線形代数/線型代数 4

線型代数に関する話題全般のスレッドです。

過去スレ

線型代数に関する話題はこちら
http://cheese.2ch.net/math/kako/971/971641965.html
線形代数/線型代数 総合スレッド
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1056170095/
線形代数/線型代数 2
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1090754133/
線形代数/線型代数 3
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1134640067/

。

お勧めの本
「線型代数入門」（斉藤正彦 著・東大出版会）
ttp://www.amazon.co.jp/gp/product/4130620010/ref=pd_sim_b_4/503-3895003-0683138?ie=UTF8

Ｖが体Ｋベクトル空間である事を示せって言われたら
∀ａ、∀ｂ∈Ｖ
∀λ、∀μ∈Ｋに対して
λａ＋μｂ∈Ｖ
を示せばいいんですか？それとも更にＶの加法の交換則、結合則、単位元、逆元と
Ｋに対して乗法の交換則、結合則、単位元、逆元がある事を示せばいいのですか？

Ｖが体Ｋ上の〜　でした‥

>>4
上３つの奴しめせばよろし

そうですか〜ありがとうございます(ノД｀)

・加法が定義されていること（可換、結合的、単位元・逆元、演算で閉）
・スカラー倍が定義されていること（演算で閉）
・加法とスカラー倍が両立すること（分配則二つ）

全部証明が必要だよ

>>8
３つめので全て証明できる気がするのですが・・・

>>9
３つめってどれ

λａ＋μｂ∈Ｖ

掃きだし法が全くわからないので
誰か教えてくださいm(_　_)m

>>11
そんなことはない。加算・スカラー倍が正しく定義されていなければ
その条件を満たす線型空間でないものなんていくらでも構成できる。

>>13
すいません。
勘違いでした

大学の教授が授業毎に小テストを実施していたのですがそこでは前提条件として問題文に書いてあっただけで、
気にできて無かっただけでした。
ずっと勘違いしてたので気づけてよかたです

A,Bをそれぞれm次、n次の複素正方行列、
X,Cをそれぞれm*n複素行列としたとき、Xに対する方程式AX-XB=Cを考える。
このとき任意のi,jに対してA(i,i)≠B(j,j)ならばＸが一意に定まることを示せ。
という問題なのですが、方針さえまったく立ちません。
どなたか方針だけでも教えてくださいorz

>>15
正しくない。n = m = 2 で、
A = |0 0|, B = |1 1|, C = |0 1|
　　 |0 0|　　　 |1 1|　　 　|2 3|
は、条件を満たしているが A X + X B = C は解を持たない。

+ と - を間違えてたけど、やはり解は無い。

>>17
A,Bは上三角なのですが、それでも正しくないのでしょうか？

おい

>>18
死ねば？

>>18
上三角なら成立する。

上三角かつ A_ij ≠ B_ij が成り立つためには
A または B が 1×1 でなければならない。あとは簡単。

>>18
そんな重大な前提条件を後出ししてくんなよ、カス

新手の嵐

わざと間違った問題や答えを記載
その後で、（前提）条件を後出し
数ヲタどもを蹂躙してやれ！

kaisan

すいません．
特異値分解について学習する必要が出てきたのですが，
手持ちの教科書には説明が載っていません．
どなたか良書を推薦して頂けませんでしょうか？

age

λをfのｍ重固有値とする。
Vk(λ）＝｛ｘ　|(f-λE)^k (x)=0}
Vm(λ)はf不変であることの証明を教えてください。

Reply:>>27 f=0の場合はどうするのか？

Vk(λ）＝｛ｘ∈U　|(f-λE)^k (x)=0}
はUの部分ベクトル空間

補足です。
UはCのn次元部分ベクトル空間

ｆはUの線型空間
ｆ不変とは　　　ｘ∈Vm(λ)⇒f(x)∈Vm(λ)

【参院選】民主党から、在日コリアンの期待背負った金氏（民団幹部）が立候補…在日参政権訴え
http://news22.2ch.net/test/read.cgi/newsplus/1184227903/l50

ｆはUの線型変換

問題をもう一度書きます。
UはCのn次元部分ベクトル空間。ｆはUの線型変換。λをfのｍ重固有値とする。
Vk(λ）＝｛ｘ　|(f-λE)^k (x)=0} とする。Vm(λ)の元を広義固有ベクトルという。
Vm(λ)はf不変　すなわち　　　ｘ∈Vm(λ)⇒f(x)∈Vm(λ)
であることの証明を教えてください。

池沼か？

>>25
呆痴されてるところを見ると、数学科の連中には縁の薄い話題なの鴨。
オレの教科書だった斉藤正彦の線形代数入門にも載ってないしな。
オレは計測自動制御学会のシステム制御のためのマトリクス理論を読んだ。
最近見た本では新井仁之の線形代数が良さげ。

伊理先生の一般線形代数にも確か書いてあったはず。

x^3 x^2 x 1 　　データ

1 1 1 1 　　7.3
8 4 2 1 　　8.3
27 9 3 1 　　7.6
64 16 4 1 　　7.4
125 25 5 1 　　6.8
216 36 6 1 8.3
行列Ｚ

67171 12201 2275 441
12201 2275 441 91
2275 441 91 21
441 91 21 6
転置行列Ｚ＊行列Ｚ


0.015432099 -0.162037037 0.489197531 -0.388888889
-0.162037037 1.728174603 -5.324074074 4.333333333
0.489197531 -5.324074074 16.87720459 -14.27777778
-0.388888889 4.333333333 -14.27777778 13
（転置行列Ｚ＊行列Ｚ）の逆行列

-0.046296296 0.064814815 0.037037037 -0.037037037 -0.064814815 0.046296296
0.575396825 -0.698412698 -0.46031746 0.317460317 0.662698413 -0.396825397
-2.235449735 2.093915344 1.645502646 -0.645502646 -1.843915344 0.985449735
2.666666667 -1.333333333 -1.333333333 0.333333333 1.333333333 -0.666666667
（（転置行列Ｚ＊行列Ｚ）の逆行列）＊転置行列Ｚ

7.3 8.3 7.6 7.4 6.8 8.3　　　データ


0.156714435
-1.596491359
4.61551706
4.14852564 (（（転置行列Ｚ＊行列Ｚ）の逆行列）＊転置行列Ｚ)＊データ //{４行６列}*{６行１列｝
Moore-Penroseの一般化逆行列を利用
7.324265775 合計


この合計を利用してデータの推定をしたいのですが、やり方がわかりません。まず、この合計を何のために
求めたのかさえ分かりません。

行列Ｚにおいてｘ＝７での「データ値」の推定方法を教えてください。

この推定方法の名称だけでも教えていただけたら幸いです。

>>34
f と f-λE は可換。

多分このスレの人間には簡単なんだろうけど、どうしてもこの問題がわからないんだ。
| ｘ 1 1 1 1|
| 1 x 1 1 1|
| 1 1 x 1 1|＝0　を証明せよ
| 1 1 1 x 1|
| 1 1 1 1 x|
余因子展開してもどうにも動かなくて。
どうかお願いします。

x^5は計算するまでもなく明らかに残ると思うが・・・。

(x+1)(x-1)^4

証明せよじゃなくて、解けだったorz

一度行列の計算をしてサラスでやってみたら、
x(x-1)^4
になったんだけど、>>43の(x+1)での+１は何処から出るんでしょうか？
理解力不足ですみません。

|0 1 1 1 1|
|1 0 1 1 1|
|1 1 0 1 1|
|1 1 1 0 1|
|1 1 1 1 0| = A
の固有値にマイナス掛けたやつを解にもつ方程式になる。
-1は明かに4重解の固有値。
また Im(A + I)はオール1のベクトルでそいつは固有値4に
対応する固有ベクトルになってる
よって答えは (x+4)(x-1)^4

ああ、途中式見直したら(x+4)(x-1)^4に確かになった。
答えてくれた方々、ありがとうございました。

こんにちは
平面αの方程式：(x+2)/2=y/1=(z+1)/2
直線aの方程式：-2x+y+2z=6
の時、αまでの距離が0になるa上の点の座標はどうなるでしょうか？
出来れば解法だけでもお願いしますm(__)m

x=6
y=4
z=7

ごめんなさい！！問題文の訂正です
平面αの方程式：(x+2)/2=y/1=(z+1)/2 →　平面αの方程式：(x-2)/-2=y/1=(z+1)/2
でした。
>>48
レスどうもです。出来れば解法をお願いします。

解決しました。無駄レスすみませんでした

二次形式の標準化で疑問があります。

標準化は二次曲線を元の座標から角度を変える
座標変換だと習いました。

対角化をするさいに途中ででてくる固有ベクトルの
並び順によって対角化行列の対角成分にでてくる
固有値の順番が違ってきますが、それによって
標準形(たとえばx,y,z座標で考えて、x^2=X,y^2=Y,z^2=Zと略記して)
固有値がa,b,cだった場合
aX+bY+cZ=0だったり
cX+aY+bZ=0
だったりしますが、これは座標の元のxyz座標から
変換する際に色々な座標の取り方があるから
色々な標準形がでてくるという認識でよいでしょうか？

よいです。

4次の行列式を省略せずに全部の項を書き下した本かwebページを知っていたら教えてください。

>>53
そんな本知らんが1分あれば計算できるだろ。

|a b c d|
|e f g h|
|i　j　k l|
|m n o p|
= afkp - aflo - agjp + agln + ahjo - ahkn
- bekp + belo + bgip - bglm - bhio + bhkm
+ cejp - celn - cfip + cflm + chin - chjm
- dejo + dekn + dfio - dfkm - dgin + dejm

y'''+6y''+11y'+6y=0の解空間Sを構成せよ。またこの解が3次元空間で
あることを示せ。なお、Sがベクトル空間である事を示す必要はない。

頼みますm( __ __ )m

Reply:>>53 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1181970000/54
Reply:>>55 とにかく方程式を解けばあとは簡単だろう。

あの・・・今線形代数学を習っているのですが、線形空間って何でしょうか・・・。
空間なのでxyz座標があって、線形なので直線や四角形がある。といったイメージなんですが・・・。
それは何の意味があるのでしょうか？
あと部分空間とか線形写像とか何のためにやっているのでしょうか・・・。

Reply:>>57 多変量解析には線形代数の話がよく出る。

>>57
線形代数はさまざまな分野に応用されるので、「とにかく将来必要になる」と思っておいた方がいいかと

>>57
とりあえずお前が持ってる今のそのイメージは全部捨てろ。
これからいろんな空間を扱うことになるが
線型空間を原型的なイメージとしてもつほうが安全。

>>57
線型性を持つもののなす構造

>>58-61
レスどうもありがとうございます。
大学に入ってから
「○○を××の部分集合とするとき△△が○○の部分空間であることを示せ。」
といったような抽象的で意味不明な問題が沢山出てくるのでかなりピンチですorz

抽象的だが意味不明ではない。

>>62

＞意味不明

授業で使われる日本語が理解できず、教科書も買っていない、あるいは全く読んでいないと云う典型的なあほ。

大学の基礎教養なめんな！

>>62
まずは数学の学び方を身に着けろ。
話はそれからだ。

n次正方行列をＡ、行列式を|Ａ|、余因子行列をＡ'とすると、

ＡＡ'の対角線の成分が|Ａ|となるのはわかるんですが、それ以外の成分が０になる意味がわかりません。

どなたか教えてください。

>>67
余韻氏展開を見直せ。

>>68
試しに3次正方行列でやってみたら０になってびっくりしたんですが
なんでかわかりません。

だって対角線以外の成分の式ってもちろん行列式じゃないしいったいなんなんでしょうか？

もちろん行列式じゃないしっていうけど、そこをなんとか行列式の展開だと解釈するにはどんな行列をもってくればいい？

>>69
余韻氏は全部行列式だろうが。

次の連立一次方程式が会をもつためのa,bの条件を求めよ
l 2 1 3 l lx1l l 1 l
l 0 -1 1 l lx2l = l a l
l 1 1 1 l lx3l l b l
という問題なんですが、求め方をおしえていただけないでしょうか？よろしくお願いします。

それの拡大係数行列を簡約化すると、
l1 0 2 l a+b l
l0 -1 1l a l
l0 0 0 l -2b+1-a l
になって、一番下んとこの-2b+1-aが0になれば解をもつから、
答えはa+2b=1
だと思うたぶん。

Aがn次正則行列、Dがm次正則行列ならば、任意のm×n次行列、m×n次行列Cに対し、
次の行列X,Y,Zは正則であることを示せ。
また、X^-1,Y^-1,Z^-1を求めよ。

X=[(A B),(0 D)],Y=[(A 0),(CD)],Z=[(B A),(D 0)]

明後日テストでここを必ず出すといわれたのですが、まったくわからないうえに
解法が載っていないので困っています。
どなたか教えていただけませんか・・・よろしくお願いします。

>>72
l って何？

>>74
ふつうに基本変形使ってdet求めればいいだけじゃん。

>>76
ﾚｽありがとうございます。
せっかく書いていただいたのですが、いまいちﾋﾟﾝとこないので
申し訳ありませんが回答例書いていただけないでしょうか？
よろしくお願いします。

女の子なら答えてあげられるのだが…

>>77
基本変形ってのは正則行列掛けることだったんだから、
ブロック行列のままで基本変形できるだろ、カス。

>>78
ピチピチの15歳女子高生Bカップです♪

>>80
じゃあ電車に轢かれて死ね。

>>81
おもしろいとでも思ってんの？

A=　| a b | とする（a,b,dは実数）。次の同値を示せ。
　 | b d |
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
零ベクトルではない実ベクトル　| x | に対し　[ x　，y　] A | x |　＞０ ⇔　a＞０　，det(Ａ)＞０
| y | | y |

解き方をどなたか教えてください…

>>82
なにかおもしろいことが起きたの？

>>83
はァ?

さぁ？

>>70>>71
やっぱりわかりません・・・

ずれててすみません。
実ベクトルは

｜ｘ｜
｜ｙ｜

です。

で、問題文のＡの右隣が、縦に
｜ｘ｜
｜ｙ｜　>0　　⇔　a>0 ，　det(A) >0

です。わかりずらくてすみません。

>>88
おととい来やがれ！

↑ わからずらさを詫びるより、自己の頭の悪さを詫びるべき

頭悪くて本当にごめんなさい。誰か助けて下さい

>>88
二次形式の聖地性を固有値の整地性として述べろという問題か?
んなもん、明らかだろ。つか、2次程度なら、高校生レベルの計算問題。

>>88
悩む前に手を動かせ。
書いてるうちに終わってるような類。

左辺を展開して　ad > b＾2
det(A) > 0 　から d > 0　ってことですか？

>>94
なんだ、二次形式の問題じゃないのか、そりゃすまんかった。

まだ問題の意味もよく理解してないんですが、
この場合の「同値を示せ」って d > 0 みたいなのでいいんですか？
数学と関係無い質問でホントすみません

>>96
おまえ、必要十分条件っていう言葉は知っているのか？

同値と必要十分条件が同じって初めて知りました
ホントありがとうございます

同じといえば同じだが、
同値ってのは二項関係で、それで結ばれる右辺と左辺を
互いに他の必要十分条件という
というような感じかなあ。

>>96

真面目に左辺を展開してみろ。

左辺からは ad > b^2
右辺からは a > 0 　かつ　ad-b^2 > 0 がでてきました。

ad > b^2 　　→　　a > 0 、　ad-b^2 > 0　　　　は成り立たない（aとdが共に負のとき）
ad > b^2 　　←　　a > 0 、　ad-b^2 > 0　　　　は成り立つ

ということはこの二つが同値であるためには、　d > 0 がいるってことでか？

>>101
もう一回いうね。
左辺を真面目に展開してみろ。

> 二つが同値であるためには、　d > 0 がいるってことでか？
かってに条件を足すな。

>>101
こういえば分かるかな、




　　　　　　　x　　と　　y　　は　　ど　　こ　　へ　　消　　え　　た　　！

[ ax+by bx+dy ]の行列は出るんですけど、その左の[ x ，y ]ってどういうことですか？
何度もすみません

>>104
君にはソレが、行ベクトル以外の何に見えるの?

>>104
もうお前無理。
問題解く段階のはるか以前じゃん。

ホントすみませんでした。
http://www.uploda.org/uporg933118.jpg
これ問題なんですけど間のコンマが気になって…

もう誰もいないかな…やっと解けました
a{ x + (b/a)y }^2 + (y^2/a^2)(ad-b^2) >0 で、
｛　｝の中が正、(y^2/a^2)も正だから、
a > 0 、ad-b^2 > 0

皆さん本当にありがとうございました

直交補空間の出し方がわからないんですが教えてくれませんか？

直交ベクトルから適当に基底を選べ

1.R^nのベクトル｛a_1,a_2,…a_r｝は一次独立であるとする。このとき以下の組は一次独立であるか。
1)｛a_1＋a_2,a_2＋a_3,…a_r-1＋a_r｝
2)｛a_1＋a_2,a_2＋a_3,…a_r-1＋a_r＋a_r＋a_1
｝
3)｛a_1,a_1＋a_2,a_1＋a_2＋a_3,…,a_1＋…＋a_r｝

2.W_1,W_2はR^4の部分空間とするとき、W_1∩W_2,W_1＋W_2の基底と次元を求めよ。([]内は列ベクトルです）
W_1=<[2 1 1 0],[2 -1 -3 2]>,W_2=<[2 1 -2 3],[1 1 0 1]>
考え方がわかりません。

3.基底{[2 1 1],[-1 -1 1],[3 0 2]},{[1 4],[2 5]}に関する表現行列が2×3列で、左からの列ごとに[3 2][0 -1][1 3]のとであるような線形写像f:R^3→R^2についてf([x y z])を求めよ。

4.W_1,W_2,W_3をR^nの部分空間とするとき、
(W_1∩W_2)＋(W_1∩W_3）⊂W_1∩（W_2＋W_3)であることを証明せよ。

5.m×nの行列A,Bに対して、rank(A＋B)≦rank(A)＋rank(B)を示せ。

教科書「教養のための線形代数」の問題です。
どなたか丁寧にご指導ください。m(__)m

>>111
内容が全然理解できてないってことじゃん。
総復習が先だと思うよ。
佐武とか斎藤とか読めよ。

>>112
レスありがとうございます。
教科書の内容は概念説明だけなので、
読めば理解できるのですが、
問題の解き方になると、わからないんです。
とき方を教えてください。m(__)m

それは理解していないという

それでは、理解するために、問題のヒントを教えてください。
お願いします。

>内容が全然理解できてないってことじゃん。
>総復習が先だと思うよ。

総復習というよりも、昨日からこの分野を、上記の本を使って
勉強し始めたのですが、つまずいたのです。

数学の書物は、各センテンスが命題の様な物。一文一文を噛み砕いて説明出来る様でなければ理解しているとは言えない。
誰かに説明しながら読み進める様な、読み方が理解を助ける。上手く表現し直せない部分は理解出来ていない。

新たな概念に付いては自分で実例を構築出来るようでなければ厳しい。難しい概念に付いては提示された例から、
類似の例ぐらいは思いつかなければ行けない。それができないとすれば、素養が足りないと言う事で
他の書物で補う必要がある。

>>117

そのとおりだと思います。
でも練習問題を解いたり、その模範解答を読んだりすることも、
理解する上で、大事ではないのですか？

自分は大学生に成り立てて、まだ大学式の学習方法に慣れておらず、
戸惑いを感じている部分が大きいのですが、
高校では、例題と解答を通して学ぶことが多かった気がしますが、、
つまり概念を、実例を通して学ぶというか、、
とにかく、解放のヒントを教えていただけると本当に助かるんですが。。

解放→解法です。　よろしくお願いします。

>>116
この問題はほとんど定義を確かめるだけの問題だから
例題と解答なんていう段階には全く至っていない。

とりあえず、これくらいは自分で考えてもらわないと、
今後あなたが繰り返し質問するのが目に見えてしまう。
どれだけ時間かかってもいいから答えを出してごらんよ。
出した答えくらいは添削してあげるから。

>>119

模範解答を手掛りにして理解ができる事も多い。
その後の復習で、>>117 にある様な進み方ができれば十分だ。

こつは適当な間をおいて何度も読み返すこと。その都度新しい理解が付け加わる。
そうならない教科書は低俗本。

直和があるのに直差がないのはなぜ

>>116
それなら、そんな問題をイキナリやろうとするのは間違ってるよ。
君は本を読んでいない、眺めただけだ。

>>122
その発想がわからん。

>>124
ある数学的概念が定式化されたら、それの逆の数学的概念（もしくは操作）について考えるのが当然ではないだろうか？

で、直和の逆が直差だと。

直和の定義はわかってるのかしら？

>>125
そういうつもりなら、随伴函手を構成すれば？

直和の逆演算である直差については、これこれこういうで定義できない、っていう説明をしてくれる賢い人が現れるまで待ってみます。

どういう意味で逆演算といい、どういう意味で定義できない
と思い込んでるのかがわからん。

和の逆が差ってのもなあ。

線形代数（有限次元ベクトル空間）の範疇では
直和も直積も一致するんだから、
逆は商空間なんだがな。

>>128 それより君の、0次元空間ー3次元空間、ってもののイメージを教えて欲しいよ。
あと0ー2次元空間あたりも。

まだ募集中です。

>>120
>>121

ありがとうございます。がんばります

>>131
もっといえば, ベクトル空間は free module だから
factor は sub だ.

>>133
おまえ、だれ

やたら英語使う奴ってうざいね。

>>136
同意を求めるなよ。

>>136
普段、読むものにも夜かもしれないが、世の中ってのは
いちいち定訳がある術語ばかりでは無いのでね。

＞factor
＞sub
に定訳がなかったｗｗ

定訳が無いものも普通に扱うから別に>>136が言うような違和感はない
という意味なんだが、>>139には少し難しかったか。

違和感？

違和感

しっかりしろ
>>136はどこにもあるコピペじゃないか

俺はDOEを求める。

OPEを求めるようになったらおしまいだ。

本に書いてあるより簡単な証明を考えたんですがあってますでしょうか?

