ルベーグ積分と測度論のスレ

ルベーグ積分がわからないです。
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1176444089/

の次スレ

king

A,Bが可測集合、A∩Bが零集合なら
m(A)+m(B)=m(A∪B)となることを証明してみろking

　　　　　　　 ＿＿＿＿
　　　　　 　 '───┐ |
　　　　　　　　　　　　|　|　
　　　　　　　　　　 　 |　|　　 _
　　　　　　l二二二二.　|　　|└─[][]
　　　　　　　　　　 　 |　|　　└'7 /￣
　　　　　　　　　　 　 |　|　　　/_/　　　[]□ ∩　　　　　　　　 ┌┐
　　　 　 r────┘｜　　　　　　　 ⊂二ノ　 ┌-､　　　　　|　|
　　　　　l＿＿＿＿＿/　　　　　　　　　　　　　　|　 |　　　　　 |　|
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　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 |　┌─┘　　L」
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　　　　/　　　　　　　　　　　　　　 ヽ
　　 　 |　　　　　・　　ト-─1　　・　 |
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　　　　ゝ、　　　　 　 !_／　　　　　/
　　　　　 ｀ー-　　＿＿＿＿＿／

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＿
　　　　　　　　　　　　　　　 　 ／:.／
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　　　 　 　 　 | ｌ:/:.／:.:/:.:.:.:./l:.:.:.lヽ:.:.:i:.:.:.:ヽ:.:ヽ::.::.::.! !
　　　　　　 　 {./:/:.:.:./:.:.:.:./　!:.:.:|　i:l:.:|:.:.:.:.:.',:.:.:',::.://
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　　　　　/＼　l:l:.:.l:.:.{. !_ﾉ rｌ 丶:.:|　ｌ_,ﾉ r l }:.:|:.:.ﾊ:.:.|
　　　 　 !　　＼lヽヽ:.l弋Zソ　 ,ヽ! 弋辷ソ,!:.:!:.ハ!:.:|
　　　　　＼　　 ヽ_／｀!　　 rー‐-､　￣　/://:.!:.:.:.;!
r-､　　　　/＾ヽ　　 _,ノ丶　 !、　　 ）　 ／///ｲ!:.:.ハ
{　{　　　 〈＼＿〉　ﾊ ヽ } 冫''ニﾆ､くi´i／l// 从从ﾊ!
|:.:.l　　　　{`ー/／_ﾉ ,ﾉ Y ´　　　 ヽY !　　 ＼
l:.:.:!　　　　 ￣丁--‐'　 ﾊ　 {Y,!　 　 K　　　　）丶,
ヽ:.ヽ　　　　 　 ` ―-イ: i丶 l::!　 ,／: ヽ　　 /　 / 、
　＼:.＼　　　　　　　 ,j : | : : ￣: : :l : : ;ﾊ､／ ,／ 　丶
　　 ＼:.`ー---- ｰｧ´: :/ : : : : : : : l: :ｲ、　￣　＼　　 ＼
　　　　` ー----／: :`ﾒ､、: : : : : : キ": 丶、　　　丶　_　ヽ
　　　 　 　 　 ／: : : : { : :`: : : : : : : :ｌ : : : : :＼　　　{´ ,　　}

∀x∈R ∃y∈A x-y∈Q
∀x,y∈A x-y∈Qでない
となるようなAは非可測であることを証明してみろking

∀x,y∈A x-y∈Qでない
でなくて
∀x,y∈A (x-y∈Q → x=y)
だった

Reply:>>2-3 私を呼んでないか。
Reply:>>3
定義さえわかればすぐにできる。A∪B=(A-(A∩B))∪(B-(A∩B))∪(A∩B)が成り立ち、合併の成分同士は互いに交わらない。
可測集合族は高々可算個の交わりについて閉じていて、差集合についても閉じている。
よってm(A∪B)=m(A-(A∩B))+m(B-(A∩B))+m(A∩B)=m(A-(A∩B))+m(A∩B)+m(B-(A∩B))+m(A∩B)=m((A-(A∩B))∪(A∩B))+m((B-(A∩B))∪(A∩B))=m(A)+m(B)が成り立つ。
Reply:>>6-7
A+qのqが有理数全体にわたるときの合併がRになるから、Aは零集合ではない。
Aが可測であるとすると、ある有界区間Iがあり、m(A∩I)>0が成り立ち、
qが小さい有理数の範囲で動くとき(A+I)∩qを合併すると、
合併の成分同士は交わらないので合併の測度はIの測度より少し大きいものよりも大きくなるので不整合である。
よって、Aは非可測である。

(A+I)∩q -> (A∩I)+q

>>8
A,Bが可測、A∩B=φ→m(A∪B)=m(A)+m(B)
を使いやがったなkingめ
まぁ正解だ

ﾁｸｼｮｳ復讐してやるkingめ

Reply:>>10 どこでだ。
Reply:>>11 お前は何をたくらんでいる。

>>12
>m(A∪B)=m(A-(A∩B))+m(B-(A∩B))+m(A∩B)
で使ってないか？

Reply:>>13 φとは何か。

(A-(A∩B))∩(B-(A∩B)), (A-(A∩B))∩(A∩B), (B-(A∩B))∩(A∩B) はいずれも空集合である。
このことか。

イエスッ　ルベ！！　Ｓｏ　鋭利菊

イエスッ　ルベ！！　Ｓｏ　鋭利菊 イェッ！

ウィー　ラーブ　ルベ！！ イエス　ウィラー！　イェッ　鋭・利・菊

オバマ？

独学で伊藤清三「ルベーグ積分入門｣を読むのは可能？

最初の一冊ということならお勧めしない

おれはRudinでやった。
最初に測度についてうるさい本やるのはどうかと思う。

>>21-22
ありがとうございます。ルベグ読んで見ます。

「実解析と測度論の基礎」　（盛田健彦）

は結構気に入ってる。色々丁寧で詳しくて、初学者にもいいかもね。

http://www.washin.co.jp/honya/outline/4-563-00323-9.htm

微積分の学習をひととおり終えた読者に，ルベグ積分とは何かを
手っ取り早く理解させる入門書である。

記述はつねに易から難へ，具体から抽象へと進められ，まず前半
では１変数の関数のルベグ積分が解説されている。

読者はこの部分を読むだけで，ルベグ積分がどんなものであるか
をひととおり理解されるであろう。

後半の解説は多変数の関数のルベグ積分から抽象的な
測度空間におけるルベグ積分に及んでいるが，一貫して前半の
解説の自然な展開として述べられており，読者に混迷の感を与え
ることがない。

なお，確率論を学ぶためにルベグ積分を知ろうとする人々は，
前半を終えたならばただちに測度空間の章へ進めばよい。

rudinのR&Cを二回ほど読みました
演習問題はまだ二割程度しか解けていません
実解析のお勧めの本を教えてください＾＾
複素解析は今アールフォースので進めています

よろしくお願い致します。Lebesgue内測度について疑問があります。

μをルベーグ外測度とする。f:2^(R^n)→Rを
2^(R^n)∋∀A|→f(A):=sup{μ(K)∈R;(A⊃)Kは有界閉集合}とする時,
このfをルベーグ内測度という。

と習ったのですがμの定義域は∪[j=1..k]Π[i=1..n](a_ji,b_ji]というn次元半開区間塊の集合だと思います。
なのでμ(K)とは書けないと思うのですが…

勘違いしてますでしょうか?

ちなみにLebesgue外測度の定義は下記の通りです。

C(n)をn次元区間塊とする。

[定義] 写像g:∪C(n)→R∪{+∞}を
C(n)∋∀∪[i=1..k]Π[ji=1..n](a_ji,b_ji]→g(∪[i=1..k]Π[ji=1..n](a_ji,b_ji]):=

Π(b_i-a_i)
(k=1且つΠ[i=1..n](a_j1,b_j1]は有界の時)
sup{Π[i=1..n](d_i-c_i);(Π[j1=1..n](a_j1,b_j1]⊃)Π[i=1..n](c_i,d_i]は有界}
(k=1でΠ[j1=1..n](a_j1,bj1]は非有界の時)
0 (k=1でΠ[j1=1..n](a_j1,b_j1]=φの時)
Σ[i=1..k]g(Π[ji=1..n](a_ji,b_ji]) (k>1で∪[i=1..k]Π[ji=1..n](a_ji,b_ji]∈C(n)

(但し,Π[j1=1..n](a_j1,b_j1],Π[j2=1..n](a_j2,b_j2],…,Π[jn=1..n](a_jn,b_jn]は互いに素)の時)
と定義するとこのgは可測空間(R^n,C(n))での有限測度をなす。
そして写像h:2^(R^n)→Rを2^(R^n)∋∀A→h(A):=
inf{Σ[k=1..∞]g(E_k);A⊂∪[k=1..∞]E_k (E_k∈C(n) (n∈N＼{0}))}
で定義するとこのhは可測空間(R^n,C(n))で外測度をなす。
この時,このhをLebesgue外測度という。

＞そして写像h:2^(R^n)→Rを2^(R^n)∋∀A→h(A):=
つまり、外測度hの定義域は2^(R^n)ですね。君の目は節穴ですか？

Kが半開区間の和であらわせないときは
半開区間の和EでKを含むものを考えて
そのようなEの測度の下限でKの測度を考えているわけです

>>27のルベーグ内測度の定義は、R^nの特殊性に依存しすぎている。

ふつうは、ルベーグ内測度は、補集合の外測度を使って定義する。（したがっ
てルベーグの場合は「内測度」に独立した意味はなく、カラテオドリ可測性の
定義を見やすくする程度の意味しかない。）

R^nの場合、有界閉集合はコンパクトで、しかもルベーグ測度は位相的正則だ
から、「含まれるコンパクト集合の測度（＝外測度）のsup」が測度と一致
するので、>>27でも間違いではないが、なんでそんな特殊な定義を採用する
のだろう？ 測度論が整備される前の混沌とした時代じゃあるまいし、百害
あって一利なしと思うのだが。

その教員が考えた方法ならそうする意図を、そうでないならタネ本が何か知りたいね。

> つまり、外測度hの定義域は2^(R^n)ですね。君の目は節穴ですか？

そうでした。だから有界閉集合でも可でした。
すいません。勘違いしてました。

どうもありがとうございました。

Lebesgue内測度はあまり意義のあるものではないんですね。
本がもし別ればお教えしたいと思います。

再度よろしくお願い致します。下記の定理イについての質問です。

[定義1] S(a,b):={f∈Map((a,b),R);fは単関数}

[定義2]f∈S(a,b),f(x)=c_i (x∈I_i(⊂(a,b))の時),0 (それ以外の時)
(i=1,2,…,k).
∫[a..b]f(x)dx:=Σ[n=1..k]c_i|I_k| と定義し,単関数の積分と呼ぶ。

[定理ア] 単関数列の単調増加列{s_n}が与えられた時,∫[a..b]s_n(x)dx≦M<∞⇒{s_n}はa.e.で有限な極限を持つ(ここでの∫は単関数の積分)。

[定義3] 定理アでlim[n→∞]s_n(x)=:f(x)とおき,Zを零集合とする。lim[n→∞]f(x)はx∈Zでは∞となり,
x∈Z^cではlim[n→∞]f(x)∈Rとなる。
よってこのようなf∈Map((a,b),R∪{±∞})に対し,
{{s_n};{s_n}は区間(a,b)での単調増加な単関数列,s_n≦f(有限個の点を除いて),
∫[a..b]s_n(x)dx≦M<∞,　
∃Zは零集合 such that x∈Z^c⇒f(x)∈R,lim[n→∞]s_n(x)=f(x)}≠φ
となる。この集合をFと定義する。そしてこの{s_n}をfの定義関数列と呼ぶ。

[定義4]L^+(a,b):={f∈Map((a,b),R∪{±∞});F≠φ}

[定理イ] f_n∈L^+(a,b), {f_n}は単調増加列で∫[a..b]f_n(x)dx≦M<∞⇒{f_n}はa.e.で収束する

で難儀しております。

対偶でなら示せるかと思い、、、
¬(lim[n→∞]f_n(x)∈R (a.e.))と仮定してみる。つまり
2^(a,b)∋∃Sは零集合ではない such that ∀x∈S,lim[n→∞]f_n(x)=+∞ ({f_n}は単調増加)。
よって0<∀ε∈R,∃K∈N;K<n∈N⇒f_n(x)>ε. …�@
よって{I_k;inf{Σ[k=1..∞]|I_k|;S⊂∪[k=1..∞]I_k}>0}=:Jと置くと
∃I∈J; |I|>0(∵∀I∈J,|I|=0ならinf{Σ[k=1..∞]|I_k|;S⊂∪[k=1..∞]I_k}=0となってSは零集合となり矛盾)
そこでこのIと�@から,∫[a..b]f_n(x)dx=+∞になる予定でしたがまだ単関数の積分しか定義されてませんのでリーマン積分は使えません。
したがってこのIと�@から,∫[a..b]f_n(x)dx=+∞が言えなくて困っています。

どのようにすれば
{f_n}はa.e.で有限な極限を持つ
が示せますでしょうか?

>>33 任意のmに関して
f_nの単関数列を
　f_n≦s_n.m+M　for some M a.e
　

f_n→∞　on U ⇒s_n.m>M on U for all large n,m
∫f_n≧∫s_n.m→∞　矛盾

物理の学生ですが質問です
コンパクト線型リー群上の複素数値正則測度は
ハール測度に関して絶対連続という定理は現在あるでしょうか？

あるだろう。というよりもあったらいいなと思って質問していますので根拠はないです

>>36
ありません

写像が可測の一般での定義を知りたく思っています。

『Aを集合とする(A,B)をBをA上のσ集合体とする可測空間,(Y,S)をSを位相とする位相空間とする。
その時,
f:B→Sが可測 ⇔(def) ∀s∈S,f^-1(s)∈B』
が可測の一般での定義と聞いたのですがこれで正しいでしょうか?

>>37
そうですか残念

ハール測度に関して絶対連続な測度の全体って
数学では既に調べられている領域なんでしょうか？

識者の皆様よろしくお願い致します。

D={(x,x);0≦x≦1}を[0,1]×[0,1]内のdiagonal segmentとせよ。
λ*(D)=を計算する為に,Lebesgue外測度の定義を用いよ。

という問題です。要するにDの面積(?)を求めよという問題だと思います。
λ*はLebesgue外測度だと思います。

[解]
Dを覆う長方形として
[0,1/2]^2∪[1/2,1]^2があり次に細分化して
[0,1/4]^2∪[1/4,2/4]^2∪[2/4,3/4]∪[3/4,1]があり更に細分化して
[0,1/8]^2∪[1/8,2/8]^2∪[2/8,3/8]∪[3/8,4/8]∪[4/8,5/8]^2∪[5/8,6/8]^2∪[6/8,7/8]∪[7/8,1]
:

と細分化し続けて、、、Lebesgue外測度の定義は
inf{lim[n→∞]Σ[k=1..2^n]|[(k-1)/2^n,k/2^n]×[(k-1)/2^n,k/2^n]|;D⊂lim[n→∞]∪[k=1..2^n]([(k-1)/2^n,k/2^n]×[(k-1)/2^n,k/2^n])}
だからこれがλ*(D)の値だと思います。
それでlim[n→∞]Σ[k=1..2^n]|[(k-1)/2^n,k/2^n]×[(k-1)/2^n,k/2^n]|を計算すると
lim[n→∞]Σ[k=1..2^n](1/2^n)^2
=lim[n→∞]1/4Σ[k=1..2^n](1/4)^(n-1)
=1/4/(1-1/4)(∵等比級数の和) =1/3

となったのですがこれで正しいでしょうか?

>>38
なんかおかしい。
σ(S)：開集合系Sから生成されるσ-集合体
として、正しくは
f:A→Yが可測 ⇔∀s∈σ(S), f ^{-1}(s)∈B
　　　　　　　　 def
と書くんじゃないの？

あと、写像の可測性の定義はもっと一般的に、
「可測集合の逆像が可測」でいい。
つまり、
(X, S)：可測空間，(Y, T)：可測空間，f: X→Y
として、
fが可測 ⇔∀B∈T, f ^{-1}(B)∈S
　　　　　def

>>40
まず、Dは線分で、線分や直線のLebesgue外測度は0。だから1/3という答えは変。

λ^*(D)をLebesgue外測度の定義から直接計算するなら、
>>40 のような長方形和の縮小列を考えればいいのだろうが、
「と細分化し続けて、、、」以降が間違っている。

Lebesgue外測度の定義から、
0≦λ^*(D)≦lim[n→∞]�納k=1..2^n] |[(k-1)/2^n,k/2^n]×[(k-1)/2^n,k/2^n]|
この最右辺の計算を >>40 でしているけども途中でミスしている。（等比級数にはならない！）
(最右辺)
=lim[n→∞]Σ[k=1..2^n](1/2^n)^2
=lim[n→∞](2^n)(1/2^n)^2
=lim[n→∞]1/2^n
=0
だからはさみうちで、λ^*(D)=0　　■

> あと、写像の可測性の定義はもっと一般的に、
> 「可測集合の逆像が可測」でいい。
> つまり、
> (X, S)：可測空間，(Y, T)：可測空間，f: X→Y
> として、
> fが可測 ⇔∀B∈T, f ^{-1}(B)∈S
> 　　　　　def

ありがとうございます。
これは分かりやすいです。

ところで
「fが可測 ⇔∀B∈T, f ^{-1}(B)∈S 」
の場合,何上の可測とか何々可測とか修飾語は付かないのでしょうか?

>>44
S/T-可測 とか言うみたいよ。

> S/T-可測 とか言うみたいよ。

どうもありがとうございます。

どうもありがとうございます。



> Lebesgue外測度の定義から、
> 0≦λ^*(D)≦lim[n→∞]�納k=1..2^n] |[(k-1)/2^n,k/2^n]×[(k-1)/2^n,k/2^n]|

λ^*(D)≦lim[n→∞]�納k=1..2^n] |[(k-1)/2^n,k/2^n]×[(k-1)/2^n,k/2^n]|
はどうして不等号になるのですか?
Lebesgue外測度の定義から等号になると思うのですが…


> この最右辺の計算を >>40 でしているけども途中でミスしている。（等比級数にはならない！）
> (最右辺)
> =lim[n→∞]Σ[k=1..2^n](1/2^n)^2
> =lim[n→∞](2^n)(1/2^n)^2
> =lim[n→∞]1/2^n
> =0

納得です。

>>47
>Lebesgue外測度の定義から等号になると思うのですが…

Lebesgue外測度の定義から，
λ^*(D)≦�納k=1..2^n] |[(k-1)/2^n,k/2^n]^2|　(for ∀n∈N)．
だからλ^*(D)は実数列 {�納k=1..2^n] |[(k-1)/2^n,k/2^n]^2|}_{n=1}^{∞} の下界．
さらにこの実数列は単調減少なので下限に収束する．
下界≦下限だから，
λ^*(D)≦lim[n→∞]�納k=1..2^n] |[(k-1)/2^n,k/2^n]^2|．

まだわからんかったら質問スレで続きをやろう。

> Lebesgue外測度の定義から，
:
> λ^*(D)≦lim[n→∞]�納k=1..2^n] |[(k-1)/2^n,k/2^n]^2|．

どうもありがとうごさいます。納得できました。

ありがとうございます。


> 任意のmに関して
> f_nの単関数列を
> 　f_n≦s_n.m+M　for some M a.e
> f_n→∞　on U ⇒s_n.m>M on U for all large n,m
> ∫f_n≧∫s_n.m→∞　矛盾

つまり,∀n∈Nに対してf_n(x)≦s_n.m(x) +M_n (a.e.) となるような単関数{s_n.m}と定数M_nが採れれば
∫[a..b]f_n(x)dx≦∫[a..b](s_n.m(x) +M_n)dx
(∵命題,{h_n}と{k_n}をf,g∈L^+(a,b)の定義関数列でf≦g(a.e.)なら∫[a..b]f(x)dx≦∫[a..b]g(x)dx
但し,∫[a..b]f(x)dx:=lim[n→∞]∫[a..b]h_n(x)dx) という意味でしょうか?
ここでもしf_n(x)→∞(a.e.)ならばどうしてs_n.m(x)>M _n (a.e.)が言えるのでしょうか?

(Ω,Σ)を可測空間とする。E∈Σでf:E→[-∞,+∞]の時,
fがproperty Cを持つ
⇔(def)
(i) 0<∀ε∈R,E⊃∃Fは閉集合;λ(E＼F)<ε (λはLebesgue測度)
(ii) fはF上で連続。

がproperty Cの定義です。

[問] Qを有理数体とする。f:Q→{0,1}をf(x)=1(x∈Qの時),0(x∈Qでない時)とする。
この時,fはproperty Cを満たす事を示せ。
[解]
(i) 閉集合FとしてQを採ればλ(Q＼Q)=λ(φ)=0(∵測度の定義)<ε。
(ii) fはQで連続である事を示す。

「f:X→YがXで連続とはfが任意のXの元xで連続である。これの定義は
∀V∈nbhd(f(x),Y)に対し∃U∈nbhd(x,X);f(U)⊂V
(但しnbhd(x,X)はX内での点xの近傍系を表す」

∀r∈Qで連続である事を示せばよい。∀V∈nbhd(f(r),{0,1})を採ると
fの定義からf(r)=1なのでV={1}かV={0,1}かのどちらか。
U∈nbhd(r,Q)としてどんなUもQの部分集合なので
f(U)={1}⊂V
よってfはQで連続。となったのですがこれで正しいでしょうか?

>>51
数学を真面目にやりたいなら、もっと正確に記述すべき

最初は一般の可測空間の話と思わせといて、途中からR上のルベーグ測度の話になったり、突然位相がでてきたりしてる。
(Ω=R, Σ, λ) がとりあえずルベーグ測度空間で普通の位相で考えた場合は

＞f:Q→{0,1}をf(x)=1(x∈Qの時),0(x∈Qでない時)
Qに入らないときは定義域の外なんだから書く必要はない。f:Q → {1} で関数はひとつに定まる

＞∀r∈Qで連続である事を示せばよい。∀V∈nbhd(f(r),{0,1})を採ると
これだと f:Q→{0,1} の関数として連続は示せるけど、それは本当に
Q→[-∞,+∞]な関数としての連続性を導くのか考察したか？
定義の上では f:Q→[-∞,+∞] が連続は f:Q→{0,1} が連続よりも強いぞ

どうでもいいけど、Q上の関数がCを満たすかどうかなんて考える必要あるの？
任意のQ上の関数が満たすと思うんだけど…

Prove the limits in measure are a.e. unique.
測度収束の極限は一意的であることを示せ。

にはまってます。

とりあえず測度収束の定義から
0<∀ε∈R, μ({x∈E;|f_n(x)-f(x)|≧ε})=0とμ({x∈E;|f_n(x)-f'(x)|≧ε})=0.
というfとf'があったとして(μは測度,Eは可測な集合,f_n,f,f'は可測な関数)f=f' a.e.に持って行きたいのですが
ここからにっちもさっちも行きません。どうすればいいのでしょうか?

よろしくお願いいたましす。

(｜f−f'｜≧ε)⊂(｜f−fn｜≧ε/2)∪(｜fn−f'｜≧ε/2) で終わりじゃないの？

>54

ありがとうございます。
とりあえず頑張ってみました。

> (｜f−f'｜≧ε)⊂(｜f−fn｜≧ε/2)∪(｜fn−f'｜≧ε/2) で終わりじゃないの？

0<∀ε∈R,lim[n→∞]μ({x∈E;|f_n(x)-f(x)|≧ε/2})=lim[n→∞]μ({x∈E;|f_n(x)-f'(x)|≧ε/2})=0
と書けたとする。
すると 0=lim[n→∞]μ({x∈E;|f_n(x)-f(x)|≧ε/2})+lim[n→∞]μ({x∈E;|f_n(x)-f'(x)|≧ε/2})
=lim[n→∞](μ({x∈E;|f_n(x)-f(x)|≧ε/2})+lim[n→∞]μ({x∈E;|f_n(x)-f'(x)|≧ε/2}))
(∵μ({x∈E;|f_n(x)-f(x)|≧ε/2})とμ({x∈E;|f_n(x)-f'(x)|≧ε/2})とは収束するので)

≧lim[n→∞](μ({x∈E;|f_n(x)-f(x)|≧ε/2}∪{x∈E;|f_n(x)-f'(x)|≧ε/2}) (∵測度の定義)
≧lim[n→∞](μ({x∈E;|f(x)-f_n(x)+f_n(x)-f'(x)|≧ε})
(∵{x∈E;|f_n(x)-f(x)|≧ε/2}∪{x∈E;|f_n(x)-f'(x)|≧ε/2}⊃{x∈E;|f(x)-f_n(x)+f_n(x)-f'(x)|≧ε})

=lim[n→∞](μ({x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε})
=lim[n→∞](μ({x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε}-0)
=lim[n→∞](μ({x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε}-μ(Z)) (但しZは零集合) (∵零集合の定義)
≧lim[n→∞]μ({x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε}＼Z) (∵測度の定義)
=lim[n→∞](μ({x∈E＼Z;|f(x)-f'(x)|≧ε}).
即ち 0<∀ε∈R, lim[n→∞](μ({x∈E＼Z;|f(x)-f'(x)|≧ε})=0.
∴ f(x)=f'(x) a.e.

となったのですがこれで正しいでしょうか?

>>55
後半が意味不明。なんでそこでZが出て来るのか？何か勘違いしている可能性が高い。

＞即ち 0<∀ε∈R, lim[n→∞](μ({x∈E＼Z;|f(x)-f'(x)|≧ε})=0.
＞∴ f(x)=f'(x) a.e.

↑上の行から下の行が言える理由を詳しく書いてみてくれ。

＞=lim[n→∞](μ({x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε}-μ(Z)) (但しZは零集合) (∵零集合の定義)
＞≧lim[n→∞]μ({x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε}＼Z) (∵測度の定義)
ここの不等号も不自然。もし劣加法性を使ったのならμ(A)−μ(B)≦μ(A−B)しか
言えないはずだから、不等号の向きが逆。

> 後半が意味不明。なんでそこでZが出て来るのか？何か勘違いしている可能性が高い。

一意的をa.e.で示すのだからZを排除しようとしたのです。
a.e.は零集合を排除した範囲でという意味でしょ?

> ＞即ち 0<∀ε∈R, lim[n→∞](μ({x∈E＼Z;|f(x)-f'(x)|≧ε})=0.
> ＞∴ f(x)=f'(x) a.e.
>
> ↑上の行から下の行が言える理由を詳しく書いてみてくれ。

「f_n(x)がf(x)にE上で測度収束
⇔
0<∀ε∈R, lim[n→∞](μ({x∈E;|f_n(x)-f(x)|≧ε})=0」

がf_n(x)→f(x) (in a measure on E)の定義だと思いましたので

なので一意的にa.e.で測度収束する事を示すには
(f(x)-f'(x))→0 (in a measure a.e)を示す事だと思い,
0<∀ε∈R, lim[n→∞](μ({x∈E＼Z;|(f(x)-f'(x))-0|≧ε})=0つまり,
0<∀ε∈R, lim[n→∞](μ({x∈E＼Z;|f(x)-f'(x)|≧ε})=0
を示せばいいのかと思いました。


> ＞=lim[n→∞](μ({x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε}-μ(Z)) (但しZは零集合) (∵零集合の定義)
> ＞≧lim[n→∞]μ({x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε}＼Z) (∵測度の定義)
> ここの不等号も不自然。もし劣加法性を使ったのならμ(A)−μ(B)≦μ(A−B)しか
> 言えないはずだから、不等号の向きが逆。

マジですか。どのようにして示せばよろしいでしょうか?

f(x) = f'(x) a.e. の定義は分かってる？

＞0<∀ε∈R, lim[n→∞](μ({x∈E＼Z;|f(x)-f'(x)|≧ε})=0
これから、その定義までどうやってもっていくの？

lim[n→∞](μ({x∈E＼Z;|f(x)-f'(x)|≧ε})=0の中身にnがなくなっている
（すでに「収束」の話ではなくなっている）ことに気づいてないんだな…ｗ
間違いじゃないけど、難しく考えすぎ。

>>53〜>>56で「f=f' a.e.を示せばよい」と正しく書いてるのに、
>>58では
>一意的にa.e.で測度収束する事を示すには
>(f(x)-f'(x))→0 (in a measure a.e)を示す事だと思い,
って…。
「間違い」じゃないけど左辺にnがないんだから「→」じゃなくて「=」だろ。

>>59がいうように、まず「f(x) = f'(x) a.e.」をμを用いて正確に書いてみる
ところからだな。そうすれば、出自不明のZなんて集合を唐突に持ち出すことに
意味がないことがわかるだろう。

ヒント：

∃Z, f(x)=f'(x) if x∈E/Z, μ(Z)=0
⇔ ∃Z, {x∈E;f(x)≠f'(x)}⊂Z, μ(Z)=0
⇔ μ({x∈E;f(x)≠f'(x)})=0

{x∈E;f(x)≠f'(x)}
={x∈E;|f(x)-f'(x)|>0}
=∪_[ε>0] {x∈E;|f(x)-f'(x)|>ε}

> f(x) = f'(x) a.e. の定義は分かってる？

少なくとも零集合以外のx∈Eでf(x)=f'(x)という意味です。


> ＞0<∀ε∈R, lim[n→∞](μ({x∈E＼Z;|f(x)-f'(x)|≧ε})=0
> これから、その定義までどうやってもっていくの？

う゛〜。。


> lim[n→∞](μ({x∈E＼Z;|f(x)-f'(x)|≧ε})=0の中身にnがなくなっている
> （すでに「収束」の話ではなくなっている）ことに気づいてないんだな…ｗ
> 間違いじゃないけど、難しく考えすぎ。

そういわれればそうですね。けどどうすれば、、

>>>53〜>>56で「f=f' a.e.を示せばよい」と正しく書いてるのに、 58では
>>一意的にa.e.で測度収束する事を示すには (f(x)-f'(x))→0 (in a measure a.e)を示す事だと思い,
> って…。
> 「間違い」じゃないけど左辺にnがないんだから「→」じゃなくて「=」だろ。
>>>59がいうように、まず「f(x) = f'(x) a.e.」をμを用いて正確に書いてみる
> ところからだな。

下のヒントからμ({x∈E;f_n(x)≠f(x)})=0 ですか?


> そうすれば、出自不明のZなんて集合を唐突に持ち出すことに
> 意味がないことがわかるだろう。
> ヒント：
>
> ∃Z, f(x)=f'(x) if x∈E/Z, μ(Z)=0
> ⇔ ∃Z, {x∈E;f(x)≠f'(x)}⊂Z, μ(Z)=0
> ⇔ μ({x∈E;f(x)≠f'(x)})=0
>
> {x∈E;f(x)≠f'(x)}
> ={x∈E;|f(x)-f'(x)|>0}
> =∪_[ε>0] {x∈E;|f(x)-f'(x)|>ε}

0<∀ε∈R,lim[n→∞]μ({x∈E;|f_n(x)-f(x)|≧ε/2})=lim[n→∞]μ({x∈E;|f_n(x)-f'(x)|≧ε/2})=0
と書けたとする。
すると 0=lim[n→∞]μ({x∈E;|f_n(x)-f(x)|≧ε/2})+lim[n→∞]μ({x∈E;|f_n(x)-f'(x)|≧ε/2})
=lim[n→∞](μ({x∈E;|f_n(x)-f(x)|≧ε/2})+lim[n→∞]μ({x∈E;|f_n(x)-f'(x)|≧ε/2}))
(∵μ({x∈E;|f_n(x)-f(x)|≧ε/2})とμ({x∈E;|f_n(x)-f'(x)|≧ε/2})とは収束するので)

≧lim[n→∞](μ({x∈E;|f_n(x)-f(x)|≧ε/2}∪{x∈E;|f_n(x)-f'(x)|≧ε/2}) (∵測度の定義)
≧lim[n→∞](μ({x∈E;|f(x)-f_n(x)+f_n(x)-f'(x)|≧ε})
(∵{x∈E;|f_n(x)-f(x)|≧ε/2}∪{x∈E;|f_n(x)-f'(x)|≧ε/2}⊃{x∈E;|f(x)-f_n(x)+f_n(x)-f'(x)|≧ε})

=lim[n→∞](μ({x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε})
=lim[n→∞](μ({x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε}-0)
=lim[n→∞](μ({x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε}-μ({x∈E;|f(x)≠f'(x)|≧ε}) (∵零集合の定義)
≧lim[n→∞]μ({x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε}＼{x∈E;|f(x)≠f'(x)|≧ε}) (∵測度の定義)
=lim[n→∞](μ({x∈E＼{x∈E;|f(x)≠f'(x)|≧ε};|f(x)-f'(x)|≧ε}).
即ち 0<∀ε∈R, lim[n→∞](μ({x∈E＼{x∈E;|f(x)≠f'(x)|≧ε};|f(x)-f'(x)|≧ε})=0.
∴ f(x)=f'(x) a.e.

