Lebesgue積分ｾﾞﾐ

を開催したいと思います
互いに傷を舐めあって行こうじゃないか
教科書は

ルベーグ積分入門　伊藤清三　しょうかぼう

でやろうと思います．
参加者は名乗りでること
sage進行でﾏﾀｰﾘと

なんか面白そ。参加しまつ

階段関数から作るやつ？
それとも測度論から作るやつ？

>>3をNG登録して自動あぼ〜んしよう！

Re:>4 お前に何が分かるというのか？

>>3
伊藤清三だと両方載ってるんじゃね？

誰かｵﾘｼﾞﾅﾙの問題出せる？（俺は無理）
理解が深まるような

まずは、あれだな、ほとんどいたるところ、almost everywhere
の定義からだな。これさえおさえておけば、何も問題はない。

>>7
どっかのスレにあった問題。

A, BをLebesgue可測集合（AのLebesgue測度は有限），
χ_A, χ_Bをそれぞれの特性関数とする．
f(x)=∫_[-∞→+∞] χ_A(x-y)χ_B(y)dy
がほとんどいたるところ零なら，AまたはBのLebesgue測度は
零であることを示せ．
A, B をアーベル群とする。この二つのテンソル積が Z に同型なら、

>>9
nice
ｾﾞﾐ開始したらそんな感じでﾖﾛｼｸﾀﾉﾑｾﾞ

本当にやってまつね
偉いといいつつage

レベスグェ積分って、なんか変な名前ですね。

sを読まないのはなぜ？

ルベグ積分といいつつ、実数の公理からリーマン積分やって
やってルベグ測度やるとかいう、ちんたら講義でやってた

>>14
大学の講義でってこと？

スチェルチェス積分から入るのが一番スカだ。

ﾉｼ
復習させてもらいます
明日本買ってくる

>>15
そ。だるくて測度に入るまで全部自習してた

>>18
実数の公理からはちょっとひどいな

いま思い出してみると、積分を厳密に定義する講義が1、2年になかった
から3年にしわ寄せがいってたんだな

お前等、頭いいんだな。
うわああああん！！

Kingが建てたスレがまだ生きてるよ。
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1088665870/

>>21
やってる時は難しくてたまんなかったけど、今思い出して
見るとつまらないことに悩んでたなって感じになる・・・はず

リーマン積分のきちんとした定義と理論もやっぱり知っておくべきだよね。
区間でリーマン可積分ならば連続点が非可算個あるとか単調ならばリーマン
可積分だとかさ。

ルベーグ積分と聞けば、確率論を思い出す。

>>20
教授はゆとり教育反対とか言っているが、大学もゆとり教育なのさ。
昔は1年で全部やっていた内容が、2，3年に押しやられて。
函数解析も今じゃあ4年だろ。3年じゃあL^pくらいまで。

いやあ、n(n>10)年前の話なんで・・・ゆとりは関係ない
単に課程が糞ってだけ・・・２回生の時、数学の講義が3コマぐらしかなかった

どっち道、今後は大学競争で学部は易化しまくるんじゃねーかな

ルベーグ積分か。
イメージ湧かなくて理解できないから本を買いまくった。
１０冊は優にあるが、読破した本はない。

>>9
∫_R f(x)dx = ∫_R ∫_R χ_A(x-y)χ_B(y)dydx = ∫_R ∫_R χ_A(x-y)χ_B(y)dxdy
= ∫_R μ(A)χ_B(y)dy = 0
二つ目の等式はフビニ。
B の測度が有限なら ∫_R μ(A)χ_B(y)dy = μ(A)μ(B) = 0
有限でない場合は μ(A)χ_B(y)=0 (∀y∈R)

具体的にどういうことをするんだ？

初学者のためにもとりあえずルベーグ積分入門　伊藤清三　しょうかぼう
Ｐ１から始めましょう。

買ってきたぞ
§1 るべぇぐ測度トハ何カ

この手のスレの割に関心が高いね。
>>1にはリーダシップを取ってほしい。

第１章なんかは個人で読めばいんだけれども、例えば初学者の中には
集合函数って？ってなってしまう人もいるわけでそこで誰かが例を
あげてくれたらつまらないところでとまらずにすむ。というわけで
１さん、始めてください。ちなみに３０講なんかを先に読んでいたら
わかりやすいので初学者のかたは参考にしてください。
ちなみに今の大学ではるべくは何回生くらいで習うの？

たしかに、1章は一人で読むトコだな

とりあえず>>1は初心者のために
・§1
要旨
・§2
上極限集合・下極限集合の意味
有限集合，無限集合，可算集合とその例
対角線論法
・§3
点関数と集合関数

についてわかりやすく説明しとけ

１は？

age

みなさん遅れて申し訳ございません
|дﾟ)さんが買ってきた事ですし
それでははじめましょう

おいらも昔一回読んだけど

細かいところまで証明すると辛いよ？
どんくらいの細かさでやるの？

>>39
証明が分からなかったら質問．
誰かが（俺か？）問題集とかから拾ってきた問題を出して，解けたら次行くみたいな

感じがいいんじゃないですかね？
ぶっちゃけ俺１回どうり読んだわけではないので
>>39みたいなのがいるとすごい助かります

了解
じゃー院試まで暇だからちょっと付き合うよ。

Re:>41
それでは、R→C(あるいはR∪{+∞})の写像が可測関数であることと、
任意の区間の逆像がBorel可測であることが同値であることを証明して。
但し、それぞれの空間はBorel可測空間の構造が入っていることとする。

Cで区間というのはいけないな。
Re:>41 R→R∪{+∞}にしよう。

>>42>>43
まだ§4ですよ

Re:>44 その本(伊藤清三著のやつ)が手許にないからどんな内容なのか書いてくれ。

スレ壊すの好きだなking

>>44はオレじゃない

>>42
あーぶっちゃけメンドイｗ
方針としてはかたっぽは明らかで後は
任意の区間がBorel集合であることを言うって感じかな？

§4　有限加法的測度
定理4.1
Z=X×Y(直積空間)
Ω_x，Ω_yをX，Yの部分集合の有限加法族とすると

Ω_z=｛ΣK_i(有限直和)|K_i=E_i×F_i(E_i∈Ω_x,F_i∈Ω_y)｝

は，Zの有限加法族になる

定理4.2
Ω_NをR^Nの区間塊，f_μ:R→R(μ=1･･･N)を単調増加関数
I=(a_1，b_1]×･･･×(a_N，b_N]
に対して
m(I)=Π_μ{f_μ(b_μ)-f_μ(a_μ)}
区間塊E=I_1+･･･I_nに対して
m(E)=m(I_1)+･･･m(I_n)
と定義するとmは有限加法的測度になる
さらに

mがΩ_Nの上で完全加法的⇔f_μがすべて右連続

が成り立つ

せめて、今から読み始める奴にも解けるような問題から出せよ。

>>49
たしかに。本を持っていることが前提だから（そうでなければ本を
指定すること自体無意味だし、他のＬ−積分のスレですればいい）
定義や定理の羅列でなく、読んだ内容についてみんなで話すということが
大切だと思う。つまりインプットはそれぞれ持っている本で行い、
ここではアウトプットを行う場としてはどうでしょうか？

>>50
賛成．
今定理書き写したら，ちょっと打つのがしんどかった

あと１日にすすむ範囲もあらかじめ（その日の最初にでも）決めておきませんか？
本を読むスピードは人それぞれですが、極端に早い人や遅い人がいる場合、
遅い人に対しては質問等が過去レス読めって感じになっちゃうこともありますし、
１日の範囲を決めておけばそのようなこともありませんし。

>>52
どんくらいでイケそうですか？

>>1
１日にすすむページですか？何章かにもよるのでわからないですが、
僕の場合はある程度内容しってるんで遅くはないと思います。
ただ１日にすすむ範囲をあまり多くせず、１つのことについてじっくり
話してみたいと思います。特に教科書に載っていない例や反例、
定理の仮定を緩めてみたりなど。
また１回勉強した人たちがいると、読む場所の強弱がわかるので、
アドバイスできる方が何人かいて欲しいですね。

>>54
やばい，主催者の俺が一番でんきなそうやんけ
そうですね，教科書に載ってない例や反例は欲しいですね
そういうの考慮すると
一日5ﾍﾟｰｼﾞが打倒か？
　　　　　
って遅いか

みんなルベグのみを１日中べんきょうするわけでないので、
初学者の立場から考えたらそれくらいでも遅いとは思いませんよ。
ただ、みんなで読んでいくので１人で読むよりは意外と早く
すすむかもしれませんね。まずは第１回目はどこまで進むか決めましょう。

問題すべてに完全な回答をつけていくって、どう？

>>57
章末問題の別解ってこと？
それとも，拾ってきた問題？

>>57
それもいいですね。演習

↑演習は大事ですしね。

あ、御免なさい
私も加わっていいですか？

もう始まっちゃったのかな？

とりあえず名前付けとこ

漏れも参加したいです。伊藤清三のやつ持ってます。

>>61 >>63いいですよ。多くの方に参加して欲しいです。まずは誰が参加するか
決めましょう。

>>62　そうですね。私もしてませんでした。34=50=52=54=56です。

早くやろうぜ　春休み終わっちまう

今日からはじめますか？

今、洲之内読み直してる

なんかレベル高そうなのでＲＯＭで参加

>>1さんはトリップきぼん
がんばりましょう

>>69
ﾄﾘｯﾌﾟつけましたよ

鳥つけたら始めてくれ

どうやら，
アク禁に巻き込まれたみたいです
数日先にやっててくらさい　

>>72は>>1さん？
先にと言われても困る

1です．
なんかﾀﾞｳﾝﾛｰﾄﾞ版で荒らしたやつとﾎｽﾄが一致してたみたいです
代行さんが許すかぎりなんとかｾﾞﾐには参加します
とりあえず今日は§4やったっす('A`)

必要ないと思うけどトリップも付けとこ。
多少具体例と一般論がゴチャゴチャに
書いてある感があるけど読みやすいですね。
取りあえず図書館から借りた本に付箋紙貼りながら読んでたら、
さっき剥がした際に一緒に表面が剥がれて一寸読めなくなった。。。
昭和38年発行とかロックフエラー財団寄贈とか書いてあるからなあ。。。orz

ところで一番最初に書いてある、Riemann積分で完全加法性が
成立しないような区間の例ってどんなのがあるんでしょうか？
後のほうに例が挙げてあるのかな？私は見つけられなかったんですが

>Riemann積分で完全加法性が成立しないような区間の例
ちょっとよくわからないけれど

たとえばfとして

f(x)=0 x∈{x∈[0,1]| xは有理数}
1 x∈{x∈[0,1]| xは無理数}

とすれば[0,1]上の積分はRiemann積分は定義されない（何故なら上積分と下積分が一致しない）が
Lebesgue積分は1って感じって感じになるんだけど…

ええと最初のp1で言ってる面積っていうのは
これから勉強するであろう「測度」に対応するものです
p30を見てもらえればわかるけれど測度の定義とかが載っていますですよ

>>76
その場合，面積をもち互いに交わらないA_1,A_2,A_3.............に対応するのは何ですか？

ええとちょっと先のことになるかもしれませんが
この本を読む前でも後でも測度に関しては新井仁之先生のルベーグ積分講義ってのを読むと個人的にいいと思います
（Lebesgue可測集合に関してLebesgueの考え方が載っているので…
　　　　　　Lebesgue外測度とLebesgue内測度が一致→Lebesgue可測）

ちなみにこの本ではCaratheodory可測からLebesgue可測に入っています

>>77
区間の長さです
なかなかイメージがつかない例でごめんなさい…

あー　区間の長さって表現はちょっとよくないな…orz
なんていえばいいんだろう…

本当にあほだな。ｗ

１次元の体積→「区間の長さ」
２次元の体積→面積
３次元の体積→体積

ということがいいたかったのだろう。

大学２年生ですが、参加希望です。本もあります。
リーマン積分の初歩が分かっていれば大丈夫でしょうか？

>>82
あと集合論がよくわかってればOK。
来年３年生かな？

>>78
どの区間ですか？

ふいんきが読めない

Re:>83 よくわかってれば？空集合と結びと交わりと差集合とelementsとsubset,supersetと集合の相等が分かっていればいいのではないの？

>>86
くだらない煽りだな。

初学者に教えてやろうという意思がないならこのスレには一切書き込むな。

すみませそ、ここでりーまそ測度はおしえていただけないでしょうか？

>>84
区間が問題じゃなくて、区間の図り方が違うんだよ。

本当はこういうのを大学内で自主ゼミとして
開催できたらいいんだけどね。
周りにそういうのやりたそうな人いないんだよねー
とりあえず受験で上手くいったんで数学科に進学しましたって感じの人が多い。

関係ないのでsage

>>89
図り方とかじゃあなくて、完全加法性の定義に対応するA_1,A_2,A_3,......という図形は>>76の例で言うと何なのかを聞いてるんでしょ

＞＞９０
のし
やらないか？

>>91
マジレスすると
>Riemann積分で完全加法性が成立しないような区間の例
これ自体意味不明だから>>76云々もない。

伊藤先生が１ページ目に
「Riemann 積分を使って定義された面積の概念だけでは2')は必ずしも成立しない．
A_1,A_2,...がすべて面積を持っても，それら無限個を合わせたA_1+A_2+・・・は面積を持たないこともある．」
と書いていることを受けて「その例は？」と彼は聞いてるんでしょう。

>>94のように解釈するなら、>>76の例は「各有理数点は長さ0をもつが、それら可算
無限個を合わせた[0,1]∩Qはジョルダン可測でなく、リーマン積分による長さの定義
はできない」という例とみなせばよい。

もしf(x)が区間Iでリーマン可積分で、Iを可算個の区間の合併∪Inに分割したとき、
おのおののIn上でもfがリーマン可積分で、しかもΣ∫_In f(x)dx = ∫_I f(x)dxが
成り立たない例はあるか？という意味なら、そのような例はない。

Re:>89,91 お前は小学校で何をしていた？「図り方」って何だ？

>>90
確かにそうですね。仲間内だとなぁなぁになってしまいますね。
だから、ホントに数学が好きでまじめにやってくれる人と
セミナーやりたいですね。

>>76さんのおっしゃる関数について、これがRimann積分では面積を
求められないってのは自明として、では、
「A_1,A_2,...がすべて面積を持っても」
のA_1,A_2,...はこの場合何にあたるのかというと、
まず。
[0,1]にある有理数を
Ｑ_0={q_1,q_2,・・・}
と並べていき、
Ｉ_1=[(q_1)-ε/2,(q_1)+ε/2]
とする。
Ｉ_1に含まれる有理数をＱ_0から取り除いた残りの集合から、任意に有理数
を選び、εより小さく、またＩ_1と共通部分を持たないように区間を作っていけば、
それが、A_1,A_2,...にあたる区間になるんじゃないかな。

I_1の中に有理数があるんでは

有理数点で1，無理数点で0なら，
A_iを各有理数{q_i}，和集合を[0,1]の有理数全体と考えて
A_iの「面積」は0だけどそれらの無限和集合はリーマン積分の意味で面積をもたない

という感じかしら

リーマン積分では∫[x=ａ,ａ] ｆ（ｘ）dx　（ａ：実数）はどのように定義されているのでしょうか？
ｆはx=ａで定義されているなら何でもよいのか？

その場合は0*f(a)=0じゃねーの？

レスがすごいついてますね…
中途半端な例を挙げて混乱させて申し訳ありませんでした…
今度からはもう少し慎重にレスするようにします

取り敢えず主催者に、いついつ何ページまでについて
ゼミをやるという予定を決めて欲しいのですが。
最初は参加者もまだ増えるでしょうから、ゆっくりいきましょう。

そっか、よく考えたら確かにQ∩[0,1]は
反例になってますね。。。
トリビァル！（←この知ってるでしょうか？ｗｗｗ
某漫画のラプラ（りゃ）な事を聞いてしまいました。

あと、完全加法性と言ったのは、上で好意的に解釈してくれた通り、
要するにRiemann積分において「完全加法性に対応する性質」が
成立しないことを指していた積りだったんですが
（この表現だったら大丈夫なのかな）、測度以外の集合函数には、
普通使わないようですね。以後気をつけますです。

ごめんなさい、「Riemann積分」「において」の間に
「によって定義された面積」
挿入してくださいorz
A_i,∪_i A_iの面積がすべて定まって、等式が成立しない例は
どうも無さそうですね。

とにかく>>1は計画くらいは立てて提示しる

test

るべぐの他にこうしてネット上で勉強かいしてるとこある？２ちゃんでもいいし。できれば線形・微積・複素解析・集合・位相あたりで。なかったらだれかしませんか？

アク金まだ解かれない，巻き添え勘弁ですよ

とりあえず測度って何か？ぐらいまでやらないと
問題もなにも作ることができないので,最初ハイﾍﾟｰｽでやって
そのあと問題やら，うんちゃらやりましょう

03/09 20:00ｽﾀｰﾄ 　　§4
03/10 20:00ｽﾀｰﾄ 　　§5
03/11 20:00ｽﾀｰﾄ 　　§6
03/12 20:00ｽﾀｰﾄ 　　§7
03/13 20:00ｽﾀｰﾄ 　　§1−§7の問題やらうんちゃら1
03/14 20:00ｽﾀｰﾄ 　　§1−§7の問題やらうんちゃら2
03/12 20:00ｽﾀｰﾄ 　　§8
03/12 20:00ｽﾀｰﾄ 　　§1−§8の問題うんちく　

誰か修正してくれ

03/15 20:00ｽﾀｰﾄ 　　§8
03/16 20:00ｽﾀｰﾄ 　　§1−§8の問題うんちく　

の間違い

これのどこが反例なんだ？

>>1
間に休み入れないとやっぱりきついよｗ

誰か俺にまじめに解説してくれ>>111

20:00ｽﾀｰﾄって何をｽﾀｰﾄするの？

>>113
わからないならわからないままのほうが良いかもしれないぞ？

ドイツ文字書けないOTZorz

>>115
つまり反例でもなんでもないって言うことだな？
了解した

>>117
>>97とか読んだ？

>>95とか

雰囲気が悪くなるとセミナーなんてやってけなくなるよー
もっとみんなﾏﾀｰﾘ汁！

定理4.2の第一段は区間についてで第二段は区間魂についてだよね？
ちゃんと書けよイトキン

ｐ１１の定義関数のところで、
χ(x;limsupA_n)=limsupχ(x;A_n)
とありますが、なぜこうなるかわかりますか？

わかりますよ

>>116
【読めない】数学や物理に登場する文字【書けない】
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/rikei/1097854701/l50
ttp://www2.neweb.ne.jp/wc/STEINER/text-16.html
（ドイツ文字筆記体の一覧。昔、平ペンで書いてた文字だから
印刷用の文字を鉛筆で書くのは多少無理があります）

>>122
任意の、ある、で書き直して考えて見てください

ルベーグの綴りを、れべすぐーと覚えたのは漏れだけ？

>>124
確率の連続性の考え方を使えばわかったような気に
なるんですが、A_n自身が単調か、そうでないのかが
わかりません。

>>125
おいらは「るべすぐえ」だな

>>124
おお！ありがとう
これは次スレからテンプレに入れるべきだ

>>126
A_nの単調性は関係ないでしょ
定義に従って「任意」「ある」で書いてけばわかると思われ

χ(x;limsupA_n) = 1
⇔x ∈ ∩_n ∪_{ν≧n} A_ν
⇔∀n ∃ν≧n x ∈ A_ν
⇔∀n ∃ν≧n χ(x;A_ν) = 1
⇔∀n sup_{ν≧n}(X,A_ν) = 1
⇔inf_n sup_{ν≧n}χ(X,A_ν) = 1
⇔limsup χ(x;A_ν) = 1

これは結構自明に近いですから、
よく上極限とかに関して復習したほうがいいかも。

最後の行のνはnの間違いです

>>129を参考に一行目の値が0になる場合を書いてみるといい練習になるかも？

>>129
なるほど、わかりました。図でイメージしようとしてたのですが、
こっちの方がわかりやすいですね。

いきなり答え書くのはぬるぽじゃない？

さて、今日もルベーグ積分の時間です
みなさんがんばりましょう

カラテオドリ外測度の定義の外測度らしさってなんですか？

画アニコ画アニコ画アニコ画アニコ画アニ
画アニコ画アニコ画アニコ画アニコ画アニ

コニア画コニア画コニア画コニア画コニア
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イケてるユニクラーより。イケてるユニクラーより。イケてるユニクラーより。
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1回も開催できず崩壊

Re:>136 むしろ本当に歪んでいるんだけどね。三字おきなら水平だ。

>>1がいなくなったからなぁ

まだアク禁くらい中なんでしょ

画企ナサオエア画企ナサオエア画企ナサオエア画企ナサオエア
画企ナサオエア画企ナサオエア画企ナサオエア画企ナサオエア
..／⌒ヽ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ／⌒ヽ
（　＾ω＾）　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　＾ω＾）
企画アエオサナ企画アエオサナ企画アエオサナ企画アエオサナ
企画アエオサナ企画アエオサナ企画アエオサナ企画アエオサナ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　../ ⌒＼
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（＾ω＾　）
　　　　　画企ナサオエア画企ナサオエア画企ナサオエア画企ナサオエア
../ ⌒＼ 画企ナサオエア画企ナサオエア画企ナサオエア画企ナサオエア
（＾ω＾　）

そろそろルベーグ積分の時間です
今夜もがんばりましょう

Re:>143 ボレル可測だがルベーグ可測でない集合の例について意見を。
Re:>142 お前誰だよ？

うーん、盛り上がりませんねえ。。。
やっぱLangので勉強しようかなあ。。。
一寸読むのがしんどいけど

この本に「Borel可測集合」という言葉あったっけ？

Re:>146 その本に載っているかどうかは大した問題ではないだろう。普通はBorel集合というのかな？

この本でゼミやろうというのだからこの本に載ってないならちゃんと定義を書かないと

定理7.2
R^Nにおける Borel 集合はすべて可測である

>>144
ボレル可測だがルベーグ可測でない集合ってあるの？
あるとしたら逆じゃない？

Re:>150 無い。あなたの言うとおりだ。

Re:>149 その本持っていないから用語がどういう定義なのかよく分からない。「トートロジー」なら分かるのだが何故「定理」なの？

持って無いなら借りるなりして参照しる
空気嫁

まあ、一般に距離空間において「ボレル集合」とは、開集合を含む最小の完全加法族のこ
とだから、「可測集合」の全体に完全加法性を要求する限り、R^Nにおいて区間（直方体）
を可測とするならば、ボレル集合はすべて可測にならざるをえないってことよ。

スレを円滑に進める秘訣

・１がある程度責任を持って書き込みを続ける
・BlackLightOfStarをスルーする

スレ違いかもしれませんが質問させてください。

有限個の長方形で囲む
加算個の長方形で囲む
加算無限個の長方形で囲む

それぞれの意味の違いがよくわかりません
どなたかご教授を

囲むのに使う長方形の数が有限個か可算無限個かという違いです
「有限個」というのは文字通り個数が100個だとか10000個だとかいう風に「有限」なわけです
「可算個」というのは多分「可算無限個」というのを略して言ってるのだと思うのですが，
「無限」にも「数えられる無限」と「数えられない無限」があって「可算無限個」というのは前者です．
無限に多くの長方形で囲むんだけど，それぞれに番号をつけることができる，と

いや「可算個」と言った場合は「有限個または高々可算無限個」かな？

高々可算無限個＝有限個または可算無限個
なんで
「有限個または高々可算無限個」
は変じゃないすか。数学的には同じだけど。

>>156
加算個は可算個の誤字ですよね。
可算個＝可算無限個だと思います。

あと個数じゃなくて濃度なんだから
可算無限個じゃなくて
可算無限濃度と言ったほうがいいと思います。
まあ好みの問題ですけど。

>>159
そうですね．ありがとうございます

Re:>155 お前に何が分かるというのか？

>>155
ハゲ同

>>161
逝ってよし

スルーしてねえじゃんっていう。
ところで１さんはまだあく禁中かな

とりあえず今日・明日でﾙﾍﾞｰｸﾞ測度の定義までをまとめって感じですか
>>1さんまだアク禁ですか？？

Re:>162 お前が一番スレを乱しているだろうが。

１さん復帰まで|дﾟ)さんが音頭とってくだちい

漏れ、今週諸事情によりネットに繋げない日が続くんですよ
すみません

・Aを可算個の長方形B1,B2,B3…で覆う
って記述はA⊂∪BiとA=∪Biのどっちを指すんだっけ？

ちょっと、前のほうで質問良いですか？
定理４-２[証明]の十分なること（第１段）で、
Iが有界でない場合lim(n→∞)m(I_n)=m(I)って自明なんでしょうか。

