★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十四問

理系で数学が得意な高校生が２５〜５０分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以上の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ

　過去ログ
★東大入試作問者になったつもりのスレ★
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1000592003/
★東大京大入試作問者になったつもりのスレ★
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1046165076/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第三問
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1069171672/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第4問
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1099493043/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第五問
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1116752400/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第六問
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1134000000/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第七問
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1148569109/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第八問
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1166904000/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第九問
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1182629190/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十問
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1188545067/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十一問
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1190854032/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十二問
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1194120000/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十三問
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1199706844/

　過去ログ
http://briefcase.yahoo.co.jp/bc/loveinequality/lst?.dir=/b856

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　　　/.:;/ |!　::|〈 :i.|| 、 | |什三|上i k.　|　　.ｊ / / ﾘ　 |ﾑ　j　 , j ｌ 〈:::::　i:||::::|
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参考ページ

東京大過去問(1970〜の過去問が網羅)
http://hw001.gate01.com/akiyoshi/index.html

MASUDA君のサイト

http://83.xmbs.jp/checkmath/

いい加減

★東大入試作問者になったつもりのスレ★　→　★東大・京大入試作問者になったつもりのスレ★

にしたらいいのに。そうしたらもう少し敷居が広くなる

×敷居が広くなる
○敷居が低くなる

　　　　　　　　　　 ＿__
　　　　　　　, ィ::::::::::::::::::＞ 、
　　　 　 r_f⌒):::::::::::::::::;ﾍ:::::::＼
　　　／:::::::T:::::::::::::::;::/　 vi＼::::,
　　ｲ:::::::::::/::::::::::::::/l/　　　',　 Vﾊ
　/'l::::::::::/::::::::::;:::/＞､　　　丶　ｖ:l
　　l／ﾚ:::::::::::;／/,ｨ:¨j　　　,.ｨく ﾊ:|
　　　　 l:::::f´j　 ,, ヒノ　　　ﾋﾉ ,ﾊ:}|
　　　　 丶へ. 　　rv―､＿_' 　|
∧∧∧∧　 ﾚ'ム{　　　 　 ﾉ ノ
　　　　　 ＞x┴―≧ｪ一 '´
　し　ち　 ＞----'´　　＼
　ま　ん　 ＞/　　/　　　 |
　え　こ　 ＞'　　/　　　　|
　！　　　 ＞　 ､{　　　　 |

東大の問題は簡単ですね
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3613933.html

9 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2008/03/06(木) 17:10:11
東大の問題は簡単ですね
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3613933.html

お前等釣られすぎだろ。。。

age

>>5
ていうか更新してやれよMASUDA…

以下では循環トークＮＧな

ロピタルの定理って使っていいの？

>>14
証明書いたらな
証明書く暇あれば普通に解いた方が早い
それができないなら単なるゆとり

良い

証明書いたら、循環論法になってしまう

なんか、いい証明ない？

>循環論法になってしまう
ならないよ

>>17
お前のレスが循環してる
よって終了

教えてくだしあ＞＜

>>20
まずはお前が循環と言うロピタルの証明を書いてみろ
話はそれからだ

ロピタルの定理の証明
http://nels.nii.ac.jp/els/contents_disp.php?id=ART0000874979&type=pdf&lang=jp&host=cinii&order_no=Z00000015025208&ppv_type=0&lang_sw=&no=1204853358&cp=

↑上のURLで入れない場合は
http://ci.nii.ac.jp/naid/110000484771/
から右上の「本文を読む」をクリック。

質問するな

円卓の周りに何個かのボールを持った10人が座っている。そのボールは合計100個ある。
以下の規則により一斉にボールを右隣の人わたすことを繰り返すときいつか10人がみんな10個ずつボールを持つことを示せ

自分の持っているボールの数が偶数なら半分を渡し、奇数ならその数に１つ足した数の半分を渡す

>>25
IMOの過去問集にあるのと全く同じ問題。

>>25
本選》╋|||《数学オリンピック 9》╋|||《合宿
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1202367604/

http://oshiete1.goo.ne.jp/user.php3?u=978150
キチガイワロタ

>>28
３の質問にお答えします。ずばり僕です。
僕はいま小学校４年生なのですが、小学校３年生のときにフィルマーの最終定理に気がつきました。そして、それの証明に成功しました。
しかし、ワイルスが証明していたため、ダメでした。そこで、いまは証明がされていない定理を証明することにしました。

ゴールドバッハの予想、ホッジ予想、リーマン予想は証明できました。
しかし、どこに発表していいのかわからないので、世間に発表できない状態です。ここで、どこに発表するんですか？と尋ねても、ここの人たちは馬鹿にしてちゃんと答えてくれないので、いまいち僕もわかりません。

４の質問に答えます。僕が証明していたので、証明されていたでしょう
５の質問に答えます。僕です。僕は全く新しい定理（ヨーチーの定理）で証明しています。ヨーチーの定理でゴールドバッハもいけます。

ここに、書けという人もいますが、ここにはかけません。
ワロタ

面白いと思ったんだろうな

kingだろ

ヨーチーの定理（笑）

。。。。

この回答へのお礼：いろんな証明、お疲れ様でした

この冷静さに涙。

東大入試では、ロピタル使えば解けるという問題はほとんど
出ないので、このスレ的には「ロピタル使っていいですか？」
は意味ない。

ロピタルってどう証明するん。

ググレカスと言いたい所だがゆとり課程で証明せよ、なら無理。
ロピタルでしか解けないような問題なんてでないから気にする必要もない。

>>37 ゆとり課程でも↓の証明は認識可能だろ。微分の定義くらいしか使ってないんだから。

[証明]{f(x)-f(a)}/{g(x)-g(a)}=f'(Δx)/g'(Δx)　ただし、Δx=a+θ(x-a)、0<θ<1
　　　　よって、lim[x→a]f'(Δx)/g'(Δx)=lim[Δx→a]f'(Δx)/g'(Δx)　は存在するから、
　　　　lim[x→a]f(x)/g(x)=lim[x→a]f'(x)/g'(x)

Reply:>>31 私を呼んでないか。

○吉外逃亡カルタの引きこもりスレ●


[保守再建] 米大統領選 2 0 0 8 Part.2 [民主国家]
http://society6.2ch.net/test/read.cgi/giin/1202214441/

歳出カット] 北九州市都市開発スレ５ [小さな政府
http://love6.2ch.net/test/read.cgi/chiri/1204007635/1-100

堺市と北九州市どっちが都会？
http://love6.2ch.net/test/read.cgi/chiri/1199809206/201-300

北九州市都市開発スレ
http://love6.2ch.net/test/read.cgi/chiri/1174819272/l50
【銘菓百撰】九州・山口・沖縄ﾁﾗｼの裏61【ｺﾃ茶】（常駐コテ自演分裂スレ
http://love6.2ch.net/test/read.cgi/chiri/1201079087/l50#tag161

● X''CULTer's / Esprit de Digicam ◆KN.C37077Y　　↓☆オススメｗ
http://hobby10.2ch.net/test/read.cgi/dcamera/1192789071/l50

ロピタルの定理証明するにはコーシーの平均値の定理を証明しないと
コーシーの平均値の定理を証明するにはロルの定理だっけ？
ロルの定理を証明するには（ｒｙ
ってな感じなので実際の入試では現実的ではないだろう

実際、どの程度減点されるのかね。
まったく手も足も出ない問題なら、ロピタルつかったほうがいいだろうけど、
現実問題、まったく手も足も出ない問題でロピタルが使えるケースってのも中々ないしなぁ……
つか、極限がらみで手も足も出なかったこと自体一度もないし……

>>41
高校の教科書で、ロルと普通の平均値の定理は載ってるので
そこまでは無条件にOK。コーシーの平均値の定理は要証明。

コーシーの平均値からロピタルは難しくはないが、そこまで
証明書く暇があったら、普通に解いた方が速いｗ
東大入試で妙な極限の問題は出ないよ。

ロピタルの話はもういいよ

ロピタル　ロピタル　ルルルルルー

赤塚不二夫オツｗ

>>38
↑
こいつアホ杉

>>47
なんで、証明はあっているはずだが・・・

循環クンが帰ってきたかｗ

>>49
どこがおかしいか説明してくれ。これ教科書の丸写しなんだから。

間違いじゃないが、コーシーの平均値→ロピタル しか証明してない。
普通の平均値→コーシー がないと「入試で使う説明」として意味ない。

この手の話は、何を仮定していいか判断できるかどうかがポイント。
前スレの循環クンも、そういう見極めがわからず「循環だ、詰め込み
おっさんは馬鹿」と煽るだけのアホだったｗ

�凅 って、えらい妙な変数名だなあ
誰の教科書？

そんなことよりアナかわいすぎ
　　　　　 ／　　　　　　　　　　　　 ヽ
　　 　 ／　　/i　　　　 i　　　　　　 　 ＼
　　 ／　　　|　|　、　　 |　　　　　　　 　 ヽ
　　/　　 i　 |　 !, !ヽ　　 |,　　　i　　　　　 `,
　 /　　　|　|　　ヽ ! `ヾ'''+=- 、.|　　　　　　|
　i　i　　.|!,_,|　　　ヽ!,　＼ '!`ヽ `|　　　　 　 |
　{ .|　　,|´! |　　　　ヽ　_ `丶　＼　　　i　　 |
　| .|　i,/|　!| _　　　　　´r'",=-:、 |.　　 |　　 |
　.! .!　|!|　　,=- 　 　 　 　 i::::::ﾟ::i`|　 　.ト 　.|
　 } `, |,`　/ .r:c:,　　 　 　 !:::::::::! |`　　|　|　|
　 .|　Vヽ　| .{::::::i　 　 　 　 `- " .|　　 レ　 |
　 .|　　 |:`,` ` -'　　 ,　　　 　 　 .|　　.|　　 |
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　　.!　::. !: |:`:.,、　　　 rﾆフ　_.-´|　:.,!: : 　 !
　　 |　::. |:!: : : : :｀:'': :--=- ´　　/ ,/,!`; :　 ヽ
　 　 '; : : |': : : : : i: : :'; : :}　　　 / /!/: :i: :　ヽ,ヽ,,__
　　　 '!; :i i: :i : : :|: :_:,／ '　　　// /'>ｰヽ_　 `,￣
　　　　ヽ:! i:!:!: r,-7/　,、　　 _/,,,,' / ／　 ヽ,　i,
　　　　 i 〉,`i/´|| .!:|　　 ｀　　 '　 / /　　／ ヽ, `,
　　　　| :i: :/　 || |:|　　　　　　　/ / 　 /　　　ヽ !

ｽﾏｿ
誤爆した

アナかわいいよアナ

>>35
>>東大入試では、ロピタル使えば解けるという問題はほとんど出ないので

何も分かっていない方だな・・・

>>51 >>38が載ってる教科書見たんだけど、コーシーの収束定理しか載ってなかったわ。ググってみたけど、
　　　{f(x)-f(a)}/{g(x)-g(a)}=f'(Δx)/g'(Δx)がいけないようで。高校3年でやる平均値はラグランジュによるものか。
　　　ロピタルはやっぱ駄目なんかな・・・
>>52 Δxはxの増分って事で高校2・3年の教科書にあった。で、大学いってもそれを使ってるってわけ。

��
これは環境依存文字なのかの？

△xってアホか

>>58
△（さんかく）
Δ（デルタ（ギリシァ字[大]）
δ（デルタ（ギリシァ字[小]）
�凵iデルタ（環境依存文字））

Δを増分の意味で使ってたとしてもそこで使うのは犯しい
全然増分じゃ無いし

入試で使うような関数でのみ適用できるような緩めのロピタルの定理を
2,3行で証明できないかな

まとめサイトってまだ無いよね。
4月以降になるが、TeXで作って良いかね？

x = 2sin(π/18) とする。
1 - 2x - 3x^2 + x^3 + x^4 = 0
を示せ。

>>63
sin( )の3倍角公式:　2sin(3θ) - 3(2sinθ) + (2sinθ)^3 = 0,
に θ=π/18 を代入すると
　1 -3x +x^3 = 0,
両辺に 1+x を上手。

瞬殺だったか…

>>62
実にうれしい。待ってます。

大砲の弾をのろわせればおにぎり増やせるのでは？

誤爆したので問題投下

a[n] = (1 + 1/n)^n とする。
a[n+1] - a[n] > a[n] / {2 * (n+1)^2}
を示せ。

ごめん。 n の条件を忘れていたのと不等号の向きが逆だった。

自然数 n に対し、 a[n] = (1 + 1/n)^n とする。
a[n+1] - a[n] < a[n] / {2 * (n+1)^2}
を示せ。

>>62
LaTeXなら良いよ

ttp://www7.atwiki.jp/todaimath

62ではないが、@wikiを作ってみた。texで数式の入力もできるから、使ってみるといいかも。
ttp://www1.atwiki.jp/guide/pages/265.html#id_e239ddd8

>>62,66,70-71
別スレの過去スレのミイラ置き場
　http://briefcase.yahoo.co.jp/bc/loveinequality/
に副葬されてるようだが…

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/1
不等式への招待

せっかく wiki になったんだから過去スレから問題と解答を抽出して
>>71に移植していけばいいんじゃないか？
その方が見やすいだろうし。

とりあえずこのスレの問題（>>64,68）を>>71に書いておいた。

>>57だが、レスを見た。
Δxを使っていいのは高校までだろうか・・・
教科書のロピタルの証明とかでは増分はhとkだったからな・・・

>>69

　b[n] = (n+1)^2 /[n(n+2)] = 1 + 1/[n(n+2)],
両辺を2乗する。2項定理により
　b[n]^n = {1 + 1/[n(n+2)]}^n
　　　> 1 + 1/(n+2) + (n-1)/[2n(n+2)^2]
　　　= {n+3 + (n-1)/[2n(n+2)] } / (n+2)　　　　　{n(n+2) < (n+1)^2}
　　　> {n+3 + (n-1)/[2(n+1)^2] } / (n+2),

　a[n] / a[n+1] = {(n+1)/(n+2)}b^n
　　　> {(n+1)(n+3) + (n-1)/[2(n+1)] } / (n+2)^2
　　　= {(n+2)^2 -1 + (n-1)/[2(n+1)] } / (n+2)^2
　　　= 1 - (n+3)/[2(n+1)(n+2)^2]
　　　= 1 - 1/{2(n+1)^2 + 1 + (n-1)/(n+3) ]
　　　≧1 - 1/[2(n+1)^2 +1], 　　　　{n≧1}
よって
　a[n+1] / a[n] = {(n+2)/(n+1)}b^n < 1 + 1/[2(n+1)^2].

>75の訂正　まいどｽﾏｿ……orz

・解答の２行目　両辺をｎ乗する。
・最後の行　　　a[n+1] / a[n] = {(n+2)/(n+1)}b^（−n） ≦　〜〜
・＞ を ≧ に　 n=1 のとき等号成立……

>>71
使いやすそうだね。今のところメニューとか整理されてないから見づらいけど、
スレごとに問題まとめていけばかなりまとまりそう。

n = 1 のときに等号が成立するのは出題ミスでした。申し訳ない。
>>69と同じ元ネタでもう1問投下。

n は3以上の整数とする。
Σ[k = 1 to n] k^n > {n^(n+2) - n^(n+1) - n^n +1} / {(n-1)^2}
を示せ。

出題しゃにききたいんだが、不等式を証明する題材とかどうやっておもいついてるんだ？

ある定理の評価を甘くしたり、同値変形を繰り返したり。。。

>>71
乙
wikiメインでも良いし、pdfとdviも作って良いなら漏れがやれればと思ってる

>>79
元々 a[n] = (1 + 1/n)^n が増加数列であることを
できるだけ計算しないで証明する方法を考えていた。
（相加相乗平均の不等式 (na+1)/(n+1) > a^{n/(n+1)}, a = 1 + 1/n は飛び道具的であまり好きじゃない）

x^(n+1) - (n+1) x y^n + n y^(n+1) = (x-y)^2 * Σ[k = 1 to n-1] {(k+1) x^(n-k-1) y^k}
という恒等式が x = 1 + 1/(n+1), y = 1 + 1/n を代入してほしそうにしてたからそうしてみた。
期待通り 左辺 = a[n+1] - a[n], 右辺 > 0 となり
a[n] が増加数列であることをほとんど計算しないで証明できた。
ちなみにこの天下り的恒等式は 1 + 2 a + 3 a^2 + … + n a^(n-1) を求めるという
よくある数列の問題から持ってきたもの。

で、せっかくだから少し評価してみようとΣの中身をいじくった。
x = 1 + 1/n に y = 1 + 1/(n+1) で置き換えて評価したのが>>69。
相加相乗平均の不等式で評価して、計算が単純になるように x = 1, y = n を代入したのが>>78。

【×】 x = 1 + 1/n に y = 1 + 1/(n+1) で置き換えて評価したのが>>69。
【○】 x = 1 + 1/(n+1) を y = 1 + 1/n で置き換えて評価したのが>>69。

　xyz座標空間に3点A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)があり，Aを通りy軸に平行な直線をL[1]，Bを通りz軸に平行な直線をL[2]，Cを通りx軸に平行な直線をL[3]とする。
球面S[1]，S[2]は半径がそれぞれr[1]，r[2]であり，2つの球面は互いに外接し，かついずれも3直線L[1]，L[2]，L[3]のすべてに接する。
このとき，r[1]+r[2]の最小値を求めよ。

正直言って、煩雑な計算になりそうで解く気が起きない

[【大学入試】ワンランク上の数学質問スレNo.2]
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1196420546/
このスレでみんなが解けずに困っている問題
皆さんなら余裕でしょ・・・？

ある会場に10人の人がいます。
その各々が一斉に1〜100の間の任意の数を叫び、
その中で2番目に大きな数を叫んだ人が賞金を得ることが出来ます。
このとき、1〜100のいくつの数を叫べば最も勝率が高いでしょう。

>>84
√6かな、確かに煩雑だけど易しいが煩雑と言うのは東大らしいかもね

>>86
困ってると言うより数学の問題になってない

次の問題を何通りもの解法で解け

実数x,yがx^2+3xy+y^2=6をみたすとき,2x-3yの最小値,最大値を求めよ

>>88
問題ミスってるだろ？図を書いてみなよ

図が書けないらしい

あ、高校生なら主軸変換とか知らないんだな

俺の時代は習っていたが……今のカリキュラムってどうなってるんだろ

深さMの十分に湿ったマンコに長さL(≦M)の勃起したチンコを全部挿入するとき、以下の問いに答えよ。
ただし、マンコは深さxの点において1 - | 1 - 2x/M |の締め付けをチンコに与え、チンコは根元からの距離yの点において y/L の感度を有するものとし、
チンコが各点において得る時間毎快感を(締め付け)*(感度)*(挿入速度)と定義する。
(1) 挿入速度を可変とし、時刻に対する挿入速度の関数をテクニック関数と定義する。
挿入開始から終了までに勃起したチンコが得る快感の総量はテクニック関数に依存しないことを示し、その値を求めよ。
(2) 長さLの勃起したチンコに最適なマンコの深さを求めよ。