これだと単にZを{x∈E;|f(x)≠f'(x)|≧ε}にすぎません。
うーん、、どうすればf(x)=f'(x) a.e.が導けますでしょうか?

＞うーん、、どうすればf(x)=f'(x) a.e.が導けますでしょうか?
{x∈E｜f(x)≠f'(x)}が零集合であることを示せばよい。

> ＞うーん、、どうすればf(x)=f'(x) a.e.が導けますでしょうか?
> {x∈E｜f(x)≠f'(x)}が零集合であることを示せばよい。

どうやって示せばいいのでしょうか。すいません。わかりません。
是非ご教示ください。 m(_ _)m

>>64
>=lim[n→∞](μ({x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε})
>=lim[n→∞](μ({x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε}-0)
>=lim[n→∞](μ({x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε}-μ({x∈E;|f(x)≠f'(x)|≧ε}) (∵零集合の定義)

「 (∵零集合の定義) 」って…。
μ({x∈E;|f(x)≠f'(x)|≧ε}=0つまり{x∈E;|f(x)≠f'(x)|≧ε}が零集合であることは
すでにわかっているということ？ （そんなばかな）
そして「|f(x)≠f'(x)|≧ε」ってそもそも何。意味不明な式を書いてるぞ。

証明の手順は

(1)∀ε>0, μ({x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε})=0を示す
(2) (1)からμ({x∈E;f(x)≠f'(x)})=0を示す

だ。(2)で>>61のヒント後半（と測度のσ加法性）を使う。

(2)がポイントたが、とりあえずまず(1)の証明をちゃんと書いてみ？ 話はそれから。

ヒント：引用の最初の行でlimはすでにいらないよな？


ちなみに、(1)は「測度的に等しい」とでも呼べるような性質で、これから「a.e.等しい」
が出ることを示すのが(2)だ。つまり、測度的極限の一意性は「測度的一致」の意味では
「測度的三角不等式」とでも呼べる>>54から簡単に（σ加法性なしに）得られるという部
分が(1)。この証明は距離空間における極限の一意性の証明と同じパターン。
そして、「測度的一致」が「a.e.一致」と同値であることを示す部分が(2)。ここが
「測度論」ぽい議論の真骨頂。

>67

ありがとうございます。

0<∀ε∈R,μ({x∈E;|fn(x)-f(x)|≧ε/2})=0 と μ({x∈E;|fn(x)-f'(x)|≧ε/2})=0と書け,
それから 0= μ({x∈E;|fn(x)-f(x)|≧ε/2})+ μ({x∈E;|fn(x)-f'(x)|≧ε/2})
= (μ({x∈E;|fn(x)-f(x)|≧ε/2})+μ({x∈E;|fn(x)-f'(x)|≧ε/2}))
(∵μ({x∈E;|fn(x)-f(x)|≧ε}), μ({x∈E;|fn(x)-f'(x)|≧ε})は実数)
≧ (μ({x∈E;|fn(x)-f(x)|≧ε/2}∪{x∈E;|fn(x)-f'(x)|≧ε/2})
(∵測度の定義)
≧ (μ({x∈E;|f(x)-fn(x)+fn(x)-f'(x)|≧ε})
= μ({x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε})=μ({x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε})
=μ(∪[n=1..∞]{x∈E;|f(x)-f'(x)|>1/n})
=μ({x∈E;|f(x)-f'(x)|>0}) (∵nは任意)
=μ({x∈E;|f(x)≠f'(x)|}).
即ち, μ({x∈E;|f(x)≠f'(x)|})=0.

でいいのでしょうか?

微妙に間違ってる。もはや釣りにしか見えない。もう数学やめちまえよ。

＞0<∀ε∈R,μ({x∈E;|fn(x)-f(x)|≧ε/2})=0 と μ({x∈E;|fn(x)-f'(x)|≧ε/2})=0と書け,
書けない。お前の目は節穴か？limはどこへ行った？測度論を勉強する前に眼科受診しろ。
成り立つと仮定されているのはlim[n→∞]μ({x∈E;|fn(x)-f(x)|≧ε/2})＝0であって、
必ずしもμ({x∈E;|fn(x)-f(x)|≧ε/2})＝0は成り立たない。

＞= μ({x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε})=μ({x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε})
＞=μ(∪[n=1..∞]{x∈E;|f(x)-f'(x)|>1/n})
ここも駄目。お前の目は節穴か？測度論を勉強する前に眼科受診しろ。
μ({x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε}) =μ(∪[n=1..∞]{x∈E;|f(x)-f'(x)|>1/n})
という式は必ずしも成り立たない。なぜなら、
{x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε}＝∪[n=1..∞]{x∈E;|f(x)-f'(x)|>1/n}
は必ずしも成り立たないからだ。いつでも成り立つのは
{x∈E;|f(x)-f'(x)|＞0}＝∪[n=1..∞]{x∈E;|f(x)-f'(x)|>1/n}
の方だ。

ヒント：

　距離空間における極限の一意性の証明
lim[n→∞]xn=x（すなわちlim[n→∞]d(xn,x)=0）かつlim[n→∞]xn=x'（すなわちlim[n→∞]d(xn',x)=0）とすると,
三角不等式により任意のnに対して
d(x,x')≦d(xn,x)+d(xn,x')
だから,両辺でn→∞とすれば
lim[n→∞]d(x,x')≦lim[n→∞](d(xn,x)+d(xn,x'))
=lim[n→∞]d(xn,x)+lim[n→∞]d(xn,x')
=0
最左辺はnに無関係だから, d(x,x')≦0
よってd(x,x')=0（∵d(x,x')≧0）
よってx=x'

ちょっと丁寧に書きすぎたが, >>68の馬鹿丁寧さに合わせた.
（>>68の「それから」という行とその次の行, 何が違うのかわからんかったｗ）

これ参考にして>>67の(1)「だけ」（←これ重要）まずキッチリ証明してみなよ.
>>68みたいなレベルで, ひとつながりの式変形で(2)まで一気にやろうなんて�_.

> ＞0<∀ε∈R,μ({x∈E;|fn(x)-f(x)|≧ε/2})=0 と μ({x∈E;|fn(x)-f'(x)|≧ε/2})=0と書け,
> 書けない。お前の目は節穴か？limはどこへ行った？

すいません。秀丸からコピペしたときに何故かlimが消えてしまいました。

0<∀ε∈R,lim[n→∞]μ({x∈E;|fn(x)-f(x)|≧ε/2})=0 と lim[n→∞]μ({x∈E;|fn(x)-f'(x)|≧ε/2})=0と書け,
それから 0=lim[n→∞]μ({x∈E;|fn(x)-f(x)|≧ε/2})+lim[n→∞]μ({x∈E;|fn(x)-f'(x)|≧ε/2})
=lim[n→∞](μ({x∈E;|fn(x)-f(x)|≧ε/2})+lim[n→∞]μ({x∈E;|fn(x)-f'(x)|≧ε/2}))
(∵μ({x∈E;|fn(x)-f(x)|≧ε})とμ({x∈E;|fn(x)-f'(x)|≧ε})は実数)
≧lim[n→∞](μ({x∈E;|fn(x)-f(x)|≧ε/2}∪{x∈E;|fn(x)-f'(x)|≧ε/2})
(∵測度の定義)
≧lim[n→∞](μ({x∈E;|f(x)-fn(x)+fn(x)-f'(x)|≧ε})
=lim[n→∞]μ({x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε})=μ({x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε})
つまり,μ({x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε})=0となりました。

>>71
うん, まあ合ってる. こんな部分はもっと簡潔に,

「>>54と測度の性質（単調性および劣加法性）より, ∀ε>0に対し
μ({x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε})≦μ({x∈E;|f(x)-fn(x)|≧ε/2})+μ({x∈E;|fn(x)-f'(x)|≧ε/2})
がすべての番号nについて成り立つから, n→∞とすれば, 右辺は仮定により0に収束するが
左辺はnに無関係だから, μ({x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε})=0.」

とか書けば十分と思うけど.
（簡単なところをあまり丁寧に書くと, 証明がむやみに長くなるうえ, キーポイント（一番大事なところ）
がどこだか分かりにくくなる）

さて, これで「任意のε>0に対してμ({x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε})=0が成り立つ.」は言えたから, このことは
以下自由に使ってよい.

　示せばよいのは μ({x∈E;|f(x)-f'(x)|>0})=0.

ヒント：σ加法性（あるいは測度の連続性）を使うために, εn=1/nととる.
（εn↓0ならなんでもいいが. なお「↓」は「（広義）単調減少で収束」の意味.）

> とか書けば十分と思うけど.
> （簡単なところをあまり丁寧に書くと, 証明がむやみに長くなるうえ, キーポイント（一番大事なところ）
> がどこだか分かりにくくなる）

ありがとうございます。


> さて, これで「任意のε>0に対してμ({x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε})=0が成り立つ.」は言えたから, このことは
> 以下自由に使ってよい.
>
> 　示せばよいのは μ({x∈E;|f(x)-f'(x)|>0})=0.
> ヒント：σ加法性（あるいは測度の連続性）を使うために, εn=1/nととる.
> （εn↓0ならなんでもいいが. なお「↓」は「（広義）単調減少で収束」の意味.）

0<∀ε∈Rに対し,μ({x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε})=0なので
0=μ({x∈E;|f(x)-f'(x)|>0}) (∵εは任意)
=μ({x∈E;|f(x)≠f'(x)|}).
即ち,μ({x∈E;|f(x)≠f'(x)|})=0. ∴ f(x)=f'(x) a.e.

でいいでしょうか?

２ちゃんねるは統一教会が運営して個人情報を集めてますよ

｢コ◆シミ◆ズ｣検索　｢独◆立◆党｣検索　　◆はずしてを検索

与党も野党もメディアも全部朝鮮人だった。
http://jb◆bs.l◆ivedo◆or.jp/b◆bs/re◆ad.cgi/news/20◆92/115◆7941306/
2chの運◆営の正体をリチ◆ャード・コ◆シ◆ミズが断言
http://mamono.2ch.net/test/re◆ad.cgi/lobby/1213◆329◆871/
２ｃｈには何故か？書き込み不可能な文章
http://jb◆bs.live◆do◆or.jp/b◆bs/re◆ad.cgi/news/20◆92/116◆9481830/
リ◆チャード・コ◆シ◆ミズが初めて公の場に登場した、ワールドフォーラム06年8月例会での講演
http://vi◆deo.go◆ogle.com/vi◆deopl◆ay?docid=36658385◆1926860◆5080&hl=en

262 ：中江さんへ ：2007/01/29(月) 18:24:12 ID:???
中江さんへ　以下のリンクを参照して、２ｃｈがどういうサイトがご判断の上、
透派について、書き込みされるか、ご判断下さい。
頭のよいあなたなら、私の伝えたいことは十分に伝わると思います。
http://jb◆bs.li◆vedo◆or.jp/news/20◆92/
http://vid◆eo.go◆ogle.com/vi◆deoplay?docid=366◆583851926860◆5080&hl=en
http://ww◆w15.ocn.ne.jp/~oya◆kodon/newve◆rsion/sinb◆unter◆ebiiranaiyo.htm
http://an◆ti2ch.bl◆og61.fc2.com/
http://re◆sistan◆ce333.w◆eb.f◆c2.com/top_in◆dex.html
264 ：中江さんへ ：2007/01/31(水) 05:25:05 ID:3U/nw295
なにがあった？
265 ：名無しさん＠占い修業中 ：2007/02/01(木) 19:09:14 ID:???
自殺しました

｢日本の母は息子の性処理係｣毎日新聞が捏造記事143
http://changi.2ch.net/test/read.cgi/ms/1223898193/
毎日新聞スレ荒らしは２ちゃん運営（統一教会）
http://changi.2ch.net/test/read.cgi/ms/1223995813/

εは任意だけど0ではないでしょ

君は任意のε>0 に対して 0 < ε だから、0 < 0 だといったりするのかね？

>>73
ヒント（μのσ加法性を使うために次の置き換えをする）：

{x∈E;|f(x)-f'(x)|>0} = ∪_{n=1}^∞ {x∈E; ??? }

??? に当てはまる条件を考えてみよ！

> 君は任意のε>0 に対して 0 < ε だから、0 < 0 だといったりするのかね？

任意のε>0 に対して {…}>ε だから、{…}>0 だといったりはします。


>>>73
> ヒント（μのσ加法性を使うために次の置き換えをする）：
> {x∈E;|f(x)-f'(x)|>0} = ∪_{n=1}^∞ {x∈E; ??? }
> ??? に当てはまる条件を考えてみよ！

{x∈E;|f(x)-f'(x)|>0} = ∪_{n=1}^∞ {x∈E;|f(x)-f(x)|>1/n}でしょうか?


0<∀ε∈Rに対し,μ({x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε})=0で
μ({x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε})=μ({x∈E;|f(x)-f'(x)|>0})を示さないといけないんですよね。
今,εは任意だからμ({x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε})
=μ(∪[ε>0]{x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε})
=μ({x∈E;|f(x)-f'(x)|>0})
=μ({x∈E;|f(x)≠f'(x)|}).

∀x∈{x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε} (for ∀ε>0)をとると
明らかに∀x∈{x∈E;|f(x)-f'(x)|>0}
逆に ∀x∈{x∈E;|f(x)-f'(x)|>0}を採るとこのxに対しては|f(x)-f'(x)|≠0なので
ε:=|f(x)-f'(x)|/2と取れるのでx∈{x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε}
よって 0<∀εに対して,{x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε}={x∈E;|f(x)-f'(x)|>0}

>>77
やってることが滅茶苦茶。論理のカケラも無い。測度論以前の問題。
もう数学やめろ。お前には無理。根本的にオツムが足りていない。


＞μ({x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε})=μ({x∈E;|f(x)-f'(x)|>0})を示さないといけないんですよね。
結果的にはその式は成り立つが、一般的には成り立たない。すなわち、
{x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε}という集合を弄るだけでは、絶対にその式は
導けない。しかしお前はそれをやっている。この時点でもう間違いだと分かる。


＞今,εは任意だからμ({x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε})
＞=μ(∪[ε>0]{x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε})
εが任意だと何でその式が成り立つのか？εを任意にとって固定したときの
{x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε}を考えることと、この種の集合をε全体に渡って∪する
のとは全く別物。だいたい、集合として
{x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε}＝∪[η>0]{x∈E;|f(x)-f'(x)|≧η}
が成り立つことなど稀である。また、∪の添え字に同じεという記号を使って
しまっているのもセンスの無さが伺える。普通は別の記号(ηとか)を使う。
お前のは∫[0，x]f(x)dxとか書いているようなもの。

＞逆に ∀x∈{x∈E;|f(x)-f'(x)|>0}を採るとこのxに対しては|f(x)-f'(x)|≠0なので
＞ε:=|f(x)-f'(x)|/2と取れるのでx∈{x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε}
＞よって 0<∀εに対して,{x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε}={x∈E;|f(x)-f'(x)|>0}
この論理では、εがxに依存して決まるから、εでなくε(x)のように書かなければ
ならない。お前のやり方ではε(x)＝|f(x)-f'(x)|/2だ。このとき言えることは

x∈{t∈E;|f(t)-f'(t)|>0}ならばx∈{t∈E;|f(t)-f'(t)|≧ε(t)}

ということにすぎない。ε(t)＝|f(t)-f'(t)|/2だから、お前の言っていることは

x∈{t∈E;|f(t)-f'(t)|>0}ならばx∈{t∈E;|f(t)-f'(t)|≧|f(t)-f'(t)|/2}

ということだ。ここから

0<∀εに対して,{x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε}={x∈E;|f(x)-f'(x)|>0}

を示すことは出来ないし、そもそもこれは成り立たない。
そして、こういうことに自分で気づけないお前はオワッテル。

>>77
＞任意のε>0 に対して {…}>ε だから、{…}>0 だといったりはします。

ワロタ。
それは正しいが, それと今の問題点の区別がついてないところが…

「(…)>ε だから、(…)>0」は、(…)>εが任意のε>0で成り立たなくても, あるε>0
で成り立てばただちに言える。つまり「ε>0が何であっても、(…)>ε ⇒ (…)>0」だ。

さて、「⇒（ならば）」を集合の包含関係に直すと, {x; (…)>ε} ⊂ {x; (…)>0}
であることは知ってるな？（左の集合に入る「ならば」自動的に右の集合に入るということだから）

ε=0でない限り, 一般に左の集合と右の集合は一致しない。
だから, 左の集合の測度が0だからといって, すぐ右の集合の測度が0とはいえないだろ？

∀と∃についてちょっと補足。

「あるε>0に対して (…)>εが成り立つ」よりも強く,
「任意のε>0 に対して (…)>εが成り立つ」がいえている場合,
ε→0の極限を考えることで, 「(…)≧0が成り立つ」を導くことはできる。
「>」でなく「≧」になることに注意。
（ (…)>εのほうは(…)≧εでもどっちでも本質的な違いはない。どうせεは任意なのだから）

このことは今の話（測度論）には直接関係ないけど。

なぜなら, いずれにしろ,
命題Aから命題Bが出る（ A ⇒ B ) ことからは,
μ(命題Aを満たす集合)≦μ(命題Bを満たす集合) が出るだけだから,
μ(命題Bを満たす集合)=0 ⇒ μ(命題Aを満たす集合)=0 はいえるが,
μ(命題Aを満たす集合)=0 ⇒ μ(命題Bを満たす集合)=0 は一般にいえない.

>>77はこのへんの認識がいい加減すぎるのでは

Cantorの集合は測度0なのに連続濃度(非可算集合)であることを知りました。
非可算で測度0になるものは無いと今まで思っていました。
逆に可算集合でも測度が0にならない集合ってのはあるのでしょうか?

>>82
Lebesgue測度なら測度のσ-加法性から絶対無理だが
Lebesgue測度に限らないなら、
f(x)=[x+1]*χ_[0，∞)(x)，x∈R　（[・]はガウス記号，χは定義関数）
から区間で構成された測度をμすると、非負整数全体Z+は可算集合で
∀n∈Z+でμ(n)=1だから、μ(Z+)=∞

わざわざZ+なんて可算無限集合を例にとらなくても, 有限集合(1点)の測度が0でない時点で十分
反例になっているわけで・・

点測度(原子をもつ測度)ならそうなるってだけのこと.

（>>83の「fから区間で構成された」という文は>>82には意味不明ではないかという希ガス.
おおざっぱに言うのなら「自然数の上にだけ質量1を載せた測度」で本質は伝わるし,
ちゃんと言うのならスティルチェス測度の作り方(μ([a,b)=f(a+)-f(b-)だったか何かそんなような式)
を書かないと.)

> わざわざZ+なんて可算無限集合を例にとらなくても, 有限集合(1点)の測度が0でない時点で十分
> 反例になっているわけで・・
> 点測度(原子をもつ測度)ならそうなるってだけのこと.

すいません。点測度について具体的にお教え下さい。

点測度＝δ測度（Dirac測度）の線形和
じゃない？

ルベーグの分解定理しらないのかな?

ルベーグ積分に詳しい方よろしくお願い致します。3つばかり質問です。


単関数f=2・1_A+1_B (但し,1_Aと1_Bは特性関数,A∩B=φ)の時,fが可測ならば
AとBも可測を意味してる事を示せ。

σ集合体をΣとするとfは可測だから∀r∈Rに対して{x∈R^n;f(x)>r}∈Σと書け、
これからA,B∈Σに持っていけません。どうすればいいのでしょうか?
============
f:R^n→Rがルベーグ可測でg:R→Rが連続の時,合成写像gfはルベーグ可測である事を示せ。

でσ集合体をΣとすると
仮定から
∀r∈R,{x∈R^n;f(x)>r}∈Σと書け,これから{x∈R^n;g(f(x))>r}∈Σに持っていけません。
どうすればいいのでしょうか?
===========
μを測度とし,AとZを可測とする。μ(Z)=0の時,
μ(A∪Z)=μ(A)を示せ。

で
μ(A)=μ(A)+0=μ(A)+μ(Z)≧μ(A∪Z)(∵劣加法性)
まではいけたのですが
μ(A)≦μ(A∪Z)はどうやって示せますでしょうか?

(1) r = 0 とか r = 1 とかを試してみたの？
(2) 可測関数の合成は可測とか連続関数は可測とか授業で習ってない？
(3)測度の単調性とかってノートに書いてない？

> (1) r = 0 とか r = 1 とかを試してみたの？

r=0の時は{x∈R^n;f(x)>0}∈Σ
r=1の時は{x∈R^n;f(x)>1}∈Σ

となりますが,,,
それからどうやってA,B∈Σにもっていけるのでしょうか?

> (2) 可測関数の合成は可測とか連続関数は可測とか授業で習ってない？

いえ,習ってないです。
∀r∈R,{x∈R^n;f(x)>r}∈Σと書け,gは連続だから∀r∈Rに対しlim[x→r]g(x)=g(r)∈Rと言え、
これから{x∈R^n;g(f(x))>r}∈Σに持っていけません。

> (3)測度の単調性とかってノートに書いてない？

μ(A)≦μ(A∪Z) (∵測度の性質(単調性)) ≦μ(A)+μ(Z)=μ(A)+0(∵仮定)=μ(A)
ですね。

できました。＼(^o^)／

>>90
形式的なことばかりやってないで、図を描くとか直観的に状況がどうなってるか
把握することから始めろ。形式的な証明なんて後からつける理屈。
(1)ができないレベルで(2)とかできるわけない。

>r=0の時は{x∈R^n;f(x)>0}∈Σ
>r=1の時は{x∈R^n;f(x)>1}∈Σ

それで？ {x∈R^n;f(x)>0}とか{x∈R^n;f(x)>1}とかってどんな集合なのさ？
特にA,Bとの関係において。r=1.5とかだったらどうよ？

>52
> 数学を真面目にやりたいなら、もっと正確に記述すべき

失礼いたしました。

Ωを位相空間とし,(Ω,Σ,μ)を測度空間とする。E∈Σでf:E→[-∞,+∞]の時,
fがproperty Cを持つ
⇔(def)
(i) 0<∀ε∈R,E⊃∃Fは閉集合;λ(E＼F)<ε (λはLebesgue測度)
(ii) fはF上で連続。

がproperty Cの定義だと思います。


> 最初は一般の可測空間の話と思わせといて、途中からR上のルベーグ測度の話になったり、突然位相がでてきたりしてる。
> (Ω=R, Σ, λ) がとりあえずルベーグ測度空間で普通の位相で考えた場合は
> ＞f:Q→{0,1}をf(x)=1(x∈Qの時),0(x∈Qでない時)
> Qに入らないときは定義域の外なんだから書く必要はない。f:Q → {1} で関数はひとつに定まる

そうでした。失礼いたしました。

1_Q (1_Qは1(x∈Qの時),0(x∈Qでない時)という特性関数)はproperty Cを持つ。
と書きたかったのでした。
∀V∈nbhd(f(r),{0,1})を採ると,この近傍系の定義からVは{0}か{1}か{0,1}しか有り得ない。
V={0}の時はU∈nbhd(r,R)として,,,
やや,これは近傍Uをどのようにとっても有理数が含まれますので
f(U)⊂Vとする事ができません。

どうすればいいのでしょうか? もしかして1_Qはproperty Cを持たない!?

だから、もっと丁寧に扱ってくれ
μはどこに使うんだよ。

君が証明しないといけないのは

1_Q : R＼Q → [-∞, +∞]

が連続関数であることでしょ。定義をあてはめてみれば

∀r ∈R＼Q ∀V ∈ nbhd(1_Q(r), [-∞, +∞]) ∃U ∈ nbhd(r, R＼Q ), f(U) ⊂ V

でしょ。全然違うものを証明しようとしてもできるわけないよ。
ぶっちゃけ定数関数が連続かどうかもわからないなら、位相からやり直したほうがいいぞ。

R＼Qが閉集合じゃないことぐらいは気づいてるよね？

>91
分かりました。

A={x∈R^n;f(x)>1.5}∈Σ(∵fは可測)
B={x∈R^n;f(x)<1.5}∩{x∈R^n;f(x)>0.5}∈Σ(∵fは可測とσ集合体定義)

ですね。

うーん,(2)は{x∈R^n;g(f(x))>r}からどうすればいいのでしょうか?

>93

> だから、もっと丁寧に扱ってくれ
> μはどこに使うんだよ。

すいません。失礼いたしました。

Ωを位相空間とし,(Ω,Σ,λ)を測度空間とする。E∈Σでf:E→[-∞,+∞]の時,
fがproperty Cを持つ
⇔(def)
(i) 0<∀ε∈R,E⊃∃Fは閉集合;λ(E＼F)<ε (λはLebesgue測度)
(ii) fはF上で連続。

がproperty Cの定義だと思います

今.
f:R→{0,1}
f(x)=1(x∈Qの時),f(x)=0 (x∈Qでない時)なので
FとしてRが採れます。
でとりあえず(i)は言えた。
でもfはRでは常に不連続なのでproperty Cは成り立ちませんね。

うーん,これはどういう問題なのでしょうか?
問題文自体がおかしいのでしょうか?

> 君が証明しないといけないのは
> 1_Q : R＼Q → [-∞, +∞]
> が連続関数であることでしょ。定義をあてはめてみれば
> ∀r ∈R＼Q ∀V ∈ nbhd(1_Q(r), [-∞, +∞]) ∃U ∈ nbhd(r, R＼Q ), f(U) ⊂ V
> でしょ。全然違うものを証明しようとしてもできるわけないよ。

そうですね。


> R＼Qが閉集合じゃないことぐらいは気づいてるよね？

はい,R＼Qが閉集合ならQは開集合になりますね。
でもr∈Qに対して任意の近傍は常にR＼Qの元を含んでいるのでrは内点になりません。
よってQは開集合ではない。

重複スレ。正式は「空手踊り」　→
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1075986757/l50

だからもっと丁寧にやれっていってんだ

＞Ωを位相空間とし,(Ω,Σ,λ)を測度空間とする。
＞λ(E＼F)<ε (λはLebesgue測度)
なんで、最初は一般の測度の話なのに途中からルベーグ測度になってるんだ

なんで、定数関数が連続であることも証明できないのに、こんな面倒な問題を証明しようとしてるんだ。

とりあえず、「XとYを位相空間、f : X →Y を定数関数 f(x) = c とするとf は常に連続である」
ことぐらいは証明できるようになってから取り掛かってくれ。

皆さんよろしくお願い致します。

sinxは測度空間(R,Σ,λ)でルベーグ積分不可能である事を示せ
(Rは実数体,λはルベーグ測度)

ルベーグ積分の性質をつかって,sinxは測度空間(R,Σ,λ)でルベーグ積分不可能である事を示せ
(但し,リーマン積分を使ってはならない)。

[証]
ルベーグ積分の定義より,定義関数列{f_n}
(つまり,{f_n}は積分可能なL^1コーシー単関数列,でf_nはfに測度収束する数列)
の存在しない事を示せばいいのだと思います。

測度収束の定義は
「測度空間(Ω,Σ,μ)において,E∈Σでf_n,fはΣ可測関数でf_nはa.eで有限値をとる。0<∀ε∈R,lim[n→∞]μ({x∈E;|f_n(x)-f(x)|≧ε})=0の時,{f_n}はfに測度収束すると言う」

単関数の積分の定義は
「測度空間(Ω,Σ,μ)でE∈Σとし,f=Σ[i=1..n]a_i1_{E_i}
(但し,a_i∈R,E_1,E_2,…,E_nは互いに素で∪[i=1..n]E_i=E,
1_E_iは特性関数,つまり1_E_i(x)=1(x∈E_iの時),0(x∈E_iでない時))
という形に表される時,∫_E f(x)dμ=Σ[i=1..n]a_iμ(E_i)で定義する」

L^1コーシー列の定義は
「測度空間(Ω,Σ,μ)でE∈Σとし,‖‖を‖f‖:=∫_E|f(x)|dμ(ただしfは単関数)と定義するとこの‖‖はノルムをなす。
このノルム‖‖をL^1ノルムと言う。
積分可能な単関数列{f_n}が0<∀ε∈R,∃M∈N;M<m,n⇒‖f_m-f_n‖<εを満たす時,
{f_n}をL^1コーシー列という」

どうやってfの定義関数列が無い事を示せばいいのでしょうか?

f:R^n→Rがルベーグ可測でg:R→Rが連続の時,合成写像gfはルベーグ可測である事を示せ。

でσ集合体をΣとすると
仮定から
∀r∈R,{x∈R^n;f(x)>r}∈Σと書け,これから{x∈R^n;g(f(x))>r}∈Σに持っていけません。
{x∈R^n;g(f(x))>r}からどうすればいいのでしょうか?

> だからもっと丁寧にやれっていってんだ
> ＞Ωを位相空間とし,(Ω,Σ,λ)を測度空間とする。
> ＞λ(E＼F)<ε (λはLebesgue測度)
> なんで、最初は一般の測度の話なのに途中からルベーグ測度になってるんだ

すいません。property Cの定義が良く分かりません。
プリントの定義には
"A function f defined on a measurable set E has property C on E if given ε>0,there is a closed set F⊂E such that
(i) |E-F|<ε
(ii) f is continuous relative to F"
となっています。

| |はルベーグ測度の事かと思いλと書いてしまいました。

property Cはどのように定義すればいいのでしょうか?