定理: 正規行列はユニタリ行列で対角化できる

証明: C上の線形変換は必ず固有値を持つ。それを tとおく。
U = Im(T - tI) とすると UはT-不変(証明略)。
U^\perp もT-不変。なぜならば
v \in U^\perp, u \in U とすると
<u, Tv> = <T^* u, v> = <T^*(T - tI)u', v>
= <(T-tI)T^*u', v> = 0

また T|_U, T|_{U^\perp}は正規行列である。
もし dim U = 0 ならば T = tIとなり基底の取り方によらず対角化できる。
よってユニタリ行列で対角化できる。
よって帰納的に示された。

dim U = 0 ？

>>147
V = U \oplus U^\perp と、不変空間の直和に分解して帰納的に示したいんですが
V = U^\perp の場合は次元が落ちないので別に考えています。

違うやり方を思い付きました

xをTの固有値tに属する固有ベクトルとする。
U = span{x} とする。UはT-不変。
U^\perp もT-不変。なぜならば
v \in U^\perp, u \in Uとすると
<u, Tv> = <T^* u, v> = <\bar{t}u, v> = 0
(ここでTが正規ならTの固有値tに属する固有ベクトルがT^*の固有値\bar{t}
に属する固有ベクトルであることの証明が必要。)

T|_{U^\perp}は正規なので帰納的に示された。

手持ちの本では実対称行列が直交行列で対角化できることはこれと同じ様に
証明しているのに、上の証明は三角行列を使って証明しています。
なにか理由があるのでしょうか?

あんまり理由はないのだと思うことにしました。
正規行列Tとその不変空間Uについて
T|_Uが正規行列であることの証明はもっとあとにでてきます。
Uが一次元の時に限定すれば先にできるんですが
後で一般化されるような定理を証明するのが嫌だったんだ、
と思い納得します。

http://www-2ch.net:8080/up/download/1187872502305089.37aj1S

以上の問題について質問させてください。


固有値x=-1,2（重解）と求め、
固有ベクトルはそれぞれ(1,0,1)(-1,1,0)となりました。（２つしか固有ベクトルが出なくて困ってます。）
ｎ乗ということで対角化を使うのかと思いましたが、固有ベクトルの数からしてB=P^-1APとは
できないようです・・・
ｎ乗が求められません。 これは強引に３乗ぐらいまで計算してパターンを見つけるしかないのでしょうか？
このパターンの問題は今まで対角化のみで解いてきましたのでわかりません。


面倒な問題かもしれませんが、よろしくお願いします。

　

重解のほうから2こでないのか

今までのパターンなら重解から２つの固有ベクトルが出てきていたのですが
出てきません。一応何度も確かめたので計算ミスはないと思いますが・・・

てか、求めるのはA^nの行列式の値とあるわけだが
で、ヒントももらってたようだが?

det(AB)=det(A)*det(B)
ヒントは上のようにもらいましたが、理解できませんでした。
これはＡＢの行列式が行列式ＡとＢの積になると捉えましたが
この行列式Ｂの所がいまいちわかりません。
たぶん私は行列式Ｂを出す所で詰まってるのだと思います

B=A

>>156
その式で B = A とおけ。

Bは好きなものでいい。たとえばＡ。

Ａの行列式を求めて単にＮ倍すればよかったんですね。
助かりマシた。考え方がおかしかったです。

せっかくだから A^n も求めてごらん。
「ジョルダン標準形」を勉強するとできるようになるよ。

>>160
おいおい。

> Ａの行列式を求めて単にＮ倍すればよかったんですね。

違うぞ、違うぞ。N 乗な？

タイプミスしました。n乗ですね。
ジョルダンもやってみます。ありがとうございました。

大学の理学部数理科学科１年生に線形代数の講義を来年しないとなりません。
どんなことに注意したらよいでしょうか？

�@　教科書は？
�A　演習書は？
�B　その他

>>164

新人の先生ですか？
線型代数の講義は、受けた側から言うと、
「はき出し法を身に付ける」
の一言に集約されると思います。

行列式、固有値、固有ベクトル、対角化、ジョルダン標準形などは、
知識としてはもちろん必要ですが、
大学１年次では、手を動かして計算させるのが重要ではないでしょうか？

教科書・演習書については、私は独学なので、人様に薦められるようなものが
思いつきません。

教科書や演習書は、結局はその大学のレベルやシラバスに見合ったものがいい。
クセがなくて教科書としては使いやすいと思ったのは『教養の線形代数』。
（他にもにたような本はたくさんあるだろうけど）
いずれにせよ可能な限り内容を教科書に依存しないような講義を心がけるべき。
演習書は買わせなくても問題をプリントにして配れば事足りるでしょう。
あとは一回の講義のテーマを一つに絞ること。
正面切って大きな声でゆっくり話すこと。
講義に限らず人前で話すときの基本だが、結構できないものだ。

>>165は工学系寄りな講義を受けたのではないかと思います。

レス有難うございます。

>>165
いえ、新人ではありません。大学教授ですが、線形代数の講義を
もったことがないので、質問してみました。

うちの学科では線形代数を１年半かけて週に２コマでやります。
ジョルダン標準形は２年生で。

>>166
高校の数学Ｃの復習から入っているテキストってありませんかね？
教養の線形代数という名前の本は色々あるようですが。

松坂さんの線形代数？、岩波から出ていたものが復刊されたので、
あれもいいかなと思いますが、テキストとして全員に買わせるには
高価だと思います。まあ、２年次も使える内容なのですけど。

ニッピョウだと長谷川はだめ、荒いは無随（らしい）、川窪あたりが手頃か、
岩波の理工系もいい。思い切って黄色い演習書あたりを教科書に指定して

>>167

はい。物理科でした。
線型代数の講義で憶えたのは、はき出し法だけです（笑）

>>168

これは失礼いたしました。
一年半かけてやるのであれば、相当なことができますね。
講義を持つ立場の方も大変ですね。

『理系のための線型代数の基礎』はオススメ。

>>168
非常勤始める若い人かと思ったら教授とは。
教養の線形代数というのは村上，野沢，佐藤，稲葉のものです。
タイトル通り理工系の教養レベルなので週２コマ１年半の講義には物足りないかも。

数学Cの復習から入っている本を私は知りませんが，あまり意識する必要はないかと思います。
底辺で教えているので数学Cを履修してない学生もクラスに多数いますが，履修済の学生と有意な差は認められません。
ただ2,3次元の具体例を丁寧に説明するようには心がけています。

学生が躓くポイントは一次独立性です。

>>172

アドバイス有難うございます。
高校の数学の講義と大学の数学科もどきの講義とでは
大きく違うので、１年生を相手にする場合、たいへんですね。
２・３次元で丁寧にやるのがいいかも知れません。
そのテキストは知らないので、献本を頼んで目を通してみます。

>>169
川久保さんのは持っています。岩波の理工系は物理学者が書いたものでしたっけ。
研究室のどこかにあるでしょう。黄色い本はサイエンス社の演習書ですね。
演習をたっぷりするつもりです。

>>171 その本は水本さんのでしたっけ？もっていたと思います。

>>170 １年生を初めて相手にするので、たいへんです。

永田 雅宜 (代表著者), 『理系のための線型代数の基礎』, 紀伊國屋書店, 1986.

http://www.amazon.co.jp/%E7%90%86%E7%B3%BB%E3%81%AE%E3%81%9F%E3%82%81%E3%81%AE%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%81%AE%E5%9F%BA%E7%A4%8E-%E6%B0%B8%E7%94%B0-%E9%9B%85%E5%AE%9C/dp/4314004754

長谷川浩司の線型代数なら高校の復習からジョルダン標準形まであつかってる。
>>169によればだめらしいけど、どの辺が悪いんでしょうか？

>>175
アマゾンを見て来ました。良さげですけど。
この著者は教授かなんかなんですか？東北の

検索したら、こんなところに出ていますたｗ

http://ac-net.org/kjh/02/610-yjh-math.html

このスレはわからない問題を質問してもいいんでしょうか？

とりあえずしてみたらいいんじゃない？

線形代数ってどのあたりまでわかれば上出来か？大学の基礎教養として

>>180
射影幾何学の概論さわるあたりくらいかなあ…

松坂線型p204の最後の行のＡはＡ'とするべきですよね？

そうだよ

ありがとう

長谷川も悪くはないと思うが
他と比べるとあれもこれもという感じで川久保のほうが
的を絞って（吐き出し、標準かなど）詳しくかいてあるように見える。
でも結局川久保の証明がきっちり読めれば佐竹（前半）ももめると思うのは
後からみたからか

今、川久保線形で独学勉強してるんだが挫折しそう。
行列式から急に記述がムズくなってる気がする。
他書で行列式を勉強後に読んでても分かりにくい。
松坂の本は川久保より分かりやすいですか？
近所の本屋に松坂がないんで内容を確認できない…('A`)

>>186
ばかを言っちゃいけない。川久保が読めない御仁が松阪を読めるわけない。
迷わず斉藤にしなさい。

偶数次の交代行列の行列式は平方式になるそうですが、
証明はそうやってやるのでしょうか？
4次とか具体例でも結構ですから教えて下さい。

4 次でいいなら自分で計算してみればいいじゃん ﾆﾔﾆﾔ

>>188
もっと簡単なのもあるかもしれんが，適当に思いついたやつ：

帰納法で示す．交代行列 A を次のようにブロックで分ける：
　|　 X　|　 B　|
　| --- + --- |
　|-B^T|　 C　|
ただし
　X = | 0 x|，C = (n-2)×(n-2) の交代行列
　　　 |-x 0|

X は正則なので、基本変形によって
　det(A) = det(X) det(C + B^T X^{-1} B)
とできる．ここで C + B^T X^{-1} B は交代行列なので
帰納法の仮定より平方式（x が負の整数べきで現れる）．
これに det(X) = x^2 をかけても平方式．

あとは，この平方式が x について整式であることを
証明する必要があるが，それは普通に det を計算すると
整式になることから従う．

>>188
パッフィアン

>>190
どうも丁寧な回答有り難うございました。
頑張ってみます。

>>186
線型空間は最初はわかりにくいからあせらずに。ここがわかれば後は結構楽に進む。
ただし最後のジョルダン標準形は少し難しい。

ジョルダン標準形は、難しいというより、何をやっているのか良くわからない、という感じてはないかな。
教科書の内容を追うのに特に難しいことはないのだが、線型代数の範囲では意味づけがわかりにくい。
加群の理論を習えば霧が一気に解消するのだが、それなしに学ばなくてはならないので、ちょっと厳しい。

加群の云々は単因子論？
半単純環の表現論？
リー環のジョルダン分解？

一般固有空間分解の基底に関する表示として
ジョルダン標準形を導くような具体的な操作は、
意味づけを知ればもやが晴れるというような
タイプの内容ではないとおもうけど。

〔問題〕
n>2, x[n] を実数としたとき
　cos(π/n)･�納k=1,n] (x[k])^2 ≧ �納k=1,n-1] x[k]･x[k+1] - x[n]･x[1],
が成り立つことを示せ.

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1190854032/656
東大入試作問者スレ１１

>196

n=1,2 の場合は明らかなので省く。
　　λ･�納k=1,n] (x[k])^2 ) - (右辺) = ｘ・Ａ･ｘ
とおく。λは定数である。
Ａ[i,j] = λ　　( i=j )
　　　　-1/2　 ( |i-j| =1)
　　　　1/2　　(i,j)=(1,n) or (n,1)
　　　　0　　　( otherwise)
計算が少し長くなるが、
　det(Ａ) = (1/2)^(n-1)･{1 + Ｔ_n(λ)},
ここに Ｔ_n はn次の第1種チェビシェフ多項式。
Ａの固有値は λ - cos((2k-1)π/n),　　(k=1,2,…,n)
最小の固有値 λ - cos(π/n) が0になるようにλをとると、…以下(ry

>196

T_n(cosθ) = cos(nθ),
http://mathworld.wolfram.com/ChebyshevPolynomialoftheFirstKind.html

>>196
大学への数学の宿題だな

>197 の続き

最小の固有値 λ - cos(π/n) が0になるようにλをとると、
Ａのすべての固有値が非負、すなわち、Ａは半正値。
∴ (左辺) - (右辺) = tｘ･Ａ･ｘ ≧ 0.

(例)
n=3 のとき
　固有値 λ - 1/2 = 0 (二重),　λ+1 = 3/2,
　tｘ･Ａ･ｘ = (3/2)y[1]^2,　　y[1] = (x[1] - x[2] + x[3])/√3,

n=4 のとき
　固有値 λ-(1/√2) =0 (二重), λ+(1/√2) = √2 (二重),
　tｘ･Ａ･ｘ = (√2)y[1]^2 + (√2)y[2]^2,
　ここに, y[1] = {(x[1]+x[4])/√2}cos(π/8) - {( x[2]+x[3])/√2}sin(π/8),
　　　　　y[2] = {(x[1]-x[4])/√2}sin(π/8) + {(-x[2]+x[3])/√2}cos(π/8),

数学板でも首席クラスだな

へー
行列って便利だな
線形代数ちゃんと勉強し直そう・・・

すまん。explicit matrixの英訳は陽行列でおｋ？

聞いたことねーな、どんな行列？

>>204
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Electromagnetic_stress-energy_tensor
これのAnd in explicit matrix form:というところを見ていただければ。
それで、explicitの訳を探していたら日本語のWikipediaのゼータ関数の所に
Π(x) を陽の形（explicit）に表示する公式を〜　とあったので、
日本語だと陽行列かな？　と思ったんだけどきちんとした日本語訳ってあるのかな？

>>205
「陽行列」という何者かがあるという意味ではなく、
行列の形に陽に書くと、といういみ。
行列の形で書けば、とでも訳すのが適当だろう。

ここでのexplicitは「成分がハッキリ見えるように」くらいの意味あい。

所詮ウィキペディアなんてこの程度の(ry

だな

まともな項目は滅多にないし、翻訳らしきページには誤訳が満載、
おまえそれ日本語としてぜんぜん意味通ってないじゃんっての多過ぎｗ

ウィキペディアの質はともかくとして、「陽の形に」っていう表現はありなのでは？

>>211
だれかそこの表現を問題にしている奴がいるみたいな口ぶりだな

>>206
サンクス。やっと意味が分かった。

二次のテンソルを行列じゃないけど見やすいから行列の形に書く
ってのはよくやることのはずで、ソレを知らんやつが訳してるってのは
やっぱウィキペディアってその程度の(ry

初めて利用します。
線形代数で課題が出たのですが分からないので、お力添え下さい！

「R^nの部分空間Wはすべてある同時連立一次方程式AX=0の部分空間としてあらわすことができる」を示せ。

同時ってなにかとおもったら、ホモジーニアスのことか。
問題文くらい正確に書いて欲しいものだ。

すみません！同次連立一次方程式です！

AX=0の部分空間とは何か

すみません！
「R^nの部分空間Wはすべてある同次連立一次方程式AX=0の解空間としてあらわすことができる」を示せ。
でした＞＜

>>219
どうやら一般の質問掲示板にもマルチしてるようだが
社員の掲示板はスレ立てすぎるとアク禁されるぞ。

>>212
>>208->>210でwikipediaの日本語がけなされていて、そこより前で日本語wikipediaが引用されているのは>>205の
> Π(x) を陽の形（explicit）に表示する公式を〜　とあったので、
だから「陽の形」という表現がおかしいとされてるのかなと思ったんだけど、そういう話の流れじゃなかったの？

>>221
こういう無理解なやつが記事を弄繰り回して壊しまくってる
wikipedia全般の質の悪さが笑われてんだよ。

女でしょ
男だったら無神経すぐる

線型代数でお勧めの書籍は何ですか？

君のレベルによる

>>224　線型代数学　佐武
　吐き出し法が載ってないが、死ぬほど簡単なものなので
　そんなの図書館でちょっと借りてきて勉強すればすむ。

齋藤正彦の線形代数入門の内容で質問があります。p23の「det(e1,e2)=1である
から、det(a,b)は負となることはできない。」というところと、p24の「そして
線型変換TAが正の角を正の角に移すのは、Aの行列式が正の場合である。」
という部分が分かりません。行列式がどう関係しているのでしょうか？どなた
か分かる人教えて頂けませんか？

>>24
p.23
「ベクトルの組 e1, e2 から a,b まで連続的に
　線型従属性を失わずに移ることができる」
と，det(e1,e2) = 1 > 0 と，「det(a,b) = 0 iff a と b が線型従属」
という事実をあわせて考えればわかる．

p.24
|A| = det(A x1, A x2) / det(x1, x2) を睨むと
det(x1, x2) > 0（なす角が正）を
det(A x1, A x2) > 0（なす角が正）に移すのは
|A| > 0 のときに限る．

アンカーミス >>227

>>228　さんへ
ご返答ありがとうございます。p24の疑問は解けました。助かりました。
ただ、p23のほうなのですが、「θ<πならば、ベクトルの組e1,e2からa,bまで
連続的に、線型独立性を失わずに移ることができる。」とは、θ>=πにおいて
a=-bとなってしまい、aとbが互いに線形独立ではなくなってしまうという解釈
でよいのでしょうか？あと、線型従属はミスでしょうか？

>>230
上の引用部の線型従属はミス．すまん．

背理法っぽく言うと，あるところで det が正（なす角が正）で，
べつのあるところで det が負（なす角が負）ならば，
途中で det がゼロ（なす角がゼロ）になるところがあるはず．

ところが，なす角がゼロならば線型独立でないので，
こういう変形は途中で線型独立性を失っている．

>>231 さんへ
分かりました！ありがとうございます。θ<πに於いてという条件が「det(e1,e2)=1である
から、det(a,b)は負となることはできない。」という部分にもかかってたんですね。
無条件で負となってしまうという意味に受け取っていて、きちんと日本語が読めて
なかったようです。ほんとにありがとうございました！

>>226

行列の基本行列への分解も載ってないよ。
相似な三角行列の存在証明もジョルダン標準形を使うのしか載ってない。
簡単な証明があるのに。

これ等は基本なので書いてないのはまずい。

Cayley-Hamiltonの証明は分かりにくい。
簡単な証明があるのに。

その他いろいろな欠点が多い。

でじゃぶ

>>233
佐武の線形代数で独習を進めているものです。
・相似な三角行列の存在証明
・Cayley-Hamiltonの証明
の簡単な証明に興味があります。
方針を教えて頂けないでしょうか。

・Cayley-Hamiltonの証明は例えば固有多項式が最小多項式で割り切れる
ことを目指すような証明でしょうか？

>>235
・相似な三角行列の存在証明

M ≠ 0 を複素数体上の有限次ベクトル空間、
f : M → M を線形写像とする。
M の次元に関する帰納法を使って f が三角行列に相似になることを示す。

f の固有値の一つをλ、λに属す固有ベクトルを x ≠ 0 とする。
x で生成される M の１次元ベクトル空間を N とする。
f(N) ⊂ N である。
従って、f は線形写像 g : M/N → M/N を引き起こす。
帰納法の仮定により g は三角行列に相似である。
よって f も三角行列に相似である
(ここは少し飛躍があるが自分で考えること)。

>>235
・Cayley-Hamiltonの証明

M を複素数体上の有限次ベクトル空間、
f : M → M を線形写像とする。
M は環 C[f] 上の加群になる。

e_1, . . . , e_n を M の基底とする。

f(e_1) = a_(1,1)e_1 + . . . + a_(1, n)e_n
.
.
.
f(e_n) = a_(n,1)e_1 + . . . + a_(n, n)e_n
ここで、a_(i, j) は複素数。

よって
(fE - A)(e_1, . . ., e_n)^t = 0
ここで A は行列 (a_(i, j))
E は n次の単位行列。
(e_1, . . ., e_n)^t は (e_1, . . ., e_n) の転置。

B = fE - A とおけば B は環 C[f] 上の行列である。
B の余因子行列を B~ とすれば
B(e_1, . . ., e_n)^t = 0 より
B~B(e_1, . . ., e_n)^t = 0
よって、
det(fE - A) = 0 となる。

>>237 よりもっと分かりやすい証明がある。
過去スレに書いた。
もし見つからなかったらヒマがあれば再度書く。

>>238

書いて。

>>239
今、マス掻いてるからちょっと待て

Cayley-Hamiltonの証明の前に、基本的な考えを述べておく。

M を複素数体上の有限次ベクトル空間、
u : M → M を線形写像とする。
C[X] を複素数体上の多項式環とする。
v ∈ M のとき Xv = u(v) と定義することにより M は C[X] 上の
加群となる。

M と有限アーベル群 G の間には次のような類似が存在する。

(1) M の元 x に対して fx = 0 となる f ∈ C[X] で最小の次数のものは
G の元 a の位数に対応する。

(2) u の最小多項式は nG = 0 となる最小の自然数 n に対応する。

(3) u の固有値は G の位数 |G| の素因子に対応する。

(4) u の固有多項式は G の位数 |G| に対応する。

従って、Cayley-Hamiltonの定理は、|G|G = 0 という群論でよく知られた
事実に対応している。

今二つの教科書で勉強しているんですが、それらの間で「一次変換」という語が

1.n次元ベクトル空間から自身への一次写像を一次変換という
また、逆変換を持つような一次変換を正則な一次変換という

2.n次元ベクトル空間から自身への一次写像のうち、逆写像を持つようなものを一次変換という

のように定義が異なって用いられています
どちらの方がより一般的な表現なのでしょうか？
ちなみに上は佐武で下はサイエンス社の本です

>>242
1 のほうがよく使われるとは思うが、しかし
それは 2 が一般的でないという意味ではない。

その程度の違いは誤差の範囲内だから、
文献を参照するときはよく確認するように。

>>243
ありがとうございます

質問ばかりして申し訳ないのですができればもう一つお聞きしたいです
A^n=((-1)^(n-1))A
のような行列は冪零や冪等行列の様な名前はついていますでしょうか？
自分なりに調べたんですが発見できませんでした

無いだろ、たぶん

定義5・1　体の公理
集合Kが次の条件を満たしている時、体（可換体）であるという。
Kの任意の２つの元λ、μに対し、「λ＋μ」「λ・μ」という２種類の演算があって、
その結果はまたKの元である。そして、その演算は次の法則に従っている。
１（λ＋μ）＋ν＝λ＋（μ＋ν）
２　λ＋μ＝μ＋λ
３　∃０∈Kであり、∀λ∈Kについて０＋λ＝λ　を満たす。
４　∀λ∈Kに対し、∃μ∈Kを選んで、λ+μ＝０と出来る。この元μを−λで表す。
５（λμ）ν＝λ（μν）
６　λμ＝μλ
７　∃１∈Kであり、∀λ∈Kについて１・λ＝λ　を満たす。
８　０以外の∀λ∈Kに対し、∃μ∈Kを選んで、λ・μ＝１と出来る。
　　この元μを１/λ、またはλ^(-1)と書き、λの逆元という。
９　λ（μ＋ν）＝λμ＋λν

