不等式への招待 第３章

同スレからもう一題…

〔問題244〕(改作)
三角形の三辺をa,b,cとし、外接円の半径をRとおく。このとき次を示せ。
　R ≧ {√(a^2 +b^2 +c^2)}/3,　等号成立は R√3 =a=b=c のとき。

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1204606214/244

>306
(略解)
　a,b,cに対する頂角をA,B,C とする。
　a^2 + b^2 + c^2 = (-a^2+b^2+c^2) + (a^2-b^2+c^2) + (a^2+b^2-c^2)
　　　= 2bc･cosA) + 2ca･cos(B) + 2ab･cos(C) 　　　(←第2余弦定理)
　　　= (8R^2){cos(A)sin(B)sin(C) + sin(A)cos(B)sin(C) + sin(A)sin(B)cos(C)}
　　　= (8R^2){ -cos(A+B+C) + cos(A)cos(B)cos(C)}　　　　　　　　(*)
　　　= (8R^2){ 1 + cos(A)cos(B)cos(C)}　　　　　　　　　(← A+B+C=180ﾟ)
　　　≦(9R^2).

(*)　exp(iA)exp(iB)exp(iC) = exp(i(A+B+C)) の実部をとる。

〔補題〕
　三角形の三頂角をA,B,Cとするとき、cos(A)cos(B)cos(C)≦ 1/8,　等号成立は A=B=C=60ﾟ のとき。
(略証)
　・鈍角3角形のときは、残りの2角は90ﾟ未満だから cos(A)cos(B)cos(C) <0,
　・鋭角3角形のときは、子s(A),cos(B),cos(C)≧0,
　　相乗・相加平均と cos(x) が上に凸であることから｛または log(cos(x))が上に凸であることから｝
　　cos(A)cos(B)cos(C) ≦ {[cos(A)+cos(B)+cos(C)]/3}^(1/3) ≦ cos((A+B+C)/3)^3
　　　　= (1/2)^3 = 1/8,　　　　　　　　　　　(← A+B+C=180ﾟ)　　　(終)

訂正。スマソ。
　　cos(A)cos(B)cos(C) ≦ {[cos(A)+cos(B)+cos(C)]/3}^3 ≦ cos((A+B+C)/3)^3