★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十七問

理系で数学が得意な高校生が２５〜５０分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以外の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ

過去ログは>>2以降

2get

過去ログ倉庫
http://briefcase.yahoo.co.jp/bc/loveinequality/lst?.dir=/b856

★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十六問(前スレ)
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1220115988/

　過去ログ
★東大入試作問者になったつもりのスレ★
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1000592003/
★東大京大入試作問者になったつもりのスレ★
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1046165076/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第三問
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1069171672/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第4問
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1099493043/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第五問
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1116752400/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第六問
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1134000000/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第七問
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1148569109/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第八問
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★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十四問
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★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十五問
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1212563635/

前スレの未解決
nを自然数とする。
n*(n+1)*(n+2)が7以上の素因数を持たないとき、nの値を全て求めよ

>>3の過去ログ倉庫にアクセスできないんですが，どうなってんのこれ？

>>5

n>1 のとき、n,n+1,n+2 は 2,3,5 のいずれかを素因数に持つ。
また、gcd{n,n+1} = gcd{n+1,n+2} =1 だから、n+1 は素数べき。
∴ 題意より n+1 は 2^a, 3^b, 5^c　のいずれか。

・n+1 = 2^a のとき
　　n または n+1 は3^b,
・n+1 = 3^b のとき、
　　n,n+2 は偶数。
　　gcd(n,n+2) = 2 より、nまたはn+2は 2^a,
・n+1 = 5^c のとき
　　n,n+2 は偶数。
　　gcd{n,n+2} = 2 より、gcd{n/2, (n+2)/2} =1,
　　{n/2, (n+2)/2} = {2^a, 3^b},

いづれの場合も、不定方程式　3^b -2^a = ±1　に帰着する。
これは Catalan予想 とよばれ、解は
　3^2 - 2^3 = 1,　3^1 - 2^1 =1,　3^1 -2^2 = -1,

∴　n= 1,2,3,4,8.

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1132313250/
Catalan予想
http://mathworld.wolfram.com/CatalansConjecture.html
http://mathworld.wolfram.com/CatalansDiophantineProblem.html

>>7
＞　　n+1 = 3^bのとき、
＞　　n,n+2 は偶数。
＞　　gcd(n,n+2) = 2 より、nまたはn+2は 2^a,
ここがよく分からんかった。

n, n+2は少なくとも一方が5を素因数に含まない。
また、ともにn+1と互いに素であるため、nまたはn+2は 2^a
とか、言われると分かるが……

＞　　n,n+2 は偶数。
＞　　gcd(n,n+2) = 2 より、
って二つの条件だけだと、n=10とかも入らない？

わからんままに出題し
わからんままに解答うつしてるからしゃあない。

前スレ>>994で正解だろ
お前らアホだな

相手しない方がいいのかな、こういうのは

>>9-10
ともに相手にしたくない……どっちも根拠なさ杉

数学的な間違いはおのずと分かるからな。根拠なくても

a,b,cは一体どこから出てきたんだ

a,b,cは立体不等式xΣy+yΣz+zΣx≦Ｒ
を満たす(x,y,z)のことだろ

>>6
ttp://cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/%E6%9D%B1%E5%A4%A7%E5%85%A5%E8%A9%A6%E4%BD%9C%E5%95%8F%E8%80%85%E3%82%B9%E3%83%AC

894 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2009/05/10(日) 07:43:37
定数でない整数係数の多項式 f(x) であってすべての実数 x に対して
f (f '(x))=f '(f(x))
をみたすものをすべて求めよ。

（見にくいから一応補足するとg(x)=df/dxとおいたときf(g(x))=g(f(x))ということ。）



ax+(a-a^2)
(1/2)x^2+b
x^n/n^(n-1)

前スレ９０９の間違いはn=1のときn(n-1)>(n-1)(n-1)としてるとこ

＞また、gcd{n,n+1} = gcd{n+1,n+2} =1 だから、n+1 は素数べき。
ここはもう少し書くべきでは？
n＋1が3,5の両方を素因数に持つとすると、n,n＋2は2のベキ乗になって、
すぐには矛盾は出ない(計算していくと矛盾するが)。

>>17
ものすごい整数係数な多項式だな

ｘ＾３／９−ｘ＾２＋９。

>>17　
一階微分方程式なので、任意定数が１つ･･･
　ｘ＾２／２ ＋Ｃ。

なにこのひとにほんごよめないの？

整数係数の場合は既に解決してる

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1229082448/327

>>17
>>21
８次以下ではこれだけ。

>>21 の根を求む。

>>27

x = 3(1+2s) とおくと、
　(x^3)/9 -x^2 +9 = (1/6)(1/2 -3s+4s^3),
∴ s=sinθ とおくと、=(1/6){1/2 - sin(3θ)},
　θ= 10ﾟ, 130ﾟ, 250ﾟ　あるいは
　θ= 50ﾟ, 170ﾟ, 290ﾟ

0＜x＜1、xは10進数表記、小数点以下n桁の実数であるとする。
このとき、xは10^n-1通り考えられるが、これらの中から等確率に一つの数を選び、
選んだ数の小数点以下第ｋ位に初めて2009（小数点以下k位が2、k+1位が0……という意味）という数字が現れる確率P(n,k)とする。

lim[n→∞] k*P(n,k)

を計算せよ。

〔問題〕n≧2 のとき
　e･(n/e)^n < n! < (e^2)･(n/e)^(n+1),
を示してくださいです。

>30
まづ、k≧2 のとき
　{k/(k-1)}^(k-1) = {1 + 1/(k-1)}^(k-1) < e < {1 + 1/(k-1)}^k = {k/(k-1)}^k,
(証略する.)

k倍して
　(k^k)/(k-1)^(k-1) < ke < k^(k+1)/{(k-1)^k},

k=2〜n で辺々掛けると、
　n^n < n!e^(n-1) < n^(n+1),

∴　e･(n/e)^n < n! < (e^2)･(n/e)^(n+1),

素朴な疑問なんだけど、ここで正しい答え書いてる人って、
どのくらい時間かけて解いてるのかな？
すぐ解きかたがわかるのかしらん

０≠１　について実数の公理をもとに証明せよ。

>>30の問題を解いてしかも解答を書き込む時間も含めて４分30秒なんてありえないだろjk
朝の4時という数学板に誰もいないような時間帯でしかもsage進行だし
絶対に>>30=>>31 だな

y = {x(x-1)^2}の三重根
極値および変極点を調べ、グラフを書け

>>34

ほんとだ。
時間差みてなかった。
てか、

>>30 と >>31 、
全部の式の右側にカンマがついてるねｗ

しかも数式の前に全角空白

>>37
問題の要点をとらえきれてない人が
問題と解答を丸写しor部分的改変して自己満足を味わってる　ってのは時々あるのがわかるね。

自分で出題したのならありえない記号ミスが問題と解答で共通してたり、
出題に条件不足などの不備があって解きようがないのに、なぜか解ける人がいたり、
解答も解法のポイント一言示せばそれで通じるところを
示す必要のない途中の式変形を長々とつけてたり。

以前もコラッツ予想っていうんだっけな、自分で解けるかどうかも知らずに出題してるのがいて
即座にヒント示せとツッコミ入れられてたこともあったな。

〔問題〕k≧2 のとき
　{1 + 1/(k-1)}^k = {k/(k-1)}^k > e
を示してくださいです。

>>39

2項定理より
　{(k^2)/(k^2 -1)}^(k+1) = {1 +1/(k^2 -1)}^(k+1) = Σ[j=0,k+1] Ｃ[k+1,j] /(k^2 -1)^j > 1 + 1/(k-1) = k/(k-1),

∴　{k/(k-1)}^k > {(k+1)/k}^(k+1) > ･･･(単調減少)･･･ > lim[k→∞) (1 + 1/k)^k = e,

〔問題〕k≧2 のとき
　{k/(k-1)}^(k-1) < e < {k/(k-1)}^k,
を示してくださいです。

>>41

・左側
　{1,1,････,1,(k-1)/k} (k個) の相加･相乗平均から、
　{(1-k^2)/k^2}^k > (k-1)/k,　
∴　{k/(k-1)}^(k-1) < {(k+1)/k}^k < ････ < e,　　(単調増加)

・右側　>>40 または
　{1,1,･･・･,1,k/(k-1)} (k+1個) の相加･相乗平均から、
　{(k^2)/(k^2 -1)}^(k+1) > k/(k-1),
∴　e < ････ < {(k+1)/k}^(k+1) < {k/(k-1)}^k,　　(単調減少)

おぉ、書き間違いがあったよ。どうりで誰も解いてくれないわけだ……

0＜x＜1、xは10進数表記、小数点以下n桁以下の実数であるとする。
このとき、xは10^n-1通り考えられるが、これらの中から等確率に一つの数を選び、
選んだ数の小数点以下第ｋ位に初めて2009（小数点以下k位が2、k+1位が0……という意味）という数字が現れる確率P(n,k)とする。

lim[n→∞] Σ[k=1,n] k*P(n,k)

を求めよ。

−−−−

わかりにくいと思うので、念のため説明
p(5,1) は、0.00001、0.00002、0.00003、……、0.20090、0.20091、……
の中から0.2009Xとなるものが現れる確率。
なので、P(5,1) = 10/99999です。

〔問題〕k≧2 のとき
　{k/(k-1)}^(k - 1/2) > e,
を示してくださいです。

>>44

2項定理より
　{(k^2)/(k^2 -1)}^(2k+1) = {1 +1/(k^2 -1)}^(2k+1) = Σ[j=0,2k+1] Ｃ[2k+1,j] /(k^2 -1)^j
　> 1 + (2k+1)/(k^2 -1) + (2k+1)k/(k^2 -1)^2 + (2k+1)k(2k-1)/{3(k^2 -1)^3　　(今回はj=3まで残す)
　> 1 + (2k+1)/(k^2 -1) + (2k+1)k/(k^2 -1)^2 + k/(k^2 -1)^2　　　(← (2k+1)(2k-1)>3(k^2-1))
　= 1 + 2(k+1)/(k^2 -1) + (k+1)^2/(k^2 -1)^2
　= 1 + 2/(k-1) + 1/(k-1)^2
　= {1 + 1/(k-1)}^2
　= {k/(k-1)}^2,
平方根をとると
　{(k^2)/(k^2 -1)}^(k + 1/2) > k/(k-1),
∴　{k/(k-1)}^(k -1/2) > {(k+1)/k}^(k +1/2) > ･･･(単調減少)･･･ > e,


〔系〕n≧2 のとき
　n! < e･n^(n +1/2)･e^(-n),

(略証) 上式にkをかけて
　{k^(k +1/2)}/{(k-1)^(k -1/2)}　> ke,
k=2〜n で辺々掛ける.
　n^(n +1/2) > n! e^(n-1),

なお、Stirling の公式によると、
　n! 〜 c･n^(n +1/2)･e^(-n),　ただし、c = √(2π) = 2.506628･･･

>>43
nが十分大きいとして
P(n,1)=P(n,2)=P(n,3)=P(n,4)=1/10000
P(n,5)=1/10000(1-P(n,1))
P(n,6)=1/10000(1-P(n,1)-P(n,2))
…
P(n,n)=1/10000(1-P(n,1)-P(n,2)-…P(n,n-4))
よって
Σ[k=1,n]P(n,k)=1/10000{n-Σ[1,n-4]((n-3-k)P(n,k))}
=1/10000{n-(n-3)Σ[1,n-4]P(n,k)+Σ[k=1,n-4]kP(n,k)}
ここでlim[n→∞]Σ[k=1,n]P(n,k)=lim[n→∞]Σ[k=1,n-4]P(n,k)=1 (確率の和は1に収束)なので
lim[n→∞]Σ[k=1,n]kP(n,k)は収束し
lim[n→∞]Σ[k=1,n]kP(n,k)=lim[n→∞]Σ[k=1,n-4]kP(n,k)
その極限値をαとおくと
1=(3+α)/10000
∴α=9997

俺がやったら9996になったが……
＞ここでlim[n→∞]Σ[k=1,n]P(n,k)=lim[n→∞]Σ[k=1,n-4]P(n,k)=1 (確率の和は1に収束)なので
＞lim[n→∞]Σ[k=1,n]kP(n,k)は収束し
ｋｗｓｋ

>>47
ありゃまちがえたか？
実はlim[n→∞]n{1-Σ[k=1,n-4]P(n,k)}が不定形なんだけど適当に0にしたんだよねーアハハ

アハハ

〔問題〕
　c･n^(n +1/2)･e^(-n) < n! ≦ e･n^(n +1/2)･e^(-n),
を示してくださいです。 ただし、c=√(2π),


できれば >>44-45 のように代数的に･･･

いつから>>50の宿題をやってあげるスレになったんだ？
だいたいやってあげるやつがいるから図に乗るんだよ
質問スレいけや

>>51
いやいや、コイツは自作自演してるんだよ。何がしたいのか意味不明ｗ

・数式の右側にカンマがついている
・数式の前に全角空白
・〔問題〕という変わった書き方(普通、〔 なんていうマニアックなカッコは使わないｗ)

こういう独特な書き方からして、
30＝31＝39＝40＝41＝42＝44＝45＝50
と推測される。特に>>39と>>40は酷く、投稿間隔が59秒という神業ｗ
どう考えても自作自演。

今回もまた、>>50本人が後から「自分で」解答をつけるんだろうよ。

>>52
なんか実力のともなわない理系願望でもあって
そんなことに気付かない少数のネット初心者やマヌケ相手に
見せかけの賢さを尊敬されたいんじゃないの？

出題のセンスからして理系とは思えないし、ましてスレタイには全然あってない

こんな簡単な問題はどの旧帝大の入試にも出ないと思うが。
暇だったら解いてみて。


ａを実数の定数とする。すべての実数ｘに対して次の式が成り立つような多項式ｆ（ｘ）をすべて求めよ。
ｆ（ｆ（ｘ）＋ａ）　＝　｛ｆ（ｘ）｝^2

>>54
マルチ

>>55
書き込み時刻を見ればわかる。こっちの板に書いたのが先。

だから？

>>57
頭悪っ

2箇所(以上)に投稿してしまった行為そのものが
批判されているのであって、どっちが先とかは
関係ないような気が。

そもそも教えて欲しい奴がなんでここに書き込むんだ？


>>48
ちょwww

春分の日に地面に垂直に長さ1の棒を立てた。
この日この地点での南中高度はπ/4であり、日の出は午前6時ちょうどで日の入りは午後6時ちょうどであった。
この日の午前10時から午後2時までに棒の影が地面に描いた部分の面積を求めよ。
ただし、太陽は見かけ上天球を一定の速さで動いているものとし、棒の先と影の先を結ぶ直線が地面となす角を太陽の高度と見なす。

…なかなかシンプルに書けないが意味は伝わるかな

>>59
マルチ

>>54
fをn次式とすると、題意より
　n^2 = 2n,
∴　n=0 または 2.　
・0次のとき、
　f(x)=0 または f(x)=1,
・2次のとき、題意より、
　f(y+a) = y^2,
が成り立てば十分。
　f(x) = (x-a)^2,

>>61
自分で解いた？

>>64
一応できたと思うよ、そんなに汚くない答えになった

わかってると思うけど一応条件として太陽は真東から出て真西に沈むこと
あと“太陽を空間の1点としたときそれと棒の根本を結ぶ直線に平行な光線で影ができる”としてね

〔問題〕
　c･n^(n +1/2)･e^(-n) < n! ≦ e･n^(n +1/2)･e^(-n),
を示してくださいです。 ただし、c=√(2π),


できれば >>44-45 のように代数的に･･･

>>59
マルチ

>>43は結局9997なのか9996なのか

>>48をみるかぎり9997は間違いのようだぞ
9996の人ないし出題者の解答を見てないから9996が正しいかはどうかはわからん

すまん、もう一度やったら9997になった。
しかし、証明が間違ってることは事実なんだね……
今会社なんであれだが、あとで証明UPしてもいい……あとと言っても、最悪土日だが……

>>48
lim[n→∞]n{1-Σ[k=1,n-4]P(n,k)}=lim[n→∞]10000*nP(n,n)=0

OK

人いねーな

>>70
まだか？

578 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2009/02/24(火) 23:37:23
>>576-577
過去ログ倉庫の避難所を用意しました。
http://cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/

はずいので読まないでくれ
----

明らかに
p(n,1)=p(n,2)=p(n,3)=p(n,4)=10^-4
p(n,k+4)={1-Σ[i=1,k]p(n,i)}/10^4
後者の式よりp(n,k+4)-p(n,k+3)+p(n,k)/10^4=0が成立。

以降、p(n,k)がnに依存しないことは明らかなので、単にp(k)と書く。

これは五項間漸化式なので、特性方程式x^4-x^3+10^(-4)=0の解をα、β、γ、δとすれば、ある定数A,B,C,Dを用いてp(k)=Aδ^k+Bδ^k+Cδ^k+Dδ^k。
-1＜α、β、γ、δ＜1より明らかに、
Σ[k=1,∞]kp(k)=Aα/(1-α)^2 + ……となる。

分母は明らかに特定方程式をf(x)=x^4-x^3+10^(-4)として、f(1)^2=10^(-8)となる。
分子を計算する前に、特性方程式の解α、β、γ、δの関係式
β+γ+δ=1-α
βγ+γδ+δβ=-α(β+γ+δ)=α^2 - α
βγδ=-α(βγ+γδ+δβ)=-α^3 + α^2
に注意して、Aα{(1-β)(1-γ)(1-δ)}^2=Aα^7を得ておく。
これと、p(k)=Aδ^k+Bδ^k+Cδ^k+Dδ^kから、分子はp(7)。

以上より、求める値は10^8*p(7)=9997

解き方に漏れがありそうな気がしますが、一応・・・。

//-----------------------------------------------------------

xy平面上において、x 座標とy座標がともに整数であるような点を格子点を呼ぶ。

全ての格子点間を、x軸方向およびy軸方向にのみ線で結ぶと、
一片の長さが１である正方形を隙間無くタイル状に敷き詰めた図ができる。

このxy平面上に、１辺の長さが 1/2 である正三角形Ｔをランダムに置く。
（注：つまり、xy平面と平行に、向きや位置を全くランダムに、正三角形Ｔを置く）

この条件下で、前述の（１辺の長さ１の）正方形のうちちょうど４個が、正三角形Ｔと重なるような、確率を求めよ。

ただし、三角形Ｔとこれら正方形において、１点でも共有点がある場合、重なっているとみなす。
（辺や頂点同士でも重なっているとみなす）

//-----------------------------------------------------------

もうこのスレ終わったな

>>76
なにがしたいの？

楕円C：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 (a，bは実定数で，a>b>0) 上に第一象限内の点Pをとる．
点PでのCの接線をL[1]，法線をL[2]とし，原点を通りL[1]，L[2]に平行な直線をそれぞれL[3]，L[4]とする．
このときL[1]，L[2]，L[3]，L[4]で囲まれてできる図形が正方形となるように，a/bの値の範囲を求めよ．

√{15-√6-√2}を簡単な形に直せ。
別スレで作ってみたんだが、２０分で解ける人いたら尊敬。

ここで言う必要ないかもしれんが、
＊簡単な形とは、二重根号を用いず有理化した形。

>有理化

意味不

中学からやり直せ

>>80
(a\sqrt{2}+b*sqrt{3}+c*sqrt{6}+d)^2=15-\sqrt{2}-\sqrt{6}としてa,b,c,dを求めようとしたが、
a=0.2251417501, b=-2.225751456, c=0.07538322136, d=0.01525049918
としか得られなかった…。

>>84
スマソ。何を勘違いしたか…
√{15-2√6-2√2}を簡単な形に直せ。
だた…。

>>84
これはこちらが、別スレで煽り相手に出したため点検を怠ったミスなので、
御詫びを兼ねて大ヒントを出します。つうか、このヒントなきゃ誰も２０分で解けないかも…。

根号の係数は全て１。

ばかばかしい

あ、違う√{27-2√6-2√2}だった…ｗ

あ、じゃない何度も訂正スマソ。√{15-2√6-2√2}であってるあってる。

>>89はオレね。何度も訂正スマソ

>>84のように置いて a, b, c＝±1, d∈Z と仮定し展開，係数比較より4方程式得られる．
自乗和の式よりa=±2が得られるので，後は場合分け．
候補として±(2+√2＋√3ー√6) を得る．

2+√3＞√6に注意すると 2+√2＋√3ー√6 のみ適合．



都合7度もレスするのは頂けない．ちゃんと整理してから書くように

>>91
自乗和の式よりd=±2が

と訂正

>>91
スマソ。ただこのスレはレスした直後解いてる人間がいる可能性が高いので、
早めに間違いなら訂正しようとして、余計に長くなってしまった。

やるな…ヒントなしでも解けてたか…？さすがこの板でもレベルが高いスレ

4+2+3+6=15だからな。

>>93
連立方程式が手強いと思ったのでヒント使ったｗ

しかしよく考えるとヒント無くても全然いけるな．場合分けが増えるだけで．
2a^2+3b^2+6c^2+d^2＝15
で全て整数と仮定したから(ちゃんと書けてなかったがそういうことで)，a〜dのいくつかが0になる場合を除き，a^2, b^2, c^2＝１．
つまり根号の係数は±1(>>84は+1ともっと限定的だな)
どれかが0の場合，矛盾が出るんだろう．

スレにそぐわないアホがいるな
二重根号を独学で覚えた中学生くらいか
対象も高１文系程度かね

＞さすがこの板でもレベルが高いスレ
ギャグセンスだけはあるのかもな

ま、入試に出るなら(1)で係数が１であること証明して…って感じだろうな。
煽り相手に短時間で作った問題だが。

高校入試か

二重根号は範囲外だろ

>>96
誰でも解ける難問こそ深い

むしろその深さというかひねりというか、出す意義がなくね？
特に東大入試としてだと。

別に根号の問題にする必要はない。式=n^2の形にしたときのnを求めよ、など。

(3)で一次独立を題材にした(2)を用いる東大っぽい問題か何か出せばいい。（無茶振り

誘導問題にして，(2)は立方根外させればおｋかな
整数問題になるな

分かったから、東大の過去問を10年分くらい解いてからまたここに来い

>>102
でもそれがないわけだろ。単独でのひねりや工夫のポイントは特にない
係数比較を面倒にしただけの、手間の問題でしかない

>>104
ま、ここにいる住人は明らか、今の東大受験生のレベルを越えてるだろうがね。

複雑にすれば、かなり面倒な整数問題になりそう。
分数とかにすると…

>>99
良いことを言うね
でも、誰でも解ける難問ってどれ？

そういうのは、解法見たら発見や感動があると思うんだ。

>>105
次のうち根号を外せないものはどれだ？はどうだろう。
直感が必要になってきて、普通に解くより工夫もいりそうなんだが。

>>107
誰でも解けるって、解き方を習ってるって意味だぞ。
感動は確かにないかも。ありきたいと言えばありきたり。

東大は計算量が多くなるのを厭わないところだが，単なる計算問題は出さないからな

じゃ、
二重根号→√の和
で、出てきた一次独立の和の結果を、ベクトルの一次独立と繋げて、
ベクトルの問題を出す。

二重根号と、ベクトルで描かれる図形の間に相関関係が！

>二重根号と、ベクトルで描かれる図形の間に相関関係
例えば．．？

それはしらん

√(a+b−2√ab)＝|√aー√b|
程度ではちょっと．．．

ま、なかなかいい計算練習になるな。問題作成は。
√関連で、
√(a+i)^n
が整数となる整数nが存在するのは、a=1の時に限る事を証明せよ。
って高校の範囲で解ける？無理だよね？

あ、違う。違ってもいないけどすまそ。
(a+i)^nが整数となる整数nが存在するのは　ね。

これがゆとりか

みたか、ゆとりの本領を！
じゃ、寝る！

久々に伸びてると思ったらこれか

高一に相手にふんぞり返って
√√(-2401)
を出題しておきながら複素数の説明無しなのに√√(-1)の未処理に
減点判定していたβさんじゃないですか

×高１に相手に
○高１相手に
答えたのは高１じゃない
（つうか数学９点のスレ主がまともに答えられるわけねーだろ…）
君が来るスレじゃないんで戻りなさい。

大学で学ぶ内容を元ネタに大学入試問題を作る場合、作問者のセンスが問われる
元ネタの選び方が素晴らしければ良問になり得るが、選び方が悪ければただのオナニー
更に、選び方が素晴らしくても問題の作り方が悪いと寒い問題になる