>>93
(1)自明
(2)0.90M

主軸変換って？

>>94
(1)は値をちゃんと求めて下さい

>>93
このスレは14スレ目になるが
スレ始まって史上、最高にくだらねぇ問題

童貞ｸﾝはこれだから困る

>88
それだと、すべての実数値をとるお……

〔修正〕
実数 x,y が x^2 +3xy+y^2 = 6 をみたすとき, 12x+13y がとり得る値の範囲を求めよ。

　(12x+13y)^2 = A(2x-3y)^2 + B(x^2 +3xy+y^2),
とおいてみる…

ｘ^2+3ｘｙ+ｙ^2=6
って円ですよね？？

双曲線ですよ

>>82

　x^(n+1) - (n+1)x･y^n + n･y^(n+1) > 0,
に x=1, y = a^{1/(n+1)} を代入すれば、相加・相乗平均（鳶道具）を使わずとも
　(na+1)/(n+1) > a^{n/(n+1)},
が出る、ってことでつね。

　でも、>69 は出ない希ガス････

>>99
座標軸を45°回して
　x = (u+v)/√2,
　y = (v-u)/√2,
を使えば、
　x^2 +3xy +y^2 = (5v^2 -u^2)/2　……　双曲線 >100

私には鼻毛が全部で10本生えています。これから次の操作をします。
〔操作〕鼻毛を毎日1回、２または3または4本、それぞれ１/３の確率で抜く。
但し、鼻毛は毎日、午後に抜く。抜いた鼻毛は3日後の午前に突然同じ本数
再生する。例えば、1日目の午後に3本抜くと、4日目の午前に3本再生する。
鼻毛が5日後に初めて全てなくなる確率を求めよ。

いい加減下品な問題書き込むのやめろよ
ガキじゃあるまいし

ガキなんじゃないの、多分。

「うんこちんちん」とか言っとけば爆笑する年頃なんだろ。

問題自体はマトモ
ただ残りが3本以下の時のルールはどうするのか決めてくれ

>>106
君は小学生かな？ 幼稚園児かな？
「爆笑」の意味を国語辞典で調べた方がいいよ

今年の入試問題で一番の良問はどれ？

正八面体を平らな場所に置いたとき、それを真上から見た図を描け。

問題投下

正五角形 ABCDE において
AC と BE、 AC と BD、 BD と CE、 AD と CE、 AD と BE の交点を
それぞれ P, Q, R, S, T とする。
五角形 ABCDE の面積を S、星型 APBQCRDSET の面積を T とするとき、
T/S の値を求めよ。

>>111
それ、俺が高校入試受けたときに出たよ

>>111
赤チャ(数�T)にあった希ガス

m, n は自然数とする。
{(m^m)/m!} * {(n^n)/n!} < {(m+n)^(m+n)} / (m+n)!
を示せ。

1=(m/(m+n)+n/(m+n))^(m+n)>(m+n)!/(m!n!)*(m/(m+n))^m*(n/(m+n))^n
面白いけどﾊﾞﾚﾊﾞﾚ

瞬殺か…ちなみに
C[m+n,n] {m/(m+n)}^m * {n/(m+n)}^n = {確率} < 1
が元ネタだったんだが。

もう1つの別解は n についての数学的帰納法。
(1+1/n)^n が増加数列であることを証明することになる。

http://www7.atwiki.jp/todaimath/
ページ作成者さん、頑張ってください。

後期の数学微分方程式が出たんだって
文系排除だな

http://www.yozemi.ac.jp/nyushi/sokuho/sokuho08/tokyo/koki/index.html
東大後期問題

数列a a[1],a[2],a[3]・・・a[50]、および、
数列b b[1],b[2],b[3]・・・b[50]がある。

a[1] = 1、a[2] = a[1]*b[2], a[3] = a[2]*b[3]・・・である。

また、b[1], b[2],b[3]・・・は、1,2,3のいずれかの数値である。

このとき、数列aの取り得るパターンは、全部で何通りあるか答えよ。
（数列aのパターンは、数列bの値のパターンを無視するものとする）

パターンって何かな？
数列aは3^49乗通りありそうだけど

数列aのとりうる値の集合は何通りあるか?
ってことだと解釈しました。

数列aがとった値の集合は何通り考え得るか?

8桁の数がある。これの左の半分と右半分は同じ数字で、例えば48034803、19361936、72657265のようになっている。このような数の中で28907で割り切れるもっとも大きな数を求めよ

10001と28907の最小公倍数は1001＊211
9999/211=47....
47*211＝9917だから
99179917

数がデカすぎで悪問

というか中学レベル

{tan(π/7) - 4sin(2π/7)}^2
を計算せよ

A,Bを正の実数とする。n＝[A*(u^3)]＋[B*(v^3)] (u,vは非負整数)とは表せない自然数nが
無限に存在することを示せ。ただし[ ]はガウス記号とする。

θ=2π/7, x=cosθとするとcos4θ=cos3θから
8x^3+4x^2-4x-1=0
{tan(π/7) - 4sin(2π/7)}^2 =(1-x)(4x+3)^2/(1+x)
={-2(8x^2+4x^2-4x-1)+7(x+1)}/(x+1)=7

[A*(u^3)]＋[B*(v^3)]=f(u,v)とおく。
f(u,v)≦kとなる(u,v)の数をg(k)とする。
f(u,v)≧max{[A*(u^3)],[B*(v^3)]}だから、
max{[A*(u^3)],[B*(v^3)]}≦k
、すなわち、[A*(u^3)], [B*(v^3)]≦k
となる(u,v)の数をh(k)とすれば、
g(k)≦h(k)≦((k+1)/a)^(1/3)*((k+1)/b)^(1/3)
=(ab)^(-1/3)*(k+1)^(2/3)
したがってkが十分大きい時
g(k)<kであり、k以下の自然数をf(u,v)の形に書ききれなくなる。

これは少し難しかった

無限に、か
じゃあg(k)<k^(3/4) (k十分大）としておけばあぶれるのが無限といえるかな

>>107　
3本の時→1/3の確率で2本、2/3の確率で3本　
2本の時→１の確率で2本　1本の時→１の確率で1本
　　　

>>130
端折り過ぎで何やってるのかわからない

減点だっつーならかまわん
丁寧なの希望ならもう少し丁寧に書いてもいいけど？

>>135
頼む

θ=2π/7, x=cosθとすると、7θ=2π。
よって4θ=2π-3θだから
cos4θ=cos(2π-3θ)=cos(-3θ)=cos3θ
左辺に２倍角の公式を２回、右辺に３倍角の公式を使って
2(2cos^2θ-1)^2-1=4cos^3θ-3cosθ
よって2(2x^2-1)^2-1=4x^3-3x
整理して8x^4-4x^3-8x^2+3x+1=0
これは(x-1)(8x^3+4x^2-4x-1)=0となるが、x≠1だから
8x^3+4x^2-4x-1=0 ・・・(1)
sin(2π/7)=2sin(π/7)cos(π/7)
=tan(π/7)*2cos^2(π/7)
=tan(π/7)(1+cos(2π/7))だから、
{tan(π/7) - 4sin(2π/7)}^2
=tan^2(π/7){1-4(1+cos(2π/7))}^2
=(1-cos(2π/7))/(1+cos(2π/7))*{-3-4cos(2π/7)}^2
=(1-x)/(1+x)*(-3-4x)^2
=(1-x)(4x+3)^2/(1+x)
分子は-16x^3-8x^2+15x+9だが
(1)を利用すると、
={-2(8x^2+4x^2-4x-1)+7(x+1)}/(x+1)
={-2*0+7(x+1)}/(x+1)=7

>>137
サンクス。理解した。

下から２行目は

={-2(8x^3+4x^2-4x-1)+7(x+1)}/(x+1)

だな。

xn＝[(n＋1)log(n＋1)] (n＝1,2,3,…)とおく。ただし、log の底はeとし、
[ ]はガウス記号とする。次の＊を満たす素数pについて考える。
＊：xnがpで割り切れる自然数nが少なくとも1つ存在する
(1)p＝3は＊を満たすことを示せ。ただし2.71＜e＜2.72を使ってよい。
(2)＊を満たす素数は無限に存在することを示せ。

>>138
訂正感謝

鼻毛を解いてみたが全部書いてられん

本数に負も許して考える。
つまり、残りが何本でもそれぞれ(1/3)の確率で2,3,4本抜くとする。
事象A_i={i,i+1,i+2日目の抜く合計が10本以上}とする。
A_1=A, A_2=B, A_3=C, A_4=Dと書き、余事象をA~等と書くと、
求める確率はP(A~B~C~D)=P(A~C~D)-P(A~BC~D)
C~Dとなる3,4,5,6日目の抜く本数を考えると
2334, 2244, 2424, 2343, 2433, 3334, 3244, 3424, 2344, 2434
A~C~Dとなるには
1,2日目は3日目が2なら合計7以下で44以外の3^2-1=8とおり
3日目が3なら合計6以下で、22,23,32,24,33,42の6通りだから
P(A~C~D)=(8*7+6*3)/3^6=74/3^6
対称性からP(A~BC~D)=P(AB~CD~)だが、
B~Cとなる2,3,4,5日目の抜く本数は、
上のC~Dとなる3,4,5,6日目の抜く本数と同じである。
AB~CD~となるように個々に1,6日目を考えて
P(A~BC~D)=P(AB~CD~)=(0+0+1*2+0+1*1+1*2+0+2*2+0+1*1)/3^6
=10/3^6
∴P(A~B~C~D)=P(A~C~D)-P(A~BC~D)=64/729

これが丁度(2/3)^6なのは偶然？

>>139
これも129と同ﾀｲﾌﾟだね、出題者が同じ方かな？

第一高等学校の入試問題をだれかうｐしてくれまいか。
三高にくらべれば易しかったと聞くのだが。

>>142
彈丸若干個ヲ人夫若干名ニテ某地ニ運ブニ各人毎回同數ヅツ運ビ往復９回ヲ要スルモノトス。モシ人數ヲ７名�揀V
各人毎回ノ運搬數ヲ２０個減ズレバ８回ニテ了ルベク又人數ヲ４名減ジ各人毎回ノ運搬數ヲ１０個�揀Zバ１０回ヲ
要スベシトイフ。人夫ノ數及ビ彈丸ノ數ヲ問フ。
（昭和１１年　一高）

ax^4+bx^2+cヲax^2+bx+cニテ割リタルトキノ剩餘ガxヲ含マズトスレバa, b, cノ間ニ如何ナル關係アルベキカ。
又ソノ時ノ剩餘ヲ求メヨ。但シab≠0ナリトス。
（昭和９年　一高）

p, q, rガ連續スル正ノ整數ニシテpガ最小ナルトキlogq-logp>logr-logqヲ證明セヨ。
但シlogハ常用對數ヲ表ハスモノトス。
（昭和１３年　一高）

打つだけでどっと疲れたので終了。

>>144
ax^4 +bx^2 +c = (ax^2 +bx+c)(ax^2 -bx+c)/a + px^2 + c - (c^2)/a
　　　　　　　　= (ax^2 +bx+c)(ax^2 -bx+c +p)/a -(bx+c)p/a + c - (c^2)/a,
此処ニ
　p = b - 2c +(b^2)/a,
　q = c - (c^2)/a,
題意ヨリ、此式ノ右邊ハxヲ含マヌ故、p=0.

>>145
　q^2 > (q^2) -1 = (q-1)(q+1) = pr,
　q/p > r/q,
両邊ノ常用對數ヲ取ル。

カオスｗｗ

>>144 (修正)
ax^4 +bx^2 +c = (ax^2 +bx+c)(ax^2 -bx+c)/a + Px^2 + Q
　　　　　　　　= (ax^2 +bx+c)(ax^2 -bx+c +P)/a -(bx+c)P/a + Q,
此処ニ
　P = b - 2c +(b^2)/a,
　Q = c - (c^2)/a,
題意ヨリ右邊ノ剩餘ハxヲ含マヌ故、P=0.

>>140
おお！6日目初めて、で解いてくれたのか。5日目なら24/243でいいよな？
多分偶然だろう。

１辺ｘの立方体ABCD-EFGHに、半径ｙの長い円柱Sの中心がAとGを通る
ようにSを刺して穴を開ける。同様にSの中心がBとH、CとE、DとFを
通る場合についても穴を開ける。このとき、残った部分の体積ｚを
ｘとｙの関数で表せ。

>>150 訂正24/243→8/81

>>151
むずいんだが

>>151
せめて、xとyについて、y＜x/?とかいうような条件をくれ。
そうでないと、渾沌としすぎだ。

たぶん全部場合わけしろってことじゃね。
一応場合わけ自体は出来た。

面倒なだけ、悪門

いい問題ではあると思うよ。
東京医科歯科大学あたりで出そう

医科歯科はもっと細かく小問に分けてくれるもん！

そこらへんはさすが東大というべきか（藁

医科歯科どころか東大でもでねーよｗ

まあ立体がでまくってた難しい時代に戻ったと思えばいい

半径rの円に内接する正方形ABCDがある.円の内部にある点Pから4頂点A,B,C,Dまでの距離の積の最大値を求めよ.

　　　　∞
F(s)=∫f(t)e^(-st)dt
　　　　0
で定義される関数をラプラス変換といい、ラプラス演算子L[ ]を用いて
F(s)=L[f(t)]
と示される。以下の問いに答えよ。

(1)
L[f'(t)]=sF(s)-f(0)
を示せ。

(2)
L[e^(at)]=1/(s-a) (a:constant)
を示せ。

(3)
f'(t)-f(t)=0, f(0)=1
を満たすf(t)を求めよ。

√(16)=4

>>162

正方形の頂点を　A(r,0),　B(0,r),　C(-r,0),　D(0, -r) とおく。
　(AP･CP)^2 = {(x-r)^2 + y^2}{(x+r)^2 + y^2}
　　　　　　= (x^2 + y^2 + r^2)^2 - (2rx)^2
　　　　　　= (R^2 + r^2)^2 - (2rx)^2
　　　　　　= R^4 + r^4 - 2(r^2)(y^2 -x^2),
　(BP･DP)^2 = {x^2 + (y-r)^2}{x^2 + (y+r)^2}
　　　　　　= (x^2 + y^2 + r^2)^2 - (2ry)^2
　　　　　　= (R^2 + r^2)^2 - (2ry)^2
　　　　　　= R^4 + r^4 + 2(r^2)(x^2 -y^2),
ここに R^2 = x^2 + y^2 とおいた。題意により R≦r.
　AP･BP･CP･DP = √｛(R^4 + r^4)^2 -[2(r^2)(x^2 -y^2)]^2｝≦ R^4 + r^4,
∴　R=r, |x|=|y| のとき最大値 2r^4,

MASUDAのサイトって定期的に変なの沸くよな

半径1の円Cがあり、半径 1/n の円をその中心がCの周上で、かつ
互いに重なることのないように敷き詰めていく。このとき敷き詰める
ことのできる円の最大個数をa[n]で表すとき、次の極限値を求めよ。

　　　lim[n→∞]a[n]/n　、lim[n→∞](a[n]-n)/n

>>151
y/x>1/(2√2)だと答えがぐちゃぐちゃにならないか？
y/x≦1/(2√2)ならきれいになるっぽい

>>167
2つめはちょっと違う式を書くつもりだったんでは？

167大数にあったぞ

>169　ちょっと違うくなかったっけ問題の設定??たぶん東工大の過去問のことだろうけど

よくある構図の問題ではあるけど、
典型問題とちょっと違うところ、極限値を基本と発展（？）の２種類求めさせるところ、
などは近年の東大に傾向に合ってると言えるな。
こういう問題の方が的中する可能性が高い。

■このサイトに来てショックだった事(#9)
1[名無しさん]
タイトル通り、私は間違った解答を記述したつもりはないのに
間違った個所を的確に指摘する事もなく、２回ほど不正解扱いにされ、
挙句、予備校の講師を勤めている友人に聞いたところ、
間違った個所は特にないと言ってました。
なのに益田さんは私の解答を間違いだとおっしゃられ、以上の事柄を含め
検討を重ねた結果、やはり間違った個所は全く無かったのです。
なのに不正解にし、挙句は他の回答者は私と同じような解答であるにも関らず
正解にしたのです。悔しくてたまりません．．。どう思いますか？
2008-03-15 02:45

まあ確かに間違いを指摘してないときはチラホラあったな
あれは受験生がかわいそう

益田なんかに頼るからだよ

あそこ、大半が携帯で書き込んでる高校生だろ？
問題の難易度以前に、解答の入力自体に恐ろしく時間がかかると思うんだよ。
解くのに一苦労、さらに書き込むのに手間取り…
それを無機質に『不正解です』の一言で済まされたんじゃ学生も納得いかんのと違うかね。

たぶん出来る学生はあそこを素材を得る場としてだけ利用して、
たとえ問題が解けてもいちいち書き込んでないと思うんだわ。

もし受験生があそこで書き込んでいたらと思うとぞっとするね

他の質問はそっちのけであのトピックだけが伸びてるのにはワロタｗ

本当に伸びてるから笑える

トピ主がフルボッコされてるなｗ

今のところトピ主に同情的なコメントなし

2 [Ｋ子]new!
あなたが誰でどの問題でそのようなことがあったのか書かれてないのでなんともいえないですよ
2008-03-15 10:44

4 [名無しさん]new!
それが本当なら気の毒だとは思うけど、どの問題でそういうことがあったのか書かれてないから見れないわけで、それで「どう思いますか？」と聞かれてもね
2008-03-15 11:43

8 [正宗◆dCkMXz0BTk]new!
具体的に不正解にされた問題と解答を示して公式に質問するならまだしも…
そうでないなら雑談掲示板に行けばいいのに…
2008-03-15 19:18

9 [α]new!
だから？としか言いようがないね
益田さんに再度質問すればいいだけだし
質問スレに書くことじゃない
しかも問題提示なし

これで相手にしてもらえるほどネットは甘くない
2008-03-15 22:27

同情的なコメでもしたら反論で荒れて、
次に益田さんが誰かをアク禁にして終わりでしょ

１日たってもトピ主からもコメントなし
イタズラかな？

イタズラだとしたら益田が益益調子に乗るよ・・・

常連が名無し以外で擁護コメント出したら勇者だな

>>180のコメントがあるんだから
トピ主は早くその問題を提示すればいいのになんでやらないのかな
イタズラってとられても仕方ない
ほったらかしにしてたら益田にトピごと全削除されるぞ

そういや１月半ば以前の問題はどこ行ったんだ？

質問するならこの板か受験板の質問スレでも行った方が回答が早いだろ

本当にね。

第4問は見覚えあると思って過去問見たら、1974年の第2問と同じだった。

MOSはここに来てる誰かだろ

>>190
だとしたらあれはものすごいわざとらしいコメントだな
「受験専門のサイトとは知りませんでした」みたいな言い方してたぞ

log2の有理数近似を考えれば明らかとか書いていたがどうして明らかなのわからん

(1)3×3と4×4の正方形を合計2008個使って大きい正方形を作るとき何個ずつ使うか求めよ
(2)3×3×3と4×4×4の立方体を合計2008個使って大きい立方体を作ることは可能か調べよ

>>193
大きい正方形って、できるだけ大きい正方形ってこと？それともありうる限りの正方形？

9(2008-x)+16x=9*2008+7x≡5 (mod. 7)
n^2≡0,1,2,4 (mod. 7)だから(1)は不可能？

>>195
12×12だけから作るとは限らない
どっちにしろ(1)は解なしだけど

重ねるのもありなんじゃね？

>>196
面積が平方数にならないから12×12に限らず不可能
というつもりだった

ついでに
1辺をn、4×4×4をx個使うとして体積は
n^3=27(2008-x)+64x≡11 (37)
n^3≡11 (37) の解は　n≡25 (37)
一方27*2008≦n^3≦64*2008
より38≦n≦50だからこっちも解無し

