杉浦光夫・解析入門�T・�U

ないので立てますた。質問、雑談、なんでもどうぞ。

杉浦光男・メコスジ入門�T・�U

3

漏れ今�Tの104ページまで進んだ。夏休み中に�T終わらせられないかな〜

これむずくね？

そうでもないよ。

>>6
どこまでやったの？

数学科でも全部やらないだろうな。

講義では全部やらなくても、この本に書いてある程度のことが
わかってないと先で困る。
講義でやってないから、が通用しないのが大学。

一つに思うにこれは辞書だ。
授業や違う本で、微積を一通りやり、その後専門になったときに微積でつまずいたら、この本を読めばいいと思う。
俺はそうやって読んできて、学部の４年間で、�Tをほぼ全部読んだ。�Uはまったく読んでないけど。

自分も辞書代わりだなぁ
指定教科書だったけど授業じゃあまり使わなかったし

age

これはきちんと順に読んでいく本です．

>>10
普通に数学科で勉強していたら、辞書代わりに使っていても
I はほぼ全部読むことになるよねえ。
1年で最初から読めと言われると、確かに量が多くて大変だが
難しくはない。�U は全部はいらんけど。

age

今108Pをやっています。やっと偏微分まで来たよ〜

いきなりn変数から考察するのはちょっと難しいですね

それが東大クオリティ

底辺国立の漏れにはレベルが高すぎるが難しさに慣れるつもりで頑張るぞ(｀・ω・´)

っていうかこの本大して難しくないよ
はっきりいって小平のほうが難しいよ
この本は難しいところを詳しく書いてページとってるだけ
小平よりわかりやすい

小平は独自路線を貫いている感じ。使いにくいですよ。特に初学者にとってはね。
やはり、杉浦解析が一番かな。
高木解析は少なからず古典的な印象。

だな。
時間はかかるが杉浦が一番シックリくる。

ただ高木概論みたいに颯爽と駆け抜けていくのも心地いい

木を見て山を見ずにならないように初学者は他の本で一通りやってからコレに手を付けた方がいいかも。

最初なら田島一郎著、解析入門(岩波全書)みたいなので慣れるのもありかもね。
これだけで終わってはまずいだろうけど。

>>23
同意
薄い教科書(田島とか)で微積の全体を掴んだ後、
じっくり読むと味が出てくる(有り難みが分かる)本

�Tについてはある程度結論が出たとして、�Uについて語りましょう。
読み方・感想・批判・代わりになる本etc.

てか、僕もってないんで、何について書いてるか、教えてください。

age

p121の定理５・２の証明の最後で、c(i)=f'(x)*e(i)って書いてあるんですが、
何故このようになるのでしょうか。誰か教えてください。

�Uって、読む意味あるの？

�U持ってるけどまともに読んだこと無いｗｗｗｗｗ

もう7，8年前になるが，�Uも全部読んだよ．
重積分のところは，水も漏らさぬ杉浦節でなかなかよい．�Tと同じ感じ．
多様体とかベクトル解析は，あまりよくない．特に多様体はダメすぎ．
形式主義的？な杉浦節は，幾何に向いてない．無駄にややこしい．
複素解析はかなりよいので，お勧め．

>>31
要するに、解析概論に書いてある話を厳密に書き直すのは得意だが、
高木先生が書かなかった多様体とかはダメと

>>32
そうだったのか！ｗ

では多様体はどの本でやっていけばいいですか？

多様体を公理主義的にっていうのはブルバギですら成功させていないことだからね。

別名「解析門前払い」

ゆとり教育の学力低下学生を、1年で追っ払うには確かにちょうど
いい踏み絵だねえ。あのくらいの厚さの本が読めないのが学力低下。

ゆとり世代

数学＝微積分　と信じている奴等にはいいんだろうなあ。

微積分もできなきゃ数学は無理だけどな．

前も書いたが、微積を勉強するのに必要な本と、研究するときに手元に
あると役立つ微積の本は違う。杉浦は講義の準備する時に便利な本ｗ

定理の証明は詳しいし、具定例もかなり載せているし、節末問題も沢山載せている。
こんな親切な本を「難しい」と言う学生がいるんだねWWW

さぼり気味だったがやっと131pまできた。次は連鎖律の証明か・・・

合成関数の二階偏微分はややこしいな〜

やっとテイラーの定理と微分か。多変数ベクトル値関数は結構大変だったな。

p146の17-18行目の「fのm+1階偏導値は偏微分の順序によらない」って文は
いらない気がする。

age

4様おしえて

P.103の
f(x)≧f(a)+f'(a)(x-a)
まではわかるんだけど、その次に出てくる
f(a)≧f(x)+(a-x)f'(x)
ってのがわかんない。
最初の式そのまま変形したら
f(a)≧f(x)+(a-x)f'(a)
なのに、なんでf'(x)が出てくるの？

aとxを入れ替える
むしろ最初の式をそのまま変形してそうなるほうが分からない。

最初の式そのまま変形したら不等号の向き逆だわな

>>34
やっぱ松本幸夫かなあ。

>>41
講義を補うのにもよい本だと思う

>>46
偏微分の順序交換をしているので必要だろう。

久しぶりにカキコします。
８節の最大最小と極値で、正規直交基底やら固有値やらが出てきたので
川久保勝夫さんの線形代数学をベクトル空間からやってました。今は最後の
ジョルダン標準形の部分をやってます。これが終わったら再開しようかな・・。

>>48
私も同じところでつまずきました。わからなくて他の事をしてるときに
aとxを入れ替えればよいことに気づきました。
>>51
え、必要なんですか？この場合m<kに対し(7.1)式が成り立つと仮定して微分すれば
そのまま(7.1)式のmをm+1に変えた物が出てくるから偏微分の順序を考える必要は
ないと思ったのですがどうでしょう(^_^;)

>>49,>>52
ありがとう。助かった。

多様体なんてただの語学で、取りたてて勉強することがない気もするが、
松島とか結構いろんなことが書いてあるな
でも、それがわかったところでたいしたことはない
学校の授業だけ聞いてれば十分なんじゃないかと思う

>>52
ごめん。順序交換してなかったね。
i_1≦i_2≦・・・って並び替えるのかと勘違いしてた。

解析入門IIをぱらぱらめくってみたけど、
多様体に関しては最初からR^nに埋め込まれたものとして扱ってることと、微分形式に触れてないのが欠点かな。
入門に徹して微積分の延長でという考えなのだろうが、それにしては初学者に読みやすいとも思えない。

初学者です。飛ばしてもいい箇所を教えてください！

>>56
飛ばしてもいい箇所を自分で見つけられるようになるまで勉強汁！

ひぇ〜〜＾＾；

松坂和夫をよんで、これを辞書にすれば十分、
そのあと高野恭一の常微分方程式と、siegelのtopics in complex functions、
を呼んでから代数解析をやるのが、下鴨流。

悪くないコースだが少数派だろｗ

4さまがんバレー

134ページの例4の（）内、Ｕが開集合であることの説明がよくわかりません。
なぜＵ(ｙ,ε)⊂ＶからＵ（ｘ,ε/(|A|+1)）⊂Ｕが言えるのか教えて下さい。

>>62
p∈R^nとすると|A(x+p)-A(x)|=|Ap|≦|A||p|より、|p|=ε/(|A|+1)とおけば、|A(x+p)-A(x)|＜ε
となる。よって、Ｕの任意のxに対して、Ｕ（ｘ,ε/(|A|+1)）⊂Ｕが成り立つ。

こんな感じですかね。

>>63
すいません、ちょっとよくわからないです。|A(x+p)-Ax|＜ε⇒Ｕ(x,ε/(|A|+1)ってなぜですか？

>>64
Ｕ内の任意のxに対してy=Ax∈ＶでＶは開集合ですからあるε＞０があってＵ（ｙ,ε）⊂Ｖ
となりますよね。ということはＵが開集合であることを言うためにはこのxのある近傍のＡによる像が
Ｕ（ｙ,ε)に含まれてる事を示せば良いわけです。これが言えればxのある近傍もＵに含まれている事がわかり、
Ｕが開集合である事がわかるわけです。そのためxからある一定の長さを持つp∈R^nを考え、|p|=ε/(|A|+1)とおけば
上の計算より|A(x+p)-A(x)|＜εがいえます。これはつまり、Ｕ（ｘ,ε/(|A|+1)全体をAでうつしてもその像は
すべてｙのε近傍、すなわちＵ（ｙ,ε）(⊂Ｖ)内にうつります。ということでＵ（ｘ,ε/(|A|+1))⊂Ｕが成り立ち、
Ｕが開集合である事がいえるわけです。

>>65
納得出来ました。ありがとうございます。
ところで自分が考えたのは

『Ｖは開集合だから、任意のv∈Ｖに対してあるε＞0が存在して、|y-v|＜εとなる。
v=Auと置けば、u∈Ｕであり、上の式は|A(x-u)|＜εと表せる。
両辺に|A^(-1)|をかけると|x-u|＜|A^(-1)|εとなり、これはＵ(x,|A^(-1)|ε)と同値。』

って感じで結果が少し違っちゃうんですけど、どこかおかしいですか？

↑
書き込んですぐ間違ってることに気付きました。スルーして下さい。

混乱したときにノートに考えたことを書き下してみるとすっきりすること多し
人に質問するつもりでノートを活用すべし

というかこれ夏休み中におわんねｗｗｗってことで目標を変えて二年前期までに
終わらせるようにしようかな〜。

何でもいいから、報告読みたいわー

解析入門�Uの287ページ８〜９行目で、

Ｕ(a) は連結開集合である（定理�T．８．２）

って書いてあるけれど、そもそも定理�T．８．２．を適用するには、Ｕ(a) が
開集合の必要があるわけで…。
Ｕ(a) が開集合であることを示せる人いますか？？

解決した…。局所連結ってのを使うのか…。
こんな概念、初めて知ったよ。

もまえは、小平と杉浦を併読しとるんか

>>73

ああ、両方に書き込んだから？
基本的には小平は読んでないけど、>>71 の部分がわからなくて
小平で調べてみたら、そっちにも、しっかりとは書かれていなかった…orz
っていうことで、両スレに顔出してみた。ごめん。

＞こんな概念、初めて知ったよ。
微積の勉強に暇が出来たら位相空間論でも勉強すれば
そっち方面の概念が色々出てくるぞ

>>75
それが、松坂の「集合・位相入門」には局所連結も局所弧状連結も載って
いなかった…という悲しい状況。

>>71
> Ｕ(a) が開集合であることを示せる人いますか？？

該当箇所を読んでみた。ほぼ自明。
U(a)の任意の点をbとする。Uは開集合だから、bのε近傍VでV⊆Uなるものが存在する。
Vの任意の点をcとすると、線分bcはVに含まれるので、よってUに含まれる。
b∈U(a)だからaとbを結ぶU内の折れ線Lが存在する。折れ線Lに線分bcを
継ぎ足して得られる折れ線L'もU内の折れ線だからc∈U(a)。よってV⊆U(a)。
従ってU(a)は開集合。

>>76
悲しいときー ってかｗ
局所〜〜とかいうのは多少は詳しい本じゃないと載ってないですね

>>77
あ、確かにorz

151ページ4行目の三角形abcの各辺を120度に見込む点っていうのがよくわからない・・・。
誰か教えてください。

153ページだったorz

△ＡＢＣの各辺を120度に見込む点Ｐとは、
∠ＡＰＢ＝∠ＢＰＣ＝∠ＣＰＡ　となる点Ｐのこと。
この部分はFermat点の話だね。

>>82
ありがとうございます。理解できました。でももうひとつ153ページの22行目の
三角形a'b'c'の面積の２倍を一辺の長さで割ったものに等しく一定であり、という
部分がわからないのですがよろしければ教えてください。

>>83
図を描けばいいんじゃない？

△a'b'c'は正三角形だから、三辺の長さは等しく、それをｒとおく。
正三角形a'b'c'の内部の点ｗから、△a'b'c'の各辺に下ろした垂線の
長さをe, f, g とすると、２△a'b'c'＝r(e＋f＋g).
したがって、これを一辺の長さｒで割れば、e＋f＋g.
△a'b'c'の面積は一定だから当然、(２△a'b'c')/r　も一定。
∴e＋f＋gも一定。

明らかな気がするけど、なんか勘違いでもしてた？

>>84
お答えいただき感謝!
なるほど、いわれてみれば自明みたいなもんですね。でも気づきませんでしたorz

ふぅ〜、やっと二章オワタ。しかし最大最小のところは線形代数やってないと
さっぱりわからないだろうな・・。

166ページの(|k|/|c|)≦|g'(z)|+(o(c)/|c|)のo(c)には絶対値がついていないのはどうしてでしょうか？

ランダウの記号なんだからつける必要ないじゃん

>>88
つける必要ないのですか。知りませんでしたorz
ということはこの場合|o(c)|=o(c)∈Rということでよいのでしょうか？

170ページ4行目のR=0のとき〜って0で割っていいのかなぁ？それともR→0とした
極限ってことかな？

>>90
いやいや
もう一度文章をよく読んで見れ

>>91
lim[n→∞}|a(n+1)/a(n)|=+∞だからってことですか？

ああ

>>93
というか、lim[n→∞}|a(n)/a(n+1)|=0のとき、lim[n→∞}|a(n+1)/a(n)|は
定義できるんでしょうか？

定義できるって？どこに問題があると考えているの？

>>95
lim[n→∞}|a(n)/a(n+1)|=0のとき、lim[n→∞}|a(n+1)/a(n)|は
どうなるかってことです。要するに170ページの４行目の「但しR=0のときは右辺は+∞大になる」
のがどうしてかよくわからないんですよ。

lim[n→∞]|a(n)/a(n+1)|=0　は、
∀ε>0, ∃N, ∀n>N: |a(n)/a(n+1)|<ε　・・・(1)
lim[n→∞]|a(n+1)/a(n)|=+∞　は、
∀K>0, ∃N, ∀n>N: |a(n+1)/a(n)|>K
だよね？
(1)でε=1/Kとすると
∀K>0, ∃N, ∀n>N: |a(n)/a(n+1)|<1/K
だから|a(n)/a(n+1)|<1/Kの部分を変形して、
∀K>0, ∃N, ∀n>N: |a(n+1)/a(n)|>K
となって、これはlim[n→∞]|a(n+1)/a(n)|=+∞ということ。

もしかしたら無限個のnでa(n)=0になる場合とかを心配してるのかもしれないけど
その場合はlim[n→∞]|a(n)/a(n+1)|のほうが存在しないから今回の場合は関係ない

>>97
ご丁寧な回答ありがとうございますm(__)mなるほど、ε-N論法を使うのですね。
勉強になりました。

後もう少しで学校が始まるな・・・

186ページの「R^nの二つのベクトルx,yの内積についても、内積および角の大きさが任意
の直交変換で不変であることを用いると、結局R^n内のベクトルの場合に帰着するので、
(x|y)=|x||y|cosθが成り立つ」の部分が良くわからないのですが教えてください。

そのままだと思うが・・・

R^n内のベクトルの場合に帰着する
↓
R^2内のベクトルの場合に帰着する
だな

>>102
すみません間違えましたorz
そのままなんですか・・・。「R^nの二つのベクトルx,yの内積についても、内積および角の大きさが任意
の直交変換で不変である」はわかるのですがこれからR^2内のベクトルの場合に帰着するってのがわからないんですよ。
単に(x|y)=|x||y|cosθを示すだけなら36ページのシュワルツの不等式から
-1≦(x|y)/|x||y|≦1として(x|y)/|x||y|=cosθ(0≦θ≦π)としてもいいかもしれませんが・・。

読みが浅すぎるような・・・

節末問題を解ける？

>>104
いえ、解いてません(^_^;)僕にとっては難しすぎるんで・・。

おー、勉強続いてるね

198ページ(4.19)の(1/2)*Log((1+z)/(1-z))は定義できるのでしょうか？
つまり、195ページの(4.7),(4.7')のような演算がLog(z)でもできるのでしょうか？

(4.19)の導出は全く問題ない。
(4.7)みたいには必ずしもできない。
どういうときにできないか考えれば(4.19)の導出がどうしてできるかもわかる。

>>108
理解できました。ありがとうございます。またわからないところがあったのですが、
199ページ(4.28)の式から200ページの一行目の式になるのはどうしてでしょうか？

それはわからないはずはないので自分で考えるなり手を動かすなりすればいいよ

自己解決しますた。ノートに具体的に書いてみるとわかりますね。

明日から大学が始まっちゃうよ〜。物理学科なので物理も勉強しないといけないな〜

やっと三章オワタ。疲れた・・。

ダルブーの定理ムズス('A`)

231ページの13行目の「従ってまたfはI上連続である」っていうのはどうしてでしょうか？

それわかっててきいてない？
何を証明しようとしてたのよ

>>115
Fがリプシッツ連続のときにfが連続となるのはどうしてでしょうか？

すいません、>>116でした。

いわゆるε-δ論法ってやつが分かってればほとんど自明なんだが

>>119
例えば219ページの例3の関数fはI上で有界可積分なのにfはIで連続でないのは
231ページの13行目と矛盾してないでしょうか？

そうだよ
わかってんでしょ？

>>121
231ページの13行目のfはFの間違いって事ですか・・？

ああ

>>120
あー、すまん。誤植のせいで分からなかったってことか。
おれの目、腐ってるなorz

またわからないところがありました・・・。誰か助けて(>_<)
242ページの11行目の
g(α)=(B*α+C)ψ(α),g(α~)=(B*α~+C)ψ(α~)によって、B,Cを定めることができる。

の上の等式の導き方がわかりません。これってどうするんですか？

α=3+2iの時に5+iをB,Cを適当に選んでBα+Cの形で表せっていう問題があったらできる？

B,Cは実数でね

なるほど、そのままってことなんですね。ありがとうございます。

またわからなくなったのですが、g(α)=(B*α+C)ψ(α)というB,Cを定めることはできるんですが、
g(α~)=(B*α~+C)ψ(α~)というのがわかりません。g(α)=(B*α+C)ψ(α)はαでしか成り立たないので
α~を代入するわけにもいきませんし・・。

β、γを複素数とするときα=a+ib(b≠0)にたいして
β=Bα+C, γ=Bα~+C
となるような複素数B,Cが存在することを証明せよ

>>130
随分と偉そうだな

偉いもの

>>130
わかりません(>_<)答えを教えてください

お前関係ないスレにマルチポストしまくってるな
高校生か？

?

>>133
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/math/qu_2_2.htm

>>136
連立方程式をどのように使うのですか？

マルチ昨日気付いた…。
解析入門ならスレ立っていそうだと思ってたら。
誘導してくれりゃよかったのに

>>138
あなたは、し ◆V5WsZ8ueGwさん？
わからない問題は〜スレ見てきたけど、先にB,Cを実数と仮定する必要はないよ。
向こうの方法でも数学的には正しいからいいけど。

>>139
138は私です。
複素数として連立方程式の解B,Cを決められることを認めます。
ただ、この (複素数B, Cを決めることができるという) 性質って、この本で証明されてるかどうかが気になってて。
結構証明を細かくやってる本だと思うんだけれど、それをいきなり使うとなんか「いきなり」という気がしないでもない。

>>140
すみません、詳しそうだったのでついマルチをしてしまいました。今度からは気をつけます。
ところで、複素数としてB,Cを決めるにはどのようにすればよいのでしょうか？

>>130の式をB、Cについて解けって問題は出来る？

>>142
わかりません・・・

わかったかも・・。

しかし>>130の解き方でB,Cについて連立一次方程式で解くというのは複素数B,Cが存在すると仮定した上での話ですから
なんか変な感じですね・・・。

よくある

背理法も気持ち悪かったりする？

250ページ10行目の
Σ[m∈K(Δ'')]m(k)v(K(m))≦Σ[m∈K(Δ'')]∫[K(m)]f(x,y)dy=F(x)≦Σ[m∈K(Δ'')]M(k)v(K(m))
のm(k)、M(k)はあたかも定数みたいなんですけどこれらはm∈K(Δ'')に依存しますよね？
あと16行目のd(Δ)≦((d(Δ')^2)+(d(Δ'')^2))^(1/2)がわからないので教えてください。

k=(l,m)だし。

下は質問する前にd(��)の定義を見直すくらいの事するべきじゃない？

どうしてd(Δ)=((d(Δ')^2)+(d(Δ'')^2))^(1/2)ではなくd(Δ)≦((d(Δ')^2)+(d(Δ'')^2))^(1/2)
でしょうか？

A=B　⇒ A≦B

そういうことですか・・・。ありがとうございます

ちがう

>>153
どのように違うのですか？

只今、270pまで終了。

270pの7行目の2d(Δ)L/nってどうして2d(Δ)L/nではないんですか？t,t'がI(k)をn等分した一つの小区間に含まれるとき、
|x(t)-x(t')|≦L|t-t'|≦Ld(Δ)/n,|y(t)-y(t')|≦L|t-t'|≦Ld(Δ)/nだからd(Δ)/nでもいいんじゃないですか？

訂正
一行目2d(Δ)L/n→d(Δ)L/n

それでもいいよ

>>158
d(Δ)L/nとした場合何かまずいことでも起こるのかと思いましたが、大丈夫なんですね。
ありがとうございます。

よくないだろｗ

ちゃんと読めｗｗ

>>160
どこがよくないのかわかりませんorz詳しくおねがいします。

(x(t),y(t))を中心とする正方形を考えているから

>>162
中心というか、普通に|x(t)-x(t')|≦L|t-t'|≦Ld(Δ)/nと|y(t)-y(t')|≦L|t-t'|≦Ld(Δ)/n
同時に成り立つから一辺がd(Δ)L/nの正方形で囲めると思ったのですが・・。

