★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第九問

1 ：１３２人目の素数さん：2007/06/24(日) 05:06:30

理系で数学が得意な高校生が２５～５０分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以上の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ

　過去ログ
★東大入試作問者になったつもりのスレ★
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1000592003/
★東大京大入試作問者になったつもりのスレ★
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1046165076/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第三問
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1069171672/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第4問
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1099493043/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第五問
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1116752400/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第六問
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1134000000/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第七問
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1148569109/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第八問
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1166904000/

2 ：１３２人目の素数さん：2007/06/24(日) 08:44:09

いちょつ

3 ：１３２人目の素数さん：2007/06/24(日) 09:15:11

>>1乙

a^3+2b^3+4c^3-6abc=1を満たす整数(a,b,c)の組は無数に存在することを示せ。

4 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/06/24(日) 09:25:46

>>3
大学受験板で私が出した問題そのままですな。まあいいですが…

5 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/06/24(日) 09:32:04

>>3
(1+2^(1/3)+2^(2/3))^n=a[n]+b[n]2^(1/3)+c[n]2^(2/3)
nは整数です。任意のnについて(a[n],b[n],c[n])は方程式の整数解となります。
いわば3次のペル

6 ：１３２人目の素数さん：2007/06/24(日) 11:02:43

962 名前：１３２人目の素数さん [sage] 投稿日： 2007/06/23(土) 23:34:03
x,y,zを正の整数とする。
x+y+zがx,y,zの公倍数になるとき、x,y,zを求めよ。

964 名前：１３２人目の素数さん [sage] 投稿日： 2007/06/24(日) 00:34:02
>>956
実際のところ、このスレでも京大系の問題が多いですよね。
あなたのに限らず。
東大っぽい問題って作るのムズイんですかね。（というかメンドイ？）

下の問題は僕の自作なんですけど、こういうのが「東大っぽい」と個人的には思うんです。
こういうのあれば、出してくださいな。

座標平面上の3点O(0, 0), A(0, 1), B(√3, 1)を頂点とする三角形OABがある。
この三角形を、Oを固定して原点のまわりに毎秒1ラジアンの角速度で反時計回りに回転させる。
一方、点Pは三角形OABが回転を始めるのと同時に原点を出発し、
時刻θ(秒)におけるy座標がasinθとなるようにy軸上を運動するものとする。
ただし、aは正の定数である。このとき、以下の問いに答えよ。
(1)　0≦θ≦π/3において、Pが三角形OABの外部に脱出することがあるようなaの値の範囲を求めよ。
(2)　θが0からπ/3まで変化するとき、Pが三角形OABの外部に脱出して、内部に戻ってこないようなaの値の最小値を求めよ。
(3)　aを(2)で求めた値とする。θが0からπ/3まで変化するとき、
三角形OABの内部でPが通過した軌道がえがく曲線は三角形OABを2つの部分に分ける。
このうち、頂点Aのある側の面積を求めよ。

969 名前：１３２人目の素数さん [sage] 投稿日： 2007/06/24(日) 03:34:50
∫[0,1](xlogx)^ndx を求めよ。

どうよ？ちょっと考えるでしょ？大学生ならβ,γ関数使うけど高校生なら
ちょっと考えないといけない。

7 ：前スレ972：2007/06/24(日) 12:43:40

>>前スレ980
途中で積分が収束するかとかの議論を抜くとこんな流れを考えました
∫[0,1]x^n*(logx)^kdx=I[k]とおく
部分積分により
I[k]=-k/(1+n)*I[k-1] (k>1),I[1]=-1/(1+n)^2
を得る.ここから（I[k]を求め、kにnを代入する措置をとることで)
I[n]=(-1)^n*n!/(1+n)^(n-1)

8 ：１３２人目の素数さん：2007/06/24(日) 13:21:08

まだ前スレ埋まってないよ。

9 ：１３２人目の素数さん：2007/06/24(日) 13:21:20

>>前スレ962
最小公倍数じゃないの？単なる公倍数だと答えが死ぬほどたくさんあるんだけど

10 ：１３２人目の素数さん：2007/06/24(日) 14:57:48

>>前スレ962
x≧y≧z≧1について考える。このとき
3x≧x+y+z＞x
で、x+y+zはxの倍数なのでx+y+z=3xまたは2x
x+y+z=3xは不等式の等号成立条件、すなわちx=y=z
x+y+z=2xではx=y+zより、x+y+zがyの倍数という条件と併せて2zがyの倍数となる
y≧zより2z=yまたは2z=2y、すなわちz=yとなる

以上から求める答えは、kを任意の正の整数として
(x,y,z)=(k,k,k),(2k,k,k),(k,2k,k),(k,k,2k),(3k,2k,k),
(3k,k,2k),(k,3k,2k),(2k,3k,k),(2k,k,3k),(k,2k,3k)

11 ：１３２人目の素数さん：2007/06/24(日) 16:14:04

すまん、最小公倍数って書き直そうと思ったんだが……

12 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/06/24(日) 16:50:26

99年前期を真似て…

(1) 空間の3つのベクトルa↑, b↑, c↑が一次独立であることの定義を述べよ。
(2) x,y,zを実数とする。3つのベクトルa↑=(x,y,z), b↑=(z,x,y), c↑=(y,z,x)が一次独立であるための条件を求めよ。
(3) (2)で求めた条件は、以下に示す3×3の平方行列が逆行列をもつための必要十分条件であることを示せ。
┌ x y z ┐
│ z x y │
└ y z x ┘

13 ：１３２人目の素数さん：2007/06/24(日) 16:52:55

非常にどーでもいい問題

14 ：１３２人目の素数さん：2007/06/24(日) 17:31:05

三次の行列式は高校でやりませぬ

15 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/06/24(日) 17:39:27

>>14
この問題は三次の行列式を知っている必要はありません。逆行列の定義と行列の乗法の定義さえ知っていれば解答できます。

16 ：１３２人目の素数さん：2007/06/24(日) 18:02:42

>>12
(1)実数α、β、γについて
αａ↑＋βｂ↑＋γｃ↑＝０↑　⇔　α＝β＝γ＝０
(2)(3)文中の正方行列をＸとする。
　３つのベクトルが一次独立ではない
⇔零ベクトルではないあるベクトルｐ↑で　Ｘｐ↑＝０↑　を満たすｐ↑が存在
⇔(逆行列が存在したらｐ↑＝０↑になるだろうがｺﾞﾙｧってわけで)Ｘに逆行列は存在しない
これを否定系から引っ繰り返す

とりあえず大まかな流れだけ。この手の論証重視系でこんな程度の答案だと点数１割くらいだろうけど。

17 ：１３２人目の素数さん：2007/06/24(日) 19:44:34

今の教科書に一次独立って言葉でてくるっけ？？

18 ：１３２人目の素数さん：2007/06/24(日) 20:02:02

>>17
出てこないよ、カス君。なんで君みたいな無能が生きているのか不思議で仕方ない。早く首くくりなよ。

19 ：１３２人目の素数さん：2007/06/24(日) 20:04:29

>>18の言っている事が理解できないのは俺だけ？

20 ：１３２人目の素数さん：2007/06/24(日) 20:06:57

俺もよくわからん。前スレの終わりあたりから、キチガイが住み着いているみたいｗ

21 ：１３２人目の素数さん：2007/06/24(日) 20:07:06

相手にするなよ

22 ：１３２人目の素数さん：2007/06/24(日) 20:08:56

>>19-20
このカス共は日本語すらまともに読めないと言っております。まさに日本の恥。

23 ：１３２人目の素数さん：2007/06/24(日) 20:10:50

言葉にちょっと棘があるんだよ
このドＳが

24 ：１３２人目の素数さん：2007/06/24(日) 21:06:55

>>18
(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰﾍﾟｯ!!

25 ：１３２人目の素数さん：2007/06/24(日) 21:14:47

('A` )　ﾌﾟｳ
ノヽノ) =3'A`)ﾉﾋｬｰ >>18
　くく　へﾍﾉ

26 ：１３２人目の素数さん：2007/06/24(日) 23:38:42

>>12
のトリビア　この行列式の値は

x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z){(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}/2 　と因数分解されるので

x+y+z>0 のときに正の値になる。

27 ：１３２人目の素数さん：2007/06/24(日) 23:49:58

>>26
それはトリビアというよりも蛇足だろ
いやトリビアルだから間違ってはいないか…

28 ：１３２人目の素数さん：2007/06/25(月) 02:08:57

xの関数f(x)=Σ[k=1, 2007]sin(kx)は
区間0≦x≦2007πにいくつの極値を持つか？

29 ：１３２人目の素数さん：2007/06/25(月) 04:07:06

巡回行列式は原始ｎ乗根を使って因数分解できる。
x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x+ωｙ+ω^2z)(x+ω^2ｙ+ωz)

ωはω^3=1 の複素数

30 ：１３２人目の素数さん：2007/06/25(月) 06:37:37

ω←なんかかわいいな

31 ：１３２人目の素数さん：2007/06/27(水) 21:06:06

>>7
[前スレ.969,972]

　t = -(n+1)log(x) とおくと x = exp(-t/(n+1)),
　I[k] = ∫x^n ･ {log(x)}^k dx
　　　= {-1/(n+1)}^(k+1)∫(t^k)exp(-t) dt
　　　= -{-1/(n+1)}^(k+1)} {Σ[j=0,k] (k!/j!)t^j} exp(-t).

32 ：１３２人目の素数さん：2007/06/27(水) 21:40:12

>28
　和積公式から
f(x) = Σ[k=1,N] {cos((k-1/2)x) - cos((k+1/2)x)} / {2sin(x/2)}
　　= {cos(x/2) - cos((N+1/2)x)} / {2sin(x/2)}
　　= sin(Nx/2)sin((N+1)x/2) / sin(x/2),

0≦x<2π のゼロ点 … 2N個。
　x=0,　x=(2j/N)π　(j=1,2,…,N-1),　x=(2k/(N+1))π　(k=1,2,…,N)
ゼロ点の間に1個ずつ極値がある。
0≦x<2π の極値 … 2N個。
0≦x<Nπ の極値 … N^2 個。

33 ：１３２人目の素数さん：2007/06/27(水) 22:11:55

>>7,31
広義積分じゃないらしいぞ。

34 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/06/30(土) 21:44:03

a,bは0≦a≦12，1≦b≦12を満たす整数とする。二次方程式
x^2 + (13m+a)x + (13n+b) = 0
を整数係数で因数分解できる整数m,nが存在するような(a,b)の組はいくつあるか。

35 ：１３２人目の素数さん：2007/06/30(土) 22:10:17

なんて低レベルな。

36 ：１３２人目の素数さん：2007/07/01(日) 00:53:30

>35
じゃあ解けよｗ

37 ：１３２人目の素数さん：2007/07/01(日) 01:13:03

>>36
低レベルなものを態々解く必要などなかろう！

38 ：１３２人目の素数さん：2007/07/01(日) 01:20:50

>>36
ほっとけって
どうせ口だけだから

39 ：１３２人目の素数さん：2007/07/01(日) 01:26:19

すこし前から雲行きあやしくなったな

40 ：１３２人目の素数さん：2007/07/01(日) 01:36:31

35じゃないですけど解いてみました。

左辺が(x+p)(x+q)ってなったとすると(書くのめんどいんで以下合同式は全てmod13)
p+q≡a および pq≡b
つまりaを固定して考えると、p(a-p)を13で割った余りは0以外で何通りあるかを考えればよい。
このとき1≦p≦12で考えれば十分。1≦i＜j≦12で
i(a-i)≡j(a-j)　となるi,jの条件は
(a-i-j)(i-j)≡0　よりi+j≡a となる。
(Ⅰ)a=0の場合
p=1～6のときのbの値6種類がOK
(Ⅱ)aが奇数の場合
p=aはb=0になりダメ。p=(a+1)/2はOK。この2つ以外はうまいこと二つずつの系5ペアになる。
全部で6種類のbがありえる。
(Ⅲ)aが偶数の場合
p=aはb=0になりダメ。p=a/2はOK。この2つ以外はうまいこと二つずつの系5ペアになる。
全部で6種類のbがありえる。
結局全てのaについて6種類のbがありえるので、全部で78組。

41 ：１３２人目の素数さん：2007/07/01(日) 02:07:00

わざと面倒くさく解いたのか？

42 ：１３２人目の素数さん：2007/07/01(日) 04:29:04

-e x -e ≡ e と、ある数eを定義したとき
i*i = e を満足する数i を求めよ　

43 ：42：2007/07/01(日) 04:31:55

但し　i≠e

44 ：42：2007/07/01(日) 04:45:24

出題ミス

ある数　e≡-e * -e と定義したとき
i * i = e を満足する　i≠e なる数iを求めよ

45 ：１３２人目の素数さん：2007/07/01(日) 04:48:55

i=-e

46 ：１３２人目の素数さん：2007/07/01(日) 04:59:43

日本語がおかしいし、記号の意味も分からん。
そもそも「数」とは何だ。

47 ：42：2007/07/01(日) 06:23:33

寝ぼけてました
すみません(^^;)

ある数の集合Fにおいて
　e∈F は、 -e * -e =e という等式が成り立ち、且つ
　i∈F は、 i * i = -e という等式が成り立つ
　その条件の元に、
　　　ｊ∈F　j * j= -i となる
　集合Fを求めよ

48 ：42：2007/07/01(日) 06:27:24

補足
*の意味は
　∀a∈F　a * e = e * a = a

49 ：42：2007/07/01(日) 06:49:14

補足
　*の意味は
　∀a,b∈F　a * b = b * a ∈F

50 ：１３２人目の素数さん：2007/07/01(日) 07:07:55

だから「数」って何。

51 ：42：2007/07/01(日) 07:13:41

すいません、補足です

-の意味は、
∀a∈F　a-a=0∈F
です。

52 ：42：2007/07/01(日) 07:18:03

>>50
「数」とは、0∈F　を持つ集合です。

53 ：42：2007/07/01(日) 08:16:42

0を含む、ある数の集合Fにおいて
　記号 "-" を　∀a a-a=0　と定義し
　記号 "*" を　∀a a * e = e * a = a と定義する

　e∈F は、 -e * -e =e という等式が成り立ち、且つ
　i∈F は、 i * i = -e という等式が成り立つ
　その条件の元に、
　　　ｊ∈F　j * j= -i となる
　集合Fを求めよ

54 ：１３２人目の素数さん：2007/07/01(日) 08:29:09

次の方どうぞ

55 ：１３２人目の素数さん：2007/07/01(日) 08:46:56

>>52
数とは集合なのか。
では「数の集合」とは何であるか。
また、「集合」とは何であるか。

56 ：42：2007/07/01(日) 09:20:28

コント>>55さん
とりあえず、2x2の行列かなんかで考えてください

57 ：１３２人目の素数さん：2007/07/01(日) 10:18:23

日本語がおかしいし、記号の意味も分からん。
もう >>42 は書かなくていいよ。引っ込んで。

58 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/07/01(日) 11:05:41

>>40
御名答。

関数f(x)は上に凸な連続関数で、f(0)=1,f(1)=0を満たすものとする。また、関数g(x)は、0≦g(x)≦1を満たす連続関数とする。このとき次の不等式が成り立つことを示せ(下記不等式中にある積分は全て積分区間[0,1]の定積分とする)。
∫f(g(x))dx + ∫g(x)dx ≦ 2∫f(x)dx

※f(x)の微分可能性は保証されていません

59 ：１３２人目の素数さん：2007/07/01(日) 12:21:00

増田さん、難しすぎです
max_{0\leq x\leq 1}(f(x)+x)=Mとすれば
∫f(g(x))dx + ∫g(x)dx \leq M
一方、\int_0^1 (f(x)+x)dx\geq 1+\frac12(M-1)だから
∫f(x)dx \geq\frac12M

60 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/07/01(日) 13:15:49

>>59
あっ…やっぱやりすぎました？一応高校の知識だけで解けるよーにはしたつもりでしたが、一般化しすぎましたかね

61 ：１３２人目の素数さん：2007/07/01(日) 13:31:34

うーん、でも面白いし良問ではある
わかってしまえばあっさりだから、難しかったころの京大って感じか
東大なら後期用でしょう

62 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/07/01(日) 16:50:15

nは自然数とする。数列{a[n]}は以下の条件を満たす。
a[1]=1, a[2]=5
|a[n+2]-a[n]|=1/2^(n-1)
lim[n→∞](a[n+1]-a[n])=0
このとき、数列{a[n]}の一般項を求めよ。

63 ：１３２人目の素数さん：2007/07/01(日) 17:18:22

a[2]=3
じゃなくて？

64 ：１３２人目の素数さん：2007/07/01(日) 17:26:12

え

65 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/07/01(日) 17:38:29

ああ、申し訳ないです。
a[2]=3ですな

66 ：１３２人目の素数さん：2007/07/01(日) 19:16:14

益田さんて、大学受験板のどのスレで問題出してるんですか？

67 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/07/01(日) 19:37:00

>>66
整数問題のスレに問題出してました。でも先月2ch管理側がスレを整理したのか、整数問題スレもろともあぼーんされてしまったのです。なにゆえ削除したのかいまだに謎ですが

68 ：１３２人目の素数さん：2007/07/01(日) 19:43:44

>>67
情報ありがとうございました。

69 ：１３２人目の素数さん：2007/07/02(月) 00:44:01

>>62
三角不等式からa[2k-1]<7/3<a[2k]ってなるから
a[2k-1]→7/3 かつa[2k]→7/3 (k→∞)
じゃなきゃ困るわけで、このことから、奇数の場合は大きく偶数の場合は小さく、を目指した数列が答え。

｢a[2]＝√2の場合は題意を満たす数列は存在するか｣
みたいな問題はどうでしょうかMASUDAさん

70 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/07/02(月) 01:00:36

>>69
おぉ、さらにひねりますか(笑)
実はこれ、予備校の直前講習で出したのですが、lim(a[n+1]-a[n])=0から勝手にa[n]が収束するとしてしまう生徒が続出し、答えは合っていても論証で大減点をくらい、平均点がかなり低かった問題です。
確かに>>69氏のおっしゃるようにさらにひねればかなり良問になるのですが、受験生レベルには酷かもしれません。でも発想は面白いですな。

71 ：42：2007/07/02(月) 06:01:30

0を含む、ある数の集合Fにおいて
　演算子 "-" を　∀a∈F a-a=0　と定義し
　演算子 "*" を　∀a∈F a * e = e * a = a と定義する
　ここで　e∈F　は　e*e=e を満足する

　そして
　e∈F は、 -e * -e =e という等式が成り立ち、且つ
　i∈F は、 i * i = -e という等式が成り立つ
　その条件の元に、
　　　ｊ∈F　j * j= -i となる
　集合Fを求めよ

72 ：71：2007/07/02(月) 06:10:20

0を含む、ある数の集合Fにおいて
　演算子 "-" を　∀a,b∈F　a-b∈F　且つ　∀a∈F a-a=0 と定義し
　演算子 "*" を　∀a,b∈F　a*b∈F　且つ　∀a∈F a * e = e * a = a と定義する
　ここで　e∈F　は　e*e=e を満足する

　そして
　e∈F は、 -e * -e =e という等式が成り立ち、且つ
　i∈F は、 i * i = -e という等式が成り立つ
　その条件の元に、
　　　ｊ∈F　j * j= -i となる
　集合Fを求めよ

73 ：１３２人目の素数さん：2007/07/02(月) 06:17:41

>>71-72
いい加減うざいよ。

74 ：71：2007/07/02(月) 06:27:13

>>73先生
答えを教えてください

75 ：71：2007/07/02(月) 06:29:29

集合Fはnxnの実数の行列の部分集合とした時の
問題７２の答えを教えてください

76 ：71：2007/07/02(月) 06:33:27

東大入試問題としては易しすぎたでしょうか

77 ：１３２人目の素数さん：2007/07/02(月) 07:06:27

何を勘違いしてるのかしらんが、東大入試云々の前にその問題文は受験生には読めん。出直してこい。

78 ：１３２人目の素数さん：2007/07/02(月) 07:32:46

定義がおかしいし、何やってんの？

79 ：１３２人目の素数さん：2007/07/02(月) 07:32:57

>>76
ここは貴様のオナニースレではないぞ！
うせろ！ (ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰﾍﾟｯ!!

80 ：１３２人目の素数さん：2007/07/02(月) 09:03:02

71は東大の問題どころか、三流大学の問題すら作れなさそうだな
そもそも高校数学で習わない記号出してるし。
大学入試には高校で習ったことしか書いちゃいけないんだよ～。あんたは高校いってないからわからんかもしれんが。

81 ：１３２人目の素数さん：2007/07/02(月) 09:15:15

>>42=71
お前、提唱者 ◆3j.9eex9S6 だろ？

　*提唱者 ◆3j.9eex9S6を知らない方へ
　　【定理？】負×負＝正【定義？】
　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1162652104/
　で暴れている基地外

82 ：１３２人目の素数さん：2007/07/02(月) 11:47:09

答えを求めよと言う前に問題文が間違いだらけだな

83 ：１３２人目の素数さん：2007/07/02(月) 12:49:11

反応してもらえるのが嬉しいタイプみたいだから、そろそろスルーすれば？

84 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/07/02(月) 13:27:01

　実数a[1],a[2],…,a[n],b[1],b[2],…,b[n]が以下の等式を満たす(nは自然数、p,qは正の実数)。
Σ[k=1,n]a[k] = 0
Σ[k=1,n]b[k] = 0
Σ[k=1,n]|a[k]| = p
Σ[k=1,n]|b[k]| = q
このとき、Σ[k=1,n]a[k]b[k]のとりうる値の範囲をp,qを用いて表せ。

なんか東工大チックになってしまったであるな…

85 ：１３２人目の素数さん：2007/07/02(月) 13:28:54

お茶の水女子大チックだな。

86 ：１３２人目の素数さん：2007/07/02(月) 13:56:39

>>84
これは類題を解いてないとまず無理じゃないかね
誘導つけないと、答えあってるだけで（論証無しで）
かなりの部分点をあげる羽目になりそう

87 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/07/02(月) 14:22:05

>>85
そーゆー見方もありますな。
>>86
案外実験したら方針があっさり立たなくもないのです。実際、過去に2題、東大で類題がでてます(絶対値はありませんでしたが)。

88 ：１３２人目の素数さん：2007/07/02(月) 14:31:51

そうか、過去問やっときゃなんとかなるのか

89 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/07/02(月) 14:47:24

だい～ぶ古い過去問ですよ。受験生はまず手に入らないかと。

90 ：１３２人目の素数さん：2007/07/02(月) 14:52:12

慶応にも類題なかった？

91 ：71：2007/07/02(月) 19:42:57

>>80

0を含む、2x2の行列のある部分集合Fは次の性質を持つ。

　・Fの任意の元 a,b について、a-bはFに属する。
　　そして、Fの任意の元 aは、a-a=0 となる。

　・また、Fの任意の元a,bについてa*bはFに属する。
　　そして、Fのある元eは次のような性質を持つ
　　　・任意のFの元aについて　a*e = e*a であり、これはFに属する。
　　　・e*e=e
　　　・-e * -e =e という等式が成り立つ。
　・さらに、Fのある元iについて次の等式が成り立つ、i * i = -e
　・そして、Fのある元jについて次の等式が成り立つ　j * j= -i

集合Fを求めよ。

92 ：１３２人目の素数さん：2007/07/02(月) 19:57:29

一般にabcdを非負整数とすると
0≦a*b+c*d≦e*f (e=a+c f=b+d)
を足ががりに
-ｐ*q≦a1*b1+a2*b2+・・・+an*bn≦p*q (c=a1+・・・an d=b1+・・・+bn)
という流れでいいのですかな？

93 ：１３２人目の素数さん：2007/07/02(月) 20:06:41

∀を抜けばいいってもんじゃないし
いい加減自分で間違いに気付けよ！

94 ：１３２人目の素数さん：2007/07/02(月) 20:14:02

ぬるーしろよ

95 ：１３２人目の素数さん：2007/07/02(月) 20:24:12

*(char *)0 = '\0';

96 ：71：2007/07/02(月) 20:31:36

>>93 ごめんなさい(;´Д`)

0を含む、2x2の行列のある部分集合Fは次の性質を持つ。

　・Fの任意の元 a,b について、a-bはFに属する。
　　そして、Fの任意の元 aは、a-a=0 となる。

　・また、Fの任意の元a,bについてa*bはFに属する。
　　そして、Fのある元eは次のような性質を持つ
　　　・任意のFの元aについて　a*e = e*a であり、これはFに属する。
　　　・e*e=e
　　　・-e * -e =e という等式が成り立つ。
　・さらに、Fのある元iについて次の等式が成り立つ、i * i = -e
/*　・そして、Fのある元jについて次の等式が成り立つ　j * j= -i */

集合Fを求めよ。

97 ：１３２人目の素数さん：2007/07/02(月) 20:32:11

だが、cot、÷！

98 ：71：2007/07/02(月) 22:02:04

jについての記載をコメントアウトしました。
問題として適当でしょうか、添削お願い致します。

99 ：１３２人目の素数さん：2007/07/02(月) 22:22:22

>>84は>>92でいいんだよな

100 ：１３２人目の素数さん：2007/07/02(月) 22:30:27

へ？

101 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/07/02(月) 22:41:53

>>92
いや、その方針は間違いになってしまいます(実際に>>92氏が予測されている答えは不正解なのです)

102 ：71：2007/07/03(火) 06:38:56

あれ　おれ　スルー　されてる？
ごめんなさい

103 ：71：2007/07/03(火) 06:45:29

コメントアウトがいけなかったでしょうか

2x2の行列のある部分集合Fは次の性質を持つ。

　・Fの任意の元 a,b について、a-bはFに属する。
　　そして、Fの任意の元 aは、a-a=0 となる。

　・また、Fの任意の元a,bについてa*bはFに属する。
　　そして、Fのある元eは次のような性質を持つ
　　　・任意のFの元aについて　a*e = e*a であり、これはFに属する。
　　　・e*e=e
　　　・-e * -e =e という等式が成り立つ。
　・さらに、Fのある元iについて次の等式が成り立つ、i * i = -e

元、e,iを求めよ。

104 ：１３２人目の素数さん：2007/07/03(火) 06:49:32

うざいから忠告はこれで最後にするが・・・
これ以上書き込んでももう誰もお前相手にしない。しばらく休め。

105 ：71：2007/07/03(火) 06:50:30

わかりました

106 ：１３２人目の素数さん：2007/07/03(火) 07:42:24

カワイソス

107 ：１３２人目の素数さん：2007/07/03(火) 11:51:01

>>84
とりあえず、

n=2 のときは２つの正方形上の点で内積が最大と最小になるペアで

n=３のときは２つの正８面体上の点で内積が最大と最小になるペアになった。

min =-pq , max=pq 　　間違っているのかな？

108 ：益田：2007/07/03(火) 12:11:47

>>107
この問題、内積では解けないようになってるんですよ。内積だけでいくとΣ[k=0,n]a[k]=0が無視されてしまうゆえ。

109 ：１３２人目の素数さん：2007/07/03(火) 12:51:49

>>108
ｎ＝２　
|a|+|b|=p 　p,qは正
|x|+|y|=q
a+b=x+y=0
L=ax+by　
直線ｙ＝-xと正方形|x|+|y|=p ,q の交点(-p/2, p/2) (p/2, -p/2) (-q/2, q/2) (q/2, -q/2)
の４点で内積を計算すると MaxL=pq/2 MinL=-pq/2

ｎ＝３
|a|+|b|+|c|=p
|x|+|y|+|z|=q
a+b+c=x+y+z=0
L=ax+by+cz
平面x+y+z=0と正八面体|x|+|y|+|z|=p,q の交線を考えて、、、ってやると確かに大変ですね。

110 ：１３２人目の素数さん：2007/07/03(火) 13:00:00

［－ｐｑ／２，ｐｑ／２］。

111 ：１３２人目の素数さん：2007/07/03(火) 16:37:36

>110
証明どうやんの？

112 ：１３２人目の素数さん：2007/07/03(火) 21:20:47

>>84
Σ[k=1,n]a[k] = 0とΣ[k=1,n]|a[k]| = pから、正のa[k]の和=p/2、負のa[k]の和=-p/2。
b[k]の方についても同様（ただしp/2はq/2とする）。

積和Σ[k=1,n]a[k]b[k]に最大を与えるa[k]、b[k]をとる。
番号を取り直して、aは単調増加a[1]≦a[2]≦・・・≦a[n]としてよい。
今b[1]とb[2]を取替えたものは最初の積和より大きくはないので、a[1]b[1]+a[2]b[2]≧a[1]b[2]+a[2]b[1]　である。
これから　(a[1]-a[2])(b[1]-b[2])≧0　である。　a[1]≦a[2]だったからb[1]≦b[2]である。
これを　b[2]とb[3]、b[3]とb[4]、と順にくりかえせば、　b[1]≦b[2]≦・・・≦b[n]であることが分かる。
今、a[m]＜0、b[m]＞0　となる組があるとすれば、そのうちの一番小さいｍにたいし、b[m]の値を
ｂ[n]に足しこんで、b[m]=0としたものと、についての積和をとれば、最初に最大としたものよりも大きくなる。
よって、最大になっている積和では、正の項同士の積、負の項同士の積の和になっている。
最後に、　任意の正の数r_1、r_2、s_1、s_2について、(r_1)(s_1)+(r_2)(s_2)＜(r_1+r_2)(s_1+s_2)である。
任意の４つの負の数についても同様。従って、a[k]、b[k]　(ただし2≦k≦n-1)　に0でない項があるとするならば、
a[n}=p/2、a[1]=-p/2、b[n]=q/2、b[1]=-q/2と
途中の項の値を正負に応じて両端に纏めたものが最初の積和より大きくなる。。
よって取りうる最大はpq/2。取り得る最大を与えるa[k]の符号を逆転させれば、取りうる最小を与える。つまり-pq/2

メチャクチャ省略、言葉足らずですが、こんな感じでしょうか

113 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/07/03(火) 22:17:51

>>112
御名答。この掲示板に書く証明としてはそれで十分かと。

114 ：１３２人目の素数さん：2007/07/03(火) 23:00:07

ａ（ｋ），ｂ（ｋ）が正正の和について
０≦Σ（ａ（ｋ）ｂ（ｋ））≦Σ（ａ（ｋ））Σ（ｂ（ｋ））≦ｐｑ／４。
正負，負正，負負についても同様なので
－ｐｑ／２≦Σ（ａ（ｋ）ｂ（ｋ））≦ｐｑ／２。
　（ｐ／２）（ｑｒ／２）＋（－ｐ（１－ｒ）／２）（ｑ（１－ｒ）／２）＋（－ｐｒ／２）（－ｑ／２）
＝（ｐｑ／４）（２ｒ－（１－ｒ）＾２）
なので［－ｐｑ／２，ｐｑ／２］の値は全てとりうる。

115 ：１３２人目の素数さん：2007/07/04(水) 00:36:17

うまく問題が作れないので、素材投下。

三方向の辺の長さが全て異なる、同じ大きさの直方体C1,C2,C3がある。
C1とC2、C2とC3を、同じ長さの辺どうしが重なるようにくっつけて、
C1は固定してC2とC3を、接している辺を中心として回転させる。

…問題になってないんだがorz
要は関節のようにクネクネと動くC2とC3の軌跡なんかを題材に、
何か問題が作れないかなと。

116 ：１３２人目の素数さん：2007/07/04(水) 00:51:32

>>115
こんな問題はどうだ？

三方向の辺の長さが全て異なる、同じ大きさの直方体C1,C2,C3がある。
C1とC2、C2とC3を、同じ長さの辺どうしが重なるようにくっつけて、
C1は固定してC2とC3を、接している辺を中心として回転させる。
それはさておき、2x2の行列のある部分集合Fは次の性質を持つ。
　・Fの任意の元 a,b について、a-bはFに属する。
　　そして、Fの任意の元 aは、a-a=0 となる。
　・また、Fの任意の元a,bについてa*bはFに属する。
　　そして、Fのある元eは次のような性質を持つ
　　　・任意のFの元aについて　a*e = e*a であり、これはFに属する。
　　　・e*e=e
　　　・-e * -e =e という等式が成り立つ。
　・さらに、Fのある元iについて次の等式が成り立つ、i * i = -e
元、e,iを求めよ。