非実数な複素数の1/2乗は一意に定まらないってのが面白い点だと思う
でも入試に出すには不適切かと。課外研究の良いテーマではあると思う

β恥録
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1238490664/30
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1238490664/226

D＝{(x,y) | 0≦x≦1, 0≦y≦1} ，定点 A(a,b) ∈ D とする．
また点Aを通る任意の直線と D との共通部分の長さの最小値を L(a,b) とする．
L(a,b) ≧ 1 となる点(a,b)の存在範囲を求めよ．

× L(a,b) ≧ 1
○ L(a,b) ＝ 1

>>121
確かに一意的に定まらないことを題材として、良い問題が作れそう。
まぁ不適切かもしれんが。

つか煽りのつもりで出した問題が意外と評価されてるｗ

>>123
定点 A(a,b)に対して L(a,b)＝1じゃないの？常に．
軸と平行な直線でね．傾きをちょっとでも変えると共通部分は大きくなるから．
だからDと一致．

問題文おかしくね？俺がおかしいのか．．．？

>>126
あふぉ？

>>126
落ち着け

スマソ。オレにつられてやってきたアホスレの、
連中かも知れん。
ただオレを煽ってるヤツほどバカではない。
なぜならそいつらは、オレの訂正した問題を全て問題だと勘違いするほど、
イカれてるからな…

ヤツ「ラ」ほど　ね

βはさっさと数学板から聞いて下さい

>>129
関係ねーよ。何で俺１人が「ら」になるんだ？
俺１人がやった事を場の人間全部に当てはめる癖…

あ、そう言えば前から１人のやった事を
全てに当てはめる様な事やってるよなお前は

と言うかあれは７回も問題訂正レスしてる事を含みを持たせたんだが

>>50

　a_n = n!(e^n)/n^(n +1/2),
とおくと、>>44-45 より
　a_k / a_(k-1) = e･{(k-1)/k}^(k -1/2) <1,
∴ a_n は単調減少。
lim[n→∞) a_n = c,
とおけば、
　c < a_n ≦ e,　　　　(等号成立は n=1)

次に c=√(2π) を示す。
　b_m = (a_m)^2 /{a_(2m)} = (4^m)(√2)/{Ｃ[2m,m] √m},
とおくと
　lim[m→∞) b_m = c,

ところで、I_n = ∫[0,π/2] (sinθ)^n dθ とおくと、
　I_n = {(n-1)/n}I_(n-2),　I_0 = π/2,　I_1 = 1,　
より
　I_(2m-1) = (4^m)/{2m･Ｃ[2m,m]} = b_m /√(8m),
　I_(2m) = (π/2)Ｃ[2m,m] / (4^m) = π/{b_m･√(2m)}
　I_(2m+1) = {2m/(2m+1)}I_(2m-1),
明らかに
　I_(2m+1) < I_(2m) < I_(2m-1),
∴　√(2π) < b_m < √{2π(2m+1)/(2m)},
∴　c = lim[m→∞) b_m = √(2π), 　(終)

ちっとも代数的ぢゃねぇが･･･

βは荒らすな

>>132
１行目：いや、お前一人を「ら」にしてないぞ？
２行目：一度もやってない。
３行目：×を含みを　○に含むを

>と言うかあれは７回も問題訂正レスしてる事を含みを持たせたんだが

やっぱり、あのスレの住人のようです

>>135
A「私は正直である」
さて、Aは正直者か嘘つきか？

>>136
あー違う逆
誰がβを褒めに言ってるのか見に行ったんだよ
あそこに７回とか書いてあったからまんま鵜呑みしてた
このスレで何回だったか数えたわけではなくて

結局、評価されたのは最近だから前後関係おかしいし
逆に非難の方が強かったな

Paradox

問題文読み間違えて質問してたようだけど、解けたのかな？？

>>133

　b_m = {(2m)!!/(2m-1)!!}√(2/m),
　I_(2m-1) = (2m-2)!!/(2m-1)!!,
　I_(2m) = (π/2){(2m-1)!!/(2m)!!},
　I_(2m+1) = (2m)!!/(2m+1)!!,

なんかβ自己弁護に躍起だけど

数々の恥の歴史は事実なんだよね

>>127-128
理解した．読み違えてた．．．(というか完全に都合良く解釈してた)
「正方形の2辺上に端点を持つ長さ1の線分を動かしたときに出来るアステロイド曲線」
が題材ってことね

計算はまだしてないが．．．

次の性質を満たす数列 {a_n}，{b_n} の例を一つ挙げよ．

(1) lim[n→∞] (a_n/b_n) ＝ 1
(2) lim[n→∞] (a_(n+1)/b_n) ＝ 0
(3) lim[n→∞] (a_n/b_(n+1)) ＝ ∞

簡単すぎ？

これでいいの？

a_n = b_n = 1/(n!)

(4) 任意のnで a_n ≠ b_n

を忘れてました．すんません．

>>144
a[n]=x^-n + x^-(n+1)
b[n]=x^-n
とか？

x って？

>>148
アホがうつるぞ

a[n]=n^-n + n^-(n+1)
b[n]=n^-n

だったｗ
なぜかx使ってた。

eになる。無視してｗ

なにこいつ・・

>>152
バカは黙っとけ

もうこのスレ誰も興味持たないからいらないんだよな
βの好きにさせときなよ

>>144
nが偶数の時、
a[n]=2+(-2)^n
b[n]=2-(-2)^n
nが奇数の時、
a[n]=2+(-2)^(n+1)
b[n]=2-(-2)^(n+1)
これは？

ついでに本気で解いてないｗ
本気で解いたらできるけど、
まぁ問題の核心が分かったんでミスしててもいいでふ

>>144
a_n = 1/(n!)
b_n = 1/(n!+1)

a,b,cは自然数である。
a は奇数である。
a,b は互いに素である。
a^2 + b^2 = c^2 が成立する。
//-----------------------------------------------------------
以上が全て成り立つとき、
d = √{(a + c)/2} なる d　を考える。

dが自然数となる場合があることを示せ。

>>158
a=3,b=4,c=5のときd=2

>>158
m、nが自然数のとき
(m^2 - n^2)^2 + (2mn)^2=(m^2 + n^2)^2　だから
mを偶数、nをmと素な奇数に選らび　a=m^2 - n^2、　b=2mn、 c=m^2 + n^2　とすれば
D=(a + c)/2=m^2 だから　d=√D=m　は自然数

>>159

あう・・・問題文工夫すればよかった

>>160
てか、大学入試の整数問題で難問つくるのむずかしいか・・・

564:べ 2009/07/08(水) 20:39:35
>> 1　への練習問題
x>3を満たすxとして適切なものを次のうちから全て選べ｡
（つまり、３より大きいと言い切れるものを全て選べ。)
-3　√10　0　99999/33332　2.99　3　π　√√26　∞
3!/2!　10sin17° log20　√7+0.3541　e　i　[x→3]x

＊とりあえず、分からないものは飛ばして、そうだと思うものだけ全部選んで見る｡
＊電卓禁止。余裕があれば理由も添える事｡

一応あげとく｡

ちょｗｗ数学テスト９点、誰か助けてくれー！
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1243585921/

注意：このスレの“１”は高一

　　　　640:べ 2009/07/09(木) 01:20:01
　　　　>> 639
　　　　∞は一番大きいという概念だから３より大きいだろ。数とかの次元じゃない｡

>>163
「∞は一番大きいという概念」
そうなんですか？ｂｙリアル高校生

「１番大きい数」というのは、定義できないけど（ですよね？)
「１番大きい」というのもなんか・・・単に言葉のあやで、数学の世界では、別に問題ない表現なんんでしょか？

>>164
∞は数字じゃなくてただの記号

>>164
これ>>163は糞コテの恥レスを晒したものです
アホが伝染するので真面目に受け取らぬ様にお願い致します

3･2^a-1=b^c
は任意の2以上の自然数a,b,cで成立しないことを示せ

>>167
１分ぐらいで、しかもちゃんと解いてないから間違ってるかも

mod 4,12での合同式より、b^cが3,11の倍数であることを証明して、
b^c=33kとして与式に代入、
左辺が3の倍数-1、右辺が3の倍数となって、不成立。

とかか？

4の倍数-1は3の倍数
12の倍数-1は11の倍数
とかいわないよな
いくらβでも

あ、途中から訳わかんない事やってるｗ
でも眠いんで寝るわ。

とりあえずmodを使って、
（まぁ使わなくとも即出せるが）
b^cが12の倍数-1にはならないことを証明する。という所まではいけたが、
証明がなかなかできそうにないので、諦めた

方針違ってたらスマソ

気のせいかどうか知らないけど
11^1 = 12 - 1
12^3 = 12*111 - 1


まー、俺はべ様ほど頭良くないんで間違ってると思うが

>>173

ここは馬鹿であることを遠慮なく告白するスレなのか？

>>173
それを利用すればできるじゃね？
まぁ、また気が向いたら。その頃には解かれてるかもだけど。

>>175
それは君だけだろう

>>713
まず、上は2以上なんだからc=1は間違い。
下は、一致しないぞーい。

やっぱ利用できそうにないか…

>>177
11^3 = 12*111 - 1

あ、違うｗ
12の倍数じゃなくて、12*2^nだった…。
111は2^nじゃないと…
合ってる式なんだしそりゃ解けんわな…。
これなら解けそうだな…気力がある時にやってみる。

a＝2のときは11＝b^c となって、これを満たすb,cは無い。

a≧3のときは、mod 8で考えて−1≡b^c となるから、もし
c＝2mだとするとb^c≡0,1,4 となり(∵b^2≡0,1,4 (mod 8)しか起こりえない)、
−1≡b^c は起こりえない。

よってc＝2m＋1 (m≧1)ということになる。bが偶数だとすると
b^c≡0となってしまうので、bは奇数となる。最初の式に戻って
3*2^a＝1＋b^c＝(b＋1)(b^{2m}−b^{2m−1}＋…＋1) となるが、
bは奇数だから(b^{2m}−b^{2m−1}＋…＋1)も奇数であり、よって
2^a｜(b＋1) ということになる。よってb＋1＝2^a，3*2^a を得る。

b＋1＝3*2^a のときは、3*2^a＝1＋b^c からbを消去して
3*2^a＝1＋(3*2^a−1)^c となるが、簡単のためx＝3*2^a (≧12)
と置いて、x＝1＋(x−1)^c≧1＋(x−1)^2 よりx^2−3x＋2≦0となり、
よって1≦x≦2となる。しかしx≧12だから矛盾。

b＋1＝2^a のときは、同様に3*2^a＝1＋b^c からbを消去して
3*2^a＝1＋(2^a−1)^c となるが、簡単のためx＝2^a (≧4)
と置いて3x＝1＋(x−1)^c≧1＋(x−1)^2 よりx^2−5x＋2≦0となる。
これを満たす自然数xはx＝1,2,3,4しか無いので、x≧4と合わせて
x＝4を得る。よってa＝2となるが、a＝2の場合は既に見た。

mod使う事と、bが奇数なのはすぐ分かったが、
1+b^cを展開して解くというのはなかなか…。

>>180
b^c+1が3の倍数⇔b+1は3の倍数かつcは奇数
だからb+1=2^mは外せる

>>181
この操作は因数分解って言って展開とは逆操作なんだよ

>>183
二項展開のような意味で使ったんだが・・

まぁ、丁寧な返答ありがとう。
ここには質問者をバカにする連中もいるからな。

ニ項展開の展開も普通の展開と同じ意味なんだけど

1辺の長さが１の立方体を平面で切るとき、断面図の最大値、最小値を求めよ

【炎上】彼氏が通報者の車に醤油かけて仕返しした
http://changi.2ch.net/test/read.cgi/kankon/1248194952/l50

>2009年：1位-中国、2位-日本、3位-ロシア、4位-韓国、5位-北朝鮮、6位-アメリカ

>国際数学オリンピックの引率の先生がラジオで言ってたんだけど、問題は前日に配られて、
>それを言語のできる " その国の引率の先生 " が各自翻訳するらしいです。
>だからと言って生徒に、問題や解答が事前に漏れてるとは言ってませんでしたよ。

前からこの辺りが胡散臭いと思っているんだけど、見方によってはかなりインチキ臭い国際大会。

4角柱の問題　→　http://www.geocities.jp/eig35153/m-1/Mobius.html
球体から反射された光線が到達する地点　→　http://www.geocities.jp/eig35153/m-1/Q-4.html
反転ゲームの最短回数　→　http://www.geocities.jp/eig35153/m-1/h-1.html
( 縦横とも2n個の時の一般解も出して頂けると、すごいと思います )

アリの戦争　→　http://www.geocities.jp/eig35153/m-1/b-h.htm
立方体の通路　→　http://www.geocities.jp/eig35153/m-1/l-1.html
( 頂点から頂点までの通路は、他の通路と交差している交差点があっても直進する )

回転する光の通過速度　→　http://www.geocities.jp/eig35153/m-1/4-1.html
入れ子になった回転リングの軌跡　→　http://www.geocities.jp/eig35153/m-1/ling-1.htm

問題 : ミサイル曲線
ｘｙ平面の原点に地対空ミサイルが設置されている。　時刻ｔ＝０に上空（０，ｈ）を敵戦闘機が速さｖでｘ軸に平行に
ｘの負の向きに一定の速さｖで飛行している。　このミサイルは常に目標をめがけて一定の速さＶで飛行する。　時刻ｔ＝０で発射されたミサイルの
(１） 軌道を表す曲線の方程式を求めなさい。 (２） 戦闘機が撃墜される時間はいくらか。
ただし　ｖ＜Ｖ　とする。　　　戦闘機もミサイルも点と考えてよい。

問題 : 伸びるゴムひも上を移動する虫
1mのゴムひもの左端を固定します。左端に虫をおきスタートと同時に虫がゴム上を5cm/sで歩き、
ゴムひも自体を右端を5cm/sで引き延ばした場合に虫が右端に到達する時間を求めなさい。

問題 : 蛇口から流れ落ちる水流の曲線
水道の蛇口から少量の一定の水を流すと落下につれて水流が細くなってきます。
蛇口の中心から下方へｘ軸、それと垂直方向にｙ軸をとった場合、落下水流の形を示す方程式ｙ＝ｆ（ｘ）を求めなさい。ただし粘性率＝０
Ｓ：蛇口の断面積、　　ｖ0：蛇口での流速、　　　ｇ：重力加速度とします。 また水は自然落下するとします。

167の解答
3･2^a-1=b^c
についてcを奇数としても一般性を失わない
また左右の偶奇を考えてbは奇数3･2^a=(b+1)(b^(c-1)-…+b^2-b+1)と因数分解され、
(b^(c-1)-…+b^2-b+1)は奇数よりb+1は3･2^a,2^aのどちらかでこの時
b^(c-1)-…+b^2-b+1=3,1
b(b^(c-2)-…+b-1)=2,0
bは3以上で左辺整数だから右辺2は不適。これより
b^(c-2)-…+b-1=0だけだが
b(b^(c-3)-…+1)=1を満たすものは上と同様に考えて存在しない //
出典はVIPの数学wiki

なんで最後で照れてんだよ

>>187
最小値は 0

>>187
六角形の時が最大か？

>>195
ダウト

http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/danmen.htm
【３】高次元の球と立方体の断面の体積

（１）ボールの不等式

　ｎ次元単位立方体の断面の体積の最大値について考えてみましょう．

　１辺の長さが１の正方形（２次元単位立方体）の切り口は単に線分になるから，
その長さが最大となるのは対角線であって，最大値は√２となる．
対角線とは頂点とその対角にある頂点を結ぶ線分で，正方形の原点を通るものである．

　また，（３次元）単位立方体の断面は，
３角形・４角形・５角形・６角形などいろいろな形をとるが，立方体の中心を通り，
辺とその対蹠に位置する辺を含む平面で切ったとき，断面積は最大値√２になる．

　２次元・３次元での問題は，
４次元の場合あるいは考察をもっと高次元化していくこともできますが，
ｎ次元単位立方体を中心を通る超平面で切ったとき，その切り口の体積（断面積）Ｖは，
　　１≦Ｖ≦√２
であることが，ボールによって証明されています（1986年）．

　ボールの不等式のいいところは，Ｖが次元によらず，√２で上から評価されている点です．
ボールの不等式は２，３次元でも一般次元でも同じ形で成立しましたが，
こんなことがつい最近まで証明されなかったのは，一般次元における幾何の問題は，
高い次元になると多くの反例が作れるからだと想像されます．

>>197
3次元の場合，最小値が1はおかしい
なので何か切り方の条件があるんだろ

＞ｎ次元単位立方体を中心を通る超平面で切ったとき，その切り口の体積（断面積）Ｖは，

>>197

ロイヤルストレートフラッシュができる確率を求めなさい

いやです。

誰か>>61やってくれよ
悲しくなるよ

m,nを正の整数値とする。2^nが3^m - 1を割り切るとき、nの最大値をmであらわせ(そのnが最大値であることを証明せよ)。

例 3^960 - 1 を割り切る 2^n の最大値 → n=8

＞理系で数学が得意な高校生が２５〜５０分で…
私は４〜５時間かかりましたが現役なら２５〜５０分かと。

>>204
解いてて，mの奇偶で分けるだけで意外と楽だなーと思ったが偶の場合がめんどくさく1.5〜2時間ぐらいかかったかなｗ
ちょっとミスしても得意だったら，50分以内に解けるか．．．

取り合えず答えだけ
――――――――――――――――――――――――――――――――――――
題意を満たすようなnをn(m)と表記する．

(1) m＝1,3 (mod4)
n(m)＝1

(2) m＝2 (mod4)
n(m)＝3

(3) m＝0 (mod4)
m＝(2^l)・k (k∈Z odd)
と表示したlを用いて
n(m)＝l+2

>>205
答えは正解です。
やっぱり証明は長くなりましたか？

>>all
素朴な方法で証明できるので挑戦してみてね！

>>206
今 清書してるが，A4 2枚には収まるかな．．．
(3)の場合がちょっとね

ちなみに
3^a-1＝(3-1){3^(a-1)+3^(a-2)+…+3+1}
を用いて示した

(3)の表現がおかしかった
――――――――――――――――――――――――――――
正しくは以下：
(3) m＝0 (mod4)
m＝(2^2l)・k (l∈N, k∈N odd)
と表示したlを用いて n(m)＝2l+2
――――――――――――――――――――――――――――
l＝0の場合は(1)だし，2kの場合は(2)だから(4^l)kに訂正
kはZ oddでも問題ない(m>0なので)が，一応 正の奇数 なので．

次から解答

(1) m＝1,3 (mod4)
m＝2k-1 ( k∈N ) とおけて，
3^m-1＝3^(2k-1)-1＝(3-1){3^(2k-2)+3^(2k-3)+…+3+1}
このとき，2つめの括弧内に数が2k-1項，つまり奇数項あることに注意しておく．
続けて 3^m-1＝2・{3^(2k-2)+3^(2k-3)+…+3+1}
ここで第2項について，2項ずつ組にすることにより
3^(2k-2)+3^(2k-3)+…+3+1＝{3^(2k-3)}{(3+1)+{3^(2k-5)}(3+1)+…+3(3+1)+1}
＝{3^(2k-3)}・4+{3^(2k-5)}・4+…+3・4+1＝1 (mod2)
したがって2でのみ割り切れる ∴ n(m)＝1

(2) m＝2 (mod4)
m＝2k ( k∈N odd) とおけて，
3^m-1＝3^(2k)-1＝(3-1){3^(2k-1)+3^(2k-2)+…+3+1}
このとき，2つめの括弧内に数が2k項，つまり偶数項あることに注意しておく．
続けて
3^m-1＝2・{3^(2k-1)+3^(2k-2)+…+3+1}
ここで第2項について，2項ずつ組にすることにより
3^(2k-1)+3^(2k-2)+…+3+1＝{3^(2k-2)}{(3+1)+{3^(2k-3)}(3+1)+…+(3^2)・(3+1)+3(3+1)+(3+1)}
＝{3^(2k-2)}・4+{3^(2k-4)}・4+…+3・4+4
＝4・[{3^(2k-2)}+{3^(2k-4)}+…+3+1]
∴ 3^m-1＝2・4・[{3^(2k-2)}+{3^(2k-4)}+…+3+1]
＝(2^3)・[{3^(2k-2)}+{3^(2k-4)}+…+3+1]
そして， 〔2つめの括弧内〕＝1 (mod2)

∴ n(m)＝3

(3) m＝0 (mod4)
m＝{2^(2l)}・k (l∈N, k∈N odd) と表せられる

以下，n(m)＝2l+2 であることを帰納法で示す
(i) l＝1
m＝4kより
3^m-1＝3^(4k)-1＝(3^(2k)-1){(3^(2k)+1}

3^(2k)-1＝(2^3)・(奇数) (∵ (2) )
3^(2k)+1＝{3^(2k)-1}+2＝(2^3)・(奇数)+2＝2{(2^2)・(奇数)+1}

∴ 3^m-1＝{(2^3)・(奇数)}×2{(2^2)・(奇数)+1}
＝(2^4)・(奇数)・{(2^2)・(奇数)+1}
∴ n(m)＝4

(ii) 一般のl, l+1のとき
m＝{2^(2l)}・k (l∈N, k∈N odd) と表示出来，過程よりn(m)＝2l+2
l+1のときは, 2m＝{2^(2l+2)}k で

3^2m-1＝(3^m-1)(3^m+1)

3^m-1＝2^(2l+2)(奇数)
3^m+1＝(3^m-1)+2
＝(3-1){3^(m-1)+3^(m-2)+…+3+1}+2＝2・[{3^(m-1)+3^(m-2)+…+3+1}+1]
同様に2項ずつ組にして
3^m+1＝2・[{3^(m-2)}(3+1)+{3^(m-3)}(3+1)+…+(3^2)・(3+1)+3(3+1)+1+1]
＝(2^2)・(奇数)

3^2m-1＝2^(2l+2)(奇数)・(2^2)・(奇数)＝{2^(2l+4)}・(奇数
∴ n(m)＝2l+4＝2(l+1)+2

よって示された□

>>208


>>205の表現が正解だと思います。
>>208だと、例えばm=8の時、(l、k)を上手く設定できないことになります。

ついでに言うと、(2)と(3)は一緒にしてOKだと思います。
その方が帰納法も楽になるし。

S[k]=Σ[i=0、k-1]3^i
L(p)=(2^Lがpを割りきるような最大のL)
とする。
以下証明の準備
�@L(p*q)=L(p)+L(q)�Apが偶数の時
3^p +1=9^(p/2) +1
≡2(mod8)
∴L(3^p +1)=1
�Bpが奇数の時
3^p +1=9^{(p-1)/2}*3 +1
≡4(mod8)
∴L(3^p +1)=2
で、こっからが本題。
S[2k]=S[k](3^k +1)
より
L(S[2k])=L(S[k])+L(3^k +1)
∴L(S[2k])=L(S[k])+1(kが偶数)
L(S[2k])=L(S[k])+2(kが奇数)
従ってn=2^l*p(pは奇数、l≧1)の時
L(S[n])=l+1+L(S[p])
S[p]=Σ[i=0、p-1]3^i
は、奇数個(p個)の奇数(各3^i)の和なので、奇数
∴L(S[p])=0
以上より
L(S[n])=0(nが奇数)
L(S[n])=l+1
∴L(3^m -1)=L(2)+L(S[m])
=1(mが奇数)
=l+2(mが偶数)

>>212は、字数の都合で幾つかはしょったり、
書くの忘れてるところがあったり、
改行してなかったりで見にくいと思うけど、こんな感じでどうでしょう。

nを2より大きな整数、pを奇数としたときp=1mod.2^nを満たすnの最大値をf(p)=nとすると
�@f(p^2)=n+1,�A奇数qにおいてf(p^q)=nとなることから3^2=1 mod.2^3から出発して帰納的
にもとまります。

�@と�Aの証明は2^nがp-1を割り切る最大値だからp=r*2^n+1 (rは奇数)と置いて
�@ p^2 = (r*2^n+1)^2 = 1 は mod.2^(n+1) で成立 mod.2^(n+2) で不成立
�A p^q = (r*2^n+1)^q = 1 は mod.2^n で成立 mod.2^(n+1) で不成立
※それぞれ二項係数展開して各項を2^n〜2^(n+2)で割ればわかります。

mが奇数の場合、3=-1 mod.2^2 → 3^m=(-1)^2 mod.2^2 となって2^2以上で割り切れないため、
2^1が最大。m=奇数 → n=1

mが2の場合、3^2=1 mod.2^3 は明らかで�@と�Aより帰納的に3^(q*2^d)=1 mod 2^(d+2)となり
m=q*2^d → n=d+2

でつ。。。

おおーすっきり

解答してる最中に段々いろいろ思い出したｗ

>>205で
>偶の場合がめんどくさく
と書いたが，どうも勝手に勘違いしてめんどくさがってたようでｗ

>>209-210でなぜ4の倍数に拘ったかはよく思い出せんが
2＾16-1＝(2^8-1)(2^8+1)＝(2^8-1){(2^8-1)+2}
といった関係をみて，まず偶数は別ということで，その後なんか思いついたんだろう

