1=0.999… その9.999…

1≠0.999…であることを認めたくない人たちのスレです。

前スレ:1=0.999… その8.999…
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1107832891/

糞スレｲﾗﾈ

数学者の神経を逆なでするために執拗に建ち続ける物語の
第？章

議論にならない様な気がするのだが？

「飛ぶ矢は飛ばない」と「アキレスと亀」は、別問題。

>>1はスレタイの付け方も解らない焼房です。

lim_{n→∞}(∑_{k=1}^{n}(9/10^k))=1.

アキレスと亀、彼女が多いのはどっち

>>5
よっぽど痛いトコな訳だなｗ

今まさに亀に追いつこうとした時に、矢を放ちやがって、
アキレス腱切られりゃ痛いの何のって、そりゃーもう。

こういうスレが、外からトンデモを吸い寄せてきている気もしないでもない。

いやしかし、「距離空間は微分ができることが前提」とか
「逐次処理型の0.999…」とかそういうわけのわからん奴が
いないとこのスレは面白くない。

ふ〜ん、だったらあんたが面白い命題を与えてみたら。

数学は宗教だということ

これがわからないやつは素人

アキレスの亀も選択公理がなきゃ、踏み出す足が前に出せない。

>>11
放って置いてもトンデモは飛んでくるので、
このスレに吸着させて、他のスレが迷惑しないように

>>13
トンデモバカは、逆の意味で天才だからね。
われら凡人には、ああいう発想は無理。
だからこそ待望論も出てくるわけで。

アキレスの亀頭、そのでかさにあきれたっす

Σ(ﾟДﾟ；≡；ﾟдﾟ) 　あっ、ボクのことは放置プレイでお願いっす

>>17
つれますか？

アキレスの仮面のでかさにはびっくり
したことがない
というかアキレスの仮面って何？

だからさー。普通の数学じゃ「＝」なんだから、素直にそれを認めて、普通じゃない数学を
構築して「≠」の場合もあることを示せば良いだけだろ。

ま、それができるくらいなら…。

フニッ？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？

1=0.999・・・・・のわけないだろｗｗ

1=1だボケｗｗｗｗｗｗ

>>23
ごく普通に1=0.999ですが、何か？

ある意味>>23はあってる

1=1
を否定する人は少ないだろうな。

どこのスレに書き込むか迷ったのだが、
このスレだと馬鹿の事を書き込んでも許されそうなので。

　対角線論法って言うのは、実数は無限桁を持ち、
有理数は循環小数であると言い換えて良いのかな？
　しかし、無限を定義せずに、無限に言及していろと思うのだけれども。
それと、ε公理を使った時には、無理数に収束する時以外、
無理数の存在意義というのはないと思うのだけれどうなのかな？

何でkingはからかわれるの？
やはりばかだから？

対角線論法を使わなくても、有理数が循環小数であることは示せるし、循環小数は
無限小数だから、少なくとも実数には無限桁の小数展開を持つものがあることはわかる。

無限を定義うんぬん以降は、意味が判らない。

Re:>>28 お前に何が分かるというのか？

0.999・・・・・は1になってねーじゃんｗ
だったら1≠0.9999・・・・
に決まってるだろｗ
お前ら馬鹿か？

香ばしいレスですね。

下手糞な釣りだな。
過去スレで勉強してこい。

対角線論法はカントールの対角線論法の事をいっています。

a(i,j)は有限桁の事をいっている様で居ながら、無限桁の部分の事をいっているのではないかと思うのだが、
どうなんだろう。
　カントールの実数の濃度の証明が、今一分かっていない事は分かっている気がするが、
有限桁だけを取り上げたら、無理数は語れない気がするのだが？

>>34
なんつーか、疑問が一つ涌くごとに2chに来て質問するよりも、一度何か
一冊教科書を通して読んだほうが良いと思うよ。めんどいかもしれんが。

「無限を定義せずに無限に言及」
「ε公理」
「無理数に収束するとき以外無理数の存在意義は無い」
「a(i,j)」
「実数の濃度の証明」

などなど、意味不明な言葉が多すぎる。しっかり勉強したことが
なく、ツマミ食いしてきた断片的知識しかないからそうなっちゃうんじゃね？
そもそも数学の知識が足りないだけじゃなく、日本語を上手に書く技術も
足りないようだし。

仰有る通りでございます。
では、どんな書物を読めば数学力がない人間にも、
カントールのいわんとした事が分かるのでしょうか。
それをお教え下さっても有難いのですが。

「集合論入門」とか「集合と位相」とかそんな感じのタイトルの読めば
良いと思う。高校数学が分かったら読めるだろう。

カントールの対角線論法は、無限域の話ではないの？
それだけ教えて？

↑日本語になっていない？
それいわれると痛い。

無限域ってなに？自分で勝手に作った用語を持ち出されても困る。
だから本を読めと言ってるんだけれど。

>>31
お前頭良いな

無条件で1=0.999・・・・・って書き込んでる人って、
デデキントの切断をどの様に考えて居るんだろう？

>>42
(1) A = {q∈Q | q≦1}, B = {q∈Q | q＞1}
(2) A = {q∈Q | q＜1}, B = {q∈Q | q≧1}
有理数を上みたいに切断したとき、
(1) が 1 で、(2) が 0.999… ってことか？
でも普通はどっちか(自分が見たサイトだと (2))を捨てるわけで

>>42 がデデキントの切断をどう思ってるのか逆に聞きたい

>>31は常識をわきまえている
これに異をとなえるのは
カントルと同類のキチガイ

同値関係も知らないで何言ってんだか

だからてめえはキチガイと同値だ
おれ、わかってるだろ？

虫が湧いてるスレでも上げとくよ。

と
クラミジアがいいました

>>31は頭よすぎ

>>43
そんなサイトは今後覗かんほうがいいよ。

取り敢えず今考えている事は、収束するとはどういう事かという事かな。
（１ー１／ｎ）で（ｎ→∞）ならば実数という事かな。

但し、消防の頃から思っていた事は、個数を扱う分野でないならば、
点を切断しても良いのではっていう事かな？

個数を扱う様な分野ならば、無理数は要らない、量を扱う分野で初めて、
無理数が必要なんじゃないかっていう事。

>>50
意味不明…

そもそも、分数のかけ算や割り算を定義するにも量を扱う分野が必要なんすけど…。
小学校の時、理解できました？

点を切断しても良い数学を求めるなら、そのような数学を構築して色々言えば良いだけ。
まだ「絶対的数」が背後にあると思っているぽい所がなんとも…。

まあ絶対的真理の話をすること自体は構わないと思うけど、それは既に
「数学」じゃないよね。個人的にやるのは良いけど、他人とコミュニ
ケーションがとれる期待はしないほうがいいと思う。

絶対的数!!??????????????????????????????????????
ゼッタイテキ数!!????????????????????????????????

２４：００は今日に属するのか明日に属するのか？
００：００は２４：００とどう違うのか？
（意味としてはチョットニュアンスが違うかもしれない。
時刻は切断できないという言い方で、
どちらかにしか属さないという説明だったからね。）

こんな問題、子供の頃に突きつけられなかった？

なんか文章の書き方が、一昔前のニューアカ、ポモ的で懐かすぃな。

『ニューアカ、ポモ』って、なにそれ？わたし知らない。
ホントに一昔位前の話なの？

ニュー赤：　新興共産主義。
歩モ：　歩くモー娘。

＞歩モ：　歩くモー娘。
じゃー歩くモー娘は未来を体現しているのか？

しかし、歩モでググッて最初のサイトを開いたら、
かなりやばい所だった。
事務所で昼休みにやったもんだから、焦った焦った、
あられもない姿がなかなか閉じない、
止めろそう言う言葉を書き込むのは、
ドエリャー心臓に悪いが。

>>51
おまえの文章のほうが意味不明。
>>52
何の脈絡もなく？
何に対して語るのかぐらいは書き込まんと、人との対話はありえんよ。

>>55
マジレスすると「ニューアカデミズム」「ポストモダン」
２０年ぐらい前の流行だな

>>53
時刻の観念として、２４：００はあり得ない。
時間の観念としては？
しかし、なぜ日本語には、未満、以下、以上しかないのか。
未満に対応する言葉がないのだろうか？

>>60
０：００＝２４：００　でいいだろ。問題なし。

ちょうど正午や深夜０：００が午前か午後かを検証したサイトもあったな。法律的には大昔の
条文でなにやらあるそうだが…

未満に対応する言葉は、「より大きい」だろ。漢字にしないといかんのか？

誤解なく伝えられる方法があれば十分。
だが、漢字２文字の単語があったほうが便利だな。

>>50
> 点を切断しても良いのではっていう事かな？
その切断とデデキントの切断は意味違う気がする…

>>58

前スレの内容を踏まえてのレスなのよ。>>51も>>52も。

中国ではどういうんだろうね。「未満」の反対語は。

>>64
おまえ頭悪いな。
何を主張しているのかワカランといっているんだ。

だから前スレ踏まえとるから、前スレみてなければわからなくていいんだって。

まあ、全てのレスが自分宛てだと思ってる人に何を言ってもしょうがないかも
しれんが。

>>67-68
頭悪すぎ及びキモ過ぎ。

どうでしょう。煽ってけなせば勝った気になれるひとと比べてどちらが
頭悪いでしょうね。

まあ、全てのレスが自分宛てだと思ってる人に何を言ってもしょうがないかも
しれんが

でも、ε-δも、超準解析もある21世紀の今日に「収束とはどういうことか」
真面目に考えてみたり、あるいは「個数を扱う分野」と「量を扱う分野」
を分けてみたりとか（16世紀くらいはまだ分けてましたね。このへん）
偉いと思う。普通なら「車輪の再発明だ」とか言って考えないもんだ。
一般化の名のもとに数学が置き忘れてきたものを再発見してくれたり
することを期待しよう。

数学が数学者によって発展しえなかった事がわかる書き込みだな。
マァ、数学者の代表でもないのだろうから、
多くの数学を志す人間がどう考えるかだな。

意味不明…
数学ってそもそも何かってわかっていない気がする書き込みだ。
で、このスレ的には具体的に数学がどうあったら「発展」なんだ？

73の言い分が認められれば「発展」

>>73みたいな意見は、それこそ何百年も昔から言われつづけてることですね。
でも>>73みたいな意見の人が、その時代の数学に対抗する新しいモデルを
提出した事はないんですよね。そういう人が一人でもいれば、数学は「発展」
しただろうにねえ。

age

場合によっては27時32分とか表記することもあるよ。

>>42
「デテキントの切断」は「単調増加数列はその上限に収束する」ってのと同値だから、
デテキント認めると、もろに１＝０．９９９９…になるんじゃないの？

1.000・・・・・≠0.999・・・・・

1.000・・・・・＝0.999・・・・・

結論
最後は3･14になるんだよ

1.000・・・・・≠0.999・・・・・

>>82
TeXのバージョンですか？

>>61 未満⇔超（超過）　以下⇔以上　です。

>>50 外延量、内包量をグぐれ

一つの数に対して、１つの表現しかないわけではない。
１は数直線の右から見た表現で、０．９９９…は左から見た表現
ともいえる。

ここで、大事なのは、１≠０．９９９…
の立場の公理系も存在ということだ

ヽ(･∀･)人(ﾟ∀ﾟ)ノ

　左ヽ(･∀･)人(ﾟ∀ﾟ)ノ右　
　
　　左ヽ(･∀･)ﾉ　ヽ(ﾟ∀ﾟ)ノ右
　　
　　　左ヽ(･∀･)ﾉ　　｜　　ヽ(ﾟ∀ﾟ)ノ右　　

　　　　(;･∀･)　おっ、おまいは0.9999･･･　　| 　 あっ、あんたは1.00000･･･　(ﾟ∀ﾟ；)

　　　　　　　　　　


ヽ(･∀･)人(ﾟ∀ﾟ)ノ　以上表現君劇場でしたー。　　　　　　

気楽に行こうよ。
俺、気付いたんだ。
世界は矛盾してるということを。
だから、１＝０．９９９・・・でありながら、１≠０．９９９・・・
であるのだ。
矛盾という自由。
「自由になれ、自由になれ、自由になれ、自由になれ、自由になれ、
自由になれ、自由になれ、自由になれ、自由になれ、自由を英語に
すると、フリー、矛盾を英語にすると、、、知らない。」
学会の正しさが地球の正しさか？
正しさって何なんだ？？？
思いやりだろ。
相手のことを思うってこと。それが正しさだ。


http://members14.tsukaeru.net/ogawa/

>>24
>>24
>>24

自由って響きは一見ロマンがあるけど、それが超越しちゃうとスーパーフリーだよな。

1-0.999・・・=0.0000・・・・
0はいくら並んでも0だ。よって0.999・・・=1

ぶっちゃけると実はデデキントの切断の考え方の方が間違っている。

Re:>>91 何故？

切断はデキン。

それは・・・で、できんと言うことか？

>>86age

矛盾死すとも　じ、自由は、

我が生涯に一片の悔いなし､､　　

つまり数学は北斗神拳だと？

継承できなかったやつは殺されたりするわけだ

100get
数直線上で１の隣の数は何？

2らしいよ。前スレによると。

正数の世界か？ここは。

↑整数

整列定理で実数を整列させて強引に隣の数を作る。という案もあった。

http://www.taiyo-g.com/shousai72.html

>>104
御前、カントールの対角線論法が分かってないだろ。
数直線上にカントールの言う実数がどの様に存在しえてるって言うんだ？

「カントールの言う実数」とは？

ってか>>104に対して対角線論法云々というレスが何故出てくるのかわからない。

数直線上と言っているのに、並んでない実数を考えるのはなぜ？
実数の不連続性（非可算）を言ったのはそもそもが、カントールでしょ。
それも、対角線論法で証明したのではなかった？

対角線論法だと、1.0000・・・・と0.9999・・・・は別の数にするんだっけ？

そうじゃなくて、順序が1種類しかないと思ってるところがイタイ。
確かに数直線上なら隣の数なんてないけどこれは有理数も同じであって
実数の非可算性とは何の関係もない。
整列可能定理で実数を整列させる場合の順序は数直線上での順序とは違う
（そもそも構成できない）
端的に言うと、>>104へのレスとしては全く的外れってこった。

ようするに>>106は整列定理がわかってない。ということだな。
ぐぐればすぐわかるのになあ。

違う、数直線上といっているのに、一パン論を持ち出すのがおかしい。

>>109
実数は連続するっしょ。それと、可付番集合でないこととは別だろ。

>>111
有理数は可付番集合だから、「隣の数」を定義できるよ。大きい順とか小さい順とかに
並べることは不可能だけどね。

>>113
「一般論を持ち出すのはおかしい」というのは確かにそのとおりであって、
整列定理で隣の数を作っても（或いは選択公理に頼らずにできる場合として
有理数の「隣の数」を>>114のように作ったとしても）何の意味も無い。
と言うのは正しい。

とはいうものの>>104に対して>>106のようなレスをつける事がトンチンカンで
あるという事には変わらない。

話が分からん。
震える気持ちがよくない？
俺は０．９９９・・・なんだみたいな、>>８６みたいな、すごく、ロックな
んだよね、いかしてるぜ、ハチロク。
そういう気持ちを通して、ハイになれるんじゃないか？
だから、選択公理とか、何を選択するのかとか、斜め式なのかとか、
こう、選択ハートが足りてないぜベイビー。

あー、眠い。

「考えるんじゃない！感じるんだ！」の世界ですか？

そう。０．９９９・・・（キュー坊）がどう見えるのか、人間の８感でどう感じるのか？
感じなきゃ考えられないだろ。
俺にはキュー坊が動いて見えるんだにょ。
タタタタタタタタタタタ。（キュ〜（・ω・））

１＝0.99999…になるってどんな問題を解くとそうなるんですか？

電卓で1 ÷ 3 × 3 = 0.9999999

とかなるのを見たんじゃね？

ゲームでいうと、HP(1-0.999・・・・)は死んでない。

age

直「感」主義数学

1=0.999…
の意味は、1とlim_{n→∞}(∑_{k=1}^{n}(9/10^k))が等しい
というのが現代数学での解釈である。
一方でnがどんな正整数でも∑_{k=1}^{n}(9/10^k)は1にはならない。
鍵となるのは、limの意味である。
極限とは、数列の限りなく近づくところである。
0.999…にその意味を与えていいのかどうか…。

「0.9999...=lim_{n→∞}(�農{k=1}^{n}(9/10^k)) である」
というところから始めるから、その妥当性に疑問を感じてしまうんだよ。

「0.9999...とは何か」という所から考え始めれば、疑問に思う暇もなく結論までたどり着く。

じゃあ「0.9999...とは何か」の答えを聞かせてもらおうか？

１より小さく、１に限りなく近い数。

「0.9999… = (１より小さく、１に限りなく近い数) か？」
という第二の問題が出てくると思うんだが。

1より小さい数は1ではないが、1に限りなく近い数は1だ。

1を除くどんな実数よりも1に近い実数とは何だ？

>>130
0.999…

>>130
超実数

＝か≠か、どちらかに属せ。
それが、己が立場よ。

キュー坊かわいいよー。だから、ぼく、キュー坊がいいのー。うふ。
キュー坊は１チャンじゃないよ。

思いやって、許して、自分は自分で立場に立って。
それで、いい。

許そうよ。

しかし、人々はダークサイドに堕ちる。

俺も、いつか、、、。

師匠はいない。誰と闘えばいい？

許したい。

ogawaよ。フォースを使うんだ！

0.999・・・=0.999・・・？

＝派は「0.9999…は１になります」と言う
「なります」というのは意味がわからないが
…の部分を計算すると１になるのかもしれない
（その部分は今は考えないものとする）
しかし＝で繋がっているのだから逆にすることも可能なはず
ということは「１は0.9999…になる」と言うのか？
１をどう計算したら0.9999…になるというのだろう

いつから"="の記号は「左辺を計算すると右辺になる。」という意味になったんだろう。
まあしかし数学やってない人に同値類という概念を理解しろというのも酷かもしれんな。

a=0.999・・・・・・
(a)^(1/(1-a)）=1/e。

そろそろ、俺流の無限小解析を学ぶ季節がきたか。ジェダイの道を歩むのだ。
ぼくのふぉーす。ついてこい。

http://members14.tsukaeru.net/ogawa/h0hi.html
http://members14.tsukaeru.net/ogawa/kankyoku.html
http://members14.tsukaeru.net/ogawa/hkyo.html
http://members14.tsukaeru.net/ogawa/hren.html
http://members14.tsukaeru.net/ogawa/hbibun.html
http://members14.tsukaeru.net/ogawa/sitahbi.html
http://members14.tsukaeru.net/ogawa/sanh.html

小学１年生がテストで
３＋３＝ の答えを５．９９９９・・・・と書いたら正解になるのだろうか？

学校のテストなら、
見にくいのは×じゃないか？
中学のテストでも×になっただろう。

>>140
普通問題文には「計算せよ」とか書いているはずだ。授業で算数の「計算」とは最も簡単な形に変えてかく
コトを意味するって教える。したがって、それじゃ×。

そうじゃないなら「３＋３＝１＋５」も○にしなきゃならん。「３＋３＝３×２」も正解か？

最簡形を求めよ

0.333･･･＋0.333･･･＋0.333･･･＝１
とぃぅのは、小数→分数→約分というステップをふんだからなりたつわけであって、
この世界に分数というものの概念が存在しなければ、0.999・・・のほうが限りなくしぜんなのだと思う。。

そして今ふと思い出したのが「2.999・・・という職業はな〜んだ？？というなぞなぞ。
答えは保母さん（ほぼ３）」というものなのだが、この「四捨五入」の考え方。
ここに依存するのではないか、と思う。化学の中での考え方からも一部類推可能だろう。

>>139

なにこのデンパなノート

別に、分数を経由しなくても１と等しいことはわかるのだが。

talk:>>144 小数→実数.

