からは任意の命題が出て来るので、
　Tから証明できない或る命題が存在する⇔Tが無矛盾
よって、たとえばZFCで考えているとして、ZFCが無矛盾であることが証明できない限り
三段目以降は全部自動的に無理になってしまう。

これも前のスレにあった話だけど。
やっぱ皆考えることは同じだよね。

143 ：１３２人目の素数さん：2011/01/15(土) 22:02:29

>>141
自分は『論理学をつくる』の次に
前原昭二『数学基礎論入門』を読みました。
論理計算を実践しつつ（かなり丁寧）、不完全性定理の厳密な証明が学べます。
命題論理の公理系から始まるので、シンタクスとセマンティクスの区別さえできていれば、
他に予備知識は不要な本です。

144 ：１３２人目の素数さん：2011/01/15(土) 22:32:41

>>141
たぶんその栄養が身になるころにはなんのために論理学を身に着けようとしたのか
もう忘れてしまっているのに十分な時間が経過していることでしょう。
三途の川の向こうに答えがあるかもしれませんね。

145 ：１３２人目の素数さん：2011/01/15(土) 22:48:53

>>142
そうですか…
しかしZFCからは連続体仮説が証明できない、という結果があったと思いますが
これはZFCが無矛盾であることを示したことにならないでしょうか？
もっと込み入った事情がありますか？

146 ：１３２人目の素数さん：2011/01/15(土) 22:51:39

>>143
ありがとうございます
その本も手元に持っていたので読み込んでみます

>>144
まあ数学やる以上は答えが出るか分からない旅…

147 ：１３２人目の素数さん：2011/01/16(日) 00:43:48

>>145
> これはZFCが無矛盾であることを示したことにならないでしょうか？

そうするとZFCは無矛盾でないことになりますので、大発見だと思います。

148 ：１３２人目の素数さん：2011/01/16(日) 10:30:53

>>145
単純に、ZFCが無矛盾だとすれば、の前提つきでの話。
もちろん、矛盾していても証明できるけど。

149 ：139：2011/01/16(日) 18:36:25

>>147 >>148
なるほど。
よく言われる「連続体仮説は証明も反証もできない命題である」
ということの証明には前提条件があったのですね。

しかしZFCが矛盾するとすると集合論が崩壊するので
数学は致命的なダメージを受けますね。
数学という船にのっている以上、ZFCは無矛盾、と仮定するのは
自然な成り行きだと思います。
言い方は悪いですが、沈むときは一緒だ、みないな。

そこでZFCは無矛盾と仮定した上で、>>139 のような
考えはどうなのでしょうか？
どのみち独立性を示すためには基の論理体系が無矛盾であると
仮定しなければならないようなので。

150 ：１３２人目の素数さん：2011/01/17(月) 00:01:06

渕野昌先生、『ゲーデルと20世紀の論理学』で
御本人が執筆された公理的集合論の解説を丸々upされてるんですね。
太っ腹な御人だ。

151 ：１３２人目の素数さん：2011/01/17(月) 18:09:18

>>149
ZFC集合論が矛盾していたとしても集合論は崩壊しないよ。
別の定式化をすれば良いだけだ。

152 ：１３２人目の素数さん：2011/01/17(月) 19:08:31

朝倉数学ハンドブックという本の飯高茂先生の章に
「P(N)の濃度をアレフ1と書く」
「アレフ0とアレフ1の間の濃度はないという主張を連続体仮説という」
（アレフは実際にはヘブライ文字で表記されています）
と書いてあります。
連続体仮説が成り立たない場合にはアレフ0の次に
アレフ(1/2)とかアレフεみたいな基数があるのだと思うのですが
これは実数の集合で言うとどういったものになるんでしょうか？

153 ：１３２人目の素数さん：2011/01/17(月) 19:16:19

>>152
何世紀も引用されまくるような偉大な論文ができる。

154 ：１３２人目の素数さん：2011/01/17(月) 19:53:22

>>151
しかし最定式化の段階で一旦ZFCに基づいていた証明を捨てなければなりませんよね。
そうなると数学全体をスクラップ＆ビルドしなおす必要が出てくると思います。
ある意味、集合論（数学の基礎）の崩壊かなと。

また、同等の機能を持った別の定式化というのは存在するでしょうか？
同等の機能を持つなら同じ論理式が同じように証明できるわけで
また矛盾してしまうのではと思います。

155 ：１３２人目の素数さん：2011/01/17(月) 19:56:06

え？

156 ：１３２人目の素数さん：2011/01/17(月) 19:58:20

カントール以前には数学がなかったかのような言い分

157 ：１３２人目の素数さん：2011/01/17(月) 19:59:01

×言い分
○言い様

158 ：１３２人目の素数さん：2011/01/17(月) 20:01:46

>>154
その台詞自体があなたが基礎論のことを何もわかってないことを如実に示している
ということを理解したほうが良い。

159 ：１３２人目の素数さん：2011/01/17(月) 20:11:26

>>158
う～ん。確かに基礎論難しくて良く分かってないけど
台詞のどの辺がだめなのか指摘してもらえたらいいな

160 ：１３２人目の素数さん：2011/01/17(月) 20:12:19

現代数学がZFCに基づいている、とはいっても
実際はZFCの表現力の一部しか使っていない。
再定式化する際には、数学に必要なだけの表現力を持つ体系であれば
（ZFCをはじめとする集合論とは見た目が全然違っていても）何でもいい。

161 ：１３２人目の素数さん：2011/01/17(月) 20:15:58

>>159
全部。学校のことを説明しているつもりで消防士の説明をしてるくらい根本的にオカシイ。

162 ：１３２人目の素数さん：2011/01/17(月) 20:23:01

>>160
なるほど。サンクス。
崩壊は言い過ぎだったか。
既存の定理Ａと定理Ｂが衝突してどちらか捨てなければならない
という事態なら生じるだろうか？
その場合でも、高校の様に（？）、数学Ａと数学Ｂに分かれて
どちらも生き残るのだろうか…

163 ：１３２人目の素数さん：2011/01/17(月) 20:42:35

せっかくの>>160も、バカを前に真意は伝わらずか。

164 ：１３２人目の素数さん：2011/01/17(月) 20:47:37

>>162
既存の数学ってのはツーバイフォーの家みたいなもので、
その規格に合う基本部品さえ作れれば、
作る道具には依らないで同じ家ができるんだよ。

165 ：１３２人目の素数さん：2011/01/17(月) 20:50:43

実際の数学の"証明"は形式化されていないけど
形式化されていないからこそ融通が利く

166 ：１３２人目の素数さん：2011/01/17(月) 21:08:23

すいませんが公理的集合論について詳しい和書ありますか？
できれば強制法や2階算術まで載っているのが良いんですが。
（キューネン以外で。

167 ：162：2011/01/17(月) 21:12:48

>>164
その代替部品って簡単に作れる（存在する）ものですか？

>>165
定理Ａと定理Ｂから矛盾が導けるとき
もとの公理系から矛盾が導けるということだから
矛盾から任意の定理が導けるのは当たり前（？）で
単にもとの論理体系が矛盾するというだけか

もとの論理体系を無矛盾なものに取り替えれば
定理Ａと定理Ｂがまた矛盾するかどうかは分からないわけか

現代の数学から見て明らかに矛盾するような
理論を作ったとしても、将来に論理の枠組みを変更して
無矛盾にできる可能性がずっと残されるのかな

168 ：１３２人目の素数さん：2011/01/17(月) 21:17:55

>>166
こんなんありますよ
ttp://kurt.scitec.kobe-u.ac.jp/~fuchino/misc/intro-to-set-theory-and-constructibility.pdf

169 ：１３２人目の素数さん：2011/01/17(月) 21:28:05

論理学にガロア理論（の類似物）ってありませんか？

170 ：１３２人目の素数さん：2011/01/17(月) 21:29:08

>>167
実数の話をしたいなら実数の公理を記述できるものを出せばいいけど
それは別にZFCよりもずっと弱い系から出てくる理論なので余裕。

171 ：１３２人目の素数さん：2011/01/17(月) 21:30:17

>>167
ゼロからきちんと勉強する気がないならあきらめろ、お前の考えは休むにも劣る。

172 ：１３２人目の素数さん：2011/01/17(月) 22:13:09

難波完爾の集合論があまりにもコンパクトに纏まってて泣ける
安いから損はしないけどね

173 ：１３２人目の素数さん：2011/01/17(月) 22:38:38

>>170
>>171
先走りたがりなものでスミマセン
ゼロから勉強する気はあります

ありがとうございました
また何かあったらよろしくお願いします

174 ：１３２人目の素数さん：2011/01/21(金) 22:23:26

命題論理の抽象の定義って何種類位知られているんでしょうか？

175 ：１３２人目の素数さん：2011/01/21(金) 22:50:24

(´･ω･)?

176 ：１３２人目の素数さん：2011/01/21(金) 23:04:15

メレディスの公理系

A1 （（（（A→B）→（￢C→￢D））→C）→E）→（（E→A）→（D→A））

R1 A A→B├ B

177 ：１３２人目の素数さん：2011/01/21(金) 23:31:57

ゲーデルによる高階論理を用いた自然数論の無矛盾性証明
が読める文献を御存知ありませんか？

178 ：１３２人目の素数さん：2011/01/22(土) 09:36:53

ウィキぺでぃあの証明論ひどすぎ
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A8%BC%E6%98%8E%E8%AB%96
哲学系の人間が書いたに違いない

179 ：１３２人目の素数さん：2011/01/22(土) 11:16:00

>>178
データ構造や自動定理証明や型理論など、
数学視点ではなく計算機科学視点が多いですが、
哲学視点はほとんどありません。

ひどいと感じたのはどこですか？
なぜ哲学系の人間が書いたと思ったのですか？

Proof theory (証明論の原文)
http://en.wikipedia.org/wiki/Proof_theory

180 ：１３２人目の素数さん：2011/01/22(土) 12:20:23

俺もどこが酷いと思ったのか分からん
他のロジックの記事の方がよほど酷い

181 ：１３２人目の素数さん：2011/01/22(土) 18:14:26

チャーチ・ロッサーの合流定理の証明ってどこかに載ってませんか？

182 ：１３２人目の素数さん：2011/01/22(土) 20:45:37

Barendregt嫁

183 ：１３２人目の素数さん：2011/01/22(土) 22:59:33

小野寛晰さんの本読んでんだけど、
テクニカルな議論と"意味"の解説の配分が絶妙だね
ムラムラしてきたからオナヌして寝るわ

184 ：１３２人目の素数さん：2011/01/22(土) 23:24:35

>>183
私もそれ今読んでます。
演習問題の質もちょうど良い。
国内の論理学入門書でも画期的なものだと思いますね。
今日明日で読了するつもりです。

185 ：１３２人目の素数さん：2011/01/23(日) 00:03:22

>>183-184
この本ですか？

現代数理論理学序説　(古森雄一・小野寛晰　著)
http://www.amazon.co.jp/dp/4535785562
http://www.nippyo.co.jp/book/5333.html
http://d.hatena.ne.jp/ytb/20100619/p2

186 ：１３２人目の素数さん：2011/01/23(日) 01:35:03

その本は三章までは古森さんが書いてる
四章はあまり入門と言うような内容でもないし
「情報科学における論理」の方かと思った

187 ：184：2011/01/23(日) 10:10:24

述語論理の意味論から急に難しくなってきた。

188 ：184：2011/01/23(日) 12:30:11

>>185
それだね。
日本の数理論理学の最高峰だと思う。

189 ：183：2011/01/23(日) 13:44:18

ありゃ、自分が今読んでるのは『情報科学のための論理』の方です
もう一つの方もチェックしてみます

190 ：１３２人目の素数さん：2011/01/23(日) 14:37:33

＞『情報科学のための論理』
手触りが良くて、角ばってて、ガッシリしてて…
とても良い本ですよね

191 ：１３２人目の素数さん：2011/01/23(日) 15:22:51

>>189-190
『情報科学における論理』ですよね？

情報科学における論理　(小野寛晰　著)
http://www.amazon.co.jp/dp/4535608148
http://www.nippyo.co.jp/book/1292.html
http://www10.atwiki.jp/shinsa/pages/49.html

192 ：183：2011/01/23(日) 15:37:19

>>191
あ、そうです。失礼しました。

193 ：１３２人目の素数さん：2011/01/23(日) 21:04:17

健全性と完全性を満たさない体系はどうなるの？

194 ：１３２人目の素数さん：2011/01/23(日) 21:14:53

pcf理論を哲でもわかる様に説明してちょんまげ。

195 ：１３２人目の素数さん：2011/01/23(日) 22:44:08

もしも量化演算子に語られるものが
人間の脳の機能になければ、
あらゆるものは分類できず、すべてがバラバラであったであろう。

196 ：１３２人目の素数さん：2011/01/23(日) 22:54:51

竹内外史の実数論の無矛盾証明って『Proof Theory』以外
に載ってませんか？

197 ：184：2011/01/23(日) 23:19:17

コンパクト性定理証明終了。
ようやくラムダ計算に突入。

198 ：１３２人目の素数さん：2011/01/24(月) 00:00:36

ZFが無矛盾なのか気になって夜も眠れない・・・ぐぅ・・・

199 ：１３２人目の素数さん：2011/01/24(月) 03:19:30

>>196
"two application"になかったかなあ？

200 ：184：2011/01/24(月) 07:08:31

>>198
ラムダ計算が矛盾したんだ。
ZFのだめだろう。

201 ：１３２人目の素数さん：2011/01/24(月) 07:12:13

モノイド空間を定義して
そこで健全性定理をイーストンの定理で導入すればZFが矛盾する。

202 ：１３２人目の素数さん：2011/01/24(月) 12:04:44

>>199
あった

203 ：１３２人目の素数さん：2011/01/24(月) 20:48:38

>>201
はいはいわろすわろす

204 ：201：2011/01/24(月) 23:07:59

>>203
> >>201
> はいはいわろすわろす

バカにするわけじゃないけど、
これ俺の近所の小学生の会話の中にもあった（笑い

205 ：201：2011/01/24(月) 23:08:49

まぁ実際健全性定理が成立する体系なんてごくわずかな例外的な存在だけどなぁー。

206 ：１３２人目の素数さん：2011/01/24(月) 23:33:57

健全なんて幻想、セカイは不健全なものなのです。

207 ：201：2011/01/25(火) 23:54:05

健全性定理と完全性定理が同時に成立しないということが、
２階述語論理の第２不完全性定理の意味論。

208 ：１３２人目の素数さん：2011/01/26(水) 19:40:32

現代数理論理学序説の９３ページの
古典述語論理の体系が決定不可能であることの証明って、
不完全性定理と同等のものですよね？

209 ：１３２人目の素数さん：2011/01/26(水) 22:15:06

おもしろい講義ノートがあったので貼り貼り

様相論理と不完全性定理
ttp://www.shizuoka.ac.jp/~math/math/contents/kiroku/special/2006/shizuokashutyu.pdf

210 ：１３２人目の素数さん：2011/01/26(水) 22:16:02

あ、>>208さんの疑問とは特に関係ありません

211 ：１３２人目の素数さん：2011/01/26(水) 22:25:06

既に収集済みだった

>>208
同等というと語弊がある気がするけど
不完全性定理を使って示すよね

212 ：１３２人目の素数さん：2011/01/26(水) 22:30:34

>>211
定理3.1.13が不完全性定理でしょうか？
この本は不完全性定理という記述をあえて避けているんでしょうか。

とすると、論理学の古典や歴史的文脈は完ぺきに排除した、
天下り的現代論理学入門書ということになるのでしょうか。

213 ：１３２人目の素数さん：2011/01/26(水) 22:42:26

>>212
その定理3.1.13 のステイトメントをここに書いた方が早い気がする

214 ：１３２人目の素数さん：2011/01/26(水) 22:48:27

>>213
定理3.1.13
空でないCL-項の集合AがCL-項全体ではなく、
Weak-equalityについて閉じているならば、
CL-項が集合Aに入っているかを判定する決定手続きは存在しない。

215 ：１３２人目の素数さん：2011/01/26(水) 22:53:35

それだいぶ緩くネ？下痢しそう……

216 ：１３２人目の素数さん：2011/01/27(木) 11:39:27

>>208
> 古典述語論理の体系が決定不可能であることの証明って、
> 不完全性定理と同等のものですよね？

全く違います

217 ：１３２人目の素数さん：2011/01/27(木) 19:06:24

そういえば、ε-δ論法がわからない人って何がわからないのだろう
概念？　論理の記号操作？

218 ：１３２人目の素数さん：2011/01/27(木) 19:07:05

誤爆

219 ：１３２人目の素数さん：2011/01/27(木) 20:06:47

荒れてるな。
イングランド出身の傭兵で中世イタリアの伝説的英雄、
ジョン・ホークウッドによると、占領地で女達を輪姦し続けると、
だいたい30人くらいで必ず死んでしまうらしい。
商売ならなんでもなくても命がどうなるかわからない状況で、
輪姦され続けると興奮し過ぎで必ず死ぬらしい。
これ、豆知識な。

220 ：１３２人目の素数さん：2011/01/27(木) 20:08:38

誤爆しすぎ

221 ：１３２人目の素数さん：2011/01/27(木) 20:11:04

>>216
違うなら何だというのだ？

222 ：１３２人目の素数さん：2011/01/27(木) 20:12:51

良いこと聞いた
明日、塾の生徒に教えてやろうっと

223 ：１３２人目の素数さん：2011/01/27(木) 22:29:06

超限算術
直観主義命題論理
超直観主義命題論理
：
：
中間論理
：
：
古典命題論理

224 ：１３２人目の素数さん：2011/01/28(金) 00:56:41

>>221
それも解らないんなら数理論理学の基本から勉強し直せ

225 ：１３２人目の素数さん：2011/01/28(金) 07:25:34

>>224
だから今数理論理学の入門書を読んでいる。
私は不完全性定理については全く知らないが、
名前だけは聞いたことがある。
だからこそ定理3.1.13が不完全性定理というものなのかと聞いている。

226 ：１３２人目の素数さん：2011/01/28(金) 08:49:39

ああ、じゃあ違う定理だと思っといた方が良い
チホノフの定理とツォルンの補題が違うのと同じくらいには違う
同等だと言えば同等だけど違うと言えば違う

不完全性定理のステートメントも知らんのに
>>212みたいなこと言うと誤解呼ぶと思うなあ
別にそんなに天下り的じゃないよ

ロジックはシンタックスだけ先にあって後から意味論が考えられるようなことが良くある
組合せ論理はそうじゃないと思うけど、これは初学者がシンタックスと意味論を
混同するようなことがあるから敢えてそれがないようにこういう導入の仕方を取っているだけ

227 ：１３２人目の素数さん：2011/01/28(金) 14:18:32

述語論理の形式的体系の演繹定理：
Γ, A├ B ⇒ Γ├ A→B
（一般化規則「A から ∀xA を導いてよい」を適用する際、
x は A が依存する仮定に自由変数として現れないものとする）

なんですけど、
Γの元や A が閉論理式である、
といったような仮定無しに無条件に成り立ちますよね？

228 ：１３２人目の素数さん：2011/01/28(金) 21:29:52

>>226
シンタックスだけで意味論が見つかっていない
論理学って何があるの？

229 ：ノニ：2011/01/28(金) 21:33:09

代数的論理学の良い入門書ってありますか？

230 ：１３２人目の素数さん：2011/01/28(金) 22:09:16

型無しラムダ計算の意味論はかなり後になって
Scottが考えたんだったと思う

>>229
無い

231 ：ノニ：2011/01/28(金) 23:17:10

ラムダ計算は研究途中に矛盾が発見された体系だっけ？

232 ：１３２人目の素数さん：2011/01/29(土) 00:10:10

>>229
代数的論理学は入門書どころか
基本的文献が1冊しかないのでは？

代数的方法による論理学の新たな展開
http://kaken.nii.ac.jp/d/p/17540109
>代表者　2005年度～2007年度　小野寛晰

代数的視点からの論理へのアプローチ　(小野寛晰)
http://www.jaist.ac.jp/~mizuhito/ppl_ss07/OHP/msj07.pdf
>また、部分構造論理に対する代数的研究におけるこれまでの成果を共著としてまとめ、
>この春に"Residuated Lattices: an algebraic glimpse at substructural logics"として出版する。
>ここではこのような研究のことを、従来のabstract algebraic logicよりは
>広い意味に解釈して代数的論理学とよぶことにする。

Residuated Lattices: An Algebraic Glimpse at Substructural Logics
http://www.amazon.co.jp/dp/0444521410

233 ：１３２人目の素数さん：2011/01/29(土) 00:34:30

演繹定理の前提条件はformulationの違いに依存するとか聞いたような

234 ：ノニ：2011/01/29(土) 13:39:27

現在の数理論理学の主流は、
世界的に abstract algebraic logic と modal logic の
2本柱なのに、大丈夫なのかね、この国は。
意味論もウィトゲンシュタイン流の2値論理は終焉を迎えて、
真理値がノルム空間に拡張された fuzzy logic の
萌芽も見え始めているというのに・・・。

235 ：１３２人目の素数さん：2011/01/29(土) 17:22:02

formulationって？論理式の構成の仕方？

236 ：１３２人目の素数さん：2011/01/29(土) 19:05:15

>>227 仮定無しでは成立しません。
Γ を空, A を px, B を ∀x px とする。条件がないとき, ⇒ の左側は正しい
が, 右側は正しくない。

237 ：１３２人目の素数さん：2011/01/30(日) 00:48:36

px に一般化規則を適用して ∀x px を導こうとしても、
px は一般には仮定「Г, px」に依存するから、実は一般化規則は使えなくて、
左辺も正しくない気がする。

238 ：１３２人目の素数さん：2011/01/30(日) 00:55:10

仮定というのは変数条件ですよ。それをなくしてしまえば
⇒ の左側は正しい。

239 ：１３２人目の素数さん：2011/01/30(日) 01:09:39

ただし，227 の「A が依存する仮定...」は間違いで, 「仮定の...」と
現代数理論理学序説に書いてある。

240 ：１３２人目の素数さん：2011/01/30(日) 03:32:49

>>234
主流がどうのこうのと言ってる内は永遠の2番手ですよ

241 ：１３２人目の素数さん：2011/01/30(日) 21:24:01

>>227 にはわざわざ「A の依存する仮定」と書いてあるのだから、
証明のツリーを１つ定めた上で、仮定の集合の元のうち、一般化規則の上式A が依存するものだけを問題にしていると思われ。
実際そう考えると、与えられたツリーを書きかえることで無条件に演繹定理は成り立つ。

ヒント：「Г, A ├ B」のツリーにおいて一般化規則を適用する際、
上式がAに依存する場合としない場合にわける。
依存する場合は「Aが閉論理式」と仮定したときと同様、
しない場合はツリーの上式から上の部分をそのまま利用して書きかえ。

242 ：１３２人目の素数さん：2011/01/30(日) 21:24:08

なあ、5月にやる司法試験予備試験のサンプル問題なんだが、
第1問って4番も正解でよくね？
ttp://www.moj.go.jp/content/000046586.pdf

243 ：１３２人目の素数さん：2011/01/30(日) 21:26:41

5は真理を探求する哲学者が1人もいない場合を含むが、4は含まない。まったく別物。

244 ：１３２人目の素数さん：2011/01/31(月) 00:07:41

>>227 は「現代数理論理学序説」を誤解して書き間違えただけ。
そもそも Г, A ├ B で A は仮定だよ。「A の依存する仮定」というの
がおかしいということいが分からないのかな。

245 ：１３２人目の素数さん：2011/01/31(月) 00:42:10

初心者のための演繹定理の解説

演繹定理はヒルベルト流の体系についての定理である。ヒルベルト流の体系は
公理から定理を導くとき modus ponens と普遍化規則の二つの推論規則を使
う。証明図の頂上には公理しかないので普遍化規則には変数条件は必要ない。
しかし, 演繹定理を述べるためには頂上に公理以外のものを認める必要があ
る。頂上には公理以外のものを認め二つの推論規則を使って得られる図形
を「現代数理論理学序説」では証明図と区別して推論図と呼んでいる。
推論図においては証明図とは違って普遍化規則には変数条件が必要であると
「現代数理論理学序説」で述べられている。227 は変数条件は必要ないので
はないかと疑問を述べている。236 で述べたように変数条件をなくしてしま
うと演繹定理は成立しない。
「Г├ A」の意味は Г を頂上(頂上にある公理はГ に入れないでもよい )
とする A に至るヒルベルト流体系の推論図が存在する。頓珍漢なレスをし
ている人はこれが分かっていないのではないかな。

246 ：１３２人目の素数さん：2011/01/31(月) 03:08:25

古臭くて不親切本引くなよ爺さん。

247 ：ノニ：2011/01/31(月) 07:58:24

前原の本と間違えてないか？

248 ：１３２人目の素数さん：2011/01/31(月) 12:21:50

数日前からやたらと現代数理論理学序説にこだわる痛い人がいるな…

「A が依存する仮定」の「A」は「Г, A├ B」の「A」ではなく、
一般の状況での普遍化規則の上式のことだろう。

249 ：１３２人目の素数さん：2011/01/31(月) 12:31:15

付言すると、演繹定理はヒルベルト流の論理計算を補助するための定理なので、
その目的が達成される限りにおいて、「仮定からの推論」には異なる定義があり得るということも覚えておくといいよ。

君の読んでる本では、
「個々の上式が依存する仮定」ではなく、
「あらかじめ与えられた集合の元すべてを仮定として考える」ようだけど、
それは議論を簡単にするためであり、
また、その程度の縛りがあっても十分有用な定理となるからだろう。

250 ：１３２人目の素数さん：2011/01/31(月) 12:45:07

227 が現代数理論理学序説についての演繹定理について質問している
のだから, その本にしたがって答えるのが当然だろう。

251 ：１３２人目の素数さん：2011/01/31(月) 13:12:59

前の流れから 227 が現代数理論理学序説についての演繹定理に質問している
ものと早とちりをしてしまったようだ。248 の指摘で早とちりに気づいた。
だとすると 227 での条件とは閉論理式という条件だけだ。そのような条件は
演繹定理にはないのが普通なので, 早とちりを引きずってしまった。
もちろん, 閉論理式という条件は必要ない。

252 ：１３２人目の素数さん：2011/01/31(月) 13:51:57

248 を書いた方, どうもありがとうございます。

253 ：１３２人目の素数さん：2011/02/01(火) 13:14:26

>>242
4が駄目なのは、
問題文が「両立しないものを選べ」ではなく「否定を選べ」だから

254 ：１３２人目の素数さん：2011/02/03(木) 21:43:53

日本語で読める様相論理の本って
ヒューズ／クレスウェル以外でなんかありませんか？

255 ：ノニ：2011/02/03(木) 22:36:23

一番載ってるのは
小野寛晰
情報科学における論理 (情報数学セミナー)

256 ：１３２人目の素数さん：2011/02/05(土) 12:12:10

なんで数理論理学系のPDFって
ネット上にいっぱい転がってんの？
他の分野より多いよね

257 ：１３２人目の素数さん：2011/02/05(土) 19:37:12

そうでもないと思う
他分野のpdfファイルをあまり知らないだけでは

258 ：１３２人目の素数さん：2011/02/05(土) 21:05:40

集合論と数理論理学って別々に研究されてんの？
数理論理学って計算機科学の人のが詳しいってホント？

259 ：１３２人目の素数さん：2011/02/07(月) 20:59:15

帰納的関数の本で、コレ！ってのはある？

260 ：１３２人目の素数さん：2011/02/07(月) 21:38:59

大抵のrecursion theoryの教科書に参考文献として載ってるようなのがあるでしょ
あとCooperのcomputability theoryの新しい版が今度出るみたいよ

261 ：１３２人目の素数さん：2011/02/09(水) 19:58:22

ブール代数とかハイティング代数とか、
代数的な意味論って、完全性が成り立つように
無理矢理作った感じがするんですが、何か効用はあるんでしょうか。

262 ：１３２人目の素数さん：2011/02/09(水) 20:42:39

ブール代数は述語論理が出来る前に真理値の代数として
作られたものなんで別に無理矢理じゃないと思うけど。
ハイティング代数の方は知らん

263 ：１３２人目の素数さん：2011/02/09(水) 22:22:00

mixiid=8878429

264 ：１３２人目の素数さん：2011/02/09(水) 23:28:35

インチキの最たるもん数学基礎論。

265 ：１３２人目の素数さん：2011/02/11(金) 01:26:29

>>261
http://en.wikipedia.org/wiki/Pointless_topology とか

266 ：１３２人目の素数さん：2011/02/12(土) 02:18:22

再帰的（recursive）と帰納的（inductive）って同じ意味ですか？

267 ：１３２人目の素数さん：2011/02/12(土) 19:54:57

>>264
無知乙。
インチキ扱いされるのは、
無限、宇宙、数学の基礎というワードに電波が群がっているから。

268 ：１３２人目の素数さん：2011/02/12(土) 22:15:21

(A⇒B)⇒((A⇒￢B)⇒￢A)

突然ですいませんがこれなんですか。
∀とか∃とかなんですか
テストなんです。助けて下さい

269 ：１３２人目の素数さん：2011/02/12(土) 22:57:02

ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E7%90%86%E8%AB%96%E7%90%86%E5%AD%A6
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%BF%B0%E8%AA%9E%E8%AB%96%E7%90%86
教科書読め。

270 ：１３２人目の素数さん：2011/02/13(日) 03:57:53

ヒルベルト方式命題論理の公理図式だろ

271 ：１３２人目の素数さん：2011/02/13(日) 04:32:23

(￢A⇒B)⇒((￢A⇒￢B)⇒A)　じゃね？

272 ：１３２人目の素数さん：2011/02/13(日) 15:16:36

A⇒(B⇒A)
[A]B⇒A
[B]A
この流れが全く分かりません。多分法則とか公式分かればとんでもなく簡単なんだろうけど。
明日本屋で勉強しようと思うんだが、なんかオススメの本ありますか？

273 ：１３２人目の素数さん：2011/02/13(日) 17:26:21

>>272
「恒真式、真理表」を速攻理解しろ。

274 ：１３２人目の素数さん：2011/02/13(日) 19:03:51

俺も依然ヒルベルトの証明形式HKをやったことあるけど
公理型に￢なんて含まれてたっけ？

275 ：１３２人目の素数さん：2011/02/13(日) 19:18:05

>>274
公理図式の組にはバリエーションがあって、￢を含むタイプのもある。例えば

　ルカシェヴィツの公理系L
　公理１　A⊃（B⊃A）
　公理２　（A⊃（B⊃C））⊃（（A⊃B）⊃（A⊃C））
　公理３　（￢A⊃￢B）⊃（B⊃A）
　推論規則１　A, A⊃B → B 　（MP）

276 ：１３２人目の素数さん：2011/02/13(日) 19:21:52

自分が習った体系しか無いと思うとは、おめでたいやつだ。

277 ：１３２人目の素数さん：2011/02/13(日) 19:22:07

A→(B→A)
(A→(B→C))→((A→B)→(A→C))
(￢B→￢A)→((￢B→A)→B)　背理法

A→(B→A)
(A→(B→C))→((A→B)→(A→C))
(￢B→￢A)→(A→B)　対偶律

A→(B→A)
(A→(B→C))→((A→B)→(A→C))
⊥→A
￢￢A→A　二重否定除去（ただし￢AはA→⊥の略記）

A→(B→A)
(A→(B→C))→((A→B)→(A→C))
⊥→A
((A→B)→A)→A　パースの法則

etc...

