1=0.99999999・・・・・　最終スレ

激しい論争を続けてきたこの問題も、
遂に最終スレになりました。

前スレ：1=0.999999999999・・・・・　その５.9999999...
http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1079604383/

前々スレ
http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1066827477/
前々々スレ
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1065648782/
前々々々スレ
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1045656871/
前々々々々スレ
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1022253026/
前々々々々々スレ
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1004837995/

最終スレなんだから30レス満たずにdat落ち、何て事にならぬようにな

これでも読んどけ
ttp://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~kiyonok/tose/05a.pdf

まだやってたのかよ。

>>4
＞0.999… と表現される「数」は、この表記だけ見ていると
＞0.9+0.09+0.009+… という「無限回の足し算を足しきった結果」と思いがちですが、
＞「無限回の足し算を足しきる」ということを数学でそのまま扱うことはできそうもないので、
（以下省略）

「できそうもない」って、それは単なる筆者の能力不足の吐露に過ぎないわけで
その後の言い訳に意味はない。
たとえば、「0.125 と言う数は（私には）扱うことはできそうもない」とか言って
直感と異なる“定義”とやらを持ち出して
「よって、この数は 1/8 とは異なる数である」とやられたら、誰が納得するだろうか。

0.999… は、言い訳による定義ではなく、直感を裏切らない定義により、
0.9+0.09+0.009+… という決して１には届かない足し算を足しきった結果であり、
足しきっても１に届かない以上は 0.999… ＜ １ なのである。

0.999…＋0.000…＝1だよね。

0.000…は誰の定義でも０だろう。
だから
0.999…＋0.000…＝0.999…＋0＝0.999…＜1
だな。

超準解析なら 0.999…<1 でOK。
って話は激しくｶﾞｲｼｭﾂなのかな？

しかし、超準解析とやらで 0.999…<1 を解説した人は
今までに居ないわけだが。

>>10
前スレ、前々スレみたが、確かに詳しく書かれた説明はないみたいだね。
内容としてはおそらくｶﾞｲｼｭﾂなんだろうけど、「高校生でも」わかるようにちょ
っと書いてみまつた。

「超実数の集合」ってのがあって、その中には普通の「実数」だけじゃなくて、
「無限小超実数」ってのがいっぱい含まれている。
（ちなみに、それだけじゃなくて「無限大超実数」やさらにワケワカラン超実数
ってのもいっぱい含まれている）。

この「超実数の集合」では、普通の実数と同じように足し算、引き算、
掛け算ができる。あと割る数が0でなければ割り算もできる。
大小関係も定まっている。

んで、「無限小超実数」ってのは「どんな正の実数よりも小さい」という性質を
持っている。けど、あくまでも0（これは「実数」）とは等しくない。

「0.999…」は、1から（ある特別な）「正の無限小実数ε」を引いた「超実数 1-ε」
であると自然に考えることができる。
0 < εであるから、0.999… ：= 1 - ε < 1。
以上

>>8
プッ

>>6
感覚だけで物を言われても困る。
「無限回の足し算を終了させる方法」をきちんと定義せよ。
そしてその定義がwell-definedであることを示せ。
その結果が0.999...<1に届かなかったというのなら、私は納得する。

>>7
そう。

>>8
ちがう。

>>9>>11
超準解析を用いてもRの範囲では結局0.999...=1となる。

訂正

>>6
感覚だけで物を言われても困る。
「無限回の足し算を終了させる方法」をきちんと定義せよ。
そしてその定義がwell-definedであることを示せ。
その結果が0.999...<1となったというのなら、私は納得する。

>>7
そう。

>>8
ちがう。

>>9>>11
超準解析を用いてもRの範囲では結局0.999...=1となる。

0.999...はRの範囲にないので
超準解析を用いなくても1とは異なる

>>15
きみはRの定義も知らないのか。

実はRを持ち出さなくともQだけで考えても
QにRと同様の位相を入れることによって同様の結果0.999...=1が得られる。
いずれににせよ極限の概念（εーδ的な考え方）をしっかりと理解していない者は
どれだけ考えたところでこの問題を明瞭に解決することはできない。

Rの定義には結局極限の概念が見え隠れする…。なにの「Rの範囲では」なんて言っていると
それはもう、最初から「1=0.999…」なんじゃないのか？

超準解析で、通常のRの定義から外れた数の概念で、うまく(well-defined)「1>0.999…」を定義
できないものかな？

>>18

そういう数を定義するだけなら幾らでもできるだろうけど、実用的か
どうかというと、実用的ではない気がする。

一見非実用的で超複雑な超準解析だって、成果だけは高校とかでも使っているんだからさー。
（ｄｘとかｄｙとか）

超準解析を勘違いした厨房が多いスレはここですか？（ｗ

1÷3=0.333･･･

0.333･･･×3=0.999･･･

1×3/3=1

∴1=0.999･･･

数学板の住人でもなく過去スレも読まず空気も読まず
たいして数学の知識のない俺が書いてみた。
叩かれるんだろうな（・∀・）ノ ﾖｰ

>>22
左辺により右辺を定義するという意味で
>1÷3=0.333･･･
>0.333･･･×3=0.999･･･
という仮定の元で
>1×3/3=1
>∴1=0.999･･･
という推論をしたというのであればOK

小・中学生向けにはこれくらいがちょうど良いと思われるな。

>>23
まあこの場合、積の結合性・可換性を前提とするわけだが
それはスレの趣旨から離れるかもな

初っ端から、結論と同値のものを定義してる時点で
この板的にはダメではあるが、
どうせ＝派の主張は全てそれなので問題なし。

>>23
おお〜。間違いではなかったか。
で、少し伺いたいんだが僕のレスは抜きにしてこのスレで繰り広げられている議論は
理工系の大学へ進んだ方達にとって常識的なものなのかね？
もしくは偏差値60以上の大学に行ってないとついていけない会話とか。
スレ汚しで申し訳ないんだが詳しく聞かせてくれないかい？（・∀・）ノ ﾖｰ

>>13
> 超準解析を用いてもRの範囲では結局0.999...=1となる。

だから >>11 に書いたとおり「Rの範囲」じゃなくて
「*Rの範囲」なら0.999・・・<1となるだろ？
0.999・・・∈*R-R なんだが。ちゃんと読んでねーだろ。

>>18
> 超準解析で、通常のRの定義から外れた数の概念で、うまく(well-defined)「1>0.999…」を定義
> できないものかな？

これも >>11 に書いたとおり。 * R = 「超実数の集合」として
0.999・・・∈*R-R と考えればいいだけ。そうすれば 0.999・・・<1となる。

ちなみに *R (超実数体）の具体的な一つの定義は次：
*R = R^N/I
ここで、
R^N: 実数列のなす環
I: 「有限個を除いて 0 となる実数列のなすイデアル」を含むある極大イデアル

0.999 ・・・は 数列 {1 - 10(-n)} に対応する超実数を表していると考えるのが自然。

>>22
さんざんガイシュツ
1÷3=0.333・・・を仮定しているから意味なし

>>27
Rの定義から0.999・・・∈R
それとも何か？そもそもRの定義を変えたいとでも？
well-definedになるかな？

超準解析厨必死だな

>>27
ＯＫ！俺は今日から、「違う派」に衣替えだ！

>>29
>Rの定義から0.999・・・∈R 。

だから「0.999・・・」を普通に定義したらそうなるのあたりめーだろ。
そんなの工房でもわかることじゃん。

0.999・・・∈*R - R と見なすのもある意味自然じゃないのか、って
言っているだけ。

> そもそもRの定義を変えたいとでも？

「Rの定義」を変えるんじゃなくて「0.999・・・」の定義を変えてるんだが。

基本的にはバカバカしい話だから sage 進行。

>>32
上の*Rの順序について聞きたいんですが、どういう順序を入れるんでしょう？

それとi：R→*R (i(r)="(r,r,r,･･･)の定める同値類")
が環の中への同型として(well-definedに)定まるのでしょうか？

>>33
*R 上の順序：
*R を >>27 の最後に書いたように定義する。また以下、実数列 {a_n} に
対応する *R の元を [{a_n}] と書く。

まず次の補題を示す。
補題：{u_n}を 0 と 1 のみからなる任意の数列をとする。このとき、
u = [{u_n}] ∈ *R は0 か 1 に等しい。
（証明） {u_n} の 1 と 0 を逆転させた数列を {v_n} とし、v = [{v_n}] とおく。
明らかに uv = 0。*R は体だから（>>27 の定義で I を「極大イデアル」とし
たことに注意）、u = 0 または v = 0。ところで、v の定め方から、u = 1 - v
であるから、後者の場合 u = 1 となる。QED

非負実数列に対応する*R の元をすべて集めた *R の部分集合を P とする。
つまり P := {[{a_n}] ∈ *R | {a_n} は、すべての n で a_n ≧ 0 なる実数列}。
I の定義から特に、有限個を除いて ≧0 となる実数列 {b_n} についても、
[{b_n}] ∈ P となることに注意する。

命題： *R 上の順序を a ≦ b ⇔ b - a ∈ P で定めれば、*R は（全）順序体となる。
（証明）例として「全」順序であることを示す（順序体のそれ以外の公理も同様
に示せる）。それには、任意の超実数 a = [{a_n}] について、a ≧ 0 か
-a （=[{-a_n}]）≧ 0 であることを示せばよい。今、a_n≧0 なる n で 1、
a_n＜0 なるnで 0、となる数列を {u_n} とする。補題から u = [{u_n}] は
1 か 0 のどちらかである。u = 1 の場合 a = au = [{a_n u_n}] ≧ 0、
u = 0 の場合 -a = -a(1 - u) = [{-a_n (1 - u_n)}] ≧ 0 となる。QED

>>33
R の *R への埋め込みは、
> i：R→*R (i(r)="(r,r,r,･･･)の定める同値類")
でOK。

"well-defined"云々は、単に R → R^N → R^N/I っていう
準同型写像の合成なんだから当たり前。

単射であるかどうかを気にしているのかもしれないけど、体からの準同型なん
だからこれまた当たり前（ただし、I が「極大」イデアルであることを暗に使って
ることに注意）。

>>35
最後の「Iが極大イデアルであること〜」ってのは、ここでは関係ねーか。
i が単射なのは自明だね。

>>36
言うなればIが全体でないといったところでしょうか｡


ところで*Rでの>>11でいうεに相当するものとしては
e=(1,1/2,･･･,1/n,･･･) として [e] 等があるわけですね。

>>37
この場合、ε= [(0.1, 0.01, ・・・, 1/10^n, ・・・)] って考えるのが自然だね。
ちなみにこれは [(1,1/2,･･･,1/n,･･･)] とは異なる超実数。

有限桁で終わってない数なんだから
小数点以下を無限に足しつづけなければならない
故に0.9999…＝0.9+0.09+0.009+…＝∞
無限大だ
これが結論

>>39
おまえアキレスと亀知らないだろ

ちょっとまて>>39････！

＞故に0.9999…＝0.9+0.09+0.009+…＝∞

とあるが
0.9＝9×1/10
0.09=9×(1/10)^2
で
0.99999･･･=Σ｛from n=1 to ∞｝9×(1/10)^n=1

じゃないのか･･･？

･･･いや　･･･念のためだ

>>39
その通り。
同様の論法で、任意の実数αについて α = ∞ が導かれる。
よって、特に αとして 1 と 0.999・・・をとると
1 = ∞、0.999・・・ = ∞。
よって特に 1 = 0.999・・・。

>>42

うまい！

１１の超準解析では１０（１−ε）と１０−εは無限小数で表せるの？

ついでに、>>38 で
＞この場合、ε= [(0.1, 0.01, ・・・, 1/10^n, ・・・)] って考えるのが自然だね。
とお書きですが、

ε/10= [(0.01, 0.001, ・・・, 1/10^(n+1), ・・・)]
ε^2= [(0.01, 0.0001, ・・・, 1/10^(2n), ・・・)] として
1-(ε/10)、１-(ε^2)　が
　・　無限小数で表せるか、
　・　表せるとすればそれは何か
についても、お考えを伺いたいです。

>>11
その方法で無限小数が一意にかけるのかと
無限小数展開が意味を持つのかと

>>30
Non-standard Analysisはもっとまともな理論だから
この人たちと一緒にせんでくれ

結論
どう頑張っても0.999...=1

[証明]
0.9999999・・・って数は終わりが無い。
ってか何桁も書くのが面倒くさい。
そこで、小数第一桁を四捨五入する。

即ち0.9999999999・・・＝1

以上。
こんなのリア厨でもできるや

>>49
俺リア厨だけど違うと思うぞ。
四捨五入はあくまで省略だから、イコールにはならんと思う。

0.99999999・・・＝１　⇔　∀ε＞０∃n（ε）∈N s.t. (n≧n(ε）⇒�納k=1,n]9*10^(-k))
右の命題は明らかに成立。よって左も成立。

0.99999999・・・＝１　⇔　∀ε＞０∃n（ε）∈N s.t. (n≧n(ε）⇒｜{�納k=1,n]9*10^(-k)}-1｜＜ε)
右の命題は明らかに成立。よって左も成立。

f(x)=[x]　 （[x]はガウス記号）のとき、
f(0.999・・・)の値はどうなるの？

>>53
一般にガウス記号と云えば
∀n∈Z ,a∈[n,n+1) ⇒[a]=n として定義されるRからRへの関数です。

Re:>>53 当然、0.999・・・の方から評価されるべきだ。

lim_{x→a}f(x)=f(a)は無条件に成り立つ式ではなくて、
例えばfがaにおいて連続のとき成り立つ式である。(むしろaで連続であることの定義だが。)

んー。つまり…

「１＝０．９９９…」だってのは言葉を変えて言うと「上に有界な単調増加数列は、その上限に
収束する」ってコトでしょ？つまり、「実数の連続性」そのものなわけだ。

もしＲが連続なら、ｉｎＲで考えると「１＝０．９９９…」だし、その逆も成り立つって訳だね。

つまり…。連続しないＲの代用みたいな集合を定義でき、さらにその内部にうまく０．９９９…を
定義できたら、難解な超準解析を持ち出さなくても「１＞０．９９９…」といえる可能性を提示
できるわけだ。

でも、それは結局超準解析的なものになるのかな？

このスレで既存の概念にとらわれるというのは間違っているのか？

>>50
ネタにマジレスとはさすがリア厨だな

>>58
既存の概念にとらわれてこのスレが楽しめるとでも思っているのか？

2chで新超準解析を確立してアーベル賞とってくれ

>「１＝０．９９９…」だってのは言葉を変えて言うと「上に有界な単調増加数列は、その上限に
>収束する」ってコトでしょ？つまり、「実数の連続性」そのものなわけだ。

変な事を云わんでください。有理数の範囲でも収束します。

>>62
Ｒが連続なら…でしょ。

>>63
本当に分かってないの？

X=0.999999…
10X=9.999999…
---------------
9X=9 ∴X=0.999999=1

ってやつ中２ぐらいで紹介されたな。
その時は数学のおもしろさに感動したもんだ。

んで今は史学専攻…orz

>>65
この手のレスはもう100回以上書き込まれている気がするのは
俺の心の中にしまっておこう

>>65
DQNｲﾗﾈ

>>64
じゃ、証明して。Ｒが不連続なとき、Ｑの範囲で、
「上に有界な単調増加数列は、その上限に収束する」
ってことを。

>>62
有理数の範囲では単調増加数列は必ずしも収束しないよ

で、普通順序体Rが不連続、連続だという言葉遣いするかな？
順序体の公理に連続の公理を付け加えるかそうでないか、
ということなら収束しない数列は幾らでも作れるね。

じゃあ実数体じゃなくて実体にしたらどうか？なんて思ったけど
考える気しないので興味持った人お願い

でも>>65はなんでいけないの？最高の証明ジャン

>>68-69
上限が有理数なのだからその収束は実数の連続性に拠らんよ。

>>71
だったら、きちんと証明してくれ。

>>62,64,71氏が正しい。
>>63,68,69,72氏はDQN。

「１＝０．９９９…」だってのは言葉を変えて言うと「0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, … という
数列が 1 に収束する」ということ。
「上に有界な単調増加数列は、その上限に収束する」というのはこの問題と関係無い。
　なぜなら 0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, … という数列の上限が 1 だということを
証明しておかないと、「上に有界な単調増加数列は、その上限に収束する」という命題
は使いようが無いし、そもそも 0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, … という数列の上限が
1 であることを証明するより、この数列が 1 に収束することを直接証明する方が早い。

>>68,69
何か誤解しているだろう
>有理数の範囲では単調増加数列は必ずしも収束しないよ
そんなことは分かっている、俺が文句をつけたのは
>「１＝０．９９９…」だってのは言葉を変えて言うと「上に有界な単調増加数列は、その上限に
>収束する」ってコトでしょ？つまり、「実数の連続性」そのものなわけだ。
この部分
つまり>>73も言っているが、「0.9, 0.99, 0.999, … という数列が 1 に収束する」ということ
が「実数の連続性」そのものなどとアホなことを言うなといっているんだ。
>もしＲが連続なら、ｉｎＲで考えると「１＝０．９９９…」だし、その逆も成り立つって訳だね。
この発言はそういう意味でまったくの嘘、収束を理解していない証拠

>>73-74
おいおい。数列｛0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, …｝の上限が１だってのは、帰納法などで簡単に証明できるだろ。
この数列が全て１以下だってのは帰納法で証明できるし。１より小さい数の場合は、小数に直せば、この数列の中にそれより
大きな数が必ず見つかるから上限に成り得ない。

>>75
それを簡単というのなら、1 に収束することはもっと簡単に示せるのだが

>>75
>>74で俺が言いたいことを理解してるか？

http://8417.teacup.com/hail2u/bbs

今こんな状態でちゃんとこのシリーズ終わるんだろうか。
最終スレ…

>>70
マジレス。過去ログ嫁。50レスに1回くらいの頻度でｶﾞｲｼｭﾂ。

Re:>>70
それが証明だと云っても、無限級数の加算の順序を勝手に変えていいかどうかを議論する必要がある。

1/無限大 ってゼロなの？

それより1/0を議論しようぜ。

無限大は一般には数ではありません

「無限」や「無限大」は定義できません。

0.999999・・・≦1でいいじゃん

>>82
0。
>>85
定義は可能。
>>86
もちろんその式は正しい。

「無限」や「無限大」は誰にも定義できません。

Re:>>88
位相空間Xを一つ採る。
Xに属さない元∞を一つ採る。
Y=X∪{∞}とする。
Yの開集合を、
∞を含まない集合Sに対して、
Sは開集合⇔SはXの開集合
として、
∞を含む集合Sに対して、Yにおける補集合をTとして、
Sは開集合⇔TはXのコンパクト閉集合
とする。
このとき、Yに定めた開集合は、開集合系の公理を満たす。
このYをXの一点コンパクト化といい、∞を、無限遠点という。

>>85
>>88
お嬢さん、算数は好きですか？(;ﾟ∀ﾟ)=3ﾊｧﾊｧ

1/無限大 = 0 なら
0.9999・・・ は 1-1/無限大 ってことで
1-0=1 でいいんじゃないの？

>>7と以降のレス読んでふと疑問に思ったんだが
0.999…＋0.000…＝1は　まあ不服ながらなんとなくワカルが

上の0.000…を無限回足すと幾つになるんだ？
答えだけ教えてくれ。中卒の折れには小難しい証明はワカランが…

あ。訂正
上の0.000…だけを無限回足すと幾つになるんだ？

1=0.999999・・・・・・・
このイコールは等号ではなくて定義なんじゃないの？
頭の中で9をどこかで止めてしまうとこれが謎になるけど・・・・・・・

リーマンスレの>>879タンの云うように
0.000…＋0.000…＋…=　∞とすると

式１．0.999…＋0.000…＝1
式２．0.999…＋∞＝1これも成り立つような。。

んじゃ式２の方が大きめの１ってことｗ　ワカラン。。

>>94　あ。そうか39。　んじゃ
0.999…＋0.000…＝1は根本的に＋0.000…の部分を表記するから
ややこしい（つか誤記？）つことね。

>頭の中で9をどこかで止めてしまう〜
止めてしまうから等式的には＋0.000の部分が必要って事か

だったら何となく理解でける…

>>91-96
おまえらさ。もうちょっと真面目に考えたら？
明らかにこのスレのレベルについてってないよ。

0.999999…=lim_{n→∞}(�農{k=1}^{n}(9/10^k))
これが定義だ。

定義なのか

Re:>>99
少なくとも現代数学ではそうなっている。

定義というよりは、
定義からの直接の帰結というべきか。

もっとも自然な解釈

>>97
わりいわりい。ただの通行人だがリンク貼ってあったんで>>1から
読んでたらふと疑問に思たんでな。　素人でも質問ぐらいさせてくれ。
気に入らんかったらスルーでok。