117 ：１３２人目の素数さん：2007/07/04(水) 01:20:48

>>115
例えばC1のある頂点とC3のある頂点の距離の取り得る値の範囲とか。
東大入試というよりパズルっぽい問題だが。

118 ：１３２人目の素数さん：2007/07/04(水) 01:26:10

>>116
ちょｗｗｗおまｗｗｗｗｗｗ

119 ：１３２人目の素数さん：2007/07/04(水) 01:30:39

低床車って釣り氏だったのか

120 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/07/04(水) 01:37:01

>>115
立体の軌跡となるとC3が複雑すぎてかなり厳しいかと。立体同士がぶつかることもあって制限もかかりますし。

↓こんなんどうでしょうか？計算してないのでどうなるか分かりませんが。

3つの合同な直方体T[1],T[2],T[3]があり、直方体T[k]を
A[k]B[k]C[k]D[k]-E[k]F[k]G[k]H[k]
となるように各頂点を定める(k=1,2,3)。各辺の長さは
AB=CD=EF=GH=p
BC=AD=FG=EH=q
AE=BF=CG=DH=r
とする。座標空間において、点A[1],B[1],D[1],E[1]のそれぞれの座標が(0,0,0),(p,0,0),(0,q,0),(0,0,r)であり、辺C[1]D[1]とC[2]D[2]、F[2]G[2]とF[3]G[3]が一致しているとき、線分A[1]E[3]の長さの最大値を求めよ。
私の文章力ではこの程度が限界です。図がないと訳が分かりません

121 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/07/04(水) 01:54:20

n,m,aは自然数とする。任意のn,mについて実数xが n/m と {an+(a^2+1)m}/(n+am) の間にあるとき、xをaで表せ。

122 ：１３２人目の素数さん：2007/07/04(水) 02:22:00

n/m=tとおくと、tは正の有理数
t>0において
f(t)=tは狭義単調増加
g(t)=(at+a^2+1)/(t+a)は狭義単調減少
よってf(t)=g(t)=xとなるxを求めれば良い

123 ：１３２人目の素数さん：2007/07/04(水) 03:45:06

>>122
なるほど～
感心した。

124 ：１３２人目の素数さん：2007/07/04(水) 06:33:00

「間にある」という日本語はやはり魔力を持ってるな

125 ：１３２人目の素数さん：2007/07/04(水) 06:41:35

類題投下
どのような正の数ｘ、ｙに対しても
不等式(x+y)^4≦c^3(x^4+y^4)
が成り立つようなcの範囲を求めよ

126 ：１３２人目の素数さん：2007/07/04(水) 08:47:37

>>125
類題って簡単にしすぎだろｗ必要条件から解ける

127 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/07/04(水) 11:07:02

>>122
御名答。早いですな。

kは自然数とする。多項式x^(3n) + x^n (n=1,2,…)を x^k + 1 で割った余りをR[n](x)とする。
(1) R[n+2k](x) = R[n](x)を示せ。
(2) R[n](x),R[n+1](x),…,R[n+2k-1](x)が全て異なることとkが奇数であることは互いに必要十分であることを示せ。

128 ：１３２人目の素数さん：2007/07/04(水) 16:20:49

f_n=x^(3n) + x^n (n=0,1,2,...)とおき、≡はmod. x^k+1とする
f_{n+k}=x^(3n+3k)+x^(n+k)≡-x^(3n)-x^n=-f_n
よって、f_{n+2k}≡-f_{n+k}≡f_nで、(1)がでる

(2)(1)より、R[n](x),R[n+1](x),…,R[n+2k-1](x)が全て異なる
⇔R[0](x),R[2](x),…,R[2k-1](x)が全て異なる

kが偶数のとき、k=2sとおけば0<s<3s<2kであり、
f_s=x^(3s)+x^s=x^s(x^k+1)≡0,また、f_{3s}=f_{s+k}≡-f_s≡0
よって、R[s](x)=R[3s](x)となる

以下、kは奇数とする。≡でないことを!≡と書く
0≦s<k, 0<k<tに対し、f_{s+t}!≡±f_s、f_s!≡0であることをいえば良い
w=cos(π/k)+isin(π/k)とおけば、多項式fに対し
f(w)=0はf≡0のための必要条件であるから、f(w)≠0を言う事でf!≡0が言えることになる
f_s=x^s(x^(2s)+1)であり、kが奇数であることと0≦s<kより、
f_s(w)≠0であり、f_s!≡0
f_{s+t}-f_s=x^s(x^t-1){x^(2s)(x^(2t)+x^t+1)+1}
|x|=1かつx^(2s)(x^(2t)+x^t+1)+1=0とすると、
|x^(2t)+x^t+1|=1これより、x^t=-1,±iとなるが、
kが奇数であることと0<t<kより、x=wがこれを満たすことはない。
w^s(w^t-1)≠0は明らかで、f_{s+t}!≡f_s
f_{s+t}+f_s=x^s(x^t+1){x^(2s)(x^(2t)-x^t+1)+1}
|x|=1かつx^(2s)(x^(2t)-x^t+1)+1=0とすると、
|x^(2t)-x^t+1|=1これより、x^t=1,±iとなるから、
以下同様にf_{s+t}!≡-f_s

面倒だな、誰かもっと楽にやってくれ

129 ：１３２人目の素数さん：2007/07/04(水) 23:57:53

kを奇数とし、w=cos(π/k)+isin(π/k)とおくと、
w^k+1=0,また(-1)^k+1=0だから、f_n(w)=R[n](w), f_n(-1)=R[n](-1)
f_n(w)=2cos(πn/k){cos(2πn/k)+isin(2πn/k)}
で,|f_n(w)|=2|cos(πn/k)|
よって、0≦n<2kにおいて絶対値が等しくなる組は、
n=0,kの組と、0<t<k/2によってn=t,k-t,k+t,2k-tで与えられる組である。
f_n(-1)=2・(-1)^nだからnが偶数か奇数かでf_n(-1)の値が異なる
また、0<t<k/2のときは、n=t,k-tに対しては、0<argf_n(w)<π
n=2k-t,k+tに対しては、π<argf_n(w)<2πとなるから
結局0≦n<2kに対し、f_n(w)かf_n(-1)の少なくとも一方は異なる値を取り、
R[0](x),R[1](x),…,R[2k-1](x)は全て異なると言える

130 ：１３２人目の素数さん：2007/07/05(木) 00:31:10

f_n(w)=cos(3πn/k)+cos(πn/k)+i{sin(3πn/k)+sin(πn/k)}
x=cos3θ+cosθ, y=sin3θ+sinθは外トロコイドで、
0≦θ<2πにおいて、同じ点を通るのは
θ=π/2,3π/2; θ=π/4,3π/4; θ=5π/4,7π/4
のときに限るが、kが奇数だから、πn/kがこれらの
値を取ることはない。よってn=0,1,...,2k-1に対し
R[n](w)=f_n(w) はすべて異なる値を取り
R[0](x),R[1](x),…,R[2k-1](x)は全て異なると言える

これならキレイかな

131 ： ◆nQAc.NZenw ：2007/07/06(金) 20:01:37

⊿[f(x)]=f(x)-f(x-1)
⊿n+1[f(x)]=⊿[⊿n[f(x)]]
とする。

(1)⊿n[f(x)]=C[n.0]*f(x)-C[n.1]*f(x-1)+…C[n.k]*(-1)^k*f(x-k)
…+C[n.n]*(-1)^n*f(x-n)
を示せ。

(2)⊿n[x^n]=n!
を示せ。

(3)a(k)={(-1)^(n-k)*k^n}/{k!*(n-k)!}
とするとき
Σ[k=0,n]a(k)
を求めよ。

なお必要ならドラえもんの身長が129.3cmであることを用いても良い。

132 ：１３２人目の素数さん：2007/07/06(金) 21:04:46

差分法の教科書丸写しみたいな問題だなｗ

133 ：１３２人目の素数さん：2007/07/06(金) 23:36:09

だめだw　⊿が
　（ﾟ⊿ﾟ）ｲﾗﾈ
に見える

134 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/07/07(土) 12:18:38

>>130
御名答というかなんとまぁ…そんな解答よく思いつきましたな。

135 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/07/07(土) 12:26:34

a[1] = 1 , a[2] = 2
a[n+2] = pa[n+1] - 6a[n]
(n=1,2,3,…；pは定数)
で定められる数列{a[n]}に対して、数列{a[n+1]-a[n]}が等比数列になるとき、以下の問いに答えよ。
(1) pの値を求めよ。
(2) 数列{a[n+2]+qa[n+1]+ra[n]}が初項が0でない等比数列になるためのq,rの条件を求めよ。

136 ： ◆nQAc.NZenw ：2007/07/07(土) 15:40:48

>>131　の（１）（２）をなくしたらどうでしょう。ちょっとはいい問題になりますかね。

137 ：１３２人目の素数さん：2007/07/08(日) 15:30:29

>136
いや、(1)(2)なくしたら東大っぽくなくなる

138 ：１３２人目の素数さん：2007/07/09(月) 00:08:33

<<135

a(n+1)-a(n)が等比数列
⇔a(n+2)-a(n+1)=L｛a(n+1)-a(n)}…①
変形して与えられた条件と比べるとL＝６、ｐ＝７を得る。(１）

よって①⇔a(n+2)=7a(n+1)-6a(n)…②
また①、a(1)=1,a(2)=2より、a(n+1)-a(n)=6^n-1(2-1)
=6^n-1
よってa(n+1)=a(n)+6^n-1…③
②、③より(２）の条件⇔a(n+2)+qa(n+1)+ra(n)=(q+7)｛a(n)+6^n-1｝+(r-6）a(n)
　=(q+r+1)a(n)+(q+7)6^n-1…④
　=k｛(q+r+1)a(n-1)+(q+7)6^n-2｝　　（kは公比）
　=……=k^n-1｛(q+r+1)a(1)+(q+7)6^0｝
　 =k^n-1(2q+r+8) 　…⑤

④⑤を比べてq+r=-1のときｋ=6で題意を満たす。(２）

不勉強で申し訳ありませんが、こういうのは有名or既出ですか？
「同じ三角形の外接円、内接円の半径をそれぞれR、ｒとするとき
　R／ｒの最小値を求めよ。またそうなるときの三角形はどんな三角形か」

139 ：１３２人目の素数さん：2007/07/09(月) 00:14:18

>>138
既出も何も有名すぎて呆れた。一から勉強しなおして来い！

140 ：１３２人目の素数さん：2007/07/09(月) 00:18:43

>>138の前半

(1) p=5，7

(2)「p=5 かつ 2q+r+4≠0」または「p=7 かつ q+r+1=0 かつ q≠-7」

だと思われ。

>>138の後半
比較的有名だと思う。

141 ：１３２人目の素数さん：2007/07/09(月) 00:50:00

公比１。

142 ：１３２人目の素数さん：2007/07/09(月) 02:42:57

はい！　－から勉強しなおしてきます！
ガッコンとかやって、作り方研究してみます

143 ：１３２人目の素数さん：2007/07/09(月) 06:06:15

さいころを6回振った時、1が連続で出た回数の最大値を求めよ

6回は一般のn回にした方が難易度的にはいいのかもしれんが

144 ：１３２人目の素数さん：2007/07/09(月) 06:43:36

6回。

145 ：１３２人目の素数さん：2007/07/09(月) 07:51:30

146 ：１３２人目の素数さん：2007/07/09(月) 08:09:28

147 ：１３２人目の素数さん：2007/07/09(月) 08:46:17

じつは７とか意外な結果があなたを待っている。

148 ：１３２人目の素数さん：2007/07/09(月) 08:48:55

実は一の目がない。

149 ：１３２人目の素数さん：2007/07/09(月) 09:07:44

女に振られた回数なら誰にも負けない！

150 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/07/09(月) 10:16:55

>>138
pの値が7だけというのは見事に仕掛けた罠にかかっておられます。漸化式では係数比較はできません。

>>140
御名答

151 ：143：2007/07/09(月) 10:31:33

1が連続で出た回数の最大値を求めよ
↓
1が連続で出た回数の最大値の期待値を求めよ
と書くの間違えたよ、ごめん。
もう少し正確に書くと「サイコロを6回振った時にn回目に出た目をa[n]とする時、
max{m: a[k]=a[k+1]=...=a[k+m-1]=1 0<k k+m<6}の期待値を求めよ」となるね
お詫びに答えを書く
xで2～6を表し、yで1～6を表すとすると
・最大で0回連続
　xxxxxxと表されるケースしかない：5^6通り
・最大で1回連続
　1xxxxx,1x1xxx,1x1x1xの様なケースがある：6*5^5+10*5^4+4*5^3=204*5^3通り
・最大で2回連続
　11xxxx,11x1xx,11x1x1,11x11xの様なケースがある
　合わせて5*5^4+12*5^3+3*5^2+3*5^2=191*5^2通り
・最大で3回連続
　111xyy,x111xy,yx111x,yyx111の様なケースがある：132*5通り
・最大で4回連続
　1111xy,x1111x,yx1111の様なケースがある：17*5通り
・最大で5回連続
　11111x,x11111の様なケースがある：2*5通り
・最大で6回連続：1通り

よって期待値は(204*5^3+382*5^2+396*5+68*5+2*5^2+6)/(6^6)=18713/23328=0.802...回
あと一般にサイコロをN回振る場合に期待値をE_Nとおくと E_N/log_6(N)→1 (N→∞) となる

152 ：１３２人目の素数さん：2007/07/09(月) 10:50:25

>>141の場合が抜けてるのに正解なの？

153 ：１３２人目の素数さん：2007/07/09(月) 12:24:31

>>152
公比は２と６に限られる

154 ：１３２人目の素数さん：2007/07/09(月) 15:30:35

>>131 （３）の結果に惚れた。これって有名な定理かなんか？

155 ：１３２人目の素数さん：2007/07/09(月) 15:39:32

>>132

156 ：現役東大生：2007/07/09(月) 16:41:38

(2x^2+508x+446)/(2x^2+3x+1) が整数値になるような自然数xの値を全て求めよ。

157 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/07/09(月) 17:13:57

>>154
名前は存じませんが、私が高校生のときの学コンに同じ定理を証明させる問題がありました。マスターオブ場合の数にも第４部に出題があったと記憶しております。そこそこ有名かと。

158 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/07/09(月) 17:20:40

ちょっとソフトなやつで

常用対数log3=0.4771とする。整数を10進法で表す。3,3^2,3^3,3^4,…,3^67のうちで連続して3回同じ桁数になるのは何回おこるか。

159 ：１３２人目の素数さん：2007/07/09(月) 19:55:28

>>156
(2x^2+508x+446)/(2x^2+3x+1) が整数値になるような自然数xの値を全て求めよ。
(2x^2+508x+446)/(2x^2+3x+1)=1+5(77/(2x+1)+12/(x+1))
2x+1とx+1は互いに素だから、2x+1は5*7*11の約数、x+1は2^2*3*5の約数
(ここからの処理は工夫ができてない）
2x+1=5,7,11,35,55,77,385のときそれぞれx+1=3,4,6,18,28,39,193
で、x=2,3,5

>>158
これは面白い、気づけば簡単だけど本番で出したら意外に解けないかも
オススメの１題

160 ：１３２人目の素数さん：2007/07/09(月) 20:10:00

>>153
>>157
p=7.
q=-8.
r=12.
a(n+2)+qa(n+1)+ra(n)=4.

161 ：１３２人目の素数さん：2007/07/09(月) 21:07:06

>>160
たしかに6q+r+36=0のとき，
{a(n+2)+qa(n+1)+ra(n)}は定数になるね。
問題文で公比が1でないと書いた方がいいかも。

162 ：７１：2007/07/09(月) 22:15:22

2x2の行列のある部分集合Fは次の性質を持つ。

　・Fの任意の元 a,b について、a-bはFに属する。
　　そして、Fの任意の元 aは、a-a=0 となる。

　・また、Fの任意の元a,bについてa*bはFに属する。
　　そして、Fのある元eは次のような性質を持つ
　　　・任意のFの元aについて　a*e = e*a であり、これはFに属する。
　　　・e*e=e
　　　・-e * -e =e という等式が成り立つ。
　・さらに、Fのある元iについて次の等式が成り立つ、i * i = -e

元、e,iを求めよ。

163 ：７１：2007/07/09(月) 22:18:17

>>156
解答作成時間に制限を設けると面白そうですね
３分以内とか

164 ：１３２人目の素数さん：2007/07/09(月) 22:19:10

提唱者ｷﾀー

165 ：１３２人目の素数さん：2007/07/09(月) 22:19:25

なんかｷﾀ━━━━━━(ﾟ∀ﾟ)━━━━━━ !!

166 ：１３２人目の素数さん：2007/07/09(月) 22:26:33

入試って、いうことは、十代のガリ勉対象ってことかなっ　?

つまり、受験の「なぞなぞ」って、ことなんだっ。

うん。

暇つぶしには、もってこいだねっ　!

けど、　こんなことに　なんの価値があるのやら　?

きっと、自慢満足だよねっ　!　　

うん　!

167 ：167：2007/07/09(月) 22:30:30

1+6=7

168 ：１３２人目の素数さん：2007/07/09(月) 22:33:46

>>156
こら、マスターオブ整数の問題張るな

169 ：７１：2007/07/09(月) 22:36:04

ノートＰＣ持ち込み可　ネット禁止
という条件で
何ｍｓで解答を出せるかで点数を決めるのもいいかも>>156

170 ：１３２人目の素数さん：2007/07/09(月) 22:42:42

さいころを6回振った時、2x2の行列のある部分集合Fは次の性質を持つ。

　・Fの任意の元 a,b について、a-bはFに属する。
　　そして、Fの任意の元 aは、a-a=0 となる。

　・また、Fの任意の元a,bについてa*bはFに属する。
　　そして、Fのある元eは次のような性質を持つ
　　　・任意のFの元aについて　a*e = e*a であり、これはFに属する。
　　　・e*e=e
　　　・-e * -e =e という等式が成り立つ。
　・さらに、Fのある元iについて次の等式が成り立つ、i * i = -e

元、e,iを求めよ。

171 ：１３２人目の素数さん：2007/07/09(月) 23:13:20

>>164-166の書き込みが、>>71はなんか「自分の人気が出た!」と誤解していると思われw

172 ：１３２人目の素数さん：2007/07/09(月) 23:32:33

>>170
ワロた・・

173 ：１３２人目の素数さん：2007/07/09(月) 23:53:18

>>131
ちょっと前に知り合いの塾講師から(3)単品の質問きたけど、流行ってるのか？
>>158
二回かけて桁があがるか三回かけて桁があがるかのどちらかで
常用対数とか使えば3^67の桁数がわかるから
あとは鶴亀算的な。

174 ：１３２人目の素数さん：2007/07/10(火) 00:40:39

流行りも何もStirling数そのものだろ・・・

175 ：１３２人目の素数さん：2007/07/10(火) 01:16:13

失せろ、蛆虫！

('A` )　ﾌﾟｳ
ノヽノ) =3'A`)ﾉﾋｬｰ>>156
　くく　へﾍﾉ

176 ：１３２人目の素数さん：2007/07/10(火) 03:46:54

>>175
ん？　

('A` )　ﾌﾟｳ
ノヽノ) =3'A`)ﾉﾋｬｰ>>166
くく　へﾍﾉ

177 ：１３２人目の素数さん：2007/07/10(火) 06:07:07

最近、屁の好きなやつが多いな。宇宙飛行士が向いてるぜ！

178 ：１３２人目の素数さん：2007/07/10(火) 12:43:32

http://www.yomiuri.co.jp/kyoiku/news/20061101ur05.htm

＞そんな中、ＡＯ、推薦が「必ずしも優秀な学生の選抜につながっていない」とする分析結果がまとまり、
＞大学入試のあり方に新たな波紋を呼びそうだ。

＞また、倉元助教授が東北大歯学部の学生を９年間調べた追跡調査では、調査書より入試成績の方が、
＞入学後の成績との相関が高い傾向にあった。

やっぱり推薦入試は糞なんだね

179 ：１３２人目の素数さん：2007/07/10(火) 13:36:50

板違い

180 ：１３２人目の素数さん：2007/07/10(火) 14:47:44

f(x,n)=sin(x)+sin(2x)+・・・+sin(nx)
とする。
sin(π/180)の値を p とするとき、
f(π/90,360）
を p を用いて表わせ。

なお必要ならドラえもんの体重が129.3kgであることを用いても良い。

181 ：１３２人目の素数さん：2007/07/10(火) 15:08:12

f(x,n)={sin(n+1)x-sin(nx)-sinx}/(2cosx-2)に代入するだけ。

182 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/07/10(火) 20:31:01

数列{a[n]}は任意の自然数nに対して
　a[1] + a[2] + … + a[n] = 1/a[n]
を満たす。
(1)不等式
　1/√(2n-1)≦a[n]≦1/√n
を示せ。
(2)lim[n→∞]a[n]√nを求めよ。

183 ：１３２人目の素数さん：2007/07/10(火) 20:51:24

>>182
何か間違ってない？

184 ：１３２人目の素数さん：2007/07/10(火) 21:27:05

だな。

185 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/07/10(火) 22:43:25

いえ、間違いはありませんが

186 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/07/10(火) 22:45:03

と思ったら一つ条件足りずでした、申し訳ない。
a[n]は全て正です

187 ：１３２人目の素数さん：2007/07/11(水) 05:03:39

>>182
(2)高校生に解けるのか？俺が気づかないだけかな
b[n]=a[n]√nとおく
g_n(x)=(√(n+1))(√(4x^2+n)-√n)/(2x) (x>0)とおけば、
b[n+1]=g_n(b[n])とかける

g_n'(x)=√ng_n(x)/(x√(4x^2+n))=2√(n^2+n)/((√(4x^2+n))(√(4x^2+n)+√n))
より、g_n(x)は単調増加で上に凸である

g_nの不動点はc_n=√(n+1-√(n^2+n))であり、
n+1-√(n^2+n)=1/(1+√(1-1/(n+1)))だから、
c_nは単調減少でc_n→1/√2 (n→∞)
さらに、c_n-c_{n+1}=(c_n^2-c_{n+1}^2)/(c_n+c_{n+1})
=(1/√2)(c_n^2-c_{n+1}^2)
=(1/√2)(n(√(1+1/n))(√(1+2/n)-1)-1)
<(1/√2)(n(1+1/(2n))(1+1/n-1/(2n^2)+1/(2n^3)-1)-1)
=(1/(2√2))(1/n^2+1/(2n^3))<1/n^2

また、g_n'(c_n)=√n/√(4c_n^2+n)<√n/√(n+2)

帰納法により0<b[n]-c_n<8/√nを示す
n=1のときはOk。nのとき正しいとする
x>c_nで、c_n=g(c_n)<g_n(x)であるから、0<b[n+1]-c_{n+1}はOk
b[n+1]-c_n=g_n(b[n])-g_n(c_n)<g_n'(c_n)(b[n]-c_n)<8/√(n+2)
∴b[n+1]-c_{n+1}=b[n+1]-c_n+c_n-c_{n+1}<8/√(n+2)+1/n^2
ここで、1/√(n+1)-1/√(n+2)=1/(√(n+1)√(n+2)(√(n+1)+√(n+2)))
≧1/(√(2n)√(3n)(√(2n)+√(3n)))>1/(8n^(3/2))≧1/(8n^2)
だから、b[n+1]-c_{n+1}<8/√(n+1)も出た
よってb[n]=(b[n]-c_n)+c_n→1/√2 (n→∞)

188 ：１３２人目の素数さん：2007/07/11(水) 05:11:02

さらに、c_n-c_{n+1}=(c_n^2-c_{n+1}^2)/(c_n+c_{n+1})
＜(1/√2)(c_n^2-c_{n+1}^2)
だな
長いから他にもミスってるかも
っていうか誰か模範解答plz

189 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/07/11(水) 08:04:52

>>187
いきなり(2)から解くからですよ。(1)から解けば高校生でも解けます

190 ：１３２人目の素数さん：2007/07/11(水) 09:10:56

こう？
>>182 (2)

与条件から
a[k+1] - (1/a[k+1]) = 1/a[k]
両辺自乗して適当に移項
(1/a[k+1]^2) - (1/a[k]^2) = 2 - a[k+1]^2
k=1～n-1 まで和を取って、a[1]=1 を使う
1/a[n]^2 = 2n - (a[1]^2 + a[2]^2 + … + a[n]^2)
1/a[n]^2 ＜ 2n は明らか、また (1) の結果から a[k]^2 ≦ 1/k なので
2n - ((1/1) + (1/2) + … + (1/n)) ≦ 1/a[n]^2 ＜ 2n
(1/1) + (1/2) + … + (1/n) ≦ log(n) + 1
から、結局
1/√(2n) ＜ a[n] ≦ 1/√(2n - log(n) - 1)
∴ lim[n→∞] a[n]√n = 1/√2

191 ：187：2007/07/11(水) 14:52:01

恥ずかしいｗ
今回は完敗ですww

192 ：１３２人目の素数さん：2007/07/12(木) 06:55:12

あれから頑張って
1/(n-(1/4)log(n)-1/2)≦2(a[n])^2≦(n+(1/4)log(n)+1)/n^2
と評価できました、しんどい

193 ：71：2007/07/12(木) 15:26:46

194 ：１３２人目の素数さん：2007/07/12(木) 19:35:49

ぜんぜん条件が足らん、ボケカス。てゆうか自分で解いてから出してんのか？

195 ：１３２人目の素数さん：2007/07/12(木) 19:47:32

基地外にかまうなよ

196 ：１３２人目の素数さん：2007/07/12(木) 22:18:22

>>193
(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰﾍﾟｯ!!

197 ：１３２人目の素数さん：2007/07/12(木) 22:47:43

数Ⅰの範囲だけ使ったガチで難しい問題があったら欲しい。

198 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/07/12(木) 22:49:36

kを整数とする。自然数nについて、R[n,k]を以下のように定める。
R[1,1] = 1
R[n,k] = R[n-1,k-1] + kR[n,k]
R[n,k] = 0 (k＜1,n＜k)
rを自然数、C[r,k]を二項係数として、
Σ[k=1,n]C[r,k]R[n,k]k! = r^n
が成り立つことを示せ。ただし、k＞rのときはC[r,k]=0とせよ。

199 ：１３２人目の素数さん：2007/07/12(木) 22:59:37

つまらん

200 ：１３２人目の素数さん：2007/07/12(木) 22:59:52

R[n,k] = R[n-1,k-1] + kR[n-1,k]
じゃないの？

201 ：１３２人目の素数さん：2007/07/12(木) 23:06:04

k＜1？

202 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/07/12(木) 23:24:19

>>200
あっ、申し訳ないです。その通りです。
R[n,k] = R[n-1,k-1] + kR[n,k]

>>201
そこは間違ってませんよ。

203 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/07/12(木) 23:25:39

R[n,k] = R[n-1,k-1] + kR[n-1,k]
に訂正で

204 ：１３２人目の素数さん：2007/07/12(木) 23:30:31

>>201
すまない。東大数理科学研究科の試験日って
8/27, 28, 30, 31 の4日間もあるのか？

ttp://www.ms.u-tokyo.ac.jp/kyoumu/documents/ME-info07.pdf

205 ：１３２人目の素数さん：2007/07/12(木) 23:39:51

>>202
すまない。見間違えた

206 ：１３２人目の素数さん：2007/07/13(金) 00:38:26

>>198
R[n,k]は以下の条件を満たす数字の並べ方の個数であることをまず示す
・1～kの数字を全て用いてn個並べる。このとき各数字について先頭にあるものをピックアップすると
うまいこと小さい順に並んでいる。
これはn-1個並べた段階でまだk-1までしか出てなければ最後はkを置くしかなく
既にkまで出ていれば最後は1～kのk種類のどれでもよい、という性質から漸化式が導かれ
初期条件などの細かい部分もだいじょうぶ
従ってR[n,k]×k!は「k種類のものを全て用いてn個並べる並べ方の数」となる
C[r,k]はr種類の中からk種類選ぶ方法なので
Σ[k=1,n] C[r,k]R[n,k]k!は「r種類のものから適当に選んでn個並べる並べ方の数」になる。
これは場合の数の頻出問題でr^nとなることは自明

ちなみに>>131の(3)も同様に場合の数と対応させて(ドモルガンの法則を使うと)示せる。

207 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/07/13(金) 07:22:25

>>206
御名答

任意の実数xについて、適当な整数n,mおよび適当な実数aを選んで、
　4m≦a+x≦4m+bかつ10n≦3a+x≦10n+b
を満たすようにできるときの、定数bの取りうる値の範囲を求めよ。

208 ：１３２人目の素数さん：2007/07/13(金) 09:13:00

[1/2

209 ：１３２人目の素数さん：2007/07/13(金) 20:54:02

210 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/07/14(土) 03:30:17

C[n,r]は二項係数である。
(1) n≧2とする。『nが素数ならば、1≦r≦n-1を満たす任意のC[n,r]はnで割り切れる。』は真であるといえるか。
(2) nを3以上の奇数とする。『1≦r≦(n-1)/2を満たす任意のC[n-r,r]がn-rで割り切れることとnが素数であることは互いに必要かつ十分』は真であるといえるか。

211 ：１３２人目の素数さん：2007/07/14(土) 03:36:35

真
偽

212 ：１３２人目の素数さん：2007/07/14(土) 03:38:08

前も思ったけど、「互いに必要かつ十分」って言い回しは違和感がある。
高校数学じゃ「同値」って言葉はやらないんだっけ？
しょうもないこと突っ込んでごめん。

213 ：MATSUDA◇Seiko：2007/07/14(土) 03:43:39

数列{a[n]}は2以上の自然数nに対して
　a[1] + … + a[n-1] + (1/2)a[n] = 1/a[n],
a[1] = √2.
を満たす。
(1)不等式
　1/√(2n-1) ≦ a[n] ≦ 1/√(2n-2),
を示せ。
(2)　a[n] を求めよ。

214 ：１３２人目の素数さん：2007/07/14(土) 03:50:18

>211
俺、(2)の反例がまだ見つからんのだけど、見つけたの？

215 ：１３２人目の素数さん：2007/07/14(土) 04:10:26

>>213
おー、182をちょっと変えたのか、おもしろい
あれがなかったら解けなかったかも

216 ：１３２人目の素数さん：2007/07/14(土) 04:13:20

>>210
(1)有名問題。もちろん真
(2)たぶん真？n=53まで調べたけど反例見つからない…

217 ：１３２人目の素数さん：2007/07/14(土) 05:12:27

（２）も真だね

218 ：１３２人目の素数さん：2007/07/14(土) 12:16:10

n が素数のとき、n-r と r は互いに素。
C[n-r,r]=(n-r) C[n-r-1,r-1]/r なので、C[n-r-1,r-1]/r は整数となり、
(n-r) | C[n-r,r].

n が素数でないとき、p を n の最小の素因数とする。
n は奇数なので、p<n/2.
C[n-p,p] は n-p で割り切れない。

219 ：Zzz…：2007/07/14(土) 13:45:30

nとrが互いに素ならC[n,r]はnで割り切れる。
なぜなら
C[n,r] ＝ n!/r!(n-r)!
とするとnのある素因数pを取ってきて
[n/p] = [n/p]+[n-r/p]
とできないため(n!にpの倍数は[n/p]個含まれるはず)。

ところで、nが素数ならばn-rとrは互いに素であるはず。
したがってn-rでC[n-r, r]を割り切れる。

やったぜ一番！！

220 ：Zzz…：2007/07/14(土) 13:48:32

我DE無…念

221 ：Zzz…：2007/07/14(土) 13:58:25

訂正です。
[n/p] = [r/p]+[n-r/p]

nにpは[n/p]個
rにpは[r/p]個
n-rにpは[n-r/p]個
含まれる。
nの素因数pすべてについて
[n/p] > [r/p]+[n-r/p]
でないといけない。
ということです。