> なんで、定数関数が連続であることも証明できないのに、こんな面倒な問題を証明しようとしてるんだ。
> とりあえず、「XとYを位相空間、f : X →Y を定数関数 f(x) = c とするとf は常に連続である」
> ことぐらいは証明できるようになってから取り掛かってくれ。

XとYの位相を夫々,T,Sとするとs∈Sに対してもしc∈sなら∀t∈Tを採ればf(t)={c}⊂s
もしc∈sでないならφ∈Tを採ればf(φ)=φ⊂s
よって,fは連続。

>>99
「ルベーグ積分不可能」の理解が間違ってるんじゃないの？

sinxは連続関数だからもちろん可測関数で、非負可測関数のルベーグ積分は∞を許せ
ば常に可能、非負でない場合は正部分と負部分に分ければそれぞれは常にルベーグ積
分可能。
ただし正部分のルベーグ積分と負部分のルベーグ積分がともに∞の場合は、全体とし
てのルベーグ積分値は（∞−∞になるので）定めない。

sinxが「ルベーグ積分不可能」というのは、非負でないのでR全体上でのルベーグ積分値
が定められないケースになっているというだけのことだろ。

つまり、正部分と負部分のR全体でのルベーグ積分値がともに∞であることを確めればいい。

>>101
ようするにR上のルベーグ測度とルベーグ可測集合しか考えてない文脈だったんだろ。
それを勝手に関係ない測度空間とか追加しようとしたら、まともな命題になるわけないじゃん。

可測集合E上で定義された関数fがproperty Cを持つとは、任意のε>0に対して閉集合F⊂Eが存在して
(i) λ(E-F)<ε
(ii) fはF上で連続
を満たすことである。

って直訳で何も問題ないじゃん。

＞XとYの位相を夫々,T,Sとするとs∈Sに対してもしc∈sなら∀t∈Tを採ればf(t)={c}⊂s
＞もしc∈sでないならφ∈Tを採ればf(φ)=φ⊂s
これは何を証明したんだ
連続の定義は>>51に書いてあるやつを使ったんだと思うけど、

まず
＞∀t∈Tを採ればf(t)={c}⊂s
は嘘。成り立たない開集合tが存在する。
＞φ∈Tを採ればf(φ)=φ⊂s
は何を言いたいんだ。空集合はどっかの点の近傍なのか？

>102
ありがとうございます。

>>>99
> 「ルベーグ積分不可能」の理解が間違ってるんじゃないの？

定義関数列が存在すればルベーグ積分可能だと思ってましたので
定義関数列が不在ならルベーグ積分不可能だと思ってました。

P⇒Q から ¬P⇒¬Qは言えませんね。よくよく考えてみると,,

ルベーグ積分不可能の定義はリーマン積分と同様に積分値が定まらない(振動)なのですね。


> sinxは連続関数だからもちろん可測関数で、非負可測関数のルベーグ積分は∞を許せ
> ば常に可能、非負でない場合は正部分と負部分に分ければそれぞれは常にルベーグ積
> 分可能。

リーマン積分の場合と違って,ルベーグ積分の場合は積分値が∞でもルベーグ積分可能というのですね。
参考になります。

> ただし正部分のルベーグ積分と負部分のルベーグ積分がともに∞の場合は、全体とし
> てのルベーグ積分値は（∞−∞になるので）定めない。
> sinxが「ルベーグ積分不可能」というのは、非負でないのでR全体上でのルベーグ積分値
> が定められないケースになっているというだけのことだろ。
> つまり、正部分と負部分のR全体でのルベーグ積分値がともに∞であることを確めればいい。

A:={x; sinx≧0},B:={x; sinx<0}とする。
∫_[0..π]sinx λ(dx)は縦1/√2,横π/2の長方形の面積π/(2√2)よりも大きいので
zを整数とすると∫_[(2z+1)π/4,(2z+2)π/4]1/√2 λ(dx)<∫_A sinxλ(dx)と言え,
∫_[(2z+1)π/4,(2z+2)π/4]1/√2 λ(dx)はπ/(2√2)が無限個なので
∫_[(2z+1)π/4,(2z+2)π/4]1/√2 λ(dx)=∞
よって,∫_A sinxλ(dx)=∞
同様にして∫_B sinxλ(dx)=-∞
よって∫_R sinx λ(dx)=∫_A sinxλ(dx)+∫_B sinxλ(dx)=振動
よって,sinxはRで積分不可能で

でいいのでしょうか?

>>104

>リーマン積分の場合と違って,ルベーグ積分の場合は
>積分値が∞でもルベーグ積分可能というのですね。

102さんは分かって書いているのだけど
また通常は文脈で通じることが多いけど
「ルベーグ可積分」というときはルベーグ積分が定まって
それが有限値の場合を言うことのほうが多いので

特に試験などで自分の力量理解が問われている状況では
∞かもしれないときは「ルベーグ積分が存在する」とか
「∞を許してルベーグ積分可能」とか
誤解されないように書くことを勧めます
教科書は用語の使い分けをさりげなく工夫しています

質問者は本の読み方に慣れてないし
これではちょっと頭の叩かれ損だね

>>104
>定義関数列が存在すればルベーグ積分可能だと思ってましたので
>定義関数列が不在ならルベーグ積分不可能だと思ってました。

定義関数は非負だから, そもそも非負関数に対してしか下からの近似列は考えられない.
そして, 非負可測関数には, 常に（←ここ重要！）定義関数列（下からの近似列）が存在する.

ふつうに表現できている関数が, 「リーマン積分不可能」みたいな意味合いで「ルベーグ積分不可能」
ということは有り得ないのだ.
非負なのに定義が破綻して（定義関数列が「不在」とかね）, 値を確定させられず, かといって∞で
もない, などということは.
ここが, >>99の「誤解ではないか」と言われている部分.

だから>>106が解説してくれているように, ルベーグ積分では「積分不可能」という日本語を避けて, 「可積分」という言い
方で, 「積分値が∞でない」（=「有限確定」）ことを表す.

>ルベーグ積分不可能の定義はリーマン積分と同様に積分値が定まらない(振動)なのですね。

リーマン積分とちっとも同様じゃないよ. リーマン積分では無限区間の積分が直接には
定義されていないのをいいことに, 振動の場合にまで積分を拡張したりするし.

>リーマン積分の場合と違って,ルべーグ積分の場合は積分値が∞でもルベーグ積分可能というのですね。
>参考になります。

その言い方だと, 「リーマン積分では積分値が∞のときは積分可能とは言わないのに」
と聞こえるけど,
リーマン積分は, 直接には有界区間でしか定義できず, しかも有界な関数に対してしか
定義されないので, 積分値が∞に「確定」するというケース自体がそもそもない.

＞リーマン積分では無限区間の積分が直接には
＞定義されていないのをいいことに, 振動の場合にまで積分を拡張したりするし.
あんま関係ないけど、その論法で言ったら、ルベーグ積分でも、∞−∞の場合は
積分値が「直接には定義されない」から、定義されていないのをいいことに、
ルベーグ積分を拡張することは可能と言える。普通は、∞−∞の場合には
「ルベーグ積分を考えない」と定義するけどね。


余談だが、リーマン積分の定義を少し変更したH.K積分では、無限区間の積分まで画一的に
リーマン和によって定義され、たとえばsinx/x はR上でH.K積分可能となる(この関数は
R上でのルベーグ積分が考えられない)。まあ、それでもsinxの場合はR上でH.K積分できないが。
さらに、R^dにおけるH.K積分はR^dにおけるルベーグ積分の拡張になっていることが示される。

振動積分ならsinxはR上で積分できるから、リーマン和を取るかわりに適当な総和法を
取ることでH.K積分の定義を変更してH.K積分を拡張すれば、sinxはR上で「積分」できる
ようになるかもしれない。そして、振動積分も普通の積分として解釈できるかもしれない。
結局は うまい関数のクラスを考えないと積分が計算できないから、あまり意味の
あることとも思わないが。

またHKキチガイか
あきらかに今全然関係無いだろが

ルベーグ積分の拡張の試みは1910年代からすでに色々ある。ダンジョワ積分とかペロン積分とか。

HK積分も含めてそれらには一定の意義はあるが、はやらない。
その理由は、より多くの関数が積分できることが重要なのではなく、関数空間が完備化される
ことが重要だからだ。
対象が広いほうがとにかくすぐれているというのは素人考え。
（論分数をかせぐためにはやたらといろんな「一般化」が行われるけどｗ）。

「絶対収束の場合だけが重要」ということを見抜いて理論を作ったルベーグの慧眼を尊敬するね。
フレドホルムの積分方程式論を対称核の場合だけに制限することで明快な理論（無限次元の二次形式論）を作ったヒルベルトとか。

というわけで、もう宣伝はいいから>>108

論分数ってどんな分数？

>106,108,109
ありがとうございます。
大変参考になってます。
ちょっと難しいのでしばらく考えさせてください。

測度の定義おしえろ

>101

> 可測集合E上で定義された関数fがproperty Cを持つとは、任意のε>0に対して閉集合F⊂Eが存在して
> (i) λ(E-F)<ε
> (ii) fはF上で連続
> を満たすことである。
> って直訳で何も問題ないじゃん。

どうもありがとうございます。


> ＞XとYの位相を夫々,T,Sとするとs∈Sに対してもしc∈sなら∀t∈Tを採ればf(t)={c}⊂s
> ＞もしc∈sでないならφ∈Tを採ればf(φ)=φ⊂s
> これは何を証明したんだ

fが連続である事です。
連続の定義は∀s∈Sに対して,f^-1(s)∈Tの時fは連続であるというのを使いました。

ずっとロムってたものですが
残念だけど>>115氏は数学の基本さえ理解できてないんじゃない?
数学は定義が一番重要なんだけど、
ちゃんと数学的対象の定義の内容を理解してないから
定理や命題で何かを示したい時に何を示せばいいか
全然わかってなくて迷走してるって印象を受ける。
抽象的な数学に初めて出会うのは実解析か位相だとおもうから
そのあたりを初めから腰すえてやり直したほうがいいと思いますよ。
そうでないと未来はありません

リーマン積分可能でルベーグ積分不可能の例ってあるのでしょうか?
狭義積分(通常の積分)と広義積分それぞれで。

sin(x)/ x

∫[0,1]sinx/xdxが存在するのですね。
どうやってsinx/xはどうやってリーマン積分するのでしょうか?

あと,sinx/xがルベーグ積分不可能であることは定義関数列(determining sequence)が存在しないことを示さねばならないと思いますがどうやって示せますでしょうか?

あと,狭義積分での例はありますでしょうか?

f(x) = sinx/x
∫[0,∞] f_+(x) dx = Σn=[0,∞] ∫[2nπ, (2n+1)π] sinx/x dx
=Σn=[0,∞] ∫[0,π] sinx/(x+2nπ）dx
≧ Σn=[0,∞] 1/((2n+1)π）∫[0,π] sinx dx
= 2/π Σn=[0,∞] 1/(2n+1) = ∞
同様に　∫[0,∞] f_-(x) = ∞ よってルベーグ積分確定ではない。

一方ディクリエ積分から、
∫[0,∞」f(x) dx = π/2

PS もし、「積分不可能」ということと「積分確定」を違った意味でとるとするならば、
積分が有限にならないので、可積分ではないことがわかる。

>>119はまだ「定義関数列が存在しない」などという"証明"をするケースがあると思ってるの？

物理板に01年頃あった「物理でルベーグ積分必要ですか？」というスレの9番より引用：
>有界閉集合上では「リーマン可積分⊆ルベーグ可積分」なので
>リーマン可積分でルベーグ可積分可能でない例は、
>そうでない場合、例えば全ての実数にわたっての積分の時、のみで作られる
>…のだが、そもそも「有界閉集合」でない場合のリーマン積分というのは
>定義が無いわけで、実際は「有界閉集合で積分→区間を∞へする極限」をとる。
>つまり2度極限を取るわけ。
>一方ルベーグ積分は「いきなり全空間に測度を入れる」ことが出来るので、
>その意味では極限操作は一度きり。
>この差が「リーマン可積分でルベーグ可積分可能でない例」を生み出すことになる。
>だから「有界閉集合でない空間上」のリーマン積分できる関数は、
>ルベーグ積分を用いても同様に２度極限操作をとれば積分できます。

∫[0,∞) sin(x)/x dx は、正部分と負部分のルベーグ積分値がそれぞれ∞に「積分確定」
なので、全体としては「積分不確定」。（「ルベーグ積分不可能」という言い方は良くない。）
しかし lim[a→∞]∫[0,a]sin(x)/dx=π/2 はルベーグ積分でももちろん成り立っている。
リーマン積分ではこれを∫[0,∞]sin(x)/x dx のことだと「定義」してしまうが、ルベ
ーグ積分では（[0,∞)での積分の定義がリーマン積分と違ってちゃんと「ある」ため）誤解
を招くので ∫[0,∞]sin(x)/x dx とは書かない、というだけのこと。

リーマン積分が「可能」（可能じゃないから苦し紛れに追加定義しただけ）とかルベーグ
積分が「不可能」とか（不可能じゃなくて「確定」と認めないだけ）言うから誤解を招く。

＞ルベーグ積分では（[0,∞)での積分の定義がリーマン積分と違ってちゃんと「ある」ため
＞誤解を招くので∫[0,∞]sin(x)/x dx とは書かない、というだけのこと。
それは違うな。誤解なんぞ生じない。例えば

・全体として積分不確定の場合は、もしα＝lim[a→＋∞,b→−∞]∫[b,a]f(x)dxが
存在するならば、このαのことを∫[−∞,∞]f(x)dxと表記する

とでもすればいい。この場合、普通の「ルベーグ積分値」がちゃんと確定する関数は
上の意味においても積分値が存在していて、その値はルベーグ積分値と一致するから、
何の混乱も起きない。

しかし、こういうことは普通やらない。その理由は、単に、こういう定義において
積分値が存在する関数全体を眺めても良い性質が無いからだろう(関数空間が完備に
ならないとか)。「誤解が生じるからやらない」のではない。

>>123のようにしてルベーグ積分でも「広義積分」を導入すれば、
広義積分がリーマンかルベーグかなんて問題も起きないし、
>>119のような誤解をする人も減っていいんじゃないかなあ。

べつに「（広義）積分値が存在する関数全体」に意味がないなら
そんな「空間」は考えなければいいだけのことで、L1空間とかの
定義にはなんの影響もないし（それらはもともと絶対値つきで定
義してあるから）。
　実害がないばかりか個々の積分で記号的に変な気を遣わなくて
よくなるぶん得じゃない？ 権威とか伝統に毒されてるのかな。

大体、ガンマ関数とかでルベーグの収束定理使ってるのを見た
ことあるけど、ルベーグ積分と思うときはガンマ関数を「広義
積分」と呼ぶのはおかしい、なんて下らない区別が生じてしまう。
（ていうか現状では生じてる）

＞∫[−∞,∞]f(x)dx

この書式は、普通は拡張された数直線 [-∞, ∞] 上の測度による積分を意味するんじゃないかい？
ルベーグ測度みたいな連続な測度ばっかり考えてると
∫_(a,b) と ∫_[a,b] の差異に気づきにくいけど、
確率とかやると {∞} が正の測度を持つような場合もいっぱいでてくるよ。

>>125
＞この書式は、普通は拡張された数直線 [-∞, ∞] 上の測度による積分を意味するんじゃないかい？
でっていう。拡張された数直線[−∞，∞]の上でf(x)＝sinx/x (x＝±∞での値は適当に決めておく)を
ルベーグ積分しようとすると、やはり積分不確定になるから、>>123のようにして∫[−∞，∞]sinx/xdxを
定義しても何も問題は無い。

[−∞，∞]だろうが(−∞，∞)だろうが、実際にその上の測度によって積分値が定義されるのは、
被積分関数が「全体として積分確定になる場合」のみ。全体として積分不確定になる場合は、
積分値を考えない。つまり、

全体として積分確定になる場合　：∫f^+(x)dx−∫f^-(x)dxのことを∫f(x)dxと定義する
全体として積分不確定になる場合：何も定義しない

ということ。だったら、定義されていない関数については、追加定義で積分値を定義しても
混乱は起きない。何も問題ない。その行為に有意義な意味があるのかは別として。

あれだな、要するに「広義積分」ってR^1の特殊性に依存して定義されるものだから
（ちなみに「広義」なんて訳してるけど英語は「improper」なんだよねｗ）、
現在の一般化された（多次元はおろか測度空間ならなんでもＯＫの）「ルベーグ積分」
にとっては無視される宿命なんだよ。

>>126
そういう意味で拡張してるんなら別にいいけど、
>>123の書き方が意味の拡張じゃなくて、新しい記法を発明したかのような書き方だったから気になったんだ。

>>128
新しい記法ってどういう意味だ？>>123のようにして∫[−∞，∞]sinx/xdxを
定義した場合、∫[−∞，∞]sinx/xdxという記号列は[-∞, ∞] 上の測度による
積分を意味 し な い から、ルベーグ積分の記法ではなく、その意味では新しい記法だぞ。

>>129
その新しい記法が問題で、他の意味で使いそうな積分区間を広げた記法である必要が全くないじゃん。
∫_(-∞, +∞) f(x) dx
が未定義の場合に、新しい意味を追加するだけですむ。
そう定義すれば、[-∞, +∞]上でも同じように定義を追加できるんだから清潔だと思う。
だから>>126のような解釈はいいんだけど、>>123のような書き方は微妙だなと思った。

とここまで書いてて気づいたんだが、この記法を最初に書いたの>>122じゃん
リーマン積分で ∫_[0, +∞] って書いてるの見たことないんだけど…
ぶっちゃけ、∫_{→-∞}^{→∞} って記法のほうが分かりやすいと思う

測度空間の包含関係についてお聞きします。
確率測度空間⊂有限測度空間⊂σ有限測度空間
で正しいのでしょうか?

σ有限測度空間⇒有限測度空間⇒確率測度空間
は真なのでしょうか?(逆は一般に成り立たない)

σ有限測度空間より大きい測度空間は何があるのでしょうか?

質問ですがファインマンの経路積分は
いまだ数学的にちゃんと定義されていのですか？

どこかで見たぞそういうのｗ
イタズラ者め

>>131
>確率測度空間⊂有限測度空間⊂σ有限測度空間
>で正しいのでしょうか?

正しい。

>σ有限測度空間⇒有限測度空間⇒確率測度空間

「⇒」の向きが逆。

>σ有限測度空間より大きい測度空間は何があるのでしょうか?

σ有限でない測度空間の例は、病的な（作為的な）ものならいろいろ作れる。
それなりに「面白い」例もあるが（ダニエル積分が定義できるのに測度積分で表現できないとか）、
簡単な例はWikiにもある：
>実数全体の集合に数え上げ測度を考える。
>これは、実数からなる有限集合に、その集合に入る点の数を対応させるものである。
>この測度は σ-有限でない。 なぜなら、どの測度有限な集合も有限個の点しか持た
>ないのであって、その可算個の和集合は高々可算であるので、非可算集合である数
>直線を被覆し尽くすことが出来ないからである。

>134

どうもありがとうございました。

(Ω,Σ,μ)を測度空間とする。
{f_n}⊂L^p(μ):={f;fはΣ可測,(∫_Ω|f(x)|^pdμ)^(1/p)<∞}とする。

{f_n}がL^p-Cauchy列(つまり,lim[m,n→∞]∫_Ω|f_m(x)-f_n(x)|^p)^(1/p)=0)
ならば
{f_n}はCauchy in measure(つまり,0<∀ε∈R,lim[m,n→∞]μ({x∈Ω;|f_m(x)-f_n(x)|≧ε})=0).


を示したいのですが

lim[m,n→∞]∫_Ω|f_m(x)-f_n(x)|^p)^(1/p)=0から
0<∀ε∈R,lim[m,n→∞]μ({x∈Ω;|f_m(x)-f_n(x)|≧ε})=0.
が導けません。

どうかご助言お願い致します。

>>136
チェビシェフの不等式を使う。
A={x∈Ω;|f_m(x)-f_n(x)|≧ε}とおくと、
∫_Ω |f_m(x)-f_n(x)|^p dμ≧∫_A |f_m(x)-f_n(x)|^p dμ≧∫_A ε^p dμ=ε^p μ(A)

>137
どうもありがとうございました。解決いたしました。

(Ω,Σ,μ)を測度空間とする。f_n:E→[-∞,+∞]、f:E→[-∞,+∞]で,
{f_n}がΣ可測な関数列でfにa.e.収束する⇒fもΣ可測。

に難儀してます。
定義から
∀n∈N,∀r∈Rに対し,{x∈E;f_n(x)>r}∈Σ且つμ({x∈E;lim[n→∞]f_n(x)≠f(x)})=0

⇒{x∈E;f(x)>r}∈Σ

と書き下せますがこれはどうやって示せばいいのかわかりません。

{f_n}が(Σ-)可測関数列ならば
g(x) = sup{f_n(x) | n ∈ N},
h(x) = inf{f_n(x) | n ∈ N},
lim[k→∞]sup{f_n;n≧k},
lim[k→∞]inf{f_n;n≧k}
もまたΣ可測になる事はわかったのですが…。

＞μ({x∈E;lim[n→∞]f_n(x)≠f(x)})=0

これにはlim[n→∞]f_n(x)が（a.e.で）存在確定するという仮定が反映されていない。

実数列a_nに対し、lim[n→∞]a_nが（±∞もこめて）存在する⇔liminf[n→∞]a_n=limsup[n→∞]a_n
だから、

{f_n}がfにa.e.収束する⇔∃N, μ(N)=0, ∀x∈Ω＼Nに対しliminf[n→∞]f_n(x)=limsup[n→∞]f_n(x)=f(x)

limsup[n→∞]f_n = lim[k→∞]sup{f_n;n≧k}
liminf[n→∞]f_n = lim[k→∞]inf{f_n;n≧k}
で、これらがΣ可測であることがわかっているのなら、fはΩ＼Nでこれらに一致するのだから、
fもΣ可測であることがわかる。

>140
ありがとうございます。


> ＞μ({x∈E;lim[n→∞]f_n(x)≠f(x)})=0
> これにはlim[n→∞]f_n(x)が（a.e.で）存在確定するという仮定が反映されていない。

lim[n→∞]f_n(x)≠f(x)だけだと単に発散している場合も含みますものね。


> 実数列a_nに対し、lim[n→∞]a_nが（±∞もこめて）存在する⇔liminf[n→∞]a_n=limsup[n→∞]a_n
> だから、
> {f_n}がfにa.e.収束する⇔∃N, μ(N)=0, ∀x∈Ω＼Nに対しliminf[n→∞]f_n(x)=limsup[n→∞]f_n(x)=f(x)
> limsup[n→∞]f_n = lim[k→∞]sup{f_n;n≧k}
> liminf[n→∞]f_n = lim[k→∞]inf{f_n;n≧k}
> で、これらがΣ可測であることがわかっているのなら、fはΩ＼Nでこれらに一致するのだから、
> fもΣ可測であることがわかる。

なるほど。lim[n→∞]a_nが（±∞もこめて）a.e.で存在する⇔lim[k→∞]sup{f_n;n≧k}=lim[k→∞]inf{f_n;n≧k}=f(x) a.e.
ここで命題「f(x)=g(x) a.e.ならばfとgの性質はa.e.で一致する」が使えて
(lim[k→∞]sup{f_n;n≧k}がa.eでΣ可測と分かっているので)fもa.eでΣ可測となる。

でも題意は"fもa.e.でΣ可測"ではなく"fもΣ可測"になっていますよね。
もし題意が「{f_n}がΩ＼NでΣ可測な関数列でfにΩ＼Nで収束する⇒fもΩ＼NでΣ可測」
なら上のご回答で納得できるのですが実際は
「{f_n}がΣ可測な関数列でfにa.e.収束する⇒fもΣ可測」となっていますよね。。。。

>>141
一般の測度ならたしかにそうだ。きれいに書くと
「{f_n}がΣ可測な関数列でfにa.e.収束する⇒ある可測関数gがあってf=g a.e.」だな。

でも、測度が完備化されてればもう一歩進めるはずだよ。

元の命題には条件として測度空間の完備性があるのでしょうね。

>>139->>143
証明を次のように書くと事態がわかりやすい：

N={x∈E;lim[n→∞]f_n(x)≠f(x)} とおく. μ(N)=0.

{x∈E;f(x)>r} = ({x∈E;f(x)>r}∩(Ω＼N)) ∪ ({x∈E;f(x)>r}∩N)
= ({x∈E;limsup[n→∞]f_n(x)>r}∩(Ω＼N)) ∪ ({x∈E;f(x)>r}∩N) .
右辺の∪の左側の集合は∀r∈Rに対し⊂Σ（∀n∈Nについてf_nがΣ可測であることとΩ＼N⊂Σより）.
右辺の∪の右側の集合は(Ω,Σ,μ)が完備なら⊂Σ（零集合Nの部分集合だから）.
以上より{x∈E;f(x)>r}⊂Σ . （証明終）
しかし(Ω,Σ,μ)が完備でない場合は, 右辺第二項の集合は⊂Σとは限らない. …

ちなみに以上はRaoの本にある記述ほとんどそのままだったりする.
やっぱり英語の本はpureでいいね.

記号ミス訂正. 「⊂Σ」はすべて「∈Σ」ね

大きな補足訂正がありました‥

(Ω,Σ,μ)は完備でないとする. 以下 N は>>144の設定でのN, すなわちN={x∈E;lim[n→∞]f_n(x)≠f(x)}とする.

>>139や>>144ではμ(N)=0と書いているが, これはまずい. なぜなら,

・fがΣ可測でないとき, N∈Σとは限らない.
(例) 非可測集合Aの定義関数（A上で1,その他で0）をfとし, ∀n, f_n≡0とすると,
f_n→f a.e.であり, このときN=A .

・ちなみに, fがΣ可測でなくても, N∈Σになることもある（だから, N∈Σを仮定し
たとしてもそれだけではfがΣ可測とはいえない）.
(例) A∈Σかつμ(A)=0とする. B⊂Aである非可測集合Bをとり, C=A＼Bとおくと, Cも
非可測集合でA=B∪C. B上で1, C上で-1, その他で0をとる関数をfとすると, fはΣ可
測でないが, ∀n, f_n≡0とすると, f_n→fであり, このときN=A∈Σ .

・通常, {f_n}がfにa.e.収束する ⇔ ∃A∈Σ, μ(A)=0, A⊃N と定義する.
（ ⇔ ∀x∈Ω＼A, lim[n→∞]f_n(x)=f(x) ）
>>144の証明は, NをこのAに置き換えて書くのが正しい.（Raoの本もよく読むとそう
なっている）

・なお本によっては, μから定義された外測度μ*を用いて, {f_n}がfにa.e.収束する
⇔ μ*(N)=0 と定義している. 一般に, ∀X⊂Ωに対しX⊂Aかつμ*(X)=μ(A)をみたす
A∈Σが存在する（可測包; この事実はμ*の定義から容易にわかる）から, こちらの定
義でも上の定義と同じ.

・伊藤清三の本などでは, {f_n}がa.e.収束するとき, lim[n→∞]f_nという記号は
>>142のgのことを表しているぽい.

皆様, ご回答誠にありがとうございます。

完備とはL^1完備の事でよろしいでしょうか?

問題文を「(Ω,Σ,μ)をL^1完備な測度空間とする。f_n:E→[-∞,+∞]、f:E→[-∞,+∞]で,
{f_n}がΣ可測な関数列でfにa.e.収束する⇒あるΣ可測関数gがあってf=g a.e.」

とすれば既証明で大丈夫でしょうか。

>>147
おいおい、測度空間の完備性の定義も知らないのか？
ていうかL^1空間と測度空間の区別もついてないのか？ｗ

だったら>>142や>>146は完全に空回りだな
>>142の表現が一般の測度空間の場合で成り立つということも結局伝わってないし

こんなやつに丁寧に教えても時間の無駄だよ
もう少し教科書を読み込んでから質問に来い

>148
>>>147
> おいおい、測度空間の完備性の定義も知らないのか？

これはY⊂Z且つμ(Z)=0ならY∈Σが常に成り立つ時,測度完備というのですよね。


> ていうかL^1空間と測度空間の区別もついてないのか？ｗ

測度空間は(Ω,Σ,μ)が定められた空間です。
L^1空間は測度空間(Ω,Σ,μ)において,{f;fはΣ可測,∫_Ωf(x)dμ<∞}という集合の事です。


> だったら>>142や>>146は完全に空回りだな
>>>142の表現が一般の測度空間の場合で成り立つということも結局伝わってないし

すいません。
完備とは測度完備の事でよろしいでしょうか?

問題文を「(Ω,Σ,μ)を測度完備な測度空間とする。f_n:E→[-∞,+∞]、f:E→[-∞,+∞]で,
{f_n}がΣ可測な関数列でfにa.e.収束する⇒あるΣ可測関数gがあってf=g a.e.」

とすれば既証明で大丈夫でしょうか。

「右辺の∪の右側の集合は(Ω,Σ,μ)が完備なら⊂Σ（零集合Nの部分集合だから）」
で測度完備を使われたのですね。納得です。

>>149

主張を「{f_n}がΣ可測な関数列でfにa.e.収束する⇒あるΣ可測関数gがあってf=g a.e.」
とするなら一般の測度空間でいいんだよ。>>142はそういう意味。

要するに、完備測度空間では
「gがΣ可測でg=f a.e.⇒ fもΣ可測」が成り立つ、ってだけ。
（証明は>>146と同様）

× （証明は>>146と同様）

○ （証明は>>144と同様）

>>149
関係ないが、L^1空間の定義のところで
∫_Ωf(x)dμ<∞
じゃなくて
∫_Ω|f(x)|dμ<∞
だよ

>153
ありがとうございます。

∀r∈R,{x∈E＼Z;f(x)>r}∈Σ.
そして{x∈E;f(x)>r}⊂{x∈E＼Z;f(x)>r}∪Z∈Σ(∵{x∈E＼Z;f(x)>r},Z∈Σなのでσ集合体の定義)
よって測度完備の定義から{x∈E;f(x)>r}∈Σ.

となるのですね。


>>>149
> 関係ないが、L^1空間の定義のところで
> ∫_Ωf(x)dμ<∞
> じゃなくて
> ∫_Ω|f(x)|dμ<∞
> だよ

そうでした。どうもありがとうございました。

俺は>>151だが、 >>153じゃないよ。 >>142でもない。
（ここに書いてる人はすごく少なそうではあるが…）

>>154
>∀r∈R,{x∈E＼Z;f(x)>r}∈Σ.
丁寧に書くなら、
{x∈E＼Z;f(x)>r}={x∈E＼Z;g(x)>r}={x∈E;g(x)>r}∩(E＼Z)∈Σ(∵{x∈E;g(x)>r},E＼Z∈Σなのでσ集合体の定義)

（他のところが変に丁寧なのにここだけ省略されてると、基準がわからず変な気がする）

>そして{x∈E;f(x)>r}⊂{x∈E＼Z;f(x)>r}∪Z∈Σ

{x∈E＼Z;f(x)>r}∪Zは零集合じゃないから、測度完備の定義から直接{x∈E;f(x)>r}∈Σはでてこない。
ここはやはり、
{x∈E;f(x)>r}={x∈E＼Z;f(x)>r}∪{x∈Z;f(x)>r}
{x∈Z;f(x)>r}∈Σ(∵{x∈Z;f(x)>r}⊂ZでZは零集合だから測度完備の定義より)
と分けるべき。

識者の皆様よろしくお願い致します。

[問]f∈L^1((0,1),Σ,λ):={f;fはルベーグ可測,∫_(0,1)|f(x)|dλ<∞} (但し,Σはルベーグ可測集合の族)ならば
k=1,2,3,…に対してx^kf(x)∈L^1((0,1),Σ,λ)を示せ。
また,lim[k→∞]∫_[0,1]x^kf(x)dλ=0となる事を示せ。

という問題にはまってます。

仮定から∀r∈R,{x∈(0,1);f(x)>r}∈Σが言え,
これから{x∈(0,1);x^kf(x)>r}∈Σを示したいのですがどうすればいいのかわかりません。
そして,k=1,2,3,…に対して∫_(0,1)|x^kf(x)|dλ<∞もどうすればいえるのか分かりません。
取り合えず, |x^kf(x)|の定義関数列を求めてみましたら
E_nk:={x∈(0,1);(k-1)/2^n≦f(x)≦k/2^n},F_n:={x∈(0,1);f(x)≧n}とすると
∫_(0,1)|x^kf(x)|dλ=lim[n→∞]∫_(0,1)(Σ[i=1..n2^n](i-1)/n・1_Enk+n・1_F_n)dλ
(1_Enkと1_F_nは特性関数)
と書けるかと思います。それから
=lim[n→∞]∫_(0,1)(0・1_En0+1/n・1_En2+…+(n2^n-1)/n・1_E_nn2^n+n・1_F_n)dλ
=lim[n→∞]∫_(0,1)(0・1_{0≦|x^kf(x)|≦1/2^n}+1/n・1_{1/2^n≦|x^kf(x)|≦2/2^n}+
…+(n2^n-1)/n・1_{(n2^n-1)/2^n≦|x^kf(x)|≦n2^n/2^n}+n・1_{|x^kf(x)|≧n})dλ
≦lim[n→∞](0・1+1/n・1+2/n・1+…+(n2^n-1)/n・1+n・1)
となると思います。(∵各項の幅λ(0,1)=1なので)
でも
lim[n→∞](0・1+1/n・1+2/n・1+…+(n2^n-1)/n・1+n・1)=∞になってしまい<∞にならないと思います。

どうすればいいのでしょうか?