>>162
(x((t+t')/2),y((t+t')/2))を中心とした正方形を考えればいいんじゃないの？

「一片の長さ2d(Δ)L/n」と書いてあるってことは、(x(t),y(t))を中心とする一片の
長さ2d(Δ)L/nの正方形を考えているってこと。
(x(t),y(t))と(x(t'),y(t'))を結ぶ弧が(x(t),y(t))を中心とする一片の長さ2d(Δ)L/nの
正方形に含まれることは自明だからね。

(x(t),y(t))と(x(t'),y(t'))を結ぶ弧が一片の長さd(Δ)L/nの正方形に含まれることも
示せるけど、
> |x(t)-x(t')|≦L|t-t'|≦Ld(Δ)/n,|y(t)-y(t')|≦L|t-t'|≦Ld(Δ)/nだからd(Δ)/n
では根拠になっていない。

>>165
(x(t),y(t))を中心と考えればいいわけですね。

>(x(t),y(t))と(x(t'),y(t'))を結ぶ弧が一片の長さd(Δ)L/nの正方形に含まれることも
>示せるけど、
> |x(t)-x(t')|≦L|t-t'|≦Ld(Δ)/n,|y(t)-y(t')|≦L|t-t'|≦Ld(Δ)/nだからd(Δ)/n
>では根拠になっていない。

のはどうしてですか？詳しくお願いします。

271ページの定理9.8,2)の証明で、「実際φ,ψが連続だからA,Bは閉集合で」のところがわかりません。
どうして閉集合になるのでしょうか。

杉浦解析�Tp67定理7.2(1)の証明の前半部分（Kは全有界→有界の証明）について質問。

「対偶を言う。Kが有界でないとすれば、任意の自然数mに対し、|x_m|>m となるKの点x_m が存在する。」

『任意の自然数mに対し、|x_m|>m となるKの点x_m が存在する』という部分がどうもおかしいと思うのですが…
例えば、|x_m|=m-1/2 と定めればKは有界ではありませんが、 |x_m|>m となる点は存在しませんよね？
なので『任意の自然数mに対し、nが存在して |x_n|>m (x_n∈K)となる』という表現の方が正しいと思うのですが、
どうなのでしょう？
勘違いだったらすみません

任意の自然数mに対し、nが存在して
↓
任意の正の実数mに対し、自然数nが存在して

>>168
>『任意の自然数mに対し、|x_m|>m となるKの点x_m が存在する』という部分がどうもおかしいと思うのですが…
別におかしいとは思いませんよ。Kは有界でないと仮定していますから各自然数mに対し、|x_m|>m をみたすx_mを選び出せる、すなわちlim|x_m|→∞となる点列x_m
が構成できるということです。

>例えば、|x_m|=m-1/2 と定めればKは有界ではありませんが、 |x_m|>m となる点は存在しませんよね？
たしかにこのような数列を定める事は出来ますが、ここでは各自然数に対し|x_m|>m となるようなKの点列が存在するということですからこのような数列を考える意味はないと思いますよ。

>>170
つまりこの時点で選択公理を使ってると言うことですか。
ようやく分かりました。ありがとうございます。

>>171
うーん、今考えると選択公理かもしれませんが漏れがやったときは選択公理はかんがえませんでしたね。
明らかですから。

また質問なのですが、271ページの定理9.8,3)の証明の中の

任意のx∈Iを固定したとき、関数f*x:y→f*(x,y)は区間[m,ψ(x)),(φ(x),M]上では
0に等しく、区間[ψ(x),φ(x)]上ではf*x=fxであるから、区間に関する積分の加法性
(定理3.8)により、f*xは[m,M]上可積分で、
∫[m,M]f*(x,y)dy=∫[ψ(x),φ(x)]f(x,y)dyとなる。

という部分で、上の式は∫[m,ψ(x)]f*xdy=∫[φ(x),M]f*xdy=0から導かれると思うのですが、
p222例4から[m,ψ(x)),(φ(x),M]上では0でもf*x(ψ(x)),f*x(φ(x))が有界でないと∫[m,ψ(x)]f*xdy=∫[φ(x),M]f*xdy=0
は成り立たないのではないでしょうか。f*xは可積分とだけ書いていて有界とは書いていないので疑問に思いました。
それともここはf*x(ψ(x)),f*x(φ(x))が有界と仮定しても良いのでしょうか。

992

　　　　　

age

やっと零集合と可積分条件が終わった・・。この節は結構きつかった。

　　　　　　　　　　　

>>177
がんばれ！

289pがわからんorz

282pの定理10.1の証明の中の(10.7)式の最後のv(A)はv(I)の間違いですよね？

Yes

>>182
ありがとうtございます。

定理10.1系1の証明(284p)で第五の⇔が成り立つためにはBが面積確定でないといけませんよね？
「第三と第五の⇔はI-(Iの内点)および、B-(Iの内点∩B)=I^b∩Bが体積0であることによる（命題8.4,命題8.2.3))とありますが
ここで命題8.2.3)は明らかに使えないですね。ということは第五の⇔を示すためには命題8.4と定理8.5(258p)を使うわけですが
Bが単に有界集合として面積確定とはしていないのでI^bは体積0でも(Iの内点∩B)が面積確定とは限らず、定理8.5.2)を使えず、
第五の⇔の左向き矢印を示せないと思います。Bの面積確定を仮定しなくても第五の⇔は示せるのでしょうか？

>>184
該当箇所を見ていないけど、Ｂは体積確定と限らない有界集合、ＩはＢを包含する有界閉区間、
ｆはＢ上で定義された函数、ｆ＿０はＢ上ではｆと一致しＩ−Ｂ上では０となる函数、
Ｂ＿１はＢ∩（Ｉの内点）、ｆ＿１はＢ∩（Ｉの内点）上ではｆと一致しＩ−Ｂ∩（Ｉの内点）では０となる函数
とすると、

ｆはＢ上可積分⇔ｆ＿０はＩ上可積分⇔ｆ＿０のＩにおける不連続点の集合は零集合
⇔ｆ＿１の不連続点の集合は零集合
⇔ｆ＿１はＩ上可積分⇔ｆはＢ∩（Ｉの内点）上可積分

となる。有界閉区間Ｉの境界は体積０であり、従って零集合であり、
Ｂ∩（Ｉの境界）であるから、上の式で３番目の⇔が成り立つ。

最後の行は

×　Ｂ∩（Ｉの境界）であるから、上の式で３番目の⇔が成り立つ。
○　Ｂ∩（Ｉの境界）も零集合であるから、上の式で３番目の⇔が成り立つ。

ね。

>>185
>>186
お答えいただきありがとうございます。でもちょっとどの部分を言っているのか良くわかりません。
上の式で３番目の⇔とはどの部分でしょうか？

３番目の⇔とは、この部分

ｆ＿０のＩにおける不連続点の集合は零集合⇔ｆ＿１の不連続点の集合は零集合

>>188
なるほど、理解できました！本当にありがとうございます。
ところで、またわからないところがあるのでよろしかったら教えてください。

定理10.5(289p)の証明の最後の
∫...∫_A f(x)dx=∫...∫_Θ(I)(f。Ψ)(x_1,ρ,θ2,...,θn)(ρ^(n-1))*((sinθ2)^(n-2))*...*sinθ_(n-1) dx_1dρdθ2...dθn
=∫...∫_I (f。Φ_(n+1))(r,θ1,...,θn)r((rsinθ1)^(n-1))*((sinθ2)^(n-2))*..*sinθ_(n-1) drdθ1...dθn　
　（f。Ψは合成関数の意味）　　　　

この部分の式変形がわかりません。まず一つ目の等号で帰納法の仮定を使えるのがわかりません。
n+1変数の積分を帰納法の仮定のn変数の積分に帰着できないと思うのですが・・。
帰着させるために定理7.1を使うと思うのですがどう使えばいいかわからないのです。どのようにすればよいのでしょうか？

>>189は私です。どうしてもわからずこの場所で止まったままなのでぜひ教えてもらいたいです。

累次積分可能とは限らないから、その説明だとおかしいね。
空間極座標の変数変換公式の証明で変数変換を２回行ったように、
一般極座標の変数変換公式の証明では、変数変換をｎ−１回行えばいいよ。
（ｎ＝４の場合は下記のように変数変換を３回行う）

（ｘ，ｙ，ｚ，ｗ）
→（ｘ，ｙ，ρ，φ）　：　ｘ＝ｘ，ｙ＝ｙ，ｚ＝ρcosφ，ｗ＝ρsinφ
→（ｘ，σ，θ，φ）　：　ｘ＝ｘ，ｙ＝σcosθ，ρ＝σsinθ，φ＝φ
→（ｒ，ψ，θ，φ）　：　ｘ＝ｒcosψ，σ＝ｒsinψ，θ＝θ，φ＝φ

>>191
この場合では変数変換に応じた積分をどのように行えばよいのでしょうか。空間極座標の場合は定理10.2(円柱座標)より示せますが
一般のｎの場合も∫...∫_A f(x_1,x_2,...,x_n)dx_1dx_2...dx_n=∫...∫_B f(rcosθ,rsinθ,x_3,..,x_n)rdrdθdx_3...dx_n のようなものは成り立つのでしょうか。

成り立つよ。
定理１０．２の証明では扇形を底面とする柱体が出てくるけど、
今回は扇形を底面としてｎ−２次元の高さを持つ柱体を使う。

>>193
では定理１０．２の証明と同様に示せるということですね。そうすると
∫...∫_A f(x)dx=∫...∫_Θ(I)(f。Ψ)(x_1,ρ,θ2,...,θn)(ρ^(n-1))*((sinθ2)^(n-2))*...*sinθ_(n-1) dx_1dρdθ2...dθn　の部分も
同じように示せるということでしょうか。

>>194
>>191,193に書いた変数変換をn-2回繰り返せばその形になる。

>>195
なるほど、そう考えればできそうですね。
では「帰納法の仮定を用い」の部分はどのように考えればよいのでしょうか。

累次積分を使えないのですから>>189の証明には拘らない方が宜しいかと。

そうですね。ところで蒸し返すようですが
>>185でｆはＢ上可積分⇔ｆはＢ∩（Ｉの内点）上可積分　が示せてもこの二つの積分が一致することを示すためにはどうすればよいのでしょうか。

>>185の記法を使うとｆ＿０とｆ＿１の値が異なるのはＢ∩（Ｉの境界）上だから
定理８．６系２が使えるね。>>185に書いた方針は冗長だったみたい。

ｆはＢ上可積分⇔ｆ＿０はＩ上可積分⇔ｆ＿１はＩ上可積分⇔ｆはＢ∩（Ｉの内点）上可積分

>>199
定理８．６系２を使えばわかりますね。ありがとうございます。

290ページの問題
2)A={(x,y,z)∈R^3|((x^2)/(a^2))+((y^2)/(b^2))+((z^2)/(c^2))≦1, x,y,z≧0, }とし、
次のfに対し∫_A f　を求めよ。
で、(1)x^2+y^2+z^2はなんとかできたのですが(2)xyz*(((x^2)+(y^2)+(z^2))^(-1/2))　が解けません。
誰か解いていただけないでしょうか。

何とか解けました。しかし特に(4)なんかは計算が大変だったな・・。

293ページの注意１で、「命題11.2,.2)において不等式|f(x)|≦g(x)は、
すべてのx∈Iに対してでなく、あるc∈Iに対するすべてのx∈[c,b)に対して成り立てば十分である。」

とありますが、これから∫[a, →b] f(x)dx　が絶対収束することはいえても
∫[a, →b] |f(x)|　≦∫[a, →b] g であることはいえませんよね？

今日寒すぎ・・。

いえない。それどころか、g(x)は[a,c)で定義されてなくてもいい。

>>205
ありがとうございます。次の例5で∫[0,+∞] sin(x)/x dx は収束することを述べていますが
ここでは→+∞方向で収束することを言っただけで→+0方向で収束することは示してなくて
議論が不十分のように思えるのですがどうでしょうか。

sinx/xはx→0で1に収束するので、x=0での値を1とすれば被積分関数は[0,1]で連続

>>207
ありがとうございます。そう考えればいいですね。ちなみに僕は
x=0での値を有界に任意にとっても定理9.5により可積分で定理8.6系2によりその値は等しい。
よって命題5.2から→+0方向での広義積分は存在する。と考えました。

定理11.3（次数による収束判定条件)で、ｆの区間が(a,b] (特にa<0やa=-∞の)時は
優関数としてどのような関数を取ればよいのでしょうか。

294p5行目のlogsin(x)に絶対値がついているのはどうしてでしょうか。

>>210は私です。
また質問なのですが、303pの(13.6)式から||f-f_n||<εとしないで
||f-f_n||≦εとしているのはどうしてでしょうか。

手元にある解析概論、小平先生の解析入門、笠原先生の微分積分学では
||f-f_n||<εとしています。||f-f_n||≦εでも問題ないですけどね。

309pの4行目の定理I.4.5ってどこで使うのでしょうか？あと310pの定理13.6のA上の可積分関数族(f_t)t∈T
とt→ｂのときA上の可積分関数fは有界と仮定していいですよね？

定理13.7系（311p)の主張がわからない・・・。Iが任意の区間ってどういう意味でしょうか。

>>209
同じ関数で問題ないでしょう。

>>210
絶対収束だから。

>>211, 212
どちらでも問題ないが、憶測をいうと
13.1, 1)の不等式で押さえてると等号が残るからかもしれない。

>>213
まずf(x)の存在を各点収束で示すために必要。
13.6については有界と仮定してもよいが、しなくてもよい。
f(x)=log x+a_1x+a_2x^2+...
の形の関数を(0,1]で積分するような場合、有界ではないが定理が使える。

>>214
必ずしも有界閉区間とは限らない区間という意味だろう。
開区間、半開区間、有界でない区間でもよいということで。

>>215
わざわざたくさんの質問に答えてくださってありがとうございます。>>211,>>214はわかったのですが
その他がまだちょっとよくわからないです。まずは>>209についてなのですが(a,b]でa=-∞のときは
定理11.3の1)でα<-1でαを整数とすれば問題なさそうですが2)で(b,a]でa∈Rの場合は
f(x)=O((b-x)^β)とするよりf(x)=O((x-b)^β)としたほうがよいのではないかと思うのですが
どうでしょうか。なぜなら(b-x)^βの場合x→b+0と近づけていくのでb-x<0となり考えにくくなると思った
からです。あと>>210については(x^(1/2))*logsin(x)→0(x→+0)なのでlogsin(x)=O(x^(-1/2))と考えたのですが
なぜ絶対値がついているのかがわからなかったのです。絶対収束だからという理由が良くわからないので
もう少し詳しくお願いします。

>>216は私です。

>>216
三行目のa∈Rはb∈Rの間違いです。

>>216
失礼。
かっこつけてレスしたつもりが間違いだらけで恥ずかしい・・・

>>209についてはO((-x)^α), O((x-b)^β)とするか、
あるいはO(|x|^α), O(|x-b|^β)としてしまえばよいでしょう。
それよりもxを-xに変数変換すれば悩まなくていいと思ってたんだが。

>>210へのレスも勘違い。
絶対収束を示したいから|log sin x|の積分の収束をいえばよい、
ということで命題11.2, 2)のようなことを考えていたのだけど、
本文は定理11.3, 2)を使うから絶対値は必要なかった。

>>219
いえいえ、答えてもらうだけでありがたいです。
>>209についてはそれでよさそうですね。
294pの6行目の定理11.3,2)によりというのはおかしいですね。
命題11.2,2)のほうが適切だと思います。
>>213の309pの4行目の定理I.4.5については、この定理は点列に関しての
定理なのでこれとは関係ないと思ったのですがどうでしょうか。
310pの定理13.6で(f_t)t∈Tとfの有界性を気にしたのは証明で積分の
三角不等式を使っているからです。もっとも、定理13.6の証明中の
∫_A f-∫_A f_t=∫_A f-f_tが一次元で広義積分可能でかつ
f-f_t=|f-f_t|(x∈A)のときは成り立つと思いますが。

すみませんがまたわからないところがありまして、313pの(13.24)式のa(n)が
どうやって出てきたのかがわかりませんorzよろしくお願いします。

この本は工学部系でなく数学科の方が読むような本なんですか？

工学や経済を専攻する学生向きの教科書だよ

数学科の学生は勿論のこと、数学を道具として使う人なら誰でも読んで欲しい本だな。
生物系の人も数理生態学や生物物理学を専攻するなら早いうちに読んで欲しい。

>>220

>>213は確かに直接使えるI.6.10があるのだから「定理I.4.5または」はいらないですね。
I.6.10の証明はI.4.5によっているのでこちらから導けるというのもまるきり嘘ではないが・・・

定理13.6の証明の積分の三角不等式は有界でなくても成り立つ。
3.5の証明で、|f|の可積分性さえ分かっていれば
|s(f;Δ;ξ)|≦s(|f|;Δ;ξ)の極限を取るだけなので問題なし。

313pのa_nの取り方は、まず最初にフーリエ級数の理論からf(x)が正弦関数の線形結合
f(x)=a_1 sin x + a_2 sin2x + a_3 sin3x + ...
の形にかけることが分かっている。
ここで係数a_nを求めたいわけだが、両辺にsin nxをかけて[0,π]で積分すれば
m≠nならば∫sin nx sin mx dx=0なのでa_n=2/π∫f(x) sin nx dxを得る。

>>221
工学系でも十分役に立つ本だと思います。ただ量が多いので全部読むのはちょっと大変かもしれません。
>>224
なるほど、わかりました。ありがとうございます。

222、223さん、アドバイスありがとうございます。

225さんアドバイスありがとうございます。分厚い本ですか。本屋さんで見てみますね。

２９ｐ　８行目　　（B-W）から（A)が導かれることは帰謬法で直ちに示されるとありますが示せません。よろしくお願いします。

>>228
（B-W）→（A)を示す。（B-W）の仮定のもとで(A)でない、すなわち「ある二つの実数a>0,b>0が存在して、任意の自然数nに対しn*a≦bとなる」
とする。このとき数列a_n=a*n (nは自然数)は有界だから（B-W）よりa_nには収束する部分列が存在する。
しかし明らかにa_nには収束する部分列は存在しない。これは矛盾である。よって（B-W）→（A)が示された。

こんな感じですかね。

＞しかし明らかにa_nには収束する部分列は存在しない。
それは本当に「明らか」なのか？

>>230
そうですね。ではもう少し詳しく考えてみましょう。数列a_nの任意の部分列を一つ取る。ここで任意のc∈Rに対してcのa/2近傍すなわち
(c-a/2,c+a/2)を取るとこの部分列の項と項の間はa以上離れているから(i)この近傍内にa_nの項が唯一つ存在する
(ii)この近傍内にはa_nの項は存在しない
の二つの場合に分けられる。よってこの近傍には無限個のa_nの項は存在しない。よって部分列は収束しない。

これでいいでしょうか？

それならO.K.です。

ここの阿呆共をどづいたってください　↓

微☆解析入門のベストを決めるスレ★積
　ttp://science5.2ch.net/test/read.cgi/math/1170295487/l50

東京大学出版会
http://book4.2ch.net/test/read.cgi/books/1169876189/l50

ふ〜やっと試験が終わった。またぼちぼち進めようかな・・。

数学の本スレで杉浦本の質問が来ているぞ。
答えてやってくれ。

杉浦解析演習で質問だが、P.175の問2.2.1(3) で、
解答通りにやると右の項の分子がπになる気がするのだが・・。
これは、俺がおかしいのか？
誰か教えてくれ！

>>238
そのとおですね。誤植だと思いますよ。

そのとおりでした。

>>240
答えてくれてありがとう!!
これで先に進める。

2.3.1の答え後半おかしいですよね。
証明することも違ってるし・・・

2.2.1(1)はR>0じゃないとまずいですよね。

>>242
>>243
おっしゃるとおりですね。>>242についてはどう修正していいか漏れにも良くわかりませんね・・。

>>244
P.220の6行目の指数の1/q、1/pをそれぞれq、pにすれば大丈夫じゃないでしょうか？
1/p+1/q=1⇔(p-1)(q-1)=1ですし

1章の例5の
A = { x ∈ Q | s ＞ 0 , x^2 ＜ 2 } に上限が無いということの証明で

s = supAが存在すると仮定すると
s ＞ 0 だから s ＞ s - ε＞ 0となるε＞0を取れば(略)と言う記述のあとに
ここでε＞0は任意だから、s^2 ≧ 2 となる。

とありますが、このように書かないでも、
2がAの上界でsがAの上限、そして上限の定義は上界全体の最小元なのだから
最小限の定義より s ≦ 2 とすぐ言えると思うのですが、
問題ありますか?