一応、自分で証明つけてみたので、確認お願いします。
タイピング都合上アルファベットのvを使わせてください。
任意の有界区間J=(a_1J,b_1J]×･･･×(a_NJ,b_NJ]⊂Iに対して、
�@a_v>-∞のとき、
fv(b_vJ)-fv(a_vJ)
≦fv(b_vJ)-fv(a_v)
＝fv(b_vJ)-lim fv(a_vn)
≦lim{fv(b_vn)-fv(a_vn)}
�Aa=-∞のときは明らかに、
fv(b_vJ)-fv(a_vJ)
≦lim{fv(b_vn)-fv(a_vn)}
�@、�Aの場合とも両辺非負の定数または+∞であるから
vについて辺々かけ合わせると、
m(I_J)≦lim m(I_n)
定義より、任意のnに対して、m(I_n)≦m(I)であるからlim m(I_n)≦m(I)、
また任意のε>0に対してあるJが存在し、m(I)-ε＜m(I_J)≦lim m(I_n)
これはlim m(I_n) = m(I)を意味する■

まだ始まらんのかｗ

ｱｸ禁まだ解かれません　
1週間が立ちました
いい加減精神的におかしくなってきたぜ

みなさんどこらぐらいまでやりましたか？
一旦まとめに入りたいんですが　
あとsageでよろしく

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おめ。まとめよろ。

§1-7まとめ

Caratheodoryの意味で可測を定義し
任意の可測集合＝G_δ集合-零集合＝F_σ集合＋零集合
を導いた　
これがLebesgue可測集合の正体と言ってよい

なぜかこの本には内測度が出てこない

問題1
E⊂R^dを有界とする
μ_*(E)=|I|-μ^*(I-E)
は，E⊂Iを満たす区間Iによらないことを示せ
ただしμ^*をLebesgue外測度とする
(これによって，μ_*をLebesgue内測度として定義できる)

問題2
E⊂R^dに対し
Caratheodoryの意味で可測⇔μ_*(E)=μ^*(E)
を示せ

問題3
区間[0,1]上で
f(x)=
1/p　(x=q/p，gcd(p，q)=1)
0　　(xは無理数)
とするとき
f(x)はﾘｰﾏﾝ積分可能か？
可能なら∫_[0,1]f(x)dxを求めよ

とりあえず3問

結局>>1さんは何がしたいんだ？その問題を解けばいいの？

各サブセクションごとにまとめないと初学者に優しくないんじゃないか？

>>175
一応そのつもりだったのだが
基本的なことは本に書いてあるし

>>176
各§ごとにまとめようかと思ったんだけど
定理の羅列になる気がしてちょっとね

どうすれば

>>174
問題１の解答を教えてもらえませんか？

>>174
初学者ではないのであえてパスさせてもらいますです…

なぜそれがルベッグ測度の正体と言えるんですか？

教えて君は嫌われるぞ。
自分で考えたことをいえ

ゼミなら発表者に質問するのは当たり前だろ。
問題の答え教えてってのはまだ早すぎるが

>>182=>>180だと思うが
ルベッグ測度の正体などという言葉自体今まででてきてないし
そもそも>>180の「それ」が何をさしているかさえわからない

発表者に質問するのは当たり前なのは確かだが…
何を聞いているのかわからないような質問はそもそも論外だ。

そしておそらく>>181のレスは>>178に向けたものと思われる。

>>174

測度じゃなくて可測集合でしたね。
ごめんなさい

>>1さんお疲れさまです。解除されて良かったです

終了

終了

ﾏｼﾞで強制終了なの？

x∈[0,1)を十進展開し、x=0.n_1n_2n_3・・・の時、
f(x) = max[i=1,2,・・・] n_i　とおく。
fは可測かつ殆ど至るところ定値であることを示せ。

Re:>190 fが可測関数ならば[f∈9]の測度は1だな(無限級数の計算で下から評価する)。問題は可測であることの証明か。

Re:>190 ルベーグの意味で可測なのはすぐに分かるけど、Borelの意味で可測なのは証明できるの？

>>191-192
氏になさ―い

Re:>193 お前が先に氏ね。

終了？

津川光太郎 ＝ Ｐｅｔｅｒ Ｄ． Ｌａｘ
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1111320908/

個人的には終了したくないのだが

馬鹿？勝手にやってればいいじゃん

>>198
分かった
荒らし君
もうこなくていいよ

あと
厨房みたいにｺﾋﾟﾍﾟも止めてくれよな

200

Re:>197 じゃあ私の質問に答えてくれ。[>190]の関数fで、[f∈1]がBorel可測集合になることは証明できるの？

どうもさっきから変な記号を書いていたな([>191],[>201])。[f=9]と[f=1]ね。

>>201
申し訳ないのだが
まだ§7なんですよね

まあ，考えるだけ考えてみるけど
解けなくても馬鹿扱いしてｽﾚ荒らししたりはやめてくれ
あと頼むからsageてくれ

あげ

0 < a < 1 とする。このとき次の3つの条件をみたすEをつくれ。
・Eは[0,1]の開集合
・Eは[0,1]で稠密
・m(E) = a

Re:>205
私が立てたスレのレスを参照のこと。
一部を転載。

有理数全体を亘る列{q_{n}}をとって、
区間の列(q_{n}-2^(-n-1),q_{n}+2^(-n-1))をとる。
これ全体の和集合のルベーグ測度が1以下になるということを貴方は認められるか？

何をすればいいかはこれで大体分かる。

>>206が見えない

なんだkingか。

0 < a < 1 とする。このとき次の3つの条件をみたすEをつくれ。
・Eは[0,1]の開集合
・Eは[0,1]で稠密
・m(E) = a

最大幅がaのモノトニックな開集合列でもいいのに。

再開

>有理数全体を亘る列{q_{n}}をとって
洗濯公理の声がする…

いらないじゃん

[0,1]なら0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5…

>>212-213
加算選択公理(あるのか知らんが)使わない？

使わないでしょ

28 名前：番組の途中ですが名無しです ：03/11/14 15:39 ID:+yNAhwIy
　　 ∩＿＿＿∩
　　 | ノ　　　　　 ヽ
　　/　　●　　　● |　ちょっと通りますよー！
　 |　　　　( _●_)　 ミ
　彡､　　　|∪|　　､｀＼
/　＿＿　 ヽノ　/´>　 )
(＿＿＿）　　　/　(_／
　|　　　　　　 /
　|　　／＼　＼
　|　/　　　 )　 )
　∪　　　 （　 ＼
　　　　　　 ＼＿)

766

>>1は逃げたの？

はじめまして。伊藤清三の ルベーグ積分入門のTh7.5の証明が、その前のTh7.4に比べてあまりにも複雑だから、別証明考えました。

[証明]
A が可測なので A^c も可測。
Th7.4より、任意のε>0に対して、開集合 G で、G ⊃ A^c 、μ( G - A^c ) < εなるものを取れる。
一方、
G - A^c = A - G^c
したがって、 μ( G - A^c ) = μ( A - G^c ) < ε
さらに A ⊃ G^c なので、F として G^c をとればよい。 [証明終]

どこかにチョンボはないでしょうか。
周りに質問できる人がいなくて困っています。

Th7.5後半「特に、、、」の部分は別証考えてないので略。
後半はやっぱりS_nをもちださないとだめかなあ。

sage失敗、すいません。

再開？

>>219
あってはいると思うけど
有界性にS_nは必要だと思うよ

§9とかやれば分かると思うんだけど，
S_nの存在を仮定できるところがR^dの良い所だから

谷島賢二『ルベーグ積分と関数解析』ってどんなほん？
買おうかとおもってる。

>>223
どこかで絶対やめとけという書き込みを見たが・・・

>>223
難しくて挫折しますた
いつかまた挑戦しよう

>>223の本はどんな感じかっていうと、
この本の著者は放課後職員室に来いって感じ。

演習にやたら難しい問題を普通にぽんと出すし（しかも全部解答ないｗ）、
証明も、ほとんど読者に任せるかのような他力本願って感じがしたなぁ。
でもほかの本には書いてないようなことけっこう書かれてたような。
２月に少し読んだ程度だからあまり覚えとらんけど

>>223の本俺も持ってる
伊藤をやれば解けるようにはなるかなー？
初めの方見る限り伊藤に書いてあることが演習になってたし

関数解析の部分は違う本読んでからじゃないとキツイんじゃねーかな
ageるぜ　ﾁｪｹﾗｯﾁｮ
まあ谷島は全然読んでないわけだけどw

ゼミは終了しちゃったの？もしよければ入れて貰おうかと思ったんだけど。
数学科でもないバカだけどね。

>>222
1さんありがとう。ヽ(´ー｀)ノ

1月から一人で伊藤清三読んでて、なるべく証明の部分は本をふせて
証明思いつくまで2、3日は考えるようにしています。（長いのはたいてい無理ですけど）
でもやっと§12まできたよ。

自分は学生じゃないからゼミはきついだろうから、マイペースでついていきますので
よろしくおねがいします〜

伊藤終わったら
このｽﾚで谷島の解答でも作ろうかな
出来るかわからんがなw

>>230
普段は何をされている方なのですか?

もしや女教師では　ｴﾛｲﾈｰｴﾛｲﾈｰ

うあわぁぁぁぁぁ・・・・・・・・・・・・
テストがある。関数解析の本誰かいいやつ推薦してくれぇー-。
８月の期末試験がぁぁぁ。。。。。。。。。。。。。。。

レジデユーの計算ぐらいできるようにしとけよ。
あとマクローラン展開も

そりゃ複素解析だ。マクローリン展開とローラン展開が混じってるぞ。

つうか釣りか？

>>234
つ 「関数解析」 共立数学講座 (15) 黒田 成俊

つか、ソボレフ空間って何?意味ワカメ。

あと弱微分も。

俺も最初ぜんぜんわけわかんなかったよー。
定義だけなんとか理解して、ある程度読み進めてみればどうすかね

まぁ何とか宿題は逃げで済ませるか。あぁぁ。。。。。。。。。。。。。

ソボロフ空間はある境界条件を満たす直交関数にテイラー展開するみたいなもの。

ちょっとお邪魔します。

>>94
例えば
　A_ｎ＝[−1/ｎ,1/n]x (n−1,ｎ]　（ｎ＝1,2,･･･）
とした場合はどうでしょうか？

>>219
　定理前半だけなら、この証明で大丈夫ですが、定理の主眼は、
『μ(A) < ∞のとき、斯く斯くの有界閉集合が取れる』
という点にあるの思います。（テキストの証明法を読んでみてください）
[後半の証明はもっと簡略化出来そうな気がしますが･･･]

　これにて失礼させて頂きます。

>>243
2(1+1/2+1/3+...)=∞
と言いたいとは思うけど
一応､ｼﾞｮﾙﾀﾞﾝ可測だから>>94の意味とは違うと思う

>>94の意味は

A_1，A_2，…がｼﾞｮﾙﾀﾞﾝ可測　∧　A=ΣA_iはｼﾞｮﾙﾀﾞﾝ可測でない

なるAの例があるの？と言っている．

>>244
勉強しなおしてまいります。

ｽﾚの内容からずれるけど
もしかして測度論と基礎論って密接に関係してる？

いま吉田洋一って言う人の本借りたけどマジイイよ。
伊藤清三より全然イイと思う。
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4563003239/qid=1117906898/sr=8-7/ref=sr_8_xs_ap_i7_xgl14/249-8337283-4455551
みんなこっちにしたら?

高校生だけど、
今習ってるリーマン積分のかわりにこっちやってもいい?
中身は理解できるんだけど。
ぶっちゃけルベーグだけありゃいいんだろ?

>>248
う〜んどうだろう。具体的なルベーグ積分の計算なんかは
リーマン式に還元してやったりするしね。。。。。。。。。。

多様体の上で微分形式を積分するとき困りそう

高校で，積分をﾘｰﾏﾝ積分として厳密に教える教師はいないだろ

ルベーグを何か特別な積分とでも思ってんじゃﾈｰの

>>248
とりあえず高校生でルベーグ積分やるのは時間の無駄

リーマン積分可能である関数は、ルベーグ積分可能で、双方の積分が等しい。
広義リーマン積分可能だが、ルベーグ積分できない関数も存在する。

√25 = 5

√256 = 16

√257 = 17

高校生だけど、
今習ってるリーマン積分のかわりに伊藤積分やってもいい?
中身は理解できるんだけど。
ぶっちゃけ伊藤積分だけありゃいいんだろ?

age

高校生だけど、
今習ってるリーマン積分のかわりに超準解析やってもいい?
中身は理解できるんだけど。
ぶっちゃけ超準解析だけありゃいいんだろ?

定理4.2.の「mがΩ_Nの上で完全加法的⇔f_μがすべて右連続」
っていうのは左連続でもよさげなんだがダメなの？
もしくは区間のとりかた--- (a,b] or [a,b) ---に依存するのかな？

sageてしまった、age

k-積分が究極の理論だって

超準の方が簡単だけど、メジャー０の積分計算してもつまらないし。

>>260
高校生はRiemann積分を習ってません．
超準解析やるのはどうぞ．
Robinsonが高校生にもわかるくらいのレベルの
テキストを書いているのでお勧め．

>>264
Non-standard Analysisをそんな略し方する人はじめて見た

>>265
ﾈﾀだよ気にスンナ

測度論より超準解析の方が簡単なの？
っていうか超準解析って名前かっこいいけど何に使うものなの？

超準ではたわいない問題を解くのです

>>266
超準解析の使い方

・俺、超準解析知ってるぜ！と２ちゃんで自慢する
・教官でも超準解析知らなかったりするから、質問して「え〜 先生
　超準解析知らないんですかあ」といびる
・完全に理解していなくても Robinson から適当にコピペするだけで
　知ったかできる

　　　 　....　.
　　　 ｒ;;;;;ノヾ
　　 　ﾋ‐=r=;'
　 　　'ヽ二/
超準解析は使い道ﾅｯｼﾝｸﾞ？

高校生だけど、
今習ってる微分方程式のかわりに確率微分方程式やってもいい?
中身は理解できるんだけど。
ぶっちゃけ物理現象で確定過程なんて天体の運動ぐらいでﾂｶｴﾈｰから確率過程論だけありゃいいんだろ?

あまり面白くないネタ乙

§９の補助定理１の証明ってなんかおかしくないですか？

マクローラン展開ワロタ

age

>>261
考えてみたんだけど、
【反例】
f(λ) = 1 (λ>0)
f(λ) = 0 (λ<=0)
として、 I = (a,b] に対し、m(I) := f(b) - f(a) と定義すると、
m( (0,1] ) = 1
であって、しかも
(0,1] = Σ_(n=1)^∞ (1/(n+1),1/n]
であるけど、
Σ_(n=1)^∞ m( (1/(n+1),1/n] ) = 0 ≠ m( (0,1] )
となるね。

たしかに、こういうシンプルな反例はすぐにみつかるけど、じゃ、なぜ？
というのはたぶん261さんが言うように区間の取り方がきいてるんだろうか。

最初に I = [a,b) に対して、 m(I) := f(b) - f(a) と、定めてから議論をはじめるといいのかな？

724

ずっと書き込みがないので保守。

年の初めに「今年はルベーグやる」と決めて、ほぼ毎日すこしずつ勉強して、ずいぶん
読み進めてきましたが、、
§１９って長くないですか？
息切れしそうですよ。

今このスレを心のささえにして伊藤清三読んでる人って、何人ぐらいいるのかな。

そりゃ、伊藤清三をちゃんとやろうと思ったら大変だ
がんばってくれい

新井先生はひと夏かけてよんだとか。

http://d.hatena.ne.jp/h1r05h1/
「ルベーグ積分入門」を読んでいるサラリーマン

>>94
次のような例は妥当でしょうか？

I=[0,1], I_n = [ 1/3^n, 2/3^n] (n∈N)
とし、
　f_n (x) = (3/2)^n 　\chi_{I_n}(x),
f(x) = \sum_1^{infty} f_n(x)
と置く。
　\sum_1^{infty} ∫_{I_n} f_n(x)dx = 1
だが、f(x) は（広義積分可能ですが）Ｉ上有界ではないので
Riemann積分可能ではない。( p.111 注意1 参照）

１ テスト

http://web.drive.ne.jp/1/html/VIP00142.html
解いてくれ頼む

スレ違い

ちょっと教えてください。開区間全体を含む最小のσ-加法族(ボレル集合族)の濃度が連続濃度であることはどのように示されますか？

>>285　自分も気になってる。
連続濃度以上であることは示せるけど、ちょうど連続濃度に等しいという
ことは示せてないです。
なんかとてもむつかしい話（なんとか公理とか無矛盾がどうとか）になる
んならスルーでおねがいします。

�@　Ａ１＝｛（ａ，ｂ）｜−∞≦ａ＜ｂ≦∞｝
　　Ａ２＝｛［ａ，ｂ）｜−∞＜ａ＜ｂ≦∞｝
　　Ａ３＝｛（ａ，ｂ］｜−∞≦ａ＜ｂ＜∞｝
　　Ａ４＝｛［ａ，ｂ］｜−∞＜ａ≦ｂ＜∞｝
　　Ａ＝Ａ１∪Ａ２∪Ａ３∪Ａ４∪｛&Oplus;｝
　とおくと、Ａは連続濃度。

�A　Ｂｎ＝｛Ｉ１∪…∪Ｉｎ｜Ｉ１，…，Ｉｎ∈Ａ｝
　とおくと、Ｂｎは連続濃度。

�B　Ｂ＝∪_〔ｎ∈Ｎ〕Ｂｎ
　とおくと、Ｂは連続濃度。

>>287ありがとうございます。でも自分ばかなんでもう少し詳しく説明していただけませんか？

類体論の名著を書ける人間がそう何人もいるとは思えない。
だから古い本が多いのは当然だろう。
類体論の新しい取り扱いをした本もあるけど、昔の本のやり方
も知ってないと、おかしなことになる。

誤字失礼しますた！
【誤】　　Ａ＝Ａ１∪Ａ２∪Ａ３∪Ａ４∪｛&Oplus;｝
【正】　　Ａ＝Ａ１∪Ａ２∪Ａ３∪Ａ４∪｛Ø｝

再び書き間違いがあり、大変に失礼しました。
>>288 確かにこれじゃ判らないですよね。
最初から書き直します。

�@　Ａ１＝｛（ａ，ｂ）｜−∞≦ａ＜ｂ≦∞｝
　　Ａ２＝｛［ａ，ｂ）｜−∞＜ａ＜ｂ≦∞｝
　　Ａ３＝｛（ａ，ｂ］｜−∞≦ａ＜ｂ＜∞｝
　　Ａ４＝｛［ａ，ｂ］｜−∞＜ａ≦ｂ＜∞｝
　　Ａ＝Ａ１∪Ａ２∪Ａ３∪Ａ４∪｛Ø｝
　とおくと、Ａは連続濃度。

�A　Ｂｎ＝｛Ｉ１∪…∪Ｉｎ｜Ｉ１，…，Ｉｎ∈Ａ｝
　　Ｂ∞＝｛Ｉ１∪Ｉ２∪…｜Ｉ１，Ｉ２，…∈Ａ｝
　とおくと、Ｂｎ，Ｂ∞は連続濃度。

�B　Ｂ＝Ｂ∞∪∪_〔ｎ∈Ｎ〕Ｂｎ
　とおくと、Ｂは連続濃度。

ほんと度々すみません。以下に訂正します。

�@　Ａ１＝｛（ａ，ｂ）｜−∞≦ａ≦ｂ≦∞｝
　　Ａ２＝｛［ａ，ｂ）｜−∞＜ａ≦ｂ≦∞｝
　　Ａ３＝｛（ａ，ｂ］｜−∞≦ａ≦ｂ＜∞｝
　　Ａ４＝｛［ａ，ｂ］｜−∞＜ａ≦ｂ＜∞｝
　　Ａ＝Ａ１∪Ａ２∪Ａ３∪Ａ４
　とおくと、Ａは連続濃度。
�A　Ｂ＝｛Ｉ１∪Ｉ２∪…｜Ｉ１，Ｉ２，…∈Ａ｝
　とおくと、Ｂは連続濃度。

Ｂの元は
�@’開区間（端点に±無限大も含む）を取る
�A’補集合を取る
�B’高々可算個の元の合併集合を取る
の操作の高々可算個の組み合わせにより表現できるから、Ｂ⊆ボレル集合族。

�@”Ø∈Ｂ
�A”ａ∈Ｂ ⇒ ａ＾ｃ∈Ｂ
�B”ａ１，ａ２，…∈Ｂ ⇒ ａ１∪ａ２∪…∈Ｂ
だから、Ｂ⊇ボレル集合族。

カントル集合。

解析概論のルベーグ積分の章をみたら
σ系の公理として
e_n∈M ⇒ ∪e_n∈M (n=1,2,3...)
e_1,e_2∈M ⇒ e_1-e_2∈M
と定義されていて
最大のω∈M、要するにMの要素であればすべて含むωがあるなら、閉じたσ系と書いてありました。
開いたσ系というのは具体的にはどんな物があるのでしょうか？
この定義、解析概論を見て初めて知った・・・

｜ｅ｜＜ａ。

零集合。

高校生だけど、
今習ってるリーマン積分のかわりに超準解析やってもいい?
中身は理解できるんだけど。
ぶっちゃけ超準解析だけありゃいいんだろ?

>>297
激しくスレ違い、ルベーグ積分と無関係だよ、超準解析をやるのなら先に論理と位相と代数と実数論をやっときなさい。
>中身は理解できるんだけど。
あからさまなウソつかない

数板の新参はすぐにひっかかるから笑う

>>298
コピペだよ

まあマジレスすると
高校で習うのはRiemann積分じゃなくてNewtonやLeibnitzの時代からあった、ただの積分
超準解析は、たしかKeislerが高校生でも読める本書いてたと思う（ものすごく厚いけど）

R上の任意の閉区間A（長さはaとする）に対してA∩Xの測度がa/2となるような
Xを構成するにはどうしたらいいですか。

ばらまく

I_n=[an,(n+1/2)a]
X=∪[n∈Z]I_n
とかでいいんでない？幅a/2の縞々みたいな。

>>303
aが動く場合はどうするのかな。
>>301の書き込みからは、aが動くのか固定されてるのか読み取れないけど。

aは固定されてないっす。固定されてたら確かに縞々が条件満たしますな。

>>300
ただの積分って何ですか？
初めて聞いた

>>304、>>305
任意のルベーグ測度を持つ任意の閉区間Aに対して、
μ(A∩X)=μ(A)/2
が成り立つX、ってこと？

わからん(´・ω・｀)
ってかそれなら存在しないような気がする。

>>307
yes。やっぱり存在しないのかね。別にそれ程変な集合じゃなさそうなのにな…

>>306
じゃあNewtonとかLeibnitzが発見したのはRiemann積分ですか？
Riemann積分はあくまでも、Riemannが初めて定式化したものでしょ？

高校のカリキュラムにRiemann上積分がどうの、とか、
連続函数が積分可能であることの証明とかありますか？

高校の先生で教える人はいるかもしれないが、それは単にその人の趣味なだけ

>>308
だって、存在するなら明らかに測度が正の区間を含んじゃいけないからな、Xは。
Aをその測度以下の区間にしたら条件みたさないから。

>>310
そりゃ>>301のXが存在したなら、X^cも条件を満たすし、XもX^cもRで稠密でしょ。
でもそれだけじゃXの非存在の理由にならないかと。

Rから「半分くらい」「均等に」点を取り除いたら望みのXが出来そう。
実数の2進表示をうまく使って作れないかな。
あるいは加法群R/Qを使うとか。
ただ、条件よりXは可測になるので、R/Qを使うと非可測になってしまいそう。

>>311
そだね。ありそうな気もしてきた…。
任意の区間を2つの測度が等しくて内点をもたない集合に分けなきゃいかんのか。
おれには無理だｗ

でもちょっと考えてみた。めんどいから[0,1]で考えて、
A(n,k)=[(2k)/(2^n),(2k+1)/(2^n))
A(n)=∪[k=0 to 2^(n-1)-1]A(n,k)
で、X=limA(n)。
limA(n)が存在するかどうかは検証してないけど。

>>313
その例は自分も考えてみたけど、
2進展開を良く観察してみるとそれの上極限は[0, 1)になってる。
やるんだったらやっぱもっと「均等に」取らなきゃ駄目っぽい。

存在しない。

>>315
マジか

選択公理使えば構成できるのです。
超準解析使って無限大の自然数nを用意して
X={x∈R|x∈A(n)}を構成すれば条件を満たすけど
しかしそれだとルベーグ集合にならないって感じの事が
「超積と超準解析」って本に書いてありました。

>>317
超準解析を良く知らないけど本当?
そのA(n)の定義って何? >>313じゃ有限のnにしか定義されてないよね?
で、そのX=R∩A(ｎ)が>>301を満たすなら、
有限整数mについて[m, m+1]∩Xは可測(測度1/2)なので、
X=∪_[m∈Z] ([m, m+1]∩X)も可測じゃん。

（X,d）：距離空間
μ:（X,M）上の測度で、任意のA∈Mに対しμ（A）=μ（B）となるボレル集合B∈Mが存在
μ（X）<∞
とする。このとき任意のA∈Mに対し
μ（A）=inf｛μ（U）:UはAを含む開集合｝となることはどうやって示せばいぃんでしょう？

新井仁之さんの「ルベーグ積分講義」ってどうよ？

>>320
測度論の証明が載ってない

>>319
ボレル集合の定義は？

>>322
Xの全ての開集合をふくむσ代数の元っす。

μ（X）<∞ ⇒μ（Φ）=0
を使う

つまり
μ（X）<∞
がみそ

>>324
μ（X）≦∞ ⇒μ（Φ）=0
もなりたつでしょ？

>>326あー俺の勘違い

というか、ボレル集合がσ加法族の元って分かってるなら
解けたようなもんだと思うけど

>>327
ぢゃ、証明してみてください。

>>327
多分それも勘違い。

>>319
Ｂの存在が無意味。

>>330
Ａがボレル集合と限らないからでは？

>>319
Bって、A⊂Bとなるボレル集合Bが存在するじゃなくて、ただ存在する、だけなの？

>>301
Ｘの定義関数をＴとする。
∫＿［０，ｘ］Ｔ（ｘ）ｄｘ＝ｘ／２。
∫＿［０，ｘ］（Ｔ（ｘ）−１／２）ｄｘ＝０。
（１）積分して微分すると元に戻ることを使う。
（２）Ｍが任意の区間のとき∫＿Ｍｆ（ｘ）ｄｘ＝０なら
ｍ（｛ｘ｜ｆ（ｘ）≠０，ｘ∈Ｒ｝）＝０となることを使う。
（３）（２）と同じ証明法で積分を使わずに
ＨがＨ⊂Ａとなる閉集合のときｍ（Ａ）＝ｓｕｐ（ｍ（Ｈ））となることを使う。
（４）（３）で閉集合のかわりに開集合を使う。
開集合Ｋを（０，１）∩Ｘ⊂Ｋ⊂（０，１），１／２＜ｍ（Ｋ）＜１と
なるようにとるとＫ∩Ｘ＝（０，１）∩Ｘなので
１／２＝ｍ（（０，１）∩Ｘ）＝ｍ（Ｋ∩Ｘ）＝ｍ（Ｋ）／２＜１／２。

>>332
いや、ボレル集合Ｂが存在で。

>>334
>>330

訂正待ち。

μがボレル正則測度でおけ？

>>333
サンクス

>>319
Xの全ての開集合全体(ボレル集合の族)の元のこと。
でも、集合の族なんて、なんで紛らわしい言い方するんかな？全部分集合って言えばいいのに。
部分集合の族とか、部分集合の全部分集合って書いたほうが注意喚起されないか？

>>339
？

>>339
それじゃあ位相になってしまうだろ
ボレル集合の定義を見直せ
いや、集合論からやり直せ

Hand book of K-theory , Springer (Eric Friedlander & Dan Grayson)

kore yondahitoiru??