小数とか分数ってのは記号の名で、実数とか有理数とかはそれの指し示すものの名
（まあ、現代数学では結局どっちも記号にすぎないってことになっちゃうかも）
だから、区別しないと。

ＡとＢは競争する。
Ａははじめ、Ｂより９ｍ前にいる。Ｂは１０ｍ/ｓ、Ａは１ｍ/ｓで前に進むとする。
ＢがＡに追いつく。その時間をｔとする。
Ａは時間ｔだけ前に進む。
この方法で、Ａ移動後に、ＢがＡに追いつくことは可能か？


Ａ．不可能

5回繰り返したときの経過時間ｔを求めよ。残りの距離の差はいくらか？

Ａ．0.99999ｓ、0.00009ｍ(いつまでたっても追いつけない。)

＞Ａははじめ、Ｂより９ｍ前にいる。Ｂは１０ｍ/ｓ、Ａは１ｍ/ｓで前に進むとする。
＞ＢがＡに追いつく。その時間をｔとする。

ｔ＝1秒だろ。

＞ＢがＡに追いつくことは可能か？

可能だな。

>>151
＞Ａ移動後に、ＢがＡに追いつくことは可能か？
だろ。問題文よく嫁

>>152
馬鹿？
それとも、Ａだけ移動してＢは移動しないとでも言うのか？

問題文よく読んだら
「ＢがＡに追いつく。その時間をｔとする。」
って書いてあるぞ。

Ｂが現在のＡの位置まで到達するのにかかる時間の分Ａが先に進み、
次にＢが以前のＡの位置まで進む。
この移動を１秒ごとに交互に繰り返す。

これなら
追いつくまでの時間を無限に分割し、
それぞれを１秒に引き伸ばすので永遠に追いつかないが
元の問題文の移動方法だと追いつく。

> ＢがＡに追いつく。その時間をｔとする。

という前提を置いた時点で問題になっていない

この前、有理数と整数の間を明晰に証明する体系を発見したんだけど。
この新しい数学の体系をどのように生かしたらよいものやら。
とりあえずここに書くのはやめておく。

150訂正
ＡとＢは競争する。
Ａははじめ、Ｂより９ｍ前にいる。Ｂは１０ｍ/ｓ、Ａは１ｍ/ｓで前に進むとする。
「まず、Ａは立ち止まり、Ｂだけ動く。
ＢがＡに追いつく。その時間をｔとする。
次にＢが立ち止まり、Ａだけ動く。
Ａは時間ｔだけ前に進む。 」
「」内を繰り返すとする。

この方法で、Ａ移動直後に、ＢがＡに追いついていることは可能か？

Ａ．不可能

で、0.99999・・・・は1なのか1じゃないのか。

0.99999・・・・→1と書いてみるテスト

>>158
２秒後に追いついている。

>>158
「Ａ移動直後」の定義は？

158は「1.9999･･･≠２」と言ってるのと同じ。

√(16)=4

まず形式的に考えるなら、2秒後に追いつく、で終了。
そんで現実的に考えるなら、その手続きは実行不可能、で終了。

158訂正
ＡとＢは競争する。
Ａははじめ、Ｂより９ｍ前にいる。Ｂは１０ｍ/ｓ、Ａは１ｍ/ｓで前に進むとする。
「まず、Ａは立ち止まり、Ｂだけ動く。
ＢがＡに追いつく。その時間をｔとする。
次にＢが立ち止まり、Ａだけ動く。
Ａは時間ｔだけ前に進む。 」
「」内がを繰り返す。

この方法で、「」内が終わる節々に、ＢがＡに追いついていることは可能か？

Ａ．不可能

・・・で、不可能じゃないのか？

結局>>165じゃね？

Ｂより前にＡがいてＡよりＢが速い場合、
時間が止まらない限りＢはＡにいずれ追いつき、追い越す。

・・・そうか、２秒以上の時間に対して166の手続きは破綻するのか。(>>165)
要するに、この手続きは２秒以内でしか定義できない。

「」内をｎ回繰り返すまでにかかる時間は、ｎによって1.99999・・・・となり、その時間は
手続きが定義できる時間だ。
だけど、これは（ＡとＢの差が正の）２秒以内でないと定義できないから、
「1.99999・・・・＜２で、1.99999・・・≠２」>>163というわけか。

おいおい、２秒じゃなくて１秒だろ。

>>166
質問文とは関係ないが。
�杯=1の時点でtが真に0となり両者が動けなくなる。
よって競争にならない。

2秒じゃね？Aが動いてる間Bは止まってるんでしょ？

Σt=1で、それぞれが交互に使ってるから２秒。

age

待て待て。
ＡとＢは速度が違うから
それぞれの１秒は相手の１秒とは違ってしまうぞ！

はいはい ワロスワロス

.　 0.9999・・・・・
　　----------
１）1.00000
.　　 9
　 ----
.　 　１0
.　　　 9
　　　---
.　　　 10
..　　 　 9
　　　　---
　　　　 10
.　　　　　9
　　　　 ---
　　　　　10
　　　　　　・
　　　　　　・
　　　　　　・

.　 1
　　----------
１）1.00000
　　1
　　----------
　　0

>>178
たんなるルール違反。

1に限りなく近い = 1
でいいですか？

すいませんちょっと質問です
何かを計算するときに、ある数をそのまま使うんじゃなくて、その数に収束する無限数列の和を使ったほうが便利な時ってあるんですか？

>>182
lim[x→0](((e^x)-1)/x)とか？

3/3=1
3/3x3=3
3=3

1/3=0.333333…
1/3x3=0.999999…
1=0.99999…

| 3 3|
{ 3 }ﾒｶﾞﾈﾒｶﾞﾈ…

1>Σ[n=1~1024]9/(10^n)

>>186
それでは1>0.9999・・(1024個)・・999を示しただけ。

ここでいくら議論してもアレだから
ネタスレっぽく1=0.999…を別のものに置き換えるスレって面白いかもしれんな

いや、ここはもともとネタスレだから。

なぜ1=0.9999999…になるのはどうして？
http://ex10.2ch.net/test/read.cgi/morningcoffee/1123905726/

0.999…=0.9+0.09+0.009+…=0.9/(1-0.1)=1

>>182
e^x=cosx+isinxとか？
逆か？どだっけ？

>>185
{：3 }　ジャイアン

>>182
三角関数とか指数対数関数などの初等関数を実際場面で利用するときには
テーラー展開みたいなことして級数を求めた方がいいだろ。

Ａははじめ、Ｂより９ｍ前にいる。Ｂは１０ｍ/ｓ、Ａは１ｍ/ｓで前に進むとする。
>166
「まず、Ａは立ち止まり、Ｂだけ動く。
ＢがＡに追いつく。その時間をｔとする。　＊ ココ
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
次にＢが立ち止まり、Ａだけ動く。
Ａは時間ｔだけ前に進む。 」
「」内がを繰り返す。

この方法で、「」内が終わる節々に、ＢがＡに追いついていることは可能か
------------------------------------------------

可能も何も　
＊で　すでにおいついてる

なにやら得意げに書き込んでるヤツがいるが
そんな事は直後から何人かが指摘してることなんだがな。
194は自分の間抜けさに気がつかないままあと何十年か生きて
その間抜けさで回りに迷惑をかけつづけて死ぬんだろうな。

√(196) = 14

そもそも
普通の人でも納得するような証明ってできるのかね
数学としてはそうなっているのが都合がよい、ってだけでは
０！＝１とかとおなじで
数学のための数学でしかない

>>197
そもそも、違ってても数学としてはＯＫなんだから、誰もが納得できる証明なんてないだろ。
普通の実数を想定すれば同じだけどね。

＞数学としてはそうなっているのが都合がよい

これって全ての数学の基本では？「１＋１＝１」でも良い数学はプール代数ってのがあって
実際に役立つけど、普通の場合は「１＋１＝２」の方が「都合が良い」だろ。

そういうまともな事を言い出したら、このスレ終わっちゃう。
ネタスレだから程々に。

べつに
まともなことかいてるわけじゃないけど・・・

｢三分の１×３｣で一つの数字であり、三分の１つまり0.33333…という値は既に個性を喪失している

従って１である

この考え方では証明になりませんかね？

バカの口出しで申し訳ございません

>>201
すまん意味が判らない。

>>201
数字と数の区別から理解してないとは・・・orz

>>201
電波強すぎ（ｗ

今、唯一神又吉イエスが１＝０．９だと認めた！
これがわからない椰子は腹を切って死ぬべきである！

1/3=0.333333333333333333･･･
1 = 0.999999999999999999･･･

まだこのスレあったのかと思いつつ
昔話題になったトプンとか言う基地外1≠0.999...論者を懐古しつつ
age

「...」という記号の正式名称はなんなんでしょうね？

０・９９９９９９９・・＝ｓとおく
１０ｓは当然９・９９９９９９９９９９９９９・・となり
１０ｓーｓ＝９ｓ＝９
ｓ＝１
よって１＝０・９９９９９９９９９・・・・

小文字にせい!!!!!!

小文字とか言っちゃったけど、
半角ね。ごめんね

>>209
はいはい
>１０ｓは当然９・９９９９９９９９９９９９９・・となり
の説明してごらん

１０倍するって事は小数点を一つ右に移動することと同じだからなー。

>>213
はいはい。
それが、９・９９９９９９９９９９９９９・・にも通用するのはなぜですか？

あ、
0.9999・・・のほうね。

数学って、普通数を拡張する際には「今までの手法が通用する」とみなして数を拡張
するじゃないか。自然数→整数→連続数とか、計算規則は全て継承する。

だから、通用しないって言うなら、なぜ通用しないかその根拠がないといかんのじゃ
ないか？

通用しないとは言わないが、0.999・・・の定義が何なのかはっきり書いてない段階で
通用すると言われても、はいそうですかとは言えないだろう。
>>213のような考えでいいんなら、例えば
2∞＝∞＋∞
と書いていいのか？ってことになる。

>>217
だったら、計算法より先にそっちをつっこむべきだろ。
０．９９９…の定義は１だな。

数学における「定義」とは、現実のシミュレーションをより容易に矛盾なく簡潔に表現できる
ものを言うのだから、当然１だ。

簡潔簡単な上に矛盾なし！問題あるか？

デデキントの切断というのがあると聞いて、
自分も切ってみたのだけれども、片方の端が１で、もう一方の端が
０・９９９９９９９９９・・・・（全角でご免）だった。
これで良いのかな？

>>219
最初からデテキントの切断の条件に違反しているだろ。

talk:>>208 ピリオド三つ。

>>220
不服だったら、数直線の完備性の再確認という事で、219の切断と呼んでくれ。

>>219-220
ﾜﾛｽ

0.999･･･＝lim_{n→∞}(�農{k=1}^{n}(9/10^k))
lim_{n→∞}{(9/10)+(9/10)^2+(9/10)^3+･･･(9/10)^n}
lim_{n→∞}〔{9/10((9/10)^n-1)}/{(9/10)-1}〕
＝1
すなわち、0.999･･･＝1

>>224
ダウト
＞0.999･･･＝lim_{n→∞}(�農{k=1}^{n}(9/10^k))
これが証明されていない

>>225
ダウト
＞0.999･･･＝lim_{n→∞}(�農{k=1}^{n}(9/10^k))
これは定義

これって１０進数を使うからそうなるって聞いたことある

２進法…

０．１１１１１１１１１１１１…＝１

>>226
「定義」だけど、なぜこう定義するかが無いと納得できんのでは？

こう定義すると、色々便利なことがあるんだよね。ちょっと「嫌な気持ち」になる人が
まあ少しいるだけで、問題点はそれだけだから、そう定義した方が便利！だし無矛盾
だし、問題無し！

わからないならわからないといえ

ふと思ったのだが0.000…≠0とか言いだす奴はどこかにいないか？
そんな奴が0.999≠1と言うのだったらそれはそれで筋が通ってるかも知れない。

>>231
それを無限小とか言ってるトンデモはそれなりにいる

「便利だから」「無矛盾だから」そう定義したわけじゃないぞ。
1=0.9999...ありきだと思っている人がいるようだが
0.9999..って何だろうなと考えていったら１だったという事だ。

>>233
はあ？

結局そう定義する方が「現実に即していて、便利」とか「簡潔に記述できる」とか「無矛盾」とか
の何者でもないだろ。

分数でも、通常は１／２＝２／４＝３／６＝…だが、これらが「全て違う数」だとして、大小等を
比較する時には特別な関数　ｄ（１／２）＝ｄ（２／４）＝ｄ（３／６）＝…　で比較する

なんてやっても、論理的には問題ないし、場合によっては分母が分かるから便利…かもな。
でもまあ、あまり意味ないし、「不便」で「簡潔でない」だろ。だからこれをやらないだけ。

０．９９９…も同じ。

細かなところだが、無矛盾かどうかは証明されてないと思われ。

>>235
そりゃゲーデルあるしな。じゃ、「今のトコ矛盾は発見されてない」で良いのでは？

ゲーデルは関係ないような。

ん？「ヒルベルトのプログラム」の目標の一つは「実数の無矛盾性」だろ？それを打ち破ったのが…

>>238
打ち破ったの？

>>233
「任意の実数aに対して、自然数列Ｘn（0≦Ｘn≦9）で
limＸn/10^n＝a　なるものが存在する。」
このあまり自明でない定理が成り立つことが言えて、
はじめて実数の十進小数表示が定義できるの。
十進小数表示が何かを考えずに、0.9999…をいくら考えたって
ちゃんとした答えは出ません。

その自明でない定理が成り立つことが言えなくても
実数の十進小数表示は定義できる。

いつから、このスレでは
程度の低い奴がエラそうに講釈をたれて良くなったんだ？

じゃ、程度の高い人が講釈をたれてくれ！

つーか、程度の高い講釈より、程度はやや低いかもしれんが、まあ納得できる講釈の
方がこのスレ的にはより求められているんじゃないのか？

正しくなくとも納得のできる講釈がもてはやされる
こんな世の中じゃ

>>242
> いつから、このスレでは
> 程度の低い奴がエラそうに講釈をたれて良くなったんだ？

おまえ新入りだろ？
過去スレよみなおしてこいよ。

そうだね。
最初からだね。

程度の低い人しか定着しないもんね、このスレ。

任意の十進小数表示に対応する実数は存在するが
任意の実数に対応する任意の十進小数表示は存在するとは限らない。

>>247
kwsk

>>247
「十進小数表示」などというものが
定義されていない以上
無意味だ

反論がないようなので
俺の勝ちという事でよろしいか

俺ってだれですか。あなたのお名前ですか。

俺、俺だよ俺。

I'm Your Father...

