代数学総合スレッド Part4

代数に関する話題全般のスレッドです。

代数学総合スレッド
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1011536232/
代数学総合スレッド Part2
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1045779496/
代数学総合スレッド part3
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1116279106/

。

。

メコスジ君総合スレッドPart69

Cinco!

1+2+3=6

過疎でふね

シャファレビッチ「代数学とはなにか」を頭から読もうとして撃沈

>>8
パラパラと掻い摘んで読んで、断片的にイケるようになってから
通読に挑戦した方がいいよ？

あれは、辞書みたいなものだからなあ。
結構いろんなところで他の場所の例とかを引き合いに出してたり
するので、頭から順番に読むタイプの本ではないし、読み物にも
あんまり向かないかな。

雰囲気を感じる本だと前書きかなんかに書いてあったはず

Fは体で、EはFの有限次の拡大体とする。このとき、拡大体E/Fの部分環は全て
部分体となることを示せ。
この問題が分からないのですが、どう考えればいいのでしょうか。

とりあえず、Eの部分環が部分体になる、ということは任意の部分環Sとかおいて
その任意の元が逆元を持つことが言えればいい、というのは分かるんですが。
ただ、通常の場合は体Eの部分環は、整域とはなるけど部分体とは必ずしもならない。
つまり、この問題では部分環が体Fを含んでいる、というあたりが鍵になっては
いそうな気がするけれど…イマイチ糸口がつかめません。

いっそのこと、代数的な場合はF(u)=F[u]とかで済ませてもいいのだろうか…。

長々とすみません。

>>12
拡大体E/Fの部分環の意味がよくわからないんだけど。
Fを含むEの部分環のことを言うの？勝手にとったEの部分環Sが
Fを含むことがわかれば君の言うとおりでいいと思うけど。
F(u)=F[u]を使ったらダメなのかな？

E/Fが有限次拡大だから、Sの任意の元uはF上代数的。
よってF(u)=F[u]。
したがって、uが零元でない限り、uの逆元はF[u]に含まれる。
FはSに含まれていて、uはSの元だったから、
F[u]の意味から、F[u]はSの部分環。よって、uの逆元はSにある。

余り本とかに書かれていないんだけど、
0^0って普通どういう扱いになるの。
0になるの。
それとも1になるの。

>>14
x^y の極限の意味なら無条件には決定できない。
単に 0^0 と言って問題にするときは
この意味で言うことが多いだろう。

x^x や x^0 の極限の意味なら 1。
自分がどのような意味で言ってるかだ。

>>14
あんまり知らないんだけど、
普通0^0は数としては定義されてないよ。
だけど極限値を考えれば1になる。
極限操作についての議論はそんなに簡単ではなかったと思う。

>>14
解析スレ逝け

>>15

>自分がどのような意味で言ってるかだ。

0を半群の零元、
1を半群の単位元とみなして
0^0を問題視することは出来ないの。
代数の本で0^0を扱っているのを
殆ど見掛けないんだけど。

>>16
ダウト

>>18
そもそもそれ、定義できるの?
ベキとか

>>19
半群の零元や単位元は定義される。
あと、冪も定義される。
ただ、その指数にマイナス（−）が
つくようなことがあってはならない。

しかし、半群の中で0^0がどういうものか
は全く分からない。

>>18
整数環を乗法に関するモノイドと見たときとかのケースを言ってるんだよね。
ある元の右肩につくベキはその元を何回掛けるかという意味で使う。
零元には乗法に関する逆元がないから、0^0を考えなければならない
ケースはないんじゃないかな。

またダウト喰らうかな

通じてない気もするが、仮に定義できたとして
設定が一般すぎて、何らかの値である必要性を
与える条件がそもそも足りないので、議論
するところまで行かないと思われ。

半群とかを扱うなら、そもそもベキは、右作用もつ
という程度の意味に一般化されるはずジャン？

>>23
単なるベキを作用と解釈するなんて、
話を難しくしてるだけのような気がするけど、
得する場合もあるのかな。
どういう集合が半群に作用してると考えるの？

やっぱり通じてないのか。

単なるベキとやらを決める必然的な何かが、
無いじゃないかって話。特に 0^0 とかね。

　

>>25
なるほど。

って
>>22
でも思ったよ。

>>25

否、意外に身近なところにある。
乗法だけが定義された半群Gを考えよう。
そしてGが零元0と単位元1を持つとしよう。

すると0^0∈Gと仮定すれば
0^0 = (00)^0 = (0^0)(0^0)
即ちXをX = 0^0とおけば
X^2 = X
という方程式が得られる。

しかし、
そもそもX∈Gなのかどうかが分からない。
そして仮にそうだとすると
半群は逆元を持たないため、
先の方程式の解はどうなるのか
すなわちX = 0、1は解なのか
という問題が生じる。
勿論、解がどのようになっても矛盾は生じない。

そのあたりが私には分からない。

(00)^0=(0^0)(0^0)が成り立つかどうかはわからんな。

>>29
Gはモノイドになるから成り立つ。

>>28

必然性が身近にあると言って話しはじめた割に
内容は必然性ないって自分で言ってるんジャン。
馬鹿馬鹿しいね。

>>32
勿論
普通の定義では0^0 = 1
だけど、
場合によっては
0^0 = 0
と仮定してもよい
のかも知れなくなる。

>>30
なんで？

>>33

>>28に書かれていることから、
Gは零元0を持つモノイドであって
0^0は ∈G という扱いで話を進めている。
即ち２つの0^0の間には
二項演算としての乗法が定義される。
また、モノイドの中では指数定理が成り立ち、
この場合モノイドの元の指数は非負整数であればよい。
そこで(00)^0に指数定理を適用すると = (0^0)(0^0) となる。

訂正：
>>28において、
Gには単なる乗法のみが定義された
半群としてではなく、
二項演算として加法も定義されているような
半群でなければならない。
この場合は零元0が加法の単位元となる。
つまり、Gは加法に関して
0を単位元とするモノイドとなる。

>>28では、このことを書き忘れていました。

>>28です。

否、やはり>>36の仮定は不要です。
何故なら指数定理に現れる指数は
非負整数であってGの元である必要性がない
からです。
勿論、仮定しても差し支えはありません。

>>28です。

>>15と同様に極限の意味で考えてみましたが、
同時に代数的に考えると何かよく分からないものがあります。
それに関して以下に述べます。

f、gを以下で定義された関数とする：
f:I∋x → x^0∈R、
g:I∋x → 0^x∈R。
ここにRは実数直線（実数体であり１つのモノイド）、I=[0、∞)は区間である。
Rの元0^0が定義されているとする。（普通の定義では0^0=1となる。）
そして0^0の取り得る値は0または1であるとする。
（0^0=1が偽と仮定して改めて0^0について議論する場合、そう仮定するのが自然でしょう。）

すると、fの極限に関して
x→0のときf(x)→1であって、lim_{x→0}f(x)=f(0)=0^0=1。
一方、gの極限g(0)が存在すると仮定すると、
任意のε>0に対して或るδ(ε)>0が定まって
|x|<δならば|g(x)|=|0^0|<ε
だから、0^0=0である。
然るにこれは0^0=1に反し矛盾する。
よってg(0)は存在しない。

モノイドで考えるとg(0)は存在しないことが以上のように示せるんですけど、これでいいですか。
解析的に示そうとすると途端に簡単ではなくなるんですけど。
g(0)が存在しなければさしあたっては何も問題は生じないと思いますが、
もし私の議論が間違っていてg(0)が存在した場合、例の0^0の議論が意味をなします。

そして、代数的に考えず解析的に考えるためのヒントを下さい。
g(0)の存在性は一目微積分で議論出来そうなんですけど、何か難しいです。
それともg(0)の存在性の議論には何か高度な解析的手法が必要なのですか。

今の書き込みでは、
記号を用いてg(0)をa=g(0)
と表すべきでした。
その方が書き込みが簡単ですし、
分かり易いと思います。

更に0^0も記号を用いて
y=0^0のように表すべきでした。
何か>>38の書き込みは
下書きのようです。
失礼しました。

>>38
実数体Rをモノイドと見なしたときの、
ベキの解釈はどうなってるんですか？
何故ベキのところに実数がくるのかということです。
実数でないと極限をとることはできませんが…。

こういう議論をすることに必要性がなく、
あまり意味がないという意見があるけど、
まあ疑問に思ったこと自体が、
モチベーションなっているんだからいいんじゃないかな。

>>41

>>38です。
I=[0、∞)と表します。
実数体RやI⊆Rは
乗法に関して実数１を単位元とするモノイドであり
かつこれらのモノイドは一意的に定まります。
逆にモノイドは体や区間とは限りません。
即ちモノイドが実数体や区間とは限りません。
一方、Rは同時に実数直線を表します。
そのため実変数xを
実数直線の中で走らせて考えることは
実数体（やI）の中で動かして考えることと同一視出来ます。
とりわけIは実数直線に含まれる区間とみなされる
と同時に
実数体に含まれるモノイドと見なせます。
即ち実変数xを
区間としてのIの中で走らせて考えることと
モノイドとしてのIの中で動かして考えること
とは同一視出来ます。

そのような考えに基づいて書いたのが>>38です。
>>38は本当に杜撰な書き方です。

以上で回答になっていると思いますが、
誤解していた場合はお許し下さい。

>>41
多分あなたは、必然とか必要とかここで言われている意味を
かんちがいしてるよ。

ウィキペのベキ乗の項目をみるとヒントになるかも。
代数的な条件だけでは、弱すぎるんだよ。
2変数連続函数と見るというのは、位相的性質だが
この条件はある意味で強すぎる。

>>42
>>43
わかりました。
ご回答ありがとうございました。

>>30
なんというか、間違ってる。そこは
[G の任意の元 x に対して x^1 = x] かつ[自然数半群 N が自己準同型として作用する]
と仮定した場合を考えているから成立する。
G がモノイドのとき x^0 = 1_G, 群のとき x^(-1) は x の逆元
とするようなことも（モノイドや群としての）準同型性を仮定しているからで、
それを外すと、途端に取りとめもない話になる。
代数的にまとめて論じられるのはこの自然数冪、整数冪のときぐらい。
G と N との間には大して関係が無いので、こうやって (0_G)^0 = 1 と仮定することと、
もとの話の 0^0 の値は何であることが必然かということとの関係は論じられない。

>>38-41
冪を X を台にして X × Y → X; (x, y) → x^y という写像だと考えるとき、X と Y は分けて
考える必要があって、そこで Y = N, Z, Q, R と拡大していくことを考えると、
有理数冪 x^q を考えるには、考えている台集合 X が小さすぎても
大きすぎても不都合が起きる。冪根が X の中にどれくらいあるか、
足りなくてもダメだし、多過ぎると分岐してしまうから困るというわけ。

もし有理数冪が定義できるときは、実数体 R が有理数体 Q の完備化である
という位相的な性質があるおかげで、冪指数に関する連続性を仮定すれば
実数冪は有理数冪の極限として出てくる。
連続性を仮定しないなら（Hamel basis の分だけ）無限に可能性が
増えてどうにもならない。
しかしいずれにせよ、Y = N や Y = Z のときの拡張になっているものと
考える限りは、x^0 = 1 を仮定していることになるので、0^0 = 1 になる。
いまは X については何も考えてないからこういう結論になる。

一般論として簡単に言えるのはここまでだろう。もし具体的な X に対して
その性質を使って議論しようとするなら、X が十分大きくなると矛盾が生じる
というのが R × R → R; (x,y) → x^y が二変数の連続関数と仮定したときなどに
出てくることになるね。まあ、至る所不連続でいいなら病的な定義ができそうだけど。

　

　

>>45

>>30 = >>38です。
モノイドの場合、
ベキ乗は準同型の値として
扱わなければならないのですか.....。
半群の中での場合と同様に扱えると思ったのですが.....。
モノイドの中で0^0=1は確かに定義ですね。
そして、モノイドの場合
ベキ乗はその準同型に伴って定義されますね。
分かりました。
このようなことがあるなら
私の主張は意味を成さなくなりますね。

ご指摘どうもありがとうございました。

モノイドの議論は
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1114171676/
で

>>48
> ベキ乗は準同型の値として
> 扱わなければならないのですか.....。

多分まだ勘違いしてるんじゃないか？半群のときもモノイドのときも同じだよ。

M が半群であるときには、1 → id_M なる対応から生成される
表現 ρ: N → T(M) (T(M) は M 上の全変換半群) を考えるのが
“自然”（関手的）で、我々は普段ソレを冪乗と呼んでいる
というだけで、そう「扱わなければいけない」のではないよ。

つまり、x^1 = x や x^0 = 1 とおくようなことは、便宜上の規約。

>>45
恐れいりました。

プロの方かな…。

>>51
残念、<del>私のおいなりさんだ</del>学部をお情けで
卒業させてもらった事にすらも気付かずに、働くことから
逃げるために院に進んで、案の定、修士の時点で挫折して
社会の最底辺に落ちこぼれたゴミが俺だ。

>>45
>>50

>>30 = >>38です。

> ベキ乗は準同型の値として
> 扱わなければならないのですか.....。

この部分は私の表現がおかしいです。

>多分まだ勘違いしてるんじゃないか？
>半群のときもモノイドのときも同じだよ。

そうでしたっけ？
以前、共立の「半群論」
を途中まで読んだことがありますが、
確かこの本ではベキ乗をg^n
と書くようことから
議論が始まったと思います。
そして主に半群から群への準同型
などが書いてあったと思いますが、
その他の種類の準同型や表現
は書いてあったか否か
定かではありません。

このあたりは記憶が曖昧だったりして、
私の勉強不足です。

『半群論』って田村のか？
> 確かこの本ではベキ乗をg^n と書くようことから 議論が始まったと思います。
確かにそうだが、今ここでの議論はもっと抽象的で曖昧なものだ。
そのときに、足がかりにすることができるものってのは
あまりに心許ないってことが>>22-25あたりで書かれてある。
つか、どっちかというと表現論関係の本をみたほうがいい。

モノイドってのは特殊な基点付き半群なんだから、半群とモノイドとで
話が変わってくるわけではないよ。そもそも実数冪がどうとかって話のなかでは、
台集合（上で言う X）の性質（半群だとかモノイドだとか）はほとんど
問題にしていない（まあ、冪根とか十分に無いと困るが）わけで。

>>14あたりで言ってる「必然性」とか「理由」ってのが、全変換半群とか自己同型群とか
自己準同型環とかいう作用素の代数系による表現のなかで“自然”なものが
どういうものかという議論そのものだと言っているだけ。それが、a の n 個の
積を a^n と書くというものであって、そこから準同型的な表現を保つような
“自然”な拡大をどうやって決めるか、というのが「代数的な 0^0 の意味づけは可能か」
という今の議論にとってはたぶん本筋というものにあたるんだろう。

別に指数法則と呼ばれる準同型性を崩してもいいならモノイドではなくても、
基点付き半群 (S, *, O) があれば x^0 := O と基点に落とせばいい（多分他にも
やりかたはいろいろあるだろうけど）。モノイドに零添加した半群 G 上で
考えるという>>28あたりの発想も、結局のところ零元という基点 0_G を付加した
基点付き半群なので、代数的には x^0 := 1_G とも x^0 := 0_G とも定めうる
という意味ではなんらの必然性も与えていないことになるでしょう。

なんにせよ、「モノイドだからいい」とやってる>>28はナンセンス感あふれてるよ。

----
って、なんかこの語り口、表面的な理解だけで基礎数学シリーズが
簡単だの難しいだのどっかのスレで言ってた奴となんか被るな……
なんとなく話してて空しくなる。

>>54

>>30 = >>38です。

>って、なんかこの語り口、表面的な理解だけで基礎数学シリーズが
>簡単だの難しいだのどっかのスレで言ってた奴となんか被るな……
>なんとなく話してて空しくなる。

恐らく、貴方が意味する人物と私は同一人物でしょう。
ただ、線型空間と解析入門１〜４ については言いましたが、
基礎数学シリーズ全般が簡単だの難しいのだの 言った覚えはありません。
（ここでいう表現論と 基礎数学シリーズの話は別でしょう。
この話題で書かれてあるようなことは全般に余りよく分かりませんが.....。
むしろはじめて聞くことの方が多いです。）

少なくとも似たことが基礎数学シリーズの分冊の中で書かれているとすれば
群論か環と加群の分冊なんでしょうね。
後は前に挙げた半群論位でしょう。

まだ余り読んでいないので分かりませんが、
まさか岩波のリー群と表現論や有限群の表現論の本に
書かれていることはないでしょうしね。
ここでいう表現論の本ってこれで通用しますか。
しないとは思いますが.....。

私が知っている表現論の本は、
「リー群と表現論」と有限群に関わるもの
に限るので、
ここでいう表現論の本を例示して頂けるとありがたいです。

>>55における

>ここでいう表現論の本ってこれで通用しますか。

の「これ」は主に「リー群と表現論」の方です。

> 基礎数学シリーズ全般が簡単だの難しいのだの 言った覚えはありません。

わたしも「全般が」簡単だの難しいだの言った覚えありません。
ま、同一人物だと分ったことですし、なにか言うだけ無駄ですから
私はこれで抜けます。

できれば固定ハンドルネーム（および騙り防止の為のトリップ）を
付けてください。こちらのブラウザ設定であなたの発言を
見えないようにしておきたいので。

言っておくが、俺よりもそのへんの大学1,2年生のほうがよほど頭がいい。

>>30 = >>38です。
半群やモノイドから
構成される表現が
これらに対して
或る意味で潰れているから、
何の表現論に関してか
を考えても意味がなさそうです。
「リー群とリー環」（リー群と表現論）
を精読してみます。
位相が入った代数系の表現論なので
何かしら応用出来るでしょう。

もし他に適する本があったら教えて下さい。

有限群の表現とかリー群の表現とかそういう縦割りの議論ではない
ということにすら気が付かないんだな。

それはそうと、はやくコテハン付けろや。

>>60

>>30 = >>38です。
ここで行っている元の議論はそうでしょう。
縦割りの議論で済まされるものではないでしょう。

>>61
あのさ、あんたの発言に中身が無いのはみんな分かってるんで、
2ch専用ブラウザであんたの発言を見えないように設定したいわけ。
そのためにはNG IDとかNG WORDとかが必要なので、
固定ハンドルかそうでなければ定型文を決めてそれをいつも
書き込むようにしてくれませんか。

　

>>30 = >>38 = >>61です。
どうやら私は生暖かく見守っていた方が
２チャンネルのためになるようです。
生暖かく見守りましょう。
お勉強でもしている方がいいや。
そして、まだやるべきことが沢山ある。

>>30 = >>38 = >>61です。
少しお勉強したんですけど、
どうやら私はすごく
馬鹿な疑問を持ったり
馬鹿な考え方をしたり
していたんですね。
何といったらよいのやら.....。
案外単純なことなんですね。

>>64の舌の根も乾かぬうちから戻ってきて>>65を書くとは。

>>66
否、感動というかそのような類
の余り書いてしまったんですよ。

だから、それが疎まれる主要原因の一つだっつの。

分かりました。
暫く２チャンネルは
眺める程度にしましょう。
ここ２ヶ月それに少しはまって
お勉強が疎かになっていたので。

永久にこないでくれ。

>>52
> 残念、<del>私のおいなりさんだ</del>学部をお情けで
> 卒業させてもらった事にすらも気付かずに、働くことから
> 逃げるために院に進んで、案の定、修士の時点で挫折して
> 社会の最底辺に落ちこぼれたゴミが俺だ。

なんか俺の悪口を言っているようだが…

>>70
理由を説明してもコテハンもトリップも付けないんだから
どうせすぐにどこかに復活すると思われ。

>>71
おお、わが同志よ。

落ちこぼれ同士仲良くしる。

Qを有理数体、Cを複素数体として、α∈Cとします。
任意のσ∈Aut(C)に対して、σ(α)=αならばα∈Qとなる。

は言えますか？

ちゃうはぼけ。

>>75
何が？スレ？

言えました。失礼致しました。

スレはここでよい。>>75 が馬鹿なだけ。

>>13
亀レスで申し訳ないです。どうやらそれであってたみたいです。
ありがとうございます。

「どうやらあってたみたい」って、そりゃ失礼だろう。

微分環というものがあるようですが、
可換環論の本には余り書かれていません。
これはどのようなものですか。

>>80です。

微分環とリー群には相通じる考えがあり、
微分方程式のガロア理論を作る
という目的があるようです。
しかし、何故微分環が生まれたのか
が分かりません。
リー群は微分方程式にも応用出来る筈です。
微分環による微分方程式のガロア理論と
リー群によるそれとは
どこがどう違うのでしょうか。

普通にリー環の本読めばいいのに

　

リー環或いはリー代数に
特化して解説してある本
なんてありましたっけ。

ガロア王朝の血を引くこの私にどうか御恵みを…｡･ﾟ･(ﾉД`)･ﾟ･｡

>>84ですけど、
普通に本を読めばよさそうですね。

またいつものバカがファビョッてるのか……
>>72大正解だな

>>87

あの.....。
「ファビョル」という２チャンネル用語は
「逆上する」とか「キレる」
という意味を軽蔑して
表現するものらしいですが、
どこに逆上だのキレただのの感情が
みてとれるのでしょうか。

ここまで繰り返し、
使用するにふさわしくない場面で
同じ言語を用いて私のことを言っていると、
逆に貴方のおつむの程度の方が
疑われてくると思いますが.....。
どこに私が逆上したりキレたりしている
と見受けられる表現があるのでしょう。
指摘して下さい。
指摘出来ないようだと、
「貴方は馬鹿だ」と言わざるを
得なくなると思いますが.....。

顔真っ赤ｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ

村越必死だな（藁

kingやβに続き、妙なのが生えてきてるな……。
コテハン付けない>>88のようなのを「村越」とか「Kazuhisa」とか
呼ぶことになりそうだ。

>>88はファビョッてる以外の何物でも無いな……
自分に都合のいい仮定を持ち出して論破したつもりになる
勝手な勝利宣言、詭弁のガイドラインにきっちり沿ってるし。

>>88
おまえ、誰よ？
名乗りもしないやつが「私の表現」とかバカじゃネーの？
>>87は別に名指ししたわけでも無いのに自意識過剰だろｗｗｗ
だからファビョってるっていわれんだよｗｗ
つか、おまえは自覚があるから反応したんだろ、
だったら自重しろや。

>>91

私は>>88だが、
私の書き込みには特徴があるらしいから
私のか否かは読めば分かるだろう。

>>92
>>93

私は>>88だが、
述べられない訳ではないが、
正確に述べようとすると
恐らく長くなる。
そこで、これを述べることを省略しただけだ。
パソコンの特性上、>>92や>>93は
そのようにいえて当然のことだろう。
私は自分が書き込んだスレで
>>87と同様な表現を
書き込んだ直後などに
幾度となく見てきた。
ましてや>>87には
「いつもの」という表現が入っている。
そこで>>88のような文を書くに至った訳だ。

