数学基礎論の質問スレッド　その２

1 ：１３２人目の素数さん：2006/04/02(日) 11:01:04

とりあえず立てておきました。

2 ：１３２人目の素数さん：2006/04/02(日) 11:01:53

とりあえず2getしておきました。

3 ：１３２人目の素数さん：2006/04/02(日) 11:05:41

>>2前スレ貼りぐらいしてくれてもいいだろうに

数学基礎論の質問スレッド
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1097659610/

4 ：前スレ994：2006/04/02(日) 21:44:28

>>前スレ995

＞>994
＞まあそうですね
＞実際に何らかの方法で真偽が確定するわけじゃありません
＞僕も最初に勉強したときには結構違和感持ちました
結構分かって来ました。レスどうも。

>>前スレ997
＞チャーチとかは自然数論に持ち込まずに不完全性を証明してる罠
出来れば教えて下さい

5 ：１３２人目の素数さん：2006/04/03(月) 03:14:06

自然数の足し算掛け算以外にも
対角化とか不動点とかを可能にする仕掛けはありうる、
という意味なら997の言う通りだけど

自然数の足し算だけの体系が完全なのは
2chの基礎論スレではとても有名なことだし
有理数の順序とか実数体とか複素数体とか
完全な体系はいくらでもあるので、
（たぶん997が書いた993の）

> ヒルベルト論理体系に基づく公理系自体が不完全なんだからその上にある自然数の公理が不完全でも仕方ないだろ

というのを読んで

> ヒルベルト論理体系に基づく公理系自体が不完全なんだからその上にある

こと自体が不完全性を生む、と読んだならそれは誤解

6 ：１３２人目の素数さん：2006/04/03(月) 17:04:16

>>5
＞自然数の足し算だけの体系が完全なのは
＞2chの基礎論スレではとても有名なこと

Presburger算術ってやつね。
確かゲーデルの成果の前年に出されたもの。

7 ：１３２人目の素数さん：2006/04/03(月) 21:55:04

＞有理数の順序とか実数体とか複素数体とか
＞完全な体系はいくらでもある

実閉体じゃなかったっけ
あれを実数体の理論って言っちゃまずいんじゃないかなあ

8 ：１３２人目の素数さん：2006/04/03(月) 23:34:36

>>7
ついでに言えば、複素数体じゃなくて代数的閉体の理論ね。

9 ：１３２人目の素数さん：2006/04/04(火) 00:57:43

そういうなら、有理数の順序にもつっこむのが筋では？

10 ：１３２人目の素数さん：2006/04/04(火) 01:27:29

有理数の順序って何の事を言ってるの？

11 ：１３２人目の素数さん：2006/04/04(火) 01:31:01

dense linear order without end points

12 ：１３２人目の素数さん：2006/04/15(土) 21:10:35

さくらスレから誘導されてきました．

「
以下は同値であるか．理由を付けて説明せよ．
(a)任意の構造Aと任意の付値ρに対して，A,ρ|=φならばA,ρ|=Ψである
(b)|=φならば|=Ψである
」

という問題で，
(a)⇒(b)は自力で示せた(と思う)のですが，
(b)⇒(a)も￢((b)⇒(a))も自力で示すことができません．
どのようにすれば良いのでしょうか?

13 ：１３２人目の素数さん：2006/04/15(土) 21:19:48

>>12
どういう体系で考えているのかわからないが、
たぶん φ が恒真でない場合を考えてみるといいと思う

14 ：12：2006/04/15(土) 22:37:59

15 ：１３２人目の素数さん：2006/04/15(土) 22:42:40

>>14
> φが恒真でない場合に，A,ρ|=φかつA,ρ|≠Ψを満たすようなA,ρが存在するかどうか
方針はそれでいいと思う。

例えば古典命題論理の場合なら
φ=p, ψ=q (p,q は命題変数)
ρ(p)=1, ρ(q)=0
とすればいいよね？
一階述語論理とかでも考え方はこれと同じじゃないかな。

16 ：12：2006/04/16(日) 00:02:51

>>15
あ，そうか，具体的な例を提示できれば良いんですね．
今までφやΨが固定されてる気がして考えてました．．
ありがとうございました，これから紙に書いてみます．

17 ：１３２人目の素数さん：2006/04/16(日) 20:24:22

すいません。質問があります。
演繹定理はＨqでも成り立つのですか？

18 ：17：2006/04/17(月) 00:15:01

すいません
証明できましたので無視して構いません

19 ：１３２人目の素数さん：2006/04/17(月) 14:49:47

何をどのように証明したのかがちょっと気になる。

20 ：17：2006/04/17(月) 22:08:10

>>19そんな難しくないです。

21 ：１３２人目の素数さん：2006/04/18(火) 01:31:11

そのままの形では演繹定理が成立しないので気になるのだが。

22 ：17：2006/04/18(火) 21:49:41

>>21
言っている意味がわかりません。

23 ：１３２人目の素数さん：2006/04/25(火) 05:11:16

できたのだから、その成果をみせてほしいな。

24 ：１３２人目の素数さん：2006/04/27(木) 08:48:40

age

25 ：１３２人目の素数さん：2006/04/27(木) 18:41:08

http://c-au.2ch.net/test/-/doboku/i

26 ：１３２人目の素数さん：2006/04/27(木) 21:12:49

1+2+3…99+100と順番に足していった答えを求めるための方程式のような物ってありますか？

27 ：１３２人目の素数さん：2006/04/27(木) 21:30:10

>>4
遅レスですが、「数の体系と超準モデル」では
Tarskiの真理（定義）条項（truth (definition clauses)）とか書いてあって
単純に公理とか定義とかいう言葉は使わないようにしてありますね

結構この本の訳語は合理的な訳語が多いと思います
ただ慣用と違って一寸違和感のある用語も無いではないでしょうけど

# スレタイやっぱちょっと変えたほうが良かったような

28 ：17：2006/04/27(木) 21:56:12

>>23 閉論理式てことが必要ということですか？
それならわかります

29 ：１３２人目の素数さん：2006/04/28(金) 14:37:21

>>26
{100(100+1)}/2
総和の公式があるよ。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B7%8F%E5%92%8C

30 ：17：2006/05/01(月) 15:08:52

すいません。質問があります。
等号公理の逆も公理なんですか？
つまりx=y∧z∈x⇔z∈yは公理なんでしょうか？

31 ：１３２人目の素数さん：2006/05/01(月) 15:26:51

∀と∃のつけかたによる
例えば
∀x∀y∀z[x=y∧z∈x⇔z∈y]
は明らかに偽

32 ：17：2006/05/01(月) 15:57:50

ではx、y、zが自由変数のときには公理ですか？

33 ：１３２人目の素数さん：2006/05/01(月) 16:02:11

>>30
(x=y∧z∈x) ⇔ z∈y
から
z∈y ⇒ x=y
が言えてしまうのだが

34 ：30：2006/05/01(月) 16:17:21

証明したいのは次の式なのです。
∃u[(u=x∨u=y)∧t∈u]⇔∃t(t∈x∨t∈y)
でもどうやって導くかがわかりません。

35 ：１３２人目の素数さん：2006/05/01(月) 16:26:45

>>32
自由変数なら>>31で書いたのと同じことになるから公理でない

36 ：１３２人目の素数さん：2006/05/01(月) 16:28:21

>>34
その式どこから拾ってきたの？
最初のtが自由なので誤植か何かある気がするんだけど

37 ：30：2006/05/01(月) 16:34:52

本の中では∃u[(u=x∨u=y)∧t∈u]⇔∃u(t∈x∨t∈y)となっていますが、右側の式は明らかに変なので
誤植かと思いuをtに変更しました。

38 ：１３２人目の素数さん：2006/05/01(月) 16:46:17

それが余計なお世話だったわけ。
右側がそれなら証明可能。

39 ：１３２人目の素数さん：2006/05/01(月) 17:00:01

数学基礎論の良い入門書は何ですか？

40 ：30：2006/05/01(月) 17:01:12

右側は論理式なんでしょうか

41 ：１３２人目の素数さん：2006/05/01(月) 17:03:22

もちろん論理式。そうでないと思った理由は？

42 ：30：2006/05/01(月) 17:06:24

uが表れないからです。
たとえば論理式は∃xを使うときは絶対自由変数をxで置き換えますよね？

43 ：１３２人目の素数さん：2006/05/01(月) 17:14:25

「論理式 F の中の自由変数 a をすべて x で置き換える」と書いてあるとき、
F の中に自由変数 a が現れなくてもよいことに注意。

44 ：30：2006/05/01(月) 17:19:04

マジですか？
それは全く知りませんでした。それでもなぜ成り立つのかはわかりません。

45 ：１３２人目の素数さん：2006/05/01(月) 17:26:27

∀x A ∧ ∀x (A->B) -> ∀x B
とかを考えるときに、B に x が現れるかどうかを
いちいち注意するのは面倒でしょ。

46 ：30：2006/05/01(月) 19:26:58

∃u[(u=x∨u=y)∧t∈u]⇔∃u(t∈x∨t∈y)の証明方法どなたかお願いします。
概略だけでいいので。
何の推論規則使うかとかお願いします。

47 ：１３２人目の素数さん：2006/05/01(月) 21:44:26

>>46
(u=x ∧ φ(u)) ⇒ φ(x) は使っていいのか?
とりあえず ⇒ の概略

上を使って
u=x∧t∈u ⇒ t∈x
u=x∧t∈u ⇒ t∈x∨t∈y　(∨導入)
u=x∧t∈u ⇒ ∃u(t∈x∨t∈y)　(∃導入)
同様に
u=y∧t∈u ⇒ ∃u(t∈x∨t∈y)
上2式に∨消去を使うと
(u=x∧t∈u)∨(u=y∧t∈u) ⇒ ∃u(t∈x∨t∈y)
((u=x∨u=y)∧t∈u) ⇒ ∃u(t∈x∨t∈y)
∃u((u=x∨u=y)∧t∈u) ⇒ ∃u(t∈x∨t∈y)　(∃消去)

48 ：30：2006/05/01(月) 21:54:25

>>47誠に丁寧にありがとうございます。
よくわかりました。

49 ：１３２人目の素数さん：2006/05/02(火) 01:35:26

意味を考えたら明らかに証明できそうにないってわかりそうなものだけどね

50 ：30：2006/05/02(火) 02:22:10

できれば←の方の証明もお願いします。

51 ：１３２人目の素数さん：2006/05/02(火) 13:42:38

>>50
∀x∃u(u=x)
が証明できればいいけど、よく分からん

ZFなら分出公理と外延性公理から証明できるけど、
もっと簡単な証明がある気がする
誰か教えて

52 ：１３２人目の素数さん：2006/05/02(火) 13:46:47

x=x,∃u(u=x),∀x∃u(u=x)

53 ：１３２人目の素数さん：2006/05/02(火) 15:29:07

>>52
そっか、それでいいのか、㌧

>>50
まず
(x=u∧φ(x)) ⇒ φ(u)
から
φ(x) ⇒ (u=x ⇒ φ(u))
が出る

上から
t∈x ⇒ (u=x ⇒ t∈u)
u=x を仮定して、命題論理から
t∈x ⇒ (u=x∨u=y)∧t∈u
同様に u=y を仮定して
t∈y ⇒ (u=x∨u=y)∧t∈u
上2式から∨消去
t∈x∨t∈y ⇒ (u=x∨u=y)∧t∈u
t∈x∨t∈y ⇒ ∃u((u=x∨u=y)∧t∈u)　(∃導入)

∀x∃u(u=x) から∀消去で ∃u(u=x)
∃消去で、u=x, u=y の仮定を落とす
t∈x∨t∈y ⇒ ∃u((u=x∨u=y)∧t∈u)
∃u(t∈x∨t∈y) ⇒ ∃u((u=x∨u=y)∧t∈u)　(∃消去)

54 ：50：2006/05/02(火) 19:28:03

誠にありがとうございます。
よくわかりました。

55 ：50：2006/05/02(火) 21:17:31

たびたびすいません。
(x=u∧φ(x)) ⇒ φ(u) の証明はどうやるのでしょうか？

56 ：１３２人目の素数さん：2006/05/02(火) 21:36:17

それ、イコーリティー公理でございます。
もう人に訊く範囲をこれてます。

57 ：１３２人目の素数さん：2006/05/02(火) 21:53:10

>>55
普通はそれと同等なものが公理として入ってるはずだから、
よく調べてみ

形が
x=u ⇒ (φ(x)⇒φ(u))
になってたり、
名前が外延性公理になってたりするかもしらん
(例えば竹内外史「現代集合論入門」)

58 ：１３２人目の素数さん：2006/05/03(水) 00:47:41

>>55
等号公理の述べ方もいろいろあるけど、一番シンプルなパターンで
与えられているなら φ(x) の構成に関する帰納法で証明する必要がある。

59 ：１３２人目の素数さん：2006/05/03(水) 02:14:00

お初です。よろしくおねがいします。
(a1 O )(b1 O )
( a2 )( b2 )
( … )( … )
(　O an)( O bn)

が
（a1bi O ）
（ a2b2 ）
（ … ）
（ O anbn）

答えしか書いてなくて↓
解説お願いします

60 ：50：2006/05/03(水) 03:26:17

>>58親切にありがとうございます。
そのやり方でがんばってみます。

61 ：１３２人目の素数さん：2006/05/04(木) 07:52:06

数学基礎論って英語でなんていうの？

62 ：１３２人目の素数さん：2006/05/05(金) 00:02:12

foundation of mathematics

63 ：１３２人目の素数さん：2006/05/05(金) 07:30:29

foundations of mathematics というのが普通だろう。
foundation of mathematics だと数学を基礎つける Meta Theory のような
意味で分野の名前ではないと思う。

64 ：１３２人目の素数さん：2006/05/05(金) 08:59:33

検索したら数学入門的講義のタイトルとしてもfoundation of mathematicsは使われてるみたいね

65 ：１３２人目の素数さん：2006/05/05(金) 13:36:35

河合文化教育研究所から出てる数学基礎論シリーズはどうですか？
全２０巻刊行開始と書いてあったが６冊ぐらいしか出ていないようですが。

66 ：１３２人目の素数さん：2006/05/08(月) 05:41:57

数学基礎論シリーズは、誤植が多いけれど良い本。

67 ：１３２人目の素数さん：2006/05/08(月) 07:36:46

誤植そんなに多いかな

68 ：１３２人目の素数さん：2006/05/10(水) 11:30:12

>>67
ぼけっと読んでても気がつくくらい多い。

69 ：１３２人目の素数さん：2006/05/10(水) 11:30:44

>>61
普通は logic

70 ：１３２人目の素数さん：2006/05/10(水) 12:51:04

20巻は絶対ありえないだろうな

71 ：１３２人目の素数さん：2006/05/10(水) 22:12:18

>>69
しかしそれだと logic と FoM との区別にこだわる人が怒りそうな悪寒…

72 ：１３２人目の素数さん：2006/05/11(木) 00:37:12

すいません。質問があります。
論理式Ａ、Ｂに対して次は正しいですか？
「Ａが証明可能⇔Ｂが証明可能」
⇔「Ａ⇔Ｂが証明可能」

73 ：72：2006/05/11(木) 00:38:34

すいません。上はＨqで考えてます。

74 ：１３２人目の素数さん：2006/05/11(木) 01:05:00

ああ、まあね
でも度数法が一周を360度としてるのは天文学的な意味しかないわけで
純数学的には、任意の数A>0でも同じことですよ
（いや、地球の公転半径、太陽と地球の質量や重力定数その他諸々の数値には
数学的、論理的な必然性があって、これは他の値であることは数学的にありえないのだ、
って話だったら違うだろうけど）

でも3次元の立体角の単位はradianじゃなくてsteradianですけどね
これも弧度法って言うんだろうか
言わない人のほうが多いような

75 ：１３２人目の素数さん：2006/05/11(木) 02:30:08

H_qってあまり一般的な記号法でもないので
いきなりH_qですなんていっても何のことかわからないんだが、、

>>72
ええと、言語は固定するんだよね
公理となる論理式、、も固定するんだよね？

するなら独立命題Cが存在するような公理系をとってきて
AをC、Bを￢Cとすれば反例になるような気がするけど、、

76 ：72：2006/05/11(木) 04:54:53

次の証明方法が間違っているか判定していただきたい。

←の方は公理Ａ→(Ｂ→Ａ)とＢ→(Ａ→Ｂ)より明らかに成り立つ。
→の方はＢ∨￢Ｂが証明可能だからまずＢが証明可能と仮定するとＡ→Ｂは証明可能。
また￢Ｂが証明可能だと仮定すると仮定より￢Ａが証明可能。よって￢Ｂ→￢Ａが証明可能
以上よりＡ→Ｂ証明可能となる。
同様にしてＡ∨￢Ａが証明可能であることを使ってＢ→Ａも証明可能が示される。

77 ：72：2006/05/11(木) 04:57:36

Ｈｑというのは第一階述語論理の上の形式的体系のことです。

78 ：72：2006/05/11(木) 05:01:48

すいません。間違えました。
訂正。
←の方はmodus ponensより明らかに成り立つ。
→の方はＢ∨￢Ｂが証明可能だからまずＢが証明可能と仮定するとＡ→Ｂは証明可能。
また￢Ｂが証明可能だと仮定すると仮定より￢Ａが証明可能。よって￢Ｂ→￢Ａが証明可能
以上よりＡ→Ｂ証明可能となる。
同様にしてＡ∨￢Ａが証明可能であることを使ってＢ→Ａも証明可能が示される。

79 ：１３２人目の素数さん：2006/05/11(木) 09:01:01

>>78
> →の方はＢ∨￢Ｂが証明可能だからまずＢが証明可能と仮定するとＡ→Ｂは証明可能。
> また￢Ｂが証明可能だと仮定すると仮定より￢Ａが証明可能。よって￢Ｂ→￢Ａが証明可能
> 以上よりＡ→Ｂ証明可能となる。

Ｂも￢Ｂも証明可能でないときが抜けてる

80 ：１３２人目の素数さん：2006/05/11(木) 11:58:22

ですね
A∨Bが証明可能だからといってAかBかのどちらかが証明可能であるとは
（ふつうの古典論理では）言えない

非常に重要なポイント

81 ：72：2006/05/11(木) 17:57:33

Ａ∨Ｂが証明可能⇔Ａが証明可能またはＢが証明可能を実は示したのです。
これも自分で考えたことなので判定お願いします。

←は真理表より明らか。
(補題として「ＡがＨｐ(命題論理)で証明可能⇒ＢがＨｐで証明可能」→「ＡがＨｑで証明可能⇒ＢはＨｑで証明可能」
この証明は簡単なので割愛します。証明可能であることの定義をＨｐとＨｑ両方において書き出し比べればすぐわかる。
→
補題「Ａが証明可能⇔￢Ａが証明可能でない。」
よってＡが証明可能またはＢが証明可能の否定は￢Ａが証明可能かつ￢Ｂが証明可能
(補題として「Ａ、ＢがＨｐ(命題論理)⇒証明可能ＣがＨｐで証明可能」→「Ａ、ＢがＨｑで証明可能⇒ＣはＨｑで証明可能
￢ＡがＨｐで証明可能かつ￢ＢがＨｐで証明可能→￢Ａ∧￢ＢがＨｐで証明可能は真理表よりすぐわかる。
また￢Ａ∧￢Ｂ⇔￢(Ａ∨Ｂ)は証明可能だから以上より
￢Ａが証明可能かつ￢Ｂが証明可能→￢(Ａ∨Ｂ)は証明可能
対偶をとれば→がいえる。

82 ：72：2006/05/11(木) 18:15:35

実は他にも補題として「Ａ⇔Ｂが証明可能」⇒「Ａが証明可能⇔Ｂが証明可能」
とかいろいろ使ってます。
でも全部いちょう自分流に示してあるのでわからないことがあったら言ってください。

83 ：72：2006/05/11(木) 18:17:00

間違えました。正しくは
「Ａ⇔Ｂが証明可能」⇔「Ａが証明可能⇔Ｂが証明可能」

84 ：１３２人目の素数さん：2006/05/11(木) 21:19:34

>>81
Ａ∨Ｂが証明可能⇔Ａが証明可能またはＢが証明可能を実は示したのです。

85 ：１３２人目の素数さん：2006/05/11(木) 21:21:19

>>81
ええと、数学的な公理は含まないとしていいのかな？
議論の前提がはっきりしないけども

AとかBは一般の命題ですか？
それだったら成り立たないはずですよ
新しい述語記号P（何変数でもいいけど、まあ一変数だとしましょう）と
定数記号aを付け加えて、数学的公理としては何も付け加えないとします
このときP(a)∨￢P(a)は証明できるけどP(a)も￢P(a)も証明できません

というか不完全性定理ってご存知ですか？
あれを知っていれば、ご自分がどっかで間違ってるって分かりますよ

86 ：１３２人目の素数さん：2006/05/11(木) 21:22:14

＞「Ａ、ＢがＨｐ(命題論理)⇒証明可能ＣがＨｐで証明可能」
これは
Ａ、ＢがＨｐ(命題論理)で証明可能⇒ＣがＨｐで証明可能
の間違いですか

87 ：72：2006/05/11(木) 22:01:51

＞＞86そうです。
すいません。
＞＞85反例ではなくできれば、僕の考え方のどこが間違っているかを指摘していただきたい。

88 ：１３２人目の素数さん：2006/05/11(木) 22:10:27

＞補題「Ａが証明可能⇔￢Ａが証明可能でない。」
これの←がそもそも間違ってるはずですが、
どこにその証明が書いてあるのか
判別できないのでなんとも言いようがないんですが、、

89 ：72：2006/05/11(木) 22:23:35

Ａが証明可能⇔￢Ａが証明可能を示します。
→
もしＡが証明可能であると仮定したとき￢Ａが証明可能だと仮定すると
Ａ∧￢Ａが証明可能となる。(先程の補題参照)
しかしそれはＨｑが無矛盾であることに矛盾。
よってＡが証明可能ならば￢Ａは証明可能ではない。
←Ｈｑで￢Ａが証明可能でないときＨｐでも￢Ａは証明可能でない。
よってＡはＨｐで証明可能(真理表)よってＡはＨｑで証明可能

90 ：１３２人目の素数さん：2006/05/11(木) 22:37:33

H_pで証明できる、というのH_pの範囲の公理だけを使って証明できる
H_qで証明できる、というの述語論理で追加された公理、及び推論規則
（まあ追加の推論規則はMPが既にあるから公理の形に書いてもいいわけですが）
を用いて証明できる、ということですよね

＞←Ｈｑで￢Ａが証明可能でないときＨｐでも￢Ａは証明可能でない。
＞よってＡはＨｐで証明可能(真理表)よってＡはＨｑで証明可能
これが間違いですねえ、、

というか、Aを勝手に取ってきた命題変数とすれば￢A自体は
A∨￢Aと違ってトートロジーでも何でもないから証明できないわけですが、
だからAが証明可能、とはならないよね
(真理表)ってのが何を言いたいのか知らんけど、
￢Aのtrugh valueが任意の付値の与え方に対してtrueとなる
の否定は、￢Aがfalseとなる付値の与え方が（少なくとも1個）存在する、であって
￢Aが任意の付値の与え方に対してfalseとなる（
⇔Aのtruth valueが任意の付値の与え方に対してtrueとなる）

じゃないですからね

恒真と真の違いが理解できていないってことでしょうか

91 ：72：2006/05/11(木) 23:03:24

＞＞90
もしかしてＡが命題変数のときＡがトートロジー⇔￢Ａはトートロジーでない
は成り立たないですか？

92 ：１３２人目の素数さん：2006/05/11(木) 23:22:04

ええと、、命題変数A自身は、Aを偽にするような付値を与えれば
明らかに偽になるのでそもそもトートロジーになりえないですが、、

論理式(（A→B）→A)→Aみたいな複合命題を表す論理式は
トートロジーになる可能性がありますが、、

で、φを論理式としたときに、
￢φはトートロジーでない⇒φはトートロジー
は成り立たないです（命題論理でも）

93 ：１３２人目の素数さん：2006/05/11(木) 23:46:38

命題論理でもっていうか、述語論理ではあまりトートロジーって言い方はしないのかな
恒真な論理式とか

94 ：72：2006/05/11(木) 23:48:25

できればφを論理式としたときに、
￢φはトートロジーでない⇒φはトートロジーの反例をお願いします。

95 ：１３２人目の素数さん：2006/05/11(木) 23:56:52

命題変数Aとか
A→B（BはAとは異なる命題変数）とか

要するに、付値の与え方によって偽にもなり得るから
トートロジーじゃないけど、真になるような付値もあるような、
恒真、恒偽以外のごく普通の式だったら何でも良い

96 ：72：2006/05/12(金) 00:50:53

何が間違っているかよくわかりました。
ありがとうございました。
疑問があります。「Ａ⇔Ｂが証明可能」⇒「Ａが証明可能⇔Ｂが証明可能」
は正しいですか？

97 ：１３２人目の素数さん：2006/05/12(金) 00:55:34

そっちは正しい

98 ：72：2006/05/12(金) 00:56:04

あとＡが証明可能かつＢが証明可能⇔Ａ∧Ｂが証明可能の方は成り立つんですよね？

99 ：１３２人目の素数さん：2006/05/12(金) 01:10:24

うん
そっちはおｋ

直観主義論理では
Ａが証明可能またはＢが証明可能⇔Ａ∨Ｂが証明可能
も成り立つんだけどね(松本和夫の本ならcf.p106)

100 ：72：2006/05/12(金) 01:33:12

たびたびすいません。「Ａ⇔Ｂが証明可能」←「Ａが証明可能⇔Ｂが証明可能」は成り立たないですよね？

101 ：72：2006/05/12(金) 02:44:25

すいません。
またわからないことがあるのですが、
田中尚夫さんの「公理的集合論」で補題2.3.3で
「{ｘ、ｙ}＝{ｘ、ｚ}→ｙ＝ｚ」
を示すのに
ｙ＝ｘのときと￢(ｙ＝ｘ)のときで場合分けしてるのですが
「Ａ∨￢Ａ証明可能⇒Ａが証明可能またはＢが証明可能」が成立しないことを考えると
変じゃないですか？

102 ：72：2006/05/12(金) 02:45:15

間違えました。上はＢじゃなくて￢Ａです。

103 ：72：2006/05/12(金) 05:32:15

すいません。＞＞100成り立ちますね。

104 ：１３２人目の素数さん：2006/05/12(金) 06:35:33

>>101
それは普通の∨除去規則じゃないの？

>>103
成り立たないよ
命題論理で A, B を異なる命題変数とすれば反例になる

105 ：72：2006/05/12(金) 07:36:19

∨除去規則というのがなんなのかが僕にはわからないのです。
田中さんの本にはそういったことは一切書いていません。
除去規則というのではＡ∨Ｂが証明可能⇔Ａが証明可能またはＢが証明可能成立するのですか？

＞＞104どういうことですか？
松本和夫さんのＰ57ページの推論規則で⊃1っていうのは「Ａが証明可能⇒Ｂが証明可能」⇒「Ａ⇒Ｂが証明可能である」ことを述べているわけではないんですか？

106 ：72：2006/05/12(金) 08:00:49

除去規則ってもしかしてＬＫでの∨→のことですか？

107 ：72：2006/05/12(金) 08:14:05

＞＞101に関しては謎が解けそうです。

108 ：72：2006/05/12(金) 08:31:24

どうやらだいぶ僕は勘違いしてたみたいです。
ＬＫで考えるのが基本みたいですね。

109 ：１３２人目の素数さん：2006/05/12(金) 08:39:10

公理的集合論の巻末にあるようなHilbertスタイルの論理体系でも
GentzenのNKやLKでも全部証明能力は同じですよ
必ずしもLKで考えるのが基本、ということもないです

Hilbert式の論理体系でも
(A→C)∧(B→C)→(A∨B)→Cとか
(A→C)∧(￢A→C)→Cは成り立ちます

要するに意味としては、Aと￢Aのどっちなのか分からなくても
どっちかが成り立つのは明らかなんだから、両方の場合でCが証明されたなら
Cが成り立つことは確認できたとして先に進める、っていう単純なことなんですけどね

110 ：72：2006/05/12(金) 08:49:52

すいません。気になるのでもう一度。松本和夫さんのＰ57ページの推論規則で⊃1っていうのは「Ａが証明可能⇒Ｂが証明可能」⇒「Ａ⇒Ｂが証明可能である」ことを述べているわけではないんですか？

111 ：72：2006/05/12(金) 08:51:39

＞＞109それでも今までヒルベルト式でやってた僕としてはかなり気分が楽になりました。

112 ：１３２人目の素数さん：2006/05/12(金) 09:01:52

全部証明能力が違ったりしたら、記号論理なんてやってられないよねｗ
歴史的にはHilbert styleのが最初にあって、弟子のGentzenが改良した、という話みたいです

p57のNK/NJでの⊃の導入規則の件だけど、
「Aが証明可能⇒Bが証明可能」とただ外延的に述べるのと
証明図で、Aから初めてBが証明できる、と述べるのはちょっと違うような
難しいな

113 ：72：2006/05/12(金) 09:10:32

親切にいろいろありがとうぼざいました。
とりあえずしばらく一人で考えようと思います。

114 ：72：2006/05/12(金) 09:11:36

わざとじゃないです。
普通に間違えました。
訂正ぼ→ご

115 ：１３２人目の素数さん：2006/05/12(金) 10:35:40

数学でなく算数レベルですが…

社員の４/５が和食希望で、社員の１/５が洋食希望
何も食べないが９人。社員は全部で何人？

これって、どうやって求めるんでしたっけ？

116 ：１３２人目の素数さん：2006/05/12(金) 12:15:28

数学基礎論は、素朴集合論における逆理の解消などを一つの動機として、
19世紀末から20世紀半ばにかけて生まれ、発展した数学の一分野で、
非古典論理、証明論、構成的数学、モデル論や意味論、集合論、計算論
などの分野群の総称です
（「数学基礎論」という言葉の使い方には、専門家でも若干の個人差があるようです）

応用、ないし交流のある分野は、計算機科学の諸分野や、
代数幾何（Hrushovskらiによる研究）などを含み、多岐にわたります
（cf. 数学セミナー98年6月号、「数学基礎論の学び方」）
ttp://www.math.tohoku.ac.jp/~tanaka/intro.html

従ってこのスレでは、基礎的な数学の質問はスレ違いとなります
他のスレで御質問なさるようにお願いします

117 ：１３２人目の素数さん：2006/05/12(金) 12:18:47

ということでこっちにレスしましたよ
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1147105277/363