>>211
m=8が入らないことに気付けないとは我ながら．．．
さらにmodの扱いも酷い．まあよくこの手の問題でミスしてたから恐る恐る使ってしまったｗ

球面(x+7)^2+(y+9)^2+(z+7)^2=9がある。中心軸がＡ(3,-2,-1)B(-9,0,3)を通る直線に含まれる直円錐を球が円錐に含まれるようにとる。このとき円錐の表面積の最小値を求めよ。

実数x≧0 に対して、数列{x_n}を以下で定めます。

x_1=x
x_(n+1)=(x_n)^x

極限lim[n→∞]x_nを求めてください。

求めました(^_^)V

>>217
logx_n=y_nとおくとy_1=logx
y_(n+1)=x*y_n
よりy_n=x^(n-1)*logx
・
0<x<1のときlim[n→∞]y_n=0
・x=1のときlim[n→∞]y_n=0
・x>1のとき
logx>0なのでlog[n→∞]y_n=∞
以上より

・0<x≦1のとき
lim[n→∞]x_n=1
・1<xのとき
lim[n→∞]x_n=∞
・また、x=0のとき
lim[n→∞]x_nはx_2以降が定義されない
すげえつまんねーけど問題これであってる？

x_1=x
x_(n+1)=x^(x_n)
ならもう少し興味深かったかもしれん
いずれにしてもxの範囲から0は外さないと駄目だろ

2cosα+3cosβ+4cos(α+β)の最小値を求めよ。
ただし0≦α+β≦2πとする

なかなか難問だと思いますが・・・

864π

>>221
3つのベクトルa↑,b↑,c↑を次のようにとる
・｜a↑|=a、｜b↑|=b、｜c↑|=c、ただしa,b,cは正でab=1,bc=3/2,ca=2
・a↑とb↑のなす角はα、b↑とc↑のなす角はβ
このとき2cosα+3cosβ+4cos(α+β)=2(a↑・b↑+b↑・c↑+c↑・a↑)
=|a↑+b↑+c↑|-(a^2+b^2+c^2)

またa=2√3/3,b=√3/2,c=√3
a↑,b↑,c↑は自由に回転でき、c<a+bなので|a↑+b↑+c↑|=0となるように
a↑,b↑,c↑をとることができる

以上から求める最小値は0-(2√3/3)^2-(√3/2)^2-(√3)^2=-61/12

＞a↑,b↑,c↑は自由に回転でき、c<a+bなので|a↑+b↑+c↑|=0となるように
＞a↑,b↑,c↑をとることができる

を具体的に補足しておくと
α=11/24のとき|a↑+b↑|=c↑となるのでc↑=-(a↑+b↑)となるようにとれば
|a↑+b↑+c↑|=0

なんかところどころおかしいな
>>223　5行目
×　=|a↑+b↑+c↑|-(a^2+b^2+c^2)
○　=|a↑+b↑+c↑|^2-(a^2+b^2+c^2)

>>224
×　α=11/24のとき|a↑+b↑|=c↑
○　cosα=11/24のとき|a↑+b↑|=|c↑|

何度もすまん

原点をOとするxy平面上の格子点A(0)、A(1)、A(2)、……、A(n)、…を、次の条件を満たす格子点とする.
A(0)=O 　　　 |A(n-1)A(n)↑|=n　　　　A(n)A(n+1)↑・A(n-1)A(n)↑＝0　
(1)O=A(m)となりうるような自然数mをすべて求めよ.
(2)x軸上のある格子点Pに対して、P=A(N)となりうるような自然数Nが存在することを証明せよ.
(3)A(n)について、どのようなnについても一致しないようなxy平面上の格子点をすべて求めよ.

なんか問題文が変じゃない？
（２）は「ある」じゃなくて「任意の」ではないの？
（３）は「どのようなnについてもA(n)と一致しないようなxy平面上の格子点をすべて求めよ. 」と言いたいのかな。

>>227
すんません。その通りです。アホでごめんなさい

>>222
なにかと思えば>>216の答えだったんだな 、今やってわかった
要所は全て整数になるけどまあめんどくさかった

>>222,229
正解おめ。時間無制限でもそこそこきつい。30分程度で解ければ大したもんだ。

>>223 正解です　
試験内だと加法定理とか和積とかでガッツリやってはまっていく人が多いかな？

>>231
試験場では何も考えず微分する人が多いと予想

>>226
長くなりそうなので分割

以下、合同式はすべてmod 8であるとする。
p,qをそれぞれmを超えない最大の奇数、偶数として、
A(m)の座標は(±1±3±5±…±p,±2±4±6…±q) (複合任意),
もしくは上のx,y座標を入れ替えたものとして表される。
(1)±1±3±5±…±pについて、符号が正のものの和と負のものの和が
一致するので、1+3+5+…+pは偶数であり、p≡3,7
±1±3=0とはならず、1-3-5+7=0,1+3+5-7+9-11=0
(2n+1)-(2n+3)-(2n+5)+(2n+7)=0から、帰納的にp≧7なら
±1±3±5±…±p=0となるように符号を定めることができる。
±2±4±6±…±qについても同様に、q≡0,6
p≡3,7よりm≡0,7、すなわち
m=8k,8k-1(kは正の整数)

>>232
少し補足
座標が上の形で表されることについて
A(n-1)A(n)↑≠0↑から、A(n-1)A(n)↑⊥A(n)A(n+1)↑
A(0)A(1)=1から、A(1)として考えられるのは(±1,0),(0,±1)
よってA(n-1)A(n)はx軸,y軸と交互に平行となる。
各々のベクトルの向きを考えれば座標が±1±…±pのようになる
±2±4±6±…±qについて
0となる必要十分条件が、2でくくった後の和が
偶数であることが上と同様に示される

(2)(±1±3±5±…±p,±2±4±6±…±q)において、
y座標を0にできるのはq≡0,6であるから、
p≡1,5,7
このとき、うまくp,および符号を定めればx座標を任意の整数値に
することができることを示せばよい。
p≡1の場合
p=1のとき、1,-1を作ることができる。
-(2n+1)+(2n+3)-(2n+5)+(2n+7)=4から、pを十分大きくとれば、
すべての奇数値をとることができる。
p≡7の場合
1-3-5+7=0,1+3+5-7=2から同様にすべての偶数値をとることができる

(3)x,y座標の少なくとも一方は偶数であるから、
(2s+1,2t+1) (s,tは整数)という点が
A(n)と一致することはない。
これ以外の点がすべてA(n)と一致しうることを示そう。
p≡1のとき、±1±3±5±…±pは任意の奇数値をとる。
このときq≡0,2である。
±2±4±6±…±qが任意の偶数値をとることを示す。
q≡0のとき
2-4-6+8=0,-2+4-6+8=4から、4の倍数の値全体をとる。
q≡2のとき、2,-2を作ることができ、4の倍数でない偶数全体をとる。

p≡7のとき、±1±3±5±…±pは任意の偶数値をとる。
また、p≡3のときも任意の偶数値をとることが示される。
p≡7,q≡0として±2±4±6±…±qは任意の4の倍数をとり、
p≡3,q≡2として任意の、4の倍数でない偶数値をとる。
x座標、y座標の入れ替えを考えて、
少なくとも一方が偶数である格子点はA(n)と一致しうることが示された。

>>221
条件が無意味

n個の実数の平均の値は常にn個の実数の最小以上最大以下であることを示せ。
ただし、平均の値とはn個の実数a_i(i=1,,n)についてf(a_1,…,a_n)=f(x,…,x)を満たす実数xのことを指し、
任意のa_1〜a_nの値についてそれらをどのように入れ替えてもxはただひとつの同じ値をとるものとする。
また、fは連続であり、定義域はどの変数に対しても全ての実数である。＠v

>>232~234
お見事です！

nが4より大きい自然数のとき tan(π/n) は無理数である事を示せ。

>>221 cos(α+β)＝cos(2πｰ(α+β))に気づいたらベクトルを思いつくと思ってそのヒントと
して書いたつもりですが、確かに無意味ですね

>>238
三角関数の無理数性に関する問題は定期的に出てくるね。

その手の問題はここにまとめられてるよ。
http://blog.livedoor.jp/seven_triton/archives/51606089.html

>>231
普通の受験生の発想でもいけるんじゃないかな。
三角関数の合成により、
与式=2√(5+4cos(β))cos(α+γ)+3cos(β)≧-2√(5+4cos(β))+3cos(β)が出て
[ここに、cos(γ)=(2+4cos(β)/(2√(5+4cos(β)))、sin(γ)=4sin(β)/(2√(5+4cos(β)))]
A=-2√(5+4cos(β))+3cos(β)とおけば
dA/dβ=sin(β)(-3+4/√(5+4cos(β)))。
ちょっと符号変化を調べるけど、後の括弧の中が0になるβで
Ａは最小値　-61/12をとることが分かる。

>>240
見たけど間接的な証明だね。
tan の場合は直接的な証明は無いものか。

>>241
でも>>223の解法は、これいただき、使わせてもらおって感じだ
技巧に走っているわけでもないし使えそう

>>241 合成でもできましたか
問題を作ったときはベクトルでの方法しか頭になくて他の方法を試してませんでした
もう少し複雑にする必要がありますかね・・・

>>244
三角関数の最小問題である以上三角関数の微分でできないようにはできないだろ、多分
良問だしいい解法だと思ったがそれ以上の作為を入れると多分しょうもない問題になる

>>238
tan(π/n)が有理数であるとする。
nが奇素数pを素因数に持つとき、p=2l+1とすれば1≦k≦lなる整数kで
tan(kπ/p)は全て有理数となるが
Π[k=1_l]tan(kπ/p)=√pより矛盾。
n=2^m (m≧2)とすると、1≦j≦m-1なる整数jで
cos(π/2^j)が全て有理数となるが、cos(π/4)が無理数なので
条件にあう可能性のあるnは4のみ。

>>246
Π[k=1_l]tan(kπ/p)=√p
の部分はどうやったんですか？
解と係数の関係か何かですか？

実数全体で定義された関数 f(x) が，各k (1≦k≦n) に対して

lim[x→k]f(x)/(x-k)＝1

を満たすとき，方程式 f(x)＝0 は各開区間 (k，k+1) (1≦k≦n-1)
で少なくとも１つの実数解をもつことを示せ．
ただし n は与えれれた正の整数とする．

× 実数全体で定義された関数 f(x)
○ 実数全体で定義された連続関数 f(x)

kってなんだよ?実数か？

自然数だろjk

>>248
lim[x→k-0]f(x)/(x-k)＝m[x→k+0]f(x)/(x-k)=1
lim[x→k+1-0]f(x)/(x-k-1)＝m[x→k+1+0]f(x)/(x-1)=1
より
f(k+α)>0,f(k+1-α)<0　(ただしαは絶対値の極めて小さい正の数)
→中間値の定理より命題は成り立つ

なんか論証甘いか？

甘すぎ

>>252で十分なくらいつまらん問題ではある

>>252の方針で厳密にやるとε-δ論法になってしまい、範囲外。
高校の範囲内で厳密に納得できる形でお願いします。

>>248が問題の全体だとすると各ｋなんてやる意味ないな

>>248
f(x)は連続関数なので中間値の定理より開区間(k,k+1)にf(x)=0の解が存在しないならばこの区間で常に正または常に負
常に正のとき
この区間でf(x)/(x-k-1)<0となるのでlim[x→k+1]f(x)/(x-k-1)=1の条件に合わない
常に負のとき
この区間でf(x)/(x-k)<0となるのでlim[x→k]f(x)/(x-k)=1の条件に合わない

よってf(x)=0は開区間(k,k+1)に少なくとも1つの解を持つ

多分>>248は一生懸命考えた解答があるんだろう
しかし残念ながら問題がしょうもない

と一生懸命考えた回答をこけにされた>>252が必死こいてます

>>259
なんでわざわざ
>各k (1≦k≦n) に対して
なんてしてるの？

一辺の長さが１である正八面体の内部に存在する正四面体の体積の最大値を求めよ.

16√2/27な気がする

nは自然数とする
Σ[n=1,∞]|sin(n!)ﾟ|
とΣ[n=1,∞]|1-cos(n!)゜|
の大小を比較せよ

>>263
n≧6でn！は360の倍数なのでsin(n！)゜=1-cos(n！)゜=0
だからn=1,2,3,4,5だけ考えたらいいだけだな
出かけるから細かく考える時間がないが後者の方が大きいと思う

ひろいもの

1辺の長さが1の正四面体O-ABCがある．この正四面体の辺上を蟻が秒速1で移動し続ける．蟻は分岐点である頂点に辿り着くと，
辿って来たばかりの辺を除いて2つの方向から等確率で1つの方向を選択し，止まる事なく移動し続ける．辺上で進行方向を変える事はない．
頂点Oを出発したn秒後(n=3,4,…)に蟻が頂点Oにいる確率P[n]を求めよ．

>>265
{P(n)}がn≧3で定義される理由がわからんが
P(0)から定義されるとして
P(0)=1,P(1)=0
P(n+2)={1-P(n+1)-P(n)}/2
になるのかな？
この漸化式から一般項求まる？

\int^{1}_{-1} x/(2x+4) dx > -0.1を証明せよ。

！

どうせなら\frac あるいは \dfracで書けばよかったのに

追加: e=2.718...であることは証明なしに用いてもよい。

>>265
　(A→O) +（B→O) + (C→O) = P_n,
　(O→A) + (O→B) + (O→C) = X_n,
　(A⇔B) + (B⇔C) + (C⇔A) = Y_n,
とおくと、
　P_(n+1) = (1/2)Y_n,
　X_(n+1) = P_n,
　Y_(n+1) = X_n + (1/2)Y_n,
　P_n + X_n + Y_n = 1,
これより XとYを消して
　P_(n+2) = {1 - P_(n+1) - P_n}/2,

>>266
特性多項式 t^2 + (1/2)t + (1/2) = (t + 1/4)^2 + 7/16 の根 は -(1/√2)exp(±iα),
　P(n) = 1/4 + (-1/√2)^n･q(n),
とおくと、
　q_(n+2) = 2cosα･q_(n+1) - q_n,　cosα = 1/√8,
q_n は cos(nα)、sin(nα) の一次式と予測される。
　q_0 =　3/4,
　q_1 =　1/√8,
　q_2 = -1/2,
　q_3 = -1/√2,
　q_4 =　0,
よって
　q_n = (2/√7)sin((n-4)α),　sinα = √(7/8),

Yahoo!掲示板 - 科学 - 数学 - 数学・算数質問コーナー(制限版) [ No.034-035]

(修正)
特性多項式 t^2 + (1/2)t + (1/2) = (t + 1/4)^2 + 7/16 の根 は
　{-1 ±(√7)i}/4 = -(1/√2)exp(±iα),　cosα = 1/√8,

>>263だけど
Σ[n=1,5](sin(n!)+cos(n!))
＞5√2*sin48
を証明せよ

に改題します(>>263より大雑把な)
ちなみに>>264の予想は正解です

>>267,270
I = ∫[-1,1] x/(2x+4) dx = ∫[-1,1] {(1/2) - 1/(x+2)}dx
　= [(x/2) - log(x+2)](x=-1,1)
　= 1 - log(3),

x>0 のとき　e^x > 1 + x + (1/2)x^2　より
　e^0.1 > 1 + 0.1 + 0.005 = 1.105
　e^1.1 = e*e^0.1 > 2.718*1.105 > 3.003
　1.1 > log(3)
　I > -0.1

>>275
正解です。東大の1999年理系6番の類題でした。

>>263
　前者 = 1.4296424132676768103829574760386･･･
　後者 = 1.5926941248136387984119254841763･･･
　差　 = 0.1630517115459619880289680081377･･･

>> 274
　左辺 = 4.8369482884540380119710319918623･･･
　右辺 = 5.2548274549875885325330534402426･･･

任意の実数xについて
sin(cosx)≦sin(cos(sinx))≦cos(sinx)を示せv

sin(cosx)≦sin(cos(sinx))
⇔cosx≦cos(sinx) (∵y=sinxは[-1, 1]で増加関数)
両辺倶に偶関数で, 2πを周期に持ち, 更に[π/2, 3π/2]で
cosx≦0≦cos(sinx)から[0,π/2]で考えればよい。
このときy=cosxは減少関数とからsinx≦x
∴cosx≦cos(sinx)

sin(cos(sinx))≦cos(sinx)
⇔t=cos(sinx), sint≦t
0≦t≦1(∵-1≦sinx≦1)なのでsint≦tは成立

>>277
数値計算して何になる?入試で電卓は使えないぞ

>>263
n=1,2,3,4,5でsin(n!)ﾟ>0,1-cos(n!)ﾟ>0より
Σ[n=1,∞]|sin(n!)ﾟ| <Σ[n=1,∞]|1-cos(n!)゜|
⇔Σ[n=1,5](sin(n!)ﾟ+cos(n!)ﾟ)<5

y=sinxﾟ,y=cosxﾟは(0,90)で上に凸から、ジェンセンの不等式より
(sin1ﾟ+sin2ﾟ+sin6ﾟ+sin24ﾟ)/4<sin(33/4)ﾟ
(cos1ﾟ+cos2ﾟ+cos6ﾟ+cos24ﾟ)/4<cos(33/4)ﾟ

Σ[n=1,5](sin(n!)ﾟ+cos(n!)ﾟ)
<4sin(33/4)ﾟ+4cos(33/4)ﾟ+sin120ﾟ+cos120ﾟ
=4√(1+sin(33/2))+√3/2-1/2 (∵(sinx+cosx)^2=1+2sinxcosx=1+sin2x)
<4√(1+sin18ﾟ)+√3/2-1/2
=4√(1+(√5-1)/4)+√3/2-1/2
=√10+√2+√3/2-1/2<3.17+1.42+1.74/2-1/2=4.96<5

>>274
Σ[n=1,5](sin(n!)+cos(n!))<5√2*sin48だな
sin48ﾟ>sin45ﾟ=1/√2より明らか

sin48ﾟがどこから出てきたのか教えてほしいな。興味がある

>>280
274へのレスについてだけど、どういう意味？
sin(i)+cos(i)≦1とはならないけど

>>281
せめて280を全部読んでからレスしようよ・・・

>>279>>280
正解です
向きの訂正ありがとうございます
sin48は
合成して
√2(sin46+sin47+sin51+sin69+sin15)＜5√2sin48を示すのは
左辺＜√2(3sin48+2sin42)(ジェンセン)
=√2(3sin48+2cos48)
=√2sin48(3+2/tan48)
＜5√2sin48(∵tan48＞1)
出題後にこっちの方が偶然まとまってくれたのでこっちも出してみました

f1_(x)=f(x)=sin(cosx)
fn+1_(x)=f(fn_(x))とおく。
この時lim(n→∞)f_n((sinx))は定数関数であることを示せ

明日東大模試だし、早めに寝るか…

>>282
すいませんでした

>>284
f_n(x)は[sin(-1),sin(1)]にある。
g(x)=sin(cos(x))とすると、|g '(x)|≦r<1 （[sin(-1),sin(1)]について）

平均値の定理を使った定石より、
|f_n(x)-a|≦r|f_(n-1)(x)-a|≦…≦r^(n-1)|f_1(x)-a|
(a=g(a))

よってlim(n→∞)f_n(x)=a

>>283
すごくきれいに48ﾟが出てきたな、面白い。ただ、合成をつかって
√2(3sin48+2cos48)=√26sin(48+α)≦√26
とした方が強い評価ができていいと思う



a_k=p/(k^2+1)+q/(k^2+2)+r/(k^2+3)+s/(k^2+4)とおくと、
k=1,2,3,4でa_k=1/k^2となった。このとき、a_5を求めよ。

↑パクリ問かよ

>>286 下

通分すると、分母は (k^2 +1)(k^2 +2)(k^2 +3)(k^2 +4), 分子は k^2 の3次式だから、
a_k = {(-1/3)(k^2 -4)(k^2 -9)(k^2 -16)a_1 + (28/3)(k^2 -1)(k^2 -9)(k^2 -16)a_2 + (-429/7)(k^2 -1)(k^2 -4)(k^2 -16)a_3 + (646/7)(k^2 -1)(k^2 -4)(k^2 -9)a_4}/{(k^2 +1)(k^2 +2)(k^2 +3)(k^2 +4)}
これに a_1 = 1,　a_2 = 1/4,　a_3 = 1/9,　a_4 = 1/16 を代入する。
　a_5 = 15/377,

次の性質を満たす正の実数 p がある．

任意の正の整数 n に対して，
a_n＝(p−1−1/1!−1/2!−．．．−1/n!)・(n+1)!
で定まる数列 {a_n} について 0＜a_n＜3 が成り立つ．

このとき，任意の 0 でない有理数 q に対して，
p^q は無理数となる事を示せ．
ただし，題意を満たす p，{a_n} の存在は既知としてよい．

筑波大＞＞東大が証明されました！

筑波大が世界記録を更新＝２兆５０００億けた 東大超え
http://tsushima.2ch.net/test/read.cgi/news/1250496577/

>>284
分からない

>>291

>>286

>>289
q=1 ならできた。

fn_(x)の最大値をM_n最小値をm_nとすると
sincosx(m_n≦x≦M_n)について
0≦m_n≦M_n≦1に注意して
m_n≦m_(n+1),M_(n+1)≦M_nを示す
M_(n+1)=sincosm_n…�@
m_(n+1)=sincosM_n…�Aで
M_(n+1)≦M_n
⇔sincosm_n≦sincosm_(n-1)
⇔m_n≧m_(n-1)
⇔sincosM_(n-1)≧sincosM_(n-2)
⇔M_(n-1)≦M_(n-2)より
M_1≧M_2≧M_3かつm_1≦m_2≦m_3を示せば十分で
M_1=sin1,M_2=sin1,M_3=sincossincossin1とm_1=0,m_2=sincossin1,m_3=sincossin1であるから示される。これと�@,�Aより
M_(n+2)＜M_nとm_(n+2)＞m_nなので
M_nは大きくみて単調減少
m_nは大きくみて単調増加
またm_n≦M_nより十分大きなnに対してm_n=M_nである
以上よりfn(x)は最大値=最小値となり定数関数となる
よってxにsinxを入れてfn(sinx)も定数である
(やや周りくどいですが…)
補足でcos(sin(cos…sinx))=cos(sin(cos…cosx))＞sin(cos(sin…sinx))=sin(cos(sin…cosx))です

>>289
ギブ

>>293

p=e のとき
　0 < a_n = �納k=0,∞) (n+1)!/(n+1+k)!
　　= �納k=0,∞) (n+1)!/[(n+1)!(n+2)^k]
　　< �納k=0,∞) 1/[(n+2)^k)]
　　= 1/{1 - 1/(n+2)} = (n+2)/(n+1) ≦ 3/2,
p≠e ならば発散する。

いまeが有理数だと仮定すると e=k/n (k,nは自然数)
　n!e は自然数。
　 a_n/(n+1) も自然数。ところが
　0 < a_n/(n+1) < 3/(2(n+1)) < 1
となって矛盾。
∴ eは無理数。
∴ e^(1/m) も無理数。

【問】
cos(x)=sin(1/x)を満たすxは無理数であることを示せ
(ただしx≠0)

他のと比べたらかなり簡単

>>296
N.G.