222 ：Zzz…：2007/07/14(土) 14:04:11

補足です（涙）

n!=1, 2, … , n
なのでこの列にnの因数pは[n/p]個現れるという意味です。

意味不明ですみません

（寝たきり浪人なので大目に見てやってください）。

223 ：Zzz…：2007/07/14(土) 15:54:30

ちなみにnが素数のときはr!の因数とならないのでもっと機械的に割り切れることがいえますね。
こんなとこで油を売らす勉強します。デワ

224 ：Zzz…：2007/07/14(土) 15:58:34

上はC[n,r]が素数nで割り切れる件の話です。

あぁぁ、こんな具合なので俺はだめな奴だ…
誰も俺の言うこと理解してくれん。

225 ：Zzz…：2007/07/14(土) 16:05:54

はうす間抜けん、なアタシですが

1/a + 1/b + 1/c = 3/7
を満たす整数解(a, b, c)の組について

(1) このような解の組は有限か？
(2) 上が正しいなら総数はいくつ？

私は、
(1)については不正確ながら証明しました（まだまとめてません）。
(2)はまだできていません。

226 ：１３２人目の素数さん：2007/07/14(土) 16:35:28

a,b,c＞0の時は明らかに有限個。

次にa≧b＞0、c＜0の時を考える。
この場合は、b≧5と仮定して矛盾を導く。
明らかに1/a,1/b≦1/5、1/c＜0が成立する。
このため、3/7=1/a+1/b+1/c＜2/5となって矛盾。
したがって、b=1,2,3,4のどれか。
b=1の時を考える。
1/a + 1/c = -4/7
c=-7a/(7+4a)より、0＞c＞-7/4　となり、c=-1が成立する。

って考えたけど面倒そうだな。

227 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/07/15(日) 20:59:05

pは3以上の整数とする。xについての実数係数の二次方程式f(x)について、f(0),f(1),f(2),…,f(q-1),f(q)は全てp^m(mは自然数)の形で表すことができる。このとき、整数qの最大値を求めよ。

228 ：１３２人目の素数さん：2007/07/15(日) 21:59:12

二次方程式？

229 ：１３２人目の素数さん：2007/07/15(日) 22:00:33

>>227
qに応じてある2次式が存在して、ってことですか？

230 ：１３２人目の素数さん：2007/07/15(日) 23:00:00

ｐ＝３。
ｆ（ｘ）＝３＾ｎ（１＋２（ｘ－２）＾２）。

231 ：１３２人目の素数さん：2007/07/16(月) 00:12:14

>>70
a[n]=(7/3)-(4/3)(-1/2)^(n-1)
正確な論証を教えてください

232 ：１３２人目の素数さん：2007/07/16(月) 00:24:23

pも動かすのがデフォ？

g(x)を２次多項式として、g(0)=a, g(1)=b, g(2)=cとおけば、
g(x)=a+(b-a)x+((a+c-2b)/2)x(x-1)である。
a,b,cはすべてp^m(p≧3, mは自然数)の形で、a<b<cとする
g(3)=a-3b+3c<3c≦pc
一方、c≧pb≧3bであるから、g(3)=a-3b+3c≧a-c+3c=c+(a+c)>c
よってg(3)はpの正のべきではあり得ない
また、g(-1)=3a-3b+c≧3a>a=g(0)
左右の反転と平行移動を考えれば,f(x)についてqは高々4（個数で５個）
p≧4のとき、g(x)=((a+c-2b)/2)x^2-((3a+c-4b)/2)x+aと書きなおして軸を考える
a+c-2b≧a+pb-2b>0, 3a+c-4b≧3a+pb-4b≧3a+4b-4b=3a>0
であるから、軸は0と1の間にくる
仮に、g(-2),g(-1)もpの正のべきであれば左右を反転した議論から
軸の位置は-1と0の間にくるはずで矛盾、よってqは高々3
f(x)=(p(p-1)/2)(x-3/2)^2-p(p-9)/8
とすればq=3となってqの最大値は3
p=3のときは、>>230のfをとればqの最大値は4

233 ：１３２人目の素数さん：2007/07/16(月) 00:29:41

＞xについての実数係数の二次方程式f(x)について
予備校でこんなこと書いたらクビにならないのか？

234 ：１３２人目の素数さん：2007/07/16(月) 00:35:46

うっかりは問題無いでしょ
特にこのレベルを担当してるなら

235 ：１３２人目の素数さん：2007/07/16(月) 00:41:53

でも某大学の入試で用語のミスがあってその問題は全員が正解とされた。

236 ：１３２人目の素数さん：2007/07/16(月) 00:45:42

本番でミスは笑えるな

237 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/07/16(月) 03:22:05

pも動かしますよ。つまりはpで場合分け。
>>232
御名答
>>233
現場では少々言葉変でも出題検討会議の際に他の先生が手直ししてくれるので問題ないんですよ。

238 ：１３２人目の素数さん：2007/07/16(月) 03:40:46

ｐも動かすなら最大値は４

239 ：１３２人目の素数さん：2007/07/16(月) 03:50:42

>>238
俺もそのつもりで書いたんだけどね

240 ：１３２人目の素数さん：2007/07/16(月) 03:58:16

>>237
>>231

241 ：１３２人目の素数さん：2007/07/16(月) 21:44:37

>>240
>>69

242 ：１３２人目の素数さん：2007/07/16(月) 22:52:29

>>241
与えられた条件は
a[1]=1, a[2]=3
|a[n+2]-a[n]|=1/2^(n-1)
lim[n→∞](a[n+1]-a[n])=0
の3個。MASUDA先生のおっしゃるとおり，第3の条件 lim[n→∞](a[n+1]-a[n])=0
だけで，lim[n→∞]a[n]が収束するかどうかについては分からない。

最初の2条件から得られることはすべての自然数kに対して，
-(1/3)+(4/3)(1/4)^k≦a[2k+1]≦(7/3)-(4/3)(1/4)^k
(7/3)+(2/3)(1/4)^k≦a[2k]≦(11/3)-(2/3)(1/4)^k
が成り立つということだけ。この2個の不等式から
2(1/4)^k≦a[2k]-a[2k+1]≦4-2(1/4)^k
が得られるけど，そこから，lim[k→∞]a[2k]=7/3，lim[k→∞]a[2k+1]=7/3
になることは導けませんでした。

>>70の人のようにlim[n→∞]a[n]が収束するという前提条件を使えば，
問題文に与えられた第3の条件 lim[n→∞](a[n+1]-a[n])=0 から，
lim[k→∞]a[2k]=7/3，lim[k→∞](2k+1)=7/3 になる必要があるということは
理解できます。そこから，a[n]=(7/3)-(4/3)(-1/2)^(n-1) が導け，
これが題意を満たす解になりうることは理解できます。でもこれだけに
解が限定されるのかどうかの論証(lim[n→∞]a[n]が収束することの論証)
がまだ分からないんです。

243 ：１３２人目の素数さん：2007/07/16(月) 23:18:23

ヴァカだなあ・・・

244 ：１３２人目の素数さん：2007/07/16(月) 23:25:57

>>242
2つ目の条件から、数列{a[2n]}はコーシー列を成すことが分かり、よって収束する。
数列{a[2n-1]}の方も同様。
しかし、この方法は高校の範囲を逸脱する。コーシー列を使わない方法としては、

a[2n+2]-a[2n]=1/2^(2n-1) となるnが1つでも存在したら、7/3より大きいある
実数rが存在してa[2n]＞r (n＝1,2,3,…)が成り立ってしまい、このとき
a[2n-1]＜7/3＜r＜a[2n] となってa[2n]－a[2n-1]＞r－(7/3) となる。この式で
n→∞とすると0≧r－7/3 となって矛盾。よってa[2n+2]-a[2n]=－1/2^(2n-1)が
任意のnで成り立ち、a[2n]の一般項は～～～

とやればよい。rの具体的な値の計算は任せる。

245 ：１３２人目の素数さん：2007/07/16(月) 23:33:53

>>242
あと、君はもう高校の極限の話から卒業する段階に来てる。早いとこε－δ論法を
勉強した方がいい。受験には全く役に立たないがな(　＾ω＾)

246 ：１３２人目の素数さん：2007/07/16(月) 23:43:13

>>243
(゜o゜)

>>244
なるほど。

>>245
いちおう大学生です。受験生じゃありません・・。
εーδ論法ですか。

247 ：１３２人目の素数さん：2007/07/17(火) 01:00:00

｜ａ（２ｎ＋１）－ａ（０）｜≦｜ａ（２ｎ＋１）－ａ（２ｍ＋１）｜＋｜ａ（２ｍ＋１）－ａ（２ｍ）｜＋｜ａ（２ｍ）－ａ（０）｜。

248 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/07/17(火) 16:27:46

xについての方程式f(x),g(x)を
f(x) = x(x - 1)
g(x) = (x - a)(x - 2a)として、条件P,Qを以下のように定める(aは実数)。
条件P『任意の実数xについて、f(x)≧0またはg(x)≧0が成り立つ』
条件Q『任意の実数xについて、f(x)≧0またはkf(x)+g(x)≧0が成り立つ』条件Pを満たす全てのaについて条件Qが成り立つための実数kが満たすべき条件を求めよ。

249 ：１３２人目の素数さん：2007/07/18(水) 01:15:46

>>248
f(x)=x(x-1)，g(x)=(x-a)(x-2a) というのは
f(x)，g(x)が2次関数だという意味でおｋですか。
それとも，やっぱり問題文どおり，
f(x)=x(x-1)，g(x)=(x-a)(x-2a) という
xについての方程式を表しているのでしょうか・・。

250 ：１３２人目の素数さん：2007/07/18(水) 01:28:34

方程式って言っちゃうのが癖みたいね

251 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/07/18(水) 01:53:24

>>249
あいすまんことにて候。関数です

252 ：１３２人目の素数さん：2007/07/18(水) 03:49:03

これでよくクビにならないな。>>233でも書いたが。
万が一、受講生が受験本番で「方程式f(x)をf(x)＝x^2＋ax＋bとおく。」とか
解答したらどうすんだよ。好意的に解釈してくれるとは限らんぞ。>>249みたいに
2通りの解釈をされて、減点の対象になるかもしれない。

253 ：１３２人目の素数さん：2007/07/18(水) 03:58:47

>>234，>>250
f(x)そのものを「方程式」と書いてしまう奴は、質問スレとか他の数学掲示板とかで、何度も見かけたことが
ある。俺が今まで見てきた限りでは、そういう奴の書く文章は「おぼつかない」ことが多い。質問の内容が
文章になってなかったり、質問しようとしている問題文を省略して書いたり(全文写せばいいのに、中途半端に
写すから、問題で与えられている条件が欠けてしまう)。こういうのは数学じゃなくて国語の問題。
「うっかりミス」ではなくて、根はもっと深い。言葉というものに関して無頓着なんだな。
MASUDAも同じ。たとえば>>227は、他の人も指摘しているように、p，q，fの関係が不明瞭。pは動くのか？
fはqに応じて決まるのか？こういうところを明確に書こうとしない神経はオワッテル。大学行っていない
のだろうか？ε－δ論法を習っただけでも、こういうところには凄く気がまわるようになるはずなのだが。
あと、>>237では
＞現場では少々言葉変でも出題検討会議の際に他の先生が手直ししてくれるので問題ないんですよ。
とか言っちゃってるし。言葉というものに関して無頓着な証拠。

254 ：249(非受験生)：2007/07/18(水) 04:17:23

>>248
>MASUDA先生

いちおうxの2次関数 f(x)=x(x-1)，g(x)=(x-a)(x-2a) として問題を
考えてみますた。僕にはこの問題は難しかった。まず個別に
条件Ｐ，Ｑが成り立つ条件を考えると，

条件Ｐ：「a≦0」または「1≦a」
条件Ｑ：「1/3＜a＜1/2 かつ k≦h(α)」または「1＜a かつ k≦h(α)」
(ただし，h(x)={(x-a)(x-2a)}/{x(1-x)}，α=〔2a^2+a√{2(2a-1)(a-1)}〕/(3a-1) とする．)

となると思います。そこで，問題文に転じて，
『条件Pを満たす「全て」のaについて条件Qが成り立つための実数kが満たすべき条件』
を考えるのですが，「全て」とあることから，a≦0 のときも条件Qを満たさなければ
ならないのでしょうか。でも，a≦0 のときは条件Qが成立しないのです。
計算ミスというか考えミスかもしれないですが・・。

255 ：１３２人目の素数さん：2007/07/18(水) 04:33:46

>>253
君、数学科じゃないでしょ？

256 ：１３２人目の素数さん：2007/07/18(水) 04:50:12

>>255のいる数学科では関数のことを方程式というのか

257 ：１３２人目の素数さん：2007/07/18(水) 04:52:51

俺のいた数学科ではすべて「多項式」と言っていたぞ。

258 ：１３２人目の素数さん：2007/07/18(水) 05:03:41

>>256
いや、ノリが違うというかさ
俺は東大数学科

259 ：１３２人目の素数さん：2007/07/18(水) 05:20:12

どんなノリなの？

260 ：１３２人目の素数さん：2007/07/18(水) 05:21:40

どうでもいいことは笑って済ます

個人の能力に言及するとかあり得なくない？

261 ：１３２人目の素数さん：2007/07/18(水) 05:22:53

もちろん＋の評価をするのはアリね

262 ：１３２人目の素数さん：2007/07/18(水) 05:26:35

何処だかの数学科と海苔が違うと数学科でないと言い切ってしまう数学科か

263 ：１３２人目の素数さん：2007/07/18(水) 05:31:02

言いきってないじゃん、質問だしさｗ
どこでも皆（表向きは）＋思考がつよいとおもうけどね
じゃないとやってられないというか

264 ：１３２人目の素数さん：2007/07/18(水) 05:34:38

マイナスの評価が無しである理由が分からない。

265 ：１３２人目の素数さん：2007/07/18(水) 05:37:03

そんな事言っても誰も楽しくないからでしょ？
でもよく考えたら教官の悪口は言ってるかもしれん

266 ：１３２人目の素数さん：2007/07/18(水) 05:40:50

＞言いきってないじゃん、質問だしさｗ
質問とか言いつつ、心の中では「断定」してるんだろ？語尾に「ｗ」をつけてる
あたりから察しても、そう伺える。大体、
「○○じゃないだろ？」
ってのは、質問の皮を被っているだけで、実際は断定しているのと同じだ。

267 ：１３２人目の素数さん：2007/07/18(水) 05:43:48

>>266
そうかもね

野暮はよせ、とストレートに言うべきだった
なんかスレ汚しになったな

268 ：１３２人目の素数さん：2007/07/18(水) 05:47:07

何故名無

269 ：１３２人目の素数さん：2007/07/18(水) 05:51:38

>>254
k=0
P=Q

270 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/07/18(水) 08:45:02

下手に反論したり答えたりすると荒れるので、基本スルーで通すつもりですが、一つだけ。>>253内容ですが、ε-δ論法は私は一切やっておりません。大学にはいきましたが、私の学部では数学は教養で微積しかやらないので。

271 ：１３２人目の素数さん：2007/07/18(水) 08:54:30

ふへ？
ε-δ論法って微積じゃないのか？

272 ：１３２人目の素数さん：2007/07/18(水) 08:58:05

一番最初に実数論でやるはず。

273 ：１３２人目の素数さん：2007/07/18(水) 09:00:22

専門外でここまで勉強してくれてることが嬉しいじゃないか

274 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/07/18(水) 09:05:33

数学に無縁な学部の微積ではそれすら習わないのが現実です。簡単な偏微分と二重積分だけです。それ以上のことは教えてもらえず。教科書はあれです、「理工系の基礎微分積分」(石原繁・浅野重初)。普通に高校生が読んでもあっさり理解できそうなくらいのレベルです。
今から考えれば理学部にしておけばよかったとも思いましたが、まあ将来のこと考えますとね…

275 ：１３２人目の素数さん：2007/07/18(水) 09:42:54

>>274
MASUDAさんは京大の何学部出身なの？

276 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/07/18(水) 11:22:03

>>275
それはご想像にお任せします。

277 ：249(非受験生)：2007/07/18(水) 16:00:30

>>269
なるほど・・。完全にボケてたわ・・。
それ以外にも条件が出てきそうですね。
ちゃんと解いてみるかな・・。

278 ：249(非受験生)：2007/07/19(木) 00:25:19

>>248
以下では
h(x)={(x-a)(x-2a)}/{x(1-x)} (0＜x＜1)
α=〔-2a^2-a√{2(a-1)(2a-1)}〕/(1-3a)
β=〔2a^2-a√{2(a-1)(2a-1)}〕/(3a-1)
として，

a＜0 のとき，k≦h(α)
a=0 のとき，k≦0
a=1 のとき，k≦1
1＜a のとき，k≦h(β)

になりました。でも「実数kが満たすべき条件」って，
aによらないんですよね？だからこの解答も間違えているわけだけど・・。
問題文が，
『条件P，Qが共に成り立つための実数の定数a，kに関する必要十分条件を求めよ．』
or
『(1) 条件Pが成り立つとき，実数aの取りうる値の範囲を求めよ．
(2) aが(1)で求めた範囲にあるとき，条件Qが成り立つような実数kの
取りうる値の範囲をaを用いて表わせ．』
になってたほうがまだとっつきやすい感じかも。文字係数が2個以上
になる問題の場合，解答の方法が複数生じたりするため，大抵の場合は
「座標平面上に図示せよ」とか，答が1通りに明瞭に定まるような出題形式を
とってますよね，特に入試とかでは。でも小テストとかはこういう感じの問題文
が多いわけですが・・。

279 ：１３２人目の素数さん：2007/07/19(木) 16:48:02

280 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/07/19(木) 19:25:36

>>279
どーゆー過程かは分かりませんが答えは合ってます。
>>278
一応誘導問題はあったのですが、ここではとっぱらって出しときました。

281 ：１３２人目の素数さん：2007/07/19(木) 20:02:28

(a<=0,1<=a)&0<x<1=>h(x,a)>=0

h(x,a)=2(a-(3/4)x)^2+A

0<x<1=>h(x,0)>=0&h(x,1)>=0

0<x<1=>k<=(k+1)x<=2

x->0=>k<=0
0<x<1,k<=(k+1)0<=2,k<=(k+1)1<=2=>k<=(k+1)x<=2

282 ：249(非受験生)：2007/07/19(木) 20:10:56

>>280
aをa≦0，1≦aの範囲で動かして
kに関する4つの条件を全部満たすkの範囲を求めると
k≦0になるのでこれがkが満たすべき条件でおｋですか？

で，このk≦0という条件は「必要条件」？
それとも「必要十分条件」？

283 ：249(非受験生)：2007/07/19(木) 20:24:23

つまり，問題文を堅苦しく言い換えると，

命題A，Bを
A：条件Pが成り立つ．
B：条件Qが成り立つ．
とする．A⇒B が真となるための実数kに関する必要十分条件を求めよ．

という解釈でおｋでしょうか。

284 ：284：2007/07/19(木) 20:58:00

2=8/4

285 ：１３２人目の素数さん：2007/07/20(金) 16:49:36

ここは受験コンプor大学数学落ちこぼれの巣窟と理解しておｋですね？

286 ：１３２人目の素数さん：2007/07/20(金) 17:02:23

はいはいｗｗｗｗそうだよｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ

287 ：１３２人目の素数さん：2007/07/20(金) 17:29:35

>>286
こういう態度取れば勝ちとでも思ってる奴の典型キタコレ

288 ：１３２人目の素数さん：2007/07/20(金) 17:29:51

ていうか浪人生多そうだね。
東大京大志望だけどなかなか合格出来ない。
自称京大だけど学部答えられない人とか。

289 ：１３２人目の素数さん：2007/07/20(金) 17:37:02

>>288
で、気はすんだ？用もないなら来るなよ

290 ：１３２人目の素数さん：2007/07/20(金) 17:50:47

13 8 2 7 0 13 13 13 4 11 20 7 0 10 8 11 0 8

291 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/07/20(金) 17:55:12

>>288
学部言うと後が面倒なので言わなかったんですけどね。医学部ですが何か？
>>283
全部書くの大変なので略解だけ。
まず条件Pが成り立つための実数aの条件を求めます。a≦0または1≦aとなるはずです。
次にまずa=0のとき、条件Qが成り立つためのkの条件を求めるとk≦0です。これは必要条件。あとは逆を示せば(ry

292 ：１３２人目の素数さん：2007/07/20(金) 18:06:27

>>288
そうか？見てたら大学生がかなりいるように見えるが。

293 ：１３２人目の素数さん：2007/07/20(金) 18:18:24

>>291
医学部志望なんだ、合格出来るといいね
学部なんて言っても誰も面倒なこと無いよ、京大医学部なんて腐る程居るんだから

294 ：１３２人目の素数さん：2007/07/20(金) 18:38:08

>285>287>288>283みたいなＤＱＮて周期的に現れるよな。こういう奴こそが東大京大落ちのコンプのように俺には見えるんだが

295 ：294：2007/07/20(金) 18:40:32

おっとすまん、>283じゃなくて>293な

296 ：249(非受験生)：2007/07/20(金) 19:01:19

>ますだセンセ
よくわかりました。トンです。この問題は僕の感覚だと数三に属する感じですが高一生のカテキョ問題としても使えそうですね。一個の問題でかなりの知識を要する総合問題。

297 ：１３２人目の素数さん：2007/07/20(金) 19:50:41

>>293
嫉妬で顔真っ赤ｗ

298 ：１３２人目の素数さん：2007/07/20(金) 20:00:16

>>288
高校生でこんだけ解けてたらどこでも受かるよ

299 ：１３２人目の素数さん：2007/07/20(金) 20:40:54

縦＋横＝12で横＋高さ＝７の直方体がある。縦の長さをxとするとき、次の問に答えよ。

(1)横をｙ、高さをｚとするとき、この２つをｘを用いて表せ。

(2)表面積が１５０のときx,y,zを求めよ。

（３）A1とA2に分けたところy1:y2が5:3であり、A1の表面積ｰA2の表面積=22であった。
このときの縦、横、高さを求めよ

300 ：１３２人目の素数さん：2007/07/20(金) 20:44:28

小学生かよ

301 ：249(非受験生)：2007/07/20(金) 20:48:49

>>278でカキコしたことは数3を使えばだいたいの人が示せると思うんです。
つまり，a=0 のとき，k≦0 であることは容易に示せる。
でもこれから，「a≦0 または 1≦a ⇒ k≦0」を示す発想は思いつきにくいし，
実際，思いついたとしても容易には示せない。やはりこの問題はかなりの難問
に属すると思いました。

302 ：１３２人目の素数さん：2007/07/20(金) 21:29:20

お前の演習不足に過ぎん。

303 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/07/20(金) 22:05:14

素数pおよび整数x,y,zが
9p^3 = 8(x+y+z)^3 - (x+y)^3 - (y+z)^3 - (z+x)^3
を満たす。
(1) pの値を求めよ。
(2) (x,y,z)の組の個数を求めよ。

304 ：１３２人目の素数さん：2007/07/20(金) 22:20:30

つまらん

305 ：１３２人目の素数さん：2007/07/20(金) 22:48:11

>304
ならお前がだせ

306 ：１３２人目の素数さん：2007/07/20(金) 22:57:39

東京大　理三　　<前>　前 78

京都大　医　医　<前>　前 76
大阪大　医　医　<前>　前 76

九州大　医　医　<前>　前 74

東京医科歯科大　医　医　<前>　前 73

東北大　医　医　<前>　前 72
名古屋大　医　医　<前>　前 72

千葉大　医　医　<前>　前 71

北海道大　医　医学系　<前>　前 70
京都府立医科大　医　医　<前>　前 70

神戸大　医　医　<前>　前 68
名古屋市立大　医　医　<前>　前 68

東京大　理一　　<前>　前 67

307 ：１３２人目の素数さん：2007/07/21(土) 02:14:38

　　　　　　　　　__,.-‐ｖ‐､/＾ﾝ^ヽ
　　　　　,. -一'´　,fl〃リｋ'ﾆヽ、
　　　／　　 ,-､ '}jﾘ'＾´　ﾚ',ハﾍ　　　＜何よ！あんまりみるんじゃないわよ！
　　　' 　　 ,｣ﾊｌ|ﾚ'　　　 /,:仁ﾃ,ﾊ、
　　　　　　 j厂ﾘ'-､､　ｯ一'￣´　l
　　　　　　　∠_－､>∠、　　　 |
　　　　　 ∠_ｰ､ﾝ´￣｀ｌｌ　　　　　ｌ
　　ｒ‐イ－､ﾝ'´　　　ﾘ　　　　丿
　　　Ｖ/　 / ぃ
　　　＼/__ム〉

　　　,.、,､,..,､､.,､,､､..,_　　　　　　／i
　　;'｀;、､:、. .:、:,　:,.: ::｀ﾞ:.:ﾞ:｀''':,'.´ -‐i 　＜別にあんたの為に調理されたんじゃないんだからね！
　　'､;: ...: ,:. :.､.:',.: .:: _;.;;..; :..‐'ﾞ￣￣　　　は、早く食べなさいよ！

308 ：１３２人目の素数さん：2007/07/21(土) 02:17:57

多元の方ですか？

309 ：１３２人目の素数さん：2007/07/21(土) 10:25:10

>303
　x+y+z=S とおくと
　(右辺) = 8S^3 -(S-z)^3 -(S-x)^3 -(S-y)^3 = 3(S+x)(S+y)(S+z),

310 ：１３２人目の素数さん：2007/07/21(土) 12:18:54

MASUDAさんて京大理学部後期に現役合格なさったんですよね？
それなのに医学部のご出身ということは理学部に入学せずに一浪したということでしょうか？
それとも理学部に入学したが、医学部保健学科に転部したということでしょうか？
私は京大理学部の者ですが、たしか京大医学部医学科へはいかなる場合でも転部できなかったように思いますが…。

311 ：１３２人目の素数さん：2007/07/21(土) 12:24:20

1+2^nは15で割り切れないことを証明せよ

312 ：１３２人目の素数さん：2007/07/21(土) 12:34:56

>>311
n=4k+2(k=0,1,2,…)のときに示せれば良いが、このとき
1+2^n=1+2^(4k+2)=1+4*(16)^k≡1+4*(1)^k=5　(mod15)
で、たしかに15で割り切れない。

313 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/07/21(土) 12:52:15

>>310
そのまま転部してたんなら１年理学部通ったぶんの大学数学の知識は身についでましたよ。再受験ですが何か？

314 ：１３２人目の素数さん：2007/07/21(土) 13:04:31

>313
再受験なら再受験とちゃんと書きましょー
転部じゃないじゃん

315 ：１３２人目の素数さん：2007/07/21(土) 13:06:49

どうでもいいなホントに

316 ：１３２人目の素数さん：2007/07/21(土) 13:11:08

>>84
東大入試作問者になったつもりのスレに出題された問題が
第二回京都大学前期理系予想模擬試験としてMASUDAのHPに
うpされてるのはどういう了見なんだ？

317 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/07/21(土) 13:19:19

>>316
私が作った問題が私のサイトにあることに何か不都合でも？

318 ：１３２人目の素数さん：2007/07/21(土) 13:22:12

>>310,>>313-317
正直どーでもいい。ここで面白い問題ないか見に来てるのに無駄レスで消費せんでくれ

319 ：１３２人目の素数さん：2007/07/21(土) 13:41:22

>>318
禿同という言葉を久々に使ってみるテスト

320 ：１３２人目の素数さん：2007/07/22(日) 00:11:06

>>MASUDA氏
今まで出した問題って、全てオリジナル、だよね?
というのも、今までの過去スレにあったオリジナル問題を集めてみようかな、と思ったので。

321 ：１３２人目の素数さん：2007/07/22(日) 01:37:42

>>303
(1)右辺が偶数なのでp=2
(2)(x,y,z)は(-18,5,7),(-2,0,5),(-4,-2,7)のそれぞれの並べかえで18通り

322 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/07/22(日) 02:15:11

入試問題を改題しただけものや予備校同僚の先生の問題もいくつかありますゆえ、完全オリジナルとはいきませんが

323 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/07/22(日) 02:20:36

というより私ごときの問題まとめてどーするんですか？

>>321
御名答

324 ：１３２人目の素数さん：2007/07/22(日) 04:42:00

>>323
販売します。

325 ：１３２人目の素数さん：2007/07/22(日) 04:43:32

もう俺が販売してるから著作権法違反だ。

326 ：１３２人目の素数さん：2007/07/22(日) 08:29:30

>>325
お、紹介してくれ！即注文するから！

327 ：Zzz…：2007/07/22(日) 09:03:08

方程式 X^n - 1 = 0（ただし X≠1）が成り立つとき
　X^{n-1} + X^{n-2} + … + X + 1 = 0
も成り立つことを示せ。

夏休みは現実を直視するためお遍路さんになります。

328 ：328：2007/07/22(日) 09:16:12

3=log_{2}(8)

329 ：Zzz…：2007/07/22(日) 09:20:47

>>328
自明といいたいのですか？
正解です。

330 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/07/22(日) 09:45:02

>>324
残念ながらこちらがすでに販売準備に入ってますゆえ

331 ：１３２人目の素数さん：2007/07/22(日) 11:56:08

>>330
>>326

332 ：１３２人目の素数さん：2007/07/22(日) 12:04:58

>330
ちっ！

333 ：１３２人目の素数さん：2007/07/22(日) 12:23:16

>311

【補題】
　a>1, b>1, ab>4, nは自然数のとき,
　1 + (a^n) は (a^b) -1 で割り切れない。
(略証)
　n ≡ r (mod b)　⇒　1 + (a^n) ≡ 1 + (a^r)　　(mod (a^b)-1)
　0≦r<b　⇒　0 < 1 + (a^r) ≦ 1 + a^(b-1) < (a^b) -1.

334 ：Zzz…：2007/07/22(日) 15:28:50

>>311,333
2^kと15は互いに素であるため
2^k＝{1,2,4,8} mod.15（は乗法で巡回群）をなす。
したがって2^k≠-1 mod.15（-1は1,2,4,8に含まれない）。

335 ：１３２人目の素数さん：2007/07/22(日) 17:12:44

平面x+y+z=k　（x,y,z,kは正数）を満たす正三角形に対して

（０）　x>y>z ,y>z>x, z>x>y を満たす領域を図示せよ。
（１）　x,y,zが三角形の三辺となる領域を図示せよ。
（２）　x,y,zが直角三角形の三辺となる曲線を図示せよ。

336 ：Zzz…：2007/07/22(日) 18:02:23

>>335
正三角形の各辺に頂点を持つ直角三角形について、
最大の面積を求めよ…

とかだったら問題になるかも。

337 ：１３２人目の素数さん：2007/07/23(月) 06:20:37

あの… ^ ってなんですか？

338 ：１３２人目の素数さん：2007/07/23(月) 06:40:34

３＾２　３の２乗

339 ：１３２人目の素数さん：2007/07/23(月) 11:42:32

>>335
追加
（３）　x,y,zが三角形の三辺となるときxy+yz+zx　のとりうる値の範囲を求めよ。

おまけ
　周の長さが一定の三角形がランダムに変わるとき鈍角三角形になる確率を求めよ。

答えは　 9-12*log2 =0.6822.　.

