★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第七問

理系で数学が得意な高校生が２５〜５０分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以上の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ

　過去ログ
★東大入試作問者になったつもりのスレ★
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1000592003/
★東大京大入試作問者になったつもりのスレ★
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1046165076/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第三問
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1069171672/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第4問
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1099493043/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第五問
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1116752400/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第六問
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1134000000/

フライング

また0.5秒ほど早かった・・・・・・・orz

えー
4枚でできる方法が見つからない。。。(´・ω・｀)

βは無視で。
βは無視で。
βは無視で。
βは無視で。
βは無視で。
βは無視で。
βは無視で。
βは無視で。
βは無視で。
βは無視で。

>>4
２進法。

2進法と結びつかない、、

前スレで十分議論されずにスレが限界を迎えた問題

>>957
任意の二つの自然数をa,bとする時、下記の(1),(2),(3),(4)全てが
有理数となるようなa,bが存在しないことを証明しなさい。 ただしa≠b
(1)(a+b)＾0.5
(2)(a-b)＾0.5
(3)(a*b)＾0.5
(4)(a/b)＾0.5

>>979
同一平面上のn本の直線が一点Aで交わっており、
このn本の直線によって点Aの周りの角が2n等分されている。
これらn本の直線を軸とする半径1の直円柱n個の共通部分の体積をV(n)とする。
(1)V(n)を求めよ。
(2)lim[n→∞]V(n)を計算して(4/3)πとなることを確かめよ。

>>980
１〜１５までの自然数を相手に思い浮かばせて、それを当てるゲームをします。
ルールは、１〜１５までの自然数を１個以上書いたカードを見せて、
相手が思い浮かべた自然数がカードに含まれるかどうかを質問し、
推測して当てるとします。
当てるには、最低何枚カードが必要でしょうか？

>>982
xy平面上の放物線y=x^2上の点P(Pは原点でない)におけるこの放物線の法線をLとし、
Lと放物線の交点のうち、点Pと異なるほうを点Qとする。
(1)点Qのy座標の最小値を求めよ。
(2)放物線y=x^2と直線Lによって囲まれる部分の面積の最小値を求めよ。

２進数で考えると１から１６は
1,10,11,100,101,110,111,1000,1001,1010,1011,1100,1101,1111,10000
となる。
１枚目には２進で考えた時に１桁目が０である物を書く。
２枚目には２進で考えた時に２桁目が０である物を書く。
３枚目には２進で考えた時に３桁目が０である物を書く。
４枚目には２進で考えた時に４桁目が０である物を書く。
そうすると特定できる。

>>9
目からウロコ

>>9すげー。こんな考え方があったとは。
二進数とかなんて数学ではそんなに意味がないと思っていたが、
面白い使い方があるんだなぁ。

大学時代塾で算数のバイトしてた時、
余興で片手で３１まで数えられるんだよと言って、
指折りして見せたら、おおー！って喚声が上がった。
君たちもしてごらんって言って、やらせてたら、
女の子が飛んできて、先生出来たよー！って言いながら、
一所懸命やってるのが可愛かった。

64だろ。

いやごめん、３１だった。

ちなみに俺は学生の時、1023まで数えるのを暇つぶしによくやった。
おかしな顔でよくみられた。

俺は片手の関節16個使って65535まで表現できるぜ。

>>15
よほど娯楽が無かったんだな

>>8
[前スレ.979]
　平面をxy-平面とすし、それに垂直にz軸をとる。
　前スレ.995 にしたがって z=一定 の断面を考えると、間隔 2√(1-z^2) の平行線がn組あり、π/n ずつ傾いている。
　その共通部分は正2n角形で、中心〜辺の距離が √(1-z^2), 辺の長さは 2√(1-z^2)･tan(π/2n).
　面積は S(z) = 2n･tan(π/2n)･(1-z^2) = 2n･tan(π/2n)･(1-z^2) = c_n･S~(z).
　ここに、c_n = tan(π/2n)/(π/2n) →1　(n→∞),　S~(x) = π(1-z^2) = {半径 √(1-z^2) の円の面積}.
　V_n = ∫[-1,1] S(z)dz = c_n∫[-1,1] π(1-z^2)dz = c_n･(4/3)π = c_n･{半径1の球の体積}.

テレビで約１０００人とか言ってるのを聞くと、
１０２４の方がきりがいいだろと思ってしまう漏れは廃人。

>>18
GJ

>>8

[前スレ.982]
(1)　P=(a,a^2) とおくと Pでの接線の傾きは 2a, 法線Lは y= a^2 -(x-a)/2a.
　これと y=x^2 を連立させると (x-a){x+a+(1/2a)}=0, Q=(a+(1/2a), Y).
　Y = {a +(1/2a)}^2 = {a -(1/2a)}^2 + 2 ≧ 2,　等号は a=±1/√2 のとき

(2)　|2a +(1/2a)| = ((2a)^2 +1)/|2a| = (|2a|-1)^2/|2a| +2 ≧ 2.
　S = (1/6)|2a + (1/2a)|^3 ≧ (1/6)2^3 = 4/3,　等号は a=±1/2　のとき。

>>21
GJ !

>>19
分かる、分かるよ兄さん！

△ABCにおいて、AB=6、BC=7、CA=8とする。
Aの外角の二等分線と直線BCとの交点をMとするとき、AMの長さを求めよ。

コテコテの幾何なんですがどうでしょうか。
東大は図形というイメージが強いんで。

中学の問題じゃねーか

ニューアクションβ以下だな。
まあ幾何は慣れてない人多いから難易度下がるの当然だが

なんか簡単そうな問題ばっかりで解く気すら起こらん
難問plz

解いてから言えよ。どうせ暇なんだろ？

半径1,高さ1の直円錐がある。
この円錐の底面の接線をLとして、Lを含む平面でこの円錐の体積を2等分する。
切り口の面積を求めよ。

xy平面上の放物線y=x^2を対象移動させて、この放物線がx軸y軸の両方に接するようにする。
移動後の放物線の頂点が存在しうる点全体による曲線の方程式を求めよ。

失敬、対称移動

a↑=(1, 2), b↑=(2, 1), c↑=(1, 1)
p↑=xa↑+yb↑+zc↑ (x+y+z=n x,y,z,nは0以上の整数)のとき
p↑が表しうる点の総数をnを用いて表せ。

a↑=(1, 2), b↑=(2, 1), c↑=(1, 3)
p↑=xa↑+yb↑+zc↑ (x+y+z=10 x,y,zは0以上の整数)のとき
p↑が表しうる点の総数をnを用いて表せ。

>>33訂正
a↑=(1, 2), b↑=(2, 1), c↑=(1, 3)
p↑=xa↑+yb↑+zc↑ (x+y+z=10 x,y,zは0以上の整数)のとき
p↑が表しうる点の総数を求めよ

xyz空間において円柱x^2+y^2=1の側面に半径1の円形のシールを貼り付ける。
シールの周上の点のうちz座標が等しい点同士を直線で
結んでできる曲面とシールに囲まれる部分の体積を求めよ。

>>29
(π/2) * {1+(1/25){3+32^(1/3)-128^(1/3)}^2}^(1/2) * {1-(1/5){3+32^(1/3)-128^(1/3)}}^(-1)

>>36
俺もそうなった

(π/2) * {1+(1/25){3+32^(1/3)-128^(1/3)}^2}^(1/2) * {1-(1/5){3+32^(1/3)-128^(1/3)}}^(-1)
= π√((1+2^(4/3))/8)

Lをy軸、底面をxy-面とすると円錐は
　(x-1)^2 + y^2 = (1-z)^2.
円錐面の勾配は45ﾟ
x,z軸をL(y軸)のまわりに 45ﾟ-θ だけ回転する。
　X = x･cos(45ﾟ-θ) +z･sin(45ﾟ-θ),
　Z =-x･sin(45ﾟ-θ) +z･cos(45ﾟ-θ).
すなわち
　x = X･cos(45ﾟ-θ) -Z･sin(45ﾟ-θ),
　z = X･sin(45ﾟ-θ) +Z･cos(45ﾟ-θ).
これを代入して、Z=0とおくと
　2sinθcosθ{X-1/(√2･cosθ)}^2 + y^2 = tanθ.
この楕円の面積は S(θ)= (π/2)･(√(2tanθ))/(cosθ).
これを底面とするとき、頂点の高さ すなわち Z座標は
　(x,y,z)=(1,0,1) より h(θ) = Z = (√2)sinθ.
　V(θ) = (1/3)S(θ)h(θ) = (π/3)･(tanθ)^(3/2) = V(45ﾟ)･(tanθ)^(3/2).

本題では、 V(α) = V(45ﾟ)･(1/2) だから、
　tanα = (1/2)^(2/3) = 0.629960524947437…
　h(α) = 0.753795268513474…
　S(α) = 2.08385007495814…　>>36

>>35
θ = √(1-z^2) とすると

V = ∫[0,1] (2θ-sin(2θ)) dz
= ∫[0,1] θ(2θ-sin(2θ))/√(1-θ^2) dθ

sin をマクローリン展開して
∫[0,1] (θ^(2n))/√(1-θ^2) dθ = π * 2^(-2n-1) * C[2n,n]
を使って項別積分すると

V = (π/2)Σ[k=2,∞] (-1)^k * k / k!^2
= (π/2)((2/2!^2) - (3/3!^2) + (4/4!^2) - …)
= 0.664879…

自信なし

>>30-31

(方針) 　互いに垂直な2本の接線を引き、これらを新しいＸ軸,Y軸とする。（軸を移動する）

y=x^2 だから y '=2x.
接線の傾きを a, -1/a とすると、接点は (x,y)=(a/2, (a/2)^2), (-(1/2a), (1/2a)^2) で
　y = (a/2)^2 + a(x -a/2),　y = (1/2a)^2 -(1/a)(x +1/2a),
交点の座標は (x,y) = ((1/4)(a -1/a), -1/4) より
　X = (x+ay +1/4a) / √(1+a^2),　Y = {y-ax+(a/2)^2} / √(1+a^2).
放物線の頂点の座標は (x,y)=(0,0) より
　|X| = (1/a) / {4√(1+a^2)},　|Y| = (a^2) / {4√(1+a^2)}.
∴　|XXY|^(2/3) + |XYY|^(2/3) = (1/4)^2.　　(これを Z とおく.)
有理化すれば
　(X^2 +Y^2 +3Z)(XY)^2 = (XXY)^2 + (XYY)^2 +3Z(XY)^2 = Z^3 = (1/4)^6.

地震なし

>29,36-38
　S = π√{(1+2^(4/3))/8} = 2.0838500749581437251785379369865…

>35,39
　V = 0.664879117198907…

>40

解答が意味不明。日本語が変。

>42　修正、スマソ.

接線の傾きを a, -1/a とすると、接点の座標は (x,y)=(a/2, (a/2)^2), (-(1/2a), (1/2a)^2) である。
2本の接線の方程式は
　y = (a/2)^2 + a(x -a/2),　y = (1/2a)^2 -(1/a)(x +1/2a),
その交点の座標は (x,y) = ((1/4)(a -1/a), -1/4) であるので、新しいX軸,Y軸を
　X = (x+ay +1/4a) / √(1+a^2),　Y = {y-ax+(a/2)^2} / √(1+a^2).
とおく。

> 　X = (x+ay +1/4a) / √(1+a^2),　Y = {y-ax+(a/2)^2} / √(1+a^2)
この式合ってるか？？

> |XXY|^(2/3) + |XYY|^(2/3) = (1/4)^2
XXY って何だ？　X^2*Y の意味か？

> 有理化すれば
ハァ？「有理化」の意味ちゃんと分かってるか？

きらりさんは入浴中におしっこをしたくなりました。
面倒なので浴槽内に出すことにしました。
きらりさんは毎秒10ミリリットルずつ浴槽内に排尿しましたが
食欲旺盛なきらりさんは、出すおしっこの量も尋常ではなく
浴槽内のおしっこの濃度はどんどん上昇しました。
きらりさんの浴槽内のお湯の量は常に300リットルに保たれ、それを超える分は排水されます。
また、きらりさんのおしっこが浴槽内で拡散する速度は十分速く
浴槽内のおしっこの濃度は場所によらず一定であるものとします。
このとき、きらりさんが排尿を開始してから浴槽内のおしっこの濃度が50%になるまでの時間を求めなさい。
必要ならばlog2=0.301を用いなさい。

しかしそれは、さっきまで入っていた弟のけんたくんがおしっこをしていないという初期条件が必要だよ

きらりさんに弟がいない事実を知らないと解けない悪問

きらりさん
ttp://www.tv-tokyo.co.jp/anime/kirarin/

自己レス

>> 　X = (x+ay +1/4a) / √(1+a^2),　Y = {y-ax+(a/2)^2} / √(1+a^2)
>この式合ってるか？？

合ってました。俺の計算ミス。すまそ。

>33-34
p↑= (x+2y+z,2x+y+3z) = (u,v) は na↑, nb↑, nc↑ を頂点とする3角形の内部または周上の格子点である。

逆に点(u,v)がこの3角形の内部または周上の格子点ならば
　(x,y,z) = (5n-2u-v, u-n, u+v-3n) は0以上の整数で, あるp↑に一致。

したがって (n+1)(n+2)/2 個

a↑=(1, 2), b↑=(2, 1), c↑=(1, 1)
p↑=xa↑+yb↑+zc↑ (x+y+z≦n x,y,z,nは0以上の整数)のとき
p↑が表しうる点の総数をnを用いて表せ。

>50
　x=v-n, y=u-n, z=3n-u-v は0以上の整数となるから、>49 と同じだお。

０から９までの相異なる整数を、それぞれ相異なる任意の整数以外の１文字に
置き換えた（例：０→Ａ、１→Ｂ、…、９→Ｊ）時、
加算式（例：Ａ＋Ｂ＝Ｂ（0+1=1）、Ｉ＋Ｊ＝ＢＨ（8+9=17)）のみから、
整数と文字の対応を推定する時、全ての関係を特定するのに
最低限必要な式の数はいくつか？

>>51
それはない

>>52
1つ

>>54
どんな式なの？

√(jj+b)+√(ji+c)・・・+√(jb+j)+√(ja+ba)=baa

>>56
解説ｷﾎﾞﾝﾇ。

>>50
p↑= (x+2y+z,2x+y+z) = (u,v) は na↑, nb↑, 0↑ を頂点とする3角形の内部または周上の格子点である。

逆に点(u,v)がこの3角形の内部または周上の格子点ならば, 適当なm (0≦m≦n) が1つ以上あって
　x=v-m, y=u-m, z=3m-u-v は0以上の整数で, あるp↑に一致。

ゆえに 3n(n+1)/2 +1 個

注) こんどは 1対1 ぢゃねぇが…

>>30 の曲線（の1本)とx軸、y軸に囲まれた部分の面積をもとむ。

>59
>>40,43 から
　|X| ≪ 1 ≪ |Y| のとき |Y| ≒ 1/(8√|X|).
　|X| ≫ 1 ≫ |Y| のとき |Y| ≒ 1/(64|X|^2).
この曲線とx軸,y軸に囲まれた部分の面積は 0.1472621763…

a↑=(2, 1), b↑=(2, 3), c↑=(3, 1)
p↑=xa↑+yb↑+zc↑ (x+y+z≦n x,y,z,nは0以上の整数)のとき
p↑が表しうる点の総数をnを用いて表せ。

>>60
3π/64 = 0.1472621…

ＡＢＢＣＤＡＣＥＦＧＧＨＩＦＨ×２＝ＧＧＨＩＦＨＪＡＢＢＣＤＡＣＥＦ。
ＪＡＢＢＣＤＡＣＥＦＧＧＨＩＦＨ×２＝ＧＧＨＩＦＨＪＡＢＢＣＤＡＣＥＦ。

>>63
わからないでつ。教えてエロい人。

nを自然数として、f(n) = Σ[k=1,n] k^2 とする。
f(n)の相異なる素因数の個数をp(n)とする。
この時、命題
n≧Nならばp(n)≧4が成立する。
が真になるNの最小値を求めよ。

ちなみに、
f(1) = 1　p(1) = 0
f(2) = 5　p(2) = 1
f(3) = 14　p(3) = 2
f(4) = 30　p(4) = 3　……

age

757

>>1
「無意味なスレ立て厳禁」
って読めませんか？
そういうくだらない話は質問スレでやってください


　
　　　　　　　　　　　　　　　　　終　　　了


そして>>1はすぐ死ね

age

n,pは自然数として、�納K=1,7n]tan^2p(kπ/7)は自然数であることを示せ。

>70
tan(kπ) =0 より、
　Σ[k=1,7n] (tan…)^2p = nΣ[k=1,6] (tan…)^2p = 2nΣ[k=1,3] (tan…)^2p >0.
∴ S_p = Σ[k=1,3] (tan…)^2p が整数、を示せば十分。

tan(x)^2 =T とおくと
　tan(7x) = tan(x)*(T^3 -21T^2 +35T-7)/(7T^3 -35T^2 +21T-1)　　　(←tanの7倍角公式)

T^3 -21T^2 +35T-7 =0 の3つの根は
　a= tan(kπ/7)^2, b=tan(2π/7)^2, c=tan(3π/7)^2.
根と係数の関係より
　a+b+c=21, ab+bc+ca=35, abc=7.

さて本題に戻って、pに関する帰納法で示す。
S_0 = Σ[k=1,3] 1 =3,
S_1 = a+b+c = 21,
S_2 = a^2 +b^2 +c^2 = (a+b+c)^2 -2(ab+bc+ca) = 21^2 -2*35 = 371.
p≧3 のときは 漸化式
S_p = (a+b+c)S_(p-1)- (ab+bc+ca)S_(p-2) +abcS_(p-3) = 21S_(p-1) - 35S_(p-2) + 7S_(p-3).
だから S_p は整数。

>>71
お見事。この関係はこの間たまたま見つけました。

七倍角公式なんて高校生が知っててたまるかorz

>>73
AHO

覚えるものじゃない、必要に応じて創るものだよ

まあ確かに七倍角の公式なんて覚えてるバカはいないな。
三倍角も昔はいちいち作ってたが、もう覚える気無いのに体に染み付いちまった。

まぁ確かに、何で７なのかを考えればよかった。
もっと普通に解けると思ってたんだが･････
でも、七倍角の公式は思いついても作る気がうせると思う。

それもそうだｗ
ちなみに漏れは>>70の作題者だが、模範解答にたどり着くまでに５日かかった。

>>78
思いつくも何も、有名問題。

>>79
そうなのか？？まあ別にいいけど。まあいろいろ考えれて面白かったがな。
有名問題にしては解答が遅かったな。

>>73
どこの大学生も知らんと思うぞ

>79
そうなのか？？まあ別にいいけど。まあ漏れは初めてだったがな。

>80
遅くてスマン。休みの日しか見てないもんで…

…と言いつつ訂正を…
　a= tan(π/7)^2,

>>83
ぜんぜんＯＫす。むしろ自分の想定してたやつとはちょっと違ったんで勉強になりました。
周りに聞ける奴がいないんでよかったです。

>>70
http://www.artis-research.com/mathbbs/index.cgi?id=24682
のコピペだろう

exonて漏れですわ。答えに自信が無くてそこの掲示板で聞いてみたんです。

これ、ちょいと拡張できないかな。

#include "stdafx.h"
#include "stdlib.h"
#include "math.h"

int main(int argc, char* argv[])
{
if (argc !=4 ) return 1;
int n = atoi(argv[1]);
int p = atoi(argv[2]);
int m = atoi(argv[3]);
if (!(n*p*m)) return 1;
printf("n = %d, p = %d, m = %d\n", n, p, m);
//n,pは自然数として、�納K=1,mn]tan^2p(kπ/m)は自然数であることを示せ。
double sum = 0;
for (int i = 1; i <= n*m; i++)
sum += pow(tan(double(i)*3.14159265/(double)m), 2*p);
printf("sum = %f\n", sum);
return 0;
}

ぬお！　トリがついたままだorz

m=2のときとかどうすんの？

>>89
あ、mは奇数として考えてる。
なんかね、整数になるっぽいんだが

>>90
マジでか？そいつは考えなかったな。いやあ、面白くなってきた。
漏れ浪人生なのにこんなことばっか考えてるよorz

http://makimo.to/2ch/science2_math/1064/1064941085.html
160、212
類題発見。

やべえ、>>87は正しそうだぞ。
よし、証明してやる！

<<92
ほんとだ。もしかしてもう解決済み？あらら・・・

日本の硬貨の種類はn_1(=1)円玉、n_2円玉、・・・、n_m円玉のm種類あるとする。
（紙幣は考えない。1=n_1<n_2<…<n_m）
任意の正の金額a円に対し、a円を実現するための硬貨の最少枚数をr(a)とおく。
すなわち、r(a) := min{ k_1+k_2+…+k_m | a=k_1・n_1+k_2・n_2+…+k_m・n_m , k_i∈N∪{0} }

(1) 任意の自然数aに対して a=k_1・n_1+k_2・n_2+…+k_m・n_m かつ r(a)=k_1+k_2+…+k_m なる
　　非負整数の組(k_1,…,k_m)は必ず一意に定まるか？
　　一意に定まるならば証明を、そうとは限らないならば一意に定まるために n_1,…,n_m が満たすべき条件を求めよ。

(2) n_1,…,n_m が(1)の条件を満たしているとする。
　　このとき任意の正の金額a円に対し、a円を最少枚数で実現する硬貨の組合せを「a円の最少硬貨組」と呼ぶことにする。
　　今、x円の最少硬貨組を所持しており、y(<x)円の買い物をする。お釣りは必ずその金額の最少硬貨組で貰うものとする。
　　x,yがいくらであっても、支払硬貨の組をうまく選べば、買い物終了後の所持金が最少硬貨組で構成されているようにできるか？
　　そうできるならば証明を、必ずしもそうできないならばそうできるために n_1,…,n_m が満たすべき条件を求めよ。

補足。(1)と(2)の
> n_1,…,n_m が満たすべき条件を求めよ。
でmは固定されているとは考えないでください。mも込みで条件を求めてください。

ＭＥで１６０ＧＢのＩＤＥをセットアップするやりかたは？

>>97
スレ違いだが一応答えておく。
マザーボードによって容量制限が決まっているから、
それを調べて範囲内ならOK

ＬＢＡ４８対応ＢＩＯＳでマザーもそうだったのですが、インストールした
あと、データをパーテーション間でコピーしたらＣドライブとコピー先で
データがランダムに破壊されてしまいました。１３７ＧＢまでじゃなきゃだめ
なのですか？ＬＢＡ４８対応ならＯＫとかいてあるのもあるのですが？
いまは１３６ＧＢに切りなおしてます。

エロイ人ＨＥＬＰ

>>99
うせろ！

>>98
この馬鹿が余計なことを書くから、スレチガイのクズがいつまでも書き込みやがる！

(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!!

で、>>92 は解けたのか？

>102
>>92 によれば
　X={tan(kπ/m)}^2　(k=1,2,…,(m-1)/2) は次式を満たす。
　　�納k=0,(m-1)/2] (-1)^k･Ｃ[m,2k+1]･X^k = 0
　∴ j次の基本対称式は　σ_j =Ｃ[m, m-2j] (←自然数).

>>92 は p=1 の場合だが、p>1 へ拡張するのは簡単。
　S_p = �納k=1,(m-1)/2] {tan(…)}^(2p) >0 とおく。
pについての帰納法による。
　S_0 = (m-1)/2.
　S_1 = σ_1.
　S_p = �納j=1,p] (-1)^(j-1)･σ_j･S_(p-j).
　∴ S_p も整数である。(終)

一片が1の正方形の中に、一片が1の正三角形を、正方形との距離が最大になるように入れる。
その入れ方と距離を求めよ。
ただし正三角形と正方形との距離とは、正三角形の頂点と正方形の辺との距離のうち最小のものであるとする。

>103 の訂正...ｽﾏｿ
　S_p = �納j=1,p-1] (-1)^(j-1)･σ_j･S_(p-j) ＋ (-1)^(p-1)･pσ_p.

>104
　相対する2辺から△までの距離の和は 1-H, ここにHは正三角形の '幅'。
　正三角形は凸閉曲線なので卵形線と考えられ、幅Hは傾きθの函数である。（支持線函数)
　H(θ) = Max{ |cosθ|, |cos(θ-60ﾟ)|, |cos(θ-120ﾟ)| }

　さて,本題は Max{H(θ), H(θ-90ﾟ)} を最小化する問題で、
　その最小値wを使えば、求める距離は (1-w)/2.

　これは θ=15ﾟ,45ﾟ,75ﾟ,105ﾟ,135ﾟ,165ﾟ で最小となり、
　w = H(15ﾟ) = cos(15ﾟ) = √{[1+cos(30ﾟ)]/2} = (√6 +√2)/4.
∴ 求める距離は {1-cos(15ﾟ)}/2 =(4-√6 -√2)/8.

この前妹が出かけたときさ、家に携帯忘れていったわけよｗｗ
ふだんからバカな妹でさ、まぁ教えてあげるために妹にメールしたのよ。
「おい！お前携帯忘れてる（笑）」　
って送信した矢先だよ、ほんとその瞬間、誰かからメール来てんのｗｗｗ
バイブぶりぶりんぐｗｗｗｗｗウケるｗｗｗｗｗｗ
まぁだけど見るのは兄妹でも悪い気がしたからほうっておいたわけ。

しばらくして、妹から何も連絡無いしさっきのメールが何か気になっちゃってさ
妹のメール見ちゃったわけ。そしたらまたコレ超ウケるんだｗｗｗｗｗｗ

送信者:バカ
内容:おい！お前携帯忘れてる（笑)

誰だこいつｗｗｗｗいきなり何だこれｗｗｗｗイミフｗｗｗｗｗ送信ミスかよｗｗｗｗｗ
しかも名前バカってひでぇｗｗｗｗ本当にバカなやつなんだなｗｗｗｗ顔が見てぇよｗｗｗｗｗｗ
しかもこいつその後妹にﾒｰﾙを送ってないところを見ると、たぶん送信ﾐｽに気がついてないｗｗｗｗｗｗ

うは

745

>>101
だったらまともな事書けよ

(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!!