（注）一般に、６を満たすものを可換体といい、６を省いたものを体という。

（注）１を何回加えても０にならない体を標数０の体という。例　R、C。

定義5・2　線型空間の公理
集合Ｖと体Ｋがあって、次の条件を満たしている時、ＶをＫ上の線型空間という。また、ＫをＶの係数体という。

Ｖの任意の２つの元ａ、ｂに対し、演算＋（和）が定義され、ａ+ｂ∈Ｖとなる。「＋」は次の法則に従う。
１（ａ＋ｂ）＋ｃ＝ａ＋（ｂ＋ｃ）
２　ａ＋ｂ＝ｂ＋ａ
３　∃０∈Ｖであり、∀ａ∈Kについて０＋ａ＝ａ　を満たす。
４　∀ａ∈Ｖに対し、∃ｂ∈Kを選んで、ａ+ｂ＝０と出来る。この元ｂを−ａで表す。

∀ａ∈Ｖと∀λ∈Ｋに対して、「・」（スカラー乗法）が定義され、λ・ａ∈Ｖとなる。「・」は次の法則に従う。
５　λ・（ａ+ｂ）＝λ・ａ＋λ・ｂ
６　（λ＋μ）・ａ＝λ・ａ＋μ・ａ
７　（λμ）・ａ＝λ・（μ・ａ）
８　１・ａ＝ａ

例　実数係数の高々ｎ次多項式　f(x)＝Σ[i＝0〜n]a(i)x^i (∀iに対してa(i)∈R)全体を
　　P^n[x]とおくと、P^n[x]は線型空間の公理を満たしている。係数体はＲである。
　　複素数係数の多項式全体はＣ上の線型空間になる。

例　閉区間[0,1]上の実数値連続関数全体をＣ^0とおくと、Ｃ^0は線型空間の公理を満たす。
　　閉区間[0,1]上の１階連続微分可能な関数全体をＣ^1とおくと、Ｃ^1は線型空間の公理を満たす。
　　そしてＣ^1⊂Ｃ^2である。これらは無限次元線型空間である。

訂正。
→３　∃０∈Ｖであり、∀ａ∈Ｖについて
→４　∀ａ∈Ｖに対し、∃ｂ∈Ｖを選んで
→そしてＣ^1⊂Ｃ^0である。
（5・1終了）

5・2　部分線型空間
定義5・3　Ｖの部分集合Ｗ（空集合でない）が、Ｖの演算によってＫ上の線型空間になる時、Ｗを部分線型空間という。
ＷがＶの部分線型空間になるためには、ａ、ｂ∈Ｗ　⇒　ａ+ｂ∈Ｗ、　ａ∈Ｗ、λ∈Ｋ　⇒　λａ∈Ｗ
の２条件が満たされる事が必要充分である。
証明　線型空間の公理のうち、３、４以外は既にＶで成立している。
３・・・λ＝０とすると、λａ∈Ｗ　⇒　０ａ∈Ｗ　⇒　０∈Ｗ
４・・・（−１）・ａ＝−ａであるから、ａ∈Ｗ　⇒　−ａ∈Ｗ
別の定義　ａ、ｂ∈Ｗ、λ、μ∈Ｋ　⇒　λａ+μｂ∈Ｗ　でもよい。
証明　λ＝０、μ＝０とすると、λａ+μｂ∈Ｗ　⇒　０ａ+０ｂ∈Ｗ　⇒　０+０∈Ｗ　⇒　０∈Ｗ
　　　λ＝−１、μ＝０とすると、λａ+μｂ∈Ｗ　⇒　−１ａ+０ｂ∈Ｗ　⇒　−ａ+０∈Ｗ　⇒　−ａ∈Ｗ

定理5・4　Ｗ1、Ｗ2をＶの部分線型空間とすると、Ｗ1∩Ｗ2も部分線型空間である。
証明　ａ、ｂ∈Ｗ1∩Ｗ2、λ、μ∈Ｋとすると、λａ+μｂ∈Ｗ1　かつ　λａ+μｂ∈Ｗ2　であるから、λａ+μｂ∈Ｗ1∩Ｗ2
注　一般に、集合Ｗ1∪Ｗ2は部分線型空間にならない。

定義5・5　Ｗ1、Ｗ2をＶの部分線型空間とする時、集合{ａ1＋ａ2：ａ1∈Ｗ1、ａ2∈Ｗ2}をＷ1とＷ2の和空間といい、
Ｗ1＋Ｗ2で表す。

定理5・6　Ｗ1＋Ｗ2はＶの部分線型空間である。
証明　ａ1＋ａ2、ｂ1＋ｂ2をＷ1＋Ｗ2の２つの元とする。（ａi∈Ｗi、ｂi∈Ｗi、i＝1,2）
すると、λ（ａ1＋ａ2】+μ（ｂ1＋ｂ2）＝（λａ1＋μｂ1）＋（λａ2+μｂ2）∈Ｗ1＋Ｗ2

このウザイコピペバカは何？

（注）{０}は最小の部分線型空間である。

定義5・7　Ｖの部分線型空間Ｗ1、Ｗ2が、Ｗ1∩Ｗ2＝{０}を満たす時、Ｗ1とＷ2は直和条件を満たすと言い、
その和空間をＷ1＠Ｗ2で表し、Ｗ1とＷ2の直和という。

定理5・8　Ｗ1とＷ2が直和条件を満たすための必要充分条件は、∀ａ∈Ｗ1＋Ｗ2について、
ａ＝ａ1＋ａ2（ａ1∈Ｗ1、ａ2∈Ｗ2）という表し方が唯一通りであることである。
証明　Ｗ＝Ｗ1＋Ｗ2、Ｗ1∩Ｗ2＝{０}とする。ａ1, ｂ1∈Ｗ1,ａ2,ｂ2∈Ｗ2とする。
今ａ＝ａ1＋ａ2＝ｂ1＋ｂ2と２通りに表せたとすると、ａ1−ｂ1＝−ａ2＋ｂ2となる。＝ｃとおくと、
ｃ＝ａ1−ｂ1∈Ｗ1、ｃ＝−ａ2＋ｂ2∈Ｗ2となる。∴ｃ∈Ｗ1∩Ｗ2＝{０}。
すなわち、ａ1＝ｂ1かつａ2＝ｂ2となり、分解の方法は唯一通りである。
逆に、Ｗの元が全てａ1＋ａ2（ａ1∈Ｗ1、ａ2∈Ｗ2）の形に一意に表されるとする。
ａを任意に取ると、ａ＝ａ＋０＝０＋ａと表す事ができ、ｘ＋ｙを、ｘ∈Ｗ1, ｙ∈Ｗ2と考えると、
表現の一意性により、ａ＝０かつ０＝ａとなる。従って、Ｗ1∩Ｗ2＝{０}すなわち直和条件を満たしている。

定義5・9　Ｗi（i＝1〜k）をＶの部分線型空間とする。Ｗiが直和条件を満たすとは、
Ｗi∩ΣＷj [j＝1〜k]（iを除く）＝{０}（i＝1,・・・,k）が成立することをいう。

>>241
Cayley-Hamiltonの証明

M を複素数体上の有限次ベクトル空間、
u : M → M を線形写像とする。
u の固有方程式を χ_u(X) とする。
M の次元に関する帰納法で χ_u(u) = 0 を証明する。

C[X] を複素数体上の多項式環とする。
s ∈ M のとき Xs = u(s) と定義することにより M は C[X] 上の
加群となる。
よってχ_u(u) = 0 は χ_u(X)M = 0 と同値である。

M の C[X]-部分加群 N、つまり M の部分ベクトル空間 N で u(N) ⊂ N
となるもので N ≠ 0, N ≠ M となるものがあるとする。
u は線形写像 v : N → N と w : M/N → M/N を引き起こす。
N と M/N の基底をとることにより、χ_u(X) = χ_v(X)χ_w(X) は
容易にわかる。
帰納法の仮定より、χ_v(X)N = 0, χ_w(X)(M/N) = 0 である。
よって、任意の x ∈ M に対して χ_w(X)x ∈ N である。
よって、χ_u(X)x = χ_v(X)χ_w(X)x = 0 である。
即ち χ_u(X)M = 0 である。

M ≠ 0 の C[X]-部分加群 Nで、N ≠ 0, N ≠ M となるものがないとする。
M の任意の元 x ≠ 0 に対して M = C[X]x である。
fx = 0 となる f ∈ C[X] でモニックかつ最小の次数のものを f とする。
M は C[X]-加群として C[X]/fC[X] に同型である。
仮定より f は既約でなければならない。
即ち f = X - α, α ∈ C の形である。
C[X]/(X - α)C[X] は C に同型であるから x は M の基底である。
よって、χ_u(X) = X - α であり、χ_u(X)M = 0 である。
証明終

>>251

Jordan-Hoelderの定理を知っていればよりよく分かる。
M の組成列 M ⊃ M_1 ⊃ . . . ⊃ 0 に対して
各組成剰余群 M_i/M_(i+1) は C[X]/(X - α_i) の形である。
よって、χ_u(X) = Π(X - α_i) である。
これから χ_u(X)M = 0 は直ちに得られる。

訂正250
→{Ｗi}が直和条件を満たすとは、

定理5・10　Ｖの部分線型空間{Ｗi}が直和条件を満たすための必要充分条件は、
∀ａ∈ΣＷiが、ａ＝Σａi（ａi∈Ｗi, i＝1〜k）と表される方法が唯一通りであることである。
証明　{Ｗi}が直和条件を満たしているとする。∀ａ∈ΣＷiをとるとき、
ａ＝Σａi＝Σａi'（ａi, ａi'∈Ｗi, i＝1〜k）と二通りに表されたとすると、
ａi−ａi'＝Σ(ａj'-ａj)（j≠i）となり、左辺∈Ｗi、右辺∈ΣＷj（j≠i）従って定義5・9より
ａi−ａi'＝０、∴ａi＝ａi'　ここでiは任意であるから、一意性が示された。
逆に一意性を仮定すると、∀ａ∈Ｗi∩{ΣＷj（j≠i）}をとると、ａ∈Ｗi　かつ
ａ＝Σａj（j≠i）（ａj∈Ｗj（j≠i））とおける。すなわち、０＝−ａ＋Σａj（j≠i）。
これと、常に成り立つ０＝−0＋Σ0j（j≠i）を比べて、一意性を仮定しているので、
ａ＝0、ａj＝0となる。特にａ＝0であるから、証明された。

例5・3　平面π∈Ｗ1、直線L∈Ｗ2とすると、直線Ｌと平面πの交点は原点（0,0,0）であるから、
定義5・7により直和条件を満たしている。

例5・4　f(x), g(x)∈Ｅ1とすると、λf(0)＋μg(0)＝0より、　
λf(x)＋μg(x)∈Ｅ1となり、Ｅ1はＰ^3[x]の部分線型空間である。
同様に、f(x), g(x)∈Ｅ2とすると、λf(1)＋μg(1)＝0より、　
λf(x)＋μg(x)∈Ｅ2となり、Ｅ2はＰ^3[x]の部分線型空間である。
∀f(x)∈Ｅ1∩Ｅ2ととると、f(x)＝x(x-1)h(x)とおける。
すなわち多項式として0になるわけではないので、直和条件は満たさない。
（5・2終了）

荒らすな

〔問題〕
962 ： ◆nQAc.NZenw ：2007/11/03(土) 11:40:01
nは2以上の自然数とする。
xy-平面上に長さ1の棒ABがあり、k=0 のときの座標は A[0]=(0,0), B[0]=(0,1) であった。
ここで、B[k-1] を支点としてこの棒 A[k-1]B[k-1] を時計回りにπ/n回転させて A[k]B[k-1] とし、
次に A[k] を支点として再び時計回りにπ/n回転させて A[k]B[k] とする。
この動作をn回(k=1,2,･･･,n)行った後のBの座標B[n]を求めよ。

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1190854032/962,975
東大入試作問者スレ１１

>255
xy-平面上の点P=(x,y) と 複素平面上の点 z(P) = x+iy とを対応させる。
時計回りにπ/nだけ回転することは、z に exp(-iπ/n) を掛けることに相当する。
さて、題意により
　[z(A(k)), z(B(k))]† = Ｔ･[z(A(k-1)), z(B(k-1))]†,
ここに
　Ｔ = [[a, 1-a], [a(1-a), 1-a+a^2]],　a = exp(-iπ/n),
Ｔの固有値は 1,a^2 である。 固有ベクトルを v_1†, v_2† とし,　Ｐ = [v_1†,v_2†] とおくと
　Ｐ^(-1)ＴＰ = [[1, 0], [0, a^2]] = Ｄ,
　Ｄ^n = [[1,0], [0,a^(2n)]] = [[1,0], [0,1]] = Ｉ,
　Ｔ^n = {ＰＤＰ^(-1)}^n = ＰＤ^n Ｐ^(-1) = ＰＩＰ^(-1) = Ｉ,
で元に戻る。


なお、計算を実行してみたら
　固有値 1,　v_1† = [1/√2, 1/√2],
　固有値 a^2,　v_2† = [−exp(iπ/2n)/√2, exp(-iπ/2n)/√2],
　Ｐ = (1/√)[[1, −exp(iπ/2n)], [1, exp(-iπ/2n)]],
　Ｐ^(-1) = {1/[cos(π/2n)√2]}･[[exp(-iπ/2n), exp(iπ/2n)], [-1, 1]],
となったが･･･

レポート課題で分からない問題があるので教えてください。


Cayley-Hamiltonの定理によると、任意の正方行列Aに対してf(A)=Oとなる多項式fが存在するが、
多項式fの存在だけならばCayley-Hamiltonの定理を持ち出すまでもなく示すことが出来る。
Cayley-Hamiltonの定理を用いずに、多項式fの存在を示せ。

>>257

n 次正方行列全体は n^2 次元のベクトル空間になるから。

>>257
行列 A が代数的でないならば A^n (n:非負整数) で張る空間は
少なくとも可算無限次元になるから。

>>259

代数的とか可算無限なんて言うからわからなくなる。

>>258 から 1, A, A^2, . . . A^(n^2) は一次従属になるからと
言えばいい。

n 次正方行列 A = (a_ij) の第 i 行の全成分の和を S_i とすると
任意の i (1 ≦ i ≦ n) で |a_ii| ＞ |S_i - a_ii| が成り立つ。
このとき A は正則であることを示せ。

お願いします。

>>261

命題が間違っている. A = [1,-1,1;-1,1,1;-1,1,1]は仮定を満たすけど, 正則でない.

|a_ii| > sum(j neq i)|a_ij|だと正しい

>>258-260
有り難うございました。

>>262
貴女様の仰るとおりです。問題文書き込み間違えました。ごめんなさい。

|a_ii| > sum(j neq i)|a_ij|

の場合だとどうやって示せばよいでしょうか？

女性なのか…

>>264
A が正則 <=> 任意のベクトル x に対して A x ≠ 0 を使う。
x の絶対値最大の成分を i として A x の第 i 成分を見る。

任意のベクトル x は任意のゼロでないベクトル x の間違い

>>266-267
なるほど。Axの第i成分は0でないというわけですか。
有り難うございました。

３次正方行列＝A
その逆行列＝1/A とします。
Aを部分に持つ４次正方行列＝Bを考えます。
その考えるBの４行目は（０，０，０,ｘ）
その考えるBの４列目は（０，０，０,ｘ）です。
Bの逆行列は1/Aを部分に持ち
Bの逆行列の４行目は（０，０，０,1/ｘ）
Bの逆行列の４列目は（０，０，０,1/ｘ）となるようなんですが
証明を与えていだだけませんでしょうか？
よろしくお願いいたします。

Bをブロック行列と見て普通に掛ければ
(A y)(C z) = (AC Az+yw)
(0 x)(0 w)　　(0　　xw)
になるんだから証明するまでも無く自明だろ。

本当のど素人なものでまったくわからないのですが
証明するまでも無く自明なんですね
もう少しかみくだくとどうなるんですかね？
いや、もうこうなるのはなんとなく分かるんですが
これを解答として表現する方法がわかんないんですよね

コレ異常ないくらい噛み砕いてあるのに何が不満なのかさっぱりわからん。

× 本当のど素人なものでまったくわからないのですが
○ 考える気も説明を読む気も無いのですが

× これを解答として表現する方法がわかんないんですよね
○ コピペすれば終わるようにしろや鬼畜

わかりました。少し考えてみます。
どうもありがとう

>>270
まて、部分に持つが曲者だ。Bは
(y A)
(0 0 0 x)
の形をしているのかも知れんじゃないか。

完璧に理解できました
どうも失礼しました。

このご時世で齊藤の本そんなにいいか？

佐竹は古すぎで和書に限れば齋藤しかない。

空手家の佐竹と間違えているようだな

斎藤の本って多重線形代数について載ってなかったような。
多様体とか勉強してて、気になって調べようとしたときとかに困るでしょ。

多重線形代数をやろうとしたらテンソル積の一般論からやらなければ
ならない。
佐武だってこれはやってない。
ちゃんとやってるのはBourbakiくらい。

>>281
ジジイだな。いつの時代の話してるんだ。
今は邦書でも多重線形代数をテンソル空間上で
展開した本は結構ある。

何言ってんの？文盲ですか？

>>282

例えば？

どんな行列でも対角化すると必ず正になりますか？

>>285
行列が正であるとは？

再度詳細を記載します。
�@任意の［1×N行列］
�A任意の［N×N行列］
のとき、q＝�@×�A×�@の転置行列
のqは必ず正になりますか？

>>287
そのqが必ず正になる行列を正定値行列といいます。
正定値行列以外の行列ではqは正になるとは限りません。

普通は正定値というと対称性も仮定するけどね

みなさんは線形代数歴何年くらいで今のような知識に至りましたか？
或いはどのようなポジションで線形代数を使っていますか？
自分は大学の一年で数学科ではないんですが線形代数面白くて
佐武のジョルダン標準形までやっとたどり着いた感じです

代数とか応用分野とか全然手をつけていないですけど勉強したいなと思ってます
参考までに聞かせて頂けないでしょうか？

LangのAlgebraとか、多重線型代数の章なかったっけ？
いや手元に無いんで適当なこと言ってるけど。

>>288

正定値行列の存在を初めて知りました。
それは対称な行列なら必ず正になりますか？

>287
普通は正定値というと �@ ≠ [0,0,･･･,0] も仮定するんぢゃね?

>292
　そんなバナナ

>>284
例えば
杉浦・横沼著、ジョルダン標準型・テンソル代数、岩波

>>292
|-1 0|
|0 -1|
は対称だが正定値でない

対象なら正定値だよ
そんなことも知らんのか？

対称行列は、固有値が全て正なら正定値

>>295

余代数(coalgebra)については説明してるのか？
交代代数を真に理解するためには必要なんだが。

TAで行列を行列に送る1次写像について、AはTAの表現行列だと言われたのですがこの意味がよくわかりません。

表現行列は、習った範囲の認識では、ベクトル空間Vのある基底の組を1次写像fベクトル空間Wにで送った時に、
Vの基底のW上での像がWの基底を用いてどのように表現できるか、ということだと思うのですが、
TAで行列を行列に送るときに基底云々という話はどこからでてくるのでしょうか？

すいません、自己解決しました。
しかし新たな疑問が生じました

4*1行列xに対して
3*4行列Aを用いて
3*1行列y=Ax
と送る写像fを考えます。

このとき、明らかに
{f(e1),f(e2),f(e3),f(e4)}={(e1),(e2),(e3)}A
となっているのでAは写像ｆ(TA)の表現行列といえるみたいですが、
これは送り先の基底を(e1),(e2),(e3)でとったからのように思えます。

ベクトル空間Vのある基底の組v1〜vnを一次写像fでベクトル空間Wに送ったとき、あるm*n行列Aを用いて
(f(v1),,,f(vn))=(w1,w2,,,wm)Aとあらわしたときに、
w1,w2,,,wmがWの基底であったならAは一次写像fの表現行列である、という論理展開の定義なのでしょうか？

>>301
TAとかあんたの脳内でいろいろ補完されてしまってるようだが、
もうちょっと一般的な言葉を使ってくれないか。

一ついえることは、線型写像の表現行列は基底の取り方に
依存して決まるということ。

>>302
テキストにそのものTAという表現になっています
授業で配布された問題でも、ある行列が与えられて次の行列のKerTAとImTAの基底を一組求めなさい、
とだけある問題があるので、てっきり一般的な用語かと思っていました

TAというのは、
m*1行列xに対して
n*m行列Aを用いて、
n*1行列y=Ax
と送る一次写像のことを行列AによるTA

のような表現になっています(テキストでは)

さて後半ですが、表現行列は基底の取り方に依存して決まるということは、
ベクトル空間Vのある基底の組をv1〜vn
ベクトル空間Wのある基底の組をw1〜wm、また別のある基底の組をz1〜zm
とおいたとき、v1〜vnを一次写像fでベクトル空間Wに送ったとき、
あるm*n行列Aを用いて(f(v1),,,f(vn))=(w1,w2,,,wm)A
とあらわせたとしても、そのときWの基底をz1〜zmでとっていた場合は
Aは表現行列とは呼ばない、ということでしょうか？

ジョージブッシュはロシア共和国の大統領と呼ばないのはわかる？

>>303
> そのときWの基底をz1〜zmでとっていた場合は
> Aは表現行列とは呼ばない、ということでしょうか？
表現行列には違いないが、行列表示の意味を考えれば
使い道が無いから、そんなことをしても意味が無い。

A が定める線型写像 TA は一つに決まるが、TA の表現は
A を含めてたくさんある。行列表現をする際には、それが
どの基底による表現かということをきちんと添えて
考えなければいけない。一つの線型写像に対して、
その表現行列は一般には無数にあるからだ。

> ベクトル空間Vのある基底の組v1〜vnを一次写像fで
> ベクトル空間Wに送ったとき、あるm*n行列Aを用いて
> (f(v1),,,f(vn))=(w1,w2,,,wm)Aとあらわしたときに、
> w1,w2,,,wmがWの基底であったならAは一次写像fの表現行列である
この場合は A は V の基底 {v_1, ..., v_n} と W の基底 {w_1, ..., w_m}
の組に関する f の表現行列という。
雑な言い方をすれば、表現行列 A は V と W の基底を変数とする
二変数関数みたいなものだということだ。
ああ、この説明は他所で使うなよ、恥ずかしいから。

> てっきり一般的な用語かと思っていました
「A に対して y = Ax で定まる線形写像を T_A と書く」
というような断り書きが添えてあるならば十分一般的な表現だが、
なんの断りも無くその意味だと理解するかと言う意味では
めちゃくちゃローカルな表現だ。さらに >>301 では f と書いて
f = TA であることを述べていない。f(TA) と書かれれば
f で TA を写すものだと読んだとしても不思議ではない。

>>305
なるほど、ありがとうございました
実は今日大学で先生に質問してわかったのですが、テキストに単に
「A に対して y = Ax で定まる線形写像を T_A と書いたときに A は T_A の表現行列である」
としか書いていなくて、どうもそこは後日修正の入った不備？だったようです