お前の個人スレじゃねーんだ、スレ私物化も大概にせーよ…
自重しろ、村越。

カズヒサJは相変わらずキチガイぶりを発揮してるな

いつも荒らしてるという自覚がある割には、輪を掛けて荒らしまわってるのは変

>>93
MASUDAこんなとこで油売ってないで早く帰ってこい

直極限(帰納極限)について詳しく書かれた本
誰か知りませんか？できれば和書で

>>99
帰納極限、何それ？

アホが答えるな。

>>99
恐らく
加群とテンソル積に関連したもの
を言っているのでしょうけど、
それだったら
岩波基礎数学講座の環と加群
で十分でしょう。
様々な意味でボリューム満点ですからね。
ただ、この本は、
帰納極限に特化して解説してある訳ではありませんが。
それに特化した本は知りません。

「環と加群」にはたしか帰納極限は載ってない。

数学辞典は？

ここで聞けや
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1156976472/l50

>>99
服部昭「現代代数学」

僕も質問で悪いのですが……代数の入門書でお勧めってありますか？今大学二年で解析と線形打数、あと集合・位相の教科書を読んだくらいのレベルなんですが。。

>>107
LangのAlgebra

　　

>>99

岩波の「現代数学概説１」に数題の例題という形で載っている。

>>99
>>107

前に挙げた「環と加群」に載っているかどうか否か
はまだ調べていないが、
これは「代数」の教科書では良い本だろう。
とにかく演習問題が多く、
余り知られていない概念も載っていたりする。
読んで損はない。

>>103
ありがとうございます。探した中では一番詳しく載ってました。

>>108
Langの教科書は安心して手に取れるんだけれど、そんなに得意ではないので英語で読むの面倒くさいんですよね……もうちょっと進んでからみてみますｗ
>>110
岩波はベクトル解析の本を持ってますが、中々いいですね。今度中古で買ってみます。

書店で見てみたら新妻弘さんの群・環・体入門って言うのも良さそうなので買ってみることにします。ありがとうございました。

群・環・体入門は友達も持ってたな
純粋な数学系じゃない人にとっては結構使い勝手がいいらしい
演習版もあるしね

「代数学とは何か」は買うべき本

大学の本屋で「代数学とは何か」を購入してきました。
新妻さんの参考書は内容が薄かったので止めておきましたw
中々面白そうですが証明は省かれてるか心配なので、もし気になる所があったらここで挙げてもらった「環と加群」を中古で買うか、
線形打数と集合でお世話になった松坂さんの参考書の「代数系入門」を買おうと思います。

代数学とは何か、はある程度横断的に俯瞰するような
目的のもので、基本的に読み物であって、参考書として
あれで何か勉強する、というような類のものではない。

134

http://www.mcsr.olemiss.edu/~egjbp/faulkner/faulkner.html

「年上の女性にしか興味ないんじゃなかった？」
「おい×２その娘らから言い寄って来たんだぜ」
そう言おうとしたのだが、口蓋に銃口がつっかえて上手く発音できなかった。
「ほひへみほほほははふひはっへひはははへ」
それからの記憶がない。

鴨女の巣

伊達の巣

轡

ナジャ

>>121
イタチ？

http://yaginome.jp/

山羊の巣

三巴の巣

男×女→子供

男×男→？
女×女→？？

可換環が日常で役立ってることって何かありますか？

蜥蜴の巣

山椒の巣

東北大学理学研究科 数学専攻 3
1 ：132人目の素数さん：2007/08/19(日) 10:57:14: ■☆★ 東北大学理学研究科 数学 専攻 2 ... 大沢健夫は、谷川晴美女史にセクハラ行為をした。 ## 大沢健夫は、名古屋大学 多元数理科学研究科の 『 セクハラ大魔王 』 である。 ...
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1187488634/l50 - 25k - キャッシュ - 関連ページ
【名古屋大学】 多元数理科学研究科 [Chapter 28]
（結論1） 大沢健夫のセクハラ問題への揉み消しを行った人々 ： 名古屋大学 多元数理科学研究科長である浪川幸彦氏、 ... 数学板じゃコピペ厨が昔から住み着いてる. 924:132人目の素数さん2007/11/17(土) 22:09:27 だけど、 ...
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蟷螂の巣

鍬形の巣

蝙蝠の巣

怪鳥の巣

木菟の巣

current algebra とは何か？
http://en.wikipedia.org/wiki/Current_algebra
を見ても良く分からない。

>>139
http://www.baifukan.co.jp/sinkan/shokai/mokuji/006610t.html
を読めば分かるんでない

>>140
おそろしく手作り風なHPですねぇ・・・これはすごい

>>140
有難う。これから読んでみる。

鳩の巣の応用問題がわからなくて大学の数学＼(^o^)／

代数のおすすめの入門書があったら教えてください
洋書で、ガロア理論までが記述されているものがいいです

入門書というくくりでいうと以下の二冊が北米の大学では白眉とされる。
Algebra by Michael Artin
Abstract Algebra by David S. Dummit and Richard M. Foote
これらはLang（辞書的に使う本）の対極に位置する教育的な作りとなってる。
ただしやや値が張る。

>>145
ありがとうございます！
amazonで両方買うと4万円ぐらいですね
ちょっと考えます・・

>>146
馬鹿か？
amazon.co.jpじゃなくamazon.comならそんなしないだろ？

amazon.co.jpのほうが高いのか。

＞amazon.co.jpじゃなくamazon.comならそんなしないだろ？

いったいどこが違うんですか？

amazon.comでは$115.52+$108.78+送料$15前後
amazon.co.jpでは\18328+\22071+送料無料
最近のカード明細書の換算レートは12/10時点で$1=\113.604
In Stockの場合、発注から到着まで10日から2週間

だからどっちが得ですか？

27,000 対 40,000
amazon.com のほうが約３０％安いな。

これが常にそうならamazon.co.jpで洋書を買うのはバカらしいな。

アマゾン.co.jpじゃなくて大損.co.jpやな

前はこれほど差がなかった希ガス

紀伊国屋とか丸善がドルを１５０円とかに設定している。
カルテルとかで摘発されたが、アマゾンもそれに加わったってことか？

大学の代数学がさっぱりわからん。初っ端（群）から意味分かんない。
教授の言ってることが抽象的過ぎて理解できる気がしない。
予習復習が足りないとかそういうレベルじゃないっての。
ノートを何回見直しても意味の分からない文字の羅列でうんざりするし、
代数学入門の教科書を買って一からやろうと思ったが挫折した。
他のテキストを色々探してみたけど、どれも具体例や例題が殆ど載ってないから役立たん。

>>156
大学をやめて工場で働くことを薦める。

>>156
代数学ではよくあること

あきらめて学歴のため卒業だけを目指すか、
喰らいつきたいなら俺は洋書を勧める
俺の場合だけど、数学に関しては日本語の本より英語の本の方が理解しやすかった
大学の図書室にあるから、教授に聞いてちょっと読んでみろ

>>156
そういう人は、代数方程式論から入って
歴史を辿った方がいいと思うよ
「群の発見」とか「数�V方式　ガロアの理論」とか
自分でも手を動かしながら読んでみるといいと思うよ。

昔ならいざ知らず、最近のしっかりした本なら理解不能な
書き方をした代数の本なんて無いはずだぞ。
英語が得意なのは素晴らしい。
しかし、普通の日本人（帰国子女とかの日本人もどきでない）で
日本語が不自由なやつは数学で業績を上げるのは難しいな。
母語以外で思考した方が高性能なんて脳はあり得ないからね。
数学のプロを目指すつもりなら諦めた方がいい。
そうでなければOK。逆に日本人なのに英語の方が得意とかで自慢になる。

あちらさんの教科書の方がフレンドリーな書き方の本が多いってことでないの？

Shafarebitch 買えよ
あ、Shafarevich か

>>156
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1195792678/l50
これに限る。
まだ代数系統は出版されていないが、これは分かり易い上に結構高度な事も書いてあるよ。

セコビッチ

>>156
特別な数学の才能がなければそうなるのが普通で心配することはない。

演習 群・環・体入門 新妻 弘　
親切な代数学演習―整数・群・環・体 加藤 明史

あたりを手を動かしながら繰り返せば抽象的概念が頭にしみこんでくるよ。
とにかく大切なのはおっくうがらずに手を動かすこと。
また重要な定理なんかは書き写して覚えてしまう。
さらに代数に限らないが、わからないことは徹底的に考え抜き、最後は人に聞く。
勉強が進んで、
代数演習 (数学演習ライブラリ) 横井 英夫

あたりが解けるようになると痺れるような代数ワールドが君を待ってるよ。

初めてこの世界の門をたたくのですが
桂利行の3部作を読もうかと思ってます。
（一冊分は安いし、薄いし）

東京大学の授業がもとだからいいかげんでもなかろと
期待しますが、質はどのようなものでしょうか？

Tate-shafarevich Teitelbaum!!

>166
全部目をとうしたわけでないが平均的

ここでいいかわかりませんが、これがわかりません。
ttp://www.uploda.org/uporg1194607.jpg

こんな風にするとｘがなんでも成り立ってしまうようになりました。
ttp://www.vipper.org/vip711011.jpg.html

なぜこうなるのか教えていただきたいのでお願いします。

>>169
すでに他スレに質問があったので取り下げます

分からない問題はここに書いてね２８２
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1197643961/

ｓAGEろカス

松坂の代数系入門は今でも入門として標準なのだから
とりあえず手元において講談代わりに毎日
半ページずつでも目を通すようにして欲しいと思う

>>166
>桂利行の3部作を読もうかと思ってます。
この本は分かりにくい事で有名。

>>173
本当ですか、それ？

ジュンク堂で座り読んだときには
なんか定義定理証明の流れが
分かりやすそうだったんだけど…

でも紙質は粗悪っぽかったな（笑）

あれがわかりにくいってｗ
猿でもわかるように書かれてるよ

僕は羊なのでわかりませんでした

たしか入門レベルに供さない証明はその旨ことわって
省かれてるんでしたよね

なんか代数って難しいイメージがあるので
手始めはこの本からでいいですかねえ
（それでも町は廻っているの主人公風に）

別にいいけど松坂の代数系入門とか桂の本とか読んで満足する人は代数は無理

別に学者になろうってんじゃないからイイもん

いきなり代数的整数論とか読めなくても
気をしっかりもって生きていけばイイもん

ガロア理論くらいが分かればOK

いい本紹介品

とりあえずただで読めるMilneのLecture Note読んどけ

Milne見るん？

まーた自分でもよー読めんくせに紹介する

コストパフォーマンスにこだわるなら
Ashのabstract algebra:
http://www.math.uiuc.edu/~r-ash/
無料で読める。Milneは初心者では読めん。

位数が４５の群はアーベル群である、とはどう証明しますか？

>>187
http://www.akanekodou.mydns.jp/math/pdf/finite_group.pdf
19ページを見よ

※マンフォードは1974年受賞、広中は1970年受賞
↓106=146氏は何が言いたい？


105 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2008/01/22(火) 15:57:29
>>79
当時のハーバードって数学ではあまり有名ではなかった
Hironakaが学内初のフィールズ賞受賞者

106 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2008/01/22(火) 17:35:29
うそつけｗ

マンフオードもとっているｗ

146 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2008/01/23(水) 00:39:18
悔しいのおｗ
広中以外にも受賞者がいてｗ

Q[X,Y,Z]において、
I = (X^3 - 3X,
Y^3 - 3YZ^2 + Z^3 - 1,
3XY^2 - 3XZ^2 - 6YZ + 3Z^2 + 3,
3X^2Y - 6XZ - 3Y + 3Z)
は 極大イデアルであることを示せ。教えてください。よろしくお願いします。

>>190
sumathか。いい加減にしろよ。
極大イデアルでないから証明できない。
Ｉを含むQ[X,Y,Z]の極大イデアルはJ=(x,y+1,z+1)。

軌道（orbit）と固定化部分群（stabilizer）の概念を最初に
導入したのは誰でいつ頃の話ですか？
または、軌道（orbit）と固定化部分群（stabilizer）のネーミング
をしたのは？
群論の勉強では最初に感激したところなので知りたいのです。

こんな時間に質問すみません。
pを4で割ると3余る素数とし、
ｆ(x1,x2,x3,x4)=x1^2+x2^2-p(x3^2+x4^2)とおいたとき、
ｆ(x1,x2,x3,x4)=0は非自明な実数解を持つが、
非自明な2進数は持たないことを示せ(mod8で考える)。

x1^2とx2^2は片方偶、片方奇
x3^2とx4^2も同様だということはわかったのですが・・(虱潰し？)。
ヒント・解答をよろしくお願いします。

>>192

フロベニウス

初歩的な質問で申し訳ないのですが、
表現論という学問がありますが、群を行列で表現することで
どんなメリットがあるのでしょうか？

（１）トレースとか使えるので道具が増える
（２）見えるようになる

>>194
多謝

>>193
任意の実数は二進数で表される。

二進数表示じゃなくて、 Q を 2 で完備化した数のことか。

X^3 + X^2 + 1はF_2上既約かという問題の解き方が分かりません…
どうやるのでしょうか…？

>>200
3次なら因数定理

>200
自明とでも書いておけ、答えは既約だ。

0
1
をXに代入して、２で割り切れないことを確認する。

可約なら因子に１次式があり、それはXまたはX-1
ゆえに上記からあり得ない>>200

>>193
セールの数論講義に似た様な問題があったが、今手元にないので分からない。

花より因子

初心者なので、教えてください。
a,bが代数的数なら、abとa+bも代数的数ですよね。
でも、これを証明するのは簡単なのですか？
どこかに簡単な証明あったら、教えてください。

>>206
[Q(a+b):Q] ≦ [Q(a,b):Q] = [Q(a,b):Q(a)][Q(a):Q] ≦ [Q(b):Q][Q(a):Q] < ∞
積も一緒

そういうこたえを聞いているじゃねえよ
馬鹿>>207

>>207を書き下したのならお前が書けばいいじゃん

>>206

a、bが代数的数であったとすると
xに関する有理係数方程式
x=a、x=b
から2つの方程式
2x=a+b、x^2=ab
が得られて
y=2x、z=x^2とおけば2つの有理係数方程式
y=a+b、z=ab
が得られるから
a+b、abも代数的数となる。　　終わり

>>210 頭悪いんじゃないか？それで答えになっているつもりなのか？バカ

>>211

馬鹿はお前じゃないか？

間違っているから言っているんだよ
バカ

>>213

ほう、ではどこがどのように間違っているのか指摘して。

x=a、x=b
から2つの方程式
2x=a+b、x^2=ab

へへへ　滅茶苦茶じゃんｗ
低脳めｗ

>>215

2つの等式x=a、x=bはあくまで方程式であって
解であることを保証している等式ではない。
即ち左辺のxは共に未知数だ。
そのような2つの等式が成立していることを仮定すれば
例の2つの方程式
2x=a+b、x^2=ab
は簡単に導けるじゃないか。
逆にこの段階でa=bを仮定しているから導けた方程式の解が
x=a=bに限ることを示す必要があるが
これも簡単に出来るだろ。
a、bが代数的数と仮定している限り何の問題もないだろ。

どうやって？へへｗ

＞簡単に導けるじゃないか。

もともと、そんなことじゃあ、答えになってないｗ
質問者はわからんから聞いているんだろ？簡単にがｗ

２１６のような解答なら、大学の代数の試験では点数をもらえないね

>>218

まさか、計算過程を書かせろというのではあるまいな。

だからさ、その珍妙な解答は解答になっていない
大学で先生に見てもらえｗ

方向的にそんなことでは解答にならんと言っているだよｗ
馬鹿はｗ

どうやって？へへｗ

＞簡単に導けるじゃないか。

おい　逃げたのか？
馬鹿の分際でこのスレで解答をつけるなよｗ

おい216、バカ

おい216、バカ
おい216、バカ
おい216、バカ
おい216、バカ
おい216、バカ
おい216、バカ

しょうがないな。真面目に書くか。

a+b、abが共に代数的数ではないとする。
次数がn次の任意のモニックな有理多項式をf_{n}(x)とする。
すると任意のモニック有理多項式f_{n}に対して
f_{n}(a+b)=0ではなく　かつ　f_{n}(ab)=0　ではない。
n=1のとき。このとき任意のc∈Qに対して
a+b=cではなく　かつ　ab=cではない。
然るにa、bは共に代数的数であるからモニック有理多項式が
モニック1次式の積に分解されるあることに着目すればa、b
は共に或るモニック有理多項式の根である。
よってa+b、abは共に有理数である。
故に或るf_{1}(x)が存在して　　f_{1}(a+b)=0。
同じく或るf_{1}(x)が存在して　f_{1}(ab)=0。
今、n≧2であったとして
或るf_{n-1}(x)が存在して　f_{n-1}(a+b)=0　かつ　或るf_{n-1}(x)が存在して　f_{n-1}(ab)=0
であったとする。すると
或るf_{n}(x)が存在してf_{n}(a+b)=0　かつ　或るf_{n}(x)が存在してf_{n}(ab)=0。
nに関する帰納法により任意のnに関して
或るf_{n}(x)が存在してf_{n}(a+b)=0　かつ　或るf_{n}(x)が存在してf_{n}(ab)=0。
然るにこれは最初の仮定に反する。
従って背理法によりa+b、abは共に代数的数である。

然るにa、bは共に代数的数であるからモニック有理多項式が
モニック1次式の積に分解されるあることに着目すればa、b
は共に或るモニック有理多項式の根である。

これってどうして？

a+b、abが共に代数的数ではないとする。


。。。。。。


然るにこれは最初の仮定に反する。
従って背理法によりa+b、abは共に代数的数である。



あはは。。。論理的におかしい。

おい216、バカ
おい216、バカ
おい216、バカ
おい216、バカ
おい216、バカ
おい216、バカ

まじめに書いて、背理法もつかえねえのか>>227

>>228

a、bを根に持つ1次のモニック有理多項式が存在する。


>>229
>>231

この場合f_{n}(x)を固定して考える必要はない。
n≧2のときの帰納法の仮定も背理法の仮定を用いて示した結論をもとにした仮定ではない。
つまり、背理法の仮定の影響は全くない。

おいら代数のことはサッパリだけど、

(>227)
＞然るにa、bは共に代数的数であるからモニック有理多項式が
＞モニック1次式の積に分解されるあることに着目すれば

その「モニック1次式の積」を(x−c1)(x−c2)…(x−cn) とすると、
c1〜cnは もはや有理数とは限らないよね？だから

(>232)
＞a、bを根に持つ1次のモニック有理多項式が存在する。

これもおかしくね？

228です。>>232
それって、a, bが有理数になるってことですよね？
a+bとabが有理数でなく、a, bが代数的数なら
a, bが有理数になるという主張なんですか（n=1)

共に代数的数でないと仮定して矛盾が出たなら
（この部分の証明が間違いだが）、
少なくとも一つが代数的数であるという
結論しか出ないだろｗ>>227

227は書けば書くほど、おかしなことを書いているな

代数学ではふつーーそういう証明してないけどーーｗ

>>235

本来だったらa+bとabが代数的数であることは独立に示すべきなのだが、
書くのが面倒だから同様な内容の推論を並行して書いただけ。


>>234

>a, bが代数的数ならa, bが有理数になるという主張なんですか（n=1)

これはa、bを根に持つ1次のモニック有理方程式の存在を仮定すれば導ける。

227の証明にはどこにa,bが一次式の根になるって書いてありますか？
nはa+b, abについて、それが根にならない多項式の次数なんでしょ？

>>238
ねえ、>233にも返答してよ。

すげえ証明だな
めちゃくちゃだｗ
ネタなの？

いったいnって何なんだ？どうとっているんだ？

>>239

>a,bが一次式の根になるって書いてありますか？

このことは書き忘れました。


>>233

>その「モニック1次式の積」を(x−c1)(x−c2)…(x−cn) とすると、
>c1〜cnは もはや有理数とは限らないよね？

f_{n}(x)の式の形を具体的に書き下して推論はしていないから
>>227の場合には当てはまらない。

>＞a、bを根に持つ1次のモニック有理多項式が存在する。
>これもおかしくね？

例えばx-a、x-bは1次のモニック有理多項式。


ここでちょっと書くのは打ち切ります。

>>241

並行した書き方で、そう見えるでしょう。
a+bが代数的数であることとabが代数的数であることを同時並行して書いてしまったので。

(一時中断。>>243に反して書いてしまったが。)

＞例えばx-a、x-bは1次のモニック有理多項式。
あ？「有理多項式」ってのは、有理数係数の多項式のことではないのか？
(複素数)aが代数的数であることの定義は、有理数係数のある多項式f(x)が
存在して、f(a)＝0となるときを言う。これを踏まえた上で>227を読むと、

＞a+b、abが共に代数的数ではないとする。
＞次数がn次の任意のモニックな有理多項式をf_{n}(x)とする。
＞すると任意のモニック有理多項式f_{n}に対して
＞f_{n}(a+b)=0ではなく　かつ　f_{n}(ab)=0　ではない。

とあるから、君が言うところの「有理多項式」ってのは、有理数係数の
多項式のことなんでしょ？だとしたら、x−a、x−bは「有理多項式」とは
限らないよね(例：a＝√2など)。

君の言う「有理多項式」の定義を教えて。

>>245

定義は「有理数係数の多項式のこと」でよい。
書き間違えたが、x-a、x-bではa、bを既に有理数と仮定してしまっていた。
c、dが有理数のときx-c、x-dは1次のモニック有理多項式になる。
これが挙げようとした例。
でa、bは共に代数的数。

(本当にもう一旦止める)

＞定義は「有理数係数の多項式のこと」でよい。
ならば、もっと支離滅裂になる。>>228の質問に対し、君は>>232で

＞a、bを根に持つ1次のモニック有理多項式が存在する。

と返答している。しかし、a,bは代数的数であって、有理数とは限らないのだから、
a,bを根に持つ1次のモニックな「有理多項式」は存在するとは限らない。

>>247

>>246の有理多項式の定義を書き間違えた。
「定数項を除く任意の次数の係数は有理数　かつ　定数項は複素数」
であるような多項式を有理多項式という。
>>246を書くときちょっと寝ぼけていた。

(ちょっと寝る)。

書き間違えた。
>>248は無視して下さい。
当たり前過ぎて、すぐには>>232にこれ以上答えられない。

(少し寝る)。

>>232ではなかった。>>228だった。

なんかボロボロだなｗ

いずれにせよ、証明できていないよｗ

並行して書いてあろうとなかろうと証明になっていないお

何で、代数的ということと、有限次拡大とを関連付けてやらないんだ？

207にその方針の簡潔な証明がある．が，質問者には難しかったらしい．

ま、少なくとも249は初心者だな。

>>207

その証明はおそらく正しいと思うのですが、イメージがわきません。
Q(a)はQにaを添加してできる最小の体ですね。
Q(a)が体になるには、Q(a)の逆元(逆数)もQ(a)の元になるはずですが、そのへんがよく理解できません。aが√2などの簡単な例で説明されると分かるのですが、
aがべき根と四則演算で表せない場合、どうやってそれを理解すればいいのでしょうか？