自分のアホさ加減にあきれた

>>246=>>247？
色々と問題があるが。

s^2≧2を示したいのにs≦2を示してもしょうがないし、
そもそもAが持たないのは上限ではなく最大値。
色々と勘違いしている。

>>248
s^2 ≦ 2 というのはタイプミスです。
s ≦ 2 を言ってもしょうがないのに勘違いしてたのにあきれました・・・。

あとAが上限を持たないというのは Q の中に持たない ということを書き忘れていました。

「εは任意だったから」という部分の行間が読めなくて考えているうちに、
勘違いしてしまったみたいです。

しかし演習問題は鬼のように難しいですね。全く歯が立ちません。

問3.1.2の解答
Σの上n-1って2^n-1の間違いですよね。

ちょっと難しい問題が多いよね。
本文に入らなかった内容を詰め込んでるような感じだから。

もう少し「高級」な教科書になると演習問題の結果が
平然と本文中で使われるようになるから、それに比べりゃましだけど

>>245
う〜ん、しかしP.220の5〜6行目のy^(1/(p-1))=y^((1/q)-1)がどうしてかは漏れにはわかりません。わかってたら教えてください。
>>251
そうですね。これと同じものが解析入門Iの220pにありますね。

>>253
y^1/(p-1)=y^(q-1)が正しいのだと思いますよ。

また質問ですが、322pの一行目の「特にF(t)はt≧0で連続である。」という部分がわかりません。これは多分
320pの定理14.3の1)からだと思います。定理14.3ではJ=(c,d]とし、fはJ×I上で連続と仮定しています。
しかしこの場合のf(x,t)=(e^(-tx))*sin(x)/xはf(0,t)=1と置いておかないと定理14.3の仮定を満たさず、
F(t)はt≧0で連続であるとはいえないのではないでしょうか。ここはどう考えればよいのでしょうか。

>>255
二行目　J=(c,d]→J=[c,d)でした。

>>254
なるほど、わかりました。ありがとうございます。

>>255
今、手元に解析演習しかないのでわかり兼ねます。
演習の方に同じ定理とかありませんか？

>>258
解析演習の204p(2)に同じ問題がのっていました。ここではf(0,t)=1と置いてあります。ご指摘ありがとうございます。

p323例6むずすぎｗｗｗｗｗ何これｗｗｗ

325pの(14.23)式はどうやって出てきたのでしょうか。わかりそうでわかりません。誰か教えてください。

というか325pの最後の式の
|u(x,t)-f(x)|=|∫[-∞,∞](1/√π){f(x+2√(t)z)-f(x)}*e^(-z^2)dz|がおかしいと思うのですがどうでしょうか。f(x)は∫の中には入らないと思うのですが・・。

>>262
f(x)はｘの関数．これはｚについての積分．ｆ（ｘ）を定数のように考えれば何をやっているのかわかると思う．

>>263
なるほど，移項したらすぐわかりました。ありがとうございます。

325pの(14.23)式を示すためには、u(x,t)-f(x)=∫[-∞,∞](1/√π){f(x+2√(t)z)-f(x)}*e^(-z^2)dzがD上一様収束することが前提となります、これが
各点収束することは左辺から明らかですが、一様収束となることがよくわかりません。教えてください。

あとは324pの7〜8行目の「従って(14.13)はD上広義一様収束し、特にuはD上連続である。」
でuがD上連続というのがどうしてもわかりません。ご教授お願いします。

132pの１５〜１６行目の「命題６.５によって
｜k(h)|=|f'(x)h+|h|ε(h)|≦(|f'(x)|+|ε(h)|)|h|　」
のところがわかりません。命題６．５の（１）か（２）のどちらを使ってるのか、命題６．５のA,B,ρは何か。お願いします。

>>267
ここでは、命題6.5,1)と三角不等式を使っています。
｜k(h)|=|f'(x)h+|h|ε(h)|≦(|f'(x)h|+|h||ε(h)|) (三角不等式)
≦(|f'(x)|+|ε(h)|)|h| (命題6.5,1)) となります。
命題6.5のA,B,ρは書いてあるとおりです。

69pの７行目
上限の意味から、bに収束するf(K)の点列(f(x^n))n∈Nが存在する
とあります。上限のどういう意味なのでしょうか。bに収束する点列もどんな点列かわかりません。

>>269
ここは、命題6.1,1)(p50)を見るといいかもしれません。

このスレを発見して反射的にカキコしますが、リーマン積分の範囲での多変数積分の変換公式の
厳密証明（まあぶっちゃけたはなしヤコビアン）は載っているのでしょうか？学生時分に
パイロット授業受けた身としては（まあ20年近く前に分かっているはずのことだが、
残念ながら拒否反応で見ていないので）気になります。

�U巻に載ってる。
解析入門�T・�Uでは最大の難所じゃないかな。

MをRの有界な閉集合とするときMの上限はMに属する？

属する

MをRの有界な閉集合とするときMの上限はMに属することの証明を教えてください。

>>275
それくらい自分で証明できないと駄目。何日かかってもいいから自分でやれ。
1年考えても出来なかったら、解析系は諦めろ。

有界だから上限が存在し、Mが閉集合だから上限はMに属する。

335p14行目の「さらに(15.20)'によりφ（ｘ）は|x|<1においてC^∞級だから」という部分がわかりません。よろしくお願いします。

Γ(1-x)もΓ(1+x)もπ-π^3x^2/3!+・・・も|x|<1でC^∞級だよ

>>279
Γ(1+x),Γ(1-x)がC^∞級であるのはわかるのですが、問題はπ-π^3x^2/3!+・・・なのです。
これはf(x)= 　sinπx(x≠0),
　　　　　　　　　　π　　(x=0)
と同じで、これがx=0でC^∞級になるのがわからないのです。どうすればよいのでしょうか。

>>280
訂正　sinπx→sinπx/x

�納k=0,n](d^n/dx^n)(x^2k)pi^(2k+1)(-1)^k/(2k+1)!は収束するから
(d^n/dx^n)(sin(pix)/x)=�納k=0,n](d^n/dx^n)(x^2k)pi^(2k+1)(-1)^k/(2k+1)!で、
(d^n/dx^n)(sin(pix)/x)|_{x=0}=lim[x->0]�納k=0,n](d^n/dx^n)(x^2k)pi^(2k+1)(-1)^k/(2k+1)!
とすればC^∞級・・・・・かな？わがんね／(^o^)＼

>>282
ありがとうございます。僕もそのような感じでやったのですが途中で詰まってしまいました。

問題はf(x)=Σ[n=0,∞]((-1)^n)*(π^(2n+1))*(x^(2n))/(2n+1)! が
x=0の近傍でC^∞級になるかどうかなんですよね・・。

難問かどうかはさておき、
昨日問い出して、今日の今まで、ここの住人が誰も解けなかった問題があるんですが、
解ける自信のある人いますか？

>>852
当然杉浦解析入門は読んだよな？微積の鬼なんだから

誤爆した、スマソ

>>284
整級数Σaix^iの収束半径をRとすると、(-R,R)においてΣaix^iはC^∞級になる。

>>288
なるほど、この整級数は収束半径は+∞ですね。C^∞級であることは定理2.5(p172)から言えるのでしょうか。

今相補公式(p335)の証明の途中なのですが、この定理を乗り切るには後二つ山がありまして、一つは
(15.22) 1/4{g(x/2)+g((x+1)/2)}=g(x),(x∈R) です。(15.22)を示すためには(15.21)式に1/2公式を適用するのですが、
適用する場所は(15.21)式のΓ(x/2)Γ((x+1)/2)とΓ((1-x)/2)Γ(((1-x)+1)/2)の2つの部分です。ここで1/2公式
の適用範囲はx∈Dであることです。よって上の2つの式を1/2公式で変換して(15.21)式を成り立たせるためには
x∈Dかつ1-x∈D、すなわちx∈R-Zでなければいけません。よって(15.22)がx∈Rで成り立つことをいうためには
x∈Zの時も(15.21)式が成り立っていなくてはいけません。しかし1/2公式はx∈Zでは適用できないのでどうして成り立つかが
わからなくて困っています。
もう一つの山は335p下から3行目の「ＭはＲ全体での|g(x)|の上限でもある」の部分です。Mは[0,1]での|g(x)|の上限であるので
このＭがＲ全体の上限であることをいうためには、g(x)がRで周期1の周期関数であることを言わなければいけないと思いますが、
g(x)=(logφ(x))''=(φ'(x)φ(x)-(φ'(x))^2)/(φ(x))^2 なので、これをいうにはφ'(x)が周期関数であることを言わないといけないと思うのですが、
これがわかりません。
どうか漏れにアドバイスをお願いします。

>>290
g(x)=(φ''(x)φ(x)-(φ'(x))^2)/(φ(x))^2 の間違いですね。ということはφ'(x)、φ''(x)が
周期関数であることを言わないといけないのかぁ。困ったですね。

φが周期関数だからφ',φ''が周期関数であることは
φ(x)=φ(x+1)からすぐ分かるんじゃない？

>>292
すみません、わかりませんorz頭の悪い漏れにもわかるように説明お願いします。

よく考えれば直感性から明らかですね。でも式で示したいですね。

>>294
微分の定義を使う。

>>295
微分の定義から考えると明らかですね。アドバイスありがとうございます。

残る問題は>>290の上ですね・・。

φ(n)=πと定義したんだから、x=nで(15.21)は成り立っている。

>>298
それがよくわからないんですよ。n∈Zのとき
φ(x/2)φ((x+1)/2)=π^2であることを示すにはどうすればよいのでしょうか。

φの定義に戻ればφ(1/2)=πだから・・・・。
あとはφ((n+1)/2)φ((n+2)/2)=φ((n+1)/2)φ(n/2+1)=φ(n/2)φ((n))

途中で書き込んじゃった、
=φ(n/2)φ((n+1)/2) だからおｋかなぁと。

>>301
なるほど、φ((n+1)/2)φ(((n+1)+1)/2)=φ((n+1)/2)φ(n/2)が任意のn∈Zで成り立つから、これは
φ(1+1/2)φ(1/2)=π^2に等しいのですね。理解できました。ありがとうございます。

また質問ですみませんが、
335p(15.22) 1/4{g(x/2)+g((x+1)/2)}=g(x) の係数1/4は必要ないの思うのは漏れだけでしょうか。
なぜならg(x/2)+g((x+1)/2)=(logφ(x/2))''+(logφ((x+1)/2))''=(logπφ(x))'' ((15.21)により)
=(logφ(x))''=g(x) となると考えたのですがどうでしょうか。

それ足してから微分してない？

あれ、そうか・・・・。

というかg=0だからか。
それだと|g|≦1/4|g(x/2)+g((x+1)/2)|が得られないからそうしたのかな。

しかし1/4{g(x/2)+g((x+1)/2)}=g(x) が示されないとg(x)=0は示せませんよね。どうすればよいのでしょうか。

う〜ん、わからないですね。係数に1/4がつくということは漏れの計算が間違ってないといけないんですけれども・・。
誰か助けてください。

もうちょっと落ち着いてじっくり考える癖を付けろ
そうでなきゃ杉浦は読めん。

(log φ(x/2))''を計算してみるとよい。
g(x) = d^2/dx^2 (log φ(x))と書いてあればより親切なのかな。

>>310
答えていただきありがとうございます。
g(x/2)=1/4{(φ''(x/2)φ(x/2)-(φ'(x/2))^2)/(φ(x/2))^2}となったのですが、この後はどのようにすればよいのでしょうか。
あと漏れの計算のどこが間違っているか教えてください。

g=(d^2/dt^2)(logφ(t))|_{t=x}っぽい。
つまりg(x/2)=(φ''(x/2)φ(x/2)-(φ'(x/2))^2)/(φ(x/2))^2

>>312
そうなのですか。直接g(x/2)+g((x+1)/2)を計算しようとしましたが途中で詰まってしまいました。
g(x/2)+g((x+1)/2)=(logφ(x/2))''+(logφ((x+1)/2))''=(logπφ(x))''としてはいけないのでしょうか。

おまえ>>312読んでないだろ・・・

>>314
4倍したのですが、結果が出ないのです。

直接計算すると、g(x/2)+g((x+1)/2)=((φ''(x/2)φ(x/2)-(φ'(x/2))^2)/(φ(x/2))^2)+((φ''((x+1)/2)φ((x+1)/2)-(φ'((x+1)/2))^2)/(φ((x+1)/2))^2)
となるのはわかるのですが、問題はこれをどうやって4g(x)に帰着させるのかが問題ですね・・。

(log φ(x/2))'' = 1/4{(φ''(x/2)φ(x/2)-(φ'(x/2))^2)/(φ(x/2))^2} = 1/4 g(x/2)

>>317
なるほど！なんかわかったような気がします。

つまり、g(x)=(logφ(x))''だけどg(x/2)=4(logφ(x/2))''であってそのまま右辺にx/2を代入してはいけないのですね。
本当に助かりました。ありがとうございます。しかし結構微妙で難しい部分ですね・・。

オナニーしたが射精しない

間違いやすそうなところだが、難しいわけではない。
微分するという操作は変数に依存するので、
代入してから微分するのと、微分してから代入するのは当然異なる。

>>321
そうですね。最初は難しいと思っても慣れたら簡単に思うことってたくさんありますよね。
ところでまた質問ですが、338p15〜16行目の「そこで結局gがx>0で凸であれば、μを(15.27)で定めたときμ従ってfは対数凸である。」
とありますが、μ(x)=Σ[n=0,∞]g(x+n)と定義されているので、g(x)が凸であることがいえてもその無限級数のμ(x)が凸になることをいうためには
μ(x),μ'(x)が項別微分定理の条件を満たしていることを言わなければいけないと思うのですがここは明らかとしていいのでしょうか。

> 明らかとしていいのでしょうか。

そりゃ、自分自身で決めることだろｗ

>>323
そうですね。しかしこの部分は厳密に書いて欲しかった・・。

つまり怪奇現象ってことか！！！！！！！！！！

そうだね、プロテインだね＾＾

ここはμ''(x)=Σ[0,∞]d^2/dx^2(g(x+n))を証明しなくてもg''(x)>0がわかればμ''(x)≧0は言えるのかなぁ。微妙な部分だ・・。

しかしμ(x)が凸であることをいうためにはμ''(x)が存在することを示さないといけないから
微分とΣの交換ができることを言わないとだめなようですね。

関数f：R→R が下に凸であるとは、
・任意のa,b≧0(a＋b＝1)と任意のx,y∈Rに対してf(ax＋by)≦af(x)＋bf(y)
が成り立つときを言う。

μ(ax＋by)
＝Σ[n＝0〜∞]g(ax＋by＋n)
＝Σ[n＝0〜∞]g(a(x＋n)＋b(y＋n))
≦Σ[n＝0〜∞]{ag(x＋n)＋bg(y＋n)}
＝aμ(x)＋bμ(y)
よってμは下に凸。

>>329
なるほど！その手がありましたね。g''(x)>0が示されたのでμ''(x)>0を示さないといけないという固定観念に縛られていました。
解析概論260pにもg''(x)>0だからμ''(x)>0と書いてあったのでそのやり方は思い浮かびませんでした。ありがとうございます。

69pの７行目
上限の意味から、bに収束するf(K)の点列(f(x^n))n∈Nが存在する
ことの説明を考えました。
あってるでしょうか。間違っていたら教えてください。
m∈f(K)となる点mに対して点ｍとｂの２等分してｂから近いほうから点を(f(x^1))選ぶ。もし選べないとするとｂが上限であることに矛盾する。
これを繰り返すことでbに収束するf(K)の点列(f(x^n))n∈Nが存在する 。（ここで選択公理を用いた）

それでいいと思うよ

これを繰り返す→(f(x^1))とｂの２等分してｂから近いほうから点を(f(x^2))とする。これを繰り返す

やっと四章オワタ。あと30p弱か。

今、解析入門�Tのまえがきを読んでたんだが、
7行目　始めて→初めて　の間違いじゃないか？

>>335
よくあることですよ。
ところで371pの問題２)（ガウスの判定法）の説明がわからんorz解析概論にも小平解析入門Ｉにもあるけどよくわからない・・。

>>336
何がどうわからんの？（今手元には解析概論しかないが．．．）

>>337
解析概論（改訂第三版）でいうと151pの(4)式の下の「k-s>0だから、nが十分大なるときu(n)/u(n+1)>v(n)/v(n+1)」というところです。
Ο(1/n^(1+δ))-Ο(1/n^2)の部分がどうなるのかが良くわからなくて・・。

なんかわかったかも・・。

>>338
＞Ο(1/n^(1+δ))-Ο(1/n^2)の部分がどうなるのかが良くわからなくて・・。
ああ、それはランダウの記号というやつだ。例えばg(x)→0(x→0)なる関数g(x)
に対してf(x)=Ο(g(x))と書いたとすると、x→0のときf(x)/g(x)が有界になる
ことを表す。詳しく書くと、
∃M　∃δ　0＜|x|＜δ⇒|f(x)/g(x)|＜M
が成立するということ。或いはu(x)=f(x)/g(x)と定義すれば
f(x)=u(x)g(x)
となるけど、このu(x)が有界だということ。もし、x→0のとき、g(x)→0とともに
u(x)→0にもなるなら、小文字のｏを使ってf(x)=ｏ(g(x))とかく。
例として、
・x→0のとき、(2+x+x^2)x^4=Ο(x^4)
・x→0のとき、(x^4)sin(x)=ｏ(x^4)
・x→0のとき、sin(x)=Ο(x)
・n→∞のとき、(3+(1/n))/(n^2)=Ο(1/n^2)

なんだ。わかったのか。

>>340
>>341
答えてくださってありがとうございます。一瞬わかったような気がしたのですが、またわからなくなってしまいました。
ランダウ記号については知っているのですが、「nが十分大なるときu(n)/u(n+1)>v(n)/v(n+1)」というところがわからなくて・・。
ようするにu(n)/u(n+1)-v(n)/v(n+1)=(k-s)/n+Ο(1/n^(1+δ))-Ο(1/n^2)(n→∞)がnが十分大きくなったときに
Ο(1/n^(1+δ))-Ο(1/n^2)の部分の絶対値が(k-s)/nより常に小さくなることを言えばいいと思うのですが、これが良くわかりません。

>>342
Ｏ(1/n^2)の一例として1/n^2，Ο(1/n^(1+δ))の一例として1/n^(1＋δ)の
ときを考えれば分かる。

ちなみに、解析概論のような方法でなく、
・任意の実数xについて1＋x≦e^x
・1＋x＞0のときe^{x/(1＋x)}≦1＋x
という不等式を使えばラクに証明できる。

>>343
僕も一瞬そう考えたのですが、Ｏ(1/n^2)、Ο(1/n^(1+δ))をみたすｎの関数としてはsinやlogなども含まれるので定義に戻って考えないと不都合かなと思ったのですが・・。
>・任意の実数xについて1＋x≦e^x
>・1＋x＞0のときe^{x/(1＋x)}≦1＋x
>という不等式を使えばラクに証明できる。
これについて教えてください。あと1＋x＞0のときe^{x/(1＋x)}≦1＋xはどうやって示せばよいのでしょうか。

e^{x/(1＋x)}≦1＋xの部分はわかりました。

＞僕も一瞬そう考えたのですが、
たった一瞬かよｗ数学ナメんなボケ！あと、sinとかlogでも同じ。
とにかく具体的な関数で計算してみろっつーの。

>>346
すみません。具体的に計算すればわかるのですが、Ｏ(1/n^2)、Ο(1/n^(1+δ))をみたすすべてのｎの関数に考えるには定義に戻って考えないといけないのではないでしょうか？

>>347
きみにすうがくはむいていないことがわかったよ。

>>348
向いてないことはわかってますよｗｗｗ

ヒント
>>340
＞f(x)=u(x)g(x)
＞となるけど、このu(x)が有界だということ

>>350
すみませんわかりません。もう少し詳しくお願いします。

とりあえず思いついたのですが、これでよいのでしょうか。
u(n)/u(n+1)-v(n)/v(n+1)=(k-s)/n+Ο(1/n^(1+δ))-Ο(1/n^2)(n→∞)において、k-s=a(a>0)とおくと、
u(n)/u(n+1)-v(n)/v(n+1)=a/n+Ο(1/n^(1+δ))-Ο(1/n^2)
ここで|Ο(1/n^(1+δ))/(1/n^(1+δ))|≦M(1) (∃M(1)>0,∃n(0)∈N,∀n≧n(0))
　　　　|Ο(1/n^2)/(1/n^2)|≦M(2) (∃M(2)>0,∃n(1)∈N,∀n≧n(1))だから、
M=max{M(1),M(2)},n(2)=max{n(0),n(1)}とすれば、n≧n(2)のとき
|Ο(1/n^(1+δ))-Ο(1/n^2)|≦|Ο(1/n^(1+δ))|+|Ο(1/n^2)|≦M((1/n^(1+δ))+(1/n^2))が成り立つ。
よって、|Ο(1/n^(1+δ))-Ο(1/n^2)|/(a/n)≦(M/a)*((1/n^δ)+(1/n)) (∀n≧n(2))より、
|Ο(1/n^(1+δ))-Ο(1/n^2)|/(a/n)→0(n→∞)が成り立つ。ここでΟ(1/n^(1+δ))-Ο(1/n^2)=k(n)とおくと
|k(n)|/(a/n)→0(n→∞)より、∀ε>0 ∃n(3)∈N ∀n≧n(3)で
|k(n)|/(a/n)<εよって|k(n)|/ε<a/nが成り立つ。
ε=1/2とすれば|k(n)|≦2|k(n)|<a/n　(∀n≧n(3))
よって-k(n)<a/nよりa/n+k(n)>0これより十分大きなnで
u(n)/u(n+1)-v(n)/v(n+1)=a/n+Ο(1/n^(1+δ))-Ο(1/n^2)>0が示された。

>>352
細かく読んだわけじゃないけどいいんでない？あと私のヒントは、
Ο(1/n^(1+δ))=u_1(n)/n^(1+δ)
Ο(1/n^2)=u_2(n)/n^2
となるように、u_1(n),u_2(n)を決めると、この2つの関数はn→∞のとき有界で、
このとき
(k-s)/n+Ο(1/n^(1+δ))-Ο(1/n^2)=(1/n)((k-s)+u_1(n)/n^δ-u_2(n)1/n)
となって、上式の右辺を見ればいずれn→∞のとき正になるのは明らかでしょ。
まあ、君のようにεδを駆使するのはいい練習になるから、今のうちたっぷり
やっといた方がいいんだけどね。

あと>>343の
＞・任意の実数xについて1＋x≦e^x
＞・1＋x＞0のときe^{x/(1＋x)}≦1＋x
＞という不等式を使えばラクに証明できる。
私も知りたいなあ。誰か教えてくんないかなあ。

