★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十五問

1 ：１３２人目の素数さん：2008/06/04(水) 16:13:55

理系で数学が得意な高校生が２５～５０分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以外の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ

過去ログは>>2以降

2 ：１３２人目の素数さん：2008/06/04(水) 16:14:24

　過去ログ
★東大入試作問者になったつもりのスレ★
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1000592003/
★東大京大入試作問者になったつもりのスレ★
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1046165076/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第三問
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1069171672/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第4問
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1099493043/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第五問
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1116752400/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第六問
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1134000000/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第七問
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1148569109/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第八問
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1166904000/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第九問
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1182629190/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十問
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1188545067/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十一問
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1190854032/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十二問
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1194120000/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十三問
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1199706844/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十四問
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1204606214/

　過去ログ
http://briefcase.yahoo.co.jp/bc/loveinequality/lst?.dir=/b856

3 ：１３２人目の素数さん：2008/06/04(水) 16:15:53

参考ページ

東大過去問(1970～の過去問が網羅)
http://hw001.gate01.com/akiyoshi/index.html

東大・京大・東工大の過去問(未掲載分あり)
http://www.j3e.info/ojyuken/math/

4 ：１３２人目の素数さん：2008/06/05(木) 03:32:22

人の脳を読む能力を悪用しない人間を識別する方法論を述べよ

5 ：１３２人目の素数さん：2008/06/05(木) 05:51:13

6 ：１３２人目の素数さん：2008/06/05(木) 14:10:11

98年のグラフの問題は東大入試における金字塔だな。

7 ：１３２人目の素数さん：2008/06/05(木) 14:11:07

まだ言ってるか。
あの問題は単に難しいだけで詰まらん。

8 ：１３２人目の素数さん：2008/06/05(木) 18:08:32

数列{a[n]}の初項から第n項までの和をS[n]とおくとき
任意の自然数nについて
a[n]=S[1]+S[2]+･･･S[n]+2n-2
が成立している。a[n]の一般項を求めよ

9 ：１３２人目の素数さん：2008/06/05(木) 18:22:02

>>8
なんか見るからに簡単そうな問題だな。
もっと難しそうなのｷﾎﾞﾝ

10 ：１３２人目の素数さん：2008/06/05(木) 18:27:07

サイコロをｎ回振りその出た目の和がｎの倍数になる確率を求めよ

11 ：１３２人目の素数さん：2008/06/05(木) 19:54:16

f(x)＝(x^1＋x^2＋…＋x^6)^nとおくと
f(x)＝Σ[a∈A]x^|a| (A＝{1,2,…,6}^n , |a|＝a1＋a2＋…＋an)
と表せる。k＝0,1,…,n－1に対してfk(x)＝Σ[a∈A , |a|≡k (mod n)]x^|a|
とおけばf(x)＝Σ[k＝0～n－1]fk(x)となる。α＝e^(2πi/n)とおくとき、
fk(α^j)＝Σ[a∈A , |a|≡k (mod n)]α^{j|a|}＝Σ[a∈A , |a|≡k (mod n)]α^(jk)
＝Sk*α^(jk) となる。ただしSk＝＃{a∈A｜|a|≡k (mod n)}とおく。よって
f(α^j)＝Σ[k＝0～n－1]Sk*α^(jk) となり、
Σ[j＝0～n－1]f(α^j)＝Σ[k＝0～n－1]SkΣ[j＝0～n－1]α^(jk)
＝nS0 となる。よってS0＝Σ[j＝0～n－1]f(α^j)/n となり、求める確率は
Σ[j＝0～n－1]f(α^j)/(n*6^n) である。

12 ：１３２人目の素数さん：2008/06/05(木) 20:16:59

次の二つの条件(*),(**)を同時に満たすような実数全体を定義域とする
関数f(x)がちょうど2つ存在することを証明せよ。
ただし自然対数e=2,7･･･　円周率π=3,1･･･であることを用いてよい。

条件

(*)任意の実数xについてlogf(x)=x-3+2∫[0,π/2]f(t)costdt

(**)f(0)<1

13 ：１３２人目の素数さん：2008/06/05(木) 20:25:29

xy平面上に楕円C1:x^2/4+y^2/9=1　がある。
この楕円をx=2について対称移動させた楕円をC2とする。
C1とC2は初めP(2,0)において接している。C1とC2が滑らないように
かつ互いに接点を共有させながらC2をC1の周りを反時計回りに
動かす。一周して接点が再び(2,0)に戻ったとき、C2の中心が描く
軌跡が囲む部分の面積を求めよ。
ただし楕円の中心とはその楕円の短軸と長軸の交点のことをいう。

14 ：１３２人目の素数さん：2008/06/05(木) 21:41:53

>>12
マルチ。しかも簡単。

15 ：１３２人目の素数さん：2008/06/05(木) 21:55:01

x の方程式　x^4 + (2p)x^3 + (p^2)x^2 - (2p)x -(2p^2) -1 ＝ 0
に関する次の問いに答えよ。ただし、p は与えられた正の数とする。

（1）正の解は　1　つしかないことを示せ。
（2）（1）の解を　α(p)　とするとき、lim[p→∞]α(p)　を求めよ。

16 ：１３２人目の素数さん：2008/06/05(木) 23:12:01

>>13
大数の宿題だよなたしか。宿題にしてはヌルすぎる問題だ。

17 ：１３２人目の素数さん：2008/06/06(金) 00:15:58

AV
http://www.megaupload.com/?f=GPV8A5HC

18 ：１３２人目の素数さん：2008/06/06(金) 07:20:18

しかし前スレの905って本当に良く出来た問題だよなあ。
ちょっと感心。

19 ：１３２人目の素数さん：2008/06/06(金) 07:23:14

いや結構有名じゃね？数研の問題集で見た

20 ：１３２人目の素数さん：2008/06/06(金) 07:27:03

結構有名であったとしても本当に良く出来た問題であることと矛盾しないので、
最初の「いや」はおかしい。

21 ：１３２人目の素数さん：2008/06/06(金) 07:31:37

前スレの905の上級者向けﾊﾞｰｼﾞｮﾝ

解が解析函数になるための整数ｎの条件を求めよ。

22 ：１３２人目の素数さん：2008/06/06(金) 07:32:34

高校範囲外

23 ：１３２人目の素数さん：2008/06/06(金) 11:33:39

>>19
数研の問題集であの手の問題があるとは思えないけど。
誘導が沢山付いてた？

24 ：１３２人目の素数さん：2008/06/06(金) 11:50:45

いや誘導ついてないよ
オリジナルかスタンダードに載ってるから確かめてくれ

25 ：１３２人目の素数さん：2008/06/06(金) 13:06:56

多分見たのは

x^2 f’(x)＝f(x)

とかじゃくて

x^2 f(x)＝f’(x)

の方じゃないの。
これなら出ててもおかしくないけど。

26 ：１３２人目の素数さん：2008/06/06(金) 13:31:56

だから自分で確かめろっつてんだろ

27 ：１３２人目の素数さん：2008/06/06(金) 13:37:21

そんなもん持ってねえよ。
工房じゃないんだから。
話ふっといて自分で確かめろか？

28 ：１３２人目の素数さん：2008/06/06(金) 13:53:59

気になるのは自分なんだから自分で確かめろ

29 ：１３２人目の素数さん：2008/06/06(金) 14:36:25

お前ら小学生かよ

30 ：１３２人目の素数さん：2008/06/06(金) 14:52:33

xy平面上に二つの放物線、C1:y^2=x,C2:y^2=-x　がある。
はじめC1は原点OにおいてC2と接している。
C1とC2が互いに接点を共有しながら、しかも滑らないように
C1をその接点のy座標が正となる方向へ回転させながら動かす。
ある時点でのC1とC2の接点をPとし,Pのy座標をpとおく。
このとき以下の問いに答えよ。
(1)C1の頂点のx座標をa(p),y座標をb(p)とおくとき
lim[p→∞]a(p)
lim[p→∞]b(p)
をそれぞれ求めよ。
(2)C1の頂点のえがく軌跡と直線x=a(p)、さらにx軸で囲まれる部分の面積をS(p)とおくとき
lim[p→∞]S(p)を求めよ。

31 ：１３２人目の素数さん：2008/06/06(金) 15:15:31

どれも無限大じゃん

32 ：１３２人目の素数さん：2008/06/06(金) 15:21:03

んなこたぁない

33 ：１３２人目の素数さん：2008/06/06(金) 16:13:31

a(p)=-2p^4/(4p^2+1)
b(p)=4p^3/(4p^2+1)

34 ：１３２人目の素数さん：2008/06/06(金) 16:18:54

>>15をおながいします

35 ：１３２人目の素数さん：2008/06/06(金) 16:20:31

今古畑見てる

36 ：１３２人目の素数さん：2008/06/06(金) 16:23:57

>>33
計算ミス

37 ：１３２人目の素数さん：2008/06/06(金) 16:28:06

>>35
何様のつもりだ、あん？

38 ：１３２人目の素数さん：2008/06/06(金) 16:29:06

>>24
今度本屋に行ったら確かめてみようと思うけど、
数研の「オリジナル」とか「スタンダード」に
あそこまで論理的な盲点を突く問題が載ってるとは思えないけどな。

俺が高校のとき、「オリジナル」に函数方程式の問題が載ってたことがあったんだが、
微分可能という仮定が問題文に無く、微分の定義の式に戻って
いちいち計算しないといけないはずなのに、解いてから略解見てみたら、
無造作にLeibniz則とか使って微分して解いてたアホな解答が載ってたことがあったのでｗ

39 ：１３２人目の素数さん：2008/06/06(金) 16:35:21

そうだ、そうだ、>>24は前ｽﾚの涙目の人でFA？

40 ：１３２人目の素数さん：2008/06/06(金) 16:36:10

違うと思うよｗ

41 ：１３２人目の素数さん：2008/06/06(金) 16:40:05

何で確認してないのにえらそうなの？

42 ：１３２人目の素数さん：2008/06/06(金) 16:41:14

涙目ﾜﾛｽ

43 ：１３２人目の素数さん：2008/06/06(金) 16:48:48

>>41
じゃあ、おまいが確認してこい。
あと、ついでにﾒﾛﾝﾊﾟﾝも買ってこいよ。

44 ：１３２人目の素数さん：2008/06/06(金) 16:51:18

果汁入りはダメだよ。

45 ：１３２人目の素数さん：2008/06/06(金) 17:02:17

網目の焼型が付いてないとダメらしいな。

46 ：１３２人目の素数さん：2008/06/06(金) 18:08:37

俺、工房時代に高校で買わされたオリジナル持ってるぞ。
押し入れの一番奥に他の本と一緒に収納してしまったので
取り出したくないが。

47 ：１３２人目の素数さん：2008/06/06(金) 19:08:28

>>15
(1)
左辺をf(x)と
微分して調べたらx>0で単調増加でf(0)<0,f(∞)>0

(2)
式変形して考えたら
1<x<√2
が分かる
ちょこっと考えてlim[p→∞]α(p)=√2

48 ：１３２人目の素数さん：2008/06/06(金) 19:49:59

問題まだー

49 ：１３２人目の素数さん：2008/06/06(金) 20:24:41

2≦an∈N,an+1/an=bn∈N,bn≦bn+1
Σ(n=1～∞)1/anの取りうる値を求めよ

って言う問題はその後どうなりましたか？
2≦an∈N,an+1/an=bn∈Nだけなら、{x|0<x≦1}が答えってとこまでは読みましたが
続きが気になって眠れません。

50 ：１３２人目の素数さん：2008/06/06(金) 20:27:10

1<bnが抜けてた。

51 ：１３２人目の素数さん：2008/06/06(金) 22:00:17

ﾒﾛﾝﾊﾟﾝも買ってきたか？

52 ：１３２人目の素数さん：2008/06/06(金) 22:11:57

メロンパンはちょっと前に売り切れだったから、ジャムパンで我慢してくれ

53 ：１３２人目の素数さん：2008/06/06(金) 22:18:31

ｱﾝｹｰﾄに強力してたんじゃないだろうな？

54 ：１３２人目の素数さん：2008/06/06(金) 22:24:50

いや、ちょっとkingにつかまってた。>>49について知ってる事を話してくれ

55 ：１３２人目の素数さん：2008/06/06(金) 22:26:44

スレチ他のとこいけよ

56 ：１３２人目の素数さん：2008/06/06(金) 22:39:42

>>49
この問題見たことあるけどどこで見たか忘れた
たぶん大学への数学とかだと思うけど誰か知らない？

57 ：１３２人目の素数さん：2008/06/06(金) 23:41:47

とりあえず所有してるオリジ・スタン微積・確統とオリジ・スタン数IIICを見たけど、
それらしいのは載ってなかった。

58 ：１３２人目の素数さん：2008/06/07(土) 00:12:40

thanks

59 ：１３２人目の素数さん：2008/06/07(土) 00:21:10

涙目、出て来い、(ﾟДﾟ)ｺﾞﾙｧ!!

60 ：１３２人目の素数さん：2008/06/07(土) 00:47:05

>>24は涙目とか言われてた人とは別人だと思うが。。

もう>>24が涙目さんってことで良いのかなｗ

61 ：１３２人目の素数さん：2008/06/07(土) 00:49:40

お前ら何歳だよ
アホくさ

62 ：１３２人目の素数さん：2008/06/07(土) 03:08:50

1[名無しさん]
tan1[rad]は有理数？無理数？
tan1°は有理数か？←これはわかるが…
2008-06-05 22:56
2 [西野圭亮]
ヒントだけ与えておきます。
範囲を絞って、見てみるとよいでしょう。とりあえずF(X)=tanθのグラフを描いてみましょう。まずはそこからです。
2008-06-06 02:04
3 [名無しさん]
<>>2>
そういわれてもねえ…グラフ描いても解法の糸口が全然見つからないし…
そもそもtanが有理数になるときは、θ＝nπ,2nπ,π/4＋2nπ,3π/4＋2nπ,5π/4＋2nπ,7π/4＋2nπのときでしょ…（n:自然数,単位:rad）
つまりtanが有理数のときθは必ず無理数だから、
tan1°は有理数か？の問題と同様に数学的帰納法は使えない…
tan1[rad]が有理数と仮定して、tan1[rad]＝a/b（a,bは互いに素）とおいても解けそうにない…
tan1[rad]が無理数であると推測はできるし、背理法を使えば多分解ける…
ここまではわかるが、これ以上はムリ…
というわけで、解説お願いします
2008-06-06 23:05
4 [名無しさん]
訂正
２行目の（n:自然数,単位:rad）→n:整数
2008-06-06 23:08

63 ：１３２人目の素数さん：2008/06/07(土) 03:09:24

5 [西野]
道を外れすぎです。
1radian=(　　)
radianの定義は頭に入っていますか？(　　)にあてはまるものがわからなければ、問題外です。出直してください。
数学は解き方を覚えるのではなく定義を覚えるのです。
そうすれば、あちこち探らなくても一発でいけますよ。
radianが何なのかわかっていれば、sin1 sin2 sin3 sin4 の大小関係がGRAPHからわかるはずです。
2008-06-07 02:05
神奈川 6 [西野]
ちなみにここは質問掲示板説明にあるように、アドバイスしかできません。
問題投稿掲示板に新しくスレッドを立ててください
2008-06-07 02:19
神奈川 7 [西野]
すみません間違えました上
2008-06-07 02:21

64 ：１３２人目の素数さん：2008/06/07(土) 05:36:36

MASUDAのサイト全部中途半端
もう週に１問出題するだけでいいからちゃんとすればいいのに

65 ：１３２人目の素数さん：2008/06/07(土) 08:17:12

>>63
高校の範囲じゃ解けないだろ
tanxの連分数展開からxが有理数ならtanxは無理数
ついでにπが無理数であることも分かる

66 ：１３２人目の素数さん：2008/06/07(土) 13:40:09

前ｽﾚ942-943はよくできててケチを付けるつもりはないが、
943で x＞0 で f(x)＝e*e^(－1/x) が出るから、f(x) の x＝0 での連続性より f(0)=0 でいいんでないの。
すると 942で x＜0 のとき f(x)＝ｃ2*e^(－1/x) と x＝0 での連続性よりｃ2＝0。
どの道 f’(0) の検証はいるのだから。

67 ：942：2008/06/07(土) 17:04:57

>>66
おお、それは賢いな。

68 ：１３２人目の素数さん：2008/06/07(土) 20:11:49

問題まだー

69 ：１３２人目の素数さん：2008/06/07(土) 20:14:00

>>15と>>30

70 ：１３２人目の素数さん：2008/06/07(土) 20:15:42

>>33 >>47

71 ：１３２人目の素数さん：2008/06/07(土) 20:19:18

lim(n->∞)1/{nsin(n)} を求めよ。

72 ：１３２人目の素数さん：2008/06/07(土) 20:20:43

R^+＝(0,∞) とするとき，次の性質を満たす関数のなるべく簡単な例をあげよ．

1．R^+ で f(x)＞0
2．lim(x→+0)f(x)＝∞
3．R^+ で C^∞ (何回でも微分可能)
4．R^+ で広義可積分 (∫(0→∞)f(x)dx が存在)

73 ：１３２人目の素数さん：2008/06/07(土) 20:23:01

ｘ+ｙ+ｚ＝ｋ（０≦ｋ＜２π）のとき
sin ｘ + sin ｙ + sin ｚの最大値、最小値を求めよ。

74 ：１３２人目の素数さん：2008/06/07(土) 20:23:55

a，b，c は実数の定数とする。
任意の t∈[0，1]、ｘ∈(-∞，∞) に対して
P＝a x^2 + b t^3 x^3 + c t^5 x^4
が上に有界(ある正の数 M が存在して P≦M)となる a，b，c の必要十分条件を求めよ。

75 ：１３２人目の素数さん：2008/06/07(土) 20:25:21

>>72
f(x)＝(1/√x)*e^(－x)

76 ：１３２人目の素数さん：2008/06/07(土) 20:49:30

あほな問題ばっか

77 ：１３２人目の素数さん：2008/06/07(土) 21:10:59

広義積分が大学入試に出るかよ

78 ：１３２人目の素数さん：2008/06/07(土) 21:58:34

xy平面上に
x=θ-sinθ
y=1-cosθ (0≦θ≦2π)
で定義される曲線Cがある。
Cはすべて、楕円D:x^2/(4π^2)+y^2=1の周または内部に含まれることを証明せよ。

79 ：78：2008/06/07(土) 22:01:06

すまんミス

xy平面上に
x=θ-sinθ
y=1-cosθ (0≦θ≦2π)
で定義される曲線Cがある。
Cはすべて、楕円D:(x-π)^2/(π^2)+y^2=1の周または内部に含まれることを証明せよ。

80 ：１３２人目の素数さん：2008/06/07(土) 22:57:48

>>76
>>74を解いてみて。
解けないと思うけど。

81 ：１３２人目の素数さん：2008/06/07(土) 23:00:43

>>80
えらい懐かしい問題を引っ張り出してきおったな

82 ：１３２人目の素数さん：2008/06/07(土) 23:38:56

>>79はたぶん駿台東大実戦の過去問だな。

83 ：１３２人目の素数さん：2008/06/08(日) 00:21:03

a,b,c>0とする

a^4+b^4+c^4≧abc(√bc+√ca+√ab)

を示せ。

84 ：１３２人目の素数さん：2008/06/08(日) 00:21:11

放物線C:y=x^2上に相異なる3点P,Q,Rをとる.ただし, P,Q,Rのx座標を順にp,q,rとしてp＜q＜rとする.
三角形PQRの面積をS, 放物線Cと線分PRとで囲まれる部分の面積をTとしたとき, S/Tのとり得る値の範囲を求めよ.

85 ：１３２人目の素数さん：2008/06/08(日) 00:26:44

Σ[k=1,n]2^(2^k) が7で割り切れるためのnの満たすべき必要十分条件を求めよ.

86 ：１３２人目の素数さん：2008/06/08(日) 00:56:17

pickup講義更新してちょ

87 ：１３２人目の素数さん：2008/06/08(日) 01:07:29

>>84はたぶんドラゴン桜だな。

88 ：１３２人目の素数さん：2008/06/08(日) 20:02:16

白玉４個、赤玉２個、青玉２個に穴を開けて糸を通して輪っかを作る。
何通りの輪っかを作れるか。

89 ：１３２人目の素数さん：2008/06/08(日) 20:11:57

１０００チームでトーナメントをやるときに必要な審判のローテションを
作りなさい。

90 ：１３２人目の素数さん：2008/06/08(日) 20:13:02

USオープンでハンデイ３の人が勝ち残る確率は？

91 ：１３２人目の素数さん：2008/06/08(日) 20:21:25

a[n+3]^2=-a[n+2]^2+2a[n+1]^2+48a[n+1]a[n]+32a[n]^2
a[1]=a[2]=a[3]=1,a[n]≧0
とa[n]を定める

　
(1)a[n]が整数であることを証明せよ
(2)a[n]が平方数であることを証明せよ

92 ：１３２人目の素数さん：2008/06/08(日) 20:28:21

マンデルブロートの操作が収束する場合の値と収束半径を計算しなさい

93 ：１３２人目の素数さん：2008/06/08(日) 20:33:23

何言ってるんだ。

マンデルブロの操作ってのが何言ってるのか知らんが
例の有名な奴なら収束半径なんかあるわけ無いだろ。

94 ：１３２人目の素数さん：2008/06/08(日) 20:36:10

ｆｃ（ｚ）＝ｚ２＋Ｃ

((z^2+c)^2+c)^2+c....

gc(z)=(z-c)^.5

Vr(a)=a+r=(...((a-c)^.5-c)^.5....

95 ：１３２人目の素数さん：2008/06/08(日) 21:47:36

マーチンゲール法あげ

96 ：１３２人目の素数さん：2008/06/08(日) 22:09:39

>>83
ここら辺↓に解答…

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/336
不等式スレ３

97 ：１３２人目の素数さん：2008/06/08(日) 22:33:43

n>1,sinθ=1/n,0<θ<π/2のとき
1/n<θ<π/{nπ-(π-2)}
を示せ

98 ：１３２人目の素数さん：2008/06/08(日) 22:58:40

>>97 新数演

99 ：１３２人目の素数さん：2008/06/09(月) 07:15:04

>>88
円順列が54通りあり、そのうち左右対称なのが12通り、非対称が42通りで、12＋42/2＝33通り。

100 ：１３２人目の素数さん：2008/06/09(月) 13:09:08

kingかわいいよking

101 ：1stVirtue ◆.NHnubyYck ：2008/06/09(月) 16:58:47

Reply:>>100 重呼。

102 ：１３２人目の素数さん：2008/06/09(月) 21:34:24

α,βが任意の実数値を取る時|(√33)sin(α-β) - (2√3)sinα + (2√11)sinβ|の最大値を求めよ

103 ：１３２人目の素数さん：2008/06/10(火) 01:44:25

じじょうする。

104 ：１３２人目の素数さん：2008/06/10(火) 03:43:07

>>91

(略解)
与式に a[n] = b[n]^2 を代入して整理すると、
　b[n] = b[n-1] -2*b[n-2],
を得る。また
　b[1] = b[2] = 1,
とすると、b[n] は明らかに整数。
∴　a[n] は自然数。なお、
　b[n] = (2/√7){2^(n/2)}sin(nβ),
とも表わせる。ここに sinβ = √(7/8).

105 ：104：2008/06/10(火) 04:14:58

>>91

a[n] は平方数だった。ｽﾏｿ.

初めの方は
b[1]=1, b[2]=1, b[3]=-1, b[4]=-3, b[5]=-1, b[6]=5, b[7]=7, b[8]=-3, b[9]=-17, b[10]=-11,
b[11]=23, b[12]=45, b[13]=-1, b[14]=-91, b[15]=-89, b[16]=93, b[17]=271, b[18]=85, b[19]=-457, b[20]=-627,
b[21]=287, b[22]=1541, b[23]=967, b[24]=-2115, b[25]=-4049, b[26]=181, b[27]=8279, b[28]=7917, b[29]=-8641, b[30]=-24475,

106 ：１３２人目の素数さん：2008/06/10(火) 05:04:25

>>104
b[3]=b[2]-2*b[1]=1-2=-1
∴a[3]=√b[3]=i

？？

107 ：１３２人目の素数さん：2008/06/10(火) 10:23:44

計算してないけどホントにa[n]=b[n]^2とおくとそんなに簡単になるか？

108 ：１３２人目の素数さん：2008/06/10(火) 10:31:17

>>106
a[3]=b[3]^2=1だろ常識的に

109 ：１３２人目の素数さん：2008/06/10(火) 22:36:51

(1)有理数係数３次多項式が重根αをもつとする。αは有理数であることを示せ。
(2)(1)で４次の場合にαが有理数でない例を挙げよ。

110 ：104：2008/06/10(火) 23:01:36

>>107
"整理する" の中身は
　a[n+3]^2 +a[n+2]^2 -2a[n+1]^2 -48a[n+1]a[n] -32a[n]^2
　= b[n+3]^4 +b[n+2]^4 -2b[n+1]^4 -48(b[n+1]b[n])^2 -32b[n]^4
　= c {b[n+3]^2 -(b[n+2] -2b[n+1])^2} + 2d {(b[n+2] -b[n+1])^2 -(2b[n])^2}
　= c (b[n+3] -b[n+2] +2b[n+1])(b[n+3] +n[n+2] -2b[n+1]) + 2d (b[n+2] -b[n+1] +2b[n])(b[n+2] -b[n+1] -2b[n]),
ここに
　c = b[n+3]^3 + (b[n+2] - 2b[n+1])^2 >0,
　d = (b[n+2] - b[n+1])^2 + 6b[n+1]^2 + 4b[n]^2 >0,
よって
　(b[n+3] -b[n+2] +2b[n+1])(b[n+3] +n[n+2] -2b[n+1]) = 0,
　(b[n+2] -b[n+1] +2b[n])(b[n+2] -b[n+1] -2b[n]) = 0,
は与式をみたす。よって
　b[n+2] -b[n+1] +2b[n] = 0,　　　　　　(n:自然数)
　b[1] =1, b[2] =1,
は題意をみたす。
ぬるぽ

111 ：１３２人目の素数さん：2008/06/10(火) 23:10:05

大学への数学スレ見て思ったんだが、いまのゆとりは正射影もわからないんだな

112 ：１３２人目の素数さん：2008/06/10(火) 23:51:05

それがわかるゆとりはゆとりじゃないだろ
知識として知ってるくらいじゃね

113 ：１３２人目の素数さん：2008/06/11(水) 00:01:15

91の難易度はどれくらいですか？

114 ：１３２人目の素数さん：2008/06/11(水) 00:15:31

>>480
お前忍者なめすぎだろ
それくらいで死ぬようじゃ修行が足りない

115 ：１３２人目の素数さん：2008/06/11(水) 01:59:45

>>113
俺が解けなかったから難しい
みんなも解けないはず

116 ：１３２人目の素数さん：2008/06/11(水) 07:28:16

>>480
そうだぞ、お前忍者を軽く見すぎ

117 ：１３２人目の素数さん：2008/06/11(水) 07:46:25

>>104
どうやってb[n]の一般項求めたんですか？
チェビシェフを使うのかなぁ

118 ：104：2008/06/11(水) 22:37:03

>>117
　b[n+2] + 2b[n] = b[n+1],
　b[n+2]の係数　≠　b[n]の係数,
なので、
　b[n] = 2^((n-1)/2)･c[n],
とおく。
　c[n+2] + c[n] = (1/√2)c[n+1],
ここで 1/√2 = 2cosβ とおき、sin, cos の和積公式と比べて
　c[n] = 2^((n-1)/2){C･sin(nβ) + D･cos(nβ)},
初期条件を満たすように C,D を決める。

上記の方法は、4項以上の場合は使えない。そのときは
特性方程式 t^2 -t +2 =0 の根 (1±i√7)/2 = (√2)exp(±iβ) を用いて,
　b[n] = C･2^((n-1)/2)sin(nβ) + D･ 2^((n-1)/2)cos(nβ)},

119 ：１３２人目の素数さん：2008/06/12(木) 01:51:40

age

120 ：１３２人目の素数さん：2008/06/13(金) 00:07:57

数列a[n]を a[n+1] = ca[n](1-a[n]) (0＜a[1]＜1, 0≦c≦2) と定義する.

cの値に応じて, lim[n→∞]a[n] を求めよ.　

