圏論 / カテゴリー論 / Category Theory 3

■前スレ
　圏論 / カテゴリー論 / Category Theory 2
　http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1089645233/
　なんで圏論なんてもんがあんのよ？
　http://makimo.to/2ch/science3_math/1057/1057731708.html

■関連スレ
　大好き★代数幾何 Part 3
　http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1119870806/
　非古典論理について語るスレ
　http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1071060325/

■関連過去スレ
　層
　http://makimo.to/2ch/science2_math/1003/1003853278.html
　シット サイト トポス シャン モチーフ
　http://makimo.to/2ch/science_math/1007/1007625226.html

ぬっぺふほふ

ぬっぺふほふ

ぬっぺふほふ

ぬっぺふほふ

ぬっぺふほふ

圏スレもう落ちたのかよ　早すぎる
あとテンプレ直ってるね>>1乙

性器論 / メコスジー論 / Mekosuji Theory 69

テンプレ直すために前スレはぶっ殺した

探しものは何ですか？　　　見つけにくいものですか？　　　鞄の中も　　　机の中も　　　探したけれど見つからないの　　　

ヒルベルト多項式の理論を圏論的に展開できたら、面白いかなあと思ったんですけど、
既にヒルベルト多項式に関係ある圏ってありますか？

導来圏ってラーメン屋みたいですね

　　　　　　 , 　 ＿ ﾉ）
　　　　 　γ∞γ~　 ＼ 　　とて
　とて　　 |　 /　从从) ）
　 　 　 　ヽ　| |　l　 l |〃 　 　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　 　　　 ｀从ﾊ~ ワノ）　　　＜　圏論についてなんでもどうぞ♪
　　　　 {| ￣［`［>ﾛ<］'］￣|!　 　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　　　　　`,─Y ,└┘_ﾄ─'
　　　　　└／/ ｌ T ヽ＼　　とて
⌒ヽ 　 　,く._ '　　　　　_ >
　　人　　｀ヽ｀二二二´'´
Y⌒ヽ）⌒ヽ　し' ｌ⌒)
￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣

導来圏のオヤジって誰？

Mac Lane 辺りどう？

柏原先生のことじゃないの？

２−圏

圏論って代数幾何でどういう風に使われるんですか？

曹達

圏論のやさしい入門書や啓蒙書ありませんか？
ブルーバックスレベルのものがあったら紹介してください。
よろしくです。

>>20
アイレンベルク読めこのクソ野郎

？

>>20
マックレイン読めっつってんだ
このうじ虫

447

Yoneda's lemma の猿でもわかる説明をお願いします。

age

>>25
Yiyada

>>20
Lawvare & Schanuel, _Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories_, Cambridge U.P., 1997.

>>28 訂正
× Lawvare
○ Lawvere

P と A を射影的加群とし，短完全列

0 → M → P → A → 0

が存在するとします．このとき P と A は同型になりますか？

>>25
米田に変なロマンもってじゃねーよ馬鹿

>>30
なるわけない

>30
どんな思考回路してんねん(笑)！！

読んでる本にそう取れる記述があったんですが
まさかそんなこと無いよなあと思って書き込みました

圏論ってほんと考え方がようわからん。
たとえば、直和と直積とが双対であることは直感的にわかるが、
それを圏論的に表現するととっても奇妙な感じになる。
圏論ってほんとにまともですか？
それから、「なになにとは、なんとかの射に対してこれこれの射が
唯一存在すること」というような表現がよく出てきますが、
なぜ「唯一存在する」というのがよく出てくるのでしょうか？
どなたか教えてください。

>>35
いくらなんでも具体性がなさすぎる…

>>35
スキーム勉強してみろ

好き好き大好き向き向き大好き

>>35
たぶん普遍写像性質のことを言ってるんだろうけど、
例えばL,M,NをR加群として
L+(M+N)=(L+M)+Nの証明をどうやってやる？
ここで+は直和、=は同型ね。

とっかかりとしては『コホモロジーの心』も悪くないよね
やや代数に特化してるけども。

阿呆か

>>35
コホモロジーを統一的に扱いたいってのが動機なんだから
「唯一」ってことを重要視するってのは自然なことだろ

コホモロジーのこころ　それは青空　私たちを包む　広い青空
コホモロジーのこころ　それは樫の木　私たちを守る　強い樫の木
コホモロジーのこころ　それはうぐいす　私たちと歌う　森のうぐいす
コホモロジーのこころ　それは山百合　私たちも欲しい　白い山百合
コホモロジーのこころ　それはサファイア　私たちを飾る　光るサファイア

圏論て無いと話にならないですね。
そして、それを教えずに使いまくる大学教育は相変わらず終わってるなと・・・

教わらなくても自分で勉強しろよ

まあ、実際問題として自分で勉強するけどね、・・・

しかし、私設の数学者集団でもなんでもなく、
国立大学における教育として、あんな杜撰な教え方
をしていること自体は許容できる要素はまったく無い。

Carnapがどういう文脈でfunctorという言葉を使っていたのかがむしろ分からない。

関数記号って意味だと思うよ。

age

大学じゃどういう教育が理想なのかは諸説ある…

カテゴリー論にロマンを持つなよｗ

ちょっと自分でも調べてみたら
http://groups.google.co.jp/group/comp.lang.scheme/browse_frm/thread/1b0a992c60c092d4/86fb071a0c24bfd5?lnk=st&q=carnap+functor&rnum=1&hl=ja#86fb071a0c24bfd5
というのがありました。
似てる：Carnap's functor、C++のfunctor、普通の英語のfunctor
似てない：圏論のfunctor

ということで、圏論のfunctorはかなり大雑把な借り方？らしいという結論に達しました。
こういう思想性のない造語されるとかなり萎える。

Haskellって、勉強する価値ありますか。

目的次第

カテゴリー論で面白い定理ってあるの？
抽象論としては、ある種の有限カテゴリーの分類が出来たとか？
具体論としては非可環上のの代数幾何が出来たとか？
これは文献も多くあるが誰もがそれで良いと云う議論はまだ出来ていないと思う。

カテゴリー論は不変量を抽象的体系として扱うものではないかと思う
分類するとか言うのはちょっと方向が違うんでないか

圏論やってる人って世界に何人くらいいるの？

圏論を使う人って意味なら、たくさんいるでしょ

>>57
ボイド、コンラッド、ユーピック、スラン、フェムトの5人だ。

>>59
しかしその５人のもとには、無数の罪深き黒き羊たちが集っており、
盲目の白き羊たちを餌食にして、世界に暗黒の時代を招いている。

しゃれたことを言う。

圏論、僕はユーザーの立場だなぁ・・・

じゃあ君は盲目の白き羊達の一匹だね。

ケェーーーーーーーーーン

圏論というとすぐ基礎論オタが出てくるよね。
はっきりいってウザイ。

smallもlargeも区別しなくていいんだよ、ほとんどの場合。

出てくるか？
集合かクラスかにこだわる人のこと？
それだけで基礎論ってのは言いすぎだろ

>それだけで基礎論ってのは言いすぎだろ

まあ、そうだけど、同じような仲間だろう。

そもそも基礎論というのは、素朴集合論の矛盾から出てきたわけで。

>集合かクラスかにこだわる人のこと？

圏論のsmallかlargeにこだわる人のこと。

>出てくるか？

過去レスを見れば分かる。

http://makimo.to/2ch/

ぶっちゃけ必ずしもcategoryが
集合だと思う必要もあまり無いんじゃないかと思うけどね。

>>70

意味不明

はっきりいってウザイ。

圏論を学ぶために、最低限必要な知識はなんですか

働く数学者は例と演習問題を除けば前提知識ゼロで読める．
基本的な代数と位相を知っていれば例と演習問題も読める．

前提知識ゼロで読めるかも知れんが別な意味でのセンスが必要な気がする。
少なくとも普通に前から読んでいってどんどん分かっていくような本ではない。

一番いいのはConceptual Mathematicsの邦訳が出ることだろうけど・・・

>>65
基礎論ていうと、「圏論の基礎」の付録に圏論で基礎論をやる
にはどうしたらいいかのヒントみたいなことが書いてある。
（何を未定義術語にすればいいかなど）

Wikipediaだかどこだかに
圏論は数学の初学者には教えないほうがいい
と書いてあったのですが何故ですか

age

>>78
abstract nonsense
http://en.wikipedia.org/wiki/Abstract_nonsense
だから

ゲルファント・マニンの導来圏の本の161ページ下から
4行目なんだが、
fがqisなら、cone C(f)がacyclic
になる事がどうしてもわからん。誰かわかりますか？

>>81
H^iのlong exact使え

ｼﾞｴﾝ？

>>82
どのexact triple に使えば
良いのでしょう(*_*)

>>80
最近アブストラクトナンセンスの方がナンセンスであることに気づいたよ

>>80のリンク先でも、
アブストラクトナンセンスという言葉はけなし言葉ではなく
ほめ言葉として使われる
と書いてあるもんね

位相幾何でも可換環でもいいけど、具体的なホモロジーを知ってると、
カテゴリーをやる動機付けにはなると思うけどね
ホモロジーってのは結局どういう対象なのか？　を突き詰めるとカテゴリー論になるわけで
それを知らずにカテゴリー論を勉強しても、
理屈は分かったとしても意味が分からず全然面白くないんじゃなかろうか

>>82
スマソ
解決しますた

いや、やぱーりわからん
(;_;)

アブハチトラズノナンセンス

逆恨み

このスレの住人さんのLawvere
http://en.wikipedia.org/wiki/William_Lawvere
への評価はどんなもんでしょうか。
当方理系ではありましたが、数学を専攻してはいないので、
皆さんの議論がよく分かってはいないのですが（汗
Conceptual Mathematicsでのものの考え方がおもしろい
というのをどこかで聞いたので、やってまいりました。
プロフィールを読むと哲学にも関係しているようですね。

評価の前に知名度がまだ、0に限りなく近い正の値って言う感じのような・・・
個人的にはlawvereの宣伝活動しだいで今後の圏論の広まり方が決まる
ぐらいの重要人物だと（勝手に）思ってますが・・・

「位相のこころ」pp.143-144によると
何か根っからのマルクス主義者らしいね。

それなりに有名人物なんじゃないの？
そうでもないんですか。

コメントありがとうございます。上のwikipediaの経歴を見ると
紆余曲折というか波瀾万丈な感じですが、見た目は
http://andrej.com/mathematicians/L/Lawvere_William.html
温和そうな小太りおじいちゃんですｗ。
>>94さんにご紹介いただいた本は手に入れて読みたい
と思います。森毅は好きですしね。
暴論で結構なのですが、数学のご専門のかた、
Conceptual Mathematicsの主要な議論を
短くまとめると、どんなもんなんでしょうか。

（全部読んでないで書くのもあれなんだけど・・・）
議論つーかConceptual Mathematicsていうのは
圏論の基礎概念をずぶの素人にも分かるように
ものすごく噛み砕いて説明してるだけの本なので、
新しい哲学的なアイデアの提出みたいなものは全く無い。（と認識してますが・・・

ちなみにこういう人たちがいて、現在進行形で読んでるみたい・・・
http://www.sampou.org/cgi-bin/haskell.cgi?CategoryTheory%3a%b7%f7%cf%c0%ca%d9%b6%af%b2%f1

>>96
レスありがとうございます。なるほどなるほど。
本がすでにあるのに、本を説明してくれなんていう
のは、本当にひどい話ですが、おつきあいくださって
どうもありがとうございました。

というわけで、専門的な議論のあいまに、
ほんの時々で結構ですので、圏論の魅力なんかを
語っていただけると、とても嬉しいです。
また覗かせてもらいます。

マクレーンさん　圏論の基礎　いつかは読みたいと思った

教えてください。
圏論の基本的な考え方が関数一元論だとしたら
・λ抽象となにが違うのでしょうか？
・ヒルベルトの公理的方法（点や線でなく机や椅子でも同じ）と
関係があるでしょうか？

Category theorist = Mazochist　なんて言っちゃいかんかね？
基礎論と同じでどうも好きになれん…

>87
> ホモロジーってのは結局どういう対象なのか？　を突き詰めるとカテゴリー論になる
homology = derived categoryと限定するならともかく、それには頷けんなあ。

関数一元論って 集合全体のクラスからそれへの関数を考える話ですか
functor

>>102
そもそも集合ナシで考えるということ

∈ や ⊂ いらね、・→・最強という宗教

スタック最高

教えてください。
圏論において可換性はなぜ基本的なのでしょうか
Conceptual　Mathematicsは、このような初心者の
愚問にも答えてくれているのでしょうか

equalizerはpullbackの特殊形と思ってよいのですよね？

pullbackってなんなのですか？
どういう意味をもっているのですか

だいたい直積。

>>だいたい直積。
だいたい∩だいたい∧とも言うのかもしれませんが、
でも直積の場合は、菱形の下三角形の方が無いでしょう？

>>110
で?

菱形をひっくり返すと解るよｗ

>>112
直和が現れるからそれと直積とを対で理解しろと
いうこと？

妄想する前に、ベクターバンドルとか簡単な例は浮かばないの？

> でも直積の場合は、菱形の下三角形の方が無いでしょう？

無いんじゃなくて、終対象があると考えるんだ

>>114
ベクターバンドルよりもっと簡単な例はないでしょうか？

直積

そんなに簡単な例が欲しけりゃ集合の圏でpullbackをとったら
何になるのかとか考えてみればいいじゃないか
ちょっとくらい自分で考えてみないと身にはつかんよ

>>116
んじゃ、自明なベクターバンドル

よく圏同型は重要でなく圏同値が重要と聞きますがその理由が分かりません。
是非教えてください。

剣道系は堅ッ苦しいから剣道地を拝礼します

>>120
クラスの定義がはっきりしないので圏の定義もはっきりしない。
従って圏同型自体はっきりしない概念だから。

>>122
剣道地だとなんではっきりするのれすか？

>>120
クラスの定義がはっきりしないので圏の定義もはっきりしない。
従って圏同型自体はっきりしない概念だから。

なんか変なのが沸いてきそうな悪寒。

おまいら馬鹿か？

>>120
とりあえず、剣道地と剣道系の定義とその違いを教えれ

>>120
続き
しかし圏同値は、定義がはっきりしなくとも、誰にでも通じる概念だから

>>122

集合の定義もはっきりしないのか？

別に基礎論みたいな方向に話を進めなくても圏論は使えるけどな

…すなわちカテゴリー的なピューリタン(純粋主義者)は
射だけで飯を食っていかなければなりません。…「コホモロジーのこころ」

具体的対象ぬきで数学をやる。すごい世界だ…。

＞具体的対象ぬきで数学をやる。すごい世界だ…。
俺を俺と呼ぶ俺がいて…。

>具体的対象ぬきで数学をやる。すごい世界だ…。

やっていくうちに射も具体的対象に思えてくる。
っていうか、数学の対象っていうのはいかに具体的でも抽象的だろ。
数の１、２、３、．．．だって抽象的だ。
だから圏がいかに抽象的といってもたいして変わらない。
整数全体の集合だって圏だしな。
関係 1 ＜ 2 は射だ。

>>133
いわば、慣れだよね。
具体的な対象といった場合、その対象にどれだけ慣れ親しんでいるかによっても、
「具体性」の度合いは、違ってくると思う。

単射の圏、全射の圏

終対象、始対象のある圏、ない圏、ってそれぞれ何か特別な名前ありませんか？

あるわけない圏

それぞれ終対象あるわけない圏、始対象あるわけない圏でしょうか？

なんか「よくがんばったで賞」みたいだな。
ところで、Categoryってなんで圏って訳すの？
Yahoo Categoryはヤフー圏？野球拳？

本来の訳語「範疇」よりましな選択肢としての圏

「圏」なんて訳語誰が作ったんだろうね。
まあ範疇ってのもイマイチだけど。

そもそも漢字で書けない人が多そうだｗ

そんなに悪い選択肢だと思わないけどなぁ、・・・
なんとなくものの集まりで、ただ集まってるだけじゃなくて、
なんとなく関係しあってる感じで、・・・
むしろ英語のCategoryの方が関係しあってる感じがしないので
原語よりましとすら思う・・

英語のCategoryはカント用語からの拝借のつもりで
つけたらしいからね

そもそもCategoryって哲学用語だからねえ、
日本の数学者はそういうの嫌いなんだろうねえ、

Baireの範疇定理

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%86%E3%82%B4%E3%83%AA
「〜星の降る夜は」
「〜俺の肩をを抱きしめてくれぇ」

独学してるんだけど函手が全然わからない
誰かたすけてください

圏B、Cを次のように定義
Arrow(B)はBの射の集合とする(恒等射は省略)
B={1,2,3}、C={2,4}
Arrow(B)={1→2,2→3,3→1}
Arrow(C)={2→4,4→2}

函手Tの対象関数の集合{1,2,3}→{2,4}
この時、個々の対象関数の対応は適当にきめてよい？
例えば適当に1→2、2→4、3→4
函手Tの射関数の集合{1→2,2→3,3→1}→{2→4,4→2}
既に対象関数で対応を決めてるのに
射関数って何を決めてる？
もしかしてBって、Cと函手Tで全部かってに決まる？

圏Bで1→2と2→3との合成は何?