すみません訂正します

(1)3×3と4×4の正方形を合計2010個使って大きい正方形を作るとき何個ずつ使うか求めよ
(2)3×3×3と4×4×4の立方体を合計2010個使って大きい立方体を作ることは可能か調べよ

これならちゃんとした問題になるかと

>>194
大きい正方形は3×3と比較したら大きいという意味で書いたので求めるのは作れる正方形全部です

>>200
それ、ピーター・フランクルの宿題そのまんま

なんでmod37でやるんだ？

>>203
37xがでてくるからじゃね?

king

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Reply:>>205 私を呼んでないか。

Reply:>>207 king死ね

gnik

Reply:>>208 お前が先に死ね。
Reply:>>209 三階テンソル。

おまえそんな考えしてたら頭爆発して死ぬよ

総和が1000になるいくつかの連続する自然数の組をすべて挙げよ。

28…52
55…70
198…202
1000

F(X)=ax^2+bx+cの2次関数において0<=x<=1の範囲での最大値、最小値を求めよ。

A点からB点まで進む物質Cがあります。

A点からB点の間が100メートルだとした時、
その間隔を2で割ると50メートル、
その間隔を2で割ると25メートル。

つまり、AB間の距離÷２÷２÷２÷２・・・・と永遠に続いていくわけですよね？
そうすると、常に物質CとB点の間には距離が存在するわけです。

ではどうやって、物質CはA点からB点へ移動できるのでしょうか。

>>215
つ愛

ヒント 物質

>>215　その距離を進むのにかかる時間も1/2*1/2*・・・となるから。
n/n→1

lim[x→0]∫[0,x]dt/√(cost-cosx)　　(x>0)

違う！終点はスタンドだぁ

kingざまあｗｗ

Reply:>>221 何をしている。

ハイキング





























に行きたい

ピクニック

























に、行くより、おうちで2ちゃん。

142ですが143、144、145、146さんありがとう。

give and take　こちらも情報を提供しまつ。

東京帝國大学理学部入試問題　昭和9年3月　3問/2時間

1）直交軸ニ関シ
　z = x^2/a + y^2/b
ナル曲面ヲ x + y + z = 1 ナル平面ニテ截ルトキハ，
ソノ截リ口ノ面積如何．

2）x ガ0ナラザル実数ナルトキハ常ニ
　cos x > 1 - x^2/2
ナルコトヲ証明セヨ．

3）半球型ノ器ニ満タセル水ヲソノ最低部ニアル小孔ヨリ流出セシムルトキハ，
全部ヲ出シ尽クスマデニ要スル時間如何．
但シ流出スル水ノ速サハ水深ノ平方根ニ比例スルモノトス．

大昔は学部ごとに試験を行ったみたいでつ。

>226

1) xy-平面ニ投影セバ、
　(1/a)x^2 + x + (1/b)y^2 + y = 1,
　(1/a)(x +a/2)^2 + (1/b)(y +b/2)^2 = 1 + (a+b)/4,
a>0,b>0 又ハ a<0, b<0, 4+a+b<0 ノトキ之ハ楕円デアッテ、其ノ面積ハ π{1 + (a+b)/4}√(ab),
x+y+z = 1 ナル平面ハ、xy-平面と arccos(1/√3) の角ヲナス。
依ッテ、截リ口ノ面積ハ、其ノ √3倍

2)　|sinθ| < |θ| ヨリ(*),
　cos(x) = 1 - 2･sin(x/2)^2 > 1 - 2･(x/2)^2 = 1 - (x^2)/2,

*)　|θ| < π/2 ノトキハ (sinθ) ' = cosθ ∈ (0,1]　又 sin(0) = 0.
　∴ sinθ ハ 0 ト θ トノ中間ニアル。
　|θ| > 1 ノトキハ、 |sinθ| ≦ 1 < |θ|,

>>227
地の文はひらがなでおながいしまつ('A`)
それにしても2時間3問はすごい。のんびりしてたんですね。

訂正
×　z = x^2/a + y^2/b
○　z = x^2/(a^2) + y^2/(b^2)

問題が解けることより、その文章が書けることの方が驚きだわ

東京帝國大学医学部入試問題　年度不明　例年2問、時間不明

1）xの関数 x + a/x + b の極小値が0となる条件を求めよ．

2）一定の円に内接する正n角形の面積は，
nの値が増すにつれて増加することを証明せよ．

医学部の問題は医学部の先生がつくっていたようでつ。

>>219
　cos(t) - cos(x) = 2sin((x-t)/2)sin((x+t)/2)
　　= (1/2)(x^2 - t^2) / {s((x+t)/2) s((x-t)/2)},
ここに s(t) = t/sin(t), s(0)=1 とおいた。s(t) は単調増加だから
　1 ≦ √{s((x+t)/2) * s((x-t)/2)} ≦ s(x).

　(与式) = ∫[0,x] √{2/(x^2 - t^2)} dt * √{s((x+ξ)/2)s((x-ξ)/2)}　(←平均値の定理,0<ξ<x)
　　　 = ∫[0,π/2] (√2) dθ * √{s((x+ξ)/2) s((x-ξ)/2)}　　(← t=x･sinθ とおいた)
　　　= (π/√2) * √{s((x+ξ)/2) s((x-ξ)/2)},
(π/√2) < (与式) < (π/√2)s(x),
　lim[x→0] (与式) = π/√2.

>>231
1)　(与式) = (x-√a)^2 /x + 2(√a) + b ≧ 2(√a) + b,　　(x>0)
　題意ニ拠リ、2(√a) + b =0,

2)　円の半径ヲrトセバ、弦（辺）ノ長サハ 2r･sin(π/n), 中心ト弦ノ中央ノ距離ハ r･cos(π/n),
　正n角形の面積ハ
　n(r^2)sin(π/n)cos(π/n) = (n/2)(r^2)sin(2π/n) = (πr^2)(n/2π)sin(2π/n)/(2π/n),
　sinθ/θ は単調減少スルコト拠リ…

>>230
　アーーﾝｶﾞﾝｶﾞ ヤンナッチャッタ、アーーﾝｶﾞﾝｶﾞ オドロイタ。（東京ぼん太）

六角形 ABCDEF が円に内接し、辺の長さについて
AB * CD * EF = BC * DE * FA の関係が成り立っているとする。
3つの対角線 AD, BE, CF は1点で交わることを示せ。

>>233
x>0なんてどこからでてきたんだ？
√aも問題ありだな

>>235
a≦0 ノトキハ単調ニ増加スル（但シ a<0,x→±0 ノトキハ 干∞ニ発散ス）故、極値ヲ持タヌ。
本題ハ、極小値ヲ有スル場合ヲ考ヘルカラ、a>0 トシテ良イ。

此ノ時、x>0 デハ下に凸デ、x=√a ニ極小ヲ有ス。
　一方、x<0 デハ上に凸デ、x=-√a ニテ極大値 -2(√a) + b ヲ有ス。

ここは明治・大正生まれのスレでつか？

なんで作問スレから過去問スレに変わってんだ？

スレの流れなんてそんなもん。
いちいちわめくな。

('A` )　ﾌﾟｳ
ノヽノ) =3'A`)ﾉ ﾋｬｰ
　 くく　へﾍﾉ

>>219
被積分函数を √{2/(x^2 -t^2)} と s(x)√{2/(x^2 -t^2) で挟めば おk。

平均値定理は不要だな....orz

片面が白，もう一方の面が黒のカード6枚を、白の面を表にして横1列に並べておく。
この状態から始めて,「さいころを振り、ｎの目が出たら、左からｎ番目のカードを裏返す」という操作を考える。
この操作を続けて２ｎ回行った後で、黒の面がｋ枚出ている確率をＰ(2n,k)(O≦ｋ≦6)とするとき、
Ｐ(2n,k) (O≦ｋ≦6)を、それぞれ求めよ。

6!=6*5*4*3*2*1=8*9*10
このようにn!が連続するn-3個の自然数の積で表せるような自然数nを全て求めよ。

三角形の三辺をa,b,cとし、外接円の半径をRとおく。このとき次を示せ。
R=(√(a^2+b^2+c^2))/3⇒R=a/√3

>>244
(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…

パスカルの三角形で偶数になる所を求めよ

今月の問題がなくなった件

解答知りたかったな

探求記も未解決問題もなくなってる

ホントだ

ほんとだ、消えてる
探求記は面白かったのに

益田塾って受験生の役にたってるのか？

受験ｺﾝﾌﾟの発散場としては役に立ってるよ。

>>253
それはむしろこのスレ

どうせMASUDAも暇つぶしでやってんだろから適当でいいだろ
受験生なら難関大学への数学の方が解答、解説がしっかりしてるからいいと思う
数式とか見やすいから気に入ってる

>>244-245

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/306-308
不等式スレ３

自作問題。(2)は高校の範囲を逸脱してしまった。誰か上手い方法を頼む。

(1) cを自然数とし、自然数列a(n)(n＝1,2,3,…)を
a(1)＝c , a(n＋1)＝[ a(n)|sin a(n)| ]＋1　(n≧1)
で定義する。どんなcに対しても、a(n)は発散しないことを示せ。
ただし、[ ]はガウス記号とする。

(2) cを自然数とし、自然数列a(n)(n＝1,2,3,…)を
a(1)＝c , a(n＋1)＝[ a(n)|sin a(n)| ]＋2008　(n≧1)
で定義する。どんなcに対しても、a(n)は発散しないことを示せ。
ただし、[ ]はガウス記号とする。

(2)は
a_(n + 1)
= [a_n/sin a_n] + 2008
＞ [a_n] + 2008 ≧ a_n - 1 + 2008 = a_n + 2007
じゃないの？発散すると思うんだけど。

なんで絶対値が割り算に？

ああ、ごめん
ボケてた

数列の項の十分先を取ると、a_nはπ(1/2 + N)に
いくらでも近くないといけないことが分かるから
頑張れば矛盾は出てきそうだよね（←適当）

a[k]＞0　(k=0,1,…,n)のとき
a[n]x^n+a[n-1]x^(n-1)+…+a[1]x+a[0]=0
の解の絶対値はa[1]/a[0],a[2]/a[1],…,a[n]/a[n-1]の中の最大と最小の間にあることを示せ

>>244
既に解かれているが別解。

a ≦ b ≦ c として考えてよい。
R = abc/4S　　（S は三角形の面積）
　= abc/√{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}　　（∵ヘロンの公式）
　= {√(a^2 + b^2 + c^2)}/3
∴ 9 a^2 b^2 c^2 = (a^2 + b^2 + c^2)(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)

0 = 左辺 - 右辺
　= a^6 + b^6 + c^6 + 3 a^2 b^2 c^2 - a^4 b^2 - a^4 c^2 - b^4 a^2 - b^4 c^2 - c^4 a^2 - c^4 b^2
　= a^2 (b^2 - a^2) (c^2 - a^2) + (c^2 - b^2)^2 (c^2 + b^2 - a^2)
　≧ 0　　（∵ a ≦ b ≦ c）
だから等号は成り立っていなければならない。
等号の成立条件は {a = b または a = c} かつ b = c すなわち a = b = c。
このとき R = a/√3。

>>262
流石ッ！
ライオンは爪を見れば分かる、健在ですな
(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…

あるCDを買うと44種類のポスターのうち
一つが無作為におまけとして付いてくる。

44種類全てのポスターを集めるには、平均していくつCDを買えば良いか？

>>264
はぁ？そんな有名な問題、誰でも解ける。東大にでるわけないだろう。ここはおまえの宿題スレじゃねーんだよ。

いや三角関数の加法定理の証明なんて
有名過ぎるにもほどがあると思ったが。

円周率の評価とかも有名すぎ。

以前にも数学オリンピックに出た問題をほぼそのまま出したことがある。

東大って結構有名問題をたくさん出すところだよ。

最近は有名問題（ただし頻出とは限らない）をどれだけ確実に解けるか、というタイプの問題が
毎年1問は入ってることが多いね。
今年は2番とか6番とかか。

というか受験生にとってはそんな有名じゃないので
或る程度以上確実に解ける奴は数学が好きな奴に限られて、
大体そういう人は数学で高得点を取るような。

まあだから良い試験だとは思う。

色んなタイプの問題を混ぜた方が得点がばらついていいということに気づいた感がある。
だから頻出タイプ・東大的立体問題・過去問の流用などを織り交ぜた、めりはりのある出題という雰囲気だ。
ここ3年は。

かつて出ていたような斬新な新作問題は、誰も解いてくれなくてむなしくなったのか、鳴りを潜めているな。

>>269
どの学校も新作を作る雰囲気じゃないな
おおよそ怠慢だと俺は思ってるんだがどうだろうね

それでも「今年こそは・・・」と毎年期待してしまう不思議。

まあ高校生にとっては、今の傾向の方が努力が報われるという意味では好ましいだろうけど。

4つの辺の長さが1である四面体の体積の最大値を求めよ。

>>272
√3/12

福田嗚咽男

「4つの辺の長さが1である四面体の体積」の最大値ｗ

では最小値を求めてみましょうｗ

最小値は無いだろー

(1) 背理法とはどのような証明法か，『ＰならばＱである』という命題を用いて述べよ。
(2) iは虚数単位√(-1)とする。また，x，yを実数として，複素数x+yiのxを実部とよぶ。
a，b，c，dが有理数であり，(u+vi)(a-bi)の実部と(u+vi)(c-di)の実部が等しいならば必ず(a,b)=(c,d)が成り立つ．このとき，実数u，vの少なくとも一方は無理数であることを，背理法を用いて示せ．

(pq+p^)^0+(pq+p^)

z=ab,w=ad
(z+z^)/2=(w+w^)/2->ab+a^b^=ad+a^d^->a(b-d)=a^(d-b)^->a=0,(b-d)=0,a=ax(b-d)

MASUDAが新境地に至ったようです

>>278訂正
「少なくとも一方が無理数，または両方とも0」としてください．

a,bを実数としたとき定積分　
Ｉ(a,b)=∫[0,1] ｜x^2+ax+b｜dx
の最小値とそのときのa,bの値を求めよ。

>>283
頻出杉
東大ででねーよ

>>283はあまり出なさそうだな

円周率の評価できない奴ってやばくねぇ？

>>283が解けない…
誰が解説頼む

場合分けして計算するだけじゃねーの？ｗ

>>287=>>283
質問スレに行け、ビチ糞野郎め
(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!!

(x1,y1)は,(x1)^2/a^2 + (y1)^2/b^2 = 1かつx1>0 y1>0(a,bは実数）を満たし、
(x2,y2)は,4/(x2)^2 + 4/(y2)^2 = 1かつx2>0 y2>0を満たす。

このとき、任意の正の数m,nに対して以下が成立する事を示せ。

m(x1) + n(y1) ≦ m(x2) + n(y2)

a_(n+1)=sin(πa_n/k)/sin(π/k),k>2
a_0=Δxとして、
(ii)lim[Δx→0]a_n/Δx=((π/k)/sin(π/k))^nを示せ。
※ただし、テーラー展開を使った回答は不可とする。

そんな制約のある問題でるわけないだろ

>>291
「○○を用いよ」という問題文はあっても
「○○を用いた解答は不可」なんて問題文は１００％ないと断言できるね

>>292-293
普通の高校生はテーラー展開知らないだろ？少なくともあんたらに
答えて欲しくないな。
ちなみに、テーラー展開を知らない高校生でも解けます。
そのために出した問題で、テーラー展開使った解答はつまんないから
書くなってだけ

ｗｗｗｗｗｗｗｗ

馬鹿か
「テーラー展開を使うな」なんて文は不要だと言われてる意味が全く分かってないようだな

二億歩ぐらい譲って解釈すると……いや、やめておくか

次の条件で馬鹿になる人がいる。

3の倍数を言う　or　いずれかの位の数字が3である整数を言う

この人が1からnまでの整数を順に読み上げるとき、馬鹿になる回数をB(n)とする。
lim[n→∞]B(n)/log(n) を求めよ。ただし読み上げは10進数で行うとする。

>>298
笑った
しかも良問くせえｗ

何が面白いのか全然分からん

n=anj10^j
B(n)=��(δ(sin(πn/3))+(1-δ(sin(πn/3))(1-Π(1-δ(anj-3))))

>>298
どうみても無限大に発散します。ありがとうございました。

ﾜﾛﾀ

>>293
最近熊本大学にテーラー展開を使うなという制約が付いた問題が出ましたが？？
知ったかもいい加減にせぇよ　ビッチが！！！

ぷｗｗ

ここは熊本大学入試作問者になったつもりのスレではありません

>>304
傷に塩ぬるのはやめてくれｗｗｗｗｗ
言い訳すると、※の文はあぶりだしと考えてくれ

「おれの使ったのはテーラー展開じゃないTaylor展開ですが」という答案続出のうわさ。

>>304
お前はこのスレで熊大の入試作問者になったつもりだったのか
じゃあスレチだから消えてくれ

まくろーりんならいい？

オリジナルの級数展開ですが何か？
とかなら良いのかな

テーラー展開を部分的に使った不等式を微分で証明して挟み込むのは
テーラー展開を使ったことになるのか？

厳密なことを言うなら平均値の定理使っても
Taylor展開使ったことになりそうだけどね。

Laurent展開なら良いんじゃね？

>>298と関係して
自然数N以下の自然数を言うとき、

3の倍数を言う　or　いずれかの位の数字が3である整数を言う

と馬鹿になる。適当な自然数を馬鹿になって言う確率をナベアツ率P_Nと呼ぶ。

P_(10000)のナベアツ率を求めよ

言った直後バカになるのであって、
バカになって言う確率は０

【問題】

　立方体のある頂点から，辺に沿って隣の頂点へ等確率で移動する試行において，
　直前にいた点には戻らずに移動するとした場合，１つの頂点を出発して，
　Ｎ回目の試行で初めて最も離れた位置にある頂点に到達する確率を求めよ．

東大受験生は神様です。
京大受験生も神様です。
毎度おおきに！

３１６は京大即応問題やね。

なんかもうまともな問題出す奴はいねえのか？

king・・・

MASUDAも問題出さなくなったな

Reply:>>320 何か。

fは0以上1以下の区間で実数値として定義され、その区間で連続で、0<x<1において f''(x)>0 のとき、
0<x<1において (f(1)-f(0))x+f(0) > f(x) であることを証明せよ。

それ東大レベルなのか？

Reply:>>323 高等学校で平均値の定理は習わないのか。

そうじゃなくて、簡単すぎるって言われているのだと思うが……

f(x) = √xとしよう。このとき f は[0, 1]で連続かつ微分可能。
x ∈ (0, 1)のとき
(f(1) - f(0))x + f(0) = x < f(x) = √x
f(x) = x^2としよう。このとき f は[0, 1]で連続かつ微分可能。
x ∈ (0, 1)のとき
(f(1) - f(0))x + f(0) = x > f(x) = x^2

>>275
　4面体にはの6つの稜(辺)がある。
(1) 問題以外の2稜(2辺)が端点を共有する場合
　底面は1辺1の正3角形ABC, 底面積S = (√3)/4, また AD=1 とすると
　体積V = S･AD･sinθ ≦ (√3)/4 = 0.4330,　θは 面ABC と AD のなす角。

(2) 問題以外の2稜(2辺)が共通点をもたない場合.
　辺が1の4辺形ABCD がある。題意より AC⊥BD
　ACをx軸、BDをy軸に平行にとると、
　A(a,0,0),　B(0,b,c),　C(-a,0,0),　D(0,-b,c).
　題意より a^2 +b^2 +c^2 =1.
　体積V = (2/3)abc ≦ (2/3){(a^2+b^2+c^2)/3}^(3/2) 　　(←相乗･相加平均)
　　= 2/(9√3) ≒ 0.1283

(3) 上記より、体積の最大値は (√3)/4,
　底面が1辺1の正3角形で, その1頂点から長さ1の稜(辺)が直立するとき。

３で割れ。

>>327
(1) V を3で割る。
(2) V = (2/3)abc が嘘。

このスレをkingが乗っ取る日も近い
でもkingの思考を盗聴すれば簡単に防げるだろう

Reply:>>330 お前は何をたくらんでいる。

　p，qは実数とする．tについての方程式
　　f(t)=t^4-(2/3)t^2+pt+q=0
の解が，すべて絶対値が1以下の実数となるとき，以下の問いに答えよ．
(1) (p,q)の存在範囲をpq平面に図示せよ．
(2) xyz座標空間に，原点(0,0,0)中心，半径1の球面Sがあり，この球面Sに内接する正四面体の各頂点のx座標をa，b，c，dとする．このとき，p，qを(1)の範囲で適当に定めることにより，a，b，c，dがf(t)=0の解となることを示せ．

MASUDAさん来た！

f（x）＝sin^（3/2）xを考える。

x:0〜2πのとき、f（x）をx軸を軸にして回転させるとできる立体の体積を求めると0になる。
何故か？（笑）

>>334
0にならないので問題がおかしい
場合分けするだろ常考

>>332
テラ難い

>>334
どーせ、中が空洞だからってオチだろｗ

sin xの値が負のとき、その3/2乗ってどう定義するの？
少なくとも高校レベルでないことは確かだが。

＞x軸を軸にして回転させるとできる立体の体積を求めると
これは
「x軸を軸にして回転させるとできる立体の体積」の公式に
無造作に f(x) の式を代入すると
と言いたかったのか、なるほど

>>332
また例によって何が「任意」で何が「適当」なのか分からん問題文だな。
任意のa, b, c, dに対して適当なp, qが存在する、ってことですかい？

>>340
この程度の読解力つけようぜ

MASUDAが文章力つければいい話。

a^2+b^2+c^2+d^2=4/3.

