整数論総合スレッド

みんなで仲良く語らって知識を深めましょう!!

数論バンザイ2get

素数ゲット

x^n+y^m=z^l (x,y,z,n,m,l∈N)の解ってどれくらいわかってるの？

素数ゲットｫ

単なる合成数ｹﾞｯﾄｫ

>>6
完全数！

>>1が盛り上げなければ糞スレのまま終了する訳だが。

素数以外の整数論における未解決問題を挙げれ >>all

こらっつ予想

素数以外ねぇ〜。
『奇数の完全数が存在するか？』
なんていうのは有名な未解決問題かな？

素数に関する問題なら、
未解決：
多項式で現される素数の無限性、Goldbach予想、n組素数問題…

解決：
多項式時間の素数判定アルゴリズムの存在など

リーマン予想は依然として未解決問題

何か変り種の整数論の本ってないですか？

Rebenboim, Catalan's Conjecture

>>14
Surveyを中心に、探せばいくらでもある

L. K. Hua, Additive theory of prime numbers

＞L. K. Hua, Additive theory of prime numbers
古い
（元北京科学院所長）

でも海外の書店探すとその本を結構売ってたりするわけだが。

しかし中国は伝統的に数論学者が多いが、文化大革命の時はどうしてたのかな？
Chenの(1, 2)定理の証明の発表が遅れたのは文化大革命が原因だと言われているが。

Hua の
数論導引
を読んだ事が有る
（厚い本）

代数的整数論
ttp://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4431709010/qid=1091052214/sr=1-7/ref=sr_1_10_7/250-2308641-5486620
を買った。それだけ。

はじめよう数学ってまだシリーズが続いてたんだ。
ttp://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4535608458/qid=1091052214/sr=1-3/ref=sr_1_10_3/250-2308641-5486620

0時に現れます

分かりました。
２３時くらいからちょくちょくきます。
一応sage進行でいきましょう。

>>14
Narkiewicz, Classical problems in number theory
というのはどうですか？
古典的な数論の問題に対する今までの成果を詳しく解説してる。

>>19
英訳を読んだことがあるが、話題が幅広くていいね。ペル方程式を
詳しく扱ってる入門書はこの本くらいしかない。

欧米の一般向け数学雑誌（日本の数学セミナーのような
講座はほとんど無く、あくまで一般向け）
で良く引用される Dikson の整数論史は本当に一般向けで面白い。

内容は不定方程式を中心に多角数、メルセンヌ数、フェルマ数、
平方和、立方和、分割数、二次形式、高次形式、分割数・・・・
ぜひ一読の本である。

素数分布に付いて割かれているページは僅かで、
代数的整数論、類体論などの項目は無いから、高木貞治は引用されていないが、
多くの日本人に業績が引用されている。

これに付いては、いずれ日本人の数学スレで述べよう。

ノシ

ｷﾀ━━━ヽ(∀ﾟ )人(ﾟ∀ﾟ)人( ﾟ∀)人(∀ﾟ )人(ﾟ∀ﾟ)人( ﾟ∀)ﾉ━━━ !!!

で何をするのかと・・・ｗｗ

そういえば昨日いくつか問題を出しましたが（年下なので敬語）、出典は↓
http://omega.boo.jp/omosiro/microsoft.html

おーー丸々おなじ問題だな

>>29
ネット上だし荒くなければ言葉遣いはなんでもいいかと。。。

はい。
まぁ何がしたいかと言われれば、昨日あって同じ大学（学部は全然違うが）を受験するのも何かの縁かなと思いまして。
よっかたら以後連絡をとりたいなと。

ですね、こつこつ近況報告とかできたらおもしろいですね

出身地、出身高校は以後タブーでよろ

受かったら本に書くよ。

＞出身地、出身高校は以後タブーでよろ
はい。

俺がどっかの掲示板にyahooのアドレスを書くので（２ｃｈには書きたくない）フリメでいいので
たまにメール交換しませんか？

>>34

いいけどフリメのアドレス作ル必要があるな・・・・
というka
みず知らずの俺にアドレスとか教えて良いの？

>>35
俺はフリメ持ってるのでそこを使います。
アドレスは教えても大丈夫だと思います。
２ｃｈでも大学受験板では普通に同大学志望者でホットメールのメアド交換してますし。

俺すでにフリメ持ってるから新しいアカウント作ってくる


|彡ｻｯ

できたら教えてください

↑
「作ったよ」って知らせてくださいという意味です。

ちょっとまってね。
やり方をいちいち確認しながらやってて
カツ失敗続きなもんで

全然大丈夫ですよ。
ゆっくりどうぞ。

ノシ

http://www14.jp-net.ne.jp/rbf/0001/sample.html
このサンプル掲示板に「元数学好き」という名前でカキコしてます。
そこにメアド欄にメアドが書いてあります。
すぐに消しますので。

消していいですか？

うん


間違えたよ

俺のアドレスも世間に晒しちまｔった



初歩的ミス・・

>>46
消しました。
たぶん大丈夫だと思うんですが。
携帯ならともかく、フリメであれば･･･
今日は眠いですよね？
お疲れ様でした。
たまにメールします。

実は今日は昼から7時間寝た・・・・＿|￣|○

俺達のせいですねｗｗ
スイマセン。
俺も２〜３時間夕方仮眠取りました。
徹夜はきついなぁ

メール送ったのはいいが
送信保存してなかったから今から折り返してくれ・・・

登録してねーや

さっき送り返しましたが、もう１回送りましょうか？

北北

今んとこ正常にいけてるよね？

今日はどうしますか？
この後、問題を解くでも寝るでもどっちでもいいですが。
まかせします。

>>53
大丈夫ですよ。

じゃあ問題を一問だそうか


某所で昨日の問題が張られてたよ

この質問を読んで答えを考えてみて下さい。
そして一番下までスクロ−ルして結果を見て下さい。
これはトリック問題ではありません。読んだ通りです。
私の知っている者は誰も正解していません、私も含め。

ある女性が自分の母の葬式で見知らぬ男性に会いました。
彼女はこの男性にとても惹かれました。彼が夢にまでみた相手だと思い、
その場で恋に落ちました。しかし電話場号を聞かず、
どんなに努力しても彼を見つける事が出来ませんでした。
数日後、彼女は姉（妹）を殺しました。

【問題】
彼女が姉（妹）を殺害した動悸は何でしょうか？
解答する前に少し考えてみて下さい。

昨日の問題ってＰＱですか？
マイクロソフトですか？

南極の奴だよ

今リアルタイムで張られてるんだが


答えはろうか？？こんな問題出してすまない・・・

>>60
ちょっとお待ちを。

なかなか難しいですね。
あまり論理的でないが
「どんなに努力しても彼を見つける事が出来ませんでした。 数日後、彼女は姉（妹）を殺しました。」
この文章の間に中略があるのかな？
普通に考えると「妹の彼氏だった」ってことかな？
たぶん違うなぁ

数日後ってあるから、その数日の間に妹か姉が「私の彼氏」って言って紹介したのかな？

答えをはっても起こらないでね

答え知らずに問題先張りしちゃったから・・

どうぞ。怒りませんよ。

【答え】
彼女はその男性が再び葬式に現れる事を望んでいました。

もし答えが正解ならば、あなたは人格異常者のような考えをしています。
これは殺人者と同じ精神構造をもっているかテストするために使用される、
とある有名なアメリカの心理学者によるテストでした。
逮捕された多くの連続殺人犯がこのテストに参加し、質問に正解しています。
もしあなたが正解していなかったとしたら・・良かったですね。

なんだこいつら…
と思って検索かけたら
ttp://live8.2ch.net/test/read.cgi/livetbs/1091021970/367-370

おいおい、何でこのスレを雑談スレに選んだんだ？

正解しちまったよ・・・

ってか、ここ、何？

>>66
なるほど･･･
間違えてよかった。
だけどその問題は頭がいい人なら普通にできると思いますがね。

さかきばらは軽く正解したらしい

>>67-68
ほんとにスイマセンもうすぐ消えます

>>67-68

クイズやっていきませんか？

お好きなように・・・

世界中にピアノの調律師は何人いるでしょう？（インターネットで調べてもかまいません）

>>67
以前から数学板に来てて、まったりできるところを探してここに･･･

なんか良問一問といたら寝る

なんか推理っぽいのが良いな

>>77
74を解きます？それとも別のときますか？
74は明確な答えはないですよね。

なんか探してきてくれるかい？？

>>79
探してきます〜

　病院から探偵事務所に通勤してもよいという許可をもらった。
ここが私のディスクか……乱雑でだらしのない人間が使ってい
た机のように見える……相当忙しかったのだろう……と思って
いたら、その通りだったらしく、すぐに依頼人が現れた。相手
は美しい未亡人だ。
「私の夫は亡くなる前に財産を全て隠しています。親戚の者達が
みんな自分の物にしようとねらっているのです。大勢いる奉公人
や女中達まで、みんな財産をねらっているのです。夫が死ぬ前に
財産は全て妻である私のものだと宣言したのですが、周りにいた
親戚が聞いていないと言い張ります。結局見つけた者が自分の物
にするというひどい話になりまして……今日、旦那様の部屋を掃
除しておりますと、ベッドの下にこんな紙切れを見つけたのです。
ほら、愛する妻へと書かれています。どうか隠してある場所を
見つけて下さい」
　出されたメモの中身はこうだ。

５：　２−２　：　１−１　：　４−１　：１−１−１：２−２：５
５：２−１−２：２−１−２：１−２−１：　１−１　：２−２：５

　謎というほどのものではない。易しいので一目で解読したが、
無償で働いている助手達が可愛そうだ。私もちょっと調べたい
こともあるので、この仕事を回すようにしよう。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　,／|ﾐ=､
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ／　 .|ﾐﾐﾐ|
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.|　 　 |ﾐﾐﾐ|
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ,／|ﾐ|　　　|ﾐﾐﾐ|
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　,／　 |ﾐ|　　　|ﾐﾐﾐ|
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 |　 　 |ﾐ|　　　|ﾐﾐﾐ|
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　　　　　　|　 　 |ﾐ|　　　|ﾐﾐﾐ|
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　　　| 　 　|ﾐ| 　 　|ﾐﾐﾐ|
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　　　| 　　 |ﾐ| 　 　|ﾐﾐﾐ|
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　|　 　 |ﾐ| 　 　|ﾐﾐﾐ|
　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　_,-'"|.　　 |ﾐ|　　　|ﾐﾐﾐ|
　　　　　　　　　　　　 _,. -'' "￣~ﾞ三=-_､_　　　 _,.-'"　　 |.　　 |ﾐ|　　　!ﾐﾐﾐ|
　　　　　　　　　 ,,.-''"　r _､ 　 　　　三三ﾀ_,.-''"　　　 　 |　 　|ミ|　 ,.彡ヾﾐ|
　　　　　　　　／　　　 i {ぃ}} 　 　 　 _ﾆ/　　　 　 　 -=三|　　｣ミﾋ彡彡ｲﾐヾ
　　　　　　　/,.､　　 　 `--"　　　　　 ﾆｌ 　 　　-=ﾆ三=-''レ彡ﾐﾐr'"　 　|ﾐﾐﾐ|
　　　　　　 ｌ {ゞ}　　　　i　　　　　　　　.ﾆl==三三ﾆ=''"　 　,＞'"|ﾐ|　　　 |ﾐﾐﾐ|
　　　　　　.l　`" i_,,...-''| 　 　　　 　 　 ニ`=-=i'"　 　 　 　|　　　|ﾐｌ,..-=彡ヾﾐ|
　　　　　_,.-!　 　 !　　i　　　　 　 　　-ﾆ三三/ 　 　 　 　 L.. -ﾆヾ|ヾ彡'='''"
　 　 　 l´,.- l 　 　＼/　　　　 　　 -ﾆ三三／　　　　　　　 ヾ-‐''"
　　_.　 !　ｒi　l＼　　　　 　　__--三三三='"
　 j'‘´l `´ |　!　 `　ミ三三三三三＝''"
　i',.. '´}　　|　|
　 l,.. r´　　 '´
　　 }

>>82
>>81は激ムズなんで他の問題を探してきます
その間に81でも考えといてください

ちょっと夜食作ってくる

昨日の問題に似てます

では問題です。
ある国では犯罪者を牢屋に入れるときにチャレンジコースを造りました。
受刑者は３人一組で赤か白の帽子をかぶって自分の帽子の色が何色かを当てたらその場で刑を
免除されます。
また２人が赤い帽子をかぶっているのを見たら刑は免除されます。

しかし、間違えたり不正があったら死刑になってしまいます。
そのなかである囚人は自分の帽子の色を見事的中させ刑を免除されました。
さて　受刑者はどうやって帽子の色を当てたのでしょうか？

�@完全防音の部屋で一部屋に一人とする。
�A３人が互いに姿を確認できるような構造であること
�B答えには勘とかたまたまとかはありませんので念のため

ヒント　その受刑者から見た他の受刑者の帽子は両方白でした

>>74
ピアノがペアノに見えた…orz

今火使ってるから10分後またね


|彡ｻｯ

>>85

似たようなの見たことあるよ

ノシ


いも焼いてきた

(ﾟдﾟ)ｳﾏｰ

６０分ｎ蚊取り線香が２つあります。
４５分を測ってください。

そういえば数学好きは出しても待たなきゃ駄目なんだな


なんかさがしてくる

答えないみたいだけどいい？？

>>81は

　　　　　５２１４１２５
　　　　　　・・・・・
　　　　　　２１１１２
　　　　　　　　　・
　　　　　　　　　１
５　　　　□■■■■■□
２・１・２■■□■□■■
２・１・２■■□■□■■
１・２・１■□□■■□■
１・１　　■□□□□□■
２・２　　■■□□□■■
５　　　　□■■■■■□

家の時計を調べろということらしいです

３月２７日　もうあの事件が起きてから一ヶ月もたつ、今ごろになり重要
な目撃証言が現れた、目撃者の協力により渡部学２２歳を容疑者として
あげることができた、 事件が起きたのは２月２５日、静岡県清水市、大
場友子２０歳が睡眠薬を多量に飲まされ崖から突き落とされ死亡、近く
の海岸で発見された、、死亡推定時刻は２５日１０時３０分である。 千
県千葉市に在住の容疑者である渡部はその日、友達のいる函館まで
車でむかったと言っている、朝７時過ぎにこの日、自分の車で出かけた
と、両親の証言があり、この日に出かけたのは間違い
　

なさそうだ、千葉市から清水市まで３時間、、行けない距離でもない、
、ここで逮捕に踏み切ろうとしたが渡部には完璧のアリバイがあった
、、函館でスピード違反で捕まっていたのだ時間は２２時２３分、オー
ビスに写された写真から、本人が乗っていることと、車のナンバーか
ら本人の車であること、が確認された。 最短時間で考え、千葉市か
ら清水市まで３時間、清水から函館まで１４時間（フェリー込）、合わ
せて１７時間、朝の７時に出て函館につくのは２４時さらに殺しの時
間などを加えると、、この犯行は不可能に近い、、 東京から清水ま
で電車を使ったと考えたが、それでも不可能であった、、、、 犯人は
渡部です（単独犯）、どのように実現させたのでしょう？

>>93

(´д｀)

スレ違いのクイズ廚は消えろ！
うざい。

犯罪者をＡＢＣとおく。

Ａについて考える。

ＢＣが赤だと自分は殺されているはずなのでＢＣは少なくとも一人は白である必要

がある。Ｂを白とする。

（１）Ｃが赤だった場合、Ａ自身は白でないといけないので白
（２）Ｃが白の場合、（１）のよう赤白白のケースはおこりうらないのでＡは白


よってみんな白

>>97

これも数学じゃない。。。よね

>>94-5
事前に殺して死体を暖める。
または友達か誰かに車を移動してもらい、渡部は飛行機で。
またはナンバープレートをはずし飛行機で函館に行き、レンタカーのプレートと付け替える。
いくつか答えありそう。

まず　犯人の渡部は車で静岡までいく（死体を乗せて） 死体
をおろし　そして　車のナンバープレートをはずして 飛行機か
なんかをつかって　札幌に行く 札幌で（自分と同じ車の）レン
タカーを借りて 借りたレンタカーに　自分のナンバープレート
をつける そして わざとオービスに捕まる。これでアリバイ成立。



dana

>>101
そろそろ落ちます

スレ違いすいませんでした(´･ω･`)ｼｮﾎﾞｰﾝ　m(_ _)m

じゃ俺も

２枚の画像合わせて見ると立体に見える

http://members.home.nl/saen/Special/Zoeken.swf

数論って数学の中で一番難しいの？

>>105
んなわけない

おいこら，スレを勝手に私物化するな．

>>19
私もその本を原本で持ってますが，とても面白いですよね．
でも，できれば英語版がほしいな･･･

>>107
英語版があるの?見たい
中国語版では先頭に書いてあった2冊の
高木の本はどんな引用のされ方してるかな?

>>105
馬鹿なこと聞くな

数学って科学の中で一番難しいの？

と聞いてるのと同じで意味無い

FeaturesOfTheGod
はつくづくアホだなと感じ

誰も話題を出さないのなら・・・

不定方程式

x^3 + y^3 + z^3 = w^3 の整数解に付いて論ぜよ

(サブスレ)

射影曲面X^3+Y^3+Z^3=W^3の有理点を求める問題に帰着する。
一般に3次射影曲面はP^2に双有理同値なので、全ての有理点が
P^2上のある有理関数によってあらわされる。
これの分母を払えば、x^3+y^3+z^3=w^3の（(0,0,0,0)を除く）全ての整数解が得られる。

非構成的だが…。

そんなのわかっとるよ
もう少し具体的な議論を

>>112
激しくﾜﾗﾀw

俺もﾜﾛﾀwww

>>112
激しくιｗｗｗ

$1 + ¥dfrac{1}{2^2} + ... + ¥dfrac{1}{n^2} + ... = ¥dfrac{¥pi^2}{6} $

ってどうやって証明すんの？　整数論の専門の人に聞いたらかなり難しいって
聞いたけど。

解析スレか質問スレへどうぞ

>>117
フーリエ級数でも使え。

むしろFourier級数以外にどんな方法があるのか？

>>120
案外初歩的な方法でできるよ。

FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM ：04/08/02 12:00
むしろFourier級数以外にどんな方法があるのか？

幾らでも有るｱﾌｫ

解析学専門の人は多分Fourier級数以外の方法を知らない。

>>123
自分の知らないものは他人も知らないと決めてかかる
そこが馬鹿の馬鹿たる所以

Fourier級数以外の方法が挙げられていないというのはどういうことなのだろう？

当然Kingレベル

解析概論にsinx/xを��(-1)^(n+1)x^(2n)/(2n+1)!とΠ(1-(x/nπ)^2)の
二通りに展開して求める方法が載っておったじゃないか。

今でも遅くないから解析概論くらい読めマスマニア。

院生でしかも解析学専攻で「解析概論」を読んでないというのはおかしいのか？

>>128
解析概論を読んでなくても複素解析の本なら何処にでも書いてある

ガウス整数論を読破した人いる？
ttp://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4254114575/249-9529328-0538762

>>130
訳者は面識もありよく知っているが大アホだ。

訳自体はどうなの？
今でも読む価値はあるの？
シリーズのほかの本も。

>>132
読む気がしなっかたので読んでないが、
今度見てみよう

おながいします。

>>131

数学の歴史家だろ

どうせ現代数学が理解できなかったクチだろ

>>133
忙しいこともあり、読む気がしないこともあり、・・・
なかなか読む暇なし。

>>108
多分これだと思う。違ったらsorry。
ttp://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/3540108181/qid=1092484439/sr=1-1/ref=sr_1_8_1/250-5526316-9593869

ここほんとに整数論スレ???

>>137
thanks
機会があったら見てみるね。

「ｎと２ｎの間には素数が少なくとも一つはある」という命題を証明
するためには、どうすればいいのでしょうか？

>>140
チェビシェフの定理。解析数論の本を読めば証明が載ってる。

>>141
レス、ありがとうございます。

>>140
1と2の間には素数は無い。

そういう時は「間」に両端も含めるように言葉を定義すればいいだけだべ

そういう問題ではない。
甘えは定理を理解していない。

UFDは整閉整域である

>>146
証明してみよ

>>146>>147
まだか、それとも出来ないのか

>>140
Θ(x, y)=Πp（pはx<p≦yとなる素数をわたる）とする。

n<m≦2nのとき、Θ(n, m)|mCn≦2^mより、
Θ(1, x)≦Θ(1, 2)Θ(2, 4)...Θ(2^k, x)≦2^(2^k+x)≦2^(2x)=4^x（kは2^k<x≦2^(k+1)となる整数）。

よってΘ(1, (2/3)n)≦4^{(2/3)n}。

2nCn=(2n)!/(n!)^2を割り切るpのべき指数をu_pとおく。

u_p=Σ[2n/p^k]-2[n/p^k]≦log(2n)/log(p)（[]はGauss記号）、
特にu_p=1 if p>sqrt(2n), u_p=0 if (2/3)n<p≦nより、

2^{2n}/(2n)≦2nCn≦Πp^{u_p}
≦Π_{p≦sqrt(2n)}2n・Π_{p≦(2/3)n}p・Π_{n<p≦2n}p^{u_p}
≦(2n)^{sqrt(2n)}・Θ(1, (2/3)n)・Π_{n<p≦2n}p^{u_p}
≦2^{sqrt(2n)log(n)+(4/3)n}・Π_{n<p≦2n}p^{u_p}.