ゴメンよ(´・ω・｀)そんなにラクには ならなかった。もう少し工夫してみるよ。

>>353
なるほど、そのやり方のほうが簡単ですね。ありがとうございます。でも馬鹿なので二日ほど考えたのですが思いつきませんでしたorz
ところで数学書を読んでいてわからないところがあったとき、どれくらい考えるものなのでしょうか。漏れは一週間考えてわからなかったらあきらめて次に進むのですが・・。

デキタ。
ttp://www.csync.net/service/file/view.cgi?id=1175139104
少し定理の拡張もできた。

>>356
おお！あなたは神いわゆるゴッドでつね！ありがとうございます！でもちょっとわからないところがありまして・・。
それはΣ[i=1,n]f((k/i)+v(i))^2=C+ο(1)というところがよくわかりません。このfはf(x)=log(1+x)-x(x>-1)と考えていいんでしょうか？

>>357
「任意の実数xに対し」と言いつつも、1＋x＝exp(x＋f(x))と
書けるのはx＞-1のときのみだった件について／(＾o＾)＼

訂正版
ttp://www.csync.net/service/file/view.cgi?id=1175179054

>>358
わざわざ訂正あaりがとうございます。またわからないところがあるのですが、a=min_i((k/i)+v(i))>-1というのは常に成り立つものなのでしょうか。
また最後のexp[Σ[i=1,n]((k/i)+v(i)+f((k/i)+v(i)))]=(n^k)*exp(kA+B+c+ο(1))というのも良くわかりません。教えてください。

最後のexp[Σ[i=1,n]((k/i)+v(i)+f((k/i)+v(i)))]=(n^k)*exp(kA+B+c+ο(1))というのはわかりました。すみません。

＞a=min_i((k/i)+v(i))>-1というのは常に成り立つものなのでしょうか。
u_nが全て正だから。

>>361
なるほど、わかりました。

しかし、u(1)=0のときには成り立たないのは面白いですね。

>>358について質問なのですが、最後の部分の|f((k/i)+v(i))|≦E((k/i)+v(i))^2だからΣf((k/i)+v(i))が絶対収束するというところがわかりません。
E((k/i)+v(i))^2を展開するとΣv(i)/iの項が出てきてこれが収束するかが良くわからないのですが・・。

>>364
Σv(i)が絶対収束するならば、Σv(i)^2もΣv(i)/iも絶対収束する。

>>365
なるほど、わかりました。ありがとうございます。

377p定理4.3のa(n)って実数値関数ってことでよいのでしょうか。

>>367
そう思われるという根拠があるのならそうなのだろう．自分の判断を信じればいい．
信じることが不安ならそれは数学的な判断ではないということ．数学的な判断といえるまで熟考すべし．

厳しいことを言うようだが，これが出来ないといづれ何も出来なくなる．

ｋｓｋ

質問です。
p46定理5.5の証明の最初で、
「級数の収束、発散には最初の有限項を除いても影響しない((2.6)参照)」
とありますが、(2.6)をどのように使っているのでしょうか？

例えば１）について。
「あるn0より大きな全てのnに対してa_n≦c_nならば、�蚤_nは収束する」
なぜなら、番号がn0以下の項をとり直して
すべてのnに対してa_n'≦c_n
とできる。
与えられた数列を｛a_n｝、項をとり直した数列を｛a_n'｝とすれば、
｛a_n'｝は収束し、｛a_n｝と｛a_n'｝は有限個の項しか違わないのだから、
｛a_n｝も収束（∵（２．６））

馬鹿丁寧に書くと、こう。

もう少し質問させてください。
＞｛a_n'｝は収束し、｛a_n｝と｛a_n'｝は有限個の項しか違わないのだから、
＞｛a_n｝も収束（∵（２．６））
これ、�蚤_n'が収束するとき（２．６）によって�蚤_nも収束するということですよね。
�蚤_nと�蚤_n'は、和をとっているので「有限個の項しか違わない」
ということはないですよね。すると（２．６）を使うためにはもうひと工夫いるような
気がするのですが。

漏れはこの部分は(2.6)とは直接には関係ないと思いますね。
普通にΣ[n=0,∞]a(n)=Σ[n=0,n(0)-1]a(n)+Σ[n=n(0),∞]a(n)と分けて考えればいいと思います。

また質問ですが、379pの定理4.4系の主張がわかりません。収束円の半径l=aζ上で一様収束するとはどういう意味でしょうか。
証明でz-a=ζxと置いてもどのように定理4.4に適用してよいかわかりません。誰か教えて〜。

>>370
適当なこと書いてごめんなさい！！
正しくは、多分>>373のとおりでいいはず。

>>374
>半径l=aζ上で一様収束する
は、点aと点ζを端点とする線分の上で一様収束、って
ことだと思われます。

>>375
なるほど、そういうことですか。漏れはl=aζは一つの複素数を表すのでどうしてこの上で
一様収束するのかと思っていました。ありがとうございます。
よろしければ証明の方も教えてください。

p7例5の(s-ε)^2<a^2<2である。ここでε>0は任意だから、s^2≦2となる。
の部分がわかりません。
x^2が連続であることを使わずに示せるのですか。教えてください。

訂正：x^2が連続であることを使わずに→実数の連続性を使わずに
一応、解決したつもりです。
xは恒等関数なので連続、x^2は連続関数の積により連続、よってεを0に近づけたときの(s-ε)^2の極限が
s^2となる。よって、s^2≦2となる。
これでいいですか。p7では極限とかでてこないのでもっと簡単にできそうなのですが。

きちんと本の該当部見てないけどsを正としてよいことを使ってよいなら
∀ε>0 (s-ε)^2<a^2<2
⇒∀ε>0 s^2 - 2sε< 2
⇔∀ε>0 (s^2 - 2)<2sε
⇔∀ε>0 s^2 - 2<ε
⇔∀ε>0 s^2 - 2≦0

>>379
ありがとうございます。すっきりしました。

質問です。392pの８行目に(Σ[k=0,∞]p(n)^(-ks))*(Σ[l=0,∞]p(m)^(-ls))=Σ[k,l=0,∞]((p(n)^k)*(p(m)^l))^(-s)
とありますが、右辺のΣ[k,l=0,∞]((p(n)^k)*(p(m)^l))^(-s)はどのように定義されているのでしょうか。
((p(n)^k)*(p(m)^l))^(-s)は複素数値なので困っています。385p定義3のように実数項の
二重級数の和は定義されているのですが・・・。

>>381
好きな順番で足し算する。それが絶対収束しているならば、足す順番によらず一定の値を
とることが分かるから、定義は何でもよい。絶対収束していないなら、足す順番についての
定義がどこかに書いてあるはず。

>>382
＞好きな順番で足し算する。それが絶対収束しているならば、足す順番によらず一定の値を
＞とることが分かるから、定義は何でもよい。
それがちょっと良くわからないんです。二重級数ではない普通の級数では374p定理3.4系にあるとおりわかるのですが、
二重級数の、複素数値を取るときそれが成り立つのが良くわかりません。また385p定義3にあるように実数項の二重級数
の絶対収束の和も少しややこしい定義になっているので複素数値の項を取るときの和も似たように定義しなければいけないのかなぁと
思ったのです。

やっとＩオワタ。疲れた・・。

>>384
おめでとう！

Iを終えた>>4にテスト。

実数列{xn}に対して、Σ[i＝1〜∞]xi が絶対収束するための必要十分条件は
∀ε＞0,∃M∈N s,t S⊂{n∈N｜n＞M}が有限集合ならば｜Σ[i∈S]ai｜ ＜ε
が成り立つことであることを示せ。

>>386
Σ[i＝1〜∞]xi が収束することと部分和Sn=Σ[i=1,n]xiがコーシー列になることは同値であることから明らか。というのはどうでしょうか。

>>386
それは普通の収束の定義であって、絶対収束の定義ではない。

wow.....>>387宛てネ

>>385
ありがとうございます。夏休みに終わらせようと思いましたがぜんぜん終わりませんでしたorz
結局11ヶ月もかかってしまいました。�Uは難しそうなので2年計画で読みたいと思います。

>>386
必要であること
Σ[i＝1〜∞]xi が絶対収束するとき、数列S_n=Σ[i=1,n]|xi|はコーシー列となる。すなわち
∀ε＞0,∃M∈N s,t　∀m,n>M⇒|S_m-S_n|<ε　が成り立つ。このMに対して
S⊂{n∈N｜n＞M}が有限集合のとき、集合SはS={n,n+1,......n+k}のように自然数が連続する場合と
そうでない場合に分けられる。前者の場合、｜Σ[i∈S]ai｜=|Σ[i=n,n+k]ai|≦Σ[i=n,n+k]|ai|<εが成り立つ。
後者の場合も、S={k_1,k_2,.....k_n} (k_1≦k_2≦・・・≦k_n)とすると、｜Σ[i∈S]ai｜≦Σ[i=k_1,k_n]|ai|<εとなる。よって示された。

十分であること
∀ε＞0,∃M∈N s,t S⊂{n∈N｜n＞M}が有限集合ならば｜Σ[i∈S]ai｜ ＜ε
が成り立つとき、このMに対して、集合S(n,,m)={ai|i=n,n+1,...,m (∀m≧n>M)}に含まれる正項、負項の数は、
(i)正項のみ(ii)負項のみ(iii)正項,負項が共に存在する
の三つの場合に分けられる。(i)のとき、S(n,m)⊂Sより|Σ[i∈S(n,m)]ai|=Σ[i=n,m]|ai|<εとなり、
コーシー列の条件が満たされる。(ii)の場合も同様である。
(iii)の場合、負項をak(i)で表すと|Σ[i∈S(n,m)]ai|=|a_n+...+a_k(1)+...+a_k(2)+...+a_k(s)+....+a_m|となる。
ここでΣ[i∈S(n,m)]|ai|=|a_n+....-a_k(1)+...-a_k(2)+...-a_k(s)+....+a_m|=|(a_n+....+a_m)-(a_k(1)+....+a_k(s))|となる。
ここで(a_n+....+a_m)は集合S(n,m)の中での正項のみの和を、(a_k(1)+....+a_k(s))は負項のみのaiの和を表す。
ここで仮定により|a_n+....+a_m|<ε,|a_k(1)+....+a_k(s)|<εが成り立つ。
よってΣ[i∈S(n,m)]|ai|=|(a_n+....+a_m)-(a_k(1)+....+a_k(s))|<2εが成り立つ。ε>0は任意なので
この場合もコーシー列の条件が満たされる。
よって(i),(ii),(iii)より、示された。

自信は無いですがどうでしょうか。十分条件が難しかったですね。

>>391
表記の仕方が多少不器用だけど、正解！

質問です。
Iのp54の例5において、「これは定理6.2系と有界単調数列が収束すること
(定理3.1)から明らかである。」とありますが、よくわかりません。
定理6.2系でd)⇒c)を用いると思うのですが、
d)ではxn→a(n→∞)となる任意の点列(xn)を考えなければならないのに
なぜ有界単調数列だけを考えればよいのでしょうか。

a^2≧0なぜ？

>>393
a_n↑aならば、f(a_n)→cと仮定。
x_n < a, x_n→a ならば、f(x_n)→cがいえる。
もし、f(x_n)→cでなければ仮定に矛盾。

やっと俺も杉浦の解析入門１を買ったわけだが、はっきりいってこの本のどこが難しいのか全くわかんない。

すごく親切だし、例も豊富だし。
これを辞書代わりとか言っているのは本当におかしいだろ。つかこの本の内容って普通に二年までにはわかって
いなきゃいけない内容なんじゃないの？

すごくいい本だよ。これ。

すごく丁寧に書いてあるから量が多くて読むのがだるくて通読するのが大変だから
辞書といわれているんだろ。

そうそう。細かすぎ、という感じ。
多様体の基礎とかもそんな感じ。

そういえば、中学のときに「この本の英単語全部覚える」とか言ってた女子がいたな。
その本とは…英和辞典！　結局どうなったのかは知らない。

細かすぎ、とか云ってる人は定理の証明とか具体例を自分の頭で考えずに、
本に書いてある証明や具体例をいきなり読み始めちゃうひとなんだろうね。

意味不明。

>>400
はげどう
まぁ、大学でのお勉強に向いてない連中だろうから、以降はスルーでお願いします

むしろ、馬鹿丁寧に書かれているのを細かすぎと思わないほうが
やばいだろ。

>>402
理学系を専攻するなら、本に書いてある証明なんてものは自力で証明できない場合にチラ見するだけだもんね。
細かすぎ、なんていってる人は自力証明率0割くらいかな。門前払いで結構でしょう。

だから細かすぎると使いづらいんだろ。

永田の可換体論のように簡潔なのがいいよな。せめて斉藤の線形代数。

細かすぎるといっても、読まなくとも判る部分は読み飛ばすわけでしてｗ

>>396
> つかこの本の内容って普通に二年までにはわかって
> いなきゃいけない内容なんじゃないの？

まったくそのとおり。
で、それを買って喜んでるお前は何年生なの？

細かい本っていうのは、著者と微妙に違う論理展開によって結論だけは導出できる、
しかし著者の意図は分からない、とかいう場合にどうしても無駄に時間を食っちゃうわけでね。
どうもそういう論理的に細かいところが気になってしまうので。
（数学ってそういうことを病的なほど気にする学問だからね）

自分なりに証明を考えたりしていきなり本を読んだりした場合のほうが
そういうことは起きやすいと思うけどな。

もっと大らかな勉強が出来りゃ良いんだろうけど、
自分では全然重要だと思わず些事だと思ってたことが実は非常に重要なことだった、
なんてのも良くある事だし、もともと俺は基礎論とか記号論理とかが好きなほうで、
細かいことに拘り易い性格だというのもあるし。

つうか>>400とか>>402とか>>404って自分と意見が違うからってスルーしろとか、自分が頭おかしいと思わないのか？
多様体の基礎とか本当に読んだのか？ものすごいうざったい本だと感じるはずだが。
洋書なんかの場合は証明が詳しいというよりは、
具体例が豊富とか動機付けの説明が詳しいとか、
そういう本が多いのでこの種のイライラ感はないことが多いと思う。

>>404
分野によるだろ。あんたは連続関数が積分可能であることの証明だとか
Zornの補題の証明だとか代数学の基本定理の証明だとかを全部自力で証明したのか？
それじゃただでさえ時間のかかる数学の勉強がさらに時間掛かり過ぎて手に負えないだろ。
（だからこそ杉浦光夫は馬鹿丁寧すぎるくらい詳しい本を書いたんだろうけど。）

>>406
可換体論か。可換環論のほうかと思って吃驚してしまったｗ

>>409
図星だったかな。ファビョりすぎｗ
自分の頭で証明しようとする学習態度が大事なのだよ。
自分の頭で考えることを放棄し、本に書いてある証明をフォローするだけでは
モノにならん。

> しかし著者の意図は分からない、とかいう場合にどうしても無駄に時間を食っちゃうわけでね。
著者の意図なんて関係ない。

何言ってるんだよ。態度じゃなくて本の丁寧さの話だったろうが。

自分で「証明」を考えた後本の証明をfollowして、本の証明が
やたら面倒くさいことをしてるので、どうしてか良く考えたら
自分の証明に論理的なギャップがあった、とかそういう経験無いの？

>>410
> 著者の意図なんて関係ない。

数学者を目指すならそれでいいが、大多数の数学学習者には無理だろうな。

バカでも読めるように手取り足取り書くと「細かすぎ」と言われ、
行間を開けて簡潔に書くと「行間開きすぎ」と言われる。

そのへんは数学書の書き手の永遠の課題なのよね

自分で証明していくのに馬鹿丁寧に書かれた本を読むのか。
むしろ簡潔にあっさりした本のほうが向いていると思うが。

自分で考えても判らん部分だけ読むんだからどっちでも大差ない

>>416
自分で考えない学生が多いんだよ。

だから細かすぎると読みづらいんだろうが、馬鹿キング。

緻密な論理を精密に読み取る能力って大事だよね〜

>>419
学生の読解力劣化は著しい。「わかりやすさ」を重視した受験参考書に慣れすぎたのが原因でしょうな。
最近の学生は、論証ステップ数一定の閾値を超えると途端に頭がついていかなくなる傾向がある。
その閾値が年々下がってる。
そういう学生モドキを相手に教えるには、イメージ重視で判った気分に誘導するのがベスト。
出来の良い学生に対しては失礼な話ではあるんだが、彼らもわかってくれているはずだ。いや、そうに違いない。

別に十年とか十五年前とかに比べて受験参考書の
数とか売り上げが増えたとかいうデータは無いんで
>>420は間違いかと。

要するに、人の脳を読む能力を悪用する奴を潰せ。そうすれば、学力低下も防げるだろう。

生涯微積を修める人たちの集うスレ

>>421
受験参考書の記述レベルが軟化したってことだろｗ

これだから引き篭もりバカは・・・

ホントかよ。昔からあまり変わってないと思うぞ。
寧ろ
新傾向問題を東大京大が出題→他大がそれに習う→参考書がそれに準拠
の繰り返しで入試問題は寧ろ難しくなってる。
もしかして軟化は難化の誤字だったとかそんなことないよね。

>>420,424は数学の受験参考書に限定していないと読めるが。

英語とか古文・漢文とか社会の受験参考書だろ、軟化しまくってるのは・・・

低レベルな受験ネタは受験板でどうぞ

ま、受験参考書がどうあれ、杉浦は辞書だよやっぱり。
自学自習用の本としては適しているが、それでも
通読するタイプの本ではないのも確かでしょ。

杉浦読むぐらいなら溝畑読んだほうがいい。高いけど。

�Tと�Uを通読したよ。まじめに読めば一年も掛からん。

てか、こんな平易な本を「辞書」とか云っちゃう奴って、どれだけ読解力が低いんだ？
まさか丸山の「日本の思想」すら読めないとか

>>431
> てか、こんな平易な本を「辞書」とか云っちゃう奴って、どれだけ読解力が低いんだ？
国際的な能力評価でも日本の学生は読解力が低いという結論が出てる。
論証を追いかける能力、論理構造を見抜く能力が落ちてるのは確実。
要するに知的弱者。

>>431
>>397

杉浦の解析入門なんて馬鹿でも読めるだろｗ

>>431
進度は人それぞれだが、�T�U合わせて１年前後で読むのが普通だな

個人的にはCourant&JohnとかRudinのPrinciples of Mathematical Analysisを推薦しているが

>>434
>>403

>>435
> 個人的にはCourant&John
SpringerのCIMから出ているヤツだね。
�T巻は読んだけど、�U巻まで読むとなるとかなり時間がかかりそうだｗ

>>437
> SpringerのCIMから出ているヤツだね。
そう、それ

杉浦よりも分量が多いから、もっと時間がかかる
ゆったりと勉強するにはイイ本だよ

やっぱり洋書か・・・

>>431
辞書には難解なことは書いていませんよ。
内容を読むのに難渋するようなものは辞書じゃねーよｗｗｗ

他の本読んでてちょっと行間広いなと思ったところを
杉浦で補うっていう使い方してたおれには
杉浦は辞書だとしか思えん。

随分と伸びたな

しっかし、杉浦懐石を読むのに難渋するって、いったいどんば低脳だよｗｗｗｗｗｗ

>>442
ちょっとでも行間があると途端に読めなくなるような
馬鹿しか杉浦をよまねーからだろ。

さすがに行間なさ過ぎて、飽きっぽい俺には通読はムリだ。

杉浦解析のハイライトは�U巻の広義積分の章ですよ。
あの章の行間をキッチリと埋めて読めれば合格です。
�T巻は�U巻を堪能するための準備に過ぎません。

> 杉浦解析のハイライトは�U巻の広義積分の章ですよ。

ハイライトというか、ムズいだろ・・・

杉浦のII巻は、3分の2くらいに短くできるのに、とたんに冗長になってる。
I巻のスタイル（行間こそないが簡潔）をなぜに維持しなかったのか。

駒場で講義していて、学生がついていけなかった経験がそうさせたのかな？

>>398　そう。大学入って俺にとって一番わかりやすい、つか簡単な本が多様体の基礎だったわけだが、
解析入門１もまさにこのレベル。例とかもチョー簡単だし。

>>408　ワロスｗｗ
今思えばそうだったし。やばい、素で誤爆してることに気づかなかったｗｗｗ　

>>447-448
ｳﾝｺｰ

リーマン積分を一生懸命勉強するなら、H.K積分をやった方が100倍お得だと思う。

>>450
R＾ｎでしか使えんような方輪のどこがいいのか？

>>451
ちゃんと読め。「リーマン積分を一生懸命勉強するなら」という仮定のもとでの主張だボケ。
リーマン積分もR^nでしか使えんだろうが。しかも中途半端でポンコツ。そういう微妙な積分を
「一生懸命勉強するなら」という仮定のもとで「H.K積分をやった方が100倍お得だ」と言ってるの。
お分かり？

比較なら勉強するならじゃなくて勉強するよりってしたほうが。

リーマン積分が R^n なんか

リーマン積分なんて常識だし、
別に一生懸命勉強しなくたって、杉浦解析�T�Uに書いてある程度を理解してれば十分だし・・・・

なんか、>>452は知的キャパシティが小ちゃいんじゃないの？

>>455
どうして>>452からそういう読み方が出来るのかワカラン。

HK積分は難しい。こいつが分かるなら抽象空間上のL式積分も
理解できる。R^n上のL積分しか分からんやつは、R式の広義積分
しか分からんやつと大差ない。どの道杉浦にしがみ付いているレベル
の人間には関係のない話。