(a^b)-(b^a)=1を満たす整数a,bの組を全て求めよ

次の不等式
　x!^(1/logx)>10^10000000
を満たす最小のxの値を求めよ。

注:xは自然数とする

>112
両辺の対数をとると,
log(x!)/log(x) > 10000000log(10) ≒ 23025850.92994…
スターリングより,
(左辺) ≒ x + (1/2) + {-x +(1/2)log(2π) +1/(12x) -1/(360x^3) + O(1/x^5) }/log(x) + ……
よって x > 24463824.09205…

>111
(3,2) と (2,1)
専用スレへﾄﾞｿﾞｰ

http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1122121499/

>>114
正解! = e^{log(正解)+log(正解-1)+log(正解-2)+…+log(3)+log(2)} (以下くどいので「正解」をxに置き換える)
≒e^{∫[1,x]log(x)dx}
　　　= e^{xlog(x)-x+1}
ここでxが十分に大きい時 x+1≒x と見做せるので上式は
≒e^{xlog(x)-x}　　　　　　　と書ける。
これを利用すると>>114式の左辺
log(x!)/log(x)≒x-(x/logx)
以下省略
　因みに実際に計算してみると
24463824-(24463824/log(24463824))
≒23025850.2889702447626129621302135603832824444594671071162239560934944775637359225721496574019443068
　1523395997528503047183078489857054951409531849764128754544122562018970528488514717431021592806418160
　6053208478261108163597306754578614634836360509689741017342788175441978869547326376966168491783821955
8733734106254130388957654532795054291794425935493105760288917271790986027288975035538324047632531019
9521657026741378636636213081503833502409192214804221981386521486969437103178701120931312097470935395
3271855585646217607330052297815565940066184282485652716157784162431760721568666863616820999078727640…

24463825-(24463825/log(24463825))
≒23025851.2336456890204392422190845730888910570734535056330885322028925153876406171437952642462562795
9520939545303408352033036014188701895275734120981484619694789724110750711197969310386895045483324706
0720390057759637552714132700788990736330023499279978129588467728163667761683661083936952743401484671
9193953743372085827495553157146305036191041347432423595494234842710944680196221102711010870786807995
1691201532964724254991226075391337029484158950113718944297929721775868233089206554881020236054537146
9015029868933815514902407851180595929066541755368071854712074046940400831850583844392804076483649506…

すまん。ずれた

(Ac∪B) ∩ (Bc∪C) ⊆ (Ac∪C) を証明せよ。ただし、A, B, C は集合を表す。

>>118
すまん。ミス
Ac とか Bc は A^c、B^c です。補集合です。

ある直方体の6つの面のうち、5面の面積の和がaである。
このような直方体の体積の最大値を求めよ。

>120
直方体の3辺をh,k,Lとすると
　a = 2hk+2kL+Lh,
相加･相乗平均で
　(2hkL)^(2/3) ≦ (2hk+2kL+Lh)/3 = a/3.
　hkL ≦ (1/2)(a/3)^(3/2).

a^4 + 2 b^4 + 2 c^4 + 2 a^2 b^2 - 4 b^2 c^2 - 2 c^2 a^2 = 0 を満たす a、b、c は
三角形の三辺とは成り得ない事を示せ。

簡単過ぎたか？

円柱面
　{ (x,y,z) | x^2 + y^2 = 1}
のうち、点(1,0,0)を中心とする半径2の球面の内部にある部分の面積を求めよ。

>>122
簡単てか灯台っぽくない。
b=cのときはa=0
b=!cのときはaは実数を取らない

>>123
90年代後半に似た問題があったな。
そのときは四角錐との共有部分の体積だったが。

>122
(左辺) = { a^4 + [a^2 +2(b^2 -c^2)]^

>122
(左辺) = { a^4 + [a^2 +2(b^2 -c^2)]^2 }/2.

http://mirror.jijisama.org/

日本と在日韓国・朝鮮人の戦前から現在までの関係を扱ったサイトです。

強制連行・就職差別・指紋押捺・最近では三国人の呼称などで
大マスコミが反日左翼のフィルターを通してこれらを報道してきたため
我々一般人は日本側に一方的に非があるように思い込まされてきましたが、
歴史の語り部により反日左翼や在日の欺瞞が明らかになってきます。
在日コリアンの歴史を分かりやすく客観的に知りたい方には
お薦めのホームページです。

>122
(b^2-c^2)^2 + (a^2 + b^2 -c^2)^2 = 0

>>123
4*2^(1/2){∫(0,π/2)}(1+cosθ)^(1/2)dθ
でしょうか・・・しかしここから計算できません・・orz

正の整数x,y,zが1/x＋1/y＝2/zを満たす。
(1)z＝15のとき、(x,y)の組をすべて求めよ。
(2)x,y,zの正の公約数が1のみであり、かつzが奇数であるとき、積xyzが平方数であることを示せ。

>>129
根号はずれる。

ｘ+ｙ＝２ｍ
ｘｙ＝ｚｍ

正の整数anが1/a1＋1/a2+...＝2/pを満たす。

1/(1-x)=2/p
an=x^n

Σk^mC[n,k]の値を求めよ

訂正

Σ[k=1,m]k^mC[n,k]

追加

Σ[k=1,m]k^mC[n,k]の値を求めよ
Σ[k=1,n]k^mC[n,k]の値を求めよ

>>130
（1）途中式めんどい。(x,y)=(8,120),(9,45),(10,30),(15,15)
（2）与式より、(x+y)/xy=2/z ∴z(x+y)=2xy
zは奇数なので、2は因数に含まれない。よって、ある素数nが
zの素因数に含まれているとすると、xyもその素数を素因数を含まなければ
与式は成立しない。しかし、x,y,zはすべてに共通の素因数を持たないので、
x,yのどちらか一方が素因数にnを含む。

また、与式より1/x=(2y-z)/yz ∴x(2y-z)=yz
ここで、2yは偶数だが、zは奇数なので、2y-zは０にはならない。
よって、ある素数mがxの素因数に含まれているとすると、
yzもその素数を素因数を含まなければ与式は成立しない。
しかし、x,y,zはすべてに共通の素因数を持たないので、
y,zのどちらか一方が素因数にmを含む。

以上のことから、x,y,zをすべて素因数分解した数を集めた集合を考えると、
その集合の数は一種類につき必ず２の倍数個ある事になるので、
xyzは平方数になる。

e^(iπ)=-1を証明せよ。

厨房臭い問題だな

y=2(sinx)^3-sin(2x)の[0,2π]での最大値、最小値を求めよ

>>140
宿題は質問スレに書きなさい、坊や！

>>141
そういうこと言うのは解いてからにしな、はげ

夏ですねぇ

>>140は本当に難しいんです！！！＞＜

>>144
そうかな？ 君の…

>>144
だから質問は質問スレに行きましょうね。
これだから夏厨は・・・

>>138は高校レベルでもできないことはないよ。簡単じゃないけど。

>>138
ばーか＾＾

>>147
そういう問題ではない。定義の問題。

>>148高校課程内で証明してみろ。
オイラーの公式を独力で導き出さなければならない。高校の範囲で可能だが、誰もできないだろうな。

今井の臭いがする。

複素数平面を使ったらダメなんだよな。今の課程だと。

>>150
新課程で誘導無しにそんな問題出すわけないだろばーかって言ってんだよ＾＾

>>140
x=0.481728113871322… のとき y=-0.622262508159509…(極小)
x=1.87579824328150… のとき y= 2.30853317668017… (最大)
x=2π-1.87579824328150… のとき y=-2.30853317668017… (最小)
x=2π-0.481728113871322… のとき y= 0.622262508159509…(極大)

まずf'(x)=kf(x)ならばf(x)=Ae^(kx)(Aは定数)である.
証明:f'(x)/f(x)=k
両辺を積分すると
lnf(x)=kx+C(Cは積分定数),f(x)=e^(kx+C)=Ae^(kx)(証明終)…�@
g(x)=cosx+isinx(iは虚数単位)とする.
g'(x)=-sinx+icosx=(i^2)sinx+icosx=i(cosx+isinx)=ig(x)
よって�@よりg(x)=Ae^(ix),g(0)=A=1であるから,g(x)=e^(ix)
ゆえにe^(ix)=cosx+isinx(これがオイラーの公式) あとはx=πを代入すると
e^(iπ)=-1

>>154
どうやって求めた？
微分してもうまくいかんのんだが

>>155
いつから高校の過程で複素微分を扱うようになったんだ？

>>150はどんな証明をする気だ？

>>155
へぇ〜・・・・・ちょっと感動した。

>>150
お前が証明してみろよ
俺は不可能と思ってる

複素平面習わなくなったのにね

>>155
高校の範囲外のことは使ってるけどね。俺も最初に誤魔化されたのがこの証明。
>>160
複素数平面があるうちならそれっぽいのはあったんだけどね。現過程だと難しいだろうな。

オイラーの公式の存在自体習わなくなったのに独自に導き出すのは難しいね(´・ω・`)

>>155は私が書いた。わけあって大学には行かずの高卒中年。iの絡む微分は高校の範囲外だったっけ？でも理系の高校生、高卒者なら理解できる証明だろ？誘導付きなら東大入試に出ても不思議はないんじゃないか？

そもそも微分方程式が範囲外

>>164
誤魔化しを正当化するには関数論の勉強が必要だから無理。東大入試に出したら関係者はつるし上げを食らう。
それに、>>165。京大は出しているようだが。

>>164
肝心要の e^(ix) の定義が欠落している。
論外。

京大は最近の入試に微分方程式が出題されたんだ

>>155
＞f'(x)=kf(x)ならばf(x)=Ae^(kx)(Aは定数)である
の部分でｋが虚数を容認してる。範囲外。

微分方程式どんな風に出たん？

阪大かどっかではフェルマーの小定理の証明（誘導付）出たことあるとかなんとか
当然modは使わずだろうけど

工房の頃、exp(ix) = A(x)+iB(x)、xは実数、A,Bは実関数なんてやって
微分方程式立てて、exp(ix)=cos(x)+isin(x)を証明できた気になった事があったな。

今にして思えば、恥ずかしい思い出だが工房なら仕方ないか……

俺もそうだ。一度通る道なのかな

(1)1円玉,5円玉,10円玉を使って
10n円(nは自然数)をつくる。それぞれ何枚でも使っていいものとすると
何通りできるか?

(2)1円玉,5円玉,10円玉,50円玉を使って
2500円をつくるときは何通りか?

(1)10円玉をk枚用意する.
残りの10(n-k)円を,5円玉1円玉で補充するとき
5円玉の数は、0枚,1枚,2枚,・・・,2(n-k)枚
の2(n-k)+1通り、5円玉の枚数が決まれば、1円玉の枚数も一意に決まる。
∴Σ[k=0,n]{2(n-k)+1}=(n+1)^2通り

(2)50円玉を50-k枚用意すると,50円玉で2500-50k円つくれる。
残りの50k円を1,5,10円玉で補充するので、(1)より(5k+1)^2通り
∴Σ[k=0,50](5k+1)^2=1085926通り

http://etc4.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1154170016/
181 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2006/08/12(土) 11:47:33 ID:KgoqFBd10
>>177
専修大に通ってるんですか？

182 名前：専修生 ◆fXf0/HfFdI [] 投稿日：2006/08/12(土) 12:04:46 ID:GPX5tzqNO
>181
そうだが、物理は早計レベル、数学は東大上位レベルの実力があると自負しているのでその辺の相談ならのれる
他のは無理だがwww

誰かこいつに問題だしてやってくれお（　＾ω＾）

>>135
与式を S(m,n) とおくと
S(1,n) = n,
S(2,n) = n(2n-1),
S(3,n) = (1/2!)n{(3n)^2 -19n +12},
S(4,n) = (1/3!)n{(4n)^3 -303n^2 +509n -264},
S(5,n) = (1/4!)n{(5n)^4 -5226n^3 +16703n^2 -22518n +10440},
　……

>>136 (下)
与式を T(m,n) とおくと
T(0,n) = 2^n,
T(1,n) = 2^(n-1)･n,
T(2,n) = 2^(n-2)･n(n+1),
T(3,n) = 2^(n-3)･(n^2)(n+3),
T(4,n) = 2^(n-4)･n(n+1)(n^2 +5n-2),
T(5,n) = 2^(n-5)･(n^2)(n^3 +10n^2+15n-10),
　……

nを2以上の整数として、さいころをn回ふり、k回目にでた目をa_k(k=1,2,…n)とする。
また、d_kを、d_1=a_1,k≧2のとき、 d_k=(a_1,a_2,…a_kの最大公約数)とする。
(1)d_n=3となる確率を求めよ。
(2)d_n-1>1かつd_n=1となる確率を求めよ。

0≦t≦2πのすべてのtに対して、点P(t−sint,1−cost)が楕円の周及び内部(x−π)^2/(π^2)＋(y^2)/4≦1内にあることを示せ。

>>177
(1) (2/6)^n - (1/6)^n
(2) d_(n-1)で場合分けして足す。
　d_(n-1)=2:　{(3/6)^(n-1) - 2(1/6)^(n-1)}*(3/6) = (1/2)^n -6(1/6)^n,
　d_(n-1)=3:　{(2/6)^(n-1) - (1/6)^(n-1)}*(4/6) = 2(1/3)^n -4(1/6)^n,
　d_(n-1)=4:　{(1/6)^(n-1)}(3/6) = 3(1/6)^n,
　d_(n-1)=5:　{(1/6)^(n-1)}(5/6) = 5(1/6)^n,
　d_(n-1)=6:　{(1/6)^(n-1)}(2/6) = 2(1/6)^n.
∴ (1/2)^n + 2(1/3)^n.


>>178
　増減表かくだけ。鼬害?

さくらスレ１９９
　http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1154871770/555

>>178　(さくらスレのコピペ)

t⇔2π-t について対称なので、0<t<π で考えてもよい。
　x = t-sin(t) = f(t),
　y = 1-cos(t) = f '(t) ≧0.
とおく。
　f "(t) = sin(t).

　F(t) = {f(t)-π}^2 /(π^2) + (1/4){f '(t)}^2,
が1以下であることを示そう。

　F '(t) = 2f '(t)[ {f(t)-π}/(π^2) + (1/4)f "(t) ] = 2f '(t)G(t).
　G(t) = {f(t)-π}/(π^2) + (1/4)f "(t) = {t + [(π^2)/4 -1]sin(t) -π}/(π^2)
は(0,π)では上に凸、(π,2π)では下に凸である。(t-π)G "(t) ≧ 0.
また、G(t)=0 の根 t_1≒1.68350148938493…, t_2=π, t_3=2π-t_1 は F '(t)=0 をも満たす。
　(t-t_1)(t-t_2)(t-t_3)G(t) ≧ 0,
　(t-t_1)(t-t_2)(t-t_3)F '(t) ≧ 0.
　F(0)=F(π)=F(2π)=1 ゆえ F(t)≦1.

xy平面で三角形ABCの重心の座標は(0, 1/4)である。
(1)2点A,Bが単位円x^2+y^2=1上にあるとき三角形ABCの面積の最大値を求めよ。
(2)3点A,B,Cが単位円x^2+y^2=1上にあるとき三角形ABCの面積の最大値および最小値を求めよ。

136

　ａ＞0として　ｙ＝ａx＾4-（ａ+1）ｘ＾2+ｂｘ+ｃ（１）
　の２つの変曲点をＰ、Ｑとする。２点Ｐ、Ｑで（１）に接するような２次関数
　ｙ＝ｇ（ｘ）（２）
　をとるとき、（１）と（２）で囲まれる部分の面積の最小値を求めよ。

>183
　P,Qのx座標をp,qとおく。 (1) をf(x) とおくと、題意より
　f(x)-g(x) = a{(x-p)(x-q)}^2,
　S = ∫[p,q] {f(x)-g(x)} dx = a∫[p,q] {(x-p)(x-q)}^2 dx = (a/30)(q-p)^5.

　f "(x) = 12ax^2 -2(a+1) =0 より, 変曲点は p=-√{(a+1)/6a}, q=√{(a+1)/6a}.
　以下ry)

>184 の続き
　q - p = 2･√{(a+1)/(6a)}.
相加･相乗平均より、
　a + 1 = a/3 + a/3 + a/3 + 1/2 + 1/2 ≧ 5・{(1/2)^2・(a/3)^3}^(1/5) = (C^2・a^3)^(1/5).
　C = 5^(5/2) / {2･3^(3/2)}.
　q - p ≧ √(2/3)・(C/a)^(1/5).
　S = (a/30)(q-p)^5 ≧ (1/30)・(2/3)^(5/2)・C = (1/30)･(2/3)^(5/2)･C = (5/243)√10 = 0.065067441567250603539071883630303…,
　等号は a=3/2 のとき -p = q = 0.52704627669472988866648225740545….

ttp://ranobe.com/up/src/up135029.jpg

半径1の円Cの中心をOとします。また，円Cの直径の1つをABとします。
aを0<a<1を満たす定数とします。
線分OA上にOP=aとなる点Pをとります。
点Pを通り，ABと異なる直線が円Cと交わる2点をQ，Rとします。
四角形AQBRの面積の最大値を，aを用いて表して下さい。

x^14+x^7+1を実数係数の範囲で因数分解せよ

>188
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1154723789/

良スレage

原点を中心とした半径１の円に正三角形が内接している。
このとき、正三角形の第１象限にある部分の面積の最大値、最小値を求めよ。

>>191
最大値(√3-1)/2
最小値 1/4

2001年 岡山大で既出

>191
原点から辺に下ろした垂線の長さ h=1/2 だから、切り取った辺の長さをLとおくと
　(面積) = Lh/2 = L/4.
　1 ≦ L ≦ 2(√3 -1) = 1.4641016151377545870548926830117…


>188
http://www.suken.net/arrivals/2006-07-23/1-1.pdf

>193
　問題7はたぶん 1 + yy " + (y ')^2 = 0 の一般解だろうな...

ある撮影があり
撮影時間は１０分
カメラマンと女優は
撮影場所とは違う
部屋に待機していて
カメラマンと女優共に
その内の一分しか
撮影場所に入れず
どちらも相手がいつ
撮影場所に来るか
わからない時
カメラマンが一秒以上
女優を撮影出来る
確率は？

x^14+x^7+1＝0を解け

>>195
1-(541/600)^2
撮影開始からx秒後にカメラマンが来て，y秒後に女優が来たとする。
このとき，xy平面で0≦x，y≦600 かつ |x-y|≦59 が
を満たす部分となる。かつて千葉大や日本獣医畜産大で出ている。
連続分布の問題なので，今の東大で出ることは殆どありえない。

>>196
x＝cos(2kπ/21)+i*sin(2kπ/21) (kは21以下の自然数で，3の倍数を除く)
x^7=1を満たすxはすべて与方程式の解でないから，x^7-1≠0
両辺にx^7-1をかけてx^{21}-1=0
よって、与方程式の解xは
x=cos(2kπ/21)+i*sin(2kπ/21) (kは21以下の自然数)
とかける。このうち，x^7=1の解(つまりkが3の倍数である場合)の
7個を除いた14個が求める方程式の解となる。
今年の7月に行われた数検1級の1次試験第1問を改作したもの。
複素平面を学んでいた旧課程の時代には超基本問題。
東大のように2浪の受験生が無視できない割合で混じる大学の場合，
課程によって著しく有利不利の差が出る(2浪生に有利な)問題は出ないのでは？

確率わ17／81

　　　　　　　　　　 　 -‐ '´￣￣｀ヽ､
　　 　 　 　 　 　 ／　,ﾆ二二二ヽ　 ＼
　　　　　　　　　//, '/VT|/VWV　 ヽﾊヽ
　　　　　　　　 〃 {_{ノ　　　 ｀ヽﾘ| ｌ │i|
　　　　　　　　 ﾚ!小ｌ●　　　 ●　||　|、i|
　　　　　　　 　 ヽ|.⊃　､_,､_,　⊂⊃i　|　| 　　やあ、祐一くん祐一くん
　 　 　 　 /⌒ヽ_.| i|　　 ゝ._）　 　j ./⌒i !　　 たい焼きはあるかい？
　　　　　　＼ /##|. l＞,､ __,　 イァ/___/ i| .／）
.　　　　　 　 /##/ﾚ/. ヽ#TtT#ﾉ .{####]／／）
　　　　　　　｀ヽ< 　　　 　 ∞　 /　　　.ﾉ／ /

円x^2+y^2=16の弧を折り曲げて、折り曲げられた弧が
円内の定点A(2,0)を通るようにする。
このとき、折り目となる直線が通りえない範囲を求めよ。

どうせ楕円

>>197なぜ十分間考えるの？九分以降考えなくていんじゃない？

king来い

>>198

答えは13/81らしいんだけど…

作問者じゃないのか？

友人に出題されたんだけど解けなくて答え聞いたんだがそれでも計算して答えに辿り着けない↓

π>3を証明せよ。

3は正6角形

円に内接と外接でできるじゃん。中学でやったけどなぁ

>>204何で？

友人がテレビで見た問題で問題と答えしか覚えてないんだってさ…

友人のうろ覚え

talk:>>203 私を呼んだだろう？

ln(2)<1 であることを証明せよ。

　>185
正解です。ただ,証明なしで　
∫[p,q] {(x-p)^2(x-q)^2}dx = (1/30)(q-p)^5 が成り立つとし、
S(a)=a/30(2√{(a+1)/6a}^5 とするのは高校数学ではどうなんでしょう。
　採点時、点数がもらえるのか疑問ですが…　
ま、いまなら私も普通に使いますが（笑）
　

　

>>211　たけしのコマネチ大学数学科

>213
　e>2 と同値。
　�納k=1,∞) 1/(k!) > 1 + 1 + (1/2) > 5/2.
　a_n = {1 +(1/n)}^n > 1 + Ｃ[n,1](1/n) + Ｃ[n,2](1/n^2) = 1 + 1 + (n-1)/2n → 5/2.

talk:>>216 しかし、expの級数での定義を知らない高校生も居るだろう。その場合は、x-1-ln(x)の微分を考える。

talk:>>216 (1+1/n)^nを考える方法もあったのか。

普通、1/x の積分を考えないか？
絵を見れば明らか。

ﾈｲﾋﾟｱの数の定義の根源に係る問題を工房に解かすのは愚か。

ぬ？

わかる人いたら教えてください


数理論理学ってどんなことやるのですか？

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%9F%BA%E7%A4%8E%E8%AB%96
そっち系の2chのスレをちょっと眺めてみてもいいかも
もっともスレで話してることはすごく基礎的なことばっかだけど

間違えた
こっち貼るつもりだったんだが
http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_logic

>>223-224
wikipediaなんて信じたらあかん。
つか、電波入ってるな。

ここが不正確だ、とかここが客観的でない、とかその程度ならわかるが
電波が入ってる、とまでは言えないような、、

どこが問題なの？

特に中学生が書いたような、その日本語の方は、酷いね。何も感じないのかい？

中学生がチンコをいじりながら書いたような くさい文章だな

>>225-228
自分の得意分野で明らかに間違っている部分があったら
書き直すか、ノートに問題提起してみんなで改善していきましょう、
というのがwikipediaの方針なんだから。
どんどん書いちゃってくださいな。

なんだ、文体が気に入らないくらいで電波なんて言ってるのか？
あなたこそ「電波」という言葉をもっと標準的な使い方したほうがいいと思うよ

>>229
参加者ではないのに、何故そんなことしないといかんの？

理科一類目指してる高3のものです。
漏れが合格したらここのまとめサイト作ってもいいですか？
LaTeXあたりでpdfで出せばかなり見やすくきれいに出来ると思うんですが。

>>230
文体か、うーん、文体はどうでもいいんじゃね？
問題は内容の方だな。

>>232
いくらでもどうぞ

>>227は文体が問題だと言ってるように思ったけどね
内容とは具体的にどこ？

何も感じないならそのままでいいよ。
それはそれで、面白いｗ

ま、忘れてくれ。
俺は寝る。

俺が、寝る前に変なものを見た。
それだけだ。

そうですか。

前もこんなことあったな。
wikiの数学基礎論の文章は電波だ？→どこが？と複数名に聞かれる→返答なし
まったく建設的でない不毛なレスでございますことで。
電波って言いたいだけちゃうんかと。

基礎論に限らず滅茶苦茶だけどね
あそこは

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%92%B0

こんなのとか？

まあ全体的なレベルは低いねｗ
英語は日本語よりはかなりましだけどね

わざわざ図書館に行って20年前とかに書かれたような百科事典読んだり
高い金出してCD-ROMの百科事典買ったりしなくていいことを考えると
英語版は読む価値あると言えるかも

