代数的整数論
1 ：１３２人目の素数さん：
代数的整数論に関するスレッドです。
|
|
|
2 ：１３２人目の素数さん：2005/09/12(月) 16:33:10
3 ：１３２人目の素数さん：2005/09/12(月) 16:57:17
隔離スレおめ
4 ：１３２人目の素数さん：2005/09/12(月) 17:10:30
Neukich??
このスレでは素人の発言は厳禁。したときは
容赦なくたたくからよく覚えておくように！
おれの怖さは、オイラースレのハンドル198で味わえ。
容赦なくたたくからよく覚えておくように！
おれの怖さは、オイラースレのハンドル198で味わえ。
6 ：208：2005/09/12(月) 17:35:54
そう怖がらなくていい。
予備知識としてはガロワ理論と一般位相、位相群の初歩くらいか。
予備知識としてはガロワ理論と一般位相、位相群の初歩くらいか。
7 ：１３２人目の素数さん：2005/09/12(月) 17:47:22
ちんこ？
8 ：１３２人目の素数さん：2005/09/12(月) 17:50:47
Yes
9 ：１３２人目の素数さん：2005/09/12(月) 17:59:53
まんこ？
10 ：１３２人目の素数さん：2005/09/12(月) 18:04:45
No
11 ：１３２人目の素数さん：2005/09/12(月) 18:18:43
二次体の整数環の構造を教えて下さーい
12 ：１３２人目の素数さん：2005/09/13(火) 02:55:27
おっぱい？
13 ：１３２人目の素数さん：2005/09/13(火) 15:19:23
208さん、たくさんカキコしに来てくださ〜い
他スレで浮気しちゃだめよ
他スレで浮気しちゃだめよ
14 ：208：2005/09/13(火) 16:00:38
もうちょっと待ってくれ。
15 ：１３２人目の素数さん：2005/09/13(火) 18:54:02
整数的代数論って何？
16 ：１３２人目の素数さん：2005/09/13(火) 18:55:28
代数的整数論って何？
17 ：１３２人目の素数さん：2005/09/13(火) 18:59:53
ググればわかる
18 ：１３２人目の素数さん：2005/09/13(火) 19:04:01
ググルのめんどくさい。教えて
19 ：１３２人目の素数さん：2005/09/13(火) 19:40:20
整数的代数論のことか？
20 ：１３２人目の素数さん：2005/09/13(火) 19:51:15
スレ主は全然面倒見てくれないな。無責任だよ。
21 ：１３２人目の素数さん：2005/09/13(火) 19:55:04
人のいるところでオナニーしないとつまらないんでしょ
208的に
208的に
22 ：208：2005/09/14(水) 09:54:06
ガロワ理論スレで述べたDedekindの判別定理の証明には以下の命題
が陰に使用されていた。
AをDedekind環、K をその商体、L/K を有限次分離拡大体。
BをLにおけるAの整閉包とする。
IをBの(非零な整)イデアルとする。
このときB/Iの任意の剰余類に L = K(θ) となる元θ∈B が存在する。
この証明を演習問題として提出しよう。
が陰に使用されていた。
AをDedekind環、K をその商体、L/K を有限次分離拡大体。
BをLにおけるAの整閉包とする。
IをBの(非零な整)イデアルとする。
このときB/Iの任意の剰余類に L = K(θ) となる元θ∈B が存在する。
この証明を演習問題として提出しよう。
23 ：１３２人目の素数さん：2005/09/14(水) 16:37:26
結局圏ってなんなんですか？ 関数だか集合だかの拡張と聞いたんですが
具体的イメージが湧きません。
具体的イメージが湧きません。
24 ：208：2005/09/14(水) 17:07:05
次の命題もDedekindの判別定理の証明に使われる。
命題
AをDedekind環、K をその商体、L/K を有限次分離拡大体。
BをLにおけるAの整閉包とする。
PをBの任意の(非零)素イデアルとする。
p = A∩P とする。B/P は A/p の分離拡大と仮定する。
このとき、元θ∈B とモニックな多項式 P(X)∈A[X] で以下の条件を
満たすものが存在する。
1) θのmod Pの剰余類は、B/PのA/p上の(拡大体としての)生成元。
2) P(X) (mod P) はθ(mod P) の最小多項式
3) P(θ) ∈ P - P^2
この証明も演習問題として提出しておく(証明は高木に載っているが)。
命題
AをDedekind環、K をその商体、L/K を有限次分離拡大体。
BをLにおけるAの整閉包とする。
PをBの任意の(非零)素イデアルとする。
p = A∩P とする。B/P は A/p の分離拡大と仮定する。
このとき、元θ∈B とモニックな多項式 P(X)∈A[X] で以下の条件を
満たすものが存在する。
1) θのmod Pの剰余類は、B/PのA/p上の(拡大体としての)生成元。
2) P(X) (mod P) はθ(mod P) の最小多項式
3) P(θ) ∈ P - P^2
この証明も演習問題として提出しておく(証明は高木に載っているが)。
25 ：208：2005/09/14(水) 17:24:12
26 ：１３２人目の素数さん：2005/09/14(水) 17:37:14
てす
27 ：208：2005/09/14(水) 17:38:40
>>24の命題のθとして、L = K(θ) かつθ∈ I となるものが取れる。
ここで I は、前もって任意に与えられた P と素なBのイデアル。
この証明も演習問題として提出しておく(証明は高木に載っているが)。
ここで I は、前もって任意に与えられた P と素なBのイデアル。
この証明も演習問題として提出しておく(証明は高木に載っているが)。
28 ：１３２人目の素数さん：2005/09/14(水) 17:39:36
と
29 ：208：2005/09/15(木) 09:15:54
30 ：208：2005/09/15(木) 09:58:29
命題
BをDedekind環、Pをその(非零)素イデアルとする。
πを P - P^2 の任意の元とし、S を B/P の剰余類の完全代表系とする。
αをBの任意の元とし、m > 0 を任意の整数とする。
α = a_0 + a_1π + ... + a_(m-1)π^(m-1) (mod P^m)
となる。ここで、各 a_i ∈ S
この証明も演習問題として提出しておく(証明は高木に載っているが)。
BをDedekind環、Pをその(非零)素イデアルとする。
πを P - P^2 の任意の元とし、S を B/P の剰余類の完全代表系とする。
αをBの任意の元とし、m > 0 を任意の整数とする。
α = a_0 + a_1π + ... + a_(m-1)π^(m-1) (mod P^m)
となる。ここで、各 a_i ∈ S
この証明も演習問題として提出しておく(証明は高木に載っているが)。
31 ：208：2005/09/15(木) 10:05:14
高木の代数的整数論の前半の各命題（全部ではない）の証明を
現代的に書き直すのは、いい勉強になる。
後半(類体論)を書き直すのはちと手にあまる。
現代的に書き直すのは、いい勉強になる。
後半(類体論)を書き直すのはちと手にあまる。
32 ：208：2005/09/15(木) 10:13:30
高木の本は必要とされる予備知識が少ないのに驚く。
ガロワ理論さえも仮定されていない(本文の中で導入している)。
群論の初歩はさすがに必要かな。
体論は、本文の中で殆ど自己完結しているが、予備知識ゼロだと
少しきついかもしれない。
ガロワ理論さえも仮定されていない(本文の中で導入している)。
群論の初歩はさすがに必要かな。
体論は、本文の中で殆ど自己完結しているが、予備知識ゼロだと
少しきついかもしれない。
33 ：208：2005/09/15(木) 10:24:47
良く知られてはいないが、抽象代数の勃興はDedekindの影響が大きい。
Dedekindの代数的整数論は非常に明快かつ驚くほど現代的。
代数的整数論は抽象代数の母体であるといえる。
そして抽象代数の勃興が現代数学の他の分野の抽象化を促した。
こう見てくると代数的整数論というのは一見非常に特殊な分野に見えるけど、
現代数学に大きな影響を持っていた(そしてたぶん今も)と言える。
Dedekindの代数的整数論は非常に明快かつ驚くほど現代的。
代数的整数論は抽象代数の母体であるといえる。
そして抽象代数の勃興が現代数学の他の分野の抽象化を促した。
こう見てくると代数的整数論というのは一見非常に特殊な分野に見えるけど、
現代数学に大きな影響を持っていた(そしてたぶん今も)と言える。
34 ：208：2005/09/16(金) 09:43:11
命題
BをDedekind環、Pをその(非零)素イデアルとする。
πを P - P^2 の任意の元とし、S を B/P の剰余類の完全代表系とする。
αをBの任意の元とし、m > 0 を任意の整数とする。
α = a_0 + a_1π + ... + a_(m-1)π^(m-1) (mod P^m)
となる。ここで、各 a_i ∈ S
この証明も演習問題として提出しておく(証明は高木に載っているが)。
BをDedekind環、Pをその(非零)素イデアルとする。
πを P - P^2 の任意の元とし、S を B/P の剰余類の完全代表系とする。
αをBの任意の元とし、m > 0 を任意の整数とする。
α = a_0 + a_1π + ... + a_(m-1)π^(m-1) (mod P^m)
となる。ここで、各 a_i ∈ S
この証明も演習問題として提出しておく(証明は高木に載っているが)。
35 ：１３２人目の素数さん：2005/09/16(金) 10:12:04
ガロワ理論のスレで書いたことやや一般にして再度述べる。
AをDedekind環、K をその商体、L/K を有限次分離拡大体。
BをLにおけるAの整閉包とする。
判別定理の証明のために以下の仮定をする。
Aの各(非零)素イデアルpに対して、A/p は完全体である。
Kが代数体のときは A/p は有限体だから、この仮定は当然満たされる。
TrをLからKへのトレース写像とする。
M(L/K) = {ξ∈B; Tr(ξB) ⊂ A} とおく。
M(L/K)は B を含むBの分数イデアルである。
D(L/K) = M(L/K)^(-1) とおく。D(L/K)をL/Kの共役差積という。
D(L/K)はLの整イデアルである。
L = K(θ) となるθ∈B に対して、F = {ξ∈B; ξB ⊂ A[θ]}
を環 A[θ] の導手(fuhrer)と呼ぶ。F は B のイデアルである。
f(X)∈A[X] をθの最小多項式とする。f'(X) をf(X)の微分とする
と、f'(θ)B = D(L/K)F という関係が成立つ。これはf(X)に関する
Eulerの公式から得られる(例えば高木の代数的整数論参照)。
命題
PをLの任意の(非零)素イデアルとしたとき、P が F を含まないような
θ∈B が存在する。
AをDedekind環、K をその商体、L/K を有限次分離拡大体。
BをLにおけるAの整閉包とする。
判別定理の証明のために以下の仮定をする。
Aの各(非零)素イデアルpに対して、A/p は完全体である。
Kが代数体のときは A/p は有限体だから、この仮定は当然満たされる。
TrをLからKへのトレース写像とする。
M(L/K) = {ξ∈B; Tr(ξB) ⊂ A} とおく。
M(L/K)は B を含むBの分数イデアルである。
D(L/K) = M(L/K)^(-1) とおく。D(L/K)をL/Kの共役差積という。
D(L/K)はLの整イデアルである。
L = K(θ) となるθ∈B に対して、F = {ξ∈B; ξB ⊂ A[θ]}
を環 A[θ] の導手(fuhrer)と呼ぶ。F は B のイデアルである。
f(X)∈A[X] をθの最小多項式とする。f'(X) をf(X)の微分とする
と、f'(θ)B = D(L/K)F という関係が成立つ。これはf(X)に関する
Eulerの公式から得られる(例えば高木の代数的整数論参照)。
命題
PをLの任意の(非零)素イデアルとしたとき、P が F を含まないような
θ∈B が存在する。
36 ：１３２人目の素数さん：2005/09/16(金) 12:20:41
おい学生、せっかく俺が問題出したんだ、少しは解けや。
高木を見てもいいよ。その代わり自分で理解して書いてくれ。
この問題は、判別定理で使うし、問題自体基本的なことばかり。
高木を見てもいいよ。その代わり自分で理解して書いてくれ。
この問題は、判別定理で使うし、問題自体基本的なことばかり。
37 ：１３２人目の素数さん：2005/09/16(金) 12:38:13
面白いアーベル多様体の例を教えてくだーさい
38 ：１３２人目の素数さん：2005/09/16(金) 13:02:08
今、大学の試験時期か？ どのスレも閑散としてるな
39 ：１３２人目の素数さん：2005/09/16(金) 18:17:01
問題がオモロナイ。
40 ：１３２人目の素数さん：2005/09/21(水) 09:17:36
高木の代数的整数論の前半で一番難しい部分を噛み砕いて教えようと
してるのにオモロナイとはいい度胸だ。
誤解のないように言っておくけど、ここで俺が出す問題は基本的には
代数的整数論の基本部分を分かりやすく説明するために出したものであり、
問題を出すことそれ自体を目的にしたものではない。今後もその予定。
問題はどれも素直なものばかり。これ等の問題を解くことにより基本が
身につくように配慮した。問題の意味は後になってわかるようになっている。
ちょうどプラモデルの組み立てみたいなもの。各問題は最終完成品の
部品に過ぎない。
してるのにオモロナイとはいい度胸だ。
誤解のないように言っておくけど、ここで俺が出す問題は基本的には
代数的整数論の基本部分を分かりやすく説明するために出したものであり、
問題を出すことそれ自体を目的にしたものではない。今後もその予定。
問題はどれも素直なものばかり。これ等の問題を解くことにより基本が
身につくように配慮した。問題の意味は後になってわかるようになっている。
ちょうどプラモデルの組み立てみたいなもの。各問題は最終完成品の
部品に過ぎない。
41 ：１３２人目の素数さん：2005/09/21(水) 09:18:11
命題
AをDedekind環、K をその商体、L/K を有限次分離拡大体。
BをLにおけるAの整閉包とする。
PをBの(非零)素イデアルで、B/P は A/p 上分離的とする。
ここで、p = A∩P。
I を P と素なBの(非零)イデアルとする。
このとき、以下の条件を満たすθ∈B が存在する。
1) L = K(θ)
2) θ∈I
2) 任意のω∈B と任意の整数 m > 0 に対して、
ω = G(θ) (mod P^m) となる多項式 G(X) ∈ A[X] がある。
証明
>>24, >>25, >>27 より、
元θ∈B とモニックな多項式 φ(X)∈A[X] で以下の条件を
満たすものが存在する。
1) θのmod Pの剰余類は、B/PのA/p上の生成元。
2) φ(X) (mod P) はθ(mod P) の最小多項式
3) φ(θ) ∈ P - P^2
4) L = K(θ)
5) θ∈I
>>30から、このθが求めるものである。
証明終
AをDedekind環、K をその商体、L/K を有限次分離拡大体。
BをLにおけるAの整閉包とする。
PをBの(非零)素イデアルで、B/P は A/p 上分離的とする。
ここで、p = A∩P。
I を P と素なBの(非零)イデアルとする。
このとき、以下の条件を満たすθ∈B が存在する。
1) L = K(θ)
2) θ∈I
2) 任意のω∈B と任意の整数 m > 0 に対して、
ω = G(θ) (mod P^m) となる多項式 G(X) ∈ A[X] がある。
証明
>>24, >>25, >>27 より、
元θ∈B とモニックな多項式 φ(X)∈A[X] で以下の条件を
満たすものが存在する。
1) θのmod Pの剰余類は、B/PのA/p上の生成元。
2) φ(X) (mod P) はθ(mod P) の最小多項式
3) φ(θ) ∈ P - P^2
4) L = K(θ)
5) θ∈I
>>30から、このθが求めるものである。
証明終
42 ：１３２人目の素数さん：2005/09/21(水) 09:59:45
問題
AをDedekind環、I, J をその(非零)イデアルとする。
α∈I で αA = IR, R + J = A となるものが存在する。
ここで、R は A の(非零)イデアル
ヒント：中国式剰余定理を使う。
AをDedekind環、I, J をその(非零)イデアルとする。
α∈I で αA = IR, R + J = A となるものが存在する。
ここで、R は A の(非零)イデアル
ヒント：中国式剰余定理を使う。
43 ：１３２人目の素数さん：2005/09/21(水) 10:03:54
>>35の命題を改めて書く。
命題
AをDedekind環、K をその商体、L/K を有限次分離拡大体。
BをLにおけるAの整閉包とする。
PをBの(非零)素イデアルで、B/P は A/p 上分離的とする。
ここで、p = A∩P。
このとき、以下の条件を満たすθ∈B が存在する。
1) L = K(θ)
2) A[θ] の導手 F はPと素である。
命題
AをDedekind環、K をその商体、L/K を有限次分離拡大体。
BをLにおけるAの整閉包とする。
PをBの(非零)素イデアルで、B/P は A/p 上分離的とする。
ここで、p = A∩P。
このとき、以下の条件を満たすθ∈B が存在する。
1) L = K(θ)
2) A[θ] の導手 F はPと素である。
44 ：１３２人目の素数さん：2005/09/21(水) 10:05:19
>>43の命題の証明
pB = (P^e)I, I + P = B とする。
>>41より、以下の条件を満たすθ∈B が存在する。
1) L = K(θ)
2) θ∈I
2) 任意のω∈B と任意の整数 m > 0 に対して、
ω = G(θ) (mod P^m) となる多項式 G(X) ∈ A[X] がある。
c ∈ f'(θ)B ∩ A となる c ≠ 0 をとる。
f'(θ) ≠ 0 だから、このような c は存在する。
c が p に含まれないとすると、f'(θ)B は P に含まれない
ことになり、f'(θ)B = D(L/K)F より、F は P に含まれない。
よって、この場合は証明が終了する。
よって、 cA = (p^h)J, h > 0, J + p = A とする。ここで J は A のイデアル。
>>42より、dA = JR, R + p = A となる元 d ∈ J と A のイデアルRが
存在する
>>41より、任意のω∈B に対して、ω = G(θ) + β となる、
G(X) ∈ A[X] と β∈P^(eh) がある。
θ∈ I だから、(θ^h)β∈(I^h)P^(eh) = (IP^e)^h = (p^h)B
d(θ^h)β ∈ (p^h)JRB = cRB ⊂ f'(θ)B ⊂ F ⊂ A[θ]
よって、d(θ^h)ω = d(θ^h)G(θ) + d(θ^h)β ∈ A[θ]
ωは任意のB の元だから、d(θ^h) ∈ F となる。
d と θ は P に含まれないから F は P に含まれない。
証明終
pB = (P^e)I, I + P = B とする。
>>41より、以下の条件を満たすθ∈B が存在する。
1) L = K(θ)
2) θ∈I
2) 任意のω∈B と任意の整数 m > 0 に対して、
ω = G(θ) (mod P^m) となる多項式 G(X) ∈ A[X] がある。
c ∈ f'(θ)B ∩ A となる c ≠ 0 をとる。
f'(θ) ≠ 0 だから、このような c は存在する。
c が p に含まれないとすると、f'(θ)B は P に含まれない
ことになり、f'(θ)B = D(L/K)F より、F は P に含まれない。
よって、この場合は証明が終了する。
よって、 cA = (p^h)J, h > 0, J + p = A とする。ここで J は A のイデアル。
>>42より、dA = JR, R + p = A となる元 d ∈ J と A のイデアルRが
存在する
>>41より、任意のω∈B に対して、ω = G(θ) + β となる、
G(X) ∈ A[X] と β∈P^(eh) がある。
θ∈ I だから、(θ^h)β∈(I^h)P^(eh) = (IP^e)^h = (p^h)B
d(θ^h)β ∈ (p^h)JRB = cRB ⊂ f'(θ)B ⊂ F ⊂ A[θ]
よって、d(θ^h)ω = d(θ^h)G(θ) + d(θ^h)β ∈ A[θ]
ωは任意のB の元だから、d(θ^h) ∈ F となる。
d と θ は P に含まれないから F は P に含まれない。
証明終
45 ：１３２人目の素数さん：2005/09/21(水) 10:16:09
>>29のヒントでもまだたりない？
mを変化させると、KとLの中間体 K(α+(t^m)θ) の列が得られる。
L/Kは分離的だから、中間体の数は有限(ガロワ理論より)。
だから、この列は実質有限。つまり、K(α+(t^m)θ) = K(α+(t^n)θ)]、
m ≠ n となる整数m, n がある。
mを変化させると、KとLの中間体 K(α+(t^m)θ) の列が得られる。
L/Kは分離的だから、中間体の数は有限(ガロワ理論より)。
だから、この列は実質有限。つまり、K(α+(t^m)θ) = K(α+(t^n)θ)]、
m ≠ n となる整数m, n がある。
46 ：１３２人目の素数さん：2005/09/21(水) 10:20:37
47 ：１３２人目の素数さん：2005/09/21(水) 10:23:46
48 ：１３２人目の素数さん：2005/09/21(水) 11:08:22
>>45はDirichletの部屋割り論法の一種。
この論法は数論でよく使われる。簡単だけど強力。
この論法は数論でよく使われる。簡単だけど強力。
49 ：１３２人目の素数さん：2005/09/21(水) 14:03:16
高木の初等整数論はガウスのDA＋デデキントの整数論の本のサマリ。
高木の代数的整数論は、ヒルベルトの（１９世紀数学百科）報文の
引き写し＋自分の類体論 だと誰かが言ってたが、そこらへんどうなの？
（ヒルベルトの報文って、手に入らないので、高瀬さんでも翻訳本
出してくれないものかな）
高木の代数的整数論は、ヒルベルトの（１９世紀数学百科）報文の
引き写し＋自分の類体論 だと誰かが言ってたが、そこらへんどうなの？
（ヒルベルトの報文って、手に入らないので、高瀬さんでも翻訳本
出してくれないものかな）
50 ：１３２人目の素数さん：2005/09/21(水) 14:33:48
>>49
ヒルベルトの報文は当然参考にしてるだろうだろうが、それが主要
なソースかどうかは知らない。
邦訳があったような。記憶違いかな。
自分の類体論といっても、ArtinとかChevalleyとかの改良を
取入れている。Artinのは改良と言うより、類体論の主定理と
言っていいものだが。
ヒルベルトの報文は当然参考にしてるだろうだろうが、それが主要
なソースかどうかは知らない。
邦訳があったような。記憶違いかな。
自分の類体論といっても、ArtinとかChevalleyとかの改良を
取入れている。Artinのは改良と言うより、類体論の主定理と
言っていいものだが。
51 ：１３２人目の素数さん：2005/09/21(水) 19:55:21
ガロアスレでx^3+x+1の分解体で31Z以外は分岐しないことが即答できない程度の
人間が何をいきがってんだろ？
人間が何をいきがってんだろ？
52 ：１３２人目の素数さん：2005/09/21(水) 20:28:35
ここは王国なんだから干渉しちゃだめ
53 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 09:32:43
なんだレスついたと思ったら煽りかよ。
54 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 09:56:37
命題
AをDedekind環、K をその商体、L/K を有限次分離拡大体。
BをLにおけるAの整閉包とする。
Bの任意の(非零)素イデアルPに対して、B/P は A/p 上分離的とする。
ここで、p = A∩P。
このとき、L/K の共役差積 D(L/K) は、f'(θ) 全体で生成される。
ここで、θ∈B、L = K(θ) で f(X)∈A[X] はθのK上のモニックな
最小多項式。
証明
A[θ] の導手をFとすると、f'(θ)B = D(L/K)F となる。
これと、>>43 からわかる。
詳しくは演習問題(簡単)とする。
AをDedekind環、K をその商体、L/K を有限次分離拡大体。
BをLにおけるAの整閉包とする。
Bの任意の(非零)素イデアルPに対して、B/P は A/p 上分離的とする。
ここで、p = A∩P。
このとき、L/K の共役差積 D(L/K) は、f'(θ) 全体で生成される。
ここで、θ∈B、L = K(θ) で f(X)∈A[X] はθのK上のモニックな
最小多項式。
証明
A[θ] の導手をFとすると、f'(θ)B = D(L/K)F となる。
これと、>>43 からわかる。
詳しくは演習問題(簡単)とする。
55 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 10:26:10
AをDedekind環、K をその商体、L/K を有限次分離拡大体。
BをLにおけるAの整閉包とする。
θをB の元で L = K(θ) とする。
A[θ] の導手をFとする。
p を A の(非零)素イデアルで、pB + F = B とする。
包含射 A[θ] → B と標準射 B → B/pB の合成
A[θ] → B/pB は、同型 A[θ]/pA[θ] = B/pB を誘導する。
証明
pB + F = B と F ⊂ A[θ] より、A[θ] → B/pB は全射。
A[θ] ∩ pB = (pB + F)(A[θ] ∩ pB) ⊂ pA[θ] + pA[θ] ⊂ pA[θ]
逆の包含関係 pA[θ] ⊂ A[θ] ∩ pB は明らかだから、
A[θ] ∩ pB = pA[θ] となる。
よって, A[θ] → B/pB の核 A[θ] ∩ pB = pA[θ] となる。
証明終
BをLにおけるAの整閉包とする。
θをB の元で L = K(θ) とする。
A[θ] の導手をFとする。
p を A の(非零)素イデアルで、pB + F = B とする。
包含射 A[θ] → B と標準射 B → B/pB の合成
A[θ] → B/pB は、同型 A[θ]/pA[θ] = B/pB を誘導する。
証明
pB + F = B と F ⊂ A[θ] より、A[θ] → B/pB は全射。
A[θ] ∩ pB = (pB + F)(A[θ] ∩ pB) ⊂ pA[θ] + pA[θ] ⊂ pA[θ]
逆の包含関係 pA[θ] ⊂ A[θ] ∩ pB は明らかだから、
A[θ] ∩ pB = pA[θ] となる。
よって, A[θ] → B/pB の核 A[θ] ∩ pB = pA[θ] となる。
証明終
56 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 10:41:45
命題
Aを(可換)環、p をAの極大イデアルとする。
f(X)∈A[X] をモニックな多項式とする。
A[X]/(f(X)) = B とおく。
このとき、B/pB = κ[X]/(φ(X)) となる。
ここで、κ= A/p、φ(X) は κ[X] のモニックな多項式で
f(X)の係数を mod p で考えたもの。
証明
演習問題(簡単)とする。
Aを(可換)環、p をAの極大イデアルとする。
f(X)∈A[X] をモニックな多項式とする。
A[X]/(f(X)) = B とおく。
このとき、B/pB = κ[X]/(φ(X)) となる。
ここで、κ= A/p、φ(X) は κ[X] のモニックな多項式で
f(X)の係数を mod p で考えたもの。
証明
演習問題(簡単)とする。
57 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 11:03:27
高木のp.83の付記の証明、つまりDedekindの判別定理の証明の
初めの部分、f(X) = P(X)^eA(X) (mod p) が良く分からない。
これほんとに成立つのかな？ p がθの導手と素なら>>55で述べたように
言えるけど、この場合、そうとは限らない。あの付記で言えるのは
pの上にある特定の素イデアルPと素になることだけ。
初めの部分、f(X) = P(X)^eA(X) (mod p) が良く分からない。
これほんとに成立つのかな？ p がθの導手と素なら>>55で述べたように
言えるけど、この場合、そうとは限らない。あの付記で言えるのは
pの上にある特定の素イデアルPと素になることだけ。
58 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 11:07:09
59 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 11:11:45
結局、高木のDedekindの判別定理のイデアル論による証明は
よく分からない。Zariski-Samuelに綺麗な証明があるので
それを後で紹介する。その前にDedekind環の基本からやり直す。
よく分からない。Zariski-Samuelに綺麗な証明があるので
それを後で紹介する。その前にDedekind環の基本からやり直す。
60 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 11:17:27
>>49
確か、Springerから、英訳が出ていたのがそうだと思う。これじゃない？
The Theory of Algebraic Number Fields" David Hilbert (著)
ところで、ガロアスレでWeberの代数学の本の話があったけど、
どうやれば手にはいるか知ってる人いる？ 独、英訳どちらでもいい。
確か、Springerから、英訳が出ていたのがそうだと思う。これじゃない？
The Theory of Algebraic Number Fields" David Hilbert (著)
ところで、ガロアスレでWeberの代数学の本の話があったけど、
どうやれば手にはいるか知ってる人いる？ 独、英訳どちらでもいい。
61 ：208：2005/09/22(木) 11:21:01
62 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 11:40:22
63 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 11:42:58
まず、可換代数の初歩から復習する。
今後、環と言えば可換環を意味する。
定義
A を環、SがAの積閉集合とは、次の条件を満たすAの部分集合である。
1) 1 ∈ S
2) a∈ S, b ∈ S なら ab ∈ S
今後、環と言えば可換環を意味する。
定義
A を環、SがAの積閉集合とは、次の条件を満たすAの部分集合である。
1) 1 ∈ S
2) a∈ S, b ∈ S なら ab ∈ S
64 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 11:59:38
65 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 11:59:50
A を環、SをAの積閉集合とする。
I = {x ∈ A; sx = 0 となる s ∈ S がある}
とおく。
I はA のイデアルである。
φ: A → A/I を標準射とする。
φ(S) の各元は B = A/I の非零因子である(演習問題)。
よって、φ(S) の各元は B の全商環 Q において逆元を持つ。
よって、Qの部分環 A_S = {φ(x)/φ(s); x ∈ A, s ∈ A} が定義
出来る。
A_S を A の S による局所化という。
A_S は A[1/S]とも書く。
A_S の元 φ(x)/φ(s) は、普通略して x/s と書く。
I = {x ∈ A; sx = 0 となる s ∈ S がある}
とおく。
I はA のイデアルである。
φ: A → A/I を標準射とする。
φ(S) の各元は B = A/I の非零因子である(演習問題)。
よって、φ(S) の各元は B の全商環 Q において逆元を持つ。
よって、Qの部分環 A_S = {φ(x)/φ(s); x ∈ A, s ∈ A} が定義
出来る。
A_S を A の S による局所化という。
A_S は A[1/S]とも書く。
A_S の元 φ(x)/φ(s) は、普通略して x/s と書く。
66 ：208：2005/09/22(木) 12:05:28
>>64
やだw
何故なら環というとき零環、つまり 1 = 0 となる環も含めたいから。
これがBourbakiやGrothendieckの流儀。
こうすると、f ∈ A のとき A[1/f] がfがベキ零でも定義できて
場合分けの面倒がない。
やだw
何故なら環というとき零環、つまり 1 = 0 となる環も含めたいから。
これがBourbakiやGrothendieckの流儀。
こうすると、f ∈ A のとき A[1/f] がfがベキ零でも定義できて
場合分けの面倒がない。
67 ：64：2005/09/22(木) 12:15:28
>>66
了解！ そのほうが形式的にすっきりします。
了解！ そのほうが形式的にすっきりします。
68 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 12:15:33
ちなみに、可換代数でもっとも重要な概念は>>65の局所化である。
この概念を自由自在に使いこなせるようになることが、可換代数を
学ぶ上での最初のハードルである。この重要な概念がやっと1940年代に
定式化されたのは驚くべきことだろう。
この概念を自由自在に使いこなせるようになることが、可換代数を
学ぶ上での最初のハードルである。この重要な概念がやっと1940年代に
定式化されたのは驚くべきことだろう。
69 ：64：2005/09/22(木) 12:18:32
70 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 12:20:57
>>62
ありがとう！
ありがとう！
72 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 12:59:17
A_S を圏論的に特徴つけると以下のようになる。
可換環の圏を Ring と書く。
A を環、SをAの積閉集合とする。
B を環としたとき、
F(B) = {f ∈ Hom(A, B); f(S)の任意の元は可逆 } とおく。
対応 B → F(B) により、Ring から集合の圏 Setへの共変関手 F が
得られる(確かめよ)。
F は A_S により表現可能である。
つまり、関手 B → Hom(A_S, B) は 関手 F と標準的に同型になる。
これを、噛み砕くと
f ∈ F(B) に対して、g∈ Hom(A_S, B) で、gφ = f となるものが
一意に存在する(図を書くとよくわかる)。
ここで、φ: A → A_S は a ∈ A に a/1 ∈ A_S を対応させる標準射。
可換環の圏を Ring と書く。
A を環、SをAの積閉集合とする。
B を環としたとき、
F(B) = {f ∈ Hom(A, B); f(S)の任意の元は可逆 } とおく。
対応 B → F(B) により、Ring から集合の圏 Setへの共変関手 F が
得られる(確かめよ)。
F は A_S により表現可能である。
つまり、関手 B → Hom(A_S, B) は 関手 F と標準的に同型になる。
これを、噛み砕くと
f ∈ F(B) に対して、g∈ Hom(A_S, B) で、gφ = f となるものが
一意に存在する(図を書くとよくわかる)。
ここで、φ: A → A_S は a ∈ A に a/1 ∈ A_S を対応させる標準射。
73 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 13:14:11
74 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 13:47:50
75 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 13:54:06
ところで、学部では圏論やらないの？
76 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 14:01:23
非可換環の場合、局所化はどうなるんですか？
77 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 14:02:57
78 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 14:13:27
79 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 14:59:21
>>78
英語読めないやつはいっていいよ。数学やってるのに英語読めないってのは
話にならない。さらに独、仏も読めないとな。
高木は、ドイツ語だけでなくフランス語もよく出来たらしいね。
むこうで、フランス語で発表したらしい。発表だけでなく会話も。
英語読めないやつはいっていいよ。数学やってるのに英語読めないってのは
話にならない。さらに独、仏も読めないとな。
高木は、ドイツ語だけでなくフランス語もよく出来たらしいね。
むこうで、フランス語で発表したらしい。発表だけでなく会話も。
80 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 15:43:17
81 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 15:45:12
環Aの素イデアルの集合をSpec(A)と書く。
SをAの積閉集合とする。
T(S) = {p∈Spec(A); p ∩ S = 空集合} とおく。
p∈S に p(A_S) を対応させるとT(S)からSpec(A_S)への全単射が
得られる。この写像の逆写像は、P ∈ Spec(A_S) に P のφによる
逆像φ^(-1)(P) を対応させるもの。ここで、φ: A → A_S は標準射。
以降、この全単射により、T(S)とSpec(A_S)を同一視する。
SをAの積閉集合とする。
T(S) = {p∈Spec(A); p ∩ S = 空集合} とおく。
p∈S に p(A_S) を対応させるとT(S)からSpec(A_S)への全単射が
得られる。この写像の逆写像は、P ∈ Spec(A_S) に P のφによる
逆像φ^(-1)(P) を対応させるもの。ここで、φ: A → A_S は標準射。
以降、この全単射により、T(S)とSpec(A_S)を同一視する。
82 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 15:48:32
83 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 15:49:12
非可換環の場合はどうなるんですか？
84 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 15:55:53
A をネーター環とし、SをAの積閉集合とすると、
A_S もネーター環である。
A_S もネーター環である。
85 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 16:07:09
A を環とし、MをA-加群とする。
SをAの積閉集合とする。
M_S = M(x)A_S と定義する。
ここで、M(x)A_S は M とA_Sの A 上のテンソル積。
M_S は A_S-加群となる。M_S を M[1/S] と書くこともある。
x ∈ M, s ∈ S のとき、x(x)(1/s) を x/s と書く。
x/s = 0 とすると、ある t ∈ S があり、tx = 0 となる。
SをAの積閉集合とする。
M_S = M(x)A_S と定義する。
ここで、M(x)A_S は M とA_Sの A 上のテンソル積。
M_S は A_S-加群となる。M_S を M[1/S] と書くこともある。
x ∈ M, s ∈ S のとき、x(x)(1/s) を x/s と書く。
x/s = 0 とすると、ある t ∈ S があり、tx = 0 となる。
86 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 16:10:30
M → M_S は完全関手である。
つまり、A-加群の完全列 0 → N → M → L → 0 があると
0 → N_S → M_S → L_S → 0 も完全である。
つまり、A-加群の完全列 0 → N → M → L → 0 があると
0 → N_S → M_S → L_S → 0 も完全である。
87 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 16:12:26
A を環とし、MをA-加群とする。
x ∈ M に対して、Ann(x) = {a∈A; ax = 0 } とおく。
Ann(M) = {a∈A; aM = 0 } とおく。
Supp(M) = {p∈Spec(M); M_p ≠ 0 } とおく。
x ∈ M に対して、Ann(x) = {a∈A; ax = 0 } とおく。
Ann(M) = {a∈A; aM = 0 } とおく。
Supp(M) = {p∈Spec(M); M_p ≠ 0 } とおく。
88 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 16:17:57
89 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 16:19:10
A をネーター環とし、Mを A-加群とする。
p ∈ Spec(A) で、ある x ∈ M に対して p = Ann(x) となるとき
p を M の随伴素因子という。M の随伴素因子全体を Ass(M) と書く。
p ∈ Spec(A) で、ある x ∈ M に対して p = Ann(x) となるとき
p を M の随伴素因子という。M の随伴素因子全体を Ass(M) と書く。
90 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 16:41:44
A をネーター環とし、Mを A-加群とする。
x ∈ M, x ≠ 0 とすると、
Ann(x) を含む p ∈ Ass(M) がある。
証明
A イデアルの集合 T = {Ann(y); 0 ≠ y ∈ M, Ann(x) ⊂ Ann(y)}
は空でない(すくなくともAnn(x)がその要素)。
A はネーター環だから、T に極大元 Ann(y) がある。
a ∈ A - Ann(y)、b ∈ A とする。
Ann(y) ⊂ Ann(ay) で、ay ≠ 0 だから、Ann(y) の極大性から
Ann(y) = Ann(ay) となる。ab ∈ Ann(y) とすると、b ∈ Ann(ay) だから、
b ∈ Ann(y) となる。これは、Ann(y) が素イデアルであることを示す。
証明終
x ∈ M, x ≠ 0 とすると、
Ann(x) を含む p ∈ Ass(M) がある。
証明
A イデアルの集合 T = {Ann(y); 0 ≠ y ∈ M, Ann(x) ⊂ Ann(y)}
は空でない(すくなくともAnn(x)がその要素)。
A はネーター環だから、T に極大元 Ann(y) がある。
a ∈ A - Ann(y)、b ∈ A とする。
Ann(y) ⊂ Ann(ay) で、ay ≠ 0 だから、Ann(y) の極大性から
Ann(y) = Ann(ay) となる。ab ∈ Ann(y) とすると、b ∈ Ann(ay) だから、
b ∈ Ann(y) となる。これは、Ann(y) が素イデアルであることを示す。
証明終
91 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 16:47:13
非可換環の場合はどうなるんですか？
92 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 17:01:04
93 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 17:48:06
A をネーター環とし、Mを A-加群とする。
p ∈ Ass(M) であるためには、A-加群としての単射 A/p → M が
存在することと同値である。
p ∈ Ass(M) であるためには、A-加群としての単射 A/p → M が
存在することと同値である。
94 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 17:59:04
95 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 18:00:01
A をネーター環とし、Mを A-加群とする。
SをAの積閉集合とする。
Ass(M_S) = Ass(M) ∩ Spec(A_S) となる。
ここで、M_S は A_S-加群として考え、>>81 の同一視をしている。
証明
p ∈ Ass(M) ∩ Spec(A_S) とする。
>>93より、A-加群の単射 A/p → M がある。この像をNとする。
よって A-加群の完全列 0 → p → A → N → 0 が得られる。
>>86より、0 → p_S → A_S → N_S → 0 は完全。
よって、N_S = A_S/p(A_S) となる。
仮定より、p(A_S) ∈ Spec(A_S) である。
A-加群の完全列 0 → N → M → M/N → 0
より、A_S-加群の完全列 0 → N_S → M_S → (M/N)_S → 0
が得られる。つまり、A_S-加群の単射 A_S/p(A_S) → M_S
が存在する。よって、p(A_S) ∈ Ass(A_S) となる。
逆に、p(A_S) ∈ Ass(A_S) とする。
Ann(x/s) = p(A_S) となる、x ∈ M、s ∈ S がある。
A はネーターだから、p は有限個の生成元 a_1, ..., a_n をもつ。
(a_i/1)(x/s) = 0 だから、t(a_i)x = 0 がすべての a_i で成立つような
t ∈ S がある。よって、p = Ann(tx) となる（詳細はまかす）。
証明終
SをAの積閉集合とする。
Ass(M_S) = Ass(M) ∩ Spec(A_S) となる。
ここで、M_S は A_S-加群として考え、>>81 の同一視をしている。
証明
p ∈ Ass(M) ∩ Spec(A_S) とする。
>>93より、A-加群の単射 A/p → M がある。この像をNとする。
よって A-加群の完全列 0 → p → A → N → 0 が得られる。
>>86より、0 → p_S → A_S → N_S → 0 は完全。
よって、N_S = A_S/p(A_S) となる。
仮定より、p(A_S) ∈ Spec(A_S) である。
A-加群の完全列 0 → N → M → M/N → 0
より、A_S-加群の完全列 0 → N_S → M_S → (M/N)_S → 0
が得られる。つまり、A_S-加群の単射 A_S/p(A_S) → M_S
が存在する。よって、p(A_S) ∈ Ass(A_S) となる。
逆に、p(A_S) ∈ Ass(A_S) とする。
Ann(x/s) = p(A_S) となる、x ∈ M、s ∈ S がある。
A はネーターだから、p は有限個の生成元 a_1, ..., a_n をもつ。
(a_i/1)(x/s) = 0 だから、t(a_i)x = 0 がすべての a_i で成立つような
t ∈ S がある。よって、p = Ann(tx) となる（詳細はまかす）。
証明終
96 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 18:02:07
>>94
スレ違いだろ。可換環論と関係ない
スレ違いだろ。可換環論と関係ない
97 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 18:06:38
98 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 18:17:03
Aを環、p ∈ Spec(A) とする。
>>81 より Spec(A_p) = {q ∈ Spec(A); q ⊂ p } となる。
よって、A_p はpA_pをただ１つの極大イデアルにもつ。
つまり、A_pは局所環である。
A_p/pA_p は A/pの商体に同型である。
>>81 より Spec(A_p) = {q ∈ Spec(A); q ⊂ p } となる。
よって、A_p はpA_pをただ１つの極大イデアルにもつ。
つまり、A_pは局所環である。
A_p/pA_p は A/pの商体に同型である。
99 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 18:37:09
A をネーター環とし、Mを A-加群とする。
Ass(M) ⊂ Supp(M) となる。
証明
p ∈ Ass(M) とする。
A/p ⊂ M とみなせる。
よって、(A/p)_p ⊂ M_p
一方、(A/p)_p = A_p/pA_p ≠ 0
よって、M_p ≠ 0
証明終
Ass(M) ⊂ Supp(M) となる。
証明
p ∈ Ass(M) とする。
A/p ⊂ M とみなせる。
よって、(A/p)_p ⊂ M_p
一方、(A/p)_p = A_p/pA_p ≠ 0
よって、M_p ≠ 0
証明終
100 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 19:11:50
208がここに落ち着いてくれのたはうれしい。
いちいち、あげないでくれというのはさすがに無理か？
いちいち、あげないでくれというのはさすがに無理か？
101 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 22:09:16
208 さんの書き込みは勉強になります。
ずっとこのスレだけに書き込み続けてください
ずっとこのスレだけに書き込み続けてください
102 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 22:20:44
>>96
そんなことだから、いつまでたっても風采が上がらんのだよ。
そんなことだから、いつまでたっても風采が上がらんのだよ。
103 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 22:35:47
ところで非可換環に対してもスキームみたいなことって
研究されてるのかね
研究されてるのかね
104 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 22:41:36
105 ：１３２人目の素数さん：2005/09/23(金) 00:56:10
>>74
＞日本語の圏論の入門書
殆ど無いような気がするけど、どんな本のことを言ってるの？
最近和訳されたMac Laneとか？
>>75
やらないかと、、
関係ないけど、英語のwikiは充実振りが凄いね
＞日本語の圏論の入門書
殆ど無いような気がするけど、どんな本のことを言ってるの？
最近和訳されたMac Laneとか？
>>75
やらないかと、、
関係ないけど、英語のwikiは充実振りが凄いね
106 ：１３２人目の素数さん：2005/09/23(金) 01:00:16
>>79
そうだね
数学やってるんだから露も読めないとねｗ
代数幾何やってるのにイタリア語を読めないとか、カスだねｗｗｗ
ってたまたま語学堪能な数学者に言われたらあなたどういう気持ちがしますか？
分野によっては独語とか殆ど使わないような気がしますが、、
そうだね
数学やってるんだから露も読めないとねｗ
代数幾何やってるのにイタリア語を読めないとか、カスだねｗｗｗ
ってたまたま語学堪能な数学者に言われたらあなたどういう気持ちがしますか？
分野によっては独語とか殆ど使わないような気がしますが、、
107 ：１３２人目の素数さん：2005/09/23(金) 01:55:54
気のせい。
108 ：１３２人目の素数さん：2005/09/23(金) 02:35:43
数学専攻ならロシア語くらいは読めんとな。
109 ：１３２人目の素数さん：2005/09/23(金) 06:17:50
数学の神ラマヌジャンの祖国インドの全ての民族語も読めんとな。
110 ：１３２人目の素数さん：2005/09/23(金) 06:35:29
数学専攻なら古代サンスクリットとマヤ語くらいは読めんとな。
111 ：１３２人目の素数さん：2005/09/23(金) 06:58:39
古代エジプト人はリーマン予想を解いていた
112 ：１３２人目の素数さん：2005/09/23(金) 16:11:53
リーマン予想くらいは解けんとな。
113 ：１３２人目の素数さん：2005/09/26(月) 09:52:11
スレ違いの質問でも数学のことなら俺は答えるべきとか無視すべきではない
とかと考えてるやつがいるけど（例えば、>>91, >>97）、どっからそういう
とんでもない思い込みが来るんだ？
誤解のないように言うけど、スレ違いでも流れから自然に出てくるのは、
駄目とは言ってない。だから、>>91 の質問も最初のときはいいんだよ。
だけど、それに俺が答えるかどうかは、俺の勝手だろ。
その質問は俺にとっては興味がないんだよ。可換環の概念のそれぞれに対応する
非可換バージョンは何かという発想は俺には退屈なんだよ。わるいけどな。
他の人が答えるぶんにはいっこうにかまわない。
とかと考えてるやつがいるけど（例えば、>>91, >>97）、どっからそういう
とんでもない思い込みが来るんだ？
誤解のないように言うけど、スレ違いでも流れから自然に出てくるのは、
駄目とは言ってない。だから、>>91 の質問も最初のときはいいんだよ。
だけど、それに俺が答えるかどうかは、俺の勝手だろ。
その質問は俺にとっては興味がないんだよ。可換環の概念のそれぞれに対応する
非可換バージョンは何かという発想は俺には退屈なんだよ。わるいけどな。
他の人が答えるぶんにはいっこうにかまわない。
114 ：１３２人目の素数さん：2005/09/26(月) 09:58:02
>>106
>ってたまたま語学堪能な数学者に言われたらあなたどういう気持ちがしますか？
>分野によっては独語とか殆ど使わないような気がしますが、
どういう気もなにも必要ならその言語を勉強するしかないだろ。
気持ちの問題じゃないんだよ。必要かどうかの問題なの。
>ってたまたま語学堪能な数学者に言われたらあなたどういう気持ちがしますか？
>分野によっては独語とか殆ど使わないような気がしますが、
どういう気もなにも必要ならその言語を勉強するしかないだろ。
気持ちの問題じゃないんだよ。必要かどうかの問題なの。
115 ：１３２人目の素数さん：2005/09/26(月) 10:02:40
>>105
>殆ど無いような気がするけど、どんな本のことを言ってるの？
>最近和訳されたMac Laneとか？
俺なんか学部１年目で読んだけどな。岩波の現代数学概説Ｉを。
あの本は、あまり良くないけど圏論について一応は書いてある。
他には岩波の河田のホモロジー代数。圏論はこっちのほうが詳しい。
>殆ど無いような気がするけど、どんな本のことを言ってるの？
>最近和訳されたMac Laneとか？
俺なんか学部１年目で読んだけどな。岩波の現代数学概説Ｉを。
あの本は、あまり良くないけど圏論について一応は書いてある。
他には岩波の河田のホモロジー代数。圏論はこっちのほうが詳しい。
116 ：１３２人目の素数さん：2005/09/26(月) 11:07:32
>>85
>x/s = 0 とすると、ある t ∈ S があり、tx = 0 となる。
これを定義(M_S = M(x)A_S)から直接証明するのはかなり面倒。
普通は、M_S を M×S のある同値関係の同値類として定義し、
これが、M(x)A_S と同型になることを示す。
ここでは、Bourbakiに従って、面倒なほうの証明を紹介する。
そのためには、テンソル積と帰納極限が可換なことを使う。
詳しく述べると、
A を環とし、(M_i), i ∈ I をA-加群の帰納系とする。
ここで、I は有向前順序集合。
同様に、(N_j), j ∈ J をA-加群の帰納系とする。
ここで、J は有向前順序集合。
このとき、
ind.lim M_i(x)N_j = (ind.lim M_i) (x) (ind.lim N_j)
となる。ここで等号は同型を表す。
>x/s = 0 とすると、ある t ∈ S があり、tx = 0 となる。
これを定義(M_S = M(x)A_S)から直接証明するのはかなり面倒。
普通は、M_S を M×S のある同値関係の同値類として定義し、
これが、M(x)A_S と同型になることを示す。
ここでは、Bourbakiに従って、面倒なほうの証明を紹介する。
そのためには、テンソル積と帰納極限が可換なことを使う。
詳しく述べると、
A を環とし、(M_i), i ∈ I をA-加群の帰納系とする。
ここで、I は有向前順序集合。
同様に、(N_j), j ∈ J をA-加群の帰納系とする。
ここで、J は有向前順序集合。
このとき、
ind.lim M_i(x)N_j = (ind.lim M_i) (x) (ind.lim N_j)
となる。ここで等号は同型を表す。
117 ：１３２人目の素数さん：2005/09/26(月) 11:47:03
集合 I が前順序集合であるとは、I に以下の条件を満たす関係≦が
定義されていることを意味する。
1) 任意の i ∈ I に対して i ≦ i
2) i ≦ j, j ≦ k なら i ≦ k
前順序集合 I が有向であるとは、任意の i, j ∈ I に対して
i ≦ k, j ≦ k となる k が存在することをいう。
有向前順序集合 I を添え字集合とする A-加群の族 (M_i) が帰納系
であるというのは i ≦ j のとき A-加群の射 f_(j, i) : M_i → M_j
があり、以下の条件を満たすものをいう。
1) f_(i, i) は M_i の単位射
2) i ≦ j, j ≦ k なら f_(k, j)f_(j, i) = f_(k, i)
帰納系(M_i) から A-加群 M への射を 射 f_i: M_i → M の族(f_i)で
i ≦ j なら f_i = f_j f_(j, i) となるものと定義する。
帰納系(M_i) から A-加群 M への射 (f_i) があるとする。
これが次の条件を満たすとき、M を帰納系(M_i) の帰納的極限という。
1) 帰納系(M_i)から A-加群 N への射 (g_i) があるなら、
射 f: M → N が存在し、g_i = f f_i が各 i ∈ I で成立つ。
2) f は上の条件で一意に定まる。
M を ind.lim M_i と書く。ind. はinductiveの略。
定義されていることを意味する。
1) 任意の i ∈ I に対して i ≦ i
2) i ≦ j, j ≦ k なら i ≦ k
前順序集合 I が有向であるとは、任意の i, j ∈ I に対して
i ≦ k, j ≦ k となる k が存在することをいう。
有向前順序集合 I を添え字集合とする A-加群の族 (M_i) が帰納系
であるというのは i ≦ j のとき A-加群の射 f_(j, i) : M_i → M_j
があり、以下の条件を満たすものをいう。
1) f_(i, i) は M_i の単位射
2) i ≦ j, j ≦ k なら f_(k, j)f_(j, i) = f_(k, i)
帰納系(M_i) から A-加群 M への射を 射 f_i: M_i → M の族(f_i)で
i ≦ j なら f_i = f_j f_(j, i) となるものと定義する。
帰納系(M_i) から A-加群 M への射 (f_i) があるとする。
これが次の条件を満たすとき、M を帰納系(M_i) の帰納的極限という。
1) 帰納系(M_i)から A-加群 N への射 (g_i) があるなら、
射 f: M → N が存在し、g_i = f f_i が各 i ∈ I で成立つ。
2) f は上の条件で一意に定まる。
M を ind.lim M_i と書く。ind. はinductiveの略。
118 ：１３２人目の素数さん：2005/09/26(月) 12:02:28
有向前順序集合 I を添え字集合とする A-加群の帰納系 (M_i) には、
必ず帰納的極限が存在する。
T を M_i の直和集合とする。T に以下のように同値関係を導入する。
x_i ∈ M_i, y_j ∈ M_j が同値であるとは、i ≦ k, j ≦ k となる
k があり、f_(k, i)(x_i) = f_(k, j)(y_j) となることをいう。
ここで、f_(k, i) は、帰納系 (M_i) を定義する射。
これが同値関係を満たすことの確認は各自にまかす。
T をこの同値関係で割った商集合を M とする。
M が A-加群になり、M = ind.lim M_i となることも各自にまかす。
必ず帰納的極限が存在する。
T を M_i の直和集合とする。T に以下のように同値関係を導入する。
x_i ∈ M_i, y_j ∈ M_j が同値であるとは、i ≦ k, j ≦ k となる
k があり、f_(k, i)(x_i) = f_(k, j)(y_j) となることをいう。
ここで、f_(k, i) は、帰納系 (M_i) を定義する射。
これが同値関係を満たすことの確認は各自にまかす。
T をこの同値関係で割った商集合を M とする。
M が A-加群になり、M = ind.lim M_i となることも各自にまかす。
119 ：１３２人目の素数さん：2005/09/26(月) 12:18:46
帰納的極限 ind.lim (M_i) は次の意味で同型を除いて一意に定まる。
帰納系 (M_i) の 極限として M と N があるとする。
このとき、A-加群の同型射 f: M → N があり、
f f_i = g_i となる。ここで、f_i: M_i → M, g_i: M_i → N は
それぞれの極限を定義する射。
このことは帰納的極限の定義からすぐ出る。
帰納系 (M_i) の 極限として M と N があるとする。
このとき、A-加群の同型射 f: M → N があり、
f f_i = g_i となる。ここで、f_i: M_i → M, g_i: M_i → N は
それぞれの極限を定義する射。
このことは帰納的極限の定義からすぐ出る。
120 ：１３２人目の素数さん：2005/09/26(月) 12:30:58
>>118から次のことがわかる。
M = ind.lim (M_i) とし、x ∈ M_i, y ∈ M_j に対して、
f_i(x) = f_j(y) とする。このとき、i ≦ k, j ≦ k となる k があり、
f_(k, i)(x) = f_(k, j)(y) となる。
とくに、x, y ∈ M_i で、f_i(x) = f_i(y) とすると、
i ≦ j となる j があり、f_(j, i)(x) = f_(j, i)(y) となる。
これから、f_i(x) = 0 なら f_(j, i)(x) = 0 となる j がある。
M = ind.lim (M_i) とし、x ∈ M_i, y ∈ M_j に対して、
f_i(x) = f_j(y) とする。このとき、i ≦ k, j ≦ k となる k があり、
f_(k, i)(x) = f_(k, j)(y) となる。
とくに、x, y ∈ M_i で、f_i(x) = f_i(y) とすると、
i ≦ j となる j があり、f_(j, i)(x) = f_(j, i)(y) となる。
これから、f_i(x) = 0 なら f_(j, i)(x) = 0 となる j がある。
121 ：１３２人目の素数さん：2005/09/26(月) 13:00:19
>>113
そんなに長々と理屈こねなくても、素直に知りませんと言えばすむことじゃん。
そんなに長々と理屈こねなくても、素直に知りませんと言えばすむことじゃん。
122 ：１３２人目の素数さん：2005/09/26(月) 13:23:44
圏論を学部で教えないってのはおかしいな。
私見によれば圏論は２０世紀の数学が発見したものの中で最も重要な概念だ。
１９世紀の集合概念の発見に匹敵するものだろう。
パラダイムが変わったといってもいいほどのもの。
私見によれば圏論は２０世紀の数学が発見したものの中で最も重要な概念だ。
１９世紀の集合概念の発見に匹敵するものだろう。
パラダイムが変わったといってもいいほどのもの。
123 ：１３２人目の素数さん：2005/09/26(月) 13:26:51
面白そうでないということくらいなら知ってる
124 ：１３２人目の素数さん：2005/09/26(月) 13:28:24
何故知ってるかというと昔、浅野の環論をちらっと見たから
たしかエライ面倒
たしかエライ面倒
125 ：１３２人目の素数さん：2005/09/26(月) 13:31:09
対象よりも射によって色々なものを定義しようって発想ですな
つまり人間は一人で生きるにあらずということを主張しているわけですよ
圏論というものは
つまり人間は一人で生きるにあらずということを主張しているわけですよ
圏論というものは
126 ：１３２人目の素数さん：2005/09/26(月) 13:36:40
127 ：１３２人目の素数さん：2005/09/26(月) 13:41:26
挑発的なレスは208？
128 ：208：2005/09/26(月) 13:45:07
129 ：１３２人目の素数さん：2005/09/26(月) 14:00:57
ぐだぐだ言ってるのは208だと思います＞＜
130 ：１３２人目の素数さん：2005/09/26(月) 14:07:02
そのとおりだとおもいまゅ（＞＜）
131 ：１３２人目の素数さん：2005/09/26(月) 14:07:40
これからの数学にとって、非可換環ほど重要なものはないだろ？
132 ：208：2005/09/26(月) 14:18:13
133 ：１３２人目の素数さん：2005/09/26(月) 14:24:59
GL(2,Z)の整数論でもやらないか？
134 ：208：2005/09/26(月) 14:31:49
135 ：１３２人目の素数さん：2005/09/26(月) 14:41:17
例えば、M(2,Z) を2次の行列環とするとき、
Spec(M(2,Z)) はどういうものになるんですか？
Spec(M(2,Z)) はどういうものになるんですか？
136 ：208：2005/09/26(月) 14:54:33
俺は知らないからスルー
137 ：１３２人目の素数さん：2005/09/27(火) 05:47:22
現代数学概説Ｉはやたら一般の代数系に拘ったり
素朴集合論に70〜80ページとか費やしてる割に
群、環、体はあまり深く議論してなかったり、突っ込みどころ満載かと、、
圏論について書いてないことも無いけど、あれを学部生に読ませるのは駄目だと思う
あの本が参考文献で出てくること自体が、
ほとんど日本語の本が出てないこと、学部教育に圏論が必要と
考える人が少ないことをを端的に表している
素朴集合論に70〜80ページとか費やしてる割に
群、環、体はあまり深く議論してなかったり、突っ込みどころ満載かと、、
圏論について書いてないことも無いけど、あれを学部生に読ませるのは駄目だと思う
あの本が参考文献で出てくること自体が、
ほとんど日本語の本が出てないこと、学部教育に圏論が必要と
考える人が少ないことをを端的に表している
138 ：１３２人目の素数さん：2005/09/27(火) 06:45:52
139 ：208：2005/09/27(火) 08:56:16
>>137
>現代数学概説Ｉはやたら一般の代数系に拘ったり
>素朴集合論に70〜80ページとか費やしてる割に
>群、環、体はあまり深く議論してなかったり、突っ込みどころ満載かと、、
そうそう。俺なんか、何も知らない１年生だったから、退屈なのを
我慢して読んだよ。束論なんかもいやに詳しくて、そのくせ
あそこに書いてある束論の結果なんか俺は今もって使ったことがない。
あれはBourbakiにひどく影響されて書かれたものなんだね。
Bourbakiの集合論と代数の内容をあの一冊に収めようとしたのが
そもそもの間違い。
>現代数学概説Ｉはやたら一般の代数系に拘ったり
>素朴集合論に70〜80ページとか費やしてる割に
>群、環、体はあまり深く議論してなかったり、突っ込みどころ満載かと、、
そうそう。俺なんか、何も知らない１年生だったから、退屈なのを
我慢して読んだよ。束論なんかもいやに詳しくて、そのくせ
あそこに書いてある束論の結果なんか俺は今もって使ったことがない。
あれはBourbakiにひどく影響されて書かれたものなんだね。
Bourbakiの集合論と代数の内容をあの一冊に収めようとしたのが
そもそもの間違い。
140 ：208：2005/09/27(火) 09:09:09
>>138
>圏論だけの授業やってもあまり面白くないと思うし、
何も圏論だけの授業をやれと言ってるんじゃない。
圏論は代数幾何とまで言わなくても、普通に代数に使われるよ。
位相幾何もそう。これ等をやる前にちょこっとやればいいじゃん。
>圏論だけの授業やってもあまり面白くないと思うし、
何も圏論だけの授業をやれと言ってるんじゃない。
圏論は代数幾何とまで言わなくても、普通に代数に使われるよ。
位相幾何もそう。これ等をやる前にちょこっとやればいいじゃん。
141 ：208：2005/09/27(火) 09:21:09
圏論使わないと教えるのに不便なんだよ。
圏論の初歩、つまり米田の補題とか随伴関手くらいまでだったら
証明を理解するのは簡単だろ。簡単すぎてあくびがでるくらい。
圏論の初歩、つまり米田の補題とか随伴関手くらいまでだったら
証明を理解するのは簡単だろ。簡単すぎてあくびがでるくらい。
142 ：208：2005/09/27(火) 09:38:59
>>116の命題を証明する。
命題
A を環とし、(M_i), i ∈ I をA-加群の帰納系とする。
ここで、I は有向前順序集合。
同様に、(N_j), j ∈ J をA-加群の帰納系とする。
ここで、J は有向前順序集合。このとき、
ind.lim M_i(x)N_j = (ind.lim M_i) (x) (ind.lim N_j)
となる。ここで等号は同型を表す。
(M_i(x)N_j) の添え字集合は I と J の直積に、(i, j) ≦ (i', j')
を、i ≦ i' かつ j ≦ j' と定義したものこれが有向前順序集合に
なることは明らかだろう。
証明
M = ind.lim (M_i)
N = ind.lim (N_j)
T = ind.lim M_i(x)N_j とおく。
M × N から T への写像φを以下のように定義する。
(x, y) ∈ M × N とし、x = f_i(x_i), y = g_j(y_j) とする。
ここで、x_i ∈ M_i, y_j ∈ N_j で、f_i, g_j はそれぞれ
(M_i), (N_j) の極限を定義する標準射。
φ(x, y) = h_(i,j)(x_i (x) y_j) とする。
ここで、h_(i,j): M_i(x)N_j → T は標準射。
これが、x_iとy_jの取り方によらないことと、双線形写像であること
の確認は各自にまかす。
よって、テンソル積 M (x) N の性質から、φ(x, y) = λ(x (x) y)
となる A-加群としての射 λ: M (x) N → T が存在する。
他方、 μ_(i,j) : M_i(x)N_j → M (x) N が μ_(i,j) = f_i (x) g_j
と定義して得られる。射の族 (μ_(i,j)) は帰納系 (M_i(x)N_j) から
M (x) N への射を定義する。よって、μ: T → M (x) N が得られる。
λとμが、互いに逆写像になっていることは容易にわかる。
証明終
命題
A を環とし、(M_i), i ∈ I をA-加群の帰納系とする。
ここで、I は有向前順序集合。
同様に、(N_j), j ∈ J をA-加群の帰納系とする。
ここで、J は有向前順序集合。このとき、
ind.lim M_i(x)N_j = (ind.lim M_i) (x) (ind.lim N_j)
となる。ここで等号は同型を表す。
(M_i(x)N_j) の添え字集合は I と J の直積に、(i, j) ≦ (i', j')
を、i ≦ i' かつ j ≦ j' と定義したものこれが有向前順序集合に
なることは明らかだろう。
証明
M = ind.lim (M_i)
N = ind.lim (N_j)
T = ind.lim M_i(x)N_j とおく。
M × N から T への写像φを以下のように定義する。
(x, y) ∈ M × N とし、x = f_i(x_i), y = g_j(y_j) とする。
ここで、x_i ∈ M_i, y_j ∈ N_j で、f_i, g_j はそれぞれ
(M_i), (N_j) の極限を定義する標準射。
φ(x, y) = h_(i,j)(x_i (x) y_j) とする。
ここで、h_(i,j): M_i(x)N_j → T は標準射。
これが、x_iとy_jの取り方によらないことと、双線形写像であること
の確認は各自にまかす。
よって、テンソル積 M (x) N の性質から、φ(x, y) = λ(x (x) y)
となる A-加群としての射 λ: M (x) N → T が存在する。
他方、 μ_(i,j) : M_i(x)N_j → M (x) N が μ_(i,j) = f_i (x) g_j
と定義して得られる。射の族 (μ_(i,j)) は帰納系 (M_i(x)N_j) から
M (x) N への射を定義する。よって、μ: T → M (x) N が得られる。
λとμが、互いに逆写像になっていることは容易にわかる。
証明終
143 ：208：2005/09/27(火) 09:56:48
>>142の記号を使う。
x ∈ M, y ∈ N とし、x (x) y = 0 とする。
>>118より x = f_i(x_i), y = g_j(y_j) となる
x_i ∈ M_i, y_j ∈ N_j がある。
(f_i (x) g_j) (x_i (x) y_j) = f_i(x_i) (x) g_j(y_j) = x (x) y = 0
となる。
>>120 より、 x_k (x) y_l = 0 となる、x_k ∈ M_k, y_l ∈N_l
がある。ここで i ≦ k, j ≦ l であり、x_k = f_(k, i)(x_i),
y_l = g_(l, j)(y_j)
x ∈ M, y ∈ N とし、x (x) y = 0 とする。
>>118より x = f_i(x_i), y = g_j(y_j) となる
x_i ∈ M_i, y_j ∈ N_j がある。
(f_i (x) g_j) (x_i (x) y_j) = f_i(x_i) (x) g_j(y_j) = x (x) y = 0
となる。
>>120 より、 x_k (x) y_l = 0 となる、x_k ∈ M_k, y_l ∈N_l
がある。ここで i ≦ k, j ≦ l であり、x_k = f_(k, i)(x_i),
y_l = g_(l, j)(y_j)
144 ：208：2005/09/27(火) 10:09:42
命題
A を環とし、M と N を A-加群とする。
x ∈ M, y ∈ N とし、x (x) y = 0 とする。
このとき、x を含む A上有限生成の M の部分加群 M' と
y を含む A上有限生成の N の部分加群 N' が存在し、
M' (x) N' の元として x (x) y = 0 となる。
証明
M の有限生成部分加群全体の族 (M_i) を考える。
ここで添え字集合 I は M の有限生成部分加群のなす集合であり、
包含関係により順序を定義する。I は有向順序集合である。
当然、有向前順序集合でもある。
M = ind.lim (M_i) は明らかだろう。
同様に、N の有限生成部分加群全体の族 (N_j) を考える。
N = ind.lim (N_j) となる。
こもまでくれば、>>143より命題は明らかだろう。
証明終
A を環とし、M と N を A-加群とする。
x ∈ M, y ∈ N とし、x (x) y = 0 とする。
このとき、x を含む A上有限生成の M の部分加群 M' と
y を含む A上有限生成の N の部分加群 N' が存在し、
M' (x) N' の元として x (x) y = 0 となる。
証明
M の有限生成部分加群全体の族 (M_i) を考える。
ここで添え字集合 I は M の有限生成部分加群のなす集合であり、
包含関係により順序を定義する。I は有向順序集合である。
当然、有向前順序集合でもある。
M = ind.lim (M_i) は明らかだろう。
同様に、N の有限生成部分加群全体の族 (N_j) を考える。
N = ind.lim (N_j) となる。
こもまでくれば、>>143より命題は明らかだろう。
証明終
145 ：208：2005/09/27(火) 10:38:01
>>85の証明をする。
命題
A を環とし、MをA-加群とする。
SをAの積閉集合とする。
M_S = M(x)A_S と定義する。
ここで、M(x)A_S は M とA_Sの A 上のテンソル積。
M_S は A_S-加群となる。M_S を M[1/S] と書くこともある。
x ∈ M, s ∈ S のとき、x (x) (1/s) を x/s と書く。
x/s = 0 とすると、ある t ∈ S があり、tx = 0 となる。
証明
x/s = x (x) (1/s) = 0 より、x/1 = x (x) 1 = 0 となる。
>>144 より、A_S のA-加群としての有限生成部分加群 N で
1 を含み、M (x) N の元として x (x) 1 = 0 となる。
N の生成元を、a_1/t_1, ... , a_r/t_r とする。
t_1, ..., t_r の積を t とすれば、N ⊂ A(1/t) となる。
I = {a ∈ A; ある s ∈ S に対して sa = 0} と定義すると、
I は A nのイデアルである。
a ∈ A のとき、a/t = 0 となるのは、sa = 0 となる s ∈ S
があるときに限る。つまり、a ∈ I である。
A-加群としての射 f: A → A(1/t) を、f(a) = a/t で定義する。
この射の核は、I に他ならない。f は明らかに全射だから、
A(1/t) は A/I と同型である。よって、 M (x) A(1/t) は
M (x) (A/I) = M/IM に同型である。この同型により、
x (x) 1 = x (x) (t/t) は tx mod IM に移る。
x (x) 1 = 0 だから、tx ∈ IM となる。よって、tx = Σ(a_i)(m_i)
となる、有限個の a_i ∈ I と m_i ∈ M がある。
すべての a_i に対して sa_i = 0 となる s ∈ S がある。
この s により stx = 0 となる。
証明終
命題
A を環とし、MをA-加群とする。
SをAの積閉集合とする。
M_S = M(x)A_S と定義する。
ここで、M(x)A_S は M とA_Sの A 上のテンソル積。
M_S は A_S-加群となる。M_S を M[1/S] と書くこともある。
x ∈ M, s ∈ S のとき、x (x) (1/s) を x/s と書く。
x/s = 0 とすると、ある t ∈ S があり、tx = 0 となる。
証明
x/s = x (x) (1/s) = 0 より、x/1 = x (x) 1 = 0 となる。
>>144 より、A_S のA-加群としての有限生成部分加群 N で
1 を含み、M (x) N の元として x (x) 1 = 0 となる。
N の生成元を、a_1/t_1, ... , a_r/t_r とする。
t_1, ..., t_r の積を t とすれば、N ⊂ A(1/t) となる。
I = {a ∈ A; ある s ∈ S に対して sa = 0} と定義すると、
I は A nのイデアルである。
a ∈ A のとき、a/t = 0 となるのは、sa = 0 となる s ∈ S
があるときに限る。つまり、a ∈ I である。
A-加群としての射 f: A → A(1/t) を、f(a) = a/t で定義する。
この射の核は、I に他ならない。f は明らかに全射だから、
A(1/t) は A/I と同型である。よって、 M (x) A(1/t) は
M (x) (A/I) = M/IM に同型である。この同型により、
x (x) 1 = x (x) (t/t) は tx mod IM に移る。
x (x) 1 = 0 だから、tx ∈ IM となる。よって、tx = Σ(a_i)(m_i)
となる、有限個の a_i ∈ I と m_i ∈ M がある。
すべての a_i に対して sa_i = 0 となる s ∈ S がある。
この s により stx = 0 となる。
証明終
146 ：208：2005/09/27(火) 12:17:37
A をネーター環とし、Mを A-加群とする。
p を Supp(M) の極小元とすると、p ∈ Ass(M) となる。
証明
M_p は空でないから、>>90より Ass(M_p) は空でない。
Ass(M_p) は Spec(A_p) の部分集合であり、Spec(A_p) は
{q ∈ Spec(A); q ⊂ p} と同一視される(>>81)。
pの極小性より、Ass(M_p) = {pA_p} となる。
一方、>>95より、この同一視により Ass(M_p) = Ass(M) ∩ Spec(A_p)
となる。よって、p ∈ Ass(M) となる。
証明終
p を Supp(M) の極小元とすると、p ∈ Ass(M) となる。
証明
M_p は空でないから、>>90より Ass(M_p) は空でない。
Ass(M_p) は Spec(A_p) の部分集合であり、Spec(A_p) は
{q ∈ Spec(A); q ⊂ p} と同一視される(>>81)。
pの極小性より、Ass(M_p) = {pA_p} となる。
一方、>>95より、この同一視により Ass(M_p) = Ass(M) ∩ Spec(A_p)
となる。よって、p ∈ Ass(M) となる。
証明終
147 ：208：2005/09/27(火) 12:31:14
随伴素イデアル(つまり Ass(M) の元)という概念 は Bourbakiの
手柄だね。それ以前は、この概念は準素加群分解に現れる素イデアル
ということでしか定義されなかった。
随伴素イデアルの重要性を示すために例として有限アーベル群の
随伴素イデアルは何かという問題を出そう。
別の例として、V を代数的閉体 K 上の有限次ベクトル
空間とし、u を Hom(V, V) = End(V) の元とする。
K[X] を K 上の１変数多項式環とし、 X に u を対応させることにより、
K-多元環としての射 K[X] → End(V) が得られる。この射により、
V は K[X]-加群となる。このK[X]-加群の随伴素イデアルは何か？
手柄だね。それ以前は、この概念は準素加群分解に現れる素イデアル
ということでしか定義されなかった。
随伴素イデアルの重要性を示すために例として有限アーベル群の
随伴素イデアルは何かという問題を出そう。
別の例として、V を代数的閉体 K 上の有限次ベクトル
空間とし、u を Hom(V, V) = End(V) の元とする。
K[X] を K 上の１変数多項式環とし、 X に u を対応させることにより、
K-多元環としての射 K[X] → End(V) が得られる。この射により、
V は K[X]-加群となる。このK[X]-加群の随伴素イデアルは何か？
148 ：１３２人目の素数さん：2005/09/27(火) 12:43:22
しかし、これだけ演習題を提示して
証明もあたえらるなら、本にして売ったほうがいいような気がする
「電車男」なんてインチキ本が売れるんだ、
「数」の世界にごまかしはないからぜひとも編纂願う
証明もあたえらるなら、本にして売ったほうがいいような気がする
「電車男」なんてインチキ本が売れるんだ、
「数」の世界にごまかしはないからぜひとも編纂願う
149 ：１３２人目の素数さん：2005/09/27(火) 12:50:06
興味ある奴の絶対数が違いすぎる
150 ：208：2005/09/27(火) 12:52:09
随伴素イデアルの理論の次はだいたい以下のように考えている。
・Artin環
・Dedekind環の特性つけ
・Krull-秋月の定理
・正規環の因子類群
・ガロワ拡大におけるHilbertの分岐理論
・Dedekindの判別定理の証明
・付値論の初歩
・完備付値体の理論
途中で変更の可能性もある。
・Artin環
・Dedekind環の特性つけ
・Krull-秋月の定理
・正規環の因子類群
・ガロワ拡大におけるHilbertの分岐理論
・Dedekindの判別定理の証明
・付値論の初歩
・完備付値体の理論
途中で変更の可能性もある。
151 ：１３２人目の素数さん：2005/09/27(火) 12:56:30
興味ない奴はスルーすればいいだけとか言うくらいだったら、
自分でサイト作ってそこに文章書いて掲示板でも設置すればいいのに。
彼が2chという掲示板でやる理由は何だろうね。
自分でサイト作ってそこに文章書いて掲示板でも設置すればいいのに。
彼が2chという掲示板でやる理由は何だろうね。
152 ：１３２人目の素数さん：2005/09/27(火) 12:57:29
わかりきった問いをするなよ
153 ：１３２人目の素数さん：2005/09/27(火) 13:12:21
本当は大学か何かの先生だったりします？>>208
154 ：１３２人目の素数さん：2005/09/27(火) 13:58:34
>>153
だろうね。
だろうね。
155 ：208：2005/09/27(火) 15:27:24
そんなわけねえだろ。学部で圏論教えてるかどうか聞いてるのに。
156 ：208：2005/09/27(火) 15:28:45
157 ：208：2005/09/27(火) 15:45:20
A をネーター環とし、Mを A-加群とする。
N を M の部分加群とする。
Ass(M/N) が１個の素イデアルのみからなるとき、N を M の
準素(primary)部分加群という。Ass(M) が１個の素イデアルのみから
なるとき、つまり {0} が M の準素部分加群となるとき、
M を余準素(coprimary)加群という。
M の部分加群 N が真に大きい部分加群の共通部分になるとき、
つまり、N = N_1 ∩ N_2, N ≠ N_1, N ≠ N_2 となる部分加群
N_1, N_2 があるとき、N を可約部分加群という。可約でないとき
既約という。
N を M の部分加群とする。
Ass(M/N) が１個の素イデアルのみからなるとき、N を M の
準素(primary)部分加群という。Ass(M) が１個の素イデアルのみから
なるとき、つまり {0} が M の準素部分加群となるとき、
M を余準素(coprimary)加群という。
M の部分加群 N が真に大きい部分加群の共通部分になるとき、
つまり、N = N_1 ∩ N_2, N ≠ N_1, N ≠ N_2 となる部分加群
N_1, N_2 があるとき、N を可約部分加群という。可約でないとき
既約という。
158 ：208：2005/09/27(火) 16:03:24
命題
A をネーター環とし、Mを A-加群とする。
N を M の部分加群とする。
N が準素部分加群でなければ、N は可約である。
証明
M を M/N に置き換えて N = 0 と仮定してよい。
よって、Ass(M) に属す素イデアルで互いに異なる p, q がある。
p = Ann(x), q = Ann(y) となる元 x, y ∈ M がある。
Ax は A/p に A-加群として同型だから、Ass(A/p) = {p} となる。
同様に Ass(A/q) = {q} である。
Ass(Ax ∩ Ay) ⊂ Ass(A/p) ∩ Ass(A/q) だから、Ass(Ax ∩ Ay) は
空集合である。よって、Ax ∩ Ay = 0
証明終
A をネーター環とし、Mを A-加群とする。
N を M の部分加群とする。
N が準素部分加群でなければ、N は可約である。
証明
M を M/N に置き換えて N = 0 と仮定してよい。
よって、Ass(M) に属す素イデアルで互いに異なる p, q がある。
p = Ann(x), q = Ann(y) となる元 x, y ∈ M がある。
Ax は A/p に A-加群として同型だから、Ass(A/p) = {p} となる。
同様に Ass(A/q) = {q} である。
Ass(Ax ∩ Ay) ⊂ Ass(A/p) ∩ Ass(A/q) だから、Ass(Ax ∩ Ay) は
空集合である。よって、Ax ∩ Ay = 0
証明終
159 ：208：2005/09/27(火) 16:25:22
補題
A をネーター環とし、Mを 有限生成 A-加群とする。
f ∈ Hom(M, M) とする。
ある整数 n > 0 に対して f^n(M) ∩ Ker(f) = 0 となる。
証明
M の部分加群の昇列 Ker(f) ⊂ Ker(f^2) ⊂ ...