一応>>116みたいな誘導文書いてみたが、どうでしょう

118 ：１３２人目の素数さん：2006/05/12(金) 12:19:44

>>115
泥臭い解法だが、
和食のみ:a人、和食と洋食の両方:b人、洋食のみ:c人とすると、全員でa+b+c+9人
和食希望　a+b=(4/5)(a+b+c+9)
洋食希望　b+c=(1/5)(a+b+c+9)
これを解いて、b=9人、a=4c+27人
よって社員全員の数はa+b+c+9=(4c+27)+9+c+9=5c+45人(c0以上の整数)だから
社員の人数は（45以上の5の倍数）人である。

119 ：１３２人目の素数さん：2006/05/12(金) 12:21:41

>>118
下から2行目　cは0以上の整数　です。ミスた。

120 ：１３２人目の素数さん：2006/05/12(金) 12:22:38

あ、両方食う人が居るんですかｗ
常識的にそんな人は居ないと判断してしまったｗ

121 ：72：2006/05/12(金) 16:43:22

たびたびすいません。
次は成り立ちますか？
演繹定理を考えたらなりたつっぽいのですが。
「ＡがＨｐで証明可能⇔ＢがＨｐで証明可能」
⇔「Ａ⇔ＢがＨｐで証明可能」
Ｃ、Ｄが閉論理式のとき
「ＣがＨｑで証明可能⇔ＤがＨｑで証明可能」
⇔「Ｃ⇔ＤがＨｑで証明可能」

122 ：１３２人目の素数さん：2006/05/12(金) 17:14:33

なりたちません

123 ：72：2006/05/12(金) 17:35:30

AがＨｐで証明可能→ＢがＨｐで証明可能ということは
ＢがＡから導かれるということではないんですか？
そしたら演繹定理よりＡ⇒Ｂは証明可能になりませんか。

124 ：72：2006/05/12(金) 18:00:39

>>122
できれば反例を言っていただけるとありがたいのですが。

125 ：１３２人目の素数さん：2006/05/12(金) 18:07:47

＞「ＡがＨｐで証明可能⇔ＢがＨｐで証明可能」
＞⇔「Ａ⇔ＢがＨｐで証明可能」
上の議論そのまんまで反例になってるはずだけど、、
少しは御自分で考えてみてはいかがですか？

述語論理の閉論理式の場合もほとんど同じです

＞AがＨｐで証明可能→ＢがＨｐで証明可能ということは
＞ＢがＡから導かれるということではないんですか？
Aが証明可能でない場合については？

証明可能でないいということは偽なんでしょ？とか言わないでね

126 ：72：2006/05/12(金) 18:19:25

すいません。
いっている意味がよくわかりません。
なにが反例になっているのでしょうか？
たとえば
Ａが証明可能→(Ｂ⇒Ａ)は証明可能ですよね？
このとき確かにＡ⇒(Ｂ⇒)は証明可能ではないですか？
あとＡが証明可能でなくてもＢがＡから導かれるということになにか問題はありますか？

127 ：72：2006/05/12(金) 18:21:01

書き忘れました。
下から2行目Ａ⇒(Ｂ⇒Ａ)

128 ：１３２人目の素数さん：2006/05/12(金) 18:33:20

メタな意味で（つまり日本語の「ならば」、のただの略記として）⇒使って
ただの論理記号の意味で→使ってたんじゃないの？
逆になってるような

あれ、書いてなかったかな
>>95と同じで、命題変数AにもBにも命題変数や、￢（命題変数）の形の命題論理式
（つまり所謂literal）を入れれば、当然証明出来ない
従って「ＡがＨｐで証明可能⇔ＢがＨｐで証明可能」
は、どっちも証明不可能だから成り立つ

「Ａ⇔ＢがＨｐで証明可能」は、たとえばAが命題変数、Bが￢Aのとき、明らかに成り立たないから証明も出来ない

述語論理のときは>>75とか>>79みたいにそれ自身も、その否定も証明できない
閉論理式なら何でも良い（例えば集合論ZFCなら、連続体仮説とかね）

129 ：72：2006/05/12(金) 19:33:05

>>128非常によくわかりました。
誠にありがとうございます。
つまりＢがＡから導かれるならばとうぜんＡが証明可能⇒Ｂが証明可能
は成り立ちますが、Ａが証明可能⇒Ｂが証明可能だからといってＢがＡから導かれるわけではない。
おかげさまでだいぶすっきりしました。
僕のような頭の悪い人間にもこういったことが理解できるいい数理論理学の本はないですか？
それとも自分でこういったことは考える必要ありですか？

130 ：１３２人目の素数さん：2006/05/13(土) 07:20:48

>>118-119
サンクス

131 ：１３２人目の素数さん：2006/05/13(土) 09:29:21

age

132 ：１３２人目の素数さん：2006/05/13(土) 14:56:31

>>129
「情報科学における論理」（小野寛晰）とか
かなり淡々と書いてある本ですけど、良い本だと思います

もっと進んだことを知識としてだけでも知っておくと助けになることもあると思います

まあ、いずれにしても自分で考えなきゃ理解は深まらないかと

133 ：129：2006/05/13(土) 19:32:12

＞＞132サンクス

134 ：１３２人目の素数さん：2006/05/19(金) 23:00:59

すみませんガウス積分で質問です。

∫(－∞から∞までの)exp[-ax^2]dxと
∫(－∞から∞までの)x^(2n)exp[-ax^2]dxと
∫(0から∞までの)exp[-ax^2]dxと
∫(0から∞までの)exp[-ax^2]dxの積分は解くことができるのですが

∫(0から∞までの)x^(2n+1)exp[-ax^2]dxの積分がどうしても解けません。
どのようにといたらよろしいでしょうか。
ちなみに∫(－∞から∞までの)x^(2n+1)exp[-ax^2]dxは被積分関数が奇関数
だから0だということはわかります
どなたかお願いします

135 ：１３２人目の素数さん：2006/05/20(土) 00:06:07

>>116

136 ：１３２人目の素数さん：2006/05/20(土) 01:07:30

コープランド－エルデシュ定数って何か意味あるんですか？

137 ：１３２人目の素数さん：2006/05/20(土) 13:19:59

normal

138 ：１３２人目の素数さん：2006/05/20(土) 19:46:14

述語計算ＮＫとＨｑは同値な体系ですか？
松本和夫さんの本では
命題計算Ｈｐと命題計算ＮＫは同値な体系としか書いてないのですが。

139 ：１３２人目の素数さん：2006/05/22(月) 04:23:29

Hqが何か知らないが、演習問題としてやってみたら？
広瀬健・横田一正『ゲーデルの世界』の７１～７５ページでも参考に。

140 ：１３２人目の素数さん：2006/05/22(月) 17:08:33

同値性の証明なんて、片方で片方をエミュレートすれば良い訳で
結構簡単かと

実際にやったことないけどね

141 ：１３２人目の素数さん：2006/05/22(月) 18:49:01

>>138
Hq の演繹定理の証明をやったのなら、簡単にできますよ。

142 ：138：2006/05/22(月) 19:24:40

＞＞141確かに簡単にできました

143 ：138：2006/05/22(月) 23:59:09

演繹定理一切つかってないですが

144 ：１３２人目の素数さん：2006/05/23(火) 11:19:52

上司から

100
-500
-600
350

って感じの謎の数値から構成比率を出しておいてと言われた
バカな俺には解けそうも無い。

マジ助けて

145 ：１３２人目の素数さん：2006/05/23(火) 14:01:43

演繹定理っていうのは、使わなくてもいいけど
使うと便利なメタ定理ってだけだから、あれを使って証明できることは
当然、使わないでも証明はできる

でもHilbert styleの場合、使わないと証明が結構大変になることが多いけどね

146 ：１３２人目の素数さん：2006/05/23(火) 14:38:37

>>144
意味がわからん上にスレ違いっぽい

147 ：１３２人目の素数さん：2006/05/23(火) 18:14:38

＞＞145どこで演繹定理を使うのかが謎です。

148 ：１３２人目の素数さん：2006/05/23(火) 18:34:18

演繹定理を使わずに、いったいどういう証明をしたのかが謎です。
完全性定理を使う手はもちろんあるけどね。

149 ：１３２人目の素数さん：2006/05/23(火) 20:11:15

＞＞148演繹定理をＮＫでどうやって解釈するのかがわかりません。
メタな定理なのでこんがらがります。
僕が示したのはＡがＨｑで証明可能⇔ＡがＮＫで証明可能だけです。

150 ：１３２人目の素数さん：2006/05/23(火) 23:22:36

←の証明には演繹定理使ったほうが楽なような

151 ：１３２人目の素数さん：2006/05/24(水) 00:17:58

>>149
正しい statement を立てているかどうか不安になる回答だな。

152 ：１３２人目の素数さん：2006/05/24(水) 00:39:10

NKでも演繹定理を定式化は出来るだろうけど
NKではあまりやっても意味無いよね

153 ：１３２人目の素数さん：2006/05/24(水) 02:43:15

結局、どの段階でメタな定理に持って行くかが問題。
イHilbert styleからNKの推論則を導く（ここで演繹定理）逆は簡単
ロ完全性定理を双方で証明して同等性

154 ：１３２人目の素数さん：2006/05/24(水) 07:03:58

前やったことあるけど
A→(B→A)
(A→(B→C))→((A→B) → (A→C))
(￢A→￢B)→(B→A)
と M.P. だけで二重否定除去
￢￢A→A
を導くのもかなり大変だったのだが

155 ：１３２人目の素数さん：2006/05/24(水) 07:37:25

>>153
イとロの折衷で、
NK の健全性と Hilbert style の完全性を使うという手もある。

156 ：149：2006/05/24(水) 08:54:30

＞＞153Hilbert styleからNKの推論則を導く（ここで演繹定理）
疑問なのは演繹定理ではＡからＢを導くという仮定でＡは閉論理式という仮定があるのが厄介なのです。
正しくはＡがＨｑで証明可能⇒ＡがＮＫで証明可能⇒ＡがＬＫで証明可能⇒ＡがＨｑで証明可能を示しました。

157 ：１３２人目の素数さん：2006/05/24(水) 09:33:21

Aが閉論理式だという仮定は強すぎて、あまり本質的なものじゃないはず、
実際「数学基礎論講義」なんかには、そんな仮定を含まない形で証明してあったと思う

というか演繹定理使わずに「確かに簡単にできました」ってホントかなあ、、
多分勘違いしてると思うけどなあ、

158 ：149：2006/05/24(水) 09:39:53

もちろん本にある程度かいてあったやつ利用しました。
たとえばＬＫで→∧がＡ、Ｂ→Ａ∧Ｂと同値とか。
おそらく皆さんはＡが証明可能とＡの閉包が証明可能は同値を利用しているのではないかと。

159 ：149：2006/05/24(水) 09:42:43

あと命題論理の完全性定理使いました。

160 ：149：2006/05/24(水) 09:49:25

いちょう確認してもらっていいですか？
ＬＫで→wの推論規則がＨｑで許されるというのは
Ａ1∧Ａ2…Ａｎ→Ｂ1∨Ｂ2…ＢｎがＨｑで証明可能⇒Ａ1∧Ａ2…Ａｎ→Ｂ1∨Ｂ2…Ｂｎ∨Ｃを示すということですよね？

161 ：149：2006/05/24(水) 09:50:30

訂正・右の証明可能抜けました。

162 ：１３２人目の素数さん：2006/05/24(水) 10:06:07

ええと、NKの話してるのかLKの話してるのか分からんのだが、、
結果としてはどっちもequivalentになるだろうけどね

まず最初に「一応」確認しておくことは、
HqとNKなりLKなりが同値であるとはどういうことかを明確な言明として
ノートとかに、面倒くさくても書いてみることじゃないかな
>>160で多分問題ないと思うけどね

163 ：greensleeves☆KINGの弟子：2006/05/24(水) 10:15:50

164 ：149：2006/05/24(水) 10:20:24

すいません。やっぱ気になるのでどなたか親切な方演繹定理をどの場面で使うのか
お願いします。
＞＞162その通りですね。やってみます

165 ：１３２人目の素数さん：2006/05/24(水) 11:01:18

NKの→導入
Aを仮定してBが導けるなら、仮定無しにA→Bが導ける。

166 ：149：2006/05/24(水) 18:40:48

＞＞165Ａは閉論理式じゃないから演繹定理つかえなくないですか？

167 ：１３２人目の素数さん：2006/05/24(水) 19:22:01

確か Hilbert-style の一階述語論理の定式化には本質的に違うものが二通りあって、
片方では A が閉でなければならないがもう一方では無条件に演繹定理がいえる。
この辺で話がかみ合ってない部分があるような気がちょっとする。

168 ：149：2006/05/24(水) 20:26:39

ＮＫとＨｑが同値でＮＫで演繹定理成り立つならＨｑでも演繹定理成り立つことになりますが
それは普通に考えてありえないので結局→導入は「Aを仮定してBが導けるなら、仮定無しにA→Bが導ける」
という内容をＨｑの体系ではいっていないと思います。
Ｈｑのおけるメタな定理をＮＫで考えるのはやっぱりよくわかりません。
示すのはやっぱり「ＡがＨｑで証明可能⇔ＡがＮＫで証明可能」だけと考えるほうがわかりやすいような気がします。
たとえば→導入をＬＫで考えてしかもＡがＨｑで証明可能⇔ＡがＬＫで証明可能を示すのに必要な知識は
Ａ∧Ａ1∧…Ａｎ→Ｂ1∨Ｂ2…Ｂｎ∨ＢがＨｑで証明可能
⇒Ａ1∧…Ａｎ→Ｂ1∨…Ｂｎ∨Ａ→Ｂが証明可能を示すこと
みたいな感じで。
本当はＬＫの→導入はＡ、Ａ→Ｂ⇒Ｂ(⇒は式の意味での矢印)と同値なのでもっと楽ですが。

169 ：168：2006/05/24(水) 20:29:37

下から5行めの⇔は←でした

170 ：１３２人目の素数さん：2006/05/24(水) 21:01:28

ちょっと推敲してから書き込んだほうが良いよ

>>167
なるほどなるほど

171 ：168：2006/05/24(水) 21:02:50

どこらへんが間違ってますか？

172 ：168：2006/05/24(水) 21:06:05

きつい感じでも全然ＯＫなのでお願いします。
スルーが一番きついです。

173 ：168：2006/05/24(水) 21:10:36

ＮＫとＨｑが同値でＮＫで演繹定理成り立つならＨｑでも演繹定理成り立つことになりますが
これは違いますね。

174 ：１３２人目の素数さん：2006/05/24(水) 21:13:54

どこが間違ってる以前に、何を主張してるのかが伝わってないのでは

175 ：148：2006/05/24(水) 21:17:11

確認したんいんですが
Ｈｑにおいて演繹定理はＡが閉論理式じゃないとなりたたないというのは嘘ですか？
かなり衝撃的なんですが。

176 ：１３２人目の素数さん：2006/05/24(水) 21:22:56

>>175
それは定式化の仕方による。
具体的には generalization の規則をどうするかで変わるはず。
一般には成り立たない場合でも少しぐらいは弱めることができると思うけど。

177 ：１３２人目の素数さん：2006/05/24(水) 21:27:30

スルーがきついって言うのなら、本当は松本和夫を持ってる人にしか
通じないような用語を使っちゃまずいとおもうんだけどね

>>172
もしかしたら閉論理式じゃないと演繹定理が成立しない定式化になってるのかも
あなたの言うとおりで、証明できると思いますよ

演繹定理ってのはHilbert styleの定式化のときに、補題とかで具体的な定理を
証明するときに、あると非常に楽になるもの、というだけでしょ
NKで演繹定理がなりたつ、と言わないで、具体的に命題のかたちにしないと話が出来ないよ

178 ：１３２人目の素数さん：2006/05/24(水) 21:29:25

つまり∀や∃を、公理図式の形で導入するか、
MP以外に推論規則を加えて導入するかで、
演繹定理の成立する範囲が違う、ということかな

細かいなー

179 ：１３２人目の素数さん：2006/05/24(水) 21:33:50

そのＨｑにおいての演繹定理の証明を見直すとイイと思う。
限定記号導入のときに変数書き換えする系でも、
命題論理の範囲では、無条件に成り立ってたよね、ということは、変数の書き換えはされてない。
そして、閉論理式ということは当然それ以後の変数書き換えはない。
変数書き換えがなければ成り立つか証明を見直してみる。

180 ：148：2006/05/24(水) 21:36:33

＞＞179(通常のＨｑの体系では)演繹定理の証明において絶対的に閉論理式が必要なので衝撃的なのです。

181 ：１３２人目の素数さん：2006/05/24(水) 21:39:01

ちなみにHpとかHqってのはこんな感じですね

Hpが
　公理（図式）
A1 A⊃(B⊃A)
A2 [A⊃(B⊃C)]⊃[(A⊃B)⊃(A⊃C)]
A3 (￢B⊃￢A)⊃[(⊃B⊃A)⊃B]
　推論規則
MP A, A⊃B |- B

∧と∨は略記だと思うことにする

これに
公理A4
　A4 ∀x F(x)⊃F(t)
と
A⊃F(a) |- A⊃∀xF(x)、ただし、aはA,F(x)には含まれない自由変数

∃は略記だと思うことにする
（ただ∃についても公理や推論規則を与えるほうのやり方もかいてある）

182 ：148：2006/05/24(水) 21:41:49

Ｈｑというのは栗原　俊彦さんの「論理数学」という本ではＬ(Ｄ、Ｆ、Ｐ)となっていて
ｐ45で確かに閉論理式という条件ありますし証明でもあきらかにその条件必要です。

183 ：148：2006/05/24(水) 21:45:53

＞＞181
ありがとうございます！

184 ：148：2006/05/24(水) 22:03:36

すいません。もう眠いので寝させてもらいます。

185 ：１３２人目の素数さん：2006/05/24(水) 22:11:56

Hpはわかったが、Hqって結局何？

186 ：１３２人目の素数さん：2006/05/24(水) 22:15:50

閉形式ってなんですか？

187 ：１３２人目の素数さん：2006/05/24(水) 22:17:59

>>185
181 で Hp が MP まで、 Hq が A4 以下も入れたものじゃないの？

188 ：１３２人目の素数さん：2006/05/24(水) 22:20:38

>>185
ヒルベルト流の命題論理と述語論理じゃないの？

189 ：148：2006/05/25(木) 11:20:40

＞＞188その通りです
GentzenさんがＡがＮＫで証明可能⇒ＡがＨｑで証明可能を示さなかったのは
ＡがＬＫで証明可能⇒ＡがＨｑで証明可能のほうが捉えやすいからだと思うのですが。

190 ：１３２人目の素数さん：2006/05/25(木) 11:41:45

>>178
そうではなくて、仮定を持つ証明の推論規則 (generalization) を
どのように定義するかということ。

仮定に含まれる自由変数は eigenvariable として用いてはいけない
という制限を加えても、仮定の個数が 0 個の場合は元の体系と同じ
になる。

191 ：１３２人目の素数さん：2006/05/25(木) 12:06:13

命題論理の場合に substitution を推論規則として持つ場合は、
仮定を持つ証明に拡張する際、仮定に含まれる命題変数には
substitution を適用してはならないという制限と同じこと。

192 ：148：2006/05/25(木) 12:08:00

Ｈｑに新しい推論規則導入したら証明可能な論理式増えませんか？
証明可能な論理式が増えないように推論規則加えてなおかつ演繹定理において閉論理式という条件が不必要になるような体系を作れるんですか？

193 ：１３２人目の素数さん：2006/05/25(木) 12:19:46

付け加えるのではなく、制限する話をしているのだけど。

仮定 Γ の下で A が証明できるということを Γ|-A と書くとき、
generalization
Γ|-A⊃F(a) から Γ|-A⊃∀xF(x) を導く
において、a は Γ に現れないという制限を追加するということ。

194 ：148：2006/05/25(木) 12:47:31

>>193そしたら今度は証明可能な論理式減りませんか？
その制限をすることによって証明不可能になる論理式出てこないですか？

195 ：１３２人目の素数さん：2006/05/25(木) 12:50:25

Γが空だったら元々の Hq の推論規則でしょ。

196 ：148：2006/05/25(木) 13:06:09

すいません。
授業なので後で考えます。

197 ：１３２人目の素数さん：2006/05/25(木) 20:16:36

制限することによるメリットってなんですか？

198 ：148：2006/05/25(木) 22:18:39

すいません。今戻りました。
馬鹿なのでわかりません。
a は Γ に現れないことによってaはＡに表れなくてもいいことになるんでしょうか？
普通の演繹定理の証明とは少し違う証明になりますか？

199 ：１３２人目の素数さん：2006/05/25(木) 23:43:49

「制限を追加する」ので、当然 a は A に現れません。

200 ：１３２人目の素数さん：2006/05/26(金) 00:19:34

>>197
話が逆。
制限しないと「矛盾」が導かれる。
「矛盾」が導かれないためには、制限は必須。

201 ：１３２人目の素数さん：2006/05/26(金) 00:28:03

>>198
今までのレス見てるとだいぶ混乱してるような気がする。
一度話を頭の中で整理してみては？

202 ：148：2006/05/26(金) 00:36:37

すいません。
混乱してきたのでとりあえず熟睡したいと思います。
明日また考えさせていただきます。(特に＞＞200がかなり難しい！！)
ＮＫの⊃導入は演繹定理表してるっぽいのはよくわかるんですが‥。
Ａにaが表れないのはやっぱり閉論理式のときだけのような気がいまだに抜けません。
そうじゃないと楽なのですが。

203 ：１３２人目の素数さん：2006/05/26(金) 00:55:06

>>200
矛盾するはずないのだけど。

204 ：148：2006/05/26(金) 08:53:37

ぬっ！！
矛盾しないんですか？
どっちですか？

205 ：148：2006/05/26(金) 10:09:28

正直矛盾という言葉が何を意味するのかがさっぱりです。

206 ：１３２人目の素数さん：2006/05/26(金) 11:22:26

age

207 ：１３２人目の素数さん：2006/05/26(金) 16:47:38

とりあえず、入門者向け、中級者向けのいいテキストおしえてちょんまげ。
モデル理論やりてー。

208 ：１３２人目の素数さん：2006/05/26(金) 16:49:04

モデルとやりてー
てか

209 ：148：2006/05/26(金) 17:31:05

ぬゥえええええ！！！！！

わからん－－－！！！！！！！！！！！！！！！！！！

210 ：148：2006/05/26(金) 19:48:31

＞＞201ヒントお願いします。
とりあえず矛盾をなぜするのかはいいので、
Γに制限つけるとその制限がＡにまで影響を及ぼすなんらかの意図をお願いします。

211 ：１３２人目の素数さん：2006/05/26(金) 19:52:38

>148 の相手をしているのは何人いるの？
それぞれが微妙に違う事(正誤という意味でなく)を書いているような。

212 ：148：2006/05/26(金) 19:54:50

＞＞211
教えてください

213 ：148：2006/05/26(金) 21:20:12

すいません。
全く関係ないですが
ヒルベルトの体系でＡが証明可能かつＢが証明可能⇔Ａ∧Ｂが証明可能なんですよね？
ってことはヒルベルトの体系の公理Ａ1、Ａ2、Ａ3とおいたとき公理としてＡ1∧Ａ2∧Ａ3としておけば公理一個だけの体系になりませんか？
先生が今日の授業でヒルベルトの体系は公理が多いといってましたが本質的には1個だけですか？

214 ：１３２人目の素数さん：2006/05/26(金) 21:55:04

なあんだ、公理図式と公理の違いもわかってないんだ。

215 ：148：2006/05/26(金) 22:15:31

どういうことですか？

216 ：148：2006/05/26(金) 22:21:57

正確に言えば公理図式が1個に出来るということでしょうか？
ヒントプリーズ。よろしくお願いしますく。
レスがしばらくこなかったので完全に無視されて軽蔑されてるのかとかなり自虐的になりましたよ！！！

217 ：148：2006/05/26(金) 22:28:28

先生は公理は多いですがそんなに多くないといってたんですよ。
この文章は公理が無限にあると考えると変ですが公理図式と考えれば変じゃないということですか？
それともほかに裏がありますか？
＞＞214見ているのはわかっているのですぞ？？

218 ：１３２人目の素数さん：2006/05/26(金) 22:40:02

>>211
かもしれんな。
それともともとの質問からどんどん話がそれてきてるような。
まあそらしてる原因は質問者本人にも大いにあると思うんだが。

つーわけでまず最初の質問に戻ったら？
このままじゃ結局何も得るものがないまま誰からもレスが付かなくなりそうだ。

あと >>138 = >>149 ≠ >>148 だよね？

219 ：149：2006/05/26(金) 22:49:30

すいません。ずっと間違えてました。175以降148とかいてあるのは多分全部149です。

220 ：１３２人目の素数さん：2006/05/26(金) 22:51:20

>>213
それだけじゃA_1もA_2もA_3も出てこないから
最低限A_1∧A_2→A_1とA_1∧A_2→A_2は必要だと思うけど

今の話の肝は>>190じゃないの？
これ以上は質問してる人に、いろいろなHilbert styleの本を読んで
比べてみてくださいとしか言えないような気がするけど

221 ：１３２人目の素数さん：2006/05/26(金) 23:40:25

>>207
今だったら、

B. Poizat, _A Course in Model Theory_, Springer, 2002.
D. Marker, _Model Theory: An Introduction_, Springer, 2002.

あたりがよいのでは。

222 ：１３２人目の素数さん：2006/05/27(土) 00:22:24

>>221
ありがと。アマゾンあたりで漁ってみます。しかし洋書は高いなー。

223 ：１３２人目の素数さん：2006/05/27(土) 01:48:31

他スレで質問したけどスルーされたので・・

補間って離散量をもとにグラフを書くときに使うと思っていたんですが、チェビシェフ補間だと
関数が与えられて、補間しますよね。これは計算機が計算しにくい関数を計算しやすい多項式に
置き換えるため行う、と考えて良いのでしょうか？

ニュートン補間って、後から数値を追加できますが、これってエイトケン補間やネビル補間のような
逐次補間のカテゴリーに入らないんでしょうか？

224 ：１３２人目の素数さん：2006/05/27(土) 04:01:57

>>221
坪井明人「モデルの理論」河合文化教育研究所（河合出版）1997
なら２０００円しないよ。
それほど関係ないけど
Topoi: The Categorial Analysis of Logic
by Robert Goldblatt
がDoverに入ってた。

>>223
すれ違いは自明です。

225 ：１３２人目の素数さん：2006/05/27(土) 04:27:07

>>223
>>116

# 多分単に答えられる人が居なかったんだと思う

226 ：１３２人目の素数さん：2006/05/27(土) 04:59:14

>>221-222
Poizatから始めるのはおすすめしない。
英訳は数年前でも原著（フランス語）はけっこう古いし
かなり癖があるから。
モデル理論専用の本がいいのか論理一般の
入門がしたいのかにもよるけど、英語でモデル理論の
「入門者向け、中級者向けのいいテキスト」なら
Hodges, Shorter Model Theory
がいいんじゃないかな。

227 ：１３２人目の素数さん：2006/05/27(土) 08:05:15

>>224 どこのスレで聞いたら医院でしょうか？数学は苦手なもので。

228 ：149：2006/05/27(土) 09:50:09

＞＞199さんが完璧に理解している気配が感じられますが、やっぱり授業で演繹定理やったらそのとき教授にききに行きます。
公理に関しては自分でなんとかなりそうですので。
長い間お世話になりました。どうも

229 ：greensleeves☆KINGの弟子 ◆bhb.NJHtRg ：2006/05/27(土) 19:39:15

jfa

230 ：１３２人目の素数さん：2006/05/28(日) 00:53:30

>>228
なあんだ。かわいそうだからそろそろまじめに考えてあげようと思ったのに。
（昔の自分の疑問ともかぶってるようだし。）

231 ：149：2006/05/28(日) 02:04:44

ＬＫにおける式Ａ1、…Ａｎ→Ｂ1、Ｂ2…Ｂｎを→Ａ1∧…Ａｎ⊃Ｂ1∨Ｂ2…Ｂｎで置き換えることを※であらわすことにするとき
ＬＫにおける公理および推論規則における式すべてを※変換したものを公理、推論規則とする体系ＬＫ※とすると{式の定義は、なので→Ａ∧Ａ1∧…Ａｎ⊃Ｂ1∨Ｂ2…Ｂｎ∨Ｂという風になおす。証明図についてはＬＫと同じ}
「ＬＫでＡ1、…Ａｎ→Ｂ1、Ｂ2…Ｂｎが証明可能⇔ＬＫ※で→Ａ1∧…Ａｎ⊃Ｂ1∨Ｂ2…Ｂｎが証明可能」は成立しますか？

232 ：１３２人目の素数さん：2006/05/28(日) 03:03:59

質問がそもそも意味不明です
(A∧B)∧CとA∧(B∧C)の片方からもう一方が出るのは
公理や推論規則があるからであって、自明だから、とかそういうことではありません

推敲くらいしてから書き込めば良いのに

というか先生に聞くんじゃないの？そのくらい自分で考えたら良いのに

233 ：149：2006/05/28(日) 03:09:04

すいません。
注意点としてはＬＫのＡ→を※変換したやつは→Ａ⊃{Ｂ∧￢Ｂ}です。{Ｂは論理式なら何でもよい}

234 ：149：2006/05/28(日) 03:11:42

＞＞232ＬＫ※の公理や推論規則はＬＫの上式、下式を※変換したやつです。
すいません。表現がたぶんわかりにくかったみたいですね。

235 ：149：2006/05/28(日) 03:16:18

たとえばＬＫ※の公理は→Ａ⊃Ａです。

236 ：１３２人目の素数さん：2006/05/28(日) 03:31:48

いやだからA∧B∧C∧Dと書いても、これは厳密には論理式じゃないの
(((A∧B)∧C)∧D)とか(A∧(B∧(C∧D)))とか書かないといけないの
だからそれらが全て同値になることをまず証明しないといけないの

わかる？

何度も連投しないでくれよ、うっとおしい

237 ：１３２人目の素数さん：2006/05/28(日) 09:30:42

全然話がかみ合ってないな

>>236
日本語不自由なんだから偉そうな口きくなよ＞うっとおしい

238 ：１３２人目の素数さん：2006/05/28(日) 09:54:19

単に表記を変えただけ？だったら同値にならないわけがないんだけど。

239 ：１３２人目の素数さん：2006/05/28(日) 10:04:28

まったくその通りなんだけど、本人さんが疑問に思ってるようなので、
自前で証明してみたらいいと思う。

240 ：149：2006/05/28(日) 11:03:25

いや同値だということが確認できたのでもう大丈夫です。
これで確実にＨｑにおいて閉論理式という条件が必要ない演繹定理が成り立たなくてもＮＫとＬＫとＨｑの同値性は簡単に示せますね？

241 ：１３２人目の素数さん：2006/05/28(日) 11:05:12

大丈夫じゃないっぽいなあ
>>238 の意味は分かってる？

242 ：１３２人目の素数さん：2006/05/28(日) 11:16:53

示せますね？じゃなくて証明書いて、まず自分で確認したらどうかと。

243 ：230：2006/05/28(日) 11:29:37

>>149へ
まず>>241の言っていることをもっとよく考えたほうがいいと思う。
後、どうしても理解していないところがあるに違いないのだが、それが
はっきりしないのでなんともいえない。それをはっきりさせるためにも
>>149へちょっと質問
あんたの言うHilbert形式（Hqだっけか）では
x=xからf(t)=f(t)を導き出すことはできるのかい？

244 ：149：2006/05/28(日) 11:31:03

＞＞242自分で何回も確認したのでこれに関しては大丈夫です。
ようはＬＫの任意の式Ａに対して「Ａ※がＬＫ※で証明可能⇒ＡがＨｑで証明可能」を示せばいいことになり
つまりＬＫ※の推論規則がＨｑで許されることを示せばよいというです。
ＬＫ※の公理に関しては明らかなので

245 ：149：2006/05/28(日) 11:33:36

＞＞243Ｈｑにおいては等号を述語記号の中で特別視するような体系ではありません。
なので等号公理とかも認めていません。

246 ：149：2006/05/28(日) 11:34:39

間違えました。等号公理は集合論で使うやつですね。
とにかく＝に伴う公理は認めてないということです。

247 ：１３２人目の素数さん：2006/05/28(日) 11:47:10

>>242に関しては大丈夫なのね。

でも、上で誰かが書いたように、
「閉論理式であるという条件が必要ない演繹定理」がなくて良いのは、本当かなあ。
普通、演繹定理は閉じた論理式に対して述べたものだと思ってたので、落とし穴が
ありそうな気がするけれど。

248 ：１３２人目の素数さん：2006/05/28(日) 11:52:06

>>246
じゃあ、R(x, x) ならば R(f(x), f(x)) なの？

249 ：149：2006/05/28(日) 12:06:02

＞＞248すいません。よく言っているいみがわかりません。

僕も演繹定理を自由に使いたいのはやまやまなんですが。
まだ閉論理式の謎が解けないいじょうは認めるわけにはいかないのです。
本当は熟知していると思われる＞＞199さんに教えて欲しいところですが。

250 ：149：2006/05/28(日) 12:27:10

しかし疑問なのはＨｑと同値な体系で閉論理式という条件の必要ない演繹定理が成り立つものがあるならなぜhttp://ysserve.int-univ.com/Lecture/SymbolLogic/node44.htmlみたいなのがあとをたたないんでしょうか？
注意書きにでもＨｑに制限を少し加えただけのＨｑと同値な体系で成り立つみたいなのを欲しいところです。

251 ：１３２人目の素数さん：2006/05/28(日) 12:27:31

>>249
248 じゃないけど

R : 二変数述語記号
f : 一変数関数記号
x : 変項
を任意にとったとき、Hq で R(x,x) から R(f(x),f(x)) を導けるのか
ということでしょう

252 ：149：2006/05/28(日) 12:39:03

ｘ自由変数ですよね？
成り立たないと思います。

253 ：１３２人目の素数さん：2006/05/28(日) 12:45:38

>>251
フォローサンクスです。

254 ：149：2006/05/28(日) 13:04:24

すいません。爆笑しました2。50のｻサイトに演繹定理で閉論理式という条件必要なく証明しているじゃないですか？
系で！！！！。

255 ：149：2006/05/28(日) 13:05:27

254訂正2。50は＞＞250.