英語版は少しマシな程度かな。
日本語よりはマシだけど、それでも大して高くはないし
百科事典で数学なんて学ぼうとする馬鹿はいない。

そもそも百科事典って「レベルの高さ」を求めるものじゃないと思うんだがね
レベルが高い百科事典ってどういうのを言ってるのか知らんけど

数学なら岩波数学入門辞典（だっけ）とかのほうが「レベル」はそりゃ高いだろう
岩波が高い金出して買わせるんだから当たり前だ

スレ違いっぽいのでここらで

レベルが低いっつったのは>>241だよな

つかさ、ウィキペディアって書いてる奴が馬鹿しかいなくね？

まぁレベルの低さっていうのはさ、
書いてる奴の低さがそのまま出てんだろうな。

>>239は、英語版でも結構、滅茶苦茶な記事があるって言ってるのかな
そういう記事見たことがないし（それほど頻繁に利用するわけではない）
そもそも仮に英語版でおかしなこと書いてあっても、科学関係とかじゃないと
なかなかこの独立宣言に関する記事は滅茶苦茶だ、とか判断するのは難しいと思うけどね

書いてる奴の一人？

俺は誤字を二、三回位、訂正したことしかないよｗ
記事書いたことは無い

ただフィーリングで電波だとか無茶苦茶だとか言っても
どうしようもないとは思うけど

どうしようもないまま、ほっとけばいいじゃん。

訂正したい奴が訂正すればいいんだよなｗ

ってか問題は〜
問題でてないじゃん

問題がでできんと

a,b,cを正の数とする。�僊BCの内部の点ＰがaＰＡﾍﾞｸﾄﾙ＋bＰＢﾍﾞｸﾄﾙ＋cＰＣﾍﾞｸﾄﾙ＝０ﾍﾞｸﾄﾙ
を満たしているとき、�儕BC:�儕CA:�儕AB=a:b:cとなることを証明しなさい。

>>254
マルチ

a,b,cを正の数とする。�僊BCの内部の点ＰがaＰＡﾍﾞｸﾄﾙ＋bＰＢﾍﾞｸﾄﾙ＋cＰＣﾍﾞｸﾄﾙ＝０ﾍﾞｸﾄﾙ
を満たしているとき、�儕BC:�儕CA:�儕AB=a:b:cとなることを証明しなさい。

色色なスレで>>225みたいなこと言ってる奴いるけど
具体的にどこがわるいのか言ってる奴はいない

説明しても伝わらないのでFA？
ていうか、分からない時点でアウト。

また逃げたか

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B8%9B%E6%B3%95

吹いた。

ウィキペディアね、とある授業を受けたとき担当してた先生の本を読んでて
ちょこっと内容を調べようとしたら、その本とまるっきり同じ文章の項目があった。
ある意味、その記事は信用できると思う。写しただけだもの。

>>257
昔は具体的な会話になることもあったのだが
けれど、おまえが直せっていう奴が出てきてからというもの
具体的に話すことは減っていった。
誰も直す必要なんてないのにね。

　　　　　　　　　　 　 -‐ '´￣￣｀ヽ､　　　　　　　　 　 -‐ '´￣￣｀ヽ､　　　　　 　　　 -‐ '´￣￣｀ヽ､
　　 　 　 　 　 　 ／　／" ｀ヽ ヽ　　＼ 　 　 　 　 ／　／" ｀ヽ ヽ　　＼　　　　　 ／　／" ｀ヽ ヽ　　＼
　　　　　　　　　//, '/　　　　 ヽﾊ 　､　ヽ　　　　//, '/　　　　 ヽﾊ 　､　ヽ　 　 　//, '/　　　　 ヽﾊ 　､　ヽ
　　　　　　　　 〃 {_{ノ　　　 ｀ヽﾘ| ｌ │ i|　　 　 〃 {_{ノ　　　 ｀ヽﾘ| ｌ │ i|　　　〃 {_{　　　 　　　ﾘ| ｌ.│ i|
　　　　　　　　 ﾚ!小ｌ●　　　 ● 从　|、i|　　 　 ﾚ!小ｌ●　　　 ● 从　|、i|　　　ﾚ!小ｌノ　　　 ｀ヽ 从　|、i|
　　　　　　　 　 ヽ|l⊃　､_,､_,　⊂⊃　|ﾉ│　　 　 ヽ|l⊃　､_,､_,　⊂⊃　|ﾉ│. 　　ヽ|l　●　　　●　 |　.|ﾉ│
　 　 　 　 /⌒ヽ__|ﾍ　　 ゝ._）　 　j /⌒i !　 /⌒ヽ__|ﾍ　　 ゝ._）　 　j /⌒i !　　 　 |ﾍ⊃ ､_,､_,⊂⊃j 　|　, |
　　　　　　＼ /:::::|　l＞,､ __,　イァ/　 /│. ＼ /:::::|　l＞,､.__,　イァ/　 /│　　　 |　/⌒l,､ __,　イァト |/ |
.　　　　　 　 /:::::/|　|　ヾ:::|三/::{ﾍ､__∧ | 　　/:::::/|　|　ヾ:::|三/::{ﾍ､__∧ |. 　 　. | /　 /::|三/::/／　 ヽ |
　　　　　　　｀ヽ< |　|　　ヾ∨:::/ヾ:::彡'　|. 　 ｀ヽ< |　|　　ヾ∨:::/ヾ:::彡'　|　　　. | |　　l ヾ∨:::/ ヒ::::彡, |

　　　　　　　┏━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━┓
　　　　　　　┃ちゅるやさんＡは、めがっさを唱えた！　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 ┃
　　　　　　　┃ちゅるやさんＢは、にょろ〜を唱えた！　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 ┃
　　　　　　　┃ちゅるやさんＣは、スモークチーズを欲しがってる。　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ┃
　　　　　　　┗━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━┛

昔から逃げてばかり

>>256本当ウザいから。そもそもスレ違いだし。

>>256いじくってできないかい？あとそれa、b、cが全部正の数∨全部負の数じゃないとＰが外分点になってややこいよ

lim[n→∞]∫[1/n,n]log(1+1/x^2)dxを求めよ

a,b,cを正の数とする。�僊BCの内部の点ＰがaＰＡﾍﾞｸﾄﾙ＋bＰＢﾍﾞｸﾄﾙ＋cＰＣﾍﾞｸﾄﾙ＝０ﾍﾞｸﾄﾙ
を満たしているとき、�儕BC:�儕CA:�儕AB=a:b:cとなることを証明しなさい。


とりあえず、Ｐﾍﾞｸﾄﾙ＝aＡﾍﾞｸﾄﾙ＋bＢﾍﾞｸﾄﾙ＋cＣﾍﾞｸﾄﾙ／a+b+c
みたいな感じになったんですけどその先が・・


解答教えてくれるとまじ嬉しいです・・

>267
部分積分により
　∫log(1+(1/x)^2)dx = x･log(1+(1/x)^2) + 2∫{1/(1+x^2)}dx = x･log(1+(1/x)^2) + 2arctan(x) +c.

>268
PB↑に垂直な方向の成分を考える。
　0 = aPA･sin(∠APB) - cPC･sin(∠CPB) = 2(a△APB - c△CPB) /PB.

>>268遅れたけど回答いります？

>>270
要りません。

>>269
nと1/nをつかって極限を求める問題なんだけど
ちなみにヒントを言うとみんなが良く知ってる値になる

　　　　　　　　　　　　　　　 ＿＿_ 　 　 　 　 　 . ヘ
　　　　　　　　　　　 . -‐: : : : : : : : ＞ ￣ ＞　　　　i　 　 ／ |
　　　　 　 　 　 　 　 ＼: : : : 　 ´　　 　 ´　　　　 　 |　／　　.!
　 　 　 　 　 　 　 　 ／!:／　 .　 ´　　　　　　　　　}jﾚ'} j　 　 '.
　　　　　　　　　　／ : :j'　 ／ 　 　 　 ／ i　　|　　}jjkﾚ'　　 　 '.
　　　　　　　　 ／: : : :/　 ′'　　 _ ／　 ﾉ}　 ﾉ　 /ﾞﾞ""|　　　　 '.
　　　　　　　 く: : : : : :j　/ /　 　 7´＞､／／厶ィ　　　|　i　　　　.
　　　　　　　　　v: : :/j　ﾚ!　　　/ﾚ' rｧ≠ﾐﾄ　'　　　 　 |　l　 i　　ハ
　　　　　 　 　 　 v:/ ' 　 v j 　,′　{　ﾄrｿヾﾄ　　　＿ ,レL　l 　 　 }
　　　　　　　　　　/ /　　r{ミ─ ｮ　　　￣｀　　　　 ｨrﾃﾐﾄj　/ /　//
.　　　　　　　　　/ /　 　 }ミ─彡}　　　　　　　　　 ゝｒｿ fﾚ′　//
　　　　　　　　 /　{　　　　ﾃ＝彡'}　　　 　 　 　 冫　･ /　 厶ｲ/
.　　　　　　　 /　　ｖ,r‐　　 ヾ、彡'}　　　　. -=ｧ 　 　 ∧　,′　　　←こいつめちゃくちゃテニス上手そう
　　　　　　／　｀ヽ {i　　　　　 ト イ}｝　　 　 ﾆ　　　 .ｲ ﾘハ
　 　 　 ／　　 　 　 {i　　　　　　　{ﾄ､　　 　 　 　 イ ﾙ　　ﾉ
.　　 ／　 　 　 　 　 {ﾚ'´￣￣ ｀　 ﾍ.　ﾄ､__　＜ j｛{　｛　〃
　／=　＝＝ 、 　 　 ｝'´￣￣　　　 ｀ヽ　 }'" 　 　 　 ｝/ {
/　 　 　 　 　 _ 　 ´}:::{　　　　　　　　 ハ　{Lr== =　,ﾘ　 ﾊ
　　　　 　 　´ 　 　 |::::{ 　 　 ／´￣ 　 ハ }}　　　　　}　　 ）
.　　 ／　　 　 　 　 |::::::＼__j'　　　,r 7'　 八　ｒ‐─　ﾘ　／{
　　.′　 　 　 　 　 |:::::::|　　＼　 ｛{　　 〈　 ゝ r＝=ﾉ /　ハ

四面体ABCDの２面は直角二等辺三角形で、残りの２面は正三角形であり、
６本の辺の内、最大辺の長さが１のとき、その四面体の体積を求めよ。

>274

正三角形をABC,ADCとすると、BD以外の5辺は同じ長さ、BDはその√2倍。
BD=1 とすると、他の5辺は 1/√2.
AB=BC より、 Bは線分ACの垂直2等分面上にあり、Dも同様。
BD↑ ⊥ AC↑.
ACをx軸とし, BDに平行にy軸にとる。
A=(-1/(2√2),0,0),　B=(0,-1/2,h),　C=(1/(2√2),0,0),　D=(0, 1/2, h)
とおける。
　5辺の長さが 1/√2 だから、高さh = 1/(2√2).

4面体ABCDをxy-平面に投影すると、菱形
　A, B'=(0,-1/2,0), C, D'=(0,1/2,0)
となる。
∴ ABCD は菱形柱から四隅の3角錐を取り除いたものである。

菱形AB'CD'の面積: S=(1/2)AC･BD = 1/(2√2)
柱の高さ: h=1/(2√2)
菱形柱の体積: Sh=1/8.
3角錐の体積: (1/3)(S/2)h = Sh/6.
四面体ABCDの体積は V = Sh -4*(Sh/6) = Sh/3 = 1/24.

四面体ABCDの２面は二等辺三角形で、残りの２面は正三角形であり、
６本の辺の内、５辺の長さが 1/√2 のとき、その四面体の体積の最大値を求めよ。

２面の直角二等辺三角形は直交してるのでは？

三角形のそれぞれの頂点から
下ろした垂線の足から他の二辺に下ろした、
合計 6 個の垂線の足は、同一円周上にあることを証明しなさい。

>>276
ABが他の5辺と違う長さだとすると
�傳CD,�僊CDは正方形であり、
CDの中点をMとし、ABの長さを変化させると
AはMを中心と、CD↑と直交する円上を動き、
AM⊥�傳CDとなるようにすることができるので
このとき体積の最大値1/3*(一辺1/√2の正方形)*BM=√2/16

>274,276

BM = √(3/8),
CD = 1/√2,
�傳CD = (1/2)BM･CD = (√3)/8,
より
体積V(θ) = (1/3)*�傳CD*BM*sinθ = {(√2)/32}sinθ
ここに、θは 2面の正3角形がなす "2面角".
>274 では θ = arccos(-1/3) = 109ﾟ28'16.4",
>276 では θ = π/2 = 90ﾟ.

>277
　>276では、2面の正3角形を保存するお。(直角2等辺3角形ぢゃないお)

>>277は>>275に対するﾚｽね。

文系問を作ってみた
易しいけど、コメントよろ
内接円の半径がr(＞0)の直角三角形の３辺の長さの和の最小値を求めよ。

高校入試問題か？

中学範囲で解答できるのか。すまんかったね

278も中学範囲で証明できる

>278,285
頂点Bから対辺ACに垂線B-Hbを下ろし、Hbから辺BCに垂線Hb-Xを下ろすと、
　△BCHb ∝ △BHbX より BX = (BHb)^2 / BC = (BHb)^2 /a.
頂点Cから対辺ABに垂線C-Hcを下ろし、Hcから辺BCに垂線Hc-Yを下ろすと、
　△CBHc ∝ △CHcY より CY = (CHc)^2 / CB = (CHc)^2 /a, BY=BC–CY=a–(CHc)^2/a.
∴　BX*BY = (BHb)^2 {1– (CHc/a)^2} = (BHb)^2 {1−(2Ｓ/ca)^2}.　(← CHc=2Ｓ/c, Ｓ=△ABC).
右辺はaとcを入れ替えても不変だから、X', Y'を上と同様におけば、
　BX * BY = BX’* BY’
方べきの定理の逆から、4点X,Y,Y’,X’は同一円周上にある。(終)

>278,285
(286の続き)

問題の6点を XY⊂BC, X'Y'⊂AB, X"Y"⊂CA とする。
XY, X'Y', X"Y" の垂直2等分線が1点Oに会するときは、
点Oを中心とする円周上にあるから (終).

それぢゃぁ、XY, X'Y', X"Y" の垂直2等分線が3角形を成すときは？
　XYX'Y' を通る円 (中心O1, 半径r1)
　X'Y'X"Y" を通る円 (中心O2, 半径r2)
　X"Y"XY を通る円 (中心O3, 半径r3)
の3円があることになる。ところでXYを通る2円については、
　r1<r3　⇔　d(O1-XY) < d(O3-XY),　r1>r3　⇔　d(O1-XY) > d(O3-XY).
X'Y',X"Y" についても同様。これを使うと、3角形を一周するとき
　r1>r2>r3>r1　または　r1<r2<r3<r1　　(矛盾)
なることが示される。
よって、上記の垂直2等分線は1点に会する。(終)

一応設定は１０〜１５分問題です


α、β、γ、δ、ε、ζ、θ
の７種類の記号が書かれたカードがそれぞれ無数にある。
いま、それぞれの種類のカードを奇数枚ずつ取り
合計7777枚取って左から一列に並べる。
このような並べ方は何通りか答えよ。

>>286>>287
乙

(1)半径1の円板を平面に正射影してできる図形をSとする。
Sの面積の期待値を求めよ。
(2)半径1の半球殻を平面に正射影してできる図形をTとする。
Tの面積の期待値を求めよ。

求め方によって複数通りの答えが出てきたりしないかな。
例の円に内接する正三角形が出てくる問題と同じで。

平面の分布は一様で、平面の法線ベクトルが原点を中心とした立体角Ωにより作られる錐体内部に含まれる確率はΩ/4π
日本語微妙だがそんな感じで

>>291

なにここ、これが東大レベルなのか？
見た瞬間答え分かるのばっかじゃん。

すげー。

I(n)=∫[1,e]{(log(x))^n}dxを用いてm/3<e<(m+1)/3を満たす自然数mを求めよ。
但し、対数は自然対数とする。


6^n (n=1,2,3,…)を分母とする1より小さい正の既約分数を並べた数列を考える。
初項から第m項までの和をS(m)とする。S(m)≧256となる最小のmを求めよ。

　　　 　　　　　 　 ／＼
　　　　　　　　 　┏⌒ ┓　　　　　＜）二））
　　　　　　　　　<(｀ム´ )ﾌ　 　　　　// |　　
　　　　　　　　　(.)　(.)ノ ） 　 　　　//　|　 　　
　　　　／￣￣￣￣＼　 |＞￣ＮＥＥＴ ＼
　　　/◎　　◎　　　　＼／　　　 ☆　　　＼ ヽ＼从／/＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　 ／ 　　　　　　 　　。Y　目）　　ＫＩＮＧ　 ）))）　　　　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　|ﾄｪｪｪｪｲ　　 orz|　　 .|　二　￣￣￣￣￣（ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　| |,ｒ-ｒ-| 　　/￣/＼／＼目）￣￣￣￣￣）))）　　　　　＿＿＿＿＿＿＿＿
　 ＼＿＿＿/___/　　　θθヽ￣￣￣￣￣/　/／Ｗ＼ヽ
　　　＼_＼___＼_＼___////____/二二二二/
　　　　　￣　￣　￣　￣／／ 　　　　　＼＼　　　　ヒュィィィィィーーーーーーン
　　　　　　　　　　　＜）二））　　　　　　＜）二））

talk:>>298 何やってんだよ？

次回のロト６の当選数字を予想せよ。
また、その予想が確実なことを証明せよ。

>>300
不可能である。　･･･♡

>>297
携帯からなので答だけスマソ

2問目
とりあえず小さい順にソートされているなら
m＝515

>>291 (1), 293
平面の法線と板の法線のなす角をθ、板の面積を S_0 とすると、S(θ) = S_0･|cosθ|,
dΩ = sinθdθdφ だから
E[S(θ)] = ∫S･dΩ/(4π) = S_0∫_[0,π] |cosθ|･sinθdθdφ /(4π) = S_0･∫_[0,π/2] cosθ･sinθdθ = S_0 /2.

（１，０，０）を中心とする半径１の円柱線と原点を中心とする
半径２の球の共通部分の体積を求めよ

304の円柱線はｚ軸方向に伸びているということで

V=2∫[E](√(4-x^2-y^2))dxdy E={(x,y)=x^2+y^2-2x≦0}

V=(16/9)(3π-4)

>>289
手が付けられん。ヒントおね。

>>307
合計が奇数なんで、まず合計が奇数になるようなとりかた
つまり、各記号の偶奇パターンを考えてみてください。
例えば、７記号中５種は奇数枚で、他は偶数枚とか

"それぞれの種類のカードを奇数枚ずつ取り"
とあるから全て奇数枚では？

“全て奇数枚ずつ”
“二種が偶数枚、他は奇数枚”
この二つの場合の数にはある関係があるんです

明日辺り解法の一例をうぷします。
別海があがると嬉しいのですが

>>310
ちゃんと漢字書けよ。
2ch初心者かよ！

ベテランだろ。ｗ初心者であのトリは無い。。ｗ

βきたわぁ
βさん289解いてよ

一行目呼び捨てで二行目さんかよ

あーこれもしかして・・・

カードに書かれた文字を順にa,b,c,d,e,f,gとおく。
aを7777枚取る場合、並べ方は一通りである。
文字の選び方が9通りあるので、九通り。
全カードを1111枚取る場合、並べ方は、同じものを含む順列の公式より、
(7777)!/(1111)!^7通りである。

他の場合を考える。
aが7777枚あるとして、この個数をbに分配する。
aは奇数枚でなければいけないので、aからは偶数枚取る。
しかし、bは奇数枚でなければいけないので、さらにこの中から奇数枚取ってcに分配する。

よって、この方針で漸化式を立てていけば解ける。
また、全てのカードが奇数というのを文字で表して解いていくのもよいだろう。

簡単のために、
「全カードを1111枚取った状態」から考えていく。
この状態からあるカードからあるカードへ偶数枚個数を移動させればいい。
1111/2>555より１つのカードにつき555回、偶数枚個数を移動する事ができる。
カードの対象は８つなので、555*8。
この操作が７つのカードで可能なので555*8*7
よって555*8*7=31080通り。

317は訂正…

簡単のために、
「全カードを1111枚取った状態」から考えていく。
この状態からあるカードからあるカードへ偶数枚個数を移動させればいい。
1111/2>555より１つのカードにつき555回、偶数枚個数を移動する事ができる。
カードの対象が８つなので、555回を８つに分ける場合の数をpとする。
さらにこの操作が７つのカードについて可能なので、7p
よって7p通り（pは555を8つに分ける場合の数）

まあオレなりにちょっとさえてるほーじゃね？

場合の数、確率は教科書レベルアウトの割にねｗ

解答書くか

っうぇW
結果を計算しきるのがやばいな


三種でいいわ。三種で合計7777枚、奇数枚ずつ。
これなら7777乗程度の表記でいける

>>319
日本語でおｋ

5:１３２人目の素数さん :2006/05/26(金) 00:03:12 [sage]
βは無視で。
βは無視で。
βは無視で。
βは無視で。
βは無視で。
βは無視で。
βは無視で。
βは無視で。
βは無視で。
βは無視で。

>>321
今更何言ってんの

みんなやばい計算をどうにか工夫して解く問題だと思ったんだろ

どっちにしろ途中でやばい計算は無いですよ
3^7777等を残していいかとかで迷ったんですか？
それならすみませんでした。

>>324
ｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ
わからんからってデマカセ言うなよｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ

流れを悪くしてすみませんでした。
お詫びに一題投下して去りますm(__)m

平面α上に正三角形ABCがある。
また平面α上にない点Oをとるとき
AO＋BO＞COをしめせ。

>>327
口先だけのヴァカが！

　　　　　　　　　(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!!

無料サンプル見放題だお！（　＾ω＾）ﾉ

http://www.sweetnote.com/images/bfd337cb4ee80f137475897cf0476312.jpg
かわいいおにゃのこのふぇら
...(*´Д`*)=３

小倉優子特設
　　　↑
動画はこのキーワードをコピペして検索してお！

>297
αと垂直でABの中点を通る直線上の点…
って、私釣られてる？！

330:１３２人目の素数さん :2006/10/23(月) 20:00:14 [sage]
>297
αと垂直でABの中点を通る直線上の点…
って、私釣られてる？！

>>128
自称、東大理学部の天才児がうぷしてた講義を受けている動画。
１分したとこで、本人のカメラ目線攻撃が始まる。
最後、正直鳥肌が立った。
ってか、唯創論って何wwwww
http://www.youtube.com/watch?v=gzQmOadLkck

>327

ABCは正三角形だから、
　BC･AO + CA･BO > AB･CO.
を示せば十分。（トレミーの不等式の3D版）

直線ABのまわりの回転により、点Oを平面α上（ABに関してCと反対側）の点O' に下ろすと、
　AO'=AO, BO'=BO, CO'>CO.
平面α上の4角形BCAO'にトレミーの不等式(2D)を適用する。
　BC･AO' + CA･BO' ≧ AB･CO'.
等号成立は BCAO'が同一円周上にあるとき。(終)

って、私釣られてる？！

http://mathworld.wolfram.com/PtolemyInequality.html
http://messages.yahoo.co.jp/bbs?action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=596

いくら東京大学の入試問題でも、私のように大学２年レベルよりは
レベルが低いだろう。

>>321見づらいが失礼。

例えばカードがa,b,cの3種類で総和が9枚の場合、
求める場合の数をXとすると、
　X=9C1(8C1+8C3+8C5+8C7)
+9C3(6C1+6C3+6C5)
+9C5(4C1+4C3)
+9C7(2C1)
となる。二項定理より
　(1+1)^8=8C0+8C1+･･･+8C8
(1-1)^8=8C0-8C1+･･･+8C8
辺々引いて2で割って
8C1+8C3+8C5+8C7=2^7
よって
　X=9C1*2^7+9C3*2^5+9C5*2^3+9C7*2
=(9C1*2^8+9C3*2^6+9C5*2^4+9C7*2^2)/2
上と同様に(2±1)^9より、
　(3^9-1)/2=9C1*2^8+9C3*2^6+9C5*2^4+9C7*2^2+9C9
これより
　X=(3^9-3)/4

なので総和7777枚ならば (3^7777-3)/4 通りでしょう。
7種類だとどうなるのかはよくわからん。
拡張すればいけそうだが解き方としてどうなのか。

>>137
(12,20)

Ｐ(Ａ)＝1/3,Ｐ(Ｂ)＝1/4,Ｐ(Ａ∪Ｂ)＝2/5のとき,Ｐ(Ａ∩Ｂ)を求めよ。
この問題がわからないです。
誰か教えてください…(>_<)

talk:>>337 Ａ∪Ｂ=(A-B)∪(B-A)∪(A∩B), (A-B)∩(B-A)=(A-B)∩(A∩B)=(B-A)∩(A∩B)={}.

Kingってただの荒らしでニートかと思ってたけど
頭良いんだな…

>>338
で？

>338

あれ？こういう風だったっけ？

>>337
P(A)+P(B)=P(A∪B)+P(A∩B)

気分スッキリ＾＾

talk:>>339 私は神となる人であるぞ。

【CNN速報】ミレニアム懸賞問題ホッジ予想解決　米スタンフォード大
http://news20.2ch.net/test/read.cgi/news/1161742634/

Kingカッコよく見えてきた。

>>289は解答なしという理解でおｋ？

talk:>>346 I got good at seeing parenthesis, did I?

2つの曲線C[1]:y=sinx/x^2(x>0),C[2]:y=cosx/x(x>0)がある。
C[1],C[2]の交点のx座標を小さいほうから順にα[1],α[2],‥
とする。α[k]≦x≦α[k+1]において、C[1]とC[2]で囲まれる部分の面積を
S[k](k=1,2,‥)とする。
(1)kπ<α[k]<kπ+π/2(k=1,2‥)を示せ
(2)S[k](k=1,2,‥)をα[k],α[k+1]を用いて表せ。ただし、三角関数を用いない形で答えよ。
(3)lim[n→∞]Σ[k=n+1,2n]S[k]の値を求めよ。

>>348Kingよ…
Bull Shit!!!