そしてlim[k→∞]∫_[0,1]x^kf(x)dλ=0についてもわかりません。
どうかご教示ください。m(_ _)m

>>156
(0,1)上なんだから、x^kf(x)∈L^1((0,1),Σ,λ)のほうは|x|^k≦1で一発じゃん。
（ほとんど自明。これがわからないという時点で積分論のポイントがまったく分かってないといえる）

lim[k→∞]∫_[0,1]x^kf(x)dλ=0のほうは、x^kをもう少しきちんと効かさないといけないから、
[0,1]を[0,a]と[a,1]に分ける必要がある。
「任意のε>0に対し、kを十分大きく取れば∫_[0,1]|x^kf(x)|dλ<εとできる」ことを示せばよい。
∫_[0,a]|x^kf(x)|dλ<ε/2のほうは|x^k|≦a^kだから、固定したaに対してはできる。
∫_[a,1]|x^kf(x)|dλ<ε/2のほうはルベーグの優収束定理でa→1のとき→0がいえる。
だから与えられたε>0に対しまずaを十分1に近くとって第二の積分を小さくし、
そのaに対しkを十分大きくとって第一の積分を小さくすればいい。

これ以上は証明そのものを書いてやるしかなくなるから、このヒントでもわからないようならあきらめろ。

>>156って、以前の質問とかも含めてやたらに原始的な定義そのものばかり
引用するけど、基本的な定理の証明（たとえば可測関数同士の和や積が可測
関数になることとか、>>139みたいなこととか）は別として、応用的な命題
までいちいち定義から証明することってほとんどないから。

>>156でいえば、x^kがルベーグ可測なのは明らかでfもルベーグ可測だから
その積もルベーグ可測なのは自明なんで、そんなことまで証明する必要は
ない。問の主要な問題点（L^1かどうかってのは積分が有限か∞かという問
題だということとか）がわかってないからトンチンカンなことを書いてしまう。

また、可測関数の性質を単関数近似で示す場合でも、近似単関数列を具体的
に与える必要は普通ないわけ。近似列の「存在証明」とごっちゃにするな。
「近似単関数列の取り方によらず積分値は…」とかいう命題が教科書のどっ
かに書いてなかったか？>>156

老婆心ながら>>157の補足。
第二の積分はあらかじめ|x|^k≦1を使ってkに無関係な積分∫_[a,1]|f(x)|dλで上から抑えておく。
（でないとあとでaを固定してkを大きくするとき困る。）
∫_[a,1]|f(x)|dλ=∫_[0,1]|χ_[a,1]f(x)|dλで（χ_[a,1]は[a,1]の特性関数）、
|χ_[a,1]f(x)|≦|f(x)|だから|f(x)|を優関数としてルベーグの優収束定理が使える。

fn(x)＝x^nf(x) (0≦x≦1)とおけばfn∈L^1([0,1])であり、
|fn(x)|≦|f(x)| (0≦x≦1)
fn(x)→ 0　a.e. (詳しくはx＝1以外の点でfn(x)→0)
∫_[0,1]|f(x)|dx＜∞
であるから、ルベーグの収束定理よりlim[k→∞]∫_[0,1]x^kf(x)dλ=0

>>157はルベーグの収束定理より微妙な議論が必要な
問題(Vitaliの収束定理とか、一様可積分性とか)と
混同したっぽいｗ
積分論のやりすぎかもしらんがちょっとアホ

(Ω,Σ,μ)を測度空間とする。
μ積分で0のμ積分が0になる理由が分かりません。
∫_Ω0dμ=0.
fのμ積分の定義は定義関数列{f_n}が存在して
lim[n→∞]∫_Ωf_n(x)dμ=∫_Ωf(x)dμだと思います。
0の定義関数列は0が取れると思います。
よって∫_Ω0dμlim[n→∞]∫_Ω0dμ=∫_Ω0dμ
で振り出しに戻ってしまいます。
どうすれば∫_Ω0dμ=0が示せますでしょうか?

>>162
定義関数列って単関数列のことだろ？
単関数の積分は直接 和で定義されている： ∫_Ω(Σa[i]χ_A[i])dμ=Σa[i]μ(A[i])

0の積分はその定義で計算すればどうなるよ？

μ(Ω)＝＋∞のときは、∞×0＝0という規約を入れておかないと
∫_Ω0dμは計算できないな。

たしかに単関数の単調列を使う流儀では値域のRは順序完備化してR∪{±∞}にしたほうが自然なので、
最初に∞に関する演算規約がまとめて書いてあったりする。

ただし単調列によらない溝畑流(抽象空間でも、測度収束やエゴロフをメインに使う流儀なら同じ)だと、
μ(Ω)<∞が要るので、その場合にまず積分を定義して、
μ(Ω)=∞の場合は(σ有限の仮定のもとに)μ(Ωn)<∞,Ωn↑Ωをとって
∫_Ω fdμ=lim[n→∞]∫_Ωn fdμ
で定義するから、>>164は必ずしも必要としない。

0の積分は空集合の測度なのではないでしょうか？
間違っていたらすみません。

>>166
kwsk

>157〜162
どうもありがとうございました。納得できました。

> μ(Ω)＝＋∞のときは、∞×0＝0という規約を入れておかないと
> ∫_Ω0dμは計算できないな。

そのように決めていたのですね。

> μ(Ω)=∞の場合は(σ有限の仮定のもとに)μ(Ωn)<∞,Ωn↑Ωをとって
> ∫_Ω fdμ=lim[n→∞]∫_Ωn fdμ
> で定義するから、>>164は必ずしも必要としない。

なるほど。この場合だと∫_Ω0dμ=lim[n→∞]∫_Ωn0dμ=lim[n→∞]0=0
となりますね。

皆さんどうもありがとうございました。

>>167じゃないけど、>>166は全く頭に浮かばなかった考え方なので最初見たとき(ﾟДﾟ)ﾊｧ?だったが
しばらく考えてわかった。

単関数の積分の定義のさらに前に、特性関数の積分を測度で定義する段階がある。
つまりA⊂Ωに対し、A上で1その他で0をとる関数χ_Aの積分は、∫_Ω χ_A dμ = μ(A)と定義する。
Ω上いたるところ0である関数は、空集合の特性関数とみなせるから、
∫_Ω 0dμ = ∫_Ω χ_φ dμ = μ(φ) = 0 というわけか。なるほど。

>>163->>164と>>166は、0=0×χ_Ωとみなすか0=χ_φとみなすかの違いだ。てことは
「測度と和で定義した単関数の積分はその表現の仕方によらない」ということを示す段階があるけど
要するにそこに含まれる話だね。ふむ。

ああそっか、単調列を使う流儀で、しかも∞を数として扱わないことにしても、
「単関数」の定義を「測度有限な集合の特性関数の線形結合」に制限しておけばその積分は定義できて、
しかも一般の非負可測関数はそのような単関数の単調極限として表せるから問題ないね。
もちろん(Ω,Σ,μ)がσ有限でないといけないけど。

たとえばμ(Ω)=∞でf=a×χ_Ωの場合、fはこの流儀では「単関数」ではないことになるが、
f_n=a×χ_Ωn, μ(Ωn)<∞, Ωn↑Ω とすればf_nは「単関数」でf_n↑fだから、
∫_Ω fdμ = lim[n→∞]∫_Ω f_ndμ = ∞ として確定する。

もっともf=0の場合はそこまで考えなくても、μ(E)<∞を適当にとってf=0×χ_Eとみなせば、
0はこの流儀での「単関数」でもあるから∫_Ω 0dμ = 0×μ(E) = 0 ですむね。
(それならEとして空集合をとるのがいちばん簡単だから、>>166でいい。)

> ∞×0＝0という規約
というのは∞×0というのは(有限値)×0の極限として扱う
という規約そのものだ

>>172
うん、だからそう規約しないと「表現によらない」「定義列の取り方によらない」
などが成り立たず整合性がなくなるということがわかる。

ただ∞を「関数値」として認めるのであれば、∞×0=0はやはり「規約」として
明記しておかねばならない。

そうでなく、通常の解析学のようにlim式の右辺のみに使う「いくらでも大きく
なる」の略記とするなら、（∞×0は(有限値)×0の極限としてのみ現れるから、）
そのような規約は必要ない。
ただそれだと∫fdμ=∞を「fは可積分でない」の略記としてしか扱えず、
やや不便ではある。

位相空間Xとその開部分集合Yをとります。
Xの開集合全体が生成するシグマ加法族をYに制限したものと
Yの開集合全体が生成するシグマ加法族は一致しますか？

包含写像 i: Y → X は連続だから可測

>>174
「一致する」こと自体は>>175のように考えればすぐわかる。

ただしその理解はsophisticateされすぎかもしれないので、
>>174だけ直接証明したいというのであれば、

Xの開集合全体が生成するシグマ加法族をYに制限したものが、

(1)Yの開集合全体を含むこと
(2)（Yを全体集合として）シグマ加法族であること

を確認すればよい。
（そのように分解すればどれもまあ定義からほとんど自明だけど）

うるさくいうと>>176だけからは
Xの開集合全体が生成するシグマ加法族をYに制限したものが
Yの開集合全体が生成するシグマ加法族を含むことしか言えないから、
逆の包含関係も言う必要がある。

まあそれは簡単だけど

>175,176,177
このやり方で出来ました。ありがとうございます。

λ*をルベーグ外測度とする。
λ*(Z)=0ならZはルベーグ可測集合である事を示せ。
という問題です。
ルベーグ可測集合の定義から
inf{λ*(U＼Z);(Z⊂)UはR^nでの開集合}=0 となる時,Zをルベーグ可測集合というのだと思います。
どのようにして示せますでしょうか?

>>179
UをR^nでの開集合でZ⊂Uとする。
U＼Z⊂Uよりλ*(U＼Z)≦λ*(U)(=λ(U)) （λ*の単調性）
U=Z∪(U＼Z)より(λ(U)=)λ*(U)≦λ*(Z)+λ*(U＼Z) （λ*の劣加法性）
以上とλ*(Z)=0よりλ(U)=λ*(U＼Z)
したがって inf{λ*(U＼Z);(Z⊂)UはR^nでの開集合}=0 を示したければ
inf{λ(U);(Z⊂)UはR^nでの開集合}=0
を示せばよいが、ルベーグ外測度の定義より、この左辺はλ*(Z)に等しい。

>180
ありがとうございます。


> inf{λ(U);(Z⊂)UはR^nでの開集合}=0
> を示せばよいが、ルベーグ外測度の定義より、この左辺はλ*(Z)に等しい。

ルベーグ外測度の定義はλ*(Z)=inf{Σ[i=1..∞]v(I_i);Z⊂∪[i=1..∞]I_i,I_iはn次元区間塊} (但しv(I_i)はI_iの体積の意味です)
ルベーグ外測度の定義はλ*(Z)=inf{λ(U);(Z⊂)UはR^nでの開集合}と定義してもいいのですね。

ん? やはり,ルベーグ測度はまずルベーグ外測度が定義されてから定義されるのですよね。
つまり,ルベーグ外測度の定義域をルベーグ可測集合の族に制限した写像をルベーグ測度というのですよね。

ルベーグ外測度の定義をλ*(Z)=inf{λ(U);(Z⊂)UはR^nでの開集合}で定義してしまったら,
じゃあ,ルベーグ測度λの定義は? ,,,という事になりませんかね。

>>182
「ルベーグ外測度の定義より」ではgapがありすぎた？「ルベーグ外測度の正則性より」と書けばよかったか。

任意のε>0に対し、ルベーグ外測度の定義（infの性質）より、
Z⊂∪I_i^o かつ Σ[i=1..∞]v(I_i)≦λ*(Z)+ε
をみたす区間塊{I_i}が存在する（I_i^oはI_iの開核）。
U=∪I_i^oとおくと、
λ(U)≦Σ[i=1..∞]v(I_i^o)≦Σ[i=1..∞]v(I_i)≦λ*(Z)+ε

まとめると、任意のε>0に対し開集合U (⊃Z) が存在してλ(U)≦λ*(Z)+εをみたす。
これは inf{λ(U);(Z⊂)UはR^nでの開集合}≦λ*(Z) を意味する。

>>180の「=0」にはこれで十分だが、逆向きの不等式は容易にわかるから
λ*(Z)=inf{λ(U);(Z⊂)UはR^nでの開集合}
である。
以上の議論にZの性質は一切使われていないから、上の等式はZを任意の集合として成り立つ。
この性質を正則性という。

>>179の可測性の定義自体が正則性を前提としているので、そのような定義をする本ではわざわざ「正則性」と書いてない可能性はあるが、
完備性の証明（>>180）にまで正則性が要るのだから、事実自体はどこかに書いてあるのではなかろうか。
できれば参考にしている本の名前と、その本では正則性を示す事実の記述がどこかにあるのかどうか、調べて教えてもらえると嬉しい。

（なお可測性の定義をカラテオドリの方法にすれば、「開集合」は不要になるし完備性の証明も容易だよ）

>>182
>ルベーグ外測度の定義をλ*(Z)=inf{λ(U);(Z⊂)UはR^nでの開集合}で定義してしまったら,
>じゃあ,ルベーグ測度λの定義は? ,,,という事になりませんかね。

R^nでは任意の開集合Uに対し、
U=∪I_i（共通部分なし）
をみたす開区間塊{I_i}が存在する（開基とか第二可算とかいう話）から、
λ(U)=Σ[i=1..∞]v(I_i)
が成り立つ。これをλ(U)の定義にしてしまえば、
ルベーグ外測度の定義を
λ*(Z)=inf{λ(U);(Z⊂)UはR^nでの開集合}
とする流儀も可能。

積分論みたいな色々な流儀が跋扈する分野では、特定の定義に拘泥せず、
いろいろな定義（性質）の同値性に注意を向けたほうが状況を把握しやすいと思う。

正則性使うなら完備性使った方が早い希ガス

ルベーグ積分について勉強しています。

例えば∫_[-5,7](3x^2+2x+1)dλを計算する場合,どうやって3x^2+2x+1の定義関数列を探せばいいのでしょうか?

>>185
kwsk

>>186
おまいはリーマン積分∫_[-5,7](3x^2+2x+1)dxを計算するときも、
リーマン和を作ってその極限を求めてるのか？

>>179〜>>184にひとつコメント:

>>180および>>183において, すべてのλ(U)はλ*(U)のままで何の問題もない.

つまり>>179(ルベーグ測度の完備性と同値)の証明の仕方はルベーグ可測の定義法に依存するが,

可測の定義とは無関係に(ルベーグ測度の定義以前に), ルベーグ外測度の性質として

(1) 任意のA⊂R^nに対しλ*(A)=inf{λ*(U);(A⊂)UはR^nでの開集合}

(2) λ*(Z)=0ならば任意のZ⊂Eに対しλ*(E＼Z)=λ*(E)

(1)(2)の系 λ*(Z)=0ならばinf{λ*(U＼Z);(Z⊂)UはR^nでの開集合}=λ*(Z)=0

が言えている. それだけのこと.

>>187
すまん。正則性使うとの ほぼ同じ議論になってしまった(´・ω・｀)

>188

>>>186
> おまいはリーマン積分∫_[-5,7](3x^2+2x+1)dxを計算するときも、
> リーマン和を作ってその極限を求めてるのか？

いえ、そういうわけではありませんが,探し方ってあるのかなあと思いまして。

>>191
x-y平面にグラフ描いて、y軸を2^n等分して、x軸に平行な帯を作って、
その帯とグラフの交点を使ってリーマン和と同様の長方形というか階段関数を作る。
（3x^2+2x+1は連続関数なので、それほど複雑な形にはならず、実際に普通の長方形ばかりになる）

その階段関数が3x^2+2x+1の定義関数列（の一例）。

>>156で似たようなことやってるから参考にするといい。

ただ、抽象的にf(x)で書かずに3x^2+2x+1を使った具体的な式で書くのは多分面倒。
（でもリーマン和の場合もそうだろ？）

>>192の補足

・「y軸を2^n等分」というのは、y軸の0〜nの部分を2^n等分という意味。

・y=3x^2+2x+1(-5≦x≦7) y=0（それ以外）の場合は、つねに非負だから気にしなくてよいが、
「定義関数列」を下からの単調増大列にする流儀の場合、一般にはまず関数のグラフをx軸より上の部分と下の部分に分け、別々に近似する。
x軸より下の部分は上下反転してx軸より上にしてから同様に下から近似し、最後に前者の積分値から後者の積分値を引く。

Cauchy測度についての質問です。

「{f_n}をΣ可測&a.e.real valedとする。0<∀ε∈R,lim[m,n→∞]μ({x∈E;|f_m(x)-f_n(x)|≧ε})=0」
が{f_n}がCauchy測度の定義だと思います。
この定義は
「{f_n}をΣ可測&a.e.real valedとする。lim[m,n→∞]μ({x∈E;|f_m(x)-f_n(x)|>0})=0」
と同じ意味な様な気がしますがいかがしょうか?

>192,193

ありがとうございます。

大変参考になりました。

>183〜185

コメントありがとうございます。
ちょっと調べてみたいと思います。

>>194
「コーシー測度」じゃなくて「測度的コーシー列」だろ.
(一瞬、コーシー分布のスティルチェス測度のことかと思っちゃったじゃないか)

>と同じ意味な様な気がしますがいかがしょうか?

木の精

>>194
(A)0<∀ε∈R,lim[m,n→∞]μ({x∈E;|f_m(x)-f_n(x)|≧ε})=0
(B)lim[m,n→∞]μ({x∈E;|f_m(x)-f_n(x)|>0})=0

とすると、

μ({x∈E;|f_m(x)-f_n(x)|≧ε})≦μ({x∈E;|f_m(x)-f_n(x)|>0})
なので(B)⇒(A)はいえるが、(A)⇒(B)は一般にいえない。

たとえば[0,1]上でf_n(x)=1/nとすると
（この例ではR上でも同じだが測度収束はふつう有限測度空間で考える）
各点どころか一様にf_n(x)→0で、もちろん測度的コーシー列にもなっているが
（ε>0に対しm,nを十分大きく取れば{x∈[0,1];|f_m(x)-f_n(x)|≧ε}=φ）、
{x∈[0,1];|f_m(x)-f_n(x)|>0} はつねに[0,1]である。

>>194の勘違いの原因はおそらく、
「固定したm,nに対して」
lim[ε→0]μ({x∈E;|f_m(x)-f_n(x)|≧ε})=μ({x∈E;|f_m(x)-f_n(x)|>0})
が成り立つからだろうが、
μ({x∈E;|f_m(x)-f_n(x)|≧ε})を0に近づけるためのm,nの大きさは
εに依存するわけで、
lim[ε→0]とlim[m,n→∞]が一般に交換できないなんてのは
普通の微積分レベルの話だろ・・・（´A｀）

> 197,198,199
どうもありがとうございました。

rudinのR＆Cはどうなの？演習問題がむずすぎて（東大院試よりむずいゆうレスみた）
身に付かないとか。Principle理解してたら読めるかね

>>201　本文読むだけならむずくないよ。
　伊藤のルベーグとかの方がむしろ詳しく書いてる。
　演習も一割くらいは定義のままでとけるくそ簡単なのも混じってる。
　学部生なら3割とければかなり優秀な方だと思う（1.2.10の簡単な章は除いて）

とりあえず具体例がほとんどないんで
初学者は何言ってるのかもわからないんじゃないかな。
あれは一度一通り勉強した人が復習に使うようなものだと思う。
他の解析二冊はある程度基礎があれば初学者にも優しい

今liebのanalysis読んでるけど結構他の本には載ってないことが多く出てるね。
測度論とかの扱いが適当すぎるけど。
2chではこの本の名前聞かないけどどういう評価だろう。

φ≠E⊂R^d (dは自然数)としm^*を外測度とする。次の正誤を判定せよ。

(1) Eが開集合ならm^*(E)>0.
(2) x∈R^dならばm^*(E+x)=m^*(E).

外測度の定義は
(i) m^*:2^(R^d)→[-∞,∞]
(ii) m^*(φ)=0,
(iii) m^*(∪[i=1..∞]E_i)≦Σ[i=1..∞]m^*(E_i)

です。どのようになりましょうか?
偽ならば反例もお教え下さい。

関数f,g,f_n:R^d→[-∞,∞] (n,dは自然数)について次の正誤を判定せよ。

(1) f_n (n=1,2,…)がΣ可測ならばlim[n→∞]sup{f_k(x);k≧n}もΣ可測。
(2) fが有界ならばfはΣ可測。

です。どのようになりましょうか?
偽ならば反例もお教え下さい。

>>205

(1)こんなのも出来ない奴は数学やめちまえ。

(2)こんなのも出来ない奴は数学やめちまえ。



>>206

(1)(2)お前の問題解決能力はゼロ。このまままでは永遠に数学の上達は

見込めない。ごくごく簡単な問題でさえ、いつまで経っても自分で

答えを導きだせず他人に教わるのみ。「自分で考える」ということを

サボってきた結果だ。

>207

すいません。

> (1)(2)お前の問題解決能力はゼロ。このまままでは永遠に数学の上達は
> 見込めない。ごくごく簡単な問題でさえ、いつまで経っても自分で
> 答えを導きだせず他人に教わるのみ。「自分で考える」ということを
> サボってきた結果だ。

一応,考えては見たのですが…。
外測度の定義は

(i) m^*:2^(R^d)→[0,∞]
(ii) m^*(φ)=0,
(iii) m^*(∪[i=1..∞]E_i)≦Σ[i=1..∞]m^*(E_i)

なので
∀E⊂R^d,m^*(E)=0と定義するとこのm^*は外測度の定義を満たし,
R^dは開集合だがm^*(R^d)=0となる。よって
(1) Eが開集合ならm^*(E)>0は偽。
(2)はd=1でm^*をルベーグ外測度とすると真だと思うのですが問題のm^*はルベーグ外測度とは限らないので,反例があるのかもしれません。

(1) f_n (n=1,2,…)がΣ可測ならばlim[n→∞]sup{f_k(x);k≧n}もΣ可測。
については
∀r∈Rに対して,{x∈E;f_n(x)>r}∈Σ (n=1,2,…)でこれから
{x∈E;lim[n→∞]sup{f_k(x);k≧n}>r}を導かねばならないんですよね。
必ずしもlim[n→∞]sup{f_k(x);k≧n}が存在するとは限らないので偽だと思うのですが…。

最後に (2) fが有界ならばfはΣ可測。 についてですがこれはΣ={(a,b);a,b∈R∪{±∞}},
f(x)=1 (0≦x≦1)とするとr=0の時, {x∈(-1,2);f(x)>r}=[0,1]で[0,1]はΣに含まれないので
fは非可測。
よって偽だと思うのですが…。

>>208
とりあえず「間違い」だけ指摘しておく。

>外測度の定義は
>
>(i) m^*:2^(R^d)→[0,∞]
>(ii) m^*(φ)=0,
>(iii) m^*(∪[i=1..∞]E_i)≦Σ[i=1..∞]m^*(E_i)

カラテオドリの公理的外測度のつもりなら、単調性： E⊂Fならばm^*(E)≦m^*(F) が抜けている。
解答上の実害はないが。

>必ずしもlim[n→∞]sup{f_k(x);k≧n}が存在するとは限らないので偽だと思うのですが…。

∞も許せばlim[n→∞]sup{f_k(x);k≧n}はつねに存在する。そして
>関数f,g,f_n:R^d→[-∞,∞]
と書いてあるので確かに∞を値域に含んでいる。
（ところで、最初のgが無意味に見えるが、問題文の一部抜粋か？ｗ）

>Σ={(a,b);a,b∈R∪{±∞}}

Σがシグマ加法族のつもりなら、この書き方はおかしい。
「{(a,b);a,b∈R∪{±∞}}により生成されたシグマ加法族をΣとする」ならわかるが。
もしそうなら、Σはけっきょくボレル集合族だから、
>[0,1]はΣに含まれないので
は間違い。

こちらから答えは言わないが、リベンジは歓迎するよ。
自分で考えることで理解の穴が見えてくる。そこにこういう演習問題をやる意味がある。

昭和

平成

んなこたーないｗ

　 　 　 　 　 　　　 　　,.　''"~`"´￣｀丶、
　　　　　　　　　　　／　　　　　　　　　　＼
　　　　　 　　;　 　/　　　　　　　　　　　　　ヽ
　　　　丶 　！ ; ,'　　　　　　　　ｊ 　　　　　　',
　　 　 　 '　　　' ｆ 　!;　ｌ l　 !｜ｉ‖ j ｜ 　 　 |　　 　 ／￣￣￣￣￣￣＼
　　　　　 Ｅl_____ |l　|ﾅ土ト ��リ七エﾌｲ　　　|　　　/　　　　　　　　　 　　 l
　　 　__　|ＵｎO|‖ |〈 {.リ`　　　ﾍ.リ冫}　　 ｜　　 |　　 変態を 　 　　 　 |
　　　___　|　| l　!！ | ｀¨´　　　 　｀¨´ / 　　｜　　｜　　撮っておこう 　　|
　￣ 　　 |.__U__|　l、ゝ　 　丶　 　 　/ｨ'　　ﾄ｛　＿厶　　 　 　　　　　　 　/
　　 ｏ　　〔.と二＼.ヽ ＼　　rｭ　 　, ｲ| 　ﾊ {　　　　　＼＿＿＿＿＿__／
　｣ ＼ 　 レｰ┴　|　 ｝ｲ ＞ -- ''" / j人{　`
　　　　　 匕二¨　|　　'ノ　 ＼　／ 　 ＼'＿
　 二　/　!ﾆ二! 　|￣´＼　　/´＼　　 /
　　,／ ヤ 　 人　 ＼　　 ヽ/　ｏ　ヽ／
　　　　　 　/　　＼ 　 `＜ r┐､
.　　 　 　 〈　　　　 ＼　 r┘ ＼ｏ
　 　　　　　ヽ } ｝ j ｜厂　　　　¨＼＿
　　　　 　　　}　　　‖￣＼_　　　　　　`
　　　　 　 　 |　　　 ||　　　　＼__
　 　 　 　 　 |　　　 |:|　　　　　 ｏ＼.＿_,

んなこたーないｗ

おつ

数値ルベーク積分 のアルゴリズムを見れば一目瞭然なんだけど

>209

どうも有り難うございます。


> カラテオドリの公理的外測度のつもりなら、単調性： E⊂Fならばm^*(E)≦m^*(F) が
> 抜けている。
> 解答上の実害はないが。

すいません。ありがとうございます。


>>必ずしもlim[n→∞]sup{f_k(x);k≧n}が存在するとは限らないので偽だと思うので
> すが…。
> ∞も許せばlim[n→∞]sup{f_k(x);k≧n}はつねに存在する。そして
> >関数f,g,f_n:R^d→[-∞,∞]
> と書いてあるので確かに∞を値域に含んでいる。

そうですね。仰る通りです。
lim[n→∞]sup{f_k(x);k≧n}=∞や
lim[n→∞]sup{f_k(x);k≧n}∈{f_n}だけなら
∞>rでf_nはΣ可測だから{x∈E;lim[n→∞]sup{f_k(x);k≧n}(x)>r}∈Σ。
しかし,lim[n→∞]sup{f_k(x);k≧n}<∞だがlim[n→∞]sup{f_k(x);k≧n}∈{f_n}でない場合は何とも言えない。よって真偽判定不能?

> （ところで、最初のgが無意味に見えるが、問題文の一部抜粋か？ｗ）

はい,「(3) fがΣ可測でE⊂R^dならf_χ_EもΣ可測(但し,f_χ_Eは特性関数です)」と
「(4) fとgがΣ可測ならmax{f(x),g(x),0}はΣ可測」
という問題も有りまして,
(3)は題意から∀r∈Rに対して{x∈E;f(x)>r}∈Σだから
{x∈E;f_χ_E(x)>r}=E (r<1の時),φ(r≧1の時)
で,φ∈ΣですがE∈Σという保証は無いので結論は偽。
(4)については∀r∈Rに対してもし,max{f(x),g(x),0}≠0なら,
今{x∈R^d;f(x)>r}∈Σ,{x∈R^d;g(x)>r}∈Σ …�@なので
h(x)=max{f(x),g(x),0}と置くと,h(x)={x∈R^d;f(x)>r}∪{x∈R^d;g(x)>r}と書けるので�@からh(x)∈Σ.
よって真。
と考えたのですが間違ってますでしょうか?

>>Σ={(a,b);a,b∈R∪{±∞}}
> Σがシグマ加法族のつもりなら、この書き方はおかしい。

そうですね。{(a,b);a,b∈R∪{±∞}}はσ集合体になりませんね。

> 「{(a,b);a,b∈R∪{±∞}}により生成されたシグマ加法族をΣとする」ならわかる
> が。

そうですね。Σ=σ({(a,b);a,b∈R∪{±∞}})ですね。


> もしそうなら、Σはけっきょくボレル集合族だから、
> [0,1]はΣに含まれないので
> は間違い。

[0,1]はσ({(a,b);a,b∈R∪{±∞}})に含まれますね。
失敗しました。


> (2) fが有界ならばfはΣ可測。

うーん,これはにっちもさっちもいきません。先ず何を考えればいいのでしょうか?


>(2) x∈R^dならばm^*(E+x)=m^*(E).

すいません。これも反例を見つけれません。

>>217
すまん、
>lim[n→∞]sup{f_k(x);k≧n}∈{f_n}
の右辺の意味が判らない。
左辺は要するにlimsup[n→∞]f_n(x)であって、R→[-∞,∞]なる一つの関数を
表している（xを固定すれば一つの実数または∞）なわけだが、それが∈{f_n}とは？
「どれかのf_n(x)と一致する」ってこと？

ヒントだけど、「各nに対するsup{f_k(x);k≧n}がΣ可測かどうかをまず考える」
ということと、この手の可測性をすべて定義に戻って調べるのは見通しも
能率も悪いので、ふつうは「可測関数の和、積、max, min, sup, inf, lim」
などがまた可測であることを「順番に」示していく。そんなのはどの教科書に
でも書いてあるから、しかるべき参考書で「可測関数の基本演算」の各定理を
順にフォローして頭に入れること。

>>218
>,「(3) fがΣ可測でE⊂R^dならf_χ_EもΣ可測(但し,f_χ_Eは特性関数です)」

たしかに、E∈Σ（可測集合）とは書いてないね。
非可測集合の定義関数は、そりゃ非可測。

(4)は可測関数同士の基本演算の話だからそうやって証明するしかないし、それで合ってる。

>>219
非可測集合の定義関数とか。>>218の(3)でそれ使ってるじゃん


なお、証明はともかく認識しておくべき事実は、少なくとも通常のルベーグ測度に関しては

・非可測集合の「存在」は意識していなければならないが、それを実際に
作るのは至難の業で、選択公理を用いて非構成的に存在が示されるに過ぎない

・可測関数を使って通常の演算（ベクトル演算、大小関係etc）をする限り、
可測関数の域を決して出ない。可算無限個用いてすらも。だから極限操作も含むので、
けっきょく通常の手段で非可測関数を「作る」ことは無理。

つまり「非可測集合」や「非可測関数」はたとえていえば「宇宙人」みたいなもので、
広い宇宙には確かに宇宙人が「存在」するとしても、「そのへんで見た」とか
いう話はすべて嘘に決まってるってことｗ。
「地球上の日常生活で遭遇することはありえない」という感覚。

>>218
>h(x)=max{f(x),g(x),0}と置くと,h(x)={x∈R^d;f(x)>r}∪{x∈R^d;g(x)>r}と書けるので�@からh(x)∈Σ.