278 ：追加：2011/02/13(日) 19:26:04

>>176

279 ：１３２人目の素数さん：2011/02/13(日) 19:31:39

シェーファーの棒を使う変態的なシステムもあるな。

280 ：１３２人目の素数さん：2011/02/13(日) 20:20:54

Nand でしょう？

281 ：１３２人目の素数さん：2011/02/13(日) 21:05:06

論理学ではnandとは言わない

282 ：１３２人目の素数さん：2011/02/13(日) 21:38:41

え、じゃあnandはどこの用語なんだ

283 ：１３２人目の素数さん：2011/02/13(日) 21:41:48

電子工学

284 ：１３２人目の素数さん：2011/02/13(日) 21:44:02

ググったら「NAND型フラッシュメモリ」というのが出てきた

285 ：１３２人目の素数さん：2011/02/13(日) 21:44:57

論理回路も知らんのか・・・

286 ：１３２人目の素数さん：2011/02/13(日) 21:48:39

>>283
あ、そうか。サンクス。

287 ：１３２人目の素数さん：2011/02/13(日) 22:22:27

>>276
> 自分が習った体系しか無いと思うとは、おめでたいやつだ。

他にあるってこと自体は知っていた。
ただ俺はHKといった。

HKは普通、

公理１　A→B→A
公理２　(A→B→C)→(A→B)→A→C
公理３　((A→B)→A)→A
公理４　￢→A
推論規則１　A, A⊃B → B 　（MP）

だろう？
今はBCIとかBCKとかBCKW...とか言われてるのを知らのか？

288 ：１３２人目の素数さん：2011/02/13(日) 22:27:43

今、論理学で若手の有力株と言えば？
数学畑の人と哲学畑の人と両方教えて

289 ：１３２人目の素数さん：2011/02/13(日) 22:44:54

聞いたことないな。
集合論ならいるけど。

290 ：１３２人目の素数さん：2011/02/13(日) 22:49:33

集合論か・・・
一応教えてください

291 ：１３２人目の素数さん：2011/02/13(日) 22:59:25

>>290
ttp://twitter.com/#!/kururu_goedel

292 ：１３２人目の素数さん：2011/02/13(日) 23:59:22

すみません、スレ違いなのは承知しているのですが質問させてください。人間のクリアランスが倍になったら薬物の半減期はどれだけになるか教えてください。

293 ：１３２人目の素数さん：2011/02/14(月) 00:07:39

スレ違いどころか板違いだろ。

294 ：１３２人目の素数さん：2011/02/14(月) 00:09:13

わろたｗ

295 ：１３２人目の素数さん：2011/02/14(月) 00:18:58

すいませんが、
DIAMOND: A PARADOX LOGIC (2ND EDITION) (Series on Knots & Everything)
http://www.amazon.co.uk/DIAMOND-PARADOX-LOGIC-Knots-Everything/dp/981428713X
この本で扱ってるDiamondって様相論理の可能性演算子と、
連続体仮説の一般化の方のとどちらでしょうか？

296 ：１３２人目の素数さん：2011/02/14(月) 01:14:20

HKってそういう意味じゃなくてたぶんHilbert式のcalculusのことを
ドイツ語の頭文字をとって一部の教科書がそう読んでるだけじゃないの？

BCKとかのBとかCとかはそれぞれ一つの公理図式の名前だけどHKはそうじゃないでしょ。
松本和夫の本とかにもHKとか名付けてあるけど当時BCK論理とかがあったはずもないし。

一般的には、ほとんどの規則を推論規則として定式化する
Gentzenの自然演繹とかシーケント計算とかに対して
modus ponensとか汎化規則とかしか推論規則が無くて、
あとは公理として規則を立てるような体系のことをHilbertスタイルというように思う。

というか
＞公理４　￢→A
これ意味分からんのだが。論理式になってないし。

297 ：１３２人目の素数さん：2011/02/14(月) 02:14:03

> ＞公理４　￢→A
> これ意味分からんのだが。論理式になってないし。

否定ではなくて、矛盾のつもりなのでしょう。

298 ：１３２人目の素数さん：2011/02/14(月) 23:24:24

集合論て難しいですか？

299 ：１３２人目の素数さん：2011/02/15(火) 07:29:29

公理的集合論に最低限必要な武器は、
・素朴集合論
・線形代数学
・位相空間論
・一階述語論理学
・グラフ理論
・群/体
・ルベーグ積分
・公理的な確率/統計
・関数論
などだ。難しいと感じるかは当人のセンス次第だ。

300 ：１３２人目の素数さん：2011/02/15(火) 09:25:54

>>298
「難しい」と書いて「たのしい」と読むんだぞ

301 ：１３２人目の素数さん：2011/02/15(火) 09:27:02

ごめんsage入れ忘れた

302 ：１３２人目の素数さん：2011/02/15(火) 09:28:30

再度すまんorz

303 ：１３２人目の素数さん：2011/02/15(火) 11:44:47

>>298
シェラハというイスラエルの爺さんの頭脳レベルを調べてみなされ。

304 ：１３２人目の素数さん：2011/02/15(火) 12:09:53

どうやって調べるんですか？

305 ：１３２人目の素数さん：2011/02/15(火) 12:14:05

シェラハを貶めるつもりは毛頭ないが、
この文脈では、論文を量産できるほど簡単な分野であるかのようではないか

306 ：１３２人目の素数さん：2011/02/15(火) 12:15:20

>>304
http://ja.m.wikipedia.org/wiki/サハロン・シェラハ?wasRedirected=true

307 ：１３２人目の素数さん：2011/02/15(火) 17:45:24

高校生のための質問スレからこちらに誘導されてきました。

「ラッセルのパラドックス」を解決した「グロタンディーク宇宙」とはどんなものなんですか？

ウィキ読んでもさっぱりわかりませんでした(笑)

308 ：１３２人目の素数さん：2011/02/15(火) 21:02:17

別にGrothendieck universeとRusselのパラドックスはほとんど関係ないけども。
どこで読んだのそれ？

309 ：１３２人目の素数さん：2011/02/15(火) 21:09:38

ウィキペディアの数学基礎論あたりにそんな変な記述があって笑った記憶があるｗｗ

310 ：１３２人目の素数さん：2011/02/15(火) 21:11:35

>>307
普通のZFでもラッセルのパラドクスは構成できないよ。

311 ：１３２人目の素数さん：2011/02/15(火) 21:24:20

>>299
今ではそれに付け加えて、
・数論
・代数的トポロジー
・モデル理論
・チューリング/メドベージェフ還元
・計算量複雑性・再起理論
・不完全性定理（四則演算並みの頻度で多用）
・論理学の代数化定理周辺
までが求められる。
シェラーとかいう人は確か特異基数仮説周辺で有名な人じゃなかったっけ？
（私も全然ついていけてないです...

312 ：１３２人目の素数さん：2011/02/15(火) 21:29:10

またメドベージェフ君のレスか

313 ：１３２人目の素数さん：2011/02/15(火) 21:43:42

>>299
なんで集合論に確率が必要なん？
てきとうに挙げただけちゃう？

314 ：１３２人目の素数さん：2011/02/15(火) 21:46:32

>>313
カントール空間とかポーランド空間とか使うからでしょ。
メドヴェージェフ還元に＾＾

315 ：１３２人目の素数さん：2011/02/15(火) 21:57:46

メドヴェージェフって言いたいだけちゃう？

316 ：１３２人目の素数さん：2011/02/15(火) 22:02:03

チューリング次数におけるポストの定理が
メドベージェフ次数のおけるプールエルクリプキの定理に該当！

317 ：１３２人目の素数さん：2011/02/15(火) 22:19:31

トリンドルちゃんて言いたいだけちゃう？

318 ：１３２人目の素数さん：2011/02/15(火) 23:23:44

ミッチェル次数もあるよ＞＜

319 ：１３２人目の素数さん：2011/02/15(火) 23:27:25

メドベージェフ次数とかは、どの本で勉強すればいいのでしょうか？

320 ：１３２人目の素数さん：2011/02/16(水) 07:20:38

電子版では
シュプリンガーから
Kripke Models, Distributive Lattices, and Medvedev Degrees
Sebastiaan A. Terwijn
が出てる。
紙媒体は多分まだない。

321 ：１３２人目の素数さん：2011/02/16(水) 10:59:40

>>320
ありがとうございます！

322 ：１３２人目の素数さん：2011/02/17(木) 17:43:46

LKのcut除去定理の証明で、証明図を変形していき、
rankとdegreeについての二重帰納法を用いるものがありますよね？

証明図の変形によるrankとdegreeの減少を精密に評価することで、
何ステップ以内に変形が終わるか、あらかじめわかるのではないかと思ったのですが、
どうも無理な気がしてきました。

実際どうなんでしょうか？
よろしければお知恵をお貸し下さい。

323 ：１３２人目の素数さん：2011/02/17(木) 19:03:27

できます。
Girard の Proof theory and Logical comlpexity には
その方法で評価がされています。

また、もっとスマートに二重帰納法を回避する方法ですが Gentzen の
自然数論の無矛盾性証明の論文の最後の方に、数学的帰納法がなければ
ωを 3 に置き換えればよいというようなことが書いてあったと思います。

324 ：１３２人目の素数さん：2011/02/17(木) 20:36:27

>>323
ご回答ありがとうございます。図書館で調べてみます。

＞ωを 3 に置き換えればよい
というのは、無矛盾性証明において証明図に順序数を対応させたのと同様に、
LKのカット除去でも証明図に、例えば自然数3＾（3＾（1+1））を対応させる、ということでしょうか。
この方針で試みてみようと思います。

325 ：１３２人目の素数さん：2011/02/17(木) 23:25:04

＞数学的帰納法がなければωを 3 に置き換えればよい
あれ、ということはロビンソン算術の無矛盾性は有限の立場で示せるということ？

326 ：１３２人目の素数さん：2011/02/18(金) 13:37:43

ペアノの公理で、
なんでx=y→x'=y'じゃなくて
x'=y'→x=yなのか教えてください

327 ：１３２人目の素数さん：2011/02/18(金) 13:57:58

前者はあらゆる関数に成り立つべき性質(等しいものの代入法則)で自明とも言えるが、後者は違う。

328 ：１３２人目の素数さん：2011/02/18(金) 15:47:05

>>326が自然数の公理に必要な理由を教えてください。

329 ：１３２人目の素数さん：2011/02/18(金) 15:54:02

x+1=y+1 ならば x=y でないと困るでしょ。
演繹するか公理で仮定することになる。

330 ：１３２人目の素数さん：2011/02/18(金) 15:58:30

x=y → x'=y' じゃだめなの？

331 ：１３２人目の素数さん：2011/02/18(金) 16:28:40

>>330
なにがいいの？

332 ：１３２人目の素数さん：2011/02/18(金) 16:43:54

>>331
？

333 ：１３２人目の素数さん：2011/02/18(金) 16:47:14

A かつ￢Aが良い

334 ：１３２人目の素数さん：2011/02/18(金) 17:22:53

>>332
～じゃだめなの？＝～でいいだろ。
ということだから、いいってのはどういう意味でいいっていってんのかってこと。

335 ：１３２人目の素数さん：2011/02/18(金) 19:20:42

自然数の公理として機能しないのかどうかってこと

336 ：１３２人目の素数さん：2011/02/18(金) 19:34:06

だからどう自然数の公理として機能してると主張してるのかってこと。

337 ：１３２人目の素数さん：2011/02/18(金) 19:39:50

しらんがな
そんなうまく質問できるくらいなら質問してない
初めてペアノの公理見たんだよ
なんでx=y→x'=y'じゃなくてx'=y'→x=yなのかわかるように教えてください

338 ：１３２人目の素数さん：2011/02/18(金) 19:47:26

君の現在の理解力を越えてるようだね。

339 ：１３２人目の素数さん：2011/02/18(金) 19:48:08

x'=y'→x=y
これは後者関数の単射であることを意味する。
ペアノの公理からこれを除くと、ループを許すことになる（例えばこんなの↓）。
0→1→2→3→1→2→3→1→2→3→…

形式的な話をすれば、体系内で帰納的関数を構成する際などにこの公理を用いる。
もちろん、それ以外の場面でも。

上でも指摘されてるけど、
x=y→x'=y
これ↑は単なる代入可能性を意味する、等号の公理の一部。

340 ：１３２人目の素数さん：2011/02/18(金) 20:00:42

>>339
x=y → x'=y'
ならば、
0→1→2→3→4
となるんじゃない？3の次は3'(=4)だけでしょ？

341 ：１３２人目の素数さん：2011/02/18(金) 20:06:45

>>340
x'=y'→x=yを仮定しないと、3' が 1 になり得るという話

342 ：１３２人目の素数さん：2011/02/18(金) 20:12:23

>>340
それだけだと、
3'のまえが3じゃないとこから複数本繋がってきてもいい。

343 ：１３２人目の素数さん：2011/02/18(金) 20:13:21

感覚としては、後者関数を使って自然数を次々と生成していくわけだが、
新しく生まれる自然数が、先に生まれた自然数のいずれとも異なるように、
言い換えれば、自然数を一直線に並べるために必要な公理なんだよ

もし単射でなかったら、直前の世代にあたる自然数が一通りに決まらない
例えば、1の直前が 0 と 0''' ということもあり得る。

344 ：１３２人目の素数さん：2011/02/18(金) 20:22:27

x=y → x'=y' なのになぜ3の前が複数になりうるの？

345 ：１３２人目の素数さん：2011/02/18(金) 20:22:34

今の場合反例モデルが作れるからそれで説明するけど
x'=y'→x=yがなくてその逆だと
Z/nZでも条件満たしちゃうでしょ。

Z/nZが何なのか分からないなら先に初等整数論を勉強してね。

346 ：１３２人目の素数さん：2011/02/18(金) 20:51:38

ごめんボケてた>>345はx'≠0が必要だって話だｗ
やっぱり皆の言うようにやらないとダメだ
ただどっちも似たような話で、
0'=1，1'=2，2'=3，……，～'=n、n'=1みたいな状況が生じちゃうってこと

347 ：１３２人目の素数さん：2011/02/18(金) 20:57:05

>>344
x≠yのときについては何の制約も掛けて無いから。

348 ：１３２人目の素数さん：2011/02/18(金) 20:58:58

>>344
a=b だからって、a と b が「記号列として同じ」であるとは限らない
等号の公理：反射律および代入可能性を満たす限りにおいて、a と b が異なる記号列であってもよい
だから、1の直前が 0 と 0''' である、つまり論理式 0=0''' が証明可能、という状況もある（かもしれない）

349 ：１３２人目の素数さん：2011/02/18(金) 20:59:18

>>344
まず「単射」という概念を理解した方がいい。
ググればいくらでも出てくるだろう。予備知識は必要ない。
それでも分からなかったらここで聞いても無駄。

350 ：１３２人目の素数さん：2011/02/18(金) 21:03:00

>>344
その条件は3の後はかならず3'にしかいかないということを言ってるだけで
3'の前がかならず3になってるとは言ってないからだよ。
後者の条件はお前がどうしても外したがってるx'=y'→x=yのほう。

351 ：１３２人目の素数さん：2011/02/18(金) 21:24:25

久しぶりにスレが伸びていると思ったら
またこの流れか。

352 ：１３２人目の素数さん：2011/02/18(金) 21:28:40

竹内・八杉の『証明論入門』
芯の通った思想を感じる本だね。楽しくなってくる。

353 ：１３２人目の素数さん：2011/02/18(金) 21:53:00

和書しか読まないから
竹内の本がありがたく感じる。
もちろん良い本だけど。

354 ：１３２人目の素数さん：2011/02/18(金) 21:54:39

何か他の条件から後続関数の単射性が言えれば仮定しなくても良い。
どのみち、分からん君が置き換えたがってる等号公理からは出ないが。

355 ：１３２人目の素数さん：2011/02/18(金) 21:57:11

>>350
それだったら同じ理屈で、x'=y'→x=y だと
1の次が2だったり3だったりしてしまうのでは？

356 ：１３２人目の素数さん：2011/02/18(金) 22:04:20

>>355
∀x x'≠0という公理があるから特に0≠0'=1。
ところが1'=1'' だとすると1'=(1')'→1=1'だから1=1'、
つまり0'=(0')'となって同様にして0=0'となって矛盾する。

357 ：１３２人目の素数さん：2011/02/18(金) 22:14:38

>>356
まじで？

358 ：１３２人目の素数さん：2011/02/19(土) 05:24:22

x≠y → x'≠y'

359 ：１３２人目の素数さん：2011/02/21(月) 00:33:29.67

基本的なこと分からない人は、
島内さんの「数学の基礎」をよめばどうかな。
基礎論の初歩的なところを手取り足取り進めてくれるから。
中学生でも理解できるような歩みで。

360 ：１３２人目の素数さん：2011/02/21(月) 01:00:24.59

あれε記号使ってたような

361 ：１３２人目の素数さん：2011/02/21(月) 07:25:58.31

shenfieldのmathematical logic1冊で充分だろ。

362 ：１３２人目の素数さん：2011/02/21(月) 08:21:03.83

>>326にShoenfield薦めるとか頭おかしいとしか思えん。
p→qとその逆のq→pを混同してるかもしれないレベルなのに。

363 ：１３２人目の素数さん：2011/02/21(月) 17:07:35.54

>>360
いや、それどころか自然数の公理系まで入ってるけど。

364 ：１３２人目の素数さん：2011/02/21(月) 17:19:04.08

>>359
その本の目的がいまいちぴんと来ない。
読みてはどんな人がターゲット？

365 ：１３２人目の素数さん：2011/02/21(月) 23:51:21.86

広く浅く学びたい趣味人だろう。

366 ：１３２人目の素数さん：2011/02/22(火) 17:07:57.67

>>364
>>326に勧めてるじゃんw

367 ：１３２人目の素数さん：2011/02/22(火) 23:35:42.32

有限の立場では、背理法の無制限な使用は認められますか？

368 ：１３２人目の素数さん：2011/02/23(水) 08:02:56.58

有限の立場ってのは有限公理化可能ってことだとするなら、
ZFCやMKは有限でないが、NGBは有限。
排中律を公理にするかは１階述語論理での話で、
むしろ背理法なしで無矛盾な集合論を展開できるかということ。
答えはYes。

369 ：１３２人目の素数さん：2011/02/23(水) 08:14:46.30

こりゃまた斬新な答えだ

370 ：１３２人目の素数さん：2011/02/23(水) 10:13:34.91

有限の立場は人の数だけあるとは言うが…

371 ：１３２人目の素数さん：2011/02/23(水) 12:09:40.31

少ない脳味噌を如何に活用するかってことなんですね。

372 ：368：2011/02/23(水) 19:56:25.65

>>369 >>371
文句があるなら論破してみろ。

373 ：１３２人目の素数さん：2011/02/23(水) 20:04:38.06

どこから手をつけろと言うんだｗ

374 ：368：2011/02/23(水) 20:22:42.56

>>373
言い訳乙＾＾

375 ：368：2011/02/23(水) 21:10:09.87

全員まとめてかかってこい！
ジャクソンとショーアのlow basic theoremより
recursive degreeを下げることで不完全性定理は成り立たないようにできる！

376 ：１３２人目の素数さん：2011/02/23(水) 21:15:08.73

basicってことはadvancedとかもあるの？

377 ：１３２人目の素数さん：2011/02/23(水) 21:27:56.54

結局、有限の立場で背理法はOKなの？

378 ：368：2011/02/23(水) 22:13:03.52

>>376
basicってのは日本語では恐らく基底とか基数に該当するので基本とかではないです。

379 ：368：2011/02/23(水) 22:19:23.25

>>377
有限の立場の立場を明確にせよ

380 ：１３２人目の素数さん：2011/02/23(水) 22:21:36.12

Primitive recursive arithmetic, or PRA, is a quantifier-free formalization of the natural numbers.
It was first proposed by Skolem[1] as a formalization of his finitist conception of the foundations of arithmetic, and it is widely agreed that all reasoning of PRA is finitist.

381 ：368：2011/02/23(水) 22:59:50.96

>>377
述語の数を増やせばできます。

382 ：１３２人目の素数さん：2011/02/23(水) 23:43:01.36

>>378
いやlow basis theoremのはずなのにスペル間違ってたから
きっと内容分かってないんだろなと思ってからかっただけだよ

というかジャクソンってもしかしてJockuschのことじゃないだろうな？

383 ：１３２人目の素数さん：2011/02/23(水) 23:52:38.94

>>367
ヒルベルト達の言う有限の立場で示せる命題と言うのは、
或る特定の自然数に対する命題（Δ0式）とか、
或いは変数 x を使って x に対して成り立つ命題を証明することで
「任意の x に対して～～」を示す、とか、つまりかなり直截的に証明できるものなので、
∀x P(x)を仮定して∃x P(x)を示すとか、或いはその逆とか、
そういう凝った証明は出て来ないんじゃないかと思います。
従って、別に背理法を使っちゃいけないとはほとんど言っていませんが、
背理法を何度も重ねた超越的な存在証明みたいなものは実際上出て来ないはずです。
だからヒルベルトの計画が上手くいったなら当時の直観主義者達に対する反撃になってた訳で。

384 ：１３２人目の素数さん：2011/02/24(木) 00:02:15.70

訂正
∀x P(x)を仮定して背理法によって∃x ￢P(x)を示すとか

385 ：368：2011/02/24(木) 00:14:58.16

>>384
∃x ￢P(x)は∀x P(x)の略記じゃないんですか？

386 ：368：2011/02/24(木) 00:21:42.85

>>382
ああそうだよ、内容なんてわかってないよ。
俺の論理学歴といえば先日小野の現代数理路理学序説を読了し、
最近shoenfieldを読み始めたばかりだよ。
low basis theorem　についてはある人のブログで知ったんだよ、問題あるか？

387 ：１３２人目の素数さん：2011/02/24(木) 00:26:29.37

議論・喧嘩してるわけでもないのに、なんで名前固定してんのこの人

388 ：１３２人目の素数さん：2011/02/24(木) 00:26:46.53

仮に∀x P(x)を仮定して～～みたいな議論がそもそも無いので
￢∀x～～という論理式がそもそも出て来ない。
だから￢∀x￢が出て来ないからその略記としての∃xもそもそも出て来ない。
あるのは、任意にとった x に対して …x… が成り立つ、という …x… という式だけ。

389 ：１３２人目の素数さん：2011/02/24(木) 00:28:01.31

くあんてぃふぁいあふりー

390 ：１３２人目の素数さん：2011/02/24(木) 16:44:00.27

素人でこの方面興味持つ奴は概ね基地外

391 ：１３２人目の素数さん：2011/02/24(木) 20:11:19.86

>>387
話の展開をわかりやすくするためだろ。

392 ：１３２人目の素数さん：2011/02/24(木) 20:28:22.40

というかロジックの場合、他分野では優秀な数学者が
往々にしてトンデモだったりするから困る

393 ：１３２人目の素数さん：2011/02/24(木) 21:04:17.78

>>392
www 本当杉て困る。

394 ：368：2011/02/24(木) 22:45:14.87

まともに勉強していないからに決まっている。

395 ：368：2011/02/24(木) 23:12:50.35

集合論研究者でさえ
論理学をやったことない人がいる。

396 ：１３２人目の素数さん：2011/02/25(金) 12:41:58.62

いまどき素朴集合論のみで食ってる研究者なぞおらんわ
寝言は寝てから言え

397 ：１３２人目の素数さん：2011/02/25(金) 12:44:27.44

いや、普通の数学の専門家は可算濃度と連続濃度の算法しか分からんのが結構いる。

398 ：１３２人目の素数さん：2011/02/25(金) 13:40:21.63

>>397の「いや」へ
>>395-396の流れを読め。

399 ：368：2011/02/25(金) 19:53:26.53

>>396
公理的集合論やモデル理論の研究者で
ロジックをやったことがないといのは
結構あるぞ。

400 ：１３２人目の素数さん：2011/02/25(金) 20:18:53.14

いやモデル理論はロジックの一部だし。
あと記述集合論とかとの関係で再帰函数論も或る程度知ってる人が大半なはず。
非古典論理とか部分構造論理とかには疎いだろうけどそれだけがロジックじゃないし。

401 ：368：2011/02/25(金) 22:19:27.88

知識あれば良いけど、
キューネンとかウッディンとかの本読んでるけど、
論理学のテキストまったく読んだことない人間でも
読めると思うけど？
実際に自分が読めてる。
論理学の知識はすべて共通前提だと考えれば大丈夫だと思う。
実際に直感的に明らかな論理学の結果しか使わないし。
何だかんだで代数、位相、測度、基数の方がメインな道具に見える。

402 ：１３２人目の素数さん：2011/02/25(金) 23:35:13.21

Woodinって何読んでんの

403 ：368：2011/02/25(金) 23:57:02.29

The Axiom of determinacy,
forcing axiom, and the non-stationary ideal

404 ：１３２人目の素数さん：2011/02/27(日) 01:20:35.00

>>399
> 公理的集合論(略)の研究者で

実際に何やってる人?
組合せ論的な構成可能集合の研究とか?

405 ：１３２人目の素数さん：2011/02/27(日) 21:35:27.99

基礎論を勉強し始めたど素人ですが、どなたか教えてください。
前原「数学基礎論入門」で、「等号の基本性質」の節の冒頭にある、
次の記述意味が分かりません。

>sとtがn階の対象式である場合には、s=tは、
>∀ξ_{n+1}(s∈ξ_{n+1}→t∈ξ_{n+1})
>という論理式の略記法であった。

ここで、_{n+1}により下付き文字をあらわしました。

この定義ですと、t∈ξ_{n+1}でかつ、￢(s∈ξ_{n+1})となるξ_{n+1}が
存在した場合でも、論理式s=tが成立し得るというふうにとれます。
その意味で正しいのでしょうか？
普通に考えると、「→」のところで、「⇔」の間違いじゃないのかと、
思えるんですが。

406 ：１３２人目の素数さん：2011/02/27(日) 21:42:08.97

ξ_{n+1} の前に ∀ があるので、適切な内包公理の下で、
∀ξ_{n+1}(s∈ξ_{n+1}→t∈ξ_{n+1}) から
∀ξ_{n+1}(t∈ξ_{n+1}→s∈ξ_{n+1}) が導ける。

ちょっと読み進めばそのことが書いてあるはず。

407 ：１３２人目の素数さん：2011/02/27(日) 21:43:42.25

>>405
"集合" ξ_{n+1} の補集合を考えれば、
s∈ξ_{n+1}→t∈ξ_{n+1} の逆向きもO.K.

408 ：１３２人目の素数さん：2011/02/27(日) 21:53:53.94

>>406
>>407
ありがとうございます。
ちゃんとした理屈があることが分かり、安心しました。
内包公理や補集合をヒントに理解してみます。

409 ：１３２人目の素数さん：2011/03/03(木) 15:09:48.69

知ったかぶりのバカが集まるすれですね
何の役にもたたないのにｗ

410 ：１３２人目の素数さん：2011/03/03(木) 16:30:05.36

自己紹介ご苦労

411 ：368：2011/03/03(木) 21:57:25.77

>>404
点集合トポロジーだったかなんだったか。
>>409
俺もそうだけど、別にいいじゃん知ったか。
知ったかでも博士とれちゃう国あるんだよ、世界には＾＾

412 ：１３２人目の素数さん：2011/03/03(木) 22:08:12.18

だったら無駄に名乗らないでください
邪魔なんで

413 ：368：2011/03/03(木) 22:34:23.08

>>412
こんな俺でも
ここじゃちょっとは役に立つと思って助言してる。
なんつーか隣人愛ってやつかな、論理の入り口で彷徨ってる
人間みるとつい助けたくなっちゃう。

414 ：１３２人目の素数さん：2011/03/03(木) 22:55:43.28

>>413
じゃ助けてよ。シエラハの理論、pcf理論を理解したいんだけど、オススメのショートコースある？

415 ：368：2011/03/03(木) 23:09:52.65

>>414
pcfはJechに載ってるだろう。
予備知識などいらん！

416 ：368：2011/03/05(土) 23:12:13.84

志賀の無限からの光芒って面白いね。
知らなかった定理が結構ある。

417 ：１３２人目の素数さん：2011/03/06(日) 06:14:59.41

証明抜きが多かった記憶

418 ：368：2011/03/07(月) 21:37:05.07

>>417
まぁ本来啓蒙書なんで。
その割には証明がある丁寧な本程度と考えた方が。

419 ：１３２人目の素数さん：2011/03/16(水) 18:44:12.04

東北大学のサイト落ちてますねえ。
まあ仕方ないかな。

420 ：１３２人目の素数さん：2011/03/16(水) 18:46:10.16

被災地域の大学生、教員でアボーンした人どれだけ居るのやら。

421 ：１３２人目の素数さん：2011/03/16(水) 19:09:28.70

田中一之さん、東北大学だよね。心配ですねえ。

422 ：１３２人目の素数さん：2011/03/17(木) 13:19:17.80

今東北にロジックの学生どれくらいいるの？

423 ：１３２人目の素数さん：2011/03/17(木) 13:24:44.90

学徒動員。福島原発に突入せよ。

424 ：１３２人目の素数さん：2011/03/18(金) 22:11:10.98

質問です。
命題論理のごく初歩的なところをやっているんですが、
replacement theoremとstrong replacement theoremの違いがわかりません。
wff Aを何回か含むwffをC[A]とし、C[A]の中のいくつかのAをwff Bで置き換えた結果をC[B]とする。このとき、
replacement theorem：AとBが論理的同値ならばC[A]とC[B]も論理的同値
strong replacement theorem：(A←→B)→(C[A]←→C[B])はトートロジー
なぜ、後者のほうが「強い」のでしょうか？

425 ：368：2011/03/18(金) 22:19:34.59

strong replacement theorem
なんて初めて聞いた。

426 ：１３２人目の素数さん：2011/03/18(金) 22:22:50.44

それはお前が無知なだけ

427 ：368：2011/03/18(金) 22:45:13.30

>>426
そんなら425をサクッと説明しちゃってくださいよ。

428 ：１３２人目の素数さん：2011/03/18(金) 22:50:59.58

なにこの糞数字コテ

429 ：１３２人目の素数さん：2011/03/18(金) 22:56:57.07

「A→Bが証明可能」　⇒　「Aが証明可能⇒Bが証明可能」
だけど、逆は一般には成り立たないことに
なぞらえてるのでは？

430 ：１３２人目の素数さん：2011/03/18(金) 23:05:57.04

だって、replacement theoremとstrong replacement theoremは同値じゃん。
なんでstrongなのかわからん

431 ：１３２人目の素数さん：2011/03/19(土) 00:31:55.49

そういうときは
wff、置換、論理的同値、トートロジー
の定義を書いてみよう。
書いているうちにわかる場合が多いよ。

432 ：１３２人目の素数さん：2011/03/19(土) 00:33:29.97

なにその万能な回答

433 ：１３２人目の素数さん：2011/03/19(土) 00:44:12.36

万能文化猫娘

434 ：431：2011/03/19(土) 00:50:10.47

え、割と有効なやり方だと思うんだけど

435 ：368：2011/03/19(土) 08:09:26.45

まぁ確かに定義を書くことで
頭が整理されるってことは結構あると思う。

436 ：１３２人目の素数さん：2011/03/19(土) 09:44:19.26

strong replacement theoremというのは一般的な呼び方じゃないと思う。
別の名前が付いている訳でもないけど。

AならばBというのとA→Bはトートロジーだというのでは
後者の方が強い気はするよね。
トートロジーに関するいくつかの性質を使えば前者から後者も証明できるだろうけど。

437 ：１３２人目の素数さん：2011/03/19(土) 11:07:58.09

ジェフリー『形式論理学』の決定可能、決定不可能のくだりで
多項関係の述語を含む関数記号を含まない理論が決定不可能というのは関数記号を多項関係の述語に置き換える（たとえば、関数記号+を和の関係を表す述語に置き換える）結果、それが言えるという意味ですか？
それとも、同一性記号や和の関係を表す述語のような特別な付値を持つ述語（＝11は定理だが、（自由な表れの述語Ａに関して）A11が定理は言えない）は関係なくて、自由な表れの多項関係の述語を持てば理論は決定不能になるという意味ですか
どなたか、お教えください
よろしくおねがいします

438 ：368：2011/03/19(土) 11:58:48.45

>>437
> ジェフリー『形式論理学』の決定可能、決定不可能のくだりで
> 多項関係の述語を含む関数記号を含まない理論が決定不可能というのは関数記号を多項関係の述語に置き換える（たとえば、関数記号+を和の関係を表す述語に置き換える）結果、それが言えるという意味ですか？
> それとも、同一性記号や和の関係を表す述語のような特別な付値を持つ述語（＝11は定理だが、（自由な表れの述語Ａに関して）A11が定理は言えない）は関係なくて、自由な表れの多項関係の述語を持てば理論は決定不能になるという意味ですか
> どなたか、お教えください
> よろしくおねがいします
言葉の定義とかも書かないとわからないと思いますよ。
普通の数理論理学のテキストにない用語が多いですから。

439 ：１３２人目の素数さん：2011/03/19(土) 12:00:34.25

なにこの糞数字コテ

440 ：368：2011/03/19(土) 12:07:59.68

>>437
> ジェフリー『形式論理学』の決定可能、決定不可能のくだりで
> 多項関係の述語を含む関数記号を含まない理論が決定不可能というのは関数記号を多項関係の述語に置き換える（たとえば、関数記号+を和の関係を表す述語に置き換える）結果、それが言えるという意味ですか？
> それとも、同一性記号や和の関係を表す述語のような特別な付値を持つ述語（＝11は定理だが、（自由な表れの述語Ａに関して）A11が定理は言えない）は関係なくて、自由な表れの多項関係の述語を持てば理論は決定不能になるという意味ですか
> どなたか、お教えください
> よろしくおねがいします
付値は命題への真偽値の与え方と考えてよろしいでしょうか？
それから「自由な表れ」とはなんでしょうか？

441 ：368：2011/03/19(土) 12:09:39.27

>>439
> なにこの糞数字コテ
どうも！

442 ：１３２人目の素数さん：2011/03/19(土) 12:34:39.61

>>436詳しく頼む

443 ：368：2011/03/19(土) 13:42:36.35

strong replacement theoremでググったらこのスレが一番だったW

444 ：368：2011/03/19(土) 13:58:43.76

>>442
strong replacement theorem から
replacement theorem が証明できる。逆は一般に成り立たないね。

fを付値とすれば
strong replacement theorem より
(A←→B)→(C[A]←→C[B])がトートロジーだから、
f((A←→B)→(C[A]←→C[B]))＝Т
一般に
f(⊥→X)＝f(⊥)→f(X)＝Т
f(X→Т)＝f(X)→f(Т)＝Т
が成り立つから、
f(A←→B)＝⊥ ∨ f(C[A]←→C[B])＝Т
replacement theorem の仮定から、
A と B は論理的同値なので、
f(A)＝(B)＝Т ∨ f(A)＝(B)＝⊥
このとき f(A←→B)＝f(A)←→f(B)＝Т であるので、
f(C[A]←→C[B])＝f(C[A])←→f(C[B])＝Т
よって、
f(C[A])←→f(C[B])＝Т ∨ f(C[A])←→f(C[B])＝⊥
なので C[A] と C[B] は論理的同値。