340 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/07/23(月) 13:07:48

>>335,>>336,>>339
なかなか興味深いです。いろいろ新たな問題を作れそうな問題でありますな。

341 ：１３２人目の素数さん：2007/07/23(月) 13:38:21

>>340
パクルなよ

342 ：１３２人目の素数さん：2007/07/23(月) 14:17:09

>>340
前スレ
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1166904000/911

911 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2007/06/22(金) 08:16:07
問１
６点　P1=(a,b,c),P2=(b,c,a),P3=(c,b,,a)P4=(a,c,b),P5=(c,b,a),P6=(b,a,c)
は同一平面上にあることを示せ。

問２　上の６点が作る六角形の面積を求めよ。

343 ：１３２人目の素数さん：2007/07/23(月) 16:32:06

＞周の長さが一定の三角形がランダムに変わるとき鈍角三角形になる確率を求めよ。
事象が無限にあるときは、何を以って「ランダム」とするのか明確にして
おかないと、問題として成立しない。

344 ：１３２人目の素数さん：2007/07/23(月) 16:44:17

>>338さん
ありがとうございます。

345 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/07/23(月) 21:19:24

ソフトなやつで

1枚の硬貨をn回続けて投げる。k回目(k=1,2,…,n)に投げたとき、表が出れば2^(k-1)点、裏が出れば0点として、n回の合計を得点とするゲームをAとBの2人が行ったとき、Aの得点がBの得点の2倍より大きくなる確率を求めよ。

346 ：１３２人目の素数さん：2007/07/24(火) 02:32:41

>>345
あえてごちゃごちゃに解いてみる

「A、B共にn回目は裏」である表裏の出方の一つを事象Pとする。
Aの表裏の出方はPと一緒で、Bはn回目だけがPと異なる、のような表裏の出方を事象Qとする。
Aの表裏の出方はPと全て逆で、Bはn回目だけがPと一緒、のような表裏の出方を事象Rとする。
A、B共に表裏の出方がPと全て逆、のような表裏の出方を事象Sとする。
全ての事象はP,Q,R,Sのいずれか一つに分類され、P,Q,R,Sは同数。
Pが問題の条件を満たすとき、Q,R,Sは条件を満たさず
Pが問題の条件を満たさないときQ,Sは条件を満たさないが、Rが必ず条件を満たすのは簡単に確かめられる。
以上から全体の丁度1/4が条件を満たす。

347 ：１３２人目の素数さん：2007/07/24(火) 13:39:53

f(x)=ax^3+bx^2+cx+d (a、b、c、d は実定数 a≠0)) とする。
このとき |x|＞M ならば f(x)≠0 が成り立つ M の例を a、b、c、d を用いて表せ。

348 ：１３２人目の素数さん：2007/07/24(火) 14:55:52

【駿台の浪人本科は　＜糞＞】
★テキストの問題は古臭い有名問題ばかりで何年も改訂していない。なのに誤植が多い。
★校内テストやベネッセ共催模試が激しく糞。しかも強制。
★信じられないような糞講師が多数いる。こいつらは講習や外部向けイベントには一切出てこない。
★１コマ50分で１人の講師が割り当てられるから、授業の種類ばかりが無駄に増える。
すると優秀な先生の授業時間は少なくなり、圧倒的に糞講師の授業時間数が増える。
本科の授業は大量の糞講師の職業安定化のためにコマ細分化されているのかと疑いたくなる。
★講師同士がものすごく仲が悪い。他講師の作ったテキストをけなす先生が多すぎる。
★人気講師ほど本科で露骨に手を抜いて、講習や自分の特設単科に力を注ぐ。なめすぎ。
★不快になるほど他予備校・他塾の批判を聞かされる。ここは北朝鮮か。
★座席指定で同じ固定メンバーと隣席になる。席替えは全て平行移動式。ふざけるな。
★予想外に生徒の質が悪い。下の方のクラスは託児所か保育園状態。
自習室前で騒ぎわめくDQN・廊下や階段を占拠して飲食するZQNが後を絶たない。
★質問厨で講師室は洪水。多浪が当たり前のような態度で講師と談笑している。死ね。
★職員の営業行為が迷惑すぎる。講習２０個取らないと合格できないと脅迫することすらある。
連中はひたすら生徒と保護者を洗脳して金まきあげることしか考えていない。東進より酷い。
★担任が役立たずで無能。受験について無知で何のサポートも感じられない。
★インターネットで工作してる職員が多い。あらゆる掲示板に駿台の職員がいる。
★廊下や階段の掲示物類が幼稚でDQN臭い。淡色のカラーペンの丸字で連絡事項を書くな。
★とにかく授業料が高い。大金取った上にまだエンカレッジだスペシャルセミナーだで
金をむしりとろうと必死。andいらない副教材を買わせようとしてくる。
★合格実績を大幅に捏造している。１つの校舎から何処に何人受かったのか全くわからない。
職員に数字を聞くと「南京大虐殺３０万人」も吹っ飛ぶような嘘を返してくる。
★既に合格校と進学先を告げたのに上を狙えと＋１浪を薦めてくる。いいかげんにしろ。

駿台の浪人本科は糞。

349 ：１３２人目の素数さん：2007/07/24(火) 16:34:32

>>347
例でよいなら
ｃ＝0、ｄ＝0のときM＝-ｂ/a

350 ：１３２人目の素数さん：2007/07/24(火) 21:28:29

>>349
a,b,c,dがgivenの時の例をよろしく。

351 ：１３２人目の素数さん：2007/07/24(火) 21:56:59

>>350
夏休みの宿題か？

352 ：１３２人目の素数さん：2007/07/24(火) 22:58:59

>>349
題意も掴めないか．．．

353 ：349：2007/07/24(火) 23:48:50

いや問題がつまらんのでひねくれてみただけ

354 ：１３２人目の素数さん：2007/07/25(水) 00:36:30

つまらないのはおまいだろ。

355 ：１３２人目の素数さん：2007/07/25(水) 02:12:09

こういう問題の側のケアレスミスは確かに興醒めだ

356 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/07/26(木) 17:16:11

　連続する4つの自然数を並べ替えたものをa[1],a[2],a[3],a[4]とする。このとき、どのように並べ替えていても、以下のことが成り立つことを示せ。
『任意の整数は、適当な整数p,q,r,sを定めることによって
　5(pa[1]+qa[2])+7(ra[3]+sa[4])
という形に表すことができる。』

357 ：１３２人目の素数さん：2007/07/26(木) 17:36:57

不定方程式の解放知ってれば明らかだな
でも書くのは面倒
上手いやりかたがあるってことかな？

358 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/07/26(木) 18:08:56

>>356
そーゆーことです。うまいこといじれば頻出問題に帰着します

359 ：１３２人目の素数さん：2007/07/27(金) 17:46:51

sin10ﾟは有理数か

360 ：１３２人目の素数さん：2007/07/27(金) 19:09:38

>>359
京大のパクリ

361 ：１３２人目の素数さん：2007/07/27(金) 19:53:06

プランク定数は有理数か？

362 ：１３２人目の素数さん：2007/07/27(金) 20:08:03

>>361
それ、数学の問題？

363 ：１３２人目の素数さん：2007/07/27(金) 22:35:14

>342
>342

問1.　x+y+z = a+b+c.(一定)

問2.　u=(w-3z)/√6, v=(x-y)/√2,　w=(x+y+z)/√3 = 一定.
により軸を回転し、(u,v)平面で考えると、u軸に関して上下対称。
b ∈ [a,c] としても一般性を失わない。
　u ∈ [(a+b-2c)/√6, (c+a-2b)/√6] と u ∈ [(c+a-2b)/√6, (b+c-2a)/√6] で其々等脚台形となるから
　S = √(3/2) * {(c-a)^2 + 2(c-b)(b-a)}.

364 ：363：2007/07/27(金) 22:40:01

>363 訂正

問2.　u=(x+y-2z)/√6, …

365 ：１３２人目の素数さん：2007/07/28(土) 01:28:38

MASUDAは何浪

366 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/07/28(土) 02:28:58

仮浪を数えるなら１浪ですが何か？
ちなみに今は普通の社会人です

367 ：１３２人目の素数さん：2007/07/28(土) 02:44:45

>>366今は医者？それか予備校講師？

368 ：１３２人目の素数さん：2007/07/28(土) 02:52:36

MASUDAは>>306で
京都大　医　医　<前>　前 76
の位置づけでおそらくこの中のトップ
一浪分を差し引いてもトップ

369 ：１３２人目の素数さん：2007/07/28(土) 06:18:54

>>342
P1=(a,b,c),P2=(b,c,a),P3=(c,a,b)P4=(a,c,b),P5=(c,b,a),P6=(b,a,c)

P1P2P3 とP4P5P6は各々直線x=y=zの周りにこの順列で時計回り
に１２０度回転させたものだから出来る六角形の頂点は時計回りに
場合Ａ　142536　　(c>b>a or a>b>c　のとき)
場合Ｂ　152634 (b>c>a or a>c>b　のとき)
場合Ｃ 162435 (c>a>b or b>a>c　のとき)
の３通りがある。(Pは略）　
このときＡもＢＣの場合いずれも六角形は内角がすべて等しく１２０度で
辺の長さがm,n,m,n,m,nと交互に変化する六角形であることが計算すると出る。

Ｓ＝√(３/４) * （m＾２＋n＾２＋４mn）

場合Ａ　m= √2|b-c| ,n= √2|a-b|
場合B　m= √2|a-c| ,n= √2|b-c|
場合Ｃ　m= √2|a-b| ,n= √2|a-c|

370 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/07/28(土) 08:51:25

>>366
免許はとりましたが医者やってません。予備校講師は副業。本業はとある事業をやってます。

371 ：１３２人目の素数さん：2007/07/28(土) 09:39:04

>>370 特定しまつた

372 ：１３２人目の素数さん：2007/07/28(土) 11:05:30

>368
このスレは理３もいるぜ
俺だがな

373 ：１３２人目の素数さん：2007/07/28(土) 11:32:54

お前ら負けず嫌いだねｗ

374 ：１３２人目の素数さん：2007/07/28(土) 11:46:36

じゃあ俺は慶應医ってことにしとこう

375 ：１３２人目の素数さん：2007/07/28(土) 11:48:56

じゃあ私はレンタカー！

376 ：１３２人目の素数さん：2007/07/28(土) 11:54:32

じゃあ俺はOKADA

377 ：１３２人目の素数さん：2007/07/28(土) 13:28:23

そんな学歴自慢したけりゃ他でやれ

378 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/07/28(土) 19:07:00

xに関する多項式
　Σ[k=1,n](1+x)^k
のx^p,x^(p+1),x^(p+2)の係数a,b,cがこの順に等差数列をなす(abc≠0)。このとき、nはどのような形で表されるか。一般形で答えよ。

379 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/07/28(土) 19:09:18

>>378
少し説明不足でした。答えるべき一般形には問題文中の文字を使わずに答えてください。

380 ：１３２人目の素数さん：2007/07/28(土) 19:29:26

>>379
それで説明したつもりか？もっと肝心なところの説明はどうした？

任意のpについて「x^p,x^(p+1),x^(p+2)の係数がこの順に等差数列を成す」のか？
あるpについて「x^p,x^(p+1),x^(p+2)の係数がこの順に等差数列を成す」のか？

どうしてこの部分について詳しく書かないんだ？オマエが出す問題で、文字がたくさん
出てくるものは、いつだってそうだ。どの文字がどの文字に依存しているのか？どの
文字が「∃」扱いで、どの文字が「∀」扱いなのか？オマエの書き方では2通り以上の
解釈が可能になってしまい、問題として成立してないんだよ。いい加減にしろ。

381 ：１３２人目の素数さん：2007/07/28(土) 19:53:59

受験生が見てるなら気をつけてほしいかもねｗ
あるｐと解釈しないと無理だからそうすると
知識問題に近いかな
答えは平方数-3でしょ？

382 ：１３２人目の素数さん：2007/07/28(土) 20:15:54

n=7､p=1でなりたつ希ガス

383 ：１３２人目の素数さん：2007/07/28(土) 20:17:31

ん？なんかミスったかな？

384 ：１３２人目の素数さん：2007/07/28(土) 20:17:59

>>381がいうように、このままじゃ知識問題だから
(x+2)^kの和とかの方が東大っぽいのでは

385 ：１３２人目の素数さん：2007/07/28(土) 20:24:14

受験は全部知識問題

386 ：１３２人目の素数さん：2007/07/28(土) 20:25:06

多分 n=k^2-2

387 ：１３２人目の素数さん：2007/07/28(土) 20:28:17

>380
確かに言及ないのは微妙だが
任意だと題意がおかしくなることはすぐ分かるえ

388 ：１３２人目の素数さん：2007/07/28(土) 20:33:39

n=k^2-3だろ

389 ：１３２人目の素数さん：2007/07/28(土) 20:36:00

熱いからチェックしたくないｗ
一般解求めるのは楽しめるんだけどね

390 ：数学科逃亡者リスト：2007/07/28(土) 21:01:46

東京大　理三　　<前>　前 78　

京都大　医　医　<前>　前 76 　MASUDA（年度不祥・一浪進学）201?年自殺

慶應義塾大　医　医　 74　菊川怜（1996年・現役進学せず）長助（2004年・現役進学せず）Reuleaux（2005年・現役進学）こけこっこ（2006年・現役進学せず）

東京医科歯科大　医　医　<前>　前 73　長助（2004年・現役進学）こけこっこ（2006年・現役進学）

千葉大　医　医　<前>　前 71　南まひろ（200?年度・一浪進学）

東京大　理一　　<前>　前 67

391 ：１３２人目の素数さん：2007/07/28(土) 21:10:07

ｎ＝ｋ＾２－３であることを示せ

392 ：１３２人目の素数さん：2007/07/28(土) 21:12:26

>>391
n=k^2-3 p=k(k±1)/2-3で勘弁して

393 ：１３２人目の素数さん：2007/07/28(土) 21:51:53

厭、どぉあっても
n=k^2-2、p={k(k±1)-4}/2

394 ：１３２人目の素数さん：2007/07/28(土) 22:00:20

正確には
n=6, p=3
n=k^2-3 p=k(k±1)/2-3 (k=4,5,6,...)
かな

395 ：１３２人目の素数さん：2007/07/28(土) 22:08:31

多分おれが何か勘違いしているんだろうな、
6C5+6C3=2*(6C4)がなりたたないんだが。

396 ：１３２人目の素数さん：2007/07/28(土) 22:10:41

Σ[k=1,n]
和はとった？

397 ：１３２人目の素数さん：2007/07/28(土) 22:11:13

今気が付いたＷ。

398 ：Zzz…：2007/07/28(土) 22:19:18

>>356
話題とは違うけど簡単そうなので…

7と5は互いに素である。
ユークリッドの互除法より7x+5y=1となる(x, y)の組が存在する。
(nx, ny)とすることによって、任意の整数nを作ることができる。

a[1]～a[4]は4つの連続した整数で、
n+0,n+1,n+2,n+3とかけるが、この列の素因数について考える。

この列は長さが4であるため、2回現れる可能性がある素因数は、
2と3だけであり、6となるときは、1回現れるきりである。

したがって、この列から互いに素な二組を選び出すことができるため、
ユークリッドの互除法より任意のxとyを得ることができる。

あってるかな？

399 ：１３２人目の素数さん：2007/07/28(土) 22:30:15

組の選び方をどう選んでもってはなしじゃないかな

400 ：Zzz…：2007/07/28(土) 22:44:27

>>399
よく読むとそうですね。
考え直してみます。

401 ：１３２人目の素数さん：2007/07/28(土) 23:15:13

MASUDA って増田和悦さん？

402 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/07/28(土) 23:59:50

お一人がn=k^2-2だと主張されてますが、n=k^2-3が正解です
>>401
全くの別人です。そもそも私の名前「益田」は本名じゃありません。これはハンネです。mathから文字っただけですよ

403 ：名無しさん＠そうだ選挙に行こう：2007/07/29(日) 01:15:54

だれか解法おしえて

和を求めて、微分して係数を出すの？

404 ：名無しさん＠そうだ選挙に行こう：2007/07/29(日) 01:26:29

>>402
>>394

405 ：名無しさん＠そうだ選挙に行こう：2007/07/29(日) 02:58:18

>>356の模範解答はどうなるのか

406 ：名無しさん＠そうだ選挙に行こう：2007/07/29(日) 06:45:00

できたどー・・・

5a+7b=1->m=5(3+7k)m+(-2-5k)m
pa1+qa2=(3+7k)m->(a1,a2)=1->ok
(a1,a2)=2->set k so that 3+7k=even->pa1^+qa2^=(3+7k)m/2

あとははなくそ

407 ：名無しさん＠そうだ選挙に行こう：2007/07/29(日) 08:04:51

ヘロンの公式を、行列式を使って導け

408 ：名無しさん＠そうだ選挙に行こう：2007/07/29(日) 09:15:46

>>407
ヘロンじゃなくてブラーマグプタじゃない？

409 ：名無しさん＠そうだ選挙に行こう：2007/07/29(日) 17:16:58

そのほうがいいね。じゃあそっちで

ブラーマグプタの公式を、行列式を使って導け
ただし、導出に関して、三角関数を使ってはならない

410 ：名無しさん＠そうだ選挙に行こう：2007/07/29(日) 17:43:12

>>378
だれか教えてー；；

411 ：名無しさん＠そうだ選挙に行こう：2007/07/29(日) 17:51:19

>>409
高校じゃ習わないぞ

412 ：名無しさん＠そうだ選挙に行こう：2007/07/29(日) 18:14:04

習わない問題を解かせる作戦

413 ：名無しさん＠そうだ選挙に行こう：2007/07/29(日) 18:15:14

～を使うなってのが既に入試問題じゃないしな
オモシロけりゃそれでいいけど

414 ：名無しさん＠そうだ選挙に行こう：2007/07/29(日) 19:06:37

方程式x^2-5x+7=0を解け。ただし…
解の公式を用いてはならなーい♪

415 ：名無しさん＠そうだ選挙に行こう：2007/07/29(日) 19:10:15

>>414
それは入試問題にならないだろ・・・

416 ：名無しさん＠そうだ選挙に行こう：2007/07/29(日) 20:00:51

>414
なんか楽しそうだなw

417 ：１３２人目の素数さん：2007/07/29(日) 21:00:11

418 ：１３２人目の素数さん：2007/07/29(日) 21:22:16

行列を使わないと、命題の主張すらできないわけだが。

419 ：１３２人目の素数さん：2007/07/29(日) 21:39:56

ﾜﾛﾀ

420 ：１３２人目の素数さん：2007/07/29(日) 23:41:58 0

421 ：１３２人目の素数さん：2007/07/30(月) 00:00:23 O

422 ：１３２人目の素数さん：2007/07/30(月) 00:01:51 0

提唱者ネタ飽きたよ

423 ：１３２人目の素数さん：2007/07/30(月) 00:02:35 0

424 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/07/30(月) 01:03:14

関数f(x)は、連続な導関数f'(x)をもち、任意の実数xに対してf'(x)≧-1/2を満たす。また、aを定数とするとき、-a≦x≦aにおいてf(x)≧xを満たすものとする。
-a≦x≦aにおけるf(x)の最小値をmとするとき、
∫[-a,a]f(f(x))dx≧maを示せ。

425 ：１３２人目の素数さん：2007/07/30(月) 03:17:10

簡単のため S＝∫[－a,a]f(f(x))dx , T＝∫[－a,a]f(x)dx とおく。明らかにT≧2ma
である。また、示すべきはS≧maである。さて、f ' (x)≧－1/2より、

f(y)－f(x)≧x/2－y/2　(x≦y)

が成り立つ。各s∈[－a,a]に対して、t＝f(s)とおいてみると、仮定より
f(s)≧sであるから、t≧sとなっている。よって、このsとtを上の不等式に
代入すると、

f(t)－f(s)≧s/2－t/2

を得る。すなわち、

f(f(s))－f(s)≧s/2－f(s)/2　(s∈[－a,a])

を得る。変形して

f(f(s))≧s/2＋f(s)/2　(s∈[－a,a])

となる。この式の両辺を－aからaまでsで積分すると、

S≧0＋T/2

となる。これとT≧2maから、S≧maを得る。

426 ：１３２人目の素数さん：2007/07/30(月) 10:44:54

学コンだ～

427 ：１３２人目の素数さん：2007/07/30(月) 11:14:51

一辺の長さ1の正20面体の対角線全ての長さの平均を求めよ

428 ：１３２人目の素数さん：2007/07/30(月) 15:14:37

>423
一回ウケたと思ったら連呼するタイプか
合コンでミスるタイプだな

429 ：１３２人目の素数さん：2007/07/30(月) 18:24:46

>>427
シンプルでいいね
難易度的にもいいかな

430 ：１３２人目の素数さん：2007/07/30(月) 19:39:10

x^2+y^2+xz=a^2
y^2+z^2+yz=b^2
z^2+x^2+zx=c^2

のとき x+y+z , xy+yz+zx , xyz をa,b,c で表せ。

431 ：１３２人目の素数さん：2007/07/30(月) 23:22:20

>>356
a[1]＜a[2], a[3]＜a[4] としても一般性を失わない

以下の５個のどれかが成立する
(1) a[2]=a[1]+1, a[4]=a[3]+1
(2) a[2]=a[1]+1, a[4]=a[3]+3
(3) a[2]=a[1]+3, a[4]=a[3]+1
(4) a[2]=a[1]+2, a[3]=a[1]+1, a[4]=a[1]+3
(5) a[2]=a[1]+2, a[3]=a[1]-1, a[4]=a[1]+1

それぞれの場合、以下のように取れば任意の整数 n を作れる
(1) (p,q,r,s) = (-3n,3n,2n,-2n)
(2) (p,q,r,s) = (4n,-4n,-n,n)
(3) (p,q,r,s) = (-n,n,2n,-2n)
(4) (p,q,r,s) = (-5n,-2n,6n,-n)
(5) (p,q,r,s) = (-5n,-2n,n,4n)

432 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/07/31(火) 14:21:58

　数列{a[n]}を以下のように定める。
　a[1]=1 , a[2]=√2
　a[n+2]=|a[n+1]-a[n]|
なお、√2が無理数であることは証明せずに用いてよいものとする。
(1) 任意のnについてa[n+c]=ka[n]をみたすnによらない定数c,k(cは正の整数)が存在することを示せ。
(2) kの最小値をmとするとき
lim[n→∞] Σ[k=1,n]a[n] = 1/m
が成り立つことを示せ。

433 ：１３２人目の素数さん：2007/07/31(火) 14:27:03

平面上にどの3点も同一直線上にない2007個の点がある。
これらの点のうちどのような5点を選んでもそれらが凸5角形を作ることはない。
このとき、これら2007個の点から4点選んでできる凸4角形の総数を求めよ。

434 ：１３２人目の素数さん：2007/07/31(火) 16:51:21

>433
2007Ｃ5　を計算する。
どのような5点を選んでもそれらが凸5角形を作ることはないから
任意に選んだ5点は必ず凸4角形内部に一点が含まれる配置になってる。
このような配置の5点から4点選んで凸4角形が何個できるか数えれば良い。
あとは考えてね

435 ：434：2007/07/31(火) 16:52:31

すまん。これ質問スレでなかったのかｗ

436 ：１３２人目の素数さん：2007/07/31(火) 17:19:25

>>434
＞任意に選んだ5点は必ず凸4角形内部に一点が含まれる配置になってる。
「三角形の内部に2点が含まれる配置」である可能性がないのはどうして？

437 ：１３２人目の素数さん：2007/07/31(火) 18:43:28

>>432
(2)は、kの最大値 or cが最小のときのkの値
の間違い？

438 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/07/31(火) 19:39:02

>>432
あっ、kの最大値です。すいません。

439 ：１３２人目の素数さん：2007/07/31(火) 21:44:34

>>434-435
生きてて恥ずかしくないの？

440 ：１３２人目の素数さん：2007/07/31(火) 22:40:26

>439
またお前かw
言葉に棘ありすぎなんだよ

441 ：１３２人目の素数さん：2007/07/31(火) 22:46:11

>5点を選んでもそれらが凸5角形を作ることはないから

ありえない

442 ：１３２人目の素数さん：2007/07/31(火) 22:47:31

>439
お前みたいカスは氏ねよ

443 ：１３２人目の素数さん：2007/07/31(火) 23:14:50

>>441
馬鹿は書き込まなくていいよ＾＾

444 ：１３２人目の素数さん：2007/07/31(火) 23:57:03

>>443
平面上にどの3点も同一直線上にないn個の点があるとする。このとき、
(1)n≧3ならば、それらn個の点の中で、凸三角形を作る3点が存在する(どの3点でもよい)。
(2)n≧5ならば、それらn個の点の中で、凸四角形を作る4点が存在する(これはうまく選ぶ必要あり)。
(3)n≧9ならば、それらn個の点の中で、凸五角形を作る5点が存在する(これもうまく選ぶ必要あり)。
が成り立つ。よって、>>433はありえない。馬鹿は書き込まなくていいよ＾＾

445 ：東工大生：2007/08/01(水) 00:06:28

a, b, c をabc=1 を満たす正の実数とする．次の不等式を示せ．

( a - 1 + 1／b) ( b - 1 + 1／c) (c - 1 + 1／a) ≦１

446 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/08/01(水) 00:57:53

>>445
第41回数学オリンピック韓国大会の問題ですよ、それ。

447 ：１３２人目の素数さん：2007/08/01(水) 01:02:12

(a-1+1/b)(b-1+1/c)(c-1+1/a)-1
=(a-1+1/b)(b-1+ab)(1/(ab)-1+1/a)-1
=(1/(ab^2)){(ab-b+1)(ab+b-1)(-ab+b+1)-ab^2}
ab-b+1,ab+b-1,-ab+b+1
のうち２つ以上が≦0とするとa,b,1>0に反する
一つだけ≦0なら明らか、
すべて>0とすると、
(ab-b+1)(ab+b-1)(-ab+b+1)
=√((ab-b+1)(ab+b-1))√((ab+b-1)(-ab+b+1))√((ab-b+1)(-ab+b+1))
≦(1/8)((ab-b+1)+(ab+b-1))((ab+b-1)+(-ab+b+1))((ab-b+1)+(-ab+b+1))
=ab^2

>>446
がっかり、タイプしたんで貼り

448 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/08/01(水) 01:15:53

>>447
当時の大数でこの問題を知人が解説していたので覚えてたんですよ。知人は
a=x/y,b=y/z,c=z/x
とおいて、あっさりと相加相乗に持ち込んでたので感心しました。

449 ：１３２人目の素数さん：2007/08/01(水) 01:20:25

なるほど、そう置けばきれいだね

450 ：１３２人目の素数さん：2007/08/01(水) 01:29:41

>>444
斬新な説だね＾＾

451 ：１３２人目の素数さん：2007/08/01(水) 03:01:41

>>450
釣りか？「説」じゃなくて「定理」だよ。グラフ理論の本に載ってる(ラムゼー理論の応用例として出ている)。

分かったらとっとと消えろ低脳＾＾

452 ：１３２人目の素数さん：2007/08/01(水) 03:07:45

へー、勉強になる
n：十分大
でもいいから簡単な証明はない？

453 ：１３２人目の素数さん：2007/08/01(水) 03:26:38

>>452
簡単な証明は知らない。数年前、自力で半年くらい頑張って証明したことはあるけど
(あのときは元気だったなぁ、俺＾＾)、簡単な証明とは思わない。それでもよければ
TEXで打てるけど。
(ちなみに、あとでグラフ理論の本に出会って、その証明がラムゼー理論の再発見
みたいなもんだと分かった。)

454 ：１３２人目の素数さん：2007/08/01(水) 03:30:08

>>451
面白い脳内定理だね＾＾

455 ：１３２人目の素数さん：2007/08/01(水) 03:33:54

>>453
いや、TEX打ちとか面倒な事はいいからｗ
暇なときにグラフの本でも見てみます

456 ：１３２人目の素数さん：2007/08/01(水) 03:34:27

>>454
age厨にはロクなのがいないね。
(2)n≧5ならば、それらn個の点の中で、凸四角形を作る4点が存在する(これはうまく選ぶ必要あり)。
の簡単な証明はココに載ってる。問題2のやつね。
http://www.geocities.jp/bourbonmath/mondai/
(3)の簡単な証明は知らない。以前見た本では、凸包およびその内部の点の配置で何通りにも場合分けし、
地道に調べて証明していた(とても原始的な証明)。

457 ：１３２人目の素数さん：2007/08/01(水) 04:22:00

>>456
脳内定理の話はもう結構ですよ＾＾

458 ：１３２人目の素数さん：2007/08/01(水) 08:40:30

>>457
まあ、馬鹿は消えろってこったな。

459 ：１３２人目の素数さん：2007/08/01(水) 09:16:38

>>432
c=6、k=3-2√2は見つけたけど証明ができん(泣)

460 ：１３２人目の素数さん：2007/08/01(水) 09:31:47

>433=>443=>450=>454=>457
自分の問題守るの必死w

461 ：１３２人目の素数さん：2007/08/01(水) 12:39:15

>>459
a[7]=ka[1],a[8]=ka[2]
が示されれば、漸化式的に明らかだとは思うけど…
総和も、a[1]～a[6]の和を求めれば
あとは等比数列の和だし

462 ：東工大生：2007/08/01(水) 21:24:57

>>446
いや偶然なんですけど

C1:x^2-2y^2=1 C2:x^2-2y^2=-1とする
(√2+1)^n=xn+yn√2（ｎは自然数）としたときのxn，ynがC1またはC2上にあることを示せ

463 ：１３２人目の素数さん：2007/08/01(水) 21:44:10

今度は投稿の過去門かなんか？
xn-yn√2=(-√2+1)^n
xn^2-2yn^2=(√2+1)^n(-√2+1)^n=(-1)^n

464 ：１３２人目の素数さん：2007/08/01(水) 21:46:34

ペロペロ方程式

465 ：１３２人目の素数さん：2007/08/01(水) 21:50:30

ﾌｼﾞﾓﾘ方程式

466 ：１３２人目の素数さん：2007/08/01(水) 21:52:06

ここって解答はおしえてくんないんだな

467 ：１３２人目の素数さん：2007/08/01(水) 21:53:52

答えレスついてる方が多くね？

468 ：１３２人目の素数さん：2007/08/01(水) 22:08:21

ﾋｷｺﾓﾘ方程式

469 ：１３２人目の素数さん：2007/08/01(水) 22:38:12

>>462
それもほとんど過去問じゃねーかー！
お前にはオリジナリティはないのかっ

470 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/08/01(水) 22:53:07

では私もペルにあやかって。京大を意識した問題ですが。

　nを自然数とする。a,bを自然数として、a+b√(n^2+1)の形で表される数全ての集合をA[n]とする。
(1) √(n^2+1)が無理数であることを示せ。
(2) A[n]から選んだある数xについて、u,vを任意の自然数としてux+vx^2の形で表される数全体の集合をB[n,x]とする。A[n]の元のうち、B[n,x]に含まれないものの個数が有限個であるとき、xをnを用いて表せ。

471 ：１３２人目の素数さん：2007/08/01(水) 22:59:22

>>467
最終解だけじゃん

472 ：１３２人目の素数さん：2007/08/01(水) 23:14:13

>>470
u,vも自然数？

473 ：１３２人目の素数さん：2007/08/01(水) 23:20:54

>472
お前の目は節穴か？

474 ：１３２人目の素数さん：2007/08/01(水) 23:22:10

節穴です

475 ：472：2007/08/01(水) 23:41:32

√(n^2+1)=αとして
x=p+qα,x^2=r+sαとすると
|ps-qr|=1じゃなきゃ困るから
x=n+α,x^2=2n^2+1+2nαとなるけれど
u,vが自然数だとA[n]の中でa<bの部分が全てB[n,x]に含まれないから
解なしになっちゃうじゃん

とか訳わかんないことを考えてしまったのです。
馬鹿な節穴でごめん…

476 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/08/02(木) 11:01:31

ある2次の正方行列Aは逆行列A~をもつ。A+A~は逆行列をもたないこととA=A~であることは互いに必要かつ十分であることを示せ。

477 ：１３２人目の素数さん：2007/08/02(木) 11:14:28

？

478 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/08/02(木) 11:30:36

>>476
「A+A~は」じゃなくて「A+A~が」で

479 ：１３２人目の素数さん：2007/08/02(木) 11:39:23

A=Eが反例になってそうだけどA~に特別な意味でも？

480 ：１３２人目の素数さん：2007/08/02(木) 11:50:10

>>470
nは変数なのか

481 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/08/02(木) 12:28:45

>>479
あら、ほんとですね。条件が何か抜けたかな…

482 ：アホな学生：2007/08/02(木) 12:30:40

ここにいる人は数学の勉強は何してこんなにできるようになったの？
入試問題なら自信あるのにここのできないんですけど

483 ：１３２人目の素数さん：2007/08/02(木) 12:34:47

>>482
みんなマニア
ここのがスラスラ出来ればどこでも受かるよ

484 ：１３２人目の素数さん：2007/08/02(木) 12:36:17

>>482
ちなみにボケかましまくってる増田さんでさえ京大医学部らしいから

485 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/08/02(木) 12:51:33

>>484
増田じゃなく益田です

486 ：１３２人目の素数さん：2007/08/02(木) 12:58:55

>>485
どうすれば数学得意になれますか？
どんな勉強してきましたか？

487 ：１３２人目の素数さん：2007/08/02(木) 13:05:47

>>433　>>443
これ書いたチンカスは氏んだのか？
久々に回線切って首つって氏ね
といいたくなったな

488 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/08/02(木) 13:08:40

>>486
他教科やらずにひたすら数学のみをやってただけです。現役時は数学以外はどうにもならないくらい馬鹿でしたよ。

489 ：１３２人目の素数さん：2007/08/02(木) 13:12:15

大学課程をやっていたのですか？
高校の範囲はその時点で超越していたのですか？

490 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/08/02(木) 13:25:44

>>489
大学数学はほとんどやってませんよ。ロピタルとか外積とかの裏技知識だけです。高校範囲のみですな。

491 ：１３２人目の素数さん：2007/08/02(木) 13:26:06

MASUDAの苦労話が聞きたいのならHPへ池

492 ：１３２人目の素数さん：2007/08/02(木) 13:50:03

>>487
いや、あの手のタイプは自分の間違いを認められんおめでたいやつだからなw
そのうちまた現れるだろ

493 ：１３２人目の素数さん：2007/08/02(木) 14:44:45

>>491
U･R･L！U･R･L！

494 ：１３２人目の素数さん：2007/08/02(木) 14:49:55

http://83.xmbs.jp/checkmath/

495 ：１３２人目の素数さん：2007/08/02(木) 15:01:19

>>494
あり？これなの？
さんくー

496 ：１３３人目の素数さん：2007/08/02(木) 15:51:49

cosnθをcosθで表せ

497 ：１３２人目の素数さん：2007/08/02(木) 15:53:46

チョビフの多項式

498 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/08/02(木) 16:12:29

条件忘れではなくマイナスの付け忘れでした。てわけで書き直し。

2次の正方行列Aは逆行列A~をもつ。このとき、A+A~が逆行列をもたないこととA+A~=Oであることは互いに必要かつ十分であることを示せ。

499 ：１３２人目の素数さん：2007/08/02(木) 16:30:46

これはちょっと易しいかな、Aは実行列ですね

500 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/08/02(木) 16:33:30

>>499
他分野と融合せずだと行列単発で難問はなかなか作れませんな

501 ：１３２人目の素数さん：2007/08/02(木) 16:35:48

それもそだね
１次変換を絡めれば受験生には難しく出来るかな

502 ：１３２人目の素数さん：2007/08/02(木) 19:19:03

>>494のHP見たけど
ロピタルの定理とマクローリン展開って入試で使用できないのか…
教科書から逸脱してるのは知ってたけど
学校の授業でわざわざ演習問題までやらされたくらいだから
普通に使えるのかと思ってた…
ということはRolleの定理もTaylorの定理もCauchyの平均値の定理も使えないのか？
行列の固有値や固有ベクトルも？

503 ：１３２人目の素数さん：2007/08/02(木) 20:26:01

>>501
> １次変換を絡めれば受験生には難しく出来るかな
こんな感じか
2次の正方行列Aは逆行列をもち、かつ　(A^2)v_0↑=-v_0↑を満たすベクトル　v_0↑≠0↑ が存在する。
このとき、任意のベクトル　v↑に対し　(A^2)v↑=-v↑　が成立することを示せ。

504 ：１３２人目の素数さん：2007/08/02(木) 20:36:29

>>502
今さら何を言っているんだ？
夏だからといってボケすぎだろ

505 ：１３２人目の素数さん：2007/08/02(木) 21:11:41

>>504
だって授業でわざわざプリント使って
証明して演習して試験にまで出たんだよ？
普通に重要公式だと思うだろうが。
先生も入試では使えないって教えといてくれればいいのに…
ってか高校受験でもヘロンの公式使うヤツとかいるじゃん。
あれと同じように考えてた。
オレは使ってないけどあれもやっぱ減点対象なのかな。

506 ：１３２人目の素数さん：2007/08/02(木) 21:21:45

>>505
受験板に帰れ！ (ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰﾍﾟｯ!!