それならすぐ回答レスがついたと思われ
ネピアのマクローリン展開なのはすぐに気が付くだろうし。

> p^q は無理数 ← ∴ e^(1/m) も無理数。

仮にpを無理数である√2と仮定するならば
p^2 = 2 よって有利数となる。

よってeが代数的包体でない、すなわち超越数
であることを示さなければならない。

>>298
素朴な疑問なんですが、eが超越数なら任意の自然数mについてe^mが無理数に
なるのは分かりますが、逆も成り立つんでしょうか？

>>298
これはありなのか？
スレとして

e^2が無理数はいけたかも。

(e^2 が無理数であることの証明)

仮定より,

1＋1/1!＋1/2!＋...＋1/n! ＜ p ＜ 1＋1/1!＋1/2!＋...＋1/n!＋3/(n+1)! ...�@

また簡単な微分演算により，

x＞0 で 1＋x/1!＋x^2/2!＋...＋x^n/n! ＜ e^x
＜ 1＋x/1!＋x^2/2!＋...＋x^n/n!＋x^(n+1)・e^x/(n+1)!...�A

�Aにおいて x＝1 とし，�@と挟み撃ちより p＝e．
�Aにおいて x＝2 とおくと，

1＋2/1!＋2^2/2!＋...＋2^n/n! ＜ e^2
＜ 1＋2/1!＋2^2/2!＋...＋2^n/n!＋2^(n+1)･e^2/(n+1)!...�B

e^2＝k/j (j，k は正の整数) とおけると仮定する．
また m が正の整数のとき (2^m)!＝2^(2^m-1)･N(m) (N(m) は正の整数) とかけるので，
�Bにおいて n＝2^m (m は正の整数) とし，辺々に j･N(m) をかけると，

j･N(m){1＋2/1!＋2^2/2!＋...＋2^(2^m)/(2^m)!}＜k・N(m)
＜j･N(m){1＋2/1!＋2^2/2!＋...＋2^(2^m)/(2^m)!}＋4j・e^2/(2^m+1)...�C

ここで j･N(m){1＋2/1!＋2^2/2!＋...＋2^(2^m)/(2^m)!} および k・N(m) は
正の整数で，m を十分大きくすると，0＜4j・e^2/(2^m+1)＜1 とすることができる．
これは�Cに矛盾する．

# e^m (m≧3) の証明はできない...

>>297
cos(π/2-x)＝sin x とか使って、和積の公式＋背理法で簡単じゃあるまいか？

>>303
実際の入試問題ならこのレベルで十分なのが現実だな。

【問】
xy平面において、(0,-r)から速さvでy=tanθx-r上を動く半径rの円(以下自機)と間隔1で線分の長さ1のx軸上に無限に連なり、速さ1でx軸正方向へ流れるワインダーを考える
この時自機が上手くワインダーを通り抜けることで、自機がワインダーにぶつかる(ワインダーと自機が周を除いて共有点をもつ)ことなくワインダーを通りぬけることができた
vを定数として、この時考えられる最大のrとその時のcosθの値を求めよ


某有名STGやってる時に閃いた問題だけど結構しっかり考えないと解けないと思われ

問題文が理解不能

ワインダーってなんだよ

ワインダーは語義ミスぽいし、改題
【問】
xy平面において
(0,-r)から速さvでy=tanθx-r上を中心が動く半径rの円Cおよびx軸上にあり、長さ1でx軸正方向へ速さ1で動く線分が長さ1の間隔で以下の図のように無限に並んでいる非連続直線Dを考える
…―　―　―　―　―…
この時円Cが上手くDを通り抜けることで、円CがDと内部を共有することなく(ただし、周の共有は許す)(円のy座標)≧rの地点に到達することができたという。
vを定数として、この時考えられる最大のrとその時のcosθの値を求めよ

高校生のための質問スレ669に東大の問題を真似た問題を作ってみました。溶けないのですが…ｗ
問題のせるとマルチ指摘されるのでそちらでといてみてください

あとこれもどうでしょう。なかなかの良問です

ｘ(1)〜ｘ(n)がそれぞれ1〜nまでの自然数の値を取るとする(n≧2)

この時|ｘ(1)―ｘ(2)|＋|ｘ(2)―ｘ(3)|＋……＋|ｘ(n-1)―ｘ(n)|＋|ｘ(n)―ｘ(1)|の最小値を求め、そのような値を取るｘ(1)〜ｘ(n)の組み合わせの総数を求めよ。

>>302
何で e^3 とかになると急に無理数性の証明が難しくなるんでしょうな。

>>311
e^2の無理性の本質は、テーラー展開と、eの無理性に帰着できる所、にあるから上手くいく
e^3以降だとテーラー展開の形から良い有理数近似が得られないから上手くいかない

最小値は数直線で考えれば2(n-1)だけど組み合わせは結構だるいな…

>>310はますのりで見たような気がする。
ま、よくある問題ではあるが。

一応これ自作なのですが全く同じなのですか？

あることに気付けばすぐできます

連続レスすみません


z＝cosx（0≦x≦π/2）
z＝Siny（0≦y≦π/2）
y＝Sinx（0≦x≦π/2）
でかこまれる共通体積を求めよ。


こちらに載せます。

Sinはsinってことでおｋ？

おけです

>>316
東大入試作問者になったつもりなら、文章にも気を配ろうよ。
　>でかこまれる共通体積
なんて日本語になってないだろ。

　

0.

共通体積なんてないよな？
時間返せハゲ

場合の数は2^(n-1)かなあ

>>322おしいですね

>>310
厳密な証明がうまく書けませんが、

１からｎまで上りきってから、ｎから１まで下るのが最小
最小値は２（ｎー１）

最小値をとる場合の数は、１のとり方でｎ通り
２〜ｎ−１の（ｎ−２）個の点について、上りで通るか下りで通るかなので、２＾（ｎ−２）通り
よって、ｎ＊（２＾（ｎ−２））通り

324の上段をもう少し丁寧に書けば、

１とｎの間を往復しなければならないので、最小値が２（ｎ−１）未満にはなりえない。
ａ（ｋ）＝ｋとすれば、実際に２（ｎ−１）をとる。
よって、最小値は２（ｎ−１）

正解です

>>323
そうか？
むしろ京大より東大だろ。もっとも京大と違って亀田みたいにあからさまな元ヤンはいないが。
官庁の役人なんて社会に出たらやって行けないような奴ばっか。
もっとも奴らが社会に出る時すなわち天下りなわけでそんな社会人一年生が赦されてしまうのが学歴社会日本クオリティ。

意味不明

出します。

一辺が４の立方体が二つあり、両方の中心をxyz座標における原点に固定する。
これらを自由に回転させるとき、二つの立方体の体積の最大値を求めよ。
ただし最大値の存在があるものとして答えてはいけない。

もう一問。以前東大スレでだしたのですが正解者がいなかったので

正12面体があり、ある面をAとおく。Aを床とくっつける。ここで一回の操作で床にくっついた面に続く5面うちのどれかに転がすという操作をする。このとき、n回目にAが床にくっついている確率を求めよ。

>>329
二つの立方体の体積の最大値を求めよ。
と言われましても、どんだけ回転させても二つの立方体の体積は変わりませんぜ

>>330

ｎ回目の操作後
Ａが床についている確率a(n)
Ａの隣の５面のいずれかが床についている確率b(n)
Ａから２つ離れた５面のいずれかが床についている確率c(n)
Ａから３つ離れた面が床についている確率d(n)

a(n+1)=(1/5)b(n)
b(n+1)=a(n)+(2/5)b(n)+(2/5)c(n)
c(n+1)=(2/5)b(n)+(2/5)c(n)+d(n)
d(n+1)=(1/5)c(n)

>>332の続き

（第１式）＋（第２式）と
a(n)+b(n)+c(n)+d(n)=1
a(0)=1,b(0)=c(0)=d(0)=0に注意して、
a(n)+d(n)=(1/6)+(5/6)(-1/5)^n

（第１式）−（第４式）に（第２式）−（第３式）を代入して、
a(n+2)-d(n+2)=(1/5)(a(n)-d(n))
ｎ偶数：a(n)-d(n)=(1/5)^(n/2)
ｎ奇数：a(n)-d(n)=0

>>332の続き

よって、
ｎ偶数：a(n)=(1/12)+(5/12)(-1/5)^n+(1/2)(1/5)^(n/2)
ｎ奇数：a(n)=(1/12)+(5/12)(-1/5)^n

・・・（答）

>>308

>>312
もう少し詳しくお願いします

>>302の証明で
j･N(m){1＋2/1!＋2^2/2!＋...＋2^(2^m)/(2^m)!} は整数
って言ってるけど、これ本当？

>>337
自分で検証できないのか？

1辺が1の正方形の中に，n個（n≧2）の点をどの2点もd以上離して置くときの
dの最大値を d_max(n) とする．

(1) d_max(2) を求めよ．
(2) d_max(3) を求めよ．
(3) d_max(4) を求めよ．

>>339
(1) 2^(1/2)
(2) 6^(1/2)-2^(1/2)
(3) 1

>>340
答えの予測はつくが論証が難しい

xyz空間において
z=0上に底面がx^2+y^2=1に接する正2n角形で頂点が(0,0,1)の正2n角錘Tとz=1上に底面がx^2+y^2=1に接する正n角形で頂点が(0,0,0)の正n角錘Uがある
この時、TとUの共通部分の体積のをV_nとする時、lim(n→∞)V_nのとりうる値の範囲を求めよ

a(n)=1/12+(5/12)(-1/5)^n+(1/4)(1/r5)^n+(1/4)(-1/r5)^n.
b(n)=5/12-(5/12)(-1/5)^n+(r5/4)(1/r5)^n-(r5/4)(-1/r5)^n.
c(n)=5/12-(5/12)(-1/5)^n-(r5/4)(1/r5)^n+(r5/4)(-1/r5)^n.
d(n)=1/12+(5/12)(-1/5)^n-(1/4)(1/r5)^n-(1/4)(-1/r5)^n.

(1) 常用対数 log7の値を小数第４位まで求めよ。ただし、第５位以降は切り捨てとする。
(2) 1以上の自然数Nと、その２進数表記が与えられたとき、常用対数logN
の値を小数第４位(第５位以降は切り捨て)まで求めるとき、乗算を可能な限り
　　少ない回数で済ませる場合、乗算は高々何回行えばよいか。

>>344

（１）（７＾１００００の桁数−１）／１００００

（２）１００００乗を何回の乗算でできるかが問題
１００００＝2^12+2^10+2^9+2^8+2^4
より、１２＋１０＋９＋８＋４＝４３回・・・（答）

誰か未解決問題まとめてくれ

>>345
えー。試験問題に誤りが見つかった為、(2)については受験者の回答を全て正解とし、
得点を加える処置といたします。
受験生の皆様に、お詫びいたします・・・。

・・・ごめん。(2)の問題を間違って、趣旨が変わってしまっていたようだ。
ついでに言うと、微妙に日本語が変だったみたい。（恥ずかしい）
折角回答してくれたのに、本当に申し訳ない。

訂正後の(2)は下記。

1以上の自然数Nとk(およびkの２進数表記)が与えられたとき、常用対数logN
の値を小数第k位(第k+1位以降は切り捨て)まで求めるものとする。
乗算を可能な限り少ない回数で済ませる場合、乗算は高々何回行えばよいか。

ちなみに、回答は訂正前の問題についてはほぼ正解に近いと思いますが、
途中経過を覚えておけるものとして考えると、17回になりますね。

>>347
どちらにしろ出題ミスじゃね？
3×3=3+3+3のようにすりゃ高々0回じゃん

【問】
aを実数として
lim(n→∞)Σ[k=1,n]1/k^aについて
(1)a≦1の時の発散を示せ
(2)a＞1の時1になるべく近いaで収束するものを求めよ
ただし、この問題の点数は10/a点とする(小数第一位切り上げ)

>>349
（1）略（易）
（2）は∀a＞1で収束するから（易）、
a=100/99とすれば10/a=9.9で10点

>>284
0<sincos1≦f_1(sinx)=sincos(sinx)≦sin1<1
0<a≦f_n(sinx)≦b<1と仮定すると0<sincosb≦f_(n+1)(sinx)=sincosf_n(sinx)≦sincosa<1
ここで平均値の定理からsincosb-sincosa<c(b-a) (|c|<1)
よって帰納的にf_n(x)は定数に収束する
ダメだろうか？

xyz平面において、中心が原点にあり半径が１の球Cがある。
また半径ｎ、高さrでxy平面に底面が垂直になるように定められた円柱がある。
この円柱の中心が(x,y,z)＝(0,0,p)となっている時、球Cと円柱の共通体積を求めよ。

だから「共通体積」って何だよ。

共通部分の体積

って書けよ。

353(笑)

円柱の中心ってなあに？
わかりません

共通体積の意味は推し量れるけども
普通は共通部分の体積だよな
共通測度などという言い方がないように共通体積という言い方はない

共通体積→共通部分の体積でおねがいします
>>355円柱の中心とは立方体の中心というように考えてもらえればわかってもらえると思いますが
これも言葉足らずですかね？

>>351
|(sincosx)'|＜1ってことですかぁ…見事ですね。私の解答よりも本解っぽいです

【問】
半円:y=√(1-x^2),y=0(-1≦x≦1)上のある2点に内接して隣同士互いに外接するn個の円の半径を中心のx座標が小さい順にr_k[k=1,n]とする時Σ[k=1,n]1/r_kの最小値を求めよ

>>308は座標設定があからさまに不親切なので改題します…

>>351をちょっと訂正
(sincosx)´<1から|c|<1, |sincosb-sincosa|<c|b-a| となるcが存在

0<c<1でよかったか

何だかビラソロ代数のセントラル・チャージみたいですな

>>351
蛇足だが…
　r = sin(1) = 0.8414709848078965066525023216303…

　|f '(x)| = |cos(cos(x))･sin(x)| ≦ |sin(x)|
　|x| ≦ r　⇒　|f '(x)| ≦ sin(r) = c,
　f(a) = a とする。
n≧2 のとき、平均値の定理により次のξが存在。
　|f_n(x) - a| = |f(f_(n-1)(x)) - f(a)| = |f '(ξ)|･|f_(n-1)(x) - a|,
ξ は f_(n-1)(x) と a の中間にあるから
　|ξ| ≦ r,
∴　|f '(ξ)| ≦ sin(r) = c,
∴　|f_n(x) - a| ≦ c･|f_(n-1)(x) - a| ≦ ･･･ ≦ c^(n-1)|f(x) - a| ≦ c^(n-1)|-sin(1)-a|,
∴　f_n(x) は一様収束。

　a = 0.69481969073078756557842007277519…
　cos(a) = 0.76816915673679597746208623955866…
　c = sin(r) = 0.74562414166555788889315107043038…

ファッションとか音楽とかスポーツとか、その辺の話題で面接やりゃ２分で分かるだろ。頭の良さなんて。
わざわざ時間掛けて数学とかで試験やる意味がわからん。
ペーパーテストで勉強が得意かどうか調べたって頭の良さなんか全く分からないのに。
大学とかだと選ぶ側が雑談力ゼロのコミュ障だったりするからしょうがないけど。
だから日本の大卒って社会では全然使えないんだよ。

>>363
釣りか？
それとも、そんな内容は低俗すぎて語るに足りないと面接で言えってことか？

高学歴でも使えない奴は普通にいるが、それでも低学歴を
採用するより高学歴を採用したほうが統計的に見て
使える割合が高いと言う話を聞いたことがある

>ξ は f_(n-1)(x) と a の中間にあるから
>　|ξ| ≦ r
どうなってるのか教えてくれ

>>366

n-1≧1 から f_(n-1)(x) ∈ [-r,r]
また、明らかに　a ∈ (-r,r)
　
∴　ξ ∈ (-r,r)

>>367
なるほどありがとう
うまいなあ

m,n(1<m<n)を正の整数とする.1からmnまでの自然数から、異なるn個の自然数を用いてできる等差数列はいくつあるか.

f(x)=-(x-a)^2+b-aとおく.ただし、aは実数で、bは実数定数とする.0<a<b,f(0)<0のとき、y=f(x)とx軸によって囲まれる
部分の図形を、y軸を軸にして一回転させたときにできる立体の体積をV(a)とする.
aを上記の条件で動かすとき、V(a)の値に最大値が存在するための定数bの条件を求めよ.

>>363
確かに「そういう感じ」はありますね。
尤も「頭が良い」ってのがどういう意味かにも依りますよね。
まあ幾ら知識があって回転が速くてもダメな人はダメですわな。

そもそも：
「数学や理論物理が出来る人が頭がいい」
てな認識は大間違いで、そうでなくても頭がいい人は
世の中に沢山居る訳です。ソレを数学や物理の成績だけで
頭の良さを測るなんて愚の骨頂っていうか超馬鹿げてます
わな。

数学者ってのはどちらかと言うと「馬鹿の集団」てな
感じさえしますけどね。コレが物理学者だったらどう
なんでしょうかね。

まあアホな事を書きましたが。

以上残飯の独り言でした

新しい名前をどうも有難う御座いました。
今後も独り言ででも活躍したいと思いますので、
どうか宜しく。

ざんぱんにむらがるうじむしどもめ

未解決問題多いな

ざんぱんまん！

せっかく新しい名前に変えたので、
残飯ネタの話を沢山カキコして下さいな。
ちゃんと見て居りますんで。

猫

四面体 OABC において、サイコロ1個を6回連続で振ったときに出た目を順に
OA、OB、OC、BC、CA、AB の長さとする四面体 OABC が存在する確率を求めよ。

>>369
A_k=a+(k-1)dとして
1≦a≦mn
1≦a+(n-1)d≦mnを満たす整数(a,d)の組数を求めることに等しいdの値を固定する
�@d≧0の時1≦a≦mn-(n-1)d
�Ad≦0の時1-(n-1)d≦a≦mn

�@の時dの最大値は
d=mで右辺=mでd=m+1ではm-n+1≦0で不適だから
Σ[d=1,m]mn-(n-1)d=m^2*n-
(n-1)*m(m+1)/2
�Aの時は同様にd=-mで最小で
Σ[d=-m,-1]mn+(n-1)d
=�@
d=0はmn
∴
2nm^2-m(m+1)(n-1)+mn
=nm^2+m^2+m
=m(mn+m+1)
かな？
検算してないから自身ないけど

�納n=1,∞]{(4n-4)!!*(2n-3)!!}/{(4n-1)!!*(2n-2)!!}=tan(π/8)を示せ．
ただし，!!は二重階乗である．

p,q,p+q,p-qが全て素数であるような(p,q)の組を全て求めよ.

p+qは明らかに奇数 なので一方は偶数→条件に合うのは q=2
p-2,p,p+2のうち一つは3の倍数なので 条件に合うのはp-2=3のみ
ゆえにp=5,q=2

>>379
惜しい。問題の読み取りミス。

「異なる」n個の自然数を用いてできる等差数列はいくつあるか.

352の問題があまりに面倒くさい為か解答者が誰もいないので問題を少し変更します
〔問題〕
xyz平面において、中心が原点にあり半径が１の球Cがある。
また半径１、高さ１でxy平面に底面が垂直になるように定められた円柱がある。
この円柱の中心が(x,y,z)＝(0,0,p)となっている時、球Cと円柱の共通部分の体積を求めよ。

高校時代に同級生が作った問題。母関数がどうとか言ってた。
そいつが言うには30分程度で解ける事を想定してるらしいが、俺は40分以上かかった。

a_{1}=1,a_{2}=7,a_{3}=32
a_{n+3}=6a_{n+2}-11a_{n+1}+6a_{n}
を満たす数列{an}がある。以下の問に答えよ。
(1) |x|<1を満たす実数について
1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+……
を証明せよ。
(2) 関数G(z)を、
G(z)=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^2+……+a_{n}z^n+……
と定義する。但しzは実数で、|z|<1、z≠0
(1-6z+11z^2-6z^3)G(z)を求めよ。
(3) 数列{an}の一般項を求めよ。
(4) nが自然数の時、a_{n}≧1を証明せよ。

ミス。
誤
と定義する。但しzは実数で、|z|<1、z≠0
正
と定義する。但しzは実数で、|z|<1/3、z≠0

こんな問題に３０分も
かかるのか？

部分分数分解する時に3元連立方程式が出てくるから暇はかかるが

それにしたって30分はかからんだろうな

>>384
xyz平面って何だ？

>>389
それくらいのミスは見逃してやれよ……

このスレの中（過去も含む）の問題で良問と言えるのはどれか.

>>167とかかなあ
単に整数問題が好きなだけだけど

2曲線C1:x^2+y^2=1、C2:y=αx^2+1に接する直線をlとする。
C1,C2,lで囲まれる範囲の面積をαで表せ。
ただしα>1/2

>>378

四面体の成立条件がわからん。。。

>>393
囲まれる部分なんてある？

>>394
多分、4つの三角形が実在できて、かつ4点が同一平面上に存在しない場合
かと。

>>395
直線lが2曲線に接して、その2つの曲線も接してるから
囲まれる部分はあるはず。

やっぱ東大っていうと整数とか立体ってイメージがある。
で、整数の問題。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

２桁以上の正整数について、それぞれの位の数字をすべてかけ算する操作Ｍを、
以下のように記述する。

例：===========================
M(1234)=24 （∵1x2x3x4=24）
M(2589)=890　（∵2x5x8x9=890）
===============================

a_{1}=p（pは２桁以上の正整数）
a_{n+1} = M(a_{n})　（nは任意の正整数）

なる数列があり、
操作Ｍの結果が１桁の場合、操作Ｍの結果の値を数列の最後の値とし、数列はそこで終わる。

例：===========================
p=24321のとき、
a_{1}=24321
a_{2}=2x4x3x2x1=48
a_{3}=4x8=32
a_{4}=3x2=6
以上で数列終了。
===============================

p,nがいかなる値であっても、a_{n}=3となることはあり得ないことを証明せよ。

>>397
lが y=1だとどうすんの

>>393

すごいむかしに、かなりにた問題やった記憶がある。でも計算より睡魔が・・・。

ちなみに、l:がy=1なる直線の場合もあるね

>>396

＞4点が同一平面上に存在しない場合
これがわからん。
ぐぐったけど、いまいちわからん。

>>398
問題の意味が全くわからない
p=13だとa_2=M(13)=3
じゃないの？

ごめ、p=311のとき、反例になるわ。。。おかしいな。ちとたんま

ごめ、最終行訂正。

pがいかなる値（ただし２桁以上の正整数）であっても、n=2のとき以外で、a_{n}=3となることはあり得ないことを証明せよ。

>>398
中学生の時にそれ考えたことあるな。掛け合わせ続けるの。

２０の倍数＋１，３，７，９同士の積は２０の倍数＋１，３，７，９。

1+1=2

>>401
やる気はしないが、xy平面上において
O(0,0),A(0,a),B(b,c),C(d,e)
と置いて
aはOAの長さで
OB長とAB長から連立二次方程式でも解いてbとcを出して
同様に点Cの位置を出して、OA,OB,AB,AC,BCの長さからOCの長さを出す式を作って
そしたら、OA,OB,AB,AC,BCの長さに対しOCの長さがその長さになればOABCは立体にならなくなる。

多分整数解を持たんだろうけど。

>>399>>400他
勿論l:y=1の時は面積など無いから0になるけど、そうならん場合ね。

原文には図が付いていたから言い忘れてしまった。すまない。

>>408

とてつもなく長い式になりそうな・・・

なんかおもろい問題浮かんだけど、正直答えはまだ出ていない。
＝＝＝
xy平面上の２つ長方形ABCD,PQRSがある。
AB=b,AD=d,PQ=q,PS=sとする。
(b,d,q,s>0)
また、b.d.q.sの中で最小の長さはbであるとする。
（ただし、bがd,q,sのどれかと一致する可能性もある）
そして、ABCDは第１象限に含まれ、A=(0,0),B=(b,0)とする。

ABCDは固定し、PQRSを自由にxy平面上で動かす場合、交点の数は当然配置によって異なるが、
その異なる交点の数の最大値をMとする。

b.d.q,sの条件で場合わけし、Mを求めよ。

※ABCDのいずれかの辺とPQRSのいずれかの辺が平行となる場合は除外する。

====
今気づいたけど、似た問題、たけしのコマ大数学なんとかの番組でにたようなのが
あったかも。

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/figure/tetrahedronvolume.htm

ＰＱ＝３，ＲＳ＝４，ＰＲ＝ＱＳ＝２，ＰＳ＝ＱＲ＝４。
ＰＱ＝４，ＲＳ＝４，ＰＲ＝ＱＳ＝３，ＰＳ＝ＱＲ＝５。
ＰＱ＝４，ＲＳ＝５，ＰＲ＝ＱＳ＝４，ＰＳ＝ＱＲ＝６。

1円玉、５円玉、１０円玉、５０円玉、１００円玉、５００円玉 の組み合わせ（※全ての硬貨を使う必要はない）により、
ちょうど５００円を支払うとき、組み合わせは何通りあるか？

x≧0,y≧0,z≧0,x+y+z=1のとき
f(x,y,z)=yx^2+zx^2+xy^2+zy^2+xz^2+yz^2の最大値とその時の(x,y,z)を求めよ

