位相についてわかり安く教えてくれ

> 592
> 次の事項は理解できていますか。

はい。一応。

> 整列集合の比較可能性。

これはW,W'を2つの整列集合とすれば次の3つの場合のいずれか一つだけが起こる(〜は順序同型の意)。
(i) W〜W'
(ii) ∃a∈W;{w∈W;w<a}〜W'
(iii) ∃a'∈W';W〜{w'∈W';w'<a'}
ですね。

> 切片 {y∈Ω;y<x} は可算な整列集合であること。
> そのような例は一つしか存在しない。

簡単な例は何がありますでしょうか?

>> 切片 {y∈Ω;y<x} は可算な整列集合であること。
>> そのような例は一つしか存在しない。
> 簡単な例は何がありますでしょうか?


やべｗｗｗｗｗ
腹の筋肉千切れそうなくらいﾜﾛｽｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ

>> そのような例は一つしか存在しない。
> 簡単な例は何がありますでしょうか?

本当に理解しているのか？

>597
はっはい。

>>598

本当に理解しているならば、そもそもああいう質問は出てこないはずだか。

>>599
日本語が理解できない人にそれはしつれいですよ。

598
です。
すいません。ご教示ください。m(_ _)m

>>601

非可算集合 A を一つ取る。整列定理より、A には、整列順序が一つ入る。
それを ≦ で表す。x, y ∈ A に対し、x<y ⇔ (x≦y かつ x≠y)
S(x) = {z ∈ A | z<x} とおく。

場合分けをする。

case 1
全ての x ∈ A に対し、S(x) が可算集合のとき。
このときは、A に整列順序 ≦ を与えたものが、問いに答えるものである。

case 2
ある x ∈ A に対し、S(x) が非可算集合のとき。
そのような x ∈ A で最小のものを a とする。
このときは、A の切片 S(a) に、A の順序 ≦ から導入された順序
{(x, y) ∈ S(a)×S(a) | x≦y}　が、問いに答えるものである。

補足

>>602 でいう可算とは、濃度がアレフゼロ以下の意味ね。

> 602

どうもありがとうございます。

> case 2
> ある x ∈ A に対し、S(x) が非可算集合のとき。
> そのような x ∈ A で最小のものを a とする。
> このときは、A の切片 S(a) に、A の順序 ≦ から導入された順序
> {(x, y) ∈ S(a)×S(a) | x≦y}　が、問いに答えるものである。

つまり{(x, y) ∈ S(a)×S(a) | x≦y}がΩの性質を満たすのですね。
(x,x)∈{(x, y) ∈ S(a)×S(a) | x≦y}でx∈S(a)でS(a)は非可算なので
{(x, y) ∈ S(a)×S(a) | x≦y}は非可算になりますね。
そして,
S'(a):={(x, y) ∈ S(a)×S(a) | x≦y}とすると
∀b∈S'(a)に対し,S'(b)={(x, y) ∈ S(b)×S(b) | x≦y}で
S(b)は可算なのでS(b)×S(b)も可算になりますね。

ん?
a:=min{a∈A;S(a)は非可算}の時,∀x∈S(a)に対してS(x)は可算になるのでよね。
なのでΩ:=S(a)とする事はできませんか?

こいつ、あの主か

>>604

ははは。どうやら、僕の書き方が紛らわしかったようですね。
あなたの言うとおりです。

>>602 で、以下の訂正をしてください。

訂正前：

> このときは、A の切片 S(a) に、A の順序 ≦ から導入された順序
> {(x, y) ∈ S(a)×S(a) | x≦y}　が、問いに答えるものである。

訂正後：

> このときは、A の切片 S(a) に、A の順序 ≦ から導入された整列順序
> G:={(x, y) ∈ S(a)×S(a) | x≦y}　を与えた整列順序集合
> S(a) が問いに答えるものである。

確かに Ω = S(a) とするのですが、この場合は、土台となる集合が S(a)(=Ω)
で、その集合 S(a) 上の整列順序構造が G となるのです。
普通は、整列集合 S(a) とだけ書いて G は省きますね、確かに。
小うるさい本では、整列集合としては (S(a), G) と書いて、
その土台集合として S(a) を問題にします。
僕自身は、整列集合としては、(pr_1(G) = S(a) なので)
整列構造込みで扱うために、G だけ問題にしていました。

> 確かに Ω = S(a) とするのですが、この場合は、土台となる集合が S(a)(=Ω)
> で、その集合 S(a) 上の整列順序構造が G となるのです。

なるほど。S(a)×S(a)は順序関係を表していたのですね。
∀x,y,z∈S(a)に対して,(x,x)∈S(a)×S(a)(∵x≦x)。
(x,y)∈S(a)×S(a)かつ(y,x)∈S(a)×S(a)ならx=y。
(x,y)∈S(a)×S(a)かつ(y,z)∈S(a)×なら(x,z)∈S(a)×S(a)
が成立する事は容易に確かめられますね。