256 ：149：2006/05/28(日) 14:08:13

あっでもやっぱだめですね。
系においてはよく見ると全称化の推論規則使ってはいけないという条件がある。

257 ：149：2006/05/28(日) 14:11:07

「a1a2‥alについての全称化を行わずに」ってところが邪魔なんですね。

258 ：230：2006/05/28(日) 14:51:57

＞本当は熟知していると思われる＞＞199さんに教えて欲しいところですが。

あ、そ、勝手に悩んどれ、ボケ！

259 ：１３２人目の素数さん：2006/05/28(日) 16:21:22

これは酷い
さすがに教える気なくすなあ

260 ：１３２人目の素数さん：2006/05/28(日) 21:45:47

>>221
Markerの本は、出版される以前は著者のサイトからdraftがﾀﾞｳｿできたんだよね。
落とした記憶があるんだが、ファイルがみあたらない・・・('A`)

261 ：149：2006/05/28(日) 23:02:16

＞＞247ＬＫでＡが証明可能⇔ＬＫ※でＡが証明可能が成り立つならたぶんいらないと思います。
たとえばＬＫではＡ→ＡからＡ→Ａ∨Ｂ{∨導入}によりＡ→Ａ∨Ｂが証明可能。
よってＬＫ※においてこれは→Ａ⊃Ａ(ＬＫ※の公理)から→Ａ⊃(Ａ∨Ｂ)(∨※バージョン導入)が証明可能。
よってＨｑにおいて示すべきは→Ａ⊃(Ａ∨Ｂ)になります。
これはＬＫ※の公理およびＬＫ※の∨バージョン導入がＨｑで許される推論規則であったことから結果
Ａ⊃(Ａ∨Ｂ)がＨｑで証明可能になります。
用は式Ａ、Ｂ→Ｃ、Ｄを→Ａ∧Ｂ⊃Ｃ∨ＤでとらえることによってＨｑで⊃導入も考えられるようになるということです。
本当は⊃導入がなければ→を|-で捉えると一瞬で解決できるんですが。

262 ：１３２人目の素数さん：2006/05/28(日) 23:11:32

そもそもなんでそんなこと考えてるの？
ただちょっと何となく思いついただけ？

要はって言うか、公理と推論規則をそのまま移しちゃってる時点で
あとは∧とかsequentの⇒とかの表記法まわりの問題になっちゃうような

263 ：149：2006/05/28(日) 23:27:59

すいません。上のヤツだと
ＬＫにおいて式Ａ、Ｂ→Ｃ、Ｄと→Ａ∧Ｂ⊃Ｃ∨Ｄが同値(＃)使ってます。
本当はでもＬＫで→Ａが証明可能→ＡがＨｑで証明可能示せばいいので＃は必要ないです。

＞＞262表記方まわりの問題になっちゃいそうなのはよくわかるんですがその原因が掴めないのでわけわかりません。
っていうか普通に考えてこんな技法許されるはずないですよね？
なのにできた気になるのが不思議。

264 ：149：2006/05/28(日) 23:37:24

ＬＫで→Ａが証明可能⇒ＨｑでＡが証明可能を
ＬＫ※で→Ａ※が証明可能⇒ＨｑでＡが証明可能にすりかえられるもんなのかっていうのが謎です。

265 ：149：2006/05/28(日) 23:47:35

連投すいません。
ＬＫで→Ａが証明可能⇔ＬＫ※で→Ａが証明可能示すのには＃使います。

266 ：１３２人目の素数さん：2006/05/29(月) 00:28:55

いつまでやるつもりなの？

267 ：１３２人目の素数さん：2006/05/29(月) 02:18:06

投稿するなとは言わないけどチャットじゃないんだからせめて
何度も投稿せずに、自分の考えを充分纏めてから投稿してくれないかなあ、

>>263
要するに不思議だと思っただけなんですね
わかりました

268 ：１３２人目の素数さん：2006/05/29(月) 04:06:37

>>263
LKという形式を、Boole代数の公理系として使っているのか、論理形式として使っているのか、
はっきりさせて証明しろよ。
それから、そんなに∃∀が気になるなら、その体系で冠頭標準形の存在を証明してみろ。

269 ：149：2006/05/29(月) 17:05:08

＞＞267わかりました。
最後に一つだけいいですか？
返答はイエスorノーでよろしいですので。説明は一切いりません。
結局のところヒルベルト流の形式的体系における演繹定理は閉論理式という条件が必要ですか？

270 ：１３２人目の素数さん：2006/05/29(月) 17:10:55

>>269
Γ|-A の定義に依存する。

271 ：149：2006/05/29(月) 18:04:13

＞＞270
ありがとうございました。ヒルベルトの体系ではΓ|-A は定義されていないんですね。
馬鹿が多くて安心しました。

272 ：１３２人目の素数さん：2006/05/29(月) 18:05:30

もう皆この馬鹿はスルーで

273 ：１３２人目の素数さん：2006/05/29(月) 23:59:50

274 ：149：2006/05/31(水) 01:24:26

わかりましたーーーーーーーーーーーーーー
感動！！。
なるほど。全称化させなくするわけですね？？？
しかし不思議だなあ。制限つよいはずなのに確かに同値！！！！。
っていうかよく思いつきますね？こんなこと。
頭いい！！！！！！！。
いや俺が馬鹿なだけだ‥‥…あはっはしゃ・ｈでゃ・ｈ・あはｈ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　完
最高の気分！！昇天しそうだ。やばいいいい。

275 ：１３２人目の素数さん：2006/05/31(水) 02:53:06

>>274
おめでと

276 ：１３２人目の素数さん：2006/05/31(水) 14:01:08

>>274
肝心のところを理解してないようだけど。

277 ：１３２人目の素数さん：2006/05/31(水) 20:13:26

肝心なところってどこですか？

278 ：１３２人目の素数さん：2006/06/01(木) 07:28:01

これまでの、書き込みにあるよ。
全称化させなくするだけじゃなくて代入もできないでしょ。

279 ：１３２人目の素数さん：2006/06/01(木) 08:38:40

Hq には代入の規則がなくて、公理は公理型で与えられている。

> 制限つよいはずなのに確かに同値
あたりから、わかっていない雰囲気がただよっているような。

280 ：１３２人目の素数さん：2006/06/01(木) 19:33:34

＞＞278サンクス
まあこれから3年になってやっと教授のもとに配属されるのでゆっくりと教授からここらへんのこと説教でも受けますわ。

281 ：１３２人目の素数さん：2006/06/02(金) 03:57:12

こういう細かいことって面倒くさいんだよねえ、
その上あまり本質的でないように思えるから適当な理解になりがち

282 ：１３２人目の素数さん：2006/06/02(金) 09:44:36

最近２ちゃんもやさしくなったねぇ。あんまり態度のおかしな香具師にはレスしないほうが
いいと思うのだが。

283 ：１３２人目の素数さん：2006/06/02(金) 23:13:29

そうだなあ
>>170-175 あたりの流れでそろそろスルーされるかと思ったが

284 ：１３２人目の素数さん：2006/06/03(土) 10:10:09

まあ、せっかく興味をもってくれたんだし、
？？のおかしな香具師になってもらっても困るからな。

285 ：１３２人目の素数さん：2006/06/03(土) 20:38:51

>>284
基礎論って分野はトンデモ系の人間でも取りたいくらい人材がおらんのか？
普通数学科って、くだくだ説明しなきゃ分からん程度の才能しかないやつは
どうせ入っても物にならんし、ただでさえ少ないポストの浪費になるだけだ
から来なくていいよって所じゃないの。

286 ：１３２人目の素数さん：2006/06/03(土) 20:51:45

>>285
言いたいことは非常によく判るんだけど、2chにまでその考えをあてはめることもない
と思うよ。「どうせ」と言うほど、2chのレスで質問者のことを理解できるわけでもな
いしね。
俺はあまり実のあるレスを返せなかったが、根気よく付き合ってた皆さんは、褒められ
こそすれ、批判されるのはさすがにどうかと思う。

287 ：１３２人目の素数さん：2006/06/03(土) 21:36:44

285 は勘違いしている。基礎論は数学ではなく哲学なんです(w

というのは冗談で、まあ基礎論に興味を持つ人が増えるのはよいことだと
思いますよ。日本の数学屋さんは基礎論の素養がない人が多いって印象がありますが・・・
どうなんでしょうねー。倉田令二朗も死んじゃったしなあー

288 ：１３２人目の素数さん：2006/06/03(土) 22:48:09

まあちょっとあの質問者は日本語が不自由そうだったけどねｗ
しかもチャット感覚でレスしてんのか、誤字脱字満載だったし

289 ：１３２人目の素数さん：2006/06/04(日) 00:39:26

>>288
日本語が不自由なのは、俺も気になってたw
大学入った段階であんな文章を平気で書くようだと、思考が正常にできるようにならな
いかもね。

いや、なんか某エッセイ数学者の受け売りみたいで書くのに抵抗あるけどさ。事実だし。

290 ：１３２人目の素数さん：2006/06/04(日) 00:44:04

>>287
一昔前の数学者は、論理学についての素養も身に付けてたんだけどね。
斎藤正彦なんかは、著書の巻頭に倉田の名前挙げてたし。
問題は、最近「数学ができないから論理をやる」とかいう風説が一般的になってること。
理論計算機畑だと、自分で論理絡みのことやっていながら、そのような風説に迎合して
みたりする輩が多いしなー。で、舌の乾かぬうちに「俺は数学者だから」とかのたまう
から、こっちも辟易することがある。アンタの論文、全部論理だろ、ってね。

291 ：１３２人目の素数さん：2006/06/06(火) 04:15:24

age

292 ：１３２人目の素数さん：2006/06/09(金) 21:13:25

ZFで無限に合成した写像を定義できますか？

293 ：１３２人目の素数さん：2006/06/09(金) 23:22:15

無限に合成した写像って何？

294 ：１３２人目の素数さん：2006/06/10(土) 14:07:22

強制法が理解出来ない・・・
これって40年前の結果だし初歩なんだよね？

295 ：１３２人目の素数さん：2006/06/10(土) 21:39:09

等号のあるLKで考えているとして、空集合の存在を証明するのに、
外延性公理と分出公理以外に必要な公理ありましたっけ？

どうもそれだけで証明できそうな気がするんだけど、自信ないなあ。
どなたか偉い人教えてちょ

296 ：１３２人目の素数さん：2006/06/10(土) 22:34:21

>>295
LK+その二つでは無理なような。
証明書いてみれば？

297 ：295：2006/06/10(土) 23:20:57

以下、sequentの矢印は　－－＞　です。
公理（１）x∈v⇔(x∈u∧x≠x)　－－＞　x∈v⇔(x∈u∧x≠x)
左∀（２）∀x(x∈v⇔(x∈u∧x≠x))　－－＞　x∈v⇔(x∈u∧x≠x)
対偶（３）∀x(x∈v⇔(x∈u∧x≠x))　－－＞　(￢x∈v)⇔((￢x∈u)∨x＝x)
　一方
公理（４）　　　－－＞　x＝x
右∨（５）　　　－－＞　(￢x∈u)∨x＝x
　であるから（３）と（５）より
＊＊（６）∀x(x∈v⇔(x∈u∧x≠x))　－－＞　￢x∈v
右∀（７）∀x(x∈v⇔(x∈u∧x≠x))　－－＞　∀x(￢x∈v)
右∃（８）∀x(x∈v⇔(x∈u∧x≠x))　－－＞　∃v∀x(￢x∈v)
左∃（９）∃v∀x(x∈v⇔(x∈u∧x≠x))　－－＞　∃v∀x(￢x∈v)
左∀（10）∀u∃v∀x(x∈v⇔(x∈u∧x≠x))　－－＞　∃v∀x(￢x∈v)

で、（10）の左辺は分出公理ですよね？
そして（10）の右辺は空集合の存在を表しています。

298 ：296：2006/06/10(土) 23:34:46

確かに分出公理だけから出てる気がするなあ
なんか不思議・・・

299 ：１３２人目の素数さん：2006/06/11(日) 00:38:53

LK では、∀xA(x)->∃xA(x) が証明できるというのがミソ。
対象全体が空でないことが仮定されている。
等号つきだと ∃x(x=x) が証明できる。

300 ：295：2006/06/11(日) 01:35:46

>>298
そうなんですよ。不思議な感じがするんです。でも形式的証明だから、間違ってはいないという気持ちの方が
だんだん強くなってきました。

>>299
なるほど。そういえば、私が今まで読んだ事ある本では、モデルを考えるときいつも対象領域は空でないもの
とされていたんですが、そういう定義を採用するのは、ここらへん関係あるんですかね。

301 ：１３２人目の素数さん：2006/06/12(月) 11:02:08

>>294
「初歩」というか、たしかに今となっては基本的なテクニックだけど、
フィールズ賞を獲った手法なんだし、やっぱりきちんと理解するのは難しいよ。（´・ω・`）

302 ：１３２人目の素数さん：2006/06/12(月) 19:54:02

Prawitz の Natural deduction のリプリントが Dover から出てた。

303 ：１３２人目の素数さん：2006/06/12(月) 20:03:09

Topoiも出たね。
古くて手に入らないけど、需要もそんなにあるとは思えないし。
色々期待できるけど、不思議な本屋だなー。

304 ：１３２人目の素数さん：2006/06/12(月) 23:08:00

Natural deduction は、実物を見ることもできなくて困った人が
結構いたと思う。
この本があるところはめったにないけれど、その稀なとある数学科では、
本棚の肥やしになっている logic の本がたくさんあるのだろうな。

305 ：１３２人目の素数さん：2006/06/12(月) 23:25:06

小平先生も強制法はどうしても良く分かんないから
諦めたとか書いてたね

306 ：１３２人目の素数さん：2006/06/13(火) 03:37:56

まあ、Boole価に過ぎないけど、
具体的にある性質がみたされるモデルの存在の構成は面倒だな。

307 ：１３２人目の素数さん：2006/06/13(火) 11:44:58

>>305
天才も歳を食うと頭が固くなって新しい概念に対応できなくなるっていうこと。
強制法以前に、メタ数学と通常の「数学」の違いが分かっていなかったふしがある。

308 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/06/13(火) 12:58:13

人の脳を読む能力を悪用する奴を潰せ。

309 ：１３２人目の素数さん：2006/06/13(火) 13:40:47

>>305,307
ああいう常人ではない人が言う「分からない」は、我々パンピーの「分からない」とは
全然違うと思うけどなあ。

310 ：１３２人目の素数さん：2006/06/13(火) 14:37:14

すみません。質問します。
ロビンソン算術の公理系の公理と推論規則から演繹できるのは、閉じた論理式ばかりですか？

311 ：１３２人目の素数さん：2006/06/13(火) 14:45:48

それはベースにしてる論理のほうの都合であって
上に載ってる算術の都合じゃないと思うけど

312 ：１３２人目の素数さん：2006/06/13(火) 15:31:02

上で、そういう話をしてたんですね
初学者なんで、あまり難しいことはわからないのですが、

ロビンソン算術に限らず、一階の理論の公理系というのは、すべて、閉じた論理式の集合をまとめあげたもの、ということなのでしょうか

313 ：１３２人目の素数さん：2006/06/13(火) 16:16:18

閉じたにこだわらず別に
　∀x(x+0'=x')
の代わりに
　x+0'=x'
が入っていてもかまわんよ

314 ：１３２人目の素数さん：2006/06/13(火) 16:55:49

x+0'=x'
はロビンソン算術の公理系の公理と推論規則から演繹（ないし証明）できますか？

315 ：１３２人目の素数さん：2006/06/13(火) 17:16:59

ベースにしてる論理にもよるが
たいがいできる

316 ：１３２人目の素数さん：2006/06/13(火) 18:25:40

一階述語論理の公理系に、
固有公理　∀x(x+0=x)
のみを置いた公理系で、
　x+0=x
が証明できるか、というならできないでしょう、たぶん
∀除去規則のような推論規則を用いて
a+0=a、b+0=b、・・・（a、b、・・は定項）
が証明できることはわかるにしても、
自由変項ｘを用いたｘ＋0＝ｘという開いている論理式が導出されるくだりがよくわからない

317 ：１３２人目の素数さん：2006/06/13(火) 18:58:50

LKでもやれば

318 ：１３２人目の素数さん：2006/06/13(火) 23:22:19

>>316
その体系で、∀の導入規則はどうなっているのだろう。

319 ：素人 ◆Saloon8R4Q ：2006/06/13(火) 23:58:50

e^πｉ　=　-1　と言う噂を聞いたのですが
「虚数乗」という計算の仕方がよくわからなくて
計算できません。

どうやって計算するんですか？

320 ：１３２人目の素数さん：2006/06/14(水) 00:16:17

このスレタイの宿命かな。

321 ：１３２人目の素数さん：2006/06/14(水) 00:50:22

>>319
BASIC数学のスレとはちゃいまっせ。をっさんがもの凄い勢いで・・・
とかのスレ行って聞きなされ。

322 ：素人 ◆Saloon8R4Q ：2006/06/14(水) 00:54:10

>>320-321
失礼しました

323 ：１３２人目の素数さん：2006/06/14(水) 07:56:37

>>318
普通のんでいいです。
∀　導入規則で検索したらこんなのがあったので、これでいいです。
∀-導入
Aa
-------(∀-導入)
∀x　A
aは結論には現れない自由変数

ふと思ったのですが、
a+0=a、b+0=b、・・・（a、b、・・は定項）が証明可能であるとき、
x+0=x（xは自由変項）が証明可能、（便宜的にそう書き表してよい、とかいうのではなしに、論理式として証明可能）
というようなこと、形式的体系の（自明な？）規則としてあります？

324 ：１３２人目の素数さん：2006/06/14(水) 08:50:33

仮定にある自由変数 a はどこから来るの？
∀除去で自由変数が導入されないし、公理にもないのでしょ。

325 ：１３２人目の素数さん：2006/06/14(水) 10:02:43

>>323
だからLKとか勉強しろっつってるだろが

326 ：１３２人目の素数さん：2006/06/14(水) 10:56:25

とりあえず今自然演繹で勉強してるので、自然演繹でなんとかならんでしょうか、
LKというのでなきゃだめですかね、そうでもないだろうとか思ってるんですが

>>313
というのは、
x+0=xを公理としておいていい、そして、x+0=xは証明可能だ、としていい、ということなのでしょうか

327 ：１３２人目の素数さん：2006/06/14(水) 11:07:06

閉じていない式の証明は
LKではできる
君の体系でできないなら君の体系ではできない
ただそれだけ
・・・ということは既に>>315で言ってる
できるかときかれたからできる体系を教えてあげた
気に入らないならできない体系でやってりゃいいじゃん
体系から独立にどっちが正しいとかいう話でもない

328 ：１３２人目の素数さん：2006/06/14(水) 13:27:30

だいたい、どういう前提で話をしているのかよくわからんので、コメントする気にならんのだなあ。
そもそも>>316は質問者なのかどこかの勘違い野郎なのかよくわからんし。

329 ：１３２人目の素数さん：2006/06/14(水) 20:12:06

>>323
普通の、とか言われても、、

それでちょっと上で散々混乱してたわけですがね
どれが普通でどれが普通じゃないんですか？

330 ：１３２人目の素数さん：2006/06/14(水) 20:14:41

お前の態度が普通じゃない

331 ：329：2006/06/14(水) 20:39:12

お前って私の事ですか？

332 ：１３２人目の素数さん：2006/06/14(水) 20:52:28

その通り

333 ：330：2006/06/14(水) 20:56:57

あっ誰か違う奴に台詞とられた

334 ：329：2006/06/14(水) 22:40:18

ええと、私は>>305以降は>>329までレスしてませんけど
どのレスがまずかったんですか？

改めますので教えて下さい

335 ：329：2006/06/14(水) 22:43:10

閉でない論理式と、その全称閉包が同値かどうかは
同じ述語論理でも、推論規則や公理によって違うし
どっちが普通ともいいようが無いと思うんだけどね

336 ：１３２人目の素数さん：2006/06/14(水) 23:32:09

だから最初から335を書けば済む話で、
どうしてわざわざ訊く気もない質問でまぜっかえすのかという。

337 ：１３２人目の素数さん：2006/06/14(水) 23:41:31

でもガイシュツだろ

338 ：１３２人目の素数さん：2006/06/15(木) 21:09:31

数学の本　のスレにあるみたいに、基礎論関係の本の紹介とコメントがあると
うれしいんですが。たとえば、河合出版に数学基礎論シリーズってあるけど
あれらの本の内容と程度ってどんなもんなんですか？ Amazon 行ってもコメント
ないし、知りたいです。

339 ：１３２人目の素数さん：2006/06/15(木) 21:37:21

巻に拠るんじゃない？
というか日本語の再帰函数論の本とか、そもそも選択肢があまり無いような

340 ：１３２人目の素数さん：2006/06/16(金) 00:58:20

質問スレッドということなので聞くが、

この分野の人間って科学哲学系か、科学基礎論系
というような文系畑の人間ばかりだよね？数学者が
熱心に発表してる学会みたいのってあるのか？

341 ：１３２人目の素数さん：2006/06/16(金) 01:25:41

それはあなたがそういう人しか知らないだけなのではなかろうか。

342 ：１３２人目の素数さん：2006/06/16(金) 01:49:34

ググッてみたら、日本数学会の中に数学基礎論という分野が
設立されてるんですね。数学基礎論と呼ばれてる分野の数学者と、
科学哲学系の哲学者は同じ大会で発表したりとかはするの？

343 ：１３２人目の素数さん：2006/06/16(金) 01:50:39

傍目にはやってることは変わらないように見えるので。

344 ：１３２人目の素数さん：2006/06/16(金) 02:01:29

数学基礎論やってる数学者と数理論理学やってる哲学者に交流があるのかどうかを
聞きたいんです。

345 ：１３２人目の素数さん：2006/06/16(金) 02:11:37

無い。種族が違う。

346 ：１３２人目の素数さん：2006/06/16(金) 02:18:21

交流でいいなら一応あるよ

347 ：１３２人目の素数さん：2006/06/16(金) 17:37:23

交流は多少あるね。科学基礎論学会（これは主に哲学者の学会）で
ロジシャンが提題者に呼ばれることもよくあるし。

348 ：１３２人目の素数さん：2006/06/16(金) 20:11:53

科学基礎論学会の会員になってるロジシャンも
けっこういるかとおもた

349 ：１３２人目の素数さん：2006/06/17(土) 05:11:30

>>1
「無意味なスレ立て厳禁」
って読めませんか？
そういうくだらない話は質問スレでやってください

　
　　　　　　　　　　　　　　　　　終　　　了

そして>>1はすぐ死ね

350 ：１３２人目の素数さん：2006/06/18(日) 17:24:59

素人の質問なので見当違いかも知れませんがご容赦ください。

田中一之先生の「数の体系と超準モデル」内の演習5.1で
例えば「Ｑ(Robinsonの体系)で∀x(0+x=x)が証明できない」ことを証明せよ
という問題があって、解答を見ると超準モデルとかを作って示しているのですが
そもそも、算術の公理系の証明可能性とか議論するときには
集合論を前提としてその中で議論している、ということなのですか。

351 ：１３２人目の素数さん：2006/06/19(月) 14:22:07

そういうことです
そもそも「式の集合」とか言う時点で集合論の集合なわけです

352 ：１３２人目の素数さん：2006/06/19(月) 16:58:01

集合無しではモデルは構成できんよ。公理的集合論のモデルも「集合論」の
「集合」で記述される。記述される理論内の集合とモデル構成に使う「集合」
は別物。

353 ：１３２人目の素数さん：2006/06/19(月) 17:53:11

「あれ？モデル構成して証明するの？でも
　集合論ないとモデルは構成できないじゃん！
　証明論の証明で集合論使っちゃっていいの？」
みたいなのが>>350の抱いた疑問ですか

354 ：１３２人目の素数さん：2006/06/19(月) 18:04:54

メタレベルとオブジェクトレベルを区別しましょうってことではないかな
非標準モデルを作るときに使った集合論的な概念の整合性は、
はっきりと明言されないにしても、暗に仮定されているとしてよいんじゃないかな

355 ：１３２人目の素数さん：2006/06/20(火) 01:30:24

>>353
　証明論で、メタ言語にどの推論体系を用いていいか、って話だよね。
　論理学の教科書はそのへん説明無しで解説しているのが多いのはオレも気になってるところではある。
　「不完全性定理」とか「カットの消去定理」とかは有限の立場で成り立つメタ定理だが、「完全性定理」は集合論が必要になる。
　まあ、慣れればどんな推論体系を元にして議論してるかはわかると思うけど。
　いずれにせよ、「数学の根拠付け」をしている議論でない限り、「循環論法」の心配はしなくてよい。

356 ：１３２人目の素数さん：2006/06/20(火) 12:16:41

「○○が証明できない」というタイプの命題はΠ^0_1 文なので、
純粋に証明論的な方法だけで証明することは、一般的にはできない。

質問にある「Ｑ(Robinsonの体系)で∀x(0+x=x)が証明できない」ことの
証明論的証明ができるかどうかは、一度考えてみてはどうだろう。

357 ：１３２人目の素数さん：2006/06/20(火) 18:00:05

ラプラシアン ≡ div・grad
で表されますが
grad・divやナブラ・ナブラでは
置き換えることは出来ないのでしょうか？

358 ：１３２人目の素数さん：2006/06/20(火) 21:40:05

>>116

359 ：１３２人目の素数さん：2006/06/20(火) 21:41:22

カット除去と完全性定理って同値とか
「ゲーデルの世界」のちらっと書いてあったような

360 ：１３２人目の素数さん：2006/06/20(火) 23:33:26

350です。沢山のレス感謝。
私の質問の意図は>>353や>>355のような感じです。

一応メタレベルとオブジェクトレベルの区別は付けているつもりですが
その上で、例えば上であげた状況において、Qが内部の言語なのに対して
メタ言語として何を想定してるのかと聞いたつもりでした。
取り敢えず思い浮かぶのは以下の3つなんですが、
それぞれに対して疑問が残ってしまいどれにも確信がもてません：

1. 素朴集合論を考えるとすると、
モデルとしてどんな「集合」を持ち出してきても大丈夫なの、とか
それじゃああれだけ「危機」とか騒いでたのは何だったの、とかいう
思いに駆られます。

2. ZFやZFCとかを考えてQはその中で定義とかしている、とも思いましたが
じゃあ、そもそもこの本(田中先生の)は全部その中の出来事だったの、とか
そんなこと断ってあったっけ、とか
第一ZFCとかを前提とするというのは、それはそれで(1とは別の意味で)
危うい前提での議論なのでは、とか感じてしまいます。