{x∈R^d;h(x)>r}と書くべきところがh(x)になってるよ

>>219
>>(2) x∈R^dならばm^*(E+x)=m^*(E).
>
>すいません。これも反例を見つけれません。

この性質はルベーグ測度の特徴づけになっているから、
逆に言うとルベーグ測度以外の測度はすべてこれをみたさない。
例をあげたければ、適当なスティルチェス測度ならなんでもいい。

スティルチェス測度ってのは、何かg(x)（ただし非負かつ単調増加）を使って、
普通の長さv([a,b))=b-aのかわりにg(b)-g(a)を使った外測度から定義される測度。
（gが不連続だとg(b)がg(b-)とか面倒なので連続にしておくとよい）
g(x)=xの場合が通常のルベーグ測度。

>224 有難うございます。

> 表している（xを固定すれば一つの実数または∞）なわけだが、それが∈{f_n}とは？
> 「どれかのf_n(x)と一致する」ってこと？

はい、そういう意味です。


> ヒントだけど、「各nに対するsup{f_k(x);k≧n}がΣ可測かどうかをまず考える」
> ということと、この手の可測性をすべて定義に戻って調べるのは見通しも
> 能率も悪いので、ふつうは「可測関数の和、積、max, min, sup, inf, lim」
> などがまた可測であることを「順番に」示していく。そんなのはどの教科書に
> でも書いてあるから、しかるべき参考書で「可測関数の基本演算」の各定理を
> 順にフォローして頭に入れること。

有難うございます。調べてみたいと思います。

> 222 ：１３２人目の素数さん：2009/01/11(日) 16:27:16
> >>219
> 非可測集合の定義関数とか。>>218の(3)でそれ使ってるじゃん

fとして,「(3) fがΣ可測でE⊂R^dならf_χ_EもΣ可測(但し,f_χ_Eは特性関数です)」で用いたf_χ_Eを考えればこのfは有界で非可測になってますね。
よって「(2) fが有界ならばfはΣ可測」は偽なのですね。


> なお、証明はともかく認識しておくべき事実は、少なくとも通常のルベーグ測度に関
> しては
：
> 「地球上の日常生活で遭遇することはありえない」という感覚。

なるほど。難しいんですね。憶えて置きます。

>>h(x)=max{f(x),g(x),0}と置くと,h(x)={x∈R^d;f(x)>r}∪{x∈R^d;g(x)>r}と書ける
> ので�@からh(x)∈Σ.
> {x∈R^d;h(x)>r}と書くべきところがh(x)になってるよ

そうでした。{x∈R^d;h(x)>r}={x∈R^d;f(x)>r}∪{x∈R^d;g(x)>r}でした。


>>>(2) x∈R^dならばm^*(E+x)=m^*(E).
>>すいません。これも反例を見つけれません。
> この性質はルベーグ測度の特徴づけになっているから、
> 逆に言うとルベーグ測度以外の測度はすべてこれをみたさない。
> 例をあげたければ、適当なスティルチェス測度ならなんでもいい。

調べてみました。
「I:=(a,b]∩R (-∞≦a≦b≦+∞),g:I→Rは右連続,非減少とする。
g(t)=lim[ε→0+]g(a+ε) (t≦aの時),
g(b) (b<∞且つb<tの時),
lim[ε→0-]g(∞-ε) (t=b=∞の時)
この時,μ:B(I)→[0,∞](但し,B(I)はI上のボレル集合体)でa≦s≦t≦bならμ((s,t]∩R)=g(t)-g(s)を満たすμが一意的に存在する。
このμをスティルチェス測度という」
ここでのgが外測度となっていてm^*(E+x)=m^*(E)という条件を満たさないというのですね。
実際,d=1の時,a=0,b=1としてE=0,x=2としてみると
g(E)=g(0)=lim[ε→0+]g(0+ε)=g(0)
g(E+x)=g(0+2)=g(2)
となり,g(0)≠g(2)となるのですね。
g(0)≠g(2)とどうして言えるのでしょうか?

おまえには一生無理だと思うぞ

回答者は仏か何かなのか？

>>227
>g(0)≠g(2)とどうして言えるのでしょうか?

E={0},x=2を反例にしたければ、g(0)≠g(2)であるようなgを取れってこった。
m^*(E+x)=m^*(E)であるようなEとxがひとつでもあればいいんだから、
gが定数でない限り反例になってるが、たまたまgが定数である区間では局所的に
限られたEとxに対してm^*(E+x)=m^*(E)となりうる（実はその区間の測度は0
になるから両辺0）が、それが何か？

>ここでのgが外測度となっていて

「gが」というか、>>181にあるようなルベーグ外測度の定義でv(I_i)のところを
gを使った定義に変えて定義した外測度ね


>>229
仏吹いた

>>227
>g(E)=g(0)
>g(E+x)=g(0+2)

外測度と関数の区別もできんとは...
こんなだから>>228のように言われるんだよ

打たれ強さは評価できるけどｗ

> 230,231

どうも有難うございます。


>>>227
>>g(0)≠g(2)とどうして言えるのでしょうか?
> E={0},x=2を反例にしたければ、g(0)≠g(2)であるようなgを取れってこった。

すいません。どのようなgが採れますでしょうか?


> 「gが」というか、>>181にあるようなルベーグ外測度の定義でv(I_i)のところを
> gを使った定義に変えて定義した外測度ね

m*:2^R→[0,∞]を
m*(E)=inf{Σ[i=1..∞]g(I_i);E⊂∪[i=1..∞]I_i,I_iはn次元区間塊} (但しg(I_i)はI_iの体積の意味です)
と定義するのですかね。この時のm*がスティルチェス外測度なのでしょうか?

このm*がちゃんと外測度になっているかチェックしてみました。
任意の(a,b]⊂Rに対し,m*((a,b])=inf{Σ[i=1..∞]g(I_i);(a,b]⊂∪[i=1..∞]I_i,I_iは区間}
=Σ[i=1..∞]g((a,b])

となり,これから計算できません。gの定義
「I:=(a,b]∩R (-∞≦a≦b≦+∞),g:I→Rは右連続,非減少とする。
g(t)=lim[ε→0+]g(a+ε) (t≦aの時),
g(b) (b<∞且つb<tの時),
lim[ε→0-]g(∞-ε) (t=b=∞の時)」
を勘違いしてますでしょうか?

>>>227
>>g(E)=g(0)
>>g(E+x)=g(0+2)
> 外測度と関数の区別もできんとは...
> こんなだから>>228のように言われるんだよ

すいません。スティルチェス外測度がよく分かりませんでしたので間違えてしまいました。
外測度は集合に対して定義されていて,関数は元に対して定義されているのですね。

初歩だなぁ。
まず基本はm^*(E+x)=m^*(E)

これは絶対。
そしてルベーグ外測度なのかスティルチェス外測度なのかについてだが

(x/1)+xってことは砧麺麭覆拿彙螺子の可能性もある。

知的ルサンチマン（＝ルサウンチマン）のオランウータンビーツかもしれんが。
「(3) fがΣ可測でE⊂R^dならf_χ_EもΣ可測(但し,f_χ_Eは特性関数です)」で用いたf_χ_Eを考えればこのfは有界で非可測。
さらには堵虞慧螺、痲璽彙螺禰などとも並ぶね。

結構基本だよ。

どうもです。

R^n内でのVitali coveringの定義について調べているのですがなかなかこれぞといった定義を見つけれません。
識者の皆様,Vitali coveringの定義をご存知でしたらお教え下さい。

これぞとは？

>>232=>>233だよな？

>>233で
>外測度は集合に対して定義されていて,関数は元に対して定義されているのですね。
と書いてて、>>232の
>g(I_i)
だの
>g((a,b])
だのって何のことだよ

>>224をもっとちゃんと読めよ
仏の顔も三度ってかｗｗ

g([a,b])：＝g(b)−g(a)とかじゃないの

どうも有難うございます。


> 初歩だなぁ。


申し訳有りません。


> まず基本はm^*(E+x)=m^*(E)
> これは絶対。

つまり,m^*:ルベーグ外測度⇔∀E⊂R^d,x∈R^dに対してm^*(E+x)=m^*(E)
が成立っているのですね。


> そしてルベーグ外測度なのかスティルチェス外測度なのかについてだが


スティルチェス外測度の定義がよくわからず混乱しております。すいません。


>>>232=>>233だよな？

はい。

>>>233で
>>外測度は集合に対して定義されていて,関数は元に対して定義されているのですね。
> と書いてて、>>232の
> >g(I_i)
> だの
> >g((a,b])
> だのって何のことだよ
> >>224をもっとちゃんと読めよ

すいません。
ルベーグ外測度f:2^(R^d)→[0,∞]は
2^(R^d)∋∀E|→f(E):=inf{Σ[Π[k=1..d][a_k,b_k]∈S]Π[k=1..d](b_k-a_k);SはEの閉被覆}
で定義されるのでこれを
inf{Σ[Π[k=1..d][a_k,b_k]∈S]Π[k=1..d](g(b_k)-g(a_k));SはEの閉被覆}
(但し,gはI:=(a_k,b_k]∩R (-∞≦a_k≦b_k≦+∞),g:I→Rは右連続,非減少とする。
g(t)=lim[ε→0+]g(a_k+ε) (t≦a_kの時),
g(b_k) (b_k<∞且つb_k<tの時),
lim[ε→0-]g(∞-ε) (t=b_k=∞の時)
(k=1,2,…,d)で定義される関数)
と書き換えればスティルチェス外測度になるのですね?


> （gが不連続だとg(b)がg(b-)とか面倒なので連続にしておくとよい）

このgが連続の場合はgの定義はどのように書けるのでしょうか?

>236

> これぞとは？

Vitali covering theoremやVitali covering lemmaはヒットするんですが
Vitali coveringとはどんな被覆なのかなぁと思いまして。。
Vitali covering自体の定義がちょっと見当たらなくて。。

いったい何のために、どんな本を読んでるんだ？
ヴィタリ式被覆なら、例えば吉田洋一『ルベグ積分入門』に載っているが

>>240
>このgが連続の場合はgの定義はどのように書けるのでしょうか?

だからそういうこと（学部1年）がわからないレベルで、
なんでルベーグ測度（学部3年）やってるのかと小一時間問い詰めたい

定義を丸写しするんじゃなくて、なんでそう定義するのかも考えろ
自分で定義を作るなんてこと考えたこともないか？ｗ

gを「右連続,非減少とする」のはなぜだ？
そもそも「右連続」の意味わかってるか？（形式的な定義文の丸写しじゃなくて「意味」ね）
要は、区間(a,b]の測度を、ルベーグのb-aでなくg(b)-g(a)で与えるってだけのこと。
（区間以外の一般の集合については、ルベーグの場合と同様にして拡張する。
外測度の性質の確認？ そんなのルベーグの場合と何も変わらんことはほとんど自明じゃないか？
b-aがg(b)-g(a)になっただけだぜ？）

　ただ、gが非減少でないと、g(b)-g(a)が負になることがあって困るだろ？

　gは不連続でもいい（不連続のほうが面白いし重要）けど、
gがジャンプしてる点ではg(x)としてグラフの切れ目の右端をとるのか左端をとるのか決まらなくて困るだろ？
　あんたが書いてるlim[ε→0+]g(x)とかlim[ε→0-]g(x)とかは、xのどっち側の切れ目を
使うのかってことで、ふつう簡単のためにg(x+0)とかg(x-0)とか書くが、xがgの連続点なら
どっちでも同じだから、単にg(x)と書いとけばいい。

今は平行移動で測度が変わる例を作りたいだけだから、gとしてわざわざ不連続関数
（「右連続」ってのは「不連続かもしれない」ってことだよ分かってる？ｗ）を
使うこともないだろ？
　単調増加な連続関数でg(x)=x以外の式くらいいくらでも作れるから自分で考えろ。

gが不連続かもしれない場合は、μ^*([a,b]) = g(b+0) - g(a-0) とする必要がある。
（でないとσ加法性が成り立たない）

aがgの不連続点なら、μ^*([a]) = g(a+0) - g(a-0) となり、
一点{a}がgのジャンプ幅に応じた0でない測度をもつことになる。
（ルベーグ測度では一点の測度はどこでも0だったことに注意）

んで、一般に
μ^*([a,b)) = g(b-0) - g(a-0)
μ^*((a,b]) = g(b+0) - g(a+0)
μ^*((a,b)) = g(b-0) - g(a+0)
となるわけだ。（aもbもgの連続点のときは、どれも同じ値だが。）

外測度の定義に半開区間(a,b]を使ってるから、その「長さ」をg(b)-g(a)と書いたとき、
上のものと自動的に一致するためには、gが右連続であればよい。

これで分からんなら俺はもう知らん。

もう、放っておけよ

講義のノートか何かの断片だけで本を持ってないのかねえ

>>243
>今は平行移動で測度が変わる例を作りたいだけだから、gとしてわざわざ不連続関数

μ^*(E+x)=μ^*(E)の反例だけなら, 逆の極端を使ったほうが簡単かもしれん.
たとえばgとして g(x)=0 (x<0), g(x)=1 (x≧0)
つまり原点で1だけジャンプし他では一定とすれば
このgによって定義されるスティルチェス測度は
原点にだけ1の測度があり, 他には測度がないというものになる.

（これだけ簡単だと, わざわざgから定義せずとも
集合Eが原点を含めばμ^*(E)=1,
Eが原点を含まないときμ^*(E)=0と直接定義して
これが外測度の公理をみたすことを確認すればいい.）

このμ^*が並行移動不変でないことは明らか.
たとえばE=[-1,1]とすれば、μ^*(E)=1だが
x>1ならばμ^*(E+x)=0だから, たしかにμ^*(E+x)≠μ^*(E)

よろしくどうぞ。

Let (X,M,μ) be a measure space. One can define the completion of this spaces as follows.
Let M~ be the collection of sets of the form E∪Z,where E∈M,and Z⊂F with F∈M and μ(E)=0.
Also,define μ~(E∪Z)=μ(E). Then:
(1) M~ is the smallest σ-algebra containing M and all subsets of elements of M of measure zero.
(2) The funciton μ~ is a measure on M~,and this measure is complete.

という問題で(1)の題意について質問です。

M⊂M~でM~がσ集合体である事は示せました。
そこでM⊂MでMはσ-集合体なので,μ(E)=0ならEはM可測なのでE∈Mだと思います。
よってMと測度0の集合を含む最小のσ集合体はM自身だと思います。
よって(1)はM~=Mを示せ。と解釈したのですが勘違いしてますでしょうか?

書きミスです。

with F∈M and μ(E)=0.
↓
with F∈M and μ(F)=0.

>>248
>μ(E)=0ならEはM可測なので

違う。それが成り立つというのが完備性。
(X,M,μ) が一般に完備でないから「完備化」して(X,M~,μ~)を作るんだろうが。

×「Mと測度0の集合を含む最小のσ集合体」
○「Mと測度0の集合の部分集合すべてを含む最小のσ集合体」

おっとすまん、μとμ*を混同した。
>μ(E)=0ならEはM可測なので
というより、EがM可測だからこそμ(E)が意味をもつ。

完備性は、
「μ(E)=0ならEの任意の部分集合ZはM可測なので」
が成り立つということ。

> 250
どうもです。


> (X,M,μ) が一般に完備でないから
> 「完備化」して(X,M~,μ~)を作るんだろうが。

参考になります。


> ×「Mと測度0の集合を含む最小のσ集合体」
> ○「Mと測度0の集合の部分集合すべてを含む最小のσ集合体」

そうですね。
{Z⊂F;F∈M,μ(F)=0}⊂M~である事は∀Z∈{Z⊂F;F∈M,μ(F)=0}を採ると,Z=φ∪Z∈M~(∵M~の定義)
と分かりますね。

次に最小性
M⊂Σ,Σ:σ集合体⇒M~⊂Σ を示したいのですがこれはどうすればいけますでしょうか?

> 完備性は、
> 「μ(E)=0ならEの任意の部分集合ZはM可測なので」
> が成り立つということ。

憶えて置きます。

>>252
最小性の表現は
×「M⊂Σ,Σ:σ集合体⇒M~⊂Σ」
○「ΣがMとμ測度0の集合の部分集合すべてを含むσ集合体⇒M~⊂Σ」

> 253

どうもです。

> >>252
> 最小性の表現は
> ×「M⊂Σ,Σ:σ集合体⇒M~⊂Σ」
> ○「ΣがMとμ測度0の集合の部分集合すべてを含むσ集合体⇒M~⊂Σ」

そうでした。
∀E∪Z∈M~ (E∈M,Z⊂F∈M,μ(F)=0)をとると,ΣはMを含むからE∈Σ,
Σは測度0の部分集合を含むからZ∈Σ,
Σはσ集合体だからE∪Z∈Σ.
∴ M~⊂Σ.

ですね。

>>234だけが正しいな

こんにちは。

L^pで稠密の定義について質問です。
"f∈L^pがL^pで稠密⇔∃{f_n}⊂L^p such that f_nはfにL^p収束"
で正しいですかね。

稠密って部分集合に関する概念じゃネーの？

>>256
× "f∈L^pがL^pで稠密⇔∃{f_n}⊂L^p such that f_nはfにL^p収束"
○ "F⊂L^pがL^pで稠密⇔∀f∈L^p, ∃{f_n}⊂F such that f_nはfにL^p収束"

質問があるのですが、
Ｘ：Gauss系ならＸ(0)=0になるのでしょうか？

どなたかお願いします…

>242

> いったい何のために、どんな本を読んでるんだ？
特に理由はないのですが読んでる本は伊藤清三の本です。

図書館の他書でVitali coveringの定義を見つけました。
「距離空間(R^n,d)においてB(x,ε)={y∈R^n;d(x,y)<ε}を開球という。B={B(x,ε);x∈R^n,0<ε∈R}とすると
(B⊃)B'が集合E(⊂R^n)のVitali式被覆 ⇔ ∀x∈E,0<∀δ∈R,∃b∈B';x∈b,m(b)<δ (但し,mはルベーグ測度)」
でいいのですね。

>>259
微妙にスレチな気もするが…

「Ｘ」などと1個の確率変数みたいに書いてるが、Ｘ(0)とか書いてるってことは
確率過程Ｘ(t)、つまり確率変数の系 { Ｘ(t) | t∈Ｔ } を考えてるんだろ？
ガウス系ってのは、(X(t1),X(t2),…,X(tn))がn次元ガウス分布に従うってこと。
だから1個だけの X(0) は1次元ガウス分布（つまり正規分布）にしたがう。
それ以上のこと（=0などと確定値をとるとか）は「ガウス系」の定義には含まれていない。
それどころか、標準正規分布とも限らないから、平均値E(X(0))すら0とは限らない。

どもです。下記の問です。

Xを集合,M⊂2^Xとする(但し,Mは空でない)。Mが補集合に関して閉じてて互いに素な可算個の和集合に関しても閉じてるならMはσ集合体になってる事を示せという問題です。
[ヒントは可算和集合を互いに素な可算和集合で表せ]

(i) X∈Mである事は
今,Mは空でないので∃E∈MでX=(E∪E^c)∈M(∵EとE^cは互いに素)といけました。

次に
(ii) E_1,E_2,…∈Mなら∪[i=1..∞]E_i∈Mを示したいのですが
F_1=E_1∩(∪[i=2..∞]E_i)^c,F_2=E_2∩(∪[i=3..∞]E_i)^c,…
とすれば∪[i=1..∞]E_i=∪[i=1..∞]F_iでF_1,F_2,…は互いに素。
となったのですがF_1,F_2,…∈Mである事がどうしても言えず,
∪[i=1..∞]F_i∈Mに持っていけません。

どうすればF_1,F_2,…∈Mが言えるのでしょうか?

すっかり質問スレと化してるな…

>>262
Mは単に空でないM⊂2^Xなんじゃなくて、集合体であること（有限個の
集合演算について閉じていること）は仮定されているんじゃないのか？

もしそうなら、F_n=E_n∩(∪[i=n=1..∞]E_i)^cとせずに、
F_1=E_1, F_2=E_2∩E_1^c, F_3=E_3∩(E_1∪E_2)^c, …, F_n=E_n∩(∪[i=1..n-1]E_i)^c
とおけばいい。

おっと失礼。補集合に関して閉じていることと、互いに素な有限個の
和集合について閉じていることから、集合体であることはすぐ言えるね。

>258

大変参考になりました。どうも有り難うございました。

>>260
伊藤清三を読み直してみたけど、たしかにヴィタリ被覆は全く出てこないね。

吉田耕作「測度と積分」には、「区間上の単調関数は殆どいたるところ微分可能」
の定理のあとにこう書いてある：
>Lebesgue自身の証明は, fが連続なことは仮定して彼の著書Leconsの第1版(1904)
>の最後の章に述べられているが, あまりわかりよくはない(第2版(1928)の方が
>わかりよい). 今日ではVitaliの被覆定理を用いる上のような証明が標準的である
>が, いろいろな直接証明もいろいろな人によって工夫されている. そのなかでは
>1932年に発表されたF.Rieszのものが名高い.

伊藤清三も微分論はR^1上の場合しか述べてないから、直接証明してるわけだね。
しかしR^n上で同様の定理を証明するにはVitaliの被覆定理が必要らしい
（上の吉田耕作でも最終章でVitali被覆を使ってR^nの場合を証明してる）.

なお>>260でm(b)<δとしているが、R^nでヴィタリ被覆をちゃんと定義
している本ではdiam(b)<δとするのが普通ぽい。ただしdiam(b)とはbの直径。
どうせR^nだからどちらでも同じだし, R^1だと|I|とかm(I)とか書いてあって
区別がつかないが。

日本語や英語のルベーグ入門書をいくつかざっと見てみたが、半分くらいは
ヴィタリ被覆に触れておらず、あとの大部分はR^1の場合しか書いてない。
>>235の質問理由がわかったよ。

>>242の吉田洋一では被覆定理のあとの注に多次元の場合の定義らしきものが
書かれているが（「ヴィタリ被覆」とは呼んでない）、非常に分かりにくい
書き方がされている。

なお>>260ではヴィタリ被覆を開球の集合として書いているが、閉球にするべき。
また球でなく閉立方体系で定義している本もある（吉田耕作、現代数学概説2など）。
ヴィタリの被覆定理ではけっきょく閉球か閉立方体をとるものの、ヴィタリ被覆
自体は一般の集合系（可測とすら書いてない）で定義してある本もある（猪狩、
盛田など）。
それら（R^nでヴィタリ被覆をちゃんと定義している本）すべてで、measureでなく
diameterを用いていた。
（球以外の集合のdiameterは、集合内の2点間の距離のsupで定義する。）

いかん本を取り違えてた。
>>267の

>>>242の吉田洋一では被覆定理のあとの注に多次元の場合の定義らしきものが
>書かれているが（「ヴィタリ被覆」とは呼んでない）、非常に分かりにくい
>書き方がされている。

は溝畑だった。訂正。

吉田洋一は、R^1のみで閉区間族として、m(I)<δとか書いてある（よくある）パターン。

一次元の場合に限った論法でなければ
閉区間族からR^nに拡張するのはそう難しくないと思うのだが

>>269
だのに多くの本がVitali被覆やVitaliの被覆定理を1次元の場合にしか
定義・証明しないのはなぜなんだろうね。
　まあ関数解析や確率論の道具としてLebesgue積分をマスターするという
現在の教科書の立場からすると、R上の精緻な微分論自体が歴史的意義しか
なくなっているということなのかもしれない。
（ましてやR^nへの拡張などどうでもいいと。？）

Vitaliの被覆定理の代表的な応用であるR^1での微分係数に関する定理は、
>>266によればVitali被覆を使わない証明もいろいろあるらしいが、
それらは一次元の場合に限った論法なのかもしれない。

　であれば、Vitali被覆を使った証明をする本では、せっかくなんだから
R^nを意識した定義をするべきと思うがなあ。
実際、「そう難しくない」んだから。


それにしてもVitaliって測度論ではとことんマニアックな存在だよなｗ
一番有用有名？な被覆定理でもこの扱い
Vitali-Schefeの収束定理も書いてある本はごくわずか
Vitali-Hahn-Saksの定理もかなりマニアックなレベルだし
あとは例の非可測集合だろ？

> 264

> おっと失礼。補集合に関して閉じていることと、互いに素な有限個の
> 和集合について閉じていることから、集合体であることはすぐ言えるね。

えっ!マジですか。有限個から可算個の和集合に関して閉じてる事が言えるのですか。

どのようにすればいいのでしょう?
是非、具体的にお教えください。

σ集合体≠集合体

>>271のような誤解をするってことは,
>>264の説明の内容もちゃんと伝わってないということだな.
親切にもカッコつきで注釈までつけてくれているのに..

同じようなことが過去にも何度もあったろ?
測度論のような精密な数学をやる前に, その
細部に対する注意力のなさをなんとかしろ.

カッコが見つからん。

> σ集合体≠集合体

集合体はM⊂2^Xで
(i) X∈M
(ii) A∈M⇒A^c∈M
(iii) A,B∈M⇒A∪B∈M

ですね。3つ目の条件が可算和集合ではなく有限和集合なのですね。

> カッコが見つからん。

カッコで集合体の説明をなさってたのですね。

> Mは単に空でないM⊂2^Xなんじゃなくて、集合体であること（有限個の
> 集合演算について閉じていること）は仮定されているんじゃないのか？

問題文をチェックしてみましたが補集合と互いに素な可算和集合に関して閉じているという条件のみから可算和集合に関して閉じている事が導けるらしいのです…
やはりヒントは可算和集合を互いに素な可算和集合で表す事らしいのです。

どうすればF_n=E_n∩(∪[i=n=1..∞]E_i)^c (n=1,2,…)で
F_1,F_2,…∈Mが言えるのでしょうか?

>>275
どこまで判りが悪いんだ…

>>263と>>264を合わせれば答になってるだろうが！

互いに素な可算和集合に関して閉じているということは
互いに素な有限和集合に関しても当然閉じているから、
そのことから>>275の(iii)が導かれ、
>>264で言っているようにまずMが集合体であることがわかる。

それがわかれば、有限個の集合演算について閉じていることは使えるから、
（F_n=E_n∩(∪[i=n=1..∞]E_i)^cじゃなくて！）
>>263のように分解すれば F_1,F_2,…∈M は問題なく言えて、
∪[i=1..∞]E_i=∪[i=1..∞]F_iでF_1,F_2,…は互いに素になってるだろ！

なんで>>263と>>264の両方読んでその手順がわからないんだ？ ε-(ｰдｰ)ﾊｧ

このレベルのバカは一生治らない。
もし2年後もこのスレが続いていて、かつ>>275がまだ数学を続けているとしたら、
そのとき、275は今と全く変わらない低レベルな質問をこのスレに投下している。

補集合に関して閉じているの定義は何。
σ集合体の定義は何。

>276

どうも有り難うございます。


> >>263と>>264を合わせれば答になってるだろうが！
> 互いに素な可算和集合に関して閉じているということは

"Mが補集合に関して閉じてて"はE∈M⇒E^c∈Mの意味ではないんですね。


> 互いに素な有限和集合に関しても当然閉じているから、
> そのことから>>275の(iii)が導かれ、
> >>264で言っているようにまずMが集合体であることがわかる。

E∈M⇒E^c∈Mの意味だとどんなにあがいてもA,B∈M⇒A∪B∈Mは言えませんものね。
X={0,1,2,3}、M={φ, X, {0,1}, {2,3}, {0,2}, {1,3}}が反例になるかと思います。



> それがわかれば、有限個の集合演算について閉じていることは使えるから、
> （F_n=E_n∩(∪[i=n=1..∞]E_i)^cじゃなくて！）
> >>263のように分解すれば F_1,F_2,…∈M は問題なく言えて、
> ∪[i=1..∞]E_i=∪[i=1..∞]F_iでF_1,F_2,…は互いに素になってるだろ！

"有限個の集合演算について閉じている"これが使えればσ集合体である事は直ぐいえますね。


> なんで>>263と>>264の両方読んでその手順がわからないんだ？ ε-(ーдー)ハァ

それはわかっいたのですが…
"Mが補集合に関して閉じてて"はE∈M⇒E^c∈Mの意味とばかり思っていたものですいません。

>>279
>"Mが補集合に関して閉じてて"はE∈M⇒E^c∈Mの意味ではないんですね。

お前は何を言ってるんだ
"Mが補集合に関して閉じてて"はE∈M⇒E^c∈Mの意味だよ
「それだけからA,B∈M⇒A∪B∈Mは言えない」は正しい
逆に「互いに素な可算和集合に関して閉じている」からといってE∈M⇒E^c∈Mは言えない
だから両方仮定する
A,B∈M⇒A∪B∈MとE∈M⇒E^c∈Mの両方ないと、A,B∈M⇒A∩B∈Mとかが言えなくて集合体にならんだろうが

>それはわかっいたのですが…

うそつけ
>>275でもまだF_n=E_n∩(∪[i=n=1..∞]E_i)^cにこだわってたろ
Mが集合体でこのF_n∈Mが言えるならそれだけから∪[i=n=1..∞]E_i∈Mが言えている
証明に証明しようとしている事実を使うってどんだけだよ

>>280
X={0,1,2,3}、M={φ, X, {0,1}, {2,3}, {0,2}, {1,3}}が反例になるかと思います。

>>281
>"Mが補集合に関して閉じてて"はE∈M⇒E^c∈Mの意味だよ
>「それだけからA,B∈M⇒A∪B∈Mは言えない」は正しい

>>282

>>281のMは、
補集合に関して閉じていてかつ互いに素な（可算個の）和集合に関しても閉じているが
集合体ではない（だからもちろんσ集合体でもない）例になっている。

A∩B=φの場合の条件しかないとすると、補集合を使ったところで
A∩Bについての性質が導けるわけがない。
だから>>262の問題は間違い。

もしかして「補集合」が「差集合」の間違いだったってオチじゃないのか

> A,B∈M⇒A∪B∈MとE∈M⇒E^c∈Mの両方ないと

A,B∈M⇒A∪B∈Mは仮定されてればMが集合体である事は言えますね。
やはり,補集合ではなく差集合に関して閉じてないとMは集合体にならないと思います。

σ集合体に最大の元は存在するか。

何の順序に関して？

>>287
全空間Xを固定して、Xの部分集合族の包含関係についての最大なら、
σ集合体であること以外に何の条件もつけないなら、2^Xが最大だなｗ

>>270
> 　まあ関数解析や確率論の道具としてLebesgue積分をマスターするという
> 現在の教科書の立場からすると、R上の精緻な微分論自体が歴史的意義しか
> なくなっているということなのかもしれない。
> （ましてやR^nへの拡張などどうでもいいと。？）

Perron積分だのDenjoy積分だのでやってくれということかもしれませんな

ダンジョワとかやったら何か嬉しいのか……?

質問です。

X:={1,2,3,4}
F0:={φ,{1},{2}} とする
この時、F0を含む最小のσ-集合体Fを求めよ。

という問題なんですが、いまいちわかりません。
σ-集合体の定義に照らし合わせながら考えたら、
F={φ,X,{1},{2},{2,3,4}{1,3,4},{1,2}}になったんですけど、
あってますかね？
自信がありません。よろしくお願いします。

あってません

{3,4}を加えればあってますか？

る

>>262
解析概論

確率測度空間⇒有限測度空間⇒σ有限測度空間⇒?

σ有限測度空間の次に大きい測度空間は何になるのでしょうか?

次?