修正前のこの文章を見て、写像で送られるベクトル空間の基底を[e1,e2,,,]以外でとったら？
という疑問がまず生じ、その後表現行列の定義(の論理展開の順序)に疑問が生じたのでした。

現在のverでは
「[e1,e2,,,],[e1,e2,,,]に関する表現行列である」という部分が追加されているそうです。
また、T_Aが問題中で断りなく使われているのは、授業で付属的に使う問題集なので
授業で使う限りは自明ということで省略されていたそうです。

「f(TA)」は投稿して出かけてから「f(つまりTA)」と書くべきだったなーと思いました

この問題分かる方、いますか？

２次以下の多項式のなす線形空間Ｒ[x]2において、
多項式f,g∈Ｒ[x]2に対する内積(f,g)を
(f,g)=∫[0→1]f(x)g(x)dxで定義する。(※∫はｲﾝﾃｸﾞﾗﾙ)
ｆ1(x)=xにもｆ2(x)=x^2+1にも直交する多項式h(x)∈Ｒ[x]2を求めよ。

お願いします！

>>307
hは二次式なんだから適当において積分計算して
係数の連立方程式作るだけだろ、それくらいは
他人に聞かずに黙ってやれよ。

なんでわからないのかが理解できないくらいの問題だな

>>308
頭悪くてすいません…

未知数３個に対して連立方程式が２個で解けないんですが…
どこか変ですかね？

>>310
> 未知数３個に対して連立方程式が２個
から
> 解けないんですが
を帰結するお前の頭が変。

考えてる線型空間は3次元なんだから、普通の
R^3 で2つ一次独立なベクトルが直交してる場面を
想像してみろよ。
それらのベクトルがそれぞれ張る空間をx軸やy軸
と見なせば、2軸に直交するベクトルはz軸上に
一次元分あるだろ、常考。

>>308
>係数の連立方程式作るだけだろ

例えばh(x)=ax^2+bx+cとおくんですよね？
未知数abcに対して、f1とf2から
２個の方程式しかできないんですが…

>>312
すいません頭悪すぎて分かりませんorz

>>313
全体が三次元だから、二次元部分空間の直交補空間は一次元。
つか、解けないってなんだよ、方程式が2本あるんだから
ちゃんと変数2個減るだろ、カス。

>>314
ありがとうございました

>>307
　ルジャンドルの多項式（n≦2）だな。
　P_0(x) = 1,
　P_1(x) = 2x-1,
　P_2(x) = 6x^2 -6x +1,
　(P_n, P_n) = 1/(2n+1),

それはさて置き、本問は　h(x) = c(50x^2 -48x +7),

キモヲタ「これぐらい解けねーのかよカス」

これ分かる方、いますか？

〔問題〕
n次以下の多項式のなす線形空間 Ｒ[x]n において、
多項式 f,g∈Ｒ[x]n の内積 (f,g) を
　(f,g) ≡ ∫[-1,1] f(x)g(x)dx　で定義する。
1,x,x^2, ････,x^(n-1) に直交する多項式 P(x)∈Ｒ[x]n を求めよ。

お願いします！

宿題は自分でやるかわかスレいけ

今日線形代数の再試験やったのですが計算ミスを連発しました。でもやり方は合っています。この場合中間点はもらえないのでしょうか？

点とは部分のないものである

>>320
俺らに言っても仕方ないだろ、担当教官に言えよ。

>>320みたいに、個人の趣味趣向だからケースバイケース
としか答えようのないことを、全然無関係の第三者に
質問してくるバカをたまに見かけるけど、一体なんなの……
脳みそ無いの？

脳みそはあるけど使っていないだけだろ。

思考盗聴で個人の生活に介入する奴は早く地球から去ったほうがよい。

>>282

>>280が発端なんだから、線形代数の教科書としての話。

線形代数の教科書で多重線形代数をテンソル積の一般論から
展開してるものがBourbakiの他にあるのか？

>>295の杉浦・横沼著、ジョルダン標準型・テンソル代数、岩波
は線形代数の教科書というより線形代数特論というべきものだろう。

負け惜しみをｗ

どこが負け惜しみなんだよ。
テンソル積の一般論なら和書でもそこらに転がってる。

線形を解りやすく説明したサイトとかありませんか?または線形の問題と解答があるサイトなど

金を惜しんでは勉強できないよ。
ちゃんとした本をお買い

>>329

英語なら結構ある

google で linear algebra lecture で検索すればいい。

a^2 + b^2 = c^2 + d^2 = 1 , a*c + b*d = 0 のとき、行列式の積と行列の積の関係を利用して、次の関係式を証明せよ。

a*d - b*c = ±1

お願いします。

それくらい自分でやれ

解く為の方向性がわからないのです。

>>334

|a, b| |a, c|
|c, d| |b, d|

そのまま算出した状態での式と、行列の積を計算した値とを比較すればよかったんですね・・・

盲点でした。

>>318
行列表現してから解けばいいんではないか？

区間[a,b]上の関数Rn[x]からRn+1[x]への線形写像Iについて考える。
　　I=∫[t,a]f(x)dx (t∈[a,b])
以下の問題に答えよ。

(1)Ker(I)を求めよ。
(2)Iの退化次数を求めよ。
(3)rank(I)を求めよ。

(1)の答えは{f(x)∈Rn[x]|f(x)=0}、(2)の答えはnull(I)=0、
だと思うんですが、(3)がよくわかりません。
rank(I)=dim(Im(I))=n+2かなと思うんですが、
そうすると次元定理null(I)+rank(I)=dim(Rn[x])(=n+1)に矛盾します。
どこが間違ってるかわかる方いらっしゃったら手ほどきお願いします。

I=∫[a,t]f(x)dx (t∈[a,b]) でした。すみません。

Rn[x]はどんな集合のつもりだ？

実数係数のたかだかn次の多項式の集合です。
R[x]nとかR_n[x]と書くべきでした。

> 実数係数のたかだかn次の多項式の集合
を表す一般的な記号は無いので
> R[x]nとかR_n[x]と書くべきでした。
というのは疑わしい。記号に頼り切らず、自分の
用いている記号の説明は常に付ける癖を付けるべき。

記号と意味がほとんど一通りなんていうのは、
暗黙の了解に塗れた決まりきった文脈しか扱わない
高校までの数学が異常なんだ。

で、本題だが
> rank(I)=dim(Im(I))=n+2かなと思うんですが
が間違い。それ以外はあっている。
I(f) は I(f)(a) = 0 を満たす n+1 次函数なのだから
I は全射にはならない。
Ker(I) = {0} から I は単射で、特に Im(I) は Rn[x] と線型同型。

定義すればよかったのか…今度から気をつけます。

位相・群論を習ってないので全射、単射、線型同型という用語がよくわかりません。
Ker(I)={0}とIが単射であることは同値である、のもなぜなのか…
ですが、なんとなくdim(Im(I))=n+1を導く方向性が見えてきました。
明日図書館で調べてまた考えます。ありがとうございます。

>>343

＞全射、単射、線型同型という用語

通常は線形代数で初めて教えられる。

＞位相・群論を習ってないので
と
＞全射、単射、線型同型という用語がよくわかりません。
の繋がりが全然分からん……
全射・単射は集合論の初歩だし、線型同型に至っては
まるっきり線型代数の用語なんだが。

えっそうなんですか？全射、単射は教科書に意味が載ってるだけで、線型同型は初めて聞いた言葉です。
授業では紹介されたことがないです。今１回生の秋で対角化あたりなんですが…ちなみに機械工学科です。

教科書に定義がのってるなら、読んで理解すればいいだけの話だ。
授業で紹介されないなら自己学習が禁止されるという法律があるわけではあるまい。

図書館で調べると書いたんですが…定義読んだだけでは核や像との繋がりがよくわからないんです。
理解力・応用力がなさすぎるのかもしれません汗
いろいろ用事ができてしまったので調べるのは少し先延ばします。理解次第また書きます。

> 線型同型は初めて聞いた言葉です。

ベクトル空間の同型を扱わないなんて
いくら工学部でもそれはないだろ……

教科書を調べたりしたのですが、類題もなく途方に暮れています。
どなたかご教授願います。

A はn 次行列とする．Rn（ｎ乗のこと） のベクトルv,w に対して，
F(v,w) = det(Ａ｜ｗ)
--------
tv | 0
と定める．（右式ｖは転置行列で、括弧は全体にかかってます）
以下の問に答えよ．
(i) F : Rn ×Rn ヨ(v,w)→ＲヨF(v,w) はRn 上の双線形形式であることを証明せよ．
(ii) 双線形形式F を表す行列B とA の関係を調べよ．(B はF(v,w) = tvBw を満たす行列である．)
最後のｔはｖの転置行列を示します。

ここは宿題やレポートの解答お助けスレじゃありません

ノルムって何？

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8E%E3%83%AB%E3%83%A0

>>350
マルチすんな。行列式の基本性質が分ってるかどうか
というだけの問題だろ、類題もクソもあるかよ。
つか、R^n のnは次元を表す単なる上付き添字で、n乗じゃねーよ。
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
30898．線形代数です。至急お願いします
名前：とも 日付：2007年11月29日(木) 21時58分
教科書を調べたりしたのですが、類題もなく途方に暮れています。
どなたかご教授願います。

A はn 次行列とする．Rn（ｎ乗のこと） のベクトルv,w に対して，F(v,w) = det(Ａ｜ｗ)
　　　　　　ーーー
　　　　　　ｖ｜０


と定める．（右式ｖは転置行列で、括弧は全体にかかってます）
以下の問に答えよ．
(i) F : Rn ×Rn ヨ(v,w)→ＲヨF(v,w) はRn 上の双線形形式であることを証明せよ．
(ii) 双線形形式F を表す行列B とA の関係を調べよ．(B はF(v,w) = tvBw を満たす行列である．)
最後のｔはｖの転置行列を示します。
(大学 2 年)
softbank220041030179.bbtec.net (220.41.30.179)
Mozilla/4.0 (compatible; MSIE 6.0; Windows NT 5.1; SV1; .NET CLR 1.1.4322; .NET CLR 2.0.50727)

>332
　a^2 + b^2, c^2 + d^2, ac + bd はグラミアン（内積行列式）の要素。
　元の行列式は、その平方根。 >335

空気読まなくてすいません、退化次数って何ですか？

ＴＢＳはこうして在日朝鮮人に乗っ取られた。 窓際社員の独り言です。

（１）1960年代
テレビ放送が始まってまもなくの頃、放送中のちょっとした言葉づかいの問題（例えば「朝鮮民主主義人民共和国」を"北朝鮮"と呼んでしまった、など）に対して、
朝鮮総連から会社及び経営幹部の自宅に対して脅迫に近い抗議行動が繰り返される。抗議行動に対する「手打ち」として、採用枠に"在日枠"が密かに設けられる。
総連幹部の子弟を中心に入社試験無し（カタチだけの面接）での採用が毎年続く。
在日枠の密約を所轄官庁に対して内密にしてもらうよう局側から総連に「お願い」をしてさらに弱みを握られ身動きがとれなくなっていく。
（２）1970年代
政府を叩きさえすれば世論が喝采する狂った時代。
在日社員の「反日番組」を「権力に対するペンの戦い」「調査報道」と勘違いした経営幹部が社内で在日を積極登用。
「日本人社員と在日社員に昇進の差別があってはならない」などと理想論を述べたのは良かったが、
しかし昇進差別をしなかったのは甘い日本人幹部だけで、課長、部長と昇進した在日社員は、帰化した在日二世を理不尽なまでに優遇する逆差別人事を徹底。
異を唱えた日本人社員は徹底的にマークされ、営業や総務など番組制作の第一線から退けられる。

（３）1980年代---90年代
昇進した在日社員が主要な報道番組のプロデューサーや報道局長など、決定的なポストを占める。
某サヨク週刊誌の在日編集長をキャスターに迎えたニュース番組が、
学生時代に学生運動に没頭した団塊の世代の視聴者の支持により高い視聴率を得る。
１９８９年の参議院議員選挙では「土井社会党」「マドンナブーム」を援護。あからさまな社会党支持。

（４）1990年代---2000年代
偏向報道、捏造報道、取材情報を特定の勢力に提供するなど、報道機関として存在を否定されかねない不祥事が続発。
朝日新聞、系列のテレビ朝日が、どちらかといえば「北京の意」を汲んだ報道が多い。
バブル崩壊以降の景気低迷でただでさえ厳しい広告収入が、「サラ金」と「パチンコ」に大きく依存。まさに、在日朝鮮人の資金で在日朝鮮人が運営しているのがウチの放送局。
在日の局長が在日のスターを「作り上げる」ような番組制作が為され、その証拠に「筑紫哲也の番組名」が未だに存在する。

>>昔は時事放談で田久保忠衛等良く出て来たが。最近見ない。

マーチ理工学部一年ですが、基底、部分空間とか意味が全くわかりません。
オススメの参考書教えてください

線型代数がよく分かる本
石園

>>361
ググってみましたが検索結果０件でした。いちおう線形と直しましたが・・・

線型というのもあるのか・・・理系失格かな・・・・・

＞＞362
まちがえてた

やさしく学べる線形代数 石村 園子

松坂はだめだったの？

http://www.shokabo.co.jp/mybooks/ISBN978-4-7853-1123-0.htm
これ、おもしろそうなんだけど・・・・
誰か読んだ人いる？

ﾍﾞｸﾄﾙの内積の公理と中線定理が同値でしたっけ？

>>365
持ってるよ
本棚に飾ってるが、まだ開いたことない

【問題】
　x,y,z ∈ R　⇒　x^2 + y^2 + z^2 + 2axy + 2byz + 2czx ≧ 0
が成立するための a,b,c ∈R の満たすべき必要十分条件を求めよ。

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1194120000/406
東大入試作問者スレ１２

>368

　[1, a, c]
A=[a, 1, b]　　が半正値。
　[c, b, 1]

∴　固有値がすべて 非負。

∴　|xI-A| = (x-1)^3 -(a^2+b^2+c^2)(x-1) -2abc = x^3 -3x^2 +(3-a^2-b^2-c^2)x +(-1 +a^2 +b^2 +c^2 -2abc),
の根がすべて非負。

∴　a^2 +b^2 +c^2 ≦ min(3,1+2abc) = 1 + 2*min(1,abc),

>369 の続き
　3|abc|^(2/3) ≦ a^2 +b^2 +c^2 ≦ 3,
より
　|abc| ≦ 1,
∴　a^2 +b^2 +c^2 ≦ 1 + 2abc ≦ 3,

>>370
それのどれが答え？一番最後の式だけではダメで，
a = √3, b = c = 0 が反例．

半正定値の必要十分条件は任意の主小行列式が非負なので

・a^2 <= 1
・b^2 <= 1
・c^2 <= 1
・a^2 + b^2 + c^2 <= 1 + 2 a b c

が必要十分．

>>371
？？？
反例って何の反例？？

あ、すまん。370の一番最後の式の途中の ≦ を計算過程と見てた。俺が悪かった。

２次形式
-X1^2-X2^2+7X3^2+2X1X2+6X1X3+6X2X3
を適当な直交変換で標準系に直せ
(直交変換を表す行列も求めよ)

お願いします

>374
X1-X2面内で45ﾟ回して
　x = (X1-X2)/√2,　ξ = (X1+X2)/√2 とおくと
　(与式) = -2x^2 +7X3^2 +(3√2)ξX3,
さらに ξ-X3面内でも回して
　y = {3ξ -(√2)X3} /√11 = (3X1 +3X2 -2X3) /√22,
　z = {(√2)ξ +3X3} /√11 = (X1 +X2 +3X3) /√11,
とおくと
　(与式) = -2x^2 -2y^2 +9z^2,

誰かアドバイスして・・・
具体的な計算(逆行列、方程式を解く)とかは、何となくできるようになったんだけど
証明とか、そういう抽象的なところができん・・・
皆さんはどうやって勉強されました？？
部分空間とか、ジョルダンの標準形とか、教科書の後半あたりになってくると意味がわからんことになる・・・

3*3行列あたりで具体例をいろいろ計算するのがよい

そんなところで意味がわからんことになるのなら数学止めるのが良いかと

>>378
まぁ、俺は数学に向いてないと最近思うわｗ
まぁ、俺、数学科じゃないから別にいいんだろうけど

4次正方行列の余因子行列を求めたいときは

（−１）＾１＋１の後に3次正方行列がきてそれをサラスの公式で解く

という方法をa44まで繰り返せばよいのですか？

> （−１）＾１＋１の後に3次正方行列がきて

　??
Ω

>>381
3次正方行列式？

> （−１）＾１＋１の後

　0??
Ω

>>383
なにがいいたいの？

>>384
それはこっちが>>380に訊きたいよｗ

│１＋ｘ＾２　　ｘｙ　　　　　　ｘｚ　│
│　ｙｘ　　　１＋ｙ＾２　　　　ｙｚ　│＝１＋ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２
│　ｚｘ　　　　ｚｙ　　　１＋ｚ＾２　│

を証明せよ。と言う問題なんですがまったくわかりません
どなたか解説お願いします。

>>386
行列式だろ？単なる計算じゃないか。
計算の仕方は、サラスの展開とか、行または列に関する展開とか、
教科書に書いてある。
まずは教科書嫁

>>386
行列式を書き下せないということか？

>>386
何が「まったくわかりません」だw お前やる気あんのか。

さらすの公式使って計算するだけだろうが。

しかもマルチかよ >>386


高校生のための数学質問スレ
772 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 2007/12/27(木) 19:21:41
│１＋ｘ＾２　　ｘｙ　　　　　　ｘｚ　│
│　ｙｘ　　　１＋ｙ＾２　　　　ｙｚ　│＝１＋ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２
│　ｚｘ　　　　ｚｙ　　　１＋ｚ＾２　│

を証明せよ。と言う問題なんですがまったくわかりません
どなたか解説お願いします。

>>387-389
２行目と３行目の１列目を０にするというやり方でやっていたところわからなくなってしまったんですが
単純にサラスという方法をわすれていました　すいません・・・できました

>>386
この計算の幾何学的背景って何？

>>392

V=(x,y,z) をユークリッド空間におけるベクトルの直交基底による表示と捉え、u=V/|V| とおくと、

ユークリッド空間の線型写像 a → a+(V,a)V = a+|V|^2 (u,a)u 　；　( , ) は内積
の行列表現は問題のなかの行列になる。

この線型写像は、任意のベクトルの V 方向成分を 1+|V|^2 倍に拡大をする物で、V に垂直な方向は変えない。
この写像による、領域の体積の拡大率は行列式であるから、その値も 1+|V|^2 になる。

うーん・・・ムズい・・・

固有方程式というのは
ある本では
｜xE-A｜とありますが
ある本では
｜M−λI｜とあります。
これは逆になってると思うのですがどういうことでしょう

>>395
例えばお前はx=0と-x=0が違う方程式だと抜かすのだな？

>>395
何の問題があるというのか。

ま、本によって定義が違う。
あと、固有多項式な。

>>396
>>397
ということは、状況によって変わるとかでしょうか

あ、
｜M−λE｜をやってみたら同じ結果になりました。

で、固有方程式と言う場合と固有多項式と言う場合は違うのでしょうか

｜λE-M｜も同じでした。

固有ベクトルを求めよという問題で
いきなり固定ベクトルなるものがでてきたんですが
固定ベクトルってなんですか？

>>399
著者の趣味で変わる

>>400
本当に同じ結果になったというのか？

>>403
λから引くかλを引くかの違いで
対角以外もプラスとマイナスが変化するので同じですよね。

一般に
｜λE-M｜≠｜M-λE｜
だと俺は認識してるんだが

>>405
ええ！？

｜M-λE｜の方が計算ミス少なくていいと思うけど、
｜λE-M｜を使ってる教科書の方が多いよね。

>>405
はジャマーというやつか

ジャマをするからジャマー

コンピュータグラフィックを勉強すると
線形代数も見えてきますか？

>>404>>408

言うまでも無く｜λE-M｜≠｜M-λE｜だが
｜λE-M｜=0 と｜M-λE｜=0は同じ。
二つの違いは言わなくとも分るだろ。

>>407
そりゃλに関してモニックな多項式になるからね。

>>410
＞言うまでも無く
ここを文章で知りたい

>>412

xと-xは違う多項式
x=0と-x=0は同じ方程式

言われなくても分かるはずのことを
指摘されても分らないというのは異常

異常なんて大袈裟な。ただのおたわけさんw

準義務教育の高校でならただの馬鹿ですむが，
わざわざ学習内容を自己選択する大学でこれがわからないなら
異常と言うものだろう．

固有多項式はモニックとするのが普通。
どっちでもいいわけじゃない。
どっちでも良かったら混乱するだろ。

というわけで >>396, >>397 もよくわかってない。

俺なんかまずいこと言ったか？

>>416
難しく言うなよ。
スレのレベルに合わせて最高次の項の係数が１と言っとけ。

>>418

そうだな。
モニックな多項式でググればわかるけどな。

>>416
どっちでもいいんだよ、カス

>>416
俺のレスに何の問題があるのか言ってみろ

>>421

固有多項式は方程式ではない。
｜xE-A｜は固有多項式
｜xE-A｜= 0 は固有方程式

一般に｜xE - A｜≠ ｜A - xE｜

>>422
俺が言っているのはそういうことだ

>>423

>>396 はそう見えない。

最初に
＞固有方程式というのは
って言ってるし、>>396は固有方程式なら同じだと言ってる
ということで意味は通る。

おそらく>>424はただの中二病だろう

ここは魯鈍参加者が互いを罵りあうレになりました

>>425

>>395 の意味するところは固有多項式だろう。
推察が出来ない>>396がおかしい。

すみません質問したいのですが、３×３の行列のデターミナントを２×２に直すとき、マイナス1の累乗が出てくるんですけどあれってなんですかね。それと２×２にするためには成分に0をいくつか作ればいいのは分かるんですがどこに作ればよいのでしょうか

展開のことか？
なんで-1の累乗が出てくるかは実際に計算すればいい。
どこに0を作るかは練習問題を重ねていくうちにわかる。

展開という技法なのですか？問題ごとに0をつくる場所もマイナス1の数も変わって昏倒してしまいます。

それくらいで昏倒するくらいなら数学勉強するのを辞めた方がいいと思うよ

>>428
置換の符号sgnが出てくるだけ

>>428　行列式の定義と展開公式の証明を確認しろ。

わかりました！余因子展開ってやつだということは。しかし０をつくるセンスのない人は３つ行列式作った方が早いこともありますよね？

一般に、（行列Ａの転置行列）のインバース＝（行列Ａのインバース）の転置行列
になることってどうやったら証明できるの？

t(A^-1)tA = t(A A^-1) = tE = E

なんか、俺自信無くなって来たよ、|AB|=|A||B|じゃなかったっけ？それなら
|±A|=±|A|になって、次数が偶数の場合は|xI-A|=|A-xI|になると思うんだが、その手の
ツッコミが全然ないなんてなんか異界を歩いている感じ。

議論の内容があまりにばかばかしくて突っ込む気にもならなかったんだろ。

一般には一致しない
常に一致しない

さあどっち？

一飯ではエッチしない

平岡和幸「プログラミングのための線形代数」で勉強してる初学者です。
この本の中で、最小二乗法 を用いた連立方程式の解法は逆問題の教科書を読め，
とありますが，逆問題という分野に馴染みがありません。
逆問題の良書ご存知でしたら教えて頂けませんでしょうか。

〔問題〕
　x1^2 + x2^2 + x3^2 + …… + xn^2 = 1　の条件の下で
　f(ｘ) = x1x2 + x2x3 + …… + x(n-1)xn + xnx1　の最大･最小を求めよ.