正2n+1角形において三点を選んでできた三角形が鋭角三角形になる確率P(n)を求めよ

>349 (2)
f(x) = sin(x)/(x^2) - cos(x)/x = (d/dx){-sin(x)/x}　とおく.
　(1) より (-1)k･cos(α[k]) >0.
S[k] = | ∫[x=α[k],α[k+1]] f(x)dx |
　　= (-1)^k･∫[x=α[k],α[k+1]] f(x)dx
　　= (-1)^k･{ sin(α[k])/α[k] - sin(α[k+1])/α[k+1] }
　　= (-1)^k･{ cos(α[k]) - cos(α[k+1]) }
　　= 1/√(1+α[k]^2) + 1/√(1+α[k+1]^2).

>349 (3)
(1)より kπ < √(1+α[k]^2) < (k+1)π だから
　1/((k+1)π) + 1/((k+2)π) < S[k] < 1/(kπ) + 1/((k+1)π),
　(2/π)∫[k+1,k+2] (1/x)dx < S[k] < (1/π)∫[k-1,k+1] (1/x)dx,
ここで �納k=n+1,2n] の和をとると
　(2/π)∫[n+2,2n+2] (1/x)dx < �� S[k] < (1/π)∫[n,2n] (1/x)dx + (1/π)∫[n+1,2n+1] (1/x)dx,
　(2/π)log|2(n+1)/(n+2)| < �� S[k] < (1/π)log(2) + (1/π)log|(2n+1)/(n+1)|,
∴ lim[n→∞]　�納k=n+1,2n] S[k] = (2/π)log(2).

>351
　全体では C[2n+1,3] = (2n+1)(2n)(2n-1)/6 とおりある。

　鈍角三角形は、中心角 {2n/(2n+1)}π の範囲に収まる。
　中心から見て右端の頂点Aは 2n+1 とおり、他の2頂点はAの左側1〜nの中にあるから、C[n,2]とおり。
　∴ C[n,2] * (2n+1) = (2n+1)n(n-1)/2 とおり。

　直角三角形はできない。

　鋭角三角形は残りの (2n+1)n(n+1)/6 とおり。
　∴ P(n) = (n+1)/{2(2n-1)}

サイコロを３回振って出た目をｐ、ｑ、ｒとする。
このとき、方程式x＾3ーpx^2＋qxーr＝０が少なくとも１個の整数解をもつ確率を求めよ

>>355
ネタは悪くないけど、題意不明瞭っぽくね？

普通に意味が通じた俺は勝ち組。

数セミのエレ求に似たようなのがあったな。

その略し方はじめてみたな。

数セミって呼ぶだろ。普通

エレ解
って言ってた。

talk:>>350 何やってんだよ？

正2n+1角形(nは自然数)の対角線の交点のうち、
正2n+1角形の内部(周は含まず)にあるものの個数を求めよ

>355
x=1: 20とおり (1,1,1) (2,2,1) (1,n,n) etc.
　x=2: 8とおり (2,1,2) (3,3,2) (1,1,6) (2,2,4) (2,3,6) (3,4,4) (3,5,6) (4,6,4)
　x=3: 4とおり (3,1,3) (4,4,3) (3,2,6) (4,5,6)
　x=4: 2とおり (4,1,4) (5,5,4)
　x=5: 2とおり (5,1,5) (6,6,5)
　x=6: 1とおり (6,1,6)
　x=1&2: 1とおり(4,5,2)
　計 38 とおり、 P = 38/(6*6*6) = 19/108.

>363
四角形1つに対して求める交点が1つ対応する気がするのだが、
Ｃ(2n+1,4)でどうでしょう？

どうだろう

う〜ん、どうでしょう

3本以上の対角線が内部の1点で交わらないならいいんだが

どうでしょう？

>>364　正解です！

「正」多角形だからちょうど中心でいっぱい交わるじゃんバカかよ

釣られませんよ

f(x)はx≧0で定義された連続関数で、次の(ア)と(イ)の性質を満たしている。
　(ア) f(0)=0
　(イ) a≦f(b) を満たす任意の正数a,bに対して f(a)≦f(b) が成り立つ。
このとき、x≧0においてつねに f(x)≦x が成り立つことを示せ。

>>373
背理法。
∃ｐ＞０ ｓ．ｔ． ｆ（ｐ）＞ｐ＞０

おいking問題くれ

xy平面上で(a+b)y-(1+a)x^2+(2a-b+1)x-2a=0(a,bは定数)の表す図形をCとする。
(1)Cはa,bによらない定点を通ることを示せ。
(2)Cと原点との最短距離をf(a,b)とし、a,bを動かしたときのf(a,b)の最大値をMとする。
f(a,b)=Mとなるとき、aをbで表せ。また、bの取りうる値の範囲を求めよ。

座標空間において、
平面z=√2上にある半径√2、中心(0,0,√2)の円をC[1]、
平面z=-√2上にある半径√2、中心(0,0,-√2)の円をC[2]とする。
また、空間内の点P(x,y,z)に対し、
円C[1]上を動く点QとPの距離の最小値をm
円C[2]上を動く点RとPの距離の最大値をM
とする。
(1)r=√(x^2+y^2)のとき、M,mをrとzを使って表せ。
(2)lM-2√6l≧mという条件を満たす点Pの範囲をHとする。図形Hの体積を求めよ。

>>373
> f(x)はx≧0で定義された連続関数で、次の(ア)と(イ)の性質を満たしている。
> 　(ア) f(0)=0
> 　(イ) a≦f(b) を満たす任意の正数a,bに対して f(a)≦f(b) が成り立つ。
> このとき、x≧0においてつねに f(x)≦x が成り立つことを示せ。
これは良い問題だ。
連続関数のイメージが正確につかめていないと、満点の解答はなかなか書けないだろう。
感心した！

山口組の東京大学合格専門学校＝灘高校
稲川会の開成高校（教頭は李朝末裔？）
入試問題は刑務所の中で印刷、入手可

>377

(1)　点Pから平面 z=√2 に垂線PP'をおろすと、PP'=|z-√2|, P'Q≧|r-√2|.
　PQ = √{(PP')^2 + (P'Q)^2} ≧ √{(r-√2)^2 + (z-√2)^2} =m,
　点Pから平面 z=-√2 に垂線PP"をおろすと、PP"=|z+√2|, P"R≦r+√2.
　PR = √{(PP")^2 + (P"R)^2} ≦ √{(r+√2)^2 + (z+√2)^2} =M.

(2)　0 ≦ (M-2√6)^2 -m^2 = (M^2 +24 -m^2) -(4√6)M = (4√2)(r+z +3√2 -M√3),
　0 ≧ 3M^2 - (r+z+3√2)^2 = 2(r^2 -rz +z^2 -3) = 2{ (z -r/2)^2 -3[1-(r/2)^2]},
　(r/2) -(√3)√[1-(r/2)^2] ≦ z ≦ (r/2) +(√3)√[1-(r/2)^2],　0≦r≦2.
　H：ハート形を対称軸のまわりに回転した形
　(体積) = 2(√3)∫_[0,2] √[1-(r/2)^2] 2πrdr = 8π(√3)∫_[0,1] (√u)du = 16π/(√3).

>>378
良問には同意するが、大学入試問題としては却下されるだろう。

少なくとも東大の傾向とは全然違う。

京大だと似たような問題があった気がするんだが……

うん。京大はこういう問題好きだね。

つーか、数学板に東大生とかいないだろ？

居るだろ。東大の先生だって書き込んでたんだし。

いるよ

>>387

|x|≦z^2を満たす点全体からなる立体をRとする。点(0,0,1)を通りx軸に平行な直線を中心軸とする半径1の円柱をCとし、RとCの共通部分をTとする。
-1≦h≦1 に対して(0,0,1+h)を通りz軸に垂直な平面によるTの切り口の面積を求めよ。

切り口は）□□なると思うんですがなぜ長方形になるのかわからん教えて。

東大の先生といてー

本当に空間把握能力がない馬鹿だよな。
お前の持つ領域のイメージを一回絵に描いてうｐしてみろよ

>>388
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1162199292/407
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1162550709/11
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1162125889/106
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1159327352/956
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1119870806/701

どこにアップすんの
どう考えても）□こうなるだろ

ペイントでもなんでもいいから描いてそこらへんのロダにうｐしろよ
やり方が分からないってんならお前は知る努力を怠っているんだから諦めろ

http://www.degitalscope.com/~mbspro/userfiles_res/idid/index.html#アップしたぞお

おーい

>>β
荒らすな、ボケ。

早くー

だから、豆腐を買ってきて、２側面をスプーンでえぐって、そこに
トイレットペーパーの芯をさして、抜いてから、うえからスライスしてみろ。
こんにゃくでもいい。

このスレにはアホしかいない

>>398
立体はオレが考えてるのであってるってことだろ？
で、その範囲での、つまりスライス全部加えるから結局体積になるんだろ？？

>>373
>374 に従い、f(a) > a > 0=f(0) なるaが存在したと仮定する。
　fは区間[0,a]で連続だから、中間値の定理により a=f(b), 0<b<a なるbが存在する。
　題意より、f(a)≦f(b)　すなわち、f(a)≦a.　(矛盾)

円筒を寝かせて上からスライスしたら長方形だろ。
それのｘの両端がｚ＾２でさらにカットされているだけ。
長方形だよ。

>>円筒を寝かせて上からスライスしたら長方形だろ。

言いたいことはわかるが嘘を書いちゃいかん

>>402
ある断面だけの面積を求めるの？両端がってなぜ？片方の端だけだろ？
オレの図とどう違う

スレ違いいい加減にしてくれ。

>>402
オレの図であってるだろ？？

>>406
あってないからどっか行ってくれ。

いやあってるやんアホ？

>>408
はいはい、あってますあってます。
消えろ。

おまえら必死だな

必死だなｗｗ

やっぱあってんのかよ。間違うとか割とお前らアホだなｗ

で、
円筒を寝かせて上からスライスしても長方形にならず円になる気がするんだが。

その合間をぬって、

>>376 (1) は (x,y)=(1,1)

おおおおい誰か答えてよおおもお３０日ぐらい悩んでるよお
断面長方形にならないよお

talk:>>375 任意の実数A,Bに対して(d/dx)^3(exp(ax)(Acos(bx)+Bsin(bx)))=exp(ax)(Acos(bx)+Bsin(bx))となるための定数a,bの組を全て求めよ。

>>415
(a,b)=(1,0),(-1/2,√3/2),(-1/2,-√3/2)

>>414　さっさと京大対策しろ

３Ｄ　ＣＡＤアプレット板いって見てきたら？

>415
exp(ax){Acos(bx)+Bsin(bx)} = Re{(A-Bi)exp((a+bi)x)} = Re{f(x)}.
ここに f(x) = (A-Bi)exp((a+bi)x) とおいた。 題意より
f '"(x) = f(x),
(a+bi)^3 =1,
a+bi = 1, ω, ω^2.

[>>415]はどの大学でも出そうだ。
talk:>>416 その通りだな。
talk:>>419 実部を混ぜると導関数の計算はどうなるのか？

f：R→R
任意の実数x,yに対して
f((x+y)/2) ≦ (f(x)+f(y))/2
f(x+y) = f(x)+f(y)
を満たす関数f(x)を求めよ。

>>421
これ、解けんの？

範囲外。
上の式は不要。

下の式だけだったら、有理数xに対して
f(x)=f(1)xぐらいしか、いえないのでは？

と思ったら、上の式確かに不要だな

>421,425
　下の式から
　f(x) = f(x/2) + f(x/2) = 2f(x/2).
　f((x+y)/2) = f(x/2) + f(y/2) = {f(x)+f(y)}/2.

ｎは２以上の整数とする。
ｘｙｚ座標空間において、ｘｙ平面上に定められたｎ本の直線g1、g2…gnがある。

ｇk　；ｘcos（kπ／ｎ）＋ｙsin（kπ／ｎ）＝０　ｚ＝０　（ｋ＝１，２，３、…ｎ）

ｎ本の直線g1、g2、…gnを中心軸とする半径αのｎ個の円柱について、その
内部の共通部分をKnとし、その体積をVnとする。

（１）体積Vnを求めよ。
（２）lim[ｎ→∞]Vnを求めよ。

(1) (8/3)a^3ntan(π/(2n))
(2) (4/3)πa^3

>>427
今やったら、おれもできた。
これぐらいだったら、このスレのレベルに合うね。

傾向も東大的だね。

出典は京都府立医大だけど。
京府医の立体は東大的。

>>428-430
考えてみれば当然だけど(2)が球の体積になるっていうのが
好きだね

>>431
教育的配慮のある良問。

すべての自然数nにおいてa^n+b^n+c^n=n^kを満たす実数a,b,cと自然数kは存在するか。

しない。n→∞の極限を考えれば自明。

確かに。じゃあ次↓
以下の条件を満たすような円の半径の最大値を求めよ。　　　　
この円に外接する直角三角形について、その３辺の長さの和とこの円の直径との和が２である。

全然東大っぽくない自作問題を勝手に投下するスレなのか、ここは？
しかも問題文の表現もおかしいし。
カーペッ！って言われるよ。24時間以内に。

カーペッ！ト
誰か京大入試〜作ってくれませんか?
東大系より京大系の短くて設問なしの方が好きだ

これまでの経緯は知らんが過去スレの2つ目は
「東大京大入試〜」になっている。
次スレから混合にすればいいんじゃね？
わざわざ別スレを用意するほどのもんでもないだろ。

トーダイもキョーダイも知らぬ。

[1]a＞0とする。R^2の点(x, y)に対し、次の2つの操作を考える。
操作1：(x, y)を(x＋a, y＋1)に変える。
操作2：(x, y)を(x＋ay, 1)に変える。
(1)点(0, 1)に、これら2つの操作を合計で2回施して得られる点(4個ある)を全て求めよ。
(2)点(0, 1)に、これら2つの操作を合計でn回施して得られる点のx座標の最大値を、nを用いて表せ。

[2]一辺の長さが2の正三角形ABCがある。
(1)△ABCの内部に点Pをとり、Pから辺AB, BC, CAにそれぞれ垂線PX, PY, PZを下ろす(XはAB上に、YはBC上に、
ZはCA上にある)。PX,PY,PZの長さの総和は、Pによらず一定になることを示せ。また、その値を求めよ。
(2)半径が1/√3より大きな円は、△ABCに含まれないことを証明せよ。
(3)△ABCに含まれる正6角形のうち、面積が最大であるものを図示し、その理由も示せ。ただし、面積自体は
求めなくてよい。

>>430　ばれてたorz

>>437 �@（x^2＋１)^100をx^3−１で割った時の余りを求めよ

�A　辺の長さが１の正三角形OABの二辺OA,OB上にそれぞれ点P,Qがある。
三角形OPQの面積が三角形OABの面積のちょうど半分になる時、長さPQの
取り得る範囲を求めよ。

�Bαを実数とする。xy平面における２曲線
C1；ｙ＝x^2-α　　ｃ2；　x＝ｙ^2-αの異なる共有点の個数を求めよ。

�C１，２，３の番号のついたカードがそれぞれ１枚ずつある。この中からカードを
任意に１枚取り出し番号を確認し、またもとに戻すという操作をｎ回繰り返す。出た番号を順に
α1、α2…αnとする。　α1、α2…αnが４の倍数である確率ｇnを求め、lim[ｎ→∞]ｇｎを求めよ。

�D４面体OABCにおいて、三角形OBC,OCA,OABの重心を順にP,Q,Rとし、頂点A,B,Cの対面する三角形の重心P,Q,Rに関する
対称点を順にA´、B´、C´とする。この時
３つの線分AA´、BB´、CC´は一点Tで交わることを示し、四面体OABC、四面体TPQR、および
四面体TA´B´C´の体積比を求めよ。

�E実数αに対して次のようにF(α）を定める。

F（α）＝∫[π／2→0]｜cosx-α｜sinxdx

αが変化する時、F(α）の最小値を求めよ。

傾向にに添えたかは分からないのであしからず
そろそろ大学行かんとorz

�D　

>>436
>>435は自作じゃないよ。昔の京大の問題を少し変えた奴。

次の関数ｆ(Ｘ）の最小値を求めよ


Ｗ＝３Ｙ−３Ｘ^2

ただし、Ｗは自然数

>>442
この馬鹿
問題になっていない

整数問題


三時関数、Ｙ＝３Ｘ^３がある

ここで、この関数が解をもつなら、その解の存在区間を( , )をもちいて表せ。ただし、それらは整数でなければならない

お前らなくだらない議論してないでウィキペディア行って
大学の設立年月日（学部も含め）調べてこい、低知能ども。
お前らの知りたい答えがのっとるわ。
わかっとると思うけどな医学部は設立年に＋２０年ぐらい
の上乗せをして考えろよ！！！わかったか？？

類題はこのスレに反しないか?

>>445
('A`) 何が言いたいのか理解できないのですが…

>>446　どゆこと？

たしか、>>377　は阪大の入試問題ですね。

東大実戦(某Ｓ台)、東大オープン(某Ｋ合)

の過去問問題ほしい。。。だけか持ってないですか？？( > < )

>>449
http://www.7andy.jp/books/detail?accd=31745360&pg_from=rcmd_detail_4
こういうのは駄目なのか？
実際に見てないので、何とも言えないが、タイトルは……

>>449-450
450の言うとおりこれは実践模試の過去問のはず。
河合塾も結構大きめの書店（大手予備校がそばにあると吉）
にいけば普通に売ってますよ〜
2,3年分しかないから（1年2回で4,6回分ってこと）
それ以上を望むなら古本とかかなあ･･･

代ゼミも一応出してた気がする。駿台が青、河合が紫、代ゼミがたしか白。
模試実施時の平均点とかも載ってたような。

受験生でも意外と知らないんだよね。
まあこんなん解いてる暇が在る現役生なんてほとんど居ないんだがｗ

模試の方が入試より若干難しめのレベルになるのが普通なんだけど
東大の場合、90年代前半の数学は難易度が恐ろしく高かったので
この時代の本番の入試の過去問の方が遥かに難しい。
この時期の模試の過去問とかあったら見てみたいなあ、、どのくらい難しいんだろ。

高三の冬、学校の図書館から古い赤本貸し出してもらって
親に物理と化学の問題のコピーしてもらった事思い出したｗ

数学は一応塾講師のバイトで使うかなと思って
東大入試44年の軌跡と新数学演習は持ってるんだが
実際問題全く使わないなｗ

駿台のと河合のは96年度版を持ってる。
だからどうということはないが。

高校時代解いた,印象に残ってる良問教えてください

>>453
その中の何問か出してみてよ。

>>454
何度も出題したのだが、未だに飽きないのがこの問題。

十分に大きい三角形ABCの周上を動点P,QがPQ=2を満たしつつ動く
このとき、PQの中点Rをとって、Rがなす軌跡と三角形ABCの周により囲まれる部分の面積を求めよ。

最初知ったときはマジ感動したもんだ。
これ以上感動できる問題はないかのぉ。　と言うか、似たような問題ｷﾎﾞﾝ

>>453
94年とか95年の模試の問題と、その前年の東大入試ってどっちが難しい？
やっぱ模試のほうが難しいの？

p-2,p,p+2が素数となるようなpを求めよ@京大op
PETのおまけに石が一個ついている｡石は三種類ある｡
石が三種初めて揃うPETの個数の期待値を求めよ@東大OP

>>458
やたら、簡単な問題だな。
p-2,p,p+2は全て偶奇性が一致しているため、この中に2は含まれない。
また、どれか一つが三の倍数なので、p-2=3が成立する。　実際、これは条件を満たす。
答え　p=5

A(n)をn個のペットを飼ったあと、所持している石の種類が 1 種類である確率。
B(n)をn個のペットを飼ったあと、所持している石の種類が 2 種類である確率。
C(n)をn個のペットを飼ったあと、所持している石の種類が 3 種類である確率。

A(n+1) = A(n)/3
B(n+1) = 2A(n)/3 + 2B(n)/3
C(n+1) = B(n)/3 + C(n)

なる漸化式が成立して……以下略

どれかが3の倍数つまり3だからP=3or5

計算がメンドイので方針だけ。
�農{n=1}^{n=N} r^nを微分したりして�馬・r^nの公式を作る。
2種類揃ってから3種類揃うまでの個数の期待値aと
1種類揃ってから2種類揃うまでの個数の期待値bを夫々求めて
a+b+1が答。
（実際の入試でこれしか書かなかったら何点貰えるんだろう…配点の八割くらいもらえたりしてｗ）

p=3は不適だった…orz

>>459
続き、

なる漸化式が成立して、求める期待値は
Σ[k=1,∞] B(k)(k+1)/3
となる。　　で、あってるよな？

正の定数aと、次の条件1)〜3)を同時にみたす2つの関数f(x), g(x)がある。
条件
1) f(x)は全実数で定義され、何回でも微分可能である。
2) g(x)は、x>0において連続である。
3) 自然数n=1, 2, 3, ・・・に対し、
(n-1)a < x < na において、g(x)=f^{(n-1)}(x-(n-1)a)
ただし、
f^{(0)}(x)=f(x)
f^{(m)}(x)=「f(x)のm次の導関数d^m/dx^m*f(x)」(m=1, 2, 3, ・・・)
である。
このとき、次の各問に答えよ。
(1) g(na)=f^{(n)}(0) (n=1, 2, 3, ・・・)であることを示せ。
(2) g(x)はx>0において何回でも微分可能であることを証明せよ。
(3) f(x)=sinx としたとき、条件1)〜3)をみたす正の定数aの値を1つ求め、
そのaに対してg(x)を求めよ。
（94年第1回東大実戦第4問・平均1.4点）

(1)右から近づければ明らか
(2)区間の端点で右側、左側微分係数が一致することを言う。
もう一つ先の区間の連続性から言える。
(3)a=π、g(x)=sin(x)

しかしこれが平均1.4点なのか、、信じられんな

>456
(sinA+sinB+sinC)/2?

>>466
考えてまったくわからん俺に解説もとむ

>>456
そんなに感動する問題とは思えないが。
一つの角についてできれば終わりだろ。
三角形で出題する意図が分からん。

>>468
厨房レベルで分かるのは感動じゃね？

>>465
2点満点でFA？

>466
∠AOB近辺でa,bをOA,OB方向単位ﾍﾞｸﾄﾙ
↑OP=2sa,↑OQ=2(1-s)b (0≦s≦1)
∴↑OM=sa+(1-s)b
Mは線分A'B'を動く
>456
直径ABの円がありPは孤ABをQは他方の孤を動くとき,中点Mの軌跡を求めよ@学ｺﾝ

>>440
�CPn,r＝「α1＋…＋αn≡r (mod 4)となる場合の数」とおく。gn＝Pn,0/3^nと表せる。
Ln(x)＝(x＋x^2＋x^3)^nとおく。これを展開するとLn(x)＝Σ[α∈An]x^(α1＋α2＋…＋αn)
＝Σ[r＝0〜3]Σ[α∈An,(α1＋…＋αn)≡i (mod 4)]x^(α1＋α2＋…＋αn)＝Σ[r＝0〜3]Tn,r(x)
と表せる。ただし、
An＝{f｜f：{1,2,…,n}→{1,2,3}}
Tn,r(x)＝Σ[α∈An,(α1＋…＋αn)≡r (mod 4)]x^(α1＋α2＋…＋αn)
とおいた。ω＝(1＋i)/√2として、整数kに対してTn,r(ω^k)＝ω^(rk)Pn,rと表せるから、
Ln(ω^k)＝Pn,0＋ω^kPn,1＋ω^(2k)Pn,2＋ω^(3k)Pn,3と表せる。k＝0,1,2,3を代入して
辺々足せばPn,0＝Σ[k＝0〜3]Ln(ω^k)/4 となる。一方、Ln(ω^k)＝{ω^k＋ω^(2k)＋ω^(3k)}^n
と表せるので、Σ[k＝0〜3]Ln(ω^k)＝3^n＋3*(−1)^nとなり、
gn＝Pn,0/3^n＝1/4＋{3*(−1)^n}/(4*3^n)を得る。よってlim[n→∞]gn＝1/4

>>471
思いっきり、誤解しているな……俺の表現が悪かった。
線分PQの長さが2であって、三角形ABCの周に沿って測った長さが2と言うわけじゃない。

↑OP=2sa,↑OQ=2(1-s)b (0≦s≦1)
これだったら、P〜Qまで、△ABCの周を沿って測った長さが2と言う意味になってしまう。

平面上にどの三点も同一直線上にない、3点以上の点集合Sがある。
Sの要素A,Bに対してf(A,B)を次のように定める。
f(A,B)は、A,B以外のSの要素Xから直線ABへの距離の最小値である。
Sの任意の二点A,Bに対して、f(A,B)が一定の値を取るとき、
Sは正三角形の頂点からなる集合であると言えるか？

>>440
(1) (x^2 +1)^100 = (x^3 -1)Q(x) + a(x^2 +x+1) + bx +c とおいて a,b,c を求める。
　x^2 +1 ≡ -x　(mod (x^2+x+1))
　x^3 ≡ 1　　　(mod (x^2+x+1))
　∴ (x^2 +1)^100 ≡ (-x)^100 ≡ x^100 ≡ x (mod (x^2+x+1))
　bx + c = x,
　b=1, c=0.
　(x^2 +1)^100 ≡ 2^100　(mod (x-1))
　3a+b+c = 2^100.
　∴ a = (2^100 -1)/3.