3. で、メタ言語が何かということを一つに決めることは余り意味はなく、
(今の場合なら∀x(0+x=x)の)証明不可能性の証明が成り立つような公理系なら
各自好きなものを想像していればよいのではないか、とも思ったのですが
(多分この解釈が>>355のレスの内容だと思うのですが)
2の場合と同じく、そんなこと本に書いてあったっけ、とか思ってしまいます。

で、本職の方々はこういう本とかを読むときどういうスタンスなのか
(それともこれらはいずれも見当違いでもっと別の解釈で読んでいるのか)、
というのが聞きたかったのです。

当方専門外且つ独学なので変なことを書いているかもしれませんが
ご教示頂けたら幸いです。長文失礼。

361 ：１３２人目の素数さん：2006/06/20(火) 23:54:04

＞第一ZFCとかを前提とするというのは、それはそれで(1とは別の意味で)
＞危うい前提での議論なのでは、とか感じてしまいます。
なんか、ZFC内で表現した算術の命題の選択公理を使う証明は、
選択公理を使わない証明に書き直すことが出来る、
とかそういう結果があるとかないとか

というかメタレベルで、そんなに厳密に公理的な議論する必要無いんじゃないですかね？
必要が無いというか、しても意味が無いというか、
少なくとも形式的にやらないにしても、どういう議論の仕方をしたら矛盾に陥りやすいか、
どういう議論の仕方なら一応安心できるかってのは今ではかなり分かってるわけですし
（どうやったら「絶対に」矛盾しないかってのは分かってないですけど
それは公理論的な集合論でも同じですね）

「そんなこと本に書いてあったっけ」ってのはなんか疑問の持ち方がおかしいと思いますけどね

362 ：１３２人目の素数さん：2006/06/20(火) 23:54:48

特に断り書きがない限り 3 だと思っておけばいいと思うけど。どんな数学の本でも。

363 ：355：2006/06/21(水) 00:33:56

>>361
　まあ、ゲーデルの完全性定理くらいなら、メタ言語の推論体系は、集合論を
使うといってもせいぜい２階の述語論理（ただしメタ言語に排中律を用いる）
くらいで済むと思うけど、∀x(0+x=x)の証明不可能性を超準モデルで証明とい
うことになると、どうなんだろう？
　だいたい、メタ言語で排中律を使うと、それだけで議論が超越的になり、例
えば「～は証明可能である」というメタ定理が証明されても、実際に証明を書
き下す方法が与えられるとは限らなかったりする。
　まあ、数理論理学を「数学を使って」議論するのは、他の数学的対象を数学
を使って議論するのとどこが違うんだ、考察の対象が論理学だからといって排
中律の使用に対してガタガタ言ってもしょうがないだろう、という声が聞こえ
てきそうだが、やはりタカが文字列に関する議論で、「排中律」やらツォルン
の補題やらを使うのはちょっと大げさすぎる気がして、個人的には好きになれ
ないのは事実。
　まあ、所詮趣味の問題に過ぎないのだが。

364 ：１３２人目の素数さん：2006/06/21(水) 01:06:57

そのうち、メタメタ言語としての日本語の整合性も問題になってくるぞ。
きりがない罠(w

365 ：１３２人目の素数さん：2006/06/25(日) 09:53:59

350です。皆さんのレスを読んで大分感じが分かってきました。
取分け355さんのレスは私が今まで気になっていた点を
正確に補ってくれている感があり大変参考になりました。

まだ不安な所があるのでもう少し質問させてください。
例えばACのZFに対する相対無矛盾性について考察するときなどに
ZFの外の言語に再び公理的集合論の言語を用いる、ということも
よくあることなのでしょうか。
352さんのレスからはそのような印象を受けましたが。
(どれだけ弱い(メタ言語の)推論体系の下でACの相対無矛盾性の証明は
出来ているのでしょうか、という質問の方が適切でしょうか。)

366 ：１３２人目の素数さん：2006/06/25(日) 22:51:42

証明論的な強さとかとはまたちょっと違うんだよね、多分

もしかして変数記号、とか有限長の文字列、とかを無定義述語にして
公理系とかを作るって意味だろか
そんなことしてどうすんのかしらんけど

それとも、単にモデルを構成できるかどうか、という単なる集合論の話なのかな？

367 ：１３２人目の素数さん：2006/06/26(月) 03:16:38

>>365の

368 ：１３２人目の素数さん：2006/06/26(月) 03:17:44

ミスった

>>365の「ZFの外の言語」って何を指してるのかちょっとよく分からないな。
選択公理の相対無矛盾性を示すのは、Lを構成するのが一般的だけど
これってZFの中の話だと思うんだが。

369 ：１３２人目の素数さん：2006/06/26(月) 08:09:56

>>365
PRA |- Con(ZF) -> Con(ZF+V=L)
とかは大丈夫でしょう。

370 ：350：2006/06/27(火) 08:47:55

私が聞きたかったのは、369さんが答えてくれたようなことです。
言葉足らずでどうもすみません。

>選択公理の相対無矛盾性を示すのは、Lを構成するのが一般的だけど
>これってZFの中の話だと思うんだが。
私もそうだと思ってます。でも、だとすると352の
>公理的集合論のモデルも「集合論」の
>「集合」で記述される。
というのは何のことを言っているのでしょうか。

371 ：１３２人目の素数さん：2006/06/27(火) 23:24:32

いきなり低レベルな質問かもしれませんが、
論理式A∧(B∧C)⊃(A∧B)⊃C
の証明図ってどう書けばいいのでしょうか？
バイト明けで学校行ったら案の上眠りに落ちて
課題出されて困り果てました。。

372 ：１３２人目の素数さん：2006/06/28(水) 00:15:53

GentzenのNKの証明図？宿題の丸投げは止めましょう。

373 ：トポロジーって意味が分かりません：2006/06/28(水) 00:18:58

Ｘ⊃Ｆが開集合⇔Ｘ－Ｆ＝{ｘ∈Ｘ｜ｘ∈/ Ｆ}：開集合
を、Ｘの補集合で四つの場合わけ
開集合であり閉集合でない
閉集合であり開集合でない
開集合であり閉集合である
開集合でも閉集合でもない
を論理的に説明したいのですが、どなたかどうすればいいか教えてもらえませんか？

374 ：１３２人目の素数さん：2006/06/28(水) 00:55:03

位相についてわかり安く教えてくれ
　ttp://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1149259755/l50
逝け

という以前に位相の事全然分かってないだろう。
Xを位相空間として、F⊆X ならば
　Fは開集合⇔X-Fは閉集合
に決まっているが。聞くより前に教科書を読み直したほうがいい。

375 ：371：2006/06/28(水) 01:17:58

>>372さん他
やってみましたがどうでしょう？
http://up.spawn.jp/file/up26397.png
合ってるのかなこれ。。？

376 ：１３２人目の素数さん：2006/06/28(水) 01:36:13

>>373
スレ違い
（基礎っちゃあ基礎なんだろうけどｗ）

>>375
A∧Bから上の部分が要らないような
あっても間違いじゃないんだろうけどさ

377 ：１３２人目の素数さん：2006/06/28(水) 15:01:16

>>350
「･･･が証明できない」ことを示すには
「･･･が真であるようなモデルが存在する」
ことを示すんですよ。
だから当然集合論は必要ですね。
集合論の中で上記のモデルの存在を示すわけです。

378 ：１３２人目の素数さん：2006/06/28(水) 15:05:05

>>353
＞証明論の証明で集合論使っちゃっていいの？
>>355
＞証明論で、メタ言語にどの推論体系を用いていいか、って話だよね。

「･･･が証明できない」というのが証明論の話だと思うのは
初心者にありがちな誤りですが、これは>>356でも云ってるように
証明論ではなくモデル理論の話です。

379 ：１３２人目の素数さん：2006/06/28(水) 15:10:41

>>360
まず、モデル理論だから当然集合論上の話です。
その場合の集合論は素朴集合論ではなくＺＦＣです。

次に、モデル理論はいわゆる数学の基礎づけを行なうものではありません。
数学の基礎づけはゲーデルの不完全性定理以降ご破算になったと考えるのが
妥当でしょう。

380 ：１３２人目の素数さん：2006/06/28(水) 15:16:02

>>363
＞∀x(0+x=x)の証明不可能性を超準モデルで証明ということになると、
＞どうなんだろう？

実際にやってることは、単に反例となるような超準的な元を
付け加えるだけのことです。同じやり方で結合法則や交換法則が
証明できないことも示せます。あっけないもんです。

381 ：１３２人目の素数さん：2006/06/28(水) 15:17:58

言い過ぎかな？新井の仕事とかもあるし。
もちろん素朴な意味での基礎付けではないが。

382 ：１３２人目の素数さん：2006/06/28(水) 15:22:49

>>365
「ACのZFに対する相対無矛盾性」というのは
「ACを真とするZFのモデル」「ACを偽とするZFのモデル」
がそれぞれ存在するということです。

モデルは>>352でも云っているように公理的集合論の中でつくられます
この場合はZFの中で考えていると思ったほうがいいでしょう。

383 ：１３２人目の素数さん：2006/06/28(水) 15:25:13

>>382
ああ、上記は独立性でしたね。相対無矛盾性なら
「ACを真とするZFのモデル」を示せばいい。
ゲーデルは>>368のいうようにモデルとして
Lを構成することで示したわけですね。

384 ：１３２人目の素数さん：2006/06/28(水) 15:42:59

>>370
>公理的集合論のモデルも「集合論」の
>「集合」で記述される。
というのは何のことを言っているのでしょうか。

ああ、その言い方はたやすく誤解されるね。
正しくは
公理的集合論のモデルは、集合論の中でつくられるが
その中でモデルとして実現された「集合論」やその中の「集合」は
モデルを構築する場として用いられた集合論や集合とは別のもの
だってこと。

可算モデルについて考えてみれば分かる。
集合論では非可算な集合が存在することが証明されるが、
可算モデルでは、「非可算集合」は可算集合として実現されてる。

385 ：１３２人目の素数さん：2006/06/28(水) 15:48:28

>>381
間違ってる。新井の仕事はモデル理論ではない

386 ：１３２人目の素数さん：2006/06/28(水) 16:14:44

松本信号点灯中

387 ：１３２人目の素数さん：2006/06/28(水) 16:48:58

>>381はそういう意味で言っているのだが？オレはマツシンタンではないぞw

388 ：１３２人目の素数さん：2006/06/28(水) 17:36:38

>>386
松本って誰ですか？

389 ：１３２人目の素数さん：2006/06/28(水) 20:35:34

今井とかシライシとかの同類。

390 ：１３２人目の素数さん：2006/06/28(水) 23:55:30

もうこのへんでやめてくれ。。

391 ：１３２人目の素数さん：2006/06/29(木) 00:00:04

>>383
それのどこがモデル理論？
それに、L を構成するだけでは、相対的無矛盾性を示したことにはならないし。

392 ：１３２人目の素数さん：2006/06/29(木) 07:48:03

>>391
当然LでACが成り立つことを示すんじゃない？
これってモデル理論だと思うけど

393 ：１３２人目の素数さん：2006/06/29(木) 13:21:17

モデルを使った証明とは言えるかもしれんけど
モデル理論ってもっと専門的なものかと

394 ：１３２人目の素数さん：2006/06/29(木) 13:24:24

モデルの定義が異なっている。

395 ：１３２人目の素数さん：2006/06/29(木) 14:15:32

>>393-394
マツシン？（ｗ

396 ：１３２人目の素数さん：2006/06/29(木) 14:48:37

いや、マツシンならもっとアホだ

397 ：１３２人目の素数さん：2006/06/30(金) 00:44:20

>>378とか>>379とか>>392の言うのは
モデル理論っつうかただの集合論なような

極論すればユークリッド幾何の中でも非ユークリッド幾何のモデルを
作れるっつうのを、一々モデル理論によれば、（ｒｙとか言っているような感じ

398 ：１３２人目の素数さん：2006/06/30(金) 07:55:32

>>397は
「フォーシング使わないとモデル理論じゃない」
とかいってるみたいだけど
それってマツシン以下のアフォ(ry

399 ：１３２人目の素数さん：2006/06/30(金) 10:00:16

forcing使ってるだけじゃモデル理論でも何でもないだろ
モデル理論の本読んだことあって言ってるのかね

400 ：１３２人目の素数さん：2006/06/30(金) 11:22:13

>>399
ああいえばこういうチミはマツシン？（ｗ

401 ：１３２人目の素数さん：2006/06/30(金) 15:58:22

>>400
相手をしているのが一人と思っているあたりが。

402 ：１３２人目の素数さん：2006/06/30(金) 22:09:38

わし論理の基礎もおぼつかんアホなんすけど何読んだらいいでしょう？
数学的論理とやらが分かるようなりたいです。

403 ：１３２人目の素数さん：2006/06/30(金) 22:13:50

回答お願いします。

素数で「２」は入るようですが、なぜでしょうか？
２って、自分で割り切れるじゃないですか？

404 ：１３２人目の素数さん：2006/06/30(金) 22:55:16

>>403
まずは素数が何たるかを知るべきだな。あと、>>116

405 ：１３２人目の素数さん：2006/07/01(土) 11:34:09

田中一之のゲーデルと20世紀の論理学全4巻は買いかね？

406 ：１３２人目の素数さん：2006/07/01(土) 12:19:05

【クイズだょ】

美しく、細く、妖しく、輝いて
速く、うるさくて、攻撃的なものな～～～んだっ？
(@ﾟﾍﾟ@)ｳｰﾝ
http://www.youtube.com/watch?v=owSj3anwvqI

407 ：350：2006/07/02(日) 00:41:23

たくさんのレス、ありがとうございます。
なんか少し荒れているのが気になりますが…

それはさておき、これまでの皆さんのレスを参考に
自分の解釈を書いてみたので
おかしな所・勘違いがあったらご指摘ください。

「数の体系と超準モデル」を読む際には
例えばZFの中で議論していると思って読んでいればよく、

一方、例えば河合文化教育研究所「公理論的集合論」の中の
(他意はありません、私の持っている本だというだけです)
「Con[ZF]->Con[ZF+AC]」という式は
ZF集合論を前提としない(有限の立場での、というんでしょうか？)式で、

これと同様にZF集合論を前提としないように350の式を書くと
「ZF|-￢(Q|-∀x(0+x=x))」ということになる。

こんな感じでよいのでしょうか。

408 ：１３２人目の素数さん：2006/07/02(日) 00:46:13

あーあむしかえしちゃった

409 ：１３２人目の素数さん：2006/07/02(日) 00:50:05

Con(ZF)とかCon(ZF)→Con(ZF+AC)の式はZFの式ですけど
ZF|-￢(Q|-∀x(0+x=x))ってのはQの式とは言えないんじゃないかな？

というかZF|-～～とかこういう書き方しますかねえ、

410 ：１３２人目の素数さん：2006/07/02(日) 00:56:28

しますよ
というかそもそもZF|-￢(Q|-∀x(0+x=x))がQの式だと
言うつもりはないんでしょ

411 ：１３２人目の素数さん：2006/07/02(日) 02:57:53

なんかわけわかんないんだけど、
|-
って、どういう意図で使ってるの？
ZFの後の|-と、Qの後の|-はどう違うの？

412 ：１３２人目の素数さん：2006/07/02(日) 04:25:26

どう違うってそのままじゃない？
まあ本人の意図は本人が説明してくれたほうがいいけど

　T |- φ
は理論Tでφが証明可能、っていう2項述語でしょ
　Q |- φ
にあたる可証性述語Prov_Qは集合論の言語で書ける
それで
　￢Prov_Q(∀x(0+x=x))がZFで証明可能
とかそういうことを言いたいんだと思う

上のほうで350が書いてたことを読み返してみないと
訊いてることがいまいちわからないのはそうかもね

413 ：１３２人目の素数さん：2006/07/02(日) 06:47:32

>>407
どの本を読むときも、議論は普通に数学を考える立場で読むべきで、論理的
におかしいことでなければ何を使ってもよい。論理的におかしいかどうかは
自分で判断する。
後から、その議論が、どの形式体系に形式化できるかを考えることは自由だ
がそれは後からすること。また有限の立場などというのが問題になるのは
「無矛盾性の証明」を問題とする場合くらい。集合論関係は相対無矛盾性
の問題だから、そんな細かいことは気にしないのが普通。

414 ：350：2006/07/02(日) 10:14:16

皆さん、どうもありがとうございました。
おかげさまで大分分かりました。
もう少し訊きたいこともあったのですが
また荒らしてしまうのも申し訳ないのでこの辺にしておきます。
それでは。

415 ：１３２人目の素数さん：2006/07/02(日) 14:50:17

>>407
ZF|-(Con[ZF]->Con[ZF+AC])、って書くんなら　350も
ZF|-(Con[Q]->Con[Q+￢∀x(0+x=x)])って書いたほうがいいな。

416 ：１３２人目の素数さん：2006/07/02(日) 15:59:22

違いがわからないのはよくわかった。

417 ：１３２人目の素数さん：2006/07/03(月) 00:25:34

>>412
>>411です。レスさんくす。
例のターンスタイルの式(もどき？)で、直観的に何がいいたいのかはもちろん
わかるんだけど、
￢(Q|-∀x(0+x=x))
の￢は、文法的に気色悪くてね。そんな書きかたする人、知らないし。
もしかして、ターンスタイルが二個以上出現する式って、よくあるのかもね。

>>350はお終いにするつもりみたいなので、とりあえずこの話は終了で。
みなさんありがとう。

418 ：１３２人目の素数さん：2006/07/03(月) 00:52:42

さて、東大出版会から出る基礎論シリーズに注目、注目
どうなるんでしょうねえ

419 ：１３２人目の素数さん：2006/07/03(月) 05:05:50

> ￢(Q|-∀x(0+x=x))
> の￢は、文法的に気色悪くてね。そんな書きかたする人、知らないし。

html 上でそう書いてる人は何人か見た。
普通は |- にスラッシュを重ねるんだけど
html じゃできないからね。

420 ：１３２人目の素数さん：2006/07/03(月) 14:19:16

おーい

数学の本第16巻
　ttp://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1151087493/

逝って見ろよ。いまなら哲ヲタと数ヲタの乱闘が見れるぞ。

421 ：１３２人目の素数さん：2006/07/03(月) 18:37:01

そのスレまだやってるのかｗ

422 ：１３２人目の素数さん：2006/07/04(火) 20:21:04

おいらは無限個の変数のある関数、汎関数の微積分やりたい。
変分法の標準的入門テキストは？

423 ：１３２人目の素数さん：2006/07/04(火) 20:21:46

↑　誤爆

424 ：１３２人目の素数さん：2006/07/05(水) 00:09:24

素朴な疑問なんですが、数理論理学の人間が哲学を敬遠する理由はどのあたりに
あるのでしょうか。2chで過去に荒れただけ、ならばそれでいいのですが、分野の
近い数理論理学の人と哲学の人がいがみあっているとしたら、もったいないよう
に思います。
確かに、哲学の研究者のなかには、数理論理学がよくわかっていないのに、さも
理解者であるような振舞いをする人がいます。しかし、それが全てではないです。
海外では、哲学者と論理学者が協調して研究している例も少なくないようですし、
日本だけの事情だとしたら、もったいないですよね。

425 ：１３２人目の素数さん：2006/07/05(水) 00:12:52

荒れてるのは別のスレだよ

426 ：１３２人目の素数さん：2006/07/05(水) 00:31:13

「数理論理学の人間が哲学を敬遠する」
そういう事実は聞いたことが無いけど、

2chで荒れてるのは事実だけどね

427 ：１３２人目の素数さん：2006/07/05(水) 00:44:46

ヲタ同士の内ゲバと混同してもらちゃ困るよ

428 ：１３２人目の素数さん：2006/07/05(水) 00:47:42

>>426
実は、私の周辺の数理論理関係者のなかには「哲学が絡むのは嫌だな」と公言する
人がいるんです。でも、立場上「なんで嫌なんですか？」とも聞きにくくて。。
引き続き、他の方からご意見がいただけるようでしたら、お願いします。

429 ：１３２人目の素数さん：2006/07/05(水) 00:49:57

そりゃ嫌いな人も居て良いでしょ
特にポストモダンとかは何言ってるのか分かんないし
嫌いな人も多いような気がする

でも、みんな嫌いな人ばっかりでもないでしょ
諸外国にも、哲学はあまり好きじゃない、
とか計算機科学には全然興味が無いって人も居ると思いますよ

430 ：１３２人目の素数さん：2006/07/05(水) 03:16:12

>>426
哲学板を覗けば、哲厨が毛嫌いされる理由が分かる

431 ：１３２人目の素数さん：2006/07/05(水) 05:59:57

>>429
> 諸外国にも、哲学はあまり好きじゃない、
> とか計算機科学には全然興味が無いって人も居ると思いますよ
その通りだと思います。

気がつくところとしては。。
身近な例であげると、普通の論理の本でも洋書だと著者が哲学科の先生だったり
しますよね。和書で論理の本が少ないからかもしれませんが、数理論理の方面の
勉強に、哲学の先生が書かれた教科書を使うことって稀ですよね。

などと思ったりもしましたが、皆さんの書き込みを読んでいると、私の周りが特
殊で哲学嫌い(？哲学を知っているのかどうか判断しかねますが)が多いだけの
ような気もしてきました。

>>430
飲まれない程度に、見てみます。

432 ：１３２人目の素数さん：2006/07/05(水) 07:55:23

数理論理の本はやっぱ英語の本でも
数学系の人がほとんどのような、

たまに哲学にも手を出している人は居るけどね、

まあでもほとんどの場合数学系の人が哲学に手を出してみるってパターンで
逆はあまり無いんじゃないだろうか
数学はちょっと試しに研究してみようってわけにもいかないだろうし

433 ：１３２人目の素数さん：2006/07/05(水) 10:28:50

>>424
>数理論理学の人間が哲学を敬遠する理由は
>どのあたりにあるのでしょうか。

そりゃ、数理論理学の連中が哲学知らないからでしょ。
試しに知ってる哲学者の名前聞いてみ。
だいたい、
・古代ギリシャ系（ソクラテス・アリストテレス等）
・ドイツ観念論系（カント・ヘーゲル等）
・ポストモダンの怪しい人たち
しか知らんから。
パトナムとかクリプキが哲学者だといってやると驚くゾ。

434 ：１３２人目の素数さん：2006/07/05(水) 10:34:15

>私の周辺の数理論理関係者のなかには
>「哲学が絡むのは嫌だな」と公言する
>人がいるんです。

どこでも知りもせずに嫌うタコツボ専門家はいる。

435 ：１３２人目の素数さん：2006/07/05(水) 10:37:32

>和書で論理の本が少ないからかもしれませんが、
>数理論理の方面の勉強に、哲学の先生が書かれた
>教科書を使うことって稀ですよね。

タブロー法をとりあげているのは和書では
哲学の先生が書いたものが多い。
数理論理関係者は一度読むことを薦める。
目からウロコが落ちる。

436 ：１３２人目の素数さん：2006/07/05(水) 10:40:04

すくなくともこのご時世で、いまだに
竹○○史とか前○○二とかいってる人は
頭が古い。

437 ：１３２人目の素数さん：2006/07/05(水) 10:48:31

洋書でいいだろ

438 ：１３２人目の素数さん：2006/07/05(水) 13:30:06

> タブロー法をとりあげているのは和書では
> 哲学の先生が書いたものが多い。

易しいわりにページ数ばかり食うからね。
他に書きたいことがたくさんある人は書かない。

439 ：１３２人目の素数さん：2006/07/05(水) 15:31:22

>>438
それは言い訳にはならないな。

440 ：１３２人目の素数さん：2006/07/05(水) 16:44:27

ああいうつまらんことを嬉々として書く奴は馬鹿だと
思っていると言いたいんじゃないの？

441 ：１３２人目の素数さん：2006/07/05(水) 17:04:31

はげどう

442 ：１３２人目の素数さん：2006/07/05(水) 17:26:57

それを言っちゃおしまいよ(w

443 ：１３２人目の素数さん：2006/07/05(水) 22:20:28

唐突にすみません。ご教授ください。

＞もし公理系Ｔが完全であれば，Ｔの定理にならない命題Ａの集合は，￢ＡがＴの定理になるようなＡの集まりと同じだから，やはり r.e. になり，Ｔの定理の集合は再帰的である．
＞したがって，ある数学的構造に対して完全な公理系が見つかれば，その構造における命題の真偽は決定可能である．
というのを、読んでいたのですが
＞その構造における命題の真偽は決定可能である．
というのは、公理系Ｔで証明可能であるか、そうでないかが決定可能ということでしょうか？
それとも、あるモデルのもとでの意味論的真であるか、そうでないかが決定可能ということでしょうか？

よろしくお願いします。

444 ：１３２人目の素数さん：2006/07/06(木) 15:18:45

> 数学的構造に対して完全な公理系が見つかれば

という条件の下なのでどっちでも同じ。

445 ：１３２人目の素数さん：2006/07/06(木) 16:47:35

>>440
つまらんこともかけないのは大馬鹿なわけだが。

446 ：１３２人目の素数さん：2006/07/06(木) 16:52:58

>>445
がんばれー！ファイト！！

447 ：１３２人目の素数さん：2006/07/06(木) 17:17:39

ありがとうございます。
>444
構文論的完全であることから、範疇的であることが言えるということでしょうか？

448 ：１３２人目の素数さん：2006/07/06(木) 19:27:09

状況を整理する習慣がなければ、数学の本は読めないよ。
記号を使って状況を表現してみるのも一法。

449 ：１３２人目の素数さん：2006/07/06(木) 21:07:19

洋書でいいじゃん

450 ：１３２人目の素数さん：2006/07/06(木) 21:34:05

記号で整理というのは慣れですかね、意識してみます
結論を催促すると嫌われそうですが、

＞ある数学的構造に対して完全な公理系が見つかれば，その構造における命題の真偽は決定可能である．
>444
から考えるに、構文論的完全な公理系で証明可能であるか、そうでないかが決定可能、任意のモデルのもとでの意味論的真であるか、そうでないかが決定可能、
構文論的完全な公理系は範疇的である、ということを言っているのか、と思ったのですが

451 ：１３２人目の素数さん：2006/07/06(木) 23:30:52

範疇的 -> 完全の逆は証明できる？

452 ：１３２人目の素数さん：2006/07/07(金) 22:07:00

代数閉体の理論は完全だが、可算濃度で同型でないものがある。

453 ：371：2006/07/07(金) 22:32:44

またまたスレ汚しかもしれませんが、
論理式についてさっぱりわからないので
（説明まともにしないのに課題出されたので）
質問したいのですが、
http://up.spawn.jp/file/up27614.png
↑の論理式のフリーに現れる変項とその場所を指摘せよ、
とのことですが、矢印に示される束縛を受けないxが
変項ってことでいいのでしょうか？
それなら場所とかなんだよ、って感じなんですが。。

454 ：１３２人目の素数さん：2006/07/07(金) 23:03:27

自由変項ってのは、束縛されてない変項って意味ですよ
free variableの訳

(∀z) (∀y)[ (∀y){ R(x,y) ⊃ (∃z)R(y,z) } ⊃ R(x,z) ]

yの矢印の付け方が間違ってるような、
場所の意味が分からないのも、多分この間違いと関係してるんでしょうけど

というか授業聞いてなかっただけなんじゃないの？
先生説明したでしょ

455 ：１３２人目の素数さん：2006/07/07(金) 23:04:08

>>453
「さっぱりわからない」だけじゃ、レス読む側も疑問点がさっぱりわからないのだが。
束縛されてないのは x で合ってるだろうけど。

456 ：371：2006/07/07(金) 23:57:21

>>454
すいませんが、ほんとにまともな説明してません。
バイト明けでも寝ずに聞いてましたが、、
一応周りの人にも聴いてもさぁ？ですし。
矢印も板書通りに書きましたが、。
何しろ「指摘」を「指適」と書くような
先生ですからあてになりませんね。。
矢印はyに関するもの二つが逆とかそんな感じですか？
>>455
ってなわけでこの問題全般に関してさっぱりわからないのです。
小学生にいきなりx^5を微分するとどうなる？とか言ってるようなものです。
調べても矢印云々はほんとわかりませんし。
>>371程度のなら自力で結局できましたが。。

457 ：お願い：2006/07/08(土) 01:26:26

中学生の家庭教師をしています。私大文系１年女子です。どなたか下記の問題を
解ける方がいたらご教示ください。

Ａ、Ｂ両地間を往復するのに、行きは毎時６キロ、帰りは毎時４キロの速さで歩
き、往復するのに５０分かかった。Ａ、Ｂ両地間の道のりをxキロとして方程式
と道のりをそれぞれ求めよ。

458 ：第一文型の僕ちゃん：2006/07/08(土) 01:32:53

x/6+x/4=5/6

459 ：１３２人目の素数さん：2006/07/08(土) 06:09:51

マルチじゃないか

460 ：１３２人目の素数さん：2006/07/08(土) 22:29:57

>>116

461 ：１３２人目の素数さん：2006/07/08(土) 22:39:38

> 私大文系１年女子
このフレーズだけでムラムラしちゃうのって俺だけ？

462 ：１３２人目の素数さん：2006/07/09(日) 01:06:16

竿の付いたネカマだろ

463 ：１３２人目の素数さん：2006/07/09(日) 12:08:59

勃起した。

464 ：371：2006/07/09(日) 16:34:59

>>454
矢印もあてにならないようなので式だけで考えますと
（たぶん適当に説明するついでに省いたんでしょうけど）、
(∀z)(∀y)[(∀y){R(x,y)⊃(∃z)R(y,z)}⊃R(x,z)]
の論理式において、自由変項はxだけですよね？
最初の(∀z) (∀y)は全体に掛かっているということでいいんですよね？
そして、場所っていうのは何なんですか？
↓の4ページ目見てスコープや束縛や自由は理解しましたが、
http://research.nii.ac.jp/~terui/mita01.pdf
場所についてだけはよくわかりません。

465 ：１３２人目の素数さん：2006/07/09(日) 17:29:55

>>464
場所ってのは自由変数が書いてある位置のことだと思う。
最初の y とか二番目の x とか。
例えばこうすると答えはどうなる？

(∀z)[(∀x){(∀y)R(x,y)⊃(∃z)R(y,z)}⊃R(x,z)]