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1199706844/16
東大入試作問者スレ１３

>442
n次の実対称行列Ａを
　f(ｘ) = ｘ･Ａ･ｘ†
とおくと、Ａの要素は
　A[i,j] = 1/2,　　　　|i-j| =1, n-1 のとき
　A[1,n] = A[n,1] = 1/2,
　A[i,j] = 0,　　　　　その他
となる。
次にＡの固有多項式を計算するんだが、長くなるので結果だけ書く。
　|λＥ−Ａ| = {Ｔ_n(λ) - 1}(1/2)^(n-1),
ここに Ｅはn次の単位行列、Ｔ_n( ) はn次の第1種チェビシェフ多項式とか言うもので、
　cos(nθ) = Ｔ_n(cosθ),
が成り立つ。 したがって、Ａの固有値は
　λ = cos(2kπ/n),　　　(k=0,1,2,…,n-1)
最大の固有値は λ= 1,
最小の固有値は λ=-1 (nが偶数のとき),　λ=-cos(π/n) (nが奇数のとき).

http://mathworld.wolfram.com/ChebyshevPolynomialoftheFirstKind.html

>>395
偶数次のとき、|λE-A| = |A-λE|,
奇数次のとき、|λE-A| = -|A-λE|.

>>443
感じがつかめた。

B = (B[i,j]), B[i,i+1] = B[n,1] = 1, そのほか B[i,j] = 0 で定義すると、
A = (B + B†)/2, B† = B^(-1) だから A = (B + B^(-1))/2, B^n = E で、
cos z = (exp(iz) + exp(-iz))/2
を通じてチェビシェフ多項式が出てくるのだな。
まだはっきりは説明出来ないが。

〔巡回行列式〕
　C[i,j] = c(j-i+1),　　　　　　　{但し c(-k)=c(n-k)}
を満たすn次の行列Ｃを巡回行列と言うらしい。

1行目〜n行目の和は、どの列も c(1)+c(2)+…+c(n) となる。
∴ |Ｃ| は c(1)+c(2)+…+c(n) を因数として持つ。
j行目に ω^((j-1)k) を掛けて加えると、どの列も Σ[j=1,n] c(j)ω^((j-1)k) の定数倍になる。
∴ |Ｃ| はこれを因数として持つ。(k=0,1,…,n-1)
　ω = exp(i(2π/n)),
また、c(1)^n の係数は1である。　　　{← 対角要素はc(1) }
よって、|Ｃ| は上記のn個の因数の積に等しい。

古屋 茂, ｢行列と行列式｣(培風館 新数学ｼﾘｰｽﾞ 5), 増補版 (1959.5) II. §3, p.41-42

>444
　>443 で省略したＡの固有多項式の計算は…

>445 で Ｃ = λＥ−Ａ とおくと、
　c(1) = λ, c(2) = c(n) = -1/2, c(3) = … = c(n-1) = 0,
したがって
|λＥ−Ａ| = Π[k=0,n-1] {λ -(1/2)ω^k -(1/2)ω^((n-1)k)}
　= Π[k=0,n-1] {λ -(1/2)ω^k - (1/2)ω^(-k)}
　= Π[k=0,n-1] {λ-cos(2kπ/n)}
　= {Ｔ_n(λ) -1}(1/2)^(n-1),

８項実数ベクトル空間をＵとするとＵの部分集合「成分がすべて偶数であるもの全体」は線形部分空間ですか？


あと、実直交行列かつ三角行列ならば対角行列である
という命題は成り立ちますか？

>>447
前半不成立、後半成立

線形部分空間にならないのはどの条件を満たさないからですか？

>>449
偶数の実数倍は偶数とは限らないから

>>445-446
分かった。thx. チェビシェフの多項式を使わなくとも
巡回行列の直接計算で良いのか。
>>444の B を使えば a_0*E + a_1*B + a_2*B^2 + ......... + a_(n-1)*B^(n-1)
が、一般の巡回行列で、 この場合は
(B + B^(-1))/2 = (B + B^(n-1))/2 について調べればいいという訳か。
B の固有値 ω^k の固有ベクトルが (1, ω^k, ω^(2k), ........ , ω^((n-1)k))
ですぐ分かるから一発。
http://www.iis.it-hiroshima.ac.jp/~ohkawa/math/math_problem_all.htm#089
の答え読んでたら思いついた。

>>441
金谷先生の「これなら分かる応用数学教室」はいかが？

f (x) を最高次の係数が 1 なる有理係数多項式とする。
この時、固有多項式が f (x) なる有理行列 A は,
有理可逆行列 P による相似 P^(-1)AP を除いて有限個である。
これはどう示すのですか？

ついでに同値（相似）類の数も教えて下さい。

>>453

良問だね。

類似の問題として位数 n の有限アーベル群の同型類の個数を求める
のがある。

V を有理数体上の n 次のベクトル空間とする。
ψ : V → V を有理数体上の線形写像とする。

Q[X] を有理数の１変数多項式の全体とする。

g(X) ∈ Q[X] と x ∈ V に対して gx = g(ψ)(x) と定義することにより
V は Q[X] 上の加群になる。
このとき V は Q[X] 上の加群として長さ有限である。
従って組成列を持つ。
即ち部分加群の列

0 = V_0 ⊂ V_1 ⊂ . . . ⊂ V_n = V
があり、各 V_i/V_(i+1) は単純加群である。

一般に Q[X] 上の単純加群は Q[X]/(p(X)) と同型である。
ここで p(x) は最高次の係数が 1 なる既約多項式。
各 V_i/V_(i+1) が Q[X]/(p_i(X)) と同型としたとき
f(X) = Πp_i(X) は ψ の固有多項式である。

(続く)

>>455

続くと書いたが面倒なんで後で気が向いたら書く。
誰かが代わってくれてもいい。

>>456
素直にできませんと言えばいいのに

>>457

あれだけ書けば後はルーチン。
それが分からないあんたは（略

単項イデアル整域上の長さ有限加群の分類論。
これを使うと任意のモニックを固有多項式を持つ
有理行列の存在が自明的に分かる。

ある線形空間の基底を求めるときに
ある問題集ではではすべて列基本変形によって簡約化しているのですが
行基本変形を使ってはいけないんですか？

ｖｋ（）てなんですか？

質問です。主成分分析や因子分析をするのに行列の積算や回転などが
必要らしいということまでわかったのですが、数式を理解して実際に電卓で
計算できるようになるためには、行列の他にどの分野をどのくらい勉強すれば
いいのでしょうか？

ジョークかもしれないが、本質的には高校範囲。多次元が出てくるけど。
あとその手の統計解析は多次元もnが割と大きいので手や電卓は意味なし。
統計解析ソフトを使うしかない。

だから高校範囲＋αの行列をしっかり勉強して、あとはソフトに任せるとか。

>>463
その統計解析ソフトが動かない環境を想定して、アルゴリズムを実装したいのですよ…。
まあぶっちゃけ多重共線性の悪影響を華麗に回避できるNNが欲しいだけなんですけど
探し方が悪いのか探しても見つからず、某板で聞いても教えてもらえず…はぁ。

どんな特別な環境なんだよ。勉強のためにやるのならともかく
利用したいだけならポータブルな実装は数多あるので
目的にあったモジュールを使うのが吉。

>>465
はい。おとなしくもう一度探してみます…。

統計の人たちが、その手のつぶれたのかつぶれかけた行列をいじくっていたような気がする。
matrix analysisとか洋書読みながら。
たぶんどこか探せばあるだろうし、そうでなければＣで書くとか？

ところで>>462 と　>>464が同じ人に見えない。

>>426
某質問スレで誘導した者だが
ここじゃなかったのか・・・

すまんかった

ってか数学板に行列スレってないのかのう
（ふざけたスレはあるが・・・ｗ）

松坂線形代数入門を独学で勉強しています。
本文はだいたい読めるのですが、演習問題をしようと思ってもわからなくて、
答えを見ても解答しかない、もしくは解答すらない、
というのでますますわかりません。
こういう場合はサイエンス社あたりの演習でもやっておくとよいのでしょうか？

「だいたい読める」だけじゃまだまだ不充分ってことじゃないの？
あともっと良く考えるとか。

>>469
「大体読める」というのが勘違いってことじゃねーの。
ふつう数学の本を「読む」って言ったら、自明な例と
少し自明でない例をちゃんと自分で持ってきて、
本文に即してその例では実際にどういう内容を言って
いるのか、といったようなちょっとした演習的なことを
やりながら読みこなすことを指すんだぜ。

演習問題に手が出せないなんてのはさ、「読む」には
準備がまだまだ不十分ってことに他ならんよ。

本一冊読むのに五年かかるとか普通なのにねえ．

>>471
>>470
わかりました。
もっとじっくり試行錯誤しながら読んでみます。
またなにかあれば質問に来ますのでよろしくお願いします

正方行列についてAB=A+BならばAB=BAを示せ。
ってできますか？ちっともわかりません。

AB=A+B=B+A=BA

>>475
質問者じゃないが．
AB = A+B のとき BA = B+A は自明なの？
この問題は，それを聞いているように見えるのだけど．

476は行列が
加法にたいして可換なのが理解できてないアフォ

>>477
特定の行列A,BについてAB=A+Bのときに、それについてBA=B+A(=A+B)というのは自明としていいのか？

AB=A+Bより(A-I)(B-I)=Iとなる。
よってA-Iは正則。
これよりB-I=(A-I)^{-1}となり、右からA-Iを掛けて(B-I)(A-I)=Iが導かれる。
これを展開することによりBA=B+A=A+B=ABがわかる。

>>469
その通りだよ。自分でわかってるじゃないか。線型代数は計算自体が目的
みたいなとこがあるから演習問題が解けなければ意味がないよ。演習こそ
メインと思ってもらっていい。
計算のモチベーションは代数学で勉強するから今は気にしないでいい。
>>479
ありがとう

>>479
どうもありがとう

AB=A+B=B+A
ここまでは自明だけど
B+A=BAを自明としちゃいかんだろ

＞モチベーションは代数学で勉強するから今は気にしないでいい。
いやモチベーションってのは
今は気にしなくて良いとかそういうもんじゃないと思うけどなあ、

今は気にするな派の主張も
そういうもんじゃないだろ派の主張も
それなりに一理あると思う。
数学に取り組む姿勢って個人差が大きくて
こういうところでアドバイスしにくいかも。

教科書の演習問題で
「直交行列Pの固有値の絶対値が1であることを証明せよ」
という問題があるのですが、
これに対する解答の中であきらかに

P = P' (P' は、Pのすべての要素を共役数に置き換えた行列）

が用いられています。
直交行列において、上の性質は一般に成り立つのでしょうか。
それとも、直交行列の要素は実数であると仮定しているのでしょうか。

小一時間ほど悩んでおります。
回答できる方、どうかお願いいたします。

>>485
わたしの本では直交行列は実行列で考えられているけど、
だからといって君の教科書でもそうだとは言えない。
自分の教科書をしっかりと確かめてごらん。

>485
説明不足でした、申し訳ありません。

僕の教科書（「線形代数」寺田文行　サイエンスライブラリ）では、
直交行列は

(tP)P = E (tP は　Pの転置行列）

で定義されています。

（実ベクトル空間における）正規直交規定の変換に対する
説明のところで登場しているのですが、
上式で定義されているので、
実行列に限定しているのかどうか判断がつかなくて…

>>487
本当に定義がそれだけだとすると、かなりおかしい。たとえば
P = t[1 0 0 0 0] みたいな縦長の行列も tP P = 1 で直交行列になってしまう。

きっとどこかに 「n×n の実行列 P が直交行列であるとは……」
みたいな一文があるはず。無かったら焚書すべし。

>>488
失礼しました。

二組の正規直交規定a1,a2,…,anとb1,b2,…,bn間の
変換、すなわち

b(j) = Σ(i = 1 to n) p(ij) a(i)

の議論の中で、このときp(ij)は tP P = Eを満たすことを述べ、
その直後に
「 tP P = Eをみたす行列を直交行列という 」
と書いてあります。

ですから、Pが正方行列であることは前提になっているようです。

>>489
定義に書かれてないことを前後の文脈から察さないと
いけない本なんて、相当に腐ってる。
今後のことを考えると、もっとしっかりとした本を見たほうが良い。

ちなみに、その文脈を汲むなら、実ベクトル空間上の線形変換が
実数で定義されてるはずだから、P が実行列であることも
前提になってるんじゃないかな。

寺田の本を使ってるとこみるとオレと同じ早大生？
あの本はあんまり自習に適さないから、他の本使ったほうが良い。

>>490
なるほど、確かにそうですね！
見落としていました。
ありがとうございます。

定義のことですが、確かにおっしゃるとおりだと思います。
もう後は線形写像とジョルダン標準形の２章だけなので、
線形代数はこの本でやってしまおうと思いますが、
これからは、勉強に使う教科書はよく吟味して決めようと思います。
貴重なアドバイス、ありがとうございました。

>>492
線形代数の初歩などの基本的なところで誤解すると
後々大変なことになるよ。
本買わないで良いから、図書館でも行って、他の本では
どういう風に書かれてるか目を通すことを強く推奨。

>>492
いえ、大阪大です。
同じ教科書とは、奇遇ですね。

確かに、すこし分かりづらいところがいくつかありました。
次は複素関数論と代数学を勉強しようと思っていますが、
何か自習に適した教科書ご存知でしょうか。

ちなみに僕は3回生（新4回生）なのですが、
数学の講義を単位だけ適当にとってしまって
内容がきちんと理解できていないように感じ、
春休みを利用して復習している―という次第です。
ですから、完全に一からの自習、という訳ではありませんが（笑）

失礼しました。
494のアンカーは>>492でなく>>491です。

>>493
確かにそうですね、明日にでも図書館に行ってみようと
思います。
親切なご指摘、有難うございます。

代数学は東大出版から出てる全三巻が薄くてわかりやすい。

>>496
有難うございます。
明日、図書館で借りてこようと思います。

>>494
複素解析はご存知アールフォースが定番。
代数は教科書もいいけど演習も大事だよ。例えば位数１００までの
有限群の分類をやってみたりするのも力がつく（３２とか面倒なのは
除く）。

写像、置換、転置の可視化(グラフ化)とはどいうことなのでしょうか？
どういった相関があるのでしょうか。
入学予定の大学の履修項目に上がっていたのですがわからなくて。
よろしくお願いします。

履修項目なんてそのときのノリで書いてるんだから、気にするな

気にせず普通に線形代数の教科書を読め

線形空間、線形写像の理解で躓いております。
分かりやすく解説している参考書を教えていただきたいです。
現在マセマ出版の参考書を使っています。

「微分積分」、「確率統計」は同出版社参考書程度の知識はあるのですが、
「集合と位相」はすっぽりぬけております。
線形空間・写像をやる前に集合と位相を一通り勉強したほうが理解し易いでしょうか。

当方経済学部2年、来年度より数理系の専門に進みたく、
春休み中に一通りの数学知識を習得したいと考えてる次第です。
誤字脱字ありましたら、申し訳ないです。スレ違いでしたら誘導していただけると幸いです。
宜しくお願いします。

マセマなんて使ってたら、一生わからない。まだ「単位が取れる〜」がいい。
あと、線形代数やるのに集合と位相は必要ない。

数理経済目指すなら、そんなゴミ本読んでもどうしようもないよ。
それなりにしっかりとした数学書読んでおかないと、ついていけない。

「単位が取れる線形代数」はそんなに悪くない気がするんだが。
とくに、抽象的議論ばかりの数学本に慣れてない人がまず導入として読むのならば。
マセマは取り柄のまったくない本当のゴミ本だと思うけど。

数理経済の教官とか先輩とかに聞けない？
具体的に何が分からんということなら数学板だけど
どこまでやるべきかという話ならあれもこれもやらされるよｗ

>>502
線型空間と言っても線型代数のレベルではそんな難しいことを
言ってるわけではない。数式では難しそうな表現になっているけど
身近な２次元または3次元ユークリッド空間を思い浮かべながら考えると良い。
なんだそんなことかという位の理解でじゅうぶん（数学専攻じゃなければ）

金玉が痒いんです
どうしよう？

というか、線型空間とか線型写像って何なんだろう？とか思いながら
R^nとかC^nとVの間に同型があるという定理まで勉強して、
なんだ、要するにR^nのことなんじゃないか、という理解に達するのが数学の勉強でしょ。
まあ写像が自然に一意に定まるかとかそういうのはあるけど。

しばらくは分からないことを分からないままに勉強するというのも必要かと。
定義を読んだからと言って直ぐにその概念を理解できると思わないほうがいい。

レス有難うございます

>>503
生協の宣伝に惹かれてマセマを。単位がとれる〜を立ち読みしてこようと思います。

>>504
学部レベルの数理統計・ファイナンス、計量経済で使う線形代数の知識が欲しいのですが
どの程度要求されるのでしょうか。これは経済学板で聞くべきでしょうか。

>>506
今現在、自分の周囲は数理経済に遠い人ばかりで望み薄です。
教官とは距離がありまして質問したことないです、今春休み中なので尚更に難しいです。

>>507
その辺の理解で躓いております。参考書、ネット等で調べて頑張ろうと思います。

>>508
とりあえずは先に進んで反復で繰り返してみようと思います。

>>510
個人的には線型「代数」の勉強は幾何的なイメージを浮かべらながら
勉強するとわかりやすいと思う。むしろ幾何なんじゃないか。
俺なんかA・B×Cが行列式であり、平行六面体の体積だとわかったときは
感動したし。ただ計量経済で使うんなら、いきなり計量経済の書物を
読んで、わからないときに数学の教科書を参照するのがいいんじゃないか。
まず数学書で準備をしたいという生真面目さは理解できるけど、結局
時間の無駄になりがち。

とりあえず511が理解していないことはわかった

>>512
何か問題ありました？

数理経済では理工系のようなジョルダン標準形を計算でつかうの？

ジョーダンでしょ

>>510
うちの経済だと
伊理，"一般線形代数"，岩波書店，2003
くらいの知識は学部で勉強することになる。

数理経済の理論寄りやるんだったら線型代数なんて
さっさと固めて測度論やら関数解析やらやるべきだし、
応用寄りでも上の本くらいの内容は知っててほしい。

松坂より斉藤のほうが理解しやすかった。
松坂途中まで読んで損しました。

なるほど>>509が工学屋の数学というやつか……

>>510
> 学部レベルの数理統計・ファイナンス、計量経済で使う線形代数の知識が欲しいのですが

ということなら、その辺の工学部の線型代数の講義を
取りに言ったほうがいいと思うよ。
理論よりも計算が重視されるから経済系で欲しい能力に
合うと思う。

Aが(m,n)型行列,Bが(n,m)型行列でm<nとする
(1)BAが正則でないことを示せ
(2)ABが正則であるのはどんな場合か
　
線型代数入門(斉藤正彦)にあった問題ですがわからないのでどのようにして解くか教えて下さい

考えてたら(1)はできました
rank(BA)≦rankB≦min{m,n}<n
から示せますね
(2)も同じようにして等号の成り立つ条件とかを考えたらいいんですか？

このスレ見てる人いないぞ

次の二次形式の標準形をもとめよ。またそのとき用いた直行交換を一つ示せ。
ｆ（x,y,z）=x²−３ｙ²＋z²＋6xy-2zx＋6yz

ってやつなんだけど誰かお願いします。

最初から誰かお願いしますとかやる気なさすぎ
教科書読んだら出きるだろ普通・・

>>522
直行交換？

>>522

ゴリゴリ計算すれば直ぐ求まるじゃん
|1 3 -1|
a^t･|3 -3 3|･a
|-1 3 1|
a=(x,y,z)^t

マセマってゴミ本なのか・・・結構ショックだわ

>>519
ABが正則⇔rankA=mかつKerA(+)ImB=K^n［直和］（Kは係数体）

（必要）
ABが正則なら m=rankAB であり、m=rankAB≦rankA,rankB≦m
より rankA=rankB=m
ここで、 KerA∩ImB={0}
（∵v∈KerA∩ImB ⇒ ABv=0, 左からABの逆行列をかけてｖ=0）
よって KerA(+)ImB⊂K^n ［直和］だが、
dimKerA+dimImB=(n-m)+m=n より、⊂は=となる。□

（十分）
条件より、 dimImB=n-(n-m)=m となるから、ImBの基底を
Bb_1,..Bb_m (各b_i∈K^m) とする。
このとき、ABb_1,..ABb_mはK上１次独立である。
(∵γ_1ABb_1+・・・+γ_mABb_m=0 (γ_i∈K)
　　⇒A(γ_1Bb_1+・・・+γ_mBb_m)=0
　　⇒γ_1Bb_1+・・・+γ_mBb_m∈KerA∩ImB
　　直和性より、γ_1Bb_1+・・・+γ_mBb_m=0
　　Bb_1,..Bb_m の１次独立性より、∀γ_i=0)
よって、m≦rankAB≦rankB≦m より rankAB=m
∴ABは正則。□

なんか違ってたらごめんなさい。

必要性の４行目間違えた。

（∵v∈KerA∩ImB ⇒ ∃u∈K^m, v=Bu, ABu=0,
　左からABの逆行列をかけてu=0, ∴v=0）

517さんに同感。

松坂は日本語が多すぎる。式で考えさせて欲しいよ。

意外と、統計のための行列代数が良かった。

ああいう本はとても日本人にはかけないと思うよ。

517ですが、ほかにも私と似たようなことを感じている人がいて安心しました。
松坂先生の導き方は丁寧で独特なので、分かりやすいのですが、同時に分かりにくいのです。
斉藤先生ははっきりと書いてくれる印象があるので、松坂先生読んだ後で斉藤先生を読むと霧が晴れた印象をうけます。
うまく使い分けるのがベストなのでしょうね