ボレル集合とは、ボレル集合族の元のこと

位相は余り空間に関しては言及してないんじゃないの？

集合の元が集合というのは人間の直観に反するものだろうか？
族などという新しい単語を追加する方がわかりにくそうだが。

集合の元が集合というのは、自然界を物理の目でみても納得いく。

位相　　-->　　σ集合体　--->　ボレル集合
　　　　余集合　　　　　　　　最小

吉田:ルベグ積分入門 pp63
一般に集合の集合、いいかえるとその元が集合であるような集合を集合族という。
感想
いいかえなんかせず素直に集合の集合と言え。

質問です
ディリクレ関数のルベグ積分結果は0ですが
単位インパルス関数δを使って
Σδ(x-x(i)), x(i)∈有理数と書くのは間違いでしょうか？
∫Σδ(x-x(i) dx
だとΣ1になって∞に発散するように思うんですが？

というのが、
確率論の期待値の定義で
∫X dP
A
が離散系になるとΣa(i)p(i),a(i)∈Aになりますが
これには確率変数X=δ関数(a(i)∈Aで1、それ以外で0)
と考えないと離散系の式が成立しません。
ディリクレ関数==単位インパルス列という解釈はどこが
おかしいのでしょう？あるいはインパルス関数やデルタ関数に対して
∫とΣの交換は成立しないのでしょうか？

δ(0)は1じゃないだろ。

>>349
ユニットインパルス知らんか？
∞振幅を持つ一般的なデルタ関数と積分に関しては同じ性質を持つ。畳み込み演算で関数値を抜き出すために使う。
ディジタル信号処理やディジタル制御では多用する。

δ関数はともかく
∫XdPが離散系になるとΣX Pになる理由はなぞだな。
どこで∫dPを計算したんだろ？

>>348
δ(x-x(i))という記号の意味がイマイチよくわからんが、

δ(x-x(i))が、x(i)で0,その他で1な関数というつもりなら、ディリクレ関数は
Σδ(x-x(i))ではない.（関数値1の点が重なりまくって無限に大きくなってしまう）

δ(x-x(i))がx(i)で1,その他で0な関数というつもりなら、Σδ(x-x(i))はΣ1では
ない（和のどれかが1の点では和の他の要素は0）.

>>351
離散系の測度Pが点測度だからじゃない？ たとえば1次元の場合, 積分表現としては
分布関数Fを使ったルベーグ・スティルチェス積分∫X(ω)dF(ω)で表せるが, それは
結局ΣX(i)Piという形になる.

ははあ348が何考えてるか少しわかってきた.
結局「インパルス関数」と「デルタ関数」を同じ記号δで書くものだから,
ごっちゃにしてるのだろう.

>∫[A]X dPが離散系になるとΣa(i)p(i),a(i)∈A

は, 普通のルベーグ積分論では測度Pのほうを変えるのだが, dPをあくまで普
通の積分と思うなら, たしかに被積分関数のほうをデルタ関数の和と考えるし
かない. それならそれでもいいが, そのデルタ関数はディラックのそれであって, インパル
ス関数（一点の定義関数のことか？）ではだめだろ.

念のため追記.

δ(x)が「デルタ関数」なら. ∫δ(x-a)dx=1だが, 「インパルス関数」（{0}
の定義関数）なら, ∫δ(x-a)dx=0.

（デルタ関数は通常のルベーグ積分論の範疇じゃないけどね. 積分論では被積
分関数の値域に∞を許す流儀が多いので, 「一点で∞,その他で0の値をとる関数」
を考えてよいが, その積分値は0だ）

>>352
>δ(x-x(i))が、x(i)で0,その他で1な関数というつもりなら、ディリクレ関数は
>Σδ(x-x(i))ではない.（関数値1の点が重なりまくって無限に大きくなってしまう）

全く逆。
x=x(i)で1、それ以外で0
ちなみに関数の平行移動は高校1年生のカリキュラムだったと思います。

>結局「インパルス関数」と「デルタ関数」を同じ記号δで書くものだから,
>ごっちゃにしてるのだろう.

個人的にはごっちゃにしたくないので困ってるわけですが
多くの書物はごっちゃ表記してます(伊藤 自動制御、名著と言われてます。多くの大学で教科書として使われてます)
振幅1のディジタル信号列　u(n)=Σδ(t-kT), n=1,2,...、
をラプラス変換してU(s)=1/(1-exp(-Ts))
とか。ちなみ一般にディジタル信号列を

x(n)=Σx(kT)δ(n-kT)

とする表記はディジタル信号を扱う書物ではどれにも使われてます。
また、本によってはδとδpと分けて書いてるものもあります(小島 Z変換入門など）が
むしろごっちゃにしてるものがほとんどです。δの方は面積、δpの方は振幅を1にして、
ごっちゃにしてる場合は、それぞれ読者が勝手に判断する。
まぁ信号処理の方はあくまでも関数値を抜き出す便法という意味でδ関数を深く考えず適当に使ってるだけかもしれませんが。

>普通のルベーグ積分論では測度Pのほうを変えるのだが,
>一点で∞,その他で0の値をとる関数を考えてよいが, その積分値は0だ

工学、物理においてもL2空間というかヒルベルト空間を前提にすることがほとんどで、
ベースとしては数学をツールとして使うのでそこに認識のズレがあっては何かと不都合です。
δ関数は一点で∞というより、面積∞で幅0の関数なのでルベーグ積分でも0ですよね。
ここであげられた関数というのはあくまでも一点で∞それ以外で0の非δ関数という意味？

期待値の方は確率P、確率密度p、分布関数Fの対応関係で困ってます。
E[X} = ∫X dP = ∫x・dF =∫x・p(x)dx
がまず与えられるわけですが、
離散系になると
E[X]=Σx P(X=x)
と書いたり。
E[X]=Σx p(x)
と書いたり。本によってさまざまです。
中学校からおなじみの離散系から確率を定義する場合、確率Pを使って
E[X]=ΣxP(X=x)
には何の違和感もなかったのですが、連続系との対応関係がどうもしっくりきません。
P.Z.Peebles、電子、通信工学のための確率論序説では
δ関数(δpではなく)を使って説明してたわけですが、数学書ではδ関数による説明は見たこともなく、
また、本来密度相当のdPが知らぬ間に離散系ではPと化ける部分がどうも釈然としなかったわけです。
工学じゃないんだから気分でδとδpを使い分けるようなことはふさわしくないと思ったんですが？
はじめあんまり深く考えてなかったんですが、
エクセンダールの練習問題でE[X]=Σa(k)PX=a(k)]を証明する問題を見て疑問をもちました。
ちなみにエクセンダールでは確率密度は一切登場しませんが。

×δ関数は一点で∞というより、面積∞で幅0の関数なので
○δ関数は一点で∞というより、面積1で幅0の関数なので

再訂正
×δ関数は一点で∞というより、面積∞で幅0の関数なのでルベーグ積分でも0ですよね。
○δ関数は一点で∞というより、面積∞で幅1の関数なのでルベーグ積分でも1ですよね。

問1 x_n(t)=n・t・exp(-n・t^2)を n->∞で[0,1]でルベグ積分せよ
問2 x_n(t)= n^2・t, 0≦t<1/n
　　　　　　　-n^2・t+2n, 1/n≦t≦2/n
　　　　　　　0, それ以外
　　　をn->∞のとき[0,1]でルベグ積分せよ。

リーマン積分的に考えてるとlim∫とするか∫limとするかで結果が違ってきますが、ルベグ積分ではどちらをとるのでしょうか？

>ちなみに関数の平行移動は高校1年生のカリキュラムだったと思います。

平行移動が問題なのではなく、δの定義が問題なのだということがわかってほしかったのだが…。
数学的にあいまいなことを書くならせめて定義くらい書けよ。
ちなみに、「インパルス関数」の定義はここまでの書き込みをすべて読んでもいまだにあやふや
だ。多分一点のみで1（∞ではなく）という関数なのだろうが。

δ関数の藻前の理解は（再訂正でもまだ違うようなので勝手に直した↓）
＞δ関数は一点で∞というより、面積1で幅0の関数なのでルベーグ積分でも1ですよね。

のようだが、そういう直感的理解と厳密な数学を混ぜるから混乱しているという
ことはわかった。

>>355

「小島 Z変換入門」を引用しているので、じゃあそれを引用する: (p.4-)
-------
x(n)=Σx(kT)δ(n-kT)
の表示式でサンプル値系列を数学的に扱うのはδ(nT)の数学的意味が不明なので
（このままでは離散値系列のラプラン変換ができない！）不便である. そこで
もっと数学的取扱いが明確にできるf(nT)の表現式を得ることを考えよう.
---

「数学的意味が不明」と認めてるだろ。
もちろん、この後の記述が数学的に厳密かというとまだ全然なわけだがw。
（この手の本は大学の教科書だろうがなんだろうが数学としてはデタラメなので、
記述の正当性を厳密に考えはじめると急にわからなくなるのは当然）

数学的に厳密なδ関数の取扱いは可能だが、そこでは「積分」はすでに単純なルベー
グ積分の意味ではなくなる。
（「ほとんどいたるところ」0という値をとる関数のルベーグ積分値は、どうあがこうと
1にはならない。0だ。「面積1で幅0の関数」など（RからRへの写像としては）存在し得ない）

ΣxP(X=x)を（超関数を使わず普通の積分論の範囲で）積分として表したければ、スティルチ
ェス測度によるルベーグ・スティルチェス積分を使えばよい。
その意味でE[X] = ∫X dP = ∫x・dFまではよいが、F(x)が不連続なら（藻前の用語で「離
散系」の場合がそれ）、dxに対する密度は存在しないので、=∫xp(x)dxとは書けない。

>>359
ルベグ積分でも, 収束定理の条件が満たされていなければlim∫と∫limの結果は一般に
異なる.
題意がどちらを計算せよと言っているのかは数学ではなく国語の問題だろう.

>>352
>数学的にあいまいなことを書くならせめて定義くらい書けよ。

>ちなみに、「インパルス関数」の定義はここまでの書き込みをすべて読んでもいまだにあやふや
>だ。多分一点のみで1（∞ではなく）という関数なのだろうが。

これ以上どう書けと？しかも小島のZ変換入門を持ってるならそこに記載されてるδpの意味で書いたことは
>>355で書いたはずだが。

>δ関数の藻前の理解は（再訂正でもまだ違うようなので勝手に直した↓）
>＞δ関数は一点で∞というより、面積1で幅0の関数なのでルベーグ積分でも1ですよね。
スマソ。何度も何度も。ぼけてた。

>数学的に厳密なδ関数の取扱いは可能だが、そこでは「積分」はすでに単純なルベー
>グ積分の意味ではなくなる。
>（「ほとんどいたるところ」0という値をとる関数のルベーグ積分値は、どうあがこうと
>1にはならない。0だ。「面積1で幅0の関数」など（RからRへの写像としては）存在し得ない）

じゃ、L2空間を前提としながらδ関数を持ち出すのはデタラメってこと？

>そういう直感的理解と厳密な数学を混ぜるから混乱しているという
>ことはわかった。

δ関数の定義はもともとそういう直感で定義したものでしょ？
連続関数から点を抜き出すために定義した。
f(a) = ∫f(x)δ(x-a)dx
とするために便宜上考えられたものじゃないの？
それで、
f(x)=1の場合、∫δ(x)dx = 1
ってところから面積=1と考えられるということ以外に定義のしようがないんじゃないの？
δ関数自体フィクションってことかな？超関数論は読んだことないけど。

>ΣxP(X=x)を（超関数を使わず普通の積分論の範囲で）積分として表したければ

>普通のルベーグ積分論では測度Pのほうを変えるのだが, dPをあくまで普
>通の積分と思うなら,

下の"普通の"って意味は？リーマンってこと？
上はルベグの意味だよね。
次にも"普通の"ってのがある。こっちは非超関数の積分ってことだね。

>ΣxP(X=x)を（超関数を使わず普通の積分論の範囲で）積分として表したければ、スティルチ
>ェス測度によるルベーグ・スティルチェス積分を使えばよい。

つーか、これまでの藻前の説明ではδ関数のような"普通の積分"じゃない積分を
必要とする関数をルベグ積分を前提としたところで持ち出すこと自体適当じゃないってことだよね。

かりに分布関数を持ち出してステルチェス積分∫x dFを使ったところで、
最初の期待値の定義
∫XdPの離散系がΣxP(X=x)
となってdP->Pとなってることの説明にはなってないんですが？dPはどこかで積分しないとPにならない。

m([a,a])=1.

∫XdP->ΣX・P
が直接説明できないので、分布関数Fをm([a,a])=1で一旦積分しといて、
∫XdP->∫xdF->ΣX・P'
ってことでしょ。確かにP'っていう元のPとは異なるものを
持ち出すならその説明はわかるけどね。
俺は、連続系と離散系の確率Pをそれぞれ使い分けてる本を知らない。
あるいは連続系->離散系の測度変換に言及してるものとか、
P==P'の一意性を説明してるものとか、あったら紹介して。

∫ｄＰがＰになったんじゃないの

δ_p(x)とかインパルス関数(?)とかって, 自明に通じるほど流布した概念ではないと思うけど
（特定分野の方言？）, 話の流れからすると要するにδ_p(x)=1(if x=0), =0(if x≠0)って
ことだな？ それに対して δ(x)はディラックのδ関数であると.

なら, 要するにこういうことだろ.
∫δ(x-a)dx=1, ∫f(x)δ(x-a)dx=f(a) （δは超関数なので,この積分もそこでの意味）,
∫δ_p(x-a)dx=0,∫f(x)δ_p(x-a)dx=0 （δ_pは普通の関数なので, この積分はルベーグ積分）

x=a(1),a(2),… において値x(1),x(2),… をとる離散関数は, Σ x(i)δ_p(x-a(i)) .
（x(i)=1,∪a(i)=Q の場合がディリクレ関数.） それを（ルベーグ）積分すれば0.
Σx(i)δ(x-a(i)) のほうは, 「数列x(1),x(2),…のグラフ」としてはやや意味不明だ
が, その「積分」は数列の和 Σx(i) を与える点が便利. ラプラス変換もこちらでなけ
ればできない. ディジタル信号のことは知らんが, 振幅とかのイメージはともかく
数学的計算ではつねにΣx(i)δ(x-a(i))のほうを使うはず.

確率変数Xの場合は, 分布のグラフ（「分布関数」にあらず）は関数 ΣP(X=x(i))δ_p(x-x(i))
で表現できるが, 「分布密度関数」は ΣP(X=x(i))δ(x-x(i)) のほう.
（分布関数F(x)=Σ[〜x]P(X=x)は階段状だから, dF(x)=ΣP(X=x)δ(x-x(i))dx ）

dP = dF(x) = ΣP(X=x)δ(x-x(i))dx より,
∫dP = ∫ Σ P(X=x)δ(x-x(i))dx = ΣP(X=x(i)) = 1. （δの定義でf(x)=P(X=x)とおいた計算）

E(X) = ∫XdP = Σ∫xP(X=x)δ(x-x(i))dx = Σx(i)P(X=x(i))

てことでどうよ

>>365
>∫XdPの離散系がΣxP(X=x)
>となってdP->Pとなってることの説明にはなってないんですが？dPはどこかで積分しないとPにならない。

Pは関数じゃなくて測度であることに注意。
∫XdPは∫X(ω)P(dω)の略記。
P(X=x)はP({ω;X(ω)=x})の略記。

それと、「確率」はなんでもかんでもPと書くが、確率空間が異なれば測度と
しては別物。そして離散確率空間と連続確率空間はもちろん別物。

ルベーグ積分の定義は、fが単関数の場合に∫f(x)μ(dx)=Σf_iμ(A_i)とする
ところからすべて始まる。一般のfの∫fdμは単関数列f_nで近似してlim∫f_n dμ
で定義する。
だからもしμが離散測度ならfが単関数でなくても∫fdμ=Σf(x_i)μ(x_i)という
和になる。
この場合、測度μはルベーグ測度に対する密度をもたず、∫fdμ=∫g(x)dxのように
書くことはできないことが証明される。（このような測度変換の一般論は、ラドン・ニ
コディムの定理等としてルベーグ積分論の本にはどれにでも出てる。）

超関数を密輸入して形式的に∫fdμ=∫f(x)Σδ(x-x_i)dxと書くのは勝手だが…

伊藤のルベグはよく引き合いに出されるけどそんなに名著？
測度の記述がいまいちだってアマゾンの書評で見た。
ぱらぱらめくって、なによりザット見てドイツ文字があまりに多くてわけわかめになった。
手元に
吉田、ルベグ積分入門
志賀、ルベーグ積分から確率論
竹之内脩、ルベーグ積分
があるんだけど、伊藤でないと手に入らない情報って何？ここがわかりやすいとか、
竹之内で勉強進めていくつもりなんだけど？注意点とかあったらアドバイス下さい。

読み方だけど、目で追ってる？
ノートに書き出しながら？
できるやつは目で追うだけでわかるのかな？
できない漏れは書かなきゃ展開についていけない。

>>371

伊藤は微積における高木「解析概論」みたいなもので、良くも悪くも本格的。記述が古いし、
議論の進め方には洗練されていない部分も多い。しかし面白い反例などでこの本にしか載っ
ていないものもある。漏れがいいと思うのは後半の関数解析への応用部分(ノルム空間とか)。

吉田は本格派だがよくまとまっており悪くない選択と思う。
志賀は変わった話題が入っているのが特徴だが、その犠牲で？微分論やラドン・ニコ
ディムの定理関係が全く入ってないのが問題。証明は説明や議論の省略が多く初心者
には難しいと思う。（逆にいうと質問できる先生がいるのなら教育的で勉強にはなる。
演習も多いし。というか重要補題が問になってたりする）
竹之内は薄いが必要な話題はちゃんと入ってるのでいろんな定理の位置付けマップが
頭の中にできやすい。第一章の導入も読みやすい。が、積分の定義や基本性質の証明
が独特でしかも非常に読みにくい。

なお新しい本でよさげなのに小谷、盛田などがあるが、小谷は私の評価では微妙。
ラドン測度の扱いなどがよくまとまっているが、積分の定義や基本性質の証明は伊
藤の完全コピー。読みやすくなってはいるが…
盛田（「実解析と測度論の基礎」倍風館）は教育的で概念の分析も行き届いており
非常にいい。掘り出し物と思うのだがほとんど話題にならないのは何故だろう。値
段が高いのもあるのだろうが…

スマソ、｢吉田」は岩波の「測度と積分」と間違えてた。「ルベグ積分入門」って、
共立だったかの小さいやつだよな？ あれは微妙

なんか、>>371の「手元にある本」って、薄い物ばかりじゃないか？w
（志賀は普通の厚さだがルベーグ積分部は半分だけだし）
難渋とか内容過多で厚いのは避けるとしても、薄い本は説明に省略が多くて行間を
埋めるのが大変だよ

結局
お勧めは盛田ってこと？

溝畑はどう？

吉田洋一「ルベグ積分入門」はいっちゃんわかりやすいだろ。

わかりにくいとは思わんがなんであんな小さくする必要あるのよ。読みにくいんだよな。

いや、よみやすいだろ（ｗ

読みにくいわい

最近流行の新井が完全にスルーされている件

>>376
溝畑はかなり特殊（階段関数や測度的収束をメインにしている点など特に）。
普通の微積分の延長ぽい感じが入りやすいが、あとでそのツケがきて、かえ
って回り道になると思う。積分をはやく導入しようとした割には、けっきょく
測度の理解も要求するため、理論構造が見えにくい。（もし測度論を最小限に
するならもっといい方法があるし、そうでないなら測度の役割をわかりやすく
するべき）

>>377
本格派の中では判りやすい方だと思うが、今となっては「いちばん」では全然
ない。まあ「普通」。議論等にとりたてて特徴はない（それがいいのかもしれ
ないが）。

>>381
　新井は導入がわかりやすく説明も丁寧だが、そのぶん最小限のことしか書かれておら
ず積分論の数学書としては食い足りない。物理や工学でちょっとかじろうという向き？
（ベシコヴィッチ集合などの話題は面白いが、とってつけた感じになってるのが残念。
それだけなら雑誌に載った原稿のほうが勝ってたような…）

>>373
結局どれが一番お勧めよ？

新井をやってから、伊藤とか？

>>383
漏れの意見では盛田だが、時間をかけるなら

(1)新井or志賀浩二 （省略可）→ (2)盛田 → (3)伊藤（できれば）

(1)は完全初心者の場合、測度・σ加法性のイメージ作りにはよい。（が、積分理論部分はヌルすぎ）

(2)は導入部も長く丁寧なので、これだけでもたぶん十分。（「導入が不要な
ら飛ばしてもよい、独立した読み物」である第一章が50ページもある）

(3)は原典というかタネ本なので（参考文献に頻出）、最終的には見てほしい。

名作劇場にたとえると（たとえるな！）、アニメ→完訳→原書という感じかw

（ちなみに漏れ自身は溝畑→竹之内→三村（現代数学概説２）→伊藤→(ry
だた）

>>371
アマゾンの書評を信じるのは、数学板にくるものとしては
どうかと思うな。あの書評はむごい。
できの悪い学生が、落ちこぼれた恨みで教科書を叩いている感じ。
特に、いわゆる名著ほどターゲットにされている。

逆に名著であるという評判だけでマンセーしてる書評も
それはそれで気持ち悪い。

amazonの書評も、もっといろんな奴がたくさん書けばいいんだよ。
名著は自然といい評価が多くなるだろうし、逆もまた然り。
民主主義でいこうぜ。

>>387
名著だと思ったならマンセーしてもいいんじゃないか？

>>387
むしろ、名著であるという評判だけで貶しまくっているのが
アマゾン・クオリティｗ

>>387
名著だと思ったならマンセーしてもいいんじゃないか？

ごめん。連続してもた。

>>387
名著だと思ったならマンセーしてもいいんじゃないか？

名著がいい本なのは分かってるから
むしろマイナーだけどいい本がプッシュされて欲しいような気がする

393 に同意だが、「名著けなし」はサルでもできるｗ
「マイナーだがいい本探し」は眼力ないとできない

>>392は別人だ。そこまでしつこくレスしていない。

>>392は別人だ。そこまでしつこくレスしていない。

>>387-396自己演乙

さすがにルベーグとして高木の解析概論を持ち出す香具師はいないのな。
ところで、高木なんかをちゃんと読んだ奴いるのか？俺は立派に軽装版を本棚につん読だ。
高木の範疇だとじっくり読むより、しっかり計算できることが大事だと思うのだが？

>>398
すれ違いになるが、解析概論の良さは例や演習問題が豊富なことで
その「しっかり計算できる」ようになるための本だと思うが。
下手なコピペ本は、枝葉を切り落としており具体的な計算例に乏しい。

例が豊富すぎて読めない→高木の古臭さだけ眺めて叩くって感じｗ

>>398
高木の「Ｌ積分論」w 部分は用語等古すぎるうえ記述も不親切すぎるので、
さすがに薦められないが、思想的には一つの原点をなしている。これの位置
付け・評価については、
ttp://www.math.tohoku.ac.jp/~hattori/kaiseki1.pdf
の末尾にある文献表のコメントが参考になろう。（河田・三村「現代数学概説２」が高
木路線の徹底化であるという意見には特に同意。河田・三村の詳細さ、飛躍のなさは伊
藤なみで、たいへん読みやすいのでお薦め。）

なお上記コメント中の、「測度正で疎な閉集合」およびその応用として「リー
マン非可積分で、ルベーグ不定積分の微分が各点で元に戻る関数」についての
記述がどの日本語教科書にもないという批判は、その後出版された盛田にはあては
まらないことを注意しておく。

さすがに服部先生の講義ノートはよくできてるな。文献への
コメントもしっかりしている。

「測度正で疎な閉集合」あたりの注意も、今はけっこう知られるように
なったんだが…
へたにそういうことを２ちゃんで書くと「数ヲタのオナニー」とか、
わかってもないのに茶化すヤツが出てくるので書きにくいんだよな。

>>387
書きたいヤツが書いてあの状況。
書評に書くのに制限ねーだろ。

>>399
>すれ違いになるが、解析概論の良さは例や演習問題が豊富なことで
>その「しっかり計算できる」ようになるための本だと思うが。
それは高校時代に既にチャート式や大学への数学の演習問題とか解探II、学コンあたりで終わってる。
大学に入ってから微積の計算演習を再び繰り返すまでもないだろ？
それとも教科書傍用の問題集とか受験参考書あたりをすっとばして解析概論から手をつけたのかい？
それなら話はわかるし、実際そういう奴もいるらしいが。

疎な集合て？
じゃ、密な集合って何？

あくまでも受講生用に用意した資料なので勝手に読まれては困ります。
不正アクセスで訴訟起こしますよ。

↑あんた誰だよいきなり。

>>403
痛い知ったかみっけｗ

>>400,>>401
服部ノートの
>「測度正で疎な閉集合」およびその応用として「リーマン非可積分で、ルベーグ不定
>積分の微分が各点で元に戻る関数」についての記述がどの日本語教科書にもないとい
>う批判

は大嘘. たとえば1965年刊の吉田洋一にもくわしく載っている（巻末付録の「反例集」）.