よって、Π_{n<p≦2n}p^{u_p}≧2^{(2/3)n-sqrt(2n)log(n)}/(2n)>1（nが十分大きい時）。
nが小さい時は素数表より分かる。

# つーか、このネタさんざん外出だしFAQに追加した方が良くないか？

このスレ何やねん

695

KingOfKingMathematician ◆H06dC8bpwA
はｳｻﾞｲので削除してください。

Re:>152 お前誰だよ。

Featuofgodは整数論好き？

Re:>154 整数論はあまり興味ないな。とりあえず、暗号の理論を教えてくれ。

>>155
だったら
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1088146349/
へ行ってくれよ。

FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM
は暗号も符号も分からない馬鹿か

FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM
は初等整数論も分からない馬鹿か

FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM
は上げ荒らし以外何の取り柄もないな。

Re:>157-159 お前に何が分かるというのだ？

FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM がウザイ上げ荒らしだということがわかる。
あと、ストーカーだということも。
もう彼女のことはあきらめろ。

Re:>161 何故私がこんなこと言われなくてはならないのだ？

>>162
仰々しいコテで、彼方此方に中身の薄い書き込みし過ぎるからだ。
刺激を受けても書き込むに値するかどうか良く吟味 汁！

　　 ＿＿＿＿＿
　　||//　∧＿∧|∧＿∧king
　　||/　 ( ´･ω･)(　　　　)　あげんなウンコ野郎と言われちゃった･･･
　　|| 　 （　　　 ）|（ 　● ）
　　 ￣￣￣￣￣　ｕ―ｕ'

　　 ＿＿＿＿＿
　　||//　∧＿∧|∧＿∧
　　||/　 (n´･ω･)n　　　)　でもウンコついてない
　　|| 　 （ｿ　　丿|ヽ　● ）
　　 ￣￣￣￣￣　ｕ―ｕ'

　　 ＿＿＿＿＿
　　||//　∧＿∧|∧＿∧
　　||/　r(　　　 (n´･ω･`n)　ウンコついてないのにウンコくさい
　　||　　ヽ 　● ）|（ 　 　 ）
　　 ￣￣￣￣￣　ｕ―ｕ'

853

　　 ＿＿＿＿＿
　　||//　∧＿∧|∧＿∧ King
　　||/　 ( ´･ω･)(　　　　)　あげんなウンコ野郎と言われちゃった･･･
　　|| 　 （　　　 ）|（ 　● ）
　　 ￣￣￣￣￣　ｕ―ｕ'

　　 ＿＿＿＿＿
　　||//　∧＿∧|∧＿∧
　　||/　 (n´･ω･)n　　　)　でもウンコついてない
　　|| 　 （ｿ　　丿|ヽ　● ）
　　 ￣￣￣￣￣　ｕ―ｕ'

　　 ＿＿＿＿＿
　　||//　∧＿∧|∧＿∧
　　||/　r(　　　 (n´･ω･`n)　ウンコついてないのにウンコくさい
　　||　　ヽ 　● ）|（ 　 　 ）
　　 ￣￣￣￣￣　ｕ―ｕ'

　　 ＿＿＿＿＿
　　||//　∧＿∧|∧＿∧
　　||/　 (m´･ω・)m　　　)　ウンコついてた
　　|| 　 （／　　丿|ヽ　◎ ）
　　 ￣￣￣￣￣　ｕ―ｕ'　　◎◎◎

664

696

680

あぼーん

Re:>170 お前何考えてんだよ？

にゃーん

色々考えたところ、もしメルセンヌ素数が無限にあったら、
フェルマ素数も無限にあるという感触を得たのだがどうか。
ただしこれは秘密にしてくれ。

>>173
ラジャ。これはインターネットだからおそらく地球外にはもれないはずだ。

第 n 円分多項式を Φ_n( x ) で表すと、
Φ_n( 2 ) が素数となる n は無限に多く存在する

それは未解決だよ

あぼーん

Re:>177 人のメアド勝手に載せるなよ。

数オタは全てロリコンである。たしかにこれは事実である。 しかし
『実験事実である』からといってそれ以上のことを 考えないのは
知的敗北である。昨今の大学改革において、 整数論が軽んじられる
傾向はこのような 真理探究の芽をつむものであると私はいつも憤慨
しているが、 『実験事実である』ですませていては学問は崩壊し、
日本は危うい。

ところでロリコンというのは主に１４歳未満の少女に欲情を感じる
人間のことを指すものだ。その意味で『１４という数字に意味があるのでは
なかろうか？』という疑問は自然だ。確かに１から13までの数字を並べてみると

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13

となり、そのうち素数は、2,3,5,11,13である。
なるほど、１から13までの間の素数の濃度は異様に高い。

しかし、これでは１３歳以下に興味が集中することの説明にはなっても
１１〜１３歳ぐらいの少女に欲情を感じるものが多いことの説明にはな
らない。もちろん１１と１３は双子の素数である。このことは確かに
忘れては成らないことだ。従来の研究では確かにここまでは触れられていた。
しかし、これだけでは私は満足できない。

私の研究によると１１〜１３歳ぐらいの少女の肉体は、代数多様体
でしかもP進計量が入っていることが分かった。又、これ以上の年齢
になると、代数多様体としてはあらわせないことが分かった。又
この付近で、特異点が穴にかわるかどうかの境目であることがわかった。

幼女の肉体というものは、広大な代数幾何の舞台 なのではなかろうか？
そしてこれからは幼女という舞台の上で、整数論と代数幾何が手に手を
取り合い、相互に刺激をしあいながら発展していくのではないか。
そういう一端を私は垣間見た気がする。

つまんね。

>>179は二桁までの整数を扱うのが限界みたいだなｗ

すみません、ちょっとイライラしてたので。気にしないでください。ごめんなさい。

確かに凡作

8n - 1 型の素数が無限に存在することを初等的に示すには
どうしたら良いんですか？

だれも初等的に解けませんか?

　　　　　　 　　　 ...,､ -　 ､∞
　　　　　　,､ '　 ヾ　、;;;;;;;　 丶,､ -､
　　　　 ／;;;;;;;;;;;　　οヽ　ヽ;;;;＼＼:::::ゝ
　∞ヽ/;;;;;　i　 i　;;;;　　ヽ;;;;;;; __.ヽ ヽ::::ヽ
　ヽ:::::l　i.ο　l;;; ﾄ　　ヽ　 ヽ .___..ヽο丶::ゝ
　r:::::ｲ/ l:::.|　i ヽ　　＼　＼/ﾉﾉﾊ;;; ヽ
　l:/ /l　l.　　l;;;;;　i　 ヽ'"´__ヽ_ヽﾘ }. ',　　',
　'l. i　ト l;;;　ﾚ'__　　　　'"i#::::iﾞ〉l^ヾ　 |.i.　l
.　l l　lミ l ／r'++::ヽ　　　　'n‐／.}　/　 i l　l　／￣￣￣￣￣￣￣
　 l l　l.ヾlヽ　ヾ:‐°　 ,　　　　 !'" ♭i i/ i＜　　このスレ相変わらず
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　　　　　　　　　　　　というほど馬鹿じゃないわ。

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　 l l　l.ヾlヽ　ヾ:‐°　 ,　　　　 !'" ♭i i/ i＜　　このスレ相変わらず
　 iﾊ　l　 (.´ヽ　　　　　_　　 .／　◎　 ,' ,'　'　|　馬鹿ばかりだわねぇ・
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　　　　　　◎　 ／ ヾ_　 ◎/　≪≪ ,,;'' /:i
　　　　　　　 /King命;｀　∬/　　　,,;'''／:.:.i＼
　　　　　　　　　　　　というほど馬鹿じゃないわ。アホ

あぼーん

Re:>188 人のメアドを勝手に載せるな。

Re:>189 人の名前を勝手に騙るな。

あぼーん

Re:>190 お前誰だよ？
Re:>191 人のメアドを勝手に載せるな。

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　　　　　　　　　　　　というほど馬鹿じゃないわ。

ａを８で割ると７余る素数の積とすると
ａ＾２−２の素因数で８で割ると７余る素数がある。

>>194
何でさ
b ≡ 3, c ≡ 5 (mod. 8) とすると bc ≡ -1.

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　　　　　　　　　　　　というほど馬鹿じゃないわ。

>>194
どうした

ａが３以上の奇数のときａ＾２−２の素因数は
８で割ると１余るか８で割ると７余る。
ａ＾２−２を８で割ると７余るので
全て８で割ると１余る素数ということはないので
８で割ると７余る素因数がある。

http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/suuron/node41.html

>ａが３以上の奇数のときａ＾２−２の素因数は
>８で割ると１余るか８で割ると７余る。

これはなぜでつか

(mod8)
1^2≡3^2≡5^2≡7^2≡1
1-2≡-1
８で割ると７余る。
１余る事は有り得ない。

>>201は無視してください。素因数を読んでいませんでした。
ちなみに>>194,>>199はもう少し細かく議論してください。話が見えません。

>>184についてのレスでしょ?

そうなんだけど、
まず、>>194でa≡-1(mod8),a素数ならば
a^2≡1で、a^2-2≡-1まではわかる。
ここで、何故、a^2-2の素因数で≡-1でかつ、素数なる物があるんだ？
それから、>>199については、>>200に同意。

これらは>>199のアドレス読むとわかるのか？

8n+1,8n+3,8n+5型の素数だけを掛けていった物は
mod8で1か3か5にしかならない。
a^2-2は8n+7の形⇒8n+7型の素数を素因数に持つ。
てことでしょう。
>>199はちょっとわからんけど。

ｽﾏﾝむちゃくちゃなことかいてる。無視してくれ。

そうだろ。
7≡23≡-1
7*23=161で
161-2=159=3*53で
53≡5だから、>>194ですでに反例が存在している。

多分落ち着いた。
a^2-2の素因数pについてa^2≡2　modp
>>199のアドレスの第2補充法則からp≡1,7mod8てことか。

7^2*23^2=161^2=25921で
25921-2=25919はどうも素数っぽいから反例にならなんだ。

整数論って素晴らしいなぁ！！！

なるほど
thx

>>208
と言う事は a^2 + 2 を考えれば
p ≡ 3 (mod.8) なる素数も無限にあると言う事だね。

OD4年の春、私はついに運命の人ともいえる人と道端で出会った。
名前はここではふせておきたいが、仮にMとでもしておこう。
彼女は１０歳だそうだ。その無垢な笑顔が私の荒んだ心を癒す。

そのときの私の専門は整数論だったが、１１、１２、１３は双子の素数である。
最初はこのゴールデンゾーンに入ってから出るまでの全てを観察
出来るということだけしか頭の中になかったが、彼女の可愛らしさは
フェルマーの大定理の素晴らしさに勝るとも劣らない。

そんなこんなで幸せな日が続いていたが、彼女はどうやら僕のことが
原因で、学校でいじめられたようだ。おそらく苛めた奴は、門下省の
役人か文化としての数学を否定するような輩に将来なるだろう獣である。
奴らのような下衆には合成数がおにあいだ。

しかし彼女の涙はメルセンヌ数個の素数のように美しい。まさに
整数論は数学の女王である。そんな彼女のために私はいつものように
１から順に素数を数えてあげた。１、２、３、５、７...。
Mちゃんは私に「３の次は４だよ〜」と甘い声でいってきた。
そんな可愛いMに私は「Mちゃんにはまだわかんないかもしんないけど
１、２、３、５、７というのは素数といってMちゃんのように可愛らしい数なんだよ」
と教えてあげた。Mは「へんだよ〜」と甘い声でいってきたが、その顔に
涙はもうない。私は０も素数だと思うほうなので、それは一番うれしいことだ。

素数の個数を数えるのが私の仕事。素数を数える瞬間は最高に楽しい。
素数が１個素数が２個と773ぐらいまでかぞえたあたりで素数の美しさに
うっとりしてきたのか、Mちゃんの目がまどろんできた。

彼女をベッドに寝かせてあげようと抱きかかえたところ、彼女の
ノースリーブから彼女のまだぴんくの可愛らしい代数的特異点が見えた。
ノースリーブの中を見ると、臍点が見えた。さらに下まで覗き込むと
縞模様のパンツが見えた。そのパンツは彼女の一番大事な特異点を
やさしく二重被覆していたが、その上の模様は私には楕円曲線であるかのようにみえた。

そうだったのか？私は代数幾何向きだったのか。私はいままで気づかなかった、
この発見の喜びのあまり彼女の被覆空間を部分的にはがして
特異点という特異点を嘗め回すことが私の日課となった。
被覆空間を全てはがしてしまうのは微分幾何のように汚い行為だ。
彼女の体は複素射影平面のようにスベスベだった。M=C{P}^{n}だと
みまごうほどの白い肌を見て、絶対にこの美しい肢体にシンプレクティック
計量を無理にを入れるようなことをしてはいけないと
思った。座標を入れるとしたら比でいれるべきだ。そう思わせるような
あまずっぱいにおいがしたが、それはホロモルフィックな香りだ。

そんな幸せなある日、突然警察が私の家に入ってきた。そのまま私は
刑務所の中である。しかし、刑務所の中で私は代数幾何の教科書や
論文を毎晩読み漁り幸せである。風の便りに私の友人が橋の下で
寝ていたところ代数幾何の論文に放火され焼け死んだそうである。
こうして同期の中で一番安定した生活を送りながら代数幾何の
名著と戯れられる。ああなんて幸せなんだ。今思って私を数学という
素晴らしい世界にいざなってくれた解析概論、そして代数幾何の世界に
いざなってくれたMちゃん。それらは本当に存在したのだろうか？
まぼろしだったのではなかろうか？いやそんなことはどうでもよい。
実在するか否かは問題ではない。問題は美しいか否かである。

昔々あるところに整数論専門のＯＤがいました。
そのＯＤは素数の数を数えるのが仕事でした。
しかし新しい素数が見つけられなかったので崩れてしまい、
自殺してしまいました。

あるとき彼の指導教官がそのＯＤが居た居室にいくと
どこからかすすりなく声が聞こえてきました。

素数が１つ素数が２つ素数が３つ素数が５つ…。一つたりな〜い

４がねーんだよボケと指導教官はいいました。
するとＯＤの幽霊は、４は合成数だ。そしてお前には死をたまわると
いいました。

続きは絵本を買ってお母さんに読んでもらってね。

長くて読む気しない。
３行にまとめて。

絵も付けてね。

>>216
整数論のOD４年が、幼女への性愛に目覚めたことをきっかけに代数幾何に
転向するも幼女への性愛が原因で刑務所に入れられ、刑務所の中で一生
楽しく代数幾何の論文や名著と戯れることになる。

AAつけれ

>>219
このあたりから適当にさがしてくれ
http://aa.2ch.net/aastory/kako/1032/10321/1032187820.html
http://maruheso.at.infoseek.co.jp/aadic_moe/

阿鼻叫喚

この世の極楽

ベルヌーイ数は有理数なわけだが
その小数点部分を求める方法として
次のようなものがある。

自然数 k に対して
P(k)={ p:素数 | p-1 は k の約数 }
とすると
B(2k)+�納p∈P(k)](1/p)が整数になる。
(ここで B(2k) はベルヌーイ数)

↑これの証明ってどうやるのかわかります？

具体例
k=1 B(2)=1/6 P(1)={ 2 , 3 }
(1/6)+(1/2)+(1/3)=1

k=2 B(4)=-1/30 P(2)={ 2 , 3 , 5 }
(-1/30)+(1/2)+(1/3)+(1/5)=1

などなど・・

>>223訂正

P(k)={ p:素数 | p-1 は k の約数 }

ではなく

P(k)={ p:素数 | p-1 は 2k の約数 }

です

忘れたよ。具グルカ、教科書読むかしてくれ。

カタラン予想って解決してたのね
知らなかった

カタランと言わずに
語ってくれ

何も語れないのかしらん

調べたらまだみたいよ、カタラン予想？

さて、
�@２平方和｛x^2+y^2：x,y,自然数or０｝は
(4k-1),kは自然数、タイプの素因数のべきが奇数であることが必要充分。
�A４平方和は自然数と一致。
なのだが、
それでは３平方和はどんな自然数と一致？？

>>4
x^3+y^3=z^2
x^4+y^3=z^6
x^4+y^2=z^3
はパラメーター解がある。（from Riebenboim）

×奇数であること
○奇数でないこと

>>111
オイラーのパラメーター解がある。

だから、つまり、４乗和についてはたいしてわかってない。って事か。
x^4+y^4+z^4=w^4
だって、知られてるのは本質的には数個だけだろう。

ちなみに>>229誰かおしえれ。

>>229
nが高々3つの平方数の和で書ける⇔n≠4^k(8n+7)　らしい。

thnx

n=4^k(8n+5)の例希望。

0^2+1^2+2^2=5

tp://mathworld.wolfram.com/CatalansConjecture.html
同じ記述がRiebenboimにある。
どうも解けてるっぽいが、それにしては他の情報の訂正が遅すぎる。
確認未って程度だろうか。しかし、文面からは道具は揃ってるっぽいが。

T. Metsankyla, Catalan's Conjecture: Another old Diophantine problem solved,
Bull. AMS 41(2004), 43--57
http://www.ams.org/journals/bull/2004-41-01/home.html

>>233
x^4+y^4+z^4=w^4に無限個の非自明解があるというのは有名（楕円曲線の有理点に還元する）。

N. Elkies, On A^4+B^4+C^4=D^4, Math. Comp. 51(1988), 825--835.

Paderborn大学のPreda Mih\u{a}ilescuさんて人が
``Primary cyclotomic units and a proof of Catalan's conjecture,''
J. reine angew. Math. 572, pp.167-195, 2004
で解決したってききました

あぼーん

thanks>>239,240

>>239
俺がそのうちのいつも同じ一つしか目にしないのは探し方が悪いんだろうか？

あぼーん

　||￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣||
　|| ○荒らしは放置が一番キライ。荒らしは常に誰かの反応を待っています。
　|| ○重複スレには誘導リンクを貼って放置。ウザイと思ったらそのまま放置。
　|| ○放置された荒らしは煽りや自作自演であなたのレスを誘います。
　||　　ノセられてレスしたらその時点であなたの負け。
　|| ○反撃は荒らしの滋養にして栄養であり最も喜ぶことです。荒らしにエサを
　||　　与えないで下さい。 　　　　　　　　　　　　　　　　 Λ_Λ
　|| ○枯死するまで孤独に暴れさせておいて　　 ＼　(ﾟДﾟ,,)　ｷﾎﾝ。
　||　　ゴミが溜まったら削除が一番です。　　　　　 　⊂⊂ |
　||＿＿＿ ∧ ∧＿＿∧ ∧＿＿　∧ ∧＿　　　　　 |￣￣￣￣|
　　　　　　(　 ∧ ∧__ (　　 ∧ ∧__(　　 ∧ ∧　　　　￣￣￣
　　　　〜（＿(　　∧ ∧＿ (　 ∧ ∧＿ (　　∧ ∧ 　は〜い、先生。
　　　　　　〜（＿(　 　,,)〜（＿(　 　,,)〜（＿(　 　,,)
　　　　　　　　〜（＿__ﾉ　　〜（＿__ﾉ 　　〜（＿__ﾉ

>>240
お、ついに雑誌に出たのか。2年近く待ってたぞ。

AKSはまだ雑誌に出てないのか？

あ、おいらはＭＬで>>240を知りました
カタラン予想そのものもそれで初めて知りました（数学科じゃないし）


AKSが多項式時間の素数判定アルゴリズムのことだとすると
何年か前のCRYPTに載ってます

質問板に書いたのですけれど、
回答が無いままお蔵入りになったのでここに再質問します。

n 次の総実代数的数は、有理数を成分とする
n 次対称行列の固有値となるか?

頭の良い方、お願いします。

あぼーん

>>248
ならない。

>>258
どうしてか知ら。
証明を教えていただけなくって。

ごめんなさい。
>>250さん　よろしくお願いします。

あぼーん

あぼーん

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　￣￣

　||￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣||
　|| ○荒らしは放置が一番キライ。荒らしは常に誰かの反応を待っています。
　|| ○重複スレには誘導リンクを貼って放置。ウザイと思ったらそのまま放置。
　|| ○放置された荒らしは煽りや自作自演であなたのレスを誘います。
　||　　ノセられてレスしたらその時点であなたの負け。
　|| ○反撃は荒らしの滋養にして栄養であり最も喜ぶことです。荒らしにエサを
　||　　与えないで下さい。 　　　　　　　　　　　　　　　　 Λ_Λ
　|| ○枯死するまで孤独に暴れさせておいて　　 ＼　(ﾟ,Дﾟ,,)　ｷﾎﾝ,ｷﾎﾝ,ｺﾞﾎﾝ。
　||　　ゴミが溜まったら削除が一番です。　　　　　 　⊂⊂ |
　||＿＿＿ ∧ ∧＿＿∧ ∧＿＿　∧ ∧＿　　　　　 |￣￣￣￣|
　　　　　　(　 ∧ ∧__ (　　 ∧ ∧__(　　 ∧ ∧　　　　￣￣￣
　　　　〜（＿(　　∧ ∧＿ (　 ∧ ∧＿ (　　∧ ∧ 　は〜い、先生。
　　　　　　〜（＿(´･ω･`)〜（_（　 　,,)〜（＿(´･ω･`)　又誰か書いてるよ
　　　　　　　　〜（＿__ﾉ　　〜（＿__ﾉ 　　〜（＿__ﾉ



（省略されました・・全てを読むにはここを押してください）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　￣￣

>>248
n=2の場合になるとは限らないから、やまはっただけだよ。

あぼーん

>>256
それは、やまではなく、反例といいまつ。それがほんとなら、不成立。

√（３）。

ラジャ。でもこれはスレ違い。ここは薫り高いインテジャスレ

あら、確かにそうね。
では

n 次の総実代数的数は、有理数を成分とする
n^2 次対称行列の固有値となるか?

としたらどうかしら。

95800^4 + 217519^4 + 414560^4 = 422481^4
2682440＾4+15365639＾4+18796760＾4=20615673＾4

一般式：
x^3 + (3x^2 + 2x + 1)^3 + (3x^3 + 3x^2 + 2x)^3 =(3x^3 + 3x^2 + 2x + 1)^3
(3x^2 - 3x + 18)^3 + (4x^2 + 9x - 15)^3 + (5x^2 - 9x - 12) ^3 =(6x^2 - 3x + 9)^3

能登かわいいよ能登

一般式を探してくれるプログラムｷヴｫﾝﾇ

何の一般式？
一般に数論では一般式がきかず、そこがおもしろいと思われている。

と私は思っている。

（でもきっと）あなたは（そうは）思わない。

>>262のような式を探せるプログラムｷｳﾞｫﾝﾇ

（各種の）曲面の中に有理曲線が何本あるか?
ホットな話題ね。

>>112
に書かれた事実は知っているが、（曲面の一般論から）
しかし Q 上定義された 3 次曲面が P^2 に Q 上双有理同値である事が云えないと、
結論が導かれない。
これはどのようにして云うのかな？

それに有理写像だから (0, 0, 0, 0) 以外に例外点が出るかも知れない。
この点についても不完全だな。

答えろ
>>112

無理点で blow up していたような気が・・・

無理か

>>270
他の点で blow up しても行けるかも知れんよ

易しい問題を一つ書いておくわね。
φをオイラーの関数、 p ： 素数とするとき、
φ(p^n - 1) は n で割り切れる。

これが自明に見える人は証明書かなくていいわよ〜。

あのさ、君さ、大学の数学科でも嫌われてたろう？
それからさ、職場でも嫌われてるだろう？

womanがんばれ。

自明だけど自明じゃない。

>>276
どういう意味だ？w

証明は自明だけどｐが素数である理由は自明じゃない。

Re:>276,278 お前たちはどうしてそんな時刻に書き込める？整数の呪いか？

>>273
別に素数でなくても2以上なら成立するが。

>>280
正解よ。
おめでとう！

円分多項式Φ_n(x)の係数をc_0,c_1,...とするとき
max{|c_i|;i=0,1,...,φ(n)}をnで表わせる?

n = 105 の時 max ＞ 1

俺に不思議なのは４次や５次の場合に、コンピューターで探索すれば、結構おもしろい
例がみつかりそうなのに、日本人のマニヤがこれに参加しない事だ。
まあ、１つ次数が増えると計算量が確実に増えてしまうのは予想できるが、、、。
こういうのはもっと整数論に詳しい方がここらへん探索するとおもしろいって話をすれば
いいんじゃないかと思うんだが、、、。
何故か日本人の書く数論の本は読者を数論からはなそうはなそうとしている様に見えるよ。
少し、読むと訳のあるアメリカの本はどれも逆。
読者を数論にひきつけようひきつけようとしている。
ガウスの整数論が聖書で高木が辞典で神殿があって、よるなってそんな雰囲気か？
もっと楽しんでもいいように思うんだが、、、。

面白いのは、難しい事が簡単に書いてあるんだよな。
逆は、難しい事をもっと難しく書く。

それでどうして本になったのかと、、、。

>>284
> 少し、読むと訳のあるアメリカの本はどれも逆。

具体例をなるべく多くあげよ

加藤センセの数論を読めばそんな事無いと分かる

458

あぼーん

込み合った時間を避けてカウント厨や
ウザイあぼーん候補レスが沢山つくのは数学版の仕様でつか?