笠原線形代数わかりやすい

物理系の私にとっては>>517,>>529,>>530と正反対の印象でした。松坂本で基礎を
勉強してマリツェフ、数学も好きだったんでPID上の加群、と進みました。物理系、と
書いたように、最後の段階には恐ろしく苦しみました。ファンデルヴェルデンを教科書と
して読んだのですが。

ませまは新1年が読む本だろwwww

530ですが、文学系です。
関係あるかはどうか分かりません

次の問題が分からずに困っています。
誰か、解いて頂けませんでしょうか。お願いします。

XY - YX = E となるn次正方行列X,Yは存在しないことを示せ。

n = kのときにXY - YX = E を満たすk次行列X,Yが存在することを仮定すると、
n = k-1のときにX'Y' - Y'X' = Eを満たすk-1次行列X',Y'が存在することを
示そうと思ったんですが、なかなかうまくいきません。
実は帰納法など使う必要はなくて
すらっと綺麗に証明できたりするのでしょうか・・・？？

教科書に解答が付いてありました。
お騒がせして申し訳ありません。

>>535

左辺の形の行列に付いて、その対称化したものを双一次形式の表現行列と看做す事ができる。
それは直ちにゼロ値である事が判る。よって左辺の形の行列は右辺とは一致できない。

>>537
対称化の定義は？

量子力学でボーズ粒子の場合に
XY - YX = E
みたいな行列を考えますけど、これは無限次元だから問題ないってことですか？
tr(AB)が有限の値でない場合はtr(AB)=tr(BA)って安易にやっては駄目だってことでしょうか？

ちょっと上のほうで見たけど、DQN本を使ってる大学があるんだね、驚いた！

>>539
有限の値の場合も駄目。

斉藤正彦先生の「線型代数入門」を読まれている方が
結構 多いように見受けられるのでお聞きするんですが、

104頁の14行目
「ふたたび帰納法の仮定により、F'はS'の極大線型独立系となる・・・」

って、おかしくありませんか。
帰納法の仮定をどうみても、

「F'は線型独立なn個のS'のベクトルである」

ぐらいにしか言えないように思うのですが・・・
この本をお持ちでない方には全く意味のない書き込みで申し訳ありません。

何もおかしくありませんでした、申し訳ありません。

a=(a1,...,an)^t，�農{i=1}^{n}(ai)=1，ai∈Rとする．
この時，|aa^t|=0となる事を示せ．

行列式が常に0であるという事をどうやって示せば良いですかね？

n=1 が反例

>>545
参考書とかにある問題じゃなくて，ふと思っただけなので命題の正否は
怪しいのですが，n~=1でお願いします．

「正否」→「真偽」ですね^^;
日ごろ数値計算くらいしかしないもので，失礼．

基本変形で０の行ができるから

>>548
納得しました^^;ありがとうございます．
ではaと同様のベクトルb,c,…としたときに
A=aa^t+bb^t+cc^t+…
としたときの|A|の値も同様に0ですね．

すいません，全然そんなこと有りませんでした…

>>541 絶対収束する場合はOKでは？

>>549
一般に、A = a_1 a_1^t + ... + a_k a_k^t のランクは高々 k 。
実は、逆に、ランク k の対称行列は上の形に分解できる。

証明してみるよろし

(x,y)平面でx^2-y^2という量を不変に保つ変換Aはなぜ|A|＝±1が条件なんでしょう？
行列を
a b
c d
として
普通に不変という条件を使うと
ｘの変換後ｘ'はx'＝ax+by、yも同様にしてy'=cx+dyだから
x^2-y^2にこれらを代入してx'^2-y'^2と比べてやると
a^2-c^2=1
d^2-b^2=1
ab-cd=0という条件は出てくるのですが
|A|=ad-cb=±1がどこから出てくるのか分かりません。

(ad-cb)^2=1を示せばいい

もうちょっと言うと
(ad-cb)^2=(ad-cb)^2-(ab-cd)^2を計算

解いてみたら理解できました。
ありがとうございました(_ _)。

質問があるのでよろしくお願いします。

A,BはC成分(複素成分)のn次正方行列でAB=BAを満たすものとする。
α∈Cに対して、W[α]={x∈C^n|Ax=αx}とおく。次を示せ。
(1)x∈W[α]⇒Bx∈W[α]
(2)c∈C^nで、cはA,B両方の固有ベクトルであるものが存在する。

(1)は簡単だったのですが、(2)がさっぱり分かりませんでした。
ご教授お願いいたします。

命題A「線型変換は必ず固有ベクトルを一つ持つ」だけ使う。

命題Aより、W[α]が{0}でないα（Aの固有値）が存在する。
(1)より、BはW[α]の線型変換だから、BをW[α]に制限した写像も
命題Aより固有ベクトルcを持ち、A,B両方の固有ベクトルになる。

>>3
これって本当にお勧めですか？

私のスペック書いとくと、
物理院卒、線形は一通り勉強済みだが統計立ててもう一回勉強しなおしたい、
仕事で必要なのは固有値計算

って感じです

統計立てて…
何か変だと思ったら
系統立ててでした

院卒で勉強の仕方が分からんというのはいかがなものか

物理の院修了で線型代数の入門書の良し悪しが自力で評価できないんじゃ
6年間何やってたんだか、と正直思う

仕事で必要な固有値計算の基礎を系統立てて勉強したいのか
どうなのか

手元に本が無いと評価できないもん
あいまいになっているところを基礎に戻って把握しようと思ってるんですが

本屋なり図書館なりで自分で調べろよ
馬鹿が。

めんどいときの２ｃｈなのですよ
田舎すぎて数学書売ってる本屋がないってのもあるけど

そんなものぐさな人には数学の本は向かない。

結構まめと思うけどなぁ
まぁ向くか向かないかじゃなくて
必要か否かで

本がないのはしょうがないとしても
必要か否かこそ本人じゃないとわかんないと思うよ・・・
まあとりあえず読んどけば？　損はしないよ。

そりゃそうだ
土日に都会にでも出向かってみます
ありがと

マジレスすると、斎藤線型はJordan標準形が単因子論を使っていて
一般固有空間を使ってないのが弱い。特に応用系の人には。

斎藤演習では（本人が反省して）一般固有空間を使っているので、
両方やるとよい。

一度勉強してるなら、斎藤毅の最近の東大の本のほうがいいかも。

彼には斎藤毅は難しいだろう

僕は大学一年生です。スバラシク実力がつく　線形代数　キャンパスゼミ　マセマ出版社で質問したいことがあるのでよろしければご返答ください。
ｐ１３４の５行目から１０行目とｐ１３５の1行目から３行目が説明不足で意味がわかりません。
初歩的な質問ですけどご返答お願いします。

>>572
悪いが数ヲタは、その程度の本で勉強しないんで、ページ数を書かれても答えようがない
持ってないんでね。
わざわざ図書館に調べに行ってやるつもりのないんで。

ちゃんと書くか、取り込んでpdfでうｐるかしてくれ！

持っている自分が言うのも何ですが、
その本で勉強するのは無謀かと。
後、説明不足でも何でも何でもないと個人的には思います。
P134
わかりにくかったら
λ(c_n)+μ(b_n)=d_n
と置くと線型結合になっている。

P135もわかりにくかったら置き換えて考えて。

どれとは言わないが、最近DQN本が増えたよな

マセマなんて書いてる奴、数学科でないしね
ユトリは良い本を選ぶ目がないＷ

出版社も良書を出す気がない（涙）

線形代数の応用ゎどんな物に使われてるの??
具体例を教えてください…

>>578
まあ、ＣＧなんかは当然そうだろうし、
マルコフ連鎖の定常状態なんかは、行列で計算するし、
有限要素法とかもそうだな。
別に、どこの分野で特定に使うということではなく、必要とあらばどの分野でも使うだろ。

本当に下らない質問で申し訳ないのだけれど線形代数の線形ってなんですか？
言葉の意味的に理解できないんです。どこら辺が線形なのかを教えていただきたいです

>>580

二次元のベクトルを例に考えて見よう。ベクトルの原型は、直線的移動である。
これには始点と終点がある。始点が何処にあるかは必要に応じて考慮するが、
一回の移動には、動いた方向と距離の二つの中身があり、それ以外の事を捨象した物をベクトルと呼ぶ。

動いた方向と距離、即ち「ベクトル」は、始点を一つ決めれば、矢印を付けた線分で表現できる。
原点を始点に選べば、全てベクトルは平面上の点で代替できる。
この様に原点を起点に固定して、平面上の点で表現したベクトルを平面ベクトルと呼ぼう。

一つの物に、二つの移動が順に起った時、結果を見れば一つの移動が得られる。
これをベクトルの和と言う。

一つの移動について、向きと距離を替える事だけを考える事が出来る。これは距離量の実数倍で表現できる。
これをスカラー積という。

一つのベクトルからスカラー積で得られるベクトルの全体は、平面上の直線(原点を通る)を成す。
この事に注目して、ベクトルの全体を、線型空間と呼ぶ。

線型空間は和とスカラー積と云う代数演算を備えている。その演算の性質を考察する学問を「線形代数」と呼ぶ。

もうちょっとシンプルに書いてやれよ．
線型（型=type） は直線みたいに振舞うもの，くらいの意味．
（原点を通る直線は，線型空間の典型例）

ちょーちょーわかりやすい参考書オススメ教えてください！

>>583
おやびんのイラストの本でも読んでなさいってこった！

他スレでも聞いたんですけど誰もいなくて教えてほしいんですが行列の問題で階段行列にしたいんですけど
2 -1 0
1 2 5
を階段のやつにしたいんですけど誰か教えて下さい！一応解いたんですが

>>585
・階段行列の定義
・階段行列にするための変換
この二つはどうなっている？

既に解いていて正解を確認したいだけなら，
君の回答を書いたほうが早いと思うよ．

Ladder Matrix?
Cascade Maatrix?

>>586
自分のは
1 2 5
0 -5 -10
になりました。
誰か教えてください！

>>588
>>586

階段行列にしなさい。ただし変形の途中で成分に分数はが現れてはいけない。
としか書いてません,,,,,

線「形」代数なんて書くようになったから、>>580 みたいな
疑問を持っちゃうんだろうな…

>>591
ゆれを認めないドキュン乙。

>>585
をだれか教えてください！

乳ゆれはいいものだ

>>590
おまえは「階段行列」や「変形」を定義すらせずに
その問題を解きに掛かっているというのか？
それならお前はバカの中のバカだ。

「階段行列」や「変形」に当てはまりそうな内容が
複数考えうるからおまえの殺ろうとしていることが
ハッキリ分らんと言っているのだ。
それと、
> ただし変形の途中で成分に分数はが現れてはいけない
という非常に重要な条件が>>590で初出というのは
舐めているのかといわざるを得んぞ。

はいバカです！
階段行列にしろしか書いてないし良くわかりません

>>596
問題文に現れる用語の定義・説明は問題文以前に書かれている。
このことがわからない人は質問することは出来ません。
その状態で無理に質問したとしても、エスパーでも無い限り回答できないからです。

> 階段行列にしろしか書いてないし
定義も導入も説明も問題解くのに使う定理もその証明も
そういったものなにも無しに本の始めから問題文だけしか
書いてないなんてどんな教科書だよｗｗｗｗｗ

>>596
ぼくたちにもわかりません。えすぱーにたのんでください。

プリント配られただけけけけ

講義で板書やレジュメを使わずに
問題書いたプリントしか配らないって
どんな教官だよｗｗｗ

ある特定の人の特定の講義や演習でやる内容という
極めて限定された状況下では「解け」の一言だけでも
問題は成立するかもしれないが、そういう限定条件下に
無い人間に対して限定条件の説明無しに質問しても
わかるわけないじゃん。
特にいくつもの解釈が可能である場合にはさっぱりだ。

詳解線形代数演習、演習線形代数(ともに共立出版)っていうのを見つけたんですが
これらの評価はどうですか？
詳しい解説があって、基礎〜応用まで幅広く問題の載ってる演習問題集を探しています。

線形代数演習(東大出版）

>>604
初学者には厳しいみたいなレビューが書かれてますが、実際の所はどうなんですか？

合う、合わないは各自の資質。
手にとって見てみる事を勧める。

ゆとり教育に慣れてしまった人向きじゃないけど
初学書向きでないかどうかは別だな。

３次交代行列をすべてもとめよ
っていわれたらどうこたえればいいですか？

ジョルダン行列終わったら線形代数でやること終わり？

>>608
|0 　a　b|
|-a　0 c|
|-b -c 0|

>>609
まあ，学部のお勉強だったらそれで終わりでもいいんじゃないかな．

学問的には，そのあたりが線型代数の入門段階の一区切りなんだけど
それ以上のことは専門的になるから，必要に応じて，でよいと思う．

専門的な本だと Gantmacher の The Theory of Matrix あたりが古典的で，
最近の動向は SIAM Journal of Matrix Analysis and Applications や
Linear Algebra and its Applications を眺めておくとそれなりに掴める．

Vを計量ベクトル空間とし、aがVの元のときf:V→Kを
ｆ(x)＝（a,x）と定義するとfは線形写像であることを示せという問題で、

Kがもし複素数全体を表すときに、ｆ(cx)=（ｃの共役）×ｆ(x)
となると思うのですが・・・
この場合も線形写像といえるのでしょうか？

Vが複素ベクトル空間だったら

>>612
複素内積

linear age

n*n行列Aの固有値0の重解度とNull(A)って一致しますか？
直感的には一致すると思いますが、証明がどうにもできないんです。

>>616
Null(A) の定義と、固有値の「重複度」の正確な定義をどうぞ。
特に重複度については、代数的重複度と幾何学的重複度を区別してください。

ヌルポ

>>618
非常に遅くなりましたが、ガッでございます。

逆行列の定義で正方行列 A に対して AB=BA=E を満たす B が存在するとき
B を A の逆行列という、とありますが、
AB=E ならば BA=E は成り立つのに、何故わざわざ AB=BA=E としているのですか？

成り立つ事をとっとと示せ。

「AB=E ならば BA=E は成り立つのに」

ほう・・・・・

証明は線形代数の本に書いてあると思いますが．．．
もし成り立たないのなら反例を教えて下さい。

それが自明じゃないからだよ。
群論を知ってたら逆元の定義を思い起こせるかな？

>>623
AB=Eを満たすBをAの逆行列とだけ定義してAB=BA=Eを示してくれ。本の証明でもいいぞ

X＝(1/|A|)A~ （A~ はAの余因子行列）
とおくと AX＝XA＝E
AB＝E のとき B＝XAB＝X （一意性）

では駄目ですか？

>>626
あっている。
ただ、何を既知とするかで、証明方法はいろいろ。線形代数初心者には余因子の説明が必要。以下も例。
A,B,Eをnxnとする。
AB=Eならば、Bのランクはn
（そうでないとBによって写る像の次元がnより小さくなり、さらにAを掛けて次元がnにもどりようがない）

よってBは基本変形によりEにできる。つまり、Q-1BP = E、となるような基本行列P,Qがある。
これより、P-1を右から、Qを左から掛けることで
B=QP-1
を得る。ここで、AB=Eという題意の条件に上記B=QP-1を代入すると、AB=A(QP-1)=Eとなる。だからA=PQ-1となって、BA=(QP-1)(PQ-1)=E

工学などで使う線形・非線形ってどういう意味なんですか？

>>628
文脈による

>>629
例えばどういうのがあるのですか？
辞書では一次関数で表せるもの。ってありますが

コレスキー分解について詳しく書いてあるいい参考書ありませんか？
最近東大出版の線型代数入門をやり終えました

>>627
有り難うございます。

では、「AB=Eを満たすBをAの逆行列」とだけ定義しなかったのは、
この定義だと逆行列の一意性の証明が自明でないからでしょうか？
それとも、行列限定ではなく一般には、片側の逆元（例えば左逆元）
の存在だけでは、もう片方の逆元の存在はいえないからでしょうか？

線形代数基礎と応用ってどうなの？
やたら分厚いけど

>>632
著者の好み．

少なくとも俺がそう書くのは，一般の代数での逆元の定義：
「右逆元と左逆元が存在し，一致するとき逆元という」
というのを念頭に置き，これと一致するようにしているから．

>>632
ある集合のすべての元に定義されている演算・があるとする。
この演算・の単位元もあるとする。
単位元をeとすると、
a・b=eであるが、b・a≠eであるようなものはある。

（というか数個の元からなる集合で、勝手にそいう規則をつくればいい。
たとえば、I,K,Lの3つの元で、Iを単位元として、K・L=I、L・K=Kとすればよい）

しかし、さらに演算・に結合法則が成り立ち、「右逆元がすべての元に対して存在」すれば、左逆元も存在し、両者は一致する。

（もちろん、上記は左逆元がすべての元に対して存在する、と仮定しても同様）

>>634-635
どうも有り難うございました。
長年のもやもやがやっと取れました！

○の中に＋が入っている記号の意味は何ですか。。。

数学記号とかでググってWikiなどを見ても載っていなかったので、
ご存じの方どうか教えていただけませんでしょうか。

まず、教科書にのってるし（基本中の基本）、

wikiにもあるよ。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B4%E5%92%8C

つか、ネットに頼らずまず自分で勉強する態度を身につける方が先だね。

>>638
直和と言うのですね。
Wikiの数学記号集のページと、私の持っている2冊の線形代数の教科書は一通り調べたつもりになっていました。
直和で索引を見てみると直交和として載っていました。
申し訳ないです。どうもありがとうございました。

>>637
(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!!

そういうのいらないからｗ　

頭悪そうな奴だな

>>639
言わないと分からないと思うけど、直和と直交和は別だからね

直和と直交和をどうしたら同一視できるんだよ

意味も理解せず、同じものと思いこめばいいんじゃね？

Wikiと教科書見比べて意味が違うことくらい流石にわかるだろうよｗ

>>643,>>645
質問の仕方からして、質問者の頭の中の「理解」では
記号が先にあると勘違いして思い込んでるきらいがある。
この手の人は、記号が同じなら意味も同じだと
頭から決め付けていることが多く、一部で意思の疎通が
上手くいかないことも多い。
とくに>>639には
> 直和で索引を見てみると直交和として載っていました。
とあるから、「直交和」なる名前で「直和」が掲載されていた
と質問者が錯誤を起こしているように見受けられる。

そもそも教科書にのってる記号（それも専攻なら常識レベル）について
質問する馬鹿な輩の心配なんざするとは、オマイラお人好しにも程がある。

>>646
まぁ確かに、直和=直交和と理解してそうだと言う点は否定できない文章だな。>>639は。

記号なんて人の渾名みたいなもんなんだけどねえ。
渾名だったら都合のいいように決めて使うし、
同じ渾名の別人がいてもべつに変だとは思わない
はずなんだけども、それが記号なら意味が決まってる
というふうに思い込むってのは、おかしくも無い渾名に
何故か疑問を持つ奴がいるってことと同じで
そういう奴が存在するのが世の不思議ってことなんだろうか
と思えてきてしまうねえ。

>>647
当たり前のことは、記号の意味は文脈が決めるということ。
要するに「記号が常識レベル」では意味を予想する助けには
なっても、意味を認識できるわけでなく、しかしながら普通は
「文脈から意味が明らか」だから質問するまでも無いことと
認識されるということなわけなので、なんていうのかさ、
俺はアンタのことも心配になるなｗ

まあ、当該質問者には「教科書嫁」で十分だろう
というような部分ならば同意したい俺がいるんだが。

数学科に行くと>>649のように哲学っぽいことが無性に言いたくなります。

言っていることは否定しないよ。

どの変が哲学だというのだろう

グダグダと書き連ねて内容がボリュームと釣り合わないところだろ
いわんとすることは最後の２行だけで十分

ちなみに俺は>>650とは別人

むしろ　教科書読め　だけでおｋ

ちなみに俺は>>650でも>>652でもない。

なるほど、ネタの提供を受けて>>652-653のように
展開することが数学屋の哲学というやつなのか。
あるいは「教科書嫁」のお題目を唱えることが
あの世での救済に繋がると信じる宗教なのか。

と、顔を真っ赤にして書き込んでおります

>>654みたいなレスって、どこかのコピペ？
今はやってんの？

>>656
大流行

>>655
で、結局直和＝直交和でいいんだね？

>>658
いいよ。

>>658
教科書嫁

結論：教科書に全部のってる。

数学科に行くと>>649のように哲学っぽいことが無性に言いたくなります。

久々にきてみたら何この流れｗｗ

お前ら教科書そんなに好きなの？ｗ

>>663
大好き♥

>>664
俺も好きだぜ

Aを正方行列、λをAの固有値の１つとする。
そのときλ^kはA^kの固有値である。
W_kをλ^kに対するA^kの固有空間とする。

λ≠0のときW_2⊂W_3が成立しないA,λの例を挙げよ。

どーいうのを探せばいいか、ヒントください。

>>664 好きです！

>>666
出題意図がわかんないんだけど
A = diag(1,-1) で A^2 すると固有値 1 と -1 がつぶれるというのはダメ？

>>668
それだとλ=1のとき固有空間はc(1,0)
λ=-1のとき固有空間はc(0,1)
A^2=diag(1,1)となり
　固有値は1 で　固有空間はc(1,0)+d(0,1) となるから

結局λをどっちでとってきても、W_1⊂W_2になりませんかね？

>>668
あ、すいません！！
わかりました！！
W_1=W_3だから、W_2⊂W_3は成立しませんね！
ありがとうございました！

>>668
参考にして他の例探してみます！

裳華房のこの本は、定評ありますか？
実物がどうしても立ち読みできず、買うのに悩んでます。
http://www.amazon.co.jp/%E7%B7%9A%E5%BD%A2%E4%BB%A3%E6%95%B0-%E7%9F%B3%E5%8E%9F-%E7%B9%81/dp/4785310626/ref=pd_sbs_b_img_2

実物を見たことさえもなく、定評があるかどうかも知らず
何故に買うかどうか悩んでおるのか？

そんなに高いもんじゃなし、黙って買え。

>>672
高専の2年生が使う教科書です。自分も使っていました。
行列や行列式、固有値や対角化の計算が出来るようになりたいだけなら
この本も役に立つとは思いますが、それなら演習の本を使えばいいし、
理論的な面は何も書いていないに等しいので、きちんと線形代数を
理解したい人には勧められません。

じゃあ買うのやめた

喪前ら今月の「数理科学」の線形代数特集号買って読めよ。
推奨の教科書情報が載ってるぞ。

物理量の演算規則を数学的に公理化したい，数学的実体として定義したいと思っています。
例えば，2m*4m=8m^2，1m=100cm，2kg.m/s^2 * 3s = 4kg.m/s，1m≠1kg といった関係を，
数学的（集合論的）実体として定義したいわけです。

とりあえず，
・物理量とは，１次元R-ベクトル空間の元のことである。
・単位とは，そのベクトル空間の基底のことである。
・2mとは，「"m"という基底の2倍の長さを持つベクトル」という意味の記号である。
・1m=100cm は，基底の取り替えを意味する。
・1kg と 1m は，異なるベクトル空間の元なので，等しくない。
・2m*4m=8m^2 という計算は，V×V → V(×)V／〜 （(×)はテンソル積，〜はテンソル積の順序を同一視する同値関係）
の線形写像を適用していることを意味する。
・1m/s は，V=span<m> （mが張る１次元R-ベクトル空間），W=span<s>として，
V(×)W^*／〜 （*は双対空間）の元である。
・1m/s * 1s = 1m という計算は，V(×)W^*／〜 の元と W の元から，
W^*とWの双対な作用をさせて，V の元を得る写像の適用である。

という形で定式化できそうな気がしましたが，物理では自然に-1/2乗といった次元の単位が
出現することがあり，テンソル積を使った線形代数的定式化が壁にぶち当たりました。

分数乗まで含めた物理量の演算規則の数学的公理化について，
どなたかよいアイデアをお持ちの方がいらっしゃれば，ご教示お願いします。

物理量の、までは読んだ

>>678
m, s, kg, ... なんかを単なる記号と思って、
それを実数に添加した多項式環 R[m,s,kg,...] を考えてやり、
適当な閉包とか取ってやったほうが希望があるね。

>>680
それだと 1kg+1m が定義されてしまうんじゃ？

>>681
1[kg] + 1[m] が別の何かになったらまずいけど、
1[kg] + 1[m] にしかならないんだから、問題ないんじゃね。
りんご1個とみかん1個足したら、りんご1個とみかん1個になるだけ。

素朴な疑問として、
エネルギー[J]とトルク[N・m]の区別は付くのだろうか？

補助単位系は全部基本単位系の省略記法と思うのが一つ。
[N][m] - [J] の生成するイデアルで割って同一視するのも一つ。

いや、そういう問題なの?
>>683が問題視してるのは
次元はだけど、取り扱いが違うものがあるんじゃ?
って事だと思うんだけど。

×次元はだけど
○次元は同じだけど

3つの実数で添字づけられた1次元R-ベクトル空間たちの非交和 ∪_[(M,K,S)∈R^3] V(M,K,S) の元を物理量と
定義することにして，例えば 1[kg][m][s^(-2)] は V(1,1,-2) の元と見なすことにすれば，
微分形式の外積の定義のように物理量同士の積が定義できるし，ベキ乗も
x ∈ V(M,K,S) ，r∈R に対して x^r ∈ V(rM,rK,rS) を対応させる写像として定義できるんじゃね？

>>683
エネルギーとトルク

ちなみにC++のboost.unitというライブラリの実装では
以下のようにして区別してるそうだ

"How does one distinguish between quantities that are physically different
but have the same units (such as energy and torque)?”