>>252
ﾀｲｰﾎ

オレ！

11111111.11111111111111111111111111111111

1=0.999…
ってなんかおかしいの？

問題
2004年に大流行した「オレオレ」で始まるモノとは何でしょう

サッカー

マツケンサンバ

クッキー

結局
1=0.9999...は学者の頭の中だけのことで
現実ではない
という事だな

太公望さんですか？

まあそもそも1とか0.999…とかが頭の中にしかないものだからなあ。
一個とか一匹とかならまだ、実在してるとも言えるが（それでも
所詮概念にすぎないけど）「1」だからな。

一応、高校レベルの説明を置いとく。既出かもしれんが。

ある数列 a1, a2 ,a3, …, a_n の第n項までの和を S_n とする。
ここで、ある数Tに対し、|S_n−T|＜d がどんな小さな正の数dでも成り立つnが存在するとき
nを大きくしていくと、S_nは限りなくTに近付いていくことになる。
このとき、T = a1＋a2＋a3＋…（無限和）　と定める。

有限小数に対しては例えば 0.5721 = 5/10＋7/100＋2/1000＋1/10000 であるから、
上の定義を利用して無限小数を次のように定義する。
数列｛a_n｝に対し　0.(a1)(a2)(a3)… = a1/10＋a2/100＋a3/1000＋…（無限和）

これにより
0.999… = 9/10＋9/100＋9/1000＋…　と書けるので、数列｛9/(10^n)｝を考えると
S_n = 9/10＋9/100＋9/1000＋…＋9/(10^n)
　　= (9/10)*｛1−(1/10)^n｝/(1−1/10)　（等比数列の和）
　　= 1−(1/10)^n
より、|S_n−1| = (1/10)^n となるので、どんな小さな正の数dに対しても(1/10)^n＜dと
なるようにnをとることができる。
よって、9/10＋9/100＋9/1000＋… = 1 より 0.999… = 1

ひとつ忘れてた。
＞数列｛a_n｝に対し　0.(a1)(a2)(a3)… = a1/10＋a2/100＋a3/1000＋…（無限和）
ここでの｛a_n｝の各項は、0以上9以下の整数とする。

ちなみに、上の説明だけでは無限小数に「常に値がある」かどうかは言えてないことに注意。

無限和の定義がおかしかった…orz　訂正。

＞ここで、ある数Tに対し、|S_n−T|＜d がどんな小さな正の数dでも成り立つnが存在するとき

　↓

ある数T に対し、どんな小さな正の数d に対しても
m＜n ⇒ |S_n−T|＜d　となる自然数 m が存在するとき

誰か問題をしてきしれ。

0/9 = 0
1/9 = 0.111…
2/9 = 0.222…
3/9 = 0.333…
4/9 = 0.444…
5/9 = 0.555…
6/9 = 0.666…
7/9 = 0.777…
8/9 = 0.888…
9/9 = 0.999… =1

talk:>>268 それでは1/9=0.111…から証明せよ。

>>268
別に問題点はないな。
もちろん、その文章（式の羅列）とは別に、
「0.999… =1」が証明されている、としての話だが。

証明と言うか定義だろ。そう定義するのが妥当だという説明としてはよい例だとおもわれるが。

>>271
それも何度も出てくるんだが、それさえ理解できずにあーだこーだ言う人が
多いんだよねｗ

「…」に数学的に明確な規定が無い以上、
0.999…に定義は無いのだが
それでは議論にならないので

１：数Ｘの小数点以下n桁目の数字をAnとしたときに、
　　(An×10^-n) を全てのnについて足しあわせたものを
　　数Ｘの値とする
２：「0.999…」は以下無限に９が続いているものと解釈する

と規定することによって
0.999…＝lim[n→∞]Σ[k=1,n](9×10^-k)
であると解釈するのが今のところ主流

lim[n→∞]Σ[k=1,n](9×10^-k)は１なのだよ
というのが今のところ主流

“無限小”とかいう概念を持ち出す人がいるけど、
では、
0.999…＝１−「無限小」
というのは、どう証明するのだろう。
“定義”なのかな？

>>273は一番なにも分かってないバカ

>>275
意味不明。

>>274
無限小の概念は超準解析で厳密に定義されているのでは？

どっかにまとめサイトとかないの？

>>273みたいな「中途半端」が一番いけないんだよな。
数そのものと、それを表す記号の区別がついてない。
だから「無限に9が続く」とか言っちゃうんだ。

いまここに、チョコレートが９個あるとする。
チョコレート１個にはかならず１枚の券が入っていて、
この券が10枚あればチョコレート１個と交換してもらえるとする。

さて、このとき、券１枚はどれだけの分量のチョコレートに相当するか考えてみよう。
10枚で１個のチョコレートに相当するのだから、
券１枚なら1/10個分のチョコレートに相当すると考えがちだが、
実は券10枚と交換にもらったチョコレートにも券が一枚入っているのだから、
結局、券１枚は1/10のチョコレートと1/10の券を合わせたものに相当することになる。

つまり、
券１枚　<->　1/10のチョコレート　＋　1/10の券

しかし、今は券１枚がどれだけの分量のチョコレートに相当しているのかを考えているのだから、
1/10の券がさらにどれだけの分量のチョコレートに相当するかを考えなければならない。

それは、
1/10券　<->　1/100のチョコ　＋　1/100券
となり、さらに
1/100券　<->　1/1000のチョコ　＋　1/1000券
となる。

したがって、１枚の券をチョコレートに換算すると、
1/10 + 1/100 + 1/1000 + ......
と無限に続いていくことになる。すると、券は９枚あるのだから、チョコレートに換算すると
9/10 + 9/100 + 9/1000 + ......
ということになる。

以上のことをまとめると、９個のチョコレートを持っているということは、
券も９枚持っていることになるから、全部で
9+ 9/10 + 9/100 + 9/1000 + ......
だけの分量のチョコレートを持っているということになる。これを少数表示をすると
9.999999......
となる。なんだか中途半端なチョコレートのように見えるので、現実的に直してみると次のようになる。

つまり、９個のチョコレートから９枚の券を取り出して、９枚の券をお店屋さんに持っていく。
９枚ではチョコレート１個と交換してもらうのは間違いである。
お店のカウンターに９枚の券をならべ、券入りのチョコレート１個をカウンターの上に出してもらう。
そして、そのチョコレートから券を１枚ぬきとり、合わせて10枚の券をそろえ、
代わりに、”券なしチョコレート”をもらうことができる。

そうすると、手元に残るのは券なしチョコレートが10個ということになる。つまり、
券つきチョコ９個　<->　券なしチョコ10個
という対応ができる。これを式に表すと
9.999999...... = 10
この両辺から９を引くと
0.999999...... = 1
となり、0.999999......個のチョコレートが１個のチョコレートと同じことがわかる。
つまり、現実的にも、１は0.999999......と等しいのである。

さあ突っ込むんだ。

結論：


　　「両方混ぜるともっとおいしい」

>>280-281
わろす

>>279
優れた数学者が数の実在論者であることはままあるが、
やたらに数の実在論にこだわると優れた数学者になれるという訳でもないだろうよ。

哲ブタは氏ね

>>285

実在論とかそんなことの前に、「無限に９が続いている」というのは
ビジュアルについての話だろう？「9」という「記号」が延々右に
続いていく「絵」の説明として「9が続いている」と言っている。
だが絵の説明をしたって数の説明にはならない。

十進小数という記法にあまりに慣れ親しんでいるせいだろうが、小数さえあれば
（有限桁であろうと無限桁であろうと）それに対応する数がある。という風に
思っているんだろう。でもまあ一応は「絵」と「数」は別の概念。というあたりは
理解しているようだ。しかし

>>数Ｘの小数点以下n桁目の数字をAnとしたときに、
>>(An×10^-n) を全てのnについて足しあわせたものを
>>数Ｘの値とする

のように文中、数そのもの、その小数展開、数の値という三つの異なる概念が
出てくるがその区別や意味は曖昧。記号（小数展開）と数とを結び付けたかった
のだろうが、なんだかよくわからない。それっぽい事は書いてあるが、あくまで
それっぽいだけ。結局たぶん理解が曖昧なのだろう。

なぜか国語板でも……
http://academy4.2ch.net/test/read.cgi/gengo/1112434983/l50

71 ：名無し象は鼻がウナギだ！：2005/10/14(金) 18:34:18
「限りなく近いものは同じと見なしてよい」というのは推論規則の一種だから、
後はそれを採用するかしないかという判断だけだろ。

極限という概念を一般人に説明するのは難しいのだろうか？

>>290
数学上の概念や推論規則が事実上の多数決で採用されているというのが一般のイメージに合わないんだろう。

>>290
king言語学板へ出張きぼん

0.999…のようなものを、級数の極限と解釈していいのかどうか？

>>293
定義されたものではないが、極限という概念の萌芽があるとみなしてよいだろう。

俺にとって萌芽とはょぅιﾞょの乳首のことである。
よってﾊｧﾊｧ

>>247
切断による実数の定義と有理数の稠密性から、任意の実数は有理数で近似
されるので、任意の実数の十進法表示は存在する。

>>293
表記法で"0.999…"と書いているときはすでに級数の極限(存在する)を意味
していると考えるのが自然。

わからないときは「自分以外の人だったらどうかんがえるか」考えよう。
数学は、多数決と、みつけたり

多数決…つーか、どのように表記し演算規則を定めると「都合がよいのか」ってのが
多くの人が採用する根拠だろうに。

>>298
「都合のよさ」は多数決で、しかも人間関係は常に流動的だって事を
おさえておけば、数学で傷つくって事はないと思われます。

じゃ、俺は参議院

カントールの対角線論法ではコレよくつかいますね。
1=0.999....

『１＋１＝２』とかは『＋』や『２』を「生み出す約束」であって
何かから正しいとして導かれるものじゃないそうだけど、
これもそうなんじゃないのかな？
心理内部的には量は大きく分けて三種類あったと思ったよ

乾量系（ｍａｎｙ）とか湿量系（ｍｕｃｈ）など下位の量の
処理アプローチでは両者は同じでなくてもいいけど、
一般量の対称性（順序や等価交換での一意性など）に
組み込むなら量としては同じで良かった気がする。

いまちぇっく…「多分」これでいいはず。「恐」らく。

湿量系ではエラー。取捨包含過程の進行に反するから。
不足を合併して満杯の条件を満たしたら包含上下性が…。
（足りないとして捨てたら、もう復活しちゃだめ、なはず）

位取り記数法など乾量系では同じでなければならない。
各位置における両隣との両替の無条件非限定性から。
（単位変換＝繰上繰下のたび妥当性チェックできないから）

情動（いわゆる感情）‐評価（乗算系）でｍａｎｙ多少型『恐』と
ｍｕｃｈ型『怖』の間では互換性がなくてもいいけど、
（下位の枠組みを指す乾量系で、部分へ要求しない性質。
　多数決の多数派は少数派の上位包含でなくてよい）
合併における兼用の要求がかかる上位の枠組みである
（合併は湿量系、情報等が取捨される進行的な過程、
　だから大が小を兼ねて、判断処理済にできないと）
一般の量には、たぶん順序の一意性などから
実用上、上位概念として当ルールが必要になると思う。
（言語本能の形式のルールと実例を覗き込みながら；）

だから、数学的対称性によって取り扱っている、
乾量と湿量の上位包含である『一般量（仮名）』としては、
湿量系（に対応するココロの働き）が文句を言っても、
「１＝０．９９９９…」というルールを追加しておく
『必然性』（イメージ操作用語でよく使う対称性の別名）
がある。というだけだと思うよ。「生み出す約束」として。

これは言葉遣い上の問題とも言い切れないから、
『数の操作と対象性における定性的性質の考察』としては
対象（感覚？）がどうあれ、数学的な疑問としていいのでは。

「有限の長さの無制限同質（→可逆）二分割を許しておいて
その合併＝元に戻す操作を許さない言葉遊び」と違って、
これは数の定量（数量の定義）上本質的な差異に拠るから。

でも一般量（仮名）として扱えない湿量（一部で知られた用語）は
おそらく、あまり使いでがないから、普段はがまんして受け入れてｗ

>>301
ああいうのは使っているとはいわん。

http://academy4.2ch.net/test/read.cgi/gengo/1112434983/l50
上のスレまた荒れてる。

>>306
288のリンクから国語板に飛んでいって、そのスレの80番の書き込みをした者です。
その後レスを続けています。
一応、そのスレの趣旨はざっと見て理解した上で書き込んでいるつもりですが、
やはり荒らしたように見えますかね。

数学者以外の人間とああいうやりとりをして、何処まで論理的に続けられるかという
貴重な実験として、楽しんでやっています。

1/3=0.333
1/3*3=0.333*3
1=0.999
QED

あの80は頭悪そうにしか見えないんで。

すいません．よく分かってないんですが，
1 と 0.999... が等しくない公理系というのも作れるんですよね？

>>310
そりゃそうでしょう。あんまり価値があるとはおもえんけども。

>>311
えーと，そういう公理系では 0.999... に対して妥当な定義を与えられるんですか？
例えば，1 = 0.999... な公理系と同様に和や積や極限を取る操作を定義できて

lim[n→∞]Σ[k=1,n](9×10^-k)

な感じで 0.999... の定義を与えることができるんでしょうか？
よく理解していないので感覚的な疑問をぶつけているとは思うんですが……

>>307は非常に傍迷惑な奴だな。

あ，何か質問がおかしい気がしてきた．
1 と 0.999... が依然等しくないけれども，0.999... を lim[n→∞]Σ[k=1,n](9×10^-k) な
感じで定義できる公理系が作れるかどうか？という問題な気がしてきた．
そういう公理系は作れるんでしょうか？

>>314
できますが、そういう数列に個別に値を与えて、それでどうしようというのでしょうか。
同値関係があってそれで構造が与えられるというのが数学かと思われますが。

>>315
1 と 0.999... が等しくない公理系がそれほど面白いものではないというのは，
自分もある程度は理解しているつもりです．ただ，1 = 0.999... というのを
理解するにあたって，あえてそうでないものを考察したら，
何かそこから理解の助けになる材料が出るんじゃないかなあと，思った次第です．

1と0.999・・・が等しくない世界では、1と1.000・・・は等しいのか？

1と1.000…が等しい世界なら、1と0.999…は等しくない
が
1と0.999…が等しくないからといって、1と1.000…が等しいとは限らない。

>>318
はあ？

1行目からいきなり電波飛ばしてるし

結論：どーでもいい。

age

0.999…という記号が、次の3つの条件を満たすならば0.999…＝1となる。証明は、ε−δっぽい議論で矛盾を示す。
1)0.999…∈R (←実数)
2)任意のn∈Nに対して0.999…＞Σ[i＝1〜n]9/10^i
3)0.999…≦1

たまに0.999…＜1だと主張する輩がいるが、そういう人でも上の3つの条件は正しいと
思っている場合が多くて、矛盾している。’実数’がどんな集合なのか理解してない証拠。

>>323
そこら辺を突っ込んでいくと、彼らは必ず実数の連続性を否定し始めますから。
しかもそのくせ、彼らの言う『実数』の定義とか
その(集合論などに対する)無矛盾性なんてのが
彼らの口から語られる事はありませんから。

1≠0.99999…だと主張する事は1≠1.00000…を主張してる事と同じ。結局、「ずっとその数字が続くとは限らない」って主張するから0.99999…≠1と主張するわけで。

「確率の悪魔」本田成親 pp.42-43より：

要するに、0.99999…という循環小数は、言葉を使って表すと「無限に1に近い数」
ということになるのです。したがって、A=0.99999…(1)とおいた場合、この(1)式
は、通常の言葉になおすと、「Aは無限に1に近い数を表すとする」と述べているこ
とになります。そうだとすると、はじめの「1=0.99999…であることを証明せよ」と
いう問題は、「無限に1に近い数があるとすれば、その数は1であることを証明せよ」
といっていることと同じになってしまうのです。
　この問題をもっとわかりやすく言い換えてしまうと、「無限に人間に近いチンパン
ジーがいるとすれば、そのチンパンジーは人間であることを証明せよ」というような
ことになるでしょう。その場合、「無限に人間に近いチンパンジー」とは｢人間」であ
ると考えるべきなのか、それともあくまで「チンパンジー」とみなすべきなのかという
判断が重要になってくるのですが、これはもう言語上の定義をどう認識判断するかの問
題であって、両者の間に明快な区別や絶対的な判断基準などあるうはずもないですから、
どちらが正しいというような話ではありません。
「無限に人間に近いチンパンジー」とは結局「人間」と同じだと考える者にとっては、
この問題は｢人間は人間であることを証明せよ」というトートロジーがらみの話になって
しまいますから、証明のしようなどあろうはずもありません。また、「無限に人間に近い
チンパンジー」はあくまで「チンパンジー」であると、「人間」と「チンパンジー」の
言葉の違い（概念の違い）にとことんこだわる者にとっては、この問題は「チンパンジー
は人間であることを証明せよ」ということになるわけですから、これまた証明のしようが
ありません。

その通りだが、無限に近い数を同じ数とみなすと…微積の基礎が簡単になったり、
ゼノン系のパラドックスに説明つけることができるようになる利点があるんだよな。
そこが、単純な「人間−チンパンジー論」と違うトコだろ。

＞無限に近い数を同じ数とみなすと

すくなくとも、そうみなす場合とそうでない場合との場合分けもできないようでは
人間と言うよりチンパンジーに近いといえる。

>>328
じゃ、場合分けしてみろよｗ

場合分けだけなら、
・無限に近い数を同じ数とみなす
・無限に近い数を同じ数とみなさない
じゃないのか？

>>330
で？

1=0.9999……
と仮定してみよう。この式をとりあえず�@とする。
この両辺を十倍すると
10=9.9999……
この式をとりあえず�Aとする。
そして�A-�@を計算するとだな、
9=9.0000……
　となる。よって、�@式は正しい

マジレス
>>332
正しくない式から正しくない式を引くと正しい式になる場合もあるから,
(2)-(1)が正しいことをもって(1)が正しい理由にはできない。

例： 1=2と仮定してみよう。
この式をとりあえず(1)とする。
この両辺を逆にして-1倍すると
-2=-1
この式をとりあえず(2)とする。
そして(2)-(1)を計算するとだな、
-3=-3
となる。よって、(1)式は正しい

しまった1=2スレに書くべきだったかw

1/3 = 0.333…　を証明しろ

ていうか、チンパンジーを人間に近づけることなんてできないだろ。

1/3と0.333…について。
1/3-∑_{k=1}^{n}(3/10^n)について考えよう。
それは、1/3*(1/10)^nとなる。

ならない。
1/3-∑_{k=1}^{n}(3/10^k)=1/3*(1/10)^nだな。

>>335
将来進化して、人類並みの知能もったヤツがでてくるやもしれないな。

昔、世界ま○みえ　でやってたゴリラの話を思い出した。手話で人間と会話できるゴリラ。

>>316
俺流の無限蒋介石（超巡回席）ならあるよ。
http://members14.tsukaeru.net/ogawa/h0hi.html
http://members14.tsukaeru.net/ogawa/kankyoku.html
http://members14.tsukaeru.net/ogawa/hkyo.html
つづきは修正中。

