圏論 / カテゴリー論 / Category Theory 3

>>823
学部でやる集合と写像の授業でも、
全射の事を、上への写像って言うぞ。

surjectiveを直訳した感じだろ
分かりにくいセンス悪い邦訳だと思う＾＾

むしろontoの直訳だと思う

surjectiveの訳が全射
ontoの訳が上への

しかし、ontoはともかくsurjectiveは直訳なのか？

混同を避けたければ、圏論的な意味での全射はエピ（エピック）と言えばいいだろう
という流儀も当然のことながらある。

DGカテゴリーって重要ですか？

>>822
もっと現実的なモデルを目指せ。
つまりはそういうことなんだよ。

嘘だ！

>>829
重要ですよ。

>>832
kwsk
kwsk
kwsk

よく考えたら自分がarxivで調べればよいだけの話でしたm(_ _)m
アホな事聞いてスレ汚しｽﾏｿ

A^{\infty}とかでしょ、いやアレはDGAだったかも知れんけどね

働いてもいないのに、働く数学者を買ってしまいました。ﾋﾛｼです。

>>812

自然変換と関手の区別がついてないと言うよくあるパターンかな。

　　Fη
F ------> FGF
という表記は、どういう事を表しているでしょうか。
（Fは圏Dから圏Cへの関手、Gは圏Cから圏Dへの関手、ηは自然変換(D上の射相当)です）

FおよびFGFは、DからCへの関手だと思いますが、
Fηはなんであり、FからFGFの間にそれがあるというのはどういう事でしょうか？

>>838

functor category

> ηは自然変換(D上の射相当)

？？

>>838
普通に考えると以下の意味。

ηは恒等関手1からGFへの自然変換。
このとき、F(η_X):FX -> FGFXは
FからFGFへの自然変換になる。

集合論のパラドックスとか考えると圏論ってかなり怪しいものでは？
環全体の集合、とかほんとうに存在するんですか？

いや環全体の集合は存在しないけど

環全体からなるクラスもオブジェクトとして含む環の圏とか考えたいのかね

>>842
そもそも現代集合論（ＺＦＣ集合論）では、
集合論のパラドックスは発生しないんだけど。

圏論っていうのは数学というか論理の
究極の形態ですよね。
この宇宙のあらゆる現象が圏論に還元される。
そして圏論の上にZFC集合論が展開され、
その上でさまざまな数理モデルが扱われるんですから。

最近ウィトゲンシュタインの包含写像についての考察が、
実は前層に対応していることを理解しましたよ。

まあ圏論のセンセイがトポスによって集合論を解釈する、
とかいう論文を書くときは大抵その「集合論」は排中律
やら選択公理やら置換公理やらが無かったり
分出公理をboundedな奴に制限してたりするんですけどね

>>847
トポスで排中律ってどういうことなんだ

いやトポスのほうじゃなくて
集合論のほうの排中律

>>849
> いやトポスのほうじゃなくて
> 集合論のほうの排中律

横レスだが
つか正確な言い方をすれば、通常の意味での集合論は
古典論理に基づいてるが、その古典論理での排中律だ

>>847も横から補足しとくと
圏論つかトポスで展開される集合論は、そのトポスに
余計な条件を要請しない限り（つまりBoolean toposでない限り）は
直観主義論理に基づく集合論、つまり直観主義的集合論なんだよ

その辺の事は竹内の『直観主義的集合論』や『層・圏・トポス』にあるし
もっとちゃんと分かりやすく解説してるのはGoldbratt "Topoi"あたり

物理学の基礎論っぽい分野で
圏論が注目されているのってどうして？
量子計算量とかの話も入るのかな？

http://categorieslogicphysics.wikidot.com/

>>851
正直、俺は物理屋じゃなくて理論計算機科学屋なんで物理で圏論を使ってどんな御利益があるのか知らない。
ただ、リンクされてるCategories, Logic and Physicsのワークショップ（リンク先のページ以外も見ると何回か行われてる）で
講演者に名前が出てるSamson AbramskyとかPaul Taylorは理論計算機科学屋で昔から圏論とか使ってセマンティクスの仕事してたんだけど
Abramskyなんかは最近は量子計算のセマンティックスとかを圏論を使ってやってるみたい。
あとそこに講演者の中で俺が名前を知ってる数少ない理論物理屋のIshamは確か量子重力とかの専門だったと思うけど
量子重力とか超弦理論とかの方面は圏論ガチガチな人も一杯いるみたいよ。

圏論なんて所詮は言語に過ぎないんで、圏で記述する対象が豊かな構造や内容を持っていて、それが別の分野の構造と実は同じだったとか
対応物があると分かった、なんて事があれば非常に有効だし、そういう対応を見出すのにも有効だけど、単に圏で書きましたってだけでは
大した意味はないと思うんだよね。究極の抽象化ができて自己満足としてはいいんだろうけど、それだけでは本質的に何も新しい内容は
出てこないじゃない。