507 ：１３２人目の素数さん：2007/08/02(木) 21:26:36

>>506
ごめんなさい
おとなしくしてます

508 ：東工大生：2007/08/03(金) 00:36:07

>>469
オリジナルティーがないのはわかっています
なぜみなさんはこのような問題を作れるのですか？
たくさん問題は解いてきたつもりなんですがオリジナルはいい問題が
作れません
もしよければ作り方を教えてください

509 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/08/03(金) 01:18:33

nを2以上の整数、x,yを実数の定数とする。数列{a[n]}が
　a[1]=1 , a[2]=x
　a[n]^2-a[n-1]a[n+1]=y(-1)^n
を満たすとき、任意のnについてa[n+1]=a[n]+a[n-1]が成り立つためのx,yがみたすべき必要十分条件を求めよ。

510 ：１３２人目の素数さん：2007/08/03(金) 01:36:55

これはなかなかいい問題
計算は楽なので京大型かな

511 ：１３２人目の素数さん：2007/08/03(金) 02:08:45

fibonacci

512 ：１３２人目の素数さん：2007/08/03(金) 02:31:54

y=x^2-x-1

513 ：１３２人目の素数さん：2007/08/03(金) 03:18:15

次の条件を満たすような一桁の正の整数a,bの組の個数を求めよ
(条件)
a≧bであり、任意の正整数nに対して
各桁の数がaかbでかつ2^nの倍数であるようなn桁の整数が存在する

514 ：１３２人目の素数さん：2007/08/03(金) 08:48:55

433 ：１３２人目の素数さん：2007/07/31(火) 14:27:03
平面上にどの3点も同一直線上にない2007個の点がある。
これらの点のうちどのような5点を選んでもそれらが凸5角形を作ることはない。
このとき、これら2007個の点から4点選んでできる凸4角形の総数を求めよ。

↑
こいつ馬鹿だな
小学生でも点が増えれば、凸5角形がかならずできると気づく。
はやく氏ね^^

515 ：^^は馬鹿のしるし：2007/08/03(金) 08:51:45

441 ：１３２人目の素数さん：2007/07/31(火) 22:46:11
>5点を選んでもそれらが凸5角形を作ることはないから

ありえない

443 ：１３２人目の素数さん：2007/07/31(火) 23:14:50
>>441
馬鹿は書き込まなくていいよ＾＾

516 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/08/03(金) 17:30:22

cを正の実数とする。数列{a[n]}(n=1,2,…)を以下のように定める。
a[1]=1
a[n+1] = lim[c→+0] ∫[c,a[n]] x^x dx
(1) lim[n→∞]a[n]=0を示せ。
(2) lim[n→∞]a[n+1]/a[n]を求めよ。

517 ：１３２人目の素数さん：2007/08/03(金) 18:55:08

MASUDAは書き込まないで

518 ：１３２人目の素数さん：2007/08/03(金) 18:59:18

MASUDA功労者じゃんよ
おまえが問題出すか？

>>516
あまり高校生向けと思えない

519 ：１３２人目の素数さん：2007/08/03(金) 19:05:34

MASUDAは書き込まないで

520 ：１３２人目の素数さん：2007/08/03(金) 19:08:19

>>517
>>519
ならお前はMASUDAよりもいい問題をいっぱい出せるというのか

521 ：１３２人目の素数さん：2007/08/03(金) 19:17:23

>>519は書き込まないで

>>516
これは高校生にはムリポだろ
慶応あたりがたまにだす超難問と同じ部類の気がする

522 ：１３２人目の素数さん：2007/08/03(金) 19:19:03

MASUDAは>>494でやれば

523 ：１３２人目の素数さん：2007/08/03(金) 19:23:25

ＭＡＳＵＤＡさんがいないと過疎スレになってしまいそうで困ります。
批判をする人はせめて同じレスに何か問題を出すか、解答をしてください。

524 ：１３２人目の素数さん：2007/08/03(金) 19:24:08

ＮＧしろやあほか。

525 ：１３２人目の素数さん：2007/08/03(金) 19:25:17

俺、一人で半分ぐらい解いてたから遠慮してるんだが

526 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/08/03(金) 20:16:04

基本よく分からないレスはスルーで
>>518
やはりこれは無理がありましたか
>>521
慶応…まあ確かに言われてみればそうかもしれませんね。

527 ：１３２人目の素数さん：2007/08/03(金) 20:54:13

>>525
どうぞどうぞ

528 ：１３２人目の素数さん：2007/08/03(金) 23:58:03

高1のとき、オナホールを洗面所で親に見られて、死ぬほど恥ずかしい思いしたことある。
でもそれで吹っ切れてしまって、それからは使用済みオナホを洗面台に放っておけば、
親がきれいに洗って干しといてくれるから楽でいいわ。

529 ：１３２人目の素数さん：2007/08/04(土) 00:24:13

１００！を素因数分解せよ。

530 ：１３２人目の素数さん：2007/08/04(土) 00:34:04

だが、断る！

531 ：１３２人目の素数さん：2007/08/04(土) 00:39:20

１０分もあればできる。

532 ：１３２人目の素数さん：2007/08/04(土) 00:44:26

try maxima

533 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/08/04(土) 01:41:58

じゃあちょっとひねって
1000!!を3^nが割り切るとき、整数nの最大値を求めよ。
(x!!は1個とばしの積です)

534 ：１３２人目の素数さん：2007/08/04(土) 01:53:24

>>533
1000!!だと単に500!について考えればよくなっちゃうから
奇数、たとえば2007!!とかのほうがよいのでは？

535 ：１３２人目の素数さん：2007/08/04(土) 02:08:35

>>528
愛用オナホは？

536 ：１３２人目の素数さん：2007/08/04(土) 11:38:04

>>433 ：１３２人目の素数さん：2007/07/31(火) 14:27:03
平面上にどの3点も同一直線上にない2007個の点がある。
これらの点のうちどのような5点を選んでもそれらが凸5角形を作ることはない。
このとき、これら2007個の点から4点選んでできる凸4角形の総数を求めよ。

>>441 ：１３２人目の素数さん：2007/07/31(火) 22:46:11
>5点を選んでもそれらが凸5角形を作ることはないから

ありえない

>>443 ：１３２人目の素数さん：2007/07/31(火) 23:14:50
>>441
馬鹿は書き込まなくていいよ＾＾

537 ：１３２人目の素数さん：2007/08/04(土) 11:39:37

>>444 ：１３２人目の素数さん：2007/07/31(火) 23:57:03
>>443
平面上にどの3点も同一直線上にないn個の点があるとする。このとき、
(1)n≧3ならば、それらn個の点の中で、凸三角形を作る3点が存在する(どの3点でもよい)。
(2)n≧5ならば、それらn個の点の中で、凸四角形を作る4点が存在する(これはうまく選ぶ必要あり)。
(3)n≧9ならば、それらn個の点の中で、凸五角形を作る5点が存在する(これもうまく選ぶ必要あり)。
が成り立つ。よって、>>433はありえない。馬鹿は書き込まなくていいよ＾＾

538 ：１３２人目の素数さん：2007/08/04(土) 11:41:10

生きてて恥ずかしくないの？「^^君」

539 ：１３２人目の素数さん：2007/08/04(土) 11:57:04

>>536-538
俺は^^じゃないけど、あんたもしつこいね～w
^^が言ってた定理は俺はよく知らんけど、あんたは定理を否定するのかい？

540 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/08/04(土) 15:55:52

nを3以上の整数とする。0,1,2のみからなるn個の整数a[1],a[2],…,a[n]について、S,Tを
　S = Σ[k=1,n] a[k]
　T = Σ[k=1,n](a[k])^2
とする。このとき、3つの項の積a[i]a[j]a[m](1≦i＜j＜m≦n)の総和をS,Tを用いて表せ。

541 ：１３２人目の素数さん：2007/08/04(土) 17:00:20

>>470
(2)解なし

542 ：１３２人目の素数さん：2007/08/04(土) 18:10:59

ところで脳内定理の結論は出たのかい＾＾

543 ：１３２人目の素数さん：2007/08/04(土) 20:12:08

正直東大の入試って難しくないな

544 ：１３２人目の素数さん：2007/08/04(土) 20:21:20

>>543
合格した人間の半分はそう思っているよ。何べん受けても合格すると思う。

545 ：1stVirtue ◆.NHnubyYck ：2007/08/04(土) 20:46:12

Reply:>>543 合格するのも難しくないのか？

546 ：１３２人目の素数さん：2007/08/04(土) 21:54:34

>>516むずいだろこれ

547 ：１３２人目の素数さん：2007/08/05(日) 01:24:59

>>207
0≦b

548 ：１３２人目の素数さん：2007/08/05(日) 01:49:12

>>540
なんかうまい方法がありそうだが、実際の試験だったら
1の個数をx個、2の個数をy個としてx=2S-T,2y=T-Sを導いて
x(x-1)(x-2)/6+x(x-1)y+2xy(y-1)+4y(y-1)(y-2)/3
の整理で答案を15分くらいで仕上げることになりそう

549 ：１３２人目の素数さん：2007/08/05(日) 01:54:40

>>516
(1)f(x)＝x^x (x＞0) , 1 (x＝0)とおくと、fは閉区間[0,1]上の連続関数となる。
さらに、[0,1]上で0＜f(x)≦1であり、f(x)＝1となるx∈[0,1]はx＝0,1に限る。
そして、a[n＋1]＝∫[0,a[n]]f(x)dx と表せる。よって特に、数列a[n]は非負な
単調減少数列となるので、極限値αが存在し、α＝inf{a[n]｜n∈N}(≧0)と表せる。
よって、α＝0を示せばよい。もしα＞0だとすると、a[n]≧α (∀n)が成り立つ。特に
a[n＋1]＝∫[0,α]f(x)dx＋∫[α,a[n]]f(x)dx≦∫[0,α]f(x)dx＋∫[α,a[n]]1dx＝∫[0,α]f(x)dx＋a[n]－α (∀n)
となり、
a[n]≦(∫[0,α]f(x)dx－α)(n－1)＋a[1] (∀n)　…＊
となる。ここで、
∫[0,α]f(x)dx－α≦∫[0,α]1dx－α＝0　…＊＊
であるが、fが連続であること、及び、f(x)＝1となるx∈[0,1]はx＝0,1に限られること
から、＊＊において等号は成り立たない。すなわち∫[0,α]f(x)dx－α＜0となる。よって、
＊の式でnを十分大きくとれば、a[n]＜0となってしまう。これはa[n]≧α (∀n)に矛盾。
よってα＝0である。

(2)f(x)はx＝0で連続であるから、lim[x↓0](1/x)∫[0,x]f(t)dt＝f(0)＝1 が成り立つ。
これとlim[n→∞]a[n]＝0から、lim[n→∞]](1/a[n])∫[0,a[n]]f(t)dt＝1 となる。
すなわちlim[n→∞]]a[n＋1]/a[n]＝1となる。

(1)はε－δ論法を使っているので、高校の範囲を超えている。(2)の解答も、リーマン積分
までの知識がない人は書いてはいけない解答。
いずれも、技巧を凝らせば高校の範囲内で収まる解答が作れるかもしれないが、そうなると
もはや悪問。

550 ：１３２人目の素数さん：2007/08/05(日) 02:06:23

東大は東大でも、理一後期って感じかね

551 ：１３２人目の素数さん：2007/08/05(日) 02:27:34

その理１後期も数学が消滅したから、2008年は前期も難化するんだろね

552 ：１３２人目の素数さん：2007/08/05(日) 02:55:00

両方とも高校の範囲内。

553 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/08/05(日) 03:17:51

>>548
まあそうなんですが、x,yで表してからS,Tに直すよりは最初からS,Tで表しにいった方が楽です。
>>549
一応高校範囲で解くやり方はあります。ちなみに昔、名古屋大でこれのもっとえぐいやつがでてました。大数はD#としてましたけどね

554 ：１３２人目の素数さん：2007/08/05(日) 03:28:24

>>553
> ちなみに昔、名古屋大でこれのもっとえぐいやつがでてました。大数はD#としてましたけどね

もっと詳しく！

555 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/08/05(日) 03:38:02

>>554
あんまり詳しくは覚えてませんが、積分する関数がf(x)と一般化されていて、なおかつa[n]がある値より小さくなることを示させてました

556 ：１３２人目の素数さん：2007/08/05(日) 03:44:12

>>554
http://hiw.oo.kawai-juku.ac.jp/nyushi/honshi/02/n01-23p/4.html

557 ：１３２人目の素数さん：2007/08/05(日) 08:53:27

470 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/08/01(水) 22:53:07
では私もペルにあやかって。京大を意識した問題ですが。

　nを自然数とする。a,bを自然数として、a+b√(n^2+1)の形で表される数全ての集合をA[n]とする。
(1) √(n^2+1)が無理数であることを示せ。
(2) A[n]から選んだある数xについて、u,vを任意の自然数としてux+vx^2の形で表される数全体の集合をB[n,x]とする。A[n]の元のうち、B[n,x]に含まれないものの個数が有限個であるとき、xをnを用いて表せ。

>>475
>>541
で(2)は解なしとなっているがMASUDAさんの解答はどうなんでしょうか

また>>207は0≦bと1/2≦bの二説がありますがMASUDAさんの解答はどうなんでしょうか

558 ：１３２人目の素数さん：2007/08/05(日) 08:55:21

>>509は>>512でいいと思われるがどうですか

559 ：１３２人目の素数さん：2007/08/05(日) 10:41:00

x=0.
y=-1.
1,0,1,1,2,3,5,....
1,0,1,2,5,12,29,....

560 ：１３２人目の素数さん：2007/08/05(日) 10:43:00

b=0.
a+x=4m.
3a+x=10n.
x=6m-5n.

561 ：１３２人目の素数さん：2007/08/05(日) 10:47:30

√(n^2+1)=a
1=a^2-n^2=(a-n)(a+n)

x=a+b√(n^2+1)
ux+vx^2=ua+v((n^2+1)b^2+a^2)+(2abv+u)(n^2+1)^.5

562 ：Zzz…：2007/08/05(日) 10:54:14

>>533

ふふふ、みなが注目しない問題を…

1000!!を、Π[k=1,500](2k-1) だとすると、
奇数列{3,5,…,999}に現れる3の因数を数えたものが答え。

その数え上げには、注意が必要

奇数列{3,5,…,999}に含まれる3の倍数は、
1000に含まれる3の倍数の個数から6の倍数を除いたもの
[1000/3]-[1000/6]=167

以下同様に議論？を進めると
[334/3]-[334/6]=56
[112/3]-[112/6]=19
[38/3]-[38/6]=6
[12/3]-[12/6]=2
[4/3]-[4/6]=1

167+56+19+6+2+1=250
よって3^250

563 ：Zzz…：2007/08/05(日) 11:51:31

>>562
訂正です
奇数列{3,5,…,999}に現れる因数3を数えたものが答え。

564 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/08/05(日) 13:36:37

>>577
Oh,思いっきり条件足りてなかったです、申し訳ない。u,vを『u+v≧1をみたす整数』とすべきでしたね。もしくは、『u,vを整数』としてB⊂Aを示させた方がよかったかもです。
もう一個の問題はb≧1/2が正解です。
>>558
正解です

565 ：１３２人目の素数さん：2007/08/05(日) 15:09:56

>>559に反例があるのに何で正解？

566 ：１３２人目の素数さん：2007/08/05(日) 15:33:22

>>565
x≠0という条件をつけ忘れたんだろうと

>>564
『u+v≧1をみたす整数』として解答を書いていただけませんか

567 ：１３２人目の素数さん：2007/08/05(日) 15:45:06

>>540
　S = Σ[k=1,n] a[k],
　T = Σ[k=1,n] (a[k])^2,
　U = Σ[k=1,n] (a[k])^3,
のとき
　Σ[k=1,n] a[k] = S,
　Σ[1≦i<j≦n] a[i]*a[j] = (S^2 -T)/2!,
　Σ[1≦i<j<k≦n] a[i]*a[j]*a[k] = (S^3 -3ST +2U)/3!,

568 ：１３２人目の素数さん：2007/08/05(日) 15:49:10

『u+v≧1をみたす整数』として解いた場合
x=a+b√(n^2+1)の自然数a,bは
a(a^2-a-b^2)/b^2≦n^2<(a^2-b^2)/b^2をみたすと思うんですが
これからどうやってa,bを決定できるのでしょうか

569 ：１３２人目の素数さん：2007/08/05(日) 15:53:11

(b^2+a^2-a)/b^2≦n^2<(a^2-b^2)/b^2の誤りですね。これからa,bの決定ができない

570 ：１３２人目の素数さん：2007/08/05(日) 16:39:56

MASUDAは医者にならなくて本当によかった
ミス大杉

571 ：１３２人目の素数さん：2007/08/05(日) 17:17:50

u+v≧1としても、a≧n+1,b＝1の部分は全てB[n,x]に含まれない気が……

572 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/08/05(日) 17:31:30

>>570
それは自分でも思います(苦笑)まあ免許だけもっててもいいことあるんですよ。医師免が役にたつ仕事は医療だけじゃないので。
>>566,>>568
ミスりすぎです、私orz。xとx^2のベクトルの向きを勘違いしてました。u,vを整数にしてAの元が全てBに含まれることを証明することにしといた方がいいようですな。

573 ：１３２人目の素数さん：2007/08/05(日) 17:51:35

>>572
ちょwww
ミス多いね、MASUDAさんww
まあ>>536-538の馬鹿よりはマシだが

574 ：１３２人目の素数さん：2007/08/05(日) 20:51:36

>>516, >546, >549
技巧を凝らしますた。

背理法による。　inf{a[n]} = α>0 と仮定すると、n≧2 のとき
　α≦ a[n] ≦ a[2]　⇒　f(a[n]) ≦ max{f(α), f(a[2])} = M <1　　(a[2]=0.78343…)

補題↓より f(x)は下に凸だから、n≧2 のとき
　a[n+1] ≦ a[n]･{1 + f(a[n])}/2 ≦ a[n]･(1+M)/2,　　　　(台形と比較)
　a[n] ≦ a[2]･{(1+M)/2}^(n-2)　→ 0　(n→∞)
これは α>0 に矛盾する。 (終)

〔補題〕
　f(x) = exp(g(x)),　g"(x) >0 のとき f(x) は下に凸。
　(略証)　f "(x) = {[g'(x)]^2 + g"(x)} f(x) ≧0.
　本問では　g(x) = x･log(x),　g'(x) = 1 + log(x),　g"(x) = 1/x >0 より成立,

575 ：１３２人目の素数さん：2007/08/05(日) 21:11:05

inf.

576 ：576：2007/08/05(日) 22:16:03

√(576) = 24 の瞳っ

577 ：１３２人目の素数さん：2007/08/05(日) 22:25:25

>>574
inf 使ったら技巧を凝らした意味が無い。

578 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/08/05(日) 23:01:46

　8個の整数1,2,3,4,5,6,7,8を円周上にランダムに並べることを考える。隣接する3つの数について、真ん中にある数をn(n=1,2,…,8)としたとき、この3数の和をS[n]と表す。
(1) S[1]+S[2]+…+S[8]を求めよ。
(2) mを整数とする。どのように並べても、S[1],S[2],…,S[8]のうちm以上となるものが必ず少なくとも1つ存在するようなmの最大値を求めよ。

579 ：１３２人目の素数さん：2007/08/05(日) 23:08:33

日本語でおｋ

580 ：１３２人目の素数さん：2007/08/05(日) 23:10:23

あんまり読んで欲しい気持ちはないんじゃない
開陳したいだけ

581 ：１３２人目の素数さん：2007/08/06(月) 00:05:21

>>578
m≦15 …かなぁ？
てかこの問題、論証が大変だわ

582 ：１３２人目の素数さん：2007/08/06(月) 00:07:46

>>578
(1)１～８が三回ずつ足されるから108
(2)最大値が15であることをしめす。まず1,6,3,4,7,2,5,8とすることで最大値が15にできるのでm≦16
次に全て14以下であったとする。S[k]=14なるkが5つ以上あると、ある連続する『隣接三項の和』が
ともに14となり、この四項の両端の数が等しくなる。
kが3つ以下だと和が108にならない。
kが4つだと、残りの4つの値が全て13となるが、このとき45454545と並んでることになり。
どれも不適なのmの最大値は15。

583 ：１３２人目の素数さん：2007/08/06(月) 00:10:29

(2)の一行目　m≦16じゃなくてm≦15

584 ：Zzz…：2007/08/06(月) 00:11:52

>>578
(1)隣接する3つなら…
三つの1+2+…+8をひとつずつスライドして足すだけなので36*3=108？

(2)6,7,8,5から最大のものは6+7+8=21…
次に大きいのが5+7+8=20したがってm=20？
,6,7,8,5
　,6,7,8,5
　　,6,7,8,5
？？？

585 ：Zzz…：2007/08/06(月) 00:14:37

>> どのように並べても
ボケてた

586 ：574：2007/08/06(月) 00:49:57

>577

　数列a[n]は非負な単調減少数列になるので、(>549) 発散しない。
そこで極限値をαとおきますた。
　高校数学では許され…

587 ：１３２人目の素数さん：2007/08/06(月) 01:51:21

>>579,>>580
普通に通じるのだが。オマエらが(2)みたいな言い回しに慣れてないだけだろ。

588 ：１３２人目の素数さん：2007/08/06(月) 02:03:34

君みたいに枝問の微細を見てるわけじゃないんで

589 ：１３２人目の素数さん：2007/08/06(月) 02:23:12

意味不明
微細をみていないなら何の問題も無く通じるだろ

590 ：１３２人目の素数さん：2007/08/06(月) 02:23:49

>>566

591 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/08/06(月) 15:51:03

xについての2次の実数係数多項式f(x),g(x),h(x)が以下の等式を満たしている。
{f(x)}^2 + {g(x)}^2 = {h(x)}^2
h(x)=0が実数解をもつとき、f(x),g(x),h(x)全てを割り切る適当な2次の整式p(x)が存在することを示せ。

592 ：１３２人目の素数さん：2007/08/06(月) 17:17:01

なんかまんまどっかの過去問

593 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/08/06(月) 18:04:49

ちょいとひねってますが

594 ：１３２人目の素数さん：2007/08/06(月) 18:17:00

>>591
A(x)=ax+b、B(x)=cx+dとして
f(x)=A^2-B^2
g(x)=2AB
h(x)=A^2+B^2
ってやるのは反則だよなぁ

595 ：１３２人目の素数さん：2007/08/06(月) 18:38:41

０点

596 ：１３２人目の素数さん：2007/08/06(月) 21:01:45

>>591
h(x)が異なる二つの実数α,βを解に持つとき、絶対不等式から
f(x)もg(x)もα,βを解に持ちp(x)=(x-α)(x-β)となる
h(x)がx=αで重解を持つとき、同様にf(x),g(x)はx=αを解に持ち
f(x)=(x-α)a(x),g(x)=(x-α)b(x)　なる一次関数a(x),b(x)が存在する。このとき
(x-α)^2×[(x-α)^2-{a(x)}^2-{b(x)}^2]=0　が恒等的に成り立つ。よって
(x-α)^2-{a(x)}^2-{b(x)}^2=0　が成り立ち、絶対不等式からa(x),b(x)はx=αを解に持つ
よってp(x)=(x-α)^2とできる。以上から題意が示された

一般の次元について数学的帰納法で示せるっぽいが、うまいこと微分とかしたら楽に示せるかも？

597 ：１３２人目の素数さん：2007/08/07(火) 10:34:42

>>596
重解じゃないときの場合分けがないお

598 ：１３２人目の素数さん：2007/08/07(火) 10:57:28

おっおっ

599 ：β ◆aelgVCJ1hU ：2007/08/07(火) 11:04:01

>>597
一番最初にあるだろ

600 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/08/07(火) 15:24:30

0と1のみからなる、項数が有限でない数列{a[n]}(n=1,2,…)について、以下の問いに答えよ。
(1) a[p]=a[p+q]=a[p+2q]を満たす自然数の組(p,q)が必ず存在することを示せ。
(2) ある自然数の組(k,m)(m≧3)を選ぶことにより、m個の項a[k],a[k+1],a[k+2],…,a[k+m]を取り出す。この中にa[p]=a[p+q]=a[p+2q]を満たす自然数の組(p,q)(k≦p,p+2q≦k+m)が存在しないならば、m≦8であることを示せ。

601 ：１３２人目の素数さん：2007/08/08(水) 01:03:04

>600
'o' と次の 'o' の間の 'x' の個数をその｢間隔」と呼ぶ。（'o'と'x'が逆でも同様)
(1) 3以上の間隔を含むとき,
　'x'が3以上続くので m≧5 で成立する (例 oXXXo) q=1
(2) 同じ間隔が2回続くとき
　m≧7 で成立する。(例 OxxOxxO) q=3
(3) 2つの間隔が交互に来るとき
　m≧9 で成立する。(例 oxXoXoXxo, oxoxXoXoX) q=2
(4) 間隔0,1,2 を含むとき
　(2,1,0) のとき oXxoXooX, m≧8 で成立, q=3。
　(1,2,0) のとき oXoxXooX, m≧8 で成立, q=3。
　(1,0,2) のとき OxoOxxO, m≧7 で成立, q=3。
よって m≧9 で成立する。

602 ：１３２人目の素数さん：2007/08/08(水) 01:06:00

>>600
>0と1のみからなる、項数が有限でない数列{a[n]}(n=1,2,…)
たとえば、0,1,1,1,1,1,…
とかは許されるのだろうか？

603 ：１３２人目の素数さん：2007/08/08(水) 01:11:40

もちろん

604 ：１３２人目の素数さん：2007/08/08(水) 03:31:00

ここで問題解いてる人たちって高校生なのかい？

605 ：１３２人目の素数さん：2007/08/08(水) 04:26:27

>>604
塾講師だけ

606 ：１３２人目の素数さん：2007/08/08(水) 06:53:05

高校生は解けないから書き込めないだけだろ

607 ：１３２人目の素数さん：2007/08/09(木) 03:47:57

関数f(x)は導関数 f'(x) および第2次導関数 f''(x) をもち、次の条件を満たしている。
f(0)=0、f(1)=1、f''(x)>0
0<x<1において0<f(x)<1
また
f_{1}(x)=f(x)
f_{n+1}(x)=f(f_{n}(x)) (n=1,2,3,・・・)
で関数f_{n}(x)を定める。

任意の自然数m,n(m>n)に対して
∫[0,1]f(x) f_{m} '(x) dx >∫[0,1]f(x)f_{n} '(x)dx
が成り立つことを示せ。

608 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/08/09(木) 16:34:43

5以上の自然数nに対して、
　x≦y≦z, x+y+z=n
を満たす3つの自然数x,y,zの組(x,y,z)の集合をA[n]とする。A[n]の任意の異なる2要素(a,b,c),(p,q,r)についても以下の条件が成り立つような最大のnを求めよ。
条件『「a＜p」または「a=pかつb＜q」ならばabc＜pqrである』

609 ：１３２人目の素数さん：2007/08/09(木) 18:03:42

「a=pかつb＜q」は不要じゃないの？

610 ：１３２人目の素数さん：2007/08/09(木) 18:28:32

>>609
いや、いるだろ

611 ：１３２人目の素数さん：2007/08/09(木) 18:33:00

166=229.