σ有限測度空間っていうのがアレフゼロ個の有限測度空間の寄せ集めだから、
アレフ1個⇒アレフ2個⇒…とか考えているのかもなｗ

全空間の測度が有限か∞か（ただの数値だからこのどちらかしかない）
によってかなり状況（いくつかの定理の成立･不成立）が変わるが、
基本的に必要なのはこの２者の区別だけ。

「有限か1か」ってのは測度論的にはどうでもいい。
（スケール変えただけ。有限測度空間であれば測度値を全空間の測度値で割った
値にすればいつでも確率空間になる）

ただ測度論は集合の無限和を可算和に限定するところに議論のミソがあるので、
無限測度空間であっても、有限測度空間の可算個の寄せ集めになっているなら
有限測度空間でしか成り立たないはずの事実のいくつかは問題なく成り立ってくれる。
つまりそういうのは測度論的には有限測度空間に近い無限測度空間ってことで
「σ有限」と呼んでかわいがる。「名誉ブリタニア人」みたいなもん（違うかｗ

それにあてはまらない無限測度空間はもう「その他大勢」でいいじゃん？

ふーむ。どうもさんこうなりますた。m(＿ ＿)m

積測度の定義について調べています。

(Ω_i,Σ_i,μ_i)を測度空間とする(i=1,2,…,n)。その時,A:={Π[i=1..n]E_i;E_i∈Σ_i}は筒集合と呼ばれ,半加法族をなす。
そしてAで生成されるσ集合体σ(A)を積σ集合体と呼ばれる。
μ:A→[0,∞]が測度の公理とμ(Π[i=1..n]E_i)=Π[i=1..n]μ_i(E_i)を満たすμが一意的に存在する。
このμをΠ[i=1..n]Ω_i上の積測度といい,(Π[i=1..n]Ω_i,σ(A),μ)を(Ω_i,Σ_i,μ_i)の積測度という。
特にn=2の時は筒集合は半加法族でなく有限加法族となる。

という解釈はOKですか?

>>301
> μが一意的に存在する
各測度空間がσ有限じゃないといけない(Hopfの拡張定理)

>>301の何が「解釈」なのかが判らない……orz

>>301
>A:={Π[i=1..n]E_i;E_i∈Σ_i}は筒集合と呼ばれ,半加法族をなす。

「筒集合と呼ばれ」るのはA自身じゃなくてAの元。
「半加法族」ってsemiringのことかな。
Aは共通部分を取る演算について閉じてるからそれを言っているんだろうと思っておく。

>特にn=2の時は筒集合は半加法族でなく有限加法族となる。

なんでn=2のときだけそうなる？
筒集合の全体Aはnがいくつでも集合体にはならない。
（有限加法族＝集合体だよね？ 用語のパターンは統一しようよ）

Aで生成される集合体A'（有限加法族）は, 筒集合の有限直和の全体と一致する。
（なお、σ(A)=σ(A') ）

>(Π[i=1..n]Ω_i,σ(A),μ)を(Ω_i,Σ_i,μ_i)の積測度という。

「積測度空間」の書き間違い。

algebra of setsを集合体と呼ぶなら、ring of setsは集合環、semiring of setsは集合半環
(finitely) additive class(= algebra of sets)を有限加法族と呼ぶのなら
(countably or completely) additive class(= σ-algebra of sets)は完全加法族。

あとどんな集合族がある？
単調族とかディンキン族はLebesgue関連で習った記憶があるが。

σ-systemとかπ-systemとかの言い方もあったね

集合体はどっちかというとfieldの訳だと思う
（確率論だとalgebraよりfieldのほうが多いような…）
algebra of setsは「集合代数」と書いてる本がけっこうある（自分は嫌だが）
でも「σ-集合代数」は「σ-集合体」に比べてあまり言わないような気も
（英語のσ-filedとσ-algebraは同じくらい普通な印象だけど）

「完全加法族」と「σ加法族」も同じくらい言う気がするけど、英語にも後者の
「σ-additive class」はあるんかな?

δ-ring of algebraとかあったかも。
> σ-systemとかπ-systemとかの言い方もあったね
π-系はσ-albegraだよね、ディンキン族は別名λ-systemだっけ？
集合代数系を体系的に扱った標準的な教科書みたいのないんかな、
なんかだんだんよく分からなくなってきたよｗ

個人的にはalgebraは多元環あるいは単に環と呼びたい代数屋のなりそこないなので、
「集合代数」には>>305で脳内から抹消してたぐらい拒否反応起こすｗ

ちょっと気になったんでRaoの本（"MEASURE THEORY AND INTEGRATION"）を見てみた：

φを含み, 合併と差集合について閉じている族をring（またはclan）という.
ringがさらに全体集合Ωを含むとき, algebra（またはfield）という.

Sがφを含み, 共通部分について閉じていて, さらにA,B∈SがA⊂Bならば有限個の
A_1,…,A_mが存在してA=A_0⊂A_1⊂A_2⊂…⊂A_m=BかつA_i＼A_{i-1}∈Sのとき,
Sをsemiringという.
semiringがさらにΩを含むときsemialgebraという.

ringが可算合併について閉じているときσ-ring（またはtribe）,
algebraが可算合併について閉じているときσ-algebra（またはσ-filed）,
ringが可算共通部分について閉じているときδ-ringという.

と書いてあった.
>>301の「半加法族」はsemialgebraのことだな.

ありがとう

クランとかトライブとか先住民かいなｗ
complementが普通の代数系でのinverseみたいなもんで
σ-algebra=δ-algebraとか昔やったこと在る気がしてきた。

集合半環はなかなかわかりにくい定義にみえるが、要するに集合半環の満たす
加法的な条件は「互いに素な有限和で閉じている」だって意味かな。

semi-algを直訳すると集合半代数とかなってスゲー嫌だｗ

>>>301
>> μが一意的に存在する
> 各測度空間がσ有限じゃないといけない(Hopfの拡張定理)

了解しました。

> 304 ：１３２人目の素数さん：2009/02/14(土) 18:30:33
> >>301
> >A:={Π[i=1..n]E_i;E_i∈Σ_i}は筒集合と呼ばれ,半加法族をなす。
> 「筒集合と呼ばれ」るのはA自身じゃなくてAの元。

そうでした。

> 「半加法族」ってsemiringのことかな。
> Aは共通部分を取る演算について閉じてるからそれを言っているんだろう
> と思っておく。

Σ⊂2^Ωが
(i) φ∈Σ,(ii) π-systemをなす,
(ii) E∈ΣならΣ∋∃E_1,E_2,…,E_nは非交差such that E^c=∪_i=1^n E_i
ならΣは半加法族と呼ばれる。

>>特にn=2の時は筒集合は半加法族でなく有限加法族となる。
> なんでn=2のときだけそうなる？

何となく、、、

> 筒集合の全体Aはnがいくつでも集合体にはならない。

そうですね。Aから生成してσ集合体を作るんでしたね。


> （有限加法族＝集合体だよね？ 用語のパターンは統一しようよ）

はい。


> Aで生成される集合体A'（有限加法族）は,
> 筒集合の有限直和の全体と一致する。

σ(A)={E(+)F;E,Fは筒集合}となるのですね。これは知りませんでした。


>>(Π[i=1..n]Ω_i,σ(A),μ)を(Ω_i,Σ_i,μ_i)の積測度という。
> 「積測度空間」の書き間違い。

有難うございます。

この文体・・・
ヌシがまた現れたか

>>307
> π-系はσ-albegraだよね、
π-系はσ加法族ではないよ
π-系であって、しかもλｰ系ならばσ加法族

>>311
>σ(A)={E(+)F;E,Fは筒集合}となるのですね。これは知りませんでした

「直和」というのはここでは「共通部分をもたない和」って意味ね。
だから{E∪F; E∩F=φ}と書いたほうがいい。（「+」と書くことはあるが「(+)」と書くことはまずない）

そして「有限和」というのは2個とは限らない。
だから{∪[k=1..n]E_k; E_i∩E_j=φ}と書かないとだめ。

そして「筒集合の有限和の全体」なのはAから生成される有限加法族であって、σ加法族ではない。
つまり A'=筒集合の全体から生成される有限加法族={∪[k=1..n]E_k; E_i∩E_j=φ}

σ(A)=σ(A')はユークリッド空間ならボレル集合であって、その要素ははるかに一般的な集合になる。

>>312
数学文の細部に対する注意力のなさといい、たしかにヌシだねｗ
>>301はもしかしたら違うかもと思ったんだが、対話文が少なかっただけか。

まあスレを良活性化させる役には立っているし（勉強になるレスの引き金になったり）、
なんだかんだ言って相手してしまう俺…

>>310
Σ⊂2^Ωが
(i) φ∈Σ,(ii) π-systemをなす,
(ii) E∈ΣならΣ∋∃E_1,E_2,…,E_nは非交差such that E^c=∪_i=1^n E_i
ならΣは半加法族と呼ばれる。

だから、>>308のとおり、集合半環 (semi-ring of sets) のことじゃん

>>313
π-系が ∅ を含めば multiplicative-class でいいんだっけ？

>>309
>集合半環はなかなかわかりにくい定義にみえるが、要するに集合半環の満たす
>加法的な条件は「互いに素な有限和で閉じている」だって意味かな。

その条件だと例えば筒集合の全体はそれをみたさない。
たとえば、長方形2つの（互いに素な）合併は、辺の長さが一致してない限り
もはや長方形（直積型集合）でない。

しかし長方形Aが長方形Bに含まれるとき、Aに長方形を継ぎ足して
また長方形になるようにすることを繰り返してBに到達できる。

Lebesgue積分ｾﾞﾐ
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1109910304/
Functional Analysis, Lebesgue Integral II
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1088665870/
関数解析＆ルベーグ積分
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1043423127/
ルベーグ積分がわからないです。
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1176444089/
過去スレ発掘

ルべーグ積分を定義できる関数が可測関数でなければならないのが何故か
わかりません。
その関数より小さな単関数で有限和をとってその上限として積分を定義する
わけですよね。
何故可測関数じゃなければならないのでしょうか？

>>319
一個の球を有限個に分割して組み直すだけで二個に出来るから。

>>319
勉強したんなら分かるだろ常考・・・
しょうがないから教えてやるけど
可測函数じゃないと単函数近似できる保証がないからだ

可側じゃないけど積分可能な関数ってある？(発散除いて）

>>322
ちょっと言い方が足りなかった
可測函数でない函数へは単函数では近似できない
したがって積分を定義することはできない

広義じゃない積分で非可側だがリーマン積分可能な例とかある？

>>324
ない

>>324
盛田先生の本の第1章、読んでみたら。

>>319
「値を定める」だけならできる。積分というのは関数に対する測度みたいなものなので、
測度の場合と事情はほぼ同じ。
つまり「外測度」と同様に「外積分」をすべての関数に定義でき、それなりの役に立つ。
それはまさに単関数“近似”の値と言ってもよい。

しかし外測度と同様、一般に加法性などがみたされない。

つまり、「積分」らしくあるためには、「和の積分」が「積分の和になるべし」とか、
「定数倍が積分の外に出るべき」とかいろいろ条件をつけるわけだろ？
そういう都合のいい要求をいっぱいしておいて、「なぜないんだ！」とか嘆いても
ないものはないといか言いようがない。
高望みしすぎて結婚できない負け犬みたいなもん（違うかｗ

あるいは、たとえていえば代数方程式の解の公式とか角の三等分みたいなもん。
（「定規とコンパス以外は絶対使うな」とか言うから、簡単そうなことができなくなる）

ただ「値が決まりゃいい」ってわけじゃないことにもっと留意すべき。
教科書には定義のあとに綺麗な「性質」の証明がズラーっとあるだろ。そこまで見据えろってこった。

>>327
なるほど。可測関数じゃなければ単調収束定理が証明できないことに
は気づいてました。そういう理解でよかったのですね。ありがとう。

>>328
一個の球を有限個に分割して組み直すだけで二個に出来るから。

なんでルベーグ積分で空回りする人が多いのはどうしてですか

なんで最初になんでって書いてからさらに最後にどうしてって書くのはどうしてですか。

空回りどころか回ってもおらん

ルベーグ積分に関する問題を作り、解けにあった問題なんですけど

lim[k→∞]∫[0,k]x^n(1-x/k)^kdx

これはどうやって解くんですか？

なんとなく0

0はないわ〜

ガンマ関数に収束するからn!じゃね？

ある条件でルベーグ積分はリーマン積分に一致する。
十分条件の一つは、閉区間上の積分で、ほとんどいたるところ被積分函数が連続であること。

閉区間->有界閉区間

有界閉区間上で定義された関数がリーマン積分可能であるための
必要十分条件は、その関数が有界関数であり、かつa.e.で連続で
あること。

そういえばそうだ。[>>339]が正義となる。

最近,Borel集合体なるものをしりました。
Borel集合体は開集合全体Tから生成されるσ集合体なので
σ集合体の定義,全体集合Ωを含む,Tの元の補集合(つまり閉集合)とを含む,Tの元と補集合の可算和集合を含む.
を満たせばいいので,Tからそれらをこしらえてやれば自動的にTを含む最小のσ集合体になるであろうと思い,
任意のBorel集合は(∪_{i=1}^∞ t_i )∪(∪_{i=1}^∞ t_i^c )∩(∪_{i=1}^∞ t_i)∩(∪_{i=1}^∞ t_i^c) (但し,t_i∈T)
の形をしていると考えましたがこれはあやまりですか? 何故?

>>341
A=∪_{i=1}^∞ t_i, B=∪_{i=1}^∞ t_i^cとすると, その集合は
A∪B∩A∩Bと書かれているから, 明らかにA∩Bに等しい.

開集合族Tは任意濃度個の合併について閉じているのでA∈T
閉集合の可算個の合併で表される集合をFσ集合族という. B∈Fσ
だからA∩Bという形の集合で尽くされるのはせいぜいT∪Fσ

ちなみに, 開集合の可算個の共通部分で表される集合をGδ集合という.
Fσ集合の可算個の共通部分で表される集合をFσδ,
Gδ集合の可算個の合併で表される集合をGδσ,
以下同様にFσδσδ…, Gδσδ…という.
このような操作だけでボレル集合全体が尽くされれば簡単であるが, そうはいかない.
このような操作で得たものの全体から出発して,
また加算個の共通部分,加算個の合併,…と繰り返していかなければならない.

>>339
否。
有界閉区間[a,b]上で定義された有界な函数がRiemann積分可能であることの必要十分条件が
[a,b]上殆ど至る所連続であることである

例えば、[0,1]上の函数fをf(x)=1/√x (x≠0), 0 (x=0)は[0,1]でRiemann積分可能であるが
[0,1]上有界でない

という例があるため、有界函数であり、a.e.で連続であることは
Riemann積分可能であることの十分条件ではあるが必要条件ではない

ついでにkingが阿呆だということも判明した

すまん
勘違いしてた
>>339は正しい

kingは確かに阿呆だが学部卒業程度の知識はある
それ以上の能力や知識は全くなさそうだけど。

> 342 ：１３２人目の素数さん：2009/02/23(月) 15:58:13
>>>341
> A=∪_{i=1}^∞ t_i, B=∪_{i=1}^∞ t_i^cとすると, その集合は
> A∪B∩A∩Bと書かれているから, 明らかにA∩Bに等しい.

(∪_{i=1}^∞ t_i )∪(∪_{i=1}^∞ t'_i^c )∩(∪_{i=1}^∞ t''_i)∩(∪_{i=1}^∞ t'''_i^c) (但し,t_i,t'_i,t''_i,t'''_i∈T)
と書きたかったのでした。


> ちなみに, 開集合の可算個の共通部分で表される集合をGδ集合という.
> Fσ集合の可算個の共通部分で表される集合をFσδ,
> Gδ集合の可算個の合併で表される集合をGδσ,
> 以下同様にFσδσδ…, Gδσδ…という.
> このような操作だけでボレル集合全体が尽くされれば簡単であるが, そうはいかない.
> このような操作で得たものの全体から出発して,
> また加算個の共通部分,加算個の合併,…と繰り返していかなければならない.

分かりました。ありがとうございます。

Reply:>>343,>>345 ついでに、私に国賊が来ない場所を教えろ。

>>347
精神病院

Reply:>>348 どの精神病院か。

ちょっとお伺いします。
Fatou's theorem,
Monotone convergence theorem,
Dominated convergence theorem,
Fubini's theorem
はσfiniteでなくても成立するんですよね?

>>350
Fubiniはあまり丁寧に考えた経験がないので即答できないが、
他のは大丈夫のはず。

なぜなら、Monotoneは測度のσ加法性が直接遺伝したもの
（測度段階でもσ加法性とMonotoneが同値であることに注意。
Monotoneと言わずに「測度の連続性」と呼ばれるが）。
そしてFatouとDominatedはMonotoneのcorollaryだから。

ただRiesz流（日本だと溝畑流、測度収束とboundedを基礎にする）だと
有限測度空間から無限測度空間に拡張する関係上、σfiniteを仮定して
しまっているかもしれない。

σ有限が要るのは、測度と積分を結びつけるところじゃないかな。

たとえば、測度から積分を定義する場合、単関数の積分がまず定義されるが、
単関数を特性関数の線形結合と定義するとき、

(1)測度∞の集合の特性関数も参加させるならその積分が線形結合の表示の仕方によらずwell-definedであることに、

(2)参加させないならそのような関数の積分が近似単関数列によらずwell-definedであることに、

σ有限が必要になると思う。 （>>162-173もこれに関連した話）

ちなみに測度とは無関係に積分を汎関数として定義するダニエル流だと、
monotoneは積分の公理に組み込まれているので（具体例ではリーマン積分の時点でディニの定理が働いて成り立つので）、
FatouもDominatedも問題なく成り立つが、積分から逆に測度を定義する段階で、σ有限が必要になる。
例：ttp://sss.sci.ibaraki.ac.jp/teaching/integral/int2007.pdf

>>350
σ有限でないと「直積測度」を一意的に定義できないから, Fubiniはstate自体が出来ない.
他の収束定理関係はσ有限不要.
測度空間が与えられれば, (σ有限でなくても)それにもとづいてルベーグ式に積分を定義でき,
各収束定理も成り立つ.

>>352
単関数の積分のwell-definednessにσ有限は必要ない.
ただしそうやって最終的に定義された積分が「自然」なものかどうかはわからない.

Daniel式の積分から逆に測度を定義するときσ有限を要請するのは,
その測度から再定義したルベーグ式の積分が元のDaniel積分と一致するようにするため.

(小谷の本の演習問題で紹介されている例)
X=[0,1], f(x)=xとし, L={αf;α≧0}, I(αf)=αと定義すれば,
(L,I)は>>352のpdfの意味で「積分系」となる.（小谷では「初等積分」と呼んでいる）
これをもとにしてinfで外測度Γを作ると, Γに関するカラテオドリ可測集合は
φ, X, {0}, (0,1]の4つだけ!となり, Lの関数はこの可測集合族についての可測関数でない!
ちなみにA⊂Xの外測度はΓ(A)=1/infAなので, X,{0},(0,1]の測度はどれも∞. だからσ有限でない.
またこの例に>>352のpdfの理論展開を適用すると,
L↑はLに「X上いたるところ∞」という関数が加わるだけ, L↓は変化無し, L1=Lとなり元のまま.
そして 1_A∈L↑ という定義での可測集合はφのみになってしまう.

連投スマソ.

>単関数の積分のwell-definednessにもσ有限は必要ない

について, 何冊かの本での単関数の積分の定義がどうなっているか
>>162-173の例を念頭において見てみた.
(ふつうこの辺は「自明」って感じで読み飛ばすので, 丁寧に見たことなかった.)

伊藤清三では, 単関数を
f(x)=Σ_{i=0〜n} α[i] χ_E[i](x), α[0]=0, α[i]>0 (i≧1), E[i]∩E[j]=φ (i≠j)
と書いて, その積分を
∫fdμ= Σ_{i=1〜n} α[i]μ(E[i])
と定義している.
・積分に関与しないα[0]をわざわざ単関数の定義に入れていることについては
注で「後の補題の記述の便利のため」と書いている.
・E[i]としてφは排除されていない.
・この定義では0×χ_Ωもa×χ_φも単関数となり, いずれも同じ関数0となるが,
後者の積分値は問題なく0, 前者は和に参加する部分がない.
(積分の定義に「fでi=0しかない場合は∫fdμの右辺の和は0とみなす」と付け加えてあれば完璧だった)
・伊藤清三では0×∞を定義しないが, それは現れない.
・積分が表現の仕方によらないことの証明は, i=0しかないケースを別に扱えば問題ない.
・測度∞の集合上で0でない値をとる単関数の積分値は(どのように表現しようとも)
∞なので問題ない(証明ではこのケースについても記述あり).

単関数の定義にα[0]の部分がない本もある(たとえば盛田).
・それだと0×χ_Ωなどは単関数ではないが, 0関数はa×χ_φとみなせばよい.
・μ(E[i])=∞の場合の注意は特にないが, well-definednessの証明は両辺を∞と思えばそのまま有効.

Fubiniの定理にσ有限は必ずしも必要でないと思う。
　
X を完備な測度空間、Y を任意の測度空間として
Z = X×Y の測度は直積Jordan測度から外測度Γを構成して B_X×B_Y を含む最小の完全加法族B_Zに制限したものとする。
Z 上の可積分関数 f(x,y) に対して
　(1) f(x,y) は x を固定すると y の関数として Y 上可測
　(2) ∫_Y f(x,y) dy は X 上可測
　(3) ∫_Z f dΓ = ∫_X ∫_Y f(x,y) dy dx
が成り立つ。
ハズ。
　
X が完備である点と、f≧0 であっても f の可積分性を要求するところが普通のFubiniの定理との相違点。

X の完備性は不要。
(2) の∫_Y f(x,y) dy は X 上a.e可測で、その零集合上では0とみなしておく。
つまり可積分ならFubiniの定理はσ有限でなくても普通に成り立つ。

ちょっと質問です。

(X,M,μ)を測度空間でf,f_n:X→[-∞,∞]の時,f_n≧0 a.eなら∫_lim_{n→∞}inf f_n dμ≦lim_{n→∞}inf∫f_ndμ
の正誤判定で非負関数では積分すると無限大になる場合は積分不可能というのですよね。
たからlim_{n→∞}inf∫f_ndμの積分記号は定義されないのでよって偽と思ったのですが
正解は真でした。積分不可能でも積分記号を使っていいのでしょうか?

あと,ルベーグ積分の本で内容の半分以上は一般の測度での積分の話があったりします。
なのにタイトルはルベーグ積分となってたり,,ルベーグ積分は測度がルベーグ測度の時の積分の事ですよね。
一般の測度の積分は何積分と呼ぶべきなんですか?
測度積分?

>>357

言いません。無意味な質問です。いいえ。ルベーグ積分。

>>357前半
1、まず「可測関数」か「非可測関数」かという分類がある。ふつう前者に対してしか積分を考えないから
「積分不可能」と呼ぶとすれば後者が該当するといえるが、すでに呼び名があるからそうは呼ばない。
2、可測関数はさらに「積分確定」か「積分不確定」かに分類される。非負可測関数はすべて積分確定。
3、積分確定の場合をさらに積分値が有限か∞かに応じて「可積分」と「可積分でない」に分類する。
前者の呼び名も「可積分」であって「積分可能」でないことに注意。

　結局、ルベーグ積分の場合には「積分不可能」という言い方はどこにも出てこない。>>108も参照。


>>357後半
古い本だと「ルベーグ式積分」などと呼んで、ルベーグ自身が最初に考えたものより
一般化されているニュアンスを出してたりもするが、
いずれにしろ、積分の形容詞「ルベーグ」は測度でなく方法論に対してついている。

測度がルベーグ測度の時のルベーグ積分は「測度がルベーグ測度の時のルベーグ積分」と言う。

> 358
> 359

どうもです。

>>>357前半
> 1、まず「可測関数」か「非可測関数」かという分類がある。ふつう前者に対してしか積分を考えないから
> 「積分不可能」と呼ぶとすれば後者が該当するといえるが、すでに呼び名があるからそうは呼ばない。

ふむ。

> 2、可測関数はさらに「積分確定」か「積分不確定」かに分類される。非負可測関数はすべて積分確定。

因みに"積分確定な"は英語で何と言うんですか? "可積な"はintegrableですよね。

> 3、積分確定の場合をさらに積分値が有限か∞かに応じて「可積分」と「可積分でない」に分類する。
> 前者の呼び名も「可積分」であって「積分可能」でないことに注意。

つまり,ルベーグ積分では"積分可能"って用語は使わず"可積"という用語を使うんですね。

非負可測関数→積分不確定
↓
積分確定→不可積(∞の積分値)
↓
可積(有限の積分値)

ですね。

> 　結局、ルベーグ積分の場合には「積分不可能」という言い方はどこにも出てこない。
>>108も参照。

了解。

>>>357後半
> 測度がルベーグ測度の時のルベーグ積分は「測度がルベーグ測度の時のルベーグ積分」と言う。

うわ、面倒くさ。

>>360
まだわかっとらんわ。数学向いてないな。

>>360

違います。
違います。

他人のレスをちゃんと読まないなら、もう書き込まないで下さい
迷惑です。

>>360

↓→は樹形図みたく2つに分かれるという意味として、正しくは

可測関数 →積分不確定
↓
積分確定 →可積分でない(∞または-∞の積分値)
↓
可積分(有限の積分値)


>因みに"積分確定な"は英語で何と言うんですか? "可積な"はintegrableですよね。

日本語の本では「積分確定」と書かれることが多いが、「積分不確定」という言い方は
それほど一般的ではない。日本人は漢語で短くいうのが好きだから「積分確定」と呼ぶが、
要するにその場合しか積分を定義しないので、英語では素直に「積分が定義される」とか
「ただし少なくとも一方は有限とする」と述べるだけで名前はつけないんじゃないかな。

integrableは「可積分」（形容詞だが日本語では「〜is integrable.」→「〜は可積分.」,
「integrable function」→「可積分関数」という感じで、「な」がつくケースはあまりない）。
「可積な」という言い方もほぼしない。「不可積な」とは絶対に言わない。

> 他人のレスをちゃんと読まないなら、もう書き込まないで下さい
> 迷惑です。

すんません。

> ↓→は樹形図みたく2つに分かれるという意味として、正しくは
>
> 可測関数 →積分不確定
> ↓
> 積分確定 →可積分でない(∞または-∞の積分値)
> ↓
> 可積分(有限の積分値)

あっ。そうか負の場合も考えんといかんのでしたね。
いつも非負非負言ってるからつい。。。


>>因みに"積分確定な"は英語で何と言うんですか? "可積な"はintegrableですよね。
> 日本語の本では「積分確定」と書かれることが多いが、「積分不確定」という言い方は
(snip)
> 「可積な」という言い方もほぼしない。「不可積な」とは絶対に言わない。

ふーむ。参考になります。

measurable,not measurable
integral is definite,not definite
integrable,not integrable(summable,not summable)

「可積分」と「積分可能」は何が違うのですか？
日本語としては同じように思えますが。
単に慣習的に「可積分」という呼び方の方が使われていて、
「積分可能」という呼び方は使われない、と言うことですか

>>367
まあ慣習と言えばそう。
「積分可能」という日本語は、そうでない場合を「積分不可能」と言うという誤解を招きやすい。
>>359にあるように「積分不可能」という日本語のニュアンスはルベーグ積分においては望ましくない。
だから、単に（積分値がちゃんと定義されている関数の中から）さらに∞でない場合のみ取り出す
（主に距離空間としての関数空間を作る都合で）だけのことだという気持ちをこめて
「可積分」と言う習慣になったのだろうと思う。

（積分よりもっと本質的な）測度の場合を考えてみればわかる。
測度を測れない（非可測な）集合と、単に有界でないだけの集合。
後者を測度論ではあまり特別扱いしないだろ？

個人的には「可積分」という言い方もあまりよくないと思っている。
たしかに、「日本語として同じように思える」し。（ただし、慣習には従うべき。）
ルベーグ積分論までに、さんざん「可能」「不可能」の用語イメージを刷りこまれてるからね。
（「リーマン積分可能」とか「微分可能」とか）
しかしルベーグ積分における「可積分」「可積分でない」は、
たとえば初等解析における「有界」「非有界」のイメージに近いので、
なんかそんなような用語のほうがよかったんじゃないかなと。

ベテランになれば単に「L^1」（エルワン）と言うようになるけどｗ

>>368
詳しく教えてもらいありがとうございます。

そういえば「可積分」というのは「p乗可積分」のp=1の場合に過ぎないんですね。
可積分関数と呼ぶよりL^1-関数と呼ぶ方が良さそうですね。

Xを全体集合とする。μ*を外測度とする。N:={E;E⊂X,∀A⊂Xに対して,μ*(E)=μ*(A∩E)+μ*(A^c∩E)}
M:={E;E⊂X,∀A⊂Xに対して,μ*(A)=μ*(A∩E)+μ*(A^c∩E}
はそれぞれσ集合をなすか。

MはA=φならμ*(E)=0となり,Xが完備空間でないならEは可測集合にならないのでMはσ集合体にはならない。
でもNが分かりません。σ集合体になりそうですが…。
実際はどうなんでしょ?

>>370
Nってまんまカラテオドリの可測集合じゃん。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%96%E6%B8%AC%E5%BA%A6

どうでもいいけどカラテオドリって聞くとどうしても空手踊りと当て字して演舞をそうぞうする俺ガイル

違うわ。カラテオドリはMの方か。
>Eは可測集合にならないのでMはσ集合体にはならない。
これは間違い。可測集合はまだ定義されていないし、Mがσ集合体になるかどうかとは無関係。

いやMも違うわ。(^cの位置がｗ）
Mの要素は外測度0であることが必要、ってのは正しいね

Mの要素Eについて、A=φによりμ*(E)=0でなければならないが、
外測度の単調性よりμ*(A∩E)≦μ*(E)=0, μ*(A^c∩E)≦μ*(E)=0
したがってμ*(A)>0なるAが存在する限り, Mの条件をみたす集合は存在しない？
（要素をもたない集合族はσ集合体とみなしてもいいかもしれないが）

全てのＡに対して条件が成り立っていないといけないのに
特定のＡに対して成り立ってるだけでＭの元と決めつけている所と
Ｅがある可測空間の可測集合になるかどうかと
Ｍがσ集合体であることが関係ないことの二つが間違い。

空集合以外の集合の外測度が１。

Mについて:
μ*(X)=0ならば, M=2^Xなのでσ集合体になる. μ*(X)>0ならば, >>375の
とおりA=φのときの条件とA=Xのときの条件が矛盾するのでMに属する集合は存在しない.
そのときもMをσ集合体と呼ぶならば, Mはつねにσ集合体であることになる.

Nについて:
Xは空でないとし, μ*を>>377のように定義すると, Nの条件をみたすものは空集合のみ.
よって補集合について閉じないのでNはσ集合体でない.
しかしたとえば, Xを有限集合としμ*を個数測度とすると, N=2^Xとなるから,
Nはσ集合体. つまりNがσ集合体になるかどうかは一般には決まらない.
(そうするとNがσ集合体になるための(X,μ*)の(必要十分)条件が問題となるが,
それを考える気はない.)

>>378訂正
>Xは空でないとし, μ*を>>377のように定義すると, Nの条件をみたすものは空集合のみ.

× Xは空でないとし,
○ Xは少なくとも2つの要素をもつとし,

>>378再訂正
○ Xは少なくとも2つの要素をもつとし, μ*を>>377のように定義すると,
Nの条件をみたすものは空集合および1つだけの要素からなる集合.

もういいよ…

たくさんのレスありがとうございます。
反例まであげてもらって納得です。

測度が零,μ(Z)=0なら∫_Z fdμ=0の証明はどうするのですか?

>>383
∫_Z fdμは∫ (f・1_Z) dμで定義される.（1_ZはZの定義関数, ∫は全空間での積分）
f・1_Z = 0 a.eだから, 一般に「f=0 a.e. ⇒ ∫|f|dμ=0」であることを示せばよい.
（ちなみにこれは f=g a.e.⇒∫fdμ=∫gdμ とも同値で, みかけの明らかさと裏腹にとても重要な定理）

でその証明は案外面倒で, 積分の定義にまで戻る必要がある.
つまりfが定義関数の場合に確かめて, 単関数の場合がわかり, 最後に単関数近似で一般の非負可測関数の場合がわかる.
fが定義関数の場合だけ書いておくと, μ(Z)=0⇒∫1_Z dμ=0をいえばよいが, ∫1_Z dμ=μ(Z)は定義だから自明.