を考える。M はネーターだから、Ker(f^n) = Ker(f^(n+1)) となる
整数 n > 0 がある。この n が求めるものである。
証明終
A をネーター環とし、Mを 有限生成 A-加群とする。
f ∈ Hom(M, M) とする。
ある整数 n > 0 に対して f^n(M) ∩ Ker(f) = 0 となる。
証明
M の部分加群の昇列 Ker(f) ⊂ Ker(f^2) ⊂ ...
を考える。M はネーターだから、Ker(f^n) = Ker(f^(n+1)) となる
整数 n > 0 がある。この n が求めるものである。
証明終
160 ：208：2005/09/27(火) 17:03:07
A を環、I を A のイデアルとする。
V(I) = {p ∈ Spec(A); I ⊂ p } と定義する。
V(I) の形の Spec(A) の部分集合を閉集合と定義することにより、
Spec(A) に位相が入る。この位相を Spec(A) のZariski位相という。
V(I) = {p ∈ Spec(A); I ⊂ p } と定義する。
V(I) の形の Spec(A) の部分集合を閉集合と定義することにより、
Spec(A) に位相が入る。この位相を Spec(A) のZariski位相という。
161 ：208：2005/09/27(火) 17:04:58
補題
A を環とし、Mを 有限生成 A-加群とする。
Supp(M) = V(Ann(M)) となる。
証明は演習とする。
A を環とし、Mを 有限生成 A-加群とする。
Supp(M) = V(Ann(M)) となる。
証明は演習とする。
162 ：208：2005/09/27(火) 17:17:27
A を環、f ∈ A とする。S = {f^n; n = 0, 1, 2, ...} とする。
S は積閉集合である。A_S を A[1/f] または A_f と書く。
A[1/f] が零環となるのは f がべき零のときに限る。
よって、Spec(A[1/f]) が空となるのは、f がべき零のときに限る。
Spec(A[1/f]) は、集合 D(f) = {p ∈ Spec(A); f は p に含まれない}
と同一視される(>>81)。
S は積閉集合である。A_S を A[1/f] または A_f と書く。
A[1/f] が零環となるのは f がべき零のときに限る。
よって、Spec(A[1/f]) が空となるのは、f がべき零のときに限る。
Spec(A[1/f]) は、集合 D(f) = {p ∈ Spec(A); f は p に含まれない}
と同一視される(>>81)。
163 ：208：2005/09/27(火) 17:20:32
164 ：208：2005/09/27(火) 17:35:13
A を環、I を A のイデアルとする。Nil(A/I) の標準射 A → A/I
による逆像を I の根基(radical)とよび、rad(I) と書く。
これは、mod I でベキ零となる A の元全体である。
>>163より、rad(I) は I を含む素イデアル全体の共通部分である。
による逆像を I の根基(radical)とよび、rad(I) と書く。
これは、mod I でベキ零となる A の元全体である。
>>163より、rad(I) は I を含む素イデアル全体の共通部分である。
165 ：208：2005/09/27(火) 17:50:11
ネーター環 A の Nil(A) はベキ零である。
証明は演習
証明は演習
166 ：208：2005/09/27(火) 17:58:15
167 ：208：2005/09/27(火) 18:02:21
168 ：208：2005/09/27(火) 18:07:01
A をネーター環とし、Mを 有限生成 A-加群で余準素(>>157)とする。
このとき、定義より、Ass(M) は一個の素イデアル p よりなるから
>>167より p = rad(Ann(M)) である。>>165 より、p^n ⊂ Ann(M)
となる整数 n > 0 がある。よって、(p^n)M = 0 となる。
このとき、定義より、Ass(M) は一個の素イデアル p よりなるから
>>167より p = rad(Ann(M)) である。>>165 より、p^n ⊂ Ann(M)
となる整数 n > 0 がある。よって、(p^n)M = 0 となる。
169 ：208：2005/09/28(水) 09:11:33
現代数学概説Ｉの悪口を書いたけど、俺はあれで集合論を勉強した。
束論も意識してないけどジョルダン・ヘルダーの定理なんかで、
無意識に使ってるかもしれない。若い頃に読んだものって結構
影響力がある。因みにあのシリ−ズはいい本があるね。
岩沢の代数関数論とか。あの本はいいらしいけど超難しい。
俺も学部のころ仲間で読もうとしたけど、最初の付値論の
近似定理あたりで皆おだぶつ。
束論も意識してないけどジョルダン・ヘルダーの定理なんかで、
無意識に使ってるかもしれない。若い頃に読んだものって結構
影響力がある。因みにあのシリ−ズはいい本があるね。
岩沢の代数関数論とか。あの本はいいらしいけど超難しい。
俺も学部のころ仲間で読もうとしたけど、最初の付値論の
近似定理あたりで皆おだぶつ。
170 ：208：2005/09/28(水) 09:29:13
今やってる随伴素イデアルとか今後やる予定の殆ど(全部ではない)
はBourbakiの可換代数に書いてあるんで、それを参照してくれと
言えばお終いだけどね。その本が手元にない人も多いだろうから
こっちの復習もかねてここに書いてる。
はBourbakiの可換代数に書いてあるんで、それを参照してくれと
言えばお終いだけどね。その本が手元にない人も多いだろうから
こっちの復習もかねてここに書いてる。
171 ：208：2005/09/28(水) 09:36:20
前に数回書いてるけどBourbakiの可換代数はいいよ。なんで皆、
Ati-Macとか松村で勉強するんだろ。松村はBourbakiが書いて
ないこともあるからいいけど。Bourbakiのいいところは、すべて
証明をつけてあるところ。しかもほとんどの命題の証明が比較的簡単
なんだな。だから、根気さえあれば読める。これはGrothendieck
のEGAにもある程度言える。
Ati-Macとか松村で勉強するんだろ。松村はBourbakiが書いて
ないこともあるからいいけど。Bourbakiのいいところは、すべて
証明をつけてあるところ。しかもほとんどの命題の証明が比較的簡単
なんだな。だから、根気さえあれば読める。これはGrothendieck
のEGAにもある程度言える。
172 ：208：2005/09/28(水) 12:35:52
A を環、M を A-加群、N をその部分加群とする。
Supp(M) = Supp(N) ∪ Supp(M/N) となる。
証明
完全系列 0 → N → M → M/N → 0
より、p ∈ Spec(A) に対して
完全系列 0 → N_p → M_p → (M/N)_p → 0
が得られる。
これより明らか
Supp(M) = Supp(N) ∪ Supp(M/N) となる。
証明
完全系列 0 → N → M → M/N → 0
より、p ∈ Spec(A) に対して
完全系列 0 → N_p → M_p → (M/N)_p → 0
が得られる。
これより明らか
173 ：208：2005/09/28(水) 12:43:00
A を環、M を A-加群、(M_i), i ∈ I をその部分加群の族で
M = ΣM_i とする。ここで、Σは直和ではなく単なる和をあらわす。
つまり、M は(M_i)で生成される。
S を A の積閉集合としたとき、
M_S = Σ(M_i)_S となる。
証明は演習。っていうか明らかだろう。
M = ΣM_i とする。ここで、Σは直和ではなく単なる和をあらわす。
つまり、M は(M_i)で生成される。
S を A の積閉集合としたとき、
M_S = Σ(M_i)_S となる。
証明は演習。っていうか明らかだろう。
174 ：208：2005/09/28(水) 12:46:58
A を環、M を A-加群、(M_i), i ∈ I をその部分加群の族で
M = ΣM_i とする。ここで、Σは直和ではなく単なる和をあらわす。
Supp(M) = ∪Supp(M_i) となる。
証明は>>173より明らかだろう。
M = ΣM_i とする。ここで、Σは直和ではなく単なる和をあらわす。
Supp(M) = ∪Supp(M_i) となる。
証明は>>173より明らかだろう。
175 ：208：2005/09/30(金) 16:01:36
定義
Aを環とし、MをA-加群とする。
Aの元 a が M に関して概べき零であるとは、各 x ∈ M に対して、
整数 n(x) > 0 が存在して、a^(n(x))x = 0 となることを言う。
n(x) が x によらないとき、つまり、ある整数 n > 0 に対して、
(a^n)M = 0 となるとき、a を M に関してべき零であるという。
Aを環とし、MをA-加群とする。
Aの元 a が M に関して概べき零であるとは、各 x ∈ M に対して、
整数 n(x) > 0 が存在して、a^(n(x))x = 0 となることを言う。
n(x) が x によらないとき、つまり、ある整数 n > 0 に対して、
(a^n)M = 0 となるとき、a を M に関してべき零であるという。
176 ：208：2005/09/30(金) 16:52:47
Aを環とし、I をそのイデアルとする。
Supp(A/I) = V(I) である。
証明は演習とする。
Supp(A/I) = V(I) である。
証明は演習とする。
177 ：208：2005/09/30(金) 17:13:43
A を環とし、Mを A-加群とする。
Supp(M) に属す全ての素イデアルの共通部分は、M に関して概べき零な
元全体と一致する。
証明
>>174より、Supp(M) = ∪{Supp(Ax); x ∈ M} である。
Ax は A/Ann(x) と同型であるから、>>176より、Supp(Ax) = V(Ann(x))
となる。>>164より、Supp(Ax) に属す素イデアルの共通部分は、
rad(Ann(x)) である。
証明終
Supp(M) に属す全ての素イデアルの共通部分は、M に関して概べき零な
元全体と一致する。
証明
>>174より、Supp(M) = ∪{Supp(Ax); x ∈ M} である。
Ax は A/Ann(x) と同型であるから、>>176より、Supp(Ax) = V(Ann(x))
となる。>>164より、Supp(Ax) に属す素イデアルの共通部分は、
rad(Ann(x)) である。
証明終
178 ：208：2005/09/30(金) 17:22:25
179 ：208：2005/09/30(金) 17:32:47
定義
Aを環とし、MをA-加群とする。
Aの元 a が M に関して正則であるとは、
u(x) = ax により定義される射 u: M → M が単射であることをいう。
M に関して正則であることを M-正則と言うこともある。
Aを環とし、MをA-加群とする。
Aの元 a が M に関して正則であるとは、
u(x) = ax により定義される射 u: M → M が単射であることをいう。
M に関して正則であることを M-正則と言うこともある。
180 ：208：2005/09/30(金) 17:35:35
181 ：208：2005/09/30(金) 17:50:59
A をネーター環とし、Mを A-加群とする。
次の条件は同値である。
1)Ass(M) が１個の素イデアルのみからなる。
2)A の元で M に関して非正則なものは概べき零である。
証明
>>178と>>180より。
証明終
次の条件は同値である。
1)Ass(M) が１個の素イデアルのみからなる。
2)A の元で M に関して非正則なものは概べき零である。
証明
>>178と>>180より。
証明終
182 ：１３２人目の素数さん：2005/09/30(金) 18:20:07
A をネーター環とし、Mを有限生成 A-加群とする。
N を M の真部分加群 とする。
N は有限個の準素部分加群の共通集合となる。
証明
M の部分加群のなす順序集合は極大条件を満たすから、
N は有限個の既約部分加群(>>157)の共通集合となる。
既約部分加群は準素部分加群である(>>158)。
証明終
N を M の真部分加群 とする。
N は有限個の準素部分加群の共通集合となる。
証明
M の部分加群のなす順序集合は極大条件を満たすから、
N は有限個の既約部分加群(>>157)の共通集合となる。
既約部分加群は準素部分加群である(>>158)。
証明終
183 ：１３２人目の素数さん：2005/10/03(月) 10:00:08
>>166は暗黙に次の命題を使用していた。
A を環、p をその素イデアルとすると、p に含まれる極少素イデアルが
存在する。
証明は、Zornの補題より簡単に得られる。
A がネーターの場合は、零イデアルの準素イデアル分解が存在すること
を使えば、Zornの補題は必要ない。
因みに、ネーター環においては、素イデアルの降鎖列は有限で停留する。
A を環、p をその素イデアルとすると、p に含まれる極少素イデアルが
存在する。
証明は、Zornの補題より簡単に得られる。
A がネーターの場合は、零イデアルの準素イデアル分解が存在すること
を使えば、Zornの補題は必要ない。
因みに、ネーター環においては、素イデアルの降鎖列は有限で停留する。
184 ：１３２人目の素数さん：2005/10/03(月) 11:23:43
A をネーター環、M を A-加群、(M_i) を M の部分加群の族で、
M = ∪M_i とする。このとき、 Ass(M) = ∪Ass(M_i) となる。
証明
明らか。
M = ∪M_i とする。このとき、 Ass(M) = ∪Ass(M_i) となる。
証明
明らか。
185 ：208：2005/10/03(月) 11:32:46
A をネーター環、M を A-加群、N をその部分加群とする。
Ass(M) ⊂ Ass(N) ∪ Ass(M/N) となる。
証明
p ∈ Ass(M) とする。M の部分加群 L で A/p と同型になるものが
ある。 L ∩ N が空でなければ、p ∈ Ass(L ∩ N) ⊂ Ass(N)
となる。L ∩ N が空なら、L は (L + N)/N ⊂ M/N と同型。
よって、p ∈ Ass(M/N) となる。
証明終
Ass(M) ⊂ Ass(N) ∪ Ass(M/N) となる。
証明
p ∈ Ass(M) とする。M の部分加群 L で A/p と同型になるものが
ある。 L ∩ N が空でなければ、p ∈ Ass(L ∩ N) ⊂ Ass(N)
となる。L ∩ N が空なら、L は (L + N)/N ⊂ M/N と同型。
よって、p ∈ Ass(M/N) となる。
証明終
186 ：208：2005/10/03(月) 11:38:28
A をネーター環、M を A-加群、(M_i) を M の部分加群の族で、
M = ΣM_i (直和)とする。このとき、 Ass(M) = ∪Ass(M_i) となる。
証明
>>184より(M_i)は有限個の族、特に２個の場合を証明すればよい。
M = M_1 + M_2 (直和)とする。
>>185 より、Ass(M) ⊂ Ass(M_1) ∪ Ass(M_2) となる。
逆の包含関係は明らか。
証明終
M = ΣM_i (直和)とする。このとき、 Ass(M) = ∪Ass(M_i) となる。
証明
>>184より(M_i)は有限個の族、特に２個の場合を証明すればよい。
M = M_1 + M_2 (直和)とする。
>>185 より、Ass(M) ⊂ Ass(M_1) ∪ Ass(M_2) となる。
逆の包含関係は明らか。
証明終
187 ：208：2005/10/03(月) 11:46:19
A をネーター環とし、Mを A-加群とする。
N を M の部分加群 とする。
N = Q_1 ∩ Q_2 とする。ここで、Q_1, Q_2 は準素部分加群であり、
{p} = Ass(M/Q_1) = Ass(M/Q_2) とする。
このとき、N は準素であり、{p} = Ass(M/N) となる。
証明
M/N は M/Q_1 + M/Q_2 (直和)の部分加群に同型である。
よって>>186より、 Ass(M/N) ⊂ Ass(M/Q_1) ∪ Ass(M/Q_2)
証明終
N を M の部分加群 とする。
N = Q_1 ∩ Q_2 とする。ここで、Q_1, Q_2 は準素部分加群であり、
{p} = Ass(M/Q_1) = Ass(M/Q_2) とする。
このとき、N は準素であり、{p} = Ass(M/N) となる。
証明
M/N は M/Q_1 + M/Q_2 (直和)の部分加群に同型である。
よって>>186より、 Ass(M/N) ⊂ Ass(M/Q_1) ∪ Ass(M/Q_2)
証明終
188 ：208：2005/10/03(月) 11:59:08
定義
A をネーター環とし、Mを A-加群とする。
M の部分加群 N が有限個の準素部分加群の共通集合となっている
とする。N = Q_1 ∩ Q_2 ... ∩ Q_n
各 i に対して N ≠ ∩{Q_j; j ≠ i} となっているとき、
これを N の無駄のない準素分解と言う。
さらに、{p_i} = Ass(M/Q_i} としたとき、各 p_i が互いに異なって
いるとき、これを、N の最短準素分解と言う。
A をネーター環とし、Mを A-加群とする。
M の部分加群 N が有限個の準素部分加群の共通集合となっている
とする。N = Q_1 ∩ Q_2 ... ∩ Q_n
各 i に対して N ≠ ∩{Q_j; j ≠ i} となっているとき、
これを N の無駄のない準素分解と言う。
さらに、{p_i} = Ass(M/Q_i} としたとき、各 p_i が互いに異なって
いるとき、これを、N の最短準素分解と言う。
189 ：208：2005/10/03(月) 12:04:07
ところで、かなりかったるいな。随伴素イデアルとか準素分解が
こんなに長くなるとは思ってなかった。早くDedekind環に行きたい
んだけど。まあ、もう少しで終わるから辛抱して。
こんなに長くなるとは思ってなかった。早くDedekind環に行きたい
んだけど。まあ、もう少しで終わるから辛抱して。
190 ：208：2005/10/03(月) 14:21:29
A をネーター環とし、Mを A-加群とする。
M の部分加群 N の最短準素分解
N = Q_1 ∩ Q_2 ... ∩ Q_n があるとする。
各i に対して {p_i} = Ass(M/Q_i) とすると、
Ass(M/N) = {p_1, p_2, ... , p_n} となる。
証明
M/N は Σ(M/Q_i) （直和）の部分加群に同型だから、
>>186 より、Ass(M) ⊂ {p_1, p_2, ... , p_n} となる。
各i に対して P_i = ∩{Q_j; j ≠ i} とおく。
N = Q_1 ∩ Q_2 ... ∩ Q_n は無駄がないから、
P_i/N ≠ 0 である。P_i/N は (P_i + Q_i)/Q_i に同型であり、
(P_i + Q_i)/Q_i は M/Q_i の部分加群だから、
Ass(P_i/N) = {p_i} となる。P_i/N は M/N の部分加群だから
p_i ∈ Ass(M/N) となる。
証明終
M の部分加群 N の最短準素分解
N = Q_1 ∩ Q_2 ... ∩ Q_n があるとする。
各i に対して {p_i} = Ass(M/Q_i) とすると、
Ass(M/N) = {p_1, p_2, ... , p_n} となる。
証明
M/N は Σ(M/Q_i) （直和）の部分加群に同型だから、
>>186 より、Ass(M) ⊂ {p_1, p_2, ... , p_n} となる。
各i に対して P_i = ∩{Q_j; j ≠ i} とおく。
N = Q_1 ∩ Q_2 ... ∩ Q_n は無駄がないから、
P_i/N ≠ 0 である。P_i/N は (P_i + Q_i)/Q_i に同型であり、
(P_i + Q_i)/Q_i は M/Q_i の部分加群だから、
Ass(P_i/N) = {p_i} となる。P_i/N は M/N の部分加群だから
p_i ∈ Ass(M/N) となる。
証明終
191 ：208：2005/10/03(月) 14:34:30
192 ：208：2005/10/03(月) 14:51:49
Mが有限生成の場合に、>>158の別証を述べる。
この証明はネーター自身の証明と本質的には同じである。
命題
A をネーター環とし、Mを有限生成 A-加群とする。
N を M の部分加群とする。
N が準素部分加群でなければ、N は可約である。
証明
M を M/N に置き換えることにより、 N = 0 と仮定してよい。
0 が準素でないとする。>>181より、A の元 a で M に関して非正則かつ
(M に関して)べき零でないものがある。A-加群 としての自己準同型 f
を f(x) = ax により定義する。仮定より、f は単射でもべき零でもない。
>>159 より、0 は可約になる。
証明終
この証明はネーター自身の証明と本質的には同じである。
命題
A をネーター環とし、Mを有限生成 A-加群とする。
N を M の部分加群とする。
N が準素部分加群でなければ、N は可約である。
証明
M を M/N に置き換えることにより、 N = 0 と仮定してよい。
0 が準素でないとする。>>181より、A の元 a で M に関して非正則かつ
(M に関して)べき零でないものがある。A-加群 としての自己準同型 f
を f(x) = ax により定義する。仮定より、f は単射でもべき零でもない。
>>159 より、0 は可約になる。
証明終
193 ：208：2005/10/03(月) 15:04:02
次の命題はしばしば使われる。
命題
A をネーター環とし、Mを有限生成 A-加群とする。
M の部分群の列
0 = M_0 ⊂ M_1 ⊂ ... ⊂ M_n = M で 各 M_i/M_(i-1) が A/p_i
と同型になるものが存在する。p_i は素イデアル。
証明
p_1 ∈ Ass(M) とすると、A/p_1 と同型な M の部分群 M_1 がある。
M/M_1 ≠ 0 なら、p_2 ∈ Ass(M/M_1) をとり同様にする。
M はネーターなのでこの操作は有限回で終わる。
証明終
命題
A をネーター環とし、Mを有限生成 A-加群とする。
M の部分群の列
0 = M_0 ⊂ M_1 ⊂ ... ⊂ M_n = M で 各 M_i/M_(i-1) が A/p_i
と同型になるものが存在する。p_i は素イデアル。
証明
p_1 ∈ Ass(M) とすると、A/p_1 と同型な M の部分群 M_1 がある。
M/M_1 ≠ 0 なら、p_2 ∈ Ass(M/M_1) をとり同様にする。
M はネーターなのでこの操作は有限回で終わる。
証明終
194 ：208：2005/10/03(月) 16:45:49
A を環、Mを A-加群、
N, L を M の部分加群とする。
S を A の積閉集合とする。
M_S の部分加群として、(N ∩ L)_S = N_S ∩ L_S となる。
証明
完全列
0 → N ∩ L → M → M/N + M/L(直和)
より、完全列
0 → (N ∩ L)_S → M_S → M_S/N_S + M_S/L_S(直和)
が得られる(>>86)。
証明終
N, L を M の部分加群とする。
S を A の積閉集合とする。
M_S の部分加群として、(N ∩ L)_S = N_S ∩ L_S となる。
証明
完全列
0 → N ∩ L → M → M/N + M/L(直和)
より、完全列
0 → (N ∩ L)_S → M_S → M_S/N_S + M_S/L_S(直和)
が得られる(>>86)。
証明終
195 ：208：2005/10/03(月) 17:13:36
A をネーター環とし、Mを A-加群、
Q を M の準素部分加群、Ass(M/Q) = {p} とする。
S を A の積閉集合とする。p ∩ S が空なら、Q_S は M_S の
準素部分加群であり、Ass(M_S/Q_S) = {pA_S} となる。
さらに、φ^(-1)(Q_S) = Q となる。ここで、φ: A → A_S は
標準射。
p ∩ S が空でないなら Q_S = M_S となる。
証明
p ∩ S が空とする。
>>95より、
Ass(M_S/Q_S) = Ass(M/Q) ∩ Spec(A_S) となる。
よって、Ass(M_S/Q_S) = {pA_S} となる。
s ∈ S、x ∈ M、 sx ∈ Q とする。>>180より s は
M/Q に関して正則元だから x ∈ Q となる。
これは、φ^(-1)(Q_S) = Q を意味する。
次に、p ∩ S が空でないとする。
Ass(M_S/Q_S) = Ass(M/Q) ∩ Spec(A_S) は空となるから、
M_S/Q_S = 0 である。
証明終
Q を M の準素部分加群、Ass(M/Q) = {p} とする。
S を A の積閉集合とする。p ∩ S が空なら、Q_S は M_S の
準素部分加群であり、Ass(M_S/Q_S) = {pA_S} となる。
さらに、φ^(-1)(Q_S) = Q となる。ここで、φ: A → A_S は
標準射。
p ∩ S が空でないなら Q_S = M_S となる。
証明
p ∩ S が空とする。
>>95より、
Ass(M_S/Q_S) = Ass(M/Q) ∩ Spec(A_S) となる。
よって、Ass(M_S/Q_S) = {pA_S} となる。
s ∈ S、x ∈ M、 sx ∈ Q とする。>>180より s は
M/Q に関して正則元だから x ∈ Q となる。
これは、φ^(-1)(Q_S) = Q を意味する。
次に、p ∩ S が空でないとする。
Ass(M_S/Q_S) = Ass(M/Q) ∩ Spec(A_S) は空となるから、
M_S/Q_S = 0 である。
証明終
196 ：208：2005/10/03(月) 17:31:40
A をネーター環とし、Mを A-加群、
N = Q_1 ∩ Q_2 ... ∩ Q_n を M の部分加群 N の最短準素分解
各i に対して {p_i} = Ass(M/Q_i)、
S を A の積閉集合とする。
0 < r < n, i = 1, ... , r に対して
p_i ∩ S は空、j = r+1, ... , n に対して p_j ∩ S は空でない
とする。このとき、N_S = (Q_1)_S ∩ (Q_2)_S ... ∩ (Q_r)_S
となり、これは N_S の M_S における最短準素分解である。
証明
>>194と>>195より。
証明終
N = Q_1 ∩ Q_2 ... ∩ Q_n を M の部分加群 N の最短準素分解
各i に対して {p_i} = Ass(M/Q_i)、
S を A の積閉集合とする。
0 < r < n, i = 1, ... , r に対して
p_i ∩ S は空、j = r+1, ... , n に対して p_j ∩ S は空でない
とする。このとき、N_S = (Q_1)_S ∩ (Q_2)_S ... ∩ (Q_r)_S
となり、これは N_S の M_S における最短準素分解である。
証明
>>194と>>195より。
証明終
197 ：208：2005/10/03(月) 17:44:20
198 ：208：2005/10/03(月) 17:45:20
A をネーター環とし、Mを A-加群、
N = Q_1 ∩ Q_2 ... ∩ Q_n を M の部分加群 N の最短準素分解
各i に対して {p_i} = Ass(M/Q_i) とする。
ある i に対して p_i が極小素イデアルとすると、
Q_i = φ^(-1)(N_p_i) となる。よって、 Q_i は、N と p_i により
一意に決まる。
ここで、N_p_i は、いつものように積閉集合 S = A - p_i による局所化。
φ: M → M_p_i は標準射。
証明
>>196より。
証明終
N = Q_1 ∩ Q_2 ... ∩ Q_n を M の部分加群 N の最短準素分解
各i に対して {p_i} = Ass(M/Q_i) とする。
ある i に対して p_i が極小素イデアルとすると、
Q_i = φ^(-1)(N_p_i) となる。よって、 Q_i は、N と p_i により
一意に決まる。
ここで、N_p_i は、いつものように積閉集合 S = A - p_i による局所化。
φ: M → M_p_i は標準射。
証明
>>196より。
証明終
199 ：208：2005/10/04(火) 11:25:15
ネーター加群における準素加群分解(>>182)は、既約部分加群が
準素であるという事実(>>158または>>192)に基づいていた。
しかし、準素部分加群は既約とは限らない。既約とは限らない
準素部分加群による分解は次の結果から得られる。
命題
A をネーター環とし、Mを有限生成 A-加群とする。
p ∈ Ass(M) とすると、M の部分加群 N で、
Ass(M/N) = {p}, Ass(N) = Ass(M) - {p} となるものが存在する。
証明
Ass(M) = {p} なら命題は自明なので、Ass(M) ≠ {p} と仮定する。
M の部分加群 N で、Ass(N) に p を含まないものの中で極大なもの
とする。このようなものが存在することは、M がネーター加群である
ことからわかる。Ass(M) ⊂ Ass(N) ∪ Ass(M/N) だから、
p ∈ Ass(M/N) となる。q ∈ Ass(M/N) で p ≠ q となるものがある
とする。N ⊂ L で L/N が A/q と同型になるような部分加群 L が
存在する。Ass(L/N) = {q} で Ass(L) ⊂ Ass(N) ∪ Ass(L/N) だから
Ass(L) は p を含まない。これは N の極大性に反する。
よって、Ass(M/N) = {p} である。Ass(N) = Ass(M) - {p} は、これと
Ass(N) ⊂ Ass(M) および、Ass(M) ⊂ Ass(N) ∪ Ass(M/N) からわかる。
証明終
準素であるという事実(>>158または>>192)に基づいていた。
しかし、準素部分加群は既約とは限らない。既約とは限らない
準素部分加群による分解は次の結果から得られる。
命題
A をネーター環とし、Mを有限生成 A-加群とする。
p ∈ Ass(M) とすると、M の部分加群 N で、
Ass(M/N) = {p}, Ass(N) = Ass(M) - {p} となるものが存在する。
証明
Ass(M) = {p} なら命題は自明なので、Ass(M) ≠ {p} と仮定する。
M の部分加群 N で、Ass(N) に p を含まないものの中で極大なもの
とする。このようなものが存在することは、M がネーター加群である
ことからわかる。Ass(M) ⊂ Ass(N) ∪ Ass(M/N) だから、
p ∈ Ass(M/N) となる。q ∈ Ass(M/N) で p ≠ q となるものがある
とする。N ⊂ L で L/N が A/q と同型になるような部分加群 L が
存在する。Ass(L/N) = {q} で Ass(L) ⊂ Ass(N) ∪ Ass(L/N) だから
Ass(L) は p を含まない。これは N の極大性に反する。
よって、Ass(M/N) = {p} である。Ass(N) = Ass(M) - {p} は、これと
Ass(N) ⊂ Ass(M) および、Ass(M) ⊂ Ass(N) ∪ Ass(M/N) からわかる。
証明終
200 ：208：2005/10/04(火) 12:23:14
A をネーター環とし、Mを有限生成 A-加群とする。
各 p ∈ Ass(M) に対して、M の部分加群 Q(p) で、
Ass(M/Q(p)) = {p}, Ass(Q(p)) = Ass(M) - {p} となる
とする(>>199)。
このとき、0 = ∩{Q(p); p ∈ Ass(M)} となり、
これは、0 の最短準素分解である。
証明
N = ∩{Q(p); p ∈ Ass(M)} とおく。Ass(N) ⊂ Ass(Q(p))
だから、Ass(N) は空である。よって N = 0 である(>>90)。
0 = ∩{Q(p); p ∈ Ass(M)} は最短準素分解である。
何故なら、もしあるp ∈ Ass(M) に対して
0 = ∩{Q(q); q ∈ Ass(M), q ≠ p} とすると、
M は、直和 ΣM/Q(q) に埋め込まれて、
Ass(M) ⊂ ∪Ass(M/Q(q)) となり矛盾する。
証明終
各 p ∈ Ass(M) に対して、M の部分加群 Q(p) で、
Ass(M/Q(p)) = {p}, Ass(Q(p)) = Ass(M) - {p} となる
とする(>>199)。
このとき、0 = ∩{Q(p); p ∈ Ass(M)} となり、
これは、0 の最短準素分解である。
証明
N = ∩{Q(p); p ∈ Ass(M)} とおく。Ass(N) ⊂ Ass(Q(p))
だから、Ass(N) は空である。よって N = 0 である(>>90)。
0 = ∩{Q(p); p ∈ Ass(M)} は最短準素分解である。
何故なら、もしあるp ∈ Ass(M) に対して
0 = ∩{Q(q); q ∈ Ass(M), q ≠ p} とすると、
M は、直和 ΣM/Q(q) に埋め込まれて、
Ass(M) ⊂ ∪Ass(M/Q(q)) となり矛盾する。
証明終
201 ：208：2005/10/04(火) 12:59:11
A をネーター環とし、Mを有限生成 A-加群とする。
Ass(M) に属す素イデアル全体の共通集合は、Mに関してべき零
となる元全体からなる(>>178)。
Ass(M) に属す素イデアル全体の合併集合は、Mに関して非正則
な元全体からなる(>>180)。
特に、A を A-加群とみると、これは有限生成だから、
Ass(A) に属す素イデアル全体の共通集合は、A のべき零元全体と
一致する。つまり、Nil(A) である(>>163)。
Ass(A) に属す素イデアル全体の合併集合は、A の非零因子全体と
一致する。
Ass(M) に属す素イデアル全体の共通集合は、Mに関してべき零
となる元全体からなる(>>178)。
Ass(M) に属す素イデアル全体の合併集合は、Mに関して非正則
な元全体からなる(>>180)。
特に、A を A-加群とみると、これは有限生成だから、
Ass(A) に属す素イデアル全体の共通集合は、A のべき零元全体と
一致する。つまり、Nil(A) である(>>163)。
Ass(A) に属す素イデアル全体の合併集合は、A の非零因子全体と
一致する。
202 ：208：2005/10/04(火) 17:50:56
A をネーター環とし、Mを有限生成 A-加群とする。
M の部分加群 N が準素であるためには、M/N に関して非正則な
A の元は、M/N に関してべき零であることが必要十分である。
証明
>>181と>>191より明らかだろう。
M の部分加群 N が準素であるためには、M/N に関して非正則な
A の元は、M/N に関してべき零であることが必要十分である。
証明
>>181と>>191より明らかだろう。
203 ：208：2005/10/04(火) 18:03:34
命題
A を環、I, J を A のイデアル、p を A の素イデアルとし、
IJ ⊂ p とする。
このとき、 I ⊂ p または、J ⊂ p となる。
証明は明らかだろう。
A を環、I, J を A のイデアル、p を A の素イデアルとし、
IJ ⊂ p とする。
このとき、 I ⊂ p または、J ⊂ p となる。
証明は明らかだろう。
204 ：208：2005/10/04(火) 18:18:37
命題
A をネーター環とする。
Ass(A) = {p_1, p_2, ... , p_r} とする。
p を A の任意の素イデアルとすると、
ある i に対して p_i ⊂ p となる。
証明
A の零イデアルの最短準素分解を
0 = q_1 ∩ q_2 ∩ ... ∩ q_r とし、Ass(A/q_i) = {p_i} とする。
(q_1)(q_2)...(q_r) ⊂ q_1 ∩ q_2 ∩ ... ∩ q_r
だから、>>208 より、q_i ⊂ p となる i がある。
>>178より、p_i = rad(q_i) である。
よって、>>165より、(p_i)^(n) ⊂ q_i となる整数 n がある。
よって、(p_i)^n ⊂ p となる。
再び、>>208 より p_i ⊂ p となる。
証明終
A をネーター環とする。
Ass(A) = {p_1, p_2, ... , p_r} とする。
p を A の任意の素イデアルとすると、
ある i に対して p_i ⊂ p となる。
証明
A の零イデアルの最短準素分解を
0 = q_1 ∩ q_2 ∩ ... ∩ q_r とし、Ass(A/q_i) = {p_i} とする。
(q_1)(q_2)...(q_r) ⊂ q_1 ∩ q_2 ∩ ... ∩ q_r
だから、>>208 より、q_i ⊂ p となる i がある。
>>178より、p_i = rad(q_i) である。
よって、>>165より、(p_i)^(n) ⊂ q_i となる整数 n がある。
よって、(p_i)^n ⊂ p となる。
再び、>>208 より p_i ⊂ p となる。
証明終
205 ：208：2005/10/06(木) 11:39:25
ネーター環において極小素イデアルは有限個しかないということは、
>>204からわかるが、これは、 A がネーター環のとき、Spec(A) の
閉部分集合全体が極小条件を満たすことからもわかる。
これを以下に説明する。
定義
位相空間 X が可約とは、 X = F_1 ∪ F_2 となる、X の閉部分集合
F_1, F_2 で X ≠ F_1, X ≠ F_2 となるものが存在することをいう。
空集合でない位相空間が可約でないとき既約という。
位相空間 X の部分集合 A が既約とは、A に部分空間としての位相を
いれたときに、既約なことをいう。
>>204からわかるが、これは、 A がネーター環のとき、Spec(A) の
閉部分集合全体が極小条件を満たすことからもわかる。
これを以下に説明する。
定義
位相空間 X が可約とは、 X = F_1 ∪ F_2 となる、X の閉部分集合
F_1, F_2 で X ≠ F_1, X ≠ F_2 となるものが存在することをいう。
空集合でない位相空間が可約でないとき既約という。
位相空間 X の部分集合 A が既約とは、A に部分空間としての位相を
いれたときに、既約なことをいう。
206 ：208：2005/10/06(木) 12:05:53
u: A → B を環の射とすると、位相空間としての射
u~: Spec(B) → Spec(A) が、u~(p) = u^(-1)(p) で定まる。
u~が写像として定まり、連続であることを確かめるのは
読者にまかす。
u: A → A/Nil(A) を標準射とすると、
u~: Spec(A/Nil(A) ) → Spec(A) は、位相空間としての同型射となる。
これを確かめるのも、読者にまかす。
ここで、Nil(A) は A のべき零元の全体である(>>163)。
よって、Spec(A) の位相を考えるときは、Nil(A) = 0 と仮定してよい。
Nil(A) = 0 となるとき、A を被約という。
u~: Spec(B) → Spec(A) が、u~(p) = u^(-1)(p) で定まる。
u~が写像として定まり、連続であることを確かめるのは
読者にまかす。
u: A → A/Nil(A) を標準射とすると、
u~: Spec(A/Nil(A) ) → Spec(A) は、位相空間としての同型射となる。
これを確かめるのも、読者にまかす。
ここで、Nil(A) は A のべき零元の全体である(>>163)。
よって、Spec(A) の位相を考えるときは、Nil(A) = 0 と仮定してよい。
Nil(A) = 0 となるとき、A を被約という。
207 ：208：2005/10/06(木) 12:33:54
空でない位相空間 X が既約なためには、X の任意の空でない開集合
が稠密であることが必要十分である。これは、２個の空でない開集合の
共通集合が空でないことと同値である。
が稠密であることが必要十分である。これは、２個の空でない開集合の
共通集合が空でないことと同値である。
208 ：208：2005/10/06(木) 12:40:21
A を環とする。
Spec(A) の開集合は、D(f) (>>162) の形の開集合の合併集合になる。
よって、Spec(A) が既約なためには、任意の D(f) と D(g) が空で
なければ、D(f) ∩ D(g) = D(fg) が空でないことが必要十分である(>>207)。
D(f) が空であることと、f がベキ零であることは同値である(>>162)。
よって、A が被約なら、D(f) が空でないことは、f ≠ 0 と同値である。
よって、A が被約なら、Spec(A) が既約であることと、A が整域で
あることは、同値である。
これから、被約とは限らない A については、Spec(A) が既約であることと、
Nil(A) が素イデアルであることは同値である(>>206)。
Spec(A) の開集合は、D(f) (>>162) の形の開集合の合併集合になる。
よって、Spec(A) が既約なためには、任意の D(f) と D(g) が空で
なければ、D(f) ∩ D(g) = D(fg) が空でないことが必要十分である(>>207)。
D(f) が空であることと、f がベキ零であることは同値である(>>162)。
よって、A が被約なら、D(f) が空でないことは、f ≠ 0 と同値である。
よって、A が被約なら、Spec(A) が既約であることと、A が整域で
あることは、同値である。
これから、被約とは限らない A については、Spec(A) が既約であることと、
Nil(A) が素イデアルであることは同値である(>>206)。
209 ：208：2005/10/07(金) 10:16:08
位相空間 X の空でない部分集合 E が既約なことと、以下の条件が成立つ
ことは同値である。
E ⊂ F_1 ∪ F_2 となる X の閉部分集合 F_1, F_2 があるとすると、
E ⊂ F_1 または E ⊂ F_2 となる。
証明は定義(>>205)から明らかだろう。
ことは同値である。
E ⊂ F_1 ∪ F_2 となる X の閉部分集合 F_1, F_2 があるとすると、
E ⊂ F_1 または E ⊂ F_2 となる。
証明は定義(>>205)から明らかだろう。
210 ：208：2005/10/07(金) 10:48:33
211 ：208：2005/10/07(金) 10:50:59
演習問題
ハウスドルフ空間が既約なのは、それが１点よりなる場合のみである。
ハウスドルフ空間が既約なのは、それが１点よりなる場合のみである。
212 ：208：2005/10/07(金) 11:12:55
213 ：208：2005/10/07(金) 11:48:58
定義
位相空間 X の既約部分集合 E が包含関係に関して極大なとき、
つまり、E を真に含む既約部分集合が存在しないとき、
E を X の既約成分という。
既約成分は>>210より閉部分集合である。
>>212とZornの補題より任意の既約部分集合に対して、それを含む
既約成分が存在する。
位相空間の任意の点 p に対して {p} は、既約である。
よって、任意の位相空間はその既約成分の合併集合になる。
位相空間 X の既約部分集合 E が包含関係に関して極大なとき、
つまり、E を真に含む既約部分集合が存在しないとき、
E を X の既約成分という。
既約成分は>>210より閉部分集合である。
>>212とZornの補題より任意の既約部分集合に対して、それを含む
既約成分が存在する。
位相空間の任意の点 p に対して {p} は、既約である。
よって、任意の位相空間はその既約成分の合併集合になる。
214 ：208：2005/10/07(金) 19:13:37
定義
位相空間 X の閉部分集合を要素とする空でない任意の集合に包含関係に
関しての極小元が存在するとき、つまり、閉部分集合に関して極小条件
が成立つとき、X をネーター空間と呼ぶ。
これは閉部分集合の降鎖列が途中で停留することと同値である。
さらに、これは開部分集合に関して極大条件が成立つことと同値である。
位相空間 X の閉部分集合を要素とする空でない任意の集合に包含関係に
関しての極小元が存在するとき、つまり、閉部分集合に関して極小条件
が成立つとき、X をネーター空間と呼ぶ。
これは閉部分集合の降鎖列が途中で停留することと同値である。
さらに、これは開部分集合に関して極大条件が成立つことと同値である。
215 ：208：2005/10/11(火) 10:49:44
定義
位相空間 X の任意の開被覆が有限部分開被覆を持つとき、X を
準コンパクト(quasi-compact)という。位相空間がハウスドルフかつ
準コンパクトなときコンパクトという。
位相空間 X の任意の開被覆が有限部分開被覆を持つとき、X を
準コンパクト(quasi-compact)という。位相空間がハウスドルフかつ
準コンパクトなときコンパクトという。
216 ：208：2005/10/11(火) 10:58:31
ネーター空間は準コンパクトである。
証明
X をネーター空間とし、X の開被覆 {U_i} があるとする。
有限個の U_i の合併となる開部分集合全体を考える。
X はネーターだから、この中に極大なものがある。
これを U とすると、U の極大性から、任意の
U_i ⊂ U となる。よって X = U となる。
証明終
証明
X をネーター空間とし、X の開被覆 {U_i} があるとする。
有限個の U_i の合併となる開部分集合全体を考える。
X はネーターだから、この中に極大なものがある。
これを U とすると、U の極大性から、任意の
U_i ⊂ U となる。よって X = U となる。
証明終
217 ：208：2005/10/11(火) 11:09:44
位相空間がネーターであるためには、その任意の開部分集合が
準コンパクトであることが必要十分である。
証明は各自にまかす。
準コンパクトであることが必要十分である。
証明は各自にまかす。
218 ：208：2005/10/11(火) 11:21:25
ネーター空間の既約成分は有限個である。
証明
X をネーター空間とし、X の空でない閉部分集合で有限個の
既約閉部分集合の合併とならないものがあるとする。
X はネーターだから、このようなもののなかに極小なものがある。
これを F とする。F は既約ではないから、 F = F_1 ∪ F_2 となる
閉部分集合 F_1, F_2 で F と異なるものがある。F の極小性から
これらは有限個の既約閉部分集合の合併となる。よって F も
有限個の既約閉部分集合の合併となる。これは矛盾。
よって X の任意の空でない閉部分集合は有限個の既約閉部分集合の
合併となる。とくに X がそうなる。
証明終
(注) このような論法は今までにも暗黙に使った。例えば>>182。
この論法をネーター帰納法と呼ぶ。
証明
X をネーター空間とし、X の空でない閉部分集合で有限個の
既約閉部分集合の合併とならないものがあるとする。
X はネーターだから、このようなもののなかに極小なものがある。
これを F とする。F は既約ではないから、 F = F_1 ∪ F_2 となる
閉部分集合 F_1, F_2 で F と異なるものがある。F の極小性から
これらは有限個の既約閉部分集合の合併となる。よって F も
有限個の既約閉部分集合の合併となる。これは矛盾。
よって X の任意の空でない閉部分集合は有限個の既約閉部分集合の
合併となる。とくに X がそうなる。
証明終
(注) このような論法は今までにも暗黙に使った。例えば>>182。
この論法をネーター帰納法と呼ぶ。
219 ：208：2005/10/11(火) 11:47:45
A を環、E を Spec(A) の部分集合とする。
E に属すすべての素イデアルの共通部分を I(E) と書く。
I を A のイデアルとすると、 I(V(I)) = rad(I) となる(>>164)。
I = rad(I) となるイデアルを根基イデアルという。
Spec(A) の閉部分集合の集合と A の根基イデアルの集合は
F に I(F) を対応させることにより１対１に対応する。
E に属すすべての素イデアルの共通部分を I(E) と書く。
I を A のイデアルとすると、 I(V(I)) = rad(I) となる(>>164)。
I = rad(I) となるイデアルを根基イデアルという。
Spec(A) の閉部分集合の集合と A の根基イデアルの集合は
F に I(F) を対応させることにより１対１に対応する。
220 ：208：2005/10/11(火) 11:49:36
A を環、E を Spec(A) の部分集合とする。
cl(E) = V(I(E)) となる。ここで、cl(E) は E の閉包をあらわす。
証明
E ⊂ V(I(E)) は明らか。E ⊂ V(J) とする。ここで J は A のイデアル。
I(V(J)) ⊂ I(E) である。I(V(J)) = rad(J) だから(>>219)、
rad(J) ⊂ I(E) となる。よって V(I(E)) ⊂ V(rad(J)) = V(J)
つまり V(I(E)) は E を含む最小の閉部分集合である。
よって、cl(E) = V(I(E)) となる。
証明終
cl(E) = V(I(E)) となる。ここで、cl(E) は E の閉包をあらわす。
証明
E ⊂ V(I(E)) は明らか。E ⊂ V(J) とする。ここで J は A のイデアル。
I(V(J)) ⊂ I(E) である。I(V(J)) = rad(J) だから(>>219)、
rad(J) ⊂ I(E) となる。よって V(I(E)) ⊂ V(rad(J)) = V(J)
つまり V(I(E)) は E を含む最小の閉部分集合である。
よって、cl(E) = V(I(E)) となる。
証明終
221 ：208：2005/10/11(火) 12:02:42
222 ：208：2005/10/11(火) 12:09:19
A を環とする。Spec(A) の既約部分集合の集合は Spec(A) と１対１に
対応する。
証明
>>208 より V(I) が既約なためには rad(I) が素イデアルであることが
必要十分である。これより明らか。
対応する。
証明
>>208 より V(I) が既約なためには rad(I) が素イデアルであることが
必要十分である。これより明らか。
223 ：208：2005/10/11(火) 12:13:06
224 ：208：2005/10/11(火) 12:15:25
225 ：１３２人目の素数さん：2005/10/11(火) 12:17:36
おもしろいスレじゃのう。
よっ、この208！ 仕事人！！ｶﾞﾝｶﾞﾚ
よっ、この208！ 仕事人！！ｶﾞﾝｶﾞﾚ
226 ：１３２人目の素数さん：2005/10/11(火) 12:42:45
Hand book of K-theory , Springer (Eric Friedlander & Dan Grayson)
kore yondahitoiru??
kore yondahitoiru??
227 ：208：2005/10/11(火) 12:45:57
Thanks(>>225).
これを書くのにBourbakiの可換代数を参考にしてることは前に書いた。
私見によれば、現在のところ可換代数の入門書としてはBourbakiの
可換代数がトップだろうな。８、９、１０章が数年前に出たことにより
松村を抜いた。８章は次元論。９章は完備局所環の構造定理とその応用。
１０章は、ホモロジー代数の応用とCM環。
これを書くのにBourbakiの可換代数を参考にしてることは前に書いた。
私見によれば、現在のところ可換代数の入門書としてはBourbakiの
可換代数がトップだろうな。８、９、１０章が数年前に出たことにより
松村を抜いた。８章は次元論。９章は完備局所環の構造定理とその応用。
１０章は、ホモロジー代数の応用とCM環。
228 ：208：2005/10/11(火) 12:52:39
Bourbakiの可換代数の８章の次元論は、Atiyah-MacDonald とか
EGA とか 松村と違って Krull の次元定理 を Hilbert-Samuel の
特性多項式を使わないで直接に証明している。Krullのオリジナル
の証明に近い。これは、俺も賛成。他の証明は迂回しすぎ。
EGA とか 松村と違って Krull の次元定理 を Hilbert-Samuel の
特性多項式を使わないで直接に証明している。Krullのオリジナル
の証明に近い。これは、俺も賛成。他の証明は迂回しすぎ。
229 ：１３２人目の素数さん：2005/10/11(火) 14:42:30
>>Bourbakiの８、９、１０章
French version, or English version?
French version, or English version?
230 ：208：2005/10/11(火) 17:08:19
８、９、１０章の英語版はないはず
231 ：１３２人目の素数さん：2005/10/13(木) 09:50:46
ところで、環 A の素イデアルの集合を何故 Spec(A) (Spec というのは
Spectrum(スペクトル)の略)と書くか。
これを追求するのは結構面白いと思う。
スペクトルというのは虹の７色に代表されるように光を周波数で
分けたもの。これは、突き詰めると原子内の電子がエネルギー
を放出することによって特定の周波数の光を放出する現象
だろう(多分)。
だから、Spec(A) は量子力学からきたものと思う。
聞きかじりによると、Hilbert空間のエルミート作用素の固有値が
原子の出す光の振動数に対応するらしい(間違ってる可能性もある)。
空間が有限次の場合は、>>147 の例が示唆的だろう。
V は K[X]-加群となり、Ass(V) は、線形写像 u の固有値の集合
とみなされる。 この場合、Ass(V) = Supp(V) であり(>>166)
Supp(V) = V(Ann(V)) = Spec(A/Ann(V)) である(>>161, >>176)。
つまり、Spec(A/Ann(V)) は u の固有値の集合とみなされる。
Spectrum(スペクトル)の略)と書くか。
これを追求するのは結構面白いと思う。
スペクトルというのは虹の７色に代表されるように光を周波数で
分けたもの。これは、突き詰めると原子内の電子がエネルギー
を放出することによって特定の周波数の光を放出する現象
だろう(多分)。
だから、Spec(A) は量子力学からきたものと思う。
聞きかじりによると、Hilbert空間のエルミート作用素の固有値が
原子の出す光の振動数に対応するらしい(間違ってる可能性もある)。
空間が有限次の場合は、>>147 の例が示唆的だろう。
V は K[X]-加群となり、Ass(V) は、線形写像 u の固有値の集合
とみなされる。 この場合、Ass(V) = Supp(V) であり(>>166)
Supp(V) = V(Ann(V)) = Spec(A/Ann(V)) である(>>161, >>176)。
つまり、Spec(A/Ann(V)) は u の固有値の集合とみなされる。
232 ：208：2005/10/13(木) 11:06:51
>>231
>Supp(V) = V(Ann(V)) = Spec(A/Ann(V)) である
この A は体 K 上の多項式環 K[X] をあらわす。
Ann(V) は 線形写像 u の固有多項式で生成される。
>Supp(V) = V(Ann(V)) = Spec(A/Ann(V)) である
この A は体 K 上の多項式環 K[X] をあらわす。
Ann(V) は 線形写像 u の固有多項式で生成される。
233 ：208：2005/10/13(木) 11:21:49
>>199
>しかし、準素部分加群は既約とは限らない。
この例を Zariski-Samuel から引用しよう。
そのために、次の命題がいる。
命題
A をネーター環、 m をその極大イデアルとする。
整数 n > 0 に対して Ass(A/m^n) = {m} である。
証明
Supp(A/m^n) = V(m^n) である(>>176)。
一方、V(m^n) = {m} である(>>203)。
よって、Ass(A/m^n) = {m} である(>>99)。
証明終
>しかし、準素部分加群は既約とは限らない。
この例を Zariski-Samuel から引用しよう。
そのために、次の命題がいる。
命題
A をネーター環、 m をその極大イデアルとする。
整数 n > 0 に対して Ass(A/m^n) = {m} である。
証明
Supp(A/m^n) = V(m^n) である(>>176)。
一方、V(m^n) = {m} である(>>203)。
よって、Ass(A/m^n) = {m} である(>>99)。
証明終
234 ：208：2005/10/13(木) 11:42:19
準素部分加群が既約とならない例(Zariski-Samuel)：
K を体、 A = K[X, Y] を K 上の２変数多項式環とする。
A は Hilbert の基底定理よりネーター環である。
m = (X, Y) は A の極大イデアルである(何故か？)。
m^2 = (X^2, XY, Y^2) は A の準素イデアルである(>>233)。
m^2 = (m^2 + AX) ∩ (m^2 + AY) となる(演習問題とする)。
m^2 ≠ m^2 + AX, m^2 ≠ m^2 + AY であるから、
m^2 は可約である。
K を体、 A = K[X, Y] を K 上の２変数多項式環とする。
A は Hilbert の基底定理よりネーター環である。
m = (X, Y) は A の極大イデアルである(何故か？)。
m^2 = (X^2, XY, Y^2) は A の準素イデアルである(>>233)。
m^2 = (m^2 + AX) ∩ (m^2 + AY) となる(演習問題とする)。
m^2 ≠ m^2 + AX, m^2 ≠ m^2 + AY であるから、
m^2 は可約である。
235 ：208：2005/10/13(木) 12:37:38
Artin環について述べる前に、可換環論において頻繁に使われる
中山の補題を証明する。私の知る限りこの証明は３種ある。
その全部を紹介しよう。
中山の補題を証明する。私の知る限りこの証明は３種ある。
その全部を紹介しよう。
236 ：208：2005/10/13(木) 12:38:51
補題
A を環、M を A-加群とする。
n > 0 を整数。
a_(i,j), 0≦i, j≦n を A の元の列。
x_1, x_2, ... , x_n を M の元の列とする。
これ等の間に次の関係式：
a_(1,1) x_1 + a_(1,2) x_2 + ... + a_(1,n) x_n = 0
a_(2,1) x_1 + a_(2,2) x_2 + ... + a_(2,n) x_n = 0
.