> 普通は、整列集合 S(a) とだけ書いて G は省きますね、確かに。
(snip)
> 整列構造込みで扱うために、G だけ問題にしていました。

了解いたしました。

ところで
非可算で任意の切片が可算になるようなΩの具体例はどのようなものが挙げられますか?
実数とかでそのようなΩが作れないか考えてみたのですがなかなか思いつきません。

まだ、そのような例は一つしかない、と言われていることも
既にその例が挙げられていることも気付かないのか主は。
まあ、主だものな。無理は言わないよ。

>>607

整列順序構造は S(a)×S(a) ではなく、x≦y をみたす (x,y)∈S(a)×S(a) の全体です。

ご質問の具体例は、公理的集合論の本で順序数というものを勉強されてください。アレフワンと呼ばれる基数がそうです。

離散距離空間の開集合系がベキ集合で
密着準距離空間の開集合系が｛x , 空集合｝
なのはなぜですか？
日本語になってるかわかりませんが、
どなたか救いの手を差し伸べてくださいm(_ _ )m

>>610
俺にはそれが定義に見えるけど、何故というからには違うんだろ？

お前の言う
> 離散距離空間
> 密着準距離空間
の定義は何？

610です。

Xの任意の元ｘ、ｙに対してｄ（ｘ、ｘ）＝０、ｄ（ｘ、ｙ）＝１　（ｘ！＝ｙ）
とおいたとき、（X、ｄ）を離散距離空間という。
Xの任意の元ｘ、ｙに対してd0（ｘ、ｘ）＝０
と定めるととき（X、d0）を密着準距離空間という。

距離空間（X、ｄ）において開集合全体の作るべき集合の部分集合を
O（X)で表すとき、（X、O(X))は位相空間である。これを距離函数ｄ
の定める位相という。

【問題】

離散距離空間（X、d１)に対して、ｄ１の定める開集合系をO１とすれば
O１＝（Xのべき集合）
密着準距離空間（X、d2）に対して、d2の定める開集合系はO2＝｛X、空集合｝

>>612
距離から定まる通常の位相ってのは、開集合系 O(X) がXの開円板で生成される
ということなのだから、自明。

てか、定義でd,d0を使ったのに、なぜ問題でd1,d2に変えるんだよｗｗ

>>613
ありがとうございます。
確かに文字の設定おかしいですねｗ
すみませんでした汗

> 自明

問題の主張が自明、という意味だからな。為念。

証明教えてくださいm(_ _ )m

【問題】―――――――――――――――――――
O’が開集合系Oの基底であるためには、
任意のP∈Oと任意のx∈Pとに対して
　　　　　　　x∈W⊂P
となるW∈O’が存在することが、必要十分である。
――――――――――――――――――――――

どうかよろしくお願いします。

>>616
これは、ほとんど基底の定義。
位相がわからないのではなくて、もっと基本的な集合の扱いができないのだと思う。

>>616
開集合系Oの基底の定義と
開集合の定義

この２つを理解してれば簡単

>609

607です。

> そのような x ∈ A で最小のものを a とする

整列集合だからそのようなaが存在しますね。
もし,min{a∈(A,≦);{x∈A;x<a}は可算}=min(A,≦)の場合には,{x∈A;x<a}=φでこれも可算になっていると言えますね。

どうもありがとうございました。

619です。

> 602
すいません。また分からなくなりました。

> 全ての x ∈ A に対し、φ≠S(x) が可算集合のとき。

本当にこのような集合は作れるのでしょうか?
Aは非可算で∀x∈Aに対してS(x)は可算ですよね。。。

>>620
もういっかいスレを読み直せ

>>620
>Aは非可算で∀x∈Aに対してS(x)は可算ですよね
N は無限集合で∀n∈Nに対してS(n)は有限集合ですよね

つか、既に答えが書かれていてそれが唯一であるということも述べられているのに
それにもかかわらず簡単な例は無いかとか本当に作れるのかとか、
ただの愉快犯だろ。相手をするだけ無駄だよ。

> 622

>>>620
>>Aは非可算で∀x∈Aに対してS(x)は可算ですよね
> N は無限集合で∀n∈Nに対してS(n)は有限集合ですよね

それはそうですね。∀nに対して,S(n)は有限集合なので可算ではありますが
Nは非可算ではないですよね。

普通に考えたら>>620の
> 本当にこのような集合は作れるのでしょうか?
というクラスが上がるのは疑わしいという先入観に対する
> N は無限集合で∀n∈Nに対してS(n)は有限集合ですよね
なのだから