確かに言い過ぎたが、日本人に具体例探索で力を発揮して欲しいだけなのだよ。

あるよ。
著者名は忘れたが、
絶対擬素数の探索

591

かきこめるかな？

うっ！！！

えっ！！！

SE-SU-

このスレましな書き込みが少ないようだから
そのうち私が問題出してやろう

いや、頼むからやめてくれ。

>>298
ONEGAISHIMASU.

p ： 素数、 A ： 整数を成分に持つ n 次正方行列とし、 f (t), g (t) を
A, A^p 固有多項式とする。このとき、このとき、これらの多項式の
i 次の係数は、 p を法として合同である (i = 0, 1, 2, .... n)。

>>301
つまらん問題だなー

p を素数とする。n を p で割り切れない自然数に分ける分割の数（分割数）は、
n を 一つの数が高々 p - 1 個現れる分割とする数（分割数）に等しい。

あのさ、分割数はスレ一つとってもいい話題だな。

yes

>>303
n を p で割り切れない自然数に分ける分割の数＝q_nとする。
1＋�農{k=0}^∞ q_kx^k＝Π_{k=1}^∞�農{l=0}^∞ x^{kl}/Π_{k=1}^∞�農{l=0}^∞ x^{pkl}
　　　　　　　　　　　　　　＝Π_{k=1}^∞ (1−x^{px})/(1−x^k)
　　　　　　　　　　　　　　＝Π(1＋x^m＋x^{2m}＋・・・＋x^{(p-1)m})
最後の式をxに関する冪級数に展開したときの、x^kの係数は
n を 一つの数が高々 p - 1 個現れる分割とする数（分割数）に等しい。


p＝2の場合がEulerの定理。

私もひとつ。

自然数Nに対し、p(N)を、Nを自然数の和に分ける方法の数（分割数）として、
p(5n+4)は5で割り切れる。
p(7n+5)は7で割り切れる。
p(11n+6)は11で割り切れる。

>>307
有名問題で、例えば
ホール、組み合わせ理論、吉岡書店
にも証明が書いてあるし
新しくできたスレ「分割数」
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1102872643/

をもり立てるためにもそちらへ。

>>306
素数でなくても良かったのか
thx

f (x) を定数で無い整係数多項式とする。このとき、
f (x) の最高次の係数と互いに素な素数 p で、
合同式 f (x) ≡0 (mod. p) が解を持つような p　が
無限に多く存在する。

>>310
つまらん問題だなー

>>301-302
誰か回答書いてみろ

　ｆ（ｔ＾ｐ）
＝ｆ（ｔ）＾ｐ
＝｜ｔＥ−Ａ｜＾ｐ
＝｜（ｔＥ−Ａ）＾ｐ｜
＝｜ｔ＾ｐＥ−Ａ＾ｐ｜
＝ｇ（ｔ＾ｐ）。

確認了解

>>310
f (x) ≡0 (mod. p)を満たすpが、p_1、p_2、…、p_kのみであると仮定する

f(a)=Π(p_i)^(h_i)と書けるとする。
Kを任意の自然数とする。
f(a+Π(p_i)^{(h_i)+1}*K)≡f(a)　(mod　(p_i)^{(h_i)+1})
だから、f(a+Π(p_i)^{(h_i)+1}*K)は(p_i)^{(h_i)+1}で割り切れない。
f(a+Π(p_i)^{(h_i)+1}*K)のp_iの指数はh_i以下である。
仮定より、f(a+Π(p_i)^{(h_i)+1}*K)の素因数は、p_1、…、p_kのみだから
|f(a+Π(p_i)^{(h_i)+1}*K)|≦|f(a)|となるはずである。

ところが、Kを十分大きくとると|f(a+Π(p_i)^{(h_i)+1}*K)|＞|f(a)|
となるはずだから、これは不合理。

よってf (x) ≡0 (mod. p)を満たすpは無数にあります。

>>313
遠回り。

>>316
間違えた。

>>315
確認了解
別解（私が考えていた物）をかくまえに新問題を考えておこう

>>315
風あざみさんらしい解き方ですね。。
差し当たって類題を1題出しておく。

f_i (x), i = 1, 2, ... , n を定数で無い整係数多項式とする。
このとき未知数 x_1, x_2, .... , x_n に関する連立合同式

f_i (x_i) ≡ 0 (mod. p), i = 1, 2, ..... , n

が解を持つような素数 p は無限に多く存在する。
皆さん問題の意味はお分かりですね。

f_i (x_i) ≡ 0 (mod. p), i = 1, 2, ..... , n
を満たすpが、p_1、p_2、…、p_kのみであると仮定する

f_i(a_i)(1≦i≦n)のp_j(1≦j≦k)の指数のうち最大のものをh_jと書く。
Kを任意の自然数とする。
f_i(a_i+Π(p_j)^{(h_j)+1}*K)≡f_i(a_i)　(mod　(p_j)^{(h_j)+1})
だから、f_i(a_i+Π(p_j)^{(h_j)+1}*K)は(p_j)^{(h_j)+1}で割り切れない。
f_i(a_i+Π(p_j)^{(h_j)+1}*K)のp_jの指数はh_j以下である。
仮定より、f_i(a_i+Π(p_j)^{(h_j)+1}*K)の素因数は、p_1、…、p_kのみだから
|f_i(a_i+Π(p_i)^{(h_i)+1}*K)|≦|f_i(a_i)|となるはずである。

ところが、Kを十分大きくとると|f_i(a_i+Π(p_i)^{(h_i)+1}*K)|＞|f_i(a_i)|
となるはずだから、これは不合理。

よってf_i(x_i)≡0 (mod. p)を満たすpは無数にあります。

同じような解答でスマソ

>>320
問題の意味を取り違えていないか?

＞仮定より、f_i(a_i+Π(p_j)^{(h_j)+1}*K)の素因数は、p_1、…、p_kのみだから

f_1 (a), f_2 (b) の素因数はそれぞれ無限にあるかもしれない
（前の結果より無限にある）
しかしそれらの素因数の集合の共通部分は空である、
即ち p_1、p_2、…、p_k の k が k = 0 であるかもしれない。

そうだ、勘違いしてた。

>>319
iに関する帰納法で
i=1のときは>>315
i=hのとき
f_i (x_i)≡0 (mod. p), i=1, 2, ..... , nとなる素数pは無数に存在する。
は正しいと仮定する。
この条件を満たす素数の集合をPとする。

i=h+1のとき
f_(h+1)(x_h+1)≡0　(mod　p)となるPの元の素数pがp_1、p_2、…、p_kのみであると仮定する

f_(h+1)(a)=(p_j)^(h_j)と素因数分解する。
Kを任意の自然数とする。
f_(h+1)(a+Π(p_j)^{(h_j)+1}*K)≡f_(h+1)(a)　(mod　(p_j)^{(h_j)+1})
だから、f_(h+1)(a+Π(p_j)^{(h_j)+1}*K)は(p_j)^{(h_j)+1}で割り切れない。
f_(h+1)(a+Π(p_j)^{(h_j)+1}*K)のp_jの指数はh_j以下である。
仮定より、f_(h+1)(a+Π(p_j)^{(h_j)+1}*K)の素因数は、p_1、…、p_kのみだから
|f_(h+1)(a+Π(p_i)^{(h_i)+1}*K)|≦|f_(h+1)(a)|となるはずである。

ところが、Kを十分大きくとると|f_(h+1)(a+Π(p_i)^{(h_i)+1}*K)|＞|f_(h+1)(a)|
となるはずだから、これは不合理。

よってf_(h+1)(x_i)≡0 (mod. p)を満たすPの元の素数pは無数にあります。

よってi=h+1の場合も正しい。

よって任意の自然数iに対して正しいことがわかります。

素因数がＰに含まれるとは限らない。

また間違えた。
逝ってきます。

では>>319の回答を書く前に>>310の私の想定した回答を書いておこう。

f (x) は n 次とし、最高次の係数が正としてよい。
このとき適当な自然数 N を取れば f (x) は x ＞ N で正値かつ狭義単調増加としてよい。

f (a) , a = N + 1, N + 2, .... の素因数が有限種類とすると、
無限級数

Σ[x = N + 1 → ∞] f (x)^{ -1/n}

が発散する事に矛盾する。

なお、これより f (x) を円周等分(k 等分)多項式とすると、
p ≡ 1 (mod. k) なる素数 p が無限に存在する事が即ちに言える。
（この事自体は、高木:初等整数論講義、共立、に書いてある。）

俺からも問題。
nの最大の素因数をP(n)と書く。

f(x)が次数≧2の多項式で、整数に対して整数値をとるものとする。
このときP(f(n))→∞（n→∞）となることを示せ。

ｆ（ｘ）＝ｘ＾２。
Ｐ（ｆ（２＾ｍ））＝Ｐ（２＾（２ｍ））＝２。

>>327

f (x) = x^2 と置くと、
P( f (n)) = 2 (n = 2^m)
値 2 を無限回取るので、P(f(n))→∞ となら無い。

limsup P(f(n))→∞ は上記から出る。

おっと、1秒違いで　遅かった

P(n)を2からnまでの素数の積とする。
　lim[n→∞]�納n=2→∞]P(n)/(n!)
は収束するか？発散するか？収束し、その値を表現できるのなら表してください。

>>331
収束することだけならすぐ分かる

�納n=2→∞]P(n)/(n!) は収束する。
lim[n→∞]�納n=2→∞]P(n)/(n!) ???

意味不明。

仮に整数論概論みたいな本を書く場合、
章立てはどんな感じになりますかね？
（要するに整数論にはどんな分野があるか）

整数論って各論的傾向が強いですから
網羅的に書こうとするとかなり章の数が多くなってしまうような……

>>333
すまん、limは忘れてくれ
部分和をlimしようと思って書いちゃった

どうやって証明した？

P(n)＜4^nを用いるのだろう。

これを用いれば
�納n=2→∞]P(n)/(n!) ＜�納n=2→∞]4^n/(n!)=e^4-2となるから

念のため、P(n)＜4^nの証明

n=1,2のときは正しい。
n＜kのとき正しいと仮定する
kが偶数のとき
P(k)=P(k-1)＜4^(k-1)＜4^k
kが奇数のときk=2h+1
P(2h+1)=P(h+1){Π[h+2≦p≦2h+1]p}
Π[h+2≦p≦2h+1]pはC(2h+1,h+1)=(2h+1)!/{h!(h+1)!}の約数だから
Π[h+2≦p≦2h+1]p≦C(2h+1,h+1)＜2^(2h+1)/2=4^hとなるから
P(h+1){Π[h+2≦p≦2h+1]p}＜4^(h+1)*4^h=4^k
となる。
よってn=kのときもP(n)＜4^nとなることがわかる。

＞�納n=2→∞]P(n)/(n!) ＜�納n=2→∞]4^n/(n!)=e^4-2となるから
は、�納n=2→∞]P(n)/(n!) ＜�納n=2→∞]4^n/(n!)=e^4-5となるから
の誤り

>>334
ちまたの本みてごらん。百人百様。

　２／２＋２／２＋２／（２×４）＋２／（２×４）＋２／（２×４×６）＋．．．
＝４（（１／２）＋（１／２）＾２／２！＋（１／２）＾３／３！＋．．．）
＝４（ｅｘｐ（１／２）−１）。

>>338
では「初等整数論概論」ではどうだ？
初等整数論概論にしても整数論概論にしても聞いた事は無いが。

大分昔の事で手元にも無いので出版社は忘れたが、
ヴィノグラドフ、整数論入門、は、代数的にも解析的にも
いろいろな視点から書かれていて為になった。
ただし平方剰余の相互法則は書いてなかった。

もりあがってて（・∀・）ｲｲ!!

>>319に関連して思ったんだけど、
f_i(x_j)(1≦i≦n, 1≦j≦m, m≦n)を整係数多項式として、
π(n)={p：n以下の素数｜f_i(x_j)≡0 (mod p)}とするとき、
π(n)はどんな漸近公式で与えられるんだろう？

>>340
日本評論社から出ている、「フェルマーの系譜」ってのもよかったと思う。
２次形式論を軸に初等的整数論から代数的手法、解析的手法が扱われ
ており、歴史的な話も豊富で面白い（・∀・）
セールのテキストを読む前に読んでおくとなかなかよいかも。

>>342
＞セールのテキスト
クールダメダメチカ？
前半の代数的部分は二次形式や高次形式など他書に無い異色の部分があるが、
後半の解析的部分はある程度の予備知識が必要だろう。

＞π(n)はどんな漸近公式で与えられるんだろう？
これも解析的議論が必要になるが、
後で回答予定の式がヒントになるかもしれない。

＞クールダメダメチカ？
そうでつ。一瞬なんの暗号かと思ってしまいますた。


＞これも解析的議論が必要になるが、
＞後で回答予定の式がヒントになるかもしれない。
素数公式の証明を読み直しつつ考えてみまつ(`･ω･´)

>>340
＞ヴィノグラドフ、整数論入門、は、代数的にも解析的にも
＞いろいろな視点から書かれていて為になった。

誤解を与えたかもしれないので訂正しておく。
解析函数にまでは踏み込んでなかった。
解説や証明に不等式を多用していたという意味である。

他掲示板にあった問題を改作して、

x^16 - 10x^10 - 1 は Z 上既約

x=y+1と置いて展開する。
y^16+Σ[i=1→15](2k)*y^i-10となるからEisensteinの判定法を用いると
x^16-10x^10-1はZ上(Gaussの定理より実はQ上)既約

正解!易しすぎたか。

>>347
これは私と同じ発想だったな。
類題を考えておこう。

>>327の訂正。

nの最大の素因数をP(n)と書く。

f(x)が一次多項式の累乗ではない多項式で整数に対して整数値をとるものとする。
このときP(f(n))→∞（n→∞）となることを示せ。

>>341
素イデアル定理からf(x)がd次既約多項式なら漸近的に(1/d)*Li nになる。
一般の場合もここから分かる…はず。

>>341
書き込みしている香具師は少数のようだがな。

http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1085268444/
の
264 ：１３２人目の素数さん ：04/11/10 20:56:50
>>262
アホ？ヒルベルト空間はベクトル空間の一種なんだから普通に定義されてるだろ。
から
408 ：１３２人目の素数さん ：04/11/13 21:28:59
やはりな

のように3日で150レスとは行かないが。

Re:>352 ウザイ奴だな。

BlackLightOfStar ◆ifsBJhJOKE
死ねば可

類題を出しておこう。n を n ≡ 3 (mod.4) なる自然数とするとき、

f (x) = (x^2 - 3^2)(x^2 - 5^2)(x^2 - 7^2).........(x^2 - n^2) - 1

は、 Q 上既約である。

>>341
？

>>356
別におかしくは無い。
f_i(x_j)≡0 (mod p)
x ≡ x + 1 ≡x + 2 ≡0 (mod. p)
なる素数が存在しないというだけの話だ。

>>341
無限多項式列？

確かにおかしい。
＞π(ｘ)={p：x 以下の素数｜f_i(x_j)≡0 (mod p)}とするとき、
の書き間違いだろう。

盛り下がったなぁ

俺も出題してみる

以下の性質を満たすN個の連続する自然数が存在することを示せ。
x,x+1…,x+N-1はすべて、m^2+n^2(m、nは0以上の整数)という形で表すことが出来ない。

>>355
f(x)が整式g(x)、h(x)を用いてf(x)=g(x)h(x)と書けるとする。
degg,degh＞0である。
g≠hのとき
g(±3)h(±3)=…g(±n)h(±n)=1
よって、g(3)-h(3)=g(-n)-h(-n)=0となる。
よって整式g(x)-h(x)=0が相異なるn-1個の解を持つが
0≦deg{g-h}＜n-1だから不合理

g≡hのとき
g(0)^2=-(3*5*…*n)^2-1となって不合理

いずれにしても不合理
よってGaussの定理より、f(x)はQ上規約である。

私の出した
>>360の問題は、近いうちに回答すると思います(誰も望まなくてもw)。

>>361
解答考えているので、二週間ぐらいは待ってくれると助かる。

>>362
悪いが今年中に解答すると思う。

>>361
＞g(±3)h(±3)=…=g(±n)h(±n)= -1
だから g(x) + h(x) を考えて後は同様。

>>364
そうだった。
あと>>360のヒント
1.中国剰余定理
2.(-1/p)=(-1)^{(p-1)/2}

>>365
ヒント了解。
p ≡ 3 (mod. 4) なる素数は無限にあるから、 n 番目のものを a_n と置く。
x + i - 1 ≡ a_i (mod. (a_i)^2 ), i = 1, 2, . , N
なる x をとればよい。

>>366
x + i - 1 ≡ a_i (mod. (a_i)^2 ), i = 1, 2, . , N
がよくわからないです(；´Д`)
x + i - 1 ≡ 0 (mod. a_i ), i = 1, 2, . , N
じゃだめなんですか？

>>367
>>366で OK は分かりますね。

x + i - 1 ≡ 0 (mod. a_i), i = 1, 2, . , N だけだと
(a_i)^2 + 0^2 = (a_i)^2 だからいえない。

>>368
あっ、なるほど。平方数になる場合を忘れてた。
�dｸｽです。

>>366
正解です。

ガウスの円の問題については、どの位の事が分かっているのか。
矢張りリーマン仮設を認めないと進まないのか?

>>371
馬鹿だな、オマエ。

>>372
ではお前の知っている事を書いてくれ。

>>319も解いてくれ。
多分解けないだろうが。

>>371
ガウスの円の問題って、円の中の格子点を数えるってやつですよね？
リーマン仮説とどんな関係があるんですか？

ぐぐってみた。

http://mathworld.wolfram.com/GausssCircleProblem.html
θの最良の近似値を得るのに、リーマン仮説が
関係してくるってことですかね？

>>374
>>360を最初はガウスの円の問題と関連させて考えて居たんだよ。
勿論>>326に書いたような比較的初等的な方法だけを使って。

u_n を n 番目のフィボナッチ数とする。 m, nを自然数とするとき、

(u_(m+1)*u_(m+2)* .............*u_(m+n)/(u_1*u_2* .............*u_n)

は整数である。

久しぶりカキコ

aとbを互いに素として、初項a、公差bの等差数列の中には無限個の素数が存在する

って定理ある？高校時代のノートに殴り書きされてたんだけど、なんだっけ？
ムズい？

>>378
ttp://www80.sakura.ne.jp/~aozora/suuron/node31.html

(u_(m+1)*u_(m+2)* .............*u_(m+n)/(u_1*u_2* .............*u_n)=U(m+n,n)とおいて

m+n=2のときは明らかにU(m+n,n)は整数。
u_(m+n)=u_(m+1)*u_n+u_m*u_(n-1)を用いると、
{u_(r+1)}*U(m+n,n)+{u_(n-r)}*U(m+n,n-1)=U(m+n+1,n)がいえるから、
m+nに関する帰納法で証明できます。

>>379
なななななんという仕事の早さだ・・・そうだディリクレの定理だ。ありがとう
高校時代整数論大好きだったんだけどなぁ　ほとんど忘れた

>>380は>>377の回答ね。

>>380に追加
n=1のときはU(m+n,n)は明らかに整数である

>>381
高校時代に証明知ってたの？結構すごいな

何だ、みんな知っていたのか。

これはFibonacci 二項係数等といわれ、Gauss の二項係数の特殊な場合である。
これに関して幾多の等式･関係式が知られているが、
又別の機会に出題しよう。

毎度勉強になりやす....〆(･ω･｀ )ﾒﾓﾒﾓ

おいらも問題を投下してみるてすと。

p≠2,3のとき、pnCpr≡nCr (mod p^3)

>>伊丹公理
高校時代どういう数論の本読んでたの？
今度から参考にするから教えてホスィ

>>386
n = 2, r = 1, p = 4 の時不成立

>>387
ヴィノグラドフ、整数論入門、
高木、初等整数論講義（ただし高校時代は基礎的部分だけ）

なーるほど、結構王道なのかな？
しかしヴィノグラドフとかよく持ってたな

身ぢかに数学者がいた？

>>389
＞ヴィノグラドフ、整数論入門
は図書館

>>390
居るわけ無い

>>391

その本を図書館に置いといてくれた先生に感謝ですね。

先生っつーか司書かも

>>384
いや、本読み漁ってただけだよ
理解はせずに知っているだけ

異端公理氏は何歳？おそろしい知識の量だね

レディーに年訊いちゃ駄目！

18 では無いと思う。

>>386
pは5以上の素数だろ？その前提で解答する。

整数、A_1、…、A_(p-2)を以下のように定める。
(x+1)…(x+p-1)=x^(p-1)+(A_1)x^(p-2)+…+A_(p-3)x^2+A_(p-2)x+(p-1)!

{Π[i=1→r](pi)}{Π[k=0→r-1](pk+1)*…*(pk+p-1)}*{(pn)_C_(pr)}=(pr)!*(pn)_C_(pr)=
(pn)*(pn-1)*…*(pn-pr+1)={Π[j=n-r+1→n](pj)}{Π[h=n-r→n-1](ph+1)*…*(ph+p-1)}

だから(pn)_C_(pr){Π[k=0→r-1](pk+1)*…*(pk+p-1)}=(n_C_r)*{Π[h=n-r→n-1](ph+1)*…*(ph+p-1)}…※

(pk+1)*…*(pk+1)=p^3*(整数)+p^2*A_(p-2)+p*A_(p-1)+(p-1)!