蛇足だが, 逆の定理∫|f|dμ=0 ⇒ f=0 a.e.のほうが証明は短い.
（「積分の諸性質」を既知としてだけど. チェビシェフの不等式を使う. ）

> 384
> f・1_Z = 0 a.eだから,

どうして=0と分かるんですか?

>>385
1_Z(x) = 0 ⇒ (f・1_Z)(x) = 0.
1_Z(x)=0 if x∈Z^c by definition.
∴ (f・1_Z)(x) = 0 if x∈Z^c.
∴ f・1_Z = 0 a.e. because μ(Z)=0.

Kingのアナル拡張定理

>>384
ヘルダー使って証明できないかな？無理かな？

>>388
一般定理「f=0 a.e. ⇒ ∫|f|dμ=0」のほうはともかく、
元々の「μ(Z)=0⇒∫|f・1_Z|dμ=0」のほうは、fがp乗可積分(1≦p≦∞)ならば
ヘルダーの不等式より∫|f・1_Z|dμ≦(∫|f|^pdμ)^(1/p)(μ(Z))^(1/q)
（1/p+1/q=1）で終わるね。
（p=∞は「有界」と解釈。「本質的有界」としたいところだが
それには問題の一般定理が必要だから循環論法になる）

でも主張の成立にfの（大域的）可積分性は必要ないはずだから、
たとえばX=[0,∞)でf(x)=e^xとかだと困るでしょ。

なるほど。
ヘルダー使うならクラスが限定されるということですか。
ご丁寧にありがとうございます。

なぜヘルダー使おうとするのかね
単関数の場合を示せば十分なのにめっちゃ的外れじゃん

∫_Z|f|≦∫_Z∞=μ(Z)・∞=0じゃだめなの？

>>392
∫_Z∞というのは正確に書くと∫(1_Z・∞)dμだよね。
(1_Z・∞)(x)はZ上で∞, Z^c上で0をとる関数になる。
・単関数のとる値に∞を認める場合は、これは単関数だから∫(1_Z∞)dμ=μ(Z)・∞は定義ということになるが、
そのやり方で∫(1_Z・|f|)dμ≦∫(1_Z・∞)dμ つまり積分の単調性を、一般的に示す証明の中で
>>384の議論も一緒にやったことになるんじゃないかな。

・しかし単関数の定義には∞値を認めないのが普通の流儀と思う。
それだと∫(1_Z∞)dμ=0は単関数近似で示すしかないから結局>>384と同じ。

・あるいは∫(1_Z∞)dμ = ∞・∫1_Zdμ を使ったことにするなら、
積分の線形性∫(cf)dμ=c∫fdμ を（0×∞の場合を含めて）証明する中で>>384をやったことになる。

結局、（0×∞=0を規約して）関数値やスカラー値に∞を認めた上で積分の単調性や線形性が証明済
という状態を仮定してよいなら、>>392でもいいことになる。が、>>384が間違いというわけでもない。
要するに「f=0 a.e. ⇒ ∫|f|dμ=0」の証明が単関数の場合に戻ってするしかないのは、
これが線形性や単調性と同レベルの“積分の基本性質”なんだということだろう。

>>391
いや、ふと思いついただけｗ
一般の証明なら本で読んだことあったけど。

>386,392,393

ありがとうございます。結局,0×∞=0と定義してある事を使うのですね。

>>395
>結局,0×∞=0と定義してある事を使うのですね。

たしかにその規約のもとで>>392の式は最終的には成立しているが、
大多数のルベーグ積分の教科書では

>スカラー値に∞を認めた上で積分の単調性や線形性が証明済という状態

じゃないから、>>383の「証明」に>>392を使うというのはへたすると循環論法になるよ。
すなおに>>384の定理を証明して使うほうがpureでしょ。

主にそんな正論を吐いても無駄ですよ。
数学を、理屈じゃなく勘で当てればいいパズルゲームだとしか思ってないですから。

> 396
384を読み返してみました。
386でひとつ分からないのですが
「1_Z(x) = 0 ⇒ (f・1_Z)(x) = 0」
となるのは何故ですか?

>>398
(f・1_Z)(x) = f(x)・1_Z(x)だから1_Z(x)=0なら全体も0.

ああなるほど, 1_Z(x)=0であるxにおいて, f(x)=∞である場合に, ∞×0=0の規約が必要だなあ
もしかしてそこが最大の'ひっかかり'だったのかな?

もし>>400だったのなら最初にそういうべきだけど。でないとレスが的外れになる。
∞を値として認めない流儀だってあるんだし。

∞×0=0というのは、 ただそう約束したと言うよりも、
ルベーグ積分における(関数値の)∞はすべて関数列の極限値として現れるから
>>172にあるように(有限値)×0の極限として0にするってこと。
f_n(x)=n on Zの場合に∫_Z f_n(x)dμ=0になることは問題なくわかっているんなら
∫_Z lim[n→∞]f_n(x)dμ = lim[n→∞]∫_Z f_n(x)dμ = 0
でなければならないから、∞値を認めるんなら∞×0=∞にするしかない。

∞値を認めない流儀の場合は、
>>384の定理により零集合上での関数値は積分値に影響しないことから
「lim[n→∞]f_n(x)=f(x)と書くにあたりf(x)が定義されない点ではf(x)=0とする」
などとやる。
（これだとZ上でf_n(x)が振動したりして極限値自体がない場合まで含められて都合がいい。）

他のスレで一度聞いたんですが
答えられる人が誰もいなかったんでこちらで聞き直します。
K=[0,1]/QとするとKはtotally disconnected
∫|χ_K|dm=1よりχ_K∈L1
ここでv≦χ_Kなるlower semicontinuous functionを考えると
任意の開集合はtotally disconnectedでないため
実際はv≦0がいえます。
よって任意の上のようなvとu≧fなるupper〜に対して
∫u-v≧1がいえます。
χ_KはVitali-Caratheororyの定理の仮定を満たしている(χ_K∈L1,f:real valued)
のに,なぜ下からlower semicontinuous functionで近似できないのでしょうか?

だれか説明できる方おねがいします。。。

>>402
> 答えられる人が誰もいなかったんで
こういうことは言わないほうが良いと思うよ。
それと、スレ変えて質問しなおすなら、向こうに取り下げると書いておこう。

>>402
ええと, 多分Baire関数とかに関係した話のような気がするけど,
fってのが突然出てきてて
>χ_KはVitali-Caratheororyの定理の仮定を満たしている(χ_K∈L1,f:real valued)
というのがちょっとよくわからないので,
Vitali-Caratheororyの定理とやらの主張を正確に書くか, 参考にした文献を教えてくれまいか.
（一様可積分性に関するVitaliの収束定理というのは知ってるが
「Vitali-Caratheororyの定理」というのは何のことか自信がない）

ひょっとして英文だったらそのままでもいいよ
というかそのままの方がありがたい

上下の半連続性について定理のステートメントを確認したほうが良い気がする

>>404 fはχ_Kの書き間違いです。。。

RudinのReal and Complex 2.25に乗ってる定理です。
　ちなみに上の反例(?)も同書同章の演習問題からのものです。(6)

ごめん, Rudin持ってないんで, >>407（か誰か持ってる人）ここに写して..

要するに、任意のL1関数は上から下半連続関数で、下から上半連続関数で、
積分値の意味でいくらでも近似できるって話なんだろう。
下から下半連続関数で近似できなくても不思議はないんじゃないか？

実際、Kを内側から測度の意味で近似する閉集合はとれるが、開集合はとれない。

>>409 そうですね、何の問題もなかった＾＾；

積分のconvolutionってどういう意味があるんでしょう？
フーリエ変換の一般化ですか？

>>411
何と何を畳み込むって？

きみとぼくのむんずと畳み込みにきまってるじゃん。

簡単なのかも知んないけど分からないので質問させてください。

(Ω,Σ,μ)を有限測度空間とし,f,f_n:Ω→[-∞,∞]は可測関数でもしf_n→f ae.で|f_n|≦1なら∫f_n→∫_fか?
という問題で
f_n:=sinx (-2nπ≦x≦2nπの時),0(そのほかの時)と定義したら∫fは存在しないので
結論∫f_n→∫fは偽なのでこの命題は偽だと思ったのですが真が正解みたいなのです。なんで
f_n:=sinx (-2nπ≦x≦2nπの時),0(そのほかの時)は反例にならないんですか?

>>414
ルベーグ測度による測度空間は有限測度空間ではない。

>>414　有限測度空間だから1∈L1（なぜならば∫1=μ(Ω)<∞)
あとはルベグの終息定理そのまま。

測度を有限に限らなきゃたとえばf_n(x)=1/nとか簡単な反例がいくらでもある。

>>414で「有限測度空間」をはずした場合は,
（|f_n|≦1だけでは∫f_nすら有限とは限らなくなるから,）
「∫f_n＜∞のとき」くらいを追加しておかないとトリビアルで面白くないな.
　もちろんそうしたとしても>>414の例が反例になるわけだが.

>>415の「ルベーグ測度による測度空間は」という言い方だとやや誤解を招くかもしれない.
（たとえばL^1[0,1]もルベーグ測度による測度空間だから.）
「Ω=R全体（要するに非有界区間）でμをルベーグ測度とした場合は」ということね.

>>416の例 f_n(x)=1/n は意図がよく分からんかった.
Ω=R全体で測度がルベーグなら, 定数はすべて可積分でないから, 最初に書いたトリビアルなケース.
だからわざわざ1/nにしなくても
　と思ったが, それなのに∫fの方は存在するようにしたということか.

>>414の設定で有限測度空間の仮定をはずし, ∫f_n<∞かつ∫f<∞でなおかつ∫f_n→∫fでない例を作れ,
とかにすると演習問題として面白いかも.

補足. >>414のsinxの例は, ∞値版の「単調収束定理」が成り立つ例になってる.

>f_n:=sinx (-2nπ≦x≦2nπの時),0(そのほかの時)と定義したら∫fは存在しないので

たしかに∫f は実数値としては存在しないが, 「∞に積分確定」だ.
そして「単調収束定理」は, 積分値が∞になる場合までこめて成り立つ.

>>414のf_nは単調増加だから, lim_{n→∞}∫f_nが∞に発散することと∫f=∞であることが確かに一致している.
（ルベーグ積分で∫f=∞の場合を「確定」として扱うのはこのため）

いや, |sin x|と勘違いした.
sin xだったら「積分不確定」だね.
失礼

> 400
> ああなるほど, 1_Z(x)=0であるxにおいて, f(x)=∞である場合に, ∞×0=0の規約が必要だなあ
> もしかしてそこが最大の'ひっかかり'だったのかな?

はい。そうです。


> 401
> もし>>400だったのなら最初にそういうべきだけど。でないとレスが的外れになる。
：
> （これだとZ上でf_n(x)が振動したりして極限値自体がない場合まで含められて都合がいい。）

どうもありがとうございます。これで見通しよくなりました。

R^dでの任意の開球Bに対して,m(B)/diam(B)^d (mはルベーグ測度)は定数になると聞いたんですがその値は何になるんでしょうか?

>>421
d次元単位球の体積。ググれば出る。

>422

π^d' / Γ(d'+1)ですかね。近似値は何になるのですか?

>>423
d' = d/2 ならそれで正しい。

近似値の意味がわからんが、πもΓも厳密な値がわかってるんだから、
適当な精度で計算すれば近似値になるでしょ。

>424

定数m(B)/diam(B)^dに名前は付いているんですか?

>>425
「d次元球の体積」でなんか不満？

>「d次元球の体積」

えっ? これ体積なんすか? m(B)/diam(B)^dはR^d内の任意の開球Bで定数になるといってあるのだから
これが体積なら大きい球も小さい球も体積同じになってしまうんじゃ...

>>427
d次元単位球だな。
diam(B) で割って正規化してんだから大きい球でも小さい球でも同じになるのは当たり前。

ルベック積分って数学科をでた人なら常識か？
オレの大学では習わないんだが…

>>429
習う・習わないは高校まででおしまいだよ。

うちではその講義は用意されているけど、それを取らない人でも
解析系を専門にするつもりがあるなら自習してるはず。

>>430
大人っぽい意見に感じました。
そうですね大学ですもんね…

数学科でルベーグ積分やらないなんてとこあるのか

数学科といっても教育学部の、です。僕たちのところではやらないんです。
まぁ、でも先生と2ちゃんを活用して自習していこうと思います。

最近政令指定都市になった場所にある某理系私大の＊＊数学科にはなかったような

>415

収束定理そのままですね。納得です。

μをR上のBorel測度とする。
F(x)をCantor関数(伊藤清三p43)としμ((a,b])=F(b)-F(a)とするとこのμはルベーグ測度mに関して絶対連続でない事が示せません。
E∈B(R)に対してm(E)=0ならμ(E)=0
どのようにして示せますか?

>>433
うちの教育学部数学科は2年で必修になってる。
ただし授業に出ても、おれのような落ちこぼれは
理解できないまま卒業へと。。。

そういえば、むかし東大の経済学部では、
学部1年で測度論を習得するのが必須だったそうです。
でも最近の東大生は馬鹿なので、文系はおろか、
理系でもルベーグ積分わからないまま卒業するそうです。

絶対連続でないのだから
あるEが存在して、m(E)=0かつμ(E)＞0
を示すんじゃないの

2年で必修？
東大でも三年前期だぞ。

東大が何でもかんでも早いわけではあるまい

もう３０年も前の話だが、京大で学部１年前期の確率･統計（必修）で、
講義内容がいきなり測度論〜ルベーグ積分だった。
教員の名は忘れたが、そのときのノートが今も残ってる。
教科書は全クラス共通で小針の「確率統計入門」だったが、
自分のクラスでは教員が勝手にやったのだろう。
理学部が学科に分かれてなくて、１年生は語学の選択でクラス分けされていたが、
フランス語は１クラスのみで、そのクラスは数学志望が多かったからかも。
教科書にない話なので、溝畑買って自習したがけっきょくあまりわからなかった。
わかった１年っていたのかなあ。

まあおかげで３年の実解析で再度やったときは多少よくわかった。
そちらでは直積測度からグラフの下の測度として積分を定義する方式だったりしたが。

確率を教えるって速度論を基礎におかないと教えずらいのは確か

入学したばっかりじゃFellerレベルのことも知らないだろうに
測度論やったってフーリエ変換や法則収束がすぐわかるわけでもなし

> 438
> 絶対連続でないのだから
> あるEが存在して、m(E)=0かつμ(E)＞0
> を示すんじゃないの

そうでした。それはどうやって。。
どんなEを採ればいいんですか?

>>440
と言うより、東大など進振りあるところは、
大抵の科目は無いところよりは遅い
昔は兄弟や早稲田は進振りが無かったので、
進度が早かったと聞いている

今測度論を勉強してるけど、全く面白くない。
一体何が面白いの？

面白い面白くないの話ではない。
いくつかの概念の見方が多少変わるかもしれないが
それを楽しむもよし、嫌悪するもよし、ご随意になさるが宜しかろう。

>>444
カントール関数扱ってるんだからm(E)=0ったらカントール集合をとるっきゃないでしょ
とか言うと今度は「μ(E)>0はどうやって示せますでしょうか」とか言うんだろうな..

>>446
集合の大きさを測るという行為の奥深さが面白い
ボレル集合のめくるめく豊富さとか、その想像を絶する複雑さとか、
簡単だが思いもよらないアイデアでそのすべてに測度が付与できてしまうところとか、
それでも非可測な集合が残ってしまうところとか、
等測包、等測核、零集合の不思議さとか

測度論が全く面白くないのは数学には向いてないということ。ああいう厳密な話を面白いと思うようじゃなきゃ研究はできない。

>>447-448
なるほど。
参考にして勉強してみるよ

>>449も

いやです

f:[a,b]→R^nでf(t_1)=f(t_2)⇒t_1=t_2ならfはsimpleであるという
と習ったんですがこれは単射の定義そのものではsimpleと単射の違いって何すか?

453です。
fは連続でf(t_1)=f(t_2)⇒t_1=t_2ならfはsimple
でした。

単射は英語だと
>injection《数学》 // injective // injective mapping // monomorphism《数学》
だし「simple」は無いな

>>453
それ、simpleが掛かる語は写像ではないんじゃねーの？
その写像が連続単射であるとき、○○は単純であるという
って書いてあると思うんだ。

写像ってか曲線に関する用語でしょ

おそらく、Jacobianが退化してないことをsimpleといっているんだろう。
すなわち、y=f(x)で0=f(0)であるとき、ｆが単射写像であるための必要十分条件がf'(0)=/=０　ということで、
そのことは　f(x)=0　の解である　x=0　が一個しか現れないということ

>>453
修飾する先が違う。

f(x)=0　の解である　x=0　が一個(simple)しか現れないということ

>>457
零点に関する話だと主張している人が居ますよ？

文句あっか

>448
μ(E)>0はどうやって示せますでしょうか?

> 456
>>>453
> それ、simpleが掛かる語は写像ではないんじゃねーの？
> その写像が連続単射であるとき、○○は単純であるという
> って書いてあると思うんだ。

A continuous curve γ:[a,b]→R^d is said to be simple if γ(t_1)≠γ(t_2) whenever t_1≠t_2.

と書いてあるのですが「写像fは[a,b]でsimple⇔fは[a,b]で連続&単射 」という解釈でいいんですよね。

>>463
伊藤清三p43にμ(E)=1って書いてあるじゃん

こういうことなんじゃないの？

curve Gamma は[a,b]でsimple⇔fは[a,b]で連続&単射

単純なやつじゃの。

>>464
> 「写像fは[a,b]でsimple⇔fは[a,b]で連続&単射 」という解釈でいいんですよね。

絶対わざとだとおもうけど、simpleが掛かる語はcurveであってfunctionではない。
「連続曲線γが単純」というのは「γが写像として単射」であるときに言うと書いてあるだけ。
曲線γの連続性はγが写像として連続であることによって定められるので、
単純曲線の定義条件を必要十分にしたければ

「[a,b]上の連続曲線γが単純」⇔「γは[a,b]上定義される写像であって、写像として単射」

としなければならない。そしてそもそも、「写像γが単純」という表現をすることは
この定義のもとでは許されてないし、普通そんな表現をする奴も居ない。

おっと抜けがあった

単純曲線の定義条件を必要十分にしたければ

「[a,b]上の連続曲線γが単純」⇔「γは[a,b]上定義される連続写像であって、写像として単射」

としなければならない。

>>464
数学では入れ物だけは同じだが、その入れ物に入る構造が異なるといった対象が
いくらでもでてくる。だから、そこにある言明がどういうクラスやカテゴリに関するもの
であるのか、ということに無頓着では数学は出来ない。
つーか、数学以外でも困るだろ、それじゃ。

>466 to >470

詳細なご説明感謝いたします。

Real Analysis: Theory of Measure And Integration
J. Yeh
読んだ人いますか？

複数ヶ所に書いてるのに誰もレスなしか かわいそうだな…
おれも読んでない(・ω・;)

今、初めてルベーグ積分の定義を
勉強しています。むずいけど頑張る！

定義を勉強するとは、深いな……

MEASURE THEORY
http://www.essex.ac.uk/maths/staff/fremlin/mt.htm

fremlin先生の本、TeXのソースごと公開されてるんですね。
Volume 3をtexにかけると、ちょっとエラーでたけど。

Ｅ⊂Ｒ(Ｒは実数全体の集合)
|Ｅ|e ;ルベーグ外測度
とします。
a,b∈Ｒとしたとき
|(a,b)|e＝|[a,b]|e＝b-a
が成り立つ。

という命題が解けません。考え方を教えてください・・・

>>477
ルベーグ外測度が開区間による被覆で定義されている場合
|[a,b]|e≦b-a は容易。
|[a,b]|e≧b-a にはハイネ-ボレルの定理を使う。
他の場合は、可算集合は外測度が 0 になることを利用し、上の証明を少し修正すればよい。

>>477
[a,b]はコンパクトだから、被覆は有限個で済む。
(a,b)の方は、[s,t]⊂(a,b)なる任意のs,tについて考え、これで近似する。

> という命題が解けません。

命題って解くものなんだっけか？
なんだか自分の日本語に自信がなくなってきたよﾄﾎﾎ

>>480
真偽が分からんという意味だよな。聞き方からして既にDQNな所が凄い。ユニーク過ぐる。

>>477
なんだここにもあった
マルチ乙

可測関数列の概収束極限関数は可測関数ですか？

>>483 そうです。
　もっと一般にf_n→fa.eならばf=ga.eなる可側函数の存在が言えます。

>>484
即レス、ありがとうございました。

>>485 ちなみにかなり強いこと
　f_nが収束する集合は加速でその上で収束関数は
　加速函数となる、が言えます。

009も顔負けなくらい、めちゃくちゃ強そうですね。

>>486
ありがとうございます。
参考にさせて頂きます。

測度って完備化したほうがいい結果が求められると思うんだけど
たいていの本は完備化しないで話進めてるよね。
測度を完備化しないほうがいいこと(もしくはできない測度）てあるのか？

>>489
嘘こくな

有限加法的測度論を詳しく展開した教科書おすえて

いまR＾ｎ上で測度の構成について学んでいるのですが、
ボレル集合の価値というか位置づけがいまいちよくわかりません

可測集合にたいしてはルベーグ外測度で正確に測度を測れているので、
可測集合に対して測度の理論を深めていくべきだと感じたのですが、なぜがボレル集合
という概念が出てきて、ボレル集合に対して議論が進んでいるようなのですが、
どうボレル集合を知識体系の中に
位置づけていいのかわかりません。誰か助けてください
（ボレル集合は可測集合であることは分かっています）
長文ですみません。

>>492
その流れで出てくるボレルシグマ加法族
＝開集合を含む最小のシグマ加法族

開集合は関数の連続性など位相的性質の導入に必要

とりあえずそういう位置づけで納得してもらえるでしょうか？

>>493
レスありがとうございます。
ボレルシグマ加法族は、位相的性質をもつ測度空間のモデルを作る
フィールド（Xの部分集合族）ということなのですね

>>494
はい
解析やってたら
積分してから微分したいでしょうから
位相的性質ほしいでしょ？

もう一つの位置づけの可能性
492 でいう「 R^n の測度」がもし一般のシグマ加法的測度の意味でなく
狭い意味のルベーグ測度（単位n次元立方体の測度が1）を指すならば
単位立方体を全て含む最小のシグマ加法族はボレル集合族なので
「『常識的な長さ』を測度として定義できる最小のシグマ加法族」として
ボレル集合族を位置づけてもよいでしょう

選択公理を使うと、ルベーグ可測集合全体≠ボレル可測集合全体　になり、
ルベーグ可測だがボレル可測でない集合が作れる。
選択公理を認めない場合、ルベーグ可測集合全体＝ボレル可測集合全体
になる。

選択公理の否定だけでいいんだっけ？

>>495
>>496
いろいろ教えてくださりありがとうございます。
おかげで頭の中の知識が整理されました。
みなさんのようになれるようこれからルベーグの勉強をがんばっていきたいと
思います。本当にありがとう。

>>496
出鱈目。

選択公理なんて、選択公理なんて、大嫌いだ！

ルベーグ積分理解すれば彼女できますか？

ソロベイの公理を好きになった方が「彼女ができる」んじゃないでしょうか

ルベーグ積分って痴漢積分は出来るんですか？
例えば、φを可積分関数、ｆを連続関数としたとき、
∫φ(ｘ−ｙ）ｆ（ｙ）ｄｙ＝-∫φ(ｚ)ｆ（ｘ−ｚ）ｄｚ
は成り立ちますか？

いやーん、エッチー

>>501

ルベーグ積分が理解できなければ彼女なんて出来ない。

「ルベーグ積分が理解出来る事」と「彼女が出来る事」は
独立事象だと思いますね、
まさか背反じゃないんでしょうが・・・

ジョルダン外容量とルベーグ外測度をならったのですが　…（A：集合　とする）

ジョルダン外容量（C（A）とする）：Aを被覆するのに使われた一辺εの基本正方形の面積の総和
　　　　　　　　　　　　　　　　　のうち最も小さい値をCε（A）とすれば、　
　　　　　　　　　　　　　　　　　C（A）＝inf{Cε（A）; ε>0}　

ルベーグ外測度（ｍ（A）とする）：V（Ij）:基本図形Ijのｎ次元体積　、とし　
　　　　　　　　　　　　　　　　　ｍ（A）＝inf{�之（Ij） Ij:基本図形　、でその加算個のIｊでAを被覆する}

と定義しますよね。このときルベーグ外測度のほうでは、ただAを被覆すればいいだけだから
ジョルダンの「基本正方形の面積の総和のうち最も小さい値をCε（A）とする」
に相当する部分がないように思えるのですが、どうかんがえればいいのでしょうか？
長文申し訳ございません

>>507
＞ｍ（A）＝inf{�之｡｡。

と書いてあるから

＞総和のうち最も小さい値

を取っているけど、疑問点はどこでしょう

レス遅れてすみません

�之（Ij）は Ij:基本図形　、でその加算個のIｊでAを被覆したときにもっとも
小さいものとする、そしてinfをとらないと、ジョルダンの定義より少し甘いような
気がするんですが…

ちなにみ　Ij:基本図形　とはｎ次元左半開区間（の直積）のことです

＞ジョルダンの「基本正方形の面積の総和のうち最も小さい値をCε（A）とする」
に相当する部分がないように思えるのですが

infとってんだから、別に無くてもいいんじゃないの？

>>509
｛１，２，３，４｝の最小値より｛２，３｝の最小値のほうが小さいと？

infとったらいいなら、Cε（A）は
Cε（A）：Aを被覆するのに使われた一辺εの基本正方形の面積の総和（最小でなくても）
でもよくないですか？

>>512
証明しろ

何いってんの

>>512
何を動かしたときのinfなのかまったく無視して適当なこと言ってんじゃねーぞゴミカス

>>507,509
やっと気にしていることがわかりました

C(A)のほうは
まずεを固定してその中で最小を求め
さらにεをかえてもっと最小に向かう（通常ε→０で実現）

ルベーグは
εを決めず大小取り混ぜて覆う中から最小を求める

なのでルベーグのほうが選択肢が多く（大きさを揃えなくて良い）
ルベーグのほうがむしろ小さいです
C(A)はinfを２度取っていて小さいように見えるかもしれないけど
覆う素材に制限を加えているからむしろ小さくなりにくいです

>>516
丁寧な解説ありがとうございます。
その通りです、それで悩んでいました。
やっとわかりました。
ありがとうごさいました。

質問です
集合列{A_n}があるとき、下極限と上極限が一致するならば
その集合をこの集合列の極限と定義しますが
2重集合列｛A_{mn}｝にたいしてはその極限というものは定義できるのでしょうか？
もし定義できるなら、その記述のある文献を教えてください。

>>518
２重添え字も１列に並べられるから
{A_n} の場合に帰着させる

常識であって特段の文献を参照しない
論文で断らなくても文句は言われない

やはりそうですか
自分も多分そのように定義するのだろうとおもいつつ
上極限、下極限がNからN×Nへの全単射のとり方によらない事を
証明するのが億劫だったんですけどやってみます
ありがとうございました。

>>520
そもそも証明する必要がないだろ、トリビアルだ
証明も背理法使えばすぐだし。

無限個のAiに入る元全体が上極限で、有限個を除いた全てのAiに入る
元全体が下極限なんだから、ほとんど自明じゃないの？
背理法使うのでさえ大袈裟に見える。

>>522 x∈limsupA_n⇔x∈Ai for infinitely many i　などは
　自明な命題ではないので証明は必要です。

符号付き測度の微分（ラドン・ニコディム微分）と超関数と見なしたときの微分は同じですか？
自分には符号付測度論より、超関数論の方がスッキリしていて良いと思うのですが
符号付き測度論に拘るのは何故でしょうか？

>>524 δ<<m(ルベーグ測度)じゃないんだから　({0}はδでnull setでないがmではnull set)
　dδ/dmなんてそもそも定義できない。

可算個の区間の和に零集合を加えた物の域を出ない
と書くと可測集合の範囲が案外狭いように思えてしまう

確かにもっとしっちゃかめっちゃかな集合があってもいいのにね・・・

あるよ。

例えば？

>>529
Besicovitch set

どんなのそれ？

http://en.wikipedia.org/wiki/Kakeya_set

ハルナック集合「>>526の域は超えている。」

ハルナック集合は測度0の集合じゃないのか

>>534
可測集合には違いない

ルベーグ可測な集合はボレル集合とゼロ集合のユニオンで表される。
ボレル集合はFσとゼロ集合の和で表される

何でもまとめてゼロ集合扱いするのがいけない

> 何でもまとめてゼロ集合扱いするのがいけない

それなら、ゼロ集合が可測集合となるような測度を導入すれば良いだけの話
ただ、どの程度意味があるのかは知らんが

完備化

非可測と可測の中間的集合ってないの？

>>538
>ゼロ集合が可測集合となるような測度を導入すれば良い

新しい測度を導入しなくても可測。

零集合は0という測度を持つんだから当然可測
非可測集合の定義は「可測でない集合」なんだから可測集合と非可測集合の中間なんてない

……と思ってたんだが違うの？

ファジー測度じゃね？

ていうか、非可測な集合があること自体が気に入らねーーー

>>538
ハウスドルフ測度がある意味それじゃん

>>545
ハウスドルフでも荒過ぎる

区別して何がしたいのよ

>>541
>>542
零集合の定義は普通「測度0の可測集合の部分集合」では？
なので零集合は可測とは限らない。
だから完備化が意味を持つ。

μをR^1のルベーグ測度として、ルベーグ可測集合全体をFとすれば、
(R^1,F,μ)は完備測度空間。この直積を考えて測度空間(R^2,F×F,μ×μ)を
得るが、これは完備でない。

実際、N⊂Rをルベーグ零集合、M⊂Rをルベーグ非可測集合とするとき、
M×N⊂R×NでR×N∈F×Fかつμ×μ(R×N)＝0となるので、M×Nの測度も
0だろうと思いがちだが、そもそもM×N∈F×Fでは無いので、この測度空間に
おいてはM×Fの測度は定義されない。

A,Bが可測集合ならA∩Bも可測集合。しかし、片方が非可測集合ならどうか？
この場合、A∩Bは可測集合かどうか分からない。

今、Aは可測集合で測度は0、Bは非可測集合とする。このとき、A∩Bは
Aの部分集合だから、A∩Bもまた測度は0だろうと思いがちだが、そもそも
A∩Bが可測集合でないと測度は定義されない。
>>549の例では、A＝R×N、B＝M×Rに相当する。

零集合は測度が0の集合でしょ
完備の定義は任意の零集合の部分集合が可測

完備化の甘美な罠

690

新井の『ルベーグ積分講義』を勉強しています
二次元ハルナック集合をH=∩_n=0^∞H_nとして、
H_nのジョルダンの意味での外測度C(H_n)≧(1/4)(1+(1/2)^n)^2
となっていますが、これが等号じゃなくて不等号である理由はなんでしょう？

等号にしなければならない理由のほうが無いだろ

C(H_n)＝(1/4)(1+(1/2)^n)^2

これ間違ってます？

証明してみればいいでしょう？
できるなら合ってる、できないなら間違ってる、それだけのことだし。

しかしジョルダン可測でないことを言いたいだけなら等号だと言う必要はないし、
もし何が何でも等号じゃなきゃダメなんだと思うのならばそれは病気だ。

普通に十字に1/4ずつ取り除いていったら、
n番目の面積は(1/4)(1+(1/2)^n)^2になるわけで、
なぜジョルダン外測度で不等号になるのかがわかりません・・・