「測度を最小限にした意欲作」にしても, 一松信のほうが重要文献と思うが知らないようだ.

講義ノートの註釈（証明不備の指摘etc）等を見る限り, 服部氏は参考文献にあげら
れている本以外にはほとんど目を通していないとみえる.
伊藤清三批判としては面白いノートだが.

>>404
内点をもたない集合を縁集合という。「うすっぺら」という感じ。
閉包が縁集合である集合を疎な集合という。「まばら」という感じ。
ちなみに、疎な集合の高々可算個の合併になっている集合を第一類集合という。「やせた」という感じ。

密なほうは、稠密集合・完全集合・凝縮集合・第二類集合などの概念がある。

位相空間の本嫁。

測度・積分論 / 西白保敏彦はどうよ

誰も元論文嫁とか言わんのな。仏語から勉強しろとか。
それにしても、日本語はあいまいだし、単語が変に難しいから英語でお勧めっていうのないか？

二番煎じの解釈本を熱く語る価値なんてないだろ？伊藤清三にしても・・・
兄貴の業績は価値あるけどな。

>>411
お前フランス語読めるの？

数学者になろうと思えば最低4カ国語は必要だろ？

>>373-374
小谷と「測度と積分」は同じ本なのですが・・・

何か他スレで、妙に猪狩さんがネタになってるねｗ

>>411
Rudinさんの本とか

>>415
測度と確率だったような

それにしてもいい時代になった。
数学に限らず特定分野の良著なんて実際にその分野の専門家に口伝で聞くしかなかったのに
ネットのおかげて簡単にそういった情報が入手できる。
どれで勉強すればいいかって情報はすごく大事だからな。
ルベグ積分なんて全く学生時代のカリキュラムになかった工学部出身の俺としては全く有難い限りだ。
あとは老体に鞭打って勉強させていただくよ。
それにしても書店の数学関連書籍の売り場面積ってめちゃくちゃ減ってるな。
紀伊国屋でも旭屋でも15年前の半分ってとこかな。しかも廃刊になったり、リクエストに何とか答えて復刻したり。
数学屋さんも大変だな。仕方がないので出身大学の図書館に行ってきた。

>>416
そう、確率だった。同じ本の評価が異なるのが気になったんだよ。

>>417
アマゾンで買わないと。それか神保町。
紀伊国屋は図体がでかいだけで学術書を買うための本屋じゃない。

＞特定分野の良著なんて実際にその分野の専門家に口伝で聞くしかなかった
院以上では今でもそれに近いかも
自分のサイトで書評を公表してる院生とか研究者とか居ない限り

>>419
アマゾンでいきなり買うのは簡単だが専門分野じゃないこういう本はまでいきなり買うと保管スペースがいくらあっても足りん。
実際見てからアマゾンで買うことにしてる。

>紀伊国屋は図体がでかいだけで学術書を買うための本屋じゃない。
それは最近の話だ。適してるかどうか知らんが昔は数学書は今の倍ぐらいあった。
今でも俺の専門分野なんかはそれなりに充実してる。つまり、採算ベースに合わないものはそれに見合った対処してるだけだ。

池袋のジュンク堂がおすすめ。

>>420
>院以上では今でもそれに近いかも
書籍はたしかにそうかもしれんが、工学の場合は半世紀も前の書籍が通用する世界じゃない。
1世紀前の書籍読んで云々は教養までだな。こういうのは院試と資格試験以外でお目にかかることはない。
あと主要なものは書籍じゃなくて論文を読んで対処しないとだめだな。
本になるのを待ってる間に過去の遺物になってる場合が多い。

>>422
読むだけなら大学の図書館がいちばんいいよ。数学みたいに新刊が少ないものはほぼすべて揃ってる。
ジュンクは皆がべたべた触ってるから買う気せんだろ？

＞工学の場合は半世紀も
生命科学の場合は15年も（りゃ

15年なんてとんでもない古だよ。といいながらも半導体の進歩はほぼストップしたけどな。次が全く読めない。
これまでの経験則が通用しない時代になってしまった。

>>420
院以上ってリサーチャなのに書籍なんか読んでて研究になるのか？書籍読むのは学部までだろ？
当然読むのは論文だよな。

学部までで例えば代数幾何ならSGAとかまで読破するのが最近は普通なのか
凄いな

>>426
つか半導体の研究者のレベルは低下してるだろ？
工学部の電気系なんて、昔やってた量子力学の
講義をやらなくなったりしてるらしいじゃないか。
徹底した実験主義の弊害で頭が悪くなったんだろう。

>>427
数学科では工学部と違って学生の頭が悪いから
卒業論文とかは無いんだよｗ
どうせ学生には無理だから

>>415
違うよ

>>412
ルベーグも含めて、微積とか線形とかの基礎数学は｢二番煎じの解釈本」しかありえんだろ。
開発者は複数だし原論文は古すぎだし

>>429
>工学部の電気系なんて、昔やってた量子力学の
実情もなーんも知らんあほが生意気に。
量子力学を工学部の専門のカリキュラムで履修させるような大学自体がゴミよ。
あんなもんは工学部、理学部にかかわらず、物理の一般教養カリキュラムだ。実質物理事情には全く無関係の数学屋は知らんが。
もし、どういう理由かわからんが、カリキュラムの大枠変更があって専門に入ってから履修させるとしても、
学科が細分化されて、電気系というような大枠が消滅する大学が減って、半導体を扱う学科は電子物性とかの別学科になったんだ。
主にシステムを扱う電気系で、量子力学の履修を必要としない学科も中にはあるんだろう。
実際、俺自身実務で必要になったことなんてないしな。
しかし、半導体を扱う学科で量子力学を履修させないような大学があるかよ。
理系として、世間で生きていくのに必須な知識すら持ち合わせてない数学屋は工学部の心配するより自分の就職の心配でもしときな。
つーか数学科出身でアカポスの目処がなければプロ不合格の棋士と同じでゴミだけどな。

誤・・・電気系というような大枠が消滅する大学が減って、
　　　↓
訂正・・・電気系というような大枠で入学募集する大学が減って

数学という学問を作る人間は必要だ。しかし、それができず大学を去る数学屋は世の中が必要としていない。

>>432
そこで「よくわかる」「単位が取れる」ですよｗ

>>429
数学の研究者のレベルはそんなに向上してるのかい？
昔やってた講義をやらなくなったりしてるのは数学科とかでも同じかと
（いわゆるεδとかね）

>>433が教養で生命科学の人間とかと一緒に学ぶのと、
例えば物理学科の学生が量子力学の講義を受けるのを
同じレベルで語ってるのはどうかと思う
それに数学屋で量子力学に関連した研究をしてる人はいくらでも居るのに、知らないのかな
＞俺自身実務で必要になったことなんてない
＞世間で生きていくのに必須
どっちかはっきりさせてして欲しいな

というかそれよりも実解析の話に戻ろうぜ
工学部のカリキュラムとかあまり関係ないから

>それに数学屋で量子力学に関連した研究をしてる人はいくらでも居るのに、知らないのかな
そういうのは世間が必要としてる数学屋じゃない。必要ないね。大体、今頃量子力学の研究か？時代錯誤なんだよお前。
数学屋ってよっぽど焼きなおしが好きなようだな。そんなんじゃなにも新しいことは生まれない。

＞世間で生きていくのに必須
あほの数学屋がそういってくると思った。俺自身量子力学を必要とする業務ではないから経験を述べたまでなんだが、
理系として世間でいくて行くのに必須の知識なりスキルなりを言ってやるよ。
これはあくまでも大学以外に就職するときを前提にした話だが、
あなた、何ができますか？
ってことだ。会社はあなたに何を期待できますか？だ。
理系が生きていくには低レベル路線では、、
・機構設計できますか？　
・回路設計できますか？アナログですか？ディジタルですか？
・ファームウェア開発できますか？HDLは使えますか？Modelsimは使えますか？FPGAは使えますか？ASICは？
・ソフト作れますか？使える言語は？
もうちょっと上のレベルでいうと、
・会社に利益をもたらすような研究ができますか？
・どの学会のどの部会に所属してますか？XXの標準化を弊社技術に有利なようにまとめれれますか？
・何か特許お持ちですか？資格はどうですか？

答えてみろ。給料見合った何ができる？
まさか何もできないんじゃないよなぁ？会社は給料支払うんだよ損な、じゃなかった
そんなお前に。
フビニの定理を証明をできます。じゃ金にならねえんだよ。

続きはそういう関連のスレで。

何でこのスレで言うのか分からん
そういうスレがあるんだからそっちで言ってほしいんだが、、

＞世間が必要としてる数学屋じゃない。必要ないね。
誰も世間に必要とされてるとか言ってないけど、、
そもそも数学屋（と工学部の連中が呼ぶ分野）で、需要があるのって
せいぜい統計とか暗号理論とかくらいしかだろ

お前は金にならないから人類学科とか文学科とか哲学科とか天文学科とかは
全部要らない、と言うのか？

＞大体、今頃量子力学の研究か？時代錯誤なんだよお前。
量子力学そのものの研究してる数学者とか居るのかなあ

ってか一寸お前しか知らない専門知識を無駄に出しすぎだと思うぞ
それに数学科出身の人は結構（少なくとも海外では）
「会社に利益をもたらすような研究」してたりするよ？
プログラムのアルゴリズムの部分の考案とかね
一人じゃソフトを全部は作れない人が多いだろうけど（中には作れる人も居る）

お
>>406
同意

>>440
だったらこたえるな

いろいろ書いたんだが持ち出した事例があまりにアホすぎてアップするのやめるわ。

>せいぜい統計とか暗号理論とかくらいしかだろ

>プログラムのアルゴリズムの部分の考案とかね

数学者を目指してるならそれでいいが、もし就職なんかを考えてるなら明日にでも若者向けのハロワにでも行って
勉強して来い。このままテキトーに就職したらお前一生後悔するぞ。

なぜにそんなに喧嘩腰。
過去に数学やってる奴との間にいやな事でもあったのか。

The complex

＞・機構設計できますか？　
＞・回路設計できますか？アナログですか？ディジタルですか？
＞・ファームウェア開発できますか？HDLは使えますか？Modelsimは使えますか？FPGAは使えますか？ASICは？
＞・ソフト作れますか？使える言語は？

ほんと、低レベルｗ

多分昔仲の良い友人だった数学者（仮にKと呼びましょう）が
自分の好きだった女性に抜け駆けで求婚して（りゃ

>>446
>>447
スレ違い死ね

ってか工学部がどうの就職がどうのの話からして明らかにスレ違いだから

>>446
低レベルね。じゃぁさ。メルセンヌツイスタ漬かった長周期乱数MT19937を
明日中にXilinxのspa3で100MHzで動作させるように、Verilogで作っといてくれ。
テストベンチも含めてよろしくな。
極めて低レベルの数学科卒業の新人君にふさわしい仕事。できるよな。明日楽しみにしてるわ。

だからスレ違いだろうが。熱くなるなよおっさん。

なんだ、結局メルセンヌツイスタ考案したあのオッサンのおかげなのか

>>452
数学屋にとってこれぐらいは知ってるだろうからあえて書いてやったまでのこと。Cでアルゴリズム公開までしてたしな。
低レベル数学屋でもこれぐらいはできるだろ？
なんなら、M系列でもいいよ周期 2**31-1でいいや。メルセンヌツイスタ使う部分以外基本的に同じだから。
作業量としては同じだ。

＞メルセンヌツイスタ漬かった
オッサンよほど何か悔しいことがあったんだね。栗鼠寅に耐えろよ

「Lebesgue積分ｾﾞﾐ」スレにわざわざやってきてまで

＞フビニの定理を証明をできます。じゃ金にならねえんだよ。

と書きこむオッサンって、どんなヤツなのか興味あるよなあ。
グロタンスレに「EGAじゃあ金にならねえんだよ」と書くオッサンは
いないと思うので、フビニあたりがちょうど工学コンプの壁なのか？

すれ違いでももうちょっと引っ張ろうぜｗ

>>449
だからそれを含めてスレ違いを続けるなっていってんだよ

ルベーグ積分は非数学屋にとってコンプの象徴(2番目)
1番目はε-δ

それはお前の落ちこぼれた順番だろ？社会適合者君。

取り敢えず、自分は工学部だと主張する人間で、
スレ違いのレスを周りから指摘されても、まだ続ける人が、
少なくとも一人存在することは分かった

>>457
ルベーグ以前に、位相のイメージがつかめず逃げるように数学科卒業したってやつな。位相の前にε-δの単なる証明テクで
けつまづいてりゃ世話ないな。おまえには数学屋になる能力なんか初めからないんだよ。恨むなら親でも恨め。

このまま最後まで埋め立てるか。

457の社会適合者ですが、>>458=460さんは必死すぎだと思います(^^;

ルベグ積分以外の話題でこのスレを埋め立てたい人間が多数居ることも明白だな。
いこうぜ最後まで。その気になればあっという間に埋め立ててやるぜ。

適合してるからいいんじゃね？
社会適合者君

なんだこの工学部の変人は、、

>>465
もう出てくるな

ん？それで？

カウントダウン開始

>>467-468
まだ荒らし足りないのか？

>>469
お前荒らしだろ？

ルベーグの話だったのになんでこうなったんだ？

[崩れ]
パーマネントのアカポスを志望しながらも職のない人の総称。若い時分や
学振PDや任期つき助手をやっているうちは、普通は崩れとは呼ばれないが
厳密な境界はない。

***崩れの分類***

[ポス屑]
元崩れ。今じゃ百番煎じ論文すら書けなくなった。プロ市民化して
コネを激しく攻撃するが、自分が崩れたのは実力であったことは無視ｗ

[ゴミ]
誰も読まない百番煎じ論文くらいを細々と書いて、アカポスに
なんとかしがみついている人。カスやポス屑はいれない。建部崩れはここｗ

[カス]
百番煎じ論文すらほとんど書けず、多くは学位すらない。アカポス競争の
資格すらない最低層。

ゴミは駒場、カスは百万遍が名産地とされる

ルーべグ積分って何だ？

talk:>>473 ルーベグと書く人はどれくらいいるんだ？

ルベッグ

レベスグー積分蝉ってどんな蝉だ？

>>471
崩れの怨念
良スレは許さない

微分って何なん????

数学崩れの怨念も、工学屋の数学コンプ（フビニで落ちこぼれｗ）も
たいして変わらんわな。昔は、数学板荒らしの多くは後者だった。

どこぞの208も、工学ではないようだが数学コンプの社会人ｗ

>フビニで落ちこぼれ
自己紹介乙。カスだ罠。生きる価値ないから死ねよ。

せっかく覚えたフビニの定理で馬鹿にされちゃ生きていかれへんってか？
そりゃ狂う罠、ズ・タ・ボ・ロ

いい加減にしろ。

寝言ほざくな小僧

「数学科の就職って？ Part 5 」スレの 391 のｶｺﾜﾙｲ誤爆を見ると
向こうでも「小僧」「学生」とか煽っているのは同じオッサンなんだろな…

どうも、オッサンは本当にフビニで落ちこぼれたのかｗ
ルベーグを勉強しようとしただけでも、偉い偉いｗ

アホだね。つくづく。物事を知らんのもここまで来ると立派だな。
フビニの定理にしろ収束定理にしろ証明が必要なのは数学科だけだ。
それ以外の分野でははそれらの定理がexcuseなしに成り立つ便利な
道具ってだけでL^2空間を前提にして話を進めるんだ。
残念だったな、人様がやった証明をせっかくまる覚えにしたのに生かす場面がなくてな。

>>486 をLebesgue積分「ｾﾞﾐ」スレに書いて、何を主張したいんだろ？

数学科の人間がルベーグ積分を勉強している場所にやってきて
「必要なのは数学科だけだ」とわめくオッサンｗ

同じコンプでも因数分解は役に立たないとか喚く文系とは一味違うなｗ
フビニまで来ただけで立派なもんです。はい。

目糞鼻糞

>>486
〜が成り立つことが知られている、だけで良いよね
高校の微積とかと一緒で

ってかルベーグ積分の結果って数理ファイナンスとかで使うんじゃないのかな

>>457
漏れは数学できないけど、ε-δとルベーグ積分が
数学できないヤツのコンプレックスの対象になってるってのは
よく理解できるよ。

だけど本当に数学できなかったことを自分自身が理解してる人は、
理解できてる人に対して「すごいなぁ。漏れもあんな風になりてぇなぁ」
としか思わない。で、実際わかるようになってみるとε-δって直感的にも実に単純明快で
難しいことなんてなにもなかったわけで、ルベーグ積分もそんな感じじゃないかと思うんだが、
そうなってくるとますます反感やコンプレックスの対象には成り得ないわけよ。

一連の工学屋の人は自分とは違う感じがする。
計算はよくできて高校数学は得意だった人がε-δやルベーグ積分に触れて理解できずに
高校数学で学ぶスタイルのまま就職したら金たくさんもらえたんで
落ちこぼれの烙印押された数学の理論的な部分（証明）を逆恨みしてるんじゃないかなぁ。
自分が頭が悪いことを結局最後まで認めることができないとこんな風になるんじゃないかと。

よー！劣等生自己紹介乙

ε-δ分からない人のほうが良く分かりませんでした

数学科で多くの香具師が苦手に思ってるのは位相だ。部分集合の"族"の部分をうっかりすっとばしてたり、
距離空間以外の、具体的な目的とかイメージが沸かず苦労する。上っ面にしか過ぎんεδなんかを概念としての
ルベーグ積分と対比させてよく事例に出せたな。εδなんかは練習問題こなせばすぐに慣れる。習熟の問題だ。
ルベーグ積分のほうは難しいというより全部証明追っかける労力が大変という話。

>>491
なりてえと思ってるなら努力するのが普通だが、努力もせず指くわえてみてるだけか？

集合と代数をみっちりやってからやれば、位相とかルベグ積分も難しくない筈なんだが。


逆に言えば、それに習熟してないでそれらをやろうとするのは
戦車に爪楊枝で突っ込むようなもんだな。
よくやるよなあと思う。

>>492
漏れは劣等生どころか学生ですらないからそういう煽りはピンとこないな(；´Д｀)
しかしわからないなぁ。なんで逆恨みすることがあるのかねぇ
他の分野の事柄を持ち出して、どうだ？わからないだろう？て書くのは中川もやってたな。

ま、ひっこんでれば？

なんで？

500はおでがもろとくでな。

>>496
集合はわかるが代数？

微積の間違いじゃない？

昨日、解析概論で飛ばしてた章のルベーグ積分の片鱗にちょっと触れた。
訳わかんない。

「１対１の写像が作れる集合同士は、濃度が等しい」という概念が気持ち
悪かったが、めげずに途中の証明にあちこち詰まりながらもさらっと最後
まで読んでみた。

ルベーグ積分の例としてディリクレ関数のような極端な例を使ってるのが
多いのですが、そんな極端な関数ってそうそうあるもんじゃない気がする
ので、習得しても何に適用できるのかというイメージが涌きませんでした。

ルベーグ積分って物理で使いますか？使うんだったら多様体の写経が
終わったらこのスレの本を買ってみる。

>>503
“変な”関数が積分できるようになったから嬉しいのではなく，「積分可能」
な関数が極限操作について閉じるのが嬉しいの。

ディリクレ関数にしても，ただの三角関数から２回極限をとっただけで到達
してしまう．

実生活では有理数しか使わないのに，微積分には実数が不可欠なのと同じ。
（量子力学で用いるＬ２空間の完備性はルベーグ積分により保証される）。

ただ，微積をやるのに実数の論理的構成論を逐一理解しなくてもよいように，
積分の計算にルベーグ積分の構成論が要るわけではないから，「積分をルベー
グの意味で（広く）考えておけば，極限操作が安心して行え，関数空間も完備
になる」とわかってさえいれば，構成論を逐一理解する必要はないような？

>>503
有難う。極限操作がキモなわけですね。

>（量子力学で用いるＬ２空間の完備性はルベーグ積分により保証される）。
ゆくゆくは一般相対論や量子力学を勉強したいと考えてます。物理に時間を
割きたいのに数学に時間を取られ過ぎ...