445 ：368：2011/03/19(土) 14:09:13.52

下から2行目訂正
誤：f(C[A])←→f(C[B])＝Т ∨ f(C[A])←→f(C[B])＝⊥
正：f(C[A])＝f(C[B])＝Т ∨ f(C[A])＝f(C[B])＝⊥

446 ：368：2011/03/19(土) 14:17:43.26

訂正：逆も成り立ちますね。

447 ：424：2011/03/19(土) 14:23:56.03

逆も普通に成り立ちますよね？
なんでstrongなのか・・・
ちなみに戸田山和久の『論理学をつくる』ってテキストです

448 ：368：2011/03/19(土) 14:26:13.99

strong replacement theorem は、
C[A] と C[B] が論理的同値ならば、
A と B が論理的同値でない場合でも成り立つので、明らかに強いですね。

449 ：１３２人目の素数さん：2011/03/19(土) 14:41:00.37

それはreplacement theoremもおなじじゃないの？

450 ：１３２人目の素数さん：2011/03/19(土) 14:41:41.10

んなら>>446の逆も成り立ちますってどういうことなの

451 ：368：2011/03/19(土) 14:44:01.60

論理学をつくるが出典か。
それじゃあ深い意味はなく、
使いやすい程度の直感的な命名の可能性が高い。

452 ：１３２人目の素数さん：2011/03/19(土) 14:45:21.50

そんじゃ、どっちがstrongもなく、同値な定理と考えてＯＫ？

453 ：１３２人目の素数さん：2011/03/19(土) 14:46:54.49

ちなみに、地の文にも「より強い置き換えの定理」とはっきり書かれています

454 ：368：2011/03/19(土) 14:48:57.61

>>450
私の間違えですね。訂正します。

：
A→B　　B
------------
A
：

のとき、A→BはAよりも強いと言いますから、
同値の場合は強いとは言わないかもしれないですね。

455 ：１３２人目の素数さん：2011/03/19(土) 14:52:51.44

>>454そこを詳しく！

456 ：368：2011/03/19(土) 14:56:16.92

多分戸田の言いたいことは、
strong replacement theorem は replacement theorem と同値だが、
C[A] と C[B] が論理的同値という別の命題があった場合、
strong replacement theorem は「A と B が論理的同値でない」
場合にも成り立ちますが、
このとき replacement theorem が成立している必要はないという意味で、
「強い」と命名したんじゃないんでしょうか。
ですから>>454でいうような定義での「強い」ではないですね。
まぁその本読んだことないんで知りませんが。

457 ：１３２人目の素数さん：2011/03/19(土) 14:59:31.77

replacement theoremも、AとBが論理的に同値でない場合も成り立ちますよね？

458 ：１３２人目の素数さん：2011/03/19(土) 15:03:58.55

結局、俺には>>429がなぜ正しいのかわからない

459 ：１３２人目の素数さん：2011/03/19(土) 15:09:35.95

規制で書き込めなかった…

>>424
証明するために、内包公理が必要かどうか。

>>430
「同値」の階層を混同している。
「論理式が同値」と「命題が同値」は全く異なる概念。
「A←→Bならば、その時に限って、A≡B」が証明できるというだけ。
←→、≡は共に略記だけど、常識の範囲だから定義は略。

完全性定理をきちんと理解するには、この辺の区別は重要。

460 ：１３２人目の素数さん：2011/03/19(土) 15:11:11.86

>付値は命題への真偽値の与え方と考えてよろしいでしょうか？
よいです。

＝が自由な表れでないと言っているのは、∀ｘ（ｘ＝ｘ）のような公理があるために、＝を他の述語と置き換えることは必ずしも自由でないということを言っています

461 ：１３２人目の素数さん：2011/03/19(土) 15:11:24.83

初学者向けと謳っているのにそのあたりの解説がないのは不親切だなぁ

462 ：１３２人目の素数さん：2011/03/19(土) 15:12:31.06

ごめん、>>429がなぜなのか、もう少し説明してもらえないだろうか

463 ：１３２人目の素数さん：2011/03/19(土) 15:16:38.80

付置はvaluationの訳語。
valuation function: wff→truth value

464 ：１３２人目の素数さん：2011/03/19(土) 20:46:20.72

すみません、初学者なのですが、質問させてください。
∀ｘ∃ｙ(Ｐ(ｘ)→Ｑ(ｙ))→∃ｘ∀ｙ(Ｐ(ｘ)→Ｑ(ｙ))
が成立しないんじゃないかと思います。

反例として、
箱が二個(箱１、箱２)と玉が一個だけの世界を考えて、
Ｐ(ｘ)、Ｑ(ｘ)がともに、玉が箱ｘに入っているという命題を表すものとします。
このとき、各ｘに対してｙ＝ｘと考えてやれば「∀ｘ∃ｙ(Ｐ(ｘ)→Ｑ(ｙ))」は真になりますよね。
ところがｙ＝１のときはｘ＝２を、ｙ＝２のときはｘ＝１の場合を考えてやればいずれも「Ｐ(ｘ)→Ｑ(ｙ)」が成立しないため、「∃ｘ∀ｙ(Ｐ(ｘ)→Ｑ(ｙ))」が偽になりますよね？？

と考えたのですが、間違いがあれば教えてくださいｍ(＿　＿)ｍ

465 ：368：2011/03/19(土) 20:58:24.75

>>462
散歩ついでに読んでみたけど
71ページの辺りの文脈読んでなんとなく推測。
replacement theorem は
A←→B がトートロジーならば C[A]←→C[B] もトートロジーと書ける。
|= C ⇔ C はトートロジー　　　-----------（１）
（１）の書き方に従えば、
|= A←→B ⇒ |= C[A]←→C[B] 　　　-----------（２）
また、
strong replacement theorem は、
|= (A←→B)→(C[A]←→C[B])　　　-----------（３）
（３）からCuttingによって（２）が証明できるが逆は成り立たない。
だからstrongと読んでいるのではないだろうか？

>>459の言うとおりだとしても、
置き換えの定理が出てくるこの時点で、内包公理どころか
集合論の気配は一切ない。
本来のstrong replacement theoremの意味はどうだから知らないが、
少なくともこの本を読んでも、
「強い」が内包公理の要不要に依存しているようには思えない。

466 ：１３２人目の素数さん：2011/03/19(土) 21:15:27.00

>>429に関して、独立で説明してもらえないだろうか。
>>429は一般に言えることなの？

467 ：368：2011/03/19(土) 22:19:40.96

>>466
定理１　T，A |= B ⇔ T |= A→B

のTを空集合とすれば、
A |= B ⇔ |= A→B

定理２（Cutting）　T |= A 、A, K |= B ⇒ T, K |= B

のような定理で、TとKを空集合とすれば、
|= A 、A |= B ⇒ |= B
となり、replacement theorem が証明される。
|=という記号はこの本の定義（2重ターンスタイルとか書かれてた）に従ったが、
上の定理１と２が常に成り立つかは恐らく証明体系に依存する。
>>429はこの|=のことを証明を表す記号として言っているのでは？

468 ：１３２人目の素数さん：2011/03/19(土) 22:38:17.87

初学者の俺には何言ってるかわからない・・・
もうちょっとわかりやすくたのむ・・・
strongとそうでないのは、結局、どっちからどっちをも証明できると考えておいてＯＫ？

469 ：368：2011/03/19(土) 22:40:11.88

>>464
∀ｘ∃ｙ(Ｐ(ｘ)→Ｑ(ｙ))→∃ｘ∀ｙ(Ｐ(ｘ)→Ｑ(ｙ))
が「成立しない」の意味によりますね。
論理式としては成立しますが、これだけでは常に真ではないですね。
最後の方の文章がいまいち理解できませんが、
一応確認しておきたいのですが、
論理式の前半の∀ｘ∃ｙ(Ｐ(ｘ)→Ｑ(ｙ))に出てくる変数ｘとｙは、
後半の∃ｘ∀ｙ(Ｐ(ｘ)→Ｑ(ｙ))の変数ｘとｙとは違うということは
分かっていますか？

470 ：368：2011/03/19(土) 22:46:39.88

>>468
strong replacement theorem と replacement theorem という定理は、
メタ理論において定理とみなされていて、
メタ理論において必要十分条件（同値）になっています。
しかし形式体系の中で、論理式として取り扱う際には、
strong replacement theorem から replacement theorem への
論理式の変形は可能ですが、逆への変形は不可能なのです。
つまり形式体系の中で strong だと主張しているのです。

471 ：１３２人目の素数さん：2011/03/19(土) 22:48:50.08

>>470
おお、よくわかった。
また質問したいです。よろしければお名前を教えていただけませんか

472 ：368 ◆jkwVJMjC32 ：2011/03/19(土) 23:01:35.98

>>471
仮に368としておきます。
論理学をつくるをざっと眺めたところ、
無駄に冗長なうえに、
今回の意味論とシンタックスの混同のように、
さまざまな罠が張り巡らされているようなので気を付けてください。

473 ：464：2011/03/19(土) 23:04:43.49

>>469
ありがとうございます。
すみません、「成立」は述語論理でトートロジーになるという意味です。

僕の読んでいる教科書で、「∀ｘ∃ｙ(Ｐ(ｘ)→Ｑ(ｙ))→∃ｘ∀ｙ(Ｐ(ｘ)→Ｑ(ｙ)) 」をＮＫで証明せよという課題が載っていて、解答がなかったもので。。。

>論理式の前半の∀ｘ∃ｙ(Ｐ(ｘ)→Ｑ(ｙ))に出てくる変数ｘとｙは、
>後半の∃ｘ∀ｙ(Ｐ(ｘ)→Ｑ(ｙ))の変数ｘとｙとは違うということは

それは分かっています。

「∀ｘ∃ｙ(Ｐ(ｘ)→Ｑ(ｙ))→∃ｘ∀ｙ(Ｐ(ｘ)→Ｑ(ｙ)) 」の反例(偽になる場合)があれば教えていただけませんか？

474 ：１３２人目の素数さん：2011/03/20(日) 00:09:54.48

フレーム(枠組み、構造とも呼ぶ)の領域を整数全体
P,Q ともに1変数述語として、対応する部分集合をそれぞれ整数全体、偶数全体
x,y を異なる変数

とすれば、このフレームはモデルとならない。

475 ：１３２人目の素数さん：2011/03/20(日) 00:13:56.99

質問し直します
多項関係の述語記号を持ち関数記号を持たない理論は決定不可能とあったのですが、その理論で算術の定理（例えば、任意の数項に関して、数項と0の積と0と数項の積は同一という算術の定理）は真ですか？
というのが聞きたかった内容です

>>473
あってると思いますよ
∀ｘ∃ｙ(Ｐ(ｘ)→Ｑ(ｙ))→∃ｘ∀ｙ(Ｐ(ｘ)→Ｑ(ｙ))は妥当ではないですから
例えば、任意のドメインの要素がＰに含まれあるドメインの要素がＱに含まれ（∀ｘ∃ｙ(Ｐｘ→Ｑｙ)が真）、あるドメインの要素が￢Ｑに含まれる（∃ｘ∀ｙ(Ｐｘ→Ｑｙ)が偽）世界を考えれば、∀ｘ∃ｙ(Ｐｘ→Ｑｙ)→∃ｘ∀ｙ(Ｐｘ→Ｑｙ)の妥当性の反例になると思います

もっとも、教科書が妥当でない式の証明を求めるということはないので、誤植か読み違いが起きてるのでしょう
ｘとｙの順序をｙとｘと読み違えたりすることで式の内容はかわってきますよ

476 ：１３２人目の素数さん：2011/03/20(日) 02:02:42.88

http://a0.twimg.com/profile_images/1279026415/ac_bigger.png

477 ：464：2011/03/20(日) 17:46:21.59

>>475
ありがとうございます。どうも誤植だった模様です。
正確には∀ｘ∃ｙ(Ｐ(ｘ)→Ｑ(ｙ))→∃ｙ∀ｘ(Ｐ(ｘ)→Ｑ(ｙ))だったようです。

478 ：１３２人目の素数さん：2011/03/20(日) 18:21:08.09

なんだ、戸田山さんの本か。
戸田じゃなくて戸田山ね。
あの人は（学部の素朴な）集合論の普通の定理に関しても
この定理は哲学的には問題があるとか良く分かんないこと書いてた気がする。
ゲーデルと20世紀の論理学の彼が書いた記事は面白かったけどね。

479 ：368 ◆jkwVJMjC32 ：2011/03/21(月) 10:54:28.93

>>475
「多項関係の述語記号を持ち関数記号を持たない理論は決定不可能」
というのBoolosによって示された定理のことでしょうか。
算術の定理に必要な関数記号を論理学の述語で代用するということは、
数学を二階述語論理で直接展開するということでしょうか。
これが真になるというのは、どのような場合なのでしょうか。
私は知りませんが、興味はありますね！

480 ：１３２人目の素数さん：2011/03/22(火) 18:59:09.84

>>466
>429は一般に言えることなの？

p を命題変数とする。勝手な論理式 A に対し、
p が証明可能ならば A も証明可能
しかし、p→A は一般にはトートロジーではない。

証明可能の条件をもうちょっと強めると、古典命題論理の範囲では
Mints による定理があって、逆にあたることが成立する。

481 ：１３２人目の素数さん：2011/03/23(水) 00:53:46.06

>算術の定理に必要な関数記号を論理学の述語で代用するということは、
>数学を二階述語論理で直接展開するということでしょうか。
は、私がそういうことかなと推測した内容で、本が言っている内容かはわかりません

数理論理の内容なので、関数記号を除いたからといって数学の定理が扱えないわけはない
じゃあどうやって？
述語でやろうというのか？しかし・・
という感じで質問に来ました

482 ：１３２人目の素数さん：2011/03/23(水) 23:44:06.57

非古典論理の階層（１）

Modal logic
　Classical modal logic
　　Regular modal logic
　　Normal modal logic
　Modern modal logic
　　Temporal logic
　　　Propositional dynamic logic
　　　Linear temporal logic
　　　Interval temporal logic
　　　　Graphical interval logic
　　　　Signed interval logic
　　　　Future interval logic
　　　Kinetic logic
　　Dynamic logic
　　　Propositional dynamic logic
　　　Multimodal logic
　　Hennessy-Milner logic
　　Epistemic modal logic
　　Public announcement logic
　　Product update logic
　　Deontic logic
　　　Dyadic deontic logic
　　Imperative logic

483 ：１３２人目の素数さん：2011/03/23(水) 23:44:42.49

非古典論理の階層（２）

Algorithmic logic
Branching-time logic
　CTL*
　　Computational tree logic
Tense logic
Computational verb logic
Hybrid logic
Quantum logic
Many-valued logic
　Fuzzy logic
　　T-norm fuzzy logics
　　　Monoidal t-norm based logic
　　　Product fuzzy logic
　　　Nilpotent minimum logic
　　　Lukasiewicz logic
　　　Godel-Dummett logic
　　　Basic fuzzy logic
　Post logic
　Kleene logic
　Provability logic
　　Interpretability logic

484 ：１３２人目の素数さん：2011/03/23(水) 23:45:10.90

非古典論理の階層（３）

Bayesian logic
Probabilistic logic
Subjective logic
Combinations logic
Substructural logic
　Relevant logic
　Linear logic
　　Strict logic
　　Full linear logic
　　Modern Lambek calculus
　　　Non-commutative logic
　　　　Cyclic linear logic
　　　　Pomset logic
　　　　BV
　　　　NEL
　　Bunched logic
　Affine logic
　　Direct logic
　　Full affine logic

485 ：１３２人目の素数さん：2011/03/23(水) 23:45:50.52

非古典論理の階層（４）

Paraconsistent logic
　LP
　FDE
Doxastic logic
Floyd-Hoare logic
Description logic
Minimal logic
Independence-friendly logic
Dependence logic
branching quantifier logic
Non-monotonic logic
　Default logic
Autoepistemic logic
Free logic
Connexive logic
Combinatory logic
Categorical logic
Q0 Logic
Ω-logic
Separation logic
：
：

486 ：１３２人目の素数さん：2011/03/24(木) 00:05:02.46

分岐量化子とか客観論理が好みですね...
まぁ私は全て知っていましたけど。

487 ：１３２人目の素数さん：2011/03/24(木) 00:49:54.63

そんなにいっぱいあるんですか…
それらを(ある程度)統一した強力な体系とかあるんでしょうか？

488 ：１３２人目の素数さん：2011/03/24(木) 07:37:33.20

Wikipedia

489 ：368 ◆jkwVJMjC32 ：2011/03/24(木) 08:08:58.26

>>481
> 数理論理の内容なので、関数記号を除いたからといって数学の定理が扱えないわけはない
> じゃあどうやって？
> 述語でやろうというのか？しかし・・
> という感じで質問に来ました

述語論理で必ずしも算術をする必要があるのでしょうか？
Boolosの定理は算術の存在を仮定しなくても、成り立つように思えます。
一般的な論理と数学に必要な論理は分離していった歴史がありますから。

490 ：１３２人目の素数さん：2011/03/24(木) 21:08:48.47

Paraconsistent logic
矛盾許容論理...

もう何でもありだな。

491 ：368 ◆jkwVJMjC32 ：2011/03/24(木) 21:56:46.43

上記リストの中から、
興味のあるものや、詳しく知りたいものがあったら
言ってもらって結構です。
大抵答えられます。

492 ：１３２人目の素数さん：2011/03/25(金) 16:41:52.80

intuitionistic logic がないのは何故だろう?

493 ：368 ◆jkwVJMjC32 ：2011/03/25(金) 23:47:24.56

>>492
直観主義論理は上記リストから見ると、
ちょっと古いのではないでしょうか。
古典論理から中間論理、直観主義論理、そして超直観主義論理までの
意味論はクリプキが可能世界の導入によって自然に拡張しましたから、
当然、上の非標準論理の基礎にはなっています。
しかし上のリストは恐らく、
様相論理を基本的な枠組みとして取り入れた
論理を紹介する意図があったのではないでしょうか。
いずれにしろ、個人の仕事なのですから
上記リストに抜けがあることは致し方ないでしょう。
それよりも良い検索キーワード集を提供してもらえたことに感謝しましょう。

494 ：１３２人目の素数さん：2011/03/26(土) 18:29:03.87

Public announcement logicって名前が面白いな
どういうことをやるんだろう？
Taoのblogに載ってたようなcommon knowledge的な話とかかな？

あとInterpretability logic とΩ-logic について宜しく

495 ：１３２人目の素数さん：2011/03/26(土) 19:45:59.19

>>493
368の過去レスを見るとそんな偉そうな総括が言える力量とは思えない
おそらくハッタリであろう

496 ：１３２人目の素数さん：2011/03/26(土) 20:33:19.56

ロジックの本を読むのは初めてなのに
それが日本最高峰の教科書と言っちゃうくらいだからな>>188

497 ：368 ◆jkwVJMjC32 ：2011/03/26(土) 22:32:27.30

>>496
正確にははじめてではないですね。
知識と信念の論理という本がはじめてですね。
この本で命題論理・述語論理から
様相論理、デフォルト論理やメンタル・スペース理論まで
まとめて学習しました。
理解できない部分は論理と計算のしくみという本で補填しました。
またこの本で完全性定理や不完全性定理を学習しました。

498 ：368 ◆jkwVJMjC32 ：2011/03/27(日) 08:26:17.10

公開告知の論理PAL（Public announcement logic）
動的認識論理DEL（Dynamic Epistemic Logic）の一種で、
公開告知やプライベートなどの多種の言語伝達に依存して
エージェントたちの認識状態が変化するというアイデアによる。
様相論理を基礎にしている。
例
APLにおける文φの意味の公開告知の型がφ！であるとき、
様相演算子を[φ！]、<φ！>と置く。さらに命題ξに対して、
公開告知の後、[φ！]ξが真する。
ξが「K_aχ：エージェントaがχを知っている」で定義されるとき、
公開告知によって[φ！]K_aχが真。
これは公開告知による知識の変化を記述している。
おっしゃられる通り、common knowledge やmutual
knowledge への拡張もされています。
また認識論理の代わりに義務論理を選択することで、
指令論理ECL（Eliminative Command Logic）なども作られました。
関連
DEUL (Dynamic Epistemic Upgrade Logic）
DDEPL（Dynamic Deontic Epistemic Preference
Logic）
Arbitrary Public Announcement Logic (APAL)
Future Event Logic（FEL）
カテゴリ
数理論理学｜計算機科学

499 ：368 ◆jkwVJMjC32 ：2011/03/27(日) 09:08:57.64

解釈可能性論理Interpretability logic
証明可能性論理GLを拡張したもので、さまざま種類があります。
算術的に完全なILMやモンターギュの公理を加えた最小論理IL、
持続公理をILに加えたILPなど。
p、q...は束、
∧、∨、→、⇒は様相論理のオペレータ
定義1
d(p)＝1
d(⊥)＝0
d(A∧B)＝d(A∨B)＝d(A→B)＝d(A⇒B)＝d(A)+d(B)+1
公理2
略
自分よりも弱い理論の文を自分の中に置き換えて
数学的な性質を比較するという感じでしょうか。

500 ：368 ◆jkwVJMjC32 ：2011/03/29(火) 23:09:07.72

解釈可能論理(IL)
GL＋述語記号△
二項様相演算子△を以下のように定義する。
理論Tにおける、A△Bの算術的な実現は
TにBの実現を加えたものは、TにAの実現を加えたものを解釈可能である。
つまり、Tの言語の論理式で、
T＋B |― C implies T＋A |― f(C)
となるような比較解釈可能関数ｆが存在する。
定義１
式Aの次数d(A)を次を満たす。
・d(p)＝1
・d(⊥)＝0
・d(A∧B)＝d(A∨B)＝d(A→B)＝d(A⇒B)＝d(A)+d(B)+1
定義２
ILの公理
K:□(p→q)→(□p→□q)
L:□(p→p)→□p
J1:□(p→q)→(p△q)
J2：(p△q)∧(q△r)→(p△r)
J3:(p△r)∧(q△r)→((p∨q)△r)
J5:(◇p)△p
ILの推論規則
MP

501 ：368 ◆jkwVJMjC32 ：2011/03/29(火) 23:09:26.37

定義３
ILPの公理
ILの公理に以下の公理を加えたもの
P:(p△q)→□((p△q)　(永続公理)
定義４
論理式Aと論理Lについて、L+Aとは、
L∪{A}を含む論理式の最小の集合で、
様相論理のMP、置換、必然性の3つの規則において閉じている論理。
定義５
IK4とは、
K、J1、J2、J3、J5に、
4：□p→□□p
を加えた6つの公理とすべてのトートロジーを含む最小の論理式の集合で、
様相論理のMP、置換、必然性の3つの規則において閉じている論理。
定理１
IK4 ⇔ △-free fragment が様相論理K4となるILの部分論理。
定理２
IK4＋PはILPの部分論理。
定理３
IL＝IK4＋L
ILP＝IL＋P＝IK4＋P＋L
定理４
IL、ILPはクリプキ構造で完全。

502 ：368 ◆jkwVJMjC32 ：2011/03/30(水) 19:18:55.66

定義６
Γ_A≡Γ－{A}を論理式の集合、
◎∈{□,◇,￢}を接頭辞としたとき、
◎Γ≡{◎A｜A∈Γ}
Γ△⊥≡{A△⊥｜A∈Γ}
と表現し、推件式は以下のように表現する。
Γ→⊿
定義７
推件式GIK4Pの公理
A→A
⊥→

503 ：368 ◆jkwVJMjC32 ：2011/03/30(水) 21:24:29.35

定義８
論理式Aの部分論理式の集合をSub(A)
Γ∪∆の各論理式の部分論理式の集合をSub(Γ → ∆)で表す。
定義９
GIK4Pの推論規則。
(T→)Γ→∆：A,Γ→∆　
(→T)Γ→∆：Γ→∆,A　
(cut)Γ→∆,A、A,Π→Λ:Γ,ΠA→ ∆A,Λ　
(∧→i)Ai,Γ→∆：A1∧A2,Γ→∆　
(→∧)Γ→∆,A、Γ→∆,B：Γ→∆,A∧B　
(∨→)A,Γ→∆、B,Γ→∆：A∨B,Γ→∆　
(→∨i)Γ→∆,Ai：Γ→∆,A1∨A2　
(⊃→)Γ→∆,A、B,Γ→∆：A⊃B,Γ→∆　
(→⊃)A,Γ→∆,B：Γ→∆,A⊃B　
(△K4P)A,{B,X1,···,Xn}△⊥,Σ→B,X1,···,Xn、Σ→Y1△B、…、Σ→Yn△B：
X1△Y1,···,Xn△Yn,Σ→A△B　

504 ：368 ◆jkwVJMjC32 ：2011/03/30(水) 21:29:12.26

残念ながらこの論理の肝である、
シーケンス計算は、
証明図が奇抜な形をしているため
掲示板に書くことはできませんでした。

505 ：１３２人目の素数さん：2011/04/03(日) 01:45:35.55

N型推論図ってすごい使いにくいような気がする。
これのメリットって何があるの？

506 ：論理体系の表現能力：2011/04/03(日) 12:08:08.76

↑たかい
↑
様相論理（時相論理・認識論理・信念論理...）
↑
中間論理
↑
超直観主義述語論理
↑
超直観主義命題論理
↑
直観主義述語論理
↑
直観主義命題論理
↑
部分構造論理(ランベック計算・線形論理、矛盾許容論理、ウシュカヴィッチ多値論理、ファジー論理、適切論理...)
↑
↑ひくい

大体こんな関係じゃないでしょうか？>>487

507 ：１３２人目の素数さん：2011/04/05(火) 19:08:36.22

予習が完了しました。
今夜からΩ-論理の説明をはじめましょう。

508 ：１３２人目の素数さん：2011/04/05(火) 20:39:42.43

>>491で大抵答えられますって言ってたのは
勉強したら答えられるようになりますって意味だったの？
勉強したての人間の説明は何が本質的なのか全然分かんないから勘弁してほしい

509 ：１３２人目の素数さん：2011/04/05(火) 21:28:09.34

いえ、「Ω-論理以外」は何でも答えられるという意味である。
上記のリストにΩ-論理はない。

510 ：１３２人目の素数さん：2011/04/06(水) 10:18:46.30

１０は３で割り切れないって言うけど１０人分のケーキを三人に分けることはできるんだが？
http://hatsukari.2ch.net/test/read.cgi/news/1302019119/l50

511 ：１３２人目の素数さん：2011/04/06(水) 11:09:08.03

>>510
凄い発見だな！僕は自分の人生さえ割り切りが付かないぞ！

512 ：１３２人目の素数さん：2011/04/06(水) 22:33:49.35

仏教論理もこのスレでいいの？

513 ：１３２人目の素数さん：2011/04/06(水) 23:42:36.65

>>512
現在仏教論理は主流ではないですね。
量化が特殊なので非常に研究が難しい。
イスラエルでマルグリス（超剛性定理で有名な）らにより
研究されているキリスト教的論理学との関連が指摘されています。
キリスト教的論理学の推論規則ではほとんどの仮定が落ちません。

514 ：１３２人目の素数さん：2011/04/07(木) 08:01:16.27

インド論理⊇仏教論理∪易罫

515 ：１３２人目の素数さん：2011/04/07(木) 08:03:17.55

仏教論理は様相論理

516 ：１３２人目の素数さん：2011/04/07(木) 13:06:25.30

区体論はこのスレでいいんすか？

517 ：１３２人目の素数さん：2011/04/08(金) 20:06:05.60

>>494
> Taoのblogに載ってたようなcommon knowledge的な話とかかな？
え？
テレンス・タオってロジックにも進出しているの？
天才に来られると萎縮するわ...