>>340
これは普通に読めるだろ

>>332は文章的にはそうおかしくは無いな。
面白そうだとは思わないから解きはしないが。

>>343
それの証明だけで大問１題ぶんありそう

　nは0以上の整数とする．xについての多項式f(x)を
　f(x)=(1+x)(1+x^3)(1+x^9)…{1+x^(3^n)}
と定める．
(1) f(x)を展開したとき，各項の係数は0または1であることを示せ．
(2) f(x)を展開したとき，係数が1である項の次数の値すべてからなる集合をＭとする．Ｍに含まれる異なる3つの要素が等差数列をなすことはない．これを証明せよ．

>>347
(1)帰納法で簡単に示せる。
(2)Ｍに含まれる要素は三進法で表したときに0と1だけからなる値である
Ｍの異なる要素ａ，ｂ，ｃがこの順に等差数列になるとすると、ａ＋ｃ＝２ｂ　となるが
三進法的に考えてａ＋ｃが0と2だけからなることになる。このときａとｃは同じ要素となってしまい×
これで背理法的に示されるはず

>>347
良いもんだいだなぁ

>>347
関数形式にしただけで、ベースになる部分はどっかで見た気がするな

>>350
1983年IMOフランス大会第5問
10^5以下の1983個の相異なる正の整数を適当に選べば、その中のどの3つの数も
等差数列をなさないようにできる。この命題は正しいか否か？

秋山＆ピーターの「完全攻略数学オリンピック」に類題が載っているので、それで見たんじゃない？

>>347にしろ>>351にしろ、3進法に結びつけるのはむちゃくちゃ難しいと思うけど、
できるもんなの？

一見関係なさそうなものを○進法に結びつけるのは東大とかがよくやるんじゃないかな？
そのことを知ってたらできると思う。

はっきり、3^nって書いてあるからなぁ……

>>354
確かに。
俺も見た瞬間、3進法？って思ったし。
今年の東大でも3進法っぽいのが出てたし、過去に2進法に結びつける問題出たことあるし、
MASUDA問にも3進法にからめる問題あったし、>>351の問題も見たことあったし、
そういう知識と経験を総合的に生かして"ひらめく"もんなんでしょうね。

そういう意味では、>>351のIMOの問題はきついと思うけど、
MASUDA問はおそらく、3進法をひらめきやすい形式にわざと整えたんだと思う。
そういう風に「入試問題っぽく仕立てる」のうまいからね、この人。

「★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第九問」の937でも，
MASUDA氏は同趣旨の問題を出題していますね。


937 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：sage ：2007/08/30(木) 01:09:27
xy平面上において，1≦x≦100,1≦y≦100の領域Uにある10000個の格子点の中から以下の条件を満たすような500個の格子点が選べることを示せ．
条件『どの異なる3点A,B,Cを選んでもAB↑+AC↑≠0↑である』


三進法を使う解法は


957 ：１３２人目の素数さん ：sage ：2007/08/30(木) 13:17:06
>>955
確かに誘導は3進法思いつけば一撃だな
それを使うと>>937は細々した論証省くと
100[10]=10201[3]だからこれ以下で2を含まない最大値は10111[3]
2進法と考えて2^4+2^2+2+1=23
2次元だから23^2=529個とれることが分かる
∴500個とれる


三進法を使わない解答は
http://image02.wiki.livedoor.jp/l/y/loveinequality/43dce06dd93b7c7b.pdf
にあがってる。選べる個数が576個まで改良されてる。

fn(x)＝(1＋x^1)(1＋x^2)(1＋x^4)…(1＋x^(2^(n−1))) とおく。
(1)(x−1)fn(x)＝x^(2^n)−1を示せ。ここからfn(x)＝1＋x＋x^2＋x^3＋…＋x^(2^n−1)を示せ。
(2)任意の自然数はc0*2^0＋c1*2^1＋…＋cm*2^m (mは自然数でci＝0 or 1 i＝0,…,m)の
形に一意的に表せることを示せ。

二進法展開の性質を使っても解けるが、逆に、fn(x)の性質を使って
二進法展開の性質を証明できるという問題。

　最近は位取り記数法を習う中学・高校が大幅に減ったそうなので，この手の問題は東大ではもうあまり出ないかもしれません．
>>347のように3進法を見抜けやすいようにしても今の高校生には厳しいでしょうね．

　xyz座標空間において，原点O(0,0,0)を通過し，かつxy平面に平行でない直線Lがあり，L上のz＞0の部分に異なる2点A，Bを定める．また，xy平面上の原点以外の領域を点Pが動く．OA=a，OB=bとして，∠APBの大きさが最大となるときの点Pの軌跡を求めよ．

>>360
問題の意味がよくわからんが…
直線Lがz軸以外の場合
→点PはL上のz>0の部分をxy平面に射影してできる半直線上でOP=√abとなる点
直線Lがz軸の場合
→点Pは原点を中心とする半径√abの円の円周上を動く

x>0において定義され、常に値をとり微分可能な曲線C:y=f(x)上の
P(p,f(p))における接線のy切片をQとし、さらにx軸上にRをPQ=PRとなるように
とる。このときPRとx軸正方向のなす角をθとし、θは鋭角とする。

(1)f(x)=x^2のとき極限lim(p→∞)θを求めよ。

(2)曲線Cのx=αからx=β(0<α<β)までの長さをLとし、
x=α,x=β,曲線Cとさらにx軸が囲む部分をy軸の周りに
回転させたときにできる立体の体積をVとする。
任意のpに対してsinθ=1/p^2となるとき、LとVとの間にどのような関係が成り立つか
求めよ。

一行目
*常に値をとり→常に実数値をとり

訂正
*(2)ではpとαとβはすべて1より大きいとしてください。

a^4+16は因数分解できるんですか？

因数分解というときはどの範囲で因数分解するのか
（有理数係数の範囲、実係数の範囲、複素係数の範囲etc）
言わないと意味が無いよ

まあその式は+8x^2-8x^2することで因数分解できるね

つうかこのスレで質問すんな
別のスレで聞いてくれ

>>366
上３行と下１行の間に矛盾を感じるのは俺だけか？

いやまあ俺も思ったんだけど、一度にレスしないとメンドクサイし。

東大や京大では出ないと思うけど
因数分解せよ、というのはそもそも文脈依存なんだよね。
だから（厳密に言うと）問題文の解釈が一意的に定まらない。

代数的に解けない場合、
x^5 + αx - 1 = 0の解をa,b,c,d,eとして
x^5 + αx - 1 = (x - a)(x - b)(x - c)(x - d)(x - e)
なんて答え方をせざるを得ない。

だから常識的には大学入試で言ってるのは
Q[√2,√3,√5,......]係数の範囲、ということになるんだろうけど
問題文にこんなこと書けないし大して上手い言い換えも無い。

専門的に微妙、ということで言うなら「背理法を説明せよ」という入試問題もそうなんだよね。
「背理法によって存在を証明する場合、その証明は非構成的となる」という場合の背理法と
「√2の無理性は背理法によって証明できる」という場合の背理法は区別する場合がある。

高校では単に「因数分解」とだけ書かれていれば有理数係数だったかと

>>370
嘘を教えるな
実数係数だ

>>371
いや、普通は有理数係数。
x^2-2は普通は因数分解できない。

できないんじゃなくて、しないんだよ
暗黙のルールってやつだ！

いちいち断らずに従っているルールって多いよね。

まぁ、どこまでも際限なく因数分解しても、あんまメリット感じないしな

x^4-3を因数分解せよ

って問題が宿題にあるんですが、「因数分解不可」でいいんですか？

学校の先生に聞けよ、な？

>>376
学校の先生は授業で複素数範囲まで因数分解させてる
問題文に断りがなくてもね
でもこのスレの人は有理数範囲までって言ってる

なんなんだよ、ここは東大スレだぞ？わけわからない問題だすやつは来るな！！

>>378
わけがわからないことはない
因数分解せよ、という問題文でどこまで因数分解すべきかは
はっきりしといた方がいい

答案の数式をどこまで因数分解してるか
東大出題者はそんなもん見ません。
計算ミス、きわめて非常識な書き方でもないかぎり、正解にされます。

因数分解せよ
という単独の問題も、東大には出ません。杞憂です。

>>380
「因数分解せよ」って問題とは限らないだろ？
因数分解を題材にした問題もありえる以上は東大では杞憂など言えないよ

因数分解の問題が国公立総合大学で出たときは「○○の範囲で」という説明書きがあることが多いよ
私立や単科系国公立はそのあたり省いちゃうけど
東大ならちゃんと書いてくれるだろうから心配ないさ

現在の世界経済の、自国輸入需要の弾力性がＡ、外国の輸入需要価格弾力性を
Ｂとしたとき、自国通貨建て為替レートの切り下げが、自国の貿易収支の
改善をもたらすためには、１円何ドル以下である必要があるか。貿易収支は
８０兆円のプラス、国債発行高が、５％で２３００兆円あるとする。
まーしゃる・らなー・改

３組の受験人数、平均点、標準偏差値がある。それぞれをＡとＢの平均点が等しく
ｂとＣの受験人数が等しい時の近似値の数式を求めよ。

>>375
板違い

383と384もな。と

>>384
東大の出題範囲外だから論外

「因数分解せよ」という問題ではなくて、途中で因数分解を使うだけなら、
自分の好きな範囲で因数分解して良いのだから別に問題は無い。

>>357
そのpdfファイルがある元ページ(メインページ)ってわかりますか？？

数列a[n](n=0,1,・・・)は以下の条件を満たすとする。
　・a[0]=0、a[1]=1
　・a[n+1]=�納k=1〜n](a[k])^2/a[n]
(1) a[n]をnの式であらわせ。
(2) b[n]=a[n+1]/a[n]とおくとき、lim[n→∞]b[n] を求めよ。

a^4+b^4
の因数分解の公式はあるんですか。

因数分解ネタ秋田

n，mは自然数とする．
lim[n→∞]{(n+1)^(1/m)-n^(1/m)}n^c
が収束するような実数cの最大値をmで表し，そのときの極限値もmで表せ．

>>393
実に・・・東工大の問題みたいです・・・

収束するには、c≦1-1/m
c=1-1/mなら、極限値=m

極限値違うくね？

1/mだな

>>389
http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/d/%B8%C4%CA%CC%A4%CE%CC%E4%C2%EA%B2%F2%C5%FA
↑このページの下の方にリンクがあります。

>> You can use Sophie Germant's equality.

>>332
どうやるんですか

関数 f(x)=ax^2+bx+c の -1≦x≦1 における最小値が0、かつ最大値が16となるような整数の組(a,b,c)は何組あるか。

>>390
(1)
n ≧ 1 で a[n] > 0 は明らか。
n ≧ 2 のとき a[n+1] = Σ[k = 1 to n-1]{(a[k]^2)/a[n]} + a[n] = a[n-1] + a[n] で
a[2] = 1 より n = 1 のときも成立。
x^2 - x - 1 = 0 の2解を α, β(α > β) として a[n] = uα^n + vβ^n とおくと
a[0] = u + v = 0, a[1] = u/2 - v/2 = 1 より (u, v) = (1, -1)。
∴ a[n] = {(1+√5)/2}^n - {(1-√5)/2}^n

(2)
γ = β/α とおくと |γ| < 1 で
b[n] = α * {1-γ^(n+1)}/(1-γ^n) だから
lim b[n] = α = (1+√5)/2

test

宿題は質問スr…

(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!! >>401

>401
簡単かと思ったら、場合分け多くて、意外と大変だな。
ま、単純作業だけど。

a^7+b^7はどうやったら因数分解できますか？

m, nを定数として、関数f(x)=x^2+(n-1)x+mnを考える。
任意の整数nに対してf(x)の最小値とf(f(x))の最小値が一致するような実数mの値の範囲を求めよ。

p, qは実数の定数とする。
3次方程式x^3+(p-3)x^2-(2p+q-3)x+(1/2)(p^2+2p+4q-3)=0が異なる3つの実数解をもつとき、
負の解の個数がちょうど2個となるような(p, q)の組は存在しないことを示せ。

任意のa,素数pに対し,aとpが互いに素であるとき,
a^(p-1)=mp+1(m:整数)を示せ。

3次方程式x^3-3x^2+1=0の解のうち、0＜x＜1を満たすものをαとおいて、
ベクトルの列p_1, p_2, ・・・を次の条件を満たすように定める。
p_{n+2}=(1/α)p_{n+1}-p_n (n=1, 2, ・・・) かつ |p_n|=1 　(n=1, 2, ・・・)
このとき、自然数nに対して、p_nとp_{n+1}のなす角を求めよ。

日本語でOKといいたい問題があるような……

東大スレなのに「俺が考えた難しそうな問題を晒すスレ」になってる・・・

>>1を読む限りそういうスレだと思っていたが・・・？
>>412にとっての「東大スレ」の定義は知らんが、事実上は
「東大入試作問者になったつもりの（気分で勝手に出題して誰かが解いてくれるのを待つ）スレ」
なんじゃないの？

パチンコエバンゲリヨンで千円で２３回まわる台を３日連続で打った時の５万円以上勝つ確率と負ける確率をそれぞれ求めよ。

ただし１回の出玉は一律1500発とし、等価交換。抽選回数は１日1500回、1500回目が時短中だった場合は、時短100回終了時まで抽選を行えるものとする。

豪雨age

>>409は単なるフェルマーの小定理で論外として
>>407-410はまあ微妙なラインだけども東大っぽいと言えば東大っぽいかもしれない
でも面白みは全くないな
４題も連投するなら１題くらい面白い問題入れてくれ

半径1の球面に内接する四面体の体積の最大値を求めよ

>>417
いくらなんでも頻出杉

51:β◆aelgVCJ1hU :2007/08/15(水) 10:45:37
(e)'=0
(ex)'=x

↑はeを定数とみなすときのみだよな？
実際はe'=e

51:β◆aelgVCJ1hU :2007/08/15(水) 10:45:37
(e)'=0
(ex)'=x

↑はeを定数とみなすときのみだよな？
実際はe'=e

以下のような数列a[n]を考える。
a[n] の各桁の数字をそれぞれ２乗したその総和をa[n+1]とする。
（例：a[n]=2987のとき、a[n+1]=2^2 + 9^2 + 8^2 + 7^2 = 198）

a[1]を任意の正の整数とするとき、a[2008]のとりうる値を全て求めよ。

>>421
そんな無茶な出題あるかよ
a[1]がはてしなくでかい数だとどうしようもないぞ

>>422

＞a[1]がはてしなくでかい数だとどうしようもないぞ
そんなことないよ

>>422
あ、そか、ごめん、そりゃそうだわ。問題ねりなおす

以下のような数列a[n]を考える。
a[n] の各桁の数字をそれぞれ２乗したその総和をa[n+1]とする。
（例：a[n]=2987のとき、a[n+1]=2^2 + 9^2 + 8^2 + 7^2 = 198）

a[1]を、10000以下の、任意の正の整数とするとき、a[2008]のとりうる値を全て求めよ。

　n，mは自然数とする．また，実数xに対して，[x]はxを超えない最大の整数を表す．xについての多項式f(x)を以下のように定める．
　f(x)=x^n+x^(n-1)+…+x^2+x+1
このとき，任意の実数xに対して以下の不等式が成り立つための，実数aがみたすべき必要十分条件を求めよ．
　[f(|x|^m)n^(m-1)]+a＞|f(x)|^m

>>426を訂正
　n，mは自然数とする．また，実数xに対して，[x]はxを超えない最大の整数を表す．xについての多項式f(x)を以下のように定める．
　f(x)=x^n+x^(n-1)+…+x^2+x+1
このとき，任意の実数xに対して以下の不等式が成り立つための実数aがみたすべき必要十分条件を求めよ．
　[f(|x|^m)(n+1)^(m-1)]+a＞|f(x)|^m

√(30 + √a) + √(30 - √a)が自然数となるような自然数aを全て求めよ

>>428
二重根号は現行課程では範囲外

>>429

あら・・・そうなのか・・・

>>429
マジ？
おじさんの時代は、高校入試（範囲外？）でさえ出てきたものなのに

範囲外っつったって
(√a±√b)^2の計算が出来りゃそれだけの知識で外せるけどな

4次以上の多項式の微分もそうだと思ったけど
数IIでライプニッツ則とかやったかどうか良く覚えてないな

>>427
よくそんな不等式思いつくな

>>406
a+b=0 のとき０だから、因子 (a+b)をもつ。…… 因数定理

>>433
まぁな

>>435
お前誰だよｗ

>428
b = √(30+√a)) + √(30-√a)),
の必要条件として
　a = 900 - {(1/2)b^2 -30}^2 = f(b),
がある。b^2 の関数と考えれば2次関数である。 …… 上に凸な放物線.
bが奇数のときは、f(b)は整数でないので除く。
　f(0) = 0,　f(11) = -30.25 < 0
なので 0< b <11 の偶数を考えればよい。
f(2) = 116, ×
f(4) = 416, ×
f(6) = 756, ×
f(8) = 896, ○
f(10)= 500, ○

>421,425

a[2] のとりうる値は↓

1〜220 (184, 205, 216を除く)
223, 225, 226, 227, 228,
230, 234, 235, 236,
241, 242, 243, 244, 245, 247,
251, 252, 256, 258, 259,
260, 262, 268,
273, 275, 279,
290, 292,
307,
324

a[3] のとりうる値は…

と続けるんだろうなあ。

>>436一応宮廷大学准教授

旬ｗｗｗｗｗｗｗ

438 の訂正
　1〜220 (１７６, 184, 205, 216を除く)

>>421,425
a[3] のとりうる値は
　1-93　(7,12,15,22,23,28,31,39,43,47,48,55,56,60,63,67,70,71,76,77,79,84,87,88,92を除く)
　97-101,104,106-107,110,113-114,117-118,128-131,134,145-146,162-163.

a[4] のとりうる値は
　1-2,4-5,9-11,13,16-18,20,25-26,29,32,34,36-37,40-42,45-46,50-53,58,61,64-66,68-69,72-74,81-82,85-86,89-90,
　97,100,106,113,117,130,145,162.

a[ 5] のとりうる値は 34個（1-2,4,10-11,13,16-17,20,25-26,29,34,37,40-42,45,50-53,58,61,65,68,72,81,85,89,100,117,130,145).
a[ 6] のとりうる値は 25個（1-2,4,10,16-17,20,25-26,29,34,37,40-42,50-51,53,58,61,95,85,89,100,145).
a[ 7] のとりうる値は 18個（1,4,16-17,20,25-26,29,34,37,40,42,50,58,61,85,89,145).
a[ 8] のとりうる値は 14個（1,4,16,20,25,29,37,40,42,50,58,85,89,145).
a[ 9] のとりうる値は 12個（1,4,16,20,25,29,37,42,58,85,89,106).
a[10] のとりうる値は 11個（1,4,16,20,29,37,42,58,85,89,106).
a[11] のとりうる値は 10個（1,4,16,20,37,42,58,85,89,106).
a[12] のとりうる値は　9個（1,4,16,20,37,42,58,89,106).