部外者から言わすと整合性は別として定義自体が長々と論争ネタになるような
内容はどこかに無理があるように思える。

＞部外者から言わすと整合性は別として定義自体が長々と論争ネタになるような
＞内容はどこかに無理があるように思える。

一部の部外者もしくは厨房が理解できていないだけだと思うが。

このスレは
厨房の厨房による厨房のためのスレですから

部外者にマジレスすると定義自体が
延々と議論のネタになることも数学では十分に有り得ます。
でもこのスレで行われているのはそんな高尚なことではありません。
高校数学の数IIICもよく分かっていないorまだ習っていない香具師が
背伸びをしていろんな事を言い合うスレです。
モデル理論も位相空間論も実数体の公理も知らないのに
（知っていたらこんな疑問なんて出ないのだけれど）超準解析が
云々とふざけた事を言い出す厨もおります。

>>104と>>105に同意。
理解できない厳密な議論はスルーするくせに
一方で自分は正しいみたいな主張を延々としてくるからすげえ迷惑。

迷惑と言うからには>>106は"厳密な議論をする側"なのだと思うが、
このスレの歴史から考えてそれは望むべくもないと思う。

>>107
( ﾟдﾟ)ﾎﾟｶｰﾝ

>>103みたいな意見は、禿しくガイシュツですね。

「1=0.999…は定義、と言うのも結構なのですが、定義を疑ってみる
姿勢も必要なのではないでしょうか？」
（定義を疑う前に定義を理解するのが先じゃないですか？）

「定義、定義とばかり言って、本質的なものを見失ってるんではないでしょうか？」
（で、あなたには見えてるんですか？本質が。）

とか言う奴。今まで何人もいましたね。

＞（定義を疑う前に定義を理解するのが先じゃないですか？）
禿しく同意。
実数の定義を知らん、位相空間における点列の意味もわからん、では話にならない。

＞（定義を疑う前に定義を理解するのが先じゃないですか？）
禿しく同意。
実数の定義を知らん、位相空間における点列の収束の意味もわからん、では話にならない。

中高生に数学教えてる塾講師だけど
授業の合間に余談として、この問題出すわけよ。
で、循環小数習いたての厨房には>>65
理系の工房には>>98のように無限等比級数で教えて見る。

生徒の反応は大きく分けて二種類。
｢なんかごまかされてるようで納得行かん｣ってのと
｢あー、おもしれー｣っての。

後者の中から数学に興味を持つ奴が
少しでも出てくればいいかな、と。

>>112
無限等比級数の収束はどのように教えるんだ？

>>113
高校の教科書に載っているように教える。

>>114
高校の教科書で収束は定義しないが。

収束って用語を使わないだけ。

中学生に>>65のしかたで教えてなっとくしちゃうより
なっとくいかない子のほうが期待できるのでは？

納得しない奴の99.999%は、単にバカなだけと思われ。

中学の時点で>>65を「論理的に厳密さが足りない」とか「無限小数の
積が各桁の積になることは自明ではない」とか言い出す奴がいる
というなら別だが。

>>116
（･∀･）ﾆﾔﾆﾔ

>>117
普通は納得しない。だからこのスレにも≠厨がわんさかと沸く。

>>118
（･∀･）ﾆﾔﾆﾔ

0.999...という実数は存在しない。（表現自体がおかしい）

Re:>>120
じゃあこれから
lim_{n→∞}(�農{k=1}^{n}(9/10^k))とか
�農{k=1}^{∞}(9/10^k)とか書くのか？

0.999…という表記は、それが表すものが1と等しいかどうか問われる時
以外出てこないような気もする。

まあ納得できる説明を出来ない教師が悪い、というのも
一理あるけどね。でも≠厨も自分は整合的な説明を
出来ていない、ということを自覚する必要があるけど。

あと>>120は少々ラディカルすぎると思われ。

>>122
そんなことはない。対角線論法で区間 [0,1] に属す実数の全体が非加算で
あることを証明するのに 0 が無限に続く表示では具合が悪いのでこの表記
を使う。

Re:>>124
漢字が書けないなら、英語で書けばいい。
漢字が書ける人も、英語で書けるように成った方がいいけどね。

もう論理的な話はいいんじゃないか。
それより、0.9999999・・・・・・・が1とは違うなにかである、と数学に
ロマンを求めたがる人間の心理について考察しようじゃないか。

まぁ、0.999999…が1ではないと思う気持ちはよく分かるけどね。

>>127
おやおや。これは。

いや、まあ、はっきり言って二種類の生徒双方とも
｢納得｣はしてないわけよ。

ただ、前者は｢ごまかされてるようで｣がミソ。
こういう感覚を持つのは理解できるにしろ
少なくとも数学向きの感性は持ってない、と経験上断言可能。

後者について言えば
｢数学の面白さ｣の入り口としては
なかなか良い実例なわけね。この問題。

あとは、物理の加速度-速度-変位が
基本的な微積分だったりする事実を教えると
一気に興味を深めたりする子供もいたり。

>>113
｢無限等比級数の和｣は数IIIの範囲にあるわけだが。
つか、今度の新指導要領は…(泣)。

なんだこのスレの住人？
人間ちっちぇのばっかだな。　気分わりぃスレだな。

>>129
だからさ、無限等比級数の和が収束することの証明はするのか？って聞いてんの。
それしなかったら意味ないじゃん。

無限等比級数は“無限等比数列の和”のことだろ？
“無限等比級数の和”って明らかに高校数学の範囲を越えているぞ。
それにこの問題は前者の方で十分。というか後者意味不明。

部分和　Sn＝9/10+9/100+・・・+9/(10n)の極限を考えれば１になる
にはなるけど、俺は、「イコール」という考え方は納得いかないんですよ。
今、現役大学生で、１＝0.999・・・は授業で最近やったけど、やはり
疑問点がある。たとえば、lim(x→０）ｘ≠０だしさ。

x=0.99999999.................

両辺１０倍する

10x=9.99999............
10x=9+x
9x=9

x=1


1≠0.999999999......
であることの証明ってあるかな？

>>22
1÷3=1/3

1/3x3=1

∴1=1
OK?

Re:>>22,135
0.333333…は無限級数と見なされる。
これに3を掛けると0.999999…になることは、極限の性質と和の性質から容易に分かる。

今云ったことから、1/3=0.333333…を示すことと、1=0.999999…を示すことは同値になるはずだ。
だが、両者はどこが違うのだろう？
それは、小学校で習う(どうかな…)割り算で1/3をやると0.333333…が出てくるけど
1からは割り算では0.999999…は出てこないところにある。

云っとくけど、[>>22,135]へのレスは二行目と三行目だけだ。

>>133
lim[x→0]x=0です。

>>136
　　　 0.9999
9 ）￣1.0￣￣￣￣￣
　　　　 9
　　 ￣10￣￣￣￣￣
　　　　　9
　　 ￣10￣￣￣￣￣
　 　　　　9
　　　 ￣10￣￣￣￣￣
　　　　　　9
　　　 　￣ 10￣￣￣￣￣
　　　　　　　・
　　　　　　　・
　　　　　　　・

フェルマーの最終定理とどっちが重要？

0.999...=1は収束の定義から自明なんだよボケ

>>139
…釣り?
　　　　　．
1/9 = 0.1

Re:>>141
いや、決して定義から自明と云うわけにはいかない。
収束の基本事項から自明というべきだ。
それとも、|r|<1なる複素数に対して、lim_{n→∞}(r^n)=0
を示すのが自明だとでも云うのか？

１≠0.9999.....の証明はできないの？

>>131
あくまで相手は高校生。
とりあえず、｢等比級数は発散もしくは収束する｣
という｢性質｣を知っていれば良しとする。

>>132
高等学校学習指導要領見れ。
http://www.nicer.go.jp/guideline/h-sid-suu01.htm#m4
まあ、あえて言うならば
｢無限等比級数｣でズラーと並んだ足し算見せといて
収束する場合には｢〜の和｣が求められるぞ、と。

Re:>>144
1=0.999999…とは、
lim_{n→∞}(�農{k=1}^{n}(9/10^k))=1のことである。
そして、左辺を評価すると1になる。
極限の一意性から、左辺は1でしかないのである。
極限の一意性は、任意の異なる二つの実数について互いに交わらない近傍をとれることに由来する。
このことは、実数をいくらでも細かく分けられるという直感にうまく対応している。
次のようにも考えられる。
0.999999のような数は確かに1ではないが、
�農{k=1}^{n}(9/10^k)-1=9/10(1-1/10^n)/(1-1/10)-1=1/10^nとなる。
1にどんなに近い数をとっても、nを十分に大きくすると、
これよりさらに近い数で、0.999…9の形の数が得られるであろうと考えられる。
(なんだかεδ論法のようだ。)
だから、0.999999…<1などとはできないと考えられるのである。

大学の先生が
１≠0.999...
の証明があると。。。
考えれねえよ！ヽ（`Д´）ﾉ ｳﾜｧｧｧﾝ

>>147
DQN

>>146
厨すぎてｽﾏｿですが
lim_{n→∞}(�農{k=1}^{n}(9/10^k))=0.999999・・・
ていう式も成り立つってことなのですか？

0.999… = 1

が「直観」(実際は思い込みなわけだが）に反するという主張は
分からなくは無いのだが、

0.999… < 1

とすると、「どんな数よりも小さい数」というものがどうしても
でてくる。これはこれで「直観」に反すると思う。

んで、どっちの「直観」も満足させようとする奴が、例えば

1 - 0.999… = 0.00…0001（ただし0が無限個続く)

とかいう珍主張をするんだろうな。

最終スレまで来て分かったこと


　　だ　め　な　奴　は　何　を　や　っ　て　も　だ　め　

実数の公理系を満たし尚且つ1と0.999…が違うものになるようなモデルを作る、
という話ならまだいいんだけどねえ。
普通の実数の理解すらあやふやなまま「見た目的におかしい」ってのと同レベルの主張を
する人が後を絶たないのは悲しい。

Re:>>152
実数の公理系から1=0.999999…が導かれるのだが。
それとも、0.999999…に、無限級数以外の解釈を与えるのか？

>>149
左辺が右辺の定義式。

>>150
そもそも「収束」や「無限」といった概念は直観で捉えることができないから、
数学的に厳密化されたわけで。
それを直観だけで議論しようとしてはならない。

815 名前： 厨 投稿日： 2004/06/08(火) 01:29

２ｃｈ数学板で延々と続いている話題ですが
０．９９９９９９９・・・＝１が本当に成立するのかどうかをわかりやすく教えてください。


816 名前： quindecim(☆6) （DTxrDxh6） 投稿日： 2004/06/08(火) 03:39

>>815
０．９９９９９・・・
を素朴に９がいくらでも続いてると解釈する場合―――高校の数学Ｉの立場。
　　ｘ＝０．９９９９９９９・・・とおくと
１０ｘ＝９．９９９９９９９・・・なので
　９ｘ＝９よりｘ＝１．

この考え方の欠陥。
　　ｘ＝　　０．９＋０．０９＋０．００９＋・・・とおいて
１０ｘ＝９＋０．９＋０．０９＋・・・と考えて
　９ｘ＝９とみたわけですが、
この考えが許されるなら

　　ｙ＝９＋９０＋９００＋・・・とおくと明らかにｙ＝∞だけど
１０ｙ＝　　９０＋９００＋９０００＋・・・と考えると
　９ｙ＝−９でｙ＝−１（・３・）アルェー

817 名前： quindecim(☆6) （DTxrDxh6） 投稿日： 2004/06/08(火) 03:39

０．９９９９９・・・
を無限級数とする立場(１)―――高校の数学ＩＩＩの立場。
初項０．９公比０．１の無限等比級数だから
この級数は０．９／(１−０．１)＝１に収束する。

同じことですが、
０．９９９９９・・・
を無限級数とする立場(２)―――ε-δの立場。
数列｛ｘ_ｎ｝の一般項をｘ_ｎ＝Σ[ｋ＝１, ｎ]０．９＊（０．１)＾（ｋ−１）とおき
任意の正数εに対してＮ＝［−ｌｏｇ｛１０｝ε］＋１とおくとｎ≧Ｎを満たすすべての
自然数ｎに対して｜ｘ_ｎ−１｜＜εとなる。


818 名前： 厨 投稿日： 2004/06/08(火) 22:19

>>816　ｙ＝∞なのに１０倍して引き算することに意味があるんでしょうか？
>>817　後半がよくわからん（・∀・；）それだと０．９９９９・・・＜１になるような気がします。

819 名前： quindecim(☆6) （DTxrDxh6） 投稿日： 2004/06/08(火) 23:58

>>818
意味のあるなしが
おかしなことが起こってることに関係してると思うんですか？

数列{a_n}がαに収束するとは、次の命題が成り立つことであると定義されています。

命題「任意の正の数εに対して、自然数Nが定まり、N以上の任意の自然数n
に対して|a_n-α|<εが成り立つ」

で、Σ[n=1,∞]a_nとかa_1＋a_2＋・・・って表記は数列{Σ[k=1,n]a_k}の
極限値のことだと定義されています。数列{Σ[k=1,n]a_k}が∞(-∞)に発散するときは
Σ[n=1,∞]a_n＝a_1＋a_2＋・・・＝∞(-∞)などと書きます。
数列{Σ[k=1,n]a_k}が収束もせず、∞にも-∞にも発散しないとき
a_1＋a_2＋・・・はなし
になります。

>>817では
０．９９９９９・・・を
Σ[ｎ＝１, ∞]０．９＊（０．１)＾（ｎ−１）
と解釈しています。

証明するぞ！証明するぞ！証明するぞ！！

>>154

どちらかというと、歴史的には最初は収束とか無限が直観的に分かってしまう
という、ありえないレベルの頭脳を持った人が、この分野の数学を発展させた
ように思う（オイラー、ガウスetc）。

時はくだり、あんまり頭がよくない人も数学をやるようになり、直観では理解
できない人が増えたので、いろいろと定義や公理による説明がされるようになった。

コーシーがエコールポリテクニークの教授だった事は、彼が収束の定義を基礎付けた
ことと無縁ではない。

Re:>>159
直感の脆さについての言及が無いのは何故だ？

直感ではなくて直観か。

0.99999999……
は循環小数=分数で表せる

じゃぁあらわしてみろ。

0.111...=1/9
0.222...=2/9
0.333...=3/9=1/3
・
・
・
0.999...=9/9=?

循環小数が分数で表されることを証明せよ。

たぶん大学1年レベルだな。

きのうほう

「1=0.9999999999999999999999999999・・・」スレの

63 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/11/10 08:10
０．９９９・・・＝Ａとすると
０．９９９・・・＜１ならば、数直線上「二点」になります。
─────────Ａ───────１──────
ならば当然、平均「Ｃ」が（Ａ＋１）／２で取れることになります。
─────────Ａ───Ｃ───１──────
しかし、０．９９９・・・と１は、構造上「間の数」が作れません。
（０．９９９だったら、０．９９９＜０．９９９５＜１でいいけど）
よって、０．９９９・・・＝１と考えざるを得ないことが分かりました。

っていうのと、
ttp://plus.naver.co.jp/browse/db_detail.php?dir_id=11&docid=19082

で、
「1と0.99・・・の間に入る数字がないってことが証明されてる。だから1=0.99・・・」っつーのがあったんだけど、これの解説サイト教えて君。

>>167
「1と0.99・・・の間に入る数字がないってことが証明されてる」ってのの解説サイトのことです。
言葉足らずでｽﾏｿ。

ってか
1わる1も筆算で強引に0.99999999999999…にできるよね

できません。
ルール違反ＯＫならなんでも出来ることになる。

>>167
＞質問者の選んだベスト回答
電波系の回答だな。これだけ長々と書いていて、
0.999･･･の定義についてはさっぱり触れていない。

>>167
>63 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/11/10 08:10
こいつの言ってることも完全デムパ

0.9999.....=1とするならば
0.9999.....は0.9999....≠0.9999....でなければならない

>>166
できるもんならやってみろ（ﾌﾟ

>>167
0.999...<1ならば0.999...<(1+0.999...)/2<1となって何も矛盾しない。
よってその証明は誤り。

>>169,170
できる。

>>173
へぇ。

Re:>>173
何故？

まあ皆さん、厳密な議論をすることと、
納得のいく説明をすることをとりあえず区別しましょう。

>>174
>>よってその証明は誤り。
[厳密]定義から0.999......=1
[納得]10倍して引いても良いけど
そもそも小数で書けないような実数なんてあるんですか？

>>176

無いなら無いと証明しないと。167は「構造上「間の数」が作れません。」
とか言ってますが、そんなの最初から「0.999… = 1」と仮定するのと
同じことだ。

結局極限の存在と一意性を認めないと0.999999…=1と云えないという事か？

>>176
厳密な議論をしてください。ここは算数板じゃないんです。

>>179

だから厳密な議論をすることと、納得のいく説明をすることを区別
しなきゃいかんだろう。後者を除くために。

０．９９９９

>>178
「言えない」じゃなくて「納得してくれない人がいる」

でも10進小数展開の可能性を公理から証明するのは
かなりマニアックだと思うけどなあ。そんなのは
数学科の人間しか好まないんじゃないか？
例えば物理系、工学系の人間にそもそも実数体とは完備な順序体であるから云々といっても
下らんことやってるなあ、なんて誤解されるのが関の山だと思う。
（つまり高校生や文系にする話としては必ずしも適当ではない、ということ）

さてお望みならアルキメデスの原理をまず連続性の公理を使って証明し、
それを用いて任意のxに対しその整数部分nが存在することを示し、
それから各桁を決めていって、最後に無限級数で無限小数を定義すれば良い。
（こういう順番で演繹しないと定義が天下り的になってしまう。）
自然数を実数より先に定義するのがより古典的かつ正当なやり方だけど
そうするとQからRを作るのが一苦労だから、解析学の展開だけの為には
『解析入門』のやり方で定義するのがすっきりしていて良い。
ついでにだれかどっかのスレに超準解析に関する解説でも書いてくれないかなあ。
超準解析厨の退治のために。

その前に、証明とは何かということを定義してくれ。

>>182
本当に…超準解析みたいなのを使って、Ｒに似た集合内部で（Ｒそのものだと駄目だろうね）
１＞０．９９９…
になるような集合Ｒ’を作れないの？絶対不可能？

>>184

Rのどういう性質を保持したいかに依ると思うが。
Rには完備性とか、体の構造とか、全順序とか、いろいろ入ってますが
どれかを諦めれば、作れるんじゃないか？

>>183
基礎論を勉強汁！LK/LJを勉強すると
自分が神様に少し近づいたような錯覚ができます。

>>185
どれかをあきらめたＲ’を作り、かつ0.9999…をＲ’内に定義できる集合Ｒ’って
できんもんか？

>>187

十進無限小数全体の集合を考えればいいんじゃないか
自然な大小関係を入れれば、0.999<1.000。
四則演算すら無理っぽいが。

（１=0.999… 1/3=0.333… 10X-X=9 ・・・）

この思考
この世界では　こういう考えが一番危ない
まさに頭の石化に直結する道

１=0.999… 1/3=0.333… 10X-X=9と来たから
もう1≠0.999…にはならない　などという読みは
まさに泥沼
　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 _
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 /）/ﾉ,>　　　 す　　嵌
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 | lン.)っ　　　で　　 っ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 |/ .〈/　　　　に.　　て
　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 l 　 ）　　　　泥.　　い
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 |iii||||||　　　　中　　る
　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 |iii||||||　　　　　　　　：
　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 |ii||||||||　 　 　 首.　　：
　　　　　　　　　　　　　　　　┌|ii|||||||||　 　 　 ま　　 ：
　　　　　　　､〜"ｲイ__　　　/iiii|||||||||||　　　　 で　　 ：
　　　　　　ゝ:::::::::::ﾚﾍ .|＿_｢iii|||||||||||||　　　　　 ：　　 ：
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;イ::::::::<／（ﾝ ,_,<||||||||||||ｌ'';;;;;;;,,,,,　　　：
;;:;:::;;;;;:::,,,;;;ﾑ;/);;;モヽ u (ﾆ'ﾍ||||||||ｌ;;;::;;;;;;;..''':;;;,
::::;;;;;;:;;;;;..,,,,;;;;/フ;;;;;／）;;;;:'''''::::;;;;;;;:::::'';;:;;;;;;,,::::;;;;;,,,,
;;;;;:::;;;;;;;::::::'''',,尸;;;;;';;''::::::;;;;;;;;'';;;::::;;;;;;;;::;;;:;;;;::::::''';;;;;;;
::;;;;;;;;:::;;;;;;;;;'';;;つ;;::::;;;''';;;;;;,,,'':::::::;;'';;;;;;::::;;::;;;''::::;;;;;;;

アホの巣窟
普通にε-δで満足しとけ
納得してくれないヤシはただのアホ

>>190

いまさらそんな事言い出す奴も相当アホ。

>174
＞0.999...<1ならば0.999...<(1+0.999...)/2<1となって何も矛盾しない。

0.9　＜　(1+09)/2　＜　1
0.99　＜　(1+099)/2　＜　1
0.999　＜　(1+0999)/2　＜　1
　　（以下同様）
よって
0.999...　＜　(1+0.999...)/2　＜　1

他方
(1+09)/2　＜　0.99　＜　1
(1+099)/2　＜　0.999　＜　1
(1+0999)/2　＜　0.9999　＜　1
　　（以下同様）
よって(略

>>192
何も矛盾してないよ。

>193
声が震えているな

もっと罵り合ってください。

>>192
おまいは極限操作をしていることに気付け
(以下同様)が免罪符になる場合についてもっと考察しろ
そして自信が無いからといって主張をはっきりと書かないというのも逃げだ

証明してやるよ、いいか？耳の穴かっぽじってよく聞けよ。









∀t, ∃εsuch that ~t（＾ε＾）o0０
QED!!