>>257
何を聞いているのか理解できないんだけど．

> Q(a)はQにaを添加してできる最小の体ですね。
YES

> Q(a)が体になるには、Q(a)の逆元(逆数)もQ(a)の元になるはずですが、
> そのへんがよく理解できません。
「そのへん」とは？ Q(a) は a を含む最小の体だから 1/a も Q(a) の元．
これは定義から直ちに出ること．

> aが√2などの簡単な例で説明されると分かるのですが、
> aがべき根と四則演算で表せない場合、どうやってそれを理解すればいいのでしょうか？
それは代数的でない元を添加したということ？

おそらく正しいと思うのですが　もなにも、全く分かってないんじゃね？

>>257
しゃあねえなあ。207 を書き下してやる。

k を非負整数として (a+b)^k を考える。a, b 代数的だから、
a^n や b^m はそれよりも小さな次数の元たちで書き直せる。
よって、(a+b)^k は 1, ..., a^{n-1} b^{m-1} の、nm 個の項の
Q 係数の線型結合で書ける。つまり，(a+b)^k は
Q 上 nm 次元のベクトルだと考えられる （基底は a^i b^j）．

ところで 1, a+b, ..., (a+b)^{nm} を考える。これらはどれも Q 上 nm 次元の
ベクトルで、nm 本よりたくさんあるのだから、これらは線型従属。
つまり、ある Q 係数の関係式
　γ_0 + γ_1 (a+b) + ... + γ_{nm} (a+b)^{nm} = 0
が成立。これは (a+b) が代数的と言っているのと同じ。

>>248
任意の数が代数的であることを証明できそうですねｗ

皆の衆。
我=>>227=>>249 を馬鹿にせんと思ふならばそうするのがよし。
我、>>206 のいふ簡単、如何なるものか、分からなきに等し。
我、稚児にも分からんといふものにてとらへけり。
半ば遊びで書きけることお許し下され。

>>262
で？>>247で指摘された矛盾はどうなったの？

>>263

単なる私の間違い。

じゃあ、>>227は間違っているでＦＡですね。

これにて一件落着ですか。
2chでこういう風に円満に終わるのは珍しいな。

>>258

ていねいな解説ありがとう。
もう一度頭の中整理します。

レス番号間違えました。

>>258 X
>>260 ○

>>258

>「そのへん」とは？

Q(a)でaが√2なら、1/(x+√2y)の分母は簡単に有理化できるので、
Q(a)が2次拡大になることが簡単にイメージできます。

aが一般的な代数的数の場合、1/(x+ay)の分母を有理化するのは、
簡単ではないと思うのです。

そういう場合に、 Q(a)が有限次拡大体であるというイメージがわかないのです。
1/(x+ay)がどんな線形結合になるのかのイメージが持てません。
Q(a)が無限次拡大になる可能性はないのかも気になります。

だれか詳しい人、アドバイス下さい。

Q(a)=Q[a]を証明して理解していないから、いつまでも分からないんだよ
この等式はQ[X］が単項イデアル整域であり、単項イデアル整域の
ゼロでない素イデアルが極大イデアルであることから、
Q[a]が体となることがわかって、出る。

Q[a]はQ上有限次元のベクトル空間となる。しかも
aのベキを基底としてとれる。これから上記のようなことも
解決できる。

>>269
なんか拡大次数について壮絶に変な理解をしてるように見える。

まあ２６４が一連の馬鹿レスを書いたので
分からなくなったんじゃね？

>>270

Q[a]の記号の意味、教えてください。

>>273
Q[a]は、aを変数とするQ係数の多項式全体。
Q(a)は、aを変数とするQ係数の有理式全体。

Q(a)=Q[a]は多項式=有理式
という意味でしょうか？
理解してませんでした。
もう一度、頭の中整理します。

>>269
aのQ上最小多項式をf(x)とすれば、f(a)=0であり、
f(a)=(x+ay)g(a)+q=0 (g∈Q[a], q∈Q)と
表せば、1/(x+ay)=-g(a)/q。

じゃダメ？

>>276

なるほど。
イメージわいてきました。

また妙なのが沸いてきたな（２７６のこと）

結局、276の考え方でいいのかな？

ｗWWWWW

276 は単に 1/(x+ay) を書き下しただけで
考え方も何もないんだけど

Q(a) = Q[a] は Q[a] が Q 上有限次で整域であることからも出る。
f ∈ Q[a] で f ≠ 0 なら g ∈ Q[a] に fg ∈ Q[a] を対応させる
写像は Q 上の線形写像である。Q[a] は整域だからこの写像は単射
である。Q[a] は Q 上有限次だからこの線形写像は全射でもある。
よって fg = 1 となる g ∈ Q[a] がある。即ち Q[a] は体。

実際に f(a) ∈ Q[a] が与えられたときに f(a)g(a) = 1 となる
g(a) ∈ Q[a] を求めるにはユークリッドの互除法によるのがいい。

a の最小多項式を F(X) とする。
f(a) ≠ 0 なら f(X) は F(X) で割れない。
F(X) は既約だから f(X) と F(X) の最大公約多項式は１である。
従ってユークリッドの互除法から f(X)g(X) + F(X)G(X) = 1 となる
多項式 g(X) と G(X) がある。
このとき、f(a)g(a) = 1 となる。

276は前に馬鹿にされていた奴だろ？ｗ

念のために書き込んでおくが>>276と>>264(=私)は同一人物ではない。
私はこのスレに>>264以降今まで一切書き込んでいない。

アホなレスがあるとやたらに活気付くなｗ
お前等、普段不幸なんじゃないの？

俺が出品してる本も買ってくれよ！

にゃ

PJCの本の第二版ｷﾀー
今から読むぉ

PJCって何？

それにしても>>206のいう
a、bが代数的数なら、abとa+bも代数的数
の初等的な証明はないのかね。
やはり体論を使うのが１番初等的なのか。
これより初等的な証明はなかったのか。
何か外伝がある気がしてならないんだが。

考えれば考える程難しい。

Q[a,b] が Q上有限次元ベクトル空間で
その基底が 1, a, ab, a^2・b,..., b, ab, ab^2,...
c=a+b(or ab)としてcによる掛け算は Q[a,b]の一次変換だから
Q-係数の行列 M で表せる。行列式 det(M-cI)=0 だから cは代数的。

#警告！２ちゃんねるは有害です。

Q[a,b] が Q上有限次元ベクトル空間

これはどうした？

aの任意のベキ乗は、最小多項式の次数未満のベキ乗の一次結合で書ける。
bについても同様だから、環Q[a,b]はQ上有限次元。

#警告！２ちゃんねるは有害です。

>>294
>bについても同様だから、環Q[a,b]はQ上有限次元。

要するに [Q[a] : Q] と [Q[b] : Q] が有限だがら
[Q[a,b] : Q] も有限と言ってるわけね。
これは何故？

>>292
行列式使わなくてもいいけどね。
c が代数的でないと Q[c] は Q 上無限次になる。

アホすぎｗ

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　亠ｧ厂|　　　　　　　　`':,;..:..:.';.　　　　 ;'..:..:.,:'
　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 ‐个 兀　　　　　　　　　　`:;:.::.':.,　　　,':.::.:,:'
｀.:`.:''''..:.‐ :.:-:.:...,,,,　__　　　､‐-、　　　　　　　 __ 　　,.‐z_,-､　　 '':;;:::':, ,...;'::..:,;'　　,,.:':
..:..:...:..:..:...:...:...:.:..:...:...:..:.｀＿,,ﾉ　└¬､'''.:.:‐:..,,ヾ､__)∠,ｨｸ ／,、　　　';:''..:.:..:..:.:..:.'':;'':.:.,;.
.:..:...:..:..:...:...:...:.:..:...:...:..:.ヾ､_　　　＜^'".:..:..:.:..: ＜`ヾ´~_　 _~´ 〉'''':.::.;':.::...:.:..:..:..:...:.:.';'　,,
..:..:...:..:..:...:...: ,,;,;,;,,;:..:..:.:.:..: /　/＼　`ヽ､..:..:.:..:..:_ブ∧ ‐　‐　/.:.:..:,;,::';..:..:..:.:..:..:..:...:.:.:''´:.:
:..:.:..:..,.:-〜' , ､ｍ_）°.:.:.'ｰ-'..:..:..:`ｰ--',,;,;::.:.:ヽ､_i (_,/しﾍﾍ_） ´　　'::;.:.::.:..:..:..:..:.:..,;'｀ ''
,;,,;,;/　　＜て_;:､｡.:° ‐　''''　"　´　´　　　　　　　　　　　　　　　,;:''.:.:,:'' :;,._.:,;.,､:.'':.,,_
　 /　r'７ｧｯｰヘ､_) ﾟ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　,,:''.:.:,:'' , -〜''ヽ‐-‐､.:.:.''
-く 　ﾚ'/〈　°　　　｡　　　　　,ﾍVﾌヽ、　　　　　　　　　 ,,:''.:.:.:,:'' 　(_,ヘ､　　　　　⌒
　　Ｖ巛〈 ヽ 　, 〜''ヽ　　　　/ e　ヽノ＼ﾍ. 　　　　　,,:.''..::.:,:''　。 　 　　と_刀Tゥｰ
＿/　ヾ ヽ､ Ｙ ｧ个〜'。ﾟ　 ,少ｰ- 代ヽ､ ヾゝ 　 ,,.: '':.:/ヽ､'　｡ ﾟ (⌒⌒ｰ-く ﾉﾉ,!j
　{.　　 ＼　Ｙ巛〈 　　 　 　） l�f�gレﾞく　　＼''.:.::.:.:.:/ /　入 ﾟ ｡ `〜<ヾヾ､,｀⌒ 〜
_, ヘ、　　ヾ{　ヾﾄ､　 　 　 'ヾゝｬ�gﾒ�l�`　　 ヾﾖ　/〃／ _,,＞　　　 〉〉ﾉ ｀厂丁｀
　　　＼　　＼　　ヽ、　　　　｀ゞへ�m�f�i�_　 ゞ�dｆ‐ '' ´　　　　　 ///／　　ﾉ
─〜 ⌒ヽ､　 ＼　　 ヽ、　　　 ´｀'‐ニ世三r＜�k´　　　　　　 ＿,,ノ,〆　　 ／
　　　 ＿_,, へ、　＼　　 ` ー- ､＿＿　　　　　　＿,, --‐‐ ''´　　　　　_ - ´　 ／
￣￣　　　　　 ＼　　` ｰ- ､ ＿　　　　￣￣￣　　　　　　　＿, -〜＜ -一 ブ
　　　　　　　　　　ヽ､、　　　　　 ￣｀ ー─----── ´￣　　　　＿ -一 ´

>>297
なら>>295に答えてくれ。
頭のいいあんたには簡単だからすぐ答えられるよな？
正解を答えられないならあんたもアホと認定する。

[Q[a,b],Q[b]] と[Q[a],Q]との比較の問題

>>300
ちゃんと分かるように証明しろよ。
誤解の無いように言うと俺は証明は知ってる。

a, b 各々の最小多項式の次数を m, n とおく。
環 Q[a,b]の任意の元は 1, a, b, ab,... a^(m-1)・b^(n-1) の
Q-係数の一次結合で書けるから、Q[a,b] は Q-ベクトル空間として有限次元。
c=a+b (or ab) として c による掛け算は Q[a,b] の一次変換だから
Q上の行列 M で表せる。行列式 det(M-cI)=0 だから cは代数的。

#警告！２ちゃんねるは有害です。

モデレータの人に質問です。
煽ってスレを伸ばすといくら貰えますか？

つ�I

代数学を基本(群から)やり直したいんですがお勧めの本ありますか？

>>305
洋書ならArtinかDummit-Footが良い。非常に教育的にできてる。
Langはありとあらゆることが載ってるけど理解してる人向けの辞書
みたいなものだから通読には向かない。
和書だと良いものがすべて絶版になってて良いものがないかもしれない。

Dummit-Footeね

>>305

岩波講座基礎数学の「環と加群」が良い。
読むにあたって必要な予備知識が少ない(集合を知らなくても読める)。
自己完結していて他の本を余り参照しなくても読める(と思う)。
手に入りにくいがまずはこれを通読し精読するのが良いのではないかと。
ちなみにこれには他の本に書かれていない内容がかなり書かれている。

>>308
ゴタゴタしていて、ちょっとセンスが古かねぇーか。
概要がつかみにくいって印象がする。
ウェルデンの本の方みたいに読み易いといいのにね。

和書ではArtinやDummit-Footeに当たるようなのがないね。
松坂「代数系入門」は内容が薄いし、森田「代数概論」はレジュメみたいだし、
親切な〜とかゆとりチックなのがいくつかあるけど薦めるのもどうかと思うし。
教室で口伝えで学ぶ学問なのか。
代数学を学ぶ上で良書がないことが初学者にとって障壁になってるんじゃないか
と思うほどだ。

オイラー全集が最強

堀田のが、最高。簡潔でいいよ。

夜公園の砂場で前方後円墳を作って遊んだ
すげえ楽しかったｗｗｗ
こういう気持ちを忘れたくない。

ハンガーフォードや六と万もえーでー
オレも山崎は好きでない（系が多すぎる）、ラムの方がいい

堀田の「代数入門」（裳華房）や「可換環と体」（岩波）はエレガントでいいよね。
ただちょっと例が少ないような気がする。

初心者には永田先生の可環体

堀田さんはそんな本を書くよりも
論文を書くべきだったな
ここ20年も論文を書いていない

ホモロジー代数が載ってないからダメ

そんな一冊で何でもかんでも書いてある本要求してもねえ

なんといっても、岩波の数学辞典に限る。
載っている定理に証明をつけていけば、よい演習になる。

体Ｋ上代数的な元ｓ，ｔを添加した体Ｋ（s，ｔ）と
Ｋ（s＋t）は一致しますか？

s=2^1/2,t=1-2^1/2なら？

なるほど。では，Ｋに対してＫ（ｓ，ｔ）とＫ（s＋t）が共に同じ拡大次数を持つ場合は　
どうなんでしょう

あ
あ
く
だ
ら
ん

ホモ(*´з｀)
露自慰代数

>>323
マジレスすると、Ｋ(s＋t)⊆ Ｋ(s, t) だからK上の拡大次数が一致するなら
（ベクトル空間の次元の一意性より）両者は一致する。

マジレスでなくとも糞レスでも自明
質問者自体が質問して暫くのちに自己解決しているのが普通

　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　〜⌒ヽ.
　　　　　 　　_.〜⌒ヽ.　 　('A`)〜´ ｀ヽ._.′　　　 ヽ._.〜~
ｷﾀ〜´ ｀ヽ._.′　　　　ヽ._ﾉ

代数の教科書でDummit-FooteのかCohnのかで迷ってるんですが、どっちがいいんでしょうか？

好みの問題だが、個人的には Dummit-Foote のほうが読みやすいと思う

>>330
いまPJCの代数入門で準備運動してるんですけど、
PJCのfurther readingではCohnかLangかな？みたいに書いてあって、
>>306みたいな指摘があってちょっと迷ちゃってるんですよね。
どうしよ、、、、。

図書館で両方目を通してみて自分に合いそうなほうを読めばいいじゃん。
誰かにこっちを読めって言われないと安心できない年頃？

>>332
んー、フィーリングの話じゃないんですけど、まあCohnにしますわ。

群は簡単な概念だと思うけどなあ。
このどこがわからないのかがわからない。
群っていうのは最初は置換群だと思っていればいい。
抽象的な定義から入るからわからないのかもしれんな。

痴漢の群れ(;´Д`)ハァハァハァハァ/lァ/lァ/lァ/lァ/ヽァ/ヽァ/ヽァ/ヽァ ノ ＼ア ノ ＼アノ ＼ア ノ ＼ア

n×n行列のなす代数(algebra)に対して、
生成元の個数の最小値を評価したいのですが
どうすればよいのでしょう？

>>336
Bruhat-Tits buildings について勉強すればいいよ。

>>337
日本語の本でよいものはありますか

>>338
あったら俺が欲しい。
とりあえずブルバキの『リー群とリー環3』。

>>338

確か、鈴木道夫の群論上に Bruhat-Tits buildings の基になる組合せ論的なことが書かれている。
だから、これを読めば良いんじゃないか？

おっぱいの建物って何？

質問です。
環Rに対し、R 以外のイデアル全体の集合は、包含関係による順序が入るため、ツォルンの補題より、任意のイデアルはある極大イデアルに含まれる。
とwikipediaにあるんですが、ツォルンの補題をどう使っているのかわかりません。
一体どの集合が帰納的順序集合なんでしょうか？
また、任意のイデアルを取ったときに、そこからイデアルの無限増加列が取れればこの議論はまずいのでは、とも思ってしまうのですが。

>>342
自然数の集合に無限大を追加した順序集合は
無限増大列が存在してかつ極大元が存在するだろ。

鎖（帰納的順序集合）ってのは順序集合の中の全順序な部分集合なんだから
順序が定まったらどの集合が鎖なのかは定まる。

イデアルの増加列に対してはその全体の合併集合を取れば良い。
無限か有限かはあまり関係無い。

回答ありがとうございます。
まだわからないところがあるので重ねて質問します。

任意のイデアルを取り、“それを含むイデアル”の族Aが帰納的順序集合であるという流れだと思いますが、
そのためにはAの中の全順序な部分集合が上界をもたなければならず、
そこで無限大や合併集合を考えるとAに含まれない上界になってしまって帰納的順序集合の定義からはずれることになりませんか？

>>345
合併集合はAに属すると思うが。

考えてみたら属しますね。解決しました。
回答してくださった方々、ありがとうございました。

何がわからなかったのかがわからん。

ｌܷܷܷܵܶܶ

符号理論の理解を補助するために
ガロア体の知識を増やしたいんですが、ちょうどいいやつってありませんか？
群環体の基本事項は一通り勉強したことはあるんですが

Algebra artin注文した

>>351
結構癖が強いぞ。いやになったらdummit-footeもよろしくな

ほかにもLamとかも在るよね。
Zariski-Samuelの一巻とかも代数学の教科書として意外と良いらしい。

これ二巻まで読んだら松村の可換環論に進めるかな？
Atiyah-Macdonald先に読むべきなんだろうか

LamのNon commutativeの方の問題集が手に入らないorz。

結合律を満たす二項演算の群表上には、何か視覚的な特徴ってあるでしょうか
例えば、可換であるためには主対角線に関して対称になっているような
よろしくお願いします

>>355
見やすい条件は、特に知られていない。

言い換えると、ある表があたえられたとき、それが群表であるか
（特に、結合率を満たすか）、をチェックするのは、本質的には
全部の３つ組について確かめるくらいしか知られていない。

>>356
ありがとうございます

細かいことは忘れたが、ある代数系（束と群を融合させたようなの）で、
ある命題の反例を作り出すことに躍起になったことがあった。
その時に最も厄介だったのが、結合律を満たすように万障繰り合わせる
作業だったということだけは鮮明に覚えている。

age

別スレから来ました。全行列環上の加群について教えて下さい。
例えばKを体として、Rを３次全行列環M3(K)とします。このとき３次正方行列M＝
K K 0
K K 0
K K 0
は右R加群だが、３行２列行列N＝
K K
K K
K K
は右R加群ではない。これは正しいでしょうか？
MとNはK加群（６次元Kベクトル空間）としては同型ですよね？

>>360
（前半）
あなたはR加群をどう定義してるの？
ふつうの流儀でふつうに作用を入れると同型になると思うけど。

（後半）
Yes

>>360
どちらも右Ｒ加群にはなりません。

>>361
ありがとうございます。
行列の積をRからの作用として右R加群を考えています。
これが間違いなのでしょうか。
>>362
ありがとうございます。
Ｍ，Ｎとも左R加群になるのはわかりますし、Nが右R加群にならないのもわかります。
しかしMが右R加群にならないのがわかりません。
やはりRからの作用の定義に問題があるのでしょうか？

355の方の関連、というかもっと初歩的な質問なのですが、
代数系の研究で、何より先に結合法則が仮定される理由、
つまり、結合法則がなぜそれほど重要なのかが、どうしても
しっくり来ません。

既出かも知れませんが、どなたかご教示ください。

>>363
右R加群の定義を正確に書いてごらん。

>>364
結合法則を仮定しない代数系に関する研究もある。

結合法則を満たす代数系を考えることが多いのは、
興味のある代数構造は「（条件を満たす）関数のなす集合」
みたいなところから出てくることが多くて、
関数合成が結合性を満たすからだと、俺は思ってる。

もちろん人によって考え方は違うところだと思うけど。

>>366と同じ様な意見だが、圏の射が結合法則を満たすことが根本にある
と思う。
圏とはモノイドの拡張になっている。
圏のある対象 X の自己射全体 Hom(X, X) はモノイドになる。
従って、モノイドは数学のあらゆる場所に現れる。
X の自己同型全体 Aut(X) は群になる。
アーベル圏のある対象 X の自己射全体 Hom(X, X) は環になる。

=364です。

366さん、367さんがおっしゃるように、
Hom(X,X)が結合法則を満たすことが、大きな理由で
あることはよくわかります。

ただ、基本（？）に戻って、自然数や整数、有理数、実数の
演算としての＋、×を一般化する過程において、なぜ結合法則が、
ある意味で最も「神格化」されたのか、というのがわからないのです。

直感的には、交換法則の方がよほど基本的なようにも思われます。

あるいは子供に説明するとき、自然数の加法、乗法の結合法則の
証明（説明）は、それほどやさしくないようにも思えます。

そのあたりの、納得できる説明を、どなたかお願いいたします。

>>368
あんたは、何か大きな勘違いをしてるようだな。
このスレを見てるとそういう勘違いをしてる者が多いが。
代数系というのは人間が自由に決めていいように思ってるようだが、
数学というのはそういうものではない。

=368(=364)です。

369さん、私も、単に形式的なルールを決めただけの
代数系には、多くの場合には意味がないと思います。

「自由に決めていいものではない」からこそ、
「結合法則を満たしていなくてはいけない」理由があると
思いますので、それを教えていただきたく存じます。

>>368
> ある意味で最も「神格化」されたのか、というのがわからないのです
神格化されたというソースはどこにあるの？

たとえば八元数は結合法則を満たさないけれど研究があるし、
Jordan代数は非結合的だけど、交換的な代数で、近年も研究されてる。

>>363
お前の考え方がオカシイのは
ある作用のいれかたが存在したら
それ以外のいれ方を考えないというか
それ以外の存在を忘れ去ってしまっている
ということ。

>>370
だから>>367で説明してある。
ねばならない理由って、事実は事実なんだから
素直に認めればいいじゃん。
数学の出来ないやつは難しく考えすぎるからだめなんだよ。
何故、１足す１は２なのかとかな。
−１と−１を掛けると何故プラスになるかとかな。

>>368
東屋-中山の代数学I・IIなんかみると
分配系のほうが当たり前の構造だと思ってる
という感じがするんだが。
お前が何を神格化しようと、
お前の神は俺の神ではないということでは。

