不等式への招待 第３章

〔問題83〕(改作)
a,b,c>0 とする.
　a^4 + b^4 + c^4 ≧ (ca)^2 + (ab)^2 + (bc)^2 ≧ abc(a+b+c) ≧ abc{√(bc) + √(ca) + √(ab)} ≧ 3(abc)^(4/3),
を示せ。

東大入試作問者スレ１５
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1212563635/83

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(略証)
左端
　(1/2)(a^4 + b^4) ≧ (ab)^2,
　巡回的にたす。
中央左
　(1/2){(ca)^2 + (ab)^2} = (1/2)(a^2)(c^2 + b^2) ≧ (a^2)bc,
　巡回的にたす。
中央右
　(1/2)(b+c) ≧ √(bc),
　巡回的にたす。
右端
　√(bc) + √(ca) + √(ab) ≧ 3{√(bc)√(ca)√(ab)}^(1/3) = 3(abc)^(1/3),