(2) △OAB = (1/2)OA･OBsin(∠O),
　　△OPQ = (1/2)OP･OQsin(∠O),
　題意より OP･OQ = (1/2)OA･OB.
　PQ^2 = OP^2 + OQ^2 -2OP･OQcos(∠O) = OP^2 + OQ^2 -OP･OQ = |OP-OQ|^2 + OP･OQ = |OP-OQ|^2 + (1/2)OA･OB.
　0≦OP≦OA, 0≦OQ≦OB　より
　0 ≦ |OP-OQ| ≦ 1/2,
　1/2 ≦ PQ^2 ≦ 3/4.
　1/√2 ≦ PQ ≦ (√3)/2.

(3)
　a < -1/4　…　0個
　a = -1/4　…　1個 (1/2,1/2)
　-1/4 < a ≦ 3/4　…　2個
　3/4 < a　…　4個

amugaba

>>456
三角形の面積をSとすると
求める面積はS-(π/2)

(π/2)+(S-(π/2))=Sとすべきか？

xy平面上の楕円 (1/4)(x^2)+y^2=1の周上の2点P,QをPQ=2を満たすように自由に動かす。
線分PQの中点Mの軌跡により囲まれる部分の面積を求めよ。

>>477
答えはπだと思う、今日この頃。

簡単な計算問題を2題。

[1]1以下の実数全体で定義された関数f(x)は、次の2つの条件を満たすとする。
(i)x≦0のときはf(x)＝0
(ii)x∈(1/2^n, 1/2^(n−1)] (n∈N)のときはf(x)＝1/2^(n−1)
次の問いに答えよ。
(1)f(x)のグラフの概形を図示せよ。
(2)f(x)はx＝0で連続かどうか判定せよ。

[2]閉区間[0, 1]上で定義された関数fn(x) (n∈N)は次の3つの条件を満たすとする。
(i)x∈[0, 1/(2n)]のときはf(x)＝2(n^2)x
(ii)x∈[1/(2n), 1/n]のときはf(x)＝−2(n^2)(x−1/n)
(iii)x∈[1/n, 1]のときはf(x)＝0
また、f(x)＝lim[n→∞]fn(x) (x∈[0, 1])とおく。次の問いに答えよ。
(1)fn(x)のグラフの概形を図示せよ。
(2)f(x)を求めよ。
(3)∫[0,1]fn(x)dx及び∫[0,1]f(x)dxを求めよ。
(4)lim[n→∞]∫[0,1]fn(x)dx≠∫[0,1]lim[n→∞]fn(x)dx となることを示せ。

読む気がしない

>>456,474,479
これ、答え何？

>>481
＞(2)f(x)はx＝0で連続かどうか判定せよ。
高校で連続の定義習ってたっけ？

>>484
美術専門学校生乙

>>484
lim[x→a]f(x) = f(a) ならaで連続、というふうにやってたと思う。

A*n^4+n^2+1が素数となるような自然数nを求めよ
B*･1から自然数nまでの異なる2数の積の和を求めよ
B**1辺が1の正方形の4頂点から半径1の円の孤を描く｡4つの異なる孤で囲まれた図形(真ん中の4角形もどき)の面積を求めよ

>>484
関数f(x)がx=aで連続とは、
f(a)が定まっていて、xがどんどんaに近づくときf(x)がどんどんf(a)に近づくなら
f(x)はx=aで連続という、なんて説明じゃなかったっけ？

>>487
A*の関連問題
n^7/(n^3+1)が素数となるような自然数nを求めよ

マッチ棒で６Ｐチーズを作る。一回に２こづつ動かして三角形の総数を
５，４，３，２に変える方法は？

ちょ〜〜〜亀レスで申し訳ないんだが、>>21の(1)って正しくは
Q=(-a-(1/2a), Y).
　Y ={a -(1/2a)}^2 + 1≧ 1,
だよね？？
どっか勘違いしてたらハズイんだけど、、、、

a<ζ（3）<bを満たす
実数a,bを答えよ。ただしb-a<0.05とする。

a=ζ(3)-0.01
b=ζ(3)+0.01

出題者の意図を読むのが受験者のつとめだとしても
出題者が明らかにマヌケなバヤイはどうすればいい

>493

ζ(3) = 1.202056903159594284…

(5/2)�納k=1,2n] {(-1)^(k-1)}/{(k^3)C(2k,k)} < ζ(3) < (5/2)�納k=1,2n+1] {(-1)^(k-1)}/{(k^3)C(2k,k)}.　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(Apery 1978)

ζ(3) = (7/180)π^3 -2�納k=1,∞) 1/{(k^3)(exp(2πk) -1)}.　(Plouffe 1998)

ζ(3) = (1/28)π^3 +(16/7)�納n=1,∞) 1/{(n^3)(exp(nπ) +1)}
　　-(2/7)�納n=1,∞) 1/{(n^3)(exp(2πn) +1)}.　　　　　　(Plouffe 2006)

http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html

>>492は有理数で。

>487

(A*)　n^4 +n^2 +1 = (n^2 +1)^2 -n^2 = (n^2 +n+1)(n^2 -n+1),
　　∴ n^2 -n+1 =1,　n>0 だから n=1.

(B*)　S = { (�納i=1,n] i)^2 - �納i=1,n] i^2 }/2 = { ( n(n+1)/2 )^2 - n(n+1)(2n+1)/6 }/2 = (n-1)n(n+1)(3n+2)/24.

(B**)　中心の正方形もどき、それに隣接する正3角形もどき、辺に接する山形の面積をS,T,U とおく。
　　S+4T+4U = 1,　S+3T+2U = π/4,　S+2T+U = (π/3) - (√3)/4.
　　∴ S = (π/3) -(√3) +1 = 0.31514675…

>489
　(n^7)/(n^3 +1) = n(n^3 -1) + n/{(n+1)(n^2 -n+1)}.
　ところが n < n+1 なので....orz

>>479

楕円上の点を E(t) = (2cos(t),sin(t)),　0≦t<2π とおく。

P = E(t-d),　Q=E(t+d) のとき、OM↑ = OE(t)↑*cos(d),　PQ = OE(t+π/2)*2sin(d).

OM↑ = OE(t)↑ *cos(d) = OE(t)↑ *√{1 -(1/4)(PQ^2)/OE(t+π/2)^2}
OM↑= (X,Y) とおくと,
X = 2cos(t)/√{1 -(1/4)(PQ^2)/OE(t+π/2)^2}
Y = sin(t)/√{1 -(1/4)(PQ^2)/OE(t+π/2)^2}

これに OE(t+π/2) = √{1+3sin(t)^2} を代入すると パラメータ表示を得る。

Oでx軸に接する2つの円もどき(*)

面積はπ. >>480

*)　tを消せば (X^2 +10Y^2)^2 -12Y^2(3Y^2 -4) =0.

>479　訂正

X = 2cos(t)･√{1 -(1/4)(PQ^2)/OE(t+π/2)^2}
Y = sin(t)･√{1 -(1/4)(PQ^2)/OE(t+π/2)^2}

Oでx軸に接する2つの扁平な楕円もどき

B***AB=2 BC=3 CD=4 DA=5の円に内接する四角形があり対角線の交点をEとする.AEを求めよ
B**サイコロを10個投げて出た目の数の積の1の位が1になる確率を求めよ

>500
B***:√(23/143)
B**:23/(3*6^9)
っすかねぇ
B***は自信全く無し
B**はだれでも解けるっしょ
間違ってたらごめ笑

B***:(41/3)√23/143

もう間違ってませんように…orz

上の(41/3)√(23/143)っす

>>474
解答きぼん

どなたか分かる方がいらっしゃいましたら、
ぜひ教えていただきたいのですが・・・。

∫_{1 to 2} x^2 dx について、
これを可積分（リーマン積分）の定義に従って考えたいのですが

任意分割ΔをΔ:1=x_0<x_1<....<x_n=2と定めると
任意の小区間[x_{i-1},x_{i}]に対して
sup f(x)=x_{i}^2
inf f(x)=x_{i-1}^2
だから
sΔ＝�農{i=1 to n} (x_{i-1})^2・(x_{i}-x_{i-1})
SΔ＝�農{i=1 to n} (x_{i})^2・(x_{i}-x_{i-1})

「任意の正数εに対してあるδが存在し、任意Δ及び代表点ξに対し
|Δ|<δ⇒|�農Δ(f,ξ)-(7/3)|<ε」の流れで証明したいので、
sΔ+SΔ及びSΔ-sΔを計算してみたところ、後者の値(|Δ|を含む不等式)が
上手く出てきませんでした(前者は=3）。
計算ミスなのか、そもそもSΔ-sΔを求めること自体が間違いなのか
よくわからずに手が止まってしまいました。

どなたか助けていただけると有難いです。

>>505
あなたは、積分値が7/3になることを証明したいようだから、SΔ−sΔは全く意味なし。なぜなら、
SΔ−sΔを計算して分かるのは「f(x)が[1,2]上で可積分であるか否か」ということまでだから。
仮にlim[|Δ|→0](SΔ−sΔ)＝0が証明できても、∫[01,2]fの具体的な値は求められない。あと、
sΔ＋SΔも全く意味なし。

解答：F(x)＝x^3/3とおくと、Fは各x∈Rで微分可能であり、F'(x)＝x^2＝f(x)となる。fは[1,2]上で
連続だから、特に一様連続であり、∀ε＞0, ∃δ＞0 s,t |x−y|＜δかつx,y∈[1,2]→｜f(x)−f(y)｜＜ε　…＊
が成り立つ。そこで、任意のε＞0に対し、＊で定められるδ＞0を1つとると、[1,2]の任意の分割
Δ：1＝x0＜x1＜…＜xn＝2と任意の代表点ξi∈[x[i-1],xi] (i＝1,2,…,n)に対して、|Δ|＜δならば
|Σ[i＝1〜n]f(ξi){xi−x[i-1]}−7/3|＝|Σ[i＝1〜n]f(ξi){xi−x[i-1]}−{F(2)−F(1)}|
＝|Σ[i＝1〜n]f(ξi){xi−x[i-1]}−Σ[i＝1〜n]{F(xi)−F(x[i-1])}|
＝|Σ[i＝1〜n]{f(ξi){xi−x[i-1]}−{F(xi)−F(x[i-1])}|
＝|Σ[i＝1〜n]{f(ξi){xi−x[i-1]}−F'(θi){xi−x[i-1]}|　(平均値の定理)
＝|Σ[i＝1〜n]{f(ξi)−f(θi)}{xi−x[i-1]}|
≦Σ[i＝1〜n]|f(ξi)−f(θi)|{xi−x[i-1]}
≦Σ[i＝1〜n]ε{xi−x[i-1]}　(θi,ξi∈[x[i-1],xi]及び|Δ|＜δより|θi−ξi|＜δとなるので、x＝θi,y＝ξiに対して＊が成り立つ)
＝2ε

おおう…訂正します。

(3行目)
∫[01,2]fの具体的な値は求められない。　→　∫[1,2]fの具体的な値は求められない。

(最後の行)
＝2ε　→　＝ε

p-2,p,p+2は全て偶奇性が一致しているため、この中に2は含まれない。
また、どれか一つが三の倍数なので、p-2=3が成立する。　実際、これは条件を満たす。

ってどゆこと？

＞p-2,p,p+2は全て偶奇性が一致しているため、この中に2は含まれない。
p-2,p,p+2が全部素数になるわけだが、そもそも、素数の中で偶数は一つしかない。
偶奇性が一致するわけだから、仮にこの中に素数２が含まれたとすると、全部偶数になってしまう。
そうなると、素数に偶数が一つしかない事に矛盾する。　　−−−−「１」


＞また、どれか一つが三の倍数なので、p-2=3が成立する。　実際、これは条件を満たす。
どれか一つが３の倍数な事は、p=3m,3m+1,3m+2と場合分けして、確認しろ。
必ず、どれか一つが三の倍数になる。　んで、３の倍数である素数は３しかない。

「１」より、p-2,p,p+2の中に2は含まれていない。だから、条件を満たす素数の中で最も小さいものは3と言うわけ。
3が最も小さいのだから、p-2=3しかない。

なる

今日の熱血!平成教育学院でやっていた数学の
問題の解き方を教えてください。
http://www.fujitv.co.jp/gakuin/03/05.html
ここに問題があります。

>>511　日本語でおｋ

A**lim[n→∞](2n!)/(n!n^n)を求めよ
B**nの約数の個数をa(n)とする.n=a(n)を満たすnを求めよ
C***x,y,z軸上にP,Q,Rがある.
OP+OQ+OR=1を満たすように動くとき線分PQ,QR,RPが動く領域Wの体積を求めよ

つまらん

１辺の長さ２の正四面体ABCDの表面上にあって、∠ABP＞９０°を満たす
点P全体のなす集合をMとする。

（１）　三角形ABC上にあるMの部分の面積を求めよ。

（２）　Mの面積を求めよ。

(1) √3/2+π/6
(2) (4√3)/3+(5π)/9

>>516 概出だったか

簡単なだけだと思う。
ABの中点とって、球描くだけだろ？

>>518　YES。さすがにここのスレの住人はレベルが高いな。

>>519
おまえのレベルが低いだけだとは思わないのか？
あくまでも自分のレベルは高いが、回答者がさらに上だったと言い張るのか？

>>520　いえ、どう考えても自分のレベルが低いだけです。
本当にありがとうございました。

>>518って、∠ABPを∠APBと勘違いしてないか？

原題は∠APB
>>515が改題したのか、書き間違えたのかは知らん。
>>517の反応を見る限り後者。

というか、∠ABPだと（１）、（２）ともに0になるだけか。

1x1の升目上に駒を置きそことOとする。
一秒間に上下左右ランダムに１マスに動くとき、2n秒後にOに居る確率は？

>>500 下
　2,4,5,6 は一つも出てはいけない。
　1 はいくつ出ても同じ。
　3 が増える毎に 1→3→9→7→1 となる。

サイコロをm個投げて出た目の数の積の1の位とその確率
　1:　(1/6)^m �倍k=0,[m/4]} C(m,4k)
　3:　(1/6)^m �倍k=0,[(m-1)/4]} C(m,4k+1)
　7:　(1/6)^m �倍k=0,[(m-3)/4]} C(m,4k+3)
　9:　(1/6)^m �倍k=0,[(m-2)/4]} C(m,4k+2)

Yahoo!掲示板、科学板、数学カテ、「質問コーナー」トピ、No.10524-10525

(1+i)^n.

座標空間に、原点を中心とする半径７の球がある。この球の表面または内部の格子点を頂点とする
立方体の1辺の長さの最大値を求めよ。
　ただし、格子点とは、ｘ座標、ｙ座標、ｚ座標すべてが整数である点をいう。

(26)^(1/2)

me too

最大値なしが正解でね？

>>528
各頂点が(±4,±4)で一辺8
大数4月の宿題だろ

ｚ座標がないよ？

ごめ(±4,±4,±4)(復号任意)

平面Ｅ上に定点Оを取り、３点Ｐ,Ｑ,Ｒを次の条件[ア]、[イ]を満たすように動かす。

　[ア] Ｐ,Ｑ,Ｒは平面Ｅ上にあり ＯＰ＝５, ＰＱ＝ＰＲ＝３ である
　[イ] 点Ｑは線ＯＲ上(端点を除く)にある

(１) ＯＱ・ＯＲは一定であることを示せ。

点Оを通る半径２の円をＣとし、条件[ア][イ]とともに、条件[ウ]を満たすとする。

　[ウ] 点Ｑは円Ｃ上にある

(２) 点Ｒは定直線上にあることを示せ。

原点Oを中心とする半径1の円周上に定点Aをとる。
2点B,Cが次の条件＊を満たしながらこの円周上を動くとき三角形
三角形ABCの垂心の軌跡を求め図示せよ。
　　
条件＊　角BACの大きさは120度である

20分じゃむずいかな？

(1+1/n)^n>2 である事を証明せよ。

>>537
せめて2.71ぐらいにしないと

>537-538
　a_n = {1+(1/n)}^n とおくと、
　a_n = �納k=0,n] C[n,k] (1/n)^k
　ところで kを固定すると、 C[n,k] = (1/k!)(1 -1/n)(1 -2/n)……{1-(k-1)/n} はnについて単調増加。
　∴ a_n も単調増加。
　a_200 = 2.7115171229293747985489939701629…

>539の訂正、スマソ

　ところで kを固定すると、C[n,k](1/n)^k はnについて単調増加。

>>537
反例
(1+1/1)^1=2

>536

OA=OB=OC =R だから Oは△ABCの外心.
OP↑ = OA↑ + OB↑ +OC↑ とおくと
AP↑ = OB↑ + OC↑ ⊥ BC↑,　etc.
∴ P = H(垂心)

題意より　∠BAC = 120ﾟ,
∴ ∠BOC = 120ﾟ, ∠BOA + ∠AOC = 120ﾟ,
　A = (R,0),
　B = (R*cos(θ-60ﾟ), R*sin(θ-60ﾟ)),
　C = (R*cos(θ+60ﾟ), R*sin(θ+60ﾟ)) とおくと (|θ|≦60ﾟ)
　OH↑ = OA↑ ＋OB↑ +OC↑ = (R*(1+cosθ), R*sinθ).
　Aを中心とする半径OAの円弧 (∠OAH≦60ﾟ)
　本問では R=1 だが....

>536

　∠OAH ≧ 120ﾟ だった.... orz

京大っぽいが…

f(x)をxの多項式とする。
xy平面におけるy=f(x)の上の任意の2点について、その中点もy=f(x)上の点であるとき、
y=f(x)のグラフは直線を表すことを示せ。

>544
y=x^3-xで(1,0)(−1,0)の時とかあわなくない？いや文系人間なんでいまいちわからんが

任意の二点ね

>546 ああそうか。ごめん

>>544
連続関数でも成り立つよな？

一価で連続なら大丈夫だと思う。
証明が用意出来なかったから多項式にしたけど、更に一般化できる人はそっちでどぞ

自然演繹法の推論規則を用いて、以下の定理を証明せよ。
(a)　(P⊃(Q⊃R))⊃((P⊃Q)⊃(P⊃R))
(b)　P⊃Q├¬Q⊃¬P
(c)　├∃y∀xP(x,y)⊃∀x∃yP(x,y)
(d)　├¬∃xA(x)⊃∀x¬A(x)

これをぜひ教えてください。

>>550
スレ違い。

>>544
多項式じゃなくても連続関数という条件の下でも示すことはできるけど、
（任意の2点A1,A2をとって、その中点A3をとる。A1とA3の中点A4を取る……と続けていくことでfの連続性より示せる）
連続関数じゃなくても示せるのかな？

無理

>>551
むりぽい

g(x)=f(x)-f(0)と置く。明らかにg(x)も条件を満たす関数である。
任意の実数x,yに対して、条件は以下の形に書き換えられる。
g((x + y)/2) = (g(x) + g(y))/2

これは、有名なこーしーちゃんの関数方程式と同じに見える。

>>551
そう言ってしまえば当たり前か…orz
苦労して変な解法思いついて、ちょっと良問じゃね？とか思ってたorz

(問題）
　ある三角形の外心O, 垂心H, 重心G について、OH/OG を求めよ。

ヒント >542



>342

百済ね

xy平面に曲線C;y=x^α(x≧0) (α>0,α≠1)がある。
C上のPにおけるCの接線とy軸の交点をQとし,またx軸上に
RをPR=PQをみたすようにとる。
ただし(Rのx座標)<(Pのx座標)である。
Pのx座標をp,PQとx軸のなす鋭角をθとする
(1)α=2のとき　lim(p→∞)θ　を求めよ
(2)lim(p→∞)θ=π/4となるようなαをすべて求めよ


感想なんかもキボンヌ

ミスったorzxy平面に曲線C;y=x^α(x≧0) (α>0,α≠1)がある。
C上のPにおけるCの接線とy軸の交点をQとし,またx軸上に
RをPR=PQをみたすようにとる。
ただし(Rのx座標)<(Pのx座標)である。
Pのx座標をp,【PRとx軸のなす鋭角をθ】とする
(1)α=2のとき　lim(p→∞)θ　を求めよ
(2)lim(p→∞)θ=π/4となるようなαをすべて求めよ


PRのとx軸のなす角がθです

orzxy平面ってどんな平面？

>>559
ﾜﾛﾀ

>>558
(1)π/6
(2)α=√2
になった。。。
αはもっとあんのかな？

最近ここ良スレ化したね。

良スレにはking
さぁ、いでよ

ﾉｼ

talk:>>563 私を呼んだだろう？
talk:>>564 お前誰だよ？

数学�Vの体積の問題でこれは！っていうのないですかねー
いいのあったらうｐしてくださいな

出題されたからには頑張って解いてみるけど

>>556
一つの面の面積が1の等面四面体がある。
この四面体の体積の最大値を求めよ。

ただし、等面四面体とは、全ての面の面積が等しい四面体を示す。

一辺の長さが1の立方体ABCD-EFGHがある。
この立方体を、直線ABを軸に1回転してできる立体をKとし、直線ADを軸に1回転してできる立体をLとする。
K∩L の体積を求めよ。

>>567
数3の体積の問題ではないだろうｗまぁジェンセン使うなら数3なのかもしれんが

>>569
イェンセンと言いたまえ！

イェンセン

ジャコブソン根基

ジェンキン寿司

>567

等面4面体の対稜の中点を結ぶ3線は互いに直交するので、それらをx,y,z方向にとる。
また上記の3線は稜に直交するので、各頂点は直方体の隣り合わない4頂点になる。
これが分かれば 後は簡単だお。

頂点を (-a,-b,-c)　(a,b,-c)　(-a,b,c)　(a,-b,c) とおくと、体積Vおよび各面の面積Sは 　
　V = (8/3)abc,
　S = 2√{(ab)^2 +(bc)^2 +(ca)^2},
相加･相乗平均より
　(1/12)S^2 = (1/3){(ab)^2 +(bc)^2 +(ca)^2} ≧ (abc)^(4/3),
　V = (8/3)abc ≦ (8/3){(1/12)S^2}^(3/4) = 0.41360215960093315508498610977033…S^(3/2),
　等号は正4面体のとき １稜の長さは√(4S/√3) = 1.5196713713031850946623755013091…√S.

http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1163724421/547
分かスレ２６５

ぉ　さっそく問題がきてますな
567はさておき568はいまから必至で考えるから
あとで答えおしえてね(‥)

>>567
三平方の定理っぽいのがあったような…
という知識問題？

>568
　求める体積を体積２の直方体とそれ以外を分けて
= 2 + 2×∫(√2-1⇔0){(√2-1)-(1-√1-t^2)^2}dt
の答えが解だと思うんだけど恐ろしい答になって計算むりぽ
くやしいぽ

>>568

共有部分を　z=k (-√2≦k≦√2)の平面で切って積分するのが方針。

というより定石だが寝る

>>568
ＡＢを軸として回転した立体の式は(0,0,1)中心
半径√2のｘ軸方向へ伸びた円より円柱線y^2+(z-1)^2=2
ＡＢを軸として回転した立体の式は(0,0,1)中心
半径√2のｙ軸方向へ伸びた円より円柱線x^2+(z-1)^2=2
z=tで切ると
断面の面積は（-t^2+2t+1)^2
求める体積�Xは
�X=∫[t=0,2] (-t^2+2t+1)^2dt
=86/15

↑積分区間を間違えた
�X=∫[t=1-√2,1+√2] (-t^2+2t+1)^2dt
ここで∫[x=α,β]（x-α)^2（x-β)^2dx=1/30(βｰα)^5（導く式省略）
�X=1/30(2√2)^5
=64/15√2

>>568
0≦x≦1, 0≦y≦1, x^2+z^2≦2, y^2+z^2≦2
の共通部分の体積で
V = ∫[-√2,√2] min(2-z^2,1) dz
= 2 + 2∫[1,√2] (2-z^2) dz
= (8(√2)-4)/3

じゃね？

>>581
おれも同じになったわ

何か最近解答者のレベルが落ちてきたな。

オフなので568を図式してみますた
ttp://maniakou.s7.xrea.com/cgi-bin/upload/img/img20061124093853.jpg
俺も作るまでは(8(√2)-4)/3が正解だと思ってたんだけど……

ぁぁやっぱり(8(√2)-4)/3でした
おれもまだまだ未熟だなぁ

他にも体積の問題あったらぜひおながいします

楕円体abcの体積を球の体積の座標変換を使って計算しなさい。

１辺の長さが２の立方体を、中心を通る対角線のうちの一本を軸として回転させる。
このとき立方体が通過する部分の体積を求めよ。

>>587　場合分けして面積求めて積分して
　
答え　　８√３π／３

3以上の自然数 n について、xn + yn = zn となる 0 でない自然数 (x, y, z) の組み合わせがない
これを証明してミソ

平面上に三角形Tと直線Lがある。Tの面積は1であるとする。
Lを軸として、Tを回転させるとき、その回転体の体積を最小値を求めよ。

両辺nで割って、x+y=z (x,y,z)=(1,1,2) あった。

ヤコビアンが|∂(ax,by,cz)/∂(r,Θ,φ)|=abc|∂(ax,by,cz)/∂(r,Θ,φ)|
だからV=(4/3)πr^3abc

ヤコビアンが|∂(ax,by,cz)/∂(r,Θ,φ)|=abc|∂(x,y,z)/∂(r,Θ,φ)|
だからV=(4/3)πr^3abc

こんどはサイクロイド体の体積を求めよ。

円盤x^2+y~2≦1を、原点を通るベクトル(1,1,1)を軸に１回転してできる回転体を求めよ。

>593
円の半径をaとすると、5π2a^3

>>594
4(√2)π/3

>>596
スレ汚しｺﾞﾒﾝ。
π∫[-1/√2,1/√2](1-2t^2)dt = 2(√2)π/3

>>596
おしい

うわっ、45°じゃなかった。
>>596-597は無かったことに。ﾎﾝﾄｺﾞﾒﾝ。

r=a-a*vv
V=Sπr^2dh

v=(1,1,1)/3^.5
a=(rcost,rsint,0)
r=a-a*vv=(rcost,rsint,0)-(1,1,1)(rcost+rsint)/3
2πr^2=2π(r^2-(rcost+rsint)^2/3)

>590
まずこの体積に最小値があるのか分かんない
軸Lが三角形Tをちょうど二分するとして
円錐の半径がｒのとき、高さは1/rだから
体積は1/3*r^2*1/r=r/3
だからr→0⇔V→0
まちがってたらゴメンね

587,594やってみるかー

>>594 　４√６π／９？

>>603
びんご

>>594
「原点を通るベクトル(1,1,1)」
この表現は、ベクトルを分かってない証拠

原点と(1,1,1)を通る直線を軸に……

確率とか整式とか行列とか少ないな

場合の数の問題だすお＾＾

２のカードがｎ枚、３のカードがｎ枚、４のカードがｎ枚ある(１≦ｎ)
それらのうちからｎ枚選んで左から順に並べる。

この時の場合の数が

Σ[k=0,n]2^k・nＣk　(n≧1)

である事を示せ。
ただし�C�C�Aや�A�C�Cなどは別として数える。 ＾＾

それは普通に3^nと答えちゃだめなのか？

要は、3^n = (1+2)^n を展開しろという問題か？
そんなことをして何になるのかよく分からないけど。

ごめん簡単だねこれ＾＾；

訂正


２のカードがｎ枚、３のカードが(ｎ−１)枚、４のカードが(ｎ−２)枚ある(３≦ｎ)
それらのうちからｎ枚選んで左から順に並べる。

この時の場合の数が

Σ[k=0,n-2]nＣk・｛Σ[t=0,n-1]n-kＣt｝　(n≧3)

である事を示せ。

ごめんね＾＾；

回転体を求めよ

　　　　　　　　　　　

>594
いまさらなんだけど

原点から回転する軸上の点Pまでの距離が√3tならば
点Pからｘｙ平面に射影した点P'から原点までの距離は√2t
つまりcos∠POP'=√2/√3
そして円盤をy=-x軸上に∠POP'だけ回転すれば短軸√2/√3,長軸1の楕円になり
求める体積はこの長軸を軸に回転する回転体だから、半径１の球の体積の√2/√3倍
ゆえに4/3*π^3*(√2/√3)=4*√6/9

体積おもしろす

>>594,612
いまさらなんだけど

(1,1,1)方向にu軸をとる。 u=(x+y+z)/√3.
回転体は、原点を中心とする半径1の球から円錐(*)を切り取ったもの。
*) u軸を主軸とし、(u軸までの距離)=u/√2 となる円錐。

u軸に垂直な断面は円環 u/√2 ≦ (半径) ≦ √(1-u^2) で、
断面積は S(u) = π{1-(3/2)u^2},　　|u|≦√(2/3).