466 ：464：2006/07/09(日) 17:54:47

二番目のyとxですか？

もしそうなら>>464の課題は
「自由変項は1番目、2番目のx」
と答えればいいんですね。

467 ：ACタイガー ◆bXi0xQeKM6 ：2006/07/10(月) 19:20:58

Pが偽でQが真だと
「P→Q」の真偽値は真なのはどうして？

468 ：１３２人目の素数さん：2006/07/10(月) 19:24:50

はて？

469 ：１３２人目の素数さん：2006/07/10(月) 19:25:10

>>467
妻がセクシーならば夫は勃起する。

470 ：１３２人目の素数さん：2006/07/10(月) 20:57:02

>>467
カスkingでもわからんだろう

471 ：１３２人目の素数さん：2006/07/10(月) 21:01:23

Ｐ－＞Ｑ
Ｐ＝ソースがあれば
Ｑ＝ソースがあるよ

ソースがなければー＞ソースがあるよ？

472 ：１３２人目の素数さん：2006/07/10(月) 21:15:32

時系列の因果関係と論理関係を混同している

473 ：KingOfUniverse ◆667lnVUqRY ：2006/07/10(月) 21:41:21

talk:>>470 お前に何が分かるというのか？

474 ：１３２人目の素数さん：2006/07/10(月) 21:42:06

宇宙にソースがなければー＞宇宙にソースがあるよ？

475 ：１３２人目の素数さん：2006/07/10(月) 22:07:02

P->Qが真なら
Pが真ならQが真を証明する必要がある。
いまPが真でないのだから、P->Qが真であることは証明できない。
Qが偽ならPが偽であることを証明しようとしても、Pがいつも偽だから
Qが偽のときはPは偽だから、対偶によってP->Qはいつも真になってしまう。

でも（P->Q）=P^+PQだから、

476 ：１３２人目の素数さん：2006/07/10(月) 22:10:49

レバーを引くとシュレデインガーのねこは半分死んで半分生きている
A->C+C^

477 ：１３２人目の素数さん：2006/07/11(火) 00:49:28

>>467
別にＱが真である必要はないが。
Ｐが偽なら、偽な命題を仮定すれば、どんな命題でも真になる（⊥消去）から。

478 ：KingOfUniverse ◆667la1PjK2 ：2006/07/12(水) 11:44:53

talk:>>470 何考えてんだよ？
talk:>>473 お前誰だよ？

479 ：１３２人目の素数さん：2006/07/12(水) 13:44:39

>>452
代数閉体の公理系は範疇的でないということでしょうか？

480 ：１３２人目の素数さん：2006/07/13(木) 00:12:05

>>478
おめえが在日だってうわさがあるぞ！

481 ：１３２人目の素数さん：2006/07/13(木) 01:39:11

違う濃度の場合は範疇的で無いとして良いのかな？
明示的に「範疇的」の定義を書いてる本知らないから分からんけど

言語や公理が有限である限りは
L-S-Tの上昇定理があるから否応無しに高い濃度のモデルが出来ちゃうような

482 ：１３２人目の素数さん：2006/07/13(木) 01:51:01

実数体の理論が可算モデルを持つんだよね？

483 ：１３２人目の素数さん：2006/07/13(木) 08:35:54

>>479
まず、標数が異なれば同型でない。標数は 0 を含め公理系として
書ける。
一方、超越元が最小の代数閉体上独立にいくつあるかを考えれば、
可算の場合範疇的でないのはすぐわかる。非可算の代数閉体は範
疇的、つまり濃度の違いだけ。

484 ：KingOfUniverse ◆667la1PjK2 ：2006/07/13(木) 20:26:32

talk:>>480 何考えてんだよ？

485 ：１３２人目の素数さん：2006/07/15(土) 23:34:09

1÷0の答えって何ですか？

486 ：１３２人目の素数さん：2006/07/15(土) 23:35:06

>>485
0÷1 の逆数

487 ：１３２人目の素数さん：2006/07/16(日) 00:03:20

a=1, b=1 で a=2a が証明できるって本当ですか？

488 ：１３２人目の素数さん：2006/07/16(日) 00:07:57

公理が何かによる

489 ：１３２人目の素数さん：2006/07/16(日) 00:36:35

公理系が与えられてないと証明できないよね
推論規則とかは所与としても良いんだろうけど

とスレ違いのレスに無理矢理スレ趣旨に沿って答えてみるテスト

490 ：１３２人目の素数さん：2006/07/18(火) 00:09:51

数学基礎論の入門書を教えてください

491 ：１３２人目の素数さん：2006/07/18(火) 00:11:28

出来れば洋書がいいです

492 ：490：2006/07/18(火) 00:13:23

出来れば洋書じゃないものでお願いします

493 ：１３２人目の素数さん：2006/07/18(火) 00:32:54

しょうもない流れだけど、一応な。
『数学基礎論入門』前原昭二朝倉

494 ：１３２人目の素数さん：2006/07/18(火) 00:33:22

洋書
・What is mathematical logic ? by Crossley, John N. et al.,

洋書じゃないもの（というか日本語のもの）
・現代数理論理学入門 J. N. クロスリーほか著、田中尚夫訳
・ゲーデルと２０世紀の論理学（全4巻）田中一之編

もっとも下の4巻シリーズはまだ眺めたこともないです。
目次だけ見て勧めてるので結構適当ｗ

495 ：１３２人目の素数さん：2006/07/18(火) 00:41:29

>>494
> ・What is mathematical logic ? by Crossley, John N. et al.,

ありがとうございます。100ページ未満なので短期間で読めそうです。

496 ：１３２人目の素数さん：2006/07/21(金) 00:42:36

あの岩波講座「基礎数学」には、数学基礎論は入っていないね。
数学基礎論は基礎数学ではないらしいね。

497 ：１３２人目の素数さん：2006/07/21(金) 00:46:14

もちろん

498 ：１３２人目の素数さん：2006/07/21(金) 04:55:45

数学基礎論は応用数学

499 ：１３２人目の素数さん：2006/07/21(金) 05:24:25

数学基礎論は基礎の数学、基礎的数学とは違うとは思うけど
あの講座に入ってないから、って理由じゃないと思うぞ

500 ：１３２人目の素数さん：2006/07/21(金) 09:15:49

500ならking氏ね

501 ：１３２人目の素数さん：2006/07/21(金) 14:33:13

＞岩波講座「基礎数学」には、数学基礎論は入っていないね。

「現代数学の流れ2」は難波完爾氏が「証明とは何か」で
不完全性定理について書いてるが

502 ：１３２人目の素数さん：2006/07/21(金) 14:35:01

＞数学基礎論は応用数学

岩波講座「応用数学」では萩谷昌己氏が「論理と計算」という巻を書いてるが

503 ：１３２人目の素数さん：2006/07/21(金) 14:56:45

>>501
あくまでお話。教科書ではないよね。
>>502
コンピュータ向けの応用数学としてね。純粋数学としての扱いではない。

504 ：KingOfUniverse ◆667la1PjK2 ：2006/07/21(金) 16:45:47

talk:>>500 人の脳を読む能力を悪用する奴を潰せ。

人の脳を読む能力を悪用する奴を潰せ。

505 ：１３２人目の素数さん：2006/07/21(金) 17:01:33

おらKingおめえは即オペだ。どたま開頭して基地外脳味噌さらしてやるべ。
くるくる脳みその中身早く晒せや。

506 ：林浩司：2006/07/21(金) 18:59:03

みんなＫＩＮＧが好きなのでは　？

507 ：KingOfUniverse ◆667la1PjK2 ：2006/07/21(金) 19:32:59

talk:>>505 お前は誰の味方をしている？
talk:>>506 何だよ？

508 ：１３２人目の素数さん：2006/07/23(日) 21:59:26

質問です。

円柱を斜めに切断したときの断面は、数学で定義するところの楕円
になるのでしょうか？　

よろしくお願いします。

509 ：１３２人目の素数さん：2006/07/23(日) 22:23:56

自明

510 ：１３２人目の素数さん：2006/07/23(日) 23:57:02

ヒントは>>116に書かれている。

511 ：１３２人目の素数さん：2006/07/24(月) 01:33:01

分子０okでなぜ分母、０はいけないか教えて下さい。
自分０の概念が解ってないかも。

512 ：１３２人目の素数さん：2006/07/24(月) 05:52:00

>>511
>>510

513 ：１３２人目の素数さん：2006/07/24(月) 15:24:01

>>503
所詮お話程度のこと。教科書で学ぶようなことではない。
昔の情報科学は、役にも立たない理論なんてよく教えたが
最近は忙しいので、そういう面倒なことはしない。
理論なんぞに食いつくのはプログラミングも出来ない
バカ学生と相場が決まっている。

514 ：１３２人目の素数さん：2006/07/24(月) 21:30:26

マルチでお邪魔します

天才的なひらめき募集

0～4と+-*/根号、累乗、階乗、括弧を利用して1000まで作ろうぜ
http://ex16.2ch.net/test/read.cgi/news4vip/1153548534/l50

515 ：１３２人目の素数さん：2006/07/25(火) 02:16:02

数学基礎論って記号論理学とおなじものなんですか？

516 ：１３２人目の素数さん：2006/07/25(火) 02:16:31

違います。

517 ：１３２人目の素数さん：2006/07/25(火) 02:47:03

どう違うんでしょうか？

518 ：１３２人目の素数さん：2006/07/25(火) 03:14:00

数学基礎論の一部が記号論理学。
あるいは、数学基礎論で用いるのが記号論理学。

519 ：１３２人目の素数さん：2006/07/25(火) 11:06:19

>>518
記号論理学以外の数学基礎論とは何か？
あるいは、数学基礎論は記号論理学を用いて何をするのか？
具体的に答えよ。

520 ：１３２人目の素数さん：2006/07/25(火) 12:11:12

情報工学、知識工学との関連は？

521 ：１３２人目の素数さん：2006/07/25(火) 23:03:19

モデル論とか集合論とか計算論とかまで記号論理とは言わんでしょ

522 ：１３２人目の素数さん：2006/07/26(水) 01:01:41

数学基礎論＝構文論 ∪ 意味論

構文論＝記号論理学

523 ：１３２人目の素数さん：2006/07/26(水) 01:38:56

recursion theoryとかは構文論とも意味論とも言い難いような

524 ：１３２人目の素数さん：2006/07/26(水) 03:44:52

>>522
その等号、どっちも変な気がするけど。

525 ：１３２人目の素数さん：2006/07/26(水) 09:53:50

>>522
記号論理学って構文論だけなの？初めて聞いた。
普通は記号論理学の中に構文論と意味論があるよね。

526 ：１３２人目の素数さん：2006/07/26(水) 10:16:29

記号論理学って言ったらちょっとニュアンス的に狭い感じがするような

527 ：１３２人目の素数さん：2006/07/26(水) 12:01:26

Journal of Symbolic Logic には、モデル論とか集合論とか計算論の論文が
いっぱい載っているぞ。

528 ：１３２人目の素数さん：2006/07/27(木) 00:34:58

∧∨￢⇒∀∃を使うのが記号論理学。
「かつ」「又は」「ならば」「任意の」「存在する」を使うのが言葉論理学。

529 ：１３２人目の素数さん：2006/07/27(木) 02:10:07

>>528
沢山書くと煩わしいから、∧∨￢⇒∀∃使うだけで、何使って表したって
意味は同じだろ。

530 ：あ：2006/07/27(木) 13:52:57

三平方の定理って数式で証明できるんですか？

531 ：１３２人目の素数さん：2006/07/27(木) 18:32:00

できるよ。あと、>>116

532 ：１３２人目の素数さん：2006/07/28(金) 12:38:51

たまたまAmazonのおすすめ商品を閲覧してたら、「競泳水着の女 SPECIAL」の
すぐ下にBell & Slomson の Models and Ultraproducts が並んでた。
いつのまにか復刊してたんだね。

533 ：１３２人目の素数さん：2006/07/29(土) 00:59:39

その本知らないんだけど、Doverだよね。
モデル論を一からやるとしたら、その本はいいのかな。
あたらしい本としては、例えば"a shorter model theory"なんかがあるけれど。

534 ：１３２人目の素数さん：2006/07/31(月) 17:57:36

変数分離形微分方程式　ｙ＾２－２ｘ＾３（ｄｙ/ｄｘ）＝０　　を解くとー２ｙ＾（－１）＝ｘ＾（－２）/2　　になったんですけどあってますかね？？？？　　　　　　　スレ違いだったらすいません。

535 ：１３２人目の素数さん：2006/07/31(月) 19:57:12

>>534
惜しい。間違ってます。あと、>>116

536 ：534：2006/08/01(火) 11:46:31

あらちがうか・・・・・・・・・・・質問すれ捜してきます。

537 ：１３２人目の素数さん：2006/08/01(火) 18:10:47

ゲーデルと２０世紀の論理学
http://www.utp.or.jp/series/godel.html
3990円。ちと高いね。

538 ：１３２人目の素数さん：2006/08/02(水) 14:45:21

>>532
ア○ルトならＤＭＭのほうがいいゾ。
ってか、紗月結花はいいな（ｗ

539 ：１３２人目の素数さん：2006/08/03(木) 23:42:41

>>538
SODも押さえとけ。旧作なら安くなる。

540 ：１３２人目の素数さん：2006/08/05(土) 14:30:21

>>537
1巻は、戦前からの日本の数理論理研究はどうだったかとか、
不完全性定理は人間の機械に対する優位を示したという説明が
間違っているのはなぜか、とかそういう話ばっかでテクニカルな議論とかは無いね。
不完全性と分析性の関係について述べたとことは、哲学に興味が無いと眠いかもｗ
竹内外史の記事目当てで買う人が居たら、コストパフォーマンス悪いかも。
10頁なかったような。

2巻以降はもう少し数学らしくなってくれると良いんだけど。
4巻の渕野先生の記事は数学の議論っぽいので期待。

541 ：１３２人目の素数さん：2006/08/05(土) 15:18:36

> テクニカルな議論とかは無いね。
少なくとも 2 つはあったけどね。

542 ：１３２人目の素数さん：2006/08/07(月) 09:08:23

>>540
まあ、逆に、ネットには掃いて捨てるほどいる
数学史ヲタクとか、数理哲学ヲタクとかには
ちょうどいい内容かも。どうせテクニカルなことは
理解できんし、理解する気もないだろ。

543 ：１３２人目の素数さん：2006/08/07(月) 09:12:02

数学史に関していえば、数セミの竹内外史の論文でしか
基礎論を知りえなかった「竹内史観」の連中にとっては
BG(=Before Gaisi)の時代のことがわかっていいんじゃないか？

544 ：１３２人目の素数さん：2006/08/07(月) 09:41:57

4巻はむしろ土屋俊氏と戸田山氏の論文に期待する。
数学のテクニックで、プラトニズムが実現できると
夢見る「数学狂徒」を奈落の底に突き落としてほしい。

545 ：１３２人目の素数さん：2006/08/07(月) 10:50:25

数学の関係者は数学セミナーの記事を論文とは呼ばない。

546 ：１３２人目の素数さん：2006/08/07(月) 12:21:19

>>545
数学者でない数学セミナーの読者は
読者だというだけで数学の関係者と
いいたがる悪癖がある。

547 ：１３２人目の素数さん：2006/08/08(火) 17:35:27

今になって数学をやり直したいと思っているのですが、
おすすめの入門本はあるでしょうか？

私の数学歴ですが、
文系ですが、大学受験では国立大学受験のため数学をやっていました。

数学を今になって学びたいと思うその目的としては、
論理学に興味をもち、
理解するためには数学の基礎力がないと話にならないと思ったからです。

よろしくお願いします。

548 ：１３２人目の素数さん：2006/08/08(火) 19:12:29

>>547
>>116

549 ：１３２人目の素数さん：2006/08/11(金) 02:39:55

BG,ACは他の名前で使われると違和感がある。標準はゲーデルとコーエンだろ？

550 ：１３２人目の素数さん：2006/08/12(土) 15:51:03

>>511
a=bの両辺にaを掛けろ。
そうするとa^2=abになるだろ。

次に両辺にa^2-2abを足せ。
2(a^2-ab)=a^2-abになったか。

次に両辺をa^2-abで割れ。
そうすると2=1になっちゃうだろ。

だから0で割ちゃいかんのだ。

551 ：１３２人目の素数さん：2006/08/16(水) 23:52:50

２＝１とか１＝０が出て嬉しいので０で割ることを推奨します。

552 ：１３２人目の素数さん：2006/08/17(木) 00:19:00

これ入試の問題なんだが答えってゼロでいいの？？
∫cos^4θsinθdθ　　（範囲は０から2π）

553 ：１３２人目の素数さん：2006/08/17(木) 00:41:20

>>552
いいと思われ。

554 ：553：2006/08/17(木) 00:48:49

∫[0～2π] cos^4 θ sin θ dθ

cosθ＝t とすると dt＝－sinθ dθ だから
与式＝ ∫[1～1] (－t^4)dt
＝ 0

555 ：１３２人目の素数さん：2006/08/17(木) 08:12:53

>>554
適当なスレに誘導しようよ

556 ：552：2006/08/17(木) 21:06:15

ありがとうございます！！＞５５４

557 ：１３２人目の素数さん：2006/08/17(木) 23:12:46

>>554は二度とこのスレに来るな

558 ：１３２人目の素数さん：2006/08/18(金) 00:12:56

初等整数論の初等って、論理学観点からはどういう意味になるの？

559 ：１３２人目の素数さん：2006/08/18(金) 19:56:58

数学基礎論の基礎とは違うだろ・・・

560 ：１３２人目の素数さん：2006/08/18(金) 19:59:01

>>558
選択公理を使わないということ

561 ：１３２人目の素数さん：2006/08/19(土) 00:52:04

ディオファントス方程式の解法アルゴリズムとは何かとか、素数を表す多項式
であるという述語の特徴づけとか、計算の理論を介して論理学と整数論は
結構接点があるような

562 ：１３２人目の素数さん：2006/08/19(土) 03:54:15

>>558
一階の算術というイメージがある

563 ：１３２人目の素数さん：2006/08/19(土) 13:13:54

一階の算術で素因数分解の存在と一意性を証明しようとすると大変だけどね。

564 ：１３２人目の素数さん：2006/08/20(日) 01:22:44

一階の算術で素数が無限にある
(どんな自然数に対してもそれより大きい素数がある)ことって示せますか。

565 ：１３２人目の素数さん：2006/08/20(日) 09:36:24

示せるよ

566 ：１３２人目の素数さん：2006/08/20(日) 22:34:20

＿
Ａ＝0.Ｃ+ＢＡ＝0.⊃．Ｂ＝0
この恒真性が分からない。力貸して欲しいのだが。

567 ：１３２人目の素数さん：2006/08/20(日) 22:35:23

>>566
所々についてるピリオドにはどんな意味が？

568 ：１３２人目の素数さん：2006/08/20(日) 22:50:32

principia mathematica のドット記号に似ているような……

569 ：１３２人目の素数さん：2006/08/20(日) 22:51:37

ひとつ大きさ違うピリオドがあるが、全部式の範囲を定める括弧の代わりだったはず

570 ：１３２人目の素数さん：2006/08/20(日) 23:05:26

一つ目のは AND を表すんだよな

>>566
真理値表書いてみたらいいんじゃないかな？

571 ：１３２人目の素数さん：2006/08/20(日) 23:34:24

>>570
俺の認識が間違ってたらスマンが、これは命題論理学じゃなくて
クラス論理学の方なんだ。だから真理表は関係なく、
わけわからん恒真式を、いくつも当て嵌めて解かねばならないんだ。

572 ：１３２人目の素数さん：2006/08/20(日) 23:50:25

>>571
とりあえず使える恒真式を並べてみて

573 ：１３２人目の素数さん：2006/08/21(月) 00:12:31

要するに
　∃xAx∧￢∃x(Cx∨(Bx∧Ax))⊃￢∃xBx
ということなのかな

574 ：１３２人目の素数さん：2006/08/21(月) 00:19:16

>>571
クラス論理学って何？教えてちょ。ぐぐってもようわからなんだ。syntaxとはまた違うの？

575 ：１３２人目の素数さん：2006/08/21(月) 00:22:41

>>572
そういわれても
Ａ+1＝1とかから始まって
Ａ＝0.Ｂ＝0：≡.Ａ+Ｂ＝0とか２０個以上あるんですが・・・

>>573
自分の方でやってるのには、そういう￢∃xみたいな記号でてこないです

576 ：１３２人目の素数さん：2006/08/21(月) 00:24:00

>>575
20個くらいなら書けよ
結局そのピリオドは何なんだよ

577 ：１３２人目の素数さん：2006/08/21(月) 00:33:41

俺もぐぐったが思いのほかヒットしなくて逆に驚いた
クラス論理学は伝統的論理学（定言三段論法とか）、
命題論理学（～≡∧⊃使った真理表）とかみたいに論理学の一つで
名辞を固体とクラス（集合）にわけて、クラスとクラスの包含やクラスへの
そのメンバーの帰属という観点からとらえようとする論理学らしい。
これ大学で習う論理学とは違うものなのかな・・・。

578 ：１３２人目の素数さん：2006/08/21(月) 19:47:18

それだったら、BG集合論で使う述語mで対応できないかな。

579 ：１３２人目の素数さん：2006/08/30(水) 17:13:14

400

580 ：１３２人目の素数さん：2006/08/30(水) 23:00:36

PRAについて(とりあえず定義から)知りたいんですが
何を調べたらいいんでしょうか。

581 ：１３２人目の素数さん：2006/08/31(木) 00:15:01

http://en.wikipedia.org/wiki/Primitive_recursive_arithmetic
ここらへん読むとか

582 ：１３２人目の素数さん：2006/09/01(金) 16:45:53

有限である公理の集合は再帰的集合、と本にあったのですが、
有限の<ｎ個の自然数からなる対>を要素として取る集合は再帰的集合、要素であるときに１を出力して停止し、要素でないときに０を出力して停止するプログラムを構成できる、ということでしょうか？

583 ：１３２人目の素数さん：2006/09/01(金) 16:51:08

うん。

584 ：もょもと：2006/09/04(月) 14:55:13

ひどく基本的な質問で恐縮なのですが、友人が

１＝０．９９９・・・（無限）・・・

だと言うのですが、自分にはどう見ても

１＞０．９９９・・・（無限）・・・

のような気がしてならないのです。

どなたか証明付きで教えて頂けませんか（´・ω・｀）？

585 ：１３２人目の素数さん：2006/09/04(月) 15:31:20

>>584
スレ違い。

1=0.999… その12.999…＠数学板
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1154943310/

586 ：１３２人目の素数さん：2006/09/04(月) 17:10:55

[sage]
>>584数Ⅲで習うよ。

587 ：中卒止まり：2006/09/04(月) 20:08:42

>>584のローレシアの王子。
その差の、１×１０＾∞をどう考えるかを、>>586で。
あ、ごめん。>>585。

588 ：１３２人目の素数さん：2006/09/04(月) 20:30:49

>>584
１未満は数字で表すと？

589 ：１３２人目の素数さん：2006/09/05(火) 21:00:43

三次元の展開について公式を教えて下さい

590 ：１３２人目の素数さん：2006/09/05(火) 21:53:29

>>589
たぶんスレ違い

591 ：１３２人目の素数さん：2006/09/07(木) 13:59:30

岩波文庫から『不完全性定理』が出ますよ。
http://www.iwanami.co.jp/.BOOKS/33/0/3394410.html

592 ：１３２人目の素数さん：2006/09/09(土) 00:30:54

どうして、完全性定理も翻訳して文庫にしないのだろう。

593 ：１３２人目の素数さん：2006/09/09(土) 00:40:34

まあいいじゃん。
今度東大出版会から出るし。

594 ：１３２人目の素数さん：2006/09/13(水) 00:49:41

スコーレムの定理とゲーデルの完全性定理の翻訳とあわせて、
解説でそれぞれの定理の意義とエルブランの定理の概要を説けば良い文庫本になるなあ。

595 ：１３２人目の素数さん：2006/09/16(土) 03:18:20

全くの素人なので、間違ってたら指摘お願いします
ゲーデル不完全性定理によると、もしかしたら矛盾のある公理系で定理を証明してるという事になりますが、そう言った場合何が問題なのでしょうか？矛盾のある公理系から出た定理は意味がないのでしょうか？

596 ：１３２人目の素数さん：2006/09/16(土) 03:24:13

矛盾のある公理系ではあらゆる命題が真となるので意味がない

597 ：１３２人目の素数さん：2006/09/16(土) 03:39:15

>596
どうもです
言われてみれば、そうですね
という事はあらゆる定理に疑いがかけられ、その疑いを拭うのは不可能という事ですよね？
あと自然数の足し算の体系が完全とスレの最初の方にありますが、意味不明なのですが・・・

598 ：１３２人目の素数さん：2006/09/16(土) 03:43:28

もしかして不完全性定理で用いられてる公理では対偶は考えられないのですかね？

599 ：１３２人目の素数さん：2006/09/16(土) 04:12:53

そんなはずはないですよね
完全の意味違いですかね

600 ：１３２人目の素数さん：2006/09/16(土) 08:37:32

各公理が矛盾しないことを証明すればその公理系は無矛盾

601 ：１３２人目の素数さん：2006/09/16(土) 09:14:20

>>600
「各公理」という表現では、正しくないね。
公理系は、その全体(すべての有限部分系でよいわけだが)が無矛盾という
概念が意味があるので、ひとつひとつが無矛盾でも全体では矛盾があるこ
とはいくらもある。

602 ：１３２人目の素数さん：2006/09/16(土) 10:56:45

因みにある公理系が無矛盾である事を示すには他の公理系を用いて、その公理系の無矛盾を示すのにまた他の公理系を用いてっていう公理系の無限列の存在を示せば、問題は解消されますか？

603 ：１３２人目の素数さん：2006/09/16(土) 11:00:50

問題というのは数学の完全性についてです

604 ：１３２人目の素数さん：2006/09/16(土) 22:50:04

>>597 >>599
数学基礎論とか不完全性定理は、
あまり比喩で理解をしようとしないほうが良いです。
誤った理解（特に酷い場合が、いわゆる「トンデモ」）と正しい理解が紙一重ですから。

ここでの「完全」とは、不完全性定理にせよ、
足し算だけの体系（Presuburger算術とか言うらしい）にせよ、
（自由変数を持たない、つまり閉じた）論理式φと
φの否定（￢φ）の、どちらか片方が必ず証明できることです。
「完全の意味違い」ではありません。

（第一）不完全性定理は、∀x（任意の自然数 x に対して～）とか
￢（否定）とか∧（かつ）とか足し算、掛け算の記号だけを使って、
自分自身の無矛盾性を「表す」ような論理式を工夫して作ってやる
ことで証明されます。
Presburger 算術というのはPeano算術の公理系から、
掛け算の再帰的定義に関するものを除いたもののことで、
そうすると公理系の表現力が弱くなって
自分自身が無矛盾である、ということをPresburger算術内部において
表現することが出来なくなるでしょうから、完全であってもおかしいことはありません。

>>598
φ→ψという論理式が考えられるなら必ず(￢ψ)→(￢φ)という論理式が考えられます。
つまり対偶は常に考えられます。

605 ：１３２人目の素数さん：2006/09/16(土) 22:50:34

>>602
PAに、PAが無矛盾であることを「表す」論理式Con PAを公理として
付け加えた公理系をPA'としましょう。PA' にCon (PA')を加えてPA''とし、以下同様に
PA''', PA'''', ........., PA^(n),.........と系列を作ればあなたのいう「無限列」になっていると思います。
ただ、そういう無限列だ、というだけの話で、'の数が有限である限り完全な公理系になっていません。

因みに、じゃあこの公理の集合の無限列の和集合をとって、
PA^(ω)とかおいて、さらに続けていけばどうか、という話ですが、
これはどこかで完全な公理系にはなるかもしれませんが（もしかしたらならないかもｗ）、
公理が無限個（無限種類）になると、今度はある論理式があったときにその論理式が
公理として与えられているかどうか、の判定が有限的に出来なくなりますので、
問題の解消と言うには程遠いでしょう。
何せ公理かどうか人間には分からないんですからｗ

606 ：１３２人目の素数さん：2006/09/16(土) 22:55:53

ん？ちょっと待てよ
PA^(0) = PA、PA＾（n+1) = PA + Con( PA^(n) )とおいたときに
「任意のnに対して PA＾(n)は無矛盾」ってのはPAの論理式で表せるのかな？
なんかそもそもそれが無理な気が。。

>>605の下段は一応スルーで、、

607 ：１３２人目の素数さん：2006/09/16(土) 22:56:52

無矛盾性じゃないのね

608 ：１３２人目の素数さん：2006/09/16(土) 23:26:20

> 「任意のnに対して PA＾(n)は無矛盾」ってのはPAの論理式で表せるのかな？
楽勝。

609 ：１３２人目の素数さん：2006/09/17(日) 09:37:34

>>604
Presburger 算術というが、なんだか知らないが、そこに書いてあるとおり
とすれば、掛算の演算記号はあって、PA の部分系になっているように読める。
すると閉論理式の全体が変わらず、公理が少ないのだから、証明できるもの
は減り、完全ということはありえない。

610 ：１３２人目の素数さん：2006/09/17(日) 09:46:17

いや、掛け算の記号がない算術だったはず

611 ：１３２人目の素数さん：2006/09/17(日) 15:53:27

>>609
＞掛算の演算記号はあって、PA の部分系になっているように
いや、掛け算の演算記号「・」自体無い言語上の公理系です。
函数記号・だけあって、その・の含まれる公理がなければ
不完全なのはtrivialかと思います。・が入ってる論理式が証明できるわけないので。

帰納法の公理図式からも当然、掛け算の含まれる論理式は除かれる、
とか正確に書いたほうが良いかとも考えたんですが、>>597にとっては
グダグダして理解しにくくなるだけかな、とも思いまして、、

612 ：１３２人目の素数さん：2006/09/17(日) 16:25:43

結果からいえば、 Presburger 算術では演算は + だけ、quantifier
elimination が可能なのですね。

613 ：１３２人目の素数さん：2006/09/21(木) 17:14:25

>>603
http://www.ice.nuie.nagoya-u.ac.jp/~h003149b/lang/p/frag/frag_g.html#complete
にも書いてあるけれど、完全(＝完備)という言葉はいろいろな意味で使われるから
「数学の完全性」みたいな曖昧な言い方は誤解のもとだと思います。
「完全」の意味をはっきりさせておかないと、根拠なく
>>599
>完全の意味違いですかね
とか思ってしまいかねない。