>>368
納得したければ身をすり減らしてでも自分で調べて
死ぬまで考え続けろ
それ以外の何物もお前の納得の役に立ちはしない

非結合代数系なんてさ、まず計算順序を
いつもいつも気にし続けなきゃならんでしょ、
ひたすらめんどくさいじゃん。

多分、面倒くさい上に面白くないからだろうな。

しつこいようですが、＝370です。

それでは、355さんの質問に戻って、たとえば実数R上に
二項演算・が定義されているとき、それをあえて関数記号ｆを使って
ｆ：A×A→A
表します。

当然ですが、交換法則
f(a,b)=f(b,a)
は、ｆのグラフ
z=f(x,y)
が、面x=yに関して対称であるということで
特徴づけられます。

それでは、この演算が結合法則を満たすこと、すなわち、
f(f(a,b),c)=f(a,f(b,c))
が成立することを、ｆのグラフの形状の特徴として、
簡単に述べることはできるでしょうか？

これが何か直感的な特徴づけを持つようなら、
ある種の「納得」が得られるような気もします。

>>378
>>356 が既にその解答を与えている

結合法則が成り立つ場合は
f(a,x) を a が x に左から作用しているとみたほうが良いんじゃないかな

だから数学ってのはゲームじゃないんだって。
ゲームは人間が作ったルールで遊ぶ。
数学ってのは数学的世界の探求なんだよ。
数学的世界ってのは大昔から不変なわけ。
人間がどうこう出来るものじゃない。

別に「結合法則を満たしていなくてはいけない」ってことはなくて
実際、Lie代数とかは満たしてないでしょ。

ただそれ以外にあまり面白い例が知られていないってだけだと思う。
これから千年後の数学はどうなっているか分からないのだから
あまり人為的な理由をこじつけて「納得」しようとしちゃダメだと思う。

>>378
世の中お前のような単純でおめでたいものだけでできあがって居ないということだ。

>>366とか>>367とか>>380が書いてるように、重要な代数系は
作用の集合なんだよ。圏論で言うと射の集合だ。
整数環もｎ倍するという作用の集合なわけ。
だから>>368が可換性のほうが基本的に思えるというのは勘違い。
むしろ非可換が普通。

378です。有意義な多数のご意見に感謝します。
384さんがまとめてくださって、８０％くらいまで
すっきりしました。

確かに歴史的に考えても、群や環は、決して整数や実数の
加法、乗法を一般化して生まれたものではなく、（どの時点を
もって「生まれた」とするかは議論があるでしょうが）
ガロアによる根の置換という「作用」の研究から生まれた
わけですもんね。

ということは、むしろ、整数や実数の加法や乗法が
結合法則を満たすことは、大げさに言えば「たまたま」「まぐれ」
という位に考えた方がいいのでしょうか。

きもちわるい

定義
I を有限閉区間 [a, b] とする。
I の二つの分割 Δ = (x_i) と Δ' = (y_i) に対して
Δ の各分点 x_i は Δ' の分点になているとき Δ' は Δ の細分と言い、
Δ ≦ Δ' と書く。
関係 ≦ は明らかに順序関係である。

Δ_1 と Δ_2 を I の二つの分割とする。
Δ_1 と Δ_2 の分点の合併から重複するものを除いたものを Δ_3 とする。
明らかに Δ_1 ≦ Δ_3, Δ_2 ≦ Δ_3 である。
従って、I の分割全体は上向きの有向集合(過去スレ008の140)である。

リーマン積分？誤爆？

クマースレからのコピペ荒らしだろうｊｋ

そんなスレ知らんわｊｋ

上から順に見てったらすぐわかったwww
あのスレでリーマン積分が出てきてるとは思わなんだ。

>>385
きっと数学的には、整数や実数が結合則を満たすのは
「たまたま」でも「まぐれ」でもなく、ほぼ定義。

君が考えるべきは、人間の数に関する直感が
抽象的な整数や実数と対応していることじゃないかな。

やべーーーーーーーすげーーーーーーー
発見した
今から論文にまとめる
楽しみにしとけ

零因子を持たない非可換環の例がありましたら、教えて頂きたいです。
そもそも、そのような環は存在可能でしょうか？

>>394
四元数を知らんのかたわけ者。

>>395
すみません。超初心者です。勉強します。

age

ここで聞くべきか分からないけど
集合･位相から群論に進むのにいい教科書ありませんか
「現代数学概説�T」を読んでるのですが
分かりにくくて挫折しそうですorz

横田一郎「群と位相」
ポントリャーギン「連続群論」

現代数学概説�Tは分かりにくい割に読んでも苦労が報われない本なので。。

Algebra Artin 小さな誤植多すぎ　まとめたら100個以上あるなこれ。

LangとArtinのAlgebraどっちがおすすめ？

Artinは具体例あげすぎ、ちゃんと証明してない定理多杉。
純粋な数学好きにはあまり向いてないという印象
Langの方は読んだことないからわからんが。

Langは大学院用のかなり高度なテキストで
圏論を意識して書いてる。
アメリカだから大学院とかそういうことじゃなくて、
実際にかなりレベルが高い。
学部生がゆっくりしっかり勉強するためのArtinと比較してもしかたない。

＞具体例あげすぎ、ちゃんと証明してない定理多杉。
代数学とは何か、とかそこまで読み物じゃないだろうけどね。

体に埋めこむことのできない、零因子を持たない環ってありますか？

代数学のおもしろさってどんなとこですか？

>>405
整域は商体に埋め込める

レスありがとうございます。

ttp://www.com.mie-u.ac.jp/~kanie/tosm/humanind/jinmei_m.htm#Mal'tsev
に
＞1937年に環の体への埋め込み可能性についての論文を書く．
＞元は，ファン・デル・ヴェルデンの
＞「体に埋めこむことのできない，零因子を持たない環があるか」という問題だった．
という記述があるのですが、これは、商体を考えれば良いのだから無い、
という結論になるのですか？もう少し複雑な問題だと思っていました。

>>405
易しいことを難しく質問するのがw

>>408
ああ，非可換でいいのか．だったら簡単に作れる．

S を {a, b, c, d, x, y, u, v} が生成する(単位的な)半群で，
各元が a x = b y, c x = d y, a u = b v なる条件を満たすものとし，
R = k S (k は可換体) として得られる環 R が例になる．
（S上では c u ≠ d v だが，埋め込めたとすると c u = d v になる）

素数たち

とか外国語の複数形を意識して「〜たち」とか使うやつがいるけど、
気持ち悪いんですが。

それをかっこいいと思っているやつもいるみたいで。

>>411
酒井とかいうジジイ数学者がそれだ

>>411
俺も使うよ。

正直なんか擬人化っぽくてカッコ悪いとは思うんだが
複数と単数の違いは、日常生活ならいざ知らず、
数学では結構効いて来るので。
その点のみに関しては日本語は英語より不利だと思う。

擬人化っつっても
　　　　　　　 　∧＿∧　　　┌────────────
　　　　　　 ◯（ ´∀｀ ）◯ ＜ 743ﾀﾝは132人目の素数ちゃん！
　　　　　　　 ＼　　　 ／　　└────────────
　　　　　　　_／ ＿＿ ＼_
　　　　　　（＿／　　 ＼＿）
　　　　　　　　 　　ｌｌｌ
とかは流石に言いませんが。

たしかに嫌だが
くどい書き方になるのとどっちがいいか

昔の本ではあまり見ないかな

そんな変な言い回しを使わずに、高木貞治などは立派な数学書
を書いているのだが。「素数の皆さん」とか「特異点たち」が
必要不可欠な表現とは思えん。

なんにせよこのスレでは一回しか使われてない。
代数学に限った話ではないし、そろそろスレ違いだな。

俺もかなり問題あると思うが
昨今の学生の読解力を考えると案外必要不可欠なのかもしれん

>>412

酒井って、ディリクレ＆デデキントの整数論の教科書を訳した人？

あんまり訳の完成度が高くなかったような。

本自体は分かりやすい高木の本よりさらに分かりやすいけど。

>>417
そうです。日本語に冠詞を「添加」しようなんて提案も
どこかでしていましたっけ。

チンコのたちが悪いので、たちが必要じゃ。

単数と複数の区別がほんとに必要なときってあまり思い浮かばない。
逆に英語では point(s) なんて書かなきゃならない場合もある。

要するに日本語で「たち」とか冠詞を使いたいと思うのは西洋かぶれ。

アラビア語かぶれかもしれんよ

対称群S_nとその単位元1に対し
S[n,m]={x∈S_n | x^m=1 x^i≠1(i=1,...,m-1)} として
S[n,m]を x〜y ⇔ ∃g∈S_n xg=gy という同値類で割った商集合をA[n,m]としたとき
A[n,m]の元の個数って一般に幾つになるんでしょうか

>>422
A[n,m]は、

n = a_1 + a_2 + ... + a_r、a_iは正の整数、a_1≦a_2≦ ... ≦a_r
a_1, a_2, ... a_rの最小公倍数がm

を満たす有限数列の個数、ということになるな。
個別のn,mについて組み合わせ論的に計算することは可能だろうけど、
一般的に式で表すのは難しいんじゃね？

K を体、SをKのある拡大体の有限部分集合としたとき、
K[S] = K(S) ⇒ S の元はすべてK上代数的
っていう命題を簡単に（ネーターの正規化定理とか使わずに）
示すことってできる?

>>423
式で表すのが難しくても、423のようには表せるのですね。ありがとうございました

現在、松坂和夫の代数系入門で学習しているのですが、この本の内容なら大学の数学科ではどの程度の学年で習得するのが普通でしょうか？
冒頭のはしがきにはこの本の内容は基礎的なものであって専門的なものではないというようなことが書いてありましたので1回か2回生くらいかと思うのですが

>>426
2年生くらい。

>>427
ありがとうございます
がんばります

>>424
松村「可換環論」定理5.2

>>429
サンクス！ 松村の本で証明をチェックしました。
それなりに長い証明だけど、正規化定理の証明よりはだいぶ簡単ですね。

ちなみに、今読んでる岩波の堀田「環と体2」で>>424の命題の証明が
なんか変で（たった3行しかなく、たぶん証明になってない）、正しい簡単な
証明を探してました。

ありがとうございました。

ご参考までに、堀田「環と体2」（岩波）の問題の箇所を以下に書いておきます。

命題1.11（p.9）の
(ii) K[a_1, ..., a_n] = K(a_1, ..., a_n) ⇒ (iii) [K(a_1, ..., a_n):K] < ∞
の証明が変。帰納法の仮定は「n-1 まで (i)(ii)(iii)が同値であること」のはず
なのに、「a_1, ..., a_(n-1) が代数的」を仮定してしまっているようにみえる。

なお、実は別分冊「環と体1」のほうの補題4.10（p.71）で、これと実質的に
同等な命題が（ネーターの正規化定理を使って）示されています。

ついでに、堀田「環と体2」（岩波）でもう一個見つけたおかしな箇所を書いておきます。

定理 2.25（p.50）（1の原始n乗根を含む体K上の巡回拡大はK(a^(1/n)]）
の「(ii)⇒(i)」の証明で、
「σの位置はnゆえ、これは位数nの巡回群であり..」
というところにギャップがあると思われます。

他の本のように、Lagrangeの分解式かHilbertの定理90を使わないとこれは言えないはず。

匿名で書くな阿呆

全員匿名なんですがｗ

だから２ちゃんねるは便所の壁^H^Hクソなんだ

今学期に群を学んだんですが次は普通は環や体について学ぶんですかね？

つぎは反軍だ

群論ｷﾓｲ
環のようにきれいな群論の本無いですか？

何だよ環のようにきれいなって。
その時点で意味不明だよ。

おそらく環のごく基本的なことしか知らないから
「きれい」だと思ってるんでない？

　環の英訳はringであってringの和訳の1つに「指輪」がある
⇒環と指輪の英訳は同じ
⇒指輪はきれいだから冗談交じりに環はきれいと判断した

つまり、環と指輪の英訳を考えて「環のようにきれい」という表現が出て来たのだろう。

有限群論の恐ろしくテクニカルなのが嫌いなんだろう。
環については４４０の言う通りだろうけど。

友愛数、婚約数、社交数、拡大友愛数 完全数
これって素数みたいに代数的な特性あるの？
ただの暇人の数字遊び？

最後の行

>>443
「代数的な特性」ってのは具体的に何のこと？

http://www.technobahn.com/news/2008/200803271347.html
http://arxiv.org/abs/0803.3435

有限群論って組合せ論やグラフ理論と似た考え方がモロに出て来るから
これらに慣れていてば余り難しく感じられなくなるんないんじゃないか？
無限群論だと話は別かも知れないが。

訂正:
>>447の「慣れていてば」は「慣れていれば」の間違い。

まあ虱潰しにある可能性を一つ一つ潰していくような証明が
嫌いってのは分からんでもない。

有限群論に限らず、代数幾何とかの三次〜〜を
百何十何通りに分類した、とかそういうのもこの種の証明だけど。

ようは、何百通りもの場合分けを人間の脳が楽勝で把握出来ればいいんだろ

無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能
無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能
無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能
無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能
無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能
無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能
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無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能

Reply:>>451 お前は何をしに来た。

質問です。次のことは正しいでしょうか？

可換体kに対して直積環k^{n}は
成分ごとの和、積、スカラー倍によって可換なn次元k-多元環になり、単位元は(1,・・・1)。
このとき任意の(x_{1},・・・,x_{n}) \in k^{n}は逆元(x_{1}^{-1},・・・,x_{n}^{-1}) \in kを持つので単元である。
よってk^{n}も可換体である。

なんか変な感じがします。間違いがあったら指摘して下さい。

k^nの零元は何?

k^{n}の零元は(0,・・・,0)です。

>>455
つまり、それ以外の元は全部単元というのだね。
それで、(1,0,0,...,0)の逆元は何になるの?

なるほど。それはべき等元でした。ありがとうございます。
k^{n}が可換なn次元k-多元環というのは正しいでしょうか？

正しいならば証明を書いてみればよい。
間違いならば反例を出せばよい。
本件では難しいことではない。

>>458
おっしゃる通りです。証明してみました。
k^{n}はn次元k-多元環の条件はすべて満たします。
ただ可換性の証明してみると、
(x_{1},・・・,x_{n})・(y_{1},・・・,y_{n})
= (x_{1}y_{1},・・・,x_{n}y_{n})
= (y_{1}x_{1},・・・,y_{n}x_{n})
= (y_{1},・・・,y_{n}) ・(x_{1},・・・,x_{n})
というように単純なのですが、なにか違和感を感じました。
反例も見つけられません。
可換性は正しいのでしょうか。

何が不審なのやら…

まあ簡単すぎて逆に何が何やら良く分からない、
ってのはたまにあるよね。

不信をかってしまったようですが、可換性は正しいようですね。
ありがとうございます。
体上のベクトル空間と体上の多元環の間で混乱しておりまして、
このようなおかしな質問となってしまいました。
体上の有限次元ベクトル空間は可換な有限次元多元環の構造を常に持つのですね。

>>462
もちません。

>>462
任意のベクトル空間に入れられる自明なリー環構造って知ってる？

> 体上の有限次元ベクトル空間は可換な有限次元多元環の構造を常に持つのですね。

逆じゃないの?
多元環が出てくる文脈だと、畳み込みとか括弧積とかのほうが
そんなわけのわからん積よりは普通に出てくるでしょ。

>>463
たびたびありがとうございます。
体上の数ベクトル空間（=k^{n}）は可換な有限次元多元環の構造を常に持つ、
なら正しいのでしょうか。

>>466
内在構造ではない、と言ってる。

>>466
ただしくありません。

>>464,465
直積環の文脈で考えているので、この積（各成分ごとの積）について
k^{n}の多元環の構造を考えています。

>>467
体上の有限次元数ベクトル空間k^{n}に各成分ごとの積を定義すれば、
この積によって、k^{n}は可換な有限次元多元環の構造を持つ、
なら正しいということでしょうか。

>>470
そういうこと

>>471
ありがとうございます。こんな時間におつきあい下さいまして感謝します。
まだまだ勉強不足なものでお恥ずかしい限りです。無知をお許し下さい。

>>466とかだと「任意の集合は位相空間である」とか
「任意の有限集合は測度空間である」とか
言ってるのと変わらんわけで。

京都大名誉教授の永田雅宜さん死去
http://www.asahi.com/obituaries/update/0828/OSK200808280076.html
　永田　雅宜さん（ながた・まさよし＝京都大名誉教授・代数学）が２７日、胆管がんで死去、８１歳。
葬儀は親族のみで行う。喪主は妻千種（ちぐさ）さん。後日、「お別れの会」を開く予定。

(-人-)ﾅﾑﾅﾑ

http://math.stanford.edu/~conrad/papers/nagatafinal.pdf
亡くなった、永田先生の業績と一点コンパクト化がどのように関係あるのか
説明できる人居ませんか？上の論文にその事が書いてあるらしいのだけど
論文の説明できる人居ませんか？

大好き代数幾何のスレにも投稿しましたが、すみません。よろしくお願いします。

あげ

マルチすんなﾎｳﾞｪ

マルチしてすいません。でも、答えてくれる人を探してるんです。
よろしくお願いします。

あげ

>>476ですが、２ｃｈで答えてくれる人見つけるのは難しいでしょうか？
偉い学者でも２ｃｈ見る人は居ると思ったのですが・・・。
それとも、マルチしたから顰蹙買って答えてもらえないんでしょうか？

2chに「役に立つこと」を期待すること自体が間違い。
匿名で掲示板に書き込めば魔法の箱のように答えが出てくると思ってる奴をみると
反吐が出るなｗ
なんでてめーの代わりに論文読んでやらないとならんのだよ。

>>482
永田先生が亡くなったし、永田先生の業績をみんなが知ることは
良いことだと思うし。
まあ、反吐がでるとか思ってるかも知れないけど、そう言わずに
論文読む力があるなら教えてください。お願いします。m(_ _)m

>>482
基礎学力と英語の力の不足から自分で読めないです。申し訳ない。
もし、読めるんでしたらよろしくお願いします。
他スレで上の論文に永田先生の業績と一点コンパクト化の関係
が書いてあると聞きました。目的の論文が見つかって感激したのですが
自分ではやはり力不足で読めません。誰か素人にも分かるように
解説していただける方がいらっしゃればありがたいです。

我々が教えてクンに教えることが出来るのは
「情報はそう簡単には手に入らない」
「食い下がれば教えて貰えるような ものでもない」
ということである。

教えてクンという一言であらゆる質問者を画一的に扱い自分が答えられないことを
必死になって隠してるやつがいるんだよなｗ

そして結局誰も答えないという＾＾

少なくとも俺にはわかんねーし

あげ

[問]A^r=O (rは自然数)となるべき乗行列とする。

行列A,Bがともに同じ大きさのべき乗行列でAB=BAが成り立っている時,
ABとA+Bもべき乗行列になる事を示せ。

[解]
AB=BAより
(AB)^r=A^rB^r=O・O=OでABがべき乗行列である事は直ぐ示せたのですが
(A+B)^r=Σ[k=0..r](r-k)CkA^(r-k)B^r
から先に進めません。どうすれば=0にたどり着けますでしょうか?

便所　便所　便所　便所　便所　便所　便所　便所　便所　便所　便所　
　便所　便所　便所　便所　便所　便所　便所　便所　便所　便所　便所　
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　便所　便所　便所　便所　便所　便所　便所　便所　便所　便所　便所　

便所＝kingの部屋

>>490
r乗ではなく2r乗したらいいと思う。

> r乗ではなく2r乗したらいいと思う。

ありがとうございます。すんなり示せました。

数科４年です。
ゼミでガロア理論をやってるのですが、正直今までテスト前だけ勉強やって
４年まで来たのでほとんど数学を理解してません。
それで石村園子の｢すぐわかる代数｣をやったらかなり代数について理解できた気がします。（というか集合論について）
ただ、これは入門中の入門だと思うのでその後の代数について触れてある本を読みたいです。
｢すぐわかる代数｣は準同型定理までしか書いてないのでとりあえずイデアル、代数拡大辺りをやりたいのですが、ちょうどいい本ってありますか？
この本みたいに読んでかるく演習を解けば理解できる本が理想です。

>>495　分厚いけど　Algebra-M,Artinなら大体のこと書いてるよ。
　演習問題も馬鹿みたいに多いし高校生以上の知識あるならいきなり読める。

>>496
どうもです。
洋書ですか…！英語で書いてあるんですか？
英語ちょっと読めないので、できたら和書がいいんですが…。

　　　　　　　　　　　　　　　　２ちゃんって最低

Reply:>>492 お前は何をしようとしている。

>>495のようなテスト前だけしか勉強しない奴が日本語で書かれていない本を読めないことくらいアルツハイマーでも分かるのに
あえて洋書を薦める２ちゃんねらーってマジで最低だな

どういたしまして＾＾

数学科はそういう空気読めない奴多そうだからねー

ただ代数入門みたいな本はバックグラウンドの知識自体は
ほとんど同じなので、あとは如何に気合出して読むか、
という問題が一番大きいと思うなあ。
まあ今の「数学的素養」で服部昭の「現代代数学」みたいなの読んだら
いくら頑張っても第一章終わる前に撃沈しそう、とかそういうのはあるが。

松坂の代数系入門とか、「群・環・体入門」とか、
あとは、多少難しくなるけど東京大学出版会の「大学数学の入門」シリーズとかかなあ。

永田せんせの
カカンカンロン
読みなさい

>>479
携帯からでも見れるようにしてくれたら
わしが答えてやる
PDFファイルはちと難儀じゃ

Let V be a vector space of dimension n over the field K.Let V^** be the dual space of V^*. Show that each element v∈V gives rise to an element λ_v in V^** and that the map v|→λ_v gives an isomorphism of V with V^**.

と言う問題で「v∈Vの各元はλ_v∈V^**にriseを与える」
とはどういう意味なんでしょうか?

riseとは??

give rise to で一括りだ

> give rise to で一括りだ

ありがとうございます。

線形代数を学ばず一般の代数から入ることは可能だろうか

無理だろ。
ほとんどの概念は線形代数がベースだもの。

ﾜﾛｽ

というかvan der Waerdenの現代代数学とかは
線型代数はかなり後の章にならないと出て来ない。

これで代数学を勉強した人は>>508の言うような順番で勉強したはず。

Sylvesterの定理について調べています。

VをR上の有限次元スカラー積空間とし{v_1,v_2,…,v_n}をVの直交空間とする。
その時,r={v∈{v_1,v_2,…,v_n};<v,v>>0}なる正整数rが存在する。

という解釈で大丈夫でしょうか?