>590
いまさらなんだけど

a>0, Tの頂点を (1/a,0), (0,-a), (0,a) とし、Lをx軸とする。
回転体は、底半径a 高さ1/a の円錐で、体積は V=(π/3)a.
a→0 のとき V→0.

なかなか手強いのがあるので挙げときます

【頂点:(0,0,2)　底面:x^2+y^2≦4/3,z=0の円錐の側面と、円柱y^2+z^2=1の側面とで囲まれている立体の体積を求めよ】

>587
いまさらなんだけど

回転軸をu軸とする。

・1/√3 < |u| < √3　のとき
　一辺 (√6)(√3 -|u|) の正3角形、
　中心〜頂点 の距離は (√2)(√3 -|u|),
　回転体の断面積は S(u) = 2π(√3 -|u|)^2,　
　V(1/√3<u<√3) = 16π/(9√3).

・|u| < 1/√3 のとき
　等角6角形で、辺長は a= (√2)(1-u√3), b= (√2)(1+u√3) を交互にとる。
　中心〜頂点 の距離Rは R^2 = {(a+b)/2}^2 + {(a-b)/2√3}^2 = 2(1+u^2),
　回転体の断面積は S(u) = 2π(1+u^2),
　V(|u|<1/√3) = 40π/(9√3).

よって V(|u|<√3) = 8π/√3,　　>>588

>617

円錐の底面はz=0だが、z<0 まで続いている とする。
　x^2 + y^2 ≦ (1/3)(2-z)^2,　　　z<2.
(中略)　
したがって
　V = 6.41839…

>>617
y = √(1-z^2)
r = (2-z)/√3
とすると
V = ∫[-1,1] {πr^2 + 2y√(r^2-y^2) - 2r^2*arccos(y/r)} dz

arccos は部分積分で消せて、
V = 4 + (4π/(3√3)) = 6.41839915

<617
求める体積Ｖ＜円錐の体積＜１

求める体積は微小な四角錘の積み重ね
すると底面は円柱の側面だからｘｙｚで積分するより……

xyz空間において、次の(a)(b)を満たす一辺の長さが1の正三角形ABCを考える。
　(a) AとBはxy平面上にあり、Cはz>0の領域にある。
　(b)平面ABCはxy平面に垂直。
線分ABが、xy平面上の円：x^2+y^2=1 の内部および周を動くとき、
正三角形ABCの通過する領域の体積を求めよ。

>>622
いそいで計算したから不確かだけどたぶん
5*√3/12*π

>>623
正解

C***n桁の整数Nの最高位の数字を消し、1の位の右に新たな数字を書き足しこれをMとする
M=4NのときMを求めよ@東大模試
D#1からnまでの数字が書かれた箱と玉があり、箱に無作為に玉を一個ずつ入れていく
箱と玉の数字が一組も一致しない確率をp_nとしてlim[n→∞]p_n求めよ

>>625
M=6{10^(n-1)+10^(n-2)+・・・+10}+4
ってなったんだけどあってるかな？
つまりM=666・・・64

>>625
N=a[n]10^n+a[n-1]^10(n-1)+…+a[1]10+a[0]
M=a[n-1]10^n+a[n-2]^10(n-2)+…+a[0]10+β
とする｡(0≦a[i]≦9　0≦β≦9)
4N=M また Mはn桁の整数だから

a[n]=1 or 2

N=a[n]10^n+ M/10 - β/10
⇔ M =2{a[n]10^(n+1)-β}/3　…�@

3と2は互いに素なので a[n]≡β (mod3) …�A

また4N=M と �@より a[n]10^(n+1)-β は6で割れる

⇔β≡0 (mod2) …�B

a[n]=2 の時
M>2{10^(n+1)+9^n}/3 ={38･10^n}/3
であり Mは(n+1)桁となり不適。
∴ a[n] = 1

これと�A �B を考慮すると β = 4

∴ M =2{10^(n+1)-4}/3 ( 2≦n )

>>621
z≦2, x^2+y^2≦(1/3)(2-z)^2, y^2+z^2≧1
の共通部分の体積を求める

円錐の頂点を P(0,0,2)、
円柱側面上の点を Q(x,sin(θ),cos(θ)) とする。
Q のところの円柱側面の微小面積 dxdθ の単位法線ベクトルは
n↑ = (0,sin(θ),cos(θ))。
頂点 P、底面 dxdθ の四角錘の高さは
QP↑・n↑ = 2cos(θ)-1。
四角錘の体積は (1/3)(2cos(θ)-1)dxdθ。

立体の体積 V は
V = (1/3)∫(2cos(θ)-1)dxdθ。
(積分領域は |θ|≦π/3, |x|≦(2cos(θ)-1)/√3)

V = (2/(3√3)) ∫[-π/3,π/3] (2cos(θ)-1)^2 dθ
= (4π/(3√3)) - 2 = 0.41839915…

>>628
ＧＪ！すごいな

>>617のつづき(2)

【頂点:(0,0,2)　底面:x^2+y^2≦1,z=0の円錐を、この円錐の母線と平行で原点を通る平面で切断してできる２つの立体のうち、

　小さい方の体積を求めよ】

>617,620
いまさらなんだけど

円錐の底面はz=0だが、z<0 まで続いている とする。
　x^2 + y^2 ≦ (1/3)(2-z)^2,　　　z<2.
z=一定 の断面積は
S(z) = 2∫[0,√(1-z^2)] 2√{(1/3)(2-z)^2 -y^2} dy
　　　= 2[ y√{(1/3)(2-z)^2 -y^2} + (1/3)(2-z)^2･arcsin{(√3)y/(2-z)} ](y=0…√(1-z^2))
　　　= (2/√3)|1-2z|√(1-z^2) + (2/3)arccos(|1-2z|/(2-z)),
・-1<z<1/2 のとき
　V(-1…z) = ∫[-1,z] S(z')dz' = -(2/9)(2-z)^3･arccos{(1-2z)/(2-z)} +(2/3√3)(2-z)(3+2z)√(1-z^2) +(4/√3)arcsin(z) +2π/√3.
　V(-1…1/2) = 2 + 8π/(3√3) -(3π/8) = 5.65870105952841…
・1/2<z<1 のとき
　V(z…1) = ∫[z,1] S(z')dz' = (2/9)(2-z)^3･arccos{(2z-1)/(2-z)} +(2/3√3)(2-z)(3+2z)√(1-z^2) +(4/√3)arcsin(z) -2π/√3,
　V(1/2…1) = 2 - 4π/(3√3) + (3π/8) = 0.75969809278388…
したがって
　V(-1…1) = 4 + 4π/(3√3) = 6.41839915231229…

底面が半径１の円、高さが１ｍの電柱が地面に立っている。底面の電柱の中心から２ｍ離れたところに高さ２ｍの街灯がある。
真夜中に街灯が作る電柱の影の体積Ｖを求めよ。ただし、障害物はないものとする。

閉区間[-1,1]上で定義された関数f(x)をf(x)＝0 (x＝0), [1/x]^(-1) (-1＜x＜0または0＜x＜1)
とする。ただし[ ]はガウス記号である。
(1)実数aに対してa−1＜[a]≦a となることを示せ。
(2)関数f(x)はx＝0で微分可能であることを示せ。また、その値を求めよ。

f(x)のグラフを書いてみると、(2)が不思議に見えるかもしれない。

訂正。ゴメンネ。

誤：f(x)＝0 (x＝0), [1/x]^(-1) (-1＜x＜0または0＜x＜1)
正：f(x)＝0 (x＝0), [1/x]^(-1) (-1≦x＜0または0＜x≦1)

＞(1)実数aに対してa−1＜[a]≦a となることを示せ。
示せも何も定義じゃん…

問題としてまずいような。

(2)はy=-1-1/(x-1)の左上のほうの曲線とy=xの間にあるから
グラフの形状に関わらず微分可能ですか

宿題は…

>>633
[a]≦a＜[a]+ 1 ⇔ a- 1≦[a]≦a …�@

0＜χ＜1 の時 �@より(1/χ)-1＜[1/χ]≦1/χ
⇔ χ≦[1/χ]^(-1)＜1/(1-χ) -1

g(χ)=χ　h(χ)=1/(1-χ) -1 とすると
ハサミウチの定理より　f(0)=0 …�A

また f'(0)= lim[χ→0]{f(χ)-f(0)}/χ
= lim[χ→0]f(χ)/χ (∵�A)

g'(0)=1 h'(0)=1 より ∴ f'(0)=1

また χ= -χ ,[1/χ]^(-1)= -[1/χ]^(-1) とする事で
χ→ -0 も示せる ■

＞ハサミウチの定理より　f(0)=0 …�A

＞g'(0)=1 h'(0)=1 より ∴ f'(0)=1

？

>>635
＞示せも何も定義じゃん…
＞問題としてまずいような。
定義から明らかなのであれば、「〜〜〜という定義から明らか」と書けば、それで
示したことになるわけで、「問題としてまずい」ということは無い。
また、そもそもガウス記号の定義は[a]＝max{n∈Z｜n≦a}なので、問題の不等式は
明らかではない。

ここで

　＞ガウス記号の定義は[a]＝max{n∈Z｜n≦a}なので
　それはあなたの「樹形図」の話であって、私の「樹形図」では（ｒ

とか言い出したら面白いな

提唱者 ◆3j.9eex9S6　かよｗｗｗ

定義
a-1<n≦a,n∈Zのとき[a]=n

>630
いまさらなんだけど

切断面を z = y√3 とし、その法線方向をY軸とする。
つまり y軸,z軸をx軸の周りに30ﾟ回す。
　y = Ycos(30ﾟ) + Zsin(30ﾟ) = (Y√3 +Z)/2,
　z =-Ysin(30ﾟ) + Zcos(30ﾟ) = (-Y+Z√3)/2.
とおく。円錐の式は
　0 < z < 2 -√{3(x^2+y^2)}　　⇔　　Y/√3 < Z < (2-Y)/√3 -{(√3)/(2(1+Y))}x^2,
となる。Yを固定すれば、これは放物線の一部である。
また切断面の式は
　z < y/√3　　⇔　　Y > 0,
ところで 放物線の幅をW, 高さをH とすると
　|x| < (2/√3)√(1-Y^2)　より、W = (4/√3)√(1-Y^2),
　Y/√3 < Z < (2-Y)/√3　より、H = (2/√3)(1-Y),
よって断面積は
　S(Y) = (2/3)WH = (16/9)(1-Y)√(1-Y^2)　　　(0<Y<1).
したがって
　V = ∫[0,1] S(Y)dY = (4/9)∫[0,1] 4(1-Y)√(1-Y^2)dY = (4/9)(π - 4/3).

>>643
ＶＧＪ！

別解で半径2/√3で計算したらあってたけど
ほんとは円錐の半径１だからπ/3-4/9

つぎでさいご

ほう？　次の問題ｗｋｔｋ

【円Ｃをx^2+(y-2)^2=4、点Ｐはx軸上の点で、Ｐを通り傾きが(-1)の直線をＬ、ＬとＣが2点で交わるとき、

　その交点のうちｘ成分の大きい方の点をＱとし、線分ＰＱを一辺とする正方形をｘｙ平面に垂直に立てて作る。

　点Ｐがｘ軸上(ただしｘ≧0)を原点から出発し、ＬがＣと接するまで動くとき、この正方形が動いてできる立体の体積Ｖを求めよ】

実数xの関数f(x)に対しf'(x)<0であるならばf(x)は単調減少関数であることを示してください。
また、その逆は真か偽か述べ、真ならば証明を与え、偽であるならば反例をあげてください。

＞単調減少関数

これはf(x)=1も含むのか？

>>648f(x)=1は減少関数じゃない

もう一つ、微分可能性は何の議論もなく使っていいのか？

>>650
問題文で微分してあるから、微分可能な関数について言ってると思う

だったら、平均値の定理より……って思ったが、
平均値の定理ってa＜bの時、あるc（a＜c＜b）が存在して、f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)
を示してるんであって、任意のcに対して、ある実数の組a,bが存在して……って言う定理じゃなかったよな。

さてさて、高校レベルでどうやって示そうかな。

平均値の定理で示せる。逆の反例はy=-x^3。

>>647　いかがでしょうか？よろしくお願いします
正の実数hを仮定する
任意のxに対して
f'(x)=lim_h->0(f(x+h)-f(x))/h) < 0
がなりたつ。

(i)hが正から０に近づく場合
(f(x+h)-f(x)の符号は負である
これは任意のxに対してf(x+h)>f(x) (x+h>x)となり
f(x)は単調減少を示す

(ii)hが負から近づく時は-h=gとすると
任意のxに対して f(x-g)<f(x) (x-g<x)となりやはり単調減少

逆：単調減少ならば
任意の実数x,h(h>0)に対して
f(x+h)-f(x)<0
ゆえにf'(x)=lim_h->0(f(x+h)-f(x)/h) の
分子が負、分母が正なので、微分可能ならばf'(x)<0

>>654
>正の実数hを仮定する
「正の」を削除してくださいm(_ _)m

>>653正解。
>>654逆は単調減少⇒f'(x)<0で、f(x)=-x^3を考えるとf'(0)=0これが反例。

実数a,b(a<b)をとりf(a)>f(b)を示せばよい。平均値の低利よりf(a)-f(b)=(a-b)f'(c)(a<c<b)仮定とf'(x)<0よりf(a)>f(b)が示せた。

f(a)-f(b)=∫[b→a]f'(x)dxでも示せる。

＞f(a)-f(b)=∫[b→a]f'(x)dxでも示せる。
導函数は必ず積分可能になるんだっけ？
f'が積分可能でなければこれは駄目なような

>>656
なるほど。
ちなみに、f(x)=-x^3が単調減少ってどう証明するのでしょうか？
この辺の用語が甘かったので勉強してきますm(_ _)m

なんか見てて楽しくなさそうな問題ばかりだ。
ということでこれやってみてくれ。
（どっかに書き込んであったやつ。一辺nだと俺はお手上げだったけど、4×4くらいならちょうどよさげ）



一辺1の正方形を1マスとして、一辺4の正方形（16ﾏｽ）に赤・青・黄の色を使ってマスを塗り分ける。
１つのマスは１色で塗り、必ずしも３色全て使わなくても構わないが、必ず隣接するマス同士では異なる色を塗らなくてはならない。
何通りの塗り分け方があるか？

>>657
H.K積分なら、f’の可積分性を仮定する必要もなく、必ず可積分になる。

ちゃんとHenstock積分である旨明記しないと高校生には難しいよｗ

京大の入試を改題したからな。高校生にはやや難かな

>>659が京大？
一般にnの式で表せるってのは信じていいんだよね？

京大で出たことあんの？てか一般にn×nにするときついと思うけど、4×4ならちょうどいいと思う。少なくとも俺の解き方では。

>>654の方針だと平均値の定理を使わないから、これはイイと思って証明してみたけど、
まず閉区間のコンパクト性が必要になり、さらに閉区間の特殊なタグ付き分割が必要に
なり、気づけばその証明は ほとんどH.K積分OTL

>>662アンカ使わなくてゴメンm(__)m京大に出たのは>>647だよ。

でもf(a)-f(b)=∫[b→a]f'(x)dxのやり方は学会で認められてたと思う。

＞学会で認められてた
何学会？日本数学会ではないよね。

まあ論理的には何学会が認めようとおかしいし、
高校生（というか数学科以外の学生）に積分可能性のチェックを
要求するのは厳しすぎるのだが。

それでも函数方程式なんかで微分可能性のチェックはさせるんだよね。
何で微分は確かめないと駄目で積分は確かめなくてもOKなのかね。
高校生でこういう点に疑問を持ったらそれが数学というものだから、とか考えてしまいそうだけどね。

学会ageです

創価学会です

日本数学会ですよ。東北大の教授がやってました。

>>671
だれだよｗ

>>671
じゃあその人はH.K積分でやってたんだな。それなら正しいし。

別解でH.Kについて何も述べずやってました。たまにテレビにもでる先生なんでへぇ〜という感じで聞いてました。

>>632

電柱の底面の中心を原点、街灯の灯りをＡ(-2,0,2)とおくと

光の射す部分は底面x^2+(y-1)^2≦4、頂点Ａの斜円錐から電柱を除いた立体

求める体積はこの0≦z≦1の部分であり、断面積は……

ｳﾜｧｧｧﾝ!!ヽ(`Д')ﾉ

>>632

電柱の底面の中心を原点、高さ方向をz軸、街灯の位置を A(-2,0,2) とおく。

xy-平面に投射して考えると、A'(-2,0) からの光線が円 x^2 + y^2 = 1 に遮られる。

A' から円に引いた接線は y = ±(x+2)/√3, 接点は T(-1/2, -(√3)/2), T'(-1/2, (√3)/2)

△AOT + △AOT' = (1/2)AO･TT' = √3,

接線AT,AT'と円周(A'から遠い側240ﾟ)とで囲まれた部分の面積は s = √3 + (2π/3).

A'を中心としてこれを (2-z)倍に拡大すると、半径は2-z, 中心は(2-2z,0)に移り、面積は(2-z)^2･s となる。

影は、これから元の部分を引いたものだから,

　S(z) = {(2-z)^2 -1}s.

　V =∫[0,1] S(z)dz = ∫[0,1] {(2-z)^2 -1}dz・s = [ -(1/3)(2-z)^3 - z ](z=0,1)・s = (4/3)s.

>630,644
いまさら訂正だけど

切断面を z = 2y とし、その法線方向をY軸とする。
つまり y軸,z軸をx軸の周りに θ=arctan(1/2) 回す。
　y = Ycosθ + Zsinθ = (2Y+Z)/√5,
　z =-Ysinθ + Zcosθ = (-Y+2Z)/√5.
とおく。円錐の式は
　0 < z < 2 - 2√(x^2 +y^2)　　⇔　　Y/2 < Z < (√5)/2 -(3/4)Y -{1/(Y+(2/√5))}x^2,
となる。Yを固定すれば、これは放物線の一部である。
また切断面の式は
　z < 2y　　⇔　　Y > 0,
ところで 放物線の幅をW, 高さをH とすると
　|x| < √{1-(5/4)Y^2}　より、W = 2√{1-(5/4)Y^2},
　Y/2 < Z < (√5)/2 -(3/4)Y より、H = (5/4){(2/√5) -Y},
よって断面積は
　S(Y) = (2/3)WH = (5/3){(2/√5)-Y}･√{1-(5/4)Y^2}　　　(0<Y<2/√5).
したがって
　V = ∫[0,2/√5] S(Y)dY = (5/3)∫[0,2/√5] {(2/√5)-Y}･√{1-(5/4)Y^2}dY = π/3 - 4/9.

>>677
　訂正おそれいりますm(_ _)m
　
>>632　>>675のつづき
　∫[0⇔1]S(z)dz

＝∫[0⇔1]{(2-z)^2*2π/3-1^2*2π/3+√3(1-z)*(3-z)}dz

＝8Π/9+4√3/3　やっととけた

京大みたいに1,2行で難易度が穏やかなのはなかなか作れないね

>>679
P=NP?

tan1ﾟは有理数か.

>>681
背理法ですぐ示せると思う。
tan1°
が有理数と仮定したら、加法定理で
tann°が有理数となってしまう。

しゃしゃり出なくていいよ＾＾

空間にn個の点が与えられている。また、これらの点を始点、
または終点とするいくつかのベクトル
a[1]↑,a[2]↑,‥,a[k]↑が次の規則(i),(ii)を満たすように
与えられている。
(i)a[i]↑(i=1,2,‥,k)はどれも0↑ではない。
(ii)n個のうち任意の点Pについて、Pを始点とする異なるベクトルが
　a[1]〜a[k]のうちにm(1≦m≦n-1)個以上ある。

このとき、a[1]〜a[k]の中から異なる(m+1)個以上のベクトルを選んで
その和を0↑にすることができることを示せ。

>>682
でも大学受験ならいい問題だよね
実力に反映した差をつけやすい

>>683
ｽﾏｿ

y^2-x^3=1を満たす自然数の組(y,x)をすべて求めよ。

>>684
n＝2,ｋ＝2のときに反例がある。たとえば、2点をA(1,0,0)，B(2,0,0)として、
2つのベクトルをa[1]＝(Aを始点とする(0,1,0)方向の単位ベクトル)
a[2]＝(Bを始点とする(0,1,0)方向の単位ベクトル)
とすればよい。

>>685
そんなに差がひらく問題じゃない。

>>681　今年の京大の入試問題じゃないかそれ…

>>689
いや、数学だけ受ける人だけじゃないから

〔問題〕で〜す

(1)　半径aなる二つの直円筒の軸が交わって角wをなすとき, 両方に共通する体積を求めること.

(2)　放物面 z = (x^2)/(2a) + (y^2)/(2b) (a>0,b>0) が球面 x^2 +y^2 +z^2 = 2Rz (R>0) から截り取る面積を求めること.
　　ただし, Max(a,b)≦R とする.

(3)　問題(2)の放物面において,
　　[1ﾟ]　二つの等傾斜線 (xy平面に対する) の間の面積,
　　｢2ﾟ]　直楕円筒 (x^2)/(a^2) + (y^2)/(b^2) = 1 の内部にある面積
　を求めること.

(参考書)
　高木: ｢解析概論｣ 改訂第3版, 岩波 (1961), p.393 練習問題(8)の(1)〜(3)

(注)
　截り取る ≒ 切り取る
　円筒 ≒ 円柱

>692 の(注)

　等傾斜線： 傾斜 |∇z| = |grad(z)| が等しい線
　傾斜、勾配：　∇z = grad(z)↑ = (∂z/∂x, ∂z/∂y).

高校の範囲でだせ馬鹿。そしてその範囲で溶け。ラウンドとかだしやがって

みんな解かれるのが悔しいのかなぁ
単純に見えて複雑だったり
複雑に見えてあることに気が付くのと実は単純だったり
いろいろ考えさせる問題がいい問題なのに

あ、でも、正確で抜け目のない論理展開を要求するのが東大流だっけ？
つまんないね

>>695
面白い問題知ってそうだな
なんか問題出してよ

どういう流れでこの発言なんだ?
しかし微積多すぎだろ

問698
☆←こいつ(五芒星)の面積はいくらか？
でっぱりの１辺の長さをxとする。

>>698
12x^2 cos^3 36degree sin 36degree.