518 ：１３２人目の素数さん：2011/04/09(土) 19:12:13.38

>>505
N型推論図（フレーゲ流）はNKなどの公理を持たない体系で、
仮定を落とすのを記述するのに使われることが多いです。
L型推論図はシーケント計算など仮定がない体系で使われます。
一般的な数学はNKのN型推論図などを用いると表現しやすいです。
シーケント計算のL型推論図は様々な論理式を
証明するのに下から辿れるので使いやすいです。
本によっては → が |― と書かれていたりしてまちまち。
またHKは仮定がないのでL型で書かれることが多いです。
（HKは公理の変形が複雑だが部分構造論理で使われるそうな）
それから論理式の左側にtermと呼ばれるものをつけて、
証明の経路を辿れるようにしたものもありますね。
この際、NKの仮定をラムダ項に対応させることが出来、
カリー・ハワード対応と呼ばれることもあります。
仮定の落ちる回数に制限を設ける論理もあったと思います。

519 ：１３２人目の素数さん：2011/04/09(土) 19:16:06.90

ま初歩的な証明論程度の質問ならなんでも
答えられるので何でも聞いて良いですよ。

520 ：１３２人目の素数さん：2011/04/10(日) 21:52:24.80

実は証明論に公理は不要である。
これを知らないから無駄な努力をしてしまう。

521 ：１３２人目の素数さん：2011/04/13(水) 23:51:38.10

http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1293882228/980
岩波書店5月　『数学基礎論』新井敏康　著
ttp://www.iwanami.co.jp/hensyu/science/next.html
気合入ってるなあ　楽しみ

みすずから出たトルケル・フランセーンの本もかなり良いよ。
ロジック専攻というレベルじゃなくて不完全性周りが
まさに著者の専門だからかなり細かいことまで徹底的に書いている。
但し著者独自の主張じゃないか、と思うようなことも無いではないけどね。

訳者の田中先生って今どうしてるんだろうか。
今年春に東工大で講演会やるみたいな話あった気がするけどどうなってるのかな。

522 ：１３２人目の素数さん：2011/04/14(木) 07:08:42.36

微積分みたく入門書ばかりがどんどん増えていきますね。
メドベージェフ次数が日本に紹介されるまではまだかかるでしょうね。

523 ：１３２人目の素数さん：2011/04/14(木) 08:18:58.10

　　ま　　た　　お　　前　　か

524 ：１３２人目の素数さん：2011/04/14(木) 19:12:25.74

日本語の本は入門書のみで十分。
後は英語の世界。

525 ：１３２人目の素数さん：2011/04/14(木) 19:20:30.70

>>521
内容は Shoenfield のと同じようなもん？

526 ：１３２人目の素数さん：2011/04/14(木) 20:55:12.37

>>525
Shoenfield は証明論がなかったですよ。
それから計算理論が何を指しているのかが分かりません。
ページ数が気になりますね。
解説を読む限り強制法にも触れてそうですね。
ただメドベージェフ還元まではいかないと思いますね。

527 ：１３２人目の素数さん：2011/04/14(木) 21:34:06.56

帰納関数論でしょ。

528 ：１３２人目の素数さん：2011/04/14(木) 21:39:51.30

原子帰納関数を導入してから、
ゲーデルが証明したのに近い不完全性定理を導入するってことですか。
算術的階層やペアノ算術までいくShoenfieldよりは進まないということかな。

529 ：１３２人目の素数さん：2011/04/14(木) 22:15:29.27

ペアノ算術やらないわけない。
入門篇で原始帰納関数、基礎編で超限帰納法やるんじゃないだろうか。

530 ：１３２人目の素数さん：2011/04/15(金) 00:58:48.51

集合論をかなりやってから証明論に進む構成だから、
新井先生の専門とかから考えるなら、
再帰的Mahlo順序数とかを使うKP（ZFの断片）に対する順序数解析とかに
触れたりして現代の証明論を紹介したいのかな、とか思ってるんだけど。
PohlersのProof Theory: The First Step into Impredicativity（11章）とか
RathjenのThe art of ordinal analysis
www.icm2006.org/proceedings/Vol_II/contents/ICM_Vol_2_03.pdf
とかの後半（2.2. Set theories.以降）とか。

新井先生のhttp://arxiv.org/abs/1102.0596で言うなら4 Jäger以降の内容。
ちょっと希望的観測過ぎるか。

531 ：１３２人目の素数さん：2011/04/15(金) 20:27:40.85

順序数解析はやっぱり入れるんじゃないか

532 ：１３２人目の素数さん：2011/04/16(土) 01:08:11.68

にわかで申し訳ないんですが、
モデル理論とはどのようなものなんでしょうか
ゲーデルあたりの研究成果を元に生まれたとは聞いたんですが

533 ：１３２人目の素数さん：2011/04/16(土) 07:46:53.79

理論のモデルを研究することですね。

534 ：１３２人目の素数さん：2011/04/16(土) 17:24:57.55

>>532
タルスキが最初だよ。
ゲーデルと並行して研究されてた。

535 ：１３２人目の素数さん：2011/04/16(土) 22:55:12.90

>>533
>>534
なるほど
「モデル」がどういう意味なのか分からなくて困ってましたが
要は意味論のことなんですかね
ありがとうございました

536 ：１３２人目の素数さん：2011/04/16(土) 23:57:38.44

正確には意味論がモデルと等しいわけではないですね。
1階述語論理の意味論は構造と呼ばれており、
この構造である理論のどんな論理式を解釈しても、
真になれば構造が理論のモデルになるとされますね。
つまりある理論を「まともに」解釈できる構造のことですね。

無矛盾な理論はモデルをもつ。

という完全性定理がモデル理論の初期の研究成果です。
それからコンパクト定理とレーベンハイム・スコーレムの定理は
どんな本にも載っていますね。

例えば、
可能世界で有名なクリプキ構造は様相論理のモデル、
チューリング・マシンはある計算理論のモデル、
2^ωが型なしラムダ計算のモデルになったりしますね。
ハインティング代数やブール代数などの代数的構造を
モデルにすることで、論理学を代数にする手法もあります。
モデル間の同型写像を考えて構造同士の関係・分類もできます。
連続体仮説のZFCからの独立性を証明する強制法のアイデアも
提供しておりますし、モデル自体をZFC上で形式化する研究もあります。
また様々な階数の述語論理を計算の複雑さの階層
（EXPとかPSPACEとかNPとか...）に対応させ、
算術的階層などと組み合わせて現代数学の全体像を浮かび上がらせる
記述計算量理論というものにもアイデアを提供してます。

大雑把にいって証明論に対して存在しているようにも思われます。

537 ：１３２人目の素数さん：2011/04/17(日) 00:03:25.54

訂正：
つまりある理論を「まともに」解釈できる構造のことですね。
↓
つまりある理論を「正当に」解釈できる構造のことですね。

まともでない解釈も存在しますからね。

538 ：１３２人目の素数さん：2011/04/17(日) 11:25:13.19

なるほどなるほど
面白そうですね
丁寧にありがとうございました！

539 ：１３２人目の素数さん：2011/04/22(金) 21:46:08.83

上の方で登場したヒルベルトの公理なんですが、
これっていくつ位存在するんですか？
リストみたいなものってありますか？
それから今使われてる公理はなぜ使われるようになったんですか？

540 ：１３２人目の素数さん：2011/04/23(土) 08:16:45.01

ベクトル空間の基底の取り方みたいなもので無数にあるよ
たぶん自分で独自に選んで本書く人も多いんじゃないかな

541 ：１３２人目の素数さん：2011/04/23(土) 11:40:28.66

自称論理学者（ID:M/m1hILG）がとんでもない論理を展開中
http://yuzuru.2ch.net/test/read.cgi/edu/1291023518/l50

542 ：１３２人目の素数さん：2011/04/24(日) 00:15:26.75

例えばヒルベルト流命題論理の
含意断片論理（論理記号が'→'だけのもの）で、
大抵の教科書に出てくる公理のように
メタ変数が3個で論理記号4個でカッコの付け方が正常な論理式の総数だけでも、
ざっと概算したところ100万個を超えた。
一般の命題論理の￢や∧、∨など5種類ほど加えると数十億に到達するらしい。
公理選択で重要なのは、「独立」を調べること。
MPを推論規則にもつとき、
A→A
A→A→A
A→A→A→A
の3つで上の2つの文は下の文から証明可能なので公理に不要。
「完全性」「健全性」「独立」などの条件が重要で、
定理自動証明機械なども研究された。
歴史的にほとんどの証明体系が意味から出発している。
にもかかわらずそのほとんどが上記条件を満たすのである。

543 ：１３２人目の素数さん：2011/04/24(日) 07:10:00.79

数十億ではなく6億くらいですね。
カッコの付け方が位相みたいに、
シンプルに計算できないので正確ではないですが。

544 ：１３２人目の素数さん：2011/04/24(日) 13:39:01.16

おい、公理系の独立性はたいして重要で無いだろ。
おまいは、命題論理の公理系学んだとき、その独立性チェックしたか？
多くの教科書同様、完全性と違ってしてないはずだ。

545 ：１３２人目の素数さん：2011/04/24(日) 13:57:23.11

独立でなくてもいいのなら、明らかに無限通りあるからじゃない？

546 ：１３２人目の素数さん：2011/04/24(日) 20:39:31.01

大抵の教科書に掲載されているHKの公理は、
ある程度意味のあるもの、
例えばLKとの同等性が示せるものだとかに
絞られているわけです。
つまり独立性を示す努力は本の著者というか、
「論理の歴史」が勝手に代替してくれているわけですね。
私が言いたかったヒルベルト流とは推論がMPだけという意味です。
そして独立性の証明は完全性よりはるかに煩雑です。
確かに必須ではありませんが、
無から公理を創造する場合は独立に近くする努力はするべきですね。

547 ：１３２人目の素数さん：2011/04/24(日) 22:41:45.58

論理学をやる人は高踏趣味があるのかやたら専門用語を散りばめた文章を書く。
少し解りにくいことも解っていて当然なような口ぶりだ。

548 ：１３２人目の素数さん：2011/04/24(日) 22:53:10.92

分かっている人ほど簡素な文を書く
分かったふりをする人は難解な文を書く

549 ：１３２人目の素数さん：2011/04/25(月) 01:06:51.10

>544
重要でなければ強制法とかの技法も要らない気がするけど。

550 ：１３２人目の素数さん：2011/04/25(月) 07:12:08.71

いや述語論理の独立性の話だろ
Principia Mathemticaの公理なんか
独立じゃないことが数十年後に判ったんだぞ

551 ：１３２人目の素数さん：2011/04/25(月) 11:42:06.24

独立性の証明は難しいことが多い。
しかし証明が必要になることはまず無い。

552 ：１３２人目の素数さん：2011/04/25(月) 16:59:17.12

与えられた体系の中での命題の独立性と、
公理系そのものの独立性の話の話は区別しないと。
前者は気にするのが普通だし、重要な問題であることも多い。
後者はよほど特別なことがない限り、気にすることはない。

553 ：546：2011/04/25(月) 20:50:54.18

>>547
それは私のレスポンスに関するものでしょうか。
そうであるとしたら具体的どこに高等趣味があるのかを、
該当箇所の引用したうえで述べてください。
>>551
詳しそうなので質問します。
独立の証明の有益な方法はありますか？
それから証明する必要がないとはいえ、
テキスト中のHKは大抵独立だったり完全だったり
無矛盾だったりして、
「子供が安全に遊べるように人為的に作ったアスレチック」で
あることが多いとは思いませんか？
>>548 >>550 >>552
同感です。

554 ：１３２人目の素数さん：2011/04/25(月) 21:04:40.48

自覚あるんだね

555 ：１３２人目の素数さん：2011/04/25(月) 21:22:09.77

いつぞやこのスレで総スカンを食らったコテの匂いがプンプンする

556 ：546：2011/04/25(月) 21:23:12.91

>>554
ローマに入ればローマに従えというか、
論理学を語る時だけ独特の文体になることは確かだと思います。
しかし、文章の中に含まれる専門用語は他の数学に比べれば
かなり少ないと思いますが？
（まさか専門スレッドでテクニカルターム禁止だというわけでもないだろうし。）
それに難解なことなんか言ってないんですよ。
普通に1階述語論理までやっていれば言いたいことは
分かると思うんですが。

557 ：１３２人目の素数さん：2011/04/25(月) 21:34:54.22

それを言うなら郷に入っては郷に従えだ
英語のことわざとごっちゃにするなよ、半可通

558 ：546：2011/04/25(月) 21:45:09.44

>>557
>郷に入っては郷に従えだ
あえてローマに入ればローマに従え
といったんですが。
意図的に日常さはんじをちゃめしごとと読んだり、
既出をガイシュツと呼んだりする、
当たり前だのクラッカーみたいなノリで言ったんですよ。
これに関して本気で突っ込むそちらの方が半可通なのでは？

559 ：１３２人目の素数さん：2011/04/25(月) 21:58:46.82

図星みたいだ

560 ：１３２人目の素数さん：2011/04/25(月) 23:02:07.21

これはみっともない

561 ：１３２人目の素数さん：2011/04/26(火) 00:10:16.55

>>558
ばーか

562 ：１３２人目の素数さん：2011/04/26(火) 07:15:02.06

どうでもいいことで何を議論してるんだか……

Shoenfieldの第一章の演習問題は独立性を公理それぞれに対して証明しているよね
著者がそういう細かいことにこだわる人だったのかもしれない

563 ：１３２人目の素数さん：2011/04/26(火) 11:09:34.17

>>552
> 与えられた体系の中での命題の独立性と、
> 公理系そのものの独立性の話の話は区別しないと。

前者はどういう意味?
ある形式系で命題が形式系の他の公理から独立なら
それは公理として認めないと真には成り得ないけど?

後者の「公理系そのものの独立性」って公理系が何対して独立なの?

564 ：１３２人目の素数さん：2011/04/26(火) 11:11:21.23

>>562
独立でない公理があるなら、それは公理としては不必要なんだから、
基礎論的な意識の強い学者は当然こだわるわな。

565 ：１３２人目の素数さん：2011/04/26(火) 18:31:40.30

>>563
そういう根本的なことから理解出来てないと、ビックリする

566 ：１３２人目の素数さん：2011/04/26(火) 20:05:38.43

いくつかの公理・推論規則と
それから証明可能なすべての論理式の集合をS、T、
ある公理または推論規則をA、
S＝T∪{A}
としたとき、
TでAが証明できない。⇒SでAは独立。
Aが任意⇒Sは独立。
独立性証明のテクニック⇒3値論理。

567 ：１３２人目の素数さん：2011/04/26(火) 20:22:28.23

おー久しぶりだな「考える人」

正直もう二度と見たくなかったが。

568 ：１３２人目の素数さん：2011/04/26(火) 20:25:18.26

訂正：
誤
Aが任意⇒Sは独立。
正
上記条件プラスAが任意⇒Sは独立。

計算機科学とかでは体系が
独立じゃないと一般的に色々複雑になるらしい。

569 ：１３２人目の素数さん：2011/04/26(火) 21:04:15.53

>>564
集合論のZFとかだと各公理は独立じゃなかったりするでしょ。
独立性が大事かどうかというと、あまり大事じゃない場合も多い。
少なくとも完全性に比べると些事。

>>566
一般的にはAも￢Aも証明できないときに「独立」という気がするけど。
反証可能な場合は普通は含めない。
あとAが任意って何が言いたいのか分からない。
任意の式Aが証明不可能だということはあり得ない。
三値の真偽値の割り当てで証明不可能性が証明できることもあるけど
証明できないことも多いと思う。

570 ：１３２人目の素数さん：2011/04/26(火) 21:07:16.28

>>569
ここはエレキな人が多過ぎて困りますなあw

571 ：566：2011/04/26(火) 22:10:07.14

>>569
「ある公理系Sの中の公理（推論規則）Aが「独立」である。」
というのは、その公理系SからAを取り除いた
公理系Tの公理・推論規則とそれから証明可能な式だけで
Aを証明できないことをいう。
さらにその公理系Sの中のすべての公理と推論規則が独立なら
公理系Sは独立。
という主張をうまく書こうとしたところ変な文章になっただけです。
なぜ、「Aも￢Aも証明できないときに「独立」」という定義に
しないかといえば、
￢という記号が公理系で必ずしも定義されているか不明だからです。
（公理的集合論やるなら気にしなくてもいいかもしれませんが。）
例えば￢AがA→⊥のメタ理論的な略記だとしても、
⊥が公理・推論規則に含まれていないために、
単なる命題変数になっている場合もあるかもしれません。
それから3値論理はそういう方法もありますよ、位に行っただけです。
一般的に独立を証明する巧い手段は知りません。

572 ：１３２人目の素数さん：2011/04/27(水) 00:21:21.26

そういや、公理がそれぞれ独立なZFて誰か考えないのかな？
どうすれば良いのか想像もつかないけど……

573 ：１３２人目の素数さん：2011/04/29(金) 08:43:43.06

数理論理学の組み合わせ論的研究の本OR分野を教えてください。
上の論理式の総数みたいなやつです。

574 ：１３２人目の素数さん：2011/04/29(金) 09:47:53.77

http://www.amazon.co.jp/dp/4320122097/

575 ：１３２人目の素数さん：2011/04/29(金) 23:10:35.52

>>558
＞意図的に日常さはんじをちゃめしごとと読んだり、
＞既出をガイシュツと呼んだりする、
＞当たり前だのクラッカーみたいなノリで言ったんですよ。

若者＝バカモノっていうのはホントだね。
ホルモンが無駄に出てるせいかな？

576 ：１３２人目の素数さん：2011/04/29(金) 23:29:08.45

>>558が若いのか結構年取ってるのかも分からないし
仮に若かったって若者が皆バカって訳じゃないと思うけどなあ

577 ：１３２人目の素数さん：2011/04/29(金) 23:44:05.25

>>571
それ「独立 independent」じゃなくて普通に「証明不可能 unprovable」で良い話だよね

578 ：１３２人目の素数さん：2011/04/30(土) 10:50:22.25

>>577
大抵の論理学の本に書かれている定義に準拠しているなら、
独立は証明不可能より条件が強いと思います。
独立性は「公理と推論規則に無駄がない」という主張です。
証明不可能は理論の持つ公理と推論規則だけで
特定の論理式の証明図が書けないという主張です。

579 ：謝罪：2011/04/30(土) 10:56:05.79

>>571
を読み返してみたところ間違っていました。

「ある公理系Sの中の公理（推論規則）Aが「独立」である。」
というのは、その公理系SからAを取り除いた
公理系Tの公理・推論規則とそれから証明可能な式だけで
Sで証明可能な式でTでは証明できないものが存在すること。

でした。

580 ：１３２人目の素数さん：2011/04/30(土) 11:18:11.62

>>579
謝罪を受理しました。
では続きまして、『賠償』を求めます。

宜しくお願い致します。

581 ：１３２人目の素数さん：2011/04/30(土) 12:13:51.50

まぁ独立性って言葉を使うから議論が起こるわけで、
単に公理と推論規則に無駄がないって言えばいいんだと思う。
加えて言うと、独立性はもちろんのこと、
完全性や無矛盾性さえ体系には必要ない。

582 ：１３２人目の素数さん：2011/04/30(土) 16:41:03.73

ある公理が公理系に対して独立であるというのは、
公理系に肯定を付け加えても、否定を付け加えても矛盾しないってことです。
無駄がないとかアホか。

583 ：１３２人目の素数さん：2011/04/30(土) 19:01:36.70

で結局どの独立がホントの独立なんよ。

584 ：１３２人目の素数さん：2011/04/30(土) 19:56:17.91

多分>>579は現代数理論理学序説(P56)に載っている奴だと思う。
これと>>582は同値だけど、こっちの方が良く見かける。

585 ：１３２人目の素数さん：2011/04/30(土) 20:34:00.85

否定のない論理体系も考えたいからややこしい言い回しをしてるんでしょ。
意図を明示しないでもってまわった記述をするから高踏的って言われるんだよ。

586 ：１３２人目の素数さん：2011/04/30(土) 22:05:18.03

>>579
揚げ足ですが、
普通公理系って閉論理式の集合だから
推論規則は入らないと思いますよ。
形式体系とか言った方が無難だと思います。

587 ：１３２人目の素数さん：2011/04/30(土) 22:08:55.34

>>577を独立って言っているケースもあるよね。
>>582より弱くなるはずだけど。

588 ：１３２人目の素数さん：2011/04/30(土) 22:19:28.53

否定のない体系では無矛盾性とかどうなるんだろう...

589 ：１３２人目の素数さん：2011/04/30(土) 22:21:07.74

現代数理論理学序説みたいに部分構造論理とかBCK論理の話とか、
様相論理みたいにS3とS5は証明できる式が違うとか
そういうことをやりたい場合の独立性の話をしてた訳ね

ヒルベルト式の述語論理に限って言えば、
ああいう体系の独立性を調べる作業は
ただの面倒くさいだけのパズルに過ぎないと思う

あと、カット除去定理があるからsequent計算のカット規則は「独立」ではないわけだけど
だからといって無駄がある、というような見方が如何に浅薄かというのも
証明論の本によく書いてあると思うけどね
カットを使わないと証明の長さが指数関数的に長くなる

>>581
無矛盾性は大抵の場合は必要だけどね

590 ：１３２人目の素数さん：2011/05/01(日) 07:36:51.86

>>589
> 現代数理論理学序説みたいに部分構造論理とかBCK論理の話とか、
> 様相論理みたいにS3とS5は証明できる式が違うとか
> そういうことをやりたい場合の独立性の話をしてた訳ね
この場合の独立性以外ってのは例えばどういったものがあるのでしょうか？

591 ：１３２人目の素数さん：2011/05/01(日) 09:26:47.68

例えばShoenfieldの本の演習問題みたいなやつとか。
結果自体の意義としては、独立だと分かったからどうなの？
ということになっちゃうので、あくまで独立性を示すためには
新しい真偽値もどきを定義したりしてこういうことをやるんだよ、
というテクニックの習得のためだけに設けられた演習問題だと思う

592 ：１３２人目の素数さん：2011/05/01(日) 22:58:39.80

BCK論理とか様相論理の各公理系についても、
体系の強さが相対的に比較できれば良いだけ。
ある論理式が証明できるかどうかに着目しているため、
体系自体の独立性が問題になることはない。

また否定のない体系ではすべての論理式が証明可能であるため、
あまり意味のない体系になる、零環やX/=みたいな
数学的に面白みのない構築物になる。
根源まで戻れば論理学も所詮組み合わせ論的構造の産物でしかないし、
意味のない構造が無数に作られる。
こういった主張をするのならばそれは、
「すべての数学はグラフ理論（または数論、2進数）で書きかえられる。」
といった、「数学は記号で書かれている。」といった主張と
同レベルの無意味な議論になってしまう。
もちろん根源はバベルの図書館的宇宙における
カオス的情報の広がりへと到達してしまい
人類は自ら数学という精神活動を停止させることになる。

593 ：１３２人目の素数さん：2011/05/01(日) 23:00:30.52

>>592
誤：また否定のない体系ではすべての論理式が証明可能であるため、
正：また否定のない体系ではすべての論理式が定理であるため、

594 ：１３２人目の素数さん：2011/05/02(月) 01:39:50.54

たとえば BCK 論理ではすべての論理式が定理となると
書いていることに気づかないのかなあ。

595 ：１３２人目の素数さん：2011/05/03(火) 12:31:38.14

すいませんが、
ススリン線を加えたZFでも
ストリクト・ヴァイハードの定理は成り立つのでしょうか？

596 ：１３２人目の素数さん：2011/05/03(火) 22:00:08.65

成り立つよ。
￢SHならGCHやdiamondを加えたものでも成り立つ。

597 ：１３２人目の素数さん：2011/05/04(水) 10:43:55.19

パタゴニアの庭とかいわれる順序が
入ったErdos Universeに非分岐独立なType構造を定義すれば、
ススリン仮説が無効化されること、
いわゆるパタゴニア予想が去年肯定的に解決された。

598 ：１３２人目の素数さん：2011/05/05(木) 11:10:17.61

ﾊｲﾊｲﾜﾛｽﾜﾛｽ
そのハッタリを張る能力を生かして、
数学なんかやってないでSFとかラノベとか書いた方が良いんじゃないか？

599 ：考えない人：2011/05/05(木) 12:27:16.78

公理の独立性がもしも証明されないのだとすれば、
すべての公理系の中に他の公理から
証明されるような公理が存在することになります。
この場合の被証明公理のformulaの変形、
つまりλ-formulaのβ-reductionを考えると、
無駄な関数適応や関数抽象が生じることになって、
エレガントではなくなるのではないでしょうか。

600 ：１３２人目の素数さん：2011/05/05(木) 14:05:10.25

>>598
あんた良く俺が学生時代にSF幻想文学オタだったってわかったな。
やっぱ発想が似てくるものなのか。

601 ："屁理屈王子"：2011/05/05(木) 22:02:37.49

おう、ｵﾂﾑいい>>1-1000
ok
"勝てねぇヨゥ？">>
http://c.2ch.net/test/-/soc/1297053366/67-
みんな～！！？(みんな～！！？＾＞｀)

602 ："世界的サディスト"：2011/05/06(金) 19:45:42.26

なんだ
《アインシュタイン共》
もう
【【【【【涙目】】】】】
か・・・・・

603 ：１３２人目の素数さん：2011/05/19(木) 21:43:03.06

岩波書店　『数学基礎論』新井敏康　著
立ち読みしてたら、文献のところに
HinmanのFundamentals of Mathematical Logicは大著だから
本書よりも記述が丁寧とか書いてあって焦った
いやいやいや

604 ：１３２人目の素数さん：2011/05/19(木) 22:54:44.24

もう出てるんだ。
amazonもう品切れで、中古が15,250円w

>>603
あれ900ページあるもんね。
数式多いとはいえ、日本語500p.と英語900p.だと、
軽く倍以上のヴォリュームになる。

605 ：１３２人目の素数さん：2011/05/21(土) 06:13:37.53

>>603
昨日買って読んでるけど、日本語でこれ程の内容が読める日が来て感動してる。これをきっかけに基礎論ブーム来ないかな。

606 ：１３２人目の素数さん：2011/05/21(土) 17:09:24.34

>>605
来ない。
「基礎論」なんて勿体つけた哲学っぽい呼び方は時代遅れ、つうか「基礎論」なんていつの時代の呼び方だ。
今や変な色のついてない技術的な側面だけに着目した数理論理学が分野の呼び方としては適切だが
（基礎論屋と称する連中のどれだけが実際に数学の基礎付けに本気で関心を持ってるんだよ？）
Girardが「math logicは初めて応用分野を得た」と呼んだ応用分野としての理論計算機科学そのものが
今や瀕死の状態だから数理論理学も今となっては流行遅れの分野。
部分的にはモデル論とかで数学の他の分野との交流はあってそういう分野はそれなりに生きてるけど。

607 ：１３２人目の素数さん：2011/05/21(土) 17:34:17.17

別に数学の他の分野が特に流行ってる訳でもないけどね
だいたい流行がどうとかで判断するのがおかしい

608 ：１３２人目の素数さん：2011/05/21(土) 20:45:22.25

むしろ数理論理学は今でこそ応用計算理論を学習する際の必須科目になってるんだけどな。
これを体系的に学んできた人間とそうでない人間で問題に対する取り組み方がまるで違う。

609 ：１３２人目の素数さん：2011/05/21(土) 21:00:32.16

もしかして学問板ログ消滅後、
情報学板はみんなこっちに流れてきてる？

610 ：１３２人目の素数さん：2011/05/21(土) 21:03:49.00

>>608
自分は門外漢だけどどう違うのか興味有る

611 ：１３２人目の素数さん：2011/05/21(土) 21:10:48.33

「応用計算理論を学習する際」の道具として使うのと、基礎論自体を研究するのは全く別だろ

612 ：１３２人目の素数さん：2011/05/21(土) 21:31:02.69

新井さん自身が基礎論的な立場じゃなくて、
ロジックは今や基礎論を離れて数学の一分野だって立場の人。
だから竹内の基本予想について、
当時竹内さんが基礎論的立場から言っていた
「予想の解決方法は～であるべき」という言葉に反発する文章を書いている。

ただ最近は逆数学など基礎論的な動機が残っている分野も盛ん。

613 ：１３２人目の素数さん：2011/05/21(土) 21:33:04.38

「応用計算理論」ってのが何を意味しているかよくわからんが、
逆数学と計算量理論(特にP=NP周辺)はほとんど不可分になってきている。

614 ：１３２人目の素数さん：2011/05/21(土) 21:48:27.70

＞それでは基本予想の解とはどのようなものであるべきか ?
＞残念ながら竹内自身はこのことに殆ど触れていない。

＞ひとは訝しく思うかもしれない：ここで言う「構成的」とはいかなる謂か ?
＞数学的に正確に定義されているか ?例えばある形式的理論Tで形式化できることが
＞「構成的」であるための必要十分条件となるTがあるのか ?
＞これに答えて曰く：基本予想のような grand program において、
＞その開始以前にこのようなことを問うことは単なる怯儒というべきである。
＞何が構成的か或いは得られた証明が構成的か否かは、証明が得られてから
＞吟味すればよいし、その価値は得られた洞察から判断するほうが生産的である。

こういうの読むと単純に数学として追求するというのとも違う気がするけどね

615 ：１３２人目の素数さん：2011/05/21(土) 23:08:08.45

整数論で例えれば
類体論の証明ができてから「代数的証明」を求めればいいようなものか。

616 ：１３２人目の素数さん：2011/05/22(日) 01:00:45.29

>>614
そこをどういうふうに読んだの?　俺は、

< 「構成的」でなくてもいいからまずは証明すればいいじゃないか。
< 証明が得られれば、当然そこから生まれる知見があるはずで、
< 得られる前からこうでないといけないと言っても仕方がない。

と読んだ。最初ちょっとわかりにくいと思ったが。
確か同僚の渕野昌さんも新井さんの立場をそう説明していたはず。
もっと>>612のように直截的に書いてたと思った。

617 ：１３２人目の素数さん：2011/05/22(日) 01:08:57.29

Girardやら高橋やらPrawitzやらの結果に関しては
こういう証明方法ではいけない、みたいなことを書いてるので
新井先生の立場は>>612とはちょっと違うはず

618 ：１３２人目の素数さん：2011/05/22(日) 01:11:17.37

>>617
それはどんな分野でもあることでは?

619 ：１３２人目の素数さん：2011/05/22(日) 02:57:23.57

>>617
> Girardやら高橋やらPrawitzやらの結果に関しては
> こういう証明方法ではいけない、みたいなことを書いてるので
> 新井先生の立場は>>612とはちょっと違うはず

竹内の基本予想に対するGirardや高橋の証明は数学の証明としては正しいが
竹内の言うところの有限の立場じゃない。
新井がそれらの方法ではいけないと書いていたということは
>>612の主張とは逆に新井は竹内なんかと同様に
証明論でもGentzen流の無矛盾性証明のような還元的証明論を信奉するってことで
ガチガチの哲学っぽい基礎論屋ってことじゃないか。

Girardや高橋の証明方法が良くないって主張するってことは
基本予想の価値を解析の無矛盾性を与えるって点に置いてるって事だからね。
そういう目的というか価値観ならば確かに有限の立場で証明しないと意味がなくなる。

逆に竹内の基本予想を単に２階論理でのカット消去可能性という純粋に数理論理学的な命題と考える人ならば
Girardや高橋の超越的な（つまり集合論を用いた）証明に文句を言う筋合いはない。

620 ：１３２人目の素数さん：2011/05/24(火) 00:21:56.53

松本先生の復刊数理論理学について質問なんですが

p29で述語論理の推論規則として
R1(ModusPonens)の他にR2、R3を付け加えていますが
そうする代わりに論理的公理を増やすことで
推論規則を1種類(R1のみ)のままにしておくことも
可能なんですよね？

621 ：１３２人目の素数さん：2011/05/24(火) 00:48:35.20

>>620
一般化規則 φ->ψ implies φ->∀xψ は公理で置き換えることはできない。

622 ：１３２人目の素数さん：2011/05/24(火) 10:07:43.78

お返事ありがとうございました
もう少し考えてみます

623 ：１３２人目の素数さん：2011/05/24(火) 21:40:09.21

>>622
こういうときは、同等になるはずの論理の体系、
例えばNKの規則が導けるか考えてみるといいよ。

624 ：長文失礼：2011/05/25(水) 23:25:03.91

以前から思っていたのですが、東京大学数理科学研究科准教授の
北田均さんってかなりヤバい（というかいわゆるトンデモ）ですよね？
先日生協書籍部に行った折に彼の「ゲーデル不完全性発見への道」を
ちょっと読んでみたのですけど、本の後半に間違ったことが
堂々と書いてあります（具体的には11．5以降）。数学的に間違った
偽の定理を証明するだけならまだ良いのですが、それを根拠に独自の
「哲学的」な帰結を引き出しています。一応Ahlforsの訳書などの
マトモな本も出している出版社なのに酷いものです。

625 ：長文失礼：2011/05/25(水) 23:25:50.96

以前も「フーリエ解析の話」を見た時に感じたのですが、読むのが
かなり大変なはずのFefermanの論文を引用なんかしているので、
技術的に高度な間違いをされているのかも知れないと思って深入りせず放っていました。
ところが先日出た本には「Fefermanによると　ω_{1}^{CK} ＞ ω^(ω^(ω^2))である」
などと頓珍漢なことが書いてあります。こんな（定義を分かっていれば）
自明なことを書くのにFefermanの名前をわざわざ引くのは異様なことです。
おそらく彼はChurch-Kleene順序数ω_{1}^{CK}の定義を御存じないのでしょう。
計算可能性理論の基礎的なことについて知っている感じもしません。
そもそも順序数の冪の定義もご存じ無いかもしれません。

626 ：長文失礼：2011/05/25(水) 23:26:09.87

天下の東京大学数理科学研究院なのに、間違いを指摘してくれる同僚は
居なかったんでしょうか。今の彼のような人が東大数理で基礎論専攻を名乗っている限り、
「ロジックは哲学がかったトンデモに近い奴の集まりだ」と（特に東大の人に）
思われるのも仕方ないと思います。日本の数学研究の中枢にある大学の人が
「ロジック専攻の人」でまず思い浮かべるのが彼なのですから。
日本の数学者に東大卒の方が占める割合はきわめて大きいと思います。
アマチュア数学愛好家の個人ブログが間違っているのとは話が違います。
これは非常に憂慮すべき不幸なことですから、他大のロジック専攻の方も
東大数理に抗議するなり東大の方に知らせるなりした方がいいと思います。

今後きちんと間違いを指摘した書評が「数学」「数学セミナー」などの
雑誌に掲載されるのを期待しています。

627 ：１３２人目の素数さん：2011/05/25(水) 23:26:24.53

以下具体的にどこが間違っているのか書きます。両方とも同じ間違いですので
図書館にあった「フーリエ解析の話　第22章数学は矛盾しているか？」に即して書きます。
21章までは量子論の観測問題っぽい話で内容上まったく独立していて、
331頁～340頁の高々10頁ですのでお暇な方は図書館などで借りて読んでみて下さい。
自分で買うのはお金が勿体無いかも知れません。

北田さんは御理解されていない可能性も高いのですが、まずω_{1}^{CK}は定義上、
ωの上の再帰的（計算可能）な整列順序の順序型の最小上界となります。
従って整列順序ω_{1}^{CK}自体は算術の述語を用いてω上に定義することができません。

628 ：長文失礼：2011/05/26(木) 00:17:03.38

S_α:「形式的集合論」Sのsubsystemとしての自然数論、
R_α：S_αのロッサー文（ゲーデル文を取ったって同じことですが）とします。
S_αの公理にR_αまたはその否定を付け加えた理論をS_(α+1)として、
「以下同様に」S_αを全ての順序数に対して定義してあります。
ところが論理式は可算個しかないのだから矛盾する。
基礎論のほうでは付け加える公理としてConsis_αを考えることが多く、
このような命題を公理として付加する場合基礎論のほうでは上述のプロセスが
Church-Kleene順序数と呼ばれる可算の順序数で終わるような制限条件が考えられている、
だそうです。なぜω_{1}^{CK}が上限なのか理解されていません。
不完全性定理の前提として理論S_αが満たすべき条件も理解されていない可能性も高いと思います。

629 ：長文失礼：2011/05/26(木) 00:19:47.54

その後、順序数の増加列α_nを用いて
ω_{1}^{CK} = ∪_{n=0}^{∞} α_n と表し、∃n [q~(γ)≦r∧γ＜α_n] を
確かめればよいから、「与えられた式A_γがS_{ω_{1}^CK}の公理か否か」は
n についての帰納法により有限回の操作で再帰的に決定できる、と書いてあります。
∃n …… という式を確かめるために帰納法をどう用いるつもりなのでしょうか。
n と α_n の対応は再帰的ではありませんから、∃n γ＜(α_n)∧……を
自然数論の論理式としてあらわすことも、確かめるプログラムを書くこともできません。
{α_n} が超越的に与えられていることをお判りでないのだと思います。
この後S_αの拡大はα=ω_{1}^{CK}で「ストップ」し、完全となるはずなのに
不完全性定理からこれは不完全であるから矛盾する、などと書かれています。
「ストップ」とはどういうことを想定しているかは分かりません。

630 ：長文失礼：2011/05/26(木) 00:20:01.46

数学を勉強していると、相矛盾する二命題を「証明」できた気になってしまうことは
意外と良くあることです。でもそれが何十年も前から研究されている理論ならば、
その理論が矛盾している可能性より先に、自分の理解が間違っている可能性を強く考えるのが
常識的な態度ではないでしょうか。「よって数学は矛盾している」のような結論を
出してしまうのは、角の三等分家の類と同じ思考回路であると言わざるを得ません。
後はちょっとどこから突っ込めば良いか分からないので以下御説を全て引用します。

631 ：１３２人目の素数さん：2011/05/26(木) 00:21:37.80

(pp.339-340)
このようにメタのレベルにおいても集合論が成り立つと仮定し集合論的論理を
対象理論である形式的集合論自身に適用しようとすると矛盾が生ずる。
ヒルベルトのプログラムでは有限の立場に立ち、メタのレベルでは有限回の操作しか許さないとし、
その上で対象世界では有限を超えた無限の存在を扱おうとする。こうする上では
以上述べたような矛盾は生じないが、対象世界が無矛盾と仮定すると不完全になる。
さらにこの無矛盾性自体が有限の立場では決定不可能となる。しかしこれを逆手に取り、
メタのレベルと同様に対象の世界自体も有限の立場に立つものとすると矛盾は生ぜず、
かつ対象理論は完全になる。正確に言えば対象理論たる集合論において無限公理を仮定しない、

632 ：長文失礼：2011/05/26(木) 00:21:50.56

あるいは自然数論においては数学的帰納法を仮定しなければ対象世界とメタの世界は
互いに対称になりかつこの設定において対象世界は完全かつ無矛盾となる。
上記で矛盾が現れたのは対象世界およびメタの世界の両者において
対象に無限公理を措定したためである。すなわち問題が生じたのは「無限」という実体が
対象世界およびメタの世界において存在すると仮定したからであり、「無限」が実体ではなく、
ある「仮想の存在である」とすれば数学は無矛盾かつ完全なまま存在する。
すなわち「数学的実体は計算可能なもののみであり、無限はその計算可能性を探る
補助的手段である」という立場に立てばヒルベルトのテーゼ
「無矛盾性と完全性を数学理論の健全性の証とする」は復活する。
（引用終）

633 ：１３２人目の素数さん：2011/05/26(木) 01:40:49.16

ブログでやれ

634 ：１３２人目の素数さん：2011/05/26(木) 08:18:32.04

チャーチ・クリーネは岩波数学辞典に定義が載ってたね

635 ：１３２人目の素数さん：2011/05/27(金) 22:25:46.95

よくわからないけど、数学ガール読むより為にならない本ってこと？

636 ：１３２人目の素数さん：2011/05/28(土) 15:27:54.55

社会勉強になるかも。

637 ：１３２人目の素数さん：2011/05/30(月) 17:00:59.04

ガスライティング

638 ：１３２人目の素数さん：2011/06/01(水) 16:30:18.32

「数学ガール」とは、部落、在日出身の女の子が差別を克服するために数学を研究する物語。

639 ：１３２人目の素数さん：2011/06/02(木) 20:15:06.08

すみません、最近集合論を勉強し始めたものですが質問させてください。

集合族{A_x : x in X}があったとして、直積 Π(x in X) A_x　(以後単に「ΠA_x」と書きます)
各xについて、それぞれ①A_x={1}のとき、②A_x⊂N(自然数の集合)、③A_xの濃度が可算
(∀A_x≠Φ)⇒(x in X) A_x　(以後単に「ΠA_x」と書きます)
各xについて、それぞれ①A_x={1}のとき、②A_x⊂N(自然数の集合)、③A_xの濃度が可算
(∀A_x≠Φ)⇒(ΠA_x ≠ Φ)
が選択公理なしのZFで成立しますか？？

ちなみに私の考えでは①する。②する。③しない。
です。

640 ：１３２人目の素数さん：2011/06/02(木) 20:53:54.97

質問は質問スレで.