Bでの1→2と2→3の合成は1→3だと思います

Arrow(B)に恒等射を付け加えた集合が合成で閉じてないと思うよ。

新しくBとTからCが作れるかやってみました
B={1,2,3}
Arrow(B)={1→2、2→3、3→1}の時
Tの対象集合
1→2、2→4、3→4
Tの射の集合
上のように対象集合を決めると
Arrow(B)を上のルールで置き換えて
T(1→2)=2→4
T(2→3)=4→4
T(3→1)=4→2
こうすると合成は成り立つか実験
T(1→2、2→3)=T(1→2)T(2→3)は
T(1→2、2→3)=T(1→3)=？？
T(1→2)=2→4
T(2→3)=4→4
合成で閉じてないってのは
？？みたいなのが出来たらダメってことでしょうか
B={1→2、2→3、1→3}なら出来るのかな
もういっかいそれでやりなおしてみます

B={1,2,3}
Arrow(B)={1→2、2→3、1→3}の時
Tの対象集合(勝手に決めた)
1→2、2→4、3→4
Tの射の集合は、上のように対象集合を決めると
Arrow(B)を上のルールで置き換えて
T(1→2)=2→4
T(2→3)=4→4
T(1→3)=2→4
こうすると合成は成り立つか実験
T(1→2、2→3)=T(1→2)T(2→3)は
左辺：T(1→2、2→3)=T(1→3)=2→4
T(1→2)=2→4、T(2→3)=4→4なので
右辺：T(1→2)T(2→3)=(2→4)(4→4)=2→4
よって合成も成り立つ
とりあえず、出来た・・のか？
恒等射のチェックもやってみます

ありがとうございました
とりあえず出来たっぽいです
圏って好き勝手に射があっても良いのかと思ってました

Arrow(B)={1→1、2→2、3→3、1→2、2→3、1→3}の時
Tの射の集合に次を追加
T(1→1)=2→2
T(2→2)=4→4
T(3→3)=4→4
この時、T(1c)=1(Tc)について
c=1の時
左辺:T(1→1)=2→2
右辺:1(T(1))=1(2)=2→2
よって成り立つ

>独学してるんだけど函手が全然わからない

函手の自然な具体例を挙げてみな。

>>154
高等関手

すみません、「自然」かはわからないのですが
今、函手で出来そうだと思っているイメージ(Cを圏とします)
Cの各対象を定数倍や階乗、べきなどの組み合わせで置き換える函手
Cの各対象cが集合だったらcをその要素で置き換える函手(和集合)
Cの各対象cを対<c,c>で置き換える函手

テキストは｢圏論の基礎」なんですが
これには単純な例としてべき集合函手がのってました

>すみません、「自然」かはわからないのですが

深い意味はない。
人工的でないっていうこと(>>152は人工的だわな)。

要するに具体例をあげてみな。
教科書に頼らず。

それじゃ、こんなのでどうでしょうか

Obj(C)をCの対象、A(C)をAの射として
Cを次のように定義
Obj(C)={月、火、水、木、金、土、日}
A(C)={月→火、火→水、...、土→日}
函手Tを次のように定義
Tの対象 A(C)→{平日、土日}
具体的には
月→平日、火→平日、...、金→平日
土→土日、日→土日
Tの射
T(月→火)=平日→平日
T(火→水)=平日→平日
..
T(金→土)=平日→土日
T(土→日)=土日→土日

合成
T(月→火、火→水)=T(月→水)=あ、定義できないorz
T(月→火)T(火→水)=平日→平日、平日→平日=平日→平日

合成が定義できなかったけど、残りも一応チェック

恒等射
A(C)に{月→月、火→火、...、日→日}も追加して
T(1月)=1(T月)について
左辺:T(月→月)=平日→平日
右辺:1(T月)=1(平日)=平日→平日
こっちは成り立ってる

結局、「合成が閉じている」がわかってないのか

>>158

あんたは圏論をやるには早過ぎる。
圏論をやるには数学の基礎（大学の２、３年次程度）が必要っていうか、
基礎が身についてないのにやってもあまり意味ない。

ショックだ・・退散します

>>162

良薬は口に苦し。
悪く思うな。

>>158の例は単に7圏から2圏への関手
7圏をちゃんと圏にするためには、対象を{0,1,2,3,4,5,6}とみて
n=<mのときn→mが唯一あるとすればよい。この例は圏論の基礎1章2節のまんなかあたり
に載っている。

今は数学者じゃなくても、情報科学でも計算機科学でも
言語学でも圏論を使うようになっちゃったから、
数学の学生でない限り無理に>>161の助言に従うことはないよ

数学の学生でも>>161に従う必要はないだろｗ

なんにせよ、>>158は圏の定義とくに射について見直す必要アリだと思う。

>>166

無責任なこと言うなよｗ

>>166
いやまあ数学の基礎がないと圏論学ぶ意味がどうこう、ってより、
圏論に出会う時点でまだ数学の基礎を勉強したことがないってのは
数学の学生としてはどうよ、と思っただけですわ

まあしかし>>158はそれ以前のもっと基礎的なところくらいは
先にやっててほしい気もする
>>150のようなことを言ってもらう必要があるってレベルでは
さすがに圏論の勉強自体がきついかもしれん

>>165

計算機科学で圏論を使うのは大いに結構。
しかし、ここは数学板だ。
計算機科学の板じゃないんで。

それにしても圏と関手の具体的例を知らないで圏論をやろうというのは、
なんていうか、女を生れてこのかた見たことがない男（野生で育ったとか）がセックスの
やり方を学ぶようなもんだろｗ

>>170
先生、生まれてこの方彼女と言うものができたことの無い
三十路の俺はどうやってセックスのやり方を学べばよいのですか？

>>171

別に学ぶ必要はない。
セックスは義務ではない。

>>171
king、なんでコテはずしてるの？

圏論知ってるほうが数学の学習が早くなるから、
集合や群程度の非常に基礎的な例だけ知った時点で
圏論始めちゃうのもいいかもしれんね

>>174

ダメだね。よっぽどの秀才、天才以外は。
その天才でも古典に学ぶことは多い。

固体発生は系統発生を繰り返すというのは生物だけではなく数学にも当てはまる。

集合や群を知ったばかりの人が、
集合の圏や群の圏のような全体的な機構を
どれだけ調べられるかと言うと
疑問は残りそうだよね。

＞固体発生は系統発生を繰り返すというのは生物だけではなく数学にも当てはまる。
はあ？

ぶっちゃけた話が集合論もそうなんだよな
他の代数や位相を勉強する前にZornの補題とか勉強しても
その意義なんて良くわからんだろうし。

>>177

googleれよ

しかし基礎の集合論を知らないとそもそも位相の勉強ができないでしょ？
だから数学を学ぶための基礎的なツールとしての基礎の集合論と
公理的集合論とは違うってことかもね

だったら数学を学ぶための基礎的なツールとしての基礎の圏論が
あってもいい気がするよってことなんだけど

>しかし基礎の集合論を知らないとそもそも位相の勉強ができないでしょ？

位相の前にやることがあるだろ。
微積とか線形代数とか。

ものには順序ってものがある。
学ぶにも当然順序がある。

確かに論理的には集合論から始めてもおかしくはない。
Bourbakiのように。
そのBourbakiも大学２、３年次レベルの数学的知識を持っているものを
読者として想定している。

数学は論理じゃないんだよ。
これを誤解してるやつは多い。

>>179
ついでにいっとくと固体じゃなくて個体ね

>>183

言う必要なし。
２ｃｈで明らかなtypoを指摘するほどヤボはない。
よく悔しまぎれにこれをやるやつがいるが。

いやぐぐる人がいるかもしれんからさ

>>185

そこまで親切にする必要はない

古典にも学ぶことが多い、とか圏論は具体例を知ってから勉強したほうが良い、
ということを
「個体発生は〜」と譬えるとか、比喩が下手なのにもほどがあるだろ

>>187

単にあんたが鈍いだけ

>>181-182
そっか。「大学２、３年次レベル」という要求で
もうちょっとレベルの高いものを要求してるんだと思ってた。

そりゃまあ四則演算やる前に群環体やる奴もおらんだろうし
やれと薦めもしませんよ。

>>180
「基礎の圏論」は抽象代数系の取り扱いとほぼ同義だと
思っていいのではないかな。
そう考える場合、代数学の基礎をやるには何が必要か
とか考えていくと、それなりに殺るべき事が待ってると思うぞ。

>そのBourbakiも大学２、３年次レベルの数学的知識を持っているものを

１、２年次だったかな。
まあ大して変わらないが。

talk:>>173 [>>171]を私だと思ったということか？

なんか入り乱れてきてるけど、俺は≠187ね。

「個体発生は・・・」の比喩で言わんとしてる内容は
わからんでもないな。
ただ、その内容が100％正しいとも思えんのだけど。

>>190
それはそうだよ。何もやらなくていいわけない。
ただ、今の一般的なカリキュラムよりは少し早めに
基礎の圏論を導入して、他の数学を学んでいく過程と
圏論のより複雑な概念の学習とをある程度並行させたほうが
教育効果が上がるんじゃないかな、って。

まあ単にLawvere主義者のタワゴトかもしれんね。

個人的には圏論やる前に位相幾何をやっておくべきと思う。
位相幾何こそ圏論の母体だから。

んー、うちのガッコだと、代数幾何やる人じゃないと
まともに圏論やらないとかいうカリキュラムだからな。
なんせ有限群の表現論でさえ、俺が卒業した後に
ようやく講座できたぐらいだし。
# まあ、対称群の表現は組合せ論的な部分が大きいし、
# その辺のヤングタブローとかなんとかの話は
# 不変式論的なアプローチで関数方程式論の講義の
# 一部としてやっちゃったけどね。

ドラームコホモロジーもさらっとやる程度だし、
ホモロジー代数にいたっては選択と集中講義の中に
押し込められてた記憶がある。
圏論的なものの見方なんかほとんど学部ではやらないし
勝手に自分で学べ、という実に自由な学風であったことよ。

勝手に自主セミナーでやっとけや、
何すべきかわからん奴は知らん、
というのも見識か

1+1等の具体的な足し算は練習せず
いきなりペアノ公理をはじめる

精子の先端に完成された人間のミニチュア番が入っている

「固体」の話はもういいってｗ

>>195
代数トポロジーの人は？

代数トポロジーってどんなのだっけ……
うちではやってる先生いなかった気がする……

>>197
>When the calculus volume of the Formulario was published Peano, as he had indicated,
>began to use it for his teaching. This was the disaster that one would expect.
既にペアノ自身がそれに近いことをやって大失敗してる

688

What's the solution of the following exercize:
<Exc> In a poset(P,<) considered as a category, all diagrams commute.
To what do the limit and colimit of a diagram correspond ?

>>203
colim　は下限、 lim は上限に対応

>>204
Thank you. Very easy. Poset is a simple category!

次の文章を英訳せよ

日本の2ちゃんねるは世界で唯一、圏論について話すことができる掲示板である。

Japanese Website "2channel" is the world's only Internet forum
where you can talk about category theory, suck my balls.

suck my balls

（問）すべてのobjectがinitialであり、かつterminalでもある
categoryの例をあげよ

>>14
了解です。

>>209
Janken and Week and ...

>>209
そんな簡単な問題なんで出すの？

空圏

>>209
つまり圏同値を除けば唯二つあるという事

来月から大学へ入る高校生です。
わからないことだらけなので教えてください。
（Q1）プルバックとプッシュアウトはなんだか最大公約数と最小公倍数に
似ていますが、関係ありますか？
（Q2）Limitは、高校で習う極限と関係がありますか？
名前は同じなのですが、あまり同じようには思えないのですが。
よろしくお願いします。

便乗カキコ
言語学でカテゴリ論使われているそうだけどそれに関する情報が見つからん。
なんか参考文献でもあったら教えてくれ。

>>215
> （Q1）プルバックとプッシュアウトはなんだか最大公約数と最小公倍数に
> 似ていますが、関係ありますか？
整除関係は順序だからね。>>203-205 参照

> （Q2）Limitは、高校で習う極限と関係がありますか？
実数には普通の順序で圏の構造が入るでしょ。
下降列の極限はその圏での極限になる。

あれ。 >>204 って逆じゃない？

>>216
詳しいことは知らないけど、Joachim Lambek がやっているらしい
http://www.math.mcgill.ca/department/display_people.php?id=99

そんなのが言語学の基礎になったら悲惨だなｗｗ

>>219
サンクス。
でもやっぱり怪しい雰囲気がちょっとするね。

>>203

posetより基本的なのが preordered set（前順序集合）。
これは任意の Hom(X, Y) が高々一個の元からなる小さい圏として
特徴付けられる。
poset は preordered set でしかも同型射が恒等射しかない圏である。

一般の圏は preordered set の自然な拡張になっている。

>>217
ありがとうございます。
>整除関係は順序だからね。
ということはまず、やはりGCDやLCMと通じると思ってよいのですね？
次に、順序というのはよくわからないのですが、整除関係は分かります。
この整除関係をわかりやすい例として考えれば、その中に圏論の概念は
全部入っているものなのでしょうか？
たとえば対象として自然数全体をとって、射として割り切れるをとった圏の場合は、
始対象は１で、終対象はなし。しかしイコライザは？と考えると、そもそも
２つの自然数の間に割り切れる関係は１つしかないはずなので、イコライザ
の概念は出てくる余地はなさそうだし・・・
そもそもこんな考え方であっているのでしょうか？
圏論を勉強するのはまだ早いのかもしれませんが、もし教えてくれると
うれしいです。

>>223
> ２つの自然数の間に割り切れる関係は１つしかないはずなので、イコライザ
> の概念は出てくる余地はなさそうだし・・・
異なる二つの射じゃなきゃならないなんてことはないから、
同じものをとってきてイコライザを考えることはできるよ。
まあ結果は自明なんで、意味ないだろうけど。

> そもそもこんな考え方であっているのでしょうか？
考え方はだいたい合ってる。
でも先に集合論の基礎ぐらいは身に付けておいたほうがいいと思うよ。
でないと例がほとんど作れないでしょ。
例なんかなくても理解できるから問題ないというなら別だけど……