A_(p-1)=(p-1)!{1+1/2+…+1/(p-1)}
Wolstenholmeの定理より1+1/2+…+1/(p-1)の分子はp^2で割り切れるから
A_(p-1)はp^2で割り切れる。当然A_(p-2)はpで割り切れるから
(pk+1)*…*(pk+1)≡(p-1)!　(mod　p^3)

したがって、※は
({(p-1)!}^r)*{(pn)_C_(pr)}≡({(p-1)}^r)*{n_C_r}　(mod　p^3)

よって(pn)_C_(pr)≡n_C_r　(mod　p^3)となる。

＞(pk+1)*…*(pk+1)=p^3*(整数)+p^2*A_(p-2)+p*A_(p-1)+(p-1)!
は(pk+1)*…*(pk+1)=p^3*(整数)+p^2*k^2*A_(p-2)+p*k*A_(p-1)+(p-1)!
の誤り

あと＞(pk+1)*…*(pk+1)≡(p-1)!　(mod　p^3)は
(pk+1)*…*(pk+p-1)≡(p-1)!　(mod　p^3)の誤り

伊丹公理が実は14歳とか15歳とかだったら萌え

>>396
へい。pは5以上の素数です。
A_1、…、A_(p-2)の決め方も若干書き間違えてるようですが、
お見事です。

風あざみ氏の証明より、(pn)_C_(pr)≡n_C_r (mod p^2)なら、
任意の素数について成り立つことがわかりますね：-）

>>400
確かに>>396のA_iの番号がひとつずつずれている(w
スマソ

>>400に茶々を入れるようで申し訳ないが
>>396の議論では任意の素数pに対して、(pn)_C_(pr)≡n_C_r (mod p^2)となること
は示せない(この命題自体は正しいが)。
なぜならp=2の場合を考えてみればいいと思う。

>>402
ちと言葉足らずでしたか。。。
風あざみ氏の証明の※よりというつもりでした。

(2n)_C_(2r)Π_[k=1〜r](2k-1)=n_C_rΠ_[k=n-r〜n-1](2h+1)
でr:even⇒Π_[k=1〜r](2k-1)≡Π_[k=n-r〜n-1](2h+1)≡1(mod 4)
　r:odd⇒Π_[k=1〜r](2k-1)≡Π_[k=n-r〜n-1](2h+1)≡3(mod 4)

あっといかん。。。
ぼけてるｗ
>>403は大嘘orz

>>403
そういうことでしたか。

>>319の解答は今年中に書く予定だが、その前にヒントをひとつ。
f(x) に対し、これが mod.p で完全分解する、即ち、
dig(f) 個の一次式の積になる素数 p が無限に存在することを言う。
これが言えれば F (x) = f_1 (x)*f_2 (x)* ..... *f_n (x)
にこれを適用すればよい。

dig(f) → deg(f)

deg(f)=nとし、f(x)がF_pのある代数的閉包で
(x-a_1)・・・(x-a_n)と因数分解されたとする。
a_1∈F_pとし、a_i(i≠1)に対し、
F_p〜F_p[a_1]〜F_p[x]/(f(x))〜F_p(a_i)
よりa_i∈F_p

>>408
言えない。
f (x) = (x - 1)(x^2 + 1), p = 3 で反例

f(x)はZ上既約でしたね。
どうもいかん。
落ち着いて考えることとしよう。。。

年末は忙しくなりそうなので、>>319の解答を書いておこう。
>>406に書いたように、f (x) が mod. p で完全分解する素数が無限にある事を示せばよい。
f (x) = 0 の根を α_1, α_2, ..... , α_n として、
Q(α_1, α_2, ..... , α_n) = K と置くと、
K = Q(β) と出来る。しかも β は代数的整数に取れる。
g (x) を β の最小多項式、即ち g (β) = 0 なる最小次の整係数多項式とする。
このとき、 g (x) はモニックで、 g (x) = 0 の根 β_i, i = 1, 2, ... , m は全て代数的整数。

これらの作り方より、
α_i = h_ij (β_j)/c_ij なる整係数多項式 h_ij (x), 0で無い整数 c_ij がある。
>>315（或いは>>326） より、g (x) が mod. p で一次因数を持つような素数 p は無限にある。
よって、 β_j のうち少なくとも一つは mod. p で有理整数に合同となる。
（ j は p によって変わるかもしれない。）
p をそのような素数のうちで、f (x) の最高次の係数とも、
またすべての c_ij とも互いに素数を取ると、
K の整数環を R とし、R/pR を取れば、1/c_ij ∈ Z/pZ だから、
α_i = h_ij (β_j)/c_ij ∈ Z/pZ .

任意の素数pがあって、自然数nで、
1,p,p^2,…,p^(n-1)のどれも、nで割った余りが等しくないって正しいですか？
どうすれば証明できるでしょうか？
0≦j,k≦n-1なる自然数j,kに対して、
　　p^j≡p^k(mod n)⇔j=k
を示せばいいのでしょうか？証明を教えてもらえますか？

自己解決しまんこ　簡単だった

>>412
n = p の時不成立

>>414
すまねぇっす　nとpが互いに素と解釈してくれな

>>415
それでも>>413は不成立だよ
フェルマー・オイラーの定理よりp^{φ(n)+i}≡p^i　(mod　n)となる。

φ(n)はオイラーの関数といわれるもので以下を参照。
http://www80.sakura.ne.jp/~aozora/suuron/node24.html

>>416
そうか・・・勘違いしてた
正しくさせるためにはどんな条件が必要かな？

Q_p：p進体
Z_p：Q_pの局所環
X_p(n)={ (u , v) | u , v は Z_p の単数で ord(u+v)>=n }　( n=1,2,3… )
とする。

このとき vol( X_p(n) ) を求めよ。
ただし測度は vol( Z_p )=1 とした Q_p の Haar測度を用いる。

↑この問題の計算方法がわかる人いませんか？

>>419
X_p(n)がZ_p×Z_pのどんな部分集合になっているはmod p^nで考えればわかる。
あとはHaar測度の意味を理解しているかどうかの問題。

たとえば n=1 のときは

X_p(1)=∪[a=1 to p-1]{(a+p*Z_p)×(b+p*Z_p)}
ただし b は a+b≡0 (mod p) となるもの

で、nが2のときは

X_p(2)=∪[a=1 to p-1][b=0 to p-1]{(a+bp+p^2*Z_p)×(c+dp+p^2*Z_p)}
ただし c,d は a+c≡0 (mod p) b+d≡0 (mod p) となるもの

というように考えたのですが、これだと結果が合わないので
間違っているようです。どういうふうに考えれば良いのか
教えていただけないでしょうか。
ちなにみ上記のときは
vol( X_p(1) )=(p-1)*vol( p*Z_p )*vol( p*Z_p ) といった感じで測りました。

X_p(1)はそれで良いが、X_p(2)のu+v≡0 (mod p^2)の条件式

>ただし c,d は a+c≡0 (mod p) b+d≡0 (mod p) となるもの

が間違っている。


自然な考え方としては、任意のunit uに対し
u+v≡0 (mod p^n)を満たすvは必ず存在し
そのvはmod p^nZ_pで一意的に定まるので
vol(X_p(n))をvol(units)×vol(p^nZ_p)として計算。

すいません、ハミング距離が距離の公理の(�B)番目を満たすことを教えてください

>>423
ハミング距離は超立方体の辺に沿う最短の道のりだから。

pが素数ならばφ(p^n - 1)はnで割り切れることを示せ．
ただし，φはEuler関数

>>425
>>273
>>280

>>426
既出か．これは失礼．

任意の素数pに対してf(p)が整数となり，ある整数nに対してf(n)が
整数にならない有理数係数多項式f(x)を挙げよ．

>>427
f (x) = (x + 21)(x + 22)(x^2 - 1)/24

では，deg(f)=d≧2と次数を指定されたらどうか？

整数論と数論って違うんですか?
大学はいってこの分野に進みたいと思ってるんですけど

>>429
三次なら、f (x) = (x + 6)(x^2 - 1)/8
n ≧ 4 次なら、f (x) + x^n

>>431
わかっているのだろうが，2次の場合存在しないことの証明は？

x以下の素数の個数をπ(x)とする。
全ての自然数xに対し、π(x)=f(x)となる有理関数fは存在しないことを示せ。

>>432
f(2), f(3), f(5) に vandermonde の行列式を適用し、
6f(x) は整係数。
f(3), f(5), f(7) に vandermonde の行列式を適用し
16f(x) は整係数。
よって 2f(x) は整係数
よって f(n) は整数。

>>433
素数定理から明らか

>>433
素数定理を使わない別解
n - 1 個の自然数 n! + 2, n! + 3, ...... , n! + n
は、合成数だから

>>425
どこからその問題仕入れたんだ?

>>437
>>425を一般化した命題
「aを2以上の整数としたとき、φ(a^n - 1)はnで割り切れることを示せ」
という問題がヴィグラーノドフの初等整数論にあったはず。

aとa^n-1は互いに素だから、a^{φ(a^n-1)}≡1　(mod　a^n-1)
mod　a^n-1でのaの位数はnだから、nはφ(a^n-1)を割り切る。
(大体こんな感じだった)
といった解答がついていた。

それでは問題
aを2以上の整数としたとき、φ(a^n+1)は2nで割り切れることを示せ
ただしφはEuler関数。

>>349
a^m ≡ 1 (mod. a^n + 1) なる最小の自然数 m を改めて m と置くと、
同様な議論により、 m ＞ n.
一方、a^(2n) ≡ 1 (mod. a^n + 1).
もし、m ＜ 2n とすると、 2n - m を考えれば m の最小性に反する。
よって、m = 2n. これより出る。

一般化した問題。
n≧2とする。素数pがa^n-b^nを整除し、かつpがa^m-b^m(0<m<n)を
整除しないときpをa^n-b^nの原始素因数という。このとき、
a^n-b^nが原始素因数を持つための必要十分条件を述べよ。

フィボナッチ数列が mod. n で周期性を持つ事は良く知られている。
その正の最小周期を mod. n 周期と言うことにしよう。
更に n = p ： 素数の場合を考える。このとき

i) p ≡ ±1 (mod. 5) なら、 mod. p 周期は p - 1 の約数。
ii) p が奇素数で p ≡ ±2 (mod. 5) なら、 mod. p 周期は、 2(p + 1)
の約数になるが、 p + 1 にはならない。

>>440
正解、余談だが任意のb≧3はb=(b-1)^1+1となるから、439の命題を使えば
φ(b)が偶数であることがすぐにわかる。

>>442
フィボナッチ数列u_0=0、u_1=1、u_(n+2)=u_(n+1)+u_n
以下mod　pは略する。
i)
u_(p-1)≡{Σ_[i=0,(p-1)/2]C(p-1,2i+1)5^i}/2^(p-2)≡-(5^{(p-1)/2-1)/2^p≡0≡u_0　
u_p≡2^(p-1)*u_p≡Σ_[i=0,(p-1)/2]C(p,2i+1)5^i≡5^{(p-1)/2}≡1≡u_1
となるからu_(n+p-1)≡u_n
ii)
u_p≡2^(p-1)*u_p≡Σ_[i=0,(p-1)/2]C(p,2i+1)5^i≡5^{(p-1)/2}≡-1
u_(p+1)≡{Σ_[i=0,(p-1)/2]C(p+1,2i+1)5^i}/2^p≡-(1+5^{(p-1)/2})/2^p≡0≡-u_0
よってu_(p+2)≡-1≡-u_1
したがってu_(n+p+1)≡-u_nとなる
よってu_(n+2p+2)≡u_n　

>>444
well-known とは言え、いつもながらお見事。
今度は自作問題を考えておこう。

Γ(z)^{-1}=(2π)^{-1/2} Π_[ν=0→∞](ν+z)

スマソ．誤爆した．
強ち無関係ではないかもしれんけど．

新作といっても、易しいか難問かのどちらかで、
適当な難度の問題は、既にどこかに既出の可能性が大きいし、
なかなか難しい。

ところで Fibonacci 数列の周期の問題だが、
mod. n 周期を τ(n) と書くとき、
素数 p に関して、 τ(( p^(e+1) ) = pτ( p^e ), e = 1, 2, 3, ....
と言う予想があったが、どうなっているのだろうか?

最近騙りが多くなったので、トリップつける事にした。

>>448
age荒らしに騙りもくそもあるか？
KINGと全く同じだな、お前。

>>449
少しは数学的内容を書いたらどうだ
超糞マヌケの上に、荒しばっかりやっているお前

っていうか、都合が悪くなると名前やトリップを変えて偽者のせいにする、ってのはまさにKINGと同じ。

>>451
全く卑怯だな。kingは来なくなったけど。

>>448

コテを荒らしに仕立て上げようとする、粘着荒らしがいる。
騙りと、自演でネッチリと絡んでくるよ。449 もそれだな。

A4、King が犠牲者の見本。
犠牲者はそれなりに、隙があるから犠牲になす訳だが。

コテハンが悪いとは言わないけど、ageてばかりなのはウザイと思われてもしょうがない。
KINGもそうだったけど、age荒らしはやめたほうがいいよ。

>>453
上げなければ荒らしって言わたり、粘着房に付きまとわれたりしないよ。
何でいちいち上げるんだろう。

>>455
上げて何がいけないのか？

>>456
トリップが違うな

>>457
荒らすな、粘着。

またKINGの時と同じ展開になってきた・・・

この後はAA荒らしかな。

トリップ付きの偽者も出ている。荒らしはやめろ。

>>458
トリップが違うな

>>461
粘着やめろ。荒らして何が楽しい？

伊丹公理氏は大学の教官ですか？

伊丹公理氏は某工業大学の教官？
まあ素性は何でも良いけど．

問題
すべての正の整数の集合は2つの互いに素な部分集合
{f(1), f(2), ・・・, f(n), ・・・}, {g(1), g(2), ・・・, g(n), ・・・}
の和集合である．ただし，
f(1)<f(2)<・・・<f(n)<・・・,
g(1)<g(2)<・・・<g(n)<・・・
であり，すべてのn≧1に対してg(n)=f(f(n))+1である．
f(240)を定めよ．

最後はウンコ食うんだろな

>>448
τ(p^2)≠τ(p)がいえれば、τ{p^(e+1)}=pτ(p^e)は証明できるようです。
でも、これがまだ示せていなかったはず。

>>466
それは知っています。非常に大きい素数までは成立する事は分かっているが･･･

それから後一つ。
整数列 a_i を、 a_0 = 1, a_1 = 1, a_(n+2) = 2*a_(n+1) - 3
で定義すると、 a_i = ±1 になるとき、 i = 0, 1, 2, 5
となるという事は正しいだろうか?

>>467
トリップが違うな

コホモロジーとスキーム論の知識ぐらいでわかる類体論の本ってないですかね？
とりあえずノイエルヒ『代数的整数論』は入手しております。
何とか読めそうではあるんですが。。

それとSGA4、5はあまりにも膨大なんで、SGA4-1/2でお茶を濁そうかと。
MilneのEtale　Cohomologyはフォロウできませんでした。

はげしくネタっぽいが，
高木貞治「代数的整数論」
なら，スキームもコホモロジーも必要ない．

問題
pを素数、nを奇数とする。
Z[X]の元f(x)=Σ[i=0→n](a_i)x^iが以下の条件
「a_nはpで割り切れず、a_0,a_1,…,a_(n-1)はp^2で割り切れるが、a_0はp^3で割り切れない」
をみたすとき、f(x)はQ[X]で既約であることを示せ。

>>471 ネタじゃないぞ。
ホモロジー代数と可換環論、スキームと来たが類体論はこれから。
セールの『代数群と類体』はいいのかな？？

高次元化とか非可換化とかでなく
最も基本的な有限次代数体のアーベル拡大の話なら
スキーム論や位相幾何の知識はほとんど要らない。
整数論の基本的なこと(ガロア理論、整拡大、素イデアルの分岐、分解群、
惰性群、単数定理、二次体、円分体、ディリクレL関数)は類体論をやる前に
知っておく必要がある。

>セールの『代数群と類体』

GTM117はcurveの類体論。有限次代数体の類体論の類似物ではあるが
別物なので、高木類体論を知らない段階で読むものではないと思う。

>>469
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1080251812/
も参照

有限体上の1変数形式的巾級数体の上の
拡大体の様子って簡単に分かる？
p進体の上の拡大体の様子はそうではなさそうだけど。
どっちもアーベル拡大なら局所類体論で一発だけどさ。

>>474,475
レスどうも。激しく感謝します。
ガロア理論、円分体はArtinでやりましたが、他は未知ですね。
整拡大も可換環論のぐらいです。
それにしても数論は概念がとても多くて大変です。
何とかショートカットしようというのは邪かなぁ。。

>>477

数論は概念がとても多くて嬉しいです、とか興奮します、と言えない様では、
見込みないよ。

んなこたぁーない　だろ
雑多な知識の寄せ集め、という感は免れない。
まあ数論の定理の殆どが簡単に出てくるような
理論なんて不可能に近いだろうけどな

>>478
そうですよねぇ。私は数論の専門家には到底なれそうにありません。。。
それでもホモロジー代数とK理論でかなりのショートカットが
できるのではないかと。
>>479さんの言うような雑多な知識の寄せ集めを見通しよく学習する道筋が
多少なりともあればいいんですがね。

ショートカットってなんなの？
何をしたら「ショートカットして○○を理解した」ってなるんだ？
証明は飛ばして結果だけ読むって感じで言ってるようじゃ無さそうだし・・・

兎に角証明も含めて他人に教えられない程度の理解は理解といわない。

>>472
Z上既約であることを示せば十分．
f(X)が472の条件を満たすとき，f = gh ならば deg g = deg h を示す．
これにより，deg fが奇数ならば既約．
g(X) = �納i=0→s] b_iX^i，h(X) = �納i=0→t] c_iX^i (s≧t) とおく．
p^2 | b_0 または p^2 | c_0 のときはアイゼンシュタインの既約性定理
と同様に議論が進むので，p | b_0 かつ P | c_0 の場合のみ考える．
s > t として矛盾を示す．
u≦tとし，b_0〜b_{u-1}，c_0〜c_{u-1}はpで割り切れると仮定．
a_u = �納i=0→u] b_i・c_{u-i} は p^2 で割り切れるので
b_uc_0 + b_0c_uもp^2で割り切れる・・・☆
a_{2u} = �納i=0→2u] b_i・c_{2u-i} において，s > t なら p^2 | a_{2u}，
i≠u に対し p | b_i・c_{2u-i} なので，p | b_u・c_u⇒p | b_u または p | c_u
これと b_0, c_0 はp^2では割り切れないことおよび☆により
p | b_u かつ p | c_u
帰納的にp | b_t かつ p | c_t を得るが，
これは a_n = b_s・c_t が p で割り切れないことに反する．

>>473
お詫びに，ウェブで手に入る高次元類体論のサーヴェイ
http://www.maths.warwick.ac.uk/gt/gtmcontents3.html
http://www.math.uiuc.edu/documenta/vol-kato/vol-kato-eng.html

>>483
正解です。
一応、自分が考えた解
g(X)=�納i=0→s] b_iX^i，h(X)=�納i=0→t] c_iX^i (s＞t)
f(x)=g(x)h(x)
ここでは、p|b_0 かつ p|c_0 の場合のみ考える。
0≡a_t=Σ_[i=0→t](b_i)*{c_(t-i)}≡(b_t)*(c_0)　(mod　p^2)
b_tはpで割り切れないのでc_0がp^2で割り切れることが導かれ、不合理。
よってf(x)は既約。
(a_s=Σ_[i=0→t](b_i)*{c_(s-i)}を考えても同様の結果が得られる)

>>477-478
逆に言えば、膨大な概念の中から自分にあった道を探し出せば
ある程度の仕事はできるとも言える。

>>464は只今祭り開催中のIMOの問題なんだが，誰か解いてみない？
ヒントは次の定理．

a, b は正の無理数で，1/a + 1/b = 1を満たす．
A = {[an] | n∈N}，B = {[bn] | n∈N} とすると
A∩B = φ，A∪B = N．
ただし，[ ] はガウス記号．

>>486
ものは考えようだね。まあ20世紀数学全てを極めよう、とかは
クラインとかワイルとかヴェイユとかそこらへんレベルの秀才以外は
考えちゃいかんですね。

>>467
えー、ヴィノグラドフの定理（レイリーが正しい？）とか使う問題は
出ないから、使ったら楽になるにしても、（昔ワイルの一様分布使ったら一瞬の問題が出たｗ）
使わんと解けないことはないはず。

>整数列 a_i を、 a_0 = 1, a_1 = 1, a_(n+2) = 2*a_(n+1) - 3
>で定義すると、 a_i = ±1 になるとき、 i = 0, 1, 2, 5
>となるという事は正しいだろうか?