すみませんVipperでは（当然と思われるかもしれませんが）手に負えません
助けてください

　1/3×3=1 って習ったけどさあ
　http://ex14.2ch.net/test/read.cgi/news4vip/1133113405/

この問題は数学が循環小数を消化しきれないまま文学的に「割り切って」
やるからおかしくなる　同じではない　

(0.99999･････)^nの極限っていくつ？

1

>>343
なんとなく、1/e

>>343
確率１で１

343の式を
lim(1-(1/n))^n = 1/e　・・・A
とするか、
lim{lim(1-(1/x))}^n = 1　・・・B　　
とするか。

逆に、数値的に表すとして、俺は、
Aを　(0.999・・・)^n　→　1/e
Bを　(0.999・・・　→　1)^n　→　1
と書きたいが、もし、
Bを　(0.999・・・)^n　→　1
と書いたとき、そのとき、Aは、いかに書き表されるかを、
344さんと346さんに問いたい。

king氏ね

　(0.999・・・)^n=(1)^n　→　1

age

a g e

>>347
> lim{lim(1-(1/x))}^n = 1　・・・B　　
>
> もし、
> Bを　(0.999・・・)^n　→　1
> と書いたとき、

そういう書き方にするルールが意味不明なので、あなたのルールでAの書き方がどうなるのか知りません。

talk:>>348 お前に何が分かるというのか？

しばらく来てなかったんだけど、いつからkingはレスをtalk:>>でかえすようになったの？
まえはRe:>>見たいな感じじゃなかった？

>>352
あなたは344さんまたは346さんですか？

さて、１＝0.999・・・ではないことの証明を書くか。
lim(1-(1/x))^x = 1/e　であるが
１＝0.999・・・　とすると
lim(1-(1/x))^x = 1 となり、これは不合理である。
なお、x→∞　のとき　1-(1/x)　が数値的には0.999・・・となることは
明らかである。

すばらしい証明だ。

> x→∞　のとき　1-(1/x)　が数値的には0.999・・・となることは明らかである。

「数値的には 0.999…となる」の意味が不明なので全然明らかじゃない。説明＆証明してくれ。

>>357
ノートに書いたずら。
http://members14.tsukaeru.net/ogawa/fk1n09s.html
数値的にってのは算数だからなぁ。
ノートの方で、まぁ、説明はしてみた。
見てけろ。

お前の論法で行くと e≦1 になるがよろしいか？

洩れが前に言った「0が無限に続いているなら、0.9999･･･=1。無限でなければそうではない。」
とは天と地の差だな。

ごめんe≒1だ

さて、１＝0.999・・・であることの証明を書くか。
lim(1-(1/x)) = 1　であるが
１＝0.999・・・　でないとすると
lim(1-(1/x)) = 1 でないとなり、これは不合理である。
なお、x→∞　のとき　1-(1/x)　が数値的には0.999・・・となることは
明らかである。

0.999…を無限に1に近づく過程を表してるとか思ってる奴が未だに居るってこと?

>>361
背理法わかってるの？

まともな反論がないなぁ。他、意味不明なのはスルーしとこ。
sageよ。

1=0.9999....
と定義する

＞ogachan
マジレスすると、極限の操作が途中でおかしい。

>>366
どこがどうおかしいんだ？

>>367
とりあえず、eの定義は何ですか？

>>368
lim(1+(1/x))^x = e
x→∞

おまえのは
lim[x→∞]{ lim[y→∞](1+1/y)^x }
だべ

>>370
は？？？

問1. 無限和

　a1 + a2 + a3 + …

が {a1, a1 + a2, a1 + a2 + a3, …} という数列ではなくその極限を表していることは理解できるか? (yes/no)

問2. 同様に、 0.999…が　{0.9, 0.99, 0.999, …} という数列ではなくその極限を表しているということは
理解できるか?　

問3. つまり、
　
　0.999…^x

は (1 - 1/x)^x ではなく、

　{lim[y→∞](1 - 1/y)}^x

であることは理解できるか? (yes/no)

とりあえず問1〜3に (yes/no) で答えてみてくれ。

問１　ｎ
　　　極限を表すには、ｎ→∞　のときに　s_n　がどうなるって言わなきゃ
　　　いけないから、a1 + a2 + a3 + …　→（何か）　って書かないと
　　　表してない。
問２　ｎ
　　　同様に、 0.999…　と書いてるだけじゃ表してない。
問３　ｎ
　　　どっちともとれるね。そこで、>>347なわけだよ。
　　　ちなみに、0.999…^x　はノートには出てこないけどね。

ogachanって釣り？　それとも天然？

問1.
　Σ[k=1 .. n](1/2^k) → 1　(n→∞)
だが
　Σ[k=1 .. ∞](1/2^k) = 1
だ。
　1/2 + 1/4 + 1/8 + …
は後者を表す記法であって、前者なら
　1/2 + 1/4 + 1/ 8 + … 1/2^n　→ 1 (n→∞)
と書く。したがって

> a1 + a2 + a3 + …　→（何か）　って書かないと表してない。

は明確に間違い。

問2.

同様に、0.999… が表すのは 1-1/10^n という 1 に近づく数列ではなく、その極限である 1 そのもの。
よって
> 同様に、 0.999…　と書いてるだけじゃ表してない。
は明確に間違い

問3.

0.999…が表すものは 1 - 1/x　(x = 10^n) ではなく、lim(1 - 1/x) であるから、「どっちにも取れる」は
明確に間違い。

>>373
> 同様に、 0.999…　と書いてるだけじゃ表してない。

0.123456789101112131415・・・・って無理数とかはどう扱うんだろう？

a = 0.99999････
10a =9.99999････

9a = 9
a = 1

>>375
極限が存在することがわかって、
Σ[k=1 .. ∞](1/2^k) = 1
って書くんだから、
極限について言及されてないときに、
0.9+0.09+0.009・・・って書いても、これで極限を表してるわけないじゃん。
教科書読めよ。
あなたは、0.999…→１　を0.999… = 1 と誤解しているだけ。

>>376
その数値の元の式はないの？あれば、その式を扱う。
ないなら扱えない。「扱う」ってのが何を意味してるのか微不明だが。

a0 + a1 + a2 + … に極限が存在しないなら、その式の表す値は無い。そのような場合、その和は
「形式和」と呼ばれる。

a0 + a1 + a2 + … が {a0, a0 + a1, a0 + a1 + a2, …} という数列を表すのなら、収束するかどうかは
問題にならないから、「形式和」などと断る理由が無い。

つまり、0.9 + 0.09 + 0.009 + … が表すものは {0.9, 0.99, 0.999, …} という数列ではなく、その極限で
ある 1 だ

>>379
順序を追って考えてくれ。
どうあがこうが、結局、
0.9 + 0.09 + 0.009 + …　の極限値は　1　だ。
としかいえないし、�狽ﾌ式もそれをいっているわけだよ。
あなたは、
極限値＝�煤i何か）＝和の式
っていうのを、間をとっぱらって、
極限値＝和の式
ってやってるだけ。
これで、わからんと俺の手にはおえない。

1=0.9999.............と置く
0.9999.....を分解
0.9999...=0.9+0.09+0.009......
両辺を１０倍
10=9+0.9+0.09.....
最初の両辺（１倍）をひく
左辺10-1=9
右辺9から右が最初の右辺に等しいため9+(0.9+0.09...)-(0.9+0.09..)=9
そしてこれは最初の両辺の９倍に等しいため９で割る
左辺9÷9=1
右辺9÷9=1←これが最初の0.999999999999......
よって1=0.9999999999999999999999......
証明終わり

>>381
> 1=0.9999.............と置く

> よって1=0.9999999999999999999999......
> 証明終わり

ハァ？

>>382すまん誤解を与えたようだな
最初の１行は無視してくれ俺が言いたいのは１と０・９９９９・・
は１０倍して最初のをひき９でわったら同じ１になるという話だよ
０・９９９９・・・＝０・９＋０・０９・・・・を利用してな

>>383
> 最初のをひき

最初のって「1=0.9999.............と置く」だろ？

>>380
極限が1なのは

　0.9, 0.9 + 0.09, 0.9 + 0.09 + 0.009, …

という数列。0.9 + 0.09 + 0.009 + … はその極限である1そのもの。


　a_0 + a_1 + a_2 + …

という式の意味は

　Σ[k=1…∞] a_k = lim[n→∞] Σ[k=1…n] a_k

であって、

　Σ[k=1…n] a_k (n = 0, 1, 2 …)

ではない。これは単に記法の問題に過ぎない。

訂正
１を１０倍して１倍をひき９で割ると当然１
０・９９９９９・・の場合
０・９９９９・・＝０・９＋０・０９・・・・
１０倍
９＋０・９＋０・０９・・・・
１倍をひく
９＋０・９＋０・０９・・・・ー（０・９＋０・０９・・・・＝９
９で割る
１
よって１＝０・９９９９９９９９９９９９９９９９９・・・

x=0.999... (1)
10x=9.99... (2)
9x=9 (2)-(1)
x=9
QED

最後の１行が間違ってる

あれ書き間違えた
何でかな

>>386-387

そういう無意味なことをやってどうするつもりなのだ?

0.9, 0.99, 0.999, … が1に収束することに反対している奴がこのスレに居るのか?

>>386
> １を１０倍して１倍をひき９で割ると当然１

の「１倍」と、

> １倍をひく
> ９＋０・９＋０・０９・・・・ー（０・９＋０・０９・・・・＝９

の「１倍」が同じかどうかが問題なんだからさ・・・

1と0.99999...の差は0.00000....

∴1=0.99999....

結局じゃんけんで決めればいいんじゃないかと思ってしまう

物理学の唯物論者全員を敵にまわすので、自信がなければ考えない方がいい。
数学的には両辺を３で割って
0.33333…＝0.33333　　　で正解！！
宇宙の果ての無限は夢があるけど、最小の無限を追求すると死にたくなる
からすごく危険。普通の神経の人は考えない方がいいですよ。
どうしても興味のある人は哲学をまず学ぶ。そして物理学。

また新しい電波がきたな。

>>394
お前は一般常識をまず学べ

>>396
あんたに説いてない。

独り言ならよそでやってくれ

> 0.33333…＝0.33333　　　で正解！！

えっ？　物理学ってこんな程度の計算できないの？

できないよ。数学が間違ってるから物理学も間違えちゃったんでしょ。
物理学が馬鹿じゃなくて数学が悪い。
物質をどんどん半分にしていくと無限に半分にできるよね。その終わり
はないって事。だから問題が間違っているのに答えは永遠にでないから、
数学板でやることじゃない。哲学だよ。物理学は面白いからやってんの
。

ああごめん
0.33333…＝0.33333…
『…』忘れてた。

＞物質をどんどん半分にしていくと無限に半分にできるよね。
＞その終わりはないって事。
本気で言ってるのか？

ボーア呼びましょか

Ｘ＝０．９９９．．．
１０Ｘ＝９．９９９．．．
９Ｘ＝９
Ｘ＝１
ＱＥＤ

>>404
もう一度聞くが、それに何の意味があるのだ?

　0.9, 0.99, 0.999, …

が1に収束することを否定している奴がこのスレに居るのか?

誰も否定していないことを「証明」することに何の意味があると思ってるのか、是非聞かせてもらいたい。

わたしゃ404じゃないけど、

>>405
> 誰も否定していないことを「証明」することに何の意味があると思ってるのか

一般論としては、誰も否定していないことでも「証明」してこそ数学は始まるし、本質的な問題や新しい発見が出て来る。

で? そんな一般論を述べてどうするのだ? 頭大丈夫か?

>405の頭が大丈夫かと思ったんだ

肯定するか否定するまでは、だれも肯定も否定もしない。

収束することくらいすぐに示せるでしょう？

事態はなかなか収束しないけどな。

お前面白い事言ったと思ってるだろ

うん。思いっきり

>>391同じ操作（この場合１０倍し１倍ひいて９で割る）をしてえられた結果が
同じなら元もおなじだろ？
Ａ＝Ｂとしてこの操作をするとまたＡ＝Ｂとなるだろ？
Ａ＝１　Ｂ＝０・９９９９９９９・・と考えればぴったりくるじゃねえか


って・・これだと５＝３とか考えた場合も成立しちまうしやはり>>404が定説だろうな

もう居ないと思うが一応。ogachanへ。
0.999…＜1とすると、1−0.999…＞0だから2/(1−0.999…)＞0である。左辺は正の実数だから、2/(1−0.999…)＜Mを
満たす自然数Mが存在する(aを正の実数とするとき、a＜Mを満たす自然数Mが必ず存在する)。この不等式を変形して
1−0.999…＞2/Mとなる。M＜10^Mが成り立つのは明らかだから、1−0.999…＞2/M＞2/10^Mとなる。さて、1−1/10^M
＝0.99…99＜0.999… (左辺は小数点以下に9がM個＝有限個 しか並んでいないから)であるから、この不等式を変形して
1−0.999…＜1/10^M　一方、1−0.999…＞2/10^Mであったから、1/10^M＞2/10^Mとなって矛盾。

>>356
その論法は間違い。1≠1＋0が導けてしまう。

さて、1＝1＋0ではないことの証明を書くか。
lim(1-(1/x))^x = 1/e　であるが
1＝1＋0とすると
lim(1-(1/x))^x = 1 となり、これは不合理である。
なお、x→∞　のとき　1-(1/x)　が数値的には1＋0となることは
明らかである。

以上より、1≠1＋0

おっと、1−0の方が自然だったかな。訂正。

さて、1＝1−0ではないことの証明を書くか。
lim(1-(1/x))^x = 1/e　であるが
1＝1−0とすると
lim(1-(1/x))^x = 1 となり、これは不合理である。
なお、x→∞　のとき　1-(1/x)　が数値的には1−0となることは
明らかである。

以上より、1≠1−0

>lim(1-(1/x))^x = 1/e　であるが
>1＝1−0とすると
>lim(1-(1/x))^x = 1 となり、
は？

なんどもこういうスレ立ってるけど、
どうせ無限についての見解の違いに行き着くんで。
0.999･･･を完結しているものとみなすかどうかだろ。

>>418
元々が電波な証明なんだから、そこでツッコミ禁止

>>419
違う。ｷﾁｶﾞｲに限って、0.999…を「完結してない」と見なしつつも1つの実数と見て
「完結している」と見なしている。具体的には
1)0.999…∈R (←実数)
2)任意のn∈Nに対して0.999…＞Σ[i＝1〜n]9/10^i
3)0.999…＜1
が成り立つと思っている。

>>420
すまん、レス元を見ずに反射的に書いてしまった。

>>404みたいなのが出たときにさ、≠派で、
　　　X＝0.999・・・
　 10X＝9.999・・・
10X-X＝9.000・・・≠9
とか言う奴ってあんまりいなくなくね？

>416
お前馬鹿か？N上の演算+の定義確認しろよ。

>>424は少なくとも
レス相手のアンカー先くらいは読んでからレスすること
日本語の読解力をつけること
の2つが必要

>>415
ども。サーバー不具合でデータ消えてHP復旧中。

1−0.999… は無限小だから、その逆数は無限大なので、Mは普通の自然数で
はないので、M個＝有限個 が間違い。

1.00000…=0.99999…

>>426
無限小って何？君は超準解析の話をしてるのかな？
あと、>>417にも返答くれ。そして、君のやった>>356の論法が間違ってることを認めてくれ。

Ｘ＝０．９９９．．．　　（１）
２Ｘ＝１．９９９．．．　（２）
（２）−（１）より
Ｘ＝１

>>426
君、ε-δ論法って知ってる？

>>402
本気で言ってるよ。問題が間違っているのに答えはでない。

>>430
>>431は数学の話をしているつもりなのだから、
>>402はどのように解釈しても正しいように思われる。

Ｘ＝０．０００．．．　　　（１）
１０Ｘ＝０．０００．．．　（２）
（２）−（１）より
９Ｘ＝０　よって　Ｘ＝０．０００．．．＝０
１−０．９９９．．．＝０．０００．．．＝０
したがって　１＝０．９９９．．．
ＱＥＤ

0.9999･･･=1と定義して、終了

じゃあ0.3333・・・・とかはどう定義するんだ？

1/3になるだろ。たぶん。

普通の極限でも1=0.999・・・でないことの証明のノート復活しました。
HP全体はまだだけど。
http://members2.tsukaeru.net/ogawa/fk1n09s.html

>>428
1−0.999… →　0　だから、1−0.999…　の状態として無限小という。
>>417は>>418さんが言ってるように意味不明なので。

>>430
教科書には書いてあるけど、よくわからん。あなた様には、是非、そいつで
1=0.999・・・であることの証明を示していただきたい。おね。

>>437
＞>>417は>>418さんが言ってるように意味不明なので。
逃げないでくれ。意味不明なのであれば、具体的にどこが意味不明なのか指摘してくれ。きちんと説明するから。

＞1−0.999… →　0　だから、1−0.999…　の状態として無限小という。
で、その無限小とやらの定義は何？君がそこで説明したのは「1−0.999…」がどんな数であるか(君は「無限小である」と
説明しているけど)ということであって、無限小そのものについては何の説明もしてないよ。