>>222
203では無いんだけど、

＞一般の圏は preordered set の自然な拡張になっている。
これってどういう意味で自然だと言えるの？

圏論の文脈では「自然な」は慎重に使いましょう。

>>224
すぐに答えてくださってありがとうございます。
>異なる二つの射じゃなきゃならないなんてことはないから、
そうですが、自分が知っている整除関係を例にして圏論の概念を
理解できないかと思っていたものですから。イコライザにぴったりの
ものは整除関係では現れてこないということなのですね？
>まあ結果は自明なんで、
たとえば、12-->36　のイコライザは12でよいのでしょうか？
でも射が割り切れる関係のとき、射の合成やイコールになるというのは
どういうことかがわからなくなりました。
>でも先に集合論の基礎ぐらいは身に付けておいたほうがいいと思うよ。
わかりました。基本的な考え方はよく分かっているつもりですが、
順序という言葉など急いで勉強しておきます。
例があると助かるので整除関係がそれに使えればよかったのですが。

>>226

圏論で「自然な」を自然変換の他に使う場所あるの？

>>225

Hom(X, Y) の個数を増やせば一般の（小さい）圏になる。

単に増やすだけではグラフにしかならないのでは？

数学の命題の証明じゃないんだから説明に感覚的な言葉、例えば「自然な」を
使ってもいいんじゃないの？
厳密じゃなきゃイヤだという人は、そいういう説明を無視すればいいわけで。
しかし、それにより失うものもあることは覚悟した上で。

へー

それにしても、一般の圏はpreordered setの「自然な（厳密でない方の意味で）」拡張ではないだろう。
hom集合の濃度を増やせば一般の圏になるなんていうのは、合成関係を無視した不自然な（というか不可能な）見方だと思う

しかし圏論や基礎論の場合は言葉遣いには気を使ったほうがいいだろ

>1
＞シット サイト トポス シャン モチーフ
＞http://makimo.to/2ch/science_math/1007/1007625226.html
のシットって何？

>>230

なぜ？
順序集合では射の結合律が成り立っているから、それを拡張するということは
射の結合律は当然仮定すると考えると思うけど。

>>233

順序集合が圏になるっていうことを理解してないな。

>>234

時と場合によるだろ。

しかし驚いたな、preorderを拡張したものが圏だという見方は自然だと思ってる俺は
少数派らしいな。少なくとも、今ここにカキコしてる中では。

単に当たり前すぎて言うまでもないことでは…

>>240

圏論では当たり前という言葉は禁句に近い。
言われてみれば当たり前の概念（即ち圏と関手）の発見がつい５、６０年ほど前のこと
なんだから。

>>236
結合律の成り立つ射の追加の仕方といっても一通りではない
たとえば1だけの圏にaという射を追加するときにa*a=aという追加の仕方とa*a=1という追加の仕方がある。
で、この場合どっちが自然な拡張だとか言っても意味が無い。

>>239
preorderになるグラフって言うのはそもそも射の合成の仕方がひとつしか
入らないわけで、それを自然に拡張したら任意の圏になるって言われても意味不明。

ある圏に含まれているpreorderのうち濃度最大のものをその基底順序集合とする、とかしたとしても
多分一意的にならない。

圏論ではいつも射の結合性が仮定されるわけですが、
圏からこの条件を外すと圏よりもっと一般的な概念が
得られるわけです。そういう方面の研究ありますか？

ある概念が一意に拡張されないないなら、それは自然な拡張ではないと考える
あんたの考えが狭すぎる。

別にいいんだよ自然でも自然でなくても。
圏をpreoderの一般化と見ることにより見えてくるものがあればいい。

そんな見方不要というならそれでもいい。
それで、別に食うには困らないし死にはしない。

他人の主観的な考え方に広いも狭いも無いような
246のように考えるなら「こんな考え方もあるんだよ」と一回言うだけで十分で
別に延々と議論しなくても誰も困らんし死にはしないな

前順序集合の圏は
圏の圏、合成が定義された有向グラフの圏、2項関係つき集合の圏
に忠実充満に埋め込める。

>>245 例えば結合性を少し緩めたA_∞圏。

合成が定義された有向グラフの一般論は知らない。

考えられる問題は
圏の圏から合成が定義された有向グラフの圏への函手の随伴函手があるかどうか
合成が定義された有向グラフで圏とは違う良い例の構成

対象が一つの場合だと
モノイドの圏からマグマの圏への函手の随伴函手があるかどうか
マグマでモノイドとは違う良い例の構成

そんなカオスなところには何もあってほしくないｗ

自然なという言葉にひっかかったんだろうね。
ドキュンは往々にしてどうでもいい細かいことに拘る。

DQNていうのは圏論なんかやらない人種のことだ

逆に一見自明だが重要な事実は、それが自明というだけで
軽視するのもドキュン。
要するに、物事のウェイト付けが根本でずれている。

>>251

なことはない。

ドキュンの意味が変わってきてるのかな？
http://d.hatena.ne.jp/keyword/%A5%C9%A5%AD%A5%E5%A5%F3

大工や水商売で圏論についてあーでもないこーでもない考えてる奴って想像が付かないんだが・・・ｗ
因数分解の遥かまえ、分数の足し算の前後でドロップアウトするのが平均的なドキュンじゃないかな

それを圏論の言葉でいうとどうなりますか？

とか聞いてくるDQNは学会とかでよく見るな

DQNはおまえだろお前だろ

>>255
奇妙な妄想レスはもういいから新学期の準備でもしろ

言葉遣いの問題はさっさと両方とも一歩引けばいいだけの話なのに…

>>248
レスThxです。A_∞圏ですか。少し調べてみます。

>>227
> たとえば、12-->36　のイコライザは12でよいのでしょうか？
それで合ってるよ。

整除関係みたいに順序集合を圏とみなした場合は、射の一意性が自明だから
あまりリッチな構造を持ってないともいえる。
具体例を作ってみるのに一番手っ取り早いのはたぶん集合の圏。

A_∞圏はKontsevich流のミラー対称性で使われているよ。

>>258

言葉遣いの問題だけじゃない気がする。
認識の差の問題。
まあ掲示板でのコミュニケーションっていうのはこういうのばっかり。
経験や性格、知能がバラバラなのに意思疎通を取ろうっていうのだから。
むしろ、この程度でも疎通が出来てるのが不思議。

圏論の効果や威力を示す簡単な例としては
どんなのがありますか？

>>263

学部１、２年で習うような簡単な例はないというか、少なくとも俺は知らない。
代数トポロジーとか代数幾何ならある。

小学１年から集合論を習う様なもんだよ

まずはホモロジーとドラームコホモロジーを勉強してからだな

>>264-266
そんなものなの？
それではコンピュータサイエンスで使われているのはなぜ？
集合論の場合でも、中学高校生にもそれなりにわかる効果が
言えたけどな

効果ネェ……
圏論は形式化指向なんで、具体性が欲しいなら遠回りせにゃ無理だろ。
集合論は素朴集合論の根拠・理屈付けというかなり具体的なもんだから
それと並べてもいかんよ。

>>267
>それではコンピュータサイエンスで使われているのはなぜ？

コンピュータサイエンスは数学じゃない。
だからそれに使われたからって、学部１、２年で習うような数学に
効果的に使われる簡単な例があるとは限らない。

>集合論の場合でも、中学高校生にもそれなりにわかる効果が
>言えたけどな

それなりにわかることと、効果的に使えることは別。

>圏論は形式化指向
集合論だって形式化指向でしょ。
>それなりにわかることと、効果的に使えることは別。
そもそも集合論は｢効果的に使う｣ようなものではないよね。

>>270
素朴集合論を肯定的に記述する公理的な道具の構成という
至極具体的で限定的なモチベーションに基づく形式化と
圏論みたいにアブストラクトナンセンスと揶揄されるような
ほとんど限定的でない形式化とを同等のものと思い込んで
並べてもなにもうれしくはないという話をしてるわけだが。

線形代数の基底まわりの一意性の議論は
圏論的に見たほうがわかりやすいかもしれんね。

>>272

どうやるの？

>>267
集合だって一種の圏だからね。効力絶大だよ。

集合論の場合はベン図使って個数の処理するみたいな具体的でけっこう初等的な
使い道があったりするわけだけれどもそのくらいのレベルでの圏論の使い道ってのは
やっぱないのかね

意識が逆じゃね?

そもそも集合論は中高生には役立たんよ。
良く巧く中高生を騙せたもんだな。

>集合だって一種の圏だからね。効力絶大だよ。
それは集合の効力であって、圏の効力ではないでしょ
>集合論の場合はベン図使って個数の処理するみたいな
圏論を有向グラフとして使うのがちょうどそのレベルの使い道ではないかな？
>そもそも集合論は中高生には役立たんよ。
その調子でいえば大学生にとっても同じでは？
やっぱ標準言語としての役割があるのではないの
だけど圏論の使い道を聞いてもよい答えが返ってこないのはどうしてかな？
単なる言語としての使い道でもよいのだが

>集合だって一種の圏だからね。効力絶大だよ。
それは集合の効力であって圏の効力ではないよね
>集合論の場合はベン図使って個数の処理するみたいな具体的でけっこう初等的な
有向グラフとしての圏がちょうどそのレベルの使い道に当たるのでは？
>そもそも集合論は中高生には役立たんよ。
そんなことを言ったら大学生だって同じ。
標準言語としての使い道は明らかにあるでしょ。
ところが圏の場合はその言語としての使い道もどうだかよくわからん。
使い道を聞いてもいつもよい答は返ってこない。どういうことかな？

>>278
>だけど圏論の使い道を聞いてもよい答えが返ってこないのはどうしてかな？

だから学部１、２年で習うような簡単な例はないか、あるとしても効果的ではない。
使ってもいいが、学生が混乱するだろう。

圏論が出現したのは２０世紀も半ば。
数学がそこまで成熟して初めて圏論の必要性が認識された。

中学生や高校生にとって「標準言語」としての意味があると思ってんの？
集合論に。

>>275
Conceptual Mathematicsていう本はそういうレベルの
有限な圏の例がものすごいたくさん出てくる。
ただ、まだ訳されてない。

>282

例えばどんな例？

有限次元線型空間とその二重双対空間との自然な同型は
函手の自然変換として捉えられる。
自然な同型と自然でない同型の違いは
線型代数を学ぶ時少し分かりにくい所で、
圏論的理解が有効な所だと思う。

>>284

それを理解させるのに圏論を１から教えると、ますますわかりにくくなる恐れがある。
要するに、数学の初歩で圏論を教えるのは無理があるのだよ。

具体例は一般論を理解したうえで見れば本のつまらない例の一つ
ということになるんだろうけど、一般論を理解するには自明な例や
自明ではないが簡単な例などを十分積み重ねなければ存分な
理解は得られないよ。

と俺は研究室に居たときボスに何回か言われた。
中高生や大学初年度級の学生に圏論をっていうのは
それと同じことだと思うんだよ。

>>283
有限な圏というか、各要素が有限に構成できる圏って感じだった。（ぜんぜん違うがｗ
まあ、自分で嫁

>>282
>Conceptual Mathematicsていう本はそういうレベルの
>有限な圏の例がものすごいたくさん出てくる。
そういう本であることを期待していたがだいぶはずれた。
結局、写像、有向グラフ、状態遷移図の例とエクササイズがほとんどで、
圏固有の概念や、なぜ圏か、がわかるようなものではなかった。
>要するに、数学の初歩で圏論を教えるのは無理があるのだよ。
やっぱりこうかとも思うが、よくわかった書き手がいない、あるいは、
裸の王様なのかとも思う。

>>288

なんで、数学の初期段階で圏論にこだわるんだよ。
他にやることは一杯あるだろ。
何回も言うように初期段階で圏論やっても圏論の有り難味が分からない。
ほんとに必要になったらやればいい。

>>289
>ほんとに必要になったらやればいい。
まあそうかもしれんが、必要になる前に目星はつけておきたい
という気持ちもわかるよね。
相対論だって必要になることなんてないけど分かろうとするよね。
もちろん圏論は相対論ほどのものではないだろうが。

むしろ、集合論がニュートン力学で、対して量子論に当たるものが圏論なわけで。

>>290

そんなの個人の自由に決まってる。
やりたければなんでもやればいい。
ただし、虻蜂取らずのリスクはある。

しかし、高校や大学の初年度のカリキュラムに入れろとかとなると
話は全然別ってことだ。

数学の初学者がいきなり圏論はきついな。
抽象的すぎて（定理とかは証明できたとしても）その意味までは理解できなくなる。
最も、圏論自体は面白い学問ではあるけどね。
ただ、面白すぎて抜け出せなくなる可能性もあるが・・・

kingの嫌いな女たち
http://www.lustgal.com/?id=full-degradation.com

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このスレ

　〜〜〜オワ〜〜〜

ＥＲＲＯＲ：連続投稿ですか？？ 8回


名前： １３２人目の素数さん
E-mail：
内容：
http://science6.2ch.net/test/bbs.cgi


★ アクセス規制中でも書ける板たち ★

>>278
＞>集合だって一種の圏だからね。効力絶大だよ。
＞それは集合の効力であって、圏の効力ではないでしょ

その見方は大いに間違っていると言わざるを得ない。
むしろ、集合に効力があるのはそれ自体が圏だからだよ。
数学において代数系や位相空間が有用なのは知ってるよね？
それは、代数系や位相空間も圏であるからに他ならない。

むしろ圏が代数系なんだとおもうんだが。

一見そう思えるかも知れないが、その見方はやがて行き詰まる。

やはりオブジェクトからなにか抽象量をとりだすようなこと考えない限り
圏論はいらんのではないか。そういう意味では具体例を考える場合には
コホモロジーみたいなものより具体的な例というのは与えることは無理なんじゃないのか

お前が圏論を知らないことだけは良く分かった

もし集合論がなく圏論しか無かったとしたら解析学は展開出来ますか。
>>298みたいなことは圏論によって実解析や関数解析を基礎付けてから
初めて言えることだと思うけど。

そもそも圏論で集合論を基礎付けることが出来る

それは集合の圏というものを考えることが出来る、というだけで、
圏論の言語によって集合論の理論を解釈することが出来る、というわけじゃないでしょ。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9C%8F%E8%AB%96
＞トポスと呼ばれる特別な種類の圏は、数学基礎論としての公理的集合論に取って代わることすら可能である。

だからさ、それは別に解釈可能ということではないんじゃないの？

だとしたら実数などに関する集合論的な興味を持つ人にとっては
代替可能ということにはならないと思うんだけど。

それにカテゴリー論はBGC内で解釈できるし
巨大基数公理を付け加えればZFC内でも解釈できる。
またZFC集合論での超数学での理論と解釈することも出来る、
とか書いてあったけど。

>>307>>308
とりあえず死ね

何で自分の知らない話題になったら「死ね」（しかも氏ねとか史ねじゃなくて死ね）となるわけ？
お前のほうが死んだほうが良いと思うよ

>>308
集合論で圏論が解釈できることと
圏論で集合論が解釈できるかどうかということは全く関係ない。

で、実際は、
完全に圏論の言語のみで集合論を構成することが可能であり、
たとえば、その具体的なやり方のヒントが、圏論の基礎（S.マクレーン）の付録に載っている。

それによれば、
トポスであり、
１）ウェルポインティッド
２）選択公理
３）自然数対象をもつ

という条件を満たす圏Eを定義すると、それが集合の圏と同じものになるらしい。
が、自分では確認していないので、まあ参考にでも・・・

その本にはさらに元になったLawvereの論文へのreferenceも載ってるので調べたければ、
好きなだけたどれると思う

うん、何か気になったのでDoverから出てるトポスの本の
categorical set theoryの章をざっと眺めてみたら
ZFCはトポス理論の言語で解釈できるみたいな事が40頁くらい使って説明してあった。