以後、次のいづれかの軌道を巡る。
・1⇔1　(長さ1)
・4→16→37→58→89→145→42→20→4　(長さ8)

また訂正……orz

a[ 9] のとりうる値は 12個（1,4,16,20,25,29,37,42,58,85,89,１４５).
a[10] のとりうる値は 11個（1,4,16,20,29,37,42,58,85,89,１４５).
a[11] のとりうる値は 10個（1,4,16,20,37,42,58,85,89,１４５).
a[12] のとりうる値は　9個（1,4,16,20,37,42,58,89,１４５).

>401

(I) a=0 のとき (b,c)=(8,8),(-8,-8) の2つ
(II) a>0 のとき
(i) b>2a のとき (a,b,c)=(1,8,7),(2,8,6),(3,8,5) の3つ
(ii) 0≦b≦2a のとき (a,b,c)=(4,8,4),(9,6,1),(16,0.0) の3つ
(iii) b<0 のときは f(-x) を考えれば(i),(ii)でbを-bで置き換えればよく5つ
(III) a<0 のとき
-f(x)+16 を考えれば(II)で(a,b,c)を(-a,-b,-c+16)で置き換えればよく11個
したがって 2+11+11=24個

三辺の長さがそれぞれ整数で、三辺の長さの和がnであるような
三角形の個数をT(n)とおく。
T(n)/n^p　が0でない値に収束するような実数pの値とそのときの
極限値を求めよ。

極限はn→∞のとき

理科大数学オリンピックだかに載ってたな。
その後大数の学コンでも出た。

空間上に,凸n角形がある。
凸n角形の頂点をa_1,・・・.a_nとする。
このとき凸n角形の周および内部の点は全て�杯_ia_i(�杯_i=1,t_i≧0）
であらわされることを示せ。

三つのサイコロを振り、出た目をそれぞれa,b,cする。
F=abc/(a+b+c)とおく。

(1)Fのとり得る値の範囲をm≦F≦Mとしたときm,Mを求めよ。

(2)F=mとなる確率を求めよ。

(3)F=Mとなる確率を求めよ。

216書きつくせば終わるな。
20分もあれば書きつくせるだろう笑

(１)ｍ＝４/3 M＝12

元東大生AV女優・高田眞子こと柴田万里子の近況発見！！！
東大大学院に進学して、市立松戸高校に出入りしてるそうです！！！
http://www.matsudo.ed.jp/~ichimatsu-h/contents/sinro/shibata-interview.doc
顔写真もあり！！
東大POMP時代と全然変わってないですね。

コーシー・シュワルツの不等式の証明して

>>452
内積≦絶対値の積

>>444
辺の長さが時計回りに a, b, c のものと a, c, b のものは同一とみなす？

>>454
同一

>>444
三辺の長さを小さい順にa,b,c(1≦a≦b≦c)とおくと、a+b+c=n
さらに三角形の成立条件よりa+b>c⇔a+b≧c+1
cを消去すると条件は、
1≦a≦bかつ2b≦n-aかつ2b≧-2a+n+1
これをab平面上に図示すると三角形の領域をなす。
この領域内の格子点の数がT(n)であるが、nが十分大きいとT(n)は
この領域の面積S(n)で近似できる。
S(n)=1/48*(n-3)^2であるから
T(n)/n^2≒S(n)/n^2=1/48*(1-3/n)^2→1/48(n→∞)

以上より、求めるpは2で、そのときの極限値は1/48

444の解答には必要ないけど、mを整数として
n=12mとき T(n)=n^2/48
n=12m+1のとき T(n)=(n^2+6n-7)/48
n=12m+2のとき T(n)=(n^2-4)/48
n=12m+3のとき T(n)=(n^2+6n+21)/48
・・・(以下略）
というようになるな。

正a_i角形(i=1,2,3,,,,n)のタイルそれぞれ一つずつ、合計n個を
平面上の点Pにそれぞれのタイルの一頂点が重なり、かつ互いのタイルが
重ならないように配置した。
このときの点Pの周囲はすべてタイルで埋め尽くされたという。
このような(n,a_1,a_2,,,,,a_n)の組み合わせをすべて求めよ。
ただしa_iの順列は考えないものとし、nは自然数とする。

>>298に関連して

1から10^nまでに
3の倍数 or いずれかの位の数字が3
の条件を満たす整数の個数は、10^n-2*9^n/3-1となることを示せ。

追加。>>459の条件を満たす５０００個目の整数を示せ。

「示せ」を異なる意味で用いているのに混乱させられる。

有限個の有理数の和は有理数である。
では、無限個の有理数の和は有理数か。述べよ。

Σ(1+1/n!)=1+1/2+1/3!+1/4!+1/5!+1/6!+・・・
これはeなので、違う。
つーかテーラー展開やらせんな

テーラー展開は高校範囲外
証明すればいいんだろうけど

大学生にとっては、超有名な証明であり、
東大を目指す人は、大学の数学も知ってるのも多いだろうから、できる人も多いだろう

高校範囲で証明できるじゃんｗ
πの少数第(n-1)位の数をa[n]とすれば(n=1のときa[1]=3とする）
�蚤[n]/10^(n-1)=π

まあ、Taylor expantionは使わない方向でやるのがベストだろう

ちゃんと数学を勉強してるやつは>>466のような解答を一番に思いつくだろう

>>466
俺も、それを思いついたな。
ただし、πでやると、πが無理数の証明をやらなきゃならんから、√2あたりでやるのが吉

2005年上智大理工で出題されているという。

>>465
東大受験生のうち100人いればいいほうだろ
ちゃんとした証明できるやつ少ないぞ

受験数学のスレでテイラー展開とか言ってるやつって、
頭が相当悪いんだろうね。んで自分でも半分それに気づいてるからコンプ丸出しで必死で虚勢はる。
>>471のように。

>>466のほうがセンスは良いなｗ
ちゃんと勉強してるかしてないかの問題じゃないけど
これくらいは気付いてしかるべきかと。

Taylor展開の証明なんてやってたら
大学入試の数学の大問数問分のスペースが要る。

mとnを互いに無関係な自然数とする。
f_m(n)=Σ[k=1~n]k^m　が恒等的に成立するように、xについての整式f_m(x)を定義する。
mが3以上の奇数ならば、f_m(x)はx^2*(x+1)^2を因数に持つことを示せ。

赤ん坊は0.5人であることを示せ
(青山学院大学)

>>474
そんな有名問題でねーよ

>>474
「互いに無関係」の定義を述べよ

>>474
f_m(x)はxについての整式であり、
xが自然数なら、f_m(x)=Σ[k=1〜x]k^mを満たす。

ぐらいにしとけ

>>475
赤ん坊はちょっとしたことで死に安いから、0.5人
100点

>>479
お前も瀬尾と同種の人間か

age

>>475
これについて益田氏が日記書いてましたね。

>>482
ニュー速見てみろ
すごい祭りだ

クロンボのアカンボはアカンボでもクロンボ
この歌知っているヤツは少ないだろうな

見てみた
>死刑判決の反対意見を述べることはかまわないにしても，あまりにも品に欠ける書き方
>かような人物が大学で教鞭を握るなど不愉快極まりなく

所詮益田もこの程度か

くじらは死刑おｋで犯罪者がだめってな・・・

てか益田が瀬尾に気づいたのかなり早いな
23日の夜９時に日記書いてるぞ

益田って日記見てもウヨなのかサヨなのかよく分からんな

基底の選び方が間違っているんだろ

>>485
頭悪そうな文だな。
この人、おとなしく数学の問題だけ出しときゃいいのに。

>>488
というか思想なんかないから。
数学の問題以外はちょっと頭のいい中学生レベルのことしか書かん。
数学の問題もとびきり頭のいい中学生には負けるかも知れんが。

>>490
すごいな！
たった二行で頭が悪いと分かるお前は天才だな！

このスレのウヨサヨ比を求めよ。

対角線の長さが１０ｃｍの長方形の面積は？
対角線と縦の辺の作る角度は７５度
小学生の範囲で解きなさい。

>>490
受験コンプのこのスレの住人は中学生以下だろ常考ｗ

宇宙に無限に星があったら光の量は無限大になる。
これを前提に、ダークマタ−の量を計算しなさい。

天文学博士課程　後期　中間試験問題　４０点

クロスセクションに光度のちがう恒星が無限個ある。
でも､時間とともに消滅生成している。
ダークマターが吸収して、放出している。

東大は昔円周率の問題だしてたことを思い出した。

[問題]
2<e<3
を証明せよ。

円周率の問題だしてたこと思い出してeについての問題をだすお前にﾜﾛﾀ

log2<1<log3

>>497
安直な出題だな
しかも既出だ
そんな問題は誰でも考える

eが超越数であることを示しなさい

超越数ってなに？

>>501
>>472

f(x)は整数係数の整式で、方程式f(x)=0がsin1ﾟを解にもつものは存在するか？

なんかもうどいつもこいつも出題範囲めちゃくちゃだな

f=0.

つーか益田は高校数学+α程度しか知らないくせに数学語るなよ。。。
その時点で十分痛々しいです。

>>507
とっくに分かりきったことだ。
要するにルサンチマンなんじゃないのか、益田の行動原理って。

まぁ、学校講師や予備校講師にはこの手の人種が多いよな。
たいして詳しくないのに自分を偉そうに見せたいために語り出すやつｗ

というか、大学入試問題を語るんだから、十分にそのレベルで足りるんじゃないかな？

益田は高校数学の能力については優秀だということはわかるな。
それ以外の能力はゴミみたいだが。よくある。専門ナことは驚くべき才能を持っているのに自分の専門外のことはびっくりするほど無知っていうのがな。

それを認めないのが醜いんだよ。
よく分からなくなると「範囲外」で済ませるからな。
あるいは「大学教授がそう言っていた」と権威に頼るし。

いつから益田について語るスレになったんだ。

結構前からｗ

-------ここまで問題投下なし---------

>>512
認めてますが？批評は結構ですが過去スレ読んでからものを言ってくださいね．私が言ったこと変えられても困るので．

益田はここでは問題投下しかしてないだろ
益田のサイト持ち出してきてそれについて
グダグダ議論したけりゃ専用スレ立てろよ
ただでさえ最近誰もまともな問題出してないのに
不毛なレスで埋める気かお前ら？

で、益田もスルーしろ
いちいち相手するな
問題作成能力だけは認めてやるから
あんたは問題投下しときゃいい

益田の日記の高橋尚子のやつ酷いな
あと質問掲示板は放置かよｗ

益田がぶちぎれたぞｗ

いつものことだろ。
子供なんだよ。要は。
中学生と同じ知能レベルだって言ってるだろ。
おとなしく問題出しときゃいいのに、
受験数学馬鹿が低レベルな社会批評してんじゃねえよ。

>>516
日記等のコメント欄で誤りを指摘されると放置してるだろ。
間違いや能力不足・知識不足を認めるの苦手そうだけどｗｗ

ぐーだぐーだ

ここにも荒らしが涌いてるな

そしていまだにまともな問題投下なし
どいつもこいつも・・・

以下、MASUDAの話題は(ry

平面上において、半径16の円Cの内部の領域をSとする。
また、中心を共有する半径2の円C_1と半径3の円C_2があり、
C_1の外部とC_2の内部の共通部分からなる円環領域をTとする。
ただし、SとTの領域はいずれも境界上を含むものとする。
いま、Sに属する点の中から650個の点を任意に選び、
これらの点の集合をGとおくとき、Tをうまく配置すれば、
Gの要素のうち少なくとも10個をTに含むようにできることを示せ。

>>525
こういう問題好きだけど、受験数学じゃなくて数オリだね

>>526
だってこのスレ、いかにも受験数学っぽい問題誰も解かんだろ。

>>527
そんなことはない
それはおまいの勘違いだ
受験数学っぽくて面白い問題が歓迎される
>>525みたいな問題なら他のスレでも出せる

>>528
どういう問題が面白いの。
試しにあなたが受験数学っぽくて面白い問題の例を挙げてみてよ。
益田が休んでる間はどうせ盛り上がらんのだし。

kを自然数とする。
自然数 m, n が，m≦n および 1/m + 1/n < 1/k を満たしながら動くとき，
1/m + 1/n が最大となるのは，m=k+1，n=k^2+k+1 のときであることを示せ。

>>529
馬鹿か
過去スレくらい嫁

>>530
既出

>>532
このスレの過去ログ14スレ全部を「自然数」「最大」とかで検索してみてもヒットしませんが…

>>530
有名問題すぎる

>>533
おまいの検索能力はその程度か
つ「整数」

>>533
益田が変数３つバージョンでだしてるよ

1/a+1/b+1/c+1/d＜1をみたすとき、1/a+1/b+1/c+1/dの最大値を求めよ。

正しい解答は出てないが

a,b,c,dは自然数

>>537難問

二項定理を証明せよ

>>540
難問というかパターン多くてめんどくさいだけだろ

>>541
(1+x)^n=(1+x)(1+x)・・(1+x)
n個の中からk個選んで(ry

いい加減「教科書レベルを証明させる」問題飽きたな

文句ばっかり言ってねえでお前がなんか出せよ

こんなん出ました

('A` )　ﾌﾞﾘﾌﾞﾘﾌﾞﾘ…
ノヽノ) =3'A`)ﾉ ｳｹﾞｯ、ﾆｶﾞｯ、ｸｻｯ…
　 くく　へﾍﾉ ←>>543

スレの空気読まずに問題だすやつに限って>>543みたいなレスするんだよな
文句言わず解いてほしいならまず過去スレの偉大な問題を見て勉強してこい

>>497
>>498
この流れに噴いた！

しょうがねーな
明日祝日だしなんか問題考えてやるよ

>>537は、1/a1＋1/a2＋…＋1/an＜1の場合(一般化)の解答を何年か前の
大学への数学で読んだことがある。解の候補が見つかるので、それが解に
なっていることを背理法で示していた。アーベルの総和公式と相加相乗平均の
不等式が出てきて凄まじくエレガントに解いていた。

>>548
カーティスの定理な

整数って条件は要らないの?

自然数って２つ下に書いてる

>>548
掲載時期をもっと絞ってください！ はあはあ

>>545
だからどれが偉大なのか教えろって

e のTaylor展開は有名だけど高校範囲外だから
e の無理性の証明はちょっと無理かな。誘導付きなら可能か。

誘導付きでNivenの方法でπの無理性を証明させるのなら出来そうだね。
この問題は東工大が結構好きで、途中まで解かせるのを何回か出してるけど。

>>553
それくらい自分で調べろよｗｗｗ

>>554
eもπも阪大がだしてるよ

たしか文科省が「円周率は3で教える」とか言い出したときに
阪大がπが無理数の証明出して東大がπ>3.05出したんだっけな
かっこいいぜ

3.14はよくて3はなぜ駄目なのか？

実際3.14…と習うよ
で計算のとき3とする

>>554 >>556
もっと高度なeの超越性の証明も、
誘導つきでぎりぎり入試問題に出せますね。
でもπの超越性は入試範囲外。

超越超越うるせえな　ｗ

πの無理性の証明ってアクロバティックな数学の証明ってどういうものか、
天下り的とはどういうことか、というのを理解する良い問題だと思うんだけどな。

>>558
１．整数か整数でないかの違いが、教育上の問題となる。
２．3はπの近似として粗すぎるので、設計計算などで問題が発生する。

小学生が設計計算なんかしねえよ

有効数字 3 桁の 3.14 でも設計するときはちょっと雑じゃない？
定数代入するだけで 0.0003% も誤差増やしたくないような。
それに大学生になった頃には関数電卓でπのボタン押して計算するのが普通かと。

寧ろ約 3 だと内接六角形の周長と同じだから本当に 3 なんだと思う奴はほとんど出ないが
約 3.14 とか書くと「約」を忘れて本当に有理数 3.14 だと思う奴が出てくる、という問題もある。
まあ物理とか化学とか数学以外の人には割とどうでも良いだろうがね。

>>557
入試問題としてみたとき、阪大より東大のほうがセンスあるよなあ

拙者は京大のシンプルな問題が好きでござる
東大は設定が複雑だったり計算量が半端なかったり

tan1°+ tan2°は有理数か？

計算量が半端無いのはわざとそういう問題にしてるんだよね

京大はなかなか面白いけど飽きやすい
東大の問題は飽きない

第十問スレより。
190 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：07/09/06 08:04:16
a,b,c,nは整数であり，
　1≦a≦b≦c
　S=1/a+1/b+1/c
を満たす．S＜1/nの範囲でSが最大になるときのa,b,cをnを用いて表せ．

191 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：07/09/06 08:05:01
↑nは自然数で

233 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：07/09/07 20:50:15
>>222
概略を書いておくと
(1)1/a+1/b+1/c=1/nを想定
(2)SがS＜1/nの範囲できるだけ大きくするには(1)のa,b,cについて(a+1,b,c),(a,b+1,c),(a,b,c+1)の3パターンが考えられる．a,b,cの大小関係から(a,b,c+1)が一番大きい．
(3)あとはaをできるだけ小さく，cをできるだけ大きくすることを考える．
(4)n≦aよりa=n+1として
1/b+1/c=1/n-1/(n+1)
⇔{b-n(n+1)}{c-n(n+1)}=n^2*(n+1)^2
cをできるだけ大きくするなら
b-n(n+1)=1
c-n(n+1)=n^2*(n+1)^2
∴(a,b,c)=(n+1,n(n+1)+1,n(n+1)(n^2+n+1))のときS=1/n
∴S＜1/nのときは
(a,b,c)=(n+1,n(n+1)+1,n(n+1)(n^2+n+1)+1)のときが最大