（出典：数検１級２次)

f(x,y,z)=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)-x^3-y^3-z^3
=(x^2+y^2+z^2)
-(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)-3xyz
=(xy+yz+zx)-3xyz
y+z=1-xだから
((1-x)/2)^2≧yz≧0(∵相加相乗)でx固定すれば
=(1-x)x-3xyz+yz
=(1-3x)yz+(1-x)xより
x≦1/3ではyzが最大であればよく�@
x≧1/3ではyzが最小�A
�Aでは
f≦(1-x)x≦1/4
(x=1/2,y=0,z=1/2)
�@では
f≦(1-3x)(1-x)^2/4+(1-x)x
=(1-x)((1-x)(1-3x)+4x)/4
=(1-x)(3x^2+1)/4
4f'=6x(1-x)-(3x^2+1)
=-9x^2+6x-1で
=-(3x-1)^2よりx=1/3で最大よりf≦2/9(x=y=z=1/3)

比較して1/4で最大(x=1/2,y=0,z=1/2)(並び替え略)

2007!!+2008!!は2009で割り切れるか？

2009=7^2*41で
2007!!は
7と41と21とかで
2008!!は
14と28と82とかあるし割りきれる
二重階乗の定義が覚束ないから意味不明かもしれんのでスルーしてくれ

>>416
2007!!は41、49で割り切れる
2008!!は82、98で割り切れる

ちょっとレベル低すぎ

2009=x^2+y^2を満たす自然数組(x,y)を全て求めよ

>>419
これも2009=7^2*41を使う。41=4^2+5^2だから、
(x,y)=(4*7,5*7)=(28,35)と順番を入れ替えた(x,y)=(35,28)が解であることがわかる。

あとは上記以外の解がないことを示せばよい。まず、
(☆) x^2+y^2=2009のとき、x,yはともに7の倍数である
ことを証明する。

いまx=7m+k (mは0以上の整数,kは0≦k≦6の整数)とおくと、
x^2=49m^2+14mk+k^2 =7(7m^2+2mk)+ k^2だから
x^2を7で割った余りは、k^2を7で割った余りに等しく、
それはk=0,1,2,3,4,5,6に対してそれぞれ0,1,4,2,4,1である。
y^2についても、7で割った余りは0,1,2,4のいずれかであると言える。
ここで、(0,1,2,4)の中から重複を許して2つ選び、その和が7で
割り切れるのは0+0=0だけだから、x,yはともに7の倍数である。

すると、x=7m, y=7nとして、
x^2+y^2=2009よりm^2+n^2=41となり、
この自然数解が(m,n)=(4,5),(5,4)のみであることは
m=1,2,3,4,5,6を代入すれば直ちに分かる。

>>420
正解です
D:x^p+y^p=1,x≧0,y≧0
のなす領域の面積をpを用いて求めよ

>>421
誤爆ミス

>>415
よくできました(･∀･)

>>421
　x = t^(1/p),　
　y = (1-t)^(1/p),

　S(D) = ∫[0,1] y･dx
　= (1/p)∫[0,1] (1-t)^(1/p) t^(1/p -1) dt
　= (1/p)Ｂ(1 + 1/p, 1/p)
　= (1/p)Γ(1 + 1/p)Γ(1/p)/Γ(1 + 2/p)
　= Γ(1 + 1/p)^2 / Γ(1 + 2/p),

>>412
はどの問題に対するレスですか？

>>424
出題ミスのはずだったがガンマ関数とか出せば解けるのか…勉強不足でよく知らないですが

【問】
一辺1の正三角形ABCの内部に点Pをとる
この時AP,BP,CPの長さに等しい3辺をもつ三角形が作れるためのPの領域を求めよ

>>426
ミス
内部→内部,周上,外部のいずれか

Ｚ会の過去問乙

>>426
Ｚ会に通報します．

パクり問題持ってくる人大杉
オリジナリティのある良問を頼むよ

>>428
まじで？
オリジナルのつもりだったけど既出なんだな

308の改題
y=tanθx上を速さvでy軸正方向へ動く点Pを中心にもつ半径rの円Cと
長さ1でx軸正方向へ速さ1で動く線分Lを考える
うまく円C,線分Lの初期位置を設定することで円Cとx軸の交点が常に線分Lに含まれるためのrの最大値とその時のcosθの値を求めよ ただしvは定数である

>>432
ただし円Cの初期位置のy座標は-r以下とする

a,bは共に実数でa>0、b>0を満たすものとする。
点Ｐ(a,b)を通り、傾きが負である直線のx軸とy軸との交点をそれぞれQ,Rとする。
このとき線分QRの長さの最小値をa,bを用いて表せ。

>>434
とりあえず傾きを-k(k>0)としてまともに計算すると
Q(a+b/k,0), R(0,ka+b)でQR^2 = a^2k^2 + 2abk + (a^2+b^2) + 2ab/k + b^2/(k^2)

微妙に対称性が崩れるので、別の方法を考えます。

>>434

直線の傾きを -m とおく。(m>0)
　PQ = (b/m)√(1+m^2),
　PR = a･√(1+m^2),
　(PQ)^2 = (PQ + PR)^2 = (1+m^2)(a + b/m)^2
　= a^2 + a(am^2 + b/m + b/m) + b{am + am + b/(m^2)} + b^2
　≧ a^2 + 3a^(4/3)^2･b^(2/3) + 3a^(2/3)･b^(4/3) + b^2　　(←相加･相乗平均)
　= {a^(2/3)^2 + b^(2/3)}^3,
等号成立は m = (b/a)^(1/3) のとき。

>>434
訂正
　ＱＲ^2 = (PQ + PR)^2 = (1+k^2)(a + b/k)^2
　= a^2 + a(ak^2 + b/k + b/k) + b{ak + ak + b/(k^2)} + b^2
　= ･･･

>>434 Sorry, the problem is very famous.

The prpblem has been posed in the entrance exam of Nippon University and Meiji University.

Super Solution: Holder kills it in 1 minute.

原点をOとして、∠POQ=α, ∠OQP=θとおくと、△OPQに正弦定理を用いて
　QP=OPsinα/sinθ…�@がいえる。
また、∠POR=90°-α, ∠ORQ=90°-θだから、△OPRに正弦定理を用いると
　RP=OPsin(90°-α)/sin(90°-θ)= OPcosα/cosθ…�Aである。

QP,RPは正なので、相加平均と相乗平均の関係から
　QR= QP+RP ≧ 2sqrt(QP・RP) = 2・OP・sqrt(sin2α/sin2θ)…�B

…駄目だ。相加・相乗の等号成立(QP=RP,すなわちθ=α)と
sin2θを最大にする条件(θ=45°)が一致しない。

【問】
OA=OB=1の時、△OABの内接円の半径の最大値を求めよ

∠AOB=2θとおいて△OAB=r(1+cosθ)=sinθcosθ
r=(sinθcosθ)/(1+cosθ), r^2=(1-cos^2θ)cos^2θ/(1+cosθ)^2
cosθ=tとおいてr^2=(1-t)t^2/(1+t), 0<t<1
微分して増減表　計算が正しけりゃt=(√5-1)/2のとき最大値r=(3-√5)/{(2+2√5)^(1/2)}
よくて地方旧帝下位レベル

>>436-438
参りました。

>>440
∠AOB=2θ(0≦θ≦π/2)とすると△AOB = (1/2)sin2θ, またOA+OB+AB=2+2sinθだから、
内接円の半径f(θ)=sin2θ/(2+2sinθ)である。

f'(θ)={2cos2θ・(2+2sinθ)-sin2θ・2cosθ}/(2+2sinθ)^2
=-{(sinθ)^3+2(sinθ)^2-1}/(1+sinθ)^2
=-{(sinθ)^2+sinθ-1}/(1+sinθ)

f'(θ)=0となるのは(sinθ)^2+sinθ-1=0すなわち sinθ=(-1+sqrt(5))/2で、
ここでf'(θ)は正から負に転ずる。つまりこのθでf(θ)は極大かつ最大。

このときcosθ=sqrt(2+2sqrt(5))/2となり、これとsinθをf(θ)の式に代入して
計算するとf(θ)=(3-sqrt(5))sqrt(2sqrt(5)-2)/4が最大値である。

(θ≒38°で、内接円の半径の最大値は約0.300。これはθ=30°(正三角形)のときの
sqrt(3)/6≒0.289やθ=45°(直角二等辺三角形)のときの(2-sqrt(2))/2≒0.293よりも
大きいことが確かめられる。)

>>441
負けました。三角関数のまま微分したのが時間ロスの原因か…。
ともあれ、今回もどうせ正三角形が答えだろうと思って計算したら
違ったので驚きました。

ではこちらも1問。非常に易しいですが、答えは意外なものになると思います。

(問題) 周の長さが一定の三角形のうち面積が最大のものは、正三角形です。
では、周の長さが一定の扇形で、面積が最大になるのは、中心角がいくらの
ときでしょうか。
　正三角形に近い扇形、つまり中心角がπ/3前後だろうと予想するかもしれませんが、
正解はこれとかけ離れています。

これは、1985 中央大理工の問題です

これも, 有名問題。中大, 防衛大に出題されている。

>>441,442
正解です
本来下の問題を予定してたんですが結構しんどいので時間かかるかも

【問】
xy平面において
O(0,0),A(1,0),B(cosθ,sinθ)として、θを0＜θ＜2π(θ≠π)の範囲で動かした時にできる△OABの内心Iの軌跡と垂心Hの軌跡は線対称であることを示せ

>>447
　便宜上 -π<θ<πとする。
　BからOAに下ろした垂線の足はK(cosθ,0)
　HはBKと半直線 y = tan(θ/2)･x の交点だから、
　OH = |cosθ|/cos(θ/2),
これと x= OH･cos(θ/2), y = OH･sin(θ/2) から垂心H(x,y)の軌跡は
　y = σx√{(1-x)/(1+x)},　σ = Sgn(θ),

　OI + |y| = OI{1 + |sin(θ/2)|} = cos(θ/2)　だから、
　OI = cos(θ/2)/{1+sin(θ/2)},
これと x= OI･cos(θ/2), y = OI･sin(θ/2) から内心I(x,y)の軌跡は
　y= σ(1-x)√{x/(2-x)},　σ = Sgn(θ),

これらは x ⇔ 1-x により入れ替わるから、直線x=1/2 について 線対称。

>>447
蛇足だが、
外心をO' とすると OO'= AO',
△OO'A は2等辺3角形だから
　O' = (1/2, (1/2)tan(θ/2))
∴ 直線 x=1/2 は外心O'の軌跡でもある。

3問目の出題


lim(n→∞)Σ(k=0→n)〔｛(-1)^k｝2^k/k！〕を求めよ

整数a,b及び虚数単位iを用いて表せる全ての複素数a+biに対し
・a+bi=��(k=0→n) C(k)*(i-1)^k
・全ての非負の整数kについて、C(k)の値は、0又は1と等しい
を同時に満たす数列{Cn}が必ず存在する事を証明せよ。

〔434の類題〕

a,b,c >0 とする。
点P (a,b,c)を通り "傾きが負" である平面の、x軸,y軸,z軸との交点をそれぞれQ,R,Sとする。
このとき △QRS の面積の最小値をa,b,cを用いて表わせ。


>>450
　e^(-2)

>>452 正解　
こんなにあっさり解かれるとは思わなかった

もう一問　こっちのがメンドイ

lim(n→∞)〔(n+log(n!)-log(n^n))/logn〕

>>453
　1/2

　すたーりんぐデ１コロ
　log(n!) 〜 (n +1/2)log(n) -n +(1/2)log(2π) + 1/(12n) - ････

糞みたいな問題ばかり出題するなよ

5^x=x^5を満たす有理数解を全て求めよ。

>>456
これは実質的に
・5^xが有理数になるような有理数xは整数に限られる
・xが6以上の整数のとき5^x＞x^5
の二つを証明する問題と見てok?

m×nの格子状のマス目でできた長方形がある。この長方形の右上がりの対角線
の2頂点をP、Qとして、PからQまで格子に沿って至る最短経路の集合をΓとする
(Γの要素の個数は(m+n)!/m!n!)。Γの各要素γに対し、m×nの長方形の内側で
経路γより左上の領域の面積をA(γ)で表す。
このとき
　　　　�農{γ∈Γ} x^A(γ) ＝ (x)_(m+n)/((x)_m・(x)_n)

が成り立つことを証明せよ。ただし、
　　
　　　　(x)_k ＝ (x - 1)(x^2 - 1)・・・(x^k - 1)　　　とする。

一辺の長さが1の正三角形Tが、
一辺の長さが1の正方形の周及び内部を動くとき、
Tの周(辺及び頂点)が動きうる領域の面積を求めよ。

１

>>456
x<0の時正の数=負の数で矛盾、x=0の時1=0で矛盾、よってx>0
有理数解をx=p/q(p,qは互いに素である自然数）とおくと
5^(p/q)=p^5/q^5
5^p=(p^5q)/(q^5q)
p^5q=5^p・q^5q
p,qは自然数だから右辺は5の倍数、左辺が5の倍数になるにはpが5を素因数に持つことが必要なのでp=r・5^nとおける(rは5の倍数でなく、nは自然数）
左辺に代入して5^(5qn)・r^(5q)=5^p・q^5q…（１）
今pとqは互いに素でpが5の倍数だからqは5を素因数に持たない。
よってに（１）においてr^(5q)はrが5を素因数に持たないから5の倍数でないし、q^5qもqが5を素因数に持たないから5の倍数でない
（１）で5の指数を比較して5qn=p p/q=x=5n
よってx=5,10,15,…

ここまでで半分くらいかね、後は10,15…が不適なことを示せばよいが…。

>>461の続き
両辺の自然対数を取って整理して log5/5=logx/xを考えて
y=logx/xのグラフとy=log5/5の交点を考える
２つのグラフは1<x<eでただ１つの解、e<xでただ１つの解を持つことが分かる
x=5が明らかに解だからe<xで持っている一つの解は、5
x=5以外のe<xの解は存在しない（交点がただ一つだから）のでx=5が定まればx=10,15…は全て不適

5^x と x^5 のグラフから x が実数であれば 5^x = x^5 の交点は一点のみ
特に x = 5 は 5^x = x^5 を満たす
従って 5^x = x^5 を満たす有理数は x = 5 のみ

>>463
０点
x≒1.765でも交わる

>>463
出鱈目。

1.764921914525775882758723590911459101370103259294683808995374687821107721
00333954881401245241408917321376161507472704651465269967385415685401702516
28495329481094119289108128469998154461265068926800052611274579797681972213
12634608768395157996642156026636721864196751650122343143472447144146913303
73918502827891292987144557860123985265300771745815642023767530553835914900
54229055163682555674961682680591076061554853249876417007392791328889634257
18085475933402074557781713000087587410041482534764949835840330894237599785
04350487524054229790516943054767013692517404741930222592947426633313278983
45206525516639867469665798523484311096848508496845001985079565208699315796
28379806655951398683059702049723511534793137370101503381640304489402293572
56318573302313642339128754911216787448274026997646059915214338725866192370
38617044751446527774252958341317408231587777969331131870158867670919016180
60569355376039600818749406572366184585496459568509269478610494515817885972
467265040764801028627430106480002504630569880500955048655884936

461,462に463あわせたら答えか

>>463 正解　です

a>2/5のとき、方程式x^5+x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0は少なくとも1つ虚数解をもつことを示せ。

f(x)=x^5+x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0の5解が全て実数であるのはy=f(x)のグラフが極値を４つ持ち、xが小さい方から順に極値が正負正負となるときだけである
f'=5x^4+4x^3+3ax^2+2bx+c,f''=20x^3+12x^2+6ax+2b,f'''=60x^2+24x+6a
f'''=0の判別式D/4=4-10a<0つまりa>2/5のとき、f'''は全てのxに対して正だから
つまりf''は単調増加関数である
f''が単調増加関数だから,f''=0はただ一つの解を持ちその解をx=αとするとx<αでf''<0,α<xで0<f''である
つまりf'はx=αで１つだけ極小値を持つ関数である
（１）y=f'のグラフがx軸と２点で交わるとき
f'の符号は正、負、正と変わるからf(x)は極大値→極小値という風に極値を２つのみもつ関数である
（２）y=f'のグラフがx軸との共有点が１点以下の時
f'は常に負にならないからf(x)は単調増加関数である
（１）、（２）共にf(x)が山を４つもったグラフにはならないのでf(x)=0は少なくとも一つ虚数解を持つ

>>461
(q^(5q))*5^p = p^(5q) の両辺の q で割った余りを考えれば p^5q は q の倍数
p と q は互いに素だから q = 1 、では駄目なの？

>>470
じゅうかいの時があるだろ

長さ2の線分ＰＱが次の2条件を満たして動く。
☆点Ｐはx=1上に存在する。
☆線分ＰＱは原点を通る。
このとき、線分ＰＱの通りうる領域の面積を求めよ。

>>413
をだれもといてないのは、簡単すぎるからなのか、計算がめんどいからなのか・・・。

硬貨の種類をもっとすくなくすればよかったかしらん。

よくある問題でオリジナリティーがまるでないから。

>>>473

※以下、答えではない。

====
☆点Ｐはx=1上に存在する。→ P=(1,p)とおく（pは変数）
●「長さ2の線分ＰＱ」→Q=(1 + 2Cosα,p + 2+Sinα)とおく
（αは変数）
☆線分ＰＱは原点を通る。→・・・？？？
線分PQ上の点をA=(a,b)とおくと、min(1,1 + 2Cosα)<=a<=max(1,1 + 2Cosα)

と、機械的におきかえてみて、a,b以外の変数を消しまくって・・・
と考えたけど、
＜☆線分ＰＱは原点を通る。＞の表し方が・・・、
いろいろ表し方あるけど、途中でつまる。

>>413

>>475
あぁ、いわれてみれば・・・。
「東大（京大？）っぽい」とは思ったんだけど、文系数学の易問レベルか。
すこしカスタマイズすれば、多少は難しくなるかもだけど。

>>473

内分点なんて、単語すら忘れてた・・・。力尽きたので、一行だけ。。。。
＜「点P」がx=1上に存在する＞は、＜点Ｐがx + y = √2上に存在する＞と置き換えたほうが、対称性により計算が楽になると思われ。。。
（点Ｐが直線上を動き、OPの最短距離が１だから）

>>413と似てるけど問題内容は違うの問題です
【問】
1円玉〜n円玉のコインが十分な 枚数あり、このうちから何枚か使ってちょうどn円を支払うときのコインの組み合わせは何通りあるか？

>>469

最初だけ。

f(x)=x^5+x^4+ax^3+bx^2+cx+d とおくと、グラフより、f(x)=0は少なくとも１つの実数解を持つのでその実数解をpとおく。

f(p)=p^5+p^4+ap^3+bp^2+cp+d=0により、d = - ( p^5+p^4+ap^3+bp^2+cp )
これを、f(x)=0に代入すると、
x^5+x^4+ax^3+bx^2+cx - ( p^5+p^4+ap^3+bp^2+cp ) =0
変形すると、
(x^5-p^5) + (x^4-p^4) +a(x^3-p^3) +b(x^2-p^2) +c(x-p)=0
さらに変形。
//======================
(x-p) *
{
　　　 (x^4 + p * x^3 + p^2 * x^2 + p^3 * x + p^4) +
　　　 (x^3 + p * x^2 + p^2 * x + p^3) +
a * (x^2 + p*x + p^2) +
b * (x + p) +
　 　　c
}
　= 0

よって、g(x) =
　　　 (x^4 + p * x^3 + p^2 * x^2 + p^3 * x + p^4) +
　　　 (x^3 + p * x^2 + p^2 * x + p^3) +
a * (x^2 + p*x + p^2) +
b * (x + p) +
　 　　c
とおくと、g(x) = 0 が少なくとも１つ虚数解をもつことをしめせばいい。・・・
ってやってみたんだけど、無意味？

>>479

＞n円玉　？？？

２円玉？
１００００円記念硬貨？

>>481
イエス

あぼーん

cos(α)=1/√(1+p^2)、sin(α)=p/√(1+p^2)で
OQ↑=OP↑+PQ↑=(1-2/√(1+p^2),　p-2p/√(1+p^2))
か？

正三角形8枚、正方形6枚から構成される多面体を考える。
この多面体について、以下を答えよ。

（１）辺の数はいくつか？
（２）頂点の数はいくつか？
（３）
この多面体の頂点の１つを点Pとする。
この多面体の辺上を移動するアリがいる。
点Pを出発点とし、途中で同じ点を通ることなく、
再度点Pへ戻るようにアリが動くとき、
このアリの動き方は何通りあるか？

>>454 スターリング近似なんぞ受験生でできるやついるの？

もっと高校生レベルの解き方で解いて欲しかった・・・

〔434の類題〕

a,b,c >0 とする。
点P (a,b,c)を通り "傾きが負" である平面の、x軸,y軸,z軸との交点をそれぞれQ,R,Sとする。
このとき 4面体O-QRS の体積の最小値をa,b,cを用いて表わせ。

>>453, 486
　それは確かにメンドイな…

>>487

その平面に垂直な向き（法線）を (L,m,n) とすると、
　Lx + my + nz = La + mb + nc = h,
ここに、h は原点Oからこの平面に下ろした垂線の長さ。
ところで
　Q(h/L,0,0)　R(0,h/m,0)　S(0,0,h/n)
だから O-QRS の体積は
　(h^3)/(6Lmn) = (La+mb+nc)^3 /(6Lmn) ≧ 27abcLmn /(6Lmn) = (9/2)abc,　　　　(←相加･相乗平均)
等号成立は L = bc/√{(bc)^2+(ca)^2+(ab)^2}, m = ca/√{(bc)^2+(ca)^2+(ab)^2}, n = ab/√{(bc)^2+(ca)^2+(ab)^2} のとき。
　x/a + y/b + z/c = 3,

>>459
Tの頂点から対辺までの距離は 1/√3,

□の４頂点のいずれから見ても
　距離が 1/√3 より小さく策、頂角の中央30ﾟの内側の部分
にはTの辺が来ない。
　ただし、４頂点からの距離が 1/√3 より短い部分は、４頂角の中央30ﾟの内側部分を含んでいる。

４頂点を (±1/2, ±1/2) とする。
４頂角の中央30ﾟの内側の部分は、
　(±(1/2){1 - (1/√3)}, 0)
　(±{1-(√3)/2}, ±{1-(√3)/2})
　(0, ±(1/2){1 - (1/√3)})
の8頂点をもつ等辺8角形で、面積は 3 - (5/√3) ≒ 0.11325…
□からこれを除いた部分の面積は (5/√3) -2 ≒ 0.88675…

>>459
Tの頂点から対辺までの距離は (√3)/2,

□の４頂点のいずれから見ても
　距離が (√3)/2 より短かく、頂角の中央30ﾟの内側の部分
にはTの辺が来ない。
　ただし、４頂角の中央30ﾟの内側部分は、４頂点からの距離が (√3)/2 より短い部分を含んでいる。

４頂点を (±1/2, ±1/2) とする。
４頂点からの距離が (√3)/2 より短い部分は、
　S = (3/2)(β-α) -√2 +1 = 0.0955418…
　α = arctan(1/√2) = 0.6154797…
　β = arctan(　√2) = 0.9553166…
　
□からこれを除いた部分の面積は 0.904458･…

誰か>>380解いて

初投稿です。簡単ですかね。

5^93の上2桁を求めよ。常用対数log2=0.3010を用いてよい。

400以下まとめ(ミスあるかも)
>>17>>29>>54>>61>>76>>79>>123>>144>>187>>190>>191>>216>>236>>261>>329>>342>>358>>370>>378>>380>>384>>398

>>492
底は全部10
log(5^93)=93(log10-log2)=93(1-0.301)=65.007　
よって5^93=10^65.007=10^65・10^0.007
10^65の部分は5^93の上二桁に影響を及ぼさない（0をつける働きしかしない）ので
5^93の上二桁は10^0.007の上二桁
log1=0,log1.024=log(2^10)/(10^3)=10log2-3=0.01
0<0.007<0.01　→　log1<0.007<log1.024
0.007=log1.0…だから、10^0.007=1.0…
5^93の上二桁は10…答
類題経験があれば上1桁は余裕だが、log1.024を考えつかないと上２桁は求まらない

0.01165/0.30095<1/10.
2^(1/10)<1+1/10.