言語の表現力は（人間に使いやすいかとかどのくらい具体的な感じがするかとかは置いといて）
似たようなものみたいだから、後はどういう公理を要請するかが問題になるんだけどね。

＞関係ない
そりゃ当たり前でしょうに。
単に圏論の言語の表現力の強さ≦集合論の言語の表現力の強さだよと言いたかっただけ。

わかり易い圏論の本ないですか？

>>313
ttp://d.hatena.ne.jp/m-hiyama/20070122/1169425937
このブログでは計算機科学の立場から圏論を論じた記事が読める。

>>305
集合の圏じゃなくて一つの集合そのものが圏なんだよ。
だから集合の圏は、圏の圏という2-圏の例というわけ。

集合は圏とみなせるし、圏が集合で構成できることも明らか。
圏を使えばより効果的、効率的に数学を表現できると言える。

素朴集合論に対するnaiveなイメージが集合論を公理的に捉える際に
（細部の細かい議論ではない部分で）十分な助けとなるのは確かで、
同様に、集合論やそれに基づく解析や代数といった各種数学に対する
理解が、その圏論的な捉え方への一助となるのは確かにあること。

圏論はobjectが具体的にelementを持たないような場合でも
確かに扱えるが、そのような抽象性は、解析や代数などの具体的な圏に
実際に肌を触れてみなければ、息吹くことは無いだろうと思う。

少なくとも概念の獲得は演繹と帰納の両面をうまく合わせることで
行われるものであるので、圏論によって集合論やその上に構成される
集合論的な数学を基礎付けられるからと言って、はじめからその
圏論の言葉だけで何もかもを語られておれば全て丸く収まるという
ものだとまではいえない。

圏論的手法はプログラミング言語の世界で言うところの
オブジェクト指向に似たところがあるように思う。どんな
プログラムも手続き型言語で記述することは可能にしても、
オブジェクト指向言語を用いれば規模の大きいプログラム
も比較的容易に効率よく作ることができる。これは例えば
代数幾何においてグロタンディークが圏論的手法を用いた
が故に、膨大な結果の得られたことに比較し得るであろう。

はぁ？

オブジェクト指向というよりはもう少し広くデータのカプセル化かなと思う
圏論に限ったことではないんだけど

こじつけいわれても仕方のないレベルの比較だな

テンプレやメタプロでも苦しいな

すまん、あんまり考えずになんとなく書いてみたんだが確かにカプセル化は違うな

ここはレベルの低い奴ばかりだからな

オブジェクトという言葉からの類推だな。
単純すぎ。

オブジェクトというより効率を問題にしてるんだろ？

数学のレベルが低いばかりか日本語の読解力のない奴には困ったもんだな

# スーパークラス ← サブクラス を順序関係とし、
# ルートクラスを最小元とする半順序集合上にλモデルが作れる。

米田ってマジで誰だよ？ｗ

>>329

誰って彼の何を知りたい？

とりあえず下の名前

米田信夫

ぐぐりゃわかるだろうに、Googleさえ知らんのかね。

http://d.hatena.ne.jp/m-hiyama/20070109

岩波数学辞典にも載ってると思うけどな。

というよりボケるためのネタふりなんだろ
マジレスが続いてがっかりしてるんじゃないか

>>333
検索結果の範囲では米田信夫のなまえが出てこない。

>>335
「米田の補題」でぐぐったら３番目に名前と写真が出てきましたが？

それはそのページに名前と写真があると知ってるからそう分かるだけ。
検索しただけの段階では、ほかに何百ページとある、米田の補題”のみ”を
扱ったサイトと見分けが付かないので、そのページを探そうとはしない。
そもそも、流行りものではない情報なので、普通まずwikipediaを調べにいく。
で、そこには項目が無い、次にen.wikipediaを探しにいく。そこでは項目は
あるが、yoneda lemmaからのリンクが無い。したがって下の名前を知ることが出来ない。
en.wikipediaで名前つきの定理や補題でその元になった人物にリンクして無い
のはかなり異例。この時点で「米田ってマジ誰だよ？」となる。
キマイラ飼育記にしても、あるべき場所にある情報と言う感じではなく、
たまたま、著者が気まぐれによってある本からの情報を抜書きしてるものであり、
写真などは著作権が危ないと知りつつ挙げているものであって、そこにその情報が
あるのは偶然と言える。

固い頭なんだな

うぃきだけ調べて終了ではぐーぐるの意味ないじゃん。馬鹿か。

>>337は宣伝か何かのつもりか？
wikipediaなんてあんなツマンナイジョークばっかり書いてあるサイトなんて
宣伝したってどうしようもないだろ。

妄想が激しいようで

uncyclopediaと間違えてるんじゃ？

いやそのページの内容を知ってようが知ってるまいが、
普通真剣に調べ物をしようと思ったら、Googleの検索結果を
上から20件か30件はクリックしてみるものなんだよ。

上から300番目に名前が出てきたのなら
分からなくても文句は言えないけどね。

だいたい
＞流行りものではない情報なので、普通まずwikipediaを調べにいく。
そんなん普通でもなんでもないよ。日本語のwikipediaを過信しすぎなんじゃないの。

>>342
uncyclopediaはガキの落書き帖
wikipediaはジョークサイト

気に入らない記述があるんだったら修正してみれば？
ちゃんとした知識に基づいてるんだったら歓迎されると思うけど

それが何かniftyユーザはブロックされてて編集できないのだ

>>345
修正すると、なんか嵐といわれてすぐに記述を元に戻される。
大抵、そういうやつの投稿履歴を調べると全然数学とか触ってないやつ。

talkページとかも用意されてるんだから、ちゃんと話し合って自分の
記述に根拠がある事を説明すればいいじゃん。
つーか、すぐに戻されるってのはよほど空気読めてない編集と言う気がする。

>>348
そうか? たとえば「行列式は数」とか書いてあったらさすがに消すだろ?
でも、消したら残す努力をしなかったってことで、
なんかしらんけど、ちょっとでもbytes数が減ると荒らしなんだとさ。

行列式は〜である、って感じの記述に直すなら消されないと思うけど。

そういや、行列式の件はつい最近もめてたんだっけな。
これに限らず、変なのが粘着しててヘンテコな記述を
バカみたいに庇護し続けて、編集制限だとか日常茶飯事だな
あそこは。

>>350
「行列式は多項式の一種〜」とか書いてある直後の段落に
「行列式は数だから〜」とか書いてあっても、君は消さないのか？

★なんとなく良くみるフレーズ
… is easy by Yoneda.
… is easy by Nakayama.

>>351
「の値」を挿入するとか

>>353
行列式は数で簡単に表現できるから
行列式は誤訳で
決定式とべきであるという説もある

って実際には書いてあったんだな。

スレ違い大好きな俺様が来ましたよ。

ウィキペディアって開くページ開くページ軒並み
変なこと書いてあるからおもしろいよねｗ

>>355
日本語版の事？

専門外のことは、おかしなことが書いてあるとは分からんけどな。
化学とか工学とか。

ジャンボー！

米田の捕題についてどなたか解説お願いします。

>>359
wikipediaでも読んどけｗ

簡単な演習問題を出そう。

問題
行列式は自然変換と見なせる。
これを厳密に定義せよ。

意味不明

>>362

世話のやけるやつだな。
ヒントをやろう。

有理整数 n ≧ 1 を固定する。
A を可換環としたとき GL_n(A) を可逆な n 次正方行列の作る群とする。

GL_n(A) の元 x にその行列式 det(x) を対応させることにより
群の準同型 det : GL_n(A) → U(A) が得られる。
ここで U(A) は A の可逆元のなす群である。

これでわからなかったら圏論は１０年早い。

>>361,363
それ何て「圏論の基礎」？

>>363
やべえ、俺１０年早いやｗｗｗｗｗ

「圏論の基礎」等というアホな事しか書いてない本を読む奴の気が知れぬ。

founderアホ扱いしちゃダメじゃねｗ




・・・しかし、アホじゃない本を教えて欲しい・・

Anm->R(Anm)
R(xy)=R(x)R(y)

別に GL_n (A) じゃなくても M_n (A) でもええじゃねえか？
GL にする意味が分からん

つか、GL_n じゃダメでね？

つうか「圏論の基礎」って、あれいくらなんでも
訳語にカタカナ使いすぎだと思うんだけど。
あんな訳し方するくらいなら、「数学者のためのカテゴリー理論」とか
題名も直訳すればいいのに。

そういうレベルのいちゃもんかよ

>>361 の解答まだ？

GL_n()、U() がそもそもｆあｄないｓ（ｒｙ
模範解答きぼん！

GL_n(A) が分からなかったら話になりません。

略しすぎた？
GL_n()、U() がそもそもふぁんｋｔｄんあい（ｒｙ

誰か、このアホの言ってること翻訳してくれ。

それがわからないようじゃ圏論は１０年早い。

>>374

ほれ

kのkをrｔkく。
ｇのkをgrptk。

A に g() をtてfkd gが得られる。

A に u() をtさせてfkdt u が得られる。

よって gのs が得られる。

これはふぁん g からふぁん u へのしである。

つうか >>361 はMac Laneの本にもろ出てるが。
英語版の 16 ページ。

>>380
>>364で指摘済。

そんなことでプライオリティを主張するなよｗ

環 R 上の左加群のなす圏 を (R-Mod) と書く。
(R-Mod) はアーベル圏である。

(R-Mod) の射 X → Y の全体 (R-Arrows) を考える。

X → Y から Z → W への射を、次の可換図式として定義する。

X → Y
|　　　 |
v　　 v
Z → W

(R-Arrows) は容易にわかるがアーベル圏である。

ここで問題：
(R-Arrows) における射影対象（または単射的対象）は何か？

なんだおい、行列式だとすぐレスが付いたが、
アーベル圏だとだんまりか。

射影的対象　M, Nを射影加群としたとき、M　→　M+N
単射的対象　I, Jを入射加群としたとき、I+J →　J

岩波数学辞典では injective module は入射加群で、
injective homomorphism は単射準同型なんだよね。

injective module は単射的加群でいいと思うけどね。

もう少し面白い問題ないのか？

>>387

あれじゃ簡単すぎて面白くないのか？

簡単すぎない問題が出た事があったっけ？

>>389
前スレ・前々スレにはいっぱいあったよ

>>389

その割に解答が遅かったが

その割に、ではなく、だからこそ
解答が付かないのだろうね。

>>391
問題が難しすぎる人もすぐには解答をだせないが、問題が簡単すぎる人はめんどくさくて回答しないもんだよ。
ちょうど適度な人が解答の作成に燃える。

>>387
>>389
>>392
>>393

お前等、ひょっとしてわかってないんじゃないのｗ
分かってるなら、>>385 を証明してみな。

>>387

群の圏では全ての epimorphism は全射であることを証明せよ。

証明まだ？

>>383
Rの可換性を捨ててもおｋ？

>>397

問題ない。
っていうか任意のアーベル圏でいい。

圏の定義に出てくる「結合性」ってどうしても必要なんですか？

とりあえず、「結合性」を潰した上で有意な例を示して。

自分にはさっぱり分からないんですが、
Ｄブレーンの研究で言及されたりするようです。
例えば、http://arxiv.org/abs/hep-th/0102183
の１０ページ欄外に"nonassociative category"
という言葉が出ていました。

問題　結合性をめぐって

群のアーベル化はアーベル群の圏から群の圏の函手の左随伴函手として捉えられます。
さて、2項演算が定義された集合(マグマ）の半群化(結合法則を満たす普遍的なもの)は存在するでしょうか。

248でも触れてますが、合成が定義された有向グラフの圏化の存在の有無も論じて欲しい。

>>402

M をマグマとする。

M の元の重複を許した有限列 a_1a_2,...,a_n の全体か？

>>403
構成した物はMの下部集合構造のみに依るように見えるが。
集合から構成する自由半群ならそれでいいと思う。

C を圏とする。
C において C-group というのが定義される。

http://en.wikipedia.org/wiki/Group_object

例えば C として位相空間の圏をとれば、そこでの C-group は
位相群のことである。

C-group と同様にして、C において C-category というのも
定義されるはずである。

もっと詳しく言うと、C において対象 O, A と、射 s, t, c
s: A → O
t: A → O
c: (A × A)/O → A

があり、これ等と、(A × A × A)/O の間に適当な可換図式が成立つ
ものとして定義される。

ここで (A × A)/O はファイバー積を表す。

この概念の有用な例ってあるのか？

>>405
enriched category　に似てるね。

>>405
C-categoryの特別な場合として、C-同値関係,C-groupoidも定義できると思います。
代数幾何学における、スキームの一般化である、代数空間やスタックは
(スキーム)-同値関係,　(スキーム)-groupoid の特別な対象と思えます。　

>>387
>>389
>>392
>>393

証明まだ？

>>404

俺も書いた後でそう思ったｗ

M の元の重複を許した有限列 a_1a_2,...,a_n と b_1b_2,...,b_m
は a_1a_2,...,a_n = b_1b_2,...,b_m のとき同値として、
この同値関係で割った商集合を取ればいいだろう。

>>409
a_1a_2,...,a_n = b_1b_2,...,b_mはMの中でですか。
a_1a_2,...,a_nをどうやってMの元と見るのですか。
結合法則は仮定していないので
括弧の付け方に依存すると思いますよ。

いけね、そうだなｗ
誰か考えてくれ。

先に無理やり

(ab)c ≡ a(bc)

で割っちまうとか？

自分で考えろこの馬鹿

す、すいません、提案しちゃいけませんでしたか

よくチェックしてないが、大体次のような感じでいいんじゃないかな。
(1) マグマMの台集合で生成される自由半群をLとする。
(2) L 上の次で定義される関係を 〜 とする。
abc...z 〜 ABC...Z ⇔
abc...z と ABC...Z のそれぞれを、あらゆる方法で括弧を付けて M 内の元
と見なしたときに、それらのうちに M の元として等しいものが存在する。
たとえば M で a(bc) = ((AB)C)D なら L で abc 〜 ABCD
(3) 〜を含む、L の算法と両立する最小の同値関係を R とする（関係のグラフ
を考えてインターセクションをとればよい）。
(4) L を R で割ったものが M の半群化。

自己レス。別に自由半群を使わなくても次のようにしてもいいか。
(1) マグマ M 上の次の関係を 〜 とする
x 〜 y ⇔ある M の元の有限列 a, b, ..., z が存在して、x と y のそれぞれが
何らかの方法で括弧を付けた a, b, ..., z の積になっている
（もちろん括弧の付け方は x と y とで違っていてもよいとする）。
(2) 〜を含む、M の算法と両立する最小の同値関係を R とする。
(3) M を R で割ったものが M の半群化。

自分としては、圏の定義から結合性をはずしてもいいと思います。
結合則を満たすような圏をあらためて「結合的な圏」と表現するのも
悪くはないです。ただ、いまさら定義を変えるわけにもいかない
習慣上の事情もありますから、そこがなかなか難しいとこですね。

外すことによってなんかメリットあるの？

いまのところ不明です。

Mの半群化　>>416をちょっと変えてみました。

(1)マグマ M 上の次の関係を 〜 とする
x〜y ⇔ Mの元、a,b,cが存在してx=(ab)c, y=a(bc)
(2)〜を含む、最小の両側イデアル同値関係をRとする。
(3) M を R で割ったものが M の半群化。