>>184-185,>>187-188
直観論理でも使って実様体でも作れば出来そうな気もするが根拠も
自信もない。少なくとも漏れは考えたくない。

a=a+1;

0.9999･･･ = 1-(10^-44)

１≠０．９９９・・・
とすると、「間の数」が定義できないという欠陥がある。

１＝０．９９９・・・
とすると、小数展開が一意に定まらないという居心地の悪さがある。
（循環小数や無理数だと一意に定まるのに、なんでか？）

>>199
実様体って何？定義キボンヌ。
ついでにいうと古典論理（ようするに普通の論理）で出てこないことは
絶対に直観主義論理じゃ出てこないよ

>>203
今自宅じゃないのですぐには出ない。
実数体の直観論理版みたいなものかな。
あ、でも cauchy 列とかも定義できてた気がする。
やっぱり無理か( ´・ω・)ｼｮﾎﾞｰﾝ

1≠1を証明できれば1≠0.999...も証明できるような気がします。

Re:>>205
だ　か　ら　な　に　？

無限に対する感覚と理論にずれが生じるから
いつまでたっても納得できない人がいるんだろうな・・・

>>205
まあ、できるだろうね。暇だからやってみようか。
[証明]命題1＝1をP、1≠1を¬P、1≠0.999.........をQとおこう。
Pと¬PからQを導けばよい。¬Pは分かっているとする。
いまQを仮定したとき、Pが成立するから¬Q⊃¬P。対偶を取って
P⊃Q。いま、明らかに1＝1は正しいからP。よってQ。□

> いまQを仮定したとき、Pが成立するから

>>207

無限に対する感覚というより、無限を感覚できないんだろう。

数学をちょっとやった人なら、「有限で成り立つからといって無限では成り立たない例」
をそれこそ腐るほど見るわけだけど、日常生活を送る上では有限と無限の違いなんてのは
表に出てこない。だから有限の範囲と無限の領域が継ぎ目無く繋がっているという
錯覚を覚えてしまうんだろう。

だれかε-δ法で証明してください

しゃーねーな、ｲｸｿﾞｯ!!





∀ε>0, ∃δ>0 such that
ﾝﾓｰ(´δεδ`)ｲﾔｰﾈ
QED!!!!!!!!!

いちいち書くのがめんどうなんで　0.999999999・・・＝N、0.1111111・・・=Mとする。

N=1である証明として、間の数がないことが挙げられるが、
Nの定義から極限つまり追いつかない数であるだけであって、
これはN=1の証明ではなくN≠1の証明である。

またN=M*9=9/9=1という証明があるが、
Nは数として、割り切れない余りを抱えた不完全なものである。
よってM*9=9/9によるN=1の証明は成り立たない。

>>213
なんで、さんざん言い尽くされたコトを今更…。ここ「最終スレ」だったのでは？
「直感」とか「納得」とかがキーワードなら次の説明はどーだ？さんざんガイシュツだが。

「飛ぶ矢は飛ばない」という一見最もらしいパラドックスの９割版を考えよう。つまり…

まっすぐ飛んでいる矢の１ｍ先に壁があるとする。
矢が９割飛んで０．９ｍ進んだ地点を考えることにしよう。残りは壁まで０．１ｍである。
さらに矢が残りの９割飛んだとする。すると矢は０．９９ｍ飛び、残りは壁まで０．０１ｍである。
さらに矢が残りの９割飛んだとする。すると矢は０．９９９ｍ飛び、残りは壁まで０．００１ｍである。
この操作は無限回繰り返すコトができるが、矢は何度操作を繰り返しても壁にいきつくことができない。
（速度とか時間を考えないで、進んだ距離だけを考えることにする）　実際には矢は壁にいきつくはず
だしこれは矛盾だ！

上は一見矛盾のように見えるが、それは１＞０．９９９９９９…と考えているからである。
つまり、「１＝０．９９９９９９…」を認めれば、上の操作は無限回続けることによって、見事矢は壁にぶちあたる
のだ。

というわけで、見事「直感」でも１＝０．９９９９９…がいえたわけだ。

それは詭弁だ

＞実際には矢は壁にいきつくはず
いえ、「実際」を完全に作られた数学の世界ではなく、現実の世界だと定義しても、
正しい測定をすればいきつくことはありません。

>>214
前半は曰くゼノンのパラドックスですな.
ただ、この説明でも納得しない香具師はしないだろうが.

うさぎと亀のパラドックスもそんなんやったな。
しかし時間tで見てみると到達するまでの時間の極限操作してるに過ぎないと思うわけで。

どうやら極限操作を許すか許さないかがポイントになりそうだな.
漏れは超準解析なんかこれっぽちも知らないが、0.999... ＜ 1 に
なるような世界は作れそうな気がしてきた.
# 相変わらず根拠も自信もないわけだが.

「1=0.9999・・・が成り立つってことは、1÷0.9999・・・=1になればいい」

1÷0.9=1.11・・・
1÷0.99=1.010101・・・（01の繰り返し）
1÷0.999=1.001001001・・・（001の繰り返し）
1÷0.9999999=1.00000010000001・・・・・（0000001の繰り返し）

んでさ、
1を0.9999・・・で割るとさ、
1÷0.9999・・・=1.0000・・・（0が無限回続いた後に1が来て、また0が無限回続いた後に1が来るってのの繰り返し）
になるような気がするんだよ。

で、「0が無限回続いた後に1が来て」ってとこがおかしいと思うんだけど。
0が無限回続くんだからまあ1と等しくなるんだろうなっていう気がする。
だから1=0.99・・・になるような気がする。

こんな納得の仕方でも問題ないのかな？＜数学屋さんたち
（漏れは1と0.9999・・・が等しいとは思えない派なのだが。）

お、赤猫ﾀｿとこんなところで。

このいい加減さなら言える!!

a(n)=9x10^(-n) とする。
n→∞において a(n)→0, a(n-1)→0, a(n-2)→0, …
この時 任意のm≧cにおいてa(m)→0を満たすcが存在し、
0.999…
=lim[n→∞]｛Σ[k=1,n]a(k)｝
=lim[n→∞]｛Σ[k=1,c-1]a(k)+Σ[k=c,n]a(k)｝
=Σ[k=1,c-1]a(k)+lim[n→∞]｛Σ[k=c,n]a(k)｝
=Σ[k=1,c-1]a(k)
=0.9(1-0.1^(c-1))/(1-0.1)
=1-0.1^(c-1)
∴1-0.999…=0.1^(c-1)≠0,　1≠0.999…

limitってのはその点における云々ではなく
辿っていけばって事じゃなかったっけか。
limitの定義なんてもう忘れたぽ
言いたいのは、1=0.9999･･･の定義の時点で何かおかしい気もするが
この証明にて極限を使うのは"="である証明ではない気がする

limitというのはギリギリの線、限界ということ。
0.999.....といつまでも書いていると死んじゃうから
1ということにしておこうというだけの話。

つまり、便宜的に＝１にしておこうというだけの話で
実際は0.9999・・・は＝１ではないのですね。
よくわかりました。

>>182のじゃ駄目？もっと詳しく書かないといけない？
各自が『解析入門I』を眺めれば解決することなんだけどなあ

0.999999…=1にしておこうという話ではない。
lim_{n→∞}(�農{k=1}^{n}(9/10^n))=1
は証明されることなのだ。

lim_{n→∞}(�農{k=1}^{n}(9/10^k))=1

0.999999…=lim云々の無限級数による定義と
limのεδや、数列の級数による定義を納得してもらわなくちゃならないだろ。
それからは純粋に数学の問題になるが。

>>226
解析入門Iが絶対真で「万人が受け入れなければいけない」って根拠が希薄…。
数学科の人間だって、大学で天下り式に学習したから、何故そうなるとかの哲学的論議を経過
していない奴が多数いると思うんだよね。

>>211
>>156

＞まだわかってない人たちへ
まず「・・・」って表記をやめたらどうですか。
それから安易に「無限」って言葉を使うのもやめたほうがいいと思います。

＞232へ
まずどうでもいい釣り書き込みをやめたらどうですか。
それから安易にわかった気になるのもやめたほうがいいと思います。

じゃあもっと直観的な説明が書いてある
『微分積分30講』、『解析入門30講』だとか『解析教程』だとかを
読んで定義（公理？）の妥当性を確認するか、
あるいは数学史の本だとか（将来数学をやりたい人はBourbakiがお勧め）
『数について（数とは何か、何であるべきか）』を最初に読んでもいい。
そして歴史的にどうしてWeierstrassたちがこのような公理を立てたかを知り
定義の妥当性の解説を読んでも納得しない香具師は具体的にどこが
おかしいのかを説明して、自分で新しい理論でも構築する必要がある。

ついでに、数学が出来る人ははJ.Keislerの『無限小解析の基礎』などを
とりあえず読んでもいいかもしれない。斉藤の本には「あの実数」と
所謂公理的に定義された実数との違いがどうの、という数学者の対談が載ってるし、
参考になる。ただ、実数の定義（順序体であり、上に有界な実数列はある実数に収束する）
は否定の仕様が無いから、1.無限小は「実数」では無いと考えるか
（これが一番スタンダード。まあ"Non-standard" Calculusなどと呼ばれている訳だが（ｗ）
2.「収束」の定義をいじるか、3.無限小数の定義を変える必要がある。
でもした二つはあり得ない選択肢だと思うけどなあ。
このスレ的には1.と2.と3.の区別もついていない人が多すぎる。

このスレでは、(1)と(2)のどっちが問題になってるのですか？
(1) 0.999999… = lim_{n→∞}(�農{k=1}^{n}(9/10^k))
(2) lim_{n→∞}(�農{k=1}^{n}(9/10^k)) = 1

このスレには、数学科に所属していて（または出身で）、
≠の主張をしている人がいるのですか？
それとも、≠の主張をしている人は厨房だけですか？

>0.999999…=1にしておこうという話ではない。
>lim_{n→∞}(�農{k=1}^{n}(9/10^n))=1
>は証明されることなのだ。

オマエは天然だな。
極限値が１になるということの照明は小学生でも知ってる。
極限値が１になることと、0.99999--が1に等しいということは
まったく別の事項なんだよ。
それがわからないおまえの脳みそに問題がある

≠の主張をしている人は厨房だけです

>>239
おまえは消防だ

>>240
あなたは、衍字ですか？

>>241
おめえは溘ですか？

>>241
あなたはょぅι゛ょですか？

（え？違う？残念だ…………）

>>237
単なる計算とかで≠の主張をしている人には数学科はいないだろうが、
実数の定義を変えてまで、１＞０．９９…の実現可能性を云々している人の中にはいると思うよ。

最近どうにかして騙す方法がないものかと考えている。

>>.244
あいまいな言い方して逃げてんじゃないよ
おまえには >>238 の言うことが理解できないだけ

1/3=0.33333…
1/3×3=1
0.33333…×3=0.99999…
∴1=0.99999…

>>213
おまえ、厨房だろ？

>>247
おまえ消防だろ？

無限につづく数列に対して素朴な計算が成り立つと
決め付けるやつは
消防

x=0.99999…
10x=9.9999…
10x-x=9.9999…-0.99999…
9x=9
x=1
∴1=0.99999…

バカがついに諦めて嵐はじめましたな
おい天然、真剣に議論で勝負しろよ

天然はいまだに
>>238 の言うことが分からないのか？

Re:>>238
最近の小学生は極限の定義を知っているのか？

こらこら、誤魔化すな。まじめに答えろ。

>極限値が１になることと、0.99999--が1に等しいということは
>まったく別の事項なんだよ。

ここが分かったのか分からないのか

228を実際に書いてみると、
lim_{n→∞}(�農{k=1}^{n}(9/10^k))=1
　　　　　　　　　　　　　　　　　↑
このkはどこに書いたらいいん？

　　　　　n　　／　9＼
　lim　　�煤@│　─ │=1
n→∞　k=1　＼10／

ただのバカはすっこんどれ

0.99999--(=0.99999デクリメント=0.99999-1)
=-0.00001

わからんならわからんと言えばいいだけなのに
なぜそうゴネルのかね

Re:>>255
分からないな。

>>238
４／４＝２／２＝１であることは「小学生でも知っている」よね。

では、なぜこれらの数は表現は違っていても等しいんだ？？
「約分できるから」だって？なぜ約分ができれば等しいんだ？

実数でも同様に言える。「なぜ極限値が同じならば、等しいと言えるんだ」と。

つまり、「等しい」というのは、自明なことではなく、何らかの約束事が介在するわけだ。
俺は、約分でも、極限値でも、等しいとすることで現実問題により対応できるから「等しい」
と定義するのだと思っている。（極限値の現実問題は「９割の飛ぶ矢は飛ばない」）

きみはためしに y=1/x のグラフでも描いて、永久にｘ軸に近づきながら
しかも永久にｘ軸に接触しないこのグラフの形をよくみながら考えなさい。

極限値は0だが、実際に0になることはない

小学生でもわかると思うが

同じ数なのに小数で二つの表し方があるというのが気持ち悪い。

[0.999...]の話が大分前に出てたけど、
0.999...=lim_{x→1-0}x　というように解釈するなら（★）
グラフを描いてみれば分かる通り[0.999...]=1にはならない。

★部分が直観の落とし穴なのか[]記号自体に欠陥があるのか。

263に補足　グラフというのはy=[x]のグラフ

それは単にf(x)=[x]という関数が不連続なだけ。

不連続であってもa=bならばあらゆる関数においてf(a)=f(b)となるはず。
f(x)=[x]ならf(1)=1、lim_{x→1-0}f(x)=0
やっぱり0.999...=lim_{x→1-0}xの直観が間違ってるんだろうなぁ。

>>262
極限値は0なのだからそれでよいではないか。

>>263
なぜ無限小数展開に一意性を求める？

>>262
だから、今論議しているのは、y=1/xの極限値ではなく、実数の極限値だろ？

>>263
分数ならさらにいくつもの表し方があるぞ。

>>269

>極限値が１になることと、0.99999--が1に等しいということは
>まったく別の事項なんだよ。
これについてわかりやすく書いただけだ

おまえはものの本質が見えないやつだ
センスが無いから数学やめろ

>>263
＞グラフを描いてみれば分かる通り[0.999...]=1にはならない。
ここがおかしい。
１になる。

263は271自身だったりする？

問題は
>>238
を理解しているかどうかであって
263が自演かどうかはどうでもよい

おまえら、論点をそらすな。誤魔化して逃げるな。

別にお前の相手はしていない。

>>274
>>274

天然よ、結局わからないままで終わりかい

>>270
君だけわかりやすいと思っているだけで、本質から離れているじゃないか。

>>277
>>274

天然でてこい

>>273
その前に「等しい」の定義をきちんとしなきゃ駄目だな。
分数の例を見て分かるとおり、数の表現が違っていても「等しい」って例はあるわけだからね。

自分以外は全部同一人物が書いたと思ってるらしい。

おまえ、問題がわからないからって
スレをかき回そうとするなよ

天然くんは寝てしまったのかな？

>>282
誰にいってるの

227 名前：KingMathematician ◆5lHaaEvFNc [] 投稿日：04/06/19 10:03
0.999999…=1にしておこうという話ではない。
lim_{n→∞}(�農{k=1}^{n}(9/10^n))=1
は証明されることなのだ。

>>284
KingMath氏にそれほどムキになっても…。

ま、証明されることじゃなくて、しておこうって話だと思うけどね。

おいおい、それをいっちゃあ、おしまいよ

>>266
>不連続であってもa=bならばあらゆる関数においてf(a)=f(b)となるはず。
>f(x)=[x]ならf(1)=1、lim_{x→1-0}f(x)=0
>やっぱり0.999...=lim_{x→1-0}xの直観が間違ってるんだろうなぁ。

１、２行目と３行目のつながりがまったくないぞ。

厨房以外の人に取っちゃあこのスレは半分以上ネタだね。
それはともかくまず10進無限小数は飽くまでも実数の一つの表現法であって
実数の本質ではない、ということは全会一致でいいよね。

>>238は多分極限の定義に関する話と10進無限小数があらわす実数の
定義に関する話は別だ、といいたいんじゃないの？

≠の主張をしている人は厨房だけです

>>288,289
おまえら、他人を厨房呼ばわりするには消防すぎることに
気づけよ

もう少し中身のあるレスしろよ

>>289
>>290
お互い厨房以下には変わりないわけだが・・(ﾌﾟｹﾞﾗ

>>292
288と自分自身をはずしてるからおまえは291だな
ﾌﾟｹﾞﾗって、言っててはずかしくないかい

(1)0.999・・・=1
(2)0.999・・・<1
(3)数学では0.999・・=1だと思うが、直観的にはどうしても0.999・・・<1

の3派閥でオケ？

>>293
残念ながら291ではないので恥ずかしくない。
見事に釣られたお前が（ｒｙ

何も理解できずに
チャチャしか入れないおまえみたいなゴミは（ﾌﾟｹﾞﾗ

>>294
(4)　普通の数学では0.99…=1だが、0.99…<1 になる数学も構築できるのではないか。
(5)　数学嫌いだから、数学やっている人に難癖つけて楽しんじゃおう！！