>>611
Presburger算術が完全であると知っても
記号の種類が少なくなっているから割と素直に受け入れられたけど、
実閉体の理論が完全だと言われたときは始め何か納得できなかった。
「『0』も『1』も『＋』も『・』もある。どの自然数も『1+…+1』で書ける。
その一方で数学的帰納法の公理はない。なんで完全になるんだ？」
みたいに。
「すべての自然数について」が表せないことに気づかなかった。

614 ：１３２人目の素数さん：2006/09/25(月) 13:50:15

実閉体の理論やプレスバーガー算術を扱ってる和書というと

竹内外史数学基礎論の世界　（実閉体）
田中一之数の体系と超準モデル　（実閉体、プレスバーガー算術）

ぐらいかな

615 ：１３２人目の素数さん：2006/09/25(月) 17:02:36

>>614
「数学基礎論の世界」に Presburger の算術の話は書いてあります。

616 ：１３２人目の素数さん：2006/09/25(月) 17:09:34

あとは田中一之のその本の巻末の洋書の参考書とかでしょうね

617 ：614：2006/09/25(月) 17:26:32

>>615
訂正ありがとうございます。
言い訳すると、竹内の本は持ってないのでチェックせずに記憶で書きました。

618 ：１３２人目の素数さん：2006/09/25(月) 17:41:13

岩波文庫で出た不完全性定理の論文の翻訳、本文より解説の分量の方が多いのはいいけど
ゲーデルよりもヒルベルト・プログラムの解説に重点を置きすぎ。
しかも1920年代以前のヒルベルトの見解が中心。

不変式論との関係とか面白くはあるけど、不完全性定理との関係が問題のわりには
1920年代以降の見解（レアールな命題とイデアールな命題の区別、道具主義など）
の説明が少なすぎ。

ネット上でその辺の話がある文章もほとんど見つからないが…
http://d.hatena.ne.jp/keyword/%A5%D2%A5%EB%A5%D9%A5%EB%A5%C8%A1%A6%A5%D7%A5%ED%A5%B0%A5%E9%A5%E0
http://www.ice.nuie.nagoya-u.ac.jp/~h003149b/lang/p/frag/frag_g.html#hilbert_formalism

619 ：１３２人目の素数さん：2006/09/25(月) 18:40:38

＞（レアールな命題とイデアールな命題の区別、道具主義など）
これって哲学の人はよく言うかも知れないけど、
数学の人はあまり気にしないか、または知らない人が多いと思いますよ。
ヒルベルト・プログラムの理解はゲーデルの業績の理解に必須だと思うのでしょうがないかと。

逆にゲーデルの業績と言ったらあとは完全性定理とか集合論とかだし
不完全性定理にももっと面白い話はあるでしょうけど、
ACとGCHの独立性とか、Paris-Harringtonの定理の話とかされても
読者が引いちゃうと思われ。

620 ：１３２人目の素数さん：2006/09/25(月) 18:41:09

ゲーデルの業績の意義の理解、かな

621 ：１３２人目の素数さん：2006/09/26(火) 07:29:30

形式的体系のモデルのDとしては、どのようなｍのが予定されているのでしょうか
公理的集合であることが求められるのでしょうか

622 ：１３２人目の素数さん：2006/09/26(火) 12:38:49

D？

623 ：１３２人目の素数さん：2006/09/26(火) 12:52:23

なんだろ、DomainのDか。

624 ：１３２人目の素数さん：2006/09/26(火) 13:13:34

DomainのDです

625 ：１３２人目の素数さん：2006/09/27(水) 11:59:37

>>618
＞ゲーデルよりもヒルベルト・プログラムの解説に重点を置きすぎ。
読んだなら解説はことごとく従来の陳腐な常識を
ひっくり返してることが分かるはずだが。

626 ：１３２人目の素数さん：2006/09/27(水) 12:11:45

林晋は基礎論周りの数学史研究はなかなか良い仕事してるよね。

627 ：１３２人目の素数さん：2006/09/27(水) 16:20:05

>>604 >>609 >>611 >>613-617
＞Presuburger算術

簡単にいえば、一次方程式は取り扱えるが、二次方程式は無理。
2XはX+Xと書けるが、X^2は足し算のみの形では書き直せないから。

628 ：アーレフ：2006/10/01(日) 15:58:45

基礎論の人が集まって学会開くと、某破防法指定宗教団体とよく間違われるとか。

629 ：１３２人目の素数さん：2006/10/01(日) 17:21:32

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　　　　　　　　　ソレハナイ　[N .Solyanain]
　　　　　　　　　　(1874～1946　スイス)

630 ：１３２人目の素数さん：2006/10/01(日) 17:27:05

アリフは集合論とかモデル論の人しか使わんのじゃないかな

631 ：１３２人目の素数さん：2006/10/03(火) 06:17:01

918

632 ：１３２人目の素数さん：2006/10/08(日) 16:54:16

すいません、よろしくおねがいします

Tはロビンソン算術の公理系として、
Tの公理である、という関係がTで表現可能というのは、
aに対応する論理式がTの公理である⇔φ（a)がTで証明可能
aに対応する論理式がTの公理でない⇔￢φ（a)がTで証明可能
を満たすφ（x)が存在するということらしいですが、
不動点定理
（aに対応する論理式→￢φ（a)）がTで証明可能
（￢φ（a)→aに対応する論理式）がTで証明可能
なるaが存在する
と、どうやって相容れてるのかがわかりません

633 ：１３２人目の素数さん：2006/10/09(月) 09:10:21

ある小説で、延々と会うことのできない犯人と探偵の比喩で用いられたんですが、
常にもう片方の線にたいして90度(45度だったかも）で線を引くと、そのお互いの線は
永遠に交わらないまま、みたいな曲線の名称を教えてください。
うろ覚えですがこんな感じの画像だったと思います

ttp://ranobe.com/up/src/up141812.gif

634 ：１３２人目の素数さん：2006/10/09(月) 09:47:04

>>633
まずは>>116を読んでほしい。

635 ：１３２人目の素数さん：2006/10/09(月) 16:42:58

次スレがあったらテンプレに入れとく必要があるよね

636 ：１３２人目の素数さん：2006/10/09(月) 22:14:07

>>116ってHrushovskiの名前が微妙にミスってるよね
iが変なところには言ってる

637 ：１３２人目の素数さん：2006/10/10(火) 20:36:12

>>636
それもそうだが、非古典論理、証明論、逆数学って始まる流れは何だ、
って感じだな。証明論が最初でも変だが、非古典論理、逆数学なんて
基礎論の中でさえ、隅っこだろう。

638 ：１３２人目の素数さん：2006/10/10(火) 22:19:24

いや列挙の順番は割とどうでも良いんじゃ。
何でこれが無いんだってのは特に無いと思うけど。
逆数学はマイナーだと思うけど非古典論理は隅っこと言うよりは
どちらかと言うと計算機科学に近い人がやってるって感じじゃないかと。

639 ：１３２人目の素数さん：2006/10/12(木) 11:56:34

公理であるなら定理であるは自明ですか？

640 ：１３２人目の素数さん：2006/10/12(木) 11:57:18

自明です

641 ：１３２人目の素数さん：2006/10/12(木) 13:16:40

642 ：１３２人目の素数さん：2006/10/12(木) 13:50:54

>>116
部外者ですが、116で
＞従ってこのスレでは、基礎的な数学の質問はスレ違いとなります
とありますが、”したがって”の語に対応する理由付けがありません。
論理は正しくつかいましょう。

643 ：１３２人目の素数さん：2006/10/12(木) 13:54:47

貴重な部外者様のご意見ありがとうございました。
これからもお元気でお暮らしください。さようなら。

644 ：１３２人目の素数さん：2006/10/12(木) 17:42:37

「ゆえに」「従って」のギャップがあれば
それは書き手のせいではなく
練習問題と捉えて読み手が埋めていく
という習慣が数学の学生には求められます

645 ：１３２人目の素数さん：2006/10/12(木) 18:58:43

放っておけ放っておけと天声が聞こえてくるわ

646 ：１３２人目の素数さん：2006/10/13(金) 00:13:55

質問です。
300m先の身長1.75mの人が、0.8mの距離でどの大きさに見えるかというのが知りたいのですが、計算式が全くわかりません。

tanA=1.75/300をどう組み替えればAの数値がわかるのでしょうか？

647 ：１３２人目の素数さん：2006/10/13(金) 00:16:25

人によって違うだろ。

648 ：１３２人目の素数さん：2006/10/13(金) 00:29:10

>>116あたりにいいことが書いてあるよ。

# >>116は駄目だ、という人は自分で誘導文でも考えてくれ

649 ：１３２人目の素数さん：2006/10/15(日) 16:13:12

別スレであっちいけと言われてしまいましたので、こちらに来ました

１＋１＝２を証明してください

宜しくお願いします

650 ：１３２人目の素数さん：2006/10/15(日) 16:17:53

>>649
2 の定義を教えてください。また＋の定義を教えてください。

651 ：中川泰秀 ◆tyvkWCNtzY ：2006/10/15(日) 16:55:30

当時=１９８０年の添上高校は上位３人は国立大学に合格したから、
トップの私は合格するはずだったんだがなあ。

652 ：１３２人目の素数さん：2006/10/15(日) 16:57:43

受験はミズモノですから、、、

653 ：中川泰秀 ◆tyvkWCNtzY ：2006/10/15(日) 16:59:31

京都大学　経済学部　不合格。
でも、それから十数年後に大学院に５校も合格したので
取り戻しているか　　・・・・・・　　。

654 ：１３２人目の素数さん：2006/10/15(日) 17:01:21

>>649
あっち池

655 ：中川泰秀 ◆tyvkWCNtzY ：2006/10/15(日) 17:06:24

それよりも、１－３＝Ｏを証明してほしい。

656 ：１３２人目の素数さん：2006/10/16(月) 09:36:00

>>641
(1) 論理式BはTの公理でない⇒ T |- ￢φ("B")
不動点定理より
T |- ￢φ("B")⇒T |- B
論理式BはTの公理でない⇒T |- B
となってまずくないですか

657 ：１３２人目の素数さん：2006/10/16(月) 09:50:00

B が公理ではなく定理ならば当然そうなる。

658 ：１３２人目の素数さん：2006/10/16(月) 10:01:50

公理でなくても証明できる論理式はあるような。
何がまずいの？

659 ：１３２人目の素数さん：2006/10/16(月) 12:30:02

ひょっとして「ならば」の意味を勘違いしてない？

660 ：１３２人目の素数さん：2006/10/16(月) 13:38:01

⇒というのは
ネコである　ならば　哺乳類である
とかいうときのならばですか？
Pねこ
Qほにゅうるい
∀ｘ（Px→Qｘ）
ねこならばほにゅうるいである
という時の

661 ：１３２人目の素数さん：2006/10/16(月) 13:44:39

次の命題を背理法で証明して下さい。
「Kingはうんこである」

662 ：１３２人目の素数さん：2006/10/16(月) 13:49:50

>>661
うんこでないとするとkingであることに反するから証明された．

663 ：KingOfUniverse ◆667la1PjK2 ：2006/10/16(月) 13:56:25

talk:>>661-662 お前は誰に何を吹き込まれた？

664 ：１３２人目の素数さん：2006/10/16(月) 14:59:15

便所の落書きとは良く言ったもんだ．．．おめえらの大学の便所は相当古いな。

665 ：１３２人目の素数さん：2006/10/16(月) 15:28:45

>>664
Ｋｉｎｇ乙

666 ：１３２人目の素数さん：2006/10/16(月) 16:12:04

「ならば」の後ろ側(後件)が真なら、全体も真。
「T |- B」が正しいなら、それだけで
「論理式BはTの公理でない⇒T |- B」も正しいから、
おかしくなりようがないと思う。

それとも
・論理式BはTの公理でない⇒T |- B
・論理式BはTの公理である⇒T |- B
の両方が成り立つのは変じゃないかってことかな？だとしたら、変ではない。

667 ：１３２人目の素数さん：2006/10/16(月) 16:18:58

>>656
BはTの定理だけど公理ではないってことじゃね?

668 ：１３２人目の素数さん：2006/10/16(月) 17:50:34

>>666
ああ、ならばの意味がどうとかってそういう意図か。
それなら今の話には関係ないよ。
>>641の不動点定理による
T |- B <-> ￢φ("B")
の話だから。

669 ：KingOfUniverse ◆667la1PjK2 ：2006/10/16(月) 18:02:00

talk:>>665 何やってんだよ？

670 ：１３２人目の素数さん：2006/10/16(月) 18:27:12

Tの中でB ⇔ ￢φ("B")が証明できるって言ったほうが分かりやすいな。

何時見ても気持ち悪い同値記号の使い方だけど、まあしょうがない。

まあだから実際は
「Bかつ￢φ("B")」か「￢Bかつφ("B")」のどちらか。
￢φ("B")は「Bは公理ではない」で、φ("B")は「Bは公理である」だから
後者は公理系が矛盾してない限りありえないけどね。

では理解度テスト。

>>632さん
φの代わりににTの定理である、という関係を考えると直ちに矛盾が置きそうですが、
実際は問題ありません。>>632の状況と何が違うんでしょうか。

671 ：１３２人目の素数さん：2006/10/17(火) 01:43:13

矛盾が生じる、
よって
Tの定理であるという関係を表現するφ（ｘ）は存在しない
ではないのですか？

672 ：１３２人目の素数さん：2006/10/17(火) 01:52:07

ですですー

公理だと問題ないよね

673 ：１３２人目の素数さん：2006/10/17(火) 09:41:07

衝撃！
ゲーデルの不完全性定理は間違っていた！

674 ：１３２人目の素数さん：2006/10/17(火) 23:17:35

レーティング計算って決まったルールはあるんですか？

675 ：１３２人目の素数さん：2006/10/17(火) 23:20:03

>>673 ゲーデルの不完全性定理は間違っていた！
新手のトンデモ？でも読んでみたい

676 ：１３２人目の素数さん：2006/10/17(火) 23:27:49

単に、>671 を読み違えているだけではないの？

677 ：１３２人目の素数さん：2006/10/17(火) 23:38:01

そういうことだよん

678 ：１３２人目の素数さん：2006/10/23(月) 12:35:25

すいません、定積分の結果が、グラフで囲まれる面積ってイメージがつかめません。
lim→0とかΣで近似して「ほらね」って感じの説明を先生から受けたんですけど、
他の方法はありませんでしょうか？

679 ：１３２人目の素数さん：2006/10/23(月) 12:40:03

>>678　>>116 あたり読もうね

680 ：１３２人目の素数さん：2006/10/23(月) 12:43:09

>>679

すいませんでした。
「論」を読み飛ばしてました

681 ：king様の弟子 ◆/LAmYLH4jg ：2006/10/23(月) 14:49:32

左剰余類の集合に演算を定義するにあたっての、条件みたいなの
自分で考えたのですが、これでよいでしょうか？　G：群　　H:部分群
xH○yH=xyHがwell defになる条件　まず、代表元x、yのとり方によってはいけないので、
ｘH=ｙH　、x’H =y’H　　すなわち、x～y、x’～y’としたとき　xx’～yy’とならなくてはならない。
（xx’)＾-1　yy’=(x’)＾-1　x＾-1　yy’
　　　　　　　　 ∈(x')^-1 H y'
よって　y’H=Hy’であれば、左剰余類の集合に演算が定義できる。
これでよろしいでしょうか？

682 ：１３２人目の素数さん：2006/10/23(月) 15:09:26

>>681
またお前か！　>>116 を熟読の上巣へ帰れ。

683 ：king様の弟子 ◆/LAmYLH4jg ：2006/10/23(月) 15:10:30

>>682　教えてください。

684 ：１３２人目の素数さん：2006/10/23(月) 15:22:14

http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1099840004/234
折角群論とか代数学のスレがあるんだからそっちでやろうぜ

今のスレ一覧見る限り、集合論の話はこのスレでやることになりそうだが。

685 ：king様の弟子 ◆/LAmYLH4jg ：2006/10/23(月) 15:24:05

>>684　おう、ありがとう！！！

686 ：１３２人目の素数さん：2006/10/23(月) 15:31:49

やっと発売されたかな。アマゾンとかではまだ買えないけど。
http://www.utp.or.jp/bd/4-13-064096-8.html

687 ：１３２人目の素数さん：2006/10/23(月) 20:53:41

これ教えてくれ・・意味わからん・・。

We define the dual edge e* as the preimage of the two segments in these polygons, joining the origin to the point of the boundary mapped to the middle of e.

マジでさっぱり意味が取れない。お願いします。

688 ：１３２人目の素数さん：2006/10/23(月) 22:00:29

>>687
文脈が分からないが、それ基礎論の話？

689 ：１３２人目の素数さん：2006/10/23(月) 23:54:50

全然違うな。
それにこの程度の英語もわかんないのかよ。

690 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 02:23:35

すいません。
哲学板の住人なんですが、哲学で真理について話していました。
そのなかで、

「論理的な客観的真理と呼べるのは、トートロジーのみであり、排中律や矛盾律は真理ではない。
ヘーゲルが弁証法で示したことにより、中間で、中途半端なものはありうるからだ。
現実にデカルトも『われ思う、ゆえにわれあり』というトートロジー以上の哲学原理を発見できなかった。
同一律以上の客観的真理は、論理的展開ではなく、多数決が決定する」

という意見がありました。

しかし、数学の世界では排中律や矛盾律が幅を利かせていて、証明とかにも使われますよね？

これはなぜなんでしょうか？
なぜ数学には、トートロジー以上の論理展開ができるのでしょうか？
それとも、すべての数学はトートロジーなのでしょうか？
ただの変形や分解、言い換えに過ぎないのでしょうか？

どうして数学は、普遍的で不変的な、客観的真理なんですか？

691 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 02:28:57

>>690
真理の定義によるが・・・

692 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 02:38:39

脳内ヘーゲルについて語るひとはもうお腹いっぱい

693 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 02:50:17

>>690
数理論理学を勉強してくれ。
それなしでいくらあれこれ考えても、数学屋から見れば空回りしてるだけだから。

694 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 02:50:21

>>690
君たちが数学を理解したうえで、自身の手で解決すべき問題と思う。
我々には解けない問題だよ。哲学を良く知らないから・・・

695 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 03:40:25

>>690
数学が扱う真理とは「もし～～ならば～～」という形を取ります。
排中律等も「もし排中律が成立するならば～～」という形で扱われ、
排中律それ自体が客観的真理かどうかといった問題は数学では扱いません。

それから後ろの方で並べられてる質問も、それこそ哲学の問題だと思います。
そういった問題に興味があるなら、ウィトゲンシュタインから
論理実証主義、クワイン…と続く流れを勉強してみる事をお薦めします。

696 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 03:45:49

公理の記述はメタ数学だよな

697 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 07:26:12

>>690
排中律や矛盾律もトートロジーでは？というつっこみはないの
P→Pと￢P∨Pと￢（P∧￢P）は古典論理の中では定義上同じ

698 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 08:19:31

>>697
なんで勝手に古典論理で考えるの？というつっこみはないの
直観主義論理では同値でないし

699 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 14:02:50

哲学をやってる人は自分の言葉に酔ってるからね

700 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 14:11:29

お前みたいにか？

701 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 14:48:24

>>699
言葉に酔ってるというか、哲学は複雑系に対して、数学は単純系なんだよな。
現実世界には、たしかに矛盾律も排中律も通用しない。

それに対して、数学はデジタルで、単純系で、不純物を徹底的に排除でき、
実験も観察も不必要で、どこまで行っても机上の空論だから、
普遍的な真理という体面を保っていられる。

あくまでも数学はパズル・ゲームなんだよな。チェスや将棋と一緒。
現実の世界には、いきなりチェス板や将棋板をひっくり返すやつがいるから難しい。

702 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 15:02:06

>>701
自分の言葉に酔ってないか？

703 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 15:04:33

酔ってるかどうかで真か偽かに影響あんのか？

704 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 15:07:26

毎度おなじみの哲厨の乱入だが、退屈しのぎにいいか。
過疎スレだしね。

705 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 15:21:21

真偽以前の問題、という指摘ではないか？

706 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 15:25:18

>>695
>数学が扱う真理とは「もし～～ならば～～」という形を取ります。
>排中律等も「もし排中律が成立するならば～～」という形で扱われ、

カントの概念に分析判断と総合判断という概念があって、
分析判断は主語にすでに述語の内容が織り込まれている判断を指すんだけど
（白馬は白いとか、４角形には角が４つあるとか）、すべの公理からの展開であるということは、
すべての数学は分析判断ということになるの？

数学は、すでに前提や主語の中にすべてが内包されていて、それを展開させているだけなの？

707 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 15:35:30

毎度おなじみ厨どうしのクソのひりあい

708 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 15:37:02

>>706
> カントの概念に分析判断と総合判断という概念があって、

カントの概念が科学や数学に適用可能だとは限らないのでは？

709 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 15:51:51

>>706
カント自身は数学は総合的だと考えたが、
20世紀前半の基礎論の創始者たちは
カントの分析と総合の区別を受け入れたうえで、
数学は分析的だと考えた。
>>695もその流れにある発想だろう。

どちらが正しいかは一概に言えない。
数学の理論だけ考えれば間違いなく「分析」の立場が正しいが、
理論化された部分だけが数学のすべてではないとして
数学者の活動まで含めて考えれば「総合」の立場にも一理はありそう。
実際の数学者の議論をひもとくと
>>695みたいな数学観で説明つかないところまで
論争していることは多いから。

710 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 15:53:18

過去の哲学者の言葉に惑わされずに、事物を自分の目で眺める訓練も必要だよ。

711 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 16:11:35

まあ興味があれば両方学ぶしかない

712 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 16:20:08

西洋哲学なんてプラトンの脚注に過ぎないんだから、
プラトンだけ読んでおけばおｋ

713 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 16:50:26

>現実の世界には、いきなりチェス板や将棋板を
>ひっくり返すやつがいるから難しい。

でも物理法則には逆らえない（ｗ

714 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 17:39:42

>>712
注まで読まないと本文を読んだことにならないという学問文化の
人が言った言葉を曲解してはいけない

715 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 19:01:31

>>709
>カントの分析と総合の区別を受け入れたうえで、
>数学は分析的だと考えた。

そうなの？判断の分析と総合の区分はそんなにハッキリしないような
イメージ持ってたんだけど。読んだの昔の話だからあやふやだけど。
分析ってのは巷でいうところのイデア説でしょ。概念に述語が全て含まれているっていうか。
数学者の数学観が固定してないのを見ると、分析か総合か？なんてどちらか一つに
断定することは無理な気がする。

716 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 19:19:51

>>715
> 判断の分析と総合の区分はそんなにハッキリしない

という立場が出てくるのは20世紀後半に入る頃から。

> 分析ってのは巷でいうところのイデア説でしょ。概念に述語が全て含まれているっていうか。

「巷でいうところのイデア説」というのでどういうものを
言っているのかわからないけれど、少なくとも
哲学でいうところのイデア説とは別物だよ。
少なくとも言い出したカントはイデア説はとってないし、
分析・総合の区別は言語の規約説を取る人でも採用できる。

> 数学者の数学観が固定してないのを見ると、分析か総合か？なんてどちらか一つに
> 断定することは無理な気がする。

まあそれは>>709の後半の通り。

717 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 19:27:50

「分析」、「総合」というのはカントが生きていた時代の思想界のテーマだったわけで・・・

２１世紀人から見ると「昔の人はピント外れなことを考えていたんだな～」ということになります。

カントに思想は思想史上の価値はありますが、現代人が自らの智能で哲学する上では
参考になりません。

718 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 19:41:27

20世紀の基礎論や哲学の人が「分析」「総合」の区別を論じたとき
カントの元々の区別からは微妙に違うものになってたのは確か

719 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 19:42:09

>>706
695だけど、数学が分析的かどうかはオレには分からん。

哲学史的には、カントは数学は総合的だと考えたけど、
一方で論理や数学は分析的であると考える人たちもいて、その典型は論理実証主義。
その後、クワインによって分析的／総合的という区別自体に批判が向けられ、
「分析的」という概念も今はそう簡単には使えなくなってる。
>>695の最後の文章は、そういう流れを踏まえて書いたもの。

オレ個人としてはそういう事を議論するなら、「数学は分析判断」という主張は
いったい何を意味するものなのかって事から考えるべきだと思ってる。
でもまあ、これ以上の話はスレ違いだけどね。

720 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 20:00:59

>>719
スレ違い覚悟で。
>>695の後半の文章はそういう意図だろうなあと思ったけれど、
前半の文章は論理実証主義の「数学は分析的」（のある派）の
考え方をうまく要約していたし、その考え方の放棄はクワインによる
分析／総合の区別の放棄とコインの裏表の出来事だったので、
>>709のように書かせてもらいました。失礼。

721 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 20:04:30

>>716
> > 判断の分析と総合の区分はそんなにハッキリしない
> 立場が出てくるのは20世紀後半に入る頃から。
へーそうなんだ。

>>717
まあ人文系の学問は歴史とセットだってことだろうな。

722 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 20:06:58

誘導厨と言われるの承知で言うけど、せっかくスレあるんだからこっち使おうな
数学と哲学
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1149065789/

723 ：１３２人目の素数さん：2006/10/24(火) 20:13:22

よう誘導厨

724 ：１３２人目の素数さん：2006/10/25(水) 13:47:20

「完全性定理とモデル理論」買ったお（　＾ω＾）

725 ：１３２人目の素数さん：2006/10/25(水) 13:48:02

うんうんそれで、おもしろかった？

726 ：１３２人目の素数さん：2006/10/25(水) 13:52:39

まだ眺めただけだお
これから読むお（　＾ω＾）

727 ：１３２人目の素数さん：2006/10/25(水) 16:48:02

>>724
それってまだアマゾンで売らないのかな。直接買うと送料かかっちゃうんだよな。

728 ：１３２人目の素数さん：2006/10/25(水) 18:55:30

一巻はamazonでも売ってるし、ちょっと待てば出てくるんじゃないかと。

729 ：１３２人目の素数さん：2006/10/31(火) 02:56:05

質問です。
Rを実数全体の集合、P(R)をそのベキ集合とするとき、選択関数 f：P(R)－{φ} → R を
選択公理を使わず構成的に定義することは出来るのですか？つまり、任意のA⊂R (A≠φ)に
対してf(A)∈Aを満たす写像f：P(R)－{φ} → R を、選択公理を使わず構成的に定義する
ことは出来るのですか？

730 ：１３２人目の素数さん：2006/10/31(火) 20:17:08

できない。

731 ：１３２人目の素数さん：2006/10/31(火) 20:36:55

>>729
その選択関数の存在と、実数直線の整列可能性が、かなり弱い集合論で
同値。730にあるように、ZF　では証明できない。

732 ：１３２人目の素数さん：2006/10/31(火) 22:59:20

選択公理を仮定しても定義できないという意味なのだけど。

733 ：１３２人目の素数さん：2006/10/31(火) 23:17:22

選択公理を使わずに構成できたら
ZFでも構成できるんでないの？

734 ：１３２人目の素数さん：2006/10/31(火) 23:33:24

事実だけ書くと、>729 の質問より強く、ZFC でも定義できない。

735 ：１３２人目の素数さん：2006/11/01(水) 00:22:27

「定義可能」をどう考えるかにもよるだろうけどね。
そこらへんはそういう理論があるんだろうね。

736 ：１３２人目の素数さん：2006/11/01(水) 19:01:31

空でない集合たちの射影系
‥→X_n+1→X_n→X_n-1→‥　‥→X_0
ですべての写像が全射の時、
その射影極限は空でない。

これは、可算選択公理から証明できますか。
可算選択公理が仮定されていない時はどうなりますか。

737 ：１３２人目の素数さん：2006/11/01(水) 22:48:05

>>727
Amazonで1巻買ったからか、メールで2巻入荷の連絡がきたんでオーダー出したのが昨日届いた。
3巻以降は発刊と同時に入荷して欲しいね。

738 ：１３２人目の素数さん：2006/11/02(木) 01:00:58

εδ論法を使った問題ってどんなのがありますか？

739 ：１３２人目の素数さん：2006/11/02(木) 01:50:48

>>738
実数列{an}(n＝0,1,2,…)は、実数αに収束するとする。また、実数列{bn}(n＝0,1,2,…)は、
級数Σbiが絶対収束するとする。このとき、lim[n→∞]Σ[k＝0～n－1]ak*b(n－k)を求めよ。
また、なぜその値になるのかも証明せよ。

740 ：１３２人目の素数さん：2006/11/02(木) 01:55:13

>>738　>>739
コラ、ε-δスレでやれ。

741 ：１３２人目の素数さん：2006/11/02(木) 15:00:14

物凄い簡単な質問と思いますが

（A⇒B） ⇒ [（A∩B)⇔A]

て正しいですよね

742 ：１３２人目の素数さん：2006/11/02(木) 15:15:10

訂正
（A⇒B） ⇔ [（A∩B)⇔A]

743 ：１３２人目の素数さん：2006/11/02(木) 16:59:34

2巻のP170の翻訳可能の話を見て思い出した前からの疑問なんだけど

整数環の公理系
とか
有理数体の公理系

って、どうなるの？順序対による翻訳とかモデルの話じゃない方。

あとこの本に書かれている有理数の中での整数の定義の仕方を知っている人、教えて。

744 ：１３２人目の素数さん：2006/11/02(木) 17:54:16

あるx∈Nに対してはf(x)が決定不可能である関数f:N→{T,F}を母関数とした集合
{ x | x ∈ N, f(x)=T} という集合は集合の密度とか計算不可能なわけだけど
各種通常の集合と同じ様にあつかえるの？

745 ：１３２人目の素数さん：2006/11/02(木) 22:45:16

>>742
正しいですね

746 ：１３２人目の素数さん：2006/11/03(金) 02:25:46

>>743
帰納的に可算だと不完全性定理が適用できるね。

747 ：１３２人目の素数さん：2006/11/03(金) 13:19:10

>>743で聞いているのは「具体的に公理を教えて」ということです。出来れば標準的に使われるもので。

748 ：１３２人目の素数さん：2006/11/04(土) 16:18:43

この間注文した「数学の基礎をめぐる論争」というお気楽な本
が届いたので、今日本屋で受け取って帰りに読み出したんだけど
読み始めて６ページ目で下の文章をハケーン。

・・・、再正規化と量子場理論におけるファインマン経路積分もそうらしい。

「くりこみ」って言葉知らなかったみたいでつね・・orz

749 ：１３２人目の素数さん：2006/11/05(日) 19:49:34

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎも知らずに本書くなんて
どんな恥知らずが本書いてるんだ？？？