612 ：１３２人目の素数さん：2007/08/11(土) 19:45:23

>>608
n=12

613 ：１３２人目の素数さん：2007/08/12(日) 18:47:34

>>591
＞ xについての2次の実数係数多項式f(x),g(x),h(x)が以下の等式を満たしている。
＞ {f(x)}^2 + {g(x)}^2 = {h(x)}^2
＞ h(x)=0が実数解をもつとき、f(x),g(x),h(x)全てを割り切る適当な2次の整式p(x)が存在することを示せ。

614 ：１３２人目の素数さん：2007/08/13(月) 08:39:11

f^2+g^2=h^2
h=0->gcd(f,g,h)=p
h=0->h^=0->f=g=0

615 ：１３２人目の素数さん：2007/08/13(月) 18:37:19

１辺の長さが１の正四面体の２つの面の重心を結ぶ直線を
軸にして正四面体を回転させたときの体積を求めよ。

616 ：１３２人目の素数さん：2007/08/13(月) 20:10:48

>>615
それ、MASUDA氏のサイトにある問題じゃん

617 ：１３２人目の素数さん：2007/08/13(月) 20:48:01

>>616
MASUDA氏のは重心じゃねえだろ。

618 ：１３２人目の素数さん：2007/08/13(月) 21:08:26

>>616
MASUDA氏のサイトって、どこですか？

619 ：１３２人目の素数さん：2007/08/13(月) 21:41:33

>>618
すれ内のどこかにある

620 ：619：2007/08/13(月) 22:51:37

スレ内にあると思ったが、別にそんなことはなかったぜ・・・

621 ：１３２人目の素数さん：2007/08/13(月) 22:53:07

そうか

622 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/08/13(月) 23:12:54

私のサイトの問題に似てますが、回転軸が異なります。私の問題は、ねじれ関係にある二辺のそれぞれの中点を結ぶ直線を軸としていますので

623 ：１３２人目の素数さん：2007/08/14(火) 00:19:48

>>622
あなたのサイトってどこですか？

624 ：１３２人目の素数さん：2007/08/14(火) 00:25:14

>622

正4面体の頂点は、立方体の頂点を1つおきに取ったものだから
　(c,c,c),　(c,-c,-c),　(-c,c,-c),　(-c,-c,c),　c=1/√8,　
とおいて、3軸の1つの周りに回転する。

z軸を回転軸とすると、z軸に垂直な断面は長方形で、辺が (c±z)/√2,
長方形の頂点と回転軸の距離は r(z) = (1/2)√(c^2 +z^2),　　　(← 一葉双曲面)
　V = π∫[-c,c] r(z)^2 dz = (π/2)∫[0,c] (c^2 +z^2)dz = (2π/3)c^3 = (π/48)√2.

625 ：１３２人目の素数さん：2007/08/14(火) 00:58:22

http://83.xmbs.jp/checkmath/

これじゃないのか？

626 ：１３２人目の素数さん：2007/08/14(火) 11:02:50

>>625
ここがkingのハウスね…

627 ：１３２人目の素数さん：2007/08/14(火) 11:08:34

>>622
問題集を出版してくれ！

628 ：１３２人目の素数さん：2007/08/14(火) 12:01:32

>>626
kingは東京理科大
MASUDAは京大医学部

629 ：１３２人目の素数さん：2007/08/14(火) 23:50:03

>>615
内部も含めた場合の通過部分なら、積分を使わず14／81πかな
ちなみに表面が通過する部分の体積だと難しい
38π／243－122√2π／6561
になった。軸から飛び出た部分の処理とか、僅かに現れる隙間が大変

>>622の問題も「内部を含めた場合」の通過部分と「表面」の通過部分で
答えが違ってくるね

630 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/08/14(火) 23:55:46

私の問題は問題文に「表面の通過領域」と明記してます。ただ、回転軸の関係から立方体に内接させる方法で考えれば計算は楽です

631 ：１３２人目の素数さん：2007/08/15(水) 00:12:04

内部も含めて出すと(自身の体積）×πになったので驚きでした。
表面ならその半分なようです。
いずれにせよ、数Ⅱ範囲の積分で足りますね

632 ：624：2007/08/15(水) 16:21:12

>622 , >629

長方形の長辺と回転軸の距離は r(z)' = (c-|z|)/√8,　　　(←円錐面)
　V'= π∫[-c,c] {r(z)^2 - r(z)'^2}dz
　　= (π/4)∫[-c,c] (1/2)(c+|z|)^2 dz
　　= (π/2)∫[0,c] (1/2)(c+z)^2 dz
　　= (π/2)(7/6)c^3
　　= (2π/3)c^3 × (7/8)
　　= (π/48)√2 × (7/8).

633 ：624：2007/08/15(水) 16:28:16

円錐の体積の2倍を引くだけ…

　V - V' = 2*(1/3)*c*(c/√8)^2 = (π/12)c^3 = V/8.

634 ：１３２人目の素数さん：2007/08/16(木) 06:13:08

【問題】
3辺の長さがa，b，cである三角形の内接円の半径をrとする．
このとき，不等式
　　(a + b + c)/r ≧6√3
が成り立つことを示せ．

635 ：Zzz…：2007/08/16(木) 12:06:16

>>634
3辺a, b, cから円の中心へ向けて垂線を引いて出来る角を
それぞれα,β,γとする。円の半径rを1すると、

　a + b + c = 2(tan(α/2) + tan(β/2) + tan(γ/2))
　α + β + γ = 2π

AとBが(0, π)の範囲にあるとき、
n tan θ ≦ tan nθであることより、
α = β = γ、すなわち正三角形のとき、
a + b + c は最小となり等式が成り立つ。

自信はありません…

636 ：Zzz…：2007/08/16(木) 12:07:40

訂正

>>634
3辺a, b, cから円の中心へ向けて垂線を引いて出来る角を
それぞれα,β,γとする。円の半径rを1すると、

　a + b + c = 2(tan(α/2) + tan(β/2) + tan(γ/2))
　α + β + γ = 2π

θが(0, π)の範囲にあるとき、
n tan θ ≦ tan nθであることより、
α = β = γ、すなわち正三角形のとき、
a + b + c は最小となり等式が成り立つ。

自信はありません…

637 ：１３２人目の素数さん：2007/08/16(木) 14:48:44

>>634　
略解

Ｓ=sr=√s(s-a)(s-b)(s-c)　からr を消去して不等式に代入して
相加相乗平均を３乗して分母分子をひっくり返した式　1/pqr≦27/(p+q+r)^3 　を用いると出る。等号は正三角形

638 ：１３２人目の素数さん：2007/08/16(木) 15:30:29

>>634

外接円の半径をＲとすると正弦定理とsin の上に凸性より
(a+b+c)/R=2(sinA+sinB+sinC)≦2*3*sin{(A+B+C)/3}=3√3

6√3≦(a + b + c)/r≦3√3 R/r よって２≦R/r 　となり京大の問題が証明できるね。

(a + b + c)/2pi*r ≧6√3/2pi=1.6539...
(a+b+c)/2pi*R≦3√3/2pi=0.8269...

三角形の円周は内接円の円周の1.6539..倍以上で外接円の円周の0.8269..倍以下か。。

639 ：１３２人目の素数さん：2007/08/16(木) 22:36:01

ﾊｧﾊｧ…

640 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/08/17(金) 11:51:37

　全ての実数xについて連続な関数f(x)があり，任意のxについてf(x)=f(x+r)が成り立つ正の実数定数rが存在する．
(1) rの最小値をcとするとき，r/cは整数であることを示せ．
(2) g(x)は0≦x≦cにおいて微分可能な関数とする．p,qを
　p=∫[0,c]|f(x)|dx
　q=∫[0,c]g(x)dx
と定めるとき，
lim[n→∞]∫[0,c]|f(nx)|g(x)dxをp,q,cを用いて表せ．

641 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/08/17(金) 12:32:14

↑nは一応整数と考えてください。整数じゃなくてもいいんですが、計算が大変になるので

642 ：１３２人目の素数さん：2007/08/17(金) 22:54:02

(a + b + c)/r ≧6√3
aを固定して楕円を考えると、ｂ＝ｃのときｒが最大になる。
おなじようにｂを固定するとａ＝ｂ＝ｃのときｒが最大になる。
ａ＋ｂ＋ｃは一定なので、正三角形のとき左辺は最小になる。
ｔａｎ６０をつかってr=3^.5/6
3/3^.5/6＝６*3^.5
中学２年？

643 ：１３２人目の素数さん：2007/08/17(金) 23:26:32

三角形ABCの内心をI、内接円とBC、CA、AB
の接点をP、Q、Rとする。
さらに∠BIP＝α、∠CIQ＝β、∠AIR=γとすれば
BC＋CA＋AB＝2r(tanα＋tanβ＋tanγ)
ここでα、β、γが正の鋭角でα＋β＋γ＝πであること
およびy=tanxの凸性より、
tanα＋tanβ＋tanγ≧3tan(π/3)=3√3
つまりa+b+c≧6√3

644 ：１３２人目の素数さん：2007/08/17(金) 23:47:45

>>640
(1) 任意の整数kに対し、f(x+kc)=f(x)が成り立つ。ここで
r=kc+p (0<p<c、k∈Z)が任意のxに対してf(x+r)=f(x)を
満たすなら、f(x+kc+p)=f((x+p)+kc))=f(x+p)=f(x)が
任意のxで成り立つ。これはpがf(x)の周期であることを表し、
cがf(x)の基本周期であることに反する。
(2) kを1以上n以下の整数とする。u=(k-1)c/n、v=kc/nとする。
u≦x≦vにおけるg(x)の最大値をM、最小値をmとすると
pm*(c/n)≦∫[u,v]|f(nx)|g(x)dx≦Mp*(c/n)
これのk=1～nの和を取る。さらにg(x)の微分可能性から、
lim[n→∞]M=lim[n→∞]mであることに注意して、
区分求積なり挟み撃ちなりを使うと、求める極限値はpqc
となりそう。
f(x)=sin(x)、g(x)=x^p などというタイプは頻出だけれども、
g(x)が単調関数でないので、挟み撃ちするのにゴニョゴニョ
した計算が必要。紙にやりたいw

645 ：１３２人目の素数さん：2007/08/18(土) 00:02:12

nを0以上の整数とする。
p+q+r+s=n
を満たす0以上の整数p、q、r、sの組み合わせの全てについて、
1/((p!)*(q!)*(r!)*(s!)*(2^p)*(3^q)*(9^r)*(18^s))
の和を取ったものをT(n)とする。
無限級数T(0)+T(1)+T(2)+T(3)+・・・を求めよ。

646 ：１３２人目の素数さん：2007/08/18(土) 00:08:06

>>642
それって「最大値が存在する」ということを前提として解いているため駄目と前に駿台の雲先生に言われたことあるな。
そのときは半径一定の円に内接する三角形の面積の面積を最大にせよという問題だったが。

647 ：１３２人目の素数さん：2007/08/18(土) 00:19:47

648 ：１３２人目の素数さん：2007/08/18(土) 00:20:48

幾何学だよ。ごくありふれた。
楕円の中の三角形のなかの円の直径は高々楕円状の点までの高さだよ。
カウント問題以外はごくありふれた幾何学で解けてしまう。

649 ：１３２人目の素数さん：2007/08/18(土) 00:23:59

ｆ（ｘ）＝e^i2pix/rでフーリエしてlimとることです。

650 ：１３２人目の素数さん：2007/08/18(土) 00:28:34

＞半径一定の円？

651 ：645：2007/08/18(土) 00:29:43

>>647
正解！
やはりここの住人には易しすぎたか orz

652 ：１３２人目の素数さん：2007/08/18(土) 00:34:13

>>648
＞楕円の中の三角形のなかの円の直径は高々楕円状の点までの高さだよ。
いや、そりゃそうだけどさ
>>642の
一行目＞aを固定して楕円を考えると、ｂ＝ｃのときｒが最大になる。
これはaを固定した上で最大でしょう。
二行目＞おなじようにｂを固定するとａ＝ｂ＝ｃのときｒが最大になる。
「bを固定してa,cをa+cが一定となるように動かしたときa=cのときrが最大となる」と解釈したがこのときのbは一行目のb=cという関係は崩れているのではないか？
>>650
あー、半径1だったと思うが忘れたので。

653 ：１３２人目の素数さん：2007/08/18(土) 01:03:03

厳密に突っ込むんだったら、2点と等長のひもでできる図形が楕円だと証明してからつかえと、似たようなこといった教授がかつて独りいた。ほとんどあほだった。

654 ：１３２人目の素数さん：2007/08/18(土) 01:11:17

|∫g(x)e^i2pinx/rdx|　０－＞ｃ
|n^-1∫g(x/n)e^i2pix/rdx|　０－＞nc
|n^-1g(w)∫e^i2pix/rdx|　0->nc
|g(w)∫e^i2pix/rdx| 0->c
|g(w)p|

655 ：１３２人目の素数さん：2007/08/18(土) 01:25:48

Zorn's Lemmaによりａ＝ｂ＝ｃに収束します。
無限回、楕円を書いて、二等辺三角形にする操作を繰り返します。
バウンデッドセットなので。
でも、幾何学的にはオールモストトリビアに自明だよ。

656 ：１３２人目の素数さん：2007/08/18(土) 02:16:43

ある証明問題を別の定理で証明するとき、その使う定理も証明しておかないと、
0点くれる教授がたまにいる。どこまでが既出とみるか、でも、すべてが選択公理
に帰結してくるので、どーでもいいことなのだけど。
数学事典を読めと添え書きしておくのもいい。

657 ：１３２人目の素数さん：2007/08/18(土) 02:19:09

>>656
そんな教授の作る問題は、定義だけで1000ページくらい
あるんだろうね。問題取り掛かる前に時間終わっちゃうよね。
そりゃ0点だよね。

658 ：１３２人目の素数さん：2007/08/18(土) 02:25:00

>>655
図形的に正三角形になることは見当がつけやすいですね。
「Zorn's Lemmaによりａ＝ｂ＝ｃに収束します。」
はよくわかりませんがググって調べます。

659 ：１３２人目の素数さん：2007/08/18(土) 09:09:31

>>654
だからそれ高校範囲じゃないってば

660 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/08/18(土) 13:03:47

xについての実数係数2次方程式x^2+ax+b=0が異なる2つの解がt,at+bの形で表されるとき、実数aのとりうる値の範囲を求めよ。

661 ：１３２人目の素数さん：2007/08/18(土) 13:35:05

tは何。
益田さんてそういうこと書かないよね。
方程式にはいつも実数係数とか書いてるくせに、後半でまた実数aとか繰り返してるし。

662 ：１３２人目の素数さん：2007/08/18(土) 13:49:40

とりあえず実数虚数に分けてやれば良いんじゃね
虚数にしたらいきなり確定されたけどな

663 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/08/18(土) 14:02:30

tに指定はありません。実数とは限りませんよ、ってことですが

664 ：１３２人目の素数さん：2007/08/18(土) 14:08:43

>661
お前がすでに罠にはまってる

665 ：１３２人目の素数さん：2007/08/18(土) 14:54:53

a≧-1/4

666 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/08/18(土) 15:05:47

>>665
それではまだ足りません。

667 ：１３２人目の素数さん：2007/08/18(土) 15:11:15

虚数のことすっかり忘れてた…

668 ：１３２人目の素数さん：2007/08/18(土) 15:38:51

a≠-1

669 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/08/18(土) 15:55:10

>>668
a≠-1ではなくa=-1です

670 ：１３２人目の素数さん：2007/08/18(土) 17:43:23

携帯からなんだが、
a＝‐1/4だと条件｢異なる２解｣
を満たさなくないか？

671 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/08/18(土) 19:01:07

>>670
「異なる2解」は満たしますよ。
a=-1/4のとき
t=1/2, b=-1/8
at+b=-1/4
となり、t≠at+bであり、重解ではありません。重解となるのはt=0,-1のときです。

672 ：１３２人目の素数さん：2007/08/18(土) 19:12:30

久しぶりに東大入試っぽい問題だったね

673 ：１３２人目の素数さん：2007/08/18(土) 19:51:32

>>670
そっか！どうもです。

674 ：１３２人目の素数さん：2007/08/18(土) 19:57:30

【問題】
3辺の長さがa，b，cである三角形の内接円の半径をr, 外接円の半径をR とする.
このとき, 不等式
　(a + b + c - 4R) /r ≦ 6√3 -8 = 2.39230484…,
が成り立つことを示せ.

等号は正3角形のとき,
直角3角形のとき左辺は2.

一松の問題と呼ぼう。(数セミ, 2007/09)

675 ：１３２人目の素数さん：2007/08/18(土) 21:02:23

(a + b + c - 4R) /r ≦ 6√3 -8
(S-4R)/r≦ 6√3 -8

面積が等しいでｆ（S,r,R)=0を作って微分するとか？

676 ：676：2007/08/18(土) 21:39:58

√(676) = 26 回払い

677 ：１３２人目の素数さん：2007/08/18(土) 22:41:59

三角関数であらわすと全部消えて角だけの式になるから、とりあえずCを固定して微分、その後Cで微分
しようと思ったけどﾏﾝﾄﾞｸｾ。簡単にならないかな

678 ：１３２人目の素数さん：2007/08/18(土) 22:49:13

S=abc/4R
r=2S(a+b+c)=2RsinAsinBsinc/sinA+sinB+sinC
与式=2R(sinA+sinB+sinC-2)/(2RsinAsinBsinc/sinA+sinB+sinC)
=(sinA+sinB+sinC)(sinA+sinB+sinC-2)/(SinAsinBsinC)

A+B+C=π
ここまでやった。後は知らん

679 ：１３２人目の素数さん：2007/08/18(土) 22:54:05

一松先生にお会いした事あるけど、もういい年だったよなぁ……

680 ：１３２人目の素数さん：2007/08/19(日) 00:16:20

Sr/2=A
2R(sina/2+sinb/2+sinc/2)=S=2A/r
(sina/2+sinb/2+sinc/2)/A=R/r
A=1
(sina/2+sinb/2+sinc/2)=R/r=p

681 ：１３２人目の素数さん：2007/08/19(日) 00:34:36

S/r=2A/r^2=2/r^2
(S-4R)/r≦ 6√3 -8
f=2/r^2-4(sina/2+sinb/2+sinc/2)

682 ：１３２人目の素数さん：2007/08/19(日) 01:48:59

3 2 5 20
2 5 6 15
4 8 7 20
1 〇 3 16

〇に入る数字は？

683 ：１３２人目の素数さん：2007/08/19(日) 02:05:18

>>682
〇＝７

684 ：１３２人目の素数さん：2007/08/19(日) 09:28:28

>等号は正3角形のとき

R=2r
(S-4R)/r=(S-8r)/r=S/r-8
S=3->r=3^.5/6
6*3^.5-8

Sを固定して、Rを与えると、cに対して、ｄ＝S-cの楕円とRの円との
交点がｒを与える。S-4R>0で最小のｒはS=2cでr=0。
でも２ｃ＞４Rだからｃ＞２Rが上限

685 ：１３２人目の素数さん：2007/08/19(日) 09:36:57

３数x,y,z の分散が定数となるx,y,zはどのような曲面か？

686 ：１３２人目の素数さん：2007/08/19(日) 10:30:42

>>685
範囲外だ馬鹿者

687 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/08/19(日) 16:21:03

kは1より大きい定数として，α,βをksinα=sinβ,0＜α＜β＜π/2をみたすように定めるとき，β/αはβの増加関数であることを示せ．

688 ：Zzz…：2007/08/19(日) 19:48:21

μを1未満の定数とすると…

μβ,βをk sinμβ=sinβ,
0＜μβ＜β＜π/2をみたすように定めるとき，
β/μβはβの増加関数であることを示せ．

と云ってるように思えます。

689 ：１３２人目の素数さん：2007/08/19(日) 19:52:26

>>688
そう言いかえたとこであまり意味ないと思うが

690 ：１３２人目の素数さん：2007/08/19(日) 20:05:31

そう言い換えたらβの関数でなくなる訳だが

691 ：１３２人目の素数さん：2007/08/19(日) 20:38:14

ksina=sinb
a=arcsink^-1sinb
u=b/a=barcsin^-1k^-1sinb
du

692 ：１３２人目の素数さん：2007/08/19(日) 21:04:18

S=4R+a
S-4R=a
Sr/2=3^.5/4(S/3)^2
r=(3^.5/8*9)S
(S-4R)/r=(a/(4R+a))(3^.5/8*9)^-1

693 ：１３２人目の素数さん：2007/08/20(月) 02:14:02

Ｓｒ／２＝Ａ＝１
ｒ＝２／Ｓ
（Ｓ－４Ｒ）／ｒ＝Ｓ（Ｓ－４Ｒ）／２
Ｓ＝CONST
ｍｉｎＲ＝正三角形

694 ：１３２人目の素数さん：2007/08/20(月) 20:35:31

>>674
α=tan(45ﾟ+A/2),β=tan(45ﾟ+B/2),γ=tan(45ﾟ+C/2)
x=a/(b+c-a),y=b/(c+a-b),z=c/(a+b-c)　とすると
1/x+1/y+1/z=1
1/α+1/β+1/γ≧6-3√3　がいえる。問題の不等式は変形すると
x/(β+γ)+y/(γ+α)+z/(α+β)≧12-6√3
を示せばよいことになる。ここら辺から示せそう

695 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/08/21(火) 14:07:42

5^70+7^70の桁数を求めよ．必要ならば常用対数log2=0.3010,log3=0.4771を用いてもよい．

696 ：１３２人目の素数さん：2007/08/21(火) 23:04:49

問題間違えてない？？

697 ：１３２人目の素数さん：2007/08/22(水) 00:49:37

4角形ABCDのどの角も2直角より小さいとする.
この4角形内に点Oがあり，Oを通るどの直線によっても4角形の面積が2等分されるという.
この時，4角形ABCDは平行4辺形であり，Oは2つの対角線の交点であることを証明せよ

698 ：１３２人目の素数さん：2007/08/22(水) 02:38:22

ニュートン線考えれば瞬殺

699 ：１３２人目の素数さん：2007/08/22(水) 02:40:44

ニュートン線を証明するための補題だった

△ABP+△CDPが一定となる点Pの軌跡
△BCQ+△ADQが一定となる点Qの軌跡

700 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/08/22(水) 03:05:03

>>696
あまりない形なのでこの問題見せたらみんな「間違えてない？」と言いますが、間違いはないですよ。数値をよく考えたら分かります。

701 ：１３２人目の素数さん：2007/08/22(水) 04:21:02

もし益田さんが120分6題で地底未満（神戸辺り？）の受験生対象に
試験つくるとしたらどんな問題出しますか？

5^50(1.2^50)＜5^50(1+1.4^50)＜5^50(1.5^51)かなぁ？

702 ：１３２人目の素数さん：2007/08/22(水) 06:40:07

>695
　7^2 = 49,
20√6 = √(48*50) < 7^2 < 50 = (10^2) /2,
　1.6901 < 2*log(7) < 1.6990
これを 35 倍すると
　59.153 < 70*log(7) < 59.465
また
　log(5) = log(10/2) = 1 - log(2) = 0.6990
これを70倍すると
　70*log(5) = 48.928,

703 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/08/22(水) 09:00:59

>>702
御名答。5^n+7^nではnが大きくなれば7^nの桁数しか問題になりません。ただ、7^n＜999…9900…00であることを示しておく必要ありますけどね。
>>701
こういう問題でしょうか。
a,bは実数とする．xについての関数f(x),g(x)をf(x)=x^2-1,g(x)=|ax+b|と定める．
(1) f(x)=g(x)の実数解の個数を求めよ．
(2) f(x)=g(x)の全ての実数解の総和が0となるとき，(a,b)の範囲を図示せよ．

704 ：１３２人目の素数さん：2007/08/22(水) 11:31:26

>>695
>>703
完敗しますた…なるほど、5^70は無視できるのか…良問ですな

705 ：１３２人目の素数さん：2007/08/22(水) 13:26:32

>>704
数学やってる奴なら見た瞬間に気付くだろ

706 ：１３２人目の素数さん：2007/08/22(水) 13:46:44

>>705
受験生はなかなか気づかんだろ

707 ：１３２人目の素数さん：2007/08/22(水) 19:55:15

それよりも常用対数log2とlog3を使ってlog7を挟むやり方が思いつかんかった‥答え見たら当たり前なんだけどな～。

708 ：１３２人目の素数さん：2007/08/24(金) 00:14:00

重量不明の５つの物を、２体比較を何回か繰り返して、重い順に並べ替えたい。
何回比較が必要か？
その回数で可能であること、及び、その回数未満では不可能なこと
これらを十分な論拠を持って示せ。

709 ：１３２人目の素数さん：2007/08/24(金) 02:21:46

MASUDAさん、実際東大受験生は解けるんですか？

710 ：１３２人目の素数さん：2007/08/24(金) 03:48:27

2つの連続する自然数の間に
・ad=bc
・a<b<c<d
なる自然数a,b,c,dは存在しないことを示せ。

711 ：１３２人目の素数さん：2007/08/24(金) 03:49:09

訂正

2つの連続する平方数の間に
・ad=bc
・a<b<c<d
なる自然数a,b,c,dは存在しないことを示せ。

712 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/08/24(金) 03:50:31

>>709
どの問題のことをおっしゃられてるんですか？

713 ：１３２人目の素数さん：2007/08/24(金) 03:57:36

>>712
今まで出した問題においてです
実際受験生の半分くらいは解けるんですかね？

714 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/08/24(金) 08:34:55

いつぞやの積分の問題はともかく、それ以外はそこまで無理な難問ではないですよ。東大受験生なら４割くらいの人は解けるかと。

715 ：１３２人目の素数さん：2007/08/24(金) 09:05:22

>>711
少なくともd≧2b＞2a+1
もし
n^2＜a＜d＜(n+1)^2
であれば
2n^2+1＜d＜2(n+1)^2
2n^2+2＜(n+1)^2
∴(n-1)^2＜0
よって矛盾

716 ：１３２人目の素数さん：2007/08/24(金) 18:00:00

a=6.
b=8.
c=9.
d=12.

717 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/08/24(金) 18:38:55

(1) aを正の偶数，bを2以上の整数とする．a^b-1,a^b+1がいずれも素数となるような(a,b)を全て求めよ．
(2) kを正の整数とする．2数6k-1,6k+1がいずれも合成数となるようなkは無数に存在することを示せ．

718 ：１３２人目の素数さん：2007/08/24(金) 21:26:30

(1)bが3以上の奇数だと、a^b+1がa+1で割り切れ、a^b+1>a+1>2よりa^b+1は素数でない。
　　bが4以上の偶数だと、a^b-1がa^2-1で割り切れ、a^b-1>a^2-1>3よりa^b-1は素数でない。よってb=2
　　a^2-1=(a-1)(a+1)でこれが素数なので、a-1=1すなわちa=2。これはaが偶数であること、a^2-1,a^2+1が共に素数であることを満たし、条件に合致する。
　　よって(a,b)=(2,2)
(2)(1)を無視すると、k=35m+1(mは正整数)のとき、6k-1は5の倍数、6k+1は7の倍数となり、共に素数でないのは明らか。
　　よって条件を満たすkは無限に存在する。

719 ：１３２人目の素数さん：2007/08/24(金) 22:00:19

ここの問題が解けないからといって悲観する必要はない
こいつらは受験生の域を超えた問題を出しまくってる

720 ：１３２人目の素数さん：2007/08/24(金) 22:17:55

719の域はとっくに超えている

721 ：１３２人目の素数さん：2007/08/24(金) 22:29:35

>719
お前のレベルが低いだけだろ。たいがいCレベルだぞw

722 ：１３２人目の素数さん：2007/08/24(金) 23:51:26

3の2000乗の下5桁の数を求めよ

723 ：１３２人目の素数さん：2007/08/24(金) 23:56:53

>>716は>>715の反例か。

724 ：１３２人目の素数さん：2007/08/25(土) 00:52:02

>>722
00001

725 ：１３２人目の素数さん：2007/08/25(土) 01:30:16

3辺の長さがa，b，cである三角形の外接円の半径をRとする．不等式
　　1/a + 1/b + 1/c ≧ √3/R
が成り立つことを示せ．また，等号の成立条件を求めよ．

726 ：725：2007/08/25(土) 01:36:11

タダの計算問題：

関数f(x) = cos(x) cos(2x) cos(3x)の取りうる値の範囲を求めよ．

727 ：１３２人目の素数さん：2007/08/25(土) 01:36:12

正弦定理と予想

728 ：１３２人目の素数さん：2007/08/25(土) 01:39:37

最大値は間違いなく１
最小値わからん

729 ：725：2007/08/25(土) 01:47:40

>>726の答は，ワタシの計算が正しければ，
　　(10 - 7√7)/108 ≦ f(x) ≦ 1
です．

730 ：１３２人目の素数さん：2007/08/25(土) 02:21:58

>>729
僕も答えが一致しました
2倍角・3倍角で展開→微分という方針

731 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/08/25(土) 02:44:16

全成分が実数の2次の正方行列A，2次の単位正方行列をEとする．
A+Eの行列式をx，
A-Eの行列式をy，
A^2+A+Eの行列式をz，
と定める．1≦z≦2であるとき，x,y,zを座標とする点(x,y,z)の存在領域の体積を求めよ．

732 ：１３２人目の素数さん：2007/08/25(土) 06:04:52

今年の入試良問ランキング教えてくれ

とりあえず京大の素数の問題は10本の指に入ると思うんだが

733 ：１３２人目の素数さん：2007/08/25(土) 06:26:37

今年はあれが一番だろ

734 ：１３２人目の素数さん：2007/08/25(土) 06:33:25

ああ、あれか。

735 ：１３２人目の素数さん：2007/08/25(土) 09:33:44

自作問題。高校の範囲をギリギリ超えているかもしれない。

f：R→(0,＋∞)は連続とする。任意のx∈Rに対して、
a[0]＝x , a[n＋1]＝a[n]＋f(a[n]) (n＝0,1,2,…)で
定義される数列{a[n]}は発散することを示せ。

736 ：１３２人目の素数さん：2007/08/25(土) 10:05:27

>725
〔補題〕
　s(x)>0, s(x) が上に凸 ⇒ 1/s(x) は下に凸。
(略証)
　{1/s(x)}' = - s'(x)/s(x)^2,
　{1/s(x)}" = {2s'(x)^2 - s(x)s"(x)}/s(x)^3,
　s(x)>0, s"(x) <0　⇒　{1/s(x)}" >0,
あとは凸不等式で

>726
　cos(2x) =z とおく。-1≦z≦1,
cos(x)cos(3x) = (1/2){cos(4x) + z} = z^2 +z/2 -1/2 = (z+1)(z -1/2),
　f(x) = z(z+1)(z -1/2) = g(z),
　g(z) = (1/3)(z +1/6)g'(z) + (1-14z)/36,
　g'(z)=0 の根は a=(-1-√7)/6, b=(-1+√7)/6,
　g(-1)= 0,
　g(a) = (1-14a)/36 = (10+7√7)/108 ≒ 0.264076474…
　g(b) = (1-14b)/36 = (10-7√7)/108 ≒ -0.078891288…
　g(1) = 1,
　>729 のとおり。

737 ：１３２人目の素数さん：2007/08/25(土) 10:19:29

長方形ＡＢＣＤの　辺ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡの中点をＥ、Ｆ、Ｇ、Ｈ、長方形の中心をＯとする。

（１）三次関数ｆ(x) の変曲点がＥ、極小値をとる点がＦのときｆ（ｘ）は点Ｄを通ることを示せ。
（２）ｆ（ｘ）とＯＧの交点をＩとするとき、次の面積比を求めよ。
　　（領域ＡＥＯＨ）：（領域ＯＥＦ）：（領域ＥＢＦ）：（領域ＯＦＩ）：（領域ＩＦＣＧ）：（領域ＨＯＩＤ）：（領域ＤＩＧ）
　　　　