121 ：１３２人目の素数さん：2008/06/13(金) 07:12:04

>cの値に応じて

122 ：118：2008/06/14(土) 19:49:26

訂正

真ん中あたり
　c[n] = C･sin(nβ) + D･cos(nβ),
ですた。
他にも細かいミスがあるかとおそれる。ご教示を願う。

123 ：１３２人目の素数さん：2008/06/14(土) 21:22:51

ある高校で健康診断を行ったところ、全生徒の11.3%が病気であると診断され、
そのうちの38.0%が通院中であった。
また、病気であると診断されていない生徒のうち通院中の生徒の割合は10.2%であった。
いま、全生徒の中から無作為に1人選んだところ通院中の生徒であった。
この生徒が健康診断で病気であると診断された生徒である確率を求めよ。

124 ：１３２人目の素数さん：2008/06/14(土) 21:24:14

確立求める前に病院いけ

125 ：１３２人目の素数さん：2008/06/14(土) 21:26:54

確立求める前に病院いけ

126 ：１３２人目の素数さん：2008/06/14(土) 21:28:52

確立求める前に病院いけ

127 ：１３２人目の素数さん：2008/06/14(土) 21:38:48

東大に限らずほとんどの大学で条件付確率は範囲外

128 ：１３２人目の素数さん：2008/06/14(土) 22:08:42

>>123
それ質問だよね。ここじゃなくて質問スレに書いたら？

129 ：１３２人目の素数さん：2008/06/15(日) 12:40:20

a, b, c, d を正の整数とする。二辺の長さが a, b であるような長方形 R が, c と d を二辺とする小長方形に分割されるとき、
以下のことが成り立つことを示せ。

　　c, d の各々は a, b の内少なくとも一つを割り切ることが出来る。

130 ：１３２人目の素数さん：2008/06/15(日) 12:46:15

明らか

131 ：１３２人目の素数さん：2008/06/15(日) 12:54:35

2^nの各桁の和をf(n)とするとき
lim[n→∞]f(n)=∞
を示せ

132 ：１３２人目の素数さん：2008/06/15(日) 12:59:26

自明

133 ：１３２人目の素数さん：2008/06/15(日) 13:21:29

>>131
ピーターフランクルの本に確かあったなそれ

134 ：１３２人目の素数さん：2008/06/15(日) 14:47:35

>>132
自明で片づけんじゃねえよカス
ま、どうせ出来ないんだろうけどｗ

135 ：１３２人目の素数さん：2008/06/15(日) 15:35:46

2^nの桁数をmとおくとn→∞のときm→∞
2^nの各桁のうち0であるものの個数<m/2 (各桁で0が隣り合うことはないから)
f(n)≧m/2

136 ：１３２人目の素数さん：2008/06/15(日) 16:03:39

＞2^nの各桁のうち0であるものの個数<m/2 (各桁で0が隣り合うことはないから)
嘘付け

137 ：１３２人目の素数さん：2008/06/15(日) 16:03:59

p を任意の素数、 m を任意の自然数とする。このとき自然数 n をうまく選べば、
p^n を 10 進法で表したときその数字列に 0 が連続して m 個以上並ぶ部分が
あるようにできることを示せ。

138 ：１３２人目の素数さん：2008/06/15(日) 16:07:31

>>136
2^53 = 9007199254740992

139 ：１３２人目の素数さん：2008/06/15(日) 16:10:26

2^61 = 2305843009213693952 だな

140 ：１３２人目の素数さん：2008/06/15(日) 16:15:15

人間という仕事を与えられてどれくらいだ

141 ：１３２人目の素数さん：2008/06/15(日) 16:20:52

ふさわしいだけの給料もらった気は少しもしない

142 ：１３２人目の素数さん：2008/06/15(日) 16:32:55

何だっけ？バンプか？
会社仲間とカラオケ行って上司が聞いて勘違いしそうだな

143 ：１３２人目の素数さん：2008/06/15(日) 16:33:54

悲しんじゃなくて疲れただけ
休みをください誰に言うつもりだろ

144 ：１３２人目の素数さん：2008/06/23(月) 10:51:15

>>131
補題)
a[1] = 1, a[m+1] = [log[2](10)*a[m]] + 1 (m≧1)
で、数列 {a[m]} を定める(右辺外側の [ ] はガウス記号)
g(k) を整数 k の各桁の和とすると、m,n∈Z, m≧1, n≧a[m] なら
g(2^n mod 10^a[m]) ≧ m+1
が成立する (x mod y は x を y で割った余り)

証明)
数学的帰納法による
m=1 のとき明らか
m (≧1) まで成立しているとすると、帰納法の仮定より
n≧a[m+1] である整数 n について
g(2^n mod 10^a[m]) ≧ m+1

一方、明らかに
g(2^n mod 10^a[m+1]) ≧ g(2^n mod 10^a[m])
だが、この等号は成立しない

∵ g(2^n mod 10^a[m+1]) = g(2^n mod 10^a[m])
とすると、g の定義から
2^n mod 10^a[m+1] = 2^n mod 10^a[m]
だが、左辺は 2^a[m+1] で割り切れ、右辺は高々 2^[log[2](10)*a[m]] でしか割り切れない
a[m+1] ＞ [log[2](10)*a[m]] なので、
2^n mod 10^a[m+1] ≠ 2^n mod 10^a[m] となり、矛盾

結局、 g(2^n mod 10^a[m+1]) ＞ g(2^n mod 10^a[m]) ≧ m+1
∴ g(2^n mod 10^a[m+1]) ≧ m+2
で、m+1 のときも成立■

>>131 はこの補題より明らか
# 良かったら、引用元の解答頼む

145 ：１３２人目の素数さん：2008/06/23(月) 19:27:56

もっと簡単に言えた

m を正整数とする
n≧4^m なら、
2^n の下の 4^(m-1)+1 桁目から 4^m 桁目までが全て 0 になることはない

∵ 2^n mod 10^(4^m) は 2^(4^m) の倍数になるはずだが、
2^n の下の 4^(m-1)+1 桁目から 4^m 桁目までが全て 0 なら、
0 ＜ 2^n mod 10^(4^m) ＜ 10^(4^(m-1)) ＜ 16^(4^(m-1)) = 2^(4^m)
となって、2^(4^m) の倍数であることに反する

以上から、M を正整数として、n≧4^M なら、
2^n の下 4^M 桁には 0 でない桁が M 個以上存在するので f(n)≧M

146 ：１３２人目の素数さん：2008/06/24(火) 23:24:26

円周 C: x^2 + y^2 = 1 と点 P (t, 0) (0≦ t ≦1) がある。
P を通り直行する円 C の2本の弦の組 (S1, S2) で、いずれの長さも有理数であるもの個数は、
t の値によって0個または無限個であることを示せ。

147 ：１３２人目の素数さん：2008/06/26(木) 04:05:29

>>123
ベイズの定理か
早稲田では出たな

148 ：１３２人目の素数さん：2008/06/26(木) 22:07:39

sin(cosθ)、cos(sinθ)について
0<θ<π/2の範囲においての大小比較せよ

149 ：１３２人目の素数さん：2008/06/26(木) 22:30:49

台数の宿題乙

150 ：１３２人目の素数さん：2008/06/26(木) 23:25:10

というか有名問題。

151 ：１３２人目の素数さん：2008/06/27(金) 12:35:15

>>148
京大も似たような問題出してたな

152 ：１３２人目の素数さん：2008/06/27(金) 12:39:30

京大(笑)
もはや何の魅力もない
日本の大学で世界とやっていけるのは東大、早慶

153 ：１３２人目の素数さん：2008/06/27(金) 15:39:17

>>152
早慶って・・・

154 ：１３２人目の素数さん：2008/06/27(金) 18:15:26

>>152
そんなネタに(ry

155 ：１３２人目の素数さん：2008/06/27(金) 20:03:51

★今週の２ちゃんねるトップニュース★

グーグル検索→　　亀田右翼の正体在日

156 ：１３２人目の素数さん：2008/06/27(金) 21:14:19

>>148
0<θ<π/2 より 0 < sinθ, cosθ < 1,
sin(cosθ) < cosθ < cos(sinθ)

157 ：１３２人目の素数さん：2008/06/28(土) 01:38:37

ｘｙ平面上において
ｘ＾２＋ｙ＾２＝１上に点Ａ，Ｂがあり
Ａ，Ｂはそれぞれｙ≧０，ｙ≦０を動く

点Ａ，Ｂの中点をＭとするとき
点Ｍの動く領域の面積を求めよ

158 ：１３２人目の素数さん：2008/06/28(土) 01:46:09

π/2

159 ：１３２人目の素数さん：2008/06/28(土) 02:05:15

縦が6cmで横が6cm、高さが12cmの直方体の形状をした水槽がある
この水槽に水が4cmの高さまで入っている
ここに半径Xcmの鉄球をいれたところ水の高さが4cmからYcmになった
YをXの式で表せ
ただし1<X<3とする

こんな感じの問題はどうだろう？

160 ：１３２人目の素数さん：2008/06/28(土) 02:06:21

簡単すぎﾜﾛﾀ

161 ：１３２人目の素数さん：2008/06/28(土) 02:27:34

>>159
単位を書き忘れたら減点の意地悪問題ですね、わかります

162 ：１３２人目の素数さん：2008/06/28(土) 02:36:26

答え書かない様子を見るとみんな空間図形苦手なんだな
おれはみんなの楽しみを奪わないよう答えかかないけど問題読んでいろいろピンときたよ

163 ：１３２人目の素数さん：2008/06/28(土) 02:37:18

；；

164 ：１３２人目の素数さん：2008/06/28(土) 02:51:34

>>154
Y=(π/54)X^3 +4

165 ：１３２人目の素数さん：2008/06/28(土) 03:58:10

>>159
１≦X＜２と２≦X＜３で場合分けが必要？
前者は水面上昇率というのかそれがやや簡単に出るが後者は高校生の内容なのか？
微分積分学の内容では？といっても昨今の問題には誘導つきで大学の内容も出るが…

166 ：１３２人目の素数さん：2008/06/28(土) 04:46:55

場合わけいらん
X=3のときでも水の中に全部入る

167 ：１３２人目の素数さん：2008/06/28(土) 04:49:21

>>165
言ってることおかしいぞ。

168 ：１３２人目の素数さん：2008/06/28(土) 04:56:52

>>166
それを論証する問題なんだろうね。
πX^3-54X+108=0が正の解をもたないことを示せばいい？
πの近似値が与えられていないから、π＞2を示すことに帰着される。
もう少し値を選んで、π＞3.1とかに帰着されたら面白いかも。

169 ：１３２人目の素数さん：2008/06/28(土) 15:07:30

>>166
マジだ
水面の高さが４ｃｍ、球の直径６ｃｍだから…ってとこでひっかかったわ

170 ：１３２人目の素数さん：2008/06/28(土) 15:50:27

底面6*6の直方体の水槽に半径Xの球が入っているとき
球がぎりぎりちょうど水の中に入る、つまり水の高さが2Xになるのに必要な水の量は
V(X)=36*2X-4/3πX^3 (1≦X≦3)
V'=72-4πX^2
V'=となるのはX=3√(2/π)でさらにこのときVは最大となる
V(3√(2/π))=216√(2/π) -72/π>144=最初にある水の量
よって球が全部水の中に入らないときがある

171 ：１３２人目の素数さん：2008/06/28(土) 16:42:36

馬鹿にはできない安価
＞１
>1
＞1
>１
＞＞１

172 ：１３２人目の素数さん：2008/06/28(土) 16:54:07

2(1+2+…+m)=1+2+…+nを満たす自然数m,nの組(m,n)のうちnが3桁であるものを全て求めよ。

173 ：１３２人目の素数さん：2008/06/28(土) 17:41:36

俺用メモ
m<n
100≦n≦999
71≦m≦706
nかn+1のどちらかが4の倍数

174 ：１３２人目の素数さん：2008/06/28(土) 18:12:05

漏れ用メモ
　(m,n) = (2,3) (14,20) (84,119) (492,696) ････

175 ：１３２人目の素数さん：2008/06/28(土) 18:45:25

>>174
せーかい

176 ：１３２人目の素数さん：2008/06/28(土) 18:59:11

n<2m

177 ：１３２人目の素数さん：2008/06/28(土) 20:25:16

こういう有名問題は出ないな
ちなみに無数に存在することが初等的な方法により証明されている

178 ：１３２人目の素数さん：2008/06/29(日) 22:18:58

aが整数でないときa=[a]+1/a1 []はガウス記号
とするとa1>1でa1が整数でないときa1=[a1]+1/a2
という操作を繰り返す
aが有理数ならこの操作が有限回で終わることを示せ

179 ：１３２人目の素数さん：2008/06/29(日) 22:23:13

x=1+1/(2+1/(2+1/(2+1/(2+…は無理数であることを示せ

180 ：１３２人目の素数さん：2008/06/29(日) 23:03:43

>>179
その問題おかしいだろ
直せ

181 ：１３２人目の素数さん：2008/06/30(月) 00:02:35

>>180
お前がおかしいと思った箇所はどこかわからんが
おれもおかしいと思った…
まずxは収束するのかどうか、この判定は必ずやらないといけないと思う
収束するのを前提として問題を出しているなら別だが

182 ：159：2008/06/30(月) 00:10:10

簡単すぎという言葉にはイラっときたが、
このスレのレベルが思ったよりも高いことがわかったので…
あと、悔しいのでもう一度東大入試作問者になったつもりでひっそり問題出します
東大より若干難しい問題を想定したほうがこの住人は楽しめるということがわかった
超越数のかなり近い値での近似は無理かなと思ったので採点するならπは
３より大きいということは当たり前としようかと

183 ：１３２人目の素数さん：2008/06/30(月) 00:15:39

>>182
簡単といいつつも誰も答えは書いていない

184 ：１３２人目の素数さん：2008/06/30(月) 00:29:49

>>181
収束示せるだろ

185 ：１３２人目の素数さん：2008/07/01(火) 00:50:29

>>178 >>179
でけた

186 ：１３２人目の素数さん：2008/07/01(火) 01:19:49

>>182
>>170 より前は全部間違ってるんだから、
むしろこのスレのレベルが思ったより低…

187 ：１３２人目の素数さん：2008/07/01(火) 01:39:26

>>170もよくみると5行目0が抜けている

188 ：１３２人目の素数さん：2008/07/01(火) 01:44:11

俺は>>170が何を言っているのかがわからないのだが

189 ：１３２人目の素数さん：2008/07/01(火) 01:50:23

俺も

190 ：１３２人目の素数さん：2008/07/01(火) 02:07:59

I[n]=∫[0,1]1/(x^n+1)dx
lim(n→∞)I[n+1]/I[n]を求めよ

191 ：１３２人目の素数さん：2008/07/01(火) 02:50:43

>>188,189
球がいつも水の中にあれば、式は簡単だが、はたして、、、？
ってのが>>170の論証。
で、そうはならないな。ってのが>>170の結論。
だから、Yには、水の中にすっぽり入ってる場合と
出ている場合の場合わけが必要だよってのが、>>170が言いたい事。
で、値を微妙に設定してるんだぞ、ってのが出題者の意図ってか、くやしがりよう。
で、もっとむずかしくするってさ。

192 ：１３２人目の素数さん：2008/07/01(火) 03:47:33

ζ(s)=∑[n=1,∞]1/n^sとおく
このとき
lim[s→1]{ζ(s)-1/(s-1)}
=lim[k→∞](∑[n=1,k]1/n-logk)
が成り立つことを示せ

193 ：１３２人目の素数さん：2008/07/01(火) 04:04:46

　　　　　　　　　　■毎日新聞廃刊か■
★祭り★
「日本の母は息子の性処理係」毎日新聞が捏造記事28
http://human7.2ch.net/test/read.cgi/ms/1214832924/
★祭り★
【毎日新聞】ネット上に変態報道の処分と無関係の社員を誹謗中傷する書き込み→名誉棄損で法的措置を取る方針★
http://mamono.2ch.net/test/read.cgi/newsplus/1214841614/

オカルト板http://hobby11.2ch.net/test/read.cgi/occult/1214826821/　
英語板 http://academy6.2ch.net/test/read.cgi/english/1213971760/
大規模OFF http://sports11.2ch.net/test/read.cgi/offmatrix/1214614538/
YouTube板　http://pc11.2ch.net/test/read.cgi/streaming/1214375128/
ニュー速 http://namidame.2ch.net/test/read.cgi/news/1214798343/
医者 http://society6.2ch.net/test/read.cgi/hosp/1210492753/
マスコミ http://society6.2ch.net/test/read.cgi/mass/1214603376/
司法 http://society6.2ch.net/test/read.cgi/court/1214621509/

【毎日新聞】　iチャネル解約スレ　【変態報道】
http://hobby11.2ch.net/test/read.cgi/keitai/1214802475/
▼iチャネル解約方法
ｉモードのｉメニューから料金＆お申込・設定を選択
４のオプション設定のｉチャネル設定から解約可能

解約理由を告げたい場合は携帯から151にダイヤル
▼解約後の料金について
パケホーダイなどとは異なり、解約した場合はその月のiチャネル利用料金は日割りになります。
解約したその月に再契約も可能です。追加料金も発生しません。
ｉチャネルの解約は日本人(あなた)を馬鹿にしている毎日新聞社への直接的抗議に繋がります
ちなみに解約には5分とかかりません

194 ：１３２人目の素数さん：2008/07/02(水) 21:39:11

数ⅠAで解ける問題だしてください

195 ：１３２人目の素数さん：2008/07/03(木) 01:39:17

>>194
サッカーボールの各面を４色で塗り分けるとき、異なる塗り分け方は何通りか？
数Ａだ、やれ！

196 ：１３２人目の素数さん：2008/07/03(木) 18:36:24

>>195
んな無茶な・・・

197 ：１３２人目の素数さん：2008/07/03(木) 18:38:03

じゃあ n 角形の辺を k 色で塗り分ける塗り分け方を求めるとか。

198 ：１３２人目の素数さん：2008/07/03(木) 20:40:42

正n角形っすか
問題はちゃんとしてください

199 ：１３２人目の素数さん：2008/07/03(木) 20:55:55

別に正多角形でなくても良かろう

200 ：１３２人目の素数さん：2008/07/03(木) 21:02:37

だったら場合わけが大変

201 ：１３２人目の素数さん：2008/07/03(木) 21:24:42

(1)
平面上の合同変換で n 角形が自分自身に移るものは何通りあるか。
場合を分けて答えよ。
（翻訳が面倒くさいんで書かないが高校数学の言葉で問われたと思うべし）

202 ：１３２人目の素数さん：2008/07/05(土) 14:24:48

つまらん

203 ：１３２人目の素数さん：2008/07/05(土) 14:32:58

問題まだーー？

204 ：１３２人目の素数さん：2008/07/05(土) 14:36:42

1+1は？

205 ：１３２人目の素数さん：2008/07/05(土) 14:38:37

>>204
何を期待してそういう問題を出したの？教えて

206 ：１３２人目の素数さん：2008/07/06(日) 01:13:48

【問題】
xを正の整数、Pを100,000を超える整数とする。
このとき、以下のようにT(x)を定義する。

【T(x)の定義】
x*100000/Pの整数部分をFとおき、
F*P/100000を四捨五入した値をT(x)とする。

このとき、T(x)が以下の性質を持つことを示せ。
（１）T(x+1)-T(x)=0　または　T(x+1)>=x
（２）T(T(x)+1)=T(x)

207 ：１３２人目の素数さん：2008/07/06(日) 03:44:43

四捨五入ってどこを？

208 ：１３２人目の素数さん：2008/07/06(日) 06:54:26

放物線y=(3/4)-x^2をy軸のまわりに回転して得られる曲面Kを
原点を通り回転軸と45ﾟの角をなす平面Hで切る
曲面Kと平面Hで囲まれた立体の体積を求めよ

209 ：１３２人目の素数さん：2008/07/06(日) 07:50:09

過去問出してんじゃねーよ、クズが！

210 ：１３２人目の素数さん：2008/07/06(日) 09:59:57

【改題】
xを正の整数、Pを100,000を超える整数とする。
このとき、以下のようにT(x)を定義する。

【T(x)の定義】
x*100000/Pの整数部分をFとおき、
F*P/100000を小数点以下四捨五入した値をT(x)とする。

このとき、T(x)が以下の性質を持つことを示せ。
（１）T(x)<=x
（２）T(x+1)-T(x)=0　または　T(x+1)>=x
（３）T(T(x)+1)=T(x)

211 ：１３２人目の素数さん：2008/07/06(日) 22:38:53

tesu

212 ：１３２人目の素数さん：2008/07/06(日) 22:48:33

数学ってどうやって勉強するんですか？
才能がないとだめなんですか？

213 ：１３２人目の素数さん：2008/07/06(日) 22:52:33

このスレ題には、偏見がある。

なぜ、おまえらの近所の私大の入試問題のスレ題に

しないのか　!

214 ：１３２人目の素数さん：2008/07/06(日) 22:56:54

>>212
数学を勉強するのに才能は必要ありません
勉強する分にはね

215 ：１３２人目の素数さん：2008/07/06(日) 23:00:36

>>214ああね、確かに。
って、んなこたぁわかってますよｗｗ
「数学は才能がないと点がとれないんですか？」ってこと。
あっもちろん0点とったって意味ないですよ～ｗｗ
100点とかとってる人もやっぱり勉強してるわけですよね？
その人たちはどんな勉強の仕方なのかなってことが聞きたいんです！

216 ：１３２人目の素数さん：2008/07/07(月) 00:05:17

高校までならまだしも
大学入った後までも点とるために数学勉強してるんならやめとけってこった

217 ：１３２人目の素数さん：2008/07/07(月) 00:10:00

学部までにやるようなことだと才能なんか要らない
本質を見抜けば理解できるし使えるようになる
でもオリジナルの結果を出すには才能が必要

入試数学で点がとれないのは本質を理解できてないから。
自分で考えてる時間が短いんじゃないの？

218 ：１３２人目の素数さん：2008/07/07(月) 00:50:53

なるほど・・・参考になりました！
私は解説だけを読んで理解したつもりになってたんですね！
これからはしっかりと頭に基礎を定着させます！

数学の先生が

「数学は、才能です」

って言ってたから悔しくて＞＜
でも、そうですよね！
才能は高校生じゃ必要ないですよね～＾＾
あの馬鹿きょーしめぇええええええ！ｗｗｗｗｗｗ

とにかく、ありがとうございました＾＾

219 ：１３２人目の素数さん：2008/07/07(月) 02:08:32

高校のときは東大の入試はまあまあ難しいと思ったけど大学３年になってから解いてみたら簡単に感じるんだな

220 ：１３２人目の素数さん：2008/07/07(月) 07:26:54

軽めのやつ

さいころをn回投げて、出た目の数を順にa_1,a_2,…a_nとする
次の条件を満たす確率を求めよ

条件:(a_1-1)(a_2-1)…(a_n-1)>5

221 ：１３２人目の素数さん：2008/07/07(月) 11:30:25

>>219
そうか？
むしろ数学は難しく感じる
物理や化学は簡単だが

222 ：１３２人目の素数さん：2008/07/07(月) 14:30:46

>>219
大学入試の舞台裏みたいなものがわかってくるからな。君の言うことはわからんでもない。
ただ、定期的に問題を解いていないと、計算力とかヒラメキとかはガクンと落ちるんだよなorz

>>219
折れはむしろ、数学より物理、化学のほうが難しく感じる。

223 ：１３２人目の素数さん：2008/07/07(月) 19:13:20

＞折れはむしろ、数学より物理、化学のほうが難しく感じる。
どういー

224 ：１３２人目の素数さん：2008/07/07(月) 21:58:24

そんなの得意不得意に依るだろ常考
問題まだー？

225 ：１３２人目の素数さん：2008/07/09(水) 00:13:35

未解決は>>73,74,83,109,146,190,192,206あたりかな。
多分見落としはあるけど。

226 ：１３２人目の素数さん：2008/07/09(水) 00:53:58

>73
>74
>83
>109
>146
>190
>192
>206

227 ：１３２人目の素数さん：2008/07/09(水) 01:00:44

>>73はkの値で場合わけ
で最大最小が存在しないときがある

228 ：１３２人目の素数さん：2008/07/09(水) 01:01:29

>>109は有名問題

229 ：１３２人目の素数さん：2008/07/09(水) 01:10:05

>>146は計算が半端ない

230 ：１３２人目の素数さん：2008/07/09(水) 01:14:08

>>190
=1

231 ：１３２人目の素数さん：2008/07/09(水) 07:22:32

nは自然数とする

{Σ[k=0→2n](C[2n,k])}/{Σ[k=0→n](C[n,k])^2}≦2√n

を示せ

232 ：１３２人目の素数さん：2008/07/09(水) 08:23:35

>>227
sinは周期関数だから、有界閉集合上の連続関数の値域の話に帰着できるから、
最大最小が存在しないときがあるとは思えないんだけど。

233 ：１３２人目の素数さん：2008/07/09(水) 15:00:50

>>146
S1^2+S2^2=8-4t^2で一定だから、S1=a,S2=bとなる有理数a,bが一つ存在すれば
点(a,b)を通る傾き有理数の直線とx^2+y^2=8-4t^2の交点で、第Ⅰ象限にあるものの各座標がS1,S2となるようにできるので無限に存在する

234 ：１３２人目の素数さん：2008/07/09(水) 15:49:04

sin(x)+sin(y)+sin(k-x-y)=
-sin(k)sin(x)sin(y) -cos(k)cos(x)sin(y) +sin(y) -cos(k) sin(x)cos(y) +sin(k)cos(x)cos(y) +sin(x)

235 ：１３２人目の素数さん：2008/07/09(水) 18:11:42

>>233
P が円の内部にあるとき P を通る弦の長さを考えれば
t≠1 のとき (x, y) は x^2 + y^2 = 8 - 4t^2 上のすべての点をとりうるわけではない。

236 ：１３２人目の素数さん：2008/07/09(水) 20:13:07

>>235
確かに。
「第Ⅰ象限でx≦2かつy≦2の部分にあるものの座標」とすべき。

237 ：１３２人目の素数さん：2008/07/09(水) 20:36:53

>>232
ああん？馬鹿か？

238 ：１３２人目の素数さん：2008/07/09(水) 21:01:59

>>236
ああん？馬鹿か？

239 ：１３２人目の素数さん：2008/07/09(水) 22:46:44

>>231

　Σ[k=0→2n] C[2n,k] = (1+1)^(2n) = 2^(2n),
　Σ[k=0→n] (C[n,k])^2 = Σ[k=0→n] C[n,k]･C[n,n-k] = C[n+n,n],
より
　(左辺)/(右辺) = {2^(2n)}/{(2√n)C[2n,n]} = a[n]
とおく。
　a[1] =1,
　a[n]/a[n-1] = 4*(n*n)/[(2n)(2n-1)] * √{(n-1)/n}
　　= √{(n-1)n/(n - 1/2)(n - 1/2)}
　　= √{(n-1)n/[(n-1)n + (1/4)]}
　　<1.
なお、
　(√π)/2 < a[n] ≦ 1.

240 ：１３２人目の素数さん：2008/07/09(水) 23:14:56

コンビネーションnCm=n!/{(m!)(n-m)!}の和は
nC0+nC1+nC2+･･･+nCn=2^nとかけることが知られている。
パーミテーションnPm=n!/(n-m)!の和
nP0+nP1+nP2･･･nPnをnの式で表せ。
ただし、nは自然数であり必要ならばガウス記号を使ってもよい。

241 ：１３２人目の素数さん：2008/07/09(水) 23:16:51

シグマ記号も使っていいっすか？

242 ：１３２人目の素数さん：2008/07/09(水) 23:19:01

パスカルの三角形でググルといいことあるかもね

243 ：１３２人目の素数さん：2008/07/09(水) 23:20:05

そもそも表せるのか？

244 ：１３２人目の素数さん：2008/07/09(水) 23:21:00

nが偶数のときと奇数のときで場合わけだろ
ガウス記号使えばひとつにまとめられるってことだろ

245 ：１３２人目の素数さん：2008/07/09(水) 23:24:12

nP0+nP1+nP2･･･nPn
=0!*nC0+1!*nC1+2!*nC2+･･･+n!*nCn
だから適当な多項式を見つけて展開、微分すりゃできそう

246 ：１３２人目の素数さん：2008/07/09(水) 23:32:36

nC0・nC1 + nC1・nC2 + nC2・nC3 + ・・・ + nC(n-1)・nCn= (2n)C(n-1)
(nC0)^2+(nC1)^2+(nC2)^2＋・・・＋(nCn)^2=2nＣn

247 ：１３２人目の素数さん：2008/07/09(水) 23:38:41

n!Σ[k=0,n]1/(n-k)!=n!Σ[k=0,n]1/k!

248 ：１３２人目の素数さん：2008/07/10(木) 02:08:57

(1)3nC0+3nC3+3nC6+…+3nC3nを求めよ
(2)4nC0+4nC4+4nC8+…+4nC4nを求めよ

249 ：１３２人目の素数さん：2008/07/10(木) 12:32:19

>>248
(1)
(与式)={(1+1)^3n+(1+ω)^3n+(1+ω^2)^3n}/3
　　={8^n+2*(-1)^n}/3
(2)
(与式)={(1+1)^4n+(1+i)^4n+(1-1)^4n+(1-i)^4n}/4
　　={16^n+2*(-4)^n}/4

250 ：１３２人目の素数さん：2008/07/11(金) 21:41:38

1からnまで1つずつ書かれたn枚の札をよく混ぜてから1列に並べ、1枚目をとる。
次に2枚目をとり、その札が1枚目より大きいとき札を入れ替える。
順にn枚目の札までとり,手にしている札よりもそれが大きな数であるなら手の札と入れ替える。
入れ替え回数の期待値を求めよ。

251 ：１３２人目の素数さん：2008/07/11(金) 21:51:42

３個の実数をランダムに選び、それぞれの小数点以下を四捨五入した後、合計した値と、そのまま合計した後、四捨五入した値が一致する確率を求めよ。

252 ：１３２人目の素数さん：2008/07/11(金) 21:52:40

実数をどう選ぶんっすか？

253 ：１３２人目の素数さん：2008/07/11(金) 21:56:10

訂正

３個の実数をランダム（適当）に選び、それぞれの小数点以下を四捨五入した後、合計した値と、そのまま合計した後、小数点以下を四捨五入した値が一致する確率を求めよ。

254 ：１３２人目の素数さん：2008/07/11(金) 21:59:54

分かってないな

255 ：１３２人目の素数さん：2008/07/11(金) 22:10:30

>>253は目の醒めるような鮮やかな解法がありますよ。

256 ：１３２人目の素数さん：2008/07/11(金) 22:18:16

実数をどう選ぶんっすか？

257 ：１３２人目の素数さん：2008/07/11(金) 22:24:52

>>256
恐らく実数xに対してxの小数部分の分布関数は[0,1)の一様分布に従うってことじゃね？
でもそうすると連続濃度の確率は高校範囲外なんだよね
>>253ではこのことに何らの言及がない

258 ：１３２人目の素数さん：2008/07/11(金) 22:27:05

(2.7 15.196 -3.842)
(√2 π 4.896)
など、とにかくテキトーに

259 ：１３２人目の素数さん：2008/07/11(金) 22:51:24

一様分布に従うこともかかれてないし
何らかの連続型確率密度関数を駆使して
自分で実験的に解けということなのか？
問題文の解説を求む

260 ：１３２人目の素数さん：2008/07/11(金) 22:57:39

無論、ランダムに選ぶ以上、一様分布に従う。
キーワードは、立方体および体積

261 ：１３２人目の素数さん：2008/07/11(金) 23:12:30

解けないからって屁理屈ばっかこねてんなよ低能ども

262 ：１３２人目の素数さん：2008/07/11(金) 23:15:44

>>261
何？じゃあお前解けよ
期待してるぜ☆

263 ：１３２人目の素数さん：2008/07/11(金) 23:17:40

>>262
やっぱり解けないんだｗ

264 ：１３２人目の素数さん：2008/07/11(金) 23:20:53

>>263
マジ解けないわー
馬鹿にも分かるよう解説よろしく！

265 ：１３２人目の素数さん：2008/07/11(金) 23:23:37

>>263
俺も分かんないから解説よろ

266 ：１３２人目の素数さん：2008/07/11(金) 23:24:19

お前ら低能のために何で俺様が労力使うんだよ
指図すんなクズども

267 ：１３２人目の素数さん：2008/07/11(金) 23:24:56

もうちょっと難しい問題ないの～？
これでは暇潰しにもならない。

268 ：１３２人目の素数さん：2008/07/11(金) 23:25:53

高校生レベルじゃ加算無限個の確率変数すら扱わないんだぜ？
あとだれでもいいから>>159の答えを教えてくれよ

269 ：１３２人目の素数さん：2008/07/11(金) 23:26:10

ただの自己満だろ

270 ：１３２人目の素数さん：2008/07/11(金) 23:26:18

>>265
解けないからってすねるなよｗ

271 ：１３２人目の素数さん：2008/07/11(金) 23:29:57

いや、これ、そもそも、俺が友達から出題されて散々悩んだ末にわからず、
ある掲示板（２チャンではない）で質問したら、それはもう、鮮やかとしか言いようがない解答が返ってきたわけです。
もう感動しましたね。ノーヒントで正解できる人は天才ですよ。
もうヒントは書いちゃいましたけど。

272 ：１３２人目の素数さん：2008/07/11(金) 23:31:43

ぬるぽ

273 ：１３２人目の素数さん：2008/07/11(金) 23:34:52

煽れば誰か解いてくれると思ったの？

274 ：１３２人目の素数さん：2008/07/11(金) 23:38:00

2/3とか言い出したら笑っちゃうな

275 ：１３２人目の素数さん：2008/07/11(金) 23:50:40

>>274 2/3で合ってるけど、どうやって解いたの？

276 ：１３２人目の素数さん：2008/07/11(金) 23:50:50

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1417466819

277 ：１３２人目の素数さん：2008/07/12(土) 00:11:18

あちゃー、見つけられちゃったかw
それにしても鮮やかでしょ。
まあ、こんな正解出せる人は、滅多にいないよね。

278 ：１３２人目の素数さん：2008/07/12(土) 00:15:29

あ、それ俺だわ

279 ：１３２人目の素数さん：2008/07/12(土) 00:38:04

たしかに立方体内の任意の点を選ぶということで
一様分布に従っているしなんとかなったっぽいな
その後の証明におれの中では議論の余地あり
これが実数２つなら、実数４つなら…実数ｎ個なら確率変数は？
この問題って一般化されてるの？ちょっと興味あるんだけど

280 ：１３２人目の素数さん：2008/07/12(土) 07:47:17

実数２つなら、２次元（正方形）で考えればいい。問題は４つ以上の場合ですね。俺には手に負えない。

281 ：１３２人目の素数さん：2008/07/12(土) 07:54:49

で、高校の範囲内のなの？
一様分布とか高校でやるっけ？

282 ：１３２人目の素数さん：2008/07/12(土) 08:04:33

>>253は何を言われてるか分かってない大馬鹿
工房か？
大学生だったらＦラン

283 ：１３２人目の素数さん：2008/07/12(土) 08:12:41

エレメンタリーで面白い良問でも高校範囲外だったりするよな
で、そういうのを知って高校向け問題として出題して喜んでるのが>>251

284 ：１３２人目の素数さん：2008/07/12(土) 08:34:05

他人の解答で得意満面の>>277は当スレの空気にふさわしくない

285 ：１３２人目の素数さん：2008/07/12(土) 08:49:32

nを2以上の整数とする。整数Mを
M=2^(n-1)*(2^n-1)と定義したとき以下の問いに答えよ。
(1)2^n-1が素数のとき、MのM以外の正の約数の和はMに等しいことを示せ
(2)Mの1の位の数を求めよ

286 ：１３２人目の素数さん：2008/07/12(土) 09:15:48

確率の勉強やり直せや厨房

287 ：月読：2008/07/12(土) 09:20:18

288 ：１３２人目の素数さん：2008/07/12(土) 11:12:26

M=2^(n-1)*(2^n-1)=2^2n-2=(2^2n)/4

289 ：１３２人目の素数さん：2008/07/12(土) 11:15:08

>>285
メルセンヌ素数？

290 ：１３２人目の素数さん：2008/07/12(土) 11:42:15

2^n-1が素数のとき?