ｘ＝f(t)，y＝g(t) (a≦t≦b) で表わされる曲線を C とする．
ただし，f(t) 及び g(t) は微分可能で，
(f(a)，g(a))＝(f(b)，g(b)) で，さらに，任意の a≦s＜t≦b なる s，t に対して
(f(s)，g(s))＝(f(t)，g(t)) が成り立つとする．
このとき，曲線 C で囲まれる図形の面積 S は
S＝|∫g(t) f’(t) dt | となる事を示せ．

× (f(s)，g(s))＝(f(t)，g(t)) が成り立つとする．
○ (f(s)，g(s))≠(f(t)，g(t)) が成り立つとする．

>>494
完璧です。log1.024が考えついてもらえてよかったです。

完璧？
log2=0.30095…とかだとlog(5^93)>65.01になるのに？

500ゲト
【問】
(1)
y=sinxを原点を中心に45゜回転させたグラフはyがxの関数であることを示せ
(2)(1)のグラフをy=f(x),A_k=|f(k)-ax|としてlim(n→∞)Σ[k=1,n]A_k/nの最小値とその時のaを求めよ

Nは正の偶数とする。xの整式f(x)は次の式を満たす
f(x)-f(x-1)=x^(N-1)
f(0)=0
(1)正の整数nについて、次の式が成り立つことを証明せよ
f(-n)=0^(N-1) +1^(N-1)+……+(n-1)^(N-1)

(2)y=f(x)のグラフは直線x=-1/2に関して対称であることを示せ

(3)u=x(x+1)とする。f(x)はuの整式として表せることを示せ

(1)(2)はできたんですけど、(3)ができません
助けていただけないでしょうか

>>499
log2=0.3010としてよいと問題で書きましたが、log2は、log2=0.3010299…と続きます。
仮にlog2=0.3010299とみなすと、log5=1-0.3010299=0.6989701となり、
93*log5=65.0042193(<65.01)となり、結局正しい値が求まるでしょう。

「log2=0.3010としてよい」とは書いてない。
後付け乙。

>>500
A_k=|f(k)-ax| ?

>>504
あっ
A_k=|f(k)-ax|→A_k=|f(k)-ak|で

>>502
四捨五入して0.3010になるのは0.30095から0.30105まで。

>>506は釣り

>>500
aの値によっては発散するんじゃないの？

x,yについての方程式
a(x^3-y^3)+b(x^2-y^2)+c(x-y)=0
がx≠yなる実数解をもつための実数定数a,b,cの満たすべき必要十分条件を求めよ。

ax^3+bx^2+cx=ay^2+by+cyがx≠yの解を持てばいいので
f(t)=at^3+bt^2+ctとしたとき
f(t)が極値を持つことが必要十分
あとはa=0のときとa≠0のときで場合分けしてうんたらかんたら…
ちょっと前にコピペされてた問題を簡単にした感じかな

次の性質をもつ関数 y＝f(x) が存在すれば例をあげ，存在しなければそれを示せ．

1．ある閉区間 [a，b] で連続
2．x∈[a，b] において x が有理数のとき，f(x) は無理数で，x が無理数のとき，f(x) は有理数．

# もちろん，大学以降の知識を使えば自明ですが，高校範囲で可能な限り厳密にお願いします．
# 誰でも考え付く問題なので，入試問題として既出であれば教えて下さい．

無理数は有理数より多い。

>>512
なんぞ

>>512
だからそれは自明だけど範囲外だって。

それを認めたとして、証明できるの？

↑ｱﾎ????????

できるから問題になっていると恩われ

>>380 , >>491
　(4n-4)!!･(2n-3)!!/{(4n-1)!!･(2n-2)!!} = (4n-4)!!･(2n-2)!･(4n)!!/{(4n)!･(2n-2)!!^2} = 2^(2n)･{(2n-2)!/(n-1)!}^2･{(2n)!/(4n)!}

次のマクローリン級数を考える。
　f(x) = Σ[n=1,∞) 2^(2n)･{(2n-2)!/(n-1)!}^2･{(2n)!/(4n)!} x^(n-1)
　　= (1/3)Σ[n=1,∞) {(1/2)(3/2)････(n - 3/2)}^2 ／{(5/4)(9/4)･････(n - 3/4)・(7/4)(11/4)････(n - 1/4)} x^(n-1)
　　= (1/3)Σ[n=1,∞) {Γ(n - 1/2)/Γ(1/2)}^2 ／{Γ(n + 1/4)/Γ(5/4)・Γ(n + 3/4)/Γ(7/4)} x^(n-1)
　　= (1/3){Γ(5/4)Γ(7/4)/Γ(1/2)^2}Σ[n=1,∞) {Γ(n - 1/2)^2 ／Γ(n + 1/4)・Γ(n + 3/4)} x^(n-1)
　　= (1/3)･3Ｆ2(1/2,1/2,1; 5/4, 7/4; x),　　　　････　「一般化 超幾何級数」とか言うらしい。

ここで x=1 とおく。 Whipple の恒等式より
　(与式) = f(1)
　= (1/3)･3Ｆ2(1/2,1/2,1; 5/4, 7/4; １)
　= (π/6)Γ(5/4)Γ(7/4)／{Γ(9/8)Γ(7/8)}^2
　= (π/6)(1/4)(3/4)Γ(1/4)Γ(3/4)／{(1/8)Γ(1/8)Γ(7/8)}^2
　= 2πΓ(1/4)Γ(3/4)／{Γ(1/8)Γ(7/8)}^2
　= 2{sin(π/8)}^2／sin(π/4)
　= 2{sin(π/8)}^2／{2sin(π/8)cos(π/8)}
　= tan(π/8),

>>380 , >>491

〔Whipple 恒等式〕
　一般化 超幾何級数 3Ｆ2(a,b,c; d,e; x) について
　3Ｆ2((1/2)+a', (1/2)-a', c; (1/2)+c+e', (1/2)+c-e'; 1)
　　　= {2^(1-2c)}πΓ((1/2)+c+e')Γ((1/2)+c-e')／{Γ((1+a'+c+e')/2)Γ((1+a'+c-e')/2)Γ((1-a'+c+e')/2)Γ((1-a'+c-e')/2)},

http://mathworld.wolfram.com/WhipplesIdentity.html

〔系〕
　3Ｆ2(1/2, 1/2, 1; 3/2 +e', 3/2 -e'; 1)
　　　= (π/2)Γ((3/2)+e')Γ((3/2)-e')／{Γ((2+e')/2)Γ((2-e')/2)}^2

↑では
　Γ(k)Γ(1-k) = π/sin(kπ),　　　　　(0<k<1)
を使いますた。

>>518-520
Chapeau!

明らかに東大入試の問題には不適

なんか一気につまんねースレになったな

出題者が高校範囲で解ける解答を持っていなければスレ違い

スレ違いとかどうでもいいよ
細かいこといちいち指摘してんじゃねぇ

y=e^xとy=log(x+a)がただ1つの共有点をもつとき、2＜a＜3であることを示せ。

いやいや、この手の計算は確かにChapeauですよね。
こういう計算の中にもいい数学が一杯詰まっていますからね。

>>526
e^x=log(x+a)⇔e^(e^x)-x=a
f(x)=e^(e^x)-xとおくと
f'(x)=e^(x+e^x)-1
よってf(x)はx+e^x=0の解αで極大値をとりその値f(α)がaに等しい
ここでx+e^x=0はただひとつの解をもち
-1/2+e^(-1/2)>0…(1)
-2/3+e^(-2/3)<0…(2)
なので-2/3<α<-1/2また
a=e^(e^α)-αであるがe^α=-αより
a=e^(-α)-α
ここでe^(-x)-xは明らかに単調減少であり
2<e^(1/2)+1/2<e^(-α)-α<e^(2/3)+2/3<3 …(3)

(3)より2<a<3
(1)(2)(3)の証明はここでは省いた

一応 >>528の(1)(2)(3)について
(1)の証明
2>√e より1/2<e^(-1/2)
(2)の証明
e*(2/3)^(3/2)>4√6/9>1より
(2/3)^(3/2)>1/e
2/3>e^(-2/3)

(3)の証明
(3/2)^2<eより3/2<e^(1/2)であるから
2<1/2+e^(1/2)
また
(7/3)^(3/2)>3>eより
e^(2/3)<7/3なので
2/3+e^(2/3)<3

>>528

　W･exp(W) = c,　c≧0,
の唯一の実根を W(c)と定義する。（Lambertの W-函数)
然らば、
　α = -W(1),
ここに
　W(1) = 0.56714329040978387299996866221036････
はオメガ定数。

∴　a = W(1) + 1/W(1) = 2.3303661247616805832251704391621 のとき
両曲線は (x,y) = (-W(1), W(1)) で接する。

http://mathworld.wolfram.com/LambertW-Function.html
http://mathworld.wolfram.com/OmegaConstant.html

次の条件を満たす領域Ａの体積を求めよ。
☆領域Ａに含まれる任意の点Ｐはx軸、y軸、z軸までの距離がいずれもa(>0)以下。

>>531
x^2+y^2≦a^2
y^2+z^2≦a^2
z^2+x^2≦a^2
で結局垂直三円柱の共通部分になる
んじゃね？

>>528のf(α)は極小値だった

>>532
です．
さすがに簡単すぎですかw

>>534
2004年名市大に同一問題

>>528
>a=e^(e^α)-αであるがe^α=-αより
>a=e^(-α)-α
a=e^(e^α)-α=e^(-α)-α=-1/α-α
までやればもっと楽だと思う
αの範囲も-1<α<-1/2まで絞るだけでいいし

全ての自然数nに対して,|a[n]|<1ならば
lim[n→∞]a[1]a[2]…a[n]＝0
であるといえるか。
いえるなら証明し、いえないなら反例をあげよ。

↑「対して」の後の「,」は不要でした。

>>537
いえない
反例
a_n=(1/2)^{(1/2)^(n-1)}
のとき
積の極限は1/4

>>537
全ての自然数nに対してb_n<0ならば
Σ[1,∞]b_n=-∞は常に成り立つか？

って問題と同値
成り立つ訳ない

>>537
家ない。
判例
　a[k] = {(k+1)/k}{(k-1+α)/(k+α)},
のとき
　a[1]a[2]……a[n] = (n+1){α/(n+α)} → α,　　(n→∞)

>>537

　a[k] = 1 - (1-α)/{k(k+α)} < 1,
　-1/3 < α < 1 より
　|a[k]| < 1,

f(x)=x^n/e^xとする．
全ての自然数nに対して、
lim[a→∞]∫[0,a]f(x)dx
が収束することを示せ。

>>543
∫x^n*e^(-x)dx=-x^n*e^(-x)+n∫x^(n-1)*e^(-x)dx

帰納法で終了

>>543 正解です。
あとは面倒なだけですねorz

3次方程式x^3+ax^2+bx+c=0の解が全て正の数であるとき、
ab/c>7を示せ。

ab/c≧9に訂正をば。

>>545
3つの正の解をα，β,γとすると
ab/c=(α+β+γ)(αβ+βγ+γα)/αβγ=
(α+β+γ)(1/α+1/β+1/γ)≧(1+1+1)^2=9 (コーシ−シュワルツより)

>>545
応用してみた。
x^3-ax^2+bx-c=0(a,b,cはともに実数)

(1)この方程式が正の解しか持たない時、ab/c≧9であることを示せ。
(2)いまサイコロを三回投げて、順に出た目をa,b,cに代入した。
この時、この方程式の解が正整数解しかもたない確率を求めよ。

>>548
(1)>>547

(2)0<α≦β≦γとしておく
(1)よりab/c≧9なのでc≦4
c=1のとき、α=β=γ=1⇔a=3,b=3
c=2のとき、α=β=1,γ=2⇔a=4,b=5
c=3のとき、α=β=1,γ=3⇔a=5,b=7(不適)
c=4のとき、α=β=1,γ=4⇔a=6,b=9(不適)
または α=1,β=γ=2⇔a=5,b=8(不適)
求める確率は2/216=1/108

東工大に類題あるな

あまり(1)と(2)に関連がないような気もする

3点P(0,0,1),Q(0,1,0),R(0,0,1)を頂点とする正三角形の板Sを考える。
(1)Sをz軸のまわりに1回転させたとき､Sが通過する点全体のつくる立体Tの体積を求めよ。
(2)Tをy軸のまわりに1回転させたとき､Tが通過する点全体のつくる立体Uの体積を求めよ。

n,m,l,kを正の整数とする。
以下の式を満たすn,m.l.kの組を全て求め、
それが全てであることを示せ。

(n!)^k+(m!)^k=(l!)^k

誰か >>511 をお願い

>>553
n≦m<lで考える
n<m<lのとき
(n!)^k+(m!)^k=(l!)^k の両辺(n!)^kでわると
1+(P(m,m-n))^k=(P(l,l-n))^k …(1)
(1)の左辺はn+1で割って1余り右辺はn+1で割り切れるので不適

ゆえに m=nとなり
2(n!)^k=(l!)^k
両辺 (n!)^kで割って
2=(P(l,l-n))^k
これを満たす組み合わせは
k=1, m=n=1,l=2のみ

>>555
正解、簡単すぎかな
スマートな面白さを求めたつもりだったけど・・・

とりあえず回答が出てある程度時間経ったら出題者は自分の用意した回答だしてくれ

>>543
　f(x) = (x^n)･e^(-x),
は x=n で最大値 f(n) = (n/e)^n をとる。
y>0 のとき
　f(2n+y) = f(2n)･(1 + y/2n)^n･e^(-y) < f(2n)･e^(y/2)･e^(-y) = f(2n)･e^(-y/2),
a>2n のとき
　(与式) = ∫[0,2n] f(x)dx + ∫[2n,a] f(x)dx
　　= ∫[0,2n] f(x)dx + ∫[0,a-2n] f(2n+y)dy
　　< ∫[0,2n] f(n)dx + f(2n)∫[0,a-2n] e^(-y/2)dy
　　= 2n･f(n) + 2･f(2n){1 - e^(-(a-2n)/2)}
　　→ 2n･f(n) + 2･f(2n),　　　　(a→∞)

>>543
　>558 より与式は有界。
　また、与式はaについて単調に増加するから、収束する。

>>554
>>511は簡単すぎて誰もﾄﾅｶｲ

簡単とか難しい以前に解こうかなって思わせる要素が全くない、面白くない
あれだったら自分の用意してた答え書いてみ

と解けない人が回答を欲しがっています

>>560
トナー買うなら･･･
http://www.tonakaibin.com/index.php

>>563
ﾄﾅｶｲの便w

２/３＝１/２＋１/６

１１／１４＝

>>552 (1)
　Rを頂点とする2つの円錐と、xy-平面とで囲まれた部分。→ T
　外側の円錐は、RP,RQを通り、底半径1,
　内側の円錐は、PQの中点を通り、底半径1/√2,
　V(T) = (1/3)π- (1/6)π = π/6,

>>561の面白い問題投下に期待

確かに解答者の解答が示されないと面白みが半減するな

一辺が10の立方体がある。
この中に半径1/√5の球を立方体からはみださないようにいれていく。
立方体に詰めることができる球の最大の個数を求めよ。

>>569
秋山仁乙

>>568
解けていないのに,解いて欲しいが為に出題する奴が多いから無理

>>511の出題者は、「問題」を思いついただけで、
高校課程の知識での解等例はおろか
「もちろん，大学以降の知識を使えば自明」な解答すら実は書けないのではないか。

高校範囲内の解答はもちろん用意していますが、
誰もﾄﾅｶｲのでお蔵入りです。

そりゃ残念だったな

真っ赤なIDのトカナイさん

有理数と有理数の間には必ず無理数が存在し、
無理数と無理数の間には必ず有理数が存在することをいえばよいのかな？

↑スルーしてくださいorz

>>512がといてるやん

無理数はいくらでも有理数で近似できることを用い、連続性の定義を振り返ればよい

>>578
>>512は範囲外だろ。

どいつもこいつも歯切れが悪くてイライラするぜ

>>570はげ山仁がだしてたの？
研究室で結晶格子みながらこのスレみたから投下してみた

半円x^2+y^2=1(y≧0)上に2点P,Qがある．線分PQの中点をRとする。
P,Qが半円上をそれぞれ自由に動く時、Rの存在する領域を図示せよ。

>>565
1/2 + 1/4 + 1/28 =11/14

>>583
計算による問題は既出。
幾何的に解くのは，大数1対1対応の演習（旧課程版）にあり。

一辺が2の正三角形ABCがある。
辺AB,辺BC,辺CAを軸に正三角形ABCを回転させてできる立体の共通部分の体積を求めよ。

東大志望だけどこのスレ見てると死にたくなったｗｗ勉強してくる

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1249096955/とか他にも出題スレはあるよ

大数かなんかの裏表紙の広告にあった問題

正七角形ＡＢＣＤＥＦＧにおいてＡＢ＝ｘ、ＡＣ＝ｙ、ＡＤ＝ｚとおくと
y^2/x^2+z^2/y^2+x^2/z^2=5となることを示せ。

>>583
　問題の半円から、中心(-1/2,0) 半径1/2 の小さい半円と、 中心(1/2,0) 半径1/2 の小さい半円と を除いた領域。
　　　　　　　　　　(x + 1/2)^2 + y^2 ≦ (1/2)^2,　　　　(x - 1/2)^2 + y^2 ≦ (1/2)^2,

　R(x,y) がこの領域内にある　⇔　Rを通りORに垂直な直線と半円とが２点で交わる(P,Q)。

>>589

外接円の半径をR とする。
　x = AB = 2R･sin(∠AOB/2) = 2R･sin(π/7) = −2R･sin(8π/7),
　y = AC = 2R･sin(∠AOC/2) = 2R･sin(2π/7),
　z = AD = 2R･sin(∠AOD/2) = 2R･sin(3π/7) = 2R･sin(4π/7),
よって
　y/x = 2cos(π/7),
　z/y = 2cos(2π/7),
　x/z = −2cos(4π/7) = 2cos(3π/7),
よって
　(y/x)^2 = 2{1 + cos(2π/7)},
　(z/y)^2 = 2{1 + cos(4π/7)},
　(x/z)^2 = 2{1 + cos(6π/7)},
よって
　(与式) = 5 + {1 + 2cos(2π/7) + 2cos(4π/7) + 2cos(6π/7)}
　　　= 5 + Σ[k=0,6] cos(2kπ/7)
　　　= 5,

-------------------------------------------------
(注) cos(2π/7), cos(4π/7), cos(6π/7) は
　1 - Ｔ_7(u) = (1-u)(1 -4u +4u^2 +8u^3)^2 = 0,
の根で u≠1 のもの、すなわち
1 -4u +4u^2 +8u^3 = 0,
の3根である。（本問では使わないが）

>591 の訂正
　1 - Ｔ_7(u) = (1-u)(1 +4u -4u^2 -8u^3)^2 = 0,
の根で u≠1 のもの。
ｽﾏｿ.

1の７乗根ζは難問の宝庫
ζ＋ζ^2＋ζ^4　の値を求めよ

>>593

とっかかりすりゃわからん・・・ところで、ζってなんて読むの？あと７乗根って１含む？

>>594
　z　= ζ + ζ^2 + ζ^4　とおく。
　z* = ζ^6 + ζ^5 + ζ^3,

　z + z* = (1 + ζ + ζ^2 + ζ^3 + ζ^4 + ζ^5 + ζ^6) -1 = -1,
　zz* = (1 + ζ + ζ^2 + ζ^3 + ζ^4 + ζ^5 + ζ^6) + 2 = 2,

　Z^2 + Z +2 = 0,
∴　z　= {-1 + (√7)ｉ}/2,

>>586
　A(√3,0)　B(0,1)　C(0,-1)
とする。
AB: y = 1 - x/√3,
AC: y = x/√3 -1,
領域D:
　1 - (√3)x < y < (√3)x - 1,　　　　{(1/√3) < x < (√3)/2}
　(x/√3) - 1 < y < 1 - (x/√3),　　　{(√3)/2 < x < √3}
の体積を求めて3倍する。
　x '(y) = (√3)(1-|y|),
　z(x,y) = √{(x ')^2 - x^2} = √{3(1-|y|)^2 - x^2},
　V = ∫_D　z(x,y) dxdy = ･･･

>>558

〔補題〕
x>0 のとき
　(1 + x/n)^n < e^x,

(略証)
　(左辺) = Σ[k=0,n] Ｃ[n,k] (x/n)^k
　　　= Σ[k=0,n] {n(n-1)(n-2)････ (n-k+1)/(n^k)} (1/k!) x^k
　　　< Σ[k=0,n] (1/k!) x^k
　　　< e^x,

>>560 >>563

http://www.youtube.com/watch?v=g5QZ8asNHoQ 02:22　モー娘。
http://www.youtube.com/watch?v=nxUsvRr8o0k 02:52　歌詞付
http://www.youtube.com/watch?v=0q6lD9IFtks 02:15 池田淳子
http://www.youtube.com/watch?v=vDUzcqZuBdI　 　MP3TUBE
http://www.youtube.com/watch?v=pISgVQOj_QM 03:04
http://www.youtube.com/watch?v=rUyRYH8w7EM 02:35

日本には「鼻蔵」という僧がいて、クロード・コンピューティングの開祖とされている････


これも今は昔、奈良に、蔵人得業 恵印といふ僧ありけり。
鼻大きにて、赤かりければ、「大鼻の蔵人得業」といひけるを、後(のち)ざまには、ことながしとて、「鼻蔵人」とぞいひける。
なほ後々(のちのち)には、「鼻蔵(はなくら)、鼻蔵」とのみいひけり。

　　　　　　　　　--宇治拾遺物語「蔵人得業猿沢の池の龍の事」より--

>>579
できればもっと詳しくお願いします

>>600
？
この文言で明らかじゃないなら勉強が不足しているよ君

>>601
お前、ここが高校生向けの問題を作るスレだって自覚してる？

>>510

a≠0 のとき　f(t) = aT^3 + (c - b^2 /a)T + 定数項,　(T = t + b/3a)
　f '(t) = 3aT^2 + (c -b^2 /a),
　a(c - b^2 /a) = ac - b^2 < 0 のとき、極値を持つ　…　○
　a(c - b^2 /a) = ac - b^2 ≧ 0 のとき、極値を持たない　…　×
a=0 のとき
　b≠0 のとき、f(t)は2次式、極値を持つ　…　○
　b=0 のとき、f(t)は1次式
　　c≠0 のとき、極値を持たない　…　×
　　c=0 のとき、定数　…　○

∴　求める条件は
　a≠0 かつ ac-b^2 < 0,
　a=0 かつ b≠0,
　a=b=c=0,
のいずれか。

>>593
2000年4月号の学力コンテストに類題あり、
a,b,cは相異なる複素数で、a^2=b、b^2=c、c^2=aであるとする。このときa+b+cは実数でないことを示せ。

>>604
こんな簡単な問題が出るかなぁ

>>593
cos(2π/7)+cos(4π/7)+cos(8π/7)　を求めよ
なんて形で出題したら、受験生の何割が完答するだろう？

範囲外か

>>606
sin(\pi/14)をかけて割ればいいから範囲内です。
数学オリンピック1963年[5]がこの問題でした。

>>604
　a^8 = b^4 = c^2 = a,
　a=0,1 とすると a=b=c となり、題意に適さない。
∴　a^7 =1,　a≠1,
∴　a = exp((2kπ/7)ｉ) = ζ,　　(1≦k≦6)

以下 >>595 と同じ。

ついでに言えば、2007年数学検定2段で\sum_{k=1}^{180}sin k°= cot 0.5°を示せというのがありました。
この計算は、定積分 \lim_{n \to \infty} \sum_{n}^{k=1} (1/n) \sin( \pi k/n) を求めるのにも使えます。

>>602
無理数の定義自体、有理数でない実数、程度の高校数学で
高校生にどんな解答を期待しているのか、マジで知りたい。

>>398（訂正版 >>404）
n=3のとき題意を充たすpが存在しないことを示せばよい。
（n=k≧4のときに存在すれば、p=a_{k-2}と置き直してa_3=3となる）
a_3=3となるには、a_2の各位の値は3が1つと残りは1でなければならない。
ところでa_2はpの各位の数の積なので、a_2の素因数としてありうるものは2、3、5、7。
素因数に2、5を含むとすると、a_2の1の位が偶数または5となり不適。
よってa_2=3^s･7^t（s、tは非負整数）とかける。
ここでa_2の1の位としてありうるものは1、3、7、9であるが、それらと3あるいは7との積の10の位は偶数であるから、
任意の(s,t)について、帰納的にa_2の10の位は偶数である。これとa_2が2桁以上の整数であることにより、a_3は偶数となる。
従ってa_3=3とはなりえないから、題意は示された。

帰納的に〜あたりは端折りすぎというか、言葉遣いが間違ってる気がするが伝わるだろうか…。
あと、この議論だと1、7、9にもなりえない気が…。

>>610
ヒント 中間値の定理

なるほど

面白い問題を思いついた．完璧に解ける高校生は非常に少ないと思う．
入試ではﾀﾌﾞｰだと思うので実際に出題される事はないと思いうが．

n，m を2以上の整数とするとき，次の関数の導関数を求めよ．
y＝[n]√(x^m)

xの範囲も指定せずに導関数を求めよとか有りなのか

>>615
mが奇数ならx>=0のみ、mが偶数なら全実数ということでは？

x^(m/n)じゃなくて？

>>614
ガウス記号かと思った

俺もガウス記号に見えて何言ってんだろうって思った

>>615
実数値関数として意味を持つ x の範囲が定義域だろ、普通。
y＝√x のときに x＞0 とか書かない。

>>616
ちょっと全然違う。

>>614
{ [n]√(x^m) }’＝ { x^(m/n) }’＝(m/n) x^(m/n−1)＝(m/n) [n]√{ x^(m−n) }

ではどこがあかんのですか？

f(x)=e^(m/n)logx
f'(x)=e^(m/n)logx*m/n*1/x
=m/n*x^(m/n-1)

これなら教科書にも載ってるしな

>>619
>>622
俺もそう思った。

どうも、思いつき、が多いなあ。

どうも出題意図が上手く伝わらない．
ではもっとｼﾝﾌﾟﾙにして，次の様に修正．

y＝[3]√(x) 及び y＝[6]√(x^2) の導関数を求めよ．

え？[3]√(x)＝[6]√(x^2) では?