5つの円O1,O2,O3,O4,O5がある。O1,O2は半径がそれぞれ１とα（０＜α＜１）
の同心円である。O3はO1に内接し、O2と互いに外接する。O4はO1に内接し、O2,O3
と互いに外接する。O5はO1に内接し、O3とO4は互いに外接する。
ただし、O2,O3,O4,O5の中心をそれぞれA,B、C、Dとするとき
DはB,Cを通る直線に関してAの反対側にあるものとする。

（１）四角形ABCDの面積S(α）を求めよ

（２）S(α）の最大値を求めよ

出典；東工大

×O3とO4は互いに外接する。
○O3,O4と互いに外接する。

cos sin は実数で潰して欲しい。
じゃないと意図する趣向から外れちまうのよ。

>>659の問題って7812通りでおｋ？

>>646
P の座標を (p,0) とすると
PQ = {p+2-√(4+4p-p^2)}/√2　　(0≦p≦2+2√2)
V = ∫[0,2+2√2] PQ^2 dp/√2
= ∫[0,2+2√2] {4p+4-(p+2)√(4+4p-p^2)} dp/√2
= 24 + (32/3)√2 - 6√2π
= 12.427647…

であってる？

>>704
ＧＪ！　軸⊥切断面に変換されたらお手上げかー

【曲線Ｃ:ｘ＝θcosθ、ｙ＝θsinθ、(0≦θ≦π/2)上に点Ｐがある。

　線分ＯＰを直径とする半円Ｄをｘｙ平面に垂直に作る。

　ＰがＣ上を動くとき、Ｄの通過流域Ｖを求めよ。】

f(a)-f(b)=∫[b→a]f'(x)dx は高校では定義どおりで無問題だろ。

壁に落書きしてあった。
意外と難しい


単位円の有理数点から有理数点へのベクトル分だけジャンプできる男がいる。
この男は有限回のジャンプで原点から（1/2,0）へ移動できるか？

風化防止　女子高生コンクリート詰め殺人事件
http://tmp6.2ch.net/test/read.cgi/youth/1164463866/

リン酸って潮解性なんですか？

>708はひどいな
京大模試の問題
A,Xは二次正方行列で任意のXに対し、A^2X=XAを満たすAを求めよ

>>711
全て求めよ、じゃないなら。
A=E,O とか。

> じゃないなら。
:-)

(1/2,√3/2)から(1/2,0)へジャンプできないんだから出来るわけ無いだろ

X=Xijej

aijajkxkp=xkpaps
(aijajk-aps)xkp
a^a-a^=0
A^A-A^=0
A^(A-E)=0
detA^=detA=0,A=aE
(a,d;d,a),(a,d;a,d),(a,d;0,0),...

(a,a;d,d)

AAX=XA
detAdetA=detA
detA=1

180度の回転

(1)-π/2<x<π/2,-π/2<y<π/2のとき,sinx<cosyを満たす領域を求めよ
(2)sin(sint)<cos(cost)を示せ@東大プレ

>>720
(2)は以前漏れがこのｽﾚで作問したやつだ。
盗みやがったな。
関係者は見てるんだな。

>>721
2004年1月実施分で出たみたい。

sin(cosθ)とcos(sinθ)の大小を比較させる問題ならハイレベル理系数学にもあったぞ

テイラー

おれ、戦争が終わったら東大行こうと思うんだ

>>723
元々、どこぞの国の数オリ問題だがな！
どことは言わんが、数オリの問題をパクっている大学がある。
どこか当ててみろ！

結構いろんな所でパクってるような

かつて東大もパクってたね。

カードのシャッフルか

>>720って大数でいったらA*かA**だよな。こんなのが数オリの問題に
なるわけ？

>>730
Aにはならんと思うけど。大数基準なら。

カードのシャッフルは置換群の話みたいなもんだろ。数オリがこの辺の
分野からよく出題する(？)だけで、パクってるのとは違うと思う。

そんなのより1975年のIMO1番と1987年東大理系5番がまったく同じ問題じゃないか。

パクりに規則性がなければ
パクろうがなにしようがおｋじゃね
どうせ知ってるやつが有利なのはどの教科も一緒だし

>>733
パクりも何もチェビシェフの不等式を証明する際に利用できる不等式じゃないか・・・

>>734
前にも聞いた気がするけど、パクるのって、著作権とかの面では問題ないのかな？
入試問題は基本的にフリーデータみたいだけど、
たとえば、数オリの問題って「無断転載不可」みたいなこと書いてあるし、
数検の問題も似たようなこと書いてある。
こういうのをテキストや試験等に流用することってどうなの？
たとえば、大数の学コンとか宿題とかの過去問をサイトに載せるとか。
もっといえば学コンの過去問集を勝手に作って出版するとか。

>>735
数学の問題をパクって訴えられたなんて聞いたことないけど、
「これは数学的事実として自分で発見しました」って主張すれば通るのかね？
論文とかで使ってる定理とか補題に所有権なんてないよねえ？
それと同じで問題っていったん公開されたらフリー素材と化すのかな？

入試問題の作られ方:12月から1月にかけて各大学の本年度の作問担当の教授達は公費を
使って熱海の温泉旅館や地方の旅館でおいしいご飯を食べ、今年の傾向とどのように
出すかを話し合います。もちろん毎年参加してる教授も入ればローテですぐかわる教授もいます。
なかには10年も国語の入試院長を務めたかたもいました。
この先？？それは秘密です。言えません。でも問題はまだ作ってないよ。

点(0,0)から点(1,1)まで、連続した線を引く。
ただし、線上のどの点も、x,y座標のうちどちらかが有理数になるように線を引くものとする。

この時、この線の長さの最小値を求めよ。

708と同じ匂いがするぜ

意外とむずくね？

>>739
f：I＝[0,1]→R^2は問題の仮定を満たす連続写像とする。像f(I)＝Γ はR^2の有界な閉集合であり、
Γは(0,0)と(1,1)を含む。また、「(x,y)∈Γならば、xかyの少なくとも一方は有理数」が成り立って
いる。[0,1]上の無理数の全体をWとする。各ω∈Wに対し、直線y＝ωとΓは必ず交点を持つ。これらの
交点に注目する。というか、それら交点のx座標に注目する。そして、それらx座標のうち最小のものを
H(ω)と表すことにする。つまり、H(ω)＝min{x∈R｜(x,ω)∈Γ}とおく。この定義は可能である。なぜなら、
A＝{x∈R｜(x,ω)∈Γ}≠φとおけば、この集合はRの有界な閉集合となるので、きちんとminA が存在する
からである。さて、ωは無理数であるから、(x，ω)∈Γを満たすxは必ず有理数である。よって、H(ω)も
有理数である。このようにして今、写像 H：W→Qが得られた。Qは可算集合だからQ＝{pn｜n∈N}と番号
づけて表しておき、Bm＝H^(-1)(pm)⊂[0,1]とおく。明らかにW＝∪Bm となる。WはRにおいて稠密なので、Wの
閉方W^aは[0,1]＝Iに一致し、このときI＝W^a＝(∪Bm)^a⊂∪(Bm)^a⊂Iとなるので、I＝∪(Bm)^aとなる。
各(Bm)^aはRの閉集合なので、ベールのカテゴリー定理から、ある(Bm)^aは内点を含む。zが(Bm)^aの内点だと
すると、z∈[c,d]⊂(Bm)^aを満たすｃ＜dが存在する。R^2の2点(pm,c)，(pm,d)を結ぶ線分をLとおく。
L＝{(pm,y)∈R^2｜c≦y≦d}である。実は、この線分LはΓの一部分である。なぜなら、任意に(pm,y)∈Lをとると、
y∈[c,d]⊂(Bm)^aだから、∀ε＞0,∃ω∈Bm s,t |y−ω|＜ε が成り立つので、このときR^2の2点(pm,y)と(pm,ω)の
距離は|y−ω|＜εとなり、しかも(pm,ω)∈Γであることから、これは(pm,y)がΓの(R^2の位相に関する)触点である
ことを意味し、ΓはR^2の閉集合であるから、以上より確かに(pm,y)∈Γとなる。つまりL⊂Γとなる。

…ここまでしか出来なかった。要するに、問題文の仮定を満たす連続曲線は、2点(p,c)と(p,d)を結ぶ
線分(pはある有理数，cとdはc＜dを満たすある実数)または2点(c,p)と(d,p)を結ぶ線分(pはある有理数，
cとdはc＜dを満たすある実数)を含むということ。

>>739
要は、斜めの線が引けないって事だろ？
最小値は２になると思うんだが……

でも、証明が出来ない。

東大京大の過去問
http://hw001.gate01.com/akiyoshi/archives.html
http://hw001.gate01.com/akiyoshi/t_archives.html

y=ax ｘが無理数ならｙも無理数、aが無理数ならｘが無理数でもｙも無理数。
無理数も有理数もでんすだから、水平、垂直だけ。
直角に折り曲げるから距離はかわらないので、どうやっても２
でも地球の上だから、曲率があるので正確には２でない

>>739
線が「斜め」にならないことを言う。

曲線が題意を満たしていたとして、斜めの区間があったとする。
その区間の点は (有理数,有理数)、(有理数,無理数)、(無理数,有理数) のどれか。
曲線が斜めなので、(有理数,無理数) の点たちにおいて、同じ有理数が現れることはない。
つまり、(有理数,無理数) の点の個数は、有理数の濃度を越えないので、高々加算個。
(無理数,有理数) も同様に高々加算個。(有理数,有理数) も高々加算個。
結局、この区間に含まれる点は高々加算個しかないことになり、不合理。

＞曲線が斜めなので、(有理数,無理数) の点たちにおいて、同じ有理数が現れることはない。
その論法はダメだろ。曲線が　⊃　←こんな感じになってたら、同じ有理数が現れる。この
場合、曲線をさらに微小な領域に制限して　)　←この辺で考えればよい、なんて思いがちだが、
フラクタル図形のような、どんなに微小な領域に制限しても制限前の図形と相似になっていて、
いつまでたっても有理数のダブリを取り除けない曲線が存在するかもしれない。

y=ex

大体、可算個なんていってる時点で高校範囲を逸脱してる。

馬鹿か高校生がとけるわけないだろ
数学自慢してんじゃねぇ

いや、この板だと別に自慢にもならないし
常識を見失ったただのオタクだと思われ・・・

連続だけなら有理数は稠密でノルム０だから連続して引けるね。
微分可能じゃないけど。

tan1は有理数か？

tan1かよ……それも高校範囲外じゃないのか？

京大のtan1ﾟを間違えただけだろ

それは>>681にあるじゃん。tan1 (1はラジアン)は有理数か？

いいかげん見苦しい

無理に決まってるだろ、面白い問題スレの方に投下しとけ。

>>757
数学者がバカに見られるからそういう書き込みは慎むのが吉

【２つの壁がそれぞれ東、西方向を向き、そこに半径１で中心角９０°の扇形Ｄが水平に置かれている。

　いま太陽の光が東南方向から仰角４５°で差し込んでいる時、Ｄの影が２つの壁の間で作る空間領域Ｅの体積Ｖを求めよ。

　ただしＤの厚さは考えないものとする。】

B**四面体OABCがあり,各辺についてコインを1枚ずつ
計6枚投げて,表が出たら行き来出来る
Oから行ける頂点の個数の期待値を求めよ@京大OP

>>761
ttp://up.spawn.jp/file/up55599.jpg

>>748
f,g を連続関数、曲線を {(f(t),g(t)} | t∈[0,1]} としたとき、
ある区間 [a,b] (0≦a＜b≦1) で f,g が共に単調であること
を「斜め」と書いた

>720 (2)
　|cos(t)| + |sin(t)| = √{1+|sin(2t)|} ≦ √2 < π/2,
　|cos(t)| < (π/2) - |sin(t)|.

>>764
その定義だと、>>747で言っている「どんな区間でも斜めでない」は「どんな
区間[a,b]上でも、f,gの少なくとも一方は単調でない」を意味する。これが
成り立つ曲線の例としては、やはりフラクタル図形が挙げられる。しかし
このとき、この曲線は「x軸に平行またはy軸に平行な線だけから構成されて
いる」わけでは無い。

>>753
ｋｗｓｋ

直角三角形の3辺が有理数で,面積が6の三角形を3組求めよ

>>739,764
>>747 は簡単に考えすぎてた

題意を満たす曲線 を C とする。
C が回り道をしない(>>764 の f,g が広義単調増加という意味)
とき、C の長さが 2 以上であることを言えばよい。

(証明の概略)
C と直線 x=q (q∈Q∩[0,1]) の共通部分の y 座標の集合を S[q] とする。
S[q] = {y | (q,y)∈C}
各 S[q] (⊆[0,1]) はひとつながりの閉区間になる。

S[q] たちの和集合は [0,1] 内の無理数を全て含む。
(∵ もし、どの S[q] にも含まれない無理数 r (0＜r＜1) が
あったとすると、C が直線 y=r をまたげないことになって不合理)

∴ S[q] の長さを L[q] とすると、Σ[q∈Q∩[0,1]] L[q] = 1。
つまり、C の点のうち x 座標が有理数の点の集合は、
加算個の線分の和で、線分の長さの合計は 1。
y 座標が有理数の点についても同様。
よって C の長さは 2 以上。

>768
(3,4,5) と (7/10, 120/7, 1201/70) と ……

（４６５３／８５１，３４０４／１５５１，７７７６４８５／１３１９９０１）。

１／３のすぐ隣の有理数は？
有理数は稠密だよ。隣の有理数との距離ｄ（１／３、ａ）は０になる。
だから、距離空間では連続
なのでどうかいてもいい

普通の積分ならルベーグ積分を使えば不可算無限個に対応できそうだ(****)が，経路積分は難しそう。ルベーグ版経路積分っていうのはあるのだろうか。あったとすれば，めちゃややこしいだろうなあ。

>>772
> 隣の有理数との距離ｄ（１／３、ａ）は０になる。

（・∀・） ﾆﾔﾆﾔ…

隣の有理数が選択できるかが。。。選択公理の限界あたりか。。。

>>746 >>753 >>772 >>773 >>775 はいつもデタラメ書いてる人だから

有理数の集合ではどれでも有理数を選べる。有理数は順序集合なので
大小関係はついている。でも、隣の有理数が引っ張ってこれない。

おーねーさんを一人選んで、３ｐをやるからもうひとり隣のおねーさんを
つれてこようとしたら、できない。。。

カウンタブルの条件は選択公理が入るかどうか。

７７６は固定ハンだろ、いくらもらってるんだ？ＩＰの不正使用は
情報保護法違反で刑務所行きだよ。もっとまともな仕事に就いたらどうだ？

>>779
確信を突かれて頭に血が上っているな。
なるほど、776の言は誠か

こてハンをなくせばいいサイトなんだけど。

＞各 S[q] (⊆[0,1]) はひとつながりの閉区間になる。

これ本当に証明できる？

>>772
意味不明なんだが…
もしかして>>753の説明のつもりじゃないだろうな

>>782
S[q] は閉集合だから、f,g が広義単調増加から出てくるんじゃないの。

ああそうか、閉集合の逆像だから閉集合ですね。確かに。

f,gが広義単調増加のときだけを示せばよいのはなぜ？直感的にはそうだけど。

ねじれの位置にある２直線l,mが存在する。
lを含む平面をα、mを含む平面をβとして、
α//βとなる平面α、βの組は何組存在するか答えよ。

>>786
1組
どちらもlの方向ベクトルとmの方向ベクトルで張られる平面だから

x>1のとき
f(x)=( log(x+1)-log(x-1) )*log(x)の最大値を求めよ。

3次元空間にベクトルａ，ｂ，ｃ，ｄをとる。
このとき、a,b,c､dを頂点とするフレームに薄膜を張るとき、
その最小面積をa,b,c,dであらわせ。

また「ベクトル」をよく分かってないヤツが出てきた。

一応位置ベクトルというものもあるような

残念ながら790がわかってない。ベクトルって書き込んでいる以上
矢印がなくてもベクトル。始点がはっきりしていないならば、
3次元空間上の点は4つの位置ベクトルで表される。

xy平面上における曲線Ｃ：y=x^3-3x上に、相異なる３点Ｐ、Ｑ、Ｒをとる。
それぞれの点におけるＣの接線がある１点で交わるようにＰ、Ｑ、Ｒが動くとき
△ＰＱＲの重心はどのような領域に存在するか。

>>792
君は白痴かね

>>792
四つの位置ベクトルでどう点を表すの

>>787
せめて高校で習う範囲の解答を作ろうぜ
spanは高校でやらんだろ

spanじゃないからよし

779=789=792

いや、>>779≠>>789=>>792だろ。
そして、>>746=>>753=>>772=>>773=>>775に繋がるんじゃないのか？

とりあえず、俺は>>800

>>789
極小曲面ってやつかな？
平行移動することにより、1点は原点としてよい。4つの点をai＝(xi,yi,zi) (i＝0〜3)と
表すことにする。a0が原点としてよい。この4点を頂点とするフレームに薄膜を張るとき、
その最小面積は、

(・д・)

ワカンネ。教えて。

f：R→Rは各点で微分可能とする。a＜bかつf’(a)＜f’(b)ならば、f’(a)＜L＜f’(b)なる任意の
Lに対して、L＝f’(x)を満たすx∈(a,b)が存在することを示せ。(f’に対する中間値の定理)

cos8ﾟcos16ﾟcos32ﾟ…cos16384ﾟの値を求めよ

sin 8°を掛けて頑張って計算

オイラーラグランジェの偏微分方程式が使える。
境界条件を満たす直交関数空間で級数表示してもいい。
複素多変数関数を使うのもおk？
でもソフトでやるのがお手ごろ

未解決
>>761と>>763
>>768
>>788
>>789

本人乙

もっと前にさかのぼれば、他にもあるわけだが……

>>805
誰へのレスだ？

俺へのレスだ。

ｺﾞﾒﾝ

>>806
>>770-771

>>788
　f'(x) = -{2/(x^2 -1)}log(x) + {log(x+1) - log(x-1)}(1/x),
　その根は a = 1+√2.
　x>1 のとき　(a-x)f '(x) ≧0,
　最大値は f(a) = {log(1+√2)}^2 = {arcsinh(1)}^2 = 0.776819399895696…


>>803
　cosθ･cos(2θ)…cos{(2^(n-1))θ} = sin{(2^n)θ}/{(2^n)sinθ},　　>804
　本問では θ=8ﾟ, n=12.
　(2^n) -1 = 4095 ≡0 (mod 45) より, (2^n)θ -θ ≡0 (mod 360ﾟ),
　よって (与式) = 1/(2^n) = 1/4096.

９を４つと加減乗除を使って１０になる式を作れ。

(9*9+9)/9 = (99-9)/9 = 10

>>815
ごめん　>>814はかっこ、二桁はなしね

C**[k=1,∞]Σsin(π/2^k)が収束することを示し,この極限値を小数第一位まで求めよ
B**1からn(n≧2)までの数字が書かれたカードが箱の中に1枚ずつ入っている
同時に2枚取り出すとき,2つの数字の差の期待値を求めよ

a,bをある実定数とする。
xについての方程式
x^2 + ax + b = 0の解をα、βとする。

α、βを十進数表記で表し、小数点以下第二位で四捨五入した数をそれぞれ
α’、β’と置いたところ、この二数は
x^2 + bx + a = 0の解となった。

a,bを求めよ。

a＝b＝任意

>>817

C**
　S_n = �納k=1,n] sin(π/(2^k)) とおく.　sin(x) < x より,
　S_n < 1 + 1/√2 + �納k=3,n] π/(2^k) = 1 + 1/√2 + π/4 = 2.492505.
　S_n は単調増加かつ上に有界だから収束する。その極限値をSとおく.

x>0 のとき x -(1/6)x^3 < sin(x) < x　より,
　S_n + �納k=n+1,∞) {π(1/2)^k - (1/6)(π^3)(1/2)^(3k)} < S < …,
　S_n + π(1/2)^n - (1/42)(π^3)(1/2)^(3n) < S < S_n + π(1/2)^n.
n=2 のとき
　1 + (1/√2) + (π/4) - (π^3)/2688 < S < 1 + (1/√2) + (π/4).
　2.480970 < S < 2.492505
　S = 2.481049919333720…

>>817

B**
　差がdである組合せは (1,d+1)〜(n-d,n) の n-d とおり,
　全体では C[n,2] = n(n-1)/2 とおり あるから、
　　P_d = (n-d)/C[n,2],
　　E[d] = �納d=1,n-1] d･P_d = {1/C[n,2]}�納d=1,n-1] d(n-d) = (n+1)/3.

1+1/√2+1/√2<α<1+1/√2+π/4

>822

n>1 を固定すれば,
　k>n　⇒　sin(π/(2^n))･(1/2)^(k-n) < sin(π/(2^k)) < π/(2^k).
だから
　S_n + sin(π/(2^n)) < S < S_n + π/(2^n).
でつか。なるへそ。

俺昨日テレクラにいったんだ。
電話で自分の年齢23歳と告げると相手の女性は30を超えていると返答。
まあいいかと思い、実際に会った。
すると見た感じ60を超えてそうな天童よしみそっくりのババア。
こっちは携帯番号教えていたから逃げる事も出来ず、そのままホテルに行った。
シックスナインのときにババアの肛門から紐みたいなものが出てたので
それを引っ張ると、なんとサナダムシだった。
最後に俺は怒りに任せ突きまくった。
ババアのあえぎ声「ブギー！ブギー！」
あえぎ声にも色気なし。
そして３万円取られた。

【x^2/k^2+y^2/(1-k)^2≦1を(0<k<1)の範囲に動かしてできる図形をx軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ】

せめて体積が最大になるkを求めよ,ぐらいに
面白い問題
[1,-1]∫(x^2/(1+e^x))dxを求めよ

t=-x 土地勘。

t=-x 新数演。

　∫[-1,1](x^2/(1+e^x))dx

＝1/2*∫[-1,1]x^2(1/(1+e^x)+1/(1+e^-x))dx

＝1/2*∫[-1,1]x^2dx

＝1/3

∴つまんなかった

誰かが解いてくれる問題と解いてくれない問題との違いは？

かなり昔の東大入試の問題で、

ｘ＝(1−ｔ^2)/(1＋ｔ^2)
ｙ＝2ｔ/(1＋ｔ^2)

でｔが任意の実数をとる時、(ｘ、ｙ)の軌跡を求め図に表しなさい。

という問題が出たことあるけど、これは今では易問なの？
当時は結構な難問だったみたいだけど。

>>831
最近の受験生はパターンとして暗記してるから、
昔は難問だったとしても今の受験生には簡単だと思う。

>>831
京大でも似たようなの出たことありますね。
今はﾊﾟﾗﾒｰﾀ系は対策進んでるから易問だろうけど経験ある人と無い人で差がつきそう…まぁこれは何についてもいえるけど

>>832
ああそうなんだ。
一度東大入試で出れば参考書なんかで扱うからね。
当時は三角関数のモノグラフという本でこの種の問題を扱っていたが、
それを見たかどうかでも随分違ったんだろうね。

一度解いた事ある問題を
次に解けたからって易問とは言わんだろ。

>>831って何かと思ったら単位円上の有理点か。

>>831
地方公立校の期末試験の枝問レベル。
アレを除外しなくて点半分、そんな感じ。

昭和30年代には
y=x^2-ax 　(1≦x≦2)の最小値を求めよ。
っていう問題が難問って言われてたんだから。
出題される→他校が真似る→参考書に載る→ベタ化する
ということを繰り返してきたんだよ。

たとえば近年急速にベタ化してきた知識としては「等面四面体」ってのがあるだろ。
93年に東大が出題した時は、知らないと解けない難問かつ悪問と評されていたが、
その後、東大後期、京大、東工大などで出題されて今や赤チャートに例題として載ってるからな。

放物線を軸で廻して斜めでちょん切って体積は？
は最たるものかな。

場合の数の問題で漸化式を使うタイプの奴も最初は超難問だったはず。
今では中堅大志望の文系も知ってる。

最近流行の問題としては
「2^nの最高位の数値」がらみの問題とかか？

垂直に交差する3円柱の共有部分の体積の問題はすっかりベタ化した雰囲気。

大学院入試もそうすればいいんだよ。

というか昔の英国はそんな感じだったんじゃないかな。
テクニックの集積。

□□□…□□
このように、正方形のタイルが横一列にn枚並んでいる。これらのタイルにM色で
色を塗っていくとき、塗り方は何通りあるか。ただし、回転して一致するものは
同じものとする。

一回は触れねばならない問題が増えた分だけいまの受験生のほうが
大変なのかな。

今の大学入試は試験範囲が狭すぎるから解法パターン暗記で突破できてしまう。

院試の範囲なら解法パターン暗記するより普通に勉強するほうがはるかに楽。

で今まで出された問題の中で良問はどれよ

複素数平面が消えたのはつまらん。

Ａ*
一辺の長さが1の立方体ABCD-EFGHがある。この立方体を、
直線ABを軸に1回転してできる立体をKとし、
直線ADを軸に1回転してできる立体をLとし、
直線AEを軸に1回転してできる立体をMとする。
立体K∩L∩Mの体積を求めよ。

>>849
解答プリーズ

K∩L∩M は結局もとの立方体自身ってことか。

また体積君かw
>850不等式立てて、z=tでの切断した断面積求めて積分
>844
n=2k：M^k((M-1)^k+2)/2
n=2k+1：M^(k+1)((M-1)^k+2)/2
n=1：M かな?