(5)単なる荒らし

ド素人に難癖つけられて逃げてるようではダメだな

0.999…<1派の人たちは二進法での0.1111…と十進法での0.9999…では、
どちらが大きいと考えるんだろう。あるいは

an = { 1, 3/2, 2/3, 5/4, 4/5, 7/6, 6/7, …}

という数列のように、1より大きい数と1より小さい数が交互に現れる数列
の「極限」と、1の間にどう大小をつけるんだろう。

>>300
それは難しい問題なので嘗て2chで指導的立場にあった
小川大先生に教えを仰がないと。

ｘ＝０．９９９
１０X=9.99
９X=9
X=1　　QED

>>302
見飽きた。

>>300-301
＞0.999…<1派の人たちは二進法での0.1111…と十進法での0.9999…では、
＞どちらが大きいと考えるんだろう。

二進法での0.1111…を十進法でどう表すのかについても、
ぜひ御教示願いたいものです。

>>300
an = { 1, 3/2, 2/3, 5/4, 4/5, 7/6, 6/7, …}

こんなもん極限値は1だから｢大小をつける｣までもないが
｢0.999…<1派の人たちは｣きっと
｢1の回りを行ったり来たりするけど絶対に1にはならん｣とでも
言うんじゃないの。

｢なんかごまかされてるようで納得行かん｣
こっちの生徒の方が将来性あるぞ

誤魔化さないためにε-δによる極限の定式化を行うわけだが。
それを学んでもなお誤魔化された気分になるのだろうか？

塾の生徒にε-δで説明するってのか？

>>307
だからさーなんでε-δを使うかというと…

「数学なのに、無限に近づけるなどと、あいまいな用語を使うのは駄目駄目」ってのもあるけど
「無限に近い数を同じ数と見なしても、問題なし」だから…

「ε-δで定式化を行おう！」としたわけで、結果…

「他の方法よりも厳密に極限を定義でき、微分などの定義にも応用できる！」となったわけだ。

＊＊＊＊＊＊

だから、最初からε-δ法には「１＝０．９９…」が折り込み済みであって、その内部に既に織
り込み済みの方法を利用して「１＝０．９９…」を説明しちゃうと、まさに本末転倒なんじゃない
かとも思える訳だ。

「無限に近い数は同じ数」という仮定ではなく、最初に「無限小」という仮想の数を認める超準解
析なんてので説明したらどーなるんだろうね？という話も出てくるわけだ。
超準解析でもＲでは「１＝０．９９…」だという話があるが、そりゃそうだろ。普通のＲはε-δで定
式化を行っているのだから、そうなるのは当然とも言える。

それで結局[>238]は何を主張しているのだ？

lim_{n→∞}(�農{k=1}^{n}(9/10^n)) → 1 だが、
lim_{n→∞}(�農{k=1}^{n}(9/10^n)) ≠ 1 派

Re:>311
激しくlimの定義が分かっていない。

>>311
ただのばか

>>311
なわけないだろ
頭わるいやつが他人の大便するな

>>310
自分でわからない時点でおわり

２３８が分からんのに他人に分かるわけない。

>>316
ワザとらしい読み違えするのは小学生なみ
もっと、まじめに反論しなよ
って、バカには無理か

反論

>>311
一応マジレス。

�農{k=1}^{n}(9/10^n) → 1 (n→∞)
⇔ lim_{n→∞}(�農{k=1}^{n}(9/10^n)) = 1

>>310
>>238は、>>236の（２）はわかるけど、
（１）は認めないと言っているのだろ。

>>319=baka

これはちゃんと極限とかの定義も含めしっかり学んでる奴が討論してるのか？
まあ、もうどっちでもいいじゃん好きな方選べば？それで何か画期的な事を発見してみろって
まさにネタスレ無駄議論。もっとやることあるでしょこんなことでつっかかってちゃいかんよ

>>322
それは難しい問題なので嘗て2chで指導的立場にあった
小川大先生に教えを仰がないと。

２進法が自然な感覚の宇宙人が数学教育で直面する問題は、
1=0.11111111111111111111111････････････
なのでしょうか。

その星の星学院第一席教授曰く、
「解析的議論の前に、そもそも実数には複数の表記方法があるのだと
いうことをわきまえよ。便利な表記方法を普段使っているだけだと
わきまえよ。まず代数的な思考によりて考えるのも手じゃが、
0.11111111111111111111111････････････には、極限操作が含まれて
おるじゃて、実数についての考察がきちんと出きるまでは
あんまり深く悩まないことじゃよ。」と申されました。

その星の星学院の成績末席な☆君が手を上げました。
「センセイ！任意の実数からひとつ取り出してpとします。
p進法について考察するときに、
0.11111111111111111111111････････････
について悩むことなどどうしてありましょうか？」

さきの教授は大きな声で言いました。
「退学！」

0.11111111111111111111111････････････
は1/9だろ

それは我々の星の定義ですね

Re:>324
退学させちゃいかん。
授業料はしっかり徴収せんといかんな。

0.999… = lim_{n→∞}(�農{k=1}^{n}(9/10^n)) = 1

0.999… = lim_{n→∞}(�農{k=1}^{n}(9/10^k)) = 1

>>328,329
baka

そもそも我々が10進法で実数を表すのは
単に手の指の数が2×5で10本だったというような
歴史的偶然であって、あまり深い意味はないと考えられているんだけど
このスレで本気で議論している香具師は分かっているのかな？

0.999999……がどんな実数を表しているか、
或いはそもそも実数を表していないのか、というような問題は
二義的なもので大して重要でない、というのが
数学をやる人間としてまっとうな立場なんだが。

>>324の書いてること分かる香具師いる？
漏れには意味不明なんだけど（ｗ

二進法が分からない猿のいるスレッドはここですか？

これはこういうモンなんだと強引に納得しなければいけないということです
嫌なら新しい表記法、概念なるものを作り上げてください

>>331
んじゃ、ここに来るな

↑猿

>>333
ネタに反応しているようだが
それもネタですか

>>336
雉

>>337
こんばんは。ピータン安達です。

>>339
てめえなんぞ知らんが
ちょっとパンツ下ろしてみろ

まぁ、そのぉ。

たとえばπ進法だって考えて良いわけでしょう？
定義は容易に書き下せますよね、きっと。

（我々の十進法で表記して）有理数であるところの
「１」は、たまたま有限桁数ですんで良かったのですけれども、
π進法で表記を考えると、どうみても有限の桁数では済みませんし。
循環小数でもないですねぇ。

で、無理やり有限の桁数で書き留めようとすると、
上からの評価と下からの評価の
両方を併記するのが良さそう。

下 lt ほげ　ge 上

というわけで（どこが）

1=0.9999999････････

というのは実は上からの評価と下からの評価を併記したものだと
考えられると思います。

間違いました。

下 lt ほげ le 上

でした。

ネタ専門だな君は

もれもネタ専用のトリップ付けようかな？（ｗ

>>344
こんばんは。ピータン竹田です。

一般化するとn進法において（nは自然数）

∞
(n-1)Σ1/n^k = 1
k=1

というのは納得できねぇ！という問題だな。

>>346
そりゃあ納得しかねる。
n = 1 のときどうするんかね。
n が 2 以上だと言うのならわかるが。

いやそのあの・・・n進法の話なんですけど・・・

つまり、0.999・・・≠1派の人たちは、
ε-δで定義される収束を認めないわけだから、

sinx=x-(x^3/3)+(x^5/5)-・・・
log(1+x)=x-(x^2/2)+(x^3/3)-(x^4/4)+・・・
π=4(1-(1/3)+(1/5)-(1-7)+・・・)

こういう式は全部認めないってことね。
現代の数学を真正面から否定しようってのね。

だからおまえはただのバカ
わかりもしないのに書き込むな

>つまり、0.999・・・≠1派の人たちは、
>ε-δで定義される収束を認めないわけだから、

どのログを読んで
そのようなたわごとを言い出すのであるか？
証拠のログを示せ

860 ：心得をよく読みましょう ：04/06/22 19:28 ID:bLMSFHis
おながいします。。

---------------------------------------------------------------------------
【板名*】 数学板
【スレ名*】 1=0.99999999・・・・・　最終スレ
【スレのURL*】 http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1086554506/
【名前欄】
【メール欄】 sage
【本文*】↓
つまり、0.999・・・≠1派の人たちは、
ε-δで定義される収束を認めないわけだから、

sinx=x-(x^3/3)+(x^5/5)-・・・
log(1+x)=x-(x^2/2)+(x^3/3)-(x^4/4)+・・・
π=4(1-(1/3)+(1/5)-(1-7)+・・・)

こういう式は全部認めないってことね。
現代の数学を真正面から否定しようってのね。
---------------------------------------------------------------------------

そもそもが 0.999… が何を表すと思うかによるだろうね。
Σ_{k=1}^∞ 9/(10^k) の事だと思っているのなら、誰が何と言おうと 1 に決まってる。
そこを敢えて 0.999… という書き方に拘るのなら、何か別のもの、例えば、1 より
無限小 ε だけ小さい 1 - ε の事だと思っているとか。

350 名前：>>349[sage] 投稿日：04/06/22 19:39
だからおまえはただのバカ
わかりもしないのに書き込むな


351 名前：>>349[sage] 投稿日：04/06/22 19:41
>つまり、0.999・・・≠1派の人たちは、
>ε-δで定義される収束を認めないわけだから、

どのログを読んで
そのようなたわごとを言い出すのであるか？
証拠のログを示せ

つまり、0.999・・・≠1派の人たちは、
0.333・・・≠1/3
を認めないわけね。

>>355
×認めないなのね。
○なのね。

1.無限和を有限和の極限で定義するのはおかしいよ派
より本質的には、無限を極限で理解するのはおかしいよ派

2.実数より大きい環の中では0.999… < 1もありうるよ派
または、よくわからないんだけど超準解析とやらを使えば0.999…<1に
なるらしいですよ派

3.有限で考えれば0.99…9 < 1だから無限でも同じく0.999… < 1だよ派

4.0.999…と1の整数部分を見ると0と1だから、後者のほうが大きいに
決まってるよ派

とかがいるわけだな。

>>355
0.333・・・=1÷3
は認めるが、
0.333・・・≠1/3
は認めないんじゃないかと思うのだが。

同じじゃｳﾞｫｹっていうツッコミが入るので予めゆっておくが、
電卓で（筆算でもいいけど）1÷3ってやれば0.333・・・のように出てくる。
要は計算した答えとして0.333・・・てなるから納得できる。
でも、0.333・・・=1/3ていうのは、0.333・・・ていう数と等しい数（右辺）が
「1/3」ていう一つの数みたく書かれてるからなんとなく納得いかん。
で、0.999・・・=1っていうのも左辺と右辺で違う文字列が書いてあんのに同じ
なんて納得いかん！てことなんじゃないかと。（>>357さんの4番に近い？）

Re:>358
1を3で割る操作で小数を決定するアルゴリズムを適用したら0.333333…が出てくるという話は認められると云いたいのだな。

Re:>359
回し。

>>358
>>358 じゃ、

Ａ）　０．５＝１／２
Ｂ）　１／２＝４／８
Ｃ）　（ｘ＝５ならば）　ｘ＋７＝１２

このうちどれが納得できて、どれがなっとくできんの？

>>361
「生きていてどうなる。生きていて・・・希望も無い・・・・○○しろ！」
○○に入る言葉は何ですか

>>362
つまり、深く考えてないと…

>>363
ん？

>>362
?Tセガサターン?Uですか？

>>353
>無限小 ε だけ小さい 1 - ε の事だと思っているとか。

それだよ　僕みたいなパーがおもう0.999…は
εが何か知らないけど
１−すごく小さい何かのこと
小さいけどその分引いたから1のが大きいと

でもそんな話じゃないみたいだね･･･　おとなしくROMに専念しましょうか

>>366

すごい小さい数の存在を認めても良いのだが、

例えば1-0.999… = εとするとき、2*εを考えることは出来るだろうか？もし考え
られるとして2ε > εとなるだろうか？1-ε = 0.999…なら1-2εの小数展開は
どうなるだろうか？etc.etc.の問題がある。

>>366
それって、まさに超準解析学の世界で、いちおう数学的にはきちんと論理立てられているようなんですよ。
でも、超準解析ってこのスレで見ても分かるとおり、通常の数学・解析学と違った世界で、かつものすごく
難解…普通の人間は「大学初級でやるεδで満足しろ！」の世界みたいですね。

ここでの数学が得意な人の反応は…

「普通の数学では 1=0.99999… だ。
　これが嫌なら普通じゃない数学の体系を作る必要がある」

というのがまぁ最終的なものだろう。これってどんな意味があるのかというと、
数直線なり空間なりを「連続したもの」と捉えた場合には「1=0.999…」に
なるというのだ。
我々が住むこの空間を連続した空間と捉えるのは普通の感覚だろうしね。

しかし、実際にはこの宇宙は連続していないかもしれない。たとえば、
動く物体は「微少時間に微少な距離を量子飛躍する」のかもしれない。
（この場合には0.999…自体を空間に定義できないのかもしれないが）
いずれにせよ空間を表現するのに普通の実数以外のモデルが必要だ。

ただ、その場合にも空間を近似的に記述するには、普通の実数の概念が
単純で多くの場面に当てはめることが可能だろう。だから、普通の実数
の価値がなくなることはないだろう。

>>369

統計学なんかそうですな。
実際は離散的ないろんな量を連続とみなして計算すると、
（近似的とはいえ）上手くいくことがある。

1/1000よりも、1/10000000000000000000000000よりも小さい距離しか離れていない数同士を区別することにどれほどの意味があるのか？
(この数は、例えば、測定誤差などに対応させると良い。)
そう考えると、0.999999…=1も素直に受け入れられる。

偉大なる>>371様により本日から
1-0.0000000000000000000000000000000001=1
という等式が成り立つこととなりました。

>そう考えると、0.999999…=1も素直に受け入れられる。
勝手に受け入れとけ。

て書いてる自分が>>371以上にｱﾎらしく思えてきた。よってsage。

いやさすがにギャグか何かだろう371は

>>371
1/1000や1/10000000000000000000000000が小さいというのは単なるあなたの主観です。
（これと「無限小が限り無く小さい」ことは全く次元の違う話です）
あなたが言ってることは「1京よりも100億よりも小さい距離しか離れてない数は区別する必要がない」
ということと何ら変わりありません。

>>371　は「釣り」だろ。今日は２匹釣れたね。

>>371は結構ﾏｼﾞﾚｽという悪寒・・・

>>376
妥協でしょ

回し。

トリップ　ザ　ベスト

H06dWILLhA : #/{\@%YwX
H06djy9xBA : #SgHdO'H%
H06dYXOYLA : #*｢A@?NVF
H06dhKnt9A : #[Aｼsudｾl
H06dWifa1A : #{SfbN(6ｦ
H06dyzvgzA : #QAiEｼEp- 　　←使用中

Re:>378 お前は数学板にアクセスすんな。

>>379
お前も消えろ。

Re:>380 なぜ？

>>371より1-0.0000000000000000000000000000000001=1
i.e.0.0000000000000000000000000000000001=0
両辺を10^n倍して、1=0が成立する。
が成り立つ。さて、f(x)を次の式で定義する。
f(x)=1(iff 1＝0.999,,,,,,,,,)0(iff 1≠0.999.........)
f(x)=f(x)の両辺を1=0倍して
f(x)=0が分かる。これは1≠0.999.........を意味する。

１÷９
　 0.11111111111...
9/1.00000000000...
　　 9
　　 10
　　　9
　　　10

modの計算はどこへ？

つーか、371の言う事をそんなにわざわざ曲解する事はあるまい。
大事なのは「あなたが求めるだけの精度で、両者は一致する」という事であって。
明らかに371が言いたい事もそれだろう。

７人で銀行強盗をした。
札束を山分けしようとしたが（束単位で平等に割るには）２束足りない。
そこで仲間を２人殺したが、それでも２束足りない。
また２人殺したが２束足りない。

何束あったでしょうか？

15*5+21*3+70*1

Re:>385 その問題はこのスレッドと関係あるのか？

>>386
15*5+21*3+70*1=208
が答えってことか？
答えは一つなのかと・・・

105n-2 (n=1,2,3,…)

分かった！！１０７束！！
････違う？

３と５と７の最大公約数？でした？に、２を足すんじゃないの？

(x-a)(x-b).....(x-y)(x-z)　＝　？
.....は(x-c)(x-d)とアルファベット順に続く。

Re:>385,391 お前らグルか？

>>385
その状況で「足りない」という表現はおかしくないか？（「余る」の方が自然）
答は103？

>>391
(x-x)が入ってるので0とかいうオチだったらヌッコロス

>>393
＞(x-x)が入ってるので0とかいうオチだったらヌッコロス
いや、きっとそういうオチだ。殺ってよし。

つーか、>>385 も >>391 もスレと関係ない投稿はやめれ。

>>385
ttp://headlines.yahoo.co.jp/hl?a=20040624-00000230-kyodo-soci

X=0.9999999......
10X=9.999999.......
9X=9
x=1

削除

>>396
>>155

ここでそろそろ結論が欲しいところだな

堂堂巡りだとか何とか文句をつけているヤツは
結論を書いてみろ
「納得しない人間が云々」という逃げはナシでな

結論
0.999...=1。それ以外を唱える香具師はただのアホ。

>>400
もしここまで読んでそんなことを言ってるようなら
おまえがただのアホ
疑う心を無くしたジジイは氏ね

>>399
バカのくせによけいなことしやがって
もう終わってんだよここは

|　何について調べますか？
| ┌────────────┐
|　|　 このスレ　を消す方法　　　 ｜
|　| 　　　　　　　　　　　　　 　　　　｜
| └────────────┘
|　[ オプション(O) ]　　　[ 検索(S) ]
|　
｀──────────┐ ┌───
　　　　　　　　　　　, '´l,　　..| ./
　　　　　　　, -─-'- 、i_　　|/
　　　 ＿_, '´　　　　　　　ヽ、
　　　',ー--　●　　　　　　　ヽ、
　　　 ｀"'ゝ、_　　　　　　　　　 ',
　　　　　　〈｀'ｰ;＝=ヽ、〈ｰ- 、 !
　　　　　　 ｀ｰ´　　　　ヽi｀ヽ iﾉ
　　　　　　　　　　　　　　　 ! /
　　　　　　　　　　　　　　r'´、ヽ
　　　　　　　　　　　　　　｀´ヽノ

>>401
では、君が結論を書きなさい。
400と君のどちらがアホかは、それを読んだ人が決める。

現在のところ、アホなりに一生懸命 自分の結論を書いた400の方が
他人を罵るだけしか能が無い馬鹿よりも、一歩 先んじている。

いえ、普通に結論0.999...=1でしょう。

Rの定義からしても明らかにそう。
QにRと同じ位相を入れて考えてもそう。
超準解析を用いて考えても「Rでは」そう。

一部、Rを拡張した空間で考えて0.999...≠1とできないか、
という意見もあるが今のところ妥当性なし。

もう一言いわせてくれ。
ε−δもわからん厨房はここには書き込まないことを強く勧める。

北チョンのニュース番組はだいたいこう聞こえる

踏んだら孕んだ！
孕んだ振る降る般若だ！
童貞擦る無駄、フン出る春巻きはむ無理！
チン毛ちぎり、看板塗る飛騨！
安眠煮る焼酎！
安打！？半田ゴテ適時打！！
原チャリ盗んだ！
よくちょん切れるハサミだ！

自分の意見に権威付けをするための「普通」なんて言葉を使う人は、
このスレには居ないと思っていた。

>>408
たとえば「１〜５までの自然数を小さい順に並べなさい」という問題に
「１、３、５、２、４」と子供が答えたときに、
「既成概念に囚われずに新しい大小関係を発明したんだね」と言って
その子を褒める大人がいれば、その大人は馬鹿だよ？