初めて代数学スレに来てみたけど
代数ってxyとか簡単なことじゃなかったのな

>512
訂正
r=#{v∈{v_1,v_2,…,v_n};<v,v>>0}
です。

齋藤正彦「線型代数入門」p160に関して質問です。
p160の下から二行目のsgnA=(p,q)の部分で、この場合のsgnはどういう意味なのでしょうか？？
行列式の章で、置換の符号という意味でのsgnは知っているのですが、この場合はある行列Aに対してsgnAと書かれています。
なので、この場合のsgnの意味が分からないのですが、どなたか教えてくださいm(__)m

どうみても符号数だろ。
記号が常に一意だとかおもってたら
函数 f とか迂闊に書けないジャン。

もっと詳しく書いてくれないと使われてる状況がわからんよ〜

この板の住人なら齊藤の線型代数入門くらい手元にあると思ってた

俺は佐竹の方なんでね。

>>515
ご返答ありがとうございます。
確かにそのようですね。sgnをそう捉えると後の部分との整合性がとれているように思います。

>>517
すみません(>_<)
みんなこの本を持っているだろうから、ある程度質問の要点を記せば分かってくれるだろうと勝手に思い込んでいたので、今後気をつけます。

>>512 >>513
意味不明

> {v_1,v_2,…,v_n}をVの直交空間
左辺は n 個の元からなる集合だよね。これが「直交空間」であるとはどういうこと？

> r=#{v∈{v_1,v_2,…,v_n};<v,v>>0}
内積は <v,v> > 0 (v ≠ 0) を満たすので、これだと r = n となるが？

直行規定、複素上の間違いだろう。

>522 >521

ありがとうございます。

>> {v_1,v_2,…,v_n}をVの直交空間
> 左辺は n 個の元からなる集合だよね。これが「直交空間」であるとはどういうこと？

直交基底といいたかったのでした。


> 複素上の間違いだろう。

いえ、確認しましたがやはりR上になってます。


> r=#{v∈{v_1,v_2,…,v_n};<v,v>>0}
> 内積は <v,v> > 0 (v ≠ 0) を満たすので、これだと r = n となるが？

内積ではなくスカラー積
(ちなみにスカラー積の定義は(i) <v,w>=<w,v>, (ii) <u,v+w>=<u,v>=<u,w>,
(iii) <cu,v>=c<u,v> 且つ <u,cv>=c<u,v> (u,v,w∈V,c∈F) の3つ)
なので<v,v> > 0 (v ≠ 0)とは必ずしも言えないと思うのですが…。

>>511
うん、最初にWell-orderingとかやってRingいってVector Spaceでそのあとmoduleって感じの本でやってる。
GroupとFieldはその間にちょろちょろ。

>>523
スカラー積と内積は同じ意味で使うことのほうが多いように思う．
その「スカラー積」は，双線型形式とか退化内積と言うことが多い．

で，>>512 の記述は雰囲気は正しいが，ちょっと間違っている．
(1) は間違いで，(2),(3) は本来の定理よりも弱い部分：

(1) 数 r が基底の取り方に依存する書き方になっているが，
これだと当たり前の主張．ポイントは r が基底の取り方に依らないこと．

(2) 基底が直行している必要はない．

(3) <v, v> < 0 なるものの数に対しても同様の主張が成り立つ．

A square matrix A is said to be nilpotent if A^r=O for some integer r≧1.
Let A,B be nilpotent matrices, of the same size ,and assume AB=BA.Show that AB is nilpotent.

と言う問題です。
AもBもnilpotentで同じ大きさだというのだからその大きさをrとすると
(AB)^r=A^rB^r=O・O=O
として不正解だったのですが何処を間違っているのでしょうか?

>>526
A が羃零の定義における r は行列 A の大きさと言っているわけではない。
その部分をきちんと述べなかったからだろう。

The dual space を V^* で書くのは複素共役やエルミート共役を
意識しているのだと思うのだけど、最初に使ったのは誰？
それとも双対空間の概念は共役の概念より先に導入されたの？

>>526
英語の勉強先にした方がいいぞ、おまえ。

1) (∃n)(∃m)(A^n=O and B^m=O)
2) AB=BA (同じ大きさじゃないとこれ言えんでしょ、そもそも・・・)
　↓
(AB)^nm = (A^nm)(B^nm) (∵2) = (O^m)(O^n) = O
　↓
AB: nilpotent

高校生でも解けるぞこれ。

>527,>529
ご回答ありがとうございます。
すいません。まだよく分かりません。

"same size"とはAもBも同じべき乗でOになるという意味ではないんですね。
AとBとが同じ行数と同じ列数という意味なのですね。
問題文はAは正方行列でAB=BAだと仮定しているので
AとBも同じ行数・列数になると思うのですが…。

それでこの"same size"はべき乗の意味だと解釈してました。

なんて恥ずかしい間違え方してんだｗ
｢size｣って書いてあるじゃんｗ

てかこの問題簡単すぎだろ
せめてA+Bにすれだいいのに

>>530
勝手に解釈して勝手に間違えてりゃあ世話ねえな。
あんたが言ってるのは same order などと言われる。

>533

どうもありがとうございました。

LetV be a finite dimensional space over the field K. Let g=<,> be a scalar
product on V. By the quadratic form determined by g, we shall mean the
function
f:V→K such that f(v)=g(v,v)=<v,v>.

と二次形式の説明があります。
fが二次形式とはg:V^2→Kがあるとするとf:V→KをV∋∀x→f(x):=g(x,x)と定義されてる時,
fはgの二次形式であるとか言ったりするのでしょうか?

Let V be a finite dimensional vector space over a feild K. Let f:V→K be a
function,and assume that the fuction g defined by
g(v,w)=f(v+w)-f(v)-f(w) is bilinear. Assume that f(av)=a^2f(v) for all v∈V
and a∈K. show that f is a quadratic form,and determine a bilinear form from
which it comes.Show that this bilinear form is unique.
charK≠2.

と言う問題です。(ちなみにスカラー積の定義は(i) <v,w>=<w,v>, (ii) <u,v+w>=<u,v>=<u,w>,
(iii) <cu,v>=c<u,v> 且つ <u,cv>=c<u,v> (u,v,w∈V,c∈K))

最初の証明は

g(v,v)=f(v+v)-f(v)-f(v)=f(2v)-2f(v)=2^2f(v)-2f(v)=2f(v)となりました。
そこでcharK≠2なので2は逆元1/2を持ち,f(v)=1/2g(v,v)で確かにfは2次形式になってます。

後半についてはまずg(v,w)を<v,w>と表す事にする。
もしf(v)=<v,v>'なるスカラー積<,>'があったとすると
∀v,w∈Vに対して<v,w>=<v,w>'が成り立つ事を言えばいいのだと思います。

<v,w>=<v,w>'を示すのに使える道具は
スカラー積の定義は(i) <v,w>=<w,v>, (ii) <u,v+w>=<u,v>=<u,w>,
(iii) <cu,v>=c<u,v> 且つ <u,cv>=c<u,v> (u,v,w∈V,c∈K) ((ii),(iii)は双線形))
と<v,v>=<v,v>'(i=1,2,…,n) …�@ だけですよね。

<v,w>=1/2(<v+w,v+w>-<v,v>-<w,w>)
<v,w>'=1/2(<v+w,v+w>'-<v,v>'-<w,w>')と書ける(∵スラカー積の定義)。

よって�@から
<v+w,v+w>=<v+w,v+w>'
<v,v>=<v,v>'
<w,w>=<w,w>'

が成り立っているので<v,w>=<v,w>'が言えた。
これでいいでしょうか?

>>535-536
だいたい全部 OK．以下こまかいこと．

> fが二次形式とはg:V^2→Kがあるとするとf:V→KをV∋∀x→f(x):=g(x,x)と定義されてる時,
> fはgの二次形式であるとか言ったりするのでしょうか?
いわない．g は一般の V^2 → K ではなく，スカラー積でないとダメ．
（スカラー積であれば，g に関する二次形式などと言う）

証明の前半はOK（g/2 がスカラー積であることには注意）．

後半は，一行目の
> 後半についてはまずg(v,w)を<v,w>と表す事にする。
が g(v,w)/2 のタイプミス．他は OK．

テンソル積のシンプルな例って何がありますでしょうか?

>537

ありがとうございました。

>269
に絡み；【忙中（数秒∃)閑あり　の際　遊び心で】次の中学生向きの　有理化の問を
K=Q[x]/f[x]*Q[x]|
|
Q
なる　(Q上の有限次元のvector空間）　Q上の有限次拡大体　の　視座から
　此処に登場される世界の皆様に　解説を　お願い致します。
------------------------------------------------------
頻出の分母の有理化ですが
http://jp.youtube.com/watch?v=i4F8x_6PHpY
　　　ではなく　　上の体Kの視座から お願い致します。
(イ　易)　　1/(69 + Sqrt[19])
(ロ)　　1/(7 + 5^(1/3) + 3^(1/5) + 2^(1/7))
問題(ロ)　が　　【徒に】【煩雑】な問　と　　とられかねない
＜とられかねない の検索結果 約 38,600,000 件＞　ので、
　　　　　　　　　　　少し簡易化し ;
　　　　s=7 + 2^(1/7) + 3^(1/5)について
(1)f(s)=0となるsの最小多項式f(x)∈Q[x]を求めてください。
(　その際　x = Sqrt[2] + Sqrt[3]は代数的数である.
　　何故ならばx-Sqrt[2]= Sqrt[3]の両辺を二乗すると
　　云々の論法が紹介されていましたのでその論法に倣い、
　　　また　他の手法で最小多項式を求めてください。　）
(2)体　Q[x]/f[x]*Q[x]において,xの逆元（が∃）を求めることにより、
　　　　　1/sの分母の有理化をなさってください。
(3)中学高校の授業で示される手法
http://jp.youtube.com/watch?v=i4F8x_6PHpY
　　でも　1/sの分母の有理化をお願いします。
(ロ)1/(7 + 5^(1/3) + 3^(1/5) + 2^(1/7))もお願いします。


-----------------------------------------------------------------

Rを環としV,Wを左R加群とする。

T:=span{(x_1+x_2,y)-(x_1,y)-(x_2,y),(x,y_1+y_2)-(x,y_1)-(x,y_2),(rx,y)-r(x,y),(x,,ry)-r(x,y)}
と定義し,

V(×)W:={{(x,y)∈span(V×W);(x,y)≡(v,w) (mod T)};(v,w)∈V×W}をR上のテンソル積という。

{(x,y)∈span(V×W);(x,y)≡(v,w) (mod T)}をv(×)wと書き,(v,w)のテンソルという。

定義から
(v_1+v_2)(×)w=v_1(×)w + v_2(×)w
v(×)(w_1+w_2)=v(×)w_1 + v(×)w_2
(αv)(×)w=v(×)(αw) =α(v(×)w)

が成り立つとあったのですが

(v_1+v_2)(×)w∈V(×)Wを採ると,
(v_1+v_2)(×)w={(x,y)∈span(V×W);(x,y)≡(v_1+v_2,w) (mod T)}と書け、
∀(x,y)∈{(x,y)∈span(V×W);(x,y)≡(v_1+v_2,w) (mod T)}をとると
(x,y)=(t,s)+(v_1+v_2,w) (但し(t,s)∈T) (∵合同の定義)
=(t+v_1+v_2,s+w)から

(t+v_1,s+w)+(t'+v_2,s'+w)の形
({(x,y)∈span(V×W);(x,y)≡(v_1,w) (mod T)}+{(x,y)∈span(V×W);(x,y)≡(v_2,w) (mod T)}の元)
に持っていけません。

どのように変形すればいいのでしょうか?

> (但し(t,s)∈T) (∵合同の定義)

ココが既にまちがっとる

f:R→R'が可換環の準同型のとき
aがRの可逆元ならf(a)も可逆元になりますか？

多分ならないとは思うんですが(´･ω･`)

f(a)f(a^-1)=f(a*a^-1)=f(1)=1

> f(a)f(a^-1)=f(a*a^-1)=f(1)=1

f(a)f(a^-1)=f(a*a^-1)(∵環準同型の定義)=f(1)=1(∵環準同型の定義)
ですね。

(x,y)≡(v_1+v_2,w) (mod T)

から合同の定義より
(x,y)-(v_1+v_2,w)∈T
よって(x,y)=(t,s)+(v_1+v_2,w) (但し(t,s)∈T) (∵合同の定義)
と書けないのでしょうか?

>>545
> (但し(t,s)∈T)
これが既に致命的な間違い

>>>545
>> (但し(t,s)∈T)
> これが既に致命的な間違い

Tの元はTの定義から
a(x'_1+x'_2,y')-a(x'_1,y')-a(x'_2,y')とb(x',y'_1+y'_2)-b(x',y'_1)-b(x',y'_2)とc(rx',y')-cr(x',y')とd(x',ry')-dr(x',y')
(但し,a,b,c,d∈R)の一次結合
a(x'_1+x'_2,y')-a(x'_1,y')-a(x'_2,y')+b(x',y'_1+y'_2)-b(x',y'_1)-b(x',y'_2)+c(rx',y')-cr(x',y')+d(x',ry')-dr(x',y')
つまり,
(ax'_1+ax'_2-ax'_1-ax'_2+bx'-bx'-bx'+crx'-crx'+dx'-drx',ay'-ay'-ay'+by'_1+by'_2-by'_1-by'_2+cy'-cry'+dry'-dry')
の形で書けますよね。間違ってますでしょうか?

>>547
「つまり」以降が致命的にまちがい
まったくつまっていない。

>>>547
> 「つまり」以降が致命的にまちがい
> まったくつまっていない。

では
a(x'_1+x'_2,y')-a(x'_1,y')-a(x'_2,y')+b(x',y'_1+y'_2)-b(x',y'_1)-b(x',y'_2)+c(rx',y')-cr(x',y')+d(x',ry')-dr(x',y')
以降はどのように書けますでしょうか?

「以降」はそもそも計算できないので書けません。
そんなこともわからずにテンソルテンソル言ってたんですか。

>>547-550
span(VxW)はそもそも単に形式和の定義されただけの
自由加群であって、スカラー倍すら定義されてないわけだが。

テンソルってのはHomの随伴関手なんだよな。
だからHomの性質からテンソルの性質が出てくる。
これを認識してないやつが多すぎる。
俺もこれを知って目から鱗
因みに代数やるやつ、っていうか数学やるやつは圏論の基礎を知らないと
話にならない。

圏論なんて全然使わない分野も多いけどね。
というか平均的にはそっちのほうが多いかも。

>>553
それは無知なだけ。
昔は集合論を知らなくても数学は出来たというようなもん。

そりゃ圏論を知らなくても数学は出来る。
しかし、圏論は言葉という面もあるからね。
知らないやつと話すのはくたびれる、つーか話したくない。

圏論の基礎なんてすぐ勉強できるんだからやっておけよ。
定義と基礎的な定理、例えば米田の補題くらいなら1日で学べるくらい
簡単なんだから。

>>556
圏論の初学者向けの本教えてくれ
もちろん日本語の

>>557
>もちろん日本語の

甘えるな。
英語出来ない時点で数学はやる資格なし。
圏論より英語の勉強が先だ。

河田のホモロジー代数（岩波）に圏論の基礎は書いてあったな。

何でもかんでも英語英語って・・・
日本人の誇りを失ったのか

>>559
ありがとう

>>560
アホか。
そういう問題じゃない。
数学の世界では英語が共通語なんだよ。

>>562
うるせえ
俺は英語厨とは断固戦う
外人には日本語を要求する

一階述語論理≒数学って英語のがしっくり来るんですが・・・
日本語は別の論理体系っぽい

>>563
勝手にすればいい。
その代り翻訳とかも読むなよ。
もとねたはお前の嫌いな英語なんだからな。
つーかカタカナ英語も使うな。
もとは英語なんだからな。

>>564
>日本語は別の論理体系っぽい

なこたあない。
論理が違ったら日本語で数学が出来ないことになる。
現実は問題なく出来てる。

>>566
いや、disjointという意味じゃなくて、
なんか＋αなのかねじれてるというか、
同形じゃない感じなんだよ。
ああ、この板で感じとかいうとﾌﾙﾎﾞｯｺにされそうだけどw。

>>567
>ああ、この板で感じとかいうとﾌﾙﾎﾞｯｺにされそうだけどw。

わかってるじゃないか。
論理なんて単純だから言語の違いなんて問題にならない。
A なら B とか、A かつ B とかな。
どこがむずいんだよ。

例えばさ、量化子をはじめて見たときに、めちゃくちゃ英語を意識しなかった？
a → ∀
the → ∃
ってな感じで。
日本語でも表現はできるけど、意図的に意識してやってる感じなんだよね。

>>569
単なる記号だろ。
因みに a → ∀ じゃないだろ。
それを言うなら all → ∀
the → ∃じゃなくて exist → ∃

どこがむずいんだよ。

>>570
むずいとかの話じゃないんだけど、まあ個人的な感想の話だし、
これ以上やるとUAとかUGとかGGの話に飛びそうだから止めとくか。
そもそも板違いだしw。

>>571
>まあ個人的な感想の話だし、

逃げたなｗ

>>572
冠詞　総称表現　で　ぐぐれ。　呆れた。

>>573
なんで冠詞が出てくるんだよ。
The lion is dangerous の the は all という意味もある。

>>574
その場合は「ライオン」というカテゴリを指すから、ALLと解釈するのはちと違う。

>>575
それを言ったら A lion is dangerous も同じ。
要するに冠詞はお門違い。

もう圏論スレ向きの話でさえないので、
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1224000009/47以降に
レスしといた

>>577
めんどくせえよ、アホ

>549
> 「以降」はそもそも計算できないので書けません。
> そんなこともわからずにテンソルテンソル言ってたんですか。

あまり詳しくなくてすいません。

それでは

「定義から
(v_1+v_2)(×)w=v_1(×)w + v_2(×)w
v(×)(w_1+w_2)=v(×)w_1 + v(×)w_2
(αv)(×)w=v(×)(αw) =α(v(×)w)
が成り立つ」

はどうやって証明するのでしょうか?

>>579
まさに定義からでしょ。一番上だったら
(v_1 + v_2, w) = (v_1, w) + (v_2,w) (mod T)
が T の定め方から成り立つから、で十分。

非可換群

リー代数の重要な応用例で、数学内部のものはなんですか？物理以外

リー代数しらないと多様体論とか表現論は出来ないんじゃないの？
まあリー環論と表現論って応用というべきかどうかは分からんけど。

多様体論も表現論も物理数学だから純粋数学じゃないとか
言い出したら知らんけど。

>580
>>>579
> まさに定義からでしょ。一番上だったら
> (v_1 + v_2, w) = (v_1, w) + (v_2,w) (mod T)
> が T の定め方から成り立つから、で十分。

すいません。Tの定め方からの意味がよく分かりません。すいません。


{(x,y)∈span(V×W);(x,y)≡(v_1+v_2,w) (mod T)}
=
{(x,y)∈span(V×W);(x,y)≡(v_1,w) (mod T)}+{(x,y)∈span(V×W);(x,y)≡(v_2,w) (mod T)}
を示すんですよね。
まず左⊂右を示したいですが
∀(x,y)∈{(x,y)∈span(V×W);(x,y)≡(v_1+v_2,w) (mod T)}をとると
これから,どのように書けますでしょうか?

「(x,y)=(t,s)+(v_1+v_2,w) (但し(t,s)∈T)」は間違いなんですよね?

>>183 物理数学以外という意味です
特に量子力学にまったく興味の無い純粋数学者にとって

いや多様体論も表現論も普通、物理数学には含めないだろ。
物理数学の教科書に線型代数が載ってるからって
線型代数は物理数学だから純粋数学じゃない、とは言わないのと同じで。

セミナーなどで喋るとき日本語でA/Bはどう読めばいいですか？
（A,B：集合、線型空間、群、環、イデアルなど）

リー代数は、物理以外に応用あるんですか？
たとえば整数論などへの。

>>587 AひくBでいいんじゃない？

>>589
すみません
差ではなく商です・・・
AわるBというのは何か違うような気がして

A on B

松坂和夫の代数系入門で環を勉強したんですが
これにはネーター環とか書かれていないので
そういうのが書かれているオススメの参考書を教えてください

>>590
英語ならだいたい A mod B。A わる B もよく聞く。

>>593
ありがとう

俺の周りじゃAオーバーBくらいしか聞いたこと無いな…

俺はいちいちAのBによる商集合（商群、商環etc.）と言ってる

んー、「商からの写像がある」とかそういう場面で
「Bで割った奴から〜」なんて言い方してる気がする

代数学の定番教科書を教えてください
線形と微積は終わったとして

>>598
現代代数学（ファン・デル・ヴェルデン）
現代代数学概論（バーコフ/マクレーン）

ありがとうございます。古いけど心配いりませんかね

古い定理は時間とともに勝手に偽になるとでもいうのだろうか

無意味につっかかるなぁ
ノーテーションとか定義などの流儀とかは時代によるでしょ
ピタゴラスの定理をまなぶためにユークリッドの原論よまんでしょ

>>598-601
この流れはガチで釣りだｗ

永尾汎や東郷重明の本はだめですか？

「19世紀後半には整備されてたような数学」をやるのに
20世紀の定番が古いとか言い始める感覚はちょっとな。

服部昭でいいんじゃねーの

数学だと教科書が古いとか新しいとかはあまり関係ない。
古い教科書で正しいことは新しい教科書でも正しい。
物理も大概そう。

ちょっと導入の仕方が違ったりするだけ。

とは言っても、ホモロジー代数は代数学に非常に大きな影響を与えた
わけだがらこれのさわり、または準備は教科書に入れておいたほうが
いいだろう。
例えばHomの左完全性とかテンソル積の右完全性とかな。
総じて加群の一般理論が重要になる。
これ等は古い教科書にはあまり載ってない。

平坦加群の理論も重要だしな。

平坦加群や射影加群や単射加群などは非常に基本的な加群にも
かかわらず、これ等が導入されたのは１９５０年代と比較的新しい。
非常に基本的なものというのは灯台もと暗しで気付きにくい。
だから、まだ発見されてない概念で非常に重要かつ基本的なものが
あるかもしれない。

|　釣れますか？　　　　　　 　　　　　　　　 ,
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ホモロジー代数は別に一冊買って勉強すれば良いと思うけどな。

群論なんかは別に一冊買って有限群とか表現論とかに
滅茶苦茶詳しくなる必要は無いかもしれないけど
ホモロジー代数を代数学の一般的教科書で
30ページくらい勉強しても仕方が無いんじゃ。

ホモロジー代数は必要になってからでいい。
しかし、現代的な加群の一般論は早期に導入したほうがいい。

　　　　　　　 　　　　 ｜
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　　　　　　　　 　　　 ｜　　　　　＞( c´,_ゝ`)
　　　　　　　　 　　　 ｜
　　　　　　　　　 　　 J　　　＞( c´,_ゝ`)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＞( c´,_ゝ`)

じゃあ堀田良之の教科書くらいの内容で充分だろう。

代数学の本で何もかも学習するよりは、入門的なことを学んだあとに
ちゃんとガロア理論なりホモロジー代数なり表現論の本を読んだ方がいい訳で

1冊に色々と詰め込むと，逆に不足分が気になってくるんだよね．
「代数学の本」は定義+α程度で満足しておいたほうが幸せになれる気がする．

どなたかおねがいします・・
位数ｎの有限群Ｇはｎ次対称群Ｓｎのある部分群と同型であることを示せ
とっかかりが全然わかりません。

2茶んの下記子ってどれもこれも釣り餌に見えますな

>>619いいえ本気でわからないんです・・
今年二年生になって代数学Ａが始まったんですが彼氏が他の男性と話すの嫌がるので男子にきけないんです。
{1,2,,,n}からそれ自身への置換全体がＳｎなのはわかります。ただ有限群ＧからＳｎへの写像をどう定義したらうまく準同型といえるのかわかりません。

