2009を使った数学の問題を考えるスレ

1992年度数学オリンピック国内予選[3]改題
座標平面上で方程式 y^2=x^3+2009x-3350の定める曲線をEとする。
この曲線上の2点(2,26)、(3,52)を結ぶ直線は、もうひとつの点で曲線Eと交わる。
この点のx座標を求めよ。

[2010年度以降の場合の作問法:
2点(2,p)、(3,q)を通りEの式をy^2=x^3+ax+bとする。そうすれば(a,b)についての連立方程式
2a+b=p^2-8、3a+b=q^2-27が成立するので、a=q^2-p^2-19となる。西暦a年のときは、
q^2-p^2=a+19なので、(q+p)(q-p)=q^2+19を満たすような整数の組(p,q)を一つ見つければよい。
若し+19が気に入らなければ、2点のx座標をu,u+1とすれば19の代わりに(u+1)^3-u^3=3u^2+3u+1とすればよい。]