RがM上の両側イデアル関係とはxRyなら勝手なmに対してxmRym, mxRmyとなる関係のこと。

>>420
ほとんど変わらんが、それでも結局同じだね。

従来の定義は習慣上仕方ないのでそのままにしておいて、
圏の定義から結合則をはずしたものを”非結合的な圏”
（”nonassociative category”）と呼ぶことにすると、
群が圏とみなせるようにマグマも”非結合的な圏”と
みなせます。もし数学において、マグマの概念が有用な
ものならば、”非結合的な圏”の考えも有効と思います。

>>422
とりあえず有用な理論や有効な手法、なんかの効果的な道具でもいいから
何か朧気にでも用意できてから夢を語れ

数学においてマグマの概念は、すくなくともモノイドと比較しても、そんなに有用じゃない。

皆が何回も書いてるが、「非結合な圏」で何がしたいのかとりあえず語ってもらわないと
話にならん。

>数学においてマグマの概念は、すくなくともモノイドと比較しても、そんなに有用じゃない。

そんなにどころがまったく全然有用じゃない。
モノイドとは比較にならない。
モノイドを月とすればマグマはスッポン。

スッポンは有用だ。

筋が悪そうに見えることから立派な数学を作り出す
グロモフの様な例もあるよ。

そんなもん何の励ましにもならない。
大体、必用にせまられないで概念をいじくり回すのは非生産的。
例えば、ｎ個の集合に何個の位相が定義できるかなんていうスレが
あったが、それが典型的。

>>417 が非結合的圏の理論で数学に革命を起こし、それに伴い
マグマがモノイドよりはるかに重要な概念になるかも。

まあ、非結合的な環（代数）ってのもあるわけだから、
「非結合的な圏」もまったく無用というわけではないだろう。

>>429
そういう大袈裟なものではないですが、何か名前があっても
いいような気がしたんです。代数系の方ですと、群やモノイド
に対して制限をゆるめた半群とか擬群、マグマなどいろいろ
あるわけです。そういえば、層に対しては前層という概念が
ありますよね。前層の層化というのにならって、非結合的圏
（前圏）の圏化というのが考えられれば面白いと思います。

そんな不便そうなものに名前を付ける必要はないと思うが。
「マグ圏」とかｗ？

>>425,426
月は有用？

>>432
いいですね。マグ圏でもマグマ圏でも自分の好きな名前で呼んでやれば
いいと思います。大切なのは、名前をつけて概念化することと考えます。

何の役に立つのか分かりませんが、圏論を一般化したいというのがその
動機です。代数幾何のスキーム理論で、可換環を可換とは限らない一般
の環に置き換えたらどうなるか、という発想と似ているかも知れませんね。
よく見てませんでしたが、>>402さんのところにヒントがのっているようです。
なるほど、群のアーベル化とは随伴函手の一種と考えられるわけですか。
それにならって、圏の圏から前圏（非結合的な圏）の圏への関手を考えて
その左随伴関手をとってやれば、前圏の圏化を定義してやることができる
のではないかと思います。前圏においても米田の補題の類似が成立する
のかとか、カン拡張がすべてというのはここでも有効かなどいろいろ考え
てみると、数学の世界がより広がってますます楽しくなってくる気がします。

ぐちゃぐちゃ書いてないで、そこに書いてあること自分でやってみな。
とりあえず「前圏の圏化」から。

>>434
その口を閉じて、もくもくと論文を書け。
成果が出たらスレに還元してくれればいい。

前圏の圏化については上に書いた通りです。少し修正すべき箇所がある
かも知れませんが、だいたいあんな感じです。どこか重大な誤りがあれば
お願いします。詳しく書けませんけど、あれからものすごい発見をすること
もできたような気がしています。まだ詳細なチェックが必要ですけども・・・。

ところでマグマについて少し考えていたのですが、マグマにもイデアルとか
素イデアルを定義できます。そして、局所化の概念も形式的に得られます。
そうすると、マグマの素イデアル全体に自明なザリスキ位相を入れたもの
としてマグマ上のスペクトラムが定義されます。可換環の場合と同じように
して構造層を考え、局所的にマグマのスペクトラムと同相になるように貼り
合わせてやると、マグマ上のスキームが出来上がります。前圏の圏化の
時と同様に、環からマグマへの忘却関手に対してその左随伴関手をとれば
マグマ上のスキームから環上のスキームへの関手も自然に定義されます。
マグマ上のスキームＸが有限被覆をもち、それぞれのアフィンスキームが
有限生成である場合、Ｘは有限タイプと呼ばれることになります。つまりは、
マグマの元もある”空間”上の”関数”とみなし得るということです。ただし、
”関数”どうしの積が可換でなかったり結合律を満たさなかったりするわけ
です。いずれにしてもこのマグマ上のスキーム理論の世界には、非可換環
上の非可換代数幾何をほんの小さな一部分として含むような、広大な領域
が広がっていると思われます。数学にはまだまだ前人未到の誰も見たこと
のないような世界があるのでしょう。マグマに対する親近感が沸いてきます。

>>437
>いずれにしてもこのマグマ上のスキーム理論の世界には、非可換環
>上の非可換代数幾何をほんの小さな一部分として含むような、広大な領域
>が広がっていると思われます。

何を言ってんだか。
夢を語るのは誰でもできる。
成果を出しなさいよ。
どんな成果があるの？

あんたは概念先行なわけ。
こういうのは一般的に言って非生産的なのよ。
数学の発展というのは特殊から一般に行くわけ、その逆じゃない。
まあ、例外もなきしもあらずだろうけど。

哲厨風味なスレはここですか？

>>387
>>389
>>392
>>393

証明まだかよ、おい。
いい加減、待ちくたびれたぞ。
大きな口をたたいたんだから、証明出来ないとは言わせない。
簡単すぎるんだろ？

ﾌﾟ

もっと夢を語ってくらさい。

>>443
例えば？

ここは夢さえ語れない奴が多いからなぁ。オレも含めてｗ

site上で代数幾何考えて何か新しい発見があるのですかグロタンさん

>>438
それなら今度はお前が夢を語ってみろよ。
誰でもできるんだろ？
偉そうに結果を出せなんて誰でも言える。

>>447

夢なんて簡単だよ。
例えば圏論でリーマン予想を解決とかなｗ

矢印ぐるぐる書いてて楽しい？

>>448
なんだそれ。その程度なのかよ？
語るってレベルじゃねぇーぞｗｗ

じゃあ僕は圏論でアメリカ大統領になる！

圏論＝数学

圏論でフィールズ賞を取るぞとかなｗ
夢なんていくらでも言えるって。
質を問わなければ

437の夢はまだマシ、
と言ってるようにもとれる言葉だな

夢にマシも何も無い

>>437のは幼稚すぎて話しにならない。
発想が幼稚なわけ。
条件を一般にするというのは最もお手軽な発想。
非可換環のスキームを考えるとかな。
ただし、一般化を考えるのが常に幼稚だって言ってるわけじゃない。
そこに切実な問題意識があれば別。

Kroneckerの青春の夢なんていう格調の高いのもあるけどな。
ただしこれは夢というより予想、しかも正しい予想だが。

>>455
「質」は問えるんだそうだぜｗ

もう予想

それはどうだろうな。
何をもって切実というかは人によって違うから。
お手軽とか幼稚とか人の批判ばかりしてるが、
一般化ってそういうもんじゃないのか？
オレ自身は>>437の話もなかなか面白いと思う。
あんたもあれこれ他人の批判ばかりしてないで
何かもっと高尚なこと書いてみろよ。
オレにはあんたがいちばん幼稚に見えるんだが。

>>480
>何をもって切実というかは人によって違うから。

そういうところを突っ込むっていうことは俺の話が分かってないということ。
または分かってないふりをしてるかもしれないが。

要するに問題意識をもって一般化するってことだ。
または、ある問題にぶつかったときそれを解決するために一般化するってこと。

>あんたもあれこれ他人の批判ばかりしてないで
>何かもっと高尚なこと書いてみろよ。

上でアーベル圏の問題を出しただろ。
証明してみろよ。

煽りは無視

>>463

どのレスを煽りと言ってる？

>>445のこと

>>462
その程度かよｗ

>>466

だからまず証明してみろよ。話はそれからだ。
1 + 1 = 2 もわからないやつに整数論を語っても無意味だろ。

exact couple って何の事なの？

>>467
何を証明するんだよ。
最近ここ来たばっかで分からんのよ。
アーベル圏の問題って何のことよ？
なんで俺が証明しないとあかんの？

>>469
>なんで俺が証明しないとあかんの？

>>466 はあんただろ。

>その程度かよｗ

っていうことは問題も答えも分かってるんだろ

>>470
いや、分からないで書いてるだけだからｗ

>>471

心でいいよ

上のほうでも証明してみろ証明してみろさんざん
ほざいてるようだけど自分自身で証明してみりゃいいじゃん。
どうせだれにも興味もたれないような問題なんだろ？
キチガイみたいなことばかりいっても煽られるだけだよ。

exact couple って何の事なの？

>>473
>どうせだれにも興味もたれないような問題なんだろ？

あんたは何もわかってないんだから黙ってろよ。

アーベル圏を少しかじったものにとっては興味がもてる問題だ。
簡単だとほざいてるやつが数名いるから解いて見ろといってる。

煽りは無視で

煽りは無視で

深谷圏ってどんな圏？
良い参考書プリーズ。

今日からお休みだ。ところで、マグマの話はどうなったの？

導来圏について説明プリーズ

何でもプリーズ

煽りは無視で

煽りは無視で

アーベル圏について説明ｋｗｓｋ

いつもここに張り付いてる主はどうしたんだ？

どうでもいいが、ここは夢すら語れないような奴ばっかだな。

目指すべきはグロタンのDerivateursですな。

Derivateursって何ですか？

>>488 ttp://www.math.jussieu.fr/~maltsin/groth/Derivateurs.html

要は、ｎ-圏のことですね？

グロタンなどどうでも良い。
グロタンは終わった。

グロタンの人生って何だったんだろう？

>>492

くだらねえな。
あなたにとって人生とは？
とか。
青いにもほどがある

青表紙

グロタンは僕らに夢見ることの楽しさを教えてくれたのさ！

グロタンは山奥で畑作って生活してんでしょ？

グロタンは仙人になったのさ

Grothendieckは山奥で霞とスキームを食って生きているよ。

死んでも2年ぐらい情報が出なさそう・・・

exact couple って何の事なの？

完全対のこと

>>499
そのくらい分かっとるがなこの馬鹿
翻訳厨不要
それ以上の事を聞いて居るんだよ

（日本では）圏論が専門というのもあまり聞かんですね。

圏論に詳しい研究者は沢山居る。

代数幾何やってる奴らだけだろ

知識も見識も狭いなお前

>>501
そのくらい自分で調べろボケ、ってことだろ？

自分で全部調べろボケ

調べ自分で全部ろボケが

アンカー間違えたり恥ずかしいヤシが多いなｗ

この調子で1000行くのか？

C をアーベル圏として K = { K^n, d^n } を C 上の
コホモロジー複体とする。

. . . ⊃ F^p ⊃ F^(p+1) ⊃ . . .
を K の部分複体の降列とする。
p は 有理整数全体を動く。

完全列

0 → F^(p+1) → F^p → F^p/F^(p+1) → 0

からコホモロジー完全列

H(F^(p+1)) → H(F^p) → H(F^p/F^(p+1)) → H(F^(p+1))

が得られる。

D = { H(F^p) } は p を動かしたとき C の次数付き対象
(graded object) となる。

E = { H(F^p/F^(p+1)) } も同様である。

上の完全列から
完全列

D → D → E → D

が得られる。

D → D → E は exact couple の典型例である。

これからスペクトル系列が得られる。

>>511
有難う御座います。
所でスペクトル系列を作る以外に応用（適用）はないのですか？

唐突になんだこいつら……

>>513
アホ

ふつうに話題を振ることもできない会話力の欠落したアホが沸いただけ

>>512
>所でスペクトル系列を作る以外に応用（適用）はないのですか？

知らない。
俺は exact couple と スペクトル系列は殆どイコールと思ってるから、
そういう疑問を持ったことがない。

やっぱりここは夢を語れる人間がいないとだめだなぁ。

でもすぐ夢語るやつに限って、こういうとこはイケヌマが多いからなあ。

圏論に変なロマンを持つんじゃないよ

で、まっとうなロマンってなに？

お前余程の馬鹿だな

自分のことを棚に上げるなよ

ところでおまえら、モチーフって分かったか。俺は分かったよ。

だからどうした

おまえに分かるか？

だいたいおまえらはな、学問に対する情熱がなさすぎるんだよ。
数学にロマンを抱けないようなやつは数学やっても無駄だろ。

それはない

数学者を妻帯者に例えると >>526 は童貞だなｗ
セックスというか女に変なロマンを持ってる。

圏論だけは新しい数学的成果を生み出せない分野だと思う。

>>529
おれもそう思うが、あなたはどうしてそう思うの？

なにをもって数学的成果とするかだろう
カテゴリーってどっちかっていうとメタでしょ？

>>数学的成果
或る程度以上の数の数学者が面白いと思う結果

すべてはカン拡張である

>>532
違うな。今井を納得させうる程の結果だ。

>>533
>カン拡張
はもう古い。例えば lim は holim の特別の場合だ。

>例えば lim は holim の特別の場合だ。
くわしく

>>536
holimは知ってるのか？

593

これどう思う？（AAで圏論）
http://pc11.2ch.net/test/read.cgi/tech/1128011645/473-512
　

合成の結合性が忘れられているな

LawvereのConceptual Mathematics持ってるけど、書棚の飾りにしているｵﾚｶﾞｲﾙ。

GoldblattのTopoi（Dover版にあらず）を飾りにしていたオレもいる

圏論に関してまともに考えていると気が狂いそうにならない？
いままでよくわからなかったのだけれど最近なんだか強くそう思うようになってきた。
思い込み？
なんかまた精神科で３ヶ月くらい入院とかなりそうで。
勉強したいけど怖くて勉強したくない。せっかく回復したことだし。

てめぇがキチガイでおかしいだけだ。といわれればそうなのだが。

>>544
ガンガレ…といったらよくないんだよな。
俺の友達にもいろいろ心の問題抱えてるやついるんだけど。
正直どうすればいいか、俺の頭ではわからないんだよな。頭ではなく心で感じるべきなのかな…

集合論では集合は対象式であるのに対し圏論では圏は対象式でない、と言う風に
Mac LaneのCategories....に書かれていますが、これが現在の圏論の基礎付けの
定番でつか？

>>544
スピードを下げれば大丈夫と思われる。
あとは、自分と同レベルな人と会話したりすると落ち着くと思う。

>>546
それってどこに書いてある？
集合は対象式じゃないと思うけど、・・・、式でかけない集合があるわけだから

>>539
そこに書き込んで流れとめたｗ覚えがあるけど、
やっぱり平面だと、ｺﾚとｺﾚの結合がｺﾚとかがほぼあらわしようが無いから
無理っぽいかなと思った。せいぜいグラフが書ける程度。
だからグラフに圏の入れ方1個しかありえないような場面では
有効だけど、一般的な場合にはAAだけじゃ今のところうまくいかない（せっかくがんばった職人には申し訳ないけど