>積分の計算にルベーグ積分の構成論が要るわけではないから，「積分をルベー
>グの意味で（広く）考えておけば，極限操作が安心して行え，関数空間も完備
>になる」とわかってさえいれば，構成論を逐一理解する必要はないような？
そうですか。じゃあルベーグ積分の構成論にあまり拘らずに、他の分野を攻め
てみます。次は群論と位相空間を攻めてみるつもり。

>一般相対論や量子力学を勉強したい
勉強か？それとも職業としてやるってことか？
一般教養程度でやる学生の勉強という意味ならL2空間すら必要ない。
職業という意味ならこれら二つは全く異なる職業になる。
あと、L2空間を前提にするというのはホントにそういう積分が必要かどうかじゃなくて。
一様収束性をいちいち吟味する手間をすっ飛ばせることに意味がある。
濃度にしたってそう。lim k(1,0) としてもベクトルがぶちきれることが無い(ぶち切れてもらっちゃ困る)から、
アレフ1なんて濃度を妄想してるが、そんなものは脳内にしか存在しないし、物理的な濃度には対応しない。
そもそも物理では有理数と無理数をそれぞれ分けて考える必要なんてない。
ただ、物理現象ではなく、考え方として脳内にしか存在しない確率論(特に測度論ベース)を扱う場合は
ルベーグに手を出さざるを得ない。

>506

>勉強か？それとも職業としてやるってことか？
学部でやる学生の勉強で充分です。ただのサラリーマンの趣味なんで。
別に将来論文を書く訳ではありません。

まあ挫折するかもしれないけど一読の価値はあると思うので区の図書館に
伊藤清三本の取り寄せの予約を入れておいた。

助言ありがとうございます。

いや、だから伊藤清三は止めたほうが。。。。。。。。。。。
新井か吉田の方がいいよ。

どうでもいいけど、数学の本を買うなら大学の生協だよ。東大か京大の生協が品揃え最強。
一回行けばわかる。伊東清三なんてつねに在庫有り。周囲で立ち読みしてる学生に頼めば
買えるっしょ。

買うならアマゾンでいいんだよ。他人の指紋ついてないし、何冊買っても重い目しなくてもいいから。
生協は書籍は安かったかな？学生に頼めばって？カード提示求められるのか？
区の図書館で借りても返却日までに絶対読めないので多分どんな本か確かめるだけだと思うが、
それなら大抵の国公立の理工系の大学の図書館に行けばここらの本は初版から全版揃ってる。
立ち読みじゃなくて、机と椅子に座ってゆっくり読めるし。
私学でもあるだろうけど、卒業生以外に一般開放してるかどうか知らん。

測度の有限加法族をR^N空間に拡張する時の証明が分からないっす。

Z=X×Y(直積空間)とし、Ωe、ΩfをそれぞれＸ，Ｙの部分集合の有限加法族とすると
Ｚの部分集合でK=E×F(E∈Ωe、F∈Ωf)
の時、

K^c = (E×F)^c
　　　　↑ここから
= (E^c×F)+(E×F^c)+(E^c×F^c)∈Ωk
なぜこれに展開できるかが分からないです。

難しい…

>>509
頼まなくても買える

>>511
直積の定義判ってる？ E×F={(x,y); x∈Eかつy∈F}
(E×F)^c={(x,y); x∈Eでない または y∈Fでない}
(E^c×F)={(x,y); x∈Eでない かつ y∈F}
(E×F^c)={(x,y); x∈E かつ y∈Fでない}
(E^c×F^c)={(x,y); x∈Eでない かつ y∈Fでない}
長方形のベン図でも書いてみ。

こんなんがわからんようじゃ、積分論やる以前に集合や論理の復習が必要だな。

Fc !!! ***
F　　　　###
　　　E Ec
EcxFc = !!! + *** +　###

ちなみに
FcxE -> !!!
FcxEc -> ***
EcxF -> ###

しもうた・・・間違った。xy座標で陣取りやってみ。

Fc !!! 　***
F　　　　###
　　　E 　Ec
(ExF)c = !!! + *** +　###

ちなみに
FcxE -> !!!
FcxEc -> ***
FxEc -> ###

数学科って大変じゃの。こんな直感でわかることも一々言葉で説明せにゃならんとは。

いや普通に分かりにくいから
単に2×2の表書きゃいいだろ

でもベン図でわかることでも文字で説明するのが数学だと、集合論のせんせが言ってたぞ。

しかし、非英語圏でこれだけルベーグ積分関係の書物が出版されてる国は日本ぐらいじゃないか？
フランスやロシアはどんなもん？

数学というか集合論というか
公理的集合論だろ

フランスとかロシアとかドイツとか東欧は結構出版されてると思う
ただ日本人が知らないだけで

>>513
なるほどん。理解できました。ありがとうございました。

＞こんなんがわからんようじゃ、積分論やる以前に集合や論理の復習が必要だな。
返す言葉もございません。(´･ω･｀)

集合入門　松坂和夫
これでやり直します。

このスレで挙げられてる本いくつか買ってみた。
内容以外での感想

伊藤 -> 初版40年前だが、解析概論にあるような現代日本人が読むのに苦労するような文章は皆無で、
しかもフォントが小さいのに読みやすい。やっぱこの本いいわ。ちょっと高いけど。解析概論はいきなり初学者
が読むのはどうかと思うが、ルベーグはこの本で読み進めてぶちあたったら、他の本をあたるのがいいようにオモタ。

盛田 -> タイトル通りレクチャー風でかゆいところに手が届くような感じ。ただ、だんだん読んでるうちに、
なんだが語調がうざくなってくる。で、すごく目が疲れる。伊藤よりずっと大きいフォントなんだけど、
どうも数種類のフォントで書かれててページによって文字の大きさが違う。
もっと厚くなってもいいので、見やすくしてくれって感じ。肩が凝ってかなわん。
あと和書ではめずらしく伊藤を参考文献に挙げてないのねこれ。

小谷(測度と確率) -> 一番分厚いけど、全文字数は伊藤、盛田と変わらんのじゃないか？かなり見やすい。
西尾の確率論やるより確率はこっちでべんきょしよって感じ。盛田はこの本は参考文献に挙げてるのな。

結論
このスレの>>1は正解だわ。やっぱ伊藤がいいわ。全くルベグを知らない人はわからんが、
伊藤をメインで盛田、小谷を併用してやってこうかとオモタ。

＞解析概論にあるような現代日本人が読むのに苦労するような文章は
そうかなあ、、
あの本全部読むのに20回以上国語辞書
引かないと読めなかった奴とかいるか？
常識的な知識があれば10回も引く必要ないと思うけど、、

それとも簡潔すぎて読みづらい、という話？

I use a Japanese dictionary more 30 times per one page, when I read the book.

Where are you from?

>>523
＞フォントが小さいのに読みやすい。

これは裳華房全般に言える気がする。一見細かくてゴチャゴチャしてるように
見えるのに、読んでみると簡にして要を得た印象を受ける。

1セクションが1〜2ページという短いまとまりとして目に飛び込んでくる編集
がいいのかもしれない。（岩波とかだとフォントはきれいだが字が大きすぎて、
セクションの区切りがどこかすぐにわからないため、ゴールの見えない迷路の
中みたいな印象になるんだろう）

翻訳書である「ミクシンスキー 演算子法」とかでさえ、まったく同じ感じに
なっている。実に読みやすい。

裳華房のこのシリーズはフォントよりも行間が広いんだよな。目が疲れる本の多くが行間が狭い。
電車の中で中国語の本読んでる奴見かけたけどあれギョッとしたなぁ。
行間が狭くて、ページにぎっしり漢字ばっかり並んでて、まるでASCII　第二水準表で
隣で眺めてるだけで気分が悪くなった。
日本語はひらがなとかカタカナがあってテキトーにスペースがあるから読みやすいことを知った。

しょせん個人の趣味の問題だな

もう少し上にいくとタイプライタのままで
フォントは一部手書きなんて普通にあるからね

見にくい本も困るが
最近、見やすいだけでどうもしっくりこない本って結構多い。
多分、一見、見やすい本の方が売れるんだろうけど、
一頁あたりの目に飛び込んでくる情報量が少なくて、かつ総頁数も抑えられて、あまり厚くならないようにしてる。
結局、総情報量も少ない。そのくせ値段は一人前。
共立の21世紀の数学シリーズあたりがそんな感じ。

伊藤清ってどう？

>もう少し上にいくとタイプライタのままで
>フォントは一部手書きなんて普通にあるからね
上って？つーかそんな本は大学の講義で使うような自費出版書だけだろ？
論文なら分かるが。そんな本売ってるならお目にかかりたいもんだ。

ドイツ文字のIとJはどうやったら見分けられるの？どこが違うのかさっぱりわからん。

>>533
Skolemの集合論の本買ったら
> タイプライタのままで
> フォントは一部手書き
だった。でもそんなん普通かねえ？

あと、ドイツ文字をノートに書くときみんなどうしてる？なんかいい工夫があったら知りたい。
F→FFとか書くのはどう？

Fは活字の見た目を真似て書いてるなあ。
AとBは
http://www2.neweb.ne.jp/wc/STEINER/text-16.html
の通りに書いてる。
Cは普通のCの頭に適当にひげをつけただけ。

>>534
大文字に違いはない。

THX
しかし。この筆記体のBとCとLって最新の注意が要りそうね。
IとＪのフォントは同じみたいね。続く文字で判断するって・・・じゃ集合族を一文字で表したんじゃ判別不能じゃん。
これを廃止したヒトラーは偉いな。

>>539
Wikipediaによると、IとJに違いがあることもあるし
ないこともあるようですな
http://ja.wikipedia.org/wiki/ドイツ語アルファベット

>>533
Universitextの古い奴とか大学の講究録（手書きも多いけど）とか
Morse Theoryの古い奴とかもそうだしSGAとかだってそうでしょ
大学院生以上しか読者として想定していないような本には意外と多いと思うよ
もうTeXが多いと思うけどね

>>536
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/3540208798/250-4035052-8462604
に書き方が書いてあったと思う
まあ結局はYou can invent your own.(Feynman)なんだろうけど

http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/3540208798/250-4035052-8462604
って4版なのに未だに手書きってすごいな。

いや、単にドイツ文字の書き方ってコーナーがあるだけｗ

amazonなんかにリンクしてるけどネットで落としたでしょ？

裳華房の数学選書って絶版になってたの？
復刻版で当社割り当て分って書かれて本屋に並んでた。

>>545
近々数学選書全巻がｿﾌﾄｶﾊﾞｰに切り替わる

竹之内が1978年数学セミナーで執筆した"ルベーグ積分とは"という記事と、
倍風館の"ルベーグ積分"に目を通したあと、伊藤で勉強中です。
上の二つではジョルダン内測度が登場し、それだと点の長さが測れないという理由でルベーグ外測度が登場し、
外測度だけで長さを測るメリットが書かれてますが、伊藤の測度の章を読んでも内測度が登場せず、
もひとつ動機付けの部分がよく分かりません。有限加法的測度==ジョルダン測度と書かれていますが、
P18の有限加法的測度から、ジョルダン内測度==ジョルダン外測度をもって測度とするジョルダン測度を読み取れるのでしょうか？
どうも竹之内に書かれていたようなルベーグ測度の利点が伊藤からはすごく分かりづらいように思うのは読み方が浅いんでしょうか？
カントール集合は登場しても、ﾊﾙナック集合も登場しないし、どういう理由でルベーグ測度や空手踊りの外測度を用意したか？っていう部分がよくわからない？
あと、積分の定義にしても、∫fdμ=Σa_jμ(E_j)とありますが、ここから直ちにyの値域分割が読み取れるもんでしょうか？
確かに式の意味を考えると値域分割ですが、それを言葉で明示して欲しい。
他書に一度目を通してからでないと、伊藤本からルベーグ積分をイメージするのはかなり難しい気がするんですが？

伊藤では
σ加法族、σ-algebra、ボレル集合体という用語が登場し、
σ加法族 ⊇ σ-algebra = ボレル集合
になってますが、それでいいんでしょか？
σ加法族 = σ-algebra = σ集合体　⊇ボレル集合
であって、ボレル集合はある集合uを含む最小のσ集合体だと思ってたんですが。

>>547

>もひとつ動機付けの部分がよく分かりません。
伊藤のルベーグ積分入門をバイブル本に思ってる人には申し訳ないが、
恐らく多くの人がもっとも知りたがっているモチベーション部分、測度、積分の定義ぐらいまでは他書でやったほうが正解かと思われ。
漏れも可測関数の定義として他書で見たことのないE(f>α)∈Bには参った。

>>548
たぶんあってると思うけど
ボレル集合族としたほうが妥当だと思うYO!

てか伊藤の本にでてくる用語や記号は
一般的に通じなかったりするものも含まれてるから
気をつけたほうがいいかもね

>>549
>モチベーション部分、測度、積分の定義ぐらいまでは他書でやったほうが正解かと
やっぱりそうなんですか。。。がっくり。
そこが一番知りたいとこなのに。

>他書で見たことのないE(f>α)∈Bには参った。
f^-1で定義するやり方と違うので調べてみて同値であることを知った。

>>550
thx
>ボレル集合族としたほうが妥当だと思うYO!
そうでしたボレル集合体についてです。
>ある集合u
これもΩに含まれる任意の集合uですね。失礼しました。

>一般的に通じなかったりするも
うわッ！そりゃ大問題っす。アマゾンの書評でこの本の測度は古すぎるってなってましたがそうなんですかね？

ルベーグ積分の定義で

∫f(x)dμ(x)=Σa(n)μ(A)

と書きますが、
一般にR上で定義された関数f(x)を積分する場合、
可算数の加算を表すΣで非可算無限集合R上での加算を表現すること自体しっくりきません。
ルベーグ積分だけでなくリーマン積分の
lim Σk=0..n f(k/n)(1/n)
で[0,1]の定積分を定義するやり方も同様ですが、有理数濃度の可算は表せても、
無理数濃度の可算をΣで表現すること自体、無理なんじゃないかと？

>>551
洋書とか読めばわかると思うけど
一般的に通じない記号や用語が出てくるのはざらですよｗ

記号や用語に惑わされずにその内容・意味をちゃんと理解しておくのが大切だと思います。
「あなたはどういう意味でその記号（用語）を使っているのですか？」と聞かれたときに
ちゃんと答えることができれば無問題です。

>>552
いろいろ混乱している気がするので
もう一回本を読んでみましょう。

>>552
積分以前に測度で理解したほうがいい。可算性は測度論・積分論の本質だし。

連続無限濃度の図形の面積を、可算無限個のタイルで近似するのはちっとも変ではない。
近似に使うタイルのほうも連続無限濃度だから無問題。個数を可算に制限してるだけ。
（というより、有限個に制限していたのを可算個まで認めたのがジョルダン→ルベーグ
のブレイクスルーだった）
もし連続無限個のタイルを使っていいことにしてしまうと、一点の面積が0であるこ
とと、図形が一点の連続無限個の集まりであることが矛盾してしまう。（0は連続無
限個足しても0のはずだから）

こんな説明でわかるかな…

>>555
>もし連続無限個のタイルを使っていいことにしてしまうと、一点の面積が0であるこ
>とと、図形が一点の連続無限個の集まりであることが矛盾してしまう。（0は連続無
>限個足しても0のはずだから）

この部分を教えてください。
ディリクレ関数Xの積分では
∫x∈有理数X(x)dμ(x) + ∫x∈無理数X(x)dμ(x)
と書けて、右項については無理数上の積分は零集合上の積分となので0、
左項も
1×dμ(x)=dμ(x)を可算無限個足して0、
従って、ディリクレ関数の積分は0

次に、関数Y(x)=有理数で0,無理数で1という関数を考えます。
∫x∈有理数Y(x)dμ(x) + ∫x∈無理数Y(x)dμ(x)
今度は有理数上が零集合となるので左項は0
右項は、
1×dμ(x)=dμ(x)を連続濃度回数足すので値を持つ。
従って、∫x=0 to 1 Y(x)dμ(x)=1

結局、
∫X(x)dμ(x)=0,∫Y(x)dμ(x)=1の違いは同じ0である点の面積であっても
その加算回数である有理数濃度と無理数濃度による違いであって
0x可算無限=0
0x非可算無限≦∞
という解釈はNGですか？

＞有理数濃度と無理数濃度に
取り敢えず有理数濃度とか無理数濃度とかいう言い方は止めた方がいいかと
有理数の濃度、無理数の濃度だったら分かるけど

>>556
前半は正しいが、後半は間違い。

測度は可算加法性をもつ（ように定義する）ので、図形の測度（面積）を可算無限個
のタイルで近似できる。（というかその方法で測度を定義すると可算加法性を獲得でき
る、というのがルベーグの発見）

ともかく、可算分割して合計、これはしてもよい。だから有理数の測度が0であることも、
一点の測度が0であることから
>0x可算無限=0
を理由に結論してよい。

しかし、非可算集合の測度については、非可算分割して合計はもちろんだめなわけだが、
非可算であることだけを理由に測度>0を言うこともできない。
実際、「カントール集合」のように、非可算濃度をもつが測度0である例がある。

>1×dμ(x)=dμ(x)を連続濃度回数足すので値を持つ。
>従って、∫x=0 to 1 Y(x)dμ(x)=1
というわけで、ここが正しくない。>>555は「矛盾してしまう」から「連続濃度回
足す」ことは「 許 さ な い 」、と言っているわけであり。

なお[0,1]区間の無理数全体の測度が1という結論は、[0,1]区間の有理数全体の測度が0であることと、
[0,1]区間の測度が1であることから、差としてわかることである。（２つに分割したときの加法性）

>で[0,1]の定積分を定義するやり方も同様ですが、有理数濃度の可算は表せても、
>無理数濃度の可算をΣで表現すること自体、無理なんじゃないかと？

人間は可算無限の極限しか操作できない、でも積分するには実数濃度は
避けられない、そこを「可算」だけで突破する限界を極めたのがルベーグ積分。

実数濃度をΣで表現するのは無理なのは確かだが、そこで引き下がらずに
頑張らなきゃダメ。

ジョルダン測度で完全加法性が成立しない理由がよく分かりません。
証明のヒントを下さい。

>>558
>測度は可算加法性をもつ（ように定義する）ので、図形の測度（面積）を可算無限個
>のタイルで近似できる。

なんとなく、ぼんやりとわかってきました。
測度空間となるσ集合体で可算無限回の結び演算について閉じているというのはそういうことだったんですね。
位相空間の定義を繰り返しただけと全く理解できておりませんでした。
しかもディリクレ関数というのは有理数点に位置する点を可算無限回数だけ加算したいがためのexampleであって
無理数部分については零集合としてしまい、言及しなかったわけですね。
だから上で挙げたY(x)みたいな無理数部位を直接演算対象とするような関数はexampleに挙げなかったと。

>なお[0,1]区間の無理数全体の測度が1という結論は、
この部分について教えてください。ディリクレ関数の場合はx方向1、y方向1なので面積1はすぐ計算できますが、
一般の実数で定義され、緩やかな変化をする連続関数y=f(x)>0を考えます。
x軸との間で挟まれた面積は
∫f(x)dx = ∫∫dxdy
と書けて、dxdyに相当する面積素の和とも解釈できるわけですが、
面積というのはこの面積素が領域内の全点(x,y)を覆うように、重なることなく寄せ集まって構成されてるわけではないのでしょうか？

>>560
＞ジョルダン測度で完全加法性が成立しない

ジョルダン測度は（測れる限り）完全加法性をもっています。誤解なきよう。
（ジョルダン測度もルベーグ測度も、（測れる限り）同じ集合に対しては同じ値を
もつので、よく考えれば当然でしょう）

ジョルダンの問題点は、ジョルダンの方法で測れる集合、すなわちジョルダン可測集合
が可算無限演算（合併、共通部分）で閉じないことです。（つまり測度ではなく可測集合
の全体が、有限加法族にしかならず、完全加法族にならないという点。）

実際、[0,1]の有理数全体は、有限個のタイル（区間）ではいくら細かい物をいくら多く使
っても、全体を覆おうとすると合計1以下にならないので、下からの近似（0）と一致させら
れず、ジョルダン可測ではありません。（可算無限個のタイルを使ってよければ、ε/(2^n)
のタイルで覆うことにより幾らでも合計を小さくできるので、上からの近似も0にできる）

一点はいくらでも小さい一個のタイルで覆えるから可測ですが、その可算合併である
[0,1]の有理数全体が可測にならないのでは、完全加法族をなさないことは明らかです。

>>561
＞位相空間の定義を繰り返しただけと全く理解できておりませんでした。

これは定義だけを解説なしに眺めたとき、初心者が見逃しがちな点と思う。位相空間
の定義では、開集合公理の場合、合併は「非可算」無限個、共通部分は「有限」個（閉
集合公理の場合は逆転）。可測空間の定義では、合併も共通部分も「可算」無限個。そ
れらの点こそが定義のポイントなのに、なんとなく「要するに合併と共通部分について
閉じていればいいのね」とだけ把握してしまう…

＞と書けて、dxdyに相当する面積素の和とも解釈できるわけですが、
＞面積というのはこの面積素が領域内の全点(x,y)を覆うように、重なることなく寄せ集まって構成されてるわけではないのでしょうか？

気持ちはそうだし、だからこそdxdyのような記号を使う（無限に細かく分けて、それを
集める、というのが微積分の元祖思想）。
しかし“0ではないが無限に小さい”面積をもつ「面積素」などというものは数学的に
正当化できない（まあ超準解析という話もあるが…）。
そこで、無限小でなく有限の面積をもつタイル（これは縦×横で直接面積を定義できる）
で上下から「近似」して、答えとして同じ面積S=∫f(x)dx = ∫∫dxdyを得ようとした
わけ。
最初にそれを試みたのがコーシー、続いてリーマンがそうやって「意味のはっきりした
量」だけと極限概念とを使って積分を「厳密に」定義するまでは、オイラーもニュート
ンも漠然と>>561のように考えていた（が、それでは深く追求すると論理的に破綻する）。

>>563
>位相空間の定義では、
>開集合公理の場合、合併は「非可算」無限個、共通部分は「有限」個（閉集合公理の場合は逆転)。
>可測空間の定義では、合併も共通部分も「可算」無限個。それらの点こそが定義のポイント

何度も質問してすみません。位相についてスレ違いですが教えてください。
Q1: 位相空間 ⊃ 測度空間 ですよね？

Q2: 手元に、静間の位相、斎藤の数学の基礎、小林良一の集合と位相があります。
位相の共通が有限個からなることはどの本にも書いてますが、合併時に集合のインデックスとしてiやλをつかい
i∈ I , λ∈Λとなっており、IやΛが何を意味するのか記述がないようなのですが、これが非可算ということを表しているのでしょうか？

Q3:　位相空間は共通部分を有限個とする理由はどうしてですか？測度空間の方は可算無限ですよね。

>>564
＞Q1: 位相空間 ⊃ 測度空間 ですよね？

違う。位相と測度は、とりあえずは無関係に定義される。（両方をもつ空間でこそ
両者のからみで凝った話ができて面白いが）

＞位相の共通が有限個からなることはどの本にも書いてますが、合併時に集合のインデックスとしてiやλをつかい
＞i∈ I , λ∈Λとなっており、IやΛが何を意味するのか記述がないようなのですが、これが非可算ということを表しているのでしょうか？

そうです。「添字集合」に特に条件はつけない（実際は実数の部分集合であることが多いが）。

＞Q3:　位相空間は共通部分を有限個とする理由はどうしてですか？測度空間の方は可算無限ですよね。

「位相空間は」というより、位相空間での「開集合」の定義は、だな。

たとえば閉区間[0,1]は、開区間(-1/n,1+1/n)の無限共通部分としてあらわされる：
[0,1]=∪_(n=1〜∞) (-1/n, 1+1/n)
もし開集合の無限共通部分も開集合だったら、閉区間も開集合ということになってしまう。

それどころか、一点{x}も(x-1/n,x+1/n)の無限共通部分だから、一点も開集合ということ
になり、非可算無限合併を許している以上、すべての集合が「開集合」になってしまう。

＞これが非可算ということを表しているのでしょうか？

＞「添字集合」に特に条件はつけない
だから、それだけで非可算ということを表している訳ではない、
と答えるべきかと

まちげーた

× [0,1]=∪_(n=1〜∞) (-1/n, 1+1/n)
○ [0,1]=∩_(n=1〜∞) (-1/n, 1+1/n)

>>566
つまり正確には、「非可算ということを表している」ではなくて、「非可算でもよい
ということを表している」だな

>>565
なるほど、モヤモヤしてた部分がかなりすっきりしました。ありがとうございました。
滅茶苦茶収穫が大きかったです。説明をうけてもう一度読み返してみましたが、
測度空間のほうはともかく、位相の方は、どうしても読み落としてしまいます。
もひとつ必要性がよくわかってないからだと思います。
連続濃度に対する結びとか、有限個数の交わりとか、数学科の授業ではこういう点に
留意するような注意はあるんでしょうか？

位相がわからないと数学はわからないと聞いたことがありますが、伊藤を読む限り、
位相に関する記述はほとんど見受けられません。
あえて、避けているようにも見えますが、ルベーグ積分を理解する上で、
位相に関する知識はどういう部分で必要になりますか？

ルベーグ積分は位相と完全に独立に定義できる。位相空間でなくても
一般の集合の上で測度・積分は定義できる。

しかし、位相空間の上で測度を考える場合、全ての開集合が可測集合と
なるように定義しないと、連続函数が可測でなくなる可能性がある。
結局、実用の問題を考えると位相とのからみで可測集合を定義することになる。

また数学としては独立であっても、位相を理解できる程度に論理を理解する
力がないと、実際にルベーグ積分を学ぶことは難しい。

位相空間論やルベーグ積分が数学科の学生が学ぶ上での壁になることが
多いのは論理力がないから。
極端にいえば、新入生の論理力ではε-δが壁になるのと同じ。

>しかし、位相空間の上で測度を考える場合、全ての開集合が可測集合と
>なるように定義しないと、連続函数が可測でなくなる可能性がある。
>結局、実用の問題を考えると位相とのからみで可測集合を定義することになる。

そうそう。開集合族が定義されているのが位相空間、可測集合族が定義されている
のが測度空間。両方が定義されている場合、可測集合族⊇開集合族であるのが望ましい。
すべての開集合を含むσ集合体をボレル集合族と呼ぶ（つまり「ボレル集合」は位相と
測度の両方がからんだ概念）ので、けっきょく位相空間では可測集合族⊇ボレル集合族、
つまりすべてのボレル集合が可測になるような測度空間を考えることになる。

実際、一般空間における一般測度でなく、数直線・数平面・d次元ユークリッド空間に
おける「ルベーグ測度」は本質的に実数の位相とのからみで定義されている。すべての
タイル＝長方形（区間塊, 基本集合）で生成されたσ集合体＝ボレル集合族上に完全加
法的測度「ルベーグ測度」が構成できる、という一連の話の基礎に、数空間における有
界閉集合のコンパクト性が本質的に使われる（歴史的にも、ボレルやルベーグが有界閉
集合のコンパクト性を認識せざるをえなかったのはこの文脈においてであったため、ボ
レル-ルベーグがボルツァノ-ワイヤストラスと並んでコンパクト性の起源のひとつとな
った）。

>>569,>>570
>連続濃度に対する結びとか、有限個数の交わりとか、数学科の授業ではこういう点に
>留意するような注意はあるんでしょうか？

>位相空間論やルベーグ積分が数学科の学生が学ぶ上での壁になることが
>多いのは論理力がないから。

同意。sup, infやε-δの議論テク ＋ 集合の包含関係などの証明テク がないと、位相
空間論や測度論を証明まできちんと追いかけて理解するのは難しい。

「連続濃度に対する結び」にしても、集合の合併は無限個でも「極限操作」ではなく
ただの論理だということがわかっていなければ理解しにくいでしょう。
たとえばE=∪_(λ∈Λ) Aλは、要するに「どれかのλについて、Aλに入る要素xの全体」
であり、あるxがAλに入るかどうかのcheckは任意のλ∈Λについて可能だから、x∈Eか
どうかは論理だけで証明・判定でき、Eに関する包含関係等の証明も問題なくできる。
そういう意味Eは明確に定義された集合であって、∪_(λ∈Λ)からイメージされる“無
限操作”は別にどこにもないんですよね。

>また数学としては独立であっても、位相を理解できる程度に論理を理解する
>力がないと、実際にルベーグ積分を学ぶことは難しい。

位相や測度の本では、論理や集合や極限は自由に使いこなせると仮定して書かれてい
て、そんなことまでいちいち丁寧に説明してないしね。
たとえば>>565の[0,1]=∩_(n=1〜∞) (-1/n, 1+1/n) などを、自力できちんと厳密に
「証明」できるか（直観による納得でなく）。そういう論理力が位相や測度には特に必
要でしょうね。
もっとはっきりいえば集合の操作力。濃度や順序のムズカシイ集合論でなく、ド・モルガン
みたいな。ド・モルガンの無限版を証明してみるといい。まさに上に書いたようなことの理
解が必要だとわかる。

>>569
＞測度空間のほうはともかく、位相の方は、どうしても読み落としてしまいます。
＞もひとつ必要性がよくわかってないからだと思います。

要するに,「開集合」とはなにか, どのようなものかってことの把握だよね.