なにこれ？
問題の写し間違い？

>>487は，レイリーの定理を使って解くというのではなく，これを
知らんとf(n), g(n)がどうなるか，普通ちょっと思いつかんだろう，
ってお話．
ラマヌジャンのような人であれば，必要ないのかもしれませんが．

そうか、漏れには必要ないか。

「任意の無理数は、一意に無限（正則）連分数展開（各分子が１）
として表せる」って、証明はどんな感じでしょうか？
なんか明らかなんだか、よくわかりません。お願いします。

>>489
失礼!写し間違いでした。a_(n+2) = 2*a_(n+1) - 3*a(n) に訂正。
　i = 0, 1,　2,　3,　4, 5,　6,　7, ...... の時、
a_i = 1, 1, -1, -5, -7, 1, 23, 43, ...
から来た予想。

>>492
http://www80.sakura.ne.jp/~aozora/suuron/node55.html

>>494
ありがとうございました。
参考にさせていただきます。

>>464>>487をヒントにして考えると
f(n)=[{(1+√5)/2}n],g(n)=[{(3+√5)/2}n]だから
f(240)=388

問題
mを奇数、C(n,r)を二項係数とする。
mが素数⇔m/3＜h＜m/2を満たす任意の自然数hに対してC(h,m-2h)はhで割り切れる。

>>496
正解
>>497
十分性は，
mが奇素数なら，m と m-2h は互いに素，
C(h,m-2h) = C(h-1,m-2h-1)×h/(m-2h)より成立．
必要性は，m=8 が反例．

訂正
＞m と m-2h は互いに素

→h と m-2h は互いに素

８は奇数ではない。

>>500
だから，反例なわけだが．

いや，勘違いだ．
済まない．

いや，やっぱり勘違いではなさそうだｗ
二転三転して済まない．
対偶を取れば，わかりやすいだろう．
「mが合成数ならばC(h,m-2h)がhで割り切れない，
m/3 < h < m/2 を満たす自然数 h が存在する」
これは，m = 8 のとき成立しない．

3006のｎ乗−2171のｎ乗＋1319のｎ乗−150のｎ乗が2004で割り切れることを証明してください。

>>497は

「mを奇数、C(n,r)を二項係数とする。mが素数」
⇔「m/3＜h＜m/2を満たす任意の自然数hに対してC(h,m-2h)はhで割り切れる。」

ではなくて

mを奇数、C(n,r)を二項係数とする。
「mが素数⇔m/3＜h＜m/2を満たす任意の自然数hに対してC(h,m-2h)はhで割り切れる。」

だからｍ＝８は反例ではない。

対偶をとると

ｍが奇数ならば「mが合成数ならばC(h,m-2h)がhで割り切れない，
m/3 < h < m/2 を満たす自然数 h が存在する」

でこれは

「ｍが奇数かつmが合成数ならばC(h,m-2h)がhで割り切れない，
m/3 < h < m/2 を満たす自然数 h が存在する」

だからｍ＝８のとき成立する。

>>505
了解．改めて，考えてみる．

改めて，必要性を証明してみる．
m を奇数の合成数とし，p を m の素因数の一つ，
h を h = (m-p)/2 とする．
このとき，C(h,m-2h) = C(h,p) = h×(h-1)×・・・×(h-p+1)/p!
p は奇数なので，p | h．
d = max{ i ; p^i | h} とすると，
max{ i ; p^i | h×(h-1)×・・・×(h-p+1)} = d なので，
max{ i ; p^i | C(h,p)} = p^{d-1}
よって，C(h,p) は h で割り切れない．

ｍ＝９が反例。

p = h の場合があった．
これはうかつだったな．
「mが素数⇔m/3≦h＜m/2を満たす任意の自然数hに対してC(h,m-2h)はhで割り切れる。」
にすれば，>>507でOK?

m/3≦h＜m/2と条件を変えて，>>507に追加．
h = (m-p)/2 とすると，h < m/2 は明らか．
m/3 ≦ (m-p)/2 ⇔ 3p ≦ m
だが，奇数の合成数なら，m=pq，q ≧3 なので，成立．
ついでに，
「mが奇素数⇔m/3≦h≦m/2を満たす任意の自然数hに対してC(h,m-2h)はhで割り切れる。」
m=2m' のとき，h = m' とすれば C(h,m-2h) = 1

>>507>>509
正解です。
>>497のm/3＜h＜m/2はm/3≦h＜m/2の誤りだった。
ごめん。

2^9番get
ついでに問題

自然数の集合A_nを以下のように定義する。
A_n={a∈N|1＜a＜n,nとaは互いに素}
A_nの要素がすべて素数となるような自然数nをすべて決定してください。

例
A_8={3,5,7}だからn=8は条件を満たす。
A_10={3,7,9}だからn=9は条件を満たさない。

０，１，２，３，４，６，８，１２，１８，２４，３０。

>>504
2004=4*3*167だから
3006^n-2171^n+1319^n-150^n≡2^n-3^n+3^n-2^n≡0　(mod　4)
3006^n-2171^n+1319^n-150^n≡-2^n+2^n≡0　(mod　3)
3006^n-2171^n+1319^n-150^n≡150^n−150^n≡0　(mod　167)
ゆえに3006^n-2171^n+1319^n-150^n≡0　(mod　2004)

>>512
まず，補題．
素数を小さい方から順に p_1, p_2, ・・・, p_k, ・・・とすると，
p_k≧11(すなわち，k≧5)のとき，p_k^2 ＜ p_1×・・・×p_{k-1}
これは，チェビシェフの定理より
p_k ＜ 2p_{k-1} ⇒ p_k^2 ＜ 4p_{k-1}^2 ＜ p_{k-1}・p_{k-1}^2
から，帰納的に示される．
n > p^2 のとき，条件を満たすためには p | n でなければならないので，
n > p_k^2 ならば p_1×・・・×p_k | n
補題より，p_k≧11なら n > p_{k+1}^2 となるので，
条件を満たす n は存在しないことが帰納的に示される．
よって，（0,1,2はいらないと思うが） >>513のようになる．

a, n をそれぞれ 2 以上の自然数とする．
n が a^{2^k} + 1 を割り切るとき，φ(n) は 2^{k+1} で割り切れる．
ただし，φはオイラー関数．

特に，n = a^{2^k} + 1 の場合は，>>439の n = 2^k の場合．

>>561
n が奇数の場合、 n = p ： 奇素数の場合考えればよい。
a^(2^k) ≡ -1 (mod. p)
よって a のmod. p 乗法的位数は 2^(k+1) の倍数。よって成立。

n = 2, a = 3, k = 1 の時不成立

訂正
>>516
a のmod. p 乗法的位数は 2^(k+1), よって成立。

n=2の場合は -1≡1 (mod. 2) が効いて不成立になるようです．
済みません．
n を 3 以上の整数とすれば成立すると思います．
つまり，n≠2 なら a の mod. n の位数は 2^{k+1}．
n | a^{2^k}+1 なら n と a は互いに素なので，
a^φ(n) ≡ 1 (mod. n) より．

ノイキルヒ『代数的整数論』：なかなか読みやすくていいです。

>>520
解説してくれ

付値論からRiemann−Rochに繋げるのが手際いいね。イデアル類群をPichard群と
捉えるとコホモロジーで扱えて見通しがよいし。

>>513>>515
正解

問題
pを素数、n, kを互いに素な自然数とする。
Z[X]の元f(x)=Σ[i=0→n](a_i)x^iが以下の条件
「a_nはpで割り切れず、a_0,a_1,…,a_(n-1)はp^kで割り切れるが、a_0はp^(k+1)で割り切れない」
をみたすとき、f(x)はQ[X]で既約であることを示せ。

いちいちageるな、馬鹿どもが。

>>525
馬鹿はきみ

1がageのスレはage進行推奨
1がsageのスレはsage進行推奨

だからこのスレはage進行推奨

つーか、問題はage解答はsageでいいんじゃない？

問題をsageで出しても、気づかないし。

解答もあげてくれないと気づかないから困る

どっちでもいーだろ　アホか

一人ageとsageに異常に拘る基地外がいるんだよ。

KINGネタで荒らしてたのも多分そいつ。

スレが進んでると思ったら雑談かｗ
数学板で扱う話題でsageに拘る必要はなかろう．
age，sageに拘っている人は，荒らしたいだけか，
他板で空気が読めずにageて，
怒られたことがトラウマになっている人だろう．
あるいは専用ブラウザを使っていないかｗ

一応sageとこｗ

>>524の解答とは関係ないが、自分が>>472関連で考えていたのは

pを素数、nを2以上の自然数とする。
Z[X]の元f(x)=Σ[i=0→n](a_i)x^iが以下の条件
「a_nはpで割り切れず、a_1,…,a_(n-1)はp^2で割り切れる。
a_0はp^3で割り切れるがp^4で割り切れない」
をみたすとき、f(x)はQ[X]で既約であることを示せ。

証明は>>485と同様なやり方で示せます。
一応解答とは関係ないからsageて書きます。

Age, sageは適当でいいよ

>>522
感想はいいから俺の知らない新事実を言ってくれ。
俺が何を知っているか分からない?
だったら記述が簡単な命題のうちで一番深いものをあげてくれ。

>>532の証明は>>485の修正では出来ない、これは勘違いだ。

一応問題を出しておく

a_1,a_2,・・・,a_{φ(n)}をnの既約剰余系とする。

nが奇素数のべき乗、あるいはn=2,4のとき
(a_1)*(a_2)*…*(a_{φ(n)})≡-1　(mod　n)
そうではないとき
(a_1)*(a_2)*…*(a_{φ(n)})≡1　(mod　n)
となることを示せ。

age荒らしどもが自分の基地外さに気づかないとはね。
あ、だから既知外なのか。

>>537
感じ悪い書き込みだな

>>536は荒らしじゃないだろ！

>>538
ほっとけよ、いちいち応対しないの。荒らしは反応されると喜ぶから。

それより、>>538はsageるべきだったろうね（W。

身をもってage荒らしを実演した漏れの真意がわからんとは・・・

絶句

下手な言い訳は止めろよ…。

盛りあがってきました。

>>536
一般に有限群において、位数1,2以外の元は x, x^(-1) がペアになって現れる。
よって、
(a_1)*(a_2)*…*(a_{φ(n)})≡ は乗法群における位数2の元の総乗積となる。
あとは群構造より出る

>>543
正解です。

自分が考えていた解は、位数1,2以外の元は x,x^(-1) がペアになって現れること
とx≠-1ならばxの位数が2⇔n-xの位数が2であることを用いて

y^2≡1　(mod　n)の解の個数をs個として、(a_1)*(a_2)*…*(a_{φ(n)})≡(-1)^{s/2}

次はsを定める。

nを
nが2の冪ではないとき
n=(2^a)*Π[i=1,…,k](p_i)^(h_i)
a≧0、p_iは奇素数、h_i＞0
nが2の冪のときはn=2^a
(このときk=0と考える)
と書く
y^2≡1　(mod　(p_i)^(h_i))の解は2つ
y^2≡1　(mod　2^a)の解はa=0,1のとき1つ、a=2のとき2つ、a≧3のとき4つ
だから中国剰余定理より
(Z/nZの既約剰余系の乗法的構造を考えれば明らかですが)

a≧3のとき、s=2^(k+2)
a=2のとき、s=2^(k+1)
a≦1のとき、s=2^k

より結論を得るというものです。

k を平方数でない自然数とする。
この時、N, k*N が共に三角数となる自然数 N が無数に存在する。

>>545
この問題は、x^2-k*y^2=1-kでx,yが奇数となるものを求めることに帰着される。

ペル方程式x^2-k*y^2=1の非自明な解s,tをとる。
ただしs,tは正の整数とする。

x_n=({(1+√k)(s+t√k)^(n-1)}+{(1-√k)(s-t√k)^(n-1)})/2
y_n=({(1+√k)(s+t√k)^(n-1)}-{(1-√k)(s-t√k)^(n-1)})/(2√k)
とおくと、x_n,y_nは正の整数かつ(x_n)^2-k*(y_n)^2=1-kとなるから、
x_n,y_nはx^2-k*y^2=1-kの解となる。

またx_n,y_nは、x_(n+2)=2s*x_(n+1)-x_n、y_(n+2)=2s*y_(n+1)-y_n
となるから、帰納的にx_(2k+1),y_(2k+1)が共に奇数であることがわかる。

x^2-k*y^2=1-kでx,yが奇数となるものが無数に存在するので、>>545もいえたことになる。

>>546
正解。
矢張りwell-knownはだめだな。
帰納法の出発点は x = y = 1.

>>536
１×５＝６−１。

>>548
ごめん、>>536は間違いだ
正しくは
n=p^kあるいは2p^k(ただしpは奇素数)、あるいはn=2,4のとき
(a_1)*(a_2)*…*(a_{φ(n)})≡-1　(mod　n)
そうではないとき
(a_1)*(a_2)*…*(a_{φ(n)})≡1　(mod　n)
だ。

>>548
うっかりしていた。乗法群で、位数2の元が高々1個の時、即ち
n が奇素数のべき乗、あるいは n = 2, 4, 2*[奇素数冪]のとき
(a_1)*(a_2)*…*(a_{φ(n)})≡-1　(mod　n)
そうではないとき
(a_1)*(a_2)*…*(a_{φ(n)})≡1　(mod　n)

乗法群の構造は勿論中国剰余定理から出る。

素数を小さい方から順に
p_1( = 2), p_2, ・・・, p_k, ・・・とすると，
p_k≧5(すなわち，k≧3)のとき，
p_{k+1} + p_{k+2} ≦ p_1*・・・*p_k
が成り立つことを示せ．

>>532
反例
　2x^3 + 25x^2 + 100x + 125
= (x + 5)(2x^2 + 15x + 25)

pを素数とする．
f(x) = �納i=0→n]a_i*X^i ∈ Q[X]に対し，座標平面上に格子点(i,ord_p(a_i))をとり，
下に凸になるような折れ線で結ぶ．
例：p^2*x^4 + p*x^3 + p^2*x^2 + p^2なら(0,2)，(3,1)，(4,2)を結ぶ折れ線
折れ線の角のx座標を 0 = x_0＜x_1＜・・・＜x_r = n とすると，
f(X) = f_1(X)f_2(X)・・・f_r(X)，f_i(X)∈Q_p[X]，deg(f_i) = x_i - x_{i-1}
とできる．

これから，次の命題を得ることができる．
f(X) = X^n + a_{n-1}X^{n-1} + ・・・ + a_0 ∈ Q[X]は，m = ord_p(a_0) のとき，
nとmが互いに素，ord_p(a_i) ≧ m(1 - i/n) (1 ≦ i ≦ n-1) ならQ上既約．
（これは>>524を含む．）

問題
Z上の既約多項式 f(X) = X^n + a_{n-1}X^{n-1} + ・・・ + a_0 ∈ Z[X] で，
すべての素数 p に対し，mod p でも既約なものは存在するか？

全ての整係数多項式に対して、それが mod. p で完全分解する
（一次式の積になる） 素数 p が無限に存在する.
事の証明は既に書いた。
>>406>>411



一次因数が出てくる p が無限にあるだけなら、
>>310とその回答>>326別解>>315

>>554
そんなこと云わなくても f(n) ＞ 1 なる整数 n を取り、
f(n) の素因数を考えればよい。

Ｘ。

>>555
なるほど．
>>557
神業．

では，
Z上の既約多項式 f(X) = X^n + a_{n-1}X^{n-1} + ・・・ + a_0 ∈ Z[X] (n≧2)で，
すべての素数 p に対し，mod p で可約なものは存在するか？

>>558
これも有名問題だからつまらんな．

問題
Z上の多項式 f(X) = X^n + aX^{n-1} + ・・・ + aX - 1 (n≧2，a≠0)
はQ上既約である．

>>558
有名問題だが一応答えておこう。
f (x) = [(x ± √2 ± √3 ± √6) の複号全てにわたる8個の積。]
2, 3, 6 のいずれかは mod. p 平方剰余だから。

>>552
>>532は間違いか、ごめん。
>>551
p_(k+1){p_(k+1)+p_(k+2)}＞2p_(k+1)+2p_(k+2)＞p_(k+2)+p_(k+3)より帰納的に示せる。

>>560
可約。

>>558>>560>>562
訂正。4個でよかった。
f (x) = (x + √2 + √3 + √6)(x - √2 - √3 + √6)(x - √2 + √3 - √6)(x + √2 - √3 - √6)

a(0)=a(1)=1, a(n+1)=7a(n)-a(n-1)-2 for ∀n∈N
により定まる数列{a(n)}の任意の項は平方数であることを示せ

問題
pをp≡6n-1 (mod 8n)となるような素数とする。
(nは自然数)
q＜pかつ(p/q)=-1となるような素数qが存在することを示せ。

>>558>>560>>562>>563
再訂正。これだと p = 3 の時まずかった。
f (x) = (x + √2 + √7 + √(14))*(x - √2 - √7 + √(14))*(x - √2 + √7 - √(14))*(x + √2 - √7 - √(14))
これなら2は7を法とする平方剰余、7は2を法とする平方剰余でｵｹ

>>564
数列b(n)をb(0)=0、b(1)=1、b(n+2)=b(n+1)+b(n)を満たす数列(フィボナッチ数列)とすると
a(n)={b(2n-1)}^2となっている。

>>561>>566
正解

>>563でもいいと思いますけど．
　(x + √2 + √3 + √6)(x - √2 - √3 + √6)(x - √2 + √3 - √6)(x + √2 - √3 - √6)
≡(x + √2)(x - √2)(x + √2)(x - √2)　(mod. 3)
≡(x^2 - 2)^2 (mod. 3)

>>565
k を 0 以上の整数として，p = 2n(4k + 3) - 1 と書ける．
自然数 m のすべての素因数が mod. 4 で 1 だとすると，
m ≡ 1 (mod. 4)なので，
4k + 3 は mod. 4 で 3 となる素因数 q をもつ．
このとき，(p/q) = (-1/q) = -1

以下の性質を満たすN個の連続する自然数が存在することを示せ。
x,x+1…,x+N-1はすべて、m^4 + n^4 + k^4 (m, n, kは0以上の整数)という形で表すことが出来ない。

>>360の改作。

ａ以下で表せるものの個数は（ａ＾（１／４）＋１）＾３以下だから。

>>570
正解

>>568　正解です。
>>569
私が>>360関連で考えていた問題は(実は>>360とどっちを出そうか迷っていた)
「kは-kが平方数とはならない自然数とする。
以下の性質を満たすN個の連続する自然数が存在することを示せ。
x,x+1…,x+N-1はすべて、m^2+k*n^2(m、nは0以上の整数)という形で表すことが出来ない。」
でした。

証明は(-k/ (p_i) )=-1となるような素数p_iをとって、>>366と同様に出来ます。

全く同様の類題で申し訳ないが。

X = { a^b | a, b は 1 より大なる自然数 } とする時、
以下の性質を満たすN個の連続する自然数が存在することを示せ。
x,x+1…,x+N-1はすべて X に属さない

>>572
×「kは-kが平方数とはならない自然数…
○「kは-kが平方数とはならない整数…
だった、とりあえず訂正。

>>573
i番目の素数p_iを取れば、>>366と同様に示せます。

>>574
p_i より大きい数の冪になることはありませんか?

>>575
x+i-1のp_iの指数が1である時点で、x+i-1=a^b(a＞1,b＞1)とは表せないはずだと思いますが
もしかしたら、私自身が>>574を勘違いしているかもしれませんが。

>>576
例えば a = p_j, j ＞ n だったら?

>>576>>577
全くの勘違いをしていた。
このごろ（いや昔から）勘違いが多くて困る。

二変数の多項式 f_n(X,Y) = X^n + Y^n について，
互いに素な自然数 a, b (ab≠1) があって，
f_m(a, b) が f_n(a, b) で割り切れるなら，
f_m(X, Y) は f_n(X, Y) で割り切れることを示せ．

要するに、f_m(a, b) が f_n(a, b) で割り切れるなら、mがnの奇数倍であることを示せばよい。

mをnで割り、商をq、余りをrとする。
m=nq+r、0≦r＜n
0≡a^m+b^m≡b^(nq)*(b^r+(-1)^(q)*a^r)　(mod　a^n+b^n )
よってb^r+(-1)^(nq)*a^r≡0　(mod　a^n+b^n )
となる。

(-1)^q=1となるとき
b^r+a^r≡0　(mod　a^n+b^n )となり不合理

(-1)^q=-1かつr＞0となるとき(このときqは奇数である。)
b^r-a^r≡0　(mod　a^n+b^n )
b^r*{a^(n-r)+b^(n-r)}≡a^n+b^n≡0　(mod　a^n+b^n )
よって{a^(n-r)+b^(n-r)}≡0　(mod　a^n+b^n )となって不合理

したがって、qは奇数でr=0となることが導かれ、題意はいえた。

＞b^r+(-1)^(nq)*a^r≡0　(mod　a^n+b^n )
はb^r+(-1)^q*a^r≡0　(mod　a^n+b^n )
の誤りです。

問題
mを2以上の整数、nをn≠-1,0となるような整数とする。
m^p+nが合成数となるような素数pが無数に存在することを示してください。

風あざみタイプミス多いな　それはいいとして問題でも考えるか

お前らage荒らしばっかりじゃないか！
いいかげんにしろ！

最近、問題書き込んでくれるから専門スレが活気付いていいね。
いつも楽しみにしてます

ageなければ生きていけない馬鹿ドモなので許してください。

　　　　　　　　　 /　　＿
　　　　　　／￣（　〈　　 ￣　ヽ
　　　　　/　＿ - ＼ | - ＿　　 ＼
　　　 〜　　　　　　　　ヘ　＼　　 ＼
　　　γ　　　 /　/　　　ﾍ＼　 ＼　　|
　　／　　　　/　 /　/　〈〈　|　　　|　 |
〜γ　／ γ＿〈　 | 〈＿_〈　|　 ）|　/
　　　 ./ /|〃, -､｀从´,. - ､｀从 / | /
　　　　（　| |‘（ﾟ.）　　‘ （ﾟ. ） 从　//　　　　　 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　　γ　|　￣　、 　 ￣　从6））)　　　　＜　　ねぎまだよ〜〜！！
　　 〆　从人　 　ー　 ⊂⊃ノ) ﾉﾉ　　　　　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
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　　　　　 /／　 |　　 ／/￣／　　＼
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　　 　　// /　/ /　/ /　/| | | |l i　　 ヽ
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　　 　/ // |彳~ｌヾ　 　 彳~ ｌヾ / /　 |　|　　 ／￣￣￣￣￣￣
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　　　　　／　　　　　　　　　〜
　　　γ　　　　　　　　　　　　　フ
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　　 |　　　　　　　　　　　ノλﾉﾉ
　　 |　　　　　　|　 /ﾉ　/∩|
　　　|　　　　　.ﾉ_ノ ﾉノ || |L
　　　ヽ　　　 （.d 　　　　∪ 〉　　 ／￣￣￣￣
　　　　＼　　 ./　　 ゛　　ｰ/　　＜　ナンコツ
　　　　　　ｗ/　　 ＿　　 /　　　　＼＿＿＿＿
　　　　／|く　　　/　　￣
　　　　　　| ＼ / |＼
　　　　　　 |　 V　|
　　　　　　　|／＼|

>>586
偽者

　　　　γ´￣￣￣￣￣￣￣ヽ
　　　　（ のんびりいこうよ！）
　　　　 ゝ＿＿＿＿＿＿＿_ノ
　　　　　 ∩　　〇
　　　　／⌒ヽ　o
　　　　|　　　 |　　　　　 ll´|
　　　 / -　　(ヽ/ ⌒ ヽ || .|
　　　（　　　　 |　 ￣）└'　|
　　　 /￣| |￣￣ ｀´￣￣￣ヽ
　　　/＿_| |＿＿＿＿＿＿__ヽ ,-^ ' -,　　 _, -- ､,,
　　 /　　 ∪　　　　　　　　　　ヽ　　　　>｀＾ '　　　　';., ; '' '
　　/＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿_ヽ
　 /　　　　　　　　　　　　　　　　 ヽ
　/＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ヽ
　　　　｜　 　 　 　 　 　　 　 |
　　　　｜￣￣￣￣￣￣￣　|