291 ：１３２人目の素数さん：2008/07/12(土) 11:48:49

n=2なら2^n-1=3で素数か

292 ：１３２人目の素数さん：2008/07/12(土) 12:42:17

M=2^(n-1)*(2^n-1)
1,2,...2^((n-1)(2^n-1)-1)
(2^(n-1)(2^n-1)-1)/(2-1)=M-1

293 ：１３２人目の素数さん：2008/07/12(土) 12:44:58

2,4,8,6,2,...
(n-1)*(2^n-1) mod 4

294 ：１３２人目の素数さん：2008/07/12(土) 12:51:12

空気嫁

295 ：１３２人目の素数さん：2008/07/12(土) 14:20:22

f(x)=-a(xｰb)^3+b
x[n]=f(x[nｰ1])と定める。
ただし、x[0]=0,n=1,2,3…
このとき数列{xn}が収束する事を示しlim[n→∞]x[n]を求めよ。

296 ：１３２人目の素数さん：2008/07/12(土) 14:28:48

てめー死にたいのか？

297 ：１３２人目の素数さん：2008/07/12(土) 14:31:41

さて、本当に示せるのかな？
京大の過去問ですよ

298 ：１３２人目の素数さん：2008/07/12(土) 15:54:09

a,bの条件は？

299 ：１３２人目の素数さん：2008/07/12(土) 17:07:50

x=-a(x-b)^3+b

300 ：１３２人目の素数さん：2008/07/12(土) 21:45:39

0＜a≦1,0＜b＜1

301 ：１３２人目の素数さん：2008/07/12(土) 21:55:32

x-b=-a(x-b)^3
(x-b)=+/-(1/a)^.5
x=b+/-(1/a)^.5

302 ：１３２人目の素数さん：2008/07/12(土) 22:09:35

^.5

303 ：１３２人目の素数さん：2008/07/12(土) 22:36:52

f(x)=-a(xｰb)^3+b
f^2=-a(-a(xｰb)^3+b-b)^3+b=a^4(x-b)^9+b
f^3=-a^13(x-b)^27+b
f^n=(-a)^((3^n-1)/2)(x-b)^3^n+b)
f->b,x-b=+/-(1/a)^.5->f->+/-1/a^.5+b

304 ：１３２人目の素数さん：2008/07/12(土) 22:38:32

f^n=(-a)^((3^n-1)/2)(x-b)^3^n)+b

305 ：１３２人目の素数さん：2008/07/12(土) 22:57:30

f(n)=f(n-1)+n^-s
log(f-f)=-slogn
Σlog(f-f)=-sΣlogn
log(fn-fn-1)(fn-1-fn-2)...=-slog(n(n+1)/2)
(fn-fn-1)(fn-1-fn-2)...=(n(n+1)/2)^-s

306 ：１３２人目の素数さん：2008/07/12(土) 23:01:19

(1/n^s)(1/(n-1)^s)...(1/2^s)=(n(n+1)/2)^-s

307 ：１３２人目の素数さん：2008/07/12(土) 23:09:57

f(n)x^n=xf(n-1)x^(n-1)+n^-sx^n
g-f0=xg+Σn^-sx^n
f0=0^-s=0
g=（Σn^-sx^n）/(1-x)

308 ：１３２人目の素数さん：2008/07/12(土) 23:12:25

d^s(1-x)g=Σx^n=1/(1-x)

309 ：１３２人目の素数さん：2008/07/12(土) 23:16:09

d^sg-d^sxg=1/(1-x)
g~s-xg~s+g~(s-1)=(1-x)^-1
g~s+(1-x)g~(s-1)=1

310 ：１３２人目の素数さん：2008/07/12(土) 23:23:10

g"+(1-x)g'=1
g=anx^n
n(n-1)anx^(n-2)+(1-x)nanx^(n-1)=1
-nanx^n+nanx^(n-1)+n(n-1)anx^(n-2)=1
-nan+(n+1)an+1+(n+2)(n+1)an+2=0

311 ：１３２人目の素数さん：2008/07/12(土) 23:31:08

2a2+a1=1
2a2=1-a1
-a1+2a2+4*3a3=0
a3=(2a1-1)/12

312 ：１３２人目の素数さん：2008/07/12(土) 23:36:00

>>295
lim[n→∞]x[n]＝αと仮定
α＝-a(αｰb)^3+b
(α-b){a(α-b)^2+1}=0
よってα＝b
次に
|xn-b|≦bを示す。
n=1のときx[1]=ab^3より成立
n=kのとき成り立つと仮定すると
|x[k+1]-b|＝|-a(x[k]ｰb)^3|
　　＝a|(x[k]ｰb)^3|
　　 ≦ab^3≦ｂ
よってすべての自然数で|xn-b|≦bは成立。
次に、
|xn-b|＝a(x[n-1]ｰb)^2|x[n-1]-b|
　　≦ab^2|x[n-1]-b|

　　　　　≦(ab^2)^(n)|x[0]-b|
0＜a≦1,0＜b＜1 よりｎ→∞のとき
(ab^2)^(n)→０
よってlim[n→∞]|x[n]-b|＝０
よってlim[n→∞]x[n]＝ｂ

313 ：１３２人目の素数さん：2008/07/12(土) 23:51:47

収束はたとえばxn/x(n-1)<1を示すか、グラフから収束点は３個ある。

314 ：１３２人目の素数さん：2008/07/13(日) 00:50:23

＞＞グラフから収束点は３個ある

どんなグラフ書いたんだよｗ

315 ：１３２人目の素数さん：2008/07/14(月) 01:38:39

今年の東工大の整数の問題みたいに解いてて感動するような問題が見たい
大学への数学みたら難度Ｄだったしこのスレ住人に期待したい
あがってる問題で解かれてないのはないんだよね？

316 ：１３２人目の素数さん：2008/07/14(月) 15:55:52

>>315
＞東工大の整数の問題
どんな問題？

317 ：１３２人目の素数さん：2008/07/14(月) 20:20:50

πの２００８番目の数をあてなさい。

318 ：１３２人目の素数さん：2008/07/14(月) 20:23:15

ｅで２３４７０１が出るのは何桁目？

319 ：１３２人目の素数さん：2008/07/14(月) 21:35:38

πの2008番目の数って何だよ。
πは数列じゃねーよ。日本語で書け。

320 ：１３２人目の素数さん：2008/07/14(月) 21:54:19

πが循環小数でないことを証明しなさい。１０点

321 ：１３２人目の素数さん：2008/07/14(月) 22:09:49

http://www.ericr.nl/wondrous/

322 ：１３２人目の素数さん：2008/07/14(月) 22:22:33

>>295
　y[n] = log|b-x[n]| + (1/2)log|a| とおくと、
　y[n] = 3*y[n-1] = ･･･ = (3^n)*y[0]　→ -∞
　x[n] → b.

323 ：１３２人目の素数さん：2008/07/14(月) 22:25:54

>>320
偽、反例はπを3と定義した場合

324 ：１３２人目の素数さん：2008/07/14(月) 22:34:23

意味が分からん。
ただし π＞3.14 という不等式を証明無しに使ってよい、
と書いてあったら、このπは 3.5 を表す文字かもしれないから
この但し書きには意味が無い、とか言い出すのかね。

或いは∑_{n=1}^{n=k} n^4 を求めよ、という問題に
　この∑が総積記号であるとすると、
　∑_{n=1}^{n=k} n^4 = (k!)^4
という解答が妥当だとするのか。

325 ：１３２人目の素数さん：2008/07/14(月) 22:45:07

>>315
今年の東工大の整数問題って今見たが、ないじゃん。後期含めて。

前期
1 指数関数
2 極限
3 確率、不等式
4 図形と方程式

後期
1 不等式
2 積分

一応去年の東工大ＡＯを見てみると、2に整数問題がある
nを自然数、P(x)をn次多項式とする。P(0)、P(1)、・・・、P(n)が整数ならば、すべての整数ｋに対し、P(k)は整数であることを証明せよ。

個人的には今年実施された東大数学の差し替え問題を見たいもんだ。雪の影響で追試験という形で実施されたやつね。

326 ：１３２人目の素数さん：2008/07/14(月) 22:50:36

>>325
ごめん
後期の不等式の問題のことだ
逆だったらすごく簡単なんだけどなぁって思いながら解いてた

327 ：１３２人目の素数さん：2008/07/14(月) 22:52:23

>>325
> nを自然数、P(x)をn次多項式とする。P(0)、P(1)、・・・、P(n)が整数ならば、すべての整数ｋに対し、P(k)は整数であることを証明せよ。

これって、そんなに難しくないんじゃない？
例えば n に関する帰納法で簡単にできちゃうし、結果も特に面白くないし。
だから >>315 の言う問題とは違うんだろうな～。

328 ：１３２人目の素数さん：2008/07/14(月) 22:53:35

あぁ、やっぱり違うのか。

329 ：１３２人目の素数さん：2008/07/14(月) 22:55:27

>>325
その問題って有名問題じゃなかったっけ。

以前のどっかの過去問にもあった。東工大じゃなかったかな？
そんなのAOに出すのか。AOで受かる奴は馬鹿だと言われる訳だ。
まあバカでも入学できる方法を選択するのは賢いけどね。

330 ：１３２人目の素数さん：2008/07/14(月) 23:04:20

>>329
過去に出題されてると、東工大のwikiだったかで見た記憶がある。
なんでも1993当時、あまりにも出来が悪かったから出したのだとかどうとか。内部の人間の情報らしいけど、ネット情報なんで真偽はわからん。

http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=173480
でもあるけど群馬大にも出題されてる模様

331 ：１３２人目の素数さん：2008/07/14(月) 23:32:25

その東工大の問題、青空教室で見た覚えが

332 ：１３２人目の素数さん：2008/07/15(火) 00:25:50

あんな有名問題を出す時点で終わってるよね
作問者は見識がないんだろう

333 ：１３２人目の素数さん：2008/07/15(火) 02:01:22

いや、その作問者が最初に作って出題して有名になったのかも知れない。
たしか初出は東工大だったような気がする。

だから思い入れが在り過ぎてついつい出しちゃうとかｗ
いずれにせよダメだが。

334 ：１３２人目の素数さん：2008/07/15(火) 02:03:37

知ってたら難易度B***
知らなかったら難易度D******
こんなことあっていいはずがない

335 ：１３２人目の素数さん：2008/07/15(火) 03:32:40

平面幾何
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1215965670/

336 ：１３２人目の素数さん：2008/07/15(火) 21:50:13

>>320
2003年の阪大の後期で出ました。

337 ：１３２人目の素数さん：2008/07/16(水) 06:38:43

たいていの難問も逆手にとればすぐできる。
全部カウントしなきゃいけないやつは、力問とよんであげて。

338 ：１３２人目の素数さん：2008/07/16(水) 06:47:20

http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/mondai/node26.html#

＞３３６はこれのパクリだな・・・

339 ：１３２人目の素数さん：2008/07/16(水) 07:19:49

難問の分類
１　力技
２　すぐとける
３　問題文の日本語が難解
４　時間が足りない
５　答えが間違ってる

340 ：１３２人目の素数さん：2008/07/16(水) 07:28:49

すべての整数は２つの素数でかける　１０点

341 ：１３２人目の素数さん：2008/07/16(水) 07:30:13

６　まだだれも解けない

342 ：１３２人目の素数さん：2008/07/16(水) 07:57:48

3a　問題文がうろ覚え

くそたわけが

343 ：１３２人目の素数さん：2008/07/16(水) 17:17:42

>>338
大阪大学の方が先じゃないの？
そのサイトも、ここでは大阪大学の問題とは少し違った設定で
やってみた、とか書いてあるけど。

というか、そもそも全部Nivenのパクリだ。

>>340
たとえば57は5と7の二つだけを使って書ける、とかそういうことですね。なるほど。

344 ：１３２人目の素数さん：2008/07/16(水) 22:02:14

http://en.wikipedia.org/wiki/Proof_that_%CF%80_is_irrational
これか・・・
来年はπが超越数の証明が出るのだろうか・・・

345 ：１３２人目の素数さん：2008/07/16(水) 22:07:59

πの超越性の証明はそんなに難しくはないが、高校の範囲でできるのか？

346 ：１３２人目の素数さん：2008/07/16(水) 22:44:39

http://nombrejador.free.fr/article/lindemann-weierstrass_ttj.htm

347 ：１３２人目の素数さん：2008/07/16(水) 23:06:29

an,bnが代数的数で線形独立なら、ane^bnも線形独立、Σane^bn=0にならない。
e^iπ+1=0(線形従属）ー＞iπは超越数,iは代数的数だからπは超越数

348 ：１３２人目の素数さん：2008/07/17(木) 01:11:02

>>345
代数学やってなきゃできないぞってか高校生は超越数の定義を知らないんじゃないのか？
解析的手法を使っても証明できるが高校の範囲では誘導やら定義やらを丁寧にしなきゃ無理だな

349 ：１３２人目の素数さん：2008/07/17(木) 01:17:09

eが整数係数多項式の根にならないことは高校の内容で示せるな
出題するなら誘導が必要だが、入試に適してるとは思えないな

350 ：１３２人目の素数さん：2008/07/17(木) 01:36:03

定義
α∈CでαがQ上代数的であるときαを代数的数という

定義
上記定義のCの元で代数的数でないものを超越数という

定理
Fを体とすると、Fの代数的閉包が存在し、Fの代数的閉包は全てF上同型である

これだけあれば今の学習意欲ある高校生には十分か
>>346
Hermiteの不等式を使っていいというならこれ誘導つけてπが超越数であるという問題出すのもありだな

351 ：159：2008/07/19(土) 04:49:54

前回ズタボロのおれだが、お前らの連休のためにとっておきの問題を用意してきた

n≧3を満たす任意の整数nに対して、次の合同式を満たす自然数x,y,zが無限に存在することを示せ
x^n+y^n≡z^n　(mod n)

5分で解けてしまうので、次が本題

n≧3を満たす任意の整数nに対して、
次の合同式と条件を満たす自然数x,y,zが無限に存在するか否か。
存在しなければ反例をあげよ
x^n+y^n≡z^n　(mod n^n)
条件：x,y,zはnとは互いに素である。

352 ：１３２人目の素数さん：2008/07/19(土) 06:59:38

>>351
合同式なんだから、一組の解があれば無限組の解があるのは自明でしょ

gcd(x,3)=1 なら、x^3≡±1 (mod 9) だから、
n=3 のとき２問目の解は存在しない

353 ：１３２人目の素数さん：2008/07/19(土) 07:47:04

つまんねー

354 ：１３２人目の素数さん：2008/07/19(土) 12:39:27

>>352
n=3のときってmod9じゃなくてmod27じゃね？

355 ：１３２人目の素数さん：2008/07/19(土) 13:49:19

mod 9 で等しくないならmod 27 でも等しくないような。

356 ：１３２人目の素数さん：2008/07/19(土) 13:56:00

そういえば159も誰も解けなかったんだよね
難易度的にはどうなの？難しいの？
「このスレでおれができない問題は難しい」という命題は成立するの？

357 ：１３２人目の素数さん：2008/07/19(土) 16:49:17

> 理系で数学が得意な高校生が２５～５０分で
> 解ける問題を考えてうぷするスレ。
> これ以外の難易度の問題はスレ違いとなります。
> 関連スレへどうぞ

358 ：１３２人目の素数さん：2008/07/19(土) 16:52:22

>>351
こうしたほうが良くね？

次を満たす非負整数 n, x, y, z の組が存在しないことを証明せよ
n≧2,
gcd(x,n) = gcd(y,n) = gcd(z,n) = 1,
x^n + y^n = z^n　(mod n^n)

359 ：１３２人目の素数さん：2008/07/19(土) 16:53:46

× 非負整数
○ 正整数

360 ：１３２人目の素数さん：2008/07/19(土) 17:08:00

>>358
n=2の場合って二つの奇数の2乗の和がある奇数の2乗になるかって問題だと思うが、
これって存在しないんだっけか？以前どっかでやったことあるような気もする
合同式だと4で割った余りが限られているんで簡単になる

361 ：358：2008/07/19(土) 18:30:19

存在した
1^7 + 2^7 ≡ 62478^7 (mod 7^7)

362 ：１３２人目の素数さん：2008/07/19(土) 19:05:18

>>361
これは…ゴールドバッハ予想を自作のアルゴリズムで反例見つけようと頑張った
ハーバード大学のあの学生を彷彿とさせるな
どうやって求めたの？答えあってるのか？電卓使ったら+e33とか出てわからん

とりあえずGJ！

363 ：１３２人目の素数さん：2008/07/19(土) 19:31:05

>>362
1^7+2^7≡3^7 (mod 7^3)
が見つかったから
7^4 | {(7a+3)^7-(1^7+2^7)} となる a を求めて…
とかやると求まる

62478^7 ≡ (62478^3 mod 7^7) * (62478^4 mod 7^7)
とすれば Windows の電卓でも計算できるよ

364 ：１３２人目の素数さん：2008/07/22(火) 23:47:54

x^n+y^n≡z^n　(mod n^n)

x=n+an^n
y=n+bn^n
z=n+cn^n

365 ：１３２人目の素数さん：2008/07/23(水) 00:32:15

>>364
それだとx、y、zがnと互いに素にならなくね？
全てのnで問題にある式が成り立つかわからないけど
一つわかってるのはこういう整数系の問題は東大入試にはでないよな…うん、でない！

366 ：１３２人目の素数さん：2008/07/23(水) 13:46:35

2sinxsiny+3cosy+6cosxsiny=7
このとき(sinx)^2+2(cosy)^2の値を求めよ

367 ：１３２人目の素数さん：2008/07/23(水) 19:09:31

lim_(n=>∞)sin(π√(4n^2+11n))

368 ：１３２人目の素数さん：2008/07/23(水) 19:28:32

極限
lim[n→∞]{e^(-n)*∑[k=0,n]1/k!}
の収束、発散を調べよ。
もし収束するならばその極限値を求めよ。

369 ：１３２人目の素数さん：2008/07/23(水) 20:32:14

それじゃあ収束するに決まってんだろ
ちゃんとした問題だせ

370 ：１３２人目の素数さん：2008/07/23(水) 20:32:54

アポストロフのテキストからパクればいくらでも作れる

371 ：１３２人目の素数さん：2008/07/23(水) 20:38:42

x^n+y^n≡z^n　(mod n^n)

x=an+dn^n
y=bn+en^n
z=cn+fn^n

372 ：１３２人目の素数さん：2008/07/23(水) 20:42:56

>>369
すまん、問題ミスってた

極限
lim[n→∞]{e^(-n)*∑[k=0,n]n^k/k!}
の収束、発散を調べよ。
もし収束するならばその極限値を求めよ。

373 ：１３２人目の素数さん：2008/07/23(水) 21:08:13

e^n(t-1)

374 ：１３２人目の素数さん：2008/07/23(水) 21:25:19

2009人の学生と, 相異なる2009個のグループを考える.
どの学生も1000個の相異なるグループに属し, どのグループにも1000人の学生
が属するという状況はありえるか. 結論と理由を述べよ.

375 ：１３２人目の素数さん：2008/07/23(水) 21:25:46

鏡になった円の円周上の1点から無理数の角度で内側にレーザーをはなつと、永久に自分に当たら
ないことを証明して。　ゴルゴの定理

376 ：１３２人目の素数さん：2008/07/23(水) 22:29:14

無理数の角度って何だ？
90度はπ/2ラジアンだから無理数の角度だと思うが。

377 ：１３２人目の素数さん：2008/07/23(水) 22:30:01

>>370
アポストロフのテキストって何？
書名教えてくださいな。

378 ：１３２人目の素数さん：2008/07/24(木) 20:33:49

東大９６か９４年ぐらいの改題

x^2 + y^2 + z^2 <= n

この不等式がみたすxyz空間の点P（ｘ、ｙ、ｚ）で、ｘ、ｙ、ｚ、がすべて整数であるものの個数を　ｆ（n）　とおく

極限 lim n→∞ f(n) / n^3

を求めよ

379 ：１３２人目の素数さん：2008/07/24(木) 20:34:31

訂正

x^2 + y^2 + z^2 <= n^2

です

380 ：１３２人目の素数さん：2008/07/24(木) 20:54:03

4/3*π

381 ：１３２人目の素数さん：2008/07/24(木) 21:34:39

ΣΣΣ∫δ（rsin(t)cos(s)-i)δ（rsin(t)sin(s)-j)δ（rcos(t)-k)dr

382 ：１３２人目の素数さん：2008/07/24(木) 21:38:05

ΣΣΣ∫∫∫δ（rsin(t)cos(s)-i)δ（rsin(t)sin(s)-j)δ（rcos(t)-k)drdtds

383 ：１３２人目の素数さん：2008/07/25(金) 00:59:55

>>380
正解
ｎの三乗でわってるのがミソだよなぁ

384 ：１３２人目の素数さん：2008/07/25(金) 02:39:55

極限求めなければ球の体積になるってこと？

385 ：１３２人目の素数さん：2008/07/25(金) 03:43:19

極限を求めれば球の体積ってことだ。

386 ：１３２人目の素数さん：2008/07/25(金) 05:29:51

F(nxnxn)=n^3
3/4pir^3/n^3

387 ：１３２人目の素数さん：2008/07/25(金) 07:18:43

みんな余裕で補正してくれたみたいだけど
2乗じゃなくて3乗ですね
すいません

388 ：１３２人目の素数さん：2008/07/25(金) 07:22:04

x^3 + y^3 + z^3+w^3 <= n^3

389 ：１３２人目の素数さん：2008/07/25(金) 12:25:18

２乗でいい

390 ：１３２人目の素数さん：2008/07/25(金) 12:38:19

1以上である全ての整数nについて
(n^n)/(e^(n-1))<=n!<=(n^(n+1))/(e^(n-1))
が成り立つことを証明せよ。

391 ：１３２人目の素数さん：2008/07/25(金) 13:04:05

すべての実数に対して定義され、2回微分可能な関数f(x)に対して
2f(0)=f(-1)+f(1)が成立するとき
f''(c)=0を満たす実数cが少なくとも一つ存在することを証明せよ

392 ：391：2008/07/25(金) 13:14:25

見えにくいけど
f''(c)=0はf’’(c)=0　←fの2階微分のcにおける値

393 ：１３２人目の素数さん：2008/07/25(金) 13:17:48

次の条件を満たす自然数、ｍ、ｎ、ｋを求めよ。
５＾m+７^n＝Ｋ＾3

394 ：１３２人目の素数さん：2008/07/25(金) 13:31:39

次の式を満たす全ての解を求めよ。

Ⅹ＾4＋Ｙ＾4＋Ｚ＾4＝４ⅩＹＺ－１

395 ：１３２人目の素数さん：2008/07/25(金) 13:36:03

Ⅹ＾２＋Ｙ＾２＝Ｚ＾５
この式は、無限に多数の自然数の解を持つことを
証明せよ。

396 ：１３２人目の素数さん：2008/07/25(金) 13:45:46

ａ，ｂ，ｃが次の条件を満たすとき、
（ａ－ｂ）＾３＋（ｂ－ｃ）＾３＋（ｃ－ａ）＾３＝６０

｜ａ－ｂ｜＋｜ｂ－ｃ｜＋｜ｃ－ａ｜の最大値と最小値を求めよ。

397 ：１３２人目の素数さん：2008/07/25(金) 13:53:14

以下の式で、
どんな整数ｎに対しても、整数の解が存在する
ことを証明せよ。

Ⅹ１＾3＋Ｘ２＾3＋Ｘ３＾3＋Ⅹ４＾3＋Ⅹ５＾3＝ｎ

398 ：１３２人目の素数さん：2008/07/25(金) 13:58:52

以下の式を満たす、ａ，ｂ，ｃの組を求めよ。
ａｂ＋ｃ＝（ａ＾2，ｂ＾2）＋（ａ，ｂｃ）＋（ｂ，ａｃ）＋（ｃ，ａｂ）＝（２３９）＾2

399 ：１３２人目の素数さん：2008/07/25(金) 14:05:08

次の式を満たす自然数ｘ、ｙを求めよ。
８Ⅹ＾2－２ⅩＹ＝６Ｙ＝３Ⅹ＾2＋３Ⅹ＾3Ｙ＾2

400 ：１３２人目の素数さん：2008/07/25(金) 17:18:45

>>391
近大の問題？

401 ：１３２人目の素数さん：2008/07/25(金) 17:48:31

>>395
(2^(5n-3))^2+(2^(5n-3))^2=(2^(2n-1))^5

402 ：１３２人目の素数さん：2008/07/25(金) 19:47:13

>>390
各辺全部正だから対数とって
y=logxのグラフの面積（ｒｙ

基本問題レベルじゃね？

403 ：１３２人目の素数さん：2008/07/25(金) 23:15:22

Stirlingの公式知ってれば普通に解けそうだな。
まあStirlingの公式は基本かどうか分からんが。

404 ：１３２人目の素数さん：2008/07/25(金) 23:22:16

>>391
平均値の定理を二回使えば良い。
f '(c_1) = f '(c_2) (= {f(1) - f(0)/1 = {f(0) - f(-1)/1)
となるような-1<c_1<0<c_2<1が取れる。
区間(c_1, c_2)での函数f '(x)に平均値の定理
（というかRolleの定理）を適用すれば良い。

# いつも思うんだけど、大学入試でこれくらい略した解答を
# 書いたら何点くらい貰えるんだろう。

405 ：１３２人目の素数さん：2008/07/26(土) 09:38:36

>>393から>>399
の問題に誰か解答して。
難問中の難問だから。
解けたら神。

406 ：１３２人目の素数さん：2008/07/26(土) 09:52:54

>>405
>>398のかっこの定義は？

407 ：１３２人目の素数さん：2008/07/26(土) 09:55:20

>>405
>>395⇒>>401

あと、>>394は問題文に不備があるんじゃない？

408 ：１３２人目の素数さん：2008/07/26(土) 10:05:50

>>399も問題文に違和感。

409 ：１３２人目の素数さん：2008/07/26(土) 10:32:48

>>399
8x＾2-2xy=6y=3x^2＋3x^3*y^2でいいのか？
6y=3x^2＋3x^3*y^2について、
(3x^3)y^2-6y+3x^2=0のyについての判別式をDとすると
D/4=9-9x^5
yが実数解を持つ条件はx=1（∵xは自然数）
このとき代入して解くとy=1
この2解は8x＾2-2xy=6yも満たすから
求める自然数解は(x,y)=(1,1)のみ

解けたら神・・・？んなアホな

410 ：ゴメス：2008/07/26(土) 11:55:34

どうして１３２人目の素数さんの問題を１３２人目の素数さんが答えているんでしょうか。

411 ：１３２人目の素数さん：2008/07/26(土) 12:54:04

>>410
半年ROMってね ^ ^

412 ：１３２人目の素数さん：2008/07/26(土) 13:21:18

413 ：ゴメス：2008/07/26(土) 13:28:16

>>411
ROMって何のことでしょうか。
CD-ROMのROMのことですか？

414 ：１３２人目の素数さん：2008/07/26(土) 14:33:41

>>413
ググレカス

415 ：１３２人目の素数さん：2008/07/26(土) 17:59:56

x,y,zが次の条件を満たすとき、
（x）＾３＋（y）＾３＋（z）＾３＝６０

｜x｜＋｜y｜＋｜z｜の最大値と最小値を求めよ。

416 ：１３２人目の素数さん：2008/07/26(土) 18:09:17

I
Gx=1-r3x^2=0 x=(1/3r)^.5
Gr=x^3+y^3+z^3-60=0
3(1/3)^1.5r^-1.5=60
r=((20)^-1/1.5)/3

417 ：１３２人目の素数さん：2008/07/26(土) 18:13:13

2
Gx=-1-r3x^2=0

418 ：１３２人目の素数さん：2008/07/26(土) 18:57:47

高さ１０cm、底辺半径１０cmの円柱を斜め斬りしたとき、最大面積を計算しなさい。　１５点

419 ：１３２人目の素数さん：2008/07/26(土) 18:58:33

４１８を円錐でも計算しなさい。　１０点

420 ：１３２人目の素数さん：2008/07/26(土) 19:13:10

Bihermitian Structures on Complex Surfaces
V. Apostolov, P. Gauduchon and G. Grantcharov