.
.
a_(n,1) x_1 + a_(n,2) x_2 + ... + a_(n,n) x_n = 0
があるとする。
このとき、det(T)x_i = 0 が各 i で成立つ。
ここで、 T = (a_(i,j)) であり、det(T) は T の行列式。
(注) 行列式は可換環でも普通と同様に定義される。
A を環、M を A-加群とする。
n > 0 を整数。
a_(i,j), 0≦i, j≦n を A の元の列。
x_1, x_2, ... , x_n を M の元の列とする。
これ等の間に次の関係式：
a_(1,1) x_1 + a_(1,2) x_2 + ... + a_(1,n) x_n = 0
a_(2,1) x_1 + a_(2,2) x_2 + ... + a_(2,n) x_n = 0
.
.
.
a_(n,1) x_1 + a_(n,2) x_2 + ... + a_(n,n) x_n = 0
があるとする。
このとき、det(T)x_i = 0 が各 i で成立つ。
ここで、 T = (a_(i,j)) であり、det(T) は T の行列式。
(注) 行列式は可換環でも普通と同様に定義される。
237 ：208：2005/10/13(木) 12:42:13
>>236の補題の証明
上の関係式を行列記法で書くと、TX^t = 0 となる。
ここで、 X = (x_1, x_2, ... , x_n)
X^t は X の転置行列。
T~ を T の余因子行列とする。
線形代数でよく知られているように
T~T = det(T)E となる。ここで、E は n-次の単位行列。
よって、T~TX^t = det(T)X^t = 0 となる。
つまり、det(T)x_i = 0 が各 i で成立つ。
証明終
上の関係式を行列記法で書くと、TX^t = 0 となる。
ここで、 X = (x_1, x_2, ... , x_n)
X^t は X の転置行列。
T~ を T の余因子行列とする。
線形代数でよく知られているように
T~T = det(T)E となる。ここで、E は n-次の単位行列。
よって、T~TX^t = det(T)X^t = 0 となる。
つまり、det(T)x_i = 0 が各 i で成立つ。
証明終
238 ：１３２人目の素数さん：2005/10/13(木) 13:11:57
定義
環 A のすべての極大イデアルの共通集合を A の Jacobson根基といい、
rad(A) と書く。Jacobson根基を省略して J-根基ということもある。
環 A のすべての極大イデアルの共通集合を A の Jacobson根基といい、
rad(A) と書く。Jacobson根基を省略して J-根基ということもある。
239 ：１３２人目の素数さん：2005/10/13(木) 14:09:07
よく恥ずかしげもなくassなんて書けるな
240 ：208：2005/10/13(木) 17:26:14
補題
A を環、x を A の元で x = 1 (mod rad(A)) とする。
このとき、 x は可逆元である。
証明
x ∈ m となる A の極大イデアルがあるとする。
rad(A) ⊂ m だから x = 1 (mod m) である。
当然、x = 0 (mod m) だから 1 = 0 (mod m) となって矛盾。
よって、Ax = A でなければならない。
何故なら、Ax ≠ A とすると Zornの補題より、Ax を含む極大イデアル
が存在するから。
証明終
A を環、x を A の元で x = 1 (mod rad(A)) とする。
このとき、 x は可逆元である。
証明
x ∈ m となる A の極大イデアルがあるとする。
rad(A) ⊂ m だから x = 1 (mod m) である。
当然、x = 0 (mod m) だから 1 = 0 (mod m) となって矛盾。
よって、Ax = A でなければならない。
何故なら、Ax ≠ A とすると Zornの補題より、Ax を含む極大イデアル
が存在するから。
証明終
241 ：208：2005/10/13(木) 17:27:04
補題
A を環、E, F を A の元を成分とする n-次の正方行列とする。
I を A のイデアルとする。
E = F (mod I) とは、行列の成分毎の mod I での合同を意味する
とする。このとき、det(E) = det(F) (mod I) である。
証明
明らか。
A を環、E, F を A の元を成分とする n-次の正方行列とする。
I を A のイデアルとする。
E = F (mod I) とは、行列の成分毎の mod I での合同を意味する
とする。このとき、det(E) = det(F) (mod I) である。
証明
明らか。
242 ：208：2005/10/13(木) 17:36:29
中山の補題
A を環、I を A のイデアルで I ⊂ rad(A) とする。
M を有限生成 A-加群とする。
IM = M なら M = 0 である。
証明
M の A-加群としての生成元を x_1, ... , x_n とする。
IM = M より、I の元の列 a_(i,j), 0≦i, j≦n があり、
これ等の間に次の関係式が成立つ：
a_(1,1) x_1 + a_(1,2) x_2 + ... + a_(1,n) x_n = x_1
a_(2,1) x_1 + a_(2,2) x_2 + ... + a_(2,n) x_n = x_2
.
.
.
a_(n,1) x_1 + a_(n,2) x_2 + ... + a_(n,n) x_n = x_n
つまり、TX^t = X^t となる。
よって、(E - T)X^t = 0 となる。
ここで、T = (a_(i,j))、
X = (x_1, x_2, ... , x_n)
X^t は X の転置行列。 E は n-次の単位行列。
よって det(E - T)x_i = 0 が各 i で成立つ(>>236)。
よって、det(E - T)M = 0 となる。
一方、E - T = E (mod I) となるから、
det(E - T) = 1 (mod I) となる(>>241)。
よって、det(E - T) は可逆元である(>>240)。
よって、M = 0 となる。
証明終
A を環、I を A のイデアルで I ⊂ rad(A) とする。
M を有限生成 A-加群とする。
IM = M なら M = 0 である。
証明
M の A-加群としての生成元を x_1, ... , x_n とする。
IM = M より、I の元の列 a_(i,j), 0≦i, j≦n があり、
これ等の間に次の関係式が成立つ：
a_(1,1) x_1 + a_(1,2) x_2 + ... + a_(1,n) x_n = x_1
a_(2,1) x_1 + a_(2,2) x_2 + ... + a_(2,n) x_n = x_2
.
.
.
a_(n,1) x_1 + a_(n,2) x_2 + ... + a_(n,n) x_n = x_n
つまり、TX^t = X^t となる。
よって、(E - T)X^t = 0 となる。
ここで、T = (a_(i,j))、
X = (x_1, x_2, ... , x_n)
X^t は X の転置行列。 E は n-次の単位行列。
よって det(E - T)x_i = 0 が各 i で成立つ(>>236)。
よって、det(E - T)M = 0 となる。
一方、E - T = E (mod I) となるから、
det(E - T) = 1 (mod I) となる(>>241)。
よって、det(E - T) は可逆元である(>>240)。
よって、M = 0 となる。
証明終
243 ：208：2005/10/13(木) 17:47:48
中山の補題(>>242)の別証１
>>242の記号を使う。
a_(1,1) x_1 + a_(1,2) x_2 + ... + a_(1,n) x_n = x_1 より、
(a_(1,1) - 1) x_1 + a_(1,2) x_2 + ... + a_(1,n) x_n = 0
a_(1,1) - 1 は可逆(>>240)だから、
x_1 ∈ Ax_2 + ... + A x_n となる。
よって、M = Ax_2 + ... + A x_n となる。
これから、n に関する帰納法より、M = 0 となる。
証明終
>>242の記号を使う。
a_(1,1) x_1 + a_(1,2) x_2 + ... + a_(1,n) x_n = x_1 より、
(a_(1,1) - 1) x_1 + a_(1,2) x_2 + ... + a_(1,n) x_n = 0
a_(1,1) - 1 は可逆(>>240)だから、
x_1 ∈ Ax_2 + ... + A x_n となる。
よって、M = Ax_2 + ... + A x_n となる。
これから、n に関する帰納法より、M = 0 となる。
証明終
244 ：208：2005/10/13(木) 17:58:50
補題
A を環、M を有限生成 A-加群とする。
N を M の部分加群で N ≠ M とする。
N を含む M の極大部分加群が存在する。
証明
N を含む M の部分加群で M と異なるものから構成される
全順序集合(包含関係による) S があるとする。
S の要素全体の和集合 L は M の部分加群で M と異なる。
何故なら M = L とすると L は M の有限個の生成元を含むから
S の要素で M と一致するものがあることになり矛盾。
よって Zorn の補題より N を含む M の極大部分加群が存在する。
証明終
A を環、M を有限生成 A-加群とする。
N を M の部分加群で N ≠ M とする。
N を含む M の極大部分加群が存在する。
証明
N を含む M の部分加群で M と異なるものから構成される
全順序集合(包含関係による) S があるとする。
S の要素全体の和集合 L は M の部分加群で M と異なる。
何故なら M = L とすると L は M の有限個の生成元を含むから
S の要素で M と一致するものがあることになり矛盾。
よって Zorn の補題より N を含む M の極大部分加群が存在する。
証明終
245 ：１３２人目の素数さん：2005/10/14(金) 08:33:28
>>244
明らかな事を証明するな馬鹿
明らかな事を証明するな馬鹿
246 ：１３２人目の素数さん：2005/10/14(金) 08:51:11
247 ：１３２人目の素数さん：2005/10/14(金) 09:07:51
>208
O-BOKE!!! !!!
O-BOKE!!! !!!
248 ：１３２人目の素数さん：2005/10/14(金) 09:20:45
>>245-247 寝た子を起こすな。
249 ：208：2005/10/14(金) 10:24:13
補題
A を環、I を A のイデアル、M を A-加群とする。
(A/I)(x)M は M/IM と標準的に同型である。
証明
A-加群の完全列
0 → I → A → A/I → 0
より完全列
I(x)M → A(x)M → (A/I)(x)M → 0
が得られる。これより明らか。
証明終
A を環、I を A のイデアル、M を A-加群とする。
(A/I)(x)M は M/IM と標準的に同型である。
証明
A-加群の完全列
0 → I → A → A/I → 0
より完全列
I(x)M → A(x)M → (A/I)(x)M → 0
が得られる。これより明らか。
証明終
250 ：208：2005/10/14(金) 10:29:27
中山の補題(>>242)の別証２
M ≠ 0 とする。
>>244 より、M の極大部分加群 N が存在する。
M/N は 0 以外に真の部分加群を持たない。つまり単純加群である。
よって M/N は１個の元で生成されるから、A の適当なイデアル m に
対して A/m と同型である。N は極大だから m は極大イデアルである。
よって、完全列
M → A/m → 0
が得られる。
よって、完全列
M(x)(A/I) → (A/m)(x)(A/I) → 0
が得られる。
一方、>>249より、
M(x)A/I = M/IM
(A/m)(x)(A/I) = A/m (I ⊂ m に注意)
と見なされる。つまり、完全列
M/IM → A/m → 0
が得られる。
よって、M/IM ≠ 0
証明終
M ≠ 0 とする。
>>244 より、M の極大部分加群 N が存在する。
M/N は 0 以外に真の部分加群を持たない。つまり単純加群である。
よって M/N は１個の元で生成されるから、A の適当なイデアル m に
対して A/m と同型である。N は極大だから m は極大イデアルである。
よって、完全列
M → A/m → 0
が得られる。
よって、完全列
M(x)(A/I) → (A/m)(x)(A/I) → 0
が得られる。
一方、>>249より、
M(x)A/I = M/IM
(A/m)(x)(A/I) = A/m (I ⊂ m に注意)
と見なされる。つまり、完全列
M/IM → A/m → 0
が得られる。
よって、M/IM ≠ 0
証明終
251 ：208：2005/10/14(金) 10:38:20
252 ：208：2005/10/14(金) 11:23:43
中山の補題と準素イデアル分解の応用として「Krullの共通イデアル定理」
を証明する。
定理(Krull)
A をネーター局所環、m をその極大イデアルとすると、
∩m^n = 0 となる。ここで n はすべての正の整数 n > 0 を動く。
証明
I = ∩m^n とおく。
mI = I を示せば、中山の補題より I = 0 となる。
mI ⊂ I は明らかだから I ⊂ mI を示す。
mI = q_1 ∩ ... ∩ q_r とする。ここで、各 q_i は準素イデアル。
ある i に対して、I ⊂ q_i とならないと仮定する。
mI ⊂ q_i だから m の各元は mod q_i で零因子となる。
よって、{m} = Ass(A/q_i) である。
よって、m^n ⊂ q_i となる整数 n > 0 がある(>>168)。
一方、I = ∩m^n だから I ⊂ m^n である。
よって、I ⊂ q_i となって矛盾。
証明終
を証明する。
定理(Krull)
A をネーター局所環、m をその極大イデアルとすると、
∩m^n = 0 となる。ここで n はすべての正の整数 n > 0 を動く。
証明
I = ∩m^n とおく。
mI = I を示せば、中山の補題より I = 0 となる。
mI ⊂ I は明らかだから I ⊂ mI を示す。
mI = q_1 ∩ ... ∩ q_r とする。ここで、各 q_i は準素イデアル。
ある i に対して、I ⊂ q_i とならないと仮定する。
mI ⊂ q_i だから m の各元は mod q_i で零因子となる。
よって、{m} = Ass(A/q_i) である。
よって、m^n ⊂ q_i となる整数 n > 0 がある(>>168)。
一方、I = ∩m^n だから I ⊂ m^n である。
よって、I ⊂ q_i となって矛盾。
証明終
253 ：208：2005/10/14(金) 12:05:02
定義
A を環、M を A-加群とする。
M ≠ 0 で
M ≠ N かつ N ≠ 0 となる部分加群 N が存在しないとき
M を単純加群と呼ぶ。
A を環、M を A-加群とする。
M ≠ 0 で
M ≠ N かつ N ≠ 0 となる部分加群 N が存在しないとき
M を単純加群と呼ぶ。
254 ：208：2005/10/14(金) 12:06:05
定義
A を環、M を A-加群とする。
M の部分加群の列
M = M_0 ⊃ M_1 ⊃ M_2 ... ⊃ M_n = 0
があり、各 i に対して M_i/M_(i+1) が単純とする。
このとき、列 (M_i) を M の組成列と呼ぶ。
n をこの組成列の長さという。
A を環、M を A-加群とする。
M の部分加群の列
M = M_0 ⊃ M_1 ⊃ M_2 ... ⊃ M_n = 0
があり、各 i に対して M_i/M_(i+1) が単純とする。
このとき、列 (M_i) を M の組成列と呼ぶ。
n をこの組成列の長さという。
255 ：１３２人目の素数さん：2005/10/14(金) 14:26:25
アホかお前
256 ：１３２人目の素数さん：2005/10/14(金) 14:27:57
257 ：208：2005/10/14(金) 18:45:16
可換環論においてネーター環が重要なことは当然だし、ネーター環は
色々、好都合な性質を持っている。だから、常にネーター性を
仮定出来れば、すっきりする。ところが、そうは問屋がおろしてくれない。
ネーター環でない重要な環がある。例えば離散付値でない付値環。
それに、不幸なことにネーター整域のその商体における整閉包は必ずしも
ネーター環ではない。
色々、好都合な性質を持っている。だから、常にネーター性を
仮定出来れば、すっきりする。ところが、そうは問屋がおろしてくれない。
ネーター環でない重要な環がある。例えば離散付値でない付値環。
それに、不幸なことにネーター整域のその商体における整閉包は必ずしも
ネーター環ではない。
258 ：１３２人目の素数さん：2005/10/14(金) 19:34:24
そ れ が な に か ？
259 ：１３２人目の素数さん：2005/10/14(金) 19:44:55
260 ：１３２人目の素数さん：2005/10/15(土) 10:11:17
可換環論においてネーター環が重要なことは当然だし、ネーター環は
色々、好都合な性質を持っている。だから、常にネーター性を
仮定出来れば、すっきりする。ところが、そうは問屋がおろしてくれない。
ネーター環でない重要な環がある。例えば離散付値でない付値環。
それに、不幸なことにネーター整域のその商体における整閉包は必ずしも
ネーター環ではない。
tatoeba hokaniaru?
色々、好都合な性質を持っている。だから、常にネーター性を
仮定出来れば、すっきりする。ところが、そうは問屋がおろしてくれない。
ネーター環でない重要な環がある。例えば離散付値でない付値環。
それに、不幸なことにネーター整域のその商体における整閉包は必ずしも
ネーター環ではない。
tatoeba hokaniaru?
おつかれさま。これからもがんばって。
いや、なんだか大変そうだから。読んで文句をいうだけなら楽でも書くのは大変かと。
以下愚痴：素人というのはつまり、今はどんな状態からどんな状態へとつなぐ為に
こんなことをしています、っていうイメージがわかないひとのことかな、って思った。
たどれる（なぞれる）だけでは意味がなくてそれぞれの場面でどこを目指せばいいか
そんなレベルで知りたくて見てる私は素人なので、途中の道に目印だけ置かれて
途中で迷子にならないように何とかとりあえずついていくだけだと、ちょっとさびしく。
原語がわかるから言語的イメージを持てるのかもしれないけれど、
図形などの視覚的イメージや同じ〜類似の形式的性質を持つモデルがあったらな。
でもわかるひとには長くてくどくなるし、かくのにも面倒だから、無理なんだろうな…。
たとえば？えーと上の局所化って内部相互差の一部の同一視なのかな、とか、
それによって扱うべき差異に注目して、本題以外の情報を視野から外せるかなとか、
ネイター環なら閉集合縮小時＝限定条件強化＝焦点化に限界があって、
開集合拡大時＝存在条件ゆるめ時の限界と表裏で、操作時いろいろ便利だ、とか。
かなり雑で不正確な気がするけど、ここの文だけだとそんなイメージになったよ。
いや、なんだか大変そうだから。読んで文句をいうだけなら楽でも書くのは大変かと。
以下愚痴：素人というのはつまり、今はどんな状態からどんな状態へとつなぐ為に
こんなことをしています、っていうイメージがわかないひとのことかな、って思った。
たどれる（なぞれる）だけでは意味がなくてそれぞれの場面でどこを目指せばいいか
そんなレベルで知りたくて見てる私は素人なので、途中の道に目印だけ置かれて
途中で迷子にならないように何とかとりあえずついていくだけだと、ちょっとさびしく。
原語がわかるから言語的イメージを持てるのかもしれないけれど、
図形などの視覚的イメージや同じ〜類似の形式的性質を持つモデルがあったらな。
でもわかるひとには長くてくどくなるし、かくのにも面倒だから、無理なんだろうな…。
たとえば？えーと上の局所化って内部相互差の一部の同一視なのかな、とか、
それによって扱うべき差異に注目して、本題以外の情報を視野から外せるかなとか、
ネイター環なら閉集合縮小時＝限定条件強化＝焦点化に限界があって、
開集合拡大時＝存在条件ゆるめ時の限界と表裏で、操作時いろいろ便利だ、とか。
かなり雑で不正確な気がするけど、ここの文だけだとそんなイメージになったよ。
262 ：１３２人目の素数さん：2005/10/15(土) 12:52:02
そんな無茶苦茶な理解しても役に立たんよ
数学は基礎からきちんと勉強しないと身につかない
それからネイター環じゃなくてNoether(ネター/ネーター）ね
物理の人とかたまにナーターとか読んでたりするけど
数学は基礎からきちんと勉強しないと身につかない
それからネイター環じゃなくてNoether(ネター/ネーター）ね
物理の人とかたまにナーターとか読んでたりするけど
そうそう、そんな感じで。
何がどう間違ってるか突っ込まない教授って
あまり学習者には役に立たないものだから。
単に不正確とかいうのは、まず無意味。
ちゃんと正しい記述に直してくれてありがとう。
ちなみにこのｏｅは円唇音（≒咽頭開け音でも可、
口腔内前後径延長によって同様の音の変化
＝全フォルマントの低音化が起きるから容認発音）
のエで、やや長めなので、その通りになります。
他で基礎を全部学ぶならこの場はいらない。
半分の理解（＝誤解）の段階が想定対象だから、
軌道修正が中心になるのは当然、でもそれがない
参考書等が多く、このスレッドを頼りに学ぶわけで。
参考文献が入手困難か読みにくい外国語だけ、
または本の記述の細かさのムラのために
初学者が理解困難な場面の解説をしてくれている
そんな親切なひとのスレッドなのです。
だけど一人だと負担が重くなりすぎるので、
焦点が外れていたらスレ主は流すしかない。
こういった親切な人が助けてくれないと、
質問者は「？？？」なままになるわけ。
で、ＲＯＭは気が引けるので、声援・応援レスなのです。
何がどう間違ってるか突っ込まない教授って
あまり学習者には役に立たないものだから。
単に不正確とかいうのは、まず無意味。
ちゃんと正しい記述に直してくれてありがとう。
ちなみにこのｏｅは円唇音（≒咽頭開け音でも可、
口腔内前後径延長によって同様の音の変化
＝全フォルマントの低音化が起きるから容認発音）
のエで、やや長めなので、その通りになります。
他で基礎を全部学ぶならこの場はいらない。
半分の理解（＝誤解）の段階が想定対象だから、
軌道修正が中心になるのは当然、でもそれがない
参考書等が多く、このスレッドを頼りに学ぶわけで。
参考文献が入手困難か読みにくい外国語だけ、
または本の記述の細かさのムラのために
初学者が理解困難な場面の解説をしてくれている
そんな親切なひとのスレッドなのです。
だけど一人だと負担が重くなりすぎるので、
焦点が外れていたらスレ主は流すしかない。
こういった親切な人が助けてくれないと、
質問者は「？？？」なままになるわけ。
で、ＲＯＭは気が引けるので、声援・応援レスなのです。
264 ：１３２人目の素数さん：2005/10/15(土) 15:46:55
ラのために
初学者が理解困難な場面の解説をしてくれている
そんな親切なひとのスレッドなのです。
だけど一人だと負担が重くなりすぎるので、
焦点が外れていたらスレ主は流すしかない。
こういった親切な人が助けてくれないと、
質問者は「？？？」なままになるわけ。
で、ＲＯＭは気が引けるので、声援・応援レスなのです。
91 KB [ ２ちゃんねるが使っている
初学者が理解困難な場面の解説をしてくれている
そんな親切なひとのスレッドなのです。
だけど一人だと負担が重くなりすぎるので、
焦点が外れていたらスレ主は流すしかない。
こういった親切な人が助けてくれないと、
質問者は「？？？」なままになるわけ。
で、ＲＯＭは気が引けるので、声援・応援レスなのです。
91 KB [ ２ちゃんねるが使っている
265 ：208：2005/10/15(土) 16:30:38
266 ：208：2005/10/15(土) 16:35:11
初学者？ そうね、我慢して証明を追っていく。
そのうち、トンネルを抜けるように見晴らしがパーっと良くなる。
この感覚は言葉でいくら説明してもわからない。
体験するしかない。
そのうち、トンネルを抜けるように見晴らしがパーっと良くなる。
この感覚は言葉でいくら説明してもわからない。
体験するしかない。
267 ：208：2005/10/15(土) 16:46:04
まあ、そう突き放すのも何だから、わからないところは質問して
くれればいい。
くれればいい。
268 ：１３２人目の素数さん：2005/10/15(土) 16:49:10
さて、ここでクリトリスについて考察してみよう。
まず、「リス」を漢字で書くと「栗鼠」、すなわち
(リス) = (栗鼠)
ここで、
(栗) + (栗鼠) = (栗) (1 + 鼠)
故に、
(クリトリス) = (栗) (1 + 鼠)
を得る。
まず、「リス」を漢字で書くと「栗鼠」、すなわち
(リス) = (栗鼠)
ここで、
(栗) + (栗鼠) = (栗) (1 + 鼠)
故に、
(クリトリス) = (栗) (1 + 鼠)
を得る。
269 ：208：2005/10/15(土) 16:55:44
何なんだろうね。釣りに反応するのもなんだけど。
数学がなんかすごくまじめくさった面白くもなんともないもんだと
誤解してんだろうね。数学ってのは場合によるとセックスより気持ち
いいもんなんだよ。これは知るひとぞ知る公然の秘密
数学がなんかすごくまじめくさった面白くもなんともないもんだと
誤解してんだろうね。数学ってのは場合によるとセックスより気持ち
いいもんなんだよ。これは知るひとぞ知る公然の秘密
270 ：１３２人目の素数さん：2005/10/15(土) 17:15:22
問題が解けたときって、１００円玉拾ったときと脳波がおなじじぇあねーの？
271 ：シュリ：2005/10/15(土) 18:26:57
今、就職活動中で、もし数学に事を何も知らない面接官に「代数学って何？」ってき
聞かれたら、何て説明しますか！？（素朴な疑問でスミマセン・・・。）
あとこの掲示板では、代数的整数論の話題以外の分野で質問するのは、マズイですか！？
聞かれたら、何て説明しますか！？（素朴な疑問でスミマセン・・・。）
あとこの掲示板では、代数的整数論の話題以外の分野で質問するのは、マズイですか！？
272 ：１３２人目の素数さん：2005/10/15(土) 18:29:15
おでん屋みたいなものですとネタを入れる
273 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2005/10/15(土) 18:44:30
talk:>>271 集合に、いくつかの演算の構造を入れた空間を考える学問。(もはや「代数」などとは呼べないかもしれないが。)
274 ：１３２人目の素数さん：2005/10/15(土) 18:53:07
275 ：１３２人目の素数さん：2005/10/15(土) 19:10:33
暗号に使える高級数学とでもいっておけば。。。どんな暗号ってって会話が続くかも
営業で代数専攻でっていったら客がぽかーんとするから、そのときどう答えるかを聞いてるんだよ。
代数なんかで商売できる仕事はない
営業で代数専攻でっていったら客がぽかーんとするから、そのときどう答えるかを聞いてるんだよ。
代数なんかで商売できる仕事はない
276 ：１３２人目の素数さん：2005/10/15(土) 19:14:27
まあとにかく
・好きでやった
・一生懸命やった
・努力する才能はある
という点をアピールするのが目的だから、
説明と言う手段にこだわりすぎないほうがよい。
・好きでやった
・一生懸命やった
・努力する才能はある
という点をアピールするのが目的だから、
説明と言う手段にこだわりすぎないほうがよい。
277 ：１３２人目の素数さん：2005/10/16(日) 15:46:59
・好きでやった
・一生懸命やった
・努力する才能はある
・本質は馬鹿である
・他人に教える才能も無い
・つぶしが利かない
・人生やめたほうが良い
・一生懸命やった
・努力する才能はある
・本質は馬鹿である
・他人に教える才能も無い
・つぶしが利かない
・人生やめたほうが良い
278 ：１３２人目の素数さん：2005/10/16(日) 16:24:57
もとの話題に戻りましょ。208さん、すみません。
279 ：１３２人目の素数さん：2005/10/16(日) 16:37:52
微分幾何学と数値解析はなにに使えるって聞かれて。。。
リアクターの中のケミカル物質の濃度解析につかえるといったら。。
うちでは使う機会がないといわれた。。。
だったら面接に呼ぶなよな。。。忙しいのに。。。
馬鹿の面接官を出す会社は最初から蹴ったほうがいい
リアクターの中のケミカル物質の濃度解析につかえるといったら。。
うちでは使う機会がないといわれた。。。
だったら面接に呼ぶなよな。。。忙しいのに。。。
馬鹿の面接官を出す会社は最初から蹴ったほうがいい
280 ：１３２人目の素数さん：2005/10/16(日) 16:41:26
大手は形式だけ試験受けてくれで。。。即決だった。
判断が速い。格の違いを感じた。
判断が速い。格の違いを感じた。
281 ：208：2005/10/17(月) 09:48:11
最近(実はほんの２、３日前)、Kummerの理想数に関して以外な発見を
した。俺だけが気がついたとは思はないが。
足立の「フェルマーの大定理」という本を１ヶ月ほど前にアマゾンで
買った。この本にはKummerの理想数について書いてあると聞いたから。
ところが読んでみるとあまり詳しく書いてない。
ただ、定義は書いてあった。
K を代数体(実は円分体だが一般の代数体でも同様)、A をその主整環、
p を素数とする。p の素因子とは、p と A の元ωの組 (p, ω)
で以下の条件を満たすものである。
1) ω ≠ 0 (mod pA) である。つまり ω ⊂ pA とならない。
2) α、βを A の元で、αβω = 0 (mod pA) なら、
αω = 0 (mod pA) または βω = 0 (mod pA) となる。
このとき、(p, ω) は p の素因子 P を定めるという。
αω = βω (mod pA) のとき α と β は 素因子 P を法として
合同といい、α = β (mod P) と書く。
初めこれを読んだとき、なんじゃこれは？ 奇妙な定義だなと思った。
ところが、２、３日前に読み返してみて気がついた。
皆、もうわかるよね？ そう 素因子 P とは A/pA の随伴素イデアル、
つまり P ∈ Ass(A/pA) のことだ(>>89)。
これは驚きだよね。随伴素イデアルの概念はやっと１９５０年代の
終わりにBourbakiが定式化したものだ。それを、Kummerが100以上前に
代数体でやっていたとは。
した。俺だけが気がついたとは思はないが。
足立の「フェルマーの大定理」という本を１ヶ月ほど前にアマゾンで
買った。この本にはKummerの理想数について書いてあると聞いたから。
ところが読んでみるとあまり詳しく書いてない。
ただ、定義は書いてあった。
K を代数体(実は円分体だが一般の代数体でも同様)、A をその主整環、
p を素数とする。p の素因子とは、p と A の元ωの組 (p, ω)
で以下の条件を満たすものである。
1) ω ≠ 0 (mod pA) である。つまり ω ⊂ pA とならない。
2) α、βを A の元で、αβω = 0 (mod pA) なら、
αω = 0 (mod pA) または βω = 0 (mod pA) となる。
このとき、(p, ω) は p の素因子 P を定めるという。
αω = βω (mod pA) のとき α と β は 素因子 P を法として
合同といい、α = β (mod P) と書く。
初めこれを読んだとき、なんじゃこれは？ 奇妙な定義だなと思った。
ところが、２、３日前に読み返してみて気がついた。
皆、もうわかるよね？ そう 素因子 P とは A/pA の随伴素イデアル、
つまり P ∈ Ass(A/pA) のことだ(>>89)。
これは驚きだよね。随伴素イデアルの概念はやっと１９５０年代の
終わりにBourbakiが定式化したものだ。それを、Kummerが100以上前に
代数体でやっていたとは。
282 ：208：2005/10/17(月) 10:24:37
Kummerの定義によると α ∈ A が (p, ω) で定義される素因子 P の
n乗で割れるとは αω^n = 0 (mod (p^n)A) となることをいう。
A がDedekind環であることを使うと、これはイデアルとして
αA ⊂ P^n と同値であることが分かる。
n乗で割れるとは αω^n = 0 (mod (p^n)A) となることをいう。
A がDedekind環であることを使うと、これはイデアルとして
αA ⊂ P^n と同値であることが分かる。
283 ：１３２人目の素数さん：2005/10/17(月) 10:54:37
偉大なり、kummer
拡大スレをあげるんだ！
拡大スレをあげるんだ！
284 ：208：2005/10/17(月) 12:06:11
補題
A を環、M を A-加群とする。
M が長さ n の組成列(>>254)を持てば、M の任意の部分加群 N は、
長さ ≦ n の組成列を持つ。
証明
n に関する帰納法。
M = M_0 ⊃ M_1 ⊃ M_2 ... ⊃ M_n = 0 を組成列とする。
(N + M_1)/ M_1 は N/(M_1 ∩ N) と同型である。
N + M_1 = M_1 つまり N ⊂ M_1 の場合は帰納法の仮定より、
N は長さ ≦ n-1 の組成列を持つ。
N + M_1 ≠ M_1 の場合は、N + M_1 = M であり、N/(M_1 ∩ N) は
単純加群(>>253)である。一方、M_1 ∩ N は帰納法の仮定より、
長さ ≦ n-1 の組成列を持つ。よって、N は長さ ≦ n の組成列を持つ。
証明終
(注) 図を書くと証明が良く分かる。
A を環、M を A-加群とする。
M が長さ n の組成列(>>254)を持てば、M の任意の部分加群 N は、
長さ ≦ n の組成列を持つ。
証明
n に関する帰納法。
M = M_0 ⊃ M_1 ⊃ M_2 ... ⊃ M_n = 0 を組成列とする。
(N + M_1)/ M_1 は N/(M_1 ∩ N) と同型である。
N + M_1 = M_1 つまり N ⊂ M_1 の場合は帰納法の仮定より、
N は長さ ≦ n-1 の組成列を持つ。
N + M_1 ≠ M_1 の場合は、N + M_1 = M であり、N/(M_1 ∩ N) は
単純加群(>>253)である。一方、M_1 ∩ N は帰納法の仮定より、
長さ ≦ n-1 の組成列を持つ。よって、N は長さ ≦ n の組成列を持つ。
証明終
(注) 図を書くと証明が良く分かる。
285 ：208：2005/10/17(月) 12:22:24
補題
A を環、M を A-加群とする。
M が長さ n の組成列(>>254)を持てば、M の任意の部分加群 N に
対して、M/N は長さ ≦ n の組成列を持つ。
証明
n に関する帰納法。
M = M_0 ⊃ M_1 ⊃ M_2 ... ⊃ M_n = 0 を組成列とする。
(N + M_(n-1))/N は M_(n-1)/(N ∩ M_(n-1)) と同型である。
N + M_(n-1) ⊃ M_(n-1) であり、M/M_(n-1) は長さ = n-1 の
組成列を持つ。よって、N + M_(n-1) に帰納法の仮定が使える。
残りの証明は読者に任す。
A を環、M を A-加群とする。
M が長さ n の組成列(>>254)を持てば、M の任意の部分加群 N に
対して、M/N は長さ ≦ n の組成列を持つ。
証明
n に関する帰納法。
M = M_0 ⊃ M_1 ⊃ M_2 ... ⊃ M_n = 0 を組成列とする。
(N + M_(n-1))/N は M_(n-1)/(N ∩ M_(n-1)) と同型である。
N + M_(n-1) ⊃ M_(n-1) であり、M/M_(n-1) は長さ = n-1 の
組成列を持つ。よって、N + M_(n-1) に帰納法の仮定が使える。
残りの証明は読者に任す。
286 ：208：2005/10/17(月) 12:30:31
定理(Jordan-Holder)
A を環、M を A-加群とする。
M = M_0 ⊃ M_1 ⊃ M_2 ... ⊃ M_n = 0 を組成列とする。
M の任意の組成列の長さは n であり、その剰余群の列は、
順序を別にして 列 (M_i/M_(i+1)) と同型である。
証明
n に関する帰納法。
M = N_0 ⊃ N_1 ⊃ N_2 ... ⊃ N_m = 0 を別の組成列とする。
M_1 ∩ N_1 は補題(>>284)より長さ ≦ n-1 の組成列を持つ。
これと、帰納法の仮定を使えばわかる。
詳しくは読者に任す。
A を環、M を A-加群とする。
M = M_0 ⊃ M_1 ⊃ M_2 ... ⊃ M_n = 0 を組成列とする。
M の任意の組成列の長さは n であり、その剰余群の列は、
順序を別にして 列 (M_i/M_(i+1)) と同型である。
証明
n に関する帰納法。
M = N_0 ⊃ N_1 ⊃ N_2 ... ⊃ N_m = 0 を別の組成列とする。
M_1 ∩ N_1 は補題(>>284)より長さ ≦ n-1 の組成列を持つ。
これと、帰納法の仮定を使えばわかる。
詳しくは読者に任す。
287 ：208：2005/10/17(月) 12:32:51
288 ：208：2005/10/17(月) 12:37:52
定義
A を環、M を長さ n の組成列を持つ A-加群とする。
>>286より n は組成列の取り方によらない。
n を leng(M) と書き、M の長さと呼ぶ。
一般に組成列をもつ加群を長さ有限の加群と呼ぶ。
A を環、M を長さ n の組成列を持つ A-加群とする。
>>286より n は組成列の取り方によらない。
n を leng(M) と書き、M の長さと呼ぶ。
一般に組成列をもつ加群を長さ有限の加群と呼ぶ。
289 ：208：2005/10/17(月) 12:41:14
命題
A を環、M を長さ有限の加群、N をその部分加群とする。
このとき、N も M/N も長さ有限であり、
leng(M) = leng(N) + leng(M/N) となる。
証明
>>284と>>285から明らか。
A を環、M を長さ有限の加群、N をその部分加群とする。
このとき、N も M/N も長さ有限であり、
leng(M) = leng(N) + leng(M/N) となる。
証明
>>284と>>285から明らか。
290 ：208：2005/10/17(月) 12:45:08
命題
A を環、M をA-加群とする。
M が長さ有限であるためには、部分加群に関して極大条件と
極小条件を同時に満たすことが必要十分である。
証明
>>286や>>289を使えば簡単なので読者にまかす。
A を環、M をA-加群とする。
M が長さ有限であるためには、部分加群に関して極大条件と
極小条件を同時に満たすことが必要十分である。
証明
>>286や>>289を使えば簡単なので読者にまかす。
291 ：208：2005/10/17(月) 12:49:44
292 ：208：2005/10/17(月) 16:00:19
定義
A を環とする。それをA-加群とみたとき極小条件を満たすなら、それを
Artin環という。
A を環とする。それをA-加群とみたとき極小条件を満たすなら、それを
Artin環という。
293 ：１３２人目の素数さん：2005/10/17(月) 16:03:51
>>286から自然数の素因数分解の一意性がすぐに出る(演習)。
うそつけ
うそつけ
294 ：208：2005/10/17(月) 16:06:13
命題
Artin環が整域なら、それは体である。
証明
a ∈ A を 0 でない元とする。
イデアルの列 aA ⊃ (a^2)A ... ⊃ (a^n)A ⊃ ...
は途中で停留するから、(a^n)A = (a^(n+1))A となる整数 n > 0 が
ある。よって、a^n = a^(n+1)x となる x ∈ A がある。
A は整域だから、1 = ax となる。
証明終
Artin環が整域なら、それは体である。
証明
a ∈ A を 0 でない元とする。
イデアルの列 aA ⊃ (a^2)A ... ⊃ (a^n)A ⊃ ...
は途中で停留するから、(a^n)A = (a^(n+1))A となる整数 n > 0 が
ある。よって、a^n = a^(n+1)x となる x ∈ A がある。
A は整域だから、1 = ax となる。
証明終
295 ：208：2005/10/17(月) 16:15:32
296 ：208：2005/10/17(月) 16:19:35
297 ：１３２人目の素数さん：2005/10/17(月) 16:20:38
298 ：１３２人目の素数さん：2005/10/17(月) 16:21:46
208は教えてクンでもあったのか・・・
299 ：208：2005/10/17(月) 16:28:42
命題
Artin環の素イデアルは有限個である。
証明
p_1, p_2, ... , p_n を相異なる素イデアルとする。
p_1 ≠ (p_1)(p_2) である。
何故なら、p_1 = (p_1)(p_2) なら、p_1 ⊂ p_2 となるが、
p_1 は極大イデアルだから(>>296)、p_1 = p_2 となって矛盾。
同様に、(p_1)(p_2) ≠ (p_1)(p_2)(p_3) である。
何故なら、(p_1)(p_2) = (p_1)(p_2)(p_3) なら、p_1 ⊂ p_3
または p_2 ⊂ p_3 となるから。
よって、降鎖列 p_1 ⊃ (p_1)(p_2) ⊃ (p_1)(p_2)(p_3) ...
が得られ、隣合うイデアルは異なる。
極小条件から、この列は無限に続かない。
証明終
Artin環の素イデアルは有限個である。
証明
p_1, p_2, ... , p_n を相異なる素イデアルとする。
p_1 ≠ (p_1)(p_2) である。
何故なら、p_1 = (p_1)(p_2) なら、p_1 ⊂ p_2 となるが、
p_1 は極大イデアルだから(>>296)、p_1 = p_2 となって矛盾。
同様に、(p_1)(p_2) ≠ (p_1)(p_2)(p_3) である。
何故なら、(p_1)(p_2) = (p_1)(p_2)(p_3) なら、p_1 ⊂ p_3
または p_2 ⊂ p_3 となるから。
よって、降鎖列 p_1 ⊃ (p_1)(p_2) ⊃ (p_1)(p_2)(p_3) ...
が得られ、隣合うイデアルは異なる。
極小条件から、この列は無限に続かない。
証明終
300 ：208：2005/10/17(月) 16:30:46
301 ：１３２人目の素数さん：2005/10/17(月) 16:33:13
おまえの返答、教えてクンの定型そのものだよ。
302 ：208：2005/10/17(月) 16:38:47
303 ：１３２人目の素数さん：2005/10/17(月) 16:40:27
304 ：１３２人目の素数さん：2005/10/17(月) 16:43:13
いや結構。俺は>>293じゃないから。敵は一人症候群、早く治せよ。
305 ：208：2005/10/17(月) 16:46:41
>>303
要は、答えが分からないんだろ。
分からないのに、人を嘘つき呼ばわりするんじゃない。
この問題は、そんなに大騒ぎするほどのもんじゃない。
だからこれで終わり。答えは自分で考えろよ。
ヒントは Z/nZ の組成列を考える。
このヒントでほとんど終わりだけどな。
要は、答えが分からないんだろ。
分からないのに、人を嘘つき呼ばわりするんじゃない。
この問題は、そんなに大騒ぎするほどのもんじゃない。
だからこれで終わり。答えは自分で考えろよ。
ヒントは Z/nZ の組成列を考える。
このヒントでほとんど終わりだけどな。
306 ：１３２人目の素数さん：2005/10/17(月) 16:48:18
307 ：208：2005/10/17(月) 17:40:52
308 ：１３２人目の素数さん：2005/10/17(月) 17:42:56
309 ：１３２人目の素数さん：2005/10/17(月) 18:05:32
やっと208らしくなってきたｗ
310 ：208：2005/10/17(月) 18:14:21
311 ：１３２人目の素数さん：2005/10/17(月) 18:15:53
312 ：１３２人目の素数さん：2005/10/17(月) 18:17:21
313 ：208：2005/10/17(月) 18:36:50
笑っちゃうね。そんなに説明してもらいたいのか。いじらしいね。
それならもうちょっと言い方があるだろうに。
それならもうちょっと言い方があるだろうに。
314 ：１３２人目の素数さん：2005/10/17(月) 19:09:32
抽象論の中で自己完結しているやつらの糞スレだな。
まあ、趣味でやる分にはいいだろうが、実社会では
もっとも使えない連中だｗ
まあ、趣味でやる分にはいいだろうが、実社会では
もっとも使えない連中だｗ
315 ：１３２人目の素数さん：2005/10/17(月) 19:17:38
316 ：208：2005/10/17(月) 19:22:03
趣味でやってんだけど。将棋とか野球とかと同じ
上(>>269)にも書いたけど何か勘違いしてんだろうね。
上(>>269)にも書いたけど何か勘違いしてんだろうね。
317 ：１３２人目の素数さん：2005/10/17(月) 19:38:34
実社会の甘い果実がわからんとな！
コチコチの自己完結頭の将来には、フリーターかニート
しかないってことかｗ
コチコチの自己完結頭の将来には、フリーターかニート
しかないってことかｗ
318 ：１３２人目の素数さん：2005/10/17(月) 19:41:21
数学に関係のない価値を持ち出すなって。
319 ：208：2005/10/17(月) 19:47:56
だから勘違い。一種の嫉妬だろ。みっともねえ。
320 ：１３２人目の素数さん：2005/10/17(月) 19:51:55
フリーターかニート はもうすぐ捕獲されて収容所に送られます
321 ：１３２人目の素数さん：2005/10/17(月) 20:01:44
208の方こそ数学に（しかも自分が得意なもの限定）すがりついて
るんじゃないか。だから、ささいなことに過剰に反応する。
余裕があるときとないときの落差大きすぎｗ
るんじゃないか。だから、ささいなことに過剰に反応する。
余裕があるときとないときの落差大きすぎｗ
322 ：１３２人目の素数さん：2005/10/17(月) 20:02:51
ニコリのパズルなら良くて数学ならダメというのがわからん。絡むなよ。
323 ：１３２人目の素数さん：2005/10/17(月) 21:53:52
>>322
要するに２０８の態度が不快ということだろう？ 空気嫁。
要するに２０８の態度が不快ということだろう？ 空気嫁。
324 ：１３２人目の素数さん：2005/10/17(月) 21:55:52
325 ：１３２人目の素数さん：2005/10/17(月) 22:10:56
326 ：１３２人目の素数さん：2005/10/17(月) 22:15:07
327 ：１３２人目の素数さん：2005/10/17(月) 22:18:01
>>326
自分の脳の中しかわからんか。典型的な自己完結厨だな。
自分の脳の中しかわからんか。典型的な自己完結厨だな。
328 ：１３２人目の素数さん：2005/10/17(月) 22:18:22
>>325
おまえの村の空気だけで地球は覆えない。
おまえの村の空気だけで地球は覆えない。
329 ：１３２人目の素数さん：2005/10/17(月) 22:22:40
330 ：１３２人目の素数さん：2005/10/17(月) 22:32:21
331 ：１３２人目の素数さん：2005/10/17(月) 22:33:03
d一つであぼーんできる2chブラウザを使ってる俺は勝ち組
332 ：１３２人目の素数さん：2005/10/18(火) 00:06:58
THAT"S BOTTOM LINE!!!!!!!!!1
THE undertaker takes Tomb Stone PiLe Driver!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1
THE undertaker takes Tomb Stone PiLe Driver!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1
333 ：208：2005/10/18(火) 08:55:00
俺の態度？ バカヤロ。
俺が親切に演習問題を出したのに、それに対して嘘つけと言った奴
の態度はどうなんだよ。そいつが出てくるまではおだやかにやってただろ。
仮にその問題が間違ってたとしても(あの問題に関しては可能性ゼロだが)、
別の言い方があるだろうが。
俺が親切に演習問題を出したのに、それに対して嘘つけと言った奴
の態度はどうなんだよ。そいつが出てくるまではおだやかにやってただろ。
仮にその問題が間違ってたとしても(あの問題に関しては可能性ゼロだが)、
別の言い方があるだろうが。
334 ：208：2005/10/18(火) 09:26:34
補題
体 k 上の加群 V が部分加群に関して極小条件をみたせば、
V は ｋ上有限次である。
証明
V が k 上無限個の基底を持つとする。
容易にわかるように、部分加群の無限降鎖列で途中で停滞しないものが
得られる。
証明終
体 k 上の加群 V が部分加群に関して極小条件をみたせば、
V は ｋ上有限次である。
証明
V が k 上無限個の基底を持つとする。
容易にわかるように、部分加群の無限降鎖列で途中で停滞しないものが
得られる。
証明終
335 ：208：2005/10/18(火) 09:30:37
命題
A を局所Artin環とする。つまりただ１つの極大イデアル m をもつ
Artin環とする。m がべき零なら A は A-加群として長さ有限である。
証明
m^n = 0 とする。
A-加群の降列
A ⊃ m ⊃ m^2 ⊃ ... ⊃ m^(n-1) ⊃ m^n = 0
を考える。
0 ≦ i ≦ n-1 に対して M_i = m^i/m^(i+1) とおく。
m(M_i) = 0 だから、M_i は 体 A/m 上のベクトル空間とみなせる。
M_i の A-加群としての部分加群は、A/m 上の部分ベクトル空間でも
あり、逆も成立つ。よって補題(>>334)より M_i は A-加群として
長さ有限である。よって A も長さ有限である。
証明終
A を局所Artin環とする。つまりただ１つの極大イデアル m をもつ
Artin環とする。m がべき零なら A は A-加群として長さ有限である。
証明
m^n = 0 とする。
A-加群の降列
A ⊃ m ⊃ m^2 ⊃ ... ⊃ m^(n-1) ⊃ m^n = 0
を考える。
0 ≦ i ≦ n-1 に対して M_i = m^i/m^(i+1) とおく。
m(M_i) = 0 だから、M_i は 体 A/m 上のベクトル空間とみなせる。
M_i の A-加群としての部分加群は、A/m 上の部分ベクトル空間でも
あり、逆も成立つ。よって補題(>>334)より M_i は A-加群として
長さ有限である。よって A も長さ有限である。
証明終
336 ：208：2005/10/18(火) 09:47:16
命題
A をArtin環とし、J を A の J-根基(>>238)とする。
J はべき零となる。
証明
A-加群の降列
J ⊃ J^2 ⊃ ... ⊃ J^n ⊃ ...
は途中で停滞するから、J^n = J^(n+1) となる整数 n > 0 がある。
N = J^n とおく。N^2 = N である。
N ≠ 0 として矛盾を導けば証明が終わる。
NI ≠ 0 となるイデアル I の集合 S を考える。N^2 = N だから、
N ∈ S だから S は空でない。よってこの集合に極小なものがある。
それを I とする。NI ≠ 0 だから Na ≠ 0 となる I の元がある。
I の極小性より、I = aA である。(N^2)a = Na だから、
Na ∈ S であり、Na ⊂ aA より再び I の極小性より Na = aA
となる。よって x ∈ N で xa = a となるものがある。
(x^2)a = xa = a を繰り返して (x^n)a = a が任意の n > 0 で
成立つ。
一方、N ⊂ J であり、J = nil(A) でもあるから(>>296 と >>163)、
x はべき零である。よって a = 0 となって矛盾。
証明終
A をArtin環とし、J を A の J-根基(>>238)とする。
J はべき零となる。
証明
A-加群の降列
J ⊃ J^2 ⊃ ... ⊃ J^n ⊃ ...
は途中で停滞するから、J^n = J^(n+1) となる整数 n > 0 がある。
N = J^n とおく。N^2 = N である。
N ≠ 0 として矛盾を導けば証明が終わる。
NI ≠ 0 となるイデアル I の集合 S を考える。N^2 = N だから、
N ∈ S だから S は空でない。よってこの集合に極小なものがある。
それを I とする。NI ≠ 0 だから Na ≠ 0 となる I の元がある。
I の極小性より、I = aA である。(N^2)a = Na だから、
Na ∈ S であり、Na ⊂ aA より再び I の極小性より Na = aA
となる。よって x ∈ N で xa = a となるものがある。
(x^2)a = xa = a を繰り返して (x^n)a = a が任意の n > 0 で
成立つ。
一方、N ⊂ J であり、J = nil(A) でもあるから(>>296 と >>163)、
x はべき零である。よって a = 0 となって矛盾。
証明終
337 ：１３２人目の素数さん：2005/10/18(火) 09:49:50
俺の態度？ バカヤロ。
俺が親切に演習問題を出したのに、それに対して嘘つけと言った奴
の態度はどうなんだよ。そいつが出てくるまではおだやかにやってただろ。
仮にその問題が間違ってたとしても(あの問題に関しては可能性ゼロだが)、
別の言い方があるだろうが
Do not worry about it. You do a good job..
俺が親切に演習問題を出したのに、それに対して嘘つけと言った奴
の態度はどうなんだよ。そいつが出てくるまではおだやかにやってただろ。
仮にその問題が間違ってたとしても(あの問題に関しては可能性ゼロだが)、
別の言い方があるだろうが
Do not worry about it. You do a good job..
338 ：208：2005/10/18(火) 09:51:21
補題
A を環、I, J を A のイデアルで I + J = A とする。
このとき、IJ = I ∩ J となる。
証明
IJ ⊂ I ∩ J は明か。
I ∩ J = (I ∩ J)(I + J) ⊂ IJ + IJ = IJ
証明終
A を環、I, J を A のイデアルで I + J = A とする。
このとき、IJ = I ∩ J となる。
証明
IJ ⊂ I ∩ J は明か。
I ∩ J = (I ∩ J)(I + J) ⊂ IJ + IJ = IJ
証明終
339 ：208：2005/10/18(火) 10:01:23
補題
A を環、I_1, I_2, ... , I_n を A の相異なるイデアルで
I_i + I_j = A が i ≠ j のとき成立つとする。
このとき、(I_1)(I_2)...(I_n) = I_1 ∩ I_2 ∩ ... ∩ I_n となる。
証明
>>338 と帰納法を使う。
A を環、I_1, I_2, ... , I_n を A の相異なるイデアルで
I_i + I_j = A が i ≠ j のとき成立つとする。
このとき、(I_1)(I_2)...(I_n) = I_1 ∩ I_2 ∩ ... ∩ I_n となる。
証明
>>338 と帰納法を使う。
340 ：208：2005/10/18(火) 10:19:36
すまん。>>339の証明には次の補題がいるな。
補題
A を環、I_1, I_2, ... , I_n を A の相異なるイデアルで
I_i + I_j = A が i ≠ j のとき成立つとする。
各 i に対して J_i を I_1, I_2, .. I_n から I_i を除いた積とする。
このとき I_i + J_i = A となる。
証明
I_i + J_i ⊂ m となる 極大イデアルがあったとする。
J_i ⊂ m だから i ≠ j のとき I_j ⊂ m となって、
I_i + I_j = A に矛盾する。
証明終
この補題は極大イデアルを使わなくても証明できる。
補題
A を環、I_1, I_2, ... , I_n を A の相異なるイデアルで
I_i + I_j = A が i ≠ j のとき成立つとする。
各 i に対して J_i を I_1, I_2, .. I_n から I_i を除いた積とする。
このとき I_i + J_i = A となる。
証明
I_i + J_i ⊂ m となる 極大イデアルがあったとする。
J_i ⊂ m だから i ≠ j のとき I_j ⊂ m となって、
I_i + I_j = A に矛盾する。
証明終
この補題は極大イデアルを使わなくても証明できる。
341 ：208：2005/10/18(火) 10:50:05
命題(中国式剰余定理)
A を環、I_1, I_2, ... , I_n を A の相異なるイデアルで
I_i + I_j = A が i ≠ j のとき成立つとする。
A/(I_1)(I_2)...(I_n) は (A/I_1) x (A/I_2) x ... x (A/I_n) と
標準的に同型である。
証明
環の射 f
f: A → (A/I_1) x (A/I_2) x ... x (A/I_n)
を f(x) = (x mod I_1) x ... x (x mod I_n) で定義する。
これが全射であることを示せばよい。
何故なら Ker(f) = I_1 ∩ I_2 ∩ ... ∩ I_n だが、>>339
より Ker(f) = (I_1)(I_2)...(I_n) となる。
x_1, x_2, ..., x_n を A のかってな元の列とする。
x = x_1 (mod I_1)
x = x_2 (mod I_2)
...
x = x_n (mod I_n)
となる A の元 x を求めればよい。
>>340 より、各 i に対して I_i + J_i = A
だから、z_i + e_i = 1 となる z_i ∈ I_i と e_i ∈ J_i
がある。
e_i = 1 (mod I_i)
i ≠ j のとき、e_i = 0 (mod I_j)
となる。
x = (x_1)(e_1) + (x_2)(e_2) + ... + (x_n)(e_n)
が求めるもの。
証明終
A を環、I_1, I_2, ... , I_n を A の相異なるイデアルで
I_i + I_j = A が i ≠ j のとき成立つとする。
A/(I_1)(I_2)...(I_n) は (A/I_1) x (A/I_2) x ... x (A/I_n) と
標準的に同型である。
証明
環の射 f
f: A → (A/I_1) x (A/I_2) x ... x (A/I_n)
を f(x) = (x mod I_1) x ... x (x mod I_n) で定義する。
これが全射であることを示せばよい。
何故なら Ker(f) = I_1 ∩ I_2 ∩ ... ∩ I_n だが、>>339
より Ker(f) = (I_1)(I_2)...(I_n) となる。
x_1, x_2, ..., x_n を A のかってな元の列とする。
x = x_1 (mod I_1)
x = x_2 (mod I_2)
...
x = x_n (mod I_n)
となる A の元 x を求めればよい。
>>340 より、各 i に対して I_i + J_i = A
だから、z_i + e_i = 1 となる z_i ∈ I_i と e_i ∈ J_i
がある。
e_i = 1 (mod I_i)
i ≠ j のとき、e_i = 0 (mod I_j)
となる。
x = (x_1)(e_1) + (x_2)(e_2) + ... + (x_n)(e_n)
が求めるもの。
証明終
342 ：208：2005/10/18(火) 11:01:55
定理
Artin環はネーター環でもある。
証明
A を Artin環とする。A の極大イデアルを m_1, ..., m_r とする。
J = m_1 ∩ ... ∩ m_r とする。>>336より J^n = 0 となる整数 n > 0
がある。>>339 より、J = (m_1)...(m_r) であるから、
(m_1)^n...(m_r)^n = 0 である。
>>341 より A は (A/(m_1)^n) x ... x (A/(m_r)^n) と 同型である。
各 A/(m_i)^n は Artin 環 であるが >>335 より ネーター環でもある。
よって A 自身もネーター環でもある。
証明終
Artin環はネーター環でもある。
証明
A を Artin環とする。A の極大イデアルを m_1, ..., m_r とする。
J = m_1 ∩ ... ∩ m_r とする。>>336より J^n = 0 となる整数 n > 0
がある。>>339 より、J = (m_1)...(m_r) であるから、
(m_1)^n...(m_r)^n = 0 である。
>>341 より A は (A/(m_1)^n) x ... x (A/(m_r)^n) と 同型である。
各 A/(m_i)^n は Artin 環 であるが >>335 より ネーター環でもある。
よって A 自身もネーター環でもある。
証明終
343 ：208：2005/10/18(火) 13:50:21
命題
A をネーター環、M を A-加群で長さ有限とする。
Ass(M) の元はすべて極大イデアルである。
証明
p ∈ Ass(M) とする。A-加群としての単射 A/p → M がある。
よって A/p の長さは有限(>>284)。よって p は極大イデアル(>>296)
証明終
A をネーター環、M を A-加群で長さ有限とする。
Ass(M) の元はすべて極大イデアルである。
証明
p ∈ Ass(M) とする。A-加群としての単射 A/p → M がある。
よって A/p の長さは有限(>>284)。よって p は極大イデアル(>>296)
証明終
344 ：208：2005/10/18(火) 13:51:18
命題
A をネーター環、M を A-加群で長さ有限とする。
Supp(M) の元はすべて極大イデアルである。
証明
p ∈ Supp(M) とすると定義から M_p ≠ 0 である。
Ass(M_p) は空でない(>>90)。Ass(M_p) は Ass(M) の部分集合
Ass(M) ∩ Spec(A_p)と同一視される(>>95)。
よって、p は Ass(M) の元を含む。
Ass(M) の元は極大(>>343)だから p は極大である。
証明終
A をネーター環、M を A-加群で長さ有限とする。
Supp(M) の元はすべて極大イデアルである。
証明
p ∈ Supp(M) とすると定義から M_p ≠ 0 である。
Ass(M_p) は空でない(>>90)。Ass(M_p) は Ass(M) の部分集合
Ass(M) ∩ Spec(A_p)と同一視される(>>95)。
よって、p は Ass(M) の元を含む。
Ass(M) の元は極大(>>343)だから p は極大である。
証明終
345 ：208：2005/10/18(火) 13:52:11
命題
A をネーター環、M を有限生成 A-加群とする。
Ass(M) の元がすべて極大なら M は長さ有限である。
証明
Supp(M) の元はすべて極大イデアルである(>>344)。
一方、>>193 より
M の部分群の列
0 = M_0 ⊂ M_1 ⊂ ... ⊂ M_n = M で 各 M_i/M_(i-1) が A/p_i
と同型になるものが存在する。p_i は素イデアル。
各 p_i は Supp(M) に属す(>>172)から極大である。
よって、M_i/M_(i-1) は単純加群、つまり、この列は組成列である。
証明終
A をネーター環、M を有限生成 A-加群とする。
Ass(M) の元がすべて極大なら M は長さ有限である。
証明
Supp(M) の元はすべて極大イデアルである(>>344)。
一方、>>193 より
M の部分群の列
0 = M_0 ⊂ M_1 ⊂ ... ⊂ M_n = M で 各 M_i/M_(i-1) が A/p_i
と同型になるものが存在する。p_i は素イデアル。
各 p_i は Supp(M) に属す(>>172)から極大である。
よって、M_i/M_(i-1) は単純加群、つまり、この列は組成列である。
証明終
346 ：１３２人目の素数さん：2005/10/18(火) 13:56:50
>俺が親切に演習問題を出したのに、それに対して嘘つけと言った奴
>の態度はどうなんだよ。そいつが出てくるまではおだやかにやってただろ。
>仮にその問題が間違ってたとしても(あの問題に関しては可能性ゼロだが)、
>別の言い方があるだろうが。
そうだったな
おまえが親切にも(小さな親切大きなお世話)誰も頼んでない
問題を出して自己満足に浸っていたのに
冷や水かけられてアタマにきたわけだな
でもな
おまえこそが問題の本質ががわかってないんだろ
自分で顔でも洗ってろ
っての
>の態度はどうなんだよ。そいつが出てくるまではおだやかにやってただろ。
>仮にその問題が間違ってたとしても(あの問題に関しては可能性ゼロだが)、
>別の言い方があるだろうが。
そうだったな
おまえが親切にも(小さな親切大きなお世話)誰も頼んでない
問題を出して自己満足に浸っていたのに
冷や水かけられてアタマにきたわけだな
でもな
おまえこそが問題の本質ががわかってないんだろ
自分で顔でも洗ってろ
っての
347 ：１３２人目の素数さん：2005/10/18(火) 13:58:12
いっとくけどな俺は親切でうそつけって言ったんだからな
348 ：208：2005/10/18(火) 14:15:55
定義
A を環、p を A の素イデアル、n > 0 を整数とする。
φ: A → A_p を標準射とする。
(p^n)A_p の φによる逆像を p^(n) と書く。
これを p の記号的 n-乗(symbolic n-th power)という。
A を環、p を A の素イデアル、n > 0 を整数とする。
φ: A → A_p を標準射とする。
(p^n)A_p の φによる逆像を p^(n) と書く。
これを p の記号的 n-乗(symbolic n-th power)という。
349 ：208：2005/10/18(火) 14:17:54
350 ：１３２人目の素数さん：2005/10/18(火) 14:20:58
うそなのは
簡単ってとこ
あとはおしえたらへん
ひんとは自然数以外にも一意性はなりたつのかな
簡単ってとこ
あとはおしえたらへん
ひんとは自然数以外にも一意性はなりたつのかな
351 ：208：2005/10/18(火) 14:22:12
命題
A をネーター環、p を A の素イデアル、n > 0 を整数とする。
p の記号的 n-乗 p^(n) は、準素イデアルであり Ass(A/p^(n)) = {p}
となる。
証明
p^n を含む素イデアルは p を含む(>>203)から p は
V(p^n) = Supp(A/p^n) の極小元である。
よって p ∈ Ass(A/p^n) である(>>146)。
p^n = q_1 ∩ ... ∩ q_r を最短準素分解(>>188)とする。
Ass(A/q_i) = {p_i} とする。
p ∈ Ass(A/p^n) だから、p_i = p となる i がただ１つある。
p_1 = p とする。φ: A → A_p を標準射とする。
q_1 は (p^n)A_p のφによる逆像である(>>198)。
証明終
A をネーター環、p を A の素イデアル、n > 0 を整数とする。
p の記号的 n-乗 p^(n) は、準素イデアルであり Ass(A/p^(n)) = {p}
となる。
証明
p^n を含む素イデアルは p を含む(>>203)から p は
V(p^n) = Supp(A/p^n) の極小元である。
よって p ∈ Ass(A/p^n) である(>>146)。
p^n = q_1 ∩ ... ∩ q_r を最短準素分解(>>188)とする。
Ass(A/q_i) = {p_i} とする。
p ∈ Ass(A/p^n) だから、p_i = p となる i がただ１つある。
p_1 = p とする。φ: A → A_p を標準射とする。
q_1 は (p^n)A_p のφによる逆像である(>>198)。
証明終
352 ：208：2005/10/18(火) 14:27:12
353 ：１３２人目の素数さん：2005/10/18(火) 14:30:29
おまえな自然数をなめるなよ
354 ：１３２人目の素数さん：2005/10/18(火) 14:32:02
>笑わせるやろうだ。
>そんなことだったのかよ。
>もういいから失せろ
しったかこいてるぜ
355 ：208：2005/10/18(火) 15:09:28
356 ：１３２人目の素数さん：2005/10/18(火) 15:14:28
だからJordan-Holderだけじゃ証明できないだろ
って指摘してるのがわからない
血の巡りのとことん悪いアホの癖に
偉そうにだらだらお勉強ノート書いて
えっ
お前何様なんだよ
どこの教授様なんだよ
教授なら辞表かけ
そうでないならもっと謙虚になれ
このくそったれが
って指摘してるのがわからない
血の巡りのとことん悪いアホの癖に
偉そうにだらだらお勉強ノート書いて
えっ
お前何様なんだよ
どこの教授様なんだよ
教授なら辞表かけ
そうでないならもっと謙虚になれ
このくそったれが
357 ：208：2005/10/18(火) 15:27:40
じゃあ他も使っていいから証明してみてくれよ。
358 ：１３２人目の素数さん：2005/10/18(火) 15:28:23
やめろよ教えてくん
359 ：１３２人目の素数さん：2005/10/18(火) 15:29:22
結局教えてくんだったね
360 ：208：2005/10/18(火) 16:55:47
命題
A をネーター環、p を A の素イデアルとする。
φ: A → A_p を標準射とする。
∩p^(n) = Ker(φ) である。
ここで n はすべての正の整数を動く。
証明
∩p^(n) = ∩φ^(-1)(p^nA_p) = φ^(-1)(∩p^nA_p)
ここで、∩p^nA_p = 0 である(>>252)。
よって、∩p^(n) = φ^(-1)(0) = Ker(φ)
証明終
A をネーター環、p を A の素イデアルとする。
φ: A → A_p を標準射とする。
∩p^(n) = Ker(φ) である。
ここで n はすべての正の整数を動く。
証明
∩p^(n) = ∩φ^(-1)(p^nA_p) = φ^(-1)(∩p^nA_p)
ここで、∩p^nA_p = 0 である(>>252)。
よって、∩p^(n) = φ^(-1)(0) = Ker(φ)
証明終
361 ：208：2005/10/18(火) 17:10:26
362 ：１３２人目の素数さん：2005/10/18(火) 17:18:31
どっちもこっちもありゃしないさ
じょるだんへるだーだけで素因数分解の一意性なんか
証明できるわけないだろって
いくら馬鹿だってそれくらいは理解できるだろ
じょるだんへるだーだけで素因数分解の一意性なんか
証明できるわけないだろって
いくら馬鹿だってそれくらいは理解できるだろ
363 ：１３２人目の素数さん：2005/10/18(火) 17:57:14
208の代わりに証明してみる。
Z/pZ が単純⇔pが素数は自明。
したがって、nを自然数とすると、Z/nZの組成列は
Z/nZ ⊃ pZ/nZ ⊃pqZ/nZ ・・・ ⊃pq・・・rZ/nZ = 0 （p、q、・・・r は素数、pq・・・r = 1)
という形をしている。
したがって商群の列の（順序を除いた）一意性から、素因数分解の一意性がでる。
おわり。
Z/pZ が単純⇔pが素数は自明。
したがって、nを自然数とすると、Z/nZの組成列は
Z/nZ ⊃ pZ/nZ ⊃pqZ/nZ ・・・ ⊃pq・・・rZ/nZ = 0 （p、q、・・・r は素数、pq・・・r = 1)
という形をしている。
したがって商群の列の（順序を除いた）一意性から、素因数分解の一意性がでる。
おわり。
364 ：１３２人目の素数さん：2005/10/18(火) 17:59:36
ｽﾏｿ
「pq・・・r = 1」じゃなくて「pq・・・r = n」
「pq・・・r = 1」じゃなくて「pq・・・r = n」
365 ：１３２人目の素数さん：2005/10/18(火) 18:09:23
366 ：１３２人目の素数さん：2005/10/18(火) 18:16:07
あ！？
代数体の整数環の素イデアル分解の話は最初から誰もしてねーだろ。
大体それは「素因数分解」っていわねーよ、フツー。何言いたいんだおめーは？
代数体の整数環の素イデアル分解の話は最初から誰もしてねーだろ。
大体それは「素因数分解」っていわねーよ、フツー。何言いたいんだおめーは？
367 ：１３２人目の素数さん：2005/10/18(火) 18:21:16
いであるのことなんか言ってないよ
数の話をいってるのさ
数の話をいってるのさ
368 ：１３２人目の素数さん：2005/10/18(火) 18:21:50
208レベル大杉だな
369 ：１３２人目の素数さん：2005/10/18(火) 18:22:28
もういいや
すきにやって
すきにやって
370 ：１３２人目の素数さん：2005/10/18(火) 18:23:06
「数の話」って何よ。釣りか？
371 ：１３２人目の素数さん：2005/10/18(火) 18:23:39
飛んで飛んで飛んで〜
372 ：１３２人目の素数さん：2005/10/18(火) 21:08:59
イデアルの話じゃないのなら、何の話をしてるの？？
言っとくけど俺、このスレ初カキコだから。イコール厨は勘弁して
くれよな（聞いてるだけなんで、「教えてクン」呼ばわりされるの
は別に構わんが・・・(^^;
言っとくけど俺、このスレ初カキコだから。イコール厨は勘弁して
くれよな（聞いてるだけなんで、「教えてクン」呼ばわりされるの
は別に構わんが・・・(^^;
373 ：１３２人目の素数さん：2005/10/18(火) 21:27:14
出るかもしれないけど自然数の素因数分解の一意性の証明っていうより
素因数分解の一意性の一般化になっているから重要だってことだよね
まあJordan-Holderは
（一般には作用域を持つ）加群の一種の「分解」になってるわけで
素因数分解の一般化だろうが仮にそうでなかろうが重要なのは間違いないね
素因数分解の一意性の一般化になっているから重要だってことだよね
まあJordan-Holderは
（一般には作用域を持つ）加群の一種の「分解」になってるわけで
素因数分解の一般化だろうが仮にそうでなかろうが重要なのは間違いないね
374 ：１３２人目の素数さん：2005/10/18(火) 21:35:01
どうでもいい。オナニーさせろや。
375 ：208：2005/10/19(水) 09:26:18
376 ：208：2005/10/19(水) 09:35:41
>>359
しつこいな。お前、アフォだろ。
どっから、俺が教えてくんというのが出てくるんだよ。
演習問題を出して、それを嘘だと言われたら、誰でも
理由を聞くだろうが。それを、教えてくん呼ばわりするってのは(略
しつこいな。お前、アフォだろ。
どっから、俺が教えてくんというのが出てくるんだよ。
演習問題を出して、それを嘘だと言われたら、誰でも
理由を聞くだろうが。それを、教えてくん呼ばわりするってのは(略
377 ：１３２人目の素数さん：2005/10/19(水) 09:38:06
「イデアルのことではなく、数の話である」という主張の意味を、一晩
寝ないで考えてみました（まあ嘘ですけど(w
でも、結局全然分からんかった。
「イデアル」って、「理想数」というほどのニュアンスで命名されたん
だよね？ だったら、「イデアルではなく数の話」っていうのは、つま
りは「理想的でない数」の話ということだ。結局、何言ってんだか全然
分からんということだ！！
寝ないで考えてみました（まあ嘘ですけど(w
でも、結局全然分からんかった。
「イデアル」って、「理想数」というほどのニュアンスで命名されたん
だよね？ だったら、「イデアルではなく数の話」っていうのは、つま
りは「理想的でない数」の話ということだ。結局、何言ってんだか全然
分からんということだ！！
378 ：208：2005/10/19(水) 10:17:51
>>340 と似たようなものだけど、次の命題を>>340と別の方法で
証明しておく。
命題
A を環、I, J, L を A のイデアルで
I + J = A
I + L = A
とする。
このとき、I + JL = A となる。
証明
A = (I + J)(I + L) = I^2 + IL + JI + JL
⊂ I + JL
証明終
これと帰納法を使って、>>340 が出る。
証明しておく。
命題
A を環、I, J, L を A のイデアルで
I + J = A
I + L = A
とする。
このとき、I + JL = A となる。
証明
A = (I + J)(I + L) = I^2 + IL + JI + JL
⊂ I + JL
証明終
これと帰納法を使って、>>340 が出る。
379 ：208：2005/10/19(水) 10:21:50
定義
A を環、A の素イデアルの列
p_0 ⊃ p_1 ⊃ p_2 ⊃ ... ⊃ p_n
で各p_i が異なるものを長さ n の素イデアル鎖と呼ぶ。
長さ n の素イデアル鎖が存在し、長さ n + 1 の素イデアル鎖が
存在しないとき、n を A の Krull次元と呼ぶ。
A の Krull次元を、dim(A) または dim A と書く。
p を A 素イデアルとしたとき、dim A_p を p の高さといい、
ht(p) または ht p と書く。
これは、p = p_0 ⊃ p_1 ⊃ p_2 ⊃ ... ⊃ p_n
となる素イデアル鎖の長さの最大である。
I をイデアルとしたとき inf{ht(p); I ⊂ p, p ∈ Spec(A)}
を I の高さといい、ht(I) または ht I と書く。
A を環、A の素イデアルの列
p_0 ⊃ p_1 ⊃ p_2 ⊃ ... ⊃ p_n
で各p_i が異なるものを長さ n の素イデアル鎖と呼ぶ。
長さ n の素イデアル鎖が存在し、長さ n + 1 の素イデアル鎖が
存在しないとき、n を A の Krull次元と呼ぶ。
A の Krull次元を、dim(A) または dim A と書く。
p を A 素イデアルとしたとき、dim A_p を p の高さといい、
ht(p) または ht p と書く。
これは、p = p_0 ⊃ p_1 ⊃ p_2 ⊃ ... ⊃ p_n
となる素イデアル鎖の長さの最大である。
I をイデアルとしたとき inf{ht(p); I ⊂ p, p ∈ Spec(A)}
を I の高さといい、ht(I) または ht I と書く。
380 ：208：2005/10/19(水) 10:56:05
中山の補題(>>242)の系
A を環、I を A のイデアルで I ⊂ rad(A) とする。
M を有限生成 A-加群とする。 N を M の部分加群で、
M = N + IM とすると、M = N である。
証明
I(M/N) = (IM + N)/N = M/N
よって、中山の補題より M/N = 0
証明終
A を環、I を A のイデアルで I ⊂ rad(A) とする。
M を有限生成 A-加群とする。 N を M の部分加群で、
M = N + IM とすると、M = N である。
証明
I(M/N) = (IM + N)/N = M/N
よって、中山の補題より M/N = 0
証明終
381 ：208：2005/10/19(水) 11:08:56
定理(Krullの単項イデアル定理)
A をネーター整域、a を A の 0 でなく可逆でもない元とする。
p を Supp(A/aA) の極小元とする。
このとき、ht(p) = 1 となる。
証明
Supp(A/aA) = V(aA) であるから(>>176)、これの極小元というのは、
aA を含む素イデアルの集合の極小元ということである。
A を A_p で置き換えて A を局所環と仮定してよい。
よって、p は A の極大イデアルである。
よって、Supp(A/aA) = {p} となる。
Ass(A/aA) ⊂ Supp(A/aA) だから(>>99)、Ass(A/aA) = {p} となる。
q を A 素イデアルで、q ⊂ p かつ q ≠ p とする。
q = 0 を示せばよい。
イデアルの列
q + aA ⊃ q^(2) + aA ⊃ q^(n) + aA ⊃ ...