しかしジョルダン可測でないことを言いたいだけなら等号だと言う必要はないし、
もし何が何でも等号じゃなきゃダメなんだと思うのならばそれは病気だ。

>>558
面積とジョルダン外測度は別のものだということは分ってて言ってるのか？

もう一回考えてみます。。。

>>560
面積って何だ？　R^2のルベーグ測度？

たぶんそうなんじゃないの

R^2のジョルダン測度

ジョルダン可測な集合のジョルダン測度とルベーグ測度は同じ

測度と外測度は一般には一致しない

測度論ってなんであんなに難しいの？
しかもマスターしたところで何の役にも立たない。
証明は追えるんだが、右から左に抜けていく。

役に立たないということはないと思います。

抽象的なところがいいんじゃないの？

なぜ、非可測な集合が存在するのですか？　とても、気持ち悪いです。

その気持ち悪さが魅力

いやです。吐き気がします。

嫌なら勉強しなくてもいいよ

測度論ってそんなにむずいか？
具体的にどの辺の定理とかが難しいと思われているのよ

ある本に区間I=[0,1]の有理点全体の集合の測度を求め形を書いて有るのですが、
有理点q1, q2,...をε/2, ε/2^2,...の半開区間で覆って和集合Q(ε)→0
と外測度を導いています。ここまではいいのですが次に内測度を求めるときに
無理数は可算個ではないので外測度はQ(ε)^cは区間全部を覆うので値は1。また
Iの測度は明らかに1なのでQの内測度=|I|-Q(ε)^c=1-1=0
よって外測度=内測度=0　と導いています。そこで疑問なのですが
無理数が可算個ではないならば何故外測度はQ(ε)^cは区間全部を覆うのでしょうか？

>>575
有理点の集合の外測度０とわかった時点で
測度の正値性から内測度０と決まるので
後半の無理数の集合に関する議論はそもそも無意味

非可算だから外測度１というのも嘘
ルベーグ測度０の非可算集合の例として
教科書の最初のほうにカントール集合が載っている

ココでちょっとしたメッセージや
★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
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★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
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★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★

小沢先生、頑張って下さい。私は最後まで味方になります。

猫

214

測度論がムズイので、測度論を使わないで積分論を構築するやり方を理解しようと
したけどそれも挫折。
結局、測度論から積分論へと突入するやり方で理解した覚えがある。

点集合および位相の議論　の難しさ　＜　可測関数の議論　の難しさ

という凡人にとっては当たり前のことに気がついた次第。
（というか、可測関数の議論を、点集合および位相の議論に帰着させるという
やり方が普通のやり方だということ）

非可測集合（の存在）は、選択公理が当たり前に見えてくると違和感がなくなってきた。

天才は２ちゃんではなくて研究して下さい。アホはワシだけで十分でっせー

猫

超準解析の技術を使えば
測度の構成は可成り簡単になるよ。

では易しい問題を一つ。
R の内点を有しないコンパクト集合 X で、
ルベーグ測度正なる物が存在する。

ε十分小さくとってQ={q_n}として、
[0,1]-∪(q_n-ε/2^n,q_n+ε/2^n)
とかかな。

>>581 Loeb空間・測度と保測写像の考えですよね。
斉藤正彦さんの本に記述があったのかな。
測度論ができると次は（積分と）確率ということで

釜江著　超準的手法にもとづく確率解析入門　

なんかもそうなのでしょうか（私は読んでいないので確信は持てません）。

でも、私はこれ（＝超準解析による測度論の構築）に関して他人に
この勉強を持って勧められるほどの自信がありません。私には、これは
解りにくかったのです。

逆に、超準解析の基本がすんなり理解できる人にはお勧めかもしれません。

30年位先の学生は超準解析的手法で微積から
全部習うんだろうな、と思う。

>>584

>釜江著　超準的手法にもとづく確率解析入門　
>
>なんかもそうなのでしょうか（私は読んでいないので確信は持てません）。


ですね。まあ、Loeb 測度の構成自体は斉藤さんの本にも載ってますけど。
はたして「わかりやすい」かどうかは疑問ですね。超準的な世界と標準的な
世界の両方にまたがった構成ってのはなかなか「わかった」感じがしないのですよ。

まあ、それは（ラフな言い方になるけど）「全ての標準元を含む有限集合が存在する」
などという定理の「わからなさ」と根っこが同じような気がしますけどね。

ポストモダン解析学にある上半連続関数と下半連続関数を使って
ルベーグ積分を定義するやり方なら測度論を使わないと言えるのかもしれない

>>587
完全加法関数は測度と同等

ルベーグ積分を定義してそこから測度を構成する論法も有るらしいが

Rieszの表現定理を証明しておけば
有界線形汎関数
∫:C_0(R)→Rが定義する
双対元μ∈M(R)をルベーグ測度として定義することができる。

ルベーグの構想どおり

長さや面積の一般化として測度をまず考え
面積（測度）としての積分を考える
…

という順序がいちばんステキに思う

測度を後回しにしたい理由が見えない

C_0関数を定義域とする有界線形汎関数から可測関数を定義域とする有界線形汎関数へと拡張するにはC_0とCの稠密性、Cと可測関数全体の稠密性を用いて閉包を取ればいいの？

閉包って、作用素の意味での閉包です

ヘイ閉苞

ヘイ閉苞

nullpo set

非可測な集合が存在するのは、集合論が悪いからですか？　
それとも、測度の定義がまずからですか？

誰も悪くない
何もまずくない

・選択公理（ＡＣ）が強力な仮定である
・非可測集合の例は、構成的なものではない
の２つが（まずはぼんやりでもいいから）わかるようになればいいのでは？

次に、可算選択公理、従属選択公理（ＤＣ）、選択公理の関連が少し
見えてくると実関数論の陰の部分が感じられるはずです。
近藤基吉著　実函数論 (近代数学講座) 朝倉書店

バナッハ・タルスキーの逆理（の証明）を知ると、測度論と選択公理の関係が
よりわかってきます（くるはずです）。

つまり、選択公理が悪いということですね。

個人的な意見ですが、現代数学を展開する上で必要な公理であり
なにが”悪い”のかとかいう尺度で考えると間違った方向へ導かれるような。

田中尚夫著　選択公理と数学―発生と論争、そして確立への道

ぐらいを読んで見ると、２０世紀初頭の数学者達の混乱、現代数学にとって
どれだけ重要な位置を占めるか、などが読み取れて面白いよ。

必要悪もあると言いたいのかな？

イジメはよくないよ！

>>603
先生／
選択公理君は不良なんだよ。
退学処分にしてください！

俺の人生は、物差しなんかでは測れない。

杓子定規で測れない不良品はいらね。

ワシの価値とか人生はお金で測れますゥー
もうスグに金が無くなるのや
そやし誰か助けてェー

猫

ルベーク猫は、裁断してもいいぞよ

パンダを名乗る偽パンダは逝って良し

>>608
可測な範囲で裁断しないと大きくなって化けて出るぞ〜





あ
もともと非可測集合か

可測なお姉さんは好きですか？

>>611
電車で無断でお触りしたくなるくらい好きです。

つまらん独り言で埋めるな昆虫

爬虫類は昆虫ですか？

あまり　非可測集合　自体に気を取られると、測度論・積分論の本筋が
見えなくなるので、それはいいことではない。

「選択公理を認めると、非可測集合の存在が証明できる」
（ただし、その　非可測集合は、非構成的なものである）
ぐらい（の理解）にとどめ、測度論・積分論の理解に努める。

それがある程度到達できたら、公理的集合論に興味が湧いた段階で
”選択公理”周辺まで脚をのばせばいいかと。

質問です。
測度論の冒頭でつまづいてます。
「Fが集合体であり単調クラスであるならばσ集合体である」の証明がわかりません。
A_1,A_2,...∈Fとしたとき、
B_n=∪_{i=1}^n A_i
とおけば、Fが集合体であることによりB_i∈Fであり、{B_i}は単調増加となる。したがって、
と続くのですが、
{A_i}は無限個の可能性もあるのに、全てのnに対してB_n∈Fであることが保証される理由がわかりません。

よろしくお願いします。

>>616
ｎを固定するごとに、B_n∈F
だから。

やばい、わからん。
その理屈だと、自然数の全体Nは、nを固定する毎に有限数だから、有限ってことになりませんか？

nを固定するごとに

N＝{1,2,3,…,n}∪{n＋1,n＋2,n＋3,…}

と2つの集合に分解できて、前者は有限集合(要素数はn)。
でも後者は無限集合。

＞{A_i}は無限個の可能性もあるのに、
「可能性」とか曖昧なことを言わずに、
実際に無限個のAiが必要なBnの例を挙げてくれ

おれも、さっぱり分からん。詳しく。

>>620
いや、単調クラスの定義上、「A_1,A_2,...∈Fとしたとき」なのだから、{A_i}は無限個の可能性もあるわけですよね？

>>619
「B_1,B_2,...,B_N∈F」を満たすことを確認するためには、
B_n=∩_{i=1}^n A_i ∈F
をn=1からNまで確かめればいい。
同様に、
「A_1,A_2,...∈F」という仮定を満たすことを確認するためには、
B_∞=∩_{i=1}^∞ A_i ∈F
を確かめなければならないのではありませんか？
これは、Fが集合体という定義からは出てこないように思うのですが。

すみません>>622の∩は∪でした。
元のテキストが間違っているので、ついつられちゃいました。
ちなみに『測度・積分・確率』梅垣etcを参照しています。

うんこ

>>622
＞いや、単調クラスの定義上、「A_1,A_2,...∈Fとしたとき」なのだから、
＞{A_i}は無限個の可能性もあるわけですよね？
それは当たり前だ。で？何が疑問なの？
それぞれのBnは有限個のAi(A1,A2,…,An)から作られるのだから、
集合体の定義からBn∈Fが出る。

nを固定するごとに

N＝{1,2,3,…,n}∪{n＋1,n＋2,n＋3,…}

と2つの集合に分解できて、Bnは前者の集合に属する
自然数を添え字とするAi(要するにA1,A2,…,An) だけで
作られるから、集合体の定義からBn∈Fは明らか。

もし、後者の無限集合に属する自然数を添え字とするAiで
Bnが作られていたら、Bnは無限個の集合の和と差で
構成されることになり、「集合体」という仮定だけでは
Bn∈Fは出ない。が、今はそういう状況にはなってない。


＞「A_1,A_2,...∈F」という仮定を満たすことを確認するためには、
＞B_∞=∩_{i=1}^∞ A_i ∈F
＞を確かめなければならないのではありませんか？
意味不明。「A_1,A_2,...∈F」は最初から仮定として与えられているのだから、
確認もクソもない。最初から「A_1,A_2,...∈F」が成り立っている。

あと、どうしても納得できないなら、数学的帰納法の形式で

「任意の自然数nに対してBn∈Fである」

ことを示せば納得できるか？

好きに自然数ｎを言ってみろ、
Bn∈F
を証明してやるよ

って言っても納得できないか？

でも、無限大じゃないじゃん。

＞＞「A_1,A_2,...∈F」という仮定を満たすことを確認するためには、
＞＞B_∞=∩_{i=1}^∞ A_i ∈F
＞＞を確かめなければならないのではありませんか？
＞意味不明。「A_1,A_2,...∈F」は最初から仮定として与えられているのだから、
＞確認もクソもない。最初から「A_1,A_2,...∈F」が成り立っている。

すみません、正しくは、
「B_1,B_2,...∈F」を満たすことを確認するためには、
でした。

うまく言えないんですが、
帰納法と言われればそれまでなんですが、
帰納法が使えるんなら、なんで集合体をσ集合体に拡張しなければならないのか。
nで言えることは可算無限大でも言える。
ならば、今やってる面倒な拡張はなんなのか・・・

もう少し疑問点が整理できたらまた書き込みます。

何回書き直してんだよ

>>629
＞帰納法が使えるんなら、なんで集合体をσ集合体に拡張しなければならないのか。
実際、「Fは集合体である」という仮定だけで「任意の自然数nに対してBn∈F」すなわち
「任意の自然数nに対して∪[i＝1〜n]Ai∈F」は出るぞ。

＞ならば、今やってる面倒な拡張はなんなのか・・・
集合体という仮定だけでは「∪[i＝1〜∞]Ai∈F」が出ない。


＞すみません、正しくは、「B_1,B_2,...∈F」を満たすことを確認するためには、でした。
だったら、それも意味不明。「B_1,B_2,...∈F」を確認するのに
∪[i＝1〜∞]A_i∈F を確認する必要は無いし、また、仮にこれが
確認できても、そこから「B_1,B_2,...∈F」は出て来ない。


「任意の自然数nに対して∪[i＝1〜n]Ai∈F」が成り立つことと
「∪[i＝1〜∞]Ai∈F」が成り立つことは別物。
前者が成り立つからと言って無条件に後者が成り立つとは限らないし、また、
後者が成り立つからと言って無条件に前者が成り立つとは限らない。
どうも君は、「(前者)⇒(後者)」あるいは「(後者)⇒(前者)」が
成り立つと勘違いしているようだ。

集合 { 1/n | n = 1, 2, .... } には 0 は含まれないが、

lim_{ n →∞} 1/n = 0 ではある。

この辺の微妙さ、危険さは色々演習とか自作の問題なんかで
感得する必要があるねぇ

ルベーグ積分を勉強したとき、数列、関数列、集合族（可算列および非可算列）
に関する”感覚”を習得する必要があると思った。具体的には
それらを実際に構成すること、構成したものが収束する先をイメージできること
などなど。

>>616です。
全く納得できていないので、もう一度質問させてください。
日にちが空いてしまったのと、以前の質問内容を何度も訂正しているので、改めて書き直します。

つまずいている証明は、
「FがΩ上の集合体であり単調クラスであるならばσ集合体である」の証明です。
テキストに載っている証明は

A_1,A_2,...∈Fとしたとき、B_n=∪_{i=1}^n A_i とおけば、
Fが集合体であることによってB_1,B_2,...∈Fであり、
さらに{B_n}は単調増加であることから、lim B_n=∪^∞ A_n∈F
証明終

なのですが、集合体の定義よりB_1,B_2,...∈Fが出てくる理由がわかりません。

↓続き

↓続き

疑問なのは、そもそも集合体だけでなくてσ集合体を定義することになった理由として、
ある集合Ω上の体に対して
C_1,C_2,...C_n∈F⇒∪_{i=1}^n C_i∈F が成り立っても
C_1,C_2,...∈F⇒∪_{i=1}^∞ C_i∈F が成り立つとは限らない
だからσ集合体を考えたはずなのに、
上の証明では如何なるnに対してもB_n=∪_{i=1}^n A_i∈Fである（これは納得します）ことから、
「集合体の定義より」としてB_∞=∪_{i=1}^∞ A_i∈Fを帰結しています。

これはσ集合体であることの証明としてはおかしいと思う、というのが質問でした。
私が間違っているでしょうか。

>>635
＞「集合体の定義より」
単調クラスだから、だろ。

また間違えた・・・すみません、ありがとうございます。

＞上の証明では如何なるnに対してもB_n=∪_{i=1}^n A_i∈Fである（これは納得します）ことから、
＞「集合体の定義より」としてB_∞=∪_{i=1}^∞ A_i∈Fを帰結しています。

は正しくは

上の証明では、如何なるnに対しても集合体の定義よりB_n=∪_{i=1}^n A_i∈Fである（これは納得します）ことから、
最後に単調クラスの定義よりB_∞=∪_{i=1}^∞ A_i∈Fを帰結しています。

でした。

集合体の定義からB_1,B_2,...∈Fを導くところがどうしてもしっくりきません。
B_1,B_2,...,B_n∈Fならわかるのですが。

＞集合体の定義からB_1,B_2,...∈Fを導くところがどうしてもしっくりきません。
数学的帰納法を使えばいい。それで「任意のmに対してBm∈F」が言える。

>>638
それだと元の疑問に戻ってしまうのですが・・・

帰納法を使っていいのであれば、
集合体の定義
＞C_1,C_2,...C_n∈F⇒∪_{i=1}^n C_i∈F
から
σ集合体の定義
＞C_1,C_2,...∈F⇒∪_{i=1}^∞ C_i∈F
が帰納法により成り立ってしまうように思えるのですが・・・

これは、ある命題P(・)に対して、如何なるnに対してもP(n)が成り立つことと、limP(n)が成り立つこととの混同、ということでしょうか？

なんか数学に対して自信無くなってきました。

＞ある命題P(・)に対して、中略　limP(n)が

そもそも、「命題」という概念を理解しているのか？

>>639
＞σ集合体の定義
＞C_1,C_2,...∈F⇒∪_{i=1}^∞ C_i∈F
＞が帰納法により成り立ってしまうように思えるのですが・・・

実際に帰納法を使って証明を書いてごらん。

集合体であって、σ集合体でない例：
遺伝的有限集合の全体

>>639
任意のn∈Nに対してP(n)が成り立っても、P(∞)が成り立つとは限らない。

>>639
いいから >>632 読んで考えろ。オメーへの手助けコメントだ。

>>616 って、もしや釣りじゃないのか？

>>637
>集合体の定義からB_1,B_2,...∈Fを導くところがどうしてもしっくりきません。
>B_1,B_2,...,B_n∈Fならわかるのですが。

上記の n は何？
もし任意の n について B_1,B_2,...,B_n∈F なることがわかっているならば、
確かに B_1,B_2,...∈F となるね。

B_1,B_2,...∈Fを言わなければならないということは、
∀nB_n∈Fが言えてるだけではだめで、
B_∞∈Fが言えていなければならないのではないのでしょうか。

これが間違っているとしたら、どうしてσ集合体などというものを導入したのかわかりません。

>>647
ルベーグ積分の教科書では B_1,B_2,...∈F は ∀nB_n∈F と全く同じ意味に使う
だから君は間違っているので君は
＞どうしてσ集合体などというものを導入したのかわかりません。
という状態のはずだが

この状態でσ集合体を導入する理由がなぜ君の中で消える（わからない）の？

>>647
>B_1,B_2,...∈Fを言わなければならないということは、
>∀nB_n∈Fが言えてるだけではだめで、

∀nB_n∈F と B_1,B_2,...∈F は同じこと。
なんで同じじゃないと思うのか説明してくれ。

∀n B_1,B_2,...,B_n∈Fは「どんな大きなnでも」
B_1,B_2,...∈Fは「可算無限個全てのn」
だから、前者にはB_∞は入らないけど、後者にはB_∞が入る。

その二つに違いが無いとしたら、
集合体（C_1,C_2,...C_n∈F⇒∪_{i=1}^n C_i∈F）と
σ集合体（C_1,C_2,...∈F⇒∪_{i=1}^∞ C_i∈F）の違いがわからない、
というのが僕の疑問です。

>>650 B_1,B_2,...∈Fは「可算無限個全てのn」　…　B_∞が入る。

これが根本的な誤解
「全てのn」は「全ての自然数」の略記で
自然数には「∞」なる記号は入っていない

そう思い直して数学書を読んでみれば
「∞」が自然数に入っているとはどこにも使ってないことに気づくはず

では、
集合体の定義を
∀n（C_1,C_2,...,C_n∈F⇒∪_{i=1}^n C_i∈F）
σ集合体の定義を
∀n（C_1,C_2,...,C_n∈F)⇒∪_{i=1}^∞ C_i∈F
このように書き直しても大丈夫ですか？

集合体の定義では「C_1,C_2,...,C_n」、
σ集合体の定義では「C_1,C_2,...」
というふうに書かれていたので、
まるでその二つ自体に違いがあるかのようにとっていました。

つまりこれは、僕が悪いのではなく、数学界全体の記法が悪い。

＞つまりこれは、僕が悪いのではなく、数学界全体の記法が悪い。
そんなことは無い。お前が悪い。
お前みたいな勘違いは初めてみた。


＞∀n B_1,B_2,...,B_n∈Fは「どんな大きなnでも」
＞B_1,B_2,...∈Fは「可算無限個全てのn」
＞だから、前者にはB_∞は入らないけど、後者にはB_∞が入る。
後者の解釈はアリエナイ。


数列a_nを次のように定める。
a_1＝1
a_(n＋1)＝2a_n　(n＝1,2,3,…)


という表現があったとき、「(n＝1,2,3,…)」という記号列を
「任意の自然数」とは読まずに「任意の自然数及び∞」と
読むのと全く同等の解釈。

せっかく手助けしようと >>632 を書いても理解できないほどのクズはもう放っておこうぜ

>>652
>集合体の定義では「C_1,C_2,...,C_n」、
>σ集合体の定義では「C_1,C_2,...」
>というふうに書かれていたので、
>まるでその二つ自体に違いがあるかのようにとっていました。

二つ自体に違いはある。

「C_1,C_2,...,C_n」は任意に n を固定して有限列 C_1,C_2,...,C_n を考える。
「C_1,C_2,...」は有限列でなく無限列。

＞「C_1,C_2,...,C_n」は任意に n を固定して有限列 C_1,C_2,...,C_n を考える。
＞「C_1,C_2,...」は有限列でなく無限列。

この違いが分からないです。
前者は、任意にnを固定するのであれば、nはどんな自然数でもとりうるわけで、結局（有限列も含むけれど）無限列も含むように思える。
一方後者は、「C_1,C_2,...」が本当に無限列であれば、どうしてC_∞を含まないのか？

>>632のおっしゃるような例で、
集合{1/n| n=1,2,...}に0が含まれないというのは、任意にnを固定して考えているからでしょう。
n=1,2,...が本当に無限列であれば、0は含まれるはずです。

みなさんというか、数学界全体が理解していないように思えてきました。

あほばっか

ルベーク積分なんか勉強する前に、解析の基礎を理解しろよ。
他のスレも荒らしてるようだが。

それはみなさんが
{1/n|n=1,2,...}には0は含まれないがlim 1/n=0と習ったことを
なんとなく信じ込んでいるだけじゃないでしょうか。

自分が習ったことと違うことを目にすると、
あほばっか基礎をやり直せと一蹴するのでしょうか。

私にはみなさんが無限というものを理解していないように思えます。

とりあえず、>>656をよろしくお願いします。

で、なんでその「みなさん」に質問するのかね？

釣りだろ？　釣りだと言ってくれ、たのむ。

もしかして、>>656 は、おバカさんのコンピューターくんか？

>みなさんというか、数学界全体が理解していないように思えてきました。

自分の無能を棚に上げて、よくこんな言いがかりをつけられるな。

>>616
その理解というか公理系で無矛盾なものを作れたら凄いと思いますよ。
>>616さんの頭の中では
{1/n|n=1,2,…}∩{-1/n|n=1,2,…}＝{0}≠φ
なんですよね。
これによってデデキント切断の概念を考えると、
実数の切断によって実数の集合を2つに分けたはずが
2つに分かれてないという事態が発生します。
ということで、>>616さんが考えられている「実数」は
切断ができない我々が数学で使っている実数とは違うものです。

この「実数」でどこまで解析論を作ることができるか
チャレンジされてみたらいかがでしょうか？

>集合{1/n| n=1,2,...}に0が含まれないというのは、
>任意にnを固定して考えているからでしょう。

この一文だけからも、>>656 がバカ者であることがわかる。
滑稽極まりないｗ
測度論なんて、背伸びのしすぎだなｗｗｗｗｗｗ

ふーむ。
σなんちゃらへの拡張というのは、
集合{1/n|n=1,2,...}のなかにちゃんと0が含まれるように、という拡張だと思っていたのですが、
どうやら全然違うみたい。。。

>>665
どうバカであるのか教えてほしいから書き込んでいるのに
バカバカといわれても困ります。

バカバカ言ってる人は集合{1/n|n=1,2,...},n∈Nの中に0が含まれないことを説明できるのかなぁ。

教科書に書いてあったことを鵜呑みにしているから、無矛盾な実数系を手に入れられているだけであって、
その歴史を盾にバカバカと暴言を放たれると萎えますなぁ。

昔の人に{1/n|n=1,2,...},n∈Nの中に0が含まれるかどうか尋ねたら、半分くらいの人がYESって言ったんじゃないでしょうか。

まじ、バカだ。こいつ。

616 の場合は、それ以前の問題。

「理解していない数学界のみなさん」にいちいち質問する、その態度がバカ。

自分のほうがより良く数学を理解しているならば、その「みなさん」など当てにせずに、自力でやったらいい。

>>668
集合の定義から、x∈{1/n｜n∈N}が成り立つのは

∃m∈N　s.t　x＝1/m

が成り立つときに限られる。もし0∈{1/n|n∈N}だとすると、
あるm∈Nが存在して0＝1/mが成り立つことになるが、両辺に
mをかければ0*m＝1すなわち0＝1となって矛盾する。
よって、0は含まれない。

>>656
＞一方後者は、「C_1,C_2,...」が本当に無限列であれば、どうしてC_∞を含まないのか？
「C_1,C_2,...」という記号列は写像

C：N → P(R)

のこと(P(R)はRのベキ集合)。この写像の定義域に∞は入ってないから、
C_∞と書いても意味が無く、当然、C_∞は含まれない。
また、「C_1,C_2,...,C_n」という記号列は写像

C：{1,2,…,n} → P(R)

のこと。

>>671
ほら、結局、1/n=0を成り立たせる具体的なnは存在しません、という証明になるでしょう？

＞「C_1,C_2,...,C_n」は任意に n を固定して有限列 C_1,C_2,...,C_n を考える。
＞「C_1,C_2,...」は有限列でなく無限列。

つまり、その証明はこの二つのうちの前者なわけです。
ところが、{1/n|n=1,2,...}という数列は後者なのです。
これはどなたかがおっしゃったように無限列なわけで、
だとすれば0が含まれるかどうかは自明では無い。

>>672
C:N→P(R)の定義域に∞が入っていないとは、どういうことでしょうか？

>>674
「Nという集合に∞は含まれない」ということ。

>>673
＞つまり、その証明はこの二つのうちの前者なわけです。
＞ところが、{1/n|n=1,2,...}という数列は後者なのです。
「数列」とは写像のことであって、その写像の定義域が
有限集合のときに「有限列」、無限集合のときに「無限列」と呼ぶのだ。
無限集合だからと言って「∞」なる元が含まれるとは限らない。
特に、Nには「∞」は含まれない。
よって、、{1/n|n∈N} という記号列が前者だろうが後者だろうが、
どちらにしても0は含まれず、その証明はどちらにしても671と同じ。

>>676
∞が含まれる集合なら、1/∞=0 ですか？

>>677
あきれた。そういうバカげた質問が出るということは、
代数の初歩も知らないってことだ。
測度論なんて勉強してる場合じゃないでしょ。
先に群・環・体を勉強すべき。

あと、集合論の基礎も勉強し直すことだな。
君の場合は整列集合と順序数もやるべき。


＞1/∞=0 ですか？
「∞」は数ではないので、割り算は定義されてない。
必要に応じて好きな定義を与えることは可能だから、何とでも言える。
「1/犬＝0ですか？」と聞かれても答えようがないのと同じだ。

>>677は僕ではない。

Nの全体には∞は含まれないと言って平然としているあなたがたは
世界は神が作ったと言って平然としている人たちと同じだ
せいぜい社会が生み出した善良な市民というところだ

各nに対してC_1,C_2,...C_n∈F⇒∪_{i=1}^n C_i∈Fという集合体が
C_1,C_2,...∈F⇒∪_{i=1}^∞ C_i∈Fというσ集合体に拡張された本当の理由は何でしょう？
もったいぶらずに話してくれませんか。

C_1,C_2,...,C_nという表記も、C_1,C_2,...という表記も、
両方とも、{C_n},n∈Nを表現しているわけですよね？

>>679
そういう数学をやりたいなら、
超準解析とか数学基礎論とかに行った方がいいよ。

(^o^)

>>679
＞Nの全体には∞は含まれないと言って平然としているあなたがたは
おいおい、勘弁してくれよ。君、ボロボロじゃないか。

数学において、自然数とはペアノの公理系を満たすモデルだと定義されている。
通常のZF集合論では、実際にペアノの公理系を満たす集合が定義できる。
そして、その集合に「∞」なる元は含まれてない。だから、Nに∞という元は
含まれてない。これは ちゃんと証明されていることだ。

あるいは、君が独自に定義した、数学で使われる自然数とは全く別の"自然数"について
話をしているのなら、それは、君が勝手に自分独自のエッセイを展開していることに
なるから、君はもはや「数学を勉強している」ことにすらならない。


＞各nに対してC_1,C_2,...C_n∈F⇒∪_{i=1}^n C_i∈Fという集合体が
＞C_1,C_2,...∈F⇒∪_{i=1}^∞ C_i∈Fというσ集合体に拡張された本当の理由は何でしょう？
＞もったいぶらずに話してくれませんか。
ルベーグ積分を定義するため。
「集合体の定義を満たすがσ集合体の定義を満たさない」例が存在するから、
拡張には意味がある。

∞∈Nだと言い張るなら、そのNを使って
M＝N−{x∈N｜xは有限でない} と置けばいい

∞∈Mは成り立たないし、かと言ってMは有限集合でもない

何年か前、文kei が、高木貞治の解析概論を読み間違えて、無限小がどーたら、 616 と同じようなことを言っていたな。

「証明されている」といわれてもねぇ。。。
それよりNにはぜーんぶの自然数が入っているのに無限大は入っていないと言われて奇妙な感じがしませんか？

∞∈Nではないとなると、
∀n∈N C_1,C_2,...C_n
と
C_1,C_2,...
との違いがわからなくなる。

上にはC_∞は入らないけど、下にはC_∞が入る、
とそのようにこれまで読んできましたが、、、
違うということになりますよね？

どのように読んだらいいのでしょうか？

＞奇妙な感じがしませんか？
しませんよ
あなたがこれまで抱いてきたイメージが間違ってただけです

＞∞∈Nではないとなると、
＞∀n∈N C_1,C_2,...C_n
＞と
＞C_1,C_2,...
＞との違いがわからなくなる。

例えば単位円（境界を含まない）は可算無限個の正方形の和集合として表せるけど
有限個の和集合ではどんな n に対しても n 個じゃ無理だよね

>>685
∞∈Nだと言い張るなら、そのNを使って
M＝N−{x∈N｜xは有限でない} と置けばいい

∞∈Mは成り立たないし、かと言ってMは有限集合でもない

＞例えば単位円（境界を含まない）は可算無限個の正方形の和集合として表せるけど
＞有限個の和集合ではどんな n に対しても n 個じゃ無理だよね

てことはやっぱり、C_1,C_2,...は可算無限個でC_1,C_2,...,C_nはあくまで有限個なの？

>>688
ねえねえ、∞∈Nだと言い張るのなら、

M＝N−{x∈N｜xは有限でない}

と置いてごらん。Mは任意の自然数nを含み、特にMは
無限集合であるが、しかし∞∈Mは成り立たない。

>>685
> ∀n∈N C_1,C_2,...C_n
> と
> C_1,C_2,...
> との違いがわからなくなる。
>
> 上にはC_∞は入らないけど、下にはC_∞が入る、

どちらにも C_∞ なんてものは現れない

>>689
うるさいなぁ。そもそもMが無限集合だってどうやって証明すんだって話をしてるんだよ。
任意のnは有限なのによ？

>>691
Mが有限集合ならば、ある自然数mが存在して
M＝{1,2,3,…,m}と表せることになる。一方で、
Mは任意の自然数nを含むのだから、特にn＝m＋1と
置いて、m＋1∈Mとなる。しかし、M＝{1,2,3,…,m}だったから
矛盾する。よってMは有限集合ではない。

確かに、測度論どころの話ではないなw

＞任意のnは有限なのによ？
意味不明。1つ1つの元の「大きさ」は問題ではない。
たとえば、{1/n｜n∈N}という集合において、各元は
0以上1以下だから有限の大きさを持つ。一方で、
この集合は無限集合。

∞∈Nだろうが そうでなかろうが、{1/n｜n∈N}という集合は
無限集合。各元は0以上1以下で有限の大きさなのに。

>>692
それは学校の洗脳の内容だろう？
nはいくらでも大きくできる、という意味での無限だ。可能無限ね。
でもよく考えてごらんよ、いくら大きくしたって各nは有限なんだぜ？
だから賢い僕は、
C_1,C_2,...,C_n
は可能無限という意味でしか無限を含んでいないのに対して、
C_1,C_2,...
はそのずっと先のさきっちょの実無限を含んでいる、
という意味だと思ったんだ。