641 ：１３２人目の素数さん：2011/06/02(木) 20:58:29.45

∀の使い方がおかしい
何を言いたいか半分想像で答えると、>>639の考えの通りでo.k.

642 ：１３２人目の素数さん：2011/06/02(木) 21:31:42.98

他の分野と比べて質問スレに基礎論の質問してもかえってこないorちんぷんかんぷんな答えが返ってくるからしょうがないっちゃしょうがないんじゃ。。。

643 ：１３２人目の素数さん：2011/06/02(木) 21:41:14.33

基礎論の質問スレがあったよね。
なぜか基礎論に関係ない高校数学の質問とかが定期的に投げ込まれるっていう伝説のスレが。

644 ：１３２人目の素数さん：2011/06/03(金) 00:44:16.80

>>643
> 基礎論の質問スレがあったよね。
> なぜか基礎論に関係ない高校数学の質問とかが定期的に投げ込まれるっていう伝説のスレが。

「数学基礎論」って数学の専門家以外からは「数学の基礎的な範囲」とか「基礎数学」って思われてるんだろ
あそこは本当に基礎論の質問をするには使い物になってなかったし、以前のサーバークラッシュであのスレは消滅したまま誰も再び立ててないんじゃないの？
ここもそんなにレスが多いわけじゃないから真面目な質問なら許してあげていいと思うが

645 ：１３２人目の素数さん：2011/06/03(金) 00:56:22.43

> あのスレは消滅したまま誰も再び立ててないんじゃないの？

残念だったな、ここがその伝説のスレだ。
前スレが急に変なスレタイを採用して、このスレがそれを継承しちゃったけどね。
see >>2.

646 ：M_SHIRAISHI：2011/06/03(金) 05:00:59.00

http://www.age.ne.jp/x/eurms/Ronri_Kaikaku.html

647 ：１３２人目の素数さん：2011/06/03(金) 05:16:55.68

>>646
なっ・・・なんなんだよそれ・・・

648 ：１３２人目の素数さん：2011/06/03(金) 07:21:08.29

㌧デモと見える学説に対しては、一般論として、我々は非常に、慎重でなければならないと思う。
学問の歴史を振り返ってみれば、最初は、大多数の人間には、㌧デモと思われていた学説が、
のちのち、定説となったものが「実に多い」からだ。
有名なところでは、地*球*説にしてしかり、地動説にしてしかり、大陸移動説にしてしかり。
ド・プロイの電子波説にしても、提唱された当初は、物理学者一般には「物笑いの種」だったし、
また、アインシュタインの特殊相対性理論の場合も、最初は、トップクラス物理学者の中の
また、ごく一部の人に認められただけだったという歴史的真実を直視すべきだろう。
ここで、ネット数学四天王と呼ばれている面々について考えてみると、
先ず、愚将：松芯痰(＝松本真吾＠鉄道総研)については、見るべき理論は無い
（旧説を墨守しているに過ぎないｗｗｗ）ので、論外として、
イマイ爺(http://www.suzu.or.jp/pub/imai/)の場合は、一応、独自の"理論"は立てているが、　
何んせ、「程度が低くて」問題にならない。むしろ、それを読んだ中・高生に"害"を及ぼす怖れの
ほうが大きいと思われる。
一方、ヤマジン(山口人生)の例の"証明"のほうは、㌧デモのままで終わると見て間違いないだろう。
注目すべきは、エムシラ(つーか、ＥＵＲＭＳの)理論だろう。
http://www.age.ne.jp/x/eurms/Ronri_Kaikaku.html
http://www.age.ne.jp/x/eurms/
四色定理の証明や不可完全性定理についての論考さえも隅っこ扱いされているような、壮大な理論で、
ちょっと判断に迷うが、ひょっとすればひょっとするという気持ちを抱かせる《何か》」がある。
University of Cambridgeで講演したよう（http://www.age.ne.jp/x/eurms/Monogatari.html）だけど、
聴衆を席巻してしまった可能性、無きにしもあらずだろう。
今後、何年後以降からは、世界の論理学の教科書はすべてＥＵＲＭＳの理論に準拠したものになる*かも*知れない。

649 ：１３２人目の素数さん：2011/06/03(金) 07:43:31.95

また本人降臨かよ

650 ：１３２人目の素数さん：2011/06/03(金) 10:54:49.84

>>646,648
ゴミはゴミ箱へ

651 ：１３２人目の素数さん：2011/06/03(金) 11:30:17.24

業務連絡、業務連絡！！！！

このスレは、エムシラとその共鳴者どもに乗っ取られますた！　(＾＾；)

652 ：１３２人目の素数さん：2011/06/03(金) 11:32:06.81

どうも、「M_SHIRAISHI氏(つーか、ＥＵＲＭＳ)の理論」のほうが正しいようだな。

例えば、対偶律は、従来は、 (Ｐ⊃Ｑ)⊃(￢Ｑ⊃￢Ｐ) で表わされるもののこと
と考えられていたのだっただが、これは、どうやら、誤りだったようだ。そして
M_SHIRAISHI氏の言う［Ｐ(ｘ)⇒/x/Ｑ(ｘ)］⇒/p,q/［￢Ｑ(ｘ)⇒/x/￢Ｐ(ｘ)］
こそが、対偶律を正しく捉えてたものと考えられる。

M_SHIRAISHI氏（たち？）の主張する「論理革命」は、おそらく、世界を席巻
することとなろう。

653 ：１３２人目の素数さん：2011/06/03(金) 11:39:25.22

官軍と賊軍との戦いが、今また始まるか（ｗ

愚将；松芯痰の出番は、無いと思われ。

654 ：１３２人目の素数さん：2011/06/03(金) 11:44:14.24

>>651

早々と白旗を上げた香具師が居るようだ。ｗｗｗｗ

655 ：１３２人目の素数さん：2011/06/03(金) 12:04:44.20

御大(M_SHIRAISHI氏)つーかＥＵＲＭＳの人たちもいろいろと、つーか
「もの凄い苦労（多分）」したろうなぁ～。御大のペ―ジをよく詠んでみると、
こんな記述がある↓

>「あっちが立てば、こっちが立たず・・・」、「こっちが立てばあっちが立たず」

これって「矛盾だらけ」ってことだよなぁ～。そりゃ苦労するわ。
それに何よりも、Fregean 理論（＝要するに今の論理学の「標準理論」ｗ）での
「もしも・・・ならば・・・」の解釈は、驚いたことに、
古代ギリシャにまでさかのぼる問題だったらしい。　それをものの見事に
解いてしまっている。　凄いぞ！　マジで！！！）

それに比べて、松芯痰（＝松本真吾＠鉄道総合研究所）はどうだぁ？
そりゃ、某私立（私立と言ってもいろいろあるから、まぁ、一応ｗ超一流の
私立の）修士課程を出てる。

でも、その程度 ---- 言ったら語弊があるかも知らんが(ｗ ---- のことで、
論理学をかじったつーか、教科書に書いてあるんだから、それが正しんだって
頭から信じ込んじゃって、今の理論には矛盾があるってことすら
気がつかなかった。
それでいて fj.sci,math になんだぁ、「ＥＵＲＭＳのページがここにあります。
ここを読んだら３日（一週間？）笑えます」とかなんとかの趣旨の記事
投稿したんだよな～。

そりゃ怒るは、いかに温厚な人でも。

656 ：１３２人目の素数さん：2011/06/03(金) 12:09:24.46

このスレッドは終了いたすますた。　軽薄。　マツシン

　　　　　　　　／:::::::::::::::::::::＼
　　　　　　　／::::::::::::::::::::::::::::::::＼
　　　　　　　|:::::::::::|＿|＿|＿|＿|＿|
　　　　　　　|＿|＿ノ∪　＼,, ,,／ヽ
　　　　　　　|::（ 6　　ー─◎─◎　）
　　　　　　|ﾉ　　（∵∴∪（ o o）∴）
　　　　　　|　　　<　　∵　　３　∵>
　　　　　／＼　└　　　　＿＿_　ノ
　　　　　　 .＼＼U　　＿＿＿ノ＼
　　　　　　　　＼＼＿○○＿）　　ヽ

657 ：１３２人目の素数さん：2011/06/03(金) 12:13:16.29

　　　 (~)
.　 γ´⌒｀ヽ
.　　{i:i:i:i:i:i:i:i:}
　（　｀・ω・´）ｶｷｶｷ
　　ﾉつ:::：:φ))＿＿＿＿
￣￣＼　　　　　　＼

　　　　　　　　　　(~)
　　　　　　　　γ´⌒｀ヽ
　　　　＿＿＿{i:i:i:i:i:i:i:i:}
　　　（　　(⌒（ ´･ω･｀）＼
　　　　＼　ヽﾉ（,,⊃⌒O～　ヽ
　　　　＼／／*;;;::*:::*::::*⌒)
　　　　　　　(　(*:::;;:*::;;::*.::::*::::（
　　　　　　＼＼:;;;*::::*:::*::::*:::＼
　　　　　　　　　＼`～ー---─～' ）
　　　　　　　　　　　￣￣￣￣￣￣　

658 ：１３２人目の素数さん：2011/06/03(金) 12:18:25.75

失礼します。
日程　　５月１８日～４週間
　　　　　　　　午前中・・・グループレッスン
　　　　　　　　午後・・・・・１時間個人レッスン
成田空港から大韓航空機で　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
ホームステイ（食事つき）
総費用・・・約５０万円

他に適当なコースがあれば，又紹介するということですが，
とりあえずこれでＯＫしようと思います。

松本真吾は、その存在がマンガ的だ。

659 ：１３２人目の素数さん：2011/06/03(金) 12:21:15.62

はい

660 ：１３２人目の素数さん：2011/06/03(金) 12:29:44.68

＞誰かエムシラの論理改革をコテンパンにしてくれ

コテンパンにしようとして、本人がコテンパンにされてしまった
（京大などの助手・助教授クラスを含む！）のが実情なんだよなぁ～。

# コテンパンにされてしまったヤシのうちで、もっとも悲惨な例がスンゴ（＝松本真吾）。

エムシラ本人はケンブリッジ大学での講演を公言してしてるんだから、
　コテンパンにされるのを願うとしたら、頼みはケンブリッジの教授連だろ。
　日本には御大に太刀打ちできる者いないと思われ　(＾＾；)

661 ： ◆wsw/phmDOE ：2011/06/03(金) 12:34:18.99

てす

662 ：１３２人目の素数さん：2011/06/03(金) 13:04:42.56

荒らすためににまた古いネタひっぱりだしてきてご苦労なこった

663 ：１３２人目の素数さん：2011/06/03(金) 13:28:43.32

狂人に「お前は狂ってる」と言ったところで無駄。
それを認められないところが狂人の狂人たる所以。

狂人は論理的に無敵なのだ。

664 ：M_SHIRAISHI：2011/06/03(金) 17:35:30.37

ゲーデルの、いわゆる、「不完全性定理」は見直されなければならぬ。

http://www.age.ne.jp/x/eurms/GDL.html#00

665 ：M_SHIRAISHI：2011/06/03(金) 17:47:44.02

論理学と同様、２０世紀の確率論の標準理論（＝コルモゴロフ理論）も
変革される運命にある。

http://www.age.ne.jp/x/eurms/Kaku-Mokuji.html

666 ：１３２人目の素数さん：2011/06/03(金) 18:19:20.69

>>662
>>663
こいつらは、松芯痰（こと、松本真吾＠鉄道総合研究所）並みの「マヌケな“賊軍”」ｗｗｗｗ

667 ：１３２人目の素数さん：2011/06/04(土) 02:49:25.18

んじゃここは隔離スレにでもしてロジックの本スレは別に作ろうか。彼一人でずっとここに書いてりゃ満足するだろ。

668 ：１３２人目の素数さん：2011/06/04(土) 10:14:41.35

御大は目下「赤碕精神病院」に入院中とか・・・・。
#それが本当だとすると、既に《隔離中》なのだが。。。

669 ：１３２人目の素数さん：2011/06/04(土) 10:27:35.49

胎児よ胎児よなぜ踊る
母親の心がわかっておそろしいのか

670 ：１３２人目の素数さん：2011/06/04(土) 12:05:22.26

>>665

目から鱗！　

671 ：１３２人目の素数さん：2011/06/04(土) 14:44:00.40

(･∀･) ﾆﾔﾆﾔ

672 ：１３２人目の素数さん：2011/06/05(日) 06:11:56.11

>>668
精神病院に入院中の身でインターネットできるの？？？？

673 ：１３２人目の素数さん：2011/06/05(日) 06:12:19.66

>>668
精神病院に入院中の身でインターネットできるの？？？？

674 ：１３２人目の素数さん：2011/06/05(日) 09:57:57.44

>>687
＞んじゃここは隔離スレにでもしてロジックの本スレは別に作ろうか。彼一人でずっとここに書いてりゃ満足するだろ。

そう言やぁ、昔、「南北朝時代」やってたなぁ～ｗｗｗｗ

南朝スレ＝愚将：松芯痰ひきいる「賊軍」。
北朝スレー御大ひきいる「官軍」

# 因みに、前回は「官軍」の圧勝に終わった。　(＾o＾)

675 ：１３２人目の素数さん：2011/06/05(日) 10:03:01.43

エムシラ＝ネットのオモチャ

676 ：１３２人目の素数さん：2011/06/05(日) 11:46:10.91

(･∀･) ﾆﾔﾆﾔ

677 ：１３２人目の素数さん：2011/06/05(日) 17:51:14.99

松芯痰

むかしゃ（昔は）ネットの
鼻つまみ

今じゃネットの笑いもの

　　　　　　
　　　　　　　　啄木　圖

678 ：１３２人目の素数さん：2011/06/05(日) 18:15:33.77

某スレより引用＆編集。 m(_ _)m

＞具体的に、どの主張でもって　M_SHIRAISHI 氏が *大、dai, dai, DAI 先生* であると確信されるに到ったのですか？

松本真吾氏と M_SHIRAISHI氏との論戦は、意外にも！、 M_SHIRAISHI氏の連戦連勝であったことです。　

罵倒が多く混っており、それは戴けないと思ったけれども、「それ」を差し引いて読んでみると、
M_SHIRAISHI氏の論旨は極めて明解／明晰であり、松本真吾氏は*完敗*に終わった。

679 ：１３２人目の素数さん：2011/06/05(日) 18:55:07.22

どちらもキチガイなので勝った負けたは論評に値せんよ

680 ：１３２人目の素数さん：2011/06/05(日) 18:56:14.10

それらを包括する概念がメドベージェフ還元。

681 ：１３２人目の素数さん：2011/06/05(日) 23:03:13.21

官軍は必ず勝つ。　
丸（○）書いて、しめ（〆）書いて、屁こいて、マンコ舐めて、糞して、寝るスッ！

682 ：猫 ◆MuKUnGPXAY ：2011/06/06(月) 00:44:01.96

>理由があるかどうかはともかく、痴漢で懲戒免職後に受け入れてくれる大学などないだろう。
>未練があろうが、日本の大学への復活は無理。
>最近の研究業績はいまいちなので、海外の大学で給料をもらうのも無理。

猫

683 ：あんでぃ ◆AdkZFxa49I ：2011/06/06(月) 00:45:48.46

あんでぃ

684 ：１３２人目の素数さん：2011/06/06(月) 02:16:53.05

本スレマダー？

685 ：猫は根気 ◆MuKUnGPXAY ：2011/06/06(月) 02:49:17.12

>>683
今後もそういう風に精進して下さいませ。

猫

686 ：あんでぃ ◆AdkZFxa49I ：2011/06/06(月) 06:41:01.57

>>685
バカですみません

あんでぃ

687 ：猫と貉 ◆MuKUnGPXAY ：2011/06/06(月) 08:35:51.83

>>686
『あんでぃ』へ、

貴方は馬鹿ではアリマセン。ですが貴方の計画は私が阻止スルという考
え方を私はしています。但しもし貴方の考えを私が正確に理解していれ
ばですけど。

猫

688 ：あんでぃ ◆AdkZFxa49I ：2011/06/06(月) 10:46:44.22

>>687

私に計画はアリマセン
私の計画をどのように貴方ハ捉えていますでしょうカ？

バカですみません

あんでぃ

689 ：１３２人目の素数さん：2011/06/07(火) 09:47:55.46

>> ﾜﾗﾀ｡ﾁｮｳ､｣ﾈｼﾞﾚｿ｡

690 ：１３２人目の素数さん：2011/06/08(水) 14:32:08.51

無計画という計画が存在するか？
無関係という関係が存在するか？

691 ：１３２人目の素数さん：2011/06/09(木) 22:24:03.46

大学の数学の講義で，命題p→qを証明する際に
教授がq'→p'として対偶が元の命題と同値であることを
用いて証明する方法を背理法と述べていましたが
誤りですよね？
講義後に背理法を用いて証明した内容を質問しに言ったら背理法は「q'→p'として～」と言われて話が通じませんでした。

692 ：１３２人目の素数さん：2011/06/09(木) 22:31:04.48

対偶法ですね

693 ：１３２人目の素数さん：2011/06/09(木) 22:54:00.85

背理法の一種に対偶法があると理解するのが一般的だな。

694 ：１３２人目の素数さん：2011/06/09(木) 22:57:13.64

異端の中では一般的なんだろう

695 ：266：2011/06/09(木) 23:03:23.15

矛盾からは何でも証明できるような体系であれば（大抵は）
>>693の逆も言える
つまり、背理法も対偶法も見た目が違うだけで同じこと

696 ：１３２人目の素数さん：2011/06/09(木) 23:05:03.13

失敬
名前欄の266は忘れてくれ

697 ：１３２人目の素数さん：2011/06/09(木) 23:06:07.29

釣り師の存在を把握した

698 ：１３２人目の素数さん：2011/06/09(木) 23:17:58.84

数理論理学の教科書によく書かれている、解釈、構造、モデルとか、いわゆる意味論について
について聞きたいんだが、
この解釈とか構造とか呼ばれるのもって結局何なの？

対象領域の集合とか、関数記号の解釈とかはやはり、帰納的に構成されるものでなければならないのか？
でもそうすると、実数濃度の対象領域は定義できないし、どうするの？

あと、教科書とかに解釈の例として、「peano算術公理の解釈として自然数をとる」
として、各記号を通常の自然数論と同じように解釈する、
とか平気で書いてあるけど、じゃあその「自然数」ってなんなのかという話になる。
こんな書き方が許されるなら、ZFCの解釈として、「集合を取り、各記号を通常の集合論と同じにする」といえば、
もうこれはFZCの解釈なの？
あと、解釈（構造）の定義に平気で「集合」とか、「写像」とか
集合論に属する言葉を使ってるがこれは集合論が信頼できるという前提に立っているのか？

699 ：１３２人目の素数さん：2011/06/09(木) 23:25:06.61

メタレベルで名前付けただけのところに、勝手に意味論がどうたら言い出して自ら煙に巻かれてるだけのように見える

700 ：１３２人目の素数さん：2011/06/09(木) 23:36:06.22

qを仮定して矛盾するからq'というのを背理法というのは問題があるけど、
この場合はq'を仮定して矛盾するからqという議論だから
実質的には同じことをやっている。
あまり問題無いと思うけど。

701 ：１３２人目の素数さん：2011/06/09(木) 23:39:13.42

＞対象領域の集合とか、関数記号の解釈とかはやはり、帰納的に構成されるものでなければならないのか？
そんなこと無いけど。

「意味論」と「メタレベルの議論」の違いは、
集合論の独立性証明とかを一度勉強しないとなかなか違いは理解しにくいと思う。
数学やらずに哲学的な話ばかりしてても仕方ないし。

702 ：１３２人目の素数さん：2011/06/10(金) 00:23:05.73

>698みたいな疑問は、チューリングマシンを勉強するのが一番の近道だと思うけど、どうかね？

703 ：１３２人目の素数さん：2011/06/10(金) 01:19:39.65

＞＞対象領域の集合とか、関数記号の解釈とかはやはり、帰納的に構成されるものでなければならないのか？
＞そんなこと無いけど。

じゃあ対象領域とか関数記号の解釈はどういった方法で決定（定義）するの？

そもそもこの解釈の存在で恒心、充足可能とか定義することにどれだけの意味があるんだ？
そのような用語を導入すると、何かいいことでもあるの？
どうせ、すべての解釈で命題が真になるかどうかなんて議論できないわけだし。
純粋形式的に推論規則で何かの論理式が導出できるか、できないかで論じればいいんじゃないの？

704 ：703：2011/06/10(金) 01:31:26.30

ためしに、「解釈」（構造）の例を挙げてみてほしい。
有限の場合は理解できるけど、無限の対象領域を持つ「解釈」とはどういう様相をしているのか。
本とかでは有限でない場合は「対象領域として自然数全体をとり、関数記号の解釈を通常の意味での加算＋*とする」
などと書かれているが、「解釈」っていうのはこんな曖昧で直感的なものでいいのか？
形式的体系って人間の直感や経験を排斥して完全に記号的に決められた範囲で、
理論を運用するためのものなのに、
それの議論の中で「解釈」のような直感的、曖昧な概念を使わなければならないとしたら、
形式的体系を作る意味ないじゃん。

705 ：１３２人目の素数さん：2011/06/10(金) 01:32:40.87

意味論って単にブール値函数を割り当てる程度のことのはずだけど、
この哲学厨っぽいひとが逝ってる意味論ってそれとはぜんぜん違うんだよね？

706 ：１３２人目の素数さん：2011/06/10(金) 01:35:17.32

恒真てのは、（許された操作を通して）記号列として等価だから
その記号列にどうブール値を割り当てても問題ないってことでしょ？

707 ：703：2011/06/10(金) 02:01:39.58

>>705

まさに、
＞ブール値函数を割り当てる程度のこと
という意味の意味論ですが。
対象領域が有限のときはいいとしても、
対象領域が無限のときにどうするんだ？という疑問だが。

ためしに、デデキント実数論の解釈を与えてみてほしい。

708 ：１３２人目の素数さん：2011/06/10(金) 08:10:25.00

タルスキーの意味論は、別に
「人間の直感や経験を排斥して完全に記号的に決められた範囲で、
理論を運用するためのもの」じゃないので。
形式主義とか直観主義とかの系列にモデル論を無理に加えようとするからおかしくなるだけ。

709 ：703：2011/06/10(金) 18:20:41.40

>>708
じゃあ意味論って何の意味があるの？あと、結局実数論の解釈（構造）はどうなるんだよ。
Dedekind実数論を以下の公理で定義するとき、その解釈をひとつ例示してみてほしい。
Pを任意の述語として
E1. ∀x(x=x)
E2. ∀x∀y(x=y∧P(x)⇒P(y))
F1. ∀x∀y∀z((x+y)+z=x+(y+z))
F2. ∀x∀y(x+y=y+x)
F3. ∀x(x+0=x)
F4. ∀x(x+(-x)=0)
F5. ∀x∀y∀z((x*y)*z=x*(y*z))
F6. ∀x∀y(x*y=y*x)
F6. ∀x(x*1=x)
F7. ∀x(￢x=0⇒x*x^(-1)=1)
F8. ∀x∀y∀z(x*(y+z)=x*y+x*z)
O2. ∀x∀y(x≦y∧y≦x⇒x=y)
O3. ∀x∀y∀z(x≦y∧y≦z⇒x≦z)
O4. ∀x∀y(x≦y∨y≦x)
OF1. ∀x∀y∀z(x≦y⇒x+z≦y+z)
OF2. ∀x∀y∀z(x≦y∧0≦z⇒xz≦yz)
C1. ∀x∀y(P(x)∧￢P(y)⇒x≦y)
　　　 ⇒∃z∀x∀y(P(x)∧￢P(y)⇒(x≦z≦y))
っていわれたときにぃ、じゃぁ対象領域が規定できないじゃない！ってたしか気づくと思うんですけどもぉ、

710 ：１３２人目の素数さん：2011/06/10(金) 18:29:08.44

実数は高階になるだけ。
充足可能性に付いて抽象的な理解を深めるには、
エルブラン基底などはいかが?

Samuel Buss, On Herbrand's Theorem
http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.5.1636

711 ：703：2011/06/10(金) 18:37:20.41

なんで結局解釈（構造）の具体例を挙げられないの？
このことからして、モデルとか解釈とか、
それを元に定義された恒真とか充足可能とかいう概念が怪しいものだと言えるのではないか

712 ：あんでぃは弱虫 ◆AdkZFxa49I ：2011/06/10(金) 18:48:07.38

>>709
顔文字にしか見えン。

あんでぃ

713 ：１３２人目の素数さん：2011/06/10(金) 22:21:41.23

実数体Rを取れば当然モデルになってるでしょ。
自明過ぎてこれが嫌ならR^NをN上の超フィルタUで割ればそれもモデルになる。

意味論というのは、いわゆる有限の立場とか云われるような奴とは違う。
あくまで無限群論とか函数解析だとかと全く同様にZFCを前提にしたその上の理論で、
>>709の公理系は完全だろうかとか、濃度κのモデルは同型を除いて
どのくらいあるだろうかとか、例えばそういうことを研究する分野。
集合論は使っちゃいけないんだと>>703が勝手に思い込んでるのがまずいだけ。

714 ：１３２人目の素数さん：2011/06/10(金) 22:30:28.54

黎明期の記号論理学にはフレーゲ→ラッセル→ヒルベルトの公理論と
ブール→パース→シュレーダー→タルスキーの意味論という二つの相異なる源流があって
それぞれ目指すものが違うのにそれを混同するからおかしなことになる。
ゲーデルと20世紀の論理学2　完全性定理とモデル理論の第三部とか
講談社学術文庫の論理分析哲学とか読むと多少は分かるようになるかもしれない。

715 ：１３２人目の素数さん：2011/06/10(金) 22:34:17.92

論理体系と代数モデルって本読んだ人います？
この本読んで数学・論理学センスを上げたいんですが。

716 ：１３２人目の素数さん：2011/06/10(金) 22:47:03.85

>>713

自分は>>703氏とは違うけどよーわかってない人間ですが、

>意味論というのは、・・・ZFCを前提にしたその上の理論で、

やっぱそうなんですか。
完全性定理とかも明らかにZFCを前提にしてるようだし、そのあたりがずっとひっかかって
たんだけど、「ZFCを前提にしたその上の理論だ」とあからさまに言ってもらって
やっと少しわかるって感じです。

一応確認させてください。
> 実数体Rを取れば当然モデルになってるでしょ。
というのは、
・ZFCのモデルMが存在するという前提をおく
・MをいじってM'という構造を作れば実数論の公理系のモデルになることがわかる
・M'をRとよぶ
ということですか？

717 ：超越論的数学天使 ◆xKQl9rTMwao4 ：2011/06/10(金) 23:09:40.49

完全性定理はじめ、モデル理論の定理は全部通常の数学を前提にしてるよ。
さらに言えば、完全性定理は証明には選択公理が必要。

デデキントの実数論に相当する論理式が
実数体Rという議論領域での解釈で恒真になるからRをモデルと呼ぶだけだよ。

718 ：716：2011/06/11(土) 00:19:15.45

>>717どうも。
上2行了解します。

下2行についての実数体Rという議論領域が存在するか否かとかは
そもそも問題にしないというか、理論からモノが生まれるわけじゃなく
その逆だってことですよね。

ただ、完全性定理の証明についてはそういう納得の仕方ができない。

719 ：１３２人目の素数さん：2011/06/11(土) 01:40:33.84

>>718
述語論理の完全性定理なら選択公理より少し弱いもので足りる。

選択公理のようなものが必要なことは、
LKの証明図を逆にたどる方法での証明を考えてみよう。
木の存在を要求してるだろう。

720 ：超越論的数学天使 ◆xKQl9rTMwao4 ：2011/06/11(土) 06:15:56.76

>>718
論理学で完全性定理を証明するのは、
解析学でコーシーの定理を証明するのと同じことだよ。

位相空間を定義するのと同じように、
言語Lや論理式を定義して、議論領域Mを定義して、
それらの間の関係や性質を調べてるだけだよ。

721 ：１３２人目の素数さん：2011/06/11(土) 07:29:41.81

いままで猶予しておりましたが、奴のあまりのしつこさと、被害の大きさから、
見逃すわけにはいかず、不本意でですが、このようなお知らせを投稿させていただきます。

ここに現れるM.SHIRAISHIという異常者に一年以上にわたり虐待を受けております。

この男、私の居住する地域住民に対して、ひどい侮辱と罵倒を一年以上にわたり繰り返し、
ひどい名誉毀損行為を行い、我々の利益や健全な生活を妨害しております。
それによって今もひどく迷惑しています。

この男の投稿記録です。

http://groups.google.com/groups?hl=ja&lr=&ie=UTF-8&q=author:eurms%40apionet.or.jp+

この男について何か知っておられることがありましたら、お知らせください。
お願いします。

また他にもこの男に被害を受けられた方がいたら、ご連絡ください。

http://www.age.ne.jp/x/eurms/KakuRitsu-0.html

722 ：716：2011/06/11(土) 07:47:16.38

>>719
> LKの証明図を逆にたどる方法での証明を考えてみよう。
ん・・・わからんですｗ
「式Aがvalid → Aの証明が存在する」を示すことについて言ってるんですよね？
validであることから証明図へのとっかかりが何なのかわからんです。

>>720
> 解析学でコーシーの定理を証明するのと同じことだよ。
一瞬戸惑ったｗ
たとえ話、ですよね？

723 ：超越論的数学天使 ◆xKQl9rTMwao4 ：2011/06/11(土) 08:16:13.89

>>722
> >>719
> > LKの証明図を逆にたどる方法での証明を考えてみよう。
> ん・・・わからんですｗ
> 「式Aがvalid → Aの証明が存在する」を示すことについて言ってるんですよね？
> validであることから証明図へのとっかかりが何なのかわからんです。