を考える。ここで q^(n) は q の記号的 n-乗(>>348)。
Supp(A/aA) = {p} で p は極大だから、A/aA は 長さ有限である(>>345)。
よって、q^(n) + aA = q^(n+1) + aA となる n がある。
q^(n) ⊂ q^(n+1) + aA である。x ∈ q^(n) とすると、
x = y + az となる、y ∈ q^(n+1) と z ∈ A がある。
az = x - y ∈ q^(n) であり、Ass(A/q^(n)) = {q} で(>>351) a は q に
含まれないから、a は A/q^(n) に関して正則である(>>180)。
よって、z ∈ q^(n) となる。つまり、q^(n) ⊂ q^(n+1) + aq^(n)
である。逆の包含関係は明らかだから、q^(n) = q^(n+1) + aq^(n)
となる。よって、中山の補題の系(>>380)より q^(n) = q^(n+1)
となる。同様に、q^(n+1) = q^(n+2) = ... である。
一方 >>360 より ∩q^(n) = 0 である。よって q^(n) = 0
である。q^n ⊂ q^(n) だから q^n = 0、A は整域だから q = 0 である。
証明終
A をネーター整域、a を A の 0 でなく可逆でもない元とする。
p を Supp(A/aA) の極小元とする。
このとき、ht(p) = 1 となる。
証明
Supp(A/aA) = V(aA) であるから(>>176)、これの極小元というのは、
aA を含む素イデアルの集合の極小元ということである。
A を A_p で置き換えて A を局所環と仮定してよい。
よって、p は A の極大イデアルである。
よって、Supp(A/aA) = {p} となる。
Ass(A/aA) ⊂ Supp(A/aA) だから(>>99)、Ass(A/aA) = {p} となる。
q を A 素イデアルで、q ⊂ p かつ q ≠ p とする。
q = 0 を示せばよい。
イデアルの列
q + aA ⊃ q^(2) + aA ⊃ q^(n) + aA ⊃ ...
を考える。ここで q^(n) は q の記号的 n-乗(>>348)。
Supp(A/aA) = {p} で p は極大だから、A/aA は 長さ有限である(>>345)。
よって、q^(n) + aA = q^(n+1) + aA となる n がある。
q^(n) ⊂ q^(n+1) + aA である。x ∈ q^(n) とすると、
x = y + az となる、y ∈ q^(n+1) と z ∈ A がある。
az = x - y ∈ q^(n) であり、Ass(A/q^(n)) = {q} で(>>351) a は q に
含まれないから、a は A/q^(n) に関して正則である(>>180)。
よって、z ∈ q^(n) となる。つまり、q^(n) ⊂ q^(n+1) + aq^(n)
である。逆の包含関係は明らかだから、q^(n) = q^(n+1) + aq^(n)
となる。よって、中山の補題の系(>>380)より q^(n) = q^(n+1)
となる。同様に、q^(n+1) = q^(n+2) = ... である。
一方 >>360 より ∩q^(n) = 0 である。よって q^(n) = 0
である。q^n ⊂ q^(n) だから q^n = 0、A は整域だから q = 0 である。
証明終
382 ：208：2005/10/19(水) 11:20:29
Krullの単項イデアル定理(>>381) はネーター環の準素イデアル分解、
共通イデアル定理(>>252)、中山の補題、環の局所化など可換代数に
おける基本的な道具や結果を動員して証明された。
だから今までの命題と較べてやや深い結果といえるだろう。
これは、Krullの次元定理の特別な場合だが、次元定理は、これを
利用して帰納法により証明される。
共通イデアル定理(>>252)、中山の補題、環の局所化など可換代数に
おける基本的な道具や結果を動員して証明された。
だから今までの命題と較べてやや深い結果といえるだろう。
これは、Krullの次元定理の特別な場合だが、次元定理は、これを
利用して帰納法により証明される。
383 ：１３２人目の素数さん：2005/10/19(水) 12:49:59
>>375
やっぱり無理だったなお前にはな
やっぱり染みついた馬鹿はとれないな
顔にケチャップついてますよといわれても
余計なお世話だって道歩いてんだろうな
まっこれ以上ヒント出しても無駄だから
アホは死んでね
クルルの次元定理なんて偉そうにいっても自然数の
素因数分解が理解できないのじゃ意味無いね
やっぱり無理だったなお前にはな
やっぱり染みついた馬鹿はとれないな
顔にケチャップついてますよといわれても
余計なお世話だって道歩いてんだろうな
まっこれ以上ヒント出しても無駄だから
アホは死んでね
クルルの次元定理なんて偉そうにいっても自然数の
素因数分解が理解できないのじゃ意味無いね
384 ：208：2005/10/19(水) 13:14:25
>>383
ヒントって何のヒントだよ。Jordan-Holderから自然数の素因数分解の
一意性がすぐ出るんだよ。それは動かせない事実。
それを否定してるお前は初歩の代数の基礎がわかってないの。
これも動かせない事実。頭を冷やせ。
ヒントって何のヒントだよ。Jordan-Holderから自然数の素因数分解の
一意性がすぐ出るんだよ。それは動かせない事実。
それを否定してるお前は初歩の代数の基礎がわかってないの。
これも動かせない事実。頭を冷やせ。
385 ：１３２人目の素数さん：2005/10/19(水) 13:34:18
「Bが部分環A上、忠実平坦とする。
このとき、Bが整閉整域ならAもそうである。」
ことを証明してくれ。
このとき、Bが整閉整域ならAもそうである。」
ことを証明してくれ。
386 ：１３２人目の素数さん：2005/10/19(水) 15:57:50
クルルの次元定理って、偉そうなの？(hagewara
387 ：１３２人目の素数さん：2005/10/19(水) 17:05:32
>Jordan-Holderから自然数の素因数分解の
>一意性がすぐ出るんだよ。それは動かせない事実。
でないよ
自然数の素因数分解の本質は割り算にあるというのが
動かせない事実
それを使わない限り証明できるわけがない
おまえこそアタマを冷やせ
ここまで言ってわからなきゃ死ね
>一意性がすぐ出るんだよ。それは動かせない事実。
でないよ
自然数の素因数分解の本質は割り算にあるというのが
動かせない事実
それを使わない限り証明できるわけがない
おまえこそアタマを冷やせ
ここまで言ってわからなきゃ死ね
388 ：１３２人目の素数さん：2005/10/19(水) 17:33:51
あんたが「何も使わないで」というのを、割り算も使わないでって意味だと
勝手に思い込んでただけじゃないのか？
>>208も別に割り算を使わないで証明できるとか
そんな極端なこと言ってなかったと思うけど、、
お前は微積の授業で、平均値の定理からRolleの定理から何も使わないで出ます、
と先生が言ったら、
「先生！平均値の定理は一次函数の微分を使わないと出て来ません！
平均値の定理は一次函数の微分が根幹にあるから、、、
ここまで言えば莫迦な先生でも理解できるでしょ？出来なきゃ死ね」とか言って噛み付くのか？
勝手に思い込んでただけじゃないのか？
>>208も別に割り算を使わないで証明できるとか
そんな極端なこと言ってなかったと思うけど、、
お前は微積の授業で、平均値の定理からRolleの定理から何も使わないで出ます、
と先生が言ったら、
「先生！平均値の定理は一次函数の微分を使わないと出て来ません！
平均値の定理は一次函数の微分が根幹にあるから、、、
ここまで言えば莫迦な先生でも理解できるでしょ？出来なきゃ死ね」とか言って噛み付くのか？
389 ：１３２人目の素数さん：2005/10/19(水) 17:35:09
ヒントってどのレスのこと？
馬鹿な私には分かんないんだけど
あんたはただ出ない出ないと鸚鵡みたいに繰り返してただけだろ
馬鹿な私には分かんないんだけど
あんたはただ出ない出ないと鸚鵡みたいに繰り返してただけだろ
390 ：１３２人目の素数さん：2005/10/19(水) 17:41:54
>「先生！平均値の定理は一次函数の微分を使わないと出て来ません！
>平均値の定理は一次函数の微分が根幹にあるから、、、
>ここまで言えば莫迦な先生でも理解できるでしょ？出来なきゃ死ね」とか言って噛み付くのか？
噛みつくね
>平均値の定理は一次函数の微分が根幹にあるから、、、
>ここまで言えば莫迦な先生でも理解できるでしょ？出来なきゃ死ね」とか言って噛み付くのか？
噛みつくね
391 ：１３２人目の素数さん：2005/10/19(水) 17:43:55
＞>>208も別に割り算を使わないで証明できるとか
＞そんな極端なこと言ってなかったと思うけど、、
だからお前も同類の馬鹿なんだよ
な
ジョルダンヘルダーから簡単にでるって
じゃあどういう意味なんだよ
＞そんな極端なこと言ってなかったと思うけど、、
だからお前も同類の馬鹿なんだよ
な
ジョルダンヘルダーから簡単にでるって
じゃあどういう意味なんだよ
392 ：１３２人目の素数さん：2005/10/19(水) 17:44:54
>あんたはただ出ない出ないと鸚鵡みたいに繰り返してただけだろ
ばかよくレス読んでこい
ばかよくレス読んでこい
393 ：１３２人目の素数さん：2005/10/19(水) 17:55:03
>平均値の定理
そういうのよく思いつくね
そういうのよく思いつくね
394 ：１３２人目の素数さん：2005/10/19(水) 17:58:13
単に難しい道具を用意したりしなくても直接に出るって言ってるだけだろ？
割り算くらい代数学の勉強してる人間は理解しているとして話してるんじゃないのか？
そうすると難しい道具、の定義が無いとか言うのか？
>>208は別に今、数学を集合論から論理的に構築しているわけではないだろ？
割り算くらい代数学の勉強してる人間は理解しているとして話してるんじゃないのか？
そうすると難しい道具、の定義が無いとか言うのか？
>>208は別に今、数学を集合論から論理的に構築しているわけではないだろ？
395 ：１３２人目の素数さん：2005/10/19(水) 18:00:30
はなしにならん
396 ：１３２人目の素数さん：2005/10/19(水) 18:24:12
俺は>>390にビックリしたよｗ
大学生の頃余程変な学生だったんだろうなあｗ
大学生の頃余程変な学生だったんだろうなあｗ
397 ：208：2005/10/19(水) 18:26:05
初めからアフォだと思ってたけどこれほどとは。
珍しい奴だな
珍しい奴だな
398 ：１３２人目の素数さん：2005/10/19(水) 18:28:57
399 ：１３２人目の素数さん：2005/10/19(水) 18:30:45
都合が悪くなると冗談にしちゃうのか
400 ：１３２人目の素数さん：2005/10/19(水) 18:31:28
>大学生の頃余程変な学生だったんだろうなあｗ
普通の学生だったら208みたいに平凡になってるってか
おまえおもしろいね
普通の学生だったら208みたいに平凡になってるってか
おまえおもしろいね
401 ：１３２人目の素数さん：2005/10/19(水) 18:32:35
>>399
ばか都合の問題でこまかしてんのはどっちだよ
ばか都合の問題でこまかしてんのはどっちだよ
402 ：１３２人目の素数さん：2005/10/19(水) 18:33:53
ともかくだ
おまえらは教育のし甲斐の無い奴らだってことが
よくわかった
破門だ
おまえらは教育のし甲斐の無い奴らだってことが
よくわかった
破門だ
403 ：１３２人目の素数さん：2005/10/19(水) 18:34:06
そんなことより。
割算も使っちゃいけないってのは、なんでなの？
割算も使っちゃいけないってのは、なんでなの？
404 ：１３２人目の素数さん：2005/10/19(水) 18:35:12
>>399
いっとくが冗談だというのは冗談だよ
いっとくが冗談だというのは冗談だよ
405 ：１３２人目の素数さん：2005/10/19(水) 18:39:26
あのね、俺、別に煽ってる訳じゃないんだけど。
俺はヘヴィな2cherではないし、正直この数板くらいしか覗かないんだ
けど、でも俺の知る限りでは、アンタみたいな思わせぶり炸裂の奴って、
経験的に言って馬鹿が多いんだよね。
俺はさ、208でも何でもないから（っていうか俺は>>372ね）、既出の
通り「教えてクン」呼ばわりされるのは全然構わないんだ。だから、ご
ちゃごちゃ誤魔化してないで、はっきり教えて欲しいんだけど。
割算を使うということが、どのように問題なワケ？
俺はヘヴィな2cherではないし、正直この数板くらいしか覗かないんだ
けど、でも俺の知る限りでは、アンタみたいな思わせぶり炸裂の奴って、
経験的に言って馬鹿が多いんだよね。
俺はさ、208でも何でもないから（っていうか俺は>>372ね）、既出の
通り「教えてクン」呼ばわりされるのは全然構わないんだ。だから、ご
ちゃごちゃ誤魔化してないで、はっきり教えて欲しいんだけど。
割算を使うということが、どのように問題なワケ？
406 ：１３２人目の素数さん：2005/10/19(水) 18:41:25
>>403
あのね
割り算を使っちゃいけないとは誰も言ってないよ
割り算をつかわなくてはいけないといっているのよ
必須アイテムは「わりざん」でジョルダンヘルダーじゃない
ジョルダンヘルダーだけで素因数分解の一意性がでるかのように
いってるといってるの
割り算が簡単でそれくらいだれでもわかるでしょというなら
その段階でおわってるわけ
あのね
割り算を使っちゃいけないとは誰も言ってないよ
割り算をつかわなくてはいけないといっているのよ
必須アイテムは「わりざん」でジョルダンヘルダーじゃない
ジョルダンヘルダーだけで素因数分解の一意性がでるかのように
いってるといってるの
割り算が簡単でそれくらいだれでもわかるでしょというなら
その段階でおわってるわけ
407 ：１３２人目の素数さん：2005/10/19(水) 18:43:49
408 ：１３２人目の素数さん：2005/10/19(水) 18:44:25
・・・なんか、つまんない話っぽいなぁ。
うーん、あくまでも俺が馬鹿だから理解できないのかなぁ？ いやね、
内容を見る限り、>>406その他が馬鹿で無知であるとは、あんまし思え
ないんだけど。
でも、>>406の言ってることって、あまり面白い話ではなさそうだね。
それとも、あれかい？ ジョルダンヘルダーは、実は本質的に素因数分
解の一意性を使っているのかい？ そういう話なら、得るところも大き
いんだけど・・・。
うーん、あくまでも俺が馬鹿だから理解できないのかなぁ？ いやね、
内容を見る限り、>>406その他が馬鹿で無知であるとは、あんまし思え
ないんだけど。
でも、>>406の言ってることって、あまり面白い話ではなさそうだね。
それとも、あれかい？ ジョルダンヘルダーは、実は本質的に素因数分
解の一意性を使っているのかい？ そういう話なら、得るところも大き
いんだけど・・・。
411 ：１３２人目の素数さん：2005/10/19(水) 18:52:43
>それとも、あれかい？ ジョルダンヘルダーは、実は本質的に素因数分
>解の一意性を使っているのかい？ そういう話なら、得るところも大き
>いんだけど・・・。
そうそう そう考えなくちゃね あんたは208より数等上のアタマの使い方
知ってるよ
>解の一意性を使っているのかい？ そういう話なら、得るところも大き
>いんだけど・・・。
そうそう そう考えなくちゃね あんたは208より数等上のアタマの使い方
知ってるよ
412 ：１３２人目の素数さん：2005/10/19(水) 18:55:11
413 ：１３２人目の素数さん：2005/10/19(水) 18:55:30
414 ：１３２人目の素数さん：2005/10/19(水) 18:56:53
415 ：１３２人目の素数さん：2005/10/19(水) 19:01:55
>>409
それでもまだつまらないってのか
それでもまだつまらないってのか
416 ：１３２人目の素数さん：2005/10/19(水) 19:11:07
>>410
ぺちゃくちゃうるさい。黙ってろ。
ぺちゃくちゃうるさい。黙ってろ。
417 ：208：2005/10/19(水) 19:30:34
>>387の話が分かったひと(>>387以外)いたら説明してくれ。
俺にはさっぱりわからん。割り算を使わないと証明出来ないと
してそれで俺が嘘をついたことになるのか？
俺は割り算は使わないとは言ってない。
俺にはさっぱりわからん。割り算を使わないと証明出来ないと
してそれで俺が嘘をついたことになるのか？
俺は割り算は使わないとは言ってない。
418 ：１３２人目の素数さん：2005/10/19(水) 19:34:52
419 ：208：2005/10/19(水) 19:37:36
420 ：１３２人目の素数さん：2005/10/19(水) 19:39:55
421 ：１３２人目の素数さん：2005/10/19(水) 19:39:56
割り算はすらすらなんだけど、文章題になると突然思考が止まるんですが。。。
422 ：１３２人目の素数さん：2005/10/19(水) 19:41:24
>割り算のどこが難しいんだよ。
だれが難しいって言ったの
だれが難しいって言ったの
423 ：１３２人目の素数さん：2005/10/19(水) 19:42:25
>きっちり決着つけようじゃないか。
だからどこで使ってるんだよ
だからどこで使ってるんだよ
424 ：１３２人目の素数さん：2005/10/19(水) 19:43:23
>もういいからじゃねえよ。
だったら謝れよ
だったら謝れよ
425 ：363：2005/10/19(水) 19:44:46
426 ：208：2005/10/19(水) 19:45:30
427 ：１３２人目の素数さん：2005/10/19(水) 19:46:09
>>425
まちがい
まちがい
428 ：１３２人目の素数さん：2005/10/19(水) 19:47:40
429 ：363：2005/10/19(水) 19:48:51
430 ：１３２人目の素数さん：2005/10/19(水) 19:49:19
431 ：１３２人目の素数さん：2005/10/19(水) 19:50:28
あとは自分で勉強しなさい
お父さんは帰るから
お父さんは帰るから
432 ：208：2005/10/19(水) 19:50:31
>>422
>だれが難しいって言ったの
簡単に出るといったら、嘘つき呼ばわりされた。
その理由は、割り算を使うからだと。
つまり、割り算は簡単でないと思ってんだろ。
簡単でないとは（ほぼ）イコール難しいだろ。
>だれが難しいって言ったの
簡単に出るといったら、嘘つき呼ばわりされた。
その理由は、割り算を使うからだと。
つまり、割り算は簡単でないと思ってんだろ。
簡単でないとは（ほぼ）イコール難しいだろ。
433 ：363：2005/10/19(水) 19:50:55
みなさん427=387=430はスルーしましょう。
434 ：１３２人目の素数さん：2005/10/19(水) 19:51:55
>>432
見苦しい言い訳すんなよ
見苦しい言い訳すんなよ
435 ：１３２人目の素数さん：2005/10/19(水) 19:53:03
>>363
雑魚が
雑魚が
436 ：208：2005/10/19(水) 19:54:39
だめだこりゃ。話しにならない。
割り算が簡単でないだと。キ印だな
割り算が簡単でないだと。キ印だな
437 ：１３２人目の素数さん：2005/10/19(水) 19:56:44
>>436
だからどこでつかってんだよ
だからどこでつかってんだよ
438 ：208：2005/10/19(水) 20:03:19
>>437
そんなのどっちでもいいだろ。
割り算を使うにしろ、使わないにしろ簡単なことに変わりないんだから。
お前の、割り算にこだわるところが病的なんだよ。
トラウマでもあるのか。小学生のときに割り算がわからなくて
先生にどやしつけられて皆の前で恥を書いたとかｗ
そんなのどっちでもいいだろ。
割り算を使うにしろ、使わないにしろ簡単なことに変わりないんだから。
お前の、割り算にこだわるところが病的なんだよ。
トラウマでもあるのか。小学生のときに割り算がわからなくて
先生にどやしつけられて皆の前で恥を書いたとかｗ
439 ：１３２人目の素数さん：2005/10/19(水) 20:04:13
>割り算が簡単でないだと。キ印だな
おれはき印でいい
おまえは嘘つきだ
おれはき印でいい
おまえは嘘つきだ
440 ：１３２人目の素数さん：2005/10/19(水) 20:07:25
>そんなのどっちでもいいだろ。
>使わないにしろ
よくわかった
やっぱりお前はわかっていないんだ
証明を完全に書ききってみることをおすすめする
そしてお前が不誠実であることもよくわかった
素因数分解に割り算をつかわないならお前は大発見をしたことに
なるよ
>使わないにしろ
よくわかった
やっぱりお前はわかっていないんだ
証明を完全に書ききってみることをおすすめする
そしてお前が不誠実であることもよくわかった
素因数分解に割り算をつかわないならお前は大発見をしたことに
なるよ
441 ：208：2005/10/19(水) 20:29:12
>>440
しょうがねえな。俺が答えたら演習にならないだろうが。
ほれ
命題
自然数の素因数分解は順序を除いて一意的である。
証明
n を自然数として、n = (p_1)^(n_1)...(p_r)^(n_r)
を n の素因数分解とする。
G を位数 n の巡回群とし、それが 組成列の剰余群として、n_1 個の Z/(p_1)Z,
... n_r 個の Z/(p_r)Z を持つことを n に関する帰納法で証明する
(各 Z/(p_i)Z は単純なのは明らか)。
G = Z/nZ の位数を p_1 は割るから G は位数 p_1 の部分群 H を
持つ。G/H は巡回群であり、その位数は
n/p_1 = (p_1)^(n_1 - 1)...(p_r)^(n_r)
で n より小さいから、帰納法の仮定より、G/H は、組成列の剰余群
として (n_1 - 1) 個の Z/(p_1)Z, ... n_r 個の Z/(p_r)Z を持つ。
よって、G は、最初の主張の剰余群列を持つ。
これからJordan-Holderより、n = (p_1)^(n_1)...(p_r)^(n_r)
の分解は一意に決まる。
証明終
しょうがねえな。俺が答えたら演習にならないだろうが。
ほれ
命題
自然数の素因数分解は順序を除いて一意的である。
証明
n を自然数として、n = (p_1)^(n_1)...(p_r)^(n_r)
を n の素因数分解とする。
G を位数 n の巡回群とし、それが 組成列の剰余群として、n_1 個の Z/(p_1)Z,
... n_r 個の Z/(p_r)Z を持つことを n に関する帰納法で証明する
(各 Z/(p_i)Z は単純なのは明らか)。
G = Z/nZ の位数を p_1 は割るから G は位数 p_1 の部分群 H を
持つ。G/H は巡回群であり、その位数は
n/p_1 = (p_1)^(n_1 - 1)...(p_r)^(n_r)
で n より小さいから、帰納法の仮定より、G/H は、組成列の剰余群
として (n_1 - 1) 個の Z/(p_1)Z, ... n_r 個の Z/(p_r)Z を持つ。
よって、G は、最初の主張の剰余群列を持つ。
これからJordan-Holderより、n = (p_1)^(n_1)...(p_r)^(n_r)
の分解は一意に決まる。
証明終
442 ：208：2005/10/19(水) 20:43:44
443 ：208：2005/10/19(水) 20:45:27
444 ：208：2005/10/20(木) 12:22:52
Krullの単項イデアル定理(>>381)の系
A をネーター環、
p ⊃ p_1 ⊃ p_2 を A の長さ２の素イデアル鎖(>>379)とする
(よって、この３個の素イデアルは互いに異なる)。
x を p の元で、p_1 に含まれないものとする。
このとき x を含む素イデアル q で
p ⊃ q ⊃ p_2 が長さ２の素イデアル鎖となるものが存在する。
証明
A を A_p で置き換えて、A は局所環で p はその極大イデアルと
してよい。
Supp(A/(xA + p_2)) の極小元を q とする。つまり、q は xA + p_2
を含む素イデアルの中で極小である。
A は局所環だから、p ⊃ q となる。q ⊃ p_2 は明らか。
ネーター整域 B = A/p_2 と x' = x (mod p_2) に単項イデアル定理
(>>381)を適用すると、q/p_2 の高さは１であることが分かる。
よって p = q では有り得ない。何故なら、 p = q とすると、
q ⊃ p_1 ⊃ p_2 が長さ２の素イデアル鎖となって、q/p_2 の高さが１
であることに矛盾するから。
よって、 p ⊃ q ⊃ p_2 は長さ２の素イデアル鎖である
(q ≠ p_2 は明らか)。
証明終
A をネーター環、
p ⊃ p_1 ⊃ p_2 を A の長さ２の素イデアル鎖(>>379)とする
(よって、この３個の素イデアルは互いに異なる)。
x を p の元で、p_1 に含まれないものとする。
このとき x を含む素イデアル q で
p ⊃ q ⊃ p_2 が長さ２の素イデアル鎖となるものが存在する。
証明
A を A_p で置き換えて、A は局所環で p はその極大イデアルと
してよい。
Supp(A/(xA + p_2)) の極小元を q とする。つまり、q は xA + p_2
を含む素イデアルの中で極小である。
A は局所環だから、p ⊃ q となる。q ⊃ p_2 は明らか。
ネーター整域 B = A/p_2 と x' = x (mod p_2) に単項イデアル定理
(>>381)を適用すると、q/p_2 の高さは１であることが分かる。
よって p = q では有り得ない。何故なら、 p = q とすると、
q ⊃ p_1 ⊃ p_2 が長さ２の素イデアル鎖となって、q/p_2 の高さが１
であることに矛盾するから。
よって、 p ⊃ q ⊃ p_2 は長さ２の素イデアル鎖である
(q ≠ p_2 は明らか)。
証明終
445 ：208：2005/10/20(木) 12:24:43
補題
A をネーター環、
p ⊃ p_1 ⊃ ... ⊃ p_n を A の長さ n ≧ 2 の素イデアル鎖(>>379)
とする。x を p の元で、p_1 に含まれないものとする。
n - 1 個の素イデアル q_1, ... , q_(n-1) で
p ⊃ q_1 ⊃ ... ⊃ q_(n-1) ⊃ p_n が長さ n の素イデアル鎖
となり、x ∈ q_(n-1) となるものが存在する。
証明
n に関する帰納法と >>444 を使う。
A をネーター環、
p ⊃ p_1 ⊃ ... ⊃ p_n を A の長さ n ≧ 2 の素イデアル鎖(>>379)
とする。x を p の元で、p_1 に含まれないものとする。
n - 1 個の素イデアル q_1, ... , q_(n-1) で
p ⊃ q_1 ⊃ ... ⊃ q_(n-1) ⊃ p_n が長さ n の素イデアル鎖
となり、x ∈ q_(n-1) となるものが存在する。
証明
n に関する帰納法と >>444 を使う。
446 ：208：2005/10/20(木) 12:32:43
命題
A をネーター環、x を rad(A) (>>238) の元とすれば。
dim(A) ≦ dim(A/xA) + 1 となる。
証明
dim(A) が 0 または 1 のときは明らか。
よって、
p_0 ⊃ p_1 ⊃ ... ⊃ p_n を A の長さ n ≧ 2 の素イデアル鎖で
x ∈ p_0 なら、長さ n-1 の素イデアル鎖
p_0 ⊃ q_1 ⊃ ... ⊃ q_(n-1) で x ∈ q_(n-1) となるものが存在
することを示せばよい。n に関する帰納法を使う。
x ∈ p_1 なら帰納法の仮定を使えばよいから、x は p_1 に含まれない
とする。よって、補題(>>445)を使えばよい。
証明終
A をネーター環、x を rad(A) (>>238) の元とすれば。
dim(A) ≦ dim(A/xA) + 1 となる。
証明
dim(A) が 0 または 1 のときは明らか。
よって、
p_0 ⊃ p_1 ⊃ ... ⊃ p_n を A の長さ n ≧ 2 の素イデアル鎖で
x ∈ p_0 なら、長さ n-1 の素イデアル鎖
p_0 ⊃ q_1 ⊃ ... ⊃ q_(n-1) で x ∈ q_(n-1) となるものが存在
することを示せばよい。n に関する帰納法を使う。
x ∈ p_1 なら帰納法の仮定を使えばよいから、x は p_1 に含まれない
とする。よって、補題(>>445)を使えばよい。
証明終
447 ：１３２人目の素数さん：2005/10/20(木) 13:56:07
448 ：１３２人目の素数さん：2005/10/20(木) 14:00:00
ま ともかくだ
問題点をつきつけられてわからぬバカは
うそつき以上にたちがわるい
いえばわかる程度の奴だとおもうから
うそつきで我慢してやったがな
君にはがっかりだ
問題点をつきつけられてわからぬバカは
うそつき以上にたちがわるい
いえばわかる程度の奴だとおもうから
うそつきで我慢してやったがな
君にはがっかりだ
449 ：１３２人目の素数さん：2005/10/20(木) 14:02:12
代数的整数論と解析的整数論とはどちらが成功したといえるのでしょうか？
450 ：１３２人目の素数さん：2005/10/20(木) 14:13:16
[問]
π＝３．１４１５・・・＝３．p1p2p3p4・・・pn・・・
{p_i}_[i=1,∞]の内、素数であるものの集合をＸ、それ以外をＹ
とした時に、Ｘ，Ｙの元の数を｜Ｘ｜、｜Ｙ｜とした時に、
｜Ｘ｜/｛｜Ｘ｜＋｜Ｙ｜｝を見積もれ。
π＝３．１４１５・・・＝３．p1p2p3p4・・・pn・・・
{p_i}_[i=1,∞]の内、素数であるものの集合をＸ、それ以外をＹ
とした時に、Ｘ，Ｙの元の数を｜Ｘ｜、｜Ｙ｜とした時に、
｜Ｘ｜/｛｜Ｘ｜＋｜Ｙ｜｝を見積もれ。
451 ：１３２人目の素数さん：2005/10/20(木) 14:20:53
π＝３．１４１５・・・＝３．p1p2p3p4・・・pn・・・
{p_i}_[i=1,∞]という数列が、完全にランダムである、つまり、
乱数であるか否かを示せ、また、もし乱数である場合、πという
数はどんな性質を持つ事になるか？更に、πを用いて乱数を順次
発生するプログラムを作るとするとどんなプログラムになるか？
{p_i}_[i=1,∞]という数列が、完全にランダムである、つまり、
乱数であるか否かを示せ、また、もし乱数である場合、πという
数はどんな性質を持つ事になるか？更に、πを用いて乱数を順次
発生するプログラムを作るとするとどんなプログラムになるか？
452 ：１３２人目の素数さん：2005/10/20(木) 14:27:46
[問２]
完全にランダムな数列{q_i}_[i=1,∞]が存在した時に、別の
完全にランダムな数列{r_i}_[i-1,∞]が存在しうるか？
完全にランダムな数列{q_i}_[i=1,∞]が存在した時に、別の
完全にランダムな数列{r_i}_[i-1,∞]が存在しうるか？
453 ：１３２人目の素数さん：2005/10/20(木) 14:31:55
存在し得るならば、それは唯一か？それとも任意に別の
完全にランダムな数列{q_i}_[i=1,∞]が存在するのか？
存在するとした時に、それを生成するプログラムを具体
的に書き下せるのか？それとも存在はするあ具体的には
書き下せいないのか？それを検討、証明せよ。
完全にランダムな数列{q_i}_[i=1,∞]が存在するのか？
存在するとした時に、それを生成するプログラムを具体
的に書き下せるのか？それとも存在はするあ具体的には
書き下せいないのか？それを検討、証明せよ。
454 ：208：2005/10/20(木) 14:39:02
命題
A をネーター環、x_1, ... , x_r を rad(A) (>>238) の元とすれば。
dim(A) ≦ dim(A/x_1A + ... + x_rA) + r となる。
証明
r に関する帰納法。r = 1 のときは、>>446 そのもの。
r > 1 とし、B = dim(A/x_2A + ... + x_rA) とする。
x_1 の B における像を y とすると、再び >>446 より
dim(B) ≦ dim(B/yB) + 1
B/yB は、A/x_1A + ... + x_rA に同型である。
よって、
dim(A/x_2A + ... + x_rA) ≦ dim(A/x_1A + ... + x_rA) + 1 となる。
一方、帰納法の仮定より、
dim(A) ≦ dim(A/x_2A + ... + x_rA) + r - 1 となる。
よって、dim(A) ≦ dim(A/x_1A + ... + x_rA) + r となる。
証明終
A をネーター環、x_1, ... , x_r を rad(A) (>>238) の元とすれば。
dim(A) ≦ dim(A/x_1A + ... + x_rA) + r となる。
証明
r に関する帰納法。r = 1 のときは、>>446 そのもの。
r > 1 とし、B = dim(A/x_2A + ... + x_rA) とする。
x_1 の B における像を y とすると、再び >>446 より
dim(B) ≦ dim(B/yB) + 1
B/yB は、A/x_1A + ... + x_rA に同型である。
よって、
dim(A/x_2A + ... + x_rA) ≦ dim(A/x_1A + ... + x_rA) + 1 となる。
一方、帰納法の仮定より、
dim(A) ≦ dim(A/x_2A + ... + x_rA) + r - 1 となる。
よって、dim(A) ≦ dim(A/x_1A + ... + x_rA) + r となる。
証明終
455 ：208：2005/10/20(木) 14:48:43
Krullの次元定理
A をネーター環、I をそのイデアルで、r 個の元 x_1, ... , x_r
で生成されるものとする。p を I を含む素イデアルの中で極小な
ものとすると、ht(p) ≦ r である。
証明
A を A_p で置き換えて、A は局所環で、p はその極大イデアル
としてよい。>>454 より dim(A) ≦ dim(A/I) + r である。
I を含む素イデアルは、p だけだから、dim(A/I) = 0 である。
よって、dim(A) ≦ r である。
あとは、dim(A) = ht(p) に注意すればよい。
証明終
A をネーター環、I をそのイデアルで、r 個の元 x_1, ... , x_r
で生成されるものとする。p を I を含む素イデアルの中で極小な
ものとすると、ht(p) ≦ r である。
証明
A を A_p で置き換えて、A は局所環で、p はその極大イデアル
としてよい。>>454 より dim(A) ≦ dim(A/I) + r である。
I を含む素イデアルは、p だけだから、dim(A/I) = 0 である。
よって、dim(A) ≦ r である。
あとは、dim(A) = ht(p) に注意すればよい。
証明終
456 ：１３２人目の素数さん：2005/10/20(木) 17:32:35
どこで使ってんだよって、、
そんなの割り算を使うから簡単には出ないって主張してる側が探して
ここからここに行くときにどうしても使わざるを得ない、って主張するべきじゃねえのか？
もう基地外は無視しようぜ
そんなの割り算を使うから簡単には出ないって主張してる側が探して
ここからここに行くときにどうしても使わざるを得ない、って主張するべきじゃねえのか？
もう基地外は無視しようぜ
457 ：１３２人目の素数さん：2005/10/20(木) 18:08:33
458 ：１３２人目の素数さん：2005/10/20(木) 18:14:08
459 ：208：2005/10/20(木) 19:44:37
>>447
>使うか使わないかもわかりもしないで
どっから、そういう結論になるんだよ。
俺は、使う使わないは問題が簡単かどうかに関係ないだろ
って言ったんだよ。
素因数分解は自然数の整除が関係してんだから割り算くらい使うだろ
現に >>441 で n/p_1 = (p_1)^(n_1 - 1)...(p_r)^(n_r) を使ってる。
で、使ったからどうだっていうの？
>使うか使わないかもわかりもしないで
どっから、そういう結論になるんだよ。
俺は、使う使わないは問題が簡単かどうかに関係ないだろ
って言ったんだよ。
素因数分解は自然数の整除が関係してんだから割り算くらい使うだろ
現に >>441 で n/p_1 = (p_1)^(n_1 - 1)...(p_r)^(n_r) を使ってる。
で、使ったからどうだっていうの？
460 ：１３２人目の素数さん：2005/10/21(金) 00:49:41
「Bが部分環A上、忠実平坦とする。
このとき、Bが整閉整域ならAもそうである。」
これが証明できるレベルの奴は折らんのか？
このとき、Bが整閉整域ならAもそうである。」
これが証明できるレベルの奴は折らんのか？
461 ：１３２人目の素数さん：2005/10/21(金) 08:38:08
しょうがねえな。俺が答えたら演習にならないだろうが。
ほれ
命題
自然数の素因数分解は順序を除いて一意的である。
証明
n を自然数として、n = (p_1)^(n_1)...(p_r)^(n_r)
を n の素因数分解とする。
G を位数 n の巡回群とし、それが 組成列の剰余群として、n_1 個の Z/(p_1)Z,
... n_r 個の Z/(p_r)Z を持つことを n に関する帰納法で証明する
(各 Z/(p_i)Z は単純なのは明らか)。
G = Z/nZ の位数を p_1 は割るから G は位数 p_1 の部分群 H を
持つ。G/H は巡回群であり、その位数は
n/p_1 = (p_1)^(n_1 - 1)...(p_r)^(n_r)
で n より小さいから、帰納法の仮定より、G/H は、組成列の剰余群
として (n_1 - 1) 個の Z/(p_1)Z, ... n_r 個の Z/(p_r)Z を持つ。
よって、G は、最初の主張の剰余群列を持つ。
これからJordan-Holderより、n = (p_1)^(n_1)...(p_r)^(n_r)
の分解は一意に決まる。
証明終
Thanks. This is interesting.
ほれ
命題
自然数の素因数分解は順序を除いて一意的である。
証明
n を自然数として、n = (p_1)^(n_1)...(p_r)^(n_r)
を n の素因数分解とする。
G を位数 n の巡回群とし、それが 組成列の剰余群として、n_1 個の Z/(p_1)Z,
... n_r 個の Z/(p_r)Z を持つことを n に関する帰納法で証明する
(各 Z/(p_i)Z は単純なのは明らか)。
G = Z/nZ の位数を p_1 は割るから G は位数 p_1 の部分群 H を
持つ。G/H は巡回群であり、その位数は
n/p_1 = (p_1)^(n_1 - 1)...(p_r)^(n_r)
で n より小さいから、帰納法の仮定より、G/H は、組成列の剰余群
として (n_1 - 1) 個の Z/(p_1)Z, ... n_r 個の Z/(p_r)Z を持つ。
よって、G は、最初の主張の剰余群列を持つ。
これからJordan-Holderより、n = (p_1)^(n_1)...(p_r)^(n_r)
の分解は一意に決まる。
証明終
Thanks. This is interesting.
462 ：１３２人目の素数さん：2005/10/21(金) 08:39:36
>>「Bが部分環A上、忠実平坦とする。
このとき、Bが整閉整域ならAもそうである。」
Is this easy when $A$ is Noetherian?
このとき、Bが整閉整域ならAもそうである。」
Is this easy when $A$ is Noetherian?
463 ：208：2005/10/21(金) 09:12:20
>>460
ちょっと考えたけどわからん。
ところで、質問するならその背景を少し説明してくれ。
その問題のソースとか。
大体、それが成立つ保障はあるのか？
成立たない問題をいくら証明しようとしても無駄だからな。
ちょっと考えたけどわからん。
ところで、質問するならその背景を少し説明してくれ。
その問題のソースとか。
大体、それが成立つ保障はあるのか？
成立たない問題をいくら証明しようとしても無駄だからな。
464 ：208：2005/10/21(金) 09:26:22
Krullの次元定理(>>455)の別証
r に関する帰納法を使う。
A を A_p で置き換えて、A は局所環で、p はその極大イデアル
としてよい。
dim(A) ≦ 0 のときは明らかだから dim(A) ≧ 1 とする。
p ⊃ p_1 ⊃ ... ⊃ p_s を長さ s の素イデアル鎖とする。
p_1 は、 p に含まれ p と異なる素イデアルの中で極大とする。
このような素イデアルが存在するのは、A がネーター環であること
により保障される。
I は p_1 に含まれないから、p_1 に含まれない x_i がある。
x_1 が p_1 に含まれないとしてよい。
(x_1)A + p_1 を含む素イデアルは p のみだから、
Ass(A/x_1A + p_1) = {p} である。よって p^n ⊂ (x_1)A + p_1
となる n > 0 がある。
I ⊂ p だから、各 i ≧ 2 で (x_i)^n ∈ (x_1)A + (y_i)A となる
p_１の元 y_i がある。
J = (y_2, ... , y_r) とおく。I の生成元 x_1, ... , x_r は
mod (x_1)A + J で、べき零だから、I の十分高いべきは、(x_1)A + J
に含まれる。よって、(x_1)A + J を含む素イデアルは p のみである。
さて、p_1 ⊃ q ⊃ J となる素イデアルがあるとする。
(x_1)A + q ⊃ (x_1)A + J だから、(x_1)A + q を含む素イデアルも
p のみである。よって、単項イデアル定理(>>381)により整域 A/q
において x_1 mod q で生成される単項イデアルの高さは 1 である。
よって、dim(A/q) = 1 である。これは、p_1 = q を意味する。
よって、p_1 は J を含む素イデアルの中で極小である。
J は r - 1 個の元で生成されるから、帰納法の仮定より、
ht(p_1) ≦ r -1 である。つまり、s - 1 ≦ r -1 である。
よって、s ≦ r である。これは、ht(p) ≦ r を意味する。
証明終
r に関する帰納法を使う。
A を A_p で置き換えて、A は局所環で、p はその極大イデアル
としてよい。
dim(A) ≦ 0 のときは明らかだから dim(A) ≧ 1 とする。
p ⊃ p_1 ⊃ ... ⊃ p_s を長さ s の素イデアル鎖とする。
p_1 は、 p に含まれ p と異なる素イデアルの中で極大とする。
このような素イデアルが存在するのは、A がネーター環であること
により保障される。
I は p_1 に含まれないから、p_1 に含まれない x_i がある。
x_1 が p_1 に含まれないとしてよい。
(x_1)A + p_1 を含む素イデアルは p のみだから、
Ass(A/x_1A + p_1) = {p} である。よって p^n ⊂ (x_1)A + p_1
となる n > 0 がある。
I ⊂ p だから、各 i ≧ 2 で (x_i)^n ∈ (x_1)A + (y_i)A となる
p_１の元 y_i がある。
J = (y_2, ... , y_r) とおく。I の生成元 x_1, ... , x_r は
mod (x_1)A + J で、べき零だから、I の十分高いべきは、(x_1)A + J
に含まれる。よって、(x_1)A + J を含む素イデアルは p のみである。
さて、p_1 ⊃ q ⊃ J となる素イデアルがあるとする。
(x_1)A + q ⊃ (x_1)A + J だから、(x_1)A + q を含む素イデアルも
p のみである。よって、単項イデアル定理(>>381)により整域 A/q
において x_1 mod q で生成される単項イデアルの高さは 1 である。
よって、dim(A/q) = 1 である。これは、p_1 = q を意味する。
よって、p_1 は J を含む素イデアルの中で極小である。
J は r - 1 個の元で生成されるから、帰納法の仮定より、
ht(p_1) ≦ r -1 である。つまり、s - 1 ≦ r -1 である。
よって、s ≦ r である。これは、ht(p) ≦ r を意味する。
証明終
465 ：208：2005/10/21(金) 09:36:17
Krullの次元定理(>>455)は、可換代数においてネーター環における
準素イデアル分解定理の次に得られた大定理だろう。
代数的整数論では１次元の環、とくにDedekind環を扱うので、
表面的には高次元の環はあまり関係ないとも言える(実は関係はある)。
しかし、Krullの次元定理は、このスレの今までの知識で証明
出来るので述べてみた。
準素イデアル分解定理の次に得られた大定理だろう。
代数的整数論では１次元の環、とくにDedekind環を扱うので、
表面的には高次元の環はあまり関係ないとも言える(実は関係はある)。
しかし、Krullの次元定理は、このスレの今までの知識で証明
出来るので述べてみた。
466 ：１３２人目の素数さん：2005/10/21(金) 11:53:57
Raynaud「Anneaux Locaux Henseliens」の第８章94ページの定理３の（２）
「局所環Bが局所環A上local-ind-etaleのとき、Bが整閉整域ならAもそうである。」
とある。
証明は、Aが整閉整域ならBもそうであることはBがA上local-ind-etaleであることから分かる。と書いている。これは俺も納得している。
逆は明らかなのか説明は書いてない。おそらく一般的に成り立つと思われる。
たとえば、AがBの部分環であることは次のようにして分かる．
ｆ：A->Bをstructure morphismとして，I=Ker(f)とおく．
すると，（A/I）○B＝A○Bであることから，I○B=0であることが分かるが,
BはA上local-ind-etaleであるから，A上忠実平坦であるので，I=0である．
但し，○はテンソル積の意味．
最後に，A上local-ind-etaleとは次のように定義される：
局所環（A,m）上etale環Cをｍの上にlie-overする素イデアルpで局所化した環C_pをlocal-etale環と呼び，
local-etale環のfiltrant帰納系（morphismはlocal morphism，すなわち極大イデアルの逆増が極大イデアル）の極限をA上local-ind-etaleと呼ぶ．
だから，上の主張は，Bがlocal-etaleの場合でも成り立つのでそれが手がかりにもなる．
「局所環Bが局所環A上local-ind-etaleのとき、Bが整閉整域ならAもそうである。」
とある。
証明は、Aが整閉整域ならBもそうであることはBがA上local-ind-etaleであることから分かる。と書いている。これは俺も納得している。
逆は明らかなのか説明は書いてない。おそらく一般的に成り立つと思われる。
たとえば、AがBの部分環であることは次のようにして分かる．
ｆ：A->Bをstructure morphismとして，I=Ker(f)とおく．
すると，（A/I）○B＝A○Bであることから，I○B=0であることが分かるが,
BはA上local-ind-etaleであるから，A上忠実平坦であるので，I=0である．
但し，○はテンソル積の意味．
最後に，A上local-ind-etaleとは次のように定義される：
局所環（A,m）上etale環Cをｍの上にlie-overする素イデアルpで局所化した環C_pをlocal-etale環と呼び，
local-etale環のfiltrant帰納系（morphismはlocal morphism，すなわち極大イデアルの逆増が極大イデアル）の極限をA上local-ind-etaleと呼ぶ．
だから，上の主張は，Bがlocal-etaleの場合でも成り立つのでそれが手がかりにもなる．
467 ：１３２人目の素数さん：2005/10/21(金) 12:14:45
>> 466
Olivier, J.-P. Going up along absolutely flat morphisms. J. Pure Appl. Algebra 30 (1983), no. 1, 47--59.
I think your question is related to the content of this paper
and not so trivial. So I strongly recommend you to read it.
Absolutely flat morphism is more general than ind-etale maps.
Olivier, J.-P. Going up along absolutely flat morphisms. J. Pure Appl. Algebra 30 (1983), no. 1, 47--59.
I think your question is related to the content of this paper
and not so trivial. So I strongly recommend you to read it.
Absolutely flat morphism is more general than ind-etale maps.
468 ：１３２人目の素数さん：2005/10/21(金) 13:29:21
>>459
わははははははっは
わははははははっは
これは大笑いだね
大恥さらしだね
こんなバカみたことないね
「割り算」の意味すら理解してないんだな
ここまでバカだとは信じられないね
もうあんまり嬉しがらせないでよね
笑い死にしたらどうすんだよ
ついでだけど>>461の証明もみっともないよ
もういいわ
喋っても無駄なバカの集まりだった
Ass の集まりだよ
わははははははっは
わははははははっは
これは大笑いだね
大恥さらしだね
こんなバカみたことないね
「割り算」の意味すら理解してないんだな
ここまでバカだとは信じられないね
もうあんまり嬉しがらせないでよね
笑い死にしたらどうすんだよ
ついでだけど>>461の証明もみっともないよ
もういいわ
喋っても無駄なバカの集まりだった
Ass の集まりだよ
469 ：１３２人目の素数さん：2005/10/21(金) 13:44:20
>>459
の回答はいつまでも晒しておきたいくらい愚かだな
の回答はいつまでも晒しておきたいくらい愚かだな
470 ：１３２人目の素数さん：2005/10/21(金) 15:03:36
>>60
亀レスながら…
Weber の代数学教程第3巻のみ邦訳有。
（ただし、代数関数の部分は省略されています）
片山氏が邦訳したものが私家版で出版されています。
在庫の有無は津田塾に尋ねると良いでしょう。
確か送料込みで４ｋ弱だったはず。
（紙代＋製本代を実費負担、という感じです）
亀レスながら…
Weber の代数学教程第3巻のみ邦訳有。
（ただし、代数関数の部分は省略されています）
片山氏が邦訳したものが私家版で出版されています。
在庫の有無は津田塾に尋ねると良いでしょう。
確か送料込みで４ｋ弱だったはず。
（紙代＋製本代を実費負担、という感じです）
471 ：１３２人目の素数さん：2005/10/21(金) 15:38:07
>>467
本当にありがとうございます。早速手に入れて読んでみます。
467さんは、この代数幾何・整数論・可換環論などの専門家なのですね。
恐れ入りました。
Raynaudの本はもう８章で終わらそうと思っています。
なんか８章の最後が飛びすぎてて、９章以降読んでも完全に分かりそうな気がしなくなった。
本当にありがとうございます。早速手に入れて読んでみます。
467さんは、この代数幾何・整数論・可換環論などの専門家なのですね。
恐れ入りました。
Raynaudの本はもう８章で終わらそうと思っています。
なんか８章の最後が飛びすぎてて、９章以降読んでも完全に分かりそうな気がしなくなった。
472 ：１３２人目の素数さん：2005/10/21(金) 16:00:15
473 ：１３２人目の素数さん：2005/10/21(金) 16:05:08
そんな事を言っても208の自演だと言い出すに決まっている。
相手をすると病状が悪くなるらしい。俺はこのスレ好きだから
無視してやって欲しい。オネガイ。
相手をすると病状が悪くなるらしい。俺はこのスレ好きだから
無視してやって欲しい。オネガイ。
474 ：１３２人目の素数さん：2005/10/21(金) 16:37:03
475 ：１３２人目の素数さん：2005/10/21(金) 16:44:13
>>472>>473
ねんのため言っておいてやろう
たとえば>>425>>363
は「割り算」の意味を理解してるね
>>459が冗談で言ってるんじゃなかったら
真性のアホだよ
それがわからないｵﾏｴﾗは同類ということだよ
ねんのため言っておいてやろう
たとえば>>425>>363
は「割り算」の意味を理解してるね
>>459が冗談で言ってるんじゃなかったら
真性のアホだよ
それがわからないｵﾏｴﾗは同類ということだよ
476 ：208：2005/10/21(金) 16:49:02
整数論ってのはトンデモを引き寄せるんだよな。
自然数という素朴な対象を相手にしてるからとっつきやすいんだろうな。
奴もJordan-Holderなんて頭素通りなんだろうね。
分かるのは四則演算くらい。だから、素因数分解と聞いて飛びついた。
ところが、期待してた証明と違うんで八つ当たり。
こんなとこだろ。
自然数という素朴な対象を相手にしてるからとっつきやすいんだろうな。
奴もJordan-Holderなんて頭素通りなんだろうね。
分かるのは四則演算くらい。だから、素因数分解と聞いて飛びついた。
ところが、期待してた証明と違うんで八つ当たり。
こんなとこだろ。
477 ：１３２人目の素数さん：2005/10/21(金) 16:56:40
>>476
おまえが何を言おうと今回は大恥かいてるよ
それすらわからないんだな
重症だな
>>459というﾊﾞｶ丸出しを引き出せて俺は心底満足してる
しかしおまえの名誉のためつけ加えてやろう
他の数学の書き方はまあちゃんとしてるから
症状は自閉症だろ
おまえが何を言おうと今回は大恥かいてるよ
それすらわからないんだな
重症だな
>>459というﾊﾞｶ丸出しを引き出せて俺は心底満足してる
しかしおまえの名誉のためつけ加えてやろう
他の数学の書き方はまあちゃんとしてるから
症状は自閉症だろ
478 ：１３２人目の素数さん：2005/10/21(金) 16:59:42
479 ：208：2005/10/21(金) 17:31:59
はっきりさせようじゃないか。
普通の人間にわかるように説明してみろ。
お前のいう割り算とはどういう意味で、それが何故簡単じゃないのか。
普通の人間にわかるように説明してみろ。
お前のいう割り算とはどういう意味で、それが何故簡単じゃないのか。
480 ：１３２人目の素数さん：2005/10/21(金) 17:46:49
おいおい
>>425でも読んでアタマ冷やせよ
これ以上恥の上塗りするのかね
とんでもない教えてくんだね
いままでの罵詈雑言を考えたらね
おれはおまえのようなバカに教えてやる義理はないよ
おまえはエライからなんでもわかってるんだろ
しかしヒントだけいってやろう
おまえだって素因数分解の一意性の普通の証明しってるだろ
それを反省してみなよ
>>425でも読んでアタマ冷やせよ
これ以上恥の上塗りするのかね
とんでもない教えてくんだね
いままでの罵詈雑言を考えたらね
おれはおまえのようなバカに教えてやる義理はないよ
おまえはエライからなんでもわかってるんだろ
しかしヒントだけいってやろう
おまえだって素因数分解の一意性の普通の証明しってるだろ
それを反省してみなよ
481 ：１３２人目の素数さん：2005/10/21(金) 17:53:11
>>479
いっとくがおれは>>459が出たから
ここで引き下がって痛くも痒くもない
わかる人間がよめばはっきりするからな
悔し紛れに逃げたとかほざいても
恥の上塗りだって覚えておきなよ
おれはその方がおもしろいけど
いっとくがおれは>>459が出たから
ここで引き下がって痛くも痒くもない
わかる人間がよめばはっきりするからな
悔し紛れに逃げたとかほざいても
恥の上塗りだって覚えておきなよ
おれはその方がおもしろいけど
482 ：208：2005/10/21(金) 17:54:24
ヒントじゃねえよ。
いいから、説明しろよ、この野郎。
説明出来ないなら初めから引っ込んでろ。
いいから、説明しろよ、この野郎。
説明出来ないなら初めから引っ込んでろ。
483 ：１３２人目の素数さん：2005/10/21(金) 18:00:13
やだよ
恥かき男が強がり言うな
わからなきゃはじめから演習だなんて
偉そうなこと書くんじゃねえよ
ばか
やっぱりおまえは教えて君そのものだったな
恥かき男が強がり言うな
わからなきゃはじめから演習だなんて
偉そうなこと書くんじゃねえよ
ばか
やっぱりおまえは教えて君そのものだったな
484 ：１３２人目の素数さん：2005/10/21(金) 18:03:08
自閉症をからかっちゃいけないよ
485 ：１３２人目の素数さん：2005/10/21(金) 18:11:24
>>485
そうだね好きでなったわけじゃないし
そうだね好きでなったわけじゃないし
486 ：208：2005/10/21(金) 18:14:18
お前さあ、俺の証明にケチつけたんだろ。
だったら、その理由を説明しろよ。
それを、やだよって、気は確かかよ（キ印クンにこう聞くのは、
我ながら書いてて可笑しいが）。
理由を説明するのは、お前の名誉の為なんだよ。
説明出来ないのは、お前がトンデモだってこと。
だったら、その理由を説明しろよ。
それを、やだよって、気は確かかよ（キ印クンにこう聞くのは、
我ながら書いてて可笑しいが）。
理由を説明するのは、お前の名誉の為なんだよ。
説明出来ないのは、お前がトンデモだってこと。
487 ：１３２人目の素数さん：2005/10/21(金) 18:18:13
いいか
もう終わってるの
終わってないのはおまえだけ
俺がトンデモでも何でもいいの
恥をかいてるのは お ま え
強がりしかいわないおまえなんかに誰がおしえてやるかよバカ
もう終わってるの
終わってないのはおまえだけ
俺がトンデモでも何でもいいの
恥をかいてるのは お ま え
強がりしかいわないおまえなんかに誰がおしえてやるかよバカ
488 ：１３２人目の素数さん：2005/10/21(金) 18:21:01
おれはもうおまえが
あがけばあがくほど愉快になってきてるよ
ホントに>>459は傑作
世の中にこんなバカがいるなんて
楽しいことだね
いくらでも罵詈雑言いってもいいからね
おまえの>>459は不滅の金字塔だよ
あがけばあがくほど愉快になってきてるよ
ホントに>>459は傑作
世の中にこんなバカがいるなんて
楽しいことだね
いくらでも罵詈雑言いってもいいからね
おまえの>>459は不滅の金字塔だよ
489 ：１３２人目の素数さん：2005/10/21(金) 18:23:00
208
のおかげですく
1000
行きそうだなｗ
のおかげですく
1000
行きそうだなｗ
490 ：１３２人目の素数さん：2005/10/21(金) 18:24:40
つまり、「分数は割り算とは違う」という主張かね。
491 ：１３２人目の素数さん：2005/10/21(金) 18:25:43
とことん人が悪いね
492 ：１３２人目の素数さん：2005/10/21(金) 18:30:13
208は小学校で割り算習わなかったのかな
493 ：１３２人目の素数さん：2005/10/21(金) 18:35:02
分かったら赤面するか、青ざめるか、どっちだ。
494 ：208：2005/10/21(金) 19:46:27
n/p_1 = (p_1)^(n_1 - 1)...(p_r)^(n_r)
これは割り算だろ。
例えば、10/2 = 5 というのは、１０を２で割ったら５という意味だ。
これが割り算でないって、どういう頭してんだ？？？
これは割り算だろ。
例えば、10/2 = 5 というのは、１０を２で割ったら５という意味だ。
これが割り算でないって、どういう頭してんだ？？？
495 ：208：2005/10/21(金) 20:04:31
>>488
とにかく、お前の考えはわかってんだよ。素因数分解の普通の
証明のことを言ってんだろ。それが、お前には、難しいんだよな。
だから、俺が、Jordan-Holderを使えばすぐ出ると言ったことに
カチンときたわけだ。そんな、はずはないとな。
Jordan-Holderは、お前の理解を超えてんだよ。
だから、見当違いのレスを書く。
とにかく、お前の考えはわかってんだよ。素因数分解の普通の
証明のことを言ってんだろ。それが、お前には、難しいんだよな。
だから、俺が、Jordan-Holderを使えばすぐ出ると言ったことに
カチンときたわけだ。そんな、はずはないとな。
Jordan-Holderは、お前の理解を超えてんだよ。
だから、見当違いのレスを書く。
496 ：１３２人目の素数さん：2005/10/21(金) 21:51:29
>>495
上の方の人が言ってる割り算ってのは多分剰余付きの割り算の事でしょ。
a=qb+rみたいな。
「有理整数環Zでは『割り算』が出来る、つまりZはEuclid整域である」
という事を本質的に使ってる、と言ってるんじゃないの?