738 ：１３２人目の素数さん：2007/08/25(土) 10:26:16

>735
いきなりf：R→と書いてる時点ですでに範囲外

739 ：１３２人目の素数さん：2007/08/25(土) 10:29:30

>737
EG：EO=√3：2を使う

740 ：１３２人目の素数さん：2007/08/25(土) 10:30:25

>739
間違えた
EI：EG=√3：2

741 ：１３２人目の素数さん：2007/08/25(土) 10:39:14

>>738
それは難癖というものだ。

742 ：１３２人目の素数さん：2007/08/25(土) 11:16:06

ますださん、コマネチ大学数学科デビューおめでとうございます。　このスレからも問題がスカウトされたりして。。

743 ：１３２人目の素数さん：2007/08/25(土) 13:07:53

正十二面体を平面で切断したときの断面を考える。
1. 断面となる多角形の辺の本数は、最大でいくらか。
2. 断面となる多角形の面積は、最大でいくらか。但し、正十二面体の一辺の長さを1とする。

744 ：１３２人目の素数さん：2007/08/25(土) 14:30:01

>>731
4z=3(x-1)^2+(y-3)^2なので2√3

745 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/08/25(土) 16:27:05

全実数で定義された関数f(x),g(x)が，任意の実数x,yについて以下の条件を満たしている．
f(x+y)≧f(x)f(y)
f(x)≧x+1
(1) f(x)≧{f(x/n)}^n
が成り立つことを示せ．
(2) f(x)を求めよ．

※微分方程式を使うのは高校範囲外なのでできれば使わない方法を．

746 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/08/25(土) 16:40:11

>>742
どうもです。デビューもなにも2題使われるだけです。しかも片方は入試問題ですから。

747 ：１３２人目の素数さん：2007/08/25(土) 20:00:42

>>745
＞全実数で定義された関数f(x),g(x)が，任意の実数x,yについて以下の条件を満たしている．
g(x)？

748 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/08/25(土) 20:31:26

>>747
あっ、余分でした。g(x)は無視しといてください。

749 ：749：2007/08/25(土) 21:04:31

7=√(49)

750 ：１３２人目の素数さん：2007/08/25(土) 21:07:19

http://love6.2ch.net/test/read.cgi/ex/1187337579/l50

↑小中学生より知能の低い文系私立障害者のメッカ
こんな所に書いて願いが叶うと思うなんてどこまで馬鹿なんだ？
小学生でもそんなこと思うまいｗ

よかったら荒らしてやってｗ
「チンピラゴロツキ」書き込みをコピペするだけでいいから

751 ：１３２人目の素数さん：2007/08/25(土) 22:14:47

(1) f(x)=f(n(x/n))≧f(x/n)*f(x/n)*・・・*f(x/n)による。
(2) (1)より、f(x)≧(1+(x/n))^n → e^x (n→∞)
がすべてのxで成り立つ。よって、f(x)≧e^x (☆)
また特に、f(0)≧{f(0)}^2かつf(0)≧0+1よりf(0)=1
ここで、あるsでf(s)>e^sであるとする。このとき、
f(0)≧f(-s)f(s)より1≧f(-s)f(s)>e^s f(-s)
よってf(-s)<e^(-s)
これは(☆)に反する。
すなわち、すべてのxでf(x)≦e^x (☆☆)
以上(☆)、(☆☆)より、f(x)=e^x

752 ：１３２人目の素数さん：2007/08/25(土) 22:26:12

>>735
数列{a_[n]}が定数αに収束するならば、
α=α+f(α)
つまりf(α)=0
これはf(α)>0に反する。

753 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/08/26(日) 03:23:08

a,b,cはabc=1を満たす実数である．p,qが1≦p≦qを満たすとき，以下の不等式が成り立つことを示せ．
　a^p+b^p+c^p≦a^q+b^q+c^q

754 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/08/26(日) 03:24:12

>>753
「a,b,cは正」を追加しといてください。

755 ：１３２人目の素数さん：2007/08/26(日) 03:28:36

行列の回転移動の公式を導出せよ
ただし加法定理は用いてはならない

756 ：１３２人目の素数さん：2007/08/26(日) 03:49:55

行列の回転移動とはまた斬新な。

757 ：１３２人目の素数さん：2007/08/26(日) 03:57:59

加法定理は用いてはならないって
加法定理の導出証明と同じことすりゃいいだけじゃないの？
とりあえず図はかけないんでいい加減になってしまうが

ベクトルe1,e2を単位ベクトル、e1,e2を座標系を反時計回りにβ回転したときの単位ベクトルをそれぞれe1',e2'とする
今ある点Pを(x,y)=e1*x+e2*y=e1*rcosα+e2*rsinαとする。
反時計回りに回転したときの座標系からは
Pはe1'*rcos(α-β)+e2'*rsin(α-β)となる
Pをβだけ時計回りに回転させたときの座標は座標軸を反時計回りにβだけ回転したときの座標と等しい。

座標を回転させても原点は変わらないので位置ベクトルも変わらず
Pの位置ベクトルについてe1*rcosα+e2*rsinα=e1'*rcos(α-β)+e2'*rsin(α-β)・・・①
単位ベクトルについては
e1=e1'*cosβ-e2'*sinβ、e2=e1*'sinβ+e2'*cosβ
これを①の左式に入れ、右式と比較する。
このことから、rを時計周りにβだけ回転すると
座標は(rcosα、rsinα)→(r(cosαcosβ+sinαsinβ),r(-sinβcosα+sinαcosβ))→(xcosβ+ysinβ,-ysinβ+xcosβ)
普通の回転(反時計回りにβ回転する)はβを-βに書き換え
以上により、回転行列が導き出せる

これじゃだめか？

758 ：１３２人目の素数さん：2007/08/26(日) 04:01:24

>>753
不等式タン(;´Д｀)ﾊｧﾊｧ

759 ：１３２人目の素数さん：2007/08/26(日) 04:05:12

公式の縛り証明って面白いよな

760 ：１３２人目の素数さん：2007/08/26(日) 04:15:20

>>753
a=b=c=1のときは自明。
それ以外のときはa≧b≧c (a>1>c)として一般性を失わない。
f(x)=a^x+b^x+c^xとする。
f'(x)=a^x log a+b^x log b+c^x(-log a-log b)
=(a^x-c^x)log a+(b^x-c^x)log b
b≧1でf'(x)>0
c≦b<1のとき，f'(x)≧(a^x-b^x)log a+(b^x)log b=a^x-b^x(1+log b)
x<1でlog x<x-1 より 1+log b<b
よって，f'(x)=a^x-b^(x+1)>0

761 ：１３２人目の素数さん：2007/08/26(日) 04:26:07

(1，0) → (cos θ，sin θ)
(0，1) → (-sin θ，cos θ)

762 ：１３２人目の素数さん：2007/08/26(日) 05:52:19

今年の入試良問ランキング教えてくれ

763 ：１３２人目の素数さん：2007/08/26(日) 08:25:22

>>753
p＝qのときは明らかなので、p＜qのときを考える。0＜xに対して{x^(q－p)－1}(x^p－1)≧0
であるから、変形してx^q－x^p≧x^(q－p)－1 となる。仮定よりa,b,c＞0であるから、
(a^q＋b^q＋c^q)－(a^p＋b^p＋c^p)≧a^(q－p)＋b^(q－p)＋c^(q－p)－3となる。
相加相乗平均の不等式よりa^(q－p)＋b^(q－p)＋c^(q－p)≧3(abc)^{(q－p)/3}＝3と
なるので、求める不等式を得る。

764 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/08/26(日) 11:39:23

>>760
>>763
御名答。やぱ対称系の不等式はあっさりと解かれてしまいますな

765 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/08/26(日) 11:55:44

nを自然数とする．4n+1個の整数1,2,…,4n+1の中から2n+1個を選んで順列をつくるとき，偶数が必ず偶数番目にあるような並べ方の個数をa[n]，偶数番目が必ず偶数となるような並べ方の個数をb[n]とする．
lim[n→∞] a[n]/b[n]を求めよ．

766 ：１３２人目の素数さん：2007/08/26(日) 13:04:11

>>753,764　相乗平均≦相加平均と乱順序積≦同順序積　より　左辺 ≦ (a^p+b^p+c^p)*(abc)^((q-p)/3) ≦ (a^p+b^p+c^p)*{a^(q-p)+b^(q-p)+c^(q-p)}/3 ≦ 右辺

767 ：１３２人目の素数さん：2007/08/26(日) 13:13:40

>>765
a[n]について・・・偶数をk個(k≦n)使う場合、それらを偶数番目に
置く方法はnPk、残り(2n+1-k)個に奇数を並べる方法は (2n+1)P(2n+1-k)
よって、a[n]=Σ[k=1 to n] (nPk)*((2n+1)P(2n+1-k))=(2^n-1)*((2n+1)!)
b[n]について・・・偶数番目が必ず偶数 ⇔ 奇数は必ず奇数番目
よって、b[n]=Σ[k=1 to n+1] ((n+1)Pk)*((2n)P(2n+1-k))=(2^n)*(n+1)*((2n)!)
ゆえに求める極限は2

768 ：１３２人目の素数さん：2007/08/26(日) 13:55:04

>>762
何を以て良問とするかの定義は難しい。個人的には
① 1，11，111，・・・の第100項までの和の下10桁 (岩手大)
② x^n (n≧2)をx^2-6x-12で割った余りについて (東北大)
③ 三角関数の周期 (山梨医、九州大)
④ ωの計算 (早大理工)
⑤ 正方形に属する線分の長さ (上智法律)
なんかが印象的だった。

769 ：１３２人目の素数さん：2007/08/26(日) 14:00:51

>>767
違うくね？

770 ：767：2007/08/26(日) 14:22:47

少なくとも偶数が0個の場合を忘れた orz
というか、解き方が下手というか、気に入らない。
昼寝してから考え直すわ

771 ：１３２人目の素数さん：2007/08/26(日) 15:08:14

>>753,760,763,764,766
こんな方法も。
http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/d/%b8%c4%ca%cc%a4%ce%cc%e4%c2%ea%b2%f2%c5%fa#content_5

772 ：１３２人目の素数さん：2007/08/26(日) 20:40:13

3の2000乗の下5桁の数字を求めよ

773 ：１３２人目の素数さん：2007/08/26(日) 20:48:18

a^p+b^p+c^p≦a^q+b^q+c^q
G=a^p+b^p+c^p-s(abc-k)
Ga=pa^p-1-sbc=0->pa=sabc=sk
Gb=pb^p-1-sac=0->pb=sk
Gc=pc^p-1-sab=0->pc=sk
Gs=abc-k=0
abcp^3=s^3k^3=kp^3
s=pk^-2/3,a=b=c=k^1/3
a^p+b^p+c^p=3k^p/3

774 ：１３２人目の素数さん：2007/08/26(日) 20:52:58

1
11
111
...
100
990
9800
...

775 ：１３２人目の素数さん：2007/08/26(日) 21:14:56

本番約半年前ということで実践っぽい易セットを。
1.x,y,zは実数でcosx+cosy+cosz=1/4 cos2x+cos2y+cos2z=-7/8を満たす。
このときcosx*cosy*coszの取り得る値の範囲を求めよ。
2.x,y,zを正の実数とし、正整数nに対して数列p(n),q(n),r(n)はp(1)=x,q(1)=y,r(1)=z,p(n+1)=√{q(n)r(n)},q(n+1)=√{r(n)p(n)},r(n+1)=√{p(n)q(n)}を満たす。
(1)p(n+2)をp(n+1)とp(n)を用いて表せ。
(2)lim[n→∞]p(n)=lim[n→∞]q(n)=lim[n→∞]r(n)を示せ。
3.z≧x^2+y^2,x+y+z≦4を満たす領域の体積を求めよ。

776 ：１３２人目の素数さん：2007/08/26(日) 21:15:54

4.(1)nを2以上の整数とし、z=cos(2π/n)+isin(2π/n)とする。
このときΠ[k=1,n-1] (1-z^k) の値を求めよ。
(2)Π[k=1,n] tan{kπ/(2n+1)}の値を求めよ。
5.一辺の長さが1の立方体ABCD-EFGHの点Aに動点Pが、点Gに動点Qがある。
二つの動点は毎秒1の速さで動き、n秒後(nは非負整数)には自分のいる頂点から伸びる辺のうち相手の動点がいない辺から等確率に一つ選んで進む。
(1)P,Qがn秒後までにあう確率を求めよ。
(2)n秒後にPQの長さが1である確率を求めよ。
6.(1)xy平面上で直線lは点(-1,0)を通り傾きの値が有理数である。
このとき直線lと単位円との２交点の座標はx,y共に有理数であることを示せ。
(2)y^2=x^3+3,y>0の有理数解(x,y共に有理数である解)を２つ求めよ。

777 ：１３２人目の素数さん：2007/08/26(日) 21:35:05

>>765
(2n+1)/(3n+1)→2/3でしょうか？

778 ：１３２人目の素数さん：2007/08/26(日) 21:36:48

>>771
バカ正直に展開して凄いことになってる証明があってワロタｗ

779 ：１３２人目の素数さん：2007/08/26(日) 22:38:28

y^2-x^3=3
1,2

780 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/08/26(日) 23:48:16

>>776
４番が高校範囲外となります

781 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/08/27(月) 00:08:34

1を少なくとも1つ含む自然数を小さいものから並べた数列
　1,10,11,12,…
を{a[n]}とする．
(1) A[n]=1/a[1]+1/a[2]+…+1/a[n]とする．n→∞のときA[n]は発散することを示せ．
(2) S[n]=a[1]+a[2]+…+a[n]
T[n]=1+2+3+…+(a[n]-1)+a[n]
とするとき，
lim[n→∞]S[n]/T[n]を求めよ．

>>777
正解です

782 ：776：2007/08/27(月) 00:10:48

>>780
複素数ってアウトでしたっけ？そもそも問題がおかしかったでしょうか
悪問失礼しました。

783 ：１３２人目の素数さん：2007/08/27(月) 00:23:20

Πがoutなんでしょ

784 ：784：2007/08/27(月) 00:35:39

√(784) = 28 蕎麦っ　　ちゅるるん

785 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/08/27(月) 00:37:24

>>782
Πも範囲外の記号なんですが、それ以外に、ド・モアブルの定理が現行課程では範囲外にされてしまったからです。ちなみに複素数は範囲として残っています(絶対値、極形式、複素数平面は範囲外になりました)

786 ：１３２人目の素数さん：2007/08/27(月) 00:39:55

うっそー・・・
そういったことやらないんだ

787 ：１３２人目の素数さん：2007/08/27(月) 01:03:25

最低限、高校の教育課程くらい把握して出題しろよ。

788 ：１３２人目の素数さん：2007/08/27(月) 01:04:30

>>783
>>738もそうだが、こういうスレで記号についてツッコミを入れるのはナンセンスだろ。
そんなのは本質ではないし、実際の入試でも、高校では習わない記号を(もちろん説明つきで)
使ってる問題もあるし。

789 ：１３２人目の素数さん：2007/08/27(月) 01:10:01

y^2-x^3=3
y=a^3,x=b^2
a^6-b^6=3
(a^3-b^3)(a^3+b^3)=3
a^3+b^3=1
a^3-b^3=3
a^3=2=y
b^3=-1->b=-1,x=1
a^3+b^3=3a
a^3-b^3=1/a
a^3=(3a+1/a)/2=y
b^3=(3a-1/a)/2=x^3/2

790 ：１３２人目の素数さん：2007/08/27(月) 01:20:48

(3a^2-1)^2/4a^2=x^3
a=(2k+1)^3
3a^2-1=t^3
a^2=(t^3+1)/3=(2k+1)^6

791 ：１３２人目の素数さん：2007/08/27(月) 06:35:15

突然で申し訳ないですが、質問です。
>>726の関数に最小値を与えるxの値を具体的に求めることは可能でしょうか？
cos(2x) = (-1 + √7)/6を満たすxを求めればいいんですが。

792 ：１３２人目の素数さん：2007/08/27(月) 08:20:24

マルチで大変恐縮なのですが、こちら↓の問題を解ける方いらっしゃいましたら、
こちらにレスして下さるとありがたいです。失礼します。
ttp://oshiete1.goo.ne.jp/qa3289982.html

793 ：１３２人目の素数さん：2007/08/27(月) 08:30:18

加法定理を図を用いずに証明せよ

794 ：１３２人目の素数さん：2007/08/27(月) 08:44:58

>>793
内積で示せばおK

795 ：１３２人目の素数さん：2007/08/27(月) 08:46:49

図を用いずにってすごいな。

796 ：１３２人目の素数さん：2007/08/27(月) 09:38:26

>>793

p=(cos(a), sin(a)), q=(cos(b), sin(b)), r=(cos(a-b), sin(a-b)), s=(1,0)
に対し、|p-q|=|r-s| だから、cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b) と求められる。以下同様

797 ：１３２人目の素数さん：2007/08/27(月) 09:42:17

>>796
これマジなら綺麗な証明だな

798 ：１３２人目の素数さん：2007/08/27(月) 13:41:48

> p=(cos(a), sin(a)), q=(cos(b), sin(b)), r=(cos(a-b), sin(a-b)), s=(1,0)
> に対し、|p-q|=|r-s| だから、cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b) と求められる。以下同様

799 ：１３２人目の素数さん：2007/08/27(月) 22:54:30

|p-q|=|r-s|は図を使わずにどうやって証明するの？

800 ：１３２人目の素数さん：2007/08/28(火) 00:08:25

教科書にある定理にせよ内積による証明にせよ、結局は|p-q|=|r-s|を前提で始めるわけで、この時点で図形をすでに使っているわけだが
図形を使わんやり方は循環論法におちいるしかない

801 ：１３２人目の素数さん：2007/08/28(火) 00:16:49

cos(x)=(exp(ix)+exp(-ix))/2
sin(x)=(exp(ix)-exp(-ix))/(2i)
と定義した上で、ガツガツ計算するとかかな。

802 ：１３２人目の素数さん：2007/08/28(火) 00:21:57

「図形を用いずに」
という、無意味な制約をつける時点で、
東大らしからぬ問題だろうな。

803 ：１３２人目の素数さん：2007/08/28(火) 00:34:19

>>801
それはもちろん高校の範囲を超えてるしな

804 ：１３２人目の素数さん：2007/08/28(火) 00:35:15

「以下、全ての図形は頭の中でイメージする事」

805 ：１３２人目の素数さん：2007/08/28(火) 01:02:34

鉄筋コンクリートで出来た直方体の的がある。
少し離れたところから、金属製の三角板を投げ、
直方体に突き刺す。
直方体だった立体の、3年後までの体積変化を記述せよ。

806 ：１３２人目の素数さん：2007/08/28(火) 01:09:09

「図形を用いずに」は、「集合論を基礎とせずに」と同義だと捉えている俺。
従って、図形を用いずに何かを証明しろというのは無理難題すぎる。

807 ：１３２人目の素数さん：2007/08/28(火) 06:03:23

2より大きい整数nを固定する。n個の任意の正の数、a_1、a_2、a_3、・・・、a_nに対して不等式

K<a_{1}/(a_{1}+a_{2})+a_{2}/(a_{2}+a_{3})+ ・・・ +a_{n}/(a_{n}+a_{1})<G

が成り立つような定数Kの最大値と定数Gの最小値を求めよ。

808 ：793：2007/08/28(火) 06:31:33

ごめん、悪問だった

809 ：１３２人目の素数さん：2007/08/28(火) 06:43:32

確率の問題あまり無いですね
やっぱ趣向があるのかな

出来れば設定が単純で問題文が短くて難度がB～C程度の見てみたいです

810 ：１３２人目の素数さん：2007/08/28(火) 07:26:47

3人でじゃんけんを繰り返し、一人の優勝者を決める。
ただし、負けた人は次の回から参加しないものとする。
また、あいこも1回と数える。
(1) ちょうどn回目で優勝者が決まる確率を求めよ。
(2) 優勝者が決まるまでに要するじゃんけんの回数の期待値を求めよ。

811 ：１３２人目の素数さん：2007/08/28(火) 07:35:58

B難度かつ頻出のものを。
立方体の6つの面に1，2，3，4，4，4の数字を書いた，
変則的なサイコロがある。このサイコロをn回振り，
出た目を順にX[1]、X[2]、・・・、X[n]とする。
(1) 積X[1]*X[2]*X[3]*・・・*X[n] が4の倍数となる確率を求めよ。
(2) 和X[1]+X[2]+X[3]+・・・+X[n] が4の倍数となる確率を求めよ。

812 ：１３２人目の素数さん：2007/08/28(火) 07:47:37

>>807
Kの最大値1
Gの最小値n-1
97年愛媛大(改作)

813 ：１３２人目の素数さん：2007/08/28(火) 07:57:19

幾何分布の有名問題で。大学入試としては(2)が少し難しい？
サイコロを繰り返しn回ふる。
(1) 1の目が初めて出るまでにふった回数の期待値を求めよ。ただし、
n回目まで1度も1が出なかったときは「n回ふった」と解釈せよ。
(2) 1の目が初めて2回連続で出るまでにふった回数の期待値を求めよ。
ただし、n回目までに1が連続して出なかったときは、「n回ふった」と
解釈せよ。

814 ：１３２人目の素数さん：2007/08/28(火) 08:06:17

これも有名問題だけど、(2)は少し難しい？
A君、B君を含む2^n人 (n≧2)でトーナメント方式の試合を行う。
(1回戦の組み合わせは、くじ引きにより決めるものとする)
ただし、各試合に引き分けはなく、実力が同じ者同士が試合をして
一方が勝つ確率は1/2であるとする。また、以下でpは0<p<1なる定数とする。
(1) B君は他の誰と対戦しても常に確率pで勝ち、B君以外(2^n)-1人の
実力は同じであるとする。この場合、A君が優勝する確率を求めよ。
(2) A君とB君は互いに実力が等しく、残りの(2^n)-2人も互いに実力が
等しいとする。また、A君はB君以外の(2^n)-2人と対戦した場合、
常に確率pで勝つ(B君も同様)。このとき、A君が優勝する確率を求めよ。

815 ：１３２人目の素数さん：2007/08/28(火) 08:34:57

無駄に新課程チックに。
A、B、O、Eはいずれも2次正方行列で、Oは零行列、Eは単位行列
とする。また、A、Bは問題最後尾のように定める。6個の行列の積
P=C*D*F*G*H*Jを考える。ただし、C～JにはそれぞれA、B、O、Eの
うち1つを確率1/4ずつで当てはめるとする。

(1) Pの計算結果として考えられるものは何通りあるか。
(2) P=Eとなる確率を求めよ。

以下A、Bの定義。2次正方行列の成分を(左上 \ 右上 \\ 左下 \ 右下）
で表す。(例えばE=(1 \ 0 \\ 0 \ 1)となる。)
A=(0 \ 1 \\ 1 \ 0)、B=-(1/2)* (1 \ √3 \\ -√3 \ 1)

816 ：１３２人目の素数さん：2007/08/28(火) 08:58:41

>>815
ほとんど同じ問題が京大で出てる

817 ：１３２人目の素数さん：2007/08/28(火) 09:12:29

>>816
京大のよりシンプルにしたつもりだが、どうだろうか？
個人的には問題の出来より、行列の書き方が受け入れられるか
の方がはるかに心配だwww

818 ：１３２人目の素数さん：2007/08/28(火) 09:25:17

本来の趣旨と異なる方向に突っ走る問題。
nを正の整数とする。
意味はないけれどむしゃくしゃしたから、0～nから2つの数を無作為に
選び、順にp、qとする(ただし、同じ数字を繰り返し選んでよい)。
p≧qの場合は q*(pCq) 回だけ「でん」を繰り返し言う。
p<q の場合は、「武勇伝！」と叫び、ポーズを決める。
(1) 「武勇伝！」と叫ぶ確率を求めよ。
(2) 口にする「でん」の回数の期待値を求めよ。

819 ：１３２人目の素数さん：2007/08/28(火) 10:16:05

イオン化傾向Mg～Agまで覚えよう。
-120以上120以下の整数から、無作為にk個(0≦k≦241)の整数を選ぶ。
(1)、(2)の各場合について、まず、kにあなたの好きな数を1つ
設定し、次に、選んだk個の数字の和の期待値を求めなさい。なお、
(1)と(2)でkの値は異なっていてもよい。また、得られた期待値を
各設問におけるあなたの得点とする。
(1) 異なるk個の数字を選ぶ場合。
(2) 重複を許してk個選ぶ場合。

820 ：１３２人目の素数さん：2007/08/28(火) 10:40:11

何この京大の類題だらけの掲示板はｗ

821 ：１３２人目の素数さん：2007/08/28(火) 10:50:11

>>820
同じ奴が連続投稿で問題出してるからね。やみくもにいっぱい出せばいいってもんでもないだろうに。

822 ：１３２人目の素数さん：2007/08/28(火) 10:51:30

>>820
ゴメンよ。>>809 が「設定が単純でB～C難度の問題を見たい」って言うから、
てきと～に問題作ったら、こんな風になってしまった orz
さすがに>>811 >>815 の設定と >>819 の問題文は反省しているよ www
でも、ここ3年の東大の確率が以前より単純化している状況を鑑みると、
この程度でも(>>809 が要求したレベルの)練習になるかと。

823 ：１３２人目の素数さん：2007/08/28(火) 12:33:39

京大、はじまったな

824 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/08/28(火) 13:28:52

xy平面上に動点P(x,y)およびQ(x^2-y^2,2xy)がある．
(1) 原点O(0,0)を通らない直線Lがあり，L上をPが動くとき，Qの軌跡はどのような図形になるか．
(2) 原点Oを中心とする半径1の円に内接する正6角形Tがあり，Tの周および内部をPが動くとき，Qの動く領域の面積を求めよ．

825 ：１３２人目の素数さん：2007/08/28(火) 14:17:37

正三角形
2007年8月11日 9:39:41 GOLD
半径1の円Cに外接する正三角形ABCがある。
点XをCの円周上の点とし、点Xから辺BC,CA,ABに下ろした垂線の足をそれぞれP,Q,Rとする。
点XがCの円周を一周するとき、PX+2QX+3RXの最大値と最小値を求めよ。
よろしくお願いします。

2007年8月11日 12:22:07 益田
正三角形ABCの外心(重心)をOとすれば、
v(OP)=(v(OB)+v(OC))/2
v(OQ)=(v(OC)+v(OA))/2
v(OR)=(v(OA)+v(OB))/2

|v(PX)+2v(QX)+3v(RX)|^2
　=|6v(OX)-v(OP)-2v(OQ)-3v(OR)|^2
　=|6v(OX)-(5/2)v(OA)-2v(OB)-(3/2)v(OC)|^2…①
ここで、
|v(OX)|=|v(OA)|=|v(OB)|=|v(OC)|=1
v(OA)･v(OB)=v(OB)･v(OC)=v(OC)･v(OA)=1*1*cos120゜=-1/2
であり、また、
(中略)
-|v(m)||v(n)|≦v(m)･v(n)≦|v(m)||v(n)|
が成り立ちます。

ここからいけますか？

#いけねーよ。
#ますだ頭大丈夫か？

826 ：１３２人目の素数さん：2007/08/28(火) 14:37:39

三角関数
2007年8月28日 9:30:14 タンポポ
x,y,zは正で0°<x+y+z<180°とする。
sin(x+y+z)/(sin(x)+sin(y)+sin(z))<1が成り立つことを示せ。
3変数でわかりません。
教えてください。よろしくお願いします。

2007年8月28日 12:16:03 益田 WEB
図形を用いた別解答

点Oを中心とする半径rの円に内接する4角形ABCDについて
　∠AOB=x
　∠BOC=y
　∠COD=z
とすると
△AOC=(1/2)r^2*sin(x+y+z)
四角形ABCO=△AOB+△BOC+△COD
　=(1/2)r^2*sinx+(1/2)r^2*siny+(1/2)r^2*sinz　=(1/2)r^2(sinx+siny+sinz)
ここで
四角形ABCO=△AOC+△ABC＞△AOC
∴(1/2)r^2*sin(x+y+z)＜(1/2)r^2(sinx+siny+sinz)
⇔sin(x+y+z)＜sinx+siny+sinz
⇔sin(x+y+z)/(sinx+siny+sinz)＜1

#これも意味不明解答。
#ますださんって問題作る能力はあっても、
#(といってもガッコンやら何やらからの盗作が多いが)
#問題解く能力は無いね。
#質問に答える類の掲示板にはこれ以上出入りしない方が良いと思うよ。

827 ：１３２人目の素数さん：2007/08/28(火) 14:49:03

砂上の楼閣

828 ：１３２人目の素数さん：2007/08/28(火) 14:58:04

辺の長さを1,2,3とする直方体内部(表面含む)に一辺の長さがaの正方形Sがある。
aの最大値を求めよ。

829 ：１３２人目の素数さん：2007/08/28(火) 15:18:30

どこや

830 ：１３２人目の素数さん：2007/08/28(火) 15:21:45

>>825は明らかに益田が問題取り違えてる。>>826はCとDの書き間違いだけであとは普通に成り立ってるぞ。>>826の解答を意味不明というのは826の頭が足りんだけだ。

831 ：１３２人目の素数さん：2007/08/28(火) 15:29:47

>826
>830
確かにCとDが一緒になっててこんがらがってるね
間違いに気がつかないと三角形と四角形がぐちゃぐちゃになる
でも数式で解くよりはこういう図形的解法の方が俺は好きだね

832 ：１３２人目の素数さん：2007/08/28(火) 15:46:29

>>828
00年東工大の問題を思い出す。

833 ：１３２人目の素数さん：2007/08/28(火) 15:56:49

>>832
東工大
00前期　三角柱の断面積
00後期　ひもの通りう領域の体積

何を思い出すんだ？

834 ：１３２人目の素数さん：2007/08/28(火) 16:04:16

>>824
(1)原点を焦点とする放物線
(2)求める面積は放物線3つに囲まれた領域で1/6公式使ってだせば幾何的に解決

これ、複素数平面なしだと難問になるな

835 ：１３２人目の素数さん：2007/08/28(火) 16:11:44

>>833
何となく、前者。
赤本、青本、大数、etc で大絶賛だったねぇと。
後者の計算地獄もインパクトは大だったが。

836 ：１３２人目の素数さん：2007/08/28(火) 16:15:34

>>834
本質的には同じことだが、
P(r*cosθ、r*sinθ)とおいて、極座標を使うことを想定しているんじゃね？

837 ：１３２人目の素数さん：2007/08/28(火) 16:37:42

>>835
大数 ③難易度B***
なんかと見間違えたんじゃない？絶賛する評価はないが。

838 ：１３２人目の素数さん：2007/08/28(火) 16:44:56

>>830
意味不明とはCとDを書き違うというようなことを言う。

839 ：１３２人目の素数さん：2007/08/28(火) 16:46:52

普通は前後の脈絡が不明とかそういう場合に使われる

840 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/08/28(火) 16:50:07

>>834
御名答
>>836
それがたぶんベストです。数Ｃ範囲と1/6公式を使えば綺麗な解答になります。

841 ：１３２人目の素数さん：2007/08/28(火) 16:50:20

>>837
☆つきじゃなかったっけ？しかも、その後の記事で何度か見たような？
記憶違いだったら許してね。
難度が高くないところがいいんじゃない？
大数はDレベルの問題に☆をつけることは少ない気がする。

842 ：１３２人目の素数さん：2007/08/28(火) 16:52:41

というかパクりばっかだな

843 ：１３２人目の素数さん：2007/08/28(火) 16:56:51

>>842
それを言うなら学コンも全部パクりになる
完全なるオリジナルなど存在しない
野暮なこと言うな

844 ：１３２人目の素数さん：2007/08/28(火) 17:01:24

>>841
あーそれで絶賛か、☆はあるね。

845 ：１３２人目の素数さん：2007/08/28(火) 17:04:38

>>842
そんなことを言ったら、東大87年のチェビシェフ不等式の問題は
75年IMOの問題の完全にパクリ。07年のスペクトル分解は言うに及ばず。
07年文系5m^4の余りも05年の焼き直しに近いものを感じる。
06年前期の確率は98年一橋前期と酷似。同年理系前期第5問も
5年位前に横国で殆ど同じ問題が出ている。
05年も理系なら第1問、第3問、第4問、第6問と類似問題が過去に多数
出ているものが並んだ。
東大の入試問題が必ずしも新鮮さを追求しているとは感じない。