>>546
集合論は集合の理論だけど
圏論は圏の理論じゃなくて射（と対象）の理論である

っていうくらいの含みじゃないのかな。（圏の圏というのもあるけど）

圏論は射の理論というよりむしろ自然変換の理論なんだけどね。

いい加減なことを書いてはいけないよ

>>552

何のこと？

関係ないけどここ一年でやたらと圏論に関するサイト増えたな。
なんかあったの？

一年前にhaskellの解説本が和書で出てから
haskellがらみで圏論に興味を持つ人が増えたんだと思う。

あんがと。
haskellねぇ。

いろんな人が圏論に興味を持つのはいいことだね。

確かに、Haskell の本にモナドという用語は圏論の影響です、と書かれてるね。

モナドと圏論の関係が、Haskell の本にちゃんと書いてあればいいんだけどな。

>>552

何のこと？

自然変換も射だということ

>>559
最近出たHaskellの本は言語の入門用だから、それを要求するのは違うと思う。

>>561

何だ、そんな当たり前のことを言いたかったわけか。
そんなことで偉そうにされてもなｗ

射は自然変換とは限らないだろ。
個々の対象や射より圏、圏より関手、関手より自然変換が重要なのだよ。
これが分かってない奴が多い。

わかんねーなー。あんたが勝手に重要だと思うのは自由だけどさ。

>>564

わかんねーなら、黙ってたらいい。
別に自慢するようなことじゃないだろ。

>>563
いい加減なことを書いてはいけないよｗ

無知な人間に何をいっても無駄だよな。
猫に小判、豚に真珠、馬の耳に念仏。

domain: {猫、豚、馬の耳}
codomain: {小判、真珠、念仏}
射は何？

に

諺圏。

>>569
そうか。
この諺圏の本質は「に」だったんだな。

>563
>個々の対象や射より圏、圏より関手、関手より自然変換が重要なのだよ。

なんとなく圏論の基礎のp22-23
「圏」は「函手」を定義可能にするために定義され、
「函手」は「自然変換」を定義可能にするために
に定義されてきたのである。

という一文を思い出した。

ま、標語的な文章ってのは、真似して得意がる人にとっては
珠玉のごとくというわけですな。

俺みたいに標語を自分で作るなら問題ないだろ。
もう一個作ろうか。

圏論とはすべてを関手的(functorial)に考えることである。

>>573

真似というより、真実は一つだから。

バーロー

Setの骨格は基数の圏でいいのか？

もしそうだとするならば、射を関数全体にしてしまっているせいでSetという
圏は集合のことを全然表せていない気がする。集合の本質は各集合が
何を要素として持っているかによって個々の集合を区別するという事だが、
Setという圏ではそういう情報が失われてしまっている。本来区別される
べき集合がほとんど区別できなくなっている。

>集合の本質は各集合が何を要素として持っているかによって個々の集合を区別する

えー？ それはまた別の圏だと思うけどなあ。

>>575
>真似というより、真実は一つだから。

というよりは、所詮みんなどうあがいても人間だから。

人間にとっての真実

>>580
まあ、その人間が採用するモデル（≒言語）で
真実とされるものはいくつでもありますけどね

なんか笑った。
やっぱ圏論ってそういうこと考えちゃう学問なんだね。

おまえら何あがいてんの？

>>584
>おまえら何あがいてんの？
「何」が射ですか？

>>583
圏論というかモデル理論の方だろうな

標語厨どこいった？

もっと標語作ってみろよ

もう終わりか？

標語はもうマクレーンが作りすぎたのでこれ以上いらねｗ

標語棒じゃないが、マジで気が狂う。
大体、俺がいくら考えたところでそんなもんマックレーンが
すでに思いついただとかどっかですでに言及されているとか
君のその概念の捉え方はどこどこが不自然だよとか変だとか。
実際は言われなくともなんかそういう声が聞こえてくる。

それじゃどうすればいいんですかと言ったところでそんなのは
自分でなんとかするものだっていうことはイヤでも自覚させられている。

やってられない。

ご要望に答えてもう一個。

問題が解けないときはその問題を一般化せよ。
ただし、一般化しすぎるな。

もう一個。

トリビアルなことでも徹底的にやれ。
そこから非常にノントリビアルなものが出てくる(こともある)。

<elements, functions>の双対性

ツマラン標語だけは止めてくれｗ

ツマランかどうかは受け手によるから。
猫に小判、豚に・・・

せめてスレに沿った標語にしてくれ

沿ってるんだが、あんたが気づかないだけ。

もーこんなことで…何で…いちいち小競り合いするかな〜

素人のじゃつまらないからマクレーンが作った
とかゆう標語をここで検討したらどうだろう？

>>600

だから、ツマランかどうかは受け手によるから。
判断能力もないのに検討ってｗ

いや、あんたの標語は素人目に見てもつまらんからｗ

>>602

そんなのなんの根拠にもならないからｗ

＞個々の対象や射より圏、圏より関手、関手より自然変換が重要なのだよ

笑えるねｗ

能天気なやつは何にでも笑うから

圏論は数学である

>>595
あぁ、ごめんなさい。

MacLane先生の
"The standard 'foundation' for mathematics starts with sets and
their elements. It is possible to start differently, by axiomatizing
not elements of sets but functions between sets."
--- S. MacLane, Mathematics: Form and Function

ってのを標語っぽくしてみただけです。
ごめんなさい。

>>607

何を指して言ってるの？

＞「能天気なやつは何にでも笑うから 」

また新しい標語かｗ

随伴函手はいたるところにあらわれる。

スレの流れ的に特に意味も無くなんとなく書き込んでみた。
少し後悔している。

対象を用いない圏の定義もあるんだよね？

対象といっていたところを全部恒等射と言い換えればいいだけ

米田の補題もそれでちゃんと証明できますよね？

F. William Lawvereの"Sets for Mathematics"を普通の集合論の本だと思っていたｵﾚｶﾞｲﾙ
ちがうじゃん
Lawvereで気づけよｵﾚ

検証センター主催の「初歩の圏論」って結局何人行ったの?
行きたかったんだけど就活あったし参加費用高かったしで行けなかった。
感想サイトとかも無いっぽいし・・・。
来年はあるのかな？来年は参加する。

YouTubeに自然変換の解説が・・・
東洋系の女性講師の解説

Natural transformations 1
http://www.youtube.com/watch?v=FZSUwqWjHCU
Natural transformations 2
http://www.youtube.com/watch?v=XnrqHd39Cl0&NR=1

発音が悪い
因みに俺は英語のリスニングはわりと出来る。

萌えない

早口だよね。

早口でも発音が良ければわかる。

カメラ目線が多い

かわいい幼女を出せ

>>618
あれならマシな方。南部はもっと訛りが酷くて聞きにくい。

後で知ったけど有名な人らしい
http://kashino.exblog.jp/6181606/

発音が悪いって・・・綺麗な（訛りの強過ぎない）イギリス英語じゃないか

>>626

なこたあない。

> 因みに俺は英語のリスニングはわりと出来る。

とか抜かしてた御仁ですか？
失礼ですけど全然出来てませんよ。

出来るって。
イギリス人と普通に話してる。
電話でもな。

ああこの人か。
後ろ姿でしか見たことなかったから
気づかなかったｗ
http://math.unice.fr/~eugenia/

>>629
そうですか。
私はイギリス人の学生と一緒にイギリス人の授業を受けてますが
発音なんてあんなもんだろうと思います。

>>631

どこの田舎？
あれは訛がありすぎ。

っていうか >>631 は自慢したいだけだろ。

ロンドンのちょいと北ですが、
あれってむしろイギリス訛は弱いほうだと思いますけど？
あなたはどこの田舎ですか？ アメリカ合衆国？

せっかく貼ったのに
圏論スレの住人は
相変わらず「背後取り合戦」に熱中するだけか
つまんないの

>>634

だれがイギリス訛りって言った？
あの女がイギリス人に見えるか？

いい大人がいつまでやってんの。

内容はどんなもんなのよ

誰かこれに答えられる人いる？

614 ：１３２人目の素数さん：2007/09/30(日) 18:20:46
米田の補題もそれでちゃんと証明できますよね？

原理的にはできる。

見通しは悪化するだろうね。

742

Function(=Arrow)も一種のbinary relationだから
まあ語術を変えていろいろ見てる分野なのかな？

"Sets for Mathematics", F. William Lawvere
"Sheaves in Geometry and Logic: A First Introduction to Topos Theory (Universitext)"
, Saunders MacLane
"Stone Spaces (Cambridge Studies in Advanced Mathematics)", Peter T. Johnstone;

をオーダーしたので数週間後Topos樹海に旅立ってみる。

age

うぅぅぅ、本きたけど、MacLaneとJohnstoneおいらには無理ぃ。
Lawvere先生の本でSets圏OnlyでとりあえずYoneda's lemmaまでがんばってみるぅぅ。

JohnstoneはSketches of an Elephantじゃないのか

清水義夫『圏論による論理学』高階論理とトポス　東大出版会
がでるそうな。

面白そうだね。

なぜ、今更、圏論？

>>646
MacLaneの"Sheaves in Geometry and Logic"みたいな事が書いてあるのかな

どっちかってえとLambek-ScottとかJacobsとかのほうじゃないか

>>648
今更って、圏論の他に何があるってんだい？

>>646
文学よりの本だったら躊躇するなあ。

文学？

数学車は哲学がお嫌いなのですか？

あげるな哲厨

あげるな哲厨

哲学よりならまだしもなんで文学？
大陸の訳の分からないレトリックばっかしの哲学と混同してない？

まあ多分大丈夫だと思うけどね。哲学科の人ではあるけど、
同じ東大出版会の論理学のテキストは哲学のての字も無いみたいな
感じで純粋に数学的だったから。

でもGeometryの部分はありえなさそう
ttp://www.utp.or.jp/bd/978-4-13-012057-9.html

あとtopos理論って確かDoverから出てるテキストで、
ネットでただで読めるのがあったと思うけどアレはどんな感じなんだろう。

>>658
GoldblattのTopoiか?
読んだのが昔なので記憶が曖昧だが、
topos一元主義的なところがあったような気がする。
まあどちらかといえば、Doverのほうで読んでみるのを薦める。

>>658-659
とりあえず参考までにRobさん関係の網帖をば

ttp://www.mcs.vuw.ac.nz/~rob/
ttp://historical.library.cornell.edu/cgi-bin/cul.math/docviewer?did=Gold010&view=50&frames=0&seq=15

>>646
いよいよ出版されたね

>>661
AMAZONからe-DMきたぉ

その後べんきょう進んでる？

>>663
separatorでつまづいていますorz

きゃーの　きゃーの　ペルシャですの
うふふ☆
つばめさんって、相変わらずうっすらぱーなんですので
ぺるしゃったら思わず笑ってしまいましたのよ☆

がう〜

ち？

新しい本どう？

つまらん。

>>668
おまえの人生を振り返ってか？

いま読み始めたんだけど、どこがどんなふうにつまらないの？

蓼食う虫も好きずきっていうやないか。
まぁまぁ、そうムキにならへんでも・・・

きょうから読み始めてる者ですが、なかなか面白いと思います。
が、20ページの2行目のところでいきなりつまずいてしまいました。
（λx．Ｔ＝λx．x）なんですが、どうしてこれがＦの定義になる
のですか。よろしかったらどなたか解説よろしくお願いします。

Ｆの定義そのものじゃねえか W

どういうことなんですか。単純に「Ｔでない」という定義ではだめですか。

なるほど、なんとなく理解することができました。
すべてが成立する、ということはないことを前提として、
それを偽の定義として採用しているわけなんですね。

次に25ページのところなんですが、Ｔ．1の証明の過程で
（1）と（2）が同じ式になっているのはどうしてなんですか。
まさか、ミスプリではないですよね？

なの〜

　　　　　　　　　 |l.＞...⌒ヽ└=ｧﾗ-‐.:.:＞..:.:.￣.:.｀ヽ-...、
.　　　　　　　　 ／..:.:.:.:.:.:.:.ﾊ....//‐.:.／..:.:.:.:.:.:.:.,.:.-‐.:.:.:.:..＼
　　　 　 　 　 /.:.:.:.:.:.:.:.:.:./.:.}／ｰ:./ｨ＿-､:. ／..:.:.:.:.:.:.:.:.:.ヽ:.ヽ
　　　　　　　/:.:.:.:.:.:.:.:.:.:/.:.:∧.:.:./..:.:.:.:.:.:. /７..‐-/､.:.:.:.:.:.:.:ﾊ:. i
　　　 　 　 /{.:.:./.:.:.:.:./.:.:./...l|∨.:.:.:.:.:.:. /.:/:.:.:.://丶ー十'｜:|
　 　 　 　 ハ!:/.:.:.:.:.:.:.:.:.:ﾊ＞|ﾐl.:.:.:.:.:.:.:/_ｲ―:.､/.:.:.:.厂:7.:.:ﾘ:.:|
　　　　　 l.:::l/:::::::...:.:.:.:./V/7ヽ|:.:.:.:.:.:/､_ ヽ:/:ｲ｀::.:/.:.:/:/:;..:.:ﾘ
　　 　 　 |:.:/.:.:.:.:.:.:.:.:.:ハﾄ､{ 〈 |.:.:.:.:l｜}¨７ぅﾐ､＼/::::/ナ/::::/
　　 　 　 |/.:.:.:.:.:.:.:.:.:/　 |.:.ヽ｀ l:.|:.{.:!:| ﾍ.ﾋzﾂ `　 `,孑ｧ7//
　　　　　/ .:/.:.:.:.:.: /　　l.:.:.|:.}ｰ�Y:l:.N 　 　 　 　 ﾄﾋﾙ:/ ´
　 　 　 ,′/.:.:.:.:.:.:/　　 l.:.:..V　　 ｀ヽ　　 　 　 　 〉/ｲ{　そうでしょうか？　　
.　　 　 i :..:'.:.:.:.:. /i′　｜:.:...ト ､　＼　　　　 ､tｰく __｀
　　　　| :.i .:.:.:.:/: |　　　|.:.:.:...l` ｰ ﾆ.7＞.. _ ..イ ｀ソ ,_＞､　　　　　 ,. --_､　
　　 　 | .:l.:.:.:./:.:｜　 _.. V.:.:.:.ヽ.　　l //:/::::::.l|／‐'´_／ ,ﾊ　　　／ ／´/　
　　 　 ! .|:.:.:/.:_:斗＜＜　ヽ::::::::.＼ | |ト ､::::::.:|　　　　‐' ,/j＿_/__/′ﾐ/　　
.　　　 | .|.:.:./´..... . . . .｀ .ｰ-＼:::::... �Y}　__.＞|　　　　　{iｲ　　{ ,/'イミi′　
　　　｜l::::/.:.:.:.:.:.. . . . . . . ヽ ..|＼:::...ヽ＼｀＼|　　　　 ∧.V〜�Y!‐ﾄ､.{　　　

σ（＾◇＾）　じつは、そうなんでつ

新しい本どう？

オレ以外に読んでる奴いないの？

いない。

がう〜

63ページの「空集合は空要素をもつ」という表現に
考えさせられました。この本なかなか面白いな。
論理学の本なので、主にこっちでやっています。
http://academy6.2ch.net/test/read.cgi/philo/1194155261/l50

突然ホモロジー代数の話題になるが、
A を有限アーベル群とするとき、 Ext(A, A) を Hom(A, A) 上の両側加群と考える時、
Hochschildコホモロジーは消えるのかな。
http://www.cpt.univ-mrs.fr/~coque/articles_html/grassmann/node7.html
係数環は Z で考えている。 A が一般だったらどうだろう。

誰かホモロジー代数（または、コホモロジー）のスレ立てれ

終わった分野を、何を今更。

>>686
終わってなんかいないさ。
むしろ必須の道具。更に発展している。
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1119870806/794

がう〜

>>683
本屋で立ち読みしたけど、最後に量化子の話が来てた。
量化子のことがわかりたくて仕方が無かったけど、
方向的にtopos方面でいいことがわかったのでよかった（本は買わなかったがw）。
とりあえずLambek, Mac Lane/Moerdijk, Lawvereの手持ちの本こなすよ。