↑どうして(1)(2)のような=1/nの場合から作って得られた(a,b,c)が最大と言えるのでしょうか？
cの分母を１減らしたら>1/nとなるような場合に最大となり得ないことはどう証明するの？

>>537、>>571
新数演の問題に似たやつがあったらしい。
作問スレ11の130あたりから下って見れ

>>474,478

m（奇数）についての帰納法による。

m=3 のときは f_3(x) = {x(x+1)/2}^2 で成立つ。

m>3 のとき、
2項定理を応用し、奇数次の項のみを残す。
　(k+1)^(m+1) - (k-1)^(m+1) = 2Σ[r=0,[m/2]] C[m+1,2r+1] k^(m-2r),
k=1〜n について和をとると、f_m の漸化式が出る。
　(n+1)^(m+1) + n^(m+1) -1 = 2Σ[r=0,[m/2]] C[m+1,2r+1] f_(m-2r)(n)
　　 = 2(m+1)f_m(n) + 2Σ[r=1,[m/2]-1] C[m+1,2r+1] f_(m-2r)(n) + (m+1)n(n+1),
∴　2(m+1)f_m(x) = ��(x) - 2Σ[r=1,[m/2]-1] C[m+1,2r+1] f_(m-2r)(x),
ここに ��(x) = (x+1)^(m+1) + x^(m+1) -1 -(m+1)x(x+1) とおいた。
∴　2(m+1)f_m(x) = ��(x) - 2Σ[r=1,[m/2]-1] C[m+1,2r+1] f_(m-2r)(x),
帰納法の仮定より右辺第2項は x^2 (x+1)^2 で割り切れるので、第1項も割り切れることを示す。
　��(x) = (x+1)^2 {(x+1)^(m-1)} + (x^2){x^(m-1)} -1 -(m+1)x(x+1)
　　= (x+1)^2 {Y*x^2 +(m-1)x +1} + (x^2){Z*(x+1)^2 -(m-1)(x+1) +1} -1 -(m+1)x(x+1)
　　= (x^2)(x+1)^2 (Y+Z) +(m-1)x(x+1) +2x(x+1) -(m+1)x(x+1)
　　= (x^2)(x+1)^2 (Y+Z).　　(終)

Faulhaber の定理とか言うらしいyo…

>>504
存在する。
sinの3倍角と3倍角と5倍角で終了。

>>571
確かに

>>504
元ネタはチェビシェフ方程式あたりでおｋ？

ζ(3)={Γ()Γ()/2Γ()}×√(π+1)/[π+{√(π+2)}/{2π+√(π+3)}……]


右側のごちゃごちゃしたのは連分数の形を表したつもりΓ()の()内はまだ秘密ね
提出したら書くわ

正五角形はコンパスと定規で作図しうるか?
また正十七角形はコンパスと定規で作図しうるか?

みろ

わざとらしい

書き込み

ばっかりじゃねぇかｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ

>>578
作図しうる

いい加減スレタイに沿った出題しろよ

すべての実数に対して定義され実数値をとる、何回でも微分可能な
関数f(x)がある。f(x)が次の条件(*)を満たすとき、f(x)として考えられるものを
すべて求めよ。
(*)相異なる実数p,qについて、y=f(x)のx=p,x=qにおける2つの接線は1点で交わり、
その交点のx座標は(p+q)/2である。

>>578
これは酷い

>>581は「任意の」実数p,qです

>>582
正五角形が作図可能ということは高校生でもとりあえずできるんじゃない?
正十七角形は明らかに出題者が愚かだと思うが。

>>584
そういうことじゃなくてあまりに有名問題すぎて、試験として不適格ってことじゃないか

>>585
なるほど。
じゃあこういうのならいいか。

正五角形は作図可能である。
実際に作図せよ。
作図に用いた線、式は残しておくこと。

これなら高校生の知識でおｋだな。

そんなんが入試に出ると思っているのか？
スレタイ100回読み直せ

>>586
100％でないと断言する

>>586
コンパスは持ち込み禁止だったと思うが

作図には何を使ってもいいんだよな？

それはユークリッドに聞いてくれ。

〔474の類題〕
　f_m(x) は(m+1)次の多項式で、自然数nに対して f_m(n) = Σ[k=1〜n] k^m を満たす。 >478
　mが自然数のとき f_m(x) は x*(x+1) を因数に持つことを示せ。

>>474,592

つ[参考書]

荒川恒男・金子昌信・伊吹山知義(共著),「ベルヌーイ数とゼータ関数」
243p.
牧野書店(2001/06)
ISBN-10: 4795201390
ISBN-13: 978-4795201392
2001/06
21.2 x 14.6 x 2.2 cm
\3465

http://math.netcommons.org/modules/menu/main.php?page_id=79&op=change_page

　iは虚数単位，a，bは互いに素な自然数，pは素数とする．(a+bi)^pは実数にはならないことを示せ．

　実数x,y,zが，
　　x＞0，xyz=1
　　xy+3yz+zx=1
をみたすとき，y+zのとりうる値の範囲を求めよ

a=2^(1/3)，b=3^(1/3)とする．以下のx,y,zについての連立方程式の解を全て求めよ．
x+(a^2)y+(b^2)z=6
x^2+ay^2+bz^2=6
x^3+y^3+z^3=6

　aは正の定数とする．四面体ABCDはAB=BC=CD=DA=aをみたす．このとき，四面体ABCDの体積の最大値をaで表せ．

>>594
パクり問題ばっかじゃん

もやしてしまえ・・・寺で国事行為をするって政教分離違反だろ
憲法知ってるの？ばかちんぱん・・・

３が奇数であることを証明しなさい。

3=2+1

半径１の円を折って、半円がｘ軸と接するようにするとき、できた２点のかどを通る
円がｘ軸と交差する２点の距離は？

半径１の球を折って、半球がｘーｙ平面と接するようにするとき、できた円を通る
球がｘーｙ軸と交差する円の面積は？

ボク、ここは宿題を聞くスレじゃないのよ＾＾

ｄ＝１のＳ３を折って、半Ｓ３がｘーｙーｚ空間と接するようにするとき、できたＳ３を通る
Ｓ３がｘーｙーｚ空間と交差するＳ３の体積は？

>>594
全部益田のとこの今日の問題じゃねーか
それくらい自分で解けカスが

ABを直径とする円は(x-AB/2x)^2+(y-AB/2y)^2=AB^2
y=0->dx=2(AB^2-(AB/2)^2y)^.5

Z^p=(a+bi)^p
Z^p=(a^2+b^2)^.5p*e^iparctan(b/a)

parctanb/a=nπ,n=1,2
tan(nπ/p)=b/a
p=1,2->n=1,2,2->b/a=0->b=0

xy+3yz+zx=1
x(y+z)+3yz=1
x=1/yz=1/b>0
a/b+3b=1
a=b-3b^2=b(1-3b)
da/db=1-6b=0 b=1/6
a=0->1/12

V=axaxa/2

ドーナツをたてて、一番上から平面に投影するときの、変換式を書きなさい。

>>607
間違ってるぞ

益田のサイトの4/30の問題、正解になっているけど、
これって裏の証明にしかなっていないような。
ttp://88.xmbs.jp/br2_res.php?ID=checkmath3&c_num=11818&no=96765&action=res

>>611
確かにそうだな
☆君は論理やり直しだな

ついでに益田もｗ

てか裏にもなってなくね？
P(x)：=x^3+3ax^2+2bx+c
示す命題は
∃α≠0,1　s.t. P(α)=0　⇒　-5/18≦t≦-2/9
だから、裏にしても
∀α≠0,1　P(α)≠0　⇒　-5/18＞tまたはt＞-2/9

ま、普通に対偶を示すにしても、
0,1以外をすべて動かさなきゃいけないから証明は大変だ

よって問題がおかしいんだろう
証明はおｋらしいから、その正しさを前提にすると
おそらく正しい示すべき命題は
P(0)=0またはP(1)=0　⇒　-5/18＞tまたはt＞-2/9
-5/18≦t≦-2/9　⇒　P(0)≠0かつP(1)≠0

つまりこうだな
「0または1を方程式の解として持つならば、-5/18＞tまたはt＞-2/9」
もしくは
「-5/18≦t≦-2/9ならば、0も1も方程式の解ではない」
益田はこのように書かなければならないはずだ

まあ益田だからな、許してやれよｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ

>>611
宣伝うざい

>>592

m(偶数)についての帰納法による。

m=2 のとき f_2(x) = (1/6)x(x+1)(2x+1), で成立。

m>2 のとき
2項定理を応用し、偶数次の項のみを残す。
　(k+1)^(m+1) - (k-1)^(m+1) = 2Σ[r=0,[m/2]] C[m+1,2r+1] k^(m-2r),
k=1〜n について和をとると、
　(n+1)^(m+1) + n^(m+1) -1= 2Σ[r=0,[m/2]] C[m+1,2r+1]f_(m-2r)(n)
　　　　 = 2(m+1)f_m(n) + 2Σ[r=1,(m/2)-1] C[m+1,2r+1]f_(m-2r)(n) + 2n,
これより f_m の漸化式が出る。
　2(m+1)f_m(x) = ��(x) - Σ[r=1,(m/2)-1] C[m+1,2r+1]f_(m-2r)(x),
帰納法の仮定により 右辺第2項は x(x+1)(2x+1) で割り切れるで、第1項も割り切れることを示す。
　��(x) = (x+1)^(m+1) + x^(m+1) -1 -2x とおいたから、
　��(0) = ��(-1/2) = ��(-1) =0.
因数定理より、��(x) は x(x+1)(2x+1) を因数にもつ。　　（←因数分解を実行してもよいが）

594 (1)
・p=2 のとき
　Im{(a+bi)^2} = 2ab >0.
・pが奇数のとき
　Im{(a+bi)^p} = C[p,1]a^(p-1)*b - C[p,3]a^(p-3)*b^3 + … ± b^p
　最後の項以外はaの倍数、最後の項はaで割り切れない。　　(← a,bは互いに素).

Im(e^-it+(2b,0))e^ik)=0

1/1=1

>>614
あー，対偶じゃなく裏ですね…ご指摘ありがとうございます．
ちなみに問題文は大数の原文そのままです．

正の整数nを互いに相違なる正の正数の和に分割しそれらの積を最大にするにはどうすればいいでしょうか？

実験して推測してみろ。力にならんぞ

益田さん、私の記憶にのこった問題更新して下さい

>>623
普通に問題を出したつもりだったんだが…
まぁそもそも有名な問題だからここの人は興味持たないか
　
ここの人どういうは問題なら興味持つんだ？
俺が面白いと思う問題は全部有名なやつばっかりなんだが

>>622
すう折り乙

>>622
つまんね

3 と 2 の和で表すだけじゃん
3 を出来るだけ多く

相違なる正の正数

m、nを0より大きい無理数とする。
このとき、m+nは無理数か。

>>63
m=2-√2
n=√2

>>630
中学生向け問題乙

>>631
m、nを0より大きい無理数とする。
このとき、m+nは無理数か。
ただし、足して0になる項はないものとする。

こう書くべきだったな…

なんだよ「項」って。

>>633
m=0.10100100010000100000100000001……
m=0.01011011101111011111011111110……
みたいなのを答えて欲しいんだろう。スレ違いだが。

漸化式
A(n+1)={A(n)+1/A(n)}/2
において一般項A(n)を求めよ｡
但しA(1)=a>1とする｡

既出かな？

次の性質を満たす関数ｆ(ｘ)が存在すれば例を挙げて検証し、
存在しなければそれを証明せよ。

（１）実数全体で定義されている
（２）ｘ＝０ でのみ微分可能（ｘ≠０では微分可能でない）
（３）ｘ＝０、１ でのみ連続（ｘ≠０、１では不連続）

簡単過ぎか？

そういうスレじゃないと何度言えば

(1) 円に内接する三角形のうち，面積が最大のものは正三角形であることを示せ．
(2) aは正の定数とする．xy平面に楕円Ｃ:x^2+(y/a)^2=1がある．このとき，以下の条件(イ)(ロ)を同時にみたす三角形が存在するためのaのみたすべき条件を求めよ．
(イ) 楕円Ｃに内接する三角形のうち，面積が最大となる．
(ロ) 鈍角三角形となる．

>>637
微妙に範囲外の悪寒。
今の受験生には解けない。

>>639
「となる」じゃなくて「である」だろ。
いいかげん日本語上達しろ。

>>641
となる でも違和感ないが

>>639
日本語が不自由ですね

>>636が解けん

>>644
雑魚いな
A(n)=1/[tanh{2^(n-1)*Arctanh(1/a)}]
Arctanhなんて書き方があるのかは知らんが・・・

g:R → R を
g(x) = x^2 （ x≦ ((√5)-1)/2 のとき）
g(x) = |x - 1| （ x ≧ ((√5)-1)/2 のとき）
を定義し、さらに h:R → R を
h(x) = 1 （xは無理数）
h(x) = 0 （xは有理数）
で定義する。このとき f(x) をg(x)h(x)とすると
f は>>637の条件を満たす。

少なくとも数年前までは高校レベルだったはずだけど東大では出ないなｗ
x = 0で√2を、 0 以外の有理数では有理数の値を取る関数を挙げよ。
みたいなのもまあ似た雰囲気の問題だね。

g(x) = x^3 - x^2 で十分だろ。

>>636
(a-1)/(a+1) = r とおくと 0<r<1,
　A_n = {1 + r^(2^(n-1))}/{1 - r^(2^(n-1))} → 1　(n→∞).

>>645
　tanhθ = 1/a,　　　(a>1)
ならば
　θ = (1/2)log((a+1)/(a-1)) = (1/2)log(1/r).

s

>>648
正解です。
これ解けたら東大4完以上レベルだと思うんだけどどうかな？

>>650
ねーよｗｗ

つっこんだら負け

ただの三項間漸化式じゃん。
エレガントにやらなくたって、解き方知ってりゃ解ける問題だと思うけど。
まあ東大入試もそうかもしれんが。

どうやって解くの？

オモテが連続するまでコインを投げ続けるとき、
コインを投げる回数の期待値を求めよ。

五組の夫婦が円卓に男と女が交互に座っている。このときすべての夫婦が隣り合わない確率を求めよ。

f(x),g(x),h(x)を一次以上の多項式とするとき
{f(x)}^n+{g(x)}^n={h(x)}^n
となる3以上の整数nは存在するか

>>657
f, g, h が任意だったら存在するわけ無いし、
一次同次だったら存在する。 n = 3, f = x, g = x, h = 2^(1/3)x

>>657
これ有名なのかな。整数論スレにもあったし、手元の数論の本にもあるや

>>655を20分以内に解ける奴は天才だと思う

何で？
等差数列×等比数列というタイプの級数の和の求め方は
超頻出というわけじゃないが、わりと良く出題される問題だよ。

>>661
ﾊｧ？
ただの無限等比級数じゃんか！

　 ｧ　 ∧＿∧　ｧ,､
　,､'` （　´∀｀）　,､'`
　 '` 　( ⊃ ⊂)　　'`

あ、期待値か

>>659
普通に思いつく問題だろ

>>657は学校で以前コピッていた大学への数学の宿題に見覚えがあったので、見てみたらあった(1989/9)
宿題のほうは「f,g,hのどの2つも互いに素」という問題
正解者 13名
不正解者 10名

高校生全体の正解者は4名(3年が1,2年が3)
解答の中では
整数論スレの71の複素数による解答
代数幾何による解答
微分を使って式変形したあと、次数比較による解答
複素数でやる分には特に難しくないのに正解者が4名しかいないんだな。

>>665
＞代数幾何による解答

かつての大数のレベルの高さをうかがわせるな

>>636の類題を色々まとめてみました。
http://image02.wiki.livedoor.jp/l/y/loveinequality/0ee2036199b33804.pdf

一辺がaの正八角形の面積を求めよ。

>>667
でかした！

>>667
TeXで書いてあってきれいだな
御苦労さま

通りすがりの者だが、円周率を余弦定理で証明する問題は良問だったな。

円周率を証明するってどういうこと？
5 を証明する、とか言うのと似たような文だが。

>>673
俺は例の東大のπ>3の証明についてのことじゃないか？

君が証明についての人間かどうかは知らんが。

それにπ＞ 3 じゃなくて確かπ＞3.05だったろ。
3 だったら内接正六角形書けば終わり。
3.05 だったら八角形とか十二角形を取らないといけないが。

あの問題も今は教科書に載って印象が薄れたね〜

教科書に載ってるの？参考書じゃなくて。

m，nは整数とし，n≧2とする．
　x^n+mx^(n-1)+mx^(n-2)+…+mx-1=f(x)g(x)
をみたす1次以上の整数係数多項式の組(f(x),g(x))が存在するとき，m=0であることを示せ．

>>676
加法定理の問題としては、あまりにも典型的過ぎるからな

>>677
最近、有名問題が好きになったのか？

久々の良門ｷﾀｰ

>>679
それ、有名問題か？
似た形のは見かけるが

多項式の問題ってどれも同じに見えてしまう

帰納法で終了

>>683
帰納法でできるんならそのやり方教えてくれ
クソ難しいぞ

天才的な数学者に、難しく時間がかかる解き方と、簡単で瞬時にわかる解き方がある問題を出してみた。
すると瞬時に解いてしまった。
出題者は「さすがですね。これは難しい方法と、簡単な方法があるのですが、見破られました」
天才は答えた。「おお、そんな方法があったのか？俺は難しいやり方で解いたぞ。」

ノイマンで、犬が目的地と、
「出発地から目的地へ向かう人」の間を往復する問題で、
無限等比級数の和の公式使って解いたんじゃなかったっけ。

安芸

>>683
テキトー言うなｗｗｗ

>>680
自演乙

一辺がａの正十二面体の体積を求めよ。

>>690
２回くらい既出

>>691
どうやんの？

帰納法で終了できる>>683に期待

2x2の行列のある部分集合Fは次の性質を持つ。
　・Fの任意の元 a,b について、a-bはFに属する。
　　そして、Fの任意の元 aは、a-a=0 となる。
　・また、Fの任意の元a,bについてa*bはFに属する。
　　そして、Fのある元eは次のような性質を持つ
　　　・任意のFの元aについて　a*e = e*a であり、これはFに属する。
　　　・e*e=e
　　　・-e * -e =e という等式が成り立つ。
　・さらに、Fのある元iについて次の等式が成り立つ、i * i = -e
元、e,iを求めよ。

またおまえか！
↑はたまにでてくる荒らしな

MASUDAさん、大学別模試の更新はいつごろになられそうでしょうか？

MASUDAのサイトで聞けよ。と心の底から思った。
「なられそう」っていう日本語も稚拙だし、ゆとり爆発だな。

>>696
ぺっ！

もう更新は始めてるんですが…．東大・京大は５月の最初に更新してますよ．

益田さん、大数や「伝説の良問」から次々と文章をパクって
日記と称して掲載するのはもうやめにしませんか？
せめて「これは〜という本に書いてあった」と書かないと、モラルに反しますよ。著作権侵害の疑いすらあります。
ネタ切れなら無理に更新しなくていいですよ。
安田亨さんや大数編集部に失礼だとは思わないのですか？

うるさい黙れ

大数で思い出したが、昔の学コンだとか「宿題」とか本にして出してほしいな。

せめて名作選って感じででもいいから。

すでにある

>>703
まじで??