846 ：１３２人目の素数さん：2007/08/28(火) 17:08:12

問題集を解くことが役立つのは類題が出題されるからなんだし

847 ：β ◆aelgVCJ1hU ：2007/08/28(火) 17:09:08

所詮大学入試

848 ：１３２人目の素数さん：2007/08/28(火) 17:09:17

ちょっと語尾の日本語がおかしかった、ゴメ

849 ：β ◆aelgVCJ1hU ：2007/08/28(火) 17:10:19

教科書に準拠して作られているから、
その時の教科書の例題が解く鍵となる問題もあるだろう。

850 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/08/28(火) 17:14:43

>>843,845,846,849
全く同感です。

851 ：β ◆aelgVCJ1hU ：2007/08/28(火) 17:15:28

同感にオレが含まれてる。よし。

852 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/08/28(火) 17:20:18

　nを2以上の整数とする．n個の異なる実数a[1],a[2],…,a[n]について，最高次の係数が1であるn-1次の整式f[k](x)(k=1,2,…,n)を以下の条件(i)(ii)が成り立つように定める．
(i)　f[k](a[k])≠0
(ii) f[k](a[m])=0 (m≠k)
このとき，1≦c≦n-1を満たす任意の整数cについても，
　Σ[k=1,n]f[k](x)=0
は必ず区間a[c]＜x＜a[c+1]に実数解をもつことを示せ．

853 ：１３２人目の素数さん：2007/08/28(火) 17:33:02

g(x)=(x-a[1])(x-a[2])・・・(x-a[n])
とすると、g(x)が区間a[c]<x<a[c+1]で極値を持つのは
明らかだから。

854 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/08/28(火) 17:36:11

>>853
やはりここの人はあっさり見破りますなぁ。

855 ：１３２人目の素数さん：2007/08/28(火) 17:38:33

確率の人気のなさに唖然 www

856 ：１３２人目の素数さん：2007/08/28(火) 17:40:28

小出しにしないとスルーされがちになる

857 ：１３２人目の素数さん：2007/08/28(火) 17:42:32

何でこんなに進んでるんだ？ｗ

858 ：１３２人目の素数さん：2007/08/28(火) 17:44:12

問題文は一行でw

859 ：１３２人目の素数さん：2007/08/28(火) 17:49:26

n人(n≧2)で1回じゃんけんをする。勝者の人数の期待値は？解答は1行で。

860 ：１３２人目の素数さん：2007/08/28(火) 17:53:16

和の期待値＝期待値の和

861 ：１３２人目の素数さん：2007/08/28(火) 18:15:58

サイコロを1億回振って、目の積をnとする。(8{Σ[k=1,n] (k^5+k^7)})^{1/4}が偶数になる確率は？解答は1文字で。

862 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/08/28(火) 18:47:08

r,tを正の実数とする．半径rの円C[1]の周長をL[1]とする．また，長軸の長さがr+t，短軸の長さがr-tの楕円の周長をL[2]とする．L[1],L[2]の大小比較をせよ．

863 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/08/28(火) 18:49:52

>>862
r＞tを追加

864 ：１３２人目の素数さん：2007/08/28(火) 18:51:07

r≦tのとき、楕円じゃない。

865 ：１３２人目の素数さん：2007/08/28(火) 18:54:44

ぷはｗｗｗ

866 ：１３２人目の素数さん：2007/08/28(火) 18:58:33

>>862
楕円に外接し、各辺が座標軸に平行な長方形の
周の長さをL[3]とすると、L[3]<L[2]=4r<2πr=L[1]

867 ：１３２人目の素数さん：2007/08/28(火) 18:59:44

間違えた。L[2]<L[3]=4r<2πr=L[1]

868 ：１３２人目の素数さん：2007/08/28(火) 19:17:15

もっとシンプルに、半径(r+t)/2の円で考えればよかったのか。
まぁいいや。
↓ 改作
r,tをr>t>0なる数とする．半径rの円C[1]の周長をL[1]とする．
また，長軸の長さが2(r+t)，短軸の長さが2(r-t)の楕円の周長をL[2]とする．
L[1],L[2]の大小比較をせよ．

869 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/08/28(火) 19:42:24

長半径、短半径と書くところを長軸、短軸にしてしまいました…>>868が出したかった問題です。

870 ：１３２人目の素数さん：2007/08/28(火) 20:15:57

L:(rcost,rsint)->(arcost,bsint)

871 ：１３２人目の素数さん：2007/08/28(火) 20:16:18

MASUDAが出題した問題の数をn、そのうち出題ミスしたものの数をkとする。
(1) 現時点でのk/nを求めよ。
(2) lim[n→∞] (k/n)を予想せよ(証明はしなくてよい)。

とりあえずMASUDAは(1)の解が出るまで、次の問題出すな。

872 ：１３２人目の素数さん：2007/08/28(火) 20:20:38

L:(rcost,rsint)->(arcost,brsint)
ds=rdt->r(a^2cost^2+b^2sint^2)^.5dt
2pir->r(a^2-(a^2-b^2)sint^2)^.5dt

873 ：１３２人目の素数さん：2007/08/28(火) 20:37:46

pi(a+b)(1+1/4h+1/(64)h^2+1/(256)h^3+...)=pi(a+b)+pi/4h>pi2r

874 ：１３２人目の素数さん：2007/08/28(火) 20:38:46

h=((a-b)/(a+b))^2.

875 ：１３２人目の素数さん：2007/08/28(火) 20:39:24

nande daensekibun dasuno?

876 ：１３２人目の素数さん：2007/08/28(火) 20:40:23

Gauss-Kummer Series

877 ：１３２人目の素数さん：2007/08/28(火) 20:41:44

p=approx pisqrt(2(a^2+b^2))
approx pi[3(a+b)-sqrt((a+3b)(3a+b))]
approx pi(a+b)(1+(3h)/(10+sqrt(4-3h))),

878 ：１３２人目の素数さん：2007/08/28(火) 20:42:06

>>871
(1)2/9
解いてしまってわりぃ
出題ミスは多くてもMASUDAの問題は面白いから俺はキボンだ

879 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/08/28(火) 20:45:24

>>875
楕円積分せずとも
∫√{(r+t)^2*cos^2θ+(r-t)^2*sin^2θ}dθ
と
∫√(r^2*cos^2θ+r^2*sin^2θ)dθ
を積分のまま比較すればいいんです。

880 ：１３２人目の素数さん：2007/08/28(火) 20:47:20

Computer has not an idea for this problem.

881 ：１３２人目の素数さん：2007/08/28(火) 20:48:56

弧長は範囲外。京大か！

882 ：１３２人目の素数さん：2007/08/28(火) 20:54:10

たてに円を押しつぶしてよこに同率で伸ばすと無限大になるから、円のときが
一番小さいとピタゴラスなら察する？

883 ：１３２人目の素数さん：2007/08/28(火) 22:09:09

数列極限不等式からめたのが多いな…

884 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/08/28(火) 22:50:19

平面上に3つの異なる格子点A,B,Cがあるとき，∠ABCは120゜にならないことを示せ．

885 ：１３２人目の素数さん：2007/08/28(火) 23:12:50

こういうシンプルな問題好きだぜ

886 ：１３２人目の素数さん：2007/08/28(火) 23:19:23

あのー名古屋大学を受けようとおもってるんですが、どなたかセットの問題作ってもらえませんか？？

887 ：１３２人目の素数さん：2007/08/28(火) 23:51:17

>>818
簡単じゃね？

888 ：１３２人目の素数さん：2007/08/28(火) 23:58:42

点Bが原点に来るように座標を取って
BCの式をy=tan(k)xとする
∠ABCが120゜の時、ABの式はy=tan(k+120°)x
ABCは格子点であるから、BCの式y=tan(k)xはx、yが共に整数の時に成り立つ点(原点を除く)を持つ
よってtan(k)は有理数
この時tan(k+120°)は無理数になり、原点を除く整数x、yを解に持たない

889 ：１３２人目の素数さん：2007/08/29(水) 00:12:36

＞この時tan(k+120°)は無理数になり
自明でないような気がするんだが

890 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/08/29(水) 01:35:37

>>888
y=tan(k)xでx,yが整数であってもtan(k)が有理数とは限りません。

891 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/08/29(水) 01:39:17

>>890
間違えました
「tan(k)が有理数とは限らない」
じゃなくて
「tan(k+120)が無理数とは限らない」
ですね。
厳密な証明を全部省いたなら別ですが

892 ：１３２人目の素数さん：2007/08/29(水) 02:00:37

複素数平面で考える。Bが原点だとしてよい。Aをa＋bi (a,b∈Z)とし、
∠ABC＝120°であるとすると、Cは(a＋bi)(－1＋i√3)/2と表せる。
つまりCは(－a－b√3)/2＋i(a√3－b)/2 と表せる。a,bは整数だから
(－a－b√3)/2と(a√3－b)/2は無理数である。これは、Cが格子点で
あることに矛盾。

893 ：１３２人目の素数さん：2007/08/29(水) 02:04:27

>>892
長さは？

894 ：１３２人目の素数さん：2007/08/29(水) 02:20:29

とりあえず複素平面が範囲外なわけだが。

tan (k+120°)=(tan k-√3)/(1+√3 tan k)=q (有理数)
とすると、(q*tan k+1)√3= tan k-q
(1) tan k=-1/q のとき、tan k=q となるが、この両方を満たす実数qはない。
(2) tan k≠-1/qのとき、√3=(tan k-q)/(q*tan k+1) =(有理数)

(1)(2)とも不適。

895 ：１３２人目の素数さん：2007/08/29(水) 02:25:56

>>887
B～C級でとの要望に応えたので。(1)は論外。
(2)の期待値の計算でnCkの計算が少しゴチャゴチャするのと、
「武勇伝！」と叫ぶときにも「でん」を1回言っているのを
見落とす人がいるかと思った・・・という程度。

896 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/08/29(水) 02:57:36

x,yが任意の実数値をとるとき，
(cosx+siny-2)/(sinx+cosy-3)
のとりうる値の範囲を求めよ．

897 ：１３２人目の素数さん：2007/08/29(水) 03:18:42

120分。4(a)、4(b)から1題選択。公式集省略。
行列A=(左上 \ 右上 \\ 左下 \ 右下)=(3/5 \ -4/5 \\ 4/5 \ 3/5)
とする。正の整数nに対して、
A^n=(a[n] \ -b[n] \\ c[n] \ d[n])とするとき、\\
(1) b[n]=c[n]、a[n]=d[n]を証明し、{a[n]}^2+{b[n]}^2の値を求めなさい。
(2) (5^n)*b[n]を5で割った余りを求めなさい。ただし、負の整数k
に対しては、k+(k以上の最小の5の倍数)=(kを5で割った余り)とする。
(3) A^n=Eとなるようなnは存在するか？

2．θが0≦θ≦πの範囲を変化するとき、
直線L[θ]:y=(cosθ)x+sinθ-θcosθ が通過しうる領域をDとする。
(1) Dを図示しなさい。
(2) Dのうち、0≦x≦πを満たす部分の面積を求めなさい。

898 ：１３２人目の素数さん：2007/08/29(水) 03:33:07

3. 任意の四面体には、それに外接する平行六面体が存在することを
証明しなさい。ただし、平行六面体OABC－DEFGに対して、
四面体OBEGはこの平行六面体に外接しているということにする。

4(a) 直方体の各面に1から6の数字を、向かい合う面の数字の和が7
となるように配置する。このゆがんだサイコロを1回振るとき、出た目の
数をxとする。
(1) xの期待値を求めなさい。
(2) 1、2、3の出る確率をそれぞれp、q、2pq (0<p<1、0<q<1)とする。
x^2の期待値が(73)/4であるとき、p、qの値を求めなさい。

4(b) aを定数とする。y=ax+cos(2x)+4cos(x) の区間0≦x≦2π
における極値の個数を調べなさい。

899 ：１３２人目の素数さん：2007/08/29(水) 03:40:20

>>896
(3、2)を中心とする半径1の円と原点中心半径1の円の共通接線の傾き。

900 ：898：2007/08/29(水) 03:42:28

訂正
3. 3行目「平行六面体に外接」→ 「平行六面体に内接」
4．(1)の前に、「ただし、向かい合う面に書かれた数字が出る確率は等しい。」

901 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/08/29(水) 03:53:22

>>897-898
ずいぶんと過去問あぶりだしが多いようで…。

902 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/08/29(水) 04:03:06

　nを正の整数とする．数列{a[n]}が
　a[1]=1，a[2]=1
　a[n+2]=a[n+1]+a[n]
を満たす．
(1) a[n]が5で割り切れるためのnの満たすべき条件を求めよ．
(2) a[1],a[2],…,a[n]の中から選んだ2項の積a[i]a[j](i≠j)の下1桁が0となる確率をp[n]とする．lim[n→∞]p[n]を求めよ．

903 ：１３２人目の素数さん：2007/08/29(水) 04:25:28

>>901
名古屋大は昔から似たような問題を時々出す。
それを傾向と言い、その傾向にあわせた問題を要求されたから
それに応えたまで。

904 ：１３２人目の素数さん：2007/08/29(水) 04:30:40

>>902
93年東大の類題。ずいぶんと過去問あぶり出しが多いようで。
お互いにww

改作 ↓
　nを正の整数とする．数列{F[n]}が
　F[1]=1，F[2]=1
　F[n+2]=F[n+1]+F[n]
を満たす．
(1) k、nを正の整数とする。F[kn]はF[n]の倍数であることを証明せよ。
(2) nが合成数でF[n]が素数となるようなnが存在すれば、それらを全て求めよ。

905 ：１３２人目の素数さん：2007/08/29(水) 04:50:44

>>898の4aみたいな問題嫌いじゃないですぜ

906 ：１３２人目の素数さん：2007/08/29(水) 05:57:52

周一定で最大面積は円ー＞同一周で楕円の面積より大きい円があるー＞同じ面積なら周は円より楕円のほうが大きい

907 ：１３２人目の素数さん：2007/08/29(水) 06:04:03

>826 別解

　0 < sin(x+y+z) = c1*sin(x) + c2*sin(y) + c3*sin(z) - sin(x)sin(y)sin(z),
ここに　c1 = cos(y)*cos(z) ≦1,　c2 = cos(z)*cos(x) ≦1,　c3 = cos(x)*cos(y) ≦1,
題意より, sin(x)>0, sin(y)>0, sin(z)>0,

908 ：１３２人目の素数さん：2007/08/29(水) 06:04:10

Ａ=∫ydx、Ｌ＝∫(1+y'^2)^.5dx=p
G=A-r(L-p)
Gx=0,Gy=0,Gr=0

δＡ＝０－＞Ｅ－Ｌ＝０

909 ：１３２人目の素数さん：2007/08/29(水) 06:19:35

a,b,a+b,a+2b,2a+3b,3a,3b,3(a+b),3(a+2b),...
3^k(sa+tb)

910 ：１３２人目の素数さん：2007/08/29(水) 06:27:26

a,b,a+b,a,b,... mod 2

911 ：１３２人目の素数さん：2007/08/29(水) 06:33:14

>>906
しかし、円の面積はπr^2、楕円の面積はπ(r^2-t^2)
等周問題の結果を流用しても無理。

912 ：１３２人目の素数さん：2007/08/29(水) 06:56:44

(1-p^2)^.5r<r

913 ：１３２人目の素数さん：2007/08/29(水) 07:45:37

>>904
「お前の場合、まんまじゃん」とMASUDAは言いたいんだろ
確かにいくら似た問題といってもそこまで一緒じゃあね。ひねりが足りなさすぎだよ、あんた

914 ：１３２人目の素数さん：2007/08/29(水) 08:12:27

>>904
その問題とMASUDAの>>902がどう改作なんだ？wwwいっしょなのフィボナッチだけだしwww>>902の(1)だけに限れば頻出問題だが、それを出さずに>>904の問題をだしてきて改作と言い切るあんたの分析力は脱帽もんだなww

915 ：１３２人目の素数さん：2007/08/29(水) 08:43:33

>>913
言ってることは分かるし、ひねりが足りない(というよりひねってない)のは事実。
お気に召さなかったとすれば、力不足で申し訳ない。ただ、過去問の類題を
ほぼそのままの形で出したのには、理由があった。実際に名古屋大の問題を見てよ。
07年理系①上三角行列、②定数分離、③淡々と計算する微積、④(a) 反転、④(b)ポリア
どれも「まんまじゃん」。06年だって話題のぴったり直線は頻出ネタそのまんま、
難問扱いの理学部後期だって有名問題そのまんま。さらに呆れる事に、
06年の確率漸化式、00年の接線の通過範囲、立方体の影になど、名大の過去問すら
何の捻りもなく使い回す。それが名大であり、ここ数年酷さが増している。
だから、それを忠実に再現してみたわけ。だったら過去問50年分やればいいじゃん
となる。しかし、受験生はそこまで暇じゃないだろうから、名大が何度か使い回した
ネタと、過去の易しい名作で参考になりそうなセットを作ってみたというわけ。
以上、長文ｽﾏｿ

916 ：１３２人目の素数さん：2007/08/29(水) 09:14:21

ここが作問スレということを忘れているボケがいるようだな

917 ：１３２人目の素数さん：2007/08/29(水) 09:24:57

>>904
そこまでぼろくそに否定されると、さすがに凹む orz
申し訳なかった。
ちなみに>>902 だが(1)はn=5の倍数。
(2)は偶数になる場合(n=3の倍数)を利用。n=15の場合、
i、jの取り方は15C2=105通り。下1桁が0になるのは
(i、jの一方が15)+(i、jの一方が5の倍数、他方3の倍数)
=14*2+(3+5-1)*2=42
よって、P[15]=2/5
nが大きくなると、15*15のます目で平面を覆う感じになるから、
P[n]→2/5 最後の極限は97年東大後期①と類似。

918 ：１３２人目の素数さん：2007/08/29(水) 09:44:12

>>917
お前はスレ違いって言葉の意味分かるか？
確率といい名大といい、スレ違いの問題を一度に大量にアップしてんだからたたかれても文句を言える立場じゃねーだろ

919 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/08/29(水) 10:04:31

　f(x)は以下の等式を全て満たすn次(nは3以上の整数)の関数である。
　f(1)=1/2
　f(2)=1/3
　　…
　f(n)=1/(n+1)
　f(n+1)=1/(n+2)
このとき，f(0) , f(n+2)をそれぞれnを用いて表せ．

920 ：１３２人目の素数さん：2007/08/29(水) 11:36:44

(x+1)f(x)-1=(x-1)(x-2)・・・・(x-(n+1))/{(-1)^{n+1}*(n+1)!}

921 ：１３２人目の素数さん：2007/08/29(水) 12:17:06

>>884はこう解くのが綺麗。

∠ABC=120°となる異なる３つの格子点A,B,Cがとれたと仮定する。
(BA)↑=(a,b)，(BC)↑=(c,d)とおく。(a,b,c,d：整数)

△ABCの面積Sは S=|ad-bc|/2 と表せる。
また，辺の長さとなす角を使って S=|BA||BC|sin120°=(√3)/2*|BA||BC|とも表せる。

一方，(BA)↑と(BC)↑の内積を考えると，成分表示では ac+bd，長さとなす角を使えば
|BA||BC|cos120°= -1/2 |BA||BC|と表せる。

以上より，
　|ad-bc| = √3 |BA||BC|
　ac+bd = -1/2 |BA||BC|
という２式が成立する。

|BA|≠0，|BC|≠0 なので，辺々割って
　|ad-bc|/(ac+bd) = -(√3)/2
左辺は有理数，右辺は無理数なので矛盾。

922 ：921：2007/08/29(水) 12:40:53

>>921の最後の式の右辺は -2√3 の誤り。

923 ：１３２人目の素数さん：2007/08/29(水) 13:20:00

>>921
数蝉(2001/1)で松本眞先生がかいた記事の中でこの解き方を読んだことあった。
ええっと、ｘｙｚ空間の有理点を頂点とする正三角形の辺の長さについての記事のイントロでかいてた。
ちなみに上の命題の結論は平方因子を除いた部分を√s とするとｓは偶数で、奇素数の因子はmod3 で0 or 1 となる
そうです。

924 ：2ndVirtue ◇.NHnubyYck：2007/08/29(水) 13:28:29

思考盗聴で個人の生活に介入する奴は早く地球から去った方が良い。

925 ：１３２人目の素数さん：2007/08/29(水) 14:15:38

>>919
早稲田の焼き直し？

926 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/08/29(水) 15:30:38

xy座標平面において|x|≦1かつ|y|≦1で定められる領域をUとする．
点(a,b)をUの周および内部にある点として，Uを直線x=aについて回転させてできる立体をT[1]，Uを直線y=bについて回転させてできる立体をT[2]，T[1]とT[2]の共通部分をT[3]とする．また，T[n](n=1,2,3)の体積をV[n]で表す．このとき，
　V[3]/(V[1]+V[2])
のとりうる値の範囲を求めよ．

927 ：１３２人目の素数さん：2007/08/29(水) 15:44:30

>>926
MASUDAさん、それ、計算量がいかついです

てかそろそろ1000いくから誰かおNEWスレたてて

928 ：１３２人目の素数さん：2007/08/29(水) 18:21:35

それは今から埋め立て（アラシ）をするということか？

929 ：１３２人目の素数さん：2007/08/29(水) 23:25:00

（１）x^2+y^2=k^2で表される円がある。このときy=x+pが円を通るときのpの範囲を求めよ、ただしｋは定数。
(2)上の円と直線で切り取られる弧の長さを求めよ

930 ：１３２人目の素数さん：2007/08/29(水) 23:28:44

>>929
夏休みの宿題かよw

931 ：１３２人目の素数さん：2007/08/29(水) 23:29:07

新手のアラシだな

932 ：１３２人目の素数さん：2007/08/29(水) 23:32:37

じゃあこれは？
（１）x^2+y^2=k^2で表される円がある。このときy=x^2+pが円を通るときのpの範囲を求めよ、ただしｋは定数。
(2)上の円と直線で切り取られる弧の長さを求めよ。大小複数あるがすべて求めよ

933 ：１３２人目の素数さん：2007/08/29(水) 23:33:53

ﾊｵﾊｵ

934 ：１３２人目の素数さん：2007/08/29(水) 23:35:00

×直線
○曲線

935 ：１３２人目の素数さん：2007/08/29(水) 23:43:56

>>932は解けない問題でした。ごめんなさい＞＜

936 ：１３２人目の素数さん：2007/08/30(木) 00:19:47

>>926
[2/3pi,4/3pi]

937 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/08/30(木) 01:09:27

xy平面上において，1≦x≦100,1≦y≦100の領域Uにある10000個の格子点の中から以下の条件を満たすような500個の格子点が選べることを示せ．
条件『どの異なる3点A,B,Cを選んでもAB↑+AC↑≠0↑である』

938 ：１３２人目の素数さん：2007/08/30(木) 01:39:36

格子点は直角
Ab,ACをきめるのは２つの点が必要つまり１０００/２＝５００
よって示された

939 ：１３２人目の素数さん：2007/08/30(木) 01:58:04

>>938
全然示せてない

940 ：１３２人目の素数さん：2007/08/30(木) 02:11:07

>>939
たぶん>>938は内積と勘違いしてんじゃない？てか1000なんて数字はどっから出てきたんだ？

941 ：921：2007/08/30(木) 03:25:01

>>937
文章で説明が難しいので図で説明。
http://image02.wiki.livedoor.jp/l/y/loveinequality/d469f1bd54e407c3.pdf

942 ：１３２人目の素数さん：2007/08/30(木) 06:13:49

sin(tan1)とtan(sin1)どちらが大きいか

943 ：１３２人目の素数さん：2007/08/30(木) 06:20:01

◇●●●○○●●●●
●●●●○○●●●●
●●●●○○●●●●
●◇●●○○●●●●
○○○○○○○○○○
○○○○○○○○○○
●●◇●○○●●●●
●●●●○○●●●●
●●●●○○●●●●
●●●●○○●●●●

944 ：１３２人目の素数さん：2007/08/30(木) 06:58:57

a=(x,y),b=(s,t),c=(u,v)
ab+ac=b+c-2a=(s+u-2x,t+v-2y)=0
s+u-2x=0,t+v-2y=0

945 ：１３２人目の素数さん：2007/08/30(木) 07:03:35

ab=x+yi,ac=u+vi
ab+ac=(x+u)+(y+v)i=0
x=-u,y=-v

946 ：１３２人目の素数さん：2007/08/30(木) 07:51:18

>>937
ひさびさに難問かつ良問がきたね

947 ：１３２人目の素数さん：2007/08/30(木) 10:06:01

どっちかっていうと数オリっぽい雰囲気がしないでもない>>937

948 ：941：2007/08/30(木) 11:00:10

>>947
実際，>>937の問題も>>941の解答も，1983年IMOパリ大会第5問の2次元への拡張に過ぎない。

949 ：１３２人目の素数さん：2007/08/30(木) 11:09:25

東大ってたまに数オリの真似するんじゃね？

950 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/08/30(木) 11:24:58

私自身は数オリとは別の問題から拡張させましたが、数オリからも出てたんですね。3進法に関する誘導問題をつけてましたが、このスレの住人レベルを考慮して省きました。
2次に拡張した結果、529個(23^2)まで取れることは分かったものの530個以上取れるかは私の頭では分かりませんでした。

951 ：１３２人目の素数さん：2007/08/30(木) 11:28:29

>>929
答えにarctanが出てくる・・・

952 ：941：2007/08/30(木) 12:09:05

すまん，ちょっとミスがあった。
ブロック同士をもう少し離さないと縁のところでAB↑+AC↑=0↑になってしまう。
というわけで，改訂版。
http://image02.wiki.livedoor.jp/l/y/loveinequality/43dce06dd93b7c7b.pdf

953 ：１３２人目の素数さん：2007/08/30(木) 12:23:08

完璧に東大入試レベルを超えてるだろｗ

954 ：１３２人目の素数さん：2007/08/30(木) 12:25:41

>>953
MASUDAが>>950で言ってる「3進法」の誘導をつけたら十分東大レベルになる
東大はn進法とか好きだから受験生も対策してるだろ

955 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/08/30(木) 12:41:49

>>937に3進法の誘導をつけると
『3^0,3^1,3^2,3^3…の中から重複を許さずに選んだ数(1個でもよい)の和として考えられるもの全てを小さいものから並べた数列を{a[n]}とする．
このとき，任意の異なる自然数の組(i,j,k)をとってもa[i],a[j],a[k]が等差数列となることはないことを示せ．』
となります．

956 ：１３２人目の素数さん：2007/08/30(木) 12:55:52

やたらにまわりくどい文章だな。誘導の方が難しそうに見えるｗ

957 ：１３２人目の素数さん：2007/08/30(木) 13:17:06

>>955
確かに誘導は3進法思いつけば一撃だな
それを使うと>>937は細々した論証省くと
100[10]=10201[3]だからこれ以下で2を含まない最大値は10111[3]
2進法と考えて2^4+2^2+2+1=23
2次元だから23^2=529個とれることが分かる
∴500個とれる

958 ：１３２人目の素数さん：2007/08/30(木) 13:22:17

>>948
IMO 1982/B3 solution
http://www.kalva.demon.co.uk/imo/isoln/isoln826.html
これかな？　

959 ：１３２人目の素数さん：2007/08/30(木) 13:25:00

IMO 1983/B2 solution
http://www.kalva.demon.co.uk/imo/isoln/isoln835.html
失礼こっちか

960 ：１３２人目の素数さん：2007/08/30(木) 21:27:34

33*33*4=4356

961 ：１３２人目の素数さん：2007/08/30(木) 21:29:41

xy平面上において，1≦x≦100,1≦y≦100の領域Uにある10000個の格子点で原点から見える格子点の数は？

962 ：１３２人目の素数さん：2007/08/30(木) 21:39:03

xy平面上において，半径ｒの円周上の格子点の数は？
xy平面上において，半径ｒの円内部の格子点の数は？

963 ：１３２人目の素数さん：2007/08/30(木) 21:40:51

2*33*2+1

964 ：１３２人目の素数さん：2007/08/30(木) 22:29:54

>>961
>>962
適当に作るなボケ

965 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/08/31(金) 00:18:32

2つの球面S[1],S[2]は交円Cをもつ．このとき，以下の条件を全て満たす直線Lが存在することを示せ．
(条件1) 円Cの内部(周を除く)をLが通過する．
(条件2) 直線Lと球面S[1],S[2]との交点4つは等間隔に並ぶ．

966 ：１３２人目の素数さん：2007/08/31(金) 00:58:07

解答者が現れやすい、みんなが挑戦したくなる問題には特徴があります。

●見た目がややこしい計算問題、あるいは実際解いてみると計算が大変な問題は敬遠されやすい

●教科書レベルの易しい問題は逆にあまり解かれない(挑戦するまでもないと思われがち)

●シンプルかつ綺麗な問題は挑戦されやすい

●長文で出す場合、パッと見て目を引く興味深い問題文や目立つ数式がなければ問題すら読まれない

●閲覧者は東大京大受験生が多く、東大・京大の25年ぶんの過去問を持っている人が多いため、
東大京大の問題は出しても敬遠されやすい

解き手の解答意欲をわかすような良問出題めざして頑張ってください。

967 ：966：2007/08/31(金) 01:01:58

おい、聞いているか？ MASUDAよ！

968 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/08/31(金) 01:08:12

>>967
聞いてますが何か？私の問題が>>966にそぐわない内容だと思うならあなたがスルーすればいいだけのことです。

969 ：966：2007/08/31(金) 01:12:16

>>968偽物だからスルーでok

>>967この文章のソース分かるか？
高校生質問スレ荒らしてるやつと同一人物？

970 ：￣￣￣V￣￣￣￣￣￣：2007/08/31(金) 01:19:13

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　|　　　　（__人__）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　／ノ　　＼　　 u. ＼　　
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971 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/08/31(金) 01:25:22

966≠967ですか、紛らわしいですね。確かにソース知ってたら967の書き込みは不自然ですな。

972 ：１３２人目の素数さん：2007/08/31(金) 03:03:49

>>965
Cの1点Pに対して反転を叫ぶ

973 ：１３２人目の素数さん：2007/08/31(金) 03:39:55

>>965
S[1],S[2]の中心をO[1],O[2]とする。
O[1]を通る直線がS[2]と接する点をP,O[2]を通る直線がS[1]と接する点をQとしO[1]P⊥PQ、PQ⊥O[2]QとなるようにP,Qをとる。
線分PQをP側、Q側にそれぞれ延長した直線PQがS[1],S[2]と交わる点をA,BとすればP,QはそれぞれAQ,PBの中点であり、4点A,P,Q,Bは同一直線上にありかつ等間隔にならぶ直線である。

974 ：１３２人目の素数さん：2007/08/31(金) 07:16:50

d=r1cost1=r2cost2=p1p2/3

975 ：１３２人目の素数さん：2007/08/31(金) 07:20:48

motto latice mondai aru?

976 ：１３２人目の素数さん：2007/08/31(金) 07:33:29

点Oを中心とする、半径1、中心角4θ（0<θ≦45°）の扇形OADの弧上に、
弧AB=弧BC=(1/2)弧CD
となる点B, Cをとる。
線分ACと線分BDの交点をPとするとき、長さの比AP/PCをθを用いて表せ。

977 ：１３２人目の素数さん：2007/08/31(金) 07:48:32

このスレにリアル受験生がいるのか？しんじられなーい。

978 ：１３２人目の素数さん：2007/08/31(金) 09:49:42

>>973
O[1]P⊥PQ、PQ⊥O[2]Qとなるように

半径決まってないのにどうやったらそんな点とれるんだよw

979 ：１３２人目の素数さん：2007/08/31(金) 10:03:33

O[1]P=R_[1]≦R_[2]=O[2]PとしO[1]O[2]=dとすれば
O[1]P^2=d^2-R[2]^2
O[2]Q^2=d^2-R[1]^2
PQ^2=O[1]Q^2-O[1]P^2=O[2]P^2-O[2]Q^2=R[1]^2+R[2]^2-d^2となるから