『割り算』を本質的に用いなければ
素因数分解はおろかZ/nZの性質のほとんどは導けないかと。
例えばZ/nZがn個の元からなる事とか。
上の方の人が言ってる割り算ってのは多分剰余付きの割り算の事でしょ。
a=qb+rみたいな。
「有理整数環Zでは『割り算』が出来る、つまりZはEuclid整域である」
という事を本質的に使ってる、と言ってるんじゃないの?
『割り算』を本質的に用いなければ
素因数分解はおろかZ/nZの性質のほとんどは導けないかと。
例えばZ/nZがn個の元からなる事とか。
497 ：１３２人目の素数さん：2005/10/22(土) 01:55:14
498 ：１３２人目の素数さん：2005/10/22(土) 04:10:21
>>471
In case all rings are local Noetherian, you can use Serre's
criterion of normality ((R_{1}) and (S_{2})) to solve
the problem. See Matsumura.
In case all rings are local Noetherian, you can use Serre's
criterion of normality ((R_{1}) and (S_{2})) to solve
the problem. See Matsumura.
499 ：１３２人目の素数さん：2005/10/22(土) 04:16:39
キチガイの勘違いのヒントは>>365にあり、だな。
500 ：１３２人目の素数さん：2005/10/22(土) 15:52:01
どっか頭のネジが緩んでる!!
501 ：１３２人目の素数さん：2005/10/22(土) 21:10:53
age
502 ：208：2005/10/24(月) 09:42:45
496
>「有理整数環Zでは『割り算』が出来る、つまりZはEuclid整域である」
>という事を本質的に使ってる、と言ってるんじゃないの?
それ(代数の初歩で習うこと)を俺に説教しようと思ってるんだろうなw
たぶん、奴には別証という概念がないんだろうな。
つまり、素因数分解の証明はただ１種類しかないと思ってるんだろう。
>>441の証明の G は 位数 n の巡回群であればいい。Z/nZ である
必要ない。俺は、分かりやすくしようと、Z/nZ を例にしただけ。
例えば、G として対称群における長さ n の巡回置換の生成する部分群
をとればいい。
だとすると、剰余付きの割り算 a=qb+r は必ずしも必要ないだろう
(詳しく検討したわけではないが)。
さらに、G は巡回群でなくても有限アーベル群ならいい。
>「有理整数環Zでは『割り算』が出来る、つまりZはEuclid整域である」
>という事を本質的に使ってる、と言ってるんじゃないの?
それ(代数の初歩で習うこと)を俺に説教しようと思ってるんだろうなw
たぶん、奴には別証という概念がないんだろうな。
つまり、素因数分解の証明はただ１種類しかないと思ってるんだろう。
>>441の証明の G は 位数 n の巡回群であればいい。Z/nZ である
必要ない。俺は、分かりやすくしようと、Z/nZ を例にしただけ。
例えば、G として対称群における長さ n の巡回置換の生成する部分群
をとればいい。
だとすると、剰余付きの割り算 a=qb+r は必ずしも必要ないだろう
(詳しく検討したわけではないが)。
さらに、G は巡回群でなくても有限アーベル群ならいい。
503 ：208：2005/10/24(月) 10:24:00
定義
A を環、B を A-代数とする。つまり、環としての射 A → B
があるとする。B が A-代数として有限生成または有限型であるとは、
A 上の多項式環 A[X_1, ... , X_n] から B への A-代数としての
全射 A[X_1, ... , X_n] → B があることをいう。
つまり、B に有限個の元の列 b_1, ... , b_n があり、
B は A-代数として、これらで生成される。
このとき、B = A[b_1, ... , b_n] と書く。
この射の核が A[X_1, ... , X_n] のイデアルとして
有限生成であるとき、B を強有限生成または有限表示
(finite presentation)をもつという。
A がネーター環のときは、A[X_1, ... , X_n] もネーター環だから
B が A 上有限生成であるなら強有限生成でもある。
A を環、B を A-代数とする。つまり、環としての射 A → B
があるとする。B が A-代数として有限生成または有限型であるとは、
A 上の多項式環 A[X_1, ... , X_n] から B への A-代数としての
全射 A[X_1, ... , X_n] → B があることをいう。
つまり、B に有限個の元の列 b_1, ... , b_n があり、
B は A-代数として、これらで生成される。
このとき、B = A[b_1, ... , b_n] と書く。
この射の核が A[X_1, ... , X_n] のイデアルとして
有限生成であるとき、B を強有限生成または有限表示
(finite presentation)をもつという。
A がネーター環のときは、A[X_1, ... , X_n] もネーター環だから
B が A 上有限生成であるなら強有限生成でもある。
504 ：208：2005/10/24(月) 10:26:32
定義
A を環、B を A-代数とする。
B が A-加群として有限生成のとき、B を A 上有限な代数という。
A を環、B を A-代数とする。
B が A-加群として有限生成のとき、B を A 上有限な代数という。
505 ：208：2005/10/24(月) 10:42:46
命題
A を環、B を有限なA-代数とする。
このとき、B の各元 x に対してモニックな多項式 f(X) ∈ A[X]
があり、f(x) = 0 となる。
証明
B の A-加群としての生成元を ω_1, ... , ω_n とする。
以下の関係式が成立つ。
xω_1 = a_(1,1) ω_1 + a_(1,2) ω_2 + ... + a_(1,n) ω_n
xω_2 = a_(2,1) ω_1 + a_(2,2) ω_2 + ... + a_(2,n) ω_n
.
.
.
xω_n = a_(n,1) ω_1 + a_(n,2) ω_2 + ... + a_(n,n) ω_n
ここで、各 a(i,j) は A の元。
行列 (a_(i,j)) を T とおく。
>>236 より det(xE - T)B = 0 となる。E は n-次の単位行列。
よって、det(xE - T) = 0 である。
この行列式を展開すると、命題の主張が得られる。
証明終
A を環、B を有限なA-代数とする。
このとき、B の各元 x に対してモニックな多項式 f(X) ∈ A[X]
があり、f(x) = 0 となる。
証明
B の A-加群としての生成元を ω_1, ... , ω_n とする。
以下の関係式が成立つ。
xω_1 = a_(1,1) ω_1 + a_(1,2) ω_2 + ... + a_(1,n) ω_n
xω_2 = a_(2,1) ω_1 + a_(2,2) ω_2 + ... + a_(2,n) ω_n
.
.
.
xω_n = a_(n,1) ω_1 + a_(n,2) ω_2 + ... + a_(n,n) ω_n
ここで、各 a(i,j) は A の元。
行列 (a_(i,j)) を T とおく。
>>236 より det(xE - T)B = 0 となる。E は n-次の単位行列。
よって、det(xE - T) = 0 である。
この行列式を展開すると、命題の主張が得られる。
証明終
506 ：208：2005/10/24(月) 12:42:46
定義
A を環、B を A-代数とする。
B の x に対してモニックな多項式 f(X) ∈ A[X] があり、
f(x) = 0 となるとき、x を A 上、整(integral)であるという。
B のすべての元が A 上整のとき、B を A 上整であるという。
(注意) この定義における A-代数 B の構造射 A → B は必ずしも
単射でなくともよい。
A を環、B を A-代数とする。
B の x に対してモニックな多項式 f(X) ∈ A[X] があり、
f(x) = 0 となるとき、x を A 上、整(integral)であるという。
B のすべての元が A 上整のとき、B を A 上整であるという。
(注意) この定義における A-代数 B の構造射 A → B は必ずしも
単射でなくともよい。
507 ：208：2005/10/24(月) 12:43:19
命題
A を環、B を A-代数とする。
B の x が A 上整であるなら A[x] は A-加群として有限生成である。
証明
A の元の列 a_1, ... , a_n で、
x^n + a_1x^(n-1) + ... + a_n = 0
となるものがある。
よって、x^n ∈ A+ Ax + ... + Ax^(n-1) である。
これから帰納法で任意の m に対して
x^m ∈ A+ Ax + ... + Ax^(n-1) となることがわかる。
よって、A[x] = A+ Ax + ... + Ax^(n-1)
証明終
A を環、B を A-代数とする。
B の x が A 上整であるなら A[x] は A-加群として有限生成である。
証明
A の元の列 a_1, ... , a_n で、
x^n + a_1x^(n-1) + ... + a_n = 0
となるものがある。
よって、x^n ∈ A+ Ax + ... + Ax^(n-1) である。
これから帰納法で任意の m に対して
x^m ∈ A+ Ax + ... + Ax^(n-1) となることがわかる。
よって、A[x] = A+ Ax + ... + Ax^(n-1)
証明終
508 ：208：2005/10/24(月) 12:44:27
命題(有限代数の推移律)
環の射 A → B → C において、
B は A 上有限、C は B 上有限とする
このとき、C は A 上有限である。
証明
B = Ax_1 + ... + Ax_n
C = By_1 + ... + By_m
とする。
C = ΣA(x_i)(y_j)
となる。ここに、和は i, j のすべての組み合わせを渡る。
証明終
環の射 A → B → C において、
B は A 上有限、C は B 上有限とする
このとき、C は A 上有限である。
証明
B = Ax_1 + ... + Ax_n
C = By_1 + ... + By_m
とする。
C = ΣA(x_i)(y_j)
となる。ここに、和は i, j のすべての組み合わせを渡る。
証明終
509 ：208：2005/10/24(月) 12:51:59
510 ：208：2005/10/24(月) 12:58:00
命題
A を環、B を A-代数とする。
A 上整な B の元全体は B の部分 A-代数となる。
証明
x, y を B の元で A 上整とする。
>>509 より A[x, y] は、A 上有限である。
よって、>>505 より、A[x, y] は、A 上整である。
証明終
A を環、B を A-代数とする。
A 上整な B の元全体は B の部分 A-代数となる。
証明
x, y を B の元で A 上整とする。
>>509 より A[x, y] は、A 上有限である。
よって、>>505 より、A[x, y] は、A 上整である。
証明終
511 ：208：2005/10/24(月) 13:05:44
命題(整代数の推移律)
環の射 A → B → C において、
B は A 上整、C は B 上整とする
このとき、C は A 上整である。
証明
C の元 y は
y^n + b_1y^(n-1) + ... + b_n = 0
の形の関係式を満たす。
ここで、b_1, ... , b_n は、B の元の列。
よって、y は A[b_1, ... , b_n] 上整である。
よって、A[b_1, ... , b_n, y] は A 上有限代数である(>>507, >>508)。
よって、y は A 上整である(>>505)。
証明終
環の射 A → B → C において、
B は A 上整、C は B 上整とする
このとき、C は A 上整である。
証明
C の元 y は
y^n + b_1y^(n-1) + ... + b_n = 0
の形の関係式を満たす。
ここで、b_1, ... , b_n は、B の元の列。
よって、y は A[b_1, ... , b_n] 上整である。
よって、A[b_1, ... , b_n, y] は A 上有限代数である(>>507, >>508)。
よって、y は A 上整である(>>505)。
証明終
512 ：208：2005/10/24(月) 13:21:58
命題
環の射 A → B → C において、
B は A 上整とする
B → C が全射なら、C は A 上整である。
証明
明らか。
環の射 A → B → C において、
B は A 上整とする
B → C が全射なら、C は A 上整である。
証明
明らか。
513 ：208：2005/10/24(月) 13:30:13
命題(整代数の係数拡大)
A を環、B を A 上整な代数とする。
A → C を環の射とする。
B(x)C は C 上整である。
ここで、B(x)C は B と C の A 上のテンソル積。
証明
B → B(x)C を x に x(x)1 を対応させる標準射とする。
この射の像を B' とする。
B' の元は A 上整である(>>512)から C 上整でもある。
よって、B(x)C は C 上整である。
証明終
A を環、B を A 上整な代数とする。
A → C を環の射とする。
B(x)C は C 上整である。
ここで、B(x)C は B と C の A 上のテンソル積。
証明
B → B(x)C を x に x(x)1 を対応させる標準射とする。
この射の像を B' とする。
B' の元は A 上整である(>>512)から C 上整でもある。
よって、B(x)C は C 上整である。
証明終
514 ：208：2005/10/24(月) 13:34:53
命題(整代数の局所化)
A を環、B を A 上整な代数とする。
S を A の積閉集合(>>63)とする。
B_S は A_S 上整である。
証明
B_S = B(x)A_S である(>>85)。
よって、これは >>513 の特別な場合である。
証明終
A を環、B を A 上整な代数とする。
S を A の積閉集合(>>63)とする。
B_S は A_S 上整である。
証明
B_S = B(x)A_S である(>>85)。
よって、これは >>513 の特別な場合である。
証明終
515 ：208：2005/10/24(月) 13:47:43
命題
B を整域で、k をその部分体とする。
B が k 上整なら、B は体である。
証明
y ≠ 0 を B の元とする。
k[y] は k 上有限代数である(>>507)。よってこれは Artin環である。
よって、これは体である(>>294)。よって、1/y ∈ k[y] ⊂ B
証明終
B を整域で、k をその部分体とする。
B が k 上整なら、B は体である。
証明
y ≠ 0 を B の元とする。
k[y] は k 上有限代数である(>>507)。よってこれは Artin環である。
よって、これは体である(>>294)。よって、1/y ∈ k[y] ⊂ B
証明終
516 ：208：2005/10/24(月) 13:54:11
命題
K を体、A をその部分環とする。
K が A 上整なら、A は体である。
証明
x ≠ 0 を A の元とする。
(1/x)^n + a_1(1/x)^(n-1) + ... + a_n = 0
ここで、a_1, ... , a_n は、A の元の列。
この式の両辺に x^(n-1) を掛けると、
1/x ∈ A となる。
証明終
K を体、A をその部分環とする。
K が A 上整なら、A は体である。
証明
x ≠ 0 を A の元とする。
(1/x)^n + a_1(1/x)^(n-1) + ... + a_n = 0
ここで、a_1, ... , a_n は、A の元の列。
この式の両辺に x^(n-1) を掛けると、
1/x ∈ A となる。
証明終
517 ：１３２人目の素数さん：2005/10/24(月) 13:59:59
>だとすると、剰余付きの割り算 a=qb+r は必ずしも必要ないだろう
ようやくここまできたか
俺がキチガイであっても
アタマのネジはゆるんでいない
ゆるんでるのはおまえらのほうだよ
よく反省して見ろ
もっともバカだから反省の概念はないんだろうけど
ようやくここまできたか
俺がキチガイであっても
アタマのネジはゆるんでいない
ゆるんでるのはおまえらのほうだよ
よく反省して見ろ
もっともバカだから反省の概念はないんだろうけど
518 ：208：2005/10/24(月) 14:07:21
補題
A を局所環、B を A 上整な代数とする。
m を A の極大イデアルとする。
B の任意の極大イデアル q に対して φ^(-1)(q) = m である。
ここで、φは 構造射 A → B である。
証明
環の射 A → B → B/q の合成 A → B/q を考える。
この射の核は、φ^(-1)(q) である。
よって、単射 A/φ^(-1)(q) → B/q が得られる。
B/q は A 上整である(>>512)から、A/φ^(-1)(q) 上整でもある。
よって、A/φ^(-1)(q) は体である(>>516)。
よって、φ^(-1)(q)は、極大イデアルである。
A は局所環だから、φ^(-1)(q) = m である。
証明終
A を局所環、B を A 上整な代数とする。
m を A の極大イデアルとする。
B の任意の極大イデアル q に対して φ^(-1)(q) = m である。
ここで、φは 構造射 A → B である。
証明
環の射 A → B → B/q の合成 A → B/q を考える。
この射の核は、φ^(-1)(q) である。
よって、単射 A/φ^(-1)(q) → B/q が得られる。
B/q は A 上整である(>>512)から、A/φ^(-1)(q) 上整でもある。
よって、A/φ^(-1)(q) は体である(>>516)。
よって、φ^(-1)(q)は、極大イデアルである。
A は局所環だから、φ^(-1)(q) = m である。
証明終
519 ：１３２人目の素数さん：2005/10/24(月) 14:10:39
>ようやくここまできたか
ここまで来るのに一週間。バカの巣窟。
ここまで来るのに一週間。バカの巣窟。
520 ：208：2005/10/24(月) 14:26:10
定理(Cohen-Seidenberg)
φ: A → B を環の射で単射とする。
q に φ^(-1)(q) を対応させることにより、
標準射 Spec(B) → Spec(A) が得られるが(>>206)、
B が A 上整なら、これは全射である。
証明
p ∈ Spec(A) に対して S = A - p とおく。
A_S → B_S は単射である(>>86)。
よって、B_S は空でない。よって Spec(B_S) も空でない。
B_S は A_S 上整(>>514)であり、A_S は局所環だから、
B_S の極大イデアル q' の射 A_S → B_S による逆像は
A_S の極大イデアル pA_S である(>>518)。
q' に対応する B の素イデアルを q とすれば、
φ^(-1)(q) = p となる(適当な可換図式を描けば分かる)。
証明終
φ: A → B を環の射で単射とする。
q に φ^(-1)(q) を対応させることにより、
標準射 Spec(B) → Spec(A) が得られるが(>>206)、
B が A 上整なら、これは全射である。
証明
p ∈ Spec(A) に対して S = A - p とおく。
A_S → B_S は単射である(>>86)。
よって、B_S は空でない。よって Spec(B_S) も空でない。
B_S は A_S 上整(>>514)であり、A_S は局所環だから、
B_S の極大イデアル q' の射 A_S → B_S による逆像は
A_S の極大イデアル pA_S である(>>518)。
q' に対応する B の素イデアルを q とすれば、
φ^(-1)(q) = p となる(適当な可換図式を描けば分かる)。
証明終
521 ：１３２人目の素数さん：2005/10/24(月) 14:37:14
>>496
が親切に助け船だしてくれたのに
無視する208ってホントに自信過剰で
それゆえにホントの真性バカだと証明されたね
ちょっと前までは
>例えば、10/2 = 5 というのは、１０を２で割ったら５という意味だ。
>これが割り算でないって、どういう頭してんだ？？？
などと噴飯ものの恥の上塗りを繰り返しておきながら
>たぶん、奴には別証という概念がないんだろうな。
などと無反省にくりかえす哀れな奴だね
>(詳しく検討したわけではないが)。
といいながら相手をキチガイ扱いする
これが208の正体だよ
が親切に助け船だしてくれたのに
無視する208ってホントに自信過剰で
それゆえにホントの真性バカだと証明されたね
ちょっと前までは
>例えば、10/2 = 5 というのは、１０を２で割ったら５という意味だ。
>これが割り算でないって、どういう頭してんだ？？？
などと噴飯ものの恥の上塗りを繰り返しておきながら
>たぶん、奴には別証という概念がないんだろうな。
などと無反省にくりかえす哀れな奴だね
>(詳しく検討したわけではないが)。
といいながら相手をキチガイ扱いする
これが208の正体だよ
522 ：１３２人目の素数さん：2005/10/24(月) 14:43:12
523 ：１３２人目の素数さん：2005/10/24(月) 14:52:47
あのーここはもともと208隔離用のスレなので
208が好き勝手書いていいところなんですよ
208が好き勝手書いていいところなんですよ
524 ：208：2005/10/24(月) 16:18:19
525 ：１３２人目の素数さん：2005/10/24(月) 23:58:37
長さnの巡回置換が位数n(ここでは「n乗して始めて1になる」と定義)
ってのは特に何も使わずに示せるけど、
「位数nの元の生成する部分群の位数はn」ってのは『割り算』しないと導けないかと。
aを位数nの元として、{a^i|i=0, 1, ..., n-1}が部分群となる事を示すには、
任意のi, j=0, 1, ..., n-1に対しあるk=0, 1, ..., n-1が存在して
a^i・a^j=a^kである事を示せなきゃいけない。
このkとしては、i+jをnで『割った』余りとするか、
i+jとnの大小関係で場合分け(実質的に『割り算』するのと同じ)する事になる。
ここで『割り算』が必要になる。
あと、
＞G は巡回群でなくても有限アーベル群ならいい。
にしても、位数nのAbel群の存在を示さなきゃいけない。
また、あの証明はあんまり一般化出来ない。
例えばEuclid整域であるZ[√(-1)]にさえ適用できない。
最後の部分で「Z/pZの同型類からpが(可逆元倍を除いて)一意に定まる」って事実を使ってる。
けど、Z[√(-1)]/(2+√(-1))とZ[√(-1)]/(2-√(-1))は同型なので、
これはZ[√(-1)]には適用できない。
なので、一般の整域において成り立つ事実「素元分解の一意性」の証明に使える訳じゃない。
やっぱりJordan-Holderの定理は、素因数分解の一意性とは
方向性が微妙にずれてる気がする(本質を捉えてない気がする)。
「ZはEuclid整域」ってのを認めた時点で、
「Euclid整域はUFD」っていう一般的事実から素因数分解の一意性が出る訳だし。
上記の通り、「Euclid整域はUFD」の証明に>>441の証明が流用できる訳じゃないし。
無茶苦茶細かい論点だけどね。
ってのは特に何も使わずに示せるけど、
「位数nの元の生成する部分群の位数はn」ってのは『割り算』しないと導けないかと。
aを位数nの元として、{a^i|i=0, 1, ..., n-1}が部分群となる事を示すには、
任意のi, j=0, 1, ..., n-1に対しあるk=0, 1, ..., n-1が存在して
a^i・a^j=a^kである事を示せなきゃいけない。
このkとしては、i+jをnで『割った』余りとするか、
i+jとnの大小関係で場合分け(実質的に『割り算』するのと同じ)する事になる。
ここで『割り算』が必要になる。
あと、
＞G は巡回群でなくても有限アーベル群ならいい。
にしても、位数nのAbel群の存在を示さなきゃいけない。
また、あの証明はあんまり一般化出来ない。
例えばEuclid整域であるZ[√(-1)]にさえ適用できない。
最後の部分で「Z/pZの同型類からpが(可逆元倍を除いて)一意に定まる」って事実を使ってる。
けど、Z[√(-1)]/(2+√(-1))とZ[√(-1)]/(2-√(-1))は同型なので、
これはZ[√(-1)]には適用できない。
なので、一般の整域において成り立つ事実「素元分解の一意性」の証明に使える訳じゃない。
やっぱりJordan-Holderの定理は、素因数分解の一意性とは
方向性が微妙にずれてる気がする(本質を捉えてない気がする)。
「ZはEuclid整域」ってのを認めた時点で、
「Euclid整域はUFD」っていう一般的事実から素因数分解の一意性が出る訳だし。
上記の通り、「Euclid整域はUFD」の証明に>>441の証明が流用できる訳じゃないし。
無茶苦茶細かい論点だけどね。
526 ：１３２人目の素数さん：2005/10/25(火) 00:13:55
書き忘れたけど、>>525においては「素元:=生成する単項イデアルが素イデアル≠既約元」ね(素数:=Zの既約元)。
527 ：１３２人目の素数さん：2005/10/25(火) 00:30:33
一般化になっている、ってことじゃ駄目なの？
あるいは同種の状況、とか
ってかこんなどうでも良いことでも昔々ののメンバーたちは多分
あるいは同種の状況、とか
ってかこんなどうでも良いことでも昔々ののメンバーたちは多分
528 ：１３２人目の素数さん：2005/10/25(火) 00:32:39
小指がEnterに当たって送信しちゃったよorz
ってかこんなどうでも良いことでも昔々のBourbakiのメンバーたちは
多分喧々諤々の物凄い議論をして、数学原論をつくったんだろうな
まあ彼らの中に論点を無駄に隠して引っ張ったり矢鱈偉そうに俺が出したヒントがどうの、
というキチガイは居なかっただろうが
ってかこんなどうでも良いことでも昔々のBourbakiのメンバーたちは
多分喧々諤々の物凄い議論をして、数学原論をつくったんだろうな
まあ彼らの中に論点を無駄に隠して引っ張ったり矢鱈偉そうに俺が出したヒントがどうの、
というキチガイは居なかっただろうが
529 ：208：2005/10/25(火) 10:12:10
>>525
>i+jとnの大小関係で場合分け(実質的に『割り算』するのと同じ)する事になる。
>ここで『割り算』が必要になる。
君の言ってることは、百も承知してるけど(そういう意見が出るのは予想して>>502を書いた)、
それは見方によると思うが。
i + j から n を引けば n 以下になるのは明らか(i、ｊ が n 以下のとき)。
これは、割り算っていうより引き算だろう(見方によるが)。
>また、あの証明はあんまり一般化出来ない。
俺はあの証明が一般化出来るとか既存の証明より優れているとか
一言も言ってないよ。
>i+jとnの大小関係で場合分け(実質的に『割り算』するのと同じ)する事になる。
>ここで『割り算』が必要になる。
君の言ってることは、百も承知してるけど(そういう意見が出るのは予想して>>502を書いた)、
それは見方によると思うが。
i + j から n を引けば n 以下になるのは明らか(i、ｊ が n 以下のとき)。
これは、割り算っていうより引き算だろう(見方によるが)。
>また、あの証明はあんまり一般化出来ない。
俺はあの証明が一般化出来るとか既存の証明より優れているとか
一言も言ってないよ。
530 ：208：2005/10/25(火) 10:58:49
>>528
>ってかこんなどうでも良いことでも昔々のBourbakiのメンバーたちは
>多分喧々諤々の物凄い議論をして、数学原論をつくったんだろうな
ないってw
Bourbakiに失礼だよ。
Jordan-Holderから素因数分解の一意性が出るというのはBourbakiも書いてるけどな。
>ってかこんなどうでも良いことでも昔々のBourbakiのメンバーたちは
>多分喧々諤々の物凄い議論をして、数学原論をつくったんだろうな
ないってw
Bourbakiに失礼だよ。
Jordan-Holderから素因数分解の一意性が出るというのはBourbakiも書いてるけどな。
531 ：208：2005/10/25(火) 12:44:44
>>515 は次の命題を使ったほうがいいだろう。
命題
A を環、M を長さ有限の A-加群、
f ∈ Hom(M, M) とする。
f が単射なら全射である。
証明
leng(M) = leng(Im(M)) である。
よって M = Im(M) でなければならない(>>289)。
証明終
>>515 の k[y] において、この命題を写像 f(x) = yx に適用すればよい。
命題
A を環、M を長さ有限の A-加群、
f ∈ Hom(M, M) とする。
f が単射なら全射である。
証明
leng(M) = leng(Im(M)) である。
よって M = Im(M) でなければならない(>>289)。
証明終
>>515 の k[y] において、この命題を写像 f(x) = yx に適用すればよい。
532 ：208：2005/10/25(火) 12:50:54
>>520
>φ^(-1)(q) = p となる(適当な可換図式を描けば分かる)。
以下の図が、その可換図式
A → A_S
| |
v v
B → B_S
これの各環に Spec を作用させて得られる可換図式を考えてもいい。
この場合、矢印の向きが逆になる。
>φ^(-1)(q) = p となる(適当な可換図式を描けば分かる)。
以下の図が、その可換図式
A → A_S
| |
v v
B → B_S
これの各環に Spec を作用させて得られる可換図式を考えてもいい。
この場合、矢印の向きが逆になる。
533 ：208：2005/10/25(火) 12:52:20
534 ：208：2005/10/25(火) 13:02:55
命題
A を環、p ∈ Spec(A) とする。
A_p/pA_p は A/p の商体に標準的に同型である。
証明
S = A - p とおく。
完全列 0 → p → A → A/p → 0 より、
0 → p_S → A_S → (A/p)_S → 0
は完全。よって、(A/p)_S = A_S/pA_S。
一方、(A/p)_S は、A/p の商体に同型である。
証明終
A を環、p ∈ Spec(A) とする。
A_p/pA_p は A/p の商体に標準的に同型である。
証明
S = A - p とおく。
完全列 0 → p → A → A/p → 0 より、
0 → p_S → A_S → (A/p)_S → 0
は完全。よって、(A/p)_S = A_S/pA_S。
一方、(A/p)_S は、A/p の商体に同型である。
証明終
535 ：208：2005/10/25(火) 13:08:12
定義
A を環、p ∈ Spec(A) とする。
A_p/pA_p を k(p) またはκ(p)と書く。
EGA などはκ(p) を使ってるが、k(p)のほうが書きやすいので
このスレではk(p)を使う。ただし、k は体の記号としてよく使う
ので、紛らわしい場合はκ(p)を使うことにする。
A を環、p ∈ Spec(A) とする。
A_p/pA_p を k(p) またはκ(p)と書く。
EGA などはκ(p) を使ってるが、k(p)のほうが書きやすいので
このスレではk(p)を使う。ただし、k は体の記号としてよく使う
ので、紛らわしい場合はκ(p)を使うことにする。
536 ：１３２人目の素数さん：2005/10/25(火) 13:54:16
>525
がいろいろ言ってくれたおかげで
208とそのとりまきのアホにも問題点がようやくわかったわけだ
そして結局208はJordan-Holderと書いてはみたが本質はわかっていないから
ここまで到達するのに教えて君をかましつづけて1週間ほどかかった
1週間かかることは208にとって簡単なことじゃない
簡単なことならただちにわかるはず
それなのに>529のように割り算じゃなくてむしろ引き算だとか
みぐるしいったらありゃしないね
他人のことをキチガイだとか非難する前に
自分の言ったことに責任もてよ
おまえはここに隔離されててしかるべきアホだったよ
がいろいろ言ってくれたおかげで
208とそのとりまきのアホにも問題点がようやくわかったわけだ
そして結局208はJordan-Holderと書いてはみたが本質はわかっていないから
ここまで到達するのに教えて君をかましつづけて1週間ほどかかった
1週間かかることは208にとって簡単なことじゃない
簡単なことならただちにわかるはず
それなのに>529のように割り算じゃなくてむしろ引き算だとか
みぐるしいったらありゃしないね
他人のことをキチガイだとか非難する前に
自分の言ったことに責任もてよ
おまえはここに隔離されててしかるべきアホだったよ
537 ：１３２人目の素数さん：2005/10/25(火) 16:56:34
>208はほんとに自閉症なのか。
538 ：１３２人目の素数さん：2005/10/25(火) 18:21:58
>>530
例えば「積分」をどう書くかでかなり議論してて、
議論のたびにもう辞めてやる！とか言う人が居たとか居なかったとかｗ
ってか知ってるだろうけど
多分代数なんか書くのにすごい時間が掛かってるはずだと思うよ
今では群、環、体の順番に書き始めるのは当たり前で何の創意も要らないが
そもそもこれを創めたのはBourbakiな訳で、彼らが草稿を議論するときには
いろんな書き方の選択肢があって議論したはず
Jordan-Holderで議論したかどうかは知らんよ
例えば「積分」をどう書くかでかなり議論してて、
議論のたびにもう辞めてやる！とか言う人が居たとか居なかったとかｗ
ってか知ってるだろうけど
多分代数なんか書くのにすごい時間が掛かってるはずだと思うよ
今では群、環、体の順番に書き始めるのは当たり前で何の創意も要らないが
そもそもこれを創めたのはBourbakiな訳で、彼らが草稿を議論するときには
いろんな書き方の選択肢があって議論したはず
Jordan-Holderで議論したかどうかは知らんよ
539 ：208：2005/10/25(火) 18:40:38
命題
φ: A → B を環の射、p ∈ Spec(A) とする。
f: Spec(B) → Spec(A) をφから誘導された射とする。
つまり、f(q) = φ^(-1)(q) とする。
S = A - p とおいたとき、B_S を B_p と書く。
Spec(B_p/pB_p) は Spec(B_p) の部分集合と同一視される(これは明らか)。
さらに、Spec(B_p) は Spec(B) の部分集合と同一視される(>>81)。
この同一視により、f^(-1)(p) は集合としてSpec(B_p/pB_p)と同一視される。
証明
まず、B_p は B の積閉集合 φ(S) に関する局所化 B_φ(S) に一致
することに注意する。
f(q) = p のとき、q ∩ φ(S) であり pB_p ⊂ qB_p となることは明らか。
よって、f^(-1)(p) ⊂ Spec(B_p/pB_p) とみなされる。
逆に、q ∈ Spec(B) で、q ∩ φ(S) かつ pB_p ⊂ qB_p とする。
x ∈ p とすると、φ(x)/1 ∈ qB_p となるから、φ(s)φ(x) ∈ q
となる s ∈ A - p がある。φ(s) は q に含まれないから、
φ(x) ∈ q となる。よって、p ⊂ φ^(-1)(q) である。
逆に、x ∈ φ^(-1)(q) とする。φ(x) ∈ q だから、x ∈ A - p では
ありえない。つまり、x ∈ p。よって、p = φ^(-1)(q) である。
証明終
φ: A → B を環の射、p ∈ Spec(A) とする。
f: Spec(B) → Spec(A) をφから誘導された射とする。
つまり、f(q) = φ^(-1)(q) とする。
S = A - p とおいたとき、B_S を B_p と書く。
Spec(B_p/pB_p) は Spec(B_p) の部分集合と同一視される(これは明らか)。
さらに、Spec(B_p) は Spec(B) の部分集合と同一視される(>>81)。
この同一視により、f^(-1)(p) は集合としてSpec(B_p/pB_p)と同一視される。
証明
まず、B_p は B の積閉集合 φ(S) に関する局所化 B_φ(S) に一致
することに注意する。
f(q) = p のとき、q ∩ φ(S) であり pB_p ⊂ qB_p となることは明らか。
よって、f^(-1)(p) ⊂ Spec(B_p/pB_p) とみなされる。
逆に、q ∈ Spec(B) で、q ∩ φ(S) かつ pB_p ⊂ qB_p とする。
x ∈ p とすると、φ(x)/1 ∈ qB_p となるから、φ(s)φ(x) ∈ q
となる s ∈ A - p がある。φ(s) は q に含まれないから、
φ(x) ∈ q となる。よって、p ⊂ φ^(-1)(q) である。
逆に、x ∈ φ^(-1)(q) とする。φ(x) ∈ q だから、x ∈ A - p では
ありえない。つまり、x ∈ p。よって、p = φ^(-1)(q) である。
証明終
540 ：208：2005/10/25(火) 18:45:11
541 ：208：2005/10/26(水) 09:21:01
完全列 0 → pA_p → A_p → A_p/pA_p → 0 より、
B(x)pA_p → B(x)A_p → B(x)(A_p/pA_p) → 0 は完全
(ただし、B(x)pA_p → B(x)A_p は単射とは限らない)。
よって、B(x)(A_p/pA_p) = B(x)k(p) は
(B(x)A_p)/Im(B(x)pA_p) = B_p/pB_p に同型。
この同型により、B(x)k(p) と B_p/pB_p を同一視する。
Spec(B(x)k(p)) を f: Spec(B) → Spec(A) の p におけるファイバー
という。これは f^(-1)(p)(にSpec(B)の部分空間としての位相を
いれたもの)と位相同型である(証明はまかす)。
B(x)pA_p → B(x)A_p → B(x)(A_p/pA_p) → 0 は完全
(ただし、B(x)pA_p → B(x)A_p は単射とは限らない)。
よって、B(x)(A_p/pA_p) = B(x)k(p) は
(B(x)A_p)/Im(B(x)pA_p) = B_p/pB_p に同型。
この同型により、B(x)k(p) と B_p/pB_p を同一視する。
Spec(B(x)k(p)) を f: Spec(B) → Spec(A) の p におけるファイバー
という。これは f^(-1)(p)(にSpec(B)の部分空間としての位相を
いれたもの)と位相同型である(証明はまかす)。
542 ：208：2005/10/26(水) 09:23:55
543 ：208：2005/10/26(水) 09:36:17
φ: A → B を環の射、p ∈ Spec(A)、q ∈ Spec(B) とする。
p = φ^(-1)(q) のとき、q は p の上にあるという。
p は q の下にあるという。このとき、この関係を
p = A ∩ q と書く場合もある。これは A ⊂ B のとき以外は
不適当であるが便利。これは、いわゆる「記法の濫用」
(abuse of notation) の一種だが、数学では適切な「記法の濫用」は
しばしば有用である。ただ、諸刃の剣であり使用には注意がいるが。
p = φ^(-1)(q) のとき、q は p の上にあるという。
p は q の下にあるという。このとき、この関係を
p = A ∩ q と書く場合もある。これは A ⊂ B のとき以外は
不適当であるが便利。これは、いわゆる「記法の濫用」
(abuse of notation) の一種だが、数学では適切な「記法の濫用」は
しばしば有用である。ただ、諸刃の剣であり使用には注意がいるが。
544 ：208：2005/10/26(水) 09:46:35
>>538
>今では群、環、体の順番に書き始めるのは当たり前で何の創意も
>要らないが そもそもこれを創めたのはBourbakiな訳で、
Van der Wearden の教科書はBourbakiの前に出版されたが、
彼もその順番でやってる。
まあ、その順番は普通だれが考えても同じと思うが。
>今では群、環、体の順番に書き始めるのは当たり前で何の創意も
>要らないが そもそもこれを創めたのはBourbakiな訳で、
Van der Wearden の教科書はBourbakiの前に出版されたが、
彼もその順番でやってる。
まあ、その順番は普通だれが考えても同じと思うが。
545 ：208：2005/10/26(水) 10:25:25
φ: A → B を環の射、p ∈ Spec(A) とする。
f: Spec(B) → Spec(A) をφから誘導された射とする。
Spec(B(x)k(p)) は スキーム論的には Spec(B) と Spec(k(p)) の
Spec(A) 上のファイバー積である。
これからも、圏論およびスキーム論的に Spec(B(x)k(p)) が f^(-1)(p)
と位相同型になることが出る。
可換環論はアフィンスキーム論とみなせるので、可換環論を学ぶ上で
スキーム論は必須に近いと思うが入門の段階でこれをやるのは適当でないだろう。
f: Spec(B) → Spec(A) をφから誘導された射とする。
Spec(B(x)k(p)) は スキーム論的には Spec(B) と Spec(k(p)) の
Spec(A) 上のファイバー積である。
これからも、圏論およびスキーム論的に Spec(B(x)k(p)) が f^(-1)(p)
と位相同型になることが出る。
可換環論はアフィンスキーム論とみなせるので、可換環論を学ぶ上で
スキーム論は必須に近いと思うが入門の段階でこれをやるのは適当でないだろう。
546 ：208：2005/10/26(水) 10:54:11
話は変わるけど、最近Hilbertの代数的整数論の報文(Zahlbericht)の
英訳をamazon.comで買った。それに現代の数学者二人(名前は忘れた)
によるイントロが書いてある。それに、Weilが1975年に編集出版した
Kummerの全集におけるWeilの序文の抜粋が載っている。
それによると、報文の最後の2章(円分体とKummer体における相互律)
のほとんどはKummerの仕事の紹介にすぎないとある。
Weilの言うことだから本当だろう。これは驚くべきことだろう。
Hilbertの報文が出たのが１９世紀の終わり頃。
それから３０年近く、その本は影響力をもったし、Hecke, 高木、
Artin, Hasse などはこれで代数的整数論を勉強した。
その最も重要な部分が約４０年前にKummerによってなされていた。
つまり、Kummerは代数的整数論の創始者のみならず、
Dedekindさえ超えた高みに到達していたことになる。
英訳をamazon.comで買った。それに現代の数学者二人(名前は忘れた)
によるイントロが書いてある。それに、Weilが1975年に編集出版した
Kummerの全集におけるWeilの序文の抜粋が載っている。
それによると、報文の最後の2章(円分体とKummer体における相互律)
のほとんどはKummerの仕事の紹介にすぎないとある。
Weilの言うことだから本当だろう。これは驚くべきことだろう。
Hilbertの報文が出たのが１９世紀の終わり頃。
それから３０年近く、その本は影響力をもったし、Hecke, 高木、
Artin, Hasse などはこれで代数的整数論を勉強した。
その最も重要な部分が約４０年前にKummerによってなされていた。
つまり、Kummerは代数的整数論の創始者のみならず、
Dedekindさえ超えた高みに到達していたことになる。
547 ：208：2005/10/26(水) 11:37:14
前にもどっかに書いたけど、KummerがFermatの最終定理を証明しようと
して理想数の発見に到達したというのは伝説にすぎないらしい。
KummerはGaussに影響されて高次の相互律を探求していた。
それが、彼を円分体に向かわせた。彼は、Fermatの最終定理に関しては
当初はGaussと同じ立場、つまり、Fermatの最終定理は、重要なものでない
と考えていたらしい。
して理想数の発見に到達したというのは伝説にすぎないらしい。
KummerはGaussに影響されて高次の相互律を探求していた。
それが、彼を円分体に向かわせた。彼は、Fermatの最終定理に関しては
当初はGaussと同じ立場、つまり、Fermatの最終定理は、重要なものでない
と考えていたらしい。
548 ：１３２人目の素数さん：2005/10/26(水) 12:46:21
549 ：１３２人目の素数さん：2005/10/26(水) 12:48:18
割り算の意味すら取り違えた奴がなにえらそうに相互律だよ
Weilの受け売りならちゃんとそう書け
Weilの受け売りならちゃんとそう書け
550 ：１３２人目の素数さん：2005/10/26(水) 13:30:08
割り算の意味についてはここでじっくり語れ。
分数の割り算はどうして逆数を掛ければいいのか
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1124193537/l50
分数の割り算はどうして逆数を掛ければいいのか
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1124193537/l50
551 ：１３２人目の素数さん：2005/10/26(水) 13:32:05
>>547
「・・・らしい」じゃ意味ない
「・・・らしい」じゃ意味ない
552 ：１３２人目の素数さん：2005/10/26(水) 13:35:47
愚痴聞いてあげるから「哲学と数学」というスレに書き込んでごらん。
553 ：208：2005/10/26(水) 14:43:00
>>551
(その言い方をなんとかしろよ)。
ソースはEdwardsのFermat's Last Theorem
実はまだ読んでない。もうすぐamazon.comで注文するつもり。
この本は、評判いい「らしい」。
(その言い方をなんとかしろよ)。
ソースはEdwardsのFermat's Last Theorem
実はまだ読んでない。もうすぐamazon.comで注文するつもり。
この本は、評判いい「らしい」。
554 ：208：2005/10/26(水) 14:57:48
555 ：１３２人目の素数さん：2005/10/26(水) 17:36:03
数学関係者の悩み１１０番 数学関係者の悩み１１０番
556 ：１３２人目の素数さん：2005/10/26(水) 19:44:19
557 ：１３２人目の素数さん：2005/10/26(水) 20:02:50
558 ：１３２人目の素数さん：2005/10/26(水) 20:03:47
559 ：208：2005/10/27(木) 09:12:25
>>556
あんなもんはBourbakiでなくても簡単に思いつくんだよ。
群論を少し齧ってればな。
だけどこのスレがBourbakiをもとにしているのは本当だよ。
初めにそう断ってあるだろ。今さら驚くんじゃない。
だが、丸コピーじゃないし、俺のアイデアも少し入ってる。
この際、はっきりしておくけど、ソースはBourbakiだけじゃない。
例えば、Atiyah-MacDonald, Zariski-Samuel, 松村,
他にも少しある。
あんなもんはBourbakiでなくても簡単に思いつくんだよ。
群論を少し齧ってればな。
だけどこのスレがBourbakiをもとにしているのは本当だよ。
初めにそう断ってあるだろ。今さら驚くんじゃない。
だが、丸コピーじゃないし、俺のアイデアも少し入ってる。
この際、はっきりしておくけど、ソースはBourbakiだけじゃない。
例えば、Atiyah-MacDonald, Zariski-Samuel, 松村,
他にも少しある。
560 ：208：2005/10/27(木) 09:14:03
おっと、大物を忘れてた。SerreのLocal Algebra と Local Fields
も参考にしてある。
も参考にしてある。
561 ：208：2005/10/27(木) 09:24:02
>>558
別の数学者の書いた代数的整数論の本にその本が引用されていて、
それで知った。足立の「フェルマーの大定理」にもそれらしきことが
書いてある。他にも状況証拠があるから俺はその説を信じている。
大体、Kummerともあろう数学者がFermatの問題に最初から
入れあげていたとは考えにくい。Fermatの問題はGaussも高木も
書いているように、問題それ自体からは、何ら重要性が見出されない。
Wilesが解いて、初めてその重要性が理解されたと言っていい。
別の数学者の書いた代数的整数論の本にその本が引用されていて、
それで知った。足立の「フェルマーの大定理」にもそれらしきことが
書いてある。他にも状況証拠があるから俺はその説を信じている。
大体、Kummerともあろう数学者がFermatの問題に最初から
入れあげていたとは考えにくい。Fermatの問題はGaussも高木も
書いているように、問題それ自体からは、何ら重要性が見出されない。
Wilesが解いて、初めてその重要性が理解されたと言っていい。
562 ：208：2005/10/27(木) 09:51:17
話をぶり返すようだけど、>>461の証明に使われた位数 n の群は
アーベル群でなくても次の性質をもてばいい。
(*) 素数べき p^m が n を割れば G は位数 p^m の正規部分群をもつ。
これから G の任意のSylow部分群は正規なことがわかる。
だから、G はべき零群である。逆に、べき零群は (*) の性質を持つ。
可解群の組成剰余群も素数位数の群だけど、この性質を持つとは
限らない。
アーベル群でなくても次の性質をもてばいい。
(*) 素数べき p^m が n を割れば G は位数 p^m の正規部分群をもつ。
これから G の任意のSylow部分群は正規なことがわかる。
だから、G はべき零群である。逆に、べき零群は (*) の性質を持つ。
可解群の組成剰余群も素数位数の群だけど、この性質を持つとは
限らない。
563 ：208：2005/10/27(木) 10:18:12
この際だから、有理整数環 Z で素因子分解の一意性が成立つことの
(ほぼ)普通の証明しよう。
a と b が Z の元のとき a と b で生成されるイデアルを
(a, b) と書く。つまり、(a, b) = Za + Zb である。
元の数がいくつになっても同様。
補題
(a, b) = (a, b + at) となる。
ここで、a, b, t は任意の有理整数
証明
明らか。
(ほぼ)普通の証明しよう。
a と b が Z の元のとき a と b で生成されるイデアルを
(a, b) と書く。つまり、(a, b) = Za + Zb である。
元の数がいくつになっても同様。
補題
(a, b) = (a, b + at) となる。
ここで、a, b, t は任意の有理整数
証明
明らか。
564 ：208：2005/10/27(木) 10:19:18
命題
a と b が Z の元のとき (a, b) = (r) となる r ∈ Z がある。
証明
a ≧ 0, b ≧ 0 と仮定してよい。
a と b の最大値を max(a, b) と書く。
max(a, b) に関する帰納法を使う。
a = b ならこの命題は明らかだから、b > a とする。
b = aq + r, 0 < r < a となる q, r ∈ Z がある。
補題(>>563)より、(a, b) = (a, r) となる。max(a, r) = a
だから、帰納法の仮定より (a, r) = (s) となる s ∈ Z がある。
証明終
a と b が Z の元のとき (a, b) = (r) となる r ∈ Z がある。
証明
a ≧ 0, b ≧ 0 と仮定してよい。
a と b の最大値を max(a, b) と書く。
max(a, b) に関する帰納法を使う。
a = b ならこの命題は明らかだから、b > a とする。
b = aq + r, 0 < r < a となる q, r ∈ Z がある。
補題(>>563)より、(a, b) = (a, r) となる。max(a, r) = a
だから、帰納法の仮定より (a, r) = (s) となる s ∈ Z がある。
証明終
565 ：208：2005/10/27(木) 10:20:39
命題
p を素数とし、a ≠ 0 (mod p) とする。
このとき、a は mod p で可逆である。
つまり、ax = 1 (mod p) となる x がある。
証明
(a, p) = (r) となる r > 0 がある(>>564)。
p は素数だから r = 1 でなければならない。
つまり、ax + py = 1 となる x, y がある。
よって、ax = 1 (mod p)
証明終
p を素数とし、a ≠ 0 (mod p) とする。
このとき、a は mod p で可逆である。
つまり、ax = 1 (mod p) となる x がある。
証明
(a, p) = (r) となる r > 0 がある(>>564)。
p は素数だから r = 1 でなければならない。
つまり、ax + py = 1 となる x, y がある。
よって、ax = 1 (mod p)
証明終
566 ：208：2005/10/27(木) 10:21:26
567 ：208：2005/10/27(木) 10:26:55
定理
有理整数環 Z では素因数分解の一意性が成立つ。
証明。
n > 0 を整数とし、
n = (p_1)^(n_1)...(p_r)^(n_r) = (q_1)^(m_1)...(p_s)^(m_s)
を n の２通りの素因数分解とする。
n = 0 (mod p_1) だから >>566 より q_i = p_1 となる q_i
がある。これと帰納法を使えばよい。
証明終
有理整数環 Z では素因数分解の一意性が成立つ。
証明。
n > 0 を整数とし、
n = (p_1)^(n_1)...(p_r)^(n_r) = (q_1)^(m_1)...(p_s)^(m_s)
を n の２通りの素因数分解とする。
n = 0 (mod p_1) だから >>566 より q_i = p_1 となる q_i
がある。これと帰納法を使えばよい。
証明終
568 ：208：2005/10/27(木) 10:34:35
569 ：208：2005/10/27(木) 10:37:05
>>567 では 有限生成イデアル (a, b) が単項となりことを使ったが、
Z では任意のイデアル I が単項となる。
証明
I に含まれる最小の正数をa とすると、b ∈ I なら、
b = aq + r, 0 ≦ r < a となる q, r ∈ Z がある。
r ∈ I だから a の最小性より r = 0
よって、I = (r) となる。
証明終
Z では任意のイデアル I が単項となる。
証明
I に含まれる最小の正数をa とすると、b ∈ I なら、
b = aq + r, 0 ≦ r < a となる q, r ∈ Z がある。
r ∈ I だから a の最小性より r = 0
よって、I = (r) となる。
証明終
570 ：208：2005/10/27(木) 10:40:36
571 ：208：2005/10/27(木) 10:41:35
572 ：208：2005/10/27(木) 11:35:24
>>565の証明は、次のようにしても証明できる。
Z/pZ が体であることを示せばよい。
証明
Z/pZ の加法群は位数 p の群であるから単純群である。
よって pZ ⊂ I ⊂ Z となる non-trivial なイデアル I は
存在しない。よって、Z/pZ は体である。
証明終
Z/pZ が体であることを示せばよい。
証明
Z/pZ の加法群は位数 p の群であるから単純群である。
よって pZ ⊂ I ⊂ Z となる non-trivial なイデアル I は
存在しない。よって、Z/pZ は体である。
証明終
573 ：208：2005/10/27(木) 12:01:44
命題
φ: A → B を環の射、I = Ker(φ) とする。
f: Spec(B) → Spec(A) をφから誘導された射とする。
B が A 上整なら、Im(f) = V(I) である。
証明
A/I ⊂ B と見なせるから、V(I) ⊂ Im(f) は、>>520 殻出る。
p ∈ Spec(A) - V(I) とする。
s ∈ I - p となる元 s がある。φ(s) = 0 だから、
S = A - p としたとき、φ(S) は 0 を含む。
よって、B_p = 0 である。よって、f^(-1)(p) は空(>>539)。
証明終
φ: A → B を環の射、I = Ker(φ) とする。
f: Spec(B) → Spec(A) をφから誘導された射とする。
B が A 上整なら、Im(f) = V(I) である。
証明
A/I ⊂ B と見なせるから、V(I) ⊂ Im(f) は、>>520 殻出る。
p ∈ Spec(A) - V(I) とする。
s ∈ I - p となる元 s がある。φ(s) = 0 だから、
S = A - p としたとき、φ(S) は 0 を含む。
よって、B_p = 0 である。よって、f^(-1)(p) は空(>>539)。
証明終
574 ：208：2005/10/27(木) 12:12:23
命題
A, B を環で、A ⊂ B とし、B は A 上整とする。
p ∈ Spec(A), q_1, q_2 ∈ Spec(A) で、
q_1 ⊂ q_2 かつ p = q_1 ∩ A = q_2 ∩ A とする。
このとき、q_1 = q_2 である。
証明
A_p ⊂ B_p だから、A, B を A_p, B_p で置き換えてよい(>>514)。
よって、p は極大としてよい。よって q_1, q_2 は極大となる(>>515)。
よって、q_1 ⊂ q_2 なら q_1 = q_2 である。
証明終
A, B を環で、A ⊂ B とし、B は A 上整とする。
p ∈ Spec(A), q_1, q_2 ∈ Spec(A) で、
q_1 ⊂ q_2 かつ p = q_1 ∩ A = q_2 ∩ A とする。
このとき、q_1 = q_2 である。
証明
A_p ⊂ B_p だから、A, B を A_p, B_p で置き換えてよい(>>514)。
よって、p は極大としてよい。よって q_1, q_2 は極大となる(>>515)。
よって、q_1 ⊂ q_2 なら q_1 = q_2 である。
証明終
575 ：208：2005/10/27(木) 12:13:21
576 ：208：2005/10/27(木) 12:18:40
577 ：208：2005/10/27(木) 12:21:31
注意：
環の部分環というときは断らない限り単位元を共有するものと
仮定している。環の射も単位元を単位元に写すものとする。
環の部分環というときは断らない限り単位元を共有するものと
仮定している。環の射も単位元を単位元に写すものとする。
578 ：208：2005/10/27(木) 12:24:14
定義
A を整域とする。A のその商体における整閉包が A と一致するとき、
A を整閉整域という。
A を整域とする。A のその商体における整閉包が A と一致するとき、
A を整閉整域という。
579 ：208：2005/10/27(木) 12:45:07
補題
A を環、I をそのイデアル、p_1, ... , p_n ∈ Spec(A)、
I ⊂ p_1 ∪ ... ∪ p_ n とする。
このとき、I ⊂ p_i となる p_i が存在する。
証明
p_i ⊂ p_j なら p_i を除いて考えればよいから、
p_1, ... , p_n の間には包含関係はないと仮定してよい。
I ⊂ p_i がどの i でも成立たないとして矛盾を導けばよい。
J_i を集合{p_1, ... , p_n} から p_i を除いたものの積イデアル
とする。IJ_i ⊂ p_i とはならないから、
元 x_i ∈ IJ_i - p_i が存在する。
x = x_1 + ... + x_n とおく。
j ≠ i のとき、x_j = 0 (mod p_i) だから、x = x_i (mod p_i)
となる。一方 x_i ≠ 0 (mod p_i) だから、x ≠ 0 (mod p_i)
が任意の i で成立つ。
一方、x ∈ I だから I ⊂ p_1 ∪ ... ∪ p_ n より、
x ∈ p_i となる i がある。これは矛盾。
証明終
A を環、I をそのイデアル、p_1, ... , p_n ∈ Spec(A)、
I ⊂ p_1 ∪ ... ∪ p_ n とする。
このとき、I ⊂ p_i となる p_i が存在する。
証明
p_i ⊂ p_j なら p_i を除いて考えればよいから、
p_1, ... , p_n の間には包含関係はないと仮定してよい。
I ⊂ p_i がどの i でも成立たないとして矛盾を導けばよい。
J_i を集合{p_1, ... , p_n} から p_i を除いたものの積イデアル
とする。IJ_i ⊂ p_i とはならないから、
元 x_i ∈ IJ_i - p_i が存在する。
x = x_1 + ... + x_n とおく。
j ≠ i のとき、x_j = 0 (mod p_i) だから、x = x_i (mod p_i)
となる。一方 x_i ≠ 0 (mod p_i) だから、x ≠ 0 (mod p_i)
が任意の i で成立つ。
一方、x ∈ I だから I ⊂ p_1 ∪ ... ∪ p_ n より、
x ∈ p_i となる i がある。これは矛盾。
証明終
580 ：208：2005/10/27(木) 12:49:13
581 ：１３２人目の素数さん：2005/10/27(木) 14:52:05
哲学と数学
582 ：208：2005/10/27(木) 16:22:06
ついでに、>>579 と形式上、似たような命題を証明する。
その前に次の補題を用意する。
補題
K を無限体、X を K-加群、V, W_1, ... , W_n をその部分加群、
V ⊂ W_1 ∪ ... ∪ W_n とする。
x, y ∈ V なら、x, y ∈ W_i となる i がある。
証明
t ∈ K とすると、x + ty ∈ W_i となる i がある。
t にこの i を対応させることにより、集合としての写像
K → {1, ..., n} が得られる。K は無限体だから、この写像は
単射ではありえない。よって、x + ty = x + sy ∈ W_i となる
t, s ∈ K で t ≠ s となるものがある。
よって、(t - s)y ∈ W_i となる。これから、y ∈ W_i となり、
x ∈ W_i ともなる。
証明終
その前に次の補題を用意する。
補題
K を無限体、X を K-加群、V, W_1, ... , W_n をその部分加群、
V ⊂ W_1 ∪ ... ∪ W_n とする。
x, y ∈ V なら、x, y ∈ W_i となる i がある。
証明
t ∈ K とすると、x + ty ∈ W_i となる i がある。
t にこの i を対応させることにより、集合としての写像
K → {1, ..., n} が得られる。K は無限体だから、この写像は
単射ではありえない。よって、x + ty = x + sy ∈ W_i となる
t, s ∈ K で t ≠ s となるものがある。
よって、(t - s)y ∈ W_i となる。これから、y ∈ W_i となり、
x ∈ W_i ともなる。
証明終
583 ：208：2005/10/27(木) 16:23:10
命題
K を無限体、X を K-加群、V, W_1, ... , W_n をその部分加群、
V ⊂ W_1 ∪ ... ∪ W_n とする。
このとき、V ⊂ W_i となる i が存在する。
証明
V が W_n に含まれないとする。x ∈ V - W_n をとる。
y ∈ V を任意にとる。補題(>>582)より x, y ∈ W_i となる i があるが
i = n では有り得ない。よって、V ⊂ W_1 ∪ ... ∪ W_(n-1) となる。
帰納法より、証明が終わる。
証明終
系
無限体上のベクトル空間はその真の部分空間の有限個の和集合には
ならない。
K を無限体、X を K-加群、V, W_1, ... , W_n をその部分加群、
V ⊂ W_1 ∪ ... ∪ W_n とする。
このとき、V ⊂ W_i となる i が存在する。
証明
V が W_n に含まれないとする。x ∈ V - W_n をとる。
y ∈ V を任意にとる。補題(>>582)より x, y ∈ W_i となる i があるが
i = n では有り得ない。よって、V ⊂ W_1 ∪ ... ∪ W_(n-1) となる。
帰納法より、証明が終わる。
証明終
系
無限体上のベクトル空間はその真の部分空間の有限個の和集合には
ならない。
584 ：208：2005/10/27(木) 16:24:38
命題
K を無限体、L/K を体の拡大とする。L/K の中間体が有限個なら
L = K(c) となる元 c がある。
証明
L/K の中間体で L と異なるものを L_1, ..., L_n とする。
L は K-加群とみなされ、L_1, ..., L_n はその部分加群となる。
よって命題(>>583)より L ≠ L_1 ∪ ... ∪ L_n である。
よって、c ∈ L - (L_1 ∪ ... ∪ L_n) が存在する。
K(c) はどの L_i とも一致しないから、L = K(c) である。
証明終
K を無限体、L/K を体の拡大とする。L/K の中間体が有限個なら
L = K(c) となる元 c がある。
証明
L/K の中間体で L と異なるものを L_1, ..., L_n とする。
L は K-加群とみなされ、L_1, ..., L_n はその部分加群となる。
よって命題(>>583)より L ≠ L_1 ∪ ... ∪ L_n である。
よって、c ∈ L - (L_1 ∪ ... ∪ L_n) が存在する。
K(c) はどの L_i とも一致しないから、L = K(c) である。
証明終
585 ：208：2005/10/27(木) 17:00:38
気がついた人も多いと思うけど、俺の証明のスタイルは、non-trivialな
命題であっても、それをなるべくtrivialな命題に分割して証明していく。
これは言うのは簡単だけど、ある程度の思考とコツを必要とする。
しかし、これがうまくいった場合は、あまりにもその証明が簡単なので
読者は、最終的に得られた結果さえtrivialと勘違いする場合もある。
べつにそれでかまわないが。
これは、BourbakiやGrothendieck などのスタイルでもある。
Atiyah-MacDonald は、その序文にもあるように明確にこのスタイルを
意識して書かれている。
命題であっても、それをなるべくtrivialな命題に分割して証明していく。
これは言うのは簡単だけど、ある程度の思考とコツを必要とする。
しかし、これがうまくいった場合は、あまりにもその証明が簡単なので
読者は、最終的に得られた結果さえtrivialと勘違いする場合もある。
べつにそれでかまわないが。
これは、BourbakiやGrothendieck などのスタイルでもある。
Atiyah-MacDonald は、その序文にもあるように明確にこのスタイルを
意識して書かれている。
586 ：208：2005/10/27(木) 18:09:16
定義
K を体、L/K を K の代数拡大体とする。
L の任意の元α の K 上の最小多項式が K において１次式の
積に完全に分解するとき、L/K を準ガロワ(quasi-Galois)拡大という。
因みにquasiは強いてカタカナで書くと英語読みでクェイザイと発音する。
L/K が準ガロワ拡大で分離的なとき L/K をガロワ拡大という。
準ガロワ拡大は昔(今も?)は正規拡大と呼んでいたが、Bourbaki流の
準ガロワのほうがよいと思う。
K を体、L/K を K の代数拡大体とする。
L の任意の元α の K 上の最小多項式が K において１次式の
積に完全に分解するとき、L/K を準ガロワ(quasi-Galois)拡大という。
因みにquasiは強いてカタカナで書くと英語読みでクェイザイと発音する。
L/K が準ガロワ拡大で分離的なとき L/K をガロワ拡大という。
準ガロワ拡大は昔(今も?)は正規拡大と呼んでいたが、Bourbaki流の
準ガロワのほうがよいと思う。
587 ：208：2005/10/27(木) 18:14:02
588 ：１３２人目の素数さん：2005/10/27(木) 18:55:43
どこの何様が知らぬが、ご親切なことで。
589 ：208：2005/10/28(金) 08:56:09
>>586
>L の任意の元α の K 上の最小多項式が K において１次式の
>積に完全に分解するとき、L/K を準ガロワ(quasi-Galois)拡大という。
L の任意の元α の K 上の最小多項式が L において１次式の
積に完全に分解するとき、L/K を準ガロワ(quasi-Galois)拡大という。
>L の任意の元α の K 上の最小多項式が K において１次式の
>積に完全に分解するとき、L/K を準ガロワ(quasi-Galois)拡大という。
L の任意の元α の K 上の最小多項式が L において１次式の
積に完全に分解するとき、L/K を準ガロワ(quasi-Galois)拡大という。
590 ：208：2005/10/28(金) 09:01:54
591 ：208：2005/10/28(金) 09:08:17
592 ：208：2005/10/28(金) 09:16:53
ああ、わかった。
例のよくある自分の知ってることを丁寧に教えられると腹が立つという、
劣等感からくるやつね。くだらねえ奴。
例のよくある自分の知ってることを丁寧に教えられると腹が立つという、
劣等感からくるやつね。くだらねえ奴。
593 ：１３２人目の素数さん：2005/10/28(金) 09:17:56
善意か悪意か灰色の文面は善意に取ろう。てぃむぽと面の皮は多少は厚くないと。
594 ：208：2005/10/28(金) 09:33:04
「どこの何様が知らぬが、」
これは灰色じゃなくて黒だよ。
これは灰色じゃなくて黒だよ。
595 ：１３２人目の素数さん：2005/10/28(金) 09:37:21
人間に関する事は結局全部灰色だよ。そうじゃない部分で白黒つけてさよ。
596 ：208：2005/10/28(金) 09:55:10
>>584
>命題
>K を無限体、L/K を体の拡大とする。L/K の中間体が有限個なら
>L = K(c) となる元 c がある。
L/K が有限次と仮定すると、以下のような簡単な別証がある。
L = K(α, β) と２個の元で生成される場合を考えればよい。
t ∈ K として、中間体 K(α + tβ) を考える。K は無限体だから、
K(α + tβ) = K(α + sβ) となる、t, s ∈ K で t ≠ s となる
ものがある。よって、(α + tβ) - (α + sβ) = (t - s)β は
K(α + tβ) に含まれ、これから β、よってαも K(α + tβ)
に含まれる。よって、 L = K(α + tβ) となる。
>命題
>K を無限体、L/K を体の拡大とする。L/K の中間体が有限個なら
>L = K(c) となる元 c がある。
L/K が有限次と仮定すると、以下のような簡単な別証がある。
L = K(α, β) と２個の元で生成される場合を考えればよい。
t ∈ K として、中間体 K(α + tβ) を考える。K は無限体だから、
K(α + tβ) = K(α + sβ) となる、t, s ∈ K で t ≠ s となる
ものがある。よって、(α + tβ) - (α + sβ) = (t - s)β は
K(α + tβ) に含まれ、これから β、よってαも K(α + tβ)
に含まれる。よって、 L = K(α + tβ) となる。
597 ：208：2005/10/28(金) 10:29:38
598 ：208：2005/10/28(金) 11:06:45
>>559
秋月・永田の近代代数学という古い本(1957年頃が初版)も
少しだが参考にしてる。これは題名からは想像出来ないが
可換代数そのもの。薄いけど内容はわりと高度。
ネーター整域の整閉包がKrull環という、Bourbakiにも松村にも
載ってないことが書かれている。永田の可換環論には載ってる
だろうが。
他には、Dirichletの初等整数論講義にあるDedekindの付録。
この本の邦訳。しかし、この訳はちょっと読みづらい。
いちいち名詞の複数形に達をつけてる。例えば、ｎ個の整数達とか。
秋月・永田の近代代数学という古い本(1957年頃が初版)も
少しだが参考にしてる。これは題名からは想像出来ないが
可換代数そのもの。薄いけど内容はわりと高度。
ネーター整域の整閉包がKrull環という、Bourbakiにも松村にも
載ってないことが書かれている。永田の可換環論には載ってる
だろうが。
他には、Dirichletの初等整数論講義にあるDedekindの付録。
この本の邦訳。しかし、この訳はちょっと読みづらい。
いちいち名詞の複数形に達をつけてる。例えば、ｎ個の整数達とか。
599 ：１３２人目の素数さん：2005/10/28(金) 13:34:12
どこのお偉いお方か存じませぬがご親切なことでございますね。
600 ：208：2005/10/28(金) 16:12:18
基本的には自分のためにやってる。考えを整理するには書くのが
一番いい。まあノート代わりだな。だけど、読者にも役立つんだから
そう目くじらたてなくてもいいだろ。それに、こちらからの
一方通行というわけでもないし。
一番いい。まあノート代わりだな。だけど、読者にも役立つんだから
そう目くじらたてなくてもいいだろ。それに、こちらからの
一方通行というわけでもないし。
601 ：１３２人目の素数さん：2005/10/28(金) 16:45:14
南無阿弥陀仏南無阿弥陀仏南無阿弥陀仏南無阿弥陀仏
602 ：208：2005/10/28(金) 16:55:49
あれ、知らなかったの？
おいおい、それは甘すぎだよ。
俺は慈善事業やってるわけじゃない。
だけど、俺が得して諸君も得する。こなにいいことないだろ。
おいおい、それは甘すぎだよ。
俺は慈善事業やってるわけじゃない。
だけど、俺が得して諸君も得する。こなにいいことないだろ。
603 ：１３２人目の素数さん：2005/10/28(金) 17:12:42
御陀仏御陀仏御陀仏御陀仏御陀仏御陀仏御陀仏御陀仏御陀仏
604 ：１３２人目の素数さん：2005/10/28(金) 21:37:55
色即是空色即是空色即是空色即是空色即是空色即是空色即是空
605 ：１３２人目の素数さん：2005/10/29(土) 08:39:45
PaiPPPPaiPaiPaiPaiPaiPaiPaiPaiPaiaiPaiPaiPaiPaiPaiaiPaiPaiPaiPaiPaiPaiai
606 ：１３２人目の素数さん：2005/10/29(土) 08:40:27
（＾ω＾）⊃ ｱｳﾄ!!!