>>703
kwsk

(1) | |x|-|y| |≦|x-y| を示せ。
(2) f(x)をある区間Iで定義された関数とする。f(x)がIで連続ならば、|f(x)|もIで連続であることを示せ。

(1)の誘導はいらないかな

>>700
同意

>>706
誘導から察するに範囲外の悪寒。
何を既知とするかで違ってくる。

｜ｘ｜は連続だから、合成で連続と言ってみる。

区間の長さとは区間[a,b]（a＜b）に対してb-aのことを指す。ただし、a=-∞またはb=+∞のときは、∞とする。また、開区間、半開区間についても同様とする。
長さが有限の区間を定義域とする関数f(x)で、定義域の区間上のy=f(x)のグラフの曲線の長さが無限であるものは存在するか。存在するならば例を挙げ、存在しないならばそのことを証明せよ。

f(x)の連続が抜けてた

y = 1/x ( 0＜x＜1 )
このグラフの曲線の長さは x ＞ 1 の部分の長さと同じ。

有界とかそんな条件付かんのね。

区間の長さとは区間[a,b]（a＜b）に対してb-aのことを指す。ただし、a=-∞またはb=+∞のときは、∞とする。また、開区間、半開区間についても同様とする。
長さが有限の閉区間を定義域とする連続関数f(x)で、定義域の区間上のy=f(x)のグラフの曲線の長さが無限であるものは存在するか。存在するならば例を挙げ、存在しないならばそのことを証明せよ。

何度もすんません

あ、どうせだから有界ver.も作っとこう
y = sin(1/x) （ 0 ＜ x ＜ 1 ）

無限回振動するので曲線の長さは任意の自然数 N より大きい。
（まあ右端は 1 じゃなくて任意の正の数で良いわけだが）

「有界閉区間で定義された有界連続関数」に限ったほうが面白くないかな。
大学入試問題じゃなくなるけど。

(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!!

四面体の各面に接する球はいくつあるか。
ただし、四面体の各面は延長して考えること。
必要があれば、四面体の形状によって場合わけを行ってもかまわないとする。

∫(sinxdx/x)dx

(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!!

(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!!

かーぺっと

(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!!

(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!!

(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!!

(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!!

平面上に3点A，B，Cがあり，
　　|AB↑|=p，AC↑BC↑=q
をみたす．3点A，B，Cが鋭角三角形の頂点をなすような(p,q)の存在範囲を求めよ．

「鋭角三角形となる△ABCが存在する」ためのp、qの条件なのか

それとも

ある1組の（p、q）を与えたとき、その（ｐ、ｑ）に対して「△ABCが必ず三角形をなし、
かつ、その三角形が鋭角三角形にしかなりえない」ような（p、q）の集合を求めるのか。

後者ならそのような（ｐ、ｑ）は存在しないと思われる。

前者ならp>0、q>0で良いと思うがこれについては益田は不正解としていた

AC↑BC↑ってなんだ？
AC↑とBC↑の内積か？

ん？タン虫は２連で終わり？
つまらん！

１０００までやりゃいいのに





ん？タン虫は２連で終わり？
つまらん！

１０００までやりゃいいのに

ん？タン虫は２連で終わり？
つまらん！

１０００までやりゃいいのに





ん？タン虫は２連で終わり？
つまらん！

１０００までやりゃいいのに

平面上に半径１の円がある。この円周上の点を白黒二色で塗り分ける。
このとき、次の条件を満たす0＜d＜2のdを求めよ。
ただし、条件を満たすdが複数存在する場合は一つだけ示せばよい。また、存在しない場合はその証明をすればよいものとする。

1.　塗り分けを適切に行うことにより、距離d離れた円周上のいかなる二点も違う色で塗られているようにできる。

2.　いかなる塗り分けを行っても、距離dだけ離れた異色の二点が円周上に存在する。

731
間違えた。後半は異色じゃなくて同色

結局大数の宿題とかの過去問題集はあるの???

(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!!




(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!!





(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!!

>>733
昔の学コンを集めたやつならある

tan1[rad]は有理数か。

昔の宿題を集めたやつも微妙にあるぞ。

>>736
チャートで見たことある

f(x)＝e^x
g(x)＝π^x
とおく。
Fn(x)をf(x)とg(x)をこの順番で交互に2n回合成した関数、
Gn(x)をg(x)とf(x)をこの順番で交互に2n回合成した関数と定義するとき、
lim[n→∞]Fn(e)/Gn(π) を求めよ。

>>735
それは誠か？

絶版だし。都内の某古本屋で買って今ある。国会図書館や運が良ければ古本屋に行けばあるだろう。
新作問題演習<理系・新作問題演習
２冊で１８００円だったけど、ヤフオクでたまに出品されるものを見ると１冊10000円前後で取引されているｗ

うちの予備校に3,4冊ずつあったなぁ

なんで出さないんだろう。
宿題とか学コン網羅したの作ればかなりの売れ行きになるだろうに・・・

CD-ROMにしたら全部詰め込めるだろな。
だが、そこまで長期的に売れるのかな。数年前まであった東大入試、京大入試の軌跡でさえすでに絶版だからな。

個人が勝手に東大や京大の入試問題をCDにして、解説つきで売ったりするのは
やっぱ著作権的にまずいですかね

数研出版のStudyAidみたいに、
その年度の日日演学コン等完全収録、検索・編集・プリントアウト自由自在CD−ROMとか
出してくれたら絶対買うのに。
過去の学コン完全収録でもいいや。10万は出すぞ。
東大入試の軌跡CD−ROMは過去の大数をスキャンしたgif画像を収録という
しょぼい内容だった。
まあ数研みたいに大手じゃないから難しいのかな。
でも昔はともかく、今どきは大数も問題をデジタルデータにしてデータベース化してるだろうに。

>>745
入試問題に著作権ねーよｗ

>>747
あるよ

あっても実質黙認状態。

日本だと入試問題の著作権ははっきりしてない。
新聞社とかも勝手に新聞に載せたりしてるから
まあほとんど無いも同然の扱いを受けてるね。

海外だと認められてたりするから勝手に流用すると
著作権侵害になりうる可能性があるが。

p,qを実数として、数列{a[n]}(n=1,2,…)を
a[n]=n^p+qn+1
で定める。このとき、
「a[2n]-2a[n]、a[2n-1]-2a[n] が共にnによらない定数となる」
ための、p,qの必要十分条件を求めよ。

n個の白球とn個の黒球を等確率で一列に並べていくことを考える。並べ終わったのち、
以下の「操作」に従って球を取り除いてゆくことにする。

「操作」左端から見ていって、黒球が二個以上連続で並んでいる場合それを一個にする。

この「操作」ののち、初めにあったn個の黒球がk(k=1,2,…,n)個になっている確率をp(n,k)で表す。

(1) p(n,k)を求めよ。

(2) 残った黒球の個数の期待値を求めよ。

>>738
嘘だ絽ｗｗ

>>738は難問

>>752
等確率の意味が曖昧

誰か>>836の略解示してくれないか？
考えてもさっぱり方針が立たんのだ、
馬鹿でｽﾏｿ

>>836が問題出すまで待て

>>756
つ質問スレ

>>756
みす、>>736だったorz
だれか頼む
>>758
いいのかな？マルチになってしまう

普通に>>736はネタじゃないのか？ｗ

>>756
方針：超越数論の教科書を買って読む
http://en.wikipedia.org/wiki/Transcendental_number
>Here is a list of some numbers known to be transcendental:
>..................
>sin(a), cos(a) and tan(a), and their multiplicative inverses
>csc(a), sec(a) and cot(a), for any nonzero algebraic number a
>(by the Lindemann-Weierstrass theorem).

tan 1°なら簡単なんだけどねえ

>>761
ポカーン

いや>>736ってネタだろ。高校数学じゃ無理だって。

じゃあ高校数学逸脱してもいいから解いてくれ。

仏語で良ければ
ttp://nombrejador.free.fr/article/lindemann-weierstrass_ttj.htm

>>766
chovonne(ｼｮﾎﾞﾝﾇ) (´・ω・｀)

Lindemann-Weierstraßの定理を調べればよい
塩川先生の著書「無理数と超越数」には読みやすい証明が載ってるが

>>768
なにげに親切なレス。

ありがとう
そんな問題だったのかｗ

どんなもんだい

超越数の専門スレがあるぞ
過疎ってるが

In exakter Form lautet er: Sind α1,...,αn paarweise verschiedene algebraische Zahlen und β1,...,βn beliebige algebraische Zahlen, wobei nicht alle βk = 0 sind, dann gilt

bie^ai<>0
Diesen sehr allgemeinen Satz bewies von Lindemann, um die deutlich schwächeren Resultate der Transzendenz von e und π zu zeigen.

オーストラリアの１０大特徴
�@馬鹿、キチガイ、白痴が多い。オージーのIQは黒人並み。
�A日本人と見ると侮蔑的な視線を浴びせてくる原始的レイシストだらけ。
毎年、日本人が襲われたり殺されたりしている。
�Bメシが異常なほど不味く、旅行３日以内で食べるものがなくなる。
�Cおみやげ品、日常雑貨などの品質が中国並みに悪い。
すぐ壊れる、色が剥げる、値段がぼったくりでいいとこなし。
�D衛生観念が低く、風呂に入らないワキガの野蛮人が多い。もちろん水道水は飲めない。
�E嘘つきだらけ。10分先を考えずに空気のように嘘をつく民度の低いカスばかり。
�F英語が英語になってない。聞き取れないし発音が耳障り。留学しても有害な英語と低レベルな学問しか身に付かない。
�G野生動物がちゃんと管理されておらず、市街地から離れるとRPGのようにカンガルーやオポッサムとエンカウントする。
�H害獣と認定された動物は殺し放題。猟銃を手にした目線の定まってないハンターオージーが白昼からウロウロしている。いつこっちが撃たれるかわからない。
�Iそんな自分たちの国を先進国だと本気で思っている。

1828年に全土がイギリスの植民地となり、開拓が進む。内陸を探検し、農牧
地を開拓する。その段階で先住民のアボリジニから土地を取り上げて放逐し、
反抗者は（時には反抗しない者も）殺害した。奴隷的な条件で労働させられた
アボリジニもいる。1830年までに純血のタスマニア先住民は絶滅させられた。

1967年の東大理系の数学の入試問題を知っている人いらっしゃいますか？
探し続けてるのですが、見つけられません。
知っている方がいれば、教えていただきたいです。

余裕で持ってるけど書くのがめんどくさい。

>>777
ちらつかせるだけなら最初から書くなよバカ

俺は余裕で持ってるし、書くのもめんどくさくないが、
何か気が進まん。

>>776
おまいさん（または親族のだれか）が合格した年れすか？

>>780
父が入学した年なのですが、自分が受けた入試問題をまた見てみたいというので、
探しているのですけど米村さんのHPなどでもどうしても1970年までのしか見つからないんです。
スレ違いなことなので申し訳ないです。もし知っている方いたら、1問だけでも結構ですので
メールにご一報頂けると有難いです。

>>776>>781
京都のジュンク堂で立ち読みできる。
別に京都じゃなくてもいいか。

>>781
東京出版の、東大入試46年の軌跡というCD-ROMがあって
1958年から2004年までの大学入試問題が収録されてます。
（1969年の問題は入ってません）
ただし今は在庫切れで手に入らないようです。

あるいは国会図書館なんかで古い赤本を調べるなんていう手も。

>>782
何という本？

1967年というと今60歳くらいか。
当時の問題は今と比べて難易度どうだったの？

1967の一番難易度が高かった問題(第4問　C***)
x^2-xy+y^2=1の表す略図を描き第一象限にある部分がx軸、y軸に囲まれる図形の面積を求めよ。

第5問、第6問は選択なのかな。K,Sとあり旧課程、新課程とある。
他の問題はもっと簡単だが、上のを含め小テストぐらいのレベルだよ。

訂正
方程式x^2-xy+y^2=3の表す略図を描き、第一象限にある部分がx軸、y軸に囲まれる図形の面積を求めよ。

東大の問題が一番難しかった時期って
1980〜90年前半
くらいか？

1970年代は京都が一番難しかった。
東大は計算力を要求してた。

>>788
京都は永田がいたからな

>>783
http://www.j3e.info/ojyuken/math/tokyo/

>>790
問題は載ってないな
東大数学46年のROMは絶版だけどヤフオクで手に入る
最低入札価格が4万とかだけどｗ

pdf作ってうｐっといたよ。いつまで残ってるかは分からんが。
http://www2.uploda.org/uporg1435020.pdf.html

>>792
お前優しいな

>>792
難易度予想
BBCCAB

>>792
有名問題の羅列みたいな感じだが当時と今じゃ受験事情も違ったんだろうねぇ
今でさえ典型問題だけれど、初見で解けと言われれば難しい

京都はﾗｲﾌﾞﾗﾘｰがある。
ttp://hw001.gate01.com/akiyoshi/archives.html

>>796
いや、東京もあるんだけどね・・・1967年のはないから困っておられたわけで。
http://hw001.gate01.com/akiyoshi/t_archives.html

１９９０年以前の東大前期で一番難しかった年っていつなの？

難易度なんて人によるだろうし。教育内容によっても変化する
知りたきゃ自分で解いて判断しろ。それがお前にとっての難易度だ

a[1]^2+a[2]^2+…+a[n]^2が平方数となるような自然数a[1],a[2],…,a[n]は存在するか。
また、そのことを証明せよ。ただし、nは任意の自然数とする。

>>800
題意がはっきりしないが

(１)任意のnに対して数列a[1]、・・・a[n]が存在する
(２)数列a[1]、・・・a[n]、・・・が存在して、任意のnに対して二乗の和が平方数になる

きっと(１)だよね？

長さ1の線分を1/Nの長さを持つ小区間に分割し、各区間を白く塗る。
以下のステップでこれらN区間を一つずつ黒く塗ることを考える。

ステップ：白く塗られた区間からランダムに1個選び、それを黒く塗る。白く塗られた区間がk個残っている場合、一つの区間が選ばれる確率は1/k

この時、M個（1≦M≦N）の連続した区間が黒く塗られるまでにかかるステップ数は何回か、その期待値を答えよ。

>>800
うむ
書き方悪かったならｽﾏｿ
要するに有限個の自然数の平方和が平方数になることはあるかってこと

>>803
それだと、(3^2)+(4^2)=5^2であるから存在する、とか言われたら困らない？

任意の正整数nに対してある整数列a[1]、・・・a[n]が存在して
(a[1]^2) + ・・・ + (a[n]^2) が平方数になる
この命題の真偽を確かめよ

とかなら誤解はないと思うけど。
論理を理解してない人は問題を出すべきでないと思うが

>>804
すまんな
任意の有限個の任意のを入れてなかったな

まあ有名問題だけどな

>>804
n≠1の時、a[n]=0……と思ったが、高校の自然数は０を含まないんだったな

大学でも含まないことのほうが多くないか？
openfaceで N と書いた場合は 1 から始まるような。

大学では自然数とは言わず正整数と言うようにしてる
記号でNと書くときは話の前に断るか、Z_{>0}などと書く

1957年以前の東大入試問題が見たい。国会図書館にいくしかねーべか？やはり。
代ゼミが東大予想問題つくってニアﾋﾟﾝ連発した年っていつのことか知りたし。

>>810
入手したらうｐ

駿台の米村氏のサイトに東大・京大の1970年度からの数学入試問題がありますけど、
それ以前の問題を手に入れるにはどうしたらいいんですか？

>>812
東京出版が出してる東大数学46年の軌跡のCD-ROM

古本屋でも行けば？

昔って赤本あったの？

>>813-814
京大の問題もほしいのですが、入手可能でしょうか？

みんな知らんのかなぁ？
この本買えばいいんだよ。
http://www.seibunshinsha.co.jp/books/ISBN4-7922-binran.html
主要８０大学の問題が昭和31（1956）年から載ってるぞ。

ちなみに聖文新社（旧・聖文社）が年度版「数学入試問題詳解」を発刊したのは
昭和31年で、その年からの蓄積が>>817の本に詰められている。
雑誌「大学への数学」が発刊されたのは昭和32年なので、東大入試の軌跡CD-ROMでは
昭和32年以降しかカバーされていない。
（ギリギリ聖文新社のほうが1年多い。）

旺文社の「全国大学入試問題正解」はもっと昔からあるようで、
昭和20年代のものがヤフオクに出ていたこともあったが、
値上がりしすぎてあきらめた。
金さえあれば明治〜昭和20年代の入試問題はヤフオクで結構手に入る。

昔の東大の過去問を網羅的に見たければ、東大の史料室で閲覧できるんじゃないか？
http://www.adm.u-tokyo.ac.jp/gen/gen3/archives/mokuroku/nyuushi.htm

以下から作問スレ

>>817
>>818
GJ
早速注文した

http://d.hatena.ne.jp/gould2007/
へのアクセスが重いんだが・・・

hatenaはいつも結構重いよ。

>>821
そこ15日以降更新停滞してるけどどうしたんだろうね。モナコじゃあるまいしwww

宣伝すんなよ

目の和が７以上になるまでサイコロを投げ続ける時、
目の和が７になる確率を求めよ。

それは条件つき確率ですか？

>>825
サイコロは途中から数が増えてもいいんでつか？

>>825
答えが来ないよー

1/5でつかー

>>825
70993/279936？

>>829
正解！
実はトランプのブラックジャックで21になる確率を計算しようとして
こりゃ面倒くさすぎる、ということで、
この類題を考えました。

ブラックジャックって色々定石とかあるらしいね。

7ではなく丁度nになる確率を考えてnを飛ばして極限求めようとしたがわからんかったわ

予備校も解答を出すのにヘルプを頼んだ、９８年度東大後期の大問〔３〕の史上最難の入試問題について情報教えてください。

>>833
して…礼は？

チンコ

＞９８年度東大後期の大問〔３
駿台だったかね、間違った解答が掲載されていた。あまりにお粗末な解答が。
よほど低脳しかいないのだろうか。

>>833
河合塾のWEBページに行く
大学入試　回答速報っていうところをクリック
1999年の二次私大速報をクリック
URLがhttp://〜〜〜/99/とかなってるから
その99を98になおす
次に東京大学をクリック
後期をクリック
数学をクリック
その3ページ目にある

そんなに難しいのか

>>837のとおりにやってみたら例の解答が…
そうか、駿台じゃなくて河合だったか。
今見ても酷い解答だ＾＾

所詮入試問題。時間かけたら解ける。

予備校では解答つくれなかったらしい

http://www.google.com/gwt/n?u=http%3A%2F%2Fdetail.chiebukuro.yahoo.co.jp%2Fqa%2Fquestion_detail%2Fq1313422278&hl=ja&mrestrict=xhtmlchtml&inlang=ja&client=ms-kddi-jp&q=98%E5%B9%B4+%E6%9D%B1%E5%A4%A7+%E5%BE%8C%E6%9C%9F&channel=main