＞教科書には書いてあるけど、よくわからん。
「無限小」ってコトバ、教科書に載ってた？定義とか載ってた？調べてごらん。載ってないからｗ

あと、HPの証明見たよ。9行目のイコールもどきの記号、ここじゃ使えないから「〜」で代用しておくよ。
＞x→∞のとき(1−1/x)^x〜(0.999…)(0.999…)(0.999…)…→1/eと書ける。
これはどうして？「x→∞のとき(1−1/x)^x〜(0.999…)(0.999…)(0.999…)…」の部分。どうしてこうなるの？
まず、「→∞のとき(1−1/x)〜0.999…となる」のはまあ良いとしよう。でも、だからといって
「x→∞のとき(1−1/x)^x〜(0.999…)(0.999…)(0.999…)…」が成り立つのはどうして？
「x→∞のときf(x)〜aならば、x→∞のときf(x)^x〜aaaa…が成り立つ」と言えるの？

>>437
> >>430
> 教科書には書いてあるけど、よくわからん。

ちょ・・、じゃあ
lim_{x→∞}f(x)=a
の意味はなんなんだ？

lim_{x→a}f(x) と f(a) は同じものか？

>>440
同じかもしれないし違うかもしれない。

>>438
>>418と>>424にレスしてよ。

杉浦光夫　解析入門�T　のP113に無限小、無限大って書いてあるよ。

>これはどうして？「x→∞のとき(1−1/x)^x〜(0.999…)(0.999…)(0.999…)…」の部分。どうしてこうなるの？
Xに１０、１００、１０００、って入れてけば分かるじゃん。それをずーっと
続けていけば、・・・と書けるじゃん。

>>442
＞>>418と>>424にレスしてよ。
俺は君に聞いているのだが。いいか？君は「>>417は>>418さんが言ってるように意味不明なので。」と発言した
のだよ。つまり、君自身もまた「意味不明だなぁ」と感じているわけだよ。俺は、君が感じているその気持ちに
対して、質問しているの。どうして君は「意味不明だなぁ」と感じたのか？私は君に、そこを指摘してくれと
言ってるのだよ。君が感じてる「意味不明」な部分を、俺に説明してくれと言ってるのだよ。これを>>416と
>>424に聞いったって駄目だろ？さあ指摘してくれ。

＞杉浦光夫　解析入門�T　のP113に無限小、無限大って書いてあるよ。
定義まで書いて。そういうのは大抵、単なる’慣用句’でしか用いられていないから。
あと、君自身による「無限小」の説明はまだ？「無限小」って何？その数学的な定義は？

＞Xに１０、１００、１０００、って入れてけば分かるじゃん。それをずーっと 続けていけば、・・・と書けるじゃん。
つまり、「x→∞のときf(x)〜aならば、x→∞のときf(x)^x〜aaaa…が成り立つ」と言いたいの？

代数関数と指数関数って収束の仕方が違うからバラバラにしちゃダメだと思う。

>>443
君、君って、照れるなｗ

1-0って何？

大抵って言われてモナー。まず、自分で読んで。

＞＞Xに１０、１００、１０００、って入れてけば分かるじゃん。それをずーっと 続けていけば、・・・と書けるじゃん。
＞つまり、「x→∞のときf(x)〜aならば、x→∞のときf(x)^x〜aaaa…が成り立つ」と言いたいの？
つまり、「x→∞のとき(1−1/x)^x〜(0.999…)(0.999…)(0.999…)…」だってば。
「x→∞のときf(x)〜aならば、x→∞のときf(x)^x〜aaaa…が成り立つ」については、知らない。
必要ないじゃん。f(x)=(1−1/x)^x　なんだから、f(x)^x　って書くのが
意味不明。作為を感じます。

＞1-0って何？
1だよ。普通は(笑)でも、君の論法では1にならない。

＞つまり、「x→∞のとき(1−1/x)^x〜(0.999…)(0.999…)(0.999…)…」だってば。
分かった。悪かった。もっと直接的に、その変形が間違いであることを示してあげよう。まず、
以下の不等式が成り立つことはいいかね？
(1)任意の自然数nに対して、0.999…＞1−1/10^n
(2)x≧2ならば、1−1/x≧e^{−1/(x−1)}

ぎゃふん

>>446
直接的にって言うなら全部書いてよ。
(2)は　1−1/x＞e^{−1/(x−1)} でしょ。

>>448
今まで書いてますた。じゃあ本題ね。長いけどちゃんと読んでね。
面倒な計算をしてるだけで、難しいことは1つもやってないから。

まず、(2)の不等式にx＝10^nを入れて、1−1/10^n＞e^{−1/(10^n−1)}…＊が成り立つ
ことになる。9＜10であることを用いてe^{−1/(10^n−1)}＞e^(−1/9^n)が成り立つから、＊の
不等式と合わせて1−1/10^n＞e^(−1/9^n)が成り立つことになる。これと(1)の不等式を合わせると、
0.999…＞1−1/10^n＞e^(−1/9^n)すなわち0.999…＞e^(−1/9^n)　が成り立つことになる(どんな
自然数nに対しても)。以降は、この不等式を用いることにする。今までの不等式は、全てこれを導く
ために使っていただけである。

さて、あなたの変形「x→∞のとき(1−1/x)^x〜(0.999…)(0.999…)(0.999…)…」が正しいとしよう。
まず、右辺の値について、その性質を見てみる。上で導いた不等式を使って、n＝1,2,3,…と代入していけば
(0.999…)＞e^(−1/9^1)
(0.999…)＞e^(−1/9^2)
(0.999…)＞e^(−1/9^3)
(0.999…)＞e^(−1/9^4)
：
：
が成り立つから、全部かけて
(0.999…)(0.999…)(0.999…)…＞e^(−1/9^1−1/9^2−1/9^3−…)＞e^(−1/5)＞2/e が成り立つ
ことになる。つまり、「(0.999…)(0.999…)(0.999…)…は2/eより大きい」ということになる！
だが、今は「x→∞のとき(1−1/x)^x〜(0.999…)(0.999…)(0.999…)…」が成り立つと仮定している
のだから、x→∞のとき

(1−1/x)^x〜(0.999…)(0.999…)(0.999…)…→1/e

が成り立つことになる。矛盾だねｗ 2/eより「常に」大きいのに、x→∞とすると いきなり1/eに
なるとはどういうこと？「常にT(x)＞bならばlim[x→∞]T(x)≧b」が成り立つことは学校でやったでしょ？
今回の場合は、(0.999…)(0.999…)(0.999…)…＞2/eだから、
x→∞のとき(0.999…)(0.999…)(0.999…)…→α≧2/e
となって、α＝1/eにならない。つまり、どんなに頑張っても
x→∞のとき(0.999…)(0.999…)(0.999…)…→1/e
とすることは出来ない。x＝10,100,1000…を代入していっても、(0.999…)(0.999…)(0.999…)… は
1/eという値には決して近づかない！

これで分かった？君が間違った変形をしていること。

勉強になります。

>>450
たとえば、
lim(1−1/x^2)^x = 1
x→∞
は、
x→∞のとき(1−1/x^2)^x 〜 (0.999…)(0.999…)(0.999…)… → 1
となる。

直感的に言えば、0.999…の収束の仕方と、べき乗のされ方によって、
収束の結果は異なる。だから、関数と(0.999…)(0.999…)(0.999…)… を
切り離して論じても、あまり意味がない。>>450のは一例であって、
さらに、>>450の(0.999…)(0.999…)(0.999…)… が、lim(1-(1/x))^x の
(0.999…)(0.999…)(0.999…)… と一致してることまで言えないと、反論に
ならない。

君たちには一生理解できません。

>>452
＞直感的に言えば、0.999…の収束の仕方と、べき乗のされ方によって、収束の結果は異なる。
0.999…という記号が、0.999…＞e^(−1/9^n)を満たすことは分かるか？これだけ分かっていれば十分なのだが。

＞さらに、>>450の(0.999…)(0.999…)(0.999…)… が、lim(1-(1/x))^x の (0.999…)(0.999…)(0.999…)… と
一致してることまで言えないと、反論に ならない。
分かった。その疑問については、これからきっちり説明していこう。でも、その前にまずは、
こちらの質問に1つ答えてくれ。君は
＞lim(1−1/x^2)^x = 1はx→∞のとき(1−1/x^2)^x 〜 (0.999…)(0.999…)(0.999…)… → 1となる。
って言ってるけど、君がここで使ってる「 (0.999…)(0.999…)(0.999…)…」が、lim(1−1/x^2)^xの
(0.999…)(0.999…)(0.999…)…に一致してることを、君はどうやって証明するの？

なにやら本格化してきたが
1=0.9999999999........は
1/3*3=1→0.3333333333......*3=0.99999999999.....=1
より導けてしまう

>>442
> Xに１０、１００、１０００、って入れてけば分かるじゃん。それをずーっと
> 続けていけば、・・・と書けるじゃん。

ってレベルの議論じゃダメだな。勉強し直してこいよ。

>>454
＞＞lim(1−1/x^2)^x = 1はx→∞のとき(1−1/x^2)^x 〜 (0.999…)(0.999…)(0.999…)… → 1となる。
＞って言ってるけど、君がここで使ってる「 (0.999…)(0.999…)(0.999…)…」が、lim(1−1/x^2)^xの
＞(0.999…)(0.999…)(0.999…)…に一致してることを、君はどうやって証明するの？
f(x)が与えられているのだから、ｘに１０、１００、１０００、と入れていけば分かる。

うちの先輩（数学系ではない）に話してみたら

１÷３＝０．３（あまり０．１）
　　　 ＝０．３３（あまり０．０１）
　　　 ＝０．３３３（あまり０．００１）
　　　・
　　　・
　　　・
　　　＝０．３３３．．．（あまり１／∞）

と結論が出ました。

これってどうなんでしょ？

>>458
結論を出すのは勝手だけど、みんなに認めて欲しいならその結論が
「これまでの数学の世界に取り入れることが出来て矛盾しないか」
っていうのが重要

>>459
数学理論については詳しくないもので...
ただ先輩の”あまり”という概念に感心してしまい、
反論できませんでした。

スレ汚し失礼しました ノシ

>>457
＞f(x)が与えられているのだから、ｘに１０、１００、１０００、と入れていけば分かる。
それじゃ駄目でしょう。俺の質問の意味、分かってる？f(x)を(1−1/x)^xとしても、(1−1/x^2)^xとしても、
x→∞のとき(君の変形によれば)「(0.999…)(0.999…)(0.999…)…」と全く同じ記号になってしまうのだよ。
これじゃ区別がつかないだろ？「計算すれば分かる」だって？「(0.999…)(0.999…)(0.999…)…」はこれ
以上計算できないよね？「x＝10，100，…を入れて」なんて言ってるけど、「(0.999…)(0.999…)(0.999…)…」の
一体どこにxが入ってるの？xを代入できるのは左辺の話でしょ？右辺には もはやxなんて出てこないんだから、
計算のしようがない。

君は>>452で「lim(1−1/x^2)^x = 1はx→∞のとき(1−1/x^2)^x 〜 (0.999…)(0.999…)(0.999…)… → 1となる。」
って言ってるけど、そこで用いられている「(0.999…)(0.999…)(0.999…)…」という記号が、実はf(x)＝(1−1/x)^xの
「(0.999…)(0.999…)(0.999…)…」になってたらどうするの？なんたって、両方とも同じ記号使っちゃってるんだから、
区別がつかない。もう1つ質問してみようか？
質問：f(x)＝(1−1/x)^x，g(x)＝(1−1/x^2)^xとする。以下に書かれている「(0.999…)(0.999…)(0.999…)…」という
記号が、f(x)とg(x)のどちらの「(0.999…)(0.999…)(0.999…)…」であるか答えよ。

(0.999…)(0.999…)(0.999…)…

>>461
再掲。
直感的に言えば、0.999…の収束の仕方と、べき乗のされ方によって、
収束の結果は異なる。だから、関数と(0.999…)(0.999…)(0.999…)… を
切り離して論じても、あまり意味がない。

記号に拘泥せずに、意味を考えて欲しい。

>>462
＞記号に拘泥せずに、意味を考えて欲しい。
意味を考えようにも、記号から意味を読み取るしか術はないのだが。まあいいや。あまり
ここに こだわっても進まないからな。

では、次の議論を見てほしい。>>450を少し訂正した。
あなたの変形「x→∞のとき(1−1/x)^x〜(0.999…)(0.999…)(0.999…)…→1/e」が正しいとする。
ただし、ここで使われている「(0.999…)(0.999…)(0.999…)…」は、(1−1/x)^xの
(0.999…)(0.999…)(0.999…)…である。なぜか？x＝10，100，…を入れて計算すればそうなる
からである。このとき、

x→∞のとき(1−1/x)^x〜(0.999…)(0.999…)(0.999…)…
　　　　　　　　　　　　　　　　　　↓　　　↓　　　　↓
　　　　　　　　　　　　　　　　　　↓　　　↓　　　　e^(−1/9^3)より大きい
　　　　　　　　　　　　　　　　　　↓　　　↓
　　　　　　　　　　　　　　　　　　↓　　　e^(−1/9^2) より大きい
　　　　　　　　　　　　　　　　　　↓
　　　　　　　　　　　　　　　　　　e^(−1/9^1)より大きい

である(0.999…＞e^(−1/9^n)は既に示したとおり)から、

(続き)結局のところ、

x→∞のとき(1−1/x)^x〜(0.999…)(0.999…)(0.999…)…
　　　　　　　　　　　　　　　↓　　　　　　　　　　　　　　　　↓
　　　　　　　　　　　　　　　 ￣￣￣￣￣↓￣￣￣￣￣￣
.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ↓
.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ↓
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　これ全体はe^(−1/9^1−1/9^2−1/9^3−…)より大きい

ということになる。e^(−1/9^1−1/9^2−1/9^3−…)＞e^(−1/5)＞2/e だから、結局

x→∞のとき(1−1/x)^x〜(0.999…)(0.999…)(0.999…)…＞2/e

となり、1/eに収束することに矛盾。よって あなたのこの変形は間違い。
もう一度注意しておくが、今回の「(0.999…)(0.999…)(0.999…)…」は、ちゃんと(1−1/x)^xの
(0.999…)(0.999…)(0.999…)…を用いている。ちゃんと左端に「x→∞のとき(1−1/x)^x→」という
文章を付け、(1−1/x)^xでx→∞としたときの(0.999…)(0.999…)(0.999…)…を使っている。

talk:>>458 0.333…の意味を説明してもらわないと困る。

>>462
>>直感的に言えば、0.999…の収束の仕方と、べき乗のされ方によって、
>>収束の結果は異なる。だから、関数と(0.999…)(0.999…)(0.999…)… を
>>切り離して論じても、あまり意味がない。

それって自分に向けるべき言葉だと思うよ。
(1−1/x)^xの収束について考えてるのに、
x→∞としたとき(1−1/x)→1となるので
lim[x→∞](1−1/x)^x=lim[x→∞]1^x=1
ってこといってるだけじゃん。

>>464
(1−1/x)^x　の場合、
x=10 のとき、
(0.9)(0.9)(0.9)(0.9)(0.9)(0.9)(0.9)(0.9)(0.9)(0.9)
となる。
x=100 のとき、
(0.99)(0.99)・・・(0.99) １００個の積だな。

(1−1/x^2)^x の場合、
x=10 のとき
(0.99)(0.99)(0.99)(0.99)(0.99)(0.99)(0.99)(0.99)(0.99)(0.99)
となる。
x=100 のとき、
(0.9999)(0.9999)・・・(0.9999) １００個の積だな。

こういう違いがあるから、収束の結果が異なるわけだ。

続き

>>450の例が、(1−1/x)^x の(0.999…)(0.999…)(0.999…)…であるかどうか
検討するならば、概観だけ書くけど、

0.9 > e^(−1/9^1)
0.9 > e^(−1/9^2)
0.9 > e^(−1/9^3)
0.9 > e^(−1/9^4)
0.9 > e^(−1/9^5)
0.9 > e^(−1/9^6)
0.9 > e^(−1/9^7)
0.9 > e^(−1/9^8)
0.9 > e^(−1/9^9)
0.9 > e^(−1/9^10)
が成り立つならば、(0.9)^10 > e^(−1/9^1−1/9^2−1/9^3−…−1/9^10)
が成り立って、さらに、0.99の場合、、、と考えていけば結論がでる。
確かめてみてくれ。
ここで書いたことが分からないとすると、議論にならない。

さあ、早く印刷の仕事にもどるんだ！

>>468
＞さらに、0.99の場合、、、と考えていけば結論がでる。
結論は出ないよ。その計算、やり方が間違ってる。
＞0.9 > e^(−1/9^10)
↑何これ？何で左辺が0.9なの？何で有限小数で考えてるわけ？俺は「0.999…」について話をしているのだが。
>>449で導いたのは、0.999…＞e^(−1/9^n)という不等式だよ。


もう一度書くよ。君の変形によれば

x→∞のとき(1−1/x)^x〜(0.999…)(0.999…)(0.999…)…→1/e

が成り立つわけね？で、真ん中の「(0.999…)(0.999…)(0.999…)…」をよーく見てごらん。積に使われている1つ1つの「0.999…」
は、9が無限個続いているだろ？ここまではいいかな？上の変形で、真ん中に書いてある「0.999…)(0.999…)(0.999…)…」という
記号、この記号に使われている1つ1つの「0.999…」は、全て9が無限個続いているよね？

たとえば、

lim(1-(1/√x))^(x^x) = 0
x→∞

つまり、

x→∞ のとき (1-(1/√x))^(x^x)〜(0.999…)(0.999…)(0.999…)… →0

だよ。

>>471
ええと、そんなこと聞いてないんですけど(汗)その例でも構わないんだけど、君が使っている
「(0.999…)(0.999…)(0.999…)…」という記号、この記号に使われている1つ1つの「0.999…」は、
全て9が無限個続いているよね？これが俺の質問なの。だから、君が俺に行える返答としては
「そうだよ」「違うよ」の2種類しか存在しないはずなんだけど。それなのに「たとえば」って何？
こんなこと言った時点で、そもそも俺の質問に答えていない。