開集合のもともとのイメージは, 同じ集合に属する要素を“仲間”と呼ぶと, どの要素
もまわりが“仲間”で守られてる, って感じかな. 外気にさらされた「境界点」がない, と.
しかし“まわり”って何？ 距離に依存しない定義をしようとすると近傍とかを使うこと
になるけど, じゃ近傍って何？ それは開集合の一種. っで堂堂巡りになるので, 近傍ま
たは開集合または閉集合または開核または閉包、のどれか一種を公理で規定してしまう.
どれでもいいが現在普通の流儀では開集合を規定する. そのとき,
>どの要素もまわりが“仲間”で守られてる
という状態を集合演算だけで表現する必要があり, 非可算合併と有限共通部分に集約で
きることに気づいた.（よくそんなことができたと関心するが…）
合併はいくらしても, 仲間が増えるだけだから問題なしだが, 共通部分は仲間が減って
いくので, 無限にやってるとまわりに仲間が１人もいなくなって外気にさらされる要素
がでてくる可能性があるのでまずい.

イメージはこうだが, 「開集合」を先に規定したため, むしろ“まわり”＝近傍 が
「それを含むある開集合」として定義されることになる.

極端な例として, すべての部分集合を開集合と規定しても公理には違反しない. この
位相では一点{x}も開集合, ということは自分1人でも“まわり”がある気分（？）で
いられるため, 1人1人がナワバリを形成してしまい, すべての点が孤立した感じになる.
これが「離散位相」.
逆に全体集合と空集合以外には開集合がひとつもない, と規定した位相では, どの要
素にとっても全空間でなければ“まわり”と認められないため, 全空間いがいのナワバ
リがどこにもなく, すべての点がダンゴにになった感じになる. これが「密着位相」.

普通は, この両極端の間で, 各点に適切なナワバリ意識を持っていただくわけです, はい.

>>573
説明ありがとうございます。んーと。
読み落とすというのは、
測度空間の方は初めに有限加法族があって、→完全加法族から可算無限個の結び交わりは頭に残る。
それに対して、位相のほうは上で説明していただいたような記述がないと、結びが"連続濃度"、交わりが"有限個"の部分を
見落としてしまう。ってことです。でも、なるほど無限交わりでは都合が悪いなと認識したにすぎませんが。。。

また、測度空間のほうはそれを定義することによる目的と必要性がはっきりしているのにたいして、
位相空間のほうはなんでこれを定義するのかよくわからない。必要性が把握できないから、方や有限個、方や連続濃度と言う記述を
すっ飛ばして、単に結びと交わりについて閉じた空間という部分だけ頭に残る。
ってことです。

追加です。

古い数セミで位相特集があったので借りてきましたが、まったく同じ部分でつまづいていたとことが卒業してからわかったという記事がありました。
あと集合Xの部分の集合を単にべき集合ぐらいにしか考えてなかったとかetc
こんなのは論理思考ができるかどうかより定義の仕方に問題あると思うけどなぁ。決して難しくてつまづく話じゃないでしょ。
斎藤の数学の基礎だと部分集合の族などといわずにべき集合の部分集合としてる。
これだと最大の枠組みを明示してその中の部分集合というわけだから間違えようが無いと思うんですが。
皆が同じ部分でつまづくのは、一方的に、つまづく側の責任だとも思えない。
証明テクに過ぎないε-δは面食らっても、わからないというのは結局演習問題をこなしてないからでしょ？一挙に理解できなくても演習を繰り返すうちに慣れてくる話で、
わからないというのは学ぶ側の努力不足だと思います。
それに対して、抽象概念である位相の方は、与えられた集合から位相を作れといった類の演習問題を繰り返してみても、
"これ使って何するの"っていう部分が明確にならないと定義の意図するところがわからない。演習を繰り返して位相に関する問題ができるようになったところで、
必要性を認識しないとわかったことにならない。
他分野から見ると
ε-δ、集合論、ルベーグ積分は何物か具体的にわかる。また必要性も他人に説明できる。その人が必要と思うかどうかは別にして、
でも位相って何よと。距離位相にある近い遠いの概念だけじゃどうも納得できない。訳語としてもphaseと同じというのは紛らわしくて非常にまずいんですよ。

ところで、
位相の交わりで有限個と書いてたのは小林の集合と位相だけで、あとは二つ集合A,Bの交わりを挙げてましたがこの二つってのは
有限個の意味でしょうか？うーん。最低限定義だけは一本化して欲しい。

連続濃度って何。

>>576
実数Rの濃度のことでしょ

>>575
・A_1かつA_2が開ならA_1∩A_2も開
これが条件として与えられていればA_iが開のとき
(A_1∩A_2)∩A_3も開、((A_1∩A_2)∩A_3)∩A_4も開etc.で
帰納法で結局有限個の交わりも開だよね

ブルバキの数学史の位相空間論とLebesgue積分あたりのところを読めば
歴史的経緯が分かるんじゃないかな
その上で位相はきちんと勉強した方が良いよ
Introductory Real Analysis (by A. N. Kolmogorov, S. V. Fomin \1,683 ）とか
位相が詳しく書いてあって良さげ

>>574
まあ同意。>>494に同じような意見があったね。

距離空間はわかりやすいが、逆に開集合だ閉集合だと声高に定義する意義がピンとこない。
一般位相空間は開集合・閉集合の存在だけから近い遠いができたと考えるが、距離にもと
づかないで近い遠いを定義する必要性がピンとこない。

まあアレだ、結局歴史的順序にしたがって、関数解析をやりつつ位相を学ぶのがいいん
じゃないかな。

漏れは森毅「位相のこころ」でかなり「意味」がわかった。（ブルバキレベルの内容
をあいまいな言葉で書くので、何言ってるかワカラン部分も多いが…）

あと開集合公理以外の規定方法もあるってことは知っておいてもいいと思う（上の本では
そのへんがよくわかる）。確かポントリャーギン「連続群論」の導入部では、位相空間を
閉包公理で定義していた。でも最近は開集合公理以外をほとんど見かけないけど。
（ルベーグ積分論でも、定義の仕方はいろいろな流儀があるのに、どの本も「どれか1つ」
しか書いてない。数学論理としては首尾一貫してさえいればそれでいいわけだが…）

ルベーグ積分のように流儀乱立だと複数読み比べたときに混乱するだろうけど、現在の位
相空間定義のようにほぼ一本化されてればそれでいいかというと、やっぱり「なぜそうす
るのか」がわからないままでイクナイと思うのだが…


>位相の交わりで有限個と書いてたのは小林の集合と位相だけで、あとは二つ集合A,Bの交わりを挙げてましたがこの二つってのは
>有限個の意味でしょうか？うーん。最低限定義だけは一本化して欲しい。

数学では「2を聞いてnを知る」のは常識だから…
A1∩A2が入れば、A1∩A2をA1, A3をA2と思えば(A1∩A2)∩A3が入ることがわかりetc

「位相のこころ」は良い本だけどちと難しいような

じゃ小針日見（あき）宏の『対話・現代数学入門』の位相の章とか
（ブルーバックスだったけど、日本評論社から出直した？）
逆にヌルすぎかもしれんが

いろいろな流儀があることをふまえて、定義を相対化した本がほとんどないのよ。
（「位相のこころ」はそういう本）
ルベーグ積分では皆無？

位相は関数解析で必要になるのか・・・？
数学科以外で関数解析ってどういう場面で使われるのか知りたい。

>>582
＞位相は関数解析で必要になるのか・・・？

「関数解析」は昔は「位相解析」と呼ばれていたくらいで…
関数空間での種々の収束は、関数空間を位相空間と考えることで理解される。
（ノルム空間なら距離空間だが、弱収束や作用素の収束になると、一般位相が必要）

＞数学科以外で関数解析ってどういう場面で使われるのか知りたい。

量子力学って、ある意味関数解析だよな

物理板での"関数解析"検索結果

量子重力を専門としている方へ
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/sci/1001501013/446
> なんだ＾＾か。
>レスつけて損した。
>
>真面目に反論したところで関数論＝関数解析よろしく＾＾の脳内でしか完結しない反論されるだけだしな。

>>584
「ヒルベルト空間」だったら？

物理と数学で同じものを違う名前で呼んだりするしなあ。
作用素（数学）＝演算子（物理）とか

＃ しかし >関数論＝関数解析 ってひどいな。それぞれ、複素解析、位相解析と
＃ 呼べば全然別物とわかるんだろうが

http://makimo.to/2ch/science4_sci/1124/1124899208.htmlの
551、552を読んでもまだそう言えますか？
それならあなたに上のスレの556、559、562と同じ言葉を送ります

誤爆

あれれ？ヒルベルトとHilbertで検索したけどNo Hit ??綴りでも間違ったかな？

どんだけマイナーな検索エンジン使ったんだよ

>>588
http://www.google.co.jp/

>>588
はぁ？2chの特定スレを検索するのにどんな検索エンジン使うんだボケ。
検索機能のついた2chブラウザ使ってんだよ。
なんなら物理版でヒルベルトで探してみろ。ヒットしたらリンクしてみろ。
ぐちゃぐちゃ言ってないで自分でやってから言え。糞が。

間違えた。
>>589だ。

http://www.google.co.jp/search?hl=ja&ie=Shift_JIS&q=%83q%83%8B%83x%83%8B%83g%8B%F3%8A%D4+site%3A2ch.net+%82%B2%8F%E7%92k&lr=

使い方がわかってないんだろ

勝手にお前が見てるスレ限定（スレタイ限定かもしれないが）
の話されても困るんだけど、、

脳内文脈で話しないで呉れよ

普通にライブスレッドを前文検索したらHilbertで8件はヒットしたよ

検索機能というのは取得したスレを検索する機能で
スレを一つも取得してなかったからノーヒットだったとか

こんにちわ
初めて数学板にカキコするのですが
ルベスゲ（以前第二でとってたのでなんとか読めるのです）積分ｾﾞﾐっていうのは
難しい数学なのですか？

帰れ

いやです。しばらく居つきます。出て行って欲しかったらお経ください。

今ホストやってるんですが、
ルベッグ積分勉強してます。女込ます測度空間を探してます。

その存在はZFCから独立。基礎論スレ行って訊け。

ホストには無理っていう差別ですか？

差別反対！！

ルベーグ積分の定義について教えてください。
竹之内や吉田では、可測関数だけに限定して、
∫f(x)dμ(x)= sup (Σinf(f(s∈M_k)) dμ(s∈M_k))
で定義してます。実面積である左辺より近似である右辺の方が小さいという定義です。
それに対して、伊藤も可測速関数だけに限定してp73,74で定義を書いてますが、
∫fdμ=Σa_j μ(E_j)
として、一意性を確認してるだけで、
竹之内にあるsup, infの部分を読み取ることができません。(読み方が不足しているならその部分
の指摘を宜しく)
こういう定義方法の違いから結果として生じる差異ってどういうことが考えられますか？
例えばinf(Σsup(f(s∈M_k)) dμ(s∈M_k))で近似するとどういう問題があるのでしょう？

二つの定義が同値かどうか確かめてみろよ

てかさもっというなら
竹之内、吉田の本を持っていないのでなんともいえないので説明を詳しくおながいします
つーか今手元にルベーグ積分の本ないので全然わからんが
とりあえずなんとなく読み取れるのだけレスしてみると

伊藤本の定義に関して
その定義はたぶん単関数の場合の定義をしているのであって
一般の可測関数で定義しているわけではないでしょ？

一般の可測関数の定義を考えてみたら伊藤本でもsupとinfに対応する部分がでてくると思うけど…

>>606
>一般の可測関数で定義しているわけではないでしょ？
伊藤もP73でE上のB-可測関数関数 f(x)という前提を明記してます。

>>605
確認の方針を教えてください。

>>606
>つーか今手元にルベーグ積分の本ないので全然わからんが
じゃ。いいです。ありがとうございました。

竹之内もしくは吉田を持ってる人、もしくは sup Σinf でピンと来る方宜しくお願いします。

なんだこいつ、、

晒し上げてみるか。ｗ

ギャハハハ。
あほが切れた

可測速関数
可測関数関数

最近こういう釣りが流行ってるのか？

ギャヒャヒャヒャ

なんだこいつ…orz

ピンとは来ないが、カチンと来るレスですね。

人寄せ上げ

伊藤の本を持っている人降臨してくれｗｗｗｗｗ

伊藤の本は持ってます。吉田は耕作のほうなら持っているが
洋一なら持ってないな。

間違えたｗｗｗｗｗｗｗ
竹之内もしくは吉田を持ってる人降臨してくれｗｗｗｗだｗｗっうはｗｗｗｗｗｗ

大学２年生の漏れがきましたよ。

本を持ってる６０４より本を持ってない６０６の方が伊藤を理解してるな

>>606
二段目の指摘は正しいですね。だから、そこだけから

604>竹之内にあるsup, infの部分を読み取ることができません。

なのは当然ｗ 竹之内は持ってないので俺もサイナラｗｗ

伊藤の場合は85と86ページの問いの中で可測関数の定義が書いてる。
74の定義は単関数の定義だよ

>>607-608が基地外ということでFA?

釣られた奴がマヌケなだけだろ？

>>625
>>609- 以降で基地外にマジレスしたアホは >>624 だけだよ

>>627
?

竹之内もしくは吉田を持ってる人降臨してよｗｗｗｗｗ

もっててもお前のようなバカには付き合わないよ

マジレスで釣られた>>606は救いようのない間抜けか？

じゃ。いいです。ありがとうございました。

虚面積

>>631
禿げ堂です。

>>606の指摘は全く的を得ていません。

もう終わりか

>>609って、、、






馬鹿なの？

だめだよ
バカにバカって名指ししちゃ

あほが知ったかしてレス返すのは邪魔なんだよな。
回答する暇あったら己の頭の上のハエを追え。人に答えてる場合か？

知ったかしたあほって？

>>607＝アホ だな。伊藤のp73,74を見ているが、ほんとアホ。
嘘は書いてないんだがなｗ

本を読む能力がないだけで数学ができないとは限らないでしょう。
２ちゃんねるにいる人たちは何ムキになってるんですか？もういいですよ。

>本を読む能力がないだけで数学ができないとは限らない

うん、そうだね。

73の表は変という指摘はあるな

Re:>>641 本を読む能力を悪用する奴を殺してから言え。

「正確なグラフは描ききれない！」と書いてあるから、いいじゃん

ああ、73の表のほうを言っていたのか、スマソ

σ集合体まではわかった
ボレル集合って何？

直線上の［a,b）の形の半開区間、また平面上の［a1,b1）×［a2,b2］の形の半開区間をＩとする。
このような半開区間からＩの補集合Ｉc、および可算個のＩ_nから和集合∪Ｉ_nをつくることにより
得られる集合の全体がボレル集合族。
それに属する集合がボレル集合。

半開区間には、その長さまたは面積が決定できる。
よって、それから生成される完全加法的な測度を考えると、ボレル集合は可測になり、
測度が定義できる。

開集合は半開区間の可算個の和集合として表されるから、ボレル集合は開集合から
生成される完全加法的な集合族と定義することもできる。

以上の定義はｎ次元空間にもそのまま拡張できる。

σ集合体との兼ね合いで
最小のσ集合体の意味がよくわからないです。
集合Xから生成される最小のσ集合体っていうと{空集合,X}なのでは？

(´･∀･｀)定義ちゃんと見て言ってんの？

可測集合体の条件を満足するあらゆる集合体のすべての交わりをBであらわし、
Bをボレル集合族という。

σ-集合族の中で開集合全部を含むうちの最小の集合族をボレル集合族という。
ボレル集合族に属する集合をボレル集合という。

どんな教科書使ってるの？

間違えた。
×σ-集合族
○σ-加法族

>>652
位相空間(Ω,O)で Oを含む最小のσ集合体をBorel集合体という。

Borel集合は位相空間が前提だろ？

＞開集合全部
ってる時点で位相空間なんだしょ

しかも>>654のレスはよく考えたらおかしいし。

>>656
それ、本をそのまま写しただけなんだが。

おかしい場合ちゃんと指摘しないとゼミにならん。ここだといくらでも恥かけるわけだし。

>おかしい場合ちゃんと指摘しないとゼミにならん。
これは同意。でないとただの煽り厨が跋扈するようになるし。

117

409

結局ボレル集合体の定義ってなんなんだ？

talk:>>662 開集合系を含む完全加法族のうち最小のもの。

>>663
じゃ>>654といっしょじゃん。

いっしょに決まってるじゃん。

>>664 バカにかまうな

数学辞典第3版「225 測度論」の項目には、「Borel 集合体」と
「Borel 集合」の定義が載っている。「Borel 集合族」という
言葉が用いられているが定義がされておらず、意味が通らない。

この項目、直前の Baire 集合の定義も「・・・であるような集合
全体は」にしないと誤りで、いったい誰が書いたのかと小一時間

けっきょく
Borel集合の定義って何だ？

talk:>>668 Borel集合体の元。

Borel集合体は？

>>652
>>654
>>663

過去スレも読まない、自分で本も読まない、２ちゃんで聞けば
全部教えてくれます・・・

それが気に食わなけりゃレスすんな >>672

>>673 馬鹿がこうして釣れるから、やめられんのだわｗ

Borelって二人居るんだねえ
初めて知ったよ
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Borel

......The elements of the Borel algebra are called Borel sets,......
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Borel_algebra

>>675
親子に決まっている。レビになると何人いるか・・・

>>675
ソース見た？ｗ

Emile Borel (1871-1956), a French mathematician %測度論など
Armand Borel (1923-2003), a Swiss mathematician %代数群など

＞親子に決まっている。ｗｗｗ
＞親子に決まっている。ｗｗｗ
＞親子に決まっている。ｗｗｗ
＞親子に決まっている。ｗｗｗ
＞親子に決まっている。ｗｗｗ

いや兄弟だ

いや親子だ

年齢から言えば孫くらいがちょうどいいような

Emile 33歳のときの孫Armand

じっちゃんの名にかけてか

>大山倍達は寸止めルールの空手を「空手ダンス」であると酷評したそうです。
>考えるに、大山には測度論におけるカラテオドリの……

ｗ

age

357

538

　　　　　　　　　　　　　　 　 　　　　 　　　┌-―ー-';
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　　　　　　　　　　　］皿皿［-∧-∧|ll||llll||lllｌ||lllｌ|lll|￣|]皿皿[_|
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　　 　 　 　 |　l ,==,-'''^^　 l　 |. ∩. ∩. ∩. |　 |∩| 　 |∩∩|　 |~~^i~'i、
　　　　　 ,=i^~~.|　 |.∩.∩ |,...,|__|,,|__|,,|__|,,|__|,....,||,,|.|,.....,||,|_|,|.|,....,| 　 |　|~i
　　　　 l~| .|　　|　,,,---== ヽﾉ　　　 i　　　　ヽﾉ~~~ ヽﾉ　　 ~ ソ^=-.i,,,,|,,,|
　　　　.|..l　i,-=''~~--,,,　　＼　 ＼　 l　　　／　　　／　　　　／　　__,-=^~
　　　　|,-''~　-,,,＿　　~-,,.　 ＼ .＼ |　.／　　 ／　　＿,,,-~　 　／
　　　　 ~^''=、＿ _ ^'- i=''''''^~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~^''''''''=i -'^~
　　　　　　　　　　 ~^^''ヽ　ヽ 　i　ｼﾞｴﾝｷｬｯｽﾙ　/　 ／　 ノ
　　　　　　　　　　　　　　ヽ　　、 l　 |　 ｌ　 l　/ .／　　／
　　　　　　　　　　　　 　 　 ＼_　、i ヽ　 i　 /　　　,,=='
　　　　　　　　　　　　　　　　　 ''==,,,,＿＿＿,,,=='~

age

152

563

るべっくに聞け

ボレル代数

　　　　　　　　　　　　　　 ｒ'ﾟ'=、
　　　　　　　　 　 　 　 /￣`''''"'x、
　　　　　　　　　　,-=''"`i, ,x'''''''v'"￣`x,__,,,＿
　　　　　　＿＿,,/　　　　i!　　　　　　　 i,￣＼ ` 、
　　__x-='"　　　 |　　 /ヽ　　　　 　/・l,　l,　　 ＼　ヽ
　/（　　　　　　　 1　 i・ ﾉ 　 　 　 く、ﾉ　|　　　　i　　i, 　 　／￣￣￣￣￣
　|　i,　　　　　　　 {,　　　　　 ﾆ　 ,　　　 .|　　　　|　　i, 　＜　　 　スプー
　.l, 　i,　　　　　　　 }　　 人　 　ﾉヽ　　　|　　　　{　　 { 　　＼＿＿＿＿＿
　 },　 '、　　　　　　 T`'''i,　 `ー"　 ＼__,/ 　　　 .}　　 |
　 .}　, .,'、　　　　　　 },　 `ー--ー'''" /　　　　 　 }　　 i,
　　| ,i_,iJ　　　　　　　 `x,　　　 _,,.x="　　　　　　 .|　　 ,}
　　`"　　　　　　　　　　　`ー'"　　　　　　　　 　　iiJi_,ﾉ

フビニの定理

いいか
ぼれる集合とぼれない集合があるんだ
ばれる犯罪の村上ファンドのようなもんだ

350

>>1
「無意味なスレ立て厳禁」
って読めませんか？
そういうくだらない話は質問スレでやってください


　
　　　　　　　　　　　　　　　　　終　　　了


そして>>1はすぐ死ね

age

ルベーグはどこ？

数学科ってほとんど至る所で童貞だよね。

x∈数学科⇒x∈{童貞}　a.e.