421 ：１３２人目の素数さん：2008/07/26(土) 19:26:34

内接円の半径が1の三角形の面積の最大値を求めてください

422 ：１３２人目の素数さん：2008/07/26(土) 19:58:13

>>412
この公式使ってみ

x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)

423 ：１３２人目の素数さん：2008/07/26(土) 20:01:19

AT what point in time when language have originated is far from clear.
この文の文型ふるとSはどれですか？？（×-×）

424 ：１３２人目の素数さん：2008/07/26(土) 20:13:28

AT what point in time when language have originated
が S

425 ：１３２人目の素数さん：2008/07/26(土) 20:29:08

>>394
相加・相乗平均より
　X^4 + Y^4 + Z^4 + 1^4 ≧ 4|XYZ| ≧ 4XYZ,
よって等号成立条件を調べる。

左側から
　|X| = |Y| = |Z| =1.
右側から
　(X,Y,Z) = (1,1,1)　(1,-1,-1)　(-1,1,-1)　(-1,-1,1)

解けたら神・・・？んなアホな

426 ：１３２人目の素数さん：2008/07/26(土) 21:43:59

Ⅹ＾4＋Ｙ＾4＋Ｚ＾4＝４ⅩＹＺ－１
x^3=yz
3xyz=4xyz-1
xyz=1

427 ：１３２人目の素数さん：2008/07/26(土) 22:02:13

1/(yz)^3=yz
(yz)^4=1
x^4=(xyz)^4=1
x^4=1=y^4=z^4

428 ：１３２人目の素数さん：2008/07/26(土) 22:10:04

多様体問題はふつうに偏微分しろよ・・・塾で教えてるだろ

429 ：１３２人目の素数さん：2008/07/26(土) 22:17:20

>>415

最小値
　|x| + |y| + |z| ≧ (|x|^3 + |y|^3 + |z|^3)^(1/3) ≧ (x^3 + y^3 + z^3)^(1/3) = 60^(1/3),
　等号は x=60^(1/3), y=z=0　及びその rotation のとき.
最大値：なし
　x=60^(1/3), y=-z→∞ のとき ∞

解けたら神・・・？なんて誰も言ってねぇか･･･

430 ：１３２人目の素数さん：2008/07/26(土) 22:19:08

>>428
知識なけりゃ解けない奴が数学しない方が良いよ

431 ：１３２人目の素数さん：2008/07/26(土) 22:24:40

>>404

# 解析の問題ならもちろん零点(null)だな。

432 ：１３２人目の素数さん：2008/07/26(土) 22:29:22

x^3+y^3+z^3=60
x=(rsc)^2/3
y=(rss)^2/3
z=(rc)^2/3
r^2=60
|x|=|rsc|^2/3
|y|=|rss|^2/3
|z|=|rc|^2/3

433 ：１３２人目の素数さん：2008/07/26(土) 22:37:33

|x|+|y|+|z|=|r|^2/3(|s|^2/3(|c|^2/3+|s|^2/3)+|c|^2/3)

434 ：１３２人目の素数さん：2008/07/26(土) 22:49:03

K=r^2/3(s^2/3((s^2-1)^1/3+s^2/3)+(s^2-1)^1/3)
Kp=r^2/3((2/3)cs^-1/3((s^2-1)^1/3+s^2/3)+(2sc(1/3)(s^2-1)^-2/3))=0
Kt=r^2/3(s^2/3((1/3)(2sc)(s^2-1)^-2/3+(2/3)cs^-1/3))=0
cp=0,ct=0
K=r^2/3=60^1/3

435 ：１３２人目の素数さん：2008/07/26(土) 23:43:44

>>420
ｔｈｘ．

436 ：１３２人目の素数さん：2008/07/27(日) 08:36:05

>>393->>399
って昔いた素数様か？

437 ：１３２人目の素数さん：2008/07/27(日) 11:05:45

いいえ、kingです

438 ：1stVirtue ◆.NHnubyYck ：2008/07/27(日) 11:59:12

Reply:>>437 私を呼んでないか。

439 ：１３２人目の素数さん：2008/07/27(日) 21:37:25

最大最小問題は定石があるだけ　小細工はいらない

440 ：１３２人目の素数さん：2008/07/29(火) 01:16:48

◆ わからない問題はここに書いてね２４７ ◆
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1216746508/405
を改変

数列 {a[n]} を
a[0] = x,
a[n+1] = sin(a[n])　　(n≧0)
で定める
0＜x＜π のとき
lim[n→∞]((√n)a[n]) = √3
であることを証明せよ

441 ：１３２人目の素数さん：2008/07/29(火) 07:03:07

y=sin(x)
x=y
x=sin(x)

442 ：１３２人目の素数さん：2008/07/29(火) 08:29:57

>>429
もとの問題は、
ａ，ｂ，ｃが次の条件を満たすとき、
（ａ－ｂ）＾３＋（ｂ－ｃ）＾３＋（ｃ－ａ）＾３＝６０

｜ａ－ｂ｜＋｜ｂ－ｃ｜＋｜ｃ－ａ｜の最大値と最小値を求めよ。

これが解けたら神。

443 ：１３２人目の素数さん：2008/07/29(火) 11:29:47

>>442
まるち

444 ：１３２人目の素数さん：2008/07/29(火) 20:19:54

これが解けたら神とかマジでキモイんですけど

445 ：１３２人目の素数さん：2008/07/29(火) 22:09:20

http://yutori.2ch.net/test/read.cgi/news4vip/1217332035/l50
宇宙論について

助けてくれ

446 ：１３２人目の素数さん：2008/07/30(水) 00:40:23

>>440
ヒントだけでも教えてくれ
sinのぜんかしきで表させる数列は
下に有界で単調現象であることはわかった
n^(1/2)をかけても上に有界なのがわからん…

447 ：１３２人目の素数さん：2008/07/30(水) 00:54:26

>>446
a[n] = √(3/b[n]) とすると b[n]～n になるはずだから、
b[n] についての漸化不等式
f(b[n]) ＜ b[n+1] ＜ g(b[n])
を作ったらできた

448 ：１３２人目の素数さん：2008/07/30(水) 08:23:48

>>447
関数f、gって何を表してるの？

449 ：１３２人目の素数さん：2008/07/30(水) 08:39:37

>>448
b[n]+1-(小さい項) ＜ b[n+1] ＜ b[n]+1+(小さい項)

450 ：１３２人目の素数さん：2008/07/30(水) 08:49:04

>>449
その不等式はどうやったら証明できるの？

451 ：１３２人目の素数さん：2008/07/30(水) 09:31:04

ｐ，ｑ，ｒを自然数とする。
直角三角形ＡＢＣの斜辺をｒとする。
このとき、Ｐ＾２＋ｑ＾２が奇数になるための
条件を求めよ。

452 ：１３２人目の素数さん：2008/07/30(水) 09:32:54

斜辺以外の二辺の長さが p と q であるとか
そういう条件は無いのか。じゃあ p と q の偶奇が同じとしか言えないな。

453 ：１３２人目の素数さん：2008/07/30(水) 14:25:18

なんだこの糞問は

454 ：１３２人目の素数さん：2008/07/30(水) 14:29:39

「ｐ、ｑ、ｒは自然数で、ｐ≦ｑ≦ｒを満たす。
一次関数ｒ＝２ｑ＋１とｒ＝－ｑ＋３の交点をＡ
一次関数ｑ＝３ｐ＋３とｑ＝－２ｐ＋５の交点をＢ
一次関数ｐ＝５ｒ＋２とｐ＝－ｒ＋１の交点をＣ
とする。三角形ＡＢＣが正三角形になるための必要十分条件を求めよ」

455 ：１３２人目の素数さん：2008/07/30(水) 14:37:10

これはひどい

456 ：１３２人目の素数さん：2008/07/30(水) 14:48:08

「ｐ、ｑ、ｒは自然数であり、ｐ≦ｑ≦ｒを満たす連続する三つの
　偶数であるとき、
　　５＾ｐ＋７＾ｑ＝９＾ｒを満たす、ｐ、ｑ、ｒを一つみつけよ」

457 ：１３２人目の素数さん：2008/07/30(水) 14:52:10

>>455
どういうところが「ひどい」んだよ？

458 ：１３２人目の素数さん：2008/07/30(水) 14:53:36

そんな数の組はない。

459 ：１３２人目の素数さん：2008/07/30(水) 15:13:55

>>458
「ない」としたら、それが数学的に正しい「答え」で、
答案用紙にそう書けばよい。

さて次の問題、
「ｐ、ｑ、ｒは自然数であリ、ｐ≦ｑ≦ｒを満たす。
また、ｐ、ｑは偶数、ｒは奇数である。
√ｐ×√ｑ×√ｒが最小の正の整数となる数を求めよ」

460 ：１３２人目の素数さん：2008/07/30(水) 15:18:04

何この糞問のオンパレード

461 ：ＺＥＵＳ：2008/07/30(水) 15:22:15

海外の大学では、「答えのない問題」を出題し、
「答えが無いこと」を証明させる問題が少なくない。
例えば上のほうにあった、

５＾ｍ＋７＾ｎ＝ｋ＾３を満たす自然数を見つけよ。
という問題は海外の大学の数学の問題だが、
解答はこちら
↓
http://www.fen.bilkent.edu.tr/~cvmath/Problem/0601a.pdf
「そのような自然数はない」ことを証明するのが「答え」

462 ：ＺＥＵＳ：2008/07/30(水) 15:36:58

海外での数学の考え方

①「答えがある問題」は答えを求める。
②「答えがない問題」は「答えが無いこと」を証明する

日本の数学者は、「答えがある問題」ばかり解いて、「解けた喜び」に
ばかりひたっているが、海外ではそうではない。
そもそも、数学には「答えがない問題」も多く存在し、その場合、
「答えが無いこと」を証明しなければならない。

463 ：ＺＥＵＳ：2008/07/30(水) 15:38:44

日本の数学者は、「答えがある問題（＝数学的に答えが分かる人には分かりきった問題）」ばかり解いて、「解けた喜び」に
ばかりひたっているが、海外ではそうではない。
そもそも、数学には「答えがない問題」も多く存在し、その場合、
「答えが無いこと」を証明しなければならない。

464 ：１３２人目の素数さん：2008/07/30(水) 15:40:22

オマエの書き込みの内容の是非はおいといて、

とりあえず、東大は日本の大学だ。
んで、ここは「★東大入試作問者になったつもりのスレ★」だ。

465 ：ＺＥＵＳ：2008/07/30(水) 15:42:02

>>464
東大の数学科の教授も、今後は、海外の大学の入試問題を
研究して、「解のない問題」を出題するかもしれないよ。

466 ：１３２人目の素数さん：2008/07/30(水) 15:47:22

>>465

外国の数学の大学入試って簡単じゃないのか？
むしろ外国語の試験が鬼のように難しいって聞いたことがあるんだが。

467 ：１３２人目の素数さん：2008/07/30(水) 15:53:17

>>461
(0,1,2)が解って書いてんじゃん

468 ：ＺＥＵＳ：2008/07/30(水) 17:40:51

>>467
いいや。それは結論ではない。あくまでも「附則」です。
解答は「ｔｈｕｓ　ｏｕｒ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｈａｓ　ｎｏ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　
ｉｎ　ｎａｔｕｒａｌ　ｎｕｍｂｅｒｓ」です。

469 ：ＺＥＵＳ：2008/07/30(水) 17:41:29

>>467
「自然数には解がない」というのが解答です。

470 ：１３２人目の素数さん：2008/07/30(水) 17:43:46

何かキモイ流れだな

471 ：ＺＥＵＳ：2008/07/30(水) 17:45:32

５＾ｍ＋７＾ｎ＝ｋ＾３に（ｍ、ｎ、ｌ）＝（０、１、２）を代入して、
５＾０＋７＾１＝２＾３
１＋７＝８

472 ：ＺＥＵＳ：2008/07/30(水) 17:49:18

自然数には 0 を含めないとする流儀もあるのです。
おそらく、問題の前提としては、自然数に０を加えないという
ことなのでしょう。

473 ：１３２人目の素数さん：2008/07/30(水) 17:52:27

non-negative integer

474 ：ＺＥＵＳ：2008/07/30(水) 17:59:57

>>473
「マイナスでない整数」

問題文では、（０を含めない前提での）自然数１、２，３，４，５、、、、、を
考えている。

475 ：ＺＥＵＳ：2008/07/30(水) 18:07:27

数学の事典をみたら、
「正の整数を自然数という」と定義されていた。
よって、この問題に、「解」はない。

476 ：ＺＥＵＳ：2008/07/30(水) 18:28:40

「６以上の任意の偶数は、二つの奇素数の和で表すことができることを
証明せよ。」

477 ：１３２人目の素数さん：2008/07/30(水) 18:31:22

>>1 より

> 理系で数学が得意な高校生が２５～５０分で解ける問題を
> 考えてうぷするスレ。

「考えて」うぷするスレ。
自分で問題を考えること。

478 ：ＺＥＵＳ：2008/07/30(水) 18:42:21

たとえば、
８は、３＋５
１０は５＋５
１２は７＋５
。。。。。。。
たしかに、二つの奇素数の和で表される。
が、これをどうやって証明するか？

①６以上の任意の偶数を２ｎ＋２（ｎ≧２）とおく。
②奇数でかつ素数を、どうやって文字式で表すか？
③任意の奇数を２ｍ＋１（ｍ≧０）で表される。
④素数は、「１とその数以外に約数を持たない数」だから、
　逆に考えて、上の式のｍに制約条件をかければよい。

たとえば、５は奇素数、しかし１５は奇数だが素数ではない。
１、３、５、７、９、１１、１３、１５、１７、１９、２１、２３、２５、、、、
奇素数を●とすると、
●、●、●、●、９、●、●、１５、●、●、２１、●、２５、２７、●、●、３２
この数列に「規則性」を見つけてください。

479 ：１３２人目の素数さん：2008/07/30(水) 19:26:34

ＺＥＵＳってやつ友達いなさそう・・・

480 ：１３２人目の素数さん：2008/07/30(水) 20:26:07

>>479
人の話をまるで無視するからね。
自分のことで精一杯なんだろうけど。

481 ：１３２人目の素数さん：2008/07/30(水) 20:58:32

(1)xy平面上の動点P,Qはそれぞれx軸、y軸上のx≧0,y≧0,の部分を
OP+OQ=1という関係満たしながら動く。
このとき線分PQの通過しうる領域を図示し、その領域の面積を求めよ。

(2)xyz空間内の動点P,Q,Rはそれぞれx軸、y軸、z軸上のx≧0,y≧0,z≧0の部分を
OP+OQ+OR=1という関係を満たしながら動く。
このとき平面PQRの通貨しうる領域の体積を求めよ。
ただしOは原点である。

482 ：１３２人目の素数さん：2008/07/30(水) 22:43:23

>>481
アステロイドになった
(2)はアステロイドの空間版

483 ：１３２人目の素数さん：2008/07/30(水) 22:53:32

ＺＥＵＳ君もう少し勉強してからここに来てくれ

484 ：１３２人目の素数さん：2008/07/30(水) 23:06:28

>>481
（２）どうやるの？

485 ：１３２人目の素数さん：2008/07/30(水) 23:13:30

>>396 , >>412
　ここら辺↓に解答･･･

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/408-409
不等式スレ３

486 ：１３２人目の素数さん：2008/07/30(水) 23:21:59

2m=(2m-t)+t=p+q

487 ：１３２人目の素数さん：2008/07/31(木) 00:55:58

全部の素数をランダムにたして、２mがすべてできることをいえばいい。

488 ：１３２人目の素数さん：2008/07/31(木) 01:09:03

OP+OQ=1
PQ=(x^2+(1-x)^2)=(2x^2-2x+1)^.5

489 ：１３２人目の素数さん：2008/07/31(木) 01:20:09

エンベロープ

490 ：ＺＥＵＳ：2008/08/01(金) 08:41:54

ｘｙ平面上の２点をＡ（－１，０），Ｂ（１，０）とする。
線分ＡＢを直径とする円周上を動く点Ｐがある。
線分ＰＡを３：４に内分する点をＮとし、線分ＰＢを
１：４に内分する点をＭとする。
ＡＭとＢＮの交点Ｑが描く図形の方程式を求めよ。

491 ：１３２人目の素数さん：2008/08/01(金) 13:32:31

(1)∑(1/n)が発散することを示せ。
(2)(1)の和において、自然数nを10進数展開したときに
　9が付く数(9,19,94,900など)を除外した場合、
　和は収束し、80未満となることを示せ。

492 ：ＺＥＵＳ：2008/08/01(金) 16:19:34

次の連立方程式を考える。
Ⅹ＾２＋Ｙ＾２＋３ⅩＹ＝１１
Ⅹ＋Ｙ－ＸＹ＝９

このとき、Ⅹ＋ＹとＸＹの値を求めよ。

493 ：１３２人目の素数さん：2008/08/01(金) 16:31:44

あれだろ、、
ⅩとＸは実は違う文字でしたーｗｗｗ
なんてオチだろ？

494 ：１３２人目の素数さん：2008/08/01(金) 16:52:21

>>491
(1)∑1/n>1+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+…+1/8)+…
から示せる
(2)10^(n-1)と10^nに9^n個あることから示せる

495 ：１３２人目の素数さん：2008/08/01(金) 17:24:03

オリジナリティのある良問まだー？

496 ：１３２人目の素数さん：2008/08/01(金) 19:53:11

a[1]=a,a[n+1]=cos(a[n])とするとき
どんなaに対しても
lim[n→∞]a[n]が存在することを示せ

497 ：１３２人目の素数さん：2008/08/01(金) 23:45:03

>>496
これのsinバージョンの完璧な証明を今も見たことないんだけど

498 ：１３２人目の素数さん：2008/08/02(土) 00:13:54

sinだったら簡単じゃん。
a_0=a かつ a_{n+1} = sin(a_n) とする。
-1 ≦ a_1 ≦ 1 である。
0 ≦ a_1 ≦ 1 としてよい。（そうでないときは b_n = -a_n を考えれば良い）
{ a_n } は常に正なので下に有界であり、かつ単調減少である。
有界単調数列は必ず或る有限実数値に収束するので、その収束値を A とする。
A = sin(A)より A = 0。

499 ：１３２人目の素数さん：2008/08/02(土) 00:17:52

>>498
すまん
これのことだった

数列 {a[n]} を
a[0] = x,
a[n+1] = sin(a[n])　　(n≧0)
で定める
0＜x＜π のとき
lim[n→∞]((√n)a[n]) = √3
であることを証明せよ

500 ：１３２人目の素数さん：2008/08/02(土) 01:53:11

>>496　-1≦a_2≦1より
0<a_3≦1 ∴n≧3のとき 0<a_n≦1
以上より 0<a≦1としても一般性に差し支えない。
さて、cos0>0,cos1-1<0であるから
　cosα=αなるαが(0,1]内に少なくとも一つ存在する。
　f(t)=cost-tは(0,1]内で単調であるからそのような数はだだ一つ
　よってそれをαとする。
　cosの単調性より
a_n<α⇒a_(n+1)>α
a_n>α⇒a_(n+1)<αが言える。
　ゆえにa_1<αとすればaの奇数項は単調増加、偶数項は単調減少である。
　よってそれらはβ,γにそれぞれ収束する。
　そしてβ=cosγ,γ=cosβを満たす。
　よってβ=cos(cosβ)　γ=cos(cosγ)
ここでg(t)=cos(cost)-tとおくと
　g(α)=0 g'(t)=sin(cost)*sint-1<0
　よってβ=γ=α。すなわちa_nはαに収束する。　///

501 ：１３２人目の素数さん：2008/08/02(土) 02:57:49

>>496
東工大ぽいな

502 ：１３２人目の素数さん：2008/08/02(土) 03:13:32

＞a_n<α⇒a_(n+1)>α
＞a_n>α⇒a_(n+1)<αが言える。
＞ゆえにa_1<αとすればaの奇数項は単調増加、偶数項は単調減少である。

意味不明
0点

503 ：１３２人目の素数さん：2008/08/02(土) 06:33:39

cos(cos(a))/cos(a)=sin(cos(a))sin(a)/sin(a)=>|sin(cos(a))|<1 for all a

504 ：１３２人目の素数さん：2008/08/02(土) 06:35:44

an+1=log(an)の収束半径をもとめな。

505 ：１３２人目の素数さん：2008/08/02(土) 06:36:33

an+1=log(an)log(an)cos(an)の収束半径をもとめな。

506 ：１３２人目の素数さん：2008/08/02(土) 07:33:34

>>502 a_[n+2]=cos[cosa_n]>(<)a_nが抜けてた。
g(t)はここで出しておくべきだったな。

507 ：１３２人目の素数さん：2008/08/02(土) 18:12:38

xyz空間内の動点P,Q,Rはそれぞれx軸、y軸、z軸上のx≧0,y≧0,z≧0の部分を
OP+OQ+OR=1という関係を満たしながら動く。
このとき平面PQRの通過しうる領域の体積を求めよ。
ただしOは原点である。

508 ：１３２人目の素数さん：2008/08/02(土) 18:24:36

>>507
>>481

509 ：１３２人目の素数さん：2008/08/02(土) 18:33:16

>>481
平面だと無限大になるから
三角形PQRの通過しうる領域の体積と解釈しておｋ？

510 ：１３２人目の素数さん：2008/08/02(土) 18:48:17

>>418,507
1/18

511 ：１３２人目の素数さん：2008/08/02(土) 21:38:09

>>507
計算してPQRの通る曲面(包絡面？)が
√x+√y+√z=1、x≧0,y≧0,z≧0
となって体積を計算したら1/90になった

512 ：１３２人目の素数さん：2008/08/02(土) 21:38:40

訂正
√x+√y+√z≦1、x≧0,y≧0,z≧0

513 ：１３２人目の素数さん：2008/08/02(土) 22:22:13

難易度高いです＞＜

514 ：１３２人目の素数さん：2008/08/02(土) 22:47:41

>>511
どうやってやったの？

515 ：１３２人目の素数さん：2008/08/03(日) 00:32:35

>>507
1/30？

516 ：１３２人目の素数さん：2008/08/03(日) 00:34:00

俺も1/30になった

517 ：１３２人目の素数さん：2008/08/03(日) 01:15:59

511-512だけど>>515-516お二方はどうやったの？
なんかこう違うと、何が何やらわけがわからなくなっちまった。

ついでに>>481の(1)は√x+√y≦1、x≧0,y≧0になった。
一応texで打ってみるかな

518 ：１３２人目の素数さん：2008/08/03(日) 01:21:57

>>517
ごめん
やりなおしたら1/90になった

519 ：１３２人目の素数さん：2008/08/03(日) 01:30:20

>>517ですが
http://www36.atwiki.jp/pentomino?cmd=upload&act=open&pageid=1&file=toudais+sol1.PNG
http://www36.atwiki.jp/pentomino?cmd=upload&act=open&pageid=1&file=toudais+sol2.PNG

こんなかんじです
ちょっと今、手直ししてますが、p≠0,r≠0で解答してました。p=0,r=0の場合は(1)に帰着して結局>>511になるんですけど

520 ：518：2008/08/03(日) 01:46:58

>>519
俺も同じくz=tでの切断から考えて
ORの値を固定
でその断面積を求めたあとでORを動かした時の最大値がOR=√tのときで
あとは積分で1/90
途中ノートのページが変わるときに文字を写し間違えて最大値がくるってしまった
なんか>>517みるとすごく簡単に解けているように見えるな

521 ：１３２人目の素数さん：2008/08/03(日) 01:48:23

>>519
ＧＪ

522 ：１３２人目の素数さん：2008/08/03(日) 02:02:10

>>519
問題のとこ平面PQR→三角形PQRに訂正

523 ：１３２人目の素数さん：2008/08/03(日) 02:03:06

>>519
なんじゃこりゃあああ！！！
てふかなんかでわざわざ作ったのか？
てっきり紙に適当な数式書いてアップしただけかと思った

524 ：１３２人目の素数さん：2008/08/03(日) 02:18:25

>>522
了解
>>523
TeXでおこしてPDFをキャプチャして貼り付けたんです。
他の問題も同様にしてます。Wordって少し使い勝手が悪くて

525 ：１３２人目の素数さん：2008/08/03(日) 02:31:41

>>524
やっぱてふ使ってわざわざ…
分からない問題はここに書けというスレとこことあともう一つくらいしかスレみてないけど
数学板でこういうの見たの初めてで感動したよ

526 ：１３２人目の素数さん：2008/08/03(日) 02:47:06

>>525
このスレの方でPDFで神解答してる人は見たことありますよ(ベクトルがらみの益田さんの問題だったかな)
これが原文
http://www36.atwiki.jp/pentomino?cmd=upload&act=open&pageid=1&file=todai+sakumon.pdf

527 ：１３２人目の素数さん：2008/08/03(日) 02:47:47

貼り付け専用なので尺一杯ですが。

528 ：１３２人目の素数さん：2008/08/03(日) 04:12:32

益田とかいたな
最近見ないけど逮捕されたんかな

529 ：１３２人目の素数さん：2008/08/03(日) 05:28:16

単に飽きたのでは。
サイトの問題全部アーカイブで公開してから消えてほしかった。

530 ：１３２人目の素数さん：2008/08/03(日) 06:04:57

>>499 (略解)
　|x|≦1 とする。
　sin(x)^2 = {1 - cos(2x)}/2　なので,
　x^2 - (1/3)x^4 < sin(x)^2 < x^2 -(1/3)x^4 + (2/45)x^6 < (x^2)/{1+(1/3)x^2},
　1/x^2 + 1/(3-x^2) > 1/sin(x)^2 > 1/x^2 + 1/3,
　1/(3-x^2) > 1/sin(x)^2 - 1/x^2 > 1/3,

これに x=a[n] を代入する。
　a[n] → 0 (n→∞)　
は既知ゆえ、
　1/(a[n+1])^2 - 1/(a[n])^2 → 1/3 (n→∞),
　1/(a[n])^2 - (n/3) → c (n→∞),
これをnで割る。

531 ：１３２人目の素数さん：2008/08/03(日) 06:27:32

>>492
与式を辺々たすと
　(X+Y)^2 + (X+Y) = 11 + 9 = 20,
　X+Y = -5, 4.
下の式より
　X+Y = -5 のとき, XY=-14,　　{X,Y}={-7,2}
　X+Y = 4 のとき, XY=-5,　　　{X,Y}={-1,5}

532 ：１３２人目の素数さん：2008/08/03(日) 07:46:40

>>531
これはひどい

533 ：１３２人目の素数さん：2008/08/03(日) 12:19:16

>>530
> 1/(a[n])^2 - (n/3) → c (n→∞),
ちゃんと計算すると、1/(a[n])^2 - (n/3) は n→∞ で発散するよ

534 ：１３２人目の素数さん：2008/08/03(日) 13:27:04

sin(sin(a))/sin(a)=-cos(sin(a))cos(a)/cos(a)=>|cos(sin(a))|<1 for all a

535 ：１３２人目の素数さん：2008/08/03(日) 14:03:07

a, b, c をabc=1 を満たす正の実数とする．次の不等式を示せ．

( a - 1 + 1／b) ( b - 1 + 1／c) (c - 1 + 1／a) ≦１

　

536 ：１３２人目の素数さん：2008/08/03(日) 14:03:56

次の条件を満たす正整数ｎは存在するか．

　

ｎを割り切る相異なる素数はちょうど2000 個ある．

２n + 1 はｎで割り切れる

537 ：１３２人目の素数さん：2008/08/03(日) 14:09:15

存在しない
２n + 1 はｎで割り切れるよりほぼ自明

538 ：１３２人目の素数さん：2008/08/03(日) 14:09:18

>>534　うっわ恥ずかしいやつ＾＾；

539 ：１３２人目の素数さん：2008/08/03(日) 14:10:22

２^n + 1 はｎで割り切れる

540 ：１３２人目の素数さん：2008/08/03(日) 14:19:54

a,b=1/a,c=1
(2a-1)(1/a)(1/a)=2/a-1/a^2
2=2at
a=1/t
(2/t-1)t^2=(2-t)t t=1->a=1 f=1

541 ：１３２人目の素数さん：2008/08/03(日) 14:36:11

a,b,c=1/ab
( a - 1 + 1／b) ( b - 1 + 1／c) (c - 1 + 1／a) ≦１
(a-1+1/b)(b-1+1/ab)(1/ab-1+1/a)
(ab-b+1)(1-(ab-b)^2)/ababb
(z+1)(1-z^2)/ababb
z=1,-1
z<-1
ab-b<-1
0<b<-1/(a-1)->a<1

542 ：１３２人目の素数さん：2008/08/03(日) 15:06:31

a<(b-1)/b

a->0->b->1
z->-1 f->
a->1->b->∞ z->-∞
z=(a-1)b
-z^3/a^2b^3=-(a-1)^3/a^2->0

543 ：518：2008/08/03(日) 15:18:00

式だけ書いてる奴ってなんなの？池沼？

544 ：１３２人目の素数さん：2008/08/03(日) 15:25:08

かなり昔からいるkitty

545 ：１３２人目の素数さん：2008/08/03(日) 16:20:07

a->0->b->1
z->-1 c->1/a
( a - 1 + 1／b) ( b - 1 + a) (2/a - 1 )->0

546 ：１３２人目の素数さん：2008/08/03(日) 18:29:44

king

547 ：１３２人目の素数さん：2008/08/03(日) 18:32:00

>>499って事実としては正しいの？

548 ：１３２人目の素数さん：2008/08/03(日) 18:46:48

>>547
>>440のスレにあるけど誰も解けてないみたいだし、正しいかは不明

549 ：１３２人目の素数さん：2008/08/03(日) 19:01:41

実際に第100項とか第1000項くらいまで確かめてみれば
正しいかどうかの予想は付くんだろうけど、
俺プログラミング出来ないからなあ、、

流石によほど暇じゃないと函数電卓で計算する気は起きないなｗ

550 ：１３２人目の素数さん：2008/08/03(日) 19:12:15

>>547
第25項くらいまで電卓で計算してみたけど，実際に√3付近の数に収束していってる
からあってるかと．

551 ：１３２人目の素数さん：2008/08/03(日) 19:39:34

25項で決めるとは

552 ：>>440 >>533：2008/08/03(日) 21:27:15

>>530 で大体あってる
>>533 で指摘したとこは、正しくは
(1/a[n]^2) - (n/3) = (1/5)log(n) + O(1)
になるはず

α[n+1]-α[n] → β (n→∞) のとき
α[n]/n → β (n→∞)
を示すのは良く見る問題だから、これを定理と認めれば
> 1/(a[n+1])^2 - 1/(a[n])^2 → 1/3 (n→∞)
からすぐに
1/(n*a[n]^2) → 1/3 (n→∞)

不等式で挟もうとすると結構面倒で、自分の用意していたのは↓みたいなの
(途中まで >>530 のを借りる)

> 1/(3-x^2) > 1/sin(x)^2 - 1/x^2 > 1/3
まで正しいとして、
|x|≦1 のとき 1/(3-x^2) ≦ (1/3)+(1/6)x^2 が成立するので
(1/3) + (1/6)x^2 ＞ (1/sin^2(x)) - (1/x^2) ＞ 1/3
x = a[n], sin(x) = a[n+1] を代入して
(1/3) + (1/6)a[n]^2 ＞ (1/a[n+1]^2) - (1/a[n]^2) ＞ 1/3
見づらいから a[n] = √(3/b[n]) とすると
1 ＜ b[n+1] - b[n] ＜ 1 + (1/(2b[n])) … (*)
左の不等号から、n≧2 で
b[n] ＞ n - 1 + b[1] ＞ n - 1 … (**)
これを (*) の右の不等号式に入れると、n≧3 で
b[n] ＜ n - 2 + (1/2){1 + (1/2) + (1/3) + … + (1/(n-2))} + b[2]
＜ n + (1/2)log(n) + b[2]
これと (**) から、n≧3 で a[n] の評価は
(√3)/√{1 + (1/2)(log(n)/n) + (b[2]/n)} ＜ (√n)a[n] ＜ (√3)/√(1-(1/n))
挟み撃ちにより (√n)a[n] → √3 (n→∞)

553 ：552：2008/08/03(日) 22:38:42

× 不等号式
○ 不等式

× 1 ＜ b[n+1] - b[n] ＜ 1 + (1/(2b[n])) … (*)
○ 1 ＜ b[n+1] - b[n] ＜ 1 + (3/(2b[n])) … (*)
だった
以下も適当に修正しといて

554 ：530：2008/08/04(月) 06:24:20

>>499 (訂正)

　1/(3-x^2) > 1/sin(x)^2 - 1/x^2 > 1/3,
まで正しいとして、
見づらいから a[n] = √(3/b[n]) とする。 >>552

k≧N のとき (N:自然数)
　b[N]/(b[N]-1) ≧ b[k]/(b[k]-1) > b[k+1] - b[k] > 1,
k=N,N+1,･･･,n-1 について相加平均すると
　b[N]/(b[N]-1) > (b[n] - b[N])/(n-N) > 1,
ここで n→∞ とすると
　b[N]/(b[N]-1) ≧ lim[n→∞) b[n]/n ≧ 1,
Nはじゅうぶん大きく取ってよいから
　 lim[n→∞) b[n]/n = 1.