（⊃ ）
／ ヽ
⊂（ ＾ω＾）⊃ ｾｰﾌ!!!
（ ）
／ ヽ
（ ＾ω＾） ヨヨイの!!
（⊃⊂ ）
／ ヽ
⊂⌒ヽ (⌒⊃
＼ ＼ ／⌒ヽ / /
⊂二二二（ ＾ω＾）ニニ二⊃
＼ ＼_∩_／ ／
（ (::)(::) ）
ヽ＿,*､＿ノ ﾌﾞｰﾝ
／／／
／／／
（⊃ ）
／ ヽ
⊂（ ＾ω＾）⊃ ｾｰﾌ!!!
（ ）
／ ヽ
（ ＾ω＾） ヨヨイの!!
（⊃⊂ ）
／ ヽ
⊂⌒ヽ (⌒⊃
＼ ＼ ／⌒ヽ / /
⊂二二二（ ＾ω＾）ニニ二⊃
＼ ＼_∩_／ ／
（ (::)(::) ）
ヽ＿,*､＿ノ ﾌﾞｰﾝ
／／／
／／／
607 ：208：2005/10/31(月) 09:56:27
Cohen-Seidenbergの第２定理(いわゆるGoing-down定理)に関連して、
無限次ガロワ拡大について述べる。これは数論においても重要である。
位相群の初歩については既知と仮定する。
命題
G を群、S を G の正規部分群の集合で以下の条件(F)を満たすものとする。
(F) N_1, N_2 ∈ S なら N_1 ∩ N_2 ⊃ N_3 となる N_3 ∈ S がある。
x ∈ G に対して、{xN; N ∈ S} を x の基本近傍系と定義することにより、
G は位相群となる。
証明
G の部分集合 U が以下の性質(O)を満たすとき、G の開部分集合と
定義する。
(O) x ∈ U なら xN ⊂ U となる N ∈ S が存在する。
G の開部分集合全体が位相を定めることは、条件 (*) より明らか。
y ∈ xN なら、yN = xN だから xN は開部分集合である。
よって、{xN; N ∈ S} は x の基本近傍系となる。
S の元 N は正規部分群だから、任意の x ∈ G に対して
xN = Nx となることに注意する。よって、
x, y ∈ G, N ∈ S に対して、(xN)(yN) = xyNN = xyN となる。
これから、G の積算法が定める写像 G x G → G は連続である。
(xN)^(-1) = Nx^(-1) = x^(-1)N だから、
x に その逆元 x^(-1) を対応させる写像 G → G も連続である。
よって G はこの位相により位相群となる。
証明終
無限次ガロワ拡大について述べる。これは数論においても重要である。
位相群の初歩については既知と仮定する。
命題
G を群、S を G の正規部分群の集合で以下の条件(F)を満たすものとする。
(F) N_1, N_2 ∈ S なら N_1 ∩ N_2 ⊃ N_3 となる N_3 ∈ S がある。
x ∈ G に対して、{xN; N ∈ S} を x の基本近傍系と定義することにより、
G は位相群となる。
証明
G の部分集合 U が以下の性質(O)を満たすとき、G の開部分集合と
定義する。
(O) x ∈ U なら xN ⊂ U となる N ∈ S が存在する。
G の開部分集合全体が位相を定めることは、条件 (*) より明らか。
y ∈ xN なら、yN = xN だから xN は開部分集合である。
よって、{xN; N ∈ S} は x の基本近傍系となる。
S の元 N は正規部分群だから、任意の x ∈ G に対して
xN = Nx となることに注意する。よって、
x, y ∈ G, N ∈ S に対して、(xN)(yN) = xyNN = xyN となる。
これから、G の積算法が定める写像 G x G → G は連続である。
(xN)^(-1) = Nx^(-1) = x^(-1)N だから、
x に その逆元 x^(-1) を対応させる写像 G → G も連続である。
よって G はこの位相により位相群となる。
証明終
608 ：208：2005/10/31(月) 10:09:51
命題
>>607 で定義された G の位相がハウスドルフであるためには、
∩{N; N ∈ S} = {e} が必要十分である。ここで e は G の単位元。
証明
{e} の閉包が ∩{N; N ∈ S} となることに注意すればよい。
>>607 で定義された G の位相がハウスドルフであるためには、
∩{N; N ∈ S} = {e} が必要十分である。ここで e は G の単位元。
証明
{e} の閉包が ∩{N; N ∈ S} となることに注意すればよい。
609 ：208：2005/10/31(月) 10:24:26
命題
f, g: X → Y を位相空間 X から Y への２個の連続写像とする。
Y がハウスドルフなら、X の部分集合 E = {x ∈ X; f(x) = g(x)}
は閉集合である。
証明
Y x Y の対角集合をΔとする。つまり、Δ = {(y, y); y ∈ Y} とする。
Y はハウスドルフだから、Δ は Y x Y の閉集合である。
h(x) = (f(x), g(x)) により、写像 h: X → Y x Y を 定義する。
これが連続なことは明らか。E = h^(-1)(Δ) だから、
E は閉である。
証明終
f, g: X → Y を位相空間 X から Y への２個の連続写像とする。
Y がハウスドルフなら、X の部分集合 E = {x ∈ X; f(x) = g(x)}
は閉集合である。
証明
Y x Y の対角集合をΔとする。つまり、Δ = {(y, y); y ∈ Y} とする。
Y はハウスドルフだから、Δ は Y x Y の閉集合である。
h(x) = (f(x), g(x)) により、写像 h: X → Y x Y を 定義する。
これが連続なことは明らか。E = h^(-1)(Δ) だから、
E は閉である。
証明終
610 ：208：2005/10/31(月) 10:33:12
命題
I を前順序集合、(X_i) を I を添字集合とする位相空間の射影系とする。
各 X_i がハウスドルフなら、射影極限 proj.lim X_i は
直積空間 X = ΠX_i の閉集合である。
証明
pr_i: X → X_i を射影とする。
i ≦ j に対して E_(i,j) = { x ∈ X; pr_i(x) = f_(i,j)pr_j(x) }
と定義する。f_(i,j): X_j → X_i は射影系(X_i)を定義する射である。
E_(i,j) は命題(>>609)より X の閉集合である。
proj.lim X_i は i ≦ j を任意に変化させたときの E_(i,j) の
共通集合だから閉である。
証明終
I を前順序集合、(X_i) を I を添字集合とする位相空間の射影系とする。
各 X_i がハウスドルフなら、射影極限 proj.lim X_i は
直積空間 X = ΠX_i の閉集合である。
証明
pr_i: X → X_i を射影とする。
i ≦ j に対して E_(i,j) = { x ∈ X; pr_i(x) = f_(i,j)pr_j(x) }
と定義する。f_(i,j): X_j → X_i は射影系(X_i)を定義する射である。
E_(i,j) は命題(>>609)より X の閉集合である。
proj.lim X_i は i ≦ j を任意に変化させたときの E_(i,j) の
共通集合だから閉である。
証明終
611 ：１３２人目の素数さん：2005/10/31(月) 14:56:00
Gを代数的数を成分にもつGL(n,C)の有限生成部分群とする。
このときある自然数kがあり、任意のGの元gに対し
g^kの成分が代数的整数になる。
上記のことは成り立つでしょうか？知っている方がいたら
教えて下さい。
このときある自然数kがあり、任意のGの元gに対し
g^kの成分が代数的整数になる。
上記のことは成り立つでしょうか？知っている方がいたら
教えて下さい。
612 ：208：2005/10/31(月) 15:08:55
613 ：１３２人目の素数さん：2005/10/31(月) 15:47:43
ASASASASASASASASASASASASASASASASASASASASASASASASASASASASASASASASASASASAS
614 ：１３２人目の素数さん：2005/10/31(月) 15:54:32
615 ：208：2005/10/31(月) 16:23:50
617 ：208：2005/10/31(月) 16:50:23
618 ：１３２人目の素数さん：2005/10/31(月) 17:18:47
無限次ガロワ拡大 is full!!!!!!!!!!!1
すみません。正しい主張は、
Gを代数的数を成分にもつGL(n,C)の有限生成部分群とする。
このときGの有限の生成系{g_i}に対しある自然数kがあり、
kg_iの成分が代数的整数になる。
でした。これじゃ説明省いて使うよな…
Gを代数的数を成分にもつGL(n,C)の有限生成部分群とする。
このときGの有限の生成系{g_i}に対しある自然数kがあり、
kg_iの成分が代数的整数になる。
でした。これじゃ説明省いて使うよな…
620 ：208：2005/11/01(火) 10:11:07
命題
I を有向前順序集合、(X_i) を I を添字集合とする位相空間の射影系とする。
射影極限 proj.lim X_i を X とおく。f_i: X → X_i を標準射とする。
X の任意の開集合は、(f_i)^(-1)(U) の形の開集合の合併である。
ここに、 i は I の要素を動き、U は X_i の開集合を動く。
証明
X は直積空間 ΠX_i の部分空間であるから、
X の開集合 U は、f_(i_1)^(-1)(U_1) ∩ ... ∩ f_(i_r)^(-1)(U_r)
の形の開集合の合併である。ここで、i_1, ... , i_r は I の要素で
あり、 U_k は X_i_k の開集合である。
x を U の任意の点とし、
x ∈ f_(i_1)^(-1)(U_1) ∩ ... ∩ f_(i_r)^(-1)(U_r) とする。
I は有向前順序集合だから、i_1 ≦ j, ... i_r ≦ j となる j がある。
V_k = f_(i_k, j)^(-1)(U_k) とおく。
ここで、f_(i_k, j) : X_j → X_i_k は射影系を定義する射。
f_(i_k, j) は連続だから、V_k は X_j の開集合である。
(f_j)^(-1)(V_k) ⊂ f_(i_k)^(-1)(U_k) だから、
V = V_1 ∩ ... ∩ V_r とおけば、
(f_j)^(-1)(V) ⊂ f_(i_1)^(-1)(U_1) ∩ ... ∩ f_(i_r)^(-1)(U_r)
となる。x ∈ (f_j)^(-1)(V) だから、命題の主張が出る。
証明終
I を有向前順序集合、(X_i) を I を添字集合とする位相空間の射影系とする。
射影極限 proj.lim X_i を X とおく。f_i: X → X_i を標準射とする。
X の任意の開集合は、(f_i)^(-1)(U) の形の開集合の合併である。
ここに、 i は I の要素を動き、U は X_i の開集合を動く。
証明
X は直積空間 ΠX_i の部分空間であるから、
X の開集合 U は、f_(i_1)^(-1)(U_1) ∩ ... ∩ f_(i_r)^(-1)(U_r)
の形の開集合の合併である。ここで、i_1, ... , i_r は I の要素で
あり、 U_k は X_i_k の開集合である。
x を U の任意の点とし、
x ∈ f_(i_1)^(-1)(U_1) ∩ ... ∩ f_(i_r)^(-1)(U_r) とする。
I は有向前順序集合だから、i_1 ≦ j, ... i_r ≦ j となる j がある。
V_k = f_(i_k, j)^(-1)(U_k) とおく。
ここで、f_(i_k, j) : X_j → X_i_k は射影系を定義する射。
f_(i_k, j) は連続だから、V_k は X_j の開集合である。
(f_j)^(-1)(V_k) ⊂ f_(i_k)^(-1)(U_k) だから、
V = V_1 ∩ ... ∩ V_r とおけば、
(f_j)^(-1)(V) ⊂ f_(i_1)^(-1)(U_1) ∩ ... ∩ f_(i_r)^(-1)(U_r)
となる。x ∈ (f_j)^(-1)(V) だから、命題の主張が出る。
証明終
621 ：208：2005/11/01(火) 10:24:29
>>607 において、各 N ∈ S に対して G/N に離散位相を入れる。
N_1, N_2 ∈ S で N_1 ⊃ N_2 のとき N_1 ≦ N_2 と定義して、
S に順序を入れる。N_1 ≦ N_2 のとき、G/N_2 → G/N_1 が自然に
定義される。よって S を添字集合として、(G/N), N ∈ S は
離散位相群からなる射影系となる。よって、proj.lim G/N が定義
される。
各N ∈ S は開集合だから、標準射 G → G/N は連続である。
さらに、この射は、射影系(G/N)と両立するから、
連続写像 f: G → proj.lim G/N が自然に定義される。
このとき、f(G) は、proj.lim G/N において稠密である。
証明
proj.lim G/N から G/N への標準射を f_N とする。
(f_N)f : G → G/N は標準射である。したがって、全射である。
これと、>>620 からわかる。
証明終
N_1, N_2 ∈ S で N_1 ⊃ N_2 のとき N_1 ≦ N_2 と定義して、
S に順序を入れる。N_1 ≦ N_2 のとき、G/N_2 → G/N_1 が自然に
定義される。よって S を添字集合として、(G/N), N ∈ S は
離散位相群からなる射影系となる。よって、proj.lim G/N が定義
される。
各N ∈ S は開集合だから、標準射 G → G/N は連続である。
さらに、この射は、射影系(G/N)と両立するから、
連続写像 f: G → proj.lim G/N が自然に定義される。
このとき、f(G) は、proj.lim G/N において稠密である。
証明
proj.lim G/N から G/N への標準射を f_N とする。
(f_N)f : G → G/N は標準射である。したがって、全射である。
これと、>>620 からわかる。
証明終
622 ：208：2005/11/01(火) 10:45:34
命題
>>621 において f: G → proj.lim G/N は G から f(G) への全射を
引き起こすが、これは開写像である
(f(G)には proj.lim G/N の部分位相をいれておく）。
証明
G の単位元の基本開近傍の像が f(G) の単位元の開近傍であることを
示せばよい。proj.lim G/N から G/N への標準射を f_N とし、
e を G/N の単位元とする。
f(G) ∩ (f_N)^(-1)(e) = f(N) である。G/N の位相は離散だから{e}
は、開集合である。よって、(f_N)^(-1)(e) も開集合である。
証明終
>>621 において f: G → proj.lim G/N は G から f(G) への全射を
引き起こすが、これは開写像である
(f(G)には proj.lim G/N の部分位相をいれておく）。
証明
G の単位元の基本開近傍の像が f(G) の単位元の開近傍であることを
示せばよい。proj.lim G/N から G/N への標準射を f_N とし、
e を G/N の単位元とする。
f(G) ∩ (f_N)^(-1)(e) = f(N) である。G/N の位相は離散だから{e}
は、開集合である。よって、(f_N)^(-1)(e) も開集合である。
証明終
623 ：208：2005/11/01(火) 11:22:15
k を体、K/k を k の準ガロワ拡大(>>586)とする。
K の k-自己同型のなす群を Aut(K/k) と書く。
G = Aut(K/k) とおく。
K/k の中間体 L/k で有限次準ガロワ拡大となるものを考える。
G の元を L に制限することにより、群の射 G → Aut(L/k) が得られる。
これは、全射である。この核を G(L) と書く。G(L) は G の正規部分群
である。このような G(L) の全体は、>>607 の条件 (F) を満たす。
よって、G は >>607 により位相群となる。
命題
G はコンパクトである。
証明
>>621 より連続写像 f: G → proj.lim G/G(L) が定義される。
Ker(f) = ∩G(L) だが、これは明らかに G の単位元のみからなる。
よって、f は単射。G/G(L) = Aut(L/k) とみなされるから、
proj.lim G/G(L) の元 (σ_L)は、各 L/k にその自己同型 σ_L
を引き起こし、L ⊃ L' のときは σ_L' は σ_L の制限となっている。
K はこのような L の合併集合であるから、(σ_L)は G のある元σ
から引き起こされる。よって、f: G → proj.lim G/G(L) は全射である。
G/G(L) は有限群だから、離散位相でコンパクトである。
よってその直積 ΠG/G(L) もコンパクト。
proj.lim G/G(L) は、>>610より閉集合だから、proj.lim G/G(L) も
コンパクトである。f は、>>622 より開写像であるから、
G は、proj.lim G/G(L) と位相同型である。
よって、G もコンパクトである。
証明終
K の k-自己同型のなす群を Aut(K/k) と書く。
G = Aut(K/k) とおく。
K/k の中間体 L/k で有限次準ガロワ拡大となるものを考える。
G の元を L に制限することにより、群の射 G → Aut(L/k) が得られる。
これは、全射である。この核を G(L) と書く。G(L) は G の正規部分群
である。このような G(L) の全体は、>>607 の条件 (F) を満たす。
よって、G は >>607 により位相群となる。
命題
G はコンパクトである。
証明
>>621 より連続写像 f: G → proj.lim G/G(L) が定義される。
Ker(f) = ∩G(L) だが、これは明らかに G の単位元のみからなる。
よって、f は単射。G/G(L) = Aut(L/k) とみなされるから、
proj.lim G/G(L) の元 (σ_L)は、各 L/k にその自己同型 σ_L
を引き起こし、L ⊃ L' のときは σ_L' は σ_L の制限となっている。
K はこのような L の合併集合であるから、(σ_L)は G のある元σ
から引き起こされる。よって、f: G → proj.lim G/G(L) は全射である。
G/G(L) は有限群だから、離散位相でコンパクトである。
よってその直積 ΠG/G(L) もコンパクト。
proj.lim G/G(L) は、>>610より閉集合だから、proj.lim G/G(L) も
コンパクトである。f は、>>622 より開写像であるから、
G は、proj.lim G/G(L) と位相同型である。
よって、G もコンパクトである。
証明終
624 ：208：2005/11/01(火) 12:20:39
k を体、K/k を k の準ガロワ拡大(>>586)とする。
G = Aut(K/k) とおく。
一般に、K/k の中間体 L/k に対して、K/L は準ガロワ拡大である。
Aut(K/L) を G(L) と書く。G(L) ⊂ G とみなすことにする。
特に、K/k の中間体 L/k で有限次拡大となるものを考える。
L を含むK/k の中間体 L'/k で、有限次準ガロワ拡大となるものがある。
例えば、L/k のすべての共役体で生成される体をとればよい。
G(L) ⊃ G(L') であるから、G(L) も G の単位元の近傍となる。
x_1, ..., x_n を K の元とする。G の元σ に対して
U(σ; x_1, ... , x_n) =
{τ ∈ G; σ(x_1) = τ(x_1), ... , σ(x_n) = τ(x_n)}
とおく。容易にわかるように U(σ; x_1, ... , x_n) は σ の開近傍
であり、x_1, ..., x_n を変化させると、σ の基本開近傍系が得られる。
さて、K から K への集合としての写像全体からなる集合を K^K と書く。
K^K は K を添字集合とする直積集合とみなせる。
K に離散位相を入れ、K^K に直積位相を入れる。
G の位相は、この K^K の部分空間としての位相をいれたものに
他ならない。
G = Aut(K/k) とおく。
一般に、K/k の中間体 L/k に対して、K/L は準ガロワ拡大である。
Aut(K/L) を G(L) と書く。G(L) ⊂ G とみなすことにする。
特に、K/k の中間体 L/k で有限次拡大となるものを考える。
L を含むK/k の中間体 L'/k で、有限次準ガロワ拡大となるものがある。
例えば、L/k のすべての共役体で生成される体をとればよい。
G(L) ⊃ G(L') であるから、G(L) も G の単位元の近傍となる。
x_1, ..., x_n を K の元とする。G の元σ に対して
U(σ; x_1, ... , x_n) =
{τ ∈ G; σ(x_1) = τ(x_1), ... , σ(x_n) = τ(x_n)}
とおく。容易にわかるように U(σ; x_1, ... , x_n) は σ の開近傍
であり、x_1, ..., x_n を変化させると、σ の基本開近傍系が得られる。
さて、K から K への集合としての写像全体からなる集合を K^K と書く。
K^K は K を添字集合とする直積集合とみなせる。
K に離散位相を入れ、K^K に直積位相を入れる。
G の位相は、この K^K の部分空間としての位相をいれたものに
他ならない。
625 ：１３２人目の素数さん：2005/11/01(火) 12:41:14
What is 準ガロワ拡大?
626 ：208：2005/11/01(火) 13:05:17
>>625
>k を体、K/k を k の準ガロワ拡大(>>586)とする。
って書いてあったら普通、>>586 に準ガロワ拡大の説明があるだろう。
わからない用語が出てきたら、このスレ全体をテキストファイルにコピーして
その用語で検索すればいい。前のほうに説明があるはず。
>k を体、K/k を k の準ガロワ拡大(>>586)とする。
って書いてあったら普通、>>586 に準ガロワ拡大の説明があるだろう。
わからない用語が出てきたら、このスレ全体をテキストファイルにコピーして
その用語で検索すればいい。前のほうに説明があるはず。
627 ：208：2005/11/01(火) 13:17:54
命題
k を体、K/k を k の準ガロワ拡大とし、L を K/k の中間体とする。
G = Aut(K/k), G(L) = Aut(K/L) とする。
G(L) は G の閉部分群である。
証明
L/k が有限次のときは、G(L) は G の開部分群であるから、
閉部分群でもある。L が有限次でないときは、L は有限次拡大 L_i/k
の合併集合となる。G(L) = ∩G(L_i) で、各 G(L_i) は閉だから、
G(L) も閉である。
証明終
k を体、K/k を k の準ガロワ拡大とし、L を K/k の中間体とする。
G = Aut(K/k), G(L) = Aut(K/L) とする。
G(L) は G の閉部分群である。
証明
L/k が有限次のときは、G(L) は G の開部分群であるから、
閉部分群でもある。L が有限次でないときは、L は有限次拡大 L_i/k
の合併集合となる。G(L) = ∩G(L_i) で、各 G(L_i) は閉だから、
G(L) も閉である。
証明終
628 ：208：2005/11/01(火) 13:25:52
>>627 から有限次ガロワ拡大の基本定理は、無条件では無限次の
ガロワ拡大に拡張出来ないことがわかる。
つまり、G の閉でない部分群 H は K/k の中間体 L をどんなに
とっても H = G(L) とならない。
ガロワ拡大に拡張出来ないことがわかる。
つまり、G の閉でない部分群 H は K/k の中間体 L をどんなに
とっても H = G(L) とならない。
629 ：１３２人目の素数さん：2005/11/01(火) 14:31:26
ASASASASASASASASASASASASASAASASASASASASASASASASASASASAASASASASASASASASASASASASASA
630 ：１３２人目の素数さん：2005/11/01(火) 15:48:29
631 ：208：2005/11/01(火) 16:23:45
命題
k を体、K/k を k のガロワ拡大、つまり準ガロワで分離的な拡大とし、
G = Aut(K/k) とする。H を G の部分群とする。
K^H = {x ∈ K; 各σ∈H で、σ(x) = x } とおく。
つまり、K^H は H で固定化される K の部分体である。
G(K^H) すなわち Aut(K/K^H) は H の閉包である。
証明
H の閉包を cl(H) とする。
H ⊂ G(K^H) は明らかである。G(K^H) は G の閉部分群である(>>627)
から、cl(H) ⊂ G(K^H) である。よって、σ∈G(K^H) の任意の近傍が
H の元を含むことを示せばよい。L/k を K の中間体で有限次ガロワ拡大
となるものとする。M を L と K^H の合成部分体、すなわち K の部分体で
L と K^H を含む最小のものとする。M/K^H は有限次ガロワ拡大である。
H の元を M に制限することにより射 φ: H → Aut(M/K^H) が得られる。
φ(H) で固定される M の部分体は、K^H である。
よって有限次ガロワ拡大の基本定理より、φ(H) = Aut(M/K^H) である。
つまり、φ は全射である。
σ∈G(K^H) の M への制限をσ|M とすれば、σ|M は Aut(M/K^H)
の元であるから、σ|M = φ(τ) となる τ∈ H がある。
L ⊂ M であるから、σ|L = τ|L となる。これは、τ∈σG(L) を
意味する。σG(L) はσの基本開近傍だから cl(H) = G(K^H) である。
証明終
k を体、K/k を k のガロワ拡大、つまり準ガロワで分離的な拡大とし、
G = Aut(K/k) とする。H を G の部分群とする。
K^H = {x ∈ K; 各σ∈H で、σ(x) = x } とおく。
つまり、K^H は H で固定化される K の部分体である。
G(K^H) すなわち Aut(K/K^H) は H の閉包である。
証明
H の閉包を cl(H) とする。
H ⊂ G(K^H) は明らかである。G(K^H) は G の閉部分群である(>>627)
から、cl(H) ⊂ G(K^H) である。よって、σ∈G(K^H) の任意の近傍が
H の元を含むことを示せばよい。L/k を K の中間体で有限次ガロワ拡大
となるものとする。M を L と K^H の合成部分体、すなわち K の部分体で
L と K^H を含む最小のものとする。M/K^H は有限次ガロワ拡大である。
H の元を M に制限することにより射 φ: H → Aut(M/K^H) が得られる。
φ(H) で固定される M の部分体は、K^H である。
よって有限次ガロワ拡大の基本定理より、φ(H) = Aut(M/K^H) である。
つまり、φ は全射である。
σ∈G(K^H) の M への制限をσ|M とすれば、σ|M は Aut(M/K^H)
の元であるから、σ|M = φ(τ) となる τ∈ H がある。
L ⊂ M であるから、σ|L = τ|L となる。これは、τ∈σG(L) を
意味する。σG(L) はσの基本開近傍だから cl(H) = G(K^H) である。
証明終
632 ：208：2005/11/01(火) 16:52:43
命題
k を体、K/k を k のガロワ拡大とし、L/k をその任意の中間体とする。
G(L) すなわち Aut(K/L) で固定される体 は L である。
すなわち、K^G(L) = L である。
証明
K/L はガロワ拡大であり、特に分離拡大である。
x を K の元で L に含まれないものとする。x は L 上分離的だから
x の L に関する共役元 y で x と異なるものがある。
x を y に写す Aut(K/L) の元が存在する。
これは、K^G(L) = L を意味する。
証明終
k を体、K/k を k のガロワ拡大とし、L/k をその任意の中間体とする。
G(L) すなわち Aut(K/L) で固定される体 は L である。
すなわち、K^G(L) = L である。
証明
K/L はガロワ拡大であり、特に分離拡大である。
x を K の元で L に含まれないものとする。x は L 上分離的だから
x の L に関する共役元 y で x と異なるものがある。
x を y に写す Aut(K/L) の元が存在する。
これは、K^G(L) = L を意味する。
証明終
633 ：208：2005/11/01(火) 17:04:48
無限次ガロワ拡大体の基本定理
k を体、K/k を k のガロワ拡大とする。
G = Aut(K/k) とおく。
L/k をその任意の中間体とする。L に G(L) を対応させることにより、
K/k の中間体と G の閉部分群の間に１対１の対応がつく。
この逆対応は、G の閉部分群 H に対して、H で固定される部分体
K^H を対応させるものである。
証明
>>632 より K^G(L) = L であり、>>631 より G(K^H) = H である。
証明終
k を体、K/k を k のガロワ拡大とする。
G = Aut(K/k) とおく。
L/k をその任意の中間体とする。L に G(L) を対応させることにより、
K/k の中間体と G の閉部分群の間に１対１の対応がつく。
この逆対応は、G の閉部分群 H に対して、H で固定される部分体
K^H を対応させるものである。
証明
>>632 より K^G(L) = L であり、>>631 より G(K^H) = H である。
証明終
634 ：208：2005/11/02(水) 09:52:53
環の整拡大の話題に戻ろう。
補題
A ⊂ B を環の包含関係、B は A 上整とする。
p_0 ⊂ p_1 を A の長さ１の素イデアル鎖(>>379)とする。
q_0 を p_0 の上にある B の素イデアルとする。
B の長さ１の素イデアル鎖 q_0 ⊂ q_1 で
q_1 が p_1 の上にあるものが存在する。
証明
A/p_0 ⊂ B/q_0 とみなせる。>>520 の定理(Cohen-Seidenberg)
より、p_1/p_0 の上にある B/q_0 の素イデアル q_1/q_0 がある。
p_1/p_0 ≠ 0 だから q_1/q_0 ≠ 0
証明終
補題
A ⊂ B を環の包含関係、B は A 上整とする。
p_0 ⊂ p_1 を A の長さ１の素イデアル鎖(>>379)とする。
q_0 を p_0 の上にある B の素イデアルとする。
B の長さ１の素イデアル鎖 q_0 ⊂ q_1 で
q_1 が p_1 の上にあるものが存在する。
証明
A/p_0 ⊂ B/q_0 とみなせる。>>520 の定理(Cohen-Seidenberg)
より、p_1/p_0 の上にある B/q_0 の素イデアル q_1/q_0 がある。
p_1/p_0 ≠ 0 だから q_1/q_0 ≠ 0
証明終
635 ：208：2005/11/02(水) 09:54:27
命題
A ⊂ B を環の包含関係、B は A 上整とする。
p_0 ⊂ p_1 ⊂ ... ⊂ p_n を A の素イデアル鎖(>>379)とする。
q_0 を p_0 の上にある B の素イデアルとする。
B の素イデアル鎖 q_0 ⊂ q_1 ⊂ ... ⊂ q_n で
各 q_i が p_i の上にあるものが存在する。
証明
>>634 に帰納法を使う。
証明終
A ⊂ B を環の包含関係、B は A 上整とする。
p_0 ⊂ p_1 ⊂ ... ⊂ p_n を A の素イデアル鎖(>>379)とする。
q_0 を p_0 の上にある B の素イデアルとする。
B の素イデアル鎖 q_0 ⊂ q_1 ⊂ ... ⊂ q_n で
各 q_i が p_i の上にあるものが存在する。
証明
>>634 に帰納法を使う。
証明終
636 ：208：2005/11/02(水) 09:58:17
命題
A ⊂ B を環の包含関係、B は A 上整とする。
q_0 ⊂ q_1 ⊂ ... ⊂ q_n を B の素イデアル鎖(>>379)とする。
各 i で p_i = A ∩ q_i とおく。
p_0 ⊂ p_1 ⊂ ... ⊂ p_n は A の素イデアル鎖である。
証明
>>574 より明らか。
A ⊂ B を環の包含関係、B は A 上整とする。
q_0 ⊂ q_1 ⊂ ... ⊂ q_n を B の素イデアル鎖(>>379)とする。
各 i で p_i = A ∩ q_i とおく。
p_0 ⊂ p_1 ⊂ ... ⊂ p_n は A の素イデアル鎖である。
証明
>>574 より明らか。
637 ：208：2005/11/02(水) 10:01:08
638 ：208：2005/11/02(水) 10:05:24
639 ：１３２人目の素数さん：2005/11/02(水) 10:55:54
命題
A を整閉整域(>>578)、K をその商体、L/K を有限次準ガロワ拡大(>>586)
とする。B を A の L における整閉包(>>576)とする。
p を A の素イデアル、q_1, q_2 を p の上にある B の素イデアルと
すると、σ(q_1) = q_2 となる σ∈ Aut(L/K) がある。
証明
x ∈ q_1 とする。y = Πσ(x) とおく。ここで、積は Aut(L/K) の
すべての元σを動くものとする。y は Aut(L/K) の元で不変だから、
y^q ∈ K となる整数 q がある。ただし、q は、L/K が分離的なときは
1 であり、そうでないときは、K の標数 p の適当なベキである。
y^q ∈ K ∩ B であり、A は整閉だから、A = K ∩ B となる。
よって、y^q ∈ A となる。一方、明らかに y^q ∈ q_1 だから、
y^q ∈ p となる。p ⊂ q_2 であるから、y^q ∈ q_2 となる。
これから、ある σ(x) ∈ q_2 となる。よって、x ∈ σ^(-1)(q_2)
となる。以上から、q_1 ⊂ ∪σ^(-1)(q_2) となる。ここでσは
Aut(L/K) のすべての元σを動く。よって、>>579 より
q_1 ⊂ σ^(-1)(q_2) となるσがある。σ^(-1)(q_2) は、p の上にあるから、
>>574 より q_1 = σ^(-1)(q_2) である。
証明終
A を整閉整域(>>578)、K をその商体、L/K を有限次準ガロワ拡大(>>586)
とする。B を A の L における整閉包(>>576)とする。
p を A の素イデアル、q_1, q_2 を p の上にある B の素イデアルと
すると、σ(q_1) = q_2 となる σ∈ Aut(L/K) がある。
証明
x ∈ q_1 とする。y = Πσ(x) とおく。ここで、積は Aut(L/K) の
すべての元σを動くものとする。y は Aut(L/K) の元で不変だから、
y^q ∈ K となる整数 q がある。ただし、q は、L/K が分離的なときは
1 であり、そうでないときは、K の標数 p の適当なベキである。
y^q ∈ K ∩ B であり、A は整閉だから、A = K ∩ B となる。
よって、y^q ∈ A となる。一方、明らかに y^q ∈ q_1 だから、
y^q ∈ p となる。p ⊂ q_2 であるから、y^q ∈ q_2 となる。
これから、ある σ(x) ∈ q_2 となる。よって、x ∈ σ^(-1)(q_2)
となる。以上から、q_1 ⊂ ∪σ^(-1)(q_2) となる。ここでσは
Aut(L/K) のすべての元σを動く。よって、>>579 より
q_1 ⊂ σ^(-1)(q_2) となるσがある。σ^(-1)(q_2) は、p の上にあるから、
>>574 より q_1 = σ^(-1)(q_2) である。
証明終
640 ：208：2005/11/02(水) 11:26:58
>>639 の命題は L/K が有限次でなくても成立つ。
命題
A を整閉整域(>>578)、K をその商体、L/K を有限次とは限らない
準ガロワ拡大(>>586)とする。
B を A の L における整閉包(>>576)とする。
p を A の素イデアル、q_1, q_2 を p の上にある B の素イデアルと
すると、σ(q_1) = q_2 となる σ∈ Aut(L/K) がある。
証明
M を L/K の中間体で、M/K が有限次準ガロワ拡大とする。
S をこのような M の集合とする。
M ∈ S に対して
F(M) = {σ∈ Aut(L/K); σ(q_1 ∩ M) = q_2 ∩ M} とおく。
σ∈ Aut(L/K) を M に制限することにより、
連続写像 Aut(L/K) → Aut(M/K) が得られる。
F(M) は、この写像による、離散群 Aut(M/K) のある部分集合の逆像だから
閉集合である。一方、>>639 よりこれは空ではない。
M, M' ∈ S のとき、F(M) ∩ F(M') ⊃ F(M(M')) となる。
ここで、M(M') は M と M' から生成される L の部分体で
M(M') ∈ S である。
Aut(L/K) は >>623 よりコンパクトだから、∩F(M) は空でない。
L は M ∈ S の合併集合となるから、σ ∈ ∩F(M) が求めるものである。
証明終
命題
A を整閉整域(>>578)、K をその商体、L/K を有限次とは限らない
準ガロワ拡大(>>586)とする。
B を A の L における整閉包(>>576)とする。
p を A の素イデアル、q_1, q_2 を p の上にある B の素イデアルと
すると、σ(q_1) = q_2 となる σ∈ Aut(L/K) がある。
証明
M を L/K の中間体で、M/K が有限次準ガロワ拡大とする。
S をこのような M の集合とする。
M ∈ S に対して
F(M) = {σ∈ Aut(L/K); σ(q_1 ∩ M) = q_2 ∩ M} とおく。
σ∈ Aut(L/K) を M に制限することにより、
連続写像 Aut(L/K) → Aut(M/K) が得られる。
F(M) は、この写像による、離散群 Aut(M/K) のある部分集合の逆像だから
閉集合である。一方、>>639 よりこれは空ではない。
M, M' ∈ S のとき、F(M) ∩ F(M') ⊃ F(M(M')) となる。
ここで、M(M') は M と M' から生成される L の部分体で
M(M') ∈ S である。
Aut(L/K) は >>623 よりコンパクトだから、∩F(M) は空でない。
L は M ∈ S の合併集合となるから、σ ∈ ∩F(M) が求めるものである。
証明終
641 ：208：2005/11/02(水) 11:42:11
補題
A を整閉整域(>>578)、K をその商体、L/K を有限次とは限らない
準ガロワ拡大(>>586)とする。
B を A の L における整閉包(>>576)とする。
p_0 ⊂ p_1 ⊂ ... ⊂ p_n を A の素イデアル鎖(>>379)とする。
q_n を p_n の上にある B の素イデアルとする。
このとき、B の素イデアル鎖 q_0 ⊂ q_1 ⊂ ... ⊂ q_n で
p_i = A ∩ q_i が各 i で成立つものがある。
証明
>>635 より、p_0 ⊂ p_1 ⊂ ... ⊂ p_n の上にある、
B の素イデアル鎖 r_0 ⊂ r_1 ⊂ ... ⊂ r_n がある。
>>640 より、σ(r_n) = q_n となる σ∈ Aut(L/K) がある。
q_i = σ(r_i) とおけばよい。
証明終
A を整閉整域(>>578)、K をその商体、L/K を有限次とは限らない
準ガロワ拡大(>>586)とする。
B を A の L における整閉包(>>576)とする。
p_0 ⊂ p_1 ⊂ ... ⊂ p_n を A の素イデアル鎖(>>379)とする。
q_n を p_n の上にある B の素イデアルとする。
このとき、B の素イデアル鎖 q_0 ⊂ q_1 ⊂ ... ⊂ q_n で
p_i = A ∩ q_i が各 i で成立つものがある。
証明
>>635 より、p_0 ⊂ p_1 ⊂ ... ⊂ p_n の上にある、
B の素イデアル鎖 r_0 ⊂ r_1 ⊂ ... ⊂ r_n がある。
>>640 より、σ(r_n) = q_n となる σ∈ Aut(L/K) がある。
q_i = σ(r_i) とおけばよい。
証明終
642 ：208：2005/11/02(水) 11:55:42
定理(Going-down定理)
A を整閉整域(>>578)、A ⊂ B を整域の包含関係、B は A 上整とする。
p_0 ⊂ p_1 ⊂ ... ⊂ p_n を A の素イデアル鎖(>>379)とする。
q_n を p_n の上にある B の素イデアルとする。
このとき、B の素イデアル鎖 q_0 ⊂ q_1 ⊂ ... ⊂ q_n で
p_i = A ∩ q_i が各 i で成立つものがある。
証明
K を A の商体、L を B の商体とする。B は A 上整だから、
L/K は代数拡大である。M/K を L/K を含む準ガロワ拡大とする。
C を M における B の整閉包とする。C は A の整閉包でもある(>>511)。
q_n の上にある C の素イデアル r_n が存在する(>>520)。
>>641 より、C の素イデアル鎖
r_0 ⊂ r_1 ⊂ ... ⊂ r_n で p_0 ⊂ p_1 ⊂ ... ⊂ p_n の上に
あるものがある。q_i = B ∩ r_i とおけばよい。
証明終
A を整閉整域(>>578)、A ⊂ B を整域の包含関係、B は A 上整とする。
p_0 ⊂ p_1 ⊂ ... ⊂ p_n を A の素イデアル鎖(>>379)とする。
q_n を p_n の上にある B の素イデアルとする。
このとき、B の素イデアル鎖 q_0 ⊂ q_1 ⊂ ... ⊂ q_n で
p_i = A ∩ q_i が各 i で成立つものがある。
証明
K を A の商体、L を B の商体とする。B は A 上整だから、
L/K は代数拡大である。M/K を L/K を含む準ガロワ拡大とする。
C を M における B の整閉包とする。C は A の整閉包でもある(>>511)。
q_n の上にある C の素イデアル r_n が存在する(>>520)。
>>641 より、C の素イデアル鎖
r_0 ⊂ r_1 ⊂ ... ⊂ r_n で p_0 ⊂ p_1 ⊂ ... ⊂ p_n の上に
あるものがある。q_i = B ∩ r_i とおけばよい。
証明終
643 ：208：2005/11/02(水) 12:00:41
命題
A を整閉整域(>>578)、A ⊂ B を整域の包含関係、B は A 上整とする。
q を B の素イデアルとする。
ht(A ∩ q) = ht(q) となる。
証明
>>638 と >>642 から明らか。
A を整閉整域(>>578)、A ⊂ B を整域の包含関係、B は A 上整とする。
q を B の素イデアルとする。
ht(A ∩ q) = ht(q) となる。
証明
>>638 と >>642 から明らか。
644 ：208：2005/11/02(水) 12:58:37
整閉整域については、他にも基本的な事項があるけど後回しにする。
次に離散付値環について述べるが、その前に単項イデアル整域に
ついて基本的なことを述べる。
定義
整域 A において、そのイデアルが常に単項となるとき
単項イデアル整域と呼ぶ。
この定義によると体も単項イデアル整域になるが、
このスレでは特に断らない限り、単項イデアル整域というとき
体でないものを意味するものとする。
次に離散付値環について述べるが、その前に単項イデアル整域に
ついて基本的なことを述べる。
定義
整域 A において、そのイデアルが常に単項となるとき
単項イデアル整域と呼ぶ。
この定義によると体も単項イデアル整域になるが、
このスレでは特に断らない限り、単項イデアル整域というとき
体でないものを意味するものとする。
645 ：208：2005/11/02(水) 13:02:02
定義
(体でない)単項イデアル整域で局所環であるものを離散付値環と呼ぶ。
(体でない)単項イデアル整域で局所環であるものを離散付値環と呼ぶ。
646 ：208：2005/11/02(水) 13:19:49
定義
単項イデアル整域 A において極大イデアルを生成する元を素元とよぶ。
単項イデアル整域 A において極大イデアルを生成する元を素元とよぶ。
647 ：208：2005/11/02(水) 13:21:21
次の命題は、代数の初歩でよく知られているので、ここでは証明しない。
命題
単項イデアル整域においては、任意の０でない元が素元の積に
可逆元(単元)を除いて一意に分解される。
命題
単項イデアル整域においては、任意の０でない元が素元の積に
可逆元(単元)を除いて一意に分解される。
648 ：208：2005/11/02(水) 14:44:55
定義
A を環、
0 → N → M → L → 0 を A-加群の完全列とする。
N → M の像が M の直和因子となるとき、この完全列は分解(split)
するという。
命題
A を環、
0 → N → M → L → 0 を A-加群の完全列とする。
これが分解するためには、f: M → L のとき、
A-加群の射 s: L → M で fs = 1 となるものがあることが
必要十分である。
証明
各自に任せる。
A を環、
0 → N → M → L → 0 を A-加群の完全列とする。
N → M の像が M の直和因子となるとき、この完全列は分解(split)
するという。
命題
A を環、
0 → N → M → L → 0 を A-加群の完全列とする。
これが分解するためには、f: M → L のとき、
A-加群の射 s: L → M で fs = 1 となるものがあることが
必要十分である。
証明
各自に任せる。
649 ：208：2005/11/02(水) 14:51:33
650 ：208：2005/11/02(水) 15:11:28
命題
A を単項イデアル整域、L を A 上の有限階数 n の自由加群とする。
L の部分加群は、階数 ≦ n の自由加群である。
証明
n に関する帰納法。
e_1, ... , e_n を L の基底とする。
p_n : L → A を e_n に関する射影とする。
q: M → A を p_n の M への制限とする。
q(M) は A のイデアルだから単項であり、A は整域だから
このイデアルは A-加群として自由である。
Ker(q) = N とおく。
0 → N → M → q(M) → 0 は完全である。
N ⊂ Ae_1 + ... + Ae_(n-1) だから帰納法の仮定より、
階数 ≦ n-1 の自由加群である。
q(M) は自由だから、>>649 よりこの完全列は分解する。
よって、M は自由である。q(M) の階数 ≦ 1 だから、
M の階数 ≦ n である。
証明終
A を単項イデアル整域、L を A 上の有限階数 n の自由加群とする。
L の部分加群は、階数 ≦ n の自由加群である。
証明
n に関する帰納法。
e_1, ... , e_n を L の基底とする。
p_n : L → A を e_n に関する射影とする。
q: M → A を p_n の M への制限とする。
q(M) は A のイデアルだから単項であり、A は整域だから
このイデアルは A-加群として自由である。
Ker(q) = N とおく。
0 → N → M → q(M) → 0 は完全である。
N ⊂ Ae_1 + ... + Ae_(n-1) だから帰納法の仮定より、
階数 ≦ n-1 の自由加群である。
q(M) は自由だから、>>649 よりこの完全列は分解する。
よって、M は自由である。q(M) の階数 ≦ 1 だから、
M の階数 ≦ n である。
証明終
651 ：208：2005/11/02(水) 15:36:53
652 ：208：2005/11/02(水) 16:26:24
定義
A を整域、M を A-加群とする。
x ∈ M が捩れ元であるとは、A の元 a ≠ 0 があり
ax = 0 となることである。
M のすべての元が捩れ元であるとき、M を捩れ加群(torsion module)という。
M の捩れ元が 0 以外にないとき M を捩れのない(torsion-free)加群という。
A を整域、M を A-加群とする。
x ∈ M が捩れ元であるとは、A の元 a ≠ 0 があり
ax = 0 となることである。
M のすべての元が捩れ元であるとき、M を捩れ加群(torsion module)という。
M の捩れ元が 0 以外にないとき M を捩れのない(torsion-free)加群という。
653 ：208：2005/11/02(水) 16:34:09
定義
A を整域、M を A-加群とする。
M の捩れ元全体は、部分加群となる。
これを、M の捩れ部分とよび、t(M) と書く。
A の商体を K としたとき、S = A - {0} は積閉集合であり、
M(x)K は M の S による局所化とみなされる。
標準射 : M → M(x)K の核は t(M) に他ならない。
よって、
0 → t(M) → M → M(x)K
は完全である。
A を整域、M を A-加群とする。
M の捩れ元全体は、部分加群となる。
これを、M の捩れ部分とよび、t(M) と書く。
A の商体を K としたとき、S = A - {0} は積閉集合であり、
M(x)K は M の S による局所化とみなされる。
標準射 : M → M(x)K の核は t(M) に他ならない。
よって、
0 → t(M) → M → M(x)K
は完全である。
654 ：１３２人目の素数さん：2005/11/02(水) 16:51:21
ASASASASASASASASASASASASAS
ASASASASASASASASASASASASAS
ASASASASASASASASASASASASAS
ASASASASASASASASASASASASAS
ASASASASASASASASASASASASAS
ASASASASASASASASASASASASAS
ASASASASASASASASASASASASAS
655 ：208：2005/11/02(水) 17:01:32
命題
A を単項イデアル整域、M を A 上の有限生成かつ捩れのない加群
とする。このときM は自由加群である。
証明
M は捩れがないから、A の商体を K としたとき、
標準射: M → M(x)K は単射となる。よって、M ⊂ M(x)K とみなす。
M(x)K は、K-加群として M の元で生成されるから、
M の有限個の元からなる(K-加群としての)基底をもつ。
これらを、x_1, ... , x_n とする。
一方、M の A-加群としての生成元を、y_1, ... , y_m とする。
各 y_i は y_i = Σα(i,j)x_j, α(i,j) ∈ K と表される。
よって、a(y_i) ∈ Ax_1 + ... + Ax_n が全ての i で成立つような
a ∈ A, a ≠ 0 がある。L = Ax_1 + ... + Ax_n とおくと、
L は A-自由加群であり、aM ⊂ L となる。よって、M ⊂ (1/a)L
となる。(1/a)L も自由であるから、>>650 より M も自由である。
証明終
A を単項イデアル整域、M を A 上の有限生成かつ捩れのない加群
とする。このときM は自由加群である。
証明
M は捩れがないから、A の商体を K としたとき、
標準射: M → M(x)K は単射となる。よって、M ⊂ M(x)K とみなす。
M(x)K は、K-加群として M の元で生成されるから、
M の有限個の元からなる(K-加群としての)基底をもつ。
これらを、x_1, ... , x_n とする。
一方、M の A-加群としての生成元を、y_1, ... , y_m とする。
各 y_i は y_i = Σα(i,j)x_j, α(i,j) ∈ K と表される。
よって、a(y_i) ∈ Ax_1 + ... + Ax_n が全ての i で成立つような
a ∈ A, a ≠ 0 がある。L = Ax_1 + ... + Ax_n とおくと、
L は A-自由加群であり、aM ⊂ L となる。よって、M ⊂ (1/a)L
となる。(1/a)L も自由であるから、>>650 より M も自由である。
証明終
656 ：208：2005/11/02(水) 17:09:39
命題
A を単項イデアル整域、M を A 上の有限生成加群とする。
M は、捩れ部分 t(M) と有限生成自由加群の直和となる。
証明
完全列
0 → t(M) → M → M/t(M) → 0
を考える。
M/t(M) は、明らかに捩れがない。これが有限生成であることは
明らか。よって、>>655 より自由加群である。
よって、>>649 よりこの完全列は分解する。
証明終
A を単項イデアル整域、M を A 上の有限生成加群とする。
M は、捩れ部分 t(M) と有限生成自由加群の直和となる。
証明
完全列
0 → t(M) → M → M/t(M) → 0
を考える。
M/t(M) は、明らかに捩れがない。これが有限生成であることは
明らか。よって、>>655 より自由加群である。
よって、>>649 よりこの完全列は分解する。
証明終
657 ：１３２人目の素数さん：2005/11/03(木) 00:08:59
自由加群の部分群は自由であることはどうやって証明する？
658 ：１３２人目の素数さん：2005/11/03(木) 04:59:10
自由加群の部分群は自由であることはどうやって証明する？
Use elementary divisors, since every abelian group is
a $Z$-module.
Use elementary divisors, since every abelian group is
a $Z$-module.
659 ：１３２人目の素数さん：2005/11/03(木) 06:29:28
??
有限生成とは限らない場合だぞ。
有限生成とは限らない場合だぞ。
660 ：１３２人目の素数さん：2005/11/03(木) 09:29:43
あやまれ、ロリコンにあやまれ（AA略
661 ：１３２人目の素数さん：2005/11/03(木) 09:36:50
>> ??有限生成とは限らない場合だぞ。
Perhaps take the direct limit...
Perhaps take the direct limit...
662 ：１３２人目の素数さん：2005/11/03(木) 11:33:27
Perhaps?
and じゃないのか
and じゃないのか
663 ：１３２人目の素数さん：2005/11/03(木) 17:21:04
永田他「抽象代数幾何」のｐ２０８のZariskiMainTheoremの証明する過程での次の主張
「Bが整域、AをBの部分環、A[T]もBの部分環でTはA上超越的元。BはA[T]上整拡大。このとき、Bの任意の素イデアルｑはｐ＝A∩ｑ上孤立である。」
を証明するはじめの一行目の次の設定をして良い理由が分からない。
「ｑがｐ上極大なイデアルとして・・・」の仮定を設定して良い理由が分からない。
Raynauldの本でも全く同じ記述になっている。
だれかわかっている人がいたら教えてください。
「Bが整域、AをBの部分環、A[T]もBの部分環でTはA上超越的元。BはA[T]上整拡大。このとき、Bの任意の素イデアルｑはｐ＝A∩ｑ上孤立である。」
を証明するはじめの一行目の次の設定をして良い理由が分からない。
「ｑがｐ上極大なイデアルとして・・・」の仮定を設定して良い理由が分からない。
Raynauldの本でも全く同じ記述になっている。
だれかわかっている人がいたら教えてください。
664 ：208：2005/11/04(金) 09:29:24
>>663
q ∩ A[T] で局所化すればいいんでは？
つまり、p' = q ∩ A[T] とおいて、B_p' を考える。
そして、B を B_p' で置き換え、q を qB_p' で置き換える。
A は、当然 A_p に置き換える。
q ∩ A[T] で局所化すればいいんでは？
つまり、p' = q ∩ A[T] とおいて、B_p' を考える。
そして、B を B_p' で置き換え、q を qB_p' で置き換える。
A は、当然 A_p に置き換える。
665 ：１３２人目の素数さん：2005/11/04(金) 12:00:00
Perhaps?
and じゃないのか
?????
and じゃないのか
?????
666 ：１３２人目の素数さん：2005/11/04(金) 13:20:55
「Bが整域、AをBの部分環、A[T]もBの部分環でTはA上超越的元。BはA[T]上整拡大。このとき、Bの任意の素イデアルｑはｐ＝A∩ｑ上孤立で 'ない’。」でした。
667 ：１３２人目の素数さん：2005/11/04(金) 13:23:06
668 ：208：2005/11/04(金) 13:38:40
補題
A を単項イデアル整域、M を A-加群とする。
a と b を A の元で互いに素とする。
x ∈ M で、abx = 0 なら、x = y + z, ay = 0, bz = 0
となる M の元 y, z がある。
証明
as + bt =1 となる A の元 s, t がある。
よって、x = asx + btx となる。
y = btx, z = asx とすればよい、。
証明終
A を単項イデアル整域、M を A-加群とする。
a と b を A の元で互いに素とする。
x ∈ M で、abx = 0 なら、x = y + z, ay = 0, bz = 0
となる M の元 y, z がある。
証明
as + bt =1 となる A の元 s, t がある。
よって、x = asx + btx となる。
y = btx, z = asx とすればよい、。
証明終
669 ：208：2005/11/04(金) 15:03:26
命題
A を単項イデアル整域、M を A 上有限生成の捩れ加群とする。
A の素元 p に対して M(p) = {x ∈ M; (p^n)x = 0 となる n > 0 がある}
とおく。M = ΣM(p) (直和) となる。ここで p は、Ann(M) を割る素元
全体を動く。
証明
まず、M は有限生成の捩れ加群だから、Ann(M) ≠ 0 である。
x ∈ M, x ≠ 0 とし、Ann(x) = aA とする。M は捩れ加群だから、
a ≠ 0 である。>>668 より x ∈ ΣM(p) となる。ここで p は
a の素因子を渡る。あとは、Ann(M) ⊂ aA に注意すればよい。
証明終
A を単項イデアル整域、M を A 上有限生成の捩れ加群とする。
A の素元 p に対して M(p) = {x ∈ M; (p^n)x = 0 となる n > 0 がある}
とおく。M = ΣM(p) (直和) となる。ここで p は、Ann(M) を割る素元
全体を動く。
証明
まず、M は有限生成の捩れ加群だから、Ann(M) ≠ 0 である。
x ∈ M, x ≠ 0 とし、Ann(x) = aA とする。M は捩れ加群だから、
a ≠ 0 である。>>668 より x ∈ ΣM(p) となる。ここで p は
a の素因子を渡る。あとは、Ann(M) ⊂ aA に注意すればよい。
証明終
670 ：208：2005/11/04(金) 15:08:43
命題
A を単項イデアル整域、M を A 上有限生成の捩れ加群とする。
Supp(M) は、極大イデアルのみからなる。
証明
Supp(M) = V(Ann(M)) と Ann(M) ≠ 0 より明らか。
証明終
A を単項イデアル整域、M を A 上有限生成の捩れ加群とする。
Supp(M) は、極大イデアルのみからなる。
証明
Supp(M) = V(Ann(M)) と Ann(M) ≠ 0 より明らか。
証明終
671 ：208：2005/11/04(金) 15:12:58
命題
A を単項イデアル整域、M を A 上有限生成の捩れ加群とする。
M は A-加群として長さ有限である。
証明
Ass(M) ⊂ Supp(M) (>>99) と >>670 と >>345 より。
証明終
A を単項イデアル整域、M を A 上有限生成の捩れ加群とする。
M は A-加群として長さ有限である。
証明
Ass(M) ⊂ Supp(M) (>>99) と >>670 と >>345 より。
証明終
672 ：208：2005/11/04(金) 15:20:40
定義
A を単項イデアル整域、M を A 上有限生成の捩れ加群とする。
>>671 より M は長さ有限である。
M の組成列に現れる剰余加群は、A/p と同型である。
ここで、p は A のある極大イデアル。
M の組成列に現れる極大イデアルを重複度もいれて
p_1, ..., p_r としたとき それらの重複を考慮した積
を M の内容(content)とよび、|M| と書く。
A を単項イデアル整域、M を A 上有限生成の捩れ加群とする。
>>671 より M は長さ有限である。
M の組成列に現れる剰余加群は、A/p と同型である。
ここで、p は A のある極大イデアル。
M の組成列に現れる極大イデアルを重複度もいれて
p_1, ..., p_r としたとき それらの重複を考慮した積
を M の内容(content)とよび、|M| と書く。
673 ：208：2005/11/04(金) 15:28:46
674 ：208：2005/11/04(金) 15:41:30
命題
A を単項イデアル整域、M を A 上有限生成の捩れ加群とする。
N を M の部分加群とすると、
|M| = |N||M/N| となる。
証明
明らか。
A を単項イデアル整域、M を A 上有限生成の捩れ加群とする。
N を M の部分加群とすると、
|M| = |N||M/N| となる。
証明
明らか。
675 ：208：2005/11/04(金) 15:53:07
命題
A を単項イデアル整域、M を A 上有限生成の捩れ加群とする。
|M|M = 0 となる。つまり、|M| ⊂ Ann(M) となる。
証明
leng(M) に関する帰納法を使う。
M ≠ 0 とする。
M/N が A/p と同型になるような M の部分加群をとる。
ここで、p は A の極大イデアル。
|M/N| = p だから、帰納法の仮定より p(M/N) = 0 となる。
よって、pM ⊂ N となる。再び帰納法の仮定より |N|N = 0
となるから、p|N|M = 0 となる。
一方、>>674 より、p|N| = |M| である。
証明終
A を単項イデアル整域、M を A 上有限生成の捩れ加群とする。
|M|M = 0 となる。つまり、|M| ⊂ Ann(M) となる。
証明
leng(M) に関する帰納法を使う。
M ≠ 0 とする。
M/N が A/p と同型になるような M の部分加群をとる。
ここで、p は A の極大イデアル。
|M/N| = p だから、帰納法の仮定より p(M/N) = 0 となる。
よって、pM ⊂ N となる。再び帰納法の仮定より |N|N = 0
となるから、p|N|M = 0 となる。
一方、>>674 より、p|N| = |M| である。
証明終
676 ：208：2005/11/04(金) 16:01:09
>>675 から Hamilton-Cayley の定理が出る。
これは、前に線形代数スレで書いた。
これは、前に線形代数スレで書いた。
677 ：１３２人目の素数さん：2005/11/04(金) 16:14:22
Omaewa erai!!!!!