痴漢氷原

>>621置換表現ｋｗｓｋ

>>620
>今年二年生になって代数学Ａが始まったんですが彼氏が他の男性と話すの嫌がるので男子にきけないんです。
│
│
│
│
│　　 　　　　　 　　　＿
│　 　　 　 　　／ ￣　　￣ ＼
│　　　 　 　 /､　　　　　　 　　 ヽ
Ｊ 　　　 　 　 |･ |―-､　　　　　　 |
　　 　 　 　 ｑ -´　二 ヽ　　　　　 |
　　　　 　　 ﾉ＿　ー　 |　　　　　　|
　　 　　 　　 ＼.￣｀　 |　 　 　　/
　　　　　　 　　O＝＝＝＝＝ |
　　　　　　　　/　　　　　　 　　 |
　　 　　　　　/　 　 /　　　　　　|

>>625さん
お願いします。
大筋だけ教えてもらえませんか？

自信を持って断ろう、ああ、そうしよう

>>624
　　　　　　ﾊ,,ﾊ
　　　　　（ ﾟωﾟ )　　お断りします
　　　　／　　 　＼
　 ((⊂ 　） 　 ﾉ＼つ))
　　　　　（＿⌒ヽ
　　　　　　ヽ　ﾍ　}
　ε≡Ξ　ﾉノ ｀J

3年の前期まで群の文字も出てこない俺の大学どうなってんだ？

>>618
Gの元を適当に並べて、それにGの元gを作用させると、
並べ替えが起こる。それを痴漢だと思えばよい。

>>628さん
ありがとうございます

∀ｇ∈Ｇ
φ：Ｇ→Ｇ　（ｘ→ｇｘ）
これがまず全単射ですよね

ｆ：Ｇ→Ｓｎ
この写像ｆが準同型であることはどういえばいいんでしょうか？

>>629
fとしてg→φ[g]を考える　　(φ[g]：Ｇ→Ｇ ; ｘ→ｇｘ)

>>629
φじゃなくてφ(g)とか書いて
普通に言えばいいだろ

なるほど
∀ｇ∈Ｇ
φg：Ｇ→Ｇ　（ｘ→ｇｘ）を用意しといて

φ：Ｇ→Ｓｎ 　（ｇ→φg）
これが準同型であることをいえばいいんですね

Ｇの元ｇ,ｈに対して
φg◦φh（ｘ）＝φg（ｈｘ）＝ｇｈｘ＝φgh（ｘ）ですね！

つぎに何をいえばいいんでしょうか？

感覚的にはφが単射を示したらＳｎの部分群と同型
って思ってしまうんですが自信が全くありません

おいおい、そんなので大丈夫かよ・・・
あとはφ：Ｇ→Ｓｎが単射であることが言えればGとφ（G)が同型で証明は終わるだろ


そう言えば俺の大学置換表現飛ばしたな・・・
自力で習得したけど

　　　　　　　　│＼
　　　　　　　　│　 ＼≡(`Д´;))≡= 　　　ｵｵッ！
　　　　　　　　│　　　＼≡//　))≡=
　　　　　　　　│　 　　≡」」」≡=
　　　　　　　　│
　　　　　　　　│
　　　　　　　　│
　　　　　　　　│
　　　　　　　　│
　　　　　　　　│

>>634さん
ＧとＳｎの部分群が同型
⇔Ｇとφ（ｇ）が同型

↑これはなぜですか？

また
φが単射ならばＧとφ（ｇ）が同型といえるんですか？

　　 ∩＿＿＿∩　　　　 ／
　　 | ノ　　　　　 ヽ　　／
　　/　　＞　　　＜ |／　そんな餌ﾊﾟｸｯ
　 |　//// ( _●_)／ミ
　彡、　 　　 ｌ⌒l　 ノ
　/　＿＿　 ＼ ＼ヽ
. (＿＿＿）　 　＼__）
. Ｏ|　　　　　　 /
　　|　　／＼　＼
　　|　/　　　 )　 )
　　∪　　　 （　 ＼
　　　　　　　 ＼,,＿）

　　 ∩＿＿＿∩
　　 | ノ　　　　　 ヽ
　　/　　●　　　● |　　オエー！！！
　　|　u　Ｕ ( _●_) ミ　。
　彡､　　　|ﾟ。､｀ ヽ。、ｏ
　/　＿＿　ヽU　　ｏ
. (＿＿＿）U　|　∴ｌ
. Ｏ|　　　　　　U　：l
　　|　　／＼　　|：!
　　|　/　　　 )　 Ｕ
　　∪　　　 （　 ＼
　　　　　　　 ＼,,＿）

>>636
さすがに釣りか？

>637
いえ・・・(苦笑)
まじでわかんないばかなんですあたし・・

　　 　 　 　 　 ,--i､,,,,_　　 　 　 　 　 　 .__,　　: : 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　.,,,,,,
　 .,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,｝　||″ﾞ'Ｌ,,,、　ー‐¬'''‘ﾞﾞ＾.ﾟL　:|ﾞﾞﾞｽ　　 　 :--i　　　　　　　　　　　　:}｀::,!
　 :|　　　　　　　　　 　　 ..|　 ,ゝ: --．..・'''''''ﾞ､ :|　.|　　　　|　 |　　　　　　　　　 、: : ,.}　 lﾞ:
　 :|　.l―――┤ .,!: /ﾍi､: 　 |,,,,,,,,,,,,,　.,,,,,,,,,,,:-ｲ　―--: : :|　 |　　 　 　 　 　 　 |: : : 　 : : : .,,,ｖ-ｰ''''': 丶
　 :|　.l,,,,,,,,,,,,,,,,,⊥ .巛 .,ｆ°　　.|''''''''″‘'''''''",,,,,、 ,,,,， :、 .|　 |　　　　　　　　　 ｀ﾞﾞﾞﾞﾞ|　 广゛.ﾞl,,.,､､,,,,､.,．
　 ,!　,!|　--． .| ﾞl　｀ ,,i´_　　　:|　ﾆﾌ　ﾆﾌ　;: : 、 .| :|　|　 |　 |　　　　 　 　 　 　 　 ］　.lﾞ
　.,i´ 〕|　''''''" .:lr″　'ｈ,!`ﾟ'i　　|　:-┐.ーi､ :: : ， ｀ ,′|　 |　 |　　　　　　 r-、　　 ,i´ │
: ,i´ ,lﾞ.": ''''''''l∵ ,,r'ｈ,_　 . |　　|＿,,,｀　,,,＿_、│ .| .|　.|　 |　 |　　　　　　,lﾞ .i､　　.,″│　/'''i､
　ﾟ''!l'･r,|: .'ll广'.l,″ .,,r巛'″　 ,!''''''''" .'冖''''''..,lﾞ │ |　.|　 |　 |、　　　　.,l″,i´　 .,lﾞ　.,″ :|　:|、　　　　　　　,rｰ:'''r,、
　 │ .|］　: ﾞ'l， ﾞｋ,,,,|i,、ﾞ＜　　――i､ :ｯrr+',,i´ ,lﾞ　"　′ 〔　 ﾟ=i､,,,,.ｖ/°.,l°　.,i´ │　 │ ｀"'…‐: ｰi､　 ,i´,r'''ｯ ﾞト
　.,″.lﾞ.|　.-: :ﾞ*'":lﾞ　]ﾞｋ　,ト .:I'""ﾞ″ ._,,,,,�＝@,r": :/　.i､　 ﾟ=,_　　　　._,x┘　　 ｈ,,.,lﾞ　　 ｀ﾍ＿,_、: : ._,|　　l, .ﾞl,_,/ .lﾞ
　'ﾍ｡,i´ﾞl＿＿＿＿,,/　ﾞ＜　 .ﾞl,r‐'''''"″.'ｋ..,r" ﾞl＿_,,r°　　 .~`''''''''`″　　　　　 ″　　　　　: ￣｀￣｀　　ﾞX＿,,,r°

部分群とか習いはじめてまだ2週目なんです・・
ほんきで釣りじゃないです・・

>>641
f：G→G' が準同型ならf(G)はG'の部分群
fの終集合をf(G)にしたf：G→f(G)は全射

おｋ？

　　　　　　┌──┐ ┌──┐ .┌──┐
　　　　　　│┌┐│ │　ロ　|　　l　 lｺ　｜
　　　　　　└┘ |_ノ　└──┘　└‐ワ__ﾉ

お前ら構い過ぎｗ

.ﾞ|ﾞﾞﾞ"''"ﾞﾞ"ﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞ''，　 r‐‐、　　.┬‐，　　'|ﾞﾞ"''''''''''┐ .|'''ッヽ　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 _,,,,ィ
: |　 z,,,,i､　lﾆ,i､　|　　|　 |　　　 ﾞl　.|,,,i､　|　ヶ 々 .|,_ |　ﾊ,,,lﾞ　　　　　　　　　　　　 |―¬''''''"ﾞﾞ｀　 |
: |　　　　　　　　 |　 .lﾞ　.| .|'''''''''″　 │ .|　�� ,��.l|″ ｀ﾞ~｛　 .,,,,―‐'"ﾞﾞﾞﾞﾞヘ、　　 ヽ,,,,,,,､y　　,,／｀
: |　 lﾆﾆ　 lﾆｺ　 |i､ .|　 | .ヽ---i､　,i´　 .|　｀　`゜ .|',!　　.ｔ'"　 .ヽ _,,,-―ｰ． │　　　　 ／　／｀
: |　　　　　　　　│　|　 |　　　　.|　 |　　.'l''〒　ﾜ''''|,lﾞ .,ト ﾞl　　　 ″　　　　|　 |　　　　./　,/｀
,,ﾆﾆﾆ'　 .━━(二 　|　 |　.,,-―lﾞ　 |　　.,|,,,,,｡ .,yｗ《　lﾞ.ﾞl │ 　 　 　 　 　 /　lﾞ　　　　|　 lﾞ
.ヽ　　 .＿,,,,,,,,,、 .ﾞl　.|　 | /　,,,,、　 ヽ、 .|　　　　_,,,,､,,lﾞ .ﾞl_,/ 　 　 　 　 ,／ .,/　　　　 ﾞl　ヽ、
　ﾞ7　 /.,,、　　|　 |　.|　 | ﾞl　―"　、 .ﾞi､ ﾟ) 　|ﾞﾞ/'］ .,‐'|　,‐ﾟ|　　　　┌‐'"　,／　　　　　.ヽ、 `""''''''7
.／　,i´ .ﾞ广'''''"　.|　 |　_} `-,＿,,-"'r,i´ │ / ﾞl　ﾞl.ﾞl、ﾞl､|、ﾞl、　　　 ヽ,-‐′　　　　　　　｀''-､,,,,,__/
: ‘'‐′　 `'――''゜　‘ﾞﾞ゛　　　　　　 ゜　‘''''"　‘'′ ﾞ'′ ﾞ'"

>>644
　　 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,　　　 .,ill,,,,,,,,　,,,,,,,,,,,,,,,,,,,:
　　 ﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞlllﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞ′　　,llﾞ"ﾞ,l!°　 .,ll′..ll!
　　　　__　　 :ll|　　　　　　 ,,illllllllil!lllii:.,,,,i!ﾞ゜,,,,,ill!
　　　　lll|　　.lll,,,,,,,,,,,,,　　　'!ﾞ:lll,,,lll,,,,ll|.ﾞﾞﾞ,,,: iii”″
　　　　lll|　　.lllﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞ°　　 .:lllﾞﾞﾞlllﾞﾞlll: .,illliiillliiiiiii、
　　　　lll|　　.lll: 　　　　　　 .:lllllll!!llllll:.lllﾞ,,,,,llll,,,,,,,,
　　: : : lll: : : .lll: : : : : : : 　　.,lll　　 .lll: ﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞlllﾞﾞﾞﾞﾞﾞ:
　　ﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞ　 .iil!°　,,,ill: 　　 lll
　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 ”″　　 : :

>>642
ほんっとにありがとうございました！
こんなに釣り釣りっていわれるくらい程度の低い問題なんですね・・
勉強がんばります・

何所板紛？

うーんとー、私ぃすっごくすっごく暇でー、＼(⌒∇⌒)／
探してたら(◎_◎)なんとっ！☆彡(ノ^^)ノ☆彡ヘ(^^ヘ)☆彡(ノ^^)ノ☆彡
馬鹿みたいなスレ♪を発見！！！！(^o^)//""" パチパチパチ
さ・む・い〜{{ (>_<;) }} ブルブル何個かレスがありますけど、
これ全部１人の方がレスしているんですか？（＠＠；）すごすぎ …
てなわけで、ついつい書いちゃったのらー(o^v^o) エヘヘφ(｀∇´)φカキコカキコ♪
削除依頼、出してくれるよねっ。(*^-^*)　お・ね・が・い♪(*￣・￣)ちゅ♪ッ
え？くれないのぉ〜？(;¬_¬)そんなのいやいや〜〜、ｶﾞ━━━(ﾟﾛﾟ)━━━ﾝ
出してくれなかったら、( ｀_)乂(_´ ) 勝負！ ＼(^o^)／
☆○（゜ο゜)ｏ ぱ〜んち、☆（゜o(○=（゜ο゜)ｏ バコ〜ン!!( ﾟ▽ﾟ)=◯)`νﾟ)･;'パーンチ
（＞＿＜） いてっ！ダメ!! ゛o(≧◇≦*)oo(*≧◇≦)o″ダメ!!
(☆o☆)きゃ〜〜(@_@;)やられた〜〜(o_ _)o ドテッ　ガ━━（ﾟДﾟ;）━━ン！
(+_+) 気絶中。。。｡ということで。じゃあね〜〜〜♪(⌒0⌒)／~~

ぶっちゃけ有名問題だから、大学の図書館で
いろいろ群論とか代数学の本調べれば
ほぼ同じ問題が載ってると思うぞ

有名問題というか、ケイリーの定理と呼ばれる有名定理

　　　　　　　　ｵﾜｷｬﾉﾝ　　　　　　　　　ｵﾜﾀﾝｸ　　　　　　　　　　　ｵﾜﾀﾑ

　　　　 　 ＠＼　　＠＼　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ＼冂／
　　　　　　　 ＼ (^o^)＼ >　　　 @ヽ､　　 @ヽ､ 　 　　　　　　　　　E^o^ ﾖｉ /7
　　　＿()二)_（/~'ー,~~7.（≦）　　＼ ＼ 　 ＼ ＼　　　　　()) 　「/~'ー'~~ 7/￣ |
==ニ)]_] _迂〕 ,叉「」瓦〈‐|＿|　　　　＼　(^o^) ＼ >　　===二]匚ﾄ〈‐〈iﾃ〈〈c iｴｺ
　　　　Ｌｉ 弐ノ 「ｉｏiｦ_上.]|二|　　　＿（/~'ー,~~7_（≦）　　ﾉｦ 弐ノ[]ｖ/□ ||　╋|
　　　　　　　　　|＾ｰｉ|　　| る!　　 (88),叉「」〉(88)_,)ノ　　　　　　　　|　j |　|.|| ┃|
　　　　　　　　　◇-||◇┤ 　　　　 /三/,ｏ/~/三/0 ＼　　　　　　几０（几）L二!
　　　　　　　 ∠三0/ｉ二ｉ0 　　　　（三（ー―（三（0⊆0）　　　　∠三ｦ/ｉ二ｉヽ

2年でガロア理論まで教える大学ってある？

Lang-Algebraって学部-修士一年程度の代数で他に本がいらなくなるくらいみっちり書かれてるのかな？

Algebra: Serge Lang
Part 1 The Basic Objects of Algebra
Chapter I Groups 3
Chapter II Rings 83
Chapter III Modules 117
Chapter IV Polynomials 173
Part 2 Algebraic Equations
Chapter V Algebraic Extensions 223
Chapter VI Galois Theory 261
Chapter VII Extensions of Rings 333
Chapter VIII Transcendental Extensions 355
Chapter IX Algebraic Spaces 377
Chapter X Noetherian Rings and Modules 413
Chapter XI Real Fields 449
Chapter XII Absolute Values 465
Part 3 Linear Algebra and Representations
Chapter XIII Matrices and Linear Maps 503
Chapter XIV Representation of One Endomorphism 553
Chapter XV Structure of Bilinear Forms 571
Chapter XVI The Tensor Product 601
Chapter XVII Semisimplicity 641
Chapter XVIII Representations of Finite Groups 663
Chapter XIX The Alternating Product 731
Part 4 Homological Algebra
Chapter XX General Homology Theory 761
Chapter XXI Finite Free Resolutions 835
Appendix 1 The Transcendence of e and [Pi] 867
Appendix 2 Some Set Theory 875
Bibliography 895

>>655 各章の詳しさはどんな感じ？

K={0}って普通の演算において体になる？
その場合dimK^n=0？

体の公理をもういっぺん読んでみろ

Kが環であり0以外の元が逆元を持つ・・・

零環は1=0だから0^-1=0だが、0が逆元を持つときはどうなるの？

>>658
0≠1 を公理にしている場合もあるけど、そうでない場合も多いと思います。

>>627
大学二年でスリッパ教授にHodge作用素とか出されてぴよってたｵﾚはどうなるんだ！！！

体は零元と異なる単位元の存在を要求する。だから零環はあっても零体はない。

昔（1950年代頃まで）は環に単位元の存在を仮定しなかった。
これだと理論が煩雑になり、しかもメリットはほとんどない。
つまり単位元のない環は自然ではないんだな。
リー環のように結合律を満たさないものは別だが。
Bourbakiは早くからこのことに気づいていて環といえば単位元をもつものと
定義していた。

そりゃ単に可換環論を詳しくあつかっただけだろう。

>>657
次元は-∞

>>664
>そりゃ単に可換環論を詳しくあつかっただけだろう。

意味不明。
非可換環でも単位元を仮定するのが自然。

ヘッケ環も単位元が普通？

非可換環は便宜上単位元を仮定してる場合が多いが
別になくてもいい。

>>664 なんで-∞？

>>667
>非可換環は便宜上単位元を仮定してる場合が多いが
>別になくてもいい。

それを言ったら可換環だってなくてもいいんだよ。
ただし、単位元がないといい結果が出てこない。

Langで代数独学した人いない？

>>667
食う酒烏合で生成されるから

>>668
ヘッケ環もいい結果が無いの？

空集合で生成って次元0じゃなかったっけ？
-∞で定義すると直和の時限とかの公式成り立たなくて不便なだけでは？

>>670
ヘッケ環は単位元があるだろ。

>>672
んじゃp-進数体上のGLのHecke algebraの単位元を教えてくれ。

>>663
RNGに同形なRINGは自然に定義できるんじゃなかった？

ぼけてた。
RNGに同形なsub ringを含むRINGが定義できるだったorz

>>673
GL(Z_p)の特性関数

>>662
流儀による

（可換）C*環なんかでは単位元の有無に関しての結果も豊富だよね．

例えば局所コンパクトな X 上の ∞で消える関数環 C_0(X) が
単位元を持つことと X がコンパクトであることは同値だとか，
単位元を持たないC*環は単位元を持つC*環にイデアルとして
埋め込めるけど，これはコンパクト化に相当するとか．

>>677
そんな流儀はない。
１個の元からなる体はない。

「ない」ことを断言できるのはすごいな。
ひとつでもそう書いてある文献があれば反証されるのに。

>>680
>ひとつでもそう書いてある文献があれば反証されるのに。

なこたあない。
どこにもアホはいる。

あのなあ、ここでは常識的な話をしてる。
屁理屈をこねるなよ。

F_1 を特別視するのは何かと面倒な場面も多いんだけどな

>>683
例えば？

確かにLangのAlgebraは大学院初年級向けの
一般的な代数学のテキストとしてはかなり詳しい。
ただ何でもかんでも書いてあるかというとそうではなくて、
例えば群の表現とか可換環論とかホモロジー代数とか
そういう個別のトピックに関する情報が欲しければ
個別の分野の本の方が当然詳しい。

あと記述が丁寧というわけでは無いから、
この本一冊だけってのは結構苦しいんじゃなかろうか。
まあ図書館とかを利用すれば良いんだけどね。

>>680
じゃあ立証責任はそう書いてある文献があることを
示す側にあるんじゃないの

将来解析専門にしたいけど
Langレベルの代数まで学ぶ必要はあるかな
Artinの代数は独学で一応やったんだけど。

>>686
C＊とかだとK-Theoryも分かんないと駄目なのでは？

>>686
不要とは言わんけど他に優先するものもあると思う

証明される結果は解析学の方が美しいけど
証明のプロセスは代数学の方が美しい。

LangのAlgebra買うことにしよう。
Artinを読み返しながら
残りの学部二年半で読破を目指す。

(v_1+v_2)(×)w=v_1(×)w + v_2(×)w
という等式の証明についての質問です。


Rを可換環としV,Wを自由左R加群とし,M:=span(V×W)とする。
左R加群とは線形空間のスカラーが体の元から可換環の元に変わっただけだと思います。

自由とは基底を持つという意味です。

T:=span{(x_1+x_2,y)-(x_1,y)-(x_2,y),(x,y_1+y_2)-(x,y_1)-(x,y_2),(rx,y)-r(x,y),(x,ry)-r(x,y)}
(但し,x_1,x_2,x∈V, y_1,y_2,y∈W, r∈R,つまりTの生成元はMの元)
と定義し,

V(×_R)W:={{(x,y)∈span(V×W);(x,y)≡(v,w) (mod T)};(v,w)∈V×W}をR上のテンソル積という。
V(×_R)Wは単にV(×)Wと書いたりもする。

{(x,y)∈span(V×W);(x,y)≡(v,w) (mod T)}をv(×_R)wまたは単にv(×)wと書き,(v,w)のテンソルという。
つまりテンソルは類の事だと思います。

定義から
(v_1+v_2)(×)w=v_1(×)w + v_2(×)w
v(×)(w_1+w_2)=v(×)w_1 + v(×)w_2
(αv)(×)w=v(×)(αw) =α(v(×)w)

が成り立つとあったのですが
とりあえず
(v_1+v_2)(×)w=v_1(×)w + v_2(×)wを示してみようと思いまして

∀(α,β)∈v_1(×)w+v_2(×)wを採ると
v_1(×)w+v_2(×)w={(α,β)∈span(V×W);(α,β)≡(v_1,w)(mod T)}+{(α,β)∈span(V×W);(α,β)≡(v_2,w)(mod T)}だから
(α,β)=(α_1,β_1)+(α_2,β_2) …�@
但し
(α_1,β_1)≡(v_1,w) (mod T)
(α_2,β_2)≡(v_2,w) (mod T)
という関係になっている。両辺を足して
(α_1,β_1)+(α_2,β_2)≡(v_1,w)+(v_2,w) (mod T) …�A
そして
(v_1+v_2,w)-(v_1,w)-(v_2,w)≡0 (mod T) (∵Tの定義)より
(v_1+v_2,w)≡(v_1,w)+(v_2,w) (mod T) …�B
�Aと�Bから
(α_1,β_1)+(α_2,β_2)≡(v_1+v_2,w) (mod T)
よって�@から
(α,β)≡(v_1+v_2,w) (mod T).
∴(α,β)∈(v_1+v_2)(×)w

逆に
∀(α,β)∈(v_1+v_2)(×)wを採ると
(v_1+v_2)(×)w={(α,β)∈span(V×W);(α,β)≡(v_1+v_2,w)(mod T)}だから
(α,β)≡(v_1+v_2,w) (mod T)…�C
そして
(v_1+v_2,w)-(v_1,w)-(v_2,w)≡0 (mod T) (∵Tの定義)より
(v_1+v_2,w)≡(v_1,w)+(v_2,w) (mod T) …�D.
�Cと�Dより
(α,β)≡(v_1,w)+(v_2,w) (mod T).
これからこの(α,β)が
(α,β)=(α_1,β_1)+(α_2,β_2)且つ
(α_1,β_1)≡(v_1,w) (mod T)
(α_2,β_2)≡(v_2,w) (mod T)
という(α_1,β_1)と(α_2,β_2)の存在を示さないとと
(α,β)∈v_1(×)w+v_2(×)wとは言えませんよね。

どうすれば(α_1,β_1)と(α_2,β_2)の存在が示せますでしょうか?