>>590
偽者

┌────────────────────────┐
│　　　　(￣￣) 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　|
│　　　　 ）　 （　　　　　馬　鹿　ス　レ　認　定　証 　 　 　 　 　|
│　　　／ 　 　＼ 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　|
│ 　 　|　Λ Λ　|／￣￣￣￣￣＼ .　 認定番号 第１０３号 　 |
│ 　 　|　( ﾟДﾟ)＜　馬鹿ちゃう？　| 　 　　　　　　　　　　　　　　|
│　　　＼＿＿／.＼＿＿＿＿＿／ 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　|
│ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　|
│ 　 このスレが２cｈ馬鹿スレ審査委員会の定める認定　　　|
│　　基準（第5項）を満たしていることをここに証する。　　　　|
│ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　|
│平成１７年１月 　 　 　　２ｃｈ　馬鹿スレ審査委員会 　 　 　 |
│ 　 　 　 　 　 　 　 　 　　理 事 長　 ひろゆき＠管直人 　　　|
│ 　 　 　 　 　 　 　　　　　認定委員　クーベルタン男爵...　　　|
└────────────────────────┘

>>592
偽者

アフォ市ね

>>580
正解です．

このスレ、暗号数学スレみたいにオタクスレになってきつつあるな。

不等式スレも忘れちゃいけないｗ

というか、数学板が既にヲタク板ですからー！　残　念！！
　五十歩百歩　切　り　！！！

↑いろんな板でこのネタ見るけど
一回も笑ったことないし見てて不愉快になる

というか、ギター侍自体が（りゃ

問題
nの正の約数の和をσ(n)、n以下の自然数のうちnの互いに素なものの個数をφ(n)とする。
(1)
任意の素数nに対して、n*σ(n)≡2　(mod　φ(n) )が成立することを示せ。
(2)
n*σ(n)≡2　(mod　φ(n) )が成立する合成数は、n=6,22に限ることを示せ。

ｎ＝４，６，２２。

グロタンディークが代数幾何を再構成し直したように、
俺も整数論を一から再構成しようと思うんだけどいい？

>>602
そうだ、4を忘れていた

>>603
出来れば他のスレッドでやってほしい。

＞再構成し直したように、
どう言う意味？

いずれにしても他スレで。

（本気でやるなら）このスレでいいと思うけど。
少なくとも問題出し合うよりは良さそう。

>>607
悪いが>>603は数学基礎論的な話だと思う。
どうしてもやりたいなら基礎論スレでという話。

>>608
誤認している人が多いようだが、
>>603 のようなことは数学基礎論の話ではない。

数学基礎論的に再構成するってどういうことですか？
言ってる意味がよく分からないんだけど……
多分各種代数系の理論、特に可換環論とかカテゴリー論とか
使って再構成するって意味なんじゃないの？
でも、多分グロタンディークのようにはできないだろうから
とりあえず他のスレでやって欲しいと思います。

ちなみに、基礎論∧数論って話が出たから、
一寸思い出したんだが、↓読んだ人居ます？
なんか多項式の形をした、N^kからNへの全単射が
有限個しかない、と言う定理とか、
再帰函数論の応用のお話とか載ってたみたいだけど、
読んだ人居たらレビューｷﾎﾞﾝﾇ
Logical number theory / Craig Smorynski

>>603を読んだだけで、どうして基礎論的な話だと思ったんだろう？
まあでもそれ以前にとてもグロタンディークのようには出来ないだろうから
結局は他でやってくれってなるけどｗ

>>603
まあ兎に角やってみてくれ。

まずスキンヘッドにして…

何も考えずに基礎論と書いてしまったな、スマソ。
>>613
とにかくやってみたら。

>>582の解答
問題の条件より|mn+1|≧2だから、mn+1の素因数qをとる。
このときmはqで割り切れない。
p≡q-2　(mod　q-1 )となる素数pをとる。(ディリクレの素数定理より、pは無数にある)
p=(q-1)k+q-2
m(m^p+n)≡m^(p+1)+mn≡mn+1≡0　(mod　q )
よって、m^p+n≡0　(mod　q )となる。

もう問題はいいよ

整数論の分野って

（初等的整数論）（〜平方剰余くらいまで？）
加法的整数論
解析的整数論
代数的整数論
数論幾何

以外にどんなのがあります？
勿論暗号数学とかも広い意味で言えばそうですが。

久しぶりに来てみたら，問題を出したり解いたりすることが
一部敬遠されているようだ．
スレ違いとも思えないけど，問題専用スレを立てて，
住み分けを考えた方が良いのかな？
そうしたところでこのスレは，ナンバリングの山となって
沈んでいくのがオチで，資源の無駄遣いのような気がするがｗ
どう思われますか？とりあえず今日は出題ひかえとこｗ

>>603
例えばアラケロフ幾何にしても無限素点と有限素点が
完全に統一されていない。少なくともこの辺は誰かきれいな形で統一して欲しいな。

>>617
現在暗号理論に数論が応用されているにすぎない。
将来もっと別の理論が効率的に応用されるかも知れない。

加法的整数論は解析的整数論の一分野とも思える

>>617
数論的位相幾何学（arithmetic topology）ってのもありますね．
Spec(F_p)の基本群はZのプロファイナイト完備化であるということから，
素数を「S^1（紐）」とみなし，整数論と3次元トポロジーの類似を
追及していこうという発想の数学です．
例えば，平方剰余の相互法則は絡み数，岩澤多項式は
アレクサンダー多項式と理解されるなど，様々な類似が成り立ちます．

また数論的非可換幾何学という比較的新しいものもあります．
上半平面の点にはトーラスが対応していますが，実数（カスプ）に
非可換トーラスを対応させることによって虚数乗法の一般化を
ねらうマニンの実乗法計画
アデール空間上の跡公式がリーマン仮説と同値であることを証明した
コンヌの仕事など．

一つの分野としては確立されていないけど，
一元体上の数論というのもあった．

数論の中の１分野とかじゃなく、根本的に新しい分野が立ち上がるということはもうないの？

>>623
どういう意味だろう？
数論の場合，数論の中で独自の方法を生み出すというより，
他の分野で発達してきた手法を数論に応用する，ということの
方が多いみたいですよ．
だから数論で大きな業績を挙げた数学者は，もとは他の分野
で活躍していた人だったということが往々にしてあるようです．

整数論の問題を出し合うスレ
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1106654316/
問題を出しあいたい人はこちらへ

>>620
加法的整数論は必ずしも解析が中心的な役割を演じるわけではない。

というより、解析的整数論、代数的整数論、…という分類は手法に基づく分類、
加法的整数論は扱う問題の性質に基づく分類で、分類の仕方が違ってる。

数の幾何などは手法においても扱う問題においても他の分野とはある程度
明確に区別できるが…。

つうか何か研究してて、そこでたまたま離散的な結果が得られれば
その時点でそれは整数論になるっていう印象だな。
離散的って書くと大雑把だけど。（本当は「整数論的」と書きたかったのだがｗ）

離散的、だけだと離散数学というのがあるからね。
加法的構造は必要かと。

問題出し合ってる連中は問題を見たら手を動かす前に
「ああ、これはあのパターンで解けるかな」とか考えてそうね。
ほんのちょっと具体的に計算すればわかるような反例を
見つける前に証明（になってないのだが）を仕上げるあたりが
いかにも大数や数オリの問題を解く楽しさから抜け出せない
大学生って感じがする。まあ悪いこっちゃないけど。

>>629
萌え萌えの中学生です。

前に代数幾何学スレで問題解いてた人がいたけど、こういう人が現れると
必ずそれは本当の数学ではないとかいい出す人が現れる。
それが数学板のクオリティ。

↑ものすごく的外れな意見だと思った

>>629
いや先ず解法を考えてから後でしょ。
実際に書き出そうとするのは。
それに数学なんてパターンですよ。現代数学だろうが数オリだろうが。

的外れ以前にあまり事実でも無いと思われ

>>633
リーマン予想は最初から考えるのをあきらめる人と、
しつこく考える人が居る。
お前はどっちだ。

いや別にリーマン予想を自分が解決しようなんて思ってないけど。。。

考えたことはあるのか?

>>631が的外れってことだったんだけどねｗ

批判するのがクオリチーか？

　　　　　　　　HN消して自分で擁護レスつけるのやめなよ

よく632
の意図が
わからん

>>629は私へのご批判かと．
前にも出題の折，標数がpである場合を見落とすという，
致命的なミスを犯しておりますし．
非常に的を得たご批判であると思いますので，今後は
できる限り注意を致します．

リアル工房です。大学に入ったら数論の勉強をしたいです。入学までに少しでも
勉強を進めておきたいのでこのスレで助言をお願いします。

以下自己紹介プラス今までの数学の勉強など。

関西の某中高一貫校2年生。家庭教師の京大生の影響で厨のころから数学マニアに。
高校受験がないので自由な時間を数学の勉強に当ててきました。
その京大生の先生に教科書を
もらったり借りたりしてきました。あと学校の先生にも。
読む本とかは全部その京大生に教えてもらいました。


読んだ本 理解度（最高5つ） 備考
解析概論 ★★★★★ ルベーグ積分以外
線形代数入門（東大出版会） ★★★★★
集合と位相（しょうか房） ★★★★ 集合論のところはちょっと飛ばした
代数概論（しょうか房） ★★★ 章末問題はあんまりやってない。加群はさっぱり分からん。
可換体論 ★★★ 進行中。有限次ガロア拡大で止まっている
Basic Number Theory 0 さっぱり分からん。あきらめた。
数論講義（J.P.セール） ？ 今読んでいるところ。

その他，入手しただけで読んでないorさっぱり分からん教科書多数。多様体とか。
なんか数論ってめちゃくちゃ範囲広いっすねえ。

家庭教師の先生は整数論が専門でないので今後どういう本を読めばいいかはよく分からんと
言ってました。お勧めの教科書教えてください。できれば安くてアマゾンで買えるやつで。
あと洋書もご勘弁を。

残した問題を解けるようにやり直せ。

>>642
＞解析概論 ★★★★★ ルベーグ積分以外
線形代数入門（東大出版会） ★★★★★
集合と位相（しょうか房） ★★★★ 集合論のところはちょっと飛ばした
代数概論（しょうか房） ★★★ 章末問題はあんまりやってない。加群はさっぱり分からん。
可換体論 ★★★ 進行中。有限次ガロア拡大で止まっている

なら、ここの大抵の質問の回答者になってやれ。
私の労力が省ける。

>>642
セールの数論講義は学部程度の知識がないと読むのは無理かと．
結構いろいろなテクニックを使ってますから．
高校生で志望分野まで決める必要はないと思う．数学の世界は広い！
でも高木貞治の初等整数論講義はお勧め．
それだけでも結構大変ではないかと思うけど，もし読みきることができたら，
同じく高木貞治の代数的整数論を続けて読めばいいんじゃないかな？
そうすれば抽象的な数学にもしっかり肉付けができると思います．

高木以外の整数論の入門書も紹介してみる。amazon.co.jpかhttp://www.fetchbook.info/ で検索すればおそらく入手可能。

G. H. Hardy & E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, 5th edition
…世界的スタンダード。とにかく守備範囲が広いし、参考文献も豊富。ただし代数的整数論など
内容の薄いところがいくつかあり要注意。素数定理の初等的証明が載っているのも特徴だけど、
そこまでやることないような…。

I. M. Vinogradov, Elements of Number Theory（日本語訳：整数論入門）
…本編は最小限の事項の記述にとどまっているが、演習問題が
指数和に関してかなり深いところまで扱ってるのがいい。

T. Nagell, Introduction to Number Theory
…これもHardy&Wrightと並ぶスタンダード。Hardy&Wrightに比べて
内容のバランスが取れている。個人的にはこれがおすすめ。

H. N. Shapiro, Introduction to the Theory of Numbers
…内容はNagellと似てる。Nagellより分量が多め。

Hardy & Wrightも数論入門というタイトルで
シュプリンガー東京から邦訳が出ていますね．
訳の質は読んでないのでわからないですが．

解析概論がしっかり読めているのであれば，
塩川宇賢「無理数と超越数」森北出版
も面白い本であると思います．

基本的に邦訳より原著のほうがいい。値段も原著のほうが安いことが多い。

フーリエ解析の初歩まで出来ていれば
H. Iwaniec & E. Kowalski, Analytic Number Theoryとか
H. Davenport, Multiplicative Number Theory, 3rd editionとか
解析的整数論の入門書も大体読めますね。
（Iwaniec & Kowalskiは内容が豊富で解析的整数論全体を広く見渡せるのがいい）

＞解析概論 ★★★★★ ルベーグ積分以外

つーかね、全部読んでもないのに最高の理解度だと
自己評価する姿勢じゃ、他の本に対する理解度も
当てにならんなって思ったよ。解析概論の演習を
全部やったのかどうかも疑わしい。

いろいろと読み漁るよりも、一冊の本を舐め回すように
何度も何度も読み込むほうが有意義だと思うぞ。
証明問題を解いたら、今度は条件を変えても成立するのか考えてみるとかね。

>>つーかね、全部読んでもないのに最高の理解度だと
自己評価する姿勢じゃ、他の本に対する理解度も
当てにならんなって思ったよ。解析概論の演習を
全部やったのかどうかも疑わしい。

kechi tsukenna!!!

642を書いた高校生です。レスありがとうございます。
>>643 残した問題を解けるようにやり直せ。
代数概論のことでしょうか？章末問題の中で難しいのが結構手付かずで残ってます。
代数の演習は京大の講義で使っていたというプリントをもらってそっちを真剣に
やってます。

>>644
分かりました。なるべくここを覗くことにします。

>>645 数論講義は学部程度の知識がないと読むのは無理かと
最近読み始めたばかりです。ぱっと見たところ算術級数の素数定理のあたりの解析的な
部分と保形関数の章が難しそうです。

それから高木貞治の初等整数論講義は読みました。というか，これを読んだお陰で数論に
興味を持つことになったし，数学全般の理解がかなり深まりました。

みなさんにいろいろ挙げていただいた本ですがインターネットで書評を見て調べてみようと
思います。ただ，自分の場合洋書を読むのはまだ無理みたいです。数学の勉強をしてるのか
英語の勉強をしてるのか分からなくなります。数学用語も対訳が辞書に出てないし。

>>649 つーかね、全部読んでもないのに最高の理解度だと
ルベーグ積分は他書で勉強した方がいいと言われたのでルベーグ積分30項で勉強しました。
だから星5つはそれ以外の部分についてです。

解析概論の演習はルベーグを除いて全部やりました。解析概論自体が今までいちばん時間を
かけて読んだ数学書です。演習も難しいやつは相当難しいですが代数概論に比べれば
やりやすかったです。

>>650 いろいろと読み漁るよりも、一冊の本を舐め回すように何度も何度も読み込む...
ありがとうございます。自分はとりあえず代数的整数論を目標にしてそれを読める
知識を早く手に入れることを目指してきました。一冊の本の中でも例えば体や環に関する
ところは真剣に読むが加群はとりあえず代数幾何的な扱いが出てきたときに改めて
勉強しようと思ってます。で，今のところはまだ出てきてないのでやってません。

× 30項
○ 30講

すごい高校生もいたものですね．そういえば，N島S子さんも高校生の
ときに，数論講義を読んでいたとか．
ご参考までに，数論講義の中身について自分なりに述べてみます．

Chapter I は平方剰余の相互法則の証明ですね．Appendixでは
ガウスの補題を証明してから，アイゼンシュタイン流儀で相互法則を
証明しています．（格子点を利用した証明を載せている本の方が多いと思う）
ガウスの補題を1のn乗根全体を含む代数体へと拡張し，楕円関数を
用いれば，3次，4次剰余の相互法則を得ることができます．
そういうことも自分で考えてみると面白いかも．
Chater II 〜IV はp進数の導入から，Q上のハッセ・ミンコフスキーの定理の
証明までですが，非常にコンパクトにまとまっていて，また現代的な書かれ方
をしているので，そういう議論に慣れていないとしんどいかも．
斉藤秀司の整数論，また初等整数論講義の合同式の項がよい参考になるかと思います．
中国剰余定理から近似定理にもっていくところもみごとです．
代数体上への拡張はよい演習問題になると思います．
Chpater V はそれまでの二次形式の解に関する話題とは打って変わって，
整数係数二次形式の分類を扱っていて，二次形式の簡約理論，果てはヴェイユの
アデール幾何につながっていくところです．
二次形式をもつベクトル空間のなす圏に群構造をいれて（Grothendieck群）
調べるという手法で，ここが一番読みづらいのではないかと思います．
（何をやってるのかが見えにくいと言う意味で）

Chpater VI は，複素関数の知識が必要になってきますが，初等整数論講義でも
扱っている話題なので，そこが読めていれば問題はないかと．
Chapter VII はモジュラー形式の話です．モジュラー形式の次元を求めるところは，
リーマン・ロッホを使った手法ではなく，セルバーグ流儀ですが，留数解析を用いた
巧みな証明はセールのオリジナルだと誰かが言ってました．
ヘッケ作用素のところは，格子を用いて定義していますが，より一般的な扱い方は
志村五郎の Introduction to the arithmetic theory of automorphic functions
が良書です．和書なら清水英男の保型関数があります．
テータ関数のところは，正定値の場合しか扱っておらず，解析的手法による不定値
二次形式のジーゲルの理論は見事なのですが，原論文以外のよい本を知りません．
結果だけはこのテキストに簡単に載っています．

セールのテキストは二次形式という数論で非常に研究されてきた分野を，様々な
手法で扱い，かつ非常に手際よく纏められているので，行間を読む作業が大切で
あると思います．

数論講義は序を読むとエコールノルマルの2学年生向けの講義が元になっている
と書いてあります。フランスの教育制度はよく分かりませんがかの国は飛び級
する学生も多いと思うので日本の優秀な高校生ならばチャレンジするのも無謀
とは思いません。

本書は著者が若い人に早い段階で手に入れてもらいたいと願う現代数論の基礎
をコンパクトかつ丁寧にまとめたオリジナリティ溢れる良書です。代数的整数
から類体論へと向かう従来の入門とは切り口の異なる，セール流の入門の
させ方なのでしょう。こういう本は私はほかに知りません。

ただ>>655にあるように圏とかグロタンディーク群とか出てきて初学者を
驚かせるところも多少あります。でもセールにとってみればぜひともこの時点で
身につけてもらいたい知識なのでしょう。

J.P.セールは研究者としては当然のこと，教育者，教科書執筆者としても
超一級です。本テキストも非常に優れたもので大学の先生ならば誰もが
学生に薦めるでしょう。Galois Cohomologyや Local Fieldも稀な名著だと
思います。定理や概念の本質を簡潔に分かりやすく論じていて読みやすいと
思います。執筆のうまさは数学者中随一ではないでしょうか（と言っても私は
フランス語は読めませんので原著ではなく英訳，和訳に関しての感想です）。

余談ながら，ヴェイユもセールも著作物は才気走っていて寒気すら感じますが，
著者に比べて遥かに愚鈍な読者のことをちゃんと考えてくれていて，本質でない
定理などを省いて道に迷わないようにしてくれているのがセールの教科書だと
思います。

雑文失礼。

佐々木の学生の学位の審査にはいつものように岡本が参加している。
佐々木は上野とも非常に仲が良い。
佐々木はこうして数学に「浸透」しつつあった。
今回のセクハラ騒動で岡本や上野にも影響が
何か及ぶのかどうかは不透明。
期待している人は多いようだけどね。

岡本和夫と佐々木力
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1107052485/17

>>646 G. H. Hardy & E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, 5th edition
この本はかなり古い本。おもしろくて読みやすいがいかんせん
かなり古い本だということは胸に刻んでおく必要があると。

前世紀のフランスの超人たちによって数論や代数幾何が高度に
抽象化されてしまった現代から見たらすっかり古典といった感じ。
高木の本にもいえる。（この本が悪い本だという意味ではない。）

だから俺の考えではこれらの本を読破したからといって現代数論に
入門できたとは考えないほうがいい。結局もっと新しい本で再入門
しなければならなくなる。

フランスの超人だの現代数論だのと具体性に欠けてて何を念頭において
話しているのかよく分からないけど、数論で何をやるにしても初等整数論講義や
H&W（あるいはNagellやShapiroの本）では不足なのは明らかでしょ。
これらの本で初等的な手法は大体カバーできるというだけで。

数論で重要性を増してきつつある代数的K理論にはどれも触れて無いな。

察するに，「前世紀のフランスの超人たちによって数論や代数幾何が高度に
抽象化されてしまった」とは，今主流となっているスキームやコホモロジーを
用いた手法を指しているのだと思いますが，Hardy&Wright はそれとは異なる
手法を扱っているので，「結局もっと新しい本で再入門 しなければならなくなる」
というのは解せません．
数論幾何をやるからといって，Hardy&Wrightで扱われているような手法を
知らなくてもいいというわけにはいかないことは，ボイタがファルティングスによる
モーデル予想の証明を簡易化して以来，ディオファントス近似が重要な手法と
なっていることからも明らかですね．

というか数論って広いから、この一冊で完璧、
という本は無いですよね
昔、ランダウが数論大全みたいなの書いてたけど
今ではもう無理かも分からんね

>>661
かするくらいなら．
＞二次形式をもつベクトル空間のなす圏に群構造をいれて（Grothendieck群）

一般論として古い時代の教科書よりも新しいものの方が理論が簡潔にまとまっている
ということは言えると思います。自分の過去を振り返るとアデールとイデールによる
代数的整数論，類体論，単純環論の流れは非常に分かりやすかったので，
「結局もっと新しい本で再入門しなければならなくなる」というのは分かる気もします。

それから私の記憶ではハーディーライト本だと，fieldとかringとかidealとか
いう言葉も概念も出てこないんじゃなかったかな。だから二次体のところの
Q(i)に対するZ[i]，Q(√3)に対するZ(ω)の例とか，なんか最初に読んだときは
関連が分かりにくくて単発的に思えたのを思い出しました。そのころは体や環を勉強
してなかったので。

訂正。Z(ω)→Z[ω]

すいません，また訂正。Z(√3)→Z(√-3)

言い方がまずかったですかね？
Hardy&Wrightに対して，高度に抽象性の高い数学だのアデールを使った
類体論だのというのは見当はずれのように思えるのですが．それらを勉強
して，数の無理数性や超越性，分割数に関する結果，素数定理等が出て
きますか？646で同じ方向性の本が幾つか挙げられていますが，その中で
こっちの方がいいとか，いや他にもこんないい本がある，とか言うのであれば
話はわかるのですが．

見当違いか的外れって言うべきだよなあ．

>An obituary notice in today's UK Daily Telegraph informs of the death on
>February 2nd of Sir Edward Wright (known to us all from Hardy & Wright), at
>the age of 98.