ちょっと別の視点から見てみようか？君、上の方で無限小が云々とか言ってたよね？ε＝1−0.999…とおいてみようか。
すると、俺の主張はε＝0 (つまり1＝0.999…)なんだけど、君の言い分だとεは0じゃなくて「無限小」なわけね？じゃあ、
仮にεを その「無限小」とやら だとしてみようか。すると、0.999…＝1−εと表せる。こっちの方が、表現がすっきり
してるな。で、>>471の例でも使ってみようか。

x→∞ のとき (1-(1/√x))^(x^x)〜(0.999…)(0.999…)(0.999…)… →0

↑この文章の真ん中の「(0.999…)(0.999…)(0.999…)…」という記号に注目してみて。さっき言ったεを
用いると、0.999…＝1−ε (εは無限小)と表せるから、(0.999…)(0.999…)(0.999…)…＝(1−ε)(1−ε)(1−ε)…
と表せるよね？ここまではいい？

横からすまん

>>452
> x→∞のとき(1−1/x^2)^x 〜 (0.999…)(0.999…)(0.999…)… → 1

>>471
> x→∞ のとき (1-(1/√x))^(x^x)〜(0.999…)(0.999…)(0.999…)… →0

なにこれ？

問題が間違っているのに答えはでない。
１個のものを３個に分けることは物理的にできない。もしできるとしたらその先
は宗教的分野になるので、頼むから数学板でこんな恥ずかしいことを考える
のは止めてくれないか？もう少し儲かる数字を追求しなさい。数学が得意な
人間は選ばれし人間です。数学はまじめにやると儲かるよ。

>>474
物理の話はしてないが。

変なの出現ｗ

こんなの議論する暇あったら農業しろニートども

>>474はコピペの失敗作か何かなのかな？

>>421
「完結してない」「完結している」
を定義してくれ。
君のイメージでは議論にならない。

>>479
ん？そんなこと言われても困るな。「完結している」は、俺のｲﾒｰｼﾞなくて>>419のｲﾒｰｼﾞだよ。しかも、「完結している」
という、曖昧で感覚的な言葉を最初に使ったのは>>419だし。俺もこの用語の定義を聞こうかと思ったけど、まあでも、
>>419の言いたいことは 何となく分かったから、面倒だから そのまま>>419へ「感覚的な文章にして」返答しただけ。
敢えて真面目に定義しようと思えば、こんな感じかな？

0.999…が
「完結していない」とは、an＝1−1/10^nで定義された有理数列{an}と0.999…を同一視すること。
「完結している」とは、{bn}をある有理数列として、C({bn})＝{{xn}｜{xn}〜{bn}}∈Rと0.999…を同一視すること。
なお、ここに出てきた「〜」は、有理コーシー列の同値類による実数の構成に用いた同値関係の記号。

反論しておいて、「その言葉は別の人のイメージだ」もないもんだ。

0.999… != 1って言ってる人のなかには、論理的帰結としてじゃなくて
超越的な真実として0.999… != 1がある、と思ってる人もいるだろうから
数学で説得するのが難しかったりするんだよね。

まぁ、いずれにしても
１≠０．９９９．．．（ｒｙ

０.９９９９・・・ ＝ １
ではなく
０.９９９９・・・ → １
が正しい。

そのへんの瑣末な記号の差はどうでもいいんじゃね？
=という記号に新しい意味を与えればいいってだけで。

>>485
勝手に新しい意味を与えてはいけない
与えた意味が妥当かどうかの検証は必要だ

０.９９９９・・・ ＝ １と
０.９９９９・・・ → １が同じだというなら

１→０.９９９９・・・
なのか？

そんなバカな。

こういう議論をしていると落ちこぼれるんだ。
数学はあいまいとあきらめて認めることに汁。

上澄み部分だけしか見てないから曖昧だと思うだけだ
土台からしっかり理解してないから落ちこぼれる

にゃー

しゃーーっ

0.a1a2a3…

は

Σ[n=1〜∞]an(10^-n)

を表す記法なんだから (そういう「決まり」なんだから)

0.999… = Σ[n =1〜∞]9(10^-n) = lim(n→∞) (1 - 10^-n) = 1

以外の何者でもない。「決まり」なんだからそれに文句つけてもしょうがない。
そうじゃない「俺ルール」を採用するのは可能だが、なんかメリットがあるのか?

>>484
あんたは間違ってる

結局は
ｘ＝０・９９９９９・・
１０ｘ＝９・９９９９９９９９９９９・・
（１０ー１）ｘ＝９
ｘ＝１
１＝０・９９９９９９９９９９９９・・・・・に落ち着くのでは？

（０・９９・・＝０・９＋０・０９＋０・００９・・・）
（１０倍すると９＋０・９＋０・０９・・＝９・９９９９・・・）

なるほど、うまい！

無限桁の演算は定義されていないので駄目です。
小学校からやり直せ

>>496
なら、n桁で演算→nを無限大に

とやればいい

>>497
では、やって見せてもらいましょうか？

S0 = 0
S1 = 0.9
S2 = 0.99
…
Sn = 9×10^-1 + 9 ×10^-2 + … + 9×10^-(n-1) + 9×10^-n

10Sn = 9 + 9×10^-1 + 9×10^-2 + … + 9×10^-(n-1)

∴ 10Sn - Sn = 9 - 9×10^-n
　　9Sn = 9 - 9×10^-n
　　Sn = 1 - 10^-n
　　
任意のε>0 に対して、n を十分大きくとれば 10^-n ＜ε

∴ Sn → 1 (n→∞)

つまり、

　　0.9999… = lim[n→∞]Sn = 1

>>499を、

　それは 0.999… が 1 に近づくことを示しているだけで 0.999… = 1 を示したことにはならない

とか食いついてくる奴が居るだろうけど、

0.999… という表記が表すのは 0.9, 0.99, 0.999, … という数列などではなく、その極限である 1 だというのが
10進記法の「決まり」なんだから、決まりと違うことを言ってもダメ。

その「決まり」っていう概念がまたなかなか理解しがたいのよね。素人さんには。

つまりこうゆうことだお。
０．９９９．．．は１に限りなく近い数とゆうことで
よろしいか？

そんで限りなく近ければ等しいというわけだな。

限りなく近い、をRの中で考えるのなら0.999…＝1になるし、R^(*) (←超実数)の中で
考えるのなら0.999…≠1であっても良い。…と思う。

理解しにくいんじゃなくて、理解した上でいちいち文句つけてるだけだよ。
どうせ。
無限は完結していない云々。
円周率の10^1000000000000000000桁目は確定しているのか云々。
どうでもいい方向に話が流れるから放置しとけ。

むしろ そういう流れ専門のスレじゃないのか？ここは。

だよな

505のような
考えることを途中で放棄したヘタレは
このスレには要らない

無限桁の演算が定義されていると見なし、無限に近い数を同じ数とみなすと
数々の特典が手に入るのだから、そう定義した方がいいってのが現代数学だ
ろうな。

逆に、1≠0.9999…　と定義して、なにかいいことあるんか？

超巡回積では無限演算は定義されてないのでは？
0.9999…は１の単子では無いだろう？
もし定義したとしても1＝0.9999…となる気がする。

気がするだけではだめだ。

超準解析でも、話を普通の実数に限定すれば、無限桁の演算がＯＫで、
１＝０．９９９…で、かつ数々の特典があるんだろ？

で…、１≠０．９９９…とすると得られる特典って具体的に何だ？

「見て違うものは実際に違うものである」という例が増える安心感

それは、　１＝２／２＝３／３＝…　等で既に破綻しているじゃないか。
今更、「１＝０．９９９…」で復活させてもねー。

つーか、特典ってそれしかないんだろ？たいした特典でもないなー。

そういえば、

2/2と3/3は全然違う！とか言う奴はいないな。いてもいいと思うんだが。

リンゴを２等分したのと３等分したのとみじん切りにしたのは違うだろ！

それに尽きる。

だからさー。そう考えて

分数が皆違うって考えてもいいけど、それで何かいいことあるんか？具体的にさー。

いいことがあるかどうかは歴史が判断する。

>518のクリスマスケーキは切り刻まれてぐちゃぐちゃになってる

表示の違いにこだわる奴は、なぜ、1＋1と2は違う数だ、と言い出さないのか？
なぜ、A君とB君がそれぞれ黒板に書いた「2」という数字は違う数だ(形が微妙に違うから)、
と言い出さないのか？

程度問題なんじゃないか？

表現が違う数を違うと見なすメリットを聞いてもネタしか出てこない状態なら、
もう「終了」じゃないのか？それはもう「数学」じゃないしね。

同じと見なすと特典は沢山あって。違うとすると、メリットは「一部の人の気分」だけ
ってコトなんだからね。

「 表現が違う数を違うと見なす」のは、メリット・デメリット以前の自然な判断だろ。
「同じと見なす」と特典もあるが「同じなのか違うのか判断しなければならない」という負担もついてくる。

別に特典なんぞ欲しくも何ともないが

＞１＝２／２＝３／３
これは演算結果が１になるだけだろう。
0.999・・・は演算じゃない。

演算じゃなくて分数だったら？

負担よりもメリットの方がおおきいな。

2/2は演算じゃなくて、分数だろ。

2/2を演算と呼ぶのなら、小数だって演算になるよな。たとえば0.001という記号の定義は
1/1000だから。

2/2 と 3/3 が同じものかどうかが問題なんじゃなくて、

　2/2 = 3/3

が正しいかどうかの問題だろ。等号が示すのは「概念として全く同じ」ということではないぞ。

　1 + 1 = 2

だって両辺は「同じ」ではないだろ。

＞2/2 = 3/3 が正しいかどうかの問題だろ。
皆さん その意味において「同じ」と表現してるんだろ？

＞1 + 1 = 2 だって両辺は「同じ」ではないだろ。
いや、「同じ」だな。
注：俺の言う「同じ」とは、「1+1＝2が正しい」という意味での「同じ」である。

もうこれでいいじゃん。
(実数の10進法表示の定義)
写像a：N→Z∩[0，9]に対し、a<m> (m∈Z) という記号を次のように定義する。
a<m>＝sup[t∈N]Σ[i＝1〜t]ai/10^(i−t)　便宜上、a<m>を(a1，a2，a3，…)<m>と
表記することもある。任意のx∈Rに対して、x＝a<m>を満たす写像aとm∈Zが必ず
存在する(1組とは限らない)。右辺のa<m>を、xの10進法表示と呼ぶ。
例：1＝(9，9，9，9，…)<0>＝(1，0，0，0，…)<1>

じゃあ、2/2と3/3が「同じじゃない」と言ってる奴は、1+1=2は間違いだ、と思ってるってことか?

＞2/2と3/3が「同じじゃない」と言ってる奴
そんな奴いるのかｗ

>>516-520 あたりに、いるだろ。りんごを例に出しているな。

要はそのときのローカルルールで
話せばいいということ。

>>535
いいけど…論議が深まらないな、それじゃ。ま、２ｃｈらしいといえばそうかもね。

話を元にもどすと…
「１＝０．９９９…」と定義すると、メリットや特典がいっぱいあって、
逆に「１≠０．９９９…」と定義しても、特にメリットや特典は無いってことでＯＫ？


＊＊＊
１＝２／２＝３／３＝…　と定義するとメリットいっぱいあるな。だから、そう定義
するわけだ。

コンピュータだと、1と1.0は違うものだったりする
変数で A=1, B=1 としたとき、値としてはA=Bだが同じ物とは見なさないことが多い
（Aの値を変えてもBの値は変わらない）

>>537
コンピューターの中の数は基本的に整数のみと考えてよろしい。
小数点は後から人間がくっつけているだけ。等号は変数に値を
代入するのにもちいられる。いずれにせよこういう話は
プログラミング言語のスペックなので数学の等号と混同
してはいけません。

いや、スペックとか等号とかの話じゃなくて
同じ・等しいって概念が、絶対的な物じゃなくて文脈によるってことの例を挙げただけ。

そんなの最初から分かっていることだよ。

問題は、どのようにその「等しい」ってのを定義すれば、数学的によりメリットが
あるかってコトだろ？違うのか？

で、「１≠０．９９９…」と定義した場合、具体的に数学のどの分野のどの場面
にどんなメリットあるんだ？

「１＝０．９９９…」と定義すると色々な場面にメリットあるのに比べてさー。

「１＝０．９９９…」はどのように「等しい」と定義してあるんだ？

その場合は、無限に近い数は等しい…ってコトだろ？

分数の場合は、約分して同じ数になる場合は等しい…ってコトだね。

何を今更。

そもそも数学の研究に何のメリットがあるというのだろう

学べ

>>541
>>531

あと、0.999…∈Rを仮定するのなら>>415でもよい。

0.9999･･･って定数じゃないだろ

>>546
それは単なる思い込み。数学辞典で無限小数の定義を調べてみれば？

０．９９９．．．＝１
とみなさない
うまい定義はまだ出てないね。

ここは愚地独歩がいっぱい居るインターネッツですね

いまふと思いついたのだが、
0.99999･･･のような無限小数って、フラクタル次元、もってないのかな？
だとすれば、0次元の有理数と比較することは不可能になる。

だから’無限小数’の定義 見て来いよ。>>531でもいいぞ。

たとえば、√2という記号の定義を見ずに「√2ってフラクタル次元もってないのかな？」とか
言ったところで無意味だろ。「君、√2がどんな数か御存知かな？」と聞かれてオシマイだぞ。

>>531
間違い。

詳しく。

確かに

ああ、負の実数に定義されてないな(笑)

(実数の10進法表示の定義)
写像a：N→Z∩[0，9]に対し、a<m> (m∈Z) という記号を次のように定義する。
a<m>＝sup[t∈N]Σ[i＝1〜t]ai/10^(i−t)　便宜上、a<m>を(a1，a2，a3，…)<m>と
表記することもある。任意のx∈Rに対して、x＝a<m>*(−1)^tを満たす写像aとm∈Z，t∈{0，1}が
必ず存在する(1組とは限らない)。右辺のa<m>を、xの10進法表示と呼ぶ。
例：1＝(9，9，9，9，…)<0>＝(1，0，0，0，…)<1>

ｍはなに？

(1,2,3,4,4,4,4,4,4,...)<56789>=sup{1,12,123,1234,12344,123444,...}=infinity.

（ｍ＿ｍ）

sm

('-`)なんかミスが多くなったな。ｽﾏｿ。

(実数の10進法表示の定義)
写像a：N→Z∩[0，9]に対し、a<m> (m∈Z) という記号を次のように定義する。
a<m>＝sup[t∈N]Σ[i＝1〜t]ai/10^(i−m)　便宜上、a<m>を(a1，a2，a3，…)<m>と
表記することもある。任意のx∈Rに対して、x＝a<m>*(−1)^tを満たす写像aとm∈Z，t∈{0，1}が
必ず存在する(1組とは限らない)。右辺のa<m>*(−1)^tを、xの10進法表示と呼ぶ。
例：1＝(9，9，9，9，…)<0>＝(1，0，0，0，…)<1>

数学の根本的能力に間違いがあったと勇気を出して言う奴いないのか？
間違いを認めると全世界のシステムと定義を変えなくてはいけなくなるから
めんどくさいのか？世界は大混乱し経済はストップ。大戦争勃発。人類消滅
だもんね。まともな頭の人は阻止しようとするよね。もう真実を
語るのは２ちゃんしかないかもね。ボクには責任が重過ぎて0.9999…の先
を語りたくないのでよろしく。

誤爆か？

でもないだろ。

>>561
妄想爆発だな。この問題は、「１≠０．９９９…」あるいは、「１＝０．９９９９…」どう定義しても良いが、
メリットが沢山あって、矛盾もないないから、「１＝０．９９９９…」と定義しているだけ。この定義が
ダメだとすると、デテキントの切断とかコーシー列とかも同時にダメになるから、微積の基礎が
無茶面倒なコトになるだろうが、超準解析あるから別にいいだろ。
（対角線論法はどうなるんだろうなｗ）

逆に、「１≠０．９９９９…」はそう定義してもメリットまずないから、それを定義にしないだけ。
そう定義して欲しいって言うのなら、メリット持ち出せば良いだけだ。

個人的に…「１＝０．９９９９…」と定義する一番のメリットは、ゼノン系の「パラドックス」が説明できる
ことだな。ゼノン系パラドックスは数学好きなヤツは、必ず中学頃に聞いているだろ？

ゼノンのパラドックスは関係ないだろw

1=0.999… と定義しても 1≠0.999…と定義してもかまわないが、後者の定義ができることを
根拠に、前者の定義による主張を否定することはできない。

現行の十進表記は前者の定義に基づいている。ただそれだけのことだ。

後者の定義に基づくオレ表記を採用するのは勝手で、その表記に従えば「1=0.999…は間違い」
だが、それは通常の表記での「1=0.999…は間違い」を示したことにならない。

野球で、「九回は得点が5倍になる」オレルールを採用するのは (試合の当事者全員が納得すれば)
勝手だが、通常のルールに基づく試合について、

　「オレルールに従えばあの試合は○○が勝っていた。だから××が勝ったというのは間違い」

と主張しても誰も相手にしない。

>>565
無茶関係あるぞ。過去ログあされ!
探せなかったら書いてもいいがな。

全然関係ない。

アキレスと亀は？

関係ないな。
1≠0.999…な定義を採用するとアキレスが亀に追いつけなくなるのか?