>>689

両方やれって事かよ

体K上の２変数多項式環K[X,Y]のX^2-Y^3によって生成されるイデアル(X^2-Y^3)による
剰余環をRとするとき, R は整域であることを示したいんですがうまくできません

(X^2-Y^3)が素イデアルであることをしめせばいいのはわかるんですが
X^2-Y^3が因数分解できないから素イデアルであるとかではだめなんですよね
きちんとした証明がしりたいので教えてください

>>695
素イデアルの定義を考えればおｋ

自明

K:={a+b√5;a,b∈Q},P_n:={Σ[i=0..n]a_ix^i;a_i∈K}とする。

K上のテンソル積P_2(×)RとP'_2:={a_0+a_1x+a_2x^2;a_i∈R}とは同型である事を示せと言う問題です。

P_2(×)RからP'_2への全単射な同型写像fとしてどのようなものが取れますでしょうか?

P_2(×)R∋∀p(×)r→f(p(×)r):=????

>>695 K[X, Y] →　K[t] を　X, Yをそれぞれt^3, t^2に運ぶ
環準同型を定義して、その像が１次元であることは自明。
ゆえに核は高さ１の素イであるであり、UFDであることから
一つの元で生成される。また核にはX^2-Y^3が入っていることから
ちょっと考えると生成元がこれになることが分かる。

おい、礼ぐらいしろよ

>>700
ありがとうございました
　, - ,----､
（Ｕ（　　　　）　
｜　|∨Ｔ∨
（＿_）＿）


　, - ,----､
（Ｕ（　　　　）　
｜　|∨Ｔ∨　ﾁｭﾊﾟﾁｭﾊﾟ
（＿_）＿）

連続体濃度より濃い濃度を持つ体って厚生できまつか？

>>691-693
やってることが全てナンセンス。

>>702
Kを任意の体として、Λを好きな濃度の集合とする。
この時、形式多項式体　K[[x_λ| λ∈Λ]]　を考えればＯＫ

>>704
形式多項式体って何？

ローラン級数体K((x_λ))とでも言いたかったのでは

それでもいいが有理関数体 K(x_λ) つまり多項式環 K[x_λ] の商体のほうが
例として分かりやすい。

実数体Λから｛０，１｝への写像全体
のほうが簡単では？

ごめん体である必要があったんですね。代数スレというのを忘れてました

>>708
体じゃないだろ。

体じゃなかったら何でもありだろｗ

からだじゃなかったら何がねらいなんだ、金か？

>>704は記号だけ見ると形式冪級数環
といいたかったのかな。
間抜けにも体じゃないけど。

「形式多項式体」には腹いたいぐらい
ツボに填まって小一時間うけてしまったｗ

形式多項式体？？？？？？？？？　何それ？

>>714
>>704の虎の子だろう、きっと。

>>704叩かれ過ぎﾜﾛﾀ

整域の非可換版ってあるんですか？

>>717
あるよ。可換の話をしてるか非可換の話をしてるかは
文脈で分かるので、特に区別せず整域と呼ばれる。

整域の非可換版は聖域

非可換整域ってどんな本に載ってますか？私の持ってる代数入門書はどれも可換なのですが

そら、非可換環の本だろう。
つか、入門書とか釣りか。

おいらの持っている本(Lam)には
commutative domain = integral domain
と書いてあるが・・・

>>443
整域が可換なのは当然だろ
どこの定義でも整域は可換環になってる
今言ってるのは717の言葉を借りれば「整域の非可換版」
恐らく零因子を持たない非可換環のことかと

↑アンカーはミスなので無視してくれ

じゃあ非可換域と言えばいいんじゃないの？

だから聖域に触れてはならぬと

Domain
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Domain_(ring_theory)

日本語の代数入門書では非可換整域はほとんど無視されている感じ
英語圏では非可換整域を基本的な用語と取り扱っている感じ
代数全体から見たときどっちが正当な扱い・重要度なのでしょうか

そんなの文脈で判断しろ。

最初に準同型定理を発見・証明したのは誰？

>>730
何に対する準同型定理？

>>731
一番古いもので
何に対するものが一番古いかは知らない

準同型という概念自体をきちんと定式化したのは
ドイツ抽象代数学の誰か、準同型定理自体の大雑把な認識なら
Galoisが既にしていた、とかそういう線じゃないかと思う。

数学史に詳しくないから知らんけど。

特殊ケースではオイラー以前に知られている。
もはや人名すら文献に残っていないだろうな。

>>733-734
ありがとう
不明だから人名が付いてないのか
人名の付いてない主要な定理って誰が発見したのか気になるんだよね

特殊ケースってどんなケースですか？

> 人名の付いてない主要な定理って誰が発見したのか気になるんだよね
数学には向かない性格ですね、可哀相に…

>>735
「誰が発見したか明確でないが、その分野にいる人にとっては常識である」
というのは昔も今も非常にたくさんある。準同型定理はこういうものの一つ。

名前の付いていない主要な定理にはこういうのがとても多い。

もっと先に行くと、名前が付いてないどころか
どの本にも書いてないけど分野の専攻者は当然知っていることになっている、
なんていう定理が結構あって、こういうのはfolkloreと言ったりする。

どの本にもどの論文にもってことね、一応補足。

最近読んだ論文に Proposition 1. みたいな感じで
Folklore 1. 〜 Folklore 3. と並んでるのがあって、ちょっと面白かった。
こういう風にでも明文化してくれんと引用に困るんだよね。

それはきっと森の妖精さんに化かされたんだよ…

明文化したらfolkloreじゃないじゃんっていう

folkloreの明文化は数学屋の仕事じゃあない。
民俗学者か童話作家あたりのする仕事さ。

情報系の大学3年で、代数についても勉強してみたいと思ってるんですが、
松坂さんの代数入門は重すぎるでしょうか？

全然

ホモロジー代数の入門を勉強しはじめたのですが、
何のためにこの理論があるのか、疑問がもたげてきて
意欲がうすれてきました
論理自体は追えるのですが
なんの役にたつのですか？

>>747
難しい定理の証明がそれを使って簡単に出来てしまう。
応用される分野は可換代数とか代数幾何が多い。
道具だからそれ自体は面白くない。
本当に必要になってから勉強するのが良い。

代数の入門書でも、加群とかでてきますが、なんで重要なのかわかりません。とくに加群と準同型写像からなる完全列。
かなりテクニカルに見える命題で、何かの補題としてしか意味なさそうなのを、定理と称していたり。
群や環や体などはガロア理論で本質的なので、重要性はわかります

二番煎じはつまらないな

ホモロジー代数を本当に理解しようとしたら代数的位相幾何学を
勉強しなければならない。
位相と代数の不思議な関係が背後にある。

>>747
Fulton先生の本でも読めばいいじゃない

群 F, G, H について F ⊂ G ⊂ H かつ F 〜 H なら F 〜 G と言えますか？
（ ⊂ は部分群、〜 は同型の意味です ）

幽玄ならいえる

部分群で同型？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？
properではないという意味での部分群？？？？？？？？？？？？？？？

>>755
無限巡回群で偶数番号だけを抽出した部分群とか

>>755
ふざけすぎ。

>>753
F, H 階数2の自由群
G　　階数3の自由群

>>758
ありがとうございます、納得しました。
F = <a,b>, G = <a^2, ab, b^2>, H = <a^2, b^2> ですね。

>>752
http://www.amazon.co.jp/gp/product/4431708790/ref=sib_rdr_dp
http://www.amazon.com/Algebraic-Topology-William-Fulton/dp/0387943277/ref=sr_1_8?ie=UTF8&s=books&qid=1226762945&sr=1-8
フルトン　代数的位相幾何学入門
ですね。これって良いんですか？書評には、１ｓｔコースとしては
難しいという意見もありますが。

まあGTMの本だから或る程度難しいのは仕方ない。
問題や演習を解いていかないと消化不良になるってのは
仕方ないことで（微積や線型代数だってそうだ）、
それで評価が下がるのはどうかと。

>>751 不思議な関係って例えばなんの定理ですか？

>>762
個別の定理がどうだとかという問題じゃない。
全体的にみて位相幾何と代数の間には密接な関係があるらしいと
思われる。
例えば、ホモロジー代数が局所環の理論に非常に有効であること。
これは不思議な現象だろう。
代数的整数論において群のコホモロジー論が有効であることも不思議である。
これはガロア群が基本群と見なされることからある程度納得出来るが。

>>763
結局、学部で習うホモロジー代数の有効性が納得できるようになるまでに
本を何冊も読まなければならないの？

　代数幾何が重要な分野だというのはわかるけど、可換代数が
それ自身、重要な分野というのはあまりわからないんだけど、
可換代数もホモロジーと同じで、何かの道具になるから重要であって
それ自身、重要なの？

>>764
>結局、学部で習うホモロジー代数の有効性が納得できるようになるまでに
>本を何冊も読まなければならないの？

そういう発想はおかしい。
ホモロジー代数は道具だから必要になってからやればいい。

>可換代数もホモロジーと同じで、何かの道具になるから重要であって
>それ自身、重要なの？

可換代数は代数幾何の一部

>>764
> 　代数幾何が重要な分野だというのはわかるけど、可換代数が
> それ自身、重要な分野というのはあまりわからないんだけど、
これ，とっても違和感があるなあ．
普通は両方重要だと思うか，両方重要でない（自分には関係ない）と思うかだと思う．

あなたは「どんな風に使えたら有用性を納得する」の？

代数幾何が重要で可換環論が重要でないとか、
有効性を納得するために本を何冊も読まなくてもいいとか、
数学をやる人間の言葉とは到底思えんｗ

可換代数は重要じゃないとは言っていない。重要性のおかれる根拠が違うと言っている
代数幾何は、代数方程式の解をグラフを見て調べるという、古来から続く基本的な問題に挑戦する分野。数を扱うには避けてとおれない。もともとかなり具体的な問題からはじまる。手法としての必要性から抽象度がましているだけ。
可換代数は、公理からして抽象度が高い。もともと抽象度を高めるというのは応用目的があって行なっているもの。
他の問題や物理に応用できてはじめて抽象性がいきてきておもしろいのであって、それ自体は古来からの基本的な疑問を直接扱っているわけではない。
なんども言うが、どちらが重要と言うのではない。重要性の根拠の話。臨床医と研究医どちらが重要か、みたいな愚問

可換環論なんて、整数とは何かとかディオファンと素問題とか
それこそ数を扱うには避けて通れない古典的な問題から
出発してるわけだが。

むしろ、現代数学の文脈における代数幾何は
>>768の言うような内容とは相当かけ離れてるわけで。

>>768
可換代数も代数幾何も根っこの部分はともに
> 代数方程式の解を調べるという、古来から続く基本的な問題に挑戦する分野。
なわけだが……

>>765
必要性がでてから学ぶというのはただしい勉強法のひとつでしょう
ただし学部の代数の授業や教科書で、たとえば射影加群とかネーターでてくるでしょ。言葉定義して命題とその証明を数ページ書いておわり程度。すごく中途半端な気がする
代数専攻で博士進学することを前提にしているわけではない学部学生に教えている意味は？

現代数学の文脈で言えば可換環論と代数幾何の
共通部分は線型代数群の表現論とその周辺を
すっぽり含む感じか。

>>771
まるで
> 代数専攻で博士進学することを前提にしているわけではない学部学生
が居てもどうでもいいと言わんばかりに読めるが。
大学生なら講義でやる内容のその先は
自分で考えるもんだろ、自分に無関係なら
それでオシマイになるだけ。

学部ではただ「鉛筆の握り方」を習ってるのに過ぎない。
その鉛筆で絵を描くのか小説を書くのかは
好きにすればいいじゃないか。

>>773 今現在絵画にしか用途のない・なさそうな絵筆の存在を教えて、作家志望の学生にすきにしろというのは無責任
数学は個別の単元に具体的な用途がなくたっていいんだ、美しければ
言葉の定義だけで終わるなんて中途半端

>>774
中途半端でいやなら自分で絵の勉強すればいい。
優秀な作家なら、かつて見聞きした絵筆を
うまく取り込んだ作品を書き下ろして直木賞でも
とるかもしれん。それだけのこと。

中途半端なもん教えられることに興味なきゃ
その講義の単位をあきらめりゃいいだろ。
好きで履修しといてナニイッテンダ。

>>776 代数学の専門分野ならまだわかるわけ。幾何専攻者などはハナから対象外ならね
でも代数の入門講義って、幾何や解析や情報系を将来志望する数学科学生も対象内でしょう
と言うか、代数専攻者にとっても学部卒就職組にとって中途半端な内容だよね加群の理論なんか

環論も代数幾何もホモロジー代数もほとんどが幾何じゃん。
何度でも書くが、



「中途半端がいやなら　自　分　で　調　べ　ろ」

>>778 そうじゃないよ
カリキュラムとしておかしいと言ってんの
加群の完全列の理論の有効性を調べるのに、それだけに専念して数年かかる分量を、自分で調べろなんて無茶だ
そんなことしてたら数学科はどんどん潰れる

なにこのゆとり大学生

>>779
成人なら自分で見切りつけろよ。

>>779
大学の講義について誤解してるだろ。
大学の講義は単なる入り口でしかない。
物足りないなら自分で文献を当たれ、
手に余るなら自分でけじめをつけろ。
甘ったれるな、小学生かお前は。

数のカリキュラムにも新旧がある
伝統的なのは、ガロア理論・ガロアの定理（ないしはアーベルの定理・作図不可能性定理）
という美しい定理・定理群を頂点として、その準備をかねて、群環体を学習していく。
群論環論などの抽象性高い分野の重要性や美しさも、ガロア理論という頂点にまで達すれば学生に理解できる
そういった意味ですぐれた構成になっている
しかし、現代数学での道具てしての重要性と予備知識の必要性の低さから、
加群の理論を挿入している。当然当面の最終地点ガロア理論には必要ないし、
それ自身美しくもおもしろくもない
最低でも綺麗な応用例で証明のそう長くないものを提示してほしい。
加群の重要性を知りたかったら代数の博士をめざせとは無責任。
もし代数を専攻してつまらなかったらどう責任をとってくれるんだ
おれの定理は正しい、疑うなら使うな、もしくは証明を修正するなり自力で作れ、
というのでは民主社会は通らない。
教師と学生は対等の立場にあるのだから、教師や著者は正しさや美しさを伝える努力が必要、
論理を丹念に追う努力をしている学生を裏切ってはならない

>>783
黙れ、死ね

群や環はその表原論を屋って始めて意味が出てくる。
ガロアが頂点というのは間違っている。
単にインパクトのある結果を持ってくれば
授業が終わったという気にできる
それに丁度いい題材がガロアというだけ。

んで、表現論ってのはまさに加群の理論。

>>783
> 加群の重要性を知りたかったら代数の博士をめざせとは無責任。

微分幾何や確率論の研究室に配属になったって、
B4レベルで加群の重要性はわかる。
寝ぼけるのも大概にしろ。

>>783
お前がその講義にでなければいい話。
お前如きが教師と対等なわけないだろ、
ろくに文献を漁りもせずにピーチクパーチク
喚いてるお前が裏切り者だ。

>>785
歴史的に言っても群論はガロアからはじまったのだから、ガロアを頂点とするのは理にかなう。
ちゃんとストーリーがある
>>756確率論で加群の完全列なんて使うのはどの定理？どの本？たとえば。

黙れ、死ね

>>788の脳内では加群は完全列しかない
ということがよくわかった。
こんなの相手にしても仕方が無い。

うちの大学の学部のカリキュラムに加群なんて一切出てこないのだが
お前らどこの頂点だよ

加群をやらなかったら有限群の表現論とか
やれねーじゃん？

大学初年級の教養で多変数微積分と並んで
二本の柱だろ、体上の加群の理論は。

>>783
「数のカリキュラム」ってのが何を言いたいのか知らんが、
別にガロア理論は頂点でもなければ
代数学の教科書の目的地点でも無い。

実際そうじゃない教科書は幾らでもあって
最後の方は表現論を扱ってる、みたいな本も多い。
確かM. Artinの入門書はそういう感じ。
堀田良之の本は最後は代数解析のサワリみたいな内容を載せてる。
松村英之の本は最後の章は代数幾何学。
いずれにせよ加群をかなり本質的に使う。

本の最後のガロア理論の章で加群を使わないから要らないとか
バカいうのも休み休み言え。

微積の本で、実数論、微分、積分、級数という風に章が並んでることは良くあるけど
級数論に必要だから積分を勉強してるわけじゃないだろ？
（というか微積の教科書レベルでは級数の議論にはあまり使わない）

>>790 どこまでを加群の理論とよぶかで変わってくるから完全列と言う用語をあえてつけた
線形代数が広い分野で有効というのは当然認める
実数体ないし複素数体上の線形代数の学部の内容を、
一般の環に拡張しておさらいし直した程度のモノを加群の理論と呼ぶなら当然広い応用を持つ。
それを超えた内容、完全列、射影・入射加群の話の有効性や動機づけを問題にしている

専攻してることが面白くないなんていうのは明らかに自己責任。
専攻を選んだのは自分であり、また自分で金を払って行っているのだから。
何でその責任を教師が追わないといけないんだ。

民主社会がどうのとかアホを抜かすな。
或る事を美しいと思う価値観とそう思わない価値観の双方を尊重するのが
現代的な民主主義社会だろ。

印度哲学科とか露西亜文学科に進んだ文学科の学生が、
面白くねえじゃねえか、どう落とし前を付けるんだとか
教官に食って掛かってたらアホだなと思わないのか？
Fランク大学のアホなゆとり大学生だなーと思うのが普通なんだが。

ガロア理論を最終目標として進んでいくタイプの代数学の教科書で、
途中加群の章がちょこんとあって浮いているのは不適切、
というくらいの主張なら妥当だろう。それ以外は全部むちゃくちゃ。

>>795
せめて表現論の初歩の初歩くらい学んできてから吠えろ、カス

>>794 数のカリキュラムの前に代の字が消えた
もちろんそのカリキュラムの描いているスケールによってはガロアは中継となって目標はそれを超える。
だから最終目標の前に、当面の、という語を挿入した。
ガロアまでいかずに群論環論で代数の入門書がおわっていたら、ストーリーとしておかしく、どれほど群論環論が無味乾燥なものと感じてしまうか。

>>797 表現論の入門書で加群の完全列なんてでてきません

>>798がガロアにしか何も感じない可哀相な人だということは判る。
あまりに狭量、なんと矮小な精神の持ち主か。

>>799にとって加群は完全列しかないんだね。
黙れ、死ね。

別に群論の入門書がSylowの定理で終わってたって
何もストーリーとしておかしく無いけど。
その後にたとえば結晶群の話とか変換群の話とかが付いてる必要は無い。

だいたい代数にあまり興味が無い人にとっては
方程式の解の公式があるか無いかが判って何が嬉しいんだという話なんだがね。
方程式というのは数学専攻以外の人にとってはあくまで道具でしかないわけで、
実際方程式は道具として生まれたわけだし、だからFibonacciは
帳簿の付け方とか商売上の計算術みたいな本が主著だし、九章算術もそう。
和算のうちの代数学方面も天文学への応用を期待するみたいな面が大きいはず。

どうせ解の公式が判っても結局は最後は数値計算なんだから
方程式論なんてNewtonと同時に趣味的な研究対象に成り下がっている。

方程式はそれ自身研究対象として意味があるけど群や環には無い、というのは
ただの798の偏見。数学的には有限群の方が方程式よりも基本的で意味がある対象だと思う。

>>800
＞>>798がガロアにしか何も感じない可哀相な人だということは判る。
そうなんだよね。代数学の本はガロア理論を目標にすべし、という何の根拠も無い考え方。

群論がガロアに始まるってのも、群論を整備してみて
振り返ると、ガロアも群論だったんだね、ってだけ
というのが歴史的な事実。
そして、群の起源といえそうなものとしてはガロア以外にも
各種空間の運動が作る群というものも古来ちょこちょこと
研究されてきてて、それはガロアよりも古いよね、
というような話も文献を真面目にあさってれば
目の端っこくらいには留まるだろうと。

つか、ガロア理論なんてまるっきり
体上の代数群の体の乗法群を表現加群とする
表現論なんだが。
加群が必要ないなんて言ったら
ガロア理論もやれなくなるじゃないかｗ

スレの流れが早すぎるな．>>1の日付でも見てもっとゆっくりしていこうぜ．

>>803
ガロアを中心とする伝統的なカリキュラム以外認めない、とは言っていないが、それに対抗する本質的に違うのは現状ではないと思っている。数学科として
数学者は一種の芸術家であり表現者だ。己の主張には責任があるわけで、何を言ってもいいわけじゃない
代数の初学者向けのカリキュラムや本を書くなら、自己の主張を訴えるべき。
完全列などのテクニカルタームの定義の羅列だけで終わるなんて中途半端なことをする意図を聞いているのだ
>>804 過去レス読んで、ここで言う加群理論の意味をさとってくれ。ガロアの定理に加群の完全列は必要ない。
ま加群の初等的な理論でさえ直接明示的には必要ないが、それはおいとく

>>806の認識は貧弱。

>>806
加群の理論に完全列しかないという
わけのわからん主張を無責任にするなよ

>>806はガロアコホモロジーすら知らんようだな。
まるきりExtとかTorに関係あるのに。

Cohomology galoisienne ですね、分かります。

>>803
＞各種空間の運動が作る群というものも古来ちょこちょこと
＞研究されてきてて、それはガロアよりも古いよね
良く知らんけどどういう話？

＞それに対抗する本質的に違うのは現状ではないと思っている。数学科として
意味が分からん。日本語でお願いします。

たとえば東大数学科ではGalois理論は選択科目で、必修じゃないんだが。
特に代数をやりたいわけじゃない人は他の科目を取るわけだ。
例えば幾何をやりたい人は、環と加群の理論を取るほうが自然だろう。