とっくの昔にあの世かと思ってたよ。

ここであえてBakerを推してみるテスト

この１００冊を読めば、数論は完璧というようなリストを出しなさいよ。

>>673
数論は範囲が広すぎるので、１００冊本を読んで完璧などというような生易しい代物ではない。

100冊なんて1週間に2冊読んでも1年ほどかかるじゃないか
大変だな

cosθ，sinθ (0＜θ＜π/2) がともに有理数になるとき，
各値は既約分数で表した際の分母をそれぞれ m_1，m_2 とします．
この m_1 または m_2 の約数になっている（任意の）素数を p とおくと，p は
　　p = x^2+y^2 ， (x，y は整数)
という形にかけることを示してください．

>>676
ありえない

>>676
既約分数表示の仮定と cos^2 + sin^2 = 1 より，実は m_1 = m_2 が分かる．
後はZ[i]の性質から従う有名事実．

>>677
一瞬そう思ってやってみたら肯定的に証明出来てしまった(´・ω・`)

>>676
整数論の問題を出し合うスレ
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1106654316/
へどうぞ

>>677
電波乙
>>678
正解
>>679
失礼しました　そのスレ知りませんでした

Pic(R), K_0 (R), R = [Q(√-5) の整数環] を求めよ

age

>>681
Z/2Z，Z/2Z⊕Z

>>683
正解

>>680
何が電波だ。私の解答は正しいよ。

それなら反例を挙げればいいんじゃない？

>>683
正解
Why?

>>687
デデキント環の K_0 は，イデアル類群とZとの直和
例えば，
Milnor, Introduction to Algebraic K-theory

age

素数全体の集合 P = {2, 3, 5, ..... } の
適当なウルトラフィルター U で、
p 元体 F_p のウルトラ積 F が素体の代数的閉方を含むものが存在する。

整数論の問題を出し合うスレ
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1106654316/

あそこはsageだからageで書いたんだよ

凄まじい理屈だな、と思ったけど

11 名前：伊丹公理 ◆EniJeTU7ko 投稿日：05/01/25 22:22:37
Q上既約->有理解なし
アホ端ね

こういう書き込み見る限り元々こういう人なんだなってわかった。

959

>694

類体論の勉強をしたいのですが、読みやすい本があったら
教えて下さい。独学なので、なるべく分かりやすい本をお願いします。

類体論ヲタっていないよね

ここは、数論幾何もいいんでしょうか？

整数論を知らないものが整数論を騙ります。定義そのものから。

よろしくお願いします。お越しを。御腰。御神輿（おみこし）下されませ。

吉外においては、わたしくめの右にでるものはおりません。
なにせ、　ｘ軸　→　＋無限大。その　＋∞の外の存在なのですから。　

この既知外を観察することによって、貴殿（複数形ではない。複数形にしない。）の
数学的発想に幸（さち）あることを。さらなる発想の幅を得てください。

>>698
勝手にそう解釈して、貴殿のお言葉をいただきます。いただきました。です。

アインシュタイン　と　数学　と　ポリンキー
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1107832269/l50

Re:>697 ところで、何をもって類体論と呼ぶのか？

160

>>698
総合スレだから、数論幾何でも代数的整数論でも解析的整数論でも
なんでもいいでしょう。実際には

・数論幾何：現在、人気の分野だが難解。たまに勉強中の人がレスしても
　相手がいないのですぐに流れが止まる。難解さのイメージが先行して、
　コンプからか煽りレスが続くことも多い。
・代数的整数論：高木貞治以来の日本の伝統も、いまや数論幾何に押されて
　継承者が少ない。類体論までやらなくても、高木の初等整数論講義＋
　代数的整数論の前半まで理解しておれば、２ちゃんでは十分神ｗ
・解析的整数論：ゼータ教徒や解析接続もわからんアホの乱入で糞スレ化
　しやすいが、意外と良レスが続くこともある。

学コンの問題でちょっと手ごわそうなの見つけた
28、63、A、Bの最大公約数が7、最小公倍数が3528となる自然数の組(A、B)で、
A≦Bをみらすものの組は何個？

なんで数論幾何って人気あるの？

関連スレ

遠アーベル幾何
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1111111112/

153

類体論 no kouri

group cohomology??

※ やや古い話で恐縮・・・・

>>646のArithさん。Sirライトが逝去された日にそれ（ハーディとライトの"An Introduction to the Theory of Numbers"の紹介）を
書いたのは、「虫の知らせ」？

IroPaiPai!!IroPaiPai!!IroPaiPai!!IroPaiPai!!IroPaiPai!!IroPaiPai!!

904

IroPaiPai!!IroPaiPai!!IroPaiPai!!IroPaiPai!!IroPaiPai!!IroPaiPai!! IroPaiPai!!IroPaiPai!!IroPaiPai!!IroPaiPai!!IroPaiPai!!IroPaiPai!!

質問です。
一般線型群は、係数体上の正則行列全体のなす群のことです。
しかし、整数環Ｚは体ではないのに、一般線型群ＧＬ（２、Ｚ）
というのが存在するのですが、ＧＬ（２、Ｚ）って何ですか？

整数を成分に持つ行列AがＧＬ（２、Ｚ）に属するとは、
整数を成分に持つ行列Bがあって、AB=BA=Iが成り立つこと。
このことは、detAが整数環Ｚの単数（±１）であることと同値

おまえら本当に整数論やるの？
こんなに難しいんだよ↓

加藤＆斉藤の論文

http://www.springerlink.com/
で一番上にあるserach forに「kato kazuya saito」と入力して検索。
出てきたページの右下のOpen: Entire documentを押すとpdfがDL出来る。

すいません。

数の微分について詳しいサイト・もしくはネット上に論文が
転がっていませんか？

>>712です。
>>713さん有益な情報を有難うございます。

ＧＬ（２、Ｚ）がＧＬ（２、Ｑ）のヘッケ環のなっていることの
証明について書かれている本か論文あったら教えて下さい。

>>717
なんか勘違いしているような希ガス

J.Milnor の "INTRODUCTION TO ALGEBRAIC K-THEORY" p.27で
Whitehead群に関する文が理解できず停滞中 なにかヒントを下さい

Let[P] be any generator of K_0Λ ...

...,we obtin a composite homomorphism

GL(n,Λ) → Aut(P ⊗ Λ^n) → K_1Λ

which will be called h(P). The identity

h(P ⊕ P') = h(P) + h(P')

shows that the homomorphism h(P) depends only on the stable isomorphism
class of P, and hence depends only on the element [P] ∈ K_0Λ. Now pass
to the direct limit as n → ∞ and abelianize. By,definition, the resulting
homomorphism from K_1Λ to K_1Λ carries each element k to the product
[P]・k.

>>719
何が理解できないのかもう少し具体的に言ってくれない？

age

ＧＬ（２、Ｚ）がＧＬ（２、Ｑ）のヘッケ環のなっていることの
証明について書かれている本か論文あったら教えて下さい。

加藤谷山「近代的整数論」って堂ですか？」

>>723
それはひょっとしてギャグで言っているのか？

凍え死にそうだ。

>>724
志村谷山のまちがいですた。
どこにギャグの要素がありますか？

うしろ、うしろ

高木貞治の初等整数論講義っていいか？
何で２次体を考えなきゃなんないかが良くわからん。
ガウスが２次体を考えたのは２元２次形式がらみなんだから
このあたりをやってほしかった。

>>728
ガウスは、４次剰余の相互法則がらみでZ[i]は扱っていたが
一般の２次体を考えてはいない。
２次形式論の２次体による再解釈はディリクレ・デデキントによるが
ガウスの２次形式論はこれとは微妙に異なる。
ガウスの２次形式論を知りたければガウスの著書を読めばいいだけのこと。

そいういえばガウスの２次形式論のある種の拡張を考察した本を
割と最近志村先生が出版していたなあ。

２次体と２次形式は密接に関連してるんだから、これを説明しなきゃ
２次体論としては片手落ち。

>>ガウスの２次形式論を知りたければガウスの著書を読めばいいだけのこと。

まじかよ。

>>729
>>一般の２次体を考えてはいない。

まさか。

Weil著「Basic Number Theory」がわかりやすい本かどうか、
教えてください。

>>730
＞２次体と２次形式は密接に関連してるんだから、

ふむふむ。では、どう密接に関連しているのか説明してくれ。
例えば主種定理は２次体論で解釈するとどうなるんだい？

>>732
おそらくあなたが読む必要のない本だ。

分かりやすい。しかしぎょうかんのけいさんをチェックするのが大変。
でも、placeとかAzumaya環やBrauer群は完璧。
局書類体論までは読んだ。が大域への以降の部分で訳わかんなくなってもうた。
しかし、整数論の実質が非常に分かりやすく身に染み付くという感じ。

>>732へ
>>734を参考に。
おれは最初にこの本読んでよく分かった。
他の本だとここまで本質的に分からんと思うよ。

>>734
ふむふむ。ではイデール群にいれるべき位相を教えてくれ。

adeleからの相対位相だとおもうが。

マジレスすると、ヴェイユの件の本は決して分かりやすい本ではない。
だが将来ジャッケ-ラングランズ理論を勉強したい、あるいは保型表現
の理論を勉強したいというのであれば必読の書ではある。
類体論を勉強したいというのであればノイキルヒ本の方がよい。
一人で読んで完全にフォローするのは相当できる人でないと無理。
読むなら、何人か集まって輪読するのがよい。
見てくれる先生がいればなおよい。

>>734に追加
orderの記述も完璧だったよ。

>>737
違う。それではx→1/xが連続にはならない。
（とちゃんとヴェイユの本に書いてある）

>>738
おれ一人で読んで２３０ページまで完全に読めたけど、ちょっと自身もっていいの？
これって数学者の中では上からどのくらいの才能になるの？
良かったら教えてください。今後の進路の参考にするので。

>>733
>例えば主種定理は２次体論で解釈するとどうなるんだい？

２次体論じゃなく２次形式論の間違いじゃないのか？
いずれにせよ高木にそれを言うべき。

>>おそらくあなたが読む必要のない本だ。

俺のことはほっとけや。
個人的なことは、この際関係ない。
俺が言ってるのは、初等整数論として２次体論を
やるのなら２次形式との関連をやるべきということ。

>>740
x→1/xを連続にするようにさらに位相を追加するでいいですか。

>>741
せめて>>736に答えてからにしてくれない？
>>743じゃだめだよ。

？
７４３では駄目なの理由が？

>>745
いや、失礼。それでも同じになるか。

具体的に開基を記述するとどうなる？

Aを体ｋ上有限algebraとする。
ideleの開基は
∞placeでないほとんどのplaceでの成分が、
Aのk上のorderからのものに一致するもの

でいい？

ところで、
Jacque＆Langlandsの方向
岩澤理論の方向
algebraic　cycle（algebraic　K）の方向
motifの方向
志村多様体の方向

どれが重要で意味があるだろう？
個人的には岩澤理論やp-adicはあまり面白くないのだけど

１．（一般的に）重要である事。
２．（一般的に）意味がある事。
３．個人的に面白い事。
以上の集合の関係を述べよ。

個人的には、「４．個人的に（私には）重要な事。５．個人的には意味がある事」
等は３と関係は深そうだが、どうか？

ってか、もう先の先見たいんなら、個人的な勘とか感性しかないのでは？

>>748
＞Aのk上のorderからのものに一致するもの
ここん所が何を言わんとしているのかよくわからない。
ところで上でさらっと流したけど、アデールからの相対位相では
逆元を取る写像が連続にならない理由わかる？

>>749
互いに密接に関連していて独立でないのでなんともだなあ。
＞個人的には岩澤理論やp-adicはあまり面白くないのだけど
岩澤理論をどう捉えてる？

取り合えず、>>751後半へ

岩澤理論ってやたら計算ばっかし、のイメージ。Washingtonの本の８０ｐまでしか読んでないが

岩澤理論って代数曲線におけるヤコビ多様体の類似を
代数体で追求したものだと聞いたような記憶がある。

教えて得ろ意人

結局、Jacque＆Langlandsもp進ということになるの？
有名な共著の本を見ると（Weilの本を読んでいればすぐにでも理解できそうだが）なんかp進ぽくみえるのですが。
でも岩澤理論とは何かが違うようにも見えるけどね。

ジャッケ-ラングランズ（Jacquet-Langlands）は各素点での表現を考えて
そこからアデール表現を考えるという、いわば横つながりの理論。
岩澤理論はイデアル類群の構造を調べるのに、一つ一つの拡大体を
考えるのではなくそれらを纏めて扱おうという、いわば縦つながりの理論。
有限体上の代数曲線を、代数閉体へ係数拡大して考えることの類似で
代数体に１のｐ冪根全体を付加したものを考えるわけだが、このとき
１の冪根全体を加えたのではうまくいかないというのが面白いところ。

adeleからの相対位相（積位相）でx|->x^{-1}が連続でない理由は、
如何なる有限個のplaceを指定しても、
それ以外のplaceで局所化した局所体に０に近い成分を取れるから、が原因になっている。
記号だと正確に書けるけど文章で書くと上のような書き方でいいことにして。

だからideleの開基は
有限個のplaceを除いて、成分が整環、r_v（Weilの本の記号）のunitの全体（r_v\setminus p_v）となるもの。

おまえら Weil の Basic が表面でしかわかっていない

表面でもわかってりゃ、立派なもんだ

>>758
読んでから少し時間がたってるんでざっとの書き込みですが、
ほんとは如何いう説明がいいの？おせーなさい

>>756>>757
OK　十分通じた。

数論幾何ってヤバイ？院で研究したら崩れるかな？

先生がOKを出せばいいんじゃない？といい加減なアドバイス。ﾌﾌ
数論幾何のなかの何をやるつもりなのか？

>>762
でも、崩れ率は「弦理論」の方が高いという風の噂を聞くけれど…。

循環節の図について詳しく書いている本はありますか？

>762
763の言うように先生がOK出せば大丈夫　崩れずに（師匠は数論幾何じゃないが）生きてらしい（謎）

セール数論講義（いやなが訳）読み始めたよん。2次形式論のとこまで読んだ。
ハッセ・ミンコフスキの定理ってこの本だといっちゃん難しいとこルジャンドル
が示したみたいに書いてあるけど何で定理の名前にルジャンドル入れてやらないの？

すいません，整数論の問題を出し合うスレにも同じこと書きましたが
ここにも書きます。

ヒルベルト記号に関する質問です。スレチガイなら誘導してください。

pを2でない素数とする。α,βをp進数体上の任意の単数とする。このとき
(α,β)=1 (p進数体上のヒルベルト記号)
を示せ。

セールの数論講義を読んでますがここでつまずいてます。岩波数学講座の
河田敬義の数論でも「明らか」として証明が載ってません。教えてください。

>>768
数論講義なら一章、§２、定理３系２に書いてあると書いてあるんじゃないの？

>>768
斎藤秀司「整数論」7章，定理7.23の証明(p.140)　参照．

ありがとうございます。今日一日考えて自力でできました。α，βのどちらかが
mod pで平方数なら明らか。ともに平方数でないときに(α,β)=1 を示すのが
結構大変。セールの本に自明のような扱いで書いてあるのに僕には自明に思え
なかったので何か理解のし落としがないのか考えていました。読み返すと
(α,β)の明示公式が出てました。自分で付けた証明もセール本と本質的に同じ
流れでした。今日1日で進んだのはこの箇所だけ。とほほ。

>>770
斎藤先生の本は共立のやつですよね？ちょこっと立ち読みしたことはありますが。
数論講義が終わったら読んでみようかな。

Ben Green と Terence Tao の
The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions
今読んでます。Szemeredi's theoremの応用ですが，また初等整数論の
問題が解決したみたいですねえ。しかしこの人たちはすごいな。

>>773
解説おながいします。

Neukirch!!NNeukirch!!Neukirch!!eukirch!!

N∈自然数に対して、
P(N):=#{n|n∈自然数,1≦n≦Nかつ(n,N)=1}
↑
　　　　　　　　　　　　　n,Nの最大公約数
とおく。
このとき、
（１）φ(10)を求めよ。
（２）φ(32)を求めよ。
（３）φ(504)を求めよ。
（４）φ(N)を求める公式を作れ。
（５）(N,M)=1のとき、φ(MN)=φ(M)φ(N)によることを示せ。

お願いしまふ(o*。_。)oペコッ

Ｎの約数でＮを割って適当に処理すればいい

ほぼゼロから初等整数論を学ぼうと思ってるんですが、高木貞治先生の
「初等整数論講義」を最初から、ガリガリ読んでいく感じでいいんでしょうか？

それでもいいし、ガウスでもいいし、

>>778
それでいいと思う

age

今予備校で藤田健司っていう千葉大から東大にロンダした整数を専攻してたらしい先生に習っているんですが、
整数を題材にした授業ならテキストなしでも一日中授業出来るって言うんです。
これは整数を専攻している方なら誰でもそう思うものなのでしょうか？

テキスト無しで一日くらいは喋れないと数学をやっていたとは言えぬ

√(784) = 28

講義一つが81000秒間あるとすれば、
講義二つで一日はかかるわけだ。
talk:>>784 整数について何か意見は無いか？

>>782
一日どころじゃない

ペアノだけでも半日ぐらい余裕

>>785
俺が本物だと思って相手してたやつとトリップが違うな。でもお前が本物っぽい。
ということはあいつが偽者だったのか。

高木初等整数論でも留数定理など必要だからそのへんは分かってるかい？
ほぼゼロの具体的な意味は分からないけど。

440

>>783
微積ならテキストなしで二年間やれないとダメ。
（草場談）

【悪を】織田孝幸スレッド【倒せ】
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1124601339/

Q/R

135

>>789
草場みたいなアホにそんなことできるかぃ
どうせ雑談じゃねえの

初等整数論の質問です。
藤崎他「数論への出発」を読んでいるのですが、
既約剰余類群(Z/mZ)x はmが2のべきの時、
<-1>x<5> と書かれています。

いくつか実例を計算してみると、
<-1>x<3> も成り立つことが分かり、
証明も帰納法で同様にできました。

それで岩波数学辞典で調べてみたところ
<-1>x<5>しかあげられていません。
なぜでしょうか？

What is almost etale extension??????

楕円曲線論概説

どう??

面白いけど、５と３以外の奇数についてはどうなのですか？

>>797
元の位数を計算してm/4のものを求めると
m=2^4=16 では、3,5,11,13 ただし 3^3=11,5^3=13
m=2^5=32 では、3,5,11,13,19,21,27,29
ただし、3^3=27,5^3=29,11^3=19,13^3=21

となっています。

でもこの計算では11と13が除外できていない事に成りますね。

>>799

もっと詳しく計算すると
m=2^5=32 の時 3^7=11,5^7=13 でした。

よって <3> と <5> のみといえます。

m＝３２のとき３と１１は互いに逆元だから
＜−１＞x＜３＞＝＜−１＞x＜１１＞ではないのですか。

正確に計算します。
m=32の時
3^1=3　3^2=9　3^3=27　3^4=17　3^5=19　3^6=25　3^7=11　3^8=1
5^1=5　5^2=25　5^3=29　5^4=17　5^5=21　5^6=9　5^7=13　5^8=1

なので
<3> に {3,11,19,27}, 　<5> に {5,13,21,29}
が入ります。
よって <3> と <5> のみといえます。

＜１１＞を計算してみなくてもよいのですか。

>>803
11は3のべき乗なので、11のべき乗は3のべき乗になります。

<3>=-<5>

>>805
<3>=<-5> ですね。
確かにそうなっています。
そういう構造でしたか。やっと分かりました。

Fermat a^p≡a(mod p)
Wilson (p-1)!≡-1(mod p)
Quadruatic Reciprocity (p/q)(q/p)=(-1)^[(p-1)(q-1)]/4
Bertrand n<p<2p
Infinitute of Prime |{p}|=∞
Σ1/p=∞
p=a^2+b^2⇔p≡1(mod 4)

>>807
×　Quadruatic Reciprocity
○　Quadratic Reciprocity

Fermat
a≡r_1(mod p)
2a≡r_2(mod p)
...
(p-1)a≡r_(p-1)(mod p)

{r_1,r_2,...,r_(p-1)}={1,2,...,p-1}

(p-1)!a^(p-1)≡r_1r_2...r_(p-1)=(p-1)!(mod p)

gcd((p-1)!,p)=1

a^(p-1)=1(mod p)

Fermatｷﾀ━━━━(ﾟ∀ﾟ)━━━━!!

Fermat Small Theorem > The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions
Fermat Small Theorem > Fermat Last Theorem/Wiles Theorem
Fermat Small Theorem > The sum of the inverse of the twin primes converges
Fermat Small Theorem > Faltings, Deligne, Bombieri, Langland

a^p≡a(mod p) Fermatｷﾀ━━━━(ﾟ∀ﾟ)━━━━!!

Fermat Small Theorem > Goldbach Conjecture
Fermat Small Theorem > Catalan Conjecture
Fermat Small Theorem > Twin Prime Conjecture

a^p≡a(mod p) Fermatｷﾀ━━━━(ﾟ∀ﾟ)━━━━!!

Fermat Small Theorem > Riemann Hypothesis

a^p≡a(mod p) Fermatｷﾀ━━━━(ﾟ∀ﾟ)━━━━!!

Fermat
a≡r_1(mod p) 0≦r_1<p
2a≡r_2(mod p) 0≦r_2<p
...
(p-1)a≡r_(p-1)(mod p) 0≦r_(p-1)<p

{r_1,r_2,...,r_(p-1)}={1,2,...,p-1}

(p-1)!a^(p-1)≡r_1r_2...r_(p-1)=(p-1)!(mod p)

gcd((p-1)!,p)=1

a^(p-1)=1(mod p)ｷﾀ━━━━(ﾟ∀ﾟ)━━━━!!