555 ：1stVirtue ◆.NHnubyYck ：2008/08/04(月) 08:26:32

Reply:>>546 私を呼んでないか。

556 ：１３２人目の素数さん：2008/08/04(月) 20:05:09

sin(x)>x
sin(x) monotonic for 0<x<pi/2
sin(sin(...(x)))->1

sin(sin(x))/sin(x)->cos(sin(x))cos(x)/cos(x)->cos(sin(x))->1+0 as x->0,pi

557 ：１３２人目の素数さん：2008/08/04(月) 20:08:46

http://math.coe.uga.edu/EMT669/Student.Folders/Willis.Emily/Essay1/Essay1.html

558 ：ＺＥＵＳ：2008/08/05(火) 09:27:27

「ｐ、ｑ、ｒ　are　natural　numbers　ａｎｄ　satisfing　ｐ≦ｑ≦ｒ．
ａｎｄ、ｐ、ｑ are even　numbers and ｒ is odd number.
find the most small positive integral number
satisfing √ｐ×√ｑ×√ｒ」

559 ：１３２人目の素数さん：2008/08/05(火) 10:37:13

18 = (√2)(√6)(√27)
ってこと？

560 ：１３２人目の素数さん：2008/08/05(火) 10:38:36

ＺＥＵＳって数学だけじゃなく英語も出来ないんだな。

561 ：１３２人目の素数さん：2008/08/05(火) 11:14:20

√p×√q×√rを満たす最小の整数を求めよ……
ごくり……

562 ：１３２人目の素数さん：2008/08/05(火) 11:31:05

わざわざ英語で書いてるあたりどこかの問題をコピペしてるっぽい。

563 ：１３２人目の素数さん：2008/08/05(火) 20:05:09

コピペだとすると、所々無意味に全角になっているのが気持ち悪い

564 ：１３２人目の素数さん：2008/08/05(火) 20:13:42

あんな酷い英文がコピペであるはずがない。

565 ：１３２人目の素数さん：2008/08/05(火) 22:04:10

most smaller　(笑)

566 ：１３２人目の素数さん：2008/08/05(火) 22:36:44

If X chooses a prime number and simulataneously Y guesses whether it is odd or even (with gain or loss of ＄1), who has the advantage?

567 ：１３２人目の素数さん：2008/08/06(水) 00:30:03

You is a big fool man.

568 ：１３２人目の素数さん：2008/08/06(水) 00:41:18

おまえら、わざとやってるのか？

569 ：１３２人目の素数さん：2008/08/06(水) 00:51:47

東大入試史上最も難しい問題より難しいっぽい問題が
中央大学の文系で出てるんだけど誰か解いてみたいっていう猛者はいるか？
このスレの住人なら知っていて当たり前だろうと思うが、n次元超平面上格子点存在問題

570 ：１３２人目の素数さん：2008/08/06(水) 00:57:07

>>569
いつ出たの？うｐ

571 ：１３２人目の素数さん：2008/08/06(水) 01:07:48

>>570
11年前に出てるけど出題者としてあるまじき行為というバッシングを受けてたっぽい
幾何学としても代数学としても有名な事実だが、文系の人にやらせるにはあまりにひどい問題

a_1、a_2、…、a_nを与えられた正の整数とする。
その最大公約数をdとするとき、
a_1*x_1+a_2*x_2+…+a_n*x_n=d
を満たす整数x_1、x_2、…、x_nが存在することを示せ。

572 ：１３２人目の素数さん：2008/08/06(水) 01:12:44

東大受験生だと解ける奴はそれなりに居るよ。
何せ知識問題だから。

中央大文系だと全滅の懼れが大きいが。

573 ：１３２人目の素数さん：2008/08/06(水) 01:16:19

ところでどこが幾何学なのか良く分からん。
少なくとも「n次元超平面上格子点存在問題」じゃないと思う。

574 ：１３２人目の素数さん：2008/08/06(水) 01:18:08

さんくす
解いてみる

575 ：１３２人目の素数さん：2008/08/06(水) 01:27:20

>>571　n=2のとき、a_1/d,a_2/dはそれぞれ互いに素であるから、
　a_1/d*x_1+a_2/d*x_2=1が成り立つ。
　n=kのとき、題意が成り立つと仮定すると、
　a_1*x_1+a_2*x_2+…+a_n*x_n=d'なるx_1....x_nが存在する。
この数をA_nとおくと,A_n=d'とa_(n+1)の最大公約数は仮定よりd
　ゆえに,n=2のときの場合より、x'_1A_1+a_(n+1)x'_2=d を得る。///

576 ：１３２人目の素数さん：2008/08/06(水) 01:28:39

安全に証明を行えるという点で幾何学の問題を代数学で
というのは数学を学んでいくとよくある手法だな
逆に代数の問題を関数論でというようなパターンも大学２年でやる

577 ：１３２人目の素数さん：2008/08/06(水) 01:29:12

Euclidの互除法と帰納法で証明しても良いし、
どっちかというとそっちのほうが計算的だけどもっと簡単に証明。

gcm(a_1, a_2, ........., a_n) = d である。
a_{1}x_{1} + ......... + a_{n}x_{n}と表せる形の整数の集合 I を考える。
I = { x ∈ Z : 或る x_{1}, ........, x_{n} が存在して n = a_{1}x_{1} + ......... + a_{n}x_{n} }
x ∈ I ならば x の倍数 nx も I の要素であり、またx, y ∈ I ならば x ± y ∈ I となる。
よって I の要素の絶対値のうち最小のものを e とすると I は e の倍数の集合となることがわかる。
（∵ e' = ne + e'' , 0 ＜ e'' ＜ e とすると e'' ∈ I となり矛盾する。）
或る x_1, ........, x_n が存在して e = a_1x_1 + ......... + a_nx_n だから e は d の倍数。
また a_i は I に含まれるので、逆に a_i は e の倍数。よって e は a_1, ........., a_n の公約数。
よって e = d。つまり d は a_{1}x_{1} + ......... + a_{n}x_{n} の形に表すことが出来る。
quod erat demonstrandum.

と、ここまで解いてリロードしたら>>575が既に解いてた。
でも「a_1/d,a_2/dはそれぞれ互いに素であるから、 a_1/d*x_1+a_2/d*x_2=1が成り立つ。」
これ使って良いのかな。

578 ：１３２人目の素数さん：2008/08/06(水) 01:31:52

これでバッシングって、マーチはすげえな。
地底くらいなら普通にだすだろ。サービス問題として。

579 ：１３２人目の素数さん：2008/08/06(水) 01:32:09

n=2の場合は稀に出題されるよね

580 ：１３２人目の素数さん：2008/08/06(水) 02:23:00

>>571の問題は解決するのに歴史的時間を要してるからなぁ
>>575の解法でいくと5点もらえていいほうかな

この数をA_nとおくと,A_n=d'とa_(n+1)の最大公約数は仮定よりd
　ゆえに,n=2のときの場合より、x'_1A_1+a_(n+1)x'_2=d を得る。///

この証明はないだろ…さすがに…帰納法の意味わかってるのか？

581 ：１３２人目の素数さん：2008/08/06(水) 02:27:30

は？ちゃんと読めよマーチのカスｗ

582 ：１３２人目の素数さん：2008/08/06(水) 02:32:14

幾何学的な証明は？

583 ：１３２人目の素数さん：2008/08/06(水) 02:32:58

>>580 d'はn項までの数の最大公約数(nのときの仮定より。)
　A_n=d',x'1A_n+x'_2a_n+1=d(n=2のときによる)
　であるが、何か問題でも？

584 ：１３２人目の素数さん：2008/08/06(水) 02:33:16

>>579
出るわ

aとｂは与えられた正の整数でaとbは互いに素である
直線ax+by=1は格子点を通ることを示せ
格子点とはx座標とy座標が共に整数の点のことであるって奴が出た

【　時　間　が　な　く　て】　わからんかったけど

585 ：１３２人目の素数さん：2008/08/06(水) 02:38:46

>>583
d'とa_(n+1)の最大公約数がdってどっから出てきたの？
まさか仮定ってn=2のときa_1/d*x_1+a_2/d*x_2=1ですよってところからきたの？
n=2のとき帰納法で与えられたa_1とお前が作りだしたd'って全く別物じゃない？

586 ：１３２人目の素数さん：2008/08/06(水) 02:42:56

>>585　アホ？すべてのa_nはd*a'_iに分解できる。
　よってd'=rdとなり、d'とa_n+1はdを共通因子に持つ。
仮にd'とdの最大公約数d''>d⇒a_1・・・a_n+1の最大公約数もd''→矛盾。

587 ：１３２人目の素数さん：2008/08/06(水) 02:51:43

>>586
だからお前が帰納法使っているときに仮定よりn=k個の場合は
a_1～a_kの最大公約数はd'とおいてるんだろ？
で、n=2のときa_1とa_2の最大公約数はdとおいてるんだよな？
当然のことだがこのa_1とa_2はn=2のときとn=kのときで全くの別物ってのはOK？

588 ：１３２人目の素数さん：2008/08/06(水) 02:53:18

>>587　何言ってんだ？お前帰納法の意味まるでわかってないな。

589 ：１３２人目の素数さん：2008/08/06(水) 02:56:52

>>588
ということはまさかお前n=2のとき使ったa_1,a_2とｎ=kのときのa_1,a_2が同じ数だー
とか思っちゃっているわけだな？
それに対しておれが帰納法まるでわかってないみたいに言ってるであってる？
そのへんがよくわからんないんだけど

590 ：１３２人目の素数さん：2008/08/06(水) 02:58:30

同じ数って何の話してんだ？
a_1....a_nは任意の整数の組だぞ？
dとd'は区別するために書いただけでただの最大公約数だぞ？
大丈夫か？

591 ：１３２人目の素数さん：2008/08/06(水) 03:02:40

n=2のとき、"任意の"a_1,a_2に対して題意は成立
n＞3のとき、"任意の"a_1...a_nに対し題意が成立すると仮定
⇒a_1x_1+・・・+a_nx_n=d'
a_1=d',a_2=a_n+1とおいてn=2の場合より題意成立。(当然整数同士の積は整数である）
どこに問題が？

592 ：１３２人目の素数さん：2008/08/06(水) 03:04:38

>>590
数学的帰納法において気をつけなければならない点
a_1....a_nは与えられた正の整数とあるとき、n=2,n=kの場合、
a_1,a_2の与えられた二つの正の整数、n=kの与えられたk個の正の整数を考える
この問題は数学的帰納法だけではとてもじゃないが、たちうちできない
ちょっとおれ今から整数論で完璧な証明書くので待ってくれ

593 ：１３２人目の素数さん：2008/08/06(水) 03:06:36

完璧な証明はどうでもいいからまず>>591に反論してみてよ。
俺の頭の中じゃ何回考えてもおかしな点が見つからん。

594 ：１３２人目の素数さん：2008/08/06(水) 03:24:54

>>593
今まで間違っているとかいいまくっていたけどよく読んでみたらこれほどの解答はなかった
あまりにも速く解いていたので嫉妬して適当な因縁つけてただけでした
お前の解答は完璧だと読んでみたらわかった
今まで間違ってるとかいって本当に申し訳ない…ごめんなさい…あってます…そろそろ寝ます

I={a_1*x_1+a_2*x_2+…+a_n*x_n　|　x_1,x_2,…,x_nは任意の整数}
Nを自然数全体の集合とする
I∩Nの最小元をd~とすると、任意のX∈I∩Nに対して
X=d~*q+r　（q>0,0=<r<d~）…①
d~∈I∩Nだから
d~=a_1*x_1(0)+a_2*x_2(0)+…+a_n*x_n(0)…②
なるx_1(0),x_2(0),…,x_n(0)が存在する
X=a_1*x_1+a_2*x_2+…+a_n*x_nとも表されるから①は
r=X-d~*q=a_1*(x_1-q*x_1(0))+…+a_n*(x_n-q*x_n(0))
ここでr>0とすれば、r∈I∩Nとなり、0<r<d~から、rがI∩Nの最小元より小さくなり矛盾
よってr=0,X=d~*q
つまり、d~∈I∩Nは任意のX∈I∩Nの最小の公約数である故に、
a_1,…,a_n∈I∩Nの最小の公約数である
そこでd~=dを示す
②において右辺はa_1,…a_nの任意の公約数ｃで割り切れるべきだから
d~はｃで割り切れる
故にc=<d~=<dで、cの最大値はdだから
d~=d∈I∩N
∴d=a_1*x_1(0)+…+a_n*x_n(0)
よってx_1=x_1(0),x_2=x_2(0),…,x_n=x_n(0)なる整数が存在する

a_1,…,a_n∈IだからI∩Nの最小元d~はa_1,…,a_nの公約数であるということを
普通にしてはならないのはそれを示すことがこの問題のキーポイントであるから

595 ：１３２人目の素数さん：2008/08/06(水) 03:41:24

数学的帰納法を楽しげに語っているのでおれも間違い探しで参加するぞー(^o^)/
今日はなかなか>>577といいレベル高い奴がいるんですぐにみつけられそうだが気にしない

相異なるn個の点の集合のどの2点を通る直線も
この集合内の第3の点を通るという性質をもつならばこれらの点は全て一直線上にある。

数学的帰納法により示す。
n=3のとき、
2点を通る直線を任意に選ぶと仮定よりその直線はそれ以外の第3の点を通るので、
これらの点は全て一直線上にあることが示せた。
n=kのとき成り立つとしてn=k+1のときを示す。
n=kのとき成り立っているので、残りのk+1個目の点と他の一点を通る直線を考えれば
他の点は全て一直線上にあるのでk+1個目の点も含めて
k+1個の点は全て一直線上にあることが示せた。
これにより題意は示せた。

この帰納法の使い方のおかしさを指摘してみろークズどもー(^o^)/

596 ：１３２人目の素数さん：2008/08/06(水) 03:55:57

＞n=kのとき成り立っているので、残りのk+1個目の点と他の一点を通る直線を考えれば
そのような直線が存在するという証明がされていない。
というかn=2の時点で直線はきまってしまう。(ユークリッド幾何より）
よってそのような直線は一般に考えられない。

597 ：１３２人目の素数さん：2008/08/06(水) 04:00:56

n>2の整数という条件を入れ忘れたぞー(^o^)/
>>575といい>>596といい新理論で頭よすぎだぞー(^o^)/
みんな寝ちゃったみたいでタイミング逃したんでまたくるぞー(^o^)/

598 ：１３２人目の素数さん：2008/08/06(水) 04:05:20

にゃー（＾＾）
おやすみ　575でした＾＾

599 ：１３２人目の素数さん：2008/08/06(水) 05:20:21

>>65の
＞tanxの連分数展開からxが有理数ならtanxは無理数
っての誰かもう少し詳しく教えて下さいな。

600 ：１３２人目の素数さん：2008/08/06(水) 07:41:59

>>596
2つの命題を
p(n)：n個の点のうちのどの2点を通る直線もこの集合内の第3の点を通る
q(n)：n個の点はすべて一直線上にある。
とおく。

p(k+1)が成り立っているとして、
k+1個のうちのあるk個について、p(k)が成り立つかを考えると、成り立つとは限らない。
なぜなら、k個のうち任意の2点を選んだとき、それはもとのk+1個のうちの2点と考えることができるので、
その2点を通る直線は必ず第3の点を通るが、その第3の点が選んだk個のうちにあるとは言えないから。
すなわち、k+1個のうちのどのk個についてもp(k)は保証されず、したがってq(k)も成り立たない。

>>595の誤りは、帰納法の仮定はp(k)⇒q(k)という矢印つきの命題なのに、
「n=kのとき成り立つ」ことを「q(k)が成り立つ」の意味で扱っているところ。

601 ：１３２人目の素数さん：2008/08/06(水) 08:12:57

>>499を一般化してみた。

f ： [0,＋∞)→Rは連続であり、ある実数k＞1と、ある実数c＞0に対して
f (x)＝x－cx^k＋o(x^k)　(x↓0)
と表されるとする( o(x^k)は小文字のo)。このとき、次が成り立つようなδ＞0が存在する。
(1) 0＜x＜δならば 0＜f (x)＜x である。
さらに、このようなδに対して次が成り立つ。
(2) 任意の0＜x＜δに対して、xn：＝f ^n (x)は狭義単調減少しながら0に収束し、
　　しかも (xn)*n^(1/p) → 1/(cp)^(1/p)　(n→∞)である。

(1)：すぐに言える。
(2)：前半はすぐに言える。後半は>>530と同様に(1/x[n＋1])^p－(1/xn)^p→0 …＊を
　　示したあと「an→ αならば(a1＋…＋an)/n→α」を使って終わる。＊の計算は
　　 (1＋x)^(－p)＝1－px＋O(|x|^2) (x→0) を使うと楽。

602 ：571：2008/08/06(水) 10:00:24

採点基準みたいなのがあるようなんで

>>575は与えられた正の整数の意味をわかってないようなので点を与えられない
>>577すばらしい！最小性の証明もばっちりなんで多分満点
>>594完璧です！多分満点

>>582
どうなんだろうね
実際みたことないけど

603 ：１３２人目の素数さん：2008/08/06(水) 10:06:20

全然超平面上の格子点問題じゃないじゃん
どうみても整数論じゃないか
でもこれ知ってないとできないと思うぞ
受験生には酷だろう

604 ：ＺＥＵＳ：2008/08/06(水) 14:04:04

関数ｙ＝ｆ（ｘ）＝ａｘ＾２＋ｂｘ＋３
と
関数ｙ＝ｇ（ｘ）＝２ｘ＾２＋３ｘ＋４
がある。
両者の、合成関数（ｇоｆ）（ｘ）が最大値１５、最小値－１２をとるとき、
ａとｂの値を求めよ。

605 ：ＺＥＵＳ：2008/08/06(水) 14:17:01

三角形ＡＢＣの辺ＢＣをｍ：ｎに内分する点をＦとし、
三角形ＡＢＣの辺ＡＣをｌ：ｋに内分する点をＨとする。
また、三角形ＡＢＣの辺ＡＢをｓ：ｒに内分する点をＧとする
Ｆが辺ＢＣ上をＢからＣへ動き、Ｈが辺ＡＣ上をＡからＣへ動き、
Ｇが辺ＡＢ上をＡからＢへと動くとき、
三角形ＧＨＦが最大値をとるときの、条件を、ｍ、ｎ、ｋ、ｌ、ｓ、ｒの式で
表せ。

606 ：１３２人目の素数さん：2008/08/06(水) 14:18:18

>>602　"与えられた正の整数の意味"　とは？

607 ：１３２人目の素数さん：2008/08/06(水) 14:28:45

>>604 g(x)の最小値は
　g(x)=2(x+(3/4))^2-9/8+4より23/8
∴どのようなa,bを選んでも最小値が-12となるようなことはない。

608 ：ＺＥＵＳ：2008/08/06(水) 15:01:34

>>607
作問の間違いでした。

609 ：１３２人目の素数さん：2008/08/06(水) 17:44:26

実数全体で定義された微分可能な関数f(x)はf(x)＞0を満たし，かつ正の実数αに対して常に
f'(x)＞(f(x))^α が成立するものとする．このときαの値を求めよ．

610 ：１３２人目の素数さん：2008/08/06(水) 18:12:29

>>602　点を与えられないんじゃなくてお前が証明理解してないだけ。
　まぁこんな問題を東大最難より難しいとか言ってる時点でこいつの数学力は高々知れてるか・・・。

611 ：１３２人目の素数さん：2008/08/06(水) 18:44:45

(1) すべての自然数に対しlognは無理数となることをしめせ。
(2)f_n(x)=log(log(log(・・・logx)))(log　n個の合成関数)とする。
　(i)この関数が定義される領域を示せ。
　ただしlog(x)は実数値関数として考え、x＞0で定義されるものとする。
　(ⅱ)ⅰで求めた領域内に含まれる自然数に対し、
　f_n(m)は無理数であることを示せ。

612 ：１３２人目の素数さん：2008/08/06(水) 19:27:38

>>605
>三角形ＧＨＦが最大値
何の最大値だよ

613 ：１３２人目の素数さん：2008/08/06(水) 19:39:25

>>611
（1）log1=0

614 ：１３２人目の素数さん：2008/08/06(水) 19:49:53

(1) すべての自然数に対しlognは超越数となることをしめせ。

615 ：１３２人目の素数さん：2008/08/06(水) 21:54:17

適当な有理数列を作ることにより
任意の実数rに収束する有理数列が存在することを証明せよ。

616 ：１３２人目の素数さん：2008/08/06(水) 22:04:29

ちょっとクソ問題出すの止めてくんないかな

617 ：１３２人目の素数さん：2008/08/06(水) 22:10:31

Zeus が登場して以来流れが変ったな。
クソ問題かどこかで聞いたことのある問題ばっかりだ。

618 ：１３２人目の素数さん：2008/08/06(水) 22:35:50

>>603
R^2だとax+by=dという直線上に格子点が存在するかという問題に帰着できる
（dはaとbの最大公約数）
逆に格子点が存在しないのはどういう場合かということかな
あと>>575がなってないのは>>577の人も言ってるけどこれを証明なしに用いていること
本来これを証明すべきなのに示すべき内容が成り立つとして解答してしまっている

619 ：１３２人目の素数さん：2008/08/06(水) 22:57:47

zeus=king

620 ：１３２人目の素数さん：2008/08/06(水) 22:59:07

益田って死んだの？

621 ：１３２人目の素数さん：2008/08/06(水) 23:09:48

実数θと虚数単位iでe^(iθ)=cosθ+isinθとする
また複素数z、wに対してe^z*e^w=e^(z+w)が成り立つ
複素変数の正弦関数と余弦関数を次のように定義する
複素数zに対して
sinz=(e^(iz)-e^(-iz))/2i
cosz=(e^(iz)+e^(-iz))/2
このとき任意の複素数zに対して、下記の式が成立することを示せ
(sinz)^2+(cosz)^2=1

東大では絶対でないであろう問題だな
簡単すぎる

622 ：１３２人目の素数さん：2008/08/06(水) 23:12:12

可計算解析の意味において多項式時間可計算かつリプシッツ連続なる函数が与える初期値問題の解が多項式空間完全である例を示す.

623 ：１３２人目の素数さん：2008/08/06(水) 23:13:51

f(x)=1-x^2/1+x^2とf(x)=|sinx|がリプシッツ連続であることの証明

624 ：１３２人目の素数さん：2008/08/06(水) 23:14:32

問題５ f(x,t)=sin(tx)は0<t<1、0<x<6πでLipschitz連続であることを示せ。

625 ：１３２人目の素数さん：2008/08/06(水) 23:16:51

>>622
そこまで書いてなぜ微分方程式の問題を出さない？

626 ：１３２人目の素数さん：2008/08/06(水) 23:36:48

なんかここ数日流れがきもくね？

627 ：１３２人目の素数さん：2008/08/06(水) 23:40:35

kono sure jitai KIMOI

628 ：１３２人目の素数さん：2008/08/06(水) 23:42:24

an+1=cos(an) 0<a0<pi/2

by Banach fixed point theorem

an->x=cos(x)

629 ：１３２人目の素数さん：2008/08/06(水) 23:43:24

昔からこのスレきもかったけど今は夏休みだしそういう流れなんだよ
大学向けの問題を高校生に出題するなら定義をきちんと書くだろ…常識的に考えて…
超越数とかリプシッツ連続とか試験に出ることはあっても単語が出ることはない

630 ：１３２人目の素数さん：2008/08/06(水) 23:44:43

正の整数x，yに対して，x^2+y^2 が xy+1で割り切れるならば，
(x^2+y^2)/(xy+1) は平方数であることを証明せよ．

631 ：１３２人目の素数さん：2008/08/06(水) 23:45:35

http://www.math.toronto.edu/mathnet/questionCorner/transseq.html

632 ：１３２人目の素数さん：2008/08/06(水) 23:49:15

作図問題：
* dx/dt = v
* dv/dt = -x3 - bv + A sin wt
* A = 2.5, b = 0.05, w = 0.7

633 ：１３２人目の素数さん：2008/08/06(水) 23:50:17

作図問題２：
* dx/dt = y
* dy/dt = z
* dz/dt = -x + y2 - Az
* A = 2.107

634 ：１３２人目の素数さん：2008/08/06(水) 23:51:29

General Properties of Lyapunov Exponents

* A measure of chaos (how sensitive to initial conditions?)
* Lyapunov exponent is a generalization of an eigenvalue
* Average the phase-space volume expansion along trajectory
* 2-D example:
o Circle of initial conditions evolves into an ellipse

635 ：１３２人目の素数さん：2008/08/06(水) 23:52:56

Kaplan-Yorke (Lyapunov) Dimension

* Attractor dimension is a geometrical measure of complexity
* Random noise is infinite dimensional (infinitely complex)
* How do we calculate the dimension of an attractor? (many ways)
* Suppose system has dimension N (hence N Lyapunov exponents)
* Suppose the first D of these sum to zero
* Then the attractor would have dimension D

636 ：１３２人目の素数さん：2008/08/07(木) 00:23:15

1+1=2であることを証明せよ。
（ただし、1+1=2であることは知られていないとする）

637 ：１３２人目の素数さん：2008/08/07(木) 00:25:59

・・・

638 ：１３２人目の素数さん：2008/08/07(木) 02:21:54

x^2+y^2=m^2(xy+1)
x^2=m^2 mod y
x=ay+m
y=bx+m
x-ay=m
-bx+y=m
x=m(1+a)/(1-ab)
y=m(1+b)/(1-ab)
xy+1=(m^2(1+a)(1+b)+(1-ab)^2)/(1-ab)^2
x^2+y^2=m^2((1+a)^2+(1+b)^2)/(1-ab)^2
(x^2+y^2)/(xy+1)=m^2((1+a)^2+(1+b)^2)/(m^2(1+a)(1+b)+(1-ab)^2)
a=b
=2m^2(1+a)^2/(m^2(1+a)^2+(1-a^2)^2)
=2/(1+(1-a^2)^2/m^2(1+a)^2)
=2/(1+(1-a)^2/m^2)

639 ：１３２人目の素数さん：2008/08/07(木) 02:26:18

m=1-a
=1
2x^2=x^2+1
x=1

640 ：１３２人目の素数さん：2008/08/07(木) 02:28:07

m=1-ab
x=1+a
y=1+b

641 ：１３２人目の素数さん：2008/08/07(木) 07:11:56

642 ：１３２人目の素数さん：2008/08/07(木) 07:57:21

このスレはいつから糞問題のゴミ捨て場になったんだ…。

643 ：１３２人目の素数さん：2008/08/07(木) 18:23:18

一辺が1の正四面体OABCにおいてOA、OB、OC上に点P、Q、Rが
四面体OPQRの体積が正四面体OABCの1/3になるように動く。
このとき三角形PQRの周および内部が通過する領域の体積を求めよ。

644 ：１３２人目の素数さん：2008/08/07(木) 18:25:57

正の整数 n，m（≧2）に対して，lim[n→∞]( 1/(n+1) + 1/(n+2) + … + 1/mn ) を求めよ．

645 ：１３２人目の素数さん：2008/08/07(木) 20:30:48

また糞問

646 ：１３２人目の素数さん：2008/08/07(木) 20:34:41

はいはい区分求積

647 ：518：2008/08/07(木) 20:39:43

>>644
東工大の問題ですね、わかります

648 ：１３２人目の素数さん：2008/08/07(木) 21:15:26

宿題をこのスレで聞いてもいいですか？

649 ：１３２人目の素数さん：2008/08/07(木) 21:19:34

>>648
だめです
質問スレへどうぞ

650 ：１３２人目の素数さん：2008/08/07(木) 21:20:25

糞問題だとスルーされるけど、それでも良ければ。
そして他のスレで同じことを聞くとマルチ扱いされるけど、それでも良ければ。

651 ：１３２人目の素数さん：2008/08/07(木) 21:26:47

x^2+y^2=3^2009を満たす有理数x､yが存在しないことを示せ

652 ：１３２人目の素数さん：2008/08/07(木) 22:11:37

>>651 都立大

653 ：１３２人目の素数さん：2008/08/07(木) 22:33:31

(問)
a,b,c,dは0以上の実数で　a^2+b^2+c^2+d^2=1　を満たして変化する。
このとき、点(a-b,c-d)の存在し得る領域を求めよ。

654 ：１３２人目の素数さん：2008/08/07(木) 22:42:12

f_n(x)=1+(x/1!)+(x^2/2!)+・・・+(x^n/n!)　(nは2以上の整数) とおく．
(1) f_n(x)を利用して，Σ[k=0,n]1/(k!) ＜ e ＜ Σ[k=0,n]1/(k!) + 1/(n!)を示せ．
(2)(1)の不等式を利用して，eが有理数であることを示せ．