>>447
スカスカの脳味噌にはスカスカの本のほうがお似合いだが。
逆説的だが、極端に頭の良い人間もスカスカ本を好むようだ。

まぁ、オススメコースは

杉浦解析入門�T�U→RudinのReal and Complex Analysis→RudinのFunctional Analysis

だな。

>RudinのReal and Complex Analysis→RudinのFunctional Analysis
高いｗ

でもいきなりHK積分やってもRiemann積分を知らないと
そのありがたみが分からんと思うぞ。

今更だが、通読用かそれとも調べ物用か、
読みやすい本かそれとも冗長で読みにくい本かというのは
死ぬほど既出だからね。

>>461
ありがたみを分かっていなければならない理由は？

ありがたみもわからずに複雑で面倒くさい定義や議論をするのか？

意味不明。んなこと言ったらリーマン積分だって「複雑で面倒くさい定義」じゃんか。

まあだから動機を分かってないとどうしようもないわけだね。

[設問]
リーマン積分とルベーグ積分を熟知している人に対して
HK積分のありがたみを100文字以内で説明しなさい。

センター試験の国語みたいだな。

ありがたや
ああありがたや
ありがたや（１７字）

>>457
> R^n上のL積分しか分からんやつは、R式の広義積分
> しか分からんやつと大差ない。

HK積分で悦に入っているやつも大差ない。

差をつけようと必死な奴がいるな。

リーマン積分とルベーグ積分をちゃんと理解していれば大丈夫だよ。
HK積分などという趣味に走るよりも、彼女を作れ。

>>459
その順番で読むのは俺もお勧めする。最短で効率よく解析学の勉強ができるだろうから。
はっきり言って杉浦は「微積」の本であってmodern analysisの本ではないから
要領よく飛ばし読みをして基礎的な概念（実数の連続性等）や計算方法を
身につけたら、さっさとrudinで現代数学の領域に行ったほうがいい。
細部にこだわって時間を浪費するのはもったいないと思う。

＞細部にこだわって時間を浪費するのはもったいないと思う。
まさに>>4だな(＾o＾)

そういえば>>4から音沙汰がない件について

まぁ、あれだ。杉浦解析�T�Uくらいはサクサクっと消化しろってことだ。
一年かければ細部まで体得できるさ。先に進むのはそれからでいい。

弟子がマンセーの仲間に入ってから流れが変わったな（ｗ

もとい。杉浦�Uの代わりにアールフォースのほうがいいな。
杉浦�T、rudin:real and complex analysis,アールフォース：複素解析、rudin:functional analysis
が最強のコースかも。
ていうか杉浦�Tはrudin:mathematical analysisでもいいな。
杉浦は「リー群論」だけでよかろう。

>>477
AhlforsのCompelx Analysisと書くべきだろうね。間違って和訳を読む奴が出てくると可哀想だから・・・

>>477
> ていうか杉浦�Tはrudin:mathematical analysisでもいいな。
同意
洋書を読み始めるのは早い方がいい

調子乗ってる奴に限って大したことないんだよな・・・。

杉浦のいいところは積分の後半、特に重積分と変数変換、広義積分あたり。
微分についてはあまりよくない。ベクトル解析や複素関数は、悪いわけではないが、
他の本でやったほうがいい。
つまり、二巻の積分の章だけ読めばいいので、図書館で借りてくる程度で十分。
買うなら、解析演習のほうを買いましょう。

>>4マダー？

杉浦で数学を勉強し始めてるんですが、微分の項目までにたどり着くのに時間がかかってしまう。
ラングか何かの本をよんでから杉浦したほうがいいですか？
大学は文型で、大学院で金融いきたいんですけど

洋書ってセンター194で読めるものなのかな？
単語力が圧倒的に足りない気がしてるんだけど

普通に読める。

大学合格レベルなら洋書は読める。専門用語は覚えなきゃダメだが。
洋書が読めないとしたら、英語ではなくて数学がわかってないから。

あげ

杉浦�Tの前半まで読んだので気づいた点を書いておく。
１）実数の連続性のところでアルキメデスの原理とか詳しく論じてる割りに
超重要なDedekindの切断が練習問題のところに小さく押し込められてる。
一体何を考えているんだろうか？
２）ロピタルの定理についても同じ。
３）コンパクト性等の位相的概念を論じるところでは位相空間や距離空間を
系統的に扱っておらず、必要な概念を即席でとってつけたように導入している。
コンパクト性などは「やっぱり必要か〜」って完全な後付け状態。
これでは調べもの用の辞書としてもまったく使えません。
４）微分の章で多変数、ベクトル値関数の微分を一貫して扱ってるのは
chain ruleやjacobianが自然にでてきて悪くない。
全体的には悪くないと思うけどこの本が読まれてるのは消去法でこれより
良いのがないからというのが真相ではないかな？

1) 実数体の構成について興味がある人は他の本を読んでください。
東大理一の一年坊主相手にいきなり実数体の構成を説明しても
ほとんどついてこれなかったんでしょうな。
完備なアルキメデス的順序体として天下り式に定義しちゃうのは
一つの見識でしょう。
2) 平均値の定理を使えばいいのでロピタルなんか知らなくてもいいです。あんなものは過去の遺物です。
そもそもロピタルを適用する前提条件なんか覚えてられません。
3) 泥縄式が杉浦氏の特徴です。位相についてのスッキリした理論展開をお望みなら
位相空間論の教科書を読めば済みます。

ってところかな。あくまでも新入生用教科書ですので。

>あくまでも新入生用教科書

ウソだｗ

どっちかというと重要なのはCauchy列から完備化して実数体のモデルを構成するあたりでしょ。
実数体とは完備Archimedes順序体のことである、という定義じゃなくて構成する流儀の本
（たとえば解析概論）だと( I )→( II )→( III )→( IV )→( I )
よってこれらは同値である、のあたりがよく訳分からなくなる。

>>488の1)と2)に関してはちょっと当たらない批判だと思う。
＞あんなものは過去の遺物です。
同意

3)についてはすっきりした理論展開が好きなら
解析学概論1&2（山崎圭次郎著）とか、或いはもう気合入れて
SchwartzとかDieudoneeとか読みなさい、で終わっちゃう話だと思う。

4)は著者も前書きで自賛してるしね。

spivakはどうですか？

>>488 の (1)(2)みたいな過去の遺産に引きずられながら本を書く
スタイルもあり得ないわけではないだろうが、グダグダになるだろうな。

(3)のスタイルを貫いたら、初学者には歯が立たない。>>488 はどういう
スタイルが好きなのか、よくわからんなあ。

「こう書けばすっきり書けるのに」「歴史的な順序を無視してけしからん」と
とにかく批判したいだけなのかな？ 微積分の本は歴史をある程度は
無視しつつ、適度に泥縄でやるしかないと思うから、どう書いても批判は
出てくる。だからこそ、いろんな本がある。

>>488
Principles of Mathematical Analysis,Walter Rudin
を読め。
トポロジーも現代的視点から論じてるし、ロピタルも大項目に上がってるし、
すっきりすると思うぞ。気に入ったら同じ著者のreal and complex analysisと
functional analysisも読むといい。ただし世界的にバカ売れしてる本だけに
出版社が価格を非常に高く設定して儲けようとしている点だけは多めに見てなｗ

ペーパーバックだったら国内でも3500円強くらいで買えたような。
解析概論と同じような良心価格だと思うけどね。

>>http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1154585677/494
＞ただし世界的にバカ売れしてる本だけに出版社が価格を非常に高く設定して儲けようとしている

REAL AND COMPLEX ANALYSIS, 3RD ED.はゆうりんしゃで
ペーパーバックが\3,100、ハードカバーが\20,120、
amazonでペーパーが現在\7,361、ハードが\21,411くらい。

このようにamazonのほうが高い本ものあるので
何でもamazonで済まそうとするとちょっと損する。
また商品の搬送が非常に杜撰な会社でもある。
だからamazonは別名konozamaと言いますｗ
http://d.hatena.ne.jp/keyword/konozama

廉価版のペーパーバックじゃなくてハードカバーを欲しがるのは構わないけど、
それで高い高いといっても、ハードカバーの値段なんて大体そんなもんです。
どうしてもハードカバーの方が好きな数学書コレクターさんは是非以下のスレを盛り上げよう。
参考書中毒患者スレッド@数学板 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1177676152/

Principles of Mathematical Analysisはペーパーで\8,479(amazon)、\3,600(友)で
ハードカバーはちょっと無いみたい。
これは確かに高いけどこの本が売れてるから高いということではなくて、
このInternational Series in Pure and Applied Mathematicsというシリーズは
amazonで買うと大体全部高い。たぶんamazon.co.jpの儲けになる分が相当大きいんか
或いはかなり非効率的な仕入れ方をしているか、どっちかなんじゃないかと…
Functional Analysisはハードカバーで\19,826(amazon)だけど前述の通り洋書じゃこれは普通。
ペーパーバックなら\2,500（友）で買えます。

Riesz &NagyとかKolmogorov & Fomin は\2,000円代だったりするけど
これはDoverの装丁がボロい上に古い本を再版して安く売ってるシリーズだから
さすがにこういうのと比べちゃ可哀想ｗ

はい誤爆ー

>>496
おお。アマゾンで買って損するところでした。
ほかの洋書数学書もそこで買えば安いですか？

P307の証明おかしいよね

500ゲト

解析入門�Tでトポロジーの扱いが中途半端になっちゃってるのは止むを得ない事情がある。
なぜならこれは東大教養学部の理科（数学だけじゃなく他の理系に進む人も含む）
の初学年用の教科書として編まれた以上、general topology(point set topology)
を理論の前提とするわけにはいかないから。
杉浦�Tと線形代数（斉藤）をまず勉強して、それからgeneral topologyをやって
解析学（ルベーグ積分を含めて）を組み立てなおすという流れになるのは
迂遠なようだがそれほど非効率的ではないのではないか。
この点、rudinはトポロジーを組み立てた上で理論を展開してるけど、これを
米国の大学の初年級の教科書として使うわけではないよね。むしろ大学上級
あるいは大学院あたりで使ってるのでは？比較するのは無理がある。

「教養学部初学年用の教科書だから位相を扱わない」という考えは
理解は出来るしかし、教養相手に一般論から初めて教育していく
努力をすれば、案外とできるんじゃないかと思ったり。

ゆとり教育と同じで、学生を馬鹿にするのはやめよう。まあ、確かに
どうしようもない学生が混じってるのは事実だが、平均的な東大理Iの
学生を基準にしたら、無理ではないと思う。

>>496
> REAL AND COMPLEX ANALYSIS, 3RD ED.はゆうりんしゃで
> ペーパーバックが\3,100、ハードカバーが\20,120、
> amazonでペーパーが現在\7,361、ハードが\21,411くらい。

Amazon.comなら$12.19ディスカウント中
本体価格$142.50+送料(Per Shippment)$6.99+送料(Per Item)$4.49=$153.98
1ドル=123円換算すると18,940円

Amazon.co.jpの価格はAmazon.comの定価+送料ベースだから、
Amazon.comで割引販売している本は、.comから直接買うほうが安い。

しっかし本の価格が随分と値上がりしたもんだね。
おじさんが10年以上前にReal and Complex AnalysisをAmazon.comから
買ったときは送料込みで9,000円もしなかったよ。

本自体の値上がりとか値下がりじゃなくて円とドルのレートの変動とかのほうが
大きいんじゃないかと思ってみたり。

1995年に80円台の最高値をつけたあと数年は円安傾向だったね。
1997年頃のドル円レートは120円±10円のレンジだったから、
今と殆ど変わらない。1999年頃に140円台の最安値をつけてから反転し、
100円-120円のレンジ相場に嵌って今に至る。

解析演習を買ったけど、これってマジで間違い多すぎじゃね？
まだ最初のほうしかやってないなけど、普通に例題1,1の文字とか、間違ってるし、
例題1,4の解説は少しおかしいし…

これってスクエニがドラクエ８のおまけみたく少年ヤンガスを即席で作ったクソゲーみたいなもん？？？？

どこが？

間違いだらけなのは>>506の頭脳っておちはやめてくれよ

>>502
平均的な理１じゃ無理じゃないかなあ。
あの手の抽象論オンパレードは、２５歳ぐらいになれば
並の理系東大卒でも案外簡単に理解できると思うが、
１８歳かそこらの脳だと発達が不十分じゃないかな。
理１の上の方だけとって実験的にやってみる分には面白そうだけど。

spivakのcalculusカラ始めるのはどうでしょうけ？

話に割り込んでしまい申し訳ありません。初めて書き込みます。
解析入門�Tの定理�U.6.10、p140において、|g(y)-g(y_0)|≦|y-y_0|/(ρ-(√n)K) (∀x∈U_0) (但し、gはfの逆関数)
から、gはy_0で連続である、という導出について質問があります。
gがy_0で連続であるには、上の不等式がy_0のあるδ-近傍で成り立っていなければなりませんが、その証明がわかりません。
どなたかご教授をお願いします。

「解析演習」のほうは本当に間違いは多いよ。
例えば問題の1,2よりって書いてあるが実は1.3だった、みたいな。俺はそれで、その問題をどのように利用しているかわからず
1時間近く考えたあげく、やっとわかった。

で、たまに文字とかも間違っている。ｎ＞Ｎととるべきところをｎ＞Ｍととってるとか。

しかし、例題や問題は良門がそろっている。
これ一冊やれば、どこの大学院の解析の問題もできると思う。俺やっとこの本で解析の問題解き始めて、
解析の問題を解く考え方みたいなのがわかってきたぜ。

その程度のことを訂正できないのは単に馬鹿なだけじゃ・・・

> で、たまに文字とかも間違っている。ｎ＞Ｎととるべきところをｎ＞Ｍととってるとか。

もしかして例題1.4の解説がおかしいってのがそれだといいたいのか？
やはり間違いだらけなのはお前の頭の中だったな・・・

>>514　いや例題1,4は普通に正解です。

例えば例題2,7の解答は絶対間違ってます。

> 例題1,4の解説は少しおかしいし…
> いや例題1,4は普通に正解です。

つまり先の発言はろくに考えもしない早とちりだったということか

間違いを見つけたら、出版社に通報しとけ

>>516　あ、すいません。
そういう言い方だと誤解が生じますね、俺が例題1.4について言いたかったことは、
途中で「和をとって」って言葉があるが、それって和じゃないですよね？

例題2.7の解答は根本的に間違っていると思う。。

問題ｆ（ｘ）が閉区間[a,b]で連続ならば、
ｇ(ｘ)＝max｛ｆ(ｔ)｜a≦t≦x｝は[a,b]上の連続関数になることを示せ。

これだれかやってみて正式な答え書いてください。

解析入門［演習じゃないやつ］の詳しい解答作ろうぜ

>>520　なんで？

なんか数学板の力を結集させて何かやりたいと思った

斎藤正彦「線型代数入門」の 第6章の一番ラストのページ
に誤植がありました。


第6章単　因子およびンダルョジの形準標

うぜーよ>　クソking =king様の弟子

あげ

>>519
何でお前にタダで数学を教えてやらなきゃならないのか。
自力でまともな証明書いたら合ってるか間違ってるか教えてやってもいいが。

ＤＱＮ発言を繰り返して、他スレでは誰にも相手にされなくなった
鼻つまみ者。こんどは、ここに流れ着いたか。

talk:>>524 何考えてんだよ？

>>king
来たついでだ。
>>519に付き合ってやれよ。

talk:>>529 その解答はどこにあるのか？

>>530
弟子の苦しみを救ってやるのが師というものだろう？

糞コテを甘やかしてはいかん

>>511
その書き方じゃあどこがわからないか判らないでしょうが。
その式は前の式と文字の置き換えをしただけだよね。
自分のわからない所をちゃんと特定しないと答えてもらえないぞ。

>>533
ご指摘ありがとうございます。
確かに、この書き方ではわからないですね…申し訳ありません。
自分がわからないのは、∀x∈U 0≦(ρ-(√nK))|x-x_0|≦|f(x)-f(x_0)|から、
fの逆関数(=g)がy_0で連続としてあるところです。
杉浦本では、上の不等式の文字をx=g(y),x_0=g(y_0)と置き換えをして
|g(y)-g(y_0)|≦|y-y_0|/(ρ-(√n)K)
として、それからgがy_0で連続としています。
最初は確かにyをy_0に近づけると右辺が十分小さくなるので連続だと思ったのですが、
上の不等式は∀y∈f(U)で成り立つわけで、y_0のある開近傍で成り立つとは限らないかな、と思ったんです。
それで、f(U)がy_0のある開近傍を含んでいる、という証明をしようと思ったのですが、
それが途中で行き詰ってしまい、こちらに質問をした次第です。

fは連続。

上げとくね。

解析入門１のp210の下から６行目に区間Iは凸集合だからとあります。区間Iは凸集合であることの証明がわかりません。
どなたかご教授をお願いします。

x,y∈Iを成分で考えれば明らか。

>>538

こう云うのは、考える前段階にいて、凸集合と言う言葉、定義を全く理解しようとしていない。
つまり、日本語の説明、数式による定義を読み飛ばしている。

小学校、中学校で教科書の音読をさせてもらえず、高校でもプリント漬けで過ごした所為だ。

解析入門Ip176　
定義から明らかに
(3.2) exp 0=1　　　がわかりません。
この本では0^0=1は定義なのでしょうか。

>>540

高校で指数法則を習う。

a^n ÷ a^m = a^(n-m)

n=m の場合を考えれば、a^0 = 1 とおくべき事が説明されている筈。

>>540
expの定義に0を入れてみな。1になるだろ。

>>540
便宜上 �納n=0,∞]z^(n)/n! と書いてるけど実際は、1+�納n=1,∞]z^(n)/n! だよ。

ヤコビアンエロい

アールフォースのつづり教えてもらえませんか？
具ぐってもわからないとです

Ahlfors

レスサンクス。
みつけることができました。

でも・・すごく・・・・高いです・・・

貧乏人は数学をやる資格なし．

Reply:>>548 お前は誰に何を吹き込まれた？

>>549
ピョンヤンのインターネット事情を教えてください

Reply:>>550 インフラ整備が出来ているかどうかがわからない状態なのか？

アールフォースの日本語訳は感動的なほど低価格なのだが。。。

ミツオは、本はいいけど講義はひどかった。
判読不能な文字で黒板に書きまくった。

>>553
同感。
しかも甲高い声で、黒板を向いてもの凄いスピードで板書するのみ。

たまにいなくなると思ったら
ある日、廊下でパーマンに変身して飛び立つ所を見てしまった

質問なのですが、
高校数学（もちろん３Cまで）の内容を理解していて、大学数学をやりはじめた
くらいの学生がこの本を読んで理解するのは厳しいでしょうか？
簡単には読み進められないのは覚悟しています。

はじめは難しいと感じるかもしれないが、
頑張ればいけるんじゃないか？

丁寧に書いてあるから根気さえあれば可能だけど、
授業も受けてない全くの初学者にはおすすめではない

εδと簡単な集合論と記号の表記に慣れればいけるかと。多分。

>>556 この本を読む学生は、大抵皆その当たりから始めるのだから、普通だと思う。

ただし応用の実例を含む演習書を並行して学ばないと、すぐ味気なくなる。

>>557〜>>561
ありがとうございます。とりあえずがんばってみます。

>>555
パーマンもミツオって言うんですね。ようやく意味が分りました。

今苦労しながら取り組んでるんですが、定理の証明なんかも自分で導けるようになる必要はありますよね？
骨折れるなぁ・・

>>564
>定理の証明なんかも自分で導けるようになる必要はありますよね？
最初のうちはそこまでやる必要は無い希ガスNe.