完全性定理の証明に選択公理かそれに近い言明が必要な理由を説明してるんだと思う。
（シュッテ流の証明といわれるもの。）

>
> >>720
> > 解析学でコーシーの定理を証明するのと同じことだよ。
> 一瞬戸惑ったｗ
> たとえ話、ですよね？

そうです。
どちらも習慣による数学に基いてるということ。
ZFC、NGB、ニュー・ファンデーション、トポス...何によって
形式化されるかは不明だし、知る必要もないです。
ただし、議論領域がどういった数学に基いているのかとは別の話です。

724 ：１３２人目の素数さん：2011/06/11(土) 10:41:51.18

直感主義述語論理の強完全性定理の証明にはACA0があればおｋ
つまりRCA0 + arithmetical comprehension axiom

725 ：あんでぃは存在 ◆AdkZFxa49I ：2011/06/11(土) 10:42:47.73

難しい話しですね。

あんでぃ

726 ：１３２人目の素数さん：2011/06/11(土) 10:43:46.62

古典論理だとWKL0だから、RCA0 + weak K nig's lemma

727 ：703：2011/06/11(土) 12:51:09.69

なんだ、モデルとかは、ZFCの上での議論だったのか。それなら納得出来る。
しかし、だとすると、FZC自身の解釈、やモデルといったものは
どうやって議論するんだ？他の公理系を使ってそのなかでモデルを作るとかしか思い浮かばないけど、
それだと相対的な議論しかできないような。

728 ：１３２人目の素数さん：2011/06/11(土) 14:42:39.48

>>704
>形式的体系って人間の直感や経験を排斥して完全に記号的に決められた範囲で、
>理論を運用するためのものなのに
当初はそう思われて作られていったけれど、現実は違うんだろ。
思うに今はそもそも論を見直す段階だというか、見直しもかけずに
運用してきたことに何の疑念も覚えなかった状況をなんとかしないといけない。

729 ：超越論的数学天使 ◆xKQl9rTMwao4 ：2011/06/11(土) 15:03:20.35

ある言語の理論とそのモデルとの間の
数学的な操作は通常の数学を前提としている。

しかし、通常の数学である
ZFCという論理式の集合のモデルを探す場合、
ZFC上で議論することは不完全性定理によってできない。

普通ZFCとそのモデルを議論する場所はZFCよりも大きい。
例えば推移的クラスというのはクラスを扱える
BGという集合論上で行われている。

730 ：超越論的数学天使 ◆xKQl9rTMwao4 ：2011/06/11(土) 15:16:12.41

例えば推移的クラスというのは
↓
例えばZFCのモデルとなる推移的クラスというのは

731 ：１３２人目の素数さん：2011/06/11(土) 17:21:57.98

>>664
＞ゲーデルの、いわゆる、「不完全性定理」は見直されなければならぬ。
「ゲーデルの定理－利用と誤用の不完全ガイド－」でも読んで寝ろ。

732 ：１３２人目の素数さん：2011/06/11(土) 17:56:05.10

>>452
＞和書しか読竹内の本がありがたく感じる。
＞もちろん良い本だけど。

ｶﾜｲｿ（ﾅﾐﾀﾞ

733 ：703：2011/06/11(土) 20:01:46.50

誤爆かいな？

734 ：１３２人目の素数さん：2011/06/11(土) 20:35:01.15

ZFC自身のモデルとかも普通はZFCで議論すると思うけど。
というか現代の集合論はまさにそれをやっている。
BGとZFCは無矛盾等価なので
ZFCに無いモデルがBGに存在するというようなことは無い。
もちろんZFC自身がモデルをもつことはZFCでは示せないし、
また記号∈は∈でそのまま解釈したいと言った特殊な事情があるので
実際にはZFCの任意有限部分を一つ取ってそのモデルを取ったりする。

735 ：716：2011/06/12(日) 01:56:47.78

完全性定理に選択公理が必要なことについては、
必要であることそれ自体は理解できるが、かえってそれゆえに結果に対する疑念に
とらわれてしまっていました。
つまり、本当に証明が存在するんだろうか、って。

この疑問自体に問題があったのかも、と今になって思い始めてますがうまく表現できません。

736 ：１３２人目の素数さん：2011/06/12(日) 02:34:03.50

選択公理は必要ない。もっと弱いものでいい。

737 ：716：2011/06/12(日) 06:23:59.28

んじゃ、

×完全性定理に選択公理が必要なことについては、
〇完全性定理に選択公理（の弱いやつ）が必要なことについては、

738 ：716：2011/06/12(日) 09:41:25.67

具体物についての「確定しているはずでは？」という考えかも。

Q平行線の存在は証明できるか？
Aできない。平行線公理は独立。
Qでも実際にどうなってるかは確定してるはずでは？
Aそれは物理学の領域。数学的には複数の選択があり得る。

Qアキレスが亀に追いついた時点でランプは点いてるの？消えてるの？
Aどっちとも言えないよ。
Qでも確定してるはずでは？
A追いつくまでの点滅過程をいくら定義しても追いついた時点の状態を規定したことにはならないよ。

↑ここまではわかってるつもりなんだけど、

Q公理を追加していった極大点としてのcomplete theoryなんて存在するの？
A選択公理の弱い奴を必要とするけど、あるよ。
Q「証明」がwell definedな概念なら、証明可能か否かは確定してるはずでは？
A・・・

↑最後の答えとして何が適切なのか、自分でもどんな答えを望んでいるんだかわからなくなってきた。

739 ：１３２人目の素数さん：2011/06/12(日) 10:32:43.81

>>738
>Q公理を追加していった極大点としてのcomplete theoryなんて存在するの？
>A選択公理の弱い奴を必要とするけど、あるよ。
>Q「証明」がwell definedな概念なら、証明可能か否かは確定してるはずでは？
>A・・・

そもそも、何が「追加すべき公理」か、確定できない。

740 ：１３２人目の素数さん：2011/06/12(日) 10:43:29.03

>>738
「･･･は確定しているはずでは？」
全般に対する返答は以下の通り
「なぜそう思ったんですか？」

741 ：１３２人目の素数さん：2011/06/12(日) 11:11:03.47

完全性定理を理解してないからでしょう。

742 ：716：2011/06/12(日) 11:13:54.23

>>740
> 「なぜそう思ったんですか？」
に対する返答があいまいな状態なのですよ。
何かの錯覚にとらわれているんだろうと自分でも気づき始める。
→その正体がわからない→こういう場所で質問をしてみる→わかったり、わからなかったり

>>738に書いたことはかなり未整理でした。
>>739 > そもそも、何が「追加すべき公理」か、確定できない。
ちょっと戸惑ったけど、complete theoryを作る過程での公理の追加について言ってるんですよね？
してみると、「証明」というものが「well definedで確定しているはず」かどうかは問題点じゃなくて、
理論（公理系）というものが何なのか「立場によって違う」のか・・

何が「追加すべき公理」か確定できないけどcomplete theoryというものは存在するよ。
だからそのcanaonical modelを考えればいいんだよ。
Qそんなもの存在しないって立場は？
A

設問をこう変えればいいのか・・・

743 ：１３２人目の素数さん：2011/06/12(日) 11:34:54.97

とりあえず逆数学の勉強してみれば?
http://www.amazon.co.jp/dp/4879999709
証明論も数学の一つに過ぎないってよくわかると思う。

追加追加って言うけど、元の公理系に対して、
追加した公理も、それがないと証明できない定理も同値だから。
どっちを追加してもいい。

744 ：１３２人目の素数さん：2011/06/12(日) 11:45:16.56

>>737
> 〇完全性定理に選択公理（の弱いやつ）が必要なことについては、

違う。選択公理とは全く違う弱い公理しか必要ない。上に書いてあるだろう。

745 ：１３２人目の素数さん：2011/06/12(日) 13:38:32.60

選択公理って、任意の全射 f: X --> S に対して、s: S --> X で fs が恒等射となるものがあるってことですよね？

746 ：716：2011/06/12(日) 14:31:57.00

>>744
> 違う。選択公理とは全く違う弱い公理しか必要ない。上に書いてあるだろう。

上に書いてあることをさらってみると・・・
>>133 > 「数学のロジックと集合論」によると完全性定理は選択公理よりもちょっと弱いらしいよ
>>717 > さらに言えば、完全性定理は証明には選択公理が必要。
>>719 > 述語論理の完全性定理なら選択公理より少し弱いもので足りる。
>>723 > 完全性定理の証明に選択公理かそれに近い言明が必要な理由を説明してるんだと思う。
>>736 > 選択公理は必要ない。もっと弱いものでいい。

選択公理（の弱いやつ）、じゃニュアンス遠いんですかね。

747 ：１３２人目の素数さん：2011/06/12(日) 15:06:32.25

弱ケーニッヒじゃなかったかな。なら選択公理の弱いやつとか言いたくないだろうな。

748 ：１３２人目の素数さん：2011/06/12(日) 16:27:01.40

普通の公理系は整列されているから、完全性定理の証明に選択公理はいらない。

749 ：716：2011/06/12(日) 19:02:53.66

>>747
情報どうも。
"弱Konig"でぐぐってみたところ京大のサイトでヒットしましたが、内容はちょっとすぐにはわかりませんね。

>>748
もうちょっと詳しくお願いできないでしょうか。

750 ：１３２人目の素数さん：2011/06/12(日) 20:12:24.28

まーた出てきたか「考えない人」

751 ：716：2011/06/12(日) 20:21:25.22

>>750
それって前スレかどこかで活躍してたコテでしょ？それとは違いますよ。
同様にうざいよ、というんでしたらごめんなさい。

と思ったらこのスレでも>>599にいたか。

752 ：１３２人目の素数さん：2011/06/12(日) 20:29:48.85

>>746
完全性定理を
古典述語論理の論理記号から代数（ブール代数になる）作って、
意味づけする方針で証明すれば、
「ブール代数がある適当な集合代数で表現できる。」ことが必要だと
わかる、これがACから証明できWKLと同じだということで納得できませんか。

肝心なのをひろい忘れてるじゃないか。
>>724 >直感主義述語論理の強完全性定理の証明にはACA0があればおｋ
>>726 >古典論理だとWKL0だから、RCA0 + weak K nig's lemma

753 ：１３２人目の素数さん：2011/06/12(日) 20:33:01.12

あれウムラオトって表記できなかったっけ？

754 ：１３２人目の素数さん：2011/06/12(日) 21:02:44.34

König

755 ：１３２人目の素数さん：2011/06/12(日) 21:10:49.16

kingかと思った
そういやkingってどこ行ったんだ？

756 ：超越論的数学天使 ◆xKQl9rTMwao4 ：2011/06/12(日) 21:31:30.64

>>749
弱ケーニッヒは
「無限の高さを持つ木の枝分かれが有限個なら、
枝の少なくとも1本は無限の高さをもつ」
というイメージ。

757 ：716：2011/06/12(日) 21:32:59.94

>>752
> 納得できませんか。

いろいろ質問したあげく申し訳ないのですが、これらの説明をちゃんと理解して
納得するだけの基盤がまだ自分に整ってないと判断しました。
なので納得できるorできない、とか回答できません。

WKLも理解してないんですが、ACと同様に超越的な主張なんですよね？

「ある理論において妥当な式はその理論で証明が存在する」という具体的な主張を
証明するために、どうしても超越的な手段を必要とする、これはなぜだ？
という疑問に対する手っ取り早い回答が得たかったんですが、まだ勉強が足りなかったようです。

758 ：１３２人目の素数さん：2011/06/12(日) 21:45:09.63

>>756をそれほど超越的に感じるのか?

>>756
イメージというか定義そのものだな。

759 ：１３２人目の素数さん：2011/06/12(日) 22:18:12.51

>>757
とりあえず逆数学勉強することを勧めるよ。
あんたの好きそうな話題を専門的に研究する分野。

760 ：716：2011/06/12(日) 22:26:53.14

>>758
ああ、>>756を読む前に書き込んでました。
ACと同じ程度には超越的に感じますけどね。
WKLもACも、それを否定するor使わない、という立場が成り立つと思うんですが。

仮定：　無限の高さを持つ木の枝分かれが有限個
結論：　枝の少なくとも1本は無限の高さをもつ
イメージですが、これは「普通の仮定に対する強い結論」

仮定：　ある理論のすべてのモデルに対して式Aが妥当
結論：　その理論で式Aの証明が存在する
こっちは、「強い仮定に対する強い結論」というイメージ。

後者を得るために前者が必須になる？

>>759
>>743で紹介されてたやつですか。とりあえず丸善で斜め読みしてみます。安いしｗ

761 ：１３２人目の素数さん：2011/06/12(日) 23:34:04.59

>>760
『逆数学と2階算術』安いのはいいけど、
薄くて、高度なことを説明してるので基礎知識がないと読みにくいよ。
数理論理学（数学基礎論）の基礎知識として
新井敏康『数学基礎論』を買っておく、読み通おせとは言わないから。
齋藤正彦『数学の基礎―集合・数・位相』で初歩的なことを確認。
完全性定理なら林晋「数理論理学』もおすすめ。

762 ：超越論的数学天使 ◆xKQl9rTMwao4 ：2011/06/13(月) 00:26:49.61

>>760
「高さが無限で枝分かれが有限個の木は、
その枝の少なくとも1本の高さが無限」（WKL）
↓
「枝分かれが無限個の木は、
その高さが有限またはその枝の少なくとも1本の高さが無限」
↓
「枝の長さがすべて有限の木は、枝分かれが有限個」
これが、
LKの証明図を下から辿る時に必要になるが
完全性定理の肝と言うわけではない。

763 ：１３２人目の素数さん：2011/06/13(月) 05:48:12.46

どうでもいいが
ケーニッヒ≠弱ケーニッヒ

764 ：超越論的数学天使 ◆xKQl9rTMwao4 ：2011/06/13(月) 07:00:58.82

1回の枝分かれで、
2個にしか分かれないのがWKL
いくつにでも枝分かれできるのがKL。
KL→WKL。
3つ以上の論理式から1つの論理式を得るような
推論規則はないためWKLで十分。

765 ：１３２人目の素数さん：2011/06/13(月) 11:20:14.65

>>764
> 2個
< 有限個

766 ：716：2011/06/13(月) 20:43:13.01

きょう丸善に『逆数学と2階算術』探しに逝ったけど「絶版在庫切れ」だと。
内容確認できないけどアマゾンで注文しました。
まあ1470円だからいいか。

767 ：１３２人目の素数さん：2011/06/13(月) 20:45:21.34

sinθって書いて下さい

768 ：１３２人目の素数さん：2011/06/13(月) 21:50:20.44

>>760
RCA0で完全性定理が成り立つドメインがあると思えば追求してみればいい。

769 ：703：2011/06/13(月) 22:08:58.52

モデルの話でZFCを前提にしていいのはわかったけど、
じゃあ「任意の解釈で」みたいな言及はどう扱うの？
ZFCにクラスを「ねじ込んだ」体系ではクラスに関して∀量化子とかは使えないわけだが、
「任意の解釈で論理値trueをもつ」とかいうのはどうやって証明するの？

はじめからクラスと集合の概念があるあの体系（名前は忘れたが）を使うしかないんじゃないか？

770 ：１３２人目の素数さん：2011/06/14(火) 00:01:21.01

ZFCのCを無条件に前提にする必要はない。

771 ：１３２人目の素数さん：2011/06/14(火) 00:49:21.76

ZFの話に便乗して質問です。
ZFから無限公理を外した公理系って、何か特別な名前がついていたりしますでしょうか？
無限公理の否定を持つ有限集合ではなくて、単に無限公理が存在しないようなものです。

772 ：１３２人目の素数さん：2011/06/14(火) 01:15:28.50

名前付いてないと思いますが、
Nの存在は仮定しても無限公理がないと証明できない定理があるのは知られています。
つまり研究対象になってます。

773 ：１３２人目の素数さん：2011/06/14(火) 01:33:10.08

>>769
セマンティクスを全部放棄してシンタックスのみで議論すればよい

774 ：１３２人目の素数さん：2011/06/14(火) 01:56:01.23

>772
サンクスです。

無限を嫌う人が多いので無限公理を外した公理系も整備されているかと思ったのですが、
そうではないようですね。

775 ：１３２人目の素数さん：2011/06/14(火) 07:00:58.96

普通モデルとか解釈とかは集合であるようなものをとる。
集合としてのモデルが存在することと無矛盾性が同値だというのが完全性定理なので。
クラスに対する操作は若干制限されているから集合と同様に扱う事は出来ない。

776 ：１３２人目の素数さん：2011/06/14(火) 07:04:34.40

>>773
セマンティクスを全部放棄したら、文字列だけになるから、意味がなくなり
何をやっているかわからなくなる。

777 ：１３２人目の素数さん：2011/06/14(火) 09:37:04.89

>>774
整備？
研究されてます。

778 ：１３２人目の素数さん：2011/06/14(火) 13:12:27.11

>>776
シンタックスだけで解決できるなら、どんなセマンティクス持ってきても
当然（シンタックスのレベルで）解決されるということで、任意の解釈云々は
そもそもそういう話だ、と言ってる。

779 ：１３２人目の素数さん：2011/06/14(火) 20:40:49.33

>>778
よく考えればわかることだが、シンタックスはそれを信じる人の間
で成り立つことである。一方、セマンティクスは一人の人間が信じる
ことで成り立つことが基本だ。シンタックスにしがみつき一人でも
そのシンタックスを固守する人は存在する。数学のできない人間に
多い。

780 ：１３２人目の素数さん：2011/06/14(火) 20:53:50.41

ZF-無限公理とPAは互いに相手を解釈できるので
同じ強さだと思って良い
Kunenに書いてあるし直観的にも結構明らか

781 ：１３２人目の素数さん：2011/06/14(火) 21:06:38.78

>>779
ぜんぜん面白くないぞ。

782 ：１３２人目の素数さん：2011/06/14(火) 22:05:45.93

>780
そういわれれば確かにそんな感じもするね。
全順序と半順序の違いくらい？

783 ：１３２人目の素数さん：2011/06/15(水) 06:41:11.51

784 ：１３２人目の素数さん：2011/06/15(水) 06:44:06.05

http://www.age.ne.jp/x/eurms/Ronri_Kaikaku.html

785 ：１３２人目の素数さん：2011/06/15(水) 08:54:40.35

(･∀･) ﾆﾔﾆﾔ

786 ：１３２人目の素数さん：2011/06/15(水) 08:56:09.79

キチガイはいつも正しく、それ故大勝利をおさめる

787 ：１３２人目の素数さん：2011/06/15(水) 09:42:24.67

正しさを自ら定義し、それを用いて自らの正しさを証明する。
ゆえに、常に正しい。

788 ：官軍（一兵卒(^o^)）：2011/06/15(水) 11:29:41.40

今度こそはと
想ってみても
無駄飯よ

すんごクン

爆笑

789 ：１３２人目の素数さん：2011/06/15(水) 12:45:44.05

エムシラのなりすましご苦労様です

790 ：１３２人目の素数さん：2011/06/15(水) 13:22:26.72

このネタもう飽きた

791 ：官軍（一兵卒(^o^)）：2011/06/15(水) 14:43:54.02

次の命題を「証明」せよ：－

官軍は、常に、勝つ

792 ：１３２人目の素数さん：2011/06/15(水) 17:42:46.87

ﾂﾏﾝﾈ

793 ：１３２人目の素数さん：2011/06/15(水) 20:10:06.43

「赤リンゴは、常に、赤い」
の証明と同レベル

794 ：１３２人目の素数さん：2011/06/15(水) 20:16:41.19

x^2=y^2=z^2=(x+y+z)^n-n(x+y+z)
nを求めよ

795 ：１３２人目の素数さん：2011/06/16(木) 01:53:02.89

マンコ舐めさせろ

796 ：１３２人目の素数さん：2011/06/16(木) 06:18:45.02

↑おいクソガキ

797 ：１３２人目の素数さん：2011/06/16(木) 21:54:48.22

xyz+xy'z'+x'y'z+x'yz'
これを論理回路で表すときなるべく論理素子の数を少なくしたいんですが
これ以上簡略化されますかね

798 ：１３２人目の素数さん：2011/06/17(金) 02:00:26.65

799 ：官軍（一兵卒(＾o＾)）：2011/06/17(金) 14:48:04.17

　　　　　　　　＿＿＿＿＿
　　　　　　　　／　　　　　　　＼
　　　　　　　／　　　　　　　　　　＼
　　　　　　　|　　　　　∪　／,, ,,＼ヽ
　　　　　　　|　（ 6　　ー─◎─◎　）　　　　白豚って、エムスラじゃなくて、確(た～す)か、ワスのことですたよ、ネッ！
　　　　　　|　　　（∵∴∪（ o o）∴）　　　因幡に行って、雌豚おっかけ、精神病院(せいすんびょういん)に収容されますた。
　　　　　　 |　　　<　　∵　　３　∵>　　　（＾＾;）　意味わからんッス ---- ワス（涙
　　　　　／＼　└　　　　＿＿_　ノ　　　　　
　　　　　　 .＼＼U　　＿＿＿ノ＼　　　　　追伸：正装すてなくて、ゴメンさい。何せ、どこに脱いでおいたのか、わからん様に　
　　　　　　　　＼＼＿＿）　ヽ　　　　　　　なっつまったもんで（＾＾；）

敬白　マツシン(鉄道総研)　亡霊

800 ：１３２人目の素数さん：2011/06/17(金) 14:51:25.45

>>799

ﾜﾛﾀ

801 ：仙石６１：2011/06/17(金) 17:01:50.91

>>797

AND OR の2段なら（古典的教科書的？）　これ以上はムリかな

しかし最近はFGPAはメモリとおなじだから　気にせずコンテンツを書き込めばいい。
速度？　最近はあまりかわらんよ
実装技術もかんれんするからね

802 ：べ：2011/06/17(金) 17:17:34.44

>>801
荒らすな

803 ：１３２人目の素数さん：2011/06/17(金) 18:56:49.06

合言葉は、フレ－イ、フレ－イ、NIPPON ! フレイ、フレイ、NIPPON ! フレイ、フレイ、NIPPON ! ・・・・∞ｗ！！！！

俺、行きたかったんや、義勇兵(Volunteer)として。

すかす(Shikashi)、行けん。　広島からは、遠い！！！！

だもんで、義援金を送った。　小額(\4,000)や。。。。情けない（涙

でもな、日本国民*全員*が　\4,000　送ってみろ。

概算で、約４千億や！！！！

804 ：１３２人目の素数さん：2011/06/17(金) 20:12:33.50

>>780 >>782
メドヴェージェフ次数を考えれば、
ZF-InfとPAは同型であることが証明されている。
また自然数NとPAとロビンソンのQなども同型なのである！

805 ：１３２人目の素数さん：2011/06/17(金) 21:36:32.56

>>802
べ　は理解できないんだ

806 ：１３２人目の素数さん：2011/06/17(金) 21:43:19.83

>>805
もしかして60歳からの数学スレの仙石６０さん？
コンピューターの開発やっていらしたんですっけ？
いつの間にか仙石61になっていますね...

807 ：１３２人目の素数さん：2011/06/17(金) 22:00:31.39

↑こうゆうこと書き込む奴って、いつも何考えてんだろう

808 ：あんでぃは単細胞 ◆AdkZFxa49I ：2011/06/17(金) 22:12:49.49

さっぱり笑。

あんでぃ

809 ：806：2011/06/17(金) 22:47:35.38

>>807
自分の頭から光が広がり世界を包む、しばしば考えます。
>>808
だろうな。

810 ：べ：2011/06/18(土) 03:24:28.45

仙石61さんへ

謝罪と賠償を求めます

811 ：１３２人目の素数さん：2011/06/18(土) 06:51:29.53

812 ：Volunteer：2011/06/18(土) 06:57:01.18

31 ：１３２人目の素数さん：2010/11/13(土) 14:38:01
こんちにはみさなんおんげきですか？　わしたはげんきです。
このぶんょしうはＵＫのケブンッリジだがいくのけゅきんうのけっか
にんんげはもじをにしんきするときそのさしいょとさいごのもさじえあいてっれば
じばんゅんはめくちちゃゃでもちんゃとよめるというけゅきんうにもづいとて
わざともじのじんばゅんをいかれえてあまりす。
どでうす？　ちんゃとよゃちめうでしょ？
ちんゃとよためらはのんうよしろく

Daitai Yomeru GA, はのんうよしろく no はのんう ga Wakaran !!!!

813 ：官軍（一兵卒(＾o＾)）：2011/06/18(土) 07:17:02.09

>>812 ：Volunteer：2011/06/18(土)18_vi_2011 06:57:01.18; JMT
>>31 ：１３２人目の素数さん：(土)13_xi_2010 14:38:01; JMT

＞こんちにはみさなんおんげきですか？　

Welcome to YOU ! and Nice to hear YOU.
Wareware-wa mi-te no tohri, Genki-desu Yo!
TOH-HOKU no Pacific Ocean no HouMen wa
TAIHEN da kedo ne.....。(namida

わしたはげんきです。

Very very very Very Nice.

このぶんょしうはＵＫのケブンッリジだがいくのけゅきんうのけっか
にんんげはもじをにしんきするときそのさしいょとさいごのもさじえあいてっれば
じばんゅんはめくちちゃゃでもちんゃとよめるというけゅきんうにもづいとて
わざともじのじんばゅんをいかれえてあまりす。

じんばゅん ----> 順番

どでうす？　ちんゃとよゃちめうでしょ？
ちんゃとよためらはのんうよしろく

Daitai Yomeru GA, はのんうよしろく no はのんう ga Wakaran !!!!

814 ：あんでぃは単細胞 ◆AdkZFxa49I ：2011/06/18(土) 11:44:51.70

難しいですネ。

あんでぃ

815 ：１３２人目の素数さん：2011/06/18(土) 12:16:10.05

http://www.age.ne.jp/x/eurms/Ronri_Kaikaku.html

http://www.age.ne.jp/x/eurms/Kaku-Mokuji.html

816 ：１３２人目の素数さん：2011/06/18(土) 12:31:49.82

817 ：１３２人目の素数さん：2011/06/18(土) 12:37:31.55

Ｐ：［ライオンは哺乳動物である］，Ｑ：［ライオンもクジラも共に哺乳動物である］とおいてみると：－
［ＰはＱを内含する］：［ライオンは哺乳動物であるはライオンもクジラも共に哺乳動物であるを内含する］
------ 明らかに、これは偽です。
［Ｐでないか又はＱである］：［ライオンは哺乳動物でないか又はライオンもクジラも共に哺乳動物である］
------- こちらは真です。
一方は偽であり、他方は真であるような二つの命題が同義であるはずはありません。

818 ：１３２人目の素数さん：2011/06/18(土) 12:40:49.12

一方でA⇒A∧Bという形の命題が恒真でないことをもって「偽」とし、
他方でA⇒A∧Bがあるvaluation（現実ではたまたまそういう値）ではtrueとなることをもって「真」
として対比することに何の意味があるのか
まさか、形式的な論理だけで生物学の問題が解決すると思っているわけでもあるまい

819 ：１３２人目の素数さん：2011/06/18(土) 12:49:14.28

(･∀･) ﾆﾔﾆﾔ

820 ：べ：2011/06/18(土) 20:30:02.39

仙石６１へ

あなたのカキコを読んで私は怒りました
したがって謝罪と賠償を求めます

821 ：１３２人目の素数さん：2011/06/18(土) 20:35:45.38

私にも謝罪と賠償を求めます

822 ：不正義屑猫 ◆MuKUnGPXAY ：2011/06/18(土) 23:25:25.62

>>820
貴殿の頭の悪さと無能さに立腹致しました。従って賠償だけを求めます
ので５０００００００００００００００ユーロをご準備戴きます。尚、
貴殿の知性の低さを鑑みて謝罪は求めません。どうせ不可能でしょうし。

猫

823 ：あんでぃは屑 ◆AdkZFxa49I ：2011/06/18(土) 23:27:00.29

あんでぃ

824 ：べ：2011/06/19(日) 00:47:26.69

>>822
あなたのカキコを読んでさらなる激怒を得ました
したがってあなたに賠償責任が生じます
賠償責任を果たされますよう、どうぞよろしくお願い致します

825 ：猫は不真面目 ◆MuKUnGPXAY ：2011/06/19(日) 00:54:04.54

>>824
オウ、やっと釣れたがな。そやしオマエがワシを訴えろや。ワシがオマエ
を法廷で八つ裂きにしたるがな。

猫

826 ：あんでぃは屑 ◆AdkZFxa49I ：2011/06/19(日) 01:01:49.27

すごい。

あんでぃ

827 ：べ：2011/06/19(日) 01:02:11.80

>>825
あなたがそのようなレスをするのは想定内でしたね
なので私はあなたを『釣った』ことになりますね
まああなたの狼狽具合をじっくり監視させてもらいますよ
どうぞ楽しませてくださいな

828 ：猫は不真面目 ◆MuKUnGPXAY ：2011/06/19(日) 01:06:24.86

>>827
では『徹底抗戦という方法』で狼狽して差し上げるので、どうぞ楽しんで
下さいまし。

猫

829 ：べ：2011/06/19(日) 01:07:25.96

>>828
ではあなたに聖戦（ジハード）を宣告することになります
大変お気の毒ですけどもね…

830 ：猫は不真面目 ◆MuKUnGPXAY ：2011/06/19(日) 01:10:18.80

>>829
全然気の毒ではアリマセンから、どうぞ宣言して下さい。当然の事として
私も全力で逆襲を行いますので。そやしナンボでも攻撃しなはれや。

アンタの攻撃を待ってるさかいナ。

猫

831 ：べ：2011/06/19(日) 01:15:06.33

To 『仙石６１』
★ALERT★
WE NEVER FORGIVE YOU.
★ALERT★

832 ：猫は不真面目 ◆MuKUnGPXAY ：2011/06/19(日) 01:22:55.62

>>831
早うワシを攻撃せえや。ワシがオマエをズタボロにしたるさかいナ。

猫

833 ：猫は不真面目 ◆MuKUnGPXAY ：2011/06/19(日) 01:57:29.47

>>831
コラ、何してんねん！　ワシが傷め付けたるさかい、出て来いや。

猫

834 ：猫は不真面目 ◆MuKUnGPXAY ：2011/06/19(日) 02:11:17.52

>>831
今夜は放置したるさかい、朝までにタップリと馬鹿無能を晒しとけや。
ワシが精読して分析し、思いっきり撲滅したるがな。頭使えよナ。

猫

835 ：べ：2011/06/19(日) 04:33:22.82

仙石６１へ

覚悟を決めてください。

836 ：猫は不真面目 ◆MuKUnGPXAY ：2011/06/19(日) 04:35:20.69

>>835
ワシはずっと馬鹿を観察してるのや。オマエの馬鹿晒しはソレだけかいな？

猫

837 ：猫は不真面目 ◆MuKUnGPXAY ：2011/06/19(日) 04:36:32.23

徹底的に追い詰めたるさかいナ。

ケッケッケ猫

838 ：猫は不真面目 ◆MuKUnGPXAY ：2011/06/19(日) 04:37:48.16

コラ、どうせ見てるんやろ。サッサと反応シロや。

猫

839 ：１３２人目の素数さん：2011/06/19(日) 04:38:43.89

>>べ
アンタのその屑頭をフルに活用した所であんでぃすら潰せんよｗ

840 ：猫は不真面目 ◆MuKUnGPXAY ：2011/06/19(日) 04:43:49.04

>>839
いやいや、おだてて馬鹿を躍らせたら、どうせ失敗をスルので、ソコを
思いっきり叩けば宜しい。そやし皆で『「べ」の高い知性』を讃えまし
ょうや。ほして調子に乗って大失敗した所でトドメを刺すのが一番有効
な処分の仕方ですワ。