普通の数学で圏があれほど有効だった（最初はabstract nonsenseとか非難されたけど）のは、数学の世界では内容も構造も豊かで
あっちで見つかってた定理は実は圏で抽象化して読み直すとこっちの世界でも使えるとかいう話が、圏を用いて記述を抽象化する事で
色々と出たからでしょう。

理論計算機科学なんかじゃそういう豊かな構造はなかなか見つからないんだよね。昔から多くの研究者が探してはいるんだけどさ。
そういう状況で圏論を用いても、結局、非常に抽象的つか一般的な形で構造やモデルが満たすべき条件を特徴づける、というのが精一杯って感じだなあ。

物理の場合はどうなんだろうね。まあ超弦理論とか量子重力とかはとってもソフィスティケートされて複雑な数学的道具立てを必要とするみたいだから
圏論で抽象的に記述して考えると便利なのかも知れない。ことに具体的なモデルの構築を切り離してそういう構造を持つモデルの一般的な条件という形で
考えられるしね。

>あとそこに講演者の中で俺が名前を知ってる数少ない理論物理屋のIshamは確か量子重力とかの専門だったと思うけど
量子重力が専門なのに名前を知ってる理由はたまたまですか

>>853
これはたまたまです。
Ishamの名前と量子重力が専門という事を知ったのはSmolynの『迷走する物理学』か『量子重力への３つの道』あたりです。
その後、書店の物理学書のコーナーを見てたら、吉岡から出てるIshamの『量子力学』があったのでパラパラと見たら
なんとなく面白そうだと思って買うだけは買ったのですが積ん読状態になってます。
当然ながらIshamの専門の仕事をちゃんとテクニカルなレベルで理解なんてできるはずもありません。

三年七時間。

物理でよく使われる対称性の説明に圏や関手の言葉を使うのが役立つのだろうか

Paul Taylorってどっかで名前見たことあると思ったら
Proofs and Typesの著者だね

可換図式のテフパック作ってなかったっけ？

世間にはびこる量子重力なんてどれもインチキだよ

世間にはびこる料理中毒なんてどれもインチキだよ

＞トポスと高階論理の関係の具体例
Introduction to Higher-Order Categorical Logic
(Cambridge Studies in Advanced Mathematics) (ペーパーバック)
J. Lambek (著), P. J. Scott (著)
タイトルとか目次を見る限りじゃこれとか？
Lambek & Scott はそっちの人には結構有名な文献。
その他に
http://categorical.org/bookshop.html
このページに載ってる本探せばどれかには載ってるはず。
というか「圏論による論理学」の参考文献に当たりゃ良いじゃん。

＞このあたりについての清水さんの論文とか
そんなもんありゃしない
http://ci.nii.ac.jp/search?q=%E6%B8%85%E6%B0%B4%E7%BE%A9%E5%A4%AB&range=0&count=20&sortorder=1
日本の哲学系の教授でそういう数学っぽいこと出来る人って
片手で数えられるくらいしか居ないんじゃないかな。
米国だと結構居るだろうけど。

なんでこんなもんがあるの？

500

集合論の知識が無いため、圏論の基礎の具体例がピンと来ないけど、
「図式が可換」っていうのは、ある対象と対象の間を結ぶ射の経路をどう取っても
等しいっていう意味だよね？
あと、射についてf=gならh○f=h○gっていうのは常に成り立つの？

yes
下も成り立つ（等号と代入の性質による）

>>865
そうですよね、レスありがとうございます。
関数型言語haskellを学んでいるうちに圏論を一度やっておいた方がいいかもと思って
手を出したはいいものの、馴染みの薄い言葉が多くて参ってました。
ttp://db.ewi.utwente.nl/Publications/PaperStore/db-utwente-0000003696.pdf
haskellやっている人向けに圏論とモナドを解説したpdfがあったので読んでいたのですが、
出てくる証明で使われている等式よりも自分で可換図式をつなげていく方が簡単に理解できました。
とりあえずMonad<T,η,μ>からKleisli triple<T,μ,*>を導くことができました。
あとは逆を導いて二つが等価になることを示した後、Mogi89の論文でも読もうかと思います。

まあ、haskellを使うときにモナドを理解する必要は無い、というのが今の段階での結論ですが。

>>866
うん，普通のユーザが理解する必要は特にないよ．
システム作る場合，その手の知識があったほうがすっきりしたものを作れる可能性があるくらい．

groupoidなんて考えてしまって・・・

どうするのですか・・・

くまーは参加しているのか　ここに

サイエンス社
SGCライブラリ75
「物理学者のための圏論」
・ホモロジー代数、導来圏、三角圏、A∞圏、米田の埋め込み定理など

サイエンス社
SGCライブラリ75
「物理のための圏論」
梶浦 宏成　著

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