655 ：１３２人目の素数さん：2008/08/07(木) 22:42:22

R で微分可能な関数で、以下の性質を満たす関数 f(x) の例を上げよ

x が有理数のとき f(x) は有理数の値をとる
x が無理数のとき f(x) は無理数の値をとる
f’(x) は任意の区間で定数ではない

656 ：１３２人目の素数さん：2008/08/07(木) 22:45:36

>>654
eの定義がない。
有理数？

657 ：１３２人目の素数さん：2008/08/07(木) 22:48:22

>>656　
>>654 ミスた． (2)訂正 eが有理数でないことを示せ．eは自然対数の底．

658 ：１３２人目の素数さん：2008/08/08(金) 00:31:48

大学でやったことをここで出してるやつが多くて困る
しかも簡単なやつばっか

659 ：１３２人目の素数さん：2008/08/08(金) 02:48:32

eの無理性は数学に興味のある高校生には良い題材だと思うがな
東大の入試にはそぐわないとも思う

660 ：１３２人目の素数さん：2008/08/08(金) 05:05:40

eが無理数であることとか瞬殺だろ
πなら難しいけどさ

661 ：１３２人目の素数さん：2008/08/08(金) 06:34:37

ｎ階微分可能な関数Ｆ(n)（ｘ）＝Ⅹ＾5＋３Ⅹ＾4＋２Ⅹ＾3＋６Ⅹ＾2を考える。
この関数を、偶数回微分したときの、導関数の特徴と、
奇数回微分したときの導関数の特徴を記述せよ。

662 ：１３２人目の素数さん：2008/08/08(金) 06:43:14

まーた糞問か
死ね

663 ：１３２人目の素数さん：2008/08/08(金) 06:44:35

任意の0でない自然数 n をとり、n が偶数の場合、n を 2 で割る
n が奇数の場合、n に 3 をかけて 1 を足す
という操作を繰り返すと、有限回で 1 に到達することを証明せよ。

664 ：ＺＥＵＳ：2008/08/08(金) 06:54:27

「３次方程式　５ｘ＾3＋４Ⅹ＾2ー６Ⅹ＋８＝０
の実数解が、Ⅹ＝－１とⅩ＝－２の間にあることが
分かっているとき、この解の近似値を小数点以下４位まで求めよ。」

「次の三つの式を同時に満たす整数、ａ、ｂ、ｃの値を全て求めよ。
ａ＋ｂ＋ｃ＝１２，ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ＝２９
ａ≧ｂ≧ｃ」

「不等式ａｂ＋１≦ａｂｃ≦ｂｃ＋ｃａ＋ａｂ＋１
を満たす自然数ａ、ｂ、ｃの全ての組を求めよ。
ただし、ａ≧ｂ≧ｃとする」

665 ：１３２人目の素数さん：2008/08/08(金) 07:00:07

>>663
どっかで見たことあるわ
パクり乙

666 ：１３２人目の素数さん：2008/08/08(金) 07:04:18

>>651
3^2009=(4-1)^2009=(4の倍数)-1
だから3^2009を4で割った余りは3
平方数を4で割った余りは0または1なので
x^2+y^2を4で割ったあまりは0,1,2のいずれかとなり、余りが3になることはありえない。
よってx,yは存在しない。

667 ：１３２人目の素数さん：2008/08/08(金) 07:50:09

>>665
その問題は「コラッツの予想」と呼ばれている　未　解　決　問　題　。
驚くべきことに、人類はこんな簡単そうな問題が解けていない。あの
エルデシュでさえ、「人類はこの問題を解く準備が出来ていない」と
言ったそうだ。

668 ：１３２人目の素数さん：2008/08/08(金) 09:24:12

>>663 の類題として以下のようなものを見たことがある．かなり原文を改変しているので間違っているかもしれない．

ある正の整数n(≧2)を次の操作によって，別の正の整数へと変換する．
操作A:nが奇数ならば1を足す
操作B:nが偶数ならば2で割る
変換後の数が1となったら操作をストップする．

(1)操作をN回繰り返し1へと変換される数は何種類あるか．(Nは1以上の整数)
(2)ある正の整数mは操作を8回繰り返し1へと変換される．8回の操作のうち1回は操作A，残りは操作Bを用いた．また，操作Aに
　おいて，1を足すのではなく1を引く操作をCとすると，mは操作Bを6回，操作Cを1回用いて1へと変換される．mを求めよ．

669 ：１３２人目の素数さん：2008/08/08(金) 10:07:37

>>666
問題文を100回見直せ

670 ：Zeus：2008/08/08(金) 10:36:53

ｋが正の整数のとき、
（Ⅹ－１０）＾２＋（Ｙ－１０）＾２≦ｋ＾２
を満たす、整数の組（ｘ、ｙ）が少なくとも
１５０個存在するように、ｋの最小の値を求めよ。

三角形ＡＢＣにおいて、ＢＣ＝ａ，ＣＡ＝ｂ，ＡＢ＝ｃとし、
∠Ａ＝α、∠Ｂ＝β、∠Ｃ＝γとおくと、
次の不等式が成り立つことを証明せよ。

（π／３）≦（ａα＋ｂβ＋ｃγ）／（ａ＋ｂ＋ｃ）≦（π／２）

671 ：１３２人目の素数さん：2008/08/08(金) 14:12:39

>>666
>>651をよく見ようね。
「整数」x,yじゃなくて、「有理数」x,yが存在しないことを示すんだよ。

672 ：１３２人目の素数さん：2008/08/08(金) 14:42:54

>>651
x^2+y^2=3^2009をみたす有理数x,yが存在すると仮定する。
x=s/u，y=t/u（ただし,s,t,uは正の整数）とおける
s^2+t^2＝3^2009*u^2･･･※
uが奇数と仮定する
u=2v+1とおける。　
※の右辺3^2009*u^2=(4-1)^2009(4v^2+4v+1)=(4の倍数)-1だから3^2009*u^2を4で割った余りは3
平方数を4で割った余りは0または1なので、※の左辺s^2+t^2を4で割ったあまりは0,1,2のいずれかとなり、
余りが3になることはありえない。
したがって、uは偶数
このとき※の右辺3^2009*u^2は4で割り切れる。
※の左辺s^2+t^2を4で割った余りが0になるのは、s,t共に偶数である場合に限られる。
したがって、s,t,u共に偶数であることがわかる。
s,t,uが2^k(kは任意の正整数)で割り切れることをいう。
s,t,uが2で割り切れることは上でいった。
s,t,uが2^kで割りきれると仮定する。
s/2^k，t/2^k，u/2^kが偶数であることが上と同様にしてわかるから、s,t,uは2^(k+1)で割り切れることがわかる。
したがって,s,t,uは2^(k+1)で割り切れることがわかる。
これは明らかに矛盾（0＜s,t,u＜2^kになってしまえば、s,t,uは2^kで割り切れることはありえない！）だから
※をみたす正整数s,t,uは存在しない。
以上より、題意は言えた。

673 ：１３２人目の素数さん：2008/08/08(金) 16:35:30

半径ｒの円Ｓ１に内接する直角二等辺
三角形をＴ１とし、Ｔ１に内接する円を
Ｓ２とし、Ｓ２に内接する二等辺三角形を
Ｔ２とし・・・・次々にＳ１、Ｔ１、
Ｓ２、Ｔ２・・・と作るとき、
円、Ｓ１・・・・Ｓｎの面積の総和を
求めよ。

674 ：１３２人目の素数さん：2008/08/08(金) 17:32:59

πr^2*(12+8√2)/(11+8√2)

675 ：１３２人目の素数さん：2008/08/08(金) 17:42:09

数学のセンスに欠けた問題文ｎ >>670

676 ：１３２人目の素数さん：2008/08/08(金) 18:10:25

>>675
「数学的センス」の定義を教えてください。
お願いいたします。

677 ：１３２人目の素数さん：2008/08/08(金) 21:48:32

>>672
※は、mod3を考えることから3|s,tだからs^2+t^2=3u^2に帰着されないか？
そうすると左辺の3は偶数冪、右辺の3は奇数冪で矛盾

678 ：１３２人目の素数さん：2008/08/08(金) 23:15:10

>>653

実数 x,y が　x^2 + y^2 = r^2　を満たして変化するとき、
　|x-y| = √{2(x^2 + y^2) - (x+y)^2} ≦ √{2(x^2 + y^2)} = r√2,
を使う。
実数 a,b が a^2 + b^2 = p^2 を満たして変化するとき、|a-b| ≦ p√2,
実数 c,d が c^2 + d^2 = q^2 を満たして変化するとき、|c-d| ≦ q√2,
∴　|a-b|^2 + |c-d|^2 ≦ 2(p^2 + q^2) = 2.

679 ：１３２人目の素数さん：2008/08/09(土) 00:09:30

e^e に最も近い整数を求めよ．eは自然対数の底とする．必要ならば以下の近似値を用いよ．

e=2.718，log2=0.693，log3=1.099，log5=1.609，log7=1.946，log11=2.398 ．

680 ：１３２人目の素数さん：2008/08/09(土) 00:23:33

>>664 上
　X = (Y-4)/15　とおくと
　(左辺) = 5(Y^3 -318Y +2*3304)/(15^3),
これを解いて
　X = -{4 + (3304-30√10806)^(1/3) + (3304+30√10806)^(1/3)}/15
　≒-1.8860468487 7734303446 7749889318 8･･･

681 ：１３２人目の素数さん：2008/08/09(土) 01:25:34

>>679
お、北大の過去問だな。

682 ：１３２人目の素数さん：2008/08/09(土) 03:41:48

>>679 loge^e=e=2.718
log15=2.702
log16=2.772
log15.4>5.037-2.3>2.73>e
∴15

683 ：１３２人目の素数さん：2008/08/09(土) 04:06:16

>>682
対数関数の単調性に言及してないから原点

by　東北大

684 ：１３２人目の素数さん：2008/08/09(土) 04:09:19

対数関数は連続関数じゃないかもしれないしこれも減点対象だな
と思ったけど高校生って連続の定義とかやるんだっけか…

685 ：１３２人目の素数さん：2008/08/09(土) 04:11:13

連続性の証明はいらんだろ・・・
そんなの言ってたら微分するたびに数行掛かる。

686 ：１３２人目の素数さん：2008/08/09(土) 06:04:57

高校程度なら単調増加性言えば十分だと思う

687 ：１３２人目の素数さん：2008/08/09(土) 06:23:46

アンザんでやれよ

688 ：１３２人目の素数さん：2008/08/09(土) 06:23:47

>>675
「数学的センス」の定義を教えてください。
お願いいたします。

689 ：１３２人目の素数さん：2008/08/09(土) 06:29:51

条件を逆手にとって解法を見抜いてしまう
難問はまたいで通る

690 ：１３２人目の素数さん：2008/08/09(土) 06:32:42

ｋが正の整数のとき、
（Ⅹ－１０）＾２＋（Ｙ－１０）＾２≦ｋ＾２
を満たす、整数の組（ｘ、ｙ）が少なくとも
１５０個存在するように、ｋの最小の値を求めよ。

（１０、１０）を中心とする半径Kの円の中に１５０以上の格子点があるように
Kを求めなさい。ー＞免責が１５０以上ね

691 ：１３２人目の素数さん：2008/08/09(土) 12:28:59

なんかさーなんつうかマジで流れキモイんですけど・・・

692 ：１３２人目の素数さん：2008/08/09(土) 13:10:59

>>691とかキモイよな…
なんか毎日書き込みしてるし…部屋から外出てるの？馬鹿なの？

693 ：１３２人目の素数さん：2008/08/09(土) 14:05:47

>>664 中
　a^2 + b^2 + c^2 = (a+b+c)^2 -2(ab+bc+ca) = 12^2 - 2*29 = 86,
∴　{|a|, |b|, |c|} = {9,2,1}　{7,6,1}　{6,5,5}　
∴　(a,b,c) = (9,2,1)　(7,6,-1)

>>670 上
　平行移動すれば　x^2 + y^2 ≦ k^2
　k=7 のとき 149 (不適)
　k=√50 のとき 161 (適)
これ以上の最小の整数は k=8.

694 ：１３２人目の素数さん：2008/08/09(土) 17:04:13

点Oを中心とする半径1の円Cの周上に点P，A[1]を線分PA[1]が円Cの直径となるようにとる．
A[1]を1つの頂点とする円Cに内接する正n角形の各頂点を，A[1]，A[2]，…，A[n]とする．(nは3以上の整数)
極限値 lim[n→∞](PA[1] + PA[2] + … + PA[n])/n を求めよ．

695 ：１３２人目の素数さん：2008/08/10(日) 07:23:27

>>694

∠A[1]PA[k] = (1/2)∠A[1]OA[k] = (k-1)π/n,
PA[k] = r*|2cos((k-1)π/n)| = r*|sin((k-0.5)π/n) - sin((k-1.5)π/n)| / sin(π/2n),

K=[(n+1)/2] とおくと
PA[1] + PA[2] + ･･･ + PA[n] = 2r + 4rΣ[k=2,K] cos((k-1)π/n) = 2r*sin((K-0.5)π/n) / sin(π/2n),

nが偶数のとき　2r/tan(π/2n),
nが奇数のとき　2r/sin(π/2n), 　
極限値は (4/π)r

696 ：１３２人目の素数さん：2008/08/11(月) 01:53:02

>>664 下

(a,b,c) =
　(a,2,2)　a≧2,
　(a,3,2)　3≦a≦7,
　(3,3,3)
　(4,4,2)

697 ：１３２人目の素数さん：2008/08/11(月) 20:16:47

東京大学　理系　2003年　第６問　改

円周率が3.466よりも小さいことを証明せよ

698 ：１３２人目の素数さん：2008/08/11(月) 20:20:07

>>697
3.2より小さいことを云々の方が良いのでは？
そんなに難しくもないし

699 ：１３２人目の素数さん：2008/08/11(月) 20:44:20

3√(5+2√5)-√(25+10√5)を√(A+B√5)の形にせよ。ただし、AとBは整数とする。

700 ：１３２人目の素数さん：2008/08/11(月) 21:14:02

>>699
さすがにそれはない

701 ：１３２人目の素数さん：2008/08/11(月) 21:18:34

>>699
これはひどい

702 ：１３２人目の素数さん：2008/08/11(月) 21:20:25

>>697

まづ、単位円に外接する正6角形を考える。周長は 12/√3 = 2*(6/√3),
次に、頂点を追加して、正12角形、正24角形･･･と続けてゆくと、円周に限りなく接近する。
このとき、周長も円周長に限りなく接近すると考えよう。（高木：「解析概論」岩波,1961)
周長は単調減少するから、π < 6/√3 = 3.4641016151377545870548926830117･･･

703 ：１３２人目の素数さん：2008/08/11(月) 21:30:54

Gregory-Leibniz series

704 ：１３２人目の素数さん：2008/08/11(月) 21:40:14

>>700-701
あれ？わかると思ったけどなぁ・・・
別のスレに書いたほうが良かった？

705 ：１３２人目の素数さん：2008/08/11(月) 21:43:04

>>664 上
ニュートン法（１）
左辺を F(X) とおき、
　X~ = X - F(X)/F '(X),
で近似する。実数解をAとすると、
　F(X) = (X-A){5X^2 + (4+5A)X - (8/A)},
　F '(X) = 15X^2 +8X -6,
よって
　X~-A = (X-A)^2 {10X+(4+5A)}/F '(X) ≒ (X-A)^2 (15A+4)/F '(A),
しかしこれでは2次の収束である。

>>699
　(3-√5)√(5+2√5) = (1/2)(√5 -1)^2 √(5+2√5) = √(10-2√5),
　A=10, B=-2,

706 ：１３２人目の素数さん：2008/08/11(月) 22:02:38

正解だ・・・すごいな数学板
類似問題
√(25+10√5)-√(5+2√5)を√(A+B√5)の形にせよ。ただし、AとBは整数とする。

707 ：１３２人目の素数さん：2008/08/11(月) 22:03:17

>>664 上
ニュートン法（2）
(左辺)/(X^b) を F(X) とおく。　　　← bを調節して3次の収束をねらう。
　X~ = X - F(X)/F '(X),
で近似する。実数解をAとすると、
　F(X) = (X-A){5X^2 + (4+5A)X - (8/A)}/(X^b),
　F '(X) = {5(3-b)X^2 +4(2-b)X -6(1-b) +8(0-b)/X}/(X^b),
よって
　X~-A = (X-A)^2 G(X) /{F '(X) X^b} ≒ (X-A)^2 G(X)/{F '(A) A^b},
　G(X) = 5(2-b)X + (1-b)(4+5A) + 8b/(AX) = G(A) + (X-A){5(2-b) - 8b/(A^2･X)},
　G(A) = 5(2-b)A + (1-b)(4+5A) + 8b/(A^2) = (15A+4) -{15A+8-(6/A)}b,
3次の収束にするために G(A)=0 とおく。
　b = (15A+4) / {15A+8-(6/A)} = 1.4197247127898603091442006171466･･･

708 ：１３２人目の素数さん：2008/08/11(月) 22:04:56

>>706　ここセンター入試作問スレじゃないんだが。

709 ：１３２人目の素数さん：2008/08/11(月) 22:16:39

>>708
そんな簡単？俺ぜんぜんわかんねぇけどｗ

710 ：１３２人目の素数さん：2008/08/11(月) 22:21:14

アメリカの医学都市伝説 - なぜか数学者にはワイン好きが多い

711 ：１３２人目の素数さん：2008/08/11(月) 22:30:50

>>708
>>708
>>708

712 ：１３２人目の素数さん：2008/08/11(月) 22:32:46

3√(5+2√5)-√(25+10√5)
= (3/√5)*√(25+10√5) - √(25+10√5)
= (3/√5 - 1 )*(√(25+10√5)

713 ：１３２人目の素数さん：2008/08/11(月) 22:36:55

= √((5+2√5)(3-√5)^2)
= √(10-2√5)

714 ：１３２人目の素数さん：2008/08/12(火) 00:19:41

nを6以上の整数とする．数字1，2，…，nが書かれたカードが1枚ずつ，合計n枚ある．このn枚の
カードから同時に2枚のカードを引き，そのカードに書かれている数字をa，bとする．この2枚の
カードを戻し，また同様に2枚のカードを同時に引き，そのカードに書かれている数字をc，dとす
る．座標平面上の4本の直線 x=a，x=b，y=c，y=d で囲まれた四角形の面積をSとする．このとき，
(1)S=pq となる確率を求めよ．(p，qは相異なる素数，１≦p，q≦n-1)
(2)Sの期待値を求めよ．

715 ：１３２人目の素数さん：2008/08/12(火) 01:51:32

y=2x^2に接する直線bがある。
接点のx座標が2のとき直線bの式を求めよ。

簡単だったらｽﾏｿ

716 ：１３２人目の素数さん：2008/08/12(火) 02:48:23

>>704
> あれ？わかると思ったけどなぁ・・・
> 別のスレに書いたほうが良かった？

夏虫が湧いているのか？

(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰﾍﾟｯ!! >>704

717 ：１３２人目の素数さん：2008/08/12(火) 05:55:19

>>715
いや、だからセンター入試作問スレじゃないってば

718 ：１３２人目の素数さん：2008/08/12(火) 06:49:11

>>715
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1208196395/
へどうぞ

719 ：１３２人目の素数さん：2008/08/12(火) 09:40:17

(1) x+y+z > 0 , y < 0 , のときＳ（x ,y ,z ) > Ｓ（x+y ,-y , z+y) が常に成り立つような
関数Ｓ（x ,y ,z)　の例をひとつ作れ。

(2) x+y+z+w > 0 , y < 0 , のときＳ（x ,y ,z ,w) > Ｓ（x+y ,-y , z+y , w) が常に成り立つような
関数Ｓ（x ,y ,z ,w)　の例をひとつ作れ。

720 ：１３２人目の素数さん：2008/08/12(火) 09:49:15

>>719
(1)S(x,y,z)=x-y+z

(2)S(x,y,z,w)=x-y+z+w

721 ：１３２人目の素数さん：2008/08/12(火) 09:58:27

定義域が実数全体で実数値を取る関数f(x)があって
ad=bcを満たす任意の実数a,b,c,dについて
f(a)+f(b)+f(c)+f(d)=f(a-d)+f(b+c)が成立している。
f(1)=1のときf(x)としてあり得るものをすべて求めよ。

722 ：１３２人目の素数さん：2008/08/12(火) 10:13:09

>>719
>>720
すいません
Ｓ（x ,y ,z ) > Ｓ（x+y ,-y , z+y) > 0
Ｓ（x ,y ,z ,w) > Ｓ（x+y ,-y , z+y , w) > 0
に訂正します。

723 ：１３２人目の素数さん：2008/08/12(火) 10:25:26

a_n=Σ[1,n]k^2とおく。自然数mに対してm^3≦a_n≦(m+1)^3が成り立つようなa_nの個数をc_mとする。このとき、次のことを証明せよ。

(1)すべての自然数mに対して、c_m≧1である。
(2)すべての自然数mに対して、c_m≦2である。

724 ：１３２人目の素数さん：2008/08/12(火) 10:27:03

>>723
大数の雲の記事に載ってた

725 ：１３２人目の素数さん：2008/08/12(火) 10:34:46

>>724
そうなの？いつぐらい？
これ実はサロンができる前の受験板で、今のサロンにある頂決スレみたいな作問スレで拾った問題で誰も解けてない問題だったんだよ。
知ってる人は少ないかもしれないけど、受験板では一時有名だった長助とかいう人もいたスレ。

726 ：１３２人目の素数さん：2008/08/12(火) 10:46:43

大数に載るほど有名問題なのかとググッたら青空にあった。ｔｈｘ

727 ：１３２人目の素数さん：2008/08/12(火) 12:09:00

整数a，bに関して，二次方程式 x^2-(a+4)x+2a+3b-30=0 は2解α，β(α＜β)
を持つ。α，βを小数点以下四捨五入するとそれぞれ4，7になる。このとき，
a，b，α，βを求めよ．

728 ：１３２人目の素数さん：2008/08/12(火) 12:47:42

双曲線　Ⅹ＾２／ａ＾２－Ｙ＾２／ｂ＾２＝１（ａ＞０，ｂ＞０）上の
任意の点Ｐから漸近線に平行にひいた２直線と漸近線とで作られる
平行四辺形の面積は一定であることを証明せよ。

729 ：１３２人目の素数さん：2008/08/12(火) 12:51:41

甲は３個の碁石を、乙は２個の碁石を持っている。
ジャンケンで勝ったものは、負けたものから１個の
碁石をもらうことにする。甲または乙の手元に碁石
がなくなるまで続けるとして、甲が５個の碁石を
獲得する確率を求めよ。
ただし、じゃんけんの力は互角とする。

730 ：１３２人目の素数さん：2008/08/12(火) 12:53:39

>>728
>>729
まーた糞問連発ですか

731 ：１３２人目の素数さん：2008/08/12(火) 12:56:17

２ｎ個の整数がある。それらをｎ個ずつの二組に
分けるとき、どうわけても各組の数の和の間の差は
ｎよりも小さいものとする。
これら、２ｎ個の数の中に相等しいものが少なくとも
（ｎ＋１）個存在することを証明せよ。

732 ：１３２人目の素数さん：2008/08/12(火) 12:59:10

任意の自然数は、数列１、３、３＾２、・・・・・、３＾ｎ、・・・
のいくつかの項に正または負の符号をつけたものの和として表されることを
証明せよ。

733 ：１３２人目の素数さん：2008/08/12(火) 13:00:06

>>730
糞問の定義を教えてください。
また、「エレガントな問題」の定義を
教えてください。

734 ：１３２人目の素数さん：2008/08/12(火) 13:02:29

なんだまたZEUSか

735 ：１３２人目の素数さん：2008/08/12(火) 13:10:03

>>733
730じゃないけど俺は728や729みたいにどこかの問題集にあるようなやつはツマラン
てか728と729は読んだ瞬間に解き方が思いつく

736 ：１３２人目の素数さん：2008/08/12(火) 13:15:06

>>732もn進数表示の一意性の有名問題すぎてつまらん

>>731はどこかの問題集に乗ってそう
東大っぽさが無い

737 ：１３２人目の素数さん：2008/08/12(火) 13:19:13

>>721
>>723
>>727
あたりは見るからに自分であれこれ工夫する必要があるから面白そう

738 ：１３２人目の素数さん：2008/08/12(火) 13:26:04

>>727は見た途端に解き方が分かる問題だと思うけど。

739 ：１３２人目の素数さん：2008/08/12(火) 13:32:23

とりあえず解いてみよ

740 ：Zeus：2008/08/12(火) 14:18:52

右回りにＡ１，Ａ２，．．．．Ａ６という頂点を持つ六角形がある。
また、どの辺も１より大きくない。このとき、最大の長さの対角線は
少なくとも２よりも大きくないことを証明せよ。（新作問題）

741 ：１３２人目の素数さん：2008/08/12(火) 14:25:30

>>740
問題文にセンスが感じられない
君はまず国語を勉強すればいいと思う

742 ：１３２人目の素数さん：2008/08/12(火) 14:33:19

ZEUSは
日本語もできない英語もできない数学もできない。

743 ：１３２人目の素数さん：2008/08/12(火) 14:58:13

厚さの薄い６角形の対角線は２超えるだろ

744 ：１３２人目の素数さん：2008/08/12(火) 16:14:51

＞少なくとも２よりも大きくないことを証明せよ。
＞少なくとも２よりも大きくないことを証明せよ。
＞少なくとも２よりも大きくないことを証明せよ。
＞少なくとも２よりも大きくないことを証明せよ。
＞少なくとも２よりも大きくないことを証明せよ。

745 ：１３２人目の素数さん：2008/08/12(火) 18:05:23

Ａ1とか決める必要ねぇー

746 ：１３２人目の素数さん：2008/08/12(火) 19:40:15

1112345678999
の和了牌を求めよ

747 ：１３２人目の素数さん：2008/08/12(火) 21:09:54

なぜ必死なの？

748 ：１３２人目の素数さん：2008/08/12(火) 21:14:04

ゼウスとバッカス・・・酒が強いのはどっち？

749 ：１３２人目の素数さん：2008/08/12(火) 23:08:09

>>715
宿題は質問スレに行け、糞があ！

(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰﾍﾟｯ!! >>715

750 ：１３２人目の素数さん：2008/08/12(火) 23:09:26

>>733
巣に帰れ！ビチクソが！

751 ：１３２人目の素数さん：2008/08/12(火) 23:11:22

> ＞少なくとも２よりも大きくないことを証明せよ。
> ＞少なくとも２よりも大きくないことを証明せよ。
> ＞少なくとも２よりも大きくないことを証明せよ。
> ＞少なくとも２よりも大きくないことを証明せよ。
> ＞少なくとも２よりも大きくないことを証明せよ。

いつから、日本語に不自由なカスが出題するようになったんだ？

752 ：１３２人目の素数さん：2008/08/12(火) 23:15:16

>>732

(1)　その数に 3^0 + 3^1 + … + 3^N をたす。（Nはじゅうぶん大きい。）
(2)　それを３進数表示する。各桁は0～2.
(3)　それから (1,1,･･･,1) を引く。各桁は -1 ～ +1.

753 ：１３２人目の素数さん：2008/08/12(火) 23:21:18

('A`)

754 ：１３２人目の素数さん：2008/08/13(水) 00:07:00

自然数Nは次の二つの条件を満たす。
　・Nはちょうど2つの素因数p, q ( p < q )をもつ。すなわち、N = (p^m)×(q^n) と表される。
　・Nの正の約数の総和は 2N である。
このとき、p=2 であることを示せ。

755 ：１３２人目の素数さん：2008/08/13(水) 03:12:23

>>754
p≧3とするとq≧5で、
(Nの約数の総和)/N＝{p^(m+1)-1}{q^(n+1)-1}/(p-1)(q-1)p^m･q^n
＜pq/(p-1)(q-1)=1/(1-1/p)(1-1/q)
≦1/(1-1/3)(1-1/5)=15/8
＜2
よりNの約数の総和は2Nにならない、で背理法。

756 ：１３２人目の素数さん：2008/08/13(水) 14:32:01

あざやか

757 ：１３２人目の素数さん：2008/08/13(水) 15:04:16

自由形ってなんでもいいの？
だったら、クロールより速い泳法の開発の余地はないのかな。
背面飛びみたいに画期的なのは出てこないのか．．．
一番魚に近いのはバタフライだと思うが、記録的にはクロール。
なんかしっくりこない。

758 ：１３２人目の素数さん：2008/08/13(水) 15:15:14

どこの誤爆だ

759 ：１３２人目の素数さん：2008/08/13(水) 17:24:18

北大の過去問ですがこんなのはどうでしょうか

sinx=e^(x/n)-1を満たす0以上の実数xの個数をP(n)とする（nは自然数）
lim[n→+∞]P(n)/nを求めよ

760 ：１３２人目の素数さん：2008/08/13(水) 17:26:06

括弧忘れた　少し訂正

sinx={e^(x/n)}-1を満たす0以上の実数xの個数をP(n)とする（nは自然数）
lim[n→+∞]P(n)/nを求めよ

761 ：１３２人目の素数さん：2008/08/13(水) 18:05:26

ハサミウチで終了のツマラン問題です

762 ：１３２人目の素数さん：2008/08/13(水) 18:08:29

ln(2)/π

763 ：１３２人目の素数さん：2008/08/13(水) 18:18:18

つまらなすぎワロタ

764 ：１３２人目の素数さん：2008/08/13(水) 18:42:38

未解決問題

714 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2008/08/12(火) 00:19:41
nを6以上の整数とする．数字1，2，…，nが書かれたカードが1枚ずつ，合計n枚ある．このn枚の
カードから同時に2枚のカードを引き，そのカードに書かれている数字をa，bとする．この2枚の
カードを戻し，また同様に2枚のカードを同時に引き，そのカードに書かれている数字をc，dとす
る．座標平面上の4本の直線 x=a，x=b，y=c，y=d で囲まれた四角形の面積をSとする．このとき，
(1)S=pq となる確率を求めよ．(p，qは相異なる素数，１≦p，q≦n-1)
(2)Sの期待値を求めよ．

721 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2008/08/12(火) 09:58:27
定義域が実数全体で実数値を取る関数f(x)があって
ad=bcを満たす任意の実数a,b,c,dについて
f(a)+f(b)+f(c)+f(d)=f(a-d)+f(b+c)が成立している。
f(1)=1のときf(x)としてあり得るものをすべて求めよ。

727 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2008/08/12(火) 12:09:00
整数a，bに関して，二次方程式 x^2-(a+4)x+2a+3b-30=0 は2解α，β(α＜β)
を持つ。α，βを小数点以下四捨五入するとそれぞれ4，7になる。このとき，
a，b，α，βを求めよ．

765 ：１３２人目の素数さん：2008/08/13(水) 19:22:27

1x2x1のレゴが１０００個あります。
これをぜんぶつかって作れる異なる形は全部でいくつ？

766 ：１３２人目の素数さん：2008/08/13(水) 19:29:32

ペンロースタイルを４次元に拡張しなさい　15点

767 ：１３２人目の素数さん：2008/08/13(水) 21:53:41

>>764
面白みのかけらもないから解いてもらえないんだろ

>714
(1)pq≧nか否かで場合わけ
(2)中学受験レベルの問題をnとかx,yとかで表現しただけ。{(n+1)/3}^2

>721
2002年のIMOの5番とほぼ同じ

>727
左辺をf(x)とすればf(7/2)≧0,f(9/2)＜0,f(13/2)≦0,f(15/2)＞0になってあとは計算
で、a=7,b=15

768 ：１３２人目の素数さん：2008/08/13(水) 22:12:09

>>767
そんな親切にしてやらなくても放置でいい(ry

769 ：１３２人目の素数さん：2008/08/13(水) 22:58:21

正の実数aおよび自然数nに関して、f(x)=a(nx-x^n+1)とおく

(1)
a*n<1のとき、0≦x≦1ならば0≦f(x)≦1を示せ

(2)
0≦x,y≦1の任意の実数x,yに対して常に
|f(x)-f(y)|≦c|x-y|
が成り立つような１より小さい正の実数ｃが存在することを示せ

(3)
a=1/4、n=3のとき、方程式f(x)=x(0<x<1)の解の値を小数第4位まで求めよ

平均値の定理は高校生でもやると信じて出題
この問題に興味をもった人がいたらぜひ常微分方程式の解の一意存在定理を勉強してみてくれ

770 ：１３２人目の素数さん：2008/08/14(木) 03:16:50

>>769
　f(x) = a*{n*x - (x^n) +1}　?
　f(x) = a*{n*x - x^(n+1)}　?