>>624のようなレスは文盲としか言いようが無い。
>>623に同意。

>625

やっと分かりました。

自然数の整列集合(N,≦_n)と実数の整列集合(R,≦_R)でx≦yをx,y∈Nの時,x≦_n yで
x,y∈Rの時,x≦_R yでx∈N,y∈Rの時,x≦yと定義して
b:=min{a∈N∪R;{x∈N∪R;x<a}は非可算}と取れるから
{x∈N∪R;x<b}がΩとなりますね。

どうもありがとうございます。

>>626
おまえ、文盲にも程がある。
それはΩではない

>>626

587 名前：１３２人目の素数さん [] 投稿日：2009/10/01(木) 05:39:00
∀x∈Ωに対し,切片{y∈Ω;y<x}が可算集合となるような非可算な整列集合Ωの例が思いつきません。
何か簡単な例をお教え下さい。


588 名前：１３２人目の素数さん [] 投稿日：2009/10/01(木) 06:50:37
>>587 可算順序数の全体

----
ここまでで話は終わっている。さらにいえば↓のレスの意味をお前はまったく理解していない。

592 名前：１３２人目の素数さん [sage] 投稿日：2009/10/01(木) 11:19:13
>>587
次の事項は理解できていますか。

-整列集合の比較可能性。
-切片 {y∈Ω;y<x} は可算な整列集合であること。
-そのような例は一つしか存在しない。

n+1次元Euclid空間においてR＾n+1から原点を除いた集合Xを作り、
Xにおいて同値関係を
（x0,....,xn)〜（ax0,....,axn) (a!=0)
によって定義する.

【問題】--------------------------------------------------------

ｎ次元球面S＾ｎ＝｛（x0,....,xn);Σxi^2=1} において同値関係を
（x0,....,xn)〜（-x0,....,-xn)
によって定義して得られる商位相空間はｎ次元射影空間と同位相である.

--------------------------------------------------------------

どなたか手を差し伸べてください。
証明お願いしますm(_ _ )m

>>629 【訂正】

n+1次元Euclid空間においてR＾n+1から原点を除いた集合Xを作り、
Xにおいて同値関係を
（x0,....,xn)〜（ax0,....,axn) (a!=0)
によって定義する.　これから得られる商位相空間をｎ次元射影空間という

【問題】--------------------------------------------------------

ｎ次元球面S＾ｎ＝｛（x0,....,xn);Σxi^2=1} において同値関係を
（x0,....,xn)〜（-x0,....,-xn)
によって定義して得られる商位相空間はｎ次元射影空間と同位相である.

--------------------------------------------------------------

どなたか手を差し伸べてください。
証明お願いしますm(_ _ )m

>>1俺もこれがただしいと思うよ

かなりぶっちゃケ手、距離を友達集合でぶっこくんだよ

662

619

>>630
余裕

余裕じゃねーよ

半球とおなじだからさ／

>>637
半球とは違うぞ。n＝1だと半球に近いけど、境界が僅かに違う。
n＝2だと半球どころか1/4球くらいになってる。

ゴメン。変な勘違いしてた。n＝2でも半球で合ってる。
でも、キレイに上半球面になるわけではなく、
やっぱり境界が若干面倒くさい。

学生の頃の個人的体験。
昔、Kellyのトポロジーなんか読んで、位相空間について解ったつもりで、
天狗になっていた。次は連続群論・位相群論だ、と勝手に思い込み。

ところが、位相群論概説　を読んでみてほとんど解らずに沈没・挫折した。
無限次ガロア理論や整数論を学ぶ上でどうしても必要になり、再度やってみて
ようやく目指すところがわかってきた。

＆とORで閉じている集合族

「四次元空間としての療園」 by 川崎和男 (ｗ)

↓↓ どちらも川崎和男が得意とする「日本語（ガチャ文）駄文の２ページ《論文》」
　　
ＤＬして、どこかに晒してください

各２ページなんで、すぐに読めてトンデモ度（＋ 川崎の白痴ぶり）が気軽に楽しめる作品に仕上がってるハズ
　　
●http://ci.nii.ac.jp/naid/110004560973/ トポロジーおよびトポロジー形態論を適用した人工小脳デザイン
　　　　
●http://ci.nii.ac.jp/naid/110004560974/　人工肺のデザインにおけるトポロジー形態論の適用の研究

川崎和男 的には、人工小脳とか、人工肺のデザインでも "トポロジー" (w) が出てくるワケだから、
やっぱり、お得意の　「クラインの壺」　も登場する？

age

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