猫

841 ：猫は不真面目 ◆MuKUnGPXAY ：2011/06/19(日) 04:46:42.94

べべべべっべっべー　馬鹿馬鹿ばっばぁ～　べべべべっべっべー　馬鹿馬鹿ばっばぁ～
馬鹿馬鹿ばっばぁ～　べべべべっべっべー　馬鹿馬鹿ばっばぁ～　べべべべっべっべー
べべべべっべっべー　馬鹿馬鹿ばっばぁ～　べべべべっべっべー　馬鹿馬鹿ばっばぁ～
馬鹿馬鹿ばっばぁ～　べべべべっべっべー　馬鹿馬鹿ばっばぁ～　べべべべっべっべー
べべべべっべっべー　馬鹿馬鹿ばっばぁ～　べべべべっべっべー　馬鹿馬鹿ばっばぁ～
馬鹿馬鹿ばっばぁ～　べべべべっべっべー　馬鹿馬鹿ばっばぁ～　べべべべっべっべー
べべべべっべっべー　馬鹿馬鹿ばっばぁ～　べべべべっべっべー　馬鹿馬鹿ばっばぁ～
馬鹿馬鹿ばっばぁ～　べべべべっべっべー　馬鹿馬鹿ばっばぁ～　べべべべっべっべー
べべべべっべっべー　馬鹿馬鹿ばっばぁ～　べべべべっべっべー　馬鹿馬鹿ばっばぁ～
馬鹿馬鹿ばっばぁ～　べべべべっべっべー　馬鹿馬鹿ばっばぁ～　べべべべっべっべー
べべべべっべっべー　馬鹿馬鹿ばっばぁ～　べべべべっべっべー　馬鹿馬鹿ばっばぁ～
馬鹿馬鹿ばっばぁ～　べべべべっべっべー　馬鹿馬鹿ばっばぁ～　べべべべっべっべー
べべべべっべっべー　馬鹿馬鹿ばっばぁ～　べべべべっべっべー　馬鹿馬鹿ばっばぁ～
馬鹿馬鹿ばっばぁ～　べべべべっべっべー　馬鹿馬鹿ばっばぁ～　べべべべっべっべー
べべべべっべっべー　馬鹿馬鹿ばっばぁ～　べべべべっべっべー　馬鹿馬鹿ばっばぁ～
馬鹿馬鹿ばっばぁ～　べべべべっべっべー　馬鹿馬鹿ばっばぁ～　べべべべっべっべー
べべべべっべっべー　馬鹿馬鹿ばっばぁ～　べべべべっべっべー　馬鹿馬鹿ばっばぁ～
馬鹿馬鹿ばっばぁ～　べべべべっべっべー　馬鹿馬鹿ばっばぁ～　べべべべっべっべー
べべべべっべっべー　馬鹿馬鹿ばっばぁ～　べべべべっべっべー　馬鹿馬鹿ばっばぁ～
馬鹿馬鹿ばっばぁ～　べべべべっべっべー　馬鹿馬鹿ばっばぁ～　べべべべっべっべー
べべべべっべっべー　馬鹿馬鹿ばっばぁ～　べべべべっべっべー　馬鹿馬鹿ばっばぁ～
馬鹿馬鹿ばっばぁ～　べべべべっべっべー　馬鹿馬鹿ばっばぁ～　べべべべっべっべー

猫

842 ：１３２人目の素数さん：2011/06/19(日) 04:50:10.75

猫さん、下級生物である『べ』の死に場所にはこのスレは立派過ぎます。
もっと、お似合いのクソスレがあるでしょう。

843 ：猫は不真面目 ◆MuKUnGPXAY ：2011/06/19(日) 04:53:42.79

>>842
いや、くたばりさえすれば、私はその場所は問いません。大切な事は完全
に息の根を止めて再起不能にスル事だけですから。

猫

844 ：べ：2011/06/19(日) 06:07:19.66

そうですか、では私がくだばる様子を自分自身で観察しますかね。
私は精神と肉体が分離していますので。

845 ：べ：2011/06/19(日) 06:47:40.54

「２ちゃんねる」に引きこもって脆弱なプライドを温存する結果、
とても人前に出せない、それこそ掲示板の世界に永久に引きこもっておいて
もらうしかないような勘違い野郎が急増しています。

846 ：べ：2011/06/19(日) 06:55:12.41

>>841
もっと言ってみろ！監視してますので。

847 ：１３２人目の素数さん：2011/06/19(日) 08:52:41.24

ここ60レスくらい全部無駄だな

848 ：１３２人目の素数さん：2011/06/19(日) 08:54:23.81

監視中

849 ：あんでぃは屑 ◆AdkZFxa49I ：2011/06/19(日) 09:16:41.92

あんでぃ

850 ：猫は不真面目 ◆MuKUnGPXAY ：2011/06/19(日) 10:31:05.55

>>846
知能が低くてもジハード。アンタみたいに馬鹿を徹底して晒すのも才能。

猫

851 ：猫は不真面目 ◆MuKUnGPXAY ：2011/06/19(日) 10:32:48.71

>>847
そうではなくて『２ちゃんはその全部が無駄』ですワ。

猫

852 ：あんでぃは屑 ◆AdkZFxa49I ：2011/06/19(日) 10:33:25.25

無駄という概念。

あんでぃ

853 ：猫は不真面目 ◆MuKUnGPXAY ：2011/06/19(日) 10:35:01.44

>>845
大脳が機能不全でもカキコの権利を行使スル存在は素晴らしいワ。そやし
もっと頑張れやナ。ワシもずっと観察する楽しみがアルさかいナ。

猫

854 ：あんでぃは屑 ◆AdkZFxa49I ：2011/06/19(日) 10:36:04.57

あんでぃ

855 ：１３２人目の素数さん：2011/06/19(日) 10:53:56.67

856 ：１３２人目の素数さん：2011/06/19(日) 12:07:37.06

相変わらず無駄レスが続いている件

857 ：あんでぃは屑 ◆AdkZFxa49I ：2011/06/19(日) 12:31:19.71

それもまた、無駄。

あんでぃ

858 ：すんご万個：2011/06/20(月) 14:14:09.72

白石美穂とまではいわないが、ワスは欲すかや、せめて豚嫁。

すんご万個、すんご万個、すんご万個、。。。。∞

859 ：１３２人目の素数さん：2011/06/20(月) 14:59:49.49

すんごってここで論理革命とか書いてるガイチキ？

860 ：M_SHIRAISHI：2011/06/20(月) 15:16:32.10

あろうことか、フレーゲアン理論（＝２０世紀の論理学の標準理論）は
間違っていたのである。

しかも、肝腎かなめのところで間違っていたのである。　そこで、
論理法則を表わしていると信じられていたものは、悉く、ニセもの
かナンセンスなものである。

http://www.age.ne.jp/x/eurms/Ronri_Kaikaku.html

861 ：１３２人目の素数さん：2011/06/20(月) 17:06:37.66

すんごくんこんぬつわ

862 ：１３２人目の素数さん：2011/06/20(月) 17:27:02.77

論理学の基本法は全て大韓民国で発見されていた。
白人達は単なる再発見を偉そうに宣伝してるだけ。

863 ：１３２人目の素数さん：2011/06/20(月) 20:18:59.37

滅多に荒れないスレッドだったんだけど。

864 ：１３２人目の素数さん：2011/06/20(月) 21:16:11.43

>>863
関係ない時にわざわざエムシラなんて気違いの名前を出した馬鹿が悪いんだよ

865 ：↑：2011/06/21(火) 12:29:55.86

阿呆！！！！　ど阿呆！！！！∞

エムシラ御大のＷｅｂページを熟読すてから、ものを言え！！！！

http://www.age.ne.jp/x/eurms/Ronri_Kaikaku.html

866 ：べ：2011/06/21(火) 12:41:11.07

ところで話変わるけど、松屋じゃないけど、某牛丼屋で１０００円渡したの。
店員がレジに打ち込んでで５８０円ですって言ってまた俺のところに来てお金を催促。
ん？俺いま１０００円渡したじゃん、店員は気づかずに卵だけ食って帰ったｗ

いや、俺が店に入ったとき店員はいなかったんだけど、牛丼おいしいって言ってたｗ
それでお金払うときに１０００円って分かってるから渡した。
店員まだレジ売ってないから卵だけですねって５８０円って気づいてレジ売って５８０円って。
おれ１０００円渡したじゃんっていったのに５８０円ですって。店員卵おいしいのはわかったって言ってたｗ

867 ：１３２人目の素数さん：2011/06/21(火) 12:43:20.59

>>859 ：１３２人目の素数さん：2011/06/20(月) 14:59:49.49
＞すんごってここで論理革命とか書いてるガイチキ？

すんご（「しんご」の２ｃｈなまり）本名；ー　松本真吾(MATSUMOTO_Shingo)＠鉄道総合研究所

# エムシラ御大（こと、M_SHIRAISHI大先生）の怒りを買い、徹底的に打ちのめされた*ど*マヌケ。ｗ

868 ：うんでぃ：2011/06/21(火) 13:23:19.94

　　　 |￣￣￣|
　　　| 　松　 |
　　　| 　本　 |
　　　| 　真　 |
　　　| 　吾　 |
　　　 |　之　 |
　　　 |　墓　 |
　　　 |　　　　 |
　　|￣￣￣￣￣|
￣￣￣￣￣￣￣￣

869 ：↑：2011/06/21(火) 13:28:40.28

ﾜﾛﾀYO (^o^)　ﾄﾞｰﾓ､ﾃﾞｽﾀ｡

870 ：１３２人目の素数さん：2011/06/21(火) 14:09:34.48

つまり
エムシラ=しんご

871 ：１３２人目の素数さん：2011/06/21(火) 15:43:24.61

Kitty同志はどっちが元祖Kittyか本家Kittyかこだわり気にしあうが第三者から見れば両方ただのKittyで一括り

872 ：↑：2011/06/21(火) 18:44:27.67

こいつは、賊軍（一兵卒！）　(^o^)

873 ：１３２人目の素数さん：2011/06/21(火) 19:12:04.44

自覚あるんだねｗ

874 ：１３２人目の素数さん：2011/06/21(火) 21:28:47.26

●M_SHIRAISHIスレ過去ログ
scienceサーバのログは壊れているのでmimizunで見てください。

M_SHIRAISHI ってどうよ
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/980602250/
M_SHIRAISHIの新論理ってどうよ？
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/987949450/
M_SHIRAISHIの新論理ってどうよⅡ
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1004351895/
最近の fj.sci.math ってどうよ
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1013232979/
最近の fj.sci.math ってどうよ２
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1047609746/
エムシラ御大を称えるスレ　３
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1057888054/
もっともっと、エムシラ御大を称えるスレ
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1058799700/
エムシラ御大を称えるスレ５
http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1062527427/
ｴﾑｼﾗ御大のｹﾝﾌﾞﾘｯｼﾞ講演　６
http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1073676260/
ｴﾑｼﾗ御大のｹﾝﾌﾞﾘｯｼﾞ講演　7
http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1077271218/
ｴﾑｼﾗ御大のｹﾝﾌﾞﾘｯｼﾞ講演　8
http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1078512063/
ｴﾑｼﾗ御大のｹﾝﾌﾞﾘｯｼﾞ講演　9
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1082119768/

875 ：１３２人目の素数さん：2011/06/21(火) 21:29:12.99

876 ：１３２人目の素数さん：2011/06/21(火) 21:29:39.18

●M_SHIRAISHIスレ過去ログ(mimizun)

M_SHIRAISHI ってどうよ
http://mimizun.com/2chlog/math/cheese.2ch.net/math/kako/980/980602250.html
M_SHIRAISHIの新論理ってどうよ？
http://mimizun.com/2chlog/math/cheese.2ch.net/math/kako/987/987949450.html
M_SHIRAISHIの新論理ってどうよⅡ
http://mimizun.com/2chlog/math/science.2ch.net/math/kako/1004/10043/1004351895.html
最近の fj.sci.math ってどうよ
http://mimizun.com/2chlog/math/science.2ch.net/math/kako/1013/10132/1013232979.html
最近の fj.sci.math ってどうよ２
http://mimizun.com/2chlog/math/science.2ch.net/math/kako/1047/10476/1047609746.html
エムシラ御大を称えるスレ　３
http://mimizun.com/2chlog/math/science.2ch.net/math/kako/1057/10578/1057888054.html
もっともっと、エムシラ御大を称えるスレ
http://mimizun.com/log/2ch/math/1058799700/
エムシラ御大を称えるスレ５
http://mimizun.com/log/2ch/math/1062527427/
ｴﾑｼﾗ御大のｹﾝﾌﾞﾘｯｼﾞ講演　６
http://mimizun.com/log/2ch/math/1073676260/
ｴﾑｼﾗ御大のｹﾝﾌﾞﾘｯｼﾞ講演　7
http://mimizun.com/log/2ch/math/1077271218/
ｴﾑｼﾗ御大のｹﾝﾌﾞﾘｯｼﾞ講演　8
http://mimizun.com/log/2ch/math/1078512063/
ｴﾑｼﾗ御大のｹﾝﾌﾞﾘｯｼﾞ講演　9
http://mimizun.com/log/2ch/math/1082119768/

877 ：１３２人目の素数さん：2011/06/21(火) 21:30:10.33

ｴﾑｼﾗ御小の"煙橋"講演　10
http://mimizun.com/log/2ch/math/1086479789/
エムシラ御大の Cambridge 講演１０
http://mimizun.com/log/2ch/math/1086518463/
エムシラ御犬fj.sci.mathで吠える！11
http://mimizun.com/log/2ch/math/1087950176/
エムシラ御大の Cambridge 講演１１
http://mimizun.com/log/2ch/math/1087986918/
エムシラ御大の Cambridge 講演１２
http://mimizun.com/log/2ch/math/1091923948/
エムシラ御犬fj.sci.mathで吠える！12
http://mimizun.com/log/2ch/math/1092346308/
【因幡の】M_SHIRAISHI　13【白豚】
http://mimizun.com/log/2ch/math/1104025959/
エムシラ御大の Cambridge 講演１３
http://mimizun.com/log/2ch/math/1107959642/
【海辺のホテルに】M_SHIRAISHI　14【亡命中】
http://mimizun.com/log/2ch/math/1108103472/
【祝】エムシラ御大を熱烈に送別するスレ 15【祝】
http://mimizun.com/log/2ch/math/1109299626/
【謎】エムシラのCambridge講演15【謎】
http://mimizun.com/log/2ch/math/1120472774/
Eukie_M_SHIRAISHIさんを熱烈に応援するスレ
http://mimizun.com/log/2ch/math/1207911020/
エムシラ御大を称えるスレ　4
http://mimizun.com/log/2ch/math/1253371399/

878 ：１３２人目の素数さん：2011/06/21(火) 23:09:24.62

>>874-877
ゴミのカタマリを撒き散らすなよ
エムシラとか論理革命なんてほざいてる気違いは哲学板で好き勝手ほざいてろ
数学基礎論以来の下らん「哲学」を捨て去って技術の洗練に徹したところから数理論理学は始まったのだ
哲学遊びしたけりゃ哲学板でやってろ、馬鹿や気違いども

879 ：１３２人目の素数さん：2011/06/21(火) 23:13:23.65

朝鮮人が論理学に興味を持ちました。

880 ：M_SHIRAIIISHI：2011/06/22(水) 10:46:30.44

ドイツ観念論の三馬鹿トリオ：－　

馬鹿カント、いかれヘーゲル、狂えるマルクスｗ

881 ：１３２人目の素数さん：2011/06/22(水) 10:48:30.29

狂人から見れば常人はみな狂ってるだろ

882 ：１３２人目の素数さん：2011/06/22(水) 10:51:43.27

オナ禁で知性を開いた人達

883 ：１３２人目の素数さん：2011/06/22(水) 11:15:22.25

おなぬーは自分のホームページだけでやってれば良いのに

884 ：１３２人目の素数さん：2011/06/22(水) 13:02:00.88

>>878に従いM_SHIRAISHIら論理革命ごっこをしたい人々を誘導

論理学スレッド＠哲学板
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/philo/1284812236/

885 ：あんでぃは没落 ◆AdkZFxa49I ：2011/06/22(水) 16:14:55.41

いいとも。

あんでぃ

886 ：M_SHIRAISHI：2011/06/22(水) 21:26:50.85

>>878 ：１３２人目の素数_Most Stupidly Wrote ：(火)21_vi_2011
＞エムシラとか論理革命なんてほざいてる気違いは哲学板で好き勝手ほざいてろ

Вакамон！
松芯痰の二の舞と成りたいか、こんβακαταρεが！！！！*******＋∞

Ｐ：［ライオンは哺乳動物である］，Ｑ：［ライオンもクジラも共に哺乳動物である］とおいてみると：－
.［ＰはＱを内含する］：［ライオンは哺乳動物であるはライオンもクジラも共に哺乳動物であるを内含する］ ------ 明らかに、これは偽。
.［Ｐでないか又はＱである］：［ライオンは哺乳動物でないか又はライオンもクジラも共に哺乳動物である］ ------- こちらは真。
.一方は偽であり、他方は真であるような二つの命題が同義である筈はないワ！！！！！！！＋∞

887 ：M_SHIRAISHI：2011/06/22(水) 21:44:35.89

現行の“数理論理学”（フレーゲアン理論・ゲンツェンのＬＫ）は、完全に、間違っていたのだ。

888 ：１３２人目の素数さん：2011/06/22(水) 21:55:12.99

>>886
>>887

御大ご降臨。　ありがとうございますた。　m(_ _)m

889 ：１３２人目の素数さん：2011/06/22(水) 22:34:06.33

なぞなぞみたいな物だけどわかならい
トマト＋トマト＝アマイヨ
これを筆算にして言葉を数字にし正しい計算式を作りなさい。
なお、同じ言葉には同じ数字が入ります

890 ：１３２人目の素数さん：2011/06/22(水) 22:45:48.52

内含・含意という字面が定義と掛けはなれているからなあ。
必然とか確定とかとかの方が良いような気がするけど……他にはどんな言葉が相応しいかね？

891 ：１３２人目の素数さん：2011/06/22(水) 22:47:29.57

>889 「マ」を軸に解いてみれば？

892 ：１３２人目の素数さん：2011/06/22(水) 22:56:58.93

>>886
> Вакамон！
> 松芯痰の二の舞と成りたいか、こんβακαταρεが！！！！*******＋∞

白石は虚勢のカタマリだなｗｗｗｗｗ
スラブ文字やギリシャ文字をローマ字代わりに使うと高級だと思ってるんだｗｗｗｗｗ
白石は虚勢どころか去勢されちまってるんじゃないの？
それで高級じゃなくて降級かいなｗｗｗｗｗ
さっさと死ねって言う必要もなさそうだな
最先端の数理論理学についてけなくなって哲学論議に逃げ込んでる既に頭が死んだバカの白石にはさｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ

893 ：１３２人目の素数さん：2011/06/22(水) 23:04:06.02

なんでもいいからちゃんと隔離スレの方に移動してから続けなさいね

894 ：１３２人目の素数さん：2011/06/22(水) 23:45:23.78

バ化にいってもムダ　むダ

895 ：１３２人目の素数さん：2011/06/23(木) 00:02:49.68

8: １３２人目の素数さん [sage] 2011/06/16(木) 16:47:51.27

数学の本第40巻>>220さん
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1307438487/220

> まーあれだいわゆるガードナーの
> 1. 自分を天才だと考えている。
> 2. 仲間たちを例外なく無知な大馬鹿者と考えている。
> 3. 自分は不当にも迫害され差別されていると考え、
> そのような自分をガリレオ・ガリレイやジョルダーノ・ブルーノといった、
> 異端であるとして不当に迫害された偉人になぞらえる。
> 4. もっとも偉大な科学者や、もっとも確立されている理論に
> 攻撃の的を絞りたいという強迫観念がある。
> 5. 複雑な専門用語を使って書く傾向がよく見られ、多くの場合、
> 自分が勝手に創った用語や表現を駆使している。

http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1308203707/8

896 ：１３２人目の素数さん：2011/06/23(木) 07:41:37.77

ここ百レスくらいの話はどっちかというと
【数学】トンデモ数理科学入門【物理】
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1308203707/
でやった方が良いぞ
猫さんともども移住して下さい

897 ：猫は慈円 ◆MuKUnGPXAY ：2011/06/23(木) 11:35:01.74

>>896
そうですか。ほんなら見ときますワ。

猫

898 ：べ：2011/06/23(木) 12:37:21.00

仙石６１は謝罪しろ

899 ：１３２人目の素数さん：2011/06/23(木) 16:17:59.64

べは謝罪しろ
　その程度自分で考えろ馬鹿

900 ：猫 ◆MuKUnGPXAY ：2011/06/23(木) 16:21:23.52

>>899
頭が悪くて能力が無い人にそういう要求をスルのは無駄。

猫

901 ：あんでぃは特にキモイ ◆AdkZFxa49I ：2011/06/23(木) 16:29:44.92

なるほど。
【ハイスクール】。

あんでぃ

902 ：いんでぃは無力 ◆f1/kSpROVU ：2011/06/23(木) 19:22:46.25

自明。

いんでぃ

903 ：べ：2011/06/23(木) 19:24:24.97

>>899
すでに謝罪はしましたが、まさか未確認なのですか？
恥ずかしいですね～＾＾；

904 ：あんでぃはストーカー ◆AdkZFxa49I ：2011/06/23(木) 19:44:47.01

あんでぃ

905 ：１３２人目の素数さん：2011/06/24(金) 10:42:13.37

この師にして、この弟子あり。

アリストテレス＞アレキサンダー大王

竹内外史＞山口人生ｗ

906 ：忍法帖【Lv=7,xxxP】：2011/06/24(金) 12:51:08.99

誰かこれを正確に発展させてほしい。

┃━　┳　┣　┗

数学━┳━数学基礎論━┳━数理論理学━━┳━━証明論
　　　┃　　　　　　　┃　　　　　　　　┃
　　　┃　　　　　　　┣━公理的集合論　┗━━意味論　　
　　　┃　　　　　　　┃
　　　┃　　　　　　　┣━モデル理論
　　　┃
　　　┃
　　　┣━代数学
　　　┃
　　　┃
　　　┣━幾何学
　　　┃
　　　┃
　　　┗━解析学

907 ：忍法帖【Lv=7,xxxP】：2011/06/24(金) 12:52:45.69

ずれる；；

┃━　┳　┣　┗

数学━┳━数学基礎論━┳━数理論理学━━┳━━証明論
┃ ┃ ┃
┃　　　　　　　┣━公理的集合論 ┗━━意味論　　
┃ ┃
┃　　　　　　　┣━モデル理論
　　　┃
　　　┃
　　　┣━代数学
　　　┃
　　　┃
　　　┣━幾何学
　　　┃
　　　┃
　　　┗━解析学

908 ：１３２人目の素数さん：2011/06/24(金) 16:51:49.56

数学基礎論というのは数理哲学の一種、
あるいは数理哲学を動機として取り組んだ数学です。
例えばヒルベルトの幾何学の基礎の研究。

909 ：１３２人目の素数さん：2011/06/24(金) 20:41:34.45

>>906
数学基礎論━┳━数理論理学━━┳━━様相論理・線形論理
　　　　　　┃　　　　　　　　┣━━逆数学━━高階算術
　　　　　　┃　　　　　　　　┗━━代数的論理学　　
　　　　　　┃
　　　　　　┣━公理的集合論━┳━━連続体仮説
　　　　　　┃　　　　　　　　┣━━内部モデル・決定性公理
　　　　　　┃　　　　　　　　┣━━巨大基数
　　　　　　┃　　　　　　　　┣━━無限集合組合せ理論
　　　　　　┃　　　　　　　　┗━━推移的クラスの微細構造論
　　　　　　┃
　　　　　　┣━モデル理論━━┳━━代数幾何
　　　　　　┃　　　　　　　　┣━━超準的数学
　　　　　　┃　　　　　　　　┗━━型理論　
　　　　　　┃
　　　　　　┣━再帰理論━━┳━━計算量理論━┳━記述計算量理論
　　　　　　┃　　　　　　　┃　　　　　　　　┗━次数理論
　　　　　　┃　　　　　　　┣━━型付ラムダ計算
　　　　　　┃　　　　　　　┗━━抽象機械
　　　　　　┃
　　　　　　┗━証明論　━━┳━プログラミング━┳━モデルチェック
　　　　　　　　　　　　　　┃　　　　　　　　　┗━定理自動証明
　　　　　　　　　　　　　　┗━その他

910 ：忍法帖【Lv=7,xxxP】：2011/06/24(金) 21:55:56.64

>>909さんありがとうございます。

911 ：忍法帖【Lv=7,xxxP】：2011/06/24(金) 21:57:02.18

>>909は次スレのテンプレに加えます。

912 ：909：2011/06/24(金) 22:19:05.10

>>911
あんまり分類の仕方に根拠はないです。
基本的に樹形図みたいにできないので。
他の書き込みによるさらなる修正を望みます。

913 ：１３２人目の素数さん：2011/06/24(金) 23:28:22.59

テンプレにするなら「プログラミング」は削除してくれ

914 ：１３２人目の素数さん：2011/06/25(土) 01:56:12.58

>>909
日本での数理論理学という分野と海外でのMathematical Logicという分野は別だとでも思ってるのか？
Model Theory, Proof Theory, Recursion Theoryはどれも各々Mathematical Logicの下に属する分野だぞ。

そもそも日本での「数学基礎論」という言葉の使い方は変。この日本語は明らかに"Foundations of Mathematics"の訳語だが、
日本では"Mathematical Logic"で表される分野全体を指す使い方が多くて実際上は「数理論理学」という言葉とほとんど同義語として使われている。
だから、数学基礎論の下位分野として数理論理学が位置づけられているという図そのものが現実と完全に食い違っている。
海外では、大昔はともかくも現在では"Foundations of Mathematics"は歴史的（Hilbert programとか）なものに言及する場合か
多かれ少なかれ哲学的な（Philosophy of Mathematics的な）含みを持つ場合に限定されて使われており、かなり特殊な言葉。

最上位のノード名は「数理論理学」（Mathematical Logicの意味）が適切。その下に哲学的意味合いに限定しての数学基礎論を位置づけるならわかるが。
そもそも現代版Hilbert pgoramである逆数学が数学基礎論でなく数理論理学のサブノードになってるのも間違い。
逆数学こそ現代流数学基礎論と呼べる数少ないアプローチ・分野だと思う。

それからプログラミングは不要で削除すべしという>>913の意見には賛成。
またモデルチェック（正しくはモデルチェッキング、但し個人的には「モデル検査」という言葉の方が落ち付くが「モデルチェッキング」も可）は
モデル論の下位分野として有限モデル論を作りその応用と考えるべき。自動定理証明は証明論の下でも良いが。

またモデル論の下に代数幾何学が入ってるのも変。代数幾何学は数理論理学の下位分野ではなく成果の適用先の一つ。
モデル論の下位分野名としては幾何学的モデル論。

それから型理論がモデル論の下にあるのは変。型理論は証明論の下。つまり、証明論の下位分野として構成的型理論などの構成的数学がある。

915 ：Ver2：2011/06/25(土) 07:25:32.56

数理論理学━┳━数学基礎論━━逆数学━━高階算術
　　　　　　┃
　　　　　　┣━様相論理・線形論理
　　　　　　┃
　　　　　　┣━代数的論理学　
　　　　　　┃
　　　　　　┣━公理的集合論━┳━━連続体仮説
　　　　　　┃　　　　　　　　┣━━内部モデル・決定性公理
　　　　　　┃　　　　　　　　┣━━巨大基数
　　　　　　┃　　　　　　　　┣━━無限集合組合せ理論
　　　　　　┃　　　　　　　　┗━━推移的クラスの微細構造論
　　　　　　┃
　　　　　　┣━モデル理論━━┳━━幾何学的モデル論
　　　　　　┃　　　　　　　　┣━━超準的数学
　　　　　　┃　　　　　　　　┗━━モデル検査
　　　　　　┃
　　　　　　┣━再帰理論━━┳━━計算量理論━┳━記述計算量理論
　　　　　　┃　　　　　　　┃　　　　　　　　┗━次数理論
　　　　　　┃　　　　　　　┣━━型付ラムダ計算
　　　　　　┃　　　　　　　┗━━抽象機械
　　　　　　┃
　　　　　　┗━証明論　━━┳━━定理自動証明
　　　　　　　　　　　　　　┗━━構成的数学━━構成的型理論

916 ：１３２人目の素数さん：2011/06/25(土) 09:28:56.03

数学基礎論ってのは主に逆数学のことを指すの？
んなことないでしょ

917 ：官軍（一兵卒）(^o^)：2011/06/25(土) 09:34:24.10

>>915

全部、まちごうちょる。　爆笑

918 ：Ver3：2011/06/25(土) 10:00:32.59

数理論理学━┳━逆数学━━高階算術
　　　　　　┃
　　　　　　┣━様相論理・線形論理
　　　　　　┃
　　　　　　┣━代数的論理学　
　　　　　　┃
　　　　　　┣━公理的集合論━┳━━連続体仮説
　　　　　　┃　　　　　　　　┣━━内部モデル・決定性公理
　　　　　　┃　　　　　　　　┣━━巨大基数
　　　　　　┃　　　　　　　　┣━━無限集合組合せ理論
　　　　　　┃　　　　　　　　┗━━推移的クラスの微細構造論
　　　　　　┃
　　　　　　┣━モデル理論━━┳━━幾何学的モデル論
　　　　　　┃　　　　　　　　┣━━超準的数学
　　　　　　┃　　　　　　　　┗━━モデル検査
　　　　　　┃
　　　　　　┣━再帰理論━━┳━━計算量理論━┳━記述計算量理論
　　　　　　┃　　　　　　　┃　　　　　　　　┗━次数理論
　　　　　　┃　　　　　　　┣━━型付ラムダ計算
　　　　　　┃　　　　　　　┗━━抽象機械
　　　　　　┃
　　　　　　┗━証明論　━━┳━━定理自動証明
　　　　　　　　　　　　　　┗━━構成的数学━━構成的型理論

919 ：１３２人目の素数さん：2011/06/25(土) 10:04:13.14

いい加減ズレズレを直せ
半角スペースの連続入力は反映されないんだよ

920 ：忍法帖【Lv=7,xxxP】：2011/06/25(土) 10:19:54.26

これでどうだ？

数理論理学━┳━逆数学━━高階算術
　　　　　　┃
　　　　　　┣━様相論理・線形論理
　　　　　　┃
　　　　　　┣━代数的論理学　
　　　　　　┃
　　　　　　┣━公理的集合論━┳━━連続体仮説
　　　　　　┃　　　　　　　　┣━━内部モデル・決定性公理
　　　　　　┃　　　　　　　　┣━━巨大基数
　　　　　　┃　　　　　　　　┣━━無限集合組合せ理論
　　　　　　┃　　　　　　　　┗━━推移的クラスの微細構造論
　　　　　　┃
　　　　　　┣━モデル理論━━┳━━幾何学的モデル論
　　　　　　┃　　　　　　　　┣━━超準的数学
　　　　　　┃　　　　　　　　┗━━モデル検査
　　　　　　┃
　　　　　　┣━再帰理論━━┳━━計算量理論━┳━記述計算量理論
　　　　　　┃　　　　　　　┃　　　　　　　　┗━次数理論
　　　　　　┃　　　　　　　┣━━型付ラムダ計算
　　　　　　┃　　　　　　　┗━━抽象機械
　　　　　　┃
　　　　　　┗━証明論　━━┳━━定理自動証明
　　　　　　　　　　　　　　┗━━構成的数学━━構成的型理論

921 ：忍法帖【Lv=7,xxxP】：2011/06/25(土) 10:25:58.51

これでずれが直らないならあきらめる

数理論理学━┳━逆数学━━高階算術
　　　　　　　　┃
　　　　　　　　┣━様相論理・線形論理
　　　　　　　　┃
　　　　　　　　┣━代数的論理学　
　　　　　　　　┃
　　　　　　　　┣━公理的集合論━┳━━連続体仮説
　　　　　　　　┃　　　　　　　　　　┣━━内部モデル・決定性公理
　　　　　　　　┃　　　　　　　　　　┣━━巨大基数
　　　　　　　　┃　　　　　　　　　　┣━━無限集合組合せ理論
　　　　　　　　┃　　　　　　　　　　┗━━推移的クラスの微細構造論
　　　　　　　　┃
　　　　　　　　┣━モデル理論━━┳━━幾何学的モデル論
　　　　　　　　┃　　　　　　　　　　┣━━超準的数学
　　　　　　　　┃　　　　　　　　　　┗━━モデル検査
　　　　　　　　┃
　　　　　　　　┣━再帰理論━━┳━━計算量理論━┳━記述計算量理論
　　　　　　　　┃　　　　　　　　　┃　　　　　　　　　　┗━次数理論
　　　　　　　　┃　　　　　　　　　┣━━型付ラムダ計算
　　　　　　　　┃　　　　　　　　　┗━━抽象機械
　　　　　　　　┃
　　　　　　　　┗━証明論━━┳━━定理自動証明
　　　　　　　　　　　　　　　　　┗━━構成的数学━━構成的型理論

922 ：忍法帖【Lv=7,xxxP】：2011/06/25(土) 10:28:19.19

これでどう？

数理論理学━┳━逆数学━━高階算術
　　　　　　　　　┃
　　　　　　　　　┣━様相論理・線形論理
　　　　　　　　　┃
　　　　　　　　　┣━代数的論理学　
　　　　　　　　　┃
　　　　　　　　　┣━公理的集合論━┳━━連続体仮説
　　　　　　　　　┃　　　　　　　　　　　　┣━━内部モデル・決定性公理
　　　　　　　　　┃　　　　　　　　　　　　┣━━巨大基数
　　　　　　　　　┃　　　　　　　　　　　　┣━━無限集合組合せ理論
　　　　　　　　　┃　　　　　　　　　　　　┗━━推移的クラスの微細構造論
　　　　　　　　　┃
　　　　　　　　　┣━モデル理論━━┳━━幾何学的モデル論
　　　　　　　　　┃　　　　　　　　　　　　┣━━超準的数学
　　　　　　　　　┃　　　　　　　　　　　　┗━━モデル検査
　　　　　　　　　┃
　　　　　　　　　┣━再帰理論━━┳━━計算量理論━┳━記述計算量理論
　　　　　　　　　┃　　　　　　　　　　　┃　　　　　　　　　　　　┗━次数理論
　　　　　　　　　┃　　　　　　　　　　　┣━━型付ラムダ計算
　　　　　　　　　┃　　　　　　　　　　　━━抽象機械
　　　　　　　　　┃
　　　　　　　　　┗━証明論━━┳━━定理自動証明
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　┗━━構成的数学━━構成的型理論