771 ：１３２人目の素数さん：2008/08/14(木) 03:25:19

>>769
> この問題に興味をもった人がいたらぜひ常微分方程式の解の一意存在定理を勉強してみてくれ

勉強してみても >>769 のおっさんが期待してるものは
中々で出てこない悪寒。

772 ：１３２人目の素数さん：2008/08/14(木) 03:29:56

>>770
f(x) = a*{n*x - (x^n) +1}
（１）と（２）はお前らなら瞬殺のレベル

773 ：１３２人目の素数さん：2008/08/14(木) 03:51:14

問1 x>0,αは実数である。このとき、
x^αの定義を述べよ
問2　0<α,x≦1, x^α＞α^xなる領域を,x-α平面の(0.1]×(0.1]上に記せ。

774 ：１３２人目の素数さん：2008/08/14(木) 04:29:11

また勘違い君

775 ：１３２人目の素数さん：2008/08/14(木) 15:29:11

pを2より大きい素数、a、b、c、d、rをそれぞれpで割り切れない整数とし、次式を満たしている。
　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　{ra/p}+{rb/p}+{rc/p}+{rd/p}=2

このときa+b,a+c,a+d,b+c,b+d,c+dの少なくとも2つがpで割り切れることを示せ。

ただし{x}は実数xの小数部分をあらわすものとする。

776 ：１３２人目の素数さん：2008/08/14(木) 17:04:51

>>775
p=7,a=b=c=2,d=1,r=2
が反例になる気が

777 ：１３２人目の素数さん：2008/08/14(木) 17:45:40

>>776
ですよね

778 ：１３２人目の素数さん：2008/08/15(金) 00:27:43

>>769 (3)
　x^3 +x -1 =0
を解いて
　x = {[1+√(31/27)]/2}^(1/3) - {[-1+√(31/27)]/2}^(1/3)
　　≒ 0.6823278038 2801932736 9483739711 0･･･

779 ：１３２人目の素数さん：2008/08/15(金) 01:04:51

>>769 (3)
ニュートン法を使うなら
　(x^3 +x-1)/(x^b) =f(x),
　b = 3/{3+(a + 1/a)} ≒ 0.5827620120 7378122237 8524483589 7･･･
が速いな。

780 ：１３２人目の素数さん：2008/08/15(金) 01:22:24

>>779
n次多項式ならニュートン法使えるし問題ないだろうな
元ネタは不動点定理かな
Ｓをバナッハ空間Ｘの中の空でない閉部分集合であるとする
このとき写像Ｆ：Ｓ→Ｓが縮小写像であれば，Ｓの中にＦ(x)=xとなる点xがただ一つ存在する

東大入試問題も何かしら元ネタあるんだろうがわからん
９８年の難問とやらはグラフ理論だったっけか

781 ：１３２人目の素数さん：2008/08/15(金) 18:30:52

zeusってやつ「東大・京大理学部生は有名中学の算数を解けるか？」ここにも問題出しててスルーされてるな

782 ：１３２人目の素数さん：2008/08/15(金) 19:37:08

グラフ理論っぽいのは見りゃわかるが、
具体的にグラフ理論の何という定理が元ネタなの？

これまでそういうこと書いたもの全く見たことないから、
単にグラフ理論の素養が無いもの同士が
「何となくグラフ理論っぽいよね」と言い合っているだけに思える。

783 ：１３２人目の素数さん：2008/08/15(金) 20:41:41

大数にグラフ理論・オートマンって書いてた気がする。実家にあるから今わからんが、明日帰省するので確認してみる。

784 ：１３２人目の素数さん：2008/08/15(金) 21:16:46

>>740は
おそらく意図していた問題文は
「六角形ABCDEFはどの辺の長さも1以下である。
このとき線分AD,BE,CFの少なくとも一つは長さが2以下であることを証明せよ」
だったと思われ。

で解答は背理法でAD,BE,CFが全て2より大とする。
まず「三角形PQRが∠P≧60ﾟのとき2QR≧PQ+PRとなる」ことを示す。
これは4QR^2≧4PQ^2-4PQ*PR+4PR^2=(PQ+PR)^2+3(PQ-PR)^2≧(PQ+PR)^2
から証明できる。
本問では直線AD,BE,CFからうまく二つ選べば、なす角(鋭角)が60ﾟ以上になるので
これをADとBEとすれば先ほど示したことから
2AB+2DE≧AD+BEとなる。
背理法の条件からAD+BE＞4となりAB+DE＞2となるが
これは辺の長さが1以下であることに矛盾。
以上から少なくとも一つは2以下になる。

785 ：１３２人目の素数さん：2008/08/15(金) 21:32:23

>>783
オートマトンだろ常識的に考えて。

786 ：１３２人目の素数さん：2008/08/15(金) 21:39:02

定理っていうか研究テーマが元ネタなんじゃない
ちょっと見た感じライフゲームに近いと感じた↓
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A8%E3%83%87%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%9C%92%E9%85%8D%E7%BD%AE
>>783
楽しみにしてる

787 ：１３２人目の素数さん：2008/08/16(土) 03:00:42

>>655を誰かおながいします

788 ：１３２人目の素数さん：2008/08/16(土) 05:30:32

>>655
一階微分可能でいいなら
f(x) = x/(1+x)　　(x≧0)
　　 = x/(1-x)　　(x＜0)

789 ：Zeus：2008/08/16(土) 13:23:15

a,nを正の整数とするとき、次の式を満たす正の整数ｂが
存在することを示せ。

（√a－√a-1)＾ｎ＝√ｂ－√ｂ－１

790 ：１３２人目の素数さん：2008/08/16(土) 13:35:08

１

791 ：１３２人目の素数さん：2008/08/16(土) 14:06:19

Rank Name Assoc.
1 (<<) 12930.00 ZHANG Yining CHN
2 (<<) 12790.25 GUO Yue CHN
3 (<<) 12787.25 LI Xiaoxia CHN
4 (<<) 12677.00 GUO Yan CHN
5 (<<) 12655.25 WANG Nan CHN
6 (<<) 12526.00 LI Jia Wei SIN
7 (<<) 12416.25 WANG Yue Gu SIN
8 (<<) 12339.75 JIANG Huajun HKG
9 (<<) 12277.00 FENG Tianwei SIN
10 (<<) 12234.25 TIE Yana HKG
11 (<<) 12223.25 KIM Kyung Ah KOR
12 (<<) 12140.00 FUKUHARA Ai JPN

792 ：１３２人目の素数さん：2008/08/16(土) 14:21:32

正式に、新しいメルセンヌ素数候補の真偽を検証中であることを表明。
　　検証は今週末に完了予定。10万ドルの賞金のかかった1000万桁は超えられず。

793 ：１３２人目の素数さん：2008/08/16(土) 14:24:37

2^p-1（pは素数）の値が素数のものを、先程も述べましたようにメルセンヌ素数と言います。

　Lucas-Lehmerテストは、最初必ず4から始まって、その次からは、4^2-2=14 → 14^2-2=194 → 194^2-2==37634．．．．と、この計算をp-1回やるそうです。 ****(2)

　そして、その(2)の値をメルセンヌ素数で割ってみて割り切れたなら、それは素数と判明するのだそうです。

794 ：１３２人目の素数さん：2008/08/16(土) 14:31:48

電子フロンティア財団(EFF)が、素数の発見に賞金をかけています。
　　　1000万桁の素数で10万ドル
　　　1億桁の素数で15万ドル
　　　10億桁の素数で25万ドル
　　参考記事：分散コンピューティングで素数探しコンテスト (WIRED 1999-03-31)

795 ：１３２人目の素数さん：2008/08/16(土) 15:44:49

大数見てみたら
D # グラフ、オートマトン、不変量

って書いてある。
問題文だけで１ページ使い、解答も１ページ。

796 ：１３２人目の素数さん：2008/08/16(土) 15:51:37

いや大数の編集者のカテゴリ分けとかどうでも良いから。

797 ：１３２人目の素数さん：2008/08/16(土) 15:55:19

>>780の元ネタがなんなのかについて答えたつもりであるが、結局何が知りたいのよ。

798 ：１３２人目の素数さん：2008/08/16(土) 15:58:35

>>782だった

799 ：１３２人目の素数さん：2008/08/16(土) 16:08:51

普通に考えてグラフ理論を全く知らない>>782が
みりゃわかるとか意味不明にもほどがあるだろ…常識的に考えて…
このスレに常駐してんのはほとんど高校生だろ
元ネタ云々はどうでもいいんじゃね？

800 ：１３２人目の素数さん：2008/08/16(土) 16:10:44

↑付け忘れ
グラフ理論の何という定理だったのか、についての詳細はない。
派生してできた問題だろうというのは有名な雲先生から教わったことがある。
ネタは忘れた。因みに98年の大数6,7,8月号ぐらいの特集には雲先生の長編の解答があったと思う。
それに何か書いてたかは忘れた。国会図書館で閲覧はできると思う。

801 ：１３２人目の素数さん：2008/08/16(土) 16:11:24

800は>>797ね

802 ：１３２人目の素数さん：2008/08/16(土) 17:13:07

>>799
いや俺もそんなに知らないが>>795も>>799もグラフ理論知らないだろ。
見りゃ分かるってのは「っぽい」ことだけだよ。
98年後期三番とその解答見りゃ離散数学「っぽい」話だな、というのは分かる。

>>782は、「っぽい」だけで、元ネタとなった特定の具体的な理論とか定理とか
或いは「その筋の専門家には良く使われる類の議論として認識されているようなもの」でも良いが
いずれにせよそういう詳細ははっきりしないよね、って意味で書いたつもりなんだが。
>>800は理解してくれてるみたいだけど。

元ネタは誰々の不動点定理だなってレベルの話と元ネタは解析だなってレベルの話とでは全然違うでしょ。
（どっちが良い悪いという意味でレベルという言葉を使っているのではないので念のため。）
元ネタはユークリッドの互助法だな、ってのと元ネタは整数論だな、ってのじゃ全然違う。
>>577の元ネタは「QはPIDである」って定理だな、ってのと>>571は整数論の問題だな、くらい違う。

元ネタはグラフ、オートマトン、不変量だなってのは
「元ネタは解析だな」レベルの話だと思うんだが。
オートマトンの専門家とグラフ理論の専門家って
多少理論に被る部分はあるだろうけど違うしね。

803 ：１３２人目の素数さん：2008/08/16(土) 17:35:33

不動点定理もかぶっているんですけど…
そんなにどころか全く数学を知らないの間違いではないのかな
数学は残念ながら君の言う「っぽい」で判断はできないもんだよ

804 ：１３２人目の素数さん：2008/08/16(土) 18:06:35

＞不動点定理もかぶっているんですけど…
被っているってのは98年後期3番に？だから何？
>>777の問題（というか>>780のレス）が念頭にあっただけなんだが。

不動点定理なんて数学のあらゆる分野で出てくるけど
基礎論とかで出てくる不動点定理と解析で出てくる不動点定理じゃ
あまり共通点無いと思うんだけど。対角線論法くらいは共通する場合もあるが。

＞数学は残念ながら君の言う「っぽい」で判断はできないもんだよ
だれも「っぽい」って印象だけで実際にグラフ理論が元ネタだと判断出来る、
とか言いたいわけじゃない。寧ろ真逆で、「っぽい」だけじゃ
分野外の人が個人的な印象の話をしてるだけだから意味がない、
だから具体的にどの定理が元ネタなのか分からないと意味がないって意図で書いたんだがな。

805 ：１３２人目の素数さん：2008/08/16(土) 18:11:59

>>782の下の段ちゃんと読んでね。
「グラフ理論っぽい」という個人的印象による判断に
肯定的な評価はしていないと分かると思うから。

806 ：１３２人目の素数さん：2008/08/16(土) 19:07:46

どうでもいいことで論争してんじゃねぇよ暇人ども

807 ：１３２人目の素数さん：2008/08/16(土) 21:13:26

面白いからこの論争続けようぜ
>>782はなんでグラフ理論っぽいって見てわかったんだぜ？
おれは全然わからなかったよ

808 ：１３２人目の素数さん：2008/08/16(土) 22:49:35

ｎ畳間に畳を敷き詰める方法は何通りあるか（ｎ×２ｍの長方形の部屋にｎ×ｍ枚の畳を敷く場合の敷き方は何通りあるか）

日本語がおかしい問題

809 ：１３２人目の素数さん：2008/08/16(土) 22:59:41

1. Which m x n boards can be tiled by the straight tetromino?
For example, can a 10 x 10 board be tiled with 25 of those tetrominoes?

810 ：１３２人目の素数さん：2008/08/16(土) 23:00:35

http://en.wikipedia.org/wiki/Domino_tiling

811 ：１３２人目の素数さん：2008/08/16(土) 23:04:45

http://en.wikipedia.org/wiki/Pfaffian

812 ：１３２人目の素数さん：2008/08/16(土) 23:21:05

http://access.ncsa.uiuc.edu/Stories/nuggets/pfaffian.html

813 ：１３２人目の素数さん：2008/08/16(土) 23:22:00

>>807=>>782

814 ：１３２人目の素数さん：2008/08/16(土) 23:30:34

>>630はどうやるの?

815 ：１３２人目の素数さん：2008/08/17(日) 00:06:46

x^2+y^2=0 mod xy+1
(x^2+y^2)=a(xy+1)
(x^2+y^2)=a mod x
y^2=a mod x
y=nx+c
y^2=c^2=a mod x
(x^2+y^2)/(xy+1)=a=c^2

816 ：１３２人目の素数さん：2008/08/17(日) 00:12:57

>>814
xy+1|x^2+y^2を満たす正整数x,yは存在しないから、命題は真

817 ：１３２人目の素数さん：2008/08/17(日) 00:15:45

xy+1|x^2+y^2
2|2

818 ：１３２人目の素数さん：2008/08/17(日) 00:20:38

>>816
x=2, y=8

819 ：１３２人目の素数さん：2008/08/17(日) 00:27:51

y=nx+c
xy+1=nx^2+cx+c
x^2+y^2=(n^2+1)x^2+2cx+c^2=anx^2+acx+ac
a=c
2c=c^2
cn=n^2+1

820 ：１３２人目の素数さん：2008/08/17(日) 00:35:49

y=nx+c
xy+1=nx^2+cx+1
x^2+y^2=(n^2+1)x^2+2cx+c^2=anx^2+acx+a
a=c^2
2c=c^3
c^2n=n^2+1

821 ：１３２人目の素数さん：2008/08/17(日) 00:39:50

c^2=2=a
n^2-2n+1=0
n=1
y=x+2^.5
x^2+y^2=2x^2+2*2^.5x+2=2(x^2+2^.5x+1)
xy+1=x^2+2^.5x+1

822 ：１３２人目の素数さん：2008/08/17(日) 03:55:26

a,nを正の整数とするとき、次の式を満たす正の整数ｂが
存在することを示せ。

（√a－√a-1)＾ｎ＝√ｂ－√ｂ－１

823 ：１３２人目の素数さん：2008/08/17(日) 09:45:48

>>630
補題1) xy+1 | x^2+y^2 ⇔ xy+1 | x^4+1
∵) gcd(x, xy+1) = 1 だから xy+1 | x^2+y^2 ⇔ xy+1 | x^2(x^2+y^2)
x^2(x^2+y^2) = x^4+1+(xy+1)(xy-1) だから、上は
xy+1 | x^4+1
と同値

以下 x≦y とする

補題2) xy+1 | x^2+y^2 なら y=x^3
∵) 背理法による
上の前提を満たして、y≠x^3 となる組 (x,y) のうち x が最小のものを考える
xy+1 | x^2+y^2 なので、補題1より xy+1 | x^4+1
従って、ある非負整数 z が存在して
x^4+1 = (xy+1)(xz+1)
z=0 のときは y=x^3 なので、z＞0
上から x^4+1 ＞ x^2yz+1 ≧ x^4z+1 なので x＞z
xz+1 | x^4+1 から、補題1により xz+1 | x^2+z^2
これは x の最小性に反するので、y≠x^3 となる (x,y) は存在しない

補題2より、xy+1 | x^2+y^2 なら　y=x^3 で、
(x^2+y^2)/(xy+1) = (x^2+x^6)/(x^4+1) = x^2■

824 ：１３２人目の素数さん：2008/08/17(日) 09:49:06

×　x^4+1 ＞ x^2yz+1 ≧ x^4z+1 なので
○　x^4+1 ＞ x^2yz+1 ≧ x^3z+1 なので

825 ：１３２人目の素数さん：2008/08/17(日) 10:01:36

a－√(a-1)=A
A＾ｎ＝√x－√(x-1)と置く。
A^(2n)=2x-1-2√x√(x-1)
2√x√(x-1)=2x-1-A^(2n)
4x(x-1)=4x^2-4x+1-4xA^(2n)+2A^(2n)+A^(4n)
4xA^(2n)=A^(4n)+2A^(2n)+1
x={A^(2n)+A^(-2n)+2}/4={A^(n)+A^(-n)}^2/4

｛A^(n)+A^(-n)}^2=[{√a－√(a-1)}＾ｎ+{√a+√(a-1)}＾ｎ]^2
が４の倍数である事を示せばよい。

まず、A^(n)+A^(-n)の形を考える。
２項定理から、(a-1)の奇数乗の項は相殺される。
よって、(a-1)は必ず整数として現れる。
また、全体は係数が２でくくられる。
よって、
A^(n)+A^(-n)は2*√a*整数と言う形になる。
２乗すれば４の倍数となる。

よって題意は示された。

826 ：訂正：2008/08/17(日) 10:04:54

A^(n)+A^(-n)は
nが奇数の時2*√a*整数と言う形に
nが偶数の時2*整数と言う形に
なる。

827 ：訂正2：2008/08/17(日) 11:53:17

>>825、一行目
√a-√(a-1)=A

828 ：ＺＥＵＳ：2008/08/17(日) 12:44:21

>>825
すごいね。
ノーベル物理学賞受賞者を２人も
輩出した、アメリカの名門大学の
定期試験の問題だよ。
よく解けたものだ。

829 ：ＺＥＵＳ：2008/08/17(日) 13:01:38

0≦ｔ≦Ｔの範囲で、加速度が減速しないまま、
直線上を微小な動きをする物体がある。
その物体の速度が、ｔ＝（１／２）Ｔの時点で、
平均速度を超えることができないことを示せ。
（ノーベル物理学賞受賞者を２人輩出した
　アメリカの名門大学の数学科の定期試験）

830 ：ＺＥＵＳ：2008/08/17(日) 13:12:19

cos36＝１／４＋（１／４）√５であることが分かっている。
（ｔａｎ＾２・１８）（ｔａｎ＾２・５４）が有理数であることを
示せ。

（注）こういう問題をたくさん解いていると、ノーベル賞に近づくかも。

831 ：１３２人目の素数さん：2008/08/17(日) 14:58:19

>>830
やたら
「ノーベル物理学賞受賞者を２人輩出した大学」
って強調してるけどそれぐらいの大学は沢山あるよね？
京大数学科だってフィールズ賞２人出してるわけだが。

それに大学の定期試験で日本の高校段階の問題を
出してるってことは、その大学の教育は日本より遅れてるということだ。
おそらくノーベル賞レベルの学生は定期試験なんて
全く相手にせず進んだ勉強をしているか
飛び級で他の学生よりずっと若いかのどちらかだと思うけど。

とりあえず、その定期試験のような問題を解いてれば
ノーベル賞に近づけるかもという発想が全くもって理解できない。

832 ：１３２人目の素数さん：2008/08/17(日) 15:07:50

>>831
キチガイを相手にしなくていいぞ

833 ：１３２人目の素数さん：2008/08/17(日) 15:15:18

>>832
すまん、このスレ久しぶりに見たんだが、こいつ本当にキチガイなんだな。。

834 ：１３２人目の素数さん：2008/08/17(日) 15:40:06

>>830
ラジアンって知ってる？

835 ：１３２人目の素数さん：2008/08/17(日) 16:14:06

ノーベル物理学賞受賞者を２人輩出した
　アメリカの名門大学の数学科の定期試験

MATH101ですか？

836 ：１３２人目の素数さん：2008/08/17(日) 16:19:06

830 ：ＺＥＵＳ：2008/08/17(日) 13:12:19
cos36＝１／４＋（１／４）√５であることが分かっている。
（ｔａｎ＾２・１８）（ｔａｎ＾２・５４）が有理数であることを
示せ。

（注）こういう問題をたくさん解いていると、×ノーベル賞(○ フィールズ賞)に近づくかも。

数オリスレに間違って来たのか、と思うような発言

837 ：１３２人目の素数さん：2008/08/17(日) 17:27:27

make a math problem

1 ：Zeus：2008/07/15(火) 15:56:24
make a math problem in english

2 ：名無しさん＠英語勉強中：2008/07/15(火) 16:02:28
>>1
What's one plus one?

3 ：名無しさん＠英語勉強中：2008/07/15(火) 16:03:28
>>1
Zeusとか名乗ってどんだけ中二病なの？ｗｗｗ

4 ：Zeus：2008/07/15(火) 16:04:47
i assume about high school or college level math probrem

5 ：Zeus：2008/07/15(火) 16:05:59
in english!!!!

6 ：名無しさん＠英語勉強中：2008/07/15(火) 16:06:44
>>4
What's the integral of x squared with respect to x over the interval [0,100]?

7 ：Zeus：2008/07/15(火) 16:08:46
>>3
write in english only!!!(i angry!!!

838 ：１３２人目の素数さん：2008/08/17(日) 17:32:51

あｗｗｗいｗｗｗｗｗｗｗｗｗあんｗｗｗｗｗぐｗｗｗりー

839 ：１３２人目の素数さん：2008/08/17(日) 17:42:16

english板まで出張してるのか
自己顕示欲の塊だな

840 ：１３２人目の素数さん：2008/08/17(日) 17:52:50

9 ：Zeus：2008/07/15(火) 16:18:36
it up the intelligence quotient that make a math problem in english
and solve it.
why?
it is different that solve a japanese math problem from make a math problem.

10 ：Zeus：2008/07/15(火) 16:19:57
i am american college student.
i study math in college.

11 ：名無しさん＠英語勉強中：2008/07/15(火) 16:20:56
>>10
You're not American.

12 ：名無しさん＠英語勉強中：2008/07/15(火) 16:22:00
>>9
Write correct English!
What did you learn about grammar at school?

13 ：名無しさん＠英語勉強中：2008/07/15(火) 16:23:07
>>12
Hey, someone else is watching this shitty thread! Talk to me.

he is so damned sad lonely person. if you have a time, play with him a moment.

841 ：１３２人目の素数さん：2008/08/17(日) 17:55:33

Wildeshaus, Jörg [email protected]

842 ：１３２人目の素数さん：2008/08/17(日) 17:57:30

問題を作らせる問題を出題すべき
1 ：ゼウス[]：2008/03/22(土) 11:16:08 ID:vwopytyu0: http://www.tsukue-no-mae. net/exam/highschool/kagoshima/public/2003/math/2003-m.htm#2 4．連立方程式の1 つの方程式がx＋y＝12となるような文章題を1題つくれ。また，その文章題を解いて ...
www.heiwaboke.net/2ch/unkar02.php/school7.2ch.net/ojyuken/1206152168 - 18k - キャッシュ - 関連ページ

843 ：１３２人目の素数さん：2008/08/17(日) 18:01:03

23 ：ゼウス[]：2008/03/25(火) 10:10:21 ID:2Co3pBl60
http://diep.u-gakugei.ac.jp/output/001006012/main.htm

はじめに
　生徒の多くは、問題を解くことそのものが数学であると考えていることが
多い。たしかに、授業を構成する際には、その授業の目標に迫るための問題が
教師によって用意され、その問題の解決を通して数学の学習が進められる。
したがって、数学＝問題の解決という図式は適切であるともいえる。
しかし、生徒の学習は問題のパターンによって分類したものの、
解き方を覚えるというものになりがちであるという弊害もある。
数学を暗記にすることで、目先の得点としては一時的に向上するかも
しれないが、数
学を作るという立場からは十分な学力が身に着くとは考えられない。

he may be a preschool teacher or student of math education course, trying to find the answers for the math quiz he found on the net.

844 ：１３２人目の素数さん：2008/08/17(日) 18:05:44

The lost labor of Hercules

The amphora of Zeus had an unusual shape: its cross section at each position x
larger than 1 was a circle of radius 1/x (see the figure). The task of Hercules was
to paint a liquid glaze on the inner surface of the amphora in preparation for
firing it in a kiln.

Exercise

That an object can have an infinite surface area but a finite volume seems a paradox.
A common explanation of the paradox is that comparing area to volume is like
comparing apples to oranges: area is measured in square meters, but volume is
measured in cubic meters, so why should there be any correlation between the two?
Students generally find this explanation unsatisfying. Can you find a better one?

Write an explanation, suitable for a calculus student, of what is wrong with the
solution of Hercules.

The Math 696 course pages were last modified April 5, 2005.
These pages are copyright © 1995-2005 by Harold P. Boas. All rights reserved.

845 ：１３２人目の素数さん：2008/08/17(日) 18:09:45

別に面積発散でも薄さ０でぬればいいじゃないか・・・

846 ：１３２人目の素数さん：2008/08/17(日) 18:22:12

zeusはもっと格調高いＭＡＴＨ４００番台の問題を吊るせ・・・

847 ：１３２人目の素数さん：2008/08/17(日) 18:29:07

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848 ：１３２人目の素数さん：2008/08/17(日) 18:41:20

だいたいアメリカの大学の学生が日本語読めるか？それでなんで２chで英語の数学問題をきくの？
この背景を分析してくれ・・・クロエ！

849 ：１３２人目の素数さん：2008/08/17(日) 18:43:33

ワカッタワ、ジャック
かれは、きっとフランス語ができないのよ
それで、英語もあやしいいので、AMSのサイトにカキコできないのよ。
でも、きっと大統領をねらっているのだわ！

アリガトウ、クロエ

そのまま分析を続けてくれ・・・

850 ：１３２人目の素数さん：2008/08/17(日) 20:03:03

>>836
　cos(36ﾟ) =c とおくと、
　tan(18ﾟ)^2 = sin(18ﾟ)^2 / cos(18ﾟ)^2 = (1-c)/(1+c),
　tan(54ﾟ)^2 = 1/tan(36ﾟ)^2 = cos(36ﾟ)^2 / sin(36ﾟ) = (c^2)/(1-c^2),
辺々掛けて
　(与式) = {c/(1+c)}^2
ところで、題意により　c/(1+c) = 1/√5,
　(与式) = 1/5.

851 ：１３２人目の素数さん：2008/08/18(月) 05:52:58

>>850の途中の式なんだが、
cos(36ﾟ)^2 / sin(36ﾟ)　じゃなくて　cos(36ﾟ)^2 / sin(36ﾟ)^2　じゃないか？

852 ：→：2008/08/18(月) 06:46:15

f[1](x)=x
f[n+1](x)=f[n](x){f[n](x)+1/n}　(n≧1)
とするとき、ある実数yが存在して任意の自然数nについて
1-1/n<f[n](y)<1
となることを示せ

853 ：１３２人目の素数さん：2008/08/18(月) 06:57:01

yはnに依存しないのか？

854 ：→：2008/08/18(月) 07:57:18

依存しません

855 ：ＺＥＵＳ：2008/08/18(月) 09:01:27

856 ：１３２人目の素数さん：2008/08/18(月) 11:54:55

>>855
その問題が簡単なことにも気づけないの？

857 ：１３２人目の素数さん：2008/08/18(月) 14:29:44

東大でe^π>21を示せって問題あったけどこれの評価を厳しくしてe^π>23を示すことはできるかな？
使っていいのはe>2.71,π>3.14ね

858 ：１３２人目の素数さん：2008/08/18(月) 14:34:37

23>2.71^3.14だから無理ぽっい

859 ：１３２人目の素数さん：2008/08/18(月) 15:14:48

857ではないが関数電卓あるいはgogleでe^(pi) とうつとe^(pi) = 23.1406926
区分でうまく面積評価すればできるのかこれ？

860 ：１３２人目の素数さん：2008/08/18(月) 15:29:53

e>2.718を使えばe^π>23が示せるな

861 ：１３２人目の素数さん：2008/08/18(月) 16:43:37

こういう単純な数値評価って
「計算は面倒だがこの方法で原理的にはいくらでも近似できる」
というような方法が生徒に理解されていたら、
必ずしも面倒な計算させなくても良いと思う。

式と式同士の評価だとそうはいかんし、計算量的な事を考えさせるような
良問ならそうでもないんだけど。（ただ受験生には荷が重いだろう）

862 ：１３２人目の素数さん：2008/08/18(月) 17:51:46

東大のは単なる1次近似で評価できる。
過去にも類題があった。

863 ：→：2008/08/19(火) 01:14:32

すべての自然数nで
a[n]>0
∑[k=1,n]a[k]≧√n
となるとき
∑[k=1,n](a[k])^2≧{log(n+1)}/4
であること示せ

864 ：→：2008/08/19(火) 06:32:28

pを5以上の素数とするとき
(2pCp-2)/2p^3
は自然数であることを示せ

865 ：１３２人目の素数さん：2008/08/19(火) 06:48:33

>>852 ,854
　IMO-1985 @ Helsinki, Problem 6

866 ：→：2008/08/19(火) 13:43:39

A,Bを2次正方行列とするとき
|A+B|+|A-B|=2|A|+2|B|
が成り立つことを示せ
ただしX=(x　y)
　　　　(z　w)
のとき|X|=xw-yzとする

867 ：１３２人目の素数さん：2008/08/19(火) 15:13:47

また勘違いゴミがカス問題貼り付けてますね。（苦笑）

868 ：１３２人目の素数さん：2008/08/19(火) 19:11:30

ＺＥＵＳしねよマジで

869 ：１３２人目の素数さん：2008/08/19(火) 21:12:31

>>866
　A = { a_i,j },
　B = { b_i,j },
とおくと
　|A+B| = (a_11+b_11)(a_22+b_22) - (a_12+b_12)(a_21+b_21),
　|A-B| = (a_11-b_11)(a_22-b_22) - (a_12-b_12)(a_21-b_21),
∴ |A+B| + |A-B| = 2a_11*a_22 + 2b_11*b_22 - 2a_12*a_21 - 2b_12*b_21
　　　= 2(a_11*a_22 - a_12*a_21) + 2(b_11*b_22 - b_12*b_21)
　　　= 2|A| + 2|B|.