678 ：208：2005/11/04(金) 16:32:38
命題
A を単項イデアル整域、I を A のイデアルとする。
|A/I| = I である。
証明
中国式剰余定理(>>341)より、I が極大イデアルのベキ p^n のときに
証明すればよい。しかし、この場合は明らか。
証明終
A を単項イデアル整域、I を A のイデアルとする。
|A/I| = I である。
証明
中国式剰余定理(>>341)より、I が極大イデアルのベキ p^n のときに
証明すればよい。しかし、この場合は明らか。
証明終
679 ：208：2005/11/04(金) 16:38:42
>>675 の別証
x ∈ M のとき、|M|x = 0 を示せばよい。
Ax は A/Ann(x) に同型である。よって、|Ax| = Ann(x)となる(>>678)。
よって、|Ax|x = 0 となる。
|M| = |Ax||M/Ax| だから(>>674)、当然 |M|x = 0 となる。
証明終
x ∈ M のとき、|M|x = 0 を示せばよい。
Ax は A/Ann(x) に同型である。よって、|Ax| = Ann(x)となる(>>678)。
よって、|Ax|x = 0 となる。
|M| = |Ax||M/Ax| だから(>>674)、当然 |M|x = 0 となる。
証明終
680 ：208：2005/11/04(金) 17:07:45
定義
A を単項イデアル整域、M を A 上有限生成の加群とする。
A のある素元 p があり、M の任意の元 x に対して (p^n)x = 0
となる整数 n > 0 があるとき、M を p-加群と呼ぶ。
ここで、n は x に依存する。p の生成する A の極大イデアル
を (p) と したとき、M を (p)-加群とも呼ぶ。
A を単項イデアル整域、M を A 上有限生成の加群とする。
A のある素元 p があり、M の任意の元 x に対して (p^n)x = 0
となる整数 n > 0 があるとき、M を p-加群と呼ぶ。
ここで、n は x に依存する。p の生成する A の極大イデアル
を (p) と したとき、M を (p)-加群とも呼ぶ。
681 ：208：2005/11/04(金) 17:20:08
定義
A を単項イデアル整域、p を A の極大イデアル、M を p-加群とする。
M の任意の元に x 対して Ann(x) = p^n となる整数 n ≧ 0 があるが、
この n を x の指数と呼ぶ。
(注意):
この定義は、ここだけのものであり一般的ではない。
A を単項イデアル整域、p を A の極大イデアル、M を p-加群とする。
M の任意の元に x 対して Ann(x) = p^n となる整数 n ≧ 0 があるが、
この n を x の指数と呼ぶ。
(注意):
この定義は、ここだけのものであり一般的ではない。
682 ：１３２人目の素数さん：2005/11/04(金) 17:22:09
683 ：１３２人目の素数さん：2005/11/04(金) 17:47:25
おばかなおりそうもないね
684 ：208：2005/11/04(金) 17:57:04
命題
A を単項イデアル整域、p を A の極大イデアル、M を p-加群とする。
Ann(M) = p^n となる。ここで、n ≧ 0。
証明
定義より M は有限生成である。
M の生成元を x_1, ... , x_r とする。
(p^m)x_i = 0 がすべての x_i について成立つような m > 0 がある。
(p^m)M = 0 となるから、p^m ⊂ Ann(M) である。
これから、命題の主張は明らか。
証明終
A を単項イデアル整域、p を A の極大イデアル、M を p-加群とする。
Ann(M) = p^n となる。ここで、n ≧ 0。
証明
定義より M は有限生成である。
M の生成元を x_1, ... , x_r とする。
(p^m)x_i = 0 がすべての x_i について成立つような m > 0 がある。
(p^m)M = 0 となるから、p^m ⊂ Ann(M) である。
これから、命題の主張は明らか。
証明終
685 ：208：2005/11/04(金) 18:16:24
686 ：１３２人目の素数さん：2005/11/04(金) 19:06:12
687 ：１３２人目の素数さん：2005/11/04(金) 19:38:16
688 ：１３２人目の素数さん：2005/11/04(金) 19:53:16
689 ：208：2005/11/07(月) 09:58:44
補題
A を単項イデアル整域、p を A の素元、M を p-加群(>>680)
とする。 x を M の元でその指数 n が M の元のなかで最大のもの
とする。N = Ax とおく。M/N はあきらかに p-加群である。
y を M の任意の元とする。y (mod N) の M/N における指数(>>681)を
m とすると、M の元 z で、その指数が m となり、y = z (mod N) と
なるものが存在する。
証明
まず、y の指数は m 以上だから m ≦ n に注意する。
(p^m)y = tx となる t ∈ A がある。
(p^n)y = (p^(n-m))tx = 0 であるから、
(p^(n-m))t = sp^n となる s ∈ A がある。
両辺を p^n で割ると、tp^(-m) = s
よって、t = s(p^m)
(p^m)y = tx だから、(p^m)y = s(p^m)x
よって、(p^m)(y - sx) = 0 となる。
z = y - sx とおけばよい。
何故なら、z の指数が m より小さいとすると、
y (mod N) の指数も m より小さいことになって矛盾。
証明終
A を単項イデアル整域、p を A の素元、M を p-加群(>>680)
とする。 x を M の元でその指数 n が M の元のなかで最大のもの
とする。N = Ax とおく。M/N はあきらかに p-加群である。
y を M の任意の元とする。y (mod N) の M/N における指数(>>681)を
m とすると、M の元 z で、その指数が m となり、y = z (mod N) と
なるものが存在する。
証明
まず、y の指数は m 以上だから m ≦ n に注意する。
(p^m)y = tx となる t ∈ A がある。
(p^n)y = (p^(n-m))tx = 0 であるから、
(p^(n-m))t = sp^n となる s ∈ A がある。
両辺を p^n で割ると、tp^(-m) = s
よって、t = s(p^m)
(p^m)y = tx だから、(p^m)y = s(p^m)x
よって、(p^m)(y - sx) = 0 となる。
z = y - sx とおけばよい。
何故なら、z の指数が m より小さいとすると、
y (mod N) の指数も m より小さいことになって矛盾。
証明終
690 ：208：2005/11/07(月) 10:21:05
命題
A を単項イデアル整域、p を A の素元、M を p-加群(>>680)
とする。 M は、単項 p-加群つまり一個の元で生成される
p-加群の直和となる。
証明
M は長さ有限(>>671)だから、leng(M) に関する帰納法を使う。
x を M の元で、その指数 n が M の元のなかで最大のものとする。
M の各元の指数は>>684より有界だから、このような元は存在する。
leng(M/Ax) < leng(M) だから、帰納法の仮定より、M/Ax は
単項 p-加群 の直和となる。これらの単項 p-加群の生成元を
それぞれ y_1 (mod Ax), ... , y_r (mod Ax) とする。
補題(>>689) より、y_i の指数は、y_i (mod Ax) の指数と一致する
としてよい。すると、M は Ax, A(y_1), ... , A(y_r) の直和となる。
何故なら、ax + (b_1)(y_1) + ... + (b_r)(y_r) = 0 とする。
ここで、a, b_1, ... , b_r は A の元。
(b_1)(y_1) + ... + (b_r)(y_r) = 0 (mod Ax) となるから、
各 b_i = 0 (mod p^(m_i))となる。ここで、m_i は y_i の指数。
よって、各 (b_i)(y_i) = 0 である。よって、ax = 0 となる。
これと、leng(M) = leng(Ax + A(y_1) + ... + A(y_r)) に注意
すれば、M = Ax + A(y_1) + ... + A(y_r) (直和)となる。
証明終
A を単項イデアル整域、p を A の素元、M を p-加群(>>680)
とする。 M は、単項 p-加群つまり一個の元で生成される
p-加群の直和となる。
証明
M は長さ有限(>>671)だから、leng(M) に関する帰納法を使う。
x を M の元で、その指数 n が M の元のなかで最大のものとする。
M の各元の指数は>>684より有界だから、このような元は存在する。
leng(M/Ax) < leng(M) だから、帰納法の仮定より、M/Ax は
単項 p-加群 の直和となる。これらの単項 p-加群の生成元を
それぞれ y_1 (mod Ax), ... , y_r (mod Ax) とする。
補題(>>689) より、y_i の指数は、y_i (mod Ax) の指数と一致する
としてよい。すると、M は Ax, A(y_1), ... , A(y_r) の直和となる。
何故なら、ax + (b_1)(y_1) + ... + (b_r)(y_r) = 0 とする。
ここで、a, b_1, ... , b_r は A の元。
(b_1)(y_1) + ... + (b_r)(y_r) = 0 (mod Ax) となるから、
各 b_i = 0 (mod p^(m_i))となる。ここで、m_i は y_i の指数。
よって、各 (b_i)(y_i) = 0 である。よって、ax = 0 となる。
これと、leng(M) = leng(Ax + A(y_1) + ... + A(y_r)) に注意
すれば、M = Ax + A(y_1) + ... + A(y_r) (直和)となる。
証明終
691 ：208：2005/11/07(月) 10:27:37
692 ：208：2005/11/07(月) 10:52:49
単因子論を一般の単項イデアル整域上で満足のいく形で展開してる
本はBourbakiくらいしか知らない。もっとも現代の教科書を
全部チェックしたわけではないが。Langだったらやってるかも
しれない。
大抵、有理整数環か多項式環またはせいせいユークリッド整域
しか扱ってないし、たまに単項イデアル整域を扱っていても、
詰めが甘かったりする。
本はBourbakiくらいしか知らない。もっとも現代の教科書を
全部チェックしたわけではないが。Langだったらやってるかも
しれない。
大抵、有理整数環か多項式環またはせいせいユークリッド整域
しか扱ってないし、たまに単項イデアル整域を扱っていても、
詰めが甘かったりする。
693 ：208：2005/11/07(月) 10:59:23
Bourbakiにしたところで、具体的に与えられた行列を一般の単項イデアル整域上で
単因子の標準形に変形する方法については本文ではなくて演習問題に
なってる。だけど、この演習問題はいい。この方法を思いついた人は偉い。
単因子の標準形に変形する方法については本文ではなくて演習問題に
なってる。だけど、この演習問題はいい。この方法を思いついた人は偉い。
694 ：208：2005/11/07(月) 11:11:51
Van der Waerden によると >>690 から単因子論の基本定理、
つまり行列を単因子の対角行列に変形出来るという定理が
出るらしいけど、その方法を知らない。ちょっと考えたけど
わからない。
つまり行列を単因子の対角行列に変形出来るという定理が
出るらしいけど、その方法を知らない。ちょっと考えたけど
わからない。
695 ：１３２人目の素数さん：2005/11/07(月) 12:22:44
696 ：208：2005/11/07(月) 13:37:47
697 ：１３２人目の素数さん：2005/11/07(月) 14:18:54
おばかなおりそうもないね
698 ：208：2005/11/07(月) 15:17:49
現代数学概説Ｉは、単因子の単因子たる由来の命題(後で述べる)については
書いてない。行列の基本変形についても書いてない。
だから、これも満足のいくものじゃない。
これから、私がBourbakiを参考に単因子論を展開する。
書いてない。行列の基本変形についても書いてない。
だから、これも満足のいくものじゃない。
これから、私がBourbakiを参考に単因子論を展開する。
699 ：１３２人目の素数さん：2005/11/07(月) 15:24:35
もうすこしいろんなことべんきょうしてもらわねばなるまい
700 ：１３２人目の素数さん：2005/11/07(月) 15:25:14
今日は暖かいね
701 ：１３２人目の素数さん：2005/11/08(火) 13:00:43
what is principalization theorem?
702 ：１３２人目の素数さん：2005/11/08(火) 16:35:54
Does someone explain what is almost etale extensions by Faltings?
703 ：１３２人目の素数さん：2005/11/08(火) 17:18:19
Does ?
ＶＩＰからきますた、数学の天才、ちょっときてくれ(`・ω・´)
開成中の入試過去問題にお手上げ状態┐(´ー｀)┌
【秀才】 この問題の解き方教えてくれ 【集まれ】
http://news19.2ch.net/test/read.cgi/news/1131301609/
開成中の入試過去問題にお手上げ状態┐(´ー｀)┌
【秀才】 この問題の解き方教えてくれ 【集まれ】
http://news19.2ch.net/test/read.cgi/news/1131301609/
705 ：１３２人目の素数さん：2005/11/09(水) 17:48:17
208は充電中？
706 ：208：2005/11/10(木) 08:59:35
補題
A を単項イデアル整域、p を A の極大イデアル、M を 単項 p-加群
とする。 つまり M は、p-加群(>>680)でかつ一個の元で生成される
とする。Ann(M) = p^n とする(>>684)。>>678 より |M| = p^n である。
k ≧ 0 を整数として、(p^k)M を考える。
0 ≦ k ＜ n のとき、|(p^k)M| = p^(n-k) であり、
k ≧ n のとき、(p^k)M = 0 である。
証明
簡単なので読者に任す。
A を単項イデアル整域、p を A の極大イデアル、M を 単項 p-加群
とする。 つまり M は、p-加群(>>680)でかつ一個の元で生成される
とする。Ann(M) = p^n とする(>>684)。>>678 より |M| = p^n である。
k ≧ 0 を整数として、(p^k)M を考える。
0 ≦ k ＜ n のとき、|(p^k)M| = p^(n-k) であり、
k ≧ n のとき、(p^k)M = 0 である。
証明
簡単なので読者に任す。
707 ：208：2005/11/10(木) 09:12:10
補題
A を単項イデアル整域、p を A の極大イデアル、M を 単項 p-加群
とし、Ann(M) = p^n とする。
k ≧ 0 を整数として、p^(k-1)M/(p^k)M を考える。
0 ＜ k ≦ n のとき、|p^(k-1)M/(p^k)M| = p であり、
k > n のとき、p^(k-1)M/(p^k)M = 0 である。
証明
>>706より明らか。
A を単項イデアル整域、p を A の極大イデアル、M を 単項 p-加群
とし、Ann(M) = p^n とする。
k ≧ 0 を整数として、p^(k-1)M/(p^k)M を考える。
0 ＜ k ≦ n のとき、|p^(k-1)M/(p^k)M| = p であり、
k > n のとき、p^(k-1)M/(p^k)M = 0 である。
証明
>>706より明らか。
708 ：208：2005/11/10(木) 09:13:36
命題
A を単項イデアル整域、p を A の極大イデアル、M を 単項 p-加群
M_i, i = 1, ..., r の有限個の直和とする。|M_i| = p^(m_i) とする。
n を {m_1, ... , mr} の最大値とする。
0 ＜ k ≦ n のとき、leng(p^(k-1)M/(p^k)M) は、m_i ≧ k となる
i の個数に等しい。
証明
>>707より明らか。
A を単項イデアル整域、p を A の極大イデアル、M を 単項 p-加群
M_i, i = 1, ..., r の有限個の直和とする。|M_i| = p^(m_i) とする。
n を {m_1, ... , mr} の最大値とする。
0 ＜ k ≦ n のとき、leng(p^(k-1)M/(p^k)M) は、m_i ≧ k となる
i の個数に等しい。
証明
>>707より明らか。
709 ：208：2005/11/10(木) 09:24:01
命題
p を A の極大イデアル、M を p-加群 とする。
>>690より M は 単項 p-加群 M_i, i = 1, ..., r の有限個の直和となる。
|M_i| = p^(m_i) とする。
m_1 ≧ ... ≧ m_r と仮定してよい。
このとき、整数の組 (m_1, ... , m_r) は、 M により一意に決まる。
証明
Ann(M) = p^n とする。M の部分加群の列
M ⊃ pM ⊃ ... ⊃ p^(n-1)M ⊃ 0
を考える。この列の各剰余加群 p^(k-1)M/(p^k)M の長さを s_k と
する。p の生成元をπとしたとき、πによる乗法により、
全射: p^(k-1)M/(p^k)M → (p^k)M/(p^(k+1))M が得られるから
s_k ≧ s_(k+1) である。つまり、整数の降列
s_1 ≧ ... ≧ s_n が得られる。この列は、明らかに M だけで決まる。
これから、(m_1, ... , m_r) が決まることは、次のような図を書けば
わかる。
まず、>>708 より s_1 = r_1 である。
s_1 個のブロック（レンガをイメージするとよい）を
横に水平に並べる。その上に左詰めに s_2 個のブロックを並べる。
同様にして、最後に s_n 個のブロックを並べる。
この図の左端の縦１列に並んだブロックの数が m_1 である(>>708)。
その隣の縦１列に並んだブロックの数が m_2 である(>>708)。
以下同様。
証明終
p を A の極大イデアル、M を p-加群 とする。
>>690より M は 単項 p-加群 M_i, i = 1, ..., r の有限個の直和となる。
|M_i| = p^(m_i) とする。
m_1 ≧ ... ≧ m_r と仮定してよい。
このとき、整数の組 (m_1, ... , m_r) は、 M により一意に決まる。
証明
Ann(M) = p^n とする。M の部分加群の列
M ⊃ pM ⊃ ... ⊃ p^(n-1)M ⊃ 0
を考える。この列の各剰余加群 p^(k-1)M/(p^k)M の長さを s_k と
する。p の生成元をπとしたとき、πによる乗法により、
全射: p^(k-1)M/(p^k)M → (p^k)M/(p^(k+1))M が得られるから
s_k ≧ s_(k+1) である。つまり、整数の降列
s_1 ≧ ... ≧ s_n が得られる。この列は、明らかに M だけで決まる。
これから、(m_1, ... , m_r) が決まることは、次のような図を書けば
わかる。
まず、>>708 より s_1 = r_1 である。
s_1 個のブロック（レンガをイメージするとよい）を
横に水平に並べる。その上に左詰めに s_2 個のブロックを並べる。
同様にして、最後に s_n 個のブロックを並べる。
この図の左端の縦１列に並んだブロックの数が m_1 である(>>708)。
その隣の縦１列に並んだブロックの数が m_2 である(>>708)。
以下同様。
証明終
710 ：208：2005/11/10(木) 09:30:44
命題
A を単項イデアル整域、M を A 上有限生成の捩れ加群とする。
M は 単項 加群 M_i, i = 1, ..., r の有限個の
直和となる。
証明
>>669 と >>690 より明らか。
A を単項イデアル整域、M を A 上有限生成の捩れ加群とする。
M は 単項 加群 M_i, i = 1, ..., r の有限個の
直和となる。
証明
>>669 と >>690 より明らか。
711 ：208：2005/11/10(木) 09:40:03
命題
A を単項イデアル整域、M を A 上有限生成の捩れ加群とする。
>>710 より M は 単項加群 M_i, i = 1, ..., r の有限個の
直和となるが、このとき、|M_1| ⊃ ... ⊃ |M_r| と出来る。
証明
>>669 と >>709 から明らか。
A を単項イデアル整域、M を A 上有限生成の捩れ加群とする。
>>710 より M は 単項加群 M_i, i = 1, ..., r の有限個の
直和となるが、このとき、|M_1| ⊃ ... ⊃ |M_r| と出来る。
証明
>>669 と >>709 から明らか。
712 ：208：2005/11/10(木) 09:42:19
713 ：208：2005/11/10(木) 09:44:16
定義
>>712 のイデアルの列 |M_1| ⊃ ... ⊃ |M_r| を M の不変因子と呼ぶ。
>>712 のイデアルの列 |M_1| ⊃ ... ⊃ |M_r| を M の不変因子と呼ぶ。
714 ：208：2005/11/10(木) 11:47:37
715 ：１３２人目の素数さん：2005/11/10(木) 12:54:56
Problem:
A:integral domain
B:A-algebra of finite type
Then there exists an element a(=/=0) of A such that B[1/a] is free A[1/a] module.
A:integral domain
B:A-algebra of finite type
Then there exists an element a(=/=0) of A such that B[1/a] is free A[1/a] module.
716 ：１３２人目の素数さん：2005/11/10(木) 15:03:18
↑はFreitag＆Kiehlに主張されてるけど、一般には成り立たない。
AがBの部分環でなければ成り立たない気がする。
AがBの部分環でなければ成り立たない気がする。
717 ：１３２人目の素数さん：2005/11/10(木) 15:45:24
718 ：208：2005/11/10(木) 17:13:35
定義
A を可換環、 M を A-加群とする。
T^n(M) を M の n 重のテンソル積 M(x)...(x)M とする。
T^p(M) (x) T^q(M) は T^(p+q)(M) と同一視出来るから、
２重線形写像 f_(p,q): T^p(M) × T^q(M) → T^(p+q)(M) が
f_(p,q)(x, y) = x(x)y により得られる。
T^0(M) = A と定義して直和 T(M) = ΣT^p(M) を考える。
T(M) は f_(p,q) により成分毎の積を定義することにより、
可換とは限らない A-代数となる。
これを A-加群 M 上のテンソル代数と呼ぶ。
A を可換環、 M を A-加群とする。
T^n(M) を M の n 重のテンソル積 M(x)...(x)M とする。
T^p(M) (x) T^q(M) は T^(p+q)(M) と同一視出来るから、
２重線形写像 f_(p,q): T^p(M) × T^q(M) → T^(p+q)(M) が
f_(p,q)(x, y) = x(x)y により得られる。
T^0(M) = A と定義して直和 T(M) = ΣT^p(M) を考える。
T(M) は f_(p,q) により成分毎の積を定義することにより、
可換とは限らない A-代数となる。
これを A-加群 M 上のテンソル代数と呼ぶ。
719 ：208：2005/11/10(木) 17:15:21
720 ：208：2005/11/10(木) 17:18:50
定義
A を必ずしも可換とは限らない環で、次の条件を満たすとする。
1) A = ΣA_p (直和) となる。ここで、p は有理整数全体をわたり、
A_p は A を加法に関してアーベル群とみたときの部分群
2) (A_p)(A_q) ⊂ A_(p+q)
このとき A を(Z型の)次数環という。
p < 0 のとき A_p = 0 となるとき、非負の次数環という。
同様に、Z の n 個の直積を添字集合として、Z^n 型 の次数環
も定義される。
A を必ずしも可換とは限らない環で、次の条件を満たすとする。
1) A = ΣA_p (直和) となる。ここで、p は有理整数全体をわたり、
A_p は A を加法に関してアーベル群とみたときの部分群
2) (A_p)(A_q) ⊂ A_(p+q)
このとき A を(Z型の)次数環という。
p < 0 のとき A_p = 0 となるとき、非負の次数環という。
同様に、Z の n 個の直積を添字集合として、Z^n 型 の次数環
も定義される。
721 ：208：2005/11/10(木) 17:22:14
命題
A を次数環とする。
1 ∈ A_0 となる。従って、A_0 は A の部分環である。
証明
読者にまかす。
A を次数環とする。
1 ∈ A_0 となる。従って、A_0 は A の部分環である。
証明
読者にまかす。
722 ：208：2005/11/10(木) 17:28:03
定義
A を次数環とする。M を A-加群で次の条件を満たすとする。
1) M = ΣM_p (直和) となる。ここで、p は有理整数全体をわたり、
M_p は M のアーベル群としての部分群
2) (A_p)(M_q) ⊂ M_(p+q)
このとき M を(Z型の)A-次数加群という。
p < 0 のとき M_p = 0 となるとき、非負という。
M_p の元を同次元という。x ∈ M_p のとき p を x の次数と呼び、
p = deg(x) と書く。
同様に、Z^n 型 の次数加群も定義される。
A を次数環とする。M を A-加群で次の条件を満たすとする。
1) M = ΣM_p (直和) となる。ここで、p は有理整数全体をわたり、
M_p は M のアーベル群としての部分群
2) (A_p)(M_q) ⊂ M_(p+q)
このとき M を(Z型の)A-次数加群という。
p < 0 のとき M_p = 0 となるとき、非負という。
M_p の元を同次元という。x ∈ M_p のとき p を x の次数と呼び、
p = deg(x) と書く。
同様に、Z^n 型 の次数加群も定義される。
723 ：208：2005/11/10(木) 17:32:41
定義
A を次数環とする。M を A-次数加群とする。
N を M の A-加群としての部分加群とする。
N = Σ(N ∩ M_p) となるとき、N を M の同次部分加群という。
A を次数環とする。M を A-次数加群とする。
N を M の A-加群としての部分加群とする。
N = Σ(N ∩ M_p) となるとき、N を M の同次部分加群という。
724 ：208：2005/11/10(木) 17:34:58
定義
A を次数環とする。M を A-次数加群とする。
x ∈ M で x = Σx_p, x_p ∈ M_p であるとき、各 x_p を x の
p 次の同次成分と呼ぶ。
A を次数環とする。M を A-次数加群とする。
x ∈ M で x = Σx_p, x_p ∈ M_p であるとき、各 x_p を x の
p 次の同次成分と呼ぶ。
725 ：208：2005/11/10(木) 17:36:33
命題
A を次数環とする。M を A-次数加群とする。
N を M の A-部分加群とする。
N が M の同次部分加群となるためには、以下が成立つことが必要十分である。
x ∈ N なら、その各同次成分も N に含まれる。
証明
明らか。
A を次数環とする。M を A-次数加群とする。
N を M の A-部分加群とする。
N が M の同次部分加群となるためには、以下が成立つことが必要十分である。
x ∈ N なら、その各同次成分も N に含まれる。
証明
明らか。
726 ：208：2005/11/10(木) 17:37:36
命題
A を次数環とする。M を A-次数加群とする。
N を M の A-部分加群とする。
N が M の同次部分加群となるためには、N が同次元で生成される
ことが必要十分である。
証明
読者にまかす。
A を次数環とする。M を A-次数加群とする。
N を M の A-部分加群とする。
N が M の同次部分加群となるためには、N が同次元で生成される
ことが必要十分である。
証明
読者にまかす。
727 ：208：2005/11/10(木) 17:44:15
定義
A を可換環、 M を A-加群とする。
T(M) を A 上の M から生成されるテンソル代数とする。
T(M) は明らかに次数 A-代数である。
T(M)の部分集合 {x^2; x ∈ M} から生成される両側イデアルを
I とする。T(M)/I を A 上の M から生成される外積代数と呼び、
ΛM と書く。I は同次元で生成されるから同次イデアルである(>>726)。
よって、(Λ^p)M = T^p(M)/(I ∩ T^p(M)) とおけば、
ΛM = Σ(Λ^p)M (直和) となる。よって ΛM も次数 A-代数である。
(Λ^0)M = A であり、(Λ^1)M = M となる。
ΛM の２元 x, y の積を xΛy と書く。
A を可換環、 M を A-加群とする。
T(M) を A 上の M から生成されるテンソル代数とする。
T(M) は明らかに次数 A-代数である。
T(M)の部分集合 {x^2; x ∈ M} から生成される両側イデアルを
I とする。T(M)/I を A 上の M から生成される外積代数と呼び、
ΛM と書く。I は同次元で生成されるから同次イデアルである(>>726)。
よって、(Λ^p)M = T^p(M)/(I ∩ T^p(M)) とおけば、
ΛM = Σ(Λ^p)M (直和) となる。よって ΛM も次数 A-代数である。
(Λ^0)M = A であり、(Λ^1)M = M となる。
ΛM の２元 x, y の積を xΛy と書く。
728 ：１３２人目の素数さん：2005/11/10(木) 19:09:40
おろかしい
729 ：１３２人目の素数さん：2005/11/10(木) 19:28:08
1スレッドぐらい私物化しても構わんけどageるな
730 ：１３２人目の素数さん：2005/11/10(木) 19:33:39
208に外積代数がわかるとはおもえん
つっこめばぼろが出るにきまってる
だからつっこむのはやめろよ
つっこめばぼろが出るにきまってる
だからつっこむのはやめろよ
731 ：１３２人目の素数さん：2005/11/10(木) 19:36:41
でもブルバキ写してるだけだろ
732 ：１３２人目の素数さん：2005/11/10(木) 19:44:03
だからつっこむのやめろよ
733 ：１３２人目の素数さん：2005/11/10(木) 20:01:48
対称代数ならもっとやばい
734 ：１３２人目の素数さん：2005/11/10(木) 20:08:42
退屈だなここは
もっと殺伐としなくちゃ
割り算もういっかい蒸し返すかな
どうせ208はわかってないし
もっと殺伐としなくちゃ
割り算もういっかい蒸し返すかな
どうせ208はわかってないし
735 ：１３２人目の素数さん：2005/11/10(木) 20:13:10
>読者にまかす。
そこまで写すかね。
そこまで写すかね。
736 ：１３２人目の素数さん：2005/11/10(木) 20:15:47
とほほすぎるね
737 ：１３２人目の素数さん：2005/11/10(木) 20:20:22
なんのためにブルバキを写すのか
習字でもやってるのか
習字でもやってるのか
738 ：１３２人目の素数さん：2005/11/10(木) 20:23:29
りはびり
739 ：１３２人目の素数さん：2005/11/10(木) 20:31:46
外積代数というならもっと実質的なこと書いてほしいね
無理か
無理か
740 ：１３２人目の素数さん：2005/11/10(木) 20:37:39
ブルバキが最新の外積代数らしい
うわっ
うわっ
741 ：１３２人目の素数さん：2005/11/10(木) 20:56:43
742 ：１３２人目の素数さん：2005/11/11(金) 09:45:37
：１３２人目の素数さん ：2005/11/10(木) 20:56:43
>>715を証明してくれ。
B:domain,A上有限生成環
AはBの部分環でいい。
By generic flatness....
>>715を証明してくれ。
B:domain,A上有限生成環
AはBの部分環でいい。
By generic flatness....
743 ：208：2005/11/11(金) 10:18:27
テンソル代数は次の命題で特徴付けられる。
命題
A を可換環、 M を A-加群とする。
B を可換とは限らない A-代数とし、
f: M → B を A-加群としての射とする。
このとき、A-代数としての射 g: T(M) → B で
f = gj となるものが一意に存在する。
ここで、j: M → T(M) は標準単射。
証明
読者に任す。
命題
A を可換環、 M を A-加群とする。
B を可換とは限らない A-代数とし、
f: M → B を A-加群としての射とする。
このとき、A-代数としての射 g: T(M) → B で
f = gj となるものが一意に存在する。
ここで、j: M → T(M) は標準単射。
証明
読者に任す。
744 ：208：2005/11/11(金) 10:26:57
命題
A を可換環、M を A-加群とする。
x_1, ... , x_p を M の元とする。
このとき、次の等式が成立つ。
x_σ(1)Λ...Λx_σ(p) = ε(σ)x_1Λ...Λx_p
ここで、両辺は M の外積代数(>>727) ΛM の p-次同次成分 (Λ^p)M
の元である。
証明
x, y ∈ M のとき、(x+y)Λ(x+y) = 0 となる。
これから n = 2 のときの証明が終わる。
n > 2 のときは帰納法を使う。
詳細は読者に任す。
A を可換環、M を A-加群とする。
x_1, ... , x_p を M の元とする。
このとき、次の等式が成立つ。
x_σ(1)Λ...Λx_σ(p) = ε(σ)x_1Λ...Λx_p
ここで、両辺は M の外積代数(>>727) ΛM の p-次同次成分 (Λ^p)M
の元である。
証明
x, y ∈ M のとき、(x+y)Λ(x+y) = 0 となる。
これから n = 2 のときの証明が終わる。
n > 2 のときは帰納法を使う。
詳細は読者に任す。
745 ：208：2005/11/11(金) 10:28:51
746 ：208：2005/11/11(金) 10:36:48
命題
A を可換環、M を A-加群とする。
x_1, ... , x_p を M の元とする。
i ≠ j のとき x_i = x_j なら、
x_1Λ...Λx_p = 0 となる。
証明
まず、x_1 = x_2 のときは、x_1Λ...Λx_p = 0 となることに注意
する。これは、x_1Λx_2Λ...Λx_p = (x_1Λx_2)Λ...Λx_p
で、x_1Λx_2 = 0 から明らか。
一般の場合は、σを集合{1, ..., n} の順列で σ(i) = 1, σ(j) = 2
とすれば、>>744 より、最初の場合に帰着する。
証明終
A を可換環、M を A-加群とする。
x_1, ... , x_p を M の元とする。
i ≠ j のとき x_i = x_j なら、
x_1Λ...Λx_p = 0 となる。
証明
まず、x_1 = x_2 のときは、x_1Λ...Λx_p = 0 となることに注意
する。これは、x_1Λx_2Λ...Λx_p = (x_1Λx_2)Λ...Λx_p
で、x_1Λx_2 = 0 から明らか。
一般の場合は、σを集合{1, ..., n} の順列で σ(i) = 1, σ(j) = 2
とすれば、>>744 より、最初の場合に帰着する。
証明終
747 ：208：2005/11/11(金) 10:43:23
外積代数は次の命題で特徴付けられる。
命題
A を可換環、 M を A-加群とする。
B を可換とは限らない A-代数とし、
f: M → B を A-加群としての射で、
f(x)^2 = 0 が任意の x ∈ M で成立つとする。
このとき、A-代数としての射 g: ΛM → B で
f = gj となるものが一意に存在する。
ここで、j: M → ΛM は標準単射。
証明
読者に任す。
命題
A を可換環、 M を A-加群とする。
B を可換とは限らない A-代数とし、
f: M → B を A-加群としての射で、
f(x)^2 = 0 が任意の x ∈ M で成立つとする。
このとき、A-代数としての射 g: ΛM → B で
f = gj となるものが一意に存在する。
ここで、j: M → ΛM は標準単射。
証明
読者に任す。
748 ：208：2005/11/11(金) 11:03:35
定義
R を可換環、 A, B を可換とは限らない R-次数代数とする。
Z^2 型の R-次数代数 C を以下のように定義する。
C の (p,q)次の成分を C_(p,q) = A_p(x)B_q とする。
x ∈ A_p, y ∈ B_q
z ∈ A_r, w ∈ B_s
のとき、(x(x)y)(z(x)w) = (-1)^(qr) xz(x)yw
と定義する。
この積が結合律を満たすことは読者に任す。
C を A と B の歪テンソル積と呼び、A(x)'B と書く。
R を可換環、 A, B を可換とは限らない R-次数代数とする。
Z^2 型の R-次数代数 C を以下のように定義する。
C の (p,q)次の成分を C_(p,q) = A_p(x)B_q とする。
x ∈ A_p, y ∈ B_q
z ∈ A_r, w ∈ B_s
のとき、(x(x)y)(z(x)w) = (-1)^(qr) xz(x)yw
と定義する。
この積が結合律を満たすことは読者に任す。
C を A と B の歪テンソル積と呼び、A(x)'B と書く。
749 ：208：2005/11/11(金) 11:48:10
命題
R を可換環、 A, B を可換とは限らない R-次数代数とする。
C を Z^2 型の R-次数代数とする。
f: A → C
g: B → C
を R-代数の射で、
f(A_p) ⊂ C_(p,0)
g(B_q) ⊂ C_(0,q)
とする。
さらに、x ∈ A_p, y ∈ B_q のとき
f(x)g(y) = (-1)^(pq) g(y)f(x)
とする。
このとき、R-次数代数の(次数を保つ)射
h: A(x)'B → C
で、hu = f, hv = g となるものが一意に存在する。
ここで、A(x)'B は A と B の歪テンソル積(>>748)で
u: A → A(x)'B, v: B → A(x)'B は標準射。
証明
読者に任す。
R を可換環、 A, B を可換とは限らない R-次数代数とする。
C を Z^2 型の R-次数代数とする。
f: A → C
g: B → C
を R-代数の射で、
f(A_p) ⊂ C_(p,0)
g(B_q) ⊂ C_(0,q)
とする。
さらに、x ∈ A_p, y ∈ B_q のとき
f(x)g(y) = (-1)^(pq) g(y)f(x)
とする。
このとき、R-次数代数の(次数を保つ)射
h: A(x)'B → C
で、hu = f, hv = g となるものが一意に存在する。
ここで、A(x)'B は A と B の歪テンソル積(>>748)で
u: A → A(x)'B, v: B → A(x)'B は標準射。
証明
読者に任す。
750 ：１３２人目の素数さん：2005/11/11(金) 12:49:16
>>749
以下のように訂正する。
命題
R を可換環、 A, B, C を可換とは限らない R-次数代数とする。
f: A → C
g: B → C
を R-代数の射で次数を保つ、即ち
f(A_p) ⊂ C_p
g(B_q) ⊂ C_q
とする。
さらに、x ∈ A_p, y ∈ B_q のとき
f(x)g(y) = (-1)^(pq) g(y)f(x)
とする。
このとき、R-代数の射
h: A(x)'B → C で、
h(A_p(x)B_q) ⊂ C_(p+q)
hu = f, hv = g となるものが一意に存在する。
ここで、A(x)'B は A と B の歪テンソル積(>>748)で
u: A → A(x)'B, v: B → A(x)'B は標準射。
証明
読者に任す。
以下のように訂正する。
命題
R を可換環、 A, B, C を可換とは限らない R-次数代数とする。
f: A → C
g: B → C
を R-代数の射で次数を保つ、即ち
f(A_p) ⊂ C_p
g(B_q) ⊂ C_q
とする。
さらに、x ∈ A_p, y ∈ B_q のとき
f(x)g(y) = (-1)^(pq) g(y)f(x)
とする。
このとき、R-代数の射
h: A(x)'B → C で、
h(A_p(x)B_q) ⊂ C_(p+q)
hu = f, hv = g となるものが一意に存在する。
ここで、A(x)'B は A と B の歪テンソル積(>>748)で
u: A → A(x)'B, v: B → A(x)'B は標準射。
証明
読者に任す。
751 ：１３２人目の素数さん：2005/11/11(金) 13:00:42
命題
A を可換環、 M, N を A-加群とする。
L = M + N (直積)とする。
ΛL は (ΛM)(x)'(ΛN) に A-次数代数として標準的に同型となる。
ただし、(ΛM)(x)'(ΛN) の次数型は全次数 n = p + q により
Z 型と考える。
証明
標準射 f: ΛM → ΛL と g: ΛN → ΛL がある。
これは、>>750 の命題の条件を満たす。
よって、h: (ΛM)(x)'(ΛN) → ΛL が定義される。
一方、標準射 M → (ΛM)(x)'(ΛN) と N → (ΛM)(x)'(ΛN)
から、射 L → (ΛM)(x)'(ΛN) が定義される。
これは、>>747 の命題の条件を満たす。
よって、射 k: ΛL → (ΛM)(x)'(ΛN) が定義される。
h と k が互いに逆射となっていることは読者に任す。
証明終
A を可換環、 M, N を A-加群とする。
L = M + N (直積)とする。
ΛL は (ΛM)(x)'(ΛN) に A-次数代数として標準的に同型となる。
ただし、(ΛM)(x)'(ΛN) の次数型は全次数 n = p + q により
Z 型と考える。
証明
標準射 f: ΛM → ΛL と g: ΛN → ΛL がある。
これは、>>750 の命題の条件を満たす。
よって、h: (ΛM)(x)'(ΛN) → ΛL が定義される。
一方、標準射 M → (ΛM)(x)'(ΛN) と N → (ΛM)(x)'(ΛN)
から、射 L → (ΛM)(x)'(ΛN) が定義される。
これは、>>747 の命題の条件を満たす。
よって、射 k: ΛL → (ΛM)(x)'(ΛN) が定義される。
h と k が互いに逆射となっていることは読者に任す。
証明終
752 ：１３２人目の素数さん：2005/11/11(金) 13:12:43
208には本質がわかってないね
753 ：208：2005/11/11(金) 13:13:59
命題
A を可換環、 M を階数 n の A-自由加群とする。
(Λ^p)M は階数 nCp の A-自由加群である。
ここで、nCp は n 個の集合から p 個の部分集合を取る組み合わせの数。
証明
M の基底を e_1, ... , e_n とする。
M = ΣAe_i （直和) だから、>>751 より
ΛM = (ΛAe_1)(x)'...(x)' (ΛAe_n) となる。
各 ΛAe_i = A + A_ei に注意すればよい。
証明終
A を可換環、 M を階数 n の A-自由加群とする。
(Λ^p)M は階数 nCp の A-自由加群である。
ここで、nCp は n 個の集合から p 個の部分集合を取る組み合わせの数。
証明
M の基底を e_1, ... , e_n とする。
M = ΣAe_i （直和) だから、>>751 より
ΛM = (ΛAe_1)(x)'...(x)' (ΛAe_n) となる。
各 ΛAe_i = A + A_ei に注意すればよい。
証明終
754 ：１３２人目の素数さん：2005/11/11(金) 13:21:28
はずかし
755 ：１３２人目の素数さん：2005/11/11(金) 14:14:54
756 ：１３２人目の素数さん：2005/11/11(金) 15:31:42
757 ：１３２人目の素数さん：2005/11/11(金) 15:35:14
だから
つっこむのやめろよ
またわやくちゃになるぞ
つっこむのやめろよ
またわやくちゃになるぞ
758 ：１３２人目の素数さん：2005/11/11(金) 15:36:34
その通り。オナニーは自由にさせるのがいい。途中でやめさせるから、
精液が回復する。
精液が回復する。
759 ：１３２人目の素数さん：2005/11/11(金) 15:45:13
はやく本を写し終わって極楽浄土に成仏してくれないかな
760 ：１３２人目の素数さん：2005/11/11(金) 15:49:41
ブルバキ浄土
761 ：208：2005/11/11(金) 16:06:22
763 ：１３２人目の素数さん：2005/11/11(金) 16:12:31
２０８は研究に時間を使ったほうがよくないか
764 ：208：2005/11/11(金) 16:13:30
>>743 から出るんだよ、うすらが
765 ：１３２人目の素数さん：2005/11/11(金) 16:14:56
>>764
他人が二人以上いることにはやく気付けよ。
他人が二人以上いることにはやく気付けよ。
766 ：１３２人目の素数さん：2005/11/11(金) 16:17:05
>>764
だんだん余裕がなくなってきてるな。
だんだん余裕がなくなってきてるな。
767 ：１３２人目の素数さん：2005/11/11(金) 16:18:06
>764
>>756をよく読みましょうね
>>756をよく読みましょうね
768 ：１３２人目の素数さん：2005/11/11(金) 16:19:15
こいつも「敵は一人症候群」か。餓鬼は必ずこれを患ってるな。
769 ：１３２人目の素数さん：2005/11/11(金) 16:23:38
208には細かい点が理解できないので
それがわかりにくいようにつっこむと
どつぼにはまる
しまいに怒鳴りだして
からかったやつの思うツボ
いまでも割り算で怒鳴ってるし
救いようがない
それがわかりにくいようにつっこむと
どつぼにはまる
しまいに怒鳴りだして
からかったやつの思うツボ
いまでも割り算で怒鳴ってるし
救いようがない
770 ：208：2005/11/11(金) 16:27:05
>こいつも「敵は一人症候群」か。
うすらが
うすらが
771 ：１３２人目の素数さん：2005/11/11(金) 16:28:39
うすら208 Ass208 うすら208 Ass208
うすら208 Ass208 うすら208 Ass208
うすら208 Ass208 うすら208 Ass208
うすら208 Ass208 うすら208 Ass208
うすら208 Ass208 うすら208 Ass208
うすら208 Ass208 うすら208 Ass208
うすら208 Ass208 うすら208 Ass208
うすら208 Ass208 うすら208 Ass208
うすら208 Ass208 うすら208 Ass208
772 ：１３２人目の素数さん：2005/11/11(金) 16:31:14
うっすらバブ−
773 ：208：2005/11/11(金) 16:32:28
>>756
>>727 の記号を使うと、(Λ^p)M = T^p(M)/(I ∩ T^p(M)) だから、
(Λ^1)M = T^1(M)/(I ∩ T^1(M)) だが、定義より T^1(M) = M で
I ∩ M = 0 だから (Λ^1)M = M となる。
>>727 の記号を使うと、(Λ^p)M = T^p(M)/(I ∩ T^p(M)) だから、
(Λ^1)M = T^1(M)/(I ∩ T^1(M)) だが、定義より T^1(M) = M で
I ∩ M = 0 だから (Λ^1)M = M となる。
774 ：１３２人目の素数さん：2005/11/11(金) 16:34:48
そうそう素直にならなくちゃ
775 ：208：2005/11/11(金) 16:38:25
なまイキ言うんじゃねえ
776 ：１３２人目の素数さん：2005/11/11(金) 16:40:26
もっと素直にならなくちゃ
みんなからイヂメラれますよ
みんなからイヂメラれますよ
777 ：１３２人目の素数さん：2005/11/11(金) 16:41:12
もっと素直にならなくちゃ
みんなからもっとイヂメラれますよ
みんなからもっとイヂメラれますよ
778 ：１３２人目の素数さん：2005/11/11(金) 16:42:16
もっともっと素直にならなくちゃ
みんなからもっともっとイヂメラれますよ
みんなからもっともっとイヂメラれますよ
779 ：208：2005/11/11(金) 16:42:44
780 ：１３２人目の素数さん：2005/11/11(金) 16:45:01
>>779
誰が誰かぐらいは特定しろよorz
誰が誰かぐらいは特定しろよorz
781 ：１３２人目の素数さん：2005/11/11(金) 16:45:43
もっともっともおーっと素直にならなくちゃ
みんなからもっともっともおーっとイヂメラれますよ
みんなからもっともっともおーっとイヂメラれますよ
782 ：208：2005/11/11(金) 16:46:34
特定出来るわけないだろ。
見当はつくけどな
見当はつくけどな
783 ：１３２人目の素数さん：2005/11/11(金) 16:47:20
784 ：１３２人目の素数さん：2005/11/11(金) 16:48:33
妄想
785 ：１３２人目の素数さん：2005/11/11(金) 16:49:53
>>784
じゃますんな。キチガイ
じゃますんな。キチガイ
786 ：１３２人目の素数さん：2005/11/11(金) 16:51:41
じゃあつけた妄想を利用して書き分けろよ。
787 ：１３２人目の素数さん：2005/11/11(金) 16:53:22
>>786
利用できる結果は利用しろよ。キチガイ
利用できる結果は利用しろよ。キチガイ
788 ：１３２人目の素数さん：2005/11/11(金) 16:57:23
なまイキ言うんじゃねえ
789 ：１３２人目の素数さん：2005/11/11(金) 17:00:41
>>788
おまえはオッカムのかみそりの向いてる方向が逆なんだよ。
おまえはオッカムのかみそりの向いてる方向が逆なんだよ。
790 ：１３２人目の素数さん：2005/11/11(金) 17:02:08
なまイキ言うんじゃねえ
791 ：１３２人目の素数さん：2005/11/11(金) 17:02:47
208の迷語録スレはこちらですか？
792 ：１３２人目の素数さん：2005/11/11(金) 17:03:05
> ぜひ教えてください。お願いします。ペコリ
こんな素直な子が、背伸びしてブルバキをやったばかりに、
> じゃますんな。キチガイ
> なまイキ言うんじゃねえ
になってしまうなんて、日本の数学教育って一体・・・
こんな素直な子が、背伸びしてブルバキをやったばかりに、
> じゃますんな。キチガイ
> なまイキ言うんじゃねえ
になってしまうなんて、日本の数学教育って一体・・・
793 ：１３２人目の素数さん：2005/11/11(金) 17:04:16
>>789
なにか勘違いしてるらしいね
なにか勘違いしてるらしいね
794 ：１３２人目の素数さん：2005/11/11(金) 17:04:51
うすらが
795 ：１３２人目の素数さん：2005/11/11(金) 17:06:58
うすら208 Ass208 うすら208 Ass208
うすら208 Ass208 うすら208 Ass208
うすら208 Ass208 うすら208 Ass208
うすら208 Ass208 うすら208 Ass208
うすら208 Ass208 うすら208 Ass208
うすら208 Ass208 うすら208 Ass208
うすら208 Ass208 うすら208 Ass208
うすら208 Ass208 うすら208 Ass208
うすら208 Ass208 うすら208 Ass208
796 ：１３２人目の素数さん：2005/11/11(金) 17:08:09
せっかく大学まで行かせてやり
機嫌良く数学やってたんですよ
でもある日
いつも座る席に知らない学生が座っていたので
すねて帰ってきました
それ以来なんです
家にひきこもったきりなんですよ
機嫌良く数学やってたんですよ
でもある日
いつも座る席に知らない学生が座っていたので
すねて帰ってきました
それ以来なんです
家にひきこもったきりなんですよ
797 ：１３２人目の素数さん：2005/11/11(金) 17:09:22
798 ：１３２人目の素数さん：2005/11/11(金) 17:10:01
なまイキ言うんじゃねえ
799 ：１３２人目の素数さん：2005/11/11(金) 17:10:21
>>791
208隔離スレでしたが．．．今は．．．あっ
208隔離スレでしたが．．．今は．．．あっ
800 ：１３２人目の素数さん：2005/11/11(金) 17:11:32
>>797
なにか勘違いしてるね
なにか勘違いしてるね
801 ：１３２人目の素数さん：2005/11/11(金) 17:13:51
>オッカムの剃刀
おお新手の言いがかり登場だぞ
でも何が言いたいのか
奥歯にうんこがはさまっているようだ
おお新手の言いがかり登場だぞ
でも何が言いたいのか
奥歯にうんこがはさまっているようだ
802 ：１３２人目の素数さん：2005/11/11(金) 17:14:10
>>800
なにがさ？
なにがさ？
803 ：１３２人目の素数さん：2005/11/11(金) 17:15:25
>>801
うんこ美味しいよね
うんこ美味しいよね
804 ：１３２人目の素数さん：2005/11/11(金) 17:16:11
>>802
だれが何を削ってるってのか？
だれが何を削ってるってのか？
805 ：１３２人目の素数さん：2005/11/11(金) 17:17:18
皆んなぁ！ ケンカはやめて仲良くしようよ！！
806 ：１３２人目の素数さん：2005/11/11(金) 17:17:54
>>804
なにをかんちがいしてるかね？
なにをかんちがいしてるかね？
807 ：１３２人目の素数さん：2005/11/11(金) 17:18:50
基地外の巣でしたか。ここは。
808 ：１３２人目の素数さん：2005/11/11(金) 17:20:02
>806
なにも削ってないだろ
削ってるのは208の脳味噌だけ
なにも削ってないだろ
削ってるのは208の脳味噌だけ
809 ：１３２人目の素数さん：2005/11/11(金) 17:21:50
208がやけ糞になって焦土戦術に出たようです
810 ：１３２人目の素数さん：2005/11/11(金) 17:21:59
811 ：１３２人目の素数さん：2005/11/11(金) 17:23:03
あと200くらいすぐだな
812 ：１３２人目の素数さん：2005/11/11(金) 17:24:18
焦土戦術は、防御側が効果的な反撃をできないと、ただの敗走だべ
813 ：１３２人目の素数さん：2005/11/11(金) 17:24:38
>>それとも何かが２０８の脳みそを削っているのかね？？？
そんなおそろしいことを！！！
208は狂牛病なのか？？？
そんなおそろしいことを！！！
208は狂牛病なのか？？？
814 ：１３２人目の素数さん：2005/11/11(金) 17:25:53
ようするに敗走だった
と後でわかる
と後でわかる
815 ：１３２人目の素数さん：2005/11/11(金) 17:26:12
816 ：１３２人目の素数さん：2005/11/11(金) 17:29:38
>>815
それはただの上げ荒らしだからたのむからやめてくれ。
それはただの上げ荒らしだからたのむからやめてくれ。
817 ：１３２人目の素数さん：2005/11/11(金) 17:30:13
208隔離スレがあらたに必要なのか
でもおとなしく隔離されるかな？
でもおとなしく隔離されるかな？
818 ：１３２人目の素数さん：2005/11/11(金) 17:31:56
>>817
ズバリ！「２０８隔離スレ」でスレ立ててくれ。ファンスレという事でゆるす。
ズバリ！「２０８隔離スレ」でスレ立ててくれ。ファンスレという事でゆるす。
819 ：１３２人目の素数さん：2005/11/11(金) 17:42:01
ガロア理論part2の残骸ものせて
820 ：１３２人目の素数さん：2005/11/11(金) 17:52:51
新スレが立ってしまったが208はいずこへ？
821 ：１３２人目の素数さん：2005/11/11(金) 17:55:52
208は、最後に「うすらが」という言葉を残して
休眠状態に transfer した。
休眠状態に transfer した。
822 ：１３２人目の素数さん：2005/11/11(金) 18:08:50
こうして、208のブルバキ帝国再興の夢は潰えた。
そして千年後の復活に備えて、永い冬眠状態に
入ったのであった・・・（完）
単に、いじけて泣いているだけという説もあるという。
そして千年後の復活に備えて、永い冬眠状態に
入ったのであった・・・（完）
単に、いじけて泣いているだけという説もあるという。
823 ：１３２人目の素数さん：2005/11/11(金) 18:09:05
208泣いてるよ
ほら
ほら
824 ：１３２人目の素数さん：2005/11/11(金) 18:15:10
新生208は
ガウスラ
か？
ガウスラ
か？
825 ：１３２人目の素数さん：2005/11/11(金) 18:37:13
ああ単因子よ外積よ
日の目をみずに眠るのか
どうか安らかに死んだように眠っておいてくれ
日の目をみずに眠るのか
どうか安らかに死んだように眠っておいてくれ
826 ：１３２人目の素数さん：2005/11/11(金) 18:43:14
208軍団指揮官ガウスラ将軍はいまニューロードを進軍中。
827 ：１３２人目の素数さん：2005/11/11(金) 19:00:24
828 ：１３２人目の素数さん：2005/11/11(金) 19:14:16
一体いままでなんのために写経してきたんだ
これがあの208の最後の姿なのか
それでいいのか208よ
おまえの子分どもが泣いているぞ
さあガウスラとなって立ち上がるのだ
これがあの208の最後の姿なのか
それでいいのか208よ
おまえの子分どもが泣いているぞ
さあガウスラとなって立ち上がるのだ
829 ：１３２人目の素数さん：2005/11/11(金) 19:40:08
ガウスラ帝国 万歳！！
830 ：１３２人目の素数さん：2005/11/11(金) 19:46:20
831 ：１３２人目の素数さん：2005/11/11(金) 20:05:43
>>830
そうそう、あの時が208の絶頂期だったんだよね。今思うと。
数学科を出ていないこの板の普通の住人を侮蔑的に排除するような
言動が結果的に命取りになったかな。ブルバキ帝国を再興したい
なら、まず大義を掲げて一般の住民の支持を得ないとだめだね。
そうそう、あの時が208の絶頂期だったんだよね。今思うと。
数学科を出ていないこの板の普通の住人を侮蔑的に排除するような
言動が結果的に命取りになったかな。ブルバキ帝国を再興したい
なら、まず大義を掲げて一般の住民の支持を得ないとだめだね。
832 ：１３２人目の素数さん：2005/11/11(金) 20:08:16
↓信者へのお答えがこれじゃあねえ。まさに宗教
初学者？ そうね、我慢して証明を追っていく。
そのうち、トンネルを抜けるように見晴らしがパーっと良くなる。
この感覚は言葉でいくら説明してもわからない。
体験するしかない。
初学者？ そうね、我慢して証明を追っていく。
そのうち、トンネルを抜けるように見晴らしがパーっと良くなる。
この感覚は言葉でいくら説明してもわからない。
体験するしかない。
833 ：１３２人目の素数さん：2005/11/11(金) 20:55:49
＞＞８３１
このスレで数学科出てない人がいる？とは思えないけど
このスレで数学科出てない人がいる？とは思えないけど
834 ：１３２人目の素数さん：2005/11/11(金) 21:25:54
835 ：１３２人目の素数さん：2005/11/11(金) 21:28:37
ブルマ履き
836 ：１３２人目の素数さん：2005/11/11(金) 22:10:20
そういえば学会で意味のないらしい内容の発表を５回もするので、本来１５分の発表時間を数分に短縮されていた人がいたけど、２０８ではないよね。
837 ：１３２人目の素数さん：2005/11/11(金) 22:17:56
838 ：１３２人目の素数さん：2005/11/11(金) 22:41:37
>>837
知ってる範囲で・・・
・オイラーすれで、198と名乗っていた。住人が温厚だったせいか208の独壇場。
・数学の本スレ（すでに1000超えてdat落ち）でブルバキ関係の話題で現れて
荒れたｗ
・線形代数スレで、発言を well known and trivial と指摘されて切れる。
・圏論スレの594以降を見てみん。すさまじく荒れたｗ
・ご存じガロアスレ。このスレの773以降208の没落始まる。
その他、208の陰を感じさせる発言多数。やりとりをした香具師の
ほとんどが気を悪くしている。数学板きっての嫌われ者。
知ってる範囲で・・・
・オイラーすれで、198と名乗っていた。住人が温厚だったせいか208の独壇場。
・数学の本スレ（すでに1000超えてdat落ち）でブルバキ関係の話題で現れて
荒れたｗ
・線形代数スレで、発言を well known and trivial と指摘されて切れる。
・圏論スレの594以降を見てみん。すさまじく荒れたｗ
・ご存じガロアスレ。このスレの773以降208の没落始まる。
その他、208の陰を感じさせる発言多数。やりとりをした香具師の
ほとんどが気を悪くしている。数学板きっての嫌われ者。
839 ：１３２人目の素数さん：2005/11/11(金) 22:51:30
840 ：１３２人目の素数さん：2005/11/11(金) 23:23:01
>>838
なるほど。ブルバキ教徒だからすぐわかるってこともあるね。
なるほど。ブルバキ教徒だからすぐわかるってこともあるね。
841 ：１３２人目の素数さん：2005/11/12(土) 13:19:29
ガウスラ将軍の軍団はどこに消えたんだ？
842 ：１３２人目の素数さん：2005/11/14(月) 11:07:31
843 ：１３２人目の素数さん：2005/11/14(月) 12:21:05
844 ：208：2005/11/14(月) 13:05:37
>>753 の前に以下を述べるべきだった。
R を可換環、 A_1, ... , A_n を必ずしも可換でない R 上の次数代数とする。
これ等の歪テンソル積 (A_1)(x)'...(x)'(A_n) も >>748 と同様に
定義される。
詳しく述べると、
(x_1)(x)...(x)(x_n) と (y_1)(x)...(x)(y_n) の積は
ε(p,q)(x_1y_1)(x)...(x)(x_ny_n) と定義する。
ここで、各 x_i ∈ (A_i)_(p_i), y_i ∈ (A_i)_(q_i)
ε(p,q) = (-1)^（Σ(p_i)(q_j))
Σは i > j のすべての組合わせを動くものとする。
p、q、r ∈ Z^n のとき、
ε(p+q, r) = ε(p, r)ε(q, r)
ε(p, q+r) = ε(p, q)ε(p, r)
となる。
これから、ε(p, q)ε(p+q, r) = ε(p, q+r)ε(q, r)
となる。
これから、結合律 (xy)z = x(yz) が出る。
歪テンソル積の結合律
(A(x)'B)(x)'C = A(x)'(B(x)'C) = A(x)'B(x)'C も成立つ。
R を可換環、 A_1, ... , A_n を必ずしも可換でない R 上の次数代数とする。
これ等の歪テンソル積 (A_1)(x)'...(x)'(A_n) も >>748 と同様に
定義される。
詳しく述べると、
(x_1)(x)...(x)(x_n) と (y_1)(x)...(x)(y_n) の積は
ε(p,q)(x_1y_1)(x)...(x)(x_ny_n) と定義する。
ここで、各 x_i ∈ (A_i)_(p_i), y_i ∈ (A_i)_(q_i)
ε(p,q) = (-1)^（Σ(p_i)(q_j))
Σは i > j のすべての組合わせを動くものとする。
p、q、r ∈ Z^n のとき、
ε(p+q, r) = ε(p, r)ε(q, r)
ε(p, q+r) = ε(p, q)ε(p, r)
となる。
これから、ε(p, q)ε(p+q, r) = ε(p, q+r)ε(q, r)
となる。
これから、結合律 (xy)z = x(yz) が出る。
歪テンソル積の結合律
(A(x)'B)(x)'C = A(x)'(B(x)'C) = A(x)'B(x)'C も成立つ。
845 ：１３２人目の素数さん：2005/11/14(月) 13:07:46
208さんお帰りなさい。まったく酷い荒れようでした。
846 ：１３２人目の素数さん：2005/11/14(月) 14:17:48
>>845
jisakujien, jisakujien
jisakujien, jisakujien
847 ：１３２人目の素数さん：2005/11/14(月) 14:20:38
>>843
本当にありがとう。Eisenbudの本は読んだことあるんだけどな。読んでも覚えないな。
本当にありがとう。Eisenbudの本は読んだことあるんだけどな。読んでも覚えないな。
848 ：１３２人目の素数さん：2005/11/14(月) 15:00:50
熱烈歓迎
>数学板きっての嫌われ者。
>数学板きっての嫌われ者。
849 ：208：2005/11/14(月) 15:08:59
定義
A を可換環、 M, N を A-加群とする。
p > 0 を整数として、M^p から N への多重線形写像 f
が交代的 であるとは x_i = x_j, i ≠ j のとき常に
f(x_1, ... x_p) = 0 となることをいう。
A を可換環、 M, N を A-加群とする。
p > 0 を整数として、M^p から N への多重線形写像 f
が交代的 であるとは x_i = x_j, i ≠ j のとき常に
f(x_1, ... x_p) = 0 となることをいう。
850 ：208：2005/11/14(月) 15:09:32
命題
A を可換環、M, N を A-加群とする。
p > 0 を整数として、f を M^p から N への交代的多重線形写像、
x_1, ... , x_p を M の元とし、σを {1, ... , p} の順列とする。
このとき、次の等式が成立つ。
f(x_σ(1), ... , x_σ(p)) = ε(σ)f(x_1, ... , x_p)
証明
>>746と同様。
A を可換環、M, N を A-加群とする。
p > 0 を整数として、f を M^p から N への交代的多重線形写像、
x_1, ... , x_p を M の元とし、σを {1, ... , p} の順列とする。
このとき、次の等式が成立つ。
f(x_σ(1), ... , x_σ(p)) = ε(σ)f(x_1, ... , x_p)
証明
>>746と同様。
851 ：１３２人目の素数さん：2005/11/14(月) 15:15:30
関数y=√3x-2sinx(0＜x＜2π)の極値を求めなさい
って問題がどうしても解けません(´;ェ;`)
って問題がどうしても解けません(´;ェ;`)
852 ：208：2005/11/14(月) 15:34:56
命題
A を可換環、M, N を A-加群とする。
p > 0 を整数として、f を M^p から N への交代的多重線形写像とする。
A-加群としての射 g:(Λ^p)M → N で f = gh となるものが一意に
存在する。
ここで h: M^p → N は、h(x_1, ... , x_p) = x_1Λ...Λx_p で定義
される交代的多重線形写像である。
証明
>>727 の記号を使う、
定義より、(Λ^p)M = T^p(M)/(I ∩ T^p(M)) であるから、
I ∩ T^p(M) は T^p(M) の部分加群として、x_1(x)...(x)x_p,
x_i = x_(i+1) の形の元で生成される。
一方、テンソル積の普遍性より、A-加群としての射 φ:T^p(M) → N で
f = φu となるものが一意に存在する。
ここで、u(x_1, ... , x_p) = x_1(x)...(x)x_p である。
よって、I ∩ T^p(M) ⊂ Ker(φ) となる。
よって、g(x_1Λ...Λx_p) = φ(x_1(x)...(x)x_p)
と定義すればよい。g の一意性は明らか。
証明終
A を可換環、M, N を A-加群とする。
p > 0 を整数として、f を M^p から N への交代的多重線形写像とする。
A-加群としての射 g:(Λ^p)M → N で f = gh となるものが一意に
存在する。
ここで h: M^p → N は、h(x_1, ... , x_p) = x_1Λ...Λx_p で定義
される交代的多重線形写像である。
証明
>>727 の記号を使う、
定義より、(Λ^p)M = T^p(M)/(I ∩ T^p(M)) であるから、
I ∩ T^p(M) は T^p(M) の部分加群として、x_1(x)...(x)x_p,
x_i = x_(i+1) の形の元で生成される。
一方、テンソル積の普遍性より、A-加群としての射 φ:T^p(M) → N で
f = φu となるものが一意に存在する。
ここで、u(x_1, ... , x_p) = x_1(x)...(x)x_p である。
よって、I ∩ T^p(M) ⊂ Ker(φ) となる。
よって、g(x_1Λ...Λx_p) = φ(x_1(x)...(x)x_p)
と定義すればよい。g の一意性は明らか。
証明終
853 ：208：2005/11/14(月) 15:53:18
>>753 の別証を行う。
補題
A を可換環、 M を階数 n の A-自由加群とする。
n > 0 なら (Λ^n)M ≠ 0 である。
証明
M^n から A への交代的多重線形写像の１つとして行列式 det がある。
つまり、M のある基底により M を縦ベクトル空間 A^n と同一視
して、M^n の元 X を nxn 型の行列と考え det(X) を対応させればよい。
X が単位行列なら det(X) = 1 だから、これは 0 でない。
よって、>>752 より (Λ^n)M ≠ 0 である。
証明終
補題
A を可換環、 M を階数 n の A-自由加群とする。
n > 0 なら (Λ^n)M ≠ 0 である。
証明
M^n から A への交代的多重線形写像の１つとして行列式 det がある。
つまり、M のある基底により M を縦ベクトル空間 A^n と同一視
して、M^n の元 X を nxn 型の行列と考え det(X) を対応させればよい。
X が単位行列なら det(X) = 1 だから、これは 0 でない。
よって、>>752 より (Λ^n)M ≠ 0 である。
証明終
854 ：１３２人目の素数さん：2005/11/14(月) 16:09:47
ぷっ
855 ：208：2005/11/14(月) 16:13:40
>>753 の別証
A を可換環、 M を階数 n の A-自由加群とする。
p > n なら (Λ^p)M = 0 であり、
p ≦ n なら (Λ^p)M は階数 nCp の A-自由加群である。
証明
p > n なら (Λ^p)M = 0 は明らか。
p ≦ n なら (Λ^p)M は e_(i_1)Λ...Λe_(i_p), i_1 < ... < i_p
で生成される。この e_(i_1)Λ...Λe_(i_p) を e_I と書く。
I は {1, .... , n} の濃度 p の部分集合 {i_1, ... , i_p} を
表す。e_I の全体が A上一次独立であることを言えばよい。
p = n なら >>853 より明らか。
p < n で Σ(a_I)(e_I) = 0 とする。ここで、a_I ∈ A である。
１つの I をとり、その補集合を J とする。
e_J Λ(Σ(a_I)(e_I)) = (a_I)e_J Λ e_I + Σ(a_K)e_J Λ e_K
= 0 である。ここで、Σ(a_K)e_J Λ e_K は K ≠ I, |K| = p となる
K に関する和である。
e_J Λ e_K = 0 であるから、(a_I)e_J Λ e_I = 0 となる。
>>853 より e_J Λ e_I ≠ 0 であるから、a_I = 0 となる。
証明終
A を可換環、 M を階数 n の A-自由加群とする。
p > n なら (Λ^p)M = 0 であり、
p ≦ n なら (Λ^p)M は階数 nCp の A-自由加群である。
証明
p > n なら (Λ^p)M = 0 は明らか。
p ≦ n なら (Λ^p)M は e_(i_1)Λ...Λe_(i_p), i_1 < ... < i_p
で生成される。この e_(i_1)Λ...Λe_(i_p) を e_I と書く。
I は {1, .... , n} の濃度 p の部分集合 {i_1, ... , i_p} を
表す。e_I の全体が A上一次独立であることを言えばよい。
p = n なら >>853 より明らか。
p < n で Σ(a_I)(e_I) = 0 とする。ここで、a_I ∈ A である。
１つの I をとり、その補集合を J とする。
e_J Λ(Σ(a_I)(e_I)) = (a_I)e_J Λ e_I + Σ(a_K)e_J Λ e_K
= 0 である。ここで、Σ(a_K)e_J Λ e_K は K ≠ I, |K| = p となる
K に関する和である。
e_J Λ e_K = 0 であるから、(a_I)e_J Λ e_I = 0 となる。
>>853 より e_J Λ e_I ≠ 0 であるから、a_I = 0 となる。
証明終
856 ：208：2005/11/14(月) 16:23:24
>>753 から、有限階数 の A-自由加群 M の階数は基底の取り方に
よらないことが分かる。この事実の別証としては A の極大イデアル
m をとり k = A/m としたとき、M(x)k の体 k 上の次元は
M の A 上の階数に一致することを使う。ただし、この証明は
A がネーターでないとき Zorn の補題が必要である。
よらないことが分かる。この事実の別証としては A の極大イデアル
m をとり k = A/m としたとき、M(x)k の体 k 上の次元は
M の A 上の階数に一致することを使う。ただし、この証明は
A がネーターでないとき Zorn の補題が必要である。
857 ：208：2005/11/14(月) 16:36:44
定義
A を可換環、 B を A-加群とする。
A-加群としての射 φ: B → B(x)B があるとき、
組 (B, φ) または B を A-余代数(A-coalgebra)という。
A を可換環、 B を A-加群とする。
A-加群としての射 φ: B → B(x)B があるとき、
組 (B, φ) または B を A-余代数(A-coalgebra)という。
858 ：１３２人目の素数さん：2005/11/14(月) 17:57:11
寒くないのか？
859 ：１３２人目の素数さん：2005/11/14(月) 23:14:13
>>857
つつつ?
つつつ?