過去ログは dat 落ちして読めない (保管庫とかあるのか?) ので

　1=0.999…が成り立たないとアキレスが亀に追いつけなくなる

あるいは、

　1=0.999…が成り立たないとアキレスが亀に追いつけることが示せない

ことを示した書き込みがあるのなら転載してくれ。

念のために言っておくが、くれぐれも

　1=0.999…が成り立つことを使ってアキレスが亀に追いつけることを示した

書き込みなんぞを見せないでくれよ。

書こうと思ったが、サーバー規制で書けんW
携帯で書いているが、めんどい。
>>571
後半の内容そのものだが何か？今回言葉を選んで書いたからOKだろ
問題なし！過去ログ読んでくれ！

> >>571
> 後半の内容そのものだが何か？今回言葉を選んで書いたからOKだろ

意味がわからん。「後半」とは何か? 「今回」とは何?

> 問題なし！過去ログ読んでくれ！

少なくともこのスレには該当するものは無いし、過去のスレは dat 落ちして読めないと言ってるだろう。

t = 0 のときにアキレスが x = 0m、亀が x = 9m の位置にいて、アキレスが 10m/s で亀を追いかけ、亀は 1m/s
でアキレスから逃げるとき、

　主張1：
　　　　 t = 1s のとき
　　　　アキレスは x = 10m/s・1s + 0m = 10m の位置
　　　　亀は x = 1m/s・1s + 9m = 10m の位置
　　　　
　　　∴アキレスは有限の時間 (1s) で亀に追いつく
　主張2：
　　　　t = 0s の時点で亀のいる x = 9m の位置にアキレスが到達したとき、亀は
　　　　x = 9.9m の位置に移動しており、アキレスはまだ亀に追いついていない
　　　　アキレスがその位置に到達したとき、亀は x = 9.99m の位置に移動していて、
　　　　やはりアキレスは亀に追いついていない。これをいくら繰り返しても、アキレスは
　　　　亀に追いつかない。
　　　　
　　　　したがって、アキレスはいつまでたっても亀に追いつけない。

「主張1」と「主張2」が矛盾している (ように見える)、というのがゼノンの「アキレスと亀のパラドックス」だな。

パラドックスの解決はごく簡単で

　　t_0 = 0s
　　t_{n+1} = (時刻 t_n での亀の位置にアキレスが到達する時刻)

とすると、

　　t_n = Σ[k=1…n]9×10^-n = 1 - 10^-n　　[s]

が得られる (証明略)。任意の n について、10^-n ＞ 0 であるから、

　　t_n = (1 - 10^-n) s ＜ 1s

つまり、主張1は

　　アキレスは t = 1s の時点で亀に追いつく

ことを示し、主張2は

　　任意の n について t_n ＜ 1s となる、ある特定の時刻の列 {t_n} について、
　　n をどんなに増やしても
　　
　　　　アキレスは t = t_n の時点では亀に追いついていない

ことを示している。両者が矛盾しないのは明らかだ。

携帯からの書き込みだから詳しく書けんよw
細かい論議は不可能だ

lim_{n→∞}を付けてくれ

>>572の「後半」「今回」が何を指すのかくらい書けるだろう。

>>563

まだ実数論の無矛盾性は証明されてないんじゃね？
あるいはZFCの無矛盾性もそうだけど。

t_n が 1s に収束することはまるっきり無関係だ。

「アキレスと亀」でのゼノンの論法は、

　「アキレスが亀に追いつくまでの有限の時間 (1s)」に「アキレスがまだ亀に追いついていない時刻」が
　無数に取れる (0.9s, 0.99s, 0.999s, …)

ことを示した上で、「n をいくら大きくしても追いつかない」を「いつまでたっても追いつかない」にすりかえている
(おそらくは無自覚に) だけだ。

悪いが携帯からの論議は不可能！
串も試しているがすぐ折れる。

串が見つかるまで論議不可能だ。じゃあね！

>>578くらい答えられるだろ。

おっと一つだけ。オリジナルのゼノンのストーリーには
時間の比較は無かったはず。無かった物を勝手に出すのは
いかがなものか？

すまｎ

このスレ的にはいいんじゃね？

後半とは571の下2行のこと。
今回とはこの9.999スレのこと

わりい、じゃね！

>>585
だめだろw
ちなみに昼結構書いたのは良い串あったから。串がないとなんともできん
じゃあね

> 後半とは571の下2行のこと。

571の下2行
>　1=0.999…が成り立つことを使ってアキレスが亀に追いつけることを示した
>
> 書き込みなんぞを見せないでくれよ。

馬鹿か? お前は。
「そんなものは見せてくれるな」と念を押しているのがわからないのか?

クスリが効くことを示すのに、「飲んだら病気が治った」例をいくら挙げても無意味だ、と
いう程度のことがわからないのか?

> おっと一つだけ。オリジナルのゼノンのストーリーには
> 時間の比較は無かったはず。無かった物を勝手に出すのは
> いかがなものか？

本物の馬鹿か? お前は。

馬鹿ってのはそのまま返す
しっかり過去ログ嫁

名前書くの忘れたが589と590は俺(>>571)だ。念のため。

このスレ (その9.999) には該当するものは無いし (あるならレス番くらい携帯からでも書けるだろう)
過去スレは dat 落ちしてて読めない、と何度書いたらわかるのか?

詭弁というのは、本来考慮すべきもの (この場合は時間の比較) を欠落させることで成り立つものだ。
それに対して、その論理の範囲内で答えなければならないと本気で思っているのなら、馬鹿と呼ぶ他
ないだろう。

無いものを持ち出して説明したつもりになるのはまずいだろ

番号書いてもいいがまた論議なるし、携帯からだと課金が心配だから
悪いがこれ以上つきあいきれん。

無いもの?

「時間の比較」が無いものなのか?

馬鹿か。

> 番号書いてもいいがまた論議なるし

なら過去ログ読めなんて言うな、カス。

過去ログ云々言ってる奴へ。

にくちゃんねる

>>596
ありがとう

だが594は「現在のこのスレにある」と言い張っている。

それににくちゃんねるで過去ログをあさってみたが、1=0.999…がゼノンのパラドックスの説明に必要であることを
示した書き込みは見つからなかった (「ゼノン」「アキレス」で検索しただけだから見落としはあるかもしれないが)。

上の流れは読んでないけど、1＝0.999…とゼノンのパラドクスは関係ないはず。
1＝0.999…がゼノンのパラドクスの説明に必要だとしたら、それは、「0.999…」と
いう記号を、そうなる(＝説明に必要になる)ように定義した(orそれと同値な定義にした)と
いうだけのことだから。

やっと串が繋がった。ただ、１０分後には切れるかもなｗ

>>597
検索したなら分かっているはずだ。オレは「ゼノンのパラドックスの説明に1=0.999…が必要」だなんて
全く書いていないぞ。勝手に捏造するな。

>>564
＞個人的に…「１＝０．９９９９…」と定義する一番のメリットは、ゼノン系の「パラドックス」が説明できる
＞ことだな。ゼノン系パラドックスは数学好きなヤツは、必ず中学頃に聞いているだろ？

「１＝０．９９９９…」を認めることで、（平易な）説明をすることができると言っているだけだ。
君の発言から、前スレから追っているだろうから、その内容については書かない。

　いつオレがこのスレで「必要だ」なんて書いた？人をバカとかカス扱いする前に自分の読解力
をなんとかしろ。

　それから、オリジナルのストーリーに全くでてこない物を勝手に持ち出すのは、やはり多くの
人の納得を得られる行為とは思えない。オリジナルに忠実に行け。

>>598
その通りだ。君の言うとおりだよ。（「関係ない」という部分以外はね）

だから、「１＝０．９９９…」と定義することは「メリットがある」と言っているのだ。「１＝０．９９９９…」
と定義することが「必要だ」など主張していないぞ。あくまで主張しているのは、メリットだ。

それに反対するには、「１≠０．９９９９…」と定義するメリットを提示すれば良いだけ。

記号を書いて説明した気になる人のいるスレはここでつか。

> 「１＝０．９９９９…」を認めることで、（平易な）説明をすることができると言っているだけだ。
> 君の発言から、前スレから追っているだろうから、その内容については書かない。

お前は、「このスレにある」と言ったのだから、前スレは関係ない。内容をわざわざ書くまでも無い。
レス番を示せば済むことだ。

実際には、このスレにはそのような書き込みは存在しないし、前スレもオレが探した限りでは
そのようなそのような書き込みは存在しなかった。

存在しないものをあるように見せかけようとしても無駄だよ。

> いつオレがこのスレで「必要だ」なんて書いた？人をバカとかカス扱いする前に自分の読解力
> をなんとかしろ。

必死だな。

「メリットは説明できること」は「どっちでも説明できるけど、こっちの方が簡単」の意味には取れないよ。

それに、そういうことは、まずその「平易な説明」とやらを示してから言え。

もう一度、念を押しておく

> 「１＝０．９９９９…」を認めることで、（平易な）説明をすることができると言っているだけだ。
> 君の発言から、前スレから追っているだろうから、その内容については書かない。

前スレから見た結果、「平易な説明」とやらは一切見つからなかった。説明できたつもりになってる
馬鹿はいくつか見かけたがな (*1)

だから「見つけただろうから書かない」は通らない。そのような説明があるというのなら示せ。

(*1) http://makimo.to/2ch/science3_math/1086/1086554506.html　の 214 とかな

>>601
実数の構成法を勉強してこい。

1≠0.999… と考えたとき、不都合が起こることを示す。

十進法で考えたとき、上記が成り立つならば

0.5≠0.4999…

も同様に成り立つはずである。
ここで、0.1を三進法で表すと

1÷2＝0.111…(3)

となる。ところが、十進法における0.4999…は三進法で表現できない。

>>602-603
また串が折れたw
苦しくなったからと言って話を逸らすなよ。
>>571は君のが書いたんだろ？
明確にその説明は不要と書いているぞ。自分の発言に責任をもて！

何を言ってるのだこのカスは。

　「1=0.999…を使うとゼノンのパラドックスが説明できるというメリットがある」というから、

それを示すには

　「1≠0.999…ではそれが説明できない」ことを示さなければならず、「1=0.999…で説明きる」

ことを挙げても意味が無い、と書いたのだ。それを全く無視して

　「1=0.999…で説明きる」

という書き込みが「ある」と言い続けたのがお前だろ。

で、その後でお前が「平易に説明できる」と言いなおしたんだよ。

俺は>>571で書いたことを撤回したわけじゃない。「メリット」とは「平易に説明できる」の意味だと
いうのなら、まずはせめてその「平易な説明」とやらを示してみろ、と言ってるだけだ。

もちろん、それだけじゃダメで、次は「1≠0.999…では『平易には』説明できない」ことを示さなきゃなら
ないわけだがw

> 苦しくなったからと言って話を逸らすなよ。

明確に話を逸らしているのは、自分で「1=0.999…にもとづく説明がある」といいながらこの期に及んでまだ
それを示せないお前だろ。

このスレにあるんだろ? レス番くらい携帯からでも書けるよな?

おれは明確に、「そのようなものは無い」と言ってるんだから、「もう見つけてるはずだから書かない」は通らないぞ。

1≠0.999…と定義する前に
0.999…を定義しなければならない。

lim[x→∞] 1-1/x =0.999.･･･で、話をしているのだと思っていたが

>>609
それは違うだろ
「9」という数字がずっと続く、ってことを表してるんだろ

>>610
それは違うだろ
実際0.999…って三つしか続いてないぞ。
それは「省略」してるだけだ。とでも言うつもりかね。

>>609
よく見ると999の後にも小数点みたいな点があるな

>>607
はああ？勝手に「必要だ」などと理解するわ、
読解力は無いわ、鉄面皮だわ、しょうがないヤツだ。

自分が言ったこと（>>571,589）は最低限キチンと守れよ。
人間として最低限のルールだぞ。

過去の発言から見ると、オレが書いた内容
は君は目にしているはずだ。だから>>571
みたいな発言にもなったんだろ？

過去の書き込みをみただろうってオレの発言にも
反論なかったしなｗ

それに…
仮にオレが再度「説明」を書いたとしても、君の
ような「誠意なし」の行動するヤツに出しても無意味
だろ。出す方が無駄だし無意味。

＞出す方が無駄だし無意味。
わざわざ反論しておいてまで、そういう結論に持って行く方が無意味だと思うぞ。俺なら
もう1度キッチリ書いて「どうだ文句あるか？」とねじ伏せるがな。

勝ちたいタイプの人間と負けたくない人間の二種類がいるんだよ。
>>614は前者、>>613は後者なんだろ。

> 自分が言ったこと（>>571,589）は最低限キチンと守れよ。

破ってなどいないぞ? お前が勝手に自分に都合よく捻じ曲げているだけだ。

>>571 は、

　「1=0.999…でゼノンのパラドックスを説明した」　

例をいくら挙げても、それは「メリットがある」ことの根拠にはならないから、挙げても
無駄、必要ない、と言っている。

根拠を挙げなくてもよい、などと言っているわけではない。

お前は俺が >>571 で述べたことを無視して (理解できなかったのかw) >>571 の後半、
つまり

　1=0.999…でゼノンのパラドックスを説明した例

を挙げて (実際にはそれは未だ示されていないが) それが根拠として十分だと言うのだろう?

だったらそれでもいいから出してみろよ。

俺は>>571を曲げてなどいない。あくまでも>>571に沿った根拠が必要だと思っている。

だがお前があくまでも「1=0.999…でゼノンのパラドックスを説明した例」で十分だ、と思う
のなら、まずはそれを示してみろよ。

現状ではお前はこれまでに一度も根拠を挙げていない。すでに「このスレ」に書かれている、
といいながらレス番すら挙げていない。

>>615
じゃあ>>613は腰抜けのヒヨコだな。負けたくないから反論はするものの、肝心な部分に関しては「お前に言っても
無駄ｗ」と言って逃げる。まるで、遠くの彼方から「うるせーばーか！」と叫んでいるよう。情けねぇ┐('〜`)┌

そうかいｗ

勝手に勝利宣言でもしてくれ。でも、今回のコトはきちんと記憶にとどめておく。
上の文みたいに捏造するなよｗ

また、論議するコトもあろうな。（こんな不誠実な人とはやりたくないけど、２ｃｈ
システムじゃ完全排除は無理だからな）

じゃあね。

>>614-615
いくら煽っても無駄。なぜなら、今回の問題は論理的にねじ伏せるみたいなタイプの
問題じゃないからな。極端に言って、「えーん。オレは、オレは…なっとくしねーぞ」
なんて子どもじみたことを延々とされれば、こちらはどうしようもない。

オレは、わざわざ泥仕合に飛び込む程バカじゃないｗ

ま、>>571や>>589で、既にオレの話のけん制をしているからなあ。それ見たら、分かる
ヤツには分かるだろ。

じゃあね。

> なぜなら、今回の問題は論理的にねじ伏せるみたいなタイプの
> 問題じゃないからな。

そういうことは、一度でも根拠を述べてから言うことだろう。

> なんて子どもじみたことを延々とされれば、こちらはどうしようもない。

お前はこの期に及んでいまだ何一つ具体的な説明をしていないのだから、当然
こちらはお前の説明に対して何かを述べたことは一度も無い (無いものに対して
返答は出来ない)。

だから、

> 「えーん。オレは、オレは…なっとくしねーぞ」

はたんなるお前の憶測、願望でしかない。

＞今回の問題は論理的にねじ伏せるみたいなタイプの問題じゃないからな。
論理的にねじ伏せないタイプの問題など見たことないけどｗ論理的に解決しないで
どうやって「問題を解決する」のか？

＞極端に言って、「えーん。オレは、オレは…なっとくしねーぞ」なんて
子どもじみたことを延々とされれば、こちらはどうしようもない。
↑は？相手が そういう内容しか口に出来なくなったら、お前の勝ちだろ？何ワケ分からんこと言ってるのか？

＞ま、>>571や>>589で、既にオレの話のけん制をしているからなあ。
けん制してるようには見えないぞ。というか、お前の言ってることの方がおかしい。「1＝0.999…」を採用する
メリットが「アキレスと亀の問題が説明できるから」だと主張するのであれば、お前が真に証明しなくては
ならないのは、
(1)「1＝0.999…」を採用すると「アキレスと亀の問題が説明できる」
(2)「1≠0.999…」を採用すると「アキレスと亀の問題が説明できない」
の2点。なぜ(2)が必要なのかと言うと、もし「1≠0.999…」を採用しても「アキレスと亀の問題が説明できる」
のであれば、要するに「どっちを採用しても、アキレスと亀の問題を説明できる」ということになり、もはや
「アキレスと亀の問題が説明できるから」という主張は「1＝0.999…」を採用する’メリット’になり得ないから。

現実には

　「えーん、おれはちゃんと根拠を述べてるんだぞ〜、でもそれがどこにあるかは教えてやんない、べ〜だ」

と延々とやってるのはお前の方。

結局今に至るまで、お前が一度たりとも根拠を示していないということは紛れも無い事実だ。

>>563には

>>この定義がダメだとすると、デテキントの切断とかコーシー列とかも同時にダメになる

と書いてあるんだが、これも良くわからないんだよね。記号の定義の話をしているのか、
実数の定義の話をしているのか。

お前ら・・・

クリスマスまでよくやった！感動した！

むしろクリスマスだからこそ、だ

いずれにせよ「１≠０．９９９…」と定義してもメリットなしという点は
変わらないってコトで。

まだメリット厨いたんか

まだ、メリット答えられないヤツがあがいているのか？

1　と　0.999・・・　　は、値的には同じでも、明らかに違う数でない？

値が同じから、同じ数だろ。

それとも、表記が違うから違う数とでも言うのか？だったら、分数の「２／２」「３／３」…も
違う数か？

>>630
実数の構成法でも勉強してこいよ蛆虫めが！

>>631
おまえは有理数の構成法を勉強したほうがいい

>>633
だからあ、実数の構成法とか、有理数の構成法とかをメリットがある方向に…（同じ値なら、同じ数）
定義したら表題は見事解決…ってコトだろ？違うか？

メリットはもういいから…

数学の定義をいかに行うかってのの要因はメリット以外ないだろ。
それ以外の定義を行う必要あるってうのなら、その必要性を述べれば良いだけ。

それとも、単にネタで延々楽しみながら論議風な言い合いを続けたいってのか？ｗ

メリットってその時々の使い道で変わるだろうし、デメリットと合わせて比較したときに
どうやって「最適な定義」を決めるんだよ？

だからさー。無理に「最適な定義」とやらを求めずに、その時々で比べるから、
「こーゆー状況だったら、こういうメリットあるぞ」ってのを出してくれれば良い
んだよ。それさえ出ないだろ？「１≠０．９９９９…」派は。