In cases such as this, the proper way to treat this difference is
to recognize that the underlying value types are distinct.
For the particular case of energy vs. torque, energy is a true scalar quantity,
while torque, despite having the same units as energy, is in fact a pseudovector.
Thus, to properly treat torque quantities, a value type representing pseudovectors
and encapsulating their algebra would have to be implemented.
Then, one would write something like this:

　quantity<energy, double> E;
　quantity<energy, pseudovector> tau;

naturally, a typedef for torque could also be added to
make the intent more transparent.

教えてください。

次の行列のJordan標準形を求めよ
(1 3 0)
(-1 -1 2)
(2 1 1)

どうもうまくいきません。よろしくお願いします。

怒らないでマジレスして欲しいんだけど、
なんでこんな時間に書き込みできるわけ？
普通の人なら寝てるはずなんだけど

>>690
おれたちを一般人と一緒にするなよ

アマゾンでやたら絶賛されてた長谷川線型代数買ってきた（初版１刷）
著者のHPも見たが、誤植大杉

線型代数は佐竹。

編入試験に線形代数いっぱいでるわ。
再来月試験なのでちょっと悪足掻きしてみますｗ

線型代数なんて一週間あれば十分マスターできる

編入の線形代数なんて対角化だけだろ。
京大東大はちょっと別だが

>>695
そうなの？でも自分は初心者だから１ヶ月間みっちりやってみる！
>>696
京大東大は流石に受けんが、そこそこ名の通ってる大学に編入しようと思ってるので心配だった。
もしかして理系編入経験者？

>>697
ああ、そうだ。そこらの大学の編入の数学なんて、
式いじってればいつの間にか答えに辿り着く問題ばっかりだから適当にやってもどうにかなる。

今年大学に入ったものですが、大学の教科書が理解しづらいので線形代数のおすすめの参考書教えてください。

>>699　しょうかぼう

ここ見てたら俺も編入したくなった。
でも俺文系なんだよな…

>>639
一般線形代数　岩波

一般逆行列を易しく解説した本ないですか？

二次系とか、ランクとか、基礎な本には載ってなくて、在る本は難しいのばかり。

演習ができるもの希望です。

線形代数の基礎。
共立出版。

curvature matrix
てなんですか？

>>703

村上正康・掛下伸一
統計のための数学1 線形代数，新統計学シリーズ 3
培風館，1969

>704、706

ありがとう。
でも、統計のための数学1 線形代数，新統計学シリーズ 3
は、手に入りにくいみたいです。amazonにはなかった。

しかし、教養の線形代数と、専門（工学など）で使われる数学の
差が激しいなあ。
中くらいのやつが欲しいのだが。。。（当方　工学部）

>>703

工学部の人には、きついかもしれないが、
教育出版から、「線型代数学」伊理正夫・韓大舜（著者の名前に自信ナシ）
とか言うのがでている。
一般逆行列の記述もあったよ。

内容的に、おススメは、>>706 だが、
すでに、１５年位前にも、絶版だった。
大学の図書館でしか、見られないな。

>>703
新井仁之｢線形代数｣（日本評論社）
一般逆行列以外にも特異値分解、ＦＦＴ、ウェーブレット等
工学部向きの応用の記述あり

「一般線形代数」とかもそんな話題が多かったと思う。

今勉強始めたんだが難しいなｺﾚ。
一週間で出来るとか言う人は本当に凄いよ。
文系学部生にはキツい・・・

>>711
あせんなくても大丈夫。
俺なんて院生だけどまだ線型代数やってるよ。

>>712
おまえは少しあせったほうがいい。

線型代数って一口に言うけど、
学部の教養でやる線型代数なんて
線型代数のせの字にすら足らんくらいの
ごくごく一部だけだからな。

ホモロジー代数って一口に言うけど、
代数幾何や位相幾何でやるホモロジー代数なんて
ホモロジー代数のホの字にすら足らんくらいの
ごくごく一部だけだからな。

確率って一口に言うけど、
確率・統計でやる確率なんて
確率のかの字にすら足らんくらいの
ごくごく一部だけだからな。

そのごくごく一部の習得にどれだけ手間取ってんだって話

ホモロジー代数って一口に言うけど、
代数幾何や位相幾何でやるホモロジー代数なんて
ホモロジー代数のホモくらいにしかならんくらいの
ごくごく一部だけだからな。

量子力学に線形代数は必要ですか？

yes

関数解析なんてまさに線型代数だべ

>>720
なんでだよ？

エネルギーや固有関数の計算が、線型代数の固有値・固有ベクトルを
求めるのと同じって気がつかなきゃ、アホだろJK

編入希望生ですが、線形代数のテキストをやる前に
高校の数学Ｂ、Ｃのおさらいをしておいた方が良いのですか？

>>721
>>723
関数解析は無限次元線型代数と思えるってのをどこかで
聞きかじったのだろうか、、この意味をちゃんと理解していれば

>関数解析なんてまさに線型代数だべ
やら
>エネルギーや固有関数の計算が、線型代数の固有値・固有ベクトルを
求めるのと同じ
といった勘違い発言をしなくてすむのになぁ。

高校数学は長年にわたる愚民化政策の産物だからむしろ復習しないほうが望ましい。
それから関数解析のことを軽率に語るんじゃない m9（・∀・）ﾋﾞｼｯ!!

イテっ！！

>>725
どう勘違い発言なのか具体的に

>>728
俺はお前のことが好きだ。

>>728
まずは自分で考えろ

>>730
答えられないのですね、分かります。

線形と線型の違いは？

まず、字が違う。

>>725
笠原の線型代数の本にも

>関数解析なんてまさに線型代数だべ
やら
>エネルギーや固有関数の計算が〜

みたいなことを書いてあるが、笠原先生もほんとアホなんやね〜

平面幾何とベクトルは同じものだと思うのですが何故大学ではベクトル中心になるのでしょうか？

平面幾何はブルバキに抹消されたから。

>>736
ありがとうございます。ちょっとググッたのですがよくわかりませんでした。

ベクトルの問題は平面幾何の問題に帰着できると思うのですがどうなのでしょうか？
平面幾何では考えられないベクトルの問題があったら教えてください

>>737
多項式全体はベクトル空間と考えることができる。
微分は多項式がつくるベクトル空間において線形作用素。

>>735
平面ベクトルに限らず、一般のn次元ベクトルとか
無限次元ベクトルとか扱いたいから。

それ+ベクトルの方が全般に扱いやすいから。

ちなみに物理専門の俺がスレ違いだがレスすると。物理では絶対連続分布を
離散分布で近似する（実際近似できるよねっ！）のは当たり前と
思われているが特異連続な分布は離散分布で近似するのは誤りとされている。

>>738
ありがとうございます、勉強してみます。

>>739
ありがとうございます、一般化しやすいベクトルの方が便利な気がします。

ただ平面幾何の言葉で本当に表現できないのか納得しきれません。
内積や距離の定義が平面幾何が成り立つような前提で作られてる気がしてしまうのです。

自然な形で定義してるからそうなるだけだろう。別に距離なんてどう定義しようが勝手だ

>>740 741 743
ありがとうございます

あと一つ聞きたいのですがベクトル会席は線型代数に分類されるのでしょうか？

>>741
つーか、連続スペクトルは固有値と思っちゃダメだが無茶してもなんとかなる、
特異スペクトルはしゃーないってのを理解しておくにも、
離散スペクトルは固有値・固有ベクトルの類似って話をまずは理解しておかなきゃね。

また、縮退する場合とかも物理でも重要だから、ジョルダン標準形を手を抜く
最近の線型代数の「ゆとり教育」はなんとかならんものかｗ

うちの大学は線形代数の補完になる講義がちゃんとあるけどな。
教授が全く手を抜かないせいで、受講者は10人台で落第者が続出してるが。

そりゃあ、教育熱心な良い大学だ。

>>742
君の「ベクトル」の定義は何？

>>744
狭い意味では違う。広い意味ではそう。

当方理系の学部１年です。
紀伊国屋書店の「理系のための線型代数の基礎」を教科書に使ってます。
そこで、何かよい演習書はないでしょうか？
何分、教科書の演習問題は解説が詳しくないので……。

>>748
二つの数の組み合わせがあって和や積や内積などが定義されているではだめでしょうか？
もっと厳密にですか？

>>749
わかりました。ありがとうございます

n個の数を並べた物に和と差とスカラー倍が定義されればベクトル。内積が定義されるのは計量ベクトル空間での話

>>742
三次元ベクトルの話は「平面」幾何じゃ出来ないと思います。
捩れの位置がどうのというような話とか三垂線の定理とかも。
初等幾何って意味で言ってるんでしょうか。

多項式とか(F_q)^nだとか関数だとかをベクトルだと思って「幾何」をやるのなら
それはもう幾何というより線型代数とかアフィン空間だとかそういう話になると思う。

というか昔は大学でも線型代数は「代数と幾何」って科目名だったんですよね。
内容は半分以上は一緒だったみたいですけど。
線型代数も代数と幾何両方の基礎になる科目ですね。

初等幾何と線型代数或いは計量線型空間論と
どっちが汎用性が高いかは、実際にHilbertの幾何学基礎論買って来て読んで、
自分で片方でもう一方のモデルを作ったりして研究してみると面白いかもね。

A=[[3,-6,9],[-4,8,-12],[2,-4,7]]
B=[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,0]]

B = WAX
A = YBZ

となるWXYZを１つずつ求めよ。


よろしくお願いします。

お願いされません
それくらい自分でやれ

>>755
クズですね、分かります

2m+1 次正方行列 A,B が AB=O を満たすとき，rank(A+T[A])≦2m または rank(B+T[B])≦2m が成り立つことを示せ。
（T[A] は A の転置行列）

A型とB型の子どもがO型であるということは、親はAOとBOだな。
子はOO。
証明終わり。

固有方程式でλの解が３つとか出てきたときにどうやってλ1とかλ2とかにしているのかわかりません。。。

問題解いていると、λ1とかの定め方がわからなくなって毎回つまずいてしまいます。
感覚でλ1とか決めているのでしょうか？

意味があるか考えれば自明。
一部の場合は\lambda_i>\lamnda_i+1のがいいかもな

新しいところで
新井の本と
新斎藤の本とではどちらがいいでしょうか？

図書館なり本屋なりに行って自分の目で判断しなさい。

斎藤毅先生のことは新斎藤って言うんですね。勉強になりました。

> 図書館なり本屋なりに行って自分の目で判断しなさい。

このスレ自体を否定するようなこというなよ
手元にあれば2チャンネルできくことないんだけどな
気がつかないかな

>>765
日本語でよろしく

本というのは一長一短があって
「どちらが良い」というものじゃないので。

(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!! >>765

まあ別にすべての本を読んでる訳じゃないので、主観的な評価を書き込みすればいいのでは。
例えば「いい本なんだが重くて持ち運びが大変」とかは、個人的に大事なコメントだと思う。

応用線形代数って科目名で一般逆行列とか逆問題を習ってるんですが
この理論を完全に頭に入れられる学生っていますかね？

>>770
いるんじゃね

>>770ってさ、「テストでロピタル使ったら減点されますか？」
とかケースバイケースとしか言いようの無いことを
訊いてくるアホなんだろうね。

(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!! >>770

質問なんだけど、
行列は数を平面に並べたものだけど、
それを拡張して、数を立体的に並べたものはあるんですか?
i×m×nの数字の並びとか。n次元まで拡張してもOK
もしあるとしたら、その効用はなんでしょうか?

紙にかけないよ

>>774
きっと多重線型写像（テンソル）が君の知りたいもの．
これが無いと数学が展開できなくなるくらいに重要．

１次元はスカラー、２次元はベクトル、３次元はテンソル

>>777
それはちょっと誤解を招く表現だね。

multidimensional determinants って本があるけどね・・・

突然すいません。

ある大企業は５つの工場を操業管理している。
各工場のインプットとアウトプットの水準は
（インプットは負の数、アウトプットは正の数を表わす）次の行列の列で表される。

工場 a b c d e
財1 1 -2 0 1 1
財2 0 3 -1/2 1 -2
財3 -1/2 1 2 -2 -1

3つの財の価格がベクトル ｐ=t(3,4,6)（←tは左上に小さく書いてあります。）
で与えられたとすると、この企業の利潤はいくらか？
この計算をする行列とベクトルによる演算式をたててから求めよ。

>>780
なんで質問スレじゃないスレにまでマルチするの？
そもそもなんでマルチするの？アホなの？

斉藤線型代数から質問です。

106ページの真ん中辺りで
簡単な計算により f=ΣPji ej


と書いてあるのですが簡単な計算とは具体的にはどう計算すればいいのでしょうか？

また、松坂線型代数197ページの一番下
Aj=Σaij di
となっているのは単純にdが標準基底だからと考えてもいいのでしょうか？

だめだよ

>>782
どっちから先に定義するかという問題もあるんだが
http://www22.atwiki.jp/linearalgebra/pages/9.html
でも読んでみれば前者は分かるかな

斎藤正彦の『数のコスモロジー』を読んだけど、
この人、変わってるな。

斎藤正彦の業績って何？

なんというか、口は悪いけど、正直というか。

で、ドライでクールな感じ。

>>786
杉浦と並んで、数学板のタブーの一つ

>>789

松坂和夫の業績は？

いやなが先生に気にいられているみたいだったけど。

>>790
それもタブーだ。

ただし、京大系の森や笠原の業績は全然おけｗ

『解析入門』の小平邦彦とか『線型代数学』の佐武一郎が
偉い数学者だというのは知っているけど。

教科書だけ見てても、単なる数学教師で優秀なライター
なのか、優れた数学者でもあるのか、よく分からない。

>>791

森先生と笠原先生とか杉浦先生とか斎藤先生って
仲がいいの？

斎藤先生の数のコスモロジーにも仲間って感じで
名前が出てくる。

森と杉浦って、東大の学生の頃からの知り合いじゃないの？

一松信先生の業績も知りたい。

もの凄く博識で、学会があると一番前の席に陣取って、つっこみを
入れてきて怖がられていたとかいう話だし。

戦時中は暗号理論の研究にもかりだされたとかいう話も聞いたし。

ただ、翻訳家の人の新書に、こんなひどい英訳の誤訳は見たこと
がないという例に、一松先生の翻訳書のあるページが挙げられて
いて、数学が出来ても英語の読解ができないなんて人がいるのか
と不思議だった。

佐武先生って確か、学生の頃、東大の生徒代表（生徒会？）だったんだよね。

もの凄い頭良かったんだろうね。

>>791
なんでおけなの？
教科書組って批判されているけど

>>797
斎藤杉浦の業績は聞いちゃいけねえが、森笠原は業績晒しあげてもおｋ

業績晒しあげって教科書は業績に入りますか？
それ以外に業績ありますか？

On a certain property of Lie algebras.
Sci. Papers Coll. Gen. Ed. Univ. Tokyo 5 (1955), 1--12.

Conjugate classes of Cartan subalgebras in real semi-simple Lie algebras.
J. Math. Soc. Japan 11 1959 374--434.

Spherical functions and representation theory of compact Lie groups.
Sci. Papers Coll. Gen. Ed. Univ. Tokyo 10 1960 187--193.

Representations of compact groups realized by spherical functions on symmetric spaces.
Proc. Japan Acad. 38 1962 111--113.

(with Iwahori, Nagayoshi)
A duality theorem for homogeneous manifolds of compact Lie groups.
Osaka J. Math. 3 1966 139--153.

Some remarks on duality theorems of Lie groups.
Proc. Japan Acad. 43 1967 927--931.

(with Sugita, Kimio
On a certain type of duality theorem.
Sci. Papers College Gen. Ed. Univ. Tokyo 18 1968 115--124.

Fourier series of smooth functions on compact Lie groups.
Osaka J. Math. 8 (1971), 33--47.

Unitary representations and harmonic analysis. An introduction.
Kodansha Ltd., Halstead Press [John Wiley & Sons], 1975. 1990 に第2版

The Tannaka duality theorem for semisimple Lie groups and the unitarian trick.
Manifolds and Lie groups (Notre Dame, Ind., 1980),
pp. 405--428, Progr. Math., 14, Birkhauser, Boston, Mass., 1981.

The conjugacy of maximal compact subgroups for orthogonal, unitary and
unitary symplectic groups.
Sci. Papers College Gen. Ed. Univ. Tokyo 32 (1982), no. 2, 101--108.

Sur certains groupes de Lie resolubles.
Sci. Papers Coll. Gen. Ed. Univ. Tokyo 7 1957 1--11.

Sur certains groupes de Lie resolubles. II.
Sci. Papers Coll. Gen. Ed. Univ. Tokyo 7 1957 157--168.

Sur certains groupes resolubles.
C. R. Acad. Sci. Paris 248 1959 1909--1911.

Sous-groupes discrets des groupes resolubles.
Amer. J. Math. 83 1961 369--392.

Representations unitaires du groupe des deplacements du plan p-adique.
Proc. Japan Acad. 39 1963 407--409.

Representations unitaires du groupe des deplacements dans un plan p-adique.
J. Math. Soc. Japan 19 1967 411--425.

Representations unitaires des groupes symplectiques.
C. R. Acad. Sci. Paris Ser. A-B 267 1968 A500--A503.

Representations unitaires des groupes symplectiques.
J. Math. Soc. Japan 24 (1972), 232--251.

Representations unitaires du groupe modulaire.
Proc. Japan Acad. 48 (1972), 381--383.

Representations unitaires monomiales d'un groupe discret, en particulier du groupe modulaire.
J. Math. Soc. Japan 26 (1974), 464--482.

On the non-standard representation of linear mappings from a function space.
Comment. Math. Univ. St. Paul. 26 (1977/78), no. 2, 165--185.

