◆ わからない問題はここに書いてね 199 ◆

>>422
t⇔2π-t について対称なので、0<t<π で考えてよい。
　x = t-sin(t) = f(t),
　y = 1-cos(t) = f '(t) ≧0.
とおく。
　f "(t) = sin(t).

>>423 にしたがって
　F(t) = {f(t)-π}^2 /(π^2) + (1/4){f '(t)}^2,
が1以下であることを示そう。

　F '(t) = 2f '(t)[ {f(t)-π}/(π^2) + (1/4)f "(t) ] = 2f '(t)G(t).
　G(t) = {f(t)-π}/(π^2) + (1/4)f "(t) = {t + [(π^2)/4 -1]sin(t) -π}/(π^2)
は(0,π)では上に凸、(π,2π)では下に凸である。(t-π)G "(t) ≧ 0.
また、G(t)=0 の根 t_1≒1.68350148938493…, t_2=π, t_3=2π-t_1 は F '(t)=0 をも満たす。
　(t-t_1)(t-t_2)(t-t_3)G(t) ≧ 0,
　(t-t_1)(t-t_2)(t-t_3)F '(t) ≧ 0.
　F(0)=F(π)=F(2π)=1 ゆえ F(t)≦1.