この本の練習問題にlim((2n-1)!!/(2n)!!)を求めるのがあるけど、
全く同じ問題をBuckのAdvanced Calculus中にハケーンした。

>>564
定理の本質がわかってくると、証明が自分でできるようになるよ。
1年では無理ぽ。陰関数定理なんて、自力証明無理だと思っていたけど
ある日ふと気がついたら、証明の道筋もわかった。

>>564 は釣り臭い。

>>568なぜ？

>>569 証明が自力でできるようになるのを目指すのは、そうした立場に置かれ得る
人、つまり大学の教員の可能性が高いから。

>>570
俺はそういう立場とは無縁だけど、
自力で証明できるぐらいに理解し解いたほうがいいのかなと思ってるよ

>>571
自力で証明も出来ない大卒は屑。

努力の仕方は人それぞれだと思いまつが、自分は労力対効果を考えるほうで、
数学全般を学ぼうとする人が、この本の中の証明を自力でできるまでやるのは、
労力の無駄遣いに思われまつ。

うん。僕も、既に知っている定理は、興味が湧かない限り、
その証明をパスするね。

なるほど。
一番効率的なのは証明が理解できたらつぎにいくということね

ダルブーの定理の本質がわかりません。一言で本質を言い表してください。

一言で本質を知ろうとするから分からないんじゃないか？

杉浦解析読んでる地方の数学科２年です これから数学板に参加しようと思うのでどうぞよろしく
前期の間はゼミで使っていたこともあって、証明も自力でできる位に丁寧によみながらやっていたんだけど、
夏休み入ってからは、ところどころあやふやなところがあってもとりあえず先に進むスピード重視で読んでます
証明も興味あるものしかみなかったり…(数学科の読み方としてはあんまりヨロシクナイのだろうけど…)
でも今まで数学って、初めて触れる概念やら定理ってのはみた瞬間にはあんまりわからなくて、演習していくうちこんな感じか〜ってわかってくることが多いと思うんだけど、この杉浦解析もそんな読み方じゃダメかな〜
やっぱ大学の勉強はそんなんじゃダメなのかな〜
でもしばらくはこのスピード作戦で続けてみま〜す ちなみに使っている演習書は同じシリーズの解析演習です

じゃ今日も頑張るぞ！！
ρ(..)ｶﾘｶﾘ

>>566
というかそれ有名問題だからね。
べつにBuckのパクリとかそういうわけではないよ。

>578
ゆっくり理解して読まなきゃ
あんま意味ないよ。

rudinの評判が良いようですが、
apostolのかcalculusはどうですか？

>>580
御指摘通り スピード作戦はやめた
戻る回数が多くてかえって遅くなった気がする
これからは普通の読み方に戻る

そろそろ累次積分
新学期始まるまでに４章ｾｸｼｮﾝ10あたりまでしっかり読みたいものだ
ρ(..)ｶﾘｶﾘ

　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 「￣i
　 　 　 　 　 　 　 　 　 「￣￣￣￣｀!: : :!￣￣￣￣.|
　　　　 　 　 　 　 　 　 |　　　　　　　＾~＾ 　 　 　 　 |
　　　　 　 　 　 　 　 　 |　　　 .ノ 　 　 _,_　　土　　｜
　　　　　　　 　 　 　 　 |　　　 ヽ 　 　 米　　 し 　 .|
　　　　　　　　　　　　　 |　　　十_ﾞ　　ﾅ ､　　-　 　 |
　　　　　　　　　　　　　｜　　　l ‐　　　ょ　　⌒)　.｜
　　　　　　　　　　　　　｜.　　　 +　　 i　､　　　　　 |
　　　 　 　 　 　 　 　 　 |　　　 ⊂　　 `　　　　　　 .|
　　　　　　 　 　 　 　 　 |　　　 {　）　　て``　　　　｜
　　　　　　　　　 　 　 　 |　　　　　　　　　　　　　　｜
　　　　　　　　　　　　 　 |　　　　　　　　　　　　　　 |
　　　　　　　　　　　　 　 |＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿|

はげ

あのねぇ、　〜入門　ってのは、たとえば、

暇で金持ちの老人相手に、空手や柔道の極意を

説明するものなんです。

じっさいに、そのとおりに彼らは、動くことは

できませんけれど、納得はできていると思います。

結局、素人相手に金を稼ぐ方法として　〜入門　って

書籍は、次から次へと出版されるのです。

つまり こんな本なんか早く読め、と

解析入門Ip140逆函数定理�Tの証明で
(6.41)からf^(-1)がy_0で連続であることが示されていますが、
そのためには、y_0の近傍の点がy=f(x)(x∈U_0)と書けることが
必要になると思います。
どうやって証明したらよいのでしょうか？

なんでそうかけるのが必要なの？

>>587
俺もわかんね、、、

この証明は自分でやってから最後に杉浦さんのものをみた方がいいよ
そうじゃないとなんでこんな風にやってるのかがわからない

>>590 がいいこと言った。

証明は自分でやるのが一番わかりやすい。
他人の証明は他人の考えだからわかりにくい。

自分で出来れば苦労はないって？
楽して数学やろうってのがそもそも間違い。

と突き放すのもなんだから、ヒントをやろう。
本の証明をヒントにするんだよ。
その証明を全部理解する必要はない。

>>591
あなたとは気が合いそうだ by590
おれも受験数学の名残からわからんかったらすぐみるようにしていたが 少し考えて方針が思い付かなかったら>>590がいうようにちらっと杉浦さんの証明の雰囲気をみて自分でやるっていうやり方がベスト

>>587,589
(6.41)の1つ下の式は、f^(-1)(y)∈U_0でないと成立しないですよね。
でも、f^(-1)がy_0で連続であることを示すには、
|y-y_0|<δを満たす任意のyに対して、
(6.41)の1つ下の式を満たさねばならぬはず。
でも|y-y_0|<δを満たす任意のyは、f^(-1)(y)∈U_0を
満たしているとは限らない気がする。

>>590,591,592
この考え方がいいと思うけど、自分はそのレベルに到達してないね。
とくにこのf^(-1)の連続性の証明は、自力では難しいです。

>(6.41)の1つ下の式

|f^(-1)(y)-f^(-1)(y_0)|≦(ρ-K√n)^(-1)|y-y_0|

f^{-1}(y)がＵ_{0}に入っているかが心配っていうこと？
x∈Ｕ_{0}で考えていてf^{-1}(y)=xなんだから
f^{-1}(y)∈Ｕ_{0}
ってなるから当たり前な気がするんだけどなぁ…
f^{-1}(y)とxが違う意味のような感覚でみてしまってないかな？

>>595
> f^{-1}(y)がＵ_{0}に入っているかが心配っていうこと？
そのとおりです。

x∈Ｕ_{0}だけで考えていてf^{-1}の連続性の証明になるのでしょうか？

>>596
う〜ん いいたいことがよくわからないんだけど、x∈Ｕ_{0}のところで考える、っていうのはf^{-1}のy_{0}での連続性がいいたいときあんまり気にする話じゃないと思うよ

要はy→y_{0}の時f^{-1}(y)→f^{-1}(y_{0})が示せればいいんだからそういえるなるような評価の式が欲しいということ

>>511,>>534と同じだね。漏れにもわからんから誰か教えてほしいな。

>>587の疑問を解決することは結局f^(-1)がy_0で連続であることと同値だから証明がループしてしまう。
この証明は明らかに間違い。

>>587

その証明は完全に間違いだな。
大幅な修正をしないと直らない。

縮小写像の不動点定理(contraction mapping theorem)が必要。

これはかなり致命的な欠陥だね。

多変数の逆関数の定理って解析の入門では重積分の変数変換の公式と
並んでもっとも厄介かつ重要なところ。

その証明で致命的な欠陥があるとは驚いた。

本当に欠陥なのであれば、どうして今まで誰も気づかなかっただろうか？
マジメに読まれてないってことか？

第２巻にその定理の仮定を弱めたいわゆる普通の逆関数の定理の
証明がある。
その証明は陰関数の定理を元にしていて、第１巻の証明とはかなり違う。
第２巻の方の証明はたぶん正しいんだろうね。

だから普通は第２巻の証明に注目して、第１巻の証明はあまり気に
かけずにさらっと流すんじゃないかな。
そこが落とし穴。

第１巻の証明は蛇足だね。
余計なことをしてそこで致命的な失敗を犯すことはよくある。
気が緩むんだろうね。

どれ？
１）弘法も筆の謝り
２）合羽の川流れ
３）申も木から落ちる

>>602
> どうして今まで誰も気づかなかっただろうか？

読んだ人はみんな気がついてるよ。

>>605

そんなことはない。
前書きの追記で誰かが全ページ詳細精密に検討して誤りを指摘したと
ある。少なくもその人は気づいていない。

そんなこと書いてないけどな。。。

>>607

追記に何て書いてある？

97年3月の追記に書いてある。

検討したと書いているのであって、誤りを指摘したとは書いていない。
誤りを訂正したのは杉浦本人。
だからその人が気づいてないとは言い切れないよ。

おかげで多くの誤りを訂正することができた。

だから誤りを訂正したのは杉浦本人だろ。

は？

検討した人も気づかなかったから、訂正できていないんだろ。

だから、誰かが検討して、杉浦が訂正したんだよ。

>>614
検討した人は気づいてたが、杉浦が誤りに気づかなかった可能性もある。

それか指摘されても分からないほど杉浦が馬鹿ということかもしれん

杉浦も気づいたが出版社が直し忘れたのかも知れんぞ。

いままでだってお前ら気づいていなかったじゃねーか。

学者がみんなでスコットランドを旅行していた。

すると列車の窓から黒い羊が見えた。

天文学者　「これは驚いた。スコットランドの羊は黒いのか。」

物理学者　「いいや、正確には、スコットランドには黒い羊もいる、ということだ。」

数学者　「いやいや。厳密には、スコットランドには、少なくとも一匹の羊がいて、

　　　　　その羊の少なくとも片方の側面が黒い、ということだろ。」

間違っていたのか… 何も気付かなかったオレは一体…

キミは杉浦並のざる頭。w

でもそんなの関係ねぇ

お、ぱ、ぴ

>>610

本気で言ってるとしたらあんたはアホ。
その人は検討だけして杉浦に何も伝えなかったのか？

でもそんなの関係ねぇ

>>625
アホはお前だ。

>>627
アホはお前だ。

>>627

理由は？

>>628
アホはお前だ。

NGワード推奨：アホ

でもそんなの関係ねぇ

荒れてるな･･･
２巻の�Y章定理2.2(p21)を使えば、割と簡単に修正できると思う。
まあ、その定理の証明のための準備はかなり要るけど･･･

ひとまず解決だな
これで杉浦スレにまた平和な日々が戻るのであった

縮小写像定理(contraction mapping theorem)
これを使って直接証明するのもいいよ。

この方が今の主流じゃないのかな。

縮小写像定理は微分方程式の解の存在定理にも使えて応用が広い。
杉浦には載ってないのか？

>>635
どうなんだろう･･･
索引には「縮小写像」という項は無かった。
自分は、全部読んでないからわからん。
縮小写像を使ったやり方は、松坂和夫先生の解析入門で見た気がする

まえがきくらい読めよ。

そういえば、第２巻の前書きに書いてあったな。
読んだもの全てをいつまでも覚えてるとは限らない。

縮小写像定理を使わないことにしたのが、あの間違いの元になった。

名無しのくせに言い訳するやつｗ

至極もっともな話をいいわけととるドキュンｗ

どっどっどどどどっどっどどどきゅん！

至極もっともな話ってのは>>637のことかな？

>>639>>643のことだろ。

杉浦の証明間違ってるんだって？
やはり帯に短したすきに流し本だな。
Rudinを読むにこしたことはない。

どんな本でも誤植くらいあるだろうに・・・

>>645
あふぉ。誤植や計算ミスは数学書では「誤り」とはいわんのだ。

�Uの１２p（陰函数定理�Uの証明）で(1.31) (∂fm/∂ym)(c)≠0 としていいのはどうしてでしょうか。
必要があればyの座標yiの番号を取換えてとありますがこのようにすると元のfmが変わってしまうと思うのですが・・。

>>647
特定のhogahogeのみでやってんじゃないんだから、
数字置き換えるだけで同じ論理が通用するなら、
わざわざ置き換えたら表記がウザくなる場合とか
考える必要ネーだろ

って意味。

>>648
なうほど、そういう意味でしたか。私は(∂fm/∂ym)(c)≠0の仮定はおかしいと思ったのでこれを仮定しないで
証明したのですが結構面倒でした。その証明の途中で(∂fm/∂ym)(c)=0で(∂fm/∂yi)(c)≠0（i≠m)でもiをm
と読み替えれば本質的には同じだろうとは薄々感じましたが証明が複雑なのでそう割り切ってもいいのかな、
という思いはありました。陰函数の定理（特に多変数）は縮小写像を使った証明の方がすっきりしていいと感じました。

>>644
>Rudinを読むにこしたことはない。

Rudin の Priciples of mathematics analysis か？
あれは Spivak に習って多重積分を鎖上の微分形式の積分として
定義してるんだが、どうも古典的な場合の説明が不足しているようだ。

例えば、ｎ次元空間における有限個の滑らかな超曲面に囲まれた
コンパクト領域（まずこれを正確に定義するのが一苦労）において定義
された連続関数の積分を定義し、その計算方法を説明してあるか？

コンパクトでない領域における広義積分は？

その現代的で簡潔なところがいいのに。

>>651

古典的な場合をすっとばしてるんじゃ使えない。

どうせ一冊で済ますわけじゃないんだから、
一冊で全部賄ってる必要は無いだろ……

基本をぬかしちゃ駄目だよ。
微分形式なんて微分幾何でやるんだから、微積分の入門になくてもいい。
本末転倒。

ああ、うぜーんだよ、それぞれの本に特長があるんだよ。

preface読め

>>655

負け惜しみ乙

>>656

読んだがそれどうした？

だったら別の本読めばいいだけだろ。

明日は休み。

>>659

英語知らない乙

660 僕も休み　おまえもしかして同じ大学かもな

ぼくも買って読んでない。あ〜あ、やりたいな

>>650
普通にrudinと言う場合はreal and complex analysisを指すんじゃないか？
確かに内容の面から杉浦とmathematical analysisを比較するのは良くわかるが。
個人的には杉浦�T→rudin:real and complex analysisと進むのが王道だと思う。

二巻読みきった人いる？

一巻は読めたけど二巻の陰関数、多様体のところで挫折した

多重積分の変数変換の公式の証明が間違ってるよ。

p110 の７行目の式
(1 - pσ)AW_1 ⊂ g_1(W_1) ⊂ (1 + pσ)AW_1

これは命題4.3からでると書いてあるが、W_1 は開区間だろ。
命題4.3では W は閉区間だよ。

そんなものは自分で修正しながら読むもんだ。いちいち書くなよ>厨房

>>668

開区間と閉区間じゃ大違い。
どうやって修正するのか教えてもらおうか。

もう一個間違い。
やはり第２巻のp108の５行目。

いま、任意の u ∈ W に対し有限増分の定理 III (4.5) と (4.8) により、

と書いてあるが W は閉区間だろ。
有限増分の定理は開集合を対象にしてる。

ぼろぼろだな。

証明くらい自分で考えろよ・・・

これだから「ゆとり」は困る

煽ることしかできないおっさんは黙れ。

>>671
ぷ

>>671
今まで、気づかなかったんだろ、素直になれよ。

>>671
なんだ、はじめてか、まあ力抜けよ。

>>671
かかって来いやー

>>671
あへあへ

>>671
　　　　　　　／: : :/: :/} :小: : : : : : : : ≧ｰ
　　 　 ＿_,/ /: : /: :/ ,| : | ∨| : : : : : 廴　　　どーでも
　 　 ｆ´／ }:/.: :.ﾑ斗'　| /| `ﾍ}ヽ: : : : ﾍく
　 　 ∨　 ,ｲ: : :{ :/　　j/　 　　　Ｖ | : : ∨　　 　／　 　 ／　　 /　　|　＿|＿　―　/／￣7l l ＿|＿
　　 　 ヽ､{∧ 圷旡≧/ / /≦乏ｱ:| ﾄ､:ﾊ_　　／|　　_／|　 　 /　 　|　　｜　 ―　/　＼/　　 　｜　　―――
　　　 　 |:ヽ}ﾍ:/ | 　|/ / / / |　| �W |:｢ヽ}　　 　|　　　　|　　/　　 　| 　 丿　＿／　　／　　 　 丿
　　　 　 |: :|:`ｰ.､| 　| ,　-- ､ |　| {ﾑ/:{
　　　 　 |: :|: : :|:|＞ ､ｰ'⌒ｰ'_. イ: : |: :|
　　　 　 |: :|: : :|:|　 ,.≦厂 ｢x 　|: : :|: :|
　　　 　 | : ', : :',|／　 {_＿_７`ｰl: : :|: :|

>>671

>>671>>671

>>671>>671>>671

>>671>>671>>671>>671

>>671>>671>>671>>671>>671

>>671>>671>>671>>671>>671>>671

>>671>>671>>671>>671>>671>>671>>671

IDほしいな

頼むから杉浦スレを荒らさないでくれ

釣れた釣れたｗ

しかし変数変換公式の証明も間違ってるなんて、ダメダメだね。

>>667

W_1 は開区間となっているが閉区間の印刷ミスの可能性もある。
そうだとすると証明は間違っていない。

それにしても著者もゲラ刷りをチェックするはずなんで
そのときに気づかなかったのはいただけない。

>>670

h は W を含む開集合 U で C^1 なので U に有限増分の定理を
適用すればいい。
しかし、そのことを書かないのはいかがなものか。

単なるミスだろ

ミスが多すぎだよ。

この程度で「ミスが多すぎ」ってｗ

みんな演習問題も全部解いてるの？

節によってバラつきがあるけど、�T�Uを通して８割くらいかな。

>>693

ゆとり乙。

この程度って、逆関数の定理の証明の大きなミスと積分の変数変換の証明のミス。
これだけあれば十分に多いよ。
どちらも多変数の微積分の要となる定理だ。

結論：杉浦はアホ

僕は1巻の４章§9で読めなくなったが読めたことにした　今は演習をやってるよ

138pの命題6.9の仮定はｆはC^1級とすべきだろう。単に微分可能では|f'(x)|が連続とは限らないないからsup[x∈L]|f'(x)|が存在しない可能性がある。

>>697
お前よりはアホじゃないと思うぞ

>>699
ん？
連続じゃなくても、supは存在しても良いんじゃないか？
maxは存在しないが・・・

俺も中途半端な知識しかないから、間違ってたらすまん

低レベルなカキコが多いのにはあきれる

素直に解析概論かっとけばよかった

解析概論はだめぽ

>>702
では、お主は高レベルな書き込みができるのか？

>>699
?

大学生にもなって教科書の誤りくらいでジタバタしているのかw
セミナーでそんな事ほざいてみろ。
「じゃあ君はどう証明したの?」って言われるだけだぜ。

セミナーの話なんてしてないし、教科書の誤りで「ジタバタ」しているわけでもない。クズは消えろ。

ぷぅ♪
クズだってw

>>707
意味不明

>>707
たまには外出ろよ。

>>707
くせーんだよ、こっちくんな、ボケ

>>707
グリーンだよ

>>707
どんまい

>>707
ける

I. 278ページ,定理9.11の証明で
J_pをJ'_pに拡大する理由が分かりません。
拡大しなくてもいい気がするけど

うむ、さんかいまわってこけこっこーだな

>>716

拡大の意味ないな。
どうも杉浦は重箱の隅をつつきすぎて大局を見失ってる気がする。

おれ1か月前くらいに杉浦読むの辞めた。
４章の途中までは読めたんだが、次第に>>718が言うように
全体として何を言っているのかが見えなくなってきたから。

今は小平読んでる。すごくすっきりしていてわかりやすい。
木も森も見える。杉浦は木しか見えなかった。

だからこれは辞書なんだって

�Tは結構いいと思うが�Uは糞だな。
ルベー具積分仮定せずにフーリエ解析やっても意味ないし、ベクトル解析も
多様体の勉強の中でやったほうがいいし、複素解析もアールフォースなりで
やったほうがいい。
完全な時間の無駄。

アンチの必死さが笑えるｗ

この程度で辞書とか言ってるなよ・・・

所詮は文理共通、一年坊主用教科書だ

解析概論で流れをつかんで解析入門で知識を詰めていくのがベストな方法。

> �Uは糞だな
そうかな？スタンダードになってるからもっててもいいと思う。
タバコ1カートン買ったと思えば安い

タバコや酒という毒を敢えて買うことは無い。
タバコ1カートンなんて金をドブに捨てるよりももったいない。

〜は糞。
訳：何回読んでも理解できませんでした。でも僕は悪くありません。

> 酒という毒
飲み会とかいかないの？

>>728
俺に死ねというのか

ﾟДﾟ)＜　俺のクリスマスを予言 　
◇レス番１桁目.　　　　　　◇時刻の秒の一桁目　　◇時刻の秒の2桁目
　 [1] 女子高生に.　　　　 　 [1] 「アナタが好き」と　　　　　　　　 [1] 告白される。
　 [2] ダッチワイフに　　 　 [2] 「同情しちゃうわｗ」と.　　　　　 　[2] プレゼントをもらう。
　 [3] 母親に.　　　　 　 　 　 [3] 「愛しているの」と　 　　　 [3] 24時間説教される。
　 [4] 家出少女に.　　　　　　[4] 「死ね」と.　　 　 　 　 [4] 言われながらオナニー。
　 [5] 女友達に.　　　　 　 　 [5] 「結婚して」と.　 　 　 　 [5] アナルを責められる
　 [6] 二丁目の兄貴に.　　　[6] 「ウホッ」と.　　 　 　 　 　 [6] 刺殺される。
　 [7] 酔っぱらいオヤジに　[7] 「仕様です」と　　　　　　　　　　　 [7] 結婚届にサインさせられる
　 [8] 風俗嬢に.　　　　　　　 [8]「イクーッ」と　　　　　　　　　　　　 [8] セックスさしてもらう。
　 [9] ょぅじょに.　　　　　　　 [9]「警察呼ぶわよ」と　　　　　　　　　[9] 一生からかわれる。
　 [0] 隣の若妻に.　　　　　　[0]「アナタだけはあり得ない」と　　 [0]集団暴行を受ける

ﾟДﾟ)＜　俺のクリスマスを予言 　
◇レス番１桁目.　　　　　　◇時刻の秒の一桁目　　◇時刻の秒の2桁目
　 [1] 女子高生に.　　　　 　 [1] 「アナタが好き」と　　　　　　　　 [1] 告白される。
　 [2] ダッチワイフに　　 　 [2] 「同情しちゃうわｗ」と.　　　　　 　[2] プレゼントをもらう。
　 [3] 母親に.　　　　 　 　 　 [3] 「愛しているの」と　 　　　 [3] 24時間説教される。
　 [4] 家出少女に.　　　　　　[4] 「死ね」と.　　 　 　 　 [4] 言われながらオナニー。
　 [5] 女友達に.　　　　 　 　 [5] 「結婚して」と.　 　 　 　 [5] アナルを責められる
　 [6] 二丁目の兄貴に.　　　[6] 「ウホッ」と.　　 　 　 　 　 [6] 刺殺される。
　 [7] 酔っぱらいオヤジに　[7] 「仕様です」と　　　　　　　　　　　 [7] 結婚届にサインさせられる
　 [8] 風俗嬢に.　　　　　　　 [8]「イクーッ」と　　　　　　　　　　　　 [8] セックスさしてもらう。
　 [9] ょぅじょに.　　　　　　　 [9]「警察呼ぶわよ」と　　　　　　　　　[9] 一生からかわれる。
　 [0] 隣の若妻に.　　　　　　[0]「アナタだけはあり得ない」と　　 [0]集団暴行を受ける

このスレを見ている人はこんなスレも見ています。(ver 0.20)
リニアモーターカー [未来技術]
蛇 [野生生物]