>>409
「１〜５までの自然数を小さい順に並べなさい」というスレでなら
「普通、１・２・３・４・５だろ」という答えは正しいんだよ。

このスレで
＞「１〜５までの自然数を小さい順に並べなさい」という問題に
＞「１、３、５、２、４」と子供が答えた
などという展開がありうるのかね？

このスレは、「普通」の概念そのものに関係する話題を扱っているんだよ。

日本語もまともに使いこなせないヤシがいます

>>410
>このスレで
>＞「１〜５までの自然数を小さい順に並べなさい」という問題に
>＞「１、３、５、２、４」と子供が答えた
>などという展開がありうるのかね？

充分すぎるほどあり得ると思うけどね。

このスレの実質は「１＝０．９９９９…」派が、
いつ現れてもおかしくない「１≠０．９９９９…」派を仮想敵として
理論武装するためのものだと思ったけど違ったかな？

>このスレは、「普通」の概念そのものに関係する話題を扱っているんだよ。

言い回しが抽象的だね。どういう意味？

>>400がバカという事実は動かない

>>406で
ε−δを持ち出してきたが、
これは0.999...=1であるかないかの議論とは関係がない。
つまり
おまえはここの話についてこれてなかったわけだ。

バカは寝てろっての。

功力の導入した超関数を導入すれば1＝0.99999999・・・・・・の問題は解決する。

知りもしないことを言い出すバカがまた出ました

導入導入って繰り返すところがこいつの頭の程度を示している

功力の超関数は佐藤の超関数とは違い偏微分方程式の解空間に平行移動の概念を導入し、その空間上で積分論を展開したり出来るので、1＝0.999999・・・・・などのように無限小解析や超準解析の問題などすぐに解決可能である。

＞1＝0.999999・・・・・などのように無限小解析や超準解析の問題などすぐに解決可能である

おまえ、どこの出身だい。

すぐに解決できるってのなら解決してみろ
能書きだけで逃げるなよコラ

かじりかけの知識をひけらかそうとする
その知識の紹介の仕方がたいてい間違っている
つねにアゲで書き込む

貴君に私の出身を言う必要はないが貴君より高学歴であることは言う迄も無き程に当然と確信している。

>>421
この人が誰か
みなさんにもお分かりですね。

なんでもいいから説明はじめろ>>421

まず貴君達の知識がどの位あるかによって私も教授法を思案しなければならない。
ウォルシュ・フーリエ解析、ハール・ウェーブレット解析の知識はお持ちであろうか？
超関数を定義する前にファイン連続性やファイン収束性だけは既知として話を展開したい。

待ってました。パチパチ

W・A・ムーア『無限論-その哲学と数学-』一冊じゃいかんのか？

>>421
場所もわきまえず失礼いたしました。察するに世界一の高学歴な方とお見受けしました。
完全に我々の思い上がりでした。大変恐れ入りますがわかり易く解説していただけませんか？

世界一高学歴ではありません。私は偏微分方程式（非線形方程式）をアーベル多様体上で完全に定式化、端的に申し上げると、どんな強い条件を課しても常に大域的に解が存在するような理論体系を研究している。
様々な代数的集合を閉集合とすればザリスキー位相が定義できる。そこに端を発して私は解析学を研究している。

誰が経歴を説明しろと申しましたですか。

>>428
読めば読むほどDQNな文章だ

>>428
正体はバレバレだから
いつものハンドルで書き込んでいいよ

で、つまるところ
>>400がバカという結論で終了です

再三に亘って同じ事を書くのだが、
lim_{n→∞}(�農{k=1}^{n}(9/10^k))=1であり、
0.9'(9がいつまでも続く。)が上式であるとすると、[>400]は正しい。
ところで、無限小数の解釈の仕方は他に何があるのだろう？

>0.9'(9がいつまでも続く。)が上式であるとすると、[>400]は正しい。
何度も当たり前のことをかくやつはマヌケだ。

結論は
４００がバカだってことで
手を打とうじゃないか

>>433
1の後ろに0がずっと続くってのと「1」ってのは等しいのかね？
1=1.0'=0.9'
てこと？

強敵あらわる（ﾌﾟｹﾞﾗ

Re:>436 これも、小数を級数として解釈すると、正しい。lim_{n→∞}(1+�農{k=1}^{n}(0^k))=1である。

Kingか?

Re:>439 もうこの板に王は居ない。

関係ないけど、有理数のうち、0だけは、無限小数で表す方法が一つしかない。
(lim_{n→∞}(-1+�農{k=1}^{n}(9/10^k))=0だが、limの中身を計算すると…。)

1≠0.999999999999・・・・・　の証明募集中。
＝の方の証明はもう秋田。

Re:>441 無理言うな。

>>440
1≠0.99999999999…としたときに矛盾が起きず、
1＝0.99999999999…としたときに矛盾が起きることを示さないといけないんだろ？
つらいなあ

1 = 0.999... + a とおくと
　　a = 1 - 0.999... = 0.000...1
よって
　　1 > 0.999...

いや、1 - 0.999... = 0.000...1が変だろ。
仮にその条件によって1 > 0.999...となったとしても、
aはどんな数になるんだ？と。
iみたいに実在しないかもしれないじゃないか。

おまえらバカには一生わからんから安心せい

>>444
> 　　a = 1 - 0.999... = 0.000...1
仮に a が０以外だとすると
　0.0000・・無限個の0・・・1
である。”無限個の0”つまり永遠に０が続き1は出てこない。
したがって結局のところ　＝０;.
もっとこう一見”おっ！”と思うやつないかな？

>>444>>445>>447
なんでこのスレこういう消防みたいな意見がとめどなく出てくるんだ？
>>440やKingのほうがよっぽどマシとちゃうんかと

そりゃネタスレだもん。
まじめにやったらすぐ終わっちゃって詰まらん。

>>449
まじめにやってすぐに終わらせてみろ
このマヌケが
おまえに出来たら100円やるぞ

>>448
ただのアホどもとKingとの比較は酷というものだが
問題がわかっていないという点では五十歩百歩

>>451
ではその問題とやらを改めて書き込んでみてくれ。俺も考えてみたい。
既に書き込まれているなら、そのアンカーを打つだけでもいいから。

1 > 0.9
1 > 0.99
1 > 0.999
・・・
1 > 0.9999...

1=0.999…
の証明がわかるようにしてくれ。リア厨でもわかるようにな。

Re:>454
0.999…の意味を正確に述べるには、最低でも大学数学をやらないといけない。
リア厨には、「なんとなく」分かってもらうしかない。

>>454
普通の中学生なら、それこそ
1=(1/3)*3=(0.333…)*3=0.999…
で納得するんじゃないのか？

功力の導入した超関数を導入すれば1＝0.99999999・・・・・・の問題は解決する。

>>456
そんな子供だましで納得しちゃだめ。

>>458

別に将来数学者になるわけでもない人々にとっては、子供だましでもいいだろ。

数学板で数学しなくてどーする

a = 0.999.... とおくと
　10*a = 9.999...
　10*a - a = 9*a = 9
よって
　a = 0.999... = 1

>>460

別に？
数学板でしか数学できないわけではないし。
数学が板にしかないわけでもあるまい。
数学板であるなら子供騙しでも良いと言う意見を潰す前に
数学で子供騙しではいけない事を証明してみたら？まぁスレ違いだがな。

そんなことよりおまえら
>>457
をスルーするなよ

意見を潰す前にいけない事を証明しろ
というんならまず自分の意見を証明するのが筋じゃねえの？

数学板以外にも数学を扱っている掲示板は存在するし
数学が掲示板以外にも、主に紙面で扱われている事は一般教養以下の話だ。

459,460,462は1＝0.999999・・・・に一切触れていないので、スレ違いだと思うが？

さて、次は464が意見を潰す前に子供騙しではいけない事を証明してくれるそうです。
まぁ、これもスレ違いだけどなー

スレ違いというより頭が悪いだけじゃないの？

子供だましとは何か？
それを数学的に定式化できるのか？

>>463

Re:>463 何か？関数列から作る超関数の話か？

>>418

まだやってんの佳代

461は正しいのか？

>>471,472
こらこら、バカはくんなって

>>472
>>155

Re:>472
とりあえず無限小数を級数で解釈することにして、
[>461]は足す順番を変えていいことの議論をしないといけない。

過去ログを読んでいないバカに付き合う理由は何か

>>自分の仕事に集中できないから。俺と似てる。

>>476
皆が皆おまえみたいにヒマ人だと思うなよ、ひきこもりｸﾝ

>>478
ものごとには程度というものがあるだろう

このスレは何代も続いてんだから
>>461
のような書きこみがどれほど馬鹿げているか
461は正しいのか
などという質問がどれほどアホなのか
だれでも知っているはずのことなのだ

つまりこいつらは
荒し以外ではありえない
それがわからないおまえは脳ない症

a = 0.999.... とおくと
　10*a = 9.999...
　10*a - a = 9*a = 9
よって
　a = 0.999... = 1

>>463

a = 0.999.... とおくと
　10*a = 9.999...
　10*a - a = 9*a = 9
よって
　a = 0.999... = 1

>>479
わあ、「古参」の人は偉いんだなあ（プ

おまえ、>>457をスルーするなって
難解言ったら。。。

２ちゃんで古参ぶることほど恥ずかしいことはないよな

数学板から一歩も出たことなさそう。

書き込みをするなら、当該スレの流れを把握してからにすべし、という
常識を説かれるのがそんなに気に障るのかな
「２ちゃんで常識ぶることほど恥ずかしいことはないよな 」
とでも返すか？

(・∀・) ﾆﾔﾆﾔ

ここは常識を疑うスレ
まあそもそも常識人が寄り付くべき場所ではない

民主主義というのは人民が、自分たちのことは自分たちで決める
ということ、また
自分たちを支配するのは、自分たち自身である
という思想である。

ところが、この国では、ものごとを決めているのは官僚たちであるから
この国を支配しているのは民主主義で無くして官僚主義というべきなのである

>>457
すごく説明を聞きたいです。
（数式が少なくてアナロジー満載なら）

>>491

http://www.hps.hokudai.ac.jp/hsci/hokudai/1939.htm

民主主義というのは、結局馬鹿が偉いという思想である

>>492
よくわからんけど数式なしではコレが限界、てコトか・・

>>493は偉い

教育と福祉の充実を！

どうせ貴族も馬鹿なんだから、貴族政治よりは民主政治のほうがいいわな。

馬鹿に権利を与えてはならない。

確かに498からネット接続の権利を奪えば少しはここも平和になるな。

1=0.99999999999･･･
は疑問に思うくせに
1/x→0(x→∞)は疑問に思わないの？

1/x→0(x→∞)を認めるなら、議論は似たようなもんだろ？
要するに認めるか認めないかの問題なんだよ。
誰だって、公理は認めるだろ？

>>500は自分が何をいってるかわかっていない
ということだけはわかった

今までのパターンだと

A:「絶対1>0.99999999999…だと思います。」
B:「公理から1=0.99999999999…です。」
A:「公理を疑ってみる事も大切だと思います。」

というのが多い。

公理ってなんの公理だ
具体的に書いてみよ

実数体の公理じゃね？順序体でかつ完備、とか。

>>503の問いに対しては
「実数の公理だ」
としか答えが返ってこないのは明らかだな

>>502のいうようなパターンがじっさいにこのスレにあったのか。
502の思い込みだろう
「公理」などという述語を使った者はそう多くはいなかったと思う.。

無限小数は無限級数として認識すればいいってことでFAなんですか？

>>505

いやあ、居たよ結構。「公理」じゃなくて「定義」とかだったときもあるが。
「無限というものは人間には計り知れないので、安易に収束とかで定式化するのはよくない」
とか。

>>507
おいおい、そんないいかげんなことを言ってたのかよ

いや、漏れが言ってたわけじゃないんだが。

>>22の式に疑問が････

今はじめてこの板を目にしたわけだが、
>1÷3=0.333･･･ のイコールは成立しないと思うのですが、どうですか?

1÷3=0.333･･･+α(あまりの数)であって、1÷3=0.333･･･ じゃない気がします

つまり　　1÷3=0.333･･･+0.0000･･･1であるわけですね

　　　　　1÷3*3=1　は　(0.33333･･･+0.000･･･+1)*1=1

∴1=0.999･･･ ではない　　と思うのですが････

ほかのガンダム板からリンクで22を読んだだけなのでほかのレス呼んでません
ただ、ちょっときになったので、意見述べてみました

1÷3*3=1　は　(0.33333･･･+0.000･･･+1)*1=1　は、

1÷3*3=1　は　(0.33333･･･+0.000･･･+1)*3=1　の誤りでした

1÷3*3=1　は　(0.33333･･･+0.000･･･+1)*1=1　は、

1÷3*3=1　は　(0.33333･･･+0.000･･･+1)*3=1　の誤りでした

なんども間違えてすみません、これが完全版です


>>22の式に疑問が････

今はじめてこの板を目にしたわけだが、
>1÷3=0.333･･･ のイコールは成立しないと思うのですが、どうですか?

1÷3=0.333･･･+α(あまりの数)であって、1÷3=0.333･･･ じゃない気がします

つまり　　1÷3=0.333･･･+0.0000･･･1であるわけですね

　　　　　1÷3*3=1　は　0.33333*3+0.000･･･1=1　になって

∴1=0.999･･･ ではない　　と思うのですが････

ほかのガンダム板からリンクで22を読んだだけなのでほかのレス呼んでません
ただ、ちょっときになったので、意見述べてみました

>>513
文系引篭もりの負け組みか･･･

ガンヲタは知恵遅れだからしょうがないよ。

>>513
バカか？
あまりってのは筆算を途中で止めるから出るんだろ。
お前の半端な筆算から考えた似非無限小と無限級数の収束は一切関係ない。

もうループはやめてくれ

It is not who is right, but what is right, that is of importance.

Re:>519
Your phrases is too difficult to understand.
お前の話は分からぬ。

２１世紀になってもまだ野球やってるあほもある

むしろ、ガンダムヲタを貶めようとする、マクロスヲタの書き込みじゃないか？これは。

秀吉の天下統一
太閤検地　収穫の２/３を収めさせる
　　　↓
以前より年貢が増えたので各地で農民一揆
　　　↓
刀狩（秀吉自身が農民出身なので農民の恐さを知っていた）
このとき、武士と農民の身分の区別が確定し固定化した
　　身分制度の確立
　　　↓
秀吉の確立した身分制度が
江戸時代に入ってからも社会を安定させる原動力になった

秀吉の声

http://up.isp.2ch.net/up/33b344d3b716.mp3

ちなみに　私はガンオタではありません友達がスレッドをみていて、このスレにきただけです　濡れ衣です(ツレにガンオタがいるが・・)

自分的意見は以下のリンクとほぼ同じ考えなんですが、これもデタラメということなんでしょうか??

http://www.melma.com/mag/83/m00060083/a00000073.html

たしかにググると海外でとんでもなく複雑な証明公式が出ていましたが･･･　ハッキリいってあまりにむずかしすぎて

当方ではわかりませんでした

参照リンク　
http://babelfish.altavista.com/tr?doit=done&lp=en_ja&tt=url&url=http://www.faqs.org/faqs/sci-math-faq/specialnumbers/0.999eq1/&

http://www.physicsforums.com/archive/t-5267

ここにこのスレと似たような論議がされています。中には自分とまったく同じ考えのかたもいるようで・・・

無知なので聞きたいのですが、結局 のはなし世界中の数学者の間で　1=0.9999････は絶対に正しいという結論がでているんですか??

>>524
>この式の左辺は、小数点以下が9の循環小数であり、つまり無理数です
こんなアホな事かいてるやつの気がしれない。

こいつの脳内での無理数の定義は何なんだ？
工学屋ってこんな馬鹿ばっかですか？

>>525
お前らは0.9999････という表示が何を表すものかも知らずに(若しくは定義せず)
1と等しい等しくないを議論しようとするからそんなことになるんだよ。

ちゃんと定義しろよ

√4545 ≒ 67.41

シコると＝むなしい

>>528
既出だ(・∀・)ｶｴﾚ

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/koukou/decimal0.htm

高校の先生でさえ収束が証明されていないから例１を正解にできない人がいると

いっている。つまりまだぜんぜん証明されていないんじゃないんですか??

45450≒213.19
これはどうかな

あ、ルート忘れた>>531

ちなみにオレの例１の答えは
1.111111･････/10とするでしょう
こうすれば収束が証明できていなくても表記できるという寸法です

あんまりおもしろくないボケだな

とりあえず530の高校の先生の発言の誤読は酷すぎるな。
513はまず日本語の勉強から入ったほうが良い。

ちなみに533での答えは正解ではありません　突っ込まれなくてもそれは理解してます

つまり、テストにでたら正解わかんないからこう書くだろうなという話です

だれか正解しりませんか??

リンク先にある通りの答えでいいだろう。
0.111…は、等比級数なのでうんぬんかんぬん。というやつ。

収束の説明をしたければ、等比級数が収束する事の説明をくっつければよいが、
明らかに蛇足だろう。そんなのは前提条件に入っていると思っていい。

ただ、誤答あつかいする先生がいるなら、ほかに真の回答が無ければ
この問題テストにでたら１００点取れないって事になるのでは??

だから、心配なら等比級数が収束する事の説明をくっつければよい。
と言ってるだろう。

ちなみに私は歴史オタクです長崎工業のメンテナーなのだ

いったいあんた、
な、何者なのら・・・
って、答え書いてあるか

だからどうしてもコンピューターで計算しきれないと困るのですよ
ウチのNCのデータ入力で１００００分の一でいつもウソ入力せんといけないし・・・

Re:>542 それなら数値計算の理論でも習得する？(特に誤差評価は重要だ。)

データ入力のソフト形式がその理論に対応していないからダメだとおもいます
とくに溶融とか熱膨張係数jpxcの計算だって
実際には100分の一を十回動かしても座標移動値10分の一になりませんからね
このへんは結局"経験とカン"なんですよ

Re:>544 どうしてそんなソフトを使っているの？

金と時間がかかるからに決まっておろう

Re:>546
ttp://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1087911996/
お前はここから出てくるな。

誤差評価とかは、スレ違いだろ。まあ、このスレどうせ不毛な議論しか
ないからしばらく居てもOKだけど。

545>>レーザー照射の照準と照射範囲と熱エネルギーの関連式とか･･･といってもわからないか

かんたんにいえば1ミリの直線を人間が100回延長して書いても100ミリにならないということ

機械でも同じことが言えて、1000分の一ミリを1000回動かすのと10分の一ミリを10回動かすのはぜんぜん

別次元の係数がはたらく。で、結局10ミリを3で割るような場合、各スケールレベルにもよるけど

ウソがいるというわけ。100のカタマリ(カタマリ単位ひとつ自体は都合上破壊できないものとす)でできた部品を3で割ると33が2つと34が1つになる

全部33にしてしまうと部品が4つになったり(33が3つ1がひとつ)

むりに33を3つだけ残すと総重量や能力値に影響が出ます

金なんかでこれをやるとえらいことになりますよね

だから、33と34の部品をあえて分けて作り、再度大きなカタマリを作るときの誤差をなくすため

できるかぎり均等になるよう合わせるわけですよ

例　200のかたまりを作るとき････　33*4+34*2

そのへんは、数学者には分からないような（実際やってみないと
よくわからないような）いろんなノウハウがあるんだろうね。

そういうところこそ、現場の人と応用数学者が組んでいろいろ
やれば製品のクオリティアップに貢献できそうだ

つまり、実用と数式上の0.333･･･はぜんぜん別で机上理論は
基礎でしかないということですな　よってバカ正直に数値計算したのでは
現場で使えないということです。まして、無限大だの等比級数だのは
コンピューターには使えない。例外として、各循環小数を割り切れる進数で
計算式化するぐらいですか・・・

A great many people think they are thinking when they are merely rearranging their prejudices.