俺は一週間かかったな。大げさな帰納法で解いて、美しくないなあと
思いつつ赤本の解答を見たら、ほぼ同じ方針で解いていて(・д・)となった。
数オリのたぐいが得意な人ならすぐに解けるのではなかろうか。

この東大後期の問題は大学の教職でやったな
回転行列を使った解法を示してくれたが、教えてる講師のほうも完全に理解してるのか怪しかった

受験生は何人ぐらい解けたのかね？
もしも０人だったら、入試問題としてかなりの悪問になると思うのだが……

落ち着いた状態で解いて８時間かかったと、数オリメダリストで大数のＪ氏がブログで以前書いてたなそういえば。
そもそもメダリスト組なら前期で受かっているだろうし、後期組が解けているとは思えない。

数オリ出場者だって受けてるんだから、0ではないだろう

>>846
いや、後期は選択で数学300点、数学＆物理の総合問題100点、英語100点で決まるから、理系が得意な奴は結構後期狙いが多いぞ。

後期狙いというのがよくわからない。浪人するかもしれないリスクを犯して、前期はわざと落ちたあるいは受けなかったということ？
今年受験生なのでその辺りのシステムはよくわからないけど。

>>849
センター対策や国語なんてやりたくないでしょ。
それなら理系科目だけで勝負できる後期一本に絞って勉強した方が良いって考え。
同じく京大後期も理系だけだったけど、倍率が断然東大の方が低いんで東大後期は結構狙い目だった。
損はしないし一応前期も受ける人が多いけどね。

>>850
http://www.u-tokyo.ac.jp/stu03/pdf/H20_senbatsuyoukou_000.pdf
の6ページに第一段階選抜に国語必須とありますが、1998年のときはなかったのでしょうか。

>>851のは後期受けるのにはセンター試験の結果も選抜対象にあたるということですか。

第1段階選抜に国語が必要なのは昔から同じだよ。
でも足切りで落ちる人はさすがにいないでしょ。

>>846
その人って某アイドルグループが好きな人だっけ。

>>852
そうだよ。

>>845
あれは完答が難しいだけで部分点はかなりかせげる
そこまで出来が悪いわけじゃない

入試問題としては、満点から０点まで、幅広く分布するのが最良だと思うのだが。
極端な話、50点から55点の間に分布されたら受験者をどう振るい分けていいか分からん。
満点を取る子も何人かいるだろう、という推測の元で作った問題だと思うのだが……

とはいっても、その問題を読んだことないんで分からないがｗｗ

＞満点を取る子も何人かいるだろう、という推測の元で作った問題だと思うのだが……
それはありえない。事前に試験問題は試し解きをするはずなので。

90年代後半は史上（とか言ってもまだ百年そこらだがｗ）
最も東大入試が難しかった時期なので、部分点で稼ぐことは出来るだろう、
という判断じゃないのかな。

>>857
入試問題のことは良く分からないのだが、常識的に考えれば
300点満点のテストで、最高点が280点とかよりは、300点の方が受験者の点数がバラけるんじゃないか？
バラけてくれたほうが、色々とやりやすいと思うのだが……

そう思って856を書いたんだけど。

最高点なんて一人異常に点数の良い人が居るだけで変わる（外れ値に左右される）ので
最高点が280点か満点かなんてことだけで判断は出来ない、
この場合重要なのは分散だろ、っていうのは些細なことだからおいといて、

98年後期三番の、大学の外の、塾とか予備校とか高校教師とかからは、
これは満点を試験時間内に取るのは絶対に不可能だろうって評価だったんだよ。
問題を実際に解いてみれば分かるが。

そんな問題が出題される事もあるんだな。
出題者からして、部分点狙いの問題だったのかな……

以下、作問スレ

あれそんなに難しくないだろ。
IMOの難問に比べたらまだマシ。

これから東大を受けようと考えてる人間を刺激する意味もあったんじゃないかな

98年の絶対出てくるなｗ
でＩＭＯと比較してそっちのほうががむずいやら、IMO並やらでｇｄｇｄしてまたループｗ

その問題を見た事無いからIMOと比べられないが、
IMOの問題は、一問あたり90分与えられてる事を忘れちゃいけない。

>>847
あの問題の完答者は０ですよ．入試懇親会で言ってましたので．

あの問題は（２）に関しては、１列の並べ方のﾙｰﾙだけで
いいのに態々マン独裁ﾙｰﾙを（１）の為だけに入れてる意味が分からん。
もしかしたら、（１）がヒントになってると勘繰ってみる。
（１）で横一列で無い例は、５個と８個で、共に１列だとすべて白になり得ない例になっている。

>>867
何だよそれ？
(1)のためだけに必要なルールなんてないが。

>>865
東大後期は180分。
98年は第1,2問がかなり簡単だったから1時間で十分。
だから実質第3問にかけられる時間は約2時間。

>>866
完答者0・・
あの問題、相当難しかったですもんね。

>>866
まるで自分が聞いたかのような言い方ですね。

>>870
？

んなこといいだしたら
04年理系�Aも最初は枝問なしの（2）だけの問題だったのに、
作問者を除く出題委員の全員が解けなくて、
ヒントの（1）を入れたらしいからな。
解答の知られている問題をすばやく解く能力と、
全く未知の問題を解く能力は別物ってことを
改めて痛感させられるなり。

＞04年理系�A
後期？

史上最強の難問だろうが、入試問題である以上たかが解答の知られている問題ということですね。

>>873
前期�A

ちなみに98年後期の駿台の解答は数学者（グラフ理論の専門家）に
頼んで作ってもらったとのうわさ。
駿台の講師には解けなかったらしいｗｗ

>>872
かける時間とモチベーションが違うから一概に比較は無意味。
出題委員ならマジで時間をかけたら解けるはず。

>>866
モナコ益田おかえり〜

>>869
東大後期は150分。

98年の問題は良問だな。
低レベルな問題が多い中、あの問題を出した出題者は偉い。

入試問題がハイレベルである必要なんかねぇだろｗｗｗ

俺が前期で最高傑作だと思うのは、正四面体の影の最大・最小問題。

>>881
それが入試史上第2位かな？

>>881
あれは正射影知ってりゃ……知識問題の典型なのでは？

ん？
正射影の問題なんだが。
問題文にもはっきり書かれてるから知識云々の問題ではない。

面積ベクトルというか、法線ベクトルだったスマン。

IMOってなに？

I(inpo)M(manko)O(oppai)

つまんない

国際数学五輪

いんたーなしょなるますまてぃくすおりんぴっく

0<t<1なる実数tに対し数列a[n]を以下のように定める
・a[1]=1、a[n]>0
・{a[n+1]}^(-t)-a[n+1]=Σ[k=1_n]a[k]
このとき任意の正整数nに対して
Σ[k=1_n]{a[k]}^2<1/(1-t)
が成り立つことを示せ

範囲外

早乙女のおじさま、朝ごはんですよ

ぱふぉ

良問かどうかは別として、一番インパクトがあったのは
やっぱ03年の円周率の問題でしょ

そうでもない
てか簡単だろ

何にインパクトを感じるかは人それぞれだしな

2004年の5だろ
あれほど受験生を意気消沈させる問題もないぞ

>>898
今見てきた
第2問のほうが難しい

どっちも簡単

試験場だと辛いだろうな
実際あの年理３でも４完以上はほとんどいない

>>901
ほとんどいないとかお前何者だよｗ
益田が上で書き込んでた入試懇談会ってやつにいってきたのか？

益田きめぇ死ね

本人の言う〜〜完なんていうのは全然当てにならんからね

次の条件を満たす関数f(x)を求めよ

(1) 実数全体で微分可能
(2) x≠0 なる任意の実数 x に対して x^n f’(x)＝f(x) （ただし、ｎ は 0 でない整数）
(3) f(1)＝1

もっと文を推敲しようよ

直してください

log[|f(x)|] ' = x^(-n)だから
log[|f(x)|] = (-n + 1)x^(-n+1) + C.
f(x) = ±exp[(-n + 1)x^(-n+1) + C] = Kexp[(-n + 1)x^(-n + 1)].
f(1) = 1 より Kexp^[-(n - 1)] = 1だからK = exp(n - 1)
よって f(x) = exp(n - 1)[1 - x^(- n + 1)]

>>908
ｎ＞1 のとき ｆ（０）が存在しない

>>908
恥ずかしいやつだな

地雷踏みまくり乙です。

>>908
このスレ見てるだろ、早く出て来いよ

>>908
問題がおかしいと指摘されているのに
みんな解けないの？俺解けるしとおもちゃったんだね

>>909＝>>910＝>>912＝>>913

顔真っ赤にしてどうしたの？

問題はおかしくないよ。

おかしい

どこが？

>>905
頭の悪い俺にも、x=-1、n=-1の時に(2)の条件がどうなるか、分かりやすく教えてくれ。

嘘、勘違いしてた

>>917
nってなんすか？任意っすか？

任意な訳はないでしょ

あとnは0じゃないっている？

nがfixされてるのか否かが分かりにくいな
誤解の恐れがないような記述を心掛けるべき

無くてもいいんだけど、自明なのを避けただけ

>>924
出題者？高校の範囲で解けるの？

解けると思う。

微分方程式は東大の範囲外だと思うよ
京大では出るが

Ｈ８後期第3問なんかは微分方程式の問題だけど、後期が今年度より文理共通になってからは文系のことも配慮して範囲外なのかな。

微分方程式を知っていれば勿論いいけど、
知らなくても解ける。
f’(x)＝0 ⇔ f(x)＝C 位の知識でね。

>>929
ということは数 II の知識で解けるということ？
解答には対数が入ってくるからそれだけじゃ解けないと思うけど。

勿論、数IIIの微積は必要だけど、指数関数を使えば対数関数は必ずしも必要じゃない。
ｎ＝２ でいいから誰か解いて〜

>>909
n ＞ 1のときはそもそも解が存在しないよね。
大学入試で解を求めよ→解なしって良かったんだっけ？
指導要領とか詳しくないけど大抵そういう場合は解が存在するようなパラメータの条件が
問題文中に設定されてるから、不可なんじゃないかと思うけど。

まあ一般的な数学の問題としては別に良いんだけどさ。

>>932
存在すると思うんだけど

>>932
x^2=-1を満たす実数xを求めよ

>>931
微分方程式使うなら解けるけど

>>932
解なしだと思う理由は？

>>935
それでお願いします

別に解無しでも問題ない
現にそういう入試問題はいくつもある

x ＞ 0 及び x ＜ 0 の範囲では
f(x) = e^[(n - 1) - (n - 1)x^(- n + 1)] となる。
ここで n - 1 = k ＞ 0 を奇数だとすると
x → -0 のとき x^(-k) → -∞ となる。
このとき f(x) → +∞ となるから
x = 0 のとき連続（従って微分可能）となるような f の値は存在し得ない。

>>935
いや存在しないのは分かってるけど
そういう問題は入試に出ないでしょって意味で言ったんだが。

求めよ→解なし、なんて入試問題聞いたこと無いけどなあ。
少なくとも東大じゃ出てないと思う。

>>936
n≠1のときf(x)=exp[(x^(1-n) -1)/(1-n)]
n=1のときf(x)=x

>>938
「x ＞ 0 及び x ＜ 0 の範囲では
f(x) = e^[(n - 1) - (n - 1)x^(- n + 1)] となる」
は間違い。

>>939
n=1のときのみ正解。

>>940
いやあっているだろ

次の条件を満たす関数f(x)を求めよ。
(1) 実数全体で微分可能
(2) x≠0 なる任意の実数 x に対して x^2 f’(x)＝f(x)
(3) f(1)＝1

証明：
[STEP1]題意を満たす関数f(x)が存在するならば、Ω＝(−∞,0)と
おくとき、fは次の条件を満たすことになる。
(1)' fはΩ上で微分可能
(2)' 任意のx∈Ωに対して x^2 f’(x)＝f(x)
これら2つの条件から、Ω上でf(x)＝c*e^(−1/x) (cは定数)と
なっていることが分かる。さて、(1)よりf'(0)＝lim[x→0]{f(x)−f(0)}/x
が存在するので、特にf'(0)＝lim[x↑0]{f(x)−f(0)}/x が成り立つ。
x＜0のときはf(x)＝c*e^(−1/x) となっているから、結局、
f'(0)＝lim[x↑0]{c*e^(−1/x)−f(0)}/x
が成り立つ。もしc≠0であるとすると、この式の右辺は(f(0)の値によらず)
発散してしまうから、c＝0でなければならない。
以上より、題意を満たす関数f(x)が存在するならば、Ω上でf≡0で
なければならない。

[STEP2]題意を満たす関数f(x)が存在するならば、V＝(0，＋∞)と
おくとき、fは次の条件を満たすことになる。
(1)'' fはV上で微分可能
(2)'' 任意のx∈Vに対して x^2 f’(x)＝f(x)
(3)' f(1)＝1
これら3つの条件から、f(x)＝e*e^(−1/x)となることが分かる。
f'(0)＝lim[x↓0]{f(x)−f(0)}/x なので、この式の右辺が存在する
ためには、f(0)＝0でなければならない。
以上より、題意を満たす関数f(x)が存在するならば、V上でf＝e*e^(−1/x)、
なおかつf(0)＝0でなければならない。

[STEP3]逆に、f(x)＝ 0 (x≦0), e*e^(−1/x) (x＞0)と定義した
関数はR上の連続関数であり、R全体で微分可能であり、しかも
問題の仮定の(1)〜(3)を全て満たす。従って、この関数が求める関数である。

>>941
横レスだが、fはΩとVでそれぞれ独立に解かなければならない。Ω上では
f(x)＝c1e^(−1/x)の形で表され、V上ではf(x)＝c2e^{−1/x}の形で
表される。c1＝c2である保障はどこにも無い。

やっとまともな解が出た。
有り難う〜

因みに ｎが正の奇数、正の偶数、負の整数ですべて答の形が違う。
任意定数を含むものもある。

中途半端な知識で解無しって言ってたやつ涙目だなｗ

>>943
細かいけど f(0)＝0 の必要性は x^2 f’(x)＝f(x) より自明。

>>947
それが成り立つのは x ≠ 0 のときだけだぞ

>>947
問題よく読め盲

>>946
高校の微分方程式教育の弊害だね。

たしか解析概論に似たような注意が載ってなかったっけ。
積分のところ辺りだったかな？

>>947
それが成り立つのはx≠0のときのみ。「x→0の極限を考えればいいじゃないか」と
思うかもしれないが、f 'がx＝0で連続であるとは限らないからやっぱりダメ。

>>952
有界ならOkだけどね。

だてにあの世は見てないぜ！！

>>942-943さんは大学生もしくは大学院生ですか？
凄いっすね。

いやこのスレの多くは大学生以上じゃないの？
「作問者」になったつもりのスレなんだから。

まともな大学生なら解けるけどな

まともじゃない人が多いようで

では ｎ＝３ の場合を解いて下さい。
答だけでいいです。

x が正のときと負のときに分けて計算して
x = 0 のときに微分可能になるようにパラメータの値を調整するだけだろ。
>>942-943見てまだ方針が分からなかったらさすがにアレだろ。

>>950
でも微分方程式の本って、例えば関数が三階微分可能でない場合は
区間ごとに式が変わるような解があることがあっても
そういうのはほとんど無視して書くことも多いけどね。
別に高校の教育がどうのという話じゃなくて。

微分方程式は奥が深いなぁ

>>960
なんか怪しいですな。

ｎ＝３ のときに 「x = 0 のときに微分可能になるようにパラメータの値を調整」ってのはおかしいよ。

１からｎまでの番号をつけたｎ枚のカードがある。
これらｎ枚のカードをＡ，Ｂ，Ｃの３つの箱に分けて入れる。
ただしどの箱にも少なくとも１枚は入れるものとする。

(1)入れ方は全部で何通りあるか。
(2)自然数ｔは２ｔ≦ｎをみたすとする。
１≦ｋ≦ｔである各整数ｋについて２ｋ−１と２ｋも番号のカードをペアと考える。
どれかの箱に少なくとも１つのペアが入る場合の数をｎとｔを用いて表せ。

早稲田は30年前は英語も国語も日本一難しかった しかし、年々易化
今では早稲田は英語が簡単で有名

東大の数学は早稲田とは逆で1980年代まではやや難だったが、1990年の前期で過去最難になってから難問が増してきた。
1997年後期は東大史上最難の入試セットになり、翌年の後期大問３は日本の入試史上最強の超難問が出題される。98年は前期も非常に大変であった。
しかし、90年代後半をピークに易化し、2002年では東大史上一番易しくなって、センターレベルの問題も見られた。2004年は学力低下が東大にも広まったせいかたいして難問揃いではなかったのに非常に出来が悪く、それからは易化している

2004年は試験場ではかなりの難問ぞろいだろ
方針によって計算が酷い事になる

九十二日。

参考ページ

東大過去問(1970〜の過去問が網羅)
http://hw001.gate01.com/akiyoshi/index.html

東大・京大・東工大の過去問(未掲載分あり)
http://www.j3e.info/ojyuken/math/

個人的に前期は
1998＞2004＞1994＞＞＞＞壁＞＞＞＞2002

いつから過去問題を分析するｽﾚになったんだ？
ﾈﾀ切れか？

>>970
せめて数学板では、それ止めてくれ……

問題出せ

初項が2以上の整数数列{a[n]}は単調増加でありb[n]＝a[n+1]/a[n]とすると{b[n]}は整数列になり全てのnでb[n]≦b[n+1]となる
このとき�納n=1,∞]1/a[n]のとる値をすべて求めよ

無理です

98年後期＞98年前期＞97年後期＞2004年前期

もういいよ

b[n]≦b[n+1]の条件がなっかたら解けるんだけどな

98年後期＞前期＞97年後期＞04年後期

2004年前期＞2002年前期

1/a[n+1]=1/a[n]/b[n]
1/a[n]+1/a[n+1]=1/a[n](1+1/b[n])
1/a1+1/a2=1/a1(1+1/b1)
1/a3=1/a2/b2=1/a1/b1/b2
1/a1+1/a2+1/a3+,,,=1/a1(1+1/b1+1/b1/b2+,,,)<1/a1(1+1/b1+1/b1^2+,,,)=1/a1/(1-1/b1)

〜以下の有理数とかそんな答え

解けない問題を作るなカス

いやいや解けるから

無限個の和なんだから無理数にだってなるに決まってんだろ

俺には>>978の方が不思議だ。

山勘で１以下の全有理数。

いや、そうとは限らない。等比数列はどうなる。

比が非減少整数となる自然数列の逆数和

an=2^nが該当する逆数和最大の数列で和は１
だから、１以下
後は知らん

解けないだろ
かなり高度な知識駆使しないと高校生には無理だ

ちなみに、任意の自然数a,bに対して(b-1)/a/bも解に成り得る。

b[n]≦b[n+1]の条件が無い場合は、任意のy∈(0,1]について、yを2進法で
展開してy＝Σ[n＝1〜∞]1/2^x[n] (x[n]は狭義単調増加な自然数列)と
表せば、a[n]＝2^x[n]と定義することで

・�納n=1〜∞]1/a[n]は(0,1]の中の任意の値を取る

ことが分かる。

1/a1(1+1/b1(1+1/b2(1+1/b3(1+,,,,)))))

>>993
good job
もう少しで出そうなんだが、、、。

連分数の逆パターンみたいな、、、。

濃度は実数濃度で１以下で、、、、

１以下の実数。山勘で。

っていうか999

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