923 ：くらえや：2011/06/25(土) 10:39:28.20

数理論理学━┳━逆数学━━高階算術
　　　　　　　　 ┃
　　　　　　　　 ┣━様相論理・線形論理
　　　　　　　　 ┃
　　　　　　　　 ┣━代数的論理学　
　　　　　　　　 ┃
　　　　　　　　 ┣━公理的集合論━┳━━連続体仮説
　　　　　　　　 ┃　　　　　　　　　　　┣━━内部モデル・決定性公理
　　　　　　　　 ┃　　　　　　　　　　　┣━━巨大基数
　　　　　　　　 ┃　　　　　　　　　　　┣━━無限集合組合せ理論
　　　　　　　　 ┃　　　　　　　　　　　┗━━推移的クラスの微細構造論
　　　　　　　　 ┃
　　　　　　　　 ┣━モデル理論━━┳━━幾何学的モデル論
　　　　　　　　 ┃ 　　　　　　　　　　┣━━超準的数学
　　　　　　　　 ┃ 　　　　　　　　　　┗━━モデル検査
　　　　　　　　 ┃
　　　　　　　　 ┣━再帰理論━━┳━━計算量理論━┳━記述計算量理論
　　　　　　　　 ┃　　　　　　　　　　┃　　　　　　　　　　　　┗━次数理論
　　　　　　　　 ┃　　　　　　　　　　┣━━型付ラムダ計算
　　　　　　　　 ┃　　　　　　　　　　┗━━抽象機械
　　　　　　　　 ┃
　　　　　　　　 ┗━証明論━━┳━━定理自動証明
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　┗━━構成的数学━━構成的型理論

924 ：コンパクト化：2011/06/25(土) 10:45:43.24

数理論理学━┳━逆数学━━高階算術
　　　　　　　　 ┣━様相論理・線形論理
　　　　　　　　 ┣━代数的論理学　
　　　　　　　　 ┣━公理的集合論━┳━━連続体仮説
　　　　　　　　 ┃　　　　　　　　　　　┣━━内部モデル・決定性公理
　　　　　　　　 ┃　　　　　　　　　　　┣━━巨大基数
　　　　　　　　 ┃　　　　　　　　　　　┣━━無限集合組合せ理論
　　　　　　　　 ┃　　　　　　　　　　　┗━━推移的クラスの微細構造論
　　　　　　　　 ┣━モデル理論━━┳━━幾何学的モデル論
　　　　　　　　 ┃ 　　　　　　　　　　┣━━超準的数学
　　　　　　　　 ┃ 　　　　　　　　　　┗━━モデル検査
　　　　　　　　 ┣━再帰理論━━┳━━計算量理論━┳━記述計算量理論
　　　　　　　　 ┃　　　　　　　　　　┃　　　　　　　　　　　　┗━次数理論
　　　　　　　　 ┃　　　　　　　　　　┣━━型付ラムダ計算
　　　　　　　　 ┃　　　　　　　　　　┗━━抽象機械
　　　　　　　　 ┗━証明論━━┳━━定理自動証明
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　┗━━構成的数学━━構成的型理論

925 ：忍法帖【Lv=7,xxxP】：2011/06/25(土) 10:49:01.35

意味論はどこに入るんですか？

926 ：１３２人目の素数さん：2011/06/25(土) 11:23:52.27

IPAフォントで見てたら918あたりのほうがズレないという

927 ：これでどうや：2011/06/25(土) 12:26:10.97

数理論理学■■■逆数学■■高階算術□□□□□□□□□□□□□□□□□
□□□□□□■□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□
□□□□□□■■線形論理□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□
□□□□□□■□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□
□□□□□□■■代数的論理学□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□
□□□□□□■□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□
□□□□□□■■公理的集合論■■■■■連続体仮説□□□□□□□□□□
□□□□□□■□□□□□□□□■■■内部モデル・決定性公理□□□□□
□□□□□□■□□□□□□□□■■■巨大基数□□□□□□□□□□□□
□□□□□□■□□□□□□□□■■■無限集合組合せ理論□□□□□□□
□□□□□□■□□□□□□□□■■■推移的クラスの微細構造論□□□□
□□□□□□■□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□
□□□□□□■■モデル理論■■■■■幾何学的モデル論□□□□□□□□
□□□□□□■□□□□□□□□■■■超準的数学□□□□□□□□□□□
□□□□□□■□□□□□□□□■■■モデル検査□□□□□□□□□□□
□□□□□□■□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□
□□□□□□■■再帰理論■■■■■計算量理論■■■■記述計算量理論□
□□□□□□■□□□□□□□■□□□□□□□□■■次数理論□□□□□
□□□□□□■□□□□□□□■■■型付ラムダ計算□□□□□□□□□□
□□□□□□■□□□□□□□■■■抽象機械□□□□□□□□□□□□□
□□□□□□■□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□
□□□□□□■■証明論■■■■■■定理自動証明□□□□□□□□□□□
□□□□□□□□□□□□□□■■■構成的数学■■構成的型理論□□□□

928 ：べ＠静音判定委員会：2011/06/25(土) 12:32:32.00

>>ALL
静粛に。

929 ：１３２人目の素数さん：2011/06/26(日) 21:52:51.77

モデル理論って幾何学的モデル論と超準的数学とモデル検査しかないの？
Shelahの書いた本はそのどこに入るんだろう？

新井先生とかRathjenの業績は
定理自動証明でも構成的数学でもないよね

とか突っ込みだすともうキリが無いよね

930 ：あんでぃは謎 ◆AdkZFxa49I ：2011/06/26(日) 22:11:22.69

なるほど。

あんでぃ

931 ：１３２人目の素数さん：2011/06/26(日) 22:17:28.17

>>929
思いついたのどんどん列挙してくれれば
追加してきますよ。

932 ：忍法帖【Lv=9,xxxP】：2011/06/26(日) 23:06:07.87

数理論理学━┳━逆数学━━高階算術
□□□□□□┃
□□□□□□┣━様相論理・線形論理
□□□□□□┃
□□□□□□┣━代数的論理学　
□□□□□□┃
□□□□□□┣━公理的集合論━┳━━連続体仮説
□□□□□□┃□□□□□□□□┣━━内部モデル・決定性公理
□□□□□□┃□□□□□□□□┣━━巨大基数
□□□□□□┃□□□□□□□□┣━━無限集合組合せ理論
□□□□□□┃□□□□□□□□┗━━推移的クラスの微細構造論
□□□□□□┃
□□□□□□┣━モデル理論━━┳━━幾何学的モデル論
□□□□□□┃□□□□□□□□┣━━超準的数学
□□□□□□┃□□□□□□□□┗━━モデル検査
□□□□□□┃
□□□□□□┣━再帰理論━━┳━━計算量理論━┳━記述計算量理論
□□□□□□┃□□□□□□□┃□□□□□□□□┗━次数理論
□□□□□□┃□□□□□□□┣━━型付ラムダ計算
□□□□□□┃□□□□□□□┗━━抽象機械
□□□□□□┃
□□□□□□┗━証明論　━━┳━━定理自動証明
□□□□□□□□□□□□□□┗━━構成的数学━━構成的型理論

933 ：忍法帖【Lv=9,xxxP】：2011/06/26(日) 23:09:46.88

連投失礼。

数理論理学━┳━逆数学━━高階算術
□□□□□□┃
□□□□□□┣━様相論理・線形論理
□□□□□□┃
□□□□□□┣━代数的論理学　
□□□□□□┃
□□□□□□┣━公理的集合論━┳━━連続体仮説
□□□□□□┃□□□□□□□□┣━━内部モデル・決定性公理
□□□□□□┃□□□□□□□□┣━━巨大基数
□□□□□□┃□□□□□□□□┣━━無限集合組合せ理論
□□□□□□┃□□□□□□□□┗━━推移的クラスの微細構造論
□□□□□□┃
□□□□□□┣━モデル理論━━┳━━幾何学的モデル論
□□□□□□┃□□□□□□□□┣━━超準的数学
□□□□□□┃□□□□□□□□┗━━モデル検査
□□□□□□┃
□□□□□□┣━再帰理論━━┳━━計算量理論━┳━記述計算量理論
□□□□□□┃□□□□□□□┃□□□□□□□□┗━次数理論
□□□□□□┃□□□□□□□┣━━型付ラムダ計算
□□□□□□┃□□□□□□□┗━━抽象機械
□□□□□□┃
□□□□□□┗━証明論━━┳━━定理自動証明
□□□□□□□□□□□□□┗━━構成的数学━━構成的型理論

各自勝手に追加・発展させていってください。
「それ違うんじゃね？」と思った人は指摘をしてください。

934 ：１３２人目の素数さん：2011/06/26(日) 23:36:46.50

高階算術は逆数学ある前から存在する分野だし、
逆数学のような算術階層を考えなくても意味のある算術体系。
あえて言えば証明論の下。

935 ：１３２人目の素数さん：2011/06/26(日) 23:50:43.01

E-PRA^ω＋QF-AC^(1,0)などの高階逆数学などがあるそうですね。
高階算術を高階逆数学と直せば良いと思います。

逆数学━┳━高階逆数学━━高階算術
□□□□□□┃
□□□□□□┣━無限ゲーム決定理論
□□□□□□┃
□□□□□□┣━構成的逆数学　
□□□□□□┃
□□□□□□┗━計算論的逆数学公理的集合論━━━連続体仮説

936 ：１３２人目の素数さん：2011/06/26(日) 23:52:22.75

訂正

逆数学━┳━高階逆数学
□□□□□□┃
□□□□□□┣━無限ゲーム決定理論
□□□□□□┃
□□□□□□┣━構成的逆数学　
□□□□□□┃
□□□□□□┗━計算論的逆数学

枝に追加お願いします。

937 ：１３２人目の素数さん：2011/06/26(日) 23:55:11.91

高階算術の下じゃねーか、逆数学

938 ：１３２人目の素数さん：2011/06/27(月) 03:38:20.81

　　　　いいかテツヤ、そこに座れ。今から大事な話をする。
　　　　お前は人生を真剣に考えたことがあるのか。
　　　　もう5X歳なのに、まだ独身なだけじゃなくて、
　　　　無職とはどういうことだ。
　　　　両親に申し訳ないと思わないのか。
　　　　大学まで出してくれたのに、無職なんて・・・・
　　　　従兄弟はみんな結婚して子供いるんだぞ。
　　　　おまえは一体何をやっているんだ。
　　　　一日も早く就職して、親に恩返しして罪を償おうと思わないのか。
　　　　結婚はまああとでもいい。
　　　　とにかく今週中に就職しろ。
　　　　まず外へ出てハローワークに行ったり、企業の面接を片っ端から受けろ。
　　　　無理です？甘えるな！泣き言を言うな。
　　　　不景気だから？言い訳するな！！
　　　　じゃあ従兄弟たちが普通に正社員で働いているのはなんだ？　
　　　　言い訳する暇あったら就職しろ。
　　　　辛いのはお前だけじゃないんだぞテツヤ。
　　　　一番辛いのはお前の両親、そして我々２ちゃんねら～だ。
　　　　なんだ泣いてるのか。何故泣く。泣きたいのはお前の親だ。
　　　　泣いている暇があったら就職しろ。
　　　　こんなふざけた人生はもう終わりにするンだ。
　　　　働き出せば人生も変わる。
　　　　とにかくお前は一刻も早く就職して
　　　　これまでの怠惰な人生を贖罪しろ。
　　　　稼いだ給与は両親にあげるんだ。
　　　　住まわせてもらってる、飯を食べさせてもらっている恩を金で払え。
　　　　いいな。お前の人生は今からやり直すんだ。
　　　　わかったな。5X歳にこんなこと言うこっちも辛いんだからな
　　　　わかったら今すぐ坊主にしてハロワ行け。

939 ：１３２人目の素数さん：2011/06/27(月) 06:58:56.87

そうだ　そのとおりだ

940 ：官軍（一兵卒）(＾o＾)：2011/06/27(月) 07:30:49.83

>>932
>>936～>>936

全部、違(つが)う。(＾o＾)

ヒルベルト流「形式主義」に洗脳された阿呆、ど阿呆（爆笑

941 ：１３２人目の素数さん：2011/06/27(月) 08:33:22.71

朝から元気だねｗｗｗ

942 ：＾↑：2011/06/27(月) 14:04:14.96

喪毎もなぁ～。ｗ

943 ：１３２人目の素数さん：2011/06/27(月) 15:06:19.41

>>935
高階算術と逆数学は包含関係にない。

944 ：Ver5：2011/06/27(月) 22:36:43.48

数理論理学━┳━逆数学━┳━高階逆数学
□□□□□□┃□□□□□┣━無限ゲーム決定理論
□□□□□□┃□□□□□┣━構成的逆数学　
□□□□□□┃□□□□□┗━計算論的逆数学
□□□□□□┃
□□□□□□┣━非古典論理━┳━様相論理
□□□□□□┃□□□□□□□┣━部分構造論理
□□□□□□┃□□□□□□□┣━代数的論理
□□□□□□┃□□□□□□□┗━高階述語論理
□□□□□□┃
□□□□□□┣━公理的集合論━┳━連続体仮説
□□□□□□┃□□□□□□□□┣━内部モデル・決定性公理
□□□□□□┃□□□□□□□□┣━巨大基数
□□□□□□┃□□□□□□□□┣━無限集合組合せ理論
□□□□□□┃□□□□□□□□┣━PCF理論
□□□□□□┃□□□□□□□□┗━推移的クラスの微細構造論
□□□□□□┃
□□□□□□┣━モデル理論━━┳━幾何学的モデル論
□□□□□□┃□□□□□□□□┣━超準的数学
□□□□□□┃□□□□□□□□┗━モデル検査
□□□□□□┃
□□□□□□┣━再帰理論━┳━計算量理論━┳━記述計算量理論
□□□□□□┃□□□□□□┃□□□□□□□┗━次数理論
□□□□□□┃□□□□□□┣━型付ラムダ計算
□□□□□□┃□□□□□□┗━抽象機械
□□□□□□┃
□□□□□□┗━証明論━━┳━定理自動証明
□□□□□□□□□□□□□┣━新井先生とかRathjenの業績
□□□□□□□□□□□□□┗━構成的数学━━構成的型理論

945 ：とうとうやりとげた！：2011/06/27(月) 23:07:06.55

数理論理学━┳━逆数学━┳━高階逆数学
＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿┣━無限ゲーム決定理論
＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿┣━構成的逆数学　
＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿┗━計算論的逆数学
＿＿＿＿＿＿┣━非古典論理━┳━様相論理
＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿＿＿┣━部分構造論理
＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿＿＿┣━代数的論理
＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿＿＿┗━高階述語論理
＿＿＿＿＿＿┣━公理的集合論━┳━連続体仮説
＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿＿＿＿┣━内部モデル・決定性公理
＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿＿＿＿┣━巨大基数・超巨大基数
＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿＿＿＿┣━無限集合組合せ理論
＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿＿＿＿┣━PCF理論
＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿＿＿＿┣━Generic Multiverses・Ω-論理
＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿＿＿＿┣━集合論その他(GB,NF,KP)
＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿＿＿＿┗━推移的クラスの微細構造論
＿＿＿＿＿＿┣━モデル理論━━┳━幾何学的モデル論
＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿＿＿＿┣━超準的数学
＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿＿＿＿┣━ダイアレクティカ圏・HyperDoctrine
＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿＿＿＿┣━真の算術など
＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿＿＿＿┗━モデル検査
＿＿＿＿＿＿┣━再帰理論━┳━計算量理論━┳━記述計算量理論
＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿＿＿┗━次数理論
＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿＿┣━型付ラムダ計算
＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿＿┣━直観主義(マルティン・レーフ)型理論
＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿＿┣━コルモロゴフ複雑性・チャイティン数
＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿＿┗━抽象機械
＿＿＿＿＿＿┗━証明論━━┳━定理自動証明
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿┣━新井先生とかRathjenの業績
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿┗━構成的数学━━構成的型理論

946 ：１３２人目の素数さん：2011/06/28(火) 00:08:58.40

桁を揃えました。

数理論理学━┳━逆数学━━━━┳━高階逆数学
＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿＿＿＿┣━無限ゲーム決定理論
＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿＿＿＿┣━構成的逆数学
＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿＿＿＿┗━計算論的逆数学
＿＿＿＿＿＿┣━非古典論理━━┳━様相論理
＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿＿＿＿┣━部分構造論理
＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿＿＿＿┣━代数的論理
＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿＿＿＿┗━高階述語論理
＿＿＿＿＿＿┣━公理的集合論━┳━連続体仮説
＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿＿＿＿┣━内部モデル・決定性公理
＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿＿＿＿┣━巨大基数・超巨大基数
＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿＿＿＿┣━無限集合組合せ理論
＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿＿＿＿┣━PCF理論
＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿＿＿＿┣━Generic Multiverses・Ω-論理
＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿＿＿＿┣━集合論その他(GB,NF,KP)
＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿＿＿＿┗━推移的クラスの微細構造論
＿＿＿＿＿＿┣━モデル理論━━┳━幾何学的モデル論
＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿＿＿＿┣━超準的数学
＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿＿＿＿┣━ダイアレクティカ圏・HyperDoctrine
＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿＿＿＿┣━真の算術など
＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿＿＿＿┗━モデル検査
＿＿＿＿＿＿┣━再帰理論━━━┳━計算量理論━┳━記述計算量理論
＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿＿＿┗━次数理論
＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿＿＿＿┣━型付ラムダ計算
＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿＿＿＿┣━直観主義(マルティン・レーフ)型理論
＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿＿＿＿┣━コルモロゴフ複雑性・チャイティン数
＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿＿＿＿┗━抽象機械
＿＿＿＿＿＿┗━証明論━━━━┳━定理自動証明
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿┣━新井先生とかRathjenの業績
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿┗━構成的数学━━━構成的型理論

947 ：１３２人目の素数さん：2011/06/28(火) 02:55:10.92

>>946
> 桁を揃えました。

すばらしい！

> ＿＿＿＿＿＿┣━モデル理論━━┳━幾何学的モデル論
・・・
> ＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿＿＿＿┗━モデル検査

モデル理論の下位分野としては「モデル検査」よりも「有限モデル理論」の方が良いと思う。
モデル検査というのは有限モデル理論の一つの応用と考えた方が良いのでは。

> ＿＿＿＿＿＿┣━再帰理論━━━┳━計算量理論━┳━記述計算量理論
・・・
> ＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿＿＿＿┣━直観主義(マルティン・レーフ)型理論

直観主義型理論を再帰理論の下に入れる必要があるの？
マルティン・レーフのも含めて証明論の下の構成的型理論の中の１つだと思うんだが。
再帰理論の下位分野としては、例えば
非可解性次数とか順序数上の再帰理論とか解析的階層とか高階再帰論とかの分野が必要なのでは？

948 ：１３２人目の素数さん：2011/06/28(火) 04:12:47.92

数学基礎論という名前に文句をつける奴は楕円関数論にも文句をつけてくれ

949 ：猫の頭はウンコ ◆MuKUnGPXAY ：2011/06/28(火) 04:16:13.80

楕円関数論は馬鹿猫の憧れや。そやし文句を付けたらアカンがな。

猫

950 ：あんでぃは撲滅 ◆AdkZFxa49I ：2011/06/28(火) 06:15:19.05

なるほど。

あんでぃ

951 ：１３２人目の素数さん：2011/06/28(火) 06:40:36.64

>>949
無職がデカイ口を叩くな、クズ

952 ：Ver7：2011/06/28(火) 07:57:20.39

数理論理学━┳━逆数学━━━━┳━高階逆数学
＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿＿＿＿┣━無限ゲーム決定理論
＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿＿＿＿┣━構成的逆数学
＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿＿＿＿┗━計算論的逆数学
＿＿＿＿＿＿┣━非古典論理━━┳━様相論理
＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿＿＿＿┣━部分構造論理
＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿＿＿＿┣━代数的論理
＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿＿＿＿┗━高階述語論理
＿＿＿＿＿＿┣━公理的集合論━┳━連続体仮説━━━強制法・反復強制法
＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿＿＿＿┣━SH・◇・CH・ADなど
＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿＿＿＿┣━内部モデル・決定性公理
＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿＿＿＿┣━巨大基数・超巨大基数・Rの基数不変量
＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿＿＿＿┣━無限集合組合せ理論
＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿＿＿＿┣━PCF理論
＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿＿＿＿┣━Generic Multiverses・Ω-論理
＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿＿＿＿┣━集合論その他(GB,NF,KP)
＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿＿＿＿┗━推移的クラスの微細構造論
＿＿＿＿＿＿┣━モデル理論━━┳━幾何学的モデル論
＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿＿＿＿┣━超準的数学
＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿＿＿＿┣━ダイアレクティカ圏・HyperDoctrine
＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿＿＿＿┣━真の算術など
＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿＿＿＿┗━有限モデル理論
＿＿＿＿＿＿┣━再帰理論━━━┳━計算量理論━┳━記述計算量理論
＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿＿＿┗━次数理論━━━非可解性次数
＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿＿＿＿┣━型付ラムダ計算
＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿＿＿＿┣━順序数上の再帰理論・高階再帰論
＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿＿＿＿┣━解析的階層
＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿＿＿＿┣━コルモロゴフ複雑性・チャイティン数
＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿＿＿＿┗━抽象機械
＿＿＿＿＿＿┗━証明論━━━━┳━定理自動証明
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿┣━新井先生とかRathjenの業績
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿┗━構成的数学━━━構成的型理論━━━直観主義型理論

953 ：堕天使：2011/06/28(火) 11:24:17.46

堕円？堕落した円光が好きとは猫らしい。

954 ：猫の頭はウンコ ◆MuKUnGPXAY ：2011/06/28(火) 11:46:15.54

>>951
無職が何でアカンのや？　ちゃんと理由を言えやナ。

猫

955 ：猫は無職 ◆MuKUnGPXAY ：2011/06/28(火) 11:47:16.20

>>951
猫

956 ：１３２人目の素数さん：2011/06/28(火) 12:06:39.53

猫は蟄居、閉門中。

957 ：アホーあんでぃ ◆AdkZFxa49I ：2011/06/28(火) 12:29:10.07

なるほど。

あんでぃ

958 ：１３２人目の素数さん：2011/06/28(火) 12:49:11.67

>>954
理由を言わないといけないのはなぜ？

959 ：１３２人目の素数さん：2011/06/28(火) 12:50:10.44

猫が痴漢だからじゃね？

960 ：猫は無職 ◆MuKUnGPXAY ：2011/06/28(火) 14:33:04.05

>>958
何かの命題が提示されたらその証明が付与されていなければならないのは
数学では当たり前。

猫

961 ：１３２人目の素数さん：2011/06/28(火) 14:37:26.46

>>960
数学の話はしとらんから、カス。

962 ：猫は無職 ◆MuKUnGPXAY ：2011/06/28(火) 14:39:31.09

★★★お返事がアリマセンので繰り返します。★★★

>>951
無職が何でアカンのや？　ちゃんと理由を言えやナ。

猫

963 ：１３２人目の素数さん：2011/06/28(火) 14:46:13.26

>>962
拒否します。
自分でかんがえろ、クズ。

964 ：猫は無職 ◆MuKUnGPXAY ：2011/06/28(火) 14:49:21.64

>>963
★★★お返事がアリマセンので繰り返します。★★★

>>951
無職が何でアカンのや？　ちゃんと理由を言えやナ。

猫

965 ：猫は無職 ◆MuKUnGPXAY ：2011/06/28(火) 14:50:26.34

>>963
ワシに逆らったらココを焼き払うゾ。

猫

966 ：１３２人目の素数さん：2011/06/28(火) 14:56:17.96

>>965
さっさとやってみろよ、ゴミ。
お前のくだらない質問に答える気はない。
そもそも、無職には質問権がない。

967 ：１３２人目の素数さん：2011/06/28(火) 14:59:35.45

2ちゃんやっとったら蟄居閉門にならんがなw

968 ：アホーあんでぃ ◆AdkZFxa49I ：2011/06/28(火) 15:04:56.98

あんでぃ

969 ：猫は蟄居閉門 ◆MuKUnGPXAY ：2011/06/28(火) 15:28:33.74

>>966
『ワシには発言権が無い』っちゅう主張をオマエがスルんやったらオマエ
が実力行使して発言を止めてミロや。まあそうやってココが焼け野が原に
ナルのや、オマエみたいな馬鹿がカキコするからや。良く考えてミロや。

猫

970 ：１３２人目の素数さん：2011/06/28(火) 19:54:01.03

猫が鏡をみたら猫の父親が映ってました、の巻

971 ：猫は蟄居閉門 ◆MuKUnGPXAY ：2011/06/28(火) 19:57:54.92

>>970
アッチはド禿やけどワシはフサフサや。そやしソレは無理。

猫

972 ：１３２人目の素数さん：2011/06/28(火) 20:01:31.16

パーマ？

973 ：あんでぃは追放 ◆AdkZFxa49I ：2011/06/28(火) 20:02:16.82

なるほど。

あんでぃ

974 ：猫は蟄居閉門 ◆MuKUnGPXAY ：2011/06/28(火) 20:05:00.94

>>972
ワシのはパーマを掛けてアッシュ系で染めてるがな。糞父はツルッパゲ
やけんどナ。ついでに奴の頭の中はカラッポや。

猫

975 ：あんでぃは追放 ◆AdkZFxa49I ：2011/06/28(火) 20:08:13.88

なるほど。

あんでぃ

976 ：１３２人目の素数さん：2011/06/28(火) 20:20:57.77

荒砂ボケ
次スレのテンプレの完成が間に合わなくなるだろう！

977 ：１３２人目の素数さん：2011/06/28(火) 20:32:14.83

新井先生とかRathjenの業績って何だよそれ
アホか

978 ：検索キーワード追加：2011/06/28(火) 20:43:37.72

数理論理学━┳━逆数学━━━━┳━高階逆数学
Mathematical┃＿Reverse_＿＿＿┣━無限ゲーム決定理論
Logic_＿＿＿┃＿Mathematics_＿┣━構成的逆数学
＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿＿＿＿┗━計算論的逆数学
＿＿＿＿＿＿┣━非古典論理━━┳━様相論理
＿＿＿＿＿＿┃＿Non-Classical_┣━部分構造論理
＿＿＿＿＿＿┃＿Logics＿＿＿＿┣━代数的論理
＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿＿＿＿┗━高階述語論理
＿＿＿＿＿＿┣━公理的集合論━┳━連続体仮説━━━強制法・反復強制法
＿＿＿＿＿＿┃＿Axiomatic_＿＿┣━SH・◇・CH・ADなど
＿＿＿＿＿＿┃＿Set_Theory＿＿┣━内部モデル・決定性公理
＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿＿＿＿┣━巨大基数・超巨大基数・Rの基数不変量
＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿＿＿＿┣━無限集合組合せ理論
＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿＿＿＿┣━PCF理論
＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿＿＿＿┣━Generic Multiverses・Ω-論理
＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿＿＿＿┣━集合論その他(GB,NF,KP)
＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿＿＿＿┗━推移的クラスの微細構造論
＿＿＿＿＿＿┣━モデル理論━━┳━幾何学的モデル論
＿＿＿＿＿＿┃＿Model Theory＿┣━超準的数学
＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿＿＿＿┣━ダイアレクティカ圏・HyperDoctrine
＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿＿＿＿┣━真の算術など
＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿＿＿＿┗━有限モデル理論
＿＿＿＿＿＿┣━再帰理論━━━┳━計算量理論━┳━記述計算量理論
＿＿＿＿＿＿┃＿Recursion_＿＿┃＿＿＿＿＿＿＿┗━次数理論━━━非可解性次数
＿＿＿＿＿＿┃＿Theory＿＿＿＿┣━型付ラムダ計算
＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿＿＿＿┣━順序数上の再帰理論・高階再帰論
＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿＿＿＿┣━解析的階層
＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿＿＿＿┣━コルモロゴフ複雑性・チャイティン数
＿＿＿＿＿＿┃＿＿＿＿＿＿＿＿┗━抽象機械
＿＿＿＿＿＿┗━証明論━━━━┳━定理自動証明
＿＿＿＿＿＿＿＿Proof_＿＿＿＿┣━新井先生とかRathjenの業績
＿＿＿＿＿＿＿＿Theory＿＿＿＿┗━構成的数学━━━構成的型理論━━━直観主義型理論

979 ：１３２人目の素数さん：2011/06/28(火) 20:49:32.44

新井夫婦は本出しまくってるが
金に汚い奴らだ

980 ：半角混ぜるとずれるので、：2011/06/28(火) 21:22:21.01

981 ：１３２人目の素数さん：2011/06/28(火) 21:43:56.07

>>909-912
そもそもなんでテンプレに加えることになったんだっけ？
木構造にこだわる理由もわからない
こういうキーワードみたいのが>>1にあるとやっぱり便利なのかな

982 ：１３２人目の素数さん：2011/06/29(水) 20:12:06.43

>>979
新井さんって夫婦だったの！？

983 ：１３２人目の素数さん：2011/06/29(水) 20:14:39.59

基礎論の本のまえがきを読むとそうだね

984 ：１３２人目の素数さん：2011/06/29(水) 22:02:53.01

誰か次スレお願いします。

985 ：１３２人目の素数さん：2011/06/29(水) 22:12:51.48

＞こういうキーワードみたいのが>>1にあるとやっぱり便利なのかな
そうでもないと思う

網羅的じゃないし、なんか知ってる言葉をとりあえず羅列してみました、という感じ
分野でさえないただの公理とかまで入ってるし
「真の算術など」とか意味不明だし

986 ：考えない人：2011/06/29(水) 22:20:41.55

そのようですね。
私もさまざまな基礎論のテーマに接してきましたが、
こういった分類の仕方が正しいとは思いません。
上のキーワードはほとんど私が追加したものですが、
何も好き好んで行ったのではありません。
見えない人々からの無言の要請に応じたまでです。

987 ：あんでぃは炯々 ◆AdkZFxa49I ：2011/06/29(水) 22:30:24.87

なるほど。

あんでぃ

988 ：１３２人目の素数さん：2011/06/29(水) 23:00:55.66

奥さんの方は確かに十冊くらい啓蒙書的な本出してるけど
夫の敏康氏の方は数学基礎論を含めて二冊しか出してないし、
「数学基礎論」は「ゲーデルと20世紀の論理学」の二巻三巻四巻合わせたよりも
まだだいぶ内容が詰まっている本なので、金に汚いとかそういう事は無いと思う。
学術書の執筆、翻訳は大抵大した金にならない。

というかあれだけ詰め込んだ本がどうした訳か相当売れてるみたいだけど
たぶん積読状態になる人がたくさん出ると思う。

989 ：１３２人目の素数さん：2011/06/29(水) 23:07:02.39

数学基礎論は基礎的な内容を扱っているような気がする。
ゲーデル20世紀の2巻は完ぺきに取り込まれているが、
3，4巻の方が内容は最新のものが多くて、あらためて買う価値がある。
積読じゃなくてもつまみ食いになっている人も多いと思う。
正直あの本は本当の初学者には厳しいと思う。

990 ：１３２人目の素数さん：2011/06/30(木) 07:21:29.81

最新のものが多いというか、
入門→応用→発展（現代の研究に触れる）→哲学
という四章立てで各巻構成することになってたので
数学の最後の章は最新の内容になってるということ

991 ：忍法帖【Lv=11,xxxPT】：2011/06/30(木) 12:59:56.25

次スレ

http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1309406249/

992 ：１３２人目の素数さん：2011/06/30(木) 22:13:59.38

二百三十一日。

993 ：368 ◆jkwVJMjC32 ：2011/07/01(金) 07:15:43.79

皆様に告白しよう。

994 ：超越論的数学天使 ◆jkwVJMjC32 ：2011/07/01(金) 07:16:30.23

私は私であり私以外の何者でもないだろう。

995 ：おさーん ◆jkwVJMjC32 ：2011/07/01(金) 07:18:14.32

そうだ、私はAにしてZである。
0にしてℵである。

996 ：超越論的数学者 ◆jkwVJMjC32 ：2011/07/01(金) 07:20:46.21

私は博士である。
選ばれた人材である。

997 ：数学的キリスト ◆jkwVJMjC32 ：2011/07/01(金) 07:23:19.99

これまで多くの数学的課題を克服してきた。

998 ：数学的キリスト ◆xKQl9rTMwao4 ：2011/07/01(金) 07:25:37.37

これからも多くを解決するだろう。

999 ：考えない人 ◆xKQl9rTMwao4 ：2011/07/01(金) 07:26:41.25

そしてこのスレッドの1000を取得し
次スレへの宣戦布告としたい。

1000 ：gaikotsu ◆xKQl9rTMwao4 ：2011/07/01(金) 07:28:34.30

虚無への扉が開かれる...

1001 ：１００１：Over 1000 Thread

このスレッドは１０００を超えました。
もう書けないので、新しいスレッドを立ててくださいです。。。