なんで線型代数スレでやるのか分からんが
自分が業績を挙げられる日本人数学者の数が
何人くらい居るのか、真面目に考えてみると良いよ。
ほとんど居ないんじゃないの？

アクティブな日本人数学者の数は概算で500人くらいと言う人はいた

累計？それとも或る時点（というか現時点）で？
現時点で500人なら結構な数だね。

現時点でというか、ここ何年ずっとそんなもん（新人もいれば、消える人もいる）だろ。
数学会会員が約5000人で安定していて、その1割。

東大京大あわせても100人いかんだろ

東大京大だけなら、アクティブな数学者は100人いかんわなｗ

でも東大京大以外の大学だとかなり少ない
私立だとほとんどいない

業績について口にしてはならない数学者リスト

斎藤正彦
杉浦 ← 分厚い微積の本書いてる人？
松坂和夫
森 ← 京大の爺さん？
笠原 ← 薄い微積の入門書書いてる人？

>>809
そうでもない。東大京大に研究者が一人として居ないような分野は結構ある。
教官の研究分野は大学毎にかなり偏ってるので。

各大学に10人として国立全部で500人ぐらいだけどそんなにいるの？

線型代数スレで続ける話題じゃないだろ。
1年坊主には皆目わからんてｗ

それはいえてる
日本は層が浅いから代数幾何のごく一部の分野に集中してたり

>>795
本のタイトルと出版社名キボンヌ

翻訳はいかにすべきか (岩波新書 新赤版 (652)) (新書)
柳瀬 尚紀 (著)

柳瀬尚紀著『翻訳はいかにすべきか (岩波新書 新赤版 (652))』p.147

誤訳といえば、『ユリシーズ』からちょいと離れるが、著者がこれまで最も驚いた誤訳、と
いうか奇天烈訳にこういうのがある。

『アリストテレスの輪と確率の錯覚』（日経サイエンス社）という翻訳本で、著者がマーティン・
ガードナーだから手に取った。ルイス・キャロルの精細な注釈者でもあり、また熱心なジェイ
ムズ・ジョイス読者でもあり、かつまたジョイスについて面白い（しかしやや素人読者的な）エ
ッセイも書いている。

『アリストテレスの輪と確率の錯覚』の「はじめに」と題された冒頭。横組印刷だが縦書に
して引く。


　「もう1つゲームが残っている」。
　「エヌイだ。こんなやさしいものはない。ルールもないし、盤も道具もいらないのだ」。
　「エヌイって」とアマンダはきいた。
　「ゲームのないことさ」。
　―ドナルド・バーソルメ、『罪な楽しみ』

　不幸にして、米国における教育の研究によって、数学の、特に義務教育の最初の段階で
　の主題の1つは、エヌイであることが最近明らかになってきた。（…）

筆者もパーセルミの誤植を為出かした男であるからして、バーソルメについては言うまい。
それにニューヨークの書店でドナルド・バーセルミと発音しても、ドナルド・バーソルメと発
音しても、たぶん本は手に入るはずだ。

しかしエヌイには驚く。

ガードナーが引用しているバーセルミの短編は、アメリカ中のゲームというゲームを片っ端
からプレイしつくした男女の会話だ。筆者が原文にしたがって訳すなら、

「まだもう一つゲームがあるよ」
「なあに？」
「アンニュイ」と、ぼくは言った。「最高に簡単なやつさ。ルールなし、盤なし、道具な
し」
「アンニュイって、どんなの？」アマンダが今にも始める気で乗りだす。
「アンニュイってのはね、ゲームがぜんぜんないってこと」

アンニュイennuiは小さな国語辞典にも収録されている。バーセルミがEnnuiと頭を大文
字にしているのに惑わされたのか、なんだかわけのわからない「エヌイ主題」をでっちあげた。
むろん戯れにエヌイとしているのでないことは、この訳書の拙さから疑いようがない。

もう線型代数と何の交わりもないので以下別スレでどうぞ。

数学の本や記事の翻訳についてのスレが無いけど
数学の本スレとかで良いんじゃないかな。

【質問】数学用語翻訳【スレ】
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1033039563/

それ用語のスレだからなあ、

一松信は多変数複素関数論が専門だったからフランス語は読めるはず。
何故かというと岡（彼のほとんどの論文はフランス語）とか
カルタンの論文を読めないと話しにならないから。
ennuiはフランス語だから一松信が知らないとは考えにくい。

カフェオーレ

>>822 ここまでの事が全部真実だとするなら、訳するにあたって
わざと「えぬい」って訳してるんだろうな、
>むろん戯れにエヌイとしているのでないことは、この訳書の拙さから疑いようがない。
という推測とは異なって。
で、実は英語が苦手だったので訳書全体は拙い感じで、それ故柳氏は「エヌイ」
こそが拙さの象徴、って早まったちまった、てあたりか。

単純に名義貸しとかじゃあないの？
若い数学者が名義だけ借りたとか。
もう93年時点で一松さんかなり歳だし。

>>818
単純に訳者がアンニュイって言葉を知らなかっただけだろ。
それを馬鹿にするのはいかがなものか。
自分自身だって知らない単語で恥をかいたことは皆無ではないだろ。

アンニュイかぐらちゃん

n次の置換(n>1)について、
(i1i2･･･ik)=(i1ik)(i1ik-1)･･･(i1i2)
を示せ。
1やkは小さい文字です。
全く方針が立たないので誰か教えてください…

k = 2, 3, 4, 5, と言う風に
小さい場合から実験していきましょう

点(2,-1,1)と直線(x-4)/-2=(y-1)/3=z+1を含む平面の方程式を求めよ。

この問題の解き方と答えを教えてください。
直線の方向ベクトルを使うのはわかるんですが答えにたどりつけません。。
よろしくお願いします。

>>830
直線(x-4)/-2=(y-1)/3=z+1から適当に2点P、Qを選び
点R(2,-1,1)とするとき求める平面上の点T（x,y,z)は
s,t任意の実数として
T=P+ｔPQ+sPRと表すことができる
そして、s,tを消去すると
4x+y+5z=12
を得る

http://jp.youtube.com/watch?v=1QJNxwvvS8Y

斉藤著線形代数入門のジョルダン標準形のところで
αがAの固有値であるとき、Jのαに対するジョルダン細胞が一つあるごとに斉次一次方程式系
(A-αE)x=0
の解が（スカラー倍を除いて）ちょうど一つ存在する。
とありますがこのことは本のどこから導かれたのかわかりません。
よろしくお願いします。

ランクＡの定義教えて下さい。

>>834

佐武を研究課題も含めて読破するランクの数学力のこと。

>>834
ランクＢ以上ランクＳ以下だろう。漫画的に考えて

AAA、AAの下じゃないのか。格付け的に。

線形代数って社会の中でどうゆう事で役にたっているのですか？　またやる価値はありますか？　

>>838
高校生は帰れ

>>838
現在科学技術の基礎だ

>またやる価値はありますか？　
お前がやる価値はない。

http://jp.youtube.com/watch?v=1QJNxwvvS8Y
これを３０秒見てから
いつもは見えるか見えないくらいの距離の字見てみ
まじはっきり見えるから
人間は脳でものを見ているby中川さん

>>841
グロ動画注意

>>838
たとえば三次元空間 R^3 の元を R^3 の元に移したりする変換とか、
二次元平面 R^2 の元に移したりする写像とかで、特に

直線は直線に移るもの…………………………………………(1)
（特殊なケースで退化して点になることもあるが、
とにかく曲線になってぐにゃりと「曲がる」ことはない）

を一般的に勉強するのが線型代数だよ。
まあ本当は平行移動の文だけ余計で、線型代数で扱う写像は
原点を動かさないものだけなんだけど。
でも平行移動なんてわざわざ勉強するほどのことでもないほとんど明らかなもんし
(1)のタイプの変換は 線形変換 + 平行移動 と表せる。

因みに数学では f: R^3 → R^3 みたいに同じ集まりの中で動かす操作を変換、
g: R^3 → R^2 みたいに違う集まりの中に移す操作を写像とか関数と言います。
従って変換は写像の特殊なもの。

つまりまっすぐな物はまっすぐなものに移すような操作一般を扱う。

訂正
×平行移動の文だけ
○平行移動の分だけ

つまり直線を曲げないぐにゃぐにゃした訳分からん写像以外は
全部扱えるし、多少曲げちゃうものでも線型写像で近似できれば
充分線型代数が応用できる。

線型代数の理論は結構昔にもう完成してて
今の数学者、数理科学者は、段違いに難しい「非線型」な現象と
どうにかして格闘しようと頑張ってる分野が結構ある。

とまあこのくらいで数学のなかだけに限らないような
線型代数の重要性について分かってもらえたらな、と。

>>844
> 線型代数の理論は結構昔にもう完成してて

学部でやる程度の線型代数は完成してるけど、
まだまだたくさん仕事は残ってるよ。

例えば？

>>846
専門の論文誌（SIMAXとかLAAとか）あるでしょ。人に聞く前にそれを見なさいな。

そういう雑誌があるんだね。ありがとう。

>>847
へぇ、参考までにどの様な未解決問題があるのか教えてほしい。
有限次元線形代数は、殆ど完成だと思ってたから意外だ。

まあ今はフィボナッチ数に関する雑誌だって在るしね。

岩波講座基礎数学だと結構たくさんの分野に関する巻が
「線型代数」として纏められてるね。

線型空間
線型不等式とその応用
Jordan標準形と単因子論
アフィン幾何・射影幾何
2次形式
テンソル空間と外積代数
対称群と一般線型群の表現論 : 既約指標・Young図形とテンソル空間の分解

これが全部「解析学」「代数学」「幾何学」「線型代数」のうち
最後のカテゴリに属するってことになってる。まあ全部「学部でやる程度」だが。

あ、850=846=848≠847なので念のため。

>>849
有限次元線型空間の基底の取り方に関するRotaの予想。
http://garden.irmacs.sfu.ca/?q=op/rotas_basis_conjecture

Jacobian 予想って線型代数の予想って言っても良いんじゃないかな？

「解析学」「代数学」「幾何学」「線型代数」
この分け方ってどうなの？
線型代数は代数学と幾何学の下にあるものだと思うのだけれど

>>854
そのわけ方には意味は無い。

線形代数は現代数学の基礎になる。
当然、解析の基礎でもある。
（関数空間は代表的な線形空間だし、微分はその間の線形写像になる）

行列
|　１　１　０　-1|
|　３　１　２　-1|
|　１　０　１　０ |
|　２　１　１　１ |

の階数の求め方がわかる方ご指導お願いします。

あと行列
|3 ２ 0|
|2 １ 1|
|1 -1 x|

が正則になるためのxの条件の求め方も教えて下さい

教科書読めばわかるだろ、カス。

わかったかよカスが！

あ、普通に教科書見るまでもなく解けました

rank(A) = rank(A bar)　(A barはAの複素共役行列)
の証明を教えていただけませんか？
面倒であれば方針あるいはヒントだけでも結構です。

>>860

ランクの定義を、行列の行ベクトル或は列ベクトルを使って表現してみれば良い。

理解できました、ありがとうございます。

他に下の証明も思いついたのですが、正しいですか？

rank(A) < rank(A bar)とすれば、
rank{(A bar) bar} < rank(A bar)、すなわち、rank(A) < rank(A bar)となり矛盾。
rank(A) > rank(A bar)としても同様に矛盾。
したがって、rank(A) = rank(A bar)。

証明２行目の＜を全部＞に訂正します。

>>862-863
だめ．

示したい命題をきちんと書くと
「任意の A に対して rank(A bar) = rank(A)」
だから，これを否定すると
「ある A に対して rank(A) ≠ rank(A bar)」…(*)
になるよね．

これを踏まえて，862の証明で，どこが「任意」で
どこが「ある」なのかを明確にしてごらん．

ちなみにrank(A) の定義として同値なものは少なくとも6つある：
　1. dim im A
　2. codim ker A
　3. A の最大独立行ベクトルの個数
　4. A の最大独立列ベクトルの個数
　5. A の最大正則部分行列の大きさ
　6. A の階数標準形に並ぶ1の個数
これらが同値であることを理解するのが第一段階，
具体的な問題に対して使いやすいものを選ぶのが第二段階．

>>860の問題だったら 5 を使えばほぼ自明．

860ならどれを使っても自明だろ

親切に教えていただき感謝致します。

定義４を使って下のように理解しました。

Aの線形独立なr個の列ベクトルは複素共役をとっても線形独立であり、
Ａの線形従属なベクトルは複素共役ととっても線形従属だから、線形独立な列ベクトルの数は不変。
よってランクは等しい。

定義５だと、
Ａの最大部分行列の場所に対応したＡbarの最大正則部分行列は正則なのは理解できました。
だからrank(A)≦rank(A bar)が言えると思います。そこからがわかりません。

訂正
Aの最大部分行列の場所に対応したAbarの部分行列が正則なのが理解できました。

>>867
逆も同じことをしてrank(A bar)≦rank(A)

理解できました、ありがとうございました。

あと定義２で出てきている「codim」について書かれている本教えていただけませんか？
私の教科書（斉藤正彦先生の本）には載ってないみたいです…

>>870
伊理、一般線形代数 には載ってるはず。

まあ codim ker A = dim coker A = dim V - dim ker A = dim im A ってだけだよ。

ありがとうございます。

明日本探して見てみます。

行列式の値の計算です。
うまいやり方が見つかりません。
どなたかお願いします。

|1 15 14 4 |
|12 6 7 9 |
|8 10 11 5 |
|13 3 2 16|

行列式の値の計算なんて算数だろ。

>>873
2列目と3列目、1列目と4列目

わかりました。ありがとうございます。

|16 5 -4|
|9 2 3|
|-4 3 -2|

お願いします

自分でやれ

上の行列式誰かいいやり方わかる？

それが質問する態度か？
単純な計算問題をいくつも貼るな。自分でやれ

>>876

グーグルにかけると計算してくれるよ。

>>15,21の問題に関して、

Ａ，Ｂ：上三角かつa(i,i)≠b(j,j)とき、「ＡまたはＢが１×１になる」…(*)
を示そうとＡ、Ｂ、Ｘをそれぞれ成分表示して、ＡＸ−ＸＢを計算してみたのですが、
条件(*)が導けませんでした。
この方針で導けるのか、それとも他の方法で導けるのかヒントをいただけませんか？

線形代数でいう閉じてるってどういうこと？

線型代数以外でも言うと思うけど
「何について」閉じていると言ってるのか
ハッキリさせないとハッキリした返答は
得られまいよ。

ちんぽっぽ

ある集合 X がある n 変数に関する操作φに関して閉じている、
というのは x_1, ......... , x_n ∈ X のとき必ずφ( x_1, ......... , x_n ) ∈ X となるということ。
具体的には例えば自然数の集合 N は和と積に関して閉じてるけど
差と商に関しては閉じてないですね。

>>881
重要な条件を後出ししたからからかわれたんでしょｗ

>>881
A = 2×2, X = 2×3, B = 3×3 くらいで手を動かしてみた？
すこし手を動かすと，一意に決まる仕組みが見えてくると思う．

>>887
返答ありがとうございます。
A = 2×2, X = 2×3, B = 3×3 の場合、Ｘの成分が順次定まっていくがわかりました。
一般の場合、どういう風に言ったらいいのでしょうか。
ヒントいただけませんか？お願い致します。

>>888
どの順番に X の成分が定まっていった？
それを単純に n×m に一般化するだけだよ．

証明は，i,j 成分を比較してXのij成分がが従う方程式を作り，
適当な順番で評価していけばいい．

もっと形式的にやりたかったら，
x' = [順次決まっていくであろう順番で X の成分を並べたベクトル]
を作り，方程式を強引に A' x' = c' の形に書いてやって，
A' が上三角行列で，対角成分がゼロでない（正則）であることをいう．

>>889
解決しました。ありがとうございました。

すみません、今斉藤氏の線型代数入門を読んでいるのですが、適した演習書を教えていただけませんか？
一応知り合いから譲り受けた線型代数演習-大学課程数学演習シリーズ8(共立出版)を持ってはいるのですが．

sage忘れましたorz

>>891
同じシリーズに同じ著者の書いた演習書があるよ。
「入門」への補足みたいなことも書かれてるし、これが良いんじゃないかな。

まあ今持ってるのでも悪くは無いと思うけどね。

斉藤先生の「線型〜」のP106で、
(x_1 … x_n)^t = (p_ij)(y_1 … y_n)^t
が基底の取替えE→Fの行列とありますが、
前頁の写像φψ^(-1)の向きはF→Eとなっているのでしっくりきません。
なぜ、E→Fなのか教えていただけませんか？

Ｐ１（ｘ１，ｙ１、ｚ１）、Ｐ２（ｘ２，ｙ２，ｚ２）、Ｐ３（ｘ３，ｙ３，ｚ３）からなる三角形の面積を求めよ

解けません、誰か教えてください
Ｐ１を原点とおいて、Ｐ２−Ｐ１、Ｐ３−Ｐ１のベクトルと考え

　　　√なんたら
Ｓ＝−−−−−−−−
　　　　　　　２
であろうことはわかったのですがそこからの展開がわかりません
どなたかよろしくお願いします

P1P2, P1P3がそれぞれベクトル a, b, 為す角が θ であるとすると
　S = (1/2)ab・sin θ
だよね。ab・cos θは内積だから計算できますよね。
ab・sin θ はab・cos θ から計算できますね。

計算したら、P1, P2, P3 の座標に関して対称な式になってるか
チェックしたほうが良いかも。

√(ab'+a'b)^2+(bc'+b'c)^2+(ca'+c'a)^2
−−−−−−−−−−−−−−−−−
　　　　　　　　　　2

この後全部展開するしかないんだすか？

ﾍﾞｸﾄﾙの内積の公理と中線定理が同値でしたっけ？

>>898
ノルムが中線定理を満たすことと，
そのノルムが適当な内積から誘導されることが同値．

>>899
あとんす！

age

初歩的な質問ですが、宜しくお願いします。

C = { x + i y | x ∈R , y∈R } に対して C^2 = { (x , y) | x ∈C , y∈C } としたとき、
C^2 が可除系の多元還となるように乗法を定義する事は、結局四元数を考えてる事と
同じでしょうか？

× 多元還
○ 多元環

でした。

>>902
R上の(結合的)可除多元環は実数体，複素数体，四元数体の
いずれかに同型（フロベニウスの定理）であり，
C^2 は明らかに複素数体よりも真に大きいので，四元数体に同型．

>>904
素早い回答有り難うございます！
勉強になりました。
線形代数のテキストにも固有値の所で「フロベニウスの定理」というのが出てきますが、
別物なんですね。

線型代数の教科書に載ってるやつの方は
ペロン・フロベニウスとかいうかな。

線型代数でフロベニウスの定理だと，少しマイナーだけど，
「Aの固有値がλ_1, ..., λnのとき，多項式fに対してf(A)の固有値はf(λ_1), ..., f(λ_n)」
をいうこともあるね．
固有値のところだと，こっちのほうがありうるかもしれない．

線形代数の問題で以下のものが出されましたが、何から手を付けてよいのか分からないので、御教授願います。

M_n(R)：＝｛n×n実行列｝、GL(n;R)：＝｛A∈M_n(R):∃A^-1｝であるとき

(detA)´＝detAtr｛(A^-1)A´｝　trはトレース

上記の等式を証明するというものです。

力を貸してください。よろしくお願いします。

>>908
' は微分（A の各成分を適当な変数の関数と思う）かな．

det A を A の i 行目で余因子展開すると
　det A = Σ[k] a_{ik} D_{ik}
ただし D_{ik} は A の i, k 余因子行列式．
微分のチェインルールと上の式より
　(det A)' = Σ[i,j] ∂(det A)/∂a_{ij} (a_{ij})'
　　　　　 = Σ[i,j] D_{ij} (a_{ij})'
　　　　　 = tr (D A')
となる．ただし D は i,j 成分に D_{ij} を並べた行列．

一般に余因子と逆行列は D = (det A) A^{-1} なる関係がある
（クラメールの公式）ので，これを代入すると
　(det A)' = (det A) tr(A^{-1} A')

>>909
>>908の者です。
解説どうもありがとうございます。
ご指摘の通り、行列Aに関してtを変数として
A(t)∈GL(n:R) Rは実数 という条件が抜けていました。失礼しました。

上記の問題は幾何学の講義中に課されたものですが、微分のチェインルール等、自らの知識の無さを改めて知りました。
>>909さんの解説を元に解答を作成してみたく思います。
どうもありがとうございました。

n次正方行列A，E(単位行列)に対して，rankA=1であるとき tr(A+E)-det(A+E)=n-1 が成り立つことを示せ．
という問題がさっぱりわかりません。解説お願いします。

>>911
　　　　　　　　､--‐冖'⌒￣￣`ｰ-､
　　　　 ／⌒`　　　　　　　　　三ミヽｰ-ﾍ,
　　　__,{　;;,, 　　 　 　　　　　　 ミミ　　　ｉ　´Z,
　　 ゝ　　　''〃//,,, 　　　 　,,..｀ミﾐ､_ノリ}j;　f彡
　　_)　　　 　 　 〃///,　,;彡'rffｯ､ｨ彡'ﾉ从iﾉ彡
　　>';;,, 　 　　　 ノ丿川j !川｜;　 :.`7ﾗ公 '>了
　_く彡川fﾞノ'ノﾉ ノ_ノノﾉイシﾉ｜ }.:　'〈八ﾐ､､;.)
　 ヽ.:.:.:.:.:.;=､彡／‐-ニ''_ｰ＜、{_,ﾉ -一ヾ`~;.;.;）
　 く .:.:.:.:.:!ﾊ.Yイ　　ぇ'无ﾃ,`ヽ｝｝}ィt于 ｀|ィ"~
　　 ):.:.:.:.:|.Y }: :!　 　 ｀二´/'　;　|丶ﾆ　 ﾉﾉ 　　
　 　 ） :.: ﾄ､リ: :!ヾ:、　　　丶　;　|　ﾞ　　ｲ:}
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　　　 ヽ !　　`'ﾞ! 　 　　　 ,.,,.`三'ﾞ､,_ 　/´
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__ノ 　ヽ 　　＼　 ヽ＼　　　　彡 　,ｲ_　
　　 　 　＼ 　　＼ ヽ 丶. 　　　　ノ!|ヽ｀ヽ、
　　 　 　 　 ＼ 　　＼ヽ ｀……´/ |ｌ　ト､　｀'ｰ-､__
　 　 　 　 　 　 ＼　　｀'ｰ-､　　/／　/:.:.}　 　　 　 ｀'ｰ､_
　　　　　　　 　 ｀､＼　　　／⌒ヽ　 /!:.:.|
　　　　　　　　　　｀､ ＼ /ヽLｆ___ハ/　　{
　　　　　　　　　　　　　 ′ /　! ヽ

>>911
rank A = 1 なので，適当な正則行列 S を用いて
S^{-1} A S = (左上だけが 1 の行列) にできる．

tr(A+E) = tr(S^{-1} (A+E) S) = n+1
det(A+E) = det(S^{-1} (A+E) S) = 2

よって n+1 - 2 = n-1

>>911
ひどいミスをしたのでやり直し．
rank A = 1 なので，適当な正則行列 S を用いて
S^{-1} A S = (左上だけが a：複素数 の行列) にできる．

tr(A+E) = tr(S^{-1} (A+E) S) = n+a
det(A+E) = det(S^{-1} (A+E) S) = a+1

よって n+a - (a+1) = n-1

>>914
すばやい回答ありがとうございます．参考になりました．

ユニタリ行列全体の成す群が球面に推移的に作用することの証明はどのようなものですか？
もしくは、その証明が載っている本を教えてください。

>>916

＞球面に推移的に作用すること

の内容をここに書き表してみよ。

C^nの単位球面の任意の元aをC^nの点(1,0,...,0)に移すような
n次ユニタリ行列Aが存在する（つまり(1,0,...,0)=Aa）.

もしかして916は間違ってますか？

>>918

n 次ユニタリ行列 A を作れないのか？

行列を作ったり、いじったりしてみろ。

あのあと考えてみたら分かりました
よく考えてみれば単純な事でした・・・

ｎ次正方行列Ａが、任意のｎ次正方行列Ｂと可換（ＡＢ＝ＢＡ）の時
Ａ＝［対角成分Ｃ、残りは０という行列］＝ＣＥの形をしていることを示せ。
という問題なのですが、この形になるとＡＢ＝ＢＡになることはわかるのが証明はできない、という情けない事態に…
どなたかご教授お願いします