【フラクタル】幾何学的測度論【微分形式】
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1152964040

239

ラーメンのちゃうちゃえちゅるが気持ち悪いねん。


ｽﾞｽﾞｽﾞｽﾞｽﾞﾞｽｰ

そんなんでなー家方紳士でる気でおんなよー。
ホゲーが。
ざまあみろ。

いにいにい

兄貴がガウス賞取った

伊藤清三さんって、伊藤清さんの弟なの？

898

>>707
違うよ
ついでに田村一郎、二郎、三郎も血縁関係はない

伊藤清三と伊藤清は兄弟だけど。

>>638

寸止めが悪い理由はないだろ。

9ヶ月前の話に今更遅レスする奴が居ようとは

いい加減な事書くなよ

>>667
そう　それはよかった

物理科を卒業したしょぼくれリーマンですが
吉田洋一のルベグ積分入門を趣味で読み始めました。
おもしろいですねこれ。でもサラッと書かれてる一文を理解するのにヘタしたら数日費やしたり、
演習問題が思いのほか手ごわかったりでなかなか読み進めません。
でも不思議と投げ出したい気分にならないのでゆっくり行こうと思います。

半開区間[0,1)上に存在する無理数のルベーグ外測度は1になるみたいなんですが、
よくわからないので頭の良い方くわしく教えてください。

半開区間[0,1)上に存在する有理数は加算個
集合Eが加算集合ならば、そのLebesgue外測度μ*(E)=0
だから無理数の集合のLebesgue外測度は1

つまり[0,1)の「ほとんどいたる所」無理数ってことだ

加算集合のLebesgue外測度が0になるのは教科書読め。

なるほど。非可算個の集合のルベーグ外測度をもとめる方法はないでんすか？
いろいろ、きいちゃってすいません。幼稚な質問でしたら無視していただいて
かまいません

[0,1)上で「任意に」選んだ実数が無理数である確率がどれだけか？ってもう答え得られてるの？

>>721
良く見ろよ。>>718に解答があるだろ。

[0,1)上で任意に選んだ実数が代数的数であった時に、
更にそれが有理数である確率はどれくらい？

代数的数の集合は自然数全体の集合と対応がつくし、
とくに有理数はそのなかの偶数と一対一に対応するように
全単写を定めることが出来る。

だから答えは1/2だな。

>>723
代数的数の全体そのものが可算集合で、そのLebesgue測度は零になるから
条件付確率は定義できんよ。
確率が欲しいならもっと細かい別の確率測度が必要。

[0,1]の中の有利数だけを抜き出す試行で
[0,1]の中の有理数に番号をつけて、r[1],r[2],‥とする
確率測度をP(E)=Σ[i:r[i]∈E]2^iとすると[0,1]の有理数全体Qでは
P(Q)=(1/2)/(1-1/2)=1となり、無理数Iでは
P(I)=1-P(Q)=0となって
ほとんど確実に有理数を抜き出す

というのをどっかで見たな

スマソ
確率測度はP(E)=Σ[i:r[i]∈E]1/2^iだった

>>716
だんだん仕事が馬鹿らしくなって、会社辞めるに一票

244

数学科ではないのですが、ルベーグ積分が必要になりそうです。
何から勉強したらいいでしょうか？来年の３月までにある程度理解したいです。

解析学、線形代数はそこそこ勉強しましたが、
あとは理工系で普通にやる応用数学レベル（フーリエ解析、複素関数、統計学等）です。

>>730
伊藤清三の『ルベーグ積分入門』はたぶん読めないだろうから
新井仁之の『ルベーグ積分講義』（日本評論社）が手ごろだと思う。

そのまえに集合・位相をやったほうがいいと思う。

>>732
位相抜きでルベーグが学べる応用家向けのテキストもあると思うが。
（こういうヘタレコースは数学科の学生には許されない。）

>>731
ありがとうございます。
新井仁之の『ルベーグ積分講義』（日本評論社）　は　集合位相抜きで大丈夫でしょうか？

>>732-733
昔、講義に出たことになっているようですが、ほとんど記憶にありません。
内田 伏一「集合と位相」 をもっていて、これで昔勉強したようです。
この本で充分でしょうか？

洋書は何がいいの？

>>734
> 新井仁之の『ルベーグ積分講義』（日本評論社）　は　集合位相抜きで大丈夫でしょうか？

十分に読めますよ。
ルベーグ積分なんて大して難しいシロモノじゃないから、
気楽に読み進めればいいと思いますよ。

別にトポロジを読まなくても測度論もルベグ積分も読めるしな

710 ：１３２人目の素数さん ：2006/11/12(日) 00:13:46
局所コンパクト空間でのRieszの表現定理のいい証明は少ないね。
積分論の基本なのに。

Halmos は中途半端。
Bourbakiはややゴタゴタしてる。
それを真似た Hewitt-Rossも同じ。
Hewitt-Rossの(少なくともRieszの表現定理に関しての)コピーである
壬生も当然同じ。

(私の知る限り)唯一 Rudin の(real and complex analysis)はいい。
しかし、誤解を与えそうなところがある。

開集合 U の外測度の定義で supp(f) ⊂ U となる f の I(f) の 上限
としているところ。ここで f は コンパクトな台を持つ連続関数で、
I(f) は非負線形汎関数。 当然 0 ≦ f ≦ 1
普通は 0 ≦ f ≦ χ_U となる f の I(f) の 上限を U の外測度の定義と
している。ここで、χ_U は U の特性関数。

両者の定義が一致することを証明するには Dini の定理が必要になる
と思うが、Rudin はそれに言及していない。

H.K積分論ならリーマン流で進めるぞよ。

>>737
ボレル測度が理解できんのは問題かと

>>739
標準を知らないと文献読むのに困るだろ

>>740
数学を専門にやる人はそうかもしれないけど、
他分野で、ルベーグ積分はなんぞやをてっとり早く知りたい向きには、
ボレル測度はすっとばして、その完備化されたルベーグ測度からはじめても問題ないと思うけどな。
伊藤でもボレルとルベーグ測度は章を改めてあんまりそれ以外の内容に話が波及しないように
配慮してるように見えるけど？
数学を利用したい立場と数学そのものが目的の立場で要求される読み方が違うと思うんだが。
当然俺は前者なんだが。

まあ、数学科以外ならボレル測度までは要らないかも

>>743
>>731== >>734だろ？、
数学科じゃないと言ってるし。むしろ短い時間でルベーグ積分の本質(つーかアブストラクト)が
分かればそれでいーんじゃないの？位相との兼ね合いとかに話が及ぶと3月までに片付くか？
おそらくそれ以外の本分があって、片手間(?)にやると思われ。

実数の構成法(デデキントの切断とか)を知らなくても実数は使える。
積分の構成法を知らなくても積分は使える。

せやせや。現代工学社の本で勉強すればええんや。

Rieszの表現定理って
∀T∃μ∀f (Tf =∫_X fdμ) で
Tは線形形式、μはX上の測度、fはX上の関数で
これ以上T,μ,f,Xにどんな制限加えれば成り立つんだっけ

>>747

f は(ハウスドルフ)局所コンパクト空間 X 上のコンパクトな台を
持つ連続関数。
T は非負、つまり f ≧ 0 なら T(f) ≧ 0

測度 μ はボレル集合(すべての開集合を含む最小のσ-集合代数)で
定義された測度で以下の条件を満たすもの。

1) 任意のコンパクト部分集合 K に対して μ(K) ＜ ∞

2) 任意の開集合 U に対して
μ(U) = sup{μ(K); K ⊂ U, K はコンパクト}
3) 任意のボレル集合 B に対して
μ(B) = inf{μ(U); B ⊂ U, U は開集合}

X が第２可算公理を満たせば、条件 2), 3) は 1) から自動的に
満たされる。

因みに関数解析にも同じ名前のRieszの表現定理があるが、
これはそれとは別。

測度収束するがノルム収束しない例。

ノルム収束するが概収束しない例をそれぞれお願いします。

ｆを可測関数で[0.∞]に値を持つとき
∫ｆ＝c; cは定数
この時
lim∫nlog[1+(f/n)＾α]dx= ∞,0＜α＜1　ｃ,α＝1　０,1＜α＜∞　　を示せ。

誰かお願いします！！

c=0.

Ｃの値を求めろではないです。

0=inf.

任意のｘに対してｆ（ｘ）＝０または１／ｍ≦ｆ（ｘ）≦ｍで０＜∫ｆｄｘのとき。
０＜ａ＜１のときはｌｏｇ（１＋ｙ）≧ｙ−ｐｙ＾２（｜ｙ｜＜１／２）に
ｙ＝（ｆ／ｎ）＾ａを代入して積分して極限をとる。
１≦ａのときはｎｌｏｇ（１＋（ｆ／ｎ）＾ａ）≦ｆ＾ａ／ｎ＾（ａ−１）≦ｍ＾（ａ−１）ｆ
なので優収束定理を使う。
一般の場合はｆ（ｘ）＜１／ｍのときｇ（ｘ）＝０，１／ｍ≦ｆ（ｘ）≦ｍのとき
ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ），ｍ＜ｆ（ｘ）のときｇ（ｘ）＝ｍとなるｇを使う。

∫ｆｄｘ＝０，０＜ａ＜１のときは成り立たない。

>>748
Tは有界である必要は無いのですか
いや、748の仮定から導かれるのか…試してみます

>>756

仮定から局所的に有界になるからそれで十分。
つまり コンパクト部分集合 K に対して K のみで定まる
定数 c ≧ 0 が存在し、
K 内に台を持つ任意の連続関数 f に対して |T(f)| ≦ c|f| となる。
ここで |f| = sup{|f(x)|; x ∈ X}
c としては K で 1 となる g ≧ 0 をとり c = T(g) とすればよい。

>>748 からルベーグ測度の存在がすぐ言える。

つまり T(f) として連続関数の積分を取ればいい。
この積分はリーマン積分を持ち出すまでもなくごく簡単に出来る。
だから >>748 は積分論の基本になるもの。
この定理とその証明があまり知られていないのは嘆かわしい。
まあルベーグ積分しか使わなければ必要ないが。

>>754　極限を取るときにeの式を使うって言われたんですがどこで使うんですか？

>>759
マルチ

マルティン

>>717

Lebesgue外測度は直接定義から証明すればいいのではないかい？
[0,1）の無理数を覆うかざんこの半開区間の長さで最小名ものはいつも１ということを

こんなのしか思いつかん。

ルベーグ外測度をmで表すことにする。
補題：I⊂Rを有界集合(よってm(I)＜∞)とする。J⊂Iがm(J)＝0を満たすとき、m(I−J)＝m(I)が成り立つ。
証明：I−J⊂Iだからm(I−J)≦m(I)が成り立つ。あとはm(I)≦m(I−J)を示せばよい。まず、m(I−J)及び
m(J)の定義から、任意のε＞0に対して、I−Jを被覆するある開区間の列{On}が存在して、m(I−J)≦
Σ[i＝1〜∞]|On|＜m(I−J)＋εが成り立ち、同じく、Jを被覆するある開区間の列{O'n}が存在して、
0≦Σ[i＝1〜∞]|O'n|＜εが成り立つ。すると、I＝(I−J)∪J⊂(∪On)∪(∪O'n)となり、Iの開被覆が
得られたので、m(I)の定義からm(I)≦Σ|On|＋Σ|O'n|となるが、この不等式の右辺＜m(I−J)＋2ε
となる。よって、任意のε＞0に対してm(I)＜m(I−J)＋2εが成り立つことになる。よって、
m(I)≦m(I−J)となる。以上より、m(I−J)＝m(I)となる。


I＝[0,1), J＝「I内の有理数全体」⊂Iとおくと、I−J＝「I内の無理数全体」となる。示すべきは
m(I−J)＝1であるが、このI,Jは補題の仮定を全て満たすので、m(I−J)＝m(I)＝1となり、確かに
m(I−J)＝1が成り立つ。

それに>>718>>719の説明は的を得てない。むしろ間違っているか問題の意図が分かっていない。
なぜなら、Lebesgue測度は外測度を可測集合族に制限したものに他ならないが、
可測集合族上における外測度の加法性を用いているから。
この加法製の証明が測度論の前半で一番難しいところなのに。

的は射るもの

的を射る…単に的に当てること
的を得る…的のど真ん中に当てること

あ、的を射るは、「単に的に向かって矢を放つこと」かな。

>>766
お前的を得るなんて言ったら赤っ恥だぞ。

当を得る

んだよバーか！

いや、あのね、「的を得る」を正しいとする説もあるんだよ。

一人でも吹聴したら「説」でしょうなぁ〜ｗ

誤用ではない、という説もある。これは“「正鵠を得る」から来た言葉であるから、「得る」でいい”という説であるが、「正鵠を得る」から「的を射る」という言葉が生まれたという経緯については裏付けがなく、推測にとどまっている。

どの辞書にも「的を射る」しか載っておらず、やはり「的を射る」とするのが正答と見て間違いないようだ。

>>771
> どの辞書にも「的を射る」しか載っておらず、やはり「的を射る」とするのが正答と見て間違いないようだ。

大修館書店『日本語大シソーラス』
小学館の『日本国語大辞典（12）』

「的を得る」も「的を射る」もどちらも誤用です。

>>771

言葉というのは、結局多く使われているもの勝ち。
「的を得る」が仮に「当を得る」の誤用だとしても(その証拠は？)、
これだけ多く使われているので、それを間違いだと指摘しても
非生産的。憧憬をどうけいと読むのもそう。

俺が憧憬するのは、「寸分なくわかった自分自身の状態」。

昔、いた院生だか助手は、この基礎から理論を空で言えるのではないか
っていうぐらい、ロジックに厳しく、簡単な事から平気で組み上げてた。
子供心に尊敬したし、数学ってすごいなって思いました。
今でも、それぐらいの人はたくさんいるでしょうが、、、。

ガウスの整数論もここまでやるのかって言うぐらい、の簡単な基礎から
論をどんどん組み上げてる。あれは正直、高校生にも読めるし、あそこ
から出発すればまず間違いない。あれをこなせるかどうかが問題だが。
結局、想像力と忍耐なのか？

>>774

世論をセロンと読むもそうだな。
本来は輿論だから、ヨロンが正しい。
しかし今さらそれが誤りだと指摘しても、無駄。

言葉なんて使われてなんぼ。「春はあけぼの」だって言葉遊びに満ちている。
文学だって感じてなんぼ。

そのうち「絵文字小説」が偉大な文学作品になるやもしれない。

つ漫画

「あたらしい」とかいうのは脳味噌沸いてる馬鹿表現
教養あり情趣を解するものは例外なく「あらたし」を使う

最近は自称文化人までがこの表現を使う
似非教養人野郎は死んでしまえ

どうでもいい議論をする馬鹿は放置

国語板かと思いますた

「的を得る」を誰かがつっこむと大抵こうなる。
２ｃｈだからしかたない。
本当の大人なら誤字、誤用と思ってもいちいちつっこまない。

日本語表現厨はスルーの方向で。

まあ、ともかく、論理を修練するには良いと思う。
こう書いたからって俺がそらんじてる訳ではないが、、、、。
でも早いうちにどれでも論理をかちっと抑えてよく読んだ方がいいよ。
例えばそれがガウスの整数論でもかなりよいと思う。

ここは一つ、るベー具に沿って話しませう。

>784
> 本当の大人なら誤字、誤用と思ってもいちいちつっこまない。

残念ながらそんな人はそういませんねぇ。
数学板にはｗ

>>763が一番難しいところなのか

一般の可測集合の全体がσ集合体になることの証明が測度論の前半で一番難しい

かったように思う

>>754
誰かこれを詳しく説明してもらえませんか？
∞の場合だけで良いのでお願いします。

>>754
誰かこれを詳しく説明してもらえませんか？
∞の場合だけで良いのでお願いします。

>>754
誰かこれを詳しく説明してもらえませんか？
∞の場合だけで良いのでお願いします。

n=1,2,… 0<x<n^2のときにf_n＝1/n　それ以外の点で0になるとする。
このとき測度収束しますか？

測度による

ルベーグ測度です。

754はまちがってるんじゃないか？

やっぱり754違いますか？
できたら正しい回答をお願いしたいです。

これ使って何とかしる。
・x＋1＞0のときx/(x＋1)≦log(x＋1)≦x

任意の実数xに対してx＋1≦e^xが成り立つので、x＋1＞0のときlog(x＋1)≦x が成り立つ。
また、x＋1＞0のとき、x＋1≦e^xを分母分子逆にしてe^(−x)≦1/(x＋1) となるので、
1/(1＋x)＝1＋yと無理やり変換してxを消去すればe^{y/(1＋y)}≦1＋y，y＋1＞0 を得る。
よってx/(x＋1)≦log(x＋1) (x＋1＞0)を得る。気持ち悪い人は素直にビブンしてグラフを調べる。

マルチに自作自演か

>>798
解く気がないんなら白紙でだしゃいいじゃん。
こんなめんどくさい問題出した先生は、たぶん誰も解けないと思ってるし、単位が来ないことはないと思うよ。

>>799さんありがとうございます。
計算していくと∫lim n ｄｘの形になってしまうんですが
n→∞で∫のなかが∞になってしまうんですが
∫lim n ｄｘ＝∞としていいんですか？

このlimと∫は簡単には入れ替わらないから、計算あっててもどうせ０点だよ
安心して白紙で出しとけ

>>803
ルベーグの収束定理でいれかえられますよね？

いかなる関数で上から押さえるんだ？

f(x)でおさえられますよね？

じゃあ証明してみろよ

測度収束するがノルム収束しない例。

>>808誰かお願いします！！

自分の問題を解決するのに忙しいのに、他人の問題などするひまがない

ちんこ舐め舐め

すごく簡単だよ。

c=0のときは無限大にならなくて全て０になるよ。
先生に｢この問題には出題ミスがある。馬鹿じゃない？｣といって優をもらう。

log[1+(f/n)＾α]＝�農{k=1}^∞(f/n)^{αk}/k を使う。

↑
モット簡単な方法が見つかったのですぐ書くよ。

Lebesgueの収束定理によって、
lim∫nlog[1+(f/n)＾α]dx＝∫lim　nlog[1+(f/n)＾α]dx
ところで、
lim　(n^α)log[1+(f(x)/n)^α]=f(x)^α　である。
よって、
lim　nlog[1+(f(x)/n)^α]
＝f(x)^α・lim　n^{1-α}

＝f(x) if α=1
＝0 if α>1
＝f(x)^α・∞ if 0<α<1
（但し、f(x)^α・∞はf(x)=0のときは０とする。）
従って、
lim∫nlog[1+(f/n)＾α]dx
＝∫lim　nlog[1+(f/n)＾α]dx
＝∫f(x)dx=c 、if α=1
＝∫0 dx=0 、if α>1
＝∫f(x)^α・∞dx＝∞、 if 0<α<1

ルベーグの収束定理使ったのに極限が∞になったらおかしいだろ。

↑ばか？

伊藤「ルベーグ積分入門」p90のFatouの補助定理にあるように、関数が全てnonnnegativeのときはLebesgueの収束定理は関数の極限値や積分値が∞でも成り立つ。

非負のときは lim と ∫ はいつでも入れ替えられるっていいたいわけ？

f_n(x)>=0　(n=1,2,・・・）とする。
lim f_n=f(x) a.e. x
とすると、
lim ∫f_n　dx＝∫f(x)ｄｘ

1 = lim∫_0^n 1/n dx = ∫_0^n lim 1/n dx = 0
でおｋ？

一行で書こうとして間違えた
f_n(x) = n (0≦x＜1/n)
f_n(x) = 0 (otherwise)
でおｋ？

>>822は　中学生？

すまんかった。
単調増加の条件が必要だった。
f_1＝＜f_2＝＜・・・
今の場合、これを満たしている。
F_n(x)=（1+(f(x)/n)^α)^n
とおくと、
高校数学にもあるように、これは単調増加。
よって、nlog（1+(f(x)/n)^α)＝log｛（1+(f(x)/n)^α)^n｝もalso

何か支離滅裂になった。
しかし、上の方法で基本的には問題ないのだろう。

今度は単調増大で0に収束するとは思えんから、ちゃんと場合わけせんといかん。

>>816さん、ありがとうございます。
lim　(n^α)log[1+(f(x)/n)^α]=f(x)^α　である。
よって、
lim　nlog[1+(f(x)/n)^α]
＝f(x)^α・lim　n^{1-α}
がよくわからなくて…

ｍ（Ｅ）＜∞ならば
定数ＭにたいしてＭ×特性関数∈Ｌ＾１である。と書いてあるんですが
ｍ（Ｅ）＜∞って条件はどんな意味があるんですか？

>>825さん。単調増加関数ではないですよね？
十分大なnに対しては(f(x)/n)^α＝0ってかんがえられて
1＾ｎは1だからどこかで減少し始めると思うんですが…違いますかね？

>>816さん。
lim f^alog[1+(f/n)^a]^(n/f)^a=f^alogeってことですか？
lim log[1+(1/n)^a]^n^a=eの式でn^aでa=1以外っていいんですか？

>>829
∈Ｌ＾１であることがどういうことか考えれば分かるだろ馬鹿

やっぱり α≧1 のときは
exp(αx) ≧ 1+x^α　　x≧0
でルベーグの収束定理。

α<1のときはファトゥーだなあ。

∈Ｌ＾１は可積分って意味ですよね？
ｍ（Ｅ）＜∞があらわしてる意味がわからないんです。

ファトウが正しいのか、ファトゥーが正しいのか、私には分からない。
talk:>>834 とりあえず全文を書け。多分、ｍは測度のことだろうけれど。

>>829で全文です。

>>829で全文です。

>>819　で書いたのは
p88の定理１３．２の誤り：

０＝＜f_1＝＜f_2＝＜・・・
このとき、lim∫f_ndx＝∫lim f_n dx　が成り立つ。

すると、
F_n(x)=(n^α)log[1+(f(x)/n)^α]
とおくと、
０＜＝F_1＜＝F_2<=・・・
で
lim F_n(x)=f(x)^α
である。
よって、>>838に書いた定理により、
lim　∫(n^α)log[1+(f(x)/n)^α]dx=∫f(x)^α dx　>0　(　=∞も可）
である。
よって、
lim∫nlog[1+(f/n)＾α]dx
＝lim　n^{1-α}・∫n^α・log[1+(f/n)＾α]dx
（正項数列の積の極限で、ともに０に収束しないので）
＝lim　n^{1-α}・lim∫n^α・log[1+(f/n)＾α]dx
＝lim　n^{1-α}・∫f（ｘ）^α　dx
＝∞・∫f（ｘ）^α　dx
＝∞

一般のα＞０についても全く同じで、

lim∫nlog[1+(f/n)＾α]dx
＝lim　n^{1-α}・∫n^α・log[1+(f/n)＾α]dx
（正項数列の積の極限で、ともに０に収束しないので）
＝1・∫f(x)dx = c 、if α=1
＝∞・∫f(x)^αdx　＝∞、 if 0<α<1
しかし、α>1 のときは、注意を要する。
（０・∞となっている場合があるので）
実際、∫f(x)^αdx　＜∞　の場合だと、全く同じように、次が得られる。
＝0・∫f(x)^α dx　=0 、if α>1

だから、残っているのは、
α>1 で　∫f(x)^αdx　＝∞　の場合だけ。
これはもっと前段階から考える必要がある。

問題を出した先生は見落としをしてる気がする。

α>1 で　∫f(x)^αdx　＝∞　の場合には、

lim∫nlog[1+(f/n)＾α]dx ＝０

とは限らないと思う。

∫f^αがでてくる時点で筋が悪い気がする。
あと、私にはF_nが単調増大なのが自明だとは思えないので、
それだけでレポート用紙を１ページぐらい消費しそうだな。

∞にいく場合はファトゥーより簡単なのはないし、収束する場合はルベーグ使ったほうがはるかに楽。

_nが単調増大なことは
（log(1+x)）/x　がx>0で単調現象である
ことからほとんど自明に示せるよ。

>>833の書いてることは間違いだろ？
exp(αx) ≧ 1+x^α　（　x≧0 ）？？

exp(αx) ≧ 1+αx　　と間違えてない？

だから収束する（＝積分可能？）場合とは、∫f(x)^αdx　＜∞　である場合に他ならない。
すなわち、∫f(x)^αdx　が本質的な役割をするので避けられない。

おそらく先生は、問題を次のように間違えている。
ｃ＝∫f(x)^αdx　＜∞　で　ｆ=/=0　すなわち、ｃ＞０

すると、lim∫nlog[1+(f/n)＾α]dx
＝lim　n^{1-α}・∫n^α・log[1+(f/n)＾α]dx
（正項数列の積の極限で、ともに０に収束しないので）
＝1・∫f(x)dx = c 、if α=1
＝∞・∫f(x)^αdx　＝∞、 if 0<α<1
＝0・∫f(x)^α dx　=0 、if α>1