Lawvereの"Sets for Mathematics"なかなかいいよね。
"圏論による論理学"やったあとだとだいぶ読みやすい。
Johnstoneの"Stone spaces"と両方やっていくつもり。

>>690
Vickersの"Topology via Logic"
随所で"Categorically speaking, ..."とか言ってる。

Vickersの本、ComputerScienceよりでめちゃくちゃ面白そう。
日本評論者の"位相と論理"、その本に影響受けてるのかも。

上の"日本評論者"は"日本評論社"の間違い。
Vickersの"Topology via Logic"面白そうだから買ってみた。
ところどころ絵や図がのっていて実に楽しいね、この本は。
"圏論による論理学"とはまた違った意味で、論理とは何か
を分かったようなつもりにならせてくれる。"Stone spaces"
の副読本として最適と思った。直接には圏論を用いてない
けれども、圏論的に考えるためのヒントが書いてあるから
分かりやすい。"圏論による論理学"と"Stone spaces"の
架け橋になってくれるのではないかと期待しているところ。

清水の本、チャーチetcがラムダ計算に対してやったことをカテゴリで焼きなおしてるだけジャンｗ
ってかカテゴリ系の研究ってみんなそんなもん、新しいことを何一ついわずに、
カテゴリという言語でかきなおしただけｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ
しかもこの本、ラムダ計算そのまま使って高階論理あらわしちゃってるしｗｗｗｗｗ

いたすぎｗｗ

>>694
そりゃtoposだけ見てりゃそうだろうけどCCCとかmonadとかだとまた違うだろ。
君のほうがいたいよ。

"... understanding consists in reducing one type of reality to another." - C. Levi-Strauss
言い換えてみる事も悪いことではないんでないの？

>>694
たぶん、型つきλ計算なら問題ないんじゃ？
そういえば、竹内層圏トポスの層のところもひどかった。
そこで、topoiをどこか翻訳出版しないかな？

Lawvare & Schanuel, _Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories_, Cambridge U.P., 1997.
今知ったんだけど、全部オンラインで読めるのね。

http://books.google.co.jp/books?id=o1tHw4W5MZQC&printsec=frontcover&as_brr=3

それって一括でダウンロードする方法ないかなあ。

全部は読めないよ。一部だけ。

「圏論と論理学」読んでる人へ。
91pで偽を定義してるとこ。
この定義だと、偽と真が等しい矢であることもありえるんだよね？？

>>701
俺も悩んだけど、pullbackの定義に戻るとＴと⊥が違う射でなくてはいけないことが分かった

>>702

　Ｔ = ⊥　　　　　　　　　　�@
である場合、任意の対象Eとh:E->1、k:E->1について、
　Ｔ o h = ⊥ o k 　　　　　�A
となるから、pullbackの定義より、
　h = ! o l　　　　　　　　　�B
　k = 0_1 o l　　　　　　　　�C
なる l:E->0 が一意的に存在しなければならない。
ところが、1は終対象だから!:0->1と0_1:0->1は等しい。
　! = 0_1　　　　　　　　　　�D
よって、�B�Cの条件は、�@�A�Dより
　Ｔ o ! o l = Ｔ o ! o l
となり、任意のlがこれを満たすことになる。
つまり一意的ではない（？）

とくにSet圏の場合、0は空集合なのでEが0でなければ E->0 なる射は存在しないから
pullbackの条件を満たせない。

こういうこと？

92pの図2.2
!について、0の空要素を1の要素に対応させてるのもよくわかんないんですよね〜

圏論の何たるかを知らない奴らのスレだな

Yes !!
少なくともオイラは知りません。
Conceptual Mathematicsにつづいて、まだ二冊目です！！(＞▽＜;;

「圏論と論理学」158p

　するといまや、集合の場合のB~（=｛φ｝∪{{y} | y ∈ B})
　に相当するトポスでのB~は、上の（＃）より、
　下図をみたすh^とidとのequalizerとして定義できてくる。

なぜ？？

Categories for the Working Mathematician
S. MacLane

Amazonでは品切れだね。
皆さんは邦訳読んでるの？

あるのね。
http://www.amazon.co.jp/dp/0387984038
拙速でした。

>>708
あんな売れ筋商品がout of printにはならんだろw
未だにpaperbackにもならねぇorz

そのうち（or 既に）objectにあたるものが存在しないが圏みたいなものとみなせるような概念が使われるようになるのだろうか
点の集合ではないが幾何的な空間とみなせる非可換空間が今使われてるように
ただ上記の圏もどきを考えて何になるのか想像もつかないが

>>711
何かが存在しないとダメだ。

GTMの本はpaperbackにはなかなかならんと思うが。

GTM vol. 10 は paperback になっている。

objectなくてもmorphismだけあればいいんだよ

>>715
そういや普通に圏をmorphismだけで定義出来たんだっけ
それではobjectもmorphismも無いのを考えたらそりゃ何も無いって事にしかならないわね…

morphismだけで圏を定義する立場で「objectにあたるものが存在しない」を解釈するなら、
「単位元がない」の意味に取れるけどなあ。結局イミフだよ。

>>715
objectがないじゃなくて
objectのelementがないの間違いではないの？

>>718
君は圏論が分かってない

>>716
objectがなくてもdomainさえあればmorphismがobjectの代わりになってくれるよ

identity maps

普通に対象も射もない零圏てのがあるよ

すべての圏が零圏じゃ困るだろうが

age

morphismだけの定義で頑張ってる圏論の本ってある？

>>725
確か
数学選書圏論(カテゴリー) (単行本)
大熊 正 (著)
出版社: 槙書店
がそうだと思う。

>>726
thanks !

沸騰

737

二年六時間。

圏の定義で、射の結合則はずしたらどうなる？

おバカでセンス-255のやつでも
理解できる本教えて

>>732
コホモロジーのこころ：加藤五郎　とか
ttp://d.hatena.ne.jp/m-hiyama/20060821/1156120185
とか

>>732
ない

LawvereのConceptual Mathematicsとかは
まあ分かりやすいよ。ただ現代数学に応用とかの
レベルには到底到達しないけど。

C.A.Weibel, An Introduction to Homological Algebra, 1994
でも嫁

圏の定義で射の結合則はずしたのを研究してるヤツいる？

>>732
無いのか

>>735
基礎学力程度でいいのでつが
それ読むと大丈夫？

「圏論の基礎」ってカタカナ語使いすぎだと思うんだが。
「イコライザー」「プルバック」とか勘弁してくれよ、、
カテゴリーを圏と訳しておきながらそれは無いだろう。

＞基礎学力程度でいいのでつが
どの程度を目指してるのか、その説明じゃ全然分かんない。
数学科の大学院生が、基本的教養として、とか言うのなら全然足りない。
一方、ちょっと圏をかじってみてどんな雰囲気のものなのか知りたい、とか言うなら充分
大学一、二年生向けの少人数選択講義で「圏論入門」みたいなのを
Lawvereがやったらしくて、それを本にしたのが>>735の本。

>>736のはもっと難しい本。

誰か「圏論への30講」とか書いてくれないかねｗ

＞誰か「圏論への30講」とか書いてくれないかねｗ

うん、でてきてほしい。
でも昔それをやろうとしたのが、かの「層・圏・トポス」だったわけで、、、。

Lawvereの"Sets for Mathematics"じゃ駄目なのかい
トピックが偏ってはいるけどさ

A. J. Berrickの"Categories and Modules With K-Theory in View"
買おうかなーって迷ってるけど
TOC見る限りえらく懇切丁寧な本な気がしたが

age

>>11
そもそもヒルベルト多項式の理論が分かりませんっ！！
なに読めばいいですか！？

可換環の本だろう

【新潟】古代九九発掘　７×９＝４７？　３×９＝２４？古代人も四苦八苦
http://mamono.2ch.net/test/read.cgi/newsplus/1223443044/

>>744
M. Reid "Undergraduate Commutative Algebra"
とか、分厚くなるけど、
[UTM] "Ideals, Varieties, and Algorithms"
辺りでは駄目？

[UTM] は面白くないんじゃないの？むしろ情報系のための本な気がするし

>>748
だけどいきなりEisenbudせんせの本を薦めるのもどうかと・・・
paperback安いけど・・・

Eisenbudの本はinjective moduleなどが丁寧でいい。cohenのstructure theoremも言及されているが証明はあったかどうだか覚えてない。

Eisenbudの本ってどれを指してるのですか
"Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry"
でいいのですか？

そう。永田「可換環論」もいい。また、Srinivas「Algbraic　K」のappenndixが代数幾何の重要な部分を補完していて非常によい。

圏論って何の役に立つの？

情報数学の理論で圏論の応用がよく顔を出すらしいよ
圏論そのものを研究するんじゃなくて、的に

>>753
代数幾何では導来圏が重要なツール。
コホモロジーが出てくる分野では圏論は必須。

うるさい。

圏論を勉強しています。
下記に質問しましたのでご覧いただけましたら幸いでございます。
http://beauty.geocities.jp/noname45754/study/hoge1.jpg

>>754 文献は？

>>757
「圏論の基礎」の p.11 を写し間違えている？
普通は O は「対象の集合」だと思うけど．

対象の集合だとすれば話は簡単で，
例えば（普通の意味の）グラフ G = (V, E) を
　V = {a, b, c},
　E = { (a,b), (b,c), (c,a) }
なるものだとする（３点からなるサイクル）．
このとき，O, A はそれぞれ
　O = {a, b, c}，
　A = {f: a->b, g: b->c, h: c->a}．
になる．dom f = a, cod f = b など．
合成可能対は { (g,f), (h,g), (f,h) } ．

>>758
754 じゃないけど，例えばプログラム変換界隈だと
Tarmo Uustalu, Neil Ghani and Varmo Vene:
"Build, augment, and destroy, universally", LNCS 3302
なんかは個人的に好み．
この著者らのグループがこういうことを主にやってる感じ．

>759
ありがとうございます。

>>>757
> 「圏論の基礎」の p.11 を写し間違えている？

はい、そうです。ちょっと難しくて。。


> 普通は O は「対象の集合」だと思うけど．

という事は何らかの対象がGがあってO=Ob(G)となっているのですよね。


> 対象の集合だとすれば話は簡単で，
> 例えば（普通の意味の）グラフ G = (V, E) を

すいません。グラフの定義が分かりません。
調べては見たのですが写像の像がグラフだと思いますので
圏論では射の像,つまりcodfがグラフに相当するのでしょうか?

> このとき，O, A はそれぞれ
> 　O = {a, b, c}，
> 　A = {f: a->b, g: b->c, h: c->a}．

自分から自分への射,a->aとかは考えないのでしょうか?

> になる．dom f = a, cod f = b など．
> 合成可能対は { (g,f), (h,g), (f,h) }

すいません。いまいちよく分かりません。
A×_o Aの定義は{<g,f>;f,g∈Aかつdomg=codf}となっていて
dom:A→O, cod:A→O となっていますよね。そしてA=Mor(C,D)
するとdomA=C,codA=Dですよね。そしてこれら像はOに属する。。。

A=Mor(C,D)と考えるのではなくてO=Ob(G)というGという性質(?)の集まりで
O={a,b,c,d}とするとAはOで考えられる射の集まりなので
A={Mor(x,y);(x,y)∈O×O}と書けるのですね。
よって A={f_1:a->b,f_2:a->c,f_3:a->d,f_4:b->a,f_5:b->c,f_6:b->d,f_7:c->a,f_8:c->b,f_9:c->d,f_10:d->a,f_11:d->b,f_12:d->c}となるのですね。
それで合成可能対はdomの像とcodの像か一致しているものですよね。
{<f_1,f_5>,<f_2,f_7>,…}という風にして探せれるのですね。
なんとなく分かってきました。

アーベル圏の、その部分アーベル圏によるquotient圏て
対象は元の（大きい方の割られる方の）アーベル圏の対象を
そのまま使うけど、
射の定義がよくわかりません( ~っ~)/

Wikipediaに一応定義載ってますがあまりいい解説に思えません。。

○○○○○―○○○○＝３３３３３ ・1〜9の数字を使って○を埋めなさい

>>761
> 調べては見たのですが写像の像がグラフだと思いますので

それも言うなら「原像と像との組の軌跡」だろうが、そもそも
グラフ違いじゃｳﾞｫｹｪ

>>761-762
圏論の基礎を読むには基礎体力が大幅に足りて無いように見える．

>>761
> という事は何らかの対象がGがあってO=Ob(G)となっているのですよね。
ここでの Ob の定義は何？対象を引数に取るの？

>>762
> 自分から自分への射,a->aとかは考えないのでしょうか?
有限グラフなら考えない（流儀による）．
圏なら id: O → A が定義できないといけないので必須．

> そしてA=Mor(C,D)
ここでの Mor の定義は何？

> するとdomA=C,codA=Dですよね。
domA, codA って何？ この等号は何で成り立つの？

> A={Mor(x,y);(x,y)∈O×O}と書けるのですね。
ここでの Mor(x,y) って何？
常識的に考えると x → y の射の集合だと思うけど、
すると A は射の集合の集合になって書いてあることと違うよね．

あと，何で (x,y)∈O×O と，全ての要素を走るの？

ありがとうございます。

> それも言うなら「原像と像との組の軌跡」だろうが、そもそも
> グラフ違いじゃウ゛ォケェ

そうでした。


>>>761
>> という事は何らかの対象がGがあってO=Ob(G)となっているのですよね。
> ここでの Ob の定義は何？対象を引数に取るの？

対象の集まりだそうです。で対象とは何ですか?
と先生に尋ねたら「知らん。とにかく考えてる事柄の事」


>>>762
>> 自分から自分への射,a->aとかは考えないのでしょうか?
> 有限グラフなら考えない（流儀による）．
> 圏なら id: O → A が定義できないといけないので必須．
>> そしてA=Mor(C,D)
> ここでの Mor の定義は何？

対象の集まりCから対象の集まりDへの写像(写像は集合内での用語)とは呼べないので射の事だと思います。
「では射とは何ですか?」と尋ねたら「うるさい、兎に角射と覚えとけ!」でした。

もしかして定義するのが大変なのですか?

圏論の基礎のp7もメタグラフ,対象,射の定義らしきものは載ってません。
この本は予め予備知識が必要なのでしょうか?

>> するとdomA=C,codA=Dですよね。
> domA, codA って何？

圏論の授業では「…の定義は何ですか」の質問は禁止になってしまいました。
多分,集合論というか今までの初等数学でのdomAは定義域,codAは値域の意味だと解釈しました。
結局,圏論は集合論の概念をもっと拡張した学問みたいですね。、、という事で定義域とか写像とかの用語は使えないのですね。
元も使えないので対象といわざる得ないのでしょうか?


> この等号は何で成り立つの？

今,A=Mor(C,D)なのでAはCからDへの射の集まりでdomは定義域,codは値域を表す射(?)なので
domA=C,codA=Dと書けると思いました。


>> A={Mor(x,y);(x,y)∈O×O}と書けるのですね。
> ここでの Mor(x,y) って何？
> 常識的に考えると x → y の射の集合だと思うけど、

そのつもりです。


> すると A は射の集合の集合になって書いてあることと違うよね．

A={f∈Mor(x,y);(x,y)∈O×O}と書くべきでしたかね。


> あと，何で (x,y)∈O×O と，全ての要素を走るの？

A={f∈Mor(x,y);(x,y)∈O×O}は対象の集まりOの各対象間の射の集まりをAと定義したつもりでした。

>>767
指摘の内容、聞かれていることの意味
なにひとつわかってないようだね。

>>768
> この本は予め予備知識が必要なのでしょうか?