860 ：１３２人目の素数さん：2005/11/14(月) 23:44:22
>>855
写すのはいいけど、せめて正確に写そうよｗ
写すのはいいけど、せめて正確に写そうよｗ
861 ：208：2005/11/15(火) 09:28:58
A-余代数(>>857)の例：
A を可換環、 M を A-加群とする。
対角射 Δ: M → M + M を考える。ここで M + M は直和であり、
Δ(x) = (x, x) である。
Δ により、A-代数の射 ΛΔ: ΛM → Λ(M + M) が誘導される。
>>751 より Λ(M + M) = (ΛM)(x)'(ΛM) である。
(ΛM)(x)'(ΛM) は加群としては普通のテンソル積であるから、
ΛΔ により、ΛM は A-余代数となる。
ΛΔ は次数を保つことに注意。
A を可換環、 M を A-加群とする。
対角射 Δ: M → M + M を考える。ここで M + M は直和であり、
Δ(x) = (x, x) である。
Δ により、A-代数の射 ΛΔ: ΛM → Λ(M + M) が誘導される。
>>751 より Λ(M + M) = (ΛM)(x)'(ΛM) である。
(ΛM)(x)'(ΛM) は加群としては普通のテンソル積であるから、
ΛΔ により、ΛM は A-余代数となる。
ΛΔ は次数を保つことに注意。
862 ：208：2005/11/15(火) 10:02:32
>>861 の ΛΔ: ΛM → (ΛM)(x)'(ΛM) を具体的に求めよう。
x ∈ M のとき ΛΔ(x) = x(x)1 + 1(x)x である。
よって、x_1, ... , x_n が M の元であるとき、
ΛΔ(x_1Λ...Λx_n) =
Σ(-1)^μ (x_(i_i)Λ...Λx_(i_p)) (x) (x_(j_i)Λ...Λx_(j_(n-p)))
となる。ここで μ は i_k > j_l となるペアの個数である。
x ∈ M のとき ΛΔ(x) = x(x)1 + 1(x)x である。
よって、x_1, ... , x_n が M の元であるとき、
ΛΔ(x_1Λ...Λx_n) =
Σ(-1)^μ (x_(i_i)Λ...Λx_(i_p)) (x) (x_(j_i)Λ...Λx_(j_(n-p)))
となる。ここで μ は i_k > j_l となるペアの個数である。
863 ：208：2005/11/15(火) 10:17:12
外積代数 ΛM が自然に余代数となることは余り知られていない。
このあたりはBourbakiの独壇場だろう。
このあたりはBourbakiの独壇場だろう。
864 ：208：2005/11/15(火) 10:22:09
865 ：208：2005/11/15(火) 10:47:45
A を可換環、 (B, φ) を A-余代数とする。
C を結合的とは限らない A-代数 とする。
m: C(x)C → C を乗法から得られる A-加群としての射とする。
u: B → C
v: B → C
を A-加群としての射とする。
φ: B → B(x)B と u(x)v : B(x)B → C(x)C と m: C(x)C → C
の合成 m(u(x)v)φ: B → C を u と v の積と定義することにより、
Hom(B. C) は結合的とは限らない A-代数 となる。
C を結合的とは限らない A-代数 とする。
m: C(x)C → C を乗法から得られる A-加群としての射とする。
u: B → C
v: B → C
を A-加群としての射とする。
φ: B → B(x)B と u(x)v : B(x)B → C(x)C と m: C(x)C → C
の合成 m(u(x)v)φ: B → C を u と v の積と定義することにより、
Hom(B. C) は結合的とは限らない A-代数 となる。
866 ：208：2005/11/15(火) 15:56:56
>>865 の Hom(B. C) が結合的となる条件を考えよう。
A を可換環、E を結合的な A-代数とする。
μ: E(x)E → E を乗法から得られる A-加群としての射とする。
μ(x)1: (E(x)E)(x)E → E(x)E と μ: E(x)E → E の合成
E(x)E(x)E → E(x)E → E と
1(x)μ: E(x)(E(x)E) → E(x)E と μ: E(x)E → E の合成
E(x)E(x)E → E(x)E → E は結合的より一致する。
ここで、(E(x)E)(x)E と E(x)(E(x)E) を E(x)E(x)E と同一視している。
これの双対として、つまり、矢印の向きを変えることにより次の定義が得られる。
定義
(B, φ) を A-余代数とする。
φ: B → B(x)B と φ(x)1: B → (B(x)B)(x)B の合成
B → B(x)B → B(x)B(x)B と
φ: B → B(x)B と 1(x)φ: B → B(x)(B(x)B) の合成
B → B(x)B → B(x)B(x)B が一致するとき、B は余結合的という。
ここで、(B(x)B)(x)B と B(x)(B(x)B) を B(x)B(x)B と同一視している。
A を可換環、E を結合的な A-代数とする。
μ: E(x)E → E を乗法から得られる A-加群としての射とする。
μ(x)1: (E(x)E)(x)E → E(x)E と μ: E(x)E → E の合成
E(x)E(x)E → E(x)E → E と
1(x)μ: E(x)(E(x)E) → E(x)E と μ: E(x)E → E の合成
E(x)E(x)E → E(x)E → E は結合的より一致する。
ここで、(E(x)E)(x)E と E(x)(E(x)E) を E(x)E(x)E と同一視している。
これの双対として、つまり、矢印の向きを変えることにより次の定義が得られる。
定義
(B, φ) を A-余代数とする。
φ: B → B(x)B と φ(x)1: B → (B(x)B)(x)B の合成
B → B(x)B → B(x)B(x)B と
φ: B → B(x)B と 1(x)φ: B → B(x)(B(x)B) の合成
B → B(x)B → B(x)B(x)B が一致するとき、B は余結合的という。
ここで、(B(x)B)(x)B と B(x)(B(x)B) を B(x)B(x)B と同一視している。
867 ：208：2005/11/16(水) 10:07:39
命題
(B, φ) を A-余代数で余結合的とする。
C を結合的な A-代数 とする。
Hom(B, C) は >>865 の乗法により結合的な A-代数となる。
証明
u, v, w を Hom(B, C) の元とする。
u(x)v(x)w: B(x)B(x)B → C(x)C(x)C と
乗法から得られる C(x)C(x)C → C の合成を h とする。
h: B(x)B(x)B → C
これと、φ: B → B(x)B と φ(x)1: B(x)B → B(x)B(x)B の合成
B → B(x)B → B(x)B(x)B → C
は、(uv)w に等しい。
同様に h と φ: B → B(x)B と 1(x)φ: B(x)B → B(x)B(x)B の合成
B → B(x)B → B(x)B(x)B → C
は、u(vw) に等しい。
B は余結合的だから (uv)w = u(vw) となる。
証明終
(B, φ) を A-余代数で余結合的とする。
C を結合的な A-代数 とする。
Hom(B, C) は >>865 の乗法により結合的な A-代数となる。
証明
u, v, w を Hom(B, C) の元とする。
u(x)v(x)w: B(x)B(x)B → C(x)C(x)C と
乗法から得られる C(x)C(x)C → C の合成を h とする。
h: B(x)B(x)B → C
これと、φ: B → B(x)B と φ(x)1: B(x)B → B(x)B(x)B の合成
B → B(x)B → B(x)B(x)B → C
は、(uv)w に等しい。
同様に h と φ: B → B(x)B と 1(x)φ: B(x)B → B(x)B(x)B の合成
B → B(x)B → B(x)B(x)B → C
は、u(vw) に等しい。
B は余結合的だから (uv)w = u(vw) となる。
証明終
868 ：208：2005/11/16(水) 10:54:15
>>865 の Hom(B. C) が単位元を持つ条件を考えよう。
A を可換環、E を単位元 1 を持つ A-代数とする。
ν: A → E を 1 を 1 に写す A-加群としての射とする。
μ(ν(x)1): A(x)E → E(x)E → E は A(x)E を E と見なしたとき
E の単位射である。ここで、μ: E(x)E → E は E の乗法から
得られる射。同様に
μ(1(x)ν): E(x)A → E(x)E → E は E の単位射である
これの双対として、つまり、矢印の向きを変えることにより次の定義が得られる。
定義
(B, φ) を A-余代数とする。
A-加群としての射 η: B → A が以下の条件 1) と 2) を満たすとき
η を B の余単位と呼ぶ。
1) (ν(x)1)μ: B → B(x)B → A(x)B は A(x)B を B と見なしたとき
B の単位射である。
2) (1(x)ν)μ: B → B(x)B → B(x)A は B(x)A を B と見なしたとき
B の単位射である。
A を可換環、E を単位元 1 を持つ A-代数とする。
ν: A → E を 1 を 1 に写す A-加群としての射とする。
μ(ν(x)1): A(x)E → E(x)E → E は A(x)E を E と見なしたとき
E の単位射である。ここで、μ: E(x)E → E は E の乗法から
得られる射。同様に
μ(1(x)ν): E(x)A → E(x)E → E は E の単位射である
これの双対として、つまり、矢印の向きを変えることにより次の定義が得られる。
定義
(B, φ) を A-余代数とする。
A-加群としての射 η: B → A が以下の条件 1) と 2) を満たすとき
η を B の余単位と呼ぶ。
1) (ν(x)1)μ: B → B(x)B → A(x)B は A(x)B を B と見なしたとき
B の単位射である。
2) (1(x)ν)μ: B → B(x)B → B(x)A は B(x)A を B と見なしたとき
B の単位射である。
869 ：208：2005/11/16(水) 11:08:40
命題
(B, φ) を A-余代数で余単位を持つとする。
C を単位元を持つ A-代数 とする。
Hom(B, C) は >>865 の乗法により単位元を持つ A-代数となる。
証明
η: B → A を余単位とする。
ν: A → C を 1 を 1 に写す A-加群としての射とする。
νη: B → C が Hom(B, C) の単位元となる。
この証明は読者にまかす。
(B, φ) を A-余代数で余単位を持つとする。
C を単位元を持つ A-代数 とする。
Hom(B, C) は >>865 の乗法により単位元を持つ A-代数となる。
証明
η: B → A を余単位とする。
ν: A → C を 1 を 1 に写す A-加群としての射とする。
νη: B → C が Hom(B, C) の単位元となる。
この証明は読者にまかす。
870 ：208：2005/11/16(水) 11:38:46
命題
A を可換環、 M を A-加群とする。
ΛM は余結合的である。
証明
対角射 Δ: M → M + M
と h = (1, Δ): M + M → M + M + M の合成
hΔ: M → M + M → M + M + M を考える。
ここで、h は h(x, y) = (x, y, y) で定義される射である。
よって、hΔ(x) = (x, x, x) である。
同様に、対角射 Δ: M → M + M
と g = (Δ, h): M + M → M + M + M の合成
gΔ: M → M + M → M + M + M を考える。
ここで、g は g(x, y) = (x, x, y) で定義される射である。
よって、gΔ(x) = (x, x, x) である。
よって、hΔ = gΔ である。
Δ から誘導される A-代数の射 ΛΔ: ΛM → Λ(M + M) が
ΛM の余代数としての構造射である(>>861)。
よって、ΛM が余結合的であることは、
Λh = 1(x)(ΛΔ), Λg = (ΛΔ)(x)1 に注意すれば、
hΔ = gΔ から明らか。
証明
A を可換環、 M を A-加群とする。
ΛM は余結合的である。
証明
対角射 Δ: M → M + M
と h = (1, Δ): M + M → M + M + M の合成
hΔ: M → M + M → M + M + M を考える。
ここで、h は h(x, y) = (x, y, y) で定義される射である。
よって、hΔ(x) = (x, x, x) である。
同様に、対角射 Δ: M → M + M
と g = (Δ, h): M + M → M + M + M の合成
gΔ: M → M + M → M + M + M を考える。
ここで、g は g(x, y) = (x, x, y) で定義される射である。
よって、gΔ(x) = (x, x, x) である。
よって、hΔ = gΔ である。
Δ から誘導される A-代数の射 ΛΔ: ΛM → Λ(M + M) が
ΛM の余代数としての構造射である(>>861)。
よって、ΛM が余結合的であることは、
Λh = 1(x)(ΛΔ), Λg = (ΛΔ)(x)1 に注意すれば、
hΔ = gΔ から明らか。
証明
871 ：208：2005/11/16(水) 11:49:45
命題
A を可換環、 M を A-加群とする。
ΛM は余単位(>>869)を持つ。
証明
ΛM = Σ(Λ^p)M (直和) であり、A = (Λ^0)M である。
η: ΛM → A をこの直和における射影とする。
これが余単位であることは、>>862 の公式から分かる。
証明終
A を可換環、 M を A-加群とする。
ΛM は余単位(>>869)を持つ。
証明
ΛM = Σ(Λ^p)M (直和) であり、A = (Λ^0)M である。
η: ΛM → A をこの直和における射影とする。
これが余単位であることは、>>862 の公式から分かる。
証明終
872 ：208：2005/11/16(水) 13:45:53
ここで、次数加群の Hom について少し述べる。
A を可換な Z-型の次数環(>>720)とする。
M と N を Z-型の A-次数加群(>>722)とする。
u :M → N を A-加群としての射で、ある p ∈ Z があり、
u(M_n) ⊂ N_(n+p) が任意の n ∈ Z で成立つとき
u を次数 p の同次射という。次数 p の同次射 u: M → N の集合
を仮に H_p と書こう。H_p は Hom(M, N) の Z-加群としての
部分加群である。H_p で生成される Hom(M, N) の部分加群
ΣH_p は H_p の直和である(証明は読者に任す)。
ΣH_p を Homgr(M, N) と書く(gr は graded の略)。
Homgr(M, N) は H_p を同次部分加群とする A-次数加群である。
A を可換な Z-型の次数環(>>720)とする。
M と N を Z-型の A-次数加群(>>722)とする。
u :M → N を A-加群としての射で、ある p ∈ Z があり、
u(M_n) ⊂ N_(n+p) が任意の n ∈ Z で成立つとき
u を次数 p の同次射という。次数 p の同次射 u: M → N の集合
を仮に H_p と書こう。H_p は Hom(M, N) の Z-加群としての
部分加群である。H_p で生成される Hom(M, N) の部分加群
ΣH_p は H_p の直和である(証明は読者に任す)。
ΣH_p を Homgr(M, N) と書く(gr は graded の略)。
Homgr(M, N) は H_p を同次部分加群とする A-次数加群である。
873 ：208：2005/11/16(水) 14:28:25
命題
A を可換な Z-型の次数環(>>720)とする。
M と N を Z-型の A-次数加群(>>722)とする。
M が A-加群として有限生成なら Hom(M, N) = Homgr(M, N) である。
証明
x_1, ... , x_r を M の生成元で各元は同次とする。
u ∈ Hom(M, N) とし、各 i に対して u(x_i) = Σz_(i, p) とする。
ここで、z_(i, p) は u(x_i) の p 次の同次成分。
u_p(x_i) = Σz_(i, p) により、u_p ∈ Homgr(M, N) を定義する。
u_p は同次でありその次数は p - deg(x_i) である。
u_p が well-defined であることは、
Σ(a_i)(x_i) = 0 のとき 各 p で Σ(a_i)u_p(x_i) = 0 を
確かめればよい。ここで、a_i は A の元で同次である。
これを確かめるのは読者に任せる。
u = Σu_p だから Hom(M, N) = Homgr(M, N) である。
証明終
A を可換な Z-型の次数環(>>720)とする。
M と N を Z-型の A-次数加群(>>722)とする。
M が A-加群として有限生成なら Hom(M, N) = Homgr(M, N) である。
証明
x_1, ... , x_r を M の生成元で各元は同次とする。
u ∈ Hom(M, N) とし、各 i に対して u(x_i) = Σz_(i, p) とする。
ここで、z_(i, p) は u(x_i) の p 次の同次成分。
u_p(x_i) = Σz_(i, p) により、u_p ∈ Homgr(M, N) を定義する。
u_p は同次でありその次数は p - deg(x_i) である。
u_p が well-defined であることは、
Σ(a_i)(x_i) = 0 のとき 各 p で Σ(a_i)u_p(x_i) = 0 を
確かめればよい。ここで、a_i は A の元で同次である。
これを確かめるのは読者に任せる。
u = Σu_p だから Hom(M, N) = Homgr(M, N) である。
証明終
874 ：208：2005/11/16(水) 14:42:29
規約：
A を可換環、 M を A-次数加群とする。 ただし A は A_0 = A,
p ≠ 0 のとき A_p = 0 として次数環と見なす。
Homgr(M, A) の p 次部分 Homgr(M, A)_p は Hom(M_(-p), A) と
見なせる。しかし、我々は Homgr(M, A) を考えるときは
Homgr(M, A)_p = Hom(M_p, A) と定義することにする。
何故、このように定義するかは後にわかる。
A を可換環、 M を A-次数加群とする。 ただし A は A_0 = A,
p ≠ 0 のとき A_p = 0 として次数環と見なす。
Homgr(M, A) の p 次部分 Homgr(M, A)_p は Hom(M_(-p), A) と
見なせる。しかし、我々は Homgr(M, A) を考えるときは
Homgr(M, A)_p = Hom(M_p, A) と定義することにする。
何故、このように定義するかは後にわかる。
875 ：208：2005/11/16(水) 14:52:54
A を可換環、 M を A-加群とする。
Homgr(ΛM, A) は A-次数加群である。
これが、結合的な A-次数代数で単位元を持つことは、ΛM が余代数
となり(>>861)、余結合的で(>>870)、余単位を持つ(>>871)
ことから明らかだろう(>>867 と >>869 より)。
Homgr(ΛM, A) は A-次数加群である。
これが、結合的な A-次数代数で単位元を持つことは、ΛM が余代数
となり(>>861)、余結合的で(>>870)、余単位を持つ(>>871)
ことから明らかだろう(>>867 と >>869 より)。
876 ：208：2005/11/16(水) 16:33:06
A を可換環、 M を A-加群とする。
整数 p > 0 に対して、M^p から A への交代的多重線形写像(>>849)の
集合をAlt(M^p, A)と書こう。これは、A-加群である。
>>874 の規約より、Homgr(ΛM, A)_p = Hom((Λ^p)M, A) だが、
これは >>852 より Alt(M^p, A) と見なせる。
u ∈ Alt(M^p, A), v ∈ Alt(M^q, A) のとき A-次数代数としての
Homgr(ΛM, A) における u と v の積を明示的に求めてみよう。
>>862 より
ΛΔ(x_1Λ...Λx_n) =
Σ(-1)^μ (x_(i_1)Λ...Λx_(i_p)) (x) (x_(j_1)Λ...Λx_(j_(n-p)))
である。
よって、(ΛM)(x)'(ΛM) を (Z^2)-型の次数代数と見たときの
ΛΔ(x_1Λ...Λx_(p+q)) の (p, q)-成分は、
Σε(σ) (x_σ(1)Λ...Λx_σ(p)) (x) (σ(p+1)Λ...Λx_σ(p+q))
となる。ここで、σは集合 {1, ... , p+q} の置換で、それぞれ
区間 {1, ... , p} と 区間 {p, ... , p+q} において狭義単調増加
するものを動く。ε(σ) は σ の符号。
これと >>865 から
(uv)(x_1, ... , x_(p+q)) =
Σε(σ) u(x_σ(1), ..., x_σ(p))v(x_σ(p), ..., x_σ(p+q))
となる。
整数 p > 0 に対して、M^p から A への交代的多重線形写像(>>849)の
集合をAlt(M^p, A)と書こう。これは、A-加群である。
>>874 の規約より、Homgr(ΛM, A)_p = Hom((Λ^p)M, A) だが、
これは >>852 より Alt(M^p, A) と見なせる。
u ∈ Alt(M^p, A), v ∈ Alt(M^q, A) のとき A-次数代数としての
Homgr(ΛM, A) における u と v の積を明示的に求めてみよう。
>>862 より
ΛΔ(x_1Λ...Λx_n) =
Σ(-1)^μ (x_(i_1)Λ...Λx_(i_p)) (x) (x_(j_1)Λ...Λx_(j_(n-p)))
である。
よって、(ΛM)(x)'(ΛM) を (Z^2)-型の次数代数と見たときの
ΛΔ(x_1Λ...Λx_(p+q)) の (p, q)-成分は、
Σε(σ) (x_σ(1)Λ...Λx_σ(p)) (x) (σ(p+1)Λ...Λx_σ(p+q))
となる。ここで、σは集合 {1, ... , p+q} の置換で、それぞれ
区間 {1, ... , p} と 区間 {p, ... , p+q} において狭義単調増加
するものを動く。ε(σ) は σ の符号。
これと >>865 から
(uv)(x_1, ... , x_(p+q)) =
Σε(σ) u(x_σ(1), ..., x_σ(p))v(x_σ(p), ..., x_σ(p+q))
となる。
877 ：１３２人目の素数さん：2005/11/16(水) 17:02:34
無眼界乃至無意識界無無明亦無無明尽
878 ：208：2005/11/16(水) 17:08:21
話は変わるけど(実は外積代数と関係あるが)、不変式論って面白そうだね。
以下はEisenbudその他の受け売り。
不変式論は１９世紀の半ば頃から末まで流行ったが、Hilbertが不変式論で
大きな仕事をしてから廃れてしまい、２０世紀半ばくらいまでは
内容を知ってる人間はわずかだった。それが、Mumford が
幾何的不変式論を発表してから再び日の目を見るようになった。
Hilbertは、不変式論の研究で四つの大きな発見をした。
1) 多項式イデアルの基底定理
2) 多項式イデアルの零点定理
3) 同次イデアルのHilbert多項式
4) 同次イデアルのSyzygy定理
これらは、可換環論で重要なものばかり。これらが不変式論から
出てきたということから、この理論が只者じゃないことがわかる。
以下はEisenbudその他の受け売り。
不変式論は１９世紀の半ば頃から末まで流行ったが、Hilbertが不変式論で
大きな仕事をしてから廃れてしまい、２０世紀半ばくらいまでは
内容を知ってる人間はわずかだった。それが、Mumford が
幾何的不変式論を発表してから再び日の目を見るようになった。
Hilbertは、不変式論の研究で四つの大きな発見をした。
1) 多項式イデアルの基底定理
2) 多項式イデアルの零点定理
3) 同次イデアルのHilbert多項式
4) 同次イデアルのSyzygy定理
これらは、可換環論で重要なものばかり。これらが不変式論から
出てきたということから、この理論が只者じゃないことがわかる。
879 ：１３２人目の素数さん：2005/11/16(水) 17:38:40
>>878
Hilbert's Invariant Theory Papers
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/0915692260/250-2656433-1963463
Hilbert's Invariant Theory Papers
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/0915692260/250-2656433-1963463
880 ：１３２人目の素数さん：2005/11/16(水) 17:58:09
永田雅宜先生も古典的な不変式論を高く評価されています。
881 ：１３２人目の素数さん：2005/11/16(水) 18:14:28
>>877
乃至無老死亦無老死尽無苦集滅道無智亦無得
乃至無老死亦無老死尽無苦集滅道無智亦無得
882 ：１３２人目の素数さん：2005/11/16(水) 20:55:17
永田氏の思考力には驚嘆する。すごく入り組んだことを考えれる人だ。
883 ：208：2005/11/17(木) 09:33:16
>>873を以下のように訂正する。
命題
A を可換な Z-型の次数環(>>720)とする。
M と N を Z-型の A-次数加群(>>722)とする。
M が A-加群として有限生成なら Hom(M, N) = Homgr(M, N) である。
証明
x_1, ... , x_r を M の生成元で各元は同次とする。
u ∈ Hom(M, N) とし、各 i に対して u(x_i) = Σz_(i, p) とする。
ここで、z_(i, p) は u(x_i) の p + deg(x_i) 次の同次成分。
各 i に対して u_p(x_i) = z_(i, p) により、u_p ∈ Homgr(M, N)
を定義する。 u_p は同次でありその次数は p である。
u_p が well-defined であることは、
Σ(a_i)(x_i) = 0 のとき 各 p で Σ(a_i)u_p(x_i) = 0 を
確かめればよい。ここで、a_i は A の元で同次である。
これを確かめるのは読者に任せる。
M は有限生成だから u_p は有限個を除いて 0 である。
u = Σu_p だから Hom(M, N) = Homgr(M, N) である。
証明終
命題
A を可換な Z-型の次数環(>>720)とする。
M と N を Z-型の A-次数加群(>>722)とする。
M が A-加群として有限生成なら Hom(M, N) = Homgr(M, N) である。
証明
x_1, ... , x_r を M の生成元で各元は同次とする。
u ∈ Hom(M, N) とし、各 i に対して u(x_i) = Σz_(i, p) とする。
ここで、z_(i, p) は u(x_i) の p + deg(x_i) 次の同次成分。
各 i に対して u_p(x_i) = z_(i, p) により、u_p ∈ Homgr(M, N)
を定義する。 u_p は同次でありその次数は p である。
u_p が well-defined であることは、
Σ(a_i)(x_i) = 0 のとき 各 p で Σ(a_i)u_p(x_i) = 0 を
確かめればよい。ここで、a_i は A の元で同次である。
これを確かめるのは読者に任せる。
M は有限生成だから u_p は有限個を除いて 0 である。
u = Σu_p だから Hom(M, N) = Homgr(M, N) である。
証明終
884 ：208：2005/11/17(木) 09:52:06
A を可換環、 M を A-加群とする。
x_1, ... , x_p ∈ M
y_1, ... , y_q ∈ M
とする。
ΛM において、
(x_1Λ...Λx_p)Λ(y_1Λ...Λy_q) =
(-1)^(pq) (y_1Λ...Λy_q)Λ(x_1Λ...Λx_p)
となる。
よって、x ∈ (Λ^p)M, y ∈ (Λ^q)M のとき、
xΛy = (-1)^(pq) yΛx となる。
定義
B を (Z+)-型の(結合的な)次数代数とする。
ここで Z+ は非負の有理整数の集合を表す
x ∈ B_p, y ∈ B_q のとき、xy = (-1)^(pq) yx となるとき、
B を歪可換次数代数という。
x_1, ... , x_p ∈ M
y_1, ... , y_q ∈ M
とする。
ΛM において、
(x_1Λ...Λx_p)Λ(y_1Λ...Λy_q) =
(-1)^(pq) (y_1Λ...Λy_q)Λ(x_1Λ...Λx_p)
となる。
よって、x ∈ (Λ^p)M, y ∈ (Λ^q)M のとき、
xΛy = (-1)^(pq) yΛx となる。
定義
B を (Z+)-型の(結合的な)次数代数とする。
ここで Z+ は非負の有理整数の集合を表す
x ∈ B_p, y ∈ B_q のとき、xy = (-1)^(pq) yx となるとき、
B を歪可換次数代数という。
885 ：208：2005/11/17(木) 10:04:22
A を可換環、 M を A-加群とする。
x ∈ (Λ^p)M とする。
x = Σx_i で各 x_i = x_(i_1)Λ...Λx_(i_p), x_(i_j) ∈ M
とする。
xΛx = Σx_iΛx_i + Σ(x_iΛx_j + x_jΛx_i) となる。
ここで２番目の和は i < j となる組を動くとする。
i < j のとき、x_jΛx_i = (-1)^(p^2) x_iΛx_j であるから、
p が奇数のときは x_iΛx_j + x_jΛx_i = 0 となる。
よって、このとき xΛx = 0 である。
定義
A を可換環、 B を A 上の歪可換な次数代数とする。
x ∈ B_p で p が奇数のとき x^2 = 0 となるとき、
B を交代代数という。
x ∈ (Λ^p)M とする。
x = Σx_i で各 x_i = x_(i_1)Λ...Λx_(i_p), x_(i_j) ∈ M
とする。
xΛx = Σx_iΛx_i + Σ(x_iΛx_j + x_jΛx_i) となる。
ここで２番目の和は i < j となる組を動くとする。
i < j のとき、x_jΛx_i = (-1)^(p^2) x_iΛx_j であるから、
p が奇数のときは x_iΛx_j + x_jΛx_i = 0 となる。
よって、このとき xΛx = 0 である。
定義
A を可換環、 B を A 上の歪可換な次数代数とする。
x ∈ B_p で p が奇数のとき x^2 = 0 となるとき、
B を交代代数という。
886 ：208：2005/11/17(木) 10:53:13
これ良さげだね
Classical Invariant Theory
http://www.amazon.com/gp/product/0521558212/002-8762346-9714458?v=glance&n=283155&s=books&v=glance
Classical Invariant Theory
http://www.amazon.com/gp/product/0521558212/002-8762346-9714458?v=glance&n=283155&s=books&v=glance
887 ：１３２人目の素数さん：2005/11/17(木) 11:08:38
永田雅宜先生も古典的な不変式論を高く評価されています。
881 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/16(水) 18:14:28
>>877
乃至無老死亦無老死尽無苦集滅道無智亦無得
882 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/16(水) 20:55:17
永田氏の思考力には驚嘆する。すごく入り組んだことを考えれる人だ。
881 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/16(水) 18:14:28
>>877
乃至無老死亦無老死尽無苦集滅道無智亦無得
882 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/16(水) 20:55:17
永田氏の思考力には驚嘆する。すごく入り組んだことを考えれる人だ。
888 ：208：2005/11/17(木) 11:25:59
A を可換環、 M を A-加群とする。
>>876 より
f, g ∈ Hom(M, A) のとき、Homgr(ΛM, A) において、
(fg)(x, y) = f(x)g(y) - f(y)g(x)
となる。
よって、f^2 = 0 である。
よって、>>747 より
A-代数としての射 θ: Λ(Hom(M, A)) → Homgr(ΛM, A)^op で
f ∈ Hom(M, A) のとき、θ(f) = f となるものが一意に存在する。
ここで、Homgr(ΛM, A)^op は Homgr(ΛM, A) の乗法を逆にした
代数を表す(op は opposite の略)。
乗法を逆にするのは後の計算を簡単にするためであり、便宜的なもの
に過ぎない。
>>876 より
f, g ∈ Hom(M, A) のとき、Homgr(ΛM, A) において、
(fg)(x, y) = f(x)g(y) - f(y)g(x)
となる。
よって、f^2 = 0 である。
よって、>>747 より
A-代数としての射 θ: Λ(Hom(M, A)) → Homgr(ΛM, A)^op で
f ∈ Hom(M, A) のとき、θ(f) = f となるものが一意に存在する。
ここで、Homgr(ΛM, A)^op は Homgr(ΛM, A) の乗法を逆にした
代数を表す(op は opposite の略)。
乗法を逆にするのは後の計算を簡単にするためであり、便宜的なもの
に過ぎない。
889 ：208：2005/11/17(木) 12:34:13
A を可換環、 E を A-余代数(>>857)で余結合的(>>866)とする。
φ: E → E(x)E をその構造射とする。Hom(E, A) は >>867 より
結合的な A-代数となる。u_1, ... , u_n ∈ Hom(E, A) のとき
その積 u_1...u_n を求めよう。
E から E の n 個のテンソル積 E(x)...(x)E への A-加群としての射
φ_n: E → E(x)...(x)E を帰納的に
φ_n = (φ_(n-1)(x)1)φ で定義する。
つまり φ_n を φ: E → E(x)E と
φ_(n-1)(x)1: E(x)E → (E(x)...(x)E)(x)E の合成で定義する。
ここで、E(x)...(x)E は E の(n-1)個のテンソル積。
双対的に A の n 個のテンソル積 A(x)...(x)A から A への射を
A の乗法で定義したものを μ_n とおく。
μ_n = μ(μ_(n-1)(x)1) である。
このとき、
u_1...u_n = μ_n(u_1(x)...(x)u_n)φ_n
となる。
証明
n に関する帰納法。
u_1...u_(n-1) = μ_(n-1)(u_1(x)...(x)u_(n-1))φ_(n-1)
とする。
u_1...u_(n-1)u_n
= μ(μ_(n-1)(u_1(x)...(x)u_(n-1))φ_(n-1))(x)u_n)φ
= μ(μ_(n-1)(u_1(x)...(x)u_(n-1))(x)u_n)(φ_(n-1)(x)1))φ
= μ((μ_(n-1)(x)1)(u_1(x)...(x)u_(n-1)(x)u_n))(φ_(n-1)(x)1))φ
= μ((μ_(n-1)(x)1)(u_1(x)...(x)u_(n-1)(x)u_n))(φ_(n-1)(x)1))φ
= μ_n(u_1(x)...(x)u_n)φ_n
証明終
φ: E → E(x)E をその構造射とする。Hom(E, A) は >>867 より
結合的な A-代数となる。u_1, ... , u_n ∈ Hom(E, A) のとき
その積 u_1...u_n を求めよう。
E から E の n 個のテンソル積 E(x)...(x)E への A-加群としての射
φ_n: E → E(x)...(x)E を帰納的に
φ_n = (φ_(n-1)(x)1)φ で定義する。
つまり φ_n を φ: E → E(x)E と
φ_(n-1)(x)1: E(x)E → (E(x)...(x)E)(x)E の合成で定義する。
ここで、E(x)...(x)E は E の(n-1)個のテンソル積。
双対的に A の n 個のテンソル積 A(x)...(x)A から A への射を
A の乗法で定義したものを μ_n とおく。
μ_n = μ(μ_(n-1)(x)1) である。
このとき、
u_1...u_n = μ_n(u_1(x)...(x)u_n)φ_n
となる。
証明
n に関する帰納法。
u_1...u_(n-1) = μ_(n-1)(u_1(x)...(x)u_(n-1))φ_(n-1)
とする。
u_1...u_(n-1)u_n
= μ(μ_(n-1)(u_1(x)...(x)u_(n-1))φ_(n-1))(x)u_n)φ
= μ(μ_(n-1)(u_1(x)...(x)u_(n-1))(x)u_n)(φ_(n-1)(x)1))φ
= μ((μ_(n-1)(x)1)(u_1(x)...(x)u_(n-1)(x)u_n))(φ_(n-1)(x)1))φ
= μ((μ_(n-1)(x)1)(u_1(x)...(x)u_(n-1)(x)u_n))(φ_(n-1)(x)1))φ
= μ_n(u_1(x)...(x)u_n)φ_n
証明終
890 ：208：2005/11/17(木) 17:20:43
A を可換環、M を A-加群とする。
ΛΔ: ΛM → Λ(M + M) は ΛM の余代数としての構造射である
簡単のために ΛΔ = φ とおく。
f_1, ... , f_n ∈ Hom(M, A) のとき
これ等の積 f_1...f_n を具体的に求めよう。
>>889 より f_1...f_n = μ_n(f_1(x)...(x)f_n)δ_n である。
ここで、δ_n は φ_n の 次数 (1,...,1) の成分を表す。
同様に δ は φ の 次数 (1,...,1) の成分を表す。
ただし、ここでは ΛM の n 個のテンソル積 (ΛM)(x)...(x)(ΛM) に
(Z^n)-型の次数付けを入れている。
δ_n(x_1Λ...Λx_n) = Σε(σ)(x_σ(1)(x)...(x)x_σ(n))
となることを n に関する帰納法により証明する。
δ は φ の 次数 (1,...,1) の成分だから
>>862 より
δ_n(x_1Λ...Λx_n) = (δ_(n-1)(x)1)δ(x_1Λ...Λx_n)
= Σ(-1)^(n-j) φ_(n-1)(x_1)Λ..[x_j]..Λx_n) (x) x_j
ここで、x_1)Λ..[x_j]..Λx_n は x_j を除いたことを意味する。
この右辺に帰納法の仮定を適用して
= Σ(-1)^(n-j)(Σε(σ)(x_σ(1)(x)..[x_σ(j)]..(x)x_σ(n))(x)x_j
= Σε(σ)(x_σ(1)(x)...(x)x_σ(n))
つまり
δ_n(x_1Λ...Λx_n) = Σε(σ)(x_σ(1)(x)...(x)x_σ(n))
である。よって、
(f_1...f_n)(x_1, ... , x_n)
= μ_n(f_1(x)...(x)f_n)δ_n(x_1Λ...Λx_n)
= Σε(σ) f_1(x_σ(1))...f_n(x_σ(n))
= det(f_i(x_j))
となる。
ΛΔ: ΛM → Λ(M + M) は ΛM の余代数としての構造射である
簡単のために ΛΔ = φ とおく。
f_1, ... , f_n ∈ Hom(M, A) のとき
これ等の積 f_1...f_n を具体的に求めよう。
>>889 より f_1...f_n = μ_n(f_1(x)...(x)f_n)δ_n である。
ここで、δ_n は φ_n の 次数 (1,...,1) の成分を表す。
同様に δ は φ の 次数 (1,...,1) の成分を表す。
ただし、ここでは ΛM の n 個のテンソル積 (ΛM)(x)...(x)(ΛM) に
(Z^n)-型の次数付けを入れている。
δ_n(x_1Λ...Λx_n) = Σε(σ)(x_σ(1)(x)...(x)x_σ(n))
となることを n に関する帰納法により証明する。
δ は φ の 次数 (1,...,1) の成分だから
>>862 より
δ_n(x_1Λ...Λx_n) = (δ_(n-1)(x)1)δ(x_1Λ...Λx_n)
= Σ(-1)^(n-j) φ_(n-1)(x_1)Λ..[x_j]..Λx_n) (x) x_j
ここで、x_1)Λ..[x_j]..Λx_n は x_j を除いたことを意味する。
この右辺に帰納法の仮定を適用して
= Σ(-1)^(n-j)(Σε(σ)(x_σ(1)(x)..[x_σ(j)]..(x)x_σ(n))(x)x_j
= Σε(σ)(x_σ(1)(x)...(x)x_σ(n))
つまり
δ_n(x_1Λ...Λx_n) = Σε(σ)(x_σ(1)(x)...(x)x_σ(n))
である。よって、
(f_1...f_n)(x_1, ... , x_n)
= μ_n(f_1(x)...(x)f_n)δ_n(x_1Λ...Λx_n)
= Σε(σ) f_1(x_σ(1))...f_n(x_σ(n))
= det(f_i(x_j))
となる。
891 ：208：2005/11/18(金) 10:36:15
>>890 の最後の式
(f_1...f_n)(x_1, ... , x_n) = det(f_i(x_j))
は、>>889 を使わなくても >>876 から帰納法により証明できる。
つまり、
(f_1...f_n)(x_1, ... , x_n)
= (f_1...f_(n-1))f_n(x_1, ... , x_n)
= Σ(-1)^(n-j-1) (f_1...f_(n-1))(x_1,..[x_j]..,x_(n-1)))f_n(x_j)
= Σ(-1)^(n-j-1) Σε(σ) f_1(x_σ(1))..[x_j]..f_(n-1)(x_σ(n-1))f_n(x_j)
= Σε(σ) f_1(x_σ(1))...f_n(x_σ(n))
= det(f_i(x_j))
(f_1...f_n)(x_1, ... , x_n) = det(f_i(x_j))
は、>>889 を使わなくても >>876 から帰納法により証明できる。
つまり、
(f_1...f_n)(x_1, ... , x_n)
= (f_1...f_(n-1))f_n(x_1, ... , x_n)
= Σ(-1)^(n-j-1) (f_1...f_(n-1))(x_1,..[x_j]..,x_(n-1)))f_n(x_j)
= Σ(-1)^(n-j-1) Σε(σ) f_1(x_σ(1))..[x_j]..f_(n-1)(x_σ(n-1))f_n(x_j)
= Σε(σ) f_1(x_σ(1))...f_n(x_σ(n))
= det(f_i(x_j))
892 ：208：2005/11/18(金) 11:03:01
A を可換環、M を A-加群とする。
f_1, ... , f_n ∈ Hom(M, A) のとき
θ(f_1Λ...Λf_n) = (f_n)...(f_1)
= (-1)^(n(n-1))/2 (f_1)...(f_n)
である。ここで、θは >>888 の
θ: Λ(Hom(M, A)) → Homgr(ΛM, A)^op
である。
M が A 上の階数 m の自由加群で、e_1, ..., e_m
をその基底とする。
f_1, ..., f_m をその双対基底とする。
つまり、f_1, ..., f_m ∈ Hom(M, A) で f_i(e_j) = δ(i,j)
である。ここで、δ(i,j) は Kronecker の δ
I が {1,...,m} の部分集合で
I = {i_1, ..., i_p}, i_1 < ... < i_p のとき、
f_I = f_(i_1)Λ...Λf_(i_p) と書く。
同様に e_I も定義する。
>>890 の最後の式
(f_1...f_n)(x_1, ... , x_n) = det(f_i(x_j))
より、
(-1)^(p(p-1))/2 θ(f_I)(e_J) = δ(I, J)
となる。
ここで、δ(I, J) は Kronecker の δ の拡張で
I = J のとき δ(I, J) = 1、I ≠ J のとき δ(I, J) = 0
よって、{(-1)^(p(p-1))/2 θ(f_I)} は {e_J} の Hom((Λ^p)M, A)
における双対基底である。
よって θ: Λ(Hom(M, A)) → Homgr(ΛM, A)^op
は同型射である。
f_1, ... , f_n ∈ Hom(M, A) のとき
θ(f_1Λ...Λf_n) = (f_n)...(f_1)
= (-1)^(n(n-1))/2 (f_1)...(f_n)
である。ここで、θは >>888 の
θ: Λ(Hom(M, A)) → Homgr(ΛM, A)^op
である。
M が A 上の階数 m の自由加群で、e_1, ..., e_m
をその基底とする。
f_1, ..., f_m をその双対基底とする。
つまり、f_1, ..., f_m ∈ Hom(M, A) で f_i(e_j) = δ(i,j)
である。ここで、δ(i,j) は Kronecker の δ
I が {1,...,m} の部分集合で
I = {i_1, ..., i_p}, i_1 < ... < i_p のとき、
f_I = f_(i_1)Λ...Λf_(i_p) と書く。
同様に e_I も定義する。
>>890 の最後の式
(f_1...f_n)(x_1, ... , x_n) = det(f_i(x_j))
より、
(-1)^(p(p-1))/2 θ(f_I)(e_J) = δ(I, J)
となる。
ここで、δ(I, J) は Kronecker の δ の拡張で
I = J のとき δ(I, J) = 1、I ≠ J のとき δ(I, J) = 0
よって、{(-1)^(p(p-1))/2 θ(f_I)} は {e_J} の Hom((Λ^p)M, A)
における双対基底である。
よって θ: Λ(Hom(M, A)) → Homgr(ΛM, A)^op
は同型射である。
893 ：１３２人目の素数さん：2005/11/18(金) 11:07:10
894 ：１３２人目の素数さん：2005/11/18(金) 11:15:18
永田の local rings は Eisenbud が褒めてるね。
deep and beautiful って。
あの本を褒める人は珍しい。普通、重要な結果を載せているとは
認めていても almost unreadable とか言ってる(例えばMilne)。
deep and beautiful って。
あの本を褒める人は珍しい。普通、重要な結果を載せているとは
認めていても almost unreadable とか言ってる(例えばMilne)。
895 ：１３２人目の素数さん：2005/11/18(金) 11:21:31
896 ：１３２人目の素数さん：2005/11/18(金) 11:41:31
なるほど
897 ：１３２人目の素数さん：2005/11/18(金) 11:51:08
898 ：１３２人目の素数さん：2005/11/18(金) 11:58:18
almost unreadable とか言ってる(例えばMilne)
where??
where??
899 ：１３２人目の素数さん：2005/11/18(金) 12:00:28
英語が奇妙ってことはあるが
900 ：１３２人目の素数さん：2005/11/18(金) 12:02:24
大学、大学院では数学（の勉強、研究）をやらずに
塾講師と非常勤（中〜大学で）をバリバリやってた
奴だけがアカポス獲得競争への参加資格が得られる
時代になった、ということだ。要するにね
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1132224232/77
塾講師と非常勤（中〜大学で）をバリバリやってた
奴だけがアカポス獲得競争への参加資格が得られる
時代になった、ということだ。要するにね
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1132224232/77
901 ：１３２人目の素数さん：2005/11/18(金) 12:06:08
902 ：１３２人目の素数さん：2005/11/18(金) 12:09:10
>>899
そういう意味じゃない。
Milne のコメントを引用すると、
Contains much important material, but it is concise to the point
of being almost unreadable.
そういう意味じゃない。
Milne のコメントを引用すると、
Contains much important material, but it is concise to the point
of being almost unreadable.
903 ：１３２人目の素数さん：2005/11/18(金) 14:32:07
Thanks!!
904 ：１３２人目の素数さん：2005/11/18(金) 18:05:06
905 ：１３２人目の素数さん：2005/11/18(金) 18:07:39
906 ：１３２人目の素数さん：2005/11/19(土) 15:39:19
可換体論のようなスタイルが
数学だと思って論文を書いて投稿したら
”too concise”というコメントつきで
かえされてしまった。
これが本当の「顰みに習う」だね。
数学だと思って論文を書いて投稿したら
”too concise”というコメントつきで
かえされてしまった。
これが本当の「顰みに習う」だね。
907 ：１３２人目の素数さん：2005/11/21(月) 09:30:04
先週、GrothendieckのスレでKummerの話をちょっとしたけど、
Kummerというのは過小評価されてる天才の数少ない例だろうね。
数学では天才というのは、概ね、遅かれ早かれ正等に認められる。
ところが、KummerというのはFermatの問題に一生を費やした
好事家というイメージが多少ある。
Kummerというのは過小評価されてる天才の数少ない例だろうね。
数学では天才というのは、概ね、遅かれ早かれ正等に認められる。
ところが、KummerというのはFermatの問題に一生を費やした
好事家というイメージが多少ある。
908 ：208：2005/11/21(月) 11:20:57
A を可換環、M を A-加群とする。
x ∈ (Λ^p)M に対して
φ(x)(y) = xy により、A-次数加群としてのp次の射 φ(x): ΛM → ΛM
が得られる。この双対 φ(x)^*: Homgr(ΛM, A) → Homgr(ΛM, A)
を i(x) と書く。つまり、y ∈ (Λ^(n-p))M, f ∈ Homgr(ΛM, A)_n
に対して (i(x)f)(y) = f(xy) と定義する。
i(x)f ∈ Homgr(ΛM, A)_(n-p) である。
i(xy) = i(y)i(x) となる。
よって、Homgr(ΛM, A) は f・x = i(x)f と定義することにより、
右 ΛM-次数加群となる。
i(x)f を f の x による内積と呼ぶ。
i(x)f を 仮に f←x とも書こう。このように書くのは、x が f に
作用していることを示すためである。
さらに、f(x) をベクトルの内積の記号で (f, x) とも書く。
すると、
(f←x, y) = (f, xy)
となる。
x ∈ (Λ^p)M に対して
φ(x)(y) = xy により、A-次数加群としてのp次の射 φ(x): ΛM → ΛM
が得られる。この双対 φ(x)^*: Homgr(ΛM, A) → Homgr(ΛM, A)
を i(x) と書く。つまり、y ∈ (Λ^(n-p))M, f ∈ Homgr(ΛM, A)_n
に対して (i(x)f)(y) = f(xy) と定義する。
i(x)f ∈ Homgr(ΛM, A)_(n-p) である。
i(xy) = i(y)i(x) となる。
よって、Homgr(ΛM, A) は f・x = i(x)f と定義することにより、
右 ΛM-次数加群となる。
i(x)f を f の x による内積と呼ぶ。
i(x)f を 仮に f←x とも書こう。このように書くのは、x が f に
作用していることを示すためである。
さらに、f(x) をベクトルの内積の記号で (f, x) とも書く。
すると、
(f←x, y) = (f, xy)
となる。
909 ：１３２人目の素数さん：2005/11/21(月) 12:18:31
Beethoven
910 ：１３２人目の素数さん：2005/11/21(月) 12:57:33
誤爆か？
911 ：208：2005/11/21(月) 13:48:24
定義
A を可換環、E を Z+型の次数付けをもった A-加群で
余代数(>>857)とする。
さらに、E は余結合的(>>866)で余単位(>>868)
をもつとする。
φ: E → E(x)E をその構造射とする。
φは次数加群として次数0の射とする。
つまり、φ(E_n) ⊂ Σ(E_p)(x)(E_q), n = p + q である。
このとき、E をA-次数余代数という。
A を可換環、E を Z+型の次数付けをもった A-加群で
余代数(>>857)とする。
さらに、E は余結合的(>>866)で余単位(>>868)
をもつとする。
φ: E → E(x)E をその構造射とする。
φは次数加群として次数0の射とする。
つまり、φ(E_n) ⊂ Σ(E_p)(x)(E_q), n = p + q である。
このとき、E をA-次数余代数という。
912 ：１３２人目の素数さん：2005/11/21(月) 14:07:10
usuraga
913 ：208：2005/11/21(月) 14:29:49
A を可換環、E を A-次数余代数(>>911)とする。
f, g を Homgr(E, A) の同次元とする。
x ∈ E_n とし、
φ(x) = Σx_i(x)y_i
とする。
(fg)(x) = Σf(x_i)g(y_i) = g(Σf(x_i)y_i) = g(f(x)1)(x)
である。
ここで、f(x)1 : E → A(x)E = E により、
f(x)1 を射 E → E と見なしている。
f(x)1 を i(x)と書く。(i(x))f を x←f とも書く。
f(x) をベクトルの内積の記号で (x, f) と書くと、
(x←f, g) = (x, fg)
となる。
f, g を Homgr(E, A) の同次元とする。
x ∈ E_n とし、
φ(x) = Σx_i(x)y_i
とする。
(fg)(x) = Σf(x_i)g(y_i) = g(Σf(x_i)y_i) = g(f(x)1)(x)
である。
ここで、f(x)1 : E → A(x)E = E により、
f(x)1 を射 E → E と見なしている。
f(x)1 を i(x)と書く。(i(x))f を x←f とも書く。
f(x) をベクトルの内積の記号で (x, f) と書くと、
(x←f, g) = (x, fg)
となる。
914 ：208：2005/11/21(月) 14:38:07
>>913 の続き。
φ(x) = Σx_i(x)y_i
φ(x_i) = Σu_(i,j)(x)v_(i,j)
φ(y_i) = Σz_(i,j)(x)w_(i,j)
とすると
(1(x)φ)φ(x) = Σx_i(x)z_(i,j)(x)w_(i,j)
(φ(x)1)φ(x) = Σu_(i,j)(x)v_(i,j)(x)y_i
である。
(x←f)←g = Σf(x_i)(Σg(z_(i,j))w_(i,j))
= Σf(x_i)g(z_(i,j))w_(i,j)
= (f(x)g(x)1)(1(x)φ)φ(x)
x←(fg) = Σ((fg)(x_i))y_i
= ΣΣf(u_(i,j))g(v_(i,j))y_i
= (f(x)g(x)1)(φ(x)1)φ(x)
E は余結合的だから、
(1(x)φ)φ= (φ(x)1)φ
よって、
(x←f)←g = x←(fg)
となる。
よって、E は Homgr(E, A)-右加群となる。
x ∈ E_n で f ∈ Homgr(E, A)_p のとき、
x←f ∈ E_(n-p) である。
φ(x) = Σx_i(x)y_i
φ(x_i) = Σu_(i,j)(x)v_(i,j)
φ(y_i) = Σz_(i,j)(x)w_(i,j)
とすると
(1(x)φ)φ(x) = Σx_i(x)z_(i,j)(x)w_(i,j)
(φ(x)1)φ(x) = Σu_(i,j)(x)v_(i,j)(x)y_i
である。
(x←f)←g = Σf(x_i)(Σg(z_(i,j))w_(i,j))
= Σf(x_i)g(z_(i,j))w_(i,j)
= (f(x)g(x)1)(1(x)φ)φ(x)
x←(fg) = Σ((fg)(x_i))y_i
= ΣΣf(u_(i,j))g(v_(i,j))y_i
= (f(x)g(x)1)(φ(x)1)φ(x)
E は余結合的だから、
(1(x)φ)φ= (φ(x)1)φ
よって、
(x←f)←g = x←(fg)
となる。
よって、E は Homgr(E, A)-右加群となる。
x ∈ E_n で f ∈ Homgr(E, A)_p のとき、
x←f ∈ E_(n-p) である。
915 ：208：2005/11/21(月) 15:10:38
A を可換環、M を A-加群とする。
ΛM は明らかに A-次数余代数 だから、>>914 より
Homgr(ΛM, A)-右加群となる。
x ∈ (Λ^(p+q))M_n で f ∈ Homgr(ΛM, A)_p のとき、
x←f ∈ (Λ^(n-p))M を具体的に求めよう。
>>876 より、
((x_1Λ...Λx_(p+q))←f) =
Σε(σ) f(x_σ(1)Λ...Λx_σ(p))(x_σ(p+1)Λ...Λx_σ(p+q))
ここで、σは集合 {1, ... , p+q} の置換で、それぞれ
区間 {1, ... , p} と 区間 {p, ... , p+q} において単調増加
するものを動く。ε(σ) は σ の符号。
ΛM は明らかに A-次数余代数 だから、>>914 より
Homgr(ΛM, A)-右加群となる。
x ∈ (Λ^(p+q))M_n で f ∈ Homgr(ΛM, A)_p のとき、
x←f ∈ (Λ^(n-p))M を具体的に求めよう。
>>876 より、
((x_1Λ...Λx_(p+q))←f) =
Σε(σ) f(x_σ(1)Λ...Λx_σ(p))(x_σ(p+1)Λ...Λx_σ(p+q))
ここで、σは集合 {1, ... , p+q} の置換で、それぞれ
区間 {1, ... , p} と 区間 {p, ... , p+q} において単調増加
するものを動く。ε(σ) は σ の符号。
916 ：208：2005/11/21(月) 15:39:51
>>915の続き。
f ∈ Homgr(M, A)_1 とする。つまり、f は Hom(M, A) の元とする。
(x_1Λ...Λx_p)←f
= Σ(-1)^(i-1)f(x_i)(x_1Λ..[x_i]..Λx_p)
となる。ここで、[x_i] は x_i を除くという意味である。
よって、
(x_1Λ...Λx_pΛy_1Λ...Λy_q)←f
= Σ(-1)^(i-1)f(x_i)(x_1Λ..[x_i]..Λx_p)Λ(y_1Λ...Λy_q)
+ Σ(-1)^(p+j-1)f(y_j)(x_1Λ...Λx_p)Λ(y_1Λ..[y_j]..Λy_q)
= ((x_1Λ...Λx_p)←f)Λy_1Λ...Λy_q
+ (-1)^p(x_1Λ...Λx_p)Λ(y_1Λ...Λy_q)←f
となる。
つまり、x ∈ (Λ^p)M, y ∈ (Λ^p)M のとき、
(xΛy)←f = (x←f)Λy + (-1)^p(xΛ(y←f))
これは、内積 x←f が歪可換代数 ΛM の微分であることを示している。
f ∈ Homgr(M, A)_1 とする。つまり、f は Hom(M, A) の元とする。
(x_1Λ...Λx_p)←f
= Σ(-1)^(i-1)f(x_i)(x_1Λ..[x_i]..Λx_p)
となる。ここで、[x_i] は x_i を除くという意味である。
よって、
(x_1Λ...Λx_pΛy_1Λ...Λy_q)←f
= Σ(-1)^(i-1)f(x_i)(x_1Λ..[x_i]..Λx_p)Λ(y_1Λ...Λy_q)
+ Σ(-1)^(p+j-1)f(y_j)(x_1Λ...Λx_p)Λ(y_1Λ..[y_j]..Λy_q)
= ((x_1Λ...Λx_p)←f)Λy_1Λ...Λy_q
+ (-1)^p(x_1Λ...Λx_p)Λ(y_1Λ...Λy_q)←f
となる。
つまり、x ∈ (Λ^p)M, y ∈ (Λ^p)M のとき、
(xΛy)←f = (x←f)Λy + (-1)^p(xΛ(y←f))
これは、内積 x←f が歪可換代数 ΛM の微分であることを示している。
917 ：208：2005/11/21(月) 15:58:31
>>915の続き。
f による 内積 i(f)(x) 即ち x←f は ２乗すると 0 となる。
つまり、(x←f)←f = 0 である。
何故なら、(x←f)←f = x←(ff) であるが、ff = 0 だから。
よって、ΛM は i(f) を境界作用素(または微分!)とする複体になる。
f による 内積 i(f)(x) 即ち x←f は ２乗すると 0 となる。
つまり、(x←f)←f = 0 である。
何故なら、(x←f)←f = x←(ff) であるが、ff = 0 だから。
よって、ΛM は i(f) を境界作用素(または微分!)とする複体になる。
918 ：１３２人目の素数さん：2005/11/21(月) 16:15:22
とことんトホホな奴。
919 ：１３２人目の素数さん：2005/11/21(月) 16:40:52
このバカ
セミナーで延々と関係ないこと喋ってたんだろうな学生時代
セミナーで延々と関係ないこと喋ってたんだろうな学生時代
920 ：１３２人目の素数さん：2005/11/21(月) 16:41:14
スレも終わりなのに、まだDedekind環までいってない。
可換代数の講義が俺の目的ではないんだけどね。
代数的整数論のほんとにおいしい所は可換代数とは別のところにある。
当然だけど。
可換代数の講義が俺の目的ではないんだけどね。
代数的整数論のほんとにおいしい所は可換代数とは別のところにある。
当然だけど。
921 ：１３２人目の素数さん：2005/11/21(月) 16:44:30
関係ないことはない。
Leray も多少過小評価されてるな。
Leray も多少過小評価されてるな。
922 ：１３２人目の素数さん：2005/11/21(月) 16:50:35
そろそろ新しいスレに移ろうか？
このスレを生かしておかないと参照に不便だから１０００まで
すぐに行かないように。
このスレを生かしておかないと参照に不便だから１０００まで
すぐに行かないように。
923 ：１３２人目の素数さん：2005/11/21(月) 16:53:09
誰か次のスレ立ててくれないかな。
俺は慣れてないんで。
次のスレの題名は簡単に「代数的整数論２」にしてくれ。
俺は慣れてないんで。
次のスレの題名は簡単に「代数的整数論２」にしてくれ。
924 ：１３２人目の素数さん：2005/11/21(月) 16:55:39
わがままな奴
おまえいつの間に講義してたんだ
脳内大学か？
おまえいつの間に講義してたんだ
脳内大学か？
925 ：１３２人目の素数さん：2005/11/21(月) 16:59:16
847 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/14(月) 19:39:33
あれ？
喧嘩はもう終わったのか。
ﾂﾏﾝﾈ
848 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/14(月) 19:56:04
ケンカというより、208の化けの皮がはがれたんで
お仕置きされていたというのが正しい。
あれ？
喧嘩はもう終わったのか。
ﾂﾏﾝﾈ
848 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/14(月) 19:56:04
ケンカというより、208の化けの皮がはがれたんで
お仕置きされていたというのが正しい。
今回はスレ立て無理みたいです。スマソ。
927 ：１３２人目の素数さん：2005/11/21(月) 17:29:13
208は見捨てられたのか。
928 ：１３２人目の素数さん：2005/11/21(月) 17:30:03
誤ることはない、残念だけど。
類体論までいく予定だったけど
類体論までいく予定だったけど
929 ：１３２人目の素数さん：2005/11/21(月) 17:31:11
208専用スレはもうとっくに立ってるじゃないか！
930 ：１３２人目の素数さん：2005/11/21(月) 17:40:16
予備校で類体論でも課外授業してれば
931 ：１３２人目の素数さん：2005/11/21(月) 17:57:50
だめだよ
932 ：208：2005/11/21(月) 17:59:05
駄目って何が？
933 ：１３２人目の素数さん：2005/11/21(月) 18:00:25
だめだよ
934 ：１３２人目の素数さん：2005/11/21(月) 18:03:03
935 ：１３２人目の素数さん：2005/11/21(月) 18:05:37
936 ：１３２人目の素数さん：2005/11/21(月) 18:11:53
ブルバキ写すのが講義だったら
類体論でもなんでも講義できるね
類体論でもなんでも講義できるね
937 ：１３２人目の素数さん：2005/11/21(月) 18:14:13
その心を見事に写せば、間違いなく立派な講義なんだけどね
さて、この写経の心は・・・うすらが、でしたっけ？
さて、この写経の心は・・・うすらが、でしたっけ？
938 ：１３２人目の素数さん：2005/11/21(月) 18:14:26
そう甘くはない。質問されたらどうする？
それに、ここは誰でも見れる。
専門家もな
それに、ここは誰でも見れる。
専門家もな
939 ：１３２人目の素数さん：2005/11/21(月) 18:17:00
>質問されたらどうする？
208はそれでこけた
208はそれでこけた
940 ：１３２人目の素数さん：2005/11/21(月) 18:18:48
で、お前等、俺の講義を聞きたくないの？
941 ：１３２人目の素数さん：2005/11/21(月) 18:20:26
なんちゅう冗談いうてんねんおまえ
おまえ誰？
おまえ誰？
942 ：１３２人目の素数さん：2005/11/21(月) 18:21:41
土足であがりこんできて、
オレのウンコが欲しくないの？
って言うヤクザはまだ聞いたことが無いな
オレのウンコが欲しくないの？
って言うヤクザはまだ聞いたことが無いな
943 ：１３２人目の素数さん：2005/11/21(月) 22:53:21
人の本の丸写しに近いのは東大や京大では講義とは言わないよ
実際にはそういう講義もたまにあるけど
>>922
にくちゃんねるとかmimizunとかで、数ヶ月もすれば過去ログとして無償公開してくれるけどね
まあその間不便か
>>923
立ててみればいいじゃん
実際にはそういう講義もたまにあるけど
>>922
にくちゃんねるとかmimizunとかで、数ヶ月もすれば過去ログとして無償公開してくれるけどね
まあその間不便か
>>923
立ててみればいいじゃん
944 ：１３２人目の素数さん：2005/11/22(火) 09:18:02
>人の本の丸写しに近いのは東大や京大では講義とは言わないよ
丸写しじゃないだろ。
これを丸写しというなら松村だってそうだろ。
あれの随伴素イデアルのところとか、平坦加群とか完備化の扱い
はBourbakiだし、次元論はＥＧＡ ＩＶだし。
丸写しじゃないだろ。
これを丸写しというなら松村だってそうだろ。
あれの随伴素イデアルのところとか、平坦加群とか完備化の扱い
はBourbakiだし、次元論はＥＧＡ ＩＶだし。
945 ：１３２人目の素数さん：2005/11/22(火) 09:27:30
今やってるとこは初歩的なところだからBourbaki参照で済ましたい
ところなんだよ、俺の本音は。
だけど、そうすると敷居が高くなるだろ。
そういう、俺の親切心を分からないんだから。
こんなとこでやたら独創性を発揮してもうざいだけだろ。
ところなんだよ、俺の本音は。
だけど、そうすると敷居が高くなるだろ。
そういう、俺の親切心を分からないんだから。
こんなとこでやたら独創性を発揮してもうざいだけだろ。
946 ：１３２人目の素数さん：2005/11/22(火) 09:36:24
>立ててみればいいじゃん
俺は立てないよ。
皆の意見を聞いてると立てて欲しくないようだからな。
それに逆らってまで立てようとは思わない。
俺は立てないよ。
皆の意見を聞いてると立てて欲しくないようだからな。
それに逆らってまで立てようとは思わない。
947 ：１３２人目の素数さん：2005/11/22(火) 10:23:22
948 ：１３２人目の素数さん：2005/11/22(火) 10:28:27
ホームページなんてめんどうだろ。
レスポンスが遅いし。
レスポンスが遅いし。
949 ：１３２人目の素数さん：2005/11/22(火) 10:59:51
実はたたかれるのが快感？
950 ：１３２人目の素数さん：2005/11/22(火) 11:15:32
逆だよ
951 ：１３２人目の素数さん：2005/11/22(火) 11:26:00
952 ：１３２人目の素数さん：2005/11/22(火) 12:58:07
そろそろ終わりが近づいてきた。やれやれ
953 ：１３２人目の素数さん：2005/11/22(火) 13:45:24
なにこのスレ
954 ：１３２人目の素数さん：2005/11/22(火) 14:02:28
写経スレ
955 ：１３２人目の素数さん：2005/11/22(火) 14:26:43
208はじゃがいも好きか？
956 ：１３２人目の素数さん：2005/11/22(火) 14:41:15
>土足で上がりこんでるのはお前なんだよ。
おまえ人前でフリチンはやめろよ。
おまえ人前でフリチンはやめろよ。
957 ：１３２人目の素数さん：2005/11/22(火) 14:48:45
秘書がやりました、みたいだな。凄い論理感覚
典型的な数学馬鹿
典型的な数学馬鹿
958 ：１３２人目の素数さん：2005/11/22(火) 14:55:48
959 ：１３２人目の素数さん：2005/11/22(火) 14:58:18
>このスレを見たくなければ見なけりゃいいだけの話。
ｺﾉﾋﾄ
ｱﾀﾏ
ﾜﾙｲ
ﾃﾞｽﾈ
ｺﾉﾋﾄ
ｱﾀﾏ
ﾜﾙｲ
ﾃﾞｽﾈ
960 ：１３２人目の素数さん：2005/11/22(火) 14:59:59
>>958
うすらが
うすらが
961 ：１３２人目の素数さん：2005/11/22(火) 15:01:51
>このスレを見たくなければ見なけりゃいいだけの話。
ｺﾉﾋﾄ
ｳｽﾗ
ﾃﾞｽﾈ
ｺﾉﾋﾄ
ｳｽﾗ
ﾃﾞｽﾈ
962 ：１３２人目の素数さん：2005/11/22(火) 15:03:33
963 ：１３２人目の素数さん：2005/11/22(火) 15:06:41
>病院から抜けてきたひとですか？
毛ｶﾞﾇｹﾃｷﾀﾋﾄﾃﾞｽｶ?
毛ｶﾞﾇｹﾃｷﾀﾋﾄﾃﾞｽｶ?
964 ：１３２人目の素数さん：2005/11/22(火) 15:09:26
208ﾊｼﾞｬｶﾞｲﾓﾃﾞｽｶ？
965 ：１３２人目の素数さん：2005/11/22(火) 15:12:15
966 ：１３２人目の素数さん：2005/11/22(火) 15:35:09
967 ：１３２人目の素数さん：2005/11/22(火) 15:51:40
ニートの自己完全視と似たようなものか
968 ：１３２人目の素数さん：2005/11/22(火) 15:53:48
写経主義は永遠に不滅。写経主義者は完璧人間のみ。
969 ：１３２人目の素数さん：2005/11/22(火) 15:55:08
ニートの事故感電死？
社共主義？
社共主義？
970 ：１３２人目の素数さん：2005/11/22(火) 16:10:54
971 ：１３２人目の素数さん：2005/11/22(火) 16:30:31
七十一日。
972 ：１３２人目の素数さん：2005/11/22(火) 16:52:35
973 ：１３２人目の素数さん：2005/11/22(火) 17:10:42
974 ：１３２人目の素数さん：2005/11/22(火) 17:12:24
307（ミンナ）
975 ：１３２人目の素数さん：2005/11/22(火) 17:31:14
みんなは誰でもだ
普通そうだろ
みんな普通そうなんだよ
な
208の口癖
普通そうだろ
みんな普通そうなんだよ
な
208の口癖
976 ：１３２人目の素数さん：2005/11/22(火) 17:31:56
>>975
正鵠
正鵠
208は線型代数2の最初のヤツと同じ