このスレで薦められたとおり杉浦�Tを読んだ後、rudin:real and complex analysis
を読んでみたのでその感想を。
実解析の部分に関しては独力で読むのは相当大変だった。
位相の知識が必要な上、Rieszの表現定理（この証明がかなり大変）から一気に
ルベーグ測度を構成するのでルベーグ積分の入門書としては向いていないかも。
さらに杉浦と違って行間が広く、それを埋めることが必要なので、杉浦がなんとか読める程度の
人が独力で読むのは難しいと思う。
結論としては杉浦を読んで、さらに位相と伊藤：ルベーグ積分あたりを読んだ後
まとめとしてrudinを読むのがいいのではないか（定理の間の関係を重視しているし
関数解析の基礎まで学べるのでその点は良いと思う）。

Rudin高杉る

>>733のプランで読むなら無理にRudinで仕上げなくてもいいような気がする。

英語力と数学力を同時に鍛えられるからいいじゃないか

ダルブーはいつになっても好きになれない

杉浦は辞書として使うことにして基本は小平読んだほうがいいよ これから読もうとしているみなさん

この程度で、辞書、か。（笑）

一年坊主用の教科書が「辞書」に見えるのは知力不足の証明だ。

辞書にも入門書にもならんわw

1970年代には「駒場の新入生が教科書を読めない」という問題が顕在化したため、
「今時のアホな学生でも読める教科書」作りが急務となり、杉浦解析入門が執筆された。
1980年代には駒場の新入生は杉浦解析入門を読んで勉強していた。

辞書とか言ってるやつ、やばいよ
少なくとも�Tのほうは数学科と物理科には必要なこと（知らなければいけないこと）しか書いてない

性犯罪は語る。　正義を見失った司法関係者　

夕方帰宅中の女子高校生が、東京都足立区綾瀬の路上で少年（１８歳と１６歳）
に誘拐され、少年の両親も同居する家に４０日間監禁され、暴行殺害された。
少年らは、監禁中、被害者の陰毛を剃り全裸で踊らせたり、体に揮発性油を塗り
ライターで火をつけ、熱がる様子を見て笑い転げた。遺体の性器及び肛門には
スポーツドリンクの瓶が押し込まれていた。少年法が適用されるため、監禁場所の
強制家宅捜索はできなかった。
　少年らの刑期から未決勾留期間が差引かれるうえ、刑期満了前の仮保釈があるため
主犯以外は全て６年程度しか服役していない。主犯は平成１９年２月には仮出所した。
　服役中は給料（作業報奨金）が支払われ土日休業、平日は毎日３時間の自由時間がある。
受刑者１人当たり月２０万円の税金が使われ、被害者側の税金（消費税を含む）で
賄われている。一方、被害者の遺族は検死場所から遺体を引き取るための自動車代まで
支払わねばならなかった。　「女子高生コンクリート詰め殺人事件」

みんな問題どれくらい解ける？
二割くらいしか解けてないんだが。

ま、そんなもんだ。
本文のスジがきちんと把握できてればとりあえず解けなくてもＯＫ。
それより、本伏せて定義と証明ひととおり書いてみろ。書けるよな？

は？んな丸暗記みたいなことやったってしゃーねーべ（笑）

>>746
お前、数学科じゃないと見た。

解析の演習書って何がいいのかな。
杉浦他（東大出版）は解析入門をより良く理解するための演習のように見えるし、
大学院入試対策を含めた解析の演習書ってありますか？

解析演習やれば学部レベルの解析はほぼパーフェクトだと思うけど。

杉浦のIが通読出来ないようでは、数学はあきらめろ。
後は電卓と公式集かか数学ソフトに頼れ。
それだって或る程度の基礎は必要だがな。

大晦日も数学三昧
至福の時間だね

Rudinの暴騰ぶりワラタ
数年前に自主ゼミ目的でルネで買ったときは3000〜4000円ぐらいだったぞｗｗ

杉浦先生の解析は難しくて、読めません
何かいい本ありませんか？
いま、大学２年生です

>>753
大きな本屋に行けば易しい本も一杯並んでいるから
自分で手にとって見てみて見

>>752 俺涙目ｗ殆ど一万円じゃん＾＾＾；

このスレでは杉浦の後はRudinでという流れのようだけど、ルベーグ積分（と関数解析の初歩）
に関しては
Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis：
Kolmogorov,Fomin
がベストだと思う。値段も信じられないくらい安い。
伊藤：「ルベーグ積分入門」は扱いが古く、かつ冗長すぎて使いもにならない。
何故この本がもっと宣伝されないんだろ？

どの本が？

>>756
はいはい

函数解析の応用にはどんなのがあるの？　おせーてー。

解析入門�Tの知識でReal and Complex analysis読める？

>>760
解析入門�Tの知識でKolmogorov,Fomin嫁

数学を愛する誰もが一様に一応は書架しておかねばならない杉浦解析入門�T
age

>>762
�Uは？

>>762 ぢゃないが、�Uは一冊に詰め込みすぎていて、�T程有用性が高くないと思う。
多様体は松島、多変数はスピヴァック、複素解析はアールフォルスと使い分けた方が良い。
ただ、要約が一冊にまとまっているという意味で、�Uにも利便性はある。

もってないとカッコがつかん本

ついでにあげとくか

正直　松島がそんなに良いとは思えん
当時、日本語の多様体の本がすくなっかっただけだろう

ieteru

>>767
いい本をくれ

加藤十吉の微分積分学原論はこの本の部分集合
あっちはページ数少なくまとめ上げてるのが利点

>>756
コルモゴロフ・フォミーンのルベーグ積分は確かに伊藤のそれに比べてすっきりしてたな。Doverでかなり安いし、日本語訳のほうが良いなら図書館にいくらでもあるだろうし。
もうちょっと具体的に言うと、測度の話が伊藤に比べてコンパクトにまとめられているおかげで、
さっさとルベーグ積分に入ることが出来た、ってとこか。
ルベーグ積分を道具として使いたい人の立場からすると、さっさとルベーグの収束定理とかフビニの定理とかに進みたいだろうから、
こっちの方がお勧めできるな。つーか俺が教官にそう勧められたｗ
測度論ががっつり必要な人は伊藤がいいのかもしれんが。確率の人とかそうなんかね？

読めなくても一応は持っておくべき本だな、これは。

こんなの読めないやつは死んだ方がマシ

大学一年でこの本が読めないなら、
理系はやめた方がいい

まあかくいう私も二巻の変数変換の公式あたりと複素解析のあたりまでしか読んでないけど。
Iは気合入れれば読めるが思うが�Uはかなり難しい。

たかがこれくらいで難しいなんていってたら将来絶望的だぞ
もっと脳を鍛えろ

数学者になるんじゃないならいいんじゃね？

多変数の変数変換の公式は厳密にやろうとするとむずいんだよ。
普通の本はそこをごまかしている。
厳密にやるだけが能じゃないからこだわらずに先に進むのが利口。

脳の鍛え方教えてほしい

大人のDSトレーニング

今更だけどこれ読み進めるかな。
ところで演習問題って解いていけるもんなのか？
解説がなさ過ぎてわからない問題にぶち当たった時に物凄く困るんだが･･･

数学の本すべてに言えるねｗ

たかが微積の問題を解けない奴に数学やる価値なし

よーし、パパ「たかが微積の問題」出しちゃうぞー。

Σ[k＝1〜∞]1/k^3 ＝ {(4π^2)/7}lim[r↑1]Σ[k＝1〜∞]{(−r)^k}*(k^2)*logk を示せ。

>>782
そうですよねぇ。高校までだったら自力でほぼ全部解けて、わからないものは先生に聞いて解決していたのでいいのですが、大学だと身近に聞ける教授がいない状態なので、皆さんどうしてるのかと･･･
受身でただ授業を聞いて、与えられた問題だけ演習してる分には特に問題は無いんですけど、いざ独学で本を読もうとするとわからない問題が多すぎで；

それで、質問なんですが誰か解答してくださる方がいますでしょうかね；
開始早々さっそくわからない問題がありました。


p16問題2　x∈R に対し f(x)=lim_[n→∞](lim_[m→∞](cos(n!πx)^(2m))) を求めよ。
答：f(x)=1(x=有理数)　f(x)=0 (x=無理数)

答えしか書いていないので、全くわかりません。せめて解法の糸口だけでもご教授願いたいです。


p17問題７ nが自然数ならば n<k<n+1 となる自然数kは存在しないことを証明せよ。
ヒント：A={0}∪{n∈N|n≧1}は継承的

自明すぎてどう証明していいやら：継承的という言葉がまだ身についておらず、どうしても数学的帰納法で証明したくなっていまうのですが、これは出来ませんよね？
Nは最小の継承的集合であるということに矛盾が生じることを使いそうな気がするのですが、どう使ってよいのかわかりません。

くだらない問題かと思いますが、どなたかよろしくお願いいたしますm(__)m

16　xが有理数⇒n!x∈N
17　if,n<k<n+1でｋが自然数⇒0<k-n<1なる数k-nも自然数。
　自然数は0,1と始まるから、明らかに矛盾。

>>787
おぉ、16はそういうことですか！
しかし、十分大きいnに対して　xが有理数⇒n!x∈N　であるということはある種直感的ですけど、解答としてはこの程度の記述で十分なのでしょうか？
17の方はいたって簡単ですね･･･
ヒントを一切使ってない気がしますが、著者が意図した解法は別にあるということですかね？

787さんじゃないですけど

>>788
A={0}∪{n∈N|n≧1}は継承的だからN⊂Aで，
よって0<k-n<1なる数k-nは（Aの元でないから）Nの元ではない．
いっぽう，k,nが自然数でn<kのときk-nも自然数である事は
p17問題6で言ってる．これは矛盾．

・・・と考えれば，一応ヒントは使ってるとおもいます．

>>789
なるほど！
これですっきりと次に進めます。

なんか悩むべき場所で無いところで辺に時間くってしまいますね；
今日も他の勉強と並行して頑張りますかな

本文は読めるんだが、節末問題が解けないorz
この調子で大丈夫なのだろうか疑問だ。


親切な人がいることを願ってまた質問をさせて頂きます。
本文に関して
p20L4 (n)_n∈N は単調増加列だから(3.9)から逆に(3.7)が導かれる。
(3.9) lim_[n→∞]2^n=+∞ lim_[n→∞]2^(-n)=-∞
(3.7) lim_[n→∞]n=+∞
アルキメデスの原理と同値な式をいくつか導出しているなかで、この部分だけわかりませんでした。自明な事だから本文には特に書いてないと思うのですがちょっとわからないので･･･

p31§3 の問題
１）(�F)(1*3*5*…*(2n-1))/(2*4*6*…*2n) この数列が収束することを証明し、極限を求めよ。
0に収束することは感覚でわかるのですが、どのように式変形をしてよいのかわかりません。

3)b>a>0, a[0]=a, b[0]=b, a[n]=(a[n-1]+b[n-1])/2, b[n]=√(a[n]b[n-1]) とするとき、l=lim_[n→∞]a[n]=lim_[n→∞]b[n] が存在することを示せ。また a=b*cos x と置いて l を求めよ。
特にa=1/4, b=1/2√2 のとき、直径１の円に外接、内接する正 2^(n+2) 角形の周の長さの逆数が a[n],b[n] で l=1/π である。
a[n]が単調増加列でb[n]が単調減少列であり、b[n]-a[n]≧0 から極限が存在することを示すという方針はわかるのですが、式変形がどうもうまくいきません。同じくどう式変形をして極限を求めるのかわかりません。

4)任意の順序体Kは有理数体Q（と同型な体）を含むことを証明せよ。
略解 Kの乗法単位元１をn(n∈N)個加えたものを n・1 とする。±n・1∈Kだから K_0={n・1/m・1|n,m∈Z,m≠0}⊂K でn/m→n・1/m・1がQからK_0への同型写像
同型であるということがいまいちわからないので・・・東大出版の数学の基礎にのっている同型写像の定義を見て略解とにらめっこしましたがよくわからなかったです；

どなたかご教授お願い致しますm(__)m

がんばってるな

p31 1)(�F)a[n]:=(1*3*5*…*(2n-1))/(2*4*6*…*2n)
a[n]は非負の単調減少列より、0以上の実数に収束。
1/2≧a[n]≧(a[n])^2≧a[n^2]≧0でnを∞にとばす。

4)はやらなくていい問題。

>>794
>(a[n])^2≧a[n^2]
kwsk

なんか勘違いしていたみたいです…すいません　orz

1-1/(2n)≦2^(-1/(2n)).

実数の構成について質問です。
杉浦では実数が完備なアルキメデス順序体の公理を満たすことをのべて
練習問題でそれが一意的であることを示しています。
しかし、これだけでは片手落ちで実際に実数を構成して、それがこの公理を
満たすことを言わなければならないのでしょうか？
スペース的に不可能なので省略したということ？

と思ったら練習問題で扱ってますね。
この本は大事なことを練習問題に押し込んでしまう癖があるようです。

>>799 >>800
何か、この本を誤読してませんかね。
この本では、有理数体から実数を構築するというプロセスを採用していないと
思いますが。

ここでは、
実数の公理を提示して、それを満たすものをＲと定義し、
Ｒの部分集合としてＮを定義し、
Ｎを使って、Ｒの部分集合であるＺやＱを定義する
というアプローチを取っています。

歴史的には、実数を厳密に定義する（すなわち、実数の過不足ない公理系を得る）
にあたり、Ｑから完備化によりＲを得るというプロセスがあるわけですが、
公理系が得られたあかつきには、そのプロセスはある意味用済みです。
したがって、いきなりＲから出発するこの本では、完備化の話は
「歴史の勉強」に過ぎないので、練習問題に入っているだけです。

つまり実数の公理系を満たすような集合が存在するならば，それは一意であって，
その集合がどのような性質を満たすか，という体系になっているわけですよね。

空集合φや{φ}，{φ，{φ}}，といった基本的な集合の組み合わせとしてその
公理系を満たす集合が構成できるのか，という点については述べず，
「もしあれば」という仮定の下での話になっている，という理解でよいでしょうか。

>>801
ありがとう。成る程と思います。

ただ802さんも言うようにその公理系を満たす集合が存在することを
示さないと非常に気持ち悪いようにも思うのですが。。

実数の公理の無矛盾性（ないしはRの存在）を示すにはQからの完備化に
よるしかないんだろうか？
そうだとすれば結局歴史から逃れることはできないことになる。
基礎論はむずくてよくわからん。

実数の公理の無矛盾性を示すための、集合論から始まる議論は、
もちろん必要なものだと思います。ただ、この本のスタンスは、
「その議論は他の本に譲る」なのではないでしょうか。
I章1節の冒頭で「実数が我々の出発点となる」と宣言しているのは
そういう意味も込められていると感じます。
（まえがきにも、「実数の概念を出発点とした。解析学の立場からはこれが
最も自然だと考えたからである」という記述がありますね。）

完備化の議論から出発しないメリットは２つあると思います。

１つは、完備化によりＱから得られた、コーシー列の同値類の集合としての
Ｒの中に、（Ｑの１つの要素を繰り返すだけの数列を含む同値類の集合と
Ｑ自体を同一視して）Ｑ自体を取り込む際に、暗黙のうちに行われる
記号類の付け替えを必要としないこと、

もう１つは、Ｒの公理系から出発してＲの部分集合として定義される
ＮやＱの（Ｒの存在を踏まえた）性質についての議論をする際に、
Ｒとは関係なく定義されたＮやＱについての議論を踏まえずに、
まっさらな状態から議論できること

です。

もちろん、本の作り方として、完備化のプロセスをきちんと説明したあと、
改めて（読者にもそのプロセスは一旦脇に置いてもらって）実数の公理系から
出発する本書の議論を１から始めるというのもありだとは思いますが、
当然重複する議論も多く、逆に読者を混乱させることにもなるので、
あえて、そこは本の内容からバッサリ削ったのではないでしょうか。
（もちろん、基礎論と解析学の間の線引きという意味もあるでしょうが。）

何でも一冊の本、一つのシリーズで間に合わせたいんなら
ブルバキでも読んどけ。

>>792
1)だけわかったお
logを取って面積を比較して∫{1,∞]log((2x-1)/2x)dx=-∞となることを使うとおｋ

An＝(1*3*5*…*(2n-1))/(2*4*6*…*2n)＝Π[k＝1〜n](2k−1)/(2k) なので
(An)^2＝Π[k＝1〜n]{(2k−1)/(2k)}*{(2k−1)/(2k)}＜Π[k＝1〜n]{(2k−1)/(2k)}*{(2k)/(2k＋1)}
＝Π[k＝1〜n]{(2k−1)/(2k＋1)}＝1/(2n＋1)
すなわちAn＜1/√(2n＋1) となるから、Anは0に収束する。

>>800
（ある意味）大事だけど、微分積分の勉強にとってはあまり
重要ではないので省略します、ということかと。

ただ、何だか良く分からん集合を使って、もう少し良く分かっている実数を構成しても
集合論が無矛盾→実数論も無矛盾
ということしか言えないのであって、
実数論の無矛盾性を無前提に証明したわけではない。
集合論が有用だという説明にはなっても、実数論が無矛盾っぽい
（或いは実数体が存在する）という説明としてはかなり微妙なんだけどね。

Iのp147で「一次写像(df)_xは(df)_x(z)=φ'(0)だから座標系の取り方
に関係しない」との記述がありますが、なぜだかよく
わかりません。
p148の例1をみると極座標に対しても(7.9)を適用しています。
多様体の知識があれば当たり前の気がしますが、本文中
の内容だけで、これらの内容は理解できるのでしょうか？
大きな飛躍がある気が･･･。

座標系の取り方に言及している時点で
多様体の視点が（線型代数の視点が、でもいい）
まぎれこんでいるんで、確かにここは少し無理がある。
多様体なり線型代数なりを知らないと理解しにくいことを
詳しい説明抜きに書いていて、
読者に要求する前提知識がここだけ局所的に高い。
まあ完璧な教科書なんて古今東西ありえないから
全体から見たら小さい傷と思って気にせず先に進め。
多様体の知識はあるんでしょ？

そうなのか！よかった。実はおれもあまりその部分はよくわからなかったんだ。

この本は木を見て森を見ずに陥りやすい。

>>811
>読者に要求する前提知識がここだけ局所的に高い。
>多様体の知識はあるんでしょ？
今はあります。あるようになって解析入門を見たときに
「この本文で理解できるような内容なのか？」と
疑問に思ってしまって。
>>812,813
やはり、他の方々もそのように感じてたのですか。
安心しました。

杉浦一冊自己完結を目指す阿呆共。
ブルバキ叢書でもできなかったことが
こんな２巻本の小冊でできるわけない。

>>815
それはまことにそのとおり。とはいえ、「杉浦一冊自己完結」を
目指したのは杉浦先生本人であることも確かで、
たとえば第II章の命題6.5は、連鎖律や逆函数定理I等の理解・証明に
必要な限りにおいて、証明をつけて線型代数の命題を流用する、
という方針であって、これに限らず全編この調子で筆が進むのが
この本の大きな特徴のひとつ。もしも自己完結を目指さないなら
「証明は佐武本か斎藤本を参照せよ」で済ませることももちろん可能。

ブルバキはやはり読んでおくべき？

>>815
私が今、代数的整数論のスレでやろうとしているのが、Bourbakiが
要約しか書いてないBourbaki流の微積分、
つまりBanach空間またはもっと一般に局所凸位相線形空間上での微積分。
どこまで出来るかはやってみないとわからないが。
予備知識としては群、環、体などの代数の初歩と線形代数。
ただし、代数的整数論の過去スレは自由に引用する。

少なくとも今の>>817には不要。
ブルバキは「位相」シリーズに見るべきものがあると思うが、
ブルバキを読むべきかどうか自力で判断できないレベルの人は
読んでも得るところが少ない。

全国の大学初年度のカリキュラムに線型代数が定着した今、
微積分の教科書を書くなら、
一変数の積分を多変数の微分よりも先に導入して、
場合によっては一変数と多変数を分冊にするとかして、
多変数については線型代数と一変数の微積分を前提として
展開するのが適切かと思う。

このごろ多変数を一変数から完全に分離した本が増えてきた。

杉浦の最大の欠点は微分の説明をいきなり多変数で始めてることじゃないだろうか。
初学者がおそるおそる微分を勉強しようというときにいきなり多変数で
始められちゃうと面くらうと思うが。
数学的には見通しが良くても、挫折者を量産した罪は大きいような気がする。

とアホが申しています＾＾

やっぱり小平本がいいですか、そうですか

>>799
理工系一年生用の教科書だから実数体の構成を割愛している。
工学部一年生に実数体の構成を説明しても理解不能でしょ。

>>810
2変数の線型写像を理解していれば十分に理解可能な記述だよ。
いまは高校で線型写像を教えなくなったのかな？

>>821
直感的な微積分は高校で散々やってる、という前提で書かれてるからね。

>>824
4月から大学4年になる人以上の世代は、高校で一次変換やってない。

4月から3年以下の世代では一次変換が復活したが、点の変換しかやらず
直線の変換は扱わないことになっているので、y=Axという写像じたいは
習っても線型性の訓練などはあまり受けてない。

そういう意味では、杉浦に限らず多くの定番教科書は現状に合ってない
のだが、さてどうしますかねえ？？

線型代数の本読めよ

>>819
現在の高校の状況から考えると、以前より数III・Cの部分が弱く
なっているので、「直感的な微積分は高校で散々やってる」という
前提がやや崩れています。

そういう意味では、大学1年で1変数、大学2年で多変数の微積分を
教えるのが、多くの大学では現状に合っていると思います。
こうすれば、多変数のときに線型代数を仮定しても問題ない。

日本の数III・Cの大半を高校で習わない米国の場合、微積のテキストも
このカリキュラムを前提にしてるものも少なくありません。

ただ、数学教員が減らされている今の日本では、大学運営の問題から
このカリキュラムは現実的でないでしょう。ま、適当にやるしかないか。

>>818
>予備知識としては群、環、体などの代数の初歩と線形代数。

これだけでは足りないな。
一般位相の初歩と微積分の初歩が必要。

「森ダイヤグラム」だね。中学から高校、大学教養にかけての
解析学のカリキュラムの骨格は、1次函数からはじめて、
かたや2次函数を経て1変数の微積分へ発展させ、
かたや次元を上げて線型代数へ発展させ、
この2つを多変数の微積分に統合すべしという・・・