君には予備知識以前の問題が多過ぎる。

定義するのが大変なのではなくて、単に無定義術語なだけなんだがね

>>767
絶望的に，全く分かってないなあ．
君が >>757, >>761-762 で書き込んだことは完全に間違いだし，
>>767-768 はどれ一つ指摘の意味すら取れていないんだよ．

ここでは「対象」や「射」は無定義語なので，定義はないの．
これらの性質は，「対象」の集まりを O，「射」の集まりを A としたとき，
cod, dom: A → O なる対応が定義できることだけ．

面白い具体的な対象が豊富にある訳でもない以上
非結合的な圏論を考える人はそんなにいない
どっかの有名なおっさんも意味のない一般化自体には顔をしかめていたでしょうに

このスレにちらほらあった非結合的な圏論を求める書き込みをした人達は
何を求めて一般化を訴えていたのでしょう

非結合的な圏を考えるくらいなら単なる有向グラフを考えたいね

はたして本当にそうだろうか？

>>775
そう思わないのなら最早自分で研究するしかない

面白い結果が出そうなら是非紹介してくれ

ことわる

EGAの英語訳ってありますか

ない

はたして本当にそうだろうか？

ことわる

シュプリンガーから出てるのは何章まで？

>>779
英語が読めるのなら、
仏語のまま読めばいいじゃん。

数式とダイアグラムは同じだし

A. J. Berrick, et al. の"Categories and Modules With K-Theory in View"米ｱﾏでﾎﾟﾁってきた。
全然在庫なしで悶絶してたので、在庫がきたのでついぽちってしまたｏｒｚ。

↑その本なかなかいいよな。あとこれも。
http://www.amazon.com/dp/0387978453/

下の本の目次見るとやたら面白そうなことが書いてある。
http://www.amazon.com/dp/1402093837

いい本いっぱいあって読むのが大変だなぁ。

あとこれもなかなかいい。
http://www.amazon.com/dp/376437523X/

しかしこれがあればお腹いっぱいなんだがな。
http://www.amazon.com/dp/019852496X/

一番のお気に入りはコレ。古いけどイイ！
http://www.amazon.com/dp/0124992501/

竹内先生の『層・圏・トポス』が復刊されたようだね。

いまさらいいやそんなの。

ネットのどこかに圏論を最初から説明して
アーベル圏や層係数コホモロジーを解説した
60ページ程度のpdfがあったような記憶があるんだが
見つからない

見つかった？

見つからない
日本語だった気がする
ここまで見つからないとたぶん捏造記憶だったんだろうな

大丈夫だ、今からお前が書けば誰も気がつかない！

>>791
ページ数と最近見つからないということから、
ttp://miyako.math.metro-u.ac.jp/~masanori/Lecture/01geometry.pdf
のpdfかなと思ったがどうですか？
上のURLはリンク切れなので、webarchiveを介して下さい。

>>795
pdfの名前的にそれだ！感謝します！！
ちょっとHDDの中検索して探してみます

圏論って集合論みたく他分野研究する上でも
しらなきゃまずい？

集合論ほどじゃないけど分野によっては。

プログラミング言語の理論などでは結構使われているみたいだね

８００ゲト！！

世の中のすべては圏で説明できるのだよ？

ネタだろうが、マジレス
それは圏論の守備範囲ではない
圏論だけでは何も説明はしてくれない

圏論的に解釈しなおすと見通しはよくなるらしいけどね

圏論のしっかりしてて定評のある入門書って何？

>>803
働く数学者

数学に勤しむ貴方の為の

CWM

すんごい本がでる
press.princeton.edu/titles/8957.html
著者はいわゆる天才らしい
www-math.mit.edu/~lurie/
www.aimath.org/fellows/lurie.html
query.nytimes.com/gst/fullpage.html?res=9807EFDA1339F934A35757C0A960958260

全くの初心者で申し訳ないのですが、
Monadの定義()に出てくるふたつの自然変換
η : 1_{C} → T
μ : T^{2} → T
について。
ηって、要はTの「対象」相手の部分(＝TからTの「射」相手の部分を除いた部分)の事に見えるのですが、違うのでしょうか？
μ って、なんで T → 1_{C} ではない、と言うか、これと違い得るのでしょうか？

>>807
どう凄いのか３行で説明してくれ

>>808
ηは埋め込み、μは例えば列の列は列みたいなもので、二回やるとどうか
ってのは射影のベキ等性みたいに非自明な性質。

>>807
Grothendieckがやったようなことを高次元圏論で最初っから構成するって感じなのかね

>>810
ありがとうございます。なるほど、μは、例えば他にy=bみたいな定数関数とかもそう言う訳ですね。すっきり。
ただ、ηについてはどういう事か補足して頂けないでしょうか。
埋込みというのが、部分に同型な奴はその部分自体と見なしてしまう事らしいとは調べたのですが、それが
η : 1_{C} → T　とどう繋がるのか理解出来ませんでした。

函数を例にとるじてんで終わってる。かえりたまえ、基本的なところで君には体力が足りなすぎる。

>>809>>811
surgery.matrix.jp/math/2008stg/slides/minami_slides.pdf

>>814
まだよくわからない。。
グロタンティクが可換環論を使って代数幾何学を再構築したのにならって、
可換環論よりももっと一般的な対象を使って、新しい代数幾何学を
再々構築する、ということ？
　より応用範囲の広いものが出来そうだというのはわかるけれど、
そうすることで（単なる一般化を超えて）どう有難いのかわからないんだけど。。。
説明してくれない？

http://lab52.ma.utexas.edu:8080/video/lurie.html
を見るにTFTへの応用をlurieは考えてるのかね
TFT殆ど知らないから事情が分からんが…

TFT=topological field theory?

TFT topological field theory
TQFT topological quantum field theory
別に違いは無かったよね

>>816
http://en.wikipedia.org/wiki/Topological_quantum_field_theory
にAtiyahによるTQFTの定義が書いてあ

http://arxiv.org/abs/hep-th/0307245
TFTも圏論も物理も書いてある
誰か読んでくれ

そんなのやっても無駄だから。

>>821
何がどれくらいのレベルで無駄なのですか？

関数解析で、集合としての全射のことを「上への写像」というのは圏論的な意味での全射との混同を避けるためだろうか

>>823
学部でやる集合と写像の授業でも、
全射の事を、上への写像って言うぞ。

surjectiveを直訳した感じだろ
分かりにくいセンス悪い邦訳だと思う＾＾

むしろontoの直訳だと思う

surjectiveの訳が全射
ontoの訳が上への

しかし、ontoはともかくsurjectiveは直訳なのか？

混同を避けたければ、圏論的な意味での全射はエピ（エピック）と言えばいいだろう
という流儀も当然のことながらある。

DGカテゴリーって重要ですか？

>>822
もっと現実的なモデルを目指せ。
つまりはそういうことなんだよ。

嘘だ！

>>829
重要ですよ。

>>832
kwsk
kwsk
kwsk

よく考えたら自分がarxivで調べればよいだけの話でしたm(_ _)m
アホな事聞いてスレ汚しｽﾏｿ

A^{\infty}とかでしょ、いやアレはDGAだったかも知れんけどね

働いてもいないのに、働く数学者を買ってしまいました。ﾋﾛｼです。

>>812

自然変換と関手の区別がついてないと言うよくあるパターンかな。

　　Fη
F ------> FGF
という表記は、どういう事を表しているでしょうか。
（Fは圏Dから圏Cへの関手、Gは圏Cから圏Dへの関手、ηは自然変換(D上の射相当)です）

FおよびFGFは、DからCへの関手だと思いますが、
Fηはなんであり、FからFGFの間にそれがあるというのはどういう事でしょうか？

>>838

functor category

> ηは自然変換(D上の射相当)

？？

>>838
普通に考えると以下の意味。

ηは恒等関手1からGFへの自然変換。
このとき、F(η_X):FX -> FGFXは
FからFGFへの自然変換になる。

集合論のパラドックスとか考えると圏論ってかなり怪しいものでは？
環全体の集合、とかほんとうに存在するんですか？

いや環全体の集合は存在しないけど

環全体からなるクラスもオブジェクトとして含む環の圏とか考えたいのかね

>>842
そもそも現代集合論（ＺＦＣ集合論）では、
集合論のパラドックスは発生しないんだけど。

圏論っていうのは数学というか論理の
究極の形態ですよね。
この宇宙のあらゆる現象が圏論に還元される。
そして圏論の上にZFC集合論が展開され、
その上でさまざまな数理モデルが扱われるんですから。

最近ウィトゲンシュタインの包含写像についての考察が、
実は前層に対応していることを理解しましたよ。

まあ圏論のセンセイがトポスによって集合論を解釈する、
とかいう論文を書くときは大抵その「集合論」は排中律
やら選択公理やら置換公理やらが無かったり
分出公理をboundedな奴に制限してたりするんですけどね

>>847
トポスで排中律ってどういうことなんだ

いやトポスのほうじゃなくて
集合論のほうの排中律

>>849
> いやトポスのほうじゃなくて
> 集合論のほうの排中律

横レスだが
つか正確な言い方をすれば、通常の意味での集合論は
古典論理に基づいてるが、その古典論理での排中律だ

>>847も横から補足しとくと
圏論つかトポスで展開される集合論は、そのトポスに
余計な条件を要請しない限り（つまりBoolean toposでない限り）は
直観主義論理に基づく集合論、つまり直観主義的集合論なんだよ

その辺の事は竹内の『直観主義的集合論』や『層・圏・トポス』にあるし
もっとちゃんと分かりやすく解説してるのはGoldbratt "Topoi"あたり

物理学の基礎論っぽい分野で
圏論が注目されているのってどうして？
量子計算量とかの話も入るのかな？

http://categorieslogicphysics.wikidot.com/

>>851
正直、俺は物理屋じゃなくて理論計算機科学屋なんで物理で圏論を使ってどんな御利益があるのか知らない。
ただ、リンクされてるCategories, Logic and Physicsのワークショップ（リンク先のページ以外も見ると何回か行われてる）で
講演者に名前が出てるSamson AbramskyとかPaul Taylorは理論計算機科学屋で昔から圏論とか使ってセマンティクスの仕事してたんだけど
Abramskyなんかは最近は量子計算のセマンティックスとかを圏論を使ってやってるみたい。
あとそこに講演者の中で俺が名前を知ってる数少ない理論物理屋のIshamは確か量子重力とかの専門だったと思うけど
量子重力とか超弦理論とかの方面は圏論ガチガチな人も一杯いるみたいよ。

圏論なんて所詮は言語に過ぎないんで、圏で記述する対象が豊かな構造や内容を持っていて、それが別の分野の構造と実は同じだったとか
対応物があると分かった、なんて事があれば非常に有効だし、そういう対応を見出すのにも有効だけど、単に圏で書きましたってだけでは
大した意味はないと思うんだよね。究極の抽象化ができて自己満足としてはいいんだろうけど、それだけでは本質的に何も新しい内容は
出てこないじゃない。

普通の数学で圏があれほど有効だった（最初はabstract nonsenseとか非難されたけど）のは、数学の世界では内容も構造も豊かで
あっちで見つかってた定理は実は圏で抽象化して読み直すとこっちの世界でも使えるとかいう話が、圏を用いて記述を抽象化する事で
色々と出たからでしょう。

理論計算機科学なんかじゃそういう豊かな構造はなかなか見つからないんだよね。昔から多くの研究者が探してはいるんだけどさ。
そういう状況で圏論を用いても、結局、非常に抽象的つか一般的な形で構造やモデルが満たすべき条件を特徴づける、というのが精一杯って感じだなあ。

物理の場合はどうなんだろうね。まあ超弦理論とか量子重力とかはとってもソフィスティケートされて複雑な数学的道具立てを必要とするみたいだから
圏論で抽象的に記述して考えると便利なのかも知れない。ことに具体的なモデルの構築を切り離してそういう構造を持つモデルの一般的な条件という形で
考えられるしね。

>あとそこに講演者の中で俺が名前を知ってる数少ない理論物理屋のIshamは確か量子重力とかの専門だったと思うけど
量子重力が専門なのに名前を知ってる理由はたまたまですか

>>853
これはたまたまです。
Ishamの名前と量子重力が専門という事を知ったのはSmolynの『迷走する物理学』か『量子重力への３つの道』あたりです。
その後、書店の物理学書のコーナーを見てたら、吉岡から出てるIshamの『量子力学』があったのでパラパラと見たら
なんとなく面白そうだと思って買うだけは買ったのですが積ん読状態になってます。
当然ながらIshamの専門の仕事をちゃんとテクニカルなレベルで理解なんてできるはずもありません。

三年七時間。

物理でよく使われる対称性の説明に圏や関手の言葉を使うのが役立つのだろうか

Paul Taylorってどっかで名前見たことあると思ったら
Proofs and Typesの著者だね

可換図式のテフパック作ってなかったっけ？

世間にはびこる量子重力なんてどれもインチキだよ

世間にはびこる料理中毒なんてどれもインチキだよ

＞トポスと高階論理の関係の具体例
Introduction to Higher-Order Categorical Logic
(Cambridge Studies in Advanced Mathematics) (ペーパーバック)
J. Lambek (著), P. J. Scott (著)
タイトルとか目次を見る限りじゃこれとか？
Lambek & Scott はそっちの人には結構有名な文献。
その他に
http://categorical.org/bookshop.html
このページに載ってる本探せばどれかには載ってるはず。
というか「圏論による論理学」の参考文献に当たりゃ良いじゃん。

＞このあたりについての清水さんの論文とか
そんなもんありゃしない
http://ci.nii.ac.jp/search?q=%E6%B8%85%E6%B0%B4%E7%BE%A9%E5%A4%AB&range=0&count=20&sortorder=1
日本の哲学系の教授でそういう数学っぽいこと出来る人って
片手で数えられるくらいしか居ないんじゃないかな。
米国だと結構居るだろうけど。

なんでこんなもんがあるの？

500

集合論の知識が無いため、圏論の基礎の具体例がピンと来ないけど、
「図式が可換」っていうのは、ある対象と対象の間を結ぶ射の経路をどう取っても
等しいっていう意味だよね？
あと、射についてf=gならh○f=h○gっていうのは常に成り立つの？

yes
下も成り立つ（等号と代入の性質による）

>>865
そうですよね、レスありがとうございます。
関数型言語haskellを学んでいるうちに圏論を一度やっておいた方がいいかもと思って
手を出したはいいものの、馴染みの薄い言葉が多くて参ってました。
ttp://db.ewi.utwente.nl/Publications/PaperStore/db-utwente-0000003696.pdf
haskellやっている人向けに圏論とモナドを解説したpdfがあったので読んでいたのですが、
出てくる証明で使われている等式よりも自分で可換図式をつなげていく方が簡単に理解できました。
とりあえずMonad<T,η,μ>からKleisli triple<T,μ,*>を導くことができました。
あとは逆を導いて二つが等価になることを示した後、Mogi89の論文でも読もうかと思います。

まあ、haskellを使うときにモナドを理解する必要は無い、というのが今の段階での結論ですが。

>>866
うん，普通のユーザが理解する必要は特にないよ．
システム作る場合，その手の知識があったほうがすっきりしたものを作れる可能性があるくらい．

groupoidなんて考えてしまって・・・

どうするのですか・・・

くまーは参加しているのか　ここに

サイエンス社
SGCライブラリ75
「物理学者のための圏論」
・ホモロジー代数、導来圏、三角圏、A∞圏、米田の埋め込み定理など

サイエンス社
SGCライブラリ75
「物理のための圏論」
梶浦 宏成　著

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