750 ：１３２人目の素数さん：2006/11/05(日) 21:48:29

二刷ではさすがに「繰り込み」に直ってるな

751 ：１３２人目の素数さん：2006/11/06(月) 15:40:19

>>749
ロジシャンがくりこみ知らなくても別に恥ずかしくないが・・・

なんでも知りたがる奴に限って何も発見できない。

752 ：１３２人目の素数さん：2006/11/06(月) 23:12:11

名前だけ知って偉そうな顔するよりは何も知らないほうがマシかもな。

特に訳者は工学部出た後アメリカで大学院教育受けたみたいだから、
renormalizationという言葉は知ってても日本語の訳語は知らなくても不思議はないかも。

753 ：１３２人目の素数さん：2006/11/08(水) 17:21:58

＞renormalization

この手続きの数学的基礎が確立された後では
きっと「昔の人は随分野蛮なことしてたんだね（ぷ」
とかいうんだろうな。
とはいえ、ε-δ論法を覚えた大学一年坊主よりも
オイラーのほうがはるかに天才であることに変わりはない。

754 ：１３２人目の素数さん：2006/11/08(水) 20:49:03

ガウスとどっちが凄いかね？

755 ：１３２人目の素数さん：2006/11/10(金) 17:55:53

岩波文庫の『不完全性定理』を読んだのだけど
解説はかなり労作でこの解説だけでも読む価値はあると思う。

ただ何でこの文章がゲーデルの論文についてるんだろうという疑問もある。
ゲーデル(や他のロジシャン)への影響という面を考えると
基礎論復帰後の公式発言に基づく従来的なヒルベルト像ではなく
初期の未発表の研究・見解に基づくヒルベルトのみを強調している事には
多少バランスの悪さを感じた。

>>618
の人もその辺に文句を言ってるのだと思う。
でも哲学系の人が好みそうな話があまり書いてないのは良いと思う。

756 ：１３２人目の素数さん：2006/11/11(土) 03:43:37

連続体仮説がZFC独立っていうのが未だに信じられない
どこがZFCの枠外なんだろう？

757 ：１３２人目の素数さん：2006/11/13(月) 13:42:33

129

758 ：１３２人目の素数さん：2006/11/14(火) 16:37:28

「数学基礎論入門」前原は読んで楽しかったのですが、
さて次はということで

「連続体仮説」コーエン東京図書１９９０　という本が気になっているのですが

これは、読んで証明の内容が勉強できる本なのでしょうか？
それとも単に一般向けの読みものなのでしょうか？　
（単に読み物だったら悲しいので・・）

ご存知の方教えて頂けましたら幸いです。

759 ：１３２人目の素数さん：2006/11/14(火) 19:42:28

>>758
「連続体仮説」はコーエンがハーバード大学で行った講議の講義録だそうだ。
特に予備知識は前提とせずに、論理学と集合論の基本知識からはじまって
連続体仮説と選択公理の独立性の証明まで進む構成になっている。

現在では、強制法はgeneric拡大を考えるのが一般的だけど、
この本では少し違う方法を取られている。
しかも、これだけの内容を200ページに凝縮しているので
一人で読みすすめるのは相当な労力が必要だと思う。
証明の内容を勉強するのは可能だけど、それよりも「数学の古典本」という印象の本。

760 ：１３２人目の素数さん：2006/11/14(火) 21:03:18

>>759
早いお返事をありがとうございました。

>>一人で読みすすめるのは相当な労力が必要だと思う。
>>証明の内容を勉強するのは可能だけど、それよりも「数学の古典本」という印象の本
少し悩ましい感じのコメントを頂いたような気がしますが、
気分が盛り上がっているので、勢いで買ってしまうかも・・今晩よく考えてみます。　

761 ：１３２人目の素数さん：2006/11/14(火) 21:37:43

集合論や強制法の勉強をしたいだけなら、別の本の方がいいと思うけどね
コーエンの方法は、現代的に見れば、分かりにくい上に少し古臭いんで。

762 ：１３２人目の素数さん：2006/11/20(月) 17:34:19

>>755
＞基礎論復帰後の公式発言に基づく従来的なヒルベルト像ではなく
＞初期の未発表の研究・見解に基づくヒルベルトのみを強調している

林晋は、その
「公式発言による従来的なヒルベルト像」
は間違ってるっていう人だから。

そりゃ従来の話を信奉してきたシロウトにとってはむかつくよね。
まあ、シロウトは常にクロウトに哂われるアホウな存在なわけだが

763 ：１３２人目の素数さん：2006/11/20(月) 17:40:14

>>736をお願いします。

764 ：１３２人目の素数さん：2006/11/20(月) 21:02:52

数学の基礎を勉強できるサイトとかないですか？
学生時代何もしてなかったので、まず中学レベルを学びたいのですが

765 ：１３２人目の素数さん：2006/11/20(月) 21:43:31

>>764
>>116

766 ：１３２人目の素数さん：2006/11/24(金) 16:06:18

>>762
＞ゲーデル(や他のロジシャン)への影響という面を考えると
って書いてるんだから、実際のヒルベルトがどうだったのかという話とは別だろ。

たとえばPrawitz(Natural Deductionの人)も「証明論の哲学的立場」で
「従来的なヒルベルトプログラム」を説明していた。
影響関係が問題なら公式見解のほうが重要だと思うが。

767 ：１３２人目の素数さん：2006/11/24(金) 16:23:36

なぜ皆が放置したのか考えなさい

768 ：１３２人目の素数さん：2006/11/24(金) 23:40:02

>766
林信者は聞く耳もたんよ。

769 ：１３２人目の素数さん：2006/11/25(土) 06:21:32

基礎論復帰後っていつのことを言っているんですか？
幾何学基礎論を書いたりしたときが第一期で、
その後一度基礎論から遠ざかってまた基礎論に
手をつけたときのことを「復帰」と言ってるのかな？

あまりヒルベルトの事詳しくないから分からないんだけど…

＞そりゃ従来の話を信奉してきたシロウトにとってはむかつくよね。
＞まあ、シロウトは常にクロウトに哂われるアホウな存在なわけだが
こういうこと言ってる人に何言ってもしょうがないよね。
林晋を支持してるとかしてないとかに関係なく。

770 ：１３２人目の素数さん：2006/11/25(土) 14:17:07

円周率πというのがなぜ存在するのがわかったのか、教えてください。
またなぜ角度をπを用いて表現できるのかも教えてください。

771 ：１３２人目の素数さん：2006/11/25(土) 14:40:59

断る

772 ：１３２人目の素数さん：2006/11/25(土) 16:24:02

実数の定義とそこから導かれる性質をおしえてください！

773 ：１３２人目の素数さん：2006/11/25(土) 17:06:32

＞影響関係が問題なら公式見解のほうが重要だと思うが。

そう思うのは、ウソを信じてる素人だけ
ああ、素人って北朝鮮人民なみに無知なんだね（ｗ

774 ：１３２人目の素数さん：2006/11/25(土) 17:14:36

＞＞そりゃ従来の話を信奉してきたシロウトにとってはむかつくよね。
＞＞まあ、シロウトは常にクロウトに哂われるアホウな存在なわけだが
＞こういうこと言ってる人に何言ってもしょうがないよね。

シロウトにいうべき言葉などない。憤死するしかないのがシロウト

775 ：１３２人目の素数さん：2006/11/25(土) 17:22:11

お前は基礎論の研究者なのか？

776 ：１３２人目の素数さん：2006/11/25(土) 17:53:46

林先生に怒られたこともある半可通

777 ：１３２人目の素数さん：2006/11/25(土) 19:54:41

100gのケーキを三等分って出来るのか？

778 ：１３２人目の素数さん：2006/11/25(土) 20:15:44

90グラムのケーキを三等分って出来るのか？
それに三等分って、どういう意味だ。考えろ。

779 ：１３２人目の素数さん：2006/11/25(土) 21:45:09

例えば円型のケーキだとしたら120度×3で綺麗に三等分できるじゃないですか？
見た目は

でも100gの物を等分すると割り切れないからどうなのかなぁーって

780 ：１３２人目の素数さん：2006/11/25(土) 22:24:57

100/3g×3 で綺麗に三等分できるじゃないですか

で、それは基礎論とどう関係するの？

781 ：１３２人目の素数さん：2006/11/25(土) 22:41:53

林さんの不完全性定理を読もうかと思いましたが、
自然数の「型」だとか「類」だとかよくわかりません。
wikipediaでもgoogleでもなんでもいいから
リンク貼って下さい！！お願いします！
型とか類だとgoogleでわからないんですよね・・・。

782 ：１３２人目の素数さん：2006/11/25(土) 23:56:40

ゲーデルの論文を読むのに必要な知識について、ポインタが
なにもない本を買ってしまった不運を恨んでください。

783 ：１３２人目の素数さん：2006/11/26(日) 00:10:30

前原先生の本でも追加して買いましょう

784 ：１３２人目の素数さん：2006/11/26(日) 00:13:05

岩波文庫は一般人向けではないのですね！！
ボクは数学得意だったのに・・・。
一緒に買ったウィトゲンシュタインの本とか
別の日に買ったカラマーゾフでも読んでます。

785 ：１３２人目の素数さん：2006/11/26(日) 00:29:49

前原昭二著『数学基礎論入門』（1977）
これですか？

少なくとも型＝プログラム言語でいう変数型
類＝集合ということにしても
類の類、類記号とかは訳注してほしかったな。

786 ：１３２人目の素数さん：2006/11/26(日) 01:22:02

3*(1/3)=3*(0.333333...)=0.99999...
これは決して１じゃないと思うのですがどうでしょうか。

787 ：１３２人目の素数さん：2006/11/26(日) 01:37:04

推論規則MPは数学基礎論ですか？

788 ：１３２人目の素数さん：2006/11/26(日) 01:46:58

>>786
1=0.999… その13.999…＠数学板
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1161855366/

789 ：１３２人目の素数さん：2006/11/26(日) 06:39:59

>>785
それやりだすとPrincipia Mathematicaの公理とか
ドット記法とか全部訳注でつけないといけない。
そうすると不完全性定理とかヒルベルト・プログラムの本じゃなくて
PMに関する本になっちゃうぞ。

というか自分が何を知らないか、この場合は考えれば分かるだろ。
どういう本を読めばいいのかも。

類ってのはclassの訳語だから、何かの集まりという意味だってのは
読者が自分で類推して読むべき用語かも。

>>787
いいえ、Modus Ponensは推論規則であって数学や論理学の分野じゃないですよ。

790 ：１３２人目の素数さん：2006/11/26(日) 07:14:21

論理学じゃないというのはどうかな？

791 ：１３２人目の素数さん：2006/11/26(日) 07:24:32

Modus Ponensなんて「分野」は知らない。

792 ：１３２人目の素数さん：2006/11/26(日) 14:14:22

>>789
だから、「数学基礎論入門」へのポインターを示せばよいだけのこと。
「不完全性定理」という書名で別の本を書いてしまったので、
ポインターを示す場所がなくなってしまったのだと思う。

793 ：１３２人目の素数さん：2006/11/26(日) 16:04:46

「不完全性定理」は飽くまで
Gödelの論文の日本語訳とその意義についての解説、
というだけで基礎論や数理論理学の入門書、教科書ではないのだから
訳者のせいではない。そういう情報はあったほうが便利ではあるけどね。

岩波文庫の「相対性理論」には
電磁気学の参考書として何を読めばよいか書いてない！
これは不親切だ！とか言う意見と同じなんだがな。

p.110あたりからPrincipia Mathematicaの説明だってある。
＞しかしラッセルの理論では，集合は類（クラス）であると呼ばれ，
＞論理学的対象と考えられていた．
p.276から数学的内容の説明だってある。
どっちかというと結構親切なほう。

794 ：１３２人目の素数さん：2006/11/26(日) 17:24:47

電磁気学の本はごろごろあるからね。

795 ：１３２人目の素数さん：2006/11/26(日) 18:11:02

不完全性定理の本もごろごろあるけどね。

796 ：１３２人目の素数さん：2006/11/26(日) 21:44:54

ゲーデルの論文を解説した本がそんなにあるとは知らなかった。

797 ：１３２人目の素数さん：2006/11/26(日) 22:07:11

専門書からトンデモ本まで幅広く取り扱っております。

この意味では数学界の相対性理論といっても過言ではない。

798 ：１３２人目の素数さん：2006/11/27(月) 01:15:35

数学基礎論学者の日本の横綱って竹内外史でいいの？
そのあとに林晋とか？
前原って生きてるの？ランキングつけて。相撲の番付限定で。

799 ：１３２人目の素数さん：2006/11/27(月) 01:19:14

>>798　兵隊で言えばどれ位ってか

800 ：１３２人目の素数さん：2006/11/27(月) 01:22:40

それでもいいけど、やっぱガイシ竹内はチャンピオンなわけ？

801 ：１３２人目の素数さん：2006/11/27(月) 02:20:51

結果出してる以上竹内御大は評価すべきでしょう。
前原先生はお亡くなりになっています。
筑波が論文集まとめてます。

802 ：たずね：2006/11/27(月) 02:28:44

全微分可能性の証明法を教えてください。
②変数関数でおねがいします。。

803 ：１３２人目の素数さん：2006/11/27(月) 18:39:59

真であるにも関わらず、証明ができない定理は無限に存在するとのことですが、
証明できないということを証明することは出来ないのでしょうか？
またリーマン予想とかがそうであったりするのでしょうか？

804 ：１３２人目の素数さん：2006/11/27(月) 18:57:49

は？定理？
まずは用語の使い方からやり直せ

805 ：１３２人目の素数さん：2006/11/27(月) 21:01:13

V：ベクトル空間
A,B：Vの部分空間

A∪BはVの部分集合ではない理由教えてください

806 ：１３２人目の素数さん：2006/11/27(月) 21:12:49

部分集合だよ

807 ：803：2006/11/27(月) 22:23:17

>>804
正しくは「公理」でしょうか？

808 ：803：2006/11/27(月) 22:26:56

>有限個の公理をいかに組み合わせても証明できない定理が，無数にあるのだ。

http://www.nikkei-bookdirect.com/science/page/magazine/0606/omega.html

と、このページにありますが、「定理」では間違いですかね。

809 ：１３２人目の素数さん：2006/11/27(月) 22:42:31

「定理」の意味を問うていると思われ。
公理系と演繹規則を有限回用いて得られる命題を「定理」というのなら、
「証明出来ない定理」は語義からして矛盾している。
「意味論的には真であるのに有限操作で証明出来ない命題がある」なら問題ない。

810 ：１３２人目の素数さん：2006/11/27(月) 23:17:40

定理ってのは証明された命題のことなのでちょっとこの場合微妙ですね。
真であることが分かっているというのだから、
もちろんより大きな体系の中では定理となるのですが。

Chaitinが不用意に"theorem"を使ったか
訳者が"proposition"とかそういう術語を「定理」と誤訳したか。
たぶん訳者のせいなんじゃないかと思うんですが
原文を見ないとはっきりしませんね。

＞証明できないということを証明することは出来ないのでしょうか？
出来る場合もあるし、
逆に、とても証明できそうにないが、
「「証明できない」ということを証明することは出来ない」ことが証明できる場合もある。

それにしてもリンク先の「オメガ」って定義できなさそうな気がするんだけどwell-definedなんだろうか。

811 ：１３２人目の素数さん：2006/11/27(月) 23:22:29

言語とかによらずwell-defined
Ω＝0.0078749969978123844...

812 ：１３２人目の素数さん：2006/12/02(土) 06:34:18

「umbrella sampling」の日本語訳と定義を教えて下さい。

統計学の用語らしいですが、数学の英和辞典を見たり、ググったり
しましたが分かりませんでした。

813 ：１３２人目の素数さん：2006/12/02(土) 06:58:21

>>812
ぐぐったら英文が結構ひっかかったぞ。
referenceもあるから、論文探して読めばいいじゃないか。
もっとも計算物理や化学の雑誌が多いから、数学図書じゃ見つからないかもしれんが。
1970年代だから、だれも和訳を考えなかったんだろう。

814 ：１３２人目の素数さん：2006/12/02(土) 08:25:46

>>65
公理論的集合論には、論理的ミスもあります。

815 ：１３２人目の素数さん：2006/12/02(土) 08:45:14

統計学の用語なら
こんな論理学スレで訊かなくても
統計学スレで訊けばいいじゃない

816 ：１３２人目の素数さん：2006/12/02(土) 13:42:02

このスレタイは初心者ホイホイだからな

817 ：１３２人目の素数さん：2006/12/02(土) 14:03:46

>>816
専門家がホイホイ釣れるスレタイ考えてくらさい

818 ：１３２人目の素数さん：2006/12/02(土) 14:13:38

「論理学の質問スレッド」でいいと思われ。
専門家は暇じゃないので2chなどやらないだろうが、勘違い野郎の乱入は防げる。

基礎論という字面にこだわるといつまでも現状のままだ。

819 ：１３２人目の素数さん：2006/12/02(土) 14:22:27

Kingが来ないだけまだ幸せ

820 ：１３２人目の素数さん：2006/12/02(土) 14:27:47

「数理論理学」でいいんじゃないの？
論理学とか言われて中世の論理学とかの質問されても
「基礎論」から大きく外れるし

821 ：１３２人目の素数さん：2006/12/02(土) 14:50:55

論理学って入れると哲屋が来るからだめ

822 ：１３２人目の素数さん：2006/12/02(土) 14:53:52

基礎論だと素人が来るけどなあ

実際は述語論理と不完全性定理くらいの質問が大半だね

823 ：KingOfUniverse ◆667la1PjK2 ：2006/12/02(土) 17:17:59

talk:>>819 お前に何が分かるというのか？

824 ：１３２人目の素数さん：2006/12/03(日) 21:02:51

連続体仮説がとかれるときがついにやってきたそうだな。

825 ：１３２人目の素数さん：2006/12/04(月) 19:59:39

>>824
kwsk!

826 ：１３２人目の素数さん：2006/12/05(火) 14:47:10

＞実際は述語論理と不完全性定理くらいの質問が大半だね

だって、実閉体の限量子消去の具体的方法なんて
質問したって誰も答えられないだろ？

827 ：１３２人目の素数さん：2006/12/05(火) 14:53:17

どの本に載ってるか知ってる人だったら多そうだけどね

828 ：１３２人目の素数さん：2006/12/05(火) 15:01:12

>>827
小平邦彦の本で、口頭試問に
「＊＊の本の何ページに載ってる」
とか答えられずに落第した学生の話
が出てくるね。

829 ：１３２人目の素数さん：2006/12/06(水) 01:56:34

>>826
他スレにあったんだけど、複素数体で実数体が定義できないことの証明って具体的にどうやるの？
やり方が具体的には書いてなかったんで教えて欲しい。

830 ：１３２人目の素数さん：2006/12/06(水) 09:13:35

標数 0 の代数閉体の理論で量化記号の除去が成立する。
-> 定義可能な集合は有限または補有限なものに限る。

831 ：１３２人目の素数さん：2006/12/06(水) 14:36:53

そこをもう少し詳しく。

832 ：１３２人目の素数さん：2006/12/06(水) 19:45:25

例のゲーデル本にもそこまでは書いてある。

833 ：１３２人目の素数さん：2006/12/06(水) 20:47:13

誰かアホな俺に「平面上」の意味を教えてください。

読んでいる書籍に「平面上にある任意の点Qとその最近接点R」という表記があるんですが、
「平面上」というのは平面という物に平行な位置にあるあらゆる場所の点、
という意味で良いんでしょうか?

「平面上」を俺が勝手に平面=二次元として、平面の中のみに埋まっている点
というイメージを持ってたんですが、そうしたら「点Qと最近接点R」の
違いが解らなくなってしまいました。
点Qがつまり最近接点じゃないのか、と。

834 ：１３２人目の素数さん：2006/12/06(水) 20:55:38

ホイホイ

835 ：１３２人目の素数さん：2006/12/06(水) 21:00:17

詳しくというのは、たとえば何を知りたいの。
そもそも「量化記号の除去」の定義がわからないのか、
「量化記号の除去」の証明方法がわからないのか、
それとも、その次の -> の部分がわからないのか。

836 ：１３２人目の素数さん：2006/12/06(水) 23:30:48

全部わかりません。

837 ：１３２人目の素数さん：2006/12/07(木) 11:37:00

>>835
＞そもそも「量化記号の除去」の定義がわからないのか
をひをひ、そいつは低レベル過ぎる
量化記号の除去というのは、具体的には量化記号の入った命題を
等価な量化記号抜きの命題に置き換えることを指す。
それ以外一体どんな定義があるのか、逆に教えて欲しい。

838 ：１３２人目の素数さん：2006/12/07(木) 11:44:12

>>835
＞「量化記号の除去」の証明方法がわからないのか、
>>826に「限量子消去の具体的方法」とあるから、
「なんか知らんが量化記号を除去した命題がある」
という程度の証明に関する手順なんて聞いてなくて
「具体的に量化記号抜きの命題に置き換える手順」
を聞いてると考えるのが普通だが、あえて前者を
聞いていると考える理由を、教えてほしい。
まさか、君が知ってることがそれだけだからなんて
いわないだろうな？

839 ：１３２人目の素数さん：2006/12/07(木) 11:53:26

>>835
＞それとも、その次の -> の部分がわからないのか。
＞「定義可能な集合は有限または補有限なものに限る。」
君が、どうやら>>838にある質問の答えを知らないことは
なんとなく理解したが、で、上の質問なら答えられるのかい？
まさかこの期に及んで「本を読め」とか「書いた奴に聞け」とか
いうお決まりの文句を口にして遁走する馬鹿な真似はせんよな？

840 ：１３２人目の素数さん：2006/12/07(木) 12:55:36

>>826
実閉体の理論の定理を数え上げていけば、
与えられた論理式と限量子のない論理式とが同値
という形の定理が必ず出てくる。

841 ：１３２人目の素数さん：2006/12/07(木) 18:28:04

>>838
超数学についての知見が零のヴァカがこのテーマにを理解するには、とりあえず何を読んだら
いいでつか？

842 ：１３２人目の素数さん：2006/12/07(木) 21:48:29

6÷3について誰か教えてくれませんか？

843 ：１３２人目の素数さん：2006/12/07(木) 21:49:35

>>842
6/3

844 ：数学系のD1です：2006/12/07(木) 21:50:04

>>842

答えは２。

それでも判らなければ、小学校へ行きな

845 ：１３２人目の素数さん：2006/12/07(木) 21:56:00

>>844
何で2になるんですか？

846 ：１３２人目の素数さん：2006/12/07(木) 21:56:52

イコールがついてないのに２になるとか、この板は馬鹿の集まりか？

847 ：１３２人目の素数さん：2006/12/07(木) 22:02:09

>>116あたりを参考にするといいよ

848 ：１３２人目の素数さん：2006/12/07(木) 22:03:29

基礎的じゃないじゃないか

849 ：844：2006/12/07(木) 22:04:48

>>845

数学的な対象として、６÷３と２は同じ。
別にイコールつける必要はない。

イコールつけたら、論理式にも対象式にならない。
基礎論と集合論から勉強すればわかる。

850 ：１３２人目の素数さん：2006/12/07(木) 22:48:50

vipから来ました

851 ：１３２人目の素数さん：2006/12/07(木) 23:03:52

ヴぃｐからきました

852 ：１３２人目の素数さん：2006/12/07(木) 23:11:51

角煮から来ました

853 ：１３２人目の素数さん：2006/12/08(金) 00:33:34

>>836ですが、>>837は任意で縛られている部分を自由変数に、存在で縛られている部分を
具体的な対象に置き換えるという感じで想像していたのですが、それでいいのでしょうか？
あと、その他の部分も具体的にどうやるかをお願いします。

854 ：１３２人目の素数さん：2006/12/08(金) 00:36:59

>>854
文献紹介してもらった方が早いぞ

855 ：１３２人目の素数さん：2006/12/08(金) 00:45:52

>>853

任意の次に存在が来る場合、任意で縛られている部分は
自由変数（たとえばｘ）で置き換えられるが、存在で縛られている部分は、
一般にはｘの関数になってしまいますヨ。

856 ：１３２人目の素数さん：2006/12/08(金) 00:50:56

実閉体の量化記号の除去の一番簡単な例は二次方程式の判別式。
∃x(x^2+ax+b=0) は a^2-4b≧0 と同値。

代数閉体の場合だと、簡単な場合が Sturm の定理で、
一般の場合が Tarski-Seidenberg の定理でいいのかな。

857 ：１３２人目の素数さん：2006/12/08(金) 00:57:25

なるほど。二次方程式の例はわかりやすいですが、一般の場合にそれを具体的
に行うのはどうやるのでしょうか？また、それがどう定義不可能につながって
いくのかがさっぱり見えてきません。

858 ：１３２人目の素数さん：2006/12/08(金) 01:03:29

あれ？頭が消えていた。
>>855さん、>>856さん、わかりやすい説明をありがとう御座います。
>>854さん。お薦めの本とかありますか？

859 ：１３２人目の素数さん：2006/12/08(金) 01:04:45

一般に、量化子は除去可能ではないですね。

論理式のレヴィ階層についての議論が、
集合論などで現れることが、それを物語っています。

端的に言うと、実数の全体は、選択公理の下で整列可能。
しかし、その整列構造を具体的に定義する(書き下す)
ことは、選択公理を使ってさえも不可能。
この例は、存在記号を除去できない例だと思いますが。

860 ：859：2006/12/08(金) 01:08:11

実数の整列可能性についての文献：
田中尚夫著「公理的集合論」培風館

861 ：１３２人目の素数さん：2006/12/08(金) 01:12:59

順序となると実数の集合に存在記号がかかってきそうですが、
そのようなものも扱わないといけないのでしょうか？

862 ：１３２人目の素数さん：2006/12/08(金) 01:15:51

代数閉体だと、x 以外に変数を持たず、量化記号もない論理式は
P(x)=0 の形の論理式の Boolean combination. (P(x) は多項式)
P(x)=0 を満たす x は代数方程式の根だから有限個しかない。

863 ：859：2006/12/08(金) 01:26:07

＞＞８６１

集合論では、「実数」として、自然数の全体（有限順序数の全体）
のべき集合を扱います。デデキントカットや、コーシー列は出てきません。

「実数」の全体を定義するのに、「全て」の記号など、
確かに必要になりますね。

僕にわかるのは、「一番外側の」存在記号に関しては、
一般には除去できないなど、簡単なことくらいでしょうか。

定義不可能性の問題は、
いわゆる「不可能の証明」になるので、難しいですね。

864 ：856：2006/12/08(金) 01:30:07

編集ミスで、文章の順番が変になってしまった。
Tarski-Seidenberg は実閉体の定理。

865 ：１３２人目の素数さん：2006/12/08(金) 01:33:24

Sturm の定理も実閉体ではないかと。

866 ：１３２人目の素数さん：2006/12/08(金) 01:34:39

ああ。定義できる集合は定義式が量化記号を持たなければ
有限集合かその補集合になると言うことですか！
複素数体でも同様だから、実数体や有理数体、あるいは
有理整数や自然数の集合の定義が出来ないと。
この理解でよろしいですか？

そうであれば、あとはその量化記号の消去が具体的に可能
であることの理解ですね。

867 ：１３２人目の素数さん：2006/12/08(金) 01:37:34

と思ったんですが、実数体の場合は不等号で定義でも良いのですよね？
区間でも定義できると言うことは、そう簡単にはいかないのでしょうか？
複素数体だと順序が使えないからうまくいく？

868 ：１３２人目の素数さん：2006/12/08(金) 01:39:40

某逆数学の人が、実閉体の話を実数体がどうのこうのとか言ったりするのって
実数体以外の実閉体の例を知らないんだろうか

869 ：１３２人目の素数さん：2006/12/08(金) 01:43:15

逆数学と関係があるのですか？
あと、今は実数体の定義の話をしているので、そう書いているのですが、
実閉体でないといけないというのはどのような理由からか詳しく教えて
いただけると助かります。とにかく何も知らないので。

870 ：１３２人目の素数さん：2006/12/08(金) 01:47:35

＞８６６

チョッと違います
有限集合であっても、定義式に量化記号を含む場合があります。
空集合もです。
それに、自然数でも、有理数でも、
数学的な対象として「一意に」定義するためには、
「全て」の記号（と、あと、等号「＝」）が不可欠です。

つまり、定義には、量化の記号が必要、なわけです。

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

あと、存在記号の除去として、考えている論理体形に現れない
新しい定数記号・関数記号を導入する、という手もありますが、
元の論理体系との整合性（保存拡大性など）を持たせるために、
いくつかの条件が必要です。

871 ：１３２人目の素数さん：2006/12/08(金) 01:51:45

量化記号の除去が出来るのならうまくいくと思ったのですが、そうではないということですか？

872 ：１３２人目の素数さん：2006/12/08(金) 01:53:59

>>866
そういう理解で ok. (>870 のコメントは今の話には関係ない。)

実閉体の場合は定義可能な集合は、有限個の区間の合併になります。
だから、有理数や自然数は定義できない。
自然数が定義できないことは、不完全性定理を使っても証明できます。

873 ：870：2006/12/08(金) 01:57:41

すんません。混乱させてしまって

874 ：１３２人目の素数さん：2006/12/08(金) 02:00:42

定義できれば自然数を含む理論だからということですね。
ありがとうございます。量化記号の除去について、本を
探して勉強してみます。

ついでですみませんがもう一つ。有理数体では有理整数環が定義できますか？
もし書けるなら方法も教えていただければありがたいです。

875 ：１３２人目の素数さん：2006/12/08(金) 02:04:58

できます。 Julia Robinson の定理です。

876 ：１３２人目の素数さん：2006/12/08(金) 02:10:27

ZFCを公理とする理論を展開したいとき、その論理体系は等号を含むものを採用するのですか？

もしそうでなければ、外延性公理が、「=というよくわからない記号」と「∈というよくわからない記号」の関係を表す公理となってしまい、無意味なものになります。

実際、等号の公理がなければ、
(x=y∧x∈a)→y∈a
という命題すらも証明できない（多分……）ので困ります。

877 ：１３２人目の素数さん：2006/12/08(金) 02:10:30

その定理は大筋どのような考え方で定義を行うのでしょうか？
また、証明が書かれた本でお薦めのものがあったら教えていただ
けませんか？

878 ：１３２人目の素数さん：2006/12/08(金) 02:12:45

>>877は>>875へのコメントです。

879 ：876：2006/12/08(金) 02:13:01

混乱を避けるために書きますが、
>>876と>>877を書いたのは違う人物です。

880 ：１３２人目の素数さん：2006/12/08(金) 02:19:57

>>879わざわざどうもです。

ここまで書いてきて、整数や有理数の公理がわかっていない自分に
気がつきました。ペアでモデルが作れるのはわかるんですが、PAや
実数に関する杉浦の本に書いてあるような公理としての定義を知り
ません。どう公理が設定されているのでしょうか？