＞数学者は一種の芸術家であり表現者だ。己の主張には責任があるわけで、何を言ってもいいわけじゃない
何々は美しくない、と言って積極的に攻撃するのは止めて欲しいもんだがなあ。
数学の本質はその自由性にある。

>>796でも言ってるけど、「現代」数学の本は動機付けが不明なのが良くない、
とかそういうのは頷ける点もあるんだよ。ただ一の正当な主張をするために
十の妄言までしてしまってるからトンデモになってるだけで。

九大でも環は空間の対称性を記述するもの
というような感じで講義されてるよ。

代数幾何学を学ぶために読んでおいた方が良い代数のテキストってありますか？

ヴェイユのベーシックナンバーセオリー

代数学とか代数入門とか代数概論などというタイトルの学部生用の教科書の多くに
加群の完全列の理論をいれている意味を誰も答えられないのか
代数幾何学序論とか言う本に載っているのならわかるが

答えてもそれが答えだと分らない奴には無駄なことだったわけだ。

>>815
まるで学部生は代数幾何を殺らない
とでも言いたげだな。

>>815
スペクトルの理論がそんなに気に入らないのか？

>>815にとって加群の完全列は代数幾何にしか存在しないらしい
ということはまあ理解した。

>>813
Atiyah & Macdonald（和訳あり）

>>817
今の学部にそんな単位あるかいな
やるにしてもセミナー系の単位だろ

>>821
では日本全国全ての大学のカリキュラムの中に
代数幾何の単位が存在しないことを証明してください。

>>820
�d
早速買って読んでみる

うちでは代数幾何の講義が学部で開講されとるが

>>824
ちなみにどこ？
Webで公開されてるならシラバス見てみたい

では、射影加群とか入射加群とか完全列なんかが
個人的に初めて有効だと感じたのは、
どの本・論文のどのあたりを読んでいたとき？

要するにこういうことだ
加群の有用性を幾何抜きで語ってみろということだろ
代数プロパーの視点からの有効性を語ってみろと

>>827 そんなこと一言も言ってない
幾何でも解析でも応用系でも何でも良い
ただしフェルマー予想のワイルズの証明っていうのじゃなく、なるべく予備知識少なくてすみやつが好ましい
あるいは歴史的に見て初期の応用例って何？

河内の[線形代数からホモロジーへ] がいいとおもう

＞なるべく予備知識少なくてすみやつが好ましい
それはまあ個人的事情だよね。

ホモロジー代数は歴史的な初期の応用例
（というか生まれた起源)は代数位相幾何でしょ。

じゃあ代数学の教科書に書くなとか言い出すと、
分野横断的に応用される基礎理論は教科書に書けなくなってしまうよね。

>>825
いまは知らんが、昔は京大では森先生や宮岡先生が講義をされておったなあ。

>>830 華のある結果のあるほうに書けばいいんじゃない？

名無しはみんな馬鹿に見えるね

End(Q)、End(Z/(p^n))を求めよ。（pは素数）という問題なのですが
どのように解けばいいか分かりません。
アプローチの仕方だけでもいいので教えてください。

>>833
Kingは？・・・・・・・・・・・・・

東大は進振りがあるぶん、進振りの無い他大学数学科よりカリキュラムの進みは遅いんだよね

森田の代数概論って証明に結構ギャップないか？

>>837
スレのPart1でもそんな話が出てたな

８３８
ありがとう。スレ落ちてしまったみたい

>>834
１がどこに写るか考えてみては？

うるさい。

[問] VをF上の有限次元線形空間とする。V*をVの双対空間とする。
そして{v_1,v_2,…v_n}と{g_1,g_2,…,g_n}をそれぞれVとV*の基底とし,
f:V(+)V(×)V*→Fをf((v+v')(×)g)=g(v)+g(v')で定義する
((+)は直和,(×)はテンソル積)。
fが線形写像である事を示せ。

f(((v+v')(×)g)+((w+w')(×)g'))=f(((v+v')(×)g))+f(((w+w')(×)g'))
と
f(α((v+v')(×)g)))=αf(((v+v')(×)g)) (α∈F)
とはどうやって示せばいいのでしょうか?
取り合えず
v:=Σ[i=1..n]a_iv_i,v':=Σ[i=1..n]b_iv_i,
w:=Σ[i=1..n]c_iv_i,w':=Σ[i=1..n]d_iv_i,
g:=Σ[i=1..n]e_ig_i,g':=Σ[i=1..n]k_ig_i
と基底の一次結合で表す。

f((v+v')(×)g+(w+w')(×)g')から
f((v+v')(×)g)+f((w+w')(×)g')
に持っていけません。
また,
f(α((v+v')(×)g))から
αf((v+v')(×)g)
に持っていけません。どのように変形すればいいのでしょうか?

>>842
> f:V(+)V(×)V*→Fをf((v+v')(×)g)=g(v)+g(v')で定義する

の意味わかってるか?
なんでこれで定義できたことになってるか分かってるか?

プリントからの問題です。

Slyvester'sの定理
「Let V be a finite dimensional vecor space over R,with a scalar
product. There exists an interger r≧0 having the following property. If
{v_1,v_2,…,v_n} is an orthogonal basis of V, then there are precisely r
integers i such that <v_i,v_i>>0」

nullityの定義は
「Vを有限次元線形空間とし{v_1,v_2,…,v_n}をVの直交基底とする時,
V_0:={v∈{v_1,v_2,…,v_n};<v,v>=0}(但し,<,>はスカラー積)をVのnullityという」だと思います。

[Q] Let A be the real matrix
1,3,5
2,0,1
5,-3,-2

(1) Determine the bilinear form associated to A(as a polynomial).
(2) Find the basis of R^3 predicted by Sylvester's theorem.
(3) What is the nullity of this bilinear form on R^3?

これだと(1)はquadratic form(2次形式)ではなくbilinear formなので
(x_1,y_1,z_1)At^(x_2,y_2,z_2)=x_1x_2+2x_2y_1+5x_2z_1+3x_1y_2-3y_2z_1+5x_1z_2+y_1z_2-2z_1z_2
と展開すればいいだけと解釈したのですが、、、
そして
detA=-λ^3-λ^2+30λでdetA=0の解はλ=0,5,-6となります。
それで対角化変換行列Pは
1,-9,2
3,1,1
-2,12,1
となり
P^-1AP=
0,0,0
0,-6,0
0,0,5
となります。でこのPの列ベクトル
{(1,3,-2),(-9,1,12),(2,1,1)}をGram-Schmdit直交化して
{(1,3,-2),(-48/7,52/7,54/7),(1045/566,165/566,385/283)}が直交基底となります。
これが(2)の答えなのでしょうか?
どこら辺が"predicted by Sylvester's theorem"なのでしょうか?

あと,(3)はどのようにして求めればいいのでしょうか?

>843
>> f:V(+)V(×)V*→Fをf((v+v')(×)g)=g(v)+g(v')で定義する
> の意味わかってるか?

一応意味は分かりますが、、


> なんでこれで定義できたことになってるか分かってるか?

わかりません。問題にそのように定義されてるからです。すいません。

ご教示お願い致します。m(_ _)m

>>846
下がわからないのに上が分かるわけないでしょ．

:V(+)V(×)V* の中に (v+v')(×)g の形で書けない元があるのは大丈夫？
その元に対して f がどう定義されるかは分かってる？

>>844-845
普通に考えると意味不明だな．
そのSylvesterの定理はscalar productに関する主張だし，
そのnullityもscalar productが入ってないと定義できないのに，
問題はbilinear formになっている．(2), (3) は答えられん．

>847

> :V(+)V(×)V* の中に (v+v')(×)g の形で書けない元があるのは大丈夫？

えっ?　 なんですか?


> その元に対して f がどう定義されるかは分かってる？

すいません。ご教示ください。m(_ _)m

>848
R^3の基底として色々なものが採れる(単に一次独立な基底や直交基底など)
それでR^3=V_0(+)V_p(+)V_nで
V_0:={v∈R^3;∀w∈R^3,<v,w>=0},V_pの元xはx≠0なら<x,x>>0を満たす,V_nの元はx≠0なら<x,x><0を満たす。
そのような線形部分空間V_0,V_p,V_nの基底を求めよ。

という意味ではないでしょうか?
具体的にどうすればいいのか分かりませんが…

>>849
V(+)V (×) V* の元は (v+v')(×)g の形の元の線型結合だから、
たとえば (v+v')(×)g + (u+u')(×)h なんてのも入ってるよね。

でも、この形の元には f は直接は定義されていない。どうする？

>>850
この問題において，そこでいう < > ってなんなの、って話だよ．
非対称行列から定まる双線型形式に対してはSylvesterの定理は成り立たないから
R^3=V_0(+)V_p(+)V_n という分解は成り立たない．

>>842
ちょっと変な問題だな。
そもそも、
「f:V(+)V(×)V*→Fをf((v+v')(×)g)=g(v)+g(v')で定義する」
っていうのは略式の慣用的な言い方で、本来は

f':(V(+)V)×V*→F（左側はテンソル積ではなく直積）
f'(v+v', g)=g(v)+g(v')
という双線型写像から定まる（テンソル積間の）線型写像をfとする。

っていう意味。f'が双線型写像ならテンソル積の定義（普遍性）
からfは自動的に線型写像になる。だから示さなきゃないのは、
f'が双線型写像ってことだけ。

こういう定義確認レベルの基礎的な問題で略式の言い方を使うってのは、
問題のほうが悪い。

体Ｌの体K上の非分離次数を[L:K]_iと書くとき
トレースＴ(ｘ)を[L:K]_i*Σσ_ｊ(ｘ)
で定義する。
注意。[L:K]_i≠１の時Ｔ(ｘ)=０
とあるのですが、なぜでしょうか？

非分離次数が体の標数で割り切れるからじゃない。

>>855
早いレスありがとうございます
Ｔ(x)=p^e*(x1+〜+xn)
という形に書けるからですね。理解できました

>853

皆様、ご回答誠にありがとうございます。


> っていう意味。f'が双線型写像ならテンソル積の定義（普遍性）
> からfは自動的に線型写像になる。だから示さなきゃないのは、
> f'が双線型写像ってことだけ。

双線形ということは
f((v+v')(×)g+(w+w')(×)g)=f((v+v')(×)g)+f((w+w')(×)g).
f(c(v+v')(×)g)=cf((v+v')(×)g) (c∈F).
f((v+v')(×)g+(v+v')(×)h)=f((v+v')(×)g)+f((v+v')(×)h).
f((v+v')(×)cg)=cf((v+v')(×)g).
を示せばいいのでしょうか?

とりあえずやってました。
(i) f((v+v')(×)g+(w+w')(×)g)=f((v+v')(×)g)+f((w+w')(×)g)を示す。
T:=span{(x_1+x_2,y)-(x_1,y)-(x_2,y),(x,y_1+y_2)-(x,y_1)-(x,y_2),(rx,y)-r(x,y),(x,,ry)-r(x,y)}
(但しx_1,x_2,x∈V(+)V,y_1,y_2,y∈V*,r∈F)
f((v+v')(×)g+(w+w')(×)g)=f(((v+v'),g)modT+((w+w'),g)modT)
=f(((v+v')+(w+w')),g)modT)(∵命題「(x_1+x_2)(×)y=x_1(×)y+x_2(×)y」)
=f(((v+v')+(w+w'))(×)g)
=g(v+v')+g(w+w') (∵fの定義)
=g(v)+g(v')+g(w)+g(w')(∵gは線形写像)
= f((v+v')(×)g)+f((w+w')(×)g) (∵fの定義)

次に
(ii) f(c(v+v')(×)g)=cf((v+v')(×)g) (c∈F)を示す。
f(c(v+v')(×)g)=f((v+v')(×)(cg)) (∵シンプルテンソルの性質)
=cg(v)+cg(v')=c(g(v)+g(v'))=cf((v+v')(×)g)

次に
(iii) f((v+v')(×)(g+g'))=f((v+v')(×)g)+f((v+v')(×)g')を示す。
f((v+v')(×)(g+g'))=(g+g')(v)+(g+g')(v')=g(v)+g'(v)+g(v')+g'(v')
=g(v)+g(v')+g'(v)+g'(v')=f((v+v')(×)g)+f((v+v')(×)g')

次に
(iv) f((v+v')(×)cg)=cf((v+v')(×)g) を示す。
f((v+v')(×)cg)=cg(v)+cg(v')=c(g(v)+g(v'))
=cf((v+v')(×)g)

これで双線形を示せたと思いますがこれで大丈夫でしょうか?

「f'が双線型写像ならテンソル積の定義（普遍性）
からfは自動的に線型写像になる」
この意味が良く分かりません。どうして双線形性が線形性を示した事になるのでしょうか?

ゆとり代数学

> を示せばいいのでしょうか?

いいえ

＞これで双線形を示せたと思いますがこれで大丈夫でしょうか?


全然ダメ

>>859
500円で買うｗｗｗｗｗｗｗｗ

代数わかんねー！
一番簡単な問題集か参考書教えてください。
というより皆はどうやって代数理解したのですか？

代数を理解するなんて俺にはムリだ。
p-adicな局所体上の線型代数群の超尖点表現ですら
さっぱりわからないのに……

（少なくとも大学学部レベルでは）代数は慣れです。
習うより慣れよ、易しい問題集で良いからひたすら問題演習。
それでも解けないのなら問題集を解かなくて良いから
問題と解き方を丸ごと覚えりゃどうにかなる。

まあ自分で解いて進んでいったほうが普通は楽ですけどね。

>>863
「説明が丁寧で、自分で考えながらじっくり読めば
きちんと理解できるように書かれている本」と、
簡単な本というのは結構違うけど、
簡単な本なら「親切な代数学演習」とかは？
あと松坂和夫「代数系入門」とか「代数入門」上野健爾とか。
群論だけなら「群論への30講」とかも。

あと初等的整数論の知識があるとかなり理解の助けになる。

>>865
俺にもアドバイスをくれよ……

諦めろ、就職して働け。

サブプライムバブル崩壊で職がありません！

>>863
彌永・浅枝・有馬著 詳解代数入門 東京図書
証明がかなり丁寧に書かれている。お薦め

>>866
Bump嫁

>>870
えーと、Daniel Bump, "Automorphic Forms and Represantations" かな?
調べてみるよ、ありがと

>>868
あるよ。
以上。
はい、次。

>>872
ねーよ

念の無許可見による人への介入を阻め。

>>820で言われてたみたいだが
Atiyah & Macdonaldって和訳が出てたのね
というか何故か家にあった
何故だ

Atiyah & Macdonaldって演習問題の解答がないよね。
ヒントのある問題はあるが。

回答ある数学書のほうが少数派だろ。

演習問題なんてやらなくていい

でもなんで解答つけないの？
つけたほうがよく売れるだろ。

１）問題が解けたときそれが正解かどうか自分で判断できるようにならなければ
ならない（判断出来ないということは解答に自信がないから）。

２）しかも問題は自力で解けなければあまり意味はない。
自力で解けないということは自分の努力が足りないか力がないから
(問題は正しいと仮定する）。

結論として解答は不要。

ま、邦訳のときにわざわざ解答をつけるお節介な本も少なくないけどね。
訳者は日本の学生がどれだけアホかを身をもって知ってるから、つけたほうが売れると判断するんだろう。

>>880
"The only way to learn mathematics is to do mathematics."
なーんて書いてる先生がいて、ちょー耳が痛いゆとりでーすｗｗｗ。

あっているかどうかに関わらず、頭を使う練習をやるのが目的であれば
演習問題に解答がなくても困るわけではない。
解答をつけたほうが売れるってことは、要は重点の置き方が、
受験数学に凝り固まっている状態になってしまってるんだな。

解答がないTOEICの問題集。
解答がないプログラミングの教科書。

数学の世界だけを見たら、まあ上の意見もありだとは思う。
と同時に、理科系に限らず全く別の分野を身に着けようとしないか、
どんな分野でもすぐに身に着く人の意見では？
想像力の欠如ですね。わかります。

意味不明です。死んでください。

英語を例にして言えば、意思の疎通を図ることを目的にした
英会話の授業で、文法の説明が無いとか文法が正しくないとか
言っているようなもの。
文法を身に付けるための教科書なら文法が書いてあるだろうし、
同様に計算手順を教える目的の数学演習書なら解答があるだろ。

>>884は想像力は豊かなのかもしれないが、論理性が欠如しているようだ。

解答の付いた教科書が無いって
たとえばどの分野？

解答が無い問題って一週間考えても解けないということもありうるので
そういう問題の結果を本文で使うというのは止めてほしいよね。
先に進めなくなるので。

その問題がほとんど明らかな基本問題であれば良いんだけど
大抵そういう場合、本来はきちんと書かないといけない証明を
スペースの削減のために演習問題にしているという場合がほとんど。

>>887
そもそも教科書がない分野が多いし
解答があるのはもっと珍しいんじゃ

難しい定理も簡単な命題の組み合わせに還元出来るから、
定義と簡単な説明と演習問題だけで本を書くことも可能だな。

解答が追加されていたり誤植がなおされていたりするから
和訳本の価値があるのであって
そうでなければ和訳本を買う価値はない

じゃあ買わなきゃいいじゃん

>>892
うん。最近和書は全く買わないｵﾚｶﾞｲﾙ。
値段考えてもぼったくり過ぎ。

Atiyah & Macdonaldとかは原書はやたら高いから
和訳のほうが良さげ。

あと和訳は時間を節約できるというメリットもある。
まあ数学の本だと大したことないけど。

アティマクは図書館で原書コピーしたほうがいいぞ
三百円くらいですむだろ。
原書買っても届いたらたぶんショック受ける

＞三百円くらいですむだろ。
済まんだろ

原書はペーパーカバーの薄っぺらい奴だよね

著作権侵害を推奨してんじゃないよ。

どうしても手に入らないものだったらともかく、
A&Mなんてまだ手に入るじゃないか。

A&Mの原書ってコンパクトな感じがあって、
代数幾何をやるためのミニマムとか
ケンブリッジの三年向けの講義を書籍化したとか
そういうあの本のコンセプトにぴったりだと思うけどなあ。

あのイデアルって具体的になんなんですか？
環の加法部分群と部分環とイデアルの包括関係ってどうなるんですか？

素イデアルは貴婦人

極大イデアルは未亡人

極大イデアルは未亡人かつ貴婦人である。
何を書いている。

準素イデアルは売春婦

899 部分環はイデアル、イデアルは加法部分群
確かに初学者にとっては抽象的すぎて動機づけが足りなくてむずかしいところ

イデアルは環の環自身に対する左または右移動作用に関して（作用込みの）部分加群となるもの。

>>904
イデアルは部分環を成すが、部分環は必ずしもイデアルにはならない。

可換環論は代数的整数論の入門書でも読んでからやると
だいぶ違うと思うんだけどどうかなあ。

>>904
いや定義を聞いてるんじゃないだろ。
そんなの教科書に載ってるんだから。

>>904は正しくは無いが定義を答えてるのでもないと思われ

905 訂正ありがとう

radicalとsocleについてわからないことがあって困っています。

環A、左A加群Xに対して、rad(X) ＞ soc(X)　（ただし「M＞N」は「NはMの部分加群」）

は成り立つでしょうか？または

左アルチン環A、有限生成左A加群Xに対して、rad(X) ＞ soc(X)

は成り立つでしょうか？
アルチンの場合は成り立つようなのですが、どうしても証明できずにいます。
よろしくお願いいたします。

左アルチン環A、有限生成射影（または移入）左A加群Xに対して、
rad(X)/soc(X)という加群が定義できるようなのでrad(X)＞soc(X) が成り立つ必要があると考えました。
もしかしてrad(X)/soc(X)という加群が定義できる場合だけを考えるということなのでしょうか。
そもそもrad(A)>soc(A)は成り立つのでしょうか。

>左アルチン環A、有限生成左A加群Xに対して、rad(X) ＞ soc(X)
>は成り立つでしょうか？

成り立ちません。Xが単純加群の場合を考えて下さい。

逆に、Xが単純加群を直和因子に持たなければ、成り立ちます。

群Ｇの部分集合でａＨ＝Ｈａをみたすが部分群とならない集合ってあり得ますか？
つまり正規部分群の条件から部分群であるをとればどのような集合になりますか？

>>912 Gが可完軍のとき、H={h}(h≠e)とか。

>>912 てかHがその条件満たせばその部分集合もおのずと条件満たすから
　正規部分群がtrivial出ない限り部分群じゃないのはいくらでも作れるね。

>>914
>Hがその条件満たせばその部分集合もおのずと条件満たすから

まちがい

結局どっきだよ？

いくつかの共役類の合併

aの逆元のみの集合

あの群Ｇの中心
Ｃ＝｛ｃ｜∀ｘ∈Ｇ，ｘｃ＝ｃｘ｝
は必ず群Ｇの元になるのですか？
群の中心っていってるくらいだからなると思うんですがこの条件だけじゃ群Ｇの元にならないと思うんですがどうなんですか？

Ｃ＝｛ｃ｜∀ｘ∈Ｇ，ｘｃ＝ｃｘ｝
じゃなくて
Ｃ＝｛ｃ∈Ｇ｜∀ｘ∈Ｇ，ｘｃ＝ｃｘ｝
だから群Gの元になります
919が参照した本は∈Ｇを略したか誤植で書き忘れたかどっちかです

>>920
そうなんですか。ありがとうございます。

>>920
>だから群Gの元になります

分かってると思うが正確に書くと「だから中心の元は群Gの元になります」。
中心は群Gの元じゃなくて群Gの部分集合だから。

ここは阿呆しかいないな。
>>904
部分環とイデアルの包括関係はない。
イデアル⇒部分環は成り立たないし部分環⇒イデアルも成り立たない。

>>899な

>>923
前半に関して詳しく

>>923
部分環にならないイデアルを具体的に。

だからイデアルは、単位元を持たないかもしれない部分環になるのかならんのか
はっきりしろ!!!

>>923
単位元を含まない任意のイデアル

>>928
単位元を含む任意のイデアルは環自身になるだろう？
何が言いたいんだ?

>>929のなかでは部分環といえば単位的環としての部分環しかない
ということは理解した。が、ここではそんな話はしていない。

イデアル⇒単位元を含まない部分環

単位元を含んでもいいだろ？ちがうかい？

術語「必ずしも」をつければ済む話じゃないの

単位元を含むイデアル、すなわち環自身でないイデアルに置き換えてはどうか

>911
レスありがとうございます。
確かにXが単純の場合はrad(X)>soc(X)は成り立ちませんね。
お恥ずかしい。
radical,socleと直和の関係がわかっていなかったのでちょっと調べてみます。
radical,socleは直和を保存するか否か？
スレッドが終わってしまいそうだったので、取り急ぎお礼を。