おっ、メリット派メンバーは複数いるのか？？

メリットとかデメリットとかいう以前に、現在の一般的定義で 1=0.999…なのは既定の事実なんだから、
それに文句つけてもしょうがない。

仮にだれかが「1≠0.999…と定義したらこんなメリットがある」なんて話を持ち出したところで、そんなのは
「酸と関係ないのになぜ酸素?」と同じ戯言でしかないよ。

> 「こーゆー状況だったら、こういうメリットあるぞ」ってのを出してくれれば良い
> んだよ。それさえ出ないだろ？「１≠０．９９９９…」派は。

それは具体的には誰を指しているのだ? 「1≠0.999…」を主張する者の大部分は
メリット・デメリットの話なんかしていない。なぜなら、定義の問題だとは思ってい
ない、単純に、「1=0.999…」は間違ってる、と思ってるからだ。

だから「1≠0.999…の証明」なんてものを持ち出しちゃったりする。定義の問題だと
わかっていればそのような馬鹿なことはしない。

(「1=0.999…」を主張する者にも同様に、「1=0.999…」を「証明」しちゃったりする奴
がいる)

定義から証明する。

>>640
「現在の一般的定義」ではそうだな。じゃ、なんでその定義が「一般的」なのかというと、そう定義すると
メリットがあるからだろ。違うか？それに、たとえ話は完全に頓珍漢だな。

>>641
仮に、「１＝０．９９９９…」が完全に間違っているというのなら、話は簡単だ。それを証明すれば良いだけ。
ただ、問題なのは前提となる実数の性質だ。その実数の性質が、結局は「１＝０．９９９９…」あるいは
「１≠０．９９９９…」のいずれかを最初から内包している訳だからな。

以下は皆同値だ。

１．「デテキントの切断」
２．有界集合の上限の存在
３．アルキメデスの公理
４．縮小区間列の原理
５．有界数列は収束部分列を持つ
６．コーシーの完備性
７．有界単調数列は収束する

１＝０．９９９９…は、素直に解釈するとまさにこの７番だろ。これが成り立てば
１〜６の全てがなりたち非常に便利。

> 「現在の一般的定義」ではそうだな。じゃ、なんでその定義が「一般的」なのかというと、そう定義すると
> メリットがあるからだろ。違うか？

メリットがある、と昔の人が思った。特に異議もなく広まった。ただそれだけのことだ。

> 仮に、「１＝０．９９９９…」が完全に間違っているというのなら、
(後略)

そんな話はしていない。「１≠０．９９９９…」と主張していて、「そっちの方がメリットがあるから」
という論点で議論している奴 (つまり、それが「定義」の問題に過ぎないことを理解した上で主
張している奴) がどこにいるのか、と聞いている。

>>644
「７．有界単調数列は収束する」と「1=0.999…」とは全然別問題だ。現に「≠」と主張する者の
多くが

　0.999…=1 ではなく 0.999…→1

だと言い張っている。つまり、

　0.9, 0.99, 0.999,… → 1

は認めた上で、0.999…=1 を否定しているのであって、収束自体を否定するものは殆どいない。

実数値としては 1=0.999・・・だけど、数（数字）としては1≠0.999だよ派
じゃないの？

>>645

>そんな話はしていない。「１≠０．９９９９…」と主張していて、「そっちの方がメリットがあるから」
>という論点で議論している奴 (つまり、それが「定義」の問題に過ぎないことを理解した上で主
>張している奴) がどこにいるのか、と聞いている。

　は？ここのスレの歴史は長いが、過去ログ見ると分かると思うが、最終的には定義問題だって
のはかなーーーーり出てくるぞ。そうじゃないとしても>>644 の１〜６のいずれかを前提にした証明
だろうな。

単調増加数列の「君」の解釈は分かった。普通の解釈とは違うよね。で、そう定義するメリットは
なんだ？

>>646
だから、それやって何が始まるんだ？

ま、コンピュータサイエンスなら　整数値の１と実数値の１を区別した言語の方が速度が上がる
けどな。でも、その場合そもそも　０．９９９９…　が定義できんしなあ。

「定義問題」だってことは、何故そう定義するのかってのが問題なわけで…必然的にそこに
メリット、デメリットが介在するわけだな。当然だろ？違うのか？

誰が論争やっているかってのは何か関係あるんか？

ここのスレの歴史は長く、定義の話も昔からあるが、メリットって言い出してるのは最近じゃないのか？
ここでの話はなんでもかんでも暗黙にメリットの話をしているとでも言いたいのか？

そうか？オレは定義問題だから、最後はメリット、デメリットだと思っていたが？
それをちょっとは書き込んでたつもり…だけどねｗ

で、誰かがそれを論争している・していないって何か関係あるのか？

定義の方法は「こう定義した方が都合がよい」とか「（大勢の数学者の）多数決だ」とか色々あったな。
表現に多少の違いはある。だがいずれにせよ、メリット、デメリットに収斂する話だろ。

>>651
メリットデメリットの話をすると、意味のない数学の議論ができなくなるじゃん。
「こういう考え方ができる」ということで満足しないと、「その考えに何の意味がある」
なんて一々考えていると、数学が進展していかない。

１＝0.99999・・・に納得できない椰子を見てて思うのは、
「実数そのもの」と「十進法表記」をごっちゃにしてる印象があるな、と。
「１」という表記と、「0.9999・・・」という表記は、確かに十進法的に別個のモノだけど、
それがあらわす実数は、数直線上で一致してしまう。
そのギャップが、観念的に埋まってないんじゃないかと。

あと、「無限」の観念。
0.999・・・という書き方を、小さい頃から慣れ親しんでる割には、
その「・・・」の部分があらわす「無限」の観念が、日頃から余りにも
消化されていない。

0.999・・・と言う数は、
小数点下に９を「無限個」積み重ねてできあがった数であって、
実際に無限個積み重ねることなど人間にはできないから、
その無限の行方に想像が至らない。
小数点以下に９をいくつ積み上げても、１に追いつくことはできない。
それを理由に、９を「無限個」積み上げても１に追いつかないと思ってしまうのは
「無限」の世界を、知らないとしか言いようがない。

> 　は？ここのスレの歴史は長いが、過去ログ見ると分かると思うが、最終的には定義問題だって
> のはかなーーーーり出てくるぞ。

そうか。それはわかった。だがここしばらくはそのような議論にはなっていないな。
「1≠0.999…」を(あるいは「1=0.999…」を) 「証明」しちゃうような馬鹿ばっかりだ。

だから、お前が誰に対して「メリット」を語っているのか気になった。

例えば>>627は誰に対して言ってるのだ (まあ、>>627がお前かどうかは知らないが)?
電波にしか見えないんだが。

> そうじゃないとしても>>644 の１〜６のいずれかを前提にした証明だろうな。

いずれも 1=0.999… (あるいは≠) には関係ないと思うがな。
0.9, 0.99, 0.999,… が 1 に収束することを認めない奴はさすがに殆どいないと思うのだが。

> 単調増加数列の「君」の解釈は分かった。普通の解釈とは違うよね。で、そう定義するメリットは
> なんだ？

俺は何も「解釈」なんて示していないし、どのような定義も主張していないが?

追記
是非君が「分かった」という「俺の解釈」を示して欲しいものだ。

とはいえ、無限の世界を身体で知ってる人ってのはあり得ないわけで、
そこを割り切って自分の中で認めてしまうという「妥協」をするか、
別の観念に置き換えるような「代替手段」を作ってしまわないと
人間ってのは無限の観念を自分の中に取り込むことは不可能なのではないかと。

>>656
「証明」って何

>>659
その辺を無理に日本語化しようとすると、かえって理屈がねじれて
わかりにくくなるよ。

>>659
意味が分からん。>>656のどの部分に対して質問しているのだ?

> 「1≠0.999…」を(あるいは「1=0.999…」を) 「証明」しちゃうような馬鹿ばっかりだ。
の部分なら、前者は例えば>>356、後者は例えば>>387を指している。

「定義」「メリット・デメリット」の問題であると分かっているなら「証明」しようなんて思わないはずだ。

もうお互い本旨をはずれてるって感じだな

0.999…＝1-0.000…1なんじゃないの？

よく解らん。数学は難しいな。

0.999…9＝1-0.000…1

>>663
0.9999…=1-0.0000…

最後に1って書いたら極限値じゃない。
それ×1/10で0がいくらでも増える。

>>653
数学の論理に意味はないが、できるだけ現実をシミュレートできる方向・有用な方向…
でないと数学の存在する意味がないだろ。一見、全然実用にならないような定義も、実は
別の何かの定理を証明するためとかで行う訳であって…

>>661
「定義の問題」であって、単なる「メリット・デメリット」であるのは事実。
ただ、「証明」によって最低限何を定義すればＯＫなのかその構造を突き詰めて考えたり、
現実の物理現象で今までの「定義」ではシミュレート困難な現象が発見された場合、どの
定義が使えて、どの定義が使えないかってコトが明確になる。

荒唐無稽と思われた非ユークリッド幾何学が、アインシュタインの相対論に使われたように。

>>656
>俺は何も「解釈」なんて示していないし、どのような定義も主張していないが?

　ん？そうなのか？じゃ、示してくれ。それがないと、そもそも何の論議もできんだろ？
それとも、「解釈」とか「定義」とか全くなしでとにかく「１＝０．９９９９…」が生理的に嫌だとかｗ

http://members2.tsukaeru.net/ogawa/fk1n09s.html
証明したのに、もう、忘れられたのかよ。ぷぅ。

http://members2.tsukaeru.net/ogawa/hsoboku.html
ラッセルの逆理を解いちゃったよ。ふぃ。

http://members2.tsukaeru.net/ogawa/suuko.html
数の個数を数えちゃったよ。有理数の個数とか無理数の個数とか
数えたよ。無理数の方が多いんだね。グラフ書くと、ふーんと
思った。

３０歳の誕生日を迎えてから頭が冴えるなぁ。来年は５次方程式解けない
かなぁ。まだ、解けないかなぁ。まだな予感。

無限に９を連ねた数が確定しうると
考えている時点でキチガイだろ

無限とは確定しえぬということでなければならないwww

>>671
そう定義してもよいが、それにはメリットがないと単なる個人的定義！

「そう定義してもよい」というような問題ではない。
そう定義しなくては無限とはいえない。
ＯＫ？

>>673
そういう無限が必要ないヒトもいるんだよ。メリットあるかどうかはともかく。

つーか…>>673　根拠を示せ！というかｗ

>>675
おまえのような狂信者に何を言っても無駄なのはわかっているwww

狂信者とは明確な根拠もないのに、物事を信じてそれを他人に主張しているヤツのコトだな。

じゃあπは何桁あるのよってことになる

無限桁だろ。しかも０．９９９９…みたいに規則的に並んでいない。
証明は…結構めんどいんだよなｗ

>>669
何が「普通の極限」だよ。お前はまず「極限」の数学的な定義を勉強し直してこいクズ！自分の勝手な
思い込みによる「極限」を主張しても意味ねぇんだよ！

>>680
カントールの思い込みがテキストになるぐらいだから、そのうち、
俺の思い込みも、、、アヒャ。

最近思ったんだけど、ゼノンのパラドックスで思ったんだけど、
アキレスと亀みたいに地上を歩いてる場合は、足を付いてるときは
居る地点としては止まってるわけだから、亀の居る地点を飛び越える
ことによって、追い抜くわけだけど、空中を飛んでいる２物体の場合、
足を付いて止まるってことがないから、居る所を飛び越えられないん
だよな、それで、どう考えればいいかと思って、思いついたのは、
物質の移動ってのは、実はテレポートしてるんじゃないかと。すごい
微小なテレポートを繰り返して移動してるんじゃないかと。そう考え
ると、空中の物体についても追い抜くことができる。だから、この
現実って実はデジタルな世界なんだなぁと思ったんだ。どう思う？

みんなバカをまともに相手しすぎだろ。
1＝0.999・・・が理解できないから教えてくれ、
でも俺の分かる言葉でないと納得しねえぞ、なんて
普通１５歳で卒業してるもんなのにな。

「メリット厨」がその典型。

メリット厨きたー！

>>681
テレポートするってのは、ある一時点における瞬間移動のことだろ。
現実世界ってのは、物体の移動に際して時間の変化が必ず伴うから、
そういうのはテレポートって言わないわけだ。わかるかな。

メリット厨は、「定義」に関する考え方がかなりユニーク、というかかなり曲解してる。
定義にはある「目的」＝「メリット」が必要であり、その「メリット」が見つからないと
定義自体を認めないという、かなり頭の固い考え方をしている。
定義のメリットなんて後天的なもので、まず無味乾燥な定義ありき、そのあとに
その定義の目的性が生まれるというような考え方を採ることができない感じ？
非常に窮屈な考え方。みててかわいそうになってくる。

>>681
現実の空間が離散的だってのは「もしかしたら」正しいのかも知れないな。でも、これも
何度も過去ログにあるけどなあ。
はたまた、離散的なのは時間であって、空間は連続しててもＯＫかな？

でも、万能型現実シミュレートの道具である「実数」は、現在の定義が最も素直で
最も利用価値があり、仮に現実に時間・空間あるいは他の単位が離散的であった
としても、ちょっとの変更で活用できるからなあ。そのために、あのような定義なんだろうね。

>>685
別に君に「可哀想」と思われても結構ｗ
仮に君の言うことが正しいとしたら、無限に無意味な「定義」を延々作り続けることができるだろ。
ナンセンスだな。

>>682
悪かったなｗ

でも、君も深く考えないで「１＝０．９９９９…」を決まりみたいに納得しているんじゃないのか？
オレは、それは違うと思っているから、自分自身の頭の整理の為にも書き込んでいるだけだ。

>>685
それは、単に「洗練された数学の教科書の流れ」だろ。現実にその定義を持ち出した人間が、
「最初から」その様な思考形態をとるかといったら疑問だね。

さらに言うと、仮に無味乾燥な定義がまず先にあったとしても、何か他のモノに使うとか、
何かに役立たないと当然淘汰されるだろ。そうじゃなければ、数学は無意味な定義で一杯に
なってしまう。

>>686
関数環の非可換化は「ちょっとの変更」か…

『1＝0.999…』なら『1＝0.111…』もOK？

つーか小数点以下が無限に続く数をＸとすると
Ｘ＝Ｙ
（Ｙとは、Ｘより大きい全ての数）

でOK？

そう定義しても構わないけど、その場合 たとえば
0.111…＋0.111…＝0.222…
などの等式は成り立たなくなる(∵定義から)。

>>682
レス番は？

0.999...
の定義を決めてから話をしよう。

>>684
最小の単位時間でテレポートする距離の違いが早さの違いなんだな。
一番遅い速さってのは最小の単位時間で最小の単位距離をテレポート
することだな。より早く動くというのは、最小の単位時間で
（最小の単位距離＊ｎ）だけテレポートするということだな。
だから、うんと速く移動すれば、障害物を飛び越えられるわけだけど、
最大が光速としたとき、移動する物体の長さと障害物の厚さと最大の
テレポート距離との兼ね合い上、飛び越えることが可能かどうかわかる
と思うんだけど、単位時間と単位距離が分からないと分からないかな。
俺が言ってるテレポートってのはそんな感じー。

>>686
両方とも離散的ですね。物質が同じ空間に混在すると相互作用をすると
思われるので、空間も離散的な方がいいな。
でも、電波とかをどう解釈すればいいか分からない。引力ってグルーオンとか
なんとかちゅう粒子をやり取りして発生すると解釈されてる（くさいけど）から、
電波もなんか素粒子が飛んでんだろう。素粒子論とか量子力学では時間と空間を
離散的なものとして扱ってるのかな？

量子論ではふつーに微積使っているから、時間も空間も両方とも連続ってのが前提でしょ。
まあ、仮に微少区間・時間の跳躍があったとしても、今の実数で十分近似できるし、
実際の時間空間がどのようなモノでも、まあ近似で対応できるのが今の実数の定義だろうな。

量子論では物質は粒子でもあり、波動でもあるから（量子）、ある地点を中心にばあーっと広
がるイメージで…空間が離散的ってのはちょっとね。でも、現実にはどうなっているかは？

時間が離散・連続、空間が離散、連続のいずれの場合でも、アキレスが亀に追いつくことに
何の問題も無いな。

>>697
両方連続な場合で、アキレスと亀が初期状態で１ｍ離れていて、アキレスが亀の１０倍の速度を
持っている時に、アキレスは亀にどの「地点」で正確に出会うんだ？
オリジナルのゼノンのように、距離だけで論議してくれよ。

どこで出会うか正確に出してくれ。

「飛ぶ矢は飛ばない」の９割版の方が良いかな？

飛んでいる矢と壁の距離は１ｍ。９割毎に１回チェックが入るとする。
オリジナルを尊重して、距離と各ターンのチェックだけを考えて、この矢は壁にぶつかるか否か？

＊＊＊＊
サーバー規制…長かったな。今年は規制がなければいいなあｗ
おっと！あけおめ！