881 ：１３２人目の素数さん：2006/12/08(金) 02:20:04

>>876

ＺＦＣの展開は、通常は、等号を含む述語論理をベースにしますが、
（等号を含まない）述語論理をベースにする場合もあります。
後者の場合、外延性の公理に関しては、
ｘ＝ｙを、「全てのｚに対して、ｚ∈ｘ⇔ｚ∈ｙ」
で定義した上で、
「(x＝y∧x∈a)→y∈a」
を公理として認めるのです。
この公理のミソは、ｘ＝ｙなる集合ｘとｙについては、
どのような論理式においても、ｘとｙを自由に交換できる、
ということにあります。
この性質が、「＝」という「よくわからない記号」に意味をもたせています。

882 ：876：2006/12/08(金) 02:44:36

>>881
ありがとうございます。

「(x＝y∧x∈a)→y∈a」を公理として認めると、
「どのような論理式においても、ｘとｙを自由に交換できる」ことが証明できる、ということでしょうか。

証明は今ちょっと思いつかないのですが。（論理式が含む「∈」という記号の個数に関する帰納法でしょうか？）

883 ：１３２人目の素数さん：2006/12/08(金) 03:32:43

http://plaza.rakuten.co.jp/StarOcean1016/diary/?
このページの定理どうですか？

884 ：876：2006/12/08(金) 04:30:15

>>883
スレ違い。
>>116参照。

885 ：１３２人目の素数さん：2006/12/08(金) 11:42:52

>>859
実閉体の理論＝実数論　だと思ってる？
実は違うんだが。

886 ：１３２人目の素数さん：2006/12/08(金) 13:58:13

>>880
有理数体 Q という構造の中で有理整数環 Z が定義できるかどうか
というような話なので、Q の持つ性質ならば何を使ってもよい。
強いていうなら、公理系 Th(Q) を考えているということになる。

887 ：１３２人目の素数さん：2006/12/08(金) 16:59:24

>>886
四則が出来る順序体（演算と両立する順序をもつ）というイメージなんですが、
これだと実数体でも良いことになってしまうので。どう絞れば有理数に制限
できるのかがわかりません。

888 ：１３２人目の素数さん：2006/12/08(金) 18:09:32

Q で Z が (言語 L 上) 定義可能とは、
(L の) x のみを変数とする論理式 F(x) が存在し、
Q |= F(a) <=> a∈Z
なので、Q の公理化は無関係なのです。

889 ：１３２人目の素数さん：2006/12/08(金) 18:15:46

有理数体の公理が無くても言語が定義できると言うことですか？
なぜそうなるのかちょっと想像がつかないです。

890 ：１３２人目の素数さん：2006/12/27(水) 04:20:34

あげ

891 ：１３２人目の素数さん：2006/12/27(水) 16:04:40

最近出た
ゲーデルと20世紀の論理学2　完全性定理とモデル理論
に「量化記号の消去」という章があるね。

http://www.utp.or.jp/bd/4-13-064096-8.html

892 ：１３２人目の素数さん：2007/01/01(月) 00:31:05

↓うるせーんだよ
↓このスレを見ている人はこんなスレも見ています。(ver 0.20)

893 ：１３２人目の素数さん：2007/01/06(土) 19:43:15

http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1143943264/

894 ：１３２人目の素数さん：2007/01/07(日) 12:34:15

ttp://juhaarpi.users.paivola.fi/bourbaki/
面白そう

895 ：１３２人目の素数さん：2007/01/07(日) 13:28:30

フーリエ解析がよくわかるインターネットのホームページ教えてください。
さがしてもみつかりませんでした。
よろしくお願いします。

896 ：１３２人目の素数さん：2007/01/07(日) 13:32:08

>>895
>>116

897 ：１３２人目の素数さん：2007/01/07(日) 13:32:12

116あたりを参考にするといいですよ

898 ：１３２人目の素数さん：2007/01/07(日) 13:37:13

すれ間違えました

899 ：１３２人目の素数さん：2007/01/11(木) 11:54:17

自然数から自然数への全単射全体の集合が可算でないことを証明せよ、
という問題を思いついたんですが、厳密な証明が見つかりません。

900 ：１３２人目の素数さん：2007/01/11(木) 13:49:53

>>899
N から N への可算個の写像 f_0,f_1,...,f_n,... が与えられたとする。
g を次のように構成する。
g(2k) = g(0),g(1),...,g(2k-1) のどれとも異なる最小の自然数
g(2k+1) = g(0),g(1),...,g(2k),f_k(2k+1) のどれとも異なる最小の自然数
このとき、g は N から N への全単射で、どの f_n とも異なる。

901 ：１３２人目の素数さん：2007/01/11(木) 16:54:34

結構分かって来ました

902 ：899：2007/01/11(木) 22:04:20

>>900
あ、そうか、奇数で対角線論法して、
偶数で単純に下から埋めていけばちゃんと全単射になる
っていうからくりですね。SUGEEEw
㌧クス

903 ：899：2007/01/11(木) 22:29:22

というか、f_k(2k+1)=2k+1だったら一個隣と入れ替えるだけか、・・・なるほど

(0,1),(2,3),(4,5),...という組の数列とみなして

(n,n+1)=1,(n+1,n)=0と読み替えて、０１列の対角線論法と見なしたもの
と一緒ですね・・・ｽｯｷﾘ!ｽｯｷﾘ!(ﾟ∀ﾟ)ｱﾋｬｱﾋｬﾋｬ

904 ：１３２人目の素数さん：2007/01/12(金) 00:27:54

直接の証明は >900 のようになるけど、N から N への全単射が
連続濃度であることを証明するほうが筋がいいかも。

905 ：１３２人目の素数さん：2007/01/12(金) 19:39:21

a_nを０と１の列をする

a_nにfをf(2k) = 2k + a_k、 f(2k + 1) = 2k + 1 - a_k
と対応させると、これはN→Nの全単射になり、
したがって０１列全体からN→Nの全単射全体への単射対応
になる
したがって|０１列全体|≦|N→N全単射|≦|数列|で、連続濃度

906 ：１３２人目の素数さん：2007/01/12(金) 19:40:23

あ、一行目から誤字が・・・orz

907 ：１３２人目の素数さん：2007/01/13(土) 12:25:16

aとbで成る任意の系列における復号過程において

aa 00
ab 10
ba 11
bb 110

という符号が一意復号可能であることをクラフトの不等式を用いずに証明せよ。

baとbbで語頭条件が満たされてないから出来ないとしか考えられないんですがorz
誰か解法教えてください…

908 ：１３２人目の素数さん：2007/01/18(木) 21:35:10

加算無限をαと置いたとき

α＋α＝α
α－α＝０
α×α＝α

でいいよね

これあってる？
α÷α＝１

非加算無限をβと置いたとき

β＋β＝β
β×β＝β

でいいよね

これは？
β－β＝？
β÷β＝？

909 ：１３２人目の素数さん：2007/01/18(木) 21:41:54

新手の釣りか？

910 ：１３２人目の素数さん：2007/01/18(木) 21:45:19

>>909
まじでつ

911 ：１３２人目の素数さん：2007/01/19(金) 01:24:20

濃度の引き算なんて定義できるのか

912 ：１３２人目の素数さん：2007/01/19(金) 01:57:25

>>911
打ち消しあう

913 ：１３２人目の素数さん：2007/01/19(金) 03:00:31

ℵฺ-ℵฺ_0=ℵฺ

914 ：１３２人目の素数さん：2007/01/19(金) 19:06:47

>>908
その無限ってのは、
濃度という意味で言ってるのか、順序数という意味で言ってるのか。

どっちにしろ引き算なんか定義されないが

915 ：１３２人目の素数さん：2007/01/19(金) 19:14:23

区体論ってトンデモでつか？

916 ：１３２人目の素数さん：2007/01/19(金) 19:18:15

>>916
「集合論と同値な体系であながち無意味とは言えん」　と、
言っておる御仁も居るようだが。

917 ：１３２人目の素数さん：2007/01/19(金) 19:43:10

区体論が集合論と同値な体系ってどういうこと？

918 ：１３２人目の素数さん：2007/01/19(金) 19:44:55

いや、さすがにそれは有り得ない

919 ：１３２人目の素数さん：2007/01/19(金) 19:49:16

>>915
トンデモです。
ただ、さほど害の無いトンデモ、といった程度の扱い。
別に問題にするほどのトンデモでもないから放置されてます。

920 ：１３２人目の素数さん：2007/01/19(金) 20:48:04

本論はそう大して間違ってない（と思う）けど、
「クタイロンはこういう効能があります！」の部分とか
あるいは「公理的集合論と素朴集合論のうち
どちらかは間違っているのだ！」の部分とかが
間違っている、というかマチガッテル。
まあ>>908よりはマシかもｗ

無意味かどうかは分からないけど現時点では
有意味であることは実証されて無いですね

トンデモバトル＠数学版
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1123762243/

921 ：１３２人目の素数さん：2007/01/19(金) 22:28:58

教えてください。
ベリーのパラドクス（がらみの定理）とゲーデルの不完全性定理との
関係はどうだと思えばよいのでしょうか？
ベリーはゲーデルの一般化と思ってよいでしょうか？

922 ：１３２人目の素数さん：2007/01/19(金) 22:35:00

述語論理の完全性定理の証明に関して。
どの証明でも「∃xP(x)の形の論理式をすべて並べて」という
ことをやっているのですが、「∀x∃y～」のようなもっと複雑な
論理式はどこでどのように考慮されているのでしょうか？

923 ：１３２人目の素数さん：2007/01/19(金) 22:41:49

述語論理の完全性定理の証明の後で、「以上の証明の構成から
無矛盾であるときには可算モデルが存在することも明らかである」
ということがよく書かれていますが、ここは「無矛盾であって、
かつ無限モデルがある場合は可算モデルも存在する」という
意味ですよね？というのは、たとえば「∀x∀y．x=y」だけから
なる公理系は無矛盾ですが1元モデルしかもたないでしょうから。
初心者の質問ですがよろしくお願いします。

924 ：１３２人目の素数さん：2007/01/19(金) 22:51:27

>>922
∃x∀yP(x,y) の形については並べられてるよ。
∀xP(x)　が、￢∃x￢P(x) と同値であることに注意すれば、
他もちゃんとうまく行ってることが分かるはず。

∀と∃がもっと増えても同様。

925 ：１３２人目の素数さん：2007/01/20(土) 22:04:51

>>923
詳しくない人間でスマンのだけど、要するに「＝」の解釈が必ずしも「等しいという関係」になってない
モデルも考えてるからでないかなぁ。

926 ：１３２人目の素数さん：2007/01/20(土) 22:23:36

あまりきちんと勉強してないのだけど、一応思うところを。
高々可算、と書いてある本が多いと思うけど。

仮に可算なモデルをもつと書いてあっても、
可算、という言葉を文脈上「有限か高々可算無限」の意味で使うことは
慣用上あるので、著者が間違っているのかというとなんとも言えないような。

さらに正確に言うなら言語Lのモデル以下であるか、或いは高々可算、
というのが正しくてそう書いてある教科書が一番正確。
（定数記号c\i i∈Iと公理ci≠cj（i≠j）があればどうやってもモデルの濃度はI以下にはならない）

927 ：１３２人目の素数さん：2007/01/20(土) 22:24:22

×言語Lのモデル以下であるか
○言語Lの基数以下であるか

928 ：923：2007/01/21(日) 23:04:36

みなさんコメントありがとうございます。
その後調べると、ある本に以下の記述がありました。
レーベンハイム・スコーレムの定理
（１）理論Tがモデルをもてば、Tは領域が可算集合であるモデルをもつ
（２）相等関係をもつ理論Tがモデルをもてば、Tは領域が有限集合か
または可算集合である正規モデルをもつ
（３）φが理論Tの定理式であるためには、φがTの任意の可算モデルで
真となることが必要十分である

これで923の疑問もなんとか解けたような気がするのですが、
やはり上記（１）や（３）は、誤解を生みやすい(あるいは間違い）
と思います。なぜ（１'）理論Tが無限モデルをもてば、可算モデルをもつ
のように正確にかかないのでしょうか？

929 ：１３２人目の素数さん：2007/01/21(日) 23:10:35

926も言ってるように、
可算という言葉を「有限または可算無限」という意味で使う人が多いから、
その著者は、そういう意味で可算という言葉を使うことに慣れてしまってるんじゃない？

930 ：１３２人目の素数さん：2007/01/21(日) 23:12:13

可算(COUNTABLE)は数えられるという意味なのだから、
可算無限または有限の意味で使うほうが自然だし、
そのように使う場合のほうが多い（特に英語の文献ではほとんどそう）。

931 ：１３２人目の素数さん：2007/01/21(日) 23:38:02

誤解の無いように書いてさえあれば、どっちでもいいがな

932 ：１３２人目の素数さん：2007/01/21(日) 23:50:52

>>930
countable の使い方は確かにその通りだが、
countable と denumerable とを使い分けている本もあって、
可算は denumerable に対応しているという考え方もある。

933 ：１３２人目の素数さん：2007/01/22(月) 04:20:47

denumerableと対応するのは「可算無限」だろ

934 ：１３２人目の素数さん：2007/01/22(月) 09:12:02

集合・位相の教科書をいくつか開いてみればわかるが、
そういう使い分けをしている本もあるし、
denumerable set のことを可算集合と呼んでいる本もある。

935 ：１３２人目の素数さん：2007/01/22(月) 12:28:48

そういう本もあるだろうが、
集合論の本とか基礎論の本だと
ほとんど、可算はcountableと対応してると思う

936 ：１３２人目の素数さん：2007/01/22(月) 21:06:30

本当かねえ。福山「数理論理学」と田中「公理的集合論」での
可算集合の定義はωと対等だった。

937 ：１３２人目の素数さん：2007/01/22(月) 21:10:05

どっちもあるってことでしょ
文脈で判断すればいいじゃん

938 ：１３２人目の素数さん：2007/01/22(月) 22:04:37

東大出版会のゲーデルシリーズの二巻では
p23.（担当田中一之）では
＞有限集合とaleph 0の集合を合わせて
＞（高々）可算集合と呼び、

一方で（担当坪井明人）のp117.では
＞card A≦aleph 0のとき、Aは可算集合といわれる．

2人とも、河合の基礎論シリーズでもそれぞれ同じ流儀を採用。

勉強中は、「有限」「可算無限」「高々可算」のどれかを使うのが
紛れが無くて良いとは思うけど、
大抵の場合、有限集合の性質はほとんど自明なことが多いので、
可算かそうでないかを良く気にする分野では慣れてきたら
可算と高々可算は同義とするのが便利ではあると思う。

939 ：１３２人目の素数さん：2007/01/22(月) 22:58:19

可算を無限の場合に限定したがるのは大抵初心者。
慣れてくると面倒くさいだけなのが分かる。

940 ：１３２人目の素数さん：2007/01/22(月) 23:07:34

実解析とか函数解析とかではどうなんだろ。
ちょっと分からん。

941 ：１３２人目の素数さん：2007/01/23(火) 00:15:24

>>928
福山先生の本だと思うけど、(1),(3) は正確で修正の必要はない。
>925 の推測が正しいということ。

942 ：928：2007/01/24(水) 23:05:38

用語法の問題だといえばそうなので、しつこいのですが・・・
>>941
>福山先生の本だと思うけど、(1),(3) は正確で修正の必要はない。
同じところの（2）では「有限集合」と「可算集合」とを区別している
ようですから、それを一貫すれば、(1),(3)は間違いではないのでしょうか？
>>925
>要するに「＝」の解釈が必ずしも「等しいという関係」になってない
>モデルも考えてるからでないかなぁ。
それも分かりますが、他の述語ならいざしらず、「＝」は論理定数
としてもよいくらいの述語ですから、特に注意がなければ、「同一性」を
表す述語と解釈するのが妥当なのではないでしょうか？

943 ：１３２人目の素数さん：2007/01/24(水) 23:39:49

あまりきちんと考えてないのだけど、思うところを。

等号公理ってご存知ですか。
それらの論理式さえ満たされれば基本的にはモデルだと考えるべきであると思います。

等号公理だけは解釈が特別なのであれば、そう定理の成立条件の部分でことわるべきかと。

944 ：１３２人目の素数さん：2007/01/24(水) 23:49:52

>>942
あなたが、その本(福山だと思う)の構造の定義を
読んでいないということはわかりました。
正規モデルの定義を確認すれば理解できることなのですがね。

945 ：942：2007/01/25(木) 22:03:02

>>944
あらためて整理すると次のような疑問なのですが。
①「有限集合」と「可算集合」とは共通部分をもたない概念である
　（←福山（２）の記述からはそう読むのが妥当）
②相等関係をもつ理論はもちろん理論であるので、福山（１）より、
（ａ）相等関係をもつ理論Tがモデルをもてば、
Tは領域が可算集合であるモデルをもつ
③「∀x∀y．x=y」だけからなる公理系は相等関係をもつ理論であるが、
　これは無矛盾であり、1元モデル（有限モデル）しかもたない。
④　③はすなわち、
（ｂ）或る相等関係をもつ理論がモデルをもっていて、
　　　有限モデルしかもたない
　ということである
⑤（ｂ）と①から、
（ｃ）或る相等関係をもつ理論がモデルをもっていて、
　　　可算モデルはもたない
　ということである
⑥ （ａ）と（ｃ）とは矛盾している
⑦　福山（３）についても同様に間違っていると読める
どこで間違っているでしょうか？

946 ：１３２人目の素数さん：2007/01/25(木) 22:21:33

そう読むのが妥当とかじゃなくて
読む人が勘違いしないようにこのスレでは「可算無限」或いは「高々可算」のどっちかを
つかってくれると嬉しいんだけど。少なくとも今の文脈上は。

＞それも分かりますが、他の述語ならいざしらず、「＝」は論理定数
＞としてもよいくらいの述語ですから、特に注意がなければ、「同一性」を
＞表す述語と解釈するのが妥当なのではないでしょうか？
これは単に間違い。他の「∈」とかの述語と全く同じ。
特に注意が無ければ他の述語と同じ扱いをすべき。

＞③「∀x∀y．x=y」だけからなる公理系は相等関係をもつ理論であるが、
＞　これは無矛盾であり、1元モデル（有限モデル）しかもたない。
これも間違い。

947 ：１３２人目の素数さん：2007/01/26(金) 00:49:05

＞③「∀x∀y．x=y」だけからなる公理系は相等関係をもつ理論であるが、
＞　これは無矛盾であり、1元モデル（有限モデル）しかもたない。
この場合は、モデルの中でも、正規モデルの範囲で考えている。

948 ：１３２人目の素数さん：2007/01/26(金) 00:51:31

「正規モデル」normal modelの定義が書いてある本ってあまりないよね。
Lowenheim-Skolemの定理が載ってる本でも書いてないことが多いと思う。

949 ：945：2007/01/26(金) 21:34:59

>>946 >>947
＞＞③「∀x∀y．x=y」だけからなる公理系は相等関係をもつ理論であるが、
＞＞　これは無矛盾であり、1元モデル（有限モデル）しかもたない。
＞これも間違い。
＞この場合は、モデルの中でも、正規モデルの範囲で考えている。
ということは、個体の同一性のような、こんな基本的なことを表す
述語がないということですか？

950 ：１３２人目の素数さん：2007/01/26(金) 21:37:07

数理モデルはあなたの価値観を必要としていません。

951 ：１３２人目の素数さん：2007/01/26(金) 21:48:29

だから引用した本の正規モデルの定義を読めといっているでしょ。
論理体系として考えると、等号がなくても何の不思議もないし、
等号の解釈を固定しないでも何の不自由もない。

952 ：１３２人目の素数さん：2007/01/26(金) 22:00:22

黙ってみていたけどぐずぐず言わずちゃんと答えてやれよ
おおむね942が正しいよ
可算＝有限∪可算無限
福山(2)可算は可算無限の間違い
＝が同一述語なら「∀x∀y．x=y」は１元モデル
これだけいえばすむんだろ

953 ：１３２人目の素数さん：2007/01/26(金) 22:06:20

なるほど、嘘も方便とばかりに黍団子を呉れてやりさえすれば
無駄なレスを重ねずに済むということですね。

954 ：１３２人目の素数さん：2007/01/26(金) 22:09:10

2を書き換えて1,3を正しいと読むか、2を認めて1,3を誤りと読むか、
局所的には判りづらいが、大域的には全然別のコンテクストを
構築してしまうぞ？

955 ：１３２人目の素数さん：2007/01/26(金) 22:54:30

公理が∀x∀y(x=y)だけだったら、これは任意の対象a、bに対してa～bとしたくて同値類～を定義したのか
それとも理論を作った人が"相等関係"を表したくてその公理を立てたのか第三者には分からんよね。
ごく当たり前の話だと思うんだけど。

だから∈だとか+だとかもっと複雑な意味を持つ述語記号や函数記号を用いた理論で
等号=の満たすべき性質を公理に拠って定めたい場合には、等号公理（図式）というものがありますね。

>>949
普通L-Sの（下降）定理ってのは高々可算無限までモデルのも濃度を落とす定理だけど、
L-S（-Tarski）の（上昇）定理というモデルの濃度を上げる定理もある。
つまりモデルの濃度は一意に決まらないということ。そういう話聞いた事無いかな。
L-Sの定理の直後か直前あたりに書いてある本が多いはずだけど。

ZFの可算モデルを作ると、
集合Mは外から見ると可算だけど中から見ると"非可算"だとか、
或いはMは外から見るとただの集合だけど
中から見ると"proper class"ということが普通に起こり得るのは理解できるよね。。

それとおんなじで、外から見た同一性と中から見た"同一性"は
区別して考えたほうが良いんじゃないかな。

＞こんな基本的なことを表す述語がないということですか？
一階の範囲では無いんじゃないの？たぶん。知らんけど。

等号の解釈がちょうどモデルの方でも相等関係となっているような、
=の解釈が「上手くいっている」ようなモデルは
特にnormal 正規なモデルと呼んで尊びましょう、というそんだけの話で。

956 ：１３２人目の素数さん：2007/01/26(金) 22:55:33

長さ50cmのひもを使って長方形(正方形でもよい)をつくる
面積144cm^2以上にするには長辺をxとすると
□≦x≦□になればよい

っていう問題なんですが
答えが 25/2≦x≦25 となります
25cmでは長方形ができなくないですか？

957 ：１３２人目の素数さん：2007/01/26(金) 23:27:52

>>956
ありがとう、なんか和んだｗ

958 ：116：2007/01/26(金) 23:52:41

数学基礎論は、素朴集合論における逆理の解消などを一つの動機として、
19世紀末から20世紀半ばにかけて生まれ、発展した数学の一分野です。
現在では、証明論、再帰的関数論、構成的数学、モデル理論、公理的集合論など、
多くの分野に分かれ、極めて高度な純粋数学として発展を続けています。
（「数学基礎論」という言葉の使い方には、専門家でも若干の個人差があるようです。）
応用、ないし交流のある分野は、計算機科学の諸分野や、代数幾何学、
英米系哲学の一部などを含み、多岐にわたります。

（数学セミナー98年6月号、「数学基礎論の学び方」
ttp://www.math.tohoku.ac.jp/~tanaka/intro.html
或いは岩波文庫「不完全性定理」 6.4 数学基礎論の数学化などを参照）

従ってこのスレでは、基礎的な数学の質問はスレ違いとなります。
他のスレで御質問なさるようにお願いします。

959 ：１３２人目の素数さん：2007/01/26(金) 23:55:54

なんか分野の順番がおかしいとか、
非古典論理が入ってるのは微妙とか、指摘があったので
分野名の列挙は「不完全性定理」に合わせました。

もしかしたら哲学は入れないほうが良かったかもしれない。

960 ：１３２人目の素数さん：2007/01/27(土) 04:36:54

丁寧な誘導ですね

961 ：１３２人目の素数さん：2007/01/27(土) 06:53:43

>>955
現在モデル理論をやっている人の間では
その「normal」なモデル以外をモデルに含めない人しか
いなくなってしまったので、
新しい教科書で勉強した人やモデル理論の先生から
教わった人にとっては、>>942のように解釈するのが
常識的に感じるんでしょうね。
この「モデル」概念の変化に応じてUpward LSも、
領域が無限のモデルを持つ理論についての定理
というように言い直されて教えられています。

962 ：１３２人目の素数さん：2007/01/27(土) 07:59:07

そう考えること自体は普通なのだけれど、その解釈ではうまく
いかない主張を読んだときに、知らない用語の定義を確認しな
いで誤っていると断定するのはいただけないと思う。

963 ：１３２人目の素数さん：2007/01/27(土) 09:26:26

Boolosの教科書のLS theoremの所にはこういう注意があった
The assumption that S not contain '=' is dispensable:
'∃x∀y.x=y' is true in any interpretation whose domain
contains exactly one member, but in no interpretation
with a larger domain.

964 ：１３２人目の素数さん：2007/01/27(土) 10:47:34

そういう場合はmodelの定義のところかinterpretationの定義のところで
=の解釈は特別だとか書いてるんじゃないのかな、まず間違いなく。

965 ：１３２人目の素数さん：2007/01/27(土) 15:05:46

>>964
なかった。まず間違いなく。

966 ：１３２人目の素数さん：2007/01/27(土) 15:15:12

じゃあBoolosの教科書間違ってるじゃん

967 ：１３２人目の素数さん：2007/01/27(土) 15:44:19

=の解釈の仕方なら書いてある。
「特別」とは書いてないけど。

968 ：１３２人目の素数さん：2007/01/27(土) 15:48:47

特別じゃないけど他の一般的な述語記号とは違う扱いをすると。

誰もBoolosがspecialとかparticularだとかexeptionalだという単語を用いていると
言っているわけじゃないよ。当然だろう。

969 ：１３２人目の素数さん：2007/01/27(土) 16:39:40

>>968
>特別じゃないけど他の一般的な述語記号とは違う扱いをすると。
ほほーこれどういうこと？論理的な説明がほしい

970 ：１３２人目の素数さん：2007/01/27(土) 20:32:19

>>916
再帰してるな。

971 ：967：2007/01/28(日) 00:31:36

>>968
>>965に対するレスでもあるつもりだったんだが。
俺に絡まれても困るぞ。

972 ：１３２人目の素数さん：2007/01/29(月) 07:48:54

(x-xi)^2+(y-yi)^2=<(z-zi)^2 かどうかを調べる計算量ってオーダーであらわすといくらになるのでしょう？

どうかお願いします！！！

973 ：１３２人目の素数さん：2007/01/29(月) 12:39:16

>>972

>>958

974 ：KingOfUniverse ◆667la1PjK2 ：2007/01/29(月) 12:39:19

talk:>>972 0.

975 ：KingOfUniverse ◆667la1PjK2 ：2007/01/29(月) 12:40:57

talk:>>972 O(1).

976 ：972：2007/01/30(火) 10:38:10

スレ違いすみませんでした、しかし親切にお答えいだたき本当に
ありがとうございました

977 ：１３２人目の素数さん：2007/01/30(火) 17:49:50

c={(X.Y)∈R^2|X^2+Y^2=1}
で
∫cX^kdy
を求めろという問題なんですけど
答えまではいいんで、どう変形したらよいか教えて下さい。c積分の意味がわかってないんです

978 ：１３２人目の素数さん：2007/01/30(火) 19:18:29

>>977
X=cosθ, Y=sinθ,　dY=cosθdθ
0≦θ≦2π
でよいのじゃないの

979 ：１３２人目の素数さん：2007/01/30(火) 19:23:53

そう思ったんですが

線積分の意味がわかってないので、どうもピンとこなくて

978でよかったんですね
ありがとうございます

980 ：１３２人目の素数さん：2007/01/30(火) 19:49:50

>>977-979
スレ違い

981 ：１３２人目の素数さん：2007/01/31(水) 15:01:22

Martin Davisの「Computability and Unsolvability」を今読んでいるんですが、
2つほどわからないことがありまして、気が向いた方はどうかお教えください。

１．まずは、単なる興味から。
Chapter 8のSection 4の直前（Doverの本ならp.129の中ほど）に
「at least four logics which were originally proposed quite seriously have,
in fact, turned out to be inconsistent.」
とあるのですが、そのfour logicsってどんなのかご存知の方いませんか？
数学者がまじめに考えていたのに実は矛盾していた論理っていったいなんだったん
でしょう？

２．今度はフォローできなかったところです。
Chapter 10のSection 3の最後の方のTHEOREM 3.2（Doverの本ならp.168）での
Fのコンパクト性がどうしても示せません。前頁のPの定義における
Π［i=1...k］Pr(i)^(y_i)≦Π［i=1...k］Pr(i)^(x_i)
の部分を
y_1≦y∧...∧y_k≦y
に変更すると示せるんですが、それじゃあ反則ですよね。

どなたか気が向いた偉い方、どうかご教示ください。

982 ：１３２人目の素数さん：2007/01/31(水) 19:47:05

>>921
>ベリーはゲーデルの一般化と思ってよいでしょうか？
うん。YESだろう。
ところで、ベリーの定理：
｢任意の正整数kに対して、ｋ文字以内で定義できない
最短の文字列を計算する｣関数P(k)は存在しない
だが、それを少し変えた
｢任意の正整数kに対して、ｋ文字以内で定義"できる"
最短の文字列を計算する｣関数P(k)は存在するのだろうか？

983 ：１３２人目の素数さん：2007/01/31(水) 23:23:19

>>982
最短の文字列は空文字列でないか？

984 ：１３２人目の素数さん：2007/02/01(木) 11:01:04

三百五日。

985 ：１３２人目の素数さん：2007/02/01(木) 20:19:47

>>983
そうですね。ヘボ棋士が二歩を指した気分。
ありがとう。

986 ：１３２人目の素数さん：2007/02/02(金) 19:57:00

987 ：１３２人目の素数さん：2007/02/03(土) 21:34:31

次スレは？

988 ：１３２人目の素数さん：2007/02/04(日) 02:12:28

>>908
＞α－α＝０
自然数全体の濃度はアレフゼロ
偶数の全体もそう。自然数から偶数をとったら奇数が残る。
奇数全体の濃度もアレフゼロ。
だからダメ。

989 ：988：2007/02/04(日) 02:14:20