�U,p27の局所関連定理の最後の部分で
「従って特にf1,…,fmはV上関数関係にある.」
と書いてあるところが分かりません。
f1,…,fmはV上関数関係にあるんですか?

p374,p375に、
1-(1/2)+(1/3)-(1/4)+(1/5)-(1/6)+(1/7)-(1/8)+・・・
という級数の項の順番を変えて、
正項をp個加えて次に負項をq個加えてできる級数の和は
log2+(1/2)log(p/q)
になる、ということが書いてありますが、なぜそうなるのか
さっぱりわかりません。
わかる方、教えていただけますか？

杉浦�Tと解析概論を今年の一月にすべて読み終わって今REAL AND COMPLEX ANALYSISを読んでる。
高かったが、すごく読みやすくて分かりやすい。
解析概論はそこそこ良かったが、
杉浦はやはりダメだな。"
これ読まないでPrinciples of Mathematical Analysis の方やっとけば良かった

>>832
＞杉浦はやはりダメだな。"
ちなみに、どんなとこが？

>>833
この書き方で見ると、>>832にとって読みにくくて分かりにくかったことが、>>832にとってのダメなとこなんだろうな

>>831
解析概論に載ってるよ。

ま、一冊で全部済ませようって魂胆で見てるからそうなるんだろう。

一変数を�T、多変数を�Uという風に分けて欲しいと書いてるのがあるけど
絶対にやめて欲しい。多変数の微分を�Uに入れられたら�Uも買わなくちゃならなくなる。

一変数を�T巻、多変数を�U巻にしたら
�U巻は�T巻の４〜５倍ぐらいの厚さになるだろうから
多変数はさらに２分冊にするのが出版上は適切かと。
そしたら一変数と多変数の前半までで
大抵の人は間に合う、あるいは挫折する。

新入生ですけど複素解析っていつ頃（大学は旧帝です）習いますか？

4月になってからシラバス見ればいジャン。
それに大学なんてコマがかち合わなければ
どの授業受けたって文句言われないんだし
初っ端から自己責任で受けに行けばいい話だ。

>>839　うちは三年前期だ

>>839
うちは2年前期だ

学校によってそんなに違うのですか？東大京大は早いの？

うちは2年後期から

>>842 ごめん後期だった

杉浦光夫の妻は杉浦光子？

光浦靖子

>>839 大学のホームページ見ればよくないか？

東大の場合、二年後期

杉浦光夫(すぎうら・みつお) 氏(東京大学名誉教授)が3月11日に逝去された．享年79歳．専門は表現論．
著書に『連続群論入門』(山内恭彦との共著，培風館)，『解析入門(I,II)』(東京大学出版会)，『リー群論』(共立出版)などがある．
同時代の数学史研究にも尽力され，オーガナイザーとして活躍された「現代数学史研究会」は20年続いた．

>>850
ご冥福をお祈りします

解析入門�Tはだいたい理解したから解析入門�Uをやろうと思ったけどいきなりこれからやったら挫折しそう
ここの人は解析入門�Tの後にすぐ解析入門�Uをやったの？

解析入門�Tで見切り付けてReal and Complex analysis読んでるよ

>>851
>>850は悪質なガセネタ
森毅の訃報を捏造したやつも多分同一人物

>>854
ワロタ
数セミ、みれ。

まあ、笑うべきところではないがな。

数セミ掲示板

�T,p234,表5.1,7において、
f(x)=√(a^2-x^2)の原始関数F(x)が
F(x)=1/2*{x*√(a^2-x^2)+a^2*Arcsin(x/a)}
であることが記載されています。
F'(x)=f(x)であることは、-a＜x＜aならばF'(x)を
計算すれば明らかですが、x=±aのときはどうやって
証明するのでしょうか？
定理5.4からすると、x=±aでも成立しそうですが。

杉浦さん亡くなったの本当だったんだな なんか残念だ

>>858
代入してオッケーじゃダメなのか？

複素解析とか多様対、ベクトル解析を飛ばして、微積分のところのみ
勉強することは可能？それともこれらの概念をその後の章にある
多変数関数の微積分が使うから無理？

Real and Complex analysisブックオフで売ってないかな

あるわけねーだろ。

>>862
　売ってないと思うよ。。。

>>862
何故このｽﾚに書いた？

Real and Complex analysisってよく見るけどどこが出版してるの？

うっせーカス

物理の本だけど、WaldのGeneral Relativityブックオフで売ってた時はビックリした。

McGRAUW-HILL SEURIES IN HIGHER MATHEMATICS

俺のお古でよければRudin3冊セット譲るよ
一年ぐらい前に買ったやつだから結構きれい

>>870
怖い

そのＲｕｄｉｎ、カピカピになってて開かないページとかあるんだよ栗の花。

>>850 杉浦の専門が表現論って本当？昔、東大の院試のパンフレット見てたら専門は
リー群論って書いてあった気がする。

杉浦の弟子が大島

＞８７３
矛盾してないだろ

>>872
誰かがｵﾅﾆｰしたんだろ

黄色い染みだよね？　Kingのチ○ポ汁に違いない！

>873
本出してるだろうがボケ

Reply:>>877 黄色いとはどういうことか。

肉食か？

＞杉浦のIが通読出来ないようでは、数学はあきらめろ。
＞後は電卓と公式集かか数学ソフトに頼れ。

　そこまでいうかね。
　杉浦１は、けっこう分量あってだるい。俺的には、薄いほうの小平がいいとおもう。
　小平のほうが、おそらくアタマがいい。
　杉浦２に書いてあることは、別の本でやるといいよ。複素解析はアールフォースとかさ。
　杉浦は、教科書だったけど、なんか退屈だったよ。

　ルービンは、英語で読め。古本なんか買うな。

>>881
小平より杉浦のほうが厳密に書いてあるんじゃないの？
杉浦�Tと�Uの積分までをやるのとrudinのprinciples of　〜
どっちがいい？rudinも杉浦みたく厳密に書いてるの？
Principleの方は予備知識いらないの？線形代数ぐらいは必要か。
杉浦も線形代数は必要だしね。

杉浦が厳密(笑)

スレチだけど、早くパン教レベル脱して
もっと面白いことやれば？

杉浦は辞書的すぎる。
ただ事実をくどくど書きならべているだけ。
数学嫌いを増やしそうな一冊。
解析の入門にはやはり解析概論やRudinの本が適している。

> ただ事実をくどくど書きならべているだけ。

定理や命題を演習問題だと思って解けばいいよ。
自力で証明できないときは、教科書の証明をチラ見して、あとは自分で証明する。

だからそういうことじゃなくて

厳密ともいえるからいいんじゃないか？
概論はスカスカすぎるだろ。それこそ解析の基礎くらいは
堅固でいいんじゃないかな？厳密に考える精神が鍛えられると思う。
ただRudinと違って切断の話がないよな。

溝畑読め
積分、特に多変数はほかにはない厳密さというか独特さがある

たけーよ

小平って位相つかってたっけ？その点杉浦は最初から使ってるしいいと思う。
Rudinは広義積分が練習問題に成り下がってるってマジ？

杉浦だって位相使ってないじゃん

>>892
一応弧状連結とか位相でも後半で習うような概念出てくるジャン？
あと数学は証明に関してもやはり計算力があると見通しが
つきやすいし、ある程度計算力ないと抽象的なイメージとかの
獲得が非常に早い人でも証明問題解けなかったりするから、
杉浦は計算力つけるのには最適じゃない？

君が数学科の人間でないことはわかったよ＾＾；

�Tだけでいいという人が多いですが、�Uの積分法の続きはどうでしょうか。
�Uの積分法の直前に多様体と陰関数の話がありますが、そこを
読まないと�Uの積分法は理解できませんか？�Uを読まないとなると、
他変数関数の積分をやらないことになって気持ち悪いですよね。

よく解析演習ってでるけど著者を教えてもらえませんか？

>>895
よほど暇なら読んでもいいけど、スピバックの多変数とかルべーグ積分とか
多様体とかアールフォースとかに進んだほうがよいかも

>>895
陰函数定理や逆函数定理は基礎知識だから読んでおくといい。
II巻の積分法の章は陰函数定理や多様体を知らなくても読めたと記憶しているが、
内容的には結構難しい。解析入門IとIIをあわせて一番難しい箇所だっと記憶している。

II巻後半のベクトル解析と複素解析はあっさり書いてあるので、すらすら読めると思う。

>>898
陰関数のところは多様体が評判悪いので避けようかと思ったのですが、
そこまで長くないので読むのも悪くないですね。
複素解析やベクトル解析はアールフォルスやrudinが評判が
いいのですがどうでしょうか。杉浦は厳密に書いてあるので、
計算力に自信がなければ杉浦で計算に慣れておいたほうがいいでしょうか。

>>897
そうですか。
ルーディンも評判がいいんですが、位相を用いていて
初学者が位相の勉強をしないで理解できるものなのでしょうか。

Real and Complex analysisは一応位相使ってるよ。

当該の本きちんと読まずに横レスするけど位相使わないで展開できる
解析学ってこの世に存在し得るの？？勿論 mod x^nとかいうのは無しよ？

>スピバックの多変数
練習問題がどばーっとあるあれれすか

練習問題がドバーっあるかは微妙だな
薄いやつだよ
うちの大学の指定教科書だった

>>899
既に解析入門Iを読んでいるなら、引き続きIIに進むのが
Iの復習にもなって丁度いい。
でもまあ、複素解析あたりまでは定評のある本ならどれでも大差ないよ。

解析入門IIの多様体の説明は確かに分かりにくいが、
多様体についてはどうせ別の教科書（例えば松本の多様体の基礎）を読むことになるので、
あまり気にしなくてもいいと思う。

大学２年の数学専門ではない人間でかつMARCH以下のボンクラ大学の
人間です。厳密に解析学を勉強したいのですがrudinと杉浦
どちらがいいですか？偏微分方程式までなら簡単な計算練習は
つんできました。

杉浦でいいと思うよ
それより自分専門をしっかりと

数学科以外ならRudinは向いてないよ
理論の話ばっかで計算問題や計算の例がほとんどないから。

杉浦先生がこんな素晴らしい本を残してくれて良かった。

海外でもここまで詳しい解析入門の本はないのでは？

英訳されたほうがいいと思う。

そこまで素晴らしくないだろ

>>910

でもここまで詳細まで省略せず書いた本って海外にありますか？
証明も素朴で分かりやすいものを選んでいる気がするし。

省略せずに書いたら素晴らしい(笑)

素朴で素直な証明がいい。

例えば、中間値の定理もf(x)=0の一つの近似解を求める
具体的な方法で証明していて、計算機でプログラムを組
んで多項式の零点の近似解を求める数値実験をしたり
して親しむことができる。

物理とか情報科学とかで解析学を応用しようと
考えている人の基礎として最適だと思う。

応用を意識している。

証明も応用を意識しているせいか分かりやすい。

こんな本は諸外国にもないのでは？

無人島に一冊微積分入門書を持っていくとすると
杉浦かな。

みなさんは？

書くもの

書くもの

っていう微積分の入門書があるんですか？

ガウスをタイムマシーンで連れて来て、杉浦の本のドイツ語訳を
渡したら、どれくらいで読み終えられるかな？

別に対して新しいことが書いてあるわけでもないし
まず読む気が起きない

ガウスは、こんなにすっきり厳密に書かれているって感動するんじゃないかなー。
原著を読みたいと日本語を勉強しはじめるかもしれない。

ガウスをなめてるの？

ここの信者はきもいなぁ
一生”入門”で終わる人たち

猪狩さんの「実解析入門」

誤爆かい？

ごめん>>915か。
某ネタスレかとおもた。

放送大学で杉浦先生を見たことあるなー。
斎藤正彦の講義の最終回にゲストとして登場。

ゲストは、倉田さん、杉浦先生、足立先生だったと思う。

倉田さんも亡くなったし。

>>4に少し嫉妬した

>>918
ガウスはタイムマシーンに興味津々

>>928
確かにww

>>928

どういうこと？

ホントにタイムマシーンなんて発想があったの？

>>930
「タイムマシーンでガウスを連れてきたら」という話だったよな？
そしたら本なんかよりタイムマシーンのほうに
興味持つに決まってるだろ、ということじゃないの。
俺もそう思う。

一松信

の解析学序説（旧版）っていいの？

俺は小中学のときのガウス連れてきてほんとに厨二全開だったか確かめたい

俺は、6歳頃のガウスを連れて来て、いろいろ数学を教えてあげて
尊敬されたい。

つーかがきのことから素数を毎日数えていって素数定理予想したんだろ
あと授業は聞かず窓の外ばっか見ていたとか
まさに厨二

>>934
実際小学校上がるときには算数は習得していて
誰かは忘れたが付きっ切りで教えてもらっていた

数学界の神童ガウス
物理界の神童アインシュタイン
数学界の奇人ラマヌジャン
物理界の奇人ランダウ
数学界の変人キング

Reply:>>937 現時点では応用上どうかを評価することにした。

アインシュタインって神童だったの？

神童といえば、神童だったんじゃないの？
小さい頃に親戚か誰かから、微積分とか習って理解したんでしょ？確か。

ただ、言葉を話すのが遅かったとか学習障害があったとかも言われているけど。

黒澤明監督も小学校に入ったばかりの頃は授業が全然理解できなくて今で言えば特殊学級の
生徒のような扱いだったらしい。それで学校に行くのが嫌だったそう。

でも0歳のときの一場面を大人になってもはっきりと記憶していたらしい。
絵もうまくてすぐに入選したり。

ニュートンも小学生の低学年のときには勉強が出来なかったって言われているけど、
信じがたい。

9才のころピタゴラスの定理を知り寝ることも忘れるほど考え自力で証明した
12歳のころもらったユークリッド幾何の本と宇宙論の本(これは一般向け)で素養を磨いた
このときぐらいから微積を独学
またカントの本も読みかなりの影響を受けている
科学に興味を持ったきっかけが4,5才のときに親からもらった方位磁針
常に一定の方向を向くのに物事の深いところに隠された法則という存在を実感して
あとでその答えが電磁気学だったと知った
16のとき光に乗って光を見るとどうなるかついて考える
それについての答えが十年後の特殊相対性理論

>>932
旧版のほうがいいって持ち上げる人もいるが、今探して買うのは
微積分教科書ヲタクくらいだよ。あの当時は「従来と違う視点で〜」
とかなんとか言ってね、サヨ的史観で教科書書きたくなる時代だった。

まあ、教科書ヲタクとはいえ、読まずに批判コピペするだけの
連中よりマシだがなｗｗ

>>942

「ものいい」とかいうつっこみと回答みたいなのがあったような。
それが、また、あんま、役に立たなかったような。

上野先生がある本で、旧版をすすめていた。
新版はおもしろいところが全部削られたとか書いていた。

上野先生、高木の解析概論については、なぜこんな本が評価されて
いるのか理解に苦しむとか書いていた。
特に多変数関数に関しては杜撰の一言とかなんとか言ってた。

上野先生、アールフォルスの複素解析の教科書も薦めていて、
翻訳よりオリジナルを読めとか書いていたけど、アルティンの
ガンマ関数の本に関しては、自分が関わった、高校生が翻訳
したという翻訳本のほうを薦めていた。

1980年にいたって「基礎数学２」として杉浦光夫『解析入門�T』が出た（基礎数学３の『解析入門�U』は1985年
に出た）。

これは大変な本である。さきほど微積分教育のふたつの道について述べたが、この本は欲ばって両方をフル
に追求する。そのため、�T・�U合わせて850ページという大作である。もっとも�Uには複素解析も入っている。

数学者ないし数学教師としての私には非常に貴重な本だ。解析学関係でなにか分からないことがあったら
この本で探せばよい。かならずどこかに解答、ヒントまたは参照文献が出ている。

「Iで定義された関数」と「I上の関数」って同じ意味でしょうか？

解析入門のどこかに書いてありますか。

同じ意味だよ

ルートテストから出た収束半径rとレシオテストから出た収束半径rとは同じ値のことですか？

>>947
Lima_[n+1]/a_n=Lima_n^(1/n)は
簡単に証明できる。

両辺のリミットが存在すれば等しい、という意味ですね。

杉浦先生を偲ぶ会の様子が書かれています→http://reuler.blog108.fc2.com/
著作から受ける印象とは違い、かなり優しい人だったみたいですね。

あれだけ懇切丁寧な教科書を書いているから著作からはやさしくて几帳面な人だという
印象を受ける。

次男ってベンチャーの社長か。
すごいな。

リー群論もきっと親切丁寧な本なんだろうな

あれは数学科向きじゃない

>>946
どうもありがとうございました。

>>948
なるほど
やっぱり杉浦読まないとだめなんですね、
手元にある岩波理工系の数学入門コースではやや不足ぎみで
小林昭7読本を買おうかと思ってたんですが、杉浦は細かすぎるイメージで
敬遠してました。

>>956 杉浦？普通にb_n→β⇒�巴_k/n→βを使えば簡単に証明できるよ。

志村五郎の自伝を読んだけどなんであんなに
性格が悪いの？

疑心暗鬼の塊。

杉浦先生とは対照的。

志村五郎。

性格は悪いけど、文章はうまいし、数々の自慢話を読むと
やはり異常に頭がいいんだろうね。

>>958
レベルが違い過ぎるので比べるな。

小平邦彦、岩澤健吉、志村五郎、佐武一郎、佐藤幹夫、杉浦光夫、斎藤正彦、谷山豊、
松坂和夫、矢野健太郎、高橋礼司、小林昭七、小野孝、加藤和也、斎藤毅、森毅


数学者として偉い順に並べてください。

その他>藤原正彦

S,加藤和也、小平邦彦、小林昭七、佐藤幹夫
A,岩澤健吉、志村五郎
B,
C,その他数名
D,

>>961

業績
性格の悪さ
頭の良さ

でそれぞれソートしてください。

>>909
日本人が書いた数学の大学生向けテキストで、世界中で翻訳されて最も有名になってる本ってなんだろう？
松島の多様体入門かな？

物理ならJJサクライの量子力学の本。
日本人が書いた中で一番有名なんて枠を越えて、量子力学の世界で一番スタンダードな教科書になってるな。
あとは久保亮吾の熱・統計演習か。

もっと面白おかしく書いてもいいよな

Yosida: functional analysis

小林だって洋書あるというかずっとアメリカ

岩波現代数学之基礎族英翻訳高評判多数有ルヨ

ミツオの論文って話題にならないけど、どんなのがあるの？

いろいろ

Author Citations for "Mitsuo Sugiura"
Mitsuo Sugiura is cited 59 times by 69 authors
in the MR Citation Database

Most Cited Publications Citations Publication
20 Sugiura, Mitsuo: Conjugate classes of Cartan subalgebras in real semi-simple Lie algebras. J. Math. Soc. Japan 11 1959 374--434.
14 Sugiura, Mitsuo: Unitary representations and harmonic analysis. An introduction. Second edition. North-Holland Mathematical Library, 44. North-Holland Publishing Co., Amsterdam; Kodansha, Ltd., Tokyo, 1990. xvi+452 pp.
12 Sugiura, Mitsuo: Unitary representations and harmonic analysis. An introduction. Kodansha Ltd., Tokyo; Halstead Press [John Wiley & Sons], New York-London-Sydney, 1975. xii+402 pp.
08 Sugiura, Mitsuo: Fourier series of smooth functions on compact Lie groups. Osaka J. Math. 8 (1971), 33--47.
03 Sugiura, Mitsuo: Representations of compact groups realized by spherical functions on symmetric spaces. Proc. Japan Acad. 38 1962 111--113.
02 Sugiura, Mitsuo: Correction to my paper: "Conjugate classes of Cartan subalgebras in real semisimple Lie algebras". J. Math. Soc. Japan 23 1971 379--383.

で、その内容は新しい人目を引くような内容なの？
レベルが高いの？

ありふれた幸せでいいの　暖かな手で抱いて

スマン誤爆

>>975

誤爆ではないと思うが…

>>973

レベルが高いかどうかはともかく、
2000年以降でも、少なくとも 59 回は、
人目を引いた内容である。

1巻の139ページの定理6.10の証明で(6.41)の式からf^(-1)がy0で連続であることが
よく理解できないのですが

思春期の受験生の集中力を増すために母親はﾌｪﾗﾁｵで息子の性的欲望を解消する
思春期の受験生の集中力を増すために母親はﾌｪﾗﾁｵで息子の性的欲望を解消する
思春期の受験生の集中力を増すために母親はﾌｪﾗﾁｵで息子の性的欲望を解消する
思春期の受験生の集中力を増すために母親はﾌｪﾗﾁｵで息子の性的欲望を解消する
思春期の受験生の集中力を増すために母親はﾌｪﾗﾁｵで息子の性的欲望を解消する
思春期の受験生の集中力を増すために母親はﾌｪﾗﾁｵで息子の性的欲望を解消する
思春期の受験生の集中力を増すために母親はﾌｪﾗﾁｵで息子の性的欲望を解消する
思春期の受験生の集中力を増すために母親はﾌｪﾗﾁｵで息子の性的欲望を解消する
思春期の受験生の集中力を増すために母親はﾌｪﾗﾁｵで息子の性的欲望を解消する
思春期の受験生の集中力を増すために母親はﾌｪﾗﾁｵで息子の性的欲望を解消する

by Mainichi Daily News

>>977
そのうち26回は教科書ですね。

>>978
仮定�C）の真上の式において不等号を逆にした式が仮定より成り立つから。

>>978
>>587からの流れを参照