もしかしてあれか、定義にしたがって求めよってやつか？

ちゃいますがな

「面白さ」を含めて解説きぼんぬ

d/dx(|x|)=sgn(x)

どっかで同じような流れを見たことがあるような…。

多分出題者は[n]√(x^m)とx^(m/n)の表す意味合いは微妙に違うみたいなことを言いたいんだろう。
後者だとx<0は扱えない。高校の教科書の定義は確かそうだったはず。
まぁ「面白さ」は今ひとつ感じないが。

>>627
x=-8とすると
[3]√(-8)=-2
[6]√(-8)^2=2
とかになるが…

なんで名前のほうにsageって書いたんだろう。ちょっと吊ってくる。

>>626
y＝[3]√(x) において
x＞0 のとき
y'＝{x^(1/3)}'＝(1/3) x^(-2/3)＝1/[3]√(x^2)
x＜0 のとき
y'＝{−(-x)^(1/3)}'＝−(1/3) (-x)^(-2/3)･(-1)＝1/[3]√(x^2)
よって x≠0 のとき y'＝1/[3]√(x^2)

y＝[6]√(x^2)において
x＞0 のとき
y'＝{x^(1/3)}'＝(1/3) x^(-2/3)＝1/[3]√(x^2)
x＜0 のとき
y'＝{(-x)^(1/3)}'＝(1/3) (-x)^(-2/3)･(-1)＝−1/[3]√(x^2)

>>634
ｱﾅﾙほど

原点を通らず、全実数で定義される関数f(x)は、原点との距離が最短である点で原点中心の円に接するということは正しいか？
正しいなら証明を与え異なれば反例を与えよ

正しい訳ないじゃん。
ﾚｷﾞｭﾗりﾃｨｰに関する記述がない。

y=[x]+1とか
もちろん[ ]はガウス記号

>>634
そうすると y=[3]√x を微分するとき
安直に y=x^(1/3) とかするのは本当は駄目なんだね

f(x)=|x|+1とかいくらでもあるわな

>>636は微分可能性を付け忘れたお馬鹿ｻﾝ

半径１の球上に、無作為に２つの点をとる.この２点間の距離の期待値を求めよ.

線積分すりゃいいよ

>>636
「原点を通ら(ない)・・・関数」

という表現は、

カス教師の作った問題やFランク大入試ならまだしも、

東大入試ではあるはずがない。

(0,1), (1,-1), (2,-1) を通る二次関数を求めよ、とかいう問題とかね。よくあるけどやめてほしいよな。

いやです。

>>644
なぜ？

>>647
「関数」と「関数のグラフ」を混同するような馬鹿なことは
しないってことだよ。

>>645はどう書けば満足なんだ？
きちんとしたグラフの定義は高校ではやらない。
重箱の隅を突付いて嬉しいか？

>>639
有体に言えばそういうことだ

>>649
きちんとしてるかどうかは別として、
高校数学においても関数とグラフは別物だろ。

「2次関数〜〜とx軸との交点の個数」といった表現も生徒の答案ではよく見るが、
教科書や入試問題ではそういう表現はされていないはずだから、
これでいいじゃないかと主張する高校生がいたら勉強不足だと言いたい。
そのへんは理解度が試されるところだと思うから、厳しくした方が受験生のためだ。

ただ、式とそのグラフを同一視するということはままあって、
「放物線y=x^2」というような書き方は珍しくないのだが。

まず教科書に定義を書いているかが問題だ

全実数で定義され、かつ微分可能な関数f(x)のグラフは、
原点との距離が最短である点で原点中心の円に接するということを示せ。
ただし、f(0)≠0である。

だったら正しい？
問題出したというより疑問として出したんだけど

＞問題出したというより疑問として出したんだけど

>>634
目から鱗です。。。

今日、来年理１受けることを決めたｗ

で、問題。

=========================================================================================

ある自然数の２乗で表すことのできる数を平方数と呼ぶ。
1^2=1,2^2=4,3^2=9,4^2=16・・・（中略）・・・2010^2=4040100,2011^2= 4044121,….であるので
平方数を小さい順に記述すると、
1,4,9,16・・・（中略）・・・,4040100,4044121,・・・・(以下永遠に続く)
である。
ある自然数nは、平方数であり、nを１０進法で記述したとき各桁の数字がすべて１である。
n を求めよ。

=========================================================================================

って、平方数かじったことある人なら楽勝かもしれないけど、
「東大入試」って考えれば、いいよね？（でもかんたんすぎる？解き方もいろいろあるし）

もひとつ。

=========================================================================================

ｘｙ座標平面上に、原点Ｏを中心とし半径１の円Ｃ、および、円Ｃの円周上に相異なる点Ｐ、点Ｑがあり、ＰＱ＝aである。
また、△ＯＰＱの面積を２等分する直線lがある。
直線lと△ＯＰＱの交点を点Ｍ、点Ｎとするとき、線分ＭＮの長さの最小値を a を用いて表せ。

=========================================================================================

（実は数学から長らく離れてたので、東大入試の難易度、年々かんたんになってるということくらいしかあまり知らない・・・）

2^X=X^2の実数解Xを求めよ。

こんなのどうだろう。
ちょっと逸脱気味だし、満点取るやついないだろうな…

>>658
X^(1/X) = 2^(1/2),
X = 2,4

>>656
条件より、ある正整数kを用いて、
n=(10^k-1)/9
とあらわせる。
これより、
9n=10^k-1……(※)
以下では法4で考える。
nは平方数なので、0,1と合同になるが、0と合同になるのはnが4の倍数のときである。
4の倍数の下一桁には1が現れないことから、nは1と合同となる。
9が1と合同であることとあわせて、(※)の左辺は1と合同になる。
したがって、
10^k-1≡1⇔10^k≡2⇔2^k≡2⇔2^(k-1)≡1
k-1≧2のとき、2^(k-1)は4の倍数になるから、
k-1=0,1⇔k=1,2
前者のときは、
n=1
後者のときは、
n=11
nは平方数なので、求める数はn=1である。

>>660
なるほどなあ　いい問題や

じゃあオレからも一題。

y=x^2 と x^2+y^2+z^2=1で囲まれる体積の、小さいほうの体積を求めよ。

どこがいい問題なんだか

円C_a,C_b,C_cは互いに3点で外接する。
その三点を通る円の面積をS
C_a,C_b,C_cに囲まれた部分の面積をS'とする
この時S'/Sの最大値を求めよ

>>660

あってます。
けど、「nは平方数なので、0,1と合同になる」の部分、東大入試的には説明不足で減点にならないのかなぁ・・・

あと、2^(k-1)≡1 がわかった段階で、そのあとは、
（mod 4の考えから少し（？）離れれば）
「k>=2 のとき2^(k-1)は２の倍数なので、題意を満たさない。また、k=1のとき、n=1。これは題意を満たす。答えは１」
で終わる。

たぶん、「正整数pについて、p^2≡0 または p^2≡1 (mod 4)」ってのを知ってたから、こう解いたのだと思いますが、
ちょっと実験すれば、回答は５行で書けます。

>>656
難易度A*だな

秒針、短針、長針をもった、正確に動いている時計がある。
この3本の針について、どの2本の針のなす角も120°である瞬間は存在するか。

命題P,Qがある。P,Qは真か偽か不明だが少なくとも一方は真である。
続き作れ

>>667

それぞれの針は、なめらかに動くの？それとも、（たとえば秒針なら）１秒ごとに、2π*(1/60)だけ「カチっ」って、瞬間移動っぽく動くの？
(分針は必ずなめらかに動くんだっけ？いつもデジタル時計しか見てないからわすれた）

>>668

Ans,

命題「>>668」は真か偽か不明である。

数列｛a[n]｝は
漸化式a[n+2]=(a[n+1]+a[n])/2とa[1],a[2] によって定まる数列である。
lim[n→∞]a[n]＝αとおくとき、
|a[1]-α|≧|a[2]-α|を示せ。

(☆漸化式を解かない方法てあるかな？)

誰か>>658を解ける強者いない？
ちなみにコンピュータは使わないでね。
>>659は違います。実数解は全部で3つ存在してます。

ま、どうでもいいけど、問題としてどんな面白みを感じてるのさ？

X^2=(-X)^2=2^X
2^(-X)=(-X)^(-2)
2^(1/(-2))=(-X)^(-1/X)
1/√2=t^(1/t)

さて…?

x＜0で片や単調増加、片や単調減少
中間地の定理から-0.5と-1の間に零が一個ある、程度でいいんじゃねえの

-0.76あたりで３つめをとるな！
しかし、673のようにx乗根を取ったときその変形が同値なのかわからんな。

任意の自然数k,mについて
a^n+b^n=c^(km+1)
が成立するような(a,b,c）の組は無限個存在することを示せ.

×　a^n+b^n=c^(km+1)
○　a^m+b^m=c^(km+1)

>>561=>>632=>>672
文句ばっかり言ってるね。
自分が投下した問題を吊るしてみなさいYO

実際つまらんから言われても当然

{a[n]}(n=1,2,3,…)は各項が正の実数からなる数列で、
初項a[1]から第n番目の項a[n]までの和をS[n]とおく。
a[n]=√S[n]を満たしているとき、a[n]の一般項を求めよ。

>>656 で出題したやつのかんたんな解答例

nは題意により奇数。一般に偶数の２乗は偶数。ゆえに、∴n=(2k+1)^2 （kは非負整数）とおける
するとn=(2k+1)^2=4*(k^2)+4*k+1 ゆえにn-1=4*(k^2)+4k=4(k^2+k)
題意よりn-1の下１桁は０であるので、4(k^2+k) = 0
(∵ 4*非負整数 の下１桁が0になるのは、この非負整数が0のときだけである)
∴ n-1=0 ゆえにn=1 これは題意を満たす。よって答えは n=1

===============================

>>657
で出題したやつ、だれも解いてない。だれか解いてくれぇ。。

===============================

>>676 (>>677）

a^m+b^m=c^(km+1) ⇔c = (a^m+b^m)の(km+1)乗根
m,kの値がいくつであっても、a,bは変数であるので、a,bが実数全体を動くことを考えると、(a^m+b^m)は無限個の値をとる。
また、(km+1)は、a,bの値に依存しない。
ゆえに、c（ = (a^m+b^m)の(km+1)乗根）も、（a,bの値に依存するとはいえ）無限個の値をとる。
よって、題意を満たす(a,b,c）の組は無限個存在する。■
、

>>681
＞4*非負整数 の下１桁が0になるのは、この非負整数が0のときだけである

ダウト
例えば非負整数=5では？

>>680
大数の宿題かなんかだっけ？
その問題

>>681

の

====
題意よりn-1の下１桁は０であるので、4(k^2+k) = 0
(∵ 4*非負整数 の下１桁が0になるのは、この非負整数が0のときだけである)
====
これ、ウソだった。（4*40=160とか）

正しくは、たとえば、
＝＝＝
n-1が２桁以上のとき、n-1 （ = 4(k^2+k)）は５で割り切れ、これを満たすkは、0のみ。
しかしこのとき、n=(2k+1)^2=1ゆえnは１桁。よって矛盾し、題意を満たさない。
一方、n-1が１桁だと仮定すると、n=1である。これは題意を満たす。よって答えは1
＝＝＝

関数f(x)は任意の実数について定義され、実数値をとる関数であり、以下の2つの条件をともにみたす。
f(x)としてありうるものをすべて求めよ。

*任意の実数xについてf''(x)> 0(第2次導関数が常に正の値)である。
*任意の相異なる実数a,bに対してy=f(x)上の2点A(a,f(a)),B(b,f(b))を考えたとき、
線分ABとy=f(x)で囲まれる部分の面積は |a-b|^3 である。

>>684
＞n-1が２桁以上のとき、n-1 （ = 4(k^2+k)）は５で割り切れ、これを満たすkは、0のみ

意味不明。
そもそも>>656はnの桁数が2以上のときn=1...11≡3(mod4)で平方剰余にならないことからあっさり終了する。
東大にこんな知ってるか知ってないかの安易な出題はまずされない。

>>684
いや k^2+k ( =k*(k+1) )が５の倍数のとき、ダウトだ。。。
最初に解いた答え、どっかゴミバコにすてちった。。。５で割ったことはたしかなんだが。

>>686
n=1...11≡3(mod4)、知ってたけど、東大受験生的には常識？

4の倍数の判別法くらい中学生でも知ってるだろ・・・

>>679
多分おまえの方がつまらない

>>670
　(a[n+1] + 2a[n+2])/3 = (a[n] + 2a[n+1])/3 = ･･････ = (a[1] + 2a[2])/3,
∴　α = (a[1] + 2a[2])/3,

　a[n+1] - α = (-1/2)(a[n] - α) = ･･････ = (-1/2)^n {a[1] - α},

>>685
y=6x^2+ax+b

>>685
任意の実数xについてf''(x)>0
は
任意の実数xについてf'(x) が存在
に弱められそうだだが。

>>693は勘違い
電電無視してくれ

でも確かに広義の凸性があれば、2回微分可能でなくてもいいな。

確かに
誰かギリギリの条件の模索頼む

>>658
x>0のとき。f(x) = log x/xとすると、f'(x) = (1-\log x)/x^2よりx=eで極大値を持ち、
x<eで単調増加、x>eで単調減少。
2^x=x^2は、logx/x=log 2/2より、x<eでは解はX=2のみ。x>eでは解はX=4のみ。

x<0のとき。y=-xとすると、y^2=2^{-y}よりlog y/y = - log 2/2。このようなyは、0<x<eでf(x)=log x/x
が単調増加するので、0<y<1の間に一意的に存在する。
y = - (2/log(2))*LambertW(log(2)/2)
(LambertW(x)はLambertのW関数で、y=xe^xの逆関数)

任意の自然数k,mについて
a^m+b^m=c^(km+1)
が成立するような自然数(a,b,c）の組は無限個存在することを示せ.

>>698
これは簡単すぎだろ

このスレから６問、２０１０年度の東大本試に出したら、暴動起こるだろうな

>>700

作問者って、このスレ見てるのかな？1人くらいはみてそう

>>698

>>677 で同じの出してるじゃん、だいじょうぶ？

>>671の解答って結局
X=2、4とあと一つX<0の範囲に存在する解は何なんだ？
グラフ書いてみて何となく想像つく気もするが、高校の知識でこれを解く方法なんてあるのか？

>>671じゃなくて>>658だた
訂正

ニュートン法。

>>703-705
　X = -0.7666646959621230931112044225103･･･

>>685の解法おしえて

三角形（ａ，ｆ（ａ））（ｂ，ｆ（ｂ））（ｃ，ｆ（ｃ））の面積。

☆☆☆★最大級の注意を★☆☆☆☆☆

☆☆☆★とくに千葉県、静岡県、東京都や関東で大震災の恐れが★☆☆☆☆☆
☆☆☆★とくに千葉県、静岡県、東京都や関東で大震災の恐れが★☆☆☆☆☆
☆☆☆★とくに千葉県、静岡県、東京都や関東で大震災の恐れが★☆☆☆☆☆

☆☆☆★世界の支配者ユダヤが地震兵器を使うのか★☆☆☆☆☆

友人、知人、親類縁者、あらゆるつながりを駆使して巨大地震がくることを教えて下さい。

四川地震より大きいのが来る可能性があります。
http://goldenta★★matama.bl★★og★8★★4.f★★c2.c★★om/
警告！21-23日の地震は外れた次は27日やヴぁいかも5
http://live24.2ch.net/test/read.cgi/eq/1253716942/
ワタスの予言では今月中に関東大地震だす３
http://live24.2ch.net/test/read.cgi/eq/1253594903/
e-PISCO Part11
http://live24.2ch.net/test/read.cgi/eq/1252991726/

ほんとに大震災だったら犯人は特権階級全員だってことにwwwwwwww

☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆

カナダの世界的科学者ロザリー・バーテルはハープが地震兵器や脳を損傷させる兵器の疑い
があるので情報を公開するように要請している
http://www.youtube.com/watch?v=8AMlqRsHUXI&feature=player_embedded#t=511

不等式log_[x](3x^2-10x+7)≧2を満たす実数x(0<x<1)に対して、
x^2-2ax≧1が成り立つaの範囲を求めよ。

※log_[x]（…)は底がxということです。

任意の実数xか有る実数xに対してかハッキリしてくれ

【訂正】
不等式log_[x](3x^2-10x+7)≧2を満たす全ての実数x（0<x<1）に対して、
x^2-2ax≧1が成り立つaの範囲を求めよ。

>>712　かなり数が汚くなるなあ
一行目変換で 2x^2-10x+7≦0。よって(5-√(11))/2≦x<1。
f(x)=x^2-2ax-1としたとき、f(1)=-2a これが非負なのでa≦0.
よってf(x)の軸は負か0にあり、f( (5-√(11))/2 )≧0より- (9√(11)-25)/28≧a となる

s<tのとき、以下の連立方程式からu, v, s, tを決定せよ。
u*s^3 + v*t^3 = 0　　�@
u*s^2 + v*t^2 = 2/3　�A
u*s + v*t = 0　　　　�B
u + v = 2　　　　　　�C

u，vは複素でもいいんかい?

いい加減誰か>>511の模範解答をを教えて呉

>>715
成立するなら、いいよ。

>>714
us(t-s)(t+s)=0

簡単杉
宿題か?

>>718
実際、簡単杉なんだけど、一応、答えを書いて下さい。

>> 713 正解

次のような自然数の組(a,b)は存在しないことを示せ。
※全ての自然数pに対してap+bが素数となる。

>>721
b≠1 なら、p=b のときに ap+b = ab+b = b(a+1) は合成数。
b＝1 なら、p=a+2 のときに ap+b = a^2 + 2a + 1 =(a+1)^2 は合成数。

>>722
30点ぐらいかな

東大数学は1問20点です。

>>716
そういう関数fがあれば、集合｛f(x)：x∈[a,b]｝（これは幅をもった区間になる。）
に属する各無理数zに対し、中間値の定理によって、f(c)=zとなるc∈[a,b]が存在して
このcは有理数。すると　z|→cなる単射が作れたことになる。
さあ、高校数学の範囲でこの先矛盾を導けるのか？

>>658

〔類題〕
　g(X) = (2^X - X^2)/{[2^X - e^(-2W(log(2)/2))](2-X)(4-X)}　
とおくとき、 次を示せ。
　2^X ≠ X^2　⇒　0 < g(X) < e^{2W(log(2)/2)} = 1.70133199790････

Wて？

>>725
以下背理法による略解

ある[a,b]で題意の関数fが存在したとする
a＜c＜d＜b なる有理数 c,dが存在
[c,d]で m＜f(x)＜M なる有理数m,Mが存在
g(x)＝(M−m)(x-c)/(d−c)＋m−f(x)とおく
中間値の定理よりあるα∈[c,d]があって，g(α)＝0

>>707
x≠0 のとき (f(x)/x)'＋f(0)/(x^2)＝6
微分方程式みたいなもん。

>>728
よく思いつくな

>>721
p＝a(a+2)

>>730
有理数係数の1次関数がf(x)を横切れば矛盾が出るという単純な発想を
数式化しただけ

>>729
よくわからん

>>732
その発想が上手いと思った
今日は良い夢が見れそうだ

>>734
ここであまり誉めらえる事はないんで有り難う

>>733
>>685において a=0，b=x とおいて両辺をxで微分して整理

>>736
なるほど、変数とみて微分するとは気付かなかったｻﾝｸｽ

>>728
細かいが訂正

× 中間値の定理よりあるα∈[c,d]があって，g(α)＝0
○ 中間値の定理よりあるα∈(c,d)があって，g(α)＝0

>>728
ほう
なるほどな
褒美にメロンパンをやろう つ（＃）

上半期一番の作問だね。
年度賞の第一候補。

それはない

これは有名問題だから作問とは言えないね・・・

上半期？

Oを原点とする座標平面上に、相異なる2点A,Bがある。
A,BはいずれもOと異なるものとし、O,A,Bは一直線上にはないとせよ。
1次変換fは、f(OA↑)=2*OB↑，f(OB↑)=3*OA↑を満たすという。
線分ABを直径とする円上の動点Pをfによって写した点をQとすると、
動点Qはどのような軌跡を描くか。 OA↑，OB↑を用いて答えよ。

>>742
あまり見た事ないけど。
解法も有名なやつ？

(1)
∫(0→π/4)(tan^(n+2)+tan^n)dxの値をnを用いて表せ
(2)
π=lim(n→∞)4*Σ[k=1,n](-1)^(k+1)/(2k-1)を証明せよ
(3)
e=lim(n→∞)2^(Σ[k=1,n](-1)^(k+1)/k)を証明せよ

ｙ=ｘ^2-3ｘ-4を因数分解せよ

>>746訂正
nは非負整数

∫[0,1](sinθ-√(x^2-1))dxをθを用いて表せ。

√(x^2-1)が虚数になるんだが

>>746

(1)
　tan(x)^n･{tan(x)^2 + 1} = tan(x)^n / cos(x)^2 = tan(x)^n {tan(x)} ',
∴　(与式) = ∫[0,π/4] tan(x)^n･{tan(x)} 'dx
　　= [ (1/(n+1))tan(x)^(n+1) ](x=0〜π/4)
　　= 1/(n+1),

(2)　
　(右辺) = 4Σ[k=1,n](-1)^(k+1)/(2k-1) = 4Σ[k=1,n] [ (-1)^(k+1)/(2k-1) x^(2k-1) ](x=0,1)
　　= 4Σ[k=1,n] ∫[0,1] (-1)^(k+1) x^(2k-2) dx
　　= 4∫[0,1] Σ[k=1,n] (-1)^(k+1) x^(2k-2) dx
　　= 4∫[0,1] {1 + (-1)^(n-1)･x^(2n)}/(1+x^2) dx
　　→ 4∫[0,1] 1/(1+x^2) dx　　　　　　　　　　　　　　(n→∞)
　　= 4[ arctan(x) ](x=0〜1)
　　= π,

(3)
　Σ[k=1,n] (-1)^(k+1)･(1/k) = - Σ[k=1,n] [ (-1)^(k+1)･(1/k)x^k ](x=0,1)
　　= Σ[k=1,n] ∫[0,1] (-1)^(k+1)･x^(k-1) dx
　　= ∫[0,1] Σ[k=1,n] (-1)^(k+1)･x^(k-1) dx
　　= ∫[0,1] {1 - (-x)^n}/(1+x) dx
　　→　∫[0,1] 1/(1+x) dx
　　= [ log(1+x) ](x=0〜1)
　　= log(2),
∴　lim(n→∞) e^{Σ[k=1,n] (-1)^(k+1) 1/k} = 2,

>>496-497って直感的には明らかだが論証がめんどくさい。
この事実を公式的に扱えば、例えば、2008年の6番は増減を調べる必要はなく簡単。
ttp://www.densu.jp/tokyo/08tokyosprob.pdf

>>751
そういう方法もあるのか〜

一応(1)使う方針は
S_n=∫(0→π/4)(tanx)^ndxとおくと(1)よりS_(n+2)+S_n=1/(n+1)…�@
(2)nが偶数の時
S_0=∫(0→π/4)dx=π/4
�@より
π/4=1-1/3+1/5…1/(n-1)(+-S_n)
=Σ[k=1,n](-1)^(k+1)/(2k-1)
+-S_n
n→∞でS_n→0より(∵0≦x＜π/4においてtanx→0)
π=4Σ[k=1,∞](-1)^(k+1)/(2k-1)が示される
(3)はnが奇数の時を考えたら方針は同じです

ｙ=ｘ^2-3ｘ-4を因数分数せよ

>>754
方程式を因数分解とか死んだ方がいいよ

もう他のところでおしえてもらったんでいいです!