870 ：１３２人目の素数さん：2008/08/19(火) 23:40:00

>>823
x=8.
y=30.

>>864
(2pCp-2)/2p^3=0.

871 ：→：2008/08/20(水) 02:47:03

(1)f(x)=x^2とする。
0.f(1)f(2)f(3)…=0.1491625…
が無理数であることを示せ
　
(2)f(x)=x^n　(nは自然数)とする。
0.f(1)f(2)f(3)…
が無理数であることを示せ

872 ：１３２人目の素数さん：2008/08/20(水) 03:09:50

>>870
これは盲点だった

>>823 の補題2 以下を訂正

xy+1 | x^2+y^2 であって、(x^2+y^2)/(xy+1) が平方数とならない
(x,y) が存在したとして、そのうち x が最小のものを考える

xy+1 | x^2+y^2 なので、補題1より xy+1 | x^4+1
従って、ある非負整数 z が存在して
x^4+1 = (xy+1)(xz+1)　　…(*)

z=0 のときは y=x^3、(x^2+y^2)/(xy+1) = x^2 で、これは平方数なので、z＞0

(*) から x^4+1 ＞ x^2yz+1 ≧ x^3z+1 なので x＞z

(x^2+z^2)/(xz+1) - (x^2+y^2)/(xy+1)
= (y-z){x^4+1 - (xy+1)(xz+1)}/{x(xy+1)(xz+1)}
なので、(*) より
(x^2+z^2)/(xz+1) = (x^2+y^2)/(xy+1)
(x^2+y^2)/(xy+1) は平方数ではないので、(x^2+z^2)/(xz+1) も平方数ではない
これは x の最小性に反する

つまり、xy+1 | x^2+y^2 であって、(x^+y^2)/(xy+1) が平方数とならない
(x,y) は存在しない■

873 ：１３２人目の素数さん：2008/08/20(水) 03:23:59

>>870
(10C5-2)/(2*5^3)=1

874 ：１３２人目の素数さん：2008/08/20(水) 07:41:32

******** N = (x^2 + y^2)/(1+xy) is a Square
http://www.mathpages.com/home/kmath334.htm

875 ：１３２人目の素数さん：2008/08/20(水) 21:25:15

今年の東大の問題で

x=cos2t y=tsint 0≦t≦2π
で囲まれる図形の面積求めるやつって
うまく処理できますか？

876 ：１３２人目の素数さん：2008/08/20(水) 21:29:31

グラフの左をつなげるとクレープみたいだ

877 ：１３２人目の素数さん：2008/08/20(水) 22:08:49

x=cos2t y=tsint 0≦t≦2π
x=rcos2t
y=rtsint
dx=cos2tdr-rsin2tdt
dy=tsintdr+(rsint+rtcost)dt
dxdy=(cos2t(rsint+rtcost)+rtsintsin2t)drdt

878 ：１３２人目の素数さん：2008/08/20(水) 22:12:45

SSdxdy=SSAdrdt=.5S(cos2t(sint+tcost)+tsintsin2t)dt
あとはオイラー

879 ：１３２人目の素数さん：2008/08/20(水) 22:57:02

O(0,0)A(2,0)B(0,1)とし、辺ABを1:nに内分する点をPnとする。
∠AOPn＝θn,APn＝ln とする。
lim[n→∞]ln/θnを求めよ。

880 ：１３２人目の素数さん：2008/08/20(水) 23:07:21

>>879 P_n=(2/(n+1),n/(n+1))より
tanθn=(ln/√5)/(n/n+1)=(n+1)ln/n√5
ln/tanθn=√5n/(n+1)
tanθ/θ→1より、
lim[n→∞]ln/θn=√5

881 ：１３２人目の素数さん：2008/08/20(水) 23:16:55

>>871 f(10^m)を考えれば明らか。
　10・・・0(mn桁) なる小数部分が無限遠方にいくらでも出現するから。
　小数部分は循環しない。つまり無理数。////

882 ：１３２人目の素数さん：2008/08/20(水) 23:20:50

第 6 問
3 人で ‘ジャンケン’ をして勝者をきめることにする.たとえば,1 人が ‘紙’ を出し,他の 2 人が ‘石’ を
出せば,ただ 1 回でちょうど 1 人の勝者がきまることになる.3 人で ‘ジャンケン’ をして,負けた人は次
の回に参加しないことにして,ちょうど 1 人の勝者がきまるまで,‘ジャンケン’ をくり返すことにする.
このとき,k 回目にはじめてちょうど 1 人の勝者がきまる確率を求めよ.

883 ：１３２人目の素数さん：2008/08/20(水) 23:27:45

>>882

884 ：１３２人目の素数さん：2008/08/20(水) 23:29:02

三人のときに三人とも相子になる確率は
(3!+3)/3^3=1/3
三人のときに二人で相子になる確率は
3*3/3^3=1/3
三人のときに一人の価値が決まるのは
1/3
二人のときは1/3で相子、2/3で勝ちが決まる。
今、0<j<n番目で三人から二人に落ちたとするとその時の確率は
　(1/3)^n*2 　一方最後まで三人だった場合は
　(1/3)^n ∴求める確率は(2n-1)(1/3)^n

885 ：１３２人目の素数さん：2008/08/21(木) 00:05:08

>>882
第 6 問って何の問題？>>883の反応からして、ひょっとすると今年の東大実戦の問題か？

886 ：１３２人目の素数さん：2008/08/21(木) 00:13:27

>>878
　S = (1/2)∮(x･dy - y･dx) = (1/2)∮{x･(dy/dt) - y･(dx/dt)}dt
でつね。

887 ：１３２人目の素数さん：2008/08/21(木) 00:18:46

>>885
超有名問題だが。

888 ：１３２人目の素数さん：2008/08/21(木) 00:23:27

>>887
超有名な何の第６問？

889 ：１３２人目の素数さん：2008/08/21(木) 00:33:15

>>880不正解
答えは2/π

890 ：１３２人目の素数さん：2008/08/21(木) 00:36:11

>>880
2/πは別の問題の答えだったm(_ _)m
どちらにせよ答えは2√5で不正解

891 ：１３２人目の素数さん：2008/08/21(木) 00:41:01

円上に適当な三点をとり三角形をつくる。

その三角形の三角の二等分線と円の交点で新たな三角形をつくる。

この作業を繰り返すと三角形が正三角形に近づくことを示せ。

892 ：１３２人目の素数さん：2008/08/21(木) 00:52:15

>>890　tanの所ミスったな。
　どちらにしろ駅弁レベルの問題だが。

893 ：１３２人目の素数さん：2008/08/21(木) 00:54:18

>>891 正三角形に近づくことの定義は？

894 ：１３２人目の素数さん：2008/08/21(木) 01:02:44

>>888
71年の東大

895 ：１３２人目の素数さん：2008/08/21(木) 01:03:06

当たり前の定義でいいんじゃないの。
３辺の極限が同じ値になる、とか、三つの内角の極限がみなπ/3になる、とかね。

896 ：１３２人目の素数さん：2008/08/21(木) 04:11:18

円周上に五点を順に取って五角形ABCDEを作る。
円周上に V, W, X, Y, Z を等間隔に取ったとき
　（五角形ABCDEの面積）＜（正五角形VWXYZの面積）
となる（つまり五角形の面積は正五角形のときに最大になること）
を以下のように示した。
　AB ≠ BC のとき、弧 AC の中点を B' に動かすと
　（五角形ABCDEの面積）＜（五角形AB'CDEの面積）だから
　五角形ABCDEの面積が最大となるとき、 AB = BC = CD = DE = EA となる。
　したがってこのとき五角形は正五角形となる。(q.e.d.)
この証明のどこが間違っているか？

897 ：１３２人目の素数さん：2008/08/21(木) 04:12:28

弧 AC の中点を B' に動かすと
↓
弧 AC の中点を B' とすると

898 ：１３２人目の素数さん：2008/08/21(木) 07:02:22

第 5 問〔新〕

z 軸を軸とする半径 1 の円柱の側面で,xy 平面より上(z 軸の正の方向)にあり,平面 x-√（3）y＋z＝ 1
より下(z 軸の負の方向)にある部分を D とする.D の面積を求めよ.

899 ：１３２人目の素数さん：2008/08/21(木) 09:17:57

√(3y)なのか(√3)yなのかy^(1/3)なのかはっきりしてくれ

900 ：１３２人目の素数さん：2008/08/21(木) 12:31:27

>>899
いや、平面っていってるしわかるだろ

901 ：１３２人目の素数さん：2008/08/21(木) 12:51:53

>>900
いまのゆとりは平面の方程式習わないし、わからないのがいても仕方がないんじゃね？

902 ：１３２人目の素数さん：2008/08/21(木) 12:59:14

すまない普通に見落としてた
弁解の余地がないです

903 ：１３２人目の素数さん：2008/08/21(木) 15:26:52

C:y=x^2とする。C上の点PとC上にない点Aを考える。
点PにおけるCの接線と2点A,Pを通る直線が垂直であるとき、線分APをAからCに下ろした垂線という。
点Aがy=x^2に異なる三本の垂線を下ろすことができる範囲に存在するとき、少なくとも2本の垂線の長さが等しくなるAの範囲を求めよ。

904 ：１３２人目の素数さん：2008/08/21(木) 20:23:02

第 5 問〔新〕

z 軸を軸とする半径 1 の円柱の側面で,xy 平面より上(z 軸の正の方向)にあり,平面 x-(3^0.5)y＋z＝ 1
より下(z 軸の負の方向)にある部分を D とする.D の面積を求めよ.

905 ：１３２人目の素数さん：2008/08/21(木) 20:44:21

日本ードイツ　１ー２

906 ：１３２人目の素数さん：2008/08/21(木) 20:47:18

日本ードイツ　０ー２

907 ：１３２人目の素数さん：2008/08/22(金) 02:36:25

ここの人たちって大体何完レベルですか

908 ：１３２人目の素数さん：2008/08/23(土) 14:03:04

3辺の長さがすべて整数である直角三角形を考える．直角をはさむ2辺のうち，一方
の辺の長さが素数であるとき，もう一方の辺の長さは4の倍数となることを示せ．

909 ：１３２人目の素数さん：2008/08/23(土) 15:09:39

a^2+b^2=c^2　aは素数
a^2=(c+b)(c-b)　↑よりc-b=1
a^2=2b+1
(a+1)(a-1)=2b　a-1=2kと置ける
b=2k(k+1)

910 ：１３２人目の素数さん：2008/08/23(土) 19:43:00

>>908　
　a^2 + b^2 = c^2, aは素数。
　a^2 = c^2 -b^2 = (c+b)(c-b)
a=2 とすると、c+b=4, c-b=1 となって矛盾。
aは奇素数。

〔補題〕
3辺の長さa,b,cがすべて整数である直角三角形を考える。
a,b,cがすべて偶数でないとき、a,bの一方は4の倍数となる。
(略証)
　(奇数)^2 = (2k+1)^2 = 4k(k+1) +1 ≡ 1　(mod 8)
　(偶数)^2 = (2L)^2 = 4L^2 ≡ 0,4　(mod 8)
題意より、(a,b)は偶数と奇数、cは奇数。
　b^2 ≡ 0　(mod 8)
∴　b ≡ 0　(mod 4)　　　　(終)

911 ：１３２人目の素数さん：2008/08/24(日) 12:14:47

3辺の長さがすべて整数である直角三角形を考える．斜辺の長さが素数の平方であり，
この直角三角形の内接円の半径が素数であるとき，斜辺の長さを求めよ．

912 ：１３２人目の素数さん：2008/08/24(日) 16:38:47

913 ：１３２人目の素数さん：2008/08/24(日) 17:29:25 BE:1275828277-2BP(258)

>>911 存在しないだろ

914 ：１３２人目の素数さん：2008/08/24(日) 17:30:56 BE:1275828277-2BP(258)

あっ　内設と外接を間違えた

915 ：→：2008/08/24(日) 18:11:14

nπの小数に0または9が無限個あるような自然数nが存在することを証明せよ

916 ：１３２人目の素数さん：2008/08/24(日) 18:26:40

917 ：１３２人目の素数さん：2008/08/24(日) 19:48:27 BE:729045247-2BP(258)

>>911
内接円の半径が素数にならない
>>915
無理数に何を掛けても無理数

918 ：１３２人目の素数さん：2008/08/24(日) 19:56:10

>>917
ﾌﾟｷﾞｬｰ

919 ：１３２人目の素数さん：2008/08/24(日) 20:14:25 BE:312447762-2BP(258)

>>918
１は素数じゃないだろ

920 ：１３２人目の素数さん：2008/08/24(日) 20:22:23

>>919
たとえば
15,20,25の三角形(>>916)
15^2+20^2=25^2
S=15*20/2=(15+20+25)*r/2
r=5
ちゃんとやってないから他にあるかどうかは知らん

921 ：１３２人目の素数さん：2008/08/24(日) 20:37:49

＞無理数に何を掛けても無理数
それじゃ小数部分に「0または9が無限個出て来る」ことにならない。

例えば√2を2進小数で書いて、それを10進法だと思って読めば、
それは小数部分に0と1しか出てこない無理数になってるよ。

922 ：１３２人目の素数さん：2008/08/24(日) 21:59:47 BE:1640350679-2BP(258)

解けた！　計算してといたからこれしかない！
１５，２０，２５の三角形！
内接円の半径はr=５
三角形の面積から　ab/2=r(a+b+c)/2 でｒは素数だから abはrの整数倍

923 ：１３２人目の素数さん：2008/08/24(日) 22:06:52 BE:1171678695-2BP(258)

とりあえずa=nrと置いて計算進める。
すると、斜辺の素数P1は内接円の素数半径P2と同じでなければ解は存在しないことがわかり
nは３つn=3,4,6とありうるけど、解を満たすのはn=3だけ

924 ：１３２人目の素数さん：2008/08/24(日) 22:53:41

>>923
7,24,25の直角三角形でr=3もある。

925 ：→：2008/08/25(月) 13:12:15

(1)nを自然数とする
1+x/1!+x^2/2!+…+x^n/n!=0
の解はすべて無理数であることを示せ
　
(2)qを有理数とする。e^qは無理数であることを示せ。

926 ：１３２人目の素数さん：2008/08/25(月) 15:53:31

>>925 n=0のときx=-1
q=0のときe^0=1 ﾌﾟﾌﾟﾌﾟ（藁

927 ：→：2008/08/25(月) 16:49:07

すみません
qは0でない有理数でした

928 ：１３２人目の素数さん：2008/08/25(月) 17:33:32

>>925
（1）n=1のときは>>926
n≧2のときは虚数解を持つ

問題がおかしい

929 ：１３２人目の素数さん：2008/08/25(月) 18:46:15

ただ解を実数解にすればいいんじゃね
そうすると（１）は解けたけど（２）はわかんねえ
（１）を利用するんかな

930 ：１３２人目の素数さん：2008/08/25(月) 18:51:43

あっ！解を実数解にするだけじゃないか
ｎ≧２のときだな

931 ：→：2008/08/25(月) 21:56:38

確かにn>1,実数解じゃないとダメでした

932 ：１３２人目の素数さん：2008/08/26(火) 02:26:39

なんか最近、積分と微分をやってない

933 ：１３２人目の素数さん：2008/08/26(火) 07:38:26

半径1、高さ√3の直円錐がある
これを横に倒し、地面と底面との接点をＰとする
横に転がして、再びＰが地面と接するまでの点Ｐが描く軌跡の長さを求めよ

934 ：１３２人目の素数さん：2008/08/26(火) 16:22:31

e^(π/12)と3-√3のどちらが大きいか

935 ：１３２人目の素数さん：2008/08/26(火) 17:59:28

始めに所持金１０万円持っている。
一年の始めに所持金が三倍になり、その後ある額を寄付する。
１００万円寄付するのに最小で何年かかるか。

936 ：１３２人目の素数さん：2008/08/26(火) 19:10:31

e^(π/12)

937 ：１３２人目の素数さん：2008/08/26(火) 19:55:34

益田氏のHPの「解法から見る発想力」のところで、質問なんだけど、
[問題1．3変数不等式]
a,b,cをabc=1を満たす正の実数とする。次の不等式を示せ。
　(a-1+1/b)(b-1+1/c)(c-1+1/a)≦1
　最初の問題はかなり超越した発想力というものを見ていただこう。
ただの3変数不等式だが、見かけによらないDクラスの難問。
とりあえず試行錯誤して解くのであれば、まずは展開を試すだろう。
展開すれば
(左辺)=-(ac^2+ba^2+cb^2)+(ab+bc+ca)+(a+b+c)-2
となる。そのまま右辺-左辺をしてcを消去して微分にもちこめるが、
莫大な計算量になり、どれだけ早くても1時間はかかるだろう。
　別の解法を考えよう。まずは簡単な発想として以下の3つがあげられる。
●左辺は3変数対称式
●0＜a≦b≦cとしても構わない
●等号成立はおそらくa=b=c=1
上の3つは普通にできておきたい発想だ。（後略）
_______________________________________________________

質問
１．左辺は3変数対称式じゃないですよね？
２．ということは0＜a≦b≦cとしてもあまり意味はないですよね？

938 ：１３２人目の素数さん：2008/08/26(火) 20:12:13

バカは消えてね
てかここで質問すんなカス

939 ：１３２人目の素数さん：2008/08/26(火) 20:12:40

>>937
数オリの過去問じゃｎ

940 ：１３２人目の素数さん：2008/08/26(火) 20:36:14

>>938
わかりました。質問スレに行きます。

941 ：１３２人目の素数さん：2008/08/26(火) 21:17:12

ここ頭イイ人いなくなっちゃったの？

942 ：１３２人目の素数さん：2008/08/26(火) 21:36:34

ただ書き込みしないだけ

943 ：１３２人目の素数さん：2008/08/26(火) 22:29:03

21:名無しなのに合格[sage]
2008/02/08(金) 04:23:23 ID:Dg8O6Brn0(24)
◆BHMb/z05DY
赤色、青色、黄色のカードがそれぞれ大小1枚ずつ合計6枚ある。
このカードを同じ色が隣り合わないように横一列に並べる並べ方は何通りあるか。

◆JYCvS9mfUA
大,中,小のサイコロを同時に投げ出た目の数をそれぞれa,b,cとして分数x=(b+c)/2^aを作る。
3つのサイコロを3度投げて得られた分数を順にx1,x2,x3とする。
1/8≦x1+x2＜1/4かつx1+x2+x3が整数になるような目の出方は何通りあるか。

◆SxtYbZEebE
平面上に1辺の長さが2の正3角形ABCと3角形ABCの内部(周上を除く)に点Pがある。
辺BC,辺CA,辺ABに関して点Pと対称な点をそれぞれL,M,Nとする時
3角形LMNが鋭角3角形となるような点Pが存在する領域の面積を求めよ。
2√2-πなら#2√2-π

◆eB.VEsDn4M
数列{an}(n=1,2,3,…)はa(n+1)=4an^3-3an(n≧1)を満たしn≧10の時
an=a(正の定数)が成り立つ時a1の取り得る値は何通りあるか。

頂決３
http://changi.2ch.net/test/read.cgi/jsaloon/1202402941/

944 ：１３２人目の素数さん：2008/08/26(火) 22:34:56

>>943
全部簡単すぎ

945 ：１３２人目の素数さん：2008/08/26(火) 22:40:11

>>934
　exp(π/12) = 1.2992658676977813229699617951293…
　3　-　√3 = 1.2679491924311227064725536584941…

>>937
　abc=1 とあるから当然、 a=y/z, b=z/x, c=x/y と置くんだろうな。
（左辺) = {(y-z+x)/z}{(z-x+y)/x}{(x-y+z)/y}

題意より、-x+y+z, x-y+z, x+y-z のいづれか2つの和は正だから、
　正でないのは高々１つだけ。
・1つが正でない場合、明らかに成り立つ。
・3つとも正の場合、相乗・相加平均より
　√{(x-y+z)(y-z+x)} = √{x^2 - (y-z)^2} ≦ x,
　√{(y-z+x)(z-x+y)} = √{y^2 - (z-x)^2} ≦ y,
　√{(z-x+y)(x-y+z)} = √{z^2 - (x-y)^2} ≦ z,
辺々掛けて
　(x-y+z)(y-z+x)(z-x+y) ≦ xyz,

946 ：１３２人目の素数さん：2008/08/27(水) 14:52:27

>>934
なるほど！
数値計算しなくてもできるようにπ/12にしたのか

947 ：１３２人目の素数さん：2008/08/27(水) 17:38:45

>>946
一人で納得してないで、kwsk教えてくれ

948 ：947：2008/08/27(水) 17:43:21

あー
tan(π/12) = 2 - √3
を使えばいいのか

949 ：１３２人目の素数さん：2008/08/27(水) 22:23:25

１～ｎのｎ個の目をもつサイコロがｎ個ある、初め、人１、人２、・・・人ｎのｎ人の人が
サイコロを１つずつ持ち、次の操作を繰り返す。
「操作」一斉にサイコロを１つ振り、出た目の番号の人にそのサイコロを渡す。サイコロを
持っていない場合は何もせず、複数個持っている場合はそのうち１つのみをランダムに選ん
で振る。
Ⅰ（１）ｎ回の操作終了直後に初めて全てのサイコロが１人のもとへ集まる確率を求めよ。
　（２）ｎ個のサイコロのうち１つだけ赤色で残りは黒色であるとする。赤色のサイコロが
　　　　全員の手に渡るまでの操作の回数の期待値を求めよ。「全員の手に渡る」とは、そ
　　　　のサイコロを全員が持ったことがあることを言う。

950 ：１３２人目の素数さん：2008/08/27(水) 22:27:24

（３）全てのサイコロを区別するとき、全てのサイコロが全員の手に渡るまでの操作の回数の
　　　期待値を求めよ。
（４）全てのサイコロを区別するとき、初めて、初めの状態に戻るまでの操作の回数の期待値
　　　を求めよ。

951 ：１３２人目の素数さん：2008/08/27(水) 22:38:54

　Ⅱ持っているサイコロが０個になると、その人は死に、死んだ人の番号が出たサイコロは消滅する
　　ものとする。
（５）ｎ回の操作後に１人だけが生存している確率を求めよ。
（６）ｎ回の操作後にサイコロと人が初めて全てな（亡、失）くなる確率を求めよ。
　Ⅲ人１、人２、・・・人ｎは円形に座っているものとする。ある人がサイコロがなくなったことにより
　　死ぬと、その両隣に座っている人も道連れで死ぬとする。その場合、道連れで死んだ人が持っていた
　　サイコロは消滅し、道連れで死んだ人は他の人の生死に影響を及ぼさない。
（７）（５）と同じ問いに答えよ。
（８）（６）と同じ問いに答えよ。

952 ：１３２人目の素数さん：2008/08/27(水) 22:41:29

Ⅳ毎操作後に、生存者のうちランダムに１人に１個のサイコロが与えられるとする。
（９）（５）と同じ問いに答えよ。
（１０）（６）と同じ問いに答えよ。

953 ：１３２人目の素数さん：2008/08/27(水) 22:45:59

n=6の場合や、どれか１つの小問でもいいので、解いてみてください。
お願いします。

954 ：１３２人目の素数さん：2008/08/27(水) 23:08:35

おもろない

955 ：１３２人目の素数さん：2008/08/27(水) 23:55:15

>>925 (2)
つ　天書の証明 p42-43

956 ：→：2008/08/28(木) 07:41:22

3次元空間内で次の不等式で表される多面体の体積を求めよ
|x+y+z|+|-x+y+z|+|x-y+z|+|x+y-z|≦4

957 ：１３２人目の素数さん：2008/08/28(木) 14:31:42

1よりも大きい相異なる3つの実数a，b，cに関して，
　不等式　log[a]c/b + log[b]a/c + log[c]b/a ＞ 0
が成り立つことを示せ．
ただし，xを底とするyの対数をlog[x]yと表すことにする．

958 ：１３２人目の素数さん：2008/08/28(木) 14:59:01

>>957
06 大阪市大・文系
難易度A

959 ：１３２人目の素数さん：2008/08/28(木) 15:15:28

>>956ってどっかで見たことあるな。。

960 ：１３２人目の素数さん：2008/08/28(木) 17:57:08

でも解けないと

961 ：１３２人目の素数さん：2008/08/29(金) 00:33:01

エレ解だろ

962 ：１３２人目の素数さん：2008/08/29(金) 07:12:08

f(x)={x+√(x^2-1)}^(1/3)+{x-√(x^2-1)}^(1/3)とする。
ただし、x≧1とする。
f(9)の値を求めよ。

963 ：１３２人目の素数さん：2008/08/29(金) 07:21:59

>>962
f(x)={9+2√10}^(1/3)+{9-2√10}^(1/3)

964 ：１３２人目の素数さん：2008/08/29(金) 07:25:25

>>962
f(x)={9+4√5}^(1/3)+{9-4√5}^(1/3)

965 ：１３２人目の素数さん：2008/08/29(金) 07:30:08

>>963が間違えてるのはどうなのｗ

966 ：１３２人目の素数さん：2008/08/29(金) 08:12:53

a=9+4√5
b=9-4√5
f(9)=k
とおけば
k=f(9)=a^(1/3)+b^(1/3)

k^3=a+b+3a^(2/3)*b^(1/3)+3a^(1/3)*b^(2/3)
=18+3a^(1/3)*b^(1/3)*{a^(1/3)+b^(1/3)}
=18+3(ab)^(1/3)*k
ab=1なので
k^3=18+3k
⇔(k-3)(k^2+3k+6)=0
kは実数だからf(9)=k=3

967 ：１３２人目の素数さん：2008/08/29(金) 08:52:54

>>962に付け足します。朝だから答える人いないと思ったｗ

∫[1→9]f(x)dxを求めよ。

968 ：１３２人目の素数さん：2008/08/29(金) 09:03:33

学コン乙

969 ：１３２人目の素数さん：2008/08/29(金) 10:15:43

x=(e^t+e^-t)/2
で置換すりゃ瞬殺

970 ：１３２人目の素数さん：2008/08/29(金) 13:46:00

4辺の長さが2，残りの2辺の長さがaである四面体に関して，次の問いに答えよ．
(1)四面体が存在するようなaの値の範囲を求めよ．
(2)aが(1)の範囲を動くとき，この四面体の体積の最大値を求めよ．

971 ：１３２人目の素数さん：2008/08/29(金) 14:59:35

一橋大実戦乙

972 ：１３２人目の素数さん：2008/08/29(金) 16:55:25

任意の正整数nに対し、連続するn個の正整数でそのどれもが素数乗でないものが存在することを示せ。

973 ：１３２人目の素数さん：2008/08/29(金) 17:02:59

>>972
問題文イミフ

974 ：１３２人目の素数さん：2008/08/29(金) 17:22:35

任意に与えられた正整数nに対して、k+1、k+2、・・・、k+nのいずれもが素数巾(素数の自然数乗)にならないような正整数kが存在することを示せ。

975 ：１３２人目の素数さん：2008/08/29(金) 19:13:17

一枚の硬貨をなげて、甲と乙がゲームをする。
ゲーム開始時に甲と乙の得点はともに0である。
毎回の硬貨投げの試行で表がでたとき甲の勝ち、裏がでれば乙の勝ちとし、
勝った方に1点、負けた方に-1点がそれまでの得点に加えられるものとする。
2n回の試行の後、甲の得点が2m点とする。
試行開始後、甲の得点が常に乙の得点より多い確率を求めよ。ただし、n,mはともに1以上の整数。

976 ：１３２人目の素数さん：2008/08/30(土) 14:59:16

>>940
メル欄ww

977 ：１３２人目の素数さん：2008/08/30(土) 15:59:35

>>863

　a[1] + a[2] + ････ + a[k] = (√k) + d[k],
と置いて只管計算するのみ。マンドクセ。

便宜のため d[0]=0 とする。
　(a[k])^2 = (√k - √{k-1} + d[k] - d[k-1])^2 = (√k - √{k-1})^2 + 2(√k - √{k-1})*(d[k] - d[k-1]) + (･･･)^2,
よって
　(a[1])^2 + (a[2])^2 + ････ + (a[n])^2
　≧ Σ[k=1,n] (√k - √{k-1})^2 + 2Σ[k=1,n-1] (2√k - √{k-1} - √{k+1})*d[k] + (√n -√{n-1})*d[n]
　≧ Σ[k=1,n] (√k - √{k-1})^2　　　　　(← 題意より d[k]≧0, および※)
　＝ Σ[k=1,n] 1/(√k + √{k-1})^2
　≧ (1/4)Σ[k=1,n] 1/{k - 1/2}　　　　　　(← **)
　≧ (1/4)Σ[k=1,n] log(1 + 1/{k - 1/2})　　　(← x≧log(1+x))
　≧ (1/4)Σ[k=1,n] log({k + 1/2}/{k - 1/2})
　≧ (1/4)log(2n+1),

※　√k - √(k-1) = 1/(√k + √{k-1})　はkについて単調減少。
**　√k - √(k-1) = 1/(√k + √{k-1}) ≧ 1/(2√{k -1/2}),　　(← y=√x は上に凸)

978 ：977：2008/08/30(土) 16:22:04

いつも訂正、スマソ。

初めの方で
　････ + ２(√n -√{n-1})*d[n]
終わりの方は
　＝ (1/4)Σ[k=1,n] log({k + 1/2}/{k - 1/2})
　＝ (1/4)log(2n+1).
ですた･･･

979 ：１３２人目の素数さん：2008/08/30(土) 18:36:53

>>974
k={(n+1)! }^2 +1とおくとよい。

980 ：１３２人目の素数さん：2008/08/30(土) 19:05:44

>>977 の改良：
　k=1 の項を別に扱うと、
　1 + Σ[k=2,n] (√k - √{k-1})^2
　＝ 1 + (1/4)log({2n+1}/3)
　＝ 0.725347･･･ + (1/4)log(2n+1),

981 ：１３２人目の素数さん：2008/08/30(土) 21:23:55

で、ひたすら難問を出すスレになってる気がするんだが

982 ：１３２人目の素数さん：2008/08/30(土) 21:49:52

その上自分でつくってるわけではない・・・

983 ：１３２人目の素数さん：2008/08/30(土) 21:51:13

愚痴を零す暇があったら問題を作れ