まあ、しかし、循環小数が有理数ってぐらいは知ってて欲しいわけです

>>551
大分話がずれてきたね

まあ興味深いので、続けてくれたまえ。

>>551
あと、数値計算の意味取り違えてない？

まあ、細かな言葉遣いについては大目に見ようじゃないか。
それより、もっと現場でのいろんなノウハウの実例キボンヌ。
企業秘密とかにならない範囲で。いや、できればなる範囲で。

>>513

>>22を砕いていうと
1/3=0.333333…　だから
両辺を１０倍して
10/3=3.33333…　でもって

両辺から　1/3=0.3333…　引いて
10/3-1/3　=　3.33333…　-　0.33333…
そして
9/3=3
だから
0.999999…=3/3=１

この趙氏で行くともうすぐ1000行くけど本当に最終スレ？

>>558

「真の最終スレ」とか「復活スレ」とか「外伝」とか始まるだけと
思われる。結局厨房が立てるだろうし。

ｱﾋｬ

>>558　>>559
「帰ってきた　1＝0.9999999999･･････」　　きぼんぬ

「1＝0.9999999999･･････RX」

もすてがたい

1/3と0.33333・・・・・・・がイコールになる理由を教えてください。

1/3 - 3/10 = 1/30
1/3 - 33/100 = 1/300
1/3 - 333/1000 = 1/3000
1/3 - 3333/10000 = 1/30000
1/3 - 33333/10000 = 1/300000
…

結局、二つの差はいくらでも小さくなるから等しい。

まさに>>564が最後に言っている言葉が重要で
『二つの差はいくらでも小さくるから等しい』ってことだろ。
厨房はそれに気づくんだ!

まさに>>564が最後に言っている言葉が重要で
『いくらでも小さくなるけど二つの差はある』ってことだろ。
>>565はそれに気づくんだ!

有限の範囲なら>>566が正しくて、極限をとれば>>565が正しい

任意の実数を
Σ[i=-∞ to ∞](a_i*10^i)　(但しiは整数、a_iは0から9までの整数)
と表すとき
1=Σ[i=-∞ to ∞](a_i*10^i)　但し　a_i=1 (i=0) , a_i=0 (i≠0)
0.9999…=Σ[i=-∞ to ∞](b_i*10^i)　但し　b_i=0 (i>=0) , b_i=9 (i<0)
であり、
式は
Σ[i=-∞ to ∞](a_i*10^i)=Σ[i=-∞ to ∞](b_i*10^i)
この式が恒等であるためには
すべての整数iにおいてa_i=b_iでなければならない
ここでi=0においてa_i=1,b_i=0であり、a_i≠b_i

よって1≠0.9999…

Re:>568
それでは、ある整数iでa_i≠b_iであれば、
�納i=-∞ to ∞](a_i*10^i)≠�納i=-∞ to ∞](b_i*10^i)
であることを証明してくれ。

実数の基本性質：
実数空間は順序体である。
そして、空集合でない上に有界な集合には上限がある。
極限の基本性質：
実数列の極限は、存在すれば一意である。
単調増加で上に有界な実数列は極限をもつ。

>>568
お前が言ってるのは1 + 2 と 2 + 1 では表示が違うから等しくないってなもんだぞ。

0.33333...って実在する数値なの？
1/3やってけば永遠と0.33333...と続くけど完全な数は求まらない
だから1/3を小数で表すのはいちよう0.33333...って書くけど
正確には1/3と書き表すしかないって消防のとき勝手に納得してたんだが・・
だから0.33333...は３かけても１にはならないが
1/3は３かけて１になるって考えてた。
やっぱぜんぜん違う？

「実在する数値」って何？自然数？整数？有理数？実数？複素数？
数なんて全部概念（＝人間の意識）の中の存在じゃないのか？

>>570
有理数が稠密になることも実数の集合の性質として大切ではないか？

延々と を 永遠と と書いたり
いちおう を いちよう と書いたり
あなた実はまだ消防なんでしょ？

>>570
これもわからずに議論されても困る。

極限値のことを半端に知ってるやつがいちばんやっかいだ。

本読んでてこんなのありました。

1-(1/2)+(1/3)-(1/4)+(1/5)-(1/6)+(1/7)-(1/8)+･･･

ln2

なんですが、問題にしたいのは求め方の方なんです。

すいません。勘違いしてました。

x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+…
これを項別積分すると、
x^2-x^3+x^4-x^5+…
1-xを足して、1+xを掛けてみよう。

(1 - 2) + (2 - 3) + (3 - 4) + ・・・
= (-1) + (-1) + (-1) + ・・・
= -∞

(1 - 2) + (2 - 3) + (3 - 4) + ・・・
= 1 + (-2 + 2) + (-3 + 3) + (-4 + 4) + ・・・
= 1 + 0 + 0 + 0 + ・・・

Re:>583 足す順序を勝手に変えてはいけない、ということ。

>>584
知っててやってんだろ

なんにせよ>>578はスレ違いとしか言いようがないな。
適当な質問スレに行けば誰か教えてくれるだろう。

>>569
対偶であるから成り立つ。じゃだめか(´･ω･`)

>>571
お前が言ってるのは0.99999…は1だから
よって1=0.99999…ってなもんだぞ

>>583
級数の収束で真っ先に習うことだね。
最初に習った時はすごく不思議におもた。

>>568

というか

「この式が恒等であるためには
すべての整数iにおいてa_i=b_iでなければならない」

事が間違いである事を示す反例が1=0.99999…なわけだが。

０．９９９９・・・＝X　と置く

１０X＝９．９９９９・・・
　　X＝０・９９９９・・・

よって　１０X−X＝９　より、　X＝１

>>568=587

ネタだとしたら寒すぎるし
ネタじゃないとしたらもっと基本的なことを勉強してから来てください。
>>568の何がまずいか何にもわかってないみたいだし。

いま気づいたんだが、1/6の場合って・・・

　1/6=0.16666… 両辺に6かけ
　6/6=0.99999…6

　3/3-6/6=0.0000…3 ???
　同じ1でも数字が違うのか？

数学板に限らないけど馬鹿に自信満々に馬鹿にされるのはむかつくね。

スレタイトル見て面白そうと思ってきたが、全部見るのが面倒くさい。

普通は0.9999...は1と同じだと見なすと思うんやけど、
じゃあ「1に限りなく近いけど、１とは異なる実数値は？」って考えると確かにあるはずで、
それは
0.99999...
という表記になるなぁ・・・

１を0.99999と同一視するっていうのって、当たり前のように
いろんな証明で使われてる気がするから
もし違うって証明されたら、あちこちで困ることになるな・・

結局どういう結論になってるの？この板で。

>>592
何で 6/6 の最後の桁が 6 になるんだよ、ボケ。

>じゃあ「1に限りなく近いけど、１とは異なる実数値は？」って考えると確かにあるはずで、

「あるはず」と思うのは勝手だが「確か」かどうかはまったく根拠がない。
で普通の実数の立場に立つとそんなものは存在しない。

1に限りなく近い実数値は1

>596
ようするに
「1に限りなく近いということは、１そのものである」
と考えるのが普通の実数の立場って事？

十進法で表記してるから矛盾するじゃないか

「1に限りなく近いけど、１とは異なる実数」が存在するかどうかは
実数の稠密性とかで調べたらわかるんじゃない。

あとは超準解析の話題もこのスレの頭の方に出てるみたいだから
そこら辺の議論も見てみたら。

> １を0.99999と同一視するっていうのって、当たり前のように
> いろんな証明で使われてる気がするから
> もし違うって証明されたら、あちこちで困ることになるな・・

もちろん、無根拠で同一視されてるわけではない。
小数表記が何を表しているかがちゃんと定義されていて、
1 と 0.9999... が表すものが等しいということは証明されている。
もしも違うってことが証明されたら、それは数学に矛盾があるってことで、
あちこちどころの話ではなく、数学が破綻する。
数学に矛盾がないのなら、そのようなことは起きない。

> 結局どういう結論になってるの？この板で。

この板には結論はない。

>601
>この板には結論はない。
それはそれで有益な情報です。ｻﾝｸｽ

＞600
わかった。
「1に限りなく近いけど、１とは異なる実数X」が存在すると仮定すると、
X<Y<1
となる別の実数Yが見つかる（足して２で割るとか）ので矛盾。

よって、「1に限りなく近いけど、１とは異なる実数」というものは存在しない。
でいいですか？

1/3≒0.33333…　→　1/3=0.33333…ではない。
1/3×3≒0.99999…　→　1/3×3=lim(n→1) n

その「→」の意味は？

>>605

結論の意

無限ってなんだよ
無限の数を足したり引いたりするな！

>>603
はい

「1に限りなく近いけど、１とは異なる実数値は？」
が、たとえあったとしても、何故それが
「0.99999...」
という表記になるのか。

もはや、ここには論理とか、そういうモノは無いのだな。

人々は、ハウスドルフ空間の点列の極限が存在すれば、
それが一意的であることを既に知っているはずである。

0.999...=1を考えるにあたって、「無限」についての定義は必要ない。

Re:>611 極限はあるけどね。

区間
[-∞, 1)
の最大値は存在しない。

終了。

>>610
おまえも問題が見えていない馬鹿だな

>>613
maxが存在しなくてもl.u.b.は存在する罠

>615
そうですな・・
区間[-∞,1)
の最小上界は明らかに1。

で、1は[-∞,1)には含まれない。

さて、0.999999.....（9が無限にならんだもの）
は区間[-∞,1)に含まれるかどうか？

ていう感じで考えてみる。

「9が無限にならんだもの」というところで、
「無限」とは何ぞや？となって
思考が停止します。そして振り出しへ・・

>609
表記法はどうでもいいと思います。

「1に限りなく近いけど、１とは異なる実数値」が存在するという仮定で、
を0.99999・・・・・・
と表記することにしただけでしょ。

そういう仮定の元でこういう風に記述する事には違和感は覚えないですが。

このシリーズが晴天を迎えることは無い。
この私がこれを保証する。

>>616
0.9999...の定義はそもそも「小数点以下9が無限個並んだもの」ではない。

>>617
実数全体の集合において、1に限りなく近いが異なる数は存在しない。

>>620
存在するかどうかを論じているのではない。
存在すると「仮定」しているのだ。

>>617
それでは、なんでもアリになってしまう。
「1.α」とか「0.ω」みたいなんでもいいわけで。
ある程度「0.99999...」になる理由がないと。

Ａ：「0.99999...」が何を表すのか
Ｂ：何を「0.99999...」と表すのか

どちらが争点なんだ？
たとえば>>41などはＡの話をしているのに、
>>594はＢの話をしている。
会話が噛み合う以前の話だ。

>>619
「そもそも」という言葉を使うなら、
そもそも0.9999...の定義は「小数点以下9が無限個並んだもの」だ。
議論に耐える別のモノ（lim_[n→∞]{Σ_[k=1,n](9/10^k)} など）を持ち出すことがあるが、
これは、最初の直感的な定義に反しない式であることを目指して後から作られたもの。

>>621
実数の定義に反するから
仮定するんだったら新しい数の体系を1から構築する必要がある

>>622-623
定義：0.999...=Σ[n=1,∞]9*10^(-n)
結論：0.999...=1

このスレタイの証明を初めて聞いたときは感動したものだ・・・
きてみたら最終スレとは残念でならん>_<

>>624
それは直観であって、定義とはいわないだろ。

おれはすごいことに気が付いた「√0.6」だ。
これを読むと「ルートレイコンマロク」となるわけだが逆から読むと

436 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：04/07/04 17:01
理数系の教育というのは
９割９分の人間にとっては意味のない時間つぶしに終わる。
うまれつきの才能がない人間に数学や物理を教えるのは
苦労ばかりでみのりが無い。教えられる方も苦痛なだけ。
だから、大半の日本人には四則計算だけ教えて
分数の足し引きができれば上出来ということで終了にしとけばよい。
こういう人種はつい最近まで田んぼを耕したり魚をとって
暮らしていた人間で、本来学業などには縁のない遺伝子しか
持ち合わせない。早いうちから本来もってうまれた方向へ行くほうが
日本のため、本人のためというものだ。
その反面、才能のある人間を、ほかのボンクラと同じカリキュラムに
しばってちんたら教育するのは大きな時間の無駄、人的資源の無駄。
小学５，６年の段階で、能のある人間はソレと判然と見分けられる。
というか、見分けられない教師は馬鹿。
見分けたら、大多数の生徒とは別の教育施設にさっさと移して
英才教育すべきだ。


437 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：04/07/04 17:02
れいなたんはぁはぁ
れいなたんはぁはぁ
れいなたんはぁはぁ

1/1=0.999...と
999...999/(999...999+1)=0.999...
直感的にどっちが0.999...だと思いますか？

1/6などの循環小数は1と6の比と考えて自然数に還元できるけど
0.999...は循環小数だが自然数での定義を越えてるように思える。
じつは0.999...は実数じゃないのかもしれない。
9の並びは+記号を排した等比の和を表現していて、...は極限操作と考えれば
0.999...は一見小数に見えるが単なるlimの略式記号に見えなくもない。

>>630

ええと、すいません。意味が判りません。
オレ語じゃなくて日本語使ってくださいません？

>>631
0.999...は有理数どころか数ですらなかったんだよ、実は！

>>632

な、なんだってー！！

>>632さんの「数」って、僕らが考えている「数」と違うんですね！
話がかみ合わないのも納得です！

1=lim_{x→1-0}x
1=lim_{x→1+0}x

0.999...=lim_{x→1-0}x
0.999...=lim_{x→1+0}x　←これが直観に合わない

つられてﾏｼﾞﾚｽしてやるよ。

直観に頼って数学やってる厨はさっさと氏ね。

カッコつけて「直観」とか言ってますが、要するに「妄想」と「思い込み」だろ？

本質を見極めるには直感が必要なんだが

>>637

健全な直観が必要。

直観は手がかりにはなるが、決め手にはならない。

というか直観だけに頼っていてはダメ。
数学の基礎知識・基礎能力がある程度できあがってから、
はじめて既成の概念の定義や公理を疑うべき。

>>634
lim の定義が分かっていない。

>641
limの定義って、ε近傍の話か？

x=0.9... → 0.9≦x≦1の範囲で不定
x=0.99... → 0.99≦x≦1の範囲で不定
x=0.999... → 0.999≦x≦1の範囲で不定
x=0.9999... → 0.9999≦x≦1の範囲で不定
x=0.99999... → 0.99999≦x≦1の範囲で不定
x=0.999999... → 0.999999≦x≦1の範囲で不定
x=0.9999999... → 0.9999999≦x≦1の範囲で不定
x=0.99999999... → 0.99999999≦x≦1の範囲で不定

だろ、どう考えても

0.9999...と記述しただけで、「0.」の後ろに9が無限に続くと解釈するのがナンセンス

>>643
ここの人は、その段階はとっくに過ぎてしまっているんですよ。

>>644
それは、あっちの世界に逝っている人達だからへたに関わるなという意味に捉えてよろしいか？

0.99999999...と0.99999999・・・・・の違いはどうなの？

>>643
このスレの0.999...っていうのは「小数点以下四位より下の位が不明」ではなく
　．
0.9

のことでしょう。コンピュータ上ではうまく表記できないから。

>>646
違いは無い。
っていうか、ブラウザによっては同じに見える。

しかし、1/3=0.333..だとなっとくできる人たちが、なぜ1=0.999...がなっとくいかないのか？

何日かぶりです
以前から私がいろいろカキコしたのは、要は0.999････とかいくらいっても
実際どこかで割り算を止める必要があると思っているからなんですよ。
だって、水1ℓと9ℓの重量を比率で0.999････としても、水の分子一個以下の分まで計算しても、
分子一個未満のものは水じゃないし、実際いくらでも誤差でるし、ほかにも天文学で天文単位だの恒星の直径と比べる時に
センチやミリクラスになるまで計算してもしかたないでしょ?
それに今の世の中、コンピューターなしではありえない。だからコンピューターで計算できなければ事実上ほとんど無意味かなと思うわけです
まあ、これは私の私見なんですけどね。

あと、無限大や無限小とかでも、たとえば仮に我々のいる宇宙やその空間が閉じていたりループしてたりすると
無限大は否定されるし、エネルギーや物質に最小の存在があるなら、無限小も否定されるなにせ、一番デカイ物以上も小さいもの以下も存在しないから。
合わせ鏡にうつる物も無限ではないでしょ?。まー、この辺りはただの屁理屈と変わらないから聞き流してもらっても結構だけど
でも、本当の本当に無限があると証明できなければ1=0.9999･･････は証明しきれていないかも
知れない

一番デカイ物以上も小さいもの以下････を

一番デカイ物より以上も小さいもの未満ﾓ･･･だろ?とか　ツッコマないでください^^;
意外に書き込みの入力画面が小さいので文面も知能障害者なみになってる・・・・
その辺りはご容赦ください。なんせ何度も書き換えているうちに文章がドンドン変に
なってくるのですわ。今度からは他で書いてからカキコします
どうもすみませんです(^_^;)

数学のすばらしいところは、現実的な社会や宇宙を越えた真実を探求できることにあると思う

むしろ、
無限の概念は現実を単純化するための便法である。

それは哲学から派生した学問のうちの一つ。

＞それは哲学から派生した学問のうちの一つ
の「それは」とは何か。意味不明なことを書かないように。

654>> たとえ哲学でもなんでも真理であれば正しいし違えばダメだとおもう
無視はできない

自然科学は哲学から派生した学問であり、数学は自然科学とともに発達してきた学問である。

正しい情報とは、その出所や経緯や唱える人の信頼性などに関係なく、
本当のことかどうなのかがすべてである。
天動説やアルカリ性食品の時の過ちはどうして起きたのかは、人間がまだまだ
なのだろうと思う。自分も含め、ここで意見を述べているであろう大多数の人間がアルカリ性食品を
たべないで酸性食品ばっか食べると血液が酸性にかたむくなんてデタラメを信じていたハズだ
それもさぞ自慢げに知ったかぶって。だから人間はもっと広い視野でものを見るべきなんだと思う
そういう意味ではまだ現段階で1=0.9999...はまだ結論を出すには早い気がします
自分はね

天動説は間違ってるのか？？

厳密に言うとそれも証明し切れていない
数あまたの天体の位置情報を元に地動説を証明しているだけで、"地球が回っているように見えるように宇宙全体が動いている可能性が"否定できない
宗教とかのいうように神とかもっと大きな存在が地球をペットを飼っている水槽ような感覚で作ったモノなら･･･
もちろんこんなことを世間で言えばただの"変人"なのだが・・・やっぱり地動なんだろうけど

つられた

昔々の話だが、ある未開部族では、使われる数詞は1と２のみで
それ以降はみな「大きな数」ということになっていたとか。
現代人も、現実の問題を処理する上で
これ以上はもう考えることができましぇん
となったときに、「無限」を持ち出すのが習慣である。
無限とはすなわち、人間が考えるのをそこでやめたという印なのだ。

曲面の局所的成分を平面で近似するように
われわれは「現実」を「無限」で近似する。
数学に含まれている「無限という極度の単純化」からくるゴミが
現代物理学の限界を作っているのかもしれない。

>>658
地動説が導入されたもともとの理由も、計算の便宜だったわけで。

極限の概念も、ε-δ論法によって、誰にでも理解できる形で定式化された。
工学系の人間にとってこそ、その有り難みがあるってもんだと、漏れは思っているんですが。

理性の勝利です。

>>513
数学とは公理から出発して (何を公理とするかは最初に決めておく)
論理的に正しい手続き (何が正しい手続きかは最初に決めておく) によって
さまざまな定理を導き出していく学問であり、論理的に正しい限り