おそらく先生は、問題を次のように間違えている。
ｃ＝∫f(x)^αdx　＜∞　で　ｆ=/=0　すなわち、ｃ＞０

すると、lim∫nlog[1+(f/n)＾α]dx
＝lim　n^{1-α}・∫n^α・log[1+(f/n)＾α]dx
（正項数列の積の極限で、一方は有限値に収束するので）
＝1・∫f(x)dx = c 、if α=1
＝∞・∫f(x)^αdx　＝∞、 if 0<α<1
＝0・∫f(x)^α dx　=0 、if α>1

大雑把に

exp(αx)=(exp(x))^α≧(1+x)^α≧1+x^α

ってしたわけだが、ぶっちゃけexp(Ax)になってればいいので、
exp(Ax)がxの冪に負けることはないはず。

(1+x)^α≧1+x^α
これは　α＞１　でないと成り立たないんじゃないか？

(1+x)^α≧1+x^α　？
これは　x>0　にしないと意味が通らんし、
α＝1/2
の場合に成り立たない。

すまん。
やっぱり α≧1 と書いていたのね。

いやだからα≧1のときにルベーグの収束定理使いたいから
log(1+x^α) ≦ αx
と評価するわけで、0<α<1のときはファトゥーで一発じゃん。

>>831はなりたつんですか？

>>853
君はこれでも読んでなさい
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwa2/jissuron/node8.html

α≧1のとき
n log[1+(f/n)^α] ≦n・α(f/n) = αf
で、ルベーグの収束定理で大丈夫だよね。

大丈夫です。

だから、先生は間違えてないと考え直した。

あー、久しぶりに解析したした。
やっぱり面倒な問題だったな。清書するのも面倒だし
>>853 はやっぱ白紙で提出しとけ。

Fatouはどうやって使うんだ？

Fatouは便利だぞ非負であればいつでも使えるからな

liminf ∫略 ≧ ∫liminf 略 = ∞

そうか、０＜α＜１のときは
lim n・log[1+(f/n)^α]
＝∞　if f(x)>0
＝０　if f(x)=0
よってFatouの定理によって、
lim ∫n・log[1+(f/n)^α]＞＝∫lim n・log[1+(f/n)^α]＝∞

>>831成り立たないよ。
lim log(1+1/n)^nの中身のnはn^2とかにしたらだめだからね。

t>0で t->0 とするとき、
lim log{(1+at)^(1/t)}=lim (log(1+at) )/t = a
がなりたつ。

だから８３１は成り立つんじゃない？

lim alog(1+an)^(1/an)=aeは成り立ちますが
lim log[(1+(1/n)^2]^[n^2]=eは成り立ちません。

＞lim log[(1+(1/n)^2]^[n^2]=eは成り立ちません。
そう、成り立たない。lim[n→∞]log{1＋(1/n)^2}^(n^2)＝1だから。

eって１のことだろ

lim log[(1+(1/n)^2]^[n^2]=1です。間違えました。
これは成り立ちません。

＞lim log[(1+(1/n)^2]^[n^2]=1です。間違えました。これは成り立ちません。
そう、成り立たない。カッコの数があってないからな。

lim[n→∞]log{1＋(1/n)^2}^(n^2)＝1これが成り立ちません。

いや、成り立つ。
>>799の不等式にx＝1/n^2を代入して、1/(1＋n^2)≦log{1＋(1/n)^2}≦1/n^2が
成り立つ。両辺にn^2をかけて(n^2)/(1＋n^2)≦log{1＋(1/n)^2}^(n^2)≦1 が
成り立つ。挟み撃ちの原理より lim[n→∞]log{1＋(1/n)^2}^(n^2)＝1

an↓0，anbn→c ならば log(1＋an)^bn → c

【問題】
∫[-l2〜l2]　(e^(-jkr)/r)sink(l2-|ξ|) dξ
ただし、
r=(d^2+(z+l1)^2)^(1/2)
dr/dz＝-dr/dξ

この問題なんですけど、解けなくて困ってます。
おそらく、解はEi(-jk○○)という形になるのですが、どなたか解けませんか？

ごめん。書くとこ間違えた。

伊藤では
ボレル集合族を

・ユークリッド空間R^Nの中の閉集合の全体を含む最小のσ加法族
・一般の空間Xにおいてその部分集合のσ加法族

の二つを紹介してるが、一般にはどっちを言うの？

一般の空間Xにおいてその部分集合のσ加法族

これって、部分集合から生成された普通のσ加法族の事じゃないの？
ボレル集合族って位相空間じゃなきゅだめじゃないの？

>>876
>>876
開集合族から生成されたσ加法族をボレル集合族という。そうでないものは言わない。
位相のない空間ではボレル測度は定義できない。

位相が無けりゃボレル族は単なるσ加法族だからなぁ…
結局どこかで位相orそれと同等な概念を定義してしまうのでしょう

伊藤ではp33で前者をp34で後者を紹介してる、他書ではボレル集合として、後者をさす場合があるので、注意が必要だ。
と但し書きがある。
数学屋さんが広く使ってるボレル集合体は位相を入れたものを指すわけね。mOm thx
ボレル可測の部分はすっとばそうと思ってたので、是非教えてください。
σ集合体だけじゃなくボレル集合族を用意するとどういう利点があるのでしょう？
つーかどういう話の展開につながっていくのでしょう？アブストラクトでいいので教えてください。
近視眼的に読んでても全体像がよくわからない。
伊藤読んでると出てくるxx測度とxx集合体と位相あたりの相関関係は図示できないものでしょうか？

ボレル可測空間は連続写像を可測にする可測空間だ。抽象的測度論では、写像の
定義域と値域が共に可測空間である場合を考え、可測集合の逆像が可測集合
になる写像を可測写像と定義する。定義域と値域にボレル可測集合族を定めると、
連続性の定義により、当然連続写像は可測写像となる。

一般のσ集合体では、関数の可測性をチェックする簡単な方法ってないよね。
だから、それ以上議論を進めようがない。
ボレル集合体なら連続関数が可測だから、それらの極限とかを考えれば、非常に広いクラスの関数が可測になる。

ここ読んでる方が解りやすいｗ

ボレル集合体の定義にある"最小の"ってのがよくわからなくて、
いろいろ図書館で見てたら竹之内のルベーグ積分にやさしく開設してた。な〜るほろ。
いきなり最小のσ集合って言われてもわからんかったよ。
伊藤で探すと、付録の被服定理に同じような説明があった。うーん、でもこの説明むずいなー

そういう議論って数学の至るところに出てこないかね？
「〜を連続にする最弱の位相」とか、
たぶん突き詰めていくと圏論のユニバーサリティーに辿り着きそうな気がする。

>>883
いっちゃ悪いがｵﾇｼの勉強不足
位相をしってりゃ>>884の例とか閉包作用素とか開基とか、
似たような議論に何度も遭遇したはず

線型代数でも似た例は出てくるよね

age

888

>>885
>いっちゃ悪いがｵﾇｼの勉強不足
ピンポン。その通りです。

>位相をしってりゃ>>884の例とか閉包作用素とか開基とか、
>似たような議論に何度も遭遇したはず
位相に関してはよく知らないんですよ。でもいいわけすると、
工学部なもんで、位相もルベグも独学するしかなくて。。。
数学科みたいに、数学そのものが目的じゃないから、
集合→位相→etcと進んでるととても間に合わなくて、必要に迫られて、
初めて調べるみたいなことしかできない。
ルベグ自体もそんな感じ。
全部の証明を自力でできるのが目的じゃなくて構造を知りたいというか。。。

位相もいくつか本は持ってるんですが、主に斎藤の"数学の基礎"あたりを
辞書代わりに使ってます。

>>886
>線型代数でも似た例は出てくるよね
どういう箇所か教えてください mOm

線型代数はともかくとして、位相がわからなきゃルベーグ積分はわからんよ

数学科向けだろうが工学部向けだろうが、数学書をパラパラと辞書的に参照して
理解するにはかなりの実力が必要だと思う。
超優秀な奴以外は、通読する方が短時間で済む。

> 数学科みたいに、数学そのものが目的じゃないから
数学科でも数学のお勉強は手段であって目的じゃないからｗ

わかってないことをここで力説しても虚しいだけですが。
位相がわからないと数学がわからないというのは、教科書に載ってる証明を全部自力で、
証明できるようになることを求められる数学屋さんだからじゃないんですか？
数学屋は数学という学問を作るのが目的だから、そりゃそうだろうと思いますが、
証明はできなくても概論を知りたい工学屋レベルからすると、伊藤にしろ、他のルベグ本にしろ、
位相にまつわる必要な説明は大抵、記載があるように印象を持ちましたがどうですか？
ボレル測度にしても注釈に"必要なときに読め"(竹之内)とかなってて、話が他に波及しないように配慮してるように見えるんですが。
あと、工学系学生のためのヒルベルト空間入門(東海大学出版会、数学屋からするとDQN本なんだろうな)
とかにかなりわかりやすく、噛み砕いて説明があるので、ふんふんと調子こいて読み進めてますが。。
上で書いたヒルベルト空間入門と同じシリーズにルベーグ積分入門というのがあるのですが、
もうちょっとだけ詳しく知りたいと思ってる程度なので、一から位相論を読む(証明を追っかける)のはかなり難です。
ちなみに集合と位相は大学で講義はあったんですが(現代数学レクチャーズ、集合と位相を使ってました)、
なにぶん教職課程用ということで、位相はかなりはしょった形で終わってしまいました。

>> 数学科みたいに、数学そのものが目的じゃないから
>数学科でも数学のお勉強は手段であって目的じゃないからｗ

"生活が目的で"とか"食い扶持稼ぐ"とかは無しですよ。
数学屋は数学という学問を作るために数学をやるんでしょ？
工学屋は工学という学問を作るためなどと考えてるのは大学の先生だけで、
工学部でおべんきょしたエンジニアは、
対象物を設計(もしくは設計のお膳立て)をするために工学、数学を利用するだけです。

・王道（＝近道）は無い
・殆どの数学屋は自分の数学研究に役立てるために位相やルベーグ積分を道具として利用するだけ
・>>890のアドバイスは親切

>>889
集合位相は、理系なら一から勉強すべきだと思うが…。
もちろん証明を自分でできるようになる必要はないが、証明の流れは
読んで理解できるように。
それが出来れば、ルベーグ積分自体は流し読みでもわかる。

>>891-892
わからんなりにちゃんと動かすのが工学屋さんのセンスでしょ？
向いてないんじゃないの？

部品のカラーコーディネートみたいな変なとこにこだわってるな、という感じなんだけど。
時間がないなら工学屋さんの先輩に聞いてごらん。

>>893
>・殆どの数学屋は自分の数学研究に役立てるために位相やルベーグ積分を道具として利用するだけ

精密な数学の理論構築のためにこそ位相があるのでは？
そこまで精密さを要求されることって工学じゃ皆無なんですね。恐らく使うはずが無くて、数学屋でも
つまづきがちな位相にはまるのはいくら遠回りでも遠回りしすぎのような印象を持ちますが？違うんですかね？
上で挙げた数学屋からいうとDQN本東海大学出版会のルベーグ積分入門+ε程度でいいんですけど。


>>894
>集合位相は、理系なら一から勉強すべきだと思うが…。
理学部は知りませんが、僕の知ってる限り、国公立のほとんどの工学部では位相はもちろん
ルベグ自体やらないです。
もちろん、フーリエ変換でも、"ここでの積分はルベグの意味です"の注釈はありますが、
ルベグそのものはやらない。はっきりいって時間的な余裕は絶対ないはずです。
つーか集合位相なんてやるのは数学科と物理系だけじゃないですか？
物理屋が手を出すであろう関数解析とかも黒田本なんてルベグを意識させない書き方になってますよね。
物理屋でも関数解析は手を出しても皆が位相まで手を出すのかなぁ？

>それが出来れば、ルベーグ積分自体は流し読みでもわかる。
そうですか。それは貴重な情報です。
位相そのものはルベグなり、なんらかの目的を通してみた方がbetterという気持ちもあるんですよね。
指導者がいる場合は別なんでしょうが、あれをいきなり読んでもあまりにとりとめのない話で、
まったく興味がわかない。恐らく、数学屋さんにとって、必要な項目ばかりなんでしょうけど、多分野からすると、
まったく実体がつかめない。
だから、ルベグ読んでて、わからないときに開くって感じなんですが。

>>895
>向いてないんじゃないの？
それはルベグをやるのに向いてないって話ですか？それとも技術屋として向いてないって話ですか？
前者はともかく後者だと困りましたね。既にながーいことそれで飯食ってますからね。


>時間がないなら工学屋さんの先輩に聞いてごらん。
工学屋ってのは>>892で自分で書きましたけど、学会には入ってても"学"を全く意識してないので、
技術屋といったほうがぴったりきますね。
それで、上でも書いたように工学部では位相どころか、集合論もカリキュラムに入ってないのが普通です。
ルベグに手を出すのは極めて特殊な例です。なので、仲間内の誰に聞いても位相といえばphaseです。

位相に関しては、

・小林貞一　集合と位相
・静間良次 位相
・集合と位相　そのまま使える答えの書き方
・斎藤正彦　数学の基礎

ってのを持ってるんでが、ルベグを読む上で他に入手しといた方がいいのがあれば、
紹介してください。 mOm

>>893 が何の目的でルベーグ積分を勉強しようとしてるのかよくわからないな。
積分するのにルベーグじゃないとだめな関数は、工学屋から見ればかなり病的な
ものしかないと思う。応用上計算が必要な関数の積分って、大学初年度までに
習うようなものがすべてだし、893が無理してルベーグ積分を学んでも積分する技術には
何も結びつかないと思うのだが。
そんなに急いでルベーグ積分だけを学ぶ必要はあるのかね？

プロの数学屋でも、位相の本なんて一冊かせいぜい二冊しか読んだことがない。

単に計数工学だとか数理工学だとかの学科で実解析入門っぽい授業があるだけで
実際には工学には全然関係ないでしょ。単位を取るという以外にはあまり意味が無いはず。

>>896
＞精密な数学の理論構築のためにこそ位相があるのでは？
Lebesgue積分も同じです。残念でした。

>>898
そのうち一冊くらい読みなさい。（そのまま使える〜はお勧めしない）
数学の本は入手しただけで辞書みたいには使えません。

>>901
>Lebesgue積分も同じです。残念でした。
いやそれは違うのでは？
ルベグを前提とすれば、被積分関数範囲の拡大はもちろん。
収束定理、項別積分のexcuseなしの成立が保証される。
その後の理論構築する上で楽じゃないですか。
精密な議論より、いらぬ苦労を初めから除外できます。
精密な理論構築は二の次で、理論展開する過程で楽ができることの
ほうにメリットを感じてますが。

いや工学では使わないでしょ

>>902
>精密な理論構築は二の次で、理論展開する過程で楽ができることのほうにメリットを感じてますが。
それなら初めから、どんな関数でも積分できるし、どんな極限と積分も交換できるってしたほうが楽じゃん。

ルベーグ積分は精密な数学の理論構築のためのツールであって、工学屋が楽をするためにあるものじゃない。
>>754 の問題とか見てみ？ルベーグ積分知ってても、全然楽じゃないだろ？
ルベーグ積分学んだ後の数学はあんな難しい問題ばっかりだ。

>>754 じゃなくて >>750 だった。

>>898
「小林貞一　集合と位相」は分離公理や完備性を解説していないのでいまいちだと思う
参考書としてはやっぱり松坂和夫の「集合・位相入門」が最適。説明もわかりやすく初心者には取り組みやすい

もうHenstock積分でいいじゃん。リーマン積分みたいな議論だし、ルベーグ積分より広いし、
微積分学の基本定理が完全に成り立ってるし(f’の可積分性を仮定せずとも、必ず可積分になる)。

>>907
そんなものが理解できる椰子はルベック如きで泣き言を言ったりしない

>>903
>いや工学では使わないでしょ

実はそうとばかりは言えないんです。工学の実現象だけを扱う場合は必要ないと思いますが、
実現象を抽象化して扱う確率、確率過程だと、ルベグは、大山鳴動して・・・とばかりは言えないように思ってます。
実際、工学で物理屋が作った微分方程式を実問題に応用しようとしてもたちまち、外乱、ノイズのお蔭様で、
非常に苦労させられます。工学上の問題は最終的に確率微分方程式に帰着するというのが、
長年エンジニアをやってきた一つの結論で、その過程でルベグは無視できないなと考えるようになりました。
無視してもなんとかつじつまあわせは可能かもしれませんが、確率微分方程式の書物を見てると、
ルベグの理論展開がかなり参考になるというか知らないとへんな所でやたらと時間をとられてしまいます。
位相、ルベグでも同様な関係かもしれませんが。

ちょっとアルコールが入ってるので変な文章になってるのはご容赦くださいませ。

確率微分方程式を工学的に応用したいなら、たぶん金融の本を読むべきだね。
中身は金融のネタしかないわけだけど、微分方程式を立てて、その解を解析するって点では一緒だ。
それになにより中身が非常に工学的だ。

真面目に勉強したいのなら、確率とルベーグ積分がセットになった本を読むべきだよ。伊藤清三の最初のほうなんてまるで読む必要なし。

>>902
> 精密な理論構築は二の次で、理論展開する過程で楽ができることのほうにメリットを感じてますが。

構築と展開を微妙に使い分けているようだが？
ルベーグ積分の各種定理の証明抜きにして、それらを自由自在に使いこなしたい、
ってこと？










それが出来るだけの能力の持ち主なら、やればいい。

工学とかで
>>904の
＞それなら初めから、どんな関数でも積分できるし、
＞どんな極限と積分も交換できるってしたほうが楽じゃん。
で問題ないじゃん。

工学とかで極限と積分を適当に交換したせいで
大変な結論が出てくるとかそういうことって無いんじゃないの？あるの？
以前から疑問なんだが。

>>911
解決済みの類似問題が沢山あるのなら、ルベーグ積分の主要定理とその用法を
覚えるだけで、似たような問題は手際よく処理できる。
でも、類似例の無いような問題をきちんと処理するには、ルベーグの理論を
証明も含めて理解していないと無理でしょう。

レシピのない問題は、物理屋、数学屋の出番となる

極限と積分じゃないけど、積分形の関数のフーリエ（逆）変換かなんかを計算したときに
二重積分の順序が入れ替えられなかったな。

工学の素人だけど >>909 は核心に触れていると思うね。
確率こそが純粋数学と現実をつなげるキーなんだろうね。
そういえば量子力学も確率的だし。

>>915
そんなバカな…

>>916
自画自賛ですかｗ

>>917
調和解析の本の最初のほうだったから、かなり特異な積分だった気がする。

Fubini-Tonelli の定理に反例が存在するかどうかはZFCから独立のはずだけど。。

MAを加えれば反例の存在が示せるし、forcingによって反例の無いモデルも構成できる。
ttp://math.cs.kitami-it.ac.jp/~fuchino/tmp/kikaku03.pdf

何か違う意味で言ってるのかな？

>>909
＞工学上の問題は最終的に確率微分方程式に帰着する

工学上の「多くの」問題は最終的に… というならさほど間違ってないかも。

誰かがすでに工学の問題を高等数学を使って定式化した話を勉強する
だけなら、数学の基礎理論を適当にサボっても何とかなる。

工学のある問題をはじめて数理科学の問題として扱おうとするなら、
基礎理論を真面目に勉強しないととても手が出ない。そして、そのために
勉強する教科書などは十分に用意されています。基礎科学の重要性という
のは、そういうところに表れるのではないですか？

「数学は勉強したものが勝ち」というのが、私が先輩の技術者から
学んだことです。

>>920
そんな基礎論的な話じゃなくて、単に工学屋がよく計算しそうなフーリエ変換の積分で二重積分の順序が交換できなかったってだけ。

>>922

その式を書いてくれると有難い

>>923
すまんが、もう二年も前に駒場を離れちまったので、さすがに覚えてない。
出だしがMaximal operatorから始まる、たしか「Harmonic analysis」ってタイトルの本の
Riesz変換のところで出てきたような記憶があるが、さすがにすぐには出てこん。

でも別に難しく考えなくても、
∫∫f(x)exp(iy) dx dy
型の積分の順序が入れ替わらないのって、当たり前な気がする…

∫∫f(x)exp(ixy) dx dy なら、順序交換できて当たり前だがｗ

>>918
一応、>>916は俺じゃないんで。^O^
>>909で書いたことは身の回りの同分野の技術屋は誰もそんなことは言ってませんし、
大学時代の今は無き恩師ですら言ってなかったです。
まぁ、あくまで実務を通じて得た俺個人の感想です。
それがあたりなのかはずれなのかよくわかりませんが、天体の運動を記述するだけなら
確定過程&微分方程式でいいのでしょうが、外乱、ノイズ、主体そのものが能動的にランダムに
変動する場合の記述が可能な確率微分方程式が工学にとって必要じゃないかなと。
まぁサンプリングしてしまえば、伊藤積分もへったくれもなくなってしまうわけですが。

>>926
yで先に積分するには一体どうすりゃいいんだ？

その割りには893を騙り続けているようだがｗｗｗ

なんかずーっと間違ってて気づきませんでしたが
893じゃなくて883でした mOm

>>928 δ関数

g(x) = ∫f(x)exp(iy) dy
はデルタ関数を使ってどう書けるって？

∫∫f(x)exp(iy)dxdy=(∫f(x)dx)(∫exp(iy)dy)

数学的にそれで交換できてるとは思えんが、工学的にその計算を致命的な誤りだとしないのなら、
積分の順序が交換できないという例としては不十分だったな。

順番変えても可積だけど値が違う例ってあるの？

あるよ
微積分の教科書には大抵書いてある

俺が勉強した教科書に載ってたかな…
例えばどの本の何ページにあるか教えて頂けます？

ないアルヨ

例外が一個あれば、その例外をもとに平行移動したり、
うまく関数を選んで加えたりすればいくらでも例外をつくれる。

解析概論
第８章　積分法（多変数）
９４．積分の意味の拡張（広義積分）
［例４］
ｆ（ｘ，ｙ）＝（ｙ＾２−ｘ＾２）／（ｘ＾２＋ｙ＾２）＾２。
［０，１］×［０，１］。

f：[0,1]×[0,1]→Rが、点(1,1)を含まない任意の長方形[a,b]×[c,d]⊂[0,1]×[0,1]上で
重積分可能であり、かつα＝lim[x↑1,y↑1]∫∫[0,x]×[0,y]f(s,t)dsdtが存在するならば、
fは[0,1]×[0,1]上でも重積分可能で その値はαに一致する。

杉浦の累次積分の節には、順序が交換できない例は載ってないな。
だめじゃないか、光夫。

>>942
重積分可能ならば、いつでも順序交換可能では？

>>943
>>940

僕の脳みそもルベーグ積分されました。

>>944
>>940の関数はそもそも 重 積 分 不 可 能 ですが何か？

>>943
累次積分の話だから重積分可能とは限らない。

>>942
解析入門�Uの第�Z章第１節に>>940と同じ例が載ってる。

>>940
コテはずしたのか？

http://en.wikipedia.org/wiki/Fubini's_theorem
ここにも載ってるな。計算結果つきだ。

951は素数ではない。
素因数分解951＝3×317

自作問題。関数を数列に置き換えてみた。

数列{fn(k)}(n,k∈N)と数列{f(k)}(k∈N)は次の条件を満たしている。
・任意のk∈Nに対してfn(k)↑f(k) (n→∞)
・任意のn∈Nに対してSn＝Σ[k＝1〜∞]fn(k)が存在する。
このとき、(∞も込めて)次が成り立つことを示せ。
・Σ[k＝1〜∞]f(k)＝sup[n∈N]Sn (＝lim[n→∞]Σ[k＝1〜∞]fn(k) )

見てのとおり、単調収束定理の数列版。結構簡単に解けた。
積分版とは違い、Σfn(k)が絶対収束しなくても良いことに注意。

それは伊藤の単調収束定理の証明の途中で使ってなかったか？
見てみないとわからんが

[x]をxを超えない最大の整数とし、f(n,x)=[2x*(2^n)]-2*[x*(2^n)] とする
f(n,x)=1or0となる事や ∀n { x*(2^n)≠[x]*(2^n) → f(n,1-x)=1-f(n,x) } や
f(n,x)がxを2進数表示で小数点n桁目になる事は計算すれば分かる

AをN上の超フィルターとし、{i|f(i,x)=k}∈Aならf(A,x)=k (k=0,1)とする
Aの性質よりxに対してf(A,x)=1かf(A,x)=0のどちらか一方のみが成り立つ
また∀n x*(2^n)≠[x]*(2^n)} →
{n}∈Aならf(A,x)=f(n,x)となるので、ここでは任意の{n}を含まないAに対してf(A,x)を考える

∫[x=0,a]f(A,x)dx