ほんとだ、
ABCD-EFGH=N
A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),E(0,0,1)とすれば
K⊂{(x,y,z)|0≦x≦1}
L⊂{(x,y,z)|0≦y≦1}
M⊂{(x,y,z)|0≦z≦1}
∴(K∩L∩M)⊂N
また明らかに(K∩L∩M)⊃N
∴(K∩L∩M)=N

そんなバナナ
勝手に勘違いしてた
x^2+y^2≦2
y^2+z^2≦2
x^2+z^2≦2
頭悪いな俺orz

おびゅるぐそんど

>>746＝>>753＝>>772＝>>773＝>>775＝>>805 でOK？

>>854
?

x、yはx≦yを満たし、共にe以上π以下の実数である。このとき、
x^y≦e^πを満たすような(x,y)の領域をDとする。
また、e^y≦x^πを満たすような(x,y)の領域をEとする。
DとEの共通部分の面積をSとするとき、Sと1/100の大小を比較せよ。
ただし、eは自然対数の底で2.718より大きいこと、またπは円周率で
3.141より大きいことは自明としてよい。

解答キボン

Eおかしくないか

作問者でさえ答を求めないで、問題を適当に作って放置というのが沢山ありそうだな

＜問題＞
P,Q２つのコインがある。それぞれ表と裏があって、表の出る確率はp,qである。
Pをa回ふって表がb回以上出る確率をp(a,b)、
Qをc回ふって表がd回以上出る確率をq(c,d)
とする。次の条件を満たす自然数(a,b,c,d)の組は何組あるか。

条件　a+b+c+d=200６かつa≧bかつc≧dかつp(a,b)≧q(c,d)

解答発表は、２週間後。

C**三辺が全て素数で，一つの角が120ﾟの三角形はどのような三角形か.
C***点Pは1秒毎にx,y軸,ランダムにどちらかの軸の正方向に+1動く.
はじめPは原点Oにあるとして,n秒後のPとOとの距離の2乗,OP^2の期待値を求めよ.

3 5 7

n(n+1)/2

>>863
下
P(x(n),y(n))として
E(OP^2)=E(x(n)^2)+E(y(n)^2)
対称性から明らかにE(x(n)^2)=E(y(n)^2)だから
E(OP^2)=2 E(x(n)^2)

x(n)≦nで、x(n)=kとなる確率は
(1/2)^n nCk だから、
E(x(n)^2) = Σ[k=0,n]k^2 (1/2)^n nCk
Σ[k=0,n]k^2 nCk = n!Σ[k=1,n]k /(n-k)!(k-1)! = nΣ[k=0,n-1](k+1) (n-1)Ck
=nΣ[k=0,n-1]k (n-1)Ck + nΣ[k=0,n-1](n-1)Ck
=n(n-1)Σ{k=0,n-2}(n-2)Ck + nΣ[k=0,n-1](n-1)Ck
=n(n-1) 2^(n-2) + n 2^(n-1)
=n(n+1) 2^(n-2)

E(OP^2) = 2 * (1/2)^n * n(n+1) 2^(n-2) = (1/2)n(n+1)

y=(ax+b)/(cx-d)の(x,y)が整数座標をn個通るとき、a,b,c,dの条件を求めよ。

864,865正解っす

ｋ

底辺が3。高さが6の三角形の面積を求めよ

激難だが9。かな

おしいな

9､か

ユークリッド平面でないかもしれん。

>>825 の楕円上の点(k^(3/2), (1-k)^(3/2))で引いた接線は
　x/(√k) + y/√(1-k) = 1

【 直線 x/(√k) + y/√(1-k) = 1 を(0<k<1)の範囲に動かすとき、x軸とy軸で挟まれた部分の長さを求めよ 】

正三角形ＡＢＣにおいて辺ＡＢをｎ等分する辺ＡＢ上の点をＡに近い方からＰ(１),Ｐ(２),…Ｐ(ｎ-１)とする。
同様な辺ＢＣ上の点をＢに近い方からＱ(１),Ｑ(２),…Ｑ(ｎ-１)とし、辺ＣＡ上の点をＣに近い方からＲ(１),Ｒ(２),…Ｒ(ｎ-１)とする。
Ｐ(１)とＱ(ｎ-１),Ｐ(２)とＱ(ｎ-２),…,Ｐ(ｎ-１)とＱ(１)をそれぞれ直線で結ぶ。
同様に、Ｑ(１)とＲ(ｎ-１),Ｑ(２)とＲ(ｎ-２),…,Ｑ(ｎ-１)とＲ(１)をまた、Ｐ(１)とＲ(ｎ-１),Ｐ(２)Ｒ(ｎ-２),…,Ｐ(ｎ-１)とＲ(１)をそれぞれ直線で結ぶ。
この△ＡＢＣの中に正三角形は合計何個あるか。

>875nが奇…(n+1)(2n^2+3n-1)/8,偶…n(n+2)(2n+1)/8
B**四角形ABCDにおいて,△BCD,CDA,DAB,ABCの重心をA',B',C',D'とする
この操作を繰り返すとき,これらの点はどのような点に近づくか
C***1から2^nまでの数字が書かれたカードが1枚ずつあり,無作為に1枚取り出す
この数字に含まれる2の因数の個数の期待値を求めよ

半径aの球の中でポイントｐでデルタ函数でインパクトを与えたときの
球体内のストレステンソルの式を求めなさい。

↑
おまえが大学入試策門者に向かないことはよくわかった。

素数が無限にあることを証明しなさい。

それをつかってこらっツ問題を証明しなさい。

>876

B**
　k回後の頂点を A_k↑, B_k↑, C_k↑, D_k↑ とおく。
　A_k↑ = p_k･A↑ + {(1-p_k)/3}(B↑ + C↑ + D↑)　とおく。

題意により　A_(k+1)↑ = (B_k↑ + C_k↑ + D_k↑)/3,
∴　p_(k+1) = (1-p_k)/3.
∴　p_k = (1/4) + (-1/3)^n･(p_0 -1/4)　→ 1/4　(n→∞).
∴ 4点ABCDの重心に近づく。

C**
　P_n = 1/(2^n)
　P_k = 1/(2^(k+1)),　(k=0,1,…,n-1)
　期待値は E[k] = �納k=1,n] k･P_k = 1 -1/(2^n).

>880正解です.難易度的にはどうでした?

D# 6n+1型(nは自然数)の素数は無限に存在することを示せ。

>>874
　長さ＝１

　ｋは隠し味か…
　因みに>>825の立体はたぶんアステロイドの回転体

>>882
そんな超有名問題を東大が出すわけがない。

>>884
なら解いてみろよ

>>887
定番問題は質問スレに書いた方が教えてくれると思うよ。

１１桁の素数を大きい順に３つ書きなさい

6より大きい任意の偶数は、二つの奇素数の和で表すことができる

一般にa とn が互いに素, すなわちa とn の最大公約数が1 のとき, 等差数列
a、 a + n、 a + 2n、 a + 3n、に無限に多くの素数が現れることを証明して見せて

4n-1,6n-1だったらEuclidの方法を真似して証明できる。
そのほかの場合、L関数を使わないで初等的に証明する方法はありますか。

6n＋1の形の素数がm個しか存在しないとする。それをp1〜pmとおき、
x＝6p1p2…pm としてM＝x^2−x＋1＞1とおく。Mの素因数qを1つとると
x^2−x＋1≡0 (mod q) 両辺にx−1をかけてx^3＋1≡0 (mod q)
よってx^6≡1 (mod q)一方で、フェルマーの小定理からx^(q−1)≡1 (mod q)
そこで、x^n≡1 (mod q)を満たす最小の自然数nをrとすればr｜6，r｜(q−1)が
成り立つ。前者からr＝1,2,3,6のいずれかとなる。
r＝1のとき…x≡1 (mod q)よりx^2−x＋1≡1≡0 (mod q)これを満たす素数qは存在しない。
r＝2のとき…x^2−x＋1≡1−x＋1≡0 (mod q)よりx≡2 (mod q)となり、x^2−x＋1≡4−2＋1
≡3≡0(mod q)よってq＝3となり、3｜Mとなって矛盾。
r＝3のとき…x^3＋1≡2≡0 (mod q)となるのでq＝2となり、2｜Mとなって矛盾。
r＝6のとき…r｜(q−1)に代入して6｜(q−1)となるので、qは6n＋1の形の素数となり、
q＝p_i(1≦∃i≦m)と書けてpi｜Mとなる。矛盾。

あー…微妙に間違ってるな。すぐに訂正できるけど、まあいいや。

今年の良問教えて

>>891からしゅんさつじゃないか

http://en.wikipedia.org/wiki/Prime_number
このあたりから３問ぐらいか？　どきっ、いっちゃってよかったかな？

１，２，３、。。。に無限の素数がある
an=a+knが有限の素数しか含まないとき、
a2m=a+2km,(a,2)=1はa2m=1+2km+(a-1)だから無限の素数を含むとか？

>889
10^11 -53 = 99999999947,
10^11 -57 = 99999999943,
10^11 -93 = 99999999907.

100円玉をn枚500円玉をn+1枚投げるとき、500円玉の方が表が多く出る確率を求めよ

>>898
意味不明。ついでに、>>891は高校レベルの知識で解けるものではない。

>>891-893
a = 1 なら、高木の本に初等的証明が載っているし、この板のどこかにも別証明が載っていた。
とは言っても入試問題としては難しすぎ。

Dirichlet's Theorem on Primes in Arithmetic Progressions
If a and b are relatively prime positive integers, then the arithmetic
progression a, a+b, a+2b, a+3b, ... contains infinitely many primes.
Recall that the prime number theorem states that for any given n,
there are asymptotically n/log n primes less than n. Similarly
it can be proven that the sequence a + k*b (k = 1,2,3,...) contains
asymptotically n/(phi(b) log n) primes less than n. This estimate
does not depend on the choice of a!

>>875は入試問題のレベルとしてはどうですか？
僕は自分で作っておきながら、解くのに５時間もかかってしまいました。

東大にしては簡単だと思うが、問題を評価してくれさい。

　　xy平面上に存在する長さ4の線分ABについて考える。線分ABを定点P(0,2)を
　通り、点Bは常にx軸上(ただし、0≦x)にあるように動かしたとき、線分ABが通
　過する領域の面積を求めよ。

(１番)1≦tのとき、x^2/(4t^2)＋(y^2t^2)/4＜1を満たす
格子点が10個未満となるtの範囲を求めよ。
(２番)
x,yを自然数とするとき17x＋23yの形で表すことができない最大の整数を求めよ。

>>906
(2)自然数a,bは互いに素とする。
補題1：自然数nがn＞abを満たすならax＋by＝nには自然数解(x,y)が存在する。
証明：gcd(a,b)＝1だから、ap＋bq＝1を満たす整数p,qが存在する。このとき、開区間(−nq/a,np/b)には少なくとも
1つ整数が存在する( np/b−(−nq/a)＝{npa＋nqb}/ab＝n/ab＞1だから )。それをkとすると、−nq/a＜k＜np/bが
成り立つから、v＝np−bk，w＝nq＋akとおけばv＞0，w＞0であることが分かり、よってv，wは自然数である。しかも
av＋bw＝anp−abk＋bnq＋abk＝n となるから、この(v,w)はax＋by＝nの自然数解である。

補題2：n＝abのとき、ax＋by＝nには自然数解(x,y)が存在しない。
証明：ax＋by＝ab ならax＝b(a−y) となるから、gcd(a,b)＝1であることより、a｜(a−y)となる。
よってa｜yとなるので、y＝at (t∈Z)とおける。yは自然数だからt≧1である。このときx＝b(1−t)
≦b(1−1)＝0 となり、xが自然数であることに矛盾。

補題1,2より、ax＋byの形で表せない最大の整数はabであることが分かる。特にa＝17,b＝23として、
17x＋23yの形で表すことができない最大の整数は17*23＝391である。

>>875
漸化式たててやったら
nが奇数のとき（n+1)(2n^2+3n-1)/8個
nが偶数のとき n(n+2)(2n+1)/8個
になった。
合ってるかは知らん。
所要時間30分

>905
8π/3+3√3-8log(2+√3)かな?
B***y=[x],y=[x]-1,x=[y],x=[y]+1,x=[y]+2の経路を
原点OからP(n+1,n)(nは自然数)まで最短距離で行く方法は何通りか
B***a_n,b_nは自然数で(2+√3)^n=a_n+b_n√3とする
lim[n→∞]a_n/b_nを求めよ

空間内の移動確率を与えて、オイラーラグランジェとルベーグ測度を
定義して、線積分でバリエーションをつかって、測地線をもとめなさい。

↑バカ

>>905
y軸と線分ABのなす角をθとすると、
y軸と曲線
x=-2tanθ+4sinθ
y=4cosθ
で囲まれた部分と
頂点が(-4,0),(0,2),(0,0)の直角三角形の部分を
合わせたものが求める面積だから

∫[π/3,0]x(dy/dθ)dθ+4 = 計算中。。。

>>909
2)
a_(n+1) + b_(n+1)√3 = (2+√3)(2+√3)^n = (2+√3)(a_n+b_n√3)
=2a_n + 3b_n + (a_n + 2b_n)√3

a_(n+1) = 2a_n + 3b_n
b_(n+1) = a_n + 2b_n
a_n/b_n = c_n とすると、
c_(n+1) = (2c_n + 3)/(c_n + 2) , c_1 = 2

c_n = √3 (1+α^n)/(1-α^n) ただしα=(2-√3)/(2+√3)
lim[n→∞]c_n = √3

a=2222^29，b=1112^49，c=3336^13
とする。
a^2+b^2=c^2
が成り立たないことを示せ。

f(x)=x^3-3xとする。
f(f(f(x)))をf(f(x))で割った余りをg(x)、
f(f(x))をf(x)で割った余りをh(x)、
g(h(x))をh(g(x))で割った余りをi(x)とする。
このとき、
{i(x)}^2+{f(x)}^2={g(x)}^2+{f(x)}^2
は常には成り立たないことを示せ。

f(x)、g(x)、h(x)は3次関数で
f(1)=g(2)=h(3)=1
f(2)=g(3)=h(1)=2
f(3)=g(1)=h(2)=3
が成り立っている。このとき、f(x)+g(x)+h(x)は最大値も最小値も持たないことを
示せ。

(1 2 3)(a b c)=(4 5 6)
(2 3 1)(d e f)=(5 6 4)
(3 1 2)(g h i)=(6 4 5)
このとき、(c,e,h,f,b,a,i,d,g)の値を求めよ。

>>914
3で割った余り

次の問いに答えよ。
(1)y=1/xとy=1/x^2(x＞0)とで囲まれた部分の面積を求めよ。
(2)y=1/x^2とy=1/x^3(x＞0)とで囲まれた部分の面積を求めよ。
(3)y=1/x^nとy=1/x^[n+1](x＞0)とで囲まれた部分の面積を求めよ(nは自然数)。
(4)AV=SEXで、A=1/a V=1/v、S=1/s　E=1/e　X=1/xのときavをs e xで表せ。
(5)以上によりeの値を求めよ。

>>919難問だな。Massachusettsレベルじゃん。解いたけど。
答え:av=sex

果たして本当にそうでしょうか？
私には間違いのように思えて仕方ない。
当の私はただいま計算中。。。

King問題解いてけ

914=915=916=917=919の確率を求めなさい

http://sports2.2ch.net/test/read.cgi/entrance2/1150543737/62

亀田vsランダエダ

またもや不正疑惑

猪木と馬場の試合だな

確率論、特に確率解析学
物理学においては重要な量がファインマン積分と言われる径路（パス）
の空間上の無限次元解析の道具を使ってよく表現されるのですが、
残念ながらそれは実のところ、数学的にきちんと定義されていません。
ファインマン積分によく似ていて、数学としてきっちりと理論化され
ている径路空間上の無限次元積分としてウィナー積分というものがあり、
これがすなわち、ブラウン運動による期待値をとることを表している
量です。このような無限次元解折としての確率論という立場は、純粋に
数学の問題として興味深い一方で、物理的な直観が不思議に効く時も
あり、非常に面白く感じています。

www.math.kyoto-u.ac.jp/~fukaya/stringdual.pdf

ところで作問者の方々って普段何やってる方ですか?特に>>919

え？汁男優ですが何か

平面が半径ｒの円で埋め尽くされているとき、原点を中心とする
円の中の点p00は円同士の接点に対象に写像するとき、中心がｒ（ｎ，ｍ）
の円の中での座標Pnmをn,m,rをつかって表現しなさい。

これできる？

題意不明瞭

>>930
Fランの理学部？

円を稠密にパッキングしたらさらに難しくなる。大小の円を入れたら
もっと面白くなる。

中心はループするがそれ以外の点は無限遠に発散する。

【原点をＯとするｘｙｚ空間に、２点Ｐ(cosπt,sinπt,t),Ｑ(0,0,t)をとる。

　ｔが０から１まで動くとき、�凾nＰＱが通過する部分の体積Ｖを求めよ。】

>>912
直角三角形の面積は 2√3 じゃね？

>>905
S = 2√3 + (1/2)∫[0,π/3] AP^2 dθ
= 2√3 + (1/2)∫[0,π/3] (4-(2/cos(θ)))^2 dθ
= 4√3 + 8π/3 - 8log(2+√3)
= 10.7302033…

大学入試問題としては難問と思う

>>935
π/6

そんなに難しくはないと思うが；

(1) nを自然数とするとき
　 x+y+z=n, x+y≧z, y+z≧x, z+x≧y
を満たす自然数の組(x,yz)の個数を求めよ。
(2) 3辺の長さがすべて自然数で、その和が 2007 となるような三角形の個数を求めよ。

>>937
　そのちょうど半分

talk:>>922 私を呼んだだろう？

(1)定積分∫[1,e]logxdxを求めよ。
(2)定積分∫[1,e](logx)^2dxを求めよ。
(3)f_n(x)を以下のように定める。
f_1(x)=∫[1,e]logxdx
f_n+1(x)=∫[1,e]log(f_n(x))dx
このとき、2以上の自然数nについて、以下の不等式が成り立つことを示せ。
f_n+1(x)-f_n(x)＞f_n(x)-f_n-1(x)

２^x＋3^x＝5^xを満たすxは1以外に存在しないことを示せ。但し、xは"実数"である。

1^x+2^x+3^x=6^xを満たすxは1以外に存在しないことを示せ。但し、xは"自然数"である。

a,b,c,x,y.zはすべて自然数で、
a^x+b^y=c^zを満たすとする。このとき、自然数N_1,N_2,N_3の最大公約数を
G(N_1 N_2 N_3)と書くことにすると、
G(a b c)≧G(x y z)
であることを示せ。

500円玉がn枚、100円玉がm枚ある。(n,mは自然数)
k個取り出すとき、500円のほうが100円玉より多く取り出せる確率をp_kとする。
任意のp_kにたいし、p_k＞1/2となるような、n,mの条件を求めよ。

xyz空間上において、点(3,5,7)に光源がある。この光源は四方八方に光を放つ。
今、xy平面上において、
y≦x^2
x≦y^2
なる部分に、光を遮断する壁を設置した。
この空間をyz平面で切ったとき影の(光の当たらない)面積はいくらか。

xy平面上の楕円E:2x^2+y^2=1，z=0を、中心がyz平面上の円弧
C:y^2+z^2=1，y≧0，z≧0，x=0上にあるように平行移動したもの全体が作る曲面をFとする。
さらにFをz軸のまわりに回転するときFが通過する部分をＫとする。
0≦t≦1を満たす実数に対して、平面z=tによるＫの切り口の面積をS(t)とおく。
(1)t=sinθのとき、S(t)をθであらわせ。ただし0≦θ≦π/2
(2)Ｋの体積Vを求めよ。@東大実戦

>913正解
(2-√3)^n=a_n-b_n√3を使えば1=a_n^2-3b_n^2で楽
>938
(1)nが奇(n+1)(n-1)/8,nが偶(n+8)(n-2)/8
(2)84169かな?

このスレ低知能ばかりだな。

>947
(1)π(cos2t+4cost+3)/2
(2)π(3π+8)/4かな?

訂正
(1)0≦t≦π/3 4πcost
π/3≦t≦π/2 π(2cost+1)^2/2
(2)(3√3+π+8)π/4

>>942
ｆ（ｘ）=5^x-3^x-2^x がこんなグラフになるから無理。
http://www.vipper.net/vip147298.jpg

943は f(x)=6^x-3^x-2^x-1とおいて微分。
f'=log6*6^x-log3*3^x-log2*2^x
=log3*3^x(2^x-1)+log2*2^x*(3^x-1)
これはx=0で正負が切り替わる。あとはf(0)=0よりでOK。

a<1<b.
(2/5)^a+(3/5)^a>1>(2/5)^b+(3/5)^b.
(1/6)^a+(2/6)^a+(3/6)^a>1>(1/6)^b+(2/6)^b+(3/6)^b.

というか単に問題転記してるだけじゃないか
オリジナル問題を解くスレじゃないの？

a,b,cは次の3つの条件を満たしている。
条件１　a^2+b^2+c^2=3
条件２　2a+b+4c=4
条件３　(a+b)(b+c)(c+a)=1/64
このとき、次の問いに答えよ。
(1)a,b,cがすべて虚数で条件１〜条件３を満足するものが存在することを示せ。
(2)aのみが虚数で、b,cが実数であるような(a,b,c)で条件１〜条件３を満足する
ものは存在しないことを示せ。

f(x)=xe^xとする。
(1)f'(x)を求めよ。
(2)Ｉ(a,b)＝∫[a,b]{f'(x)}^2dxとおく。I(-1,1)を求めよ。
(3)J=I^2+2aI+bとする。Iの２次方程式J=0が相異なる2つの実数解を持つような
(a,b)の範囲をab平面上に図示せよ。

(1)p,q(P≦q)は素数である。次の問いに答えよ。
p^2+q^2が素数になるとき、ｐ、ｑの偶奇は一致しないことを示せ。
(2)A,V,s,e,xが異なる5つの素数であるとき、
A^3+V^3+s^3+e^3+x^3+AVsexは素数でないことを示せ。

>>954
問題転記って、どこからだよ？
言ってみろ！
話はそれからだ！

>>951
(1)はあってる
(2)の計算結果が違う

もしかしてπ(9π-9√3+22)/12かな?

無限集合ＡからＡべき集合に１：１の対応がつけられるか調べなさい。

>>956 (1)
f(x)=x e^x
f'(x)=(x)'e^x+x(e^x)'=e^x+xe^x=(x+1)e^x

光は回折するので全部の面に当たるよが正解

マジか！それはマジなのか！絶対買うぞ、買わせてもらうぞ

>>957
(1)対偶を取る
(2)偶奇性の一致から

>>914
　1112 = 8*139 で割った余り

>>916
　f(x), g(x), h(x) を2次関数とし、P(x) = f(x) + g(x) + h(x) -1 -2 -3 とおく。
　P(1) = P(2) = P(3) = 0 と 因数定理より P(x) = (x-1)(x-2)(x-3)*Q(x).
　P(x) は2次関数だから Q(x) = 0.
　〔なお、f(x) = x,　g(x) = (3x^2 -13x+16)/2, h(x) = (-3x^2 +11x -4)/2 〕

>>917
　(a b c)　(-5/18, 1/18, 7/18) (4 5 6)　(3/2, 1/2, 1/2)
　(d e f) = (1/18, 7/18, -5/18) (5 6 4) = (1/2, 3/2, 1/2)
　(g h i)　(7/18, -5/18, 1/18) (6 4 5)　(1/2, 1/2, 3/2)

>>938 (1)
　n:偶数のとき　(n+2)(n+4)/8,
　n:奇数のとき　(n+1)(n-1)/8.

〔x+y>z, y+z>x, z+x>y ならば
　n:偶数のとき　(n-2)(n-4)/8,
　n:奇数のとき (n+1)(n-1)/8. 〕

>>941
　(1) ∫log(x)dx = xlog(x)-x, より 1.
　(2) log(x) =t とおくと
　　∫{log(x)}^2 dx = ∫(t^2)(e^t)dt = (e^t)(t^2 -2t+2) より e-2 ≒ 0.7182818…

>956 (2)
　f '(x) = (x+1)e^x　　　>>962,
　I = ∫(x+1)^2 e^(2x)dx = (1/2)(x^2 +x +1/2)e^(2x) +c.
　I(-1,1) = (1/4){5e^2 - e^(-2)} ≒ 9.2024863….

>>957
(1)
p^2+q^2が素数ならばp,qの偶奇が一致しない
これの対偶はp,qの偶奇が一致するならばp^2+q^2は素数でない。
(i)素数の中で偶数は2のみ。つまりp=q=2のとき
2^2+2^2=8=2^3　よって素数でない。
(ii)p,qが奇数の時
p=2k-1,q=2l-1(k,lは自然数)とすると
p^2+q^2=(2k-1)^2+(2l-1)^2=2*(2(k^2+l^2)-(k+l)-1) よって奇数のときも素数でない。
(i)(ii)より、対偶が真であるので、命題もまた真である。

(2)
A,V,s,e,xのうち、どれか一つが2であると仮定すると
偶+奇+奇+奇+奇+偶なので、偶数となる。これは素数ではない。
すべて奇数の素数であると仮定すると
奇+奇+奇+奇+奇+奇なので、偶数となる。これもまた素数ではない。

C***2,4,8,2^nまでのn個の整数のうち,直前の数と桁数が変わらないものの個数をN(n)とする
lim[n→∞]N(n)/nを求めよ
A*Aは正方行列でA^2-4A+3E=Oを満たす
A-Eの逆行列をA,Eを用いて表せ
A**a,b,abはある順に等差数列をなし,ある順に等比数列もなす
a,bを求めよ.ただしa,bは実数でa≠bである

>>966
>>916
>f(x)、g(x)、h(x)は3次関数で

A-E→A-tE

>>968
C***
公比2(<10)の等比級数だから直前から2桁増えるものはない
n項目は[nlog_10(2)+1]桁だからそれまでに[nlog_10(2)]個直前の数と桁数が違うものがある。
n-nlog_10(2) < N(n)=n-[nlog_10(2)] ≦ n-nlog_10(2)+1
∴lim[n→∞]N(n)/n = 1-log_10(2) = log_10(5)