こ の 世 の 出 来 事 と こ れ っ ぽ っ ち も 関 連 し て い る 必 要 は な い

のです。逆に、高度に抽象化された体系であるがため
この世のさまざまな出来事の説明に利用することができるのです。

>>665
数学が論理的に無矛盾な体系だと
あんたは言うわけだな？

>>666

実数論の無矛盾性は証明されていないから、厳密には無矛盾とは言えない。
666さんが頑張れば、証明できるか、或いは矛盾を発見できるかもしれんよ。

いや、単に、665さんが素人だといいたかっただけ

>>513
おまえアホすぎ。かえれ。

>>669
>>669

>>669

久々のネタ提供者なんだから、もっといろいろ面白い事言ってもらわないと。

おもしろいってのは、同じレベルの人間が読めばってことだな

確かに、それより低いレベルの人間では楽しめませんね。

>>673
ちょっと考えにくい仮定だが、きみがそれに当たるわけだな。

電波レベルの話？

とか不毛な言い争いも疲れるので、そろそろ新ネタキボンヌ。

電波レベルとはおもしろいことばだね。
そっちの方に詳しい人ですか

>>665でも、結局みなが使っているPCやケータイもさまざまな科学や数学が使われており
　　　たとえ全容を理解しきれない部分もキチンと機能している部分は正しいからこそ動くのだと
　　　いうのを忘れないでほしい。

　直径１ミリ以下の六角ナットをカッティングで作るにはいかに精巧な機械であっても、現在の最新の
　ソフト&数式を用いても人の手を借りなければ実用たるシロモノができないという事実は知っていてほしい
　まだ、科学も技術も操作入力の数式も不完全なのです　ちゃんとノウハウが必要なのです。(溶け具合で部材の結晶のかたよりを読むとか)
　まだまだ人類は無知なのです。


とはいっても、やがて私のような局所的な知識と技術だけの人間はいずれ機械にとってかわられるでしょう
日進月歩、いままでは人の手でないとできなかったものが、ドンドン機械に制されてきています
より正しい理論とそれによって生まれた新たなる技術によって・・・

もしかすると1=0.999...も長い年月の間にはとんでもない新しい解釈が出てくるかもしれません
長い回数にわたってこのスレをよごしてしまったことや不快を与えてしまった人がいることををお詫び申し上げます
私は自分の論ずるところは既にすべてもうしあげました
機会あればまたゆっくり議論したいものですね

まあ、数学の世界では

「直径１ミリ以下の六角ナットがあるとせよ」

で終わりなので。

>>665
だから、数学者は世捨て人になるわけですね。
この世の出来事から、この世の常識から、できるだけ離れた位置に
自分を置くことで、数学の真理だけを抽出しようとするわけだ。

まあ、数学の世界では

「スーパーロボには、ナントカ合金があるとせよ」

で終わりなので。


まるでなぞなぞ

>>680
君の社交性が無い事を、数学のせいにされても困るよ。

近年、1=0.999999・・・・のなぞを解明したのは、やはり夏目漱石だと思う。
我輩はネコだって？なんで我輩がネコなんだよ？笑わせるなよｗ

坊ちゃん？　子供がどうだっていうの？そんなにおもしろい子なのか？
それからってどれからだよｗｗ
一万円の価値ねーよｗ

まあ、数学の世界では

「夏目漱石の中の人も大変だなぁ」

で終わりなので。

まあ、数学の世界では

「鬼太郎の胃液はなんでもとかす」

で終わりなので








なんで鬼太郎は大丈夫なんだ??

まあ、数学の世界では

「1=0.99999999・・・・・とせよ」

で(ry

>>679はたぶん、こういうことを言いたかったんだろうが

http://www.geocities.com/Heartland/Farm/7478/open-can.htm

こっちの方がおもろいよ
http://joi.ito.com/archives/2004/04/01/math_joke.html

>>683
>一万円の価値ねーよｗ
?

>678　by 513
＞私は自分の論ずるところは既にすべてもうしあげました

次は、この（↓）あたりで釣りをお楽しみください。

πって永遠に続く無理数なんだろ?
ttp://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1088351567/l50

"公理を疑おう派"の言ってることつまんねーよ
どうせおまえらε-δもわからずに偉そうなこと言ってんだろ？
それよりも超準解析厨ｷﾎﾞﾝﾇ

0.9 + 0.09 + 0.009 + .... = 1 だとして、
最後に足した 0.00 .... 009 というのがあったとしても、
それより小さい 0.00 .... 0009 っていうのがあるはずだよね？

昨日、久々に数学版行ったんです。数学版。
そしたらなんか人がめちゃくちゃいっぱいで更新できないんです。
で、よく見たらなんか新スレ立ってて、1=0.9999...とか書いてあるんです。
もうね、アホかと。馬鹿かと。
お前らな、1=0.9999...如きで普段来てない２ｃｈに来てんじゃねーよ、ボケが。
1=0.9999...だよ、1=0.9999...。
なんか真性ドキュンとかもいるし。ドキュンそろって数学版か。おめでてーな。
よーし煽っちゃうぞ、とか言ってるの。もう見てらんない。
お前らな、杉浦解析やるからその席空けろと。
数学版ってのはな、もっと殺伐としてるべきなんだよ。
スレッドに居合わせた奴といつ喧嘩が始まってもおかしくない、
刺すか刺されるか、そんな雰囲気がいいんじゃねーか。ドキュンども、すっこんでろ。
で、やっと見れたかと思ったら、そこにいる奴が、1=0.9999...は定義、とか言ってるんです。
そこでまたぶち切れですよ。
あのな、定義ですべてかたづけるなんてきょうび流行んねーんだよ。ボケが。
得意げな顔して何が、定義でしょ！、だ。
お前は本当に数学わかってるのかと問いたい。問い詰めたい。小１時間問い詰めたい。
お前、数学やってるって言いたいだけちゃうんかと。
数学通の俺から言わせてもらえば今、数学通の間での最新流行はやっぱり、
超準解析、これだね。
実数に無限大と無限小を加える。これが数学通のはやり。
超準解析には無限小が加わっている。そん故0.9999...について無限小も考えに入れなければならない。これ。
しかしこれで考えるとにちゃんねらーに真性ドキュン扱いされるという危険も伴う、諸刃の剣。
素人にはお薦め出来ない。
まあお前らド素人は、明らかに1=0.9999...とでも主張しなさいってこった。

下手したら 0.99999999・・・・・ > 1 になりそうな考えだな

てこらあ

>>693
もしかして e^-∞ = 0 とかですか？

>>665のような考え方してるのは数学基礎論やってる学生ぐらいで
大方の健全な数学者は、自分のやってることはこの上なくリアルで
現実そのものだぐらいに感じながら数学やってるよ

>>513
　　1cmの棒を1/3にすると0,3333……これだと割りきれたのか解らない
　　そこで単位の変更をする
例）1in=2,54cm
　　ここで、新しい単位nyと言うものを作る
　　1cm=3ny
　　3nyを1/3にすると1nyで割り切れる
　　つまり1/3=0,3333…で余り無し
　　になるかもしれない

>>697

うーん。たとえば選択公理の周辺では意見が分かれると思うけど？

>>697
んなことない。

と、基礎論の学生が申しております

>>698 では1/9nyは何センチなんだね?

世の中には1/2=2になる計算もある・・・　わかるかね?

Z_3

プラナリアを半分に切ったら2匹に分裂した、みたいな。

>>705 半分正解だねでも、それだと1/2個が1になるだけなので、
　　　まだ正解ではない　ほかにヒトデやサナダムシも似たようなものだね

DNA?

GT0のATの0.999・・・乗ってる。先月免許取得して中古探しに行ったら見た瞬間に即決した。
カッコイイ、マジで。そして速い。3で割ると0.333・・・、マジで。ちょっと
感動。しかも無限小数なのに自然数だから操作も簡単で良い。0.999・・・は力が無いと言わ
れてるけど個人的には速いと思う。1と比べればそりゃちょっとは違うかもし
れないけど、そんなに大差はないって店員も言ってたし、それは間違いないと思う。
ただ計算機とかで桁数足らないとちょっと怖いね。0にされちゃうし。
速度にかんしては多分1も0.999・・・も変わらないでしょ。1乗ったことないから
知らないけど小数点があるかないかでそんなに変わったらアホ臭くてだれも0.999・・・な
んて買わないでしょ。個人的には0.999・・・でも十分に速い。
嘘かと思われるかも知れないけど東関東自動車道で１４０桁位でマジでGT1を
抜いた。つまりはGT1ですらGT0の0.999・・・には勝てないと言うわけで、それだけでも個
人的には大満足です。

ヒントは、　二で割ったのに4倍になってるよね?

>>709

また電波が出てきたな。

殺伐としたスレに救世主的な記法が！

0.9(ry

で、
1=0.9(ry
なのか？

(ryは2chオリジナルな記号なので、その解釈には「数学者の間での定説」
が存在しない。

さあ、全国のアマチュア数学者のみなさん！腕の見せ所ですよ！

とりあえず、
>>667の
>実数論の無矛盾性は証明されていない
はスルーなのかと。

はあ？

>>513=678
何か議論らしきものをしたと思ってるみたいだけど独り言はいいから。
君は数学にびっくりするくらい向いていない。

>>714

証明されたの？

「真を証明することも偽を証明することも出来ない」
ということが証明されたんじゃないかな

http://members.at.infoseek.co.jp/nbz/ref/intro.html
実数の公理系（実閉体の初等理論）や複素数の公理系（代数閉体の初等理論）は完全であること，
つまりすべての命題の真偽がそこで決定されることがタルスキらによって示されている．

>>714はこれを無矛盾性の証明と勘違いしてたんじゃないか。ってかおれがそうなんだが。
いや、単に証明できるもんじゃないって言いたいだけかもしれんが。

で、この実閉体の初等理論とやら(おれはなんなのかよくわからん)は
完全性の証明が出来るわけだから、自然数論を含まないってことで、
無矛盾性の証明も不可能ではないってことじゃ。

実数の公理系と呼べるものが自然数論を含まないというのは一見奇妙だが、
たぶん数学的帰納法を含まないってことだと思うんだけど。

だれか詳しい人の降臨を希望したいのだが、このスレじゃ無理そう(笑

基礎論やってるやつはまあ、そのなんだ、あれだな

いずれにせよ、基礎論を踏まえて
0.9999… < 1
を論じている奴なんて皆無なわけだから、どうでもいいわけだが。

と基礎論の学生が申しております

基礎論を踏まえて無くてもさ・・・・

実数の公理では足りないとでも？

このスレでよく
１）1/3 * 3 = 1
２）1/3 = 0.3333・・
よって、
0.3333・・・ * 3 = 0.9999・・・
ゆえに
1=0.9999・・・

のような論法が出てくるが、10進数で考えているからややこしいだけで、
３進数であらわすと、
1/3 = 0.1
と循環小数にならずにきっちりと割り切れます。

「数」という抽象的な概念をどう表記するかだけの問題ですな。

釣りかもしれないが、

３進数で
0.22222・・・・・
は何だ？

>>725
十二指腸って人？

>>726
1

1÷2=1/2
×2=1 対して 0.9(ry/2≠1/2
×2≠1 ∴1≠0.9(ry

>>729
0.9(ry/2≠1/2
↑で結論(1≠0.999...)を仮定してる。

1=0.9999999...だとすると
1-0.9999999...=0となる。
これは明らかに俺を馬鹿にしている。
よって1>0.9999999...である。

>731 うん、君は馬鹿だ。

釣りかもしれないが、

３進数で
0.22222・・・・・
は何だ？

釣りかもしれないが、

2進数で
0.11111・・・・・
は何だ？

釣りかもしれないが、

1進数で
0.00000・・・・・
は何だ？

１進数なんか認められるのか？

0.999999999....>1。0.09でも0.0009でも少しずつでも大きくなれば、絶対に1は超える。数学的には絶対に違うことはわかってる。俺の考え方だから誰もなにもいわないでくれ…。

実は>>733がなにげに良いことをいっている。

小数の概念は、実は位置取り記法つまり二進数以上の進法にしか意味はない。
1進数で分数は表記できるけど小数は表記できないことでわかる。

1進数ではゼロを意味する記号として「0」は使えるけど桁取りに0はつかえないんだぜ。

1進数というのは、要するに0をいくつか並べて、並べた数で数を表すという
ものだろう。

0(1進法) = 0(10進法)
00(1) = 1(10)
000(1) = 2(10)
0000000000 = 9(10)

など。0(1) = 0(10)か、0(1) = 1(10)かで意見が分かれそうだが。

0(10進法) = 0(1進法)
1(10進法) = ...00000000000000000000(1進法)　ですが何か？

>599>725
　は、つまり>698
　を言いたいのか？

>>737
000000000(1) = 0*1^0 + 0*1^1 + 0*1^2 + 0*1^3 + 0*1^4 + 0*1^5 + 0*1^6 + 0*1^7 + 0*1^8
　　　　　　　　= 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0
じゃないのか?

>>737
> 0(1進法) = 0(10進法)
> 00(1) = 1(10)
> 000(1) = 2(10)
> 0000000000 = 9(10)

それは
...11111111110
...11111111100
...11111111000
...10000000000
とは違うのか。

記号一種類でどうやって数を表すかを考えると、
0を並べるしか方法が無い(いや、位取り記数法の形式から外れるのであれば他にもあるが。)
その一方、[>740]のような困難に当たる。

並べ方を工夫すればいいじゃないの？
ある桁の0を９０度回転して表示して見るとか、
あるいは、2行にわけて、0を表示するとか。2行目の0は位取りの0とか。

1 進法と言った場合は>>737の立場に立つのが普通。
少なくとも情報科学の計算量理論の立場では。

>744
その場合はゼロ元は
「」（何も書かない）
になる、でいいですか。

1進法・1進数なんて言わない。
位取りになってないんだから、「進」んでいない。

>746
同意。やっぱり１進数おかしいよな？

１０進数だと１桁増えると１０倍の数になり、
２進数だと、１桁増えると２倍になるが
１進数だけ１桁増えると、１大きい数になる

てのは気持ち悪い。

>>747
0進数は？

>>748
０進数というのはありません。そもそもＮ進数というのは、Ｎ個の記号で数を表すものなので、
（例えば２進数は０と１の２個記号を使う）
０個の記号（つまり記号がない！）で数を表すことはできないことから、０進数は考えられません。

おお、こんなスレがあったとは。
早く誰か、漏れにも分かるように結論づけすれ。
ちなみに漏れは高校の文系数学までしか分からんので、
微分積分程度の知識しかないからな！

>>750
微分積分程度の知識すら無いと思われ

何気に極限の知識が必要なところ。

実数の知識も。

実数を知らずして
1=0.999999…を語るなかれ。

2進数:
111 + 1
= 112 <- 繰り上がり
= 120
= 200
= 1000

1進数:
0 + 1
= 1 <- 繰り上がり
= 10
= 100
:
:

できりがないから繰り上がりするのを諦めて1と表す。
11 (1) = 1*1^1 + 1*1^0 = 2
111 (1) = 1*1^2 + 1*1^1 + 1*1^0 = 3

>>750
0.99999･･･=Σ｛from n=1 to ∞｝9×(1/10)^n=1

10進数　1進数
0　　　　
1　　　　1
2　　　　11
3　　　　111
4　　　　1111
5　　　　11111

1 = 1^0
2 = 1^1+1^0
3 = 1^2+1^1+1^0
4 = 1^3+1^2+1^1+1^0
5 = 1^4+1^3+1^2+1^1+1^0

だよ。
１の個数がそのまま数字
で、1進数ではゼロを表現できないんで
0を意味する記号として「0」または「φ」をつかう。

足し算
1+1 = 11
11+111 = 11111
引き算
111-1 = 11
111111-111 = 111
掛け算
11*111 = 111111
111*1111 = 111111111111
割り算
111111/11 = 111
111111/111 = 11
1進数で10以上表現したくないな。

>>757
きっと狩りなどをやってたころは1進数で事足りたんだろうね。
獲物の数やら仲間の数とか合図の種類なんかも少なくて。
集落とか道具なんかが増え始めてまとまった数字が必要に
なったのかもしれないね〜。

ﾏｯﾀﾘ(･ω･)してみたりして

∞を使わないで、=にする方法ない？

>>759
1=lim_[n→0](1-n)=0.999...

0.99999.....の
小数点以下に並ぶ数字9の個数をnとおいて
ｎ＝１のとき0.9<1
n=kのとき「１より小」が真　→　n=k+1のときも「１より小」は真
よって数学的帰納法によって
すべての自然数nにおいて
0.999999999............. < 1

それにも関わらず
0.999999999.............の値は「本当は」１なんだよ

>>761
>n=kのとき「１より小」が真

はい、減点。

>n=k+1のときも「１より小」は真

さらに減点。
あ、配点がなくなった。

くだらんあげあしとりはやめろ塾講師

>>761は本質的にダメだろ。何の証明にもなっとらん
釣りのつもりならゴミ、真面目ならヴァカ

>>763
ほっほう。これが揚げ足取りに見える、と。

そもそも、本設問において>>761の言うような
数学的帰納法が使えないのは自明であるわけだが。

ま、以前のクッキーそのまま使って
>>762=>>112がバレたのはご愛嬌、と。

１≠0,99999............
１＝菩薩拳（≠正拳）
独歩万歳

>>761
数学的帰納法では、任意のnに対して
0.999999999.............9 < 1
　　(↑n個)
ということしか分からず、極限については何も言っていない。

釣られてみました。

その数学的帰納法さえ使いこなせてないわけだが
n=kの仮定からn=k+1のときを導く根拠が不明

>>768
自明だろう。

n=k+1のときの主張自体は自明だが、n=kのときの仮定をどう利用してるの？
つまり、数学的帰納法を用いる必然性がどこにあるの？

０．９９＝０．９＋０．９×０．１＜０．９＋１×０．１＝１。

>>762
> >n=kのとき「１より小」が真
> はい、減点。
> >n=k+1のときも「１より小」は真
> さらに減点。

（´-`）.｡oO（なんでそこで分けて配点がつくんだろう…）

おいおいこんな調子で本当に最終スレなのかよ

まあ「最終スレRX」になって帰ってくる予定なので。

>>772は減点法という採点法を知らない模様

なんで減点。

776.999999……ゲット！

、、、なんかぜんぜんラッキーな感じがしないな。

>>777
まあ藻前は「ゲット！」にたどり着くことはないわけですが。

lim　　(1/n)＝0になるのが理解できないＹＯ！！！！！
n→∞

何度もこのスレで書いてるけど極限ってのは
「過程」という動的なものではなく静的なものなんだよ。
だから>>778の「たどり着く」なんて表現は全くの間違い。

例えば座標(1,0)と(0,x)を結ぶ直線はx→∞で傾きが0に近づいていくけど
「(1,0)と(0,x)を結ぶ直線」と考えている以上xがどんなに大きくなっても傾きが0になることはない。
そりゃ(0,x)を通る＝(0,x)でx軸と交わる、なんだから当たり前。
でもx→∞のときの極限ってのはy=1であって、x軸とは交わらないんだよ。

わかるか？交わる状態から交わらない状態に結果としてたどり着いたんじゃないぞ。
極限としての「交わらない状態」がいきなり存在してるんだ。

Re:>779 それはアルキメデスの原理と同値、と言えば分かるかな？

とりあえず、順序体であることぐらいは仮定しよう。

>>770
仮定を利用しているわけじゃなくて自明
で、数学的帰納法の用件を満たしていることを示している

「減点」なんて書いてるやつは小学校の生徒を指導するのが関の山の
ただの馬鹿

>>770が言ってるのは、n+1のとき成り立つことを示すときに、
nのときに成り立ってるという仮定を使わずに自明ということで示せるなら、
最初から、任意の n に対して �納k=1,n]9*10^-k<1 は自明、で済むことで、
(確かに帰納法の用件は満たしてて使えるけど)帰納法を使う必要はない。ということ。