無限に対するあなたの考えを4000字以内で示せ

A
無限は無限だと思います。

無限って、何？

無毛

>>755
yはxの関数ってことだろ。
=が入ってれば何でもかんでも方程式って…

2元方程式でしょ。

>>761

683 名無しさんと大人の出会い 2009/09/26(土) 23:35:56 ID:/v9Anlx90
ラメ入りいうてもヒラヒラついてる
V系のコがきてそうな奴やで？
なんやアソコまでバラバラやとティバッグはいてても
紐にウンコついてそうやからスル〜したぞ！！
前見た時はポッチャリしてたんやけど？スリムなってすぐって
こんなんやろか？普通だれもいらんで！

451はどうやるの？
解いた人いないかしら。

スレが進むごとに東大入試に適さない出題が増えている気がする。

>>759
もちろん、HONDA | 無限 MUGEN　だが。

http://www.mugen-power.com/index.html

http://www.youtube.com/watch?v=dHKYSKpbknA 01:32 FORZA Z
http://www.youtube.com/watch?v=KN-4O_yPCgY 03:21 INSIGHT

>>757

　2000年にBARと組んで復帰したホンダは、シーズンが始まるとすぐに同スペックのエンジンをジョーダンに供給するという形になった。
　そうなっては無限はただホンダエンジンのメンテナンスのためにいるようなモノで、そんな活動に意味はないだろうと考えて当然だった。
　結果的にはホンダ本社が無限をF1から追い出し、身内同士の醜い争いという結果になった(?)のは残念で仕方ない。

　　中ry)

　F1参戦を目標にマシン開発を行っていた童夢、そのマシンには無限のV10エンジンが搭載されていた。
　マシンそのものはそこそこの完成度を誇っていたように見え、雑誌などでスポンサーとなる企業などを募っていたし、ワコールなどはそれに名乗りを上げていた。

　　中ry)

　ホンダや無限と深い関係にあった童夢だけにもしかしたらホンダや無限と組んでF1に参戦するのではという噂もあった。
　実現したらすごい事ではあったが所詮は噂にすぎなかったようだ。

　トヨタのフルワークス参戦というのも確かにすごく魅力的だけど、ホンダ、無限、童夢、BSの4社が団結した日本連合軍のF1参戦というものが実現していたら、それはF1にとっても新鮮な事であり、日本のレース界にとっても大きな意味があったはずなのだがね。

http://www5f.biglobe.ne.jp/~f1gp/mugen.htm

>>761
因数分解するのは函数じゃなくて多項式。

>>754
因数分数って何。

>>768
考えというかただの感想じゃん

>>757

あなたが無限(むげん)を無碍(むげ)と同じと考えるのは自由ですが、
間違っているかも知れないと指摘する人の意見も無碍にする事は出来ません。

無碍に　… 思った通りに


あなたが無限(むげん)を無下(むげ)と同じと考えるのは自由ですが、
間違っているかも知れないと指摘する人の意見も無下にする事は出来ません。

無下にする … それより下はない事をする。 お話にならないことをする。

《問題》
体積の等しい立方体と球がある。
この立方体と球を動かして、立方体のなるべく多くの辺が球の内部と共通点をもつようにしたい。
最大何個の辺が共通点を持つようにできるか。

感覚的には、球が立方体の辺を透過して移動できるというのは無理がある。

少し前の春分の日の棒の影の問題、√6/3でしょうか。
解いて欲しそうだったので解いてみました。

>>451さん、解答を教えてもらえませんか。

>>772

5?

【問】
y=e^xを原点中心にθ回転させたグラフがy=f(x)のようにyがxの関数として表されるためのθの条件を求めよ

>>776
　y･cosθ - x･sinθ = e^(x･cosθ + y･sinθ)
　　　　　= e^(x/cosθ + (y･cosθ - x･sinθ)tanθ),

　-(y･cosθ- x･sinθ)tanθ･e^(-(y･cosθ - x･sinθ)tanθ) = -tanθ･e^(x/cosθ),

　-tanθ･e^(x/cosθ) ≧ -1/e すなわち x/cosθ ≦ -1 -log(tanθ) に対してyが存在し、
　-(y･cosθ - x･sinθ)tanθ = W(-tanθ･e^(x/cosθ)),
W は Lambert-W函数。
　y = x･tanθ -(1/sinθ)W(-tanθ･e^(x/cosθ)),
と表わされるが....

>>777
関数はyがxにより一意的に定まるものだから常識的に考えて全範囲はあり得ないはず
【問】
(2)y=f(x)を原点中心にθ回転させた時にできるグラフは任意のθについてyがxの関数としてy=g(x)のように表せるf(x)は存在しないことを示せ

△ABCをその重心を通る直線で2つの部分に分ける。
このとき､小さい方の面積が最小となるのはいつか。

>>779
AB↑=b↑ ,AC↑=c↑
重心を通る直線がAB、AC(端点含む)を通るとしそれぞれの交点をP、Qとする
AP↑=p*b↑,AQ↑=q*c↑とし(1/2≦p≦1,1/2≦q≦1)
重心をsp*b↑+(1-s)q*c↑とすると
b↑,c↑が一次独立なので
sp=(1-s)q=1/3
p≠0,q≠0なので
1/p+1/q=3
相加相乗より
pq≧4/9
等号はp=q=2/3で成立
すなわち…(略)


駅弁レベルだとリアルに出るかもね

>>778の補足
f(x)は連続で、全実数xにたいして定義される関数

>>772
大阪大学乙

>>782　その通り　なかなか良問ですよね　これ

動点Pを(t-a,(t-a)^2),動点Qを(0,t)で定める.
a>0のとき、tを0≦t≦aの範囲で動かす.線分PQの通過する領域の面積S(a)を求めよ.

数列｛a(n)｝を次のように定める.

a(1)=1 a(n)=［√a(n-1)］^2+k

このとき、どのような自然数kについても、a(m+1)=a(m+2)　となるような自然数mが存在することを示せ.


簡単過ぎ？

ちなみに、［x］はxを超えない最大の整数を表す.

>>785
√a(n-1)のルートはn-1の部分にまでかかっているわけ？

>>787
それa_(n-1)だと思うぞ
文脈からして

>>784
まづ、線分PQが通過する領域を求める。
直線群PQ を F(t;x,y) = 0 とおく。
　F(t;x,y) = {(a-t)^2 -t}x + (a-t)(y-t)
　　　　　= (x+1)t^2 -{a(x+1) + (ax+y) + x}t + a(ax+y),
その包絡線は、
　F(t) =0, (∂F/∂t) =0　
からtを消去したものであり、F(t) =0 が重根をもつ条件である。
本問では F(t) は2次式だから、判別式を使って
　D(x,y) = {a(x+1) + (ax+y) + x}^2 -4a(ax+y)(x+1)
　　　　= (y-a)^2 ＋2x(y-a) +x^2 -4a(-x)(x+1)
　　　　= (y-a+x)^2 -4a(-x)(x+1)
　　　　= 0,
∴ y = a-x -2√{a(-x)(x+1)},　　　　　(････楕円の一部)
これと直線PQ との接点は
　( a/{(a-t)^2 +a} - 1, a - (a^2 -t^2)/{(a-t)^2 +a} ),
特に t=0 のときは ( -a/(a+1), (a^2)/(a+1) ),
よって PQ の通過する領域は
　x^2 ≦ y ≦ -ax,　　　　(-a ≦ x ≦ -a/(a+1))
　x^2 ≦ y ≦ a-x -2√{a(-x)(x+1)},　　(-a/(a+1) ≦ x ≦ 0)

正方形ABCDの辺BCの中点をMとする。△ACDの周または内部に任意の点Pをとる。
△APMの面積がもとの正方形の面積の1/3以上になる確率を求めよ。

座標平面において、A(0, 3) とし、またPとQを単位円x^2+y^2=1 上の動点とする。
三角形APQの面積の最大値を求めよ。

よくそんなつまらん問題思いつくな

>>785
簡単の為、b(n)^2 = a(n) と表す（このとき b(n+1)^2 = [b(n)]^2 + k）
漸化式から数列 {b(n)^2} は全て正整数であり、
b(n+1)^2 - b(n)^2 = [b(n)]^2 - [b(n-1)]^2 = ([b(n)] + [b(n-1)])([b(n)] - [b(n-1)])
であるので、数学的帰納法から数列 {b(n)} は単調増加である

今、全ての n で b(n+1) > b(n) だと仮定する（このとき lim[n→∞]b(n) = +∞）
m を [b(n)] ≦ k なる最大の n とすると
[b(m+1)]^2 ≦ b(m+1)^2 = [b(m)]^2 + k ≦ k^2 + k < (k+1)^2
∴[b(m+1)] ≦ k
これは m の最大性に反する
∴ある整数 m が存在して b(m+1) = b(m)

ぬるぽ

>>793
二点修正

×b(n)^2 = a(n)
○b(n) = √a(n)

×数学的帰納法から数列 {b(n)} は単調増加である
○数学的帰納法から数列 {b(n)^2} は単調増加である

>>746
(1)
∫(0→π/4)(tan^(n+2)+tan^n)dxの値をnを用いて表せ

(π/4)/(tan^(n+2)+tan^n)

>>790
これ、本来、高校数学の理系の範囲でとくもの？

自分、高校数学の理系の範囲、かなりわかってないんで、
文系数学の範囲でゴーインにといてみた。

てか、見にくくてスマソ

↓
http://docs.google.com/View?id=dfr2mrs9_79dhxgg3dn

ま、たんに、xy座標平面で、
p=(m,n)とおいて、
△ACDの周または内部に任意の点Pをとる＞＞＞m,nについての条件を求めて、・・・（１）
△APMの面積がもとの正方形の面積の1/3以上になる＞＞m,nがどういう条件か、をもとめて、。。。（２）
両者をmn座標平面で図解して、（１）の領域にしめる（２）の領域の割合を求めただけ。

>>790
Pが動く領域の面積を求めたらいいことを教えてやれば
偏差値65以上の中学生でも解ける

>>797

あ・・・そりゃそうだ。。。あせって、解き方思いついたらひたすら書きまくってしもた。
題意を吟味する習慣がそういえば最近欠けている。。。

>>785
に追加問題

あるkの値について、a(m+1)=a(m+2)となるとき、この値をf(k)とおく.
例えば、f(2)=3　f(3)=7である.

lim(n→∞)Σ（2≦k≦n）：1/f(k)
を求めよ.

>>799
f(2k-1) + 1 = f(2k) = k^2 + 2k
勘だけど

>>800

そんな予想は誰でもできます.
その証明が問題なんです.

>>785

【有界性】a(n) ≦ [(k+1)/2]^2 + k,
(略証)
nについての帰納法による。
　a(1) = 1 < 2 ≦ (右辺),
また、
　a(n-1) ≦ {(k+1)/2}^2 + k = {(k+1)/2 + 1}^2 - 2 < {(k+1)/2 + 1}^2,　(k:奇数)
　a(n-1) ≦ (k/2)^2 + k = (k/2 + 1)^2 - 1 < {(k/2) + 1}^2, (k:偶数)
いづれの場合も
　√a(n-1) < [(k+1)/2] + 1,
∴　[√a(n-1)] ≦ [(k+1)/2],　
∴　a(n) ≦ [(k+1)/2]^2 + k,　　(終)
じゅうぶん大きいnについて等号成立。

【単調性】a(n-1) ≦ a(n),
(略証)
nについての帰納法による。
　a(2) - a(1) = k ≧ 1,
　a(n) - a(n-1) ≧ 0,
とすると、f(x) = [ √x ]^2 + k は広義の単調増加函数だから
　a(n+1) - a(n) = f(a(n)) - f(a(n-1)) ≧ 0,　　(終)

→　a(n) は有界な単調列だから、収束する。

>>799
・kが偶数のとき
　f(k) = (k/2)^2 + k = (1/4)k(k+4),
　1/f(k) = (1/k) - 1/(k+4),
･ｋが奇数にとき
f(k) = {(k+1)/2}^2 + k = (1/4)(k^2 +6k+1) = (1/4){(k+3)^2 -8},
　1/f(k) = 4/{(k+3)^2 -8},　　むむ…

>>802
(有界性) は
　k = [k/2] + [(k+1)/2] ≦ 2[(k+1)/2] = 2L,
　a(n-1) ≦ L^2 + k ≦ L^2 + 2L < (L+1)^2,
　√a(n-1) < L+1,
　[√a(n-1)] ≦ L,

>>784

S(a) = S_1(a) + S_2(a) - S_3(a),
S_1(a) = ∫[-a, -a/(1+a)] (-ax)dx = [ (-1/2)ax^2 ](x=-a, -a/(1+a)) = (2+a)(a^4)/{2(1+a)^2},
S_2(a) = ∫[-a/(1+a),0] { a-x-2√{a(-x)(x+1)} } dx
　　= [ ax -(1/2)x^2 -(x +1/2)√{a(-x)(x+1)} + (1/4)(√a)arccos(2x+1) ](x=-a/(1+a),0)
　　= (2a+3)(a^2)/{2(1+a)^2} -(1-a)a/{2(1+a)^2} -(1/4)arccos((1-a)/(1+a))
　　= (2a^2 +4a-1)a/{2(1+a)^2} - (1/2)arctan(√a),
S_3(a) = ∫[-a,0] x^2 dx = [ (1/3)x^3 ](x=-a, 0) = (1/3)a^3,

訂正、ｽﾏｿ

S_2(a) = ･･････
　　= (2a+3)(a^2)/{2(1+a)^2} ＋(1-a)a/{2(1+a)^2} -((√ａ)/4)arccos((1-a)/(1+a))
　　= (2a^2 +２a＋1)a/{2(1+a)^2} -((√ａ)/2)arctan(√a),

これが正解だとしたら、ひたすらマンドクセだけの問題だなｗｗ

>>744はどうやるだ？

>>808
OA=(a1,a2)、OB=(b1,b2)とおいて写像fを求めるのはいいと思う？
どっちにしろ(|PA|^2)+(|PB|^2)=|OA-OB|^2、(PA↑)*(PB↑)=0だけじゃ
Qを求めたところで詰む

>>805-807
まとめると
　S(a) = (1/6)a^3 + (1/2){a - (√a)arctan(√a)},
　　　 = (1/6)a^2 + (1/15)a^3 + (1/14)a^4 - (1/18)a^5 + ……
だが。

f(x) がx＝0 の近くで定義された関数とするとき，
次の命題が真であれば証明し，偽であれば反例を示せ．

(1) 極限値 lim[x→0]f(x) が存在 ⇒ f’(0) が存在
(2) (1) の逆命題
(3) 極限 lim[x→0]f(x) が存在 ⇒ f’(0) が存在
(4) (3) の逆命題

ただし，
極限 lim[x→0]f(x) が存在
⇔ 極限値 lim[x→0]f(x) が存在，または lim[x→0]f(x)＝∞，または lim[x→0]f(x)＝−∞
とする．

訂正．

f(x) がx＝0 を含む開区間で連続で，その区間内で x≠0 のとき f’(x) が存在するとき，
次の命題が真であれば証明し，偽であれば反例を示せ．

(1) 極限値 lim[x→0]f’(x) が存在 ⇒ f’(0) が存在
(2) (1) の逆命題
(3) 極限 lim[x→0]f’(x) が存在 ⇒ f’(0) が存在
(4) (3) の逆命題

ただし，
極限 lim[x→0]f’(x) が存在
⇔ 極限値 lim[x→0]f’(x) が存在，または lim[x→0]f’(x)＝∞，または lim[x→0]f’(x)＝−∞
とする．

>>811
何これ？反例ならf(x)=|x|でしょ。
逆とかは微分可能であれば連続だからおｋ。

(1)
(f(h)-f(0))/h=f'(ξ)　（ξ：0とhの間、平均値の定理）
より、f'(0)=lim[x→0]f'(x)･･･(*)
(2)f(x)=x^2sin(1/x)　（x≠0），0　（x=0）　が反例。
(3)基本的に(1)と同じ。f'(0)の存在を±∞まで認めれば成り立つし、
認めなければ成り立たない。((*)は常に成り立つ。)
(4)(2)が反例。

>>814
(3)でにおいて f’(0) は実数なので，±∞まで認める事はない．
認めないと，証明は自明ではない．
(*)はいつも成り立つとあるが，成り立つのは f’(x) が x＝0 で連続のときだけ．

また，(1) で f’(0)=lim[x→0]f’(x) とあるが，これは
f’(0)=lim[h→0]f’(ξ) で lim[x→0]f’(x) が存在するので，
結果的に f’(0)=lim[h→0]f’(ξ)=lim[x→0]f’(x) となる事を明記しないと，
あらかじめ f’(0)=lim[x→0]f’(x) となる印象を受ける．

>>812に追加．

(5) f’(0) が存在 ⇒ f’(x) が有界 ( |f’(x)|≦M )

>>814
＞f'(0)の存在を±∞まで認めれば成り立つし

これは間違い。

自然数Nにたいして、F(N)=10^Nで定める.

(1)F(N)-1が２００９で割り切れるような自然数Nをすべて求めよ.
(2)Mが７以上の整数のとき、a^2009+b^2009=c^f(M!)　をみたす自然数の組（a,b,c)は無限に存在することを示せ.

×　無限に存在する
◎　無数に存在する

>>816
書き方が悪かったのか？
(1)は極限の定義よりlim[h→0]f'(ξ)=lim[x→0]f'(x)は(lim[x→0]f'(x)が存在すれば)明らかだ。

(3)は
(f(h)-f(0))/h=f'(ξ)
なんだから、lim[x→0]f'(x)=∞のときは
∀K＞0に対して∃δ＞0　s.t.　|x|＜δ⇒f'(x)＞Kが成り立っている。
このKに対して、|h|＜δを任意に取れば、0＜|ξ|＜|h|よりf'(ξ)＞K
すなわち|h|＜δ⇒(f(h)-f(0))/h＞K
これよりlim[h→0](f(h)-f(0))/h=∞である。よってf'(0)は存在しない。-∞も同様。
(1)より、lim[x→0]f'(x)∈Rのときは成り立つ。

これで問題ないんじゃない？
ちょっと書き方悪いけど、収束とf'の値に±∞まで許せば
f'(0)=lim[h→0](f(h)-f(0))/h=lim[x→0]f'(x)
は常に正しいと書いた。

(3)の反例としては、f(x)=√x　（x≧0），-√(-x)　（x＜0）

>>821
物理屋じゃないんだから，f'(0)＝∞ はないだろ．
lim[x→0]f(x)＝∞ の「＝」は形式的に書いているだけで，本来の意味の等号ではない．
∞ を実数とすれば実数の公理から矛盾が出る．

>>822
だから書き方が悪かったって。お前の言うとおり形式的といえばそうなるな。
でも間違ってはないだろ？
てか測度論・ルベーグ積分論では可測関数の値域に±∞を認めて議論するのが普通じゃないか。

無限遠点を加えて議論した方がすっきりするしな

そんないい訳では f'(0)=lim[h→0](f(h)-f(0))/h=lim[x→0]f'(x)
の二つの「＝」の説明はつかないぞ。値域云々じゃなくて「表記」の問題。
δ関数も本当の関数だと言ってるようなものだよ。
しかもここは工房相手の作問スレ。

そもそもあれは工房向けの問題じゃないしな

>>721-722
少し発展させた次の問題なら、東大入試程度になるかな？

問：与えられた実数a,bについて、直線l: y=ax+b を定める。
l上のすべての格子点(座標が整数である点)が、x座標・y座標ともに素数であるとき、
aは無理数であることを示せ。

>>819
(1) 根性で1/49の循環節が42であることを求め、1/41の循環節が5であることとあわせて
1/2009の循環節は42*5=210、よってN=210n (nは自然数)という結果が出たが…
(2)は皆目見当がつきません。

>>828
(2)の問題は、以前出した>>698の応用。

(1)
1/41の循環節が５であることはすぐ分かる.
ここで、各桁が１である、m桁の自然数をf(m)と書くことにしよう.
たとえば、f(4)=1111である.
f(m+1)=10f(m)+1であることから、f(m)が７で割り切れるようなmは6の倍数であることがすぐにわかる.
よって、f(m)が４９で割り切れるのも、mが６の倍数のときである.
f(6m+6)=1000000・f(6m)+111111
　　　　≡8・f(6m)+28　(mod49)
で、f(6)≡28(mod49)から
計算していくと、
f(12)≡7(mod49)
f(18)≡-14(mod49)
f(24)≡14(mod49)
f(30)≡42(mod49)
f(36)≡21(mod49)
f(42)≡0(mod49)
よって、1/49の循環節は42である.
以上より、N=210n（nは自然数）

(2)
(1)により、M!は210の倍数であることから,f(M!)-1は２００９で割り切れる.
したがって、(f(M!)-1)/2009=Zとおけば、Zは整数である.
a=x・(x^2009+y^2009)^Z
b=y・(x^2009+y^2009)^Z
とおくと、正の整数（x,y）の組は無数に存在するから、(a,b)の組も無数にあると考えてよい.
a^2009+b^2009=(x^2009+y^2009)^f(M!)=c^f(M!)
∴c=x^2009+y^2009

>>817は真っぽいでけど証明ができない．

>>830
偽っぽいでけど反例が思いつかない

>>830
反例：f(x)=tanx

大学入試史上、最も難しかった数学問題を教えてください。

>>832
お前は何を言っているんだ

>>831
x^(3/2) sin(1/x) だとどうかな。

>>834
f(x)=tanxは微分可能でf’(x)=1+(tanx)^2、f’(0)=1だが
f’(x)は有界でない

>>836
池沼は黙ってろｗ

>>835
惜しいが関数が x＞0 で定義できない
[5]√(x)^4 sin(1/x) とかでFA

× 惜しいが関数が x＞0 で定義できない
○ 惜しいが関数が x＜0 で定義できない

>>837
俺何か見落としてる？マジでどこがいけないのか分からない教えろ
いや、教えてくださいお願いします。

>>826
工房向けでない可能性があるのは (3) だけ。
やっぱ (3) はε-δ論法無しでは無理なんだろうか？

>>840
＞f(x) がx＝0 を含む開区間で連続で，その区間内で x≠0 のとき f’(x) が存在するとき，

f(x)=tan(x) がx＝0 を含む開区間(-π/2,π/2)で連続で，その区間内で x≠0 のとき f’(x) が存在するとき，

>>842
f(x)=tanxは開区間(-π/2,π/2)で連続で、(-π/2,π/2)-{0}でf’(x)は存在するけど？
え？マジでどういうこと？

2曲線 x^2/4＋y^2＝1，x^2＋(y−t)^2/4＝1 が共有点を持つ t の必要十分条件を t∈[a，b] とする．
その共有点の x 座標は最大４個あり，それらを重複を含めて a(t)，b(t)，c(t)，d(t) ．．．�@ とする．
その4つの関数 �@ が，任意の t∈[a，b] において不連続となる必要十分条件を求めよ．

で、どうなんだ？>>837,842よ
俺を池沼呼ばわりしたんだから
それなりの根拠があるんだろ？

× 任意の t∈[a，b] において不連続となる
○ 任意の t∈[a，b] において不連続と成りうる

>>846
x＝0 を含む “任意の” 開区間での反例を示さないと意味をなさないだろ。

>>846
馬鹿は黙ってろ

数学では、いや、数学でこそ、馬鹿は免罪符にはならない。

× 任意の t∈[a，b] において不連続となる必要十分条件を求めよ
○ t∈[c，d] ⊂ [a，b] なる任意の t∈[c，d] において不連続となる必要十分条件を c，d を用いて表せ

もうわけワカメ