794--806の議論に関して調べたところ、
ガウス「整数論」に次の定理を見つけました。

定理90
mod 2^nでは、8k+3形,8k+5形の奇数の位数は2^(n-2)
(実際の記述は文章形式です)

>>802 で<3>の生成元が8k+3形、<5>の生成元が8k+5形
になっているのが分かります。
kを負の数まで含めると
8k+3形は、3,11,19,27,---,-5,-13,-21,-29,---
8k+5形は、5,13,21,29,---,-3,-11,-19,-27,---

あと、剰余類の代表系の確認計算をしておくと、
m=32の時
<3>={1,3,9,11,17,19,25,27}
-<3>={-1,-3,-9,-11,-17,-19,-25,-27}
　　={31,29,23,21,15,13,7,5}
<5>={1,5,9,13,17,21,25,29}
-<5>={-1,-5,-9,-13,-17,-21,-25,-29}
　　={31,27,23,19,15,11,7,3}

なので <3>と-<3> 、あるいは <5>と-<5>で
全ての奇数が尽くされているのが分かります。

このように３と５の２系列があるのですが、
高木「初等整数論講義」では、５だけが解説されていて
そのために、<-1>x<5> だけが広まったのだと思われます。

>>815
何度かこの件について書いておられる方ですね? 初学者の方のようにお見受け
します. 昔の自分の経験から一言アドバイスします. Z/nZやその可逆元の全体
は有限アーベル群という非常に性質の良い群を成します. もしここの部分で
悩んでおられるならば一般の代数の教科書で群を少し勉強してみるといいと
思います. 有限アーベル群の基本定理というのがあって, その見方をすれば
>>815などはただの底の取り方の違いに過ぎません. 群論の初歩はガウスの
本よりもずっと簡単なのでぜひどうぞ.

>816
アドバイスありがとうございます。
疑問点はガウスの本で解決できたので、これから
代数的整数論の学習に入っていくつもりです。
ただ、数論は群論と違って底の構造などを具体的に
調べていくような分野だと思います。
今読んでいる「数論への出発」という本は、代数的手法を
用いながら、細かい整数の具体計算を多く行なっています。

＞ただ、数論は群論と違って底の構造などを具体的に
＞調べていくような分野だと思います。
>>816が言ってるのは、群論や環論の初歩的な知識があると
数論でも役に立つよ、と言うことだと思うよ

たとえば、山本芳彦（その本の著者の一人）の書いた「数論入門」は
「数論への出発」と似た本なんだけど（参考文献のところで著者がそう書いてる）
ある程度合同式の話した後は代数学の知識を援用して議論を進めている

その「数論入門」も良さそうなので並行して読む事にしました。
既約剰余類群の構造はディリクレ指標の章に述べられていて
概念的に難しそうですが、その章から読んでいこうと思います。

>>819
指標を使った（算術級数の）素数定理の証明は数論の一つの山ですね。
結構難しいです。がんばってください。

この１００冊を読めば、数論は完璧というようなリストを出しなさいよ。

ラングランズプログラムの本ないかな。

>>822
http://www.amazon.com/gp/product/0817632115/qid=1133510692/sr=8-1/ref=pd_bbs_1/102-2198953-8939314?n=507846&s=books&v=glance

>>823
ありがとう! June, 2003ってなってるけど全然知らなかった.
早速注文しました.

>>821
１００冊は多すぎる。基本１０冊、発展２０冊にしてくれ。

数論たって広いから一人で全部やる人はいないね。10冊も読まんと思う。
4, 5冊精読すればいいんじゃない?

じゃあ100冊に向けて

初等整数論講義 第2版、高木 貞治
数論入門 現代数学への入門 、山本 芳彦
数論入門〈1、２〉、G.H. ハーディ , E.M. ライト
楕円曲線論入門、J.H. シルヴァーマン, J. テイト
数論〈1〉Fermatの夢と類体論、加藤 和也 , 斎藤 毅 , 黒川 信重
数論〈2〉岩沢理論と保型形式、黒川 信重 , 斎藤 毅 , 栗原 将人
代数的整数論、J. ノイキルヒ
局所類体論、岩澤 健吉
類体論講義、足立 恒雄

はい、適当に１０冊
残りの９０冊たのむ

代数的整数論　高木貞治
Basic number theory Weil
数について デデキント
数論講義 セール

Introduction to the arithmetic theory of automorphic functions, Shimura
Introduction to cyclotomic fields, Washington
Corps locaux, Serre

Analytic number theory by Diamond and Bateman.
Algebraic number theory by Lang
Class field theory by Artin and Tate.
Diophantine geometry by Silverman and Hindry.

Class field theory by Neulirch
Etale cohomology by Milne
Crystalline cohomology by Ogus and Berthelot

Tata Lectures on Theta I-III, Mumford
Abelian varieties, Mumford

ただ書き並べるだけじゃなくて一言コメントも書こうぜ。

Automorphic forms and representations.
(Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 55.)
Daniel Bump
丁寧だが分厚すぎ。

ただ書き並べるアホども
猿でも出来る。

ただ書き並べるアホども
猿でも出来る。

sorewa muri!!

Algebraic number theory by Lang

This is the best text book among others by lang.
It begins with the discussion of ring of integers and shifts to adele and idele
using a measure theory approach by Tate. (Tate's thesis)

「はじめての数論」はだめ？

「はじめての数論」はだめ？


mochi yoi!!

>>828
＞＞Basic Number Theory, Andre Weil
織田先生によるとこれは具体例がほとんど出てこない悪名高い書とのこと。
自分も昔時間をかけて読んだけどExerciseが全く無いから別の本で演習
やったし，local fieldとtopological linear spaceの話が平行して進んだり，
fieldもcommutativeを仮定してないからtopological linear spaceにも左右の
区別があったりとやたらと複雑だったよ。やっぱりヴェイユのおっさんの
頭はおかしいね。

>>838
あれは分かりやすいよね。証明やその動機付けが丁寧。
高木の初等整数論講義と併せて勉強してる。

これで２８冊ぐらいかな

十分？ or まだまだ？

>>841
分野が偏りすぎてるよ. 代数的整数論と初等整数論が多すぎ. 岩澤理論や
表現論の良書誰か挙げて.

加法的整数論とか超越数論とかも挙げまくりなさいよ

というわけで

無理数と超越数 by 塩川宇賢（こういう邦書そもそもほとんど無いがする）
Multiplicative Number Theory by Davenport
初等数論講義 by A.Baker

ベルヌイ数とゼータ関数 初心者もプロも楽しめる（と著者の一人が宣伝してた）

>>843
Multiplicative Number Theoryって加法的整数論って訳すの？
いずれにしても俺ははじめて聞く言葉です。

数論序説 小野孝
整数論入門 И.М.ヴイノグラードフ
コンピュータと素因子分解. 和田秀男
数論入門講義 JS Chahal

>> 無理数と超越数 by 塩川宇賢（こういう邦書そもそもほとんど無いがする）
洋書でいい本ありますか？

リチャード・ガイ, 『数論における未解決問題集』

>>843 超越数論とかも挙げまくりなさいよ
整数論？

ならば、Mathematical Constant by Steven R. Finch もよいですか？

素数の分布 by 内山三郎
なぜか高校の図書室にあったｗ

>>845
いや私は良く知らないけどその本の参考文献に色々と挙げてあるような
なんかBakerがその名もずばり超越数論なんて本を書いてた気がしますよ

amazon.comでtranscendental number theoryで検索したら
BakerとかGel'fondとかSiegelとかChudnovskyとか錚々たる面々の
書いた本がやたらhitしますんで確率的にもどれかは多分良い本じゃないんでしょうかｗ

http://www.amazon.com/exec/obidos/search-handle-url/103-0221865-7159072?url=index%3Dblended&field-keywords=transcendental+number+theory&Go.x=14&Go.y=13

UBASICによるコンピュータ整数論、木田 祐司, 牧野 潔夫

高校の頃に読んだけど面白かった。素因数分解の方法がプログラムとともに書かれている

楕円関数論―楕円曲線の解析学、梅村 浩
楕円関数論、A. フルヴィッツ, R. クーラント
リーマンゼータ函数と保型波動、本橋 洋一
The Arithmetic of Elliptic Curves、Joseph H. Silverman
リーマン予想、鹿野 健

一寸異色だけど
Logical Number Theory by Smorynskiとかも

無理数・超越数論

A. Baker, Transcendental Number Theory, Cambridge University Press, 3rd edition, 1990.
Yuri V. Nesterenko; Patrice Philippon (Eds.), Introduction to Algebraic Independence Theory, LNM 1752, Springer-Verlag, 2001.
K. Nishioka, Mahler functions and transcendence, LNM 1631, Springer-Verlag, 1996.
塩川宇賢, 無理数と超越数, 森北出版


というか、

http://www.numbertheory.org/ntw/number_theory.html

のNumber theory booksにいくらでも載ってる。

数の世界 -整数論への道- 和田 秀男
啓蒙書みたいだけど、正ならば素数を表す多項式の作り方の一例が載ってるョ

How about

Riemann zete functions by Edwards,
or
Riemann zeta functions by Titchmarsh?

>>854

iiyo!!

Lucas Number の読み方は「ルーカス数」と「リュカ数」のどちらが正しいですか？
Google で検索すると「リュカ数」のほうが多いですが、
英語の読み方は「ルーカス ナンバー」ですよね？

フランス人だから「リュカ数」だろうけど、本でも書くんじゃなければ
どっでも良かろう。

どっちでもええんちゃう？

人数の多い分野はいまさら参入してもしょうがないと考える場合、
どういった分野・テーマがマイナーでしょうか？

　　　　／￣￣￣￣＼ 　　　２７歳で日本数学会は下らないと悟った。
　　　（　　人＿＿＿＿） 　　３０歳でフィールズ賞も下らないと分かった。
　　　 |ミ/　　ー◎-◎-） 　　３３歳で下らない建部賞を贈られた。
　　　（６　　　　　(_　_)　） 　　３６歳でアカポスを諦めた。
　　＿_|　∴　ノ　　３　 ﾉ　　　 ３９歳で自分自身を諦めた。
　（＿_/＼＿＿＿＿_ノ 　　　　 だから愚痴はかみ殺してた。
　/　（ 　　))　　　　　 ))）　　　「アカポスはコネ」が口癖。
[]＿__.|　｜ラブひな命 ヽ 　　　自分を相手にしない公募は糞以下だと気づてたから。
｜[]　.|＿|＿＿>>1＿＿＿） 　　　言えば僻みになるから負け惜しみになるからダサいから、
　＼_（＿_）三三三[□]三）　　　　ずっとかみ殺してた。
　　／（＿）＼:::::::::::::::::::::::|　　　　　　でも２ちゃんで言ったら最高に笑えた。
　｜Sofmap｜:::::::::/:::::::/ 　　　　　　「川北君に嫉妬したInvent崩れが、女児を刺す！ｗ」
　（＿＿＿＿_）;;;;;/;;;;;;;/
　　　　　（＿＿＿[）＿[） 　　　　　　　　本当に心の底から笑えた…。

もう出なくともよろしい。

【かっこ悪い】建部崩れ、見参！【情けないｗ】
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1135765594

代数学 III（ガロア理論）
II とは別の意味でぶっ飛んでいた。
「１，２，３，４と数えましょう。たのしいな、たのしいな」との発言、
証明を書くのが面白くなければ「やめた。」との板書、
証明の途中で「わからなくなっちゃった」との板書
……などのエピソードあり。
教官の研究室のドアにも
「素数の歌が聞こえます　ぴーひゃららんらんぽんぽこぽ」とか
「ゼータ笑いを笑いましょう」と書いてあったこともある。
http://ikeda.net-campass.com/lectures.html

加藤和也おもしろすぎｗ

自分がまわりにどう見られてるかわからないガキは一生部屋に引きこもっていてほしい。

ああ
この人は
頭がおかしいんだ
と
確信
したが
やはり頭もいいのだ
と
嫉妬も
覚える

会心の一撃 Ｋｏ Ｎｅ !

会心の一撃 Ｋｏ Ｎｅ !

会心の一撃 Ｋｏ Ｎｅ !

いい加減止めれこの馬鹿のアホの馬鹿のアフォの馬鹿

いい加減止めれこの馬鹿のアホの馬鹿のアフォの馬鹿

いい加減止めれこの馬鹿のアホの馬鹿のアフォの馬鹿

788

カーマイケル数って、
561だと
３＾５６１の方のフェルマーテストにはパスしてしまいますが
３＾５６０の方のテストでは１と合同「ではない」ですよね
互いに素でない数持ってくれば合成数とわかるのに、
カーマイケル数って一体何が重要なんですか？

時代は、Ｐｕｂｌｉｓｈ ＆ Ｐｅｒｉｓｈ　へ

アナレン級に３本、全部で１０本超の業績では
崩れるのが普通です
アナレン級に３本、全部で１０本超の業績では
崩れるのが普通です
アナレン級に３本、全部で１０本超の業績では
崩れるのが普通です

馬鹿の一つ覚え

カーマイケル数の件は？

岩波数学辞典によれば K3 曲面の中には自己同型群が無限群になる物が存在するという。
x^4 + y^4 + z^4 = w^4 ではどうだろうか？
整数論的見地から云うと、有理係数の自己同型群が無限群になるかどうか？
御存知の方教えて下さい。これが知りたい。

429

任意のV∈Uに対してww⊆Vとなる或るWが存在するってなんだそりゃW

は？

279

ひっ？

age

ふっ？

へっ？

俺は女だ

age

ほっ？っとコーヒー。

スペース厨はどこか行ってくれ

>>886 宇宙厨？

554

　　　　　　　　　　　　　　 　 　　　　 　　 　┌-―ー-';
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　　|(´･ω･`)ﾉ 知らんがな
　　　　　　　　　 　 　　 ＿＿＿＿ 　　　　上―-―' 　　　＿＿＿＿
　　　　　　 　　　　　　　| (´･ω･`) | 　　／　 ＼　　　 　　 | (´･ω･`) |
　　　　　　　　　　 　 　 |￣￣￣￣ 　 （￣￣￣） 　 　 　 |￣￣￣￣
　 　 　 　 　　 　 　 　 ∧ 　　　　　　 （[[[[[[|]]]]]） 　 　 ,∧
　　　　　　　　　　　　<⌒>　 　 　 　 [=|=|=|=|=|=]　　　<⌒>
　　　　　　　　　　　／⌒＼ 　 　 　 _|iﾛi|iﾛiiﾛi|iﾛ|_∧ ／⌒＼_
　　　　　　　　　　　］皿皿［-∧-∧|ll||llll||lllｌ||lllｌ|lll|￣|]皿皿[_|
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　　　　　　　　　　　| . ∩　 |'|「|'''|「|||:ll;|||}{|||}{|||}{|||}{|,田田.|__|
　　　　　　　　　　　|￣￣￣￣|「|￣￣||[[|門門門|]]|[_[_[_[_[_[
　　　　　　　　　　／i~~i' l ∩∩l　.ｌ　∩　∩　 l　　|__| .| .∩|　.|　l-,
　　　　　　　,,,,,='~|　|　|' |,,=i~~i==========|~~|^^|~ ~'i----i==i,, | 'i
　　 　 　 　 |　l ,==,-'''^^　 l　 |. ∩. ∩. ∩. |　 |∩| 　 |∩∩|　 |~~^i~'i、
　　　　　 ,=i^~~.|　 |.∩.∩ |,...,|__|,,|__|,,|__|,,|__|,....,||,,|.|,.....,||,|_|,|.|,....,| 　 |　|~i
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talk:>>889 私の城を用意してくれるのか？

　　　　　　　　　　　 　 　　　　 　　 　┌-―ー-';
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　　　　　　　　　　　　　　　　　 ''==,,,,＿＿＿,,,=='~


tenkuunoshiro LAPUTA!!!
Hahahahhahahahahhahahahha!!!!!!!

talk:>>891 私を呼んだか？

整数問題です

ｘｙｚ＝ｘｙ＋yz＋ｚｘ＋２
を満たす正の整数ｘ、ｙ、ｚをすべて求めよ。
ただしｘ≦ｙ≦ｚとする。

>>893

2=xyz-zy+yz+zx≦x^3-3x^2 より x＜4 iff 1≦x≦3
また, x=1 のとき,
yz=y+yz+z+2 iff y+z=-2 となり, x, y, z∈N を満たさないので x=2, 3 が候補

x=2 のとき,
2yz=2y+yz+2z+2 iff yz=2y+2z+2 よって, 2=yz-2y-2z≦y^2-4y より y＜5 iff 2≦y≦4
(x, y)=(2, 2) のとき, 4z=4+2z+2z+2 解なし
(x, y)=(2, 3) のとき, 6z=6+3z+2z+2 iff z=8
(x, y)=(2, 4) のとき, 8z=8+4z+2z+2 iff z=5
(x, y)=(2, 5) のとき, 10z=10+5z+2z+2 iff z=4 しかし, y≦z より与条件を満たさない

x=3 のとき,
3yz=3y+yz+3z+2 iff 2yz=3y+3z+2 よって, 2=2yz-3y-3z≦2y^2-6y より y＜4 iff y=3
(x, y)=(3, 3) のとき, 9z=9+3z+3z+2 iff z=11/3 しかし, z∈N より与条件を満たさない

以上より
(x, y, z)=(2, 3, 8), (2, 4, 5)

xyz-(zy+yz+zx)≦x^3-3x^2 ??

有理整数環が環の公理を満たすことを示している
本やサイトを探しています。知っている方、教えて下さい。

「数学の基礎」とかそういう題名の本をいくつか調べたらいいんじゃないかな

無限公理から自然数（のモデル）ωを定義して、そっから
有理整数環Zと有理数体Q、実数体R、複素数体C（のモデル）を
定義していく本のことを言ってるんだろうから

もっとも、これこれの性質を満たす任意の満たす環の部分環として含まれる、
というかたちの定義づけもありうるかもしれないけど

>>897
レス有難うございます。
私の知りたかったことは
自然数の集合における和と積の定義と
この演算に関する結合法則や分配法則の根拠
だとレスを読んで気付きました。
ネットで調べた所、それらはすべて帰納法が鍵だということなので
今から考えてみたいと思います。

最後の2行に関してですが、
自然数や整数の集合が定義されていない前に
結合可換環の存在を示す方法に興味があります。

>>898
自然数や整数の集合が定義されていない前に
標準0の結合可換環の存在を示す方法に興味があります。

標数0、の間違いなような

結合法則や分配法則の根拠というか、
それらは要請されるものに近く、証明されるものじゃないと考えたほうがいいかと。
ただその要請されるものが実際に存在することの証明は出来ますけどね
いずれにせよ、自然数を定義しないと分配法則の証明もヘッタクレも無いわけで
ωの定義は公理的集合論の本を読んだら書いてありますよ

というか、整数論の話題じゃないような、、ま、いいか

845

241

ａ，ｂ，ｃ∈Ｎ（自然数）に対して、

１．ａ（ｂ＋ｃ）＝ａｂ＋ａｃ（分配法則）
２．（ａｂ）ｃ＝ａ（ｂｃ）（結合法則）
３．ａｂ＝ｂａ（交換法則）
それぞれ３つの性質が成り立つことを証明せよ。

age

>>903
スレ違い

Ofer Gabber genius!!!

x^n+y^m=z^l (x,y,z,n,m,l∈N)の解ってどれくらいわかってるの？

tokorode

Analytic Number Theory (Colloquium Publications, Vol. 53)
(Colloquium Publications (Amer Mathematical Soc))
by Henryk Iwaniec and Emmanuel Kowalski

wa yonda hitoiru?

>>907
l = 1 なら完全に分かっている。

マルチでお邪魔します

天才的なひらめき募集

0〜4と+-*/根号、累乗、階乗、括弧を利用して1000まで作ろうぜ
http://ex16.2ch.net/test/read.cgi/news4vip/1153548534/l50

整数論を勉強するには何から手をつければいいですか?

四則計算

二年十時間。

整数論で現役の一流の研究者といえばたとえば誰？

http://7andy.yahoo.co.jp/books/detail?accd=30525944
この本っていいですか?

>>915

bimyouoo!!!

>915

書評あり　↓
http://www.amazon.co.jp/gp/product/4130629042/250-7995243-2478646?v=glance&n=465392&s=gateway

>>整数論で現役の一流の研究者といえばたとえば誰？

Taylor, Skinner, Harris, B.Conrad, Deninger, Jannsen, Shalit,
Colmez, Coleman, Fontaine,.....

Iwaniecz, Sarnak,

山本芳彦「数論入門」ってどうよ？いま群指標のトコで壁にぶち当たり。

http://www.amazon.co.jp/gp/product/4000068784/250-9352282-3692217?v=glance&n=465392&s=gateway

p119 研究　　(Z/(３＾e)Z)の乗法群は2によって生成される巡回群である事を示せ。

コンピュータの数値実験を参考に示せだそうです。
アルゴリスムまわしてるけどけどたしかにそうなるぽい。

>>921
明らか

大学の初等整数論の授業のレポート問題の中にいくつかわからないものがあるので
もし解答がわかる人がいれば教えていただけないでしょうか？
問１
２次方程式x^2+nx+m=0(ｎとｍはある整数)で
mod35で３個以上解をもつ例を一つ挙げよ

問２
ｎを正の整数とする。ｎの平方ｎ^2が二つの平方数の和m^2+l^2
(ｍとｌは正の整数)にかけるための必要十分条件を求めよ

よろしくお願いします。

>>923
問2は文献の紹介ですまないけど(とても掲示板に書ける量ではない)
G.H.ハーディ,E.M.ライト著の数論入門I(シュプリンガーズ・フェアラーク社)の12章と14章を読んでくれ
(数論入門�Uの20章にも別証がある)

？

http://www.amazon.co.jp/gp/product/4795201404/sr=8-1/qid=1155403856/ref=sr_1_1/250-3146473-1617024?ie=UTF8&s=gateway
白谷克巳「整数論入門」この本どうですかね?

>>926
目次を見る限りいまさら感があって、
全然興味がわかない。

山本芳彦「数論入門」ヘンゼルの補題の証明分りません。

山本芳彦「数論入門」ヘンゼルの補題の証明分りません。イイ本無いですかね。

初等整数論講義の第１章§７でも読んでみれば？

あ、すみません。わかりました。ちょっとしたことでした。

ある任意の数nが整数であることを証明するには、どうすればいいか。

そうでないとして矛盾を出せばよいのでは？

1.5

整数論を志すものが学部中に読んでおくべき本、
習得しておくべき知識って何があります？
可換環、スキーム、フーリエ解析あたりですか？

835

A Course in Arithmetic

日本の大学にいる現役の数学者で
整数論の研究で有名な人を出来るだけたくさん教えてください。

2^n+1=kn^2
(n,k∈Z)

あ

間違えた。すいません

素数定理について質問です。

不等式　π(x)＜Cx/log(x)　がすべてのx(>0)に対してなりたつ正数Cが存在します。
それでは次の問題は真ですか？

代数体Lの素イデアルで、ノルムがx以下のものの個数をπL(x)で表す。
このとき、拡大次数nのみによる定数c(n)が存在し（←ここが質問の核心です）、
全てのn次代数体Lとすべての実数x(>0)に対し、不等式　πL(x)<c(n)x/log(x)　が成り立つ。

いくら頑張っても証明出来ませんでした。レスよろしくお願いします。