これは真っ当な意見。ただ、>>761の結論が間違ってると言ってるわけではない。

>>761の結論は何故ダメかというのは>>767の説明が適切。

しかし、減点厨は>>762で何に突っ込んでるのか不明だし、
>>765では帰納法が使えないから結論が間違ってるなどとアホなことを言っている。

わかりましたか?>>783

極限の部分を定義どおりに書いてごらん。

自民党に投票しないヤツは非国民。

勘違いな方向からケチをつけるアホがいたので釣りはいちおう
成功したわけだ

本題に戻るが、
きみらはなぜ、極限について語らねばならんと
勝手に決めつけるのかね。
0.999999999999・・・・・　のどこに極限の記号があるのかね。
え？ふしあなどもよ

>>787

普通の数学の話をする限りは、0.999…ってのは数列a_n = 1 - (1/10)^nの極限値
の事だと解釈するのが妥当だと思うが。

いや、君が普通の数学の話をするのがイヤだってんなら別にいいですよ。それなら
それで、0.999…という記号の表すものをあなたが自分で適当に定義してくださいな。

あのな、普通の数学の話がしたいやつがこんなとこに来るかね。
おちょくっているにきまっとろうが

ここに来る厨の大半は、「普通の数学」だと自分が信じるところのものについて
話に来るんじゃないかな。

lim_{n→∞}(�農{k=1}^{n}(9/10^k))ってのをさ、人間が紙に書き出すんだよ。
9/10+9/100+9/1000云々っていうふうにレポート用紙を埋めていくわけさ。
そうすんとさ、10分もすりゃペンを持った手が痛くなってきてさ、
見たい萌えアニメとかも始まってさ、同人イベントの会場時間も迫ってきてさ、
ﾏﾝﾄﾞｸｾてなってその紙をごみ箱にポイするわな。
そうすんとlim_{n→∞}(�農{k=1}^{n}(9/10^k))は0.999999999999999999999999
あたりで止まっちまうからそのﾃﾞﾌﾞｦﾀﾋｯｷｰにとって「=1」は成り立たないまま糸冬了だろ。
でもよ、数ｦﾀﾋｯｷｰが脳内でスマートにﾊｧﾊｧこねくりまわすと「=1」になって出てくると。
lim_{n→∞}(�農{k=1}^{n}(9/10^k))っつーのは数学では1なんだよ。
でも人の手で一生懸命分解して書き出そうとすると1にはならないんじゃねーかと思ったよ。
そんなかんじで自分を納得させるよ。
厨扱いしてくれ。ああ。ああ。構わないとも。

計算するとか書き下すとかいう操作で考えるからよくない。

みんなぁ、仲良く雑談行くわよぉ。

>>791
アチキが前に言いたかったのはまさしくそれなんでつよ。
直観論理の世界では、人間には不可能な「無限回の操作」が許されない
から、�農{k=1}^{n}(9/10^k) は n をいくら大きくしたところで絶対に
1 にはならない。

でも、スレタイの主旨からは、無限の操作が許される感じなので、結局
のところ 1 = 0.9999...... で落ち着くのだと思う。まぁ、無限小とか
持ち出して話をややこしくするのは簡単だけどね。漏れはﾏﾝﾄﾞｸｻｰなので
誰か代わりに考えて(無責任

>>794
> 直観論理の世界では、人間には不可能な「無限回の操作」が許されない

したがって、0.9999......は存在しない
したがって、1 = 0.9999...... は正しい

でいいのかな

>>795
そんな感じかな。さっき書き忘れたけど、直観論理でも「一定の
手続きに基づく無限の操作」は許される。
ex. 無限足の靴から左足の分だけ取り出す
だから「0.999...」を直観論理で解釈するなら、9 が後ろに続いて
いるとしか考えられない。したがって、それは必然的に 1 でないと
おかしい、ということ。

「無限の操作」なんて概念を用いてる時点でダウト。
とりあえずε-Nの形式で書き下してみなさい。

>>797
自分で書いといて何だが、少し混乱してた。漏れの主張は >>796 に書いた
とおり。

ε - N は「お腹いっぱい」「(・∀・)ｶｴﾚ!!」とか言われるのがオチなので
今更書かないよ。

確かにお腹いっぱいといわれそうだが、それを納得してもらわないと
数学は先に進めないものだという罠。

てゆうか後200レスで納得いかない人はもうなにをいっても納得しないということで

ぬろぽ

トポロジー入門を読め, トポロジー入門を読め, 彼は我らの(ry

最終スレと言い出した奴が悪い
余裕で次スレある

>>791
まぁ、無限桁まで書き下すなんて不可能だからな。

しかし、なんで
lim_{n→∞}(1/n) = 1
になるんだ？
今まで、なんとなく納得してきたわけだが、このスレみてよく考えてみたら分らんことに気付いた。
証明ｷﾎﾞﾝ

訂正）
×　lim_{n→∞}(1/n) = 1
〇　lim_{n→∞}(1/n) = 0

正の数εを任意にとる。このとき、1/εも正の数である。
アルキメデスの原理から、ある自然数Nで、N > 1/εとなるようにできる。
Nより大きい全ての整数nに対して、n > 1/ε、すなわち1/n < εが成り立つ。

>>805
1 + (1/2) + (1/3) + (1/4) + ....
計算してみれ

そもそも、極限とはなにかについて考えてみる。
極限をとるということを数式で描くと↓のようになる。
lim_{n→a}f(n) = b
これは、「nを限りなくaに近づけると、関数f(n)は限りなくbに近づく」ということを表している。
すなわち「どのような値に限りなく近づくか？」が極限の意味である。

一方、0.99999・・・の「・・・」は何を表しているかというと、9がそれ以降ずっと続くと言うことを
表していると考えることができる。
よって、「0.999・・・の桁数を無限に増やしてやるとその値は1に限りなく近づく」ということが
できる。

しかし、ここで、単純に「0.999・・・」なる表記では、「その桁数を増やしたときにどのような値に近づくか？」
などという文脈を読み取ることはできない。
そもそも、このような表記法は数学的に厳密に定義されているわけではない。

よって、「1 = 0.999・・・」とかくのは厳密には正しくないと思う。

要するに、
0.999・・・≠lim_{n→∞}(�農{k=1}^{n}(9/10^k)) = 1

>>807
なるほど、ありが�d。

>>809はすばらしい。決定版だ。これで終了。

１だと主張したいのなら、極限値の記号をきっちり書けちゅうことやね。
あいまいな問題には答えが無いという、当たり前の結論だ。

時差籤円

みんながおまえと同レヴェルだと思うな着違い

>>809
そうすると、君にとっては
π≠3.141…
√2≠1.414…
なわけだな？

>>816
当然

>>817
809の留守中におまえのようなアホが以下略

貴君達はまだそんな議論をしているのかね？
以前、私が言ったことを実行すれば1＝0.9999・・・・・・の問題なんてすぐに解決する筈だと言ったであろうに。

>>809
を嫁、819。
おまえの出番はない

>>816
これはバカの言いがかりに過ぎない。

厳密に言えば≠であるものを＝とあらわすことは数学では絶対にない。
厳密に＝だから＝と表すのだ。

√(2)=1.41421356
なども本当は間違いだということ。

>>822
本当はどころか完全に間違いじゃねーか。
そんな風に書くのは文系のおまえだけじゃね。

理系の問題でしばしば見かける
log(2)=0.3
なんかも本当は間違いだということ。

＞821
0.999999......が厳密な表記だと言い張るおまえはKIT馬鹿

log2 = 1だよな。

そうそう

>>825
ろりろりした。非常にろりめいた。

とでも言って欲しいか？

>>825
そんなことどこに書いてあるのだらうか・・・

>>829
先っぽから２ｃｍのところ

ﾂﾏﾝﾈ

ﾂﾏﾝﾈって言わなきゃよかった
いまは公開してる

ﾂﾏﾝﾈ

このｽﾚはﾈﾀにﾏｼﾞﾚｽしていいんですかね？

ネタだと思ってたら、結構マジだったりするのがこのスレの
恐ろしいところだ。

f(x)=(x+9)/10という関数を考える。これは[0,1)に含まれる実数に対して
10進表示で「左端（1の位）を"9"に書き換えてから1桁右シフトする」効果がある。
0.999…はこの関数の不動点。

> そもそも、このような表記法は数学的に厳密に定義されているわけではない。

されてますよ。

ていうか「表記法」って大抵の場合厳密に定義されない気がする。

数学ってのは大抵の場合記述されるものだから、記述法について、
数学で厳密に定義すると、循環してしまうのか。

>>820
言いがかりだという以上は、π＝3.141…、√2＝1.414…なのだな？
しかし一方で1≠0.999…であり、その理由は無限小数自体が厳密に定義されないからだと言う。

お前はここに矛盾、あるいはダブルスタンダードを感じないのか？

馬鹿はひとりで悩んでなさいってこった

1に限りなく近付くが、1にはならない。
一方、1にはならないが、1に収束する。
これは＝と表記するべきなのか。≠と表記するべきなのか。

Re:>842
lim_{n→∞}(f(n))=1

極限とかの記号で表しているのは、「1に限りなく近付く」「1に収束する」の１のことで、
その数列とか変化する対象が実際に１になるかどうかは気にしないんじゃない？

貴君達へ。
功力の導入した超関数を用いるか、コシェルマン曲線を用いるかしかこの問題を完全に解決する手法はないと思いを致すべきである。

ヨタはすっこんでろ

>>837　　　　　　　　　　　　　　　　　 　.
それはこんなやつじゃないの　→　0.9

809の解決の仕方って、なんかヤマジンに似てる。

つっこみすらなくスルーとは悲しい…orz

>>849
2chなんてそんなもんさ。

貴君達はまさかコシェルマン曲線すら知らないと言うのかね？

>>851
自慢話ならよそでどうぞ

>>851
スーペタンの徘徊定理って知ってるか

>>853
それは離散数学の分野ですか？差分方程式の線形化理論で離散数学には少し触れたが、
専門が微分方程式論を中心とする大域解析学なものでその定理は知りません。
貴君達はどのような分野の研究をされているのですか？

URL = javascript:n=1/3;n.toString(10);
result = 0.3333333333333333

URL = javascript:n=1/3;m=n*3;m.toString(10);
result = 1

　　　　　　｜　
　　　　　　｜
　　　　　　｜
　　 ぱくっ｜
　　　　　／V＼
　　　　/◎;;;,;,,,,ヽ
　＿　ﾑ::::(,,ﾟДﾟ)::|
ヽﾂ.（ﾉ:::::::::.:::::.:..|）
　 ヾソ:::::::::::::::::.:ﾉ
　　 ｀ ー U'"U'

ttp://www.mainichi-msn.co.jp/today/news/20040717k0000m040156000c.html

>809
>そもそも、このような表記法は数学的に厳密に定義されているわけではない。

>よって、「1 = 0.999・・・」とかくのは厳密には正しくないと思う。

厳密に定義されてないもの　に
”厳密には正しくない”　とか　”正しい”

という判断をすることじたいおかしい

>>858
「正しくないと思う」
という表現をしている時点で厳密な話は既に出来ない

貴君達の議論は無意味である。

はじめてまともなことを言った

lim[n→∞]Σ[k=1,n](9×10^-k) を意味しない「0.999・・・」には議論する価値も無いので
暗黙の了解として「0.999・・・＝lim[n→∞]Σ[k=1,n](9×10^-k)」とみなしているだけ。

これで、解決だな。

終了

809で解決済み

脚の折れたこどもガラスをつかまえて
ダンボールの箱に入れ
こどもたちが砂場の砂をつかんでカラスに投げつけている

おばはんが近寄ってきて
「そんなことしたらアカン。可哀想やろ」と何度か言うが
こどもらはますます砂や石をなげつける

女の子の声が聞こえてくる
「このカラス、タンコブできてるで、血が出てるやろ」

おれはその様子を窓から見下ろしながら
ケタケタ笑う。

ガキは邪悪ないきものだ。

便宜的に
0.999･･･ = lim[n→∞]Σ[k=1,n](9×10^-k)
としているわけだな。

0.9999・・・・＝3×0.333・・・・
と言い出す人が出てきてループ再開

>>862
>lim[n→∞]Σ[k=1,n](9×10^-k) を意味しない「0.999・・・」には議論する価値も無いので
価値が無いとは思わないが、その他は同意。

価値が無いというより、
それ以外の「0.999・・・」はどう議論したらいいんだ。

>>869
>>643へ

まぁ、「0.999・・・」以下桁がいくらでも増やせるとなったら、その極限はどうなるか？
って考えるのは自然かもしれないけどね。

>>865
不愉快だ

あ、そ

>>872
どうしたらそんなつまらないレスがつけられるの？
あなたのこれまでの人生にとても興味があります。

>>873
>>873

実数の完備性を知らないDQNが集うスレはここですか？

え？　実数の完備性と関係ある話なの？

Re:>876
おや、そんなことも分からないか。
完備性なしでどうやってlimを計算する？

０．９９９…≠１と言い張るやつに、
では０．９９９…と１の間にあるの数を挙げてみなさいと逆に問い詰める。

0.9999・・・・は実数なのか？

>>878

そもそも0.999…は「数」ではない。と言い張る奴が現れるだけ。

０．９９９…と１の間にあるの数
０．９９９…と１の間にあるの数
０．９９９…と１の間にあるの数
０．９９９…と１の間にあるの数
０．９９９…と１の間にあるの数
０．９９９…と１の間にあるの数
０．９９９…と１の間にあるの数
０．９９９…と１の間にあるの数

warota

収束するコーシー列

lim[n→∞]Σ[k=1,n](9×10^-k) = 1
となるように lim[n→∞]Σ[k=1,n](9×10^-k) を定義したんじゃないの？

0.999・・・＝lim[n→∞]Σ[k=1,n](9×10^-k)
は、数学の勉強している優等生が考えることで、そんなことでは疑問に思ってる人の解決にはならない。

あと100レスくらいで、全てに終止符が打たれてしまう。
思うところがあれば今の内に述べよ。

1=0.99999999・・・・・
これMoreraが小学校の時教科書に載ってたけど、今でもあるのかな。

>>884

つまり、数学板では解決できないということだな。
「よいこのためのさんすう板」とかなら解決できるかもね。

888ｹﾞﾄ

最終スレの次は何スレ？

優等生





どこの小学校だ？

>>888

1=0.99999999・・・・・Ｒ
1=0.99999999・・・・・＃
1=0.99999999・・・・・Ｚ
1=0.99999999・・・・・新たなる旅立ち
1=0.99999999・・・・・The New Generation

>>888
1=0.99999999・・・・・　最終スレ2

二番目のは、どっかーん、とかに続いていくわけだな。イヤだなー。

まあゲド戦記も、最後の書とか言ってたくせに、続編出たしな。

>>884
＞数学の勉強している優等生が考えることで、そんなことでは疑問に思ってる人の解決にはならない。
　^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
ここは数学板なのに、なぜわざわざ「数学の勉強している」という言葉を
付ける必要があるのか？

疑問に思ってる人＝哲厨
ということか。

哲厨は数学板に来るな。

0.9 ＝ 9/10
0.99 ＝ 9/10 ＋ 9/100
0.999 ＝ 9/10 ＋ 9/100 ＋ 9/1000 ＝ Σ[k=1,3](9/10^k)
0.999…9 (n個の9) ＝ 9/10 ＋ 9/100 ＋ 9/1000 ＋…＋ 9/10^n ＝ Σ[k=1,n](9/10^k)

0.999… ＝ lim[n→∞]Σ[k=1,n](9×10^-k)

lim[n→∞]Σ[k=1,n](9×10^-k) というのは、
優等生が天下り式に定義してみせたモノではなく、
自然な解釈を、議論で扱えるような式にしたもの。

>>888

1=0.99999999・・・・・　リターンズ

>>888
2=1.99999999・・・・・

いやほんと正直0.99999…を\sum_{n=1}^\infty9\times10^{-n}以外であるとしたい奴は何がしたいのかわからん．

>>888
1=0.1111111111・・・・(2進数)

900ｹﾞﾄ

Ａ：0.151515・・・
Ｂ：3.14159・・・
Ｃ：4.38403・・・

これらの「・・・」の意味は
Ａは同じ数字（15）の繰り返しが続きますよ（15÷99）
Ｂは繰り返しではないけど無限に続きますよ（π）
Ｃは無限には続かないよ、大体の数値を表してるよ（4707319808 ÷ (1024^3)）
と、それぞれ異なる。（別のパターンもあったら追加キボン）


「・・・」という表記が数学的に厳密に定義されている
と主張する人は、Ａ・Ｂ・Ｃでの使われ方まで踏まえた上で
「・・・」の定義を語ってくれ。

逆に、
「・・・」が厳密に定義されていないから議論は無意味
と主張する人はそれで終了。
もう来る必要はありません。

「0.99999・・・」で議論ができると考えている人で
「小数点以下9が無限に並んでいるもの（lim[n→∞]Σ[k=1,n](9×10^-k)）」という
暗黙の了解以外の解釈をする人は、
妥当だと思われる解釈を示してください。

0.999・・・＝lim[n→∞]Σ[k=1,n](9×10^-k)
を認める人は、その式が「≠１」または「＝１」である事を示してください。

>>902
多くの人は、

小数点以下9が無限に並んでいるもの
⇒（lim[n→∞]Σ[k=1,n](9×10^-k)）

がすんなり理解できないのではないかと

0.999・・・＝lim[n→∞]Σ[k=1,n](9×10^-k)
　　　　　　= 0.9/(1-0.1)
　　　　　　= 1

勝手にすんなり理解しとけよバカは

ここで救世主的記法ですよ。
def.
　0.99ry = lim[n→∞]Σ[k=1,n](9×10^-k)

>>903
そこは別に理解してもらわなくてもいいんだけど。
「小数点以下9が無限に並んでいるもの」だけで十分。

「（lim[n→∞]Σ[k=1,n](9×10^-k)）」というのは、
上記の説明が定義として不完全だという主張に対する事前の回避措置。

あと、
｜小数点以下9が無限に並んでいるもの
｜⇒（lim[n→∞]Σ[k=1,n](9×10^-k)）
の説明は、>>895でどうだろうか。
各記号 (lim や Σ) はまた別に説明するとして。

あーあやっぱり$1\neq0.9999…$派は屁理屈だらけ．
論点を左右に振って結論から逃げ回ってるだけ．負けず嫌いの馬鹿の典型だね．

そりゃおまえのことだが

鸚鵡返ししか出来ないのかよ(ﾜﾗ
しかも上手く返せてないし．

くやしいか、そうかそうかよかったな

どっちも勝ち誇った顔で書き込んでんだろうなあ…心底くだらないなあ…

くだらないといいながら見てるおまえは

じつは「鸚鵡返し」じゃないしな

貴君達には一度私が直接講義しなければならないかもしれない。
2号館に来なさいと言いたいが来れない方が多いであろうか。

抗議のまちがいか

そろそろくだらん議論が終わってくれそうで正直ほっとしています。

>>809ですでに終わってますが何か

では次スレでは2=1.99999999999･･･について熱く語り合いましょう。

>>920
それは美しい式とは言いがたい。
むしろ10=9.999999999…について
細々と語り合いたいわけだが。

じゃぁ、
0.88888…= 0.9 なのか？

貴君達、やはり私の数論幾何の講義を聴きなさい。

>>923
ではどうぞ。

>>922
アフォすぎ

では次スレでは1=0.11111111111･･･について熱く語り合いましょう。

結局最終スレとはならなかったようだな。
数学板上、永遠に残る未解決問題になりそうな予感。

宇宙戦艦ヤマトみたいなもんだな。

次スレタイは
「さらば1=0.999999999…」か？

いやそれだと1≠0.999999999…を主張するスレのようだな

｢1=0.999999999…よ永久に｣
とかヤマトにこだわらず
｢帰ってきた1=0.999999999…｣
とか。次スレのスレタイに期待。

いっそ、
「1=0.9・・・大地に立つ」
で第一話からはじめるとか。

0.99999・・・がなんで１なんですか？
無理数×有理数は無理数ですよね
なら１÷３×３＝